Αθ.Κεχαγιας. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι v Σηµειώσεις : Θ. Κεχαγιάς. Σεπτεµβριος 2016

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αθ.Κεχαγιας. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι v Σηµειώσεις : Θ. Κεχαγιάς. Σεπτεµβριος 2016"

Transcript

1 Σηµειώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι v Θ. Κεχαγιάς Σεπτεµβριος 06

2 Περιεχόµενα Προλογος Εισαγωγη Οριο και Συνεχεια Παραγωγος 3 3 Λογαριθµικες και Εκθετικες Συναρτησεις 43 4 Τριγωνοµετρικες Συναρτησεις 60 5 Υπερβολικες Συναρτησεις 80 6 Ολοκληρωµα 99 7 Εµβαδον, Μηκος και Ογκος 3 8 Παραµετρικες Συναρτησεις 53 9 Πολικες Συντεταγµενες 67 0 Ακολουθιες 88 Αναδροµικες Ακολουθιες 08 Σειρες 35 3 υναµοσειρες 58 4 ιαφορικες Εξισωσεις Πρωτης Ταξης 8 5 Γραµµικες ιαφορικες Εξισωσεις µε Σταθερους Συντελεστες 3 Μαθηµατικο Λογισµικο 333 ii iv Βιβλιογραφια 334 Επιλογος : Τα µαθηµατικα ειναι ενα σκοτεινο σπιτι 335 i

3 Προλογος Το ακουω, το ξεχναω. Το ϐλεπω, το ϑυµαµαι. Το κανω, το µαθαινω. Το παρον τεύχος περιεχει συντοµες σηµειωσεις ϑεωριας, λυµενες και αλυτες ασκησεις για τον Λογισµο Συναρτησεων µιας Μεταβλητης. Το τεύχος προορίζεται για χρήση από τους ϕοιτητές της Πολυτεχνικής Σχολής του Αριστοτελείου Πανεπιστηµίου Θεσσαλονίκης, ως συµπλήρωµα των διδακτικών ϐιβλίων που διανέµονται σε αυτούς. Σε κάθε ϕοιτητή που ϑα χρησιµοποιήσει αυτό το τεύχος και γενικότερα σε κάθε ϕοιτητή που µελετά τα µαθηµατικά) έχω να δώσω τρεις συµβουλές.. Λύσε όσο περισσότερα προβλήµατα µπορείς.. είξε εµπιστοσύνη. 3. Μην κάνεις την Ϲωή σου πιο δύσκολη από όσο είναι απολύτως απαραίτητο. Πιο αναλυτικά, η πρώτη συµβουλή έχει το εξής νόηµα. Κατά την γνώµη µου, για τους περισσότερους από εµάς, ο µόνος τρόπος εξοικείωσης µε τα µαθηµατικά είναι η επίλυση προβληµάτων : όσο περισσότερα προβλήµατα λυσεις, τόσο καλύτερα. Σύµφωνα µε αυτή την άποψη, στο παρόν τεύχος η Θεωρια παρουσιάζεται σε µεγάλη συντοµία, ενώ παρατίθεται µεγάλος αριθµός λυµένων και άλυτων προβληµάτων. Πρέπει να χρησιµοποιησεις τα λυµένα προβλήµατα ως ένα ενδιάµεσο ϐοήθηµα για την επίλυση των άλυτων. Με άλλα λόγια δεν αρκεί να µελετησεις µόνο τα ήδη λυµένα προβλήµατα... αν δεν λυσεις ο ιδιος µεγάλο αριθµό αλύτων προβληµάτων δεν ϑα ωφεληθεις ιδιαίτερα. Η δεύτερη συµβουλή αφορα πολλες πλευρες της εκπαιδευτικης διαδικασιας, αλλα εδω ση- µειωνω την πρακτικα πιο σηµαντικη : παρά την αντίθετη εντύπωση ορισµένων ϕοιτητών, ο σκοπός του διδάσκοντα δεν είναι να κόψει όσο γίνεται περισσότερους ϕοιτητές... συνήθως µάλιστα συµ- ϐαίνει ακριβώς το αντίθετο. Το νόηµα της τρίτης συµβουλής είναι το εξής : όταν προσπαθεις να λυσεις ένα πρόβληµα, ξεκινησε από την πιο απλή δυνατή λύση που µπορεις να ϕανταστεις... και µετά προσπαθησε ηλ. παραγωγιση και ολοκληρωση. ii

4 ΠΡΟΛΟΓΟΣ να την απλοποιησεις ακόµα περισσότερο. Αν η απλή λύση δεν δουλεύει, µπορεις παντα να δοκιµασεις µια πιο περίπλόκη. Αντίθετα είναι δύσκολο, όταν εχεις δηµιουργήσει ένα περίπλοκο µοντέλο, να αφαιρεσεις από αυτό στοιχεία και να το κανεις απλούστερο. Η, µε άλλα λόγια, είναι ευκολότερο να αρχισεις µε λίγα συστατικά και να προσθετεις ακόµα ένα κάθε ϕορά που το χρειαζεσαι. Η έµφαση του παρόντος τεύχους είναι σε υπολογιστικά και όχι σε αποδεικτικά προβλήµατα. Οπου εµφανίζονται αποδείξεις, το ύφος αυτών είναι διδακτικό και όχι απαραίτητα αυστηρό. Οι αποδείξεις παρουσιάζονται για να οξύνουν την διαίσθηση και την κατανόηση σου. Ολες οι αποδείξεις που παρουσιάζω ϑα µπορούσαν να «αυστηροποιηθούν», αλλά αυτό εκφεύγει από τους στόχους του παρόντος τεύχους. Το τεύχος δεν έχει ακόµη πάρει την τελική του µορφή. Είναι πολυ) πιθανόν κάποιες λύσεις και απαντήσεις να περιέχουν λάθη. Καθώς ϑα εξελίσσεται η αποσφαλµάτωση και ϑα διορθώνονται τα λάθη, ϑα δηµοσιεύω ϐελτιωµένες εκδόσεις. Χρησιµοποιώντας την ορολογία ανάπτυξης λογισµικού, η παρούσα έκδοση είναι beta µε κωδικό v Σε κάθε περίπτωση ελπίζω και πιστεύω) ότι το παρόν τεύχος ϑα αποδειχτεί αρκετά χρήσιµη στους ϕοιτητές. iii Θανασης Κεχαγιας ΤΗΜΜΥ, Πολυτεχνικη Σχολη ΑΠΘ Νοεµβρης 06 Η τριτη συµβουλη εχει γενικοτερη εφαρµογη σε ολες τις πτυχες της Ϲωης σου.

5 Εισαγωγη Η λέξη «Λογισµός» στα Αγγλικά «Calculus» ) µπορεί να έχει πολλές έννοιες, αλλά η συνηθέστερη χρήση της στα µαθηµατικά είναι στην ϕράση «Λογισµός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής» 3 και, σε πρωτη προσεγγιση, σηµαίνει την παραγώγιση και ολοκλήρωση συναρτήσεων f x). Και αυτό είναι το κύριο αντικείµενο του παρόντος µερους των σηµειωσεων. Ωστόσο η ϐασική ιδέα του Λογισµού Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής) είναι η χρήση των ορίων, και κυριως ενός συγκεκριµένου τύπου ορίων. Μας δίνεται µια συνάρτηση f x) και µελετούµε την µεταβολή της συνάρτησης f = f x + x) f x) όταν το x µεταβάλλεται και γίνεται x + x επιπλέον, µας ενδιαφέρει η περίπτωση στην οποία το x είναι απειροστικά µικρό, δηλ. τόσο µικρό που τείνει στο µηδέν. Αυτη ειναι η παραγωγιση. Η δε ολοκλήρωση είναι η αντιστροφη διαδικασια της παραγωγισης. Αυτές οι ιδέες είναι πολύ χρήσιµες σε διάφορα µαθηµατικά προβλήµατα και σε πρώιµη µορφή) ήταν ήδη γνωστές στους αρχαίους Ελληνες 4. Οµως η χρήση αυτών καθιερώθηκε από τους Ευρωπαίους µαθηµατικούς του 7ου αιώνα. Επιπλέον, αυτοί ανέπτυξαν µεθόδους που επιτρέπουν την χρήση των ορίων σε πολλά διαφορετικά προβλήµατα µε έναν ενοποιηµένο και σχεδόν µηχανικό τρόπο ο οποίος µας επιτρέπει να επιλύουµε προβλήµατα π.χ., υπολογισµό εµβαδών, µεγιστοποίηση και ελαχιστοποίηση συναρτήσεων) τα οποία πριν την ανάπτυξη του Λογισµού είχαν δυσκολέψει µερικούς από τους µεγαλύτερους µαθηµατικούς. Αυτά είναι µερικα απο τα ϑεµατα µε τα οποια ϑα ασχοληθουµε στο παρον τευχος. Με τον ορο «συναρτηση µιας µεταβλητης» εννοούµε µια συνάρτηση f x) µε πεδίο ορισµού και πεδίο τιµών το σύνολο των πραγµατικών αριθµών : f : R R. Ο Λογισµός των Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής είναι η µελέτη µεθόδων παραγώγισης και ολοκλήρωσης τέτοιων συναρτήσεων καθώς και των σχετικών εφαρµογών. Επίσης σχετική είναι και η µελέτη των ακολουθιων, των απειρων αθροισµατων και των δυναµοσειρων. Τελος, ϑα ασχοληθούµε µε τις διαφορικες εξισωσεις εξισωσεις µε παραγωγους) στα τελευταία κεφάλαια του παρόντος µερους. Θα χρησιµοποιήσουµε τον τυπικό µαθηµατικό συµβολισµό, ο οποίος σου είναι γνωστός από το Λύκειο. Σηµειώνουµε ιδιαίτερα τα εξής.. Η τετραγωνική ϱίζα του συµβολίζεται µε i =, i =.. Ο συζυγης µιγαδικος του z ειναι ο z, δηλ. x + iy = x iy. 3. Χρησιµοποιούµε τους εξής συµβολισµούς συνόλων. α ) N: το σύνολο των ϕυσικών αριθµών : N = {,, 3,...}. 3 Και η δεύτερη πιο συνηθισµένη χρήση είναι στην ϕράση «Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων». 4 Π.χ., την είχε χρησιµοποιήσει ο Αρχιµήδης. iv

6 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ϐ ) Z: το σύνολο των ακέραιων αριθµών : Z = {...,,, 0,,, 3,...}. γ ) Q: το σύνολο των ϱητών πραγµατικών αριθµών. δ ) R: το σύνολο των πραγµατικών αριθµών. ε ) R : το επεκτεταµένο σύνολο των πραγµατικών αριθµών : R = R {, }. ϝ ) C: το σύνολο των µιγαδικών αριθµών. 4. Ο συµβολισµός αθροίσµατος είναι : N n= a n = a + a a N. 5. Η λέξη «ανν» σηµαίνει «αν και µόνο αν». v

7 Κεφάλαιο Οριο και Συνεχεια Ο Λογισµος συναρτησεων µιας µεταβλητης ϐασιζεται στην εννοια του οριου.. Θεωρια και Παραδειγµατα... Ορισµος : Λέµε ότι το όριο της συνάρτησης f x) όταν το x τείνει στο x 0 είναι ο αριθµός f 0 ανν ισχύει η εξής συνθήκη ε > 0, δ ε > 0 : 0 < x x 0 < δ ε f x) f 0 < ε..) Αν ισχύει η.), λέµε και ότι η f x) τείνει στο f 0 όταν το x τείνει στο x 0 και γράφουµε lim f x) = f 0 ή f x) f 0. x x 0 x x0 Αν δεν ισχύει η.), λέµε ότι το όριο της f x) όταν το x τείνει στο x 0 ) δεν υπάρχει.... Παρατηρηση : Η σηµασία της.) είναι η εξής : αν ϑέλουµε να εξασφαλίσουµε ότι η διαφορά των f x) και f 0 είναι όσο µικρή ϑέλουµε µικρότερη του τυχόντος ε), αρκεί να εξασφαλίσουµε ότι το x είναι πολύ κοντά στο x 0 συγκεκριµένα, ότι 0 < x x 0 < δ ε ). Προσέξτε ότι το δ ε γενικα ϑα εξαρταται απο το ε! Απο ποια αλλη ποσοτητα ϑα εξαρταται το δ ε ; Επισης προσεξτε οτι στην.) δεν εξετάζουµε την περίπτωση x = x 0 δηλ. x x 0 = 0)...3. Ασκηση : είξε µε ένα υπολογιστικό επιχείρηµα ότι ) lim = x 0. x+ Λύση. Στον παρακάτω πίνακα δίνουµε Ϲεύγη τιµών x,. x x Παρατηρούµε ότι όσο εγγύτερα ϐρίσκεται το x στο 0, τόσο εγγύτερα ϐρίσκεται το στο = 0.5, x+ και αυτό ισχύει για x είτε µεγαλύτερο είτε µικρότερο του. Αυτό το γεγονός διατυπώνεται µαθηµατικά µε την έκφραση «lim = x 0». x+..4. Ασκηση : Αποδειξε ότι lim x x =. Λύση. Ο πίνακας της παραπάνω Ασκησης αποτελεί µια ένδειξη ότι lim x x µια µαθηµατική απόδειξη. Για να αποδείξουµε ότι lim x x x+ = =, αλλά όχι, χρησιµοποιούµε τον ορισµό

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ του ορίου. εδοµένου τυχόντος ε > 0 ϑέλουµε να ϐρούµε αντίστοιχο δ ε τέτοιο ώστε να ισχύει : 0 < x x 0 < δ ε f x) f 0 < ε, όπου x 0 = 0, f x) = και f x+ 0 =. Για να ϐρουµε το Ϲητουµενο δ ε ας εξετασουµε τις παρακατω ισοδυναµιες : x + < ε x x + ) < ε x < ε x < ε x + x + Και τωρα ας υποθεσουµε οτι x < min ε x ), ). Τοτε x < ε x ) + ε) x < 4ε x < Αυτο µας δινει την ιδεα να χρησιµοποιησουµε δ ε = 4ε +ε. Τοτε εχουµε 4ε + ε. 0 < x < δ = 4ε 0 < x + ε) < 4ε 0 < x < 4ε ε x + ε 0 < x < ε x ) ε x + ) x 0 < x + < ε x + x + < ε x + < ε x + < ε και εχουµε αποδειξει το Ϲητουµενο...5. Ορισµος : Λέµε ότι το όριο της συνάρτησης f x) όταν το x τείνει στο είναι ο αριθµός f 0 ανν ισχύει η εξής συνθήκη : ε > 0, M ε > 0 : M ε < x f x) f 0 < ε..) Αντίστοιχα λέµε ότι το όριο της συνάρτησης f x) όταν το x τείνει στο είναι ο αριθµός f 0 ανν ισχύει η εξής συνθήκη : Γράφουµε δε ε > 0, M ε < 0 : x < M ε f x) f 0 < ε..3) lim f x) = f 0, x lim f x) = f 0. x Αν δεν ισχύει η.) αντίστοιχα η.3) ) λέµε ότι το όριο της f x) όταν το x τείνει στο αντίστοιχα το όριο της f x) όταν το x τείνει στο ) δεν υπάρχει...6. Παρατηρηση: Η σηµασια των.) και.3) ειναι η εξης : lim x f x) = f 0 ανν ισχυει η.) δηλ. ε > 0 : M ε > 0 : M ε < x f x) f 0 < ε. Με αλλα λογια, lim x f x) = f 0 ανν για καθε ε οσο µικρο ϑελουµε) µπορουµε να ϐρουµε ενα M ε τετοιο ωστε, οταν το x ειναι µεγαλυτερο του M ε τοτε η διαφορα f x) και f 0 ειναι κατ απολυτη τιµη) µικροτερη του ε. ηλ., ακοµη πιο συντοµα, µπορουµε να ϕερουµε την f x) οσο κοντα στο f 0 ϑελουµε, αρκει να παρουµε το x αρκετα µεγαλο. Η σηµασια της.3) εξηγειται παροµοια.

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ασκηση : είξτε µε ένα υπολογιστικό επιχείρηµα ότι ) lim x = 0. x Λύση. Στον παρακάτω πίνακα δίνουµε Ϲεύγη τιµών. x, x x x Παρατηρούµε ότι όσο µεγαλύτερο γίνεται το x, τόσο εγγύτερα ϐρίσκεται το x γεγονός διατυπώνεται µαθηµατικά µε την έκφραση «lim x = 0». x στο 0. Αυτό το..8. Ασκηση : Αποδειξε ότι lim x = 0. x Λύση. Χρησιµοποιουµε τον ορισµό του ορίου. εδοµένου τυχόντος ε > 0 ϑέλουµε να ϐρούµε αντίστοιχο M ε > 0 τέτοιο ώστε να ισχύει : x > M ε x < ε. Αλλα, ϑετοντας M ε = > 0 εχουµε ε x = x > M ε = ε > 0 x < ε και εχουµε αποδειξει το Ϲητουµενο...9. Ορισµος : Λέµε ότι το όριο της συνάρτησης f x) όταν το x τείνει στο x 0 είναι το ανν ισχύει η εξής συνθήκη : M > 0, δ M > 0 : 0 < x x 0 < δ M f x) > M..4) Αντίστοιχα λέµε ότι το όριο της συνάρτησης f x) όταν το x τείνει στο x 0 να είναι το ανν ισχύει η εξής συνθήκη : M < 0, δ M > 0 : 0 < x x 0 < δ M f x) < M..5) Γράφουµε δε lim f x) =, x x 0 lim f x) =. x x0 Αν δεν ισχύει µία από τις.4) και.5), λέµε ότι το αντίστοιχο όριο δεν υπάρχει...0. Παρατηρηση: Η σηµασια των.4) και.5) ειναι η εξης : lim x x0 f x) = ανν για καθε M οσο µεγαλο ϑελουµε) µπορουµε να ϐρουµε ενα δ M τετοιο ωστε, οταν το x ειναι αρκετα κοντα στο x 0 δηλ. οταν x x 0 < δ M ) τοτε η f x) ειναι µεγαλυτερη του M. ηλ., ακοµη πιο συντοµα, µπορουµε να κανουµε την f x) οσο µεγαλη ϑελουµε, αρκει να παρουµε x αρκετα κοντα στο x 0. Η σηµασια της.5) εξηγειται παροµοια.... Παρατηρηση : Με παρόµοιο τρόπο µπορούµε να ορίσουµε όταν υπάρχουν) τα όρια lim f x) =, lim x f x) =, lim x f x) =, lim x f x) =. x

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 4... Ασκηση : είξτε µε ένα υπολογιστικό επιχείρηµα ότι lim x 0 =. x Λύση. Στον παρακάτω πίνακα δίνουµε Ϲεύγη τιµών x, ). x x x Παρατηρούµε ότι όσο µικρότερο γίνεται το x, τόσο µεγαλύτερο γίνεται το. Αυτό το γεγονός x διατυπώνεται µαθηµατικά µε την έκφραση «lim x =»...3. Ασκηση : Αποδειξε ότι lim x 0 =. x Λύση. εδοµένου τυχόντος M > 0 ϑέλουµε να ϐρούµε αντίστοιχο δ M τέτοιο ώστε να ισχύει : x < δ M > M. Αν ϑεσουµε δ x M = M > 0 τοτε εχουµε x < δ M = M x > M x > M και εχουµε αποδειξει το Ϲητουµενο...4. Ορισµος : Λέµε ότι το εξ αριστερών όριο της f x) καθώς το x τείνει στο x 0 είναι ο αριθµός f 0 ανν ισχύει η εξής συνθήκη : x ε > 0, δ ε > 0 : 0 < x 0 x < δ ε f x) f 0 < ε..6) Αντίστοιχα λέµε ότι το εκ δεξιών όριο της f x) καθώς το x τείνει στο x 0 είναι ο αριθµός f 0 ανν ισχύει η εξής συνθήκη : Γράφουµε δε ε > 0, δ ε > 0 : 0 < x x 0 < δ ε f x) f 0 < ε..7) lim x x 0 f x) = f 0, lim f x) = f 0. x x + 0 Τα εξ αριστερών και δεξιών όρια λέγονται και πλευρικά όρια...5. Παρατηρηση : Αντίστοιχα µπορούµε να ορίσουµε τα όρια lim x x 0 f x) =, lim x x + 0 f x) =, lim f x) =, x x 0 lim x x + 0 f x) =...6. Ασκηση : είξτε µε ένα υπολογιστικό επιχείρηµα ότι α) lim x 0 + =, ϐ) lim x x 0 = x. ) Λύση. Στον παρακάτω πίνακα δίνουµε Ϲεύγη τιµών. x x x, x Παρατηρούµε ότι όσο µικρότερο γίνεται το x, τόσο µεγαλύτερη είναι η απόλυτη τιµή του x, αλλά το πρόσηµο του εξαρτάται από αυτό του x.

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ασκηση : Αποδειξε ότι α) lim x 0 + =, ϐ) lim x x 0 =. x Λύση. Θεωρούµε τυχόν M > 0 και έχουµε : 0 < x < δ M = M < το οποίο σηµαίνει ότι M x lim x 0 + =. Παρόµοια, ϑεωρούµε τυχόν M < 0 και έχουµε : 0 > x > δ x M = M > το M x οποίο σηµαίνει ότι lim x 0 =. x..8. Θεωρηµα : Αν για µιά συνάρτηση f x) υπάρχει το lim x x0 f x) τότε lim f x) = lim f x) = lim f x). x x 0 x x 0 Αντίστροφα, αν τα πλευρικά όρια υπάρχουν και είναι lim x x f x) = lim 0 x x + f x) τότε υπάρχει 0 και το όριο lim x x0 f x) και είναι ίσο µε τα πλευρικά. Αποδειξη. Απο την υποθεση εχουµε οτι x x + 0 ε > 0 : δ > 0 : 0 < x x 0 < δ f x) f 0 < ε,.8) ε > 0 : δ > 0 : δ < x x 0 < 0 f x) f 0 < ε..9) Εστω τωρα τυχον ε. Στις.8)-.9) παιρνουµε ε = ε = ε και κατοπιν επιλεγουµε δ = min δ, δ ). Τοτε λοιπον οποτε και εχουµε το Ϲητουµενο. x : 0 < x x 0 < δ f x) f 0 < ε x : δ < x x 0 < 0 f x) f 0 < ε x : 0 < x x 0 < δ f x) f 0 < ε..9. Ασκηση : Αποδειξε ότι δεν υπαρχει το οριο lim = x 0. x Λύση. Εχουµε ηδη δει οτι lim x 0 + = = lim x x 0. Αρα δεν υπαρχει το lim x x 0. x..0. Θεωρηµα: Αν lim x x0 f x) = f 0, lim x x0 g x) = g 0 και lim x x0 h x) = h 0, και f x) g x) h x), τοτε f 0 g 0 h 0. Αποδειξη. Λαµβανουµε τυχον ε > 0 και ϐρισκουµε δ f ε, δ g ε, δ h ε τετοια ωστε x x 0 < δ f ε f x) f 0 < ε, x x 0 < δ g ε g x) g 0 < ε, x x 0 < δ h ε h x) h 0 < ε. Θετουµε δ = min ) δ f ε, δ g ε, δ h ε και επιλεγουµε x τετοιο ωστε x x 0 < δ. Τοτε εχουµε f x ) ε < f 0 < f x ) + ε, g x ) ε < g 0 < g x ) + ε, h x ) ε < h 0 < h x ) + ε. Τοτε εχουµε f 0 ε < f x ) ε g x ) ε < g 0 g 0 < g x ) + ε h x ) + ε < h 0 + ε.

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 6 ηλ. για καθε ε > 0 εχουµε f 0 ε < g 0 < h 0 + ε απο το οποιο προκυπτει το Ϲητουµενο f 0 g 0 h 0 γιατι ;).... Παρατηρηση : Συνήθως δεν υπολογίζουµε το όριο µιας συνάρτησης ϐάσει των παραπάνω ορισµών, αλλά χρησιµοποιώντας τα εποµενα ϑεωρήµατα.... Θεωρηµα : Για κάθε x 0 R, a R : lim x x0 x a = x a Θεωρηµα : Για κάθε x 0 R, αν lim x x0 f x) = f 0 και lim x x0 g x) = g 0, τότε lim x x0 kf x)) = kf 0 lim x x0 f x) ± g x)) = f 0 ± g 0 lim x x0 f x) g x)) = f 0 g 0 lim f x) ) x x0 gx) = f 0 g 0 αν g 0 0) lim x x0 f x)) n = f n..4. Ασκηση: ειξε οτι, αν lim x x0 f x) = f 0 και lim x x0 g x) = g 0, τοτε Λυση. Απο την υποθεση εχουµε οτι 0. lim f x) + g x)) = f 0 + g 0. x x 0 ε > 0 : δ > 0 : 0 < x x 0 < δ f x) f 0 < ε,.0) ε > 0 : δ > 0 : 0 < x x 0 < δ g x) g 0 < ε..) Εστω τωρα τυχον ε. Στις.0)-.) παιρνουµε ε = ε = ε και κατοπιν επιλεγουµε δ = min δ, δ ). Τοτε λοιπον } { f x) f0 < ε 0 < x x 0 < δ < min δ, δ ) = ε g x) g 0 < ε = ε f x) + g x) f 0 + g 0 ) f x) f 0 + g x) g 0 < ε + ε = ε και εχουµε το Ϲητουµενο...5. Θεωρηµα : Για κάθε x 0 R, αν lim x x0 f x) = f 0 και lim x f0 g x) = g 0, τότε lim x x0 g f x))) = g Θεωρηµα : Για κάθε x 0 R, αν lim x x0 f x) = f 0, lim x x0 g x) = g 0, lim x x0 h x) = h 0 και f x) g x) h x), τότε f 0 g 0 h Θεωρηµα : Για κάθε x 0 R, αν lim x x0 f x) = και lim x x0 g x) =, τότε lim f x) + g x)) =, lim f x) g x)) =. x x 0 x x0..8. Θεωρηµα : Για κάθε x 0 R, αν lim x x0 f x) = και lim x x0 g x) =, τότε lim x x 0 f x) + g x)) =, lim x x0 f x) g x)) =.

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ασκηση: Υπολογισε το lim x 5x + 3x 4 ). Λυση. Εχουµε lim 5x + 3x 4) = 5 ) + 3 ) 4 =. x x..30. Ασκηση: Υπολογισε το lim x Λυση. Εχουµε x 3x+. x lim x x 3x + = lim x x x ) x ) = lim x x = =. x Ασκηση: Υπολογισε το lim x Λυση. Για το ) εχουµε lim x x + 3 x + 4 = lim x x + 3 x x x + 4 x x x+4. = lim x x + lim x x 3 x x lim x + lim = + 0 x x = x x επειδη : lim x = lim 3 x x = lim x = 3 lim x x = 3 0 εχουµε ηδη δει σε προηγουµενη x Ασκηση οτι lim x = 0) και, παροµοια, lim x x 4 = 0. x..3. Ορισµος : Λέµε ότι η συνάρτηση f x) είναι συνεχής στο x 0 ανν lim f x) = f x 0 )..) x x 0 Λέµε ότι η συνάρτηση f x) είναι ασυνεχής στο x 0 ανν δεν ισχύει η.) Ορισµος : Η f x) λέγεται συνεχής στο σύνολο A R ανν είναι συνεχής σε κάθε x 0 A. Οταν απλά λέµε ότι η f x) είναι συνεχής χωρίς να προσδιορίζουµε ένα σηµείο x 0, ή ένα σύνολο A), εννοούµε ότι η f x) είναι συνεχής σε κάθε σηµείο του πεδίου ορισµού της Ασκηση: ειξε οτι η συναρτηση f x) = x + x ειναι συνεχης στο x 0 = 3. Λυση. Αφου η f x) ειναι πολυωνυµικη εχουµε lim f x) = f x 0) x 3 δηλ. ειναι συνεχης στο x 0 = 3. Φυσικα το ιδιο ισχυει για καθε x 0 R Ασκηση: ειξε οτι η συναρτηση f x) = x ειναι συνεχης στο R. Λυση. Η συναρτηση µπορει να γραφτει και ως { x οταν x < 0 f x) = x = x οταν x 0. Αρα για καθε x 0 0, ) εχουµε και για καθε x 0, 0) εχουµε lim f x) = x 0 = f x 0 ) x x 0 lim f x) = x 0 = f x 0 ) x x 0

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 8 Αρα η f x) ειναι σιγουρα συνεχης στο R {0}. Τι γινεται στο x 0 = 0; Ευκολα ϐλεπουµε οτι εχουµε lim f x) = 0, lim f x) = 0 x 0 x 0 + και αρα lim f x) = 0 = f 0). x 0 Αρα η f x) = x ειναι συνεχης σε ολο το R Παρατηρηση : Η.) µπορεί να µην ισχύει διότι. δεν υπάρχει το lim x x0 f x). ή επειδή δεν ορίζεται το f x 0 ) 3. ή επειδή lim x x0 f x) f x 0 ) Ασκηση : Αποδειξε οτι η f x) = δεν ειναι συνεχης στο x x 0 = 0. Λύση. Αφου δεν υπαρχει το lim x 0 f x), δεν µπορουµε να εχουµε lim x 0 = f 0). x..38. Ασκηση : Αποδειξε οτι η f x) = δεν ειναι συνεχης στο x x 0 = 0. Λύση. Αφου δεν οριζεται το f 0), δεν µπορουµε να εχουµε lim x 0 = f 0). x..39. Θεωρηµα : Αν οι f x), g x) είναι συνεχείς στο x 0, το ίδιο ισχύει και για τις. kf x),. f x) ± g x), 3. f x) g x), 4. f x) gx) αν f x 0) 0) Ασκηση: ειξε οτι, αν οι f x), g x) ειναι συνεχεις στο x 0, το ιδιο ισχυει και για την f x) + g x). Λυση. Απο την υποθεση εχουµε οτι lim x x0 f x) = f x 0 ) και lim x x0 g x) = g x 0 ). Τοτε lim f x) + g x)) = lim f x)) + lim g x)) = f x 0 ) + g x 0 ). x x 0 x x 0 x x 0 που ειναι το Ϲητουµενο...4. Θεωρηµα : Κάθε πολυωνυµική συνάρτηση είναι συνεχής...4. Ασκηση : Αποδειξε οτι ειναι συνεχεις οι συναρτησεις α) p x) = x +, ϐ) q x) = x ) x + 3), γ) r x) = x, δ) s x) = x 3 + 5x +. x + Λύση. α) Αφου οι συναρτησεις f x) = x, f x) = ειναι συνεχεις γιατι ;), τοτε και η p x) = f x) + f x) ειναι συνεχης. ϐ) Αφου οι συναρτησεις g x) = x, f x) = x + 3 ειναι συνεχεις γιατι ;), τοτε και η q x) = f x) f x) ειναι συνεχης. γ) Αφου οι συναρτησεις h x) = x, h x) = x + ειναι συνεχεις και η h x) δεν µηδενιζεται πουθενα, τοτε και η r x) = f x) /f x) ειναι συνεχης. δ) Αφου η s x) ειναι πολυωνυµικη, ειναι και συνεχης.

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ασκηση: Βρες τα σηµεια ασυνεχειας της f x) = x. x 4 Λυση. Η f x) ειναι πηλικο δυο πολυωνυµικων και αρα συνεχων συναρτησεων. Αρα και η f x) ειναι συνεχης παντου εκτος των σηµειων στα οποια µηδενιζεται ο παρονοµαστης, δηλ. των,. Σε αυτα τα σηµεια η συναρτηση δεν οριζεται, αρα και δεν µπορει να ειναι συνεχης Θεωρηµα : Αν η f x) είναι συνεχής στο x 0 και η g x) είναι συνεχής στο f x 0 ), τότε η g f x)) είναι συνεχής στο x Παραδειγµα: Εστω f x) = x και g x) = x +. Τοτε h x) = x + = g f x)). Η f x) ειναι συνεχης στο x 0 = και η g x) = x + ειναι συνεχης στο f 0 = 4. Οποτε η g f x)) ειναι συνεχης το x 0 = Θεωρηµα : Αν η f x) είναι συνεχής στο x 0 και f x 0 ) > 0, τότε υπάρχει διάστηµα [a, b] το οποίο περιέχει το x 0, και ικανοποιεί x [a, b] f x) > 0. Αποδειξη. Αφού η f x) είναι συνεχής στο x 0, για κάθε ε υπάρχει δ τέτοιο ώστε x x 0 < δ f x) f x 0 ) < ε ή και Αν πάρω ε = f x 0), έχω x 0 δ < x < x 0 + δ f x 0 ) ε < f x) < f x 0 ) + ε. x [x 0 δ, x 0 + δ] 0 < f x 0) = f x 0) f x 0) < f x) Παραδειγµα: Η f x) = x ειναι συνεχης στο x 00 0 = 0 και ισχυει f x 0 ) [ ] = > Το διαστηµα, περιεχει το x και ικανοποιει : x [, 00 00] : 0 < f x) Θεωρηµα Ενδιάµεσης Τιµής): Αν η f x) είναι συνεχής στο [a, b], τότε για κάθε αριθµό c ο οποίος ϐρίσκεται µεταξύ των f a) και f b), υπάρχει x [a, b] τέτοιο ώστε f x) = c Παραδειγµα: Η f x) = x + 5 ειναι συνεχης στο [, 3]. Εχουµε f ) = 7, f 3) =. Για καθε c 7, ), η εξισωση x + 5 = c εχει την λυση x c = c 5, 3) Θεωρηµα Bolzano): Αν η f x) είναι συνεχής στο [a, b] και και f a) f b) < 0, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0 a, b) τέτοιο ώστε f x 0 ) = 0. Αποδειξη. Χωρίς ϐλάβη της γενικότητας, υποθέτω ότι f a) < 0, f b) > 0. Ορίζω το σύνολο A = {x : a < x < b και f x) 0}. Το A είναι µη κενό περιέχει το a) και ϕραγµένο από το b. Τώρα ορίζω το x 0 να είναι το ελάχιστο άνω ϕράγµα του A. Θα είναι x 0 [a, b) γιατί ;). Θα δείξω ότι f x 0 ) = 0. Πραγµατι, αν f x 0 ) 0, χρησιµοποιωντας το προηγουµενο προβληµα, υπαρχει καποιο δ τέτοιο ώστε για κάθε x [x 0 δ, x 0 + δ], το f x) ϑα είναι οµοσηµο µε το f x 0 ). Εδώ υποθέτουµε έµµεσα ότι υπάρχει ένας τέτοιος αριθµός x 0. Αυτό µπορεί να αποδειχτεί χρησιµοποιώντας την πληρότητα του συνόλου των πραγµατικών αριθµ ών, ϑέµα το οποίο εκφεύγει από το αντικείµενο του παρόντος τεύχους. ες και το https : //en.wikipedia.org/wiki/completeness_of _the_real_numbers.

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 0. Εστω ότι f x 0 ) > 0. Τότε α) x 0 > a και ϐ) για κάθε x > x 0 d ϑα έχουµε f x) > 0. Οπότε το x 0 d A είναι ένα άνω ϕράγµα του A, αλλά είναι µικρότερο το x 0 και αυτό είναι άτοπο.. Εστω ότι f x 0 ) < 0. Τότε α) x 0 < b και ϐ) για κάθε x < x 0 + d ϑα έχουµε f x) < 0. Αν λάβουµε αρκετά µικρό d, το x 0 + d A και τότε το x 0 δεν είναι ένα άνω ϕράγµα του A, και αυτό είναι άτοπο. Οπότε καταλήγουµε ότι f x 0 ) = 0 και η απόδειξη είναι πλήρης...5. Παραδειγµα: Η f x) = x+5 ειναι συνεχης στο [ 3, 3]. Εχουµε f 3) =, f 3) =. Η εξισωση x + 5 = 0 εχει την λυση x 0 = 5 3, 3)...5. Θεωρηµα : Αν η f x) είναι συνεχής στο διάστηµα [a, b], τότε είναι ϕραγµένη στο διάστηµα [a, b], δηλ. υπάρχουν αριθµοί m, M R τέτοιοι ώστε x [a, b] : m f x) M Παραδειγµα: Η f x) = x ειναι συνεχης στο [ 3, 3]. Εχουµε f 3) = f 3) = 9. Ισχυει οτι x [ 3, 3] : 0 = m f x) = x M = Θεωρηµα Ακραίας Τιµής): Εστω ότι η f x) είναι συνεχής στο διάστηµα [a, b]. Συµ- ϐολίζουµε µε. m το µέγιστο κάτω ϕράγµα των τιµών που παίρνει η f x) στο διάστηµα [a, b]. M το ελάχιστο άνω ϕράγµα των τιµών που παίρνει η f x) στο διάστηµα [a, b]. Τότε, για κάθε c [m, M], υπάρχει x [a, b] τέτοιο ώστε f x) = c Παραδειγµα: Η f x) = x ειναι συνεχης στο [ 3, 3]. Εχουµε min x [ 3,3] f x) = 0, max x [ 3,3] f x) = 9. Για καθε c [0, 9], η εξισωση x = c εχει την λυση x c = c [ 3, 3] Θεωρηµα : Αν στο διάστηµα [a, b] η f x) είναι συνεχής και αυστηρά µονότονη, τότε στο διάστηµα [a, b]) η αντίστροφη συνάρτηση f x) είναι καλώς ορισµένη και αυστηρά µονότονη Παραδειγµα: Η f x) = x + 5 ειναι συνεχης και αυστηρα µονοτονη στο [ 3, 3]. Η συναρτηση g x) = x 5 ειναι η αντιστροφη συναρτηση της f x) δηλ. f g x)) = x = x, g f x)) = x = x Ορισµος : Μια συνάρτηση f x) λέγεται τµηµατικά συνεχής στο διάστηµα [a, b] ανν το [a, b] µπορεί να διαµεριστεί σε ένα πεπερασµένο αριθµό διαστηµάτων τέτοιων ώστε [a, b] = [a, b ]... [a N, b N ]

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ. για καθε n {,,..., N } : a n = b n+,. η f x) είναι συνεχής σε κάθε [a n, b n ] και 3. η f x) έχει πεπερασµένα πλευρικά όρια στα σηµεία b, a, b,..., a N Παραδειγµα: Στο Σχήµα. ϐλέπουµε ένα παράδειγµα τµηµατικά συνεχούς συνάρτησης. Σχ..: Μια τµηµατικα συνεχης συναρτηση Ορισµος : Μια συνάρτηση f x) λέγεται οµοιόµορφα συνεχής στο διάστηµα [a, b] ανν α) η f x) είναι συνεχής στο [a, b] και ϐ) για καθε ε > 0 υπάρχει δ ε > 0 τετοιο ωστε x 0 [a, b] : x x 0 < δ ε f x) f x 0 ) < ε. Παροµοια, µια συνάρτηση f x) λέγεται οµοιόµορφα συνεχής στο διάστηµα a, b) ανν α) η f x) είναι συνεχής στο a, b) και ϐ) για καθε ε > 0 υπάρχει δ ε > 0 τετοιο ωστε x 0 a, b) : x x 0 < δ ε f x) f x 0 ) < ε...6. Ασκηση: Αποδειξε οτι η f x) = x ειναι οµοιοµορφα συνεχης στο [0, ]. Λυση. Η f x) = x ειναι συνεχης στο [0, ]. Επισης, εστω τυχον x 0 [0, ]. Για καθε x [0, ] εχουµε f x) f x 0 ) = x x 0 = x + x 0 ) x x 0 ) x x 0 αφου 0 x 0 και 0 x. Οποτε, για καθε ε > 0 ϑετουµε δ ε = ε και εχουµε x 0 [0, ] : x x 0 < δ ε = ε f x) f x 0) x x 0 < ε = ε...6. Ασκηση: Αποδειξε οτι η f x) = δεν ειναι οµοιοµορφα συνεχης ουτε στο [0, ] ουτε στο x 0, ). Λυση. Αφου η f x) = δεν ειναι συνεχης στο [0, ] γιατι ;) δεν ειναι ουτε και οµοιοµορφα x συνεχης. Για το διαστηµα 0, ), ας παρουµε ε = > 0. Εστω τυχον δ ε > 0 τωρα ϑετουµε δ ε = min δ ε, ) και x 0 = δ ε 0, ), x = δ ε 0, ). Τοτε 3 6 x x 0 = δ ε 3 δ ε 6 = δ ε 6 < δ ε < δ ε

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ αλλα f x) f x 0 ) = x x 0 = x x 0 xx 0 = δ ε/6 = 3 > = ε. δ ε /8 δ ε Αρα για ε = > 0 δεν µπορει να υπαρχει δ ε τετοιο ωστε x 0 0, ) : x x 0 < δ ε x x 0 < ε. ιοτι τα δ ε = min δ ε, ), x 0 = δ ε, x = δ ε ικανοποιουν την συνθηκη x x < δ ε αλλα παραβιαζουν την συνθηκη f x) f x 0 ) < ε. Αρα η f x) = δεν ειναι οµοιοµορφα συνεχης στο 0, ). x..63. Ασκηση: Ποια ειναι διαφορα της οµοιοµορφης συνεχειας απο την απλη συνεχεια ; Λυση. Λεµε οτι η f x) ειναι συνεχης στο [a, b] ανν για καθε x 0 [a, b] εχουµε lim x x0 f x) = f x 0 ). Αυτο µπορει να γραφτει πιο αναλυτικα ως εξης : για καθε ε > 0 υπάρχει δ ε > 0 τετοιο ωστε x 0 [a, b], ε > 0, δ ε x 0 ) : x x 0 < δ ε x 0 ) f x) f x 0 ) < ε. Με αλλα λογια, το δ ε x 0 ) εξαρταται απο το ε και απο το x 0! Στην οµοιοµορφη συνεχεια, το δ ε δεν εξαρτατι απο το x 0 δηλ. µπορουµε να χρησιµοποιησουµε το ιδιο δ ε για καθε x 0 ).. Λυµενα Προβληµατα... Ασκηση : είξε µε ένα υπολογιστικό επιχείρηµα ότι ) lim =. x 0 x+3 3 Λύση. Στον παρακάτω πίνακα δίνουµε Ϲεύγη τιµών x,. x x Παρατηρούµε ότι όσο εγγύτερα ϐρίσκεται το x στο 0, τόσο εγγύτερα ϐρίσκεται το στο = 0.5, x+ και αυτό ισχύει για x είτε µεγαλύτερο είτε µικρότερο του. Αυτό το γεγονός διατυπώνεται µαθηµατικά µε την έκφραση «lim =». x 0 x+... Αποδειξε οτι lim x 0 x + ) =. Λυση. Πρεπει να δειξουµε οτι ε > 0 : δ ε > 0 : 0 < x 0 < δ ε x + < ε. Εστω λοιπον τυχον ε > 0. Παιρνουµε δ ε = ε οποτε για καθε x τετοιο ωστε x 0 = x < δ ε = ε εχουµε x + = x = x < δ ε = ) ε = ε και ετσι εχουµε αποδειξει το Ϲητουµενο...3. Αποδειξε οτι lim x x ) = 3. Λυση. Πρεπει να δειξουµε οτι x+3 ε > 0 : δ ε > 0 : 0 < x < δ ε x 3 < ε.

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 3 Εστω λοιπον τυχον ε > 0. Παιρνουµε δ ε = ε και για καθε x τετοιο ωστε x < δ ε = ε εχουµε και ετσι εχουµε αποδειξει το Ϲητουµενο. x 3 = x 4 = x < δ ε = ε = ε x..4. Αποδειξε οτι lim 3x+ x = 0. x ) Λυση. Πρεπει να δειξουµε οτι ε > 0 : δ ε > 0 : 0 < x < δ ε x 3x + x ) < ε. Εστω λοιπον τυχον ε > 0. Παιρνουµε δ ε = ε και για καθε x τετοιο ωστε x < δ +ε ε = ε εχουµε x 3x + x ) = x ) x ) x ) = x x. Τωρα, εχουµε x < δ και x > x = x > δ ε αφου x < δ ε ) οποτε x x < δ ε. δ ε Αρκει, για να δειξουµε το Ϲητουµενο οριο, να δειξουµε οτι Η τελευταια ισοτητα ισχυει εξ υποθεσεως. δ ε δ ε δ ε δ ε = ε δ ε = ε δ ε ) δ ε = ε εδ ε = ε. Αλλα δ ε + εδ ε = ε δ ε + ε) = ε δ ε =..5. ειξε οτι lim x = 0 και οτι lim x 3 + x = 0. x 3 + Λυση. Για το πρωτο οριο πρεπει να δειξουµε οτι ε < 0 : M ε > 0 : M ε < x x 3 + < ε. ε + ε. Εστω λοιπον τυχον ε > 0. Παιρνουµε M ε = 3 και για καθε x τετοιο ωστε x > M ε ε = 3 > 0 ε εχουµε x 3 + < Mε 3 + = + = ε ε και ετσι εχουµε αποδειξει το Ϲητουµενο. Το δευτερο οριο αποδεικνυεται παροµοια...6. ειξε οτι lim x x =. Λυση. Πρεπει να δειξουµε οτι +ε M > 0 : N M > 0 : N M < x M < x. Ευκολα ϕαινεται οτι για τυχον M αρκει να παρουµε N M = M.

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ειξε οτι lim x x 3 =. Λυση. Πρεπει να δειξουµε οτι M < 0 : N M < 0 : x < N M x 3 < N M. Ευκολα ϕαινεται οτι για τυχον M < 0 αρκει να παρουµε N M = M / είξε µε ένα υπολογιστικό επιχείρηµα ότι α) lim x + =, ϐ) lim x x ) =. x Λύση. Στον παρακάτω πίνακα δίνουµε Ϲεύγη τιµών x,. Παρατηρούµε ότι όσο µικρότερο γίνεται το x, τόσο µεγαλύτερη είναι η απόλυτη τιµή του, αλλά το πρόσηµο του εξαρτάται από x αυτό του x. x x Αποδειξε ότι α) lim x + =, ϐ) lim x x =. x Λύση. Θεωρούµε τυχόν M > 0 και έχουµε : 0 < x < δ = M < το οποίο σηµαίνει ότι M x lim x + =. Παρόµοια, ϑεωρούµε τυχόν M < 0 και έχουµε : 0 > x > δ = M > x M x το οποίο σηµαίνει ότι lim x =. x..0. ειξε οτι lim x 0 =. x 3 Λυση. Πρεπει να δειξουµε οτι x M < 0 : δ M > 0 : 0 < 0 x < δ M x 3 < M. Εστω λοιπον τυχον M < 0. Παιρνουµε δ M = 3 < 0 και για καθε x τετοιο ωστε δ M M < x < 0 εχουµε 3 M < x < 0 M < x 3 < 0 x < M ειξε οτι lim x + x+ =. x Λυση. Πρεπει να δειξουµε οτι M > 0 : δ M > 0 : 0 < x < δ M x + x > M. Εστω λοιπον τυχον M > 0. Παιρνουµε δ M = και για καθε x τετοιο ωστε 0 < x < δ M M = M εχουµε x + x = x + x ) x + ) = x > = M και ετσι εχουµε αποδειξει το Ϲητουµενο.... Υπολογισε τα παρακατω ορια M. lim x x 3 + 3x 4 ).. lim x x x 4x+4.

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 5 3. lim x x x 4x lim x x lim x x + x +. Λυση. Για το ) εχουµε Για το ) εχουµε lim x x 3 + 3x 4) = ) ) 4 = 3. x lim x x 4x + 4 = lim x x ) lim x x 4x + 4) = = 0 οπου χρησιµοποιησαµε οτι ο παρονοµαστης ειναι διαφορος του µηδενος. Για το 3) εχουµε x lim x x 4x + 3 = lim x x 3 =. Για το 4) εχουµε lim x x 4 = 4 = 4. Για το 5) ϑετουµε g x) = x, f x) = 5x + 3x 4 και εχουµε lim x + x + = lim x + x + ) = 3. x x..3. Υπολογισε τα παρακατω ορια. lim x x. lim x x x 5x+4. x lim x x x lim h 0 x+h) x h. Λυση. Για το ) εχουµε Για το ) εχουµε x lim x x 5x + 4 = lim x x x ) x 4) = lim x x 4 = 3 = 3. x lim x x 4 = lim x ) x + ) x x ) x + ) x + ) = lim x x + =. Για το 3) εχουµε x lim x x = lim x + 3 x + x + 3 x x + 3 ) x + ) x + 3 = lim x x 3 = lim + x + 3) = 4. x

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 6 Για το 4) εχουµε..4. Υπολογισε τα παρακατω ορια. lim x x+7 x.. lim x x+4 5x. 3. lim x x 4 x. 4. lim x x 4 x. Λυση. Για το ) εχουµε x + h) x x + xh + h ) x lim = lim h 0 h h 0 h xh + h = lim = lim x + h) = x. h 0 h h 0 lim x x + 7 x = lim x x + 7 x x x x x = lim x x + lim x x 7 x x lim x lim = + 0 x x 0 = x x επειδη : lim x = lim 3 x x = lim x = 3 lim x x = 3 0 εχουµε ηδη δει σε προηγουµενη x Ασκηση οτι lim x = 0) και, παροµοια, lim x x 4 = 0. x Παροµοια, για το ) εχουµε Για το 3) εχουµε Για το 4) εχουµε lim x lim x lim x x + 4 5x = lim x x 4 x = lim x x 4 x x x + 4 x 5x x x x 4 x x x x = = 5. = = 0. x = lim x 4 ) = 0 =. x x..5. ειξε οτι η συναρτηση f x) = x 3 x + x ειναι συνεχης στο x 0 = 3. Λυση. Αφου η f x) ειναι πολυωνυµικη εχουµε lim f x) = f x 0) x 3 δηλ. ειναι συνεχης στο x 0 = 3. Φυσικα το ιδιο ισχυει για καθε x 0 R...6. ειξε οτι η συναρτηση f x) = x3 +x ειναι συνεχης στο R. x + Λυση. Για καθε x 0 R εχουµε οτι lim x x0 = f x 0 ) η µονη πιθανη εξαιρεση ειναι σηµεια στα οποια µηδενιζεται ο παρονοµαστης της f x). Αλλα αφου αυτος ειναι x + τετοια σηµεια δεν υπαρχουν στο R, δηλ. η f x) ειναι συνεχης παντου στο R.

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ειξε οτι η συναρτηση f x) = x ειναι συνεχης στο R. Λυση. Η συναρτηση µπορει να γραφτει και ως { x οταν x < f x) = x οταν x. Αρα για καθε x 0, ) εχουµε και για καθε x 0, ) εχουµε lim f x) = x 0 = f x 0 ) x x 0 lim f x) = x 0 = f x 0 ) x x 0 Αρα η f x) ειναι σιγουρα συνεχης στο R {}. Τι γινεται στο x 0 = ; Ευκολα ϐλεπουµε οτι εχουµε lim f x) = 0, lim f x) = 0 x x + και αρα lim f x) = 0 = f ). x Αρα η f x) = x ειναι συνεχση σε ολο το R...8. Βρες τα σηµεια ασυνεχειας της f x) = x. x 9 Λυση. Η f x) ειναι πηλικο δυο πολυωνυµικων και αρα συνεχων συναρτησεων. Αρα και η f x) ειναι συνεχης παντου εκτος των σηµειων στα οποια µηδενιζεται ο παρονοµαστης, δηλ. των 3, 3. Σε αυτα τα σηµεια η συναρτηση δεν οριζεται, αρα και δεν µπορει να ειναι συνεχης..3 Αλυτα Προβληµατα.3.. ειξε υπολογιστικα ότι lim x x ) = Αποδειξε ϐάσει του ορισµού ότι lim x x ) = 3. x ειξε υπολογιστικα ότι lim = 3 x. x+ 4 x Αποδειξε ϐάσει του ορισµού ότι lim = 3 x. x Αποδειξε ϐάσει του ορισµού ότι lim x x = Αποδειξε ϐάσει του ορισµού ότι lim x = 0. 3x Αποδειξε ϐάσει του ορισµού ότι lim x x = Αποδειξε ϐάσει του ορισµού ότι lim x x 3 = Αποδειξε ϐάσει του ορισµού ότι lim x x ) = Αποδειξε ϐάσει του ορισµού ότι lim x x 3 8) =.

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Αποδειξε ϐάσει του ορισµού ότι lim x 4 =, lim x 4) 3 x 4 + =. x 4) Αποδειξε ϐάσει του ορισµού ότι lim x + x+ =, lim x x x+ =. x.3.3. Υπολογισε τα παρακάτω όρια. lim x 5x + 3x 4 ). Απ. 0.. lim x x + x + ). Απ lim x 8 x 4. Απ lim x 3 5x + 3x 4. Απ. 50. x 5. lim 5x+6 x. Απ. x 8x+6 x 6. lim +x+ x. Απ. 5 x +x x 7. lim 9 x. Απ. x+3 8. lim x. Απ. 0. x 6 9. lim x. Απ.0. x 6 0. lim x x 6 +. Απ Υπολογισε τα παρακάτω όρια. lim x 3 x 3 x 5x+6. Απ.. x. lim 5 x. Απ. 5. x 3 3 x+h) 3. lim 4 x 4 h 0. Απ. 4x 3. h 4 x 4. lim x 3. Απ. 3 x lim x 4 x 3 x +5. Απ Υπολογισε τα παρακάτω όρια. lim x x 4. Απ.. x. lim x + x 4. Απ.. x 3. lim x 0 +. Απ.. x 3 4. lim x 0 3x +5. Απ.. x 5. lim x 0 3x+5. Απ.. x Υπολογισε τα παρακάτω όρια

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 9 x. lim x. Απ.. x+ 3x 4. lim x. Απ. 3. 7x 7 3x 4 3. lim x. Απ. 0. 7x 3x 4. lim 4 x. Απ.. 7x 3x 5. lim 4 x. Απ.. 7x.3.7. είξε ότι η f x) = x + 5x + 9 είναι συνεχής στο x 0 = είξε ότι η f x) = x3 +x x +5 είναι συνεχής στο R είξε ότι η f x) = x + είναι συνεχής στο R Αν οι f x), g x) είναι συνεχείς στο x 0, δείξε ότι η f x) g x) είναι επίσης συνεχής στο x Αν οι f x), g x) είναι συνεχείς στο x 0 και g x 0 ) 0, δείξε ότι η f x) gx) στο x Βρες τα σηµεία ασυνέχειας της f x) = x. Απ Βρες τα σηµεία ασυνέχειας της f x) = x. Απ.,. x.3.4. Βρεíτε τα σηµεíα ασυνέχειας της f x) = x 3x+. Απ.,. x 4.4 Προχωρηµενα Αλυτα Προβληµατα είναι επίσης συνεχής.4.. ώσε αυστηρούς ορισµούς των lim x f x) =, lim x f x) =, lim x f x) =, lim x f x) =..4.. Αποδειξε ϐάσει του ορισµού οτι lim x x0 kf x)) = k lim x x0 kf x) Αποδειξε ϐάσει του ορισµού ότι lim x x0 f x) g x)) = lim x x0 f x) ) lim x x0 g x) ) όταν όλα τα όρια υπάρχουν) Αποδειξε ϐάσει του ορισµού ότι lim f x) ) lim x x0 gx) = x x0 f x) lim x x0 όταν όλα τα όρια υπάρχουν και gx) lim x x0 g x) 0) Αποδειξε οτι : αν για κάθε x 0 R, αν lim x x0 f x) = και lim x x0 g x) =, τότε lim x x0 f x) + g x)) =, lim x x0 f x) g x)) = Αποδειξε οτι : αν για κάθε x 0 R, αν lim x x0 f x) = και lim x x0 g x) =, τότε lim x x0 f x) + g x)) =, lim x x0 f x) g x)) = Αποδειξε ότι : αν οι f x), g x) είναι συνεχείς στο x 0, το ίδιο ισχύει και για τις kf x), f x) g x).

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Αποδειξε ότι : καθε πολυωνυµική συνάρτηση είναι συνεχής Αποδειξε ότι : αν η f x) είναι συνεχής στο x 0 και η g x) είναι συνεχής στο f x 0 ), τότε η g f x)) είναι συνεχής στο x Αποδειξε το Θεωρηµα Ενδιαµεσης Τιµης : αν η f x) είναι συνεχής στο [a, b], τότε για κάθε αριθµό c ο οποίος ϐρίσκεται µεταξύ των f a) και f b), υπάρχει x [a, b] τέτοιο ώστε f x) = c..4.. Αποδειξε ότι : αν η f x) είναι συνεχής στο διάστηµα [a, b], τότε είναι ϕραγµένη στο διάστηµα [a, b], δηλ. υπάρχουν αριθµοί m, M R τέτοιοι ώστε x [a, b] : m f x) M. Υπόδειξη: https : //en.wikipedia.org/wiki/bolzano_weierstrass_theorem..4.. Αποδειξε ότι : αν η f x) είναι συνεχής στο διάστηµα [a, b] και συµβολίσουµε µε m το µέγιστο κάτω ϕράγµα των τιµών που παίρνει η f x) στο διάστηµα [a, b] και µε M το ελάχιστο άνω ϕράγµα των τιµών που παίρνει η f x) στο διάστηµα [a, b], τότε για κάθε c [m, M], υπάρχει x [a, b] τέτοιο ώστε f x) = c. Υπόδειξη: Προηγουµενη και https : //en.wikipedia.org/wiki/completeness_order_theory) Αποδειξε ότι : αν στο διάστηµα [a, b] η f x) είναι συνεχής και αυστηρά µονότονη, τότε στο διάστηµα [a, b]) η αντίστροφη συνάρτηση f x) είναι καλώς ορισµένη και αυστηρά µονότονη. sin x.4.4. Αποδειξε ότι : lim x 0 =. x.4.5. Αποδειξε ότι το lim x + x ) x υπάρχει..4.6 Dirichlet). Ορίζουµε την συνάρτηση { όταν x Q f x) = 0 όταν x R Q. Αποδειξε ότι : η f x) είναι ασυνεχής στο R..4.7 Apostol). Ορίζουµε την συνάρτηση { x όταν x Q g x) = 0 όταν x R Q. Αποδειξε ότι : η g x) είναι συνεχής στο 0 και ασυνεχής στο 0, ]..4.8 Apostol). Ορίζουµε την συνάρτηση { x όταν x Q g x) = x όταν x R Q. Αποδειξε ότι : η g x) είναι ασυνεχής στο R {0} και συνεχής στο 0.

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ.4.9 Apostol). Ορίζουµε την συνάρτηση όταν x = m σε ανάγωγη µορφή n n h x) = 0 όταν x R Q 0 όταν x = 0 Αποδειξε ότι : η h x) είναι συνεχής στο σύνολο των άρρητων αριθµών του 0, ] και ασυνεχής στο σύνολο των ϱητών αριθµών του 0, ]..4.0 Apostol). Ορίζουµε την συνάρτηση { x όταν x Q f x) = x όταν x R Q. Αποδειξε ότι η f x) είναι συνεχής στο x = και ασυνεχής στο [0, )..4.. Αποδειξε ότι η εξίσωση x 5 8x + = 0 έχει τουλάχιστον µιά ϱίζα στο [, ]..4.. Αποδειξε ότι κάθε εξίσωση της µορφής a 0 + a x a n+ x n+ = 0 έχει τουλάχιστον µια πραγµατική ϱίζα..4.3 Apostol). Εστω συνάρτηση f x) µε πεδίο ορισµού το R. Αν η f x) είναι συνεχής στο x 0 και x, y R ισχύει f x + y) = f x) + f y). Αποδειξε ότι υπάρχει σταθερά a τέτοια ώστε f x) = ax..4.4 Μαθ. Ολυµπιάδα). Να ϐρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f :, ) R τέτοιες ώστε x, y > : f xy) = xf y) + yf x). Απ. f x) = ax ln x..4.5 Μαθ. Ολυµπιάδα). Να ϐρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f : R R τέτοιες ώστε Απ. f x) = x 3. x : f x) = f x) + x..4.6 Apostol). ώσε ένα παράδειγµα συνάρτησης f x) η οποία είναι συνεχής στο 0, ) και απεικονίζει το 0, ) στο 0, ]. Η, αποδείξτε ότι δεν µπορεί να υπάρχει τέτοια συνάρτηση Αποδειξε ότι κάθε συνάρτηση της µορφής f x) = a 0 + a x a n+ x n+, όπου οι συντελεστές a 0, a,..., a n+ είναι ϑετικοί, έχει αντίστροφη συνάρτηση Apostol). ώσε ένα παράδειγµα συνάρτησης f x) η οποία είναι συνεχής στο R και απεικονίζει το R στο Q. Η, αποδείξτε ότι δεν µπορεί να υπάρχει τέτοια συνάρτηση Αποδειξε ότι : αν η f x) είναι οµοιόµορφα συνεχής στο a, b), τότε ϑα είναι ϕραγµένη. ώστε ένα παράδειγµα που δείχνει ότι αυτό δεν ισχύει αν η f x) είναι απλά συνεχής στο a, b) Αν δεν υπαρχει το lim x x0 f x) τοτε δεν υπαρχει ουτε το lim x x0 f x). Σωστο ή λαθος ;

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ.4.3. Αν δεν υπαρχει το lim x x0 f x) και το lim x x0 g x) τοτε δεν υπαρχει ουτε το lim x x0 f x) + g x)). Σωστο ή λαθος ;.4.3. Αν υπαρχουν τα lim x x0 f x) = 0 και lim x x0 g x) τοτε lim x x0 f x) gx) = 0. Σωστο ή λαθος ; Αν υπαρχουν τα lim x x0 f x) = A και lim x x0 g x) = τοτε lim x x0 f x) g x) = ή. Σωστο ή λαθος ; Αν υπαρχει το lim x x0 f x) αλλα οχι το lim x x0 g x) τοτε δεν υπαρχει και το lim x x0 f x) g x). Σωστο ή λαθος ; Αν η g x) = f x)) ειναι συνεχης στο x 0, τοτε και η f x) ειναι συνεχης στο x 0. Σωστο ή λαθος ; Αν η g x) = f x)) ειναι συνεχης στο [a, b], τοτε και η f x) ειναι συνεχης στο [a, b]. Σωστο ή λαθος ; Αν lim h 0 f x + h) f x h)) = 0, τοτε η f x) ειναι συνεχης στο x 0. Σωστο ή λαθος ; Αν η f x) ειναι συνεχης και η g x) ειναι ασυνεχης στο x 0, τοτε και η f x) + g x) ειναι ασυνεχεις στο x 0. Σωστο ή λαθος ; Αν η f x) και η g x) ειναι ασυνεχεις στο x 0, τοτε και η f x) + g x) ειναι ασυνεχεις στο x 0. Σωστο ή λαθος ; Υπαρχει συναρτηση f x) µε πεδιο ορισµου το R η οποια ειναι ασυνεχης σε ολο το R. Σωστο ή λαθος ;.4.4. Υπαρχει συναρτηση f x) µε απειρα σηµεια ασυνεχειας και απειρα σηµεια συνεχειας. Σωστο ή λαθος ;.4.4. Αν η f x) ειναι συνεχης στα διαστηµατα [a, b] και [c, d], τοτε ειναι συνεχης και στο [a, b] [c, d]. Σωστο ή λαθος ;

29 Κεφάλαιο Παραγωγος Η παραγωγος της συναρτησης f x) ειναι ο στιγµιαιος ϱυθµος µεταβολης της f οταν µεταβαλλεται το x.. Θεωρια και Παραδειγµατα... Ορισµος: Η παράγωγος µιας συνάρτησης f x) συµβολίζεται µε f x) και ορίζεται ως εξής f x) = lim x 0 f x + x) f x)..) x Αν το όριο της.) υπάρχει, λέµε ότι η f x) είναι παραγωγίσιµη στο x.... Ασκηση: Υπολογισε την παράγωγο της f x) = x ϐάσει του ορισµού. Λυση. f f x + x) f x) x + x x x x) = lim = lim = lim x 0 x x 0 x x 0 x = lim =. x Ασκηση: Υπολογισε την παράγωγο της f x) = x ϐάσει του ορισµού. Λυση. f f x + x) f x) x + x) x x) = lim = lim x 0 x x 0 x x + x x + x) x = lim x 0 x x + x) x = lim = lim x + x) = x. x 0 x x Παρατηρηση: Εάν παραστήσουµε γραφικά µια συνάρτηση f x) µε µία καµπύλη C, όπως στο Σχήµα., τότε η παράγωγος f x) δίνει την κλίση της ευθείας η οποία εφάπτεται στην 3

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 4 C στο σηµείο x. Σχ..: Η f x 0 ) ειναι η κλιση της εφαπτοµενης στην καµπυλη f x), στο x 0.. Παρατηρηση: Υπάρχουν και περιπτώσεις στις οποίες η f x) δεν έχει εφαπτοµένη σε κάποιο σηµείο x 0, όπως στο Σχήµα.. Σε τέτοια περίπτωση, η f x) δεν έχει ούτε παράγωγο f f x+ x) f x) f x+ x) f x) x), όπως ϕαίνεται στο Σχήµα., όπου έχουµε lim x 0 lim x 0 + Σχ..: Η συναρτηση δεν εχει παραγωγο στο σηµειο x 0 = Ασκηση: Αποδειξε, ϐάσει του ορισµού, ότι η { 0 όταν x 0 f x) = x όταν x < 0 δεν είναι παραγωγίσιµη στο x 0 = 0. Λυση. Θα πρέπει να είναι Αλλά f f 0 + x) f 0) 0) = lim x 0 x = lim x 0 + f 0 + x) f 0) x f 0 + x) f 0) lim x 0 + x = lim x x = 0 x f 0 + x) f 0) = lim. x 0 x x

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 5 και f 0 + x) f 0) x 0 lim = lim =. x 0 x x 0 x Άρα δεν υπάρχει η f f 0+ x) f 0) 0) = lim x 0 x...6. Ορισµος: Η δεύτερη παράγωγος µιας συνάρτησης f x) συµβολίζεται µε f x) και ορίζεται ως εξής f x) = f x)). Η παράγωγος n-στής τάξης µιας συνάρτησης f x) για n = 0,,, 3,...) συµβολίζεται µε f n) x) και ορίζεται ως εξής : για n = 0 : f 0) x) = f x) για n =,, 3,.. : f n) x) = f n ) x) ). ηλαδή η f n) x) είναι η παράγωγος της f n ) x)...7. Θεωρηµα: Αν η f x) είναι παραγωγίσιµη στο x 0, τότε είναι και συνεχής στο x 0. Το αντίστροφο δεν ισχύει υποχρεωτικά...8. Θεωρηµα: Για κάθε a R, αν f x) = x a, τότε f x) = ax a...9. Θεωρηµα: Αν οι f x) και g x) έχουν παραγώγους f x) και g x) αντίστοιχα, τότε ισχύουν τα παρακάτω. f x) + g x)) = f x) + g x) c f x)) = c f x), όπου c µιά σταθερά f x) g x)) = f x) g x) + f x) g x) ) f x) = f x) g x) + f x) g x), όταν g x) 0 g x) g x) f g x))) = f g x)) g x), όταν η f είναι παραγωγίσιµη στο g x)...0. Ασκηση: Υπολογισε την παράγωγο της f x) = x 4x + 5. Λυση. x 4x + 5 ) = x ) 4 x) + 5) = x = x Ασκηση: Υπολογισε την παράγωγο της f x) = x 4x + 5 ) x + ). Λυση. Εχουµε f x) = ) ) ) ) x 4x + 5 x + + x 4x + 5 x + = x 4) ) ) x + + x 4x + 5 x = 4x 3 x + x Ασκηση: Υπολογισε την παράγωγο της f x) = x 4x+5. x + Λυση. Εχουµε x ) 4x + 5 x 4x + 5 ) x + ) x 4x + 5 ) x + ) = x + x + ) = x 4) x + ) x 4x + 5 ) x = 4x 8x 4. x + ) x + )..3. Ασκηση: Υπολογισε την παράγωγο της f x) = 3 x. Λυση. Εχουµε f x) = ) 3 x = x /3) = 3 x /3 = 3 3. x

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ασκηση: Υπολογισε την δεύτερη παράγωγο της f x) = x 4x+5 Λυση. Εχουµε x +. f x) = f x) ) x ) ) 4x + 5 = x + 4x ) 8x 4 = = 8 x 3 + 3x + 3x ). x + ) x + ) Θεωρηµα: Αν g x) = f x) δηλ.η g x) είναι η αντίστροφη συνάρτηση της f ), τότε g x) = /f x)...6. Συµβολισµος: Η παράγωγος της f x) συµβολίζεται και ως όπου df = lim f x 0 x = f x) f = f x + x) f x) είναι η µεταβολή της f όταν το x µεταβάλλεται κατά x...7. Παρατηρηση: Ισχύει προσεγγιστικά ότι f x) f και x Η προσέγγιση είναι τόσο καλύτερη όσο µικρότερο είναι το x. f f x) x..)..8. Παρατηρηση: Ο συµβολισµός df τονίζει ότι η παράγωγος είναι ο λόγος της µεταβολής f ως προς την µεταβολή x όταν τα x και f γίνονται πολύ µικρά. Αν και το σύµβολο df δεν είναι κλάσµα, πολλές ϕορές το µεταχειριζόµαστε ως τέτοιο π.χ. γράφουµε df = f x)..3)..9. Ορισµος: Η ποσότητα df στην.3) ονοµάζεται διαφορικό της f x)...0. Παρατηρηση: Στην ουσία η.3) είναι µια συντοµογραφία της έκφρασης «η f είναι περίπου ίση µε την f x) x όταν το x είναι αρκετά µικρό». Οπως ϑα δούµε στα επόµενα κεφάλαια, ο συµβολισµός df = f x) είναι πολύ χρήσιµος π.χ., στον υπολογισµό ολοκληρω- µάτων) και γενικά µπορούµε να χειριζόµαστε το df ως κλάσµα αν και αυτό δεν είναι αυστηρά σωστό δινει τα σωστα αποτελεσµατα.... Ασκηση: Υπολογισε το διαφορικο της f x) = x ϐασει του ορισµου και δωστε µια γεωµετρικη ερµηνεια. Λυση. Εχουµε df = f x) = x. Μια γεωµετρικη ερµηνεια ειναι η εξης. Θεωρησε ενα τετραγωνο µε πλευρα x. Τοτε f x) = x ειναι το εµβαδον του τετραγωνου. Εστω τωρα οτι η πλευρα αυξανεται απο x σε x + x. Το εµβαδον αυξανεται οπως ϕαινεται στο Σχηµα.3.

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 7 x x x Σχ..3: Γεωµετρικη ερµηνεια του διαφορικου. Αν το x ειναι σχετικα µικρο, η µεγαλυτερη µεταβολη του εµβαδου δινεται απο τα δυο παραλληλογραµα µε πλευρες x και x και ειναι x x. Υπαρχει µια επιπλεον αυξηση του εµβαδου κατα x) απο το τετραγωνο µε πλευρα x, αλλα αν το x ειναι µικρο, τοτε το x) ειναι πολυ µικρο σε σχεση µε το x x και µπορουµε να το αγνοησουµε. Π.χ., αν x = και x = 0., τοτε x + x) =. = 4. 4, x = = 4, x + x) x = = 0.4, x x x = 0. = 0.4, x) = 0.) = 0.0, δηλ. το µεγαλυτερο µερος της µεταβολης f = 0.4 προκυπτει απο τον ορο x x = Ασκηση: Βρες προσεγγιστικα την τιµη της 4. χρησιµοποιωντας το διαφορικο. Λυση. Θετουµε f x) = x. Τοτε x + x = f x + x) f x) + f x) x = x + x x. Αν παρουµε τωρα x = 4, x + x = 4. και αρα x = 0., η παραπανω σχεση δινει 4. = = + = Η πραγµατικη τιµη ειναι 4. = Το σχετικο σφαλµα ειναι = x x Αρα η προσεγγιση ειναι αρκετα καλη.

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Παρατηρηση: Μερικες ϕορες µια συναρτηση y x) οριζεται σε πλεγµενη µορφη, απο µια εκφραση P x, y) = 0. Η εκφραση αυτη καθοριζει οτι οι x και y ϐρισκονται σε καποια συναρτησιακη) σχεση, αλλα ισως δεν µπορουµε να λυσουµε P x, y) = 0 και να ϐρουµε την y x) ως συναρτηση του x. Παρολα αυτα, πολλες ϕορες ειναι δυνατο να υπολογισουµε την y x) ως συναρτηση των x και y...4. Ασκηση: Βρες την y αν y 3 + y 5y x + 4 = 0. Λυση Θεωρησε την συνθετη συναρτηση g x) = g y x)) = y x)) 3, δηλ. g y) = y 3. Τοτε dg = dg dy dy = 3y y..4) Αντιστοιχα, d y = yy..5) Χρησιµοποιωντας τις.4) και.5) εχουµε d ) y 3 + y 5y x d + 4 = 0) 3y y + yy 5y x + 0 = 0 y 3y + y 5) = x y = x 3y + y Ορισµος: Λέµε ότι η f x) ειναι αυξουσα αντ. ϕθινουσα) στο a, b) ανν για καθε x, x a, b) ισχυει : x < x f x ) f x ) αντ. x < x f x ) f x )). Αν το αντ. ) αντικατασταθει µε < αντ. >) λεµε οτι η f x) ειναι γνησιως αυξουσα αντ. ϕθινουσα). Αντιστοιχοι ορισµοι ισχυουν και για το κλειστο διαστηµα [a, b]...6. Ασκηση: Βρες τα διαστηµατα στα οποια η f x) = x 3 x ειναι αυξουσα και ϕθινουσα. Λυση. Εχουµε ) f x) = 3x. Λυνοντας 3x > 0, παιρνουµε ως συνολο λυσεων το A =, 3, ) αρα η f x) ειναι γνησιως αυξουσα στο A. Παροµοια, λυνοντας 3x < 0, 3 παιρνουµε ως συνολο λυσεων το B = 3, 3 ) αρα η f x) ειναι γνησιως ϕθινουσα στο A...7. Θεωρηµα: Εστω ότι η συνάρτηση f x) ορίζεται στο a, b) και στο x 0 a, b) έχουµε 0 < f x 0 ) R προσέξτε ότι το f x 0 ) µπορεί να είναι ). Τότε υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε για κάθε x [x 0 δ, x 0 + δ] η f x) είναι γνησίως αύξουσα, δηλ. ισχύει x < x 0 f x) < f x 0 ) και x 0 < x f x 0 ) < f x). Αντίστοιχα, αν στο x 0 a, b) έχουµε 0 > f x 0 ) R, υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε για κάθε x [x 0 δ, x 0 + δ] η f x) είναι γνησίως ϕθίνουσα, δηλ. ισχύει x < x 0 f x) > f x 0 ) και x 0 < x f x 0 ) > f x)...8. Ορισµος: Λέµε ότι η f x) ειναι κυρτη στο a, b) ανν για καθε x, x a, b) και κ [0, ] ισχυει : f κx + κ) x ) κf x ) + κ) f x ) Λέµε ότι η f x) ειναι κοιλη στο a, b) ανν για καθε x, x a, b) και κ [0, ] ισχυει : f κx + κ) x ) κf x ) + κ) f x )

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Θεωρηµα: Εστω f x) δις διαφορισιµη στο a, b). Τοτε. Η f x) ειναι κυρτη στο a, b) ανν f x) 0 για καθε x a, b).. Η f x) ειναι κοιλη στο a, b) ανν f x) 0 για καθε x a, b) Παραδειγµα: Η f x) = x εχει f x) = > 0 για καθε x, ) αρα ειναι κυρτη στο, ). Η g x) = x εχει g x) = < 0 για καθε x, ) αρα ειναι κυρτη στο, ). Η h x) = x 3 x εχει h x) = 6x, αρα ειναι κοιλη για x < 0 και κυρτη για x > 0. Οι γραφικες παραστασεις των συναρτησεων στο Σχηµα.4 δινουν την οπτικη σηµασια της κυρτοτητας και κοιλοτητας. Σχ..4: Κυρτες και κοιλες συναρτησεις...3. Ασκηση: Βρες τα διαστηµατα κυρτοτητας και κοιλοτητας της f x) = x 3 6x + x 6. Λυση. Εχουµε f x) = 6x. Αρα η f x) ειναι κοιλη στο, ) και κυρτη στο, )...3. Θεωρηµα : Rolle): Αν α) η f x) είναι συνεχής στο [a, b] και παραγωγίσιµη στο a, b) και ϐ) f a) = f b) = 0, τότε υπάρχει x 0 a, b) τέτοιο ώστε f x 0 ) = Παραδειγµα: Η συναρτηση f x) = x ειναι συνεχης και παραγωγισιµη στο, ) και f ) = f ) = 0. Παρατηρουµε οτι υπαρχει x 0 = 0, ) τετοιο ωστε f x 0 ) = x 0 = Θεωρηµα: Μέσης Τιµής): Αν η f x) είναι συνεχής στο [a, b] και παραγωγίσιµη στο a, b), τότε υπάρχει x 0 a, b) τέτοιο ώστε f f b) f a) x 0 ) = b a Παραδειγµα: Η συναρτηση f x) = x ειναι συνεχης και παραγωγισιµη στο, ) και f ) = 0, f ) = 3. Παρατηρουµε οτι υπαρχει x 0 =, ) τετοιο ωστε f x 0 ) = x 0 = = 3 0 ) Θεωρηµα: Αν στο διάστηµα [a, b] ισχύει f x) = 0, τότε η f x) είναι η σταθερή συνάρτηση f x) = c στο διάστηµα [a, b] ) Θεωρηµα: Cauchy): Αν οι f x), g x) είναι συνεχείς στο [a, b] και παραγωγίσιµες στο a, b), τότε υπάρχει x 0 a, b) τέτοιο ώστε f x 0 ) f b) f a) g x 0 = ) gb) ga).

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Παραδειγµα: Οι συναρτησεις f x) = x, g x) = x ειναι συνεχεις και παραγωγισιµες στο, ). Εχουµε f ) = 0, f ) = 3, g ) =, g ) = 4, f ) f ) g ) g ) = =. Επιπλεον f x) = x = g x). Παρατηρουµε οτι υπαρχει x 0 =, ) τετοιο ωστε Στην πραγµατικοτητα εδω εχουµε f x 0 ) g x 0 ) = f ) f ) = = g ) g ). x 0, ) : f x 0 ) f ) f ) = g = x 0 ) g ) g ) Ορισµος: Λέµε ότι το x 0 ειναι ενα στασιµο σηµειο της f x) ανν f x 0 ) = Ορισµος: Λέµε ότι το x 0 ειναι ενα σηµειο καµπης της f x) ανν f x 0 ) = Ορισµος: Λέµε ότι η συνάρτηση f x) έχει τοπικό µέγιστο στο x 0 αν υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε x [x 0 δ, x 0 + δ] f x) f x 0 ). Αντιστοιχα λέµε ότι η συνάρτηση f x) έχει τοπικό ελάχιστο στο x 0 αν υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε x [x 0 δ, x 0 + δ] f x) f x 0 ). Και στις δυο περιπτωσεις τοπικο µεγιστο και τοπικο ελαχιστο) λεµε οτι η f x) εχει τοπικο ακροτατο στο x Θεωρηµα: Αν η f x) ειναι παραγωγισιµη στο a, b) και έχει τοπικό µέγιστο ή τοπικο ελαχιστο στο x 0 a, b) τοτε f x 0 ) = Θεωρηµα: Αν η f x) ειναι δις παραγωγισιµη στο a, b) τοτε. Αν f x 0 ) = 0 και f x 0 ) > 0, η f x) εχει τοπικο ελαχιστο στο x 0.. Αν f x 0 ) = 0 και f x 0 ) < 0, η f x) εχει τοπικο µεγιστο στο x Ασκηση: Βρες τα τοπικα µεγιστα και ελαχιστα της f x) = x 3 x. Λυση. Σε καθε τοπικο µεγιστο ή ελαχιστο ϑα εχουµε f x) = 3x = 0 οποτε εχουµε δυο στασιµα σηµεια υποψηφια για τοπικο ακροτατο) τα x = 3 και x = 3. Αφου f x) = 6x και f x ) = 6 3 > 0, στο x εχουµε τοπικο ελαχιστο. Αντιστοιχα, αφου f x ) = 6 3 < 0, στο x εχουµε τοπικο µεγιστο.

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Θεωρηµα : Κανόνας L Hospital): Εστω συναρτήσεις f x), g x), διάστηµα a, b) και x 0 a, b). Θέτουµε a, b) = a, b) x 0, δηλαδή το a, b) είναι όλο το a, b) εκτός του x 0. Αν α) οι f x), g x) είναι παραγωγίσιµες στο a, b), ϐ) g x) 0 στο a, f b) και γ) το lim x) x x0 υπαρχει, τότε g x) f x) lim x x 0 g x) = lim f x) x x 0 g x). x x..46. Ασκηση: Βρες τα όρια α) lim x 0, ϐ) lim x+x 8 x 0, γ) lim x+x 8 x 0 x. x 3 +x 8 Λυση. Και στις τρεις περιπτώσεις χρησιµοποιούµε τον κανόνα L Hospital. Εχουµε. Λυµενα Προβληµατα x lim x 0 x + x = lim x) 8 x 0 x + x 8 ) = lim x 0 + 8x =. 7 x ) x lim x 0 x + x = lim 8 x 0 x + x 8 ) = lim x x 0 + 8x = 0. 7 x lim x 0 x 3 + x = lim x) 8 x 0 x 3 + x 8 ) = lim x 0 3x + 8x = Υπολογισε την παράγωγο της f x) = x 3 ϐάσει του ορισµού. Λυση. Εχουµε f f x + x) f x) x + x) 3 x 3 x) = lim = lim x 0 x x 0 x x 3 + 3x x + 3x x) + x) 3 x 3 = lim x 0 x 3x + 3x x + x) ) x = lim x 0 x = lim 3x + 3x x + x) ) = 3x. x 0... Υπολογισε την παράγωγο της f x) = ϐάσει του ορισµού. x Λυση. Εχουµε f x) = lim x 0 f x + x) f x) x x x+x x = lim a+x) x 0 x = x lim x 0 = lim x 0 ) x + x x + x) x+ x) x = lim x 0 x ) x + x x x + x) = x x 4 = x.

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3 { όταν x..3. Αποδειξε, ϐάσει του ορισµού, ότι η f x) = όταν x < στο x 0 = 0. Λυση. Θα πρέπει να είναι f ) = lim x 0 δεν είναι παραγωγίσιµη f + x) f ) f + x) f ) f + x) f ) = lim = lim. x x 0 + x x 0 x Αλλά f + x) f ) lim = lim x 0 + x x 0 + x = 0 και f + x) f ) lim = lim =. x 0 x x 0 x f + x) f ) Άρα δεν υπάρχει το lim x 0 = f ). x..4. Αποδειξε ότι, αν η f x) είναι παραγωγίσιµη στο x 0, τότε είναι και συνεχής στο x 0. ώστε ένα αντιπαράδειγµα για να δείξετε ότι το αντίστροφο δεν ισχύει. Λυση. Εχουµε f x 0 + x) = f x 0 ) + x f x 0 + x) f x 0 ) x lim f x 0 + x) = lim f x 0 ) + x f x ) 0 + x) f x 0 ) x 0 x ) f x0 + x) f x 0 ) lim f x 0 + x) = f x 0 ) + lim x) lim x 0 x 0 x x 0 x 0 lim x 0 f x 0 + x) = f x 0 ) + 0 f x 0 ) = f x 0 ) το οποίο αποδεικνύει ότι η f x) είναι συνεχής στο x 0. Το αντίστροφο δεν ισχύει, δηλ. µια συνάρτηση µπορεί να είναι συνεχής αλλά όχι παραγωγίσιµη στο x 0. ωσε ενα τετοιο παραδειγµα...5. Αποδειξε ότι, για κάθε n N, αν f x) = x n, τότε f x) = nx n. Λυση. Η απόδειξη είναι επαγωγική. Για n = έχουµε x) = = n x n. Εστω ότι για n =,,..., k ισχύει x n ) = nx n. Τώρα ϑα εξετάσουµε την f x) = x k+ : x k+) ) = x k x = x k) x + x k x) = kx k x + x k = k + ) x k...6. Αποδειξε ότι, για κάθε n N, αν f x) =, τότε f x) = n x n ) Λυση. Η απόδειξη είναι επαγωγική. Για n = έχουµε = x x n+. x και ο τύπος επαληθεύεται. ) Εστω ότι για n =,,..., k ισχύει x = n. Τώρα ϑα εξετάσουµε την f x) = n x n+ ) = x k+ x ) ) = k x x k x + ) x k x = k+ k x x + x x ) = k + k x k+ και άρα η υπόθεση επαληθεύεται. Παρατηρείστε ότι µπορούµε να γράψουµε = x n και έτσι x n ο παραπάνω τύπος µπορεί να ενοποιηθεί µε τον αυτόν του προηγούµενου προβλήµατος και να γράψουµε n Z : x n ) = nx n. x k+ :

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Αποδειξε, ϐάσει του ορισµού, ότι c f x)) = c f x). Λυση. Εχουµε c f x)) = lim x 0 c f x + x) c f x) x = c lim x 0 f x + x) f x)..8. Υπολογισε την παράγωγο της f x) = x + x Λυση. x + x ) = x ) + x 3) + 5) = x + 3x + 0 = x + 3x...9. Υπολογισε την παράγωγο της f x) = x + x + ) x + ). Λυση. Εχουµε f x) = ) ) ) x + x + x + + x + x + x + = x + ) ) ) x + + x + x + x = 4x 3 + 3x + 6x Υπολογισε την παράγωγο της f x) = x +x+. x + Λυση. Εχουµε x ) + x + x + x + ) x + ) x + x + ) x + ) = x + x + ) x = x + ) x + ) x + x + ) x = x x + ) x + ).... Υπολογισε την δεύτερη παράγωγο της f x) = x +x+. x + Λυση. Εχουµε f x) = f x) ) x ) ) + x + = x + ) x = = x x 3 ) x + ) x + ). 3 ) = c f x).... Για n = 0,,,... υπολογισε την n-στης τάξης παράγωγο f n) x) όταν f x) =. x Λυση. Εχουµε ) = ) x x, = x ) = ) ) x x, = = 6 3 x x 3 x. 4 Τα παραπάνω αποτελέσµατα µας δίνουν την ιδέα ότι f n) x) = ) n n! και ο τύπος ισχύει για n = 0,,, 3. Ας υποθέσουµε ότι ισχύει για n = 0,,..., k. Τώρα f k+) x) = f k) x) ) ) k! ) = ) k = ) k k! x k+ x k+ = ) k k! k + ) k+ k + )! = ) x k+ x k+ και άρα η υπόθεση επαληθεύεται. x n+

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Υπολογισε το διαφορικο της f x) = x 3 ϐασει του ορισµου. Λυση df = f x) = 3x...4. Βρες προσεγγιστικά την τιµή 4.0 χρησιµοποιώντας το διαφορικό. Λυση Παιρνουµε x = 4, x + x = 4.0 και αρα x = 0.0, οποτε 4.0 = = + = Η πραγµατικη τιµη ειναι 4.0 = Το σχετικο σφαλµα ειναι = δηλ. δυο ταξεις µεγεθους µικροτερο απο το σφαλµα στον υπολογισµο της 4.. Αυτο δειχνει οτι οσο µικροτερο γινεται το x, τοσο καλυτερη ειναι η προσεγγιση µε διαφορικο...5. Βρες την y αν x + y ) x = y. Λυση Εχουµε x + yy ) x + x + y ) x = yy y yx y) = x 3 x + y ) x y = x 3 + x x + y ) = x x + y ) y x ) y x )...6. Βρες την y 3) αν 3 x + y ) = 00xy. Λυση Λυνοντας οπως και στην προηγουµενη παιρνουµε y = 5y 3x x + y ) 5x + 3y x + y )..6) Εδω Ϲητειται η τιµη y 3). ηλ. στην.6) ϑα ϑεσουµε x = 3. Ποια ειναι οµως η τιµη y 3); Στην αρχικη 3 x + y ) = 00xy ϑετουµε x = 3 και παιρνουµε y ) = 00 3 y και λυνουµε ως προς y. Μια λυση ειναι y =. Οποτε στο σηµειο 3, ) εχουµε y 3) = ) ) = )..7. Βρες την y αν x + y = 5. Λυση. Οπως και στις προηγουµενες ασκησεις, εδω εχουµε x + yy = 0 y = x y. Παραγωγιζουµε και παλι και παιρνουµε y = d ) x = x) y xy = y xy = y x ) x y = x + y. y y y y y 3

41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Βρες τα διαστηµατα στα οποια η f x) = x 3x + 4 ειναι αυξουσα και ϕθινουσα. Λυση. Εχουµε f x) = x 3. Λυνοντας x 3 > 0, παιρνουµε ως συνολο λυσεων το A = 3, ) αρα η f x) ειναι γνησιως αυξουσα στο A. Παροµοια, λυνοντας x 3 < 0, παιρνουµε ως συνολο λυσεων το B = ), 3 αρα η f x) ειναι γνησιως ϕθινουσα στο A...9. Βρες τα διαστηµατα στα οποια η f x) = x ειναι αυξουσα και ϕθινουσα. x Λυση. Εχουµε f x) =. Αρα f x) < 0 για καθε x A =, ), ) και η f x) ειναι x ) γνησιως ϕθινουσα στο A...0. Βρες τα διαστηµατα κυρτοτητας και κοιλοτητας της f x) = x 3 6x + 3x + 0. Λυση. Εχουµε f x) = 6x. Αρα η f x) ειναι κοιλη στο, ) και κυρτη στο, ).... Βρες τα διαστηµατα κυρτοτητας και κοιλοτητας της f x) = x. x Λυση. Εχουµε f x) =. Αρα η f x) ειναι κοιλη στο, ) και κυρτη στο, ). x ) 3... Αποδειξε το Θεώρηµα του Rolle: αν α) η f x) είναι συνεχής στο [a, b], ϐ) παραγωγίσιµη στο a, b) και γ) f a) = f b) = 0, τότε υπάρχει x 0 a, b) τέτοιο ώστε f x 0 ) = 0. Λυση. Αν η f x) ισουται µε 0 στο a, b), τοτε f x) = 0 για καθε x a, b). Εστω λοιπον οτι υπαρχουν σηµεια x τετοια ωστε f x) 0. Εστω π.χ. οτι υπαρχουν σηµεια x τετοια ωστε f x) > 0. Επειδη η f x) ειναι συνεχης, ϑα υπαρχει x 0 στο οποιο η f x) εχει µεγιστη τιµη f x 0 ) > 0 και αυτη ϑα ειναι και τοπικο µεγιστο γιατι ;) αρα f x 0 ) = 0. Με οµοιο συλογισµο, αν υπαρχουν σηµεια x τετοια ωστε f x) < 0, τοτε σε καποιο σηµειο x 0 ϑα εχουµε f x 0 ) = 0. Σε καθε περιπτωση ειτε µε f x) < 0 ειτε µε f x) > 0) υπαρχει x 0 a, b) τετοιο ωστε f x 0 ) = Αποδειξε το Θεώρηµα Μέσης Τιµής. Λυση. Αρκεί να εφαρµόσουµε το ϑεώρηµα του Rolle στην συνάρτηση h x) = f x) b a) x f b) f a)) + f b) a bf a)...4. Αποδειξε ότι : αν στο διάστηµα [a, b] ισχύει f x) = 0, τότε η f x) είναι η σταθερή συνάρτηση f x) = c στο διάστηµα [a, b] ). Λυση. Παίρνουµε τυχόν x 0 a, b) και εφαρµόζουµε το ϑεώρηµα της Μέσης Τιµής στην f x) και στο διάστηµα [a, x 0 ]. Θα έχουµε κάποιο x τέτοιο ώστε f x 0 ) f a) x 0 a = f x 0 ) = 0 [ x 0 a, b) : f x 0 ) = f a)]. ηλαδή, f x) = f a). Με τον ίδιο τρόπο δείχνουµε ότι f x) = f b)...5. Αποδειξε : αν η συνάρτηση f x) ορίζεται στο a, b) και έχει τοπικό µέγιστο ή ελάχιστο στο x 0 a, b) και υπάρχει η f x 0 ), τοτε ϑα είναι f x 0 ) = 0. Λυση. Θα δουλέψουµε µε µια ϐοηθητική συνάρτηση f x) = { f x) f x0 ) x x 0 όταν x x 0 f. x 0 ) όταν x = x 0 Προφανώς lim x x0 f x) = f x 0 ) = f x 0 ) και άρα η f x) είναι συνεχής στο x 0. Ας υποθέσουµε ότι f x 0 ) = f x 0 ) > 0. Τότε. λόγω της συνέχειας υπάρχει δ τέτοιο ώστε x [x 0 δ, x 0 + δ] f x) = f x) f x 0) x x 0 > 0

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 36 το οποίο αντίκειται στην υπόθεση ότι η f x) έχει είτε τοπικό µέγιστο είτε ελάχιστο στο x 0. Με αντίστοιχο τρόπο διαπιστώνουµε ότι δεν µπορεί να έχουµε f x 0 ) = f x) < 0. Οπότε ϑα έχουµε f x 0 ) = f x 0 ) = Βρες τα τοπικα µεγιστα και ελαχιστα της f x) = x 4 3x x 3 6x = 0. Λυση. Σε καθε τοπικο µεγιστο ή ελαχιστο ϑα εχουµε f x) = 4x 3 6x = 0 οποτε εχουµε τρια στασιµα σηµεια υποψηφια για τοπικο ακροτατο) τα x = 6, x = 0 και x 3 = 6. Εχουµε επισης f x) = x 6. Τωρα, f x ) = f x 3 ) = > 0, αρα στα x, x 3 εχουµε τοπικο ελαχιστο. Επισης f x ) = 6 < 0, αρα στο x εχουµε τοπικο µεγιστο...7. Βρες τα τοπικα µεγιστα και ελαχιστα της f x) = x3 +x. x Λυση. Σε καθε τοπικο µεγιστο ή ελαχιστο ϑα εχουµε f x) = x x 3 = 0 οποτε εχουµε δυο x ) στασιµα σηµεια τα x = 3, x = 0. Εχουµε επισης f 3x+3) x) = xx. Τωρα, f x x ) 3 ) = 3 > 0, 4 αρα στο x εχουµε τοπικο ελαχιστο. Επειδη f x ) = 0, δεν µπορουµε να ξερουµε αν στο x εχουµε µεγιστο ή ελαχιστο ή κανενα εκ των δυο)...8. Βρες τα όρια α) lim x 0 x 4 x+x, ϐ) lim x 0 x. x+x 8 Λυση. Χρησιµοποιουµε τον κανόνα L Hospital. Εχουµε.3 Αλυτα Προβληµατα x 4 lim x 0 x + x = lim 4x 3 x 0 + x = 0. x lim x 0 x + x = lim 8 x 0 + 8x = Υπολογισε την παράγωγο της f x) = x 3 ϐάσει του ορισµού. Απ. 3x..3.. Υπολογισε την παράγωγο της f x) = x ϐάσει του ορισµού. Απ. x+ x+) Αποδειξε, ϐάσει του ορισµού, ότι η f x) = x 3 x δεν είναι παραγωγίσιµη στο x 0 = Σωστό ή λάθος : αν οι f x), g x) δεν είναι παραγωγίσιµες στο x 0, οι f x) g x) δεν είναι παραγωγίσιµη στο x 0. ώσε παράδειγµα. Απ. Λάθος παρε f x) = g x) = x, x 0 = Αποδειξε ϐάσει του ορισµού ότι η σταθερή συνάρτηση f x) = c έχει f x) = Υπολογισε τις παραγωγους.. x 0). Απ. 0x 9.. x 3 4x + ). Απ. 3x x 3 4x+ ). Απ. x 3 +4x x x + x 7 x 3. ). Απ. x 7x x 7).

43 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Υπολογισε τις δευτερες παραγωγους. x 0). Απ. 90x 8.. x 3 4x + ). 6x x 3 4x+ x + x 7 ). x Απ. 4x 3) ). Απ. 96 x 7) 3. x Αποδειξε οτι για καθε n Z ισχυει x n ) = nx n Υπολογισε, για κάθε n N, την n-στή παράγωγο της f x) = Απ. n! x) n+) Βρες τα σηµεία στα οποία η f x) = x 3/5 δεν είναι παραγωγίσιµη και δώστε µια γεωµετρική ερµηνεία. Απ. x 0 = Υπολογισε τις παραγώγους.. 3. ) x 3. + Απ. 3 3 x + x + x+ x x. x3 + ). Απ. 3 x ). Απ. ) 3. 3x x + D x ) x x + x++ x + x x + x+.3.. Εστω y x) = x και x y) = y. Αποδειξε ότι dy =. dy.3.3. Εστω y x) = x+ x y+ dy και x y) =. Αποδειξε ότι =. y dy.3.4. Βρες προσεγγιστικά τις παρακατω τιµες χρησιµοποιώντας το διαφορικό... Απ Απ cos 3 o ). Απ. cos 3 o ) Απ Βρες την y για τις παρακάτω πεπλεγµένες συναρτήσεις.. x + y = 6. Απ. x/y. x.. x / + y / = 9. Απ. y/x. 3. x 3 xy + y = 4. Απ. y 3x y x.

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ x 3 y 3 y = x. Απ. 3x y 3. 3x 3 y 5. x 3 x y + 3xy = 38. Απ. 4xy 3x 3y. x 3y x).3.6. Βρες την y για τις παρακάτω πεπλεγµένες συναρτήσεις. x + xy = 5. Απ. 0/x 3.. x y = 6. Απ. 6/y y = x 3. Απ. 3x/4y Βρες τα διαστηµατα στα οποια η f x) ειναι αυξουσα και ϕθινουσα.. f x) = x ) x + ).. f x) = x 3 x. 3. f x) = 8 x x f x) = x 3 x ) Βρες τα διαστηµατα κυρτοτητας και κοιλοτητας της f x).. f x) = x 3 6x + x.. f x) = x + ) f x) = 3 x Βρες τα τοπικα µεγιστα και ελαχιστα της f x).. f x) = 4x x.. f x) = x 3) x. 3. f x) = x x 6x f x) = x 3) x. 5. f x) = x )x 8) x Βρες τα όρια x. lim x 6 x 0. Απ.. x 4 +x 8. lim x 0 x 4 x 6 x 4 +x 8. Απ.. 3. lim x 0 x 6 x 8 x 4 +x 0. Απ. 0.

45 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 39.4 Προχωρηµενα Αλυτα Προβληµατα.4.. Αποδειξε οτι f x) g x)) = f x) g x) + f x) g x). f x) ).4.. Αποδειξε οτι = f x) g x)+f x) gx) όταν g x) 0). g x) gx).4.3. Αποδειξε οτι f g x))) = f g x)) g x) Αποδειξε οτι f g x))) = df dg. dg.4.5. Αποδειξε οτι : αν g x) = f x) δηλ.η g x) είναι η αντίστροφη συνάρτηση της f ), τότε g x) = /f x) Αποδειξε : αν η συνάρτηση f x) ορίζεται στο a, b) και στο x 0 a, b) έχουµε 0 < f x 0 ) R, τότε υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε για κάθε x [x 0 δ, x 0 + δ] ισχύει x < x 0 f x) < f x 0 ) και x 0 < x f x 0 ) < f x) Αποδειξε οτι :.4.8. Αποδειξε οτι : x a, b) : f x) > 0 ) η f x) ειναι αυξουσα στο a, b)) Αποδειξε το ϑεώρηµα του Cauchy Αποδειξε τον κανόνα του L Hospital. x [a, b] : f x) = 0 ) x [a, b] : f x) = c)..4.. Εστω f x) ειναι δις παραγωγισιµη στο a, b). Αποδειξε οτι :. αν f x 0 ) = 0 και f x 0 ) > 0, η f x) εχει τοπικο ελαχιστο στο x 0. αν f x 0 ) = 0 και f x 0 ) < 0, η f x) εχει τοπικο µεγιστο στο x Αποδειξε : αν η f x) ειναι δις διαφορισιµη στο a, b) τοτε :. Η f x) ειναι κυρτη στο a, b) ανν f x) 0 για καθε x a, b).. Η f x) ειναι κοιλη στο a, b) ανν f x) 0 για καθε x a, b) Βρες µια συναρτηση f x) η οποια ειναι συνεχης αλλα οχι παραγωγισιµη στο x 0 = Βρες µια συναρτηση f x) η οποια ειναι παραγωγισιµη στο x 0 = αλλα η f x) δεν ειναι συνεχης Εστω f x) = x n. Αποδειξε ότι f ) 0! + f )! a + f )! a f n) ) n = + a) n. n!

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Εστω f x) συνάρτηση συνεχής στο [a, b] και παραγωγίσιµη στο a, b). Αποδειξε ότι υπάρχει x 0 a, b) τέτοιο ώστε af b) bf a) a b = f x 0 ) x 0 f x 0 ) Εστω f x), g x) συνάρτησεις συνεχείς στο [a, b] και παραγωγίσιµες στο a, b). Εστω επίσης ότι οι g x), g x) δεν µηδενίζονται στο a, b). Τέλος, έστω ότι f a) = f b). Αποδειξε ότι ga) gb) υπάρχει x 0 a, b) τέτοιο ώστε f x 0 ) g x 0 ) = f x 0 ) g x 0 ) Λέµε ότι η συνάρτηση f x) ικανοποιεί την συνθήκη Lipschitz τάξεως k στο σηµείο x 0 ανν υπάρχουν αριθµοί M, e τέτοιοι ώστε x x 0 < ε f x) f x 0 ) < M x x 0 k. Εστω f x) που ικανοποιεί την συνθήκη Lipschitz τάξεως k στο σηµείο x 0. είξτε ότι :. k > 0 «η f x) είναι συνεχής στο x 0».. k > «η f x) είναι παραγωγίσιµη στο x 0» Ορίζουµε την συνάρτηση { όταν x = m f x) = Q n 3 n 0 όταν x R Q. Αποδειξε ότι : η f x) είναι είναι παραγωγίσιµη σε κάθε x = k και το ακεραίου Ορίζουµε την συνάρτηση { e x f x) = όταν x 0 0 όταν x = 0. είξτε ότι η f x) έχει παραγώγους όλων των τάξεων σε όλο το R..4.. Εστω συνάρτηση f x) η οποία. Είναι συνεχής στο [a, b] και για κάθε x [a, b] : a f x) b.. Είναι παραγωγίσιµη στο a, b) και για κάθε x a, b) : f x) k <. είξτε ότι υπάρχει ακριβώς ένα σηµείο x 0 [a, b] τέτοιο ώστε f x 0 ) = x Εστω παραγωγίσιµη συνάρτηση f : R R η οποία ικανοποιεί x ) f x) = f + f x) x. Αποδειξε ότι f x) = ax + b. k δεν είναι τετράγωνο

47 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Αποδειξε ότι δεν υπάρχει πολυώνυµο π x) για το οποίο ισχύουν x : π x) > π x) και x : π x) > π x) Αν η f x) δεν ειναι παραγωγισιµη στο x 0, τοτε και η f x)) δεν ειναι παραγωγισιµη στο x 0. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα Αν η f x)) δεν ειναι παραγωγισιµη στο x 0, τοτε και η f x) δεν ειναι παραγωγισιµη στο x 0. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα Αν η f x) δεν ειναι παραγωγισιµη στο x 0, τοτε και η f x) δεν ειναι παραγωγισιµη στο x 0. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα Αν η f x) ειναι απειρα παραγωγισιµη στο R και ικανοποιει 0 = f x 0 ) = f x 0 ) = f x 0 ) =... τοτε η f x) = 0 για καθε x R. Σωστο ή λαθος ;.4.8. Αν η f x) + g x) ειναι παραγωγισιµη στο x 0 τοτε οι f x), g x) ειναι παραγωγισιµες στο x 0. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα Αν η f x) g x) και η f x) ειναι παραγωγισιµες στο x 0 τοτε η g x) ειναι επισης παραγωγισιµη στο x 0. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα Υπαρχει συναρτηση η οποια ειναι παραγωγισιµη ακριβως σε ενα σηµειο του πεδιου ορισµου της. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα Αν η f x) ειναι παραγωγισιµη στο x 0 τοτε ειναι συνεχης σε καποιο διαστηµα x 0 δ, x 0 + δ). Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα Αν η f x) είναι συνεχής στο a, b) και παραγωγίσιµη στο a, b), τότε υπάρχει x 0 a, b) τέτοιο ώστε f f b) f a) x 0 ) =. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα. b a Αν η f x) είναι παραγωγισιµη στο a, b) και η f x) δεν ειναι ϕραγµενη στο a, b), τότε και η f x) δεν ειναι ϕραγµενη στο a, b). Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα Εστω συνολο A και f x) τετοια ωστε f x) = 0 για καθε x A τοτε η f x) ειναι σταθερη στο A. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα Για καθε x a, b), οι συναρτησεις f x), g x) ειναι διαφορισιµες και ικανοποιουν f x) < g x). Τοτε ισχυει και f x) < g x). Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα Αν f x 0 ) = 0, τοτε η f x) δεν ειναι ουτε αυξουσα ουτε ϕθινουσα στο x 0. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα Αν για καθε x a, b) ισχυει f x) > 0, τοτε η f x) ειναι αυξουσα για καθε x a, b). Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα Αν η f x) g x) δεν ειναι παραγωγισιµη στο x 0, τοτε και η f x) δεν ειναι παραγωγισιµη στο x 0. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα Αν οι f x) και g x) δεν ειναι παραγωγισιµες στο x 0, τοτε και η f x) g x) δεν ειναι παραγωγισιµη στο x 0. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα.

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Αν η f x 0 ) > 0 τοτε η f x) ειναι αυξουσα σε καποιο διαστηµα x 0 δ, x 0 + δ). Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα Αν η f x) εχει τοπικο ακροτατο στο x 0 και ειναι δις διαφορισιµη, τοτε f x 0 ) 0. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα Αν η f x) ειναι αυστηρα αυξουσα στο a, b), τοτε f x) > 0 για καθε x a, b). Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα Αν f x) > 0 για καθε x a, b) και τα κ, λ ικανοποιουν κ 0, λ 0, κ+λ =, τοτε για καθε x, x a, b) ισχυει f κx + λx ) > κf x ) + λf x ). Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα.

49 Κεφάλαιο 3 Λογαριθµικες και Εκθετικες Συναρτησεις Στο παρόν κεφάλαιο ορίζουµε την λογαριθµική συνάρτηση ln x µε έµµεσο τρόπο, διαµεσου της παραγωγου. Κατόπιν ορίζουµε την εκθετική συνάρτηση e x ως αντίστροφη της ln x. Η εκθετική είναι ίσως η πιο ϑεµελιώδης συνάρτηση των µαθηµατικών. 3. Θεωρια και Παραδειγµατα 3... Ορισµος : Ορίζουµε την συνάρτηση L x) ως εξής : α) έχει πεδίο ορισµού το 0, ), ϐ) για κάθε x 0, ) έχουµε L x) =, γ) L ) = 0. x 3... Θεωρηµα : Η L x) είναι µοναδική. Αποδειξη. Εστω ότι υπάρχουν δύο συναρτήσεις L x) και L x) οι οποίες ικανοποιούν τις συνθήκες του Ορισµού 3... Θα έχουµε για κάθε x 0, ): L x) = L x) =. Τότε x L x) L x) = 0, οπότε L x) L x) = c δηλ. σταθερός αριθµός). Επίσης L ) = και L ) =, οπότε 0 = = L ) L ) = c. ηλαδή L x) L x) = 0 και άρα υπάρχει µία και µόνο συνάρτηση που ικανοποιεί τις συνθήκες του Ορισµού Θεωρηµα : Για κάθε x 0, ) η L x) είναι συνεχής, γνησίως αύξουσα και κοιλη. Αποδειξη. Για κάθε x 0, ) η L x) έχει παράγωγο : L x) =. ηλ. η L x) είναι παραγωγίσιµη στο 0, ), άρα είναι και συνεχής στο 0, ). Για κάθε x 0, ) έχουµε L x) = > 0. x x Άρα η L x) είναι γνησίως αύξουσα στο 0, ). Εχουµε L x) =, το οποιο ειναι αρνητικο για x καθε x 0, ) Θεωρηµα : Για κάθε x, y 0, ) και a R έχουµε. L x) + L y) = L xy).. L x ) = L x). 3. L x a ) = al x). 43

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 44 Αποδειξη. Ας ϑεωρήσουµε προς στιγµή το y σταθερό. Τότε d L xy)) = xy xy) = y =. Και xy x d L x) + L y)) = d L x)) + d L y)) = + 0. Με άλλα λόγια x d L x) + L y)) = d L xy)) οπότε L x) + L y) = L xy) + c. Παίρνοντας τώρα y = έχουµε L x) + L ) = L x) + c 0 = L ) = c. Οπότε L x) + L y) = L xy). Εχουµε ) L x) + L = L x ) = L ) = 0 x x από το οποίο προκύπτει άµεσα το L /x) = L x).τελος εχουµε L x a )) = x a ) = ax a = x a x a a = x al x). Οπότε L x a ) = al x) + c και ϑέτοντας a = ϐλέπουµε ότι c = Θεωρηµα. Για καθε x 0, ), ) εχουµε x < L x) < x. Αποδειξη. Εαν x > και αφου η L x) ειναι παραγωγισιµη, υπαρχει z, x) τετοιο ωστε > z = L z) = Εαν x <, τοτε υπαρξει z x, ) τετοιο ωστε < z = L z) = L x) L ) x L ) L x) x = L x) x. = L x) x. Ετσι εχουµε αποδειξει το ανω ϕραγµα του L x). Για το κατω ϕραγµα, ϑετουµε x = και εχουµε y ) L x) < x L < y y L y) < y το οποιο δινει το κατω ϕραγµα Θεωρηµα : Η L x) έχει πεδίο τιµών το, ). Αποδειξη. Καταρχην ϑα δειξουµε οτι L ) >. Στην ανισοτητα < L x) ϑετουµε x = και x παιρνουµε L ) > =. Τωρα επιλεγουµε τυχον M > 0 και ϑετουµε x M = M. Τότε L x M ) = L M) = M L ). Οποτε x > x M : L x) > L x M ) = ML ) > M = M δηλ. lim x L x) =. Με παρόµοιο τρόπο αποδεικνύεται και ότι lim x L x) =. Τώρα, ας πάρουµε ένα τυχόντα αριθµό y 0, ). Επειδή lim x L x) =, µπορούµε να ϐρούµε x τέτοιο ώστε L x ) < y 0 επειδή lim x L x) =, µπορούµε να ϐρούµε x τέτοιο ώστε L x ) > y 0. Θα είναι x < x γιατί ;). Επειδή η L x) είναι συνεχής, ϑα υπάρχει x 0 [x, x ] τέτοιο ώστε L x 0 ) = y 0 [L y ), L y )].

51 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Θεωρηµα : Η εξίσωση L x) = έχει µία µοναδική ϱίζα, την οποία ϑα συµβολίζουµε µε το σύµβολο e. Αποδειξη. Επειδή η L x) έχει πεδίο τιµών το, ), ϑα υπάρχει x 0 τέτοιο ώστε L x 0 ) =. Επειδή η L x) είναι γνησίως αύξουσα, προφανώς το x 0 ϑα είναι µοναδικό. Κατά συνθήκη, ϑα συµβολίζουµε το x 0 µε το σύµβολο e Συµβολισµος : Θα ονοµάζουµε την L x) λογαριθµική συνάρτηση και συνήθως ϑα την συµβολίζουµε µε ln x αντί L x) Ασκηση: Κανε την γραφικη παρασταση της L x). Λύση. Γνωριζουµε οτι το πεδιο ορισµου της L x) ειναι το 0, ) και το πεδιο τιµων ειναι το, ). Επισης γνωριζουµε οτι L ) = 0 και οτι υπαρχει αριθµος e > γιατι ;) τετοιος ωστε L e) =. Τελος, γνωριζουµε οτι η L x) συνεχής, γνησίως αύξουσα και κοιλη. Με αυτα τα στοιχεια µπορουµε να κατασκευασουµε την γραφικη παρασταση του Σχηµατος 3.. Σχ.3.: Η λογαριθµικη συναρτηση L x) Ασκηση. Υπολογισε την παραγωγο της f x) = x ln x 3). Λύση. Εχουµε d x ln x 3)) = d 3x ln x) ) = 3x ) ln x + 3x ln x) = 6x ln x + 3x x = 3x ln x + ) 3... Ασκηση. Υπολογισε την παραγωγο της f x) = ln x 3 x + ). Λύση. Χρησιµοποιούµε το γεγονός ότι L x) = δηλ. ln x x) = ) και τις ιδιότητες της παραγώγισης παραγώγιση γινοµένου, αλυσιδωτή x παραγώγιση). [ ln x + )] = 3x x 3 x +.

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Παρατηρηση : Εν κατακλειδι : στον Ορισµο 3.. ορισαµε την λογαριθµική συνάρτηση L x) δια µεσου της παραγωγου της. Κατόπιν αποδείξαµε διάφορες ιδιότητες της L x) και παρατηρουµε ότι είναι ακριβώς αυτές τις οποίες έχει και η λογαριθµική συνάρτηση όπως µας είναι γνωστή από την στοιχειώδη Άλγεβρα. Οπότε προτιµούµε να «ξεχάσουµε» τον αλγεβρικό ορισµό και να χρησιµοποιήσουµε τον Ορισµό 3... Πρακτικά δεν έχουµε χάσει τίποτε, διότι η συνάρτηση L x) έχει ακριβώς τις χρήσιµες) ιδιότητες της αλγεβρικά ορισµένης λογαριθµικής συνάρτησης Θεωρηµα : Η συνάρτηση L x) έχει αντίστροφη συνάρτηση E x) µε πεδίο ορισµού το, ) και πεδίο τιµών το 0, ). Αποδειξη. Η L x) είναι γνησίως αύξουσα αρα -προς- και εχει αντιστροφη, την E x). Το πεδίο τιµών αντίστοιχα, πεδίο ορισµού) της L x) είναι το, ) αντίστοιχα, το 0, )). Οποτε το πεδίο ορισµου αντίστοιχα, πεδίο τιµων) της E x) είναι το, ) αντίστοιχα, το 0, )) Ασκηση: Υπολογισε τα L E x)) = E L x)). Λύση. Αφου η E x) ειναι η αντιστροφη της L x), εχουµε L E x)) = E L x)) = x Ασκηση: Υπολογισε τα E 0) και E ). Λύση. L ) = 0, οποτε E 0) =. Επισης L e) =, οποτε και E ) = e Θεωρηµα : Για κάθε x, y, ) έχουµε. E x) E y) = E x + y).. E x)) y = E x y). Αποδειξη. Αφού L x) = E x), έχουµε L E x + y)) = x + y. Επίσης ηλ. L E x + y)) = L E x) E y)). Οπότε L E x) E y)) = L E x)) + L E y)) = x + y. E [L E x + y))] = E [L E x) E y))] E x + y) = E x) E y). Εχουµε L [ E x)) y] = yl [E x)] = yx και L [E x y)] = xy. Οπότε E x)) y = E x y) Θεωρηµα : Για κάθε x, ) έχουµε E x) = e x δηλ. ο αριθµος e υψωµενος στην δυναµη x). Αποδειξη. Θα δειξουµε επαγωγικα οτι n N 0 : E n) = e n. 3.) Για n = 0 η 3.) γινεται οτι E 0) = e 0 =, το οποιο ισχυει. Εστω οτι η 3.) ισχυει για n {0,,,..., k}. Τοτε E k) = e k E k + ) = E k) E ) = e k e = e k+ και η αποδειξη ειναι πληρης για το συνολο N 0. Για την επεκταση στο R απαιτειται περισσοτερη εργασια.

53 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συµβολισµος : Θα ονοµάζουµε την E x) εκθετική συνάρτηση και συνήθως ϑα την συµ- ϐολίζουµε µε e x αντί E x). Με άλλα λόγια, E x) = e x Παρατηρηση : Ορίσαµε την εκθετική συνάρτηση να είναι η αντίστροφη της λογαριθµικής αυτής που έχει τις ιδιότητες του Ορισµού 3..) και κατόπιν αποδείξαµε διάφορες ιδιότητες αυτής και παρατηρήσαµε ότι είναι ακριβώς αυτές τις οποίες έχει και η εκθετική συνάρτηση ό- πως µας είναι γνωστή από την στοιχειώδη Άλγεβρα. Πρακτικά δεν έχουµε χάσει τίποτε, διότι η συνάρτηση E x) έχει ακριβώς τις χρήσιµες) ιδιότητες της αλγεβρικά ορισµένης εκθετικής συνάρτησης. Αξίζει να σηµειωθεί ιδιαίτερα ότι το x στην «e x» είναι πράγµατι ένας εκθέτης, αφού έχει τις ιδιότητες e x e y = e x+y, e x ) y = e xy Ασκηση. Υπολογισε την παραγωγο της f x) = e x +3x. Λύση. Εχουµε d ) e x +3x = d e h) d x + 3x) = e x +3x x + 3). dh 3... Ασκηση: Υπολογισε την παραγωγο της f x) = e x x 3 + ln x ). Λύση. Χρησιµοποιούµε το γεγονός ότι E x) = E x) δηλ. e x ) = e x ) και τις ιδιότητες της παραγώγισης παραγώγιση γινοµένου, αλυσιδωτή παραγώγιση). e x x 3 + ln x)) = ex x 3 + ln x) + ex 6x + ) = x ln x + 6x 3 + x 4 + e x. x x 3... Θεωρηµα : Για κάθε x, ) έχουµε E x) = E x). Αποδειξη. Εστω y = E x) και L y) = x. Τότε = d x) = d L E x))) = d L y)) = dy y = y E x) οπότε E x) = y = E x) Θεωρηµα : Για κάθε x 0, ) η E x) είναι συνεχής, γνησίως αύξουσα και κυρτη. Αποδειξη. Για καθε x, ): α) αφου E x) = E x), η E x) ειναι παραγωγισιµη και αρα συνεχης ϐ) αφου E x) = E x) = e x > 0 η E x) ειναι αυξουσα γ) αφου E x) = E x)) = E x) = e x > 0, η E x) ειναι κυρτη Ασκηση: Κανε την γραφικη παρασταση της E x). Λύση. Γνωριζουµε οτι το πεδιο ορισµου της E x) ειναι το, ) και το πεδιο τιµων ειναι το 0, ). Επισης γνωριζουµε οτι E 0) = και οτι E ) = e > γιατι ;). Τελος, γνωριζουµε οτι η E x) συνεχής, γνησίως αύξουσα και κυρτη. Με αυτα τα στοιχεια µπορουµε να κατασκευασουµε την γραφικη παρασταση του Σχηµατος 3..

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 48 Σχ.3.: Η εκθετικη συναρτηση E x) Θεωρηµα : Για κάθε x R ισχυει το εξης : e x = lim + x + x n! + x 3 3! x ) n = n! Αποδειξη. Μπορουµε να γραψουµε την 3.) στην µορφη n=0 x n n!. 3.) x R : e x = + x + x! + x ) 3! απο την οποια ϕαινεται οτι το e x µπορει να γραφει ως ενα πολυωνυµο απειρης ταξης. Εδω ϐλεπου- µε µια ειδικη περιπτωση µιας γενικοτερης ιδεας : καποιες συναρτησεις µπορουν να παρασταθουν ως πολυωνυµα απειρης ταξης: f x) = f 0 + f x + f x + f 3 x ) Γεννιουνται τωρα δυο ερωτηµατα : α) τι συνθηκες πρεπει να ικανοποιει η f x) ωστε να συγκλινει η 3.4); και ϐ) αν η 3.4) συγκλινει, πως υπολογιζονται οι συντελεστες f 0, f, f,... ωστε το αριστερο και δεξιο µελος της 3.4) να ισουνται ; Εδω ϑα απαντησουµε µονο το δευτερο ερωτηµα το πρωτο ϑα απαντηθει στο Κεφαλαιο 3. Εστω λοιπον οτι e x = a 0 + a x + a x + a 3 x ) Παραγωγιζοντας διαδοχικα την 3.5) παιρνουµε e x = e x = a 0 + a x + a x + a 3 x ) e x ) = e x = a + a x + 3a 3 x +... e x ) = e x = a + 3 a 3 x +... e x ) = e x = 3 a

55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 49 Τωρα, στην 3.6) ϑετουµε x = 0 οποτε παιρνουµε = a 0 = a = a a = = 3 a 3 a 3 = 3... και µπορουµε ευκολα να αποδειξουµε επαγωγικα τον γενικο τυπο Οποτε η 3.6) γινεται που ειναι το Ϲητουµενο Ασκηση: Υπολογισε το e και το e. a n = n!. e x = + x + x! + x 3 3! x n ) n! Λύση. Θα υπολογισουµε τα e, e προσεγγιστικα. Θετουµε στην 3.7) x = και λαµβανουµε e = lim + + n! + 3! ) = n! n!. 3.8) Στον παρακατω πινακα ϕαινεται η προσεγγιστικη τιµη του e για διαφορες τιµες του n. N N n= n! Φαινεται λοιπον οτι το N n=0 τεινει σε καποια τιµη e.7... προσεξτε οτι το N n! n=0 ειναι n! αυξουσα συναρτηση του N γιατι ;). Για να υπολογισουµε το e µπορουµε να ϑεσουµε στην 3.7) x = οποτε λαµβανουµε ) e = lim + + n! + 3 n = 3! n! Στον παρακατω πινακα ϕαινεται η προσεγγιστικη τιµη του e για διαφορες τιµες του n. N n n= n! n=0 n=0 n n!. Φαινεται λοιπον οτι το N n=0 n n! τεινει σε καποια τιµη e Εναλλακτικα, e.7) = Ποια απο τις δυο προσεγγισεις ειναι καλυτερη. Γιατι ; Μπορειτε να ϐρειτε µια ακοµη καλυτερη προσεγγιση ;

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Θεωρηµα : lim x + x ) x = e. Αποδειξη. Το Ϲητουµενο ειναι ισοδυναµο µε τα [ lim x ln + )] =, 3.9) x x ln ) + x lim = 3.0) x γιατι ;). Θα αποδειξουµε το 3.0) µε τον κανονα L Hospital. Πραγµατι ln ) + x ln + z) lim = lim = lim z 0 + [ln + z)] limz 0+ +z x z 0 + z lim z 0 + [z] = lim z 0 + =. x Υπολογισε προσεγγιστικα µε χρηση του διαφορικου) την ln.). Λύση. Είναι ln x + x) ln x + ln x) x και Η ακριβής τιµή είναι ln. = ln.) = ln + 0.) ln + 0. = Βρες τα µεγιστα και ελαχιστα της συναρτησης x 4 e x. Λύση. Εχουµε f x) = d x 4 e x) = x 3 e x x ) = 0 µε ϱιζες στασιµα σηµεια) x =, x = 0, x 3 =. Επισης εχουµε οποτε f x) = d x 4 e x) = ) e x x 9x + x x f x ) = 4e ) < 0, f x ) = 0, f x 3 ) = 4e ) < 0. Αρα η f x) εχει τοπικα ελαχιστα στα x, x και δεν µπορουµε να πουµε τι συµβαινει στο x Κανε την γραφικη παρασταση της f x) = x + ln x ). Λύση. Η f x) ειναι ορισµενη και συνεχης για καθε x τετοιο ωστε x > 0, δηλ. στο A =, ), ). Εχουµε lim x + ln x )) =, x lim x + ln x )) =. x +

57 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Επισης f x) = x + ln )) x x = + x, f x) = x + ln )) x x + ) = x ). Θετοντας f x) = + x = 0, ϐλεπουµε οτι τα στασιµα σηµεια ειναι τα x x = A και x = + A. Αρα ϑα ασχοληθουµε µονο µε το x, οπου εχουµε f x ) = < 0, οποτε εχουµε τοπικο µεγιστο στο x, συγκεκριµενα f x ) = Γενικοτερα, f x) < 0 για καθε x A, οποτε η f x) ειναι κοιλη στο A. Με αυτα τα στοιχεια µπορουµε να κανουµε την γραφικη παρασταση του Σχηµατος 3.3. Σχ.3.3: Η γραφικη παρασταση της f x) = x + ln ) x Κανε την γραφικη παρασταση της f x) = x e /x. Λύση. Η f x) f x) ειναι ορισµενη στο A =, 0) 0, ). Η f x) ειναι ϑετικη και συνεχης στο A. Επειδη lim x e /x = 0 = lim x e /x, x 0 x 0 + το x 0 = 0 ειναι σηµειο ασυνεχειας. Εχουµε f x) = x e /x) = e x x ), f x) = x e /x) ) = x e x x x +. Θετοντας f x) = e x x ) = 0, ϐλεπουµε οτι το µοναδικο στασιµο σηµειο ειναι το x = και επειδη f x ) > 0, εχουµε τοπικο ελαχιστο στο x, συγκεκριµενα f x ) = e Γενικοτερα, f x) > 0 για καθε x A γιατι ;) οποτε η f x) ειναι κυρτη στο A. Με αυτα τα στοιχεια µπορουµε να κανουµε την γραφικη παρασταση του Σχηµατος 3.4.

58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 3. Λυµενα Προβληµατα Σχ.3.4: Η γραφικη παρασταση της f x) = x e /x Βρες µια συνάρτηση f x) τετοια ώστε f x) = f x) Λύση. Θέλουµε µια συνάρτηση της οποίας η παράγωγος να είναι για κάθε x) ίση µε το διπλάσιο της αρχικής συνάρτησης. Αυτή η συνθήκη µας ϑυµίζει την εκθετική συνάρτηση, για την οποία γνωρίζουµε ότι έχει παράγωγο ίση µε την αρχική. Πως µπρούµε να εισάγουµε τον συντελεστή ; Ενας τρόπος είναι αν στην παραγώγιση της f x) υπεισέρχεται µια αλυσιδωτή παραγώγιση. Και έτσι σκεφτόµαστε να χρησιµοποιήσουµε την συνάρτηση f x) = e x. Πράγµατι, τότε έχουµε ) e x = e x x) = e x. Υπάρχουν άραγε και άλλες συναρτήσεις που να έχουν την Ϲητούµενη ιδιότητα ; 3... Υπολογισε την παραγωγο της f x) = ln x + x + ). Λύση. Χρησιµοποιούµε το γεγονός ότι L x) = δηλ. ln x x) = ) και τις ιδιότητες της παραγώγισης παραγώγιση γινοµένου, αλυσιδωτή παραγώγιση). x [ )] ln x x + + x + = x + x Υπολογισε το lim x 0 lna+x) ln a x χωρίς να χρησιµοποιήσετε τον κανόνα l Hospital. lna+x) ln a Λύση. Παρατηρούµε ότι το lim x 0 είναι ακριβώς εκ του ορισµού) η ln x) υπολογισµένη στο x = a. Οπότε x ln a + x) ln [ a d lim = x 0 x ]x=a ln x)) = a Υπολογισε την παραγωγο της f x) = e x x + ). Λύση. Χρησιµοποιούµε το γεγονός ότι E x) = E x) δηλ. e x ) = e x ) και τις ιδιότητες της παραγώγισης παραγώγιση γινοµένου, αλυσιδωτή παραγώγιση). e x x + )) = ex x + ) + ex x = e x x ) + x +.

59 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Υπολογισε την παραγωγο της f x) = e x 4x+5. Λύση Υπολογισε την παραγωγο της f x) = a x. Λύση. Εχουµε a x = e ln ax = οπου ϑεσαµε u = x ln a). e x ln a και ) e x 4x+5 = x 4) e x 4x+5. a x ) = e ln ax) = e x ln a) = e u ) x ln a) = e u ) ln a = a x ln a Υπολογισε προσεγγιστικα µε χρηση του διαφορικου) την e.. Λύση. Είναι e x+ x e x + e x ) x και e. = e +0. e + e 0. = e + 0.)..78 = Η ακριβής τιµή είναι e. = Υπολογισε προσεγγιστικα µε χρηση του διαφορικου) την ln.). Λύση. Είναι ln x + x) ln x + ln x) x και Η ακριβής τιµή είναι ln. = ln.) = ln + 0.) ln + 0. = Βρες τα µεγιστα και ελαχιστα της συναρτησης x 3 e x. Λύση. Εχουµε f x) = d x 3 e x) = x e x x 3) = 0 3 µε ϱιζες στασιµα σηµεια) x =, x 3 = 0, x 3 =. Επισης εχουµε f x) = d x 3 e x) = ) xe x x 4 7x + 3 οποτε f x ) > 0, f x ) = 0, f x 3 ) < 0. Αρα η f x) εχει τοπικο ελαχιστο στο x και τοπικο µεγιστο στο x 3. εν µπορουµε να αποφανθουµε για το x Κανε την γραφικη παρασταση της f x) = ln x) x..

60 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 54 Λύση. Η f x) ειναι ορισµενη και συνεχης στο A = 0, ). Εχουµε Επισης lim ) ln x) x =, x 0 + lim ) ln x) x =. x f x) = ln x) x ) = x x, f x) = ln x) x ) = x. Θετοντας f x) = x = 0, ϐλεπουµε οτι το µοναδικο στασιµο σηµει0 στο 0, ) ειναι το x x =. Εχουµε f x ) = < 0, οποτε εχουµε τοπικο ελαχιστο στο x, συγκεκριµενα f x ) Γενικοτερα, f x) < 0 για καθε x 0, ), οποτε η f x) ειναι κοιλη στο 0, ). Με αυτα τα στοιχεια µπορουµε να κανουµε την γραφικη παρασταση του Σχηµατος 3.5. Σχ.3.5: Η γραφικη παρασταση της f x) = ln x) x Κανε την γραφικη παρασταση της f x) = x e x ). Λύση. Εχουµε Θετοντας f x) = x e x )) = xe x e x, f x) = x e /x) = e x x + ). f x) = xe x e x = 0 e x = + x ϐλεπουµε οτι το µοναδικο στασιµο σηµειο ειναι το x = 0 και επειδη f x ) < 0, εχουµε τοπικο µεγιστο στο x, συγκεκριµενα f x ) = 0. Γενικοτερα, f x) < 0 για καθε x R, οποτε η f x) ειναι κοιλη στο R. Με αυτα τα στοιχεια µπορουµε να κανουµε την γραφικη παρασταση του Σχηµατος 3.6.

61 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αλυτα Προβληµατα είξτε ότι lim x x) /x =. ln x είξτε ότι lim x e =. x e e Υπολογισε τα ορια. ln+x). lim x 0. Απ. 3 x Σχ.3.6: Η γραφικη παρασταση της f x) = x e x ). ln 3. ) x.. lim x + x Απ.. 3. lim x + x ) x. Απ.. 4. lim x +3 x x +5) 8x +3. Απ. e ειξε ότι lim x 0 + x) /x) = e χωρις να χρησιµοποιησεις τον κανονα l Hospital Υπολογισε το lim x + x ) 3x χωρις να χρησιµοποιησεις τον κανονα l Hospital Βρες τα σηµεια ασυνεχειας της f x) = e x/ x) Βρες τα σηµεια ασυνεχειας της f x) = / x) Υπολογισε την παραγωγο της f x).. f x) = e x x ) 3 + ). Απ. e x x 5 + 3x 4 + x. x x. f x) = ex. Απ. ex x x + x + ). x ) 3. f x) = e /x. Απ. x 3 e x.

62 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f x) = ln x + ). Απ. x x f x) = 4 e x + 3 x +. Απ. 4 4 ex + 3 x + ex +3 x ln Υπολογισε την dy οταν e y/x + ln x = c Υπολογισε τις dy, d y οταν x + y = e x y. e x +3 x Υπολογισε την παραγωγο της f x) = 5 x. Λύση. 5 x ln Υπολογισε προσεγγιστικα µε χρηση του διαφορικου) την e 0.9. Απ Υπολογισε προσεγγιστικα µε χρηση του διαφορικου) την ln 0.9). Απ. = Εξετασε την µονοτονια της f x).. f x) = ln x.. f x) = ln x ). 3. f x) = x ln x. 4. f x) = e x + 5x Βρες τα µεγιστα και ελαχιστα της f x).. f x) = x ) ln x.. f x) = x e x. 3. f x) = x 3 e x Εξετασε την κυρτοτητα / κοιλοτητα της f x).. f x) = ln x.. f x) = x e x. 3. f x) = ln x). x Κανε την γραφικη παρασταση της f x) = x ln x + ) Κανε την γραφικη παρασταση της f x) = x e 4x.

63 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Προχωρηµενα Αλυτα Προβληµατα Αποδειξε ότι :. x : + x < e x.. x : + x + x < ex. 3. x : x x 4. x : x x < ln + x) < x. + x3 x x < + x < e x < < ln + x) < x x x. 6. x > x < +x e x < x. 7. x < e x x < x < e x. 8. x, y > 0 e xy y x+y < + y) x < e x. 9. x > x x+ + x3. 3 < ln + x) < x.x < x < ln x) < x Αποδειξε ότι x [ 0, / ] 3 x < ln x) < 3 x. Μπορεις να ϐελτιωσεις το ανω ϕραγµα ; x Αποδειξε ότι x, ) ln x ) ln + x) ln x ) Αποδειξε ότι :. lim x + x ) x = e.. lim x 0 + x) /x = e. ) n 3. lim n + n = e χωρις να χρησιµοποιησεις τον κανονα l Hospital Κανε την γραφικη παρασταση της f x) = x ln x) Για ποιες τιµες της c εχει λυσεις η εξισωση ln x = cx ; Λυσε την εξισωση.. ln x 3 + ) ln x + x + ) = ln x + x = 3 x. 3. x = x Αποδειξε ότι x : f x) < f x) ) x : f x) < f 0) e x ) Βρες µια συνάρτηση f x)τέτοια ώστε f x) = 3f x) και f 0) = 5. Απ. 5e 3x.

64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Βρες δύο διαφορετικές συναρτήσεις f x), f x)τέτοιες ώστε f i x) = f i x). Απ. f x) = e x, f x) = 4e x Βρες δύο συναρτήσεις f x), f x)τέτοιες ώστε Απ. f x) = e x + e x, f x) = e x e x. f x) = f x) f x) = f x) Βρες δύο συναρτήσεις f x), f x)τέτοιες ώστε Απ. f x) = e x + e x, f x) = e x e x. f x) = f x) + f x) f x) = f x) f x) Βρες δύο συναρτήσεις f x), f x)τέτοιες ώστε Απ. f x) = e ix + e ix, f x) = e ix e ix. f x) = f x) f x) = f x) Εστω συνάρτηση f x) η οποία ικανοποιει α) x : f x) < k f και ϐ) f 0) =. ειξε οτι x : f x) e kx Εστω λ, ) και r λ) η µοναδικη πραγµατικη λυση της εξισωσης x + ln x) = λ. Αποδειξε οτι r λ) ln λ lim =. λ λ Βρες την συναρτηση η οποια εχει την γραφικη παρασταση του Σχηµατος 3.7.α Βρες την συναρτηση η οποια εχει την γραφικη παρασταση του Σχηµατος 3.7.β. Σχ.3.7: Βρες τις συναρτησεις.

65 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Μαθηµατικη Ολυµπιαδα). Βρες ολες τις πραγµατικες ϱιζες της εξισωσης.. 4 x + 6 x = 5 x + 5 x.. 6 x + = 8 x 7 x.

66 Κεφάλαιο 4 Τριγωνοµετρικες Συναρτησεις Οι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις είναι το ηµίτονο, το συνηµίτονο, η εφαπτοµένη, η συνεφαπτο- µένη, η τέµνουσα και η συντέµνουσα. Οι ορισµοί και οι ιδιότητες αυτών των συναρτήσεων µας είναι γνωστά από το Λύκειο. Οµως τώρα ϑα δώσουµε νέους ισοδύναµους µε τους παλαιούς) ορισµούς αυτών των συναρτήσεων. 4. Θεωρια και Παραδειγµατα 4... Ορισµος: Ορίζουµε στο, ) τις συναρτήσεις Συνηµίτονο: cos x = x! + x 4 4! x 6 6! +... = ) n x n, 4.) n)! Ηµίτονο: sin x = x x 3 3! + x 5 5! x 7 7! +... = ) n x n+ n=0 n=0 n + )!. 4.) 4... Παρατηρηση: Οπως και στο προηγουµενο κεφαλαιο, απαιτετιται διερευνηση της ορθοτητας του Ορισµου 4.. και, συγκεκριµενα, της συγκλισης των απειρων αθροισµατων 4.)-4.). Αυτη η διερευνηση ϑα γινει στο Κεφαλαιο Θεωρηµα: Για κάθε x R ισχύουν Αποδειξη. Εχουµε τα οποια δινουν cos x = eix + e ix, sin x = eix e ix. i e ix = + ix + ix) + ix)3 + ix)4 + ix)5 +...! 3! 4! 5! e ix = ix + ix) + ix)3 + ix)4 + ix)5 +...! 3! 4! 5! e ix = + ix x e ix = ix x! ix 3 3! + x 4 4! + ix 5 5! +...! + ix3 3! + x 4 4! ix 5 5!

67 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6 Προσθετοντας κατα µελη παιρνουµε e ix + e ix = x! + x ) 4 4!... και αφαιρωντας κατ µελη παιρνουµε e ix e ix = i x x 3 3! + x ) 5 5!... τα οποια δινουν τα Ϲητουµενα Θεωρηµα: Για κάθε x R ισχύουν Αποδειξη. Στο προηγουµενο εχουµε δει οτι cos x = Re e ix ) δηλ. το πραγµατικο µέρος της e ix ) sin x = Im e ix ) δηλ. το ϕανταστικο µέρος της e ix ). e ix = + ix x! ix 3 3! + x 4 4! + ix 5 5! +... e ix = ix x! + x 3 3! + x 4 4! ix 5 5! +... = + ix x! ix 3 3! + x 4 4! + ix = eix 5! οπου a + ib = a ib). Ξερουµε οτι για καθε µιγαδικο αριθµο z = a + ib ισχυει Οποτε εχουµε z + z cos x = eix + e ix Θεωρηµα: Για κάθε x R ισχυει = Re z), z z i = Im z). = Re e ix ), sin x = eix e ix. Αποδειξη. Εχουµε e ix = Re e ix ) + i Im e ix ) = cos x + i sin x Θεωρηµα: Για κάθε x R ισχυει Αποδειξη. i = Im e ix ). e ix = cos x + i sin x 4.3) cos x + sin x =. 4.4) ) e ix + cos x + sin e ix e ix + e ix x = + i = eix + e ix + 4 ) eix + e ix 4 = 4 4 =.

68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Θεωρηµα: Για κάθε x R ισχύουν Αποδειξη. Εχουµε Θεωρηµα: Για καθε x, y R ισχυουν : cos x) = cos x, sin x) = sin x. 4.5) cos x) = ei x) + e i x) = e ix + e ix = cos x, sin x) = ei x) e i x) = e ix e ix i i = -sin x. cos x + y) = cos x cos y sin x sin y sin x + y) = sin x cos y + cos x sin y cos x y) = cos x cos y + sin x sin y sin x y) = sin x cos y cos x sin y Ασκηση: Αποδειξε οτι cos x + y) = cos x cos y sin x sin y. Αποδειξη. Εχουµε cos x cos y sin x sin y = eix + e ix e iy + e iy eix e ix e iy e iy i i = eix+y) + e ix y) + e i x+y) + e ix+y) + eix+y) e ix y) e i x+y) + e ix+y) 4 4 = eix+y) + e ix+y) = cos x + y) Θεωρηµα: Για κάθε x R ισχύουν cos x)) = sin x, sin x)) = cos x. 4.6) Αποδειξη. Εχουµε cos x)) = x! + x ) 4 4!... = 0 x! + 4x 3 3 x... = x +... = sin x, 4! 3! sin x)) = x x 3 3! + x ) 5 = 3x 5! 3! + 5x 4 5!... = x! + x 4... = cos x. 4! 4... Θεωρηµα: Οι συναρτήσεις cos x, sin x είναι συνεχείς και παραγωγίσιµες στο, ). Αποδειξη. Προκύπτει άµεσα από το ότι υπαρχουν οι cos x) και sin x) Ληµµα. Αποδειξε οτι : αν η f x) ειναι δις διαφορισιµη και κοιλη, τοτε x, y R : f y) y x) f y) f x). Αποδειξη. Ας υποθεσουµε οτι x < y. Τοτε z x, y) : f z) = f y) f x). y x

69 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 63 Αφου η f x) ειναι κοιλη, η f x) ειναι ϕθινουσα. Οποτε και z < y f z) f y) f y) f y) f x) y x που δινει το Ϲητουµενο. Η περιπτωση y < x αποδεικνυεται παροµοια Ληµµα. Αποδειξε οτι : αν η f x) ειναι δις διαφορισιµη, κοιλη και ϕραγµενη, τοτε η f x) ειναι σταθερη. Αποδειξη. Εστω οτι για καποιο y R εχουµε f y) > 0. Τοτε, απο το προηγουµενο προβληµα : x, y R : f y) y x) f y) f x) x, y R : f x) f y) f y) y x) y R : lim f x) lim f y) f y) y x) ) = x x Αλλα αν lim x f x) = η f x) δεν ειναι ϕραγµενη και οδηγηθηκαµε σε ατοπο. Με αναλογο τροπο δειχνουµε οτι η υποθεση οτι y : f y) < 0) οδηγει σε ατοπο. Αρα y R : f y) = 0 ) y R : f y) = c ) Θεωρηµα: Το cos x έχει τουλάχιστον µία ϱίζα στο 0, ). Λύση. Ξερουµε οτι η cos x ειναι δις διαφορισιµη. Απο την σχεση sin x + cos x = ϐλεπουµε οτι ειναι και ϕραγµενη, και µαλιστα cos x. Εστω οτι x : cos x > ) Τοτε, αφου cos x) = sin x) = cos x, η cos x ϑα ειναι κοιλη οποτε απο το προηγουµενο προβληµα) ϑα ειναι σταθερη. ηλαδη ϑα εχουµε. x : cos x) = cos 0) = 0! =. 4! Αφου οµως sin x) = cos x = > 0, τοτε η sin x ϑα ειναι γνησιως αυξουσα. Οποτε για καθε x > 0 ϑα εχουµε sin x > 0. Και τοτε cos x) = sin x < 0, δηλ. η cos x ϑα ειναι γνησιως ϕθινουσα στο 0, ) αλλα ειχαµε υπθεσει οτι η cos x ειναι σταθερα. Εν ολιγοις, η υποθεση 4.7) οδηγει σε ατοπο. Αρα ϑα υπαρχει x > 0 τετοιο ωστε cos x < 0. Και τοτε, απο το Θεωρηµα της Ενδιαµεσης Τιµης, ϑα υπαρχει και x 0, x ) τετοιο ωστε cos x = 0. Αν τωρα ϑεωρησουµε το συνολο A = {x : x > 0 και cos x) = 0}, το A ειναι µη κενο και µπορουµε να ορισουµε x 0 = min A δηλ. το x 0 ειναι η µικροτερη ϑετικη ϱιζα του cos x). Οριζουµε τον αριθµο π = x 0, δηλ. µε αλλα λογια, cos ) π = 0 και π ειναι η µικροτερη ϑετικη ϱιζα του cos x.

70 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Παρατηρηση: Στην πραγµατικοτητα στην παραπανω αποδειξη υπαρχει ενα κενο. Μπορεις να το ϐρεις ; Ορισµος: Εστω x 0 η µικρότερη αυστηρά ϑετική ϱίζα του cos x. Συµβολίζουµε µε π την τιµη π = x Θεωρηµα: sin π) = 0. Αποδειξη. Εχουµε sin x + y) = sin x cos y + sin y cos x οποτε και π sin π) = sin + π ) = sin π cos π = Θεωρηµα: cos π) =, sin π) = 0. Αποδειξη. Εχουµε 0 = sin π) = eiπ e iπ = 0. i Άρα = e iπ = cos π) + i sin π) οπότε cos π) =, sin π) = Θεωρηµα: Οι συναρτήσεις cos x), sin x) είναι περιοδικές µε περίοδο π. Αποδειξη. Παίρνουµε τυχόν x R και έχουµε cos x + π) = cos x cos π - sin x sin π = cos x, sin x + π) = sin x cos π + cos x sin π = sin x Θεωρηµα: Για κάθε n N ισχύουν τα εξής cos nπ) = ) n, sin nπ) = 0, cos nπ + π ) = 0, sin nπ + π ) = ) n Ασκηση: Αποδειξτε οτι για κάθε n N ισχύουν τα εξής Αποδειξη. Η αποδειξη ειναι επαγωγικη. Για n = 0 ισχυει οτι cos nπ) = ) n, sin nπ) = ) cos 0π) = cos 0) = = ) 0, sin 0π) = sin 0) = 0. Εστω οτι η 4.8) ισχυει για n = {0,,,..., k}. Τωρα cos k + ) π) = cos kπ) cos π) sin kπ) sin π) = cos π) = = ) k+, cos k + ) π) = cos kπ) cos π) sin kπ) sin π) = cos π) = = ) k+, sin k + ) π) = sin kπ) cos π) + cos kπ) sin π) = 0, sin k + ) π) = sin kπ) cos π) + cos kπ) sin π) = 0. Ετσι η επαγωγη ειναι πληρης και η αποδειξη εχει ολοκληρωθει. Μην ανησυχεις, µπορει να συµπληρωθει, ωστε η αποδειξη να ειναι αυστηρα σωστη.

71 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισµος: Ορίζουµε στο, ) τις συναρτήσεις Θεωρηµα: Για καθε x, y R ισχυουν : tan x + y) = Ασκηση: Αποδειξε οτι tan x + y) = Αποδειξη. Εχουµε εφαπτοµένη: tan x = sin x cos x, συνεφαπτοµένη: cot x = cos x sin x, τέµνουσα: sec x = cos x, συντέµνουσα: csc x = sin x. tan x + tan y tan x tan y, tan x y) = tan x tan y + tan x tan y. sin x + sin y cos x cos y tan x + tan y tan x tan y = sin x Θεωρηµα: Για καθε x R ισχυουν : Ασκηση: Αποδειξε οτι tan x+tan y tan x tan. y sin y cos x cos y sin x cos y + sin y cos x sin x + y) = = cos x cos y sin x sin y cos x + y) = tan x + y). cos x) = cos x sin x = cos x = sin x sin x) = sin x cos y cos 3x) = 4 cos 3 x 3 cos x sin 3x) = 3 sin x 4 sin 3 x cos x) = cos x sin x = cos x = sin x. Αποδειξη. Εχουµε cos x) = cos x + x) = cos x cos x sin x sin x = cos x sin x = cos x cos x) = cos x = sin x) sin x = sin x Θεωρηµα: Για καθε x R ισχυουν : cos x = + cos x, sin x = cos x.

72 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ασκηση: Αποδειξε οτι cos +cos x x =. Αποδειξη. Ειναι αµεση συνεπεια του cos x) = cos x Θεωρηµα: Για καθε x R ισχυουν : sin x = tan x, cos x = + tan x Ασκηση: Αποδειξε οτι sin x = tan x. +tan x Αποδειξη. Εχουµε sin x tan x cos x = + tan x + sin x Θεωρηµα: Για καθε x, y R ισχυουν : cos x. + tan x = sin x cos x cos x = sin x. cos x cos y = cos x y) + cos x + y) sin x sin y = cos x y) cos x + y) sin x cos y = sin x + y) sin x y) Ασκηση: Αποδειξε οτι cos x cos y = cos x y) + cos x + y). Αποδειξη. Εχουµε cos x y) + cos x + y) = cos x cos y + sin x sin y + cos x cos y sin x sin y = cos x cos y Θεωρηµα: Για καθε x, y R ισχυουν : x + y ) x y ) sin x + sin y = sin cos x y ) x + y ) sin x sin y = sin cos x + y ) x y ) cos x + cos y = cos cos x + y ) x y ) cos x cos y = sin sin Ασκηση: Αποδειξε οτι sin x + sin y = sin ) x+y cos x y ). Αποδειξη. Θετουµε A = x+y, B = x y. Τοτε εχουµε x + y ) x y ) sin cos = sin A + B) + sin A B) x + y = sin + x y ) x + y + sin = sin x) + sin y). x y )

73 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Θεωρηµα: Για καθε xr ισχυουν : Ασκηση: Αποδειξε οτι sin x = tan x Αποδειξη. Εχουµε sin x = tan x + tan x, cos x = tan x + tan x. tan x + tan x = = +tan x. sin x cos x + sin x sin x cos x cos x cos x = sin x cos x cos x +sin x cos x = cos x sin x = sin x Ορισµος: Οριζουµε τις αντιστροφες τριγωνοµετρικες συναρτησεις ως εξης x [, ] : arcsinx) = y x = siny), x [, ] : arccosx) = y x = cosy), x, ) : arctanx) = y x = tany), x, ) : arccotx) = y x = coty), x, ] [, ) : arcsecx) = y x = secy), x, ] [, ) : arccscx) = y x = cscy) Θεωρηµα: Για τις παραγωγους των αντιστροφων τριγωνοµετρικων συναρτησεων ισχυουν τα εξης. arcsin x) = x arccos x) = x arctan x) = x + arccot x) = x + arcsec x) = x x Ασκηση: Αποδειξε οτι arcsin x) = x, arccsc x) = x x x. x, Αποδειξη. Θετουµε y = arcsin x οποτε x = sin y και x = cos y. Τοτε dy = d sin y = cos y = x dy = x

74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ασκηση: Σχεδιασε την συναρτηση arccos x. Λυση. Καταρχην παρατηρουµε οτι το πεδιο ορισµου της arccos x ειναι το [, ] γιατι ;). Οποτε η γραφικη παρασταση της arccos x ειναι αυτη µιας ηµιπεριοδου της cos x γιατι ;), καθρεφτισµενη γυρω απο την y = x γιατι ;) οπως ϕαινεται στο Σχηµα 4.. Σχ.4.: Η γραφικη παρασταση της arccos x Ασκηση: Σχεδιασε την συναρτηση arcsin x. Λυση. Καταρχην παρατηρουµε οτι το πεδιο ορισµου της arcsin x ειναι το [, ] γιατι ;). Οποτε η γραφικη παρασταση της arcsin x ειναι αυτη µιας ηµιπεριοδου της sin x γιατι ;), καθρεφτισµενη γυρω απο την y = x γιατι ;) οπως ϕαινεται στο Σχηµα 4.. Σχ.4.: Η γραφικη παρασταση της arcsin x Ασκηση: Σχεδιασε την συναρτηση arctan x. Λυση. Καταρχην παρατηρουµε οτι το πεδιο ορισµου της arctan x ειναι το, ) γιατι ;). Οποτε η γραφικη παρασταση της arctan x ειναι αυτη της tan x γιατι ;), καθρεφτισµενη γυρω απο την y = x γιατι ;) οπως ϕαινεται στο Σχηµα 4.3.

75 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Θεωρηµα: Για καθε x R ισχυουν : Σχ.4.3: Η γραφικη παρασταση της arctan x. arcsin x + arccos x = π, arctan x + arccot x = π, arctan x + arctan { π x = x > 0 π x < Ασκηση: Αποδειξε οτι arcsin x + arccos x = π. Αποδειξη. Θετουµε φ = arcsin x [ π, π], φ = arccos x [0, π]. Τοτε εχουµε Θεωρηµα: Για καθε x R ισχυουν : sin φ = x = cos φ φ = π φ φ + φ = π. sin arccos x) = x, sin arctan x) = x, + x cos arcsin x) = x, cos arctan x) =, + x x x tan arcsin x) =, tan arccos x) =. x x Ασκηση: Αποδειξε οτι sin arccos x) = x. Αποδειξη. Εχουµε y = arccos x x = cos y. Τοτε sin y = x και 4. Λυµενα Προβληµατα sin arccos x) = sin y = x Αποδειξε οτι sinx + y) = sin x cos y + cos x sin y.

76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 70 Λυση. Εχουµε sin x cos y + cos x sin y = eix e ix eiy + e iy + eix + e ix eiy e iy i i = eix+y) e i x+y) + e ix y) e ix+y) + eix+y) + e i x+y) e ix y) e ix+y) 4i 4i = eix+y) e ix+y) = sin x + y). 4i 4... Ασκηση: Αποδειξτε οτι για κάθε n N ισχυει cos nπ + π ) = ) Λυση. Η αποδειξη ειναι επαγωγικη. Για n = 0 ισχυει οτι π ) π ) cos = 0, sin =. Εστω οτι η 4.9) ισχυει για n = {0,,,..., k}. Τωρα cos k + ) π + π ) π ) π ) = cos k + ) π) cos sin k + ) π) sin = 0. Ετσι η επαγωγη ειναι πληρης και η αποδειξη εχει ολοκληρωθει Αποδειξε οτι sin x = sin x cos x Λυση Αποδειξε οτι sin 3x = 3 sin x 4 sin 3 x Λυση. Εχουµε sin x cos x = eix e ix eix + e ix i = eix+ix e ix e ix + e ix ix e ix ix i = eix e ix = sin x. i e i3x = e ix ) 3 = cos x + i sin x) 3 Οποτε = cos 3 x + 3 cos x i sin x) + 3 cos x i sin x) + i sin x) 3 = ) ) cos 3 x 3 cos x sin x + i 3 cos x sin x sin 3 x. Im e i3x) = Im cos 3x + i sin 3x) = 3 cos x sin x sin 3 x sin 3x = 3 sin x) sin x sin 3 x = 3 sin x 4 sin 3 x Αποδειξε οτι sin cos x x =. Λυση. Ειναι αµεση συνεπεια του cos x = sin x.

77 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αποδειξε οτι cos x =. +tan x Λυση. Εχουµε = + tan x + sin x cos x = Αποδειξε οτι sin x cos y = sinx y) + sinx y). Λυση. Εχουµε cos x = cos x. sinx y) + sinx y) = sin x cos y + cos x sin y + sin x cos y cos x sin y = sin x cos y Αποδειξε οτι sin x sin y = sin ) x y cos x+y ) Λυση. Θετουµε A = x+y, B = x y, οποτε Τοτε A + B = x, A B = y. sin x sin y = sin A + B) sin A B) Αποδειξε οτι cos x = tan x. +tan x Λυση. Εχουµε Υπολογισε τις παραγωγους. ) d. e x x d sin x 3 + 7e x)). cot x). ). d d sin 3 x ln x Λυση. Εχουµε. d e x x) = e x + x e x. = sin A cos B + cos A sin B sin A cos B cos A sin B) x + y ) x y ) = cos A sin B = cos sin. cos x sin x cos x cos x = tan x = + tan x cos x +sin x cos x = cos x x x sin = cos + x ) = cos x.. d sin x 3 + 7e x)) = cos 7e x + x 3)) 7e x + 3x ).

78 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ d cot x) = cot x. ) d sin 3 x = x ln x cos 3 x + x ln x cos x 3 sin x + sin 3x ). ln x 4x ln x 4... Υπολογισε τα ορια tan x. lim. x 0 x. lim x x) tan ) πx. 3. lim x 0 cos x x. 4. lim x 0 tan x sin x Λυση. Εχουµε x. tan x. lim x 0 = lim x 0tan x) x lim x 0 = lim x 0tan x+) x) lim x 0 =. ). lim x x) tan ) πx = lim x 0 x) 3. lim x 0 cos x 4. lim x 0 tan x sin x x = lim x 0 cos x) lim x 0 = tan πx ) lim x 0x ) = lim x 0sin x) x = lim x 0tan x sin x) lim x 0 lim x 0 ) lim x 0 x) = lim x 0cos x) π tan πx tan πx+) ) =. π lim x 0 ) =. lim x 0x ) = lim x 0tan x+ cos x) lim x 0 = lim x 0tan x+ cos x) x) lim x 0 = x) Βρες προσεγγιστικα την τιµη του sin 0) χρησιµοποιωντας το διαφορικο. Το ιδιο και για την τιµη του cos 6 0) και του cos 44 0). Λυση. Καταρχην τονιζουµε οτι στις τριγωνοµετρικες συναρτησεις το ορισµα x µετραται σε ακτινια. Αρα πρεπει να µετατρεψουµε την 0 σε ακτινια. Εχουµε Οποτε x π = 0 80 x = sin 0) = sin ) sin 0) + sin 0) = sin 0) + cos 0) Αντιστοιχα cos 6 0) π ) = cos cos π/3) sin π/3) Τελος = cos 44 0) π ) = cos cos π/4) sin π/4) =

79 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αποδειξε οτι, για x [ 0, π/ ], ισχυει sin x x. Λυση. Θετουµε f x) = sin x x. Εχουµε f x) = sin x x) = cos x. Τοτε για καθε x [ 0, π/ ] εχουµε f x) 0 και η f x) ειναι ϕθινουσα, οποτε x [ 0, π/ ] : sin x x = f x) f 0) = 0 sin x x Βρες τα διαστηµατα στα οποια ειναι µονοτονη η f x) = sin x + cos x. Λυση. Παρατηρουµε οτι f x) = sin x + cos x = sin x + cos x = sin x cos π 4 + cos x sin π ) = sin x + π ). 4 4 Οποτε η f x) εχει µεγιστο το, στα σηµεια x n = nπ + π 4 x n = n + ) π + π οπου n Z). 4 και ελαχιστο το, στα σηµεια Βρες τα τοπικα µεγιστα και ελαχιστα της f x) = sin x + cos x. Λυση. Εχουµε f x) = d sin x + cos x) = cos x sin x. Για να ϐρουµε τις ϱιζες της f x) λυνουµε την cos x sin x = 0 cos x = sin x Οι λυσεις ειναι της µορφης Η δευτερη παραγωγος ειναι Οποτε εχουµε x k = π + πk, k Z, x k = π + πk, k Z, 6 x k = 5 π + πk, k Z. 6 f x) = d cos x sin x) = sin x 4 cos x. ) f x k ) = sin π + πk 4 cos π + kπ) = ± + 4 > 0 το οποιο σηµαινει οτι στα x k εχουµε τοπικο ελαχιστο. Επισης f x ) ) k = sin 6 π + πk 4 cos ) = sin 6 π 4 cos 3 π ) < 0 3 π + 4πk )

80 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 74 το οποιο σηµαινει οτι στα x k εχουµε τοπικο µεγιστο. Τελος f x ) 5 ) 5 ) 5 ) 5 ) k = sin 6 π + πk 4 cos 3 π + 4πk = sin 6 π 4 cos 3 π = 3 < 0 το οποιο σηµαινει οτι στα x k εχουµε τοπικο µεγιστο. sin x Κανε την γραφικη παρασταση της f x) = sin x + Λυση. Προφανως η f x) εχει περιοδο π. Θα κανουµε την γραφικη παρασταση για το διαστηµα [0, π]. Εχουµε f x) = cos x +cos x µε τρεις ϱιζες x = π, x 3 = π, x 3 = 5π 3 στο διαστηµα [0, π]. Η µονοτονια της συναρτησης ειναι ως εξης. x ) ) 0, 3) π π π,, π 5π 3 3 ) 5π 3 f x) ϑετικη αρνητικη αρνητικη ϑετικη f x) αυξουσα ϕθινουσα ϕθινουσα αυξουσα Κατα συνεπεια η γραφικη παρασταση εχει τη µορφη του Σχηµατος 4.4. sin x Σχ.4.4: Η γραφικη παρασταση της sin x Κανε την γραφικη παρασταση της f x) = sin ). x Λυση. Προφανως η γραφικη παρασταση εχει την µορφη του Σχηµατος 4.5. ) Σχ.4.5: Η γραφικη παρασταση της sin. x

81 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Υπολογισε την arcsin x). Λυση. Εχουµε y = arcsin x x = sin y, Απο το οποιο εχουµε επισης cos y = x. Τωρα Υπολογισε την arctan x). Λυση. Εχουµε dy = cos y arcsin x) = dy = = cos y =. x dy y = arctan x x = tan y, Απο το οποιο εχουµε επισης cos y = + x. Τωρα dy = cos y arctan x) = dy = = ), Υπολογισε τις arcsin 3 x )) arcsin x 3, ln arctan x)). Λυση. Εχουµε ) d. arcsin 3 x = 3 arcsin x. x. 3. d arcsin x 3 )) = 3 x x 6. d ln arctan x)) = arctan x)x +). arctan x x 4... Υπολογισε το lim x 0 Λυση. Εχουµε sin x x. dy cos y = + x. arctan x x lim = lim x 0 arctan x x) x 0 sin x x lim x 0 sin x x) = lim x 0 +x lim x 0 cos x ) ) lim x 0 x ) +x = ) x = lim lim lim x 0 sin x) x 0 + x ) x 0 sin x = Κανε την γραφικη παρασταση της f x) = arcsin x. +x Λυση. Εχουµε f x x) = x + ). x 4 + x + Λυνοντας την εξισωση f x) = 0 ϐρισκουµε δυο ϱιζες x =, x =. Η µονοτονια της συναρτησης ειναι ως εξης. x, ), ), ) f x) αρνητικη ϑετικη αρνητικη f x) ϕθινουσα αυξουσα ϕθινουσα ) Κατα συνεπεια η γραφικη παρασταση εχει τη µορφη του Σχηµατος 4.6.

82 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αλυτα Προβληµατα Αποδειξε τους παρακατω τυπους.. sec x = csc x csc x.. sec x = +cot x cot x. 3. csc x = sec x sec x. 4. csc x = + cot x Αποδειξε τους παρακατω τυπους.. tan x = tan x tan x.. tan 3x = 3 tan x tan3 x 3 tan x Αποδειξε τους παρακατω τυπους. x Σχ.4.6: Η γραφικη παρασταση της arcsin + x.. arcsin x + arcsin y = arcsin x y + ) y x.. arccos x + arccos y = arcsin xy + ) x y. 3. arctan x + arctan y = arctan ) x+y. xy Αποδειξε τους παρακατω τυπους.. sin x = tan x +tan x.. cos x = tan x +tan x.

83 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Υπολογισε τις παραγωγους. ) d. e x sin x. Απ. e x cos x + x sin x) d d d d tan x 3 + 7e x)). Απ. 7e x + 3x ) tan 7e x + x 3) + ). cot x x + ). Απ. cot x + ) x. x + x +) sinlnx+)) cos ln x + ))). Απ.. x+ sin 3 x + ) ). Απ. 6x cos x + )) cos x + ) ) Υπολογισε τα ορια tan x. lim x 0. Απ.. x 4 tan x. lim 4 x 0. Απ. 0. x lncos x) 3. lim x 0 Απ.. x tan x 4. lim sin x x 0. Απ.. x 6 e 5. lim sin x x 0. Απ.. x Υπολογισε προσεγγιστικα µε χρηση του διαφορικου, χωρις χρηση υπολογιστη) την tan 46 0) και την tan 44 0). Απ και ) Υπολογισε το sin 0 0) και την tan 5 0) µε ακριβεια 0 3 χωρις χρηση υπολογιστη Εξετασε την συνεχεια της συναρτησης f x) = cot ) Εξετασε την συνεχεια της συναρτησης f x) = cosx) x sin x) Βρες τα τοπικα µεγιστα και ελαχιστα της f x) = cos x + x Κανε την γραφικη παρασταση της της f x) = sin x cos x Κανε την γραφικη παρασταση της f x) = sin x + cos x Βρες την dy οταν y = f cos x ) + f sin x) Αποδειξε οτι arccos x) = και arccot x) x = Υπολογισε τις παραγωγους.. arcsin x). Απ. arcsin x. x d x +. στο [ π, π].. d arcsin x 3 + )) x. Απ. 3 x 3 x 3 +).

84 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ d ln arccos x)). Απ. arccos x). x arctan x Υπολογισε το lim x x 0. Απ. 0. sin x x ειξε οτι arcsin x + arccos x = π ειξε οτι arccos x = arctan x. +x Βρες τις dy, d y οταν arctan y y + x = Κανε την γραφικη παρασταση της f x) = arcsin x +x Κανε την γραφικη παρασταση της f x) = arctan x. x 4.4 Προχωρηµενα Αλυτα Προβληµατα Αποδειξε ότι lim x 0 sin x Αποδειξε ότι lim x 0 cos x x x = χωρις χρηση του κανονα l Hospital. = 0 και lim x 0 cos x Αποδειξε οτι, για x 0, π/), ισχυει tan x > x + x Εστω οτι x + y + z + u = π. Αποδειξε οτι x = χωρις χρηση του κανονα l Hospital. sin x + y) sin x + u) = sin x sin z + sin u sin y = sin x + y) sin y + z) Βρες τα διαστηµατα στα οποια ειναι µονοτονη η f x) = cos x x Βρες τα διαστηµατα στα οποια ειναι µονοτονη η f x) = cos ) π Κανε την γραφικη παρασταση της f x) = x arctan x Κανε την γραφικη παρασταση της { x sin x 0 f x) = x 0 x = Αποδειξε οτι η συναρτηση { x f x) = + x sin x 0 x 0 x = 0. δεν ειναι µονοτονη σε κανενα διαστηµα [a, b] µε a < 0 < b Αποδειξε οτι η συναρτηση f x) = 3. { sin x ) x x 0 0 x = 0. x εχει ελαχιστο στο x = 0, αλλα δεν ειναι µονοτονη σε κανενα διαστηµα [a, b] µε 0 < a < b ή a < b < 0.

85 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Βρες τα τοπικα µεγιστα και ελαχιστα της f x) = cos x + x Βρες µιά συνάρτηση f x) τέτοια ώστε f x) + f x) = 0. x3 6 στο [ π, π] Για καθε x R εχουµε sin x) sin x < cos x) cos x. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα Για καθε x R εχουµε sin x) sin x > cos x) cos x. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα ειξε οτι sin x sin y = sin x y) sin x + y) Βρες µια συναρτηση f x) η οποια ικανοποιει την συναρτησιακη εξισωση x, y R : f xy x ) y ) ) = f x) + f y) Βρες µια συναρτηση f x) η οποια ικανοποιει την συναρτησιακη εξισωση x, y R : f x x + ) y y = f x) + f y) Βρες µια συναρτηση f x) η οποια ικανοποιει την συναρτησιακη εξισωση ) x + y x, y R : f = f x) + f y). xy Η εξισωση sin cos x) = cos sin x) δεν εχει καµµια λυση. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα ειξε οτι arctan x arctan y x y Υπαρχει ακριβως µια συνεχης συναρτηση x y) η οποια ικανοποιει την εξισωση x ε sin x = y οπου ε 0, )). Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα Μαθ. Ολυµπιάδα) Αποδειξε ότι : αν για κάποιο θ ισχύει sin θ + cos θ 0, τότε ισχύει και sin 05 θ + cos 05 θ 0. Ισχύει και sin 04 θ + cos 04 θ 0; Μαθ. Ολυµπιάδα) Αποδειξε ότι : αν η συνάρτηση f x) = sin x +cos κx είναι περιοδική, τότε κ Q Μαθ. Ολυµπιάδα) Αποδειξε ότι : αν για κάποιο θ ο αριθµός sin θ + cos θ είναι ϱητός, τότε το ίδιο ισχύει και για τον sin n θ + cos n θ για κάθε n N) Μαθ. Ολυµπιάδα) Αποδειξε οτι cos o ) Q Μαθ. Ολυµπιάδα) Αν sin x cos y = τι τιµες µπορει να παρει το cos x sin y; Μαθ. Ολυµπιάδα) Ποια ειναι η µεγιστη τιµη του sin x + a cos x) sin x + b cos x); Μαθ. Ολυµπιάδα) Βρες ολα τα x για τα οποια {sin x, sin x, sin 3x} = {cos x, cos x, cos 3x} Μαθ. Ολυµπιάδα) Εστω τριγωνο µε πλευρες a, b, c και απεναντι γωνιες A, B, C. Βρες τα x για τα οποια a x cos A + b x cos B + c x cos C ax + b x + c x ) Μαθ. Ολυµπιάδα) Εστω τριγωνο µε γωνιες A, B, C. ειξε οτι Ποτε ισχυουν οι ισοτητες ; sin 3A) + sin 3B) + sin 3C) 3 3.

86 Κεφάλαιο 5 Υπερβολικες Συναρτησεις Οι υπερβολικές συναρτήσεις ορίζονται παρόµοια µε τις τριγωνοµετρικές και έχουν πολλές ανάλογες ιδιότητες. 5. Θεωρια και Παραδειγµατα 5... Ορισµος: Οριζουµε στο, ) τις υπερβολικες συναρτησεις κατ αντιστοιχια των τριγωνοµετρικων): Υπερβολικο συνηµιτονο : cosh x = + x! + x 4 4! +... = n=0 x n n)!, Υπερβολικο ηµιτονο : sinh x = x + x 3 3! + x 5 5! +... = n+)! Υπερβολικη εφαπτοµενη : tanh x = sinh x cosh x, Υπερβολικη συνεφαπτοµενη : coth x = cosh x sinh x, Υπερβολικη τεµνουσα : sec hx = cosh x Υπερβολικη συντεµνουσα : cschx = sinh x Θεωρηµα:Για κάθε x R ισχύουν sinhx) = ex e x, coshx) = ex + e x, tanhx) = ex e x e x + e, cothx) = ex + e x x e x e, x sec hx) = e x + e, csc hx) = x e x e. x n=0 x n Ασκηση: Αποδειξε οτι cosh x) = ex +e x. 80

87 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 8 Λυση. Εχουµε Με προσθεση καταµελη παιρνουµε Θεωρηµα: Για κάθε x R ισχύει Αποδειξη. Εχουµε e x = + x + x! + x 3 3! + x 4 4!... e x = x + x! x 3 3! + x 4 4!... cosh x) = ex + e x = + x! + x 4 4! cosh x sinh x =. ) cosh x) sinh ex + e x ex e x x = = ex + e x + ex + e x = + = Θεωρηµα: Για κάθε x R ισχύει cosh x) = sinh x, sinh x) = cosh x Ασκηση: Αποδειξε οτι cosh x)) = sinh x. Λυση. Εχουµε ) cosh x)) ex + e x = = ex e x = sinh x Θεωρηµα: Για καθε x R: cosh x) = cosh x, sinh x) = sinh x Ασκηση: Αποδειξε οτι sinh x) = sinh x. Λυση. Εχουµε sinh x) = e x e x) = ex e x = sinh x Θεωρηµα: Οι συναρτήσεις cosh x, sinh x είναι συνεχείς και παραγωγίσιµες στο, ). Αποδειξη. Προκυπτει αµεσα απο το οτι cosh x)) = sinh x, sinh x)) = cosh x Ασκηση: Σχεδιασε την συναρτηση cosh x. Λυση. Εχουµε cosh x = ex + e x = ex + e x ). Η ελαχιστη τιµη της cosh x ειναι το cosh 0 =. Επισης ϕαινεται αµεσα οτι lim cosh x =. x ± Επειδη cosh x) = sinh x = ex e x

88 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 8 εχουµε x < 0 sinh x < 0, x > 0 sinh x > 0. Οποτε η cosh x ειναι ϕθινουσα στο, 0) και αυξουσα στο 0, ). Επειδη για καθε x cosh x) = cosh x = ex + e x ϐλεπουµε οτι η cosh x ειναι κυρτη στο, ). Χρησιµοποιωντας τα παραπανω παιρνουµε την γραφικη παρασταση του Σχηµατος 5.. > 0, Σχ.5.: Η γραφικη παρασταση της cosh x Ασκηση: Σχεδιασε την συναρτηση sinh x. Λυση. Επειδη sinh x = ex e x, εχουµε Επισης ϕαινεται αµεσα οτι lim x Επειδη για καθε x, ) εχουµε x < 0 sinh x < 0, x > 0 sinh x > 0. sinh x =, lim x sinh x) = cosh x = ex + e x sinh x =. ϐλεπουµε οτι η sinh x ειναι αυξουσα στο, ). Επειδη sinh x) = sinh x, ϐλεπουµε οτι η sinh x ειναι κοιλη στο, 0) και κυρτη στο 0, ). Χρησιµοποιωντας τα παραπανω παιρνουµε την γραφικη παρασταση του Σχηµατος 5.. > 0,

89 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 83 Σχ.5.: Η γραφικη παρασταση της sinh x Ασκηση: Σχεδιασε την συναρτηση tanh x. Λυση. Εχουµε tanh x = sinh x cosh x = ex e x e x + e. x Οποτε e x e x lim tanh x = lim tanh x = lim x x x e x + e = lim e x x x + e = 0 x + 0 =. Με αντιστοιχο τροπο ϐρισκουµε lim tanh x = x Επισης ϕαινεται ευκολα οτι η µονη ϱιζα της tanh x = 0 ειναι η x = 0. Εχουµε tanh x) = 4e x e x + ) > 0 οποτε η tanh x ειναι αυξουσα στο, ). Τελος e tanh x) x ) 8e x = e x + ) 3 οποτε η tanh x ειναι κυρτη στο, 0) και κοιλη στο 0, ). Χρησιµοποιωντας τα παραπανω παιρνουµε την γραφικη παρασταση του Σχηµατος 5.3.

90 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Θεωρηµα: Για κάθε x, y R ισχυουν : Σχ.5.3: Η γραφικη παρασταση της tanh x. cosh x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y sinh x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y cosh x y) = cosh x cosh y sinh x sinh y sinh x y) = sinh x cosh y cosh x sinh y Ασκηση: Αποδειξε οτι sinhx + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y Λυση. Εχουµε sinh x cosh y + cosh x sinh y = ex e x ey + e y + ex + e x ey e y = ex+y e x+y + e x y e x+y) Θεωρηµα: Για κάθε x, y R ισχυουν tanh x + y) = 4 + ex+y + e x+y e x y e x+y) 4 = ex+y e x+y) = sinh x + y). 4 tanh x + tanh y tanh x tanh y, tan x y) = tanh x tanh y + tanh x tanh y Ασκηση: Αποδειξε οτι : για κάθε x, y R ισχύει tanh x + y) = Λυση. Εχουµε sinh x + sinh y cosh x cosh y tanh x + tanh y + tanh x tanh y = + sinh x sinh y cosh x cosh y = sinh x cosh y+sinh y cosh x cosh x cosh y cosh x cosh y+sinh x sinh y cosh x cosh y tanh x+tanh y tanh x tanh. y sinh x cosh y + sinh y cosh x sinh x + y) = = = tanh x + y). cosh x cosh y + sinh x sinh y cosh x + y) Θεωρηµα: Για κάθε x R ισχυουν : cosh x = cosh x + sinh x = cosh x = sinh x + sinh x = sinh x cosh x Ασκηση: Αποδειξε οτι : για κάθε x R ισχύει cosh x = cosh x + sinh x = cosh x = sinh x +. Λυση. Εχουµε cosh x = cosh x + x) = cosh x cosh x + sinh x sinh x = cosh x + sinh x = cosh x + cosh x = cosh x = + sinh x + sinh x = sinh x +.

91 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Θεωρηµα: Οι παρακατω τυποι αποτετραγωνισµου ειναι χρησιµη στον υπολογισµο ολοκληρωµατων. cosh cosh x + cosh x =, sinh x x = Ασκηση: Αποδειξε οτι για κάθε x R ισχύει cosh x = cosh x +. Λυση. Προκυπτει αµεσα απο το cosh x = cosh x Θεωρηµα: Για κάθε x R ισχυουν : cosh x =, sinh x = tanh x tanh x. tanh x 5... Ασκηση: Αποδειξε οτι για κάθε x R ισχύει cosh x = Λυση. Εχουµε = tanh x sinh x cosh x Θεωρηµα: Για κάθε x, y R ισχυουν : = +tanh x. cosh x sinh x cosh x cosh x cosh x = = = cosh x. cosh x sinh x cosh x cosh y = cosh x + y) + cosh x y) sinh x sinh y = cosh x + y) cosh x y) sinh x cosh y = sinh x + y) + sinh x y) Ασκηση: Αποδειξε οτι για κάθε x R ισχύει Λυση. Εχουµε cosh x cosh y = cosh x + y) + cosh x y). cosh x + y) + cosh x y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y + cosh x cosh y sinh x sinh y = cosh x cosh y Θεωρηµα: Για κάθε x, y R ισχυουν : x + y ) x y ) sinh x + sinh y = sinh cosh x y ) x + y ) sinh x sinh y = sinh cosh x + y ) x y ) cosh x + cosh y = cosh cosh x + y ) x y ) cosh x cosh y = sinh sinh

92 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αποδειξε οτι sinh x + sinh y = sinh ) x+y cosh x y ). Λυση. Εχουµε x + y ) x y ) sinh cosh = e x+y e x+y e x y + e x y = e x+y+x y e x y+x y + e x+y x+y e x y x+y = ex e x + e y e y = sinh x + sinh y Θεωρηµα: Για κάθε x R ισχυουν : Θεωρηµα: Για κάθε x R ισχυουν : sinh x = tanh x, cosh x = + tanh x. tanh x tanh x sinh x = Ασκηση: Αποδειξε οτι sinh x = tanh x Λυση. Εχουµε tanh x tanh x = sinh x, cosh x cosh x + cosh x + =. sinh x cosh x cosh x +tanh x Θεωρηµα: Για κάθε x R ισχύουν. = cosh x sinh x sinh x cosh x = sinh x = sinh x. sinh x cosh ix) = cos x, sinh ix) = i sin x, cos ix) = cosh x, sin ix) = i sinh x Ασκηση: Αποδειξε οτι sinh ix) = i sin x, cosh ix) = cos x. Λυση. Εχουµε cosh ix) = eix + e ix = cos x και sinh ix) = eix e ix = i eix e ix = i sin x. i Ορισµος: Οριζουµε τις αντιστροφες υπερβολικες συναρτησεις ως εξης x, ) : y = arc sinh x) x = sinhy), x [, ) : y = arc cosh x) x = coshy), x, ) : y = arc tanhx) x = tanhy), x, ), ) : y = arc cothx) x = cothy), x 0, ] : y = arc sec hx) x = sec hy), x, 0) 0, ) : y = arc csc hx) x = csc hy).

93 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Θεωρηµα: Για τις παραγωγους των αντιστροφων υπερβολικων συναρτησεων ισχυουν τα εξης. arcsin hx) = x +, arccos hx) = για x > ), x + arctan hx) = x, arccot hx) = x arcsec hx) = για 0 < x < ), x x arccsc hx) = x. + x Ασκηση: Αποδειξε οτι arcsin hx) = x +. Λυση. Εστω y = arcsin hx, τοτε x = sinh y, x + = cosh y. Οποτε dy = sinh y) = cosh y = x + arcsin hx) = dy = x Ασκηση: Σχεδιασε την συναρτηση f x) = arccos hx. Λυση. Καταρχην παρατηρουµε οτι το πεδιο ορισµου της arccos hx ειναι το, ). Η πρωτη παραγωγος ειναι f x) = > 0 και η δευτερη παραγωγος ειναι f x x) = x < 0. Οποτε, x ) 3 για καθε x, ), η arccos hx ειναι αυξουσα και κοιλη. Τελος, f ) = 0 και lim x f x) = γιατι ;). Οποτε η γραφικη παρασταση εχει την µορφη που ϕαινεται στο Σχηµα 5.4. Σχ.5.4: Η γραφικη παρασταση της arccos hx.

94 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ασκηση: Σχεδιασε την συναρτηση f x) = arcsin hx. Λυση. Καταρχην παρατηρουµε οτι το πεδιο ορισµου της arcsin hx ειναι το, ). Η πρωτη παραγωγος ειναι f x) = > 0 οποτε, για καθε x x, ), η arcsin hx ειναι αυξουσα. Η + δευτερη παραγωγος ειναι f x) = x, οποτε για x, 0), η arcsin hx ειναι κυρτη και x +) 3 για x 0, ), η arcsin hx ειναι κοιλη. Τελος, f 0) = 0, lim x f x) =, lim x f x) = γιατι ;). Οποτε η γραφικη παρασταση εχει την µορφη που ϕαινεται στο Σχηµα 5.5. Σχ.5.5: Η γραφικη παρασταση της arcsin hx Ασκηση: Σχεδιασε την συναρτηση arctan hx. Λυση. Αφου η arctan hx ειναι η αντιστροφη της tanh x, το πεδιο ορισµου της ειναι το [, ] και η γραφικη παρασταση της arctan hx ειναι αυτη της tanh x καθρεφιτσµενη απο την ευθεια y = x γιατι ;) οπως ϕαινεται στο Σχηµα 5.6. Σχ.5.6: Η γραφικη παρασταση της arctan hx.

95 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Θεωρηµα: Ισχυουν τα εξης : x, ) : arcsinh x) = ln x + ) x +, 5.) x [, ) : arccosh x) = ln x + ) x, 5.) x, ) : arctanhx) = + x ) ln, 5.3) x x, ), ) : arccothx) = x + ) ln, 5.4) x x 0, ] : arcsechx) = ln x x +, 5.5) x x, 0) 0, ) : arccschx) = ln + x x ) x Ασκηση: Αποδειξε οτι arcsinh x) = ln x + ) x +. Λυση. Εστω z = arc sinhx). Τοτε x = sinh z = ez e z e z x e z = 0. Θετουµε a = e z, οποτε εχουµε a x a = 0 και πολλαπλασιαζουµε µε a, οποτε παιρνουµε Λυνουµε ως προς a και παιρνουµε a xa = 0. e z = a = x ± x +. Αλλα η ϱιζα a = x x + ειναι αρνητικη και απορριπτεται αφου a = e z > 0). Οποτε Θεωρηµα: Ισχυουν τα εξης : a = e z = x + x + arc sinhx) = z = ln x + ) x +. arcsinx) = i ln ix + ) x, arccosx) = i ln x + ) x, arctanx) = i ix ) ln. + ix 5. Λυµενα Προβληµατα 5... Αποδειξε οτι sinh x = ex e x Λυση. Εχουµε. e x = + x + x! + x 3 3! + x 4 e x = x + x! x 3 3! + x 4 4!... 4!...

96 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 90 Με αφαιρεση κατα µελη παιρνουµε sinh x = ex e x = x + x! x 3 3! + x 4 4! Αποδειξε οτι sinh x) = cosh x. Λυση. Εχουµε ) sinh x) ex e x = = ex + e x = cosh x. Το sinh x)) = cosh x αποδεικνυεται παροµοια Αποδειξε οτι cosh x) = cosh x. Λυση. Εχουµε cosh x) = e x +e x) = ex +e x = cosh x Αποδειξε οτι coshx + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y. Λυση. Εχουµε cosh x cosh y + sinh x sinh y = ex + e x ey + e y + ex e x ey e y = ex+y + e x+y + e x y + e x+y) + ex+y e x+y e x y e x+y) 4 4 = ex+y + e x+y) = cosh x + y) Αποδειξε οτι : για κάθε x, y R ισχύει tanh x y) = Λυση. Εχουµε sinh x sinh y cosh x cosh y tanh x tanh y tanh x tanh y = sinh x sinh y cosh x cosh y = sinh x cosh y sinh y cosh x cosh x cosh y cosh x cosh y sinh x sinh y cosh x cosh y tanh x tanh y +tanh x tanh. y sinh x cosh y sinh y cosh x sinh x y) = = = tanh x y). cosh x cosh y sinh x sinh y cosh x y) Αποδειξε οτι : για κάθε x R ισχύει sinh x = sinh x cosh x. Λυση. Εχουµε sinh x = sinh x + x) = cosh x sinh x + cosh x sinh x = sinh x cosh x Αποδειξε οτι για κάθε x R ισχύει sinh x = Λυση. Προκυπτει αµεσα απο το cosh x = sinh x +. cosh x Αποδειξε οτι για κάθε x R ισχύει sinh x = tanh x Λυση. Εχουµε tanh x = tanh x = sinh x cosh x sinh x cosh x tanh x. = cosh x sinh x cosh x cosh x sinh x sinh x cosh x cosh x sinh x cosh x = sinh x.

97 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αποδειξε οτι για κάθε x R ισχύει Λυση. Εχουµε sinh x cosh y = sinh x + y) + sinh x y). sinh x + y) + sinh x y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y + sinh x cosh y cosh x sinh y = sinh x cosh y Αποδειξε οτι sinh x sinh y = sinh ) x y cosh x+y ). Λυση. Εχουµε x y ) x + y ) sinh cosh = e x y e x y e x+y + e x+y = e x y+x+y e x+y+x+y + e x y x y + e x+y x y = ex + e x ey e y = sinh x sinh y Αποδειξε οτι cosh x = +tanh x. Λυση. Εχουµε + tanh x tanh x = tanh x + sinh x cosh x = cosh x + sinh x sinh x cosh x = cosh x = cosh x. sinh x cosh x 5... Αποδειξε οτι cos ix) = cosh x, sin ix) = i sinh x. Λυση. Εχουµε cos ix) = eiix + e iix = e x + e x = cosh x και sin ix) = eiix e iix = i e x e x = i sinh x. i Αποδειξε οτι arccos hx) = x + για x > ). Λυση. Εστω y = arccos hx, τοτε x = cosh y, x = sinh y > 0. Οποτε dy = cosh y) = sinh y = x arccos hx) = dy = x Υπολογισε τις παραγωγους των sinh x + ), cosh x x+, tanh sin x + )), sinhx+) coshx ).

98 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9 Λυση. Εχουµε )) ) sinh x + = x cosh x +, cosh x ) x sinh x+ = x + x + ), ))) )) tanh sin x + = x cos x + tanh sin ))) x +, ) sinh x + ) cosh x x 3 ) + cosh x + x ) x cosh x + x ) + x cosh x x 3 )) = cosh x ) cosh x ) sinh x sinh x Υπολογισε τα lim x 0 cos, lim tanh x e x x 0, lim sin x x 0, lim x +e x x Λυση. Εχουµε sinh x. sinh x lim x 0 cos x = sinh 0 cos 0 = 0 = 0, sinh x lim x 0 sin x = lim x cosh x x 0 x cos x = =, tanh x tanh 0 lim = x 0 + e x + e = 0, 0 e x lim x sinh x = lim e x ) == lim =. x e x e x x + e x Βρες τα τοπικα µεγιστα και ελαχιστα της f x) = sinh x ). Λυση. Εχουµε f x) = x cosh x το οποιο ειναι αρνητικο στο, 0), ϑετικο στο 0, ) και f 0) = 0. Αρα η f x) ειναι ϕθινουσα στο, 0), αυξουσα στο 0, ) και εχει τοπικο ελαχιστο στο x 0 = Βρες τα τοπικα µεγιστα και ελαχιστα της f x) = tanh x + ). Λυση. Εχουµε f x) = x tanh )) x +. Αφου για καθε z, ) ισχυει tanh z), εχουµε x < 0 f x) < 0 f x) ϕθινουσα, x > 0 f x) > 0 f x) αυξουσα. Στο x 0 = 0 εχουµε f x 0 ) = 0. Οποτε στο x 0 = 0 εχουµε τοπικο ελαχιστο Κανε την γραφικη παρασταση της f x) = cosh x. x + Λυση. Εχουµε lim cosh x =, lim x x + cosh x x x + =. Επισης εχουµε f x) = d ) cosh x x + = x x sinh x + x + ).

99 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 93 Θετοντας f x) = 0 παιρνουµε τις ϱιζες x =, x = 0, x 3 =. Η µονοτονια της συναρτησης ειναι η εξης x, ), 0) 0, ), ) f x) ϑετικη αρνητικη ϑετικη αρνητικη f x) αυξουσα ϕθινουσα αυξουσα ϕθινουσα Συνδυαζοντας τα παραπανω παιρνουµε την γραφικη παρασταση του Σχηµατος 5.7. x Σχ.5.7: Η γραφικη παρασταση της cosh x Υπολογισε τις παραγωγους των arcsin h x + ), arctan h x + ), arccos h x Λυση. Εχουµε d arcsin ) h x x + = + x ) +, d arctan ) h x x + = x + ), d arccos h x x + = ). x + ) x ) Βρες τα τοπικα µεγιστα και ελαχιστα της f x) = arcsin h x +. x Λυση. Εχουµε f x) = d arcsin h x + ) x = x x + ). x + x Θετοντας f x) = 0 παιρνουµε τις ϱιζες x =, x =. Η µονοτονια της συναρτησης ειναι η εξης x, ), ), ) f x) ϑετικη αρνητικη αρνητικη f x) αυξουσα ϕθινουσα ϕθινουσα Αρα εχουµε τοπικο µεγιστο στο x = και τοπικο ελαχιστο στο x =. x+ x+.

100 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Κανε την γραφικη παρασταση της f x) = arccos h x + ). ) x Λυση. Εχουµε lim x arccos h x + x =. Επισης εχουµε f x) = d arccos h x + ) = x x 4. x + x + x + 3 x x Θετοντας f x) = 0 παιρνουµε τις ϱιζες x =, x =. Η µονοτονια της συναρτησης ειναι η εξης x, ), 0) 0, ), ) f x) αρνητικη ϑετικη αρνητικη ϑετικη f x) ϕθινουσα αυξουσα ϕθινουσα αυξουσα Αρα εχουµε τοπικα ελαχιστα στα x = και x =. Συνδυαζοντας τα παραπανω παιρνουµε την γραφικη παρασταση του Σχηµατος Αποδειξε οτι Λυση. Εστω z = arcsinx). Τοτε Σχ.5.8: Η γραφικη παρασταση της arccos h x + x ). arcsinx) = i ln ix + ) x. x = sin z = eiz e iz i e iz ix e iz = 0. Θετουµε a = e iz, οποτε εχουµε a ix a = 0 και πολλαπλασιαζουµε µε a, οποτε παιρνουµε a ixa = 0. Λυνουµε ως προς a και παιρνουµε e iz = a = ix ± x. Υποθετουµε οτι a = ix + x οποτε a = e iz = ix + x arcsin x = z = i ln ix + x ).

101 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 95 Εδω αξιζει να σηµειωθει οτι ϑα µπορεσουµε εξισου δικαιολογηµενα να υποθεσουµε οτι a = ix x και τοτε ϑα παιρναµε arcsin x = i ln ix + x ). Η αληθεια ειναι οτι η συναρτηση arcsin x ειναι πλειοτιµη, δηλ. σε καθε x αντιστοιχουν περισσοτερες της µιας τιµες arcsin x. Το Ϲητηµα της πλειοτιµιας εξεταζεται σε ϐαθος στην Θεωρια Μιγαδικων Συναρτησεων. 5.3 Αλυτα Προβληµατα Αποδειξε οτι. sinhx y) = sinh x cosh y cosh x sinh y,. coshx y) = cosh x cosh y sinh x sinh y Αποδειξε οτι. cosh 3x = 4 cosh 3 x 3 cosh x,. sinh 3x = 3 sinh x + 4 sinh 3 x Αποδειξε οτι sinh x sinh y = cosh x + y) cosh x y) Αποδειξε οτι. cosh x + cosh y = cosh ) x+y cosh x y ),. cosh x cosh y = sinh ) x+y sinh x y ) Αποδειξε οτι tanh x) = Αποδειξε οτι. tanhx)) = sec h x),. cothx)) = csc h x), 3. sec hx)) = sec hx) tanhx), cosh x). 4. csc hx)) = csc hx) cothx) Σχεδιασε την συναρτηση tanh x + x ) Σχεδιασε την συναρτηση coshsinhx)) Σχεδιασε την συναρτηση tanh x + x ) Σχεδιασε την συναρτηση tanh x + x ) Αποδειξε οτι

102 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 96. arc tanhx)) =. arc cothx)) = x, x, 3. arc sec hx)) = x x, 4. arc csc hx)) = x +x Σχεδιασε την συναρτηση arccot hx Σχεδιασε την συναρτηση arcsec hx Σχεδιασε την συναρτηση arccsc hx Αποδειξε οτι. arc coshx) = ln x + ) x x),. arc tanhx) = ln ) +x < x < ), x 3. arc cothx) = ln ) x+ x > η x < ), 4. arc sec hx) = ln 5. arc csc hx) = ln x + x x x + +x x x Υπολογισε τις παραγωγους d d d d sinh 5x ln cosh 5x)). Απ. ) cosh x. Απ. ) + sinh 5x. Απ. cosh 5x. ), 0 < x ), x 0. sinh x. cosh x 5 sinh 0x. cosh 0x+ sinh x 3 )). Απ. 3x cosh x Υπολογισε τα ορια. tanh x. lim x 0. Απ.. x. lim x 0 x sinh x. Απ.. sinh x 3. lim x 0. Απ.. sin x cosh x 4. lim x 0. Απ.. cos x Υπολογισε τις παραγωγους. d arctan tanh x)). Απ. tanh x tanh x+.

103 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ d cosh sinh x)). Απ. sinh sinh x x) + sinh x + sinh x). ) d + tanh x. Απ. tanh x) tanh x d +tanh x tanh x tanh x+. ). Απ. tanh x + ). tanh x+)tanh x ) tanh x Σχεδιασε την συναρτηση arccos hsinh x)) Σχεδιασε την συναρτηση cosharcsin hx) Σχεδιασε την συναρτηση arctan h x x 4 + ) ειξε οτι οι συναρτησεις ex, ex sinh x και e x cosh x διαφερουν κατα µια σταθερα. 5.4 Προχωρηµενα Αλυτα Προβληµατα Αποδειξε ότι lim x 0 sinh x Αποδειξε ότι lim x 0 cosh x x x = χωρις χρηση του κανονα l Hospital. = και lim x 0 cos x x = 0 χωρις χρηση του κανονα l Hospital Αποδειξε οτι, για x > 0, ισχυει sinh x > x + x3. Τι µπορεις να πεις για το sinh x οταν x < 0; Αποδειξε οτι arcsin tanh x) = arctan sinh x) Αποδειξε οτι arccosx) = i ln x + ) x, arctanx) = i ix ) ln. + ix Βρες τα διαστηµατα στα οποια ειναι µονοτονη η f x) = cosh x x Κανε την γραφικη παρασταση της f x) = x arctan h x Βρες τα ολικα µεγιστα και ελαχιστα της f x) = cosh x N 6 x n n=0 n)! Βρες µιά συνάρτηση f x) τέτοια ώστε f x) + f x) = Βρες ολες τις συναρτησεις f x) τετοιες ώστε f x) f x) = Βρες ολα τα Ϲευγη συναρτησεων f x), g x)) τετοια ώστε f x) g x) = 0, g x) f x) = 0. για N =,, 3, Αποδειξε οτι cosh y z) + cosh z x) + cosh x y) cosh x + cosh y + cosh z.

104 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Βρες µια συναρτηση f x) η οποια ικανοποιει την συναρτησιακη εξισωση x, y R : f xy + x ) y ) ) = f x) + f y) Βρες µια συναρτηση f x) η οποια ικανοποιει την συναρτησιακη εξισωση x, y R : ) f x + y + y + x = f x) + f y) Βρες µια συναρτηση f x) η οποια ικανοποιει την συναρτησιακη εξισωση ) x + y x, y R : f = f x) + f y). + xy Εστω φ και Φ οι ϱιζες της εξισωσης x x = 0. Τοτε sinh ln φ) =. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα.

105 Κεφάλαιο 6 Ολοκληρωµα Η ολοκληρωση ειναι η αντιστροφη διαδικασια της παραγωγισης. Στο παρον κεφαλαιο παρουσια- Ϲουµε τον ορισµο και τις ϐασικες ιδιοτητες του ολοκληρωµατος. 6. Θεωρια και Παραδειγµατα 6... Ορισµος: Εστω δυο συναρτησεις f x) και Fx). Λεµε οτι η συναρτηση Fx) ειναι ενα αοριστο ολοκληρωµα της συναρτησης f x) ανν ισχυει και τοτε γραφουµε ισοδυναµα 6... Παραδειγµα: Ισχυει F x) = f x) 6.) Fx) = e x = e x f x). 6.) διοτι e x ) = e x Παρατηρηση: Οι εκφρασεις «η Fx) ειναι παραγουσα της f x)» και «η Fx) ειναι αντιπα- ϱαγωγος της f x)» ειναι ισοδυναµες προς την «η F x) ειναι το αοριστο ολοκληρωµα της f x)» Παρατηρηση: Το αοριστο ολοκληρωµα της f x) δεν είναι µοναδικό. Πράγµατι, εάν η F x) είναι τέτοια ώστε F x) = f x) τότε και η F x) = F x) + c όπου η c είναι µια αυθαίρετη σταθερά) επίσης ικανοποιεί F x) = f x). Με άλλα λόγια η συνάρτηση f x) έχει άπειρο αριθµό αορίστων ολοκληρωµάτων γι αυτο και χρησιµοποιουµε τον ορο αοριστο ολοκληρωµα) Παραδειγµα: Ισχυει cos x = sin x διοτι sin x) = cos x. Ισχυει επισης cos x = sin x + 66 διοτι sin x + 66) = cos x. 99

106 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Θεωρηµα: Το αοριστο ολοκληρωµα εχει τις εξης ιδιοτητες f x) = f x) + c, c f x) = c f x), f x) ± gx)) = f x) ± gx), Παρατηρηση: Το c σε ολες τις παραπανω εκφρασεις ειναι µια αυθαιρετη σταθερα, σύµ- ϕωνα µε την προηγούµενη παρατήρηση Ασκηση: Αποδειξε οτι f x) = f x) + c. Λυση. Ισχυει διοτι f x) + c) = f x) + 0 = f x) Ασκηση: Αποδειξε οτι f x) + g x)) = f x) + g x) + c. Λυση. Ισχυει διοτι f x) + g x) + c) = f x) + g x) + 0 = f x) + g x) Θεωρηµα: Τα παρακατω ειναι ϐασικα αοριστα ολοκληρωµατα. = x + c, x m = x m+ + c m ) m + = ln x + c x e x = e x + c sin x = cos x + c cos x = sin x + c tan x = ln cos x + c sinh x = cosh x + c 6... Ασκηση: Υπολογιστε το x. Λυση. Ειναι x = x3 3 + c. cosh x = sinh x + c tanh x = ln cosh x + c

107 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Θεωρηµα: Αλλα σηµαντικα αοριστα ολοκληρωµατα ειναι τα εξης. x ) = arcsin + c a x a x a = a ln x a x + a + c a + x = a arctan x a ) + c a x = a ln a + x a x + c = arccos h x x a a ) + c = ln x + x a + c = arcsin h x a + x a ) + c = ln x + x + a + c Ασκηση: Υπολογισε το Λυση. Θετοντας a =, εχουµε = 4 x 4 x. = arcsin x x ) + c Θεωρηµα: Αλλα σηµαντικα αοριστα ολοκληρωµατα ειναι τα εξης. cosx) = ln + sin x sin x + c sinx) = ln cos x + cos x + c a x = x a x + a x ) arcsin + c a a + x = x a + x + a x ) arcsin h + c a x a = x x a a x ) arccos h + c a a + x = x a + x + a ln x + x + a + c x a = x x a a ln x + x a + c Ασκηση: Υπολογισε το 9 x. Λυση. Θετοντας a = 3, εχουµε 9 x = 3 x = 9 x x + 9 x ) arcsin + c Ασκηση: Υπολογισε το 4 + 9x.

108 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 0 Λυση. Εχουµε 4 ) 4 + 9x = 3 + x 9 = 8 7 ln x + ) 8x x 8x c Θεωρηµα Ολοκληρωση µε Αντικατασταση): Εστω f x) συνεχης συναρτηση και g x) διαφορισιµη συναρτηση. Τοτε ) f gx))g x) = f u)du + c. 6.3) u=gx) Αποδειξη. Εστω οτι F u) = f u)du. Τοτε, απο τον κανονα αλυσωτης παραγωγισης εχουµε που ειναι ισοδυναµο µε το Αλλα F u) = F g x))) = F g x)) g x) F g x)) + c = f u)du F g x)) = Συνδυαζοντας τις 6.4)-6.5) παιρνουµε το Ϲητουµενο : ) F g x)) g x) = f u)du F g x)) g x). 6.4) f u)du u=gx) ) u=gx) + c.. 6.5) Παρατηρηση: Η παραπανω ιδιοτητα ειναι εξαιρετικα χρησιµη για τον υπολογισµο αοριστων ολοκληρωµατων, οπως ϑα ϕανει απο τα παρακατω παραδειγµατα. ) Παραδειγµα: Για να υπολογισουµε το x 3 + 3x δουλευουµε ως εξης. Θετου- µε u x) = x 3 +, f u) = u και παρατηρουµε οτι u x) = 3x και οτι ) x 3 + 3x = f u x)) u x). Οποτε ) x 3 + 3x = f u x)) u x) = f u) du = u / du = 3 u3/ = x 3 + ) 3/ + c. 3

109 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Παρατηρηση: Συνηθως ϑα ειναι πιο ευκολο να δουλευουµε µε τον συµβολισµο du αντι του u x). Με αυτο τον συµβολισµο η ϐασικη ιδιοτητα γραφεται f u x)) du = f u) du. Το δε προηγουµενο παραδειγµα γραφεται ως εξης : u = x 3 +, f u) = u και παρατηρουµε οτι du = 3x και f u x)) du = f u) du = u / du = 3 u3/ = x 3 + ) 3/ + c Ασκηση: Υπολογισε το sin x 3 + ) 3x. Λυση. Θετουµε u = x 3 +, du = 3x και sin ) x 3 + 3x = sin u) du = sin u) du = cos u) + c = cos x 3 + ) + c 6... Ασκηση: Υπολογισε το cos 5 x sin x. Λυση. Θετουµε u = cos x, du = sin x, οποτε cos 5 x sin x = u 5 du = 6 u6 = 6 cos6 x Παρατηρηση: Μερικες χρησιµες αντικαταστασεις ειναι οι εξης.. Για µορφη a + b x χρησιµοποιω x = a b tanu) και παιρνω a + tan u) = a cosu).. Για µορφη a b x χρησιµοποιω x = a sinu) και παιρνω a sin z) = a cosu). b 3. Για µορφη b x a χρησιµοποιω x = a και παιρνω a b cosu) sin u) = a tanu). 4. Για µορφη b x a χρησιµοποιω x = a b coshu) και παιρνω a cosh u) = a sinhu) Θεωρηµα Παραγοντικη Ολοκληρωση): Εστω f x), g x) παραγωγισιµες συναρτησεις. f x)g x) = f x) g x) g x) f x). 6.6) Αποδειξη. Εχουµε f x) g x) = f x)gx)) [f = x)g x) + g x) f x) ] = f x)g x) + g x) f x) απο το οποιο προκυπτει η Ϲητουµενη 6.6).

110 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Παρατηρηση: Η παραπανω ιδιοτητα ειναι εξαιρετικα χρησιµη για τον υπολογισµο αοριστων ολοκλρωµατων, οπως ϑα ϕανει απο τα παρακατω παραδειγµατα Ασκηση: Υπολογισε το xe x. Λυση. Θετοντας f = e x, g = x, εχουµε xe x = xe x Ασκηση: Υπολογισε το x cos x. Λυση. Θετοντας f = sin x, g = x, εχουµε x cos x = x sin x Ασκηση: Υπολογισε το x sin x. Λυση. Θετοντας f = cos x, g = x, εχουµε x sin x = x cos x + e x = xe x e x + c. sin x = x sin x + cos x + c. cos x = x cos x + sin x + c Παρατηρηση: Συνηθως ϑα ειναι πιο ευκολο να δουλευουµε µε τον συµβολισµο du αντι του u x). Με αυτο τον συµβολισµο ο τυπος της παραγοντικης ολοκληρωσης γραφεται f x) dg = fg g x) df. Η «αποδειξη» ειναι η εξης : d df fg) = g + f dg d fg) = gdf + fdg fg = d fg) = gdf Ορισµος: Με τον ορο «στοιχειωδες κλασµα» εννοουµε οποιοδηποτε απο τα παρακατω A, x x 0 A ax + bx + c, Ax + b ax + bx + c, A fdg., x x 0 ) ) A, ax + bx + c) ) Ax + b, ax + bx + c) ) Προσοχη: Οταν στις 6.8) και 6.9) b 4ac 0 αναγοµαστε στην 6.7). Αρα µας ενδιαφερει η περιπτωση b 4ac < 0.

111 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Παρατηρηση: Μπορουµε να υπολογισουµε το ολοκληρωµα καθε στοιχειωδους κλασµατος. ινουµε µερικα παραδειγµατα παρακατω ϑετουµε E = 4ac b ): A = A ln x x, x x 0 A x x 0 ) = A, x x 0 A ax + bx + c = A ax + b arctan, E E A ax + bx + c) = A ax + b) E ax + bx + c) + 4Aa ax + b arctan, E 3 E Ax + B ax + bx + c = A a ln ) ax B + bx + c + arctan ax + b ) A E E E b arctan ax + b ). a E Ορισµος: Η συναρτηση f x) = Px) λεγεται ϱητη ανν τα Px) και Qx) ειναι πολυωνυµα. Qx) Παρατηρηση: Μπορούµε να υπολογισουµε το ολοκληρωµα καθε ϱητης συναρτησης µε αναγωγη αυτης σε αθροισµα στοιχειωδων κλασµατων. Ας υποθεσουµε οτι στην ϱητη συναρτηση Px)/Qx) ο ϐαθµος του Px) ειναι µικροτερος απο τον ϐαθµο του Qx). Εστω µια ϱιζα x 0 του Qx). ιακρινουµε τις εξης περιπτωσεις.. Αν η ϱιζα ειναι πραγµατικη και απλη, τοτε στην αναπτυξη της Px)/Qx) ϑα εµφανιζεται ενα κλασµα της µορφης A. x x 0. Αν η ϱιζα ειναι πραγµατικη και πολλαπλοτητας n, τοτε στην αναπτυξη της Px)/Qx) ϑα εµφανιζονται n κλασµατα της µορφης A x x 0, A x x 0 ),..., A n x x 0 ) n. 3. Αν η ϱιζα x 0 ειναι µιγαδικη και απλη, τοτε η συζυγης x 0 ειναι επισης ϱιζα του Qx) και το γινοµενο x x 0 )x x 0 ) ϑα ισουται µε ax + bx + c οπου τα a, b, c ϑα ειναι πραγµατικοι αριθµοι. Στην αναπτυξη της Px)/Qx) ϑα εµφανιζεται ενα κλασµα της µορφης Ax + B ax + bx + c. 4. Τελος, αν η ϱιζα x 0 ειναι µιγαδικη και πολλαπλοτητας n, στην αναπτυξη της Px)/Qx) ϑα εµφανιζεται n κλασµατα της µορφης Ax + B ax + bx + c, Ax + B ax + bx + c),..., Ax + B ax + bx + c) n Ετσι, οποιαδηποτε ϱητη συναρτηση f x) µε ϐαθµο του P x) µικροτερο απο αυτο του Q x) µπορει να ολοκληρωθει µε αναπτυξη σε στοιχειωδη κλασµατα. Αν πάλι ο ϐαθµος του Px) ειναι µεγαλυτερος του ϐαθµου του Qx), µε πολυωνυµικη διαιρεση παιρνουµε f x) = P x) + P x) Qx)

112 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 06 οπου τα P x), P x) ειναι πολυωνυµα και ο ϐαθµος του P x) µικροτερος απο αυτο του Q x). Ετσι µπορουµε και παλι να ολοκληρωσουµε την f x) Ασκηση: Υπολογισε το. x Λυση. Θετουµε x = A x + B A + B) x + A B) =. x + x Αρα } { A + B = 0 A = } A B =, B = και εχουµε x = x x + = ln x ln x + ) = ln x x + + c. x Ασκηση: Υπολογισε το x +)x +x+). Λυση. Εχουµε x x + ) x + x + ) = Ax + B x + + Cx + D x + x + απο το οποιο προκυπτει το συστηµα A + C = A + B + D = A + B + C = 0 B + D = 0 µε λυση, A =, B = 0, C =, D = 0, δηλ. x x + ) x + x + ) = x x + x x + x + = ln ) x + ln ) 3 x + x arctan 3 3 x + ) + c Ορισµος: Εστω µια συναρτηση f x) ορισµενη σε ενα X R. Εστω ενα a, b X τετοια ωστε η f x) να ειναι συνεχης στο κλειστο διαστηµα µε ακρα τα a, b. Το ορισµενο ολοκληρωµα της f x) b συµβολιζεται ως f x) και οριζεται ως εξης : a b a f x) = Fb) Fa) οπου Fx) ειναι οποιαδηποτε συναρτηση ικανοποιει F x) = f x) ισοδυναµα F x) = f x) ). b Παρατηρηση: Προσεξε οτι αναγκαια συνθηκη για τον ορισµο του f x) ειναι η a συνεχεια της f x) στο κλειστο διαστηµα µε ακρα τα a, b.

113 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ασκηση: Υπολογισε το x. Λυση. Ξερουµε οτι F x) = x = Θετοντας a =, b =, παιρνουµε x. x = F ) F ) = = Συµβολισµος: Στον υπολογισµο του ορισµενου ολοκληρωµατος, πολλες ϕορες ϑα γρα- ϕουµε F x) x=b ως συντοµογραφια του F b) F a). x=a π/ Ασκηση: Υπολογισε το cos x. 0 Λυση. Εχουµε π/ π ) cos x = sin x) x=π/ x=0 = sin sin 0) = Θεωρηµα: Το ορισµενο ολοκληρωµα σε αντιθεση µε το αοριστο) της f x) ειναι µοναδικο. Αποδειξη. Εστω F x) = f x), F x) = f x), δύο αόριστα ολοκληρώµατα της f x). Εχουµε } F x) = f x) F x) = f x) F x) F x) = 0 F x) F x) = c F x) = F x) + c. Μπορούµε να ορίσουµε Αλλα I = b a f x) = F b) F a), I = b a f x) = F b) F a). I = F b) F a) = F b) + c F a) c = F b) F a) = I Θεωρηµα: Το ορισµενο ολολκληρωµα εχει τις εξης ιδιοτητες. a a b a b a b a b a f x) = 0 6.0) f x) = a b c f x) = c f x) 6.) b [f x) ± gx)] = f x) + f x) 6.) a b f x) ± b a a c c f x) = b a gx) 6.3) f x) 6.4)

114 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 08 b Ασκηση: Αποδειξε οτι f x) = a f x). a Λυση. Εστω F x) = f x), ενα αοριστο ολοκληρωµα της f x). Τοτε b a f x) = F b) F a) = F a) F b)) = b Ασκηση: Αποδειξε οτι f x) + c f x) = c f x). a b a Λυση. Εστω F x) = f x), ενα αοριστο ολοκληρωµα της f x). Τοτε b a f x) + c b b a b f x). f x) = F b) F a) + F c) F b) = F c) F a) = c a f x) Θεωρηµα Μεσης Τιµης): Εστω οτι η f x) ειναι συνεχης στο [a, b]. Τοτε υπαρχει x 0 [a, b] b τέτοιο ώστε f x) = b a) f x a 0). Αποδειξη. Εστω F x) = f x). Τοτε F x) = f x). Αφου η f x) ειναι συνεχης αρα και καλως ορισµενη) στο [a, b], η F x) ειναι παραγωγισιµη στο [a, b], Τοτε απο το Θεωρηµα Μεσης Τιµης του Κεφαλαιου ξερουµε οτι υπαρχει x 0 a, b) τετοιο ωστε F F b) F a) x 0 ) = b a F b) F a) f x 0 ) = b a b a f x) = b a) f x 0 ) Θεωρηµα: Οριζουµε την συνάρτηση F x) = x f u) du. Η F x) είναι συνεχής, παραγωγίσιµη και df = f x). du a Αποδειξη. Εχουµε F F x + x) F x) = = x x x+ x a f u) du x f u) du a = x x+ x Απο το Θεωρηµα Μεσης Τιµης γνωριζουµε οτι υπαρχει ξ x 0, x 0 + x) τετοιο ωστε x+ x Αντικαθιστωντας στην 6.5) παιρνουµε Τωρα x f u) du = x + x x) f ξ) = f ξ) x. F f ξ) x = = f ξ). x x df = lim F x 0 x = lim f ξ) = f x) x 0 x f u) du x. 6.5) αφου για καθε x ισχυει x ξ x + x. Ετσι εχουµε αποδειξει οτι df = f x), αρα η F x) ειναι παραγωγισιµη αρα και συνεχης.

115 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Θεωρηµα: Το ορισµενο ολοκληρωµα εχει τις εξης ιδιοτητες. x [a, b] : 0 f x)) 0 x [a, b] : gx) f x)) b a b a f x) 6.6) gx)d x [a, b] : A f x) B) A b a) Ασκηση: Αποδειξε οτι Αποδειξη. Θετουµε Ξερουµε οτι x [a, b] : gx) f x)) H x) = x a f u) du Αρα η H x) ειναι αυξουσα στο [a, b]. Αφου συµπεραινουµε οτι και συγκεκριµενα x a b a g u) du = b a b f x) 6.7) a gx)d x a f x) B b a) 6.8) b x [a, b] : H x) = f x) g x) 0. b H a) = οποτε η αποδειξη εχει ολοκληρωθει. a a a f u) g u)) du = 0, x [a, b] : H x) H 0) = 0 f u) du b a g u) du = H b) 0 a f x) f u) g u)) du Ορισµος: Γενικευµενα Ολοκληρωµατα ου τυπου ειναι αυτα οπου ενα η και τα δυο ορια ολοκληρωσης ειναι απειρα.. Οταν το a = και το b < b οριζουµε f x) = lim u. Οταν το < a και το b = b οριζουµε f x) = lim u 3. Οταν το a = και το b = τοτε οριζουµε b a a a b u u a f x). f x). c v f x) = lim f x) + lim f x), u u v c οπου το c µπορει να ειναι οποιοσδηποτε αριθµος που ανηκει στο R.

116 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ασκηση: Υπολογισε το Λυση. Εχουµε Ασκηση: Υπολογισε το Λυση. Εχουµε 4x+)4x+3). M ) 4x + ) 4x + 3) = lim M 4x + 4x + 3 = [ lim M 4 ln 4x + ] x=m 4 ln 4x + 3 x= = 8 lim ln 4M + M 4M + 3 ln 5 ) = 7 ) 7 8 ln. 5 x x + 5 = 0 = lim M = lim M. x x+5 x ) x ) + 4 M M x ) lim M 0 x ) + 4 arctan M + lim M arctan M = π 4 + π 4 = π Ορισµος: Γενικευµενα Ολοκληρωµατα ου τυπου ειναι αυτα οπου η ολοκληρωτεα συναρτηση παρουσιαζει καποια ασυνεχεια στο διαστηµα ολοκληρωσης.. Εστω οτι η συναρτηση f x) παρουσιαζει ασυνεχεια στο a τοτε b a f x) = lim ϸ 0 + b a+ϸ f x).. Εστω οτι η συναρτηση f x) παρουσιαζει ασυνεχεια στο b τοτε b a f x) = lim ϸ 0 + b ϸ a f x). 3. Εστω οτι υπαρχει c µε a < c < b και στο οποιο η συναρτηση f x) παρουσιαζει. Τοτε µπορουµε να ορισουµε b a f x) = lim ϸ 0 + c ϸ a f x) + lim ϸ 0 + b c+ϸ f x). Σηµειωστε οτι το παραπανω αποτελεσµα µπορει να ειναι διαφορετικο απο το c ϸ b ) lim f x) + f x). ϸ 0 + a c+ϸ Ασκηση: Υπολογισε το 0 x ).

117 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Λυση. Με απλη ολοκληρωση ϑα παιρναµε 0 [ x ) = x Αλλα αυτο ειναι λαθος. Στο σηµειο x = η γενικευµενου ολοκληρωµατος. Εχουµε 0 x ) = lim ε ε [ ε Ασκηση: Υπολογισε το. x ) /3 Λυση. Υπαρχει ασυνεχεια στο x =. Οποτε x ) x ) + lim ] x= ε ] x= x=0 = 0. ειναι ασυνεχης και απαιτειται η χρηση ε 0 + +ε x ) = lim + lim x x=0 x x=+ε [ = lim ε 0 + ε + ] [ + lim ] 0 ε ε [ ] = lim ε 0 + ε + + lim [ + ] =. ε 0 + ε ε 0 + ε ε 0 + [ ε 0 + [ = lim + lim /3 /3 x ) x ) +ε x ) /3 [ = 3 lim ] x= ε x ) /3 + 3 lim [ ] x= x ) /3 ε 0 + x= ε 0 + x=+ε = 3 lim ε /3 ) /3] + 3 lim /3 ε /3] x= = 3 3 ) +. x=+ε 6. Λυµενα Προβληµατα ε 0 + ε 0 + [ 6... Αποδειξε οτι x = x + c. ) Λυση. Πραγµατι x + c = x + 0 = x Αποδειξε οτι cos x = sin x + c. Λυση. Πραγµατι sin x + c) = cos x + 0 = cos x Αποδειξε τις παρακάτω ιδιότητες. f x) = f x) + c, 6.9) c f x) = c f x) 6.0) f x) ± gx)) = f x) ± gx) 6.) f ux))u x) = f u)du. 6.) ] x=

118 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Λυση. Η 6.9) ισχύει εξ ορισµού. Για την 6.0): c F x)) = c F x) = c f x), δηλ. η c F x) ειναι το ολοκληρωµα της c f x). Για την 6.): f x) ± gx)) = f x) ± g x). Η 6.) ειναι στην ουσια µια εναλλακτικη διατυπωση του κανονα της αλυσσωτης παραγωγισησ: [f u x))] = f u) u x) Υπολογισε το x 4 και επαληθευσε την απάντηση. Λυση. Εχουµε x 4 = 5 x 5 + c. Παρατηρούµε δε ότι d 5 x 5 + c) = x Υπολογισε το 5 sin x + e x ) και επαληθευσε την απάντηση. Λυση. Εχουµε 5 sin x + e x ) = 5 sin x + e x = x + 5 cos x + e x + c. Παρατηρούµε δε ότι d x + 5 cos x + ex + c) = e x 5 sin x +. x+ x Υπολογισε το x και επαληθευσε την απάντηση. Λυση. Εχουµε x + x + = x / + + x / x Παρατηρούµε δε ότι d = x 3/ 3/ + x + x / / = 4 3 x 3/ + x + x / + c. ) x 3/ + x + x / + c 3 = x x + ) x Υπολογισε το x x x και επαληθεύστε την απάντηση. Λυση. Εχουµε Παρατηρούµε δε ότι d x x x = x x x / = x x 3/ = x x 3/4 = x 7/8 = 8 5 x 5/8 + c. 8 ) x 5/8 7 + c 5 = x 8 x x x x. x Υπολογισε το 3 5 και επαληθεύστε την απάντηση. 3 3 x Λυση. Εχουµε x x 3 3 = x x 3 x + x / /3 5 x = / x 4/ x 5/6 = x 4/ x 5/6 + c. Παρατηρούµε δε ότι d x 4/3 + 6 ) 5 x 5/6 + c = 5 6 x 0 x + 3 ) = x x 3 3 x.

119 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 3 ) Υπολογισε το x 3 x. Λυση. Εχουµε ) x 3 ) x = x x / + x / Υπολογισε το cot x. Λυση. Εχουµε = x 4/3 x /3 + x /3) = 3 7 x 7/3 6 5 x 5/ x 4/3 + c. cos cot x sin x = sin x = x = sin x sin x = cot x x + c Υπολογισε το x) 00. Λυση. Θετοντας u = x, du = εχουµε x) 00 = x) 00 d x) = 0 u0 + c = 0 x)0 + c Υπολογισε το 6 x. Λυση. Θετουµε sin u = x, cos udu =. Τοτε x = 4 sin x4 cos udu = 6 = 8 du + 8 cos udu = 8u + 4 sin u). + cos u cos udu = 6 du Τωρα, u = arcsin x. Επισης, sin u) = sin u cos u = x x. Οποτε τελικα x = 8 arcsin x 4 + x 6 x + c Υπολογισε το. 3x 8x+5 Λυση. Με συµπληρωση τετραγωνου εχουµε 3x 8x + 5 = 3 x 4 ) 3 3. Οποτε µε u = x 4 3 ) εχουµε 3x 8x + 5 = du 3 = 3u 3 u ) du = 3 ) 3u dt 3u + 3 = ln u 3 ln u + 3 = ln 3x 5 3x 3 + c

120 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4 +e Υπολογισε το x. e x Λυση. Με τον µετασχηατισµο u = e x, du = e x εχουµε + e x + u e = x u u du = u ) du = ln u + ln u u = ln e x + ln e x = ln e x + x + c. x Υπολογισε το Λυση. Εχουµε x 7x+. x 7 x x 7x + = 7x + ) d x 7x + ) == = ln x 7x + + c. x 7x + x 7x + x sin x x Υπολογισε το cos x. sin x Λυση. Εχουµε x sin x x cos x x ) sin x x sin x) ) x = = = x sin x sin x sin x sin x + c Υπολογισε το x +x). Λυση. Θετουµε cos u = x, sin udu =. Τοτε x + x) = sin udu sin u + cos u) = du + cos u = cos u x = + cos u = + x + c. du cos u Υπολογισε το sin 3 x cos x. Λυση. Θετουµε u = cos x, du = sin x. Τοτε sin 3 x cos x = sin x cos x sin x = u ) u du = u u 4) du = u3 3 + u5 5 = cos3 x + cos5 x + c Υπολογισε το sin x cos x. Λυση. Εχουµε sin x cos x = sin x) ) = cos 4x) 4 4 = 8 x cos 4x) = x 8 sin 4x) + c. 3 = tan u

121 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Υπολογισε το sin x cos 3 x. Λυση. Θετω u = cos x, du = sin x. Τοτε sin x cos 3 x = cos 3 xd cos x) = u 3 du = 4 u4 = 4 cos4 x + c Υπολογισε το sin x cos 4 x. Λυση. Εχουµε + cos x ) sin cos 4 x = sin x cos x) cos x = 4 sin x) = sin x) + sin x) cos x) 8 8 = cos 4x) + sin x) d sin x)) 8 6 = 6 x sin 4x) sin3 x) + c. x cos x 6... Υπολογισε το x sin x+cos. x Λυση. Θετουµε u = x sin x + cos x, du = sin x + x cos x sin x). Τοτε x cos x du x sin x + cos x = = ln u = ln x sin x + cos x) + c. u Υπολογισε το sin 7 x. Λυση Με u = cos x, du = sin x 3 sin 7 x = sin 6 x sin x = cos x) d cos x) = u ) 3 du = 3u + 3u 4 u 6) du = u + u u5 + u7 7 = cos x + cos 3 x 3 5 cos5 x + cos 7 x + c Υπολογισε το sin 4 x. Λυση. Εχουµε sin ) ) ) cos x) cos x) sin 4 x = x = = + cos x) 4 4 = x 4 4 sin x) + + cos 4x) = x sin x) + x 8 + sin 4x) + c Υπολογισε το x x+ 3 x+. Λυση. Θετοντας u = x + ) /6 εχουµε u 6 = x +, 6u 5 du =. Τοτε x 3 x + x + = 6 u6 ) u 5 u6 ) u 5 du = 6 u 3 u u u ) du = ) 6 u 3 u 5 + u 4 + u 3 + u + u + du ) u 9 = u8 8 + u7 7 + u6 6 + u5 5 + u4 4

122 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 6 ) x + ) 9/6 x + )8/6 x + )7/6 x + ) x + )5/6 x + )4/6 = Υπολογισε το x. Λυση. Θετοντας u = x, du =, εχουµε 3 x = u /3 du = 3 8 u4/3 = 3 8 x)4/3 + c. x Υπολογισε το x +). x + Λυση. Θετοντας u = x +, du = x, εχουµε x x + ) = x + du u = u 3/ du = 3/ ) u / = + c. x Υπολογισε το e 3x+ Λυση. Θετοντας u = 3x +, du = 3, εχουµε e 3x+ = 3 x Υπολογισε το. x+5) Λυση. Θετοντας u = x + 5, du =, εχουµε x u 5) / x + 5) = u du = 4 e u du = 3 eu = 3 e3x+ + c. u 5 u du = 4 du u 5 4 = 4 ln u 5 4 u = 4 ln x x c Υπολογισε το x x 3. Λυση. Θετοντας u = x 3, du =, εχουµε x x 3 = u + 3) u / du = u 3/ + 3u /) du du = 5 u5/ u3/ = 5 x 3)5/ + x 3) 3/ + c. ln x Υπολογισε το. x Λυση. Θετουµε u = ln x, du = /x, οποτε ln x x = udu = u = ln x) + c. x+/ Υπολογισε το. x +x+3 Λυση. Θετουµε u = x + x + 3, οποτε du = x + ). Ετσι x + / x + x + 3 = du u = ln u = ln x + x c. u

123 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Υπολογισε το x+ x+3. Λυση. Θετουµε u = x + 3, udu =. Τοτε x + x + = udu 3 u 3 + = u u u + u 3 du ) = u ) + 3 du = u + 3) ln u + 3 ln u + 3 = ln ) 3 x ln ) x c Υπολογισε το x 3 e x. Λυση. Θετοντας f = x 3, g = e x, εχουµε x e x = x 3 e x 3 x e x = x 3 e x 3 x e x ) e x = x 3 e x 3x e x + 3 xe x = x 3 e x 3x e x + 6 xe x = x 3 e x 3x e x + 6xe x 6e x + c. e x Υπολογισε το x ln + x ). Λυση. Θετοντας f = x /, g = ln + x ), εχουµε x ln + x ) = x ln + x ) x x + x = x ln + x ) x / + x d x ) = x ln + x ) x + ln + x ) + c Υπολογισε το sin x. Λυση. Εχουµε sin x = sinx)dcosx)) = sinx) cosx) + cosx)dsinx)) = sinx) cosx) + cos x) = sinx) cosx) + sin x)) = sinx) cosx) + x sin x). ηλαδη sin x) = sinx) cosx) + x sinx) cosx) + sin x x) =. sin x) sin x) = sinx) cosx) + x ) Υπολογισε το x arctan x.

124 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 8 Λυση. Θετοντας f = x, g = arctan x, εχουµε x arctan x = x x arctan x x x d arctan x) = arctan x + x = x arctan x x + x + = x arctan x + = x arctan x x + arctan x + c Υπολογισε το e ax sin bx). Λυση. Θα υπολογισουµε ταυτοχρονως τα J = e ax sin bx) και J = e ax cos bx). J = e ax sin bx) = eax sin bx) x e ax sin bx)) a = a eax sin bx) b e ax cos bx) = a a eax sin bx) b a J. J = e ax cos bx) = eax cos bx) x + e ax cos bx)) a = a eax cos bx) + b e ax sin bx) = a a eax cos bx) + b a J. ηλ. εχουµε J + b a J = eax sin bx), a Λυνοντας το συστηµα ως προς J, J παιρνουµε b a J + J = eax cos bx). a J = beax cos bx ae ax sin bx, J a + b = aeax cos bx + be ax sin bx a + b Υπολογισε το ln x). Λυση. Θετοντας f = x, g = ln x), εχουµε ln x) = x ln x) ) xd ln x) = x ln x) x ln x) x ) = x ln x) ln x = x ln x) x ln x xd ln x) = x ln x) x ln x x ) x = x ln x) x ln x + x + c Υπολογισε το. x +4x+5 Λυση. Εχουµε, µε συµπληρωση τετραγωνου, οτι x + 4x + 5 = x + x + + = x + ) +. x + Οποτε x + 4x + 5 = d x + ) = arctan x + ) + c. x + ) +

125 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 9 x Υπολογισε το 0x+3 Λυση. Θετουµε Αρα x )x )x 3). x 0x + 3 x ) x ) x 3) = A x + B x + C x 3 A x ) x 3) + B x ) x 3) + C x ) x ) = x ) x ) x 3) = A + B + C) x 5A + 4B + 3C) x + 6A + 3B + c). x ) x ) x 3) A + B + C = 5A + 4B + 3C = 0 6A + 3B + C = 3 Η λυση ειναι A =, B = 3, C = 4 και ετσι x 0x x ) x ) x 3) = x + x x 3 = ln x + 3 ln x 4 ln x 3 + c. x Υπολογισε το x. x 3 +x 6x Λυση. Εχουµε x x = x + ) x ) και x 3 + x 6x = x x + 3) x ). Οποτε x x x 3 + x 6x = x + x x + 3). Ωχουµε επισης x + x x + 3) = A x + B A + B) x + 3A = x + 3 x x + 3) οποτε A + B =, 3A = και A = /3, B = /3 και x x x 3 + x 6x = 3 x + 3 x + 3 = 3 ln x + ln x c Υπολογισε το Λυση. Εχουµε x 4 x 3 +x. x 4 x 3 + x = x x ) x + και ο ορος x x + δεν εχει πραγµατικες ϱιζες. Οποτε ϑετουµε x 4 x 3 + x = A x + B x + Cx + D x x + = A + C) x 3 + A + B + D) x + A B) x + B. x x x + ) Οποτε εχουµε A + C = 0 A + B + D = 0 A B = 0 B =

126 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 0 που εχει λυση A =, B =, C =, D = 0. Ετσι x 4 x 3 + x = x + x x x x + = ln x x ln ) 3 x x + 3 arctan 3 3 x ) + c. 3 x Υπολογισε το 4 3x 3 3x +0. x+) x 3) Λυση. Αφου x + ) x 3) = x 3 x 5x 3, ο ϐαθµος του αριθµητη ειναι υψηλοτερος αυτου του παρονοµαστη, αρα πρεπει να εκτελεσουµε πολυωνυµικη διαιρεση. Εχουµε x 4 3x 3 3x +0x +0 x 3 x 5x 3 x 4 x 3 5x 3x x x 3 +x +3x +0 x 3 +x +0x +6 7x +4 που δινει πηλικο x και υπολοιπο 7x + 4, δηλ. x 4 ) 3x 3 3x + 0 7x + 4 = x + x + ) x 3) x + ) x 3) = x x 7x 4 x + ) x 3). Για το τελευταιο ολοκληρωµα εχουµε 7x 4 x + ) x 3) = A x + + B x + ) + C x 3) = A + C) x + A + B + C) x + 3A 3B + C) x 3) x + ) οποτε A + C = 0 A + B + C = 7 3A 3B + C = 4 µε λυση A = 7, B =, C = 7 και ετσι x 4 7/6 x + ) x 3) = x + + /4 x + ) + 7/6 ) x 3 = 4 x + ) 7 7 ln x + ) + ln x 3). 6 6 Τελικα το Ϲητουµενο ολοκληρωµα ισουται µε x x + 4 x + ) ln x + ) ln x 3). 6

127 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ x Υπολογισε το 3 5x x+5. x+3 Λυση. Εδω απαιτειται η χρηση πολυωνυµικης διαιρεσης του x 3 5x x + 5 µε το x + 3. Εχουµε x 3 5x x +5 x + 3 x 3 +3x x 4x 8x x +5 8x x +5 που δινει πηλικο x 4x και υπολοιπο 5, δηλ. x 3 5x x + 5 x + 3 = x 5 4x + x + 3. Οποτε εχουµε x 3 5x x + ) 5 = x 5 4x + = x 3 x + 3 x x + 5 ln x c Αποδειξε τις εξης ιδιοτητες.. Λυση. Για την 6.3): Για την 6.4): a a b a b a b a b a f x) = 0 6.3) f x) = a b c f x) = c f x) 6.4) b [f x) ± gx)] = f x) + c b f x) = f x) 6.5) a b a c a f x) ± Για την 6.5): Για την 6.6): b a b a b a a a b f x) = F a) F a) = 0. f x) = F b) F a) = F a) F b)) = cf x) = cf b) cf a) = c F b) F a)) = c f x) ± g x)) = F b) ± G b) F a) ± G a)) = F b) F a)) ± G b) G a)) = a gx) 6.6) f x) 6.7) b a b b a f x). f x). f x) ± b a a gx).

128 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Για την 6.7): b a f x) Αποδειξε οτι c b f x) = F b) F a) + F c) F b) = F c) F a) = x [a, b] : 0 f x)) 0 b a f x) c a f x). Λυση. Θεωρείστε την συναρτηση F x) = x f u) du. Εχουµε α) F x) = f x) 0 και ϐ) a F a) = 0. Άρα η F x) είναι αύξουσα, οπότε x a F x) F a) = 0. Αν ϑέσουµε x = b, έχουµε F b) = b f x) 0. a Υπολογισε το ολοκληρωµα x. Λυση. Εχουµε [ ] x x= x = = = 3. x= π +cos x Υπολογισε το ολοκληρωµα. 0 Λυση. Εχουµε π + cos x π π = cos x = cos x 0 = 0 π/ Υπολογισε το ολοκληρωµα 0 49 x. Λυση. Θετουµε x = 7 sin u, = 7 cos udu, οποτε x = 7 = u=π/ 0 0 cos x = [sin x] x=π/ x=0 = sin u cos udu u= Υπολογισε το ολοκληρωµα x. 0 Λυση. Εχουµε 0 x = 0 x) + [ u sin u cos udu = x ) = [x x Υπολογισε το ολοκληρωµα 4 x 3. Λυση. Εχουµε 4 x ) = x ] x= x=0 ] u=π/ u=0 [ x + x 4 x ) = 4. = 49 4 π. ] x= x= =.

129 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Υπολογισε το 0 Λυση. Εχουµε 0. +x M + x = lim M 0 + x = lim [arctan M x]m 0 = lim arctan M arctan 0 = π/ 0 = π/. M Υπολογισε το x 0 π e x /. Λυση. Εχουµε x x= ) e x / e x / x u= e u = d = du = lim 0 π x=0 π u=0 π π M = [ lim ] e u u=m = u=0 lim [ e M] =. π π π Υπολογισε το. x x + M Λυση. Θετοντας x = du, =, εχουµε u u x= x= x x Υπολογισε το 0 Λυση. Εχουµε 0 = =. x x = u=0 u= u= u=0 0 u=m M u=0 u du u + u [ du = ln u + ] u= + u = ln + ). + u x ε 0 + ε 0 x + ε 0 + u=0 = lim 0 x + lim +ε x 0 x + = lim [ln x ]x= ε + x=0 + lim [ln x ]x= + x=+ε ln 3 ε 0 ε 0 = lim [ln ε ln ] + lim [ln ln ε] ln ε 0 ε 0 = ln 3 το οποιο ειναι απροσδιοριστο. Αρα το ολοκληρωµα Υπολογισε το Λυση. Εχουµε x. x ε = lim ε 0 + = lim ε 0 x + lim ε 0 + ε x 0 x [ε ] + lim [ + ε] = + =. + + ε 0 δεν ειναι ορισµενο. = lim [ x]x= ε ε 0 + x= + lim [ x]x= ε 0 + x=ε e u du

130 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Αλυτα Προβληµατα Αποδειξε οτι :. x = 3 x 3 + c.. = x + c. 3. x = 3 x 3/ + c. 4. sin = cos x + c. 5. = ln x + c. x Υπολογισε τα ολοκληρωµατα.. x 3. Απ. 4 x 4 + c.. x + 4). Απ. x + 4x, µε u = x + 4, du = ). x Απ. x4 +5 x 4 + 5), µε u = x 4 du = 4x 3 ). x 4. + x 3 +6x+). Απ. ln x 3 + 6x + ), µε u = x 3 + 6x +, du = 3x + 6)) Απ. ln 4x ), µε u = 4x, du = 4. 4x 4 6. e x + ) e x. Απ. 3 ex + ) 3, µε u = e x, du = e x. sinx)+cosx) sinx) 7.. Απ. cosx) cosx) + cosx) cosx) = ln cos x) + x. 8.. Απ. arcsin x, µε u = x, du =. 9 x Απ. arcsin x, µε u = x, du =. 9 4x Απ. arctan x, µε u = x, du =. 4x e. /x. Απ. e x x, µε u = x.. Υπολογισε το. Απ. ln e x + ) + ln e x), µε u = e x +, du = e x. e x Υπολογισε τα ολοκληρωµατα.. e x cose x ). Απ. sin e x), µε u = e x, du = e x.. 4 x+). Απ. arcsin x + ), µε u = x, du =. 3. 4x x. Απ. arcsin x + ), δες το παραπανω.

131 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Απ. arctan e x), µε u = e x, du = e x. e x +e x 5.. Απ. ln 3x ) ln 3x + ). 9x 4 x Απ. x x arcsinh x, µε u = x + 4, και σπανοντας το ολοκληρωµα σε +4 δυο µερη. 7.. Απ. 0+4x x arcsin 4 4 x ), µε συµπληρωση του τετραγωνου. x Απ x x 4x x ) + arcsin x + ), µε u = x + 3, συµπληρωση του 3 3 τετραγωνου και διασπαση του ολοκληρωµατος σε δυο µερη Υπολογισε τα ολοκληρωµατα.. cos 3 x. Απ. 3 cos x sin x + sin x, µε u = sin x. 3. sin x cos x. Απ. 4 sin x cos3 x + 8 cos x sin x + 8 x, µε sin x cos x = sin x. 3. cos x) sinx). Απ. 3 cos3 x, µε u = cos x, du = sin x. 4. +cosx). Απ. tan x, µε αντικατασταση cos x = tan x. +tan x 5. sin x cos 4x. Απ. cos 6x + cos x, µε sin x cos 4x = sin 6x sin x Υπολογισε τα ολοκληρωµατα.. sinh x. Απ. cosh x.. e x sinh x. Απ. cosh x sinh x x + cosh x, µε sinh x = ex e x 3.. Απ. ln 3x 9x + 9x 4) ), µε u = 3 x x + 9. Απ. x 4x + 9) arcsinh 3 x, µε u = arcsinh 3 x. 5.. Απ. ln 3x ) ln 3x + ), µε u = 3 x. 9x 4 6. x 9+x. Απ. 9x [ 9 + x ), µε x = 3 tan u, = + x )du. d a 9 b tanu)) = a du b. + tan u ) ] x 7.. Απ. x x x 9) + 9 ln x + x 9) ), µε x = 9 cosz), = x. x Απ. 4 9x ) arctanh 4 9x ), µε x = sinz), = cos zdz. 3 3 tanz) cosz) dz. 9.. Απ. arctanh x 9+4x x ), µε x = 3 tanu), = 3 cos z) dz).

132 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 6 0. x x x. Απ. x x x ) 3 x x ) + 3 arcsin x ), µε x = sinz), = cosz)dz.. x 4 x 4 x), µε 4 x = z, = zdz.. x ). Απ. arctanh x+3 x + 3), µε x + 3 = u, = udu. 3.. Απ. x 9+x ) 3/ 9 9+x ). ) x 4. 5 ) 3 +x. Απ. 5 x x + + x Υπολογισε τα ολοκληρωµατα... x /3 x /3 Απ. 3 3 x ln ) ) 3 x + ln 3 ) x + 3 x + ln x ), µε x = u 3, = 3u du.. +sinx) cosx). Απ. ln ) tan x ln tan ), µε sinx) = u, = +u 3. 3+sinx). Απ. arctan 6 tan x + ) x sin x. Απ. sin x x cos x. +u dz. 5. x 3 ln x. Απ. lnx)d x 4 ) = x 4 lnx) x 4 dlnx)) = x 4 lnx) 4 4 x 4 = x 4 ln x x 4. x arcsin x. Απ. x arcsin x + x. 7. x sin x. Απ. x cos x + cos x + x sin x. 8. tan x. Απ. x arctan x ln + x ). 9. x e x. Απ. x e x xe x 4 e x. 0. coslnx)). Απ. x sin ln x) + cos ln x)) Υπολογισε τα ολοκληρωµατα.. ln x 3) ln x + 3)). x x+ ) = ln x + 3) ln x + ). x +5x+6 x+3 x+ x+ 3. x 3 x. x+ 3 Απ. + ) = 3 ln x + ) ln x ). x ) 4x ) 4x+) 4 x ) 4 4. x+ x+) 3. Απ. x+) 3 + x+) ) = x+) x+.

133 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 7 5. x +x+3 x +x 3 x. Απ x 5x ) 5 ) = 9 ln x ) ln + x ) 3 arctan x. +x Απ. ln x + 6) + ln x + ). x +7x x 7. +3x 4. Απ. x + ln x + ) + 4 ln x 4). x x Απ. ln x ln + x ). x 3 +x x x x. Απ. arctan x +) x + ln x + ). x Απ. e x 4e x Αποδειξε οτι. 4e x ln 6 ex ) + ln 6 ex 4). x [a, b] : gx) f x)) b a gx)d x [a, b] : A f x) B) A b a) b a b Υπολογισε το γενιµευµενο ολοκληρωµα αν αυτο υπαρχει x. Απ.. x. Απ.. x n. Απ. n 4. 0 e x. Απ xe x. Απ. / x. Απ. π/4. x +x. Απ. ln ). 8. x e x/. Απ οταν n >, οταν n Υπολογισε το γενιµευµενο ολοκληρωµα αν αυτο υπαρχει. 6 [ ] /3. 4 x). Απ. 6 /3.. 0 x ). Απ.. a f x) 6.8) f x) B b a) 6.9) x ) 3. Απ. εν υπαρχει. x ) 3. Απ. 3/8.

134 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Προχωρηµενα Αλυτα Προβληµατα Υπολογισε τα ολοκληρωµατα.. + x ) e x. Απ. xe x. x. +. Απ. arctan x 3 π + arctan x. x 4 x + x Απ. arctan x 3 π + arctan x. x e 4. x. e x + 5. π x sin x +sin x. +. x ln+x). +x lnx). +x b ) lim p f x = b lim p p f a a x p ). Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα Αν η f x) ειναι α) ϑετικη για καθε x και ϐ) µη ϕραγµενη, τοτε f x) =. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα Αν η f x) ειναι ϕραγµενη και g x) <, τοτε f x) g x) <. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα Cauchy-Schwarz). Εστω συνεχείς συναρτήσεις f x), g x). Να δειχτεί ότι f x) g x) = [f x)] [g x)] Holder). Εστω συνεχείς συναρτήσεις f x), g x) και αριθµοί p, q [, ) τέτοιοι ώστε =. Να αποδειχτεί ότι p + q b a b ) /p b /q f x) g x) f x) p g x) ) q. a Minkowski). Εστω συνεχείς συναρτήσεις f x), g x) και αριθµός p [, ). Να δειχτεί ότι ) /p /p /p f x) + g x) p = [f x)] ) p + [g x)] ) p a 0

135 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Gromwell). Εστω παραγωγίσιµες συναρτήσεις f x), g x) οι οποίες ικανοποιούν Αποδειξε οτι x R : df f x) g x). a, x R : f x) g a) e Εστω f x) συνεχης στο [0, ]. Αποδειξε οτι π 0 xf sin x) = π π/ 0 x a gu)du. f sin x) Βρες ολες τις f x) συνεχεις στο [0, ] οι οποιες ικανοποιουν π 0 f x) x f x)) = Να ϐρεθεί η ελάχιστη τιµή που µπορεί να πάρει το b a [f x)] xf x) ) όταν η f x) µπορεί να είναι οποιαδήποτε συνεχής συνάρτηση Εστω f x) συνεχής στο [a, b]. Αποδειξε οτι b b f x) f x). a Εστω f x) µη αυξουσα στο [0, ]. Αποδειξε οτι, για καθε a 0, ), ισχυει a 0 f x) Εστω f x) συνεχης στο [0, ]. Αποδειξε οτι f x) ) π 0 a a 0 0 f x) Εστω συνεχής συνάρτηση f x) τέτοια ώστε ισχύει f x)). Αποδειξε οτι λ [0, ], x, y R : f λx + λ) y) λf x) + λ) f y). a + b ) a, b R : f b a b a f x) f a) + f b) Μαθ. Ολυµπιάδα). Εστω συνεχής συνάρτηση f x) τέτοια ώστε x x R : f x) f u) du. Αποδειξε οτι x R : f x) = 0. 0

136 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Μαθ. Ολυµπιάδα). Να ϐρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f : [, ] R τέτοιες ώστε x y : y x f u) du = yf y) xf x)) Μαθ. ιαγωνισµός Putnam). Εστω παραγωγίσιµη συνάρτηση f : [0, ] R µε συνεχή παράγωγο και τέτοια ώστε f 0) = 0 και Αποδειξε οτι x [0, ] : 0 < df. f x) ) 0 0 f x)) 3.

137 Κεφάλαιο 7 Εµβαδον, Μηκος και Ογκος b Το ορισµένο ολοκλήρωµα F x) µπορεί να ερµηνευθεί γεωµετρικά ως το εµβαδόν ενός a σχήµατος που ορίζει η F x) και τα a, b. Οµοίως, το µήκος της καµπύλης που ορίζει η F x) µπορεί να υπολογιστεί µε την χρήση ενός ορισµένου ολοκληρώµατος. 7. Θεωρια και Παραδειγµατα 7... Θεωρηµα: Εστω µια συνεχης συναρτηση f x) 0. Επιλεγω σταθερους αριθµους a, b µε a b) και ϑεωρω το χωριο που οριζεται απο την f x), τον αξονα των x και τις ευθειες x = a, x = b δες το Σχηµα 7.). Το χωριο αυτο εχει εµβαδον E = b a f x). 7.) Σχ.7.: Το ορισµενο ολοκληρωµα ως εµβαδον Παρατηρηση: Εστω µια τυχούσα συναρτηση f x). Μπορούµε να ορίσουµε το εµβαδόν E το οποίο περικλείεται από την f x), τον αξονα των x και τις ευθειες x = a, x = b) να ειναι ισο µε b E = f x). 7.) a 3

138 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ 3 Το ολοκλήρωµα της 7.) υπάρχει πάντα, όµως η ερµηνεία του ως εµβαδού απαιτεί ορισµένες διευκρινίσεις. b Παρατηρηση: Το f x) µπορεί να παίρνει αρνητικές τιµές. Χρησιµοποιούµε την a συµβαση οτι το τµηµα του σχηµατος που ϐρισκεται κατω απο τον αξονα των x εχει αρνητικο εµβαδο δηλαδη το εµβαδον ενος χωριου ειναι προσηµασµενη, αρνητικη η ϑετικη ποσοτητα). Επίσης, κατά τον υπολογισµό του εµβαδού µε ολοκλήρωση, τα ϑετικά και αρνητικά εµβαδά αθροίζονται αλγεβρικά. Ετσι είναι δυνατόν µία συνάρτηση f x) να περικλείει µηδενικό εµβαδόν δε το Σχήµα 7.) Σχ.7.: Καµπυλη που περικλειει µηδενικο εµβαδον Παρατηρηση: Περαιτέρω, η συνάρτηση f x) µπορεί να είναι τέτοια ώστε να µην δηµιουργεί ένα γεωµετρικά αναγνωρίσιµο σχήµα µε καλά ορισµένο εµβαδόν. Σε αυτή την περίπτωση δεν b είναι σαφές ότι το f x) αντιστοιχεί σε γεωµετρικό εµβαδόν. Θα εξετάσουµε παραδείγµατα a τέτοιων συναρτήσεων στο Εδάφιο Θεωρηµα: Εστω µία συνάρτηση f x) παραγωγίσιµη στο [a, b] και C η καµπύλη της γραφικής παράστασης της f x) η οποία περικλείεται από τις ευθείες x = a και x = b. Τοτε το µηκος τοξου δηλ. το µηκος της καµπυλης C) ειναι b ) df s = ) a Παρατηρηση: Είναι ϕυσικό µετά το µήκος και το εµβαδόν, να ασχοληθούµε και µε τον υπολογισµό του όγκου. Αυτός ο υπολογισµός γενικά απαιτεί την χρήση διπλών ή τριπλών ολοκληρωµάτων. Οµως υπάρχουν κάποιες κατηγορίες στερελων των οποίων ο όγκος µπορεί να υπολογιστεί µε χρήση «απλού» ολοκληρώµατος Ορισµος: Θεωρησε µια καµπυλη η οποια περιγραφεται απο τη συναρτηση f x), f x) 0, x [a, b]. Φαντασου οτι η καµπυλη περιστρεφεται γυρω απο τον αξονα των x δες το Σχηµα

139 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ ). Τοτε σχηµατιζεται ενα στερεο σωµα, το οποιο λεγεται στερεο εκ περιστροφης. Σχ.7.3: Στερεο εκ περιστροφης µιας καµπυλης γυρω απο τον αξονα των x Θεωρηµα: Ο ογκος του παραπάνω στερεου ειναι V = π b a [f x)]. 7.4) Θεωρηµα: Το εµβαδον της επιφανειας του παραπάνω στερεου ειναι b ) df S = π f x) ) a Θεωρηµα: Αντιστοιχα, αν µια καµπυλη η οποια περιγραφεται απο τη συναρτηση f x), f x) 0, x [a, b], περιστραφει γυρω απο τον αξονα των y, το εµβαδον της επιφανειας που σχηµατιζει η καµπυλη ειναι b ) df S = π x + 7.6) 7. Λυµενα Προβληµατα a 7... Αποδειξε την 7.. Λυση ες το σχηµα ;;. Τα σηµεια x 0, x,..., x N ικανοποιουν a = x 0 < x <... < x N = b και

140 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ 34 x n x n = x για n =,,..., N). y f x) α = x 0 x x x 3 x Ν = b Σχ.7.4: Προσεγγιση του εµβαδου µε αθροισµα εµβαδων ορθογωνιων παραλληλογραµµων. Μπορουµε να προσεγγισουµε το Ϲητουµενο εµβαδον E ως το αθροισµα των N ορθογωνιων πα- ϱαλληλογραµων που εµφανιζονται στο σχηµα το n-στο παραλληλογραµµο εχει ϐαση µηκους x n x n = x και υψος f x n ), οποτε το εµβαδον του ειναι f x n ) x. Το συνολικο εµβαδον ειναι E N = N f x n ) x. n= Η προσεγγιση ειναι τοσο καλυτερη οσο µεγαλυτερο ειναι το N ο αριθµος των παραλληλογραµ- µων). Παιρνοντας το οριο N εχουµε E = lim E N = lim N N n= N f x n ) x = b a x f x). 7.7) b Το αθροισµα µετατραπηκε στο συµβολο, οπου εχουµε τα σηµεια x a 0 = a, x N = b το x µετατραπηκε στο λαβετε υποψη οτι καθως το N, το x b 0). Οµως το f x) ειναι απλα a b ενας Συµβολισµος πρεπει τωρα να δειξουµε οτι f x) = F b) F a), F x) = f x), a δηλ. να δειξουµε οτι υπαρχει σχεση µεταξυ του ορισµενου και αοριστου ολοκληρωµατος. Για να επιτυχουµε αυτο, µε δεδοµενο a, οριζουµε την συναρτηση εµβαδου E z) = z a f x). Αυτη η συναρτηση πρεπει να δινει το εµβαδον του σχηµατος που οριζεται απο την f x), τον αξονα των x και τις ευθειες x = a, x = z για καθε z. Ιδιαιτερα, πρεπει να εχουµε E b) = E το αρχικα

141 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ 35 Ϲητουµενο εµβαδον) και E a) = 0 γιατι ;). Ας υπολογισουµε την παραγωγο E z): E z) = lim E z + z) E z) z 0 z+ z = z a z f x) z a ) f x) = z z+ z z f x). z+ z Το f x) ειναι το εµβαδον του σχηµατος που οριζεται απο την f x), τον αξονα των x και z τις ευθειες x = z, x = z + z. Οταν το z ειναι αρκετα µικρο, το εµβαδον αυτο µπορει να προσεγγιστει απο το παραλληλογραµµο µε ϐαση z και υψος f z). ηλ. E z) = lim z 0 f z) z = f z). z Αυτο πρεπει να ισχυει για καθε υποψηφια συναρτηση εµβαδου, και µπορει να επιτευχθει παιρνοντας οποιοδηποτε αοριστο ολοκληρωµα της f z) µε αλλα λογια, αρκει να εχουµε F z) = f z) dz, E z) = F z) + c. Για να ισχυει επιπλεον το F a) = 0, πρεπει να επιλεξουµε καταλληλα την σταθερα ολοκληρωσης c. Θα εχουµε 0 = E a) = F a) + c c = F a) E z) = F z) F a). Συµφωνα δε µε τον ορισµο της E z), το αρχικα Ϲητουµενο εµβαδον απο το a ως το b) ϑα ειναι E = E b) = F b) F a) και αυτο ϑα ισχυει για καθε F z) = f z) dz, δηλ. δειξαµε το Ϲητουµενο. π 7... Ισχύει ότι sin x = 0. ώστε µια γεωµετρική ερµηνεία αυτού. 0 Λυση. Εχουµε sin x = cos x. Στο διάστηµα 0, π) ισχύει sin x) > 0 και επίσης έχουµε π 0 sin x = [ cos x] x=π x=0 = cos π) + cos 0) =. Με άλλα λόγια, το εµβαδόν που περικλείεται από την sin x και τον άξονα των x και τα όρια x = 0, x = π) ισούται µε δύο µονάδες επιφάνειας και είναι ϑετικό. Επίσης στο διάστηµα π, π) ισχύει sin x) < 0 και επίσης έχουµε π π sin x = [ cos x] x=π x=π = cos π) + cos π) =. Με άλλα λόγια, το εµβαδόν που περικλείεται από την sin x και τον άξονα των x και τα όρια x = π, x = π) ισούται µε δύο µονάδες επιφάνειας και είναι αρνητικό. Οπότε το συνολικό

142 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ 36 εµβαδόν, όπως ϕαίνεται και στο Σχήµα 7.5το συνολικό «αλγεβρικό» εµβαδόν είναι 0. Σχ.7.5: Το εµβαδον που αντιστοιχει στο Ορίζουµε την συνάρτηση { όταν x Q f x) = 0 όταν x R Q. π 0 sin x. Υπάρχει γεωµετρική ερµηνεία του f x) ; 0 Λυση. εν υπάρχει προφανής γεωµετρική ερµηνεία του ολοκληρώµατος, διότι δεν είναι σαφές αν η συνάρτηση f x) ορίζει ένα επίπεδο σχήµα. Η f x) είναι ασυνεχής σε κάθε ϱητό αριθµό γιατί ;) και κατά συνέπεια δεν µπορεί να σχεδιαστεί το Σχήµα 7.6 δεν είναι ακριβές). Αφού δεν υπάρχει ορισµένο γεωµετρικό σχήµα, δεν έχει νόηµα να µιλάµε και για το εµβαδόν του. { όταν x Q Σχ.7.6: Η συναρτηση f x) = 0 όταν x R Q. Παραµένει αρκετά ενδιαφέροντα ερώτηµατα. Π.χ.: α) αγνοώντας την γεωµετρική σκοπιά, είναι το f x) καλώς ορισµένο ; ϐ) αν το f x) καλώς ορισµένο, ποια είναι η αριθµητική 0 0 τιµή του ;

143 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ ώστε γεωµετρική ερµηνεία των παρακάτω γνωστών ιδιοτήτων. b a b a c f x) = c f x) gx)) = b a b x [a, b] : 0 f x)) 0 a f x) f x) b a b a f x) x 0 [a, b] : f x 0 ) = b a gx) b a f x) b Λυση. Η ιδιότητα c f x) = c b f x) σηµαίνει : αν πολλαπλασιάσουµε την f x) µε a a τον αριθµό c, το εµβαδόν του αντίστοιχου σχήµατος επίσης πολλαπλασιάσουµε την f x) µε τον αριθµό c,. είτε και το Σχήµα 7.7. Σχ.7.7: Η ιδιότητα b a c f x) = c b a f x). b Η ιδιότητα f x) gx)) = b f x) b gx) ερµηνεύεται ως εξής : το εµβαδόν Ε a a a το οποίο περιέχεται µεταξύ των καµπυλών f x) και g x) ισούται µε την διαφορά Ε Ε, όπου Ε είναι το εµβαδόν που περιέχεται µεταξύ της f x) και του άξονα των x, και Ε είναι το εµβαδόν που περιέχεται µεταξύ της g x) και του άξονα των x,. είτε και το Σχήµα 7.8.

144 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ 38 Η ιδιότητα Σχ.7.8: b a f x) gx)) = b x [a, b] : 0 f x)) 0 a f x) b a b a f x) gx). ερµηνεύεται ως εξής : αν η καµπύλη της f x) ϐρίσκεται πάνω από τον άξονα των x τότε το αντίστοιχο εµβαδόν είναι ϑετικό. είτε το σχήµα 7.9. Η ιδιότητα Σχ.7.9. x 0 [a, b] : f x 0 ) = b a b a f x) ερµηνεύεται ως εξής : το εµβαδον του σχηµατος που οριζει η f x) ϑα ειναι ισο µε το εµβαδον ενος παραλληλογραµου µε ϐαση µηκους b a και υψος M, όπου το M ειναι η τιµη της f x) σε ενα σηµειο x 0 [a, b]. είτε και το Σχήµα 7.0. Σχ.7.0: f x 0 ) = b f x). b a a

145 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ Υπολογισε το εµβαδον που περικλειεται απο την καµπυλη y = x και τον αξονα των x. Λυση. ες το σχηµα 7.. Η y = x τεµνει το ανξονα των x στα σηµεια οπου 0 = x, δηλ. x = ±. Το Ϲητουµενο εµβαδον ειναι Σχ.7.. x ) = [x x Υπολογισε το εµβαδον που περικλειεται απο την καµπυλη y = e x sin x, την ευθεια x = 0 και τον αξονα των x. Λυση. ες το σχηµα 7.. Θα υπολογισουµε το εµβαδον για x [0, π] υπαρχουν και αλλα σηµεια στα οποια η y x) τεµνει τον αξονα των x αλλα δεν ϑα τα µελετησουµε). Σχ.7.. ] x= x= = 4 3. Ειναι γνωστο δες Κεφαλαιο 5) οτι e x sin x = ex sin x ex cos x = ex sin x cos x). Οποτε π 0 [ e x e x sin x = ] x=π sin x cos x) x=0 = eπ +.

146 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ Υπολογισε το εµβαδον που περικλειεται απο τις καµπυλες y = e x/, y = και τις ευθειες x x =, x = 3. Λυση. E = 3 e x/ x ) [ = e x/ + x ] x=3 x= = e 3/ + 3 e = e e ) / Υπολογισε το εµβαδον που περικλειεται απο τις καµπυλες y = x 4, y = x +. Λυση. Οι δυο καµπυλες τεµνονται στα σηµεια οπου Οποτε το Ϲητουµενο εµβαδον ειναι E = 5/ x 4 = x x + = 5 ), x = x + )) [ x 4 = 3 x x + 5x ] x=5/ x= = Υπολογισε το εµβαδον που περικλειεται απο τις καµπυλες y x) = x + 6x 5, y x) = x + 4x 3 και y 3 x) = 3x 5. Λυση. ες το σχηµα 7.3. Η y x) και η y x) τεµνονται στα x που ικανοποιουν δηλ. στο x =. x + 6x 5 = x + 4x 3 Σχ.7.3 Η y x) και η y 3 x) τεµνονται στα x που ικανοποιουν x + 6x 5 = 3x 5 δηλ. στο x = 5 και στο 3 που απορριπτεται γιατι ;). Τελος, η y x) και η y 3 x) τεµνονται στα x που ικανοποιουν 3x 5 = x + 4x 3

147 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ 4 δηλ. στο x 3 = 4 και στο 3 που απορριπτεται γιατι ;). Οποτε το Ϲητουµενο εµβαδον δινεται απο E = E = y x) y x)) = y x) y 3 x)) = E = E + E = = x + 6x 5 x + 4x 3)) = 9, x + 6x 5 3x 5) ) = 9 6, Υπολογισε το εµβαδον που περικλειεται απο τις καµπυλες y = 4x, x = 4y. Λυση. ες το σχηµα 7.4. Τα σηµεια τοµης δινονται απο Σχ.7.4: Το εµβαδον που περικλειουν οι y = 4x, x = 4y.. x = 4y x 4 = 6y = 64x x = 0, x = 4). Οποτε το Ϲητουµενο εµβαδον ειναι 4 x x ) [ 4 = 4 3 x 3/ x 3 0 ] x=4 x=0 = Υπολογισε το εµβαδον που οριζεται απο τις καµπυλες y = cos x, y = sin x και τις ευθειες x = 0, x = π. Λυση. ες το σχηµα 7.5.

148 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ 4 Το Ϲητουµενο εµβαδο ειναι E = = Σχ.7.5: Το εµβαδον µεταξυ των y = cos x, y = sin x, x = 0, x = π. π 0 π/4 0 sin x cos x cos x sin x) + 5π/4 π/4 sin x cos x) + π 5π/4 = [sin x + cos x] π/4 x=0 + [ cos x sin x]5π/4 + [sin x + cos x]π x=π/4 = ) ) ) = Αποδειξε την 7.3. Λυση. ες το σχηµα 7.6. Σχ.7.6: Προσεγγιση του µηκους τοξου. cos x sin x) x=5π/4 Εστω οτι το διαστηµα [a, b] χωριζεται σε µικροτερα διαστηµατα [x 0, x ], [x, x ],..., [x N, x N ], οπου a = x 0 < x <... < x N = b και x x 0 = x x =... = x N x N = x = b a N. Τοτε το µηκος της καµπυλης µπορει να προσεγγιστει απο το µηκος της τεθλασµενης γραµµης A 0 A...A N και η προσεγιση ϑα ειναι τοσο καλυτερη οσο µικροτερο το x, δηλ. καθως N. Θεωρησε το n-στο ευθυγραµµο τµηµα της A 0 A...A N, δηλ. το A n A n. Αυτο εχει µηκος s n = ) fn x + fn = x +. x Το συνολικο µηκος της τεθλασµενης γραµµης µε N ευθυγραµµα τµηµατα ειναι N N ) fn s N = s n = + x x n= n=

149 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ 43 το δε πραγµατικο µηκος της καµπυλης ειναι N s = lim s N = lim + N N n= fn x ) x = b a ) df + οπου εχουµε χρησιµοποιησει την κλασσικη προσεγγιση του λογισµου, αντικαθιστωντας το α- ϑροισµα µε ολοκληρωµα και τον λογο των διαφορων f n µε την παραγωγο df. Ο παραπανω x συλλογισµος ειναι διαισθητικος, αλλα µπορει να γινει αυστηρα σωστος χρησιµοποιωντας καταλληλα επιχειρηµατα που εκφευγουν απο τους στοχους του παροντος τευχους) Υπολογισε το µηκος της καµπυλης f x) = x + 3, a = 0, b =. Λυση. Συµφωνα µε τον τυπο ;;), το Ϲητουµενο µηκος ειναι x ) df [ x s = + = + x = x 0 + log x + )] x= + x x=0 = + log + ) Υπολογισε το µηκος της καµπυλης f x) = x4, x 4x =, x = 4. Λυση. Εδω εχουµε df = x 3 x 3 οποτε 4 x 3 s = + ) 4 = + x 6 x x 4 x 6 = 3 + ) x 3 4 x 3 = + ) = 055 x Υπολογισε το µηκος της καµπυλης f y) = y4, a =, b =. 6y Λυση. Εδω η καµπυλη δινεται µε ανεξαρτητη µεταβλητη την y. Οποτε εχουµε και s = b a + df dy = y3 8y 3 ) df + = + y 3 ) dy = + y 3 + ) dy = 483 dy 8y 3 8y Υπολογισε το µηκος της κλειστης καµπυλης που δινεται σε πεπλεγµενη µορφη : x /3 + y /3 = a /3.

150 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ 44 Λυση. ες το σχηµα 7.7. Σχ.7.7: Η καµπυλη x /3 + y /3 = a /3. Θεωρωντας την x ως ανεξαρτητη µεταβλητη εχουµε 3 x /3 + 3 y /3 dy = 0 dy /3 = x y. /3 Παρατηρειστε επισης στο σχηµα οτι το x µεταβαλλεται απο το a ως το a. Οποτε a ) x /3 a x s = + = /3 + y /3 a a dy = /3 dy y /3 x /3 x /3 a a a = a /3 x /3 dy = 3 [ a/3 x /3] x=a a x= a = 3a. Αυτο οµως ειναι το µηκος του ανω µισου της καµπυλης. Το Ϲητουµενο µηκος ειναι διπλασιο, δηλ. 6a ικαιολογειστε την 7.4). Λυση. ες το σχηµα ;;. Ο Ϲητουµενος ογκος V του στερεου εκ περιστροφης µπορει να προσεγγιστει απο το αθροισµα των ογκων των στοιχειωδων κυλινδρων οι οποιοι αντιστοιχουν στην διαµεριση του διαστηµατος [a, b] σε υποδιαστηµατα [x 0, x ], [x, x ],..., [x N, x N ], µε a = x 0 < x <... < x N και x n x n = x = b a. Καθε ενας απο αυτους τους κυλινδρους εχει ογκο N V n = π [f x n )] x και ο συνολικος ογκος ειναι V N = a N π [f x n )] x. 7.8) n= Η προσεγγιση γινεται ακριβεστερη καθως το N τεινει στο απειρο. Εχουµε V N αντικαθιστωντας στην 7.8) το αθροισµα µε ολοκληρωµα, παιρνουµε V = π b a [f x)]. N V οπου, Ο παραπανω συλλογισµος ειναι διαισθητικος, αλλα µπορει να γινει αυστηρα σωστος χρησιµοποιωντας καταλληλα επιχειρηµατα που εκφευγουν απο τους στοχους του παροντος τευχους).

151 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ Βρες τον ογκο του στερεου που σχηµατιζεται απο την περιστροφη της f x) = sin x, x [0, π], γυρω απο τον αξονα των x. Λυση. ες το σχηµα 7.8. Συµφωνα µε την 7.4) V = π π 0 Σχ.7.8. ) π sin x = sin x = π [cos x] x=π x=0 = π Βρες τον ογκο του στερεου που σχηµατιζεται απο την περιστροφη της ελλειψης x + y a, γυρω απο τον αξονα των x. Λυση. Αρκει να υπολογισουµε τον ογκο που προκυπτει απο την περιστροφη της y = b x x [ a, a], γυρω απο τον αξονα των x. Ετσι εχουµε V = π a a b x [ a = πb x x 3 3a ] x=a x= a = 4πab Βρες τον ογκο του στερεου που σχηµατιζεται απο την περιστροφη της f x) = x +, x [0, ], γυρω απο τον αξονα των x. Λυση. Απο τον 7.5) εχουµε V = π 0 ) [ x 5 x + = π 5 + x x ] x= x=0 = 8π Βρες τον ογκο του στερεου που σχηµατιζεται απο την περιστροφη γυρω απο τον αξονα των x των καµπυλων y = x και x = y. Λυση. ες το σχηµα 7.9. b = a,

152 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ 46 Σχ.7.9. Ο Ϲητουµενος ογκος ειναι V = V V, οπου V ειναι ο ογκος που σχηµατιζει η x = y και V ειναι ο ογκος που σχηµατιζει η y = x. Τα ορια ολοκληρωσης ειναι τα σηµεια τοµης των δυο καµπυλων, στα x = 0 και x =. Εχουµε V = π V = π 0 0 x ) = π 5 x /) = π V = V V = π Βρες τον ογκο του στερεου που σχηµατιζεται απο την περιστροφη γυρω απο τον αξονα των x των καµπυλων y = x /a και x + y = a. Λυση. Παροµοια µε την προηγουµενη Ασκηση, ο Ϲητουµενος ογκος ειναι V = V V, οπου V ειναι ο ογκος που σχηµατιζει η y = x /a και V ειναι ο ογκος που σχηµατιζει η x + y = a. Τα ορια ολοκληρωσης ειναι τα σηµεια τοµης των δυο καµπυλων, στα x = a/ και x = a/. Εχουµε V = π a/ a/ x a = 5 πa 3, V = 4 3 πa3 επειδη το σχηµατιζοµενο στερεο ειναι σφαιρα, V = V V = 4 3 πa3 5 a Βρες τον ογκο του στερεου που οριζεται απο την περιστροφη της f x) = x +, x [0, ] γυρω απο τον αξονα των y) και απο τον κυλινδρο που ϕαινεται στο σχηµα ;;. Λυση. Στο Εδαφιο ;; δεν εχουµε δωσει τυπο καταλληλο για αυτη την περιπτωση. ες το Σχηµα 7.0. Σχ.7.0. Φαινεται οτι ο Ϲητουµενος ογκος V = V V, οπου V = π = π

153 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ 47 ειναι ο ογκος του εξωτερικου κυλινδρου και V ειναι ο ογκος του εσωτερικου στερεου αυτο ειναι ενα παραβολοειδες). Ο V υπολογιζεται µε ενα τυπο αναλογο του 7.4), για συναρτηση x = g y), δηλ. y = x + x = y οποτε V = π y ) dy = π [ y y Τελικα ο Ϲητουµενος ογκος ειναι V = V V = π π = 3π/ Υπολογισε το εµβαδον της επιφανειας που σχηµατιζεται απο την περιστροφη της καµπυλης f x) = x 3, x [0, ], γυρω απο τον αξονα των x. Λυση. Συµφωνα µε την 7.5) εχουµε ] y= y= = π. S = π x 3 + 3x ) = π + 9x 4) / d x 4) = π ) + 9x 4 3/ x= 8 3/ = π ) 0 3/. 7 x= Υπολογισε το εµβαδον της επιφανειας που σχηµατιζεται απο την περιστροφη της καµπυλης f x) = x, x [ ] 0,, γυρω απο τον αξονα των y. Λυση. Εδω η περιστροφη γινεται γυρω απο τον αξονα των y οποτε ο τυπος 7.5) δεν εφαρµοζεται. Μπορει οµως να αποδειχθει ευκολα Κανε το!) οτι το Ϲητουµενο εµβαδο δινεται απο την S = π x + x) = π 0 8 = π ) + 4x 3/ x= 4 3/ = 3π 3. x= x ) / d 4x ) Υπολογισε το εµβαδον της επιφανειας που σχηµατιζεται απο την περιστροφη της καµπυλης 9y = x 3 x), γυρω απο τον αξονα των x. Λυση. Η καµπυλη τεµνει τον αξονα των x στα σηµεια a = 0 και b = 3. Επισης εχουµε x 3 x) y = dy 3 = x x. Οποτε το Ϲητουµενο εµβαδον ειναι 3 ) x 3 x) x 3 S = π = π x + ) x 3) x 0 6 = π 3 x + 3 x ) = π [x + 3x x ] 3 x=3 = 3π x=0

154 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ Υπολογισε το εµβαδον της επιφανειας που σχηµατιζεται απο την περιστροφη της καµπυλης f x) = e x, x 0, γυρω απο τον αξονα των x. Λυση. ες το Σχηµα 7.. Η f x) δεν τεµνει τον αξονα των x, ετσι ϑα χρειαστει να υπολογισουµε ενα γενικευµενο ολοκληρωµα. Εχουµε df = e x και V M = π = π M 0 u=e M Σχ.7.. e x + e x ) = π u= Το Ϲητουµενο εµβαδον ειναι V = lim M V M, οποτε x=m x=0 + e x) / d e x ) + u ) / [ du = π u + u + ln u + )] u= + u [ V = π lim u + u + ln u + )] u= + u M u=e [ M = π u + u + ln u + )] u= + u = [ π + ln + )]. u=0 u=e M Υπολογισε το εµβαδον της επιφανειας που σχηµατιζεται απο την περιστροφη της f x) = cosh x, x [, ], γυρω απο τον αξονα των x. Λυση. E = π cosh x + sinh x. Αλλα + sinh x = cosh x οποτε E = π 7.3 Αλυτα Προβληµατα cosh x = cosh sinh +. Σε καθε µια απο τις παρακατω περιπτωσεις σχεδιασε το σχηµα το οποιο σχηµατιζουν οι καµπυλες και υπολογισε το προσηµασµενο εµβαδον E s και το απολυτο εµβαδον E a y x) = x + x, x =, x = 3.

155 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ 49 3 Απ. x + x) = 38, 3 x + x = y x) = x + x, x =, x = 0. 0 Απ. x + x) =, 0 x + x = x + x) 0 x + x) = y x) = x 3, x = 0, x = 5. 5 Απ. x 3 = 65, 5 x = y x) = x 3, x =, x =. Απ. x 3 = 0, x 3 = x 3 = y x) = e x, x = 0, x =. Απ. 0 ex = 0 ex = e y x) = x 3 + x x, x = 0. Απ. Ριζες : x = 0,,. x 3 + x x ) =. 0 x 3 + x x = x 3 + x 3 x ) 0 x 3 + x x ) = = y x) = x 3, y x) = x. Απ. Ριζες : x = 0,,. x 3 x ) = 0. x 3 x 0 = x 3 x)+ x x 3 ) = y x) = x 3, y x) = x. Απ. Ριζες : x = 0,. x x 3 ) = x x 3 0 = y x) = x, y x) = 6x. 0 Απ. Ριζες : x = 3 ± , 3 x 6x + ) = , 3 x 6x + = y x) = x 3, y x) = x. Απ. Ριζες : x = 0,, x 3 x ) = x 3 x 0 0 = y x) = x, y x) =, x 3 y) = 4. Απ. Για y x) = y x) παιρνουµε x = x = 4. Οποτε x x 3 = x y) = y +, y x) = x 8. Απ. Η y + = y + 8 εχει ϱιζες y = 3 3,. Οποτε y + y + 8) dy = Υπολογισε το εµβαδον του σχηµατος που ϐρισκεται µεταξυ της ελλειψης x 4 + y = και της υπερβολης x y =.

156 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ 50 Απ. ln arcsin /3. Σε καθε µια απο τις παρακατω περιπτωσεις υπολογιστε το µηκος του αντιστοιχου τοξου y = x 3 µεταξυ των σηµειων που τεµνονται απο την ευθεια x = 4/3. Απ. / y = x, µεταξυ των σηµειων που τεµνονται απο την ευθεια x = 0. ) Απ. 6 + ln y = a cosh x ) µεταξυ των ευθειων x = a, x = a. a Απ. a sinh) y = xx 3) µεταξυ των σηµειων τοµης µε τον αξονα των x. Απ y = 4 9 x)3, µεταξυ των σηµειων τοµης απο την ευθεια x =. Απ. 8/ y = ln x ), µεταξυ των ευθειων x = /, x = /. Απ. ln3) y 3 = 8x, µεταξυ των ευθειων x =, x = 8. ) Απ y = x4 +3, µεταξυ των ευθειων x =, x =. Απ. 7/ y = 3 Απ.. 6x + x ) 3/, µεταξυ των ευθειων x = 0, x = y = x4 +48, µεταξυ των ευθειων x =, x = 4. 4x Απ. 7/6. Σε καθεµια απο τις παρακατω ασκησεις, καταρχην σχεδιαστε την καµπυλη Υπολογισε τον ογκο του στερεου που σχηµατιζεται απο την περιστροφη της f x) = / x +, x [0, 3], γυρω απο τον αξονα x. Απ. π ln Υπολογισε τον ογκο του στερεου που σχηµατιζεται απο την περιστροφη της f x) = x 4 x, γυρω απο τον αξονα x.

157 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ 5 Απ. 3π/ Υπολογισε τον ογκο του στερεου που σχηµατιζεται απο την περιστροφη της f x) = e x, x [0, ], γυρω απο τον αξονα x. Απ. π e ) Υπολογισε τον ογκο του στερεου που σχηµατιζεται απο την περιστροφη της f x) = [ ] sin x, x 0, π/, γυρω απο τον αξονα x. Απ. π Υπολογισε τον ογκο του στερεου που σχηµατιζεται απο την περιστροφη της f x) = 8x, x [0, ], γυρω απο τον αξονα x. Απ. 6π Υπολογισε τον ογκο του στερεου που σχηµατιζεται απο την περιστροφη της f x) = sin x, x [0, π], γυρω απο τον αξονα x. Απ. π / Υπολογισε τον ογκο του στερεου που σχηµατιζεται απο την περιστροφη της f x) = e x, x [0, ], γυρω απο τον αξονα y. Απ. π Υπολογισε τον ογκο του στερεου που σχηµατιζεται απο την περιστροφη της f x) = x 3, x [0, ], γυρω απο τον αξονα y. Απ. 9π Υπολογισε το εµβαδον της επιφανειας που σχηµατιζεται απο την περιστροφη της f x) = x 3 /3, x [0, 3], γυρω απο τον αξονα x. ) Απ. π 8 3/ Υπολογισε το εµβαδον της επιφανειας που σχηµατιζεται απο την περιστροφη της f x) = x 3, x [, ], γυρω απο τον αξονα x. + 6 x Απ. 47π Υπολογισε το εµβαδον της επιφανειας που σχηµατιζεται απο την περιστροφη της f x) = x /3 +, x [, 8], γυρω απο τον αξονα y. π Απ. 45 3/ 0 3/) Υπολογισε το εµβαδον της επιφανειας που σχηµατιζεται απο την περιστροφη της f x) = x, x [, 4], γυρω απο τον αξονα x. ln x 4 Απ. π e π ) Υπολογισε το εµβαδον της επιφανειας που σχηµατιζεται απο την περιστροφη της f x) = x ln x, x [, e], γυρω απο τον αξονα x. 4 Απ. e4 9 ). π Υπολογισε το εµβαδον της επιφανειας που σχηµατιζεται απο την περιστροφη της x + y ) =, γυρω απο τον αξονα x. Απ. 8π.

158 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ Προχωρηµενα Αλυτα Προβληµατα ώστε γεωµετρική ερµηνεία των παρακάτω γνωστών ιδιοτήτων. b a f x) + c b f x) = x [a, b] : gx) f x)) c a b a f x) gx) x [a, b] : A f x) B) A b a) b a b a f x) f x) B b a) Εστω συνάρτηση f x) συνεχής στο [a, b]. είξτε ότι b ) df b a) + f b) f a)) Εστω συνάρτηση f x) παραγωγίσιµη στο [0, π]. είξτε ότι π 0 [f x)] π 0 a [ ] df Εστω τυχούσα κλειστή επίπεδη καµπύλη η οποία έχει µήκος S και περικλείει εµβαδόν A. είξτε ότι 4πA S. Υπάρχει καµπύλη για την οποία ισχύει η ισότητα ; Από όλες τις κλειστές επίπεδες καµπύλες δεδοµένου µήκους S, ποιά είναι εκείνη η οποία περικλείει το µέγιστο εµβαδόν ; Το ελάχιστο ; ικαιολογειστε την 7.5).

159 Κεφάλαιο 8 Παραµετρικες Συναρτησεις Σε αρκετα απο τα προηγουµενα κεφαλαια εχουµε ϑεωρησει την γραφικη παρασταση µιας συναρτησης y = f x) ως µια καµπυλη. Οµως υπαρχουν καµπυλες που δεν µπορουν να γραφτουν ευκολα ως συναρτησεις. Σε τετοιες περιπτωσεις µπορουµε να χρησιµοποιησουµε την παραµετρικη αναπαρασταση µιας καµπυλης : x t), y t)) µε την ανεξαρτητη µεταβλητη t να παιρνει τιµες σε ενα καταλληλο συνολο. 8. Θεωρια και Παραδειγµατα 8... Παρατηρηση: Μπορουµε να παραστησουµε µια καµπυλη µε δυο συναρτησεις xt), yt), µε την ανεξαρτητη µεταβλητη t να παιρνει τιµες σε ενα καταλληλο διαστηµα [t, t ]. Με αλλα λογια, η καµπυλη C ειναι το συνολο των σηµειων C : {x t), y t)) :, t [t, t ]}. Αυτη η περιγραφη λεγεται παραµετρικη παρασταση καµπυλης και οι xt), yt) λεγονται παραµετρικες εξισωσεις της καµπυλης. Η ιδια καµπυλη µπορει να εχει περισσοτερες απο µια παραµετρικες παραστασεις Παρατηρηση: Μπορουµε να ερµηνευσουµε την µεταβλητη t ως µια χρονικη µεταβλητη και να ϑεωρησουµε τα xt), yt) ως τις συντεταγµενες ενος σηµειου το οποιο διατρεχει την καµπυλη. ηλ. η καµπυλη ειναι η τροχια ενος υλικου σηµειου το οποιο σε χρονο t ϐρισκεται στο σηµειο x t), y t)) Ασκηση: ωσε τρεις διαφορετικες παραµετρικές εξισώσεις του κύκλου x + y = R. Λυση. Ζητούµε ένα τέτοιο Ϲεύγος συναρτήσεων x t), y t) οι οποίες ικανοποιούν x + y = R. Εύκολα ϕαίνεται ότι ένα τέτοιο Ϲεύγος συναρτήσεων είναι x t) = R cos t, y t) = R sin t. 53

160 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 54 ες το σχηµα 8.. sin t ) t cos t ) Σχ.8.: Παραµετρικες εξισωσεις του κυκλου : R cos t, R sin t). Υπάρχουν και άλλα Ϲεύγη τα οποία παριστάνουν τον ίδιο κύκλο. Π.χ. κ.τ.λ. x t) = R cos t, x t) = R sin t, y t) = R sin t y t) = R cos t Παρατηρηση: Απο την παραµετρικη αναπαρασταση x t), y t)) µπορουµε να υπολογισουµε τις παραγωγους dy κ.τ.λ., d y Ασκηση: Βρες τις dy και d y αν x t) = t sin t, y t) = cos t. Λυση. Εχουµε dy dy = dt sin t = cos t ) ) d d sin t y = dt cos t = = cos t cos t). dt d dy dt dt dt Ασκηση: Βρες τις dy και d y αν x t) = e t cos t, y t) = e t sin t. Λυση. Εχουµε dy dy = dt = et sin t + cos t) sin t + cos t = e t cos t sin t) cos t sin t dt d d dy ) ) d sin t+cos t y = dt dt dt cos t sin t = e t cos t sin t) = e t sin t) cos t sin t). dt

161 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Θεωρηµα: Εστω οτι µια καµπυλη δινεται σε παραµετρικη µορφη x t), y t)) και οταν το t παιρνει τιµες απο t ως t, η καµπυλη περικλειει ενα χωριο. Τοτε το εµβαδο του χωριου δινεται απο τους τυπους t A = y t) t dt dt = x t) dy dt dt. t Αποδειξη. Αυτο προκυπτει αµεσα µε αλλαγηη µεταβλητης ολοκληρωσης : A = x x y x) = t t t y t) dt dt Ασκηση: Υπολογισε το εµβαδον του κυκλου x + y = R. Λυση. Μια παραµετρικη εξισωση του κυκλου ειναι Τοτε το Ϲητουµενο εµβαδον ειναι π x t) = R cos t, y t) = R sin t, t [0, π]. π E = y t) π 0 dt dt = R sin t R sin t) dt = R sin tdt 0 0 π [ ] π [ ] π = R cos t dt = R t sin t + R = πr + 0 = πr. 4 0 t=0 Στην προκειµενη περιπτωση το εµβαδον προεκυψε σωστο κατ απολυτη τιµη αλλα αρνητικο. Θυµησου οτι ο κυκλος x + y = R µπορει να παραµετροπιηθει και µε αλλους τροπους. Π.χ. η παραµετροποιηση x t) = R sin t, y t) = R cos t, t [0, π] δινει τον ιδιο κυκλο και υπολογιζοντας το εµβαδον παιρνουµε ϑετικο αριθµο : E = π 0 y t) dt dt = π 0 t=0 π R cos t R cos t) dt = R cos tdt = πr Ασκηση: Υπολογισε το εµβαδον της ελλειψης x =. a b Λυση. Μια παραµετροποιηση της ελλειψης ειναι x t) = a cos t, y t) = b sin t, t [0, π]. Τοτε το Ϲητουµενο εµβαδον ειναι π 0 π + y E = y t) 0 dt dt = b sin t a sin t) dt = ab 0 π [ ] π [ cos t = ab dt = ab t sin t + ab 4 t=0 0 π 0 ] π t=0 sin tdt = πab Θεωρηµα: Εστω οτι µια καµπυλη δινεται σε παραµετρικη µορφη x t), y t)) και το t παιρνει τιµες απο t ως t. Το µηκος της καµπυλης ειναι s = t t ) dy ) + dt. dt dt

162 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 56 Αποδειξη. Ας συµβολισουµε µε s t) το µηκος του τµηµατος της καµπυλης το οποιο περιεχεται µεταξυ των τιµων t 0 = 0 και τυχοντος t. Ας υποθεσουµε οτι το t µεταβαλλεται και γινεται t + t. Ας προσεγγισουµε το προστιθεµενο µηκος µε αυτο ενος ορθογωνιους τριγωνου µε πλευρες, dy, ds. ες το σχηµα 8.. Σχ.8.: Υπολογισµος µηκους τοξου. Τοτε η µεταβολη του µηκους ειναι προσεγγιστικα Οποτε s t + t) s t) x + y = x ) ) y + t. t t x ) ) s t + t) s t) y + t t t x ) ) s t + t) s t) y lim = lim + t t 0 t t ) ds dy ) dt = + dt dt ) dy ) s t) = + + c dt dt t ) dy ) = + + c. dt dt t 0 Επειδη s 0) = 0 γιατι ;) ϑα ειναι c = 0. Εστω s το µηκος απο t 0 = 0 εως t = t και s αυτο απο s 0 = 0 εως t = t. Θα εχουµε t ) dy ) t ) dy ) s = + dt, s = + dt. dt dt dt dt 0 0 Οποτε το Ϲητουµενο µηκος ειναι t ) dy ) t ) dy ) s = s s = + dt + dt 0 dt dt 0 dt dt t ) dy ) = + dt. dt dt t 0

163 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ασκηση: Υπολογισε το µηκος της καµπυλης x t) = a cos 3 t, y t) = a sin 3 t, t [0, π] Λυση. Αυτη ειναι µια κλειστη καµπυλη, οπως ϕαινεται στο Σχηµα 8.3. Σχ.8.3: Υπολογισµος µηκους της x t) = a cos 3 t, y t) = a sin 3 t. Το µηκος της καµπυλης ειναι t ) dy ) π s = + dt = 3a cos t sin t) + dt 3a sin t cos t) t dt dt 0 π π = 3a cos 4 t sin t + sin 4 t cos tdt = 3a cos t sin t sin ) t + cos t dt = 3a 0 π 0 cos t sin t dt = a π/ 0 0 sin t) dt = 6a Ασκηση: Υπολογισε το µηκος της καµπυλης x t) = a t sin t), y t) = a cos t), t [0, 6π] Λυση. Αυτη ειναι η κυκλοειδης καµπυλη, που απεικονιζεται στο Σχηµα 8.4. Σχ.8.4: Υπολογισµος µηκους της x t) = a t sin t), y t) = a cos t).

164 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 58 Το µηκος της καµπυλης ειναι t ) dy ) 6π s = + dt = a cos t) + a sin tdt t dt dt 0 6π 6π = a cos t + cos t + sin tdt = a cos t)dt 0 0 6π = a sin t π dt = 6a sin t dt = 4a Ασκηση: Υπολογισε το µηκος της καµπυλης x t) = t, y t) = t 3/, t [0, 4] Λυση. Εχουµε dt =, dy dt = 3 t/ και 4 3 ) 4 s = + 0 t/ dt = tdt 4 = + 9 ) / dt = Ασκηση: Υπολογισε το µηκος της καµπυλης x t) = t 6t+9)3/, y t) =, t [0, 4] 9 Λυση. Εχουµε dt = t, dy = 6t + 9)/ dt και 4 s = t + 6t + 9) /) 4 dt = t + 6t + 9dt ) t t=4 = t + 3) dt = + 3t = Ασκηση: Υπολογισε το µηκος της καµπυλης x t) = t, y t) = t 3, t [0, 4] Λυση. Εχουµε 4 4 s = t) + 3t ) dt = t + 3 t dt t=0 = 0 t=4 t=0 + 3 ) / t d t ) = 0 u=6 u=0 + 3 ) / u du = 8 ) 37 3/ Παρατηρηση: Αλλοι υπολογισµοι οι οποιοι σε προηγουµενα κεφαλαια δοθηκαν σε σχεση µε την αναπαρασταση y = f x) µπορουν να τροποποιηθουν χρησιµοποιωντας τις µετατροπες = dy dt, dy = dt. ες τα Λυµενα Προβληµατα. dt dt

165 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Λυµενα Προβληµατα 8... ωσε τρεις διαφορετικες παραµετρικές εξισώσεις του κύκλου x + y = R. Λυση. Ζητούµε ένα τέτοιο Ϲεύγος συναρτήσεων x t), y t) οι οποίες ικανοποιούν x + y = R. Εχουµε ηδη δει ότι ένα τέτοιο Ϲεύγος συναρτήσεων είναι x t) = R cos t, y t) = R sin t. Αλλα Ϲεύγη τα οποία παριστάνουν τον ίδιο κύκλο ειναι κ.τ.λ. x t) = R sin t, x t) = R sin t π/3), y t) = R cos t 8... Βρες τις dy και d y αν x t) = cos t, y t) = sin t. Λυση. Εχουµε dy dy = dt = cos t sin t ) ) d d cos t y = dt sin t = = sin t sin t dt d dy dt dt y t) = R cos t π/3) sin t Βρες τις dy και d y αν x t) = t 3 + t, y t) = t 7 + t +. Λυση. Εχουµε dy dy = dt = 7t6 + 3t + ) d y = = dt d dy dt dt dt 4t 5 3t +) 7t 6 +)6t 3t +) 3t + = sin 3 t. = 6t 4t 6 + 7t 4 ). 3t + ) Υπολογισε το εµβαδον της x t) = 6 t sin t), y t) = 6 cos t), t [0, π]. Λυση. Εχουµε 6 t sin t)) = 6 cos t) και το Ϲητουµενο εµβαδον ειναι A = dt π = 36 = 36 = d dt y t) dt dt = 6 cos t) 6 cos t) dt = 36 cos t) dt 0 0 ) π π π ) + cos t cos t dt = 36 dt + cos tdt + cos tdt π + cos t π ) dt + dt + cos tdt = 36 3π = 08π. 0 π π 0 0 π 0 π Υπολογισε το εµβαδον µεταξυ της x t) = 4t 3 t, y t) = t 4 + t, t [0, ], του αξονα των x και της y = 3.

166 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 60 Λυση. Εχουµε = d dt dt Το Ϲητουµενο εµβαδον ειναι 4t3 t ) = t t. Η γραφικη παρασταση ειναι Σχ.8.5: x t) = 4t 3 t, y t) = t 4 + t, t [0, ]. A = = 0 0 y t) dt dt = t 4 + t ) ) t t dt 0 t 6 t 5 + 4t 4 4t 3) dt = 7 t7 3 t6 + 4 ) 5 t5 t 4 = 544 t= Υπολογισε το εµβαδον της x t) = 3 cos 3 t, y t) = 4 + sin t, t [0, π]. Λυση. Η γραφικη παρασταση ειναι Σχ.8.6: x t) = 3 cos 3 t, y t) = 4 + sin t, t [0, π].

167 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6 Εχουµε dt = d dt και το Ϲητουµενο εµβαδον ειναι A = = π cos t) 3 = 3 cos t sin t. π y t) dt dt = 4 + sin t) 3 cos t sin tdt 0 t 6 t 5 + 4t 4 4t 3) dt = 3π Υπολογισε το µηκος της καµπυλης x t) = + cos t + cos t, y t) = sin t + sin t, t [0, π] Λυση. Εχουµε = sin t sin t dt dy = cos t + cos t dt Το µηκος της καµπυλης ειναι t ) dy ) π s = + dt = sin t sin t) + cos t + cos t) dt t dt dt 0 π = 4 sin t + 4 sin t + 8 sin t sin t + 4 cos t + 4 cos t + 8 cos t cos tdt 0 π π = + cos tdt = 4 cos t π 0 0 dt = 4 cos t 0 dt = Υπολογισε το µηκος της καµπυλης x t) = ln sin t), y t) = t, t [ π/4, π/ ] Λυση. Εχουµε dt = cos t sin t, dy dt =. Το µηκος της καµπυλης ειναι π/ ) dy ) π/ cos t s = + dt = dt dt sin t + dt π/4 π/ π/4 ) t=π/ = π/4 sin t dt = cos t ln + cos t t=π/4 = ln Υπολογισε το µηκος της καµπυλης x t) = e t cos t, y t) = e t sin t, t [0, π] Λυση. Εχουµε dt = dy et cos t sin t), dt = et cos t + sin t).

168 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6 Το µηκος της καµπυλης ειναι π ) dy ) s = + dt dt dt = = 0 π 0 π 0 e t cos t sin t) + cos t + sin t) dt e t cos t sin t + cos t sin tdt = π 0 e t dt = ) e π Υπολογισε το µηκος της καµπυλης x t) = 3t +, y t) = 4 t, t [0, ] Λυση. Εχουµε dt = 3, dy dt = t και s = 9 + 4t dt 0 [ 9 = 4 ln t + ) 4t t 4t + 9 = ln Υπολογισε το εµβαδον της επιφανειας που δηµιουργειται απο την περιστροφη της καµπυλης xt) = a t sin t), yt) = a cos t), t [0, π] γυρω απο τον αξονα των x. Λυση. Το Ϲητουµενο εµβαδον ειναι t ) dy ) E = π y t) + dt t dt dt π = π a cos t) a cos t) + a sin t 0 = πa = πa = 4πa π 0 π 0 π 0 ] t= t=0 cos t) cos t + cos t + sin tdt cos t) cos t)dt cos t) sin t 64πa dt = Υπολογισε το εµβαδον της επιφανειας που δηµιουργειται απο την περιστροφη, γυρω απο τον αξονα) των x, του τµηµατος του κυκλου x + y = 9 που αντιστοιχει στα σηµεια 3, 0) και 3/, 3 3/. Λυση. Τα σηµεια 3, 0) ) και 3/, 3 3/ ανηκουν στον κυκλο, οπως µπορει ευκολα να επαλη- ϑευτει µε αντικατασταση στην εξισωση x +y = 9. Αν ϑεωρησουµε την παραµετριση του κυκλου : x t) = 3 cos t και y t) = 3 sin t, ϐλεπουµε οτι οι αντιστοιχες τιµες του t ειναι t = 0 και t = π/3. Ο τυπος για το εµβαδον επιφανειας εκ περιστροφης γυρω απο τον αξονα x, ειναι x dy ) t ) dy ) E = π y + = π y t) + dt. dt dt x t

169 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 63 Οποτε στο συγκεκριµενο προβληµα εχουµε E = π π/3 8.3 Αλυτα Προβληµατα 0 3 sin t 3 sin t) + 3 cos t) dt = π π/ Σχεδιασε την καµπυλη και υπολογισε το εµβαδον που περικλειει.. xt) = t sin t, yt) = cos t και ο αξονας των x). Απ. 3π.. xt) = cos 3 t, yt) = sin 3 t. Απ. 3π/8. 3. xt) = a cos t, yt) = b sin t. Απ. πab. 4. xt) = cos t cos t, yt) = sin t sin t. Απ. 6π. 5. xt) = 3t, yt) = 3t t 3. Απ. 7 3/5. 6. Ενας ϐροχος της xt) = t, yt) = t 3 t. Απ. 8/5. 7. xt) = t sin t, yt) = cos t 0 t π). Απ Σχεδιασε την καµπυλη και υπολογισε το το µηκος της. xt) = t 6 /6, yt) = t 4 /4 και οι αξονες των x και y). Απ. 3/3.. xt) = t, yt) = t3 3 t και ο αξονας των x). Απ. 4/ xt) = e t cos t, yt) = e t sin t 0 t π). Απ. e π ). 4. xt) = ln + t ), yt) = tan t 0 t ). Απ. ln + ). 0 3 sin tdt = 9π. 5. xt) = cost) + cost) +, yt) = sin t + sin t 0 t π). Απ xt) = t, yt) = 6t + 9 9)3/ 0 t 4). Απ xt) = cos 3 t), yt) = sin 3 t) 0 t π/). Απ. 3/. 8. xt) = cost) + t sint), yt) = sin t t cos t π/6 t π/4). Απ. 5π / xt) = lnsint)), yt) = t π/6 t π/). Απ. ln + 3) Υπολογισε τον ογκο του στερεου που δηµιουργειται απο την περιστροφη της καµπυλης γυρω απο τον αξονα των x.. xt) = sin t, yt) = cos t, t [0, π].. xt) = a t sin t), yt) = a cos t), t [0, π]. Απ. 5π a xt) = a cos 3 t), yt) = a cos 3 t), t [0, π]. Απ πa3.

170 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Υπολογισε το εµβαδον της επιφανειας που δηµιουργειται απο την περιστροφη της καµπυλης γυρω απο τον αξονα των x.. xt) = t, yt) = t, t [0, 4]. Απ. 3π 5.. xt) = e t sin t, yt) = e t cos t, t [ 0, π/ ]. Απ. π e π ) xt) = a cos 3 t), yt) = a cos 3 t),, t [0, π]. Απ. 5 πa Υπολογισε το εµβαδον της επιφανειας που δηµιουργειται απο την περιστροφη της καµπυλης γυρω απο τον αξονα των y.. xt) = 3 + t, yt) = 9 3t, t [, 4].. xt) = 3 cos πt), yt) = 5t +, t [ ] 0, π. 3. xt) = t + 3, yt) = t +, t [0, 5]. 8.4 Προχωρηµενα Αλυτα Προβληµατα ινεται η καµπυλη µε παραµετρικη αναπαρασταση x t) = την γραφικη της παρασταση. cosh t, y t) = t tanh t. Κανε ινεται η καµπυλη µε παραµετρικη αναπαρασταση x t) = at, y t) = a, a > 0. Κανε +t την γραφικη της παρασταση. Τι παρατηρεις για τις διαφορες τιµες του a; ινεται η καµπυλη µε παραµετρικη αναπαρασταση x t) = sin mt + θ), y t) = sin nt), m, n N. Κανε την γραφικη της παρασταση για διαφορες τιµες των m, n. Μαλλον ϑα σου ειναι απαραιτητη η χρηση µαθηµατικου λογισµικου.) Τι παρατηρεις για τις διαφορες τιµες των m, n; ινεται η καµπυλη µε εξισωση x 3 + y 3 = 3xy.. Βρες µια παραµετρικη αναπαρασταση αυτης x t), y t)).. Κανε την γραφικη της παρασταση ινεται η καµπυλη µε εξισωση x n + y n =, n = k N.. Βρες µια παραµετρικη αναπαρασταση αυτης x t), y t)).. Κανε την γραφικη της παρασταση για διαφορες τιµες του n. 3. Τι παρατηρεις καθως n ; 4. Τι συµβαινει οταν n = p q Q; ινονται δυο καµπυλες µε παραµετρικες εξισωσεις :. x t) = a b) cos t + b cos a b b t ), y t) = a b) sin t b sin a b b t ).

171 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 65. x t) = a + b) cos t b cos ) a+b t, y t) = a + b) sin t b sin a+b ). t b b Οι γραφικες των παραστασεις οταν a = 3, b = 7) ειναι οι εξης : Ποια ειναι η γραφικη παρασταση καθε καµπυλης ; Ποια ειναι η γεωµετρικη σηµασια των a, b; Χρησιµοποιησε µαθηµατικο λογισµικο για να κανετε την γραφικη παρασταση των καµπυλων για διαφορες τιµες a, b N ινονται δυο καµπυλες µε παραµετρικες εξισωσεις :. x t) = a b) cos t + c cos ) a b t, y t) = a b) sin t c sin a b ). t b b. x t) = a + b) cos t c cos ) a+b t, y t) = a + b) sin t c sin a+b ). t b b Οι γραφικες των παραστασεις οταν a = 9, b = 4, c = 5) ειναι οι εξης : Ποια ειναι η γραφικη παρασταση καθε καµπυλης ; Ποια ειναι η γεωµετρικη σηµασια των a, b, c; Χρησιµοποιησε µαθηµατικο λογισµικο για να κανετε την γραφικη παρασταση των καµπυλων για διαφορες τιµες a, b, c N.

172 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αντιστοιχισε τις παρακατω γραφικες παραστασεις στις συναρτησεις µπορεις χωρις χρηση µαθηµατικου λογισµικου;. x t) = 4 cos t 3 cos 4t 4t, y t) = 4 sin t 3 sin. x t) = 5 cos t cos 5t, y t) = 6 sin t sin 6t. 3. x t) = 4 cos t cos 4t, y t) = 4 sin t sin 4t x t) = cos 3t, y t) = sin 7t. 3.

173 Κεφάλαιο 9 Πολικες Συντεταγµενες Είναι γνωστό ότι µπορούµε να προσδιορίσουµε την ϑέση ενός σηµείου στο επίπεδο µε χρήση Καρτεσιανων συντεταγµενων x, y). Οµως υπαρχουν και άλλα εναλλακτικα συστηµατα συντεταγ- µενων. Στο παρον κεφαλαιο ϑα ασχοληθούµε µε το συστηµα των πολικων συντεταγµενων. 9. Θεωρια και Παραδειγµατα 9... Ορισµος: Το σηµειο του επιπεδου µε πολικες συντεταγµενες ρ, φ) οριζεται ως εξης. Εστω ενα ευθυγραµµο τµηµα µηκους ρ το οποιο σχηµατιζει γωνια φ µε την ηµιευθεια Ox. Τοτε το περας του ευθυγραµµου τµηµατος ειναι το σηµειο µε πολικες συντεταγµενες ρ, φ). ες το Σχηµα 9.. ρsinφ ) ρ φ ρcosφ ) x,y)= ρ,φ) Σχ.9.: Πολικες συντεταγµενες. Για να αντιµετωπισουµε το γεγονος οτι το ιδιο σηµειο µπορει να προσδιοριστει απο διαφορετικες γωνιες φ, φ = kπ, επιλεγουµε µια συγκεκριµενη περιοχη τιµων για το φ. Συνηθως χρησιµοποιουµε ειτε [0, π) ειτε [ π, π) αλλα σε συγκεκριµενα προβληµατα καποια αλλη επιλογη µπορει να ειναι καταλληλοτερη Θεωρηµα: Η σχεση που υπαρχει µεταξυ των καρτεσιανων συντεταγµενων x, y) και των 67

174 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 68 πολικων συντεταγµενων φ, ρ) ειναι η εξης : Αποδειξη. Αµεση απο το Σχηµα 9.. x = ρ cos φ, ρ = x + y, y = ρ sin φ y ) φ = arctan. x Ασκηση: Βρες τις πολικες συντεταγµενες του σηµειου µε Καρτεσιανες συντεταγµενες x, y) =, ). Το ιδιο για το σηµειο, 0). Λύση. Για το x, y)=, ) εχουµε ρ = + =, δηλ. ρ, φ) =, π/4 ). Για το x, y)=, 0) εχουµε δηλ. ρ, φ) =, 0). φ = arctan = π/4, ρ = + 0 =, φ = arctan 0 = 0, Ασκηση: Βρες τις Καρτεσιανες συντεταγµενες του σηµειου µε πολικες συντεταγµενες ρ, φ) =, π/3). Το ιδιο για το σηµειο, 0). Λύση. Για το ρ, φ)=, π/3) εχουµε x = ρ cos φ = cos π 3 = =, y = ρ sin φ = sin π 3 3 = = 3, δηλ. x, y) = ), 3. Για το ρ, φ)=, 0) εχουµε δηλ. x, y) =, 0). x = ρ cos φ = cos 0 =, y = ρ sin φ = sin 0 = 0, Παρατηρηση: Μια καµπυλη µπορει να αναπαρασταθει απο µια συναρτηση ρ = ρφ). Σε καθε φ αντιστοιχει τιµη ρφ) και σηµειο φ, ρφ)). ες το Σχηµα 9.. φ ρ φ,ρφ) Σχ.9.: Πολικες συντεταγµενες.

175 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Παραδειγµα: Η καµπύλη µε ρ φ) = ειναι ο κυκλος µε κεντρο το 0, 0) και ακτινα R =. Αυτο ισχυει διοτι τυχον σηµειο της καµπυλης εχει συντεταγµενες οποτε ες και το Σχήµα 9.3. x = cos φ, y = sin φ, x + y = 4 cos φ + 4 sin φ = 4. Σχ.9.3: Η καµπύλη µε εξίσωση ρ φ) = Ασκηση: Σχεδιασε την καµπύλη φ ρ) = π/3. Λύση. Οποιοδήποτε σηµείο Α της καµπύλης έχει την µορφή ρ, π/3), δηλαδή η γωνία AOx είναι πάντα ίση µε π/3. Άρα η καµπύλη είναι µια ηµιευθεία, όπως ϕαίνεται στο Σχήµα 9.4. Σχ.9.4: Η καµπύλη µε εξίσωση φ ρ) = π/ Ασκηση: Σχεδιασε την καµπύλη ρ φ) = sin φ. Λύση. Παρατηρούµε ότι x = ρ cos φ = sin φ cos φ, y = ρ sin φ = sin φ και

176 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 70 x + y ) = sin φ cos φ) + sin φ = 4 cos φ sin φ + 4 sin 4 φ 4 sin φ + = 4 sin φ) sin φ + 4 sin 4 φ 4 sin φ + = Οπότε η καµπύλη είναι κύκλος µε κέντρο το 0,) και ακτίνα, όπως ϕαίνεται στο Σχήµα 9.5. Σχ.9.5: Η καµπύλη µε εξίσωση ρ φ) = sin φ Ασκηση: Σχεδιασε την καµπύλη ρ φ) = φ. Λύση. Συµπληρώνουµε τον παρακάτω πίνακα φ 0 π/4 π/ π π 5π/ 3π 7π/ ρ φ) = φ 0 π/4 π/ π π 5π/ 3π 7π/ Βλέπουµε λοιπόν ότι όσο αυξάνει η γωνία φ τόσο µεγαλώνει και η ακτίνα ρ φ), και έτσι σχηµατίζεται µία σπείρα, όπως ϕαίνεται στο Σχήµα 9.6. ) Σχ.9.6: Η καµπύλη µε εξίσωση ρ φ) = φ.

177 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Ασκηση: Σχεδιασε την καµπύλη ρ φ) = + cos φ. Λύση. Συµπληρώνουµε τον παρακάτω πίνακα φ 0 π/4 π/ 3π/4 π 5π/4 3π/ 7π/4 π ρ φ) = + cos φ Τοποθετώντας αυτά τα σηµεία στο επίπεδο παίρνουµε το Σχήµα 9.7. Η καµπύλη αυτή λέγεται καρδιοειδής. Σχ.9.7: Η καµπύλη µε εξίσωση ρ φ) = + cos φ Ασκηση: Σχεδιασε την καµπύλη ρ φ) = cos φ. Λύση. Συµπληρώνουµε τον παρακάτω πίνακα φ 0 π/8 π/4 3π/8 π/ 5π/8 3π/4 7π/8 π ρ φ) = cos φ Μπορούµε να συµπληρώσουµε επιπλέον σηµεία στο διάστηµα π, π), τα οποία ϑα είναι συµ- µετρικά των παραπάνω ως προς τον αξονα των x. Τοποθετώντας αυτά τα σηµεία στο επίπεδο παίρνουµε το Σχήµα 9.8. Η καµπύλη αυτή λέγεται τετράφυλλο. Σχ.9.8: Η καµπύλη µε εξίσωση ρ φ) = cos φ.

178 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Ασκηση: Σχεδιασε την καµπύλη ρ φ) = cos 3φ. Λύση. Συµπληρώνουµε τον παρακάτω πίνακα φ 0 π/8 π/4 3π/8 π/ 5π/8 3π/4 7π/4 π ρ φ) = cos 3φ Τοποθετώντας αυτά τα σηµεία στο επίπεδο παίρνουµε το Σχήµα 9.9. Η καµπύλη αυτή λέγεται τρίφυλλο. Σχ.9.9: Η καµπύλη µε εξίσωση ρ φ) = cos 3φ Ασκηση: Βρες την εξισωση της παραβολης y = x σε πολικες συντεταγµενες. Λύση. Εχουµε y = x ρ sin φ = ρ cos φ ρ = sin φ cos φ. Αυτη ειναι η Ϲητουµενη εξισωση Ασκηση: Περιγραψε την καµπυλη µε εξισωση Λύση. Εχουµε ρ = sin φ ρ 36 = 9 5 sin φ ) ρ 9 5 sin φ = 36 9ρ 5ρ sin φ = 36 9 x + y ) 5y = 36 9x + 4y = 36 x Οποτε η καµπυλη ειναι µια ελλειψη. 4 + y 9 = Ασκηση: Περιγραψε την καµπυλη µε εξισωση ρ = cos φ + sin φ.

179 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 73 Λύση. Εχουµε ρ = cos φ + sin φ ρ = ρ cos φ + ρ sin φ x + y = x + y x x + ) + y 4 y + ) = 4 x + y ) ) =. ) Οποτε η καµπυλη ειναι ενας κυκλος µε κεντρο και ακτινα., Ασκηση: Βρες τα σηµεια τοµης των καµπυλων Λύση. Θα εχουµε ρ = + sin φ, ρ = sin φ. ρ = ρ + sin φ = sin φ sin φ = 0 sin φ = 0. Οποτε φ = kπ, k Z και τα σηµεια τοµης ειναι x 0, y 0 ) = + sin 0) ) cos 0), + sin 0) ) sin 0) ) =, 0), x 0, y 0 ) = + sin π) ) cos π), + sin π) ) sin π) ) =, 0). Για ολες τις αλλες τιµες του k παιρνουµε τα ιδια σηµεια.) Θεωρηµα: Εστω οτι µια καµπυλη δινεται σε σε πολικες συντεταγµνες φ, ρφ)) και οταν το φ παιρνει τιµες απο φ ως φ, η καµπυλη περικλειει ενα χωριο. Τοτε το εµβαδο του χωριου δινεται απο τον τυπο A = φ φ ρ φ)dφ. 9.) Αποδειξη. Για να υπολογισουµε το Ϲητουµενο εµβαδον χρειαζοµαστε τον τυπο που δινει το εµβαδον κυκλικου τοµεα γωνιας φ. Οπως ϕαινεται στο Σχηµα 9.0 για κυκλο ακτινας R, το εµβαδον δινεται απο τον τυπο E = φ R. Σχ.9.0: Εµβαδον κυκλικου τοµεα.

180 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 74 Ετσι, π.χ., ο κυκλος ειναι κυκλικος τοµεας γωνιας φ = π και εχει εµβαδον E = π R = π R το ηµικυκλιο ειναι κυκλικος τοµεας γωνιας φ = π και εχει εµβαδον E = π R κ.τ.λ. Τωρα ας συµβολισουµε µε A φ ) το εµβαδον που περιεχεται µεταξυ της καµπυλης ρ φ) και τον ηµιυθειων µε γωνιες φ 0 = 0 και τυχουσα φ. ες το σχηµα 9.. ρ φ φ Σχ.9.: Υπολογισµος του στοιχειωδους εµβαδου σε πολικες συντεταγµενες. Ας υποθεσουµε οτι το φ µεταβαλλεται και γινεται φ + φ. Αν προσεγγισουµε το προστιθεµενο κοµµατι εµβαδου µε ενα κυκλικο τοµεα ακτινας ρ φ) και γωνιας φ δες το Σχηµα 9.) τοτε η µεταβολη του εµβαδου ειναι προσεγγιστικα Οποτε ρ ρ A φ + φ) A φ) ρ φ) φ. A φ + φ) A φ) A φ + φ) A φ) φ ρ φ) lim = lim φ 0 φ φ 0 ρ φ) da dφ = φ ρ φ) A φ) = ρ φ) dφ + c = ρ θ) dθ + c. Επειδη A 0) = 0 γιατι ;) ϑα ειναι c = 0. Εστω A το εµβαδον που περικλειεται µεταξυ των ηµιευθειων φ 0 = 0 και φ = φ και A αυτο που περικλειεται µεταξυ των ηµιευθειων φ 0 = 0 και φ = φ. Θα εχουµε φ φ A = ρ θ) dθ, A = ρ θ) dθ Οποτε το Ϲητουµενο εµβαδον ειναι A = A A = 0 φ 0 0 φ φ ρ θ) dθ 0 ρ θ) dθ = φ ρ θ) dθ Ασκηση: Υπολογισε το εµβαδον του σχηµατος που περικλειει η καµπυλη µε εξισωση ρ φ) = cos φ, φ [ π/, π/ ].

181 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 75 Λύση. Η καµπύλη ειναι ενα τετραφυλλο δες το Σχηµα 9.8). Το εµβαδον ειναι E = π/ π/ ρ dφ = π/ π/ cos φdφ = π/ π/ + cos 4φ dφ = π Ασκηση: Υπολογισε το εµβαδον του σχηµατος που περικλειει η καµπυλη ρ φ) = a + cos φ), φ [ π, π]. Λύση. Είναι η καρδιοειδης καµπύλη που ϕαίνεται στο Σχηµα 9.7. Η καµπυλη ειναι συµµετρικη ως προς τον αξονα των x, οποτε ϑα υπολογισουµε το εµβαδον για φ [0, π] και ϑα το διπλασιασουµε για να παρουµε το τελικο αποτελεσµα. Εχουµε π π ) E = a + cos φ) dφ = a + cos φ + cos φ dφ 0 0 π π π ) = a + cos φ dφ + cos φdφ + dφ = a π π ) = 3πa Ασκηση: Υπολογισε το εµβαδον εκτος του κυκλου ρ = και εντος της καρδιοειδους ρ = + cos φ. Λύση. ες το σχηµα 9.. Σχ.9.: Υπολογισµος του εµβαδου µεταξυ των ρ =, ρ = + cos φ. Το Ϲητουµενο εµβαδον ειναι A = A A οπου A = A = π/ π/ π/ π/ + cos φ) dφ = 3 4 π +, dφ = π. Αρα το Ϲητουµενο εµβαδον ειναι 3π 4 + π = π 4 +

182 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Θεωρηµα: Εστω καµπυλη δινεται σε σε πολικες συντεταγµνες) ρφ)) µε το φ να παιρνει τιµες απο φ ως φ. Τοτε το µηκος της καµπυλης ειναι φ ) dρ s = ρ + dφ. 9.) dφ φ Αποδειξη. Μπορουµε να γραψουµε την καµπυλη σε παραµετρικη µορφη, µε παραµετρο το φ, ως εξης : x φ) = ρ φ) cos φ), y φ) = ρ φ) sin φ). Γνωριζουµε οτι το µηκος τοξου παραµετρικης καµπυλης δινεται απο τον τυπο φ ) ) dy + dφ. dφ dφ Μπορουµε να απλοποιησουµε τον τυπο αυτο ως εξης. Εχουµε φ dφ = dρ cos φ ρ φ) sin φ dφ dy dφ = dρ sin φ + ρ φ) cos φ dφ οποτε ) ) ) ) dy dρ dρ + = cos φ ρ φ) sin φ + sin φ + ρ φ) cos φ dφ dφ dφ dφ ) dρ ) = cos φ + sin φ + ρ cos φ + sin dρ dρ φ) ρ cos φ sin cos φ + ρ cos φ sin cos φ dφ dφ dφ ) dρ = + ρ. dφ Αρα το Ϲητουµενο µηκος δινεται απο οτν τυπο φ ) dρ + ρ dφ. dφ 9... Ασκηση: Υπολογισε το µηκος της περιφερειας κυκλου µε ακτινα R. φ Λύση. Ο κυκλος µε ακτινα R εχει εξισωση ρ φ) = R, φ [0, π]. Οποτε το µηκος της περιφερειας ειναι π ) dρ π π s = ρ + dφ = R + 0) dφ = Rdφ = πr 0 dφ 0 0 οπως και περιµεναµε.

183 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Ασκηση: Υπολογισε το µηκος του τµηµατος της εκθετικης σπειρας µε εξισωση ρ φ) = e φ που αντιστοιχει σε φ [ 0, π/ ]. Λύση. ες το σχηµα 9.3. Σχ.9.3: Υπολογισµος του µηκους της ρ φ) = e, φ [ 0, π/ ]. Το Ϲητουµενο µηκος ειναι π/ ) dρ π/ s = ρ + dφ = e 4φ + 4e 4φ dφ = 5 e π ). dφ Ασκηση: Υπολογισε το µηκος του τµηµατος της καµπυλης µε εξισωση ρ φ) = /φ που αντιστοιχει σε φ [ /, ]. Λύση. Το Ϲητουµενο µηκος ειναι s = φ + ) dφ = φ / / 9. Λυµενα Προβληµατα + φ dφ = φ φ ) ) 5 + ln ) ) Ασκηση: Βρες τις πολικες συντεταγµενες των σηµειων µε Καρτεσιανες συντεταγµενες x, y) = ), 3 και x, y) =, ) 3 και Λύση. Για το x, ) y)=, 3 εχουµε ρ = + 3 = 3 4 =, φ = arctan = π/3, ) δηλ. ρ, φ) =, π/3). Για το x, y)=, 3 εχουµε ρ = ) + 3) = 4 =, φ = arctan 3 = arctan 3 = π 3.

184 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 78 ) Αυτο οµως δεν ειναι σωστο, επειδη το, 3 ανηκει στο 3ο τεταρτηµοριο. Το σωστο αποτελεσµα ειναι φ = π + π, δηλ. ρ, φ) = ), 4π Ασκηση: Βρες τις Καρτεσιανες συντεταγµενες ) του σηµειου µε πολικες συντεταγµενες ρ, φ) =, π/4). Το ιδιο για το σηµειο, π. 3 Λύση. Για το ρ, φ)=, π/4) εχουµε δηλ. x, y) =, δηλ. x, y) =, 3 ). 4 4 x = ρ cos φ = cos π 4 =, y = ρ sin φ = sin π 4 =, ) ). Για το ρ, φ)= εχουµε, π 3 x = ρ cos φ = cos π 3 = ) = 4, y = ρ sin φ = sin π 3 = ) 3 3 = 4, Ασκηση: Σχεδιασε την καµπύλη φ ρ) = π/4. Λύση. Οποιοδήποτε σηµείο Α της καµπύλης έχει την µορφή ρ, π/3), δηλαδή η γωνία AOx είναι πάντα ίση µε π/4. Άρα η καµπύλη είναι µια ηµιευθεία, όπως ϕαίνεται στο Σχήµα 9.4. Σχ.9.4: Η καµπύλη µε εξίσωση φ ρ) = π/ Ασκηση: Σχεδιασε την καµπύλη ρ φ) = / 4 3 cos φ.

185 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 79 Λύση. Εχουµε ρ = 4 4 cos φ 4ρ 3ρ cos φ = 4 4ρ cos φ + sin φ) 3ρ cos φ = 4 4ρ cos φ + ρ sin φ = 4 ρ cos φ + 4 ρ sin φ = x + y 4 =. Οποτε η καµπυλη ειναι η ελλειψη του Σχηµατος 9.5. Σχ.9.5: Η καµπύλη µε εξίσωση ρ φ) = / 4 3 cos φ Ασκηση: Σχεδιασε την καµπύλη ρ φ) = cos φ+ sin. φ Λύση. Εχουµε ρ cos φ + sin φ) = 3 x + y = 3, η οποια ειναι η ευθεια του Σχηµατος 9.6. Σχ.9.6: Η καµπύλη µε εξίσωση ρ φ) = 3 cos φ + sin φ.

186 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Ασκηση: Σχεδιασε την καµπύλη ρ φ) = sin φ. Λύση. Συµπληρώνουµε τον παρακάτω πίνακα φ 0 π/4 π/ 3π/4 π 5π/4 3π/ 7π/4 π ρ φ) = sin φ Τοποθετώντας αυτά τα σηµεία στο επίπεδο παίρνουµε το Σχήµα 9.7, µια παραλλαγη της καρδιοειδους. Σχ.9.7: Η καµπύλη µε εξίσωση ρ φ) = sin φ. ) Ασκηση: Σχεδιασε την καµπύλη ρ φ) = cos φ π. 4 Λύση. Ειναι µια παραλλαγη του τετραφυλλου του Σχηµατος 9.8, στραµµενη αντιωρολογιακα κατα π. 4 Σχ.9.8: Η καµπύλη µε εξίσωση ρ φ) = cos φ π ) Ασκηση: Σχεδιασε την καµπύλη ρ φ) = sin 3φ. Λύση. Συµπληρώνουµε τον παρακάτω πίνακα φ 0 π/8 π/4 3π/8 π/ 5π/8 3π/4 7π/8 π ρ φ) = cos 3φ

187 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 8 Τοποθετώντας αυτά τα σηµεία στο επίπεδο παίρνουµε το Σχήµα 9.9, ενα τρίφυλλο. Σχ.9.9: Η καµπύλη µε εξίσωση ρ φ) = sin 3φ Ασκηση: Βρες την εξισωση της υπερβολης x y = σε πολικες συντεταγµενες. Λύση. Εχουµε Αυτη ειναι η Ϲητουµενη εξισωση. x y = ρ cos φ ρ sin φ = ρ = Ασκηση: Περιγραψε την καµπυλη µε εξισωση Λύση. Εχουµε Οποτε η καµπυλη ειναι µια υπερβολη. ρ = cos φ sin φ. ρ cos φ sin φ = xy = Ασκηση: Βρες τα σηµεια τοµης των καµπυλων cos φ sin φ. Λύση. Θα εχουµε ρ = 4 sin φ, ρ = 4 cos φ. ρ = ρ 4 sin φ = 4 cos φ tan φ = φ = ± π 4. Οµως η τιµη φ = π απορριπτεται, διοτι ϑα εδινε 0 ρ 4 = 4 sin ) π 4 =. Οποτε ενα σηµειο τοµης ειναι το ρ, φ) = ) 4, π, δηλ. το x, y) = ),. Με γεωµετρικη αναλυση 4 µπορουµε να καταλαβουµε οτι υπαρχει ενα ακοµη σηµειο τοης. Ποιο ειναι αυτο και γιατι δεν το ανακαλυψαµε µε την παραπανω αναλυση ;

188 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Ασκηση: Υπολογισε το εµβαδον του σχηµατος που περικλειει η καµπυλη ρ φ) = a + sin φ), φ [ π, π]. Λύση. Εχουµε A = a = a π π π + sin φ) dφ = a π dφ + π π π sin φdφ + ) + sin φ + sin φ dφ ) cos φ dφ = a π π ) = 3πa. π π π Ασκηση: Υπολογισε το εµβαδον του σχηµατος που περικλειει η καµπυλη µε εξισωση ρ φ) = cos φ, φ [0, π]. Λύση. Το εµβαδον ειναι A = π 0 ρ dφ = π 0 cos 4 φ dφ = π 0 + cos φ ) dφ = 3π Ασκηση: Υπολογισε το εµβαδον της κοινης επιφανειας του κυκλου ρ = 3 cos φ και της καρδιοειδους ρ = + cos φ. Λύση. ες το σχηµα 9.0. Τα σηµεια τοµης δινονται απο Σχ.9.0: Η κοινη επιφανεια των ρ = 3 cos φ και ρ = + cos φ. ρ = ρ 3 cos φ = + cos φ cos φ = φ = ±π 3. Το Ϲητουµενο εµβαδον ειναι A = A + A οπου A ειναι το εµβαδον του κυκλου ρ = 3 cos φ για φ [ π, [ ] π 3] π, π και A 3 ειναι το εµβαδον της καρδιοειδους ρ = + cos φ για φ [ ] π, π. 3 3 Εχουµε A = A = π/ π/3 π/3 π/3 3 cos φ) dφ = 3 4 π cos φ) dφ = π

189 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 83 Αρα το Ϲητουµενο εµβαδον ειναι 3 A = A + A = 4 π 9 ) π + 9 ) 3 = 5π Ασκηση: Υπολογισε το µηκος του κυκλου ρ φ) = 3 sin φ. Λύση. Εχουµε ρ = 3 sin φ, 0 dρ dφ = 3 cos φ, ) dρ ρ + = 9. dφ Οποτε το µηκος της περιφερειας ειναι π ) dρ π s = ρ + dφ = 9dφ = 8π. dφ Ασκηση: Υπολογισε το µηκος της ρ φ) = sin φ που αντιστοιχει σε φ [0, π]. Λύση. ες το σχηµα 9.. Εχουµε Σχ.9.: Υπολογισµος του µηκους της ρ φ) = sin φ, φ [0, π]. dρ ρ = sin φ, = cos φ, dφ ) dρ ρ + = sin φ) + cos φ) dφ = sin φ + sin φ + cos φ = sin φ = π ) cos φ = π cos 4 φ ) = π cos 4 φ ). 0

190 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 84 Το Ϲητουµενο µηκος ειναι s = = 4 π 0 3π/ π/ 9.3 Αλυτα Προβληµατα ) dρ π ρ + dφ = π dφ cos 0 4 φ ) dφ π cos 4 φ ) dφ = Σχεδιασε την καµπυλη της ρ φ) µε τα ορια του φ δοσµενα ή καταλληλα υπολογισµενα ωστε η καµπυλη να ειναι κλειστη) και υπολογισε το εµβαδον που περικλειει.. Σπειρα ρ = φ, για 0 φ π. Απ. 4 3 π3.. Σπειρα ρ = e φ, για 0 φ π. Απ. 4 e4π Ληµνισκος ρ = cos φ. Απ.. 4. ρ = cos φ. Απ. 3π/. 5. ρ = 3 + sin φ. Απ. 9π/8. 6. ρ = cos 3φ. Απ. 3π/4. 7. ρ = sin φ. Απ. π/. 8. ρ = cos φ. Απ. π/. 9. ρ = sin 3φ. Απ. π/4. 0. ρ = sin φ + cos φ. Απ. π/.. ρ = /φ, π 4. ρ = 3a sin φ cos φ φ π. Απ. 7/4π. sin 3 φ+cos 3 φ. Απ. 3 a. 3. ρ = a sin φ cos φ. Απ. πa ρ = a cos 3 φ. Απ. 5πa 5. ρ = + cos φ. 6. ρ = 3 + cos φ. 7. ρ = + sin φ ρ = 3 + sin φ. π 9. ρ =. φ

191 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ρ = arctan φ π Σχεδιασε και ϐρες το εµβαδόν µεταξυ των καµπυλων.. ρ = a cos φ) και ρ = a. Απ. a 5π ). 8. ρ = a cos φ και ρ = a. Απ. a + π ) ρ = + cos φ και ρ = a cos φ. Απ Σχεδιασε και ϐρες το εµβαδόν που περικλείει το τµήµα της καµπύλης ρ = a cos φ) και ϐρίσκεται εντός του κύκλου ρ = a cos φ. Απ. a 7π ) Σχεδιασε και υπολογισε το µηκος των καµπυλων. Οπου ειναι αναγκαιο υπολογισε τα ορια ωστε η καµπυλη να ειναι κλειστη.. ρ = /φ, 3/4 φ 4/3. Απ. ln ) ρ = e φ, 0 φ ln 4. Απ ρ = φ, 0 φ 5. Απ ρ =, 3 φ 4. Απ. 5 + ln 3. φ 4 3 p 5. ρ = +cos, π φ π. Απ. p φ + ln + )). 6. ρ = cos φ. Απ Η πρωτη περιελιξη της ρ = φ. Απ. π + 4π ln π + + 4π ). 8. ρ = cos φ). Απ. 3π/. 9. ρ = sin 3 φ/3). Απ. 3π/. 0. ρ = a sin 3 φ 3. Απ. 3 πa.. ρ = a sin 4 φ. Απ. 4 πa. 4 3 ). φ = ρ +, ρ 4. Απ. 3 ln ) ρ ln )

192 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Προχωρηµενα Αλυτα Προβληµατα Κανε τις γραφικες παραστασεις των παρακατω συναρτησεων.. ρ = sin 6φ).. ρ = sin 7φ). 3. ρ = + 0 sin 0φ) Αντιστοιχισε τις παρακατω γραφικες παραστασεις στις συναρτησεις µπορεις και χωρις χρηση µαθηµατικου λογισµικου!. ρ = sin φ.. ρ = cos φ ρ = sin φ + sin 3 5φ. 4. ρ = φ cos φ. 5. ρ = φ. 6. ρ = + 4 cos 5φ.

193 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Μετατρεψε τις παρακατω εξισωσεις καµπυλων σε πολικες συσντεταγµενες. Κατοπιν σχεδιασε την καθε καµπυλη και υπολογισε το εµβαδον που περικλειει.. x + y ) = x y ). Απ... x + y ) = 4x + 9y. Απ. 3π. 3. x + y )3 = 4xy x y ). Απ.. 4. x 4 + y 4 = x + y. Απ. π.

194 Κεφάλαιο 0 Ακολουθιες Μια ακολουθια ειναι µια συναρτηση µε πεδιο ορισµου το συνολο των ϕυσικων αριθµων N = {,, 3,...}. 0. Θεωρια και Παραδειγµατα 0... Ορισµος: Μια συναρτηση f : N R δηλ. για n N = {,, 3,...}, f n) R) λεγεται ακολουθια Συµβολισµος: Ο n-στος ορος της ακολουθιας γραφεται f n) ή συνηθεστερα f n. Για να δηλωσουµε ολοκληρη την ακολουθια γραφουµε f ή f, f,...) ή f n ) n= ή απλα f n) Ορισµος: Μια ακολουθια f n ) n= λεγεται ϕραγµενη ανν υπαρχουν αριθµοι A, B τετοιοι ωστε n : A f n B Ασκηση: ειξε ότι η ακολουθία f n ) n= µε f n = n + είναι ϕραγµένη. 3n Λύση. Θα δείξουµε ότι, για κάθε n, ισχύει 0 < f n = n +. 3n Το κάτω ϕράγµα είναι προφανές. Για το άνω ϕράγµα εχουµε ) ) n + 3n + n ) 3n + n n 3n Αλλά το οποιο προφανως ισχυει για καθε n N. 3n + n + = n 0 n Ασκηση: : ειξε ότι η ακολουθία f n ) n= µε f n = ) n n δεν είναι ϕραγµένη. Λύση. Εστω οτι υπηρχαν A, B τετοια ωστε n : A f n B. 88

195 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 89 Παιρνουµε n B τετοιο ωστε n B > B και n B τετοιο ωστε n B n B. Τοτε n n B n n B n B > B f n = ) n n > B. Αρα κανενα B R δεν µπορει να ειναι ανω ϕραγµα της f n ). Οµοιως αποδεικνυουµε οτι η f n ) δεν εχει κατω ϕραγµα Ορισµος: Μια ακολουθια f n ) n= λεγεται αυξουσα αντ. ϕθινουσα) ανν n : f n f n+ αντ. n : f n f n+ ). Αν µια ακολουθια ειναι ειτε αυξουσα ειτε ϕθινουσα, λεγεται µονοτονη. Μια ακολουθια f n ) n= λεγεται γνησιως αυξουσα αντ. γνησιως ϕθινουσα) ανν n : f n < f n+ αντ. n : f n > f n+ ). Αν µια ακολουθια ειναι ειτε γνησιως αυξουσα ειτε γνησιως ϕθινουσα, λεγεται γνησιως µονοτονη Ασκηση: ειξε ότι η ακολουθία f n ) n= µε f n = ειναι γνησιως ϕθινουσα. n Λύση. Εχουµε n N : n < n + ) n N : n + < ) n N : f n+ < f n ) n οποτε η f n ) ειναι γνησιως ϕθινουσα Ασκηση: Είναι η ακολουθία µε f n = n ϕραγµένη ; Μονότονη ; 3 n Λύση. Θα δείξουµε ότι, για κάθε n N, ισχύει f n > f n+. Αρκεί να δέιξουµε n N : 3 > n + ) N : n > n + ) N : n > ). n 3 n+ 3 Η τελευταία ανισότητα προφανώς ισχύει για καθε n N. ϕθίνουσα. Επισης, για κάθε n N, ισχύει f n > 0. Άρα και η ακολουθία είναι ϕραγµένη. n N : 0 < f n < f = 3 Άρα η ακολουθία είναι γνησίως Ορισµος: Λεµε οτι η ακολουθια f n ) n= συγκλινει ή τεινει) στον αριθµο φ R ανν ε > 0 : n ε : n n ε f n φ < ε. Τοτε γραφουµε «lim n f n = φ» το οριο της f n ειναι το φ) Ασκηση: ινεται η ακολουθια f n ) n= µε f n =. ειξε µε ένα αριθµητικό επιχείρηµα n ότι lim n = 0. n Λύση. Στον παρακάτω πίνακα δίνουµε Ϲεύγη τιµών n, f n ). Παρατηρούµε ότι όσο µεγαλύτερο γίνεται το n, τόσο εγγύτερα ϐρίσκεται το f n στο 0. Αρα εικαζουµε οτι lim n f n = 0. n f n = n Ειναι ϕανερη η οµοιότητα του παραπανω πίνακα µε αυτόν του Προβλήµατος ;;. συναρτήσεων f x) ειναι ουσιαστικα ιδια µε αυτη ακολουθιών f n. Η σύγκλιση

196 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Ασκηση: ινεται η ακολουθια f n ) n= µε f n =. Αποδειξε µε χρηση του ορισµου) οτι n lim n = 0. n Λυση. Εστω τυχον ε > 0. Λαµβανω n ε > οποτε ε > ε n ε > για καθε n n n ε. Οποτε n n ε : ε > n = n = f n 0 lim f n = 0. n 0... Ασκηση: Εξηγησε την σηµασια της συνθηκης Λυση. ες το σχηµα. ε > 0 n ε : n n ε f n φ < ε. f n φ+ε φ φ - ε Σχ.0.: Γεωµετρικη ερµηνεια της συγκλισης µιας ακολουθιας. Παρατηρησε οτι, για καθε n n ε, οι τιµες f n ϐρισκονται µεσα σε µια «Ϲωνη» πλατους ε, γυρω απο την τιµη φ. Αυτο διατυπωνεται µε την συνθηκη n n ε f n φ < ε. Επειδη εµεις επιλεγουµε την τιµη του ε, µπορουµε να κανουµε τη Ϲωνη οσο στενη ϑελουµε δηλ. η παραπανω συνθηκη ισχυει για καθε ε > 0). Αλλα το n ε για το οποιο ϑα ισχυει η παραπανω συνθηκη ϑα εξαρταται απο το ε, δηλ. για µικροτερο ε µπορει να χρειαστει να χρησιµοποιησουµε µεγαλυτερο n ε Ορισµος: Λεµε οτι η ακολουθια f n ) n= τεινει στο + ή οτι το οριο της f n ειναι το + ) και γραφουµε lim n f n = + ανν M > 0 : n M : n n M f n > M Λεµε οτι η ακολουθια f n ) n= τεινει στο ή οτι το οριο της f n ειναι το ) και γραφουµε lim n f n = ανν M < 0 : n M : n n M f n < M n

197 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Ασκηση: ινεται η ακολουθια f n ) n= µε f n = n. ειξε µε ένα αριθµητικό επιχείρηµα ότι lim n f n =. Λύση. Στον παρακάτω πίνακα δίνουµε Ϲεύγη τιµών n, f n ). Παρατηρούµε ότι όσο µεγαλύτερο γίνεται το n, τόσο µεγαλυτερο γινεται το f n. Οποτε εικαζουµε οτι lim n f n =. n f n = n Ασκηση: ινεται η ακολουθια f n ) n= µε f n = n. Αποδειξε µε χρηση του ορισµου) οτι lim n f n =. Λυση. Εστω τυχον M > 0. Λαµβανω n M > M οποτε n M > M για καθε n n M. Οποτε n n M : f n = n > M lim f n =. n Συµβολισµος: Αν η ακολουθια f n ) n=. τεινει στο φ R, λεµε οτι συγκλινει ή οτι ειναι συγκλινουσα. τεινει ειτε στο + ειτε στο, λεµε οτι αποκλινει ή οτι ειναι αποκλινουσα 3. δεν τεινει ουτε σε πραγµατικο αριθµο ουτε στο + ουτε στο, λεµε οτι ταλαντευεται Ασκηση: ειξε οτι η ακολουθια f n ) µε f n = ) n ταλαντευεται. Λύση. Πρεπει να δειξουµε οτι η f n ) δεν τεινει σε κανενα οριο. Αφου η f n ) ειναι ϕραγµενη γιατι ;) δεν µπορει να τεινει ουτε στο ουτε στο. Ας υποθεσουµε οτι lim n f n = φ R. Τοτε, αν επιλεξουµε ε =, υπαρχει n 0 τετοιο ωστε n n f n φ < 0. Τοτε ϑα εχουµε > fn φ + fn + φ = fn φ + φ fn + = fn φ + φ f n + = fn f n + = ) n ) n + = που ειναι ατοπο. Αρα δεν µπορει να ισχυει lim n f n = φ R, οποτε η f n ) οντως ταλαντευεται Θεωρηµα: Αν το όριο µιας ακολουθίας υπάρχει, είναι µοναδικό Θεωρηµα: Μια µονοτονη και ϕραγµενη ακολουθια συγκλινει σε πραγµατικο αριθµο) Παραδειγµα: Η f n ) µε f n = + ειναι ϕραγµενη γιατι ;) και γνησιως ϕθινουσα γιατι ;) n και ισχυει lim n + n ) = Ασκηση: ειξε οτι η ακολουθια f n ) µε f n = + συγκλινει σε καποιο οριο.. n! Λύση. Εχουµε και n N : 0 < + n! n N : f n = + n! > + n + )! = f n+. Αφου η f n ) ειναι ϕραγµενη και ϕθινουσα, υπαρχει το lim n f n.

198 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Ορισµος: Εστω ακολουθία f n ) n= και µια ακολουθία ϕυσικών αριθµών n, n,... N. Σχηµατίζουµε την ακολουθία g n ) n= ορίζοντας, για κάθε k N, g k = f nk. Τότε λέµε ότι η g n ) n= είναι µια υποακολουθία της f n ) n= Παραδειγµα: Εστω f n ) n= µε f n = ) n. Οριζουµε την ακολουθία g n ) n= µε g n = f n. Αρα η g n ) n= είναι µια υποακολουθία της f n) n=. Συγκεκριµενα εχουµε f n ) =,,,,...) g n ) =,,,,...) Παρατηρηση: Με άλλα λόγια, µια υποακολουθία της f n ) n= είναι µιά ακολουθία g n ) n= που σχηµατίζεται λαµβάνοντας όρους από τήν f n) n= Θεωρηµα: Κάθε ϕραγµενη ακολουθία έχει µια συγκλίνουσα υποακολουθία Παραδειγµα: Εστω f n ) n= µε f n = ) n. Οριζουµε την ακολουθία g n ) n= µε g n = f n. Αρα η g n ) n= είναι µια υποακολουθία της f n) n=. Η ειναι ταλαντευοµενη. Αλλα για την ισχυει lim n g n =. f n ) =,,,,...) g n ) =,,,,...) Θεωρηµα: ινονται ακολουθιες f n ) n=, g n) n=. Εστω οτι lim n f n = φ R, lim n g n = γ R. Τοτε ισχυουν τα εξης.. Για καθε k R : lim n k f n ) = k φ.. lim n f n + g n ) = φ + γ. 3. lim n f n g n ) = φ γ. 4. lim fn ) n g n = φ, οταν γ 0. γ Παραδειγµα: Εστω f n ) n= µε f n = +. Τοτε lim n n f n =. Οριζω την g n ) n= µε g n = f n = +. τοτε lim n n g n = lim n f n = Παραδειγµα: Εστω f n ) n= µε f n = + και g n n) n= µε g n = Τοτε lim n n f n = και lim n g n = 0. Οριζω την h n ) n= µε h n = f n + g n = + +. τοτε n n lim h n = lim f n + lim g n =. n n n Θεωρηµα: ινονται ακολουθιες f n ) n=, g n) n= και h n) n=. Εστω οτι lim n f n = φ, lim n g n = γ. Αν n : f n h n g n και υπαρχει το η = lim n h n, τοτε φ η γ.

199 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Θεωρηµα: ινονται ακολουθιες f n ) n=, g n) n= και h n) n=. Εστω οτι lim n f n = φ = lim n g n = γ. Αν n : f n h n g n τοτε υπαρχει το lim n h n και lim h n = η. n Θεωρηµα: Εστω a R. Σχηµατιζουµε την ακολουθια f ) µε f n = a n.. Αν a <, τοτε lim n f n = 0.. Αν a >, Τοτε lim n f n = Παρατηρηση: Πολλες ϕορες αποδεικνυουµε την υπαρξη του οριου µιας ακολουθιας χρησιµοποιωντας τα παραπανω ϑεωρηµατα και / ή τεχνασµατα, οπως ϑα δειξουµε στα εποµενα παραδειγµατα Ασκηση: Υπολογισε το οριο lim n ). 3 n Λύση. Εχουµε ακολουθιες f n ) n= µε f n = και g n ) n= µε g n = = n. 3 3) Τοτε και limn f n n = και lim n g n = 0 αφου a = < ). Οποτε 3 lim 3 ) = lim f n n n + lim g n = + 0 =. n n n Ασκηση: Υπολογισε το οριο lim n Λύση. Είναι εύκολο να δείξουµε επαγωγικά) ότι Οπότε και n Αρα lim n = 0. 3 n 3 n. n N : n < 3 n. n N : 0 < n 3 n < n n < n n 0 = lim 0 < lim n 0 n 0 3 < lim n n 0 n = 0. sin n Ασκηση: Υπολογισε το οριο lim n. n Λυση. Εχουµε n N : n sin n οπότε Αρα lim n sin n n = 0. n n n 0 = lim ) sin n lim lim n n n n n = 0.

200 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 94 n Ασκηση: Υπολογισε το lim n. n + Λυση. Εχουµε ) ) n n + lim n n + = lim + limn n n n + limn n = n n + n n lim n ) + ) = lim n + 0 = 0. n n Ασκηση: Υπολογισε το lim +n+ n Λυση. Εχουµε lim n n + n + n + n n +. + n + n = lim n n = lim n + lim n + lim n n n = =. n n + lim n n n + lim n + 0 n n Ασκηση: Υπολογισε το όριο lim 3 n. n Λυση. Είναι ) ) n 3 n = n 3 n n 3 ) = n 3 ) n n n και lim n ) ) n 3 n = lim ) n n n 3 ) = lim n lim n n n n 3 ) lim n = =. n Ασκηση: Υπολογισε το lim n Λυση. Εχουµε n +. lim n n + = lim lim n n n = n n + n n lim n ) + ) = 0 lim n + 0 = 0. n Ασκηση: Υπολογισε το lim n n + n ). Λυση. Εχουµε ) ) ) n + n n + + n lim n + n = lim ) n + + n n n n + n = lim ) = lim ) = 0. n + + n n + + n n n n Ασκηση: Υπολογισε το lim n f n αν είναι γνωστό ότι για κάθε n ισχύει < f n+ n < n+ Λυση. Εχουµε n = lim n n + lim f n + n lim n n n + = οπότε lim n f n =. n Παρατηρηση: Ενας αλλος τροπος υπολογισµου του οριου ακολυθιας δινεται απο το παρακατω ϑεωρηµα.

201 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Θεωρηµα: Εστω συναρτηση F x) και ακολουθια f n ) n= µε f n = F n). Τοτε lim F x) = φ lim f n = φ. x n n Ασκηση: Υπολογισε το οριο lim n Λύση. Θετουµε F x) = x+. Εχουµε x + lim x n+ Οποτε και lim n = 0. n Θεωρηµα: 0. Λυµενα Προβληµατα n +. x + x + = lim x x + ) lim x x + ) = lim x lim x x = 0. a R : lim + a ) n = e a. n n 0... ειξε ότι η ακολουθία µε f n = n+ είναι ϕραγµένη. 3n Λύση. Θα δείξουµε ότι, για κάθε n >, ισχύει 0 < f n = n + <. 3n Το κάτω ϕράγµα είναι προφανές. Το άνω ϕράγµα ισχύει ανν n + ) ) 3n + n + < 0 < 0 ) 3n + n + < 0. 3n 3n Αλλά το 3n + n + είναι δευτεροβάθµιο πολυώνυµο µε ϱίζες, και αρνητικό συντελεστή 3 του [ δευτεροβάθµιου όρου. Άρα λαµβάνει αρνητικές τιµές για κάθε n εκτός αυτών που ανήκουν στο ],, δηλ. για n {, 3,...} ειξε ότι η ακολουθία µε f n = n + δεν είναι ϕραγµένη. 3n Λύση. Θα δείξουµε ότι για κάθε M > 0 υπάρχει n τέτοιο ώστε Πράγµατι, αν ϑέσουµε n = M έχουµε f n = n + > M. 3n f n = 4M + 3 M > 4M 3 M = 8 6 M > M Είναι η ακολουθία µε f n = n+ ϕραγµένη ; 3n Λύση. Θα δείξουµε ότι, για κάθε n >, ισχύει 0 < f n = n + <. 3n Το κάτω ϕράγµα είναι προφανές. Το άνω ϕράγµα ισχύει ανν n + ) 3n < n + < 3n) < n). Η τελευταία ανισότητα ισχύει εξ υποθέσεως.

202 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Είναι η ακολουθία µε f n = )n ϕραγµένη ; 3n Λύση. Εχουµε n N : f n = ) n = <, οπότε 3n 3n n N : < f n < Είναι η ακολουθία µε f n = n+ µονότονη ; n + Λύση. Θα δείξουµε ότι, για κάθε n N, ισχύει f n > f n+. Αρκεί να δέιξουµε n N : n + n + > n + n + ) +. Η παραπάνω ανισότητα είναι ισοδύναµη µε την N : n + ) n + ) + = n 3 + 3n + 3n + > n 3 + n + n + = n + ) ) n + δηλ. µε την n N : n + n > 0 η οποία προφανώς ισχύει. Άρα η ακολουθία είναι γνησίως ϕθίνουσα Είναι η ακολουθία f n ) n= µε f n = sin n µονότονη ; n Λύση. Εχουµε : n sin n Άρα η ακολουθία δεν είναι µονότονη Είναι η ακολουθία f n ) n= µε f n = n + n µονότονη ; Λύση. Εχουµε : f n+ f n = n + n + n + + n = n + n + + n. Θα εξετασουµε την ανισοτητα n + + n < n +. Εχουµε n + + n < n + ) n + + n < 4 n + ) n + + n + n + n < 4 n + ) n + n < n + n + ) n < n + ) 0 <. Άρα για καθε n εχουµε f n+ < f n και η ακολουθία ειναι γνησιως ϕθινουσα Είναι η ακολουθία f n ) n= µε f n = n n! µονότονη ; Λύση. Εχουµε : Άρα η ακολουθία ειναι ϕθινουσα. f n+ f n = n+ n+)! n n! = n +.

203 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Αποδειξε ότι η ακολουθία µε f n = Λύση. Εξετάζουµε την διαφορά n+ + n n είναι γνησίως αύξουσα. f n f n+ = n + + n ) n n + + ) n n + = n + n + n + = 4n + 6n +. Το τριώνυµο 4n +6n + έχει τις ϱίζες,. Άρα, στο διάστηµα, ) έχει σταθερό πρόσηµο, το ίδιο µε αυτό του δευτεροβάθµιου όρου 4n, δηλαδή ϑετικό. Με άλλα λόγια, δηλαδή η ακολουθία είναι γνησίως ϕθίνουσα. n N : f n f n+ = 4n + 6n + > Ανισοτητα Bernoulli) ίνονται οι ακολουθίες f n ) n= µε f n = + a) n και g n ) n= µε g n = + na, οπου a 0. είξτε ότι για κάθε n N ισχύει f n g n, και για κάθε n >, ισχύει f n > g n. Λύση. Για n = ισχύει f = + a) = + a = g. Για n = ισχύει Εστω ότι + a) k > + ka. Τώρα Άρα ισχύει το Ϲητούµενο. f = + a) = + a + a > + a = g. f k+ = + a) k+ = + a) k + a) > + ka) + a) = + k + ) a + a > + k + ) a = g k ειξε µε ένα αριθµητικό επιχείρηµα ότι lim n = 0. n+ ) Λύση. Στον παρακάτω πίνακα δίνουµε Ϲεύγη τιµών n,. Παρατηρούµε ότι όσο µεγαλύτερο n+ γίνεται το n, τόσο εγγύτερα ϐρίσκεται το στο 0. ηλ. lim n+ n = n+ 0. = n n Η οµοιότητα του πίνακα µε αυτόν του Προβλήµατος ;; είναι προφανής και δείχνει ότι η σύγκλιση συναρτήσεων f x) και αυτή ακολουθιών f n ουσιαστικά περιγράφουν την ιδια διαδικασία Αποδειξε µε χρηση του ορισµου) οτι lim n = 0. n+ Λυση. Εστω τυχον ε > 0. Λαµβανω n ε > οποτε ε > > για καθε n n ε n ε + n+ ε. Οποτε n n ε : ε > n + = n + > f n 0. Αρα lim n f n = 0.

204 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Αποδειξε µε χρηση του ορισµου) οτι lim n + ) n =. ) Λυση. Εστω τυχον ε > 0. Λαµβανω n ε > οποτε ε > ) ε n ε > n για καθε n nε. Οποτε Αρα lim n f n =. n n ε : ε > n = n + > f n Αποδειξε οτι : αν το όριο µιας ακολουθίας υπάρχει, είναι µοναδικό. Λυση. Εστω οτι lim n f n = φ R και lim n f n = φ R.Επιλεγουµε τυχον ε > 0 και εχουµε n και n τετοια ωστε Αν τωρα ϑεσουµε n 0 = max n, n ), εχουµε και, προσθετοντας κατα µελη, παιρνουµε Αφου n n f n φ < ε, n n f n φ < ε. n n 0 f n φ < ε, n n 0 f n φ < ε ε > f n φ + f n φ f n φ + φ f n = φ φ. ε > 0 : φ φ < ε συµπεραινουµε οτι φ = φ. ηλαδη, αν η f n ) συγκλινει σε δυο παργµατικους αριθµους, αυτοι ειναι ισοι. Με αναλογο τροπο µπορουµε να αποδειξουµε οτι η f n ) δεν µπορει ταυτοχρονως να συγκλινει στο και στο + κτλ Υπαρχει το οριο της ακολουθιας f n ) n= µε f n = 3... n ) Λυση. Εχουµε 4... n) ; 3... n ) n + ) 3... n ) f n+ = = f n 4... n) n + ) 4... n) f n n ) = < f n 4... n) οποτε η f n ) ειναι γνησιως ϕθινουσα. Τοτε n : 0 < f n < γιατι ;). Αρα η f n ) ειναι µονοτονη και ϕραγµενη, οποτε υπαρχει το lim n f n.

205 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Υπαρχει το οριο της ακολουθιας f n ) n= µε f n = n n+) Λυση. Εχουµε n : 0 < f n < n + <. n Επισης εχουµε f n+ f n = n + ) + n + ) n < 4n + 4n n = n < 0. οποτε η f n ) ειναι γνησιως ϕθινουσα. Αρα η f n ) ειναι µονοτονη και ϕραγµενη, οποτε υπαρχει το lim n f n Αποδειξε : αν φ, k R και lim n f n = φ, τοτε lim n kf n ) = kφ. Λύση. Εστω k 0. Λαµβανουµε τυχον ε > 0. Υπαρχει n ε τετοιο ωστε n n ε f n φ < ε k k f n φ < k ε k kf n kφ < ε Οποτε lim n kf n ) = kφ. Αν k = 0, τοτε για καθε n εχουµε kf n = 0 και προφανως lim n kf n ) = 0 = kφ Αποδειξε : αν lim n f n = φ R, lim n g n = γ R, τοτε lim n f n + g n ) = φ + γ. Λύση. Λαµβανουµε τυχον ε > 0. Υπαρχουν n, n τετοια ωστε Θετουµε n 0 = max n, n ). Τοτε n n f n φ < ε, n n g n γ < ε. n n 0 f n φ < ε, n n 0 g n γ < ε. και n n 0 ε > f n φ + g n γ = f n φ + g n γ = f n + g n ) φ + γ). Οποτε lim n f n + g n ) = φ + γ Αποδειξε µε χρηση του ορισµου) οτι lim n a n = 0 οταν a <. Λυση. Εστω τυχον ε > 0. Επειδη µας ενδιαφερουν µικρα ε και a <, αρκει να ϑεωρησουµε ε a, ). Τωρα λαµβανω n ε > log a ε = ln ε > 0 σηµειωστε οτι ln ε < 0, ln a < 0). Εχω ln α n ε > log a ε n ε ln a < ln ε a n < ε a n 0 < ε και αρα για καθε n n ε εχω ε > a n ε 0 > an 0, δηλ. lim n f n = 0. n) ; Αποδειξε ότι υπάρχει το όριο lim n n +n Λυση. Παρατηρούµε ότι 0 n +n n+) n+). n +n+ n+) n+) = n+).

206 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 00 sin n 0... Αποδειξε ότι υπάρχει το όριο lim n. n Λυση. Εχουµε n N : n sin n οπότε n n n 0 = lim ) sin n lim lim n n n n n = 0. n 0... Αποδειξε ότι υπάρχει το όριο lim 3 n. n Λυση. Είναι ) ) n 3 n = n 3 n n 3 ) = n 3 ) n n n και lim n ) ) n 3 n = lim ) n n n 3 ) = lim n lim n n n n 3 ) lim n = =. n Υπολογισε το lim n Λυση. Εχουµε n +. lim n n + = lim lim n n n = n n + n n lim n ) + ) = 0 lim n + 0 = 0. n n Υπολογισε το lim n. n + Λυση. Εχουµε ) ) n n + lim n n + = lim + limn n n n + limn n = n n + n n lim n ) + ) = lim n + 0 = 0. n n Υπολογισε το lim +n+ n Λυση. Εχουµε lim n n + n + n + n n +. + n + n = lim n n = lim n + lim n + lim n n n = =. n n + lim n n n + lim n + 0 n sinn) Υπολογισε το lim n Λυση. Εχουµε n +. sin n) 0 < n + < n +. sinn) Αν λοιπον υπαρχει το lim n, τοτε ϑα εχουµε n + sin n) 0 = lim 0 < lim n n n + < lim n n + = 0 lim sin n) n n + = 0. Οµως για µια πληρη λυση του προβληµατος ϑα πρεπει να αποδειξουµε και οτι το οριο υπαρχει.

207 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Υπολογισε το lim n n + n ). Λυση. Εχουµε ) ) ) n + n n + + n lim n + n = lim ) n + + n n n n + n = lim ) = lim ) = 0. n + + n n + + n n n Ασκηση: Εστω οτι lim n f n = φ, lim n g n = γ και για καθε n ισχυει f n h n g n. Τοτε, αν υπαρχει το η = lim n h n, ισχυει φ η γ. Λύση. Πρεπει Ασκηση: Εστω οτι lim n f n = φ = lim n g n και για καθε n ισχυει f n h n g n. Τοτε υπαρχει το η = lim n h n και ισχυει φ = η.παρχει το η = lim n h n και φ = η. Λύση. Πρεπει Υπολογισε το lim n f n αν είναι γνωστό ότι για κάθε n ισχύει Λυση. Εχουµε n = lim n n + lim f n + n lim n n n + = οπότε lim n f n = Αποδειξε ότι η ακολουθία µε f n = ) n + n είναι γνησίως αύξουσα. Λύση. Εχουµε ) n+ + n+ = ) f n = + n+ n+ + ) n + + n n n ) n+ n n + ) = + ) ) n+ = + ). n + ) n n + ) n f n+ Εάν τώρα χρησιµοποιήσουµε την Ανισοτητα Bernoulli µε a = f n+ n < f n+ n < n+. n+ n+) έχουµε ) n+ = + ) ) > n + ) + ) f n n + ) n n + ) n ) = + ) ) n n + ) = =. n + ) n n + n Με άλλα λόγια, για κάθε n N ισχύει f n+ f n >, δηλαδή η ακολουθία γνησίως αύξουσα Αποδειξε ότι η ακολουθία µε g n = + n ) n+ είναι γνησίως ϕθίνουσα. Λύση. Αυτό αποδεικνύεται παρόµοια µε το προηγούµενο πρόβληµα.

208 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Αποδειξε ότι οι ακολουθίες µε f n = ) n + n και gn = ) n+ + n έχουν κοινό όριο. Λύση. Θα δείξουµε πρώτα ότι, για κάθε n N, ισχύει f n < g n. Πράγµατι f n = + ) n < f n = + ) n + ) = + ) n+ = g n. n n n n Συνδυάζοντας µε την µονοτονία που αποδείξαµε στα δύο προηγούµενα προβλήµατα, έχουµε = f < f < f 3 <... < g 3 < g < g = 4. Άρα η f n είναι ϕραγµένη και γνησίως άυξουσα, άρα έχει ένα όριο, έστω φ. Αντίστοιχα, η g n είναι ϕραγµένη και γνησίως ϕθίνουσα, άρα έχει ένα όριο, έστω γ. Οµως g n lim = lim + ) = n n n και lim f n g n n f n = lim n g n = γ lim n f n φ. Οπότε γ φ = δηλ. lim n g n = lim n f n = φ. Επισης < φ < 4 γιατι ;) Παρατηρηση: Στην πραγµατικότητα γνωρίζαµε ήδη ότι υπάρχει το lim n + n ) n, διότι στο Κεφάλαιο 3έχουµε αποδείξει ότι lim n + x ) x = e. Άρα και φ = lim + ) n = lim + ) x = e. n n n x Οµως τα παραπάνω προβλήµατα µας έχουν δώσει µια καλύτερη κατανόηση των ιδιοτήτων του αριθµού e = Αλυτα Προβληµατα Αποδειξε ότι η ακολουθία f n ) n= µε f n = 3n Αποδειξε ότι η ακολουθία f n ) n= µε f n = n +5 n 3 3n είναι ϕραγµένη. δεν είναι ϕραγµένη Αποδειξε ότι η ακολουθία f n ) n= µε f n = ) n δεν είναι ϕραγµένη Είναι η ακολουθία f n ) n= ϕραγµενη ;. Οταν f n = 4n+5 6n. Οταν f n = )n n ϕραγµένη ; Απ. Ναι. ϕραγµένη ; Απ. Ναι. 3. Οταν f n ) n= µε f n = n 3 n ϕραγµένη ; Απ. Ναι. 4. Οταν f n = n! n n ϕραγµένη ; Απ. Ναι Είναι η ακολουθία µε f n ) n= µε f n = )n n 3 n ϕραγµένη ; Μονότονη ;

209 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 03 Απ. Είναι ϕραγµένη αλλά όχι µονότονη Είναι η ακολουθία f n ) n= µονότονη ;. Οταν f n = n n+. Οταν f n = n+ n Οταν f n = cosn) n 4. Οταν f n = )n n Απ. Ναι. µονότονη ; Απ. Ναι. µονότονη ; Απ. Οχι. µονότονη ; Απ. Οχι Αποδειξε ότι η ακολουθία f n ) n= µε f n =... n ) Αποδειξε ότι η ακολουθία f n ) n= µε f n = 4... n n+ + είναι γνησίως ϕθίνουσα. n n είναι γνησίως αύξουσα Αποδειξε ότι η ακολουθία f n ) n= µε f n = + 5 n ) n είναι γνησίως αύξουσα Να µελετηθει ως προς την µονοτονια η f n ) n=.. Οταν f n = n + n.. Οταν f n = n + 5 n. 3. Οταν f n = 3... n ) 4... n). 4. Οταν f n = ) n+ 3 n + ) n. 5. Οταν f n = n ) n. 6. Οταν f n = n n. 7. Οταν f n = n n! n είξε µε ένα αριθµητικό επιχείρηµα ότι lim n = 0. n Αποδειξε µε χρηση του ορισµου οτι lim n = 0. n Αποδειξε µε χρήση του ορισµού ότι :. lim n + =. n 3. lim n + =. n+ 3. lim n n 4 =. 4. Η f n = ) n δεν έχει όριο. 5. lim n a n = οταν a > Υπολογισε το όριο.

210 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 04. lim n n 3 +n n+) 3.. lim n +cos n 3. lim n n 4 n. n Αποδειξε ότι οι ακολουθίες µε f n = ) n + 5 n και gn = ) n+ + 5 n έχουν κοινό όριο Υπολογισε το οριο. n. lim 4 +n n. Απ. 0. n 5 +6n n. lim + n. Απ.. n + 3. lim n +3 n n. Απ n +6 n sinn) 4. lim n. Απ. 0. n + 5. lim n n +n 5n +sin n. Απ. /5. cos n+sin n 6. lim n. Απ. 0. n + 7. lim n 3) n. Απ lim n 3 n. Απ lim n n. Απ. 0. n! 4 0. lim n n. Απ. 0. n n Υπολογισε το οριο. ). lim n n + n. Απ. 0.. lim n n + 5 n ). Απ lim ) n n + 3 n. Απ ) 4. lim n n + n n lim n n + n 3 ) n n. 6. lim n n + n + 3 n ). Απ lim n n+ n n. Απ lim n + 5 n ) n. Απ. e 5.

211 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 05 n+. 9. lim n + n+) Απ. e. n+. 0. lim n + n+) Απ. 0. lim n + 4 n + n ) n. Απ. e Υπολογισε το lim n + e n ) en. Απ. e Υπολογισε το lim n f n αν είναι γνωστό ότι για κάθε n ισχύει 0.4 Προχωρηµενα Αλυτα Προβληµατα Είναι η ακολουθία f n ) n= µε f n = ϕραγµένη ; n n n )n Είναι η ακολουθία f n ) n= µε f n = n ϕραγµένη ; Είναι η ακολουθία f n ) n= µε f n = n ϕραγµένη ; Μονοτονη ; n n n 4 + < f n < Εστω f n ) n= µε f n = rn. Βρες το lim +r n n f n για διαφορες τιµες του r Βρες το lim n f n οταν :. f n = n +n+n +n 3.. f n = n 3. f n = n++...+n) n n+) n+). 4. f n = nn+). n 5. f n = ) ) ) n 6. f n = ) ) + + n n 7. f n = k + k +...+n k n k+. 8. f n = n 3 n + n. 9. f n = n n. 0. f n = n n+)n+)...n). n n ) n n 3 +. Απ Εστω a n ) n= ακολουθια µε ϑετικους ορους και f n) n= µε f n = n a n + an an n. Βρες το lim n f n.

212 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Εστω ακολουθίες f n ) n=, g n) n= µε ϑετικους ορους και lim n f n = 0, lim n g n. Βρες το f n + g n lim. n f n + g n Εστω a n ) n= ακολουθια τετοια ωστε lim n a n = α R και f n ) n= µε f n = n a n. Βρες το lim n f n Αποδειξε ότι καθε ϕραγµένη και µονοτονη ακολουθία συγκλίνει Αποδειξε ότι κάθε ϕραγµενη ακολουθία έχει µια συγκλίνουσα υποακολουθία. a Αποδειξε ότι : για κάθε a R έχουµε lim n n = n! 0. a Αποδειξε ότι lim n a n = 0 ανν lim n n +a n = Για ποιες τιµές του a είναι η ακολουθία µε f n = sin an) συγκλίνουσα ; Εστω ακολουθία f n ) n= τέτοια ώστε υπάρχει το lim n f n = φ. Αποδειξε ότι Αποδειξε οτι lim N f + f f N = φ, N N lim f f...f N = φ. N a R : lim + a ) n = e a. n n Μαθ. Ολυµπιάδα). Εστω ακολουθίες f n ) n=, g n) n= τέτοιες ώστε f Αποδειξε ότι lim n n g n =. n N : f n + g n = + ) n Μαθ. Ολυµπιάδα). ινεται ακολουθια f n ) n= µε ϑετικούς όρους, η οποία ικανοποιεί n N : f n ) f n f n+. Αποδειξε ότι n N : f n <. n Μαθ. Ολυµπιάδα). Υπολογισε το lim n sin ) π n + n Μαθ. Ολυµπιάδα). Εστω ακολουθια f n ) n= τετοια ωστε Αποδειξε οτι υπαρχει το lim n f n n. m, n : f m+n f m + f n Μαθ. Ολυµπιάδα). Εστω ακολουθια f n ) n= µε f n = ϱιζες). Υπολογισε το lim n f n µε n

213 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Μαθ. Ολυµπιάδα). Υπαρχει το lim n n; 0.4. Μαθ. Ολυµπιάδα). Εστω ακολουθια f n ) n= µε ϑετικους ορους και τετοια ωστε lim n f n+ ρ > 0; Υπολογισε το lim n n f n Μαθ. Ολυµπιάδα). Εστω p. Υπολογισε το lim p + p +...+n p n για διαφορες τιµες n p+ του p. f n =

214 Κεφάλαιο Αναδροµικες Ακολουθιες Μια αναδροµικη ακολουθια οριζεται δινοντας εναν πεπερασµενο αριθµο αρχικων ορων και µια σχεση µε την οποια υπολογιζονται αναδροµικα οι υπολοιποι οροι αυτης.. Θεωρια και Παραδειγµατα... Συµβολισµος: Σε αυτο το κεφαλαιο ϑα δουλεψουµε µε ακολουθιες της µορφης f 0, f, f,...) = f n ) n=0 δηλ. αρχιζουµε την αριθµηση των ορων της ακολουθιας απο τον µηδενικο ορο. Ολη η ορολογια και τα αποτελεσµατα του Κεφαλαιου 0 µπορουν να προσαρµοστουν στον νεο συµβολισµο.... Ορισµος: Μια σχεση µεταξυ ορων τυχουσης ακολουθιας f n ) n=0 ) της µορφης n {,, 3,...} : f n = A f n ) λέγεται εξίσωση διαφορών πρωτης ταξης. Γενικοτερα, µια σχεση της µορφης n {K, K +, K +,...} : f n = A f n, f n,..., f n K ) λέγεται εξίσωση διαφορών K ταξης...3. Παραδειγµα: Μια εξισωση διαφορων ειναι η n {0,,,...} : f n+ = f n +. Ποια ειναι η ταξη της ;..4. Ορισµος: Μια f n ) n=0 λέγεται αναδροµική ακολουθία ανν ορίζεται ως εξής : δινονται οι αρχικες συνθηκες f 0 = c, f = c,..., f K = c K και επίσης µία εξισωση διαφορων f n = A f n,..., f n K )...5. Ορισµος: Εστω ακολουθία f n ) n=0 η οποία ικανοποιει την εξισωση διαφορων της µορφης n {K, K +, K +,...} : f n = A f n, f n,..., f n K )..) Τοτε η f n ) n=0 λεγεται λυση της.). 08

215 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Παρατηρηση: Καθε λυση µιας εξισωσης διαφορων ειναι αναδροµικη ακολουθια µε καταλληλες αρχικες συνθηκες γιατι ;)...7. Ασκηση: ωσε ένα παράδειγµα αναδροµικής ακολουθίας. Λύση. Μια αναδροµικη ακολουθια ειναι αυτη που οριζεται ως εξης : Η µοναδικη λυση της.) ειναι η f 0 = 5, n 0 : f n+ = f n +..) f n = n Παρατηρηση: Είναι ϕανερό ότι υπάρχει µια µοναδική ακολουθία η οποία ικανοποιεί δεδοµένες αρχικες συνθηκες και δεδοµένη εξίσωση διαφορών γιατί ;)...9. Ορισµος: Μια εξισωση διαφορων της µορφης n K : f n + a f n a K f n K = 0 λέγεται οµογενης γραµµικη εξισωση διαφορων K ταξης µε σταθερους συντελεστες. Παροµοια, µια εξισωση διαφορων της µορφης n K : f n + a f n a K f n K = F n) λέγεται µη οµογενης γραµµικη εξισωση διαφορων K ταξης µε σταθερους συντελεστες...0. Παραδειγµα: Μια οµογενης εξισωση διαφορων ης ταξης ειναι η n : f n f n + 6 f n = 0. Τρεις λυσεις αυτης ειναι οι p n ) n=, q n) n=, g n) n= οι οποιες εχουν τους εξης γενικους ορους n : p n = n, q n = ) ) n, 3 g n = c ) n + c n 3) οι c, c ειναι αυθαιρετες σταθερες.... Παρατηρηση: Μια εξισωση διαφορων της µορφης n {K, K +, K +,...} : f n = A f n, f n,..., f n K ).3) ϑα εχει γενικα περισσοτερες της µιας λυσης. Αλλα µια εξισωση διαφορων µε αρχικες συνθηκες της µορφης f 0 = c, f = c,..., f K = c K,.4) n {K, K +, K +,...} : f n = A f n, f n,..., f n K ).5) ϑα εχει ακριβως µια λυση γιατι ;).

216 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 0... Παραδειγµα: Μια µη οµογενης εξισωση διαφορων ης ταξης µε αρχικες συνθηκες ειναι η f 0 =, f =, n : f n f n + 6 f n =. Η µοναδικη λυση αυτης ελεγξε το!) ειναι η n : f n = 9 n 4 3) ) n Παρατηρηση: Τα εποµενα ϑεωρηµατα δινουν την µεθοδολογια υπολογισµου αναδρο- µικων ακολουθιων που οριζονται απο εξισωσεις διαφορων καποιων ειδικων τυπων...4. Θεωρηµα: Εστω εξισωση διαφορων της µορφης n : f n + a f n = b..6) Τοτε οι λυσεις της.6) εχουν την µορφη f n = c a ) n + b + a ) + a ) a ) n ).7) = c a ) n + b a ) n Η c ειναι αυθαιρετη σταθερα. Αποδειξη. Ξαναγραφουµε την.6) στην µορφη Ας υποθεσουµε οτι f 0 = c. Απο την.9) παιρνουµε f 0 = c f = ca + b + a..8) f n = a f n + b..9) f = a ca + b) + b = ca ba + b = ca + b a ) ) ) f 3 = a ca ba + b + b = ca 3 + b a + a... τα οποια συµφωνουν µε την.7). Για να αποδειξουµε την.7) δουλευουµε επαγωγικα. Οντως αυτη ισχυει για n = εστω οτι ισχυει για n {,, 3,..., k}. Τοτε f k+ = a f k + b )) = a c a ) k + b a + a... + ) k a k + b ) = c a ) k+ a b a + a... + ) k a k + b ) = a ) k+ c + b a + a... + ) k a k και εχουµε αποδειξει την.7) απο την οποια προκυπτει αµεσα και η.8).

217 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ..5. Ασκηση: Βρες τον n-στο όρο της ακολουθίας µε f 0 = 6 και f n+ f 3 n = 0. Λύση. Απο την.7) εχουµε τον γενικο τυπο της λυσης ) n n : f n = c Για να ισχυει ο τυπος και για n = 0 πρεπει να εχουµε Οποτε ο n-στος ορος της ακολουθιας ειναι ) 0 6 = f 0 = c c = 6. 3 ) n n 0 : f n = Ασκηση: Βρες τον n-στο όρο της ακολουθίας µε f 0 = 6 και f n+ f 3 n =. Λύση. Απο την.7) εχουµε τον γενικο τυπο της λυσης ) n ) ) ) n ) n : f n = c ) n ) n 3 ) n ) n ) n : f n = c + = c Για να ισχυει ο τυπος και για n = 0 πρεπει να εχουµε ) 0 ) 0 ) 6 = f 0 = c = c. 3 3 Οποτε ο n-στος ορος της ακολουθιας ειναι ) n ) n ) ) n n 0 : f n = = Θεωρηµα: Εστω εξισωση διαφορων της µορφης n : f n + a f n + a f n = 0.0) και r, r οι ϱιζες της χαρακτηριστικης εξισωσης x + a x + a = 0..) Εαν r r, ολες οι λυσεις της.0) εχουν την γενικη µορφη f n = c r n + c r n ενω αν r = r, ολες οι λυσεις της.0) εχουν την γενικη µορφη f n = c r n + c nr n.

218 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Οι c, c ειναι αυθαιρετες σταθερες. Αποδειξη. Καταρχην ϑα αποδειξουµε οτι καθε ακολουθια µε f n = r n i µε i {, }) ειναι λυση της.0). Πραγµατι εχουµε ) + a r n + a r n = r n r i + a r i + a = 0 r n i i i αφου η r i ειναι ϱιζα της.). Τωρα ϑα δειξουµε οτι, οταν r = r, και καθε ακολουθια µε f n = nr n ειναι επισης λυση της.0). Πραγµατι εχουµε nr n + a n ) r n + a n ) r n ) = nr n r + a r + a r n a r + a ) = 0. Εδω εκµεταλλευτηκαµε το γεγονος οτι το r = r συνεπαγεται οποτε a 4a = 0, r = r = a a a r + a = a + a = a 4a = 0. Τωρα ϑα δειξουµε το εξησ: αν p n ) n=0 και q n) n=0 ειναι δυο λυσεις της.0), τοτε και η g n) n=0 που δινεται απο την σχεση g n = c p n + c q n µε c, c αυθαιρετες σταθερες) ειναι επισης λυση της.0). Πραγµατι, εχουµε i n : p n + a p n + a p n = 0.) n : q n + a q n + a q n = 0.3) Πολλαπλασιαζοντας την.) µε αυθαιρετη σταθερα c, την.3) µε αυθαιρετη σταθερα c και προσθετοντας κατα µελη, παιρνουµε : n : c p n + a p n + a p n ) + c q n + a q n + a q n ) = 0 n : c p n + c q n ) + a c p n + c q n ) + a c p n + c q n ) = 0 το οποιο δειχνει οτι η g n ) n=0 ειναι λυση της.0)...8. Ασκηση: Βρες την αναδροµικη ακολουθια η οποια ικανοποιει : f 0 = 3,.4) f =,.5) n : f n f n + 3 f n = 0..6) Λυση. Η χαρακτηριστικη εξισωση της.46) ειναι x x + 3 = 0

219 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 3 µε ϱιζες r =, r 3 =. Οποτε η γενικη λυση ειναι n : c n + c ) 3) n..7) Για να ικανοποιειται η.47) και για n {0, } πρεπει να εχουµε 3 = f 0 = c 0 + c ) 3) 0 = c + c, = f = c ) + c ) = c 3 3 c. Λυνοντας το συστηµα c + c = 3 c 3 + c = παιρνουµε τις λυσεις c = 5, c = 9 οποτε η λυση των.44)-.46) ειναι n 0 : f n = 5 ) n 9 3 )n...9. Ασκηση: Βρες την αναδροµικη ακολουθια η οποια ικανοποιει : Λυση. Η χαρακτηριστικη εξισωση της.0) ειναι f 0 =,.8) f =,.9) n : f n + f n + 4 f n = 0..0) x + x + 4 = 0 µε ϱιζες r = r =. Οποτε η γενικη λυση ειναι n : c n + c n ) n..) ) Για να ικανοποιειται η.47) και για n {0, } πρεπει να εχουµε = f 0 = c ) 0 + c 0 0 = c, ) = f = c + c ) ) = c c. Λυνοντας το συστηµα c = c + c = παιρνουµε τις λυσεις c =, c = 4 οποτε η λυση των.8)-.0) ειναι n 0 : f n = ) n 4n ) n.

220 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Ασκηση: Βρες την αναδροµικη ακολουθια η οποια ικανοποιει : Λυση. Η χαρακτηριστικη εξισωση της.50) ειναι f 0 =,.) f =,.3) n : f n + f n = 0..4) x + = 0 µε ϕανταστικες ϱιζες r = i, r = i. Οποτε η γενικη λυση ειναι n : c i n + c i) n..5) Για να ικανοποιειται η.5) και για n {0, } πρεπει να εχουµε Λυνοντας το συστηµα = f 0 = c i 0 + c i) 0 = c + c, = f = c i + c i) = c i c i. c + c = ic ic = παιρνουµε τις λυσεις c = i, c = + i οποτε η λυση των.44)-.46) ειναι ) ) n 0 : f n = i i n + + i i) n. Τιθεται το ερωτηµα : πως ειναι δυνατον να εχουµε µιγαδικο ορο f n σε µια ακολουθια που οριστηκε µονο µε τις πραγµατικες εξισωσεις.48)-.50). Η απαντηση ειναι η εξησ: επειδη ) i i n = + ) i i) n, η λυση µπορει να γραφτει ) ) n 0 : f n = i i n + i i n ) ) n 0 : f n = Re i i n R.... Ασκηση: Βρες τον n-στο όρο και το όριο της ακολουθίας Fibonacci, η οποία ορίζεται µε f 0 =, f =, n : f n+ = f n+ + f n. Λύση. Σε αυτή την περίπτωση η χαρακτηριστική εξίσωση είναι x = x +

221 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 5 και έχει ϱίζες x = + 5 +, x = 5. Οπότε ο τύπος του n-στού όρου ϑα έχει την µορφή f n = c + n 5 + c n 5.6) και για να ικανοποιούνται οι αρχικές συνθήκες ϑα πρέπει να έχουµε = c c 5 = c c 5. Η λύση του συστηµατος είναι A = 5, B = 5. Οπότεο τύπος του n-στού όρου ϑα έχει την 5 5 µορφή f n = n n 5..7) 0 0 Ο αναδροµικός τύπος.7) δίνει f 0, f, f, f 3, f 4, f 5,...) =,,, 3, 5, 8,...).8) και µπορουµε να ελεγξουµε την ορθοτητα αυτων των ορων εκτελωντας τους υπολογισµους f 0 = f = f = f 0 + f = f 3 = f + f = 3 f 4 = f + f 3 = 5 f 5 = f 3 + f 4 = 8... Αυτή είναι η περίφηµη ακολουθία Fibonacci, η οποία έχει πολλές αξιοσηµείωτες ιδιότητες.... Συµβολισµος: Παρακατω ϑα χρησιιµοποιουµε τους συµβολισµους Φ = + 5 = και Ψ = 5 = Ασκηση: Αν f n ) n=0 ειναι η ακολουθια Fibonacci, αποδειξε οτι, για καθε n 0, ισχυει f 0 + f f n = f n+..9) Λύση. Θα αποδειξουµε την.9) επαγωγικα. Για n = 0 εχουµε f 0 = f f 0 + = f f 0 + f = f αρα η.9) ισχυει. Εστω οτι ισχυει για n {0,,..., k}. Τοτε εχουµε f 0 + f f k = f k+ f 0 + f f k + f k = f k + f k+ = f k+ και η αποδειξη ειναι πληρης.

222 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Παρατηρηση: Υπαρχουν τυποι εξισωσεων διαφορων για τις οποιες δεν υπαρχει ή δεν ϑα παραθεσουµε) τυποποιηµενη µεθοδολογια επιλυσης. Για να υπολογισουµε τις λυσεις τετοιων χρησιµοποιουµε διαφορα τεχνασµατα. Αξιζει να σηµειωθει οτι ακοµη και αν δεν µπορουµε να επιλυσουµε µια εξισωση διαφορων, µπορει να ειµαστε σε ϑεση να προσδιορισουµε διαφορες ιδιοτητες των λυσεων αυτης. Η σηµασια αυτων των παρατηρησεων ϑα ξεκαθαριστει απο τα εποµενα παραδειγµατα...5. Ασκηση: Βρες τον n-στο ορο f n της f n ) n=0 που ικανοποιει : f 0 =, f =, f =, n 3 : f n 6f n + f n 6f n 3 = 0. Λύση. Η µεθοδολογια επιλυσης ειναι παροµοια µε αυτη των γραµµικων εξισωσεων δευτερης ταξης. Η χαρακτηριστικη εξισωση ειναι x 3 6x + x 6 = 0 η οποια εχει ϱιζες r =, r = 3, r 3 =. Οποτε η γενικη λυση ϑα ειναι Θετοντας n = 0,, παιρνουµε Λυνοντας το συστηµα f n = c n + c 3 n + c 3 n. = f 0 = c 0 + c 3 n + c 3 n, = f = c + c 3 + c 3, = f = c + c 3 + c 3. c + c + c 3 = c + 3c + c 3 = c + 9c + 4c 3 = η οποια εχει λυση c = 3, c =, c 3 =. Οποτε η λυση ειναι n 0 : f n = 3 + 3n n...6. Ασκηση: Βρες τον n-στο ορο f n της f n ) n=0 που ικανοποιει : f 0 =, f =,.30) n : f n + f n 3f n = n+..3) Λύση. Η εξισωση ειναι µη οµογενης. Παρολα αυτα αρχιζουµε ϐρισκοντας την γενικη λυση της αντιστοιχης οµογενουσ: g n + g n 3g n = n+..3) Η χαρακτηριστικη εξισωση ειναι x + x 3 = 0

223 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 7 η οποια εχει ϱιζες r =, r = 3, οποτε η γενικη λυση ϑα ειναι g n = c + c 3) n. Τωρα υποθετουµε οτι η µη οµογενης εχει καποια λυση h n της µορφης Αν αυτο ισχυει, τοτε εχουµε h n = c 3 n. n : h n + h n 3h n = n+ n : c 3 n + c 3 n 3c 3 n = n+ n : n 4c 3 + 4c 3 3c 3 ) = n+ n : 4c 3 + 4c 3 3c 3 ) = n+ n 5c 3 = 4 c 3 = 4 5. Τωρα, µπορουµε να ελεγξουµε ευκολα, οτι η γενικη λυση της.53) ισουται µε την γενικη λυση της.54). ηλ. ϑετοντας ϕαινεται ευκολα ελεγξε το) οτι g n + h n = c + c 3) n n n : g n + h n ) + g n + h n ) 3 g n + h n ) = n+..33) Θελουµε να ισχυει η.33) και για n {0, }. ηλ. Λυνοντας το συστηµα = g 0 + h 0 = c + c 3) = c + c + 4 5, = g + h = c + c 3) = c 3c c + c = 5 παιρνουµε c = 0 και c = 5, οποτε c 3c = 3 5 n 0 : f n = 5 3)n n ειναι η Ϲητουµενη λυση.

224 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Ασκηση: Βρες τον n-στο ορο f n της f n ) n=0 που ικανοποιει : f 0 =,.34) n : f n+ f n + nf n+ f n = 0..35) Λύση. Η εξισωση ειναι µη γραµµικη. ιαιρουµε την.34) µε f n+ f n και εχουµε Θετουµε g n = f n Οποτε Θετοντας g 0 = f 0 Οποτε και η.36) γινεται f n+ f n + n = 0..36) g n+ g n = n. g g 0 = 0 g g = g n g n = n. = και προσθετοντας την.37) εχουµε + n )n....37) = g n = n ) = n ) n + = n n +. n 0 : f n = n n Ασκηση: Βρες το όριο της ακολουθίας f n ) n=0 η οποια ικανοποιει f 0 = c 0, ), f n + n 0 : f n+ =. φ+ Λύση. Αν υπήρχε το όριο lim n f n = φ, ϑα είχαµε φ = και ϑα έπρεπε να ισχύει φ = φ+. Αυτή η εξίσωση έχει ϱίζες και. Επειδή η ακολουθία µας έχει αυστηρά ϑετικούς όρους, υποψιαζόµαστε ότι το Ϲητούµενο όριο είναι το. Πρέπει τώρα να αποδείξουµε ότι το όριο όντως υπάρχει και ϑα επιτύχουµε αυτό αποδεικνύοντας ότι η ακολουθία είναι ϕραγµενη και µονότονη. Προφανώς για κάθε n N ισχύει f n > 0. Θα δείξουµε τώρα ότι για κάθε n N ισχύει f n+ > f n. Αυτό ισχύει για n =, αφού + c f = > + c > c + c = c = f 0. Στα παραπάνω χρησιµοποιήσαµε ότι b 0, ) b < b). Εστω οτι ισχυει για καθε n {,,..., k}. Τοτε f k+ + f k + f k+ = > = f k+

225 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 9 οπότε για κάθε n N ισχύει f n+ > f n. Άρα η ακολουθία είναι γνησίως αύξουσα. Μένει να ϐρούµε ένα άνω ϕράγµα. Πράγµατι f k < f k + f k + < f k+ = < =. Αυτό σε συνδυασµό µε το ότι f = c < δείχνει ότι για κάθε n N ισχύει f n <. Τελικά λοιπόν η ακολουθία είναι ϕραγµένη και γνησίως αύξουσα, οπότε έχει όριο και, όπως είπαµε προηγουµένως, είναι lim n f n =...9. Ασκηση: Βρες το όριο της ακολουθίας f n ) n=0 η οποια ικανοποιει f 0 =, n 0 : f n+ = f n. Λύση. Πρώτα ϑα δείξουµε επαγωγικά ότι, για κάθε n N, ισχύει f n >. Αυτό ισχύει για n = και έστω ότι ισχύει για καθε n {,,..., k}. Τότε f k > f k < f k > f k+ = f k > =. Τώρα ϑα δείξουµε επαγωγικά ότι, για κάθε n N, ισχύει f n > f n+. Εχουµε f = > 3 = = f, άρα ισχύει για n =. Εστω ότι ισχύει για για καθε n {,,..., k}. Τότε f k+ < f k > f k+ = < = f k+. f k+ f k f k+ f k Αρα, η f n ) n=0 ειναι γνησιως ϕθινουσα και ϕραγµενη γιατι ;): Οποτε η f n ) n=0 n 0 : < f n <. ειναι και συγκλινουσα. Θετω φ = lim n f n. Τοτε ) lim f n+ = lim fn φ = n n φ φ = φ. Λυνοντας την εξισωση φ = φ ϐλεπουµε οτι εχει µοναδικη ϱιζα την φ =. Αρα lim n f n = Ασκηση: Μελετησε την ακολουθια f n ) n=0 η οποια ικανοποιει f 0 = 4, n : f n = f n + 8.

226 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 0 Λύση. Προφανως για καθε n 0 ισχυει f n > 0. Θα δειξουµε επαγωγικα οτι για καθε n 0 Εχουµε + = f n+ < f n..38) f = f = ) = 3 6 < 4 = f 0 οποτε η.60) ισχυει για n = 0. Εστω οτι ισχυει για n {0,,..., k}. Οποτε f k < f k f k + 8 < f k + 8 f k+ < f k. Αρα η f n ) n=0 ειναι γνησιως ϕθινουσα. Αφου ειναι και ϑετικη, συµπεραινουµε οτι για καθε n 0 0 < f n 4..39) Αφου η f n ) n=0 ειναι ϕραγµενη και µονοτονη, η f n) n=0 ειναι συγκλινουσα. Εστω [ φ = lim f n 0, ]..40) n 4 Τοτε f n+ = f n + 8 lim f n+ = lim n n f n + ) φ = 8 φ + 8 φ φ + 8 = 0. Οι ϱιζες της φ φ + 8 = 0 Λογω της.6) συµπεραινουµε οτι φ = + 3 > 4, φ = 3 < 4. lim f n = 3. n. Λυµενα Προβληµατα... Αποδειξε ότι η ακολουθία f n ) n=0 µε f 0 =, n 0 : f n+ = 3 f n είναι γνησίως ϕθίνουσα. Λύση. Προφανώς, για κάθε n N, ισχύει f n+ = 3 f n < f n.

227 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ... Βρες τον n-στο όρο της ακολουθίας f n ) n=0 µε Λύση. Εχουµε Για n = 0 πρεπει να εχουµε f 0 = 5, Ωστε ο n-στος ορος της ακολουθιας ειναι n 0 : f n+ + f n = 0. n : f n = c ) n. 5 = f 0 = c ) 0 c = 5. n 0 : f n = 5 ) n...3. Βρες τον n-στο όρο της ακολουθίας f n ) n=0 µε f 0 = 6, n 0 : f n+ + f n =. Λύση. Απο την.7) εχουµε τον γενικο τυπο της λυσης n : f n = c ) n ) n ) n : f n = c ) n + )n = c ) n + ) n ). Για να ισχυει ο τυπος και για n = 0 πρεπει να εχουµε 6 = f 0 = c ) ) 0) 6 = c. Οποτε ο n-στος ορος της ακολουθιας ειναι n 0 : f n = 5 ) n Βρες τον n-στο όρο της ακολουθίας f n ) n=0 η οποια ικανοποιει : f 0 =,.4) f =,.4) Λύση. Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι n : f n+ 3 f n+ + f n = 0..43) x 3 x + µε ϱίζες x =, x =. Ο n-στος ορος ειναι f n = c n + c ) n

228 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ και για να ικανοποιούνται οι αρχικές συνθήκες ϑα πρέπει να έχουµε οπότε c =, c = 0 και = c + c = c + c n 0 : f n =...5. Βρες τον n-στο όρο της ακολουθίας f n ) n=0 η οποια ικανοποιει : Λυση. Η χαρακτηριστικη εξισωση της.46) ειναι f 0 =,.44) f =,.45) n : f n + f n + f n = 0..46) x + x + = 0 µε διπλη ϱιζα r = r =. Η γενικη λυση ειναι και για n {0, } ϑελουµε οποτε c =, c = και n : c ) n + c n ) n.47) = f 0 = c ) 0 + c 0 ) 0 = c, = f = c ) + c ) = c c n 0 : f n = + n) ) n...6. Βρες τον n-στο όρο της ακολουθίας f n ) n=0 η οποια ικανοποιει : f 0 =,.48) f = 0,.49) n : f n + f n + f n =..50) Λυση. Η χαρακτηριστικη εξισωση της αντιστοιχης οµογενους ειναι g n + g n + g n = 0 x + x + = 0 µε ϱιζες r = + 3i, r = 3i και η γενικη λυση ειναι )n )n + 3i 3i n : g n = c + c..5)

229 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 3 Για την ειδικη λυση της µη οµογενους υποθετουµε h n = c 3 και εχουµε h n + h n + h n = 3c 3 = c 3 = 3 Οποτε η γενικη λυση της µη οµογενους ϑα ειναι και οι αρχικες συνθηκες δινουν + 3i f n = g n + h n = c + 3i c µε λυση c = c =, οποτε 3 n 0 : f n = + 3i 3 ) )n 3i + c..7. Βρες τον n-στο ορο f n της f n ) n=0 που ικανοποιει : Λύση. Η χαρακτηριστικη εξισωση ειναι )n f 0 =, f =, f =, 3i + c )n c + c + 3 = ) + 3 = 0 3i + n 3 : f n 7f n + 6f n f n 3 = 0. x 3 7x + 6x = 0 η οποια εχει ϱιζες r =, r =, r 3 = 3. Οποτε η γενικη λυση ϑα ειναι Θετοντας n = 0,, παιρνουµε Λυνοντας το συστηµα f n = c n + c n n + c 3 3 n. = f 0 = c 0 + c c 3 3 0, = f = c + c + c 3 3, = f = c + c + c 3 3. c + c 3 = c + c + 3c 3 = 4c + 8c + 9c 3 = )n η οποια εχει λυση c =, c = 3, c 3 =. Οποτε η λυση ειναι n 0 : f n = n 3 nn + 3 n.

230 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Βρες τον n-στο ορο f n της f n ) n=0 που ικανοποιει : Λύση. Η χαρακτηριστικη εξισωση ειναι f 0 =, f = 0, f = 0, n 3 : f n f n + 7 f n + f n 3 = 0. x x + 7 x + = 0 η οποια εχει ϱιζες r = r =, r 3 =. Οποτε η γενικη λυση ϑα ειναι 3 f n = c n + c n ) ) n + c 3 n. 3) Θετοντας n = 0,, παιρνουµε το συστηµα c + c 3 = c c 3 c 3 = 0 4 c + c + 9 c 3 = 0 µε λυση c = 8, c =, c 3 = 9. Οποτε η λυση ειναι n 0 : f n = 8 n + n ) n + 9 ) 3) n...9. Βρες τον n-στο ορο f n της f n ) n=0 που ικανοποιει : f 0 =, f =,.5) n : f n 5f n + 6f n = n..53) Λύση. Η αντιστοιχη οµογενης ειναι g n 5g n + 6g n = 0..54) Η χαρακτηριστικη εξισωση ειναι x 5x + 6 = 0 µε ϱιζες r =, r = 3, οποτε η γενικη λυση ϑα ειναι g n = c n + c 3 n. Τωρα υποθετουµε οτι η µη οµογενης εχει καποια λυση h n της µορφης h n = c 3 n + c 4.

231 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 5 Αν αυτο ισχυει, τοτε εχουµε που δινει το συστηµα n : h n 5h n + 6h n = n n : c 3 n + c 4 5 c 3 n ) + c 4 ) + 6 c 3 n ) + c 4 ) = n n : c 3 5c 3 + 6c 3 ) n + c 4 + 5c 3 5c 4 c 3 + 6c 4 ) = n c 3 = 7c 3 + c 4 = 0 µε λυσεις c 3 =, c 4 = 7. Οποτε της µη οµογενους ειναι 4 f n = c n + c 3 n + n Χρησιµοπιωντας και τις αρχικες συνθηκες f 0 = f = τελικα παιρνουµε n 0 : f n = n + 4 3n + n Βρες τον n-στο ορο f n της f n ) n=0 που ικανοποιει : f 0 =, f =,.55) n : f n+ = f 3 n+ fn Λύση. Η εξισωση ειναι µη γραµµικη. Επειδη f 0 > 0, f > 0 ισχυει n 0 : f n > ) Λογαριθµιζουµε την.56) ως προς και ϑετουµε g n = log f n οποτε εχουµε g 0 = 0, g =, n : g n+ 3g n+ + g n = 0. Η χαρακτηριστικη εξισωση ειναι x 3x + = 0 µε ϱιζες r =, r =. Χρησιµοποιωντας και τις αρχικες συνθηκες παιρνουµε n 0 : g n = n n 0 : f n = n.... Μελετησε την ακολουθια f n ) n=0 η οποια ικανοποιει f 0 =, n : f n = + f n.

232 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 6 Λύση. Προφανως για καθε n 0 ισχυει f n > 0. Θα δειξουµε επαγωγικα οτι για καθε n 0 Εχουµε f n+ > f n..57) f = + f 0 = + = > = f 0 οποτε η.57) ισχυει για n = 0. Εστω οτι ισχυει για n {0,,..., k}. Οποτε f k > f k + f k > + f k f k+ > f k. Αρα η f n ) n=0 ειναι γνησιως αυξουσα. Κατοπιν ϑα δειξουµε επαγωγικα οτι για καθε n 0 0 < f n <..58) Αυτο προφανως ισχυει για n = 0. Εστω οτι ισχυει για n {0,,..., k}. Οποτε 0 < f k+ = + f k < + = 3 <. Αρα η f n ) n=0 ειναι ϕραγµενη απο το 0 και το. Αφου ειναι ϕραγµενη και µονοτονη, η f n) n=0 ειναι συγκλινουσα. Εστω φ = lim f n [0, ]..59) n Τοτε f n+ = + f n lim f n+ = lim + fn φ = + φ φ φ = 0. n n Οι ϱιζες της φ φ = 0 ειναι Λογω της.59) συµπεραινουµε οτι φ = 5 + > 0, φ = 5 < 0. lim f n = n Μελετησε την ακολουθια f n ) n=0 η οποια ικανοποιει f 0 = 3, n : f n = f n + 3. f n Λύση. Καταρχην ϑα δειξουµε οτι για καθε n 0 ισχυει f n 3. Προφανως f n > 0 και f n ) 3 0 f n + 3 f n 3 fn = f + n 3 3. f n Κατοπιν δειχνουµε επαγωγικα οτι f n f n < 0. Για n = 0 εχουµε f f 0 = = < 0. 6

233 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 7 Εστω οτι ισχυει και για k {0,,..., k}. Τωρα f k+ f k = f + k 3 f k = 3 f k f k f k f k και απεδειχθη το Ϲητουµενο. Οποτε η f n ) n= ειναι ϕθινουσα και ϕραγµενη, αρα εχει οριο φ = lim n f n, το οποιο ϑα ικανοποιει φ = φ + 3 φ. Οποτε ϑα εχουµε φ = φ + 3 φ = ± 3, αλλα η αρνητικη τιµη απορριπτεται. Οποτε τελικα lim n f n = Μελετησε την ακολουθια f n ) n=0 η οποια ικανοποιει f 0 =, n : f n = + 3f n. Λύση. Προφανως f n > 0. Επισης ϑα δειξουµε οτι επαγωγικα οτι για καθε n 0 ισχυει f n < 6. Πραγµατι ισχυει για n = 0 και εστω οτι ισχυει και για n {0,,..., k}. Τωρα εχουµε f k < 6 + 3f k < 0 f k+ = + 3f k < 0 < 6. Ειναι ευκολο να δειξουµε επαγωγικα οτι f n < f n+. Αυτο ισχυει για n = 0 αφου < 5) και εστω οτι ισχυει για n {0,,..., k}. Τοτε εχουµε f k < f k+ + 3f k < + 3f k+ f k+ = + 3f k < + 3f k+ = f k+. Οποτε η f n ) n= ειναι αυξουσα και ϕραγµενη, αρα εχει οριο φ = lim n f n, το οποιο ϑα ικανοποιει φ = + 3φ. Οποτε ϑα εχουµε φ = + 3φ, µε ϱιζες 3 ± 7 αλλα η αρνητικη ϱιζα απορριπτεται. Οποτε τελικα lim n f n = Μελετησε την ακολουθια f n ) n=0 η οποια ικανοποιει f 0 = 4, n : f n = f n + 8. Λύση. Προφανως για καθε n 0 ισχυει f n > 0. Θα δειξουµε επαγωγικα οτι για καθε n 0 f n+ < f n..60) Εχουµε = 3 6 f = f = 4 ) + 8 = 3 6 < 4 = f 0

234 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 8 οποτε η.60) ισχυει για n = 0. Εστω οτι ισχυει για n {0,,..., k}. Οποτε f k < f k f k + 8 < f k + 8 f k+ < f k. Αρα η f n ) n=0 ειναι γνησιως ϕθινουσα. Αφου ειναι και ϑετικη, συµπεραινουµε οτι για καθε n 0 0 < f n 4..6) Αφου η f n ) n=0 ειναι ϕραγµενη και µονοτονη, η f n) n=0 ειναι συγκλινουσα. Εστω [ φ = lim f n 0, ]..6) n 4 Τοτε f n+ = f n + 8 lim f n+ = lim n n f n + ) φ = 8 φ + 8 φ φ + 8 = 0. Οι ϱιζες της φ φ + 8 = 0 Λογω της.6) συµπεραινουµε οτι..5. Αποδειξε ότι η ακολουθία f n ) n=0 µε φ = + 3 > 4, φ = 3 < 4. lim f n = 3. n f 0 = 6, n 0 : f n+ = 3 + f n είναι γνησίως ϕθίνουσα, ενώ η ακολουθία g n ) n=0 µε g 0 =, n 0 : g n+ = 3 + g n είναι γνησίως αύξουσα. Κατόπιν αποδείξτε ότι οι δύο ακολουθίες είναι συγκλίνουσες σε κοινό όριο. Λύση. Ισχύουν τα εξής.. Προφανώς κάθε όρος της ακολουθίας f n ) n=0 είναι ϑετικός. Θα δείξουµε επαγωγικά ότι, για κάθε n N, ισχύει f n+ < f n. Εχουµε για n = 0 f = = 3 < 6 = f 0. Εστω ότι για καθε ν {0,,..., k} έχουµε f k+ < f k. Τότε 3 + f k+ < 3 + f k 3 + f k+ < 3 + f k f k+ < f k+. Άρα η f n ) n=0 είναι γνησίως ϕθίνουσα.

235 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 9. Προφανώς κάθε όρος της ακολουθίας f n ) n=0 είναι ϑετικός. Θα δείξουµε επαγωγικά ότι, για κάθε n N, ισχύει g n+ > g n. Εχουµε για n = 0 g = 3 + = > = g 0. Εστω ότι για καθε ν {0,,..., k} έχουµε g k+ > g k. Τότε 3 + g k+ > 3 + g k 3 + g k+ > 3 + g k g k+ > g k+. Άρα η g n ) n= είναι γνησίως ϕθίνουσα. 3. Εποµένως έχουµε g < g < g 3 <... < f 3 < f < f. Άρα υπαρχουν τα φ = lim n f n, γ = lim n g n και γ φ. Εχουµε f n+ = 3 + f n lim f n+ = lim 3 + fn lim f n+ = 3 + lim n n n φ = 3 + φ φ = 3 + φ. n f n Η εξίσωση φ = 3 + φ εχει ϱίζες φ = 3 +, φ = 3. Η αρνητική ϱίζα φ απορρίπτεται και τελικά συµπεραίνουµε ότι Με οµοιο τροπο αποδεικνυουµε οτι.3 Αλυτα Προβληµατα.3.. Αποδειξε ότι η ακολουθία f n ) n=0 µε είναι γνησίως ϕθίνουσα. lim f n = 3 + n. lim g n = 3 + n = lim f n. n f 0 = 5, n 0 : f n+ = f n.3.. Να ϐρεθει ο ορος f n της ακολουθιας f n ) n=0 η οποια ικανοποιει :. f 0 = 3, n 0 : f n+ = 8f n. Απ. f n = 3 8 n.. f 0 = 7, n 0 : f n+ = 5f n 6. Απ. f n = 5n f 0 = 3, f =, n 0 : f n+ = 3f n+ f n. Απ. f n = 7 n+. 4. f 0 =, f =, n 0 : f n+ = f n. Απ. f n = ) i i n + + ) i i) n. 5. f 0 =, f =, n 0 : f n+ = f n+ f n. Απ. f n = + i ) i) n + i ) + i) n.

236 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ f 0 = 3, f = 5, n 0 : f n+ = f n+ f n.απ. f n = 3 + n. 7. f 0 = 3, f =, n 0 : f n+ = 3f n+ f n +. Απ. f n = 6 3 n n. 8. f 0 =, f =, n 0 : f n+ = f n. Απ. f n = ) i i n + + ) i i) n f 0 = 3, f = 5, n 0 : f n+ = f n+ f n + n. Απ. f n = + n + n. 0. f 0 =, n 0 : f n+ = 3 3f n Να ϐρεθει ο ορος f n της ακολουθιας f n ) n=0 η οποια ικανοποιει :. n 0 : f n+ = f n++f n. Απ. f 3 n = 4 f 6 0 f ) ) n + f f ).. n 0 : f n+ = f n++f n + n. Απ.f n = 4 f 6 0 f ) n ) + f f ) + f n 0 : f n+ + f n = f n f n+. 4. n 0 : f n+ f n = f n n 0 : f n+ = f n f n+. 6. n 0 : f n+ = f n. 7. n : f n = f n f n+. 8. n 0 : f n+ 5f nf n+ + 6f n = n 0 : f n+ = f n n 8 7 ) n + n + ) n + ) Να ϐρεθει αν υπαρχει) το οριο lim n f n της ακολουθιας f n ) n=0 η οποια ικανοποιει.. f 0 =, n 0 : f n+ = + f n. Απ... f 0 =, n 0 : f n+ = f n. Απ.. 3. f 0 =, n 0 : f n+ = f n f n + f n. Απ.. 4. Με θ 0, 4) : f0 =, n 0 : f 3 n+ = f n + θ. Απ. 4θ 5. Με c, 0) : f 0 = c, n 0 : f n+ = f n + f 6. f 0 = c, n 0 : f n+ = f n + f n f n. Απ.. 7. f 0 =, n 0 : f n+ = 4. Απ.. 3+fn n.. 8. f 0 = c > 0, n 0 : f n+ = + f n. Απ. 3.

237 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 3 9. f 0 =, n 0 : f n+ = fn 4 +6f n 4+fn 3. Απ.. 0. f 0 =, n 0 : f n+ = f n ).Απ. Το οριο δεν υπαρχει Να ϐρεθει αν υπαρχει, για διαφορες τιµες του ξ > ) το οριο lim n f n της ακολουθιας f n ) n=0 η οποια ικανοποιει f 0 = ξ, n 0 : f n+ = f n f n +. Απ. α) Για ξ < : lim n f n =, ϐ) για ξ = : lim n f n =, γ) για ξ < : lim n f n = ινονται a, b τετοιοι ωστε b a, ). Να ϐρεθει αν υπαρχει) το οριο lim b+a n f n της ακολουθιας f n ) n=0 η οποια ικανοποιει Απ.. f 0 =, n 0 : f n+ = a + bf n. b + af n.3.7. Εστω ακολουθία h n a)) n=0 η οποία ορίζεται µε h 0 a) = a, n 0 : h n+ a) = 3 + h n a). Μελετείστε την σύγκλιση της h n a)) n=0 σε σχέση µε τις τιµές του a..4 Προχωρηµενα Αλυτα Προβληµατα.4.. Βρες τον ορο f n της ακολουθιας f n ) n=0 η οποια ικανοποιει.. f 0 =, n : f n+ = n + n + ) f n.. n 0 : f n + f n+ = f n f n+. 3. n 0 : f n f n+ = f n f 0 =, n 0 : f 3 = n+ 3f n. 5. f 0 = a > 0, n 0 : f n+ = f n. 6. f 0 = a 0, ), n 0 : f n+ = f ) 7. f 0 = a > 0, n 0 : f n+ = f n + bfn. n. 8. f 0 = 0, n : f n+ = + f n..4.. Υπολογισε αν υπαρχει) το lim n f n της ακολουθιας f n ) n=0 η οποια ικανοποιει.. n 0 : f n+ = a f n µε a > 0).. f 0 = a > 0, n 0 : f n+ = n+ + f n+ n µε a > 0).

238 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 3 3. n : f n+ = f n+f n. 4. f 0 =, n : f n+ = n ) n+)f n f 0 =, n : f n+ = n ) n+)f n f 0 =, n : f n+ = f n f n + f n. 7. f 0 =, n 0 : f n+ = f n + +f n +3f n. Απ.. 8. f 0 = c 0, ), n 0 : f n+ = +f n 3+4f n.απ. /. 9. f 0 = a, f = b, n : f n+ = f n+f n. 0. f 0 = a > 0, f = b > 0, n : f n+ = f n f n.. f 0 = a > 0, f = b > 0, n : f n+ = fn +. f n. f 0 = c, f = c, n : f n+ + a f n+ + a 0 f n = b Η ακολουθια f n ) n=0 ικανοποιει f ειξε οτι lim n n = n! f e ) f e 5). n : f n+ = n + ) f n nf n Οι ακολουθιες f n ) n=0, g n) n=0, h n) n=0 ικανοποιουν f 0 = a > 0, g 0 = b > 0, h 0 = c > 0, f n+ = f n + g n + h n, 3 g n+ = 3 f n g n h n, h n+ = 3. f n + g n + h n ειξε οτι lim n f n = lim n g n = lim n h n Ορίζουµε µια ακολουθία f n ) n=0 ως εξής : f 0 = c > 0, n 0 : f n+ = af n + b. είξε ότι υπάρχει το όριο lim n f n και ισούται µε την ϑετική ϱίζα της εξίσωσης x ax b = Ορίζουµε µια ακολουθία f n ) n=0 ως εξής : f 0 = c > 0, n 0 : f n+ = afn + b, όπου a 0, ). είξε ότι lim n f n = b a.

239 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Ορίζουµε µια ακολουθία κλασµάτων f n ) n=0 ως εξής : f 0 = και f n+ = + f n. ηλαδή f 0 = f = + f = f n+ = + + f n... είξτε ότι υπάρχει το όριο lim n f n, υπολογισε την τιµή του και σχολιάστε την σχέση αυτού µε την ακολουθία Fibonacci Εστω f n ) n=0 η ακολουθία Fibonacci. Αποδειξε ότι. f n+ + f n = 3f n.. f m+ f n + f m f n = f m+n. 3. f n = f n + f n. 4. f 0 + f f n = f n+. 5. Φ n = f n + Φf n. 6. f n+k = f k f n+ + f k f n. 7. f n ) f n+ f n = ) n. 8. f n ) f n+k f n k = ) n k Εστω f n ) n= η ακολουθία Fibonacci. Αποδειξε ότι x x x = f 0x + f x + f x Μαθ. Ολυµπιάδα). Εστω ακολουθία f n ) n=0 τέτοια ώστε f 0 =, n 0 : f n+ = Αποδειξε ότι lim n f 0 + f f n =.. f 0 + f f n.4. Μαθ. Ολυµπιάδα). ινεται ακολουθια f n ) n=0 τέτοια ώστε Αποδειξε ότι, για κάθε n 3, x n < n. n 0 : f n+ = + f n f n).

240 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Μαθ. Ολυµπιάδα). Εστω ακολουθία f n ) n=0 τέτοια ώστε f 0 = 3, f = 4, Υπολογισε τον ορο f n. n : n + ) n + ) f n = 4 n + ) n + 3) f n 4 n + ) n + 3)..4.3 Μαθ. Ολυµπιάδα). Εστω ακολουθία f n ) n=0 τέτοια ώστε f 0 = 0, n : f n+ = af n + bf n. ειξε οτι η ποσοτητα f n f n+ f n δεν εξαρταται απο το a..4.4 Μαθ. Ολυµπιάδα). Εστω ακολουθία f n ) n=0 τέτοια ώστε Υπολογισε τον ορο f n. f 0 =, n 0 : f n+ = + 4f n + + 4f n Μαθ. Ολυµπιάδα). Εστω ακολουθία f n ) n=0 τέτοια ώστε Αποδειξε ότι υπαρχει το lim n f n n. m, n 0 : f n+m f m + f n..4.6 Μαθ. Ολυµπιάδα). Εστω ϑετικη ακολουθία f n ) n=0 τέτοια ώστε lim n f n+ f n = φ > 0. Αποδειξε ότι lim n n f n = φ.

241 Κεφάλαιο Σειρες Μια σειρα ειναι το αθροισµα των απειρων ορων µιας ακολουθιας. Η σειρα παιζει στην ϑεωρια των ακολουθιων τον ϱολο που παιζει το ολοκληρωµα στην ϑεωρια των συναρτησεων µιας συνεχους µεταβλητης.. Θεωρια και Παραδειγµατα... Ορισµος: Εστω µια ακολουθια f n ) n=. Σχηµατιζουµε µια νεα ακολουθια s n) n= ως εξης : s = f, s = f + f, s 3 = f + f + f 3,..., s N = f f N,... Τα στοιχεια s, s, s 3,..., s N = N n= f n,... λεγονται µερικα αθροισµατα. Το απειρο αθροισµα ή σειρά ειναι το N f n = lim s N = lim f n N N n= Καταχρηστικα, χρησιµοποιουµε τον συµβολισµο n= f n ακοµη και οταν το οριο δεν υπαρχει.... Παραδειγµα: Εστω η ακολουθια f n ) n= µε f n = n. Σε αυτην αντιστοιχει η σειρα n= Με ποιον αριθµο ισουται η παραπανω σειρα ; n= = n + + = Ορισµος: Η σειρα n= f n λεγεται. συγκλινουσα οταν n= f n <, 35

242 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ 36. αποκλινουσα οταν n= f n = ή n= f n = και 3. ταλαντευοµενη σε καθε αλλη περιπτωση. Επισης χρησιµοποιουµε τις εκφρασεις «η σειρα συγκλινει», «η σειρα αποκλινει», «η σειρα ταλαντευεται»...4. Ασκηση: Εξετασε την συγκλιση της Λυση. Αν a εχουµε n= an. N a n = a + a a N = a + a a N ) = a an a a n = lim a an N a n= n= υπο την προυποθεση οτι το οριο υπαρχει. ιακρινουµε τις εξης περιπτωσεις.. Αν a, ), τοτε lim N a an a = a a οποτε και. Αν a =, τοτε n= an = ) =. 3. Αν a, ), τοτε lim N a an a n= an = a. a = οποτε και n= an =. 4. Αν a, ] η n= an ταλαντευεται γιατι ;)...5. Παραδειγµα: Εχουµε = ) n 4 n= = / =. /..6. Συµβολισµος: Ο συµβολισµος αθροισµατος µπορει να επεκταθει µε προφανεις τροπους. Π.χ., αν εχουµε ακολουθια f n ) n=0 µπορουµε να ορισουµε την σειρα f n = lim f 0 + f f N ). N n=0 Γενικοτερα, για καθε συνολο A Z, µπορουµε να ορισουµε την σειρα εαν οι οροι f n ειναι ορισµενοι για καθε n A. n A f n..7. Παραδειγµα: Εστω A = {, 3, 5,...}. Τοτε f n = f + f 3 + f Ασκηση: Υπολογισε το n=0 an οταν a, ). Λυση. Εχουµε a n = n= n A a a a n = a 0 + n=0 a n = + a a = a. n=

243 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ Θεωρηµα: Εστω f n ) n= και g n) n= τετοιες ωστε n= f n = f R και n= g n = g R. Τοτε, για καθε c, c R, εχουµε c f n + c g n ) = c f + c g. n=..0. Παραδειγµα: ινεται οτι n= = και n n= 3 n =. Τοτε ) = 3 + 7) n 3 n =. n=... Ερωτηση: Πως µπορει να επεκταθει το Θεωρηµα..9 αν καποια απο τα c, c, f, g δεν ανηκουν στο R;... Ασκηση: Εξετασε την συγκλιση της n= n + Λυση. Εχουµε n + n = + =...3. Ασκηση: Υπολογισε n= n + n= n). Λυση. Εχουµε n + n) = n= n= n= n= το οποιο ειναι απροσδιοριστο. Παρατηρειστε οτι Αρα lim N n= N n n) = lim N n= n + n= N n n ) = lim n n= n= n. N n= ) n n. n= N n n ) =...4. Θεωρηµα: Εστω f n ) n=0 και g n) n=0 τετοιες ωστε n=0 f n = f R και n=0 g n = g R. Τοτε n f k g n k = fg. n=0 k=0..5. Θεωρηµα: Αν n= f n = f R, τοτε lim n f n = 0. Αποδειξη. Θεωρησε τα µερικα αθροισµατα s N = N n= f n. Εχουµε s N s N = f N. Επισης lim s N = lim s N = f. N N Οποτε lim N f N = lim N s N s N ) = lim N s N lim N s N = f f = 0.

244 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ Ασκηση: ειξε οτι η n n= δεν συγκλινει. n+ n Λυση. Αν συνεκλινε, ϑα ειχαµε lim n = 0. Αλλα ξερουµε οτι lim n+ n n =. n+..7. Θεωρηµα: Εστω µη αρνητικη ακολουθια f n ) n= δηλ. n N : f n 0). Τοτε η n= f n ειτε συγκλινει ειτε αποκλινει. Αποδειξη. Θεωρησε τα µερικα αθροισµατα s N = N n= f n. Προφανως η s N ) N= ειναι αυξουσα γιατι ;). Υπαρχουν δυο ενδεχοµενα.. Αν s N ) N= ειναι αυξουσα και ϕραγµενη, τοτε συγκλινει σε πραγµατικο αριθµο.. Αν s N ) N= ειναι αυξουσα και µη ϕραγµενη, τοτε αποκλινει συγκλινει στο + )...8. Ασκηση: Εξετασε την συγκλιση της n=. n Λυση. Εχουµε n = Οριζουµε n= n N : s n = n m. m= Προφανως η s n ) n= ειναι γνησιως αυξουσα. Επισης εχουµε s 4 = > = 3 + s 8 = > = 3 + s 6 = > = Και γενικοτερα m+ s m+ = m > 3 + m. m= Αρα η υποακολουθια s m+) m= δεν ειναι ϕραγµενη, οποτε και η ακολουθια s n) n= ειναι αυξουσα και µη ϕραγµενη, οποτε n =. n=..9. Θεωρηµα: Εστω ακολουθιες f n ) n= και g n) n= τετοιες ωστε n N : 0 f n g n. Τοτε : g n < f n <, n= f n = n= n= n= g n =.

245 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ Ασκηση: ειξε οτι n= <. n + Λυση. Εχουµε n : n + < ) n... Ασκηση: ειξε οτι = n=. n+ Λυση. Εχουµε n : n + ) n n + < n= n= n + = <. n n= n = =... Κριτηριο Λογου). Θεωρηµα: Εστω µη αρνητικη ακολουθια f n ) n= και a = lim n f n+ Τοτε ισχυουν τα εξης : Αποδειξη. Εστω οτι lim n f n+ Οποτε εχουµε f n < n=n ε ) αφου 0 < a + ε < ). Τοτε f n a < a > f n <, n= f n =. n= n= = a <. Εστω ε = a. Τοτε υπαρχει n ε τετοιο ωστε n n ε : f n+ a f n < ε n n ε : f n+ < a + ε ) f n m : f n+m < a + ) ε m f. nε f n ε n n=0 n ε f n = f n + n= a + ) ε n = f n ε n= n a + ) ε n = A < n=0 n ε f n = f n + A <. n=n ε n= f..3. Παρατηρηση: Προσεξε οτι οταν lim n+ n f n = a =, το κριτηριο του λογου δεν οδηγει σε συµπερασαµα σχετικα µετην συγκλιση της n= f n...4. Ασκηση: Εξετασε την συγκλιση της Λυση. Εχουµε f n = 5n n! και f n+ = 5n+ / n + )! f n 5 n /n! 5 n n= n!. = 5 n + lim f n+ n f n 5 = lim n n + = 0. f n. Αρα 5 n n= n! <.

246 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ Κριτηριο Ριζας). Θεωρηµα: Εστω µη αρνητικη ακολουθια f n ) n= και a = lim n n f n. Τοτε ισχυουν τα εξης : a < a > f n <, n= f n =. n=..6. Παρατηρηση: Και παλι, οταν lim n n f n = a =, το κριτηριο της ϱιζας δεν οδηγει σε συµπερασαµα σχετικα µετην συγκλιση της n= f n...7. Ασκηση: Εξετασε την συγκλιση της Λυση. Εχουµε f n = 5n και Αρα 5 n n= n n <. n n n fn = n 5 n n n = 5 n lim 5 n n=. n n n n fn = lim n 5 n = Κριτηριο Ολοκληρωµατος). Θεωρηµα: Εστω οτι η F x) ειναι ϑετικη και ϕθινουσα στο διαστηµα [N, ) για καποιο N ). Οριζουµε την ακολουθια f n ) n= µε f n = F n). Τοτε N N Fx) < Fx) = f n <,.) n= f n =..) Αποδειξη. Μας είναι δοσµένη η συνάρτηση F x) 0. Οριζουµε δύο ακόµη συναρτήσεις : n= n {,,...}, x [n, n + ) : F x) = F n + ) n {,,...}, x [n, n + ) : F x) = F n) Στο Σχήµα. ϕαίνεται ότι για κάθε x R έχουµε F F x) F x). Σχ..: Το κριτηριο ολοκληρωµατος.

247 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ 4 Οπότε έχουµε και Αλλά, Οπότε έχουµε και 0 F x) = F x) = 0 f f + F x) n+ n= n n+ n= n F x) = F x) F x) = F x) = F x) < 0 f n < 0 n=..9. Ασκηση: Εξετασε την συγκλιση της F x). F n + ) = n= f n. n= F x) = f n = n= F x) = f n <. n= n= n+) lnn+). n= f n f n < 0 Λυση. Εχουµε f n = n+) lnn+) αν ϑεσουµε F x) = x+) lnx+) τοτε f n = F n). Επειδη x + ) ln x + ) = d x + ) du ln x + ) ln x + ) = = ln u = ln ln x + )) u και x + ) ln x + ) = ln ln x + )) x= = ln ln ) ln ln ) = ln ) ln ln ) = συµπεραινουµε οτι n= n+) lnn+) = Θεωρηµα: Η σειρα. k. k > n= n= n k =. n k <. n= n k Αποδειξη. Εχουµε f n = n k, F x) = x k και x = k n= εχει την εξης συµπεριφορα. x k = { x k k για k ln x για k =. Θα εξετασουµε τρεις διαφορετικες περιπτωσεις.

248 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ 4. k >. Τοτε [ ] x = x= k k x k = x= k < αρα για k > εχουµε n= n k <, δηλ. η σειρα συγκλινει.. k =. Τοτε = [ln x]x= x k x=a = ln ln =. Αρα για k = εχουµε 3. k <. Τοτε n= n =, δηλ. η σειρα αποκλινει. [ ] x = x= k k x k = x= k lim M k k) = M αφου k > 0). Αρα για k < εχουµε..3. Ασκηση: Εξετασε την συγκλιση των Λυση. Συµφωνα µε το Θεωρηµα..30: n <, n= n= n k n =, n= =, δηλ. η σειρα αποκλινει. n=, n n= n, n=. n / <. n/..3. Ορισµος: Εστω µη αρνητικη ακολουθια f n ) n=. Η σειρα λεγεται εναλασσουσα. n= ) n f n = f f + f 3 f n=..33. Θεωρηµα: Εστω µη αρνητικη και ϕθινουσα ακολουθια f n ) n= τετοια ωστε lim n f n = 0. Τοτε η εναλασσουσα σειρα ) n f n = f f + f 3 f n= συγκλινει σε πραγµατικο αριθµο) Ασκηση: Εξετασε την συγκλιση της ) n = n n= Λυση. Η ακολουθια f n ) n= µε f n = ειναι µη αρνητικη, ϕθινουσα και lim n n f n = 0. Οποτε, συµφωνα µε το Θεωρηµα..33, ) n = A < n n= Επισης ) n n= > 0 γιατι ;). n

249 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ Ορισµος: Λεµε οτι η σειρα n= f n ειναι απολυτως συγκλινουσα ανν n= f n < Θεωρηµα: Εστω ακολουθια f n ) n=. Τοτε f n < f n = f R. n= Αποδειξη. Οριζουµε δυο συνολα ϕυσικων αριθµων n= A + = {n : f n 0} και A = {n : f n < 0}. Τοτε 0 f n = f n + f n = f n + f n <. n= n A + n A n A + n A Επειδη τα αθροισµατα ) n A + f n και n A f n ειναι µη αρνητικα, συµπεραινουµε οτι f n = a R, f n = a R n A + n A δηλ. τα a, a ειναι πεπερασµενα). Αλλα τοτε f n = f n + f n = a a = f R. n= n A + n A..37. Παρατηρηση: Με αλλα λογια, αν η n= f n ειναι απολυτως συγκλινουσα τοτε ειναι και συγκλινουσα. sinn)..38. Ασκηση: Εξετασε την συγκλιση της n=. n Λυση. Εχουµε 0 sin n) n n = a <. Αφου η sinn) n= n n= συγκλινει απολυτως, τοτε συγκλινει σε πραγµατικο αριθµο) Παρατηρηση: Σε αρκετες περιπτωσες η συγκλιση µιας ακολουθιας αποδεικνυεται χρησιµοποιωντας ενα συνδυασµο των παραπανω ϑεωρηµατων και επιπλεον τεχνασµατων οπως αυτα των εποµενων παραδειγµατων Ασκηση: Εξετασε την συγκλιση της 3n+4 n= )n. n +3n+5 Λυση. Οριζουµε την συναρτηση F x) = F x) και την ακολυθια f n ) n= µε f n = F n) = 3n+4 Τωρα, F x) = 3x + 8x 3 x + 3x + 5) n= n +3n+5. και οι ϱιζες της F x) = 0 ειναι οι 3,. Στο διαστηµα [, ) η F x) ειναι ϕθινουσα, οποτε η 3 f n ) n= ειναι ϕθινουσα ακολουθια. Επιπλεον η ) n f n = ) n 3n + 4 n + 3n + 5 n= ειναι εναλασσουσα, αρα συγκλινει σε πραγµατικο αριθµο. n=

250 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ Ασκηση: Εξετασε την συγκλιση της 3 n n=. n +5 n Λυση. Εχουµε 3 n n + 5 < 3 n n 5 = 3/5 n 3/5 = 3. Αρα η n= 3 n n= n= n +5 n συγκλινει πραγµατικο αριθµο...4. Ασκηση: Εξετασε την συγκλιση της 5 n n= Λυση. Εχουµε 5 n n + 5 > 5 n n 5 = n Αρα η n= 5 n n= n +5 n αποκλινει στο. n=..43. Ασκηση: Υπολογισε το αθροισµα Λυση. Ο n-στος ορος της σειρας ειναι Οποτε n +5 n n= 5 n n n + ) = n n +. 5 n = N N + ) = N N + = N +. ηλ = lim 3 4 N ) N N + ) = lim ) =. N N Ασκηση: Εξετασε ως προς την σύγκλιση την σειρά ) n= n + n. Λύση. Είναι ) ) ) n + n n + + n n + n = n= n= n + + n ) ) n + n = = n= n + + n n= n + + n n= n + = n = n= Άρα η σειρά τείνει στο άπειρο.

251 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ 45. Λυµενα Προβληµατα... Υπολογισε το αθροισµα + ) ) Λυση. Συµφωνα µε την Ασκηση..4 ειναι ) ) = /5 5 5 /5 = Εξετασε ως προς την συγκλιση την σειρα Λυση. Οριζουµε την ακολουθια f n ) n= µε f n = n. Τοτε η Ϲητουµενη σειρα ειναι n+ n= f n. Αφου n lim n f n = lim n = > 0, η σειρα αποκλινει. n+..3. Υπολογισε το αθροισµα ) 3 n= + 5. n nn+) Λύση. Συµφωνα µε την Ασκηση..4 ειναι = n και συµφωνα µε την Ασκηση..43 ειναι Οποτε ) = 3 n n n + ) n= n= n=..4. ειξε οτι n= <. 3 n + Λυση. Εχουµε n : 3 n + < ) 3 n n= n n + ) = + 5 n n= n n + ) = = 8. n= 3 n + < 3 = 3 = n < Εξετασε ως προς την σύγκλιση την σειρά n= n ) n + ). Λύση. Εχουµε n= n ) n + ) = n= 4n ) > n= 3n =...6. Εξετασε ως προς την συγκλιση την σειρα n=. n n Λυση. Χρησιµοποιουµε το κριτηριο του λογου. Ο n-στος ορος της σειρας ειναι f n =. Το οριο n n του λογου f n+ f n ειναι f n+ n lim = lim n f n n n + ) = < εποµενως η σειρα συγκλινει...7. Εξετασε ως προς την συγκλιση την σειρα n n=. n Λυση. Χρησιµοποιουµε το κριτηριο του λογου. Ο n-στος ορος της σειρας ειναι f n = n. Το οριο n του λογου f n+ f n ειναι f n+ lim n f n εποµενως η σειρα συγκλινει. = lim n n + ) / n+ n n n= = lim n + ) n n = <

252 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ Εξετασε ως προς την συγκλιση την σειρα n! n=. 5 n f Λυση. Χρησιµοποιουµε το κριτηριο του λογου. Εχουµε lim n+ n+)!/5 n f n = lim n+ n lim n n+ 5 = 0. Άρα η σειρά συγκλίνει. n!5 n =..9. Εξετασε ως προς την συγκλιση την σειρα n= n!. Λυση. Χρησιµοποιουµε το κριτηριο του λογου. Ο n-στος ορος της σειρας ειναι f n =. Το οριο n! του λογου f n+ ειναι f n lim n f n+ f n εποµενως η σειρα συγκλινει. / 3... n n + )) = lim = lim n / 3... n) n n + = 0 <..0. Εξετασε ως προς την συγκλιση την σειρα ) n. n= n Λυση. Χρησιµοποιουµε το κριτηριο της ϱιζας. Ο n-στος ορος της σειρας ειναι f n = εποµενως η σειρα συγκλινει. lim n n fn = lim n n n n = lim... Εξετασε ως προς την συγκλιση την σειρα n n = 0 < n= ln n). n Λυση. Χρησιµοποιουµε το κριτηριο της ϱιζας. Ο n-στος ορος της σειρας ειναι f n = lim n εποµενως η σειρα συγκλινει. n n fn = lim n ln n) = lim n n ln n = 0 <... Εξετασε ως προς την συγκλιση την σειρα n=. n 3 Λυση. Η σειρα συγκλινει συµφωνα µε το Θεωρηµα Εξετασε ως προς την συγκλιση την σειρα n= n. Λυση. Η σειρα αποκλινει συµφωνα µε το Θεωρηµα Εξετασε ως προς την συγκλιση την σειρα Λυση. Εχουµε n 0 < n 3 + < n n < 3 αρα η σειρα συγκλινει. n= n= n n=. n 3 + n < n= n n. ln n) n...5. Εξετασε ως προς την συγκλιση την σειρα Λυση. Οριζουµε την ακολουθια f n ) n= µε f n =. Τοτε η Ϲητουµενη σειρα ειναι n n n= f n. Εχουµε αρα η σειρα συγκλινει. n N : f n = n n n f n =. n n= n=

253 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ Εξετασε ως προς την συγκλιση την σειρα ) n n = n= Λυση. Ο n-στος ορος ειναι g n = ) n = n )n f n, όπου f n =. Η σειρα ειναι εναλασσουσα, n για καθε n ισχυει f n > f n+ και lim n f n = 0. Αρα η σειρα συγκλινει...7. Εξετασε ως προς την συγκλιση την σειρα ) n+ n = n= Λυση. Ο n-στος ορος ειναι g n = ) n+ = ) n+ f n n, όπου f n =. Η σειρα ειναι εναλασσουσα n και για καθε n ισχυει f n > f n+ και lim n f n = 0. Αρα η σειρα συγκλινει. n+ n..8. Εξετασε ως προς την σύγκλιση την σειρά n=. n Λύση. Εχουµε n + n n + n n + + n = n n n= n= n + + n n + ) n = ) = ) n= n n + + n n= n n + + n < ) = n n + n n < 3/ Άρα η σειρά συγκλίνει. n=..9. Εξετασε ως προς την σύγκλιση την σειρά Λύση. Εχουµε N n= a n a n = = Οπότε n= = n= a n n= a n, όταν a <. N + a n ) + a n = a n a n a n n= N ) + a n ) ) a n + a n a n N ) a n a n n= n= n= N ) ) ) a n = a n a + a a a 3 a N a N = a a N

254 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ 48 και n= a n a n = lim N N n= a n = a lim a n = lim N N ) a a N a = N a = a a. sinπ/n)..0. Εξετασε ως προς την σύγκλιση την σειρά n=. n Λύση. Εχουµε sin x x γιατί ;). Οπότε 0 sin π/n) n = n sin π/n) π n και Αφου η σειρα sinπ/n) n= n 0 sin π/n) n π n <. n= n= ειναι απολυτως συγκλινουσα, ειναι και συγκλινουσα.... Εξετασε ως προς την σύγκλιση την σειρά n= n sin θ, όταν θ [ 0, π/ ]. n Λύση. Εχουµε n sin θ = θ sin θ n = θ f n θ n n όπου f n = sin θ n n= sin x θ. Αλλά, αφού lim x 0 n x n= n= sin =, ϑα έχουµε και lim n f n = lim θ n n λοιπόν lim n f n > 0, ϑα είναι και n= n sin θ = θ n n= f n =.... Εξετασε ως προς την σύγκλιση την σειρά a n n=0 n!. Λύση. Προσέξε ότι το άθροισµα αρχίζει από n = 0. Εχουµε n=0 a n n! = + a + a! +... = ea, όπως είδαµε στο Κεφάλαιο Εξετασε ως προς την σύγκλιση την σειρά a n n! n=0 όταν a > 0. n n Λύση. Χρησιµοποιούµε το κριτήριο του λόγου. Εχουµε [ ] a n+ a n+ n + )! n n [ ) lim = lim n a n n n + ) n+ a n n! = lim n n ] a n n + a = lim n ) n n+ = lim a n ) n + = a e. n n θ =. Αφού n Οπότε, όταν a < e η σειρά συγκλίνει και όταν a > e τείνει στο άπειρο.

255 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ Υπολογισε το n=. n +5n+6 Λυση. Εχουµε n + 5n + 6 = A n + B A B) n + 3A B) =. n + 3 n + 5n + 6 Ευκολα ϐρισκουµε οτι A = B =, οποτε Τοτε n= n + 5n + 6 = n + n + 3. n + 5n + 6 = = Εστω ϑετικη ακολουθια f n ) n=. Οριζουµε την F x) οπως στο Θεωρηµα..8. Επισης οριζουµε s N = N n= f n, s = n= f n και το σφαλµα προσεγγισης n-στης ταξης r N = s s N. Αποδειξε οτι, αν η n= f n ειναι συγκλινουσα, τοτε n N : n+ F x) < r n < n F x). Λυση. Οριζουµε και τις Fx), F x) οπως στο Θεωρηµα..8. Χρησιµοποιωντας αυτες, ϐλεπουµε οτι για καθε n εχουµε m=n+ m+ m n+ F x) < r n = F x) < r n < f n+m < m= n m=n F x). m+ m F x)..6. Εστω s = n=, s n 4 N = N n=. Ποιο ειναι το σφαλµα προσεγγισης r n 4 0 του s απο το s 0 ; Λυση. Απο την προηγουµενη ασκηση εχουµε = 3993 = x < r 4 0 < 0 x = = Εστω s = n=, s n N = N n=. Ποιας ταξης προσεγγιση N πρεπει να παρουµε ωστε n το σφαλµα προσεγγισης r N να ειναι µικροτερο του 0 ; Λυση. Εχουµε r N < x = 4 3N. 3 Θελουµε 0 > 3N N 3 > N > 3 3 Οποτε χρειαζοµαστε προσεγγιση ταξεως τουλαχιστον N min = 4. N =

256 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ Εστω f n ) n=0 η λυση της f 0 = 5, n 0 : f n+ = f n. Υπολογισε το n=0 f n. Λυση. Θα µπορουσαµε να επιλυσουµε την εξισωση διαφορων και να αθροισουµε τα f n. Αλλα αυτο δεν ειναι απαραιτητο. Εχουµε f 0 = 5 f = f 0 f = f Αθροιζοντας τα αριστερα και δεξια µελη παιρνουµε f n = 5 + n=0 f n n=0..9. Εστω f n ) n=0 η λυση της Υπολογισε το n=0 f n. Λυση. Παιρνοντας το οριο εχουµε Οποτε n=0 f n = Εστω f n ) n=0 η λυση της f n n=0 f 0 = 5,... f n = 5 n=0 n 0 : f n+ = f n + 3. f n = 5 lim f n+ = n lim f n + 3 n lim f n = 3 lim f n = 6 0. n n Υπολογισε το n=0 f n. f 0 =, f =, n=0 n 0 : f n+ = 5 6 f n+ 6 f n. f n = 0. n=0

257 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ 5 Λυση. Θα µπορουσαµε να επιλυσουµε την εξισωση διαφορων και να αθροισουµε τα f n. Αλλα αυτο δεν ειναι απαραιτητο. Εχουµε f 0 = f = f = 5 6 f 6 f 0 f 3 = 5 6 f 6 f f 4 = 5 6 f 3 6 f Αθροιζοντας τα αριστερα και δεξια µελη παιρνουµε f n = f n f n 6 6 n=0 n= n=0 f n = + 5 f n f n 6 6 n=0... n=0 f n = 7 6 f n = 7. n=0..3. Υπολογισε την σειρά n+ n= n!. Λύση. Είναι n + = n! Οµως και Τελικα λοιπον n= n= n= n=0 n= n=0 n n! + n!. n= n! = n n! = e n n! = n= n= n= n=0..3. Υπολογισε την σειρά n + n=. n! Λύση. Είναι n + = n! Απο την προηγουµενη ασκηση εχουµε n )! = n n! = e. n=0 n + = e. n! n= n n! + n!. n= n! = e n=

258 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ 5 οποτε και Τελικα λοιπον n! = e n= n n! = n n )! = n n )! + n )! n= n= n= n= = n )! + n )! n= n= n = n! + n n! = e. n=0.3 Αλυτα Προβληµατα n= n=0.3.. Υπολογισε τα παρακατω αθροισµατα n= 3 n= n=0 n= n= ) n. Απ.. ) n. Απ. 3 ) n. Απ nn+). Απ nn+)n+). Απ Υπολογισε τα παρακατω αθροισµατα.. n= 4 e ) n. Απ.. n + = 4e n!. n= n+ n+. Απ.. 3. n= n3/. Απ n n=0 n+)! n=. Απ.. n. Απ. 6 π Υπολογισε τα παρακατω αθροισµατα

259 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ arctan + arctan 8 + arctan Μελετησε τις παρακατω σειρες ως προς την συγκλιση n=. n n=. n n n 3 n=. n n n=. n 5 +n 3 n +n ln n n=. n 5 +n Μελετησε τις παρακατω σειρες ως προς την συγκλιση n= n= n= n. n5 + n n3 + ) n n. n +n+ n n+ n=. n 3 n= n ) n. 6. n= )n n+) lnn+). n + n + n n ). n= +n n= +n +n ) n= n= +n 3 ). n ln n. n Μελετησε τις παρακατω σειρες ως προς την συγκλιση ln ln 3 ln 4 ln

260 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ sin π + sin π 4 + sin π sin π + sin π 4 + sin π sin θ + sin θ sin 3θ tan π 4 + tan π 8 + tan π Εστω s = s 5 ; n=, s n + N = N n= n +. Ποιο ειναι το σφαλµα προσεγγισης r 5 του s απο το.3.8. Εστω s = n=, s n +n+ N = N n=. Ποιας ταξης προσεγγιση N πρεπει να παρουµε n +n+ ωστε το σφαλµα προσεγγισης r N να ειναι µικροτερο του 0 ;.3.9. Εστω s = sin n n=, s n N = N sin n n=. Ποιας ταξης προσεγγιση N πρεπει να παρουµε n ωστε το σφαλµα προσεγγισης r N να ειναι µικροτερο του 0 ;.3.0. Βρες τις τιµες του a για τις οποιες συγκλινει η ln n= a)n..3.. Υπολογισε την σειρά.3.. Υπολογισε την σειρά n +n+ n=. n! n 3 n= n!..4 Προχωρηµενα Αλυτα Προβληµατα.4.. Αποδειξε οτι : αν f n ) n= και g n) n= τετοιες ωστε n= f n = f R και n= g n = g R, τοτε για καθε c, c R εχουµε c f n + c g n ) = c f + c g..4.. Αποδειξε οτι : αν οι f n ) n= και g n) n= ειναι τετοιες ωστε n= n N : 0 f n g n τοτε g n < n= f n = f n <, n= n= n= g n = Αποδειξε το Κριτηριο της Ριζας.

261 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ Αποδειξε οτι : αν η ακολουθια f n ) n= ειναι µη αρνητικη και ϕθινουσα και lim n f n = 0, τοτε η ) n f n = f f + f 3 f συγκλινει. n=.4.5. Αποδειξε οτι : για καθε f n ) n=, g n) n= και καθε m, n N ισχυει : n n a k b k+ b k ) + b k+ a k+ a k ) = a n+ b n+ a m b m. k=m k=m Ποιον ολοκληρωτικο τυπο σου ϑυµιζει αυτο ;.4.6. Υπολογισε το αθροισµα.4.7. Υπολογισε το αθροισµα n+3 n=. n +3n+) n=. n Υπολογισε το αθροισµα.4.9. Υπολογισε το αθροισµα Απ. π n n= +x n για καθε x, ) Υπολογισε το απειρογινοµενο lim 3 n 8... n ). 4 9 n.4.. Υπολογισε το οριο lim p + p +...+n p n για διαφορες τιµες του p. n p n ) n= n). n+.4.. Εξετασε την συγκλιση της.4.3. Εξετασε την συγκλιση της n= n sin ). n.4.4. Εξετασε την συγκλιση της n= sin ) π n Εξετασε την συγκλιση της n= sin n θ) για διαφορες τιµες του θ ινεται ακολουθια f n ) n= µε όρους µη αρνητικούς. Αποδειξε ότι : n + f n < n f n <. n=.4.7. ινεται ακολουθια f n ) n= µε όρους µη αρνητικούς. Αποδειξε ότι : f n < fn f n+ <. n= n=.4.8. Βρες ακολουθιες f n ) n= και g n) n= τετοιες ωστε f f f , g g g , και f n =, g n =, min f n, g n ) < n= n= n= n= ή αποδειξε οτι δεν µπορουν να υπαρχουν τετοιες ακολουθιες.

262 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ Αν η f n ) n= ικανοποιει : α) lim n f n = 0 και ϐ) η ακολουθια των µερικων αθροισµατων s n ) n= ειναι ϕραγµενη, τοτε η n= f n συγκλινει. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα Αν η ϑετικη f n ) n= ικανοποιει : lim n nf n = 0, τοτε η n= f n συγκλινει. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα..4.. Αν η ϑετικη f n ) n= ικανοποιει : n= f n <, τοτε lim n nf n = 0. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα..4.. Αν η f n ) n= ειναι ϕθινουσα και η n= f n συγκλινει, τοτε lim n nf n = 0. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα Αν οι ϑετικες f n ) n=, g n) n= ικανοποιουν : n= f n < και n= g n < τοτε n= f ng n <. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα Γενικευσε το παραπανω για ακολουθιες οι οποιες εχουν και αρνητικους ορους Αν οι ϑετικες f n ) n=, g n) n= ικανοποιουν : n= f n = και n= g n = τοτε n= f ng n =. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα Εστω οι f n ) n=, g n) n= τετοιες ωστε n : g n = f n + f n. Αν η n= g n συγκλινει, το ιδιο ϑα ισχυει για την n= f n. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα ινεται ακολουθια f n ) n= µε όρους µη αρνητικούς. Αν n= f n < τότε και. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα. n= fn < n.4.8. Αν η σειρα n= f n ειναι εναλασσουσα και lim n f n = 0, τοτε η n= f n συγκλινει. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα Αν η σειρα n= f n ειναι εναλασσουσα και η f n ) n= ειναι ϕθινουσα, τοτε η συγκλινει. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα Αν η σειρα n= f g n συγκλινει και lim n n f n λαθος ; ωσε παραδειγµα. n= f n =, τοτε η n= g n συγκλινει. Σωστο ή.4.3. ίνεται γνησίως ϕθίνουσα ακολουθία f n ) n= µε όρους µη αρνητικούς. Αποδειξε ότι : αν n= f n < τότε και lim n nf n = Για ποιές τιµές του θ συγκλίνει η σειρά n= sin nθ); Αποδειξε οτι sin x x = + x ) x ) + x ) x ).... π π π π Βρες µια n= f n της οποιας η συγκλιση µπορει να αποδεχιθει µε το κριτηριο ϱιζας αλλα οχι µε το κριτηριο λογου.

263 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ Εστω ακολουθίες f n ) n=, g n) n= µε ϑετικους ορους και τετοιες ώστε Αποδειξε οτι Ποτε ισχυει η ισοτητα ; f + f +... <, g + g +... <. f g + f g +... ) ) f + f +... g + g Εστω p, q [, ] τετοια ωστε + =. Εστω επισης ακολουθίες f p q n) n=, g n) n= µε ϑετικους ορους και τετοιες ώστε Αποδειξε οτι Ποτε ισχυει η ισοτητα ; + f p +... <, gq + gq +... <. f p f g + f g +... f p + f p + )... /p g q + gq + )... /q Εστω p [, ]. Εστω επισης ακολουθίες f n ) n=, g n) n= µε ϑετικους ορους και τετοιες ώστε f p + f p +... <, gp + gp +... <. Αποδειξε οτι Ποτε ισχυει η ισοτητα ; f + g ) p + f + g ) p +... f p + f p + )... /p + g p + gp + )... /p ινεται µη αρνητικη ακολουθια f n ) n= και οριζουµε την g n) n= µε g n = ) n f n. Αποδειξε οτι : αν η n= f n συγκλινει και η n= g n δεν συγκλινει, τοτε µπορουµε να αναδιαταξουµε τους ορους της g n ) n= ετσι ωστε το αθροισµα των να ισουται µε οποιοδηποτε αριθµο c R Ας ϑεωρησουµε καθε ακολουθια f = f, f,...) ως ενα διανυσµα µε µετρο / f = f n. Αποδειξε οτι το συνολο των ακολουθιων n= F = {f : f < } ειναι ενας διανυσµατικος χωρος. Τι διανυσµατικες ιδιοτητες µπορεις να αποδειξεις για τον F και τα στοιχεια του ; Επαναλαβε το προηγουµενο οταν το µετρο οριζεται ως /p f p = f p n για τυχον p 0, ]. n=

264 Κεφάλαιο 3 υναµοσειρες Μια δυναµοσειρα ειναι ενα πολυωνυµο απειρης ταξης. Καθε συναρτηση f x) που εχει ϕραγµενες παραγωγους ολων των ταξεων µπορει να γραφτει σαν δυναµοσειρα σειρα Taylor και σειρα McLaurin). Επιπλεον, αν κρατησουµε τους ορους µιας τετοιας σειρας µεχρι την N-στη δυνα- µη, τοτε παιρνουµε µια προσεγγιση της f x) απο ενα πολυωνυµο f N x) ταξεως N). Οι τιµες του πολυωνυµου µπορουν να υπολογιστουν χρησιµοποιωντας µονο «απλες» αριθµητικες πραξεις προσθεση και πολλαπλασιασµο) ετσι µπορουµε να προσεγγισουµε την τιµη µιας υπερβατικης συναρτηση π.χ. του e x ) µονο µε προσθεσεις και πολλαπλασιασµους. 3. Θεωρια και Παραδειγµατα 3... Ορισµος: υναµοσειρα ειναι µια συναρτηση της µορφης f n x x 0 ) n 3.) n=0 όπου η f n ) n=0 είναι µια αριθµητική ακολουθία Παραδειγµα: υο δυναµοσειρες ειναι οι n! x n = + x + x + x n=0 n=0 n + x )n = + x ) + 3 x ) Παρατηρηση: Ο Ορισµος 3.. ειναι «ϕορµαλιστικος». ηλ. γραφουµε την σειρα 3.) χωρις να εξετασουµε αν αυτη συγκλινει ή οχι. Εστω οτι υπαρχει ενα συνολο A τιµων του x το συνολο συγκλισης) για τις οποιες η 3.) συγκλινει σε πραγµατικο αριθµο. Αυτος γενικα ϑα εξαρταται απο το x. Ετσι οριζεται µια συναρτηση f : A R: x A : f x) = f n x n. n=0 Γεννιεται τωρα το ερωτηµα : για µια συγκεκριµενη f n ) n=0 ποιο ειναι το συνολο συγκλισης A; 58

265 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ Θεωρηµα: Καθε δυναµοσειρα n=0 f n x x 0 ) n εχει µια ακτινα συγκλισης R > 0 τετοια ωστε x x 0 < R η δυναµοσειρα συγκλινει απολυτως, x x 0 > R η δυναµοσειρα δεν συγκλινει Παρατηρηση: Παρατηρειστε οτι το Θεωρηµα 3..4 δεν λεει τι συµβαινει οταν x x 0 = R. Αυτο ϑα πρεπει να το εξακριβωνουµε κατα περιπτωση Παραδειγµα: Εστω Εχουµε δει στο Κεφαλαιο οτι και x n = + x + x n=0 x, ) : x n = x n=0 x, ] [, ) : η + x + x +... = x n δεν συγκλινει. Αρα οταν f n ) n=0 =,,,...) η n=0 f nx n εχει ακτινα συγκλισης R = και διαστηµα συγκλισης το, ). Μπορουµε να γραψουµε οπου f x) = x Παραδειγµα: Εστω n=0 x, ) : f x) = n=0 x n. n=0 x n+ n + ) = x + x + x Για να ϐρουµε την ακτινα συγκλισης της σειρας χρησιµοποιουµε το Κριτηριο του Λογου. Εχουµε xn+ n+) lim n + ) n = lim x = x. xn+ n n + ) n+) Βλεπουµε οτι η x n+ x < η n + ) συγκλινει, x > η n=0 n=0 x n+ n + ) αποκλινει.

266 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ 60 Αρα η ακτινα συγκλισης ειναι R =. Ποιο ειναι το διαστηµα συγκλισης ; Σιγουρα περιεχει το, ). Επισης, οταν x = η σειρα γινεται n + ) = n=0 που ξερουµε οτι συγκλινει. Παροµοια, οταν x = η σειρα γινεται ) n+ n + ) = + ) 3... n=0 που ξερουµε οτι συγκλινει. Αρα τελικα το διαστηµα συγκλισης ειναι [, ].Μπορουµε να γραψουµε x n+ x [, ] : g x) = n + ) Θεωρηµα : Αν η δυναµοσειρα f x) = n=0 f n x x 0 ) n εχει ακτινα συγκλισης R τοτε, για καθε x x 0 R, x 0 + R), ισχυουν τα εξης :. η f x) ειναι συνεχης,. df = n=0 f n n x x 0 ) n, 3. f x) = n=0 f n x x 0) n+ n+, b 4. f x) = n=0 f n b x x 0) n. a a n= Παρατηρηση: Τα µερη, 3 και 4 του Θεωρηµατος 3..8 λενε οτι στο εσωτερικο του διαστηµατος συγκλισης µπορω να παραγωγισω και να ολοκληρωσω την δυναµοσειρα ορο-προςορο Θεωρηµα : Εστω οτι Τοτε x x 0 R, x 0 + R) : f n x x 0 ) n = n=0 n 0 : f n = g n. g n x x 0 ) n Πορισµα: Μια συναρτηση f x) εχει το πολυ µια αναπαρασταση ως δυναµοσειρα στο διαστηµα R, R). n=0

267 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ Παραδειγµα: Ειδαµε οτι Τοτε εχουµε x, ) : x n = x. n=0 ) d x, ) : = x x) = nx n, n=0 x, ) : x = ln x = x n+ n Θεωρηµα Σειρα MacLaurin): Αν µία συνάρτηση f x) µπορεί να αναπτυχθεί σε δυναµοσειρά του x µε ακτινα συγκλισης R > 0, τότε αυτή έχει την µορφή f x) = n=0 f n) 0) x n. 3.) n! n=0 Αποδειξη: Ας υποθεσουµε οτι η f x) µπορει να αναπτυχθει σε δυναµοσειρα. Τοτε η f x) και οι παραγωγοι αυτης ϑα δινονται απο τις σχεσεις f x) = f 0 + f x + f x + f 3 x ) f x) = f + f x + 3f 3 x +... f x) = f + 3 f 3 x +... f x) = 3 f Ολες οι παραπανω ϑα ισχυουν στο R, R). Οποτε µπορουµε να ϑεσουµε x = 0 και να παρουµε f 0) = 0!f 0 f 0) =!f f 0) =!f f 0) = 3!f 3... Λυνοντας τις παραπανω παιρνουµε f 0 = f 0) 0!, f = f 0), f = f 0), f 3 = f 0),...!! 3! και αντικαθιστωντας στην 3.3) παιρνουµε f x) = f 0) 0! + f 0)! x + f 0) x +... =! n=0 f n) 0) x n. n!

268 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ Παραδειγµα: Εστω f x) = e x. Τοτε οποτε f x) = e x f 0) = f x) = e x f 0) = f x) = e x f 0) = κ.τ.λ. f x) = f 0) + f 0)! x + f 0) x + f 0) x ! 3! = +! x +! x + 3! x δηλ. παιρνουµε τον τυπο του Κεφαλαιου 3 για το e x. Για να ισχυει ο τυπος πρεπει να συγκλινει η σειρα αυτο το ελεγχουµε µε το Κριτηριο του Λογου. Εχουµε lim x n+ / n + )! n x n /n! < lim x n n + <. x Αλλα lim n = 0 για καθε x, ). ηλ. η σειρα συγκλινει στο, ) ή µε αλλα n+ λογια η ακτινα συγκλισης ειναι R = Παραδειγµα: Εστω f x) = cos x. Τοτε οποτε f x) = cos x f 0) = f x) = sin x f 0) = 0 f x) = cos x f 0) = f 3) x) = sin x f 0) = 0 f 4) x) = cos x f 0) = κ.τ.λ. f x) = f 0) + f 0)! x + f 0) x + f 0) x ! 3! = + 0! x +! x + 0 3! x 3 + 4! x = x! + x 4 4! +... δηλ. παιρνουµε τον τυπο του Κεφαλαιου 4 για το cos x. Για να ισχυει ο τυπος πρεπει να συγκλινει η σειρα αυτο το ελεγχουµε µε το Κριτηριο του Λογου. Εχουµε lim x n+) / n + )! n x n / n)! < lim x n n + ) n + ) <. Αλλα lim n x n+)n+) = 0 για καθε x, ). ηλ. η σειρα συγκλινει στο, ) ή µε αλλα λογια η ακτινα συγκλισης ειναι R =.

269 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ Παρατηρηση : ινονται παρακατω µερικες αξιοσηµειωτες σειρες MacLaurin τις οποιες καλο ϑα ειναι να αποµνηµονευσεις). x, ) : x = + x + x + x x, ) : e x = + x + x! + x 3 3! +... x, ) : cos x = x! + x 4 4! +... x, ) : sin x = x x 3 3! + x 5 5! +... x, ) : ln + x) = x x + 3 x 3 4 x x, ) : + x = + x 8 x + 6 x x x, ) : + x) p p p ) = + px + x p p ) p ) + x 3 p p ) p ) p 3) + x ! 3! 4! Θεωρηµα Σειρα Taylor): Αν µία συνάρτηση f x) µπορεί να αναπτυχθεί σε δυναµοσειρά του x x 0 µε ακτινα συγκλισης R > 0, τότε αυτή έχει την µορφή f x) = f n) x 0 ) x x 0 ) n. 3.4) n! Αποδειξη: Η αποδειξη ειναι παροµοια µε αυτη του Θεωρηµατος 3... n= Παρατηρηση: Ενα σηµαντικο αλλα οχι το µοναδικο) κινητρο για την χρηση δυναµοσειρων και ιδιαιτερως σειρων Taylor) ειναι η υπολογιστικη ευκολια. Μπορουµε να ϑεωρησουµε µια δυναµοσειρα ως ενα πολυωνυµο απειρης ταξης. Σε αντιθεση µε την εκθετικη, λογαριθµικη και αλλες υπερβατικες συναρτησεις, οι τιµες ενος πολυωνυµου µπορουν να υπολογιστουν µε απλες αριθµητικες πραξεις. Θεωρησε την εκθετικη συναρτηση e x = + x + x! + x ) 3! Για να υπολογισουµε µια συγκεκριµενη τιµη e x ακριβως πρεπει να υπολογισουµε το απειρο αθροισµα της 3.5). Φυσικα αυτο ειναι αδυνατο. Αλλα µπορουµε να προσεγγισουµε την τιµη e x χρησιµοποιωντας ενα πεπερασµενο αριθµο ορων της 3.5). Στον παρακατω πινακα δινουµε τις τιµες των f x) = e x, f 0) x) =, f ) x) = + x, f ) x) = + x + x, για τις τιµες x = 0, 0., 0.5,.0. x f 0) x) = f ) x) = + x f ) x) = + x + x f x) = e x Παρατηρουµε οτι οσο υψηλοτερης ταξης προσεγγισης N παιρνουµε, τοσο µικροτερη γινεται η διαφορα µεταξυ της f x) και της f N) x). Απο την αλλη πλευρα, οσο µεγαλυτερο γινεται το x,

270 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ 64 τοσο µεγαλυτερη γινεται η διαφορα. Παροµοια πραγµατα µπορουµε να δουµε στο Σχηµα, 3. οπου δινονται οι γραφικες παραστασεις των f x), f 0) x), f ) x), f ) x). Σχ.3.: Προσεγγιση της e x µε σειρα MacLaurin Παρατηρηση: Βλεπουµε λοιπον οτι οσο µεγαλυτερης ταξης προσεγγιση χρησιµοποιουµε, τοσο πλησιεστερα ϐρισκεται η αντιστοιχη καµπυλη σε αυτη της f x), αλλα επισης οτι οι καµπυλες αποκλινουν οσο µεγαλωνει η τιµη του x. Τα εποµενα ϑεωρηµατα διατυπωνουν αυτη την παρατηρηση µε ακριβεια Θεωρηµα : Αν η συνάρτηση f x) έχει παραγώγους όλων των τάξεων στο διάστηµα R, R) τότε N f n) 0) x R, R), n 0 : f x) = x n n! + f N+) ξ) N + )! x N+ όπου ξ R, R). Οµοιως, αν η συνάρτηση f x) έχει παραγώγους όλων των τάξεων στο διάστηµα x 0 R, x 0 + R), τότε N f n) x 0 ) x x 0 R, x 0 + R), n 0 : f x) = x x 0 ) n n! + f N+) ξ) N + )! x x 0) N+ n=0 n=0 όπου ξ R, R) Θεωρηµα : Εστω ότι η συνάρτηση f x) έχει παραγώγους όλων των τάξεων σε ένα διάστηµα R, R) και ότι υπάρχει αριθµός M τέτοιος ώστε x R, R), n 0 : f n) x) < M n. Τότε x R, R) : f x) = n=0 f n) 0) x n. n!

271 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ 65 Οµοίως, έστω ότι η f x) έχει παραγώγους όλων των τάξεων σε ένα διάστηµα x 0 R, x 0 + R) και ότι υπάρχει αριθµός M τέτοιος ώστε Τότε x x 0 R, x 0 + R), n 0 : f n) x) < M n. x x 0 R, x 0 + R) : f x) = f n) x x 0 ) x x 0 ) n. n! 3... Παρατηρηση: Προσεξε ότι τα Θεωρήµατα 3..3, 3..7 λένε : εάν η f x) έχει σειρά MacLaurin αντ. Taylor) τότε αυτή δίνεται από την 3.) αντ. 3.4) ). Ενώ το Θεώρηµα 3.. δίνει ικανές συνθήκες για να έχει η f x) σειρά MacLaurin ή Taylor Ασκηση: Μεχρι ποιας ταξης οροι απαιτουνται στην σειρα McLaurin της f x) = για x να ϐρουµε την τιµη f 0.6) µε σφαλµα µικροτερο απο 0.00; Λύση. Το σφαλµα ϑα ειναι µικροτερο κατ απολυτο τιµη απο τον πρωτο ορο που παραλειπεται γιατι ;). ηλ. ϑα πρεπει να εχουµε Πραγµατι, και n=0 ln 0.6) n 0.00 < 0.00 n > = n 4. ln =.5000, 5 n=0 0.6) n = ) n = = < n= Ασκηση : Μεχρι ποιας ταξης οροι απαιτουνται στην σειρα McLaurin της f x) = cos x για να ϐρουµε την τιµη f ) µε σφαλµα µικροτερο απο 0.00; Λύση. Το σφαλµα ϑα ειναι µικροτερο κατ απολυτο τιµη απο τον πρωτο ορο που παραλειπεται. ηλ. ϑα πρεπει να εχουµε < 0.00 n! > 000. n! Επειδη 6! = 70, 7! = 5040, πρεπει να παρουµε ορους µεχρι και 6ης ταξης. Πραγµατι και cos = , = cos + 4 ) = = 0 5 < Παρατηρηση: Τα παρακατω παραδειγµατα δινουν διαφορους τροπους για την αναπτυξη µιας συναρτησης σε δυναµοσειρα.

272 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ Ασκηση: Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = γυρω απο το x +x) 3 0 = 0. Λύση. Εχουµε οποτε f x) = + x) f 0) = 3 f 3 x) = + x) f 0) = 3 4 f x) = + x) f 0) = 5 κ.τ.λ. + x) 3 = 3x + 6x 0x 3 + 5x Ασκηση: Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = e x γυρω απο το x 0 = 0. Λύση. Αντι να χρησιµοποιησουµε το ορισµο της σειρας Taylor, ο οποιος απαιτει πολλες παραγωγισεις, δουλευουµε ως εξης : παιρνουµε την γνωστη) σειρα της e z και οπου z ϑετουµε z = x. ηλ. εχουµε e z = + z +! z + 3! z e x = + x +! x 4 + 3! x Ασκηση: Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = γυρω απο το x x 0 = 0. Λύση. ουλευοντας παροµοια µε την προηγουµενη, εχουµε z = + z + z + z x = + x + x 4 + x Ασκηση: Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = γυρω απο το x +x 0 = 0. Λύση. ουλευοντας παροµοια µε την προηγουµενη, εχουµε z = + z + z + z x) = + x) + x) + x) = x + +x x Ασκηση: Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = γυρω απο το x 4 x 0 = 0. Λύση. ουλευοντας παροµοια µε την προηγουµενη, εχουµε z = + z + z + z x = = + x4 4 x 4 + x 6 + x ) x = + + x x

273 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ Ασκηση: Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = +x γυρω απο το x x 0 = 0. Λύση. ουλευουµε ως εξης. Γνωριζουµε οτι Οποτε x = + x + x x x = + x) ) + x + x +... = ) ) + x + x x + x + x +... = ) ) + x + x x + x + x = + x + x + x Ασκηση: Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = +x γυρω απο το x x 3 0 = 0. Λύση. ουλευουµε ως εξης : + x x = + x ) ) + x 3 + x = + x 3 + x ) ) + x + x 3 + x = ) ) + x 3 + x x + x 5 + x = + x + x + x 3 + x 5 + x 6 + x 8 + x Ασκηση: Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = e x sin x γυρω απο το x 0 = 0. Λύση. Εδω εχουµε Τοτε ϑα ισχυει και e x = + x + x! + x 3 sin x = x x 3 3! + x 5 5! ! +... e x sin x = + x + x! + x ) 3 3! +... x x 3 3! + x ) 5 5! Τωρα ϑελουµε να εκτελεσουµε τον πολλαπλασιασµο δυο πολυωνυµων απειρης ταξης. µπορει να γινει µε την ϐοηθεια του παρακατω πινακα x x x x x x x3 x3 x4 x5 x6 x x 3 x 4 x 4 x 5 Αυτο

274 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ 68 Τωρα, προσθετοντας στα στοιχεια κατα µηκος των αντιδιαγωνιων παιρνουµε οροι 0ης ταξης : 0 οροι ης ταξης : 0 + x = x οροι ης ταξης : 0 + x + 0 = x οροι 3ης ταξης : 0 + x x 3 6 = x 3 3 οροι 4ης ταξης : 0 + x x 4 6 = 0 Οποτε ϐλεπουµε οτι οι οροι µεχρι και 3ης ταξης ειναι e x sin x = x + x + 3 x Ασκηση: Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = sin x γυρω απο το x x+ 0 = 0. Λύση. Παροµοια µε την προηγουµενη εχουµε και Ο αντιστοιχος πινακας ειναι sin x = x x 3 3! + x 5 5! +... x + = x + x x sin x x x + = x 3 3! + x ) 5 5! x + x! + x ) 3 3! x 0 x x 0 x x 0 x x x 0 x 3 0 x x 3 0 x 4 x x 4 0 x 5 0 x Τωρα, προσθετοντας στα στοιχεια κατα µηκος των αντιδιαγωνιων παιρνουµε οροι 0ης ταξης : 0 οροι ης ταξης : x + 0 = x οροι ης ταξης : 0 x + 0 = x οροι 3ης ταξης : x x = 5x 3 6 οροι 4ης ταξης : 0 + x x = 5x 4 6 Οποτε ϐλεπουµε οτι οι οροι µεχρι και 3ης ταξης ειναι sin x x + = x x x x

275 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ Ασκηση: Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = γυρω απο το x x ) 0 = 0. Λύση. Παρατηρούµε ότι ) = x x ). Οπότε ) x ) = = + x + x +... x = + x + 3x x Ασκηση: Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = ln γυρω απο το x x 0 = 0. Λύση. Παρατηρούµε ότι + x x ln x = dt t. Οπότε + x ln x = = x + x 3 0 x = ) + x + x x Ασκηση: Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = x + x + γυρω απο το x 0 = 0. Λύση. ουλευοντας µε τον ορισµο εχουµε f x) = x + x + f 0) = f x) = x + f 0) = f x) = f 0) = f n) x) = 0 f n) 0) = 0 για καθε n 3 οποτε παιρνουµε f x) = + x +! x = + x + x δηλ. την αρχικη συναρτηση. Αυτο δεν ειναι απροσδοκητο : η αρχικη συναρτηση ηταν ηδη πολυωνυµο και αρα η σειρα Taylor δεν ϑα εισαγει πολυωνυµικους ορους ανωτερης ταξης απο αυτους που ηδη υπαρχουν οι δε συντελεστες ϑα ειναι ιδιοι µε τους αρχικους Ασκηση: Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = x + x + γυρω απο το x 0 =. Λύση. ουλευοντας µε τον ορισµο εχουµε f x) = x + x + f ) = 9 f x) = x + f ) = 6 f x) = f ) = f n) x) = 0 f n) 0) = 0 για καθε n 3 )

276 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ 70 οποτε παιρνουµε Αν κανεις τις πραξεις ϑα δεις οτι οντως f x) = x ) +! x ) x ) + x ) = x + x + Η σειρα γυρω απο το x 0 = ειναι και παλι πολυωνυµο ης ταξης οπως η αρχικη συναρτηση) αλλα εκφρασµενη σε δυναµεις του x ), οχι του x! 3. Λυµενα Προβληµατα 3... Βρες την ακτινα συγκλισης της x n n=. n cos x = x! + x 4 4!.... Λύση. Με το κριτηριο λογου lim x n+ / n + ) n x n /n = lim n n n + x = x. Αρα η σειρα συγκλινει για x < και δεν συγκλινει για x >. Η ακτινα συγκλισης ειναι R = Βρες την ακτινα συγκλισης της n=0 n!x n. Λύση. Με το κριτηριο λογου lim n + )!x n+ { 0 οταν x = 0 n n!x n = lim n + ) x = n οταν x 0. Αρα η σειρα συγκλινει για x = 0 και δεν συγκλινει για x 0. Η ακτινα συγκλισης ειναι R = Βρες την ακτινα συγκλισης της n=0 n)! x n. Λύση. Με το κριτηριο λογου n+)!) lim n+)! x n+ n n!) = lim n + ) n n + ) n + ) x = x 4. Αρα η σειρα συγκλινει για x 4 n!) x n n!) < και δεν συγκλινει για x ειξε αριθµητικα και µε γραφικη παρασταση την προσεγγιση της cos x = x! + x 4 4 4!.... Λύση. Θα χρησιµοποιησουµε προσεγγιση 0ης, ης και 4ης ταξης. Οριζουµε f 0) x) = f ) x) = x f 4) x) = x + x 4 4 >. Η ακτινα συγκλισης ειναι R = 4.

277 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ 7 Η αριθµητικη προσεγγιση ϕαινεται στον παρακατω πινακα, για τις τιµες x = 0, 0., 0.5,.0. x f 0) x) = f ) x) = x f 4) x) = x + x f x) = cos x Η γραφικη παρασταση δινεται στο Σχηµα, 3.. Σχ.3.: Προσεγγιση της cos x µε σειρα MacLaurin Μεχρι ποιας ταξης οροι απαιτουνται στην σειρα McLaurin της f x) = για να ϐρουµε +x την τιµη f 0.5) µε σφαλµα µικροτερο απο 0.00; Λύση. Το σφαλµα ϑα ειναι µικροτερο κατ απολυτο τιµη απο τον πρωτο ορο που παραλειπεται γιατι ;). ηλ. ϑα πρεπει να εχουµε ln 0.5) n 0.00 < 0.00 n > = n 0. ln 0.5 Πραγµατι + 0.5) = , 0.5) + 0.5) 4 0.5) ) 0 = και + 0.5) 0.5) + 0.5) 4 0.5) ) 0) = < 0.00.

278 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ Υπολογισε την τιµη του µε ακριβεια δυο δεκαδικων. e Λύση. Εχουµε e = e = + ) + ) + )3 +...! 3! = +! 3! + 4!.... Αρκει να ϐρουµε το µικροτερο n τετοιο ωστε n! Αρα ϑα λαβουµε < 0.0. Εχουµε 4! = 4 = , 5! = 0 = e +! 3! + 4! 5! = / Υπολογισε την τιµη του µε ακριβεια δυο δεκαδικων. 0 +x 3 Λύση. Εχουµε + x = x 3 + x 6 x Οποτε / / + x = ) x 3 + x 6 x ) 4 = 4 + Αρκει να ϐρουµε το µικροτερο n τετοιο ωστε Αρα ϑα λαβουµε / 0 n n ) 7 7 ) 0 < 0.0. Εχουµε 4 = , 7 = x 3 ) ) = Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = γυρω απο το x +x) 0 = 0. Λύση. Εχουµε f x) = + x) f 0) = f x) = + x) f 0) = 3 f 6 x) = + x) f 0) = 6 4 κ.τ.λ.

279 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ 73 οποτε + x) = x + 3x 4x 3 + 5x 4 6x Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = + x γυρω απο το x 0 = 0. Λύση. Εχουµε οποτε f x) = + x) / f 0) = f x) = + x) / f 0) = f x) = 4 + x) 3/ f 0) = 4 f x) = x) 5/ f 0) = 3 8 κ.τ.λ. + x = + x 8 x + 6 x Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = cos x ) γυρω απο το x 0 = 0. Λύση. Παιρνουµε την γνωστη) σειρα της cos z και οπου z ϑετουµε z = x. Εχουµε cos z =! z + 4! z cos x ) = x 4 + x Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = γυρω απο το x +x 0 = 0. Λύση. ουλευοντας παροµοια µε την προηγουµενη, εχουµε + z = z + z z x = x + x 4 x Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = γυρω απο το x 3+x 0 = 0. Λύση. Παροµοια µε την προηγουµενη, εχουµε + z = z + z z x = = x3 3 + x 3 + x 9 x ) x9 x = Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = x +x γυρω απο το x 0 = 0. Λύση. ουλευουµε ως εξης. Γνωριζουµε οτι + x = x + x +....

280 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ 74 Οποτε x + x = x) ) x + x +... = ) ) x + x +... x x + x +... = x + x x 3 + x 4 x Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = e x ln + x) γυρω απο το x 0 = 0. Λύση. Εδω εχουµε e x = + x + x! + x 3 3! +... ln + x) = x x + 3 x 3 4 x x Τοτε ϑα ισχυει και e x ln + x) = + x + x! + x ) 3 3! +... x x + 3 x 3 4 x 4 + ) 5 x Ο πινακας του πολλαπλασιασµου ειναι x x x x x x3 x 4 x 5 6 x x x3 x4 x5 4 x6 x 3 x 3 x 4 x 5 x 6 x x4 x4 x5 x6 x x Τωρα, προσθετοντας στα στοιχεια κατα µηκος των αντιδιαγωνιων παιρνουµε οροι 0ης ταξης : 0 οροι ης ταξης : 0 + x = x οροι ης ταξης : 0 + x x = x οροι 3ης ταξης : 0 + x 3 x 3 + x 3 3 = x 3 3 οροι 4ης ταξης : 0 + x 4 6 x x 4 3 x 4 x 3 Οποτε ϐλεπουµε οτι οι οροι µεχρι και 3ης ταξης ειναι x 4 4 = 0 e x ln + x) = x + x + 3 x

281 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ 75 4x Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = γυρω απο το x +x 3x 0 = 0. Λύση. Εχουµε 4x + x 3x = 4x x) + 3x). Με διασπαση σε απλα κλασµατα παιρνουµε 4x x) + 3x) = x 3x = ) ) + x + x + x x + 9x + 7x Η ακτινα συγκλισης της σειρας ειναι R = 3 = + 4x + 0x + 8x γιατι ;) Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = γυρω απο το x x+) 0 = 0. Λύση. Παρατηρούµε ότι x + ) = x + ) ) =. x + x + Οπότε ) x ) = = x + x x x + = x + 3x Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = arctan x γυρω απο το x 0 = 0. Λύση. Παρατηρούµε ότι arctan x) = + x arctan x = + x Οπότε arctan x = Υπολογισε το αθροισµα = x x 3 + x = ) x + x x Λύση. Παρατηρούµε ότι f x) = x x x x f x) = x x ) ) x ) x 3 ) x 4 = = x x + x = ln + x) )

282 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ 76 Οπότε f x) = ln + x) = + x) ln + x) x Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = x + x + 5 γυρω απο το x 0 = 0. Λύση. ουλευοντας µε τον ορισµο εχουµε οποτε παιρνουµε f x) = x + x + 5 f 0) = 5 f x) = 4x + f 0) = f x) = 4 f 0) = 4 f n) x) = 0 f n) 0) = 0 για καθε n 3. f x) = 5 + x + 4! x = 5 + x + x Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = x + x + 5 γυρω απο το x 0 =. Λύση. ουλευοντας µε τον ορισµο εχουµε οποτε παιρνουµε Αν κανεις τις πραξεις ϑα δεις οτι οντως f x) = x + x + 5 f ) = 8 f x) = 4x + f ) = 5 f x) = 4 f 0) = 4 f n) x) = 0 f n) 0) = 0 για καθε n 3. f x) = x ) + 4! x ) x ) + 4! x ) = x + x + 5. Η σειρα γυρω απο το x 0 = ειναι και παλι πολυωνυµο ης ταξης οπως η αρχικη συναρτηση) αλλα εκφρασµενη σε δυναµεις του x ) Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = cos x γυρω απο το x 0 = π. Λύση. Εχουµε π ) cos x = sin x = sin x π ) ) = x π ) 3 ) 5 x π x π ! 5! 3... Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = x γυρω απο το x 0 =. Λύση. Εχουµε x = + x ) = + x = + x x ) +...) 8 = + x ) 4 3 x ) +....

283 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ Υπολογισε την σειρα Λύση. Εχουµε arctan x = arctan = π n= Υπολογισε την σειρα Λύση. Εχουµε e x = + n= x n ) Οποτε εχουµε και D e x x = x ) n n + = ) n x n n + = x x x 5 5 x ) n n n + = n=0 n= 4 = n n= n+)!. n! ex = x n n! ex = x n= ) ex x n = x n + )! n=0 xe x e x + nx n = x n + )! e e + = 3.3 Αλυτα Προβληµατα n=0 n= n n n + )! = n=0 n=0 x n Βρες το διαστηµα συγκλισης των παρακατω δυναµοσειρων.. n=0 nx n. Απ., ).. n=0 x n / n 3 + ). Απ. [, ]. 3. n=0 x/n)n. Απ., ). 4. n=0 ln n) x n /n. Απ. [0, 0]. 5. n=0 )n+ x n /n. Απ., ]. 6. n=0 x n /nn + ). Απ. [, ]. n! = n=0 n n + )!. x n n + )!.

284 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ n=0 nx)n /n!. Απ. [ e, e). 8. n=0 n!x n. Απ. [0, 0] Βρες το διαστηµα σύγκλισης των παρακατω σειρων.. x + x xn n+ n Απ., ).. sin x + sin x sin x n Απ., ). 3. sin x + sin x sin nx Απ., ). n 4. x + x e x e x nx e nx Απ. [0, ) Χρησιµοποιησε σειρα Taylor για να ϐρεις µε ακριβεια δεκαδικων την τιµη των παρακατω συναρτησεων.. sin x.. sin ) x + π arctan x x Για τις παρακατω f x) και x 0, κανε την γραφικη παρασταση της προσεγγιης n-στης ταξης για n = 0,, ) µε σειρα Taylor.. f x) = sin x, x 0 = 0.. f x) = sin x, x 0 = π f x) = ln + x), x 0 = f x) = ln x), x 0 =. 5. f x) = + x, x 0 = f x) = + x, x 0 = Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) γυρω απο το x 0.. Οταν f x) = cosh x, x 0 = 0. Απ. + x + 4 x Οταν f x) = e x, x 0 = 0. Απ. + x + x x Οταν f x) = arctan x, x 0 = 0. Απ. x 3 x x Οταν f x) = sin x, x 0 = 0. Απ. x 6 x x Οταν f x) = sin x, x 0 = 0. Απ. x 3 x x

285 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ Οταν f x) = x + x + 4, x 0 = 0. Απ. 4 + x + x. 7. Οταν f x) =, x +x 0 = 0. Απ. x + x x 3 + x Οταν f x) =, x +x 3 0 = 0. Απ. x 3 + x Οταν f x) =, x +x) 0 = 0. Απ. x + 3x 4x 3 + 5x 4 6x Οταν f x) =, x 3+x 0 = 0. Απ. x + x x 3 + x Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) γυρω απο το x 0.. Οταν f x) = x + 3) sin x, x 0 = 0. Απ. 3x + x x 3 6 x x Οταν f x) = e x sin x, x 0 = 0. Απ. x + x + 3 x Οταν f x) = sin x, x +x 0 = 0. Απ. x x + 5 x 3 5 x Οταν f x) = e sin x, x 0 = 0. Απ. + x + x 8 x 4 5 x Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) γυρω απο το x 0.. Οταν f x) = e x, x 0 =. Απ. e + e x ) + ) e x ) + ) e 6 x ) 3 + ) e 4 x ) Οταν f x) = x + x + 4, x 0 =. Απ x ) + x ). 3. Οταν f x) =, x +x 0 =. Απ. + x) x) + 8 x) x) Οταν f x) =, x +x 0 =. Απ. x ) + x ) x 56 )3 + x 04 ) Προχωρηµενα Αλυτα Προβληµατα Παρακατω δινουµε τις αποδειξεις των ϑεωρηµατων του κεφαλαιου ως µια σειρα προβληµατων. Τα προβληµατα εξεταζουν την περιπτωση δυναµοσειρας µε κεντρο το x 0 = 0 τα αποτελεσµατα ειναι ευκολο να γενικευθουν για την περιπτωση x 0 0. Για την επιλυση των προβληµατων ειναι σηµαντικη η κατανοηση της εννοιας της οµοιοµορφης συγκλισης µιας δυναµοσειρας Λεµε οτι : επι του συνολου A η σειρα n=0 f nx n συγκλινει οµοιοµορφα στην συναρτηση f x) ανν για καθε ε > 0 υπαρχει N ε ανεξαρτητο του ε και τετοιο ωστε N x A : N N ε f n x n f n x n < ε. n=0 n=0

286 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ 80 Αποδειξε οτι : αν υπαρχει µη αρνητικη M n ) n=0 τετοια ωστε τοτε x A : M n < και n 0, x A : f n x n < M n n=0 f n x n < και η n=0 f n x n συγκλινει οµοιοµορφα. n= Αποδειξε οτι : αν η δυναµοσειρα n=0 f nx n εχει ακτινα συγκλισης R τοτε η συναρτηση ειναι συνεχης στο R, R). f x) = f n x n n= Αποδειξε οτι : αν η δυναµοσειρα f x) = n=0 f nx n εχει ακτινα συγκλισης R τοτε, για καθε x R, R) ισχυει x n+ f x) = f n n Αποδειξε οτι : αν η δυναµοσειρα f x) = n=0 f nx n εχει ακτινα συγκλισης R τοτε, για καθε x R, R) ισχυει x n+ f x) = f n n Αποδειξε οτι : αν η δυναµοσειρα f x) = n=0 f nx n εχει ακτινα συγκλισης R τοτε, για καθε a, b) R, R) ισχυει f x) = nf n x n. n= Αποδειξε οτι : αν οι δυναµοσειρες n=0 f nx n, n=0 g nx n εχουν ακτινα συγκλισης τουλαχιστον R και η h x) ειναι συνεχης στο [ R, R], τοτε οι δυναµοσειρες n=0 n=0 f n + g n ) x n, συγκλινουν οµοιοµορφα στο R, R). n=0 f n g n ) x n, n=0 h x) f n x n n=

287 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ Αποδειξε ότι : αν η συνάρτηση f x) έχει παραγώγους όλων των τάξεων στο διάστηµα R, R) τότε N f n) 0) x R, R), n 0 : f x) = x n n! + f N+) ξ) N + )! x N+ όπου ξ R, R). Υποδειξη: Χρησιµοποιησε επανειληµµενα το Θεωρηµα Μεσης Τιµης Αποδειξε ότι : αν η συνάρτηση f x) έχει παραγώγους όλων των τάξεων στο διάστηµα R, R) και υπάρχει αριθµός M τέτοιος ώστε τότε n=0 x R, R), n 0 : f n) x) < M n, x R, R) : f x) = f n) 0) x n. n! n=0

288 Κεφάλαιο 4 ιαφορικες Εξισωσεις Πρωτης Ταξης Ο Ϲητουµενος αγνωστος σε µια διαφορικη εξισωση ειναι µια συναρτηση. Συγκεκριµενα, διαφορικη εξισωση πρωτης ταξης ειναι µια εξισωση η οποια συνδεει µια συναρτηση x t) µε την παραγωγο και µας δινει πληροφοριες για τον ϱυθµο µεταβολης της x t). Αξιοποιωντας αυτη την πληdt ϱοφορια, µπορουµε να προσδιορισουµε την αγνωστη συναρτηση x t). Οι διαφορικες εξισωσεις ειναι ενα απο τα σηµαντικοτερα εργαλεια για την µελετη ϕυσικων και κοινωνικων ϕαινοµενων. 4. Θεωρια και Παραδειγµατα 4... Ορισµος: Μια διαφορική εξίσωση Ε) είναι µια εξίσωση η οποία εµπλέκει µια άγνωστη συνάρτηση y x) και τις παραγώγους αυτης : F x, y, dy ),..., dn y = 0. n Η ταξη της Ε ειναι η υψηλοτερη ταξη παραγωγου που εµφανιζεται σε αυτη Παραδειγµα: Η ειναι µια Ε πρωτης ταξης. Η dy xy3 + 5x = 0 d x dt + 5x = sin t) dt ειναι µια Ε δευτερης ταξης µε αγνωστη συναρτηση την x t) αντι της y x) Ορισµος: Μία λύση της Ε F t, x, ) dt,..., dn x = 0 4.) dt n ειναι µια συναρτηση x t) η οποια οταν εισαχθει στην 4.) την µετατρεπει σε ταυτοτητα. Ακρι- ϐεστερα, λεµε οτι η x t) ειναι λυση της 4.) στο σύνολο A R ανν µετατρεπει την 4.) σε ταυτοτητα για κάθε t A. 8

289 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Παραδειγµα: Καθε συνάρτηση της µορφής x t) = ce t ειναι λυση της στο συνολο R. ιοτι dt = x t) 4.) x t) = ce t dt = cet οποτε, αντικαθιστωντας την x t) µε ce t στην 4.), αυτη µετατρεπεται στην ταυτοτητα Παραδειγµα: Στο συνολο R, η d x dt ce t = ce t. 5 dt + 6x = 0 εχει λυσεις τις x t) = e t και x t) = e 3t καθως και καθε συναρτηση της µορφής x t) = c e t + c e 3t ελεγξε το) Παραδειγµα: Στο συνολο R {0} η εχει την λυση x t) = ce t. dt = x t Ορισµος: Μια Ε ης ταξης εχει την µορφη F t, x, ). 4.3) dt Αν µπορουµε να λυσουµε την 4.3) ως προς, παιρνουµε την τυπική µορφή της Ε ης τάξης : dt dt = f t, x). 4.4) Η προσθετη συνθηκη x t 0 ) = x 0 για καταλληλα t 0, x 0 ) λεγεται αρχικη συνθηκη Ορισµος: Η γενικη λυση της 4.4) ειναι µια οικογενεια συναρτησεων x t, c) µε παρα- µετρο c) τετοια ωστε για καθε τιµη c = c η x t, c ) ικανοποιει την 4.4) Παραδειγµα: Η Ε dt = x 4.5) t

290 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ 84 εχει γενικη λυση x t, c) = c, δηλ. µια οικογενεια υπερβολων, οπως ϕαινεται στο Σχηµα 4.. t Σχ.4.: Η οικογενεια των λυσεων της dt = x t. Η µοναδικη λυση της 4.5) η οποια ικανοποιει και την αρχικη συνθηκη x ) = ειναι η x t) = γεωµετρικα, ειναι η υπερβολη η οποια διερχεται απο το σηµειο, ). Αυτη η λυση t ισχυει για οποιαδηποτε γειτονια D R, ) µε R < γιατι ;) Ορισµος : Εστω συναρτηση δυο µεταβλητων f x, y). Η µερικη παραγωγος της f ως προς το x συµβολιζεται µε f και οριζεται να ειναι η συναρτηση που προκυπτει αν παραγωγισουµε x την f x, y) ως προς το x ϑεωρωντας το y ως σταθερα. Η µερικη παραγωγος της f ως προς το y συµβολιζεται µε f και οριζεται αναλογα. y 4... Παραδειγµα: Η f x, y) = x y + x + sin y εχει f x = xy + x, f y = x + cos y Θεωρηµα Υπαρξης και Μοναδικοτητας): Εστω Ε µε αρχικη συνθηκη : dt = f t, x), x t 0) = t ) Αν υπαρχει αριθµος R > 0 τετοιος ωστε η f και η f ειναι συνεχεις για καθε στοιχειο t, x) του x συνολου D R t 0, x 0 ) = { } t, x) : t t 0 ) + x x 0 ) < R, τοτε υπαρχει ακριβως µια συναρτηση x t) η οποια ειναι λυση της 4.6) στο D R t 0, x 0 ).

291 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Παρατηρηση: Ενας εναλλακτικός τρόπος ϑεώρησης της 4.6) είναι ο εξής. Γνωρί- Ϲουµε ότι x t + t) x t) dt t και η προσέγγιση είναι τόσο καλύτερη όσο το t γίνεται µικρότερο. Ας επιλέξουµε ένα t και ας ϑέσουµε x 0 = x t 0 ), x = x t 0 + t), x = x t 0 + t),..., x n = x t 0 + n t),... Τότε η 4.6) προσεγγίζεται από µία αναδροµικη ακολουθια: x 0 = δεδοµενο, n 0 : x n+ x n = f n t, x n ) t η οποια αναλυεται σε ενα συστηµα αλγεβρικων εξισωσεων: x 0 = δεδοµενο, x = x 0 + f 0, x 0 ) t, x = x + f t, x ) t, x 3 = x + f t, x ) t,... Μπορουµε να λυσουµε διαδοχικα τις αλγεβρικες εξισωσεις και να προσδιορισουµε την ακολουθια x 0, x, x,...) η οποια αποτελει µια προσεγγιστικη λυση της 4.6) περιµενουµε οτι η προσεγγιση ϑα ειναι τοσο καλυτερη οσο µικροτερο ειναι το t γιατι ;) Ασκηση: Εφαρµοσε την διαδικασια προσεγγιστικης επιλυσης στην Ε Λύση. Για οποιοδηποτε t εχουµε x 0 = x ) =, dt = x, x ) =. 4.7) t x = x + t) = x 0 + f, x 0 ) t = x 0 x 0 t, x = x + t) = x + f + t, x 0 ) t = x x + t t, x 3 = x + 3 t) = x + f + t, x 0 ) t = x + t t,... x Επιλεγοντας t = 0. παιρνουµε t x t)

292 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ 86 Επιλεγοντας t = 0.0 παιρνουµε Η αληθης τιµη x.) ειναι t x t) x.) =. = γιατι ;). Βλεπουµε οτι η προσεγγιστικη λυση µε t = 0. εχει υψηλο σχετικο σφαλµα: = Αλλα η προσεγγιστικη λυση µε t = 0.0 εχει σηµαντικα πιο χαµηλο σχετικο σφαλµα : = Παρατηρηση: Θυµησου οτι η τυπική µορφή µιας Ε ης τάξης είναι = f t, x). Αν dt τωρα f t, x) = f t) f x) παιρνουµε µια ειδικη µορφη Ε η οποια µπορει να λυθει πολυ ευκολα Ορισµος : Χωριζοµενη Ε λεγεται καθε Ε της µορφης dt = f t) f x). 4.8) Επισης χωριζοµενες Ε λεγονται και αυτες οι οποιες εχουν τις ισοδυναµες µε την 4.8) ) µορφες Θεωρηµα : Η χωριζοµενη Ε εχει γενικη λυση την f t) dt =, M t) dt + N x) = ) f x) M t) dt + N x) + = ) M t) dt + N x) = c ή ισοδυναµα την G t) + H x) = c Παραδειγµα: Η γενική λύση της tdt + x = 0 λαµβάνεται µε ολοκλήρωση : tdt + x = 0 tdt + x = c t + x = c.

293 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ 87 Η λυση µπορει να γραφει και στην µορφη x t) = ± c t. Γεωµετρικα ειναι µια οικογενεια κυκλων µε κεντρο το 0, 0) και ακτινα c, οπως ϕαινεται στο Σχηµα Ασκηση: Λυσε την Ε Σχ.4.: Η οικογενεια των λυσεων της tdt + x = 0. dt = ax. 4.) Λύση. Η Ε ειναι χωριζοµενη γιατι ;) και µπορει να λυθει ως εξης : x = at x = at ln x = at + c e ln x = e at+c x t) = ce at Ασκηση: Λυσε την Ε dt = t x. 4.) Λύση. Η Ε ειναι χωριζοµενη γιατι ;) και µπορει να λυθει ως εξης : dt = t x t dt x = 0 t dt x = c t 3 x = c. Η τελευταια εκφραση δινει την λυση της 4.) σε πεπλεγµενη µορφη. Μπορουµε να λυσουµε ως προς x και να γραψουµε την λυση στην µορφη ) t x t) = 3 c.

294 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Ασκηση: Λυσε την Ε Λύση. Παροµοια µε τις προηγουµενες, παιρνουµε + t) xdt + x) t = ) + t dt + x = 0 t x + t x dt + = c t x ln t + t + ln x x = c ln xt + t x = c Ασκηση: Λυσε την Ε µε αρχικη συνθηκη : Λύση. Η Ε µπορει να λυθει ως εξης : Τωρα Οποτε η Ϲητουµενη λυση ειναι Ασκηση: Λυσε την Ε η οποια ικανοποιει x x 0) =, dt = tdt ln x = t + c x t) = ce t = x 0) = ce 0 c =. 0 x t) = e t. dt = xt. 4.4). = 5x. 4.5) x t) dt =. Λύση. Βλεπουµε αµεσως οτι η Ε εχει γενικη λυση την x t) = ce 5t. Για να ικανοποιει και την ολοκληρωτικη συνθηκη, ϑα εχουµε = 0 ce 5t dt = 5 c c = 5. Οποτε η Ϲητουµενη λυση ειναι x t) = 5e 5t Ορισµος: Η συνάρτηση f t, x) λεγεται οµοιογενής n-στης ταξης ανν a R : f ax, at) = a n f x, t).

295 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Παραδειγµα: Η f t, x) = x+t t a R : f ax, at) = Θεωρηµα : Εστω η Ε ης τάξης ειναι οµοιογενής µηδενικης ταξης, διοτι dt ax + at at = a 0 f x, t). = f t, x) 4.6) όπου η f x, t) είναι οµοιογενής µηδενικης ταξης. Τότε µε τις αντικαταστάσεις x = ut, η 4.6) µετασχηµατίζεται σε µία χωριζόµενη Ε Θεωρηµα : Εστω η Ε ης τάξης dt = du dt t + u M t, x) dt + N t, x) = 0 4.7) όπου οι M t, x), N t, x) είναι οµοιογενεις n-στης ταξης. Τότε µε τις αντικαταστάσεις x = ut, η 4.7) µετασχηµατίζεται σε µία χωριζόµενη Ε Ασκηση: Λυσε την Ε Λύση. Θετουµε x = ut, οποτε Ασκηση: Λυσε την Ε Λύση. Θετουµε x = ut, οποτε dt = du dt dt = du dt t + u dt = t + x. 4.8) t t + u. Αντικαθιστωντας στην 4.8) παιρνουµε du dt t + u = t + ut = + u t du dt t = du = dt t dt u = ln t + c x t) = t ln ct. = du dt dt du = t dt = tx t x. 4.9) t + u. Αντικαθιστωντας στην 4.9) παιρνουµε du dt t + u = ut t u t = u u du dt t = u u u = u3 u dt = u dt du = t u 3 t u ) du 3 u ln t + c = ln u ln t + c = u ) ln x x t t = ln cx. x t Αυτη ειναι η λυση σε πλεγµενη µορφη.

296 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Ασκηση: Λυσε την Ε µε αρχικη συνθηκη : Λύση. Θετουµε x = ut, οποτε Επισης dt = du x ) =, dt = t x. 4.0) t t + u. Αντικαθιστωντας στην 4.8) παιρνουµε du = dt u du dt t + u = t ut = u t du dt t = u du u = dt t ln u ) = ln t + c u = c t x t) = t + c t. οποτε τελικα η Ϲητουµενη λυση ειναι Ορισµος : Λεµε οτι η Ε ειναι ακριβής ανν = x ) = + c c = 3 x t) = t + 3. dt u du = t M t, x) dt + N t, x) = 0 4.) M x = N t Θεωρηµα: Η Ε M t, x) dt + N t, x) = 0 4.) ειναι ακριβης ανν υπαρχει συναρτηση F t, x) τετοια ωστε M t, x) = F F και N t, x) = t x. Σε αυτη την περιπτωση η 4.) εχει γενική λύση την F t, x) = c Ασκηση: Λυσε την Ε xdt + t = ) Λύση. Ελεγχουµε οτι η 4.3) ειναι ακριβης. Οντως M M t, x) = x, x =, N N t, x) = t, = t

297 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ 9 = N και οντως M. F Οποτε υπαρχει καποια συναρτηση F t, x) τετοια ωστε M t, x) = x t t N t, x) = F. Τοτε εχουµε x F = M t, x) = x F t, x) = xdt = xt + c x). t Προσεξε οτι η σταθερα ολοκληρωσης ειναι c x), συναρτηση του x γιατι συµβαινει αυτο ;). Τοτε Οποτε t = N t, x) = F x = c xt + c x)) = t + x x 0 = c x c x) = c. F t, x) = xt + c. Αν και δεν ειναι απαραιτητο, σε αυτο το σηµειο µπορουµε να ελεγξουµε οτι F t = t xt + c ) = x = M t, x) F x = x xt + c ) = t = N t, x) αρα οντως η Ε 4.3) ειναι ακριβης και η λυση της ειναι Ασκηση: Λυσε την Ε xt + c = 0. Λύση. Ελεγχουµε οτι η 4.4) ειναι ακριβης. Οντως = N και t x dt + x 3t = ) 3 x 4 M t, x) = t x, M 3 x = 6t x, 4 N t, x) = x 3t N, = 6t x 4 t x 4 και οντως M. F Οποτε υπαρχει καποια συναρτηση F t, x) τετοια ωστε M t, x) = x t t N t, x) = F. Τοτε εχουµε x F t = t t t F t, x) = dt = x 3 x 3 x + c x). 3 Προσεξε οτι η σταθερα ολοκληρωσης ειναι c x), συναρτηση του x γιατι συµβαινει αυτο ;). Τοτε x 3t = N t, x) = F x 4 x = ) t x x + c x) = 3t 3 x + c 4 x x = c x c x) = x = x + c. και

298 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ 9 Οποτε F t, x) = t x + c x 3. Αν και δεν ειναι απαραιτητο, σε αυτο το σηµειο µπορουµε να ελεγξουµε οτι F t = ) t x + c t x 3 = t = M t, x) x 3 F x = ) t x + c x x 3 = x 3t = N t, x) x 4 αρα οντως η Ε 4.4) ειναι ακριβης και η λυση της ειναι t x x 3 + c = Παρατηρηση: Υπαρχουν περιπτωσεις στις οποιες η M t, x) dt + N t, x) = 0 4.5) δεν ειναι ακριβης, αλλα υπαρχει συνάρτηση G t, x) τέτοια ώστε να είναι ακριβής η Ε G t, x) M t, x) dt + G t, x) N t, x) = ) Σε τετοια περιπτωση λεµε οτι η G t, x) ειναι ολοκληρωτικός παράγοντας της 4.5). Παρακατω ϑα δωσουµε παραδειγµατα επιλυσης Ε µε χρηση ολοκληρωτικου παραγοντα Ασκηση: Λυσε την Ε Λύση. Εχουµε M = t + t + x, N = xt και t + t + x ) dt + xt = ) M x = t + t + x ) = x x = N xt) = x t t αρα η 4.7) δεν ειναι ακριβης. Οµως εστω οτι υπαρχει συναρτηση G t) η οποια εξαρταται µονο απο το t!!!) τετοια ωστε η G t) t + t + x ) dt + G t) xt = ) ειναι ακριβης. Τοτε ϑα πρεπει να ειναι Οποτε G t) t + t + x )) = G t) xt) x t G t) x = G t) x + xt G t G t) = t G G t G = t t. G t) = ct

299 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ 93 Αυτος ειναι ο Ϲητουµενος ολοκληρωτικος παραγοντας. Τωρα ϑα λυσουµε την ) t + t 3 + x t dt + xt = ) Θετοντας M = t + t 3 + x t και N = xt ϐλεπουµε οτι G ) t + t 3 + x G t = xt = xt ) x t αρα η 4.9) ειναι ακριβης. Οπως προηγουµενως, ϑα εχουµε F t = M = t + t 3 + x t F = t3 3 + t4 4 + x t + c x). Τωρα ϑα εχουµε F x = xt + c x = xt = N c x = 0 c = 0. Οποτε η λυση της 4.7) ειναι t t4 4 + x t = c Ασκηση: Λυσε την Ε x + tx ) dt t = ) Λύση. Εχουµε M = x + tx, N = t και M x = x + tx ) = + xt = N t) = x t t αρα η 4.30) δεν ειναι ακριβης. Οµως εστω οτι υπαρχει συναρτηση G x) η οποια εξαρταται µονο απο το x!!!) τετοια ωστε η ειναι ακριβης. Τοτε ϑα πρεπει να ειναι +xt) G x) x + tx ) dt G x) t = ) x+tx G x) x + tx )) = tg x)) x t G x) + xt) + x + tx ) G = G x) x G + xt) G x) = G x) =. x x + tx x Οποτε G x) = G G x x G = x x ln G = ln x + c G x) = c x. Αυτος ειναι ο Ϲητουµενος ολοκληρωτικος παραγοντας. Τωρα ϑα λυσουµε την = x x + tx x dt t = ) x

300 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ 94 Θετοντας M = x+tx x και N = t x ϐλεπουµε οτι ) G x + tx = x x x = G t ) t x αρα η 4.3) ειναι ακριβης. Λυνοντας αυτη µε τις προηγουµενες µεθοδους παιρνουµε t x + t + c = Ορισµος: Γραµµικη Ε ης ταξης λεγεται καθε εξισωση της µορφης Θεωρηµα: Η γραµµική Ε ης τάξης έχει γενική λύση την dt dt x t) = e Pt)dt + P t) x = Q t). + P t) x = Q t) 4.33) Q t) e Pt)dt dt + c ). 4.34) Αποδειξη. Θα Ϲητησουµε µια λυση της 4.33) της µορφης x t) = u t) v t). Αν παραγωγισουµε παιρνουµε dt = u dv dt + v du dt. Αντικαθιστωντας στην 4.33) παιρνουµε Τωρα επιλεγουµε την v t) τετοια ωστε dv dv dv + P t) v = 0 = P t) dt dt v v = u dv dt + v du + P t) uv = Q t) dt dv ) u dt + P t) v + v du = Q t). 4.35) dt Μπορουµε να ϑεσουµε αυθαιρετα) c = και ϑα εχουµε u γινεται P t) dt v t) = ce Pt)dt. dv dt + P t) v) = 0, οποτε η 4.35) v du Q t) dt = Q t) du = = Pt)dt e Q t) dt dt v ) u = e Pt)dt Q t) dt + c uv = e Pt)dt Pt)dt e Q t) dt + c ) x t) = e Pt)dt Pt)dt e Q t) dt + c και εχουµε αποδειξει το Ϲητουµενο.

301 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Ασκηση: Λυσε την Ε + tx = t. 4.36) dt Λύση. Ειναι µια γραµµικη Ε µε P t) = t και Q t) = t. Οποτε εχουµε P t) dt = tdt = t, e Pt)dt = e t και Ασκηση: Λυσε την Ε ) x t) = e Pt)dt Pt)dt e Q t) dt + c = e t ) = e t e t + c = + ce t. e t tdt + c ) dt t + x = t + ) ) Λύση. Ειναι µια γραµµικη Ε µε P t) = και Q t) = t + t+ )3. Οποτε εχουµε P t) dt = dt = ln t + ), t + και e Pt)dt = t + ), ) ) x t) = e Pt)dt Pt)dt e Q t) dt + c = t + ) t + ) t + )3 dt + c ) ) t + ) = t + ) t + ) dt + c = t + ) + c x t) = t + )4 + c t + ) Ασκηση: Λυσε την Ε µε αρχικη συνθηκη : x ) =, dt + x =. 4.38) t Λύση. Εχουµε P t) = t και Q t) =. Οποτε εχουµε P t) dt = t dt = ln t, Pt)dt e = t και ) x t) = e Pt)dt Pt)dt e Q t) dt + c = ) tdt + c t = ) t t + c = t + c t.

302 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ 96 Επιπλεον οποτε η Ϲητουµενη λυση ειναι Πορισµα: Η γραµµική Ε ης τάξης έχει γενική λύση την = x ) = + c = c c = x t) = t + t dt + ax = b 4.39) b ) x t) = e at a eat + c = b a + ce at. 4.40) Αποδειξη. Ειναι P t) = x, Q t) = b. Οποτε ο γενικος τυπος γινεται ) x t) = e Pt)dt = e adt = e at Ασκηση: Λυσε την Ε Λύση. Ειναι Q s) Ps)ds e ds + c ) adt be dt + c ) b ) be at dt + c = e at a eat + c = b a + ce at. dt + 5x =. x t) = 5 + ce 5t Ασκηση: Βρες την τιµη του a τετοια ωστε η λυση της Ε x 0) = 3, να ικανοποιει lim t x t) = 4. Λύση. Ευκολα ϐρισκουµε οτι η λυση της Ε ειναι dt + ax = Εχουµε x t) = ) e at + a a. lim x t) = 4 lim ) e at + ) = 4 t t a a a = 4 a =. ηλ. η Ϲητουµενη τιµη του a ειναι a =. Παρατηρειστε οτι αυτη δεν εξαρταται απο την αρχικη συνθηκη!

303 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Ασκηση: Λυσε την Ε dt + xt = t3 x ) Λύση. Ειναι µια Ε της µορφης n + P t) x = Q t) x dt δηλ. ειναι µια εξισωση Bernoulli. Αυτες οι Ε λυνονται µε µια αντικατασταση της παρακατω µορφης. ιαιρουµε τνν 4.4) µε x 3 και παιρνουµε Τωρα οριζουµε την z = x µε dz οποτε dt x = x 3 3 dt dt + x t = t ) και η 4.4) γινεται dz tz = t3 dt z = t + + ce t x = 4. Λυµενα Προβληµατα. t + + ce t 4... Ποιές από τις παρακάτω Ε είναι γραµµικές ;. = 3. dt x+. t + x sin t = e x. dt 3. t + x sin t = e t. dt 4. dt + e t x = 4. Λύση. Μονο η τριτη ειναι γραµµικη ή, σωστοτερα, µπορει να τεθει στην γραµµικη µορφη dt + x sin t t = et 4... Ελεγξε οτι η x + t = c ειναι η λυση της Ε x + t = 0. dt Λύση. Με πλεγµενη παραγωγιση παιρνουµε Οποτε και αρα η x + t = c ειναι η λυση της Ε. t. x + t = 0 dt dt = t x. x dt + t = x t x + t = 0

304 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Ελεγξε οτι η Ε µε αρχικη συνθηκη x ) =, dt + x t = ) εχει στο συνολο 0, ) την λυση x t) =. t Λύση. Η x t) = εχει =. Αντικαθιστωντας στην 4.43) παιρνουµε t dt t t > 0 : dt + x t = t + /t = 0. t Επισης εχουµε x ) = =. Αφου λοιπον ικανοποιειται η Ε και η αρχικη συνθηκη, η x t) ειναι η Ϲητουµενη λυση στο συνολο t, ). εν ειναι λυση στο [0, ) διοτι δεν ειναι ορισµενη στο t = 0. Τι ισχυει στο συνολο, 0); Λυσε την Ε dt = t ) Λύση. Η Ε ειναι χωριζοµενη. Την ξαναγραφουµε στην µορφη = dt t + dt = x = arctan t + c. t Λυσε την Ε µε αρχικη συνθηκη Λύση. Εχουµε Για την αρχικη συνθηκη εχουµε x 0) = 4, dt = t + x +. dt = t + x x + ) = t + ) dt x + + x = t + t + c x t) + x t) = t + t + c x 0) + x 0) = c 4 Τελικα η Ϲητουµενη λυση ειναι x + 4 = c c =. + x = t + t Λυσε την Ε t dt + x + 3) = 0. Λύση. Ειναι χωριζοµενη Ε. Εχουµε t dt + x + 3) = c t3 3 + x + 3) = c.

305 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Λυσε την Ε Λύση. ιαιρουµε µε Λυσε την Ε x+)t ) t x + ) dt + x t ) = ) και εχουµε t t dt + x t x x + = 0 t dt + x + = c t + x + dt + = c t x + t + + ) dt + x + ) = c t x + t + t + ln t + x t + ln x + = c. Λύση. Η Ε γραφεται 4t t ) xdt = 0 dt t t 4) + x = 0 4 t 4 ) dt + t x = c 4 ln t 4) ln t + ln x = c 4 t 4) x 4 = c t 4 x = c Λυσε την λογιστικη Ε µε αρχικη συνθηκη 4t xdt = t. 4.46) x 0) = a, dt = x x). Κατοπιν αποδειξε οτι : α) για a 0, ) η x t) είναι αύξουσα και ϐ) για a, ) η x t) είναι ϕθίνουσα Λύση. Ειναι χωριζοµενη Ε. Εχουµε x x) = dt x ) = dt x x ) = dt x x ln x = t + c t t 4 x x = cet x t) = cet ce t +. ) /4.

306 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ 300 Για την αρχικη συνθηκη εχουµε Οποτε a = x 0) = x t) = a a et a c c + c = a et + = a a. ae ae t a +. Μπορουµε να δειξουµε την Ϲητουµενη µονοτονια υπολογιζοντας το προσηµο της dt = aet a) ae t a + ) στα διαστηµατα 0, ) και, ). Αλλα η συµπεριφορα της x t) γινεται καλυτερα κατανοητη αν παρατηρησουµε τα εξης. Αν a 0, ), η παραγωγος dt t=0 = x 0) x 0)) = a a) ειναι ϑετικη. Οποτε το x t) ϑα αυξανει εφοσον x t) 0, ). Η x t) δεν ϑα µ πορεσει ποτε να παρει τιµες µεγαλυτερες του διοτι, καθως x t), η παραγωγος παρεµενι ϑετικη αλλα τεινει προς το 0 γιατι ;). Με αλλα λογια, αν η αρχικη τιµη της x t) ειναι µεσα στο 0, ) το ιδιο ϑα συµβαινει και για τις εποµενες τιµες x t) για καθε t 0. Με αναλογο τροπο εξεταζουµε την περιπτωση a >. Αυτα ϕαινονται και στο Σχηµα 4.3. Σχ.4.3: Οι λυσεις της λογιστικης Ε = x x). dt Τι συµβαίνει οταν a, ); t

Αθ.Κεχαγιας. ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ v Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας. Απριλιος 2018

Αθ.Κεχαγιας. ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ v Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας. Απριλιος 2018 Σηµειωσεις : ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ v.. Θ. Κεχαγιας Απριλιος 8 Περιεχόµενα Προλογος Εισαγωγη Οριο και Συνεχεια Παραγωγος 4 3 Λογαριθµικες και Εκθετικες Συναρτησεις 44 4 Τριγωνοµετρικες Συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις: Λογισμός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής v Θ. Κεχαγιάς Σεπτέμβριος 2014 Αθ.Κεχαγιας

Σημειώσεις: Λογισμός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής v Θ. Κεχαγιάς Σεπτέμβριος 2014 Αθ.Κεχαγιας Σημειώσεις: Λογισμός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής v..9 Θ. Κεχαγιάς Σεπτέμβριος 4 Περιεχόμενα Πρόλογος ii Εισαγωγή iv Οριο και Συνέχεια Παράγωγος 8 3 Λογαριθµικές και Εκθετικές Συναρτήσεις 3 4 Τριγωνοµετρικές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ Κοίλα κυρτά συνάρτησης Σηµεία καµπής Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις

ΜΑΘΗΜΑ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ Κοίλα κυρτά συνάρτησης Σηµεία καµπής Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις 1 ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ 4.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ Κοίλα κυρτά συνάρτησης Σηµεία καµπής Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις 1. Ορισµός Έστω συνεχής σε διάστηµα και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. Θα λέµε ότι η στρέφει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των ϑεµάτων, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι, 3/2/2010

Λύσεις των ϑεµάτων, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι, 3/2/2010 Λύσεις των ϑεµάτων, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι, 3//00 Θέµα ( µονάδα) Θεωρούµε το σύνολο B = {x Q : x < 5}. είξτε ότι sup B = 5. Απάντηση : Για να δείξουµε ότι sup B = 5 αρκεί να δειχθεί ότι α) Το 5 είναι

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Παραδείγµατα στην συνέχεια συναρτήσεων

4.3 Παραδείγµατα στην συνέχεια συναρτήσεων 5. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο R. 6. Η συνάρτηση sin είναι συνεχής στο R. 7. Η συνάρτηση cos είναι συνεχής στο R. 8. Η συνάρτηση tan είναι συνεχής σε κάθε R µε k π + π/2, k Z. 9. Η συνάρτηση cotan είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7 Ε_3.Μλ3ΘΟ(ε) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 9 Απριλίου 7 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτές Συναρτήσεις και Ανισώσεις Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο e-mail: zenon7@otenetgr Ιούλιος-Αύγουστος 2004 Περίληψη Το σχολικό ϐιβλίο της Γ Λυκείου ορίζει σαν κυρτή (αντ κοίλη)

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 7 Απριλίου 6 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x A3. ΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. εύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σηµεία καµπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. εύτερη πλεγµένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισµός

Διαβάστε περισσότερα

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 -6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α i = βi () β αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 Ε_3.Μλ3ΘΟ(ε) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 7 Απριλίου 6 ιάρκεια Εξέτασης:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. lim = 0. Βλέπε σελίδα 171 σχολικού. σχολικού βιβλίου.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. lim = 0. Βλέπε σελίδα 171 σχολικού. σχολικού βιβλίου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 7 Απριλίου 6 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου 4 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες Α. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.). Έστω z ο µιγαδικός αριθµός z i, µε, R. (α) ίνεται η εξίσωση: z

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Τρία συνηθισµένα λάθη που κάνουν µαθητές της Γ Λυκείου σε ασκήσεις του ιαφορικού Λογισµού ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ3 e-mail@p-thedrpuls.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή επισηµαίνονται

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η

1. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση G () = F (α + β) είναι µια παράγουσα της h () = f (α + β), α α στο R. β + γ α+ γ. ** α) Να δείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο ο Ιδιότητες των ορίων Όριο και διάταξη ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν f >, τότε f > κοντά στο Αν f

Διαβάστε περισσότερα

Thanasis Xenos ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΗΜΑΘΙΑΣ

Thanasis Xenos ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΗΜΑΘΙΑΣ thanasisenos@yahoo.gr Thanasis Xenos )Αν µια συνάρτηση f είναι, τότε είναι γνησίως µονότονη; Η πρόταση δεν αληθεύει, διότι για παράδειγµα η συνάρτηση, f ( ) = είναι - και δεν είναι γνησίως µονότονη., >

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 )

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 ) Συνέχεια Συνάρτησης Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 1 εκεµβρίου 013 1 Ορισµός Ορισµός 1.1 Μια πραγµατική συνάρτηση f : A R λέµε ότι είναι συνεχής στο x 0 A αν και µόνο αν : x x 0 fx

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Πες το με μία γραφική παράσταση

Πες το με μία γραφική παράσταση Πες το με μία γραφική παράσταση Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου www askisopolisgr ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Να γράψετε και να σχεδιάσετε γραφικές παραστάσεις (ορισμένες σε διάστημα ή σε ένωση διαστημάτων):

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό.

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτό το κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ /4/7 έως τις /4/7 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη Απριλίου 7 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. β α

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. β α ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω µια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > 0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:. -. (Προτείνεται να διατεθούν 5 διδακτικές ώρες).3 (Προτείνεται να διατεθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 9 ΜΑΪΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 27 Απριλίου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 27 Απριλίου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 36 Κεφάλαιο 3ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ. Σ 4. Λ. Λ 3. Λ 4. Λ 3. Σ 4. Σ 43. Σ 4. Λ 5. Σ 44. Σ 5. Σ 6. Σ 45. Λ 6.

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Η ύλη της εργασίας είναι οι ενότητες 5, 6 και 7 από τον Λογισµό µιας Μεταβλητής Η άσκηση αφορά στην έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. οι f, g είναι συνεχείς στο και f (x) = g (x) για κάθε εσωτερικό σηµείο του, ÏÅÖÅ

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. οι f, g είναι συνεχείς στο και f (x) = g (x) για κάθε εσωτερικό σηµείο του, ÏÅÖÅ Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 ΘΕΜΑ ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α. α. Έστω δυο συναρτήσεις f, g ορισµένες σε ένα διάστηµα. Αν οι f, g είναι συνεχείς στο και f () g ()

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

( x) β ], παρουσιάζει ελάχιστη τιµή α, δηλαδή υπάρχει. ξ µε g( ξ ) = 0. Το ξ είναι ρίζα της δοσµένης εξίσωσης.

( x) β ], παρουσιάζει ελάχιστη τιµή α, δηλαδή υπάρχει. ξ µε g( ξ ) = 0. Το ξ είναι ρίζα της δοσµένης εξίσωσης. . Έστω συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιµη στο R, µε συνεχή δεύτερη παράγωγο και σύνολο τιµών το διάστηµα [, ] a β, όπου a< < β. Να αποδείξετε ότι: i) υπάρχουν δύο τουλάχιστον σηµεία,, µε, ώστε f ( ) =

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστηµα [α, β] Αν G είναι µια παράγουσα της f στο [α, β], τότε να αποδείξετε ότι: β f () t dt = G ( β) G ( α) a Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Συναρτήσεις, Ορια, Συνέχεια ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των συναρτήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ MSc PROGRAM ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Ι Ι ΚΟΥΓΙΑΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΑΝΤΙΡΡΙΟ 0-0 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Το

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Φεβρουαρίου Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Μαρτίου Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό είναι να

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 5. Κεφάλαιο: ιαφορικός Λογισµός. Θεµατικές ενότητες: 1. Συνέχεια συνάρτησης

Μάθηµα 5. Κεφάλαιο: ιαφορικός Λογισµός. Θεµατικές ενότητες: 1. Συνέχεια συνάρτησης Μάθηµα 5 Κεφάλαιο: ιαφορικός Λογισµός Θεµατικές ενότητες: Συνέχεια συνάρτησης Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σηµείο («σηµείο» σηµαίνει «τιµή του χ») του πεδίου ορισµού της; Ορισµός: Μια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. f x > κοντά στο x0.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. f x > κοντά στο x0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 3 Θέµα ο ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ B. α) Λάθος διότι η f είναι «-» που σηµαίνει δεν είναι πάντα γνησίως µονότονη. β) Σωστό διότι

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ɶ = = α = + + = = z1 z2 = = Οπότε. Έχουµε. ii) γ) 1ος Τρόπος. Οπότε Ελάχιστη απόσταση είναι:

( ) ( ) ɶ = = α = + + = = z1 z2 = = Οπότε. Έχουµε. ii) γ) 1ος Τρόπος. Οπότε Ελάχιστη απόσταση είναι: ΘΕΜΑ ο Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω f µία συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστηµα [α, β] Αν G είναι µία β παράγουσα της f στο [α, β], τότε f ( t) dt = G( β )

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

7 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 61. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, τέτοια ώστε. (e + 1)dt = x 1

7 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 61. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, τέτοια ώστε. (e + 1)dt = x 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 η ΕΚΑ Α 6. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, τέτοια ώστε t (e + )dt για κάθε R Για δυνατούς παίκτες i) είξτε ότι e f() + f() ii) είξτε ότι η f αντιστρέφεται και βρείτε την f iii)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 11 Ιουνίου 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 11 Ιουνίου 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα Ιουνίου 08 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α Α Απόδειξη θεωρήματος σελ 99 σχολικού βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1. Έστω η συνάρτηση f ( x,,1. Nα αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο. v v 1 και ισχύει : x vx A2. Να διατυπώσετε και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το Θεώρημα Bolzano.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα και ένα εσωτερικό σηµείο του Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό, να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

Η f(x) y είναι συνεχής στο [0, 2α], σαν διαφορά των συνεχών f(x) και y = 8αx 8α 2

Η f(x) y είναι συνεχής στο [0, 2α], σαν διαφορά των συνεχών f(x) και y = 8αx 8α 2 1994 ΘΕΜΑΤΑ 1. ίνεται η συνάρτηση f()=,. Α) Αν ε είναι η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης C της συνάρτησης f στο σηµείο Μ(α, α ), α >, να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, την ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 94 Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ o ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Λ 4. Λ 43. Λ. Σ 5. Λ 44. Σ 3. Λ 6. Λ 45. α) Σ 4. Σ 7. Λ β) Λ 5. Σ 8. Σ

Διαβάστε περισσότερα

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

f f x f x = x x x f x f x0 x

f f x f x = x x x f x f x0 x 1 Παράγωγος 1. για να βρω την παράγωγο της f σε διάστηµα χρησιµοποιώ βασικές παραγώγους και κανόνες παραγωγισης. για να βρω την παράγωγο σε σηµείο αλλαγής τύπου η σε άκρο διαστήµατος δουλεύω µε ορισµό

Διαβάστε περισσότερα