ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ I

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ I"

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΠΛΟΙΟΥ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ I ΧΑΡΙΛΑΟΣ Ν. ΨΑΡΑΥΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Ε.Μ.Π. ΑΘΗΝΑ, ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2005

2 Χαρίλαος Ν. Ψαραύτης, 2005

3 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ :ΣΥΝΤΟΜΗ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 6. ΘΕΩΡΙΑ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE 6.2 ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ 2.2. «Αποδοτική» Χρήση Σταθερών Ποσοτήτων Πόρων Αποδοτική Αγορά Πόρων Αποδοτική Πώληση Προϊόντων Αγορά Πόρων, Πώληση Προϊόντων& Μεγιστοποίηση του Κέρδους 30.3 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗΣ Μεγιστοποίηση Χρησιµότητας Υπό Καθορισµένο Εισόδηµα ιαχρονικές Προτιµήσεις Κατανάλωσης 34.4 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ Καθαρή Παρούσα Αξία (NET PRESENT VALUE- NPV) Εσωτερικός Βαθµός Απόδοσης (INTERNAL RATE OF RETURN, IRR) Συντελεστής Ανάκτησης Κεφαλαίου (CAPITAL RECOVERY FACTOR, CRF) Περίοδος Αποπληρωµής (PAYBACK PERIOD) Απαιτούµενος Ναύλος (REQUIRED FREIGHT RATE-RFR) Συµπληρωµατικές Παρατηρήσεις για την ΚΠΑ 43 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2:Η ΝΑΥΛΑΓΟΡΑ CHARTER ΙΑΦΟΡΕΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΥΟ ΝΑΥΛΑΓΟΡΩΝ ΕΙ Η ΝΑΥΛΩΝ ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΑΙΩΝ Η ΝΑΥΛΑΓΟΡΑ TANKERS Ο είκτης WORLDSCALE Iσοδυναµία Στιγµιαίου Ναύλου µε Ναύλο Προθεσµίας Συµπεριφορά των Στιγµιαίων Ναύλων (προκαταρκτικά) Συµπεριφορά Ναύλων Προθεσµίας οµή της Ναυλαγοράς Tanker Συµπληρωµατικές Παρατηρήσεις ΕΝΑ ΜΟΝΤΕΛΟ ΓΙΑ ΤΟ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ ΙΚΤΥΟ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΠΕΤΡΕΛΑΙΟΥ 62 2

4 2.4. Ελαχιστοποίηση του Μεταφορικού Κόστους ΟΙ ΝΑΥΛΑΓΟΡΕΣ ΞΗΡΟΥ ΦΟΡΤΙΟΥ Γενική Περιγραφή Κατηγορίες Εµπορευµάτων οµή της Αγοράς ιαµόρφωση των ναύλων 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3:Η ΝΑΥΛΑΓΟΡΑ LINER ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΚΟΙΝΟΠΡΑΞΙΩΝ ΤΡΟΠΟΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΟΙΝΟΠΡΑΞΙΩΝ ΟΜΗ ΑΓΟΡΑΣ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΎΨΟΥΣ ΝΑΥΛΟΥ KΑΤΑΝΟΜΗ ΤΟΥ ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΟΥ ΚΟΣΤΟΥΣ ΚΟΙΝΟΠΡΑΞΙΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΣΣΟΜΕΝΕΣ ΧΩΡΕΣ ΠΡΟΟΠΤΙΚΕΣ 83 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4:ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ 86 Ελεύθερο εµπόριο / ασµοί 9 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α :ΣΕΙΡΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β :ΣΥΝΑΦΗΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΠΗΓΕΣ 08 3

5 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παρόν βιβλίο, Οικονοµική Θαλασσίων Μεταφορών Ι, προορίζεται ως βοήθηµα του οµώνυµου προπτυχιακού µαθήµατος της Σχολής Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχανικών του Εθνικού Μετσοβίου Πολυτεχνείου. Το µάθηµα αυτό είναι υποχρεωτικό στο 7 ο εξάµηνο του προπτυχιακού προγράµµατος, και είναι το εισαγωγικό µάθηµα σειράς τριών µαθηµάτων, τα οποία περιλαµβάνουν στη συνέχεια τα κατ επιλογήν υποχρεωτικά µαθήµατα Οικονοµική Θαλασσίων Μεταφορών ΙΙ (8 ο εξάµηνο) και Οικονοµική Θαλασσίων Μεταφορών ΙΙΙ: Περιβαλλοντική Ανάλυση και Ασφάλεια (9 ο εξάµηνο). Αυτά τα τρία µαθήµατα εντάσσονται στο ευρύτερο φάσµα των προπτυχιακών µαθηµάτων που προσφέρει η επιστηµονική περιοχή των Θαλασσίων Μεταφορών στη Σχολή. Η ύλη του παρόντος βιβλίου αποτελεί επικαιροποίηση και αναβάθµιση του πακέτου σηµειώσεων που µοιράζεται κάθε χρόνο στους σπουδαστές του οµώνυµου µαθήµατος (τελευταία έκδοση: 999) και συντάχθηκε κατά κύριο λόγο µε βάση την ύλη των παραδόσεων του µαθήµατος. Καθ όσον η τελευταία εξελίσσεται δυναµικά, µε κύριο παράδειγµα την µεταφορά γνώσης που παράγεται από την πάσης φύσεως έρευνα που διεξάγεται από την επιστηµονική περιοχή των Θαλασσίων Μεταφορών της Σχολής, η ύλη του βιβλίου δεν µπορεί σε καµία περίπτωση να υποκαταστήσει όλα όσα παρουσιάζονται στην τάξη, και τα οποία µόνο µε τη συστηµατική παρουσία του σπουδαστή µπορούν να γίνουν επαρκώς αντιληπτά. Ούτε το βιβλίο µπορεί να υποκαταστήσει τη συµπληρωµατική γνώση που ο σπουδαστής από µόνος του, µε έναυσµα το µάθηµα αυτό, µπορεί να αποκτήσει. Περισσότερα για την ευρεία αυτή περιοχή και τις σχετικές δραστηριότητες στο ΕΜΠ, περιλαµβανόµενων και όλων των µαθηµάτων που προσφέρει η περιοχή των Θαλασσίων Μεταφορών, καθώς και σχετικών συνδέσµων, ερευνητικών προγραµµάτων και βιβλιογραφίας, µπορούν να βρεθούν στο δικτυακό τόπο Άπαξ και µια από τις υπηρεσίες του δικτυακού αυτού τόπου είναι (µεταξύ άλλων) η σταδιακή ανάρτηση του εκπαιδευτικού υλικού όλων των µαθηµάτων που προσφέρονται από την περιοχη, είναι περισσότερο από πιθανό ότι το περιεχόµενο του παρόντος βιβλίου (αλλά και των τυχόν επανεκδόσεών του στο µέλλον) θα υπολείπεται, και σε πληρότητα και σε επικαιρότητα, εκείνου που θα είναι κατά καιρούς αναρτηµένο στις αντίστοιχες ιστοσελίδες. Η δοµή του µαθήµατος, άρα και του βιβλίου αυτού, ακολουθεί σε πολλά σηµεία εκείνη του µεταπτυχιακού µαθήµατος Economics of Ocean Transportation, όπως το δίδαξα στο ΜΙΤ την περίοδο , στην αρχή από κοινού µε τον αείµνηστο συνάδελφο Ζήνωνα Ζαννέτο του Sloan School of Management, και µετά µόνος µου. Μεθοδολογικά, πολλά σηµεία του µαθήµατος βασίζονται στο πλαίσιο που ο προκάτοχός µου στο Department of Ocean Engineering του ΜΙΤ Jack Devanney είχε χρησιµοποιήσει όταν παλαιότερα δίδασκε το µάθηµα Marine Transportation Economics σε µεταπτυχιακούς σπουδαστές όπως εγώ. Όπως και τα µαθήµατα εκείνα, έτσι και η Οικονοµική Θαλασσίων Μεταφορών Ι βλέπει το αντικείµενό της υπό καθεστώς βεβαιότητας, µε πιθανοθεωρητικές προσεγγίσεις να εισάγονται από την Οικονοµική Θαλασσίων Μεταφορών ΙΙ, και εξής. Το πεδίο της Οικονοµικής Θαλασσίων Μεταφορών είναι τεράστιο, και προφανώς πολλές προσεγγίσεις για τη διδασκαλία του είναι δυνατές. Ειδικά για τους 4

6 σπουδαστές της Σχολής Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχανικών του ΕΜΠ, οι οποίοι θα αποφοιτήσουν µηχανικοί και όχι οικονοµολόγοι, το οµώνυµο µάθηµα αποτελεί την πρώτη ευκαιρία στο ΕΜΠ να ασχοληθούν µε τα τόσα σηµαντικά θέµατα που άπτονται της οικονοµικής της Εµπορικής Ναυτιλίας. Η σαφής «ποσοτική» προσέγγιση που ακολουθείται στο µάθηµα είναι συµβατή µε το ισχυρό αναλυτικό υπόβαθρο των σπουδαστών του ΕΜΠ. Παρ όλα αυτά, µια βασική γνώση της µικροοικονοµικής θωρείται απαραίτητη ώστε ο σπουδαστής να µπορέσει να προχωρήσει µε άνεση στα θέµατα που πραγµατεύεται το παρόν. Στο ΕΜΠ, το µόνο µάθηµα µικροοικονοµικής που ο σπουδαστής του 7 ου εξαµήνου της Σχολής Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχανικών έχει παρακολουθήσει -καλώς εχόντων των πραγµάτων- πριν από την Οικονοµική Θαλασσίων Μεταφορών Ι είναι η Τεχνολογική Οικονοµική, µάθηµα που (τουλάχιστο µέχρι σήµερα) προσφέρεται από τη Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών και διδάσκεται στο 6 ο εξάµηνο. Επειδή το τελευταίο αυτό µάθηµα δεν είναι τυπικά προαπαιτούµενο της Οικονοµικής Θαλασσίων Μεταφορών Ι, αλλά και για την περαιτέρω εξοικείωση του σπουδαστή µε θεµελιώδεις µικροοικονοµικές έννοιες, το παρόν βιβλίο περιέχει µια σύντοµη µικροοικονοµική ανασκόπηση στο Κεφάλαιο. Το Κεφάλαιο 2 περιγράφει τη λειτουργία της ναυλαγοράς charter, µιας από τις δυο βασικές ναυλαγορές, ενώ το Κεφάλαιο 3 αναφέρεται στη ναυλαγορά liner. Το Κεφάλαιο 4 αναφέρεται σε ορισµένα στοιχεία από τη θεωρία του διεθνούς εµπορίου. Στο Παράρτηµα Α περιέχονται ασκήσεις, ενώ στο Παράρτηµα Β παρατίθεται συναφής βιβλιογραφία. Πεποίθησή µου ήταν και είναι ότι στους µηχανικούς που αποφοιτούν από το ΕΜΠ πρέπει, εκτός από τις γνώσεις που προσφέρουν τα καθαρά τεχνολογικά µαθήµατα, να προσφέρονται και γνώσεις σε άλλους τοµείς, οι οποίες θα τους είναι χρήσιµες όταν βγουν στην αγορά εργασίας. Σε καµία άλλη περίπτωση αυτό δεν είναι αληθέστερο από την περίπτωση των σπουδαστών της Σχολής µας, η συντριπτική πλειοψηφία των οποίων θα κληθεί να δραστηριοποιηθεί στην Εµπορική Ναυτιλία η σε άλλους τοµείς ευρύτερα συνδεδεµένους µε αυτήν. Η Οικονοµική Θαλασσίων Μεταφορών Ι, όπως και τα υπόλοιπα µαθήµατα της περιοχής των Θαλασσίων Μεταφορών του ΕΜΠ, αποτελούν µια πρώτη προσπάθεια εµπέδωσης παρόµοιων γνώσεων, ή καλύτερα τρόπου σκέπτεσθαι, ώστε ο σπουδαστής του ΕΜΠ να έχει τα εφόδια να λειτουργήσει ως ολοκληρωµένος επαγγελµατίας όταν αποφοιτήσει, και να διεκδικήσει µε επιτυχία θέσεις ηγεσίας και ευθύνης στη µετέπειτα σταδιοδροµία του. Αθήνα, εκέµβριος 2005 Χαρίλαος Ν. Ψαραύτης Καθηγητής, Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχανικών Τοµέας Μελέτης Πλοίου και Θαλασσίων Μεταφορών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 5

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΝΤΟΜΗ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ Είναι προφανές ότι η κατανόηση των εννοιών του ανά χείρας βιβλίου προϋποθέτει µια ελάχιστη εξοικείωση µε βασικές µικροοικονοµικές έννοιες. Για λόγους αυτοτέλειας, το παρόν κεφάλαιο κάνει µια σύντοµη ανασκόπηση µικροοικονοµικών εννοιών που θα φανούν χρήσιµες στη συνέχεια.. ΘΕΩΡΙΑ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE Η Θεωρία Βελτιστοποίησης είναι κλάδος της Επιχειρησιακής Έρευνας που ασχολείται µε την εύρεση του µεγίστου ή του ελαχίστου µιας δεδοµένης συνάρτησης κάτω από δεδοµένους περιορισµούς. Προβλήµατα βελτιστοποίησης συναντιώνται συχνά στις θαλάσσιες µεταφορές (βελτιστοποίηση δικτύων, βέλτιστη διαδροµή, βέλτιστη διαχείριση στόλου, κ.λπ.). Από µικροοικονοµικής πλευράς, µια πολύ ενδιαφέρουσα µέθοδος βελτιστοποίησης είναι η µέθοδος των πολλαπλασιαστών Lagrange. Οι πολλαπλασιαστές Lagrange είναι µεταβλητές που έχουν ιδιαίτερη σηµασία από οικονοµικής πλευράς, όπως θα δούµε πιο κάτω. Το γενικό πρόβληµα βελτιστοποίησης µπορεί να γραφεί ως εξής: Max (ή min) f(x) µε περιορισµούς g ( x) b g ( x) 2 b2... g ( x) b m όπου: x = (x,, x n ): µεταβλητές απόφασης f (µονοδιάστατη): αντικειµενική συνάρτηση g i (x) b i (i =,,m): περιορισµοί (b i = σταθ.) m Ένας οποιοσδήποτε συνδυασµός των (x,, x n ) λέγεται λύση του προβλήµατος. υνατή λύση: Μια λύση που υπακούει τους περιορισµούς. Βέλτιστη λύση: Μια δυνατή λύση που µεγιστοποιεί (ή ελαχιστοποιεί) την f. 6

8 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : Κατασκευή κυλινδρικής δεξαµενής µεγίστου όγκου υπό σταθερό κόστος. Παραδοχές: Το κόστος είναι ανάλογο του εµβαδού της εξωτερικής επιφάνειας, µε συντελεστή αναλογίας = k = γνωστό. Επίσης, για την εκτέλεση διατίθεται προϋπολογισµός ύψους Β το οποίο δεν µπορούµε να ξεπεράσουµε. Το πρόβληµα: Να βρεθούν οι διαστάσεις του κυλίνδρου ώστε ο όγκος της δεξαµενής να είναι όσο γίνεται πιο µεγάλος, µε κόστος κατασκευής Β. 2 µεταβλητές απόφασης: R και Η Αντικειµενική συνάρτηση: Όγκος V(R,H) = πr 2 H k 2πR 2 + 2πRH = B Περιορισµός: Κόστος = Β ( ) Πρόβληµα Βελτιστοποίησης: Μax V( R H), = πr 2 H µε 2kπ R( R+ H) = B ος τρόπος λύσης (αφελής): Έκφραση του Η συναρτήσει του R, αντικατάσταση στην αντικειµενική συνάρτηση και µεγιστοποίησή της χωρίς περιορισµό. H B = R V = 2kπR BR πr 2k 3 dv dr = 0 B R * = 6kπ 2 2 * * B H = 2R = 2 6kπ V max B = 2π 6kπ 3 2 Η µέθοδος όµως αυτή δεν είναι καλή στη γενική περίπτωση γιατί: Είναι γενικά δύσκολη η έκφραση ορισµένων µεταβλητών συναρτήσει άλλων. Μετά την αντικατάσταση η αντικειµενική συνάρτηση γίνεται συνήθως πολύπλοκη. 2ος τρόπος λύσης (µε πολλαπλασιαστές Lagrange): Εισάγουµε µια 3η µεταβλητή, λ (πολλαπλασιαστής Lagrange) και ορίζουµε µια νέα συνάρτηση (Λαγκρανζιανή συνάρτηση) ως εξής: 7

9 ( ) ( ( ) ) (,, λ) (, ) λ 2 π ( ) π 2 λ 2 π LRH = V RH k RR+ H B = RH k RR+ H B Έστω ότι µεγιστοποιούµε την L χωρίς κανένα περιορισµό. L = 0 2π RH λ ( 4kπ R + 2kπ H ) = 0 R L 2 = 0 π R λ 2kπ R = 0 H L 2 = 0 2kπ R + 2kπ RH B = 0 λ Σύστηµα 3 εξισώσεων µε 3 αγνώστους (R, H, λ): Λύση του συστήµατος: B R * = 6kπ M 2 B = R = kπ * * * * R λ = = B 2k 2k 6kπ 2 Παρατηρήσεις:. Οι βέλτιστες τιµές των R, H για το 2ο πρόβληµα (µεγιστοποίηση της L) είναι οι ίδιες µε εκείνες που βγάλαµε πριν. Σύµπτωση; ΟΧΙ. Αποδεικνύεται (στη γενική περίπτωση) ότι αναγκαία συνθήκη για τη µεγιστοποίηση της αντικειµενικής συνάρτησης (µε περιορισµούς) είναι η µεγιστοποίηση της Λαγκρανζιανής (χωρίς περιορισµούς). dvmax 2. Ρόλος του πολλαπλασιαστή Lagrange: Υπολογίζοντας το (ρυθµός db µεταβολής του µεγίστου όγκου ανά µονάδα διατιθέµενου προϋπολογισµού) βλέπουµε ότι dv db max = d db 2π B 6kπ 3 2 = 2k B 6kπ 2 = λ * 8

10 Σύµπτωση; ΚΑΙ ΠΑΛΙ ΟΧΙ. Αποδεικνύεται (στη γενική περίπτωση) ότι ο ρυθµός µεταβολής της µέγιστης τιµής της αντικειµενικής συνάρτησης ανά µονάδα διατιθέµενου πόρου ισούται µε τη βέλτιστη τιµή του αντίστοιχου πολλαπλασιαστή Lagrange. Η βέλτιστη τιµή του λ στα οικονοµικά λέγεται συνήθως και «σκιώδης τιµή» (shadow price) του αντίστοιχου περιορισµού. Η σκιώδης τιµή έχει (σχεδόν) πάντα µια οικονοµική ερµηνεία που πολλές φορές είναι σηµαντική για το αντίστοιχο πρόβληµα. Λύνοντας το πρόβληµα βελτιστοποίησης µε πολλαπλασιαστές Lagrange, εκτός από τις βέλτιστες τιµές των µεταβλητών απόφασης παίρνουµε και τις σκιώδεις τιµές στους περιορισµούς, πληροφορία που είναι πολύ χρήσιµη. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2: Έστω η εξής παραγωγική διαδικασία 2 ΕΙΣΡΟΕΣ ΕΚΡΟΗ (π.χ. ες ύλες) x y z (π.χ. προϊόν) x: Ποσό ης ύλης, διατιθέµενης σε τιµή αγοράς p x y: Ποσό άλλης ης ύλης, διατιθέµενης σε τιµή αγοράς p y z: Ποσό προϊόντος, που συνδέεται µε τα x και y σύµφωνα µε την εξής σχέση: z = lnx + lny Έστω επίσης ότι και εδώ έχουµε δεδοµένο ύψος προϋπολογισµού Β. Το πρόβληµα: Ποιες είναι οι τιµές των x και y που µεγιστοποιούν το z, µε προϋπολογισµό Β; 9

11 ηλαδή: Max z = lnx + lny µε px+ py= B x y Λαγκρανζιανή L = lnx + lny λ( p x + p y B) x y L = 0 λ px = 0 x x L = 0 λ p y = 0 y y L = 0 px x + p y y B = 0 λ * B x = 2 p * B y = 2 p * 2 λ = B x y Επίσης, z max = ln B 2p x + ln B 2p y και βλέπουµε ότι dz db 2 = = λ B max * ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ: Έστω ότι έχουµε το εξής γενικό πρόβληµα βελτιστοποίησης: Max f(x) Moρφή ισότητας προς το παρόν µε g (x) = b ΥΨΗ ΙΑΤΙΘΕΜΕΝΩΝ «ΠΟΡΩΝ» g 2 (x) = b 2.. όπου x = (x,, x n ). g m (x) = b m Παραδοχή: f & g διαφορίσιµες µε συνεχείς πρώτες παραγώγους (n>m). Επίλυση µε πολλαπλασιαστές Lagrange: ΒΗΜΑ : ΒΗΜΑ 2: Ορίζουµε m πολλαπλασιαστές Lagrange, τον λ i για τον περιορισµό g ( x) b i =,..., m i = ( ) Ορίζουµε τη λαγκρανζιανή συνάρτηση i 0

12 ΒΗΜΑ 3: ( ) (,λ) ( ) λ ( ) Lx f x g x b m i= i i i Θέτουµε ΟΛΕΣ τις πρώτες παραγώγους της L ίσες µε το µηδέν: L x j = 0 ( j =,...,n) L λ και = 0 ( i =,...,m) i ΒΗΜΑ 4: Επιλύουµε το σύστηµα n+m εξισώσεων µε n+m αγνώστους [ΒΗΜΑ 5: Εξετάζουµε συνθήκες δεύτερης τάξης για να βεβαιωθούµε ότι πρόκειται για µέγιστο]. Σηµ. Το σύστηµα που καλούµαστε να επιλύσουµε στο ΒΗΜΑ 4 είναι: L x j f = 0 x j n i= g i λi x j = 0 ( j =,...,n) L λ j = 0 g i ( x) b = 0 ( i =,...,m) i Το πώς θα επιλύσουµε το σύστηµα αυτό (στη γενική περίπτωση) µπορεί να είναι δύσκολο, αλλά είναι πάντοτε πιο εύκολο από το να εκφράσουµε m από τις n µεταβλητές συναρτήσει των υπόλοιπων n-m και να τις αντικαταστήσουµε στην αντικειµενική συνάρτηση. Η µέθοδος επίλυσης του συστήµατος εξαρτάται πάντα από τη δοµή του προβλήµατος. Στα περισσότερα από αυτά που θα εξετάσουµε, η επίλυση είναι εύκολη. Ισχύουν τώρα τα εξής 2 θεωρήµατα (οι αποδείξεις των οποίων παραλείπονται): ΘΕΩΡΗΜΑ : Αν το (x *, λ * ) είναι βέλτιστη λύση για την L, τότε το x * βέλτιστη λύση για το αρχικό πρόβληµα. είναι ΘΕΩΡΗΜΑ 2: F max λ * i b i = ( i m) =,...,, δηλαδή: Ο ρυθµός µεταβολής της µέγιστης τιµής της f ως προς το διατιθέµενο ύψος ενός πόρου ισούται µε τη βέλτιστη τιµή του πολλαπλασιαστή Lagrange του αντίστοιχου περιορισµού, δηλαδή µε τη σκιώδη τιµή του περιορισµού αυτού. ΣΧΟΛΙΑ: Τα ανωτέρω γενικεύονται ΚΑΙ στις περιπτώσεις που: Η f δεν είναι διαφορίσιµη παντού Οι συνθήκες 2ης τάξης είναι στη γενική περίπτωση πολύ σηµαντικές. Επειδή τις περισσότερες φορές είναι αρκετά πολύπλοκες και επειδή τυχαίνει να ικανοποιούνται στα περισσότερα από τα προβλήµατα που θα εξετάσουµε, η παρουσίασή τους ξεφεύγει από το πνεύµα του παρόντος. Για περισσότερες λεπτοµέρειες στο θέµα αυτό, βλ. οποιοδήποτε βιβλίο βελτιστοποίησης.

13 Οι περιορισµοί είναι ανισότητες ( για max, για min) Συγκεκριµένα: Στην περίπτωση προβλήµατος βελτιστοποίησης µε ανισότητες:. Η σχέση f b max i * = λ εξακολουθεί να ισχύει. i 2. Αποδεικνύεται επιπλέον ότι (συνθήκες Kuhn-Tucker): ( a) ( b) To γινοµενο λ * i * λ 0 * ( g ( x ) b ) i i i i =,..., m = 0 Οι συνθήκες Kuhn-Tucker έχουν και αυτές σηµαντικές οικονοµικές ερµηνείες g x < b * Αν στο µέγιστο ισχύει i ( ) i για κάποιο i, τότε λ i * = 0 * [Αυτό θα έπρεπε να αναµενόταν, γιατί αν g i ( x ) < bi ο περιορισµός i είναι ανενεργός, εποµένως ακόµα και αν το b i αυξηθεί, η f max δεν θα πρέπει να αυξηθεί, άρα f max * = λ i = 0]. b i * * Αν στο µέγιστο ισχύει i > 0 gi x = bi (Αν η σκιώδης τιµή είναι >0, τότε ο αντίστοιχος περιορισµός είναι ενεργός) λ για κάποιο i, τότε οπωσδήποτε ( ) Σηµειωτέον ότι µπορούµε να έχουµε ταυτόχρονα λ * * i = 0 και ( ) κάποιο i. g x = b για i i.2 ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Σαν εφαρµογή των ανωτέρω θεωρούµε την εξής κλασική και γενική περίπτωση: 2

14 ΕΙΣΡΟΕΣ (INPUTS) ή ΠΟΡΟΙ Παραγωγική µονάδα ΕΚΡΟΕΣ (ΟUTPUTS) ή ΠΡΟΪΟΝΤΑ u x u 2 ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΗ x 2.. ΙΑ ΙΚΑΣΙΑ u m x n Παραδείγµατα u i = Ύψος εισροής i x j = Ύψος εκροής j Παραγωγική µονάδα Εισροές Εκροές Μια εταιρεία Πρώτες ύλες Βιοµηχανικά προϊόντα Ένα εργοστάσιο Ακίνητα Υπηρεσίες Ένας δηµόσιος Κεφάλαιο Μεταφορική ικανότητα οργανισµός Ολόκληρη η οικονοµία Εργασία. Πλοία Προφανώς, η παραγωγική µονάδα δεν είναι ελεύθερη να ορίζει τα u i και τα x j ανεξέλεγκτα. Ένας ορισµένος συνδυασµός πόρων και µια ορισµένη κατανοµή τους παράγουν κάποιο ορισµένο ύψος προϊόντων. Οι σχέσεις µεταξύ πόρων και προϊόντων περιγράφονται µαθηµατικώς µέσω των λεγόµενων συναρτήσεων παραγωγής της µονάδας. Ορίζουµε τη συνάρτηση παραγωγής ως εξής: Έστω u ij το τµήµα του πόρου u j που διατίθεται για την παραγωγή x j µονάδων του προϊόντος j. ηλαδή για την παραγωγή του x j διατίθενται πόροι που έχουν µεγέθη u j, u 2j,,u mj. Τότε το x j συνδέεται µε τα u ij σύµφωνα µε την εξής σχέση: (,,..., ) x φ u u2 u j j j j mj 3

15 Η συνάρτηση αυτή λέγεται και «συνάρτηση παραγωγής» και ορίζεται ως το µέγιστο δυνατό ποσό του προϊόντος j που γίνεται να παραχθεί αν γι αυτό διατεθούν πόροι ύψους u j, u 2j,, u mj 2. Η συνάρτηση παραγωγής προσδιορίζεται από πολλούς παράγοντες, όπως - Τεχνολογία - Οργάνωση - Κανονισµούς παραγωγής κ.λπ. Στη θεωρία παραγωγής, τις συναρτήσεις παραγωγής τις υποθέτουµε ως γνωστές συναρτήσεις. Στα πλαίσια του γενικού αυτού µοντέλου θα εξετάσουµε τα εξής προβλήµατα:.2. «Αποδοτική» Χρήση Σταθερών Ποσοτήτων Πόρων Σαν πρώτο πρόβληµα υποθέτουµε ότι η παραγωγική µονάδα έχει στη διάθεσή της καθορισµένα µεγέθη πόρων, δηλαδή τα ποσά u, u 2,, u m είναι δεδοµένα και σταθερά. Αυτούς τους πόρους η µονάδα τους έχει ήδη αποκτήσει (αγοράσει, πληρώσει, κ.λπ) και το πρόβληµα είναι πώς θα τους χρησιµοποιήσει όσο «καλύτερα» µπορεί. Σ αυτό το στάδιο δεν έχουµε καµιά άλλη πληροφορία σχετική π.χ. µε τη διάθεση των προϊόντων, και µιλάµε µόνο για κάποια «βελτιστοποίηση» της παραγωγής. Για να κάνουµε όµως βελτιστοποίηση, χρειαζόµαστε µια αντικειµενική συνάρτηση. υστυχώς όµως στο πρόβληµα αυτό παρόµοια αντικειµενική συνάρτηση είναι δύσκολο να ορισθεί. Έτσι, Θα µπορούσαµε να δοκιµάσουµε να µεγιστοποιήσουµε την φ, αυτό όµως θα µπορούσε να οδηγήσει σε µείωση των υπολοίπων εκροών (αν όλοι οι πόροι πάνε για την παραγωγή του προϊόντος ). Μόνο στην πολύ ειδική περίπτωση του ενός προϊόντος (n=) θα είχε νόηµα µια τέτοια συνάρτηση. Κάποιος θα µπορούσε να ζητήσει τη µεγιστοποίηση όλων των φ ταυτοχρόνως. Άπαξ όµως και µιλάµε για περιορισµένους πόρους, ούτε αυτό έχει νόηµα. Γενικά, αν αυξήσουµε µερικές από τις φ, οι υπόλοιπες θα µειωθούν. Παροµοίως, µια συνάρτηση max(φ +φ 2 + +φ n ) δεν έχει νόηµα γιατί (α) υποθέτει ότι ζυγίζουµε ίσα τις φ και (β) µπορεί έτσι να προσθέτουµε µήλα µε πορτοκάλια (π.χ. φ =αριθµός tankers, φ 2 =αριθµός τηλεοράσεων). 2 Βλέπουµε ότι ο ορισµός ως µέγιστο δυνατό ποσό ήδη προϋποθέτει κάποια «εσωτερική βελτιστοποίηση» της διαδικασίας παραγωγής, έτσι ώστε τα u j,,u mj να παραγάγουν όσο περισσότερο x j γίνεται. 4

16 Τέλος, και η max(w φ +w 2 φ 2 + +w n φ n ) απορρίπτεται γιατί (τουλάχιστο το πρόβληµα) τα βάρη w,,w n δεν είναι γνωστά. Γενικά, βρισκόµαστε σε µια κλασική περίπτωση όπου ο λήπτης των αποφάσεων δεν µπορεί να πει ποια είναι η αντικειµενική του συνάρτηση. Θα ήθελε να αυξήσει το επίπεδο όλων των προϊόντων του, αλλά δεν µπορεί να πει πόσο από το προϊόν είναι διατεθειµένος να στερηθεί για να παραγάγει περισσότερο από το προϊόν 2. Επίσης, δεν µπορεί να «ζυγίσει» τα προϊόντα και να προσδιορίσει τη σχετική τους αξία. Τι γίνεται τότε; Υποθέτουµε ότι ο λήπτης των αποφάσεων παραδέχεται ότι, αν το επίπεδο όλων των προϊόντων εκτός από ένα (το j) παραµένει σταθερό, θα προτιµούσε να αυξήσει το x j όσο γίνεται περισσότερο. ηλαδή, αν οι υπόλοιπες εκροές δεν αλλάξουν, θα ήθελε να µεγιστοποιήσει το x j. Παράδειγµα για 2 προϊόντα, x και x 2 : Αν x = c τότε ( x ) 2 Αν x = c τότε ( x ) 3 Αν x = c τότε ( x ) = 2 x max 2 = 2 2 x max 2 = 3 2 x max 2 Έτσι σχηµατίζεται µια καµπύλη, που δείχνει το µέγιστο ποσό του x 2 που µπορεί να παραχθεί για ένα δεδοµένο ύψος παραγωγής του x. Η καµπύλη αυτή λέγεται ΚΑΜΠΥΛΗ ΥΝΑΤΟΤΗΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ της µονάδας. Έστω λοιπόν ότι η καµπύλη αυτή είναι γνωστή (για το πώς κατασκευάζεται βλ. πιο κάτω). Υπάρχουν 3 είδη σηµείων στο επίπεδο (x, x 2 ): 5

17 (α) Σηµεία σαν το Α, έξω από την καµπύλη. Τέτοια σηµεία είναι προφανώς (και ονοµάζονται) Α ΥΝΑΤΑ (γιατί το µέγιστο x 2 όταν x = x A B A είναι ίσο µε x < x ). 2 2 (β) Σηµεία σαν το Μ, µέσα από την καµπύλη. Προφανώς, τέτοια σηµεία δεν είναι ικανοποιητικά από πλευράς παραγωγής, γιατί θα µπορούσαµε να αυξήσουµε την παραγωγή του ενός προϊόντος χωρίς να µειώσουµε την αντίστοιχη παραγωγή του άλλου. Έτσι, από το Μ µπορούµε να πάµε στο Μ (οπότε αυξάνουµε το x 2 χωρίς να µειώσουµε το x ) ή στο Μ 2 (οπότε αυξάνουµε το x χωρίς να µειώσουµε το x 2 ), ή τέλος οπουδήποτε µέσα στο γραµµοσκιασµένο κοµµάτι, αυξάνοντας το x και το x 2 ταυτόχρονα. Σηµεία σαν το Μ ονοµάζονται ΜΗ ΑΠΟ ΟΤΙΚΑ. (γ) Υπάρχουν τέλος σηµεία σαν το Ε, πάνω στην καµπύλη. Τέτοια σηµεία έχουν την εξής ιδιότητα: Είναι αδύνατο να αυξήσουµε την παραγωγή του ενός προϊόντος χωρίς να µειώσουµε την παραγωγή του άλλου. Τέτοια σηµεία ονοµάζονται ΑΠΟ ΟΤΙΚΑ (ή PARETO ΒΕΛΤΙΣΤΑ). Η καµπύλη (στη γενική περίπτωση επιφάνεια) δυνατοτήτων παραγωγής είναι λοιπόν ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων αποδοτικής παραγωγής, δηλ. σηµείων για τα οποία είναι αδύνατο να αυξηθεί η παραγωγή ενός προϊόντος χωρίς να µειωθεί η παραγωγή κάποιου άλλου. Η καµπύλη αυτή εξαρτάται από πολλούς παράγοντες, όπως: Τεχνολογίες παραγωγής Οργάνωση, κλπ. Ύψος διατιθέµενων πόρων Κατασκευή της καµπύλης δυνατοτήτων παραγωγής: Αν ξέρουµε τις φ, συναρτήσεις παραγωγής, µπορούµε να κατασκευάσουµε την Κ Π σχετικά εύκολα. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι. Π.χ. για 2 προϊόντα, µπορούµε: Είτε να max x 2 µε x = c = σταθ 6

18 και υπόλοιπες σχέσεις (βλ. πιο κάτω) και να βγάλουµε την Κ Π αλλάζοντας το c. Είτε να max x µε x 2 = c 2 = σταθ και υπόλοιπες σχέσεις και να βγάλουµε την Κ Π αλλάζοντας το c 2. Είτε τέλος να max ax + ax 2 2 µε υπόλοιπες σχέσεις και να βγάλουµε την Κ Π αλλάζοντας τα α, α 2 (σταθερές). Στις 2 πρώτες περιπτώσεις η Κ Π βγαίνει σαν σύνολο σηµείων, στην 3η περίπτωση σαν περιβάλλουσα. Στη γενική περίπτωση, µπορούµε είτε: ( j j mj) φ j 2 Max u u u,,..., µε φ k ( u, u,..., u ) c σταθ. ( k j) k 2k mk k u + u u n = u... m σχέσεις um + um umn = u m (και βγάζουµε την Κ Π αλλάζοντας τα c k ) = = (n- σχέσεις) Eίτε Max a x n j= j j 7

19 µε ( ) φ j u j u mj x j =,..., λ j,..., = ( j n) n j= u ij = u i ( i m) =,..., µ ij (και βγάζουµε την Κ Π αλλάζοντας τα a j ) Η 2η διατύπωση επιδέχεται πιο εύκολη λύση λόγω συµµετρίας: Ορίζουµε πολλαπλασιαστές Lagrange: λ j για τον j περιορισµό παραγωγής και µ i για τον i περιορισµό πόρου. Λαγκρανζιανή: ( (,... ) ) n n m L a x u u x n u u = j j λ j φ j j m j + j µ i i j i j= j= i= j= L x j = 0 a j = λ j j L u ij φ j = 0 λ j µ i 0 u ij = ( i, j) Ο όρος αυτός ονοµάζεται ΟΡΙΑΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΟΤΗΤΑ του προϊόντος j ως προς τον πόρο i, και εκφράζει πόσο θα αυξηθεί οριακά η παραγωγή του j αν του διατεθεί µία ακόµα µονάδα πόρου i. Από τη 2η σχέση βγαίνει ότι η ποσότητα φ j λ j µ i u ij = = ανεξάρτητη του j. φ jki,, : λ j = λ u j k Άρα ( ) ij k φ u ik Για οποιοδήποτε ζευγάρι (j, k) προϊόντων ισχύει η σχέση: φk uik φ u j ij λ j = =ανεξάρτητο του i. λ k Άρα για αποδοτική παραγωγή, πρέπει: ΓΙΑ ΟΠΟΙΟ ΗΠΟΤΕ ΖΕΥΓΑΡΙ (j, k) ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ: 8

20 φ k uk φ j u j φ k u 2k = =... = φ u j 2j φ k u φ u mk j mj λ j = λ k Αυτή η σχέση λέγεται ΙΣΟ-ΟΡΙΑΚΗ ΣΥΝΘΗΚΗ και είναι ΑΝΑΓΚΑΙΑ συνθήκη για αποδοτική παραγωγή. Ουσιαστικά λέει το εξής: ΙΣΟ-ΟΡΙΑΚΗ ΣΥΝΘΗΚΗ ΓΙΑ ΑΠΟ ΟΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗ: Ο ΛΟΓΟΣ ΤΩΝ ΟΡΙΑΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΟΤΗΤΩΝ (Ο.Π.) ΥΟ ΟΠΟΙΩΝ ΗΠΟΤΕ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ ΩΣ ΠΡΟΣ ΚΑΠΟΙΟΝ ΠΟΡΟ ΕΙΝΑΙ ΣΤΑΘΕΡΟΣ, ΗΛΑ Η ΙΣΟΣ ΜΕ ΤΟ ΛΟΓΟ ΤΩΝ Ο.Π. ΑΥΤΩΝ ΤΩΝ ΥΟ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ ΩΣ ΠΡΟΣ ΟΠΟΙΟΝ ΗΠΟΤΕ ΑΛΛΟ ΠΟΡΟ. ηλαδή για οποιοδήποτε ζευγάρι (j, k) προϊόντων, ο λόγος Αύξηση παραγωγής του xk ( ) αν διατεθεί µονάδα πόρου i = ο ίδιος για όλους τους πόρους i=,,m Aύξηση παραγωγής του x j ( ) αν διατεθεί µονάδα πόρου i Η ισο-οριακή συνθήκη µπορεί να γραφεί και διαφορετικά: φj = µ i u ij λ j ισχύει η σχέση = ανεξάρτητο του i Για οποιοδήποτε ζευγάρι (i,e) πόρων, µ φ j φ j e = µ i, uij u ej Άρα για αποδοτική παραγωγή πρέπει: φ uej φ u j j ij µ e = =ανεξάρτητος του j µ e ΓΙΑ ΟΠΟΙΟ ΗΠΟΤΕ ΖΕΥΓΑΡΙ (i, e) ΠΟΡΩΝ: 9

21 φ ue φ u i φ2 φn ue2 uen = =... = φ2 φn u u i2 in µ µ = e i δηλαδή: ΙΣΟ-ΟΡΙΑΚΗ ΣΥΝΘΗΚΗ ΓΙΑ ΑΠΟ ΟΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗ: (ΑΛΛΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ) : Ο ΛΟΓΟΣ ΤΩΝ ΟΡΙΑΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΟΤΗΤΩΝ (Ο.Π.) ΚΑΠΟΙΟΥ ΠΡΟΪΟΝΤΟΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΥΟ ΟΠΟΙΟΥΣ ΗΠΟΤΕ ΠΟΡΟΥΣ ΕΙΝΑΙ ΣΤΑΘΕΡΟΣ, ΗΛΑ Η ΙΣΟΣ ΜΕ ΤΟ ΛΟΓΟ ΤΩΝ Ο.Π. ΟΠΟΙΟΥ ΗΠΟΤΕ ΑΛΛΟΥ ΠΡΟΪΟΝΤΟΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΥΟ ΑΥΤΟΥΣ ΠΟΡΟΥΣ ηλαδή, για οποιοδήποτε ζευγάρι (i, e) πόρων, ο λόγος Αύξηση παραγωγής του xk ( ) αν διατεθεί µονάδα πόρου e = ο ίδιος για όλα τα προϊόντα j =,, n. Aύξηση παραγωγής του x j ( ) αν διατεθεί µονάδα πόρου i ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ: Είναι εύκολο να δει κανείς ότι, αν ΕΝ ισχύει η ισο-οριακή συνθήκη, τότε η παραγωγή ΕΝ είναι αποδοτική, δηλαδή τότε είµαστε ΜΕΣΑ στην Κ Π. Παράδειγµα µε 2 πόρους και 2 προϊόντα: 20

22 Ναυπηγείο µικρών σκαφών παράγει 2 προϊόντα. Το προϊόν είναι πλαστικές βάρκες και το προϊόν 2 είναι φουσκωτά. Έχει 2 βασικούς πόρους, ειδικευµένους εργάτες (πόρος ) και ανειδίκευτους εργάτες (πόρος 2). Έστω ότι παράγουµε έτσι ώστε φ φ = 20 = 8 u u2 φ2 φ2 = 4 = 2 u u 2 22 Βλέπουµε ότι , δηλαδή δεν ισχύει η ισο-οριακή συνθήκη. 2 Γιατί δεν είναι αποδοτική η παραγωγή; Έστω ότι ανακατανέµουµε τους πόρους ως εξής:. Αφαιρούµε µονάδα πόρου από το προϊόν 2 και τη διαθέτουµε στο προϊόν. ηλαδή u =+ φ =+ 20 και u = φ = (Βλέπουµε δηλαδή ότι παρ όλο που η παραγωγή του αυξήθηκε κατά 20 µονάδες, είχαµε απώλεια 4 µονάδων από το προϊόν 2). 2. Για να ισοφαρίσουµε την απώλεια του 2, προσθέτουµε 2 µονάδες πόρου 2 στο προϊόν 2 (τόση χρειάζεται), τις οποίες αφαιρούµε από το προϊόν. ηλαδή u22 =+ 2 φ 2 = + 4 και u = 2 φ = 6 2 2

23 Συνολικά, φ = = + 4 φ = 4+ 4= 0 2 Ουσιαστικά, είµαστε στο σηµείο Α και πήγαµε στο Β. Άρα το Α δεν ήταν σηµείο αποδοτικής παραγωγής, άρα ήταν µέσα στην καµπύλη. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Αν η ισο-οριακή συνθήκη ΕΝ ισχύει, τότε ΠΑΝΤΟΤΕ µπορούµε να µεταβούµε σε «ανώτερο» επίπεδο παραγωγής µε κάποια ανακατανοµή των πόρων («ανώτερο»= αυξάνει η παραγωγή τουλάχιστον προϊόντος χωρίς να µειωθεί η παραγωγή των άλλων). Μένουµε στην περίπτωση 2x2: x = φ ( u, u2) x = φ ( u, u ) Για το προϊόν, οι καµπύλες x = σταθ. στο επίπεδο (u, u 2 ) λέγονται ΙΣΟ-ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ καµπύλες. Είναι οι γεωµετρικοί τόποι των (u, u 2 ) που δίνουν x =σταθ. Κατά µήκος κάθε ισοποσοτικής καµπύλης: dx u du = 0 φ φ u du + 2 = φ du2 u = du φ u 2 22

24 δηλαδή η κλίση της ισοποσοτικής είναι ίση µε το λόγο των Ο.Π. του προϊόντος ως προς τους 2 πόρους. Τα ίδια ισχύουν και για το προϊόν 2, δηλαδή φ2 du22 u2 = du φ 2 2 u 22 Αλλά για αποδοτική παραγωγή, οι 2 λόγοι είναι ίσοι. Άρα είναι ίσες και οι κλίσεις. Κάνουµε λοιπόν την εξής κατασκευή ( ΙΑΓΡΑΜΜΑ-ΠΛΑΙΣΙΟ) Ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων επαφής των ισοποσοτικών x = σταθ. µε τις ισοποσοτικές x 2 = σταθ. (όπου η παραγωγή είναι αποδοτική επειδή εκ κατασκευής οι κλίσεις είναι ίσες) λέγεται ΚΑΜΠΥΛΗ ΣΥΜΒΟΛΑΙΟΥ της µονάδας. 23

25 Αντίστροφα: Σηµεία εκτός της καµπύλης συµβολαίου δεν είναι αποδοτικά. (Από το µπορούµε να πάµε στο 2 δια µέσου της x 2 = σταθ. µε αύξηση του x ). Είναι προφανές ότι από την καµπύλη συµβολαίου µπορούµε πολύ εύκολα να φτιάξουµε την καµπύλη δυνατοτήτων παραγωγής. Μερικές συµπληρωµατικές παρατηρήσεις: φ2 φ2 dx2 u2 u22 = = dx φ φ u u2 (αποδεικνύεται εύκολα) ηλαδή: Για αποδοτική παραγωγή, η κλίση της Κ Π είναι ίση µε το λόγο των Ο.Π. των 2 προϊόντων ως προς οποιονδήποτε πόρο. (Ο λόγος αυτός ονοµάζεται και ΟΡΙΑΚΟΣ ΡΥΘΜΟΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ.) Ποιο θα είναι τελικά το «βέλτιστο» σηµείο παραγωγής; εν µπορεί να προσδιοριστεί από την µέχρι στιγµής ανάλυση (αυτό θα έπρεπε να αναµενόταν, άπαξ και δεν προσδιορίσαµε µια αντικειµενική συνάρτηση). Η ανάλυση µέχρι στιγµής προσδιόρισε το σύνολο των αποδοτικών σηµείων παραγωγής και όχι ένα µοναδικό σηµείο. Το ΠΟΙΟ θα είναι τελικά το σηµείο παραγωγής θα εξαρτηθεί από άλλους παράγοντες, που έχουν σχέση µε το τι γίνεται µετά (και πριν) την παραγωγή. Με βάση τις πληροφορίες που µέχρι στιγµής έχουµε, το µόνο που µπορούµε να πούµε είναι ποιο είναι το σύνολο των αποδοτικών σηµείων παραγωγής (η Κ Π). Αυτή η γνώση, ακόµα και µόνη της, είναι πολλές φορές µεγάλης σηµασίας για την παραγωγική µονάδα. 24

26 .2.2 Αποδοτική Αγορά Πόρων Οι τιµές της αγοράς δεν έχουν παίξει µέχρι στιγµής κανένα ρόλο στο πρόβληµά µας, γιατί η µονάδα είχε στη διάθεσή της σταθερές ποσότητες πόρων και το πρόβληµα ήταν η κατανοµή τους στα διάφορα προϊόντα. Τώρα εξετάζουµε µια κάπως διαφορετική περίπτωση: Όπως και πριν, η µονάδα παράγει n προϊόντα (x,,x n ) από m πόρους (u,,u m ), αλλά τώρα υποθέτουµε ότι η µονάδα µπορεί να αγοράσει οποιαδήποτε ποσότητα πόρων θέλει, µε καθορισµένες τιµές. Έστω w i η τιµή αγοράς πόρου i (w i = σταθ). Όπως και πριν, υποθέτουµε ότι η µονάδα δεν µπορεί (ή δεν θέλει) να προσδώσει αξίες (ή να «ζυγίσει») τα προϊόντα της, δηλαδή και εδώ δεν υπάρχει αντικειµενική συνάρτηση. Όµως, υποθέτουµε ότι αν τα ύψη των (x,,x n ) είναι σταθερά, η µονάδα θα προτιµούσε να µειώσει την εκταµίευση που πρέπει να κάνει για να έχει στη διάθεσή της αυτούς τους πόρους. Έτσι, το πρόβληµά της είναι m w i i= να Min u i µε ( u u ) x ( ) φ j j mj j,..., = j =,...,n λ j ( ) ui uin = ui i =,...,m µ i ( ) m n Λαγκρανζιανή (,..., ) Πολ. Lagr. m n L= wu i i λj φ j u j umj xj µ i uij + u i i= j= i= j= L u i = 0 w = µ i (σκιώδης τιµή του πόρου ισούται µε την τιµή αγοράς i i του πόρου) L φ φ = = u ij j ( ) w ( ) j 0 µ i- λj =0 i λj 0 uij uij Απαλείφοντας τα λ και για κάθε ζευγάρι πόρων (i, l) βγάζουµε τα εξής: φ ue φ u i φ2 φn ue2 uen = =... = = φ2 φn u u i2 in wl w i Το σηµαντικό σ αυτή τη σχέση είναι η τελευταία ισότητα. Τα υπόλοιπα τα γνωρίζουµε από πριν (ισο-οριακή αρχή για αποδοτική παραγωγή). Αυτό που 25

27 βλέπουµε τώρα είναι ότι ξέρουµε ακριβώς πόσος πρέπει να είναι ο (σταθερός) λόγος των Ο.Π. οποιουδήποτε προϊόντος ως προς δύο δεδοµένους πόρους: Για αποδοτική παραγωγή, πρέπει να είναι ίσος µε το λόγο των τιµών αγοράς των 2 πόρων. Αυτό µπορεί (όπως και πριν) να γραφεί και διαφορετικά, ως εξής: Για κάθε προϊόν j, ο λόγος φ u w j j φ j φ u2 j u = =... = w w 2 j mj m είναι ο ίδιος για όλους τους πόρους. ηλαδή, ο λόγος της Ο.Π. ενός προϊόντος ως προς ένα πόρο ανά µονάδα κόστους πόρου είναι ο ίδιος για όλους τους πόρους. (Μπορούµε εύκολα να δούµε ότι, αν αυτή η συνθήκη δεν ισχύει, υπάρχουν περιθώρια µείωσης του ολικού κόστους µε την παραγωγή σταθερή.) Λύνοντας το σύστηµα των εξισώσεων που προκύπτουν από το µηδενισµό των πρώτων παραγώγων της λαγκρανζιανής 3, µπορούµε να βγάλουµε τις ποσότητες πόρων u i που θα αγοράσει η µονάδα, συναρτήσει: - των τιµών αγοράς ( w,..., w m ), και - του επίπεδου της παραγωγής ( x ),..., x n. Η συνάρτηση αυτή, ui = di[ w,..., wm,,..., xn] x λέγεται ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΖΗΤΗΣΗΣ της µονάδας για τον πόρο i (δηλ. υπάρχουν m τέτοιες συναρτήσεις). Η συνάρτηση ζήτησης µας λέει την ποσότητα ενός πόρου που η µονάδα είναι διατεθειµένη να αγοράσει, συναρτήσει του επίπεδου τιµών (όλων των πόρων) και του επίπεδου της παραγωγής (όλων των προϊόντων). Εκφράζοντας τα u i συναρτήσει των w i και x j και αντικαθιστώντας στη συνάρτηση m i= wu i i (ολική εκταµίευση της µονάδας) παίρνουµε τη λεγόµενη ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΟΣΤΟΥΣ της µονάδας m ( n) = i i[ m n] Cx,..., x wd w,..., w, x,..., x. i= Αυτή µας λέει το ολικό (ελάχιστο) κόστος για την παραγωγή ενός δεδοµένου επίπεδου προϊόντων ( x ),..., x n. 3 Η επίλυση του συστήµατος αυτού µπορεί να είναι δύσκολη στη γενική περίπτωση. 26

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων &

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων & 5 η αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα: Η αποτελεί θεµελιώδες πρόβληµα σε κάθε σύγχρονη οικονοµία. Το πρόβληµα της αποδοτικής κατανοµής των πόρων µπορεί να εκφρασθεί µε 4 βασικά ερωτήµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 ΤΟΜΟΣ Β ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 ΤΟΜΟΣ Β ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 ΤΟΜΟΣ Β ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Κεφάλαιο 1 Η ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ Επιτόκιο: είναι η αμοιβή του κεφαλαίου για κάθε μονάδα χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ II ΠΑΚΕΤΟ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΕΡΟΣ Ι: ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ II ΠΑΚΕΤΟ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΕΡΟΣ Ι: ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΠΛΟΙΟΥ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ II ΠΑΚΕΤΟ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΕΡΟΣ Ι: ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Η τεχνική της Καθαρής Παρούσας Αξίας ( Net Present Value)

Η τεχνική της Καθαρής Παρούσας Αξίας ( Net Present Value) Η τεχνική της Καθαρής Παρούσας Αξίας ( Net Present Value) Σύμφωνα με αυτή την τεχνική θα πρέπει να επιλέγουμε επενδυτικά σχέδια τα οποία έχουν Καθαρή Παρούσα Αξία μεγαλύτερη του μηδενός. Συγκεκριμένα δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1)

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Το εσωτερικό ποσοστό απόδοσης (internal rate of return) ως κριτήριο αξιολόγησης επενδύσεων Προβλήµατα προκύπτουν όταν υπάρχουν επενδυτικές ευκαιρίες

Διαβάστε περισσότερα

Τι ενδιαφέρει τον ιδιώτη

Τι ενδιαφέρει τον ιδιώτη ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΠΜΣ «Επιστήµη και Τεχνολογία Υδατικών Πόρων» Οικονοµικά του Περιβάλλοντος και των Υδατικών Πόρων Αξιολόγηση επενδύσεων Τι ενδιαφέρει τον ιδιώτη Πόσα χρήµατα θα επενδύσω; Πότε

Διαβάστε περισσότερα

ΖΗΤΗΣΗ, ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΚΑΙ ΙΣΣΟΡΟΠΙΑ ΑΓΟΡΑΣ

ΖΗΤΗΣΗ, ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΚΑΙ ΙΣΣΟΡΟΠΙΑ ΑΓΟΡΑΣ 1 ΚΦΑΛΑΙΟ 6 ΖΗΤΗΣΗ, ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΚΑΙ ΙΣΣΟΡΟΠΙΑ ΑΓΟΡΑΣ Οι καµπύλες ζήτησης και προσφοράς είναι αναγκαίες για να προσδιορίσουν την τιµή στην αγορά. Η εξοµοίωσή τους καθορίζει την τιµή και τη ποσότητα ισορροπίας,

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Προσφορά Εργασίας Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας ( Χ,Α συνάρτηση χρησιμότητας U(X,A)

Προσφορά Εργασίας Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας ( Χ,Α συνάρτηση χρησιμότητας U(X,A) Προσφορά Εργασίας - Έστω ότι υπάρχουν δύο αγαθά Α και Χ στην οικονομία. Το αγαθό Α παριστάνει τα διάφορα καταναλωτικά αγαθά. Το αγαθό Χ παριστάνει τον ελεύθερο χρόνο. Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

Άριστες κατά Pareto Κατανομές

Άριστες κατά Pareto Κατανομές Άριστες κατά Pareto Κατανομές - Ορισμός. Μια κατανομή x = (x, x ) = (( 1, )( 1, )) ονομάζεται άριστη κατά Pareto αν δεν υπάρχει άλλη κατανομή x = ( x, x ) τέτοια ώστε: U j( x j) U j( xj) για κάθε καταναλωτή

Διαβάστε περισσότερα

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

11.1.2 Κριτήρια αξιολόγησης επενδύσεων

11.1.2 Κριτήρια αξιολόγησης επενδύσεων Επιχειρησιακό Πρόγραμμα Εκπαίδευση και ια Βίου Μάθηση Πρόγραμμα ια Βίου Μάθησης ΑΕΙ για την Επικαιροποίηση Γνώσεων Αποφοίτων ΑΕΙ: Σύγχρονες Εξελίξεις στις Θαλάσσιες Κατασκευές Α.Π.Θ. Πολυτεχνείο Κρήτης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Ανταγωνιστική Ισορροπία και Αποτελεσματικές κατά Pareto Κατανομές σε Ανταλλακτική Οικονομία

Γενική Ανταγωνιστική Ισορροπία και Αποτελεσματικές κατά Pareto Κατανομές σε Ανταλλακτική Οικονομία Γενική Ανταγωνιστική Ισορροπία και Αποτελεσματικές κατά Pareto Κατανομές σε Ανταλλακτική Οικονομία Βασικές Υποθέσεις (i) Οι αγορές όλων των αγαθών είναι τέλεια ανταγωνιστικές. Οι καταναλωτές και οι επιχειρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Το επάγγελµα του Ναυπηγού. Χαρίλαος Ν. Ψαραύτης Καθηγητής Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Το επάγγελµα του Ναυπηγού. Χαρίλαος Ν. Ψαραύτης Καθηγητής Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Το επάγγελµα του Ναυπηγού Χαρίλαος Ν. Ψαραύτης Καθηγητής Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τι είναι ο ναυπηγός; Ο ναυπηγός είναι µηχανικός µε αντικείµενο το πλοίο και την τεχνολογία της ναυτιλίας Ναυτιλία ιακινεί

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ. Θεωρία Χρησιµότητας και Συµπεριφοράς του Καταναλωτή

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ. Θεωρία Χρησιµότητας και Συµπεριφοράς του Καταναλωτή ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Θεωρία Χρησιµότητας και Συµπεριφοράς του Καταναλωτή Εισαγωγή: Όπως γνωρίζουµε, το οικονοµικό πρόβληµα εστιάζεται στην αποτελεσµατική κατανοµή των ανεπαρκών οικονοµικών πόρων στις εναλλακτικές

Διαβάστε περισσότερα

2o Μάθηµα. Χαράλαµπος Χρήστου 1/7 Σηµειώσεις: ηµόσια Οικονοµική Ι/2 ο Μάθηµα

2o Μάθηµα. Χαράλαµπος Χρήστου 1/7 Σηµειώσεις: ηµόσια Οικονοµική Ι/2 ο Μάθηµα 2o Μάθηµα Αναφέραµε στο πρώτο µάθηµα τρόπους µε τους οποίους το κράτος επηρεάζει την οικονοµική συµπεριφορά µας. (νοµικό πλαίσιο, το κράτος αγοράζει και παράγει αγαθά και υπηρεσίες, ρυθµίζει τις πολιτικές

Διαβάστε περισσότερα

Η οικονοµία στην Μακροχρόνια Περίοδο Τι είναι το κλασσικό υπόδειγµα;

Η οικονοµία στην Μακροχρόνια Περίοδο Τι είναι το κλασσικό υπόδειγµα; Η οικονοµία στην Μακροχρόνια Περίοδο Τι είναι το κλασσικό υπόδειγµα; Είναι ένα αρκετά απλό αλλά συνάµα θεωρητικά ισχυρό υπόδειγµα δοµηµένο γύρω από αγοραστές και πωλητές οι οποίοι επιδιώκουν τους δικούς

Διαβάστε περισσότερα

1 ου πακέτου. Βαθµός πακέτου

1 ου πακέτου. Βαθµός πακέτου ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Χειµώνας-Άνοιξη Μάθηµα: ηµόσια Οικονοµική ιδασκαλία: Βασίλης Θ. Ράπανος Γεωργία Καπλάνογλου Μετά και το 4 ο πακέτο, πρέπει να στείλετε

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ I

4. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ I Χρηματοοικονομική Διοίκηση I 4. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ I 1 Είδη Επενδύσεων Χρηματιστηριακές και Επενδύσεις Παγίων Είναι κάθε τοποθέτηση διαθεσίμων κεφαλαίων σε ενεργητικά στοιχεία μακράς χρονικής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ-ΜΑΘΗΜΑ ΠΕΜΠΤΟ-ΕΚΤΟ ΕΚΤΟ ΘΕΩΡΙΑ ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ-ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΤΟΥ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Ακαδηµαϊκό Έτος 2011-2012 ΕΠΙΧ Μικροοικονοµική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 2η:Επιλογή Έργου

Διάλεξη 2η:Επιλογή Έργου Τµ. Διοίκησης Επιχειρήσεων/Μεσολόγγι ΤΕΙ Δυτ. Ελλάδας Διαχείριση Έργων Πληροφορικής Διάλεξη 2η:Επιλογή Έργου Β. Βασιλειάδης Τµ. Διοικ. Επιχειρήσεων, ΤΕΙ Δυτ. Ελλάδας Μελέτη Σκοπιµότητας Ø Τι είναι: Ø Τεκµηρίωση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Στο παρόν είναι συγκεντρωµένες όλες σχεδόν οι ερωτήσεις κλειστού τύπου που

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονοµική Θεωρία

Μικροοικονοµική Θεωρία Μικροοικονοµική Θεωρία Ειδικά Θέµατα της Θεωρίας της Συµπεριφοράς του Καταναλωτή Το Συνολικό Αποτέλεσµα. Το Αποτέλεσµα Υποκατάστασης. Το Εισοδηµατικό Αποτέλεσµα. Κανονικά Αγαθά. Κατώτερα Αγαθά. Παράδοξο

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΑΞΕΙΣ Εισαγωγική εισήγηση Νο1

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΑΞΕΙΣ Εισαγωγική εισήγηση Νο1 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΑΞΕΙΣ Εισαγωγική εισήγηση Νο1 ΒΑΣΙΚΑ ΒΗΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ Είναι η επένδυση συμφέρουσα; Ποιός είναι ο πραγματικός χρόνος αποπληρωμής της επένδυσης; Κατά πόσο επηρεάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων:

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Φάμπιο Αντωνίου Στοιχεία Επικοινωνίας: email: fantoniou@cc.uoi.gr Τηλ:651005954 Προσωπική Ιστοσελίδα: fantoniou.wordpress.com Γραφείο: Κτίριο

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηριστικά μεταλλευτικής

Χαρακτηριστικά μεταλλευτικής ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Μηχ. Μεταλλείων - Μεταλλουργών Χαρακτηριστικά μεταλλευτικής Αξιολόγηση Επενδυτικών Σχεδίων Αυξημένος επιχειρηματικός κίνδυνος Αβεβαιότητα στοιχείων ιακυμάνσεις τιμών μετάλλων,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ / ΕΠΙΛΟΓΗΣ Α1. α. Λάθος β. Σωστό γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό Α2. δ Α3. β Ηµεροµηνία: Κυριακή 4 Μαΐου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΟΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Εκτίµηση και Οµόλογα. Κεφάλαιο. 6.1 Εκτίµηση και Κόστος Ευκαιρίας Κεφαλαίου

Εκτίµηση και Οµόλογα. Κεφάλαιο. 6.1 Εκτίµηση και Κόστος Ευκαιρίας Κεφαλαίου 1. Κεφάλαιο 6 Εκτίµηση και Οµόλογα 6.1 Εκτίµηση και Κόστος Ευκαιρίας Κεφαλαίου Είναι καµιά φορά δύσκολο να εξηγήσει κανείς τι σηµαίνει παρούσα αξία σε κάποιον που δεν το έχει µελετήσει. Αλλά, όπως έχει

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 0-0 Δεύτερη Γραπτή Εργασία Επιχειρησιακά Μαθηματικά Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

Η επιστήμη της επιλογής υπό περιορισμούς

Η επιστήμη της επιλογής υπό περιορισμούς ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΙΙ ΓΡΗΓΟΡΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 26/2/2010 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η επιστήμη της επιλογής υπό περιορισμούς 26/2/2010 2 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η μελέτη των επιλογών τις οποίες κάνουν οι μικρο-μονάδες μιας οικονομίας

Διαβάστε περισσότερα

1. Κατανομή πόρων σε συνθήκες στατικής αποτελεσματικότητας

1. Κατανομή πόρων σε συνθήκες στατικής αποτελεσματικότητας Εφαρμογές Θεωρίας 1. Κατανομή πόρων σε συνθήκες στατικής αποτελεσματικότητας Έστω ότι η συνάρτηση ζήτησης για την κατανάλωση του νερού ενός φράγματος (εκφρασμένη σε ευρώ) είναι q = 12-P και το οριακό κόστος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΚΟΣΤΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. Κεφάλαιο 10. Το κόστος παραγωγής. ! Οι επιχειρήσεις επιθυµούν να παράγουν µεγαλύτερη ποσότητα, όσο υψηλότερη είναι η τιµή

ΤΟ ΚΟΣΤΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. Κεφάλαιο 10. Το κόστος παραγωγής. ! Οι επιχειρήσεις επιθυµούν να παράγουν µεγαλύτερη ποσότητα, όσο υψηλότερη είναι η τιµή ΤΟ ΚΟΣΤΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Κεφάλαιο 10 Το παραγωγής! Ο Νόµος της προσφοράς:! Οι επιχειρήσεις επιθυµούν να παράγουν µεγαλύτερη ποσότητα, όσο υψηλότερη είναι η τιµή! Ως εκ τούτου, η καµπύλη προσφοράς έχει αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Έτος 1 Έτος 2 Έτος 3 Έτος 4 Έτος 5 Εισπράξεις 270.000 300.000 350.000 500.000 580.000

Έτος 1 Έτος 2 Έτος 3 Έτος 4 Έτος 5 Εισπράξεις 270.000 300.000 350.000 500.000 580.000 Θέμα 1 0 Η εταιρία ΑΒΓ σχεδιάζει να επενδύσει σήμερα (στο έτος 0), σε ένα έργο το οποίο θα έχει αρχικό κόστος 00.000, διάρκεια ζωής 5 έτη και αναμένεται να δώσει τις ακόλουθες εισπράξεις: Έτος 1 Έτος 2

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε φθηνότερη διαδροµή µε µη γραµµικό κόστος

Κίνηση σε φθηνότερη διαδροµή µε µη γραµµικό κόστος υποδο?ών?εταφράζεταισε?ίαγενικότερηεξοικονό?ησηπαραγωγικώνπόρωνγιατηκοινωνία. τεχνικέςυποδο?ές,όπωςείναιαυτοκινητόδρο?οι,γέφυρεςκ.λ.π.ηκατασκευήτέτοιων Μιααπ τιςβασικέςλειτουργίεςτουκράτουςείναιοεφοδιασ?όςτηςκοινωνίας?εβασικές

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ ιδάσκων:

Διαβάστε περισσότερα

Χρηματοοικονομική Διοίκηση

Χρηματοοικονομική Διοίκηση Χρηματοοικονομική Διοίκηση Ενότητα 3: Τεχνικές επενδύσεων Ι Γιανναράκης Γρηγόρης Τμήμα Διοίκηση Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ιαµόρφωση Προβλήµατος

ιαµόρφωση Προβλήµατος Γραµµικός Προγραµµατισµός ιαµόρφωση Προβλήµατος Η παρουσίαση προετοιµάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόµενα Παρουσίασης 1. Γενικά Στοιχεία Γραµµικού

Διαβάστε περισσότερα

1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ

1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ 1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ Το διάγραμμα κυκλικής ροής της οικονομίας (κεφ. 3, σελ. 100 Mankiw) Εισόδημα Υ Ιδιωτική αποταμίευση S Αγορά συντελεστών Αγορά χρήματος Πληρωμές συντελεστών

Διαβάστε περισσότερα

Απόθεµα περιουσιακών στοιχείων. Χρήσιµο για τις συναλλαγές. Μία µορφή πλούτου. Επάρκεια. Χωρίς Χρήµα. Ανταλλακτική Οικονοµία (Barter economy)

Απόθεµα περιουσιακών στοιχείων. Χρήσιµο για τις συναλλαγές. Μία µορφή πλούτου. Επάρκεια. Χωρίς Χρήµα. Ανταλλακτική Οικονοµία (Barter economy) Απόθεµα περιουσιακών στοιχείων Χρήµα Χρήσιµο για τις συναλλαγές Μία µορφή πλούτου Χωρίς Χρήµα Επάρκεια Ανταλλακτική Οικονοµία (Barter economy) 1 Λειτουργίες του Χρήµατος Μέσο διατήρησης της αξίας Μονάδα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και το Κόστος

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και το Κόστος ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Κεφάλαιο 3 ο : Η Παραγωγή της Επιχείρησης και το Κόστος ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΝΙΚΟΣ Χ. ΤΖΟΥΜΑΚΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Το συνολικό προϊόν παίρνει την μέγιστη τιμή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνές εµπόριο-1 P 1 P 2

Διεθνές εµπόριο-1 P 1 P 2 Διεθνές εµπόριο-1 Το διεθνές εµπόριο συµβάλλει στην καλύτερη αξιοποίηση των παραγωγικών πόρων της ανθρωπότητας γιατί ελαχιστοποιεί το κόστος παραγωγής της συνολικής προσφοράς αγαθών και υπηρεσιών που διακινείται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

Πλεόνασμα του Καταναλωτή, Πλεόνασμα του Παραγωγού και η Αποτελεσματικότητα της Ανταγωνιστικής Αγοράς - Η αλληλεπίδραση της συνολικής ζήτησης και της

Πλεόνασμα του Καταναλωτή, Πλεόνασμα του Παραγωγού και η Αποτελεσματικότητα της Ανταγωνιστικής Αγοράς - Η αλληλεπίδραση της συνολικής ζήτησης και της Πλεόνασμα του Καταναλωτή, Πλεόνασμα του Παραγωγού και η Αποτελεσματικότητα της Ανταγωνιστικής Αγοράς - Η αλληλεπίδραση της συνολικής ζήτησης και της προσφοράς προσδιορίζει την τιμή και την ποσότητα ισορροπίας

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονοµική Θεωρία

Μικροοικονοµική Θεωρία Μικροοικονοµική Θεωρία Θεωρία Χρησιµότητας και Προτιµήσεων. Καταναλωτικές Προτιµήσεις: Βασικά Αξιώµατα. Συνολική και οριακή χρησιµότητα Καµπύλη αδιαφορίας ή ισοϋψής καµπύλη χρησιµότητας. Ιστορική Αναδροµή

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Η Μεγάλη Μεγάλη Ύφεση Ύφεση

Η Μεγάλη Μεγάλη Ύφεση Ύφεση Η Μεγάλη Ύφεση παρακίνησε πολλούς οικονοµολόγους να να αναρωτηθούν σχετικά µε µε την την εγκυρότητα της της Κλασικής Οικονοµικής Θεωρίας. Τότε Τότε δηµιουργήθηκε η πεποίθηση ότι ότι ένα ένα καινούριο υπόδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Κόστους Κύκλου Ζωής

Ανάλυση Κόστους Κύκλου Ζωής Ανάλυση Κόστους Κύκλου Ζωής ρ Γ. Γιαννακίδης Εισαγωγή Στόχοι και Οφέλη Ανάλυση Κόστους Κύκλου Ζωής Life Cycle Cost Analysis - LCCA Μέθοδος οικονοµικής σύγκρισης εναλλακτικών επενδύσεων που βασίζεται στο

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων - Στο υπόδειγμα ertrand, οι επιχειρήσεις, παράγουν ένα ομοιογενές αγαθό, οπότε η τιμή είναι η μοναδική μεταβλητή που ενδιαφέρει τους καταναλωτές και οι καταναλωτές

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙ ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΖΕΙ ΤΗ ΖΗΤΗΣΗ ΓΙΑ ΑΓΑΘΑ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ; Y = C + I + G + NX. απάνες Κατανάλωσης από τα νοικοκυριά

ΤΙ ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΖΕΙ ΤΗ ΖΗΤΗΣΗ ΓΙΑ ΑΓΑΘΑ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ; Y = C + I + G + NX. απάνες Κατανάλωσης από τα νοικοκυριά ΤΙ ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΖΕΙ ΤΗ ΖΗΤΗΣΗ ΓΙΑ ΑΓΑΘΑ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ; Συνολική Ζήτηση για εγχώριο προϊόν (ΑΕΠ/GDP) απαρτίζεται από Y = C + I + G + NX απάνες Κατανάλωσης από τα νοικοκυριά Επενδυτικές απάνες από τα νοικοκυριά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΑΛΛΑΓΗ. Οι συναρτήσεις χρησιμότητας των ατόμων Α και Β είναι αντίστοιχα. και. και το αρχικό απόθεμα και.

ΑΝΤΑΛΛΑΓΗ. Οι συναρτήσεις χρησιμότητας των ατόμων Α και Β είναι αντίστοιχα. και. και το αρχικό απόθεμα και. ΑΝΤΑΛΛΑΓΗ Άσκηση 5 Οι συναρτήσεις χρησιμότητας των ατόμων Α και Β είναι αντίστοιχα u ( x, x ) = x + x 1 2 1 2 και u ( x, x ) = x + x 1 2 1 2 Ω = (2,0) Ω = (0,1) και το αρχικό απόθεμα και. Να προσδιοριστεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α: ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΚΑΙ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ

ΜΕΡΟΣ Α: ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΚΑΙ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α: ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΚΑΙ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1: Το θεωρητικό υπόβαθρο της διαδικασίας λήψεως αποφάσεων και η χρονική αξία του χρήµατος Κεφάλαιο 2: Η καθαρή παρούσα αξία ως κριτήριο επενδυτικών

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Αρχών Οικονοµικής Θεωρίας Επιλογής Γ' Λυκείου 2001

Θέµατα Αρχών Οικονοµικής Θεωρίας Επιλογής Γ' Λυκείου 2001 Θέµατα Αρχών Οικονοµικής Θεωρίας Επιλογής Γ' Λυκείου 2001 ΟΜΑ Α Α Στις προτάσεις, από Α.1. µέχρι και Α.6, να γράψετε τον αριθµό της καθεµιάς και δίπλα σε κάθε αριθµό την ένδειξη Σωστό, αν η πρόταση είναι

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

6.5 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ

6.5 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ 1 6.5 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Τρόποι ελέγχου αν δύο ποσά είναι ανάλογα α) Εξετάζουµε αν µεταβάλλονται µε τον ίδιο τρόπο. ηλαδή, όταν πολλαπλασιάζεται (διαιρείται) η τιµή του ενός µε έναν αριθµό,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 2012-2013 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 2012-2013 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 2012-2013 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Χειμώνας-Άνοιξη Μάθημα: Δημόσια Οικονομική Διδασκαλία: Βασίλης Θ. Ράπανος Γεωργία Καπλάνογλου Ημερομηνία παράδοσης: Ερωτήσεις πολλαπλών

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση Επενδύσεων ιαχρονική Αξία Χρήµατος

Αξιολόγηση Επενδύσεων ιαχρονική Αξία Χρήµατος Αξιολόγηση Επενδύσεων ιαχρονική Αξία Χρήµατος Βασικά Σηµεία ιάλεξης Ορισµός Επένδυσης Μελλοντική Αξία Επένδυσης Παρούσα Αξία Επένδυσης Αξιολόγηση Επενδυτικών Έργων Ορθολογικά Κριτήρια Μέθοδος της Καθαρής

Διαβάστε περισσότερα

o AND o IF o SUMPRODUCT

o AND o IF o SUMPRODUCT Πληροφοριακά Εργαστήριο Management 1 Information Συστήματα Systems Διοίκησης ΤΕΙ Τμήμα Ελεγκτικής Ηπείρου Χρηματοοικονομικής (Παράρτημα Πρέβεζας) και Αντικείµενο: Μοντελοποίηση προβλήµατος Θέµατα που καλύπτονται:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΑΡΧΕΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ, ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΑΡΧΕΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ρ. ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ ΑΣΙΛΑΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Το µάθηµα αυτό έχει σκοπό

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Αρχών Οικονοµικής Θεωρίας Επιλογής Γ' Λυκείου 2001

Θέµατα Αρχών Οικονοµικής Θεωρίας Επιλογής Γ' Λυκείου 2001 Θέµατα Αρχών Οικονοµικής Θεωρίας Επιλογής Γ' Λυκείου 2001 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α Α Στις προτάσεις, από Α.1. µέχρι και Α.6, να γράψετε τον αριθµό της καθεµιάς και δίπλα σε κάθε αριθµό την ένδειξη Σωστό, αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 6 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η θεωρία μεγίστων και ελαχίστων μιας πραγματικής συνάρτησης με μια μεταβλητή είναι γνωστή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τη θεωρία μεγίστων και ελαχίστων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2015

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2015 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2015 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2015 ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Στο παρόν είναι συγκεντρωµένες όλες σχεδόν οι ερωτήσεις κλειστού τύπου που

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Ακαθάριστο Εθνικό Προϊόν (Α.Ε.Π.) - Καθαρό Εθνικό Προϊόν

1.1 Ακαθάριστο Εθνικό Προϊόν (Α.Ε.Π.) - Καθαρό Εθνικό Προϊόν ΜΑΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΔΑΣΚΟΥΣΑ : ΑΡΓΥΡΏ ΜΟΥΔΑΤΣΟΥ 1. ΕΘΝΙΚΟΙ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΙ 1.0 Γενικά Αντικείµενο της Μακροοικονοµικής είναι ο καθορισµός (υπολογισµός) των συνολικών µεγεθών της οικονοµίας, πχ. της συνολικής

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HECKSCHER-OHLIN

3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HECKSCHER-OHLIN 3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HESHER-OHIN Υπάρχουν δύο συντελεστές παραγωγής, το κεφάλαιο και η εργασία τους οποίους χρησιμοποιεί η επιχείρηση για να παράγει προϊόν Y μέσω μιας συνάρτησης παραγωγής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ιδάσκων:

Διαβάστε περισσότερα

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Ένα πολυσταδιακό πρόβλημα που αφορά στον τριμηνιαίο προγραμματισμό για μία βιομηχανική επιχείρηση παραγωγής ελαστικών (οχημάτων) Γενικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Έργο µιας χρονικά µεταβαλλόµενης δύναµης

Έργο µιας χρονικά µεταβαλλόµενης δύναµης Έργο µιας χρονικά µεταβαλλόµενης δύναµης Κ. Ι. Παπαχρήστου Τοµέας Φυσικών Επιστηµών, Σχολή Ναυτικών οκίµων papachristou@snd.edu.gr Θα συζητήσουµε µερικά λεπτά σηµεία που αφορούν το έργο ενός χρονικά µεταβαλλόµενου

Διαβάστε περισσότερα

Εάν το ποσοστό υποχρεωτικών καταθέσεων είναι 25% και υπάρξει μια αρχική κατάθεση όψεως 2.000 σε μια εμπορική Τράπεζα, τότε η μέγιστη ρευστότητα που μπορεί να δημιουργηθεί από αυτή την κατάθεση είναι: Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ I ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ I ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ I ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Λέκτορας Ι. Γιαννατσής Καθηγητής Π. Φωτήλας ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ Οικονομική Επιστήμη: Η κοινωνική επιστήμη που ερευνά την οικονομική δραστηριότητα

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Καλάθι αγαθών. Σχέσεις προτίµησης. Ιδιότητες σχέσεων προτίµησης. Notes. Notes. Notes. Notes

Καλάθι αγαθών. Σχέσεις προτίµησης. Ιδιότητες σχέσεων προτίµησης. Notes. Notes. Notes. Notes Θεωρία Καταναλωτή-Προτιµήσεις Κώστας Ρουµανιάς Ο.Π.Α. Τµήµα. Ε. Ο. Σ. 22 Σεπτεµβρίου 2014 Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή-Προτιµήσεις 22 Σεπτεµβρίου 2014 1 / 17 Προτιµήσεις καταναλωτών Θέλουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΠΑ.Λ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΠΑ.Λ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ΟΥ & 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΕΠΑ.Λ Σηµειώστε αν είναι σωστή ή λανθασµένη καθεµία από τις παρακάτω προτάσεις σηµειώνοντας το αντίστοιχο

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ ÓÕÍÅÉÑÌÏÓ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ ÓÕÍÅÉÑÌÏÓ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ / ΕΠΙΛΟΓΗΣ Ηµεροµηνία: Παρασκευή 17 Απριλίου 2015 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ Α.1 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα