ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΣΕ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ C++ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΩΝ Διπλωματική Εργασία του Μωυσίδη Ιωάννη Θεσσαλονίκη, 07/06/2013

2 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΣΕ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ C++ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΩΝ Μωυσίδης Ιωάννης Πτυχιούχος Τμήματος Τηλεπληροφορικής και Διοίκησης Τεχνολογικού Εκπαιδευτικού Ιδρύματος Ηπείρου(Άρτα),2004 Διπλωματική Εργασία υποβαλλόμενη για τη μερική εκπλήρωση των απαιτήσεων του ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΤΙΤΛΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Επιβλέπων Καθηγητής Πετράκης Ανδρέας Εγκρίθηκε από την τριμελή εξεταστική επιτροπή την../06/2013 Κος Ασημόπουλος Νικόλαος Κος Παναγιωτόπουλος Δημόκριτος

3 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Επιθυμώ να εκφράσω τις ευχαριστίες μου σε όσους συνέβαλαν με την υποστήριξή τους και την καθοδήγησή τους για την εκπόνηση της διπλωματικής εργασίας. Ειδικότερα θα ήθελα να ευχαριστήσω των επιβλέπωντα καθηγητή κ.πετράκη Ανδρέα για την εμπιστοσύνη που επέδειξε στο πρόσωπό μου, για την καθοδήγηση όπως και την άμεση ανταπόκριση όποτε χρειάστηκε, όπως και για τις οδηγίες για την συγγραφή και την υλοποίηση της μελέτης αυτής. Τέλος θα ήθελα να ευχαριστήσω την οικογένειά μου για την αμέριστη συμπαράσταση και βοήθεια που μου παρείχε καθ όλη την διάρκεια των σπουδών μου. 3

4 Περίληψη Η παρούσα διπλωματική εργασία πραγματοποιείται στα πλαίσια εκπλήρωσης των απαιτήσεων του Μεταπτυχιακού Προγράμματος Σπουδών του τμήματος Εφαρμοσμένης Πληροφορικής του Πανεπιστημίου Μακεδονίας σε συνεργασία με το Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας. Στην εργασία αυτή υλοποιείται ανάπτυξη λογισμικού στην γλωσσα προγραμματισμού C++ με σκοπό την πλήρη μελέτη των γραμμικών στοχαστικών υποδειγμάτων. Για την υλοποίηση του λογισμικού χρησιμοποιήθηκε το πρόγραμμα Orwell Dev-C++ συγκεκριμένα η έκδοση , καθώς και η βιβλιοθήκη πινάκων Eigen Λέξεις Κλειδιά: Στατιστική Ανάλυση, Ανάλυση Δεδομένων, Γλωσσα Προγραμματισμού C++, Γραμμικά Στοχαστικά Υποδείγματα 4

5 Abstract This dissertation carried out under fulfillment of the requirements of the Graduate Programme, Department of Applied Informatics, University of Macedonia in cooperation with the Technological Educational Institute of Western Macedonia. In this paper we implemented software development in programming language C + + to fully study of linear stochastic models. For the implementation of the software program used Orwell Dev-C + + specific version , and the library tables Eigen Keywords: Statistical Analysis, Data Analysis, Programming Language C + +, Linear Stochastic Models 5

6 Περιεχόμενα Περίληψη 4 Abstract 5 Περιεχόμενα 7 Κατάλογος Εικόνων 9 Κατάλογος Γραφημάτων 10 Κεφάλαιο 1 ο Κεφάλαιο 2 ο 1.1 Στατιστική Μορφές και Είδη Δεδομένων Απαραίτητες Έννοιες Ανάλυση Δεδομένων Παραγοντική Ανάλυση Μέθοδοι Ανάλυσης Διερευνητική Ανάλυση Παραγόντων 13 (Exploratory Factor Analysis) Ανάλυση σε Κύριες Συνιστώσες 13 (Principal Component Analysis) Παραγοντική Ανάλυση των Αντιστοιχιών 13 (Correspondence Analysis) Πολυδιάστατη Κλιμακοποίηση 13 (Multidimensional Scaling) 2.1 Πολλαπλή Γραμμική Παλινδρόμηση Εκτίμηση των Συντελεστών του Υποδείγματος Βαθμοί Ελευθερίας 18 (D (Degree s of Freedom) 6

7 2.4 Μέσα Τετράγωνα 19 (Mean Squares) 2.5 Ο Λόγος F των Μέσων Τετραγώνων Συντελεστής Προσδιορισμού R 2 (The Coefficient of Determination of R-Square) Ο Διορθωμένος Συντελεστής Προσδιορισμού 20 (The Adjust Coefficient of Determination Or Adjust R-Square) 2.8 Στατιστική Ανάλυση Το Στατιστικό Durbin-Watson 23 Κεφάλαιο 3 ο 3.1 Οδηγίες Εγκατάστασης Η Βιβλιοθήκη Eigen/Dense Ανάπτυξη Κώδικα Ανάλυση Κώδικα 47 Κεφάλαιο 4 ο 4.1 Ανάλυση δεδομένων Έλεγχος Σταθερότητας Μοντέλου Συντελεστές Προσδιορισμού R 2 Του Μοντέλου Διορθωμένοι Συντελεστές Προσδιορισμού Διασπορά και Τυπική Απόκλιση Μοντέλου-Συντελεστών Έλεγχος Προσήμου Συντελεστών Το Στατιστικό «Τ» Έλεγχος Σημαντικότητας Επιλογή του καλύτερου και απλούστερου μοντέλου Έλεγχος πολυσυγγραμικότητας με Pearson, VIF 60 Βιβλιογραφία Διαδικτυακές πηγές 65 7

8 Κατάλογος εικόνων Εικόνα 1. Αρχείο paradeigma.txt Εικόνα 2. Αποτελέσματα προγράμματος 1 η σελίδα Εικόνα 3. Αποτελέσματα προγράμματος 2 η σελίδα Εικόνα 4. Αποτελέσματα προγράμματος 3 η σελίδα Εικόνα 5. Αποτελέσματα προγράμματος 4 η σελίδα 8

9 Κατάλογος Γραφημάτων Γράφημα 1.Γραφική παράσταση των καταλοίπων Γράφημα 2.Γραφική παράσταση τυποποιημένων καταλοίπων Γράφημα 3. Γραφική παράσταση studentized residuals Γράφημα 4.Γραφική παράσταση R-students 9

10 Κεφάλαιο 1 ο 1.1 Στατιστική Στην εποχή την οποία διανύουμε και η οποία θεωρείται εποχή της πληροφορίας και της τεχνολογίας, άρχισαν να χρησιμοποιούνται όλο και περισσότερο διάφορες στατιστικές αναλύσεις με σκοπό την εξαγωγή γνώσης από εμπειρικά δεδομένα. Ως Στατιστική ορίζεται η επιστήμη η οποία ασχολείται με τη συλλογή, την ανάλυση και την ερμηνεία δεδομένων. 1 Στην ουσία όμως θα μπορούσαμε να κάνουμε έναν διαχωρισμό σε περιγραφική στατιστική και σε μία άλλη διάσταση της στατιστικής η οποία είναι η συμπερασματολογία και η οποία στηρίζεται στην προσπάθεια που γίνεται για εξαγωγή συμπερασμάτων κάτω απο συνθήκες αβεβαιότητας. 1.2 Μορφές και είδη δεδομένων Ο όρος δεδομένα αναφέρεται σε μετρήσεις ή παρατηρήσεις που προέρχονται απο ένα πείραμα ή μια δειγματοληπτική έρευνα. Τα δεδομένα μπορεί να είναι ή ποσοτικά δηλαδή αριθμητικά ή ποιοτικά δηλαδή κατηγορικά. Γενικά μπορούμε να πούμε ότι τα ποσοτικά δεδομένα είναι αριθμητικές παρατηρήσεις σε αντίθεση με τα ποιοτικά τα οποία είναι κατηγορικές παρατηρήσεις Απαραίτητες έννοιες Μεταβλητές ονομάζουμε τα χαρακτηριστικά εκείνα ως προς τα οποία εξετάζουμε ένα πλήθος και χωρίζονται σε δύο κατηγορίες: Ποιοτικές μεταβλητές και είναι εκείνες που δεν επιδέχονται μέτρηση και οι τιμές τους δεν είναι αριθμοί. Ποσοτικές είναι εκείνες που επιδέχονται μέτρηση και οι τιμές τους είναι αριθμοί

11 1.3 Ανάλυση δεδομένων Η ανάλυση δεδομένων είναι μια διαδικασία επιθεώρησης, καθαρισμού, μετατροπής και μοντελοποίηση δεδομένων με σκοπό την προβολή χρήσιμων πληροφοριών γεγονός που υποδηλώνει συμπεράσματα και την υποστήριξη λήψεων αποφάσεων. Η ανάλυση των δεδομένων έχει πολλαπλές προσεγγίσεις στην επιστήμη. Η εξαγωγή συμπερασμάτων είναι μια ιδιαίτερη τεχνική ανάλυσης δεδομένων και εστιάζει στην μοντελοποίηση και την ανακάλυψη της γνώσης. Σε στατιστικές εφαρμογές, μερικοί άνθρωποι χωρίζουν την ανάλυση των δεδομένων σε περιγραφικές στατιστικές, διερευνητική ανάλυση των δεδομένων, και επιβεβαιωτική ανάλυση των δεδομένων. 1.4 Παραγοντική ανάλυση Η Παραγοντική Ανάλυση (Factor Analysis) είναι ένα είδος στατιστικής ανάλυσης, το οποίο ανήκει σε μία ομάδα στατιστικών διαδικασιών που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον εντοπισμό μοτίβων σε σχετικά μεγάλα σύνολα δεδομένων με πολλές μεταβλητές. Χρησιμοποιείται κυρίως απο ερευνητές των κοινωνικών επιστημών σε αναλύσεις προβλημάτων κατα τις οποίες σημαντικές μεταβλητές που επηρεάζουν τα δείγματα δεν μπορούν να μετρηθούν απευθείας Μεθόδοι ανάλυσης Οι μεθόδοι ανάλυσης των δεδομένων είναι: Διερευνητική ανάλυση Παραγόντων (Exploratory Factor Analysis) Ανάλυση σε κύριες συνιστώσες (Principal Component Analysis) Παραγοντική ανάλυση των αντιστοιχιών (Correspondence Analysis) Πολυδιάστατη Κλιμακοποίηση (Multidimensional Scaling) 4 3 Παπαδημητρίου Γ.(2007) Η Ανάλυση Δεδομένων, Εκδόσεις Τυπωθήτω 4 E%B1%CE%BD%CE%B1%CE%BB%CF%85%CF%83%CE%B7%CF%82%20%CE%B4%CE%B5%CE%B4%CE%BF%CE%BC% CE%B5%CE%BD%CF%89%CE%BD&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CCgQFjAA&url=http%3A%2F%2Fwww.uoi.gr %2Fschools%2Fearly-childhood%2Fsse%2FPapadimitriou.pps&ei=Uq- 4Uf2bBsaB4ATIkIGoBQ&usg=AFQjCNGkYP52FyCIp1O-WLk7TvV5xv4tSQ&bvm=bv ,d.bGE 11

12 1.5.1 Διερευνητική ανάλυση Παραγόντων (Exploratory Factor Analysis) τους. Χρησιμοποιείται για την αρχική διερεύνηση των μεταβλητών μέσα απο την ομαδοποίησή Ανάλυση σε κύριες συνιστώσες (Principal Component Analysis) Η μέθοδος της ανάλυσης των κυρίων συνιστωσών είναι μια τεχνική που σκοπό έχει την δημιουργία νέων μεταβλητών, οι οποίες είναι γραμμικοί συνδιασμοί των αρχικών μεταβλητών έτσι ώστε να είναι ασυσχέτιστες µεταξύ τους και να περιέχουν όσο το δυνατόν μεγαλύτερο µέρος της διακύµανσης των αρχικών µεταβλητών. Οι νέες µεταβλητές που παράγονται ονοµάζονται Κύριες Συνιστώσες Παραγοντική ανάλυση των αντιστοιχιών (Correspondence Analysis) Η ανάλυση των αντιστοιχιών είναι μία μέθοδος αλληλεξάρτησης και έχει την ικανότητα να διαχειρίζεται μή γραμμικές σχέσεις και διακριτά δεδομένα και παρέχει μία πολυδιάστατη αναπαράσταση αλληλεξάρτησης διακριτών δεδομένων Πολυδιάστατη Κλιμακοποίηση (Multidimensional Scaling) Η Πολυδιάστατη Κλιμακοποίηση αναφέρεται σε οποιαδήποτε τεχνική που παράγει μια πολυδιάστατη γεωμετρική αναπαράσταση του εικονικού χώρου των αντικειμένων, όπου τα αντικείμενα αυτά σχετίζονται άμεσα με την αναπαράστασή τους στον γεωμετρικό χώρο %CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CE%94%CE%A0%CE%9C%CE%A3_%CE%A1%CE%B5%CE%BA%CE%BF %CF%8D%CF%84%CE%B7.pdf 7 12

13 Κεφάλαιο 2 ο 2.1 Πολλαπλή Γραμμική Παλινδρόμηση Ένα σημαντικό γεγονός στην προσπάθεια μας είναι η πρόβλεψη της τιμής μίας η περισσοτέρων μεταβλητών κάτω από κάποιες συνθήκες. Οι συνθήκες περιγράφονται από μεταβλητές, που λέγονται προβλέπουσες μεταβλητές ή «ανεξάρτητες μεταβλητές» (predictor variables ή independent variables). Η μεταβλητή της οποίας «προβλέπουμε» τις τιμές της λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή (dependent variable) ή απόκριση (response). Τα δεδομένα συνήθως ταξινομούνται σαν πίνακας ως εξής: x11 x21 x31... xm y1 x12 x22 x32... xm2 y2 x13 x23 x33... xm3 y x1 n x2n x3n... xmn y n Η i στήλη του παραπάνω πίνακα παριστάνει τις τιμές της μεταβλητής x i. Η j γραμμή του παραπάνω πίνακα παριστάνει τα δεδομένα της j εκτέλεσης του πειράματός μας x, x,..., x είναι οι τιμές των προβλεπουσών μεταβλητών x1, x2,..., xm αντίστοιχα και y j η με 1j 2j mj προκύπτουσα τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής y. Η μορφή ενός γραμμικού μοντέλου είναι η Y 0 1x1 2x2... mxm όπου : η εξαρτημένη μεταβλητή x1, x2,..., x : οι ανεξάρτητες ή προβλέπουσες μεταβλητές m 1, 2,..., : οι ζητούμενοι συντελεστές ή συντελεστές παλινδρόμησης m : είναι το σφάλμα του μοντέλου 7 13

14 2.2 Εκτίμηση των Συντελεστών του Υποδείγματος Με δεδομένες τις προηγούμενες παραδοχές παίρνουμε το σύστημα: Y1 0 1x11 2x21... mxm 1 1 Y2 0 1x12 2x22... mxm Yn 0 1x1 n 2x2n... mxmn n (Σ1) Θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων για να υπολογίσουμε τα β i, όπου i 0,1,2,..., m. Αν κάνουμε αντικατάσταση τις τιμές που μας δίνει η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων τότε το υπόδειγμά μας θα έχει την μορφή: Y x x x m m Η τιμή Υ θα είναι η εκτίμηση της πραγματικής τιμής της Υ όταν δοθούν οι τιμές των x1, x2,..., x m και φυσικά διαφέρει κατά ένα σφάλμα. Θέτω y yˆ, i1,2,..., nκαι σύμφωνα με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων το i i i ζητούμενο είναι το άθροισμα n i1 να γίνει ελάχιστο. 2 i Οι διαφορές y yˆ λέγονται υπόλοιπα (residuals). i i i Συμβολισμοί: Y y0, y1, y2,..., y, 14

15 X 1 x11 x21 xm 1 1 x12 x22 xm2, x1 n x2n xmn 0, 1, 2,..., (διάνυσμα συντελεστών), RES 0, 1, 2,..., (διάνυσμα σφαλμάτων), τότε το σύστημα (Σ1) γράφεται: Y XB RES με άγνωστο τον πίνακα Β δηλαδή τους (m+1) συντελεστές 0, 1, 2..., m, Είναι προφανές ότι από το (Σ1) έχω: m 2 j i Xij yj i0 2 οπότε: n n m 2 2 j ( xij yj ) j1 j1 i0 Το δεύτερο μέλος της προηγούμενης ισότητας είναι μία συνάρτηση με (κ+1) αγνώστους τα. Δηλαδή είναι: 2 2 0, 1, 2..., m, και ζητάμε το ελάχιστο αυτής της συνάρτησης. n n m f 0, 1, 2,.., m j ( xij y j ) j1 j1 i0 Εφαρμόζοντας γνωστές μεθόδους βελτιστοποίησης μιας συνάρτησης προκύπτει ότι ο πίνακας 0, 1, 2,..., δίνεται από την σχέση B p X Y, όπου X p είναι ο ψευδοαντίστροφος κατά Moore του πίνακα X (pseudoinverse). 15

16 Η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f δηλαδή η ελάχιστη τιμή του αθροίσματος n i1 των τετραγώνων των σφαλμάτων αποδεικνύεται ότι δίνεται από τον n 2 T τύπο ( ˆ i i ) n p SSE y y Y I XX Y. i1 Η ποσότητα SSE λέγεται διασπορά και οφείλεται σε σφάλματα είτε σε άλλους απροσδιόριστους παράγοντες και μπορεί να υπολογιστεί και χωρίς την εύρεση του μοντέλου. 2 j Αν Y 1 n yi n i 1 n 2. τότε με SST συμβολίζω το άθροισμα SST yi y i1 Αποδεικνύεται εύκολα ότι ισχύουν οι σχέσεις: n n T 1 T T 1 yi yi και n n n i1 n i1 n n SST SST=Y Y- Y J Y =Y (I - J )Y Η ποσότητα SST λέγεται συνολική διασπορά γύρω από τον μέσο όρο και είναι μία ποσότητα η οποία μπορεί να υπολογιστεί χωρίς την γνώση του μοντέλου. Ο πίνακας Ι n είναι ο n x n μοναδιαίος πίνακας, του οποίου όλα τα στοιχεία είναι μονάδα δηλαδή είναι: I n Αν θέσω yˆ 0 1x1 2x2... mxm g( x1, x2,..., xm) yˆ x x... x g( x, x,..., x ), Και i 0 1 1i 2 2i m mi 1i 2i mi με i 1,2,3,..., n τότε με SSR συμβολίζω το άθροισμα n SSR ( yˆ y) ( yˆ y) ( yˆ y)... ( yˆ y) i1 i n 16

17 και με την βοήθεια των πινάκων είναι T 1 SSR Y ( XX p Pn) Y n Η ποσότητα SSR λέγεται διασπορά γύρω από τον μέσο όρο που επαληθεύεται ή εξηγείται από το γραμμικό μοντέλο και όπως προκύπτει από τον παραπάνω τύπο μπορεί να υπολογιστεί και χωρίς την εύρεση του γραμμικού μοντέλου. Προφανώς ισχύει Πράγματι SSR SSE SST T 1 T T 1 SSR SSE Y ( XX p Pn ) Y Y ( In XX p ) Y Y ( XX p Pn In XX p ) Y n n T 1 T 1 Y ( In Pn ) Y Y InY ( PY n ) n n T 1 ( T Y Y Y PY n ) SST n 2.3 Βαθμοί Ελευθερίας (Degree s Of Freedom) Βαθμός ελευθερίας της παλινδρόμησης R (Regression) Ο βαθμός ελευθερίας της παλινδρόμησης R καθορίζεται από το πλήθος των ανεξάρτητων μεταβλητών του μοντέλου, δηλαδή είναι το πλήθος m των ανεξάρτητων μεταβλητών x 1, x 2,, x m και συμβολίζεται df R m (d.f. = degree of freedom) Βαθμός ελευθερίας της συνολικής διασποράς T (Total) Ως βαθμός ελευθερίας της συνολικής διασποράς ορίζεται ο αριθμός n-1 όπου n είναι το πλήθος των παρατηρήσεων και συμβολίζεται df T n 1. Βαθμός ελευθερίας των σφαλμάτων E (Errors) Ως βαθμός ελευθερίας των σφαλμάτων ορίζεται ο αριθμός δηλαδή df df df n 1 m n m 1 E. T R df TdfR και συμβολίζεται df E 17

18 2.4 Μέσα Τετράγωνα (Mean Squares) Μέσα τετράγωνα παλινδρόμησης (R) (MEAN SQUARE OF REGRESSION) Συμβολίζονται με MSR και είναι MSR SSR df R SSR m Μέσα τετράγωνα σφαλμάτων (E) (MEAN SQUARE OF RESIDUALS) SSE SSE 2 Συμβολίζονται MSE και είναι MSE s df n m 1 E Μέσα τετράγωνα της συνολικής διασποράς (T) (TOTAL MEAN SQUARE) SST Συμβολίζονται MST και είναι MST Var(Y) n 1 γι αυτό δεν αναφέρουμε τα μέσα τετράγωνα της διασποράς, αλλά μιλάμε για διασπορά της εξαρτημένης μεταβλητής Y Ο Λόγος F Των Μέσων Τετραγώνων Ο λόγος F ορίζεται από την ισότητα MSR F και λέγεται το στατιστικό F του μοντέλου. Όπως MSE θα δούμε η τιμή του καθορίζει αν το μοντέλο είναι ή δεν είναι σταθερό. 18

19 2.6 Συντελεστής Προσδιορισμού R 2 (The Coefficient Of Determination Or R-Square) Ο συντελεστής προσδιορισμού R 2 SSR ορίζεται από την ισότητα R 2 SST SST SSE SSE και επειδή SSR SST SSE έχω R 2 1 SST SST Προφανώς 0 R 2 1 Αν R 2 1 τότε SSE 0 και η προσαρμογή του μοντέλου είναι καλή. Αντίθετα αν R 2 0 τότε SSE SST και η προσαρμογή του μοντέλου δεν είναι καλή. Ο συντελεστής προσδιορισμού R 2 είναι ένας καθαρός αριθμός και η ποσότητα 100R 2 το ποσοστό της συνολικής διασποράς του μοντέλου 7. εκφράζει 2.7 Ο Διορθωμένος Συντελεστής Προσδιορισμού (The Adjusted Coefficient Of Determination Or Adjusted R-Square) Αν το μέγεθος n του δείγματος είναι μικρό σε σχέση με τον αριθμό των μεταβλητών m, τότε αντί να υπολογίσουμε τον συντελεστή προσδιορισμού R 2 από την ισότητα R 2 1 SSE SST είναι «καλύτερο» να υπολογίσουμε τον διορθωμένο συντελεστή προσδιορισμού ισότητα R 2 1 MSE MST 2 R από την Επειδή MSE SSE n m 1 SST n 1 2 S και MST Var(Y ) η παραπάνω ισότητα γίνεται 2 2 S R 1 Var( Y ) 19

20 Από τα παραπάνω προκύπτει ότι ο όταν S 2 Var(Y ) 2 R μπορεί να πάρει και αρνητικές τιμές και αυτό συμβαίνει Επειδή R 2 MSE 2 1 R MST SSE n 1 SST m 1 2 n 1 SSE R 1 n 1 n m 1 SST αλλά R 2 1 SSE SST SSE SST 1 R 2 n 1 2 άρα R 1 1 R (1) n m 1 2 ή λύνοντας ως προς R 2 έχω n 1 n m 1 R n m R 1 R 1 R 1 R 2 n m R n 1 2 n 1 (2) 2.8 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Αν για τα σφάλματα, i1,2,..., nποθέσουμε ότι ισχύει E( i) 0 και Var( i ) i1,2,..., nτότε επειδή τα ακολουθούν την κανονική κατανομή το άθροισμα n i1 2 για κάθε ακολουθεί την κατανομή x 2 με nm1βαθμούς ελευθερίας (όπως είδαμε) συνεπώς το SSE ακολουθεί την 2 i κατανομή x 2 n m1 Όμοια το SSR ακολουθεί την κατανομή Από τα προηγούμενα προκύπτει ότι ο λόγος F MSR MSE SSR / m SSE / n m 1 x 2 m δηλαδή την x 2 με m βαθμούς ελευθερίας. ακολουθεί την κατανομή Fm,n m1 δηλαδή την κατανομή F με m και n-m-1 βαθμούς ελευθερίας. 20

21 Έστω ότι a είναι το επίπεδο σημαντικότητας με το οποίο θέλουμε να κάνουμε τους ελέγχους μας. Αρχικά θα ελέγξουμε αν το μοντέλο μας μπορεί να σταθεί σαν μαθηματική συνάρτηση με ανεξάρτητη μεταβλητή την y και προβλέπουσες τις x1, x2,..., x m. Προφανώς το μοντέλο μας δεν μπορεί να γίνει αποδεκτό σαν μοντέλο πρόβλεψης αν είναι m 0. δηλαδή η μεταβλητή y είναι σταθερή και δεν εξαρτάται από τις x1, x2,..., x m Ο παραπάνω έλεγχος γίνεται ως εξής: Βρίσκω την κρίσιμη τιμή f F m,n m1, a από τον πίνακα της κατανομής F. Ορίζω την μηδενική υπόθεση Η 0 που είναι πάντα η H0: m 0 ενώ η εναλλακτική Η 1 είναι 1 :( 1 0) ή( 2 0) ή... ή( m 0). Βρίσκω το διάστημα αποδοχής της Η 0 που είναι το (0, f) και το διάστημα απόρριψης της Η 0 που είναι το f,. Αν ο λόγος 0,f F δέχομαι την Η 0 δηλαδή δέχομαι ότι m 0 δηλαδή το γραμμικό μοντέλο είναι σταθερό Y 0 που σημαίνει ότι η y δεν είναι συνάρτηση των x1, x2,..., x m. Αν ο λόγος f, F απορρίπτω την Η 0 δηλαδή δέχομαι ότι δεν είναι όλα τα 1, 2,..., m μηδέν, δηλαδή δέχομαι ότι το γραμμικό μοντέλο δεν είναι σταθερό. f Αποδοχή της Η 0 απόρριψη Η 0 21

22 2.9 ΤΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟ DURBIN WATSON Το στατιστικό Durbin Watson είναι μία ποσότητα με την βοήθεια της οποίας ελέγχουμε την γραμμική εξάρτηση ή ανεξαρτησία των υπολοίπων ψ i (correlated errors).ορίζεται από τον τύπο ( ) ( )... ( ) dw n n n ή dw n i2 ( ) i n i1 2 i1 2 Από κατάλληλους πίνακες προσδιορίζω τις ποσότητες dw και L dw (είναι dwl dwu ) και ανάλογα την διάταξη των dw, dw, dw,4 dw,4 dw έχω τα επόμενα συμπεράσματα. L U u L U dw dw Υπάρχει θετική αυτοσυσχέτιση των υπολοίπων L dwl dw dwu Δεν έχουμε καποιο συμπέρασμα (ασαφής περιοχή) dw dw 4 dw Δεχόμαστε την μηδενική υπόθεση Ηο U U 4 dw dw 4 dw Δεν έχουμε κάποιο συμπέρασμα (ασαφής περιοχή) u L 4 dwl dw Η αυτοσυσχέτιση των καταλοίπων είναι αρνητική Η μηδενική υπόθεση H 0 ορίζεται ως εξής: H 0 : τα κατάλοιπα δεν είναι γραμμικά εξαρτημένα Αν το γράφημα των καταλοίπων έχει την παρακάτω μορφή τότε τα κατάλοιπα είναι θετικά συσχετισμένα. 22

23 ε i /σ 0 i ε i /σ Αν το γράφημα των καταλοίπων έχει την παρακάτω μορφή τότε τα κατάλοιπα είναι αρνητικά συσχετισμένα 7. 0 i 23

24 Κεφάλαιο 3 ο 3.1 Οδηγίες εγκατάστασης Για την σωστή και αποτελεσματική εγκατάσταση των προγραμμάτων χρησιμοποιήσαμε την γλώσσα προγραμματισμου C++ και ποιο συγκεκριμένα την εκδοση Dev-Cpp σε συνεργασία με την βιβλιοθήκη πινάκων Eigen/Dense που περιλαμβάνει πρότυπα που χρησιμοποιούνται στην γραμμική άλγεβρα όπως πίνακες,διανύσματα και άλλα που αναλύονται πρακάτω. Για την σωστή λειτουργία του προγράμματος τοποθετήσαμε την βιβλιοθήκη Eigen/Dense στα include των βιβλιοθηκών που περιλαμβάνει η Cpp μετά την εγκατάσταση στον υπολογιστή μας. Για να μπορέσει κάποιος να το υλοποιήσει και να τρέξει τον κώδικα αρχικά πρέπει να εγκαταστήσει στον υπολογιστή του Dev-Cpp της οποίας οι απαιτήσεις είναι: windows 95 και νεότερες εκδόσεις των windows 32ΜΒ μνήμης τυχαίας προσπέλασης(ram) και τέλος για να μπορεί να εκτελεστεί το πρόγραμμα χρειάζεται το αρχείο MSVCRT.DLL, δηλαδή αρχείο βιβλιοθήκης του υπολογιστή μας και το οποίο υπάρχει απο την εγκατάσταση των windows 95 και των νεότερων εκδόσεων του, συνεπώς δεν χρειάζεται να κάνουμε τίποτα για το αρχείο αυτο απο την στιγμή που έχουμε κάνει σωστή εγκατάσταση του λειτουργικού μας συστήματος. Αφου λοιπόν κάνουμε εγκατάσταση των παραπάνω προγραμμάτων ανοίγουμε την Dev-Cpp Στη συνέχεια δημιουργούμε το πρόγραμμα μας και το εκτελούμε. Στην παρούσα εργασία ανοίγουμε το πρόγραμμα με όνομα main.ccp. Για να μπορέσουμε να δούμε τα αποτελέσματα έχουμε 2 τρόπους εκτέλεσης: 1ος τρόπος Πηγαίνουμε στην γραμμή εργαλειών και πατάμε executecompile. Αφού γίνει το compile πηγαίνουμε και πατάμε executerun. 2ος τρόπος Πηγαίνουμε στην γραμμή εργαλειών και πατάμε exectutecompile&run(η εναλλακτικά F9). Και με τους 2 τρόπους το αποτέλεσμα είναι το ίδιο. 24

25 Όπως τρέχει το πρόγραμμα μας ανοίγει ένα νέο παράθυρο το οποίο μένει ανοιχτό για λίγα δευτερόλεπτα και μετά κλείνει μόνο του. Για να μπορέσουμε να δούμε τα αποτελέσματα πάμε Έναρξηκαι πληκτρολογούμε cmd.exe. Μας βγάζει ένα νέο παράθυρο σε περιβάλλον Ms-Dos. Για να δούμε το πρόγραμμα μας πρέπει να βρούμε το μονοπάτι (path) όπου έχουμε αποθηκευμένο το πρόγραμμά μας. Για να γίνει αυτό πληκτρολογούμε την εντολή cd <όνομα φακέλου>. Το επαναλαμβάνουμε όσες φορές χρειαστεί μέχρι να βρούμε τον φάκελό μας. Αφού βρούμε τον φάκελό μας πληκτρολογούμε το όνομα του αρχείου με την κατάληξη <ονομα αρχειου>.cpp και το εκτελούμε. 3.2 Η βιβλιοθήκη Eigen/Dense Για την χρησιμοποίηση της βιβλιοθήκης Eigen/Dense το μόνο που χρειάζεται είναι να κατεβάσουμε και να εξάγουμε τον κώδικα.στην ουσία αυτό που χρειάζεται να κάνουμε είναι να αντιγράψουμε τα αρχεία επικεφαλίδας(headers) και στην ουσία είναι τα μόνα τα οποία χρησιμοποιούνται. Η βιβλιοθήκη Eigen/Dense είναι μια βιβλιοθήκη πινάκων που περιλαμβάνει πρότυπα γραμμικής άλγεβρας. Δημιουργήθηκε απο τους Benoît Jacob και Gaël Guennebaud και είναι δωρεάν λογισμικό το οποίο μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε καί να αναβαθμίσουμε εντελώς δωρεάν και ελεύθερα. Είναι ένα πολύ ευέλικτο πρόγραμμα το οποίο υποστηρίζει όλα τα μεγέθη πινάκων απο μικρούς σταθερού μεγέθους μέχρι τεραστίων πινάκων ακόμα και αραιούς πίνακες. Υποστηρίζει όλους τους βασικούς αριθμητικούς τύπους, συμπεριλαμβανομένων των ακέραιων, και είναι εύκολα επεκτάσιμο με τυχαίους αριθμητικούς τύπους. Επίσης υποστηρίζει διάφορους τύπους πινάκων μαζί και τα χαρακτηριστικά της γεωμετρίας. Παρέχει πολλές εξειδικευμένες λειτουργίες, όπως η μη γραμμική βελτιστοποίηση, λειτουργίες πινάκων, ένα πολυώνυμικό solver, FFT, και πολλά άλλα. Είναι πάρα πολύ γρήγορο και χαρακτηρίζεται για την ταχύτητα του.παρέχει διανυσματοποίηση και γίνεται για SSE 2/3/4, NEON ARM, και AltiVec σύνολα οδηγιών, με εναλλακτικό μη διανυσματικό κώδικα. Σε σταθερού μεγέθους πίνακες είναι πλήρως 25

26 αναπτυγμένο: η δυναμική κατανομή μνήμης αποφεύγεται, και οι βρόχοι ξετυλίγονται όταν αυτό έχει νόημα. Για τους μεγάλους πίνακες ιδιαίτερη προσοχή έχει δοθεί στην cache. Είναι αξιόπιστο απο το γεγονός ότι επιλέγονται προσεκτικά αλγόριθμοι που χαρακτηρίζονται για την αξιοπιστία τους, και έχει ελεγχθεί διεξοδικά μέσα από τη δική τους σουίτα δοκιμής (πάνω από 500 εκτελέσιμα), το πρότυπο σουίτα δοκιμής Blas, και τα μέρη του LAPACK σουίτα δοκιμής. Και ένα μεγάλο πλεονέκτημα ειναι το γεγονός ότι έχει πολύ καλή μεταγλωττιστική υποστήριξη. 3.3 Ανάπτυξη Κώδικα 1 #include <fstream> 2 #include <iostream> 3 #include <stdexcept> 4 #include <Eigen/Dense> 5 6 using Eigen::VectorXd; 7 using Eigen::MatrixX4d; 8 using Eigen::MatrixXd; 9 using Eigen::Matrix; using namespace std; 12 template<typename _Matrix_Type_> 13 bool pseudoinverse(const _Matrix_Type_ &a, _Matrix_Type_ &result, double 14 epsilon = std::numeric_limits<typename _Matrix_Type_::Scalar>::epsilon()) 26

27 15 { 16 if(a.rows()<a.cols()) 17 return false; Eigen::JacobiSVD< _Matrix_Type_ > svd = a.jacobisvd(eigen::computethinu 20 Eigen::ComputeThinV); typename _Matrix_Type_::Scalar tolerance = epsilon * std::max(a.cols(), 23 a.rows()) * svd.singularvalues().array().abs().maxcoeff(); result = svd.matrixv() * _Matrix_Type_( (svd.singularvalues().array().abs() > 26 tolerance).select(svd.singularvalues(). 27 array().inverse(), 0) ).asdiagonal() * svd.matrixu().adjoint(); return true; 30 } template<typename _Matrix_Type_> 33 double gr(_matrix_type_ b, double x1, double x2, double x3) { 34 return b(0) + b(1) * x1 + b(2) * x2 + b(3) * x3; 35 } // The Eigen index type 36 typedef Eigen::DenseIndex Index; class matrixinput 27

28 39 { 40 public: 41 matrixinput(index numrows, Index numcols, std::istream& is_) 42 : A(numrows, numcols), is(is_) 43 { 44 for(index i = 0; i < numrows; ++i) 45 for(index j = 0; j < numcols; ++j) 46 { 47 //double el; //is >> el; is >> A(i, j); 48 } 49 } MatrixXd getmatrix() const {return A;} 52 private: 53 MatrixXd A; 54 std::istream& is; 55 }; 56 class mymatricesinput 57 { 58 public: 59 mymatricesinput(std::istream& is_) 60 : is(is_) 61 { 28

29 62 // first reads n and m, respectively, from the input is >> n_; is >> m_; 64 // set the matrix sizes //std::cout << "Enter number of factors n:\n"; 65 X_.resize(n_, m_ + 1); //std::cout << "Enter number of dimensions m:\n"; 66 Y_.resize(n_); // read in the right m columns of X //std::cout << "Enter the n x m matrix:\n"; 67 matrixinput XInput(n_, m_, is); // set the right m columns of X 68 X_.rightCols(m_) = XInput.getMatrix(); // set the first column to one's 69 X_.leftCols(1) = MatrixXd::Ones(n_, 1); // read in Y //std::cout << "Enter the n vector:\n"; 70 matrixinput YInput(n_, 1, is); // set Y 71 Y_ = YInput.getMatrix(); 72 } Index n() const {return n_;} 75 Index m() const {return m_;} 29

30 76 MatrixXd X() const {return X_;} 77 VectorXd Y() const {return Y_;} 78 private: 79 Index n_, m_; 80 MatrixXd X_; // the n x (m + 1) matrix 81 VectorXd Y_; // the n column vector 82 std::istream& is; 83 }; std::istream& getinputstream(char mode) 86 std::ifstream* file; std::string filename; 89 switch(mode) 90 { 91 case 'k': 92 cout << "Insert dimensions n,m and then the matrices:"; 93 return std::cin; 94 case 'f': 95 cout << "Give the file name:"; 96 std::cin >> filename; 97 file = new std::ifstream(filename.c_str()); 98 return *file; 99 default: 100 throw std::range_error("invalid mode"); 30

31 101 } } int main() 106 { 107 cout << "Stuff"<< endl; cout << "Obtain model input from (k)eyboard or (f)ile?\n"; 110 char mode; 111 cin >> mode; istream& is = getinputstream(mode); mymatricesinput Input(is); Index n, m; 118 MatrixXd X; 119 VectorXd Y; 120 n = Input.n(); 121 m = Input.m(); 122 X = Input.X(); 123 Y = Input.Y(); /* THE COMPLETE THREE VARIABLES MODEL */ 31

32 /* Variablex x1, x2, x3 */ /* DATA t-distribution */ 124 VectorXd td(200); td(0) = 12.71; 127 td(1) = 4.303; 128 td(2) = 3.182; 129 td(4) = 2.776; 130 td(4) = 2.571; 131 td(5) = 2.447; 132 td(6) = 2.365; 133 td(7) = 2.306; 134 td(8) = 2.262; 135 td(9) = 2.228; 136 td(10) = 2.201; 137 td(11) = 2.179; 138 td(12) = 2.160; 139 td(13) = 2.145; 140 td(14) = 2.131; 141 td(15) = 2.12; 142 td(16) = 2.11; 143 td(17) = 2.101; 32

33 144 td(18) = 2.093; 145 td(19) = 2.086; 146 td(20) = 2.08; 147 td(21) = 2.074; 148 td(22) = 2.069; 149 td(23) = 2.064; 150 td(24) = 2.06; 151 td(25) = 2.056; 152 td(26) = 2.052; 153 td(27) = 2.048; 154 td(28) = 2.045; 155 td(29) = 2.042; for (int i=30; i<60; i++) td(i) = 2.02; 158 for (int i=60; i<120; i++) td(i) = 2.0; 159 for (int i=120; i<200; i++) td(i) = 1.96; MatrixXd fd(3,200); 162 fd(0, 0) = 161.4; fd(0, 1) = 18.51; fd(0, 2) = 10.13; fd(0, 3) = 7.709; 163 fd(0, 4) = 6.608; fd(0, 5) = 5.987; fd(0, 6) = 5.591; fd(0, 7) = 5.318; 164 fd(0, 8) = 5.117; fd(0, 9) = 4.965; fd(0, 10) = 4.844; fd(0, 11) = 4.747; 165 fd(0, 12) = 4.667; fd(0, 13) = 4.6; fd(0, 14) = 4.543; fd(0, 15) = 4.494; 166 fd(0, 16) = 4.451; fd(0, 17) = 4.414; fd(0, 18) = 4.381; fd(0, 19) = 4.351; 167 fd(0, 20) = 4.325; fd(0, 21) = 4.301; fd(0, 22) = 4.279; fd(0, 23) = 4.26; 168 d(0, 24) = 4.242; fd(0, 25) = 4.225; fd(0, 26) = 4.21; fd(0, 27) = 4.196; 33

34 169 fd(0, 28) = 4.183; fd(0, 29) = 4.171; for (int i=30; i<60; i++) fd(0, i) = 4.1; 172 for (int i=60; i<120; i++) fd(0, i) = 4.0; 173 for (int i=120; i<200; i++) fd(0, i) = 3.9; fd(81, 0) = 199.5; fd(1, 1) = 19.0; fd(1, 2) = 9.552; fd(1, 3) = 6.944; 176 fd(1, 4) = 5.786; fd(1, 5) = 5.143; fd(1, 6) = 4.737; fd(1, 7) = 4.459; 177 fd(1, 8) = 4.256; fd(1, 9) = 4.103; fd(1, 10) = 3.982; fd(1, 11) = 3.885; 178 fd(1, 12) = 3.806; fd(1, 13) = 3.739; fd(1, 14) = 3.682; fd(1, 15) = 3.634; 179 fd(1, 16) = 3.592; fd(1, 17) = 3.555; fd(1, 18) = 3.522; fd(1, 19) = 3.493; 180 fd(1, 20) = 3.467; fd(1, 21) = 3.443; fd(1, 22) = 3.422; fd(1, 23) = 3.403; 181 fd(1, 24) = 3.385; fd(1, 25) = 3.369; fd(1, 26) = 3.354; fd(1, 27) = 3.34; 182 fd(1, 28) = 3.328; fd(1, 29) = 3.316; for (int i=30; i<60; i++) fd(1, i) = 3.2; 185 for (int i=60; i<120; i++) fd(1, i) = 3.1; 186 for (int i=120; i<200; i++) fd(1, i) = 3.0; fd(2, 0) = 215.7; fd(2, 1) = 19.16; fd(2, 2) = 9.277; fd(2, 3) = 6.591; 189 fd(2, 4) = 5.409; fd(2, 5) = 4.757; fd(2, 6) = 4.347; fd(2, 7) = 4.066; 190 fd(2, 8) = 3.863; fd(2, 9) = 3.708; fd(2, 10) = 3.587; fd(2, 11) = 3.49; 191 fd(2, 12) = 3.411; fd(2, 13) = 3.344; fd(2, 14) = 3.287; fd(2, 15) = 3.239; 192 fd(2, 16) = 3.197; fd(2, 17) = 3.16; fd(2, 18) = 3.127; fd(2, 19) = 3.098; 193 fd(2, 20) = 3.072; fd(2, 21) = 3.049; fd(2, 22) = 3.028; fd(2, 23) = 3.009; 34

35 194 fd(2, 24) = 2.991; fd(2, 25) = 2.975; fd(2, 26) = 2.96; fd(2, 27) = 2.947; 195 fd(2, 28) = 2.934; fd(2, 29) = 2.922; for (int i=30; i<60; i++) fd(2, i) = 2.8; 198 for (int i=60; i<120; i++) fd(2, i) = 2.7; 199 for (int i=120; i<200; i++) fd(2, i) = 2.6; 200 MatrixXd DWL(3,40); 201 MatrixXd DWU(3,40); 202 for (int i=0; i<15; i++) { 203 DWL(2, i) = 0.71; DWU(2, i) = 1.61; 204 } 205 for (int i=15; i<20; i++) { 206 DWL(2, i) = 0.89; DWU(2, i) = 1.55; 207 } 208 for (int i=20; i<25; i++) { 209 DWL(2, i) = 1.02; DWU(2, i) = 1.54; 210 } 211 for (int i=25; i<30; i++) 212 { 213 DWL(2, i) = 1.12; DWU(2, i) = 1.54; 214 } 215 for (int i=30; i<40; i++) { 216 DWL(2, i) = 1.25; DWU(2, i) = 1.57; 35

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η χρησιμοποίηση των τεχνικών της παλινδρόμησης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων έχει διευκολύνει εξαιρετικά από την χρήση διαφόρων στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Copyright 2009 Cengage Learning 16.1 Ανάλυση Παλινδρόμησης Σκοπός του προβλήματος είναι η ανάλυση της σχέσης μεταξύ συνεχών μεταβλητών. Η ανάλυση παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 7. Παλινδρόµηση

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 7. Παλινδρόµηση ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 7. Παλινδρόµηση Γενικά Επέκταση της έννοιας της συσχέτισης: Πώς µπορούµε να προβλέπουµε τη µια µεταβλητή από την άλλη; Απλή παλινδρόµηση (simple regression): Κατασκευή µοντέλου πρόβλεψης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: ΔΙΑΛΕΞΗ 04

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: ΔΙΑΛΕΞΗ 04 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: ΔΙΑΛΕΞΗ 04 Μαρί-Νοέλ Ντυκέν Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας & Περιφερειακής Ανάπτυξης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες ΜΑΘΗΜΑ 3ο Βασικές έννοιες Εισαγωγή Βασικές έννοιες Ένας από τους βασικότερους σκοπούς της ανάλυσης των χρονικών σειρών είναι η διενέργεια των προβλέψεων. Στα υποδείγματα αυτά η τρέχουσα τιμή μιας οικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : 4..634 URL : www.vtal.gr emal: f@vtal.gr Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για την Μέση Τιμή ενός Δείγματος (One Sample t-test) Το κριτήριο One sample t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε τον αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 12ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 12ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 12ο ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ Ένα από τα βασικά προβλήματα που υπάρχουν στην εξειδίκευση ενός υποδείγματος είναι να προσδιοριστεί η κατεύθυνση που μία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Προχωρημένη Στατιστική 2. ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για τους Μέσους - Εξαρτημένα Δείγματα (Paired samples t-test) Το κριτήριο Paired samples t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA)

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA) ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA). Εισαγωγή Η ανάλυση της διακύμανσης (ANalysis Of VAriance ANOVA) είναι μια στατιστική μεθόδος με την οποία η μεταβλητότητα που υπάρχει σ ένα σύνολο δεδομένων διασπάται στις

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕ ΤΟ SPSS To SPSS θα: - Κάνει πολύπλοκη στατιστική ανάλυση σε δευτερόλεπτα -

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για τον καθορισμό του καλύτερου υποσυνόλου από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σχετικές πληροφορίες: http://dlib.ionio.gr/~spver/seminars/statistics/ Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σπύρος Βερονίκης Τμήμα Αρχειονομίας - Βιβλιοθηκονομίας Θεματικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2006-07 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: Η ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΕΣΟΣ... 29

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: Η ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΕΣΟΣ... 29 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 Μεταβλητές...5 Πληθυσμός, δείγμα...7 Το ευρύτερο γραμμικό μοντέλο...8 Αναφορές στη βιβλιογραφία... 11 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 Περίληψη... 13 Εισαγωγή... 13 Με μια ματιά...

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Έλεγχος Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ακ. Έτος 2012-2013 Σχεσιακοί Τελεστές και Ισότητας Ένα πρόγραμμα εκτός από αριθμητικές πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Η βιτρίνα των καταστημάτων ως εργαλείο δημοσίων σχέσεων. Ονοματεπώνυμο: Ειρήνη Πορτάλιου Σειρά: 8 η Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια : Βεντούρα Ζωή

Η βιτρίνα των καταστημάτων ως εργαλείο δημοσίων σχέσεων. Ονοματεπώνυμο: Ειρήνη Πορτάλιου Σειρά: 8 η Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια : Βεντούρα Ζωή Η βιτρίνα των καταστημάτων ως εργαλείο δημοσίων σχέσεων Ονοματεπώνυμο: Ειρήνη Πορτάλιου Σειρά: 8 η Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια : Βεντούρα Ζωή Δεκέμβριος 2011 Στόχος Έρευνας H βιτρίνα των καταστημάτων αποτελεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α εξεταστική περίοδος χειµερινού εξαµήνου 4-5 ιάρκεια εξέτασης ώρες και 45 λεπτά Θέµατα Θέµα (α) Τα υποδείγµατα που χρησιµοποιούνται στην οικονοµική θεωρία ονοµάζονται ντετερµινιστικά ενώ τα οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 2. i β. 1 ου έτους (Υ i )

Άσκηση 2. i β. 1 ου έτους (Υ i ) Άσκηση Ο επόμενος πίνακας δίνει τους βαθμούς φοιτητών (Χ i ) στις εισαγωγικές εξετάσεις ενός κολεγίου και τους αντίστοιχους βαθμούς τους (Υ i ) στο τέλος της πρώτης χρονιάς φοίτησης στο συγκεκριμένο κολέγιο.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΙΤΩΝ

ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΙΤΩΝ ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΙΤΩΝ Αστική Μη Κερδοσκοπική Εταιρεία- ISO 9001 Σαπφούς 3, 81100 Μυτιλήνη (1ος Όροφος) 2251054739 (09:00-14:30) academy@aigaion.org civilacademy.ucoz.org «ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ερμηνεία αποτελεσμάτων Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα

Ερμηνεία αποτελεσμάτων Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα Ερμηνεία αποτελεσμάτων Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα Αρχείο δεδομένων school.sav Στον πίνακα Descriptives, μας δίνονται για την Επίδοση ως προς τις πέντε διαφορετικές μεθόδους διδασκαλίας, το

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ PASW 18 Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδημαϊκό Έτος 2011 2012 ΕΠΙΧ

Διαβάστε περισσότερα

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ).

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ). Δισδιάστατη ανάλυση Πίνακες διπλής εισόδου Σε πολλές περιπτώσεις μελετάμε περισσότερες από μία μεταβλητές ταυτόχρονα. Π.χ. μία έρευνα που έγινε σε ένα δείγμα 58 ατόμων περιείχε τις ερωτήσεις «ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΙΜΟΣ ΜΕΙΝΤΑΝΗΣ, Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών, ΕΚΠΑ ΓΙΑΝΝΗΣ Κ. ΜΠΑΣΙΑΚΟΣ, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Περιεχόμενα 1. ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL. , και οι γραμμές συμβολίζονται με 1,2,3, Μπορούμε να αρχίσουμε εισάγοντας ορισμένα στοιχεία ως εξής.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL. , και οι γραμμές συμβολίζονται με 1,2,3, Μπορούμε να αρχίσουμε εισάγοντας ορισμένα στοιχεία ως εξής. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL Το πακέτο Excel είναι ένα πρόγραμμα φύλλου εργασίας (spreadsheet) με το οποίο μπορούμε να κάνουμε υπολογισμούς και διαγράμματα που είναι χρήσιμοι στα οικονομικά. Στο Excel το φύλλο εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. 7 ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΛΕΓΧΩΝ (STUDENT S T).. 21

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΛΕΓΧΩΝ (STUDENT S T).. 21 Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΛΕΓΧΩΝ (STUDENT S T).. 21 (Basic Sampling Techniques and Questionnaire Analysis using

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Ι. Κλάσεις και Αντικείμενα. Δημήτρης Μιχαήλ. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Προγραμματισμός Ι. Κλάσεις και Αντικείμενα. Δημήτρης Μιχαήλ. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Προγραμματισμός Ι Κλάσεις και Αντικείμενα Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Κλάσεις Η γενική μορφή μιας κλάσης είναι η εξής: class class-name { private data and

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία.

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία. . ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ. Υπολογισµός συντελεστών συσχέτισης Προκειµένου να ελέγξουµε την ύπαρξη γραµµικής σχέσης µεταξύ δύο ποσοτικών µεταβλητών, χρησιµοποιούµε συνήθως τον παραµετρικό συντελεστή συσχέτισης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

έρευνας και στατιστική» παραμετρικές συγκρίσεις»

έρευνας και στατιστική» παραμετρικές συγκρίσεις» ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ & ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ «Μεθοδολογία έρευνας και στατιστική» Μάθημα μεταπτυχιακού κύκλου σπουδών Διάλεξη: «Μη παραμετρικές συγκρίσεις» ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δρ. Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2015-2016 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Μοντέλα Παλινδρόμησης Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Εισαγωγή (1) Σε αρκετές περιπτώσεις επίλυσης προβλημάτων ενδιαφέρει η ταυτόχρονη μελέτη δύο ή περισσότερων μεταβλητών, για να προσδιορίσουμε με ποιο

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες Νίκος Ν. Αρπατζάνης Παράγωγος ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ y y = f(x) x φ y y y = f(x) x φ y y y = f(x) φ x 1 x 1 + х x x 1 x 1 + х x x 1 x tanϕ = y x tanϕ = dy dx

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή 1. Γενικά... 25 2. Έννοια και Είδη Μεταβλητών... 26 3. Κλίμακες Μέτρησης Μεταβλητών... 29 3.1 Ονομαστική κλίμακα... 30 3.2. Τακτική κλίμακα... 31 3.3 Κλίμακα ισοδιαστημάτων... 34 3.4

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος ΜΑΘΗΜΑ 10 ο Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος Η μέθοδος της συνολοκλήρωσης είναι ένας τρόπος με τον οποίο μπορούμε να εκτιμήσουμε τη μακροχρόνια σχέση ισορροπίας που υπάρχει μεταξύ δύο ή

Διαβάστε περισσότερα

H ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ (PEARSON s r)

H ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ (PEARSON s r) 5 H ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ (PEARSON s r) Περίληψη Σκοπός του κεφαλαίου είναι η εφαρμογή της ανάλυσης συσχέτισης (Pearson r) μέσω του PASW. H ανάλυση συσχέτισης Pearson r χρησιμοποιείται για να εξεταστεί η

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 10, σελ. 119. Για τη μεταβλητή x (άτυπος όγκος) έχουμε: x censored_x 1 F 3 F 3 F 4 F 10 F 13 F 13 F 16 F 16 F 24 F 26 F 27 F 28 F

Άσκηση 10, σελ. 119. Για τη μεταβλητή x (άτυπος όγκος) έχουμε: x censored_x 1 F 3 F 3 F 4 F 10 F 13 F 13 F 16 F 16 F 24 F 26 F 27 F 28 F Άσκηση 0, σελ. 9 από το βιβλίο «Μοντέλα Αξιοπιστίας και Επιβίωσης» της Χ. Καρώνη (i) Αρχικά, εισάγουμε τα δεδομένα στο minitab δημιουργώντας δύο μεταβλητές: τη x για τον άτυπο όγκο και την y για τον τυπικό

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας 1 Εισαγωγή Το μεγαλύτερο μέρος των δεδομένων που καλούμαστε να επεξεργαστούμε είναι πολυδιάστατα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Όταν ενδιαφερόμαστε να συγκρίνουμε δύο πληθυσμούς, η φυσιολογική προσέγγιση είναι να προσπαθήσουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι

Διαβάστε περισσότερα

Διερεύνηση της Αξιοπιστίας και της Εγκυρότητας Ψυχομετρικής Κλίμακας με το λογισμικό SPSS

Διερεύνηση της Αξιοπιστίας και της Εγκυρότητας Ψυχομετρικής Κλίμακας με το λογισμικό SPSS Διερεύνηση της Αξιοπιστίας και της Εγκυρότητας Ψυχομετρικής Κλίμακας με το λογισμικό SPSS 1. Εισαγωγή Άγγελος Μάρκος Αλεξανδρούπολη, 04.04.2013 Η μέτρηση στις επιστήμες της συμπεριφοράς συχνά στοχεύει

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία. στα. Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα

Εργασία. στα. Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα Εργασία στα Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα Μ. Παρζακώνης ΜΕΣ/ 06015 Ο παρακάτω πίνακας δίνει τα αποτελέσματα 800 αιτήσεων για δάνειο σε μία τράπεζα. Ο πίνακας παρουσιάζει τον αριθμό των δανείων που εγκρίθηκαν,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Εφαρμογών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Kruskal-Wallis H... 176

Kruskal-Wallis H... 176 Περιεχόμενα KΕΦΑΛΑΙΟ 1: Περιγραφή, παρουσίαση και σύνοψη δεδομένων................. 15 1.1 Τύποι μεταβλητών..................................................... 16 1.2 Κλίμακες μέτρησης....................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ: ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδες Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ ΠΕΡΙΕΧOΜΕΝΑ Πρόλογος στη δεύτερη έκδοση Πρόλογος στην πρώτη έκδοση Εισαγωγή Τι είναι η μεθοδολογία έρευνας Οι μέθοδοι έρευνας ΜEΡOΣ A : ΓNΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜOΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙO 1: Γενικά για την επιστημονική

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα

Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα ΜΑΘΗΜΑ ο Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα Ησχέσησ ένα στατικό υπόδειγμα συνολοκλήρωσης και σ ένα υπόδειγμα διόρθωσης λαθών μπορεί να μελετηθεί καλύτερα όταν χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των αυτοπαλίνδρομων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜEΡOΣ A : ΓNΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜOΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜEΡOΣ A : ΓNΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜOΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος στη δεύτερη έκδοση........................................... 13 Πρόλογος στην πρώτη έκδοση............................................ 17 Εισαγωγή................................................................

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες Εργαστήριο SPSS Ψ-4201 (ΕΡΓ) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Ι. Προχωρημένα Θέματα. Δημήτρης Μιχαήλ. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Προγραμματισμός Ι. Προχωρημένα Θέματα. Δημήτρης Μιχαήλ. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Προγραμματισμός Ι Προχωρημένα Θέματα Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ανακατεύθυνση Εισόδου/Εξόδου Συνήθως η τυπική είσοδος ενός προγράμματος (stdin) προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Αντικειμενοστραφής Προγραμματισμός I (5 ο εξ) Εργαστήριο #2 ο : Ανατομία προγραμμάτων εφαρμογών, η

Αντικειμενοστραφής Προγραμματισμός I (5 ο εξ) Εργαστήριο #2 ο : Ανατομία προγραμμάτων εφαρμογών, η Αντικειμενοστραφής Προγραμματισμός I (5 ο εξ) Εργαστήριο #2 ο : Ανατομία προγραμμάτων εφαρμογών, η μέθοδος main(), εμφάνιση μηνυμάτων, Java προγράμματα που εκτελούν αριθμητικές πράξεις Γαβαλάς Δαμιανός

Διαβάστε περισσότερα

Βήματα για την επίλυση ενός προβλήματος

Βήματα για την επίλυση ενός προβλήματος ΜΑΘΗΜΑ 2ο Βήματα για την επίλυση ενός προβλήματος 1. Κατανόηση του προβλήματος με τη σχετική επιστήμη (όπως οικονομία, διοίκηση, γενικές επιστήμες) π.χ το πρόβλημα της κατανάλωσης κάποιας περιοχής σε σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ 5 ΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ 5 ΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ SOS & ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ 5 ΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ www.dap papei.gr 2 ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι Τι θα γράψω: Στις εξετάσεις τα θέματα περιλαμβάνουν ερωτήσεις και ασκήσεις (κυρίως ασκήσεις) όπου

Διαβάστε περισσότερα

Είδη εντολών. Απλές εντολές. Εντολές ελέγχου. Εκτελούν κάποια ενέργεια. Ορίζουν τον τρόπο με τον οποίο εκτελούνται άλλες εντολές

Είδη εντολών. Απλές εντολές. Εντολές ελέγχου. Εκτελούν κάποια ενέργεια. Ορίζουν τον τρόπο με τον οποίο εκτελούνται άλλες εντολές Μορφές Εντολών Είδη εντολών Απλές εντολές Εκτελούν κάποια ενέργεια Εντολές ελέγχου Ορίζουν τον τρόπο με τον οποίο εκτελούνται άλλες εντολές Εντολές και παραστάσεις Μιαεντολήείναιμιαπαράστασηπου ακολουθείται

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

Το πρόγραμμα συγχρηματοδοτείται 75% από το Ευρωπαϊκό κοινωνικό ταμείο και 25% από εθνικούς πόρους.

Το πρόγραμμα συγχρηματοδοτείται 75% από το Ευρωπαϊκό κοινωνικό ταμείο και 25% από εθνικούς πόρους. Το πρόγραμμα συγχρηματοδοτείται 75% από το Ευρωπαϊκό κοινωνικό ταμείο και 25% από εθνικούς πόρους. ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ, ΧΗΜΕΙΑΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ORIGIN ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΧΡΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Πίνακες Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ακ. Έτος 2012-2013 Πίνακες Πολλές φορές θέλουμε να κρατήσουμε στην μνήμη πολλά αντικείμενα

Διαβάστε περισσότερα

329 Στατιστικής Οικονομικού Παν. Αθήνας

329 Στατιστικής Οικονομικού Παν. Αθήνας 329 Στατιστικής Οικονομικού Παν. Αθήνας Σκοπός Το Τμήμα σκοπό έχει να αναδείξει επιστήμονες ικανούς να σχεδιάζουν, να αναλύουν και να επεξεργάζονται στατιστικές καθώς επίσης και να δημιουργούν προγράμματα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 7: Παρουσίαση δεδομένων-περιγραφική στατιστική Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα