Περιεχόμενα. 3 Γεννήτριες συναρτήσεις Συνήθεις γεννήτριες συναρτήσεις Βασικές γεννήτριες συναρτήσεις

Transcript

1 Περιεχόμενα Γραφήματα 5. Εισαγωγή ιστορικό Γραφήματα δεσμών Βασικοί ορισμοί Βασικά αποτελέσματα Συνεκτικότητα Γραφήματα Euler και Hamilton Μήτρα γραφήματος δεσμών Γραφήματα με συνάρτηση κόστους Δένδρα Βασικοί ορισμοί - Βασικά αποτελέσματα Δένδρα με ρίζα Διατεταγμένα δένδρα Δυαδικά δένδρα Διάσχιση δένδρων Διάσχιση δυαδικών δένδρων Διάσχιση διατεταγμένων δένδρων Γραφήματα τόξων Βασικοί ορισμοί Μήτρα γραφήματος τόξων Λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς επίλυση Βασικοί αριθμοί 59. Αριθμοί Fibonacci Το ϑεώρημα Zeckendorf Αριθμοί Stirling Αριθμοί Stirling πρώτου είδους Αριθμοί Stirling δευτέρου είδους Σχέσεις αριθμών Striling πρώτου και δευτέρου είδους Εφαρμογή των αριθμών Stirling δευτέρου είδους Αριθμοί Bell Αριθμοί Catalan Συνδυαστικές κατασκευές Λεξικογραφική κατασκευή των μεταθέσεων του rns Ασκήσεις προς επίλυση Γεννήτριες συναρτήσεις Συνήθεις γεννήτριες συναρτήσεις Βασικές γεννήτριες συναρτήσεις

2 3.. Ιδιότητες γεννητριών συναρτήσεων Συνέλιξη Ο συμβολισμός rx n s f pxq Εκθετικές γεννήτριες συναρτήσεις Αντιστροφή Εφαρμογές Γραμμικές αναγωγικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές Γραμμικές αναγωγικές εξισώσεις με πολυωνυμικούς συντελεστές Αριθμοί Fibonacci Αριθμοί Catalan Αριθμοί Motzkin Μεταθέσεις με σταθερά σημεία Λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς επίλυση Αναγωγικές εξισώσεις Εξισώσεις Διαφορών Αναγωγικές εξισώσεις Γραμμικές αναγωγικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές Γραμμικές μη ομογενείς εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές Λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς επίλυση Ασυμπτωτική ανάλυση Σύγκριση ακολουθιών με τη βοήθεια ορίων Ασυμπτωτική ισοδυναμία Μια ιεραρχία Ο συμβολισμός o Λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς επίλυση Σύγκριση ακολουθιών με τη βοήθεια φραγμάτων Οι συμβολισμοί O,ΩκαιΘ Γενίκευση των συμβολισμών O,ΩκαιΘ Δυναμοσειρές Ασκήσεις προς επίλυση Ασυμπτωτικά σφάλματα Ασυμπτωτική προσέγγιση του n! Ασυμπτωτική προσέγγιση με τη βοήθεια των γεννητριών Άσκήσεις προς επίλυση Τυπικές Γλώσσες - Αυτόματα 9 6. Τυπικές γλώσσες Ορισμοί Αντικατάσταση Διατάξεις Αυτόματα D-αυτόματα Λέξεις και αυτόματα Ασκήσεις

3 Κεφάλαιο Γραφήματα. Εισαγωγή ιστορικό C C A D A D B B Euler (736): Γέφυρες του Königsberg Μπορεί κάποιος να περάσει ακριβώς μια φορά από κάθε γέφυρα; Kirchhoff (847): Γενετικό δένδρο H H C H H Cayley (857): Πλήθος κορεσμένων υδρογονάνθρακων C n H n` 5

4 Μερικές από τις εφαρμογές της Θεωρίας Γραφημάτων : Πληροφορική (Δένδρα, Δυαδικά δένδρα, Διατεταγμένα δένδρα, Διάτρεξη (διάσχιση) δένδρων, Προγραμματισμός, Συνδεσμολογία κ.λπ.). Αλγόριθμοι (Αλγόριθμοι γραφημάτων, Αναζήτηση πρώτα κατά πλάτος, Αναζήτηση πρώτα κατά βάθος, Τοπολογική διάταξη, Κατάταξη έργων με προθεσμίες κ.λπ.). Διοίκηση Επιχειρήσεων (Οργανογράμματα, Κεντρικά σημεία κ.λπ.). Οδοποιΐα (Οδικά δίκτυα - χωρητικότητα - μέγιστη ροή, Σηματοδότηση δρόμων). Υδραυλικά (Δίκτυα - χωρητικότητα -μέγιστη ροή). Ιστορία - Κοινωνιολογία (Γενεαλογικά δένδρα, Φιλία (γραφήματα δεσμών), Ερωτας (γραφήματα τόξων - δυστυχώς!)).. Γραφήματα δεσμών.. Βασικοί ορισμοί Κάθε δυάδα G pvpgq, EpGqq, ή pv, Eq όπου V είναι ένα μη κενό σύνολο και E είναι ένα σύνολο από (μη διατεταγμένα) ζεύγη t, uu,, u P V ονομάζεται γράφημα δεσμών, ή απροσανατόλιστο γράφημα. Τα στοιχεία του V καλούνται κορυφές, ή σημεία, ή κόμβοι (ertices, points), ενώ τα στοιχεία του E καλούνται δεσμοί, ή γραμμές, ή χορδές, ή πλευρές, ή ακμές (edges, lines). Αν, u P V, με t, uu P E, τότε τα, u ονομάζονται άκρα του δεσμού t, uu. Λέμε επίσης τότε ότι τα, u ανήκουν στο t, uu, ή ότι ο t, uu ενώνει ή περιέχει τα, u. Θα ασχοληθούμε εδώ με πεπερασμένα γραφήματα, (δηλαδή V PN ). Το E μπορεί να είναι H. Συχνά γράφουμε V p ή n και E q. Ο πληθάριθμος V ονομάζεται τάξη του γραφήματος. Παράδειγμα: Η δυάδα G pv, Eq όπου V t,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 u και E tt, 3 u, t, 4 u, t, 5 u, t, 3 u, t, 5 u, t, 8 u, t 3, 4 u, t 3, 8 u, t 7, 8 uu είναι ένα γράφημα δεσμών. Η γραφική του απεικόνιση είναι η ακόλουθη: Αν οι, u ταυτίζονται έχουμε ένα βρόχο. Παρατήρηση: Δεδομένου ότι σε ένα σύνολο επιτρέπεται μια μόνο εμφάνιση κάθε στοιχείου του, από τον ορισμό του γραφήματος δεσμών προκύπτει ότι σε αυτό δεν επιτρέπονται ούτε βρόχοι ούτε πολλαπλοί δεσμοί που να συνδέουν το ίδιο ζεύγος κορυφών. Τα γραφήματα αυτά ονομάζονται απλά γραφήματα και με τέτοια ϑα ασχοληθούμε, εκτός αν αναφερθεί ρητά το αντίθετο. 4 6

5 Ισόμορφα γραφήματα Τα γραφήματα δεσμών G pv, Eq και G pv, E q ονομάζονται ισόμορφα αν και μόνο αν υπάρχει αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση f : V Ñ V, με t, uu P E ô t f pq, f puqu P E. Αν δύο γραφήματα G και G είναι ισόμορφα, ϑα γράφουμε G» G. Παραδείγματα Τα επόμενα γραφήματα είναι ισόμορφα GpV, Eq 4» G pv, E q διότι για την f : V Ñ V με f p q 4, f p q, f p 3 q, f p 4 q 3, f p 5 q 5, έχουμε πράγματι ότι t i, j u P E ô t f p i q, f p j qu P E, (για παράδειγμα : t, u P E και t, 4 u P E, t, 4 u E και t, 3 u E, t 4, 5 u P E και t, 3 5u P E, κ.ο.κ.). Τα επόμενα γραφήματα είναι όλα ισόμορφα: Αντίθετα τα επόμενα δύο γραφήματα δεν είναι ισόμορφα: 7

6 Μορφές γραφημάτων ) Μηδενικό γράφημα ονομάζεται ένα γράφημα G pv, Eq με E H. Παράδειγμα: ) Τετριμμένο γράφημα ονομάζεται ένα γράφημα G pv, Eq με V. 3) Πλήρες γράφημα ονομάζεται ένα γράφημα G pv, Eq τέτοιο P V με u ισχύει ότι t, uu P E. Παρατήρηση: Το πλήρες γράφημα με n κόμβους συμβολίζεται με K n. Παράδειγμα: Το γράφημα K 3 είναι ένα το K 3 ενώ το γράφημα K 4 είναι το : 3 K Υπογραφήματα ) Υπογράφημα του G pv, Eq ονομάζεται ένα γράφημα G pv, E q με V Ď V και E Ď E. Παράδειγμα: G 5 G

7 ) Γενετικό (ή γεννητικό, ή μερικό) γράφημα, ή γράφημα ζεύξης του G pv, Eq ονομάζεται ένα γράφημα G pv, E q με E Ď E. Παράδειγμα: G G ) Κλίκα ενός γραφήματος ονομάζεται κάθε πλήρες υπογράφημά του. Μέγιστη κλίκα ενός γραφήματος ονομάζεται κάθε κλίκα του με το μέγιστο δυνατό αριθμό κόμβων. Παραδείγματα Οι μέγιστες κλίκες των δύο παρακάτω γραφημάτων είναι οι K 3 και K 4 αντίστοιχα. 4) Αν G pv, Eq και P V, e P E ορίζουμε τα υπογραφήματα G, G e ως εξής: VpG q Vztu, EpG q Ezte i P E : P e i u, ενώ VpG eq V, EpG eq Ezteu. Παραδείγματα 4 3 G G G G G {, } 3 9

8 Συμπλήρωμα Συμπλήρωμα G c του G pv, Eq με V n ονομάζεται το γράφημα G c ή Ḡ ή G pv, E c q με E c EpK n qzepgq. Παράδειγμα: G 5 G c Βαθμός Αν G pv, Eq, για κάθε P V ορίζουμεγ G pq tu P VpGq : t, uu P EpGqu. Τότε Γ G pq ονομάζεται βαθμός του κόμβου και συμβολίζεται με d G pq, ή dpq, ή degpq. Δηλαδή, βαθμός του στο G, λέγεται το πλήθος των δεσμών του G των οποίων ο είναι άκρο. Παράδειγμα: Στο παραπάνω γράφημα, οι κόμβοι του έχουν τους ακόλουθους βαθμούς: dp q dp 4 q 3, dp q, dp 3 q dp 6 q, dp 5 q 0. Κάθε κόμβος βαθμού μηδέν λέγεται μεμονωμένος κόμβος. Ενα γράφημα G pv, Eq λέγεται d-κανονικό αν d G pq d, για κάθε P V. Εστω G pv, Eq με V t,,..., n u. Ακολουθία βαθμών του G λέγεται η πεπερασμένη ακολουθία pdp q, dp q,..., dp n qq. Παράδειγμα: Η ακολουθία βαθμών του παραπάνω γραφήματος είναι (3,3,,,,0). Παρατήρηση: Συνήθως γράφουμε την ακολουθία βαθμών ενός γραφήματος σε φθίνουσα τάξη. 0

9 .. Βασικά αποτελέσματα Πρόταση... Σε κάθε απλό γράφημα δεσμών ισχύει ότι ř V i dp i q E. Πόρισμα... Σε κάθε απλό γράφημα δεσμών ο αριθμός των κόμβων με περιττό βαθμό είναι άρτιος. Πρόταση..3. Αν δύο γραφήματα G, H είναι ισόμορφα, τότε: i) Εχουν την ίδια ακολουθία βαθμών, και μάλιστα ισχύει ότι d G pq d H p f P XpGq. ii) Εχουν ισόμορφα υπογραφήματα...3 Συνεκτικότητα Διαδρομή που ενώνει τους κόμβους i, j ενός γράφηματος G (ή i j διαδρομή) είναι μια ακολουθία της μορφής p i, e ik, k, e kl, l,..., r, e r j, j q, όπου e st είναι ο δεσμός του γραφήματος που ενώνει τους κόμβους s και t. (Συνήθως περιγράφουμε μια διαδρομή μόνο με τους διαδοχικούς κόμβους της: p i, k, l,..., r, j q). Μήκος μιας διαδρομής ονομάζεται το πλήθος των δεσμών της. Αν σε μια i j διαδρομή του G κάθε δεσμός εμφανίζεται μια μόνο φορά, η διαδρομή λέγεται i j δρόμος του G. Αν επιπλέον, σε ένα i j δρόμο του G κάθε κόμβος εμφανίζεται μια μόνο φορά, ο δρόμος λέγεται i j μονοπάτι του G. Μια i j διαδρομή, ή ένας i j δρόμος του G, με i j λέγεται κλειστή διαδρομή του G ή κλειστός δρόμος του G. Τέλος, ένας κλειστός δρόμος του G, μήκους n, με n διακεκριμένους κόμβους, λέγεται κύκλος του G. Παράδειγμα: Για το γράφημα G έχουμε : e e 3 e6 6 e7 e8 e3 e 9 4 e5 e4 5 5 διαδρομή του G (μήκους 6): (, e,, e 7, 6, e 9, 4, e 8,, e 7, 6, e 5, 5 ), ή συντομότερα (,, 6, 4,, 6, 5 ). 5 δρόμος του G (μήκους 6): (,, 3, 4,, 6, 5 ). 5 μονοπάτι του G (μήκους 5): (,, 3, 4, 6, 5 ). Κλειστή διαδρομή του G (μήκους 7): (,, 6, 4, 3,, 6, ). Κλειστός δρόμος του G (μήκους 6): (,, 3, 4,, 6, ). Κύκλος του G (μήκους 4): (,, 4, 6, ). Άκυκλο ονομάζεται ένα γράφημα που δεν έχει κύκλους. Παραδείγματα

10 G G Ενα γράφημα λέγεται συνεκτικό αν για οποιουσδήποτε δύο κόμβους του, υπάρχει μονοπάτι που τους ενώνει. Παραδείγματα G G Συνεκτικά γραφήματα 4 3 G 3 G Μη συνεκτικά γραφήματα Συνιστώσα ενός γραφήματος G ονομάζεται κάθε μεγιστικό (maximal) συνεκτικό υπογράφημά του (δηλαδή κάθε συνεκτικό υπογράφημά του που δεν είναι υπογράφημα κάποιου άλλου συνεκτικού υπογραφήματος του G). Προφανώς τα συνεκτικά γραφήματα αποτελούνται από μια μόνο συνιστώσα : τον εαυτό τους. Παραδείγματα Στο προηγούμενο σχήμα οι συνιστώσες του G 3 είναι τα δύο τρίγωνα G 3,, G 3, με VpG 3, q t,, 3 u και VpG 3, q t 4, 5, 6 u αντίστοιχα, ενώ το G 4 έχει προφανώς τρεις συνιστώσες. Ενα συνεκτικό γράφημα G pv, Eq με V t 0,,..., n u λέγεται 0 n μονοπάτι (ή απλά μονοπάτι) μήκους n, αν dp 0 q dp n q και dp i q, για κάθε i P rn s. Παράδειγμα: Μονοπάτι μήκους 8 8 Ενα συνεκτικό -κανονικό γράφημα λέγεται κύκλος, ενώ ένα 3-κανονικό γράφημα λέγεται κυβικό γράφημα. Ενας κύκλος μήκους n, δηλαδή με n κόμβους, συμβολίζεται με C n. Παραδείγματα G G Τα γραφήματα G, G είναι κύκλος και κυβικό γράφημα αντίστοιχα.

11 Παρατήρηση: Παρατηρείστε τη διαφορά ανάμεσα στους ορισμούς «μονοπάτι γραφήματος» και «κύκλος γραφήματος» που δόθηκαν νωρίτερα και στους ορισμούς των γραφημάτων «μονοπάτι» και «κύκλος» που δίνονται εδώ. Κλείδωση (ή σημείο κοπής) ενός συνεκτικού γραφήματος G pv, Eq λέγεται κάθε P V τέτοιο ώστε το G είναι μη συνεκτικό. Παραδείγματα Οι κόμβοι 4, 6 του παρακάτω γραφήματος G είναι κλειδώσεις, ενώ ο δεν είναι. 5 G 4 6 G G 5 6 G Προφανώς, κλειδώσεις ενός μη συνεκτικού γραφήματος G ονομάζονται οι κλειδώσεις των συνιστωσών του G. Σύνολο κλειδώσεων ενός συνεκτικού γραφήματος G λέγεται κάθε t,,..., n u Ď V τέτοιο ώστε το pppg q q q n να είναι μη συνεκτικό. Παρατήρηση: Συνήθως μας ενδιαφέρουν τα ελάχιστα σύνολα κλειδώσεων. Αν ένα ελάχιστο σύνολο κλειδώσεων ενός γραφήματος έχει πληθάριθμο k, τότε το γράφημα λέγεται k-συνεκτικό. Παράδειγμα: Το γράφημα 3 G 5 4 είναι -συνεκτικό, αφού το σύνολο t, 5 u είναι ένα ελάχιστο σύνολο κλειδώσεων: (G ) Ισθμός (ή γέφυρα) ενός συνεκτικού γραφήματος G pv, Eq λέγεται κάθε e P E τέτοιος ώστε το G e είναι μη συνεκτικό. 3

12 Παράδειγμα: Για το γράφημα G ο t 3, 4 u είναι γέφυρα, αφού το γράφημα G {, } είναι μη συνεκτικό. Προφανώς, ισθμοί ενός μη συνεκτικού γραφήματος G ονομάζονται οι ισθμοί των συνιστωσών του G. Ενα μη τετριμμένο, συνεκτικό γράφημα χωρίς κλειδώσεις λέγεται μη διαχωρίσιμο (ή συμπαγές, ή δισυνεκτικό). Παράδειγμα: Το παρακάτω γράφημα είναι μη διαχωρίσιμο: Αν το H είναι ένα μεγιστικό μη διαχωρίσιμο υπογράφημα του G (δηλαδή το H δεν είναι υπογράφημα κάποιου άλλου μη διαχωρίσιμου υπογραφήματος του G) τότε λέγεται μπλοκ (ή δισυνεκτική συνιστώσα) του G. Παράδειγμα: Τα μπλοκ του γραφήματος G είναι τα

13 Απόσταση dpu, q μεταξύ δύο κόμβων u, μιας συνιστώσας του G ονομάζεται το ελάχιστο μήκος μεταξύ όλων των διαδρομών που τους συνδέουν. Μερικοί συγγραφείς επεκτείνουν τον παραπάνω ορισμό, ορίζοντας ως απόσταση μεταξύ δύο κόμβων u, οι οποίοι ανήκουν σε διαφορετικές συνιστώσες ενός μη συνεκτικού γραφήματος το Γραφήματα Euler και Hamilton Αν υπάρχει (τουλάχιστον) ένας δρόμος του γραφήματος G, ο οποίος χρησιμοποιεί όλους τους δεσμούς του G, λέγεται δρόμος Euler. Αν το G περιέχει ένα κλειστό δρόμο Euler, τότε λέγεται γράφημα Euler. Πρόταση..4. i) Εστω G ένα συνεκτικό γράφημα που περιέχει τουλάχιστον ένα δρόμο Euler. Τότε περιέχει το πολύ δύο κόμβους περιττού βαθμού. Αν περιέχει δύο τέτοιους κόμβους,, τότε όλοι οι δρόμοι Euler του G είναι δρόμοι. ii) Ενα συνεκτικό γράφημα G είναι γράφημα Euler αν και μόνο αν όλοι οι κόμβοι του έχουν άρτιο βαθμό. Στην περίπτωση αυτή, όλοι οι δρόμοι Euler του G είναι κλειστοί. Παρατήρηση: Η Πρόταση..4 i) δίνει και την (αρνητική) απάντηση στο πρόβλημα των γεφυρών του Königsberg, που παρουσιάστηκε στην εισαγωγή, αφού το γράφημα C A D ή, αυστηρότερα, το γράφημα B C E A H F K D έχει πάνω από δύο κόμβους περιττού βαθμού. B 5

14 Παραδείγματα G 3 3 G G Το γράφημα G περιέχει το δρόμο Euler p,, 3, 4, 5,, 6 q αλλά δεν είναι γράφημα Euler, (αφού περιέχει και κόμβους περιττού βαθμού). Το γράφημα G (του οποίου όλοι οι κόμβοι έχουν άρτιο βαθμό) είναι γράφημα Euler, και περιέχει για παράδειγμα τον κλειστό δρόμο Euler p 6,,, 3, 4,, 3, 6, 4, 5, 6 q. Το γράφημα G 3 δεν περιέχει δρόμο Euler, (αφου περιέχει πάνω από δύο κόμβους περιττού βαθμού. Ενας κύκλος του G ο οποίος διέρχεται από όλους τους κόμβους του G λέγεται κύκλος Hamilton. Αν το G περιέχει ένα κύκλο Hamilton, λέγεται γράφημα Hamilton. Παραδείγματα 3 G G 6 Το γράφημα G είναι γράφημα Hamilton, αφού περιέχει τον κύκλο Hamilton p,, 5, 3, 4, 6, 7, 8, q, ενώ το γράφημα G δεν είναι γράφημα Hamilton, αφού προφανώς δεν περιέχει ένα κύκλο Hamilton...5 Μήτρα γραφήματος δεσμών Εστω G pv, Eq. Ορίζουμε την V ˆ V μήτρα # M G ή M του G ως εξής:, αν t i, j u P E M rm i j s, με m i j 0, αν t i, j u E. Η μήτρα αυτή ονομάζεται μήτρα (γειτονικότητας) του γραφήματος δεσμών. 6

15 Παράδειγμα: Στο γράφημα G G αντιστοιχεί η μήτρα Παρατήρησεις» fi ffi ffi M ffi ffi ffi. ffi fl Η μήτρα M είναι προφανώς συμμετρική.. Ισχύει ότι ÿ V ÿ V m i j m ji dp i q, j j (δηλαδή το άθροισμα των στοιχείων της i γραμμής ισούται με το άθροισμα των στοιχείων της i στήλης (και με τον βαθμό του κόμβου i )). Για να εκφραστούν και να υλοποιηθούν σαφέστερα κάποιοι αλγόριθμοι στον υπολογιστή, χρησιμοποιούνται και οι λίστες γειτονικότητας. Σ αυτές, κάθε γραμμή (λίστα) αντιστοιχεί σε ένα κόμβο i P V, ο δείκτης i του οποίου εμφανίζεται ως επικεφαλής δείκτης της λίστας. Τα υπόλοιπα στοιχεία της λίστας έχουν τη μορφή κόμβος δείκτης όπου στην πρώτη ϑέση εφανίζεται ο δείκτης ενός κόμβου που συνδέεται με τον i, ενώ η δεύτερη ϑέση συνδέεται με το επόμενο στοιχείο της λίστας (αν υπάρχει και άλλος κόμβος που συνδέεται με τον i ) ή περιέχει ένα σύμβολο ^ (αν δεν υπάρχει άλλος κόμβος που συνδέεται με τον i ). 7

16 Παράδειγμα: Για το γράφημα G στην αρχή της παραγράφου, η λίστα γειτονικότητας είναι: Παρατήρηση: Σε κάθε γραμμή εμφανίζονται όλοι οι κόμβοι που συνδέονται με τον επικεφαλής κόμβο (και όχι κατ ανάγκη μεταξύ τους)...6 Γραφήματα με συνάρτηση κόστους Με ένα γράφημα GpV, Eq μπορεί να συσχετισθεί κάποια συνάρτηση κόστους, δηλαδή μια συνάρτηση f : E ÑR. Οι τιμές f pt i, j uq για κάθε t i, j u P E, δίδονται αντίστοιχα και πάνω στο γράφημα. Βασικές έννοιες, όπως ο ισομορφισμός, τα υπογραφήματα κ.λπ. μεταφέρονται κατά προφανή τρόπο στα γραφήματα με συνάρτηση κόστους. Προφανώς, μπορούμε επίσης να ορίσουμε# και την αντίστοιχη μήτρα γειτονικότητας: f pt i, j uq, αν t i, j u P E M rm i j s, με m i j 0, αν t i, j u E. Παράδειγμα: Στο γράφημα G G αντιστοιχεί η μήτρα 8

17 » fi ffi ffi M ffi ffi fl Παρατήρηση: Προφανώς τα γραφήματα χωρίς συνάρτηση κόστους μπορούν να ϑεωρηθούν σαν ειδική περίπτωση, όπου f pt i, j uq, για κάθε t i, j u P E. Στην περίπτωση που το γράφημα έχει συνάρτηση κόστους, τα στοιχεία της λίστας έχουν την μορφή κόμβος κόστος δείκτης όπου στη δεύτερη ϑέση εμφανίζεται το κόστος του αντίστοιχου δεσμού. Παράδειγμα: Για το γράφημα G η λίστα γειτονικότητας είναι:

18 .3 Δένδρα.3. Βασικοί ορισμοί - Βασικά αποτελέσματα Ενα συνεκτικό άκυκλο γράφημα δεσμών ονομάζεται δένδρο. Παραδείγματα Οι κόμβοι ενός δένδρου με βαθμό λέγονται φύλλα του δένδρου. Μέγεθος ενός δένδρου ονομάζεται το πλήθος των δεσμών του. Ενα άκυκλο γράφημα δεσμών λέγεται δάσος. Αναπαράσταση δένδρων Φυσικός τρόπος Στην πληροφορική 0

19 A B C D E D A A E F G H G G E K K J K E I Τουρνουά J A B C D E F G H J K I D C H P O T M G B F L K E Q R S A N I L M N O P Q R S T U Γενεαλογικά δένδρα

20 Πρόταση.3.. Για ένα γράφημα G pv, Eq οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες: ) Το G είναι δένδρο. ) Κάθε δύο κόμβοι του G ενώνονται με ένα μοναδικό μονοπάτι. 3) Το G είναι συνεκτικό, με V E `. 4) Το G δεν έχει κύκλους και V E `. Υπενθυμίζουμε ότι ένα γράφημα G pv, E q λέγεται γενετικό υπογράφημα ενός γραφήματος G pv, Eq, αν E Ď E. Αν το G είναι δένδρο, τότε έχουμε ένα γενετικό (ή γεννητικό, ή μερικό) δένδρο, ή δένδρο ζεύξης του G. Παράδειγμα: G Το κόκκινο γράφημα είναι γενετικό δένδρο του G. (Φυσικά μπορούμε να βρούμε κι άλλα γενετικά δένδρα για το ίδιο G). Πρόταση.3.. Ενα γράφημα έχει (τουλάχιστον ένα) δένδρο ζεύξης αν και μόνο αν είναι συνεκτικό..3. Δένδρα με ρίζα Δένδρο με ρίζα είναι ένα δένδρο με έναν ειδικά επιλεγμένο κόμβο (τη ρίζα του δένδρου). Εστω r η ρίζα του δένδρου T. Τα δένδρα του δάσους T r λέγονται υποδένδρα (ή δένδρα παιδιά) της ρίζας r. Τα δένδρα του δάσους T r ϑεωρούνται επίσης δένδρα με ρίζα : Ρίζα καθενός είναι το άλλο άκρο του δεσμού που περιέχει την ρίζα r του T. Η έννοια των υποδένδρων ενός οποιουδήποτε κόμβου (που δεν είναι φύλλο) ορίζεται ανάλογα. Παραδείγματα r = Υποδένδρα της ρίζας είναι τα

21 Υποδένδρα του κόμβου 5 είναι τα Ορίζουμε το επίπεδο lpq ενός κόμβου του T ως εξής: lprq και αν στο (μοναδικό) r μονοπάτι pr,..., u, q έχουμε lpuq i, τότε lpq i `. (Στην περίπτωση αυτή το u λέγεται γονέας του και το λέγεται παιδί του u. Παιδιά του ίδιου γονέα λέγονται αδέλφια). Το πλήθος των παιδιών ενός κόμβου σε ένα δένδρο με ρίζα ονομάζεται βαθμός του κόμβου, (οπότε, προφανώς, ο βαθμός κάθε κόμβου, εκτός από τη ρίζα, είναι κατά ένα μικρότερος από το βαθμό του κόμβου, όπως αυτός ορίσθηκε νωρίτερα για ένα τυχαίο γράφημα). Αν υπάρχει στο T διαδρομή από ένα κόμβο σε ένα κόμβο k, η οποία χρησιμοποιεί κόμβους με επίπεδα που συνεχώς αυξάνουν τότε λέμε ότι το είναι πρόγονος του k και το k είναι απόγονος του. Ενας κόμβος χωρίς παιδιά (δηλαδή βαθμού 0) λέγεται φύλλο (ή τερματικός κόμβος). Αλλιώς λέγεται ενδιάμεσος κόμβος. Υψος (ή βάθος) hptq ενός δένδρου T λέγεται το μεγαλύτερο από τα επίπεδα των κόμβων του. Παράδειγμα: Επίπεδα : ρίζα : γονέας των 5, 6 5, 6 : παιδιά του 4 : γονέας του 7 7, 8, 9, 0 : παιδιά του 4 5, 6, 7 : αδέλφια : πρόγονος των 5,6,,4,8 5 : απόγονος των, 4, 8, 3, 6, 7, 9, 0, 3, 5, 6, 7, 8 : φύλλα Βαθμός του 3 : ενδιάμεσος κόμβος hptq 6. 3

22 Παρατήρηση: Κάποιοι συγγραφείς ορίζουν lprq 0 αντί..3.3 Διατεταγμένα δένδρα Ενα δένδρο με ρίζα λέγεται διατεταγμένο αν η αλλαγή της σχετικής ϑέσης των υποδένδρων της ρίζας του ϑεωρείται ότι δημιουργεί μη ισόμορφο δένδρο. Παράδειγμα: G G Αν τα G, G δεν ϑεωρηθούν διατεταγμένα τότε G» G, αλλά τα διατεταγμένα δένδρα G, G δεν είναι ισόμορφα. (Σ ένα διατεταγμένο δένδρο, τα υποδένδρα της ρίζας χαρακτηρίζονται σαν πρώτο, δεύτερο κ.λπ. από αριστερά πρός τα δεξιά). Διατεταγμένο δάσος διατεταγμένων δένδρων είναι ένα διατεταγμένο σύνολο από ξένα, διατεταγμένα δέντρα. G G G 3 Τα τρία δάση G, G, G 3 είναι ισόμορφα. Δεν είναι όμως ισόμορφα, αν ϑεωρηθούν ως διατεταγμένα δάση. Ενα διατεταγμένο δένδρο, στο οποίο κάθε κόμβος επιτρέπεται να έχει το πολύ k παιδιά, λέγεται k-δένδρο. Παράδειγμα: Το πρώτο και το δεύτερο διατεταγμένο δένδρο του διατεταγμένου δάσους G του τελευταίου παραδείγματος, είναι -δένδρα, ενώ το τρίτο είναι 3-δένδρο. 4

23 .3.4 Δυαδικά δένδρα Ενα δένδρο με ρίζα λέγεται δυαδικό δένδρο αν κάθε κόμβος του που δεν είναι φύλλο έχει είτε ένα αριστερό, είτε ένα δεξιό παιδί, είτε δύο παιδιά (ένα αριστερό και ένα δεξιό). T T T 3 Παρατήρησεις Τρία δυαδικά δένδρα T, T και T 3.. Σε αντίθεση με τον γενικό ορισμό των γραφημάτων, στα δυαδικά δένδρα συμπεριλαμβάνεται και το κενό δυαδικό δένδρο, δηλαδή το δένδρο T με XpTq H.. Αυστηρότερος ορισμός του δυαδικού δένδρου μπορεί να δοθεί αναδρομικά. 3. Προφανώς, αντίστοιχα με το διατεταγμένο δάσος διατεταγμένων δένδρων ορίζεται και το διατεταγμένο δάσος δυαδικών δένδρων. Πλήρη δυαδικά δένδρα Αν κάθε εσωτερικός κόμβος έχει ακριβώς δύο παιδιά και όλα τα φύλλα έχουν το ίδιο επίπεδο έχουμε ένα πλήρες δυαδικό δένδρο. Παράδειγμα: 5

24 .4 Διάσχιση δένδρων.4. Διάσχιση δυαδικών δένδρων Υπάρχουν 4 βασικοί τρόποι να διασχίσουμε (αριθμήσουμε) τους κόμβους ενός δυαδικού δένδρου. Καθένας απο τους τρόπους αυτούς καθορίζει μια ολική διάταξη των κόμβων του δένδρου. ) Προδιάταξη : Επισκεπτόμαστε (αριθμούμε) κάθε κόμβο πρίν διασχίσουμε σε προδιάταξη το αριστερό και το δεξιό υποδένδρο του. Δηλαδή, επισκεπτόμαστε πρώτα τον γονέα και μετά τα δένδρα παιδιά του (πρώτα το αριστερό και μετά το δεξιό). Παράδειγμα: Πρακτικός τρόπος : Αριθμούμε κάθε κορυφή μόλις την πρωτοσυναντήσουμε καθώς κινούμαστε όπως δείχνει το σχήμα :

25 ) Ενδοδιάταξη : Επισκεπτόμαστε (αριθμούμε) κάθε κόμβο αφού διασχίσουμε σε ενδοδιάταξη το αριστερό υπόδενδρο του και πρίν την διασχίσουμε σε ενδοδιάταξη το δεξιό υποδένδρο του. Δηλαδή, επισκεπτόμαστε πρώτα το αριστερό δένδρο παιδί, μετά τον γονέα και μετά το δεξιό δένδρο παιδί. Παράδειγμα: Πρακτικός τρόπος : Αριθμούμε κάθε κορυφή τη πρώτη φορά που τη συναντάμε αν δεν έχει αριστερό παιδί, ενώ την αριθμούμε τη δεύτερη φορά αν έχει αριστερό παιδί, καθώς κινούμαστε όπως δείχνει το σχήμα :

26 3) Μεταδιάταξη : Επισκεπτόμαστε (αριθμούμε) κάθε κόμβο αφού έχουμε διασχίσει σε μεταδιάταξη και το αριστερό και το δεξιό υποδένδρο του. Δηλαδή, επισκεπτόμαστε πρώτα τα δένδρα παιδιά (πρώτα το αριστερό και μετά το δεξιό) και μετά τον γονέα. Παράδειγμα: Πρακτικός τρόπος : Αριθμούμε κάθε κόμβο την τελευταία φορά που τον συναντάμε (δηλαδή καθως τον εγκαταλείπουμε για να πάμε προς τον γονέα του) καθώς κινούμαστε όπως δείχνει το σχήμα :

27 4) Διάσχιση κατά σειρά επιπέδων : Επισκεπτόμαστε (αριθμούμε) τους κόμβους κατά επίπεδο (από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο), όπου σε κάθε επίπεδο επισκεπτόμαστε τους κόμβους από τα αριστερά προς τα δεξιά. Παράδειγμα: Συμπληρωμένα δυαδικά δένδρα Εστω T ένα πλήρες δυαδικό δένδρο ύψους h, αριθμημένο κατά σειρά επιπέδων και k οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός με h ď k ă h. Το δένδρο που προκύπτει αν διαγράψουμε όλους τους κόμβους του T που είναι αριθμημένοι με αριθμούς μεγαλύτερους ή ίσους του k ονομάζεται συμπληρωμένο δυαδικό δένδρο. Παράδειγμα: Τρία συμπληρωμένα δυαδικά δένδρα. Υπάρχουν πολλές ακόμα ειδικές κατηγορίες δυαδικών δένδρων : εκτεταμένα, αναζήτησης (ισορροπημένα, AVL) κ.λπ. 9

28 .4. Διάσχιση διατεταγμένων δένδρων ) Προδιάταξη Επισκεπτόμαστε (αριθμούμε) κάθε κόμβο πριν διασχίσουμε (σύμφωνα με τη διάταξή τους) τα δένδρα-παιδιά του σε προδιάταξη. Δηλαδή πρώτα τον γονέα και έπειτα τα δένδρα παιδιά του (από το πρώτο προς το τελευταίο). Παράδειγμα: ) Ενδοδιάταξη Επισκεπτόμαστε (αριθμούμε) κάθε κόμβο αφού διασχίσουμε σε ενδοδιάταξη το πρώτο δένδροπαιδί και πριν διασχίσουμε (σύμφωνα με την διάταξή τους) τα υπόλοιπα δένδρα-παιδιά του σε ενδοδιάταξη. Δηλαδή πρώτα το πρώτο δένδρο-παιδί, μετά τον γονέα κι έπειτα τα υπόλοιπα δένδρα-παιδιά του (από το δεύτερο προς το τελευταίο). Παράδειγμα:

29 3) Μεταδιάταξη Επισκεπτόμαστε (αριθμούμε) κάθε κόμβο αφού διασχίσουμε (σύμφωνα με τη διάταξή τους) τα δένδρα-παιδιά του σε μεταδιάταξη. Δηλαδή πρώτα τα δένδρα-παιδιά (από το πρώτο προς το τελευταίο) και έπειτα τον γονέα. Παράδειγμα: Παρατήρηση: Μπορούμε να αριθμήσουμε τα διατεταγμένα δένδρα σε προδιάταξη και μεταδιάταξη με πρακτικό τρόπο, αντίστοιχα με τα δυαδικά δένδρα. Ο πρακτικός τρόπος για την ενδοδιάταξη των διατεταγμένων δένδρων όμως είναι διαφορετικός: Αριθμούμε τον κάθε κόμβο τη δεύτερη φορά που τον συναντάμε, εκτός αν είναι φύλλο, οπότε τον αριθμούμε την πρώτη φορά. Η διαφορά αυτή οφείλεται στο ότι στα δυαδικά δένδρα, στην περίπτωση γονέα με μοναδικό παιδί η σειρά αρίθμησης τους δεν είναι μονοσήμαντα καθορισμένη. Αν το παιδί είναι αριστερό παιδί τότε προηγείται του γονέα ενώ αν είναι δεξιό τότε έπεται του γονέα. Ετσι για παράδειγμα, ενώ η ενδοδιάταξη και στα δύο παρακάτω δυαδικά δένδρα δίνει ο πρακτικός τρόπος ϑα έδινε αντίστοιχα με το δεύτερο δένδρο να δίνει διαφορετική ενδοδιάταξη από ό,τι ο ορισμός. 3

30 4. Διάταξη κατά επίπεδα Επισκεπτόμαστε (αριθμούμε) τους κόμβους κατά επίπεδο (από το μικρότερο επίπεδο στο μεγαλύτερο), όπου σε κάθε επίπεδο επισκεπτόμαστε τους κόμβους από τα αριστερά προς τα δεξιά. Παράδειγμα: Παρατήρηση: Οι διασχίσεις των δένδρων (δυαδικών, ή διατεταγμένων) σύμφωνα με οποιαδήποτε από τις παραπάνω διατάξεις γενικεύονται προφανώς στα διατεταγμένα δάση, διασχίζοντας σύμφωνα με τη συγκριμένη κάθε φορά διάταξη το πρώτο δένδρο του διατεταγμένου δάσους, ακολούθως το δεύτερο δένδρο, κ.ο.κ. 3

31 .5 Γραφήματα τόξων.5. Βασικοί ορισμοί Κάθε δυάδα G pvpgq, UpGqq, ή pv, Uq, όπου V είναι ένα μη κενό σύνολο και U είναι ένα σύνολο από διατεταγμένα ζεύγη p, uq P V ονομάζεται γράφημα τόξων, ή προσανατολισμένο γράφημα, ή γράφημα με κατεύθυνση, ή διγράφημα. Τα στοιχεία του V καλούνται κορυφές, ή σημεία, ή κόμβοι όπως και στα γραφήματα δεσμών, ενώ τα στοιχεία του U καλούνται τόξα και συμβολίζονται γραφικά με τόξα. Αν p, uq P U, τότε λέμε το (αντ. u) είναι αρχή (αντ. τέλος) τοψ p, uq. Παράδειγμα: Η δυάδα G pv, Uq όπου V t,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 u και U tp, 5 q, p, 3 q, p, 5 q, p 3, q, p 4, q, p 4, 3 q, p 7, 8 q, p 8, q, p 8, 3 q, p 8, 7 qu είναι ένα γράφημα τόξων. Η γραφική του απεικόνιση είναι η ακόλουθη: Το τόξο p, q, P V ονομάζεται βρόχος. Οι ορισμοί είναι αντίστοιχοι με αυτούς που δώσαμε στα γραφήματα δεσμών με τις εξής επισημάνσεις : Τώρα ορίζεται ο βαθμός εξόδου d`pq και ο βαθμός εισόδου d pq ενός κόμβου P VpGq, ως d`pq tu P XpGq : p, uq P UpGqu, (δηλαδή, το πλήθος των τόξων του G, των οποίων ο είναι αρχή), και d pq tu P XpGq : pu, q P UpGqu (δηλαδή, το πλήθος των τόξων του G, των οποίων ο είναι τέλος.) Προφανώς τώρα ο βαθμός dpq ενός κόμβου ορίζεται από την σχέση dpq d`pq ` d pq. Παράδειγμα: Στο επόμενο γράφημα

32 είναι d`p 8 q 3, d p 8 q, dp 8 q 5, d p q, d p 3 q 0, κ.λπ. Η διαδρομή σε ένα διγράφημα πρέπει εν γένει να ακολουθεί τη διεύθυνση κάθε τόξου από την αρχή προς το τέλος του. Αν αυτό δεν συμβαίνει, έχουμε μια ημιδιαδρομή. Υπάρχουν διάφορα είδη συνεκτικότητας στα διγραφήματα : Ενα γράφημα τόξων λέγεται ισχυρά συνεκτικό αν για οποιοδήποτε ζεύγος κόμβων του υπάρχει μονοπάτι και από τον πρώτο προς τον δεύτερο, και από τον δεύτερο προς τον πρώτο. Ενα γράφημα τόξων λέγεται μονομερώς συνεκτικό αν δεν είναι ισχυρά συνεκτικό αλλά για οποιοδήποτε ζεύγος κόμβων του υπάρχει μονοπάτι είτε από τον πρώτο προς τον δεύτερο, είτε από τον δεύτερο προς τον πρώτο. Ενα γράφημα τόξων λέγεται ασθενώς συνεκτικό αν δεν είναι μονομερώς συνεκτικό, αλλά για οποιοδήποτε ζεύγος κόμβων του υπάρχει ημιδιαδρομή μεταξύ τους. Παραδείγματα G Το γράφημα G είναι ισχυρά συνεκτικό. G Το γράφημα G είναι μονομερώς συνεκτικό (αφού για παράδειγμα, ενώ υπάρχει 3 μονοπάτι, δεν υπάρχει 3 μονοπάτι). G

33 Το γράφημα G 3 είναι ασθενώς συνεκτικό (αφού για παράδειγμα δεν υπάρχει ούτε 4, ούτε 4 μονοπάτι, ενώ υπάρχει η ημιδιαδρομή p, 3, 4 q). Ενα γράφημα τόξων ονομάζεται μη συνεκτικό αν δεν είναι ούτε ισχυρά, ούτε μονομερώς, ούτε ασθενώς συνεκτικό. Παράδειγμα: 7 G Το γράφημα G 4 είναι μη συνεκτικό. Συνήθως η κλειστή διαδρομή που σχηματίζεται από τόξα λέγεται κύκλωμα. Παράδειγμα: 3 G Στο γράφημα G η διαδρομή p, 3, 5, 6, q είναι κύκλωμα, ενώ η ημιδιαδρομή p,, 6, q δεν είναι. Ισχυρά συνεκτική συνιστώσα ενός γραφήματος τόξων G ονομάζεται οποιοδήποτε μεγιστικό ισχυρά συνεκτικό υπογράφημα του G. Για παράδειγμα, το γράφημα G G 5 3 (το οποίο όπως είδαμε δεν είναι ισχυρά συνεκτικό) περιέχει μια ισχυρά συνεκτική συνιστώσα: το κύκλωμα p, 3, 4, 5, q. Στα γραφήματα τόξων ορίζουμε και τα παρακάτω είδη γραφημάτων: 35 4

34 Συμμετρικό ονομάζεται ένα γράφημα τόξων G pv, Uq για το οποίο ισχύει pu, q P U ô p, uq P U. Παράδειγμα: 3 Αντισυμμετρικό ονομάζεται ένα γράφημα τόξων G pv, Uq για το οποίο ισχύει pu, q P U ô p, uq U Παράδειγμα: 5 3 Παρατήρηση: Μερικές φορές εμφανίζονται γραφήματα που περιέχουν συγχρόνως και δεσμούς και τόξα. Παράδειγμα: 4 G 5 4 Τα γραφήματα αυτά, τα ϑεωρούμε ουσιαστικά ως γραφήματα τόξων, αντικαθιστώντας κάθε δέσμο t, uu με δύο τόξα p, uq και pu, q. Ετσι, το προηγούμενο παράδειγμα γράφεται: 3 G

35 Φυσικά, με την ίδια λογική μπορούμε γενικά οποιοδήποτε γράφημα δεσμών να το ϑεωρήσουμε αντίστοιχα ως γράφημα τόξων, το οποίο ϑα είναι προφανώς συμμετρικό. Το μειονέκτημα μιας τέτοιας προσέγγισης είναι ότι η αντίστοιχη ϑεωρία και οι εφαρμογές γίνονται γενικά πολύ πιο πολύπλοκες..5. Μήτρα γραφήματος τόξων Εστω G pv, Uq ένα γράφημα τόξων. Ορίζουμε # την V ˆ V μήτρα M G ή M του G ως εξής :, αν px i, x j q P U M rm i j s με m i j 0, αν px i, x j q U. Η μήτρα αυτή ονομάζεται μήτρα (γειτονικότητας) του γραφήματος τόξων. Παράδειγμα: Στο γράφημα G αντιστοιχεί η μήτρα» fi ffi ffi M ffi ffi fl

36 .6 Λυμένες ασκήσεις Άσκηση.. Να εξετασθεί αν είναι ισόμορφα τα παρακάτω ζεύγη γραφημάτων. (i) u u u 6 u 7 G G u 5 u u 3 Λύση. Τα G, G είναι ισόμορφα. Ενας ισομορφισμός f είναι ο εξής: f p q u f p q u 7 f p 3 q u 3 f p 4 q u 4 f p 5 q u 5 f p 6 q u f p 7 q u 6 (ii) G G u u u u u u 0 u 9 u 4 u u 7 u 6 u 5 5 Λύση. Τα G, G δεν είναι ισόμορφα, διότι έχουν διαφορετικές ακολουθίες βαθμών. Ακολουθία βαθμών του G : p6,4,4,4,3,3,,,,,,q. Ακολουθία βαθμών του G : p6,5,4,4,4,3,,,,,,q. 38

37 (iii) G u 7 G u u 6 u u 5 u 3 4 u 4 5 Λύση. Τα G, G είναι ισόμορφα. Ενας ισομορφισμός f είναι ο εξής: f p q u 7 f p q u f p 3 q u 6 f p 4 q u f p 5 q u 5 f p 6 q u 3 f p 7 q u 4 (i) u u 6 u 0 3 G 9 4 G u 5 u 4 u u u 9 u 7 u 8 Λύση. Τα G, G δεν είναι ισόμορφα, διότι το G περιέχει κύκλο μήκους 4 ενώ το G όχι. 39

38 () 3 u G 4 G u u 4 u u 7 u 6 u 5 Λύση. Δεν είναι ισόμορφα: Το G περιέχει κύκλο μήκους 3 ενώ το G όχι. (i) 4 3 G 0 G u u u 0 u 3 u 5 u u 9 u 8 u 6 u 7 Λύση. Τα G, G είναι ισόμορφα. Ενας ισομορφισμός f είναι ο εξής: f p q u 9 f p q u 8 f p 3 q u 6 f p 4 q u 7 f p 5 q u 4 f p 6 q u 5 f p 7 q u 3 f p 8 q u f p 9 q u f p 0 q u 0 40

39 (ii) u 4 u 3 u 6 u 9 u 3 G G u u u 5 u 8 u u 7 u 0 u u 5 u 4 Λύση. Τα G, G δεν είναι ισόμορφα, διότι στο G υπάρχουν κορυφές βαθμού που απέχουν απόσταση 4 (οι u 4 και u 7 ) ενώ στο G όχι. (iii) u 7 u u u 9 G G 0 u 6 u 8 u u 5 u 4 u 0 Λύση. Τα G, G δεν είναι ισόμορφα, διότι στο G υπάρχει κορυφή βαθμού η οποία συνδέεται με κορυφή βαθμού 5, ενώ στο G δεν υπάρχουν τέτοιες κορυφές. Άσκηση.. Να εξετασθεί αν υπάρχουν γραφήματα δεσμών με τις παρακάτω ακολουθίες βαθμών. (i) p4,4,3,3,q. Λύση. Δεν υπάρχει διότι το άθροισμα των όρων της ακολουθίας είναι περιττός αριθμός. (ii) p5,4,3,,q. Λύση. Δεν υπάρχει διότι το άθροισμα των όρων της ακολουθίας είναι περιττός αριθμός. (iii) p,,,,,q. 4

40 Λύση. Υπάρχει. Είναι το γράφημα: (i) p5,3,,,,q. Λύση. Υπάρχει. Είναι το γράφημα: () p5,3,3,3,q. Λύση. Δεν υπάρχει διότι σε ένα γράφημα με 5 κορυφές ο μέγιστος δυνατός βαθμός είναι 4. (i) p4,4,3,3,,,q. Λύση. Δεν υπάρχει διότι το άθροισμα των όρων της ακολουθίας είναι περιττός αριθμός. (ii) p4,4,3,3,3,,,q. Λύση. Υπάρχει. Ενα τέτοιο γράφημα είναι το εξής: (iii) p6,4,3,3,,q. Λύση. Δεν υπάρχει διότι σε ένα γράφημα με 6 κορυφές ο μέγιστος δυνατός βαθμός είναι 5. (ix) p,,,,,,q. Λύση. Υπάρχει. Για παράδειγμα ο C 7. (x) p3,3,3,3,3,3,3q. 4

41 Λύση. Δεν υπάρχει διότι το άθροισμα των όρων της ακολουθίας είναι περιττός αριθμός. (xi) p4,3,3,3,,,q. Λύση. Υπάρχει. Ενα τέτοιο γράφημα είναι το εξής: (xii) p,,,,,,q Λύση. Υπάρχει. Ενα τέτοιο γράφημα είναι το εξής: Άσκηση.3. Εστω G pv, Eq ένα συνεκτικό γράφημα δεσμών, με V ě. Να δειχθεί ότι αν V ą E, τότε το G ϑα περιέχει τουλάχιστον ένα κόμβο βαθμού. Λύση. Επειδή το G είναι συνεκτικό dpq ě για κάθε P V. Εστω ότι δεν υπάρχει P V με dpq, τότε dpq ě για κάθε P V. E ÿ PV dpq ě ÿ PV V ą E, το οποίο είναι άτοπο. Άρα, υπάρχει P G με dpq. Άσκηση.4. Να αποδειχθεί ότι σε κάθε γράφημα δεσμών G pv, Eq, με V ě, υπάρχουν τουλάχιστον δύο κόμβοι με τον ίδιο βαθμό. Λύση. Για κάθε P V ισχύει ότι 0 ď dpq ď V. Παρατηρούμε ότι δεν είναι δυνατόν να υπάρχουν ταυτόχρονα κόμβοι, P V με dpq 0 και dp q V. Άρα, είτε 0 ď dpq ď V για κάθε P V, είτε ď dpq ď V για κάθε P V. Σε κάθε περίπτωση, υπάρχουν V δυνατές τιμές βαθμών κόμβων για τους V κόμβους του γραφήματος G, οπότε από την αρχή του περιστερεώνα έπεται το ζητούμενο. 43

42 Άσκηση.5. Να δειχθεί ότι αν ένα γράφημα δεσμών G pv, Eq έχει V n, όπου n PN και όλοι οι κόμβοι του είναι βαθμού n, τότε είναι συνεκτικό. Λύση. Εστω ότι το G είναι μη συνεκτικό. Υπάρχουν τουλάχιστον κορυφές, που ανήκουν σε διαφορετικές συνεκτικές συνιστώσες G, G του G. Επειδή dp q dp q n έπεται ότι VpG q, VpG q ě n` όπου VpG qxvpg q H. Επομένως V ě VpG q ` VpG q ě n``n` n`, το οποίο είναι άτοπο. Άρα, το G είναι συνεκτικό. Άσκηση.6. Να σχεδιασθεί ένα κυβικό γράφημα pv, Eq με V n (για κάποιο n ě 3), το οποίο να μην περιέχει τρίγωνα. Λύση. Ενας κύβος με 8 κορυφές. Άσκηση.7. Να σχεδιασθεί ένα κυβικό γράφημα pv, Eq με 0 κορυφές το οποίο δεν περιέχει τρίγωνα και κύκλους μήκους 4. Λύση. Το γράφημα του Petersen: Άσκηση.8. Να δειχθεί ότι σε ένα απλό γράφημα δεσμών με ακριβώς δύο κόμβους περιττού βαθμού, υπάρχει τουλάχιστον ένα μονοπάτι που συνδέει τους κόμβους αυτούς. Λύση. Εστω ότι οι κόμβοι δεν συνδέονται με μονοπάτι, τότε ανήκουν σε διαφορετικές συνεκτικές συνιστώσες. Εστω G η μια από αυτές τις συνιστώσες. Η G είναι γράφημα. Ο βαθμός κάθε κόμβου της G είναι άρτιος αριθμός εκτός από τον κόμβο που έχει βαθμό περιττό. Αυτό είναι άτοπο, διότι το άθροισμα των βαθμών των κόμβων της G ϑα ήταν περιττός αριθμός. Άρα, οι δύο κόμβοι περιττού βαθμού δηλαδή βρίσκονται στην ίδια συνεκτική συνιστώσα δηλαδή συνδέονται με μονοπάτι. Άσκηση.9. Να δειχθεί ότι αν το G είναι μη συνεκτικό απλό γράφημα δεσμών, τότε το συμπλήρωμά του G c είναι συνεκτικό. Λύση. Εστω x, y P V. Διακρίνουμε περιπτώσεις: Αν οι x, y δεν συνδέονται στο G, τότε οι x, y συνδέονται με δεσμό στο G c. Αν οι x, y συνδέονται στο G, τότε επειδή το G είναι μη συνεκτικό υπάρχει κόμβος z που δεν συνδέεται με κανένα από τους x, y. Άρα, οι x, z και y, z συνδέονται με δεσμό στο G c. Άρα, οι x, y ενώνονται στο G c με το μονοπάτι x, z, y. 44

43 Άσκηση.0. Να βρεθεί (αν υπάρχει) ένας κύκλος Hamilton στο παρακάτω γράφημα: G Απάντηση. Το G περιέχει κύκλο Hamilton. Για παράδειγμα υπάρχει ο κύκλος ( 0, 9, 6, 7,, 5, 8, 4, 3,, 0 ). Άσκηση.. Να εξετασθεί αν καθένα από τα παρακάτω γραφήματα περιέχει ένα δρόμο Euler ή είναι γράφημα Euler. G G Απάντηση. Το G περιέχει δρόμο Euler αλλά δεν είναι γράφημα Euler. Το G είναι γράφημα Euler. Άσκηση.. Να αποδειχθεί επαγωγικά ότι σε κάθε δένδρο T pv, Eq ισχύει ότι V E `. Λύση. Θα χρησιμοποιηθεί επαγωγή ως προς τον αριθμό των δεσμών E. Για E 0, έχουμε το δένδρο που αποτελείται από ένα κόμβο, οπότε V και V E `, δηλαδή η πρόταση ισχύει για E 0. Εστω ότι η πρόταση ισχύει σε κάθε δένδρο με E ă k δεσμούς. Εστω T pv, Eq ένα δένδρο με E k δεσμούς. Αν αφαιρέσουμε ένα οποιοδήποτε δεσμό του T ϑα προκύψουν δύο δένδρα T pv, E q και T pv, E q. όπου V V ` V και E E ` E `. Επειδή E, E ă k, από την υπόθεση της επαγωγής, για τα δένδρα T, T ισχύει ότι V E `, V E `. Άρα V ` V E ` E `, ή ισοδύναμα V E `. Άρα, η πρόταση ισχύει για το δένδρο T, δηλαδή η πρόταση ισχύει για κάθε δένδρο T. 45

44 Άσκηση.3. Εστω Q n το γράφημα δεσμών του οποίου οι κορυφές είναι οι δυαδικές λέξεις μήκους n, ενώ οι δεσμοί του αποτελούνται από τα ζεύγη των δυαδικών λέξεων που διαφέρουν ακριβώς σε μια ϑέση. Το γράφημα Q n ονομάζεται συνήθως υπερκύβος διάστασης n. Λύση. i) Ναβρεθούντασύνολα V, E γιαταγραφήματα Q, Q, Q 3 καιστησυνέχειαναπαρασταθούν γραφικά. ii) Να βρεθεί ο αριθμός V των κορυφών και ο αριθμός E των δεσμών του Q n. i) Για το Q : V t0,u, E tt0,uu Q 0 Για το Q : V t00,0,0,u, E tt00,0u, t00,0u, t0,u, t0,uu. Q 0 00 Για το Q 3 : V t000,00,00,0,00,0,0,u, E tt000,00u, t000,00u, t000,00u, t00, 0u, t00, 0u, t00, 0u, t00, 0u, t0, u, t00, 0u, t00, 0u, t0, u, t0, uu Q ii) Ο αριθμός των κορυφών του Q n ισούται με το πλήθος των δυαδικών λέξεων μήκους n, δηλαδή το Q n έχει V n κορυφές. Κάθε κορυφή του Q n έχει βαθμό n, διότι σε κάθε μια από τις n ϑέσεις των ψηφίων της αντιστοιχεί και μια διαφορετική γειτονική κορυφή. Επομένως, από την σχέση ÿ dpq E PV έχουμε ότι n n E, δηλαδή το Q n έχει E n n δεσμούς. 46

45 .7 Ασκήσεις προς επίλυση ) i) Να δειχθεί ότι η σχέση ισομορφισμού γραφημάτων» είναι σχέση ισοδυναμίας. ii) Να δειχθεί ότι δύο γραφήματα G, H είναι ισόμορφα αν και μόνο αν τα συμπληρωματικά τους γραφήματα G c, H c είναι ισόμορφα. ) i) Να σχεδιασθούν όλα τα μη ισόμορφα (απλά) γραφήματα με 3 κορυφές. ii) Να σχεδιασθούν όλα τα μη ισόμορφα (απλά) γραφήματα με 4 κορυφές. 3) Να δειχθεί ότι τα παρακάτω γραφήματα είναι ισόμορφα: u u u 3 u u 8 u u 0 4 G 3 u 7 H u 6 u 5 4) Να εξετασθεί ποια από τα παρακάτω ζεύγη γραφημάτων είναι ισόμορφα: 6 u 6 7 u 7 u 6 u 4 5 u u i) 3 u 5 u 6 u 4 iii) 3 u 5 u 3 u 4 u G G G 5 G 6 u u u u 3 u 3 4 u u 5 u 4 ii) 3 u 5 u 6 u 4 i) 5 6 u 6 u 3 u 8 G 3 G 4 G 7 G 8 47

46 5) Να εξετασθεί ποιά από τα παρακάτω ζεύγη γραφημάτων είναι ισόμορφα: 3 4 u 3 u 4 5 u u 5 i) 6 u u u 8 u 7 G G 3 4 u 3 u 4 5 u u 5 ii) 6 u u u 8 H H u 7 6) Να εξετασθεί αν είναι ισόμορφα κάποια από τα παρακάτω γραφήματα: G G G 3 G 4 G 5 G 6 G 7 G 8 G 9 G 0 G G G 3 G 4 G 5 Να αιτιολογηθούν οι απαντήσεις. G 6 G 7 G 8 48

47 7) Να εξετασθεί αν είναι ισόμορφα κάποια από τα παρακάτω γραφήματα: G G G 3 G 4 G 5 G 6 Να αιτιολογηθούν οι απαντήσεις. G 7 G 8 G 9 8) Να εξετασθεί αν είναι ισόμορφα κάποια από τα παρακάτω γραφήματα: G G G 3 G 4 G 5 G 6 Να αιτιολογηθούν οι απαντήσεις. G 7 G 8 G 9 49

48 9) Να εξετασθεί αν υπάρχουν γραφήματα δεσμών G με τις παρακάτω ακολουθίες βαθμών. i) p,,,,0,0,0,0q ii) p6,4,4,4,,,0q iii) p5,5,3,3,3,q i) p,,,,,,,q ) p3,3,3,3,3,3,3,3q i) p4,4,,,,,,q ii) p4,4,3,3,,,,q iii) p5,5,5,5,5,5,5,5q ix) p4,4,3,3,3,3,3,3q x) p4,4,3,3,3,3,,q xi) p5,5,4,4,3,3,,,,q. 0) Να κατασκευασθούν γραφήματα δεσμών G που έχουν τις παρακάτω ακολουθίες βαθμών. i) p6,3,3,3,3,3,3q ii) p3,3,3,3,,,,,,q και το G να είναι συνεκτικό. iii) p3,3,3,3,,,,,,q και το G να μην είναι συνεκτικό. i) p3,3,3,3,,,,,q. ) p4,4,,,,,,,,q και το G να είναι συνεκτικό. i) p4,4,,,,,,,,q και το G να μην είναι συνεκτικό. ) i) Να βρεθεί ο αριθμός των δεσμών του γραφηματος K n. ii) Εστω G pv, Eq ένα γράφημα δεσμών με V n και E k. Να βρεθεί ο αριθμός των δεσμών του G c. ) i) Να βρεθεί ο μέγιστος δυνατός αριθμός δεσμών ενός γραφήματος με n κορυφές. ii) Να βρεθεί ο ελάχιστος δυνατός αριθμός κορυφών ενός γραφήματος με m δεσμούς. 3) Ενα γράφημα δεσμών G ονομάζεται αυτοσυμπληρωματικό αν G» G c. i) Να δοθεί ένα παράδειγμα αυτοσυμπληρωματικού γραφήματος με τουλάχιστον 5 κορυφές. ii) Να δειχθεί ότι αν ένα γράφημα G pv, Eq είναι αυτοσυμπληρωματικό τότε V 0 mod 4 ή V mod 4. 4) Εστω ένα γράφημα δεσμών G pv, Eq με V 6. Να δειχθεί ότι τουλάχιστον ένα από τα γραφήματα G και G c περιέχει ως υπογράφημα το K 3. 5) Σε μια αθλητική συνάντηση συμμετείχαν ορισμένοι αθλητές. Κάθε αθλητής αγωνίστηκε σε ακριβώς 6 παιχνίδια και σε κάθε παιχνίδι συμμετείχαν ακριβώς 8 αθλητές. Αν ο αριθμός των παιχνιδιών είναι 5, να βρεθεί ο αριθμός των αθλητών που έλαβαν μέρος. 6) Να δειχθεί ότι αν ο αριθμός των κορυφών ενός γραφήματος δεσμών G είναι πολλαπλάσιο του 4 και ο αριθμός των δεσμών του είναι περιττός, τότε το γράφημα G δεν είναι κανονικό (δηλαδή έχει τουλάχιστον δύο κορυφές με διαφορετικούς βαθμούς). 7) Να δειχθεί ότι αν ο αριθμός των κορυφών ενός d-κανονικού γραφήματος δεσμών G είναι άρτιος και ο αριθμός των δεσμών του είναι περιττός, τότε το G δεν είναι γράφημα Euler. 50

49 8) Να βρεθούν τα μπλοκ του παρακάτω γραφήματος: G ) Δίδεται το γράφημα Να βρεθούν: i) Η ακολουθία βαθμών του. ii) Οι αποστάσεις dp, 9 q και dp 4, 6 q. iii) Ενα μονοπάτι του, μήκους 5. i) Ενας κύκλος του, μήκους 5. ) Ολα τα 8 μονοπάτια του. i) Ενα δένδρο ζεύξης του. ii) Οι κλειδώσεις και οι ισθμοί του (αν υπάρχουν). iii) Τα μπλοκ του. 0) Δίνεται το γράφημα δεσμών G pv, Eq όπου V t,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 u, με την ακόλουθη μήτρα:» fi ffi ffi ffi ffi M ffi 0 0 0ffi. ffi ffi ffi fl Να βρεθεί μια διαδρομή του, μήκους 4. 5

50 ) Δίνεται το γράφημα i) Να γραφεί η μήτρα του. ii) Να γραφεί μια διαδρομή του, μήκους 4. 5 ) Να βρεθεί ένα ελάχιστο σύνολο κλειδώσεων για τα γραφήματα G και G. 3 4 G 5 G ) Να βρεθεί (αν υπάρχει) ένας κύκλος Hamilton στο παρακάτω γράφημα: 3 0 G ) Να βρεθεί μια διαδρομή του ίππου, στην παρακάτω σκακιέρα, η οποία διέρχεται από κά- ϑε τετράγωνο της σκακιέρας ακριβώς μια φορά. (Για τις κινήσεις του ίππου μπορείτε να ανατρέξετε σε οποιοδήποτε εγχειρίδιο σκακιού.) 5

51 5) Να βρεθεί ο αριθμός των γενετικών δένδρων των παρακάτω γραφημάτων i) G 3 4 ii) G iii) 3 G ) Να εξετασθεί αν καθένα από τα παρακάτω γραφήματα περιέχει ένα δρόμο Euler, ή κύκλο Hamilton, ή είναι γράφημα Euler. G G G 3 G 4 G 5 G 6 7) Να σχεδιασθεί το γράφημα δεσμών με συνάρτηση κόστους το οποίο έχει μήτρα γειτονικότητας» fi ffi ffi M 0 0 0ffi ffi fl ) Εστω G px, Eq ένα γράφημα δεσμών και ένα σημείο κοπής του. Να δειχθεί ότι υπάρχουν (τουλάχιστον) δύο κόμβοι του G τέτοιοι ώστε κάθε μονοπάτι που τους ενώνει να περιέχει το. 9) i) Να σχεδιασθεί ένα γράφημα δεσμών το οποίο περιέχει ισθμό αλλά όχι κλείδωση. 53

52 ii) Να σχεδιασθεί ένα γράφημα δεσμών το οποίο περιέχει κλείδωση αλλά όχι ισθμό. 30) Να σχεδιασθεί ένα γράφημα δεσμών το οποίο είναι 3-συνεκτικό. 3) Να δειχθεί ότι κάθε δεσμός ενός δένδρου είναι ισθμός. 3) i) Να σχεδιασθεί ένα άκυκλο γράφημα δεσμών με περισσότερες από 5 κορυφές το οποίο περιέχει δρόμο Euler. ii) Να σχεδιασθεί ένα γράφημα Hamilton το οποίο δεν είναι γράφημα Euler. iii) Να σχεδιασθεί ένα γράφημα Euler το οποίο δεν είναι γράφημα Hamilton i) Να σχεδιασθεί ένα γράφημα Euler το οποίο είναι και γράφημα Hamilton. 33) i) Για ποια n PN ισχύει ότι το γράφημα K n είναι γράφημα Euler; ii) Να βρεθεί ένας κλειστός δρόμος Euler για το γράφημα K 5 : iii) Να βρεθεί ένας κλειστός δρόμος Euler για το γράφημα K 7 : ) i) Να δειχθεί ότι αν ένα γράφημα δεσμών G περιέχει ισθμό τότε δεν μπορεί όλοι οι κόμβοι του G να έχουν άρτιο βαθμό. ii) Να δειχθεί ότι αν ένα γράφημα δεσμών G περιέχει ισθμό τότε δεν είναι γράφημα Euler. 35) Να βρεθεί ο αριθμός των δένδρων ενός δάσους με n κόμβους και m δεσμούς, όπου n ą m. 36) Να αποδειχθεί ότι σε κάθε γράφημα δεσμών G pv, Eq με V ě, υπάρχουν τουλάχιστον δύο κόμβοι με τον ίδιο βαθμό οι οποίοι είναι γειτονικοί ή έχουν κοινό γείτονα. (Υπόδειξη: Θεωρήστε ένα κόμβο με μέγιστο βαθμό στο G.) 37) i) Να δειχθεί ότι το άθροισμα των βαθμών όλων των κόμβων ενός δένδρου με n κόμβους ισούται με n. ii) Να δειχθεί ότι αν ένα γράφημα G έχει n κόμβους και n δεσμούς τότε είναι μη συνεκτικό. iii) Να δειχθεί ότι σε κάθε δένδρο (εκτός από το δένδρο που αποτελείται από ένα κόμβο) υπάρχουν τουλάχιστον δύο φύλλα. (Υπόδειξη: Θεωρήστε ένα μονοπάτι στο δένδρο με μέγιστο μήκος.) i) Να δειχθεί ότι κάθε δένδρο που περιέχει κόμβο με βαθμό k έχει τουλάχιστον k φύλλα. 54

53 ) Να δειχθεί ότι κάθε δένδρο με τουλάχιστον τρία φύλλα περιέχει μια κορυφή βαθμού τουλάχιστον 3. 38) Εστω ένα δένδρο στο οποίο υπάρχουν n κορυφές βαθμού, n κορυφές βαθμού, n 3 κορυφές βαθμού 3,..., n k κορυφές βαθμού k, όπου k είναι ο μέγιστος βαθμός των κορυφών του. Να δειχθεί ότι n p3 qn 3 ` p4 qn 4 ` ` pk qn k `. 39) Εστω Q n το γράφημα της λυμένης άσκησης.3 (σελ. 46). i) Να παρασταθεί γραφικά το γράφημα Q 4. ii) Να αποδειχθεί ότι το γράφημα Q n είναι συνεκτικό, για κάθε n ě. iii) Να βρεθεί ένας κλειστός δρόμος Euler (αν υπάρχει) για τα Q 4 και Q 6. i) Είναι το Q 5 γράφημα Hamilton; Αν ναι, να βρεθεί ένας τέτοιος κύκλος Hamilton. ) Να βρεθούν δύο κορυφές του Q 5 οι οποίες απέχουν την μέγιστη δυνατή απόσταση. Ποια είναι η μέγιστη δυνατή απόσταση κορυφών στο Q n ; 40) Εστω S ένα σύνολο και C ένα υποσύνολο του δυναμοσυνόλου του S. Ορίζουμε το γράφημα IpCq ως εξής: Οι κορυφές του IpCq είναι τα στοιχεία του C, ενώ οι δεσμοί του αποτελούνται από τα ζεύγη A, B P C με A X B H. i) Εστω S r7s και C tt,3u, t3,5u, t,3,4u, t4,5,6u, t6,7uu. Να σχεδιασθεί το γράφημα IpCq. ii) Εστω S r5s και C το σύνολο υποσυνόλων του r5s που περιέχουν ακριβώς στοιχεία. Να σχεδιασθεί το γράφημα IpCq. iii) Να δειχθεί ότι για κάθε γράφημα δεσμών G, υπάρχει ένα σύνολο S και ένα υποσύνολο C του δυναμοσυνόλου του S, ώστε τα γραφήματα G και IpS q να είναι ισόμορφα. 4) i) Εστω G pv, Eq ένα γράφημα δεσμών και P ένα μονοπάτι στο G με μέγιστο μήκος. Να δειχθεί ότι τα άκρα του P μπορούν να συνδέονται μόνο με κόμβους του P. ii) Εστω G pv, Eq ένα γράφημα δεσμών στο οποίο ο ελάχιστος βαθμός των κόμβων του είναι. Να δειχθεί ότι το G περιέχει κύκλο. (Υπόδειξη: Θεωρήστε ένα μονοπάτι στο G με μέγιστο μήκος.) iii) Εστω G pv, Eq ένα γράφημα δεσμών στο οποίο ο ελάχιστος βαθμός των κόμβων του είναι k. Να δειχθεί ότι το G περιέχει μονοπάτι μήκους (τουλάχιστον) k. (Υπόδειξη: Θεωρήστε ένα μονοπάτι στο G με μέγιστο μήκος.) i) Εστω G pv, Eq ένα γράφημα δεσμών στο οποίο ο ελάχιστος βαθμός των κόμβων του είναι 4. Να δειχθεί ότι το G περιέχει δύο τουλάχιστον κύκλους που αποτελούνται από διαφορετικούς δεσμούς. (Υπόδειξη: Θεωρήστε ένα μονοπάτι στο G με μέγιστο μήκος.) ) Να δειχθεί ότι κάθε δύο μονοπάτια μεγίστου μήκους σε ένα συνεκτικό γράφημα G έχουν τουλάχιστον ένα κοινό κόμβο. 4) i) Εστω T ένα δένδρο. Να δειχθεί ότι για κάθε ζεύγος κόμβων του T υπάρχει μοναδικό μονοπάτι που τους συνδέει. ii) Να βρεθεί ο αριθμός όλων των μονοπατιών σε ένα δένδρο με n κόμβους. iii) Να βρεθεί ο αριθμός όλων των μονοπατιών μήκους στο K n. 55

54 43) Να γίνει διάτρεξη σε προδιάταξη, μεταδιάταξη, ενδοδιάταξη και διάταξη κατά σειρά επιπέδων στα παρακάτω δυαδικά δένδρα (με ρίζες 9, u και A αντίστοιχα). 9 u 7 8 u 6 T T u 5 u 4 u u 3 u u 0 u u 5 u 4 u 9 u 7 u 3 u 8 A V B U R M C S P Q L D T O K E W Y N F X Z J G I H 44) Να γίνει διάτρεξη σε προδιάταξη, ενδοδιάταξη, μεταδιάταξη και διάταξη κατά σειρά επιπέδων των παρακάτω διατεταγμένων δένδρων (με ρίζα Α). 56

55 A C F R B E G H I J M P Q O K L N D A V R B F L S W G M C H N T D I O J E P K Q U X 45) Να βρεθεί το δυαδικό δένδρο για το οποίο γνωρίζουμε ότι οι διασχίσεις του ως προς την προδιάταξη και ενδοδιάταξη είναι αντίστοιχα: A B C D E F G H I J K L M N O P Q και B D C F E G A I H K M O N P L J Q. 46) Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του U, για ένα γράφημα τόξων G pv, Uq (χωρίς βρόχους) με V n. 47) Να παρασταθούν i) γραφικά ii) με μήτρα Y Z το γράφημα τόξων G pv, Uq με V t,, 3, 4, 5, 6 u και U tp, q, p, 3 q, p, 5 q, p, q, p, 4 q, p, 5 q, p 3, 5 q, p 4, 5 q, p 5, 5 qu και το γράφημα δεσμών G pv, Eq με V t,, 3, 4, 5, 6 u και E tt, 3 u, t, 4 u, t, 6 u, t 3, 4 u, t 3, 6 u, t, 5 uu. 48) Να σχεδιασθεί ένα ισχυρά συνεκτικό, ένα ασθενώς συνεκτικό και ένα μονομερώς συνεκτικό γράφημα τόξων με 7 τουλάχιστον κόμβους. 49) Να εξετασθούν ως προς τη συνεκτικότητα τα παρακάτω γραφήματα τόξων: 57