ΤΕΙΠΕΙΡΑΙΑ ΣΤΕΦ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓ ΑΣΙΑ ΤΩΝ ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΝΙΚΟΛΑΙΔΗ ΣΤΑΛΗΜΕΡΟΥ ΣΕΡΑΦΕΙΜ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΤΕΙΠΕΙΡΑΙΑ ΣΤΕΦ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓ ΑΣΙΑ ΤΩΝ ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΝΙΚΟΛΑΙΔΗ ΣΤΑΛΗΜΕΡΟΥ ΣΕΡΑΦΕΙΜ"

Transcript

1 ΤΕΙΠΕΙΡΑΙΑ ΣΤΕΦ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓ ΑΣΙΑ ΤΩΝ ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΝΙΚΟΛΑΙΔΗ ΣΤΑΛΗΜΕΡΟΥ ΣΕΡΑΦΕΙΜ \Jf 1Ίο..vο \. ΤΙΤΛΟΣ: Ζηταμε να προσδιορισουμε τις αvηγμεvες παραμορφωσεις ε,γ που θα αναπτυχθουν σε σημειο σωματος που τελει υπο δυαξοvικη εvταση,εαν μας ει ναι γνωστα οι αvηγμεvες παραμορφωσεις σε δυο καθετες αvαμεταξυ τους διευθυvσεις.

2 l) ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ lα) Ορθη ταση σε σημειο σωματος Εστω σωμα που εχει μαζα Μ και εμβαδο. Στο σωμα αυτο εξασκ υμε δυναμη F. Αρα στην απειρ στη επιφανεια εμβαδου d τ υ σ ματ ς α εξασκηθει στοιχειωδεις υναμη df. Το πηλικ της εξασκουμενης α α μοναδα επιφανειας δυναμης df προς την στοιχει δη επιφανεια d στην οποια εξασκειται θα καλουμε ορθη η καθετο ς ταση, στ εν λ γ σημει του σωματος που εξεταζουμε. Η ταση ειναι διανυσματικο μεγεθ ς ως εκ τουτου για τον προσδιορισμο της απαιτειται μετρο, διευ υνση και φ ρα. Εχει ε μοναδε ς, δυναμεως ανα μοναδα επιφανειας. Η ταση εκφραζει την ποσοτητα της δυναμης σε ενα σημειο, αλλιως την ενταση της υναμε ς. σ=df/ds 1 β) Ενταση -Παραμορφωσεις και ειδη αυτων Ενα στερεο σωμα ει ναι ενα συνολο μοριων που συγκρατουνται μεταξυ τους απο ισχυρες ηλεκτροστατικες Waals). Τα μορια αυτα, λογω των ισχυρ ν αυτων ηλεκτροστατικ ν υναμεις (δυναμει ς Van der (εσωτερικων) δυναμεων, εχουν κα ορισμενες στο χωρ θεσεις σχηματιζουν δε απλα γεωμετρικα σχηματα που επαναλαμβαν νται περιοδικα καθ ολη την εκταση της μαζας του σωματος. Οταν εμεις θελησουμε να μεταβαλλουμε τις καθορισμενες αυτες αποστασεις τ ν μοριων αναπτυσσονται αφ ενος μεν πολυ ισχυρες ηλεκτρ στατικε ς δυναμεις που τεινουν να αντιταχθ υν στην επιφερομενη αυτη μεταβ λη (σσ η δυναμη που αποτελει το εξωτερικο αιτιο) αφ ετερου δε μακροσκοπικα αλλαζει το σχημα του σωματος. Στην περιπτωση αυτη δηλαδη οταν ενα σωμα καταπονειται απο καποιες εξωτερικες δυναμεις λεγουμε οτι το σωμα ευρισκεται σε εντατικη κατασταση. Η εντατικη κατασταση ενος σωματος μπορει να ειναι μονοαξονικη υαξ νικη η και τριαξονικη αναλογα αν οι εξασκουμενες δυναμεις δρουν γραμμικα 1 επιπεδα η και χωρικα. Εντελως αναλογα και η παραμ ρφωσιακη κατασταση διακρινεται σε γραμμικη, επιπεδη και χωρικη. Το αποτελεσμα της εντατικης καταστασεως ειναι η παραμορφωση του σωματος. Οι παραμορφωσεις γενικα μπορουν να διακριθουν σε δυο κατηγ ριες. Στις ελαστικες και στις πλαστικες παραμορφωσεις. Οταν το σωμα π βρισκεται σε εντατικη κατασταση επανερχεται στο αρχικο του σχημα μετα την παυση του αιτιου δηλαδη των δυναμεων που εξασκ υνται στο σωμα εχουμε ελαστικο σωμα και η δε ιδιοτητα αυτη καλειται ελαστικοτητα. Εαν μετα την παυση του αιτιου το σωμα εν

3 επανερχονταν στο αρχικο του σχημα θα ειχαμε εντελως αναλογα ενα πλαστικο σωμα και η ιδιοτητα αυτη κατ αναλογια θα ονομαζονταν πλαστικοτητα. Ενα υλικο το οποιο ει ναι απολυτως ελαστικο ακομα και για ακαριαιες παραμορφωσεις οεν εμφανιζει παραμενουσες τασε1ς η παραμορφωσεις, και κατα τις φορτισεις Ι αποφορτισεις του ακολουοει την ιδια ακριβως πορεια. Τα απολυτως πλαστικα υλικα εχ υν μετρ ελαστικοτητος πρακτικα απειρο, δηλαδη στην ελασ11κη περιοχη παρουσιαζουν αποτομη αυξηση των παραμορφωσεων. Πρακτικα δεν υπαρχει 100ο/ο αμιγως ελαστικο η πλαστικο σωμα, καθως ενα σωμα χαρακτηριζεται σε καποιο βαθμο και απο τις δ ο αυτες ι ιοτητες, αvαλογα παvτα και με την δεινοτητα της καταπονησης. Ετσι εχουμε ανελαστικα, ελαστοπλαστικα υλικα. Υπαρχει ομως και δευτερη διακρ1ση των ειδων των παραμορφωσεων. Διακρινουμε τις ορθες παραμορφωσεις, οι οποιες ειναι βραχυνσεις η μηκηνσεις, και τις διατμητικες η ολισθαινουσες παραμορφωσεις, οι οποιες ει ναι γωνιακες μεταβολες. lγ) Ομογενη,ισοτροπα και συνεχη σωματα Η ολη θεωρια της ελαστικοτητας βασιζεται πανω στις τρεις αυτες προτασεις, χαρη στις οποιες κατεστηοη δυνατον η δημιουργια των μαθηματικων μας μοντελων που περιγραφουν την παραμορφωσιακη κατασταση των σωματων που τελουν υπο ενταση. Ονομαζουμε ενα σωμα ισοτροπο οταν εχει τις ιδιες μακρ σκοπικες ιδιοτητες προς ολες τις διευθυνσεις μεσα στη μαζα του. Σε αντιοετη περιπτωση το υλικο θα καλειται ανισοτροπο (πχ το ξυλο η τα συνθετικα υλικα). Ονομαζουμε ομογενες ενα σωμα οταν αυτο παρο σιαζει σε λα τα σημεια της μαζας του τις ιδιες ιδιοτητες. Ονομαζουμε συνεχες εvα σωμα οταν δεν παρουσιαζει κενα η ασυνεχειες στη μαζα του. lδ) Μετρο ελαστικοτητος-νομος Hooke Εστω μια ραβδος μηκους L και σταθερας διατομης S, η π ια εφελκυεται απο αξονικη δυvαμη F. Η εφαρμογη της αξονικης δυναμεως επι της ραβδου αποτελει την αιτια για την παραμορφωση, δηλαδη την επιμηκηνση, αυτης. Το φαινομενο αυτο, δηλαδη της μεταβολης του μηκους της ραβδου κατα ΔL, καλειται εφελκυσμος. Εν γενει ει ναι το φαι νομενο που λαμβαvει χωρα οταν τα γειτνιαζοvτα μορια εvος ομογενους, ισοτροπου σωματος απομακρυvονται. Η παραμορφωση ΔL της ραβδου ει ναι αναλογη του μηκους της ραβδου και της εξασκουμενης δυναμεως, και αντιστροφως αvαλογη της διατομης της ραβδου και μιας

4 σταθερας Ε χαρακτηριστικης του υλικου της ραβδου.. Η σταθερα Ε καλειται μετρο ελαστικοτητας η μετρο του Young και για παραμορφ σει ς εντος των ελαστικων οριων ισουται με την κλιση του διαγραμματ ς τασεων-ανηγμενων παραμορφωσεων στο ευθυγραμμο τμημα αυτης. Αρα λοιπον ισχυει: Ε=taηφ=Δσ/ Δε ( 1 ) Οριζουμε επισης ως ανηγμεvη γραμμικη επιμυκηνση ε το πηλικ τη ς μεταβολης ΔL του μηκους της ραβδου προς το αρχικο μηκο ς τη ς ραβδου. Ουσιαστικα το ε ειναι ενα ποσοστο του μηκου ς τη ς ραβ ε=δl/l ( 2) Με βασει τα προαναφερθεντα προχωρουμε σε μετασχηματισμο τ νομου του Hooke (3). Αρα λοιπον θα εχουμε: υ ΔL=F L / S Ε ( 3 ) ( 3 ) =>ΔL / L=F /S Ε ( 4 ) Εξ ορισμου ομως ισχυει οτι σ=f/s ( 5 ). Αρα λοιπον ει ναι: ( 4 ) ( 5 ),( 2 ) =>ε=σ/ε ( 6 ) Απο την σχεση ( 6) συμπεραινουμε οτι η οιαδηποτε εν γενει παραμορφωση ει ναι αναλογη της τασεως. Αυτος ει ναι και νομ ς τη ς αναλογιας, ο οποιος ονομαζεται ετσι επειδη εκφραζει αναλ γικα τα σ, ε. Ισχυει δε εντος και μεχρις των οριων ελαστικοτητος. Εκτος τη ς ελαστικη ς περιοχης παυει η ισχυς του νομου του Hooke, δηλαδη εν εχο με ελαστικες παραμορφωσεις. Στον νομο της αναλογιας υπεισερχεται το μετρο ελαστικοτητος του υλικου το οποιο ει ναι εξαρτωμενο απο την φυση του υλικου. lε) Γενικευση νομου Hooke, λογος Poisson. Εστω απειροστο σημειο ομογενους και ισοτροπου σωματ ς που ευρισκεται σε εντατικη κατασταση οπως η ραβδος τη ς παραγραφου lδ).υποβαλλοντας την ραβδο σε εφελκυσμο κατα την εννοια χχ, παρατηρουμε οτι κατα την εννοια αυτη εχουμε αξονικη επιμηκηνση, εστω αυτη ΔLχ:χ αρα και ανηγμενη επιμηκηνση εχ:χ ενω κατα τι ς εννοιε ς yy, zz παρατηρειται μια πλευρικη συστολη εyy, εzz. Αποδεικνυεται για ΒΙΒΛΙΟ l

5 ομογενες και ισοτροπο υλικο που καταπονειται στην ελαστικη περιοχη οτι το πηλικο της πλευρικης βραχυνσεως προς την αξοvικη επιμηκηνση ει ναι σταθερος αριθμος και συμβολιζεται με μ. μ=-εyy/εχχ=-ε:ulεχχ ( 7 ) Η σταθερα μ οvομαζεται λογος του Poisson, η λογος εγκαρσιας συστολης. Για ομογεvη και ισοτροπα υλικα ο λογος του Poisson δεν ξεπερνα την οριακη τιμη 0.5, στην οποια τειvει ασυμπτωτικα οταv το υλικο εχει εισχωρησει αρκετα στην πλαστικη περιοχη. Για την τιμη αυτη το υλικο ειναι ασυμπιεστο (ισοσυμπιεστο). Μονο αν το υλικο ει ναι εντονα αvισοτροπο δυναται να υπαρξει υπερβαση τις οριακης αυτης τιμης. Ο αντιστροφος του λογου του Poisson καλειται σ ντελεστης το Poisson και συμβολιζεται μεν. Γνωριζοντας τον λογο του Poisson προχωρουμε σε διατυπωση της γεvικευσης του νομου του Hooke. Αρα σε σημειο σωματος που ευρισκεται εν γενει σε τριαξονικη εντατικη κατασταση οι παραμορφωσεις που θα παρατηρηθουν θα διδονται συναρτησει των τασεων, απο τις παρακατω σχεσεις. εχχ= 1/Ε [ σχχ-μ(σyy+σzz)] (8α) εyy=l/e [σyy-μ{σzz+σχχ)] ( 8β) εzz-1/e [ σzz- μ(σχχ.+σyy)] ( 8γ) γχy=τχy Ι G ( 8δ ) γyz=τyz / G ( 8ε ) γzχ=τzχ Ι Ο ( 8στ) Στις σχεσεις ( 8) ευρισκοvται οι ορθες, γωνιακες παραμορφωσεις v συναρτησει των ορθων, διατμητικων τασεων και των ελαστικ σταθερων Ε, G. Η σταθερα G καλειται μετρο διατμησεως η μετρο ολισθησεως. Μεταξυ των ελαστικων σταθερων Ε, G, μ ισχυει η παρακατω σχεση. G=E / 2( 1 +μ ) ( 9 ) 1 στ) Καθαρη διατμηση

6 Καθαρη διατμηση εχουμε οταν σε ενα σημειο σωματος που βρισκεται σε δυαξονικη εντατικη κατασταση ενεργουν εφελκυστικες, θλιπτικες τασεις κατα δυο καθετες μεταξυ τους διευθυνσεις, ενω εχουν το ιδιο μετρο. Αρα θα ισχυει κατ αρχας οτι σχχ=-σyy. Στις εδρες του απειροστου αυτου παραλληλογραμμου, που προκυπτει δια στροφης του επιπεδου μας κατα γωνια φ=45, επενεργει μον ν διατμητικη ταση τ. Αυτη η εντατικη κατασταση κατα την οποια υπαρχουν μονο διατμητικες τασεις ονομαζεται καθαρη διατμηση, και ζητουμε να βρουμε τις παραμορφωσεις που προκυπτουν απο μια τετοια παραμορφωσιακη κατασταση. Εαν σχεδιασουμε τον κυκλο του Μοhr,βασει των αντιπροσωπευτικων σημειων των επιπεδων ( χχ) και ( yy ), ει ναι προφανες οτι ισχυει σxx=σyy=r=τmax οπως φαινεται και απο το σχημα 1.1. Η τmax προκυπτει δια στροφης του επιπεδου ( χχ) κατα γωνια φ-45. Στο καθετο σ αυτο επιπε ο δρα η τmin. Για τις δυο αυτες τιμες τασεων ισχυει οτι τmax=lτminl (οπως φαινεται στο σχημα 1.2. Στην περιπτωση της καοαρης διατμησης, οπως αυτη απεικ νιζετα1 στο σχημα 1.3, παρατηρουμαι οτι εν υπαρχουν μηκηvσεις η βραχυνσεις, λογω της μη υπαρξης ορθων τασεωv. Υπαρχει ομως καποια γωνιακη παραμορφωση. Η γωνια γ καλειται γωνια διατμησεως η γωvια ολισθησεως και εκφραζει την αμοιβαια ολισθηση δυ επιπεδωv που βρισκονται σε αποσταση ιση με την μοναδα. Επειδη ομως η γωνια γ ει ναι απειροστη θα ισχυει οτι: γ=taηγ=αα' Ι ΑΔ Εαν θεσουμε οτι ΟΔ=L, και ΟΔ'= Lι εχουμε: L1=L+ΔL=L+ εl=l (Ι+ε) ( 10) Αρα απο την σχεση ( 1 Ο) θα εχουμε οτι: ΟΑ (l+εyy)=oa' ΟΔ (1+εχχ)=ΟΔ' Δηλαδη tan(45-γ/2)=0a'/oδ'=(l+εyy)/(l+εxx) ( 11 )

7 < Σχημα 1.1 τ (yy) ο (χχ) σ σyy σχχ Σχημα 1.2 Σχημα 1.3

8 2) ΠΕΡΙ ΤΑΣΕΩΝ-ΚΥΚΛΟΣ ΤΟΥ MOHR 2α) Τασεις στο εσωτερικο σωματος ευρισκομενου σε δυαξονικη αξονικη κατασταση Εστω σωμα που ευρισκεται σε εντατικη κατασταση λογω συστηματος εξωτερικων δυναμεων που ισορροπουν, και το σημειο Α της μαζας του. Το σημειο Α του εν λογω σωματος θα ισορροπει και αυτο υπο την επιδραση των τασεων που εξασκει το σωμα στο στοιχειωδες αυτο σημειο. Το εν λογω σημειο Α παρισταται με ενα απειροστο παραλληλεπιπεδο (σχημα 2.1). Το ανυσμα της εξασκουμενης ανα εδρας τασης αναλυεται σε μια ορθη (καθετος) ταση και σε μια διατμητικη ταση υπο τυχουσα γωνια, η οποια διατμητικη ταση αναλυεται σε αλλες δυο συνιστωσες, κατα τους αντιστοιχους αξονες του τρισορθογωνιου συστηματος αναφορας που εκλεξαμε. Οι τασεις αυτες ονομαζονται με την βοηθεια δυο δεικτων και προσημαινονται κατα τον ακολουθο τροπο: -0 πρωτος δεικτης, η δεικτης εδρας, δηλωνει σε ποια εδρα ανηκει (καθετη στον εν λογω αξονα του συστηματος αναφορας) η προς συζητηση ταση. - 0 δευτερος δεικτης που χρησιμοποιειται για την προσημανση των τασεων δηλωνει παραλληλια με καποιον απο τους αξονες του εκλεγμενου συστηματος αναφορας. Για την προσημανση των τασεων πρεπει να πουμε οτι οι δε ορθες τασεις θεωρουνται θετικες οταν προκαλουν εφελκυσμο, και αρνητικες οταν προκαλουν θλιψη. Οι δε διατμητικες τασεις προσημαινονται ως θετικες οταν το σχηματιζομενο τμητικο ζευγος ειναι δεξιοστροφο. Αρα στην γενικη περιπτωση (της τριαξονικης εντατικης καταστασεως), αναπτυσσονται στο απειροστο μας παραλληλεπιπεδο οι εξης τασεις. σχχ τχy τχy 1 τzy, σzz τyχ τyχ τzχ 1 σyy τχz τχz 1 τzχ ' τyz ' τzy ι σχχ τyz σyy 1 σzz 1 Εμεις ομως εξεταζουμε την ειδικη περιπτωση της δυαξονικης η επιπεδης εντατικης καταστασεως κατα την οποια δεχομαστε τη υπαρξη ορθων και διατμητικων τασεων κατα δυο μονο διευθυνσεις, εστω αυτες οι (χχ), (yy). Ως και εκ τουτου οι αναπτυσσομενες κατα την διευθυνση (zz) τασεις ειναι μηδενικες, δηλαδη ολες οι τασεις αυτες που η δρουν επι

9 των εδρων (z) του απειροστου εν λογω παραλληλεπιπεδου, η που οι φορεις των ανυσματων των ειναι παραλληλες με τον αξονα (zz) του τρισορθογωνιου συστηματος αναφορας που εκλεξαμε, ειναι μηδενικες. Για την μεν πρωτη περιπτωση ει ναι προφανες οτι: σ "ΖΖ-σ ΖΖ '- τ zy-τ ΖΧ-- τ zy '- τ ΖΧ '-- Ο Μας μενει λοιπον να δειξουμε οτι και:,, ο τyz=τxz=τyz =τχz = Εξεταζουμε την ισορροπια των ροπων των δυναμεων που ασκουνταt επι των εδρων του απειροστου αυτου παραλληλεπιπεδου ως προς τον αξονα (χχ). Ως θετικη φορα στις ισοpροπιες των δυναμεων οριζεται αυτη των θετικων ημιαξονων του συστηματος αναφορας, εvω ως θετικη φορα των ροπων vοειται αυτη των δεικτων του ωρολογιου. Το ιδιο βαρος δεν λαμβανεται υποψη στους υπολογισμους μας ως απειροστο αvωτερας ταξεως (Β=γο dx dy dz). Αρα λοιποv ισχυει: τyχ Sy dy /2+τyχ' Sy dy /2= 0:::::>τyχ=-τyχ ' ( 1 α ) Ενεργουμε το ιδιο ως προς τον αξονα (yy) και βρισκουμε οτι: τχy-τχy' ( 1 β) Η ιδια διαδικασια επαναλαμβανεται θεωρωvτας το επιπεδο (yz) και εξεταζοντας επι αυτου την ισορροπια των ροπων περι του αξονος (zz): τyz=-τyz' ( 1 γ) Εν τελει θεωρουμε και το επιπεδο (χz),της οποιας παλι εξεταζουμε την ισορροπια των ροπων των δυναμεων περι του αξονος (zz): τχz--τχz' ( 1 δ ) Οι σχεσεις ( lα) μεχρι και ( lδ) ειvαι οι λεγομενες συνθηκες του Le Cauchy και μας επεξηγουν οτι οι διατμητικες τασεις που αναπτυσσονται σε δυο απειροστα επιπεδα, καθετα μεταξυ τους, ειvαι κατ απολυτη τιμη ισα. Εξεταζουμε την ισορροπια των δυvαμεων κατα τον αξονα (zz) και εχουμε: ΣFzz=O:::::>--τyz Sy-τxz Sx+τyz' Sy+τxz' Sx=O:::::> ( Ιγ ),( Ιδ ):::::>

10 :::::>2 τyz' Sy+2 τχz' Sx=O ( 2 ) Ισχυει ομως οτι: Sy=dx dz ( 3) Sx=dy dz ( 4) Αρα λοιπον,εχουμε: ( 2 ) ::::::> ( 3 ),( 4 )::::::> 2dz[ τyz' dx+τxz' dy ] =Ο ( 5 ) Η σχεση ( 5) πληρειται σε καθε περιπτωση αν και μονο αν τyz'=τxz'=o ( 6) Αρα απο τις σχεσεις ( lγ ), ( lδ ), ( 6) εχουμε τελικα οτι: τyz=τyz'=τxz=τxz' ( 7) Απομενει,για τον καοορισμο των παραμετρων του προβληματος μας να δει χθει οτι: σχχ=σχχ' σyy=σyy' Πραγματι, εαν εξετασουμε συμφωνα με τα νεα δεδομενα μας, τις υπαρχουσες παραμετρους τασεων, και συγκεκριμενα εξετασουμε την ισορροπια των δυναμεων, περι του αξονος (χχ) εχουμε οτι: ΣF χχ=ο:::::>-σχχ' Sχ+σχχ Sx+τyx Sy-τyx' Sy=O ( 8 ) Λογω ομως της σχεσης ( Jα) απο την ( 8) εχουμε οη: σχχ= σχχ' Εργαζομενοι με ομοιο τροπο (δηλαδη εξεταζοντας την ισορροπια δυναμεων περι του αξονος (yy)) εχουμε οτι σyy= σyy'. Αρα στην ειδικη περιπτωση της δυαξονικης εντατικης καταστασεως οι τασικοι παραμετροι που αρκουν για την περιγραφη της ει ναι, τελικα.,οι εξης (σχημα 2.2): σχχ σyy τχy Απομενει λοιπον να δειξουμε για την περιπτωση αυτη (δυαξονικη εvτατικη κατασταση) τι τασεις αναπτυσσονται σε σημειο Α σωματος που βρισκ:εται σε δυαξονικη εντατικη κατασταση, οταν αυτο στραφει κατα γωvια φ. Εστω λοιπον το επιπεδο Φ, της εντατικης καταστασης που παρισταται στο σχημα 2.3, το οποιο σχηματιζει γωνια φ με το επιπεδο (χχ). Θα προσδιορισουμε τις τασεις σφ, τφ που αναπτυσσονται επι του επιπεδου αυτου. Εστω το απειροστο στοιχειο του σχηματος 2.4. Τουτο θα ισορροπει υπο την επιδραση των ολικων δυναμεων που εvεργουν στο στοιχειο

11 αυτο. Επισης οριζουμε τους βοηθητικους αξονες z1 και z2.. Η προσημανση των ορθων και διατμητικων τασεων γινεται κατα τα μεχρι τουδε γνωστα της παραγραφου 2α). Επειδη ομως ισχυει οτι τχy=-τyχ στους συμβολισμους μας γραφουμε τχy ασχετα με τον συμβατικο τροπο γραφης τyχ χαρακτηριζοντας ετσι παλι τα αριστεροστροφα τμητικα ζευγη θετικα. Εξεταζουμε την ισορροπια κατα των αξονα z1 και εχουμε: ΣFz1=0~ ~σφdsφ-( σχχcοsφ )dsx -( σyysίηφ )dsy+τxydsxcos(90-φ )+τ ydsyco Φ= Ο ( ι ) dsx = cosφ dsφ ( 2) dsy= sinφ dsφ ( 3) ( Ι ),( 2 ),( 3 ) ~ σφ = σχχ cos2φ + σyy sin2φ - 2 τχy cosφ sίηφ ( 4 ) sin2φ = 2 cosφ sinφ ( 5 ) cos2φ = ( 1 + cos2φ ) / 2 ( 6 ) sin2φ = ( 1 - cos2φ) / 2 ( 7) ( 4 ),( 5 ),( 6 ),( 7 ) ~ ~σφ = ( σχχ + σyy) Ι 2 + ( σχχ - σyy) cos2φ / 2 - τχy sίη2φ ( 8 ) Με ομοιο τροπο εξεταζουμε την ισορροπια των δυναμεων περι του αξονα Ζ2 και θα εχουμε: ΣFz2=0~ ~τφdsφ+τxydsycos(90-φ )-τxydsxcosφ-σxxdsx co (90-φ )+σyyd yco φ=ο~ ~ τφ = τχy ( cos2φ - sin2φ ) + σχχ cosφ sinφ - σyy sinφ co φ ( 9 ) cos2φ = cos2φ - sin2φ ( 1 Ο ) ( 9 ),( 1 Ο ) ~ τφ = ( σχχ - σyy) sίη2φ / 2 + τχy co 2φ ( 11 ) Δηλαδη δειξαμε οτι τελικα ισχυουν οι τυποι: σφ = ( σχχ + σyy ) Ι 2 + ( σχχ - σyy ) cos2φ / 2 - τχy sin2φ ( 12 ) τφ = ( σχχ - σyy ) sin2φ Ι 2 + τχy cos2φ ( 13 )

12 Εαν δηλαδη σε σημειο Α σωματος ευρισκομενου σε δυαξονικη εντατικη κατασταση θεωρησω δυο καθετα αναμεταξυ τους επιπε α, που διερχονται απο το σημειο Α, τοτε οταν το απειροστο αυτο σημει στραφει κατα γωνια φ, οι τασεις, ορθες και διατμητικες, που Οα αναπτυχθουν στο επιπεδο Φ, Οα διδονται απο τις σχεσεις ( 12) και ( 13 ). Αν δηλαδη γνωριζω τις τασεις σχχ, σyy, τχy, τοτε οι τασεις σφ, τφ παριστουν τις τασεις που δρουν επι του απειροστου επιπεδ υ που σχηματιζει γωνια φ με το επιπεδο (χχ). 2β) Διερευνηση των σχεσεων ( 12) και ( 13 ) Οπως παρατηρουμε απο τους τυπους ( 12) και ( 13) οι τασεις σφ, τφ ει ναι συναρτησεις που εχουν ως μεταβλητη την γωνια φ. Αρα για την ευρεση των ακροτατων τιμων των δυο αυτων τασικων συναρτησεων φτανει να εξετασουμε για ποια τιμη της γωνιας κλισεως φ μηδεvιζεται η πρωτη παραγωγος. Πραγματι εχουμε οτι: dσφ/dφ=ο => =>-(σχχ-σyy)/2 sίη2φ 2-2 τχy cos2φ=o=>(σxx-σyy) in2φ-=-2τxy cos2φ=> ::::>tan2φ=-2τxy / (σχχ-σyy) ( 14) Με τον ιδιο τροπο εχουμε οτι: dτφ/dφ=ο=>(σχχ-σyy)/2 cos2φ 2-2 τχy sin2φ=o=>tan2φ'=(σ -σ ) / 2τχy ( 15) Απο την σχεση ( 1 ) λοιπον εχουμε οτι: tan2θ = tan2φ => 2θ = 2φ+κπ, κ ε Ν => Ο = φ + κπ / 2, κ ε Ν ( 16 ) Απο την σχcση ( 16) και για διαφορcς τιμες του κ εχουμε διαφορετικα επιπεδα: -Για κ=ο εχουμε θ=φ -Για κ=l εχουμε θ=φ + π/2 -Για κ=2 εχουμε θ=φ + π, το οποιο συμπιπτει με το πρωτο επιπεδ, δηλαδη ( κ=ο) Παρατηρουμε οτι για ολες τις δυνατες τιμες του κ,αναγομαστε σε δυ καθετα μεταξυ τους επιπεδα. Αρα υπαρχουν δυο και μονο δυο επιπεδα, τα οποια διερχονται απο το Α και ει ναι αvαμεταξυ τους καοετα, και

13 εμφανιζουν ακροτατες τιμες τις ορθης τασεως. Στο μεν ενα επιπεδο η ορθη ταση λαμβανει μεγιστη τιμη, στο δε αλλο ελαχιστη τιμη. Επι των επιπεδων αυτων δεν αναπτυσσεται διατμητικη ταση. Ονομαζονται δε κυρια επιπεδα, οι δε τασεις σma, σmin ονομαζονται κυριες τασεις. Με απαλοιφη της γωνιας 2φ απο την σχεση ( 12) εχουμε οτι: σ(max,mίn) = (σχχ+σyy) / 2 (+ - )"1(σχχ-σyy)2 / 4 +τχy2 Η υποριζη ποσοτητα παριστα την "1R, δηλαδη την τετραγωνικη ριζα της επιβατικης ακτινας του κυκλου του Mohr οπως αυτη θα αναπτυχθει παρακατω. tan2θ' = tan2φ' ~ 2θ' = 2φ' +κπ, κ c Ν => θ' =Φ' +κπ Ι 2, κ c Ν ( 17 ) Παλι απο την σχεση ( 17) για διαφορετικες τιμες του κ εχουμε και διαφορετικα επιπεδα: -Για κ=ο εχουμε θ'=φ' -Για κ=l εχουμε θ'=φ' + π/2 -Για κ=2 εχουμε θ'=φ' + π, το οποιο συμπιπτει με το πρωτο επιπεδο, δη λαδη ( κ=ο ) Παρατηρουμε λοιπον οτι για ολες τις δυνατες τιμες του κ αναγομαστε σε δυο καινουργια επιπεδα, τα οποια ει ναι καθετα μεταξυ τους και διερχονται απο το σημειο Α. Τα επιπεδα αυτα προκυπτουv δια στροφης της επιβατικης ακτινος απο καποιο κυριο επιπεδο κατα γωνια 45.Αρα αν γνωριζω τα κυρια επιπεδα, οι διχοτομοι των διεδρων γωvιων οριζουν τα επιπεδα επι των οποιων αναπτυσσεται η μεγιστη διατμητικη ταση. Στα επιπεδα αυτα εκτος της διατμητικης τασεως αναπτυσσεται και ορθη ταση. Στο μεν ενα επιπεδο δρα η τmax, στο δε αλλο επιπεδο δρα η τmίn. Αρα οι δυο, κατ απολυτη τιμη, διατμητικες τασεις ανηκουν σε δυο διευθυνσεις που σχηματιζουv με τις κυριες διευθυvσεις γωvια Επισης, η μεγιστη διατμητικη ταση που διερχεται απο σημειο σωματος που βρισκεται σε δυαξονικη εντατικη κατασταση, ισουται με την ημιδιαφορα των κυριων τασεων στο σημειο αυτο: Ίmax = ( σmax - σmin ) / 2 ( 18 ) τ(max.min) = ( + -) "1 ( σχχ - σyy ) Ίλγ2 ( 19 ) Εαv τυχει και οι αρχικες διευθυνσεις ειναι κυριες, δηλαδη οταν μας δινεται οτι τχy =Ο, οι τασεις που αναπτυσσοvται δια στροφης του απειροστου επιπεδου θα δινονται απο τους τυπους ( 20) και ( 21 ) αντιστοιχα:

14 σφ = ( σmax + σmin) / 2 + ( σmax - σmϊη) cos2φ / 2 ( 20 ) τφ = ( σmax - σmίη ) sin2φ / 2 ( 21 ) 2γ) Κυκλος του Mohr - Γραφικη παρασταση τασεων Ο κυκλος του Mohr ει ναι μια γραφικη μεθοδος προσδιορισμου της εντατικης καταστασεως σε σημειο σωματος που τελει υπο ενταση, δυαξονικη η και τριαξονικη. Συμφωνα με την μεθο ο αυτη καθε εντατικη κατασταση (για την περιπτωση μας, της δυαξονικης εντατικης καταστασης, καθε ζευγος συντεταγμενων σ, τ) παρισταται με ενα σημειο του επιπεδου, κατα απλο και εποπτικο τροπο. Για την γραφικη παρασταση της εντατικης καταστασεως χρησιμοποιουμε ορθογωνιο συστημα συντεταγμενωv στο οποιο ι ορθες τασεις σημειωνονται στον αξονα των τετμημενων, ενω οι διατμητικες τασεις σημεινωνται στον αξονα των τεταγμενων. Καθε σημειο του επιπεδου αντιστοιχει σε καρτεσιανο ζευγος αποτελουμενο απο μια ορθη και μια διατμητικη ταση που αντιστοιχει σε μια συγκεκριμενη εντατικη κατασταση. Η προσημανση των τασεωv γινεται οπως αυτη ειχε αvαπτυχθει στην ενοτητα 2β). Εστω το σημειο Α του σωματος που ευρισκεται σε επιπεδη εvτατικη κατασταση συμφωνα με τα μεχρι τουδε γνωστα. Στην προηγουμενη ενοτητα δειξαμε την ισχυ των τυπων ( 12) και ( 13 ), τους οποιους και θα μετασχη ματισουμε στη συνεχεια. σφ = ( σχχ + σyy) / 2 +( σχχ - σyy) Ι 2 cos2φ -τχy sin2φ => => σφ - ( σχχ + σyy ) / 2 = ( σχχ - σyy ) cos2φ / 2 - τχy sin2φ => =>[ σφ - (σχχ + σyy) / 2 ]2= [ ( σχχ - σyy) cos2φ / 2 -τχy sίη2φ ]2 ( 22) τφ- Ο= ( σχχ - σyy) sin2φ / 2 + τχy cos2φ => =>τφ2 = ( ( σχχ - σyy) sin2φ / 2 + τχy co 2φ ]2 ( 23 ) Προσθετοντας κατα μελη τις σχεσεις ( 22) και ( 23 ),και αναπτυσσοντας τις ταυτοτητες θα εχουμε: ( σφ - ( σχχ + σyy ) / 2 ]2 + τφ 2 = ( σχχ - σyy )2 / 4 + τχy2 => => ( σφ - ( σχχ + σyy ) / 2 ]2 + τχy2 = ( "'1( σχχ - σyy )2 / 4 + τχy2 )2 ( 24 )

15 Η σχεση ( 24) παριστα την εξισωση περιφερειας κυκλου Κ [ ( σχχ +σyy) / 2, Ο ] και ακτι νας κεντρου R ="' ( σχχ - σyy )2 / 4 + τχy2 Αρα καθε ζευγος συντεταγμενων σ, τ που επαληθευουν την ( 24) παριστα σημειο της περιφερειας του κυκλου τουμοbr και αντιστροφα (καθε σημειο της περιφερειας του κυκλου του Mohr επαληθευει την σχεση ( 24) ). Δηλαδη το τυχαιο επιπεδο που διερχεται απο το σημειο Α εχει συντεταγμενες ( σφ, τφ) καποιο σημειο της περιφερειας του κυκλου του Mohr. Αρα το προβλημα μετατιθεται στο να βρουμε το σημειο του κυκλου του Mohr που αντιπροσωπευει το επιπεδο που περναει απ το σημειο Α και σχηματιζει με το επιπεδο ( χχ) τυχαια γωνια φ. Αρα εστω η παραμορφωσιακη κατασταση του σχη μα τος 2.3 οπου ειναι σχχ, σyy >Ο και τχy>ο. Με διαμετρο την αποσταση μεταξυ των δυο ορθων τασεων εγγραφω κυκλο, κεντρου Κ και ακτιναςr. Για να ειναι ο εγγραφεις κυκλος, κυκλος του Mohr, πρεπει και αρκει να δειξω οτι: α) Εχει ακτι να R = -ν ( σχχ + σyy )2 + τχy2 β) Εχει κεντρο Κ = [ ( σχχ + σyy) Ι 2, Ο ) Θα ειναι: ΟΚ =ΟΑ - ΚΑ = σχχ - ΚΑ ( Ι Ο) ΟΚ = ΟΒ + ΒΚ = σyy + ΒΚ ( 11 ) Προσθετοντας τις σχεσεις ( 10), ( 11 ) κατα μελη εχουμε οτι: 2 ΟΚ = σχχ + σyy => ΟΚ = ( σχχ + σyy) / 2 ( 12) Επισης ισχυει οτι ΒΑ = σχχ - σyy αρα ΚΑ = ( σχχ - σyy) Ι 2 Με εφαρμογη του πυθαγορειου θεωρηματος στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΚ(χχ) εχουμε οτι:

16 Πρεπει να παρατηρησουμε οτι τα αντιπροσωπευτικα σημεια των επιπεδων (χχ) και (yy) ειναι σημεια αντιδιαμετρικα. Αρα αν στραφει το επιπεδο (χχ) κατα γωνια φ προκειμενου να ταυτισθει με δοθεν σημειο (επιπεδο), πρεπει και το επιπεδο (yy) να στραφει κατα γωνια φ. Αρα Οα παιρνουμε το αντιπροσωπευτικο σημειο του επιπεδου (χχ) και θα στρεφουμε την επιβατικη ακτινα κατα γωνια διπλασια της δοθεισης γωνιας (2φ). Πρεπει επισης να αναφερουμε οτι τα σημεια Λ, Μ αποτελουν τα κυρια επιπεδα γιατι ισχυει οτι: ΟΑ= σmax ΟΜ = σmin Τελος αγοντας την καθετο στο κεντρο του κυκλου του Mohr, Κ, προκυπτουν τα αντιπροσωπευτικα σημεια των επιπεδων εκεινων επι των οποιων δρουν οι τmax και τmin. Ισχυει δε οτι: τmax = 1 τmin 1 = 1 R 1

17 . Ρ,Ι ~,,] JL t ::~-;τ~ η-: ' ;_.:--- ;;:.~>::::::: Σχημα 2.1 '" -;;>', ι.tο.τ-χy "'..,,.,,.. σχχ Υ ' J-=~ Ζ \Ιι Σχημα 2.2

18 . n---~; σjoc Σχημα2.3

19 Υ ι:..,'' ',' τχy. φ..,',' σ χχ ι ϊ?.':i : :Φ ,,. Χ,,/ :.,',' Ζ ~ Ζ2(+) Z1C+) Σχημα 2.4

20 τ (+) τmax = ~~ (χχ) : c + σ χχ,+ τ xy) ο Μ Λ - ~:r.:_c Σχημα 2.5

21 3) ΠΕΡΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ - ΚΥΚΛΟΣ ΤΟΥ MOHR 3α) Παραμορφωσεις υπο τυχαια γωνια σωματος που βρισκεται σε επιπεδη εντατικη κατασταση Σε προηγουμενη παραγραφο αναφεραμε την γενικευση του νομου του Hooke, ο οποιος για τα ομογενη και ισοτροπα σωματα συσχετιζει ανηγμενες παραμορφωσεις και τασεις, για ελαστικες παραμορφωσεις και γραμμικα ελαστικ:α σωματα. Παρενθετικα αναφερουμε ελαστικα σωματα ει ναι τα σωματα εκεινα των οποιων οι τι γραμμικα αναπτυσσομενες τασεις, λογω εντασης, εξαρτωνται αποκλειστικα και μοvο απο τις παραμορφωσε1ς. Αλλοι παραγοντες που επηρεαζουv τις τασεις ει ναι περιβαλλοvτικες συνθηκες, ταχυτητα και τροπος φορτισcως η ιστορια φορτισεως του υλικου κα. Καταληγουμε στο συμπερασμα οτι για καθε υλικο υπαρχει και και αλλος νομος που διεπει την προαναφερθεισα συσχετιση. Εστω λοιπον ενα ομογενες και ισοτροπο ελαστικο σωμα το οποιο βρισκ:εται σε ενταση εντος της ελαστικ:ης περιοχης. Στην γενικ:η περιπτωση της τριαξονικης εντασεως ισχυουν οι ακολουθες εξι εξισωσεις: εχχ = 1 / Ε [ σχχ - μ ( σyy + σzz)] ( 1α) εyy = 1 / Ε [ σyy - μ ( σχχ + σzz ) ] ( 1 β ) εzz = 1 / Ε [ σzz - μ ( σχ:χ + σyy ) ] ( 1 γ ) γχy = τχy Ι G ( 1 δ ) γχz = τχz / G ( lε) γyz = τyz / G ( 1 στ ) Οι εξισωσεις αυτες περιγραφουν τις ορθες, γωvιακ:ες παραμορφωσεις ενος σωματος στην γενικη περιπτωση της τριαξονικης εντατικης ιcαταστασεως, η οποια διαφερει της επιπεδης εvτατικης καταστασεως. Για να αναχθουμε σε αυτη κατ αρχας θετουμε στις ως ανω σχεσεις σzz = τχz = = τyz =Ο οποτε και προκυπτει οτι: εχχ = 1 / Ε ( σχχ - μ σyy ) ( 2α ) εyy = ι Ι Ε ( σyy - μ σχχ ) ( 2 β )

22 εzz = -μ / Ε ( σχχ + σyy ) ( 2γ ) γχy = τχy / G ( 2δ ) Παλι ομως οι εξισωσεις αυτες αναφερονται σε καποια στην εν γενει δυαξονικη εντατικη κατασταση και οχι σε καποια εντατικη κατασταση του επιπεδου. Για τον λογο αυτο θεωρουμε οτι το στοιχειωδες παραλληλεπιπεδο που εξεταζουμε δεν μεταβαλλεται κατα μια εννοια, εστω αυτη η (zz), δηλαδη θα ισχυει οτι εzz =Ο. Συvεπως οι εξισωσε1ς που περιγραφουν την επιπεδη παραμορφωσιακη κατασταση που εξεταζουμε Θα διδονται απο τις ακολουθες σχεσεις: εχχ = 1 / Ε ( σχχ - μ σyy ) ( 3α ) εyy = 1 / Ε ( σyy - μ σχχ ) ( 3 β ) γχy = τχy Ι G ( 3γ ) Οι εξισωσεις ( 3α ),( 3β ) περιγραφουν τις ανηγμενες γραμμ1κες παραμορφωσεις κατα τις εvνοιες (χχ) και (yy) αντιστοιχα, περιγραφεται δηλαδη η αλλαγη διαστασεων κατα τις προαναφερθεισες εννοιες, ενω η εξισωση ( 3γ) περιγραφει την ανηγμενη γωνιακη παραμορφωση, ηλαδη την μεταβολη της (ορθης) γωvιας μεταξυ των επιπεδων (χχ) και (yy). Εμεις θα δειξουμε εξισωσεις που να περιγραφουν σε οποι δηποτε σημειο σωματος που βρισκεται σε επιπεδη παραμορφωσιακη κατασταση. Αξιζει παντως να σημειωθει οτι η επιπεδη παραμορφωσιακη κατασταση δεν εχει σημαντικες εφαρμογες, παρα μοvο σε περιπτωσεις επιφανειακωv στοιχειων που βρισκονται υπο ενταση (πχ καταπονηση λεπτης πλακας), λογο του οτι η εγκαρσια ενvοια ειναι κατα πολυ μικροτερη των αλλωv δυο, ετσι ωστε καθε μεταβολη της να μην επιφερει σημαντικες αλλαγες στην γεωμετρια του σχηματος. Σε προηγουμενη ενοτητα ειχε αποδειχθει οτι δια στροφης κατα τυχαια γωνια φτου απειροστου επιπεδου Α που θεωρησαμε, αναπτυσσονται ορθες και διατμητικες τασεις που δι νονται απο τις σχεσεις ( 4α) και ( 4β ). Εστω λοιπον η επιπεδη παραμορφωσιακη του σχηματος 3.1. Κατ αντιστοιχια των συνθηκων Le Cauchy που αποδειξαμε στο πρ ηγουμενο κεφαλαιο ισχυει οτι εχy=-εyχ. Να αναφερουμε εδω οτι οι ανηγμενες γραμμικες παραμορφωσεις νοουνται ως θετικες οταν εφελκυουν την αντιστοιχη υλικη ινα, δηλαδη οταν ει ναι επιμηκηνσεις, ενω οι ανηγμενες γωνιακες παραμορφωσεις, με αλλα λογtα οι ολικες γωνιακες μεταβολες προσημαινονται ως θετικες οταν προκαλουν μειωση της αντιστοιχης ορθης γωνιας:

23 σφ = ( σχχ + σyy ) / 2 + ( σχχ - σyy) cos2φ / 2 - τχy sin2φ ( 4α ) τφ = ( σχχ - σyy) sin2φ / 2 + τχy cos2φ ( 4β) Πολλαπλασιαζουμε και τα δυο μελη της εξισωσεως ( 3α) με μ και προσθετουμε κατα μελη με την εξισωση ( 3β ), οποτε και παιρνουμε οτι: σyy = ( μ εχχ + εyy) Ε Ι ( Ι - μ2) ( 5 ) Με ομοιο τροπο,δηλαδη πολλαπλασιαζοντας και τα δυο μελη τη ς σχεσης ( 3β) με μ και προσθετοντας κατα μελη με την ( 3α ), εχουμε: σχχ = ( εχχ + μ εyy) Ε / ( 1 - μ2) ( 6 ) Βασει του νομου του Hooke, ισχυει σε καθε περιπτωση οτι σ = ε Ε, αρα λοιπον και στην περιπτωση μας ισχυει οτι σφ = εφ Ε, οπου φ η γωνια που προκυπτει δια στροφης του επιπεδου μας που περιγραφεται απο τους τελεστες της παραμορφωσιακης μας καταστασης εχχ, εyy, γχy. Οποτε εχουμε οτι: σφ = εφ Ε ( 7) Θα μπορουσαμε ισως να αναλυσουμε την τελικη μας διευθυνση της ορθης ανηγμενης παραμορφωσης σε δυο ξεχωριστες συνιστωσες κατα το αρχικο μας συστημα αξονων, δηλαδη εχχ', εyy'. Τουτο ομως δεν πραγματοποιειται για λογους αντιστοιχησης με τους τυπους ορθων και διατμητικων τασεων, ( 4α) και ( 4β) της αυτης παραγραφο. Αρα λοιπ ν ισχυει: ( 7), ( 4α) => => εφ Ε = ( σχχ + σyy ) / 2 + ( σχχ - σyy ) cos2φ / 2 - τ χy sin2φ ( 8 ) Εντελως αvαλογα η εξισωση ( 3γ) μας δινει οτι: τχy = G γχy ( 9 ) Το μετρο διατμησεως ομως συνδεεται με τις λοιπες ελαστικες σταθερες με τη v πιο κατω σχεση: G=Ε/2(1+μ) (10)

24 Αρα λοιπον θα ισχυει: ( 9), ( 1 Ο ) => =>τχ:y = ( Ε γχ:y ) / 2 ( 1 + μ ) ( 11 ) Δια της αντικαταστασεως εχουμε οτι: ( 5), ( 6), ( 8), ( 11 ) => => εφ = ( εχχ + εyy ) Α / 2 + ( εχχ - εyy ) cos2φ Β / 2 - γχ:y sίη2φ Β / 2 ( 12 ) Οι ποσοτητες Α και Β ειναι αντιστοιχα: Α= 1/(1 - μ) Β=l/(1+μ) Ειχαμε ομως ορισει στο πρωτο κεφαλαιο τον λογο του Poisson ως τον λογο της πλευρικης βραχυνσεως προς την αξονικη επιμηκηνση. Οπως ομως ειπαμε στην αρχη του κεφαλαιου θεωρησαμε την εγκαρσια εννοια, δηλαδη την εννοια (zz) ως αμεταβλητη. Συνεπως θα ισχυει οτι εzz =0. Αρα λοιπον και: μ = - Ο/ εχχ = - Ο/ εyy= Ο, συνεπως οι ποσοτητες Α και Β τεινουν στην μοναδα. Ετσι η τελικη μορφη της σχεσεως ( 12) ει ναι η εξης: εφ = ( εχχ + εyy ) / 2 + ( εχχ - εyy ) cos2φ Ι 2 - γχy sin2φ Ι 2 ( 13 ) Με ομοιο τροπο εχουμε οτι: ( 4β), ( 5), ( 6), ( 11 ) => => ΎΦ = ( εχχ -εyy ) sin2φ + γχy cos2φ ( Ι 4 ) Οι σχεσεις ( 13) και ( 14) μας διvουv τις ορθες, γωνιακες παραμορφωσεις που θα προκυψουν αν στρεψουμε δεδομενη επιπεδη παραμορφωσιακη κατασταση, σε σημειο σωματος που τελει υπο ενταση, κατα γωνια φ, συναρτησει των τελεστων της αρχικης παραμορφωσιακης καταστασης εχχ, εyy, γχy, τα οποια ανηκουν σε δυο επιπεδα καθετα μεταξυ τους. οτι: Οριζουμε επισης την ημιγωvιακη μεταβολη εχy για την οποια ισχυει 2 εχ:y = γχy ( 15 ) Τουτο αποδεικνυεται απο το σχημα 3.2. γχy = ΑΟΑ' + ΒΟΒ' ( 16) Λογω ομως οτι οι αναφερομενες γωνιες ει ναι απειροστες, με ανεκτη προσσεγιση Οεωρουμε οτι τα τριγωνα ΟΒΒ' και ΟΑΑ' ειvαι οροογωνια,και

25 αφου αναφερομαστε σε απειροστες γωνιες αυτες θα ει ναι ισες με τις εφαπτομενες τους. Αρα η σχεση ( 16 ) μεταβαλλεται ως εξης: γχy = tanaoa' + tanbob' = ΑΑ' Ι α + ΒΒ' Ι β = εχy + εyχ = 2 εχy ( 17) Με αντικατασταση της σχεσης ( 17) στις σχεσεις ( 13) και ( 14) εχουμε: εφ = ( εχχ + εyy ) Ι 2 + ( εχχ - εyy ) cos2φ / 2 - εχy sίη2φ ( 15 ) ΥΦ = ( εχχ - εyy ) sin2φ + 2 εχy cos2φ ( 16 ) Οι τυποι ( 15) και ( 16) μας δινουν την ορθη ανηγμενη παραμορφωση και την ολικη γωνιακη παραμορφωση, που θα καταγραφουν σε σημει σωματος που βρισκεται σε επιπεδη παραμορφωσιακη κατασταση, οταν στραφει το αρχικο συστημα, που περιγραφεται απ τις συνιστωσες εχχ, εyy, εχy, κατα γωνια φ. Υπενθυμιζουμε οτι στην περιπτ ση των τυπων ( 15) και ( 16) παιρνουμε στην νεα διευθυνση την ολικη γ νιακη μεταβολη συναρτησει της ημιγωνιακης μεταβολης του αρχικου συστηματος αvαφορας. 3β) Διερευνηση των σχεσεων ( 15) και ( 16) Οι σχεσεις ( 15) και ( 16) ει ναι τασικες συναρτησεις που εχουν ως μεταβλητη την γωvια φ. Επομενως, οπως και στην παραγραφο 2β), η ευρεση των ακροτατωv τιμων των δυο αυτωv τασικωv συναρτησεωv Οα εξαρτηθει απο τα σημεια μηδενισμου της πρωτης παραγωγου. Αρα με αντιστοιχη παραγωγιση των σχεσεωv ( 15) και ( 16) και εξισωση τους με το μηδεv εχουμε: dεφ Ι dφ =Ο=> => - sin2φ ( εχχ - εyy) - 2 εχy cos2φ = Ο => => tan2φ = - 2 εχy / ( εχχ - εyy ) ( 1 7 ) Με τη v ιδια διαδικασια εχουμε οτι: => 2 (εχχ - εyy) cos2φ - 4 εχy sin2φ =Ο=> => tan2φ' = ( ε χ - εyy ) Ι 2 εχy ( 18 )

26 -- - Απο την σχεση ( 17) λαμβανουμε: tan2θ == tan2φ => 2θ = 2φ + κπ, κ ε Ν => θ = φ + κπ / 2, κ ε Ν ( 19 ) Α ντικαθιστοντας διαφορες τι μες του κ στη σχεση ( 19 ) οριζουμε ιcαποια επιπεδα επι των οποιων εχουμε σημαντικη ορθη παραμορφωση: -Για Κ==Ο εχουμε οτι θ = φ -Για κ::::j εχουμε οτι θ = φ + π / 2 -Για Κ==2 εχουμε οτι θ = φ + π δηλαδη (κ==ο) Αρα για ολες τις δυνατες τιμες του κ,,το οποιο συμπιπτει με το πρωτο επιπεδο παρατηρουμε οτι αναγομαστε σε :υο και μονο επιπεδα, καθετα μεταξυ τους, που διερχονται απο το σημειο ου βρισκεται σε επιπεδη παραμορφωσιακη κατασταση. Αρα οριζονται δυο κυριες διευθυνσεις ορθων παραμορφωσεων, οι οποιες διαφερουν μεταξυ τους κατα 90. Σε καθε μια απο τις δυο αυτες διευθυνσεις, αvαπτυσσεται και μια ακροτατη τιμη της παραμορφωσης, δηλαδη στην μια διευθυνση δρα η εmax και στην αλλη δρα η επun. Στις διευθυνσεις αυτες δεν εχουμε γωνιακες παραμορφωσεις. Με απαλοιφη της γωνιας 2φ απο την σχεση ( 15 ) προκυπτει η σχεση ( 20 ) που μας προσδιοριζει τις μεγιστες τιμες της ορθης παραμορφωσης. ε(rnax,mίn) == ( εχχ + εyy) ; 2 ( + _ )"1 ( εχχ _ εyy )2 / 4 + εχy2 ( 20 ) Συvεχιζουμε την αναλυση μας και εχουμε: 1 an2θ' == tan2φ' => 2θ' == 2φ' + κπ,κ ε Ν => θ' = φ' + κπ 12 κ ε Ν ( 21 ) δ Για ολο το ευρος των τιμων της μεταβλητης μας κ προκυπτουν αλλα υο επιπεδα, παλι καθετα μεταξυ τους: -Για κ==ο εχουμε θ'=φ' -Για K==l εχουμε θ'=φ' + π / 2 -Για Κ==2 εχουμε θ'=φ' + π,το οποιο συμπιπτει με το αρχικο μας επιπεδο ( Κ==Ο) Αρα ορισαμε δυο καινουργια επιπεδα, καθετα μεταξυ τους, που tα.υτ ζ ι 0 νται για ολες τις πιθαvες τιμες της μεταβλητης μας κ, επι των οnοιω v επιπεδων λαμβανει μεγιστη και ελαχιστη τιμη αvτιστοιχα η Υωvια στ κη παραμορφωση. Οι δυο διευθυνσεις αυτες ευρισκονται μετα Ροφης κατα 45 απο κυρια παραμορφωσιακη κατασταση, και επι του

27 εvος επιπεδου συνανταται η γmax και επι του αλλου επιπεδου η γmin. Η μεγιστη δυνατη (ολικη) γωνιακη παραμορφωση θα διδεται απο την σχεση ( 22 ): Y<max,min) = ( +-}Υ ( εχχ -εyy )2 / 4 + εχy2 ( 22 ) γmax = εmax - εmϊn ( 23 ) Τελος,αναφερουμε οτι αν οι αρχικες διευθυvσεις των παραμορφωσεων ηταv κυριες, αν δηλαδη δεν υπηρχαν διατμητικες παραμορφωσεις,οποτε και θα ισχυε γχy = Ο, τοτε η προκυπτουσα παραμορφωσιακη κατασταση θα περιγραφεται απο τις εξισωσεις ( 24α) και ( 24β ). εφ = ( εmax + Emin ) / 2 + ( εn1ax - εmίη ) cos2φ / 2 ( 24α ) ΥΦ == ( ειηaχ - εmϊη ) sin2φ ( 24β ) 3 Ύ) Γραφικη παρασταση παραμορφωσεων - Κυκλος τουμοhr Θα προσπαθησουμε να δημιουργησουμε την παραμετρικη εξισωση περιφερειας κυκλου με διαδοχικες απαλοιφες της γωvιας 2φ απο τις σχεσεις ( 15) και ( 16) ως εξης: (15):::> ~ [ εφ - ( εχχ + εyy ) / 2 ]2 = [ ( εχχ - εyy ) cos2φ / 2 - εχy sin2φ ] 2 ( 25 ) ( 16) ==> ~ ΥΦ / 2 = ( εχχ - εyy ) sin2φ / 2 + εχy cos2φ ::::> ~ ΥΦ 2 / 4 = [( εχχ - εyy ) sin2φ / 2 + εχy cos2φ ] 2 ( 26 ) Γlροσθετοvτας τις σχεσεις ( 25) και ( 26) κατα μελη εχουμε οτι: [ εφ - ( εχχ + εyy) / 2 ]2 + γφ2 / 4 = ( εχχ - εyy )2 / 4 + εχy 2 ( 27) Εαv θεσουμε στην σχεση (27) οτι γφ= 2 εχy' θα εχουμε: δ ( 2 7) ==> [ εφ - ( εχχ + εyy) / 2 ]2 + εχy2' = [ '1 ( εχχ - εyy )2 / 4 + εχy2 ]2 ( 27) Η σχεση ( 27) παριστα παραμετρικη εξισωση περιφερειας κυκλου, ιοτι ε ιναι της μορφης: ( Χ - α )2 + ( y _ β )2 = R 2

28 Συνδεει μια παραμορφωσιακη κατασταση που αντιπροσωπευεται απο τους τελεστες της εχχ, εyy, εχy με μια αγνωστη παραμορφωσιακη κατασταση που εχει προκυψει απο την προαναφερθεισα κατασταση μετα στροφης (τελεστες f.4>, εχy') Συνεπως καοε ζευγος παραμορφωσεων θ!>, εχy' που επαληθευουν την εξισωση ( 27 )παριστουν σημειο της περιφερειας του κυκλου του Mohr και αντιστροφα. Δηλαδη το τυχαιο απειροστο επιπεδο που διερχεται απο το σημειο σωματος που βρισκεται σε επιπεδη παραμορφωσιακη κατασταση, και που περιγραφεται απο τα ανυσματα ~' εχy' περιγραφεται απο καποιο σημειο της περιφερειας του κυκλου του Mohr, το οποιο και καλουμαστε να βρουμε. Για να παριστα η σχεση ( 27) κυκλο του Mohr, δυο τι να πρεπει να δειχθουν: α) Οτι ο κυκλος αυτος εχει κεντρο Κ [ ( εχχ + εyy) 12, Ο] β) Οτι ο κυκλος αυτος εχει ακτι να R = -'1 ( εχχ - εyy ) 2 Ι 4 + εχy 2 Θα ει ναι: ο_- - - Κ - ΟΔ - ΚΔ = εχχ - ΚΔ ( 28 ) οκ = or + rκ = εyy + Γκ ( 29) Ωροσθετοντας τις σχεσεις ( 28) και ( 29) κατα μελη εχουμε οτι: 20 - Κ == εχχ + εyy => ΟΚ = ( εχχ + εyy) Ι 2 ( 30) Εφαρμοζουμε το πυθαγορειο θεωρημα στο τριγωνο ΚΔ(ΧΧ) εχουμε: ΚΔ 2 + Δ(χχ)2 = Κ(χχ)2 => (εχχ _ εyy)2 / 4 + εχy2 = R2 =:::> R2 - "1 ( - εχχ - εyy )2 / 4 + εχy2 Πρεπει να παρατηρησουμε οτι τα αντιπροσωπευτικα σημεια των Α επιπεδ ων (χχ):( +εχχ,+εχy) και (yy):( +εyy,-εyx) ει ναι σημεια αντιδιαμετρικα. ~ Ρα αν στραφει το επιπεδο (χχ) κατα γωνια φ προκειμενου να ταυτισοει με δοθεv σημειο (επιπεδο) πρεπει και το επιπεδο (yy) να στραφει κατα Υαιv το ια Φ, κατα την ιδια φορα. ' Αρα κατα την γραφικη επιλυση του κυκλου υ Mohr, θα παιρνουμε το αντιπροσωπευτικο σημειο του επιπεδου (χχ) ~cαι δ θ α στρεφουμε την επιβατικη ακτινα κατα διπλασια γωνια της οθειση ς, δ ηλαδη κατα γωνια (2φ). Πρεπει επισης να ανα φ ερ με οτι τα

29 σημεια Α,Β αποτελουν επιπεδα κυριας παραμορφωσης,,για τα οποια μαλιστα ισχυει: ΟΒ = σmax OA=σmin Πραγματι ισχυει οτι: Ο Β = ΟΓ + ΓΚ + ΚΒ = εyy + ( εχχ -εyy) Ι 2 + R ( 32 ) Απο την σχεση ( 32) εχουμε: εmax = ( εχχ + εyy) / 2 + R οπου R η ακτι να του κυκλου του Mohr. Με αναλογο τροπο βρισκουμε οτι εmίη = -{εχχ+εyy) / 2 +R Τελος, ισχυει οτι η απολυτως μεγιστη δυνατη ημιγωνιακη παραμορφωση εχy που μπορει να αναπτυχθει θα ισουται με: εxymax = R ( 3 3 ) Ισχυει ομως οτι γmax = 2 εxymax ( 34 ) Δηλαδη γmax = 2 R = εmax - εmin ( 35)

30 εyy Υ /:\ r' ο -? Χ Σχημα 3.1

31

32

33 4) ΜΕΤΡΗΤΕΣ ΠΑΡ ΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ 4 α) Εισαγωγικες γvωσεις Μετρητης παραμορφωσεων ονομαζεται καθε οργανο που ΧΡησιμοποιειται για την μετρηση της γραμμικης παραμορφωσης, σε δεδομενο μηκ:ος μετρησης. Οvομαζουμε ευαισθησια e οργανου την ελαχιστη τιμη που μπορει να μετρηθει στην κ:λιμακα του οργανου. Ευαισθησια παραμορφωσεων ει ναι η ευαισθησια του οργανου που μετρα μεταβολες μηκων. Η μεγεθυvση m η ο παραγωv πολλαπλασιασμου οργανου διδεται απο την σχεση ( 1 ), στην οποια δει ναι η αναγvωση του οργανου και επ παριστα την μετρουμεvη απο το οργανο παραμορφωση. m = δ Ι επ ( 1) Εαv το μηκος μετρησης του οργαvου ει ναι L, εαν δηλαδη το οργανο μετρα τις παραμορφωσεις καθορισμενου μηκους L, η ανηγμενη παραμορφωση εαπ διδεται απο την σχεση ( 2 ): μ με εαπ = δ Ι ( m L ) ( 2 ) Οvομαζεται πεδιο μετρησης του οργαvου Π, η μεγιστη τιμη που 7tορει να μετρησει το οργανο. Μεγαλη ευαισθησια σημαι νει μικρο πεδιο το:ρ~σης. Οταv πρεπει να αυξηθει το πεδιο μετρησης ενος οργανου, οργο ετειται ξαvα ο δεικτης στο μηδεv. Τουτο καλειται επαναταξη του ανου Σ θ της ε κα ε νεα εvδειξη του οργανου προστιθεται η τελευταια προ εnαναταξης ενδειξη του. 4 β) Ειδ η μετρητωv παραμορφωσεων Οι μετ αvαλ Ρητες παραμορφωσεων διακ:ρι vοvται σε διαφορετικ:α ειδη ογα με το χρησιμοποιουμενο συστημα μεγεθυνσης: 1)Μη Χανικα μηκηνσιομετρα 2)λιfηχαv ικα - Οπτικα μηκηνσιομετρα 3 )Οnτιιc α μηκη νσιομετρα

34 4)Ακουστικα μηκηνσιομετρα 5)Ηλεκτρικα μηκηνσιομετρα Τα μηχανικα μηκηνσιομετρα διακρινονται σε μηκηνσιομετρα που χρησιμοποιουν συστημα μοχλων, σε μηκηνσιομετρα που χρησιμοποιουν συστημα οδοντωτων τροχων και κανονων. Τα μηκηνσιομετρα που χρησιμοποιουν συστημα μοχλων, χωριζονται σε αλλες δυο υποκατηγοριες, στα απλου συστηματος μοχλων και στα συνθετου συστηματος μοχλων. Χαρακτηριστικος τυπος του πρωτου τυπου ει ναι τ μηκηνσιομετρο Kennedy - Κrupp του οποιου η βασικη εφαρμογη ει ναι ο προσδιορισμος του οριου διαρροης υλικων. Ενα χαρακτηριστικο της δευτερης υποκατηγοριας ει ναι το μηκηνσιομετρο Huggenberger που χρησιμοποιειται ευρητατα για την μετρηση των παραμορφωσεων. Η ευαισθησια του φθανει μεχρι e= cm, ενω η βαση μετρησης μεταβαλλεται μεταξυ Lo = 20 mm και Lo= 1.00 m. Το πεδιο μετρησης με επαναταξη φοανει μεχρι Π =Ο.03 cm και οι συντελεστες μεγεθυνσης m απ 300 μεχρι Τα μηκηνσιομετρα που χρησιμοποιουν συστημα οδοντωτων τροχων και κανονων, αλλως ωρολογιακα μηκηνσιομετρα,οι απλοι μοχλοι εχουν αντικατασταθει απο οδοντωτους τροχους και κανονες. Ολο το συστημα κλεινεται μεσα σε πυξιδα μορφης ωρολογι υ, του οποιου ο δεικτης δειχνει την παραμορφωση. Ει ναι καταλληλες για περιπτωσεις εφελκυσμου και θλιψης και διατιθονται σε μορφες με διαφορετικους συντελεστες μεγεθυνσης, ευαισθησιας και πεδιων μετρησης. Τα συστηματα μεγεθυνσης των μηχανικων - οπτικων μηκηvσιομετρωv αποτελουvται απο συνδυασμο μηχανικων και οπτικων μοχλων. Στρεφομενο τμημα του μηκηνσιομετρου που ερχεται σε επαφη με την παραμορφουμενη κατασκευη φερει ανακλωσα επιφανεια που αποτελει τον οπτικο μοχλο. Παραλληλη δεσμη φωτος πεφτει στην ανακλωσα επιφανεια και ανακλωμενη μπορει να δωσει την παραμορφωση με οποιαδηποτε παραμορφωση με οποιαδηποτε μεγεθυνση, αvαλογα με την αποσταση που εχει τοποθετηθει καταλληλη κλιμακα. Αvαλογα με τον αριομο των κατοπτρων εχουμε τρεις τυπους με απλα (μηκηvσιομετρο Martens), διπλα (οπτικο μηκηνσιομετρο με συστημα δυο καταπτρων Martens) και τριπλα κατοπτρα (οπτικος μετρητης Tuckerman). Τα μονα αμιγως οπτικα μηκηνσιομετρα ει ναι τα συμβολομετρα. Αποτελουνται απο δυο οπτικα επιπεδα προσαρμοσμενα ειτε απευθειας, ειτε με μοχλους στην παραμορφουμενη κατασκευη. Με την βοηοεια δεσμης μονοχρωματικου φωτος παιρνουμε ενα συνολο κρ σσων συμβολης. Με την παραμορφωση του σωματος οι κρωσσοι κινουνται και ο αριθμος των διερχομενων κροσσων απο σταυρονημα, δινει τη μεταβολη του μηκους. Περασμα ενος κροσσου αντιστοιχει σε

35 μετακινηση των δυο οπτικων επιπεδωv κατα το μισο του μηκους κυματος του μονοχρωματικου φωτος. Η ευαισθησια φθανει μεχρι και e= ιη. Ενα ακουστικο μηκηvσιομετρο αποτελειται απο μια τεταμενη μεταλλικη χορδη προσαρμοσμεvη καταλληλα στην κατασκευη. Η χορδη ταλαντευεται με την φυσικη της συχνοτητα διεγερομενη ηλεκτρικα. Με την παραμορφωση ομως της κατασκευης η συχvοτητα της μεταβαλλεται. Η μεταβολη της συχνοτητας δινει την παραμορφωση. Ο τονος της χορ ης αυτης, μετα την χορδη αναφορας ρυθμιζονται με καταλληλα ακουστικα, ετσι ωστε να συμπιπτουν. Η ευαισθησια ειvαι της ταξης e= mm, με βαση μετρησης Lo=l41.4 mm. Στην κατηγορια των ηλεκτρικων μηκηvσιομετρωv κατατασσονται τα μηκηvσιομετρα με ωμικη, επαγωγικη, χωριτικη, αντισταση, καθως και τα πιεζοηλεκτρικα μηκηνσιομετρα. Τα ηλεκτρικα μηκηνσιομετρα με επαγωγικη αvτισταση αποτελουvται απο μεταβλητο πυρηνα σιδηρου. Με την παραμορφωση της κατασκευης μεταβαλλεται η επαγωyη του κυκλωματος. Ο μετρητης αποτελει τον εvα κλαδο καταλληλης γεφυρας Wheatstone, ο πεμπτος της οποιας ει ναι καταλληλα βαθμονομημενο βολτομετρο η παλμογραφος ωστε να δινεται η μετρουμενη παραμορφωση. Στην περιπτωση των ηλεκτρικων μηκηνσιομετρων με χωριτικη αντισταση ο μετρητης ει ναι επιπεδος πυκνωτης του οποιου μεταβαλλεται ειτε η επιφανεια, ειτε η αποσταση των πλακωv του. Τα πιεζοηλεκτρικα μηκηνσιομετρα στηριζουv την λειτουργια τους στο πιεζοηλεκτρικο φαινομενο ορισμενων κρυσταλλων, οπως ο χαλαζιας, μετατρεποντας τις τασεις και τις παραμορφωσεις σε ηλεκτρικα σηματα. Τα μηκηνσιομετρα που χρησιμοποιουν ωμικη αντισταση θα αντιμετωπισθουν σαν ξεχωριστη κατηγορια. 4γ) Ηλεκτρικοι μετρητες παραμορφωσεωv Στην κατηγορια αυτη ανηκουν τα μηκηνσιομετρα εκεινα των οποιων το μετρητικο στοιχειο ειναι μια ωμικη αvτισταση και ει ναι τα πιο διαδεδομενα. Χωριζονται σε δυο υποκατηγοριες. Στα ηλεκτρομηκηνσιομετρα εκεινα που το μετρητικο στοιχειο ειναι ηλεκτρικο συστημα του οποιου η αντισταση ρυθμιζεται απο την κινηση των μεταλλικων μερων του μετρητη, και σε εκειvα του οποιου το μετρητικο στοιχειο προσκολλαται επανω στο ελεγχομενο υλικο. Στην πρωτη υποκατηγορια ηλεκτρομηκηvσιομετρων ο μετρητης οπως ειπαμε δεν προσκολλαται επανω στο δοκιμιο προς μετρηση, αποτελειται δε απο ωμικη αντισταση που μεταβαλλεται μεσω συστηματος μοχλων, λογω της παραμορφωσης του εξεταζομενου υλικου. Η μεταβολη της αντιστασης επηρεαζει καταλληλο κυκλωμα στο οποιο υπαρχει γεβενομετρο

36 καταλληλα βαθμονομημενο ετσι ωστε να μετραται κατευθειαν η παραμορφωση. Στην δευτερη υποκατηγορια ο μετρητης ει ναι μια λεπτη εσχαρα, κατασκευασμενη απο λεπτο συρμα ειδικου κραματος μεταλλων, διαμετρου in.oι μετρητες αυτοι προσκολλωνται με ειδικη κολλα επανω στο δοκιμιο. Ονομαζουμε συντελεστη ευαισθησιας σε παραμορφωση του αγωγου του μετρητη, Κα, τον λογο: Κα = ( ΔR L ) / ( ΔL R ) ( 3 ) Στην σχεση ( 3) το R παριστα την ωμικη αντισταση του αγωγου του μετρητη, και L το μηκος του αγωγου. Ο συντελεστης ευαισθησιας για τα περισσοτερα μεταλλα ει ναι κατα κανονα θετικος. 4γ) Συμπλεγματα ηλεκτρομηκηνσιομετρων Για την περιγραφη της μονοαξονικης εντατικης καταστασης ενας μετρητης ειναι αρκετος για την μετρηση της παραμορφωσεως. Στην γενικη ομως περιπτωση ειναι απαραιτητο οι παραμορφωσεις να μετρωνται κατα τρεις τουλαχιστον διευθυνσεις, ωστε να καθορισθουν οι κυριες παραμορφωσεις, οπως και οι διευθυνσεις τους. Οταν οι διευθυνσεις των κυριων τασεων ειναι γνωστες επαρκουν δυο μονο μετρητες παραμορφωσεων, τοποθετημενοι στις διευθυνσεις αυτες. Με τα συμπλεγματα ηλεκτρομηκηνσιομετρων μπορει να γινει πληρως ο καθορισμος επιπεδης εντατικης καταστασης. Η θεωρια των συμπλεγματων μετρητων παραμορφωσης, στηριζεται στις εξης δυο παραδοχες: α) Δεχομαστε οτι ολα τα υλικα ειναι ομογεvη και ισοτροπα, καθως τα μ,ε περιεχονται στις σχεσεις με τασεις και αvηγμενες παραμορφωσεις. β) Δεχομαστε οτι το ανυσμα της κλισης των παραμορφωσεων στα εξεταζομενα σημεια ει ναι πολυ μικρο, ετσι ωστε οι προκυπτουσες παραμορφωσεις να μπορουv να θεωρηθουν ενιαιες σε ολη την επιφανεια του μετρητη. Οι γωνιες μεταξυ των μετρητων στα συμπλεγματα δεν πρεπει να ειναι μικρες, διοτι εισαγονται ετσι σημαvτικα σφαλματα. Επισης κατα των υπολογισμο των κυριων τασεων, για τον οποιο χρειαζονται οι παραμορφωσεις κατα τρεις διευθυvσεις, υπαρχουv ορισμενες διευθυvσεις οι οποιες διευκολυνουν σημαντικα τον υπολογισμο τους. Μεταξυ των γωνιων αυτων οι καλυτερες ει ναι αυτες των 45, 60. Ετσι υπαρχουν δυο

37 κυριως τυποι συμπεγματων ηλεκτρομηκηνσιομετρων, το ορθογωνιο και το ισογωνιο η δελτα συμπεγμα. Οταν εχουμε να καταγραψουμε γνωστες απο την αρχη παραμορφωσεις (ει ναι γνωστες οι διευθυνσεις των) καταλληλοτερη απο τους δυο τυπους συμπλεγματων ειναι το ορθογωνιο συμπλεγμα, στο οποιο οι μετρητες διατασσονται κατα γωνιες 0, 45 και 90. Στην περιπτωση που η διαταξη των παραμορφωσεων ει ναι αγνωστη, καταλληλοτερη απο τους δυο τυπους ειναι το ισογωνιο η δελτα συμπλεγμα, οπου οι μετρητες ει ναι διατεταγμενοι κατα 0, 60 και 120. Υπαρχουν παραλλαγες των δυο αυτων τυπων συμπλεγματων, οι οποιες προκυπτουν με την προσθηκη ενος ακομα μετρητη, οπως να προσθεσουμε εναν μετρητη υπο γωνια 45 στο συμπλεγμα το ορθογωνιο, οποτε προκυπτει το τετραπλο ορθογωνικο συμπλεγμα, η την προσθηκη ενος επιπλεον μετρητου καθετα προς την μια πλευρα (τον εναν μετρητη του συμπεγματος) του ισογωνιου συμπεγματος, οποτε και θα προκυψει το ταυ-δελτα συμπεγμα. Εμεις θα αναπτυξουμε τον πιο δια εδομενο τυπο συμπεγματος, το ορθογωνιο συμπλεγμα, το οποιο και αποτελει και την βαση για την επιλυση και την κατανοηση αλλων τυπων συμπλεγματων. Εστω το ορθογωνιο συμπλεγμα του σχηματος 4.1, και εστω οτι με την ΧΡηση τριων ηλεκτρ ει ι, μηκηνσιομετρων μετρηθησαν οι παραμορφωσεις ε22, ε33 κατα τις διευθυνσεις 1, 2 3 αντιστοιχα. Εστω ακομα οτι οι μετρητες σχηματιζουν γωνιες με τους ημιαξονες (Οχ) και (Oy) του οροοκανονικου συστηματος αξονων που εκλεξαμε, και τι ι μετρουμενες παραμορφωσεις κατα τους δυο αυτους αξονες ει ναι εχχ, Ύχy. Θα ισχυει: ε φ1 = φο φ2 = φο + 45 φ3 = φο + 90 Κατα τα γν στα του κεφαλαιου 3, οι ορθες παραμορφωσεις υπο τυχουσα διευθυνση που οριζεται απο στροφης του ημιαξονος (Οχ) κατα γωνια φ, θα διδονται απο την σχεση ( 4 ): οτι: εχχ == ( εχχ + εyy ) / 2 + ( ε - εyy ) cos2φ / 2 - γχy ίη2φ ( 4 ) Με εφαρμογη στην σχεση ( 4) για τις γωνιες των 0, 45,90 α εχουμε ει ι = εχχ ( 5α ) ε22 == ( εχχ + εyy - γ y ) / 2 ( 5 β )

38 ε33 = εyy ( 5γ ) Απο την επιλυση του συστηματος των σχεσεων ( 5α ), ( 5β ), ( 5γ) παιρνουμε τις παραμορφωσεις κατα τους ημιαξονες (Οχ) και (Oy) αντιστοιχα: εχχ = ε11 εyy = Ε33 γχy = ει 1 + ε33-2 ε22 Για την περιπτωση του ισογωνιου συμπλεγματος παραμορφωσεων, το οποιο ειναι καταλληλο οπως ειπαμε για την περιπτωση που η διευθυνση των κυριως τασεων μας ειναι τελειως αγνωστες, εργαζομαστε κατ αντιστοιχια με την προηγουμενη περιπτωση. Για την περιπτωση που οι διευθυνσεις των κυριως παραμορφωσεων μας ει ναι γνωστες, πλεον καταλληλο ει ναι το ορθογωνιο συμπλεγμα αποτελουμενο απο δυο μετρητες. Οι μετρητες τοποθετουvται κατα τις διευθυvσεις αυτες και οι μετρουμενες παραμορφωσεις συμπιπτουv με τις κυριες παραμορφωσεις.

39

40 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ F = Δυναμις Μ= μαζα S = Εμβαδο Β = βαρος γο = ειδικο βαρος L=Μηκος σ = οροη η καθετος τασις τ = διατμητικη η ολισθαι νουσα τασις θ = γωνια Φ = γωνια Ε == μετρο ελαστικοτητας G == μετρο διατμησεως η μετρο ολισθησεως μ == λογος του Poisson ε == ανηγμενη ορθη παραμορφωση Υ == ανηγμενη ολικη γωνιακη παραμορφωση R == ωμικη αντισταση / ακτινα κυκλου Mohr e == ευαισθησια οργανου μετρησης δ == αναγνωση οργανου μετρησης m == μεγεθυνση η παραγων πολλαπλασιασμου οργανου

41 ΠΑΡ ΑΡΤΗΜΑ Β: ΒΙΒΛΙΟΓΡ ΑΦΙΑ - ΠΗΓΕΣ 1) Ιωανvης Ν.Πρασιανακης-Μηχανικη παραμορφωσιμων σωματωv ( Μηχανικη ΠΙ ) ) Δημητρης Π.Παπαγεωργιου-Εφαρμοσμενη μηχανικη (Αντοχη των υλικων) ) Μαρκετου Ε.-Τεχvικη Μηχαvικη,τομος ΙΙ ) Σπαvος Γεωργιος -Προσωπικες σημειωσεις παραδοσεων ) Χαρωνης Παvαγιωτης - Εφηρμοσμενη Μηχανικη ) R.Whitlow- Mateήals and structures 199 l 7) Γεωργικοπουλου Κ., Μπιτσακου Λ. - Τεχvικ.η Μηχανικη,Αντοχη Υλικων (ΤΕΕ) 8) Κερμανιδης Θ. - Μαθηματα Αvτοχης Υλικων,τομοι l 11

6. Κάμψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών

6. Κάμψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 6. Κάμψη Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Περιεχόμενα ενότητας Ανάλυση της κάμψης Κατανομή ορθών τάσεων Ουδέτερη γραμμή Ροπές αδρανείας Ακτίνα καμπυλότητας 2 Εισαγωγή (1/2) Μελετήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

7. Στρέψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών. 7. Στρέψη/ Μηχανική Υλικών

7. Στρέψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών. 7. Στρέψη/ Μηχανική Υλικών 7. Στρέψη Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 7. Στρέψη/ Μηχανική Υλικών 2015 1 Εισαγωγή Σε προηγούμενα κεφάλαια μελετήσαμε πώς να υπολογίζουμε τις ροπές και τις τάσεις σε δομικά μέλη τα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 1. Εισαγωγικές έννοιες στην μηχανική των υλικών Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Περιεχόμενο μαθήματος Μηχανική των Υλικών: τμήμα των θετικών επιστημών που

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1 Σχήμα 1 Εξαιτίας της συνιστώσας F X αναπτύσσεται εντός του υλικού η ορθή τάση σ: N σ = A N 2 [ / ] Εξαιτίας της συνιστώσας F Υ αναπτύσσεται εντός του υλικού η διατμητική τάση τ: τ = mm Q 2 [ N / mm ] A

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1 Σχήμα 1 Η εντατική κατάσταση στην οποία βρίσκεται μία δοκός, που υποβάλλεται σε εγκάρσια φόρτιση, λέγεται κάμψη. Αμφιέριστη δοκός Πρόβολος Κατά την καταπόνηση σε κάμψη αναπτύσσονται καμπτικές ροπές, οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr 1 Περιεχόμενα ενότητας Α Βασικές έννοιες Στατική υλικού σημείου Αξιωματικές αρχές Νόμοι Νεύτωνα Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρικές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων. Εισαγωγή ΜέθοδοςΔιπλήςΟλοκλήρωσης

Γεωμετρικές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων. Εισαγωγή ΜέθοδοςΔιπλήςΟλοκλήρωσης Γεωμετρικές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων Εισαγωγή ΜέθοδοςΔιπλήςΟλοκλήρωσης Εισαγωγή Παραμορφώσεις Ισοστατικών Δοκών και Πλαισίων: Δ22-2 Οι κατασκευές, όταν υπόκεινται σε εξωτερική φόρτιση, αναπτύσσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή Άσκηση 4 Προσδιορισμός του μέτρου στρέψης υλικού με τη μέθοδο του στροφικού εκκρεμούς.

Εργαστηριακή Άσκηση 4 Προσδιορισμός του μέτρου στρέψης υλικού με τη μέθοδο του στροφικού εκκρεμούς. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Όνομα : Κάραλης Νικόλας Α/Μ: 09104042 Εργαστηριακή Άσκηση 4 Προσδιορισμός του μέτρου στρέψης υλικού με τη μέθοδο του στροφικού

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ. Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΚΑΜΨΗ. 1.

ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ. Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΚΑΜΨΗ. 1. ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΚΑΜΨΗ 1. Γενικά Με τη δοκιμή κάμψης ελέγχεται η αντοχή σε κάμψη δοκών από διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος. Μεταβολή του σχήµατος του στοιχείου (διατµητική παραµόρφωση)

Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος. Μεταβολή του σχήµατος του στοιχείου (διατµητική παραµόρφωση) Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος Η ολική παραµόρφωση στερεού σώµατος στη γειτονιά ενός σηµείου, Ο, δηλαδή η συνολική παραµόρφωση ενός µικρού τµήµατος (στοιχείου) του σώµατος γύρω από το σηµείο µπορεί να αναλυθεί

Διαβάστε περισσότερα

ιαλέξεις Παρασκευή 8 Οκτωβρίου,, Πέτρος Κωµοδρόµος Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1

ιαλέξεις Παρασκευή 8 Οκτωβρίου,, Πέτρος Κωµοδρόµος Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1 ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιαλέξεις 13-15 Εισαγωγή στις Παραµορφώσεις και Μετακινήσεις Τρίτη, 5, και Τετάρτη, 6 και Παρασκευή 8 Οκτωβρίου,, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΦΥΣΙΚΕΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΦΥΣΙΚΕΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΤΕΧΝΙΚΑ ΥΛΙΚΑ 3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΦΥΣΙΚΕΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Ε. Βιντζηλαίου (Συντονιστής), Ε. Βουγιούκας, Ε. Μπαδογιάννης Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ - ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ - ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ - ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 12. Ένας οριζόντιος ομογενής δίσκος ακτίνας μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Στη συνέχεια θα δοθούν ορισμένες βασικές έννοιες μαθηματικών και φυσικήςμηχανικής που είναι απαραίτητες για την κατανόηση του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η λεπτή, ομογενής ράβδος ΟΑ του σχήματος έχει μήκος, μάζα και μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο ακλόνητο άξονα (άρθρωση) που διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος...11 Εισαγωγή Ελαστικότητα... 15

Πρόλογος...11 Εισαγωγή Ελαστικότητα... 15 1 Περιεχόμενα Πρόλογος...11 Εισαγωγή...13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ελαστικότητα... 15 1.1 Γενικά...15 1.2 Τάσεις...15 1.3 Εξισώσεις Ισορροπίας...16 1.4 Μετασχηματισμοί Τάσεων...17 1.5 Κύριες Τάσεις...18 1.6 Παραμορφώσεις...19

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Πείραμα Στρέψης. ΕργαστηριακήΆσκηση 3 η

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Πείραμα Στρέψης. ΕργαστηριακήΆσκηση 3 η ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Πείραμα Στρέψης ΕργαστηριακήΆσκηση 3 η Σκοπός Σκοπός του πειράµατος είναι ηκατανόησητωνδιαδικασιώνκατάτηκαταπόνησηστρέψης, η κατανόηση του διαγράµµατος διατµητικής τάσης παραµόρφωσης η ικανότητα

Διαβάστε περισσότερα

Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας.

Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Ο πυκνωτής Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας. Η απλούστερη μορφή πυκνωτή είναι ο επίπεδος πυκνωτής, ο οποίος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ 77 Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ 4.1 Εισαγωγή Στα προηγούμενα κεφάλαια υπολογίσαμε τάσεις και παραμορφώσεις που αναπτύσσονται σε ένα σημείο (σε μια πολύ μικρή περιοχή ) ενός δομικού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 Β1. Εισαγωγή στις Τάσεις και Παραμορφώσεις Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 1 Σκοποί ενότητας Να συμφιλιωθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8.

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8. ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ 1) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής αν έχει: i) Εστιακή απόσταση γ=0 και άξονα β=16, 5 ii) Άξονα α=16 και εκκεντρότητα ε=. 4 ) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΜΗΧΑΝΙΚΑ- ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΜΗΧΑΝΙΚΑ- ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ http://www.study4exams.gr/ ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

5. Θερμικές τάσεις και παραμορφώσεις

5. Θερμικές τάσεις και παραμορφώσεις 5. Θερμικές τάσεις και παραμορφώσεις Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 5. Θερμικές Τάσεις και Παραμορφώσεις/ Μηχανική Υλικών 2015 1 Περιεχόμενα ενότητας Επίδραση ορθών τάσεων στη μεταβολή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2015

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2015 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2015 4. Εισαγωγή στις Τάσεις και Παραμορφώσεις Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 4. Τάσεις και Παραμορφώσεις/ Μηχανική Υλικών 2015 1 Σκοποί ενότητας Να συμφιλιωθεί

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Πειραματική αντοχή των υλικών Σύνθετη καταπόνηση

Μάθημα: Πειραματική αντοχή των υλικών Σύνθετη καταπόνηση Μάθημα: Πειραματική αντοχή των υλικών Σύνθετη καταπόνηση Κατασκευαστικός Τομέας Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Σχήμα 1 Μέσω των πειραμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης)

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης) Ένας ομογενής οριζόντιος δίσκος, μάζας Μ και ακτίνας R, περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο ακλόνητο άξονα z, ο οποίος διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας. αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας m i και θέσης r i

Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας. αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας m i και θέσης r i Κέντρο μάζας Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας Η θέση κέντρου μάζας ορίζεται ως r r i i αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας i και θέσης r i. Συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΕΣ ΑΣΤΟΧΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ

ΘΕΩΡΙΕΣ ΑΣΤΟΧΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ 105 Κεφάλαιο 5 ΘΕΩΡΙΕΣ ΑΣΤΟΧΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ 5.1 Εισαγωγή Στα προηγούμενα κεφάλαια αναλύσαμε την εντατική κατάσταση σε δομικά στοιχεία τα οποία καταπονούνται κατ εξοχήν αξονικά (σε εφελκυσμό ή θλίψη) ή πάνω

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1 Σχήμα 1 Σχήμα 2 Παραγόμενη Μονάδες S.I. όνομα σύμβολο Εμβαδό Τετραγωνικό μέτρο m 2 Όγκος Κυβικό μέτρο m 3 Ταχύτητα Μέτρο ανά δευτερόλεπτο m/s Επιτάχυνση Μέτρο ανά δευτ/το στο τετράγωνο m/s 2 Γωνία Ακτίνιο

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Απλές προτάσεις Για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής των εννοιών Δογραματζάκης Γιάννης 9/5/2013 Απλές προτάσεις για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 008 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ 1 ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ. Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι.

ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ. Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΔΙΑΤΜΗΣΗ 1. Γενικά Όλοι γνωρίζουμε ότι σε μια διατομή ενός καταπονούμενου φορέα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1 Σχήμα 1 Τεχνικής Μηχανικής Διαγράμματα Ελευθέρου Σώματος (Δ.Ε.Σ.) Υπολογισμός Αντιδράσεων Διαγράμματα Φορτίσεων Διατομών (MNQ) Αντοχή Φορέα? Αντικείμενο Τεχνικής Μηχανικής Σχήμα 2 F Y A Γ B A Y B Y 1000N

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Castigliano Ελαστική γραμμή. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Castigliano Ελαστική γραμμή. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Castigliano Ελαστική γραμμή Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Επίλυση υπερστατικών φορέων Για την επίλυση των ισοστατικών φορέων (εύρεση αντιδράσεων και μεγεθών έντασης) αρκούν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ

Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ Σύνοψη Αυτό το κεφάλαιο έχει επίσης επαναληπτικό χαρακτήρα. Σε πρώτο στάδιο διερευνάται η μορφή της καμπύλης την οποία γράφει το

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή 1-1 Η Επιστήµη της Αντοχής των Υλικών, 1-2 Γενικές παραδοχές, 1-3 Κατάταξη δυνάµεων, 1-4 Είδη στηρίξεων, 1-5 Μέθοδος τοµών, Παραδείγµατα, 1-6 Σχέσεις µεταξύ εσωτερικών και εξωτερικών δυνάµεων, Παραδείγµατα,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κάµψη καθαρή κάµψη, τάσεις, βέλος κάµψης

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κάµψη καθαρή κάµψη, τάσεις, βέλος κάµψης 5.1. Μορφές κάµψης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κάµψη καθαρή κάµψη, τάσεις, βέλος κάµψης Η γενική κάµψη (ή κάµψη), κατά την οποία εµφανίζεται στο φορέα (π.χ. δοκό) καµπτική ροπή (Μ) και τέµνουσα δύναµη (Q) (Σχ. 5.1.α).

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική Ι - Στατική

Μηχανική Ι - Στατική ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μηχανική Ι - Στατική Ενότητα #6: Δικτυώματα (Μέθοδος Κόμβων) Δρ. Κωνσταντίνος Ι. Γιαννακόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε.

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Φυσική Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Φυσική Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Φυσική Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 4o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ ΘΕΜΑ 1ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμίας από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΕΛΑΣΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ 1. ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΔΙΑΔΟΣΗ ΤΩΝ ΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΜΕΣΑ ΣΤΗ ΓΗ ΔΕΧΟΜΑΣΤΕ:

Κεφάλαιο 2 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΕΛΑΣΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ 1. ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΔΙΑΔΟΣΗ ΤΩΝ ΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΜΕΣΑ ΣΤΗ ΓΗ ΔΕΧΟΜΑΣΤΕ: Κεφάλαιο 2 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΕΛΑΣΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ 1. ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΔΙΑΔΟΣΗ ΤΩΝ ΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΜΕΣΑ ΣΤΗ ΓΗ ΔΕΧΟΜΑΣΤΕ: 2. ΟΤΙ ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΕΧΕΙ ΑΠΟΛΥΤΑ ΕΛΑΣΤΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 90 Α. Πότε μια αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο και από ποια μέρη αποτελείται; Β. Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια;. Τι λέγεται πολυώνυμο; Θέμα ο Α. Να διατυπώσετε την πρόταση που είναι

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα εφ όλης της ύλης. Στα θέματα 1 4 να σημειώσετε στο τετράδιό σας ποιες από τις προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες.

Διαγώνισμα εφ όλης της ύλης. Στα θέματα 1 4 να σημειώσετε στο τετράδιό σας ποιες από τις προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες. Διαγώνισμα εφ όλης της ύλης Θέμα ο Στα θέματα 4 να σημειώσετε στο τετράδιό σας ποιες από τις προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες. ) Στο σχήμα φαίνεται το στιγμιότυπο ενός τρέχοντος αρμονικού κύματος

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ.

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ. Σύνολα Ορισµός συνόλου (κατά Cantor): Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχεται από το µυαλό µας ή την εµπειρία µας, είναι καλά ορισµένο και τα αντικείµενα ξεχωρίζουν το ένα από το άλλο, δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Πειραματική Αντοχή των Υλικών Πείραμα Κάμψης

Μάθημα: Πειραματική Αντοχή των Υλικών Πείραμα Κάμψης Μάθημα: Πειραματική Αντοχή των Υλικών Πείραμα Κάμψης Κατασκευαστικός Τομέας Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Περιεχόμενα Σχήμα 1 Α. Ασημακόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

Α3. Σε κύκλωμα LC που εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις η ολική ενέργεια είναι α. ανάλογη του φορτίου του πυκνωτή

Α3. Σε κύκλωμα LC που εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις η ολική ενέργεια είναι α. ανάλογη του φορτίου του πυκνωτή ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΛΑ Β) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 25 ΜΑΪΟΥ 202 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

2η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΕΠΑΦΗ HERTZ

2η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΕΠΑΦΗ HERTZ . η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΕΠΑΦΗ RTZ.. Επαφή στερεών σωμάτων Η επαφή εφαπτόμενων στερών σωμάτων γίνεται διαμέσου της εξωτερικής τους επιφάνειας. Η μακροσκοπικά μετρούμενη Επιφάνεια Επαφής καλείται Ονομαστική

Διαβάστε περισσότερα

EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003

EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003 1 EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003 1. Από την ίδια γραµµή αφετηρίας(από το ίδιο ύψος) ενός κεκλιµένου επιπέδου αφήστε να κυλήσουν, ταυτόχρονα προς τα κάτω, δύο κυλίνδροι της

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

γ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις απομάκρυνσης - χρόνου, για τα σημεία Α, Β και Γ, τα οποία απέχουν από το ελεύθερο άκρο αντίστοιχα,,

γ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις απομάκρυνσης - χρόνου, για τα σημεία Α, Β και Γ, τα οποία απέχουν από το ελεύθερο άκρο αντίστοιχα,, 1. Κατά μήκος μιας ελαστικής χορδής μεγάλου μήκους που το ένα άκρο της είναι ακλόνητα στερεωμένο, διαδίδονται δύο κύματα, των οποίων οι εξισώσεις είναι αντίστοιχα: και, όπου και είναι μετρημένα σε και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 07 3. Να αποδείξετε την ταυτότητα + + αβ βγ γα = Να αποδείξετε ότι για όλους τους α, β, γ ισχύει + + αβ + βγ + γα Πότε ισχύει ισότητα; = = + + =

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα; 2. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΚΗ 1 ΔΥΝΑΜΕΙΣ. Παράδειγμα 1.1

ΣΤΑΤΙΚΗ 1 ΔΥΝΑΜΕΙΣ. Παράδειγμα 1.1 ΣΤΤΙΚΗ 1 ΥΝΜΕΙΣ Στατική είναι ο κλάδος της μηχανικής που μελετά την ισορροπία των σωμάτων. Κατά την μελέτη δεχόμαστε ότι τα σώματα δεν παραμορφώνονται από τις δυνάμεις που ασκούνται σ αυτά. Οι παραμορφώσεις

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Ισοστατικά πλαίσια με συνδέσμους (α) (β) Στατική επίλυση ισοστατικών πλαισίων

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1 Σχήμα 1 Μια ράβδος λέμε ότι καταπονείται σε στρέψη, όταν επάνω σε αυτήν επενεργούν ζεύγη ίσων και αντίθετων δυνάμεων που τα επίπεδά τους είναι κάθετα στoν κεντροβαρικό άξονά της. Τα ζεύγη των δυνάμεων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2012

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2012 ΦΥΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΗ 0 ΕΚΦΩΝΗΕΙ ΘΕΜΑ Α τις ηµιτελείς προτάσεις Α Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της πρότασης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία τη συµπληρώνει σωστά. Α. Κατά τη

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου.

Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. Μ3 Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. 1 Σκοπός Στην άσκηση αυτή θα προσδιοριστεί η σταθερά ενός ελατηρίου χρησιμοποιώντας στην ακολουθούμενη διαδικασία τον νόμο του Hooke και τη σχέση της περιόδου

Διαβάστε περισσότερα

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1 ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΑΝΑΓΛΥΦΟ Το προοπτικό ανάγλυφο, όπως το επίπεδο προοπτικό, η στερεοσκοπική εικόνα κ.λπ. είναι τρόποι παρουσίασης και απεικόνισης των αρχιτεκτονικών συνθέσεων. Το προοπτικό ανάγλυφο είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 016 3. Διαγράμματα NQM Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 1 Σκοποί ενότητας Να εξοικειωθεί ο φοιτητής

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

1.Η δύναμη μεταξύ δύο φορτίων έχει μέτρο 120 N. Αν η απόσταση των φορτίων διπλασιαστεί, το μέτρο της δύναμης θα γίνει:

1.Η δύναμη μεταξύ δύο φορτίων έχει μέτρο 120 N. Αν η απόσταση των φορτίων διπλασιαστεί, το μέτρο της δύναμης θα γίνει: ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΠΙΛΟΓΩΝ Ηλεκτρικό φορτίο Ηλεκτρικό πεδίο 1.Η δύναμη μεταξύ δύο φορτίων έχει μέτρο 10 N. Αν η απόσταση των φορτίων διπλασιαστεί, το μέτρο της δύναμης θα γίνει: (α)

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα