ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2004

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 004 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης fxc είναι ίση µε 0. Μονάδες 8 Β. Να δώσετε τον ορισµό της συνέχειας µιας συνάρτησης f στο σηµείο x 0 του πεδίου ορισµού της. Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Η συχνότητα της τιµής x i µιας µεταβλητής Χ είναι αρνητικός αριθµός. β. Στην κανονική κατανοµή το 95% των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστηµα x s, x s, όπου x είναι η µέση τιµή των παρατηρήσεων και s η τυπική τους απόκλιση. γ. Αν διαιρέσουµε τη συχνότητα ν i µιας µεταβλητής Χ µε το µέγεθος ν του δείγµατος, προκύπτει η σχετική συχνότητα f i της τιµής x i. Μονάδες. Στον παρακάτω πίνακα τα Α και Β συµβολίζουν ενδεχόµενα ενός πειράµατος τύχης. Στη Στήλη Ι αναγράφονται διάφορες σχέσεις για τα Α και Β διατυπωµένες στην κοινή γλώσσα και στη Στήλη ΙΙ σχέσεις διατυπωµένες στη γλώσσα των συνόλων. Να γράψετε στο τετράδιό σας τα γράµµατα της Στήλης Ι και δίπλα σε κάθε γράµµα τον αριθµό της Στήλης ΙΙ που αντιστοιχεί στην ίδια διατύπωση. α β γ Στήλη Ι πραγµατοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α, Β πραγµατοποιείται το Α αλλά όχι το Β πραγµατιποιούνται συγχρόνως τα Α και Β Στήλη ΙΙ Α - Β 4 Στη Στήλη ΙΙ περισσεύει µία σχέση. Μονάδες

2 ΘΕΜΑ ο x 4x ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο fx. x Α. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f. Μονάδες 0 Β. Να υπολογίσετε το lim fx x Μονάδες 5 ΘΕΜΑ ο Στην "Αττική οδό" εξυπηρετούνται καθηµερινά 00 χιλιάδες οχήµατα, τα οποία διανύουν από 5 έως 45 χιλιόµετρα. Η διανυόµενη απόσταση σε χιλιόµετρα από τα οχήµατα αυτά παρουσιάζεται στην πρώτη στήλη του πίνακα: Κλάσεις σε χλµ. Κέντρο κλάσης x i Συχνότητα ν i σε χλµ. Σχετική συχνότητα f i % Αθροιστική Συχνότητα N i σε χλµ. Αθρ. Σχετ. Συχνότητα F i % [5, 5 0 [5, 5 8 [5, 5 80 [5, 45 Σύνολο 00 Α. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα και να συµπληρώσετε τις τιµές των αντίστοιχων µεγεθών. Μονάδες 0 Β. Να σχεδιάσετε το ιστόγραµµα x i, f i % και το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων. Γ. Να βρείτε τη µέση τιµή x.. Να βρείτε το πλήθος των οχηµάτων που διανύουν απόσταση τουλάχιστον 5 χιλιοµέτρων. ΘΕΜΑ 4ο 5 ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο fx x x x 0. Οι πιθανότητες ΡΑ και ΡΒ δύο ενδεχοµένων Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω είναι ίσες µε τις τιµές του x, στις οποίες η f έχει αντίστοιχα τοπικό ελάχιστο και τοπικό µέγιστο. Α. Να δείξετε ότι και. Β. Για τις παραπάνω τιµές των ΡΑ, ΡΒ καθώς και για τις πιθανότητες: i. ii. - Μονάδες 9, να βρείτε

3 iii. [ ] iv. [ - - ]. Μονάδες

4 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α. Είναι: Α f R και fxh - fx c - c 0. f x h f x Οπότε για h 0 είναι 0. h f x h f x Άρα lim 0 h 0 h Συνεπώς c 0 Β. Μια συνάρτηση f λέγεται συνεχής στο σηµείο x 0 του πεδίου ορισµού της αν και µόνον αν lim f x f x0 x x0 Γ. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό. α. 4 β. γ. ΘΕΜΑ ο Α. Πρέπει i x 0 καί ii x δηλ x Άρα [ 0,,. f. Για x [ 0,, έχουµε: f x 4x x x x x x x x x x x x x x x lim[ x x ] Οπότε lim f x x 4

5 ΘΕΜΑ ο Α. x i ν i f i % N i F i % [5, [5, [5, [5, Β. Γ x ν ix i ν i , Km Είναι ν ν χιλιάδες οχήµατα. ΘΕΜΑ 4ο Α. Η συνάρτηση f είναι ορισµένη και παραγωγίσιµη σ όλο το R ως πολυωνυµική µε f ' x x 5x Έτσι έχουµε f ' x 0 x 5x 0 x ή x Εποµένως

6 και Β. Για τις τιµές των, και βρίσκουµε: i. ii. iii. [ ] 5 ' iv. Τα ενδεχόµενα Α-Β, Β-Α είναι ασυµβίβαστα σύµφωνα µε την εφαρµογή σελ. 5 σχολ. βιβλίου. [ ].