ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

Transcript

1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ η : f :[ ] IR δύο φορές αραγωγίσιµη στο διάστηµα ( ) ώστε: [ ] f () + f() f () = IR και ακόµη. Να αοδείξετε ότι f() > ( ) f() = και f () =. Να αοδείξετε ότι ο τύος της f είαι: f() =. 3. Α Α Β είαι τυχαία σηµεία της γραφικής αράστασης της f α δείξετε ότι (ΑΒ) <. 4. Να υολογίσετε το ολοκλήρωµα I = f()d. ΑΣΚΗΣΗ η : f : IR IR τέτοια ώστε: f() = + f (t) IR. Να δείξετε ότι η f είαι δύο φορές αραγωγίσιµη στο IR και α εκφράσετε τη συαρτήσει µόο της f.. Να αοδείξετε ότι οι συαρτήσεις φ() = βρείτε τους τύους τους. 4. Έα κιητό κιείται άω στη γραφική αράσταση της συάρτησης f. Τη χροική στιγµή ου διέρχεται αό το σηµείο A(ln k) η τετµηµέη του µειώεται µε ρυθµό µοάδες. Να βρείτε το ρυθµό µεταβολής της τεταγµέης του κιητού τη χροική s στιγµή t ( ) ( ) f() + f () e και h() = f() f () e 3. Να βρείτε το τύο της f. t > f είαι σταθερές στο IR και α ΑΣΚΗΣΗ 3 η : ισχύου: f() > και f : IR IR και ο σταθερός ακέραιος α ώστε IR α f() = α + e f(t) f(t) + f(. Να βρείτε τη f συαρτήσει µόο της f.. Να βρείτε το τύο της f. 3. Να βρείτε τη µικρότερη τιµή του α. t)

2 ΑΣΚΗΣΗ 4 η : y e f(t) y y. Βρείτε τη f. f :IR IR τη οοία ισχύει: IR. Να αοδείξετε ότι δε υάρχει συάρτηση g : IR IR ώστε α ισχύει: f(g()) = e IR ΑΣΚΗΣΗ 5 η : Έστω µια συάρτηση f :[ + ) IR τη οοία ισχύει: f() e f() = [ + ) Να αοδείξετε ότι:. f().. Η f είαι συεχής στο. 3. Η f είαι αραγωγίσιµη στο. 4. Η f είαι γησίως αύξουσα. 5. Α η f είαι αραγωγίσιµη στο [ + ) τότε: f() d = e. + f() ΑΣΚΗΣΗ 6 η : f(t) f : IR IR ώστε: f() = t e IR.. Να βρείτε τη f.. Να βρείτε το σύολο τιµώ της f 3. Να δείξετε ότι: f(β) f(α) β α α β IR * ΙΝ 4. Να υολογίσετε το όριο: lim + f() IN * ΑΣΚΗΣΗ 7 η : f() = + f(t ) IR f :IR IR τη οοία ισχύει:

3 . Να βρείτε τη f.. Να αοδείξετε ότι η f είαι κυρτή. 3. Α α < β < γ α δείξετε ότι f(β) f(α) f(γ) f(β) <. β α γ β 4. Να βρείτε τη ευθεία = ου χωρίζει το χωρίο ου ερικλείεται αό τη Cf το άξοα και τις ευθείες = = σε δύο ισοεµβαδικά χωρία. ΑΣΚΗΣΗ 8 η : f : IR IR τη οοία ισχύει: + t f() = f(t) + e IR.. είξτε ότι f( ) = f() IR. είξτε ότι η f είαι αραγωγίσιµη. 3. Να βρείτε το τύο της f. ΑΣΚΗΣΗ 9 η : Έστω µια αραγωγίσιµη συάρτηση f() = και f () > f : IR IR τη οοία ισχύει:. είξτε ότι η f έχει ελάχιστο το.. f(t) Α εί λέο ισχύει: f () = f(t) + f( t) IR α) είξτε ότι = + IR f() β) Βρείτε το όριο IN 4 lim f() ΑΣΚΗΣΗ η : f :IR IR τη οοία ισχύει: y f() = f(t) dy IR. Να αοδείξετε ότι:. Η συάρτηση f είαι δύο φορές αραγωγίσιµη στο IR.. f() = 3 ηµ + 4 συ

4 f() 3. Α ( ) και l IR ώστε lim = l τότε l = 5 ΑΣΚΗΣΗ η : t t ίεται η συάρτηση f() = + + e IR.. είξτε ότι: f() IR.. είξτε ότι: f()d = f () 3. Να βρείτε τα σηµεία IR ώστε η εφατοµέη της στο σηµείο M( f()) α ερά αό τη αρχή τω αξόω Να µελετήσετε ως ρος τη µοοτοία τη συάρτηση g() = f(t) IR. ΑΣΚΗΣΗ η : f : IR IR µε f()= και τη οοία ισχύει: f( + y) f( y) = ηµy f(t) y IR. Να αοδείξετε ότι:. Η f είαι δύο φορές αραγωγίσιµη στο IR.. f () = f() IR. 3. Η συάρτηση φ : IR IR µε τύο φ() = (f() συ) + (f () + ηµ) είαι σταθερή και α βρείτε τη f. ΑΣΚΗΣΗ 3 η : Έστω η αραγωγίσιµη συάρτηση ( f () ) d + ( f () ) d = f () f() = e IR. f : [ ] IR µε f συεχή και f()= ώστε α ισχύει: [ ]. Να αοδείξετε ότι: ΑΣΚΗΣΗ 4 η :

5 Έστω η αραγωγίσιµη συάρτηση f :[α β] IR µε f(β) = f(α) ώστε α ισχύει: f () = f () 4 f() + 4 [α β]. Να αοδείξετε ότι:. f(α) > β. f()d < ln α 3. Α f(α) > τότε : α) Η f είαι κυρτή β) ε υάρχου στη γραφική αράσταση της f τρία διαφορετικά σηµεία τα οοία α είαι συευθειακά ΑΣΚΗΣΗ 5 η : Έστω η αραγωγίσιµη συάρτηση f () ηµ d = f () συ d =. Να αοδείξετε ότι: f : IR IR µε f συεχή στο IR και τέτοια ώστε α ισχύει :. Υάρχει εφατοµέη της C f ου είαι αράλληλη στη ευθεία y = Η εξίσωση f() = f(t) ηµt έχει λύση στο IR. ΑΣΚΗΣΗ 6 η : Έστω η δύο φορές αραγωγίσιµη συάρτηση f :[ + ) IR µε f() = και f ( ) = 4 ώστε : f () = f(). *. Να βρείτε το φυσικό αριθµό ΙΝ α ισχύει : f () = ( ) f(). Να βρείτε τη συάρτηση f. 3. Να λύσετε στο διάστηµα [ + ) τη εξίσωση f() = 4 ΑΣΚΗΣΗ 7 η : Έστω η συάρτηση f() > και f() + lnf() =. f : IR IR ώστε IR α ισχύου οι σχέσεις:

6 . Να αοδείξετε ότι η f είαι γησίως αύξουσα.. Να δείξετε ότι η εξίσωση f()= έχει µοαδική λύση τη =. 3. Έστω ότι η f είαι αραγωγίσιµη στο IR. α) Να εκφράσετε τη f συαρτήσει της f. β) Να δείξετε ότι η f είαι κυρτή στο IR. γ) Να δείξετε ότι: f () + f() 3 f()d. ΑΣΚΗΣΗ 8 η : Έστω η δύο φορές αραγωγίσιµη συάρτηση f :( + ) IR µε f() = e και f () = και 3 ακόµη έστω f () = e >.. Να βρείτε το τύο της f.. Να βρείτε το σύολο τιµώ της f. e 3. Να αοδείξετε ότι: >. e 4. Να αοδείξετε ότι: f() + f() > f() ΑΣΚΗΣΗ 9 η : Έστω η δύο φορές αραγωγίσιµη συάρτηση f : IR IR µε f() = και f () = ώστε f () = f () + f(). Να βρείτε τη f.. Α 3 εριττός και α 5 IR. ( ) * f() + α d = µε α IR και IN α αοδείξετε ότι ο είαι ΑΣΚΗΣΗ η : Έστω η αραγωγίσιµη συάρτηση f : IR IR µε f() = 3 και f () = 5 τη οοία ισχύει: f t f(t) () = + f(c) e. Να βρείτε τη f. Να βρείτε τη σταθερά c. IR και c είαι σταθερά. 3. Α τη συάρτηση g : IR IR ισχύει ότι f o g = g o f α δείξετε ότι η γραφική αράσταση της f διέρχεται αό σταθερό σηµείο αεξάρτητο αό το τύο της g.