ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΠΟΙΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ (FFD) ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΒΕΛΤΙΣΤΗΣ ΑΕΡΟ ΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΧΕ ΙΑΣΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΠΟΙΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ (FFD) ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΒΕΛΤΙΣΤΗΣ ΑΕΡΟ ΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΧΕ ΙΑΣΗΣ"

Transcript

1 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ & ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΠΟΙΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ (FFD) ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΒΕΛΤΙΣΤΗΣ ΑΕΡΟ ΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΧΕ ΙΑΣΗΣ Εργασία που υπεβλήθη για την µερική ικανοποίηση των απαιτήσεων για την απόκτηση Μεταπτυχιακού ιπλώµατος Ειδίκευσης υπό ΕΛΕΥΘΕΡΙΟ Ι. ΑΜΟΙΡΑΛΗ Χανιά 2005

2 Copyright υπό Ελευθέριο Ι. Αµοιραλή Έτος: 2005

3 Η εργασία του Αµοιραλή Ι. Ελευθερίου, εγκρίνεται από τους Ιωάννη Νικολό (επιβλέπων), Γεωργιλάκη Παύλο και Τσουρβελούδη Νικόλαο. 1) ρ. Ιωάννης Κ. Νικολός 2) ρ. Παύλος Γεωργιλάκης 3) ρ. Νικόλαος Τσουρβελούδης

4 Ο Ελευθέριος Ι. Αµοιραλής γεννήθηκε στην Αθήνα το Έχει δίπλωµα Μηχανικού Παραγωγής και ιοίκησης από το Πολυτεχνείο Κρήτης µε βαθµό 7.70 και 9 ος σε σειρά αποφοίτησης, ενώ ολοκληρώνει το Μεταπτυχιακό Πρόγραµµα Ειδίκευσης στα «Συστήµατα Παραγωγής» του τµήµατος Μηχανικών Παραγωγής και ιοίκησης του Πολυτεχνείου Κρήτης. Ο τοµέας έρευνάς του είναι η βέλτιστη αεροδυναµική σχεδίαση.

5 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Με το πέρας της παρούσας ερευνητικής µεταπτυχιακής διατριβής και ουσιαστικά την ολοκλήρωση του Μεταπτυχιακού ιπλώµατος Ειδίκευσης αισθάνοµαι την ανάγκη να ευχαριστήσω για δεύτερη συνεχόµενη χρονιά τον επιβλέποντα Λέκτορα Ιωάννη Νικολό. Καθ όλη την διάρκεια της άψογης συνεργασίας µας, τόσο σε προπτυχιακό όσο και σε µεταπτυχιακό επίπεδο, µου στάθηκε πρώτα σαν άνθρωπος, δίνοντας µου δύναµη και κίνητρο για να συνεχίσω τη δύσκολη δουλειά που µου ανέθεσε και έπειτα σαν επιστήµονας καθοδηγώντας µε, µε τις γνώσεις, τις ιδέες και τις συµβουλές του. Θα ήθελα επίσης να ευχαριστήσω τον επίκουρο καθηγητή Γεωργιλάκη Παύλο και τον επίκουρο καθηγητή Τσουρβελούδη Νικόλαο, οι οποίοι µε τίµησαν αποδεχόµενοι να συµµετάσχουν ως µέλη της τριµελής εξεταστικής επιτροπής. Επιπροσθέτως θα ήθελα να ευχαριστήσω το φίλο και συνεργάτη Σαρακηνό Σωτήρη, ο οποίος βοήθησε στην πραγµατοποίηση αυτής της διατριβής καθώς επίσης και την εκλεκτή ερευνητική οµάδα και συµφοιτητές µου. Τέλος, το µεγαλύτερο ευχαριστώ αξίζει στην οικογένεια µου που µε την αµέριστη συµπαράσταση τους κατά τη διάρκεια των σπουδών µου υπήρξαν η κινητήρια δύναµη από το πρώτο έτος µέχρι την αποφοίτηση µου από το Πολυτεχνείο Κρήτης.

6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ vi ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΠΟΙΗΣΗ Κατηγορίες Παραµετροποίησης Σύγκριση των µεθόδων παραµετροποίησης ΠΑΡΑΛΛΑΓΕΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Υλοποίηση της τεχνικής της Ελεύθερης Παραµόρφωσης (FFD) ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΚΥΡΙΟΤΕΡΩΝ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ (FFD) Η βασική παραλλαγή των [Sederberg and Parry, 1986] Αναλυτική παρουσίαση των βηµάτων της τεχνικής της Ελεύθερης Παραµόρφωσης βασισµένη σε αυθαίρετο όγκο αναφοράς [Coquillart, 1990] Η παραλλαγή της Ελεύθερης Παραµόρφωσης βασισµένη σε ανοµοιόµορφες ρητές καµπύλες BSplines (NFFD) [Lamousin and Waggenspack, 1994] Η παραλλαγή των [Song and Yang, 2005] Η χρήση του αλγορίθµου Octree.. 48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ (FFD) Εφαρµογή της Ελεύθερης Παραµόρφωσης (FFD) µε στόχο την ανάκτηση συγκεκριµένης αεροτοµής ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΚΛΑΣΣΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΤΩΝ B-Spline (ή αντίστοιχα των NURBS) Ο ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΕΞΕΛΙΚΤΙΚΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ Η ΙΑ ΙΚΑΣΙΑ ΑΝΑΚΤΗΣΗΣ ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΗΣ ΑΕΡΟΤΟΜΗΣ... 64

7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ vii 2.6 ΤΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ ΤΩΝ ΥΟ ΜΕΘΟ ΩΝ. 64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ (FFD) ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΚΛΑΣΣΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΤΩΝ B-Spline (ή αντίστοιχα των NURBS) ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΝΟΜΗΣ ΠΙΕΣΗΣ ΤΗΣ ΑΕΡΟΤΟΜΗΣ (Cp) ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ ΤΩΝ ΥΟ ΜΕΘΟ ΩΝ.. 88 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ. 114 Ελληνική Βιβλιογραφία. 118 ιεθνής Βιβλιογραφία 118 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Π.Α.1. ΣΥΝΤΟΜΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΚΥΡΙΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΑΕΡΟΤΟΜΩΝ. 124

8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ viii ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Σχήµα 1.1: ιάγραµµα ροής της ρευστοµηχανικής ανάλυσης [Ronzheimer, 2004].. 4 Σχήµα 1.2: Στάδια βελτιστοποίησης κατά την διάρκεια της αεροδυναµικής σχεδίασης [Ronzheimer, 2004]... 5 Σχήµα 1.3: Εσωτερική δοµή πτέρυγας ενός αεροσκάφους [Samareh, June 1999] Σχήµα 1.4: Σχηµατική αναπαράσταση της τεχνικής υπερστοιχείου [Samareh, June 1999] Σχήµα 1.5: Αεροτοµή ορισµένη από ένα σύνολο επιφανειακών σηµείων.. 9 Σχήµα 1.6: Αεροτοµή σχεδιασµένη µε χρήση B-Splines 3ου βαθµού... 9 Σχήµα 1.7: α) Αντικείµενο που έχει υποστεί σταδιακή συρρίκνωση και περιστροφή. β) Τελικό αντικείµενο που έχει υποστεί στρέβλωση και κάµψη [Barr, 1984] Σχήµα 1.8: Σωλήνας στον οποίο εφαρµόζεται τοπικά πλέγµα (αριστερά) και εν συνεχεία παρουσιάζεται το αποτέλεσµα της παραµόρφωσης (δεξιά) [Coquillart and Jancéne, 1991] Σχήµα 1.9: ίσκος πάνω στον οποίο εφαρµόζεται όγκος σε σχήµα αστεριού (αριστερό σχήµα), παραµόρφωση του όγκου (µεσαίο σχήµα) και το τελικό προϊόν (δεξιό σχήµα) [MacCracken and Kenneth, 1996]. 16 Σχήµα 1.10: Συγγενικοί µετασχηµατισµοί [Chang and Rockwood, 1994].. 17 Σχήµα 1.11:Τοπική και ολική παραµόρφωση χρησιµοποιώντας την δυναµική FFD [Faloutsos et al., 1997].. 17 Σχήµα 1.12: Ο βαθµός του όγκου B-Spline είναι 1x2x1, µε 2x4x2 σηµεία ελέγχου [Feng et al., 1997].. 18 Σχήµα 1.13: Το αρχικό αντικείµενο µε τις δύο επιφάνειες (αριστερό σχήµα), παραµορφώνεται τροποποιώντας τις δυο επιφάνειες (δεξιό σχήµα) [Feng et al., 1999].. 19 Σχήµα 1.14: Η αρχική πτέρυγα µε το αρχικό επιφανειακό πλέγµα και τον όγκο ελέγχου (αριστερό σχήµα), βελτιστοποιείται τροποποιώντας τον όγκο ελέγχου

9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ix (δεξιό σχήµα) [Ronzheimer, 2002] Σχήµα 1.15: Ο όγκος που εµπεριέχεται το αντικείµενο υποδιαιρείται ιεραρχικά σε ένα σύνολο από όγκους µεγαλύτερης ακρίβειας [Yutaka et al., 2002] Σχήµα 1.16: Πλήρη τριγωνοποίηση του ανθρώπινου κεφαλιού [Ilic and Fua, 2002] Σχήµα 1.17: Η τεχνική της Ελεύθερης Παραµόρφωσης για τη βελτιστοποίηση του γραµµοσκιασµένου τµήµατος αεροσκάφους [Antreoli et al., 2003]. 21 Σχήµα 1.18: Τα βήµατα της τεχνικής t-ffd [Kazuya and Katsutoshi, 2003].. 22 Σχήµα 1.19: Το αντικείµενο (αριστερό σχήµα) τοποθετείται εντός πεδίου (µεσαίο σχήµα) και παραµορφώνεται µεταβάλλοντας τη µορφή του πεδίου (δεξιό σχήµα) [Hua and Qin, 2003] Σχήµα 1.20: Η τσαγιέρα (αριστερό σχήµα) τοποθετείται εντός πεδίου, που ορίζεται από δυναµικές spline - πεπλεγµένες συναρτήσεις (µεσαίο σχήµα) και παραµορφώνεται µε την µετακίνηση των σηµείων ελέγχου του πεδίου (κορυφές) (δεξιό σχήµα) [Hua and Qin, 2003] Σχήµα 1.21: Είδη παραµόρφωσης. Αρχικά, έχουµε το φυσικό µοντέλο (το πρώτο από αριστερά σχήµα), το οποίο υπόκειται σε κάµψη, σε σταδιακή λέπτυνση στη µέση, σε διόγκωση του πάνω και κάτω µέρος του και τέλος σε σταδιακή λέπτυνση του πάνω και κάτω µέρος του [Hua and Qin, 2003] Σχήµα 1.22: Λέπτυνση στην πλώρη του σκάφους [Hua and Qin, 2003] Σχήµα 1.23: Ο όγκος µέσα στον οποίον περιέχεται η αεροτοµή [Samareh, 2004] Σχήµα 1.24: Η παραµόρφωση της αεροτοµής βάση µιας δισδιάστατης επιφάνειας [Samareh, 2004] Σχήµα 1.25: Η παραµόρφωση της αεροτοµής βάση µιας δισδιάστατης επιφάνειας.[schein and Elber, 2004].. 25 Σχήµα 1.26: Με κόκκινο χρώµα απεικονίζεται το αρχικό πλέγµα της FFD, µέσα στο οποίο τοποθετείται µια αεροτοµή (αριστερό σχήµα), η οποία στη συνέχεια τροποποιείται µε την παραµόρφωση του FFD πλέγµατος (δεξί σχήµα) [Desideri and Janka, 2004].. 25

10 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ x Σχήµα 1.27: Α) το βασικό µοντέλο το οποίο χρησιµοποιήθηκε ως βάση για την παραµόρφωση µε FFD Β, C) τρισδιάστατα παραµορφωµένα µοντέλα, που έχουν παραχθεί µε την τεχνική FFD. D, E) µικροφωτογραφίες φυτοπλαγκτόν [Lyakh, 2002] Σχήµα 1.28: Χαρακτηριστικά της τεχνικής δ-f4 εφαρµοσµένη σε µορφολογικά (Α) και τοπολογικά (Β) χαρακτηριστικά [Cheutet et al., 2004].. 28 Σχήµα 1.29: Αρχικός όγκος αναφοράς [Sederberg and Parry, 1986].. 30 Σχήµα 1.30: Παραµορφωµένος όγκος αναφοράς [Sederberg and Parry, 1986]. 30 Σχήµα 1.31: Σύστηµα τοπικών συντεταγµένων (s, t, u) [Sederberg and Parry, 1986] Σχήµα 1.32: l=1, m=2 και n=3 [Sederberg and Parry, 1986]. 31 Σχήµα 1.33: Οι νέες θέσεις των σηµείων ελέγχου του παραµορφωµένου αντικειµένου [Sederberg and Parry, 1986] Σχήµα 1.34: Τοπικός έλεγχος παραµόρφωσης µε βάση τα σηµεία ελέγχου [Sederberg and Parry, 1986] Σχήµα 1.35: Μετατόπιση των σηµείων ελέγχου & παραµόρφωση αντικειµένου [Sederberg and Parry, 1986] Σχήµα 1.36.: Παραλληλεπίπεδο πλέγµα [Sederberg and Parry, 1986] Σχήµα 1.37: Σφαίρα που παραµορφώθηκε µε τη χρήση παραλληλεπίπεδου πλέγµατος (αριστερά) και κυλινδρικού (δεξιά) [Sederberg and Parry, 1986] Σχήµα 1.38: Κυλινδρικό πλέγµα [Coquillart, 1990]. 34 Σχήµα 1.39: Συνδυασµός ενός παραλληλεπίπεδου µε ένα κυλινδρικό πλέγµα [Coquillart, 1990]. 35 Σχήµα 1.40: Το πλέγµα έχει δηµιουργηθεί από ένα δισδιάστατο πλέγµα [Coquillart, 1990]. 35 Σχήµα 1.41: α) Πλέγµα σε σχήµα S τοποθετηµένο πάνω σε µια σφαίρα β) Το παραµορφωµένο πλέγµα και η παραµορφωµένη επιφάνεια. γ) Το τελικό σχέδιο [Coquillart, 1990] Σχήµα 1.42: α) Ένα κυλινδρικό πλέγµα τοποθετηµένο πάνω σε µια επίπεδη επιφάνεια β) Το παραµορφωµένο πλέγµα και η παραµορφωµένη επιφάνεια. γ) Το τελικό σχέδιο [Coquillart, 1990] Σχήµα 1.43: α) Ένα πλέγµα τοποθετηµένο πάνω σε µια επίπεδη επιφάνεια β) Το 37

11 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ xi παραµορφωµένο πλέγµα και η παραµορφωµένη επιφάνεια. γ) Το τελικό σχέδιο [Coquillart, 1990]... Σχήµα 1.44: α) Ένα πλέγµα τοποθετηµένο πάνω σε µια επίπεδη επιφάνεια β) Μια άλλη µορφή παραµορφωµένου πλέγµατος και η παραµορφωµένη επιφάνεια. γ) Το τελικό σχέδιο [Coquillart, 1990] Σχήµα 1.45: ηµιουργία ηµικυκλίου µε p=3, m=4, n=3, a=4, b=8, c=4 [Lamousin and Waggenspack, 1994].. 38 Σχήµα 1.46: ηµιουργία λαιµού µε p=3, m=5, n=3, a=2, b=6, c=2 38 [Lamousin and Waggenspack, 1994].. 38 Σχήµα 1.47: ηµιουργία στρέβλωσης µε p=3, m=4, n=3, a=4, b=8, c=4 [Lamousin and Waggenspack, 1994] Σχήµα 1.48: ηµιουργία λαιµού µε p=3, m=3, n=3, a=2, b=2, c=2 [Lamousin and Waggenspack, 1994] Σχήµα 1.49: Παραµόρφωση κυλίνδρου αλλάζοντας µόνο τα βάρη των σηµείων ελέγχου [Lamousin and Waggenspack, 1994].. 41 Σχήµα 1.50: ιανύσµατα κόµβων s i και t i [Song and Yang, 2005].. 42 Σχήµα 1.51: Το P1 είναι ένα T-σηµείο ένωσης [Song and Yang, 2005] Σχήµα 1.52: Το περίγραµµα και το T- πλέγµα ελέγχου για επίπεδο αντικείµενο [Song and Yang, 2005] Σχήµα 1.53: Ένα ελάχιστο κελί του T-όγκου [Song and Yang, 2005] Σχήµα 1.54: Μια ακµή µέσα σε ένα T-όγκου [Song and Yang, 2005] Σχήµα 1.55: ηµιουργία T-όγκου, χρησιµοποιώντας την τεχνική Octree [Song and Yang, 2005].. 45 Σχήµα 1.56: Ένα τµήµα του όγκου ελέγχου έχει παραµορφωθεί [Song and Yang, 2005] Σχήµα 1.57: Τροποποίηση ενός δοχείο χρησιµοποιώντας την τεχνική w-tffd για ολική και τοπική παραµόρφωση [Song and Yang, 2005].. 47 Σχήµα 1.58: Παράδειγµα παραµόρφωσης ενός δέντρου πολύπλοκης τοπολογίας [Song and Yang, 2005]. 47 Σχήµα 1.59: Παράδειγµα παραµόρφωσης ενός ρινόκερου [Song and Yang, 2005].. 48 Σχήµα 1.60: Η αρχική διαίρεση του όγκου αναφοράς

12 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ xii Σχήµα 1.61: Η δεύτερη διαίρεση του όγκου αναφοράς Σχήµα 2.1: Επαναληπτική διαδικασία για την ανάκτηση αεροτοµής.. 51 Σχήµα 2.2: Ο αρχικός όγκος και το αντικείµενο πριν την παραµόρφωση.. 53 Σχήµα 2.3: Ο παραµορφωµένος όγκος και το αποτέλεσµα της παραµόρφωσης 54 Σχήµα 2.4: ιάγραµµα ροής του λογισµικού steps1_3.exe.. 56 Σχήµα 2.5: ιάγραµµα ροής της διαδικασίας ανάκτησης της αεροτοµής στόχου µε χρήση του DE.exe και του λογισµικού steps4.exe Σχήµα 2.6: Μορφοποίηση µιας αεροτοµής χρησιµοποιώντας την τεχνική των καµπύλων B-Spline (ή NURBS) 59 Σχήµα 2.7: ιάγραµµα ροής για την ανάκτηση αεροτοµής, χρησιµοποιώντας την τεχνική των καµπύλων B-Spline (ή NURBS) και το λογισµικό βελτιστοποίηση DE.exe Σχήµα 2.8: ιάγραµµα ροής ενός διαφορικού εξελικτικού αλγορίθµου. 61 Σχήµα 2.9: Γραφικό περιβάλλον του ιαφορικού Εξελικτικού αλγορίθµου (DE.exe). 62 Σχήµα 2.10: Παράδειγµα εκτέλεσης ολοκληρωµένου υπολογισµού µε χρήση του DE.exe Σχήµα 2.11: Απεικόνιση των διαφορετικών αρχικών αεροτοµών και της αεροτοµής-στόχου. 66 Σχήµα 2.12: Αποτελέσµατα πειραµάτων για την ανάκτηση της αεροτοµής NACA 4412 (αεροτοµή-στόχος). 67 Σχήµα 2.13: Αποτελέσµατα πειράµατος για την ανάκτηση της αεροτοµής NACA 4412 (αεροτοµή-στόχο) µε αρχική αεροτοµή την NACA 0012 µε 2x7 σηµεία ελέγχου (FFD).. 68 Σχήµα 2.14: Αποτελέσµατα πειραµάτων για την ανάκτηση της αεροτοµής NACA 4412 (αεροτοµή-στόχο) µε αρχική αεροτοµή την NACA 0012 µε 2x13 σηµεία ελέγχου (FFD).. 69 Σχήµα 2.15: Αποτελέσµατα πειραµάτων για την ανάκτηση της αεροτοµής NACA 4412 (αεροτοµή-στόχο) µε αρχική αεροτοµή την NACA 0012 µε 2x25 σηµεία ελέγχου (FFD).. 70 Σχήµα 2.16: Αποτελέσµατα πειράµατος για την ανάκτηση της αεροτοµής NACA 4412 (αεροτοµή-στόχο) µε αρχική αεροτοµή την NACA 0012 µε 27

13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ xiii σηµεία ελέγχου (FFD) Σχήµα 2.17: Ανάκτηση της αεροτοµής NACA 4412 (αεροτοµή-στόχο) µε την τεχνική B-Splines, έχοντας 51 σηµεία ελέγχου. 73 Σχήµα 2.18: Αποτελέσµατα σύγκλισης του αλγορίθµου για την ανάκτηση της αεροτοµής NACA 4412 (αεροτοµή-στόχος) µε αρχική αεροτοµή την NACA 0012 και διαφορετικές τοπολογίες πλεγµάτων.. 74 Σχήµα 2.19: Αποτελέσµατα σύγκλισης του διαφορικού εξελικτικού αλγορίθµου για 15 σηµεία ελέγχου.. 75 Σχήµα 2.20: Αποτελέσµατα σύγκλισης του διαφορικού εξελικτικού αλγορίθµου για 27 σηµεία ελέγχου.. 76 Σχήµα 2.21: Αποτελέσµατα σύγκλισης του διαφορικού εξελικτικού αλγορίθµου για 50 σηµεία ελέγχου.. 77 Σχήµα 3.1: Η επαναληπτική διαδικασία αντίστροφης σχεδίασης αεροτοµής 79 Σχήµα 3.2: ιάγραµµα ροής του λογισµικού steps1_3.exe.. 81 Σχήµα 3.3.: ιάγραµµα ροής για την ανάκτηση αεροτοµής µε την τεχνική της Ελεύθερης Παραµόρφωσης Σχήµα 3.4: Η αρχική αεροτοµή µε τρία επίπεδα από σηµεία ελέγχου στον άξονα y και 5 σηµεία ελέγχου σε κάθε επίπεδο 83 Σχήµα 3.5: Η αρχική αεροτοµή µε το αντίστοιχο παραµετρικό πλέγµα. Με µπλε χρώµα παρουσιάζονται τα σηµεία ελέγχου που είναι ελεύθερα να µετακινούνται µόνο κατά τον άξονα y και µε κόκκινο χρώµα τα σηµεία ελέγχου που διατηρούνται σταθερά κατά τη διάρκεια της βελτιστοποίησης 84 Σχήµα 3.6: Η τελική αεροτοµή, µετά το πέρας της διαδικασίας αντίστροφης σχεδίασης και οι νέες θέσεις των σηµείων ελέγχου του παραµετρικού πλέγµατος.. 84 Σχήµα 3.7: ιάγραµµα ροής για την ανάκτηση συγκεκριµένης αεροτοµής χρησιµοποιώντας την τεχνική των καµπυλών NURBS και το λογισµικό βελτιστοποίηση DE.exe Σχήµα 3.8: Η διανοµή πίεσης γύρω από την αεροτοµή hm50t Σχήµα 3.9: Αποτελέσµατα πειραµάτων για την ανάκτηση της αεροτοµής hm50t (αεροτοµή-στόχος) 90 Σχήµα 3.10: Αποτελέσµατα πειράµατος µε 15 σηµεία ελέγχου για την

14 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ xiv αντίστροφη σχεδίαση της αεροτοµής hm50t (αεροτοµή-στόχος) µε αρχική αεροτοµή την hm10011m µε τη µέθοδο FFD Σχήµα 3.11: Αποτέλεσµα της διανοµής πίεσης γύρω από την υπολογισµένη και την αεροτοµή-στόχο 92 Σχήµα 3.12: Αποτελέσµατα πειράµατος µε 18 σηµεία ελέγχου για την αντίστροφη σχεδίαση της αεροτοµής hm50t (αεροτοµή-στόχος) µε αρχική αεροτοµή την hm10011m µε τη µέθοδο FFD Σχήµα 3.13: Αποτέλεσµα της διανοµής πίεσης γύρω από την υπολογισµένη και την αεροτοµή-στόχο.. 93 Σχήµα 3.14: Αποτελέσµατα πειράµατος µε 21 σηµεία ελέγχου για την αντίστροφη σχεδίαση της αεροτοµής hm50t (αεροτοµή-στόχος) µε αρχική αεροτοµή την hm10011m µε τη µέθοδο FFD Σχήµα 3.15: Αποτέλεσµα της διανοµής πίεσης γύρω από την υπολογισµένη και την αεροτοµή-στόχο. 94 Σχήµα 3.16: Αποτελέσµατα πειράµατος µε 27 σηµεία ελέγχου για την αντίστροφη σχεδίαση της αεροτοµής hm50t (αεροτοµή-στόχος) µε αρχική αεροτοµή την hm10011m µε τη µέθοδο FFD Σχήµα 3.17: Αποτέλεσµα της διανοµής πίεσης γύρω από την υπολογισµένη και την αεροτοµή-στόχο. 95 Σχήµα 3.18: Αποτελέσµατα πειράµατος µε 36 σηµεία ελέγχου για την αντίστροφη σχεδίαση της αεροτοµής hm50t (αεροτοµή-στόχος) µε αρχική αεροτοµή την hm10011m µε τη µέθοδο FFD Σχήµα 3.19: Αποτέλεσµα της διανοµής πίεσης γύρω από την υπολογισµένη και την αεροτοµή-στόχο. 96 Σχήµα 3.20: Αποτελέσµατα σύγκλισης του διαφορικού εξελικτικού αλγορίθµου για την τεχνική της Ελεύθερης Παραµόρφωσης και για διαφορετικά σηµεία ελέγχου Σχήµα 3.21: Αποτελέσµατα πειράµατος µε 15 σηµεία ελέγχου για την αντίστροφη σχεδίαση της αεροτοµής hm50t (αεροτοµή-στόχος) χρησιµοποιώντας τη µέθοδο των καµπυλών B-Spline.. 99 Σχήµα 3.22: Αποτέλεσµα της διανοµής πίεσης γύρω από την υπολογισµένη και την αεροτοµή-στόχο. 99

15 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ xv Σχήµα 3.23: Αποτελέσµατα πειράµατος µε 19 σηµεία ελέγχου για την αντίστροφη σχεδίαση της αεροτοµής hm50t (αεροτοµή-στόχος) χρησιµοποιώντας τη µέθοδο των καµπυλών B-Spline Σχήµα 3.24: Αποτέλεσµα της διανοµής πίεσης γύρω από την υπολογισµένη και την αεροτοµή-στόχο. 100 Σχήµα 3.25: Αποτελέσµατα πειράµατος µε 23 σηµεία ελέγχου για την αντίστροφη σχεδίαση της αεροτοµής hm50t (αεροτοµή-στόχος) χρησιµοποιώντας τη µέθοδο των καµπυλών B-Spline Σχήµα 3.26: Αποτέλεσµα της διανοµής πίεσης γύρω από την υπολογισµένη και την αεροτοµή-στόχο. 101 Σχήµα 3.27: Αποτελέσµατα πειράµατος µε 27 σηµεία ελέγχου για την αντίστροφη σχεδίαση της αεροτοµής hm50t (αεροτοµή-στόχος) χρησιµοποιώντας τη µέθοδο των καµπυλών B-Spline Σχήµα 3.28: Αποτελέσµατα πειράµατος µε 36 σηµεία ελέγχου για την αντίστροφη σχεδίαση της αεροτοµής hm50t (αεροτοµή-στόχος) χρησιµοποιώντας τη µέθοδο των καµπυλών B-Spline Σχήµα 3.29: Αποτελέσµατα σύγκλισης του διαφορικού εξελικτικού αλγορίθµου για την τεχνική των µη οµοιόµορφων ρητών καµπυλών BSplines και για διαφορετικά σηµεία ελέγχου µε εύρος διαστηµάτων Σχήµα 3.30: Αποτελέσµατα πειραµάτων µε 15 σηµεία ελέγχου για την αντίστροφη σχεδίαση της αεροτοµής hm10011m (αεροτοµή-στόχο) χρησιµοποιώντας τη µέθοδο των µη οµοιόµορφων ρητών καµπυλών BSplines 104 Σχήµα 3.31: Αποτέλεσµα της διανοµής πίεσης γύρω από την υπολογισµένη και την αεροτοµή-στόχο. 104 Σχήµα 3.32: Αποτελέσµατα πειραµάτων µε 19 σηµεία ελέγχου για την αντίστροφη σχεδίαση της αεροτοµής hm10011m (αεροτοµή-στόχο) χρησιµοποιώντας τη µέθοδο των µη οµοιόµορφων ρητών καµπυλών BSplines 105 Σχήµα 3.33: Αποτέλεσµα της διανοµής πίεσης γύρω από την υπολογισµένη και την αεροτοµή-στόχο. 105 Σχήµα 3.34: Αποτελέσµατα πειραµάτων µε 23 σηµεία ελέγχου για την αντίστροφη σχεδίαση της αεροτοµής hm10011m (αεροτοµή-στόχο) χρησιµοποιώντας τη µέθοδο των µη οµοιόµορφων ρητών καµπυλών BSplines

16 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ xvi Σχήµα 3.35: Αποτέλεσµα της διανοµής πίεσης γύρω από την υπολογισµένη και την αεροτοµή-στόχο. 106 Σχήµα 3.36: Αποτελέσµατα πειραµάτων µε 27 σηµεία ελέγχου για την αντίστροφη σχεδίαση της αεροτοµής hm10011m (αεροτοµή-στόχο) χρησιµοποιώντας τη µέθοδο των µη οµοιόµορφων ρητών καµπυλών BSplines 107 Σχήµα 3.37: Αποτέλεσµα της διανοµής πίεσης γύρω από την υπολογισµένη και την αεροτοµή-στόχο. 107 Σχήµα 3.38: Αποτελέσµατα πειραµάτων µε 36 σηµεία ελέγχου για την αντίστροφη σχεδίαση της αεροτοµής hm10011m (αεροτοµή-στόχο) χρησιµοποιώντας τη µέθοδο των µη οµοιόµορφων ρητών καµπυλών BSplines 108 Σχήµα 3.39: Αποτέλεσµα της διανοµής πίεσης γύρω από την υπολογισµένη και την αεροτοµή-στόχο. 108 Σχήµα 3.40: Αποτελέσµατα σύγκλισης του διαφορικού εξελικτικού αλγορίθµου για την τεχνική των καµπυλών B-Spline και για διαφορετικά σηµεία ελέγχου µε εύρος διαστηµάτων Σχήµα 3.41: Αποτελέσµατα πειράµατος µε 15 σηµεία ελέγχου για την αντίστροφη σχεδίαση της αεροτοµής hm50t (αεροτοµή-στόχο) χρησιµοποιώντας τη µέθοδο της Ελεύθερης Παραµόρφωσης µε όρια ίσα µε Σχήµα 3.42: Αποτέλεσµα της διανοµής πίεσης γύρω από την υπολογισµένη και την αεροτοµή-στόχο. 111 Σχήµα 3.43: Αποτελέσµατα πειράµατος µε 27 σηµεία ελέγχου για την αντίστροφη σχεδίαση της αεροτοµής hm50t (αεροτοµή-στόχο) χρησιµοποιώντας τη µέθοδο της Ελεύθερης Παραµόρφωσης µε όρια ίσα µε Σχήµα 3.44: Αποτέλεσµα της διανοµής πίεσης γύρω από την υπολογισµένη και την αεροτοµή-στόχο. 112 Σχήµα 3.45: Αποτελέσµατα σύγκλισης του διαφορικού εξελικτικού αλγορίθµου για την τεχνική των καµπυλών B-Spline και της τεχνική της Ελεύθερης Παραµόρφωσης για 15 και 27 σηµεία ελέγχου µε εύρος διαστηµάτων Σχήµα Π.Α.1: Οι δυνάµεις που ενεργούν στην αεροτοµή

17 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ xvii Σχήµα Π.Α.2: Γεωµετρικά χαρακτηριστικά µια αεροτοµής ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας 1.1: Σύγκριση εναλλακτικών µεθόδων γεωµετρικής παραµετροποίησης 13 Πίνακας 2.1: Αποτελέσµατα πειραµάτων για την ανάκτηση της αεροτοµής NACA 4412 (αεροτοµή-στόχος) Πίνακας 3.1: Αποτελέσµατα πειραµάτων για την ανάκτηση της αεροτοµήςστόχο µε τη µέθοδο της Ελεύθερης Παραµόρφωσης Πίνακας 3.2: Αποτελέσµατα πειραµάτων για την ανάκτηση της αεροτοµήςστόχο µε τη µέθοδο των καµπυλών NURBS Πίνακας 3.3: Αποτελέσµατα πειραµάτων για την ανάκτηση της αεροτοµήςστόχο µε τη µέθοδο της Ελεύθερης Παραµόρφωσης µε όρια 0.1 και Πίνακας 3.4: Αποτελέσµατα πειραµάτων για την ανάκτηση της αεροτοµήςστόχο µε τις δύο µεθόδους και όρια ίσα µε Πίνακας 4.1: Αποτελέσµατα πειραµάτων για την ανάκτηση της αεροτοµής NACA 4412 (αεροτοµή-στόχο) Πίνακας 4.2: Αποτελέσµατα πειραµάτων για την ανάκτηση της αεροτοµήςστόχο µε τη µέθοδο της Ελεύθερης Παραµόρφωσης Πίνακας 4.3: Αποτελέσµατα πειραµάτων για την ανάκτηση της αεροτοµήςστόχου µε τη µέθοδο των καµπυλών B-Spline. 116 Πίνακας 4.4.: Αποτελέσµατα πειραµάτων για την ανάκτηση της αεροτοµήςστόχο µε τη µέθοδο της Ελεύθερης Παραµόρφωσης µε όρια 0.1 και Πίνακας 4.5: Αποτελέσµατα πειραµάτων για την ανάκτηση της αεροτοµήςστόχο µε τις δύο µεθόδους για όρια ίσα µε

18 ΠΡΟΛΟΓΟΣ 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στόχος της παρούσας ερευνητικής µεταπτυχιακής εργασίας είναι η συγκριτική πειραµατική αξιολόγηση δύο διαφορετικών τεχνικών παραµετρικής περιγραφής και µορφοποίησης αεροτοµών, σε συνδυασµό µε συγκεκριµένη µέθοδο βελτιστοποίησης. Το κριτήριο της σύγκρισης είναι η ακρίβεια προσέγγισης της λύσης στο πρόβληµα της ανάκτησης µιας αεροτοµής και στο πρόβληµα της αντίστροφης σχεδίασης µιας αεροτοµής. Η πρώτη µέθοδος που εξετάστηκε είναι η κλασσική (πλέον) µέθοδος παραµετροποίησης καµπυλών µε χρήση B-Splines ή NURBS. Η δεύτερη µέθοδος είναι η µέθοδος Ελεύθερης Παραµόρφωσης (FreeForm Deformation), µία νέα µέθοδος παραµετρικής µορφοποίησης γεωµετριών για την οποία εµφανίζεται τελευταία ιδιαίτερο επιστηµονικό ενδιαφέρον στο χώρο της βελτιστοποίησης αεροδυναµικής σχεδίασης. Η µέθοδος βελτιστοποίησης, που χρησιµοποιήθηκε για την επίλυση των δοκιµαστικών προβληµάτων, είναι ένας ιαφορικός Εξελικτικός αλγόριθµος. Το πρόβληµα της ανάκτησης µιας αεροτοµής ορίζεται ως η εύρεση των γεωµετρικών µεταβλητών (παραµέτρων) σχεδίασης (για την εκάστοτε µέθοδο παραµετρικής περιγραφής που χρησιµοποιείται), ώστε να προσεγγίζεται µε την καλύτερη ακρίβεια το σχήµα δεδοµένης αεροτοµής: εδοµένης µιας αεροτοµής-στόχου (σε µορφή διαδοχικών σηµείων) ζητούµε τις τιµές των παραµέτρων σχεδίασης, που θα ορίζουν µια προσεγγιστική αεροτοµή µε την µικρότερη δυνατή απόκλιση από την αεροτοµή-στόχο. Το πρόβληµα της αντίστροφης σχεδίασης αεροτοµής ορίζεται ως ο υπολογισµός της γεωµετρίας της αεροτοµής που παράγει δεδοµένη διανοµή πίεσης (ή εναλλακτικά ταχύτητας) πάνω στην αεροτοµή, για συγκεκριµένες συνθήκες ροής (αριθµός Mach, αριθµός Reynolds, γωνία προσβολής). Το πρόβληµα αυτό τροποποιείται, για λόγους πειραµατικής αξιολόγησης, ως εξής: εδοµένης µιας αεροτοµής-στόχου (και της διανοµής πίεσης γύρω από αυτή) ζητούµε τις τιµές των παραµέτρων σχεδίασης που θα ορίζουν µια προσεγγιστική αεροτοµή, που θα παράγει διανοµή πίεσης µε τη µικρότερη δυνατή απόκλιση από τη διανοµή πίεσης αναφοράς (της αεροτοµής στόχου). Ως κριτήριο αξιολόγησης των δύο µεθόδων χρησιµοποιήθηκε η ακρίβεια µε την οποία προσεγγίζεται η αεροτοµή στόχος στο πρώτο πρόβληµα και η διανοµή πίεσης αναφοράς στο δεύτερο πρόβληµα. Η ακρίβεια προσέγγισης ορίζεται ως το εµβαδόν της διαφοράς µεταξύ της καµπύλης αναφοράς και της υπολογιζόµενης καµπύλης. Οι καµπύλες αυτές για το πρώτο πρόβληµα είναι οι καµπύλες που συνθέτους τις δύο αεροτοµές. Για το δεύτερο πρόβληµα οι συγκρινόµενες καµπύλες είναι οι παραγόµενες διανοµές πίεσης (από την αεροτοµή-στόχο και από την υπολογιζόµενη κάθε φορά αεροτοµή). Η παρούσα εργασία αναπτύσσεται σε τέσσερα κεφάλαια. Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζεται µια εκτενής βιβλιογραφική έρευνα για τις µεθόδους που βρίσκονται σε χρήση, όσον αφορά την παραµετροποίηση γεωµετριών. Στο ίδιο κεφάλαιο γίνεται αναφορά στην τεχνική της Ελεύθερης Παραµόρφωσης, στις παραλλαγές και τις εφαρµογές της. Σύµφωνα µε την µέθοδο αυτή δεν τροποποιούνται τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά του ίδιου του αντικειµένου, αλλά παραµορφώνεται κατάλληλα ο χώρος µέσα στον οποίο ορίζεται το αντικείµενο. Ουσιαστικά, µοντελοποιούνται οι µεταβολές του αντικειµένου σε σχέση µε µία αρχική σχεδίαση.

19 ΠΡΟΛΟΓΟΣ 2 Η παραπάνω τεχνική δίνει την πολύ σηµαντική δυνατότητα η ίδια παραµόρφωση να περνά ταυτόχρονα σε εναλλακτικά σχέδια του αντικειµένου διαφορετικής πολυπλοκότητας, τα οποία απαιτούνται σε διαφορετικά προγράµµατα αξιολόγησης. Το χαρακτηριστικό αυτό επιτρέπει η διαδικασία βελτιστοποίησης και εξερεύνησης του γεωµετρικού χώρου λύσεων να είναι ταυτόχρονα συµβατή µε διαφορετικές γεωµετρικές περιγραφές του ίδιου αντικειµένου. Έτσι, παραµορφώνοντας τον γεωµετρικό χώρο, παραµορφώνονται ταυτόχρονα και µε τον ίδιο τρόπο όλα τα ιεραρχικά επίπεδα σχεδίασης. Με τη χρήση της τεχνικής της Ελεύθερης Παραµόρφωσης, η διαδικασία βελτιστοποίησης ξεκινά µε κάποια αρχική γεωµετρία, για την οποία κατασκευάζονται τα υπολογιστικά πλέγµατα για τα διαφορετικά κριτήρια αξιολόγησης (αντοχή, αεροδυναµική, κατασκευή κ.α.). Στη συνέχεια, τοποθετούνται κατάλληλα σηµεία ελέγχου του χώρου που περιβάλει το αντικείµενο, η µετακίνηση των οποίων παραµορφώνει τον χώρο και µαζί και το αντικείµενο. Με τον τρόπο αυτό παράγονται νέες υποψήφιες λύσεις, ως τροποποιήσεις της αρχικής. Με την παραµόρφωση του χώρου, αυτόµατα παραµορφώνονται και τα υπολογιστικά πλέγµατα, µε αποτέλεσµα η διαδικασία πλεγµατοποίησης να µην χρειάζεται να επαναλαµβάνεται για κάθε νέα υποψήφια λύση. Ταυτόχρονα, εάν η γεωµετρία περιγράφεται σε διαφορετικά επίπεδα πολυπλοκότητας για κάθε διαφορετικό κριτήριο, αυτόµατα η γεωµετρική περιγραφή προσαρµόζεται στη νέα µορφή του αντικειµένου. Στο δεύτερο κεφάλαιο συγκρίνεται η ακρίβεια που επιτυγχάνει η τεχνική της ελεύθερης παραµόρφωσης σε σύγκριση µε την κλασσική αναπαράσταση µε χρήση καµπυλών B-Splines, στη µελέτη του απλοποιηµένου προβλήµατος της ανάκτησης µιας αεροτοµής. Η διαδικασία της ανάκτησης µιας αεροτοµής ορίζεται ως ένα πρόβληµα βελτιστοποίησης (ελαχιστοποίηση του εµβαδού της διαφοράς µεταξύ της αεροτοµής στόχου και της προσέγγισής της). Το παραπάνω πρόβληµα βελτιστοποίησης επιλύεται µε τη χρήση ενός ιαφορικού Εξελικτικού αλγορίθµου [Nikolos, 2004]. Με αυτόν τον τρόπο γίνεται µια αρχική εκτίµηση της αποδοτικότητας και της αποτελεσµατικότητας των δυο µεθόδων στην παραµετροποίηση της γεωµετρίας της αεροτοµής, έχοντας ως στόχο την εύρεση κανόνων για την ορθότερη εφαρµογή τους, όταν συνδυάζονται µε τη συγκεκριµένη µέθοδο βελτιστοποίησης. Στο τρίτο κεφάλαιο µοντελοποιείται το πιο σύνθετο πρόβληµα της αντίστροφης σχεδίασης αεροτοµής. Αναλυτικότερα, πραγµατοποιείται σύγκριση των δύο µεθόδων, διεξάγοντας πειράµατα αντίστροφης σχεδίασης αεροτοµών, µε χρήση ως µεθόδου βελτιστοποίησης έναν ιαφορικό Εξελικτικό αλγόριθµο. Σε αντίθεση µε το δεύτερο κεφάλαιο, όπου στοχεύουµε κατευθείαν στη γεωµετρία µιας αεροτοµής, στο συγκεκριµένο κεφάλαιο στοχεύουµε στη διανοµή πίεσης της αεροτοµής (από την οποία προκύπτει έµµεσα η γεωµετρία της). Το κριτήριο της σύγκρισης είναι η ακρίβεια µε την οποία προσεγγίζεται η διανοµή πίεσης της αεροτοµής-στόχου (δηλαδή το εµβαδόν της διαφοράς µεταξύ των δύο διανοµών πίεσης). Τέλος, στο κεφάλαιο 4 αναπτύσσονται τα συµπεράσµατα, που προέκυψαν από την παρούσα εργασία

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η βελτιστοποίηση µιας αεροδυναµικής σχεδίασης απαιτεί την αξιολόγηση διαφορετικών υποψήφιων λύσεων, που περιγράφουν τη γεωµετρία που βελτιστοποιείται. Κάθε αξιολόγηση προϋποθέτει την επίλυση της ροής σε σχέση µε την υποψήφια λύση. Η αξιολόγηση αυτή πραγµατοποιείται µε χρήση αριθµητικών µεθόδων, οι οποίες συνήθως περιλαµβάνουν να ακόλουθα διακριτά βήµατα: 1ο Βήµα: Γεωµετρική παραµετροποίηση. 2ο Βήµα: ηµιουργία επιφανειακού πλέγµατος διακριτοποίησης. 3ο Βήµα: ηµιουργία χωρικού πλέγµατος διακριτοποίησης σε όλο τον όγκο του πεδίου ροής. 4ο Βήµα: Προσοµοίωση της ροής µε λογισµικό υπολογιστικής ρευστοµηχανικής. Η δηµιουργία υπολογιστικού πλέγµατος διακριτοποίησης αποτελεί ένα από τα σηµαντικότερα βήµατα της βέλτιστης αεροδυναµικής σχεδίασης αλλά παράλληλα αποτελεί και µια διαδικασία χρονοβόρα µε υψηλό κόστος. Ουσιαστικά, η δηµιουργία ενός λεπτοµερούς πλέγµατος βασισµένο σε ένα CAD µοντέλο µπορεί να διαρκέσει αρκετές εβδοµάδες. Παρόλα αυτά, τα βήµατα 2, 3 και 4 µπορούν να αυτοµατοποιηθούν και να βελτιστοποιηθούν υπό ορισµένες προϋποθέσεις (για περισσότερες λεπτοµέρειες [Samareh, Jan-Feb 1999]). Για την υλοποίηση της βελτιστοποίησης στόχος είναι η πλήρης αυτοµατοποίηση της παραπάνω διαδικασίας. Η βελτιστοποίηση της σχεδίασης ενός αντικειµένου απαιτεί τον επιτυχή συνδυασµό αρκετών διαφορετικών γνωστικών περιοχών, όπως η παραµετρική περιγραφή της γεωµετρίας, η ανάπτυξη κατάλληλων µεθόδων βελτιστοποίησης και η αξιολόγηση κάθε υποψήφιας λύσης µε χρήση υπολογιστικών µεθόδων, ως προς διαφορετικά κριτήρια. Αναλυτικότερα, όλες οι παραπάνω γνωστικές περιοχές υλοποιούνται στη διαδικασία της βελτιστοποίησης είτε µε την παρεµβολή του αποφασίζοντος µηχανικού (δοκιµή και σφάλµα), είτε αυτοµατοποιηµένα, σε µία διαδικασία που ο µηχανικός παρεµβαίνει µόνο στον καθορισµό των στόχων και στην τελική επιλογή των λύσεων. Η τελευταία προσέγγιση απαιτεί τη συµβατή και πλήρως αυτοµατοποιηµένη συνεργασία µεταξύ όλων των διαφορετικών λογισµικών που εµπλέκονται και κυρίως τον συµβατό ορισµό της γεωµετρίας του ίδιου του αντικειµένου. Συνεπώς, στη διαδικασία της δοκιµής διαφορετικών λύσεων θα πρέπει να υπάρχει ένας ενιαίος τρόπος µεταβολής της γεωµετρίας, ο οποίος να επιτρέπει την αυτόµατη προσαρµογή, όλων των επιµέρους γεωµετρικών ορισµών (καθώς και των αντίστοιχων υπολογιστικών πλεγµάτων), ενώ οι παράµετροι που θα χρησιµοποιούνται θα πρέπει να είναι συµβατές µε τη διαδικασία της βελτιστοποίησης. Το τελευταίο χαρακτηριστικό µεταφράζεται σε ελάχιστο αριθµό παραµέτρων σχεδίασης, οι οποίες επιπλέον να µπορούν να καθοδηγήσουν τη διαδικασία της βελτιστοποίησης, εξοµαλύνοντας τον χώρο λύσεων και µειώνοντας το χρόνο σύγκλισης. Τον τελευταίο καιρό, οι σηµαντικές βελτιώσεις στις µεθόδους υπολογιστικής ρευστοµηχανικής και στις µεθόδους βελτιστοποίησης, αποτέλεσαν το εναρκτήριο έναυσµα στην πρόοδο της τρισδιάστατης βελτιστοποίησης σχεδίασης αεροσκαφών, µειώνοντας σηµαντικά το χρόνο ανάπτυξης, µέσω της πλήρως αυτοµατοποιηµένης βελτιστοποίησης σχεδίασης. Συγκεκριµένα, οι µέθοδοι υπολογιστικής ρευστοµηχανικής έχουν γίνει ένα απολύτως αναγκαίο εργαλείο στη διαδικασία της

4.5.6 ΡΗΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ 4.5.6.1 Η ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΜΕ ΒΑΡΟΣ 4.5.6.2 ΤΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΤΜΗΜΑ

4.5.6 ΡΗΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ 4.5.6.1 Η ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΜΕ ΒΑΡΟΣ 4.5.6.2 ΤΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΤΜΗΜΑ 4.5.6 ΡΗΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ Ευθείες γραµµές και παραβολικά τµήµατα µπορούν να µοντελοποιηθούν µε τη χρήση κυβικών πολυωνυµικών τµηµάτων. Τα κυκλικά ελλειπτικά ή υπερβολικά τµήµατα όµως προσεγγίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ Διευθυντής: Διονύσιος-Ελευθ. Π. Μάργαρης, Αναπλ. Καθηγητής ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

«Τεχνολογία και Προοπτικές εξέλιξης μικρών υδροστροβίλων» Δημήτριος Παπαντώνης και Ιωάννης Αναγνωστόπουλος

«Τεχνολογία και Προοπτικές εξέλιξης μικρών υδροστροβίλων» Δημήτριος Παπαντώνης και Ιωάννης Αναγνωστόπουλος Τα μικρά Υδροηλεκτρικά Εργα γνωρίζουν τα τελευταία χρόνια σημαντική ανάπτυξη, τόσο στην Ευρώπη όσο και στον κόσμο ολόκληρο, είτε με την κατασκευή νέων ή με την ανανέωση του εξοπλισμού των υπαρχόντων σταθμών

Διαβάστε περισσότερα

http://kesyp.didefth.gr/ 1

http://kesyp.didefth.gr/ 1 248_Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης, Ηράκλειο Προπτυχιακό Πρόγραµµα Σκοπός του Τµήµατος Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών είναι η εκαπαίδευση επιστηµόνων ικανών όχι µόνο να υπηρετήσουν και να

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Σχήμα 1: Διάταξη δοκιμίου και όργανα μέτρησης 1 BUILDNET

Σχήμα 1: Διάταξη δοκιμίου και όργανα μέτρησης 1 BUILDNET Παραμετρική ανάλυση κοχλιωτών συνδέσεων με μετωπική πλάκα χρησιμοποιώντας πεπερασμένα στοιχεία Χριστόφορος Δημόπουλος, Πολιτικός Μηχανικός, Υποψήφιος Διδάκτωρ ΕΜΠ Περίληψη Η εν λόγω εργασία παρουσιάζει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ

Εισαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ Τα τελευταία 25 χρόνια, τα προβλήµατα που σχετίζονται µε την διαχείριση της Γεωγραφικής Πληροφορίας αντιµετωπίζονται σε παγκόσµιο αλλά και εθνικό επίπεδο µε την βοήθεια των Γεωγραφικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα συστήματα σχεδιομελέτης και παραγωγής με χρήση υπολογιστή - Computer aided design and manufacture (cad/cam)

Εισαγωγή στα συστήματα σχεδιομελέτης και παραγωγής με χρήση υπολογιστή - Computer aided design and manufacture (cad/cam) 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εισαγωγή στα συστήματα σχεδιομελέτης και παραγωγής με χρήση υπολογιστή - Computer aided design and manufacture (cad/cam) Περιεχόμενα κεφαλαίου 1.4 Εξέλιξη συστημάτων Cad σελ. 20 1.1 Ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑΚΑ ΦΟΡΤΙΑ

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑΚΑ ΦΟΡΤΙΑ 2 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 475 ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑΚΑ ΦΟΡΤΙΑ Μαστρογιάννης Αθανάσιος Εκπαιδευτικός Δευτεροβάθμιας

Διαβάστε περισσότερα

J-GANNO. Σύντοµη αναφορά στους κύριους στόχους σχεδίασης και τα βασικά χαρακτηριστικά του πακέτου (προέκδοση 0.9Β, Φεβ.1998) Χάρης Γεωργίου

J-GANNO. Σύντοµη αναφορά στους κύριους στόχους σχεδίασης και τα βασικά χαρακτηριστικά του πακέτου (προέκδοση 0.9Β, Φεβ.1998) Χάρης Γεωργίου J-GANNO ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΠΑΚΕΤΟ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΕΧΝΗΤΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΩΝ ΙΚΤΥΩΝ ΣΤΗ ΓΛΩΣΣΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ JAVA Σύντοµη αναφορά στους κύριους στόχους σχεδίασης και τα βασικά χαρακτηριστικά του πακέτου (προέκδοση 0.9Β,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοίωση, Έλεγχος και Βελτιστοποίηση Ενεργειακών Συστημάτων

Προσομοίωση, Έλεγχος και Βελτιστοποίηση Ενεργειακών Συστημάτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Μαρία Σαμαράκου Καθηγήτρια, Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας Διονύσης Κανδρής Επίκουρος Καθηγητής, Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Ως ανάπτυξη προϊόντος ορίζεται όλο το σύνολο των δραστηριοτήτων από την έρευνα αγοράς, µέχρι την παράδοσή του στον πελάτη.

Ως ανάπτυξη προϊόντος ορίζεται όλο το σύνολο των δραστηριοτήτων από την έρευνα αγοράς, µέχρι την παράδοσή του στον πελάτη. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ως ανάπτυξη προϊόντος ορίζεται όλο το σύνολο των δραστηριοτήτων από την έρευνα αγοράς, µέχρι την παράδοσή του στον πελάτη. Η µεθοδολογία είναι κοινή για όλα τα προϊόντα, αλλά η µεθοδολογία που

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 η & 2 η : ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 η & 2 η : ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 η & 2 η : ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΡΩΤΟΥ ΟΡΙΑΚΟΥ ΣΤΡΩΜΑΤΟΣ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΑΚΙΝΗΤΗ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΕΠΙΠΕΔΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Σκοπός της άσκησης Στην παρούσα εργαστηριακή άσκηση γίνεται μελέτη του Στρωτού

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα Θέματα Διπλωματικών Εργασιών

Προτεινόμενα Θέματα Διπλωματικών Εργασιών Προτεινόμενα Θέματα Διπλωματικών Εργασιών Θεματική ενότητα: Σχεδίαση πολυμεσικών εφαρμογών Ενδεικτικό Θέμα: Θέμα 1. Τα πολυμέσα στην εκπαίδευση: Σχεδίαση πολυμεσικής εφαρμογής για την διδασκαλία ενός σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος και αποκατάσταση συνέπειας χρονοσειρών βροχόπτωσης Παράδειγµα Η ετήσια βροχόπτωση του σταθµού Κάτω Ζαχλωρού Χ και η αντίστοιχη βροχόπτωση του γειτονικού του σταθµού Τσιβλός Υ δίνονται στον Πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Ολοκληρώσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι δροµολόγησης µε µέσα µαζικής µεταφοράς στο µεταφορικό δίκτυο των Αθηνών

Αλγόριθµοι δροµολόγησης µε µέσα µαζικής µεταφοράς στο µεταφορικό δίκτυο των Αθηνών 1 Αλγόριθµοι δροµολόγησης µε µέσα µαζικής µεταφοράς στο µεταφορικό δίκτυο των Αθηνών ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ της Κωτσογιάννη Μαριάννας Περίληψη 1. Αντικείµενο- Σκοπός Αντικείµενο της διπλωµατικής αυτής εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα.

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα. εύτερη διάλεξη. Η στα αναλυτικά προγράµµατα. Η Ευκλείδεια αποτελούσε για χιλιάδες χρόνια µέρος της πνευµατικής καλλιέργειας των µορφωµένων ατόµων στο δυτικό κόσµο. Από τις αρχές του 20 ου αιώνα, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή Η προβολή τρισδιάστατου αντικειμένου πάνω σε δισδιάστατη επιφάνεια αποτέλεσε μια από τις βασικές αναζητήσεις μεθόδων απεικόνισης και απασχόλησε από πολύ παλιά τους ανθρώπους. Με την

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις για το μάθημα "Σχεδίαση με υπολογιστές και δίκτυα παραγωγής (CAD/CAM)"

Σημειώσεις για το μάθημα Σχεδίαση με υπολογιστές και δίκτυα παραγωγής (CAD/CAM) ΑΤΕΙ ΧΑΛΚΙ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Σημειώσεις για το μάθημα "Σχεδίαση με υπολογιστές και δίκτυα παραγωγής (CAD/CAM" Εαρινό εξάμηνο 5 Χ. Οικονομάκος . Γενικά Χρήση γεωμετρικών μετασχηματισμών στα προγράμματα

Διαβάστε περισσότερα

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1)

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Το εσωτερικό ποσοστό απόδοσης (internal rate of return) ως κριτήριο αξιολόγησης επενδύσεων Προβλήµατα προκύπτουν όταν υπάρχουν επενδυτικές ευκαιρίες

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση (FEM) της δυναµικής συµπεριφοράς του κοπτικού εργαλείου κατά το φραιζάρισµα

Μοντελοποίηση (FEM) της δυναµικής συµπεριφοράς του κοπτικού εργαλείου κατά το φραιζάρισµα Μοντελοποίηση (FEM) της δυναµικής συµπεριφοράς του κοπτικού εργαλείου κατά το φραιζάρισµα Κατά την διάρκεια των κοπών η κοπτική ακµή καταπονείται οµοιόµορφα σε µήκος της επιφάνειας αποβλίττου ίσο µε το

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Prost S: Οδοποιΐα Σιδηροδρομική Υδραυλικά έργα

Prost S: Οδοποιΐα Σιδηροδρομική Υδραυλικά έργα Prost S: Οδοποιΐα Σιδηροδρομική Υδραυλικά έργα Χαρακτηριστικά Οριζοντιογραφία Στο γραφικό περιβάλλον της εφαρμογής είναι δυνατή η σχεδίαση οριζοντιογραφιών δρόμων, σιδηροδρομικών γραμμών, ανοικτών και

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Κόστους Κύκλου Ζωής

Ανάλυση Κόστους Κύκλου Ζωής Ανάλυση Κόστους Κύκλου Ζωής ρ Γ. Γιαννακίδης Εισαγωγή Στόχοι και Οφέλη Ανάλυση Κόστους Κύκλου Ζωής Life Cycle Cost Analysis - LCCA Μέθοδος οικονοµικής σύγκρισης εναλλακτικών επενδύσεων που βασίζεται στο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη Μεθοδολογίας και του Αντίστοιχου Λογισμικού για την Παραμετρική Σχεδίαση Πτερυγίων Ανεμογεννητριών

Ανάπτυξη Μεθοδολογίας και του Αντίστοιχου Λογισμικού για την Παραμετρική Σχεδίαση Πτερυγίων Ανεμογεννητριών Πολυτεχνείο Κρήτης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Ανάπτυξη Μεθοδολογίας και του Αντίστοιχου Λογισμικού για την Παραμετρική Σχεδίαση Πτερυγίων Ανεμογεννητριών Διατριβή που υπεβλήθη για τη μερική

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας 1 Εισαγωγή Το μεγαλύτερο μέρος των δεδομένων που καλούμαστε να επεξεργαστούμε είναι πολυδιάστατα.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή στα συστήματα σχεδιομελέτης και παραγωγής με χρήση υπολογιστή computer aided design and manufacture (cad/cam)

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή στα συστήματα σχεδιομελέτης και παραγωγής με χρήση υπολογιστή computer aided design and manufacture (cad/cam) Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή στα συστήματα σχεδιομελέτης και παραγωγής με χρήση υπολογιστή computer aided design and manufacture (cad/cam) 1.1 Ορισμός σχεδιομελέτης και παραγωγής με χρήση υπολογιστή CAD (Computer

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη 7 Nicolas sapatsoulis Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo Wirow

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ Α ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Π.Μ.Σ (ΥΠΟΕΡΓΟΥ)

ΤΜΗΜΑ Α ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Π.Μ.Σ (ΥΠΟΕΡΓΟΥ) ΤΜΗΜΑ Α ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Π.Μ.Σ (ΥΠΟΕΡΓΟΥ) Α1. ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΦΥΣΙΚΟΥ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΥ Tο Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών του Τµήµατος Μαθηµατικών του Πανεπιστηµίου Κρήτης είναι ένα από τα πρώτα οργανωµένα µεταπτυχιακά

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρµογές γεωγραφικών επεξεργασιών

Εφαρµογές γεωγραφικών επεξεργασιών ΕΞΑΡΧΟΥ ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΣ ΜΠΕΝΣΑΣΣΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Ε.Π.Ε. ΛΑΖΑΡΙ ΗΣ & ΣΥΝΕΡΓΑΤΕΣ ΑΝΩΝΥΜΗ ΤΕΧΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΜΕΛΕΤΩΝ Α.Ε. ΓΕΩΘΕΣΙΑ ΣΥΜΒΟΥΛΟΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Ε.Π.Ε. Εφαρµογές γεωγραφικών επεξεργασιών Α. Κουκουβίνος

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικές Μέθοδοι στις Κατασκευές

Υπολογιστικές Μέθοδοι στις Κατασκευές Γενικά Για Τη Βελτιστοποίηση Η βελτιστοποίηση µπορεί να χωριστεί σε δύο µεγάλες κατηγορίες: α) την Βελτιστοποίηση Τοπολογίας (Topological Optimization) και β) την Βελτιστοποίηση Σχεδίασης (Design Optimization).

Διαβάστε περισσότερα

Mάθημα: Θερμικές Στροβιλομηχανές. Εργαστηριακή Ασκηση. Μέτρηση Χαρακτηριστικής Καμπύλης Βαθμίδας Αξονικού Συμπιεστή

Mάθημα: Θερμικές Στροβιλομηχανές. Εργαστηριακή Ασκηση. Μέτρηση Χαρακτηριστικής Καμπύλης Βαθμίδας Αξονικού Συμπιεστή Ε.Μ. ΠΟΛΥΤΕΧΝΕIΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡIΟ ΘΕΡΜIΚΩΝ ΣΤΡΟΒIΛΟΜΗΧΑΝΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΡΕΥΣΤΩΝ Mάθημα: Θερμικές Στροβιλομηχανές Εργαστηριακή Ασκηση Μέτρηση Χαρακτηριστικής Καμπύλης Βαθμίδας Αξονικού Συμπιεστή Κ. Μαθιουδάκη Καθηγητή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά με Η/Υ / Εισαγωγή

Γραφικά με Η/Υ / Εισαγωγή Γραφικά με Η/Υ Εισαγωγή Πληροφορίες μαθήματος (1/4) Υπεύθυνος μαθήματος: Μανιτσάρης Αθανάσιος, Καθηγητής ιδάσκοντες: Μανιτσάρης Αθανάσιος: email: manits@uom.gr Μαυρίδης Ιωάννης: email: mavridis@uom.gr

Διαβάστε περισσότερα

4. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galerkin δεν

4. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galerkin δεν . ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Η επιλογή των συναρτήσεων βάσης ( ) φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galrkn δεν είναι τόσο απλή, και στην γενική περίπτωση είναι µία δύσκολη διαδικασία.

Διαβάστε περισσότερα

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών.

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5.1. Εισαγωγή. Στο Κεφάλαιο αυτό θα δούµε πώς µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0,1]. Την κατανοµή αυτή, συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

5 Μετρητές παροχής. 5.1Εισαγωγή

5 Μετρητές παροχής. 5.1Εισαγωγή 5 Μετρητές παροχής 5.Εισαγωγή Τρεις βασικές συσκευές, με τις οποίες μπορεί να γίνει η μέτρηση της ογκομετρικής παροχής των ρευστών, είναι ο μετρητής Venturi (ή βεντουρίμετρο), ο μετρητής διαφράγματος (ή

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα Θέματα Εξαμήνου - Matlab

Προτεινόμενα Θέματα Εξαμήνου - Matlab ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑ ΟΜΟΤΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΤΗΡΙΟ ΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΤΙΕΙΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ Ακαδ. Έτος: 2012-2013 Μάθημα: Εφαρμογές Ηλεκτρονικού Υπολογιστή Τρίτη, 27/11/2012 ιδάσκοντες:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΠΟΙΚΙΑΣ ΜΥΡΜΗΓΚΙΩΝ ANT COLONY OPTIMIZATION METHODS

ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΠΟΙΚΙΑΣ ΜΥΡΜΗΓΚΙΩΝ ANT COLONY OPTIMIZATION METHODS ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΠΟΙΚΙΑΣ ΜΥΡΜΗΓΚΙΩΝ ANT COLONY OPTIMIZATION METHODS Χρήστος Δ. Ταραντίλης Αν. Καθηγητής ΟΠΑ ACO ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Η ΛΟΓΙΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗΣ ΛΥΣΕΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΙΑΤΑΞΗΣ (1/3) Ε..Ε. ΙΙ Oι ACO

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

Η ύλη του βιβλίου περιλαμβάνει δέκα κεφάλαια.

Η ύλη του βιβλίου περιλαμβάνει δέκα κεφάλαια. vii Πρόλογος Σκοπός του παρόντος βιβλίου είναι να διερευνήσει τη λειτουργία των Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας (ΣΗΕ) υπό την επίδραση διαταραχών. Καλύπτει την ύλη των μαθημάτων «Ανάλυση ΣΗΕ ΙΙ» και «Έλεγχος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ- Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ- ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κυριακή, 0 Μαΐου 05 Ώρα : 0:0 - :00 ΘΕΜΑ 0 (µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Μοριακή Προσοµοίωση

Εισαγωγή στη Μοριακή Προσοµοίωση Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη Μοριακή Προσοµοίωση 6.1. Μοριακή Μηχανική 6.1.1. Εισαγωγή στη µεθοδολογία του «απ αρχής» διπλώµατος της πρωτείνης. Η ενέργεια κάθε µορίου µπορεί θεωρητικά να υπολογιστεί µε την

Διαβάστε περισσότερα

Δρ Μιχάλης Τζούμας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Διδάσκοντας στην τάξη με το Geogebra

Δρ Μιχάλης Τζούμας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Διδάσκοντας στην τάξη με το Geogebra Δρ Μιχάλης Τζούμας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Διδάσκοντας στην τάξη με το Geogebra Αγρίνιο, 2015 Διδάσκοντας στην τάξη με το Geogebra 3 Μιχάλης Τζούμας Αγρίνιο 2015 ISBN: 978-960-85583-7-3 Εκδόσεις:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαράσταση & Απλοποίηση Μοντέλων

Αναπαράσταση & Απλοποίηση Μοντέλων Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 6 Αναπαράσταση & Απλοποίηση Μοντέλων Εισαγωγή Οι 3Δ εικόνες στα Γραφικά αποτελούνται από διάφορα σχήματα & δομές: Γεωμετρικά σχήματα (π.χ. σφαίρες) Μαθηματικές επιφάνειες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΕΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΩΝ ΠΛΕΓΜΑΤΩΝ

ΓΕΝΕΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΩΝ ΠΛΕΓΜΑΤΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Εργαστήριο Θερμικών Στροβιλομηχανών Μονάδα Παράλληλης ης Υπολογιστικής Ρευστοδυναμικής & Βελτιστοποίησης ΓΕΝΕΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΩΝ ΠΛΕΓΜΑΤΩΝ Κυριάκος Χ. Γιαννάκογλου Kαθηγητής ΕΜΠ

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός των υδροστατικών δυνάµεων που ασκούνται στη γάστρα του πλοίου

Υπολογισµός των υδροστατικών δυνάµεων που ασκούνται στη γάστρα του πλοίου Παράρτηµα Β Υπολογισµός των υδροστατικών δυνάµεων που ασκούνται στη γάστρα του πλοίου 1. Πρόγραµµα υπολογισµού υδροστατικών δυνάµεων Για τον υπολογισµό των κοµβικών δυνάµεων που οφείλονται στις υδροστατικές

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη και δηµιουργία µοντέλων προσοµοίωσης ροής και µεταφοράς µάζας υπογείων υδάτων σε καρστικούς υδροφορείς µε χρήση θεωρίας νευρωνικών δικτύων

Ανάπτυξη και δηµιουργία µοντέλων προσοµοίωσης ροής και µεταφοράς µάζας υπογείων υδάτων σε καρστικούς υδροφορείς µε χρήση θεωρίας νευρωνικών δικτύων Ανάπτυξη και δηµιουργία µοντέλων προσοµοίωσης ροής και µεταφοράς µάζας υπογείων υδάτων σε καρστικούς υδροφορείς µε χρήση θεωρίας νευρωνικών δικτύων Περίληψη ιδακτορικής ιατριβής Τριχακης Ιωάννης Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΚΟΠΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΛΕΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΚΟΠΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΛΕΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΚΟΠΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΛΕΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Σκοπός Εργασίας Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η μελέτη της εξέλιξης της έρευνας πάνω στη λείανση μέχρι σήμερα, προτείνοντας λύσεις για χρήση μοναδικού

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

GIS: Εισαγωγή στα Γεωγραφικά Συστήµατα Πληροφοριών

GIS: Εισαγωγή στα Γεωγραφικά Συστήµατα Πληροφοριών GIS: Εισαγωγή στα Γεωγραφικά Συστήµατα Πληροφοριών Σηµειώσεις Σεµιναρίου ηµήτρης Τσολάκης v1.2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Εισαγωγή... 9 1.1. GIS in Greek...10 1.2. Γιατί GIS;...10 1.3. Τι Είναι τα GIS...12 1.3.1.

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηριστι σ κ τι ά κ αι Π λεονεκτήµατα το υ A r A c r hica C D A 1 5 Ε πλ π ουτισ τι µ σ ένες Α ρ Α χιτεκτονικές Μ ο Μ ρφές

Χαρακτηριστι σ κ τι ά κ αι Π λεονεκτήµατα το υ A r A c r hica C D A 1 5 Ε πλ π ουτισ τι µ σ ένες Α ρ Α χιτεκτονικές Μ ο Μ ρφές και του ArchiCAD 15 Εµπλουτισµένες Αρχιτεκτονικές Μορφές Πολυεδρική Στέγη Οι σύνθετες στέγες µοντελοποιούνται πλέον ως µονά στοιχεία και η επεξεργασία τους γίνεται µε τη µέγιστη ευελιξία. Οι διάφορες έδρες

Διαβάστε περισσότερα

Υφαλμύρινση Παράκτιων Υδροφορέων - προσδιορισμός και αντιμετώπιση του φαινομένου με συνδυασμό μοντέλων προσομοίωσης και μεθόδων βελτιστοποίησης

Υφαλμύρινση Παράκτιων Υδροφορέων - προσδιορισμός και αντιμετώπιση του φαινομένου με συνδυασμό μοντέλων προσομοίωσης και μεθόδων βελτιστοποίησης Υφαλμύρινση Παράκτιων Υδροφορέων - προσδιορισμός και αντιμετώπιση του φαινομένου με συνδυασμό μοντέλων προσομοίωσης και μεθόδων βελτιστοποίησης Καθ. Καρατζάς Γεώργιος Υπ. Διδ. Δόκου Ζωή Σχολή Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας Περιεχομένων 7

Πίνακας Περιεχομένων 7 Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος...5 Πίνακας Περιεχομένων 7 1 Εξισώσεις Ροής- Υπολογιστική Μηχανική Ρευστών...15 1.1 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ.....15 1.1.1 Γενικά θέματα. 15 1.1.2 Υπολογιστικά δίκτυα...16

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 11 ΣΤΡΟΒΙΛΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 11 ΣΤΡΟΒΙΛΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΘΕΡΜΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ ΚΑΙ ΘΕΡΜΙΚΩΝ ΣΤΡΟΒΙΛΟΜΗΧΑΝΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ: ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΡΟΒΙΛΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ Υπεύθυνος: Επικ. Καθηγητής Δρ. Α. ΦΑΤΣΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ ΜΕΛΕΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΥΠΟΣΤΑΘΜΩΝ ΜΕΣΗΣ ΤΑΣΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ ΜΕΛΕΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΥΠΟΣΤΑΘΜΩΝ ΜΕΣΗΣ ΤΑΣΗΣ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ ΜΕΛΕΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΥΠΟΣΤΑΘΜΩΝ ΜΕΣΗΣ ΤΑΣΗΣ Βασίλης Τσέτογλου, Ηλεκτρολόγος Μηχ/κός ΑΠΘ (Φρυγίας 30 Καβάλα, τηλ. 2510-241735, e-mail:vatset@panafonet.gr) ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η συνεχής και

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ III ΣΤΟΧΟΙ ΚΑΙ ΕΙΔΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ III ΣΤΟΧΟΙ ΚΑΙ ΕΙΔΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ III ΣΤΟΧΟΙ ΚΑΙ ΕΙΔΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Λέκτορας Ι. Γιαννατσής Καθηγητής Π. Φωτήλας ΣΤΟΧΟΙ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ποιότητα προϊόντος/υπηρεσίας Ταχύτητα παραγωγής/παράδοσης

Διαβάστε περισσότερα

9. Τοπογραφική σχεδίαση

9. Τοπογραφική σχεδίαση 9. Τοπογραφική σχεδίαση 9.1 Εισαγωγή Το κεφάλαιο αυτό εξετάζει τις παραμέτρους, μεθόδους και τεχνικές της τοπογραφικής σχεδίασης. Η προσέγγιση του κεφαλαίου γίνεται τόσο για την περίπτωση της συμβατικής

Διαβάστε περισσότερα

Απορρόφηση φωτός: Προσδιορισμός του συντελεστή απορρόφησης διαφανών υλικών

Απορρόφηση φωτός: Προσδιορισμός του συντελεστή απορρόφησης διαφανών υλικών O11 Απορρόφηση φωτός: Προσδιορισμός του συντελεστή απορρόφησης διαφανών υλικών 1. Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αποσκοπεί α) στη μελέτη του φαινομένου της εξασθένησης φωτός καθώς διέρχεται μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 014 015, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ Ημερομηνία ανάρτησης εργασίας στην ιστοσελίδα του μαθήματος: 1 11 014 Ημερομηνία παράδοσης εργασίας: 18 11 014 Επιμέλεια απαντήσεων:

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος... 15. Οι συγγραφείς... 18

Πρόλογος... 15. Οι συγγραφείς... 18 Περιεχόμενα Πρόλογος... 15 Οι συγγραφείς... 18 1 Θεμελιώδεις έννοιες... 19 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 19 1.2 ΙΣΤΟΡΙΚΟ... 19 1.3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ... 20 1.4 ΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ... 20 1.5 ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ...

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοίωση μετωπικού φραιζαρίσματος με πεπερασμένα στοιχεία

Προσομοίωση μετωπικού φραιζαρίσματος με πεπερασμένα στοιχεία 1 Προσομοίωση μετωπικού φραιζαρίσματος με πεπερασμένα στοιχεία 2 Μετωπικό φραιζάρισμα: Χρησιμοποιείται κυρίως στις αρχικές φάσεις της κατεργασίας (φάση εκχόνδρισης) Μεγάλη διάμετρο Μεγάλες προώσεις μείωση

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές

Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές Το πακέτο ΕXCEL: Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές Eπιμέλεια των σημειώσεων και διδασκαλία: Ευαγγελία Χαλιώτη* Θέματα ανάλυσης: - Συναρτήσεις / Γραφικές απεικονίσεις - Πράξεις πινάκων - Συστήματα εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες Bézier και Geogebra

Καµπύλες Bézier και Geogebra Καµπύλες Bézier και Geogebra Κόλλιας Σταύρος Ένα από τα προβλήµατα στη σχεδίαση δυσδιάστατων εικόνων στα προγράµµατα γραφικών των υπολογιστών είναι η δηµιουργία οµαλών καµπυλών. Η λύση στο πρόβληµα αυτό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 15: O αλγόριθμος SIMPLE

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 15: O αλγόριθμος SIMPLE ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 15: O αλγόριθμος SIMPLE Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Εξετάσαμε τις θέσεις που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (Ε.Ε.) 5

ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (Ε.Ε.) 5 ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (Ε.Ε.) 5 Μοντελοποίηση της ροής σε ένα πόρο μεταβλητής γεωμετρίας και σε τρισδιάστατα δίκτυα παρουσία νερού ή οργανικής φάσης Ε.Ε. 5.1. : Μοντελοποίηση της ροής σε ένα πόρο απλής και μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΑΡΧΙΚΟΥ Κ ΤΟΥ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΜΗΧΑΝΗΣ ΣΕ Κ=1,1 kg/mm

ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΑΡΧΙΚΟΥ Κ ΤΟΥ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΜΗΧΑΝΗΣ ΣΕ Κ=1,1 kg/mm ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΑΡΧΙΚΟΥ Κ ΤΟΥ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΜΗΧΑΝΗΣ ΣΕ Κ=1,1 kg/mm ΑΓΓΕΛΙΚΗ ΛΕΒΑΝΤΗ ΖΑΝΝΕΙΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΜΗΜΑ Α 2 10 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΣΕΝΑΡΙΟ : Πρόκειται να μετατρέψουμε τα εμπρός ελατήρια μιας μοτοσυκλέτας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ιδάσκων:

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Δρ. Βασίλειος Σάλτας 1, Αλέξης Ηλιάδης 2, Ιωάννης Μουστακέας 3 1 Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών, Επιστημονικός Συνεργάτης ΑΣΠΑΙΤΕ Σαπών coin_kav@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια 6 Nicol Tptouli Ευστάθεια και θέση πόλων Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ [Κ. ΠΑΠΑΜΙΧΑΛΗΣ ρ ΦΥΣΙΚΗΣ] Τίτλος του Σεναρίου ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Μελέτη των µετασχηµατισµών

Διαβάστε περισσότερα

INFO. Copyright ECDL Ελλάς, Σεπτέµβριος 2004 ΤΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΑΥΤΟΥ ΤΟΥ ΕΝΤΥΠΟΥ ΑΦΟΡΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΑ ΤΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΑ ΚΕΝΤΡΑ ECDL

INFO. Copyright ECDL Ελλάς, Σεπτέµβριος 2004 ΤΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΑΥΤΟΥ ΤΟΥ ΕΝΤΥΠΟΥ ΑΦΟΡΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΑ ΤΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΑ ΚΕΝΤΡΑ ECDL INFO ECDL Expert Ένα ολοκληρωµένο Πρόγραµµα Πιστοποίησης γνώσεων πληροφορικής και δεξιοτήτων χρήσης Η/Υ ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΟΥ ΕΠΙΠΕ ΟΥ Copyright ECDL Ελλάς, Σεπτέµβριος 2004 ΤΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΑΥΤΟΥ ΤΟΥ ΕΝΤΥΠΟΥ ΑΦΟΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΠείραμαΚάμψης(ΕλαστικήΓραμμή) ΕργαστηριακήΆσκηση 7 η

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΠείραμαΚάμψης(ΕλαστικήΓραμμή) ΕργαστηριακήΆσκηση 7 η ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΠείραμαΚάμψης(ΕλαστικήΓραμμή) ΕργαστηριακήΆσκηση 7 η Σκοπός Σκοπός του πειράµατος είναι ο προσδιορισµός των χαρακτηριστικών τιµών αντοχής του υλικού που ορίζονταιστηκάµψη, όπωςτοόριοδιαρροήςσεκάµψηκαιτοόριοαντοχής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Τι είναι αλγόριθμος

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Τι είναι αλγόριθμος ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Στο σηµείωµα αυτό αρχικά εξηγείται η έννοια αλγόριθµος και παραθέτονται τα σπουδαιότερα κριτήρια που πρέπει να πληρεί κάθε αλγόριθµος. Στη συνέχεια, η σπουδαιότητα των αλγορίθµων συνδυάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα