Θεωρία Τελεστών Σημειώσεις Αριστείδης Κατάβο λος1 Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών telmasu, 11 Ιουνίου 2016

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θεωρία Τελεστών Σημειώσεις Αριστείδης Κατάβο λος1 Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών telmasu, 11 Ιουνίου 2016"

Transcript

1 Θεωρία Τελεστών Σημειώσεις Αριστείδης Κατάβολος 1 Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών telmasu, 11 Ιουνίου 2016

2

3 Περιεχόμενα 1 Χώροι με νόρμα, χώροι Hilbert Χώροι με νόρμα και τελεστές Χώροι Hilbert Παραδείγματα 6 3 Ειδικές κατηγορίες τελεστών σ ένα χώρο Hilbert Sesquilinear μορφές και ο συζυγής ενός τελεστή Κατηγορίες τελεστών Αναλλοίωτοι υπόχωροι 19 5 Το Φασματικό Θεώρημα: Εισαγωγή Σε χώρους πεπερασμένης διάστασης Επέκταση σε απειροδιάστατους χώρους Το Φάσμα Παράδειγμα: Πολλαπλασιαστικοί τελεστές Το φάσμα σε άλγεβρες Banach Το φάσμα ενός τελεστή Παράρτημα: Μελέτη του φάσματος Το φάσμα αυτοσυζυγούς τελεστή Συνεχείς συναρτήσεις αυτοσυζυγούς τελεστή Ο συναρτησιακός λογισμός Η τετραγωνική ρίζα αυτοσυζυγούς τελεστή Η πολική αναπαράσταση i

4 8 Το φασματικό θεώρημα για αυτοσυζυγείς τελεστές Παράρτημα: Γενική απόδειξη του Θεωρήματος Το Φασματικό Θεώρημα: Δεύτερη μορφή Εισαγωγή Ολοκλήρωση ως προς φασματικό μέτρο Φασματικά μέτρα Ολοκλήρωση Μέτρα και Αναπαραστάσεις Παράρτημα: Εναλλακτική προσέγγιση στο Θεώρημα Το Φασματικό Θεώρημα Συνεχείς συναρτήσεις ενός φυσιολογικού τελεστή Το Φασματικό Θεώρημα για φυσιολογικούς τελεστές Επέκταση του συναρτησιακού λογισμού Τοπολογίες στον B(H) Η ισχυρή τοπολογία τελεστών (SOT) Η ασθενής τοπολογία τελεστών (WOT) Ο B(H) ως δυϊκός χώρος Banach. Η ασθενής* τοπολογία Αβελιανές Άλγεβρες von Neumann Άλγεβρες von Neumann Κάθε masa είναι πολλαπλασιαστική άλγεβρα Βιβλιογραφία 123 ii

5 1 Χώροι με νόρμα, χώροι Hilbert Στις σημειώσεις αυτές, όλοι οι γραμμικοί χώροι θα είναι μιγαδικοί, εκτός αν αναφέρεται ρητά κάτι διαφορετικό. 1.1 Χώροι με νόρμα και τελεστές Παραθέτουμε συμβολισμούς, ορισμούς και αποτελέσματα που θα χρησιμεύσουν στη συνέχεια. Ορισμός 1.1 Εστω X μιγαδικός γραμμικός χώρος. Μία νόρμα στον X είναι μια απεικόνιση : X R + : x x που ικανοποιεί (1) x + y x + y (x, y X ) (2) λx = λ x (x X, λ C) (3) x = 0 x = 0 Ενας χώρος με νόρμα (X,. ) λέγεται χώρος Banach αν είναι πλήρης ως προς την μετρική d(x, y) = x y που ορίζει η νόρμα. Θεώρημα 1.1 Αν (X,. X ) και (Y,. Y ) είναι χώροι με νόρμα και T :(X,. X ) (Y,. Y ) είναι γραμμική απεικόνιση, τα εξής είναι ισοδύναμα: (α) Η T είναι συνεχής. (β) Η T είναι συνεχής στο 0 X. (γ) Η T είναι συνεχής σε κάποιο σημείο x o X. (δ) Υπάρχει M < ώστε T x Y M x X για κάθε x X. (ε) Ο περιορισμός της T στην μοναδιαία σφαίρα του X είναι φραγμένη συνάρτηση, δηλαδή το σύνολο { T x Y : x X 1} είναι φραγμένο. (στ) Η T είναι ομοιόμορφα συνεχής. Παρατήρηση 1.2 Αν T : (X,. X ) (Y,. Y ) είναι γραμμική και T 0, τότε το σύνολο { T x Y : x X } δεν είναι ποτέ φραγμένο. 1

6 Ορισμός 1.2 Μία γραμμική απεικόνιση T : (X,. X ) (Y,. Y ) λέγεται φραγμένη ή φραγμένος τελεστής αν ο περιορισμός της T στην μοναδιαία σφαίρα του X είναι φραγμένη συνάρτηση. Ο αριθμός ονομάζεται νόρμα του T. T = sup{ T x Y : x X 1} Πρόταση 1.3 Εστω T : (X,. X ) (Y,. Y ) φραγμένος τελεστής. Τότε T = sup{ T x : x X, x = 1} = T x sup{ x : x X, x 0} = inf{m > 0 : T x M x για κάθε x X } και ισχύει T x T x για κάθε x X. Πρόταση 1.4 Εστω (X,. ) χώρος με νόρμα, D X πυκνός υπόχωρος και (Y,. ) χώρος Banach. Αν T : D Y είναι γραμμική απεικόνιση, τότε η T δέχεται συνεχή επέκταση T : X Y αν και μόνον αν η T είναι συνεχής. Η συνεχής επέκταση, αν υπάρχει, είναι μοναδική, και T = T. Ορισμός 1.3 Αν (X,. X ), (Y,. Y ) είναι χώροι με νόρμα, το σύνολο των γραμμικών και φραγμένων απεικονίσεων T : X Y συμβολίζεται B(X, Y). Γράφουμε B(X ) αντί για B(X, X ). Ειδικότερα το σύνολο B(X, C) συμβολίζεται X και ονομάζεται ο (τοπολογικός) δυϊκός του X. Αν εφοδιάσουμε το σύνολο B(X, Y) με τις πράξεις κατά σημείο, δηλαδή αν ορίσουμε, για T, S B(X, Y) και λ C (T + S)(x) = T (x) + S(x) και (λt )(x) = λt (x) (x X ) τότε ο B(X, Y) γίνεται γραμμικός χώρος. Επίσης, η απεικόνιση. : B(X, Y) R + : T T όπου T = sup{ T x Y : x X 1} (πρβλ. τον ορισμό 1.2) είναι νόρμα στον B(X, Y). 2

7 Θεώρημα 1.5 (Hahn - Banach, αναλυτική μορφή) Εστω (X,. ) χώρος με νόρμα και Y γραμμικός υπόχωρος του X. Αν y : Y C είναι συνεχής γραμμική μορφή (δηλ. y Y ), τότε υπάρχει x : X C συνεχής γραμμική μορφή (δηλ. x X ) με την ίδια νόρμα (δηλ. x = y ) που επεκτείνει την y (δηλ. x Y = y ). Θεώρημα 1.6 (Αρχή Ομοιομόρφου φράγματος) Εστω X χώρος Banach, Y χώρος με νόρμα και T B(X, Y) οικογένεια φραγμένων τελεστών. Αν η T είναι κατά σημείο φραγμένη, τότε είναι ομοιόμορφα φραγμένη. Θεώρημα 1.7 (Banach - Steinhaus) Εστω X χώρος Banach, Y χώρος με νόρμα και {T n : n N} B(X, Y) ακολουθία φραγμένων τελεστών. Αν για κάθε x X το όριο της ακολουθίας (T n (x)) υπάρχει στον Y, τότε υπάρχει φραγμένος γραμμικός τελεστής T : X Y ώστε T (x) = lim n T n (x) για κάθε x X. Παρατήρηση Εστω X, Y χώροι με νόρμα, και T : X Y γραμμική απεικόνιση. Αν η T είναι ανοικτή, τότε είναι επί του Y. Θεώρημα 1.8 (Ανοικτής Απεικόνισης) Εστω X, Y χώροι Banach και T : X Y γραμμική, συνεχής και επί. Τότε η T είναι ανοικτή. Θεώρημα 1.9 (Κλειστού Γραφήματος) Εστω X, Y χώροι Banach και T : X Y γραμμική. Αν το γράφημα Gr(T ) {(x, T x) X Y : x X } είναι κλειστό στον χώρο X Y, τότε η T είναι συνεχής. Πρόταση 1.10 Αν ο Y είναι χώρος Banach, τότε και ο B(X, Y) είναι χώρος Banach. Οταν X = Y, τότε ορίζεται η σύνθεση απεικονίσεων : AB = A B, (όπου A, B B(X )). Ο τελεστής AB είναι φραγμένος και μάλιστα ισχύει η ανισότητα AB A B. Ορισμός 1.4 Άλγεβρα Banach λέγεται μια (προσεταιριστική, μιγαδική) άλγεβρα A που είναι χώρος Banach ως προς μια νόρμα που ικανοποιεί AB A B για κάθε A, B A. 3

8 Αν ο X είναι χώρος Banach, τότε ο χώρος B(X ) είναι άλγεβρα Banach με γινόμενο την σύνθεση απεικονίσεων. Η άλγεβρα B(X ) δεν είναι ποτέ μεταθετική, αν dim X > 1. Πράγματι, αν υπάρχουν n γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα x 1, x 2,..., x n στον X, από το Θεώρημα Hahn-Banach μπορούμε να βρούμε x k X ώστε 2 x i (x j ) = δ ij. Τότε αν E i,j είναι ο τελεστής E i,j (x) = x j(x)x i, έχουμε E 1,1 E 1,2 = E 1,2 ενώ E 1,2 E 1,1 = 0. Μάλιστα η B(X ) περιέχει (αλγεβρικά) την άλγεβρα M n (C) των n n πινάκων. Πράγματι, ο τελεστής E i,j αντιστοιχεί στον n n πίνακα που έχει μονάδα στην θέση (i, j) και 0 παντού αλλού. Ελέγχεται εύκολα ότι η απεικόνιση (a i,j ) i,j a i,je i,j είναι 1-1 μορφισμός αλγεβρών M n (C) B(X ). 1.2 Χώροι Hilbert Ορισμός 1.5 Εστω H μιγαδικός γραμμικός χώρος. Ενα εσωτερικό γινόμενο στον H είναι μια απεικόνιση με τις ιδιότητες (i) x, x 0.,. : H H C (ii) x, x = 0 x = 0 (iii) x, y = y, x (iv) x 1 + λx 2, y = x 1, y + λ x 2, y για κάθε x, x 1, x 2, y H και λ C. Τότε η απεικόνιση είναι νόρμα στον H.. : H R + : x x = x, x Ενας χώρος με εσωτερικό γινόμενο λέγεται χώρος Hilbert αν είναι πλήρης ως προς την νόρμα που ορίζει το εσωτερικό γινόμενο. Δύο στοιχεία x, y H σ έναν χώρο με εσωτερικό γινόμενο λέγονται κάθετα αν x, y = 0. Αν A H, το σύνολο A = {x H : x, y = 0 για κάθε y A} 2 δ ij = 1 όταν i = j και δ ij = 0 όταν i j. 4

9 είναι πάντα κλειστός υπόχωρος του H. Θεώρημα 1.11 Εστω H χώρος Hilbert και M κλειστός γνήσιος υπόχωρος του H. Τότε M {0}, και ισχύει M M = H. Επομένως κάθε x H γράφεται κατά μοναδικό τρόπο x = P M (x) + P M (x) όπου P M (x) M και P M (x) M, και ισχύει x 2 = P M (x) 2 + P M (x) 2 λόγω του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Επομένως P M (x) 2 x 2. Η απεικόνιση P M : H H λέγεται η ορθή προβολή επί του M. Είναι καλά ορισμένη, γραμμική και συνεχής. Μάλιστα P M = 1 όταν M {0}. Ορισμός 1.6 Μία οικογένεια {e i : i I} H λέγεται ορθοκανονική αν e i, e j = δ ij. Αν επιπλέον η κλειστή γραμμική θήκη [e i : i I] είναι όλος ο χώρος H, τότε η οικογένεια λέγεται ορθοκανονική βάση του H (μια ορθοκανονική βάση συνήθως δεν είναι βάση με την αλγεβρική έννοια). Θεώρημα 1.12 Κάθε χώρος Hilbert έχει μία ορθοκανονική βάση, η οποία είναι αριθμήσιμη αν και μόνον αν ο χώρος είναι διαχωρίσιμος. Αν {e i : i I} είναι ορθοκανονική βάση του χώρου Hilbert H, τότε κάθε x H γράφεται μοναδικά x = i I x, e i e i και ισχύει x 2 = i I x, e i 2 Το άθροισμα των σειρών αυτών είναι εξ ορισμού το όριο του δικτύου των μερικών αθροισμάτων. Στην διαχωρίσιμη περίπτωση, λόγω της καθετότητας των όρων ο ορισμός αυτός ταυτίζεται με τον συνηθισμένο. 5

10 Επομένως η επιλογή μιας ορθοκανονικής βάσης {e i : i I} ορίζει μια γραμμική ισομετρική απεικόνιση η οποία είναι επί του l 2 (I). U : H l 2 (I) : x ( x, e i ) i I Θεώρημα 1.13 (Riesz) Εστω H χώρος Hilbert. Για κάθε συνεχή γραμμική μορφή f : H C υπάρχει μοναδικό x H ώστε f(y) = y, x για κάθε y H, και f = x. Επομένως ο τοπολογικός δυϊκός ενός χώρου Hilbert H είναι αντιγραμμικά ισόμορφος με τον H. 2 Παραδείγματα Παράδειγμα 2.1 (Διαγώνιοι τελεστές) Εστω a = (a n ) l. Αν x = (x n ) l 2 θέτουμε D a (x) = (a n x n ). Τότε ο D a είναι καλά ορισμένος γραμμικός τελεστής από τον l 2 στον εαυτό του και D a = a. Άσκηση 2.2 Εστω a = (a n ) ακολουθία αριθμών. Δείξτε ότι D a (l 2 ) (l 2 ) αν και μόνον αν a l. Παράδειγμα 2.3 (Ο τελεστής της μετατόπισης (shift) ) Εστω x = (x n ) l 2. Θέτουμε S(x 1, x 2,...) = (0, x 1, x 2,...) και T (x 1, x 2,...) = (x 2, x 3,...). Οι S και T είναι καλά ορισμένοι φραγμένοι γραμμικοί τελεστές από τον l 2 στον εαυτό του. Η νόρμα T είναι 1 και ο S είναι ισομετρία. Ο S είναι 1-1, αλλά δεν είναι επί, και ο T είναι επί, αλλά δεν είναι 1-1. Η σύνθεση T S είναι η ταυτοτική απεικόνιση I, αλλά S T I. Κάθε φραγμένος τελεστής A B(l 2 ) ορίζει έναν πίνακα (a ij ) με μιγαδικούς συντελεστές από την σχέση a ij = Ae j, e i 6

11 όπου {e n : n N} η συνηθισμένη βάση. Αν x = (x n ) l 2, τότε Ax = (y n ) όπου y n = a nk x k. k=1 Για παράδειγμα, ο τελεστής D a έχει πίνακα (d ij ) διαγώνιο: d ij = a i δ i,j, ενώ ο S έχει (γνήσια) κάτω τριγωνικό πίνακα: (s ij ) όπου s ij = δ i,j+1. Ομοια, κάθε τελεστής σ έναν τυχαίο χώρο Hilbert ορίζει έναν πίνακα, μέσω της επιλογής μιας ορθοκανονικής βάσης του χώρου. Δεν είναι αλήθεια όμως ότι κάθε πίνακας (a ij ) ορίζει φραγμένο τελεστή. Για παράδειγμα, ο πίνακας a ij = 1 για κάθε i, j δεν ορίζει φραγμένο τελεστή. Άσκηση 2.4 Δείξτε ότι ένας πίνακας (a ij ) ορίζει φραγμένο τελεστή l 2 l 2 αν και μόνον αν απεικονίζει τον l 2 στον εαυτό του, δηλαδή ( k a nkx k ) n l 2 για κάθε x = (x n ) l 2. Παράδειγμα 2.5 (Πολλαπλασιαστικοί τελεστές) Εστω (X, µ) χώρος σ-πεπερασμένου μέτρου. Ο χώρος L 2 (X, µ) είναι ο χώρος των κλάσεων ισοδυναμίας, modulo ισότητα µ-σχεδόν παντού, μετρησίμων συναρτήσεων f : X C που είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμες, δηλαδή ικανοποιούν X f 2 dµ <. Ο L 2 (X, µ) γίνεται χώρος Hilbert αν εφοδιασθεί με το εσωτερικό γινόμενο f, g = fḡdµ (Θεώρημα Riesz-Fisher). Μια μετρήσιμη συνάρτηση f : X C λέγεται ουσιωδώς φραγμένη αν υπάρχει A R + ώστε µ({x X : f(x) > A}) = 0. Ο χώρος L (X, µ) είναι ο χώρος των κλάσεων ισοδυναμίας, modulo ισότητα µ-σχεδόν παντού, μετρησίμων συναρτήσεων f : X C που είναι ουσιωδώς φραγμένες. Αν ορίσουμε f = inf{a : A ουσιώδες φράγμα της f} τότε η. ορίζει νόρμα στον L (X, µ) ως προς την οποία γίνεται άλγεβρα Banach, αν οι πράξεις ορισθούν κατά σημείο. Κάθε f L (X, µ) ορίζει έναν φραγμένο τελεστή M f B(L 2 (X, µ)) από την σχέση M f (g) = fg και ισχύει M f = f. Παρατηρούμε ότι ένας διαγώνιος τελεστής είναι πολλαπλασιαστικός (στον χώρο L 2 (X, µ) = l 2 όπου X = N και µ(a) = #A, ο πληθάριθμος ενός συνόλου A). 7 X

12 Παράδειγμα 2.6 (Το shift στον χώρο του Hardy) Ο χώρος του Hardy H 2 είναι ο χώρος όλων των συναρτήσεων που έχουν δυναμοσειρές με συντελεστές τετραγωνικά αθροίσιμους. Τέτοιες δυναμοσειρές έχουν ακτίνα σύγκλισης τουλάχιστον 1, επομένως ορίζουν συναρτήσεις ολόμορφες στον ανοικτό μοναδιαίο δίσκο D = {z C : z < 1}. Είναι φανερό ότι η απεικόνιση U : f (a n ), όπου f(z) = a n z n, ορίζει γραμμικό ισομορφισμό μεταξύ του H 2 και του l 2. Μεταφέροντας την νόρμα του l 2 στον H 2, ο H 2 αποκτά την δομή χώρου Hilbert και ο U γίνεται ισομετρία επί (αλλιώς μοναδιστικός τελεστής - unitary operator). Αποδεικνύεται ότι η νόρμα στον H 2 δίνεται από τον τύπο f 2 1 = sup 0 r<1 2π π π f(re it ) 2 dt. Αν ονομάσουμε S 1 : H 2 H 2 τον τελεστή που αντιστοιχεί στον τελεστή S : l 2 l 2 της μετατόπισης, δηλαδή S 1 = U 1 SU, τότε παρατηρούμε ότι (S 1 f)(z) = zf(z) για κάθε f H 2 και z D. Ομως ο S 1 δεν είναι πολλαπλασιαστικός τελεστής, γιατί δεν δρα σ έναν χώρο της μορφής L 2 (X, µ). Παράδειγμα 2.7 (Ολοκληρωτικοί τελεστές) Εστω k : [0, 1] [0, 1] C συνεχής συνάρτηση. Τότε για κάθε f L 2 [0, 1] το ολοκλήρωμα 1 k(x, y)f(y)dy υπάρχει για κάθε x [0, 1] και ορίζει συνεχή 0 συνάρτηση A k f : [0, 1] C από τον τύπο (A k f)(x) = Μάλιστα εξ αιτίας της ανισότητας (A k f)(x) 2 dx k k(x, y)f(y)dy. 1 0 f(y) 2 dy (όπου k 2 22 = k(x, y) 2 dxdy) η απεικόνιση f A k f ορίζει φραγμένο τελεστή από τον L 2 [0, 1] στον εαυτό του με νόρμα A k k 22 (η ανισότητα είναι συνήθως γνήσια). Μάλιστα, τα παραπάνω επεκτείνονται όταν η συνάρτηση k δεν είναι αναγκαστικά συνεχής, αλλά ανήκει στον L 2 ([0, 1] [0, 1]). Επίσης, ο χώρος μέτρου ([0, 1], λ) μπορεί να αντικατασταθεί από έναν οποιονδήποτε χώρο (σ-πεπερασμένου) μέτρου. (Οι ισχυρισμοί αυτοί αφήνονται ως άσκηση για τον αναγνώστη). 8

13 Παράδειγμα 2.8 (Ο μετασχηματισμός Fourier) Για k Z, θέτουμε f k : [0, 1] C : t e 2πikt. Ελέγχεται εύκολα ότι η οικογένεια {f k : k Z} είναι ορθοκανονική στον L 2 [0, 1]. Το σημαντικό είναι ότι αποτελεί ορθοκανονική βάση του L 2 [0, 1]. Επεται ότι κάθε f L 2 [0, 1] γράφεται στη μορφή f = f, f k f k και ισχύει f 2 2 = f, f k 2. Εδώ η πρώτη σειρά συγκλίνει ως προς τη νόρμα του L 2 [0, 1], και αυτό είναι εύκολη συνέπεια της δεύτερης ισότητας (ισότητα Parseval). Γράφουμε ˆf(k) = f, f k = Δημιουργείται έτσι μια απεικόνιση 1 0 f(t)e 2πikt dt (k Z). F : L 2 [0, 1] l 2 (Z) : f ˆf (προφανώς γραμμική) και η ισότητα Parseval λέει ότι είναι ισομετρία. Είναι μάλιστα επί του l 2 (Z), γιατί στην εικόνα της, που είναι κλειστός υπόχωρος του l 2 (Z), περιέχεται η συνηθισμένη βάση {e k : k Z} του l 2 (Z). Άσκηση 2.9 Εστω g : [0, 1] C συνεχής συνάρτηση. Ορίζουμε τον ολοκληρωτικό τελεστή K g : L 2 [0, 1] L 2 [0, 1] από τον τύπο (K g f)(x) = 1 0 g(x y)f(y)dy (f L 2 [0, 1]). Βρείτε τον πίνακα του τελεστή K g ως προς την ορθοκανονική βάση {f k : k Z}. 9

14 3 Ειδικές κατηγορίες τελεστών σ ένα χώρο Hilbert 3.1 Sesquilinear μορφές και ο συζυγής ενός τελεστή Ορισμός 3.1 Εστω H 1, H 2 χώροι Hilbert. Μία sesquilinear μορφή φ είναι μια απεικόνιση φ : H 1 H 2 C που είναι γραμμική ως προς την πρώτη μεταβλητή και αντιγραμμική ως προς την δεύτερη. Η φ λέγεται φραγμένη αν ο αριθμός φ = sup{ φ(x, y) : x H 1, y H 2, x = y = 1} είναι πεπερασμένος. Αν H 1 = H 2 = H, η αντίστοιχη τετραγωνική μορφή φ είναι η απεικόνιση φ(x) = φ(x, x). Οταν H 1 = H 2 = H, η ταυτότητα πολικότητας (polarization) 4φ(x, y) = φ(x + y) φ(x y) + i φ(x + iy) i φ(x iy) (x, y H), που είναι άμεση συνέπεια των ορισμών, δείχνει ότι η φ καθορίζεται από την φ. Αν H 1, H 2 είναι χώροι Hilbert και T B(H 1, H 2 ), θέτουμε φ T : H 1 H 2 C : (x, y) T x, y. Παρατηρούμε ότι η φ T είναι sesquilinear και φραγμένη. Μάλιστα έχουμε φ T = T. Είναι φανερό ότι δύο φραγμένοι τελεστές S, T στον H είναι ίσοι αν και μόνον αν οι αντίστοιχες μορφές φ T και φ S συμπίπτουν. Από την ταυτότητα πολικότητας έπεται ότι οι S και T είναι ίσοι αν και μόνον αν 3 T x, x = Sx, x για κάθε x H. Επομένως κάθε T B(H 1, H 2 ) ορίζει μια μοναδική φραγμένη sesquilinear μορφή φ T. Αντίστροφα, 3 Αυτό δεν ισχύει σε πραγματικούς χώρους Hilbert. Για παράδειγμα, αν T είναι ο τελεστής της στροφής κατά π/2 στον R 2, τότε T x, x = 0 για κάθε x. 10

15 Πρόταση 3.1 Κάθε φραγμένη sesquilinear μορφή φ : H 1 H 2 C ορίζει έναν μοναδικό T B(H 1, H 2 ) από την σχέση T x, y = φ(x, y) για κάθε x H 1 και y H 2. Απόδειξη Για κάθε x H 1 η απεικόνιση f x : H 2 C : y φ(x, y) είναι γραμμική και φραγμένη γιατί f x (y) ( φ x ) y ). Επομένως, από το Θεώρημα Riesz (1.13) υπάρχει μοναδικό z x H 2 με z x = f x ώστε y, z x = φ(x, y), ισοδύναμα z x, y = φ(x, y), για κάθε y H 2. Είναι φανερό ότι η απεικόνιση x z x : H 1 H 2 είναι γραμμική, και είναι φραγμένη γιατί z x = f x φ x. Επομένως υπάρχει T B(H 1, H 2 ) ώστε T (x) = z x για κάθε x H 1, δηλαδή Αλλά T x, y = φ(x, y) για κάθε x H 1 και y H 2. T = sup{ T x 2 : x 1 = 1} = sup{ T x, y : x 1 = y 2 = 1} = sup{ φ(x, y) : x 1 = y 2 = 1} = φ. Η μοναδικότητα αποδείχθηκε προηγουμένως. Πρόταση 3.2 Για κάθε T B(H 1, H 2 ) υπάρχει μοναδικός T B(H 1, H 2 ) (ο συζυγής του T ) ώστε T x, y 2 = x, T y 1 (x H 1, y H 2 ). Απόδειξη Ορίζουμε ψ : H 2 H 1 C από την σχέση ψ(y, x) = y, T x 2. Η ψ είναι sesquilinear και φράσσεται από την T. Από την προηγούμενη Πρόταση, υπάρχει μοναδικός T B(H 2, H 1 ) ώστε T y, x 1 = ψ(y, x) = y, T x 2 για κάθε y H 2 και κάθε x H 1. 11

