Άσκηση 1. Δείξτε τις σχέσεις μετάθεσης των πινάκων Pauli

Transcript

1 Άσκηση 1 Δείξτε τις σχέσεις μετάθεσης των πινάκων Pauli

2 Άσκηση 2 Βρείτε την δράση των τελεστών του spin S x, S y, S z, στις ιδιοκαταστάσεις του S z +1/2>, =1/2> Η αναπαράσταση των S x, S y, S z, στις ιδιοκαταστάσεις του S z +1/2>, =1/2> είναι: όπου Άρα έχουμε: +5p: Να γίνει με χρήση τελεστών δημιουργίας και καταστροφής

3 Άσκηση 3 Έστω ηλεκτρόνιo με z συνιστώσα του spin ίση με +ћ/2. Το spin ηλεκτρονίου μετράται κατά μηκος μιας διεύθυνσης z που σχηματίζει γωνία θ με την διεύθυνση z. Α. Βρείτε την πιθανότητα να δώσει μέτρηση τιμή +ћ/2 ή -ћ/2. Β. Ποιά είναι μέση τιμή του spin κατά μήκος της z ; Ο τελεστής spin κατά μήκος της διεύθυνσης z είναι: όπου Επομένως: Για τις ιδιοκαταστάσεις του S z έχουμε:

4 Άσκηση 3 +5q

5 Άσκηση 3 +5r +5r Από την κανονικοποίηση του +1/2> έχουμε

6 Άσκηση 3 Άρα (Η φάση είναι αυθαίρετη και την επιλέγουμε ίση με την αζιμουθιακή γωνία.) Ακόμα έχουμε

7 Άσκηση 3 ορθογωνιότητα 1 1 i ' ' ccos d sin e Κανονικοποίηση: c i tan e d 2 i c tan e d 2 i c sin e d 2 d cos 2 1 i 1 1 ' sin e cos Αυθαιρεσία φάσης d cos 2 i c sin e d 2

8 Άσκηση 3 1 i 1 1 ' sin e cos Μέση τιμή του spin κατά μήκος της z για την κατάσταση +ћ/2>: +5s 1 i 1 1 ' sin e cos

9 Άσκηση 3 1 i 1 1 ' sin e cos t: Να βγει και με άλλο τρόπο Είναι το κλασσικά αναμενόμενο αποτέλεσμα

10 Άσκηση 4 Βρείτε τις ιδιοκαταστάσεις και τις ιδιοτιμές του τελεστή S x +S y για σωμάτιο με σπιν s=1/2. ˆ ˆ ˆ 0 1 i A Sx S y 1 i 0 Για τις ιδιοτιμές έχουμε: Άρα οι ζητούμενες ιδιοτιμές είναι: +5u

11 Άσκηση 4 Βρείτε τις ιδιοκαταστάσεις και τις ιδιοτιμές του τελεστή S x +S y για σωμάτιο με σπιν s=1/2. ˆ 0 1 i A 1 i 0 Έστω ιδιοκαταστάσεις της μορφής: Για την ιδιοτιμή +ћ/2 έχουμε:

12 Άσκηση 4 Για την ιδιοτιμή +ћ/2 έχουμε: Άρα η ιδιοκατάσταση είναι: +5v Όμοια βρίσκουμε για την ιδιοτιμή : +5w

13 Άσκηση 5

14 Άσκηση 6

15 Άσκηση 7 Βρείτε τις ιδιοκαταστάσεις και τις ιδιοτιμές των τελεστών S x, S y, S z. Για τον S z έχουμε δείξει ότι οι ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι: Για τον S x οι ιδιοτιμές γράφονται ως ћλ/2 και προκύπτουν ως λύση της εξίσωσης: Άρα για τον S x οι ιδιοτιμές είναι ±ћ/2

16 Άσκηση 7 Άρα για τον S x οι ιδιοτιμές είναι ±ћ/2 Για τις ιδιοκαταστάσεις έχουμε: Άρα για την ιδιοτιμή + ћ/2 έχουμε: Αντίστοιχα για την ιδιοτιμή - ћ/2 χρησιμοποιούμε ορθογωνιότητα και κανονικοποίηση για να βρούμε: +5x

17 Άσκηση 7 Όμοια για τον S y οι ιδιοτιμές γράφονται ως ћλ/2 και προκύπτουν ως λύση της εξίσωσης: Άρα και για τον S y οι ιδιοτιμές είναι ±ћ/2 Για τις ιδιοκαταστάσεις έχουμε: Άρα για την ιδιοτιμή + ћ/2 έχουμε:

18 Άσκηση 7 Άρα για την ιδιοτιμή + ћ/2 έχουμε: Αντίστοιχα για την ιδιοτιμή - ћ/2 χρησιμοποιούμε ορθογωνιότητα και κανονικοποίηση: Άρα για S x : Και για S y :

19 Άσκηση 8 Σωμάτιο με spin ½ βρίσκεται σε μαγνητικό πεδίο με Χαμιλτονιανή H=(eB/mc)S z. Την στιγμή t=0 το σωμάτιο βρίσκεται σε ιδιοκατάσταση του τελεστή S x με ιδιοτιμή +ћ/2. Βρείτε την κατάσταση του σωματίου για t>0. t=0 t> eb eb i t i t mc 2 mc 2 ( t) e z e z

20 Άλυτες Ασκήσεις 1. Βρείτε τις αναπαραστάσεις των Sx, Sy, Sz για ένα σωμάτιο με spin Ηλεκτρόνιο βρίσκεται στην κατάσταση Κανονικοποιήστε την κατάσταση. Βρείτε τα πιθανά αποτελέσματα μιας μέτρησης του S z και τις αντίστοιχες πιθανότητες. Ποια είναι η μέση τιμή του S z. Επαναλάβετε για τις συνιστώσες S y. 3. Ηλεκτρόνιο βρίσκεται σε μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο της μορφής Βρείτε την Χαμιλτονιανή του συστήματος. Το ηλεκτρόνιο έχει αρχικά spin `πανω στην κατεύθυνση του άξονα x. Βρείτε την κατάσταση χ(t) του ηλεκτρονίου την χρονική στιγμή t. Βρείτε την πιθανότητα να δώσει μια μέτρηση του S x, την τιμή -ћ/2 την χρονική στιγμή t. Ποια είναι η ελάχιστη τιμή του B 0 απαιτείται για πλήρη αναστροφή της κατεύθυνσης του S x ;

21 Άλυτες Ασκήσεις 4. Αποδείξτε τις σχέσεις που δεν αποδείξαμε στο μάθημα: Άσκηση 4 Άσκηση 7