r (t) dt f ds r (t) = (x (t)) 2 + (y (t)) 2 + (z (t)) 2.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "r (t) dt f ds r (t) = (x (t)) 2 + (y (t)) 2 + (z (t)) 2."

Ευθαλία Αποστολίδης
4 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ Μήκος καμπύλης και Μέση τιμή συνάρτησης κατά μήκος καμπύλης Ορισμός : Εστω r μία απλή και λεία παραμετρική καμπύλη του R που ορίζεται από την απλή και λεία παραμέτρηση r : [a, b] R R. Ως μήκος l της καμπύλης ορίζουμε το ολοκλήρωμα: l : b a r d Ορισμός : Εστω r μία απλή και λεία παραμετρική καμπύλη του R που ορίζεται από την απλή και λεία παραμέτρηση r : [a, b] R R και έχει μήκος l >. Επίσης, έστω f : R R μία συνεχής συνάρτηση. Ως μέση τιμή µf, της συνάρτησης f κατά μήκος της καμπύλης ορίζεται ο πραγματικός αριθμός: µf, : l f ds Σχόλιο: Το παραπάνω επιφανειακό ολοκλήρωμα είναι: f ds b a f r r d, όπου r x, y, z άρα f r fx, y, z και r x, y, z επομένως r x y z. Άσκηση : Να βρεθεί η μέση τιμή της συνάρτησης fx, y, z xy z κατά μήκος της παραμετρικής καμπύλης r η οποία ορίζεται από την παραμέτρηση r sin,, cos, [, π]. Το ζητούμενο ολοκλήρωμα δίνεται στον Ορισμό. Δηλαδή, θα υπολογίσουμε το επιφανειακό ολοκλήρωμα f ds, επίσης θα υπολογίσουμε το μήκος της καμπύλης l και τέλος θα βρούμε τη ζητούμενη μέση τιμή µf, από τον τύπο του Ορισμού, δηλαδή διαιρώντας το επιφανειακό ολοκλήρωμα με το μήκος της καμπύλης. Από r sin,, cos έχουμε ότι r cos,, sin και άρα r cos sin cos cos sin cos cos 4sin sin [όπου χρησιμοποιήσαμε τις ταυτότητες sin cos και sin cos ].

2 Επίσης, από το Σχόλιο έχουμε ότι f r xy z sin cos sin cos. Επομένως, το επιφανειακό ολοκλήρωμα f ds δίνεται από: π f ds f r π r d { sin cos} sin d π { } 4sin cos cos sin d [όπου χρησιμοποιήσαμε τις ταυτότητες sin sin cos και cos cos π 4sin 8sin cos 4cos sin sin d π 4 sin 8 4 d { [ ] π π } 8 8 d 6 [ ] π sin 8 [ ] π cos π sin 8 πcosπ 8 6 sin π sin 8 cosπ cos ] [ 4 cos 4 cosπ cos {8 π 6{sinπ sin} π π 6 8 8π [καθώς cos, cosπ, sin, sinπ ]. {Υπενθύμιση: g h g hg hh, επομένως π.χ. Επίσης, το μήκος l της καμπύλης από τον Ορισμό δίνεται από: l π r d π sin π d 4π cos 4 8 Άρα τελικά η ζητούμενη μέση τιμή είναι ίση με: µf, : f ds l 8 8π π. sin [ d 4 sin cos ] π ] π }.

3 Αριθμητικό Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα μίας κατά τμήματα C συνάρτησης Ορισμός : Εστω r μία κατά τμήματα C παραμετρική καμπύλη του R, που ορίζεται από την κατά τμήματα C παραμέτρηση r : [a, b] R R. Επίσης, έστω P [a u < u < u <... < u m b] μία διαμέριση του [a, b] η οποία προσδιορίζει τα C τόξα,,..., m της καμπύλης δηλαδή... m. Επίσης, έστω f : R R μία συνεχης συνάρτηση. Τότε ορίζουμε ως επικαμπύλιο ολοκλήρωμα πρώτου είδους ή βαθμωτό επικαμπύλιο ολοκλήρωμα ή αριθμητικό επικαμπύλιο ολοκλήρωμα f ds της συνάρτησης f κατά μήκος της καμπύλης, το άθροισμα των επικαμπυλίων ολοκληρωμάτων της f κατά μήκος των k για k,,..., m, δηλαδή: f ds : k k f ds k uk u k f r r d Σχήμα: Διαμέριση P [a u < u < u <... < u m b] Άσκηση : Να υπολογιστεί το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα x y e z ds κατά μήκος της καμπύλης r η οποία ορίζεται από την παραμέτρηση r,, : [, ] R R. Η καμπύλη δεν είναι C στα σημεία και δηλαδή στα σημεία που τα απόλυτα αλλάζουν τιμή. Θεωρώντας λοιπόν τη διαμέριση P [ < < < ] του [, ] η καμπύλη είναι κατά τμήματα C ως προς αυτή τη διαμέριση και ισχύει ότι: Στο [, ] διάστημα της διαμέρισης έχουμε: και. Άρα r,,,,. Άρα r,, r. Στο [, ] διάστημα της διαμέρισης έχουμε: και. Άρα r,,. Άρα r,, r 6. Στο [, ] διάστημα της διαμέρισης έχουμε: και. Άρα r,,. Άρα r,, r 6. Επομένως, το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα f ds της συνάρτησης fx, y, z x y e z κατά μήκος της καμπύλης r δίνεται από τον Ορισμό ως το άθροισμα: f ds f r r d e d e d 6 f r r d e 6 d e d 6 f r r d e 6 d e d

4 4 e d 6 e d [ ] [] [ ] [ e ] [ ] 6 [] [ e ] e 6 e 6 e e συ- Διανυσματικό Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα μίας κατά τμήματα C νάρτησης Ορισμός 4: Εστω r μία κατά τμήματα C παραμετρική καμπύλη του R, που ορίζεται από την κατά τμήματα C παραμέτρηση r : [a, b] R R. Επίσης, έστω P [a u < u < u <... < u m b] μία διαμέριση του [a, b] η οποία προσδιορίζει τα C τόξα,,..., m της καμπύλης δηλαδή... m. Επίσης, έστω F R R μία συνεχης συνάρτηση. Τότε ορίζουμε ως επικαμπύλιο ολοκλήρωμα δευτερου είδους ή διανυσματικό επικαμπύλιο ολοκλήρωμα r της συνάρτησης F κατά μήκος της καμπύλης, το άθροισμα των επικαμπυλίων ολοκληρωμάτων της F κατά μήκος των k για k,,..., m, δηλαδή: F d m r : k k r k uk u k F r r d Σχήμα: Διαμέριση P [a u < u < u <... < u m b] Άσκηση : Να υπολογιστεί το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα x dxxy dye z dz κατά μήκος της παραμετρικής καμπύλης r η οποία ορίζεται από την παραμέτρηση r sin, sin π, για [ π, π]. Η καμπύλη δεν είναι C αφού δεν είναι παραγωγίσιμη στα σημεία και π. Θεωρώντας λοιπόν τη διαμέριση P [ π < < π ] < π του [ π, π] η καμπύλη είναι κατά τμήματα C ως προς αυτή τη διαμέριση και ισχύει ότι: Στο [ π ], έχουμε ότι: άρα και π άρα π π. Άρα π r sin, sin, sin, cos, π [όπου χρησιμοποιήσαμε ότι sin sin και sin cos ] Άρα r [, sin,. Στο, π ] έχουμε ότι: άρα και π άρα π π. Άρα π r sin, sin, sin, cos, Άρα r cos, sin,.

5 5 [ π ] Στο, π έχουμε ότι: άρα και π άρα π π. Άρα r sin, sin π, sin,, [όπου χρησιμοποιήσαμε ότι sin π π π sin sin ] Άρα r cos, sin,. Επομένως, το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα r της F x, y, z x, x y, e z κατά μήκος της καμπύλης r δίνεται από τον Ορισμό 4 ως το άθροισμα: r π/ π/ π π/ π/ π/ F r r π d F r r d F r r d sin, sin cos, e, sin, d sin, sin cos, e cos, sin, d sin, sin, e cos, sin, d όπου θα βρούμε το πρώτο από τα ολοκληρώματα παρακάτω και αντίστοιχα δουλεύουμε για τα υπόλοιπα. π/ π/ sin, sin cos, e, sin, d π/ sin cos sin cos sin e d sin cos cos cos sin e d [ όπου χρησιμοποιήσαμε ότι sin cos ] [ sin ] { [] π/ [ ] } sin [ cos π/ π/ π/ ] π/ [e ] π/

Σχετικά έγγραφα

Ανασκόπηση-Μάθημα 29 Σφαιρικές συντεταγμένες- Εφαρμογές διπλού και τριπλού ολοκληρώματος- -Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα α είδους

Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Ανασκόπηση-Μάθημα 29 Σφαιρικές συντεταγμένες- Εφαρμογές διπλού και τριπλού ολοκληρώματος- -Επικαμπύλιο