Παρουσίαση 3 η : Αρχές εκτίμησης παραμέτρων Μέρος 2 ο

Transcript

1 Εφαρμογές Ανάλυης Σήματος τη Γεωδαιία Παρουίαη 3 η : Αρχές εκτίμηης παραμέτρων Μέρος ο Βαίλειος Δ. Ανδριτάνος Αναπληρωτής Καθηγητής Γεώργιος Χλούπης Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής Πανεπιτήμιο Δυτικής Αττικής Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών: Γεωχωρικές τεχνολογίες

2 Περιεχόμενα παρουίαης Μέθοδος των εξιώεων υνθηκών Αλγόριθμος μεθόδου εξιώεων υνθηκών Διαφορές εναλλακτικών μεθόδων υνόρθωης Μέθοδος των μικτών εξιώεων Αλγόριθμος μεθόδου μικτών εξιώεων Μικτές εξιώεις χωρίς πλήρη βαθμό Δεμεύεις Είδη δεμεύεων Εφαρμογές

3 Ανάλυη δεδομένων Φυικό ύτημα τμήμα του φυικού κόμου που αναλύεται αγνοώντας την εξάρτηή του από τον περιβάλλοντα χώρο Παράμετροι υτήματος περιγραφή του φυικού υτήματος μέα από εξιώεις Μαθηματικό μοντέλο η δυνατότητα περιγραφής του φυικού υτήματος με μαθηματικές εξιώεις Παράμετροι υτήματος παρατηρούμενες παράμετροι

4 Μέθοδος των εξιώεων υνθηκών Εξιώεις παρατηρήεων μέθοδος υνόρθωης αντικατάταη παρατηρήεων από εκτιμήεις εκτίμηη αγνώτων παραμέτρων Εξιώεις υνθηκών Απουία ενδιάμεου βήματος εκτίμηης αγνώτων παραμέτρων Ταυτόημα αποτελέματα των δύο εναλλακτικών μεθόδων Μόνες άγνωτες παράμετροι παρατηρούμενες

5 Οι εναλλακτικές μέθοδοι υνόρθωης Οι εναλλακτικές βαίζονται τη δυνατότητα διαφορετικών αλλά ιοδύναμων μορφών του μαθηματικού μοντέλου Ταυτόημα αποτελέματα Παρατηρήεις παράμετροι περιγραφής του φυικού υτήματος κάθε παράμετρος του υτήματος μπορεί να εκφρατεί ως υνάρτηή τους Παραμετρικός βαθμός φυικού υτήματος απαραίτητος ελάχιτος αριθμός παραμέτρων για την περιγραφή του υτήματος

6 Οι εναλλακτικές μέθοδοι υνόρθωης Μαθηματικό μοντέλο υνόρθωης ύνδεη παρατηρήεων με τις άγνωτες παρατηρούμενες παραμέτρους και τα άγνωτα φάλματα + v Επιπλέον ανεξάρτητες μαθηματικές εξιώεις που υνδέουν παρατηρούμενες παραμέτρους με (ενδεχόμενες) άγνωτες παραμέτρους ( ) Το πλήθος των ανεξάρτητων εξιώεων υνδέεται με το πλήθος των διαθέιμων παρατηρήεων των αγνώτων και με τον παραμετρικό βαθμό του φυικού υτήματος

7 Οι εναλλακτικές μέθοδοι υνόρθωης παρατηρούμενες παράμετροι άγνωτες παράμετροι r παραμετρικός βαθμός φυικού υτήματος s πλήθος ανεξαρτήτων εξιώεων + r

8 Οι εναλλακτικές μέθοδοι υνόρθωης παρατηρούμενες παράμετροι άγνωτες παράμετροι r παραμετρικός βαθμός φυικού υτήματος s πλήθος ανεξαρτήτων εξιώεων + r

9 Οι εναλλακτικές μέθοδοι υνόρθωης παρατηρούμενες παράμετροι άγνωτες παράμετροι r παραμετρικός βαθμός φυικού υτήματος s πλήθος ανεξαρτήτων εξιώεων s + r s + r

10 Οι εναλλακτικές μέθοδοι υνόρθωης Βαθμοί ελευθερίας ενός προβλήματος υνόρθωης ο αριθμός των επιπλέον παρατηρούμενων παραμέτρων πέρα των ελαχίτων που απαιτούνται για την περιγραφή του φυικού υτήματος f r Ανάλογα με την ύπαρξη και τον αριθμό των αγνώτων παραμέτρων και τη μορφή των εξιώεων ύνδεης προκύπτουν οι εναλλακτικές μέθοδοι υνόρθωης

11 Οι εναλλακτικές μέθοδοι υνόρθωης Μέθοδος των εξιώεων παρατήρηεων (έμμεων παρατηρήεων pretr djstet) r s f ( ) Μέθοδος των εξιώεων υνθηκών (dtl djstet) s r g ( ) Μέθοδος των μικτών εξιώεων (ed djstet) < r r < s + r ( )

12 Οι εναλλακτικές μέθοδοι υνόρθωης Μέθοδος των εξιώεων παρατηρήεων (έμμεων παρατηρήεων pretr djstet) r s f ( ) Μέθοδος των εξιώεων υνθηκών (dtl djstet) s r g ( ) Μέθοδος των μικτών εξιώεων (ed djstet) < r r < s + r ( )

15 Οι εναλλακτικές μέθοδοι υνόρθωης Ιοδύναμες μεταξύ τους μέθοδοι πηγάζουν από το ίδιο γενικό μοντέλο Κάθε επιμέρους μοντέλο μπορεί να προκύψει από το άλλο Αντικατάταη αγνώτων παραμέτρων με νέες Απαλοιφή άγνωτης παραμέτρου και εξίωης Προθήκη νέας άγνωτης παραμέτρου και εξίωης Μέθοδος εξιώεων υνθηκών εξιώεις παρατηρήεων με απαλοιφή αγνώτων Μέθοδος μικτών εξιώεων εξιώεις παρατηρήεων με απαλοιφή μέρους των αγνώτων

16 Αλγόριθμος εξιώεων υνθηκών Μαθηματικό μοντέλο προκύπτει από το μοντέλο των εξιώεων παρατηρήεων Αν επιλύουμε ως προς την τελευταία των εξιώεων f f f f f παρατηρούμενες ποότητες άγνωτες παράμετροι h

17 Αλγόριθμος εξιώεων υνθηκών Αντικαθιτώντας προκύπτει ύτημα εξιώεων με αγνώτους Αν επαναληφθεί η διαδικαία και επειδή > θα προκύψουν νέα υτήματα ( εξιώεις και άγνωτοι 3 εξιώεις και 3 άγνωτοι κ.ο.κ) h f h f h f

18 Αλγόριθμος εξιώεων υνθηκών Στο τελικό ύτημα εξιώεων δεν εμφανίζονται άγνωτες παράμετροι αλλά μόνο εξιώεις (υνθήκες) μεταξύ παρατηρούμενων Στην πράξη οι εξιώεις υνθηκών καταγράφονται απευθείας με βάη τις γνωτές μαθηματικές χέεις που υνδέουν τα παρατηρούμενα μεγέθη ε ένα φυικό ύτημα Οι υνθήκες πρέπει να είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους s g g g g r s f

19 Αλγόριθμος εξιώεων υνθηκών Στοχατικό μοντέλο C P C

20 Αλγόριθμος εξιώεων υνθηκών v v w g g g g g w Σφάλματα κλειίματος + + g g g w Bv v B w g + Γραμμικοποιημένες εξιώεις υνθηκών

21 Αλγόριθμος εξιώεων υνθηκών Δομή βαικών πινάκων (Β και w) s j g g g g g B w s w w w

22 Αλγόριθμος εξιώεων υνθηκών Δομή βαικών πινάκων (Ρ πίνακας των βαρών των παρατηρήεων) C γνωτός Q γνωτός άγνωτη C P C Q P Q C

23 Αλγόριθμος εξιώεων υνθηκών Αλγόριθμος υνόρθωης (βέλτιτες εκτιμήεις κριτήριο ελαχίτων τετραγώνων) M T BP B k M w vˆ T P B k ˆ vˆ Εκτίμηη ακρίβειας αλγορίθμου υνόρθωης. C γνωτός C C vˆ ˆ P P B T M P BP B T M BP. C Q ˆ vˆ T Pvˆ r Cˆ Cˆ vˆ ˆ ˆ ˆ T ( P B M BP ) T ( P P B M BP )

24 Αλγόριθμος εξιώεων υνθηκών Βήματα. Υπολογιμός διανύματος φαλμάτων κλειίματος w (αντικατάταη αγνώτων παρατηρούμενων παραμέτρων με παρατηρήεις). Αναλυτική παραγώγιη του μαθηματικού μοντέλου 3. Υπολογιμός παραγώγων (αντικατάταη αγνώτων παρατηρούμενων παραμέτρων με παρατηρήεις υπολογιμός B) 4. Υπολογιμός βαικών πινάκων υνόρθωης Μ k 5. Υπολογιμός εκτίμηης διανύματος φαλμάτων vˆ 6. Υπολογιμός εκτίμηης των παρατηρούμενων παραμέτρων 7. Εκτίμηη πινάκων ακρίβειας των εκτιμήεων των φαλμάτων και των παρατηρούμενων παραμέτρων

25 Διαφορές εναλλακτικών μεθόδων Eξιώεις υνθηκών αντιτροφή του πίνακα Μ διατάεων f f (s s) Εξιώεις παρατηρήεων αντιτροφή πίνακα Ν διατάεων r r Ιχύει f r Εξιώεις υνθηκών προτιμούνται όταν f < r r < r < r όταν δηλ ο αριθμός των παρατηρήεων δεν υπερβαίνει το διπλάιο του παραμετρικού βαθμού Στις περιότερες περιπτώεις ικανοποιείται Χρηιμοποιούνται όμως κατά κανόνα εξιώεις παρατηρήεων δυκολία προδιοριμού ανεξάρτητων μεταξύ τους υνθηκών g

26 Διαφορές εναλλακτικών μεθόδων Εξιώεις υνθηκών ΑΠΟΥΣΙΑ ΑΓΝΩΣΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΑΠΟΥΣΙΑ ΑΔΥΝΑΜΙΑΣ ΒΑΘΜΟΥ Δεν υφίταται διευρυμένο φυικό ύτημα αφού όλες οι παράμετροι ανήκουν το αρχικό φυικό ύτημα Δεν υπάρχουν εξιώεις υνθηκών χωρίς πλήρη βαθμό ΠΛΗΡΗΣ ΑΠΟΥΣΙΑ ΔΕΣΜΕΥΣΕΩΝ! Διευρυμένο φυικό ύτημα Νέες παράμετροι Φυικό ύτημα

27 Διαφορές εναλλακτικών μεθόδων Σχέη μαθηματικού μοντέλου εξιώεων παρατηρήεων και υνθηκών ( ) g( f ( )) g Εφαρμογή αλυιδωτού κανόνα παραγώγιης g g f ( ) BA Η προέγγιη έχει νόημα γιατί ο Α υπολογίζεται ως προς τις προεγγιτικές άγνωτες ενώ ο Β ως προς τις παρατηρούμενες τιμές Οι γραμμικοποιημένες εξιώεις υνθηκών προκύπτουν από τις αντίτοιχες εξιώεις παρατηρήεων με απαλοιφή των αγνώτων A + v?????? Bv w Πώς; (θυμηθείτε ΒΑ )

28 Μέθοδος των μικτών υνθηκών Εξιώεις παρατηρήεων μέθοδος υνόρθωης αντικατάταη παρατηρήεων από εκτιμήεις εκτίμηη αγνώτων παραμέτρων Εξιώεις υνθηκών Απουία ενδιάμεου βήματος εκτίμηης αγνώτων παραμέτρων Μικτές εξιώεις Παρουία παρατηρούμενων και αγνώτων παραμέτρων οι οποίες είναι μέρος του φυικού υτήματος τμηματικά ή το ύνολό τους

29 Οι εναλλακτικές μέθοδοι υνόρθωης Μέθοδος των εξιώεων παρατηρήεων (έμμεων παρατηρήεων pretr djstet) r s f ( ) Μέθοδος των εξιώεων υνθηκών (dtl djstet) s r g ( ) Μέθοδος των μικτών εξιώεων (ed djstet) < r r < s + r ( )

32 Οι εναλλακτικές μέθοδοι υνόρθωης Ιοδύναμες μεταξύ τους μέθοδοι πηγάζουν από το ίδιο γενικό μοντέλο Κάθε επιμέρους μοντέλο μπορεί να προκύψει από το άλλο Αντικατάταη αγνώτων παραμέτρων με νέες Απαλοιφή άγνωτης παραμέτρου και εξίωης Προθήκη νέας άγνωτης παραμέτρου και εξίωης Μέθοδος εξιώεων υνθηκών εξιώεις παρατηρήεων με απαλοιφή αγνώτων Μέθοδος μικτών εξιώεων εξιώεις παρατηρήεων με απαλοιφή μέρους των αγνώτων

33 Αλγόριθμος μικτών εξιώεων Στο τελικό ύτημα εξιώεων εμφανίζονται άγνωτες παράμετροι με αριθμό μικρότερο του παραμετρικού βαθμού του φυικού υτήματος Οι μικτές εξιώεις χρηιμοποιούνται κατά κανόνα όταν οι παρατηρούμενες ποότητες δεν είναι δυνατό να εκφρατούν ως υνάρτηη των παραμέτρων του φυικού υτήματος s f r s + + r f

34 Αλγόριθμος μικτών εξιώεων Στοχατικό μοντέλο C P C

35 Αλγόριθμος μικτών εξιώεων δ + + δ v v w g w Σφάλματα κλειίματος Τελική μορφή πινάκων Bv A w +

36 Αλγόριθμος μικτών εξιώεων Τελική μορφή πινάκων w + A Bv Το διάνυμα w (s ) περιέχει τα φάλματα κλειίματος ενώ οι πίνακες Α (s ) και B (s ) έχουν ανάλογη ημαία με τους πίνακες των εξιώεων παρατηρήεων και υνθηκών Γραμμικοποιημένες χέεις εξιώεις υνθηκών ως προς τα φάλματα v και εξιώεις παρατηρήεων ως προς τις άγνωτες παραμέτρους Μικτές εξιώεις παρατηρήεων και υνθηκών ή απλά μικτές εξιώεις

37 Αλγόριθμος μικτών εξιώεων Δομή βαικών πινάκων (A ) s j A δ δ δ

38 Αλγόριθμος μικτών εξιώεων Δομή βαικών πινάκων (Β w) s j B w s w w w

39 Αλγόριθμος μικτών εξιώεων Δομή βαικών πινάκων (Ρ πίνακας των βαρών των παρατηρήεων) C γνωτός Q γνωτός άγνωτη C P C Q P Q C

40 Αλγόριθμος μικτών εξιώεων Αλγόριθμος υνόρθωης (βέλτιτες εκτιμήεις κριτήριο ελαχίτων τετραγώνων) M T T BP B M A N A A M T w Εκτιμήεις αγνώτων παραμέτρων φυικού υτήματος ˆ N T T ( A M A) A M w ˆ + ˆ Εκτιμήεις παρατητούμενων παραμέτρων vˆ P B T M ( w + Aˆ ) ˆ vˆ

41 Αλγόριθμος μικτών εξιώεων Εκτίμηη ακρίβειας αλγορίθμου υνόρθωης. C γνωτός C C C ˆ vˆ ˆ C P ˆ P B T T ( A M A) N T ( M M AN A M ) BP T T C P P B ( M M AN A M ) BP vˆ. C Q ˆ vˆ T Pvˆ s ˆ vˆ ˆ ˆ T T T T T ( vˆ ) Cˆ Cˆ ˆ AM A ˆ N Cˆ ˆ P B M M AN A M BP Cˆ ˆ P C ˆ P P B M M AN A M BP

42 Βήματα Αλγόριθμος μικτών εξιώεων. Επιλογή προεγγιτικών τιμών των αγνώτων. Υπολογιμός διανύματος φαλμάτων κλειίματος w (αντικατάταη αγνώτων παρατηρούμενων παραμέτρων με παρατηρήεις και αγνώτων παραμέτρων με προεγγιτικές) 3. Αναλυτική παραγώγιη του μαθηματικού μοντέλου 4. Υπολογιμός παραγώγων (αντικατάταη αγνώτων παραμέτρων με προεγγιτικές υπολογιμός Α) 5. Υπολογιμός παραγώγων (αντικατάταη αγνώτων παρατηρούμενων παραμέτρων με παρατηρήεις υπολογιμός B) 6. Υπολογιμός βαικών πινάκων υνόρθωης Μ Ν 7. Υπολογιμός εκτίμηης των αγνώτων παραμέτρων 8. Υπολογιμός εκτίμηης διανύματος φαλμάτων 9. Υπολογιμός εκτίμηης των παρατηρούμενων παραμέτρων vˆ ˆ ˆ ŷ. Εκτίμηη πινάκων ακρίβειας των εκτιμήεων των αγνώτων παραμέτρων των φαλμάτων των παρατηρήεων και των παρατηρούμενων παραμέτρων

43 Μικτές εξιώεις χωρίς πλήρη βαθμό Στις απλές μικτές εξιώεις οι άγνωτες παράμετροι είναι παράμετροι του φυικού υτήματος και προφανώς εκτιμήιμες μοντέλα με πλήρη βαθμό δεν υπάρχει περίπτωη απειρίας λύεων ( Ν ) Παρατηρούμενες παράμετροι Φυικό ύτημα Άγνωτες παράμετροι

44 Μικτές εξιώεις χωρίς πλήρη βαθμό Στα μοντέλα μικτών εξιώεων χωρίς πλήρη βαθμό οι άγνωτες παράμετροι δημιουργούν ένα νέο φυικό ύτημα ενώ υπάρχουν υναρτήεις που μπορούν αν εκφρατούν τόο ως προς όο και ως προς («ένωη» φυικών υτημάτων) Άγνωτες παράμετροι Ένωη φυικών υτημάτων Παρατηρούμενες παράμετροι Νέο φυικό ύτημα q( ) q( ) Φυικό ύτημα q( )

45 Μικτές εξιώεις χωρίς πλήρη βαθμό Π.χ. Αρχικό ύτημα παρατηρήεις (γωνίες αποτάεις) «χήμα και μέγεθος» Νέο ύτημα άγνωτες (γωνίες διεύθυνης και εμβαδόν) «χήμα μέγεθος και προανατολιμός» Γραμμικοποίηη r(α) < N απειρία λύεων α ΓΑ Γ 6 α E β r 3 4 α ΒΓ Β Α α ΑΒ γ

46 Μικτές εξιώεις χωρίς πλήρη βαθμό Ο προδιοριμός της λύης γίνεται με τη βοήθεια k r υναρτήεων δεμεύεις ( ) z h Αυτού του είδους οι δεμεύεις οδηγούν ε μία μοναδική λύη χωρίς να επηρεάζουν τις εκτιμήεις των παρατηρούμενων παραμέτρων ελάχιτες δεμεύεις ( strts) Γραμμικοποιημένες εξιώεις: A Bv + w H z T R N + H H ˆ R ˆ C ˆ Cˆ ˆ ˆ vˆ T Pvˆ s + k Ομογενείς ελάχιτες δεμεύεις H ˆ R T ( + H z) ( R ) ˆ ˆ ˆ ( ˆ ) ˆ T T ( v ) T T ( P B ( M M AN A M ) ) NR ˆ vˆ P B T M ( w + Aˆ ) ˆ BP v C P C P P B M M AN A M BP

47 Μικτές εξιώεις χωρίς πλήρη βαθμό Κάθε διαφορετική επιλογή ελαχίτων δεμεύεων οδηγεί ε διαφορετικές εκτιμήεις για τις άγνωτες παραμέτρους ˆ ˆ C ˆ Μία ειδική επιλογή ελαχίτων δεμεύεων ελαχιτοποιεί το ίχνος του πίνακα των (υμ)μεταβλητοτήτων των αγνώτων εωτερικές δεμεύεις (er strts) vˆ E AE T N + P ˆ ˆ T ˆ T T T ( N + E E) E ( EE ) E + ˆ N B T M vˆ T Pvˆ s + k ( w + Aˆ ) ˆ Γενικευμένος αντίτροφος ψευδοαντίτροφος ˆ ˆ N C ˆ ˆ T T C ˆ ( ) ˆ v P B M M AN A M BP T T ( vˆ ) + C ˆ ˆ ˆ P C P P B M M AN A M BP

48 Μικτές εξιώεις χωρίς πλήρη βαθμό Όταν χρηιμοποιηθούν δεμεύεις ε αριθμό μεγαλύτερο από τις ελάχιτες πλεονάζουες δεμεύεις (fll strts) Δεμεύεις περιότερες από την αδυναμία βαθμού του υτήματος (k > r) Οι πλεονάζουες δεμεύεις επηρεάζουν τις εκτιμήιμες παραμέτρους (παρατηρήεις) «ουιατικές» δεμεύεις

49 Μικτές εξιώεις χωρίς πλήρη βαθμό Λύη πλεοναζουών δεμεύεων Ακρίβεια της εκτίμηης T T H HR S H H N R + z S H R HR S H R R T T ˆ + ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ HR S H R R C C T k s + Pv v T ˆ ˆ ˆ A w M B P v T ˆ ˆ + ˆ ˆ ˆ BP M A AN M M B P C T T v ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ T T v C P C P P B M M AN A M BP

50 Εφαρμογή Μικτές εξιώεις Εκτίμηη βέλτιτης ευθείας Για την προέγγιη του άξονα ενός δρόμου μετρήθηκαν οι υντεταγμένες πέντε ημείων. Ζητούνται οι βέλτιτες τιμές των παραμέτρων της εξίωης ευθείας του άξονα του δρόμου. Τόο οι τεταγμένες όο και οι τετμημένες να θεωρηθούν ως παρατηρήεις αυχέτιτες και ίδιας αλλά άγνωτης ακρίβειας. () () Μικτές εξιώεις (αδυναμία διαχωριμού παρατηρούμενων αγνώτων) ( )

51 Εφαρμογή Μικτές εξιώεις Αναλυτική δομή πινάκων A B w w w w w w

52 Εφαρμογή Ειαγωγή δεδομένων Ειαγωγή προεγγιτικών τιμών των αγνώτων παραμέτρων Σχηματιμός πίνακα Α

53 Εφαρμογή Σχηματιμός πίνακα Β Σχηματιμός διανύματος φαλμάτων κλειιματος w Σχηματιμός πίνακα Μ

54 Εφαρμογή Σχηματιμός πίνακα Ν Σχηματιμός διανύματος Εκτιμήεις των αγνώτων παραμέτρων Εκτιμήεις των διορθώεων τις προεγγιτικές των αγνώτων παραμέτρων Εκτιμήεις των φαλμάτων των παρατηρούμενων παραμέτρων Εκτιμήεις λύης εξιώεων παρατηρήεων

55 Εφαρμογή Εκτιμήεις των τιμών των παρατηρούμενων παραμέτρων

56 Εφαρμογή Μικτές εξιώεις Εκτίμηη βέλτιτων ομόκεντρων κύκλων με δέμευη ακτίνας Δίνονται οι παρατηρήεις υντεταγμένων ημείων από 6 ημεία τη περιφέρεια δύο ομόκεντρων κύκλων. Να εκτιμηθούν οι βέλτιτες εξιώεις των κύκλων της εφαρμογής. Από τη μελέτη υπάρχει η δέμευη ο δεύτερος κύκλος να έχει διπλάια ακτίνα από τον πρώτο. () () Χ () Υ () Σημεία ου κυκλικού τόξου Σημεία ου κυκλικού τόξου Μικτές εξιώεις (αδυναμία διαχωριμού παρατηρούμενων αγνώτων U ( ) ( ) + ( ) R ( X Y ) ( X ) + ( Y ) R Εξίωη ου κύκλου Εξίωη ου κύκλου

57 Εφαρμογή Εφαρμογή Μικτές εξιώεις Εκτός από τις μικτές εξιώεις υπάρχει και η δέμευη της ακτίνας [ ] δ δ δ δ R R R R R R H δ δ δ δ R R R R R Y X R Y X R R U U R R A

58 Εφαρμογή Εφαρμογή Δομή πίνακα Β και w [ ] B B B U U B Y X Y X U U Y Y X X B

59 Εφαρμογή Εφαρμογή Δομή πίνακα Β και w R Y X R Y X R R w

60 Εφαρμογή Ειαγωγή δεδομένων και προεγγιτικών τιμών των αγνώτων παραμέτρων

61 Εφαρμογή Υπολογιμός πίνακα Α

62 Εφαρμογή Υπολογιμός υποπίνακα Β

63 Εφαρμογή Υπολογιμός υποπίνακα Β

64 Εφαρμογή Υπολογιμός διανύματος w

65 Εφαρμογή Εκτίμηη λύης χωρίς τη δέμευη ˆ ˆ Rˆ Rˆ Rˆ Rˆ.635

66 Εφαρμογή Εκτίμηη λύης με εφαρμογή της δέμευης ˆ ˆ Rˆ Rˆ Rˆ Rˆ.9

67 Εφαρμογή Περαιτέρω εναχόληη Εκτίμηη της εκ των υτέρων μεταβλητότητας αναφοράς (-psterr vre) και τις δύο περιπτώεις όπως και των πινάκων (υμ)μεταβλητοτήτων των εκτιμήεων των αγνώτων παραμέτρων των φαλμάτων των παρατηρούμενων και των παρατηρούμενων παραμέτρων

68 Ανακεφαλαίωη Αλγόριθμος εξιώεων υνθηκών Αλγόριθμος μικτών εξιώεων Διαφορές εναλλακτικών μεθόδων Ειαγωγή δεμεύεων Εφαρμογές