Οι Εννοιολογικές Μεταφορές και η Χρήση τους

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Οι Εννοιολογικές Μεταφορές και η Χρήση τους"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ KAI ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ & ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ Διαπανεπιστημιακό Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Οι Εννοιολογικές Μεταφορές και η Χρήση τους από τους Καθηγητές στη διδασκαλία των Μαθηματικών. Ειρήνη Κουλέτση Επιβλέπουσα Καθηγήτρια: Δέσποινα Πόταρη Αθήνα Ιούνιος 2010

2 Η παρούσα Διπλωματική Εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια των σπουδών για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης που απονέμει το Διαπανεπιστημιακό Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών» Εγκρίθηκε την από Εξεταστική Επιτροπή αποτελούμενη από τους : Ονοματεπώνυμο Βαθμίδα Υπογραφή 1)Δέσποινα Πόταρη (Επιβλέπουσα Καθηγήτρια) Αναπ. Καθηγήτρια. 2)Παναγιώτης Σπύρου Επίκ. Καθηγητής.. 3)Χρόνης Κυνηγός Καθηγητής...

3 Στον πατέρα μου, Νικόλαο Κουλέτση

4 Ευχαριστίες Η παρούσα διπλωματική εργασία γράφτηκε στα πλαίσια της ολοκλήρωσης των σπουδών μου στο Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών, με τίτλο «Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών». Θα ήθελα να ευχαριστήσω ολόψυχα την επιβλέπουσα της διπλωματικής μου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια κα Δέσποινα Πόταρη, χωρίς τις πολύτιμες συμβουλές και την αμέριστη συμπαράστασή της οποίας δεν θα κατάφερνα να φέρω εις πέρας την εργασία αυτή. Επίσης ευχαριστώ θερμά τον Επίκουρο Καθηγητή κ. Παναγιώτη Σπύρου, για τις σημαντικές υποδείξεις ως προς το θεωρητικό μέρος, καθώς και τον Καθηγητή κ. Χρόνη Κυνηγό για την εμπιστοσύνη που έδειξε στο πρόσωπό μου και χωρίς τον παραμικρό ενδοιασμό δέχθηκε να είναι μέλος της τριμελούς επιτροπής μου. Θα ήταν παράλειψή μου να μην ευχαριστήσω θερμά τούς συναδέλφους και φίλους κ.κ. Γιώργο Ψυχάρη για τις χρήσιμες υποδείξεις του και Σωτήρη Συριόπουλο για την συμπαράστασή του. Επίσης, όλους τους συναδέλφους για το χρόνο που αφιέρωσαν προκειμένου να συμπληρώσουν τα δυο ερωτηματολόγια που χορηγήθηκαν για τη διενέργεια της παρούσης έρευνας. Ιούνιος 2010, Ειρήνη Κουλέτση

5 ii Περιεχόμενα Κατάλογος σχημάτων..... v Κατάλογος διαγραμμάτων... vi Κατάλογος πινάκων... viii Περίληψη... ix 1. Θεωρητικό Πλαίσιο Η Γνωσιακή Θεωρία της Εννοιολογικής Μεταφοράς Η Προέλευση των Μαθηματικών και οι Ιδιότητές τους Εννοιολογικές Μεταφορές Τι είναι η Εννοιολογική Μεταφορά Δομή της Εννοιολογικής Μεταφοράς Σχήματα Εικόνων Κατηγορίες Σχημάτων Εικόνων Πλασματική Κίνηση Μεταφορές Θεμελίωσης (grounded)- Μεταφορές Σύνδεσης (linking) Περιορισμοί Μεταφορική Σκέψη Τα Προτερήματα του Μεταφορικού Συλλογισμού Ενσωματώνοντας (integrating) καθημερινές δράσεις στις έννοιες στόχου Βελτιώνοντας την ανάκληση μαθηματικών σχέσεων Αντίληψη των Αναπαραστάσεων Διευκολύνει τους μαθηματικούς υπολογισμούς Σύγκριση με άλλα είδη συλλογισμού Συλλογισμός κοινών σημείων (intersection reasoning) Συλλογισμός βασιζόμενος σε παραδείγματα Συμβολικό παιχνίδι Συμβολική διευκολυντική της μνήμης Κατανεμημένος Συλλογισμός (distributed reasoning) Βασικές Έννοιες των Μαθηματικών (Αριθμός-Ισότητα) Μετάβαση από τους Φυσικούς στους Ακεραίους... 21

6 iii Πτυχές της Έννοιας του Ακεραίου Αριθμού Μετάβαση από τους Ακεραίους στα Κλάσματα και τους Ρητούς Πτυχές της Έννοιας του Ρητού Αριθμού Η Έννοια της Ισότητας Το Σύμβολο της Ισότητας Διδακτικά Μοντέλα για την Απόκτηση της Έννοιας του Αριθμού και της Ισότητας Μεθοδολογία Διαδικασία της Έρευνας Φάσεις Α Φάση: Η Ανάλυση των Βιβλίων Β Φάση: Η Κυρίως Έρευνα Πιλοτικό ερωτηματολόγιο Κύριο ερωτηματολόγιο Ανάλυση των Δεδομένων Αποτελέσματα Α Φάση της Έρευνας: Οι Εννοιολογικές Μεταφορές στα Σχολικά Συγγράμματα του Γυμνασίου Β Φάση της Έρευνας: Η Έννοια του Αριθμού και της Ισότητας μέσα από Πέντε Κλασικά Μοντέλα Η Συσχέτιση της Έννοιας του Ρητού με τα Μοντέλα της Ράβδου και της Αριθμογραμμής Δυνατότητες και Περιορισμοί των Μοντέλων της Ράβδου και της Αριθμογραμμής Καταλληλότητα και Χρήση Συγκρίνοντας τα δυο μοντέλα ως προς την καταλληλότητα για τη διαχείριση της έννοιας του ρητού αριθμού Κριτήρια επιλογής των μοντέλων της ράβδου και της αριθμογραμμής στη διαχείριση της έννοιας του ρητού αριθμού Χρήση των Μοντέλων της Ράβδου και της Αριθμογραμμής Αποδοχή-απόρριψη των δυο μοντέλων Τρόποι χρήσης τους... 76

7 iv 4.3 Η Συσχέτιση της Έννοιας του Ακεραίου με το Μοντέλο του Θερμομέτρου Αιτίες Καταλληλότητας ή Μη του Μοντέλου του Θερμομέτρου Δυνατότητες και Περιορισμοί του Μοντέλου του Θερμομέτρου Δυσκολίες Τρόποι Αντιμετώπισής τους Χρήση του Μοντέλου του Θερμομέτρου Αποδοχή-απόρριψη του μοντέλου Τρόποι χρήσης του μοντέλου του θερμομέτρου Η Έννοια της Ισότητας μέσα από τα Μοντέλα της Ζυγαριάς και το Γεωμετρικό Μοντέλο Η Συσχέτιση της Έννοιας της Ισότητας με το Μοντέλο της Ζυγαριάς Αιτίες καταλληλότητας ή μη του μοντέλου της ζυγαριάς Δυνατότητες και Περιορισμοί του Μοντέλου της Ζυγαριάς Δυσκολίες του Μοντέλου-Τρόποι Αντιμετώπισής στους Χρήση του Μοντέλου της Ζυγαριάς Αποδοχή-απόρριψη του μοντέλου Τρόπου χρήσης του μοντέλου της ζυγαριάς Η Συσχέτιση της Έννοιας της Ισότητας με το Γεωμετρικό Μοντέλο Αιτίες Καταλληλότητας ή μη του Γεωμετρικού Μοντέλου Δυνατότητες και Περιορισμοί του Γεωμετρικού Μοντέλου Δυσκολίες Τρόποι Αντιμετώπισής τους Χρήση του Γεωμετρικού Μοντέλου Αποδοχή-απόρριψη του μοντέλου Συζήτηση-Συμπεράσματα Συζήτηση Συμπεράσματα Αναφορές Παράρτημα Ι Πίνακας 4.8 Ταξινόμηση των Μεταφορών στα Σχολικά Συγγράμματα του Γυμνασίου Παράρτημα ΙΙ Πιλοτικό Ερωτηματολόγιο Κύριο Ερωτηματολόγιο

8 v Κατάλογος Σχημάτων Σχήμα 1.1 Το περιέχον (container) σχήμα... 8 Σχήμα 1.2 Σχήμα πηγή-τροχιά- στόχος... 9 Σχήμα 2.1 Θεωρητικό μοντέλο της διδασκαλίας της έννοιας του Ρητού Σχήμα 2.2 Η Αριθμογραμμή Σχήμα 2.3 Βήμα 1 ο επίλυσης της εξίσωσης 3χ+14=5χ Σχήμα 2.4 Βήμα 2 ο επίλυσης της εξίσωσης 3χ+14=5χ Σχήμα 2.5 Γραμμικά μοντέλα & η έννοια του ρητού αριθμού Σχήμα 2.6 Γεωμετρικό μοντέλο & η έννοια της ισότητας Σχήμα 2.7 Επιφανειακά μοντέλα και η έννοια του ρητού αριθμού Σχήμα 2.8 Διακριτά μοντέλα και η έννοια του ρητού αριθμού Σχήμα 2.9 Το μοντέλο της Ζυγαριάς Σχήμα 4.1 Γράφημα Συσχέτισης Ράβδου- Αριθμογραμμής Σχήμα 4.2 Γράφημα Συσχέτισης του μοντέλου του Θερμομέτρου με την έννοια του ακεραίου Σχήμα 4.3 Γράφημα Συσχέτισης του μοντέλου της Ζυγαριάς με την έννοια της ισότητας Σχήμα 4.4 Γράφημα Συσχέτισης του γεωμετρικού μοντέλου με την έννοια της ισότητας

9 vi Κατάλογος Διαγραμμάτων Διάγραμμα 4.1 Δίκτυο των Μοντέλων που Χρησιμοποιούνται ως Πηγή Εννοιολογική Μεταφορά Διάγραμμα 4.2 Δίκτυο των Μαθηματικών Εννοιών στα Σχολικά Βιβλία που εισάγονται μέσω της Μεταφοράς Στόχος Διάγραμμα 4.3 Ταξινόμηση των μεταφορών στα σχολικά βιβλία Τεχνητά- Φυσικά Αντικείμενα Διάγραμμα 4.4 Ταξινόμηση των μεταφορών στα σχολικά βιβλία Γεωμετρικά Αντικείμενα Διάγραμμα 4.5 Ταξινόμηση των μεταφορών στα σχολικά βιβλία Αντικείμενα από άλλες Επιστήμες Διάγραμμα 4.6 Περιορισμοί μοντέλων Ράβδου-Αριθμογραμμής Διάγραμμα 4.7 Αποδοχή-Απόρριψη των μοντέλων Ράβδου-Αριθμογραμμής Διάγραμμα 4.8 Σύγκριση των μοντέλων Ράβδου-Αριθμογραμμής ως προς τη χρήση τους για τη διδασκαλία του ρητού αριθμού Διάγραμμα 4.9 Τρόποι αξιοποίησης μοντέλων Ράβδου-Αριθμογραμμής Διάγραμμα 4.10 Επιχειρήματα καταλληλότητας του μοντέλου του Θερμομέτρου Διάγραμμα 4.11 Δυνατότητες και περιορισμοί του μοντέλου του Θερμομέτρου Διάγραμμα 4.12 Δυσκολίες και τρόποι αντιμετώπισης του μοντέλου του Θερμομέτρου Διάγραμμα 4.13 Αποδοχή-απόρριψη του μοντέλου του Θερμομέτρου Διάγραμμα 4.14 Τρόποι αξιοποίησης του μοντέλου του Θερμομέτρου Διάγραμμα 4.15 Επιχειρήματα καταλληλότητας του μοντέλου της Ζυγαριάς Διάγραμμα 4.16 Δυνατότητες και περιορισμοί του μοντέλου της Ζυγαριάς Διάγραμμα 4.17 Τρόποι αντιμετώπισης δυσκολιών με τη χρήση του μοντέλου της Ζυγαριάς Διάγραμμα 4.18 Αποδοχή Απόρριψη του μοντέλου της Ζυγαριάς Διάγραμμα 4.19 Τρόποι αξιοποίησης του μοντέλου της Ζυγαριάς Διάγραμμα 4.20 Καταλληλότητα ή μη του γεωμετρικού μοντέλου Για την έννοια της ισότητας Διάγραμμα 4.21 Δυνατότητες Περιορισμοί του γεωμετρικού μοντέλου Διάγραμμα 4.22 Τρόποι αντιμετώπισης των δυσκολιών με το γεωμετρικό

10 vii μοντέλο Διάγραμμα 4.23 Αποδοχή-Απόρριψη του γεωμετρικού μοντέλου για την έννοια της ισότητας Διάγραμμα 4.24 Διδακτική Πρακτική αναφορικά με το γεωμετρικό μοντέλο και την έννοια της ισότητας Διάγραμμα 5.1 Συσχέτιση Πεποιθήσεων και Διδακτικής Πρακτικής

11 viii Κατάλογος Πινάκων Πίνακας 1.1 Οι 4 Πράξεις μέσα από την Οπτική των Μεταφορών Θεμελίωσης Πίνακας 2.1 Οι 4 Πράξεις στο Σύνολο των Φυσικών & των Ακεραίων Πίνακας 2.2. Οι 4 Πράξεις στο Σύνολο των Φυσικών & των Ρητών Πίνακας 2.3 Πίνακας 2.4 Η Έννοια του ρητού Μη Αριθμητικές Γραμμικές Εξισώσεις & Μοντέλα Ζυγαριάς Γεωμετρικό Πίνακας 3.1 Μοντέλα και Έννοιες στο Πιλοτικό Ερωτηματολόγιο Πίνακας 4.1 Τρόποι Αντιμετώπισης δυσκολιών από τη χρήση των Μοντέλων Ράβδου-Αριθμογραμμής Πίνακας 4.2 Δυνατότητες και περιορισμοί του μοντέλου του Θερμομέτρου Πίνακας 4.3 Τρόποι αντιμετώπισης των δυσκολιών από τη χρήση του μοντέλου του θερμομέτρου Πίνακας 4.4 Δυνατότητες και περιορισμοί του μοντέλου της Ζυγαριάς Πίνακας 4.5 Τρόποι Αντιμετώπισης δυσκολιών από τη χρήση του μοντέλου της Ζυγαριάς Πίνακας 4.6 Δυνατότητες και περιορισμοί του Γεωμετρικού μοντέλου Πίνακας 4.7 Πίνακας 4.8 Τρόποι αντιμετώπισης των δυσκολιών με το Γεωμετρικό μοντέλο123 Ταξινόμηση των Μεταφορών στα Σχολικά Συγγράμματα του Γυμνασίου

12 ix Περίληψη Σε αυτήν τη διπλωματική εργασία επιχειρείται η διερεύνηση του ρόλου των εννοιολογικών μεταφορών στα σχολικά εγχειρίδια του γυμνασίου καθώς και στη διδασκαλία αναφορικά με τις βασικές έννοιες του αριθμού και της ισότητας. Ειδικότερα, διερευνάται το είδος των εννοιολογικών μεταφορών που χρησιμοποιούνται στα σχολικά εγχειρίδια, ο τρόπος που ο εκπαιδευτικός τις συνδέει με το μαθηματικό αντικείμενο μέσα από τη χρήση πέντε κλασικών μοντέλων (ράβδου-αριθμογραμμής-θερμομέτρου-ζυγαριάς και γεωμετρικό), και τις αντιλήψεις του αναφορικά με το ρόλο και τη σημασία των μοντέλων αυτών στη διδασκαλία. Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι οι καθηγητές των μαθηματικών επιδεικνύουν μια αρκετά καλή ικανότητα ανάλυσης και διαχείρισης μοντέλων που σχετίζονται με την έννοια του αριθμού σε αντίθεση με τη διαχείριση των μοντέλων που σχετίζονται με την έννοια της ισότητας. Τέλος, διαφάνηκε ότι ως προς τα γεωμετρικά και γραμμικά μοντέλα υπάρχει μια ασυμβατότητα μεταξύ πεποιθήσεων και διδακτικής επιλογής. Δεν παρατηρήθηκε το ίδιο με τα διακριτά μοντέλα. Προκειμένου για τη διερεύνηση των παραπάνω θεμάτων, αρχικά παρουσιάζεται το θεωρητικό πλαίσιο με βάση το οποίο σχεδιάστηκε η παρούσα έρευνα (Κεφάλαιο 1). Στο κεφάλαιο 2 γίνεται ανάλυση της έννοιας του ακεραίου και ρητού αριθμού και της έννοιας της ισότητας, καταγράφονται οι δυσκολίες που οι μαθητές αντιμετωπίζουν και γίνεται βιβλιογραφική ανασκόπηση αναφορικά με τους περιορισμούς αλλά και τις δυνατότητες των παραπάνω πέντε μοντέλων που ανακύπτουν κατά τη χρήση τους. Στο κεφάλαιο 3 τίθεται το ερευνητικό πρόβλημα, τα ερευνητικά ερωτήματα και η διαδικασία της έρευνας. Στο κεφάλαιο 4 παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της έρευνας, ενώ στο κεφάλαιο 5 ερμηνεύονται τα αποτελέσματα και συζητούνται τα συμπεράσματα αυτής. Στα παραρτήματα παρατίθενται ο πίνακας ταξινόμησης των μεταφορών στα σχολικά βιβλία του γυμνασίου (Α, Β και Γ τάξης) καθώς και τα δυο ερωτηματολόγια (πιλοτικό και κύριο).

13 1 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Θεωρητικό Πλαίσιο 1.1 Η Γνωσιακή Θεωρία της Εννοιολογικής Μεταφοράς Αφετηρία της σύγχρονης, γνωσιακής θεωρίας της μεταφοράς, αποτέλεσε η άποψη των Lakoff και Johnson (1980) ότι η μεταφορά είναι μια βασική νοητική λειτουργία διαμέσου της οποίας κατανοούμε τον κόσμο, συλλαμβάνουμε αφηρημένες έννοιες, προσφέρουμε στη σκέψη μας τη δυνατότητα να λειτουργήσει σε αφηρημένο επίπεδο αφού το βασικό αντιληπτικό μας σύστημα είναι «θεμελιωδώς μεταφορικό εκ φύσεως». Σε αυτό το πλαίσιο, μελετητές από διαφορετικά γνωστικά πεδία (γλωσσολογία, ψυχολογία, λογοτεχνική θεωρία) προσεγγίζουν την εννοιολογική μεταφορά (Ε.Μ) όχι σαν γλωσσικό φαινόμενο αλλά σαν διαδικασία της σκέψης και τρόπο οργάνωσης και έκφρασης της εμπειρίας μας. Ειδικότερα, οι Lakoff και Johnson έθεσαν σε αμφισβήτηση βαθιά ριζωμένες αντιλήψεις υποστηρίζοντας ότι η λειτουργία της Ε.Μ. συνίσταται στην καλύτερη κατανόηση εννοιών. Κατά συνέπεια, η Ε.Μ βασίζεται σε σωματικά θεμελιωμένες αναλογίες ανάμεσα σε διαφορετικές εννοιολογικές περιοχές η Ε.Μ χρησιμοποιείται στην καθημερινή ζωή από συνηθισμένους ανθρώπους και δεν αποτελεί αποκλειστικό προνόμιο της λογοτεχνίας και κάποιων ιδιαίτερα προικισμένων ανθρώπων. Ειδικότερα στον τομέα των μαθηματικών, ο Núñez (2004b) υποστηρίζει ότι τα μαθηματικά είναι ένας εξαιρετικά τεχνικός τομέας, ο οποίος χαρακτηρίζεται από το γεγονός ότι οι ίδιες ακριβώς οι οντότητες που τα συνιστούν είναι ιδεατές νοητικές αφαιρέσεις, οι οποίες δεν μπορούν να εκληφθούν απευθείας μέσω των αισθήσεων. Ακόμη και η απλούστερη οντότητα, ας πούμε στην Ευκλείδεια γεωμετρία δηλαδή το σημείο, το οποίο έχει μόνο θέση αλλά χωρίς επέκταση, δεν μπορεί να είναι πραγματικά αντιληπτή. Οι Lakoff και Núñez (1997, 2000) και Núñez (2000a, 2000b) εμπνευσμένοι από τις θεωρητικές αρχές της Ενσώματης Γνώσης και χρησιμοποιώντας κυρίως τεχνικές από τη Γνωσιακή Γλωσσολογία (κυρίως Γνωσιακή σημασιολογία) πρότειναν ότι αυτές οι εξιδανικευμένες αφηρημένες τεχνικές οντότητες στα Μαθηματικά δημιουργούνται από την ανθρώπινη φαντασία, μέσω

14 2 μιας πολύ συγκεκριμένης χρήσης γνωστικών μηχανισμών που στηρίζονται στην καθημερινή σωματική εμπειρία, όπως οι: εννοιολογικές μεταφορές (Ε.Μ) οι εννοιολογικοί συνδυασμοί (blend), αναλογικοί συλλογισμοί, πλασματική κίνηση, σχήματα (aspectual) του τρόπου (δείτε επίσης: Núñez & Lakoff, 1998). Τα Μαθηματικά είναι, σύμφωνα με αυτή την οπτική, ένα συγκεκριμένο ισχυρό και σταθερό προϊόν της ανθρώπινης φαντασίας. Ο ισχυρισμός είναι ότι μια λεπτομερής ανάλυση της μαθηματικής οργάνωσης των μαθηματικών εννοιών, θεωρημάτων, ορισμών, και αξιωμάτων (Μαθηματική Ανάλυση των ιδεών) παρέχουν τα γνωσιακά θεμέλια των ίδιων των Μαθηματικών. Από αυτή την άποψη: τα μαθηματικά είναι το σωματικά στηριζόμενο συμπερασματικό δίκτυο που τα καθιστά εφικτά. Η μελέτη αυτών των βάσεων και του εκτεταμένου συμπερασματικού δικτύου τους αποτελεί ένα από τους πιο σημαντικούς στόχους της Γνωσιακής επιστήμης των μαθηματικών. 1.2 Η Προέλευση των Μαθηματικών και οι Ιδιότητες τους Το 1913 ο Poincaré προβληματιζόταν για την προέλευση των μαθηματικών. Έβλεπε τη μαθηματική διαίσθηση ως αυτή που επινοεί και τη λογική ως αυτή που αποδεικνύει. Με αυτή την οπτική τα μαθηματικά αρχίζουν με την διαίσθηση. Ωστόσο, από τότε που ο Poincaré διατύπωνε τους προβληματισμούς του, και μέχρι τη σημερινή εποχή φαίνεται, λίγα να έχουν γίνει στον τομέα της διαίσθησης. Το 2000 εμφανίζονται στο προσκήνιο οι Lakoff και Núñez που διατείνονται ότι: «Το πορτραίτο των Μαθηματικών έχει ανθρώπινο πρόσωπο» και ότι η θεωρία τους για τα ενσώματα μαθηματικά έρχεται να κάνει τη διαφορά. Η ενσώματη γνωσιακή θεωρία υποστηρίζει ότι το σώμα και ο νους δρουν ως αλληλοεξαρτώμενα, αρνούμενη τη δυαδικότητα τους. Η δραστηριότητα του νου έχει τις ρίζες της στη δραστηριότητα του σώματος. Η διαίσθηση δεν είναι τόσο ασχημάτιστη και παραπλανητική όπως πιθανόν να πιστεύαμε μέχρι τώρα.

15 3 Οι Lakoff και Núñez (2000, σελ 4-5) αναφέρουν ότι τα τελευταία χρόνια έχει επέλθει επαναστατική πρόοδος στη Γνωσιακή επιστήμη αναφορικά με την κατανόηση των μαθηματικών. Ίσως από τις πιο βαθιές να είναι η Μεταφορική σκέψη: Στο μεγαλύτερο μέρος, οι άνθρωποι νοηματοδοτούν τις αφηρημένες έννοιες με συγκεκριμένους όρους, χρησιμοποιώντας ιδέες και τρόπους συλλογισμού βασισμένες στο αισθησιοκινητικό τους σύστημα. Ο μηχανισμός με τη βοήθεια του οποίου το αφηρημένο γίνεται κατανοητό με συγκεκριμένους όρους λέγεται εννοιολογική μεταφορά. Τα μαθηματικά χρησιμοποιούν εννοιολογικές μεταφορές. Για παράδειγμα, μέσω εννοιολογικής μεταφοράς οι αφηρημένοι αριθμοί αντιστοιχίζονται στα σημεία μιας ευθείας. Οι Núñez, Edwards και Matos (1999) τονίζουν ότι η ενσώματη προσέγγιση μας παρέχει τα εργαλεία που βοηθούν να κατανοήσουμε πιο αφηρημένες περιοχές με όρους καθημερινά βιωμένης πραγματικότητας. «Πώς συμβαίνει αυτό;» Απαντούν οι ίδιοι, αποφαίνοντας ότι για να συμβεί αυτό απαιτείται ένα κοινό σύνολο νευρικών και σωματικών δομών με τη βοήθεια των οποίων κατασκευάζονται οι μαθηματικές έννοιες όπως κίνηση, χωρικές σχέσεις, χειρισμός αντικειμένων, χώρος και χρόνος. Η μελέτη της εννοιολογικής δομής των μαθηματικών από την ενσώματη οπτική καταδεικνύει πώς τα μαθηματικά χτίζονται μέσω τέτοιων άτυπων καθημερινών εμπειριών και ιδεών. Οι Boero, Bazzini, και Garuti (2001) ορίζουν την ενσώματη προσέγγιση ως το μοναδικό τρόπο με τον οποίο οι αισθησιοκινητικές ικανότητες του ατόμου τον καθιστούν ικανό να αλληλεπιδράσει επιτυχώς με το περιβάλλον του. Υποστηρίζουν ότι οι αφηρημένες έννοιες συλλαμβάνονται με συγκεκριμένο τρόπο με τη χρήση συγκεκριμένων τρόπων συλλογισμού που βασίζονται στη σωματική εμπειρία. Μερικές από τις ιδιότητες που οι Lakoff και Núñez (2000, σελ ) αποδίδουν στα μαθηματικά είναι οι παρακάτω : Η Καθολικότητα Συνέπεια- Ακρίβεια- Σταθερότητα-Αποτελεσματικότητα- Γενικότητα και η ικανότητα του Συμβολισμού των μαθηματικών Τα μέρη της ανθρώπινης γνωστικής πλευράς που παράγουν τα ανώτερα μαθηματικά ως μια δραστηριότητα είναι οι συνήθεις γνωστικές ικανότητες όλων των ανθρώπων, όπως για παράδειγμα η ικανότητα δημιουργίας της εννοιολογικής μεταφοράς.

16 4 Η εννοιολογική μεταφορά είναι ένας νευρικός ενσώματος γνωστικός μηχανισμός που μας επιτρέπει να εκμεταλλευτούμε τη συμπερασματική δομή μιας περιοχής για να επιχειρηματολογήσουμε προς όφελος μιας άλλης. 1.3 Εννοιολογικές Μεταφορές Ο Αριστοτέλης αποδίδει μεγάλο σεβασμό στην αξία της μεταφοράς. Θεωρεί ότι είναι σημάδι ευφυΐας....πολὺ δὲ μέγιστον τὸ μεταφορικὸν εἶναι. Μόνον γὰρ τοῦτο οὔτε παρ ἄλλου ἔστι λαβεῖν εὐφυΐας τε σημεῖόν ἐστι Αριστοτέλης, Περί Ποιητικής 22, [17] Τι είναι η Εννοιολογική Μεταφορά Ο Hamide (2007) διατείνεται ότι η μεταφορά μπορεί να οριστεί ως μια υπόρρητη αναλογία (Presmeg, 1998) καθώς διευκολύνει τη δυνατότητα μετάβασης από το ένα σύστημα αναπαράστασης (Εμπειρικό) στο άλλο (Αφηρημένο). Σύμφωνα με την τελευταία, η μεταφορά αποτελείται από τη βάση (ground), που σχηματίζεται από τις ομοιότητες μεταξύ των εννοιών και από τις διαφορές μεταξύ των εννοιών, που συνιστούν την ένταση (tension). Η προσέγγιση της μεταφοράς όχι απλά σαν ένα γλωσσικό φαινόμενο αλλά σαν διαδικασία της σκέψης και ο τρόπος οργάνωσης και έκφρασης της εμπειρίας μας, μας οδηγεί να αναφερόμαστε πλέον σε αυτές με τον όρο της εννοιολογικής μεταφοράς. Ο ορισμός που δίνουν οι Lakoff και Núñez (2000, σελ. 6) είναι ο εξής: Η εννοιολογική μεταφορά (conceptual metaphor) είναι ο γνωστικός μηχανισμός που επιτρέπει να συλλογιζόμαστε για ένα είδος ωσάν να ήταν κάποιο άλλο. Δεν είναι απλά ένα γλωσσολογικό φαινόμενο ή απλά ένα σχήμα του λόγου. Είναι μάλλον ένας γνωστικός μηχανισμός που ανήκει στο βασίλειο της σκέψης. Οι Núñez, Edwards και Matos (1999) αναφέρουν ότι οι εννοιολογικές μεταφορές είναι «οι αντιστοιχήσεις που συντηρούν τη συμπερασματική δομή της περιοχής πηγής καθώς αυτή προβάλλεται στην πηγή στόχος.» Με αυτόν τον τρόπο γίνεται κατανοητός ο στόχος, συνήθως ασυνείδητα, με βάση τις σχέσεις που ισχύουν στην πηγή.

17 5 Και συνεχίζουν «Όπως και το υπόλοιπο εννοιολογικό μας σύστημα, το σύστημα των συμβατικών (conventional) μας εννοιολογικών μεταφορών, είναι άκοπο (effortless) και βρίσκεται κάτω του επιπέδου της συνειδητής μας επίγνωσης (γνωστικό ασυνείδητο).» Δομή της Εννοιολογικής Μεταφοράς Όλες οι εννοιολογικές μεταφορές έχουν την ίδια δομή. Οι Lakoff και Núñez (2000, σελ. 42) ορίζουν την δομή της κάθε εννοιολογικής μεταφοράς ως εξής: είναι μια αντιστοίχιση (mapping) οντοτήτων από ένα γνωστικό «πεδίο-πηγή» (source domain) σε αντίστοιχες οντότητες σε ένα άλλο γνωστικό «πεδίο-στόχος» (target domain). Για να κατανοήσουμε ένα πεδίο εμπειρίας με τους όρους ενός άλλου συνεπάγεται ένα σύστημα συγκεκριμένων αντιστοιχιών, που καλούνται «αντιστοιχίσεις» (mappings), ανάμεσα στο «πεδίο πηγή», που είναι συνήθως συγκεκριμένο, και στο «πεδίο-στόχος», που αφορά συνήθως αφηρημένες έννοιες. Υπάρχει με άλλα λόγια ένα σύστημα συστηματικών αντιστοιχιών μεταξύ πηγής (Α) και στόχου (Β), υπό την έννοια ότι συστατικά εννοιολογικά στοιχεία, και όχι μεμονωμένα λεξικολογικά στοιχεία, από το (Β) αντιστοιχούν σε συστατικά εννοιολογικά στοιχεία από το (Α). Με αυτό τον τρόπο γίνονται κατανοητές έννοιες αόριστες και, κατά άρα, πιο δύσκολα προσεγγίσιμες. Αυτή η εννοιολογική αντιστοίχιση μεταξύ των περιοχών (cross-domain) είναι πρωταρχικής σημασίας Ο μεταφορικός λόγος έρχεται δεύτερος, και είναι απόρροια της εννοιολογικής αντιστοίχισης. Πολλές λέξεις για τις έννοιες του «πεδίου-πηγής» έχουν εφαρμογή σε αντίστοιχες έννοιες του «πεδίου-στόχου». Κι αυτό, όταν συμβαίνει, γίνεται με συστηματικό και μεθοδικό τρόπο. Κάθε μεταφορική αντιστοιχία χαρακτηρίζεται από νευρολογικής άποψης από μια προκαθορισμένη ομάδα συνδέσεων των εννοιολογικών περιοχών. Συγκεκριμένα στην περιοχή των μαθηματικών, η Presmeg (2004) ορίζει τις εννοιολογικές μεταφορές ως τις αυθόρμητες συνδέσεις μεταξύ του «πεδίου-πηγή» (οικεία στοιχεία της καθημερινότητας) και του «πεδίου - στόχος» (μια μαθηματική κατασκευή). Για παράδειγμα, το 0 μπορεί να είναι είτε ένα σημείο σε μια γραμμή ή το κενό σύνολο, και τα δυο ή τίποτα από τα δυο, και κάθε απόφαση είναι θέμα επιλογής της κατάλληλης εννοιολογικής μεταφοράς.

18 6 1.4 Σχήματα Εικόνων Το 1994 η Sfard αναρωτιέται: «Ποιός είναι όμως ο μηχανισμός της κατασκευής των μεταφορών;» Οι Lakoff και Johnson (1980) διατείνονται ότι το όχημα που μεταφέρει την εμπειρικά κατασκευασμένη γνώση είναι ένα ενσώματο σχήμα (embodied schema)- γνωστό επίσης ως εικονικό σχήμα (image schema). Ο Johnson (1987) ορίζει τα εικονικά σχήματα «ως δομές μιας δραστηριότητας μέσω των οποίων οργανώνουμε την εμπειρία μας» (σελ ). Αυτές οι δομές, αναφέρει η Sfard (1994) συνιστούν τη βάση της ικανότητας μας για αφαίρεση και γενίκευση: είναι κατά μια έννοια τα κύρια σημεία της εμπειρίας μας, η σάρκα των συγκεκριμένων στιγμιότυπων (instantiations) που έχουν απογυμνωθεί. Το σχήμα είναι ένα επαναλαμβανόμενο μοτίβο, σχήμα και κανονικότητα στις υπό εξέλιξη δραστηριότητες. Συμφωνούν και οι Núñez, Edwards και Matos (1999) τονίζοντας ότι αυτά τα δυναμικά επαναλαμβανόμενα μοτίβα θέτουν σε τάξη τη δράση μας, τις αισθήσεις και εννοιολογήσεις (conceptions) μας. Αφηρημένες έννοιες όπως η «ισορροπία» ενός συστήματος ισοδύναμων μετασχηματισμών μιας εξίσωσης, είναι εννοιολογικές επεκτάσεις των σχημάτων εικόνων που εκλέγονται στον τρόπο που το ανθρώπινο σώμα βιώνει την έννοια της ισορροπίας. Αυτές οι επεκτάσεις συμβαίνουν με τη βοήθεια των εννοιολογικών αντιστοιχήσεων, συμπεριλαμβανομένου και του σημαντικού γνωστικού μηχανισμού γνωστού ως εννοιολογική μεταφορά. Οι Lakoff και úñez N (2000) ορίζουν τα σχήματα εικόνων ως τις αρχέτυπες έννοιες (conceptual primitives) που οι χωρικές σχέσεις σε μια γλώσσα αποσυντίθενται και που, όπως προκύπτει, είναι παγκόσμιες (σελ. 30). Η Presmeg (2004) αναφέρει ότι κατά την ανάγκη της γενίκευσης που προκύπτει κατά τη διάρκεια της μάθησης των Μαθηματικών, οι δυσκολίες που προκύπτουν, ξεπερνιούνται από τους μαθητές με τη βοήθεια των μεταφορών και των pattern imagery -κατασκευή παρόμοια με τα σχήματα εικόνων των Lakoff και Núñez. Ο Danesi (2007) αναφέρει ότι τα σχήματα εικόνων είναι το κλειδί στη διαδικασία της συμπύκνωσης (concretization). Παρέχουν το κλειδί στη διαδικασία της συγκεκριμενοποίησης. Η αρχική ερώτηση «πώς η σωματική εμπειρία μεταδίδεται (transmitted) μεταφορικά σε μια σφαίρα πιο αφηρημένης σκέψης;» τώρα μπορεί να απαντηθεί: Δανειζόμαστε τα ενσώματα

19 7 σχήματα, τα οποία αρχικά χτίζονται για να βάλουν σε τάξη την σωματική μας εμπειρία, προκειμένου να δώσουμε σχήμα, δομή και νόημα στη φαντασία μας. Συνοψίζοντας, ένα ενσώματο σχήμα είναι η επιτομή, οργάνωση και συντήρηση για «μελλοντική χρήση» της ουσίας της εμπειρίας μας και ως τέτοιο είναι το εργαλείο των πολυποίκιλων φυσικών και διανοητικών ερεθισμάτων που βιώνουμε στη ζωή μας. (Sfard, 1994, σελ. 46). H Sfard, συνεχίζει ότι, το κεντρικό χαρακτηριστικό των ενσώματων σχημάτων είναι ότι είναι μη-προτασιακά (non-propositional), κάτι που αντανακλάται στο όνομα που τους αποδίδεται. Είναι δηλαδή όμοια με εικόνες (image-like) και ενσώματα, με την έννοια ότι θα έπρεπε να θεωρηθούν ως αναλογικές αντανακλάσεις της σωματικής μας εμπειρίας, παρά ως τεκμηριωμένες δηλώσεις που θα επιθυμούσαμε να ελέγξουμε την εγκυρότητά τους. Κι αυτή ακριβώς η φύση τους τα καθιστά δύσκολα στην περιγραφή τους. Αναφέρει ότι τα ενσώματα σχήματα είναι το ίδιο με τα νοητικά (mental) σχήματα: Είναι αναλογικά και ολιστικά. Ένα ενσώματο σχήμα στηρίζεται από ένα νοητικό σχήμα, ωστόσο, υπάρχει μια ειδοποιός διαφορά: ενώ το νοητικό σχήμα είναι πάντα η εικόνα κάτι συγκεκριμένου κι άρα γεμάτου λεπτομέρειες (είναι αυτό που Johnson αποκαλεί «rich image»), το ενσώματο είναι γενικό και μεταβαλλόμενο. Δεν είναι παρά ο σκελετός με πολλά μεταβλητά μέρη τα οποία όντας απροσδιόριστα δεν μπορούν να οπτικοποιηθούν. Κι αυτή ακριβώς η γενικότητα του ενσώματου σχήματος συνιστά και τη δομική του δύναμη και την ικανότητα του να περικλείει σε μια νοητική δομή, εύκολα διαχειρίσιμη, μια ευρεία ποικιλία των εμπειριών μας. Ο «ασαφής χαρακτήρας» του είναι το κύριο χαρακτηριστικό, χάρη στο οποίο, αποκτά τη γενικότητα του και την ενοποιητική του δύναμη. Κατά τον Johnson (1987) αυτό ακριβώς είναι και το χαρακτηριστικό που λείπει από μια πλούσια (rich) εικόνα δηλ, η οπτικοποίηση. Οι μαθητές οπτικοποιούν με στόχο να οδηγηθούν στη γενίκευση. Μερικές όμως φορές η χρήση της εικόνας λειτουργεί ως τροχοπέδη στην υπηρεσία της γενίκευσης, καθώς σε κάποιες περιπτώσεις μια νοητική εικόνα δεν παύει να είναι η απεικόνιση μιας συγκεκριμένης περίπτωσης ή στιγμιότυπου. Ωστόσο, οι εικόνες που χρησιμοποιούνται μεταφορικά καθώς συνιστούν το όχημα της εννοιολογικής μεταφοράς ή προέρχονται από την περιοχή της εμπειρίας φαίνεται να ενισχύουν τη σύγκριση των δυο περιοχών που συνιστούν την εννοιολογική μεταφορά. Οι μεταφορές των μαθητών είναι οι γέφυρες μεταξύ της υπάρχουσας (Actual) πραγματικότητας και της εικονικής (Virtual) πραγματικότητας (Presmeg, 1999).

20 Κατηγορίες Σχημάτων Εικόνων Οι Lakoff και Núñez (2000) τονίζουν ότι καθώς οι εννοιολογικές μεταφορές διατηρούν τη συμπερασματική δομή τους, η κατανόηση της αριθμητικής συνίσταται στην προηγούμενη κατανόηση καθημερινών κοινότοπων φυσικών δραστηριοτήτων, όπως: Εναρίθμηση- Μέτρηση Πρόσθεση κι αφαίρεση μικρών ποσοτήτων Συλλογή αντικειμένων σε ομάδες ή στοίβες Χειρισμός αντικειμένων (περιστροφή, επιμήκυνση, διάσπαση-σύνθεση) Βηματισμός- Κίνηση Επαναλαμβανόμενες ενέργειες Ο Σπύρου (2003) συμπληρώνει ότι οι ιδιότητες των μαθηματικών είναι, κατά πολλούς τρόπους, ιδιότητες που κάποιος θα ανέµενε κανείς από τις λαϊκές µας θεωρίες για τα εξωτερικά αντικείμενα. Ο λόγος είναι ότι βασίζονται μεταφορικά στην εμπειρία που έχουµε από τα εξωτερικά αντικείμενα και τις προαναφερθείσες εμπειρίες, προσθέτοντας στην προηγούμενη λίστα και τις παρακάτω: Κατασκευή Οικοδομής: μορφή συλλογισµού «αυτό στηρίζεται σε αυτό» Στρατηγικής Μάχης: στρατηγικές συλλογισµού Υπεράσπισης σε Δικαστήριο: τεχνική υπεράσπισης, μαιευτική Υπό αυτή την έννοια, αυτές οι εμπειρίες συνιστούν τα αρχέτυπα σχήματα εικόνων. Αυτά διακρίνονται σε στατικά και δυναμικά. Ειδικότερα, τα κύρια στατικά αρχέτυπα σχήματα εικόνων είναι τα: Προσανατολισμού, Τοπολογικών και Στήριξης (Support schema) που συνιστούν το κεντρικό σημείο εννοιών όπως Β Α x y Σχήμα 1.1. Το περιέχον (container) πάνω. Ένα άλλο αρχέτυπο σχήμα πολύ σημαντικό στα μαθηματικά είναι το περιέχον (container) σχήμα εικόνας (σχήμα 1.1.) που συνιστά το κεντρικό σημείο εννοιών όπως μέσα κι έξω. Αποτελείται από τρία μέρη το εσωτερικό, το σύνορο και το εξωτερικό. Άλλα πολύ σημαντικά σχήματα εικόνων είναι η Ισορροπία, η Συγχώνευση και ο Διαχωρισμός Αντικειμένων.

21 9 Αναφορικά με τα σχήματα που έχουν να κάνουν με κίνηση, το πρωτεύον είναι το αρχέτυπο σχήμα πηγή- τροχιά- στόχος (source-path-goal) (σχήμα 1.2) που συνιστά το κεντρικό σημείο εννοιών όπως από και προς (χωρικές πηγές) κι ενδιάμεσες πορείες όπως κατά μήκος, διαμέσου, απέναντι κλπ. Οι ρόλοι που επιτελεί είναι οι: Μια τροχιά που κινείται- σημείο αφετηρίας- ο στόχος, δηλαδή ο προορισμός της τροχιάς- η μεταξύ τους διαδρομή- η πραγματική τροχιά της κίνησης- η θέση της τροχιάς μια δεδομένη χρονική στιγμή- η κατεύθυνση της τροχιάς μια δοσμένη στιγμή και η πραγματική τελική θέση της τροχιάς. (σελ. 31, 38-39) Μονοπάτι (Τροχιά Κίνησης) Θέση της τροχιάς μια δεδομένη χρονική στιγμή Στόχος Θέση της Πηγής Τροχιά (Κινούμενη οντότητα) Προηγούμενη Θέση Σχήμα 1.2. Σχήμα πηγή-τροχιά-στόχος (source-path-goal schema) Πλασματική κίνηση Είναι ένα ειδικό εικονικό σχήμα που συνδέεται με την κίνηση. Είναι μέρος του σχήματος πηγή-μονοπάτι-στόχος (source-path-goal). Οι Lakoff και Núñez (2000) το βάφτισαν πλασματική κίνηση (fictive motion). Ο Núñez (2004) προσπαθεί να δώσει απάντηση στο ερώτημα Εάν πράγματι οι πραγματικοί αριθμοί κινούνται. Έτσι μέσα από τρία παραδείγματα ανάλυσης από βιβλία των μαθηματικών θέτει το ερώτημα της Προέλευσης της κίνησης. Η άδηλη παρουσία της εντοπίζεται σε εκφράσεις που χρησιμοποιούνται από καθηγητές των μαθηματικών όταν διαπραγματεύονται αυτές τις έννοιες, όπως: «τείνει», «πλησιάζει όλο και πιο πολύ», «απομακρύνεται όλο και πιο πολύ», «προσεγγίζει», προκειμένου να οριστούν οι έννοιες αυτές. Η αξιωματική θεμελίωση των πραγματικών αριθμών κι ο ορισμός της συνέχειας κεντρικές έννοιες της Ανάλυσης, δεν περιέχει κανένα απολύτως στοιχείο που να

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΓΝΩΣΤΙΚΗΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ Δρ. Ζαφειριάδης Κυριάκος Οι ικανοί αναγνώστες χρησιμοποιούν πολλές στρατηγικές (συνδυάζουν την

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΓΝΩΣΤΙΚΗΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ Δρ. Ζαφειριάδης Κυριάκος Οι ικανοί αναγνώστες χρησιμοποιούν πολλές στρατηγικές (συνδυάζουν την 1 ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΓΝΩΣΤΙΚΗΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ Δρ. Ζαφειριάδης Κυριάκος Οι ικανοί αναγνώστες χρησιμοποιούν πολλές στρατηγικές (συνδυάζουν την παλαιότερη γνώση τους, σημειώνουν λεπτομέρειες, παρακολουθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΊΕς ΜΆΘΗΣΗς ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ

ΘΕΩΡΊΕς ΜΆΘΗΣΗς ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ ΘΕΩΡΊΕς ΜΆΘΗΣΗς ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ ΔΟΜΕΣ Δομή Ομάδας Σύνολο Α και μια πράξη η πράξη είναι κλειστή ισχύει η προσεταιριστική ιδότητα υπάρχει ουδέτερο στοιχείο υπάρχει αντίστροφο στοιχείο ισχύει η αντιμεταθετική

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση. Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ

Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση. Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ Δομή της παρουσίασης Δυσκολίες μαθητών γύρω από την έννοια της

Διαβάστε περισσότερα

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού Σύµφωνα µε την Υ.Α. 139606/Γ2/01-10-2013 Άλγεβρα Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΛ Ι. ιδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» (έκδοση 2013) Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.1

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΧΡΙ ΤΟ

ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΧΡΙ ΤΟ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 10 Η ενότητα 7 περιλαμβάνει την ανάλυση και τη σύνθεση των αριθμών μέχρι το 10, στρατηγικές πρόσθεσης/αφαίρεσης και επίλυση προβλημάτων πρόσθεσης και αφαίρεσης. ΔΕΙΚΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών. Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01

Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών. Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01 Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01 Τα ερωτήματα που προκύπτουν από την εισαγωγή της Φυσικής στην Α γυμνασίου είναι :

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Το νέο Πρόγραμμα Σπουδών για τα Μαθηματικά της υποχρεωτικής εκπαίδευσης

Το νέο Πρόγραμμα Σπουδών για τα Μαθηματικά της υποχρεωτικής εκπαίδευσης ΕΣΠΑ 2007-13\Ε.Π. Ε&ΔΒΜ\Α.Π. 1-2-3 «ΝΕΟ ΣΧΟΛΕΙΟ (Σχολείο 21 ου αιώνα) Νέο Πρόγραμμα Σπουδών, Οριζόντια Πράξη» MIS: 295450 Με συγχρηματοδότηση της Ελλάδας και της Ευρωπαϊκής Ένωσης (Ε. Κ. Τ.) Το νέο Πρόγραμμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Παναγάκος Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Δημοτικής Εκπαίδευσης Βασικοί Στόχοι ενός Προγράμματος Σπουδών Ένα πρόγραμμα σπουδών επιδιώκει να επιτύχει δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη Χωρικής Αντίληψης και Σκέψης

Ανάπτυξη Χωρικής Αντίληψης και Σκέψης Ανάπτυξη Χωρικής Αντίληψης και Σκέψης Clements & Sarama, 2009; Sarama & Clements, 2009 Χωρική αντίληψη και σκέψη Προσανατολισμός στο χώρο Οπτικοποίηση (visualization) Νοερή εικονική αναπαράσταση Νοερή

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Οι τάσεις στη διδακτική και τα Προγράμματα Σπουδών. Πέτρος Κλιάπης Σχολικός Σύμβουλος Π.Ε.

Μαθηματικά: Οι τάσεις στη διδακτική και τα Προγράμματα Σπουδών. Πέτρος Κλιάπης Σχολικός Σύμβουλος Π.Ε. Μαθηματικά: Οι τάσεις στη διδακτική και τα Προγράμματα Σπουδών Πέτρος Κλιάπης Σχολικός Σύμβουλος Π.Ε. Στάσεις απέναντι στα Μαθηματικά Τι σημαίνουν τα μαθηματικά για εσάς; Τι σημαίνει «κάνω μαθηματικά»;

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Εισαγωγή Η χώρα μας απέκτησε Νέα Προγράμματα Σπουδών και Νέα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΤΑ ΜΕΓΕΘΗ Ή ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ; ΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y=ax+b ΜΕ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ

ΑΠΟ ΤΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΤΑ ΜΕΓΕΘΗ Ή ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ; ΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y=ax+b ΜΕ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ 176 1 ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΑΠΟ