ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΜΕ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΔΙΑΜΕΣΟΥ ΤΟΥ Δ.Α.Θ.

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ - ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΩΝ - ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΔΙΑΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ "ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ" ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ Δ7 ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ν. ΚΛΑΟΥΔΑΤΟΣ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΜΕ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΔΙΑΜΕΣΟΥ ΤΟΥ Δ.Α.Θ. ΒΑΣΙΛΗΣ ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ Α.Μ vasilis_karagiannis@yahoo.gr

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Εισαγωγή Σκοπός της εργασίας.3 3. Θεωρητικό πλαίσιο Γνωσιακή Θεωρία Επικοινωνιακή Προσέγγιση Θεωρίες πλαισιοθετημένης μάθησης Λύση Μαθηματικού Προβλήματος Μέθοδος Polya Πλαίσιο στήριξης (scaffolding) Αβεβαιότητα, διαπραγμάτευση, διϋποκειμενικότητα Επιστημολογικά εμπόδια Διδασκαλία ανάμεσα στα θρανία (ΔΑΘ) Οι τρεις κόσμοι Μαθηματικής σκέψης Περιγραφή της διδασκαλίας Ανάλυση διαπραγματευτικών επεισοδίων ο διαπραγματευτικό επεισόδιο ο διαπραγματευτικό επεισόδιο Συμπεράσματα Βιβλιογραφία Παράρτημα

3 1. Εισαγωγή Η παρούσα εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια του μαθήματος «Δ7 Διδασκαλία των Μαθηματικών με διαδικασίες Λύσης Προβλήματος», του εαρινού εξαμήνου του Διαπανεπιστημιακού Διατμηματικού Προγράμματος Μεταπτυχιακών Σπουδών «Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών», στο οποίο διδάσκων καθηγητής είναι ο Νικόλαος Κλαουδάτος Δρ. Διδακτικής των Μαθηματικών. Η εργασία βασίζεται στη διδασκαλία που πραγματοποιήσαμε στα πλαίσια του μαθήματος, στο 2 ο Πειραματικό Λύκειο Αθήνας. Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον διδάσκοντα του μαθήματος Νικόλαο Κλαουδάτο, το συνάδελφο καθηγητή των Μαθηματικών στο 2 ο Πειραματικό Λύκειο Αθήνας Μιχάλη Πατσαλιά και τη συνάδελφο φοιτήτρια του Μεταπτυχιακού Αρετή Ευσταθίου, η οποία επωμίστηκε το χειρισμό της κάμερας προκειμένου να βιντεοσκοπήσει τη διδασκαλία. 2. Σκοπός της εργασίας Σκοπός της εργασίας είναι η παρουσίαση και ανάλυση της διδασκαλίας, η οποία παραγματοποιήθηκε στις 27/04/2012 στο 2 ο Πειραματικό Λύκειο Αθήνας, στο 1 ο τμήμα της Β τάξης, στο μάθημα της Άλγεβρας Γενικής Παιδείας. Διήρκησε μία διδακτική ώρα (45 λεπτά) και βιντεοσκοπήθηκε από τη συνάδελφο φοιτήτρια του Μεταπτυχιακού Αρετή Ευσταθίου. Πιο συγκεκριμένα στόχος μας είναι να διαπιστώσουμε σε ποιο βαθμό εφαρμόστηκαν οι διδακτικές πρακτικές που περιγράφονται στο θεωρητικό πλαίσιο, να καταγράψουμε λεπτομέρειες που αποκαλύπτονται κατά τη διάρκεια της διδασκαλίας και να τις ερμηνεύσουμε με βάση στοιχεία του θεωρητικού πλαισίου, όπως το πλαίσιο στήριξης, η ζώνη επικείμενης ανάπτυξης, το επιστημολογικό εμπόδιο, η αβεβαιότητα, οι δείκτες εμπλοκής και οι τρεις κόσμοι μαθηματικής σκέψης. Στόχος μας επίσης είναι να εντοπίσουμε τη συναισθηματική φόρτιση όλων των παραγόντων που συμμετέχουν στη διαδικασία. Τέλος στόχος μας είναι η ανάλυση της διδασκαλίας να λειτουργήσει και για μας ως αφορμή για μεταγνώση και αυτογνωσία. Το βασικό μαθηματικό αντικείμενο που πραγματεύτηκε η διδασκαλία ήταν η εισαγωγή στους λογάριθμους. Η πρακτική που ακολουθήθηκε ήταν η διδασκαλία με διαδικασίες λύσης προβλήματος διαμέσου του ΔΑΘ (διδασκαλία ανάμεσα στα θρανία). Σε συνενόηση με το συνάδελφο καθηγητή του τμήματος Μιχάλη Πατσαλιά, η διαδσκαλία διεξήχθει αμέσως μετά την ολοκλήρωση της παραγράφου που αφορούσε την εκθετική συνάρτηση, οπότε βάσει του αναλυτικού προγράμματος σπουδών, θα έπρεπε να ακολουθήσει η έννοια του λογάριθμου

4 3. Θεωρητικό πλαίσιο 3.1 Γνωσιακή Θεωρία Επικοινωνιακή Προσέγγιση Ανάμεσα σ αυτούς που θεωρούν τη Διδακτική των Μαθηματικών επιστήμη, μπορεί κανείς να εντοπίσει διάφορους ορισμούς της. Ανάλογα με την οπτική γωνία που τη βλέπει κάποιος, τους προσανατολισμούς και τις ερευνητικές μεθόδους που ακολουθεί, μπορεί να τη θεωρήσει ως ειδικό κεφάλαιο των ίδιων των Μαθηματικών, ως κλάδο της Επιστημολογίας, ως τομέα της Παιδαγωγικής, ως Κοινωνική Επιστήμη. Για την ανάπτυξη της Διδακτικής των Μαθηματικών δύο θεωρίες έπαιξαν καθοριστικό ρόλο, η Γνωσιακή Θεωρία του Piaget και η Επικοινωνιακή Προσέγγιση του Vygotsky. Ο Piaget είναι ο πρώτος στην πειραματική ψυχολογία που εισάγει την κλινική συνέντευξη και προτείνει τις ποιοτικές αναλύσεις, σε αντιδιαστολή με τις ποσοτικές, που μέχρι τότε αποτελούσαν τη μοναδική μέθοδο εξαγωγής συμπερασμάτων. Στα πλαίσια του ευρύτερου επιστημολογικού του προβληματισμού, το κύριο ενδιαφέρον του στράφηκε στο είδος των εσφαλμένων απαντήσεων των παιδιών και οδηγήθηκε στη διερεύνηση των βασικών μηχανισμών σκέψης του παιδού, με βασικό αντικείμενο των μελετών του τη διανοητική ανάπτυξη του παιδιού και του έφηβου. Οι ερευνητές της Διδακτικής των Μαθηματικών, επηρεασμένοι από τη θεωρία του, οδηγούνται σ αυτό που σήμερα ονομάζουμε Θεωρία Κατασκευής της Γνώσης (Constructivism), μέσω της οποίας παρατηρούν και περιγράφουν τους μηχανισμούς με τους οποίους ο μαθητής οικοδομεί τις μαθηματικές γνώσεις, μέσα σ ένα συγκεκριμένο μαθησιακό περιβάλλον. Η φιλοσοφία του Vygotsky χαρακτηρίζεται ως μια αντιδογματική μαρξιστική φιλοσοφία που θεωρεί την ανθρώπινη συνείδηση προϊόν κοινωνικοποίησης και προσδιορισμένης μέσα στο κοινωνικό και οικονομικό γίγνεσθαι. Το βασικό ζήτημα που τον απασχόλησε είναι η συνάφεια μάθησης και ανάπτυξης, για το οποίο εισήγαγε μια σειρά γνωστικών ή ψυχολογικών εργαλείων, όπως ο ρόλος της γλώσσας, οι κατώτερες και ανώτερες νοητικές λειτουργίες, η σημειωτική διαμεσολάβηση και η ζώνη επικείμενης ανάπτυξης (zpd). Επικεντρωνόμαστε στη ζώνη επικείμενης ανάπτυξης που αποτελεί τη σημαντικότερη έννοια της θεωρίας του. Πρόκειται για το εργαλείο που μας παρέχει τη δυνατότητα επιστημονικής πρόβλεψης των προοπτικών της εξέλιξης του μαθητή. Για τον Vygotsky, αυτός που μαθαίνει έχει ένα πραγματικό επίπεδο ανάπτυξης, που καθορίζεται από την ανεξάρτητη (χωρίς βοήθεια) επίλυση προβλήματος και ένα εν δυνάμει επίπεδο ανάπτυξης, που καθορίζεται από την καθοδήγηση του διδάσκοντος ή μέσα από τη συνεργασία με συμμαθητές του. Η ζώνη επικείμενης ανάπτυξης είναι η απόσταση των δύο αυτών επιπέδων και αναπαριστά τη δυνατότητα ανάπτυξης του μαθητή όταν δέχεται βοήθεια

5 Άμεση συνέπεια της θεωρίας της Επκοινωνιακής Προσέγγισης είναι ότι ευνοεί και υποστηρίζει την ομαδοσυνεργατική διδασκαλία. Και οι δύο παραπάνω αντιλήψεις, Γνωσιακή Θεωρία και Επικοινωνιακή Προσέγγιση, δίνουν προτεραιότητα στη συμμετοχή και δράση του υποκειμένου, ο μαθητής συμμετέχει ενεργά στην κατασκευή της γνώσης. Διαφέρουν όμως σε τούτο: Στη Γνωσιακή Θεωρία προηγείται ο εγωκεντρικός λόγος, ο οποίος εξελίσσεται στη συνέχεια σε κοινωνικό λόγο, ενώ στην Επικοινωνιακή Προσέγγιση συμβαίνει το αντίστροφο, προηγείται ο κοινωνικός λόγος, ο οποίος εξελίσσεται σε εγωκεντρικό, εσωτερικό λόγο. Για τις κονστρουβιστικές θεωρίες γενικά, το κρίσιμο επιστημολογικό ερώτημα που ανακύπτει είναι ποια Μαθηματικά κατασκευάζει το υποκείμενο, τα «δικά του» Μαθηματικά ή τα Μαθηματικά που υπάρχουν ήδη κάπου. 3.2 Θεωρίες πλαισιοθετημένης μάθησης Σύμφωνα με τον Σακονίδη (2007), οι εξελίξεις σε άλλα γνωστικά πεδία, όπως η ανθρωπολογία και η κοινωνιολογία και παράλληλα η διαπίστωση ότι οι ανισότητες που αναπαράγει το σχολείο οφείλονται και στην αποτυχία στα Μαθηματικά, πυροδότησαν μια σειρά προσπαθειών σχετικά με τη μελέτη του ακριβούς ρόλου των κοινωνικο-πολιτισμικών παραμέτρων στη μάθηση των Μαθηματικών. Οι προσπάθειες αυτές οδήγησαν στις λεγόμενες θεωρίες Πλαισιοθετημένης Μάθησης. Η Πλαισιοθετημένη Μάθηση αναπτύχθηκε τη δεκαετία του 90 και αποτελεί μια ειδική εκδοχή της Επικοινωνιακής Προσέγγισης του Vygotsky. Σύμφωνα μ αυτή, η γνώση είναι εγκατεστημένη σε ιδιαίτερες μορφές εμπειρίας που προκύπτουν σε συγκεκριμένες περιστάσεις και γίνεται κατανοητή με σχεσιακό τρόπο, ως κάτι που κατανέμεται μεταξύ ανθρώπων, δραστηριοτήτων και περιβαλλόντων, και όχι ως σταθερό ατομικό χαρακτηριστικό. Σύμφωνα με τον Wenger (1998), η συμμετοχή στην πρακτική μιας κοινότητας ανθρώπων που παράγουν Μαθηματικά (σχολική κοινότητα), αποτελεί την επιστημολογική αρχή της μάθησης των Μαθηματικών. Ο Wenger εισάγει δύο έννοιες κλειδιά, τη συμμετοχή (participation) και τη συμπύκνωση (reification). Η συμμετοχή είναι μια σύνθετη διαδικασία προσωπική και κοινωνική. Αναφέρεται στο «λαμβάνω μέρος» με την έννοια του συζητώ, πράττω, ανήκω, σκέφτομαι, επιλύω, αποδεικνύω, ερμηνεύω, αναπτύσσω εικασίες. Μέσω της συμμετοχής αναπτύσσονται μια σειρά εμπειριών ή με άλλα λόγια, μια σειρά εσωτερικευμένων ενεργειών, όσον αφορά τις διάφορες μαθηματικές καταστάσεις. Η συμπύκνωση αναφέρεται στη διαδικασία του «μετασχηματίζω τις εμπειρίες μου σε αντικείμενο» και σχετίζεται με τις αφαιρετικές διαδικασίες, τα σύμβολα, τους όρους, τις έννοιες κλπ. που παράγει η κοινότητα. Οι δύο αυτές έννοιες είναι συμπληρωματικές, η συμμετοχή οδηγεί στη συμπύκνωση, η οποία - 5 -

6 με τη σειρά της οδηγεί σε περαιτέρω συμμετοχή και χρησιμεύουν στη διαδικασία διαπραγμάτευσης του νοήματος. Ένας άλλος βασικός όρος είναι το συνοριακό αντικείμενο. Επινοήθηκε από τον κοινωνιολόγο Leigh Star (Wenger 1998, p.106) για να περιγράψει αντικείμενα τα οποία μπορούν να συντονίσουν τους διαφορετικούς τροπους με τους οποίους τα βλέπουμε, προκειμένου να πραγματοποιηθεί κάποιος σκοπός. Ένα αντικείμενο χαρακτηρίζεται συνοριακό, όταν ανήκει σε πολλαπλές πρακτικές και θεωρείται ως σύνδεσμος διαφορετικών οπτικών, οι οποίες οπτικές απαιτείται να συντονιστούν. Ο Wenger (Wenger 1998, p.114) αναγνωρίζει τρεις τύπους πρακτικών. Αυτός που μας ενδιαφέρει είναι η συνοριακή πρακτική, η οποία λαμβάνει χώρα όταν κάποιο γεγονός δώσει την αφορμή για αμοιβαία εμπλοκή ατόμων από διαφορετικές κοινότητες. Στις μαθησιακές διαδικασίες, οι γραφικές παραστάσεις είναι ένα παράδειγμα συνοριακής λειτουργίας, αφού η συζήτηση εύκολα μετατοπίζεται από το χώρο των Μαθηματικών σ αυτόν της Φυσικής και αντίστροφα. Ο Wenger θεωρεί ότι ο εκπαιδευτικός σχεδιασμός πρέπει να περιέχει δραστηριότητες που εμπλέκουν τους μαθητές σε συνοριακές πρακτικές. Οι ικανότητά τους να εργάζονται σε τέτοιου είδους πρακτικές δεν είναι απλά ζήτημα δεξιοτήτων, αλλά ζήτημα ταυτότητας. 3.3 Λύση Μαθηματικού Προβλήματος Μέθοδος Polya Όταν αναφερόμαστε στη «Λύση Μαθηματικού Προβλήματος» εννοούμε την αντιμετώπιση μιας μη οικείας κατάστασης, για την οποία δε μπορούμε άμεσα να διαμορφώσουμε τρόπους διαπραγμάτευσης. Επομένως απαιτείται η ανίχνευση ενός δρόμου και όχι η εφαρμογή μιας γνωστής τεχνικής. Χρειάζεται η αναζήτηση δυνατοτήτων με βάση τις ήδη υπάρχουσες γνώσεις και η επιλογή της κατάλληλης στρατηγικής. Σημειώνουμε ότι ο χαρακτηρισμός μιας μαθηματικής δραστηριότητας ως πρόβλημα, είναι υποκειμενικό. Ότι αποτελεί πρόβλημα για κάποιον, μπορεί να είναι άσκηση για κάποιον άλλον. Η μέθοδος Polya (Polya 1965, 1973a, 1973b) για τη λύση προβλήματος συνοψίζεται στα παρακάτω βήματα: 1. Κατανόηση του προβλήματος Ανάγνωση του προβλήματος με στόχο την απόσπαση πληροφοριών γραμματικής και σημασιολογικής ανάλυσης. Κατασκευή μιας εσωτερικής αναπαράστασης του προβλήματος, η οποία περιέχει τη δεδομένη κατάσταση, τους στόχους και τις διαθέσιμες ενέργειες. 2. Επινόηση ενός σχεδίου Αναγνώριση των χρήσιμων στρατηγικών. Επιλογή της κατάλληλης στρατηγικής ανάμεσα στις διαθέσιμες. 3. Εκτέλεση του σχεδίου Πραγματοποίηση της επιλεγμένης στρατηγικής

7 4. Ανασκόπηση Σε ποια γνώση οδήγησε η λύση του προβλήματος; «τι έμαθες αφού έλυσες το πρόβλημα;». Τα τρία πρώτα βήματα στοχεύουν στο να συνδέσουν τις ήδη υπάρχουσες γνώσεις με το συγκεκριμένο πρόβλημα, με άλλα λόγια στοχεύουν στη δημιουργία μιας εικασίας για τη λύση. Το τελευταίο βήμα αποτελεί τον έλεγχο της εικασίας, που σε πολλές περιπτωσεις είναι η γνωστή μας απόδειξη. Ως βασικές συνιστώσες για τη Λύση Μαθηματικού Προβλήματος θεωρούνται: Οι διαθέσιμες Μαθηματικές γνώσεις: Aποτελεσματική οργάνωση των Γνωστικών Σχημάτων στη μακροπρόθεσμη μνήμη. Οι Aλγόριθμοι: Διαδικασίες που η σωστή εκτέλεσή τους οδηγεί στη λύση ενός συγκεκριμένου τύπου προβλημάτων. Οι ευρετικές: Γενικές οδηγίες ή στρατηγικές που βοηθούν στην προσέγγιση και κατανόηση του προβλήματος και στην αποτελεσματική διαχείριση των διαθέσιμων γνώσεων. Ο έλεγχος: Ανάπτυξη ενός μηχανισμού αποφάσεων για την επιλογή της κατάλληλης ευρετικής, των κατάλληλων Γνωστικών Σχημάτων, των κατάλληλων αλγορίθμων. Η σημασία της ανασκόπησης: Δεδομένου ότι το ερώτημα «τι έμαθες αφού έλυσες το πρόβλημα» είναι, τελικά, αυτό που έχει τη μεγαλύτερη σημασία, η ανασκόπηση ανάγεται στο πιο σημαντικό στάδιο της Λύσης Προβλήματος. Οι διαδικασίες που προάγουν τη μάθηση στο στάδιο αυτό, είναι ο μετασχηματισμός του προβλήματος, η επέκταση της λύσης και σε άλλα προβλήματα και η διερεύνηση της λύσης. Η διατύπωση του προβλήματος: Η τροποποίηση που μπορούμε να επιβάλλουμε στην εκφώνηση του προβλήματος, συμβάλει στη δυνατότητα επίλυσης. Το σύστημα των «πιστεύω»: Η οπτική γωνία με την οποία αντιμετωπίζει ένα άτομο τον κόσμο των Μαθηματικών, καθορίζει τον τρόπο προσέγγισης του προβλήματος, την επιλογή των τεχνικών, το πόσο επίμονα θα εργαστεί και γενικά δημιουργούν το πλαίσιο μέσα στο οποίο δραστηριοποιούνται οι γνώσεις, οι ευρετικές και ο έλεγχος. Οι πέντε στρατηγικές (ευρετικές) του Polya για την επίλυση ενός προβλήματος είναι οι εξής: 1. Λύση ενός απλούστερου προβλήματος: Δοκιμή συγκεκριμένων αριθμών, ελάττωση του βαθμού πολυπλοκότητας, εξέταση συγκεκριμένων περιπτώσεων. 2. Λύση ενός σχετικού προβλήματος: Μείωση των προϋποθέσεων, γενίκευση του πρόβληματος. 3. Λύση ενός ισοδύναμου προβλήματος: Επαναδιατύπωση του πρόβληματος με αλλαγή οπτικής γωνίας, κάνοντας χρήση την εις άτοπον απαγωγή ή την αντιθετοαντιστροφή

8 4. Λύση ενός ανάλογου προβλήματος: Αντιστοίχιση των συνθηκών του προβλήματος με συνθήκες άλλου προβλήματος που έχουμε λύσει. 5. Κατασκευή ενός σχήματος: Για την καλύτερη κατανόηση του προβλήματος κατασκευή ενός γράφηματος, μιας γραφικής παράστασης, ενός διάγραμματος. Οι Schoenferld (1983) και Silver (Kilpatrick 1985) επισημαίνουν το ρόλο κλειδί των μεταγνωστικών διαδικασιών στη λύση προβλήματος, τονίζοντας το μεταγνωστικό χαρακτήρα πολλών από τις ευρετικές του Polya. Η έρευνα έχει δείξει ότι όταν οι μαθητές, κατά τη λύση προβλήματος, εργάζονται ομαδικά, διευκολύνονται στην ανάπτυξη των μαθηματικών ιδεών. Η Laborde (1994) αναφέρει ότι η εργασία σε ομάδες ευνοεί την ανάπτυξη πολλών προσεγγίσεων και διαφορετικών οπτικών γωνιών, ενώ σύμφωνα με τον Vidakovic (1993) οι μαθητές που εργάστηκαν σε ομάδες επέδειξαν μεγαλύτερη ευελιξία και αποτελεσματικότητα στην κατανόηση εννοιών της ανάλυσης. Η σημαντικότερη όμως συμβολή της ομαδοσυνεργατικότητας είναι ότι προάγει την αναστοχαστική διαδικασία (reflexion), κατά την οποία ο μαθητής σκέφτεται πάνω στις ενέργειές του. Ο Piaget υποστηρίζει ότι ο μαθητής μαθαίνει όχι μόνο κάνοντας, αλλά στοχαζόμενος πάνω σ αυτά που έκανε. Σχετικά με την αντίληψη περί της μεθόδου Polya, η θεωρία της Επικοινωνιακής Προσέγγισης ανέδειξε ένα σημαντικό πρόβλημα. Διαπιστώθηκε ότι επειδή η ομαδοσυνεργατική διδασκαλία για τη λύση προβλήματος γίνεται σε πραγματικό χρόνο, με πραγματικούς ανθρώπους, τους μαθητές, με τις αβεβαιότητες, τα λάθη και τις παραλείψεις τους, δεν μπορεί να ακολουθήσει ένα πλήρως προδιαγεγραμμένο και αμετακίνητο σενάριο. Δηλαδή η επιτυχία της μεθόδου Polya εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από την τροπή που θα πάρει ο διάλογος (Sfard 2001 p.43). 3.4 Πλαίσιο στήριξης (scaffolding) Η ικανότητα των μαθητών να λύνουν Μαθηματικά προβλήματα εξαρτάται από την ανάπτυξη της μεταγνωστικής, δηλαδή από την δυνατότητα να παίρνουν αποστάσεις από τις ενέργειές τους προκειμένου να τις κρίνουν σε σχέση με τους στόχους (Holton & Thomas 2001). Η δυνατότητα αυτή είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με το πλαίσιο στήριξης (scaffolding), το οποίο με τη σειρά του είναι στενά συνδεδεμένο με τη zpd. Με τον όρο scaffolding εννοούμε την αλληλεπιδραστική υποστήριξη που παρέχεται στο μαθητή, είτε από τον καθηγητή είτε από τους συμμαθητές του, στα όρια της zpd. Πρόκειται για μια διδακτική ενέργεια η οποία υποστηρίζει και υποβοηθά το μαθητή στην κατασκευή της γνώσης, παρέχοντάς του τη βάση για ανεξάρτητη μάθηση στο μέλλον. Το πλαίσιο στήριξης είναι ο μηχανισμός που μπορεί να οδηγήσει αυτόν που μαθαίνει στο εν δυνάμει επίπεδο ανάπτυξής του. Κατά τη διάρκεια λύσης ενός προβλήματος στην τάξη, υπάρχουν πολλοί τρόποι ανάπτυξης του πλαισίου στήριξης (scaffolding). Για παράδειγμα το πλαίσιο μπορεί να - 8 -

9 δημιουργηθεί από μια σειρά ανοικτών ερωτήσεων από τον καθηγητή, που αναγκάζουν το μαθητή να σκεφτεί πάνω στο πρόβλημα. Οι Holton & Clarke (2006) προτείνουν μια διευρυμένη έννοια του πλαισίου στήριξης που περιλαμβάνει τρεις τύπους. Οι τύποι διαφέρουν ανάλογα με το διαμεσολαβητή του πλαισίου στήριξης. Πλαίσιο στήριξης από κάποιον έμπειρο (Expert scaffolding): Ο διαμεσολαβητής είναι αυτός που έχει την ευθύνη για τη μάθηση άλλων (καθηγητής). Αμοιβαίο πλαίσιο στήριξης (Reciprocal scaffolding): Συμβαίνει όταν δύο ή περισσότερα άτομα δουλεύουν συνεργατικά σε μια ομαδική εργασία. Πλαίσιο αυτοστήριξης (Self-scaffolding): Καταστάσεις στις οποίες ένα άτομο είναι ικανό να προσφέρει υποστήριξη στον εαυτό του. Οι Holton & Clarke (2006) εισηγούνται ότι η βαθμιαία εκχώρηση μεταβίβαση του ρόλου του διαμεσολαβητή στο πλαίσιο στήριξης από τον καθηγητή στον ίδιο το μαθητή, ενισχύει και ενδυναμώνει το μαθητή. Βασική τους αρχή είναι ότι το πλαίσιο στήριξης είναι μια προοδευτική διαδικασία που κορυφώνεται όταν ο μαθητής μπορεί να στηρίξει τη δική του μάθηση. Υποστηρίζουν επίσης ότι η αυτοστήριξη (self-scaffolding) ουσιαστικά είναι ισοδύναμη με τη μεταγνώση. Διότι, όπως παρατήρησαν, υπάρχει μια αντιστοιχία στις ερωτήσεις πλαισίου στήριξης (Holton, Anderson & Thomas 1997) που σχεδιάστηκαν για να χρησιμοποιηθούν από δασκάλους σε διδασκαλίες Λύσης Προβλήματος, και στις κάρτες μεταγνωστικής δραστηριότητας (Wilson & Clarke 2002) που χρησιμοποιήθηκαν για να βοηθήσουν τους μαθητές να ανακαλέσουν ποιες μεταγνωστικές διαδικασίες χρησιμοποίησαν σε καταστάσεις Λύσης Προβλήματος. 3.5 Αβεβαιότητα, διαπραγμάτευση, διϋποκειμενικότητα Αν κατά τη διάρκεια της διδασκαλίας, αρχίζοντας από την ήδη υπάρχουσα γνώση, ας την ονομάσουμε «σταθερή κατάσταση», περάσουμε μέσα από νέα ερεθίσματα σε μια νέα κατάσταση που η υπάρχουσα γνώση δεν επαρκεί για την αντιμετώπισή της, τότε παρατηρείται δισταγμός, σύγχυση, αμφιβολία, αντιπαράθεση, γενικότερα δυσκολία στη προσέγγιση. Αν ο όρος αβεβαιότητα αντιπροσωπεύει όλα αυτά, και με την προϋπόθεση ότι η αβεβαιότητα πρέπει να επιλυθεί - αναιρεθεί, τότε η αναζήτηση της βεβαιότητας είναι μια ψυχολογική δύναμη που καθοδηγεί τη μάθηση. Αβεβαιότητα δεν σημαίνει απόλυτη άγνοια. Για να αισθανθεί ένας μαθητής αβεβαιότητα, θα πρέπει να έχει κάποια γνώση για το τι αισθάνεται αβέβαιος. Βλέπουμε λοιπόν ότι η αβεβαιότητα είναι η αιτία της απαρχής των μαθηματικών συλλογισμών. Είναι μια συνθήκη αναγκαία αλλά όχι επαρκής, διότι ένας μαθητής μπορεί να αναγνωρίσει την αβεβαιότητα, αλλά να την αποδεχθεί και να μην επιδιώξει την επίλυσή της

10 Σύμφωνα με τη Zaslavsky (2005) η αβεβαιότητα είναι συνδεδεμένη με τη γνωστική αντιπαράθεση σύγκρουση και κατά συνέπεια με την ανάπτυξη της νέας γνώσης. Χρησιμοποιώντας τη ως οδηγό για τη σχεδίαση προβλημάτων που οδηγούν σε γνωστική σύγκρουση, διαπίστωσε τρεις περιπτώσεις αβεβαιότητας: Αντιθετικοί ανταγωνιστικοί ισχυρισμοί: Δύο ή περίσσοτερα επιχειρήματα αναπτύσσονται βάσει αποτελεσμάτων, ορισμών, πιστεύω, υποθέσεων, a-priori προσδοκιών, ισχυρισμών και δημιουργούν διαφορετικές οπτικές για το ίδιο θέμα. Άγνωστος τρόπος επίλυσης ή αμφίβολο αποτέλεσμα: Αντιστοιχεί στη διαδικασία αναζήτησης σε διερευνητικά έργα και σε προβλήματα ανοικτού στόχου. Ξεκινά με τη δημιουργία μιας εικασίας και καταλήγει, διαμέσου πειραματισμών, ή στην ενίσχυσή της ή στην απόρριψή της και διατύπωση μιας εναλλακτικής. Μη άμεσα επαληθεύσιμα αποτελέσματα: Έλλειψη εμπιστοσύνης ως προς την εγκυρότητα των αποτελεσμάτων στη Λύση Προβλήματος. Προκύπτει από την απουσία μεθόδων ελέγχου και επιβεβαίωσης των αποτελεσμάτων. Οι τρεις τύποι αβεβαιότητας συνδέονται μεταξύ τους, αφού κατά την επίλυση ενός προβλήματος, μπορεί να συμβεί μετακίνηση της αβεβαιότητας από τον ένα τύπο στον άλλο. Η παρουσία της αβεβαιότητας στις πρακτικές των Μαθηματικών στην τάξη, δημιουργεί την ανάγκη διαπραγμάτευσης. Ως διαμεσολαβητικός μηχανισμός, μέσω του οποίου επιλύεται αναιρείται η αβεβαιότητα και κατασκευάζεται η νέα γνώση, θεωρείται η διϋποκειμενικότητα. Άρα μια σχέση ανάμεσα στους τρεις όρους, αβεβαιότητα, διαπραγμάτευση, διϋποκειμενικότητα μπορεί να είναι η εξής: Ένα μονοπάτι προς τη γνώση είναι η επίλυση αναίρεση της αβεβαιότητας. Η διαδικασία αυτή είναι συχνά διαπραγματευτική. Η διαπραγμάτευση διαμεσολαβείται από τη γλώσσα, η οποία με τη σειρά της προϋποθέτει τη διϋποκειμενικότητα. Το ζητούμενο της διϋποκειμενικότητας είναι το νόημα. Υπό αυτή την οπτική, η διϋποκειμενικότητα είναι αποτέλεσμα μιας διαπραγματευτικής διαδικασίας, αλλά και προϋπόθεση για διαπραγμάτευση. Σύμφωνα με τους Holton & Thomas (2001), κατά την επίλυση προβλημάτων στην τάξη, η μάθηση εξαρτάται από τη συνάφεια που υπάρχει ανάμεσα στη γνωστική δυσκολία του έργου και τη zpd των μαθητών. Όταν η δυσκολία είναι μικρή, δηλαδή όταν το πρόβλημα είναι εύκολο, δεν δημιουργείται αβεβαιότητα, κατά συνέπεια δεν υπάρχει ανάγκη διαπραγμάτευσης, άρα δεν οδηγεί στην κατασκευή γνώσης. Το ίδιο μπορεί να συμβεί και στη περίπτωση που η δυσκολία είναι τόσο μεγάλη, ώστε να βρίσκεται εκτός zpd των μαθητών. Η βέλτιστη κατάσταση για παραγωγική συζήτηση είναι όταν η δυσκολία είναι αρκετά μεγάλη αλλά εντός της zpd των μαθητών. Η άρση της αβεβαιότητας μπορεί να πραγματοποιηθεί με την επίκληση ή την αναφορά: Σε εμπειρικά δεδομένα

11 Στη γνώμη του καθηγητή ή κάποιου συμμαθητή Στο σχολικό ή σε κάποιο άλλο βιβλίο Σε προηγούμενες εμπειρίες Σε λογικά επιχειρήματα Μπορεί επίσης να επιλυθεί και με κάποιο συνδυασμό των παραπάνω. Το σημαντικό είναι ότι καθένας από τους παραπάνω παράγοντες οδηγεί και σε διαφορετικό είδος γνώσης. Επειδή οι διαφορές που προκύπτουν από τον τρόπο επίλυσης της αβεβαιότητας είναι πολύ βαθιές, θα πρέπει ο διδάσκων να μπορεί να ανγνωρίσει με ποιο τρόπο ένας μαθητής αναίρεσε την αβεβαιότητα. Σκοπός της διδασκαλίας των Μαθηματικών είναι η επίλυση της αβεβαιότητας να πραγματοποιείται βάσει λογικών επιχειρημάτων. 3.6 Επιστημολογικά εμπόδια Όπως ήδη έχουμε πει, όταν βρισκόμαστε μπροστά σε μια κατάσταση που η υπάρχουσα γνώση δεν επαρκεί για την αντιμετώπισή της, προκαλείται αβεβαιότητα. Η αβεβαιότητα εμπεριέχει το στοιχείο της αντιπαράθεσης, η οποία προκαλείται από το λεγόμενο εμπόδιο. Εμπόδιο είναι μια αντίληψη, πιθανώς μια γνώση, η οποία, ενώ ήταν αποτελεσματική στην επίλυση κάποιων προβλημάτων, αποτυγχάνει στην επίλυση κάποιων άλλων. Λόγω της προηγούμενης επιτυχίας, αντιστέκεται και γίνεται εμπόδιο στην ανάπτυξη της νέας γνώσης. Η παρουσία εμποδίων γίνεται αντιληπτή από τα λάθη των μαθητών. Τα επιστημολογικά εμπόδια, σύμφωνα με τον Bachelard, έχουν σχέση με την ιστορία και εξέλιξη των επιστημών, και με τη διαδικασία ανάπτυξη της γνώσης. Παρότι ο ίδιος ο Bachelard πίστευε ότι δεν ήταν δυνατόν να συνδεθούν με την μαθηματική επιστήμη, η ανάπτυξη της θεωρίας των διδακτικών καταστάσεων μάλλον επιβάλλει τη σύνδεση (Brousseau 1981, Brousseau 1987). Μέχρι τότε τα σφάλματα των μαθητών τα απέδιδαν σε έλλειψη γνώσης και τα ενέτασσαν σε ένα απόλυτα αρνητικό πλαίσιο. Σε ατομικό επίπεδο, το αντίστοιχο του επιστημολογικού εμποδίου είναι το γνωστικό εμπόδιο. Άρα όταν αναφερόμαστε σε μαθητές χρησιμοποιούμε τον όρο γνωστικό εμπόδιο. Ένα πολύ συνηθισμένο σφάλα των μαθητών, που εντάσσεται στα γνωστικά εμπόδια, είναι το γραμμικό λάθος. Δύο παραδείγματα γραμμικού λάθους είναι: (α+β) 2 =α 2 +β 2, ημ(α+β)=ημα+ημβ. 3.7 Διδασκαλία ανάμεσα στα θρανία (ΔΑΘ) Κάθε μοντέλο διδασκαλίας διαμορφώνει μια πρακτική. Η συμμετοχή στην πρακτική της τάξης είναι ταυτόσημη με τη μάθηση. Συνεπώς η διχοτομία μεταξύ συμμετοχής και μάθησης δεν υφίσταται

12 Ένα διδακτικό μοντέλο που περιστασιακά το έχουν ακολουθήσει οι περισσότεροι διδάσκοντες με διάφορες παραλλαγές, είναι η διαδασκαλία ανάμεσα στα θρανία (ΔΑΘ). Σύμφωνα με το ΔΑΘ η πρακτική της τάξης έχει την ακόλουθη επναλαμβανόμενη μορφή αλληλεπίδρασης: Ο καθηγητής προτείνει μια δραστηριότητα που αποτελεί το στόχο του μαθήματος ή έναν ενδιάμεσο στόχο, οι μαθητές εργάζονται σε ομάδες ή ατομικά, ο καθηγητής βαδίζοντας ανάμεσα στα θρανία συζητά με τους μαθητές, επακολουθεί συζήτηση με όλη την τάξη. Το ΔΑΘ έχει ως βασική υπόθεση τη μεταβίβαση μέρους της υπευθυνότητας του καθηγητή για την ανάπτυξη της γνώσης, στους μαθητές. Ο καθηγητής βαδίζοντας ανάμεσα στα θρανία διαπιστώνει το βαθμό αποδοχής της μεταβίβασης της υπευθυνότητας από τους μαθητές, με βάση τους δείκτες γνωστικής εμπλοκής (cognitive engagement). Σύμφωνα με τους Helme & Clarke (Helme & Clarke 2001) ο όρος δείκτης γνωστικής εμπλοκής σημαίνει η θεληματική ή εκούσια σκέψη για το έργο, την οποία οι μαθητές αναπτύσσουν συμμετέχοντας στο έργο. Η γνωστική εμπλοκή είναι η πιο κρίσιμη διαμεσολαβούσα συνιστώσα, με την οποία η πρακτική της τάξης μετασχηματίζεται σε νέα γνώση. Μερικοί χρήσιμοι δείκτες αναγνώρισης της γνωστικής εμπλοκής σε διάφορες καταστάσεις στην τάξη φαίνονται στον επόμενο πίνακα. Κατάσταση Οι μαθητές εργάζονται ατομικά Συνεργασία μαθητών σε ομάδες Αλληλεπίδραση ομάδων με τον καθηγητή Αλληλεπίδραση του καθηγητή με όλη την τάξη Συμπεριφορά (δείκτες) Γλωσική έκφραση της σκέψης, αυτοδιόρθωση, συγκέντρωση (αντίσταση σε διακοπές ή ενοχλήσεις), χειρονομίες (που ερμηνεύονται ως εσωτερίκευση σκέψεων, αναζήτηση πληροφοριών και ανάδραση. Ερωτήσεις συμπλήρωσης της έκφρασης του άλλου, ανταλλαγή ιδεών, κατευθύνσεις, επεξηγήσεις, πληροφορίες, δικαιολόγηση επιχειρήματος, χειρονομίες. Απαντήσεις σε ερωτήσεις του καθηγητή, παροχή πληροφοριών από τον καθηγητή, επεξήγηση διαδικασιών, αλγορίθμων, συλλογισμών, ερωτήσεις προς τον καθηγητή, αναστοχαστικές ερωτήσεις των μαθητών προς τους ίδιους. Απαντήσεις σε ερωτήσεις του καθηγητή και αντίστροφα, σχόλια αξιολόγησης, συνεισφορά ιδεών, συμπλήρωση εκφράσεων του καθηγητή και αντίστροφα, αντιρρήσεις σε ισχυρισμούς του καθηγητή. Όταν ο καθηγητής βαδίζοντας ανάμεσα στα θρανία, διαπιστώσει ότι οι μαθητές συνεχίζουν να εργάζονται, να συζητούν, να διαπραγματεύονται, να αλληλεπιδρούν μεταξύ τους χωρίς την άμεση παρουσία του, σημαίνει ότι έχουν αποδεχθεί μέρος της υπευθυνότητας

13 Οι μαθητές αναγνωρίζοντας τις αβεβαιότητες και προσπαθώντας να τις επιλύσουν, μπορεί να ζητήσουν πληροφορίες ή διευκρινίσεις από τον καθηγητή. Σε τέτοιες περιπτώσεις ο καθηγητής πρέπει να γνωρίζει ότι δίνοντας τις πληροφορίες, αφαιρεί ευκαιρίες από τους μαθητές να εργαστούν μόνοι τους και να κατανοήσουν το μαθησιακό στόχο. Μπορεί όμως, με κατάλληλες ερωτήσεις να διαμορφώσει το πλαίσιο στήριξης (scaffolding) μέσα στο οποίο θα εργαστούν οι μαθητές. Το τι θα επιλλέξει εξαρτάται από πολλούς παράγοντες, όπως ο διαθέσιμος χρόνος, το γνωστικό επίπεδο του μαθητή κλπ. Πάντως διαπιστώνουμε ότι όταν δίνεται η ευκαιρία στους μαθητές να εργαστούν με τις δικές τους ιδέες, χωρίς την καθοδήγηση του καθηγητή, τότε αναπτύσσονται όλοι οι τρόποι επίλυσης της αβεβαιότητας. Για να μπορέσουμε να κατευθύνουμε τους μαθητές, να καταφύγουν σε λογικά επιχειρήματα προκειμένου να άρουν την αβεβαιότητα, που είναι και το ζητούμενο, απαιτείται συζήτηση και χρόνος. Κατά τη διάρκεια της συζήτησης μπορεί μια ιδέα ενός μαθητή να ανατρέψει το σχέδιο που έχει στο νου του ο καθηγητής εκτρέποντας τη συζήτηση σε διαφορετικό πεδίο. Στην περίπτωση αυτή μπορεί ο ίδιος ο καθηγητής να βρεθεί σε αβεβαιότητα. Αυτό δεν είναι κατ ανάγκη κακό ώστε να αποφεύγεται. Οι Holton & Thomas θεωρούν ότι τις πιο παραγωγικές ερωτήσεις ο καθηγητής τις κάνει όταν βρίσκεται σε κατάσταση αβεβαιότητας. Όταν ο καθηγητής κρίνει ότι οι μαθητές έφτασαν σε κάποιο σημείο που δεν μπορούν να συνεχίσουν χωρίς τη δική του παρέμβαση, τότε σταματά την εργασία των μαθητών και κάνει συζήτηση με όλη την τάξη. Η συζήτηση έχει σκοπό είτε να δοθούν απ τον ίδιο οι επιπλέον απαραίτητες πληροφορίες για να συνεχιστεί η εργασία, είτε να παρουσιαστούν κάποιες ιδέες μαθητών και να κριθούν με λογικά επιχειρήματα. Κατά τη συζήτηση στη διάρκεια της διδασκαλίας, ο καθηγητής δεν πρέπει να εστιάζει μόνο στις γνωστικές διαστάσεις του έργου, αλλά και στις μεταγνωστικές. Ο σχεδιασμός της διδασκαλίας πρέπει να είναι τέτοιος ώστε να περιέχει ευκαιρίες για ανάπτυξη μεταγνωστικών διαδικασιών. Μια παραλλαγή του ΔΑΘ που μπορεί να προκαλέσει σύγχυση και να οδηγήσει σε ανεπιτυχές αποτέλεσμα, είναι όταν ο καθηγητής προτείνει μια δραστηριότητα, ζητά απ τους μαθητές να εργαστούν πάνω σ αυτή, αλλά δεν αφήνει τον κατάλληλο χρόνο να το κάνουν. Είτε αναλαμβάνει ο ίδιος να την επιλύσει, είτε αναθέτει σε κάποιον μαθητή να το κάνει στον πίνακα. Στην περίπτωση αυτή αναιρείται η βασική υπόθεση του ΔΑΘ, δηλαδή η μεταβίβαση μέρους της υπευθυνότητας για την ανάπτυξη της γνώσης στους μαθητές. Η πρακτική αυτή μπορεί να οδηγήσει σε όλους τους άλλους τρόπους επίλυσης της αβεβαιότητας εκτός από την ανάπτυξη λογικών επιχειρημάτων. 3.8 Οι τρεις κόσμοι Μαθηματικής σκέψης Ο Tall εισήγαγε ένα θεωρητικό μοντέλο, που βασίζεται σε τρεις, εκ βάθρων διαφορετικούς, αλλά συσχετισμένους τρόπους προσέγγισης των Μαθηματικών (Tall

14 2004, Tall 2007). Ο κάθε τρόπος παραπέμπει σ έναν διαφορετικό κόσμο μαθηματικής σκέψης, τον ενσαρκωμένο (embodied), τον διαδικασιοεννοιολογικό (proceptual) και τον αξιωματικό (axiomatic). Ο ενσαρκωμένος κόσμος αποτελεί το πρωταρχικό στάδιο μαθηματικής σκέψης. Είναι ο βασικός ανθρώπινος τρόπος λειτουργίας, ο οποίος βασίζεται στις αισθήσεις και τη δράση. Αναπτύσσεται από τις σκέψεις μας για τα αντικείμενα του φυσικού κόσμου που αντιλαμβανόμαστε με τις αισθήσεις μας, αλλά δεν περιορίζεται μόνο εκεί. Επεκτείνεται και στον πνευματικό μας κόσμο και μας επιτρέπει να αντιληφθούμε έννοιες και αντικείμενα τα οποία δεν υπάρχουν στον εξωτερικό κόσμο. Για παράδειγμα, η έννοια της ευθείας όπως ορίζεται στην Ευκλείδεια Γεωμετρία, δηλαδή μια γραμμή που είναι εντελώς ευθεία και έχει μηδενικό πλάτος, δεν υπάρχει στον φυσικό κόσμο, αλλά μπορούμε να την αντιληφθούμε, έχοντάς την ως εικόνα στον πνευματικό μας κόσμο. Ο διαδικασιοεννοιολογικός κόσμος, είναι ο κόσμος των μαθηματικών συμβόλων. Πηγάζει από τον ενσαρκωμένο κόσμο μέσω της δράσης και των συμβόλων. Ένα απλό παράδειγμα είναι η διαδικασία της μέτρησης. Οι αριθμοί αποτελούν τα σύμβολα και η μέτρηση τη δράση. Ο διαδικασιοεννοιολογικός κόσμος, είναι στην ουσία ο κόσμος που συνδέει τη διαδικασία με την έννοια μέσω των μαθηματικών συμβόλων.. Ο αξιωματικός κόσμος είναι το ανώτερο στάδιο μαθηματικής σκέψης. Εδώ εργαζόμαστε, όχι με αντικείμενα που αντιλαμβανόμαστε με τις αισθήσεις μας, αλλά με αξιώματα τα οποία έχουν επιλεγεί προσεκτικά, για να ορίσουν μαθηματικές δομές με βάση συγκεκριμένες ιδιότητες. Περαιτέρω ιδιότητες προκύπτουν μέσα από τυπικές αποδείξεις, χτίζοντας έτσι μια διαδοχή θεωρημάτων. Μέσα στο αξιωματικό σύστημα μπορούν να οριστούν νέες έννοιες, ούτως ώστε να οικοδομηθεί μια συμπαγής θεωρία που απορρέει λογικά. Ο ενσαρκωμένος και ο διαδικασιοεννοιολογικός είναι οι δύο κόσμοι που κυριαρχούν στην Πρωτοβάθμια και Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση. Ο μαθητής του Δημοτικού αρχίζει να σκέφτεται μαθηματικά με βάση όσα αντιλαμβάνεται μέσω των αισθήσεων. Η μετάβαση από τον ενσαρκωμένο στον διαδικασιοεννοιολογικό κόσμο γίνεται σταδιακά και πραγματοποιείται στο Γυμνάσιο. Τότε ο μαθητής πλέον είναι σε θέση να μεταφράζει τις εικόνες σε σύμβολα, να ταυτίζει τις έννοιες με τις διαδικασίες και γενικά να αντιλαμβάνεται τα Μαθηματικά ως γλώσσα συμβόλων. Παρατηρείται όμως, ότι ένα μεγάλο ποσοστό μαθητών, ιδίως του Λυκείου, αδυνατεί να χρησιμοποιήσει τον ενσαρκωμένο τρόπο. Από τη στιγμή που περνάει στο διαδικασιοεννοιολογικό κόσμο, εγκαταλείπει τελείως τον ενσαρκωμένο. Σ αυτό συμβάλει το ότι σπάνια ζητείται από τον μαθητή να λύσει κάποιο πρόβλημα βάσει της γραφικής παράστασης. Η αντίληψη που κυριαρχεί είναι ότι ο μαθητής πρέπει να σκέφτεται χρησιμοποιώντας μόνο τις συμβολικές αναπαραστάσεις, δηλαδή μόνο τα τυπικά μαθηματικά. Όμως, στην ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης διαδραματίζει

15 σημαντικό ρόλο η ικανότητα του μαθητή να συνδυάζει τον ενσαρκωμένο με το διαδικασιοεννοιολογικό κόσμο. Να μεταβαίνει από τον πρώτο στον δεύτερο και αντίστροφα. Να μπορεί να περνά απ τα συμβολικά Μαθηματικά στις εικόνες και να μετατρέπει τις εικόνες σε σύμβολα. Παράλληλα όμως είναι σημαντικό να γνωρίζει τα όρια του ενσαρκωμένου κόσμου. Να συνειδητοποιήσει δηλαδή ότι η μαθηματική αλήθεια κατοχυρώνεται μόνο μέσω της τυπικής απόδειξης και όχι βάσει των αισθήσεων. Το σημαντικότερο εργαλείο, στα πλαίσια του ενσαρκωμένου κόσμου, είναι οι αναπαραστάσεις, οι οποίες συνήθως είναι οπτικές, αλλά πολλές φορές και νοερές. Με κατάλληλες αναπαραστάσεις επιτελείται ουσιαστικά η ενσάρκωση των μαθηματικών ιδεών. Συνεπώς κρίνεται απαραίτητο, η διδασκαλία των Μαθηματικών να περιέχει ως βασικό συστατικό στοιχείο της αναπαραστάσεις, ώστε ο μαθητής να εξασκείται στο συνδυασμό του ενσαρκωμένου με το διαδικασιοεννοιολογικό κόσμο. 4. Περιγραφή της διδασκαλίας Ο βασικός στόχος της διδασκαλίας είναι να εισάγουμε την έννοια του λογάριθμου μέσω της εκθετικής συνάρτησης. Να αρχίσουμε δηλαδή από την υπάρχουσα γνώση των μαθητών (σταθερή κατάσταση) και με τα κατάλληλα ερεθίσματα, που θα δοθούν μέσω της δραστηριότητας, να περάσουμε στη νέα κατάσταση, η οποία επιβάλλει την εισαγωγή της έννοιας του λογάριθμου. Η διδακτική προσέγγιση είναι τύπου Γ (διερευνητική προσέγγιση). Η προβληματική κατάσταση που επιλέξαμε ενσωματώνει τις βασικές ιδέες της έννοιας του λογάριθμου και αναμένουμε οι μαθητές να τις αναπτύξουν ως λογικές απαντήσεις στα ερωτήματα της δραστηριότητας. Σε κάθε μαθητή μοιράσαμε το φύλλο εργασίας που παραθέτουμε στην επόμενη σελίδα. Επιλέξαμε οι μαθητές να εργαστούν σε μικρές ομάδες, συγκεκριμένα συγκροτήθηκαν 6 ομάδες των τεσσάρων ατόμων και 1 ομάδα των τριών ατόμων. Προθεσή μας ήταν η διδασκαλία να γίνει με διαδικασίες Λύσης Προβλήματος διαμέσου του ΔΑΘ (διδασκαλία ανάμεσα στα θρανία). Και αυτό διότι θέλουμε να δώσουμε τη δυνατότητα στους μαθητές για ενεργητική μάθηση, κατασκευάζοντας οι ίδιοι οι μαθητές τη νέα γνώση. Προτιμήσαμε οι ομάδες να είναι των τεσσάρων ατόμων και όχι των δύο, διότι πιστεύουμε ότι η συνεργασία και η διαπραγμάτευση είναι πιο εποικοδομητική. Εξάλλου σε διδασκαλίες τέτοιου τύπου, το μικρό πλήθος των ομάδων διευκολύνει το διδάσκοντα, με την έννοια ότι του δίνει τη δυνατότητα και να συζητήσει αρκετές φορές με κάθε ομάδα, αλλά και να παρακολουθεί κάθε στιγμή σε ποιο σημείο της δραστηριότητας βρίσκεται κάθε ομάδα και τι είδους δυσκολίες αντιμετωπίζει

16 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Βήμα 1 ο Σε μια θαλάσσια περιοχή παρατηρήθηκε ότι ένα είδος ψαριών τείνει να εξαφανιστεί. Για να αντιμετωπιστεί το πρόβλημα, μια οικολογική οργάνωση ανέλαβε τη ρίψη γόνου στην περιοχή και την καταγραφή της εξέλιξης. Τα αποτελέσματα της καταγραφής φαίνονται στο παρακάτω διάγραμμα. Ο οριζόντιος άξονας δείχνει το βάρος, σε τόνους, του συγκεκριμένου είδους ψαριών και ο κατακόρυφος το χρονικό διάστημα, σε μήνες, μετά τη ρίψη του γόνου. 1. Με βάση το διάγραμμα να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών. Η μεταβλητή x εκφράζει το βάρος των ψαριών σε τόνους και η f(x) το χρονικό διάστημα, σε μήνες, μετά τη ρίψη του γόνου. x f(x) 2. Να γράψετε τον τύπο της συνάρτησης του διαγράμματος: Βήμα 2 ο Αν εναλλάξουμε το ρόλο της ανεξάρτητης με την εξαρτημένη μεταβλητή, δηλαδή αν θεωρήσουμε ως ανεξάρτητη μεταβλητή x, το χρονικό διάστημα σε μήνες μετά τη ρίψη του γόνου και ως εξαρτημένη g(x) το βάρος των ψαριών σε τόνους, τότε προκύπτει το επόμενο διάγραμμα

17 1. Με βάση το νεό διάγραμμα να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών. Η μεταβλητή x εκφράζει τώρα το χρονικό διάστημα, σε μήνες, μετά τη ρίψη του γόνου και η g(x) το βάρος των ψαριών σε τόνους. Τις τιμές g(x) που δεν είναι ακέραιες να τις γράψετε με προσέγγιση δεκάτου. x g(x) Ορισμός Ορίζουμε ως λογάριθμο ενός θετικού αριθμού x ως προς βάση α, με α>0 και α 1, και τον συμβολίζουμε log α x, τον μοναδικό αριθμό y ώστε να ισχύει α y x. log α x y α 2. Να γράψετε τον τύπο της συνάρτησης του διαγράμματος:.. y x Βήμα 3 ο 1. Να υπολογίσετε τις τιμές: i) log log 2 2log 2 4. Τι παρατηρείτε; 16 ii) log 2. log 2 16 log Τι παρατηρείτε;. 8 2 iii) log. 2log 2 4. Τι παρατηρείτε;

18 2. Αντλώντας πληροφορίες από το διάγραμμα ή από τον πίνακα τιμών και χρησιμοποιώντας τις διαπιστώσεις του προηγούμενου ερωτήματος, να εκτιμήσετε με προσέγγιση δεκάτου ποιο θα είναι το βάρος των ψαριών: i) Μετά από 56 μήνες:. ii) Μετά από 81 μήνες:. iii) Μετά από 2 έτη και 8 μήνες:.. iv) Μετά από 21 μήνες:. 3. Να εκτιμήσετε με προσέγγιση δεκάτου, τη διαφορά του βάρους των ψαριών από τον 32 ο μήνα μέχρι τον 96 ο μήνα, χωρίς να υπολογίσετε τις τιμές g(32), g(96) :. 4. Αν δεν ξέρετε ποια είναι η συνάρτηση που περιγράφει ένα παρόμοιο πρόβλημα, γνωρίζετε όμως ότι είναι της μορφής gx log α x. Ανακαλύψτε τη βάση του λογάριθμου α, αν επιπλέον γνωρίζετε ότι από τον 5 ο μέχρι τον 15 ο μήνα, το βάρος των ψαριών αυξήθημε κατά 1 τόνο (δικαιολογήστε την απάντησή σας): 5. Να κάνετε το ίδιο, αν γνωρίζετε ότι από τον 10 ο μέχρι τον 20 ο μήνα το βάρος των ψαριών μειώθηκε κατά 1 τόνο (δικαιολογήστε την απάντησή σας):

19 Λαμβάνοντας υπόψη ότι το φύλλο εργασίας αποτελεί την Yποθετική Mαθησιακή Tροχιά (ΥΜΤ), δηλαδή την πρόβλεψή μας για το πώς θα αναπτυχθεί η μάθηση και με δεδομένο ότι η πραγματική πορεία δεν είναι ποτέ εκ των προτέρων βέβαιη, η διδασκαλία σχεδιάστηκε ως εξής: Αρχικά, αφού μιλήσω σε όλη την τάξη για το τι πρόκειται να διαπραγματευτούμε και με ποιον τρόπο θα γίνει η διδασκαλία, οι μαθητές θα απαντήσουν στα δύο ερωτήματα του 1 ου βήματος και στο πρώτο ερώτημα του 2 ου βήματος. Συγχρόνως, εγώ, βαδίζοντας ανάμεσα στα θρανία θα συζητώ μαζί τους. Στη συνέχεια θα παρουσιάσω στον πίνακα τον ορισμό του λογάριθμου και συζητώντας με όλη την τάξη θα απαντήσουμε στο δεύτερο ερώτημα του 2 ου βήματος. Ακολούθως οι μαθητές θα απαντήσουν στα πέντε ερωτήματα του 3 ου βήματος και εγώ, πάλι βαδίζοντας ανάμεσα στα θρανία θα συζητώ με τις ομάδες. Στο παράρτημα της εργασίας έχουμε παραθέσει την απομαγνητοφώνηση ολόκληρης της διδασκαλίας, χωρισμένη σε αποσπάσματα. Σε κάθε απόσπασμα υπάρχει ο χρόνος έναρξης, ο αύξων αριθμός του, καθώς και η ομάδα των μαθητών όπου διεξάγεται εκείνη τη στιγμή η συζήτηση, είτε μαζί μου είτε οι μαθητές μεταξύ τους. Η διάρθωση των ομάδων έχει ως εξής: Κοιτάζοντας την αίθουσα από την έδρα, υπάρχουν τρεις στήλες. Στην αριστερή στήλη έχουμε την Ομάδα 1 και την Ομάδα 2, στη μεσαία την Ομάδα 3, την Ομάδα 4 και την Ομάδα 5, ενώ στη δεξιά την Ομάδα 6 και την Ομάδα 7. Όλες οι ομάδες αποτελούνται από τέσσερις μαθητές, εκτός από την Ομάδα 2 που αποτελείται από τρεις. Από το φύλλο εργασίες είναι εμφανές ότι στο σύνολο σχεδόν των ερωτημάτων, οι μαθητές καλούνται να απαντήσουν βασιζόμενοι στα δύο διαγράμματα. Η συνειδητή αυτή επιλογή έγινε για να εξυπηρετήσει τους δύο παρακάτω ενδιάμεσους στόχους. Πρώτον, να εξασκηθούν οι μαθητές στο να συνδυάζουν τον ενσαρκωμένο με τον διαδικασιοεννοιολογικό κόσμο μαθηματικής σκέψης. Δηλαδή να έχουν την ικανότητα να περνάνε από την εικόνα (διάγραμμα) στα συμβολικά μαθηματικά (τύπος συνάρτησης, πίνακας τιμών), αλλά και αντίστροφα. Θεωρούμε ότι από τη μία, συμβάλλει καθοριστικά στην οικοδόμηση της μαθηματικής σκέψης, από την άλλη, δεν δίνεται συχνά η ευκαιρία στους μαθητές Λυκείου να το πράξουν, αφού είναι σπάνιες οι περιπτώσεις που καλούνται να επιλύσουν ένα πρόβλημα αντλώντας πληροφορίες από τη γραφική παράσταση. Δεύτερον, να τους δοθεί η ευκαιρία να συνδυάσουν τα αναπαραστασιακά πλαίσια του μαθηματικού αντικειμένου συνάρτηση. Να μπορούν να μεταβούν από το ένα στο άλλο, από τη γραφική παράσταση, στον πίνακα τιμών και στον τύπο. Να βοηθηθούν στο να συνειδητοποιήσουν ότι η γραφική παράσταση, δεν είναι κάτι εξωτερικό της συνάρτησης, αλλά ότι αποτελεί μαζί με τον τύπο και τον πίνακα τιμών, διαφορετικές οπτικές του ίδιου αντικειμένου

20 Οι ερωτήσεις του 1 ου βήματος αφορούν προηγούμενη γνώση (εκθετική συνάρτηση), αποτελούν τη βάση πάνω στην οποία θα οικοδομηθεί η νέα γνώση. Το 2 ο βήμα αποσκοπεί στη σύνδεση της ήδη υπάρχουσα γνώσης με τη νέα. Επιλέξαμε η εισαγωγή στους λογάριθμους να γίνει μέσω της συνάρτησης από την εκθετική με εναλλαγή των ρόλων της ανεξάρτητης και εξαρτημένης μεταβλητής μεταβαίνουμε στη λογαριθμική. Δεν ακολουθήσαμε την πορεία του σχολικού βιβλίου, διότι πεποίθησή μας είναι ότι η συνάρτηση πρέπει να βρίσκεται στην καρδιά της σχολικής Άλγεβρας, άλλωστε η έρευνα έχει καταδείξει το θετικό ρόλο της συναρτησιακής προσέγγισης στη διδασκαλία της Άλγεβρας. Ένας άλλος επίσης λόγος είναι ότι οι μαθητές προτιμούν να δουλεύουν με πίνακες και γραφήματα παρά με συμβολικές εκφράσεις. Στο 3 ο βήμα, ο στόχος του 1 ου ερωτήματος είναι οι ιδιότητες των λογαρίθμων να προκύψουν ως διαπιστώσεις, ως εικασίες, ενώ το 2 ο και 3 ο έχουν ως στόχο την εφαρμογή αυτών των διαπιστώσεων. Οι τιμές της συνάρτησης που ζητούνται να υπολογιστούν είναι εκτός διαγράμματος, για να αναγκάσουν τους μαθητές να καταφύγουν στις διαπιστώσεις. Μ αυτό τον τρόπο αποσκοπούμε στο να συνειδητοποιήσουν τη χρησιμότητα των ιδιοτήτων. Το 4 ο και 5 ο ερώτημα αποσκοπούν στο να αναδείξουν τη σημασία και το ρόλο που παίζει η βάση του λογάριθμου. Να κατανοήσουν ότι όταν η βάση είναι μεγαλύτερη του 1 οι τιμές της συνάρτησεις αυξάνονται, ενώ όταν είναι μικροτερη του 1 μειώνονται. Να αντιληφθούν επίσης ότι αν π.χ. η βάση του λογάριθμου είναι 3, για να αυξηθεί η τιμή της συνάρτησης g(x) κατά 1, πρέπει να τριπλασιαστεί η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής x. Κατά τη διάρκεια που οι μαθητές δούλευαν πάνω στο 1 ο βήμα, παρατηρήσαμε ενεργοποίηση και συμμετοχή όλων των ομάδων. Για τον εντοπισμό της εκθετικής συνάρτησης στο 2 ο ερώτημα, σε ορισμένες ομάδες υπήρξε διαπραγμάτευση, ενώ σε κάποιες άλλες οι μαθητές εργάζονταν ατομικά. Στην Ομάδα 4 (04:50 απόσπασμα 3) ο μαθητής1 και η μαθήτρια1 διαπραγματεύονται για το ποια είναι η συνάρτηση αναπτύσσοντας δύο επιχειρήματα, αν είναι η x 2 ή η 2 x (περίπτωση αβεβαιότητας, αντιθετικοί ανταγωνιστικοί ισχυρισμοί). Μετά από μια σύντομη διαπραγμάτευση και αφού αμφιταλαντεύτηκαν μεταξύ των δύο, η αβεβαιότητα αίρεται με συνδυασμό λογικού επιχειρήματος (Μαθητής1: είναι 2 επί 2, 2 επί 4 8, 2 επί 8 16) και προηγούμενων εμπειριών (Μαθήτρια1: Εκθετική είναι, όσο πάει και ανεβαίνει, στην εκθετική δε βγάζει το διάγραμμα που πάει έτσι και περνάει από το 1;). Διαπιστώσαμε ότι οι μαθητές της Ομάδας 7 δυσκολεύτηκαν να εντοπίσουν τη συνάρτηση, αν και αφορούσε προηγούμενη γνώση. Για να βρουν τον τύπο της ζήτησαν τη βοήθεια μου. Προσπάθησα να αναπτύξω το πλαίσιο στήριξης με διάφορες ερωτήσεις. Αρχικά στόχευα να τους παραπέμψω στην εκθετική συνάρτηση, αλλά όταν διαπίστωσα ότι μάλλον δεν έχουν αυτή τη γνώση, τους προέτρεψα να ανακαλύψουν