16 Παράδειγμα 3.3 (i) Αν (X, µ) είναι χώρος μέτρου και f L (X, µ), ο συζυγής του πολλαπλασιαστικού τελεστή M f B(L 2 (X, µ)) είναι ο M f, όπου f (t) = f(t). (ii) Ο συζυγής του shift S B(l 2 ) δίδεται από τον τύπο S ((x 1, x 2,...)) = (x 2, x 3,...). Επεται ότι ο χώρος B(H) των τελεστών σ έναν χώρο Hilbert, εκτός από την δομή άλγεβρας Banach που έχει (όπως είδαμε στην προηγούμενη παράγραφο) εφοδιάζεται με την απεικόνιση A A που έχει τις ιδιότητες 1. A = A 2. (A + λb) = A + λb 3. (AB) = B A 4. A A = A 2 Οι ιδιότητες (1),(2),(3) είναι άμεσες από τον ορισμό. Αποδεικνύουμε την (4): Για κάθε x H, έχουμε Ax 2 = Ax, Ax = A Ax, x A Ax. x A A. x 2 πράγμα που δείχνει ότι A 2 A A. Από την άλλη μεριά όμως A A A A άρα A 2 A A, οπότε A A. Αν εφαρμόσουμε την ανισότητα αυτή στον A προκύπτει ότι A A = A άρα A = A (η ισότητα αυτή είναι άλλωστε φανερή από τον ορισμό του A ). Τότε όμως και η (4) αποδείχθηκε. A 2 A A A A = A 2 Ορισμός 3.2 C -άλγεβρα είναι μια άλγεβρα Banach A εφοδιασμένη με μια απεικόνιση A A : A A, που έχει τις ιδιότητες (1)-(3) (μια τέτοια απεικόνιση λέγεται ενέλιξη (involution)), που η νόρμα της ικανοποιεί την λεγόμενη ιδιότητα C : A A = A 2. 12

17 Επομένως, αν H είναι χώρος Hilbert, η B(H) είναι C -άλγεβρα. Εξάλλου, μια κλειστή υπάλγεβρα A B(H) είναι C -άλγεβρα αν και μόνον αν είναι αυτοσυζυγής (selfadjoint), δηλαδή αν ικανοποιεί A A A A. Θεώρημα 3.4 (Gelfand-Naimark) Κάθε C -άλγεβρα A είναι ισομορφική, ως C -άλγεβρα, με μία κλειστή αυτοσυζυγή υπάλγεβρα κάποιου B(H). Ακριβέστερα, υπάρχει χώρος Hilbert H και απεικόνιση φ : A B(H) που διατηρεί την αλγεβρική δομή (άθροισμα, γινόμενο, ενέλιξη) και την νόρμα. Άλλα παραδείγματα C -αλγεβρών είναι ο C o (X), ο χώρος όλων των συνεχών συναρτήσεων f : X C σ έναν τοπικά συμπαγή χώρο X (π.χ. X = R) που μηδενίζονται στο άπειρο 4, εφοδιασμένος με τις πράξεις κατά σημείο, την ενέλιξη f (t) = f(t) και την νόρμα supremum. Ειδικότερα, αν ο X είναι συμπαγής, η C(X) είναι C -άλγεβρα. Οι άλγεβρες αυτές είναι μεταθετικές. Ισχύει το Θεώρημα 3.5 (Gelfand-Naimark) Κάθε μεταθετική C -άλγεβρα A είναι ισομορφική, ώς C -άλγεβρα, με την C o (X) για κατάλληλο τοπικά συμπαγή χώρο X. Παρατήρηση 3.6 Ενα άλλο παράδειγμα μεταθετικής C -άλγεβρας είναι ο L (X, µ), με τις πράξεις και την ενέλιξη κατά σημείο και την νόρμα που ορίζεται από το ουσιώδες supremum. Από τις σχέσεις M f = f, M (f+λg) = M f + λm g, M fg = M f M g και Mf = M f προκύπτει ότι η απεικόνιση f M f είναι ισομετρικός *-μορφισμός από την C -άλγεβρα L (X, µ) στην C -άλγεβρα B(L 2 (X, µ)). Το σύνολο M µ = {M f : f L (X, µ)} είναι επομένως μία C -υπάλγεβρα του B(L 2 (X, µ)), και ονομάζεται η πολλαπλασιαστική άλγεβρα του L (X, µ). 3.2 Κατηγορίες τελεστών Ενας τελεστής A B(H) λέγεται φυσιολογικός (normal) αν AA = A A, αυτοσυζυγής (selfadjoint) αν A = A, και θετικός (positive) 4 μια συνεχής συνάρτηση f μηδενίζεται στο άπειρο αν για κάθε ε > 0 υπάρχει συμπαγές υποσύνολο K f X ώστε f(t) < ε για κάθε t / K f 13

18 αν Ax, x 0 για κάθε x H. Ενας τελεστής V B(H 1, H 2 ) λέγεται ορθομοναδιαίος (unitary) αν είναι αντιστρέψιμος και V = V 1 (ισοδύναμα αν V V = I H1 και V V = I H2 ). Κάθε τελεστής T B(H) μπορεί να γραφεί T = T 1 + it 2, όπου οι T 1 = T + T 2 και T 2 = T T είναι αυτοσυζυγείς. Παρατηρείστε ότι ο T είναι φυσιολογικός αν και μόνον αν οι T 1 και T 2 μετατίθενται. Παρατήρηση 3.7 Εστω T B(H) φραγμένος τελεστής. Αν T x, x = 0 για κάθε x H, τότε T = 0. Πράγματι, αν T x, x = 0 για κάθε x H, από την ταυτότητα πολικότητας έπεται ότι T x, y = 0 για κάθε x, y H και συνεπώς T = 0. Λήμμα 3.8 Ενας φραγμένος τελεστής T είναι φυσιολογικός αν και μόνον αν T x = T x για κάθε x H. Απόδειξη Εχουμε T x 2 = T x, T x = T T x, x T x 2 = T x, T x = T T x, x. Επομένως από την Παρατήρηση 3.7 έπεται ότι T x = T x για κάθε x H αν και μόνον αν T T = T T. 2i Λήμμα 3.9 Ενας φραγμένος τελεστής A είναι αυτοσυζυγής αν και μόνον αν Ax, x R για κάθε x H. Απόδειξη Εφόσον A x, x = x, Ax = Ax, x, αν A = A τότε Ax, x R. Αν αντίστροφα Ax, x R για κάθε x H, τότε (A A )x, x = 0 για κάθε x H, άρα A = A από την ταυτότητα πολικότητας (Παρατήρηση 3.7). Επεται ότι οι θετικοί τελεστές είναι κατ ανάγκην αυτοσυζυγείς. 14

19 Αν T B(H) είναι ένας οποιοσδήποτε τελεστής, τότε ο T T είναι θετικός. (Ειδικότερα το τετράγωνο ενός αυτοσυζυγούς τελεστή είναι θετικός τελεστής.) Θα δείξουμε αργότερα ότι κάθε θετικός τελεστής B είναι της μορφής B = T T. Υπενθυμίζω ότι ένας τελεστής P B(H) είναι ταυτοδύναμος (δηλ. P = P 2 ) αν και μόνον αν το σύνολο τιμών του P (H) και ο πυρήνας του ker P είναι συμπληρωματικοί, δηλαδή ικανοποιούν P (H) ker P = {0} και P (H)+ker P = H, ισοδύναμα ker P = (I P )(H). Επομένως ένας ταυτοδύναμος τελεστής είναι ορθή προβολή αν και μόνον αν το σύνολο τιμών και ο πυρήνας του είναι κάθετοι. Λήμμα 3.10 Ενας ταυτοδύναμος τελεστής P B(H) είναι ορθή προβολή αν και μόνον αν είναι αυτοσυζυγής. Επομένως οι ορθές προβολές χαρακτηρίζονται αλγεβρικά από τις σχέσεις P = P 2 = P. Απόδειξη Εστω ότι η P είναι ορθή προβολή. Τότε P x, x = P x, P x + (I P )x = P x, P x για κάθε x H, γιατί τα P x και (I P )x είναι κάθετα. Επεται ότι ο αριθμός P x, x = P x 2 είναι πραγματικός (μάλιστα μη αρνητικός) και συνεπώς ο P είναι αυτοσυζυγής (μάλιστα θετικός). Εστω αντίστροφα ότι P = P 2 = P. Τότε ο πυρήνας και το σύνολο τιμών του P είναι κάθετοι γιατί P x, (I P )y = x, P (I P )y = x, P (I P )y = 0. Λήμμα 3.11 Ενας τελεστής U B(H) είναι ορθομοναδιαίος (δηλαδή είναι αντιστρέψιμος και U 1 = U, ισοδύναμα UU = U U = I) αν και μόνον αν είναι ισομετρία και επί. Απόδειξη Ο τελεστής U είναι ισομετρία αν και μόνον αν Ix, x = x 2 = Ux 2 = Ux, Ux = U Ux, x για κάθε x H. Από την ταυτότητα πολικότητας (Παρατήρηση 3.7) συμπεραίνουμε ότι, Ο U είναι ισομετρία U U = I. 15

20 Επομένως μια ισομετρία U έχει πάντα αριστερά αντίστροφο, τον U. Αν μια ισομετρία U είναι αντιστρέψιμος τελεστής, τότε ο U 1 θα είναι ίσος με τον αριστερά αντίστροφο του U, δηλαδή τον U. Αν αντίστροφα ο U είναι αντιστρέψιμος και U 1 = U, τότε είναι βέβαια επί και ισχύει U U = I, άρα ο U είναι ισομετρία. Παράδειγμα 3.12 Ο τελεστής της μετατόπισης (shift) είναι ισομετρία, αλλά δεν είναι επί. Μάλιστα ο SS είναι η ορθή προβολή επί του υποχώρου [e 0 ]. Γενικότερα: Ορισμός 3.3 Εστω E H 1 κλειστός υπόχωρος. Μερική ισομετρία με αρχικό χώρο E είναι ένας τελεστής V B(H 1, H 2 ) ώστε ο V E να είναι ισομετρία και ο V E να μηδενίζεται. Παρατήρησε ότι αν F = V (H 1 ), τότε F = V (E) άρα ο F είναι κλειστός υπόχωρος, γιατί ο E είναι πλήρης και ο V E είναι ισομετρικός. Ο F ονομάζεται ο τελικός χώρος της V. Παρατήρησε επίσης ότι κάθε ορθή προβολή P είναι μερική ισομετρία με αρχικό και τελικό χώρο P (H). Πρόταση 3.13 Αν V είναι μερική ισομετρία με αρχικό χώρο E και τελικό χώρο F, τότε η V είναι μερική ισομετρία με αρχικό χώρο F και τελικό χώρο E, η V V είναι η προβολή στον E (η αρχική προβολή του V ) και η V V είναι η προβολή στον F (η τελική προβολή του V ). Αντίστροφα, αν V B(H 1, H 2 ) και ο τελεστής V V είναι προβολή, τότε ο V V είναι επίσης προβολή και η V είναι μερική ισομετρία με αρχικό χώρο V V (H 1 ) και τελικό χώρο V V (H 2 ). Απόδειξη Εστω ότι η V είναι μερική ισομετρία με αρχικό χώρο E. Δείχνουμε ότι V V = P E : Παρατήρησε ότι για κάθε x H 1 έχουμε V x = V P E x + V P E x = V P Ex γιατί ο V μηδενίζεται στον E. Επομένως, αν x, y H 1 έχουμε V V x, y = V x, V y = V P E x, V P E y = P E x, P E y γιατί η V είναι ισομετρία στον E. Άρα V V x, y = P E x, P E y = P E x, y 16

21 για κάθε x, y, πράγμα που δείχνει ότι V V = P E. Εστω ότι, αντίστροφα, ο τελεστής P = V V είναι προβολή. Θα δείξω ότι ο V είναι μερική ισομετρία με αρχικό χώρο E = P (H 1 ). Πράγματι, για κάθε x H 1 έχουμε V x 2 = V x, V x = V V x, x = P x, x = P x 2, άρα αν x P (H 1 ) τότε V x = x και αν x P (H 1 ) τότε V x = 0. Δηλαδή ο V είναι ισομετρικός στον P (H 1 ) και μηδενίζεται στον P (H 1 ). Εστω F = V (H 1 ). Επειδή F = V (E) και η V E είναι ισομετρία, ο F είναι κλειστός υπόχωρος του H 2. Θα δείξω ότι ο V είναι μερική ισομετρία με αρχικό χώρο F και τελικό χώρο E. Πράγματι, για κάθε y = V x F, V y 2 = V (V x) 2 = V V x, V V x = (V V ) 2 x, x = V V x, x = V x, V x = V x 2 = y 2 επειδή (V V ) 2 = P 2 = V V. Άρα, η V F είναι ισομετρία. Επίσης, απεικονίζει τον F επί του E γιατί για κάθε x E έχουμε V x F και V V x = P E x = x. Μένει να δειχθεί ότι η V μηδενίζεται στον F. Πράγματι, αν z F, για κάθε x H 1 έχουμε V z, x = z, V x = 0 γιατί V x F, άρα V z = 0. Δείξαμε ότι η V είναι μερική ισομετρία με αρχικό χώρο F. Εφαρμόζοντας την πρώτη παράγραφο στην V, συμπεραίνουμε ότι η V V είναι η ορθή προβολή στον F. Παρατήρηση 3.14 Είναι ενδιαφέρον να παρατηρήσουμε ότι η έννοια της μερικής ισομετρίας μπορεί να ορισθεί αλγεβρικά (χωρίς αναφορά δηλαδή στην δράση πάνω σ έναν χώρο Hilbert) και μάλιστα σε κάθε C -άλγεβρα A: ένα στοιχείο V A είναι μερική ισομετρία αν το V V = P είναι ορθή προβολή δηλ. P = P 2 = P. Μάλιστα Αν V A, τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (a) Το στοιχείο P = V V είναι προβολή. (b) V V V = V. (c) V V V = V. (d) Το στοιχείο Q = V V είναι προβολή. 17

22 Απόδειξη (a) (b) Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα C, έχουμε V V V V 2 = V V P 2 = (V P V )(V V P ) = V V V V P P V V + P V V P = P P 2 P 2 + P 3 = 0 (b) (a) Το V V είναι προφανώς αυτοσυζυγές και (V V ) 2 = V V V V = V (V V V ) = V V. Οι σχέσεις (b) (c) είναι προφανώς ισοδύναμες (η μία είναι συζυγής της άλλης). Τέλος, η ισοδυναμία (d) (c) προκύπτει από την (a) (b) θεωρώντας το V στη θέση του V. Χρησιμοποιώντας μερικές ισομετρίες, μπορεί να ορισθεί μια ιδιαίτερα γόνιμη σχέση ισοδυναμίας προβολών σε μια C -άλγεβρα A. Δύο προβολές P, Q A λέγονται ισοδύναμες ως προς την A (γράφουμε P Q) αν υπάρχει V A ώστε V V = P και V V = Q. A Αν A = B(H), τότε η ισοδυναμία αυτή σημαίνει απλώς ότι οι υπόχωροι P (H) και Q(H) έχουν την ίδια διάσταση (δηλαδή έχουν ισοπληθικές ορθοκανονικές βάσεις). Αν η A είναι μεταθετική (για παράδειγμα αν A =C(K)), τότε η ισοδυναμία ως προς A είναι απλώς ισότητα. Η ισοδυναμία ως προς A είναι σχέση ισοδυναμίας: Πράγματι, (α) μια προβολή P είναι ισοδύναμη με τον εαυτό της μέσω της μερικής ισομετρίας P. (β) Αν P A Q μέσω της V τότε Q A P μέσω της V. (γ) Αν P A Q μέσω της V και Q A R μέσω της U τότε ο τελεστής UV είναι μερική ισομετρία 5 και P A R μέσω της UV, γιατί P = V V, Q = V V = U U και R = UU επομένως (UV ) UV = V (U U)V = V QV = V (V V )V = (V V ) 2 = P και UV (UV ) = U(V V )U = UQU = U(U U)U = (UU ) 2 = R. 5 Σημείωσε ότι το γινόμενο δύο μερικών ισομετριών δεν είναι εν γένει μερική ισομετρία 18

23 Αυτή η σχέση ισοδυναμίας (σε άλγεβρες von Neumann, που, όπως θα δούμε, διαθέτουν αφθονία προβολών) αποτελεί κρίσιμη έννοια για την ταξινόμηση των factors (αλγεβρών von Neumann με τετριμμένο κέντρο) από τους Murray και von Neumann. 4 Αναλλοίωτοι υπόχωροι Ενας υπόχωρος E H είναι αναλλοίωτος από έναν φραγμένο τελεστή A B(H) αν Ax E για κάθε x E. Τότε ο κλειστός υπόχωρος E είναι και αυτός A-αναλλοίωτος, εφόσον ο A είναι συνεχής 6. Θα λέμε ότι ο υπόχωρος E ανάγει τον A όταν και ο E και ο E είναι A-αναλλοίωτοι. Παραδείγματος χάριν ο πυρήνας (ker A) ενός τελεστή A, και γενικότερα ένας ιδιόχωρός του (ker(a λi)), είναι A-αναλλοίωτοι. Αυτό δείχνει ότι κάθε τελεστής σε (μιγαδικό!) χώρο πεπερασμένης διάστασης έχει μη τετριμμένο αναλλοίωτο υπόχωρο (και μάλιστα μονοδιάστατο). Ενας κλειστός υπόχωρος E H λέγεται κυκλικός για τον A αν είναι της μορφής E = [x, Ax, A 2 x,...] για κάποιο x H. Ενας A-κυκλικός υπόχωρος είναι βέβαια A-αναλλοίωτος. Επεται ότι κάθε τελεστής σε μη διαχωρίσιμο χώρο έχει μη τετριμμένο αναλλοίωτο υπόχωρο (πράγματι, πάρε ένα οποιοδήποτε μη μηδενικό x H και θεώρησε τον A-κυκλικό υπόχωρο E x που παράγει. Ο E x είναι διαχωρίσιμος, άρα γνήσιος, και είναι μη μηδενικός γιατί περιέχει το x). Ενα από τα πιο βασικά ανοικτά προβλήματα στην Θεωρία Τελεστών είναι Το πρόβλημα του αναλλοίωτου υπόχωρου: Είναι α- λήθεια ότι κάθε φραγμένος τελεστής σε έναν (διαχωρίσιμο, απειροδιάστατο) χώρο Hilbert 7 έχει μη τετριμμένο αναλλοίωτο υπόχωρο; 6 Αν x E και x n E με x n x, τότε Ax n E και Ax n Ax άρα Ax E. 7 Είναι σήμερα γνωστό ότι η απάντηση είναι αρνητική για τελεστές σε χώρους Banach, αλλά το πρόβλημα είναι ανοικτό για αυτοπαθείς χώρους Banach. Βλέπε P. Enflo, On the invariant subspace problem in Banach spaces, Acta Math., 158, C.J. Read, A solution to the invariant subspace problem on the space l 1, Bull. London Math. Soc. 17,

24 Εστω E H κλειστός υπόχωρος και P = P E. Κάθε A B(H) γράφεται ως 2 2 πίνακας τελεστών ως προς την διάσπαση του H στο άθροισμα E E : ( ) A11 A A = 12. A 21 A 22 Εδώ ο A 11 B(E) ορίζεται από την σχέση A 11 x = P Ax (x E), ο A 12 B(E, E) από την σχέση A 12 y = P Ay (y E ) και ούτω καθεξής. Επεται ότι A(E) E αν και μόνον αν A 21 = 0, και ότι ο A ανάγεται από τον E αν και μόνον αν A 12 = A 21 = 0. Λήμμα 4.1 Ενας κλειστός υπόχωρος E είναι A-αναλλοίωτος αν και μόνον αν AP = P AP. Ο E ανάγει τον A αν και μόνον αν A(E) E και A (E) E, ισοδύναμα αν και μόνον αν AP = P A. Απόδειξη Εύκολη. Παρατήρησε ότι αν A(E) E και A = A, τότε αναγκαστικά ο E ανάγει τον A. Αυτό δεν ισχύει για μη αυτοσυζυγείς, ούτε καν για φυσιολογικούς τελεστές. Για παράδειγμα αν U είναι ο τελεστής της αμφίπλευρης μετατόπισης στον l 2 (Z) (που ορίζεται από τη σχέση Ue n = e n+1 για κάθε n Z), τότε ο U είναι φυσιολογικός (μάλιστα ορθομοναδιαίος) και ο υπόχωρος E = [e 0, e 1,...] είναι U-αναλλοίωτος (μάλιστα είναι κυκλικός με κυκλικό διάνυσμα e 0 ), αλλά το ορθογώνιο συμπλήρωμά του δεν είναι αναλλοίωτο, γιατί e 1 E ενώ U(e 1 ) = e 0 / E. Λήμμα 4.2 Εστω T B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του T με ιδιοτιμή λ, τότε T x = λx. Επεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή (αν υπάρχουν) τον ανάγουν, και είναι κάθετοι μεταξύ τους. Απόδειξη Εφόσον (T λi)x = 0 και ο τελεστής T λi είναι φυσιολογικός, το Λήμμα 3.8 δείχνει ότι (T λi)x = (T λi)x = 0. Επομένως αν M λ = {x H : T x = λx}, τότε για κάθε x M λ έχουμε T x = λx M λ. Επεται ότι T (M λ ) M λ, άρα ο M λ ανάγει τον T. 20

25 Τέλος αν λ µ είναι ιδιοτιμές του T, τότε για κάθε x M λ και y M µ έχουμε λ x, y = λx, y = T x, y = x, T y = x, µy = µ x, y, άρα x, y = 0. Επομένως M λ M µ. 5 Το Φασματικό Θεώρημα: Εισαγωγή 5.1 Σε χώρους πεπερασμένης διάστασης Εστω H χώρος Hilbert με dim H = n < +. Κάθε ορθοκανονική βάση του H ορίζει ισομετρικό ισομορφισμό U : H C n. Εστω D a ο διαγώνιος τελεστής με διαγώνια στοιχεία a 1,..., a n. Τότε ο Da = D a είναι επίσης διαγώνιος, άρα μετατίθεται με τον D a. Επομένως κάθε D a είναι φυσιολογικός τελεστής. Γενικότερα, αν ο T B(H) είναι διαγωνοποιήσιμος, δηλαδή υπάρχει ορθοκανονική βάση {e k : k = 1,..., n} του H ώστε ο τελεστής UT U 1 να είναι διαγώνιος, τότε ο T είναι φυσιολογικός 8. Αντίστροφα, Θεώρημα 5.1 Κάθε φυσιολογικός τελεστής T σ έναν (μιγαδικό) χώρο Hilbert H διάστασης n < είναι διαγωνοποιήσιμος, δηλαδή υπάρχει ορθοκανονική βάση {e k : k = 1,..., n} του H και a k C ώστε T e k = a k e k (k = 1,..., n). Ισοδύναμα, ο T είναι ορθομοναδιαία ισοδύναμος (unitarily equivalent) με έναν διαγώνιο τελεστή, δηλαδή υπάρχει ορθομοναδιαίος τελεστής U : H C n ώστε ο UT U 1 να είναι διαγώνιος. Απόδειξη Παρατήρησε πρώτα ότι, αφού ο H έχει πεπερασμένη διάσταση, κάθε A B(H) έχει ιδιοτιμές: είναι οι ρίζες του μιγαδικού πολυωνύμου p(λ) = det(a λi). Αν λ i είναι οι ιδιοτιμές του T, ονομάζουμε M i τους αντίστοιχους ιδιόχωρους. Από το Λήμμα 4.2, οι ιδιόχωροι του T είναι ανά δύο κάθετοι. Εστω M = i M i το ευθύ τους άθροισμα. 8 Αν UT U 1 = D τότε T = U DU και T = U D U, άρα οι T T = U D UU DU = U D DU και T T = U DD U μετατίθενται. 21

