ΤΕΙ ΣΤΕΡΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ. Τμήμα Εμπορίας και Διαφήμισης ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα. Ακαδημαϊκό Έτος

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΤΕΙ ΣΤΕΡΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ. Τμήμα Εμπορίας και Διαφήμισης ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα. Ακαδημαϊκό Έτος 2013-2014"

Transcript

1 ΤΕΙ ΣΤΕΡΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Τμήμα Εμπορίας και Διαφήμισης ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα Ακαδημαϊκό Έτος Διδάσκων: Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Άμφισσα, 2013 Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Σελίδα 1

2 Α. Τα βασικά σημεία της θεωρίας. 1. Να δοθεί ο ορισμός της Επιχειρησιακής Έρευνας. Επιχειρησιακή έρευνα είναι η ποσοτική ανάλυση για τη λήψη διοικητικών αποφάσεωνεπιχειρηματικών και επιχειρησιακών αποφάσεων. Περιλαμβάνει το σύνολο των τεχνικοοικονομικών μεθόδων λήψης αποφάσεων οι οποίες βασίζονται στην επιστημονική προσέγγιση για την επίλυση διοικητικών προβλημάτων. Αυτές οι μέθοδοι χρησιμοποιούν μαθηματικά μοντέλα προκειμένου να περιγράψουν τη λειτουργία ενός συστήματος και τα οποία είναι σε θέση να συνδράμουν στη βελτίωση της λειτουργίας του συστήματος. 2. Τι γνωρίζετε για τη διαδικασία καθορισμού των παραμέτρων και των μεταβλητών; Ο καθορισμός των παραμέτρων του προβλήματος περιλαμβάνει το διαχωρισμό τους σε δυο κατηγορίες. Η πρώτη περιλαμβάνει εκείνους τους παράγοντες που οι έχοντες την ευθύνη της λήψης αποφάσεων μπορούν να αλλάξουν (ελεγχόμενες μεταβλητές) ώστε να προκύψει μια λύση του προβλήματος, ενώ η δεύτερη κατηγορία περιλαμβάνει τους παράγοντες εκείνους που μπορεί να επηρεάζουν τη λύση του προβλήματος αλλά καθορίζονται από τρίτους ή από το γενικότερο επιχειρησιακό και οικονομικό περιβάλλον (μη ελεγχόμενες μεταβλητές-παράμετροι). 3. Σκιαγράφηση λύσεων-αναζήτηση και ανάλυση εναλλακτικών λύσεων. α) Απαραίτητη συνθήκη για τον ορισμό ενός επιχειρησιακού προβλήματος είναι να γνωρίζει ο λήπτης αποφάσεων πότε το πρόβλημα θα έχει επιλυθεί. Δηλαδή να είναι σε θέση να προσδιορίσει τι αναμένει ως λύση του προβλήματος και με ποιο τρόπο αυτή μπορεί να επιτευχθεί. Αυτό προϋποθέτει ότι έχει διαμορφώσει μια πρώτη εικόνα για το ποιοι είναι οι παράγοντες που καθορίζουν το πρόβλημα, τι μπορεί να αλλάξει και με ποιο τρόπο αυτό επηρεάζει το αποτέλεσμα που επιθυμεί να επιτύχει. β) Η σύγκριση των εφικτών εναλλακτικών λύσεων προσδιορίζει την άριστη ή βέλτιστη λύση όπως αποκαλείται στην ορολογία της επιχειρησιακής έρευνας, η επιλογή που δίνει το καλύτερο δυνατό αποτέλεσμα. Είναι προφανές ότι ο προσδιορισμός της βέλτιστης λύσης καθορίζεται από ένα συγκεκριμένο στόχο. Μόνο έτσι οι διάφορες εναλλακτικές λύσεις είναι δυνατό να συγκριθούν μεταξύ τους. Το αντικείμενο της επιχειρησιακής έρευνας είναι η ανάπτυξη συγκεκριμένων μεθόδων ανάλογα με τη φύση του προβλήματος για το προσδιορισμό της βέλτιστης λύσης. 4. Πως υλοποιείται η επιλεγείσα λύση; Το στάδιο αυτό είναι και το πιο δύσκολο τις περισσότερες φορές. Ακόμα και στη περίπτωση που η προτεινόμενη λύση είναι η καλύτερη δυνατή, αν οι υπεύθυνοι για την υλοποίηση της δεν πεισθούν για την αποτελεσματικότητα της τότε η όλη προσπάθεια μπορεί να αποτύχει. Η εμπειρία έχει δείξει ότι λάθος χειρισμοί στη φάση της υλοποίησης σωστών προτάσεων και επιλογών έχουν οδηγήσει την όλη προσπάθεια σε αποτυχία. Ακόμα και αν με την υλοποίηση της προτεινόμενης λύσης απαιτείται η παρακολούθηση και ο έλεγχος ώστε να εντοπιστούν τυχόν αλλαγές και βελτιώσεις που μπορούν να γίνουν ή όχι ορατές. Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Σελίδα 2

3 5. Τι γνωρίζεται για τα Μαθηματικά Υποδείγματα (Μοντέλα); Η ποσοτική προσέγγιση για την επίλυση επιχειρηματικών προβλημάτων περιλαμβάνει τη χρήση μαθηματικών υποδειγμάτων ή μοντέλων. Ο όρος μοντέλο χρησιμοποιείται γενικώς για να δηλώσει μια αναπαράσταση (συνήθως με μαθηματική μορφή) μιας πραγματικής κατάστασης ή διαδικασίας. Για παράδειγμα, ένα μαθηματικό μοντέλο ενός διοικητικού-οικονομικού μοντέλου αποτελείται από ένα σύνολο μαθηματικών σχέσεων που περιγράφουν τις εξαρτήσεις μεταξύ των οικονομικών μεγεθών που αφορούν συγκεκριμένο πρόβλημα ή τη δεδομένη κατάσταση. 6. Ποιες είναι οι επιθυμητές ιδιότητες των μαθηματικών μοντέλων; Ένα μαθηματικό μοντέλο πρέπει να συγκεντρώνει δυο βασικές ιδιότητες: α) Να περιγράφει με αρκετή πιστότητα το επιχειρησιακό πρόβλημα που προσπαθούμε να λύσουμε β) Να είναι δυνατό να επιλυθεί 7. Ποια είναι τα συστατικά στοιχεία ενός μαθηματικού μοντέλου; Ένα μαθηματικό μοντέλο επιχειρησιακού προβλήματος περιλαμβάνει τα παρακάτω στοιχεία: Μεταβλητές Αποφάσεων: αντιπροσωπεύουν εκείνους τους παράγοντες ή εκείνα τα οικονομικά ή τεχνικά μεγέθη του προβλήματος, που είναι υπό τον έλεγχο αυτού που λαμβάνει την απόφαση (ελεγχόμενες μεταβλητές) και για τα οποία καλείται να αποφασίσει, δηλαδή να ορίσει τις τιμές τους. Παράδειγμα, σε ένα μοντέλο κόστους-εσόδων η ποσότητα παραγωγής είναι μια μεταβλητή απόφασης. Παράμετροι: εκτός των μεταβλητών σε κάθε πρόβλημα έχουμε μια σειρά άλλων δεδομένων τα οποία επηρεάζουν τη λύση του προβλήματος, αλλά οι τιμές τους δεν καθορίζονται από το λήπτη αποφάσεων αλλά θεωρούνται δεδομένες. α) Σε ορισμένες περιπτώσεις θεωρούμε τα δεδομένα του προβλήματος σταθερά και στην περίπτωση αυτή αναφερόμαστε σε προσδιοριστικά μοντέλα. Ο όρος σταθερά στην συγκεκριμένη περίπτωση δεν σημαίνει ότι οι τιμές των συγκεκριμένων παραμέτρων δεν μεταβάλλονται ποτέ, αλλά δεν χαρακτηρίζονται από συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. β) Σε άλλες περιπτώσεις τα δεδομένα ενός προβλήματος δεν μπορούν να θεωρηθούν σταθερά γιατί από τη φύση τους υπόκεινται σε τυχαίες μεταβολές. Σε αυτές τις περιπτώσεις μας ενδιαφέρει να εξετάσουμε τις λύσεις του μαθηματικού μοντέλου και κατ επέκταση του επιχειρησιακού προβλήματος που περιγράφει λαμβάνοντας υπόψη τις συνεχείς τυχαίες αλλαγές των τιμών των παραμέτρων του προβλήματος. Τέτοια μοντέλα, στα οποία το κύριο στοιχείο είναι οι τυχαίες διακυμάνσεις των παραμέτρων τους, καλούνται στοχαστικά μοντέλα. Αντικειμενικός στόχος: στα περισσότερα προβλήματα ο στόχος είναι η βελτίωση ενός οικονομικού ή τεχνικού μεγέθους. Περιορισμοί: Κάθε επιχειρησιακή έρευνα λαμβάνεται μέσα σε ένα συγκεκριμένο λειτουργικό και οικονομικό πλαίσιο, το οποίο οριοθετεί τα όρια μέσα στα οποία μπορεί να κινηθεί ο λήπτης της απόφασης. Σε ένα Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Σελίδα 3

4 μαθηματικό μοντέλο οι λειτουργικοί περιορισμοί του προβλήματος περιγράφονται επίσης με μαθηματικές σχέσεις που συνδέουν τις μεταβλητές αποφάσεων με τις παραμέτρους του προβλήματος. 8. Ανάλυση ευαισθησίας της λύσης Εφόσον το μαθηματικό μοντέλο αποτελεί μόνο μια μαθηματική απεικόνιση της πραγματικότητας, είναι προφανές ότι η λύση που προέκυψε εξαρτάται απόλυτα από τις τιμές των παραμέτρων του. Διαφορετικές τιμές των παραμέτρων μπορεί να οδηγήσουν σε διαφορετική λύση. Η ανάλυση ευαισθησίας του βέλτιστου αποτελέσματος σε σχέση με μεταβολές στα δεδομένα του μοντέλου ή στη δομή του μοντέλου αποτελεί το πιο σημαντικό μέρος της ανάλυσης των αποτελεσμάτων. Η ανάλυση ευαισθησίας προσδιορίζει το βαθμό στον οποίο διαφοροποιείται η προτεινόμενη λύση όταν υπάρξουν μεταβολές στα δεδομένα ή στο μοντέλο. Αν μικρές μεταβολές των παραμέτρων επηρεάζουν κατά πολύ την προτεινόμενη λύση τότε θα απαιτηθεί επιπλέον προσπάθεια για να υπάρξουν όσο το δυνατόν πιο αξιόπιστα δεδομένα αλλιώς υπάρχει κίνδυνος να υιοθετήσουμε και να υλοποιήσουμε λανθασμένες επιλογές. Αντίθετα, αν η προτεινόμενη λύση δεν διαφοροποιείται σημαντικά σε πιθανές μεταβολές των παραμέτρων, έχουμε μεγαλύτερο βαθμό εμπιστοσύνης στην προτεινόμενη λύση. 9. Ποιες είναι οι τεχνικές της επιχειρησιακής έρευνας; Η κατηγοριοποίηση των τεχνικών αναφέρεται είτε στο πεδίο εφαρμογής είτε στον τύπο του μαθηματικού μοντέλου. Γραμμικός Προγραμματισμός: αποτελεί τη βασικότερη ίσως μεθοδολογία της επιχειρησιακής έρευνας. Ο αντικειμενικός στόχος περιγράφεται από μια γραμμική συνάρτηση των μεταβλητών του προβλήματος και το ίδιο συμβαίνει με τους επιχειρησιακούς περιορισμούς. Κλασικό παράδειγμα είναι η κατανομή των περιορισμένων πόρων μιας επιχείρησης με τον αποτελεσματικότερο τρόπο. Οι περιορισμοί μπορούν να αφορούν το διαθέσιμο προσωπικό, τις διαθέσιμες ώρες των μηχανημάτων, τα κεφάλαια μιας επιχείρησης, τους αποθηκευτικούς χώρους κ.λπ. Προβλήματα μεταφοράς: με δεδομένα τη διαθέσιμη ποσότητα σε κάθε σημείο αποθήκευσης και τη ζήτηση σε κάθε σημείο κατανάλωσης, καθώς και το κόστος μεταφοράς από σημείο σε σημείο, το μοντέλο του προβλήματος μεταφοράς προσδιορίζει τις ποσότητες που πρέπει να μεταφερθούν από κάθε αποθηκευτικό χώρο σε κάθε χώρο κατανάλωσης. Θεωρία αποφάσεων-θεωρία παιγνίων: τα μοντέλα αποφάσεων συστηματοποιούν τις μεθόδους σύγκρισης εναλλακτικών αποφάσεων και επιλογής της βέλτιστης λύσης σε συνθήκες αβεβαιότητας και ρίσκου. Βασίζονται στην παράσταση των δεδομένων κάθε προβλήματος λήψης αποφάσεων με τη μορφή πίνακα κερδών/ζημιών για κάθε εναλλακτική λύση. Ουρές αναμονής: στόχος είναι η καλή λειτουργία μονάδων εξυπηρέτησης. Όπως για παράδειγμα ο χρόνος αναμονής των πελατών σε μια τράπεζα. Προγραμματισμός και έλεγχος αποθεμάτων: τα αποθέματα αποτελούν σημαντικό κόστος για μια επιχείρηση, διότι αντιπροσωπεύουν κεφάλαια που είναι δεσμευμένα και τα οποία η επιχείρηση δεν μπορεί να αξιοποιήσει σε άλλες δραστηριότητες. Το σημαντικό ερώτημα στον προγραμματισμό Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Σελίδα 4

5 αποθεμάτων είναι ο καθορισμός της ποσότητας παραγγελίας και του χρόνου που δίνεται μια παραγγελία για ένα είδος. Μοντέλα δικτύων: χρησιμοποιούνται για να αναπαραστήσουν μια πραγματική κατάσταση σε μορφή δικτύου. Η πιο διαδομένη και γνωστή εφαρμογή είναι ο προγραμματισμός και ο έλεγχος εκτέλεσης ενός έργου. Μη γραμμικός- Ακέραιος προγραμματισμός: είναι ειδικές περιπτώσεις που αποτελούν επέκταση του μοντέλου του γραμμικού προγραμματισμού. Στην περίπτωση του ακέραιου προγραμματισμού υπάρχει ο επιπλέον περιορισμός ότι κάποιες ή όλες οι μεταβλητές αποφάσεων λαμβάνουν μόνο ακέραιες τιμές, όπως για παράδειγμα στον προγραμματισμό δρομολογίων που ένα μεταφορικό μέσο θα πρέπει να εκτελέσει σε μια συγκεκριμένη χρονική περίοδο. 10. Ποιες είναι οι κατηγορίες των μαθηματικών μοντέλων; Μια θεώρηση των μαθηματικών μοντέλων αφορά το διαχωρισμό τους σε κατηγορίες ανάλογα με τις μεθόδους επίλυσης, το αποτέλεσμα που προκύπτει από την εφαρμογή του μοντέλου και τον τρόπο αντιμετώπισης των συνθηκών αβεβαιότητας. Α. Κατηγοριοποίηση ως προς τις μεθόδους επίλυσης 1 ο Αναλυτικά μοντέλα Η λύση του προβλήματος προκύπτει από την εφαρμογή μαθηματικών τύπων που καθορίζουν την τιμή των μεταβλητών του μοντέλου με βάση τις τιμές των παραμέτρων του. Για παράδειγμα, ο προσδιορισμός του βέλτιστου ύψους αποθεμάτων και του σημείου παραγγελίας στα προβλήματα προγραμματισμού και ελέγχου αποθεμάτων. 2 ο Αλγοριθμικά μοντέλα Η λύση προκύπτει από την εφαρμογή ενός αλγορίθμου, δηλαδή μιας σειράς μαθηματικών πράξεων και μετασχηματισμών η οποία εκτελείται με συγκεκριμένους κανόνες που περιλαμβάνουν διακλαδώσεις ή επαναλήψεις βημάτων. Παράδειγμα, ο γραμμικός προγραμματισμός. 3 ο Ευρετικές μέθοδοι Αποτελούν ειδική κατηγορία αλγορίθμων που χρησιμοποιούνται όταν η ακριβής επίλυση ενός προβλήματος είναι είτε αδύνατη λόγω πολυπλοκότητας του μοντέλου είτε πρακτικά πολύ δύσκολη λόγω του μεγέθους του. 4 ο Προσομοίωση Είναι μια γενική μέθοδος ανάλυσης σύνθετων και πολύπλοκων προβλημάτων των οποίων ο προσδιορισμός της βέλτιστης λύσης μέσω ενός μαθηματικού μοντέλου δεν είναι δυνατή είτε λόγω πολυπλοκότητας είτε διότι οι τιμές των παραμέτρων τους παρουσιάζουν τυχαίες διακυμάνσεις. Στην τελευταία περίπτωση χρησιμοποιείται ο υπολογιστής για να εξετάσει τον τρόπο λειτουργίας του υπό ανάλυση συστήματος όταν Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Σελίδα 5

6 οι παράμετροι του μοντέλου λαμβάνουν διαφορετικές τυχαίες τιμές ανάλογα με τη διακύμανση που παρουσιάζουν. 5 ο Πολυκριτήριες μέθοδοι Αποτελούν μια ειδική οικογένεια μεθόδων και τεχνικών ανάλυσης προβλημάτων στα οποία τα κριτήρια βελτιστοποίησης ή αποφάσεων είναι περισσότερά από ένα και χαρακτηρίζονται από τον όρο πολυκριτήριας ανάλυσης αποφάσεων. Παραδείγματα, Θεωρία Πολυκριτήριας Χρησιμότητας, οι Μέθοδοι Υπεροχής και η Ανάλυση Προτιμήσεων. Β. Κατηγοριοποίηση ως προς το στόχο 1 ο Μοντέλα βελτιστοποίησης Στόχος είναι η μεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση μιας μεταβλητής ή της τιμής μια συνάρτησης γενικότερα η οποία εκφράζει τον επιθυμητό επιχειρησιακό στόχο. Αυτό μπορεί να επιτευχθεί μέσω αναλυτικών, αλγοριθμικών ή ευρετικών μεθόδων επίλυσης. Το αποτέλεσμα είναι οι τιμές των μεταβλητών που καθορίζουν τη βέλτιστη τιμή του στόχου. 2 ο Περιγραφικά Μοντέλα Σε αυτή την περίπτωση ενδιαφέρει η αναζήτηση και η ποσοτικοποίηση σχέσεων μεταξύ των διαφορετικών μεταβλητών του μοντέλου έτσι ώστε να προσδιοριστούν οι αλλαγές που θα προκύψουν σε ένα μέγεθος όταν σε ένα άλλο ή άλλα μεγέθη που το επηρεάζουν μεταβάλλονται. Το αποτέλεσμα συνήθως απεικονίζεται γραφική παράσταση των εξεταζόμενων μεγεθών. 3 ο Μοντέλα Πρόβλεψης Είναι κυρίως στατιστικά μοντέλα ανάλυσης ιστορικών στοιχείων σε μορφή χρονοσειρών με σκοπό τον προσδιορισμό μιας μαθηματικής σχέσης μεταξύ μιας εξαρτημένης μεταβλητής (π.χ. πωλήσεις) και ενός ή περισσοτέρων ανεξάρτητων μεταβλητών που μπορεί να την επηρεάζουν (π.χ. διαφήμιση, πληθυσμός, χρόνος κ.α.) έτσι ώστε με βάση μελλοντικές τιμές των ανεξάρτητων μεταβλητών, να είναι δυνατή η πρόβλεψη μελλοντικών τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής. Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Σελίδα 6

7 Γ. Κατηγοριοποίηση ως προς τη διαχείριση της αβεβαιότητας 1 ο Προσδιοριστικά-Ντετερμινιστικά Όταν οι τιμές των παραμέτρων του προβλήματος που επηρεάζουν τη λύση του θεωρούνται σταθερές, με την έννοια ότι δεν χαρακτηρίζονται από συνεχείς τυχαίες αλλαγές. 2 ο Πιθανολογικά-Στοχαστικά Όταν οι παράμετροι του προβλήματος αντιπροσωπεύουν μεγέθη που από τη φύση τους υπόκεινται σε τυχαίες μεταβολές. 11. Τι είναι γραμμικός προγραμματισμός και πότε ένα σύστημα είναι γραμμικό; Ποιες οι πιθανές τιμές και οι λύσεις του; Γραμμικός Προγραμματισμός (ΓΠ) είναι το όνομα της μεθοδολογίας που χρησιμοποιείται για τη λύση προβλημάτων που έχουν σκοπό τη μεγιστοποίηση ή την ελαχιστοποίηση μιας γραμμικής συνάρτησης που υπόκεινται σε γραμμικούς περιορισμούς υπό τη μορφή γραμμικών ανισοτήτων. Από οικονομική άποψη ο ΓΠ ασχολείται με το πρόβλημα της κατανομής των περιορισμένων πόρων ενός συστήματος σε ανταγωνιζόμενες δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο. Ο όρος «προγραμματισμός» δεν έχει την έννοια του προγραμματισμού Η/Υ αλλά του «σχεδιασμού». Τέλος, ένα σύστημα ονομάζεται γραμμικό όταν οι μεταβλητές δεν είναι υψωμένες σε καμία δύναμη πέραν της μονάδας και δεν υπάρχουν γινόμενα μεταξύ των μεταβλητών. Υπόδειγμα Γ.Π. Κάθε μαθηματικό πρόγραμμα της μορφής: max ή min f(x)=c 1 x 1 +c 2 x c n x n [αντικειμενική συνάρτηση] όταν α j1 x 1 +α j2 x α jn x n {, =, } β j, j-1,2, m, (1) x 1, x 2, +x n 0, (2) γραμμικοί περιορισμοί όπου c j,α ji, β j πραγματικοί αριθμοί ονομάζεται γραμμικό πρόγραμμα. Παρατηρήσεις Ι. Στο Γ.Π. η αντικειμενική συνάρτηση και οι συναρτήσεις (των πρώτων μελών) των (1) είναι γραμμικές ενώ οι μεταβλητές λαμβάνουν μη αρνητικές τιμές (οικονομοτεχνική σημασία) ΙΙ. Κάθε λύση του Γ.Π. που ικανοποιεί και τον περιορισμό (2) ονομάζεται δυνατή ή εφικτή λύση του. ΙΙΙ. Η δυνατή ή εφικτή λύση του Γ.Π. που παρέχει την ακρότατη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης ονομάζεται άριστη ή βέλτιστη τιμή του Γ.Π. και συμβολίζεται με x o. Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Σελίδα 7

8 IV. Ένα Γ.Π. ονομάζεται εφικτό (ή μη εφικτό) όταν έχει (ή δεν έχει) δυνατές ή εφικτές λύσεις. V. Ένα Γ.Π. έχει μη πεπερασμένη άριστη λύση (άπειρη) όταν η ακρότατη τιμή απειρίζεται. 12. Ποιες είναι οι αρχές του Γραμμικού Προγραμματισμού; Για τα υποδείγματα του Γ.Π. ισχύουν οι παρακάτω αρχές: α. Διαιρετότητα: Σύμφωνα με αυτή οι μεταβλητές μπορούν να πάρουν κάθε τιμή στο σύνολο των πραγματικών θετικών αριθμών. β. Σταθερών αναλογιών: Σύμφωνα με αυτή την αρχή ο πολλαπλασιασμός της ποσότητας ενός μεγέθους λ>0 προϋποθέτει τον πολλαπλασιασμό επί λ των ποσοτήτων όλων των συντελεστών παραγωγής του. γ.προσθετικότητα: Σύμφωνα με αυτή η χρησιμοποίηση περισσοτέρων της μιας παραγωγικών δραστηριοτήτων προϋποθέτει την πρόσθεση των αντίστοιχων ποσοτήτων των συντελεστών παραγωγής αυτών. 13. Ποια είναι τα βήματα επίλυσης ενός προβλήματος για τη λήψη της βέλτιστης λύσης; Τα βήματα για τη διαδικασία επίλυσης ενός προβλήματος είναι: 1 ο Αναγνώριση και καθορισμός του προβλήματος 2 ο Συλλογή των δεδομένων 3 ο Καθορισμός των κριτηρίων επιλογής 4 ο Εύρεση του συνόλου των εφικτών λύσεων (με χρήση διαγράμματος) 5 ο Αξιολόγηση των εφικτών λύσεων με βάση τα κριτήρια και επίλυση του μοντέλου 6 ο Επιλογή της βέλτιστης λύσης (λήψη απόφασης) 7 ο Εφαρμογή της βέλτιστης λύσης στο σύστημα 8 ο Αξιολόγηση των αποτελεσμάτων και ανατροφοδότηση. 14. Αναφέρατε τους βασικότερους λόγους που μας οδηγούν στη λήψη αποφάσεων με την ανάπτυξη κατάλληλων μοντέλων. Οι πιο σημαντικοί λόγοι είναι: 1 ον Το μοντέλο βοηθά στην κατανόηση της λειτουργίας της επιχείρησης, στην οριοθέτηση των στόχων και στον εντοπισμό των περιορισμών και των υποθέσεων που διέπουν τη λειτουργία του. 2 ον Ένα μοντέλο αποτελεί ένα πλαίσιο εργασίας και ελέγχου πιθανών σεναρίων. Ο έλεγχος εναλλακτικών σεναρίων είναι πολλές φορές αδύνατον να πραγματοποιηθεί μεταβάλλοντας το πραγματικό σύστημα. 3 ον Το μοντέλο επιταχύνει τη διαδικασία μελέτης και βελτιστοποίησης της λειτουργίας του συστήματος. 4 ον Η χρήση και η ανάπτυξη ενός μοντέλου είναι συχνά λιγότερο δαπανηρή από την εφαρμογή εναλλακτικών σεναρίων στο ίδιο σύστημα. 5 ον Με τη χρήση του μοντέλου συνδυάζουμε τις εμπειρικές παρατηρήσεις και την τεχνογνωσία των στελεχών της επιχείρησης και ορίζουμε με σαφήνεια το πρόβλημα. Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Σελίδα 8

9 15. Αναφέρατε πρακτικούς κανόνες ελέγχου των μεταβλητών ενός Γ.Π. Η διαδικασία προσδιορισμού των μεταβλητών του προβλήματος δεν είναι πάντα τόσο προφανής. Μερικοί πρακτικοί κανόνες που βοηθούν τη διαδικασία καθορισμού των μεταβλητών μπορούν να προκύψουν μέσω της απάντησης των πιο κάτω ερωτημάτων: 1 ο Είναι δυνατό να υπολογιστεί το ζητούμενο αποτέλεσμα αν γνωρίζουμε τις τιμές των μεταβλητών που ορίσαμε ή χρειάζονται επιπλέον πληροφορίες και επιπλέον μεταβλητές; 2 ο Αντιπροσωπεύουν οι μεταβλητές οικονομικά μεγέθη τέτοια που οι τιμές τους μπορεί να καθοριστούν αποκλειστικά από το λήπτη της απόφασης; 3 ο Είναι οι μεταβλητές μετρήσιμες και ποια είναι η μονάδα μέτρησης της καθεμίας; 16. Αναφέρατε πρακτικούς κανόνες ελέγχου των περιορισμών ενός Γ.Π. Οι περιορισμοί του προβλήματος περιγράφουν λειτουργικές ή επιχειρησιακές συνθήκες που έμμεσα θέτουν όρια στις τιμές των μεταβλητών. Τα παρακάτω ερωτήματα ελέγχου βοηθούν στην ορθή διατύπωση των περιορισμών σε ένα πρόβλημα Γ.Π. 1 ο Είναι δυνατόν να οριστούν οι φυσικοί περιορισμοί λόγω της παραγωγικής διαδικασίας της δυναμικότητας, ή άλλων συνθηκών που είναι σημαντικές για το πρόβλημα μέσω μαθηματικών σχέσεων των μεταβλητών; Αν όχι πιθανόν να απαιτούνται επιπλέον ή διαφορετικές μεταβλητές. 2 ο Κάθε περιορισμός διατυπώνεται με τη μορφή ισότητας ή μιας ανισότητας και αντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη συνθήκη, δηλαδή ένα μέγεθος πρέπει να είναι ίσο ή να ξεπερνά ή να ξεπερνά ή να υπολείπεται μιας συγκεκριμένης τιμής. Μπορούμε να περιγράψουμε λεκτικά τι αντιπροσωπεύει το αριστερό και δεξιό μέλος του περιορισμού; 3 ο Οι μονάδες μέτρησης κάθε περιορισμού είναι διαφορετικές από τις μονάδες μέτρησης των μεταβλητών. Έχουν καθοριστεί οι μονάδες μέτρησης σε κάθε περιορισμό με σαφήνεια και είναι οι ίδιες και στα δυο μέλη του περιορισμού; 17. Τι γνωρίζετε για τον έλεγχο και τη αναθεώρηση προβλημάτων ΓΠ; Σε ένα πρόβλημα ΓΠ, η προσθήκη επιπλέον περιορισμών έχει ως αποτέλεσμα η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης να μειωθεί ή να παραμείνει ίδια. Το αντίθετο θα συμβεί σε ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης. Αυτό συμβαίνει γιατί η περιοχή εφικτών λύσεων περιορίζεται ακόμα περισσότερο, οπότε κάποιες από τις λύσεις που προηγουμένως εφικτές μπορεί να μην είναι πλέον επιλέξιμες λόγω της προσθήκης του (των) νέου (ων) περιορισμών. Η προσθήκη ενός νέου περιορισμού μπορεί να αλλάξει τελείως τα αποτελέσματα της βελτιστοποίησης, ενώ περιορισμοί που δεν είναι δεσμευτικοί δεν επηρεάζουν τη βέλτιστη λύση. Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Σελίδα 9

10 Β. Διαμόρφωση μοντέλων Γ.Π. (περισσότερες από 2 μεταβλητές) 1 Παράδειγμα 1 (προγραμματισμός παραγωγής) Ας θεωρήσουμε μια βιομηχανική μονάδα η οποία για την παραγωγή (4) προϊόντων Π 1, Π 2, Π 3, Π 4 διαθέτει (3) μηχανές Μ 1, Μ 2 και Μ 3. Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζεται ο χρόνος που απαιτείται για την επεξεργασία μιας μονάδας για κάθε προϊόν σε κάθε μηχανή, ο διαθέσιμος χρόνος κάθε μηχανής και το κέρδος ανά μονάδα προϊόντος. Τα μηδενικά στοιχεία του πίνακα υποδηλώνουν ότι τα Π 2, Π 4 δεν υφίστανται επεξεργασία στη μηχανή Μ 3. Το ζητούμενο είναι να κατασκευάσουμε το Γ.Π. με στόχο τη μεγιστοποίηση του κέρδους από την πώληση των προϊόντων αυτών. Χρόνος επεξεργασίας μιας μονάδας κάθε προϊόντος στις μηχανές (min) (Υ) Π1 Π2 Π3 Π4 Μ Μ Μ Μηχανή (Χ) Κέρδος ανά μονάδα προϊόντος (Ω) Διαθέσιμος ημερήσιος χρόνος λειτουργίας κάθε μηχανής (min) (Ζ) (ι) Τα στοιχεία που επηρεάζουν το κριτήριο της απόδοσης του συστήματος είναι: X, Y, Ω. (ιι) Αποφάσεις χρειάζονται για τις ποσότητες x 1, x 2, x 3, x 4 που θα παράγονται ημερησίως από τα Π 1,Π 2,Π 3 και Π 4. [μεταβλητές: x 1, x 2, x 3, x 4 ] (ιιι) Κριτήριο ή μέτρο απόδοσης: το κέρδος. Κατά συνέπεια το συνολικό κέρδος ανά μονάδα προϊόντος προκύπτει από το άθροισμα: Ζ=6x 1 +4x 2 +2x 3 +x 4. [Αντικειμενική συνάρτηση του μοντέλου]. Είναι φανερό ότι όταν αυξάνεται η παραγωγή των x 1, x 2, x 3, x 4 τότε θα αυξάνει και το κέρδος. Ωστόσο, οι παραγόμενες ποσότητες δεν είναι δυνατόν να αυξηθούν απεριόριστα, δεδομένου ότι ο ημερήσιος χρόνος απασχόλησης κάθε μηχανής πρέπει να είναι μικρότερος ή ίσος ( ) του αντίστοιχου διαθέσιμου ημερήσιου χρόνου λειτουργίας κάθε μηχανής και θα πρέπει να ισχύουν οι παρακάτω περιορισμοί: 5x 1 +2x 2 +3x 3 +x x 1 +2x 2 +x 3 +2x x 1 +x x 1, x 2, x 3, x 4 0 Γραμμικοί περιορισμοί Ενώ, το μαθηματικό μοντέλο της αντικειμενικής συνάρτησης είναι: max Z=6x 1 +4x 2 +2x 3 +x 4. 1 με μέθοδο Simplex Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Σελίδα 10

11 Συμπερασματικά, το Γ.Π. είναι το ακόλουθο: max Z=6x 1 +4x 2 +2x 3 +x 4. 5x 1 +2x 2 +3x 3 +x x 1 +2x 2 +x 3 +2x x 1 +x x 1, x 2, x 3, x 4 0 Παράδειγμα 2 (επιλογή επενδυτικού προγράμματος) Μια πολυεθνική επενδυτική εταιρεία προτίθεται να επενδύσει 80 εκ. σε κοινές μετοχές (κ.μ.) και προνομιούχες μηχανές (π.μ.) εταιρειών εισηγμένων στο χρηματιστήριο καθώς και σε ομόλογα του δημοσίου. Η αναμενόμενη απόδοση των (3) αυτών τύπων επένδυσης είναι κατά σειρά 15%, 17% και 12%. Δεδομένου ότι οι επενδύσεις σε μετοχές (κοινές-προνομιούχες) κρίνονται υψηλού ρίσκου, η εταιρεία έχει αποφασίσει να επενδύσει σε αυτές όχι περισσότερο από το 25% του συνολικού επενδυόμενου κεφαλαίου. Επιπλέον, το επενδυόμενο ποσό σε προνομιούχες μετοχές δεν πρέπει να υπερβαίνει το 75% της συνολικής επένδυσης σε μετοχές, ενώ τουλάχιστον το 20% του επενδυόμενου κεφαλαίου πρέπει να είναι σε ομόλογα του δημοσίου. Η εταιρεία ενδιαφέρεται να επιλέξει εκείνο το επενδυτικό σχήμα που μεγιστοποιεί την απόδοση του κεφαλαίου της. (ι) Μεταβλητές: x 1, x 2, x 3. Όπου x 1 : ποσά που θα επενδυθούν σε κ.μ. x 2 : ποσά που θα επενδυθούν σε π.μ. x 3 : ποσά σε ομόλογα δημοσίου (ιι) Αντικειμενική συνάρτηση Αποδόσεις x 1 : απόδοση 0,15 x 1. x 2 : απόδοση 0,17 x 2. x 3 : απόδοση 0,12 x 3. Κατά συνέπεια, εφόσον στόχος είναι η μεγιστοποίηση της συνολικής απόδοσης τότε: Ζ= 0,15 x 1 + 0,17 x 2 + 0,12 x 3 (ιιι) Περιορισμοί α) Το επενδυτικό ποσό δεν μπορεί να υπερβαίνει το διαθέσιμο: x 1 +x 2 + x 3 =80. β) x 1 +x 2 0,75 (x 1 +x 2 + x 3 ) ή 0,75 x 1 + 0,75 x 2-0,25 x 3 0. γ) Επιπλέον, το x 2 σε προνομιούχες μετοχές δεν πρέπει να είναι μεγαλύτερο από το 75% της συνολικής επένδυσης (x 1 +x 2 ) σε μετοχές. Δηλαδή, x 2 0,75 (x 1 +x 2 ) ή - 0,75 x 1 + 0,25 x 2 0. δ) Τουλάχιστον το 20% του επενδυόμενου κεφαλαίου x 1 +x 2 +x 3 πρέπει να έχει διατεθεί σε ομόλογα του δημοσίου. Άρα, x 3 0,20 (x 1 +x 2 + x 3 ) ή -0,20 x 1-0,20 x 2 + 0,80 x 3 0. Με βάση τα παραπάνω η βέλτιστη σύνθεση του επενδυτικού κεφαλαίου και το Γ.Π. είναι: Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Σελίδα 11

12 max Ζ= 0,15 x 1 + 0,17 x 2 + 0,12 x 3 x 1 +x 2 + x 3 =80 0,75 x 1 + 0,75 x 2-0,25 x 3 0-0,75 x 1 + 0,25 x 2 0-0,20 x 1-0,20 x 2 + 0,80 x 3 0 x 1,x 2, x 3 0 Παράδειγμα 3 (Μεγιστοποίηση εσόδων. Πρόβλημα δίαιτας) Οι θρεπτικές ουσίες Α,Β,Γ,Δ χρησιμοποιούνται για την παρασκευή τεσσάρων ειδών διατροφής Ι,ΙΙ,ΙΙΙ,ΙV σύμφωνα με τον ακόλουθο πίνακα: Δ π.χ. κάθε μερίδα του ΙΙΙ απαιτεί 1 μονάδα του Α, 1 του Β και 2 του Δ. Και τους εξής περιορισμούς: α) Οι ποσότητες των Α,Β,Γ,Δ που διατίθενται για την παρασκευή είναι 32,48, 160 και 136 μονάδες αντίστοιχα. β) Οι τιμές των Ι,ΙΙ, ΙΙΙ, ΙV, δεν πρέπει να είναι μεγαλύτερες των 100, 40, 80 και 60 χρηματικών μονάδων αντίστοιχα. Να κατασκευαστεί το Γ.Π. με στόχο τη μεγιστοποίηση των εσόδων. Αν x 1, x 2, x 3 και x 4 είναι αντίστοιχα οι τιμές διαθέσεως των Α,Β,Γ,Δ τότε στις τιμές x 1, x 2, x 3 και x 4 των Α,Β,Γ,Δ αντιστοιχούν συνολικά έσοδα 32x 1 +48x x x 4 των οποίων ζητείται η μέγιστη τιμή. Για τις τιμές x 1, x 2, x 3 και x 4 των Α,Β,Γ,Δ μια μερίδα του Ι κοστίζει 2*x 1 +1*x 2 +2*x 3 +1*x 4 χρηματικές μονάδες που δεν μπορούν να υπερβούν τις 100. Έτσι προκύπτει η πρώτη ανίσωση των περιορισμών κ.ο.κ. Κατά συνέπεια, προκύπτει το ακόλουθο Γ.Π.: I II III IV A Β Γ max f=32x 1 +48x x x 4 όταν 2x 1 +x 2 +2x 3 +x x 3 +x 4 40 x 1 +x 2 +2x 4 80 x 1 +2x 2 +x 3 60 x 1, x 2, x 3, x 4 0 Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Σελίδα 12

13 Γ. Διαμόρφωση μοντέλων Γ.Π. (με 2 μεταβλητές) 2 Παράδειγμα 1 (μεγιστοποίηση κέρδους) Μια βιομηχανία θέλει να μεγιστοποιήσει το κέρδος από την παράλληλη παραγωγή 2 προϊόντων. Το πρώτο προϊόν αποφέρει κέρδος 150 το κομμάτι και το δεύτερο 200 το κομμάτι. Η έρευνα αγοράς έχει δείξει ότι: (ι) Η παραγωγή και των (2) προϊόντων δεν πρέπει να ξεπερνά τα το μήνα. (ιι) Το δεύτερο προϊόν πρέπει να είναι σε κομμάτια το πολύ το μισό του πρώτου. (ιιι) Το επίπεδο παραγωγής του πρώτου προϊόντος μπορεί να ξεπερνάει κατά 600 το πολύ κομμάτια το τριπλάσιο της παραγωγής του δεύτερου προϊόντος. Ποια πρέπει να είναι η μηνιαία παραγωγή των προϊόντων για να έχει η βιομηχανία το μέγιστο κέρδος και ποιο θα είναι αυτό; Έστω Χ κομμάτια από το πρώτο και Υ από το δεύτερο. Τότε το συνολικό κέρδος θα είναι Κ=150Χ+200Υ. Περιορισμοί Χ+Υ Υ 1/2*Χ Χ 3Υ+600 Χ,Υ 0 ή Χ+Υ Χ-2Υ 0 Χ 3Υ+600 Χ,Υ 0 y=1/2*x y Γ (800,400) x-3y=600 Β (1050,150) Δυνατές Λύσεις Α Δ x x + y= με τη γραφική μέθοδο. Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Σελίδα 13

14 Οι εφικτές λύσεις βρίσκονται εντός του πολυγώνου ΑΒΓΔ Α(600,0), Β(1.050,150), Γ(800,400), Δ (0,0) Στο Α: το Κ=900 Στο Β: το Κ= Στο Γ: το Κ= Στο Δ: το Κ=0 Συνεπώς, στο σημείο Γ είναι το βέλτιστο σημείο. Παράδειγμα 2 (μεγιστοποίηση κέρδους) Οι μηχανές Α,Β,Γ παράγουν τα είδη Ι, ΙΙ κάτω από τους εξής περιορισμούς: (α) Κάθε μονάδα του Ι απασχολεί κάθε μηχανή από μια ώρα. (β) Κάθε μονάδα του ΙΙ απασχολεί την Α μια ώρα, την Β δύο ώρες και την Γ τέσσερεις ώρες. (γ) Οι Α,Β,Γ μπορούν να λειτουργήσουν το πολύ 5, 6 και 10 ώρες κάθε μέρα αντίστοιχα. (δ) Τα Ι και ΙΙ έχουν κέρδος 20 και 30 χρηματικές μονάδες αντίστοιχα. Να κατασκευαστεί το Γ.Π. με στόχο τη μεγιστοποίηση του κέρδους. Αν x 1,x 2 είναι αντίστοιχα οι παραγόμενες κάθε μέρα μονάδες των Ι, ΙΙ από τις μηχανές Α,Β,Γ. Μηχανές Προϊόντα Μέγιστο ωρών λειτουργίας των μηχανών Ι ΙΙ Α 1*x 1 1*x 2 5 Β 1*x 1 2*x 2 6 Γ 1*x 1 4*x 2 10 Η αντικειμενική συνάρτηση είναι: maxf=20x 1 +30x 2 η οποία μας δίνει το συνολικό κέρδος στις αντίστοιχες μονάδες των Ι,ΙΙ. Οι περιορισμοί προκύπτουν ως εξής: Για τις μονάδες των x 1, x 2, των Ι,ΙΙ η μηχανή Α απασχολείται 1*x1+1*x2 ώρες, που δεν μπορούν να υπερβούν τις 5 κ.ο.κ. Επομένως, προκύπτουν οι ακόλουθοι περιορισμοί: x 1 +x 2 5 x 1 +2x 2 6 x 1 +4x 2 10 x 1, x 2 0 (Απ. Βέλτιστη λύση x 1 0 =4 και x 2 0 =1 με maxf=110. Έχει λυθεί στις παραδόσεις του μαθήματος. Βλ. παράδειγμα 2 στο Δ λοιπές εφαρμογές) Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Σελίδα 14

15 Παράδειγμα 3 (ελαχιστοποίηση κόστους) Τα μηχανικά συγκροτήματα Α,Β παράγουν τα προϊόντα Ι, ΙΙ, ΙΙΙ κάτω από τους εξής περιορισμούς: (α) Η ημερήσια παραγωγή του Α σε μονάδες των Ι,ΙΙ,ΙΙΙ είναι 1,3,5 αντίστοιχα. (β) Η ημερήσια παραγωγή του Β σε μονάδες των Ι,ΙΙ,ΙΙΙ είναι 2,2,2 αντίστοιχα. (γ) Για τα Ι,ΙΙ,ΙΙΙ προβλέπονται ζητήσεις τουλάχιστον 80, 160 και 200 μονάδων αντίστοιχα. (δ) Το ημερήσιο κόστος κάθε συγκροτήματος ανέρχεται σε 200 χρηματικές μονάδες. Να κατασκευαστεί το Γ.Π. με στόχο την ελαχιστοποίηση του κόστους. Αν x 1,x 2 είναι αντίστοιχα οι μέρες εργασίας των Α και Β τότε: Προϊόντα Μηχανές Α Β Ζήτηση Προϊόντων Ι 1*x 1 2*x 2 80 ΙΙ 3*x 1 2*x ΙΙΙ 5*x 1 2*x Από τα παραπάνω προκύπτει ότι στις x 1, x 2 μέρες εργασίας των Α,Β αντιστοιχεί συνολικό κόστος 200x x 2 χρηματικών μονάδων. Οι περιορισμοί προκύπτουν ως εξής: Στις μέρες εργασίας x 1, x 2, των Α, Β αντιστοιχεί παραγωγή 1*x 1 +2*x 2 μονάδων του προϊόντος Ι, που δεν πρέπει να είναι λιγότερες από 80. Έτσι προκύπτει η πρώτη ανίσωση των περιορισμών κ.ο.κ. Κατά συνέπεια το Γ.Π. είναι: minf= 200x x 2 όταν x 1 +2x x 1 +2x x 1 +2x x 1, x 2 0 (Απ. Βέλτιστη λύση x 1 0 =40 και x 2 0 =20 με minf= Έχει λυθεί στις παραδόσεις του μαθήματος Βλ. παράδειγμα 3 στο Δ λοιπές εφαρμογές) Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Σελίδα 15

16 Δ. Λοιπές εφαρμογές Γ.Π. Παράδειγμα 1 Να λυθεί το παρακάτω Γ.Π. με τη γραφική μέθοδο. max f= x 1 +x 2. όταν -2x 1 +x 2 1 x 1 +x 2 3 x 1 2 x 1, x 2 0 Οι περιορισμοί ορίζουν το κατώτερο πολύφωνο (ΟΑΒΓΔ) x 2-2x 1 +x 2 =1 3 x 1 =2 Β 1 Α Γ Δυνατές Λύσεις 0 Δ x 1-1/2 2 3 x 1 +x 2 =3 Με Α (0,1), Β (2/3,7/3), Γ (2,1) και Δ (2,0). Εύρεση ευθειών -2x 1 +x 2 =1 Για x 1 =0: x 2 =1 Για x 2 =0: x 1 =-1/2 x 1 +x 2 =3 Για x 1 =0: x 2 =3 Για x 2 =0: x 1 =3 Σημείο Β -2x 1 +x 2 =1 x 1 +x 2 =3 x 1 =2/3, x 2 =7/3 Σημείο Γ x 1 =2 x 1 +x 2 =3 x 1 =2, x 2 =1 Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Σελίδα 16

17 Μέγιστη τιμή Α: f Α =1, Β: f Β =3, Γ: f Γ =3, Β: f Δ =2. Άρα η ζητούμενη μέγιστη τιμή αντιστοιχεί στις κορυφές των Β και Γ. Όμως, την ίδια τιμή δίνει και κάθε σημείο της ΒΓ αφού για αυτά ισχύει x 1 +x 2 =3. Συνεπώς, το Γ.Π. έχει απειρία λύσεων με max f =3. Παράδειγμα 2 Να λυθεί το παρακάτω Γ.Π. με τη γραφική μέθοδο. maxf=20x 1 +30x 2 όταν x 1 +x 2 5 x 1 +2x 2 6 x 1 +4x 2 10 x 1, x 2 0 Οι περιορισμοί (ανισώσεις) ορίζουν το κατώτερο κυρτό πολύγωνο ΟΑΒΓΔ με Α (0, 2.5), Β (2,2), Γ (4,1), Δ (5,0) και Ο (0,0). x ,5A Β Δυνατές Λύσεις Γ x 1 0 Δ x 1 +x 2 =5 x 1 +2x 2 =6 x 1 +4x 2 =10 Στη συνέχεια βρίσκουμε τα σημεία Β και Γ. Σημείο Β x 1 +4x 2 =10 x 1 =2, x 2 =2 x 1 +2x 2 =6 Άρα Β(2,2) Τις ευθείες τις βρίσκουμε θέτοντας κάθε φορά το x 1 =0 και x 2 =0 αντίστοιχα. Στη συνέχεια με δοκιμές καταλήγουμε στον να κρατήσουμε για λύσεις το πολύγωνο ΟΑΒΓΔ. Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Σελίδα 17

18 Σημείο Γ x 1 +2x 2 =6 x 1 =4, x 2 =1 x 1 +x 2 =5 Άρα Γ(4,1) Μέγιστη τιμή Α: f Α =75, Β: f Β =100, Γ: f Γ =110, Δ: f Δ =100. Άρα η ζητούμενη μέγιστη τιμή αντιστοιχεί στην κορυφή Γ με maxf=110 Παράδειγμα 3 Να λυθεί το παρακάτω Γ.Π. με τη γραφική μέθοδο. minf= 200x x 2 όταν x 1 +2x x 1 +2x x 1 +2x x 1, x 2 0 x A 80 B ΔΥΝΑΤΕΣ ΛΥΣΕΙΣ 1.Τις ευθείες τις βρίσκουμε θέτοντας κάθε φορά το x 1 =0 και x 2 =0 αντίστοιχα 2.Το σύνολο των περιορισμών του Γ.Π. δημιουργεί ένα κυρτό σύνολο με ακραία σημεία (Α,Β,Γ,Δ) που δεν μπορούν να είναι εσωτερικά σημεία οποιασδήποτε επιφάνειας. 40 Γ Δ x x 1+2x 2=200 3x 1+2x 2=160 x 1+2x 2=80 Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Σελίδα 18

19 Εύρεση ευθειών x 1 +2x 2 =80 Για x 1 =0 το x 2 =40 Για x 2 =0 το x 1 =80 Ομοίως και οι άλλες ευθείες. Τα ακραία σημεία μετά τις δοκιμές είναι: Α(0,100), Β(20,50), Γ(40,20) και Δ(80,0). Ειδικότερα, τα σημεία Β και Γ τα βρίσκουμε ως εξής: Σημείο Β 5x 1 +2x 2 =200 x 1 =20, x 2 =50 3x 1 +2x 2 =160 Άρα Β(20,50) Σημείο Γ 3x 1 +2x 2 =160 x 1 =40, x 2 =20 x 1 +2x 2 =80 Άρα Γ(40,20) Ελάχιστη τιμή Α: f Α =20.000, Β: f Β =14.000, Γ: f Γ = και Δ: f Δ = Άρα η ζητούμενη ελάχιστη τιμή αντιστοιχεί στην κορυφή Γ με minf= Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Σελίδα 19

20 Ε. ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Κριτήρια για λήψη αποφάσεων σε συνθήκες αβεβαιότητας (i) Κριτήριο ΜΑΧΙΜΙΝ- Η απαισιόδοξη προσέγγιση Προσπαθούμε να μεγιστοποιήσουμε (MAXImize) το μικρότερο (MINimum) σε κάθε περίπτωση. Στην πράξη θεωρούμε το χειρότερο αποτέλεσμα που μπορεί να συμβεί σε κάθε εναλλακτική απόφαση και βέβαια επιλέγουμε εκείνη την εναλλακτική απόφαση που κάτω από τις χειρότερες συνθήκες δίνει τα καλύτερα δυνατά αποτελέσματα. (ii) Κριτήριο ΜΑΧΙΜAX- Η αισιόδοξη προσέγγιση Προσπαθούμε να μεγιστοποιήσουμε (MAXImize) το μεγαλύτερο (ΜΑΧimum) σε κάθε περίπτωση. Παράδειγμα Δίνεται ο παρακάτω πίνακας κερδών/ζημιών ( ). Με βάση τα κριτήρια για τη λήψη αποφάσεων σε συνθήκες αβεβαιότητας να αποφασίσετε το ύψος της παραγωγής. Απόφαση Ύψος Παραγωγής Ζήτηση Κριτήριο απόφασης 1τν. 2τν. 3τν. ΜΑΧΙΜΙΝ ΜΑΧΙΜAX Ι. Παραγωγή 1 τν (maximin) ΙΙ. Παραγωγή 2 τν ΙΙΙ. Παραγωγή 3 τν (maximax) Απάντηση: Με το MAXIMIN θα επιλεγεί παραγωγή ύψους 1 τν. και με το MAXIMAX θα επιλεγεί παραγωγή 3 τν. Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Σελίδα 20

Περιεχόμενα Πρόλογος 5ης αναθεωρημένης έκδοσης ΚΕΦΆΛΆΙΟ 1 Ο ρόλος της επιχειρησιακής έρευνας στη λήψη αποφάσεων ΚΕΦΆΛΆΙΟ 2.

Περιεχόμενα Πρόλογος 5ης αναθεωρημένης έκδοσης ΚΕΦΆΛΆΙΟ 1 Ο ρόλος της επιχειρησιακής έρευνας στη λήψη αποφάσεων ΚΕΦΆΛΆΙΟ 2. Περιεχόμενα Πρόλογος 5ης αναθεωρημένης έκδοσης... 11 Λίγα λόγια για βιβλίο... 11 Σε ποιους απευθύνεται... 12 Τι αλλάζει στην 5η αναθεωρημένη έκδοση... 12 Το βιβλίο ως διδακτικό εγχειρίδιο... 14 Ευχαριστίες...

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Νίκος Λαγαρός

Διδάσκων: Νίκος Λαγαρός ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ 4 η Σειρά Ασκήσεων του Μαθήματος «ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ» Διδάσκων: Νίκος Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες Χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING)

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ιδάσκων:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ )

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Μια εταιρεία ταχυμεταφορών διατηρεί μια αποθήκη εισερχομένων. Τα δέματα φθάνουν με βάση τη διαδικασία Poion με μέσο ρυθμό 40 δέματα ανά ώρα. Ένας υπάλληλος

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ 2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ο Συγκεντρωτικός Προγραμματισμός Παραγωγής (Aggregae Produion Planning) επικεντρώνεται: α) στον προσδιορισμό των ποσοτήτων ανά κατηγορία προϊόντων και ανά χρονική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Ένα πολυσταδιακό πρόβλημα που αφορά στον τριμηνιαίο προγραμματισμό για μία βιομηχανική επιχείρηση παραγωγής ελαστικών (οχημάτων) Γενικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο Διδάσκων: Ι. Κολέτσος Κανονική Εξέταση 2007 ΘΕΜΑ 1 Διαιτολόγος προετοιμάζει ένα μενού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΑΝΟΥΡΓΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΔΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ 1. Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Operations Management Διοίκηση Λειτουργιών

Operations Management Διοίκηση Λειτουργιών Operations Management Διοίκηση Λειτουργιών Διδάσκων: Δρ. Χρήστος Ε. Γεωργίου xgr@otenet.gr 3 η εβδομάδα μαθημάτων 1 Το περιεχόμενο της σημερινής ημέρας Συστήµατα προγραµµατισµού, ελέγχου και διαχείρισης

Διαβάστε περισσότερα

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ( Linear Programming ) Ο Γραμμικός Προγραμματισμός είναι μια τεχνική που επιτρέπει την κατανομή των περιορισμένων πόρων μιας επιχείρησης με τον πιο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός

Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός 5.1 Εισαγωγή Ο ακέραιος προγραμματισμός ασχολείται με προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού στα οποία μερικές ή όλες οι μεταβλητές είναι ακέραιες. Ένα γενικό πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Δ.Α.Π. Ν.Δ.Φ.Κ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΕΙΡΑΙΩΣ www.dap-papei.gr ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 ΑΣΚΗΣΗ 1 Η FASHION Α.Ε είναι μια από

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΔΙΑΧΕΙΡΗΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 7η

ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΔΙΑΧΕΙΡΗΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 7η ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΔΙΑΧΕΙΡΗΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 7η ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΑΝΟΥΡΓΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ Τι ορίζεται ως απόθεμα;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

7. Η ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΣΤΑΣΙΟΥ

7. Η ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΣΤΑΣΙΟΥ 7. Η ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΣΤΑΣΙΟΥ Για να αναπτυχθούν οι βασικές έννοιες της δυναμικής του εργοστασίου εισάγουμε εδώ ορισμένους όρους πέραν αυτών που έχουν ήδη αναφερθεί σε προηγούμενα Κεφάλαια π.χ. είδος,

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HECKSCHER-OHLIN

3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HECKSCHER-OHLIN 3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HESHER-OHIN Υπάρχουν δύο συντελεστές παραγωγής, το κεφάλαιο και η εργασία τους οποίους χρησιμοποιεί η επιχείρηση για να παράγει προϊόν Y μέσω μιας συνάρτησης παραγωγής

Διαβάστε περισσότερα

Νεκρό σημείο είναι το ποσό εκείνο των πωλήσεων με το οποίο μια επιχείρηση καλύπτει ακριβώς τόσο τα σταθερά όσο και τα μεταβλητά της έξοδα χωρίς να

Νεκρό σημείο είναι το ποσό εκείνο των πωλήσεων με το οποίο μια επιχείρηση καλύπτει ακριβώς τόσο τα σταθερά όσο και τα μεταβλητά της έξοδα χωρίς να Νεκρό σημείο είναι το ποσό εκείνο των πωλήσεων με το οποίο μια επιχείρηση καλύπτει ακριβώς τόσο τα σταθερά όσο και τα μεταβλητά της έξοδα χωρίς να πραγματοποιεί κέρδος ή ζημιά. Η βασική αρχή πάνω στην

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΟΥΜΙΝΙΟ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ

ΑΛΟΥΜΙΝΙΟ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ Μια εταιρεία αλουμινίου έχει αποθέματα βωξίτη στην περιοχή G, στην S και στην A. Επίσης, υπάρχουν εργοστάσια μετάλλου, όπου ο βωξίτης

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 0-0 Δεύτερη Γραπτή Εργασία Επιχειρησιακά Μαθηματικά Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5: Στρατηγική χωροταξικής διάταξης

Κεφάλαιο 5: Στρατηγική χωροταξικής διάταξης K.5.1 Γραμμή Παραγωγής Μια γραμμή παραγωγής θεωρείται μια διάταξη με επίκεντρο το προϊόν, όπου μια σειρά από σταθμούς εργασίας μπαίνουν σε σειρά με στόχο ο κάθε ένας από αυτούς να κάνει μια ή περισσότερες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ I ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ I ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ I ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Λέκτορας Ι. Γιαννατσής Καθηγητής Π. Φωτήλας ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ Οικονομική Επιστήμη: Η κοινωνική επιστήμη που ερευνά την οικονομική δραστηριότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ ( 210.38.22.157 495 www.arnos.gr e-mail : info@arnos.gr ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΟΙΤΗΤΩΝ Α.Ε.Ι. Α.Τ.Ε.Ι. Ε.Α.Π. Ε.Μ.Π.

ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ ( 210.38.22.157 495 www.arnos.gr e-mail : info@arnos.gr ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΟΙΤΗΤΩΝ Α.Ε.Ι. Α.Τ.Ε.Ι. Ε.Α.Π. Ε.Μ.Π. ΙΣΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Έννοια του ισολογισμού Ο ισολογισμός απεικονίζει τη χρηματοοικονομική κατάσταση της επιχείρησης μια δεδομένη χρονική στιγμή. Η χρηματοοικονομική κατάσταση μιας επιχείρησης αποτελείται από εξής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Κεφάλαιο 5 ο : Ο Προσδιορισμός των Τιμών ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΝΙΚΟΣ Χ. ΤΖΟΥΜΑΚΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ Ασκήσεις 1. Οι συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς ενός αγαθού είναι: =20-2P και S =5+3P αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1)

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Το εσωτερικό ποσοστό απόδοσης (internal rate of return) ως κριτήριο αξιολόγησης επενδύσεων Προβλήµατα προκύπτουν όταν υπάρχουν επενδυτικές ευκαιρίες

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

10. Η επιδίωξη της μέγιστης χρησιμότητας αποτελεί βασικό χαρακτηριστικό της συμπεριφοράς του καταναλωτή στη ζήτηση αγαθών.

10. Η επιδίωξη της μέγιστης χρησιμότητας αποτελεί βασικό χαρακτηριστικό της συμπεριφοράς του καταναλωτή στη ζήτηση αγαθών. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 : Η ΖΗΤΗΣΗ Να σημειώσετε το σωστό ή το λάθος στο τέλος των προτάσεων: 1. Όταν η ζήτηση ενός αγαθού είναι ελαστική, η συνολική δαπάνη των καταναλωτών για το αγαθό αυτό μειώνεται καθώς αυξάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Στο παρόν είναι συγκεντρωµένες όλες σχεδόν οι ερωτήσεις κλειστού τύπου που

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Η επιστήμη που ασχολείται με τη βελτιστοποίηση της απόδοσης ενός συστήματος.

Η επιστήμη που ασχολείται με τη βελτιστοποίηση της απόδοσης ενός συστήματος. Τι είναι Επιχειρησιακή Έρευνα (Operations Research); Η επιστήμη που ασχολείται με τη βελτιστοποίηση της απόδοσης ενός συστήματος. Το σύνολο των τεχνικών (μαθηματικά μοντέλα) οι οποίες δημιουργούν μια ποσοτική

Διαβάστε περισσότερα

Κ.Ε. Κιουλάφας Επιχειρησιακός Ερευνητής Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών

Κ.Ε. Κιουλάφας Επιχειρησιακός Ερευνητής Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών ΕΘΝΙΚΟ & ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΔΠΜΣ Οικονομική & Διοίκηση Τηλεπικοινωνιακών Δικτύων Κ.Ε. Κιουλάφας Επιχειρησιακός Ερευνητής Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Αθήνα, 2007 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΕΛΕΓΧΟΥ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Η άριστη ποσότητα παραγγελίας υπολογίζεται άμεσα από τη κλασική σχέση (5.5): = 1000 μονάδες

Η άριστη ποσότητα παραγγελίας υπολογίζεται άμεσα από τη κλασική σχέση (5.5): = 1000 μονάδες ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Η ετήσια ζήτηση ενός σημαντικού εξαρτήματος που χρησιμοποιείται στη μνήμη υπολογιστών desktops εκτιμήθηκε σε 10.000 τεμάχια. Η αξία κάθε μονάδας είναι 8, το κόστος παραγγελίας κάθε παρτίδας

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση και Διοίκηση Πωλήσεων

Οργάνωση και Διοίκηση Πωλήσεων Οργάνωση και Διοίκηση Πωλήσεων Ενότητα 4: Η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΠΩΛΗΣΕΩΝ Αθανασιάδης Αναστάσιος Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και Οικονομία Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ ΠΡΟΙΌΝΤΩΝ ΞΥΛΟΥ ΚΑΙ ΕΠΙΠΛΟΥ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ

ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ ΠΡΟΙΌΝΤΩΝ ΞΥΛΟΥ ΚΑΙ ΕΠΙΠΛΟΥ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΟΥ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ ΠΡΟΙΌΝΤΩΝ ΞΥΛΟΥ ΚΑΙ ΕΠΙΠΛΟΥ Έρευνα μάρκετινγκ Τιμολόγηση Ανάπτυξη νέων προϊόντων ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Τμηματοποίηση της αγοράς Κανάλια

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ. Κωδικός: Δ2-02-Ε-03

ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ. Κωδικός: Δ2-02-Ε-03 ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Κωδικός: Δ2-02-Ε-03 Έκδοση 01 9/1/2009 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΘΡΟ: Επισκεφθείτε το Management Portal της Specisoft:

ΑΡΘΡΟ: Επισκεφθείτε το Management Portal της Specisoft: Specisoft ΑΡΘΡΟ: Επισκεφθείτε το Management Portal της Specisoft: NPV & IRR: Αξιολόγηση & Ιεράρχηση Επενδυτικών Αποφάσεων Από Αβραάμ Σεκέρογλου, Οικονομολόγo, Συνεργάτη της Specisoft Επισκεφθείτε το Management

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά σημεία διάλεξης. λογιστική. Χρηματοοικονομική λογιστική (ΧΛ) ιοικητική Λογιστική. Λογιστική και Χρηματοοικονομική (Π.Μ.Σ.)

Βασικά σημεία διάλεξης. λογιστική. Χρηματοοικονομική λογιστική (ΧΛ) ιοικητική Λογιστική. Λογιστική και Χρηματοοικονομική (Π.Μ.Σ.) Λογιστική και Χρηματοοικονομική (Π.Μ.Σ.) ιοικητική Λογιστική Εισαγωγή στη διοικητική λογιστική Βασικά σημεία διάλεξης Τι είναι η διοικητική λογιστική Ο ρόλος του διοικητικού ού λογιστή Χρηματοοικονομική

Διαβάστε περισσότερα

Α2. Α3. ΟΜΑΔΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΑ Β1 28 29 Η

Α2. Α3. ΟΜΑΔΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΑ Β1 28 29 Η ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΕΜΠΤΗ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΓΙΑ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΟΜΑΔΑ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΩΝ ΑΓΑΘΩΝ

Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΩΝ ΑΓΑΘΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΕΤΑΡΤΟ Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΩΝ ΑΓΑΘΩΝ 1. Εισαγωγή Όπως έχουμε τονίσει, η κατανόηση του τρόπου με τον οποίο προσδιορίζεται η τιμή ενός αγαθού απαιτεί κατανόηση των δύο δυνάμεων της αγοράς, δηλαδή της ζήτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ ιδάσκων:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I.

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I. ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I. Γενικά Σε μαθήματα όπως η επιχειρησιακή έρευνα και ή λήψη αποφάσεων αναφέραμε τις αποφάσεις κάτω από συνθήκες βεβαιότητας, στις οποίες και εφαρμόζονται κυρίως οι τεχνικές της επιχειρησιακής

Διαβάστε περισσότερα

Προσφορά Εργασίας Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας ( Χ,Α συνάρτηση χρησιμότητας U(X,A)

Προσφορά Εργασίας Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας ( Χ,Α συνάρτηση χρησιμότητας U(X,A) Προσφορά Εργασίας - Έστω ότι υπάρχουν δύο αγαθά Α και Χ στην οικονομία. Το αγαθό Α παριστάνει τα διάφορα καταναλωτικά αγαθά. Το αγαθό Χ παριστάνει τον ελεύθερο χρόνο. Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Α.1. Κάθε οικονομία παράγει πάντοτε τους συνδυασμούς των προϊόντων που βρίσκονται πάνω στην καμπύλη των παραγωγικών της δυνατοτήτων.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Α.1. Κάθε οικονομία παράγει πάντοτε τους συνδυασμούς των προϊόντων που βρίσκονται πάνω στην καμπύλη των παραγωγικών της δυνατοτήτων. ΟΜΑΔΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Στις παρακάτω προτάσεις, από Α.1 μέχρι και Α.5 να γράψετε τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα του την ένδειξη: Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. Α.1.

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΟΜΕΙΣ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΕΝΟΣ BUSINESS PLAN. Εισαγωγή

ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΟΜΕΙΣ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΕΝΟΣ BUSINESS PLAN. Εισαγωγή ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΟΜΕΙΣ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΕΝΟΣ BUSINESS PLAN Εισαγωγή Η κατάρτιση ενός Επιχειρηματικού Σχεδίου αποτελεί ένα εργαλείο στο οποίο καταγράφεται ουσιαστικά το «Πλάνο Δράσης» της επιχείρησης, τα βήματα που θα

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2008

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2008 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2008 Μάθηµα: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Ηµεροµηνία και ώρα εξέτασης: ευτέρα 9 Ιουνίου 2008 7:30-10:00

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων:

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Φάμπιο Αντωνίου Στοιχεία Επικοινωνίας: email: fantoniou@cc.uoi.gr Τηλ:651005954 Προσωπική Ιστοσελίδα: fantoniou.wordpress.com Γραφείο: Κτίριο

Διαβάστε περισσότερα

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

Συγκέντρωση Κόστους Παραγωγής Προϊόντων

Συγκέντρωση Κόστους Παραγωγής Προϊόντων Συγκέντρωση Κόστους Παραγωγής Προϊόντων I ενότητa Άσκηση 4: Οι παρακάτω δαπάνες πραγματοποιήθηκαν από την επιχείρηση ΑΘΗΝΑ ΑΕ το 2002. Άμεση Εργασία 10.000.000 Άμεσα Υλικά 7.500.000 Αμοιβές Μηχ/κού Παραγωγής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ Α ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ' ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 26 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΔΡΩΝΤΕΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ

ΕΠΙΔΡΩΝΤΕΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Η ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΟΥ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Το Μάρκετινγκ αποτελεί μια βασική επιχειρηματική λειτουργία που έχει στόχο την ανάπτυξη, την οργάνωση και των έλεγχο ανταλλακτικών διαδικασιών μεταξύ της επιχείρησης και των

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο Εισαγωγή στην Οικονομική της Διοίκησης

Κεφ. Ιο Εισαγωγή στην Οικονομική της Διοίκησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφ. Ιο Εισαγωγή στην Οικονομική της Διοίκησης 1.1. Τι είναι η Οικονομική της Διοίκησης 1.2. Τι παρέχει η οικονομική θεωρία στην Οικονομική της Διοίκησης 1.3. Οι σχέσεις της οικονομικής της

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία ΔΕΟ 11. www.arnos.gr www.oktonia.com www.uni-learn.gr

Εργασία ΔΕΟ 11. www.arnos.gr www.oktonia.com www.uni-learn.gr Εργασία ΔΕΟ 11 1.1 Προγραμματισμός είναι η λειτουργία του προσδιορισμού των αντικειμενικών στόχων ενός οικονομικού οργανισμού και των μέσων που απαιτούνται για την υλοποίησή τους. Ενώ ο σχεδιασμός αφορά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

1. Κατανομή πόρων σε συνθήκες στατικής αποτελεσματικότητας

1. Κατανομή πόρων σε συνθήκες στατικής αποτελεσματικότητας Εφαρμογές Θεωρίας 1. Κατανομή πόρων σε συνθήκες στατικής αποτελεσματικότητας Έστω ότι η συνάρτηση ζήτησης για την κατανάλωση του νερού ενός φράγματος (εκφρασμένη σε ευρώ) είναι q = 12-P και το οριακό κόστος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

Σε βιομηχανικό περιβάλλον η αποθεματοποίηση γίνεται στις εξής μορφές

Σε βιομηχανικό περιβάλλον η αποθεματοποίηση γίνεται στις εξής μορφές 3. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΟΣ 3. Τι Είναι Απόθεμα Σε βιομηχανικό περιβάλλον η αποθεματοποίηση γίνεται στις εξής μορφές. Απόθεμα Α, Β υλών και υλικών συσκευασίας: Είναι το απόθεμα των υλικών που χρησιμοποιούνται

Διαβάστε περισσότερα

1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions

1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Συμπληρωματικές σημειώσεις για τον μηχανισμό VCG 1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 2: Τεχνικές Μοντελοποίησης, Εφαρμογές Μοντελοποίησης Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

1.1. ΟΜΑΔΑ Α. Στις παρακάτω ερωτήσεις να σημειώσετε το χαρακτηρισμό Σ (σωστό) ή Λ (λάθος).

1.1. ΟΜΑΔΑ Α. Στις παρακάτω ερωτήσεις να σημειώσετε το χαρακτηρισμό Σ (σωστό) ή Λ (λάθος). ΑΘ. ΧΑΡΙΤΩΝΙΔΗΣ : ΑΟΘ για ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 1.1. ΟΜΑΔΑ Α 1.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ Στις παρακάτω ερωτήσεις να σημειώσετε το χαρακτηρισμό Σ (σωστό) ή Λ (λάθος).

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 7: Εισαγωγή στη Θεωρία Αποφάσεων Δέντρα Αποφάσεων

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 7: Εισαγωγή στη Θεωρία Αποφάσεων Δέντρα Αποφάσεων Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 7: Εισαγωγή στη Θεωρία Αποφάσεων Δέντρα Αποφάσεων Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ... 11. Κεφάλαιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: BΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ... 29

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ... 11. Κεφάλαιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: BΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ... 29 Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα βελτιστοποίησης Γραμμικά προγράμματα Ακέραια προγράμματα Τετραγωνικά προγράμματα Διατύπωση προβλήματος Σύμβαση λύσης Κεφάλαιο ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y)

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y) 11.7. Aκρότατα και σαγματικά σημεία 903 39. Εκτίμηση μέγιστου σφάλματος Έστω ότι u e sin και ότι τα,, και μπορούν να μετρηθούν με μέγιστα δυνατά σφάλματα 0,, 0,6, και / 180, αντίστοιχα. Εκτιμήστε το μέγιστο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Έννοιες και Ορισμοί

Κεφάλαιο 2: Έννοιες και Ορισμοί ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΟΛΙΚΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 Κεφάλαιο 2: Έννοιες και Ορισμοί Η επιτυχία των επιχειρήσεων βασίζεται στην ικανοποίηση των απαιτήσεων των πελατών για: - Ποιοτικά και αξιόπιστα προϊόντα - Ποιοτικές

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Ζήτηση εργασίας στο βραχυχρόνιο διάστημα - Ανταγωνιστικές αγορές

4.1 Ζήτηση εργασίας στο βραχυχρόνιο διάστημα - Ανταγωνιστικές αγορές 4. ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΓΟΡΑΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ). ΖΗΤΗΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Η ζήτηση εργασίας στο σύνολο της οικονομίας ορίζεται ως ο αριθμός εργαζομένων που οι επιχειρήσεις επιθυμούν να απασχολούν

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Α) Κριτήριο Προσδοκώμενης Χρηματικής Αξίας Expected Monetary Value (EMV)

Α) Κριτήριο Προσδοκώμενης Χρηματικής Αξίας Expected Monetary Value (EMV) 5. ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (Decision Analysis) Επιχειρήσεις, Οργανισμοί αλλά και μεμονωμένα άτομα αντιμετωπίζουν σχεδόν καθημερινά το δύσκολο πρόβλημα της λήψης αποφάσεων. Τα προβλήματα αυτά έχουν σαν αντικειμενικό

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών

Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών Διαχείριση Αποθεμάτων Βασικές Αρχές και Κατηγοριοποιήσεις Γιώργος Ιωάννου, Ph.D. Αναπληρωτής Καθηγητής Σύνοψη διάλεξης Ορισμός αποθεμάτων Κατηγορίες αποθεμάτων Λόγοι πίεσης

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # 5: Ασκήσεις Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015

Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015 MACROWEB Προβλήματα Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015 Παραδείγματα Προβλημάτων. Πως ορίζεται η έννοια πρόβλημα; Από ποιους παράγοντες εξαρτάται η κατανόηση ενός προβλήματος; Τι εννοούμε λέγοντας χώρο ενός προβλήματος;

Διαβάστε περισσότερα