ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ I

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ I"

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΠΛΟΙΟΥ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ I ΧΑΡΙΛΑΟΣ Ν. ΨΑΡΑΥΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Ε.Μ.Π. ΑΘΗΝΑ, ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2005

2 Χαρίλαος Ν. Ψαραύτης, 2005

3 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ :ΣΥΝΤΟΜΗ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 6. ΘΕΩΡΙΑ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE 6.2 ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ 2.2. «Αποδοτική» Χρήση Σταθερών Ποσοτήτων Πόρων Αποδοτική Αγορά Πόρων Αποδοτική Πώληση Προϊόντων Αγορά Πόρων, Πώληση Προϊόντων& Μεγιστοποίηση του Κέρδους 30.3 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗΣ Μεγιστοποίηση Χρησιµότητας Υπό Καθορισµένο Εισόδηµα ιαχρονικές Προτιµήσεις Κατανάλωσης 34.4 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ Καθαρή Παρούσα Αξία (NET PRESENT VALUE- NPV) Εσωτερικός Βαθµός Απόδοσης (INTERNAL RATE OF RETURN, IRR) Συντελεστής Ανάκτησης Κεφαλαίου (CAPITAL RECOVERY FACTOR, CRF) Περίοδος Αποπληρωµής (PAYBACK PERIOD) Απαιτούµενος Ναύλος (REQUIRED FREIGHT RATE-RFR) Συµπληρωµατικές Παρατηρήσεις για την ΚΠΑ 43 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2:Η ΝΑΥΛΑΓΟΡΑ CHARTER ΙΑΦΟΡΕΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΥΟ ΝΑΥΛΑΓΟΡΩΝ ΕΙ Η ΝΑΥΛΩΝ ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΑΙΩΝ Η ΝΑΥΛΑΓΟΡΑ TANKERS Ο είκτης WORLDSCALE Iσοδυναµία Στιγµιαίου Ναύλου µε Ναύλο Προθεσµίας Συµπεριφορά των Στιγµιαίων Ναύλων (προκαταρκτικά) Συµπεριφορά Ναύλων Προθεσµίας οµή της Ναυλαγοράς Tanker Συµπληρωµατικές Παρατηρήσεις ΕΝΑ ΜΟΝΤΕΛΟ ΓΙΑ ΤΟ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ ΙΚΤΥΟ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΠΕΤΡΕΛΑΙΟΥ 62 2

4 2.4. Ελαχιστοποίηση του Μεταφορικού Κόστους ΟΙ ΝΑΥΛΑΓΟΡΕΣ ΞΗΡΟΥ ΦΟΡΤΙΟΥ Γενική Περιγραφή Κατηγορίες Εµπορευµάτων οµή της Αγοράς ιαµόρφωση των ναύλων 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3:Η ΝΑΥΛΑΓΟΡΑ LINER ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΚΟΙΝΟΠΡΑΞΙΩΝ ΤΡΟΠΟΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΟΙΝΟΠΡΑΞΙΩΝ ΟΜΗ ΑΓΟΡΑΣ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΎΨΟΥΣ ΝΑΥΛΟΥ KΑΤΑΝΟΜΗ ΤΟΥ ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΟΥ ΚΟΣΤΟΥΣ ΚΟΙΝΟΠΡΑΞΙΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΣΣΟΜΕΝΕΣ ΧΩΡΕΣ ΠΡΟΟΠΤΙΚΕΣ 83 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4:ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ 86 Ελεύθερο εµπόριο / ασµοί 9 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α :ΣΕΙΡΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β :ΣΥΝΑΦΗΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΠΗΓΕΣ 08 3

5 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παρόν βιβλίο, Οικονοµική Θαλασσίων Μεταφορών Ι, προορίζεται ως βοήθηµα του οµώνυµου προπτυχιακού µαθήµατος της Σχολής Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχανικών του Εθνικού Μετσοβίου Πολυτεχνείου. Το µάθηµα αυτό είναι υποχρεωτικό στο 7 ο εξάµηνο του προπτυχιακού προγράµµατος, και είναι το εισαγωγικό µάθηµα σειράς τριών µαθηµάτων, τα οποία περιλαµβάνουν στη συνέχεια τα κατ επιλογήν υποχρεωτικά µαθήµατα Οικονοµική Θαλασσίων Μεταφορών ΙΙ (8 ο εξάµηνο) και Οικονοµική Θαλασσίων Μεταφορών ΙΙΙ: Περιβαλλοντική Ανάλυση και Ασφάλεια (9 ο εξάµηνο). Αυτά τα τρία µαθήµατα εντάσσονται στο ευρύτερο φάσµα των προπτυχιακών µαθηµάτων που προσφέρει η επιστηµονική περιοχή των Θαλασσίων Μεταφορών στη Σχολή. Η ύλη του παρόντος βιβλίου αποτελεί επικαιροποίηση και αναβάθµιση του πακέτου σηµειώσεων που µοιράζεται κάθε χρόνο στους σπουδαστές του οµώνυµου µαθήµατος (τελευταία έκδοση: 999) και συντάχθηκε κατά κύριο λόγο µε βάση την ύλη των παραδόσεων του µαθήµατος. Καθ όσον η τελευταία εξελίσσεται δυναµικά, µε κύριο παράδειγµα την µεταφορά γνώσης που παράγεται από την πάσης φύσεως έρευνα που διεξάγεται από την επιστηµονική περιοχή των Θαλασσίων Μεταφορών της Σχολής, η ύλη του βιβλίου δεν µπορεί σε καµία περίπτωση να υποκαταστήσει όλα όσα παρουσιάζονται στην τάξη, και τα οποία µόνο µε τη συστηµατική παρουσία του σπουδαστή µπορούν να γίνουν επαρκώς αντιληπτά. Ούτε το βιβλίο µπορεί να υποκαταστήσει τη συµπληρωµατική γνώση που ο σπουδαστής από µόνος του, µε έναυσµα το µάθηµα αυτό, µπορεί να αποκτήσει. Περισσότερα για την ευρεία αυτή περιοχή και τις σχετικές δραστηριότητες στο ΕΜΠ, περιλαµβανόµενων και όλων των µαθηµάτων που προσφέρει η περιοχή των Θαλασσίων Μεταφορών, καθώς και σχετικών συνδέσµων, ερευνητικών προγραµµάτων και βιβλιογραφίας, µπορούν να βρεθούν στο δικτυακό τόπο Άπαξ και µια από τις υπηρεσίες του δικτυακού αυτού τόπου είναι (µεταξύ άλλων) η σταδιακή ανάρτηση του εκπαιδευτικού υλικού όλων των µαθηµάτων που προσφέρονται από την περιοχη, είναι περισσότερο από πιθανό ότι το περιεχόµενο του παρόντος βιβλίου (αλλά και των τυχόν επανεκδόσεών του στο µέλλον) θα υπολείπεται, και σε πληρότητα και σε επικαιρότητα, εκείνου που θα είναι κατά καιρούς αναρτηµένο στις αντίστοιχες ιστοσελίδες. Η δοµή του µαθήµατος, άρα και του βιβλίου αυτού, ακολουθεί σε πολλά σηµεία εκείνη του µεταπτυχιακού µαθήµατος Economics of Ocean Transportation, όπως το δίδαξα στο ΜΙΤ την περίοδο , στην αρχή από κοινού µε τον αείµνηστο συνάδελφο Ζήνωνα Ζαννέτο του Sloan School of Management, και µετά µόνος µου. Μεθοδολογικά, πολλά σηµεία του µαθήµατος βασίζονται στο πλαίσιο που ο προκάτοχός µου στο Department of Ocean Engineering του ΜΙΤ Jack Devanney είχε χρησιµοποιήσει όταν παλαιότερα δίδασκε το µάθηµα Marine Transportation Economics σε µεταπτυχιακούς σπουδαστές όπως εγώ. Όπως και τα µαθήµατα εκείνα, έτσι και η Οικονοµική Θαλασσίων Μεταφορών Ι βλέπει το αντικείµενό της υπό καθεστώς βεβαιότητας, µε πιθανοθεωρητικές προσεγγίσεις να εισάγονται από την Οικονοµική Θαλασσίων Μεταφορών ΙΙ, και εξής. Το πεδίο της Οικονοµικής Θαλασσίων Μεταφορών είναι τεράστιο, και προφανώς πολλές προσεγγίσεις για τη διδασκαλία του είναι δυνατές. Ειδικά για τους 4

6 σπουδαστές της Σχολής Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχανικών του ΕΜΠ, οι οποίοι θα αποφοιτήσουν µηχανικοί και όχι οικονοµολόγοι, το οµώνυµο µάθηµα αποτελεί την πρώτη ευκαιρία στο ΕΜΠ να ασχοληθούν µε τα τόσα σηµαντικά θέµατα που άπτονται της οικονοµικής της Εµπορικής Ναυτιλίας. Η σαφής «ποσοτική» προσέγγιση που ακολουθείται στο µάθηµα είναι συµβατή µε το ισχυρό αναλυτικό υπόβαθρο των σπουδαστών του ΕΜΠ. Παρ όλα αυτά, µια βασική γνώση της µικροοικονοµικής θωρείται απαραίτητη ώστε ο σπουδαστής να µπορέσει να προχωρήσει µε άνεση στα θέµατα που πραγµατεύεται το παρόν. Στο ΕΜΠ, το µόνο µάθηµα µικροοικονοµικής που ο σπουδαστής του 7 ου εξαµήνου της Σχολής Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχανικών έχει παρακολουθήσει -καλώς εχόντων των πραγµάτων- πριν από την Οικονοµική Θαλασσίων Μεταφορών Ι είναι η Τεχνολογική Οικονοµική, µάθηµα που (τουλάχιστο µέχρι σήµερα) προσφέρεται από τη Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών και διδάσκεται στο 6 ο εξάµηνο. Επειδή το τελευταίο αυτό µάθηµα δεν είναι τυπικά προαπαιτούµενο της Οικονοµικής Θαλασσίων Μεταφορών Ι, αλλά και για την περαιτέρω εξοικείωση του σπουδαστή µε θεµελιώδεις µικροοικονοµικές έννοιες, το παρόν βιβλίο περιέχει µια σύντοµη µικροοικονοµική ανασκόπηση στο Κεφάλαιο. Το Κεφάλαιο 2 περιγράφει τη λειτουργία της ναυλαγοράς charter, µιας από τις δυο βασικές ναυλαγορές, ενώ το Κεφάλαιο 3 αναφέρεται στη ναυλαγορά liner. Το Κεφάλαιο 4 αναφέρεται σε ορισµένα στοιχεία από τη θεωρία του διεθνούς εµπορίου. Στο Παράρτηµα Α περιέχονται ασκήσεις, ενώ στο Παράρτηµα Β παρατίθεται συναφής βιβλιογραφία. Πεποίθησή µου ήταν και είναι ότι στους µηχανικούς που αποφοιτούν από το ΕΜΠ πρέπει, εκτός από τις γνώσεις που προσφέρουν τα καθαρά τεχνολογικά µαθήµατα, να προσφέρονται και γνώσεις σε άλλους τοµείς, οι οποίες θα τους είναι χρήσιµες όταν βγουν στην αγορά εργασίας. Σε καµία άλλη περίπτωση αυτό δεν είναι αληθέστερο από την περίπτωση των σπουδαστών της Σχολής µας, η συντριπτική πλειοψηφία των οποίων θα κληθεί να δραστηριοποιηθεί στην Εµπορική Ναυτιλία η σε άλλους τοµείς ευρύτερα συνδεδεµένους µε αυτήν. Η Οικονοµική Θαλασσίων Μεταφορών Ι, όπως και τα υπόλοιπα µαθήµατα της περιοχής των Θαλασσίων Μεταφορών του ΕΜΠ, αποτελούν µια πρώτη προσπάθεια εµπέδωσης παρόµοιων γνώσεων, ή καλύτερα τρόπου σκέπτεσθαι, ώστε ο σπουδαστής του ΕΜΠ να έχει τα εφόδια να λειτουργήσει ως ολοκληρωµένος επαγγελµατίας όταν αποφοιτήσει, και να διεκδικήσει µε επιτυχία θέσεις ηγεσίας και ευθύνης στη µετέπειτα σταδιοδροµία του. Αθήνα, εκέµβριος 2005 Χαρίλαος Ν. Ψαραύτης Καθηγητής, Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχανικών Τοµέας Μελέτης Πλοίου και Θαλασσίων Μεταφορών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 5

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΝΤΟΜΗ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ Είναι προφανές ότι η κατανόηση των εννοιών του ανά χείρας βιβλίου προϋποθέτει µια ελάχιστη εξοικείωση µε βασικές µικροοικονοµικές έννοιες. Για λόγους αυτοτέλειας, το παρόν κεφάλαιο κάνει µια σύντοµη ανασκόπηση µικροοικονοµικών εννοιών που θα φανούν χρήσιµες στη συνέχεια.. ΘΕΩΡΙΑ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE Η Θεωρία Βελτιστοποίησης είναι κλάδος της Επιχειρησιακής Έρευνας που ασχολείται µε την εύρεση του µεγίστου ή του ελαχίστου µιας δεδοµένης συνάρτησης κάτω από δεδοµένους περιορισµούς. Προβλήµατα βελτιστοποίησης συναντιώνται συχνά στις θαλάσσιες µεταφορές (βελτιστοποίηση δικτύων, βέλτιστη διαδροµή, βέλτιστη διαχείριση στόλου, κ.λπ.). Από µικροοικονοµικής πλευράς, µια πολύ ενδιαφέρουσα µέθοδος βελτιστοποίησης είναι η µέθοδος των πολλαπλασιαστών Lagrange. Οι πολλαπλασιαστές Lagrange είναι µεταβλητές που έχουν ιδιαίτερη σηµασία από οικονοµικής πλευράς, όπως θα δούµε πιο κάτω. Το γενικό πρόβληµα βελτιστοποίησης µπορεί να γραφεί ως εξής: Max (ή min) f(x) µε περιορισµούς g ( x) b g ( x) 2 b2... g ( x) b m όπου: x = (x,, x n ): µεταβλητές απόφασης f (µονοδιάστατη): αντικειµενική συνάρτηση g i (x) b i (i =,,m): περιορισµοί (b i = σταθ.) m Ένας οποιοσδήποτε συνδυασµός των (x,, x n ) λέγεται λύση του προβλήµατος. υνατή λύση: Μια λύση που υπακούει τους περιορισµούς. Βέλτιστη λύση: Μια δυνατή λύση που µεγιστοποιεί (ή ελαχιστοποιεί) την f. 6

8 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : Κατασκευή κυλινδρικής δεξαµενής µεγίστου όγκου υπό σταθερό κόστος. Παραδοχές: Το κόστος είναι ανάλογο του εµβαδού της εξωτερικής επιφάνειας, µε συντελεστή αναλογίας = k = γνωστό. Επίσης, για την εκτέλεση διατίθεται προϋπολογισµός ύψους Β το οποίο δεν µπορούµε να ξεπεράσουµε. Το πρόβληµα: Να βρεθούν οι διαστάσεις του κυλίνδρου ώστε ο όγκος της δεξαµενής να είναι όσο γίνεται πιο µεγάλος, µε κόστος κατασκευής Β. 2 µεταβλητές απόφασης: R και Η Αντικειµενική συνάρτηση: Όγκος V(R,H) = πr 2 H k 2πR 2 + 2πRH = B Περιορισµός: Κόστος = Β ( ) Πρόβληµα Βελτιστοποίησης: Μax V( R H), = πr 2 H µε 2kπ R( R+ H) = B ος τρόπος λύσης (αφελής): Έκφραση του Η συναρτήσει του R, αντικατάσταση στην αντικειµενική συνάρτηση και µεγιστοποίησή της χωρίς περιορισµό. H B = R V = 2kπR BR πr 2k 3 dv dr = 0 B R * = 6kπ 2 2 * * B H = 2R = 2 6kπ V max B = 2π 6kπ 3 2 Η µέθοδος όµως αυτή δεν είναι καλή στη γενική περίπτωση γιατί: Είναι γενικά δύσκολη η έκφραση ορισµένων µεταβλητών συναρτήσει άλλων. Μετά την αντικατάσταση η αντικειµενική συνάρτηση γίνεται συνήθως πολύπλοκη. 2ος τρόπος λύσης (µε πολλαπλασιαστές Lagrange): Εισάγουµε µια 3η µεταβλητή, λ (πολλαπλασιαστής Lagrange) και ορίζουµε µια νέα συνάρτηση (Λαγκρανζιανή συνάρτηση) ως εξής: 7

9 ( ) ( ( ) ) (,, λ) (, ) λ 2 π ( ) π 2 λ 2 π LRH = V RH k RR+ H B = RH k RR+ H B Έστω ότι µεγιστοποιούµε την L χωρίς κανένα περιορισµό. L = 0 2π RH λ ( 4kπ R + 2kπ H ) = 0 R L 2 = 0 π R λ 2kπ R = 0 H L 2 = 0 2kπ R + 2kπ RH B = 0 λ Σύστηµα 3 εξισώσεων µε 3 αγνώστους (R, H, λ): Λύση του συστήµατος: B R * = 6kπ M 2 B = R = kπ * * * * R λ = = B 2k 2k 6kπ 2 Παρατηρήσεις:. Οι βέλτιστες τιµές των R, H για το 2ο πρόβληµα (µεγιστοποίηση της L) είναι οι ίδιες µε εκείνες που βγάλαµε πριν. Σύµπτωση; ΟΧΙ. Αποδεικνύεται (στη γενική περίπτωση) ότι αναγκαία συνθήκη για τη µεγιστοποίηση της αντικειµενικής συνάρτησης (µε περιορισµούς) είναι η µεγιστοποίηση της Λαγκρανζιανής (χωρίς περιορισµούς). dvmax 2. Ρόλος του πολλαπλασιαστή Lagrange: Υπολογίζοντας το (ρυθµός db µεταβολής του µεγίστου όγκου ανά µονάδα διατιθέµενου προϋπολογισµού) βλέπουµε ότι dv db max = d db 2π B 6kπ 3 2 = 2k B 6kπ 2 = λ * 8

10 Σύµπτωση; ΚΑΙ ΠΑΛΙ ΟΧΙ. Αποδεικνύεται (στη γενική περίπτωση) ότι ο ρυθµός µεταβολής της µέγιστης τιµής της αντικειµενικής συνάρτησης ανά µονάδα διατιθέµενου πόρου ισούται µε τη βέλτιστη τιµή του αντίστοιχου πολλαπλασιαστή Lagrange. Η βέλτιστη τιµή του λ στα οικονοµικά λέγεται συνήθως και «σκιώδης τιµή» (shadow price) του αντίστοιχου περιορισµού. Η σκιώδης τιµή έχει (σχεδόν) πάντα µια οικονοµική ερµηνεία που πολλές φορές είναι σηµαντική για το αντίστοιχο πρόβληµα. Λύνοντας το πρόβληµα βελτιστοποίησης µε πολλαπλασιαστές Lagrange, εκτός από τις βέλτιστες τιµές των µεταβλητών απόφασης παίρνουµε και τις σκιώδεις τιµές στους περιορισµούς, πληροφορία που είναι πολύ χρήσιµη. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2: Έστω η εξής παραγωγική διαδικασία 2 ΕΙΣΡΟΕΣ ΕΚΡΟΗ (π.χ. ες ύλες) x y z (π.χ. προϊόν) x: Ποσό ης ύλης, διατιθέµενης σε τιµή αγοράς p x y: Ποσό άλλης ης ύλης, διατιθέµενης σε τιµή αγοράς p y z: Ποσό προϊόντος, που συνδέεται µε τα x και y σύµφωνα µε την εξής σχέση: z = lnx + lny Έστω επίσης ότι και εδώ έχουµε δεδοµένο ύψος προϋπολογισµού Β. Το πρόβληµα: Ποιες είναι οι τιµές των x και y που µεγιστοποιούν το z, µε προϋπολογισµό Β; 9

11 ηλαδή: Max z = lnx + lny µε px+ py= B x y Λαγκρανζιανή L = lnx + lny λ( p x + p y B) x y L = 0 λ px = 0 x x L = 0 λ p y = 0 y y L = 0 px x + p y y B = 0 λ * B x = 2 p * B y = 2 p * 2 λ = B x y Επίσης, z max = ln B 2p x + ln B 2p y και βλέπουµε ότι dz db 2 = = λ B max * ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ: Έστω ότι έχουµε το εξής γενικό πρόβληµα βελτιστοποίησης: Max f(x) Moρφή ισότητας προς το παρόν µε g (x) = b ΥΨΗ ΙΑΤΙΘΕΜΕΝΩΝ «ΠΟΡΩΝ» g 2 (x) = b 2.. όπου x = (x,, x n ). g m (x) = b m Παραδοχή: f & g διαφορίσιµες µε συνεχείς πρώτες παραγώγους (n>m). Επίλυση µε πολλαπλασιαστές Lagrange: ΒΗΜΑ : ΒΗΜΑ 2: Ορίζουµε m πολλαπλασιαστές Lagrange, τον λ i για τον περιορισµό g ( x) b i =,..., m i = ( ) Ορίζουµε τη λαγκρανζιανή συνάρτηση i 0

12 ΒΗΜΑ 3: ( ) (,λ) ( ) λ ( ) Lx f x g x b m i= i i i Θέτουµε ΟΛΕΣ τις πρώτες παραγώγους της L ίσες µε το µηδέν: L x j = 0 ( j =,...,n) L λ και = 0 ( i =,...,m) i ΒΗΜΑ 4: Επιλύουµε το σύστηµα n+m εξισώσεων µε n+m αγνώστους [ΒΗΜΑ 5: Εξετάζουµε συνθήκες δεύτερης τάξης για να βεβαιωθούµε ότι πρόκειται για µέγιστο]. Σηµ. Το σύστηµα που καλούµαστε να επιλύσουµε στο ΒΗΜΑ 4 είναι: L x j f = 0 x j n i= g i λi x j = 0 ( j =,...,n) L λ j = 0 g i ( x) b = 0 ( i =,...,m) i Το πώς θα επιλύσουµε το σύστηµα αυτό (στη γενική περίπτωση) µπορεί να είναι δύσκολο, αλλά είναι πάντοτε πιο εύκολο από το να εκφράσουµε m από τις n µεταβλητές συναρτήσει των υπόλοιπων n-m και να τις αντικαταστήσουµε στην αντικειµενική συνάρτηση. Η µέθοδος επίλυσης του συστήµατος εξαρτάται πάντα από τη δοµή του προβλήµατος. Στα περισσότερα από αυτά που θα εξετάσουµε, η επίλυση είναι εύκολη. Ισχύουν τώρα τα εξής 2 θεωρήµατα (οι αποδείξεις των οποίων παραλείπονται): ΘΕΩΡΗΜΑ : Αν το (x *, λ * ) είναι βέλτιστη λύση για την L, τότε το x * βέλτιστη λύση για το αρχικό πρόβληµα. είναι ΘΕΩΡΗΜΑ 2: F max λ * i b i = ( i m) =,...,, δηλαδή: Ο ρυθµός µεταβολής της µέγιστης τιµής της f ως προς το διατιθέµενο ύψος ενός πόρου ισούται µε τη βέλτιστη τιµή του πολλαπλασιαστή Lagrange του αντίστοιχου περιορισµού, δηλαδή µε τη σκιώδη τιµή του περιορισµού αυτού. ΣΧΟΛΙΑ: Τα ανωτέρω γενικεύονται ΚΑΙ στις περιπτώσεις που: Η f δεν είναι διαφορίσιµη παντού Οι συνθήκες 2ης τάξης είναι στη γενική περίπτωση πολύ σηµαντικές. Επειδή τις περισσότερες φορές είναι αρκετά πολύπλοκες και επειδή τυχαίνει να ικανοποιούνται στα περισσότερα από τα προβλήµατα που θα εξετάσουµε, η παρουσίασή τους ξεφεύγει από το πνεύµα του παρόντος. Για περισσότερες λεπτοµέρειες στο θέµα αυτό, βλ. οποιοδήποτε βιβλίο βελτιστοποίησης.

13 Οι περιορισµοί είναι ανισότητες ( για max, για min) Συγκεκριµένα: Στην περίπτωση προβλήµατος βελτιστοποίησης µε ανισότητες:. Η σχέση f b max i * = λ εξακολουθεί να ισχύει. i 2. Αποδεικνύεται επιπλέον ότι (συνθήκες Kuhn-Tucker): ( a) ( b) To γινοµενο λ * i * λ 0 * ( g ( x ) b ) i i i i =,..., m = 0 Οι συνθήκες Kuhn-Tucker έχουν και αυτές σηµαντικές οικονοµικές ερµηνείες g x < b * Αν στο µέγιστο ισχύει i ( ) i για κάποιο i, τότε λ i * = 0 * [Αυτό θα έπρεπε να αναµενόταν, γιατί αν g i ( x ) < bi ο περιορισµός i είναι ανενεργός, εποµένως ακόµα και αν το b i αυξηθεί, η f max δεν θα πρέπει να αυξηθεί, άρα f max * = λ i = 0]. b i * * Αν στο µέγιστο ισχύει i > 0 gi x = bi (Αν η σκιώδης τιµή είναι >0, τότε ο αντίστοιχος περιορισµός είναι ενεργός) λ για κάποιο i, τότε οπωσδήποτε ( ) Σηµειωτέον ότι µπορούµε να έχουµε ταυτόχρονα λ * * i = 0 και ( ) κάποιο i. g x = b για i i.2 ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Σαν εφαρµογή των ανωτέρω θεωρούµε την εξής κλασική και γενική περίπτωση: 2

14 ΕΙΣΡΟΕΣ (INPUTS) ή ΠΟΡΟΙ Παραγωγική µονάδα ΕΚΡΟΕΣ (ΟUTPUTS) ή ΠΡΟΪΟΝΤΑ u x u 2 ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΗ x 2.. ΙΑ ΙΚΑΣΙΑ u m x n Παραδείγµατα u i = Ύψος εισροής i x j = Ύψος εκροής j Παραγωγική µονάδα Εισροές Εκροές Μια εταιρεία Πρώτες ύλες Βιοµηχανικά προϊόντα Ένα εργοστάσιο Ακίνητα Υπηρεσίες Ένας δηµόσιος Κεφάλαιο Μεταφορική ικανότητα οργανισµός Ολόκληρη η οικονοµία Εργασία. Πλοία Προφανώς, η παραγωγική µονάδα δεν είναι ελεύθερη να ορίζει τα u i και τα x j ανεξέλεγκτα. Ένας ορισµένος συνδυασµός πόρων και µια ορισµένη κατανοµή τους παράγουν κάποιο ορισµένο ύψος προϊόντων. Οι σχέσεις µεταξύ πόρων και προϊόντων περιγράφονται µαθηµατικώς µέσω των λεγόµενων συναρτήσεων παραγωγής της µονάδας. Ορίζουµε τη συνάρτηση παραγωγής ως εξής: Έστω u ij το τµήµα του πόρου u j που διατίθεται για την παραγωγή x j µονάδων του προϊόντος j. ηλαδή για την παραγωγή του x j διατίθενται πόροι που έχουν µεγέθη u j, u 2j,,u mj. Τότε το x j συνδέεται µε τα u ij σύµφωνα µε την εξής σχέση: (,,..., ) x φ u u2 u j j j j mj 3

15 Η συνάρτηση αυτή λέγεται και «συνάρτηση παραγωγής» και ορίζεται ως το µέγιστο δυνατό ποσό του προϊόντος j που γίνεται να παραχθεί αν γι αυτό διατεθούν πόροι ύψους u j, u 2j,, u mj 2. Η συνάρτηση παραγωγής προσδιορίζεται από πολλούς παράγοντες, όπως - Τεχνολογία - Οργάνωση - Κανονισµούς παραγωγής κ.λπ. Στη θεωρία παραγωγής, τις συναρτήσεις παραγωγής τις υποθέτουµε ως γνωστές συναρτήσεις. Στα πλαίσια του γενικού αυτού µοντέλου θα εξετάσουµε τα εξής προβλήµατα:.2. «Αποδοτική» Χρήση Σταθερών Ποσοτήτων Πόρων Σαν πρώτο πρόβληµα υποθέτουµε ότι η παραγωγική µονάδα έχει στη διάθεσή της καθορισµένα µεγέθη πόρων, δηλαδή τα ποσά u, u 2,, u m είναι δεδοµένα και σταθερά. Αυτούς τους πόρους η µονάδα τους έχει ήδη αποκτήσει (αγοράσει, πληρώσει, κ.λπ) και το πρόβληµα είναι πώς θα τους χρησιµοποιήσει όσο «καλύτερα» µπορεί. Σ αυτό το στάδιο δεν έχουµε καµιά άλλη πληροφορία σχετική π.χ. µε τη διάθεση των προϊόντων, και µιλάµε µόνο για κάποια «βελτιστοποίηση» της παραγωγής. Για να κάνουµε όµως βελτιστοποίηση, χρειαζόµαστε µια αντικειµενική συνάρτηση. υστυχώς όµως στο πρόβληµα αυτό παρόµοια αντικειµενική συνάρτηση είναι δύσκολο να ορισθεί. Έτσι, Θα µπορούσαµε να δοκιµάσουµε να µεγιστοποιήσουµε την φ, αυτό όµως θα µπορούσε να οδηγήσει σε µείωση των υπολοίπων εκροών (αν όλοι οι πόροι πάνε για την παραγωγή του προϊόντος ). Μόνο στην πολύ ειδική περίπτωση του ενός προϊόντος (n=) θα είχε νόηµα µια τέτοια συνάρτηση. Κάποιος θα µπορούσε να ζητήσει τη µεγιστοποίηση όλων των φ ταυτοχρόνως. Άπαξ όµως και µιλάµε για περιορισµένους πόρους, ούτε αυτό έχει νόηµα. Γενικά, αν αυξήσουµε µερικές από τις φ, οι υπόλοιπες θα µειωθούν. Παροµοίως, µια συνάρτηση max(φ +φ 2 + +φ n ) δεν έχει νόηµα γιατί (α) υποθέτει ότι ζυγίζουµε ίσα τις φ και (β) µπορεί έτσι να προσθέτουµε µήλα µε πορτοκάλια (π.χ. φ =αριθµός tankers, φ 2 =αριθµός τηλεοράσεων). 2 Βλέπουµε ότι ο ορισµός ως µέγιστο δυνατό ποσό ήδη προϋποθέτει κάποια «εσωτερική βελτιστοποίηση» της διαδικασίας παραγωγής, έτσι ώστε τα u j,,u mj να παραγάγουν όσο περισσότερο x j γίνεται. 4

16 Τέλος, και η max(w φ +w 2 φ 2 + +w n φ n ) απορρίπτεται γιατί (τουλάχιστο το πρόβληµα) τα βάρη w,,w n δεν είναι γνωστά. Γενικά, βρισκόµαστε σε µια κλασική περίπτωση όπου ο λήπτης των αποφάσεων δεν µπορεί να πει ποια είναι η αντικειµενική του συνάρτηση. Θα ήθελε να αυξήσει το επίπεδο όλων των προϊόντων του, αλλά δεν µπορεί να πει πόσο από το προϊόν είναι διατεθειµένος να στερηθεί για να παραγάγει περισσότερο από το προϊόν 2. Επίσης, δεν µπορεί να «ζυγίσει» τα προϊόντα και να προσδιορίσει τη σχετική τους αξία. Τι γίνεται τότε; Υποθέτουµε ότι ο λήπτης των αποφάσεων παραδέχεται ότι, αν το επίπεδο όλων των προϊόντων εκτός από ένα (το j) παραµένει σταθερό, θα προτιµούσε να αυξήσει το x j όσο γίνεται περισσότερο. ηλαδή, αν οι υπόλοιπες εκροές δεν αλλάξουν, θα ήθελε να µεγιστοποιήσει το x j. Παράδειγµα για 2 προϊόντα, x και x 2 : Αν x = c τότε ( x ) 2 Αν x = c τότε ( x ) 3 Αν x = c τότε ( x ) = 2 x max 2 = 2 2 x max 2 = 3 2 x max 2 Έτσι σχηµατίζεται µια καµπύλη, που δείχνει το µέγιστο ποσό του x 2 που µπορεί να παραχθεί για ένα δεδοµένο ύψος παραγωγής του x. Η καµπύλη αυτή λέγεται ΚΑΜΠΥΛΗ ΥΝΑΤΟΤΗΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ της µονάδας. Έστω λοιπόν ότι η καµπύλη αυτή είναι γνωστή (για το πώς κατασκευάζεται βλ. πιο κάτω). Υπάρχουν 3 είδη σηµείων στο επίπεδο (x, x 2 ): 5

17 (α) Σηµεία σαν το Α, έξω από την καµπύλη. Τέτοια σηµεία είναι προφανώς (και ονοµάζονται) Α ΥΝΑΤΑ (γιατί το µέγιστο x 2 όταν x = x A B A είναι ίσο µε x < x ). 2 2 (β) Σηµεία σαν το Μ, µέσα από την καµπύλη. Προφανώς, τέτοια σηµεία δεν είναι ικανοποιητικά από πλευράς παραγωγής, γιατί θα µπορούσαµε να αυξήσουµε την παραγωγή του ενός προϊόντος χωρίς να µειώσουµε την αντίστοιχη παραγωγή του άλλου. Έτσι, από το Μ µπορούµε να πάµε στο Μ (οπότε αυξάνουµε το x 2 χωρίς να µειώσουµε το x ) ή στο Μ 2 (οπότε αυξάνουµε το x χωρίς να µειώσουµε το x 2 ), ή τέλος οπουδήποτε µέσα στο γραµµοσκιασµένο κοµµάτι, αυξάνοντας το x και το x 2 ταυτόχρονα. Σηµεία σαν το Μ ονοµάζονται ΜΗ ΑΠΟ ΟΤΙΚΑ. (γ) Υπάρχουν τέλος σηµεία σαν το Ε, πάνω στην καµπύλη. Τέτοια σηµεία έχουν την εξής ιδιότητα: Είναι αδύνατο να αυξήσουµε την παραγωγή του ενός προϊόντος χωρίς να µειώσουµε την παραγωγή του άλλου. Τέτοια σηµεία ονοµάζονται ΑΠΟ ΟΤΙΚΑ (ή PARETO ΒΕΛΤΙΣΤΑ). Η καµπύλη (στη γενική περίπτωση επιφάνεια) δυνατοτήτων παραγωγής είναι λοιπόν ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων αποδοτικής παραγωγής, δηλ. σηµείων για τα οποία είναι αδύνατο να αυξηθεί η παραγωγή ενός προϊόντος χωρίς να µειωθεί η παραγωγή κάποιου άλλου. Η καµπύλη αυτή εξαρτάται από πολλούς παράγοντες, όπως: Τεχνολογίες παραγωγής Οργάνωση, κλπ. Ύψος διατιθέµενων πόρων Κατασκευή της καµπύλης δυνατοτήτων παραγωγής: Αν ξέρουµε τις φ, συναρτήσεις παραγωγής, µπορούµε να κατασκευάσουµε την Κ Π σχετικά εύκολα. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι. Π.χ. για 2 προϊόντα, µπορούµε: Είτε να max x 2 µε x = c = σταθ 6

18 και υπόλοιπες σχέσεις (βλ. πιο κάτω) και να βγάλουµε την Κ Π αλλάζοντας το c. Είτε να max x µε x 2 = c 2 = σταθ και υπόλοιπες σχέσεις και να βγάλουµε την Κ Π αλλάζοντας το c 2. Είτε τέλος να max ax + ax 2 2 µε υπόλοιπες σχέσεις και να βγάλουµε την Κ Π αλλάζοντας τα α, α 2 (σταθερές). Στις 2 πρώτες περιπτώσεις η Κ Π βγαίνει σαν σύνολο σηµείων, στην 3η περίπτωση σαν περιβάλλουσα. Στη γενική περίπτωση, µπορούµε είτε: ( j j mj) φ j 2 Max u u u,,..., µε φ k ( u, u,..., u ) c σταθ. ( k j) k 2k mk k u + u u n = u... m σχέσεις um + um umn = u m (και βγάζουµε την Κ Π αλλάζοντας τα c k ) = = (n- σχέσεις) Eίτε Max a x n j= j j 7

19 µε ( ) φ j u j u mj x j =,..., λ j,..., = ( j n) n j= u ij = u i ( i m) =,..., µ ij (και βγάζουµε την Κ Π αλλάζοντας τα a j ) Η 2η διατύπωση επιδέχεται πιο εύκολη λύση λόγω συµµετρίας: Ορίζουµε πολλαπλασιαστές Lagrange: λ j για τον j περιορισµό παραγωγής και µ i για τον i περιορισµό πόρου. Λαγκρανζιανή: ( (,... ) ) n n m L a x u u x n u u = j j λ j φ j j m j + j µ i i j i j= j= i= j= L x j = 0 a j = λ j j L u ij φ j = 0 λ j µ i 0 u ij = ( i, j) Ο όρος αυτός ονοµάζεται ΟΡΙΑΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΟΤΗΤΑ του προϊόντος j ως προς τον πόρο i, και εκφράζει πόσο θα αυξηθεί οριακά η παραγωγή του j αν του διατεθεί µία ακόµα µονάδα πόρου i. Από τη 2η σχέση βγαίνει ότι η ποσότητα φ j λ j µ i u ij = = ανεξάρτητη του j. φ jki,, : λ j = λ u j k Άρα ( ) ij k φ u ik Για οποιοδήποτε ζευγάρι (j, k) προϊόντων ισχύει η σχέση: φk uik φ u j ij λ j = =ανεξάρτητο του i. λ k Άρα για αποδοτική παραγωγή, πρέπει: ΓΙΑ ΟΠΟΙΟ ΗΠΟΤΕ ΖΕΥΓΑΡΙ (j, k) ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ: 8

20 φ k uk φ j u j φ k u 2k = =... = φ u j 2j φ k u φ u mk j mj λ j = λ k Αυτή η σχέση λέγεται ΙΣΟ-ΟΡΙΑΚΗ ΣΥΝΘΗΚΗ και είναι ΑΝΑΓΚΑΙΑ συνθήκη για αποδοτική παραγωγή. Ουσιαστικά λέει το εξής: ΙΣΟ-ΟΡΙΑΚΗ ΣΥΝΘΗΚΗ ΓΙΑ ΑΠΟ ΟΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗ: Ο ΛΟΓΟΣ ΤΩΝ ΟΡΙΑΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΟΤΗΤΩΝ (Ο.Π.) ΥΟ ΟΠΟΙΩΝ ΗΠΟΤΕ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ ΩΣ ΠΡΟΣ ΚΑΠΟΙΟΝ ΠΟΡΟ ΕΙΝΑΙ ΣΤΑΘΕΡΟΣ, ΗΛΑ Η ΙΣΟΣ ΜΕ ΤΟ ΛΟΓΟ ΤΩΝ Ο.Π. ΑΥΤΩΝ ΤΩΝ ΥΟ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ ΩΣ ΠΡΟΣ ΟΠΟΙΟΝ ΗΠΟΤΕ ΑΛΛΟ ΠΟΡΟ. ηλαδή για οποιοδήποτε ζευγάρι (j, k) προϊόντων, ο λόγος Αύξηση παραγωγής του xk ( ) αν διατεθεί µονάδα πόρου i = ο ίδιος για όλους τους πόρους i=,,m Aύξηση παραγωγής του x j ( ) αν διατεθεί µονάδα πόρου i Η ισο-οριακή συνθήκη µπορεί να γραφεί και διαφορετικά: φj = µ i u ij λ j ισχύει η σχέση = ανεξάρτητο του i Για οποιοδήποτε ζευγάρι (i,e) πόρων, µ φ j φ j e = µ i, uij u ej Άρα για αποδοτική παραγωγή πρέπει: φ uej φ u j j ij µ e = =ανεξάρτητος του j µ e ΓΙΑ ΟΠΟΙΟ ΗΠΟΤΕ ΖΕΥΓΑΡΙ (i, e) ΠΟΡΩΝ: 9

21 φ ue φ u i φ2 φn ue2 uen = =... = φ2 φn u u i2 in µ µ = e i δηλαδή: ΙΣΟ-ΟΡΙΑΚΗ ΣΥΝΘΗΚΗ ΓΙΑ ΑΠΟ ΟΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗ: (ΑΛΛΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ) : Ο ΛΟΓΟΣ ΤΩΝ ΟΡΙΑΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΟΤΗΤΩΝ (Ο.Π.) ΚΑΠΟΙΟΥ ΠΡΟΪΟΝΤΟΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΥΟ ΟΠΟΙΟΥΣ ΗΠΟΤΕ ΠΟΡΟΥΣ ΕΙΝΑΙ ΣΤΑΘΕΡΟΣ, ΗΛΑ Η ΙΣΟΣ ΜΕ ΤΟ ΛΟΓΟ ΤΩΝ Ο.Π. ΟΠΟΙΟΥ ΗΠΟΤΕ ΑΛΛΟΥ ΠΡΟΪΟΝΤΟΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΥΟ ΑΥΤΟΥΣ ΠΟΡΟΥΣ ηλαδή, για οποιοδήποτε ζευγάρι (i, e) πόρων, ο λόγος Αύξηση παραγωγής του xk ( ) αν διατεθεί µονάδα πόρου e = ο ίδιος για όλα τα προϊόντα j =,, n. Aύξηση παραγωγής του x j ( ) αν διατεθεί µονάδα πόρου i ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ: Είναι εύκολο να δει κανείς ότι, αν ΕΝ ισχύει η ισο-οριακή συνθήκη, τότε η παραγωγή ΕΝ είναι αποδοτική, δηλαδή τότε είµαστε ΜΕΣΑ στην Κ Π. Παράδειγµα µε 2 πόρους και 2 προϊόντα: 20

22 Ναυπηγείο µικρών σκαφών παράγει 2 προϊόντα. Το προϊόν είναι πλαστικές βάρκες και το προϊόν 2 είναι φουσκωτά. Έχει 2 βασικούς πόρους, ειδικευµένους εργάτες (πόρος ) και ανειδίκευτους εργάτες (πόρος 2). Έστω ότι παράγουµε έτσι ώστε φ φ = 20 = 8 u u2 φ2 φ2 = 4 = 2 u u 2 22 Βλέπουµε ότι , δηλαδή δεν ισχύει η ισο-οριακή συνθήκη. 2 Γιατί δεν είναι αποδοτική η παραγωγή; Έστω ότι ανακατανέµουµε τους πόρους ως εξής:. Αφαιρούµε µονάδα πόρου από το προϊόν 2 και τη διαθέτουµε στο προϊόν. ηλαδή u =+ φ =+ 20 και u = φ = (Βλέπουµε δηλαδή ότι παρ όλο που η παραγωγή του αυξήθηκε κατά 20 µονάδες, είχαµε απώλεια 4 µονάδων από το προϊόν 2). 2. Για να ισοφαρίσουµε την απώλεια του 2, προσθέτουµε 2 µονάδες πόρου 2 στο προϊόν 2 (τόση χρειάζεται), τις οποίες αφαιρούµε από το προϊόν. ηλαδή u22 =+ 2 φ 2 = + 4 και u = 2 φ = 6 2 2

23 Συνολικά, φ = = + 4 φ = 4+ 4= 0 2 Ουσιαστικά, είµαστε στο σηµείο Α και πήγαµε στο Β. Άρα το Α δεν ήταν σηµείο αποδοτικής παραγωγής, άρα ήταν µέσα στην καµπύλη. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Αν η ισο-οριακή συνθήκη ΕΝ ισχύει, τότε ΠΑΝΤΟΤΕ µπορούµε να µεταβούµε σε «ανώτερο» επίπεδο παραγωγής µε κάποια ανακατανοµή των πόρων («ανώτερο»= αυξάνει η παραγωγή τουλάχιστον προϊόντος χωρίς να µειωθεί η παραγωγή των άλλων). Μένουµε στην περίπτωση 2x2: x = φ ( u, u2) x = φ ( u, u ) Για το προϊόν, οι καµπύλες x = σταθ. στο επίπεδο (u, u 2 ) λέγονται ΙΣΟ-ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ καµπύλες. Είναι οι γεωµετρικοί τόποι των (u, u 2 ) που δίνουν x =σταθ. Κατά µήκος κάθε ισοποσοτικής καµπύλης: dx u du = 0 φ φ u du + 2 = φ du2 u = du φ u 2 22

24 δηλαδή η κλίση της ισοποσοτικής είναι ίση µε το λόγο των Ο.Π. του προϊόντος ως προς τους 2 πόρους. Τα ίδια ισχύουν και για το προϊόν 2, δηλαδή φ2 du22 u2 = du φ 2 2 u 22 Αλλά για αποδοτική παραγωγή, οι 2 λόγοι είναι ίσοι. Άρα είναι ίσες και οι κλίσεις. Κάνουµε λοιπόν την εξής κατασκευή ( ΙΑΓΡΑΜΜΑ-ΠΛΑΙΣΙΟ) Ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων επαφής των ισοποσοτικών x = σταθ. µε τις ισοποσοτικές x 2 = σταθ. (όπου η παραγωγή είναι αποδοτική επειδή εκ κατασκευής οι κλίσεις είναι ίσες) λέγεται ΚΑΜΠΥΛΗ ΣΥΜΒΟΛΑΙΟΥ της µονάδας. 23

25 Αντίστροφα: Σηµεία εκτός της καµπύλης συµβολαίου δεν είναι αποδοτικά. (Από το µπορούµε να πάµε στο 2 δια µέσου της x 2 = σταθ. µε αύξηση του x ). Είναι προφανές ότι από την καµπύλη συµβολαίου µπορούµε πολύ εύκολα να φτιάξουµε την καµπύλη δυνατοτήτων παραγωγής. Μερικές συµπληρωµατικές παρατηρήσεις: φ2 φ2 dx2 u2 u22 = = dx φ φ u u2 (αποδεικνύεται εύκολα) ηλαδή: Για αποδοτική παραγωγή, η κλίση της Κ Π είναι ίση µε το λόγο των Ο.Π. των 2 προϊόντων ως προς οποιονδήποτε πόρο. (Ο λόγος αυτός ονοµάζεται και ΟΡΙΑΚΟΣ ΡΥΘΜΟΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ.) Ποιο θα είναι τελικά το «βέλτιστο» σηµείο παραγωγής; εν µπορεί να προσδιοριστεί από την µέχρι στιγµής ανάλυση (αυτό θα έπρεπε να αναµενόταν, άπαξ και δεν προσδιορίσαµε µια αντικειµενική συνάρτηση). Η ανάλυση µέχρι στιγµής προσδιόρισε το σύνολο των αποδοτικών σηµείων παραγωγής και όχι ένα µοναδικό σηµείο. Το ΠΟΙΟ θα είναι τελικά το σηµείο παραγωγής θα εξαρτηθεί από άλλους παράγοντες, που έχουν σχέση µε το τι γίνεται µετά (και πριν) την παραγωγή. Με βάση τις πληροφορίες που µέχρι στιγµής έχουµε, το µόνο που µπορούµε να πούµε είναι ποιο είναι το σύνολο των αποδοτικών σηµείων παραγωγής (η Κ Π). Αυτή η γνώση, ακόµα και µόνη της, είναι πολλές φορές µεγάλης σηµασίας για την παραγωγική µονάδα. 24

26 .2.2 Αποδοτική Αγορά Πόρων Οι τιµές της αγοράς δεν έχουν παίξει µέχρι στιγµής κανένα ρόλο στο πρόβληµά µας, γιατί η µονάδα είχε στη διάθεσή της σταθερές ποσότητες πόρων και το πρόβληµα ήταν η κατανοµή τους στα διάφορα προϊόντα. Τώρα εξετάζουµε µια κάπως διαφορετική περίπτωση: Όπως και πριν, η µονάδα παράγει n προϊόντα (x,,x n ) από m πόρους (u,,u m ), αλλά τώρα υποθέτουµε ότι η µονάδα µπορεί να αγοράσει οποιαδήποτε ποσότητα πόρων θέλει, µε καθορισµένες τιµές. Έστω w i η τιµή αγοράς πόρου i (w i = σταθ). Όπως και πριν, υποθέτουµε ότι η µονάδα δεν µπορεί (ή δεν θέλει) να προσδώσει αξίες (ή να «ζυγίσει») τα προϊόντα της, δηλαδή και εδώ δεν υπάρχει αντικειµενική συνάρτηση. Όµως, υποθέτουµε ότι αν τα ύψη των (x,,x n ) είναι σταθερά, η µονάδα θα προτιµούσε να µειώσει την εκταµίευση που πρέπει να κάνει για να έχει στη διάθεσή της αυτούς τους πόρους. Έτσι, το πρόβληµά της είναι m w i i= να Min u i µε ( u u ) x ( ) φ j j mj j,..., = j =,...,n λ j ( ) ui uin = ui i =,...,m µ i ( ) m n Λαγκρανζιανή (,..., ) Πολ. Lagr. m n L= wu i i λj φ j u j umj xj µ i uij + u i i= j= i= j= L u i = 0 w = µ i (σκιώδης τιµή του πόρου ισούται µε την τιµή αγοράς i i του πόρου) L φ φ = = u ij j ( ) w ( ) j 0 µ i- λj =0 i λj 0 uij uij Απαλείφοντας τα λ και για κάθε ζευγάρι πόρων (i, l) βγάζουµε τα εξής: φ ue φ u i φ2 φn ue2 uen = =... = = φ2 φn u u i2 in wl w i Το σηµαντικό σ αυτή τη σχέση είναι η τελευταία ισότητα. Τα υπόλοιπα τα γνωρίζουµε από πριν (ισο-οριακή αρχή για αποδοτική παραγωγή). Αυτό που 25

27 βλέπουµε τώρα είναι ότι ξέρουµε ακριβώς πόσος πρέπει να είναι ο (σταθερός) λόγος των Ο.Π. οποιουδήποτε προϊόντος ως προς δύο δεδοµένους πόρους: Για αποδοτική παραγωγή, πρέπει να είναι ίσος µε το λόγο των τιµών αγοράς των 2 πόρων. Αυτό µπορεί (όπως και πριν) να γραφεί και διαφορετικά, ως εξής: Για κάθε προϊόν j, ο λόγος φ u w j j φ j φ u2 j u = =... = w w 2 j mj m είναι ο ίδιος για όλους τους πόρους. ηλαδή, ο λόγος της Ο.Π. ενός προϊόντος ως προς ένα πόρο ανά µονάδα κόστους πόρου είναι ο ίδιος για όλους τους πόρους. (Μπορούµε εύκολα να δούµε ότι, αν αυτή η συνθήκη δεν ισχύει, υπάρχουν περιθώρια µείωσης του ολικού κόστους µε την παραγωγή σταθερή.) Λύνοντας το σύστηµα των εξισώσεων που προκύπτουν από το µηδενισµό των πρώτων παραγώγων της λαγκρανζιανής 3, µπορούµε να βγάλουµε τις ποσότητες πόρων u i που θα αγοράσει η µονάδα, συναρτήσει: - των τιµών αγοράς ( w,..., w m ), και - του επίπεδου της παραγωγής ( x ),..., x n. Η συνάρτηση αυτή, ui = di[ w,..., wm,,..., xn] x λέγεται ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΖΗΤΗΣΗΣ της µονάδας για τον πόρο i (δηλ. υπάρχουν m τέτοιες συναρτήσεις). Η συνάρτηση ζήτησης µας λέει την ποσότητα ενός πόρου που η µονάδα είναι διατεθειµένη να αγοράσει, συναρτήσει του επίπεδου τιµών (όλων των πόρων) και του επίπεδου της παραγωγής (όλων των προϊόντων). Εκφράζοντας τα u i συναρτήσει των w i και x j και αντικαθιστώντας στη συνάρτηση m i= wu i i (ολική εκταµίευση της µονάδας) παίρνουµε τη λεγόµενη ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΟΣΤΟΥΣ της µονάδας m ( n) = i i[ m n] Cx,..., x wd w,..., w, x,..., x. i= Αυτή µας λέει το ολικό (ελάχιστο) κόστος για την παραγωγή ενός δεδοµένου επίπεδου προϊόντων ( x ),..., x n. 3 Η επίλυση του συστήµατος αυτού µπορεί να είναι δύσκολη στη γενική περίπτωση. 26

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων &

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων & 5 η αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα: Η αποτελεί θεµελιώδες πρόβληµα σε κάθε σύγχρονη οικονοµία. Το πρόβληµα της αποδοτικής κατανοµής των πόρων µπορεί να εκφρασθεί µε 4 βασικά ερωτήµατα

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγός Οικονοµικής Ανάλυσης: Οικονοµική Αξιολόγηση των Επιλογών Καθαρότερης Παραγωγής

Οδηγός Οικονοµικής Ανάλυσης: Οικονοµική Αξιολόγηση των Επιλογών Καθαρότερης Παραγωγής Οδηγός Οικονοµικής Ανάλυσης: Οικονοµική Αξιολόγηση των Επιλογών Καθαρότερης Παραγωγής. Τι Προσφέρει ο Οδηγός; Καθοδήγηση σχετικά µε την οικονοµική ανάλυση των επιλογών καθαρότερης παραγωγής o Εισαγωγή:

Διαβάστε περισσότερα

Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ

Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΚΩΣΤΑΣ ΒΕΛΕΝΤΖΑΣ Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ. Μερικές έννοιες Η συνάρτηση παραγωγής (, ), όπου είναι το συνολικό προϊόν και και οι συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ II ΠΑΚΕΤΟ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΕΡΟΣ Ι: ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ II ΠΑΚΕΤΟ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΕΡΟΣ Ι: ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΠΛΟΙΟΥ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ II ΠΑΚΕΤΟ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΕΡΟΣ Ι: ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Μεγιστοποίηση της Χρησιμότητας

Μεγιστοποίηση της Χρησιμότητας Μεγιστοποίηση της Χρησιμότητας - Πρόβλημα Καταναλωτή: Επιλογή καταναλωτικού συνδυασμού x=(x, x ) υπό ένα σύνολο φυσικών, θεσμικών και οικονομικών περιορισμών κατά τρόπο ώστε να μεγιστοποιεί τη χρησιμότητά

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Ζήτηση για Ασφάλιση. Πλήρη κάλυψη.

4.1 Ζήτηση για Ασφάλιση. Πλήρη κάλυψη. 4. Ζήτηση για Ασφάλιση. Πλήρη κάλυψη. Η αγορά ασφαλιστικών συµφωνιών είναι µία ιδιαίτερη περίπτωση αγοράς δικαιωµάτων. Αντικείµενο της αγοράς αυτής είναι να δώσει την ευκαιρία µεταβίβασης εισοδήµατος από

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1)

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Το εσωτερικό ποσοστό απόδοσης (internal rate of return) ως κριτήριο αξιολόγησης επενδύσεων Προβλήµατα προκύπτουν όταν υπάρχουν επενδυτικές ευκαιρίες

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Τι ενδιαφέρει τον ιδιώτη

Τι ενδιαφέρει τον ιδιώτη ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΠΜΣ «Επιστήµη και Τεχνολογία Υδατικών Πόρων» Οικονοµικά του Περιβάλλοντος και των Υδατικών Πόρων Αξιολόγηση επενδύσεων Τι ενδιαφέρει τον ιδιώτη Πόσα χρήµατα θα επενδύσω; Πότε

Διαβάστε περισσότερα

ΖΗΤΗΣΗ, ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΚΑΙ ΙΣΣΟΡΟΠΙΑ ΑΓΟΡΑΣ

ΖΗΤΗΣΗ, ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΚΑΙ ΙΣΣΟΡΟΠΙΑ ΑΓΟΡΑΣ 1 ΚΦΑΛΑΙΟ 6 ΖΗΤΗΣΗ, ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΚΑΙ ΙΣΣΟΡΟΠΙΑ ΑΓΟΡΑΣ Οι καµπύλες ζήτησης και προσφοράς είναι αναγκαίες για να προσδιορίσουν την τιµή στην αγορά. Η εξοµοίωσή τους καθορίζει την τιµή και τη ποσότητα ισορροπίας,

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Α5. Όταν η ζήτηση για ένα αγαθό είναι ελαστική, τότε πιθανή αύξηση της τιµής του, θα οδηγήσει σε µείωση της καταναλωτικής δαπάνης για αυτό το αγαθό

Α5. Όταν η ζήτηση για ένα αγαθό είναι ελαστική, τότε πιθανή αύξηση της τιµής του, θα οδηγήσει σε µείωση της καταναλωτικής δαπάνης για αυτό το αγαθό ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΕΩΝ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 (για άριστα διαβασµένους) ΟΜΑ Α Α Να απαντήσετε στις επόµενες ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής A1. Σε γραµµική ΚΠ της µορφής Y =

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα Μεταφοράς ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Επιχειρησιακή Έρευνα

Πρόβληµα Μεταφοράς ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Επιχειρησιακή Έρευνα Πρόβληµα Μεταφοράς Η παρουσίαση προετοιµάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόµενα Παρουσίασης 1. Μοντέλο Προβλήµατος Μεταφοράς 2. Εύρεση Μιας Αρχικής Βασικής

Διαβάστε περισσότερα

Προσφορά Εργασίας Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας ( Χ,Α συνάρτηση χρησιμότητας U(X,A)

Προσφορά Εργασίας Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας ( Χ,Α συνάρτηση χρησιμότητας U(X,A) Προσφορά Εργασίας - Έστω ότι υπάρχουν δύο αγαθά Α και Χ στην οικονομία. Το αγαθό Α παριστάνει τα διάφορα καταναλωτικά αγαθά. Το αγαθό Χ παριστάνει τον ελεύθερο χρόνο. Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001

Μηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001 Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 3/2001 Μηχανική ΙI Λαγκρανζιανή συνάρτηση Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι ο δυναµικός νόµος του Νεύτωνα είναι ισοδύναµος µε την απαίτηση η δράση ως το ολοκλήρωµα της

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 ΤΟΜΟΣ Β ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 ΤΟΜΟΣ Β ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 ΤΟΜΟΣ Β ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Κεφάλαιο 1 Η ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ Επιτόκιο: είναι η αμοιβή του κεφαλαίου για κάθε μονάδα χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

Άριστες κατά Pareto Κατανομές

Άριστες κατά Pareto Κατανομές Άριστες κατά Pareto Κατανομές - Ορισμός. Μια κατανομή x = (x, x ) = (( 1, )( 1, )) ονομάζεται άριστη κατά Pareto αν δεν υπάρχει άλλη κατανομή x = ( x, x ) τέτοια ώστε: U j( x j) U j( xj) για κάθε καταναλωτή

Διαβάστε περισσότερα

Οικονοµία. Βασικές έννοιες και ορισµοί. Η οικονοµική επιστήµη εξετάζει τη συµπεριφορά

Οικονοµία. Βασικές έννοιες και ορισµοί. Η οικονοµική επιστήµη εξετάζει τη συµπεριφορά Οικονοµία Βασικές έννοιες και ορισµοί Οικονοµική Η οικονοµική επιστήµη εξετάζει τη συµπεριφορά των ανθρώπινων όντων αναφορικά µε την παραγωγή, κατανοµή και κατανάλωση υλικών αγαθών και υπηρεσιών σε έναν

Διαβάστε περισσότερα

Η τεχνική της Καθαρής Παρούσας Αξίας ( Net Present Value)

Η τεχνική της Καθαρής Παρούσας Αξίας ( Net Present Value) Η τεχνική της Καθαρής Παρούσας Αξίας ( Net Present Value) Σύμφωνα με αυτή την τεχνική θα πρέπει να επιλέγουμε επενδυτικά σχέδια τα οποία έχουν Καθαρή Παρούσα Αξία μεγαλύτερη του μηδενός. Συγκεκριμένα δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 R (2, 3) R (3, 0)

Κεφάλαιο 5 R (2, 3) R (3, 0) Κεφάλαιο 5 Θα ξεκινήσουµε το κεφάλαιο αυτό βλέποντας ένα ακόµη παράδειγµα αναφορικά µε την ισορροπία που προκύπτει από την οπισθογενή επαγωγή (backwards induction) και την ισορροπία κατά Nash στην στρατηγική

Διαβάστε περισσότερα

Η προσδοκώµενη χρησιµότητα του κέρδους όταν η πιθανότητα η τιµή του προϊόντος Ρ1 είναι ψ, χ το επίπεδο παραγωγής και c(x) η συνάρτηση κόστους, είναι

Η προσδοκώµενη χρησιµότητα του κέρδους όταν η πιθανότητα η τιµή του προϊόντος Ρ1 είναι ψ, χ το επίπεδο παραγωγής και c(x) η συνάρτηση κόστους, είναι 3. Θεωρία της Επιχείρησης 3. Η Ανταγωνιστική Επιχείρηση. Το τµήµα αυτό έχει δύο στόχους. Πρώτα να δείξει ότι αν υπάρχει ουδετερότητα απέναντι στον κίνδυνο, τότε η µέση αξία ενός αβέβαιου γεγονότος είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Αξιολόγησης Επενδύσεων:

Μέθοδοι Αξιολόγησης Επενδύσεων: TΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΠΑΡΑ ΟΣΕΙΣ V. Βασικές Μέθοδοι Αξιολόγησης Επενδύσεων. ιδάσκων, Μακρυγιωργάκης Μάριος BSc, ΜΒΑ, MSc, PhD-c. Μέθοδοι Αξιολόγησης Επενδύσεων: Οι επενδυτικές αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου 200-04-25. ιαδικασίες γεννήσεων-θανάτων. Ορισµός Οι διαδικασίες γεννήσεων-θανάτων (birth-death rocesses) αποτελούν µια σπουδαία κλάση αλυσίδων Markov (διακριτού ή συνεχούς χρόνου). Η ιδιαίτερη συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ Σάββατο Proslipsis.gr ΚΛΑ ΟΣ ΠΕ 18 ΠΤΥΧΙΟΥΧΩΝ ΛΟΙΠΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ ΤΕΙ

ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ Σάββατο Proslipsis.gr ΚΛΑ ΟΣ ΠΕ 18 ΠΤΥΧΙΟΥΧΩΝ ΛΟΙΠΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ ΤΕΙ ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2002 ΚΛΑ ΟΣ ΠΕ 18 ΠΤΥΧΙΟΥΧΩΝ ΛΟΙΠΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ ΤΕΙ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΕΣ: ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ, ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ, ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια.

Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια. Kεφάλαιο 10 Θα δούµε ένα δύο παραδείγµατα να ορίσουµε/ µετρήσουµε τα υποπαίγνια και µετά θα λύσουµε και να βρούµε αυτό που λέγεται τέλεια κατά Nash ισορροπία. Εδώ θα δούµε ένα παίγνιο όπου έχουµε µια επιχείρηση

Διαβάστε περισσότερα

Α. Αυτάρκης Οικονομία

Α. Αυτάρκης Οικονομία σελ. από 9 Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Οικονομικής Επιστήμης Μάθημα: 473 Διεθνής Οικονομική Εαρινό Εξάμηνο 05 Καθηγητής: Γιώργος Αλογοσκούφης Φροντιστής: Αλέκος Παπαδόπουλος 8/5/05 Διαγραμματική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Εξέταση Φεβρουαρίου 2012 / ιάρκεια: 2 ώρες ιδάσκοντες: Μ. Αθανασίου, Γ.

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ I

4. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ I Χρηματοοικονομική Διοίκηση I 4. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ I 1 Είδη Επενδύσεων Χρηματιστηριακές και Επενδύσεις Παγίων Είναι κάθε τοποθέτηση διαθεσίμων κεφαλαίων σε ενεργητικά στοιχεία μακράς χρονικής

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονομική Ι. Ενότητα # 8: Αγορές κεφαλαίου και γης Διδάσκων: Πάνος Τσακλόγλου Τμήμα: Διεθνών και Ευρωπαϊκών Οικονομικών Σπουδών

Μικροοικονομική Ι. Ενότητα # 8: Αγορές κεφαλαίου και γης Διδάσκων: Πάνος Τσακλόγλου Τμήμα: Διεθνών και Ευρωπαϊκών Οικονομικών Σπουδών Μικροοικονομική Ι Ενότητα # 8: Αγορές κεφαλαίου και γης Διδάσκων: Πάνος Τσακλόγλου Τμήμα: Διεθνών και Ευρωπαϊκών Οικονομικών Σπουδών Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ. Από το βιβλίο: Κώστογλου, Β. (2015). Επιχειρησιακή Έρευνα. Θεσσαλονίκη: Εκδόσεις Τζιόλα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ. Από το βιβλίο: Κώστογλου, Β. (2015). Επιχειρησιακή Έρευνα. Θεσσαλονίκη: Εκδόσεις Τζιόλα ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ 1 Εισαγωγικά Απόθεμα εννοείται κάθε είδους αγαθό, το οποίο μπορεί να αποθηκευτεί με στόχο την τρέχουσα ή μελλοντική χρησιμοποίησή του. Αποθέματα συναντώνται σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Το επάγγελµα του Ναυπηγού. Χαρίλαος Ν. Ψαραύτης Καθηγητής Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Το επάγγελµα του Ναυπηγού. Χαρίλαος Ν. Ψαραύτης Καθηγητής Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Το επάγγελµα του Ναυπηγού Χαρίλαος Ν. Ψαραύτης Καθηγητής Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τι είναι ο ναυπηγός; Ο ναυπηγός είναι µηχανικός µε αντικείµενο το πλοίο και την τεχνολογία της ναυτιλίας Ναυτιλία ιακινεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 3. Οικονομικά της ευημερίας. Οικονομικά της ευημερίας 3/9/2017. Περίγραμμα. Εργαλεία δεοντολογικής ανάλυσης

Διάλεξη 3. Οικονομικά της ευημερίας. Οικονομικά της ευημερίας 3/9/2017. Περίγραμμα. Εργαλεία δεοντολογικής ανάλυσης Περίγραμμα Διάλεξη Εργαλεία δεοντολογικής ανάλυσης Συνθήκες για αποτελεσματικότητα κατά areto Συνθήκες για ισορροπία σε ανταγωνιστικές αγορές Το πρώτο θεώρημα των οικονομικών της ευημερίας Το δεύτερο θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

Πολιτική Οικονομία Ενότητα

Πολιτική Οικονομία Ενότητα ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 03: Ζήτηση και προσφορά αγαθών Πολυξένη Ράγκου Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 11 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οικονομικές Συναρτήσεις με μεταβλητούς ρυθμούς

Διαβάστε περισσότερα

3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ 3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ

3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ 3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ Kεφάλαιο 11 Θα επαναλάβουµε αυτά που είχαµε πει την προηγούµενη φορά. Παραστατικά αν έχουµε το εξής παίγνιο όπου οι δύο παίχτες παίρνουν ταυτόχρονα τις αποφάσεις τους αφού αποφασίσει ο Ι, θα δούµε πόσα

Διαβάστε περισσότερα

1 ου πακέτου. Βαθµός πακέτου

1 ου πακέτου. Βαθµός πακέτου ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Χειµώνας-Άνοιξη Μάθηµα: ηµόσια Οικονοµική ιδασκαλία: Βασίλης Θ. Ράπανος Γεωργία Καπλάνογλου Μετά και το 4 ο πακέτο, πρέπει να στείλετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 3: Έστω η συνάρτηση χρησιμότητας για δύο αγαθά Χ και Υ έχει τη μορφή Cobb- Douglas U (X,Y) = X o,5 Y 0,5

Άσκηση 3: Έστω η συνάρτηση χρησιμότητας για δύο αγαθά Χ και Υ έχει τη μορφή Cobb- Douglas U (X,Y) = X o,5 Y 0,5 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Σημείωση: Κάποιες από τις παρακάτω ασκήσεις θα λυθούν στην 3 η και 4 η διάλεξη του μαθήματος (στις ημερομηνίες που αναγράφονται στο πρόγραμμα) και οι υπόλοιπες θα αποτελέσουν προσωπική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ-ΜΑΘΗΜΑ ΠΕΜΠΤΟ-ΕΚΤΟ ΕΚΤΟ ΘΕΩΡΙΑ ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ-ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΤΟΥ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Ακαδηµαϊκό Έτος 2011-2012 ΕΠΙΧ Μικροοικονοµική

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονοµική Θεωρία ΙΙΙ (1/4) Ενότητα # ΧΧΧ : Μικροοικονοµική

Μικροοικονοµική Θεωρία ΙΙΙ (1/4) Ενότητα # ΧΧΧ : Μικροοικονοµική ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Μικροοικονοµική Θεωρία ΙΙΙ (1/4) Ενότητα # ΧΧΧ : Μικροοικονοµική Βαγγέλης Τζουβελέκας Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Β. Τζουβελέκας Μικροοικονοµική Θεωρία ΙΙΙ (1/4)

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Ανταγωνιστική Ισορροπία και Αποτελεσματικές κατά Pareto Κατανομές σε Ανταλλακτική Οικονομία

Γενική Ανταγωνιστική Ισορροπία και Αποτελεσματικές κατά Pareto Κατανομές σε Ανταλλακτική Οικονομία Γενική Ανταγωνιστική Ισορροπία και Αποτελεσματικές κατά Pareto Κατανομές σε Ανταλλακτική Οικονομία Βασικές Υποθέσεις (i) Οι αγορές όλων των αγαθών είναι τέλεια ανταγωνιστικές. Οι καταναλωτές και οι επιχειρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονοµική Θεωρία

Μικροοικονοµική Θεωρία Μικροοικονοµική Θεωρία Ειδικά Θέµατα της Θεωρίας της Συµπεριφοράς του Καταναλωτή Το Συνολικό Αποτέλεσµα. Το Αποτέλεσµα Υποκατάστασης. Το Εισοδηµατικό Αποτέλεσµα. Κανονικά Αγαθά. Κατώτερα Αγαθά. Παράδοξο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ. Θεωρία Χρησιµότητας και Συµπεριφοράς του Καταναλωτή

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ. Θεωρία Χρησιµότητας και Συµπεριφοράς του Καταναλωτή ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Θεωρία Χρησιµότητας και Συµπεριφοράς του Καταναλωτή Εισαγωγή: Όπως γνωρίζουµε, το οικονοµικό πρόβληµα εστιάζεται στην αποτελεσµατική κατανοµή των ανεπαρκών οικονοµικών πόρων στις εναλλακτικές

Διαβάστε περισσότερα

Ατομικές Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας - Έστω x=(x 1,,x n ) ένας καταναλωτικός συνδυασμός, όπου x i η ποσότητα του αγαθού i που καταναλώνει

Ατομικές Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας - Έστω x=(x 1,,x n ) ένας καταναλωτικός συνδυασμός, όπου x i η ποσότητα του αγαθού i που καταναλώνει Ατομικές Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας - Έστω x=(x,,x n ) ένας καταναλωτικός συνδυασμός, όπου x i η ποσότητα του αγαθού i που καταναλώνει το άτομο (i =,,n). - Πρόβλημα καταναλωτή: Κάθε άτομο (καταναλωτής)

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικά Μοντέλα Επιλογής Έργων

Αριθμητικά Μοντέλα Επιλογής Έργων Αριθμητικά Μοντέλα Επιλογής Έργων Διακρίνονται σε χρηματοοικονομικά μοντέλα και σε μοντέλα βαθμολόγησης. Τα χρηματοοικονομικά μοντέλα είναι: Περίοδος αποπληρωμής επενδεδυμένων κεφαλαίων (Payback Period)

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων 1. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις µόνο µε αριθµούς, λέγεται αριθµητική παράσταση. Παράδειγµα: + + 1 =. είναι µια αριθµητική παράσταση, το αποτέλεσµα των

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Μικροοικονοµική. Εισαγωγή. Ο ρόλος των υποθέσεων (assumptions) 2. Η ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΤΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

Εισαγωγή. Μικροοικονοµική. Εισαγωγή. Ο ρόλος των υποθέσεων (assumptions) 2. Η ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΤΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Εισαγωγή Μικροοικονοµική 2η Εισήγηση 2. Η ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΤΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η επιστηµονική µέθοδος που ακολουθείται στην Οικονοµική βασίζεται στην αλληλεπίδραση µεταξύ θεωρίας και παρατήρησης.

Διαβάστε περισσότερα

2o Μάθηµα. Χαράλαµπος Χρήστου 1/7 Σηµειώσεις: ηµόσια Οικονοµική Ι/2 ο Μάθηµα

2o Μάθηµα. Χαράλαµπος Χρήστου 1/7 Σηµειώσεις: ηµόσια Οικονοµική Ι/2 ο Μάθηµα 2o Μάθηµα Αναφέραµε στο πρώτο µάθηµα τρόπους µε τους οποίους το κράτος επηρεάζει την οικονοµική συµπεριφορά µας. (νοµικό πλαίσιο, το κράτος αγοράζει και παράγει αγαθά και υπηρεσίες, ρυθµίζει τις πολιτικές

Διαβάστε περισσότερα

11.1.2 Κριτήρια αξιολόγησης επενδύσεων

11.1.2 Κριτήρια αξιολόγησης επενδύσεων Επιχειρησιακό Πρόγραμμα Εκπαίδευση και ια Βίου Μάθηση Πρόγραμμα ια Βίου Μάθησης ΑΕΙ για την Επικαιροποίηση Γνώσεων Αποφοίτων ΑΕΙ: Σύγχρονες Εξελίξεις στις Θαλάσσιες Κατασκευές Α.Π.Θ. Πολυτεχνείο Κρήτης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Στο παρόν είναι συγκεντρωµένες όλες σχεδόν οι ερωτήσεις κλειστού τύπου που

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

Η οικονοµία στην Μακροχρόνια Περίοδο Τι είναι το κλασσικό υπόδειγµα;

Η οικονοµία στην Μακροχρόνια Περίοδο Τι είναι το κλασσικό υπόδειγµα; Η οικονοµία στην Μακροχρόνια Περίοδο Τι είναι το κλασσικό υπόδειγµα; Είναι ένα αρκετά απλό αλλά συνάµα θεωρητικά ισχυρό υπόδειγµα δοµηµένο γύρω από αγοραστές και πωλητές οι οποίοι επιδιώκουν τους δικούς

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1)

Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1) Τηλ:10.93.4.450 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Α Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1) ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 01 Τηλ:10.93.4.450 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής Ορισμός : Συνάρτηση f μιας πραγματικής

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 2η:Επιλογή Έργου

Διάλεξη 2η:Επιλογή Έργου Τµ. Διοίκησης Επιχειρήσεων/Μεσολόγγι ΤΕΙ Δυτ. Ελλάδας Διαχείριση Έργων Πληροφορικής Διάλεξη 2η:Επιλογή Έργου Β. Βασιλειάδης Τµ. Διοικ. Επιχειρήσεων, ΤΕΙ Δυτ. Ελλάδας Μελέτη Σκοπιµότητας Ø Τι είναι: Ø Τεκµηρίωση

Διαβάστε περισσότερα

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional).

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional). 3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ Η Μέθοδος των Πεπερασµένων Στοιχείων Σηµειώσεις 3. Ενεργειακή θεώρηση σε συνεχή συστήµατα Έστω η δοκός του σχήµατος, µε τις αντίστοιχες φορτίσεις. + = p() EA = Q Σχήµα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονοµική Θεωρία. Συνάρτηση και καµπύλη κόστους. Notes. Notes. Notes. Notes. Κώστας Ρουµανιάς. 22 Σεπτεµβρίου 2014

Μικροοικονοµική Θεωρία. Συνάρτηση και καµπύλη κόστους. Notes. Notes. Notes. Notes. Κώστας Ρουµανιάς. 22 Σεπτεµβρίου 2014 Μικροοικονοµική Θεωρία Κώστας Ρουµανιάς Ο.Π.Α. Τµήµα. Ε. Ο. Σ. 22 Σεπτεµβρίου 2014 Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Μικροοικονοµική Θεωρία 22 Σεπτεµβρίου 2014 1 / 49 Συνάρτηση και καµπύλη κόστους Πολύ χρήσιµες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7ο. max(p 1 c)(α bp 1 +dp 2 )

Κεφάλαιο 7ο. max(p 1 c)(α bp 1 +dp 2 ) Κεφάλαιο 7ο Μιλήσαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο για το τι θα συµβεί αν οι επιχειρήσεις ανταγωνίζονται σε τιµές. Επιπλέον µιλήσαµε για το πως αποδεικνύεται το παράδοξο του Bertrand και καθώς επίσης και για

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΜΠΥΛΗ ENGEL ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΤΑ MARSHALL ΚΑΙ HICKS. 1. Η καµπύλη Engel

ΚΑΜΠΥΛΗ ENGEL ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΤΑ MARSHALL ΚΑΙ HICKS. 1. Η καµπύλη Engel ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΚΩΣΤΑΣ ΒΕΛΕΝΤΖΑΣ ΚΑΜΠΥΛΗ ENGEL ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΤΑ ARSALL ΚΑΙ ICKS. Η καµπύλη Egel Η καµπύλη Egel παράγεται από την

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 0-0 Δεύτερη Γραπτή Εργασία Επιχειρησιακά Μαθηματικά Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1. Μικροοικονοµική 5. ΖΗΤΗΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΦΟΡΑ. 5η Εισήγηση. Αξία ραδιοφώνων. Αριθµός ραδιοφώνων που χάνονται κάθε εβδοµάδα

Άσκηση 1. Μικροοικονοµική 5. ΖΗΤΗΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΦΟΡΑ. 5η Εισήγηση. Αξία ραδιοφώνων. Αριθµός ραδιοφώνων που χάνονται κάθε εβδοµάδα Αριθµός φυλάκων Αριθµός ραδιοφώνων που χάνονται κάθε Άσκηση 1 Αξία ραδιοφώνων που χάνονται κάθε Πρόσθετο όφελος από κάθε φρουρό 0 100 1000 1 70 700 300 2 50 500 200 3 40 400 100 4 32 320 80 5 25 250 70

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 16/5/2000 Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Στη Χαµιλτονιανή θεώρηση η κατάσταση του συστήµατος προσδιορίζεται κάθε στιγµή από ένα και µόνο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

3. Παίγνια Αλληλουχίας

3. Παίγνια Αλληλουχίας 3. Παίγνια Αλληλουχίας Τα παίγνια αλληλουχίας πραγµατεύονται περιπτώσεις όπου οι κινήσεις των παικτών διαδέχονται η µια την άλλη, σε αντίθεση µε τα παίγνια όπου οι αποφάσεις των παικτών γίνονται ταυτόχρονα

Διαβάστε περισσότερα

Εκτίµηση και Οµόλογα. Κεφάλαιο. 6.1 Εκτίµηση και Κόστος Ευκαιρίας Κεφαλαίου

Εκτίµηση και Οµόλογα. Κεφάλαιο. 6.1 Εκτίµηση και Κόστος Ευκαιρίας Κεφαλαίου 1. Κεφάλαιο 6 Εκτίµηση και Οµόλογα 6.1 Εκτίµηση και Κόστος Ευκαιρίας Κεφαλαίου Είναι καµιά φορά δύσκολο να εξηγήσει κανείς τι σηµαίνει παρούσα αξία σε κάποιον που δεν το έχει µελετήσει. Αλλά, όπως έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΡΓΩΝ Α Ξ Ι Ο Λ Ο Γ Η Σ Η Ε Ρ Γ Ω Ν. ΡΟΜΠΟΓΙΑΝΝΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ, PhD.

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΡΓΩΝ Α Ξ Ι Ο Λ Ο Γ Η Σ Η Ε Ρ Γ Ω Ν. ΡΟΜΠΟΓΙΑΝΝΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ, PhD. ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΡΓΩΝ Α Ξ Ι Ο Λ Ο Γ Η Σ Η Ε Ρ Γ Ω Ν ΡΟΜΠΟΓΙΑΝΝΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ, PhD. ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΡΓΩΝ Κάθε έργο αποτελεί ένα οικονομικό μηχανισμό, ο οποίος αναλώνει, αλλά και παράγει χρήμα. Οι εμπλεκόμενοι στο έργο

Διαβάστε περισσότερα

Η επιστήμη της επιλογής υπό περιορισμούς

Η επιστήμη της επιλογής υπό περιορισμούς ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΙΙ ΓΡΗΓΟΡΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 26/2/2010 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η επιστήμη της επιλογής υπό περιορισμούς 26/2/2010 2 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η μελέτη των επιλογών τις οποίες κάνουν οι μικρο-μονάδες μιας οικονομίας

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΩΣΗ ΘΕΣΕΩΝ ΗΜΟΣΙΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΚΑΙ ΝΟΜΙΚΩΝ ΠΡΟΣΩΠΩΝ ΤΟΥ ΗΜΟΣΙΟΥ TOMEΑ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΕ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: «OIKONOMIKH»

ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΩΣΗ ΘΕΣΕΩΝ ΗΜΟΣΙΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΚΑΙ ΝΟΜΙΚΩΝ ΠΡΟΣΩΠΩΝ ΤΟΥ ΗΜΟΣΙΟΥ TOMEΑ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΕ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: «OIKONOMIKH» ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΩΣΗ ΘΕΣΕΩΝ ΗΜΟΣΙΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΚΑΙ ΝΟΜΙΚΩΝ ΠΡΟΣΩΠΩΝ ΤΟΥ ΗΜΟΣΙΟΥ TOMEΑ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΕ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: «OIKONOMIKH»

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ / ΕΠΙΛΟΓΗΣ Α1. α. Λάθος β. Σωστό γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό Α2. δ Α3. β Ηµεροµηνία: Κυριακή 4 Μαΐου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΟΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μεταβιβάσιµες Άδειες Ρύπανσης (Tradeable Emission Permits) Ας θεωρήσουµε και πάλι ότι υπάρχουν επιχειρήσεις n, ( i 1,2,..., n)

Μεταβιβάσιµες Άδειες Ρύπανσης (Tradeable Emission Permits) Ας θεωρήσουµε και πάλι ότι υπάρχουν επιχειρήσεις n, ( i 1,2,..., n) : Άδειες ή ικαιώµατα Ρύπανσης Μεταβιβάσιµες Άδειες Ρύπανσης (Tdeble Emsso Pemts) Ας θεωρήσουµε και πάλι ότι υπάρχουν επιχειρήσεις, (,,..., ) =, που ευθύνονται για την παραγωγή αποβλήτων (ρύπων) ποσότητας,

Διαβάστε περισσότερα

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας 7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 3. Οικονομικά της ευημερίας 2/26/2016. Περίγραμμα. Εργαλεία δεοντολογικής ανάλυσης. Αποτελεσματικότητα κατά Pareto: ορισμός. ορισμός.

Διάλεξη 3. Οικονομικά της ευημερίας 2/26/2016. Περίγραμμα. Εργαλεία δεοντολογικής ανάλυσης. Αποτελεσματικότητα κατά Pareto: ορισμός. ορισμός. Περίγραμμα Διάλεξη Εργαλεία δεοντολογικής ανάλυσης υνθήκες για αποτελεσματικότητα κατά areto υνθήκες για ισορροπία σε ανταγωνιστικές αγορές Το πρώτο θεώρημα των οικονομικών της ευημερίας Το δεύτερο θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηριστικά μεταλλευτικής

Χαρακτηριστικά μεταλλευτικής ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Μηχ. Μεταλλείων - Μεταλλουργών Χαρακτηριστικά μεταλλευτικής Αξιολόγηση Επενδυτικών Σχεδίων Αυξημένος επιχειρηματικός κίνδυνος Αβεβαιότητα στοιχείων ιακυμάνσεις τιμών μετάλλων,

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων:

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Φάμπιο Αντωνίου Στοιχεία Επικοινωνίας: email: fantoniou@cc.uoi.gr Τηλ:651005954 Προσωπική Ιστοσελίδα: fantoniou.wordpress.com Γραφείο: Κτίριο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 Ε_3.Αλ3Ε(ε) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ / ΕΠΙΛΟΓΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 4 Μαΐου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΕΠΙΛΟΓΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 25 ΜΑΪΟΥ 2016 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ ΟΜΑ Α ΕΥΤΕΡΗ ÌÁÈÅÉÍ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΕΠΙΛΟΓΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 25 ΜΑΪΟΥ 2016 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ ΟΜΑ Α ΕΥΤΕΡΗ ÌÁÈÅÉÍ ΘΕΜΑ Α ΑΡΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΕΠΙΛΟΓΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 25 ΜΑΪΟΥ 2016 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ Α1. α. Σωστό β. Λάθος γ. Σωστό δ. Σωστό ε. Λάθος Α2. α Α3. γ ΘΕΜΑ Β ΟΜΑ Α ΕΥΤΕΡΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Πρόβληµα µεταφοράς Η ανάπτυξη και διαµόρφωση του προβλήµατος µεταφοράς αναπτύσσεται στις σελίδες 40-45 του βιβλίου των

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ ΙΙΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΑΙ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ

ΜΕΡΟΣ ΙΙΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΑΙ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ ΜΕΡΟΣ ΙΙΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΑΙ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ Τεχνολογία και Συναρτήσεις Παραγωγής -H πλευρά της προσφοράς στην οικονομία μελετάει τη διαδικασία παραγωγής των αγαθών και υπηρεσιών που καταναλώνονται από τα

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε φθηνότερη διαδροµή µε µη γραµµικό κόστος

Κίνηση σε φθηνότερη διαδροµή µε µη γραµµικό κόστος υποδο?ών?εταφράζεταισε?ίαγενικότερηεξοικονό?ησηπαραγωγικώνπόρωνγιατηκοινωνία. τεχνικέςυποδο?ές,όπωςείναιαυτοκινητόδρο?οι,γέφυρεςκ.λ.π.ηκατασκευήτέτοιων Μιααπ τιςβασικέςλειτουργίεςτουκράτουςείναιοεφοδιασ?όςτηςκοινωνίας?εβασικές

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. Μικροοικονοµικής Θεωρίας ΙΙΙ (ΜΙΚΟ 201)

Σηµειώσεις. Μικροοικονοµικής Θεωρίας ΙΙΙ (ΜΙΚΟ 201) Σηµειώσεις Μικροοικονοµικής Θεωρίας ΙΙΙ (ΜΙΚΟ 201) «Γενική Ισορροπία του Πλήρους Ανταγωνισµού» Βαγγέλης Τζουβελέκας Ρέθυµνο, 2003 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΓΕΝΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΤΟΥ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΥ 2.1 Γενική Ισορροπία

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Η Διαχρονική Προσέγγιση στο Ισοζύγιο Πληρωµών

Κεφάλαιο 4 Η Διαχρονική Προσέγγιση στο Ισοζύγιο Πληρωµών Κεφάλαιο 4 Η Διαχρονική Προσέγγιση στο Ισοζύγιο Πληρωµών Η διαχρονική προσέγγιση ξεκινά προσδιορίζοντας τις τεχνολογικές και αγοραίες δυνατότητες µιας οικονοµίας να επιλέγει την κατανοµή της κατανάλωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα