Θ.Ε. ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θ.Ε. ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι"

Μάξιμος Αλεξίου
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Θ.Ε. ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι 2η Γραπτή Εργασία: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΗ 1 (Μονάδες 23) Το συνολικό κόστος μιας επιχείρησης είναι TC=550 ευρώ όταν η παραγωγή είναι Q=100 τεμάχια και το σταθερό κόστος είναι FC=50 ευρώ. Εάν υποθέσουμε ότι το συνολικό κόστος είναι γραμμική συνάρτηση της ποσότητας παραγωγής a) Βρείτε τη συνάρτηση του μέσου κόστους AC (κόστος ανά μονάδα παραγωγής ως συνάρτηση της ποσότητας παραγωγής). Το συνολικό κόστος ΤC είναι γραμμική συνάρτηση της ποσότητας Q επομένως: ΤC=FC+b.Q. Αντικαθιστώντας τα δεδομένα: 550=50+100b => b=500/100=>b=5, και επομένως ΤC = Q. AC = TC / Q => AC = /Q b) Βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της AC και δώστε τις τιμές για τις οποίες ισχύει. AC = /Q => Q.AC = 5Q + 50 =>(AC-5)Q=50=>Q=50/(AC-5). Πεδίο τιμών: ΑC > 5 c) εάν το συνολικό κόστος μειωθεί στο 450 με αμετάβλητα το σταθερό κόστος και την παραγωγή, υπολογίστε την συνάρτηση AC και δείξτε για ποιες τιμές έχει αντίστροφη συνάρτηση. 450=50+100b => b=400/100=>b=4, και επομένως ΤC = Q. AC = TC / Q => AC = /Q Q.AC = 4Q + 50 =>(AC-4)Q=50=>Q=50/(AC-4). Πεδίο τιμών: ΑC > 4 d) Δημιουργείστε σε ένα φύλλο εργασίας excel έναν πίνακα τιμών του μέσου κόστους ΑC και για τις δύο περιπτώσεις b) και c) παραπάνω, για επίπεδα παραγωγής Q=10, 20,, 190, 200 και συγκρίνετε το μέσο κόστος στις δύο περιπτώσεις με την βοήθεια κατάλληλης γραφικής παράστασης. Δείξτε με τη βοήθεια των γραφημάτων τι συμβαίνει όταν Q=0 και εξηγείστε το αποτέλεσμα. Βλέπε ASKISI-1A και ASKISI-1B στο συνημμένο GE-2.xls

Εάν υποθέσουμε ότι το συνολικό κόστος είναι γραμμική συνάρτηση της ποσότητας παραγωγής a) Βρείτε τη συνάρτηση του μέσου κόστους AC (κόστος ανά μονάδα παραγωγής ως συνάρτηση της ποσότητας παραγωγής).

2 Μέσο Κόστος όταν η Ποσότητα Παραγωγής τείνει στο μηδέν Η καμπύλη του μέσου κόστους πλησιάζει ασυμπ τωτικά τον άξονα των Y. Το μέσο κόστος τείνει στο άπ ειρο. Παρατηρούμε ότι για πολύ μικρές τιμές της π οσότητας παραγωγής υπ άρχει σύγκλιση των AC1=TC1/Q = (50+5Q)/Q AC2=TC2/Q = (50+4Q)/Q Ποσότητα Παραγωγής ΑΣΚΗΣΗ 2 (Μονάδες 36) Η μηνιαία παραγωγή x μιας εταιρείας περιγράφεται από τις εξής συναρτήσεις εσόδων και κόστους. Έσοδα: R(x) = 60x x Κόστος: C(x) = 0,1x 3 20x x όπου x είναι η ποσότητα παραγωγής a) Να υπολογισθούν οι οριακές συναρτήσεις των εσόδων MR, του κόστους MC και των κερδών MΠ της επιχείρησης. Να υπολογισθεί το επίπεδο παραγωγής x το οποίο μεγιστοποιεί τα κέρδη Π της επιχείρησης. MR=R'(x) = 120x-4500 MC=C'(x) = 0,3x 2-40x+800 Π(x)=R(x)-C(x) => MΠ = Π'(x) = R'(x)-C'(x) = 120x ,3x 2 +40x-800 = -0,3x x KΠΠ: -0,3x x-5300=0 x 1 = 497,8, x 2 = 35,5 ΚΔΠ: Π''(x) = -0,6x+160 Για το x 1 Π''(x 1 ) = -0,6(497,8)+160 < 0 Μέγιστο Για το x 2 Π''(x 2 ) = -0,6(35,5)+160 > 0 Ελάχιστο Κέρδος μεγιστοποιείται για επίπεδο παραγωγής = 497,8 Μονάδες : 10 b) Να δείξετε ότι για το επίπεδο παραγωγής x που μεγιστοποιεί τα κέρδη Π της επιχείρησης το οριακό κόστος MC είναι ίσο με τα οριακά έσοδα MR (λόγω στρογγυλοποίησης τα αριθμητικά αποτελέσματα μπορεί να διαφέρουν ελάχιστα) και να εξηγήσετε γιατί αυτή η συνθήκη είναι αναγκαία.

Παραγωγής ΑΣΚΗΣΗ 2 (Μονάδες 36) Η μηνιαία παραγωγή x μιας εταιρείας περιγράφεται από τις εξής συναρτήσεις εσόδων και κόστους.

3 R'(267) = 120(497,8)-4500= C'(267) = 0,3(497,8) 2-40(497,8)+800= (Διαφορές οφείλονται σε στρογγυλοποιήσεις) Αν στο δεδομένο σημείο παραγωγής είχαμε ΜR > MC τότε ΜΠ=ΜR-MC>0 και επομένως η παραγωγή μίας επί πλέον μονάδας θα οδηγούσε σε αύξηση του κέρδους, επομένως δεν θα υπήρχε μέγιστο στο συγκεκριμένο σημείο. Αντίστροφα αν στο δεδομένο σημείο είχαμε ΜR < MC τότε ΜΠ=ΜR MC < 0 και επομένως η μείωση της παραγωγής κατά μία μονάδα, θα μείωνε το κόστος περισσότερο από ότι θα μειώνονταν τα έσοδα, και συνεπώς θα επέφερε αύξηση του κέρδους, επομένως στο συγκεκριμένο σημείο δεν θα υπήρχε μέγιστο. Μονάδες : 10 c) Στους επόμενους 5 μήνες η παραγωγή αυξάνει σύμφωνα με τον τύπο : x = t 2 /5 όπου t είναι o χρόνος. Να υπολογισθούν οι συναρτήσεις: dr dc dπ,, dt dt dt οριακής μεταβολής των εσόδων, κόστους και κερδών αντίστοιχα, σε σχέση με τον χρόνο και να υπολογισθεί η χρονική στιγμή κατά την οποία θα επιτευχθεί μεγιστοποίηση των κερδών. dr/dt = R'(x) (dx/dt) Έχουμε βρει ότι R'(x)=120x-4500 (ερώτημα α) και επίσης dx/dt = (80 + 4t 2 /5 )' = 8t/5 Επομένως αντικαθιστώντας στην σχέση dr/dt έχουμε dr/dt = (120x-4500).(8t/5), και αντικαθιστώντας το x = 80+4t 2 /5 βρίσκουμε: dr/dt = (120(80+ 4t 2 /5) 4500)(8t/5) = ( t )(8t/5) = ( t 2 )(8t/5) = 8160t+153,6t 3 Ομοίως dc/dt = C'(x) (dx/dt) Έχουμε βρει ότι C'(x)= 0,3x 2-40x+800 (ερώτημα α) και επίσης dx/dt = (80 + 4t 2 /5 )' = 8t/5 Επομένως αντικαθιστώντας στην σχέση dc/dt έχουμε dc/dt = (0,3x 2-40x+800).(8t/5), και αντικαθιστώντας το x = 80+4t 2 /5 βρίσκουμε: dc/dt = [0,3(80+ 4t 2 /5) 2-40(80+ 4t 2 /5)+800](8t/5) = [0,3( t 2 +16t 4 /25) t ](8t/5) = ( ,4t 2 +4,8t 4 / t 2 )(8t/5) =-768t + 10,24t 3 + 0,3072t 5 dπ/dt = dr/dt - dc/dt = 8160t+153,6t 3 (-768t + 10,24t 3 + 0,03072t 5) = 8928t + 143,36t 3 0,3072t 5

δεν θα υπήρχε μέγιστο στο συγκεκριμένο σημείο.

4 Μεγιστοποίηση κερδών Εφ όσον βρήκαμε ότι το κέρδος μεγιστοποιείται όταν χ = 498, αρκεί να λύσουμε την εξίσωση x(t) = 496 για να προσδιορίσουμε το t. Έχουμε λοιπόν 80+ 4t 2 /5 = 498 => t 2 = (5/4).418 = 522,5 => t = 22,8 d) Να παραστήσετε γραφικά με τη βοήθεια του Excel την εξέλιξη των εσόδων, κόστους και κερδών σε σχέση με τον χρόνο στο διάστημα t = 15 έως t = 30 επαληθεύοντας τα αποτελέσματα που βρήκατε στην ερώτηση (c). Βλέπε ASKISI-2 στο συνημμένο GE-2.xls

418 = 522,5 => t = 22,8 d) Να παραστήσετε γραφικά με τη βοήθεια του Excel την εξέλιξη των εσόδων, κόστους και

5 ΑΣΚΗΣΗ 3 (Μονάδες 26) Έστω η συνάρτηση ζήτησης ενός προϊόντος είναι q = cp a με c>0 και α<0. όπου q είναι η ζητούμενη ποσότητα και p η τιμή του προϊόντος a) Να βρεθεί η ελαστικότητα ζήτησης ε qp της παραπάνω συνάρτησης dq/dp=cap a-1, ε qp = (dq/dp).(p/q)= cap a-1 (p/q)= cap a /q=aq/q=a b) Δείξτε τη μαθηματική σχέση μεταξύ συνολικών εσόδων και τιμής για συναρτήσεις ζήτησης όπως η παραπάνω R=pq => R= p. cp a = c p a+1 c) Να βρεθεί η συνάρτηση των οριακών εσόδων MR Η συνάρτηση οριακών εσόδων είναι η παράγωγος της R ως προς q. MR = dr/dq = p+q(dp/dq) = p[1+(q/p)(dp/dq)] = p[1+(1/ε pq )]= p(1+1/a) d) Να γίνει σε φύλλο του Excel η γραφική παράσταση της συνάρτησης ζήτησης και της συνάρτησης συνολικών εσόδων για την περίπτωση όπου c=2000 και α=-0,5, για επίπεδα τιμών από p=5 έως p=100 Βλέπε ASKISI-3 στο συνημμένο GE-2.xls ΑΣΚΗΣΗ 4 (Μονάδες 15) H συνάρτηση οριακών κερδών ΜΠ μιας επιχείρησης όταν η παραγωγή q κυμαίνεται μεταξύ 40 και 70 μονάδων είναι: 2 q π '( q) = + 5q-3 10 Να υπολογισθεί το μέσο κέρδος ΑΠ της επιχείρησης για το επίπεδο παραγωγής μεταξύ 40 και 70 μονάδων Έστω Π(q) η συνάρτηση κέρδους. Ισχύει ΜΠ(q) = Π'(q) και επομένως Π(q) = MP(q) dq = (-q 2 /10+5q-3) dq = -(1/30)q 3 + (5/2)q 2 3q + C Συνολικό Κέρδος μεταξύ 40 και 70 μονάδων: Π(70) - Π(40) = -(1/30) (5/2)70 2 3(70) + (1/30)40 3 (5/2) (40) = -(1/30) (5/2) (1/30) (5/2) = , , = Μέσο κέρδος 1140/30 = -38 Μονάδες : 15 Σύνολο Μονάδων : 100

(p/q)= cap a-1 (p/q)= cap a /q=aq/q=a b) Δείξτε τη μαθηματική σχέση μεταξύ συνολικών εσόδων και τιμής για συναρτήσεις ζήτησης όπως η παραπάνω R=pq => R= p.

Σχετικά έγγραφα

Επιχειρησιακά Μαθηματικά

Τηλ:10.9.4.450 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 1 ΤΟΜΟΣ Α Επιχειρησιακά Μαθηματικά () ΑΘΗΝΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 1 Τηλ:10.9.4.450 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο Μελέτη μονοτονίας (αύξουσα φθίνουσα) συνάρτησης f i) Βρίσκουμε την παράγωγο f ii)