26 Ισχυρίζομαι ότι M = H. Παρατήρησε ότι κάθε M i ανάγει τον T (Λήμμα 4.2), επομένως και ο M τον ανάγει. Άρα ο M είναι T -αναλλοίωτος. Αν M {0}, τότε ο τελεστής S = T M : M M δεν έχει ιδιοτιμές (γιατί αν x M \{0} και Sx = λx, τότε T x = λx άρα το x ανήκει σε κάποιον ιδιόχωρο του T, άρα είναι κάθετο στον M ). Ομως κάθε τελεστής σε μη μηδενικό χώρο πεπερασμένης διάστασης έχει ιδιοτιμές. Άρα M = {0}, δηλαδή i M i = H. Επειδή για κάθε i ο τελεστής T Mi είναι ένα πολλαπλάσιο του ταυτοτικού, άρα είναι διαγωνοποιήσιμος, έπεται τώρα ότι και ο T θα είναι διαγωνοποιήσιμος (είναι διαγώνιος ως προς κάθε ορθοκανονική βάση του H που είναι ένωση ορθοκανονικών βάσεων των M i ). 5.2 Επέκταση σε απειροδιάστατους χώρους Ενας φυσιολογικός τελεστής T σ έναν απειροδιάστατο χώρο Hilbert H δεν έχει κατ ανάγκην ιδιοτιμές. Παράδειγμα: Ο τελεστής M f B(L 2 ([0, 1])) όπου f(t) = t (γιατί;). Ενας τέτοιος τελεστής δεν μπορεί να είναι διαγωνοποιήσιμος (δηλαδή ορθομοναδιαία ισοδύναμος με έναν διαγώνιο τελεστή). Ομως, οι πολλαπλασιαστικοί τελεστές είναι γενίκευση των διαγωνίων τελεστών (βλ. Παράδειγμα 2.5). Μια μορφή του Φασματικού Θεωρήματος είναι Θεώρημα 5.2 (Φασματικό Θεώρημα - Πρώτη μορφή) Ενας τελεστής T B(H) είναι φυσιολογικός αν και μόνον αν είναι ορθομοναδιαία ισοδύναμος με έναν πολλαπλασιαστικό τελεστή, δηλαδή αν υπάρχουν: χώρος μέτρου (X, µ), ορθομοναδιαίος τελεστής U : L 2 (X, µ) H και συνάρτηση f L (X, µ) ώστε T = UM f U 1. Παρατήρηση 5.3 Ενας πολλαπλασιαστικός τελεστής δεν είναι κατ ανάγκη διαγωνοποιήσιμος, όπως είδαμε, άρα δεν μπορεί εν γένει να γραφεί ως πεπερασμένο άθροισμα M f = λ i P i, όπου οι P i είναι ορθές προβολές. Μπορεί όμως να προσεγγισθεί από τέτοια αθροίσματα: Για κάθε f L (X, µ) και ε > 0 υπάρχει πεπερασμένο σύνολο {P i : i = 1,..., n} καθέτων ανά δύο προβολών του B(L 2 (X, µ)) με P i = I και λ i C ώστε n M f λ i P i ε. i=1 22

27 Απόδειξη Αφού η f είναι (ουσιωδώς) φραγμένη και μετρήσιμη, υπάρχει α- πλή συνάρτηση 9 f ε = λ i χ i (όπου οι χ i είναι χαρακτηριστικές συναρτήσεις ξένων ανά δύο (μετρήσιμων) υποσυνόλων) ώστε f f ε ε. Επεται ότι M f M fε ε. Αλλά, αν θέσουμε P i = M χi, παρατηρούμε ότι οι P i είναι αυτοσυζυγείς (αφού οι χ i παίρνουν πραγματικές τιμές) και ότι P i P j = δ ij P i (αφού χ i χ j = δ ij χ i ). Ειδικότερα, Pi 2 = P i. Επομένως οι P i είναι κάθετες ανά δύο προβολές. Αλλά M fε = λ i P i και η απόδειξη συμπληρώθηκε. Παρατήρησε ότι η τελευταία απόδειξη στηρίχθηκε στο γεγονός ότι η απεικόνιση f M f διατηρεί την αλγεβρική δομή (συμπεριλαμβανόμενης και της ενέλιξης), καθώς και την νόρμα. Σημείωσε επίσης ότι οι προβολές P i ανήκουν στην πολλαπλασιαστική άλγεβρα M µ του L (X, µ) (πρβλ. Παρατήρηση 3.6). Παρατήρηση 5.4 Εστω Ω μετρήσιμο υποσύνολο του X και P (Ω) = M χω. Τότε η απεικόνιση Ω P (Ω) είναι (όπως θα δούμε αργότερα) ένα «μέτρο με τιμές προβολές». Μία ερμηνεία της προηγούμενης παρατήρησης είναι ότι ένας πολλαπλασιαστικός τελεστής είναι το ολοκλήρωμα, με κάποια έννοια, μιας συνάρτησης ως προς αυτό το «μέτρο»: M f = λdp (λ). Πράγματι, μια δεύτερη μορφή του Φασματικού Θεωρήματος είναι ότι κάθε φυσιολογικός τελεστής μπορεί να γραφεί ως ένα τέτοιο ολοκλήρωμα. 9 Απόδειξη: Αλλάζοντας, αν χρειασθεί, τις τιμές της f σ ένα υποσύνολο μέτρου μηδέν του X, μπορούμε να υποθέσουμε ότι η f είναι φραγμένη. Τότε το σύνολο f(x) C μπορεί να καλυφθεί από πεπερασμένο πλήθος ανοικτών δίσκων U i, i = 1,..., n διαμέτρου το πολύ ε. Ορίζουμε ξένα ανά δύο Borel υποσύνολα i C θέτοντας i = U i \( j<i U j ). Παρατηρούμε ότι η διάμετρος του i είναι το πολύ ε. Εστω X i = f 1 ( i ). Τα X i είναι μετρήσιμα ξένα ανά δύο υποσύνολα του X και X i = X. Αν επιλέξουμε αυθαίρετα λ i i, παρατηρούμε ότι t X i f(t) λ i ε. Άρα, αν θέσουμε f ε = λ i χ i (όπου χ i είναι η χαρακτηριστική συνάρτηση του X i ), τότε για κάθε t X υπάρχει i ώστε t X i, άρα f ɛ (t) = λ i και επομένως f(t) f ε (t) ε. Αυτό δείχνει ότι f f ε ε. 23

28 6 Το Φάσμα Σε χώρους πεπερασμένης διάστασης, το σύνολο σ p (T ) των ιδιοτιμών ενός τελεστή T B(X ) συμπίπτει με το σύνολο σ(t ) όλων των μιγαδικών αριθμών λ C για τους οποίους ο τελεστής T λi δεν έχει αντίστροφο. Το σύνολο των ιδιοτιμών είναι πάντα μη κενό, γιατί το σώμα C είναι αλγεβρικά κλειστό. Το γεγονός αυτό έπαιξε κρίσιμο ρόλο στην απόδειξη του Φασματικού Θεωρήματος (Θεώρημα 5.1). Ομως, σε απειροδιάστατους χώρους υπάρχουν αυτοσυζυγείς τελεστές χωρίς ιδιοτιμές. Παράδειγμα 6.1 Ο τελεστής M f ιδιοτιμές. στον L 2 ([0, 1]), όπου f(t) = t, δεν έχει Απόδειξη Άσκηση. Ορισμός 6.1 Το φάσμα ενός φραγμένου τελεστή T σ έναν χώρο Banach X είναι το σύνολο σ(t ) = {λ C : ο T λi δεν έχει αντίστροφο }. Δεν είναι δύσκολο να δείξει κανείς ότι το φάσμα του τελεστή του τελευταίου παραδείγματος είναι ακριβώς το [0, 1] Παράδειγμα: Πολλαπλασιαστικοί τελεστές Υπενθύμιση: Αν (X, µ) είναι χώρος σ-πεπερασμένου μέτρου, μια μετρήσιμη συνάρτηση f : X C λέγεται ουσιωδώς φραγμένη αν υπάρχει A R + ώστε µ({x X : f(x) > A}) = 0. Αν f(x) A µ-σχεδόν για κάθε x X τότε για κάθε g L 2 (X, µ), fg 2 dµ A 2 g 2 dµ άρα fg L 2 (X, µ) και μάλιστα η γραμμική απεικόνιση M f : L 2 (X, µ) L 2 (X, µ) : g fg 24

29 ορίζεται και είναι φραγμένη με M f A. Επομένως αν θέσουμε f = inf{a : A ουσιώδες φράγμα της f} τότε έχουμε M f f. Αντίστροφα, ισχυρίζομαι ότι f(x) M f µ-σχεδόν για κάθε x X. (1) Πράγματι, αρκεί να δείξω ότι για κάθε n N το σύνολο X n = {x X : f(x) > M f + 1 n } έχει μέτρο μηδέν (γιατί {x X : f(x) > M f } = n X n ). Ομως αν κάποιο X n είχε θετικό μέτρο τότε (αφού το μέτρο είναι σ-πεπερασμένο) θα περιείχε ένα υποσύνολο Y n με μη μηδενικό θετικό μέτρο. Τότε ονομάζοτας ξ n την χαρακτηριστική συνάρτηση του Y n έχουμε ξ n L 2 (X, µ), ξ n 0 και ( (fξ n )(x) M f + 1 ) ξ n (x) n για κάθε x X άρα ( M f + 1 ) ξ n 2 fξ n 2 M f ξ n 2 n άτοπο. Παρατηρούμε ότι M f = M f αν και μόνον αν f = f µ-σχεδόν παντού. Επομένως ο τελεστής M f εξαρτάται μόνον από την κλάση της f ως προς ισότητα µ-σχεδόν παντού. Δείξαμε δηλαδή ότι Λήμμα 6.2 Κάθε f L (X, µ) ορίζει έναν τελεστή M f B(L 2 (X, µ)) από την σχέση M f (g) = fg και ισχύει M f = f. Παρατήρηση 6.3 Εστω f : X C μετρήσιμη συνάρτηση. Αν fg L 2 (X, µ) για κάθε g L 2 (X, µ), τότε η f είναι ουσιωδώς φραγμένη. 25

30 Απόδειξη Η υπόθεση σημαίνει ότι η γραμμική απεικόνιση M f : g fg ορίζεται σ όλον τον L 2 (X, µ). Παρατηρούμε ότι η M f έχει κλειστό γράφημα: πράγματι αν g n 2 0 και M f g n g o 2 0 τότε ισχύει g o = 0 γιατί για κάθε h L 2 (X, µ) έχουμε g o, h = lim M f g n, h = lim fg n n n hdµ = limn g n (f h)dµ = lim g n, fh = 0. n Επειδή ο L 2 (X, µ) είναι χώρος Banach, έπεται από το Θεώρημα Κλειστού Γραφήματος ότι ο τελεστής M f είναι φραγμένος και συνεπώς η f είναι ουσιωδώς φραγμένη από το Λήμμα. Θα εξετάσουμε το φάσμα ενός πολλαπλασιαστικού τελεστή M f. Συμβολίζουμε M µ = {M f B(L 2 (X, µ)) : f L (X, µ)} την πολλαπλασιαστική άλγεβρα του χώρου (X, µ). Ελέγχεται άμεσα ότι η α- πεικόνιση f M f : L (X, µ) M µ B(L 2 (X, µ)) είναι μορφισμός αλγεβρών, δηλαδή M f+g = M f + M g, M fg = M f M g, που διατηρεί την ενέλιξη (Mf = M f) και τη μονάδα (M 1 = I). Συνεπώς, αν η f είναι αντιστρέψιμο στοιχείο της άλγεβρας L (X, µ), τότε ο M f είναι αντιστρέψιμο στοιχείο 10 της άλγεβρας M µ, άρα και της B(L 2 (X, µ)). Αν αντίστροφα ο τελεστής M f είναι αντιστρέψιμος, είναι αλήθεια ότι ο αντίστροφός του, έστω T, είναι και αυτός πολλαπλασιαστικός τελεστής; Η α- πάντηση είναι θετική. Πράγματι, παρατήρησε κατ αρχήν ότι η f είναι µ-σχεδόν παντού διάφορη του μηδενός. Γιατί αν υπήρχε Y X θετικού μέτρου ώστε f Y = 0, τότε, θεωρώντας την χαρακτηριστική συνάρτηση χ ενός υποσυνόλου του Y με πεπερασμένο μη μηδενικό μέτρο, θα είχαμε χ L 2 (X, µ), χ 0 και M f χ = fχ = 0, πράγμα που αποκλείεται, αφού ο M f είναι 1-1. Επομένως η συνάρτηση g = 1/f ορίζεται µ-σχεδόν παντού και είναι βεβαίως μετρήσιμη. Ισχυρίζομαι ότι είναι ουσιωδώς φραγμένη. Πράγματι, η σχέση M f T h = h για κάθε h L 2 (X, µ) δίνει T h = 1 h = gh. Επομένως η απεικόνιση h gh f ορίζει φραγμένο τελεστή του L 2 (X, µ) πράγμα που σημαίνει (όπως έχουμε ήδη παρατηρήσει) ότι η g είναι ουσιωδώς φραγμένη. Συμπέρασμα: 10 Αν fg = 1 τότε M f M g = M g M f = M fg = M 1 = I. 26

31 Πρόταση 6.4 Αν f L (X, µ), ο τελεστής M f είναι αντιστρέψιμος αν και μόνον αν η f είναι αντιστρέψιμο στοιχείο της άλγεβρας L (X, µ), αν δηλαδή η 1/f (ορίζεται µ-σχεδόν παντού και) είναι ουσιωδώς φραγμένη. Ο αντίστροφός του (αν υπάρχει) είναι ο M g M µ όπου g = 1/f. Αντικαθιστώντας την f με την συνάρτηση f λ, συμπεραίνουμε ότι ένας μιγαδικός αριθμός λ ικανοποιεί λ / σ(m f ) αν και μόνον αν η ορίζεται (µ- 1 f λ σχεδόν παντού) και είναι ουσιωδώς φραγμένη, δηλαδή υπάρχει M < ώστε 1 f λ M µ-σχεδόν παντού, δηλαδή το σύνολο {t X : f(t) λ < 1 } M έχει μέτρο μηδέν. Γράφοντας δ αντί για 1, έχουμε ισοδύναμα M λ / σ(m f ) δ > 0 : µ({t X : f(t) λ < δ}) = 0. Επομένως δείξαμε ότι Πρόταση 6.5 Αν f L (X, µ), το φάσμα του τελεστή M f είναι το σύνολο των λ C ώστε για κάθε δ > 0 το σύνολο {t X : f(t) λ < δ} να έχει θετικό μέτρο. Το σύνολο αυτό το ονομάζεται ουσιώδες σύνολο τιμών (essential range) της f. 6.1 Το φάσμα σε άλγεβρες Banach Ορισμός 6.2 Εστω B άλγεβρα Banach με μονάδα I (π.χ. B = B(H)). Ενα στοιχείο A B λέγεται αντιστρέψιμο (invertible) αν υπάρχει B B ώστε AB = BA = I. Το σύνολο των αντιστρεψίμων στοιχείων της B συμβολίζεται Inv(B) ή B 1. Το φάσμα (spectrum) ενός στοιχείου A B είναι το σύνολο σ(a) = {λ C : A λi / Inv(B)}. Θεώρημα 6.6 Εστω B άλγεβρα Banach με μονάδα I. I A < 1 είναι αντιστρέψιμο και μάλιστα Κάθε A B με A 1 = (I A) n. n=0 27

32 Απόδειξη Εφόσον (I A) n n=0 I A n = n=0 1 1 I A <, η σειρά n=0 (I A)n συγκλίνει απόλυτα, άρα (από την πληρότητα 11 της B) συγκλίνει. Εστω S = lim S n το όριό της. Εύκολα ελέγχεται ότι S n A = AS n = I (I A) n+1 I, αφού (I A) n+1 I A n+1 0, άρα AS = SA = I. Πόρισμα 6.7 Το σύνολο Inv(B) των αντιστρεψίμων στοιχείων της B είναι ανοικτό και η απεικόνιση A A 1 είναι συνεχής στο Inv(B). Απόδειξη (α) Δείχνουμε ότι το B είναι ανοικτό: Εστω A o Inv(B) και m = A 1 o. Για κάθε A B με A A o < 1 έχουμε m A 1 0 A I = A 1 0 (A A o ) A 1 0 A A o < 1 άρα A 1 0 A Inv(B), συνεπώς και A Inv(B). Δείχνουμε ότι η A A 1 είναι συνεχής: Αν A, B Inv(B) έχουμε A 1 B 1 = A 1 (B A)B 1 = (A 1 B 1 )(B A)B 1 + B 1 (B A)B 1 A 1 B 1 B A B 1 + B A B 1 2 A 1 B 1 (1 B A B 1 ) B A B 1 2 και συνεπώς αν A n, B Inv(B) με A n B 0 έχουμε A 1 n B 1 0. Πόρισμα 6.8 Αν A B, το σύνολο σ(a) είναι φραγμένο. Μάλιστα, αν ρ(a) = sup{ λ : λ σ(a)} είναι η φασματική ακτίνα (spectral radius) φασματική ακτίναspectral radius του A, τότε ρ(a) A. 11 Σ έναν χώρο Banach, αν μια σειρά συγκλίνει απόλυτα, τότε (τα μερικά της αθροίσματα αποτελούν ακολουθία Cauchy, άρα) συγκλίνει. 28

33 Απόδειξη Αν λ > A, τότε A < 1 οπότε από το Θεώρημα προκύπτει λ ότι I A Inv(B) άρα λi A Inv(B). λ Πόρισμα 6.9 Αν A B, το σύνολο σ(a) είναι κλειστό (άρα συμπαγές, αφού είναι και φραγμένο). Απόδειξη Δείχνουμε ότι το C\σ(A) είναι ανοικτό. Πράγματι, το C\σ(A) είναι η αντίστροφη εικόνα του ανοικτού συνόλου Inv(B) μέσω της απεικόνισης F A : C B με F A (λ) = A λi, που είναι συνεχής. Θεώρημα 6.10 Το φάσμα σ(a) ενός στοιχείου A μιας άλγεβρας Banach με μονάδα είναι μη κενό υποσύνολο του C. Απόδειξη Υποθέτουμε ότι σ(a) =. Τότε ο αντίστροφος (A λi) 1 ορίζεται σ όλο το C. Θα δείξουμε ότι η συνάρτηση C B : λ R λ := (A λi) 1 έχει μιγαδική παράγωγο και μηδενίζεται στο, οπότε χρησιμοποιώντας το Θεώρημα Liouville θα συμπεράνουμε ότι R λ = 0 για κάθε λ, πράγμα άτοπο εφόσον το R λ είναι αντιστρέψιμο. Δείχνουμε πρώτα ότι η R λ έχει μιγαδική παράγωγο ίση με Rλ 2 (όπως στην περίπτωση B = C). Αν λ, µ C με λ µ, R µ R λ µ λ R2 λ = R µ ((A λi) (A µi))r λ R 2 λ µ λ = Rµ R λ Rλ 2 Rµ R λ R λ. Ομως δείξαμε στην Πρόταση 6.7 ότι η απεικόνιση A A 1 είναι συνεχής όπου ορίζεται. Συνεπώς όταν µ λ στο C έχουμε R µ R λ = (A µi) 1 (A λi) 1 0 και άρα, από την τελευταία ανισότητα lim R µ R λ µ λ µ λ R2 λ 0. (*) Εστω τώρα φ : B C μια συνεχής γραμμική μορφή. Θεωρούμε τη συνάρτηση f : C C : λ φ(r λ ). 29

34 Η σχέση ( ) δείχνει ότι η f έχει μιγαδική παράγωγο, f (λ) = φ(rλ 2): lim f(µ) f(λ) µ λ φ(r 2 µ λ λ) 0 αφού η φ είναι συνεχής. Επιπλέον όμως ισχύει Πράγματι, όταν λ > A έχουμε εφόσον A < 1 οπότε λ 1 R λ = λ 1 λ lim f(λ) = 0. λ ( I A λ ) 1 = ( I A λ ) 1 A λ n=0 n n=0 ( ) n A λ = 1 ( ) n A λ λ n=0 = 1 ( ) 1 A 1 λ λ = ( λ A ) 1 επομένως lim R λ = 0, άρα και lim f(λ) = 0. λ λ Συμπέρασμα: η συνάρτηση f είναι ακέραια (παραγωγίσιμη σ όλο το C) και μηδενίζεται στο, άρα από το Θεώρημα Liouville μηδενίζεται παντού. Δηλαδή για κάθε συνεχή γραμμική μορφή φ έχουμε φ(r λ ) = 0 για κάθε λ, άρα από το Θεώρημα Hahn-Banach R λ = 0 για κάθε λ, άτοπο. Παρατήρηση 6.11 Ακολουθεί μια πιό σύντομη απόδειξη του τελευταίου βήματος. Διατηρούμε τους συμβολισμούς της προγούμενης απόδειξης Οταν λ > A έχουμε R λ = 1 λ f(λ) = φ(r λ ) = 1 λ ( I A ) 1 = 1 λ λ 30 n=0 φ(a n ) λ n. n=0 ( ) n A, άρα λ

35 Η σειρά αυτή συγκλίνει ομοιόμορφα στα συμπαγή υποσύνολα του {λ C : λ > A }. Επομένως, ολοκληρώνοντας σε μια περιφέρεια γ(t) = re is, s [0, 2π] με ακτίνα r > A, έχουμε f(λ)dλ = γ γ φ(a k 1 ) λ dλ = φ(a k ) k+1 k=0 k=0 (ομοιόμορφη σύγκλιση) = φ(a 0 ) γ γ 1 dλ λk+1 1 λ dλ = 2πiφ(A0 ). Ομως η f είναι ακέραια, συνεπώς το f(λ)dλ μηδενίζεται. Επομένως φ(i) = γ φ(a 0 ) = 0 για κάθε συνεχή γραμμική μορφή φ και άρα I = 0, άτοπο. 6.2 Το φάσμα ενός τελεστή Αν X είναι χώρος Banach, ένα στοιχείο T της άλγεβρας Banach B(X ) είναι αντιστρέψιμο αν και μόνον αν είναι 1-1 και επί (γιατί ο αντίστροφός του είναι αυτομάτως φραγμένος από το Θεώρημα Ανοικτής Απεικόνισης (1.8)). Παρατήρηση 6.12 Ενας τελεστής T B(X ) είναι αντιστρέψιμος αν και μόνον αν είναι κάτω φραγμένος (δηλαδή υπάρχει δ > 0 ώστε T x δ x για κάθε x X ) και έχει πυκνό σύνολο τιμών. Απόδειξη Είναι σαφές ότι ένας αντιστρέψιμος τελεστής ικανοποιεί τις δύο αυτές συνθήκες (με δ = T 1 1 ). Αντίστροφα, αν Y = T (X ), η ανισότητα T x δ x δείχνει ότι η απεικόνιση S o : Y X : T x x είναι καλά ορισμένη (γιατί ο T είναι 1-1) και φραγμένη (από 1). Προφανώς η S δ o είναι γραμμική. Συνεπώς, ο S o επεκτείνεται σε φραγμένο τελεστή S : Y X με ST x = x για κάθε x X και T Sy = y για κάθε y Y (γιατί;). Επομένως, αν Y = X, τότε ο T είναι αντιστρέψιμος και S = T 1. Από την Παρατήρηση αυτή προκύπτει ότι το φάσμα ενός τελεστή A μπορεί να αναλυθεί σε περισσότερα κομμάτια (που δεν έχουν έννοια για ένα στοιχείο μιας αυθαίρετης άλγεβρας Banach): Αν λ σ(a), μπορεί ο A λi να μην είναι κάτω φραγμένος (ειδικότερα, να μην είναι 1-1) ή να μην έχει πυκνό σύνολο τιμών (ή και τα δύο). Αυτό οδηγεί στους ακόλουθους ορισμούς: 31

36 Ορισμός 6.3 Εστω A B(X ). Το σημειακό φάσμα (point spectrum) σ p (A) του A είναι το σύνολο των ιδιοτιμών του: σ p (A) = {λ C : ker(a λi) {0}}. Το προσεγγιστικά σημειακό φάσμα (approximate point spectrum) σ a (A) του A είναι το σύνολο των προσεγγιστικών ιδιοτιμών (approximate eigenvalues), δηλαδή το σύνολο των λ ώστε ο A λi να μην είναι κάτω φραγμένος: σ a (A) = {λ C : ε > 0 x ε X : (A λi)x ε < ε x ε }. Το φάσμα συμπίεσης (compression spectrum) σ c (A) του A είναι το σύνολο σ c (A) = {λ C : (A λi)(x ) X }. Ενα λ C είναι προσεγγιστική ιδιοτιμή του A αν και μόνον αν υπάρχει ακολουθία (x n ) X με x n = 1 ώστε (A λi)x n Παράρτημα: Μελέτη του φάσματος Τα σύνολα σ a (A) και σ c (A) δεν είναι ξένα εν γένει. Σε χώρους πεπερασμένης διάστασης είναι ίσα και ταυτίζονται με το (σημειακό) φάσμα. Σε απειροδιάστατους χώρους μπορεί να μην ταυτίζονται. 12 Πάντοτε όμως, όπως προκύπτει από την παρατήρηση 6.12, Πρόταση 6.13 Η ένωση σ a (A) σ c (A) ισούται με σ(a). Το φάσμα συμπίεσης είναι κατά κάποιον τρόπο δυϊκό προς το σημειακό φάσμα. Αυτό φαίνεται πιο εύκολα σε χώρους Hilbert. Θα χρειασθεί ένα Λήμμα: Λήμμα 6.14 Εστω H χώρος Hilbert και T B(H). Τότε ker T = (T (H)) και T (H) = (ker T ). Επομένως ο T είναι 1-1 αν και μόνον αν το σύνολο τιμών του T είναι πυκνό. 12 Για παράδειγμα, όπως θα δούμε στο 6.16, για τον τελεστή της μετατόπισης S, το σ a (S) είναι η μοναδιαία περιφέρεια T, ενώ το σ c (S) είναι ο ανοικτός μοναδιαίος δίσκος D, οπότε σ c (S) σ a (S) =. 32

37 Απόδειξη Εχουμε T x = 0 αν και μόνον αν T x, y = 0 για κάθε y H, αν και μόνον αν x, T y = 0 για κάθε y H, αν και μόνον αν το x είναι κάθετο στο σύνολο τιμών του T. Για την δεύτερη ισότητα, εφαρμόζοντας την πρώτη στον T έχουμε (ker T ) = (T (H)) = T (H). Λήμμα 6.15 Εστω H χώρος Hilbert και T B(H). Τότε (i) σ(t ) = { λ : λ σ(t )} (ii) σ p (T ) = { λ : λ σ c (T )} και σ c (T ) = { λ : λ σ p (T )}. Απόδειξη Οι σχέσεις AB = I = BA και B A = I = A B είναι ισοδύναμες. Επομένως ο A είναι αντιστρέψιμος αν και μόνον αν ο A είναι αντιστρέψιμος και μάλιστα (A ) 1 = (A 1 ). Η (i) έπεται θέτοντας A = T λi. Για την (ii), εφαρμόζουμε το προηγούμενο Λήμμα: έχουμε ker(t λi) {0} αν και μόνον αν το (T λi)(h) δεν είναι πυκνό. Παράδειγμα 6.16 Αν S B(l 2 (N)) είναι ο τελεστής της μετατόπισης Se n = e n+1, τότε σ p (S) =, σ a (S) = T, σ c (S) = D και άρα σ(s) = D (όπου D ο ανοικτός μοναδιαίος δίσκος και T η μοναδιαία περιφέρεια). Απόδειξη (i) Η σχέση Sx = x για κάθε x l 2 δείχνει ότι S = 1, άρα σ(s) D (Πόρισμα 6.8). (ii) Εστω λ C και x = (x n ) l 2 ώστε Sx = λx, δηλαδή (0, x 1, x 2,...) = (λx 1, λx 2,...). Αν λ = 0 τότε η σχέση αυτή δείχνει ότι x = 0. Αν λ 0 τότε από την σχέση λx 1 = 0 έχουμε x 1 = 0, από την σχέση λx 2 = x 1 έχουμε x 2 = 0 και ούτω καθεξής, άρα πάλι x = 0. Επομένως σ p (S) =. (iii) Ισχυρίζομαι ότι σ p (S ) = D. Τότε (από το Λήμμα 6.15) θα έχουμε σ c (S) = D, οπότε D σ(s) D, άρα σ(s) = D εφόσον το σ(s) είναι κλειστό. Πράγματι, έστω λ C και x = (x n ) l 2, x 0 τέτοιο ώστε S x = λx, δηλαδή (x 2, x 3,...) = (λx 1, λx 2,...). Τότε x 2 = λx 1, x 3 = λx 2 = λ 2 x 1 και γενικά x n+1 = λ n x 1. Επειδή x l 2, έπεται ότι n λ 2n < (διότι x 1 0 αφού x 0) άρα λ < 1. 33

38 Αντίστροφα αν λ D τότε το διάνυσμα x = (1, λ, λ 2,...) είναι μη μηδενικό στοιχείο του l 2 και ικανοποιεί S x = λx, άρα λ σ p (S ). (iv) Εφόσον σ a (S) σ(s) = D, για να δείξουμε ότι σ a (S) = T, μένει να δειχθεί ότι αν λ D τότε λ / σ a (S), δηλαδή ότι ο S λi είναι κάτω φραγμένος. Πράγματι για κάθε x l 2 έχουμε (S λi)x Sx λx = x λx = (1 λ ) x. Παράδειγμα 6.17 Ορίζουμε την απεικόνιση T : c 00 c 00 από την σχέση T e n = 1 n e n+1 (και επεκτείνουμε γραμμικά). Ελέγχεται εύκολα ότι ο T x 2 x 2 για κάθε x c oo, άρα ο T επεκτείνεται σε φραγμένο τελεστή από τον l 2 στον εαυτό του (που συμβολίζουμε επίσης με T ). Σημείωσε ότι T = SD όπου S είναι ο τελεστής της μετατόπισης και De n = 1 n e n. Τότε σ(t ) = {0}. Μάλιστα σ p (T ) = και σ a (T ) = σ c (T ) = {0}. Εφόσον σ(d) = { 1 n : n N} {0} και σ(s) = D, το παράδειγμα αυτό δείχνει ότι το σ δεν συμπεριφέρεται καλά ως προς την σύνθεση τελεστών. Απόδειξη (i) Κατ αρχήν ισχύει ότι 0 σ a (T ) γιατί (T 0)e n = 1 n 0. Ομως 0 / σ p (T ) διότι οι S και D είναι 1-1, άρα και ο T = SD είναι 1-1. Επίσης 0 σ c (T ) διότι T e n, e 1 = 0 για κάθε n N, άρα T x, e 1 = 0 για κάθε x l 2, άρα e 1 (T 0)(l 2 ). (ii) Εστω λ 0. Θα δείξουμε ότι ο T λ = λi T = λ(i T λ ) είναι αντιστρέψιμος, οπότε θα έχουμε σ(t ) = {0} και σ p (T ) =. Παρατηρούμε ότι T k 1 k! γιατί άρα ( ) T k x n e n = n=1 ( ) T 2 k x n e n = n=1 n=1 n=1 x n n(n + 1)... (n + k 1) e n+k x n 2 (n(n + 1)... (n + k 1)) 2 1 (k!) 2 Επομένως ( ) T k λ 1, άρα k! λ k ( ) T k λ 1 1 k! λ k = exp 1 λ k=0 k=0 x n 2. n=1 34

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το Φασµατικό Θεώρηµα - Εισαγωγή. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το Φασµατικό Θεώρηµα - Εισαγωγή. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το Φασµατικό Θεώρηµα - Εισαγωγή Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Η έννοια του ϕάσµατος. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Η έννοια του ϕάσµατος. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Η έννοια του ϕάσµατος Αριστείδης Κατάβοος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ). Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για

Διαβάστε περισσότερα

Καλώς ήρθατε στους Γραμμικούς Τελεστές! http://eclass.uoa.gr/courses/math122/ Εαρινό Εξάμηνο 2014-15 Χώροι με εσωτερικό γινόμενο Ορισμός Εστω E K-γραμμικός χώρος (K = R ή C). Ενα εσωτερικό γινόμενο (inner

Διαβάστε περισσότερα

x, y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. x k y k. k=1 k=1

x, y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. x k y k. k=1 k=1 Σημειώσεις για τους χώρους Hilbert και άλλα Αριστείδης Κατάβολος Από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Θεωρία Τελεστών», εκδ. «Συμμετρία», 2008. Περιεχόμενα I Χώροι Hilbert 1 1 Εσωτερικά γινόμενα 1 1.0.1 Παραδείγματα.........................

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές του μεταθετικού Θεωρήματος Gelfand-Naimark σε μη μεταθετικές C* άλγεβρες

Εφαρμογές του μεταθετικού Θεωρήματος Gelfand-Naimark σε μη μεταθετικές C* άλγεβρες Εφαρμογές του μεταθετικού Θεωρήματος Gelfand-Naimark σε μη μεταθετικές C* άλγεβρες 1 Εξάρτηση του φάσματος από την άλγεβρα Έστω A άλγεβρα Banach με μονάδα 1 και B Ď A κλειστή υπάλγεβρα που περιέχει την

Διαβάστε περισσότερα

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine.

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine. 8 Έστω (, ) 4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα 4. θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldste. χώρος με νόρμα. Υπενθυμίζουμε ότι η ασθενής τοπολογία T του έχει ως βάση ( ανοικτών ) περιοχών του όλα τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και

Διαβάστε περισσότερα

π B = B και άρα η π είναι ανοικτή απεικόνιση.

π B = B και άρα η π είναι ανοικτή απεικόνιση. 3 Παράρτημα 2 Παρατηρήσεις, ασκήσεις και Διορθώσεις Παράγραφος ) Σελίδα, : Παρατηρούμε τα ακόλουθα για το χώρο πηλίκο / Y : Y = / Y και (α) { } (β) = Y / Y { } Επίσης από τον τύπο () έπεται ιδιαίτερα ότι

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Θεώρημα 1 Έστω ¹ X συμπαγής χώρος Hausdorff και έστω C R (X η πραγματική άλγεβρα όλων των συνεχών συναρτήσεων f : X R. Έστω ότι ένα υποσύνολο A C R (X (1 το A είναι υπάλγεβρα

Διαβάστε περισσότερα

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y. 2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω (, ) και (, ) {( x, ) : x και } χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται χώρος με

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 1: Νόρμες Διανυσμάτων και Πινάκων Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Δ.Π.Μ.Σ. Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

= lim. (P QP ) n x, x. E(Ex) = lim. (P QP ) m P x = Ex, EP x = lim

= lim. (P QP ) n x, x. E(Ex) = lim. (P QP ) m P x = Ex, EP x = lim Άσκηση: Η προβολή στην τομή δύο υποχώρων Αν P, Q είναι δύο ορθές προβολές σε έναν χώρο Hilbert H και R = P Q είναι η προβολή στην τομή im P im Q, δείξτε ότι, για κάθε x H, Rx = lim (P QP ) x = lim (P Q)

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Αβελιανές Αλγεβρες von Neumann. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Αβελιανές Αλγεβρες von Neumann. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Αβελιανές Αλγεβρες von Neumann Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχειώδεις τελεστές στην άλγεβρα των adjointable τελεστών σε Hilbert πρότυπα

Στοιχειώδεις τελεστές στην άλγεβρα των adjointable τελεστών σε Hilbert πρότυπα Στοιχειώδεις τελεστές στην άλγεβρα των adjointable τελεστών σε Hilbert πρότυπα Χαράλαμπος Μαγιάτης Ανάλυση & Κβαντική Θεωρία Πληροφορίας Σεμινάριο Τμήματος Μαθηματικών ΕΚΠΑ 17/05/2019 1 / 56 Hilbert C

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Φασματική Θεωρία Αλγεβρών Banach. A. Kατάβολος

Εισαγωγή στην Φασματική Θεωρία Αλγεβρών Banach. A. Kατάβολος Εισαγωγή στην Φασματική Θεωρία Αλγεβρών Banach A. Kατάβολος Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 1999 Μερική Αναθεώρηση, 2017 Περιεχόμενα 1 Πρώτοι ορισμοί 2 2 Παραδείγματα 3 2.1...................................

Διαβάστε περισσότερα

1 Χώροι πηλίκα { } x = y x y Y. Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον

1 Χώροι πηλίκα { } x = y x y Y. Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον Χώροι πηλίκα Έστω διανυσματικός χώρος και Y διανυσματικός υπόχωρος του. Για κάθε θεωρούμε το σύμπλοκο σχετικά με τον Y, = + y y Y = + Y ορ { : } δηλαδή το είναι η παράλληλη μεταφορά του Y κατά το διάνυσμα.

Διαβάστε περισσότερα

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y. 2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω ( X, ) και (, ) X Y {( x, ) : x X και Y} Y χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t)

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t) Κεφάλαιο 7 Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων 7.1 Ακολουθίες συναρτήσεων: κατά σημείο σύγκλιση Ορισμός 7.1.1. Εστω X σύνολο, (Y, ρ) μετρικός χώρος και f n, f : X Y (n = 1, 2,...). Λέμε ότι η ακολουθία συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους.

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. 7 3.5 Το θεώρημα Hah-Baach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. Εξετάζουμε καταρχήν τη σχέση μεταξύ ενός μιγαδικού διανυσματικού χώρου E και του υποκείμενου πραγματικού χώρου E R. Έστω E μιγαδικός διανυσματικός

Διαβάστε περισσότερα

A :H. S B(H) unilateral shift : Se n = e n+1, n Z + και U B(K) bilateral shift : Ue n = e n+1, n Z. X 0 0 S Y S. U m = B = D A.

A :H. S B(H) unilateral shift : Se n = e n+1, n Z + και U B(K) bilateral shift : Ue n = e n+1, n Z. X 0 0 S Y S. U m = B = D A. Διαστολές Τελεστών 1 Εισαγωγή Αν H είναι 1 κλειστός υπόχωρος χώρου Hilbert K, κάθε B B(K) ορίζει έναν A B(H) ως εξής: A :H B K P H x Bx P Bx όπου P B(K) η ορθή προβολή στον H. Δηλαδή A = P B H ή AP = P

Διαβάστε περισσότερα

2. d(x, y) = 0 x = y. 3. d(x, y) = d(y, x)

2. d(x, y) = 0 x = y. 3. d(x, y) = d(y, x) Τελεστές σε χώρους Hilbert Γεωργάτος Σπυρίδων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μαθηματικών Επιτροπή Επιβλέπων: Φελουζής Ευάγγελος - Αναπληρωτής Καθηγητής Μέλη : Τσολομύτης Αντώνιος - Καθηγητής Νικολόπουλος Χρήστος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ

Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ 8 5 Το θεώρημα Kre-Mlm Βασικές ιδιότητες συμπαγών και κυρτών συνόλων. Ορισμός 5. Έστω X διανυσματικός χώρος και Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ λέγεται ακραίο ( extreme ) σημείο του Κ, αν δεν είναι γνήσιος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Φασματική Θεωρία Αλγεβρών Banach. A. Kατάβολος

Εισαγωγή στην Φασματική Θεωρία Αλγεβρών Banach. A. Kατάβολος Εισαγωγή στην Φασματική Θεωρία Αλγεβρών Banach A. Kατάβολος Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 1999 Αναθεώρηση, 2019 Περιεχόμενα 1 Πρώτοι ορισμοί 2 2 Παραδείγματα 3 2.1...................................

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση ( ) Φυλλάδιο Ασκήσεων 3

Αρµονική Ανάλυση ( ) Φυλλάδιο Ασκήσεων 3 Αρµονική Ανάλυση (2017 2018) Φυλλάδιο Ασκήσεων 3 0. (α) Εστω f L (T). είξτε ότι σ n ( f ) f n N. (ϐ) Εστω f L (T). είξτε ότι (γ) είξτε ότι S n ( f ) f + n k=1 sin(kt) k n k= n [Υπόδειξη: Για το (γ) ϑεωρήστε

Διαβάστε περισσότερα

A, και εξετάστε αν είναι διαγωνίσιμη.

A, και εξετάστε αν είναι διαγωνίσιμη. Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Θεώρημα (Κριτήριο διαγωνισιμότητας) Ένας είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν ( x) γινόμενο διακεκριμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

B = F i. (X \ F i ) = i I

B = F i. (X \ F i ) = i I Κεφάλαιο 3 Τοπολογία μετρικών χώρων Ομάδα Α 3.1. Εστω (X, ρ) μετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το G \ F είναι

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Συµπαγείς τελεστές. Κεφάλαιο Τελεστές πεπερασµένης τάξης. n. Γράφουµε rank(t ) = n. Αν οι E, F είναι χώροι µε νόρµα, συµβολίζουµε

Συµπαγείς τελεστές. Κεφάλαιο Τελεστές πεπερασµένης τάξης. n. Γράφουµε rank(t ) = n. Αν οι E, F είναι χώροι µε νόρµα, συµβολίζουµε Κεφάλαιο 3 Συµπαγείς τελεστές 3.1 Τελεστές πεπερασµένης τάξης Ορισµός 3.1.1 Μια γραµµική απεικόνιση T : E F µεταξύ δύο γραµµικών χώρων E, F λέγεται τάξης n (n N) αν ο υπόχωρος T (E) = im T έχει διάσταση

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1),

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1), Κεφάλαιο 6 Συμπάγεια 6.1 Ορισμός της συμπάγειας Οπως θα φανεί στην αμέσως επόμενη παράγραφο, υπάρχουν διάφοροι τρόποι με τους οποίους μπορεί κανείς να εισάγει την έννοια του συμπαγούς μετρικού χώρου. Ο

Διαβάστε περισσότερα

βαθμού 1 με A 2. Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των

βαθμού 1 με A 2. Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου γραμμικής απεικόνισης και ιδιότητές του Κριτήριο διαγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

Δώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας

Δώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Δώδεκα Αποδείξεις του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Mία εκδοχή της αρχικής απόδειξης του Gauss f ( z) = T ( z) + iu ( z) T = r cos φ + Ar 1 cos(( 1) φ + α) + + L cosλ U = r si φ + Ar 1 si(( 1) φ

Διαβάστε περισσότερα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 Κεφάλαιο 8 Κ Α Ν Ο Ν Ι Κ Ε Σ Μ Ο Ρ Φ Ε Σ 8. Διαγωνοποίηση πίνακα Ορισμός 8.α Ένας πίνακας M n ( ) oνομάζεται διαγωνοποιήσιμος στο αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P M

Διαβάστε περισσότερα

a = a a Z n. a = a mod n.

a = a a Z n. a = a mod n. Αλγεβρα Ι Χειμερινο Εξαμηνο 2017 18 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Πράξεις: Πράξεις στο σύνολο S, ο πίνακας της πράξης, αντιμεταθετικές πράξεις. Προσεταιριστικές πράξεις, το στοιχείο a 1 a 2 a n. Η πράξη «σύνθεση

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

Je rhma John L mma Dvoretzky-Rogers

Je rhma John L mma Dvoretzky-Rogers Kefˆlaio 2 Je rhma Joh L mma Dvoretzky-Rogers 2.1 Elleiyoeidèc mègistou ìgkou eìc kurtoô s matoc Ορισμός 2.1.1. Ελλειψοειδές στον R είναι ένα κυρτό σώμα της μορφής { } (2.1.1) E = x R x, v i 2 : 1, όπου

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Καλώς ήρθατε στη Θεωρία Γραμμικών Τελεστών! (712 & ΘΕΜ.13) http://eclass.uoa.gr/courses/math492/ Εαρινό Εξάμηνο 2015-16 Τελεστές Γουατ ιζ αν Οπερέιτωρ; Παράδειγμα 1. T : f a 1 f + a 2 f + a 3 f : διαφορικός

Διαβάστε περισσότερα

Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα

Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα 33.4.Συνεχείς συναρτήσεις Η έννοια της συνεχούς συνάρτησης είναι θεμελιώδης και μελετάται κατ αρχήν για συναρτήσεις μιας και κατόπιν δύο ή περισσότερων μεταβλητών στα μαθήματα του Απειροστικού Λογισμού.

Διαβάστε περισσότερα

j=1 x n (i) x s (i) < ε.

j=1 x n (i) x s (i) < ε. Κεφάλαιο 5 Πληρότητα 5.1 Πλήρεις μετρικοί χώροι Ορισμός 5.1.1 (πλήρης μετρικός χώρος). Ενας μετρικός χώρος (X, ρ) λέγεται πλήρης (complete) αν κάθε ρ βασική ακολουθία (x n ) στον X είναι ρ συγκλίνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα.

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα. Ασκήσεις 0 Ασκήσεις Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα o H -στήλη του P P είναι E αν και μόνο αν η -στήλη του P είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 07, 2 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Συμμετρικοί και θετικά ορισμένοι πίνακες. Η ανάλυση Cholesky 2. Νόρμες

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

n = r J n,r J n,s = J

n = r J n,r J n,s = J Ανάλυση Fourer και Ολοκλήρωμα Lebesgue (2011 12) 4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω E [a, b] με µ (E) = 0. Δείξτε ότι το [a, b] \ E είναι πυκνό υποσύνολο του [a, b]. Υπόδειξη. Θεωρήστε ένα μη κενό

Διαβάστε περισσότερα

sup(a + B) = sup A + sup B inf(a + B) = inf A + inf B.

sup(a + B) = sup A + sup B inf(a + B) = inf A + inf B. Ασκήσεις, Φυλλάδιο. Βρειτε το συνολο Φ A ολων των ανω ϕραγματων του A, και το συνολο φ A ολων των κατω ϕραγματων του A, οταν: a) A = m :, m N}, b) A = + m 2. Βρειτε το if και sup οποτε υπαρχουν) των συνολων

Διαβάστε περισσότερα

Μία απεικόνιση από ένα διανυσματικό χώρο V στον εαυτό του, L : V V την ονομάζουμε γραμμικό τελεστή στο V (ή ενδομορφισμό του V ). Ορισμός. L : V V γρα

Μία απεικόνιση από ένα διανυσματικό χώρο V στον εαυτό του, L : V V την ονομάζουμε γραμμικό τελεστή στο V (ή ενδομορφισμό του V ). Ορισμός. L : V V γρα Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 15 Αναλλοίωτοι Υπόχωροι, Ιδιόχωροι Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 2/5/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 15 2/5/2014 1 / 12 Μία απεικόνιση από ένα διανυσματικό

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Διδάσκων : Επίκ Καθ Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αναλυτική χωρητικότητα Συνεχής αναλυτική χωρητικότητα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αναλυτική χωρητικότητα Συνεχής αναλυτική χωρητικότητα Μιχάλης Παπαδημητράκης Αναλυτική χωρητικότητα Συνεχής αναλυτική χωρητικότητα 1 Παράγωγος στο. Ας θυμηθούμε ότι μια μιγαδική συνάρτηση f ορισμένη σε ένα υποσύνολο του μιγαδικού επιπέδου λέμε ότι είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Στο πρώτο μέρος αυτού του κεφαλαίου συνοψίζουμε όσα είναι απαραίτητα για την εύρεση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα Στο δεύτερο μέρος αναπτύσσονται

Διαβάστε περισσότερα

5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους

5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους 121 5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους Στο κεφάλαιο αυτό πρόκειται να μελετήσουμε την έννοια της σύγκλισης σε γενικούς τοπολογικούς χώρους, πέραν των μετρικών χώρων. Όπως έχουμε ήδη διαπιστώσει ( πρβλ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 14, 30 Απριλίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Χώροι με εσωτερικό γινόμενο (Ευκλείδειοι χώροι) 2. Βέλτιστες προσεγγίσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων

Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων Πρ. Η f : [0, ] R είναι συνεχής στο [0, ]. Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα Bolzao- Weierstraß δείξτε ότι η f είναι φραγμένη στο [0, ]. Μην επικαλεστείτε κάποιο άλλο θεώρημα.

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ. (στην περίπτωση, που γνωρίζουμε το πεδίον ορισμού του δείκτου, θα

Η ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ. (στην περίπτωση, που γνωρίζουμε το πεδίον ορισμού του δείκτου, θα Η ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ Η μετρική του χώρου Στην ορίσαμε το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων μέσω των συντεταγμένων τους, όταν οι συντεταγμένες αυτές λαβαίνονται σε ένα Καρτεσιανό σύστημα αναφοράς του Ερχόμαστε,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 4 Ιουνίου

Διαβάστε περισσότερα

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

Καλώς ήρθατε στη Θεωρία Γραμμικών Τελεστών! (712) http://eclass.uoa.gr/courses/math122/ Χειμερινό Εξάμηνο 2017-18: Εβδομάδες 1 ως 8 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγικά 2 Γραμμικοί χώροι 3 Χώροι με εσωτερικό γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιμοποιώντας τανυστικά γινόμενα και εφαρμόζοντας το θεώρημα των Wedderbur-Art ( 33) θα αποδείξουμε δύο θεμελιώδη θεωρήματα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *

Διαβάστε περισσότερα

Φασµατικη θεωρια µη φραγµενων γραµµικων τελεστων

Φασµατικη θεωρια µη φραγµενων γραµµικων τελεστων Φασµατικη θεωρια µη φραγµενων γραµµικων τελεστων Πτυχιακη Εργασια Ιωσηφιδης Ηλιας Α.Μ: 311/2329 Επιβλεπων : Τσολοµυτης Αντωνης A Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Αιγαιου Σαµος 27 Εξεταστικη Επιτροπη : Τσολοµύτης

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 5: Κανονικοί Πίνακες Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Δ.Π.Μ.Σ. Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Εθνικό

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n Οι ασκήσεις αυτές έχουν σκοπό να βοηθήσουν τους φοιτητές στην μελέτη τους για το μάθημα «Ανάλυση ΙΙ» του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αιγαίου. Συνιστούμε στους φοιτητές να επεξεργαστούν αυτές

Διαβάστε περισσότερα

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό 81 3.2 Το θεώρημα Tychooff. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με το θεώρημα Tychooff, δηλαδή ότι ένα αυθαίρετο καρτεσιανό γινόμενο συμπαγών χώρων είναι, με την τοπολογία γινόμενο, συμπαγής χώρος. Το θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

Καλώς ήρθατε στη Θεωρία Γραμμικών Τελεστών! (712) http://eclass.uoa.gr/courses/math122/ Χειμερινό Εξάμηνο 2017-18 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγικά 2 Γραμμικοί χώροι 3 Χώροι με εσωτερικό γινόμενο 4 Χώροι Hilbert

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Ενα δεύτερο μάθημα στις πιθανότητες Περιεχόμενα Μέρος I Γνώσεις Θεωρίας Μέτρου 1 1 σ-άλγεβρες 3 1.1 σ-άλγεβρες 3 1.2 Παραγόμενη σ-άλγεβρα 5 1.3 Τα σύνολα Borel 6 Ασκήσεις 7 2 Μέτρα 9 2.1 Μέτρα σε μετρήσιμο

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων 7 Βασικά σημεία Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορισμός, Ερμιτιανού πίνακα και μοναδιαίου πίνακα Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1, I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Απειροστικού Λογισμού ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Περιεχόμενα Υπακολουθίες και ακολουθίες Cuchy Σειρές πραγματικών αριθμών 3 3 Ομοιόμορφη συνέχεια 3 4 Ολοκλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Bursde a b Θα αποδείξουμε εδώ ότι κάθε ομάδα τάξης pq ( p, q πρώτοι) είναι επιλύσιμη Το θεώρημα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιμοποίησε τη νέα

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue: Εγχειρίδιο χρήσης.

Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue: Εγχειρίδιο χρήσης. Κεφάλαιο 1 Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue: Εγχειρίδιο χρήσης. Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Stein and Shakarchi 2009 και Wheeden 2015. 1.1 Μέτρο Lebesgue στο R Αν E R το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα