2011 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Γ 1. Δίνεται η συνάρτηση f: δύο φορές παραγωγίσιμη στο, με f (0) = f(0) = 0, η οποία ικανοποιεί τη σχέση:

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2011 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Γ 1. Δίνεται η συνάρτηση f: δύο φορές παραγωγίσιμη στο, με f (0) = f(0) = 0, η οποία ικανοποιεί τη σχέση:"

Ίρις Αποστολίδης
4 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Γ. Δίνεται η συνάρτηση f: δύο φορές παραγωγίσιμη στο, με f () f(), η οποία ικανοποιεί τη σχέση: (f () + f () ) f () + f (), για κάθε. Γ. Να αποδείξετε ότι f() ln( ),. Μονάδες 8 Γ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Γ3. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει ακριβώς δυο σημεία καμπής. Μονάδες 3 Γ4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln( ) συν έχει ακριβώς μια λύση Λ Υ Σ Η στο διάστημα π,. Γ. Έχουμε (f () + f () ) f () + f () f () f () + f () f () ( )f () + ( )f () ( ) f () + ( )(f ()) (( )f ()) ( ) ( )f () + c Για έχουμε ( )f () + c c -, αφού f (). Άρα ( )f () () Θέτουμε g(),, g () και g (). g () > > και g () < <. Στο η g έχει ο. ε. το g(), άρα g() g() >, για κάθε. Δηλαδή >, () για κάθε. Οπότε f () f () (ln( )) f() ln( ) + c Για έχουμε f() ln( ) + c c, αφού f(). Άρα f() ln( ) Γ. f() ln( ) f () f () > > και f () < <. - + g + g ο. ε. g() και f ().

2 Επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ) και γνησίως φθίνουσα στο (-, ]. Στο η συνάρτηση f έχει ο. ε. το f() άρα f() f(), (3) για κάθε. - + f + f ο. ε. f() Γ3. Έχουμε f () ( ) ( )( ) ( ) () ( ) Θέτουμε h() ( ),, h () ( ) h (), h () > >. Στο η h έχει ο. μ. το h(), άρα h() h() >, για κάθε. ος τρόπος με Θεώρημα Bolzano h(- ) - ( + ) 4 h() ( ) - < < H h είναι συνεχής στα [-, ] και [, ] ( ) και h(- ) h() <, εφαρμόζεται το Θεώρημα Bolzano, άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα (-, ) τέτοιο ώστε h( ) και επειδή η h είναι γνησίως αύξουσα είναι μοναδικό. h() h() <, εφαρμόζεται το Θεώρημα Bolzano, άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα (, ) τέτοιο ώστε h( ) και επειδή η h είναι γνησίως φθίνουσα είναι μοναδικό. - + h + - h ο. μ. h() - ος τρόπος με Σύνολο Τιμών h() ( ( ) ) -, αφού ( ) + + D.L.H. h() ( ( ) ) (+ ) [ (+ )] (+ ) (- ) h() > Έστω Α (-, ], η h είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο Α, οπότε h(α ) (-, ]. Επειδή h(α ), υπάρχει μοναδικό Α τέτοιο ώστε h( ).

3 3 Έστω Α [, + ), η h είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Α, οπότε h(α ) (-, ]. Επειδή h(α), υπάρχει μοναδικό Α τέτοιο ώστε h( ). Για < h h() < h() - + h Για < < h() > h() h Για < < h() > h() h Για < h() < h() Άρα η συνάρτηση f έχει δύο ακριβώς σημεία καμπής. Γ4. Έστω k() ln( ) συν f() συν,. π H k είναι συνεχής στα, k() f() συν - < f () f() ως πράξεις συνεχών. k( π ) f( π ) συν π f( π ) f( π ) >, αφού + Σ.Κ. Σ.Κ. π f > π f( ) > f() k() k( π ) <, εφαρμόζεται το Θεώρημα Bolzano, άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα (, π ) τέτοιο ώστε k( ). k () f () + ημ + ημ > (από (3) και < ημχ < ) στο (, π ) άρα η k είναι γνησίως αύξουσα στο (, π ), επομένως το είναι μοναδικό.

4 4 ΘΕΜΑ Δ. Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f, g: οι οποίες για κάθε ικανοποιούν τις σχέσεις: i) f() > και g() > f() ii) - t dt g( + t) iii) g() - t f( + t) dt Δ. Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο και ότι f() g() για κάθε. Δ. Να αποδείξετε ότι: f(),. Δ3. Να υπολογίσετε το όριο: ln f(). f Δ4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη Λ Υ Σ Η Δ. γραφική παράσταση της συνάρτησης F() και y y και την ευθεία. t, g( + t) t - dt, g( + t), t f( + t) f(t ) dt Μονάδες 9 Μονάδες 4 Μονάδες 5 τους άξονες t -, dt είναι συνεχείς στο, f( + t) άρα είναι παραγωγίσιμες. Επομένως f, g είναι παραγωγίσιμες (πράξεις παραγωγισίμων). Θέτουμε + t u dt du και έχουμε f() t - dt g( + t) t - u f() u f() du u du f() u du - f () f () g() (i) g() g() t - dt όμοια βρίσκουμε g () f() (ii) f( + t)

5 5 f() > f () g () Από (i) και (ii) έχουμε g () f() f () g() f() g() (lnf()) (lng()) lnf() lng() + c Για έχουμε t f() dt f() g( + t) g() > g() t dt g() f( + t) Οπότε lnf() lng() + c c, άρα lnf() lng() f() g(). ln f ()g() Δ. επομένως f () f() f() g() f () f() (f ()) ( ) f () + c Για έχουμε f () + c + c c f() > Άρα f () f(). Δ3. ln f() f ln + D.L.H. - - (+ ) -. Δ4. F() f(t ) dt t dt Η συνάρτηση F είναι παραγωγίσιμη με F () >, για κάθε άρα η συνάρτηση F είναι γνησίως αύξουσα στο. Οπότε για F t F() F() dt F(). E(Ω) F() d - F() d - () F() d [ ] [ F() ] F() + F () d + d [ ] F() + ( ) d [ F() ] + - F() + + ( ) τ. μ.

Σχετικά έγγραφα

Γ1. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (0, + ).

Γ1. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (0, + ). ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Γ. ίνεται η συνάρτηση f(),. Γ. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (, ). Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f( ( )) έχει στο σύνολο