5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

Transcript

1 5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου 7-8 Θέμα A A Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Αν η f διατηρεί πρόσημο στο α,,β ότι το f δεν είναι τοπικό ακρότατο η f είναι γνησίως μονότονη στο α,β α,β, με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του,, να αποδείξετε μονάδες 7 A Να διατυπώσετε το θεώρημα Μέσης τιμής να το ερμηνεύσετε γεωμετρικά A3 Ποιες είναι οι πιθανές θέσεις τοπικών ακρότατων ποια σημεία ονομάζονται κρίσιμα; A4 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο, τότε δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη β) Αν στο εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της f ισχύει f, τότε το είναι τοπικό ακρότατο της f γ) Αν μια συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο,, τότε η f έχει τα τουλάχιστον μία ρίζα στο, δ) Μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών της f,υπάρχει το πολύ μία ρίζα της f ε) Αν f d gd, τότε f g για κάθε, Θέμα Β Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο η συνάρτηση g f 6 της οποίας η γραφική παράσταση δίνεται στο διπλανό σχήμα Β Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία τα ακρότατα Β Να δείξετε ότι η Cf δέχεται οριζόντια εφαπτομένη στο Β3 Να δείξετε ότι υπάρχουν ξ,ξ, f ξ f ξ Β4 Να υπολογίσετε τα όρια: α) lim g g 4 β) lim ημ τέτοια, ώστε 4 3 Β5 Να δείξετε ότι η εξίσωση g 3 f 6 Θέμα Γ Δίνεται η συνάρτηση f 3 ln μονάδες 3 γ) lim g e g μονάδες 33 3,4 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο 3, Γ Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα Γ Να δείξετε ότι η f είναι κοίλη Γ3 Να δείξετε ότι 6ln 3 για κάθε μονάδες

2 Γ4 Να δείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα 5 5 Γ5 Να δείξετε ότι, Γ6 Να δείξετε ότι η f δεν έχει ασύμπτωτες Γ7 Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της f τέτοιο, ώστε 6 ln 9 μονάδες 3 μονάδες 3 Θέμα Δ Έστω συνάρτηση f : η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη κυρτή στο με f f f Δ Να αποδείξετε ότι f για κάθε f Δ Να αποδείξετε ότι lim ημ f f, Αν επιπλέον δίνεται ότι, τότε: Δ3 Να αποδείξετε ότι f e, 4 3 Δ4 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f e έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο Δ5 Έστω F αρχική της f Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση h F F, να λύσετε στο την ανίσωση F 3 F 4 F F 6, μονάδες 7 Στέλιος Μιχαήλογλου

3 Λύσεις Θέμα A A Έστω ότι f, για κάθε,, Επειδή η f είναι συνεχής στο θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα,, Επομένως, για ισχύει f f f Άρα το f δεν είναι τοπικό ακρότατο της f Θα δείξουμε, τώρα, ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο, Πράγματι, έστω,, με Αν,,, επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο,, θα ισχύει f f Αν,,, επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο [,), θα ισχύει f f Τέλος, αν, τότε όπως είδαμε f f f Επομένως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει f f, οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο, Ομοίως, αν f για κάθε,, A Αν μια συνάρτηση f είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα, παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα, τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον,, τέτοιο, ώστε: f f f Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον,, τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο παράλληλη της ευθείας ΑΒ M,f να είναι y Ο M(ξ,f(ξ)) A(a,f(a)) a ξ ξ β Β(β,f(β)) A3 Οι πιθανές θέσεις των τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης f σ ένα διάστημα Δ είναι: Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η παράγωγος της f μηδενίζεται Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται 3 Τα άκρα του Δ (αν ανήκουν στο πεδίο ορισμού της) Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το μηδέν, λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ Α4 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Σ ε) Λ Θέμα Β Β Από το σχήμα παρατηρούμε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο, γνησίως φθίνουσα στο, Είναι g f 6 f g 6 Έστω,, με Είναι g g 6 6 οπότε g 6 g 6 f f άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο, Έστω,, με Είναι g g 6 6 οπότε g 6 g 6 f f άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Η g έχει μέγιστο το g 4, οπότε g 4 () 6 6 () f f άρα η f έχει μέγιστο το f,

4 Β Από το σχήμα παρατηρούμε ότι g Είναι g f 6 f άρα εφαπτομένη στο Β3 Είναι f g 6, f g g f οπότε η f δέχεται οριζόντια 6 Για την f εφαρμόζεται το ΘΜΤ στα διαστήματα,,,, οπότε υπάρχουν ξ,, ξ, f f f f τέτοια ώστε: f ξ 4 f ξ 4 f ξ f ξ 4 4 Είναι Β4 α) Από το σχήμα παρατηρούμε ότι lim g β) άρα g g g 4 g g g lim lim lim ημ ημ ημ γ) Από το σχήμα παρατηρούμε ότι lim g άρα g ω g ω ω lim ge lim ωe lim lim ω ω ω ω DLH ω ω e gu lim lim g u u u 4 3 Β5 g 3 f 6 f 6 3 f Έστω h Παρατηρούμε ότι 3 γίνεται: h Έστω φ 3, 3, 4 Είναι φ3φ4 3,4 τέτοιο ώστε φ 3 Θέμα Γ e h 3, οπότε με βάση το σχήμα Horner η h φ 3, φ , δηλαδή επειδή η φ είναι συνεχής ως πολυωνυμική, σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει Γ Η f είναι παραγωγίσιμη στο, 3 h Τότε με f 6ln 3 6 ln ln 6 Η f είναι παραγωγίσιμη στο Επειδή ln για κάθε η ισότητα ισχύει μόνο για, είναι, με f ln ln,, επειδή η f είναι συνεχής, είναι γνησίως φθίνουσα στο ln lim ln lim lim lim Είναι DLH f για κάθε, lim f lim ln 6, οπότε

5 Επίσης ln lim lim, οπότε DLH Επειδή η f είναι συνεχής γνησίως φθίνουσα στο A, ln έχει σύνολο τιμών το lim f lim ln 6 lim 6, άρα f οπότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο f A lim f, lim f, Γ Επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα στο,, η f είναι κοίλη Γ3 Παρατηρούμε ότι f 3 ln 3 6ln 3 lim f lim 6 ln 3 3 Είναι ln 3 A, έχει σύνολο τιμών το 3 3 lim f lim 6 ln 3 lim 6 Επειδή η f είναι συνεχής γνησίως φθίνουσα στο f A lim f, lim f,, άρα f 6ln 3 6ln 3 6ln 3 Γ4 Έστω g 6 ln 9, Η g είναι παραγωγίσιμη στο Είναι, με g άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο, lim g lim 6 ln 9 g 6ln 6 9 6ln 3 ln 9 lim g lim 6 έχει σύνολο τιμών το Επειδή η g είναι συνεχής γνησίως φθίνουσα στο A, Επειδή το περιέχεται στο g A lim g, lim g, g 6 ln 9 τέτοιο, ώστε Γ5 Επειδή η g είναι γνησίως φθίνουσα, για κάθε Είναι 6 ln 9 6 ln 9,, g A υπάρχει μοναδικό A είναι g g Επειδή Γνωρίζουμε ότι ln για κάθε η ισότητα ισχύει μόνο για, άρα 6 ln () Η () έχει ρίζες,,, οπότε ή (3) g είναι ln Όμως g 6 ln 9 9ln 4 4

6 Θεωρούμε τη συνάρτηση t ln,,3 Σύμφωνα με το ΘΜΤ για την t υπάρχει ξ,3 τέτοιο, t 3 t ώστε t ξ ln 3 ln ln 9ln 3 ξ ξ Είναι ξ g, άρα g 3 ξ ξ 4 ξ g Για κάθε g g, άρα λόγω της (3) είναι 5 5 Αφού τελικά είναι, Γ6 Επειδή η f είναι συνεχής στο, Επειδή lim f η f δεν έχει οριζόντιες ασύμπτωτες lim f, η f δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες 3 f 6 ln 3 ln 3 Είναι lim lim lim 6 ln 3 lim 6 άρα η f δεν έχει πλάγια ασύμπτωτη Γ7 Θέμα Δ Δ Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη κυρτή στο, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Για κάθε f f, είναι άρα f γνησίως αύξουσα στο είναι f f άρα f γνησίως φθίνουσα στο,, άρα f f για κάθε Για κάθε στο Η f παρουσιάζει ελάχιστο f f f f f Δ lim lim lim lim ημ DLH ημσυν συν ημ ημ συν ημ ημ f Δ3 Επειδή f για κάθε, είναι f f f άρα f f ln f ln f c,

7 είναι c Για ln f c c, άρα, ln f f e f e Δ4 f e e 4 3 Έστω h,, Είναι 3 h e 4 3 h, οπότε με σχήμα Horner προκύπτει ότι 3 Θεωρούμε τη συνάρτηση φ,, Είναι φ, φ δηλαδή φφ σύμφωνα με το ΘBolzano, υπάρχει, τέτοιο, ώστε φ Τότε 4 3 οπότε η εξίσωση h έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο, επειδή η φ είναι συνεχής ως πολυωνυμική, Δ5 Η h είναι παραγωγίσιμη στο, με h F F f f Είναι f e e Για κάθε Επειδή αύξουσα στο h φ, είναι e άρα f, οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο, είναι f f f f, άρα h η h είναι γνησίως, F 3 F 4 F F 6 F 3 F F 6 F 4 h h h 4 4 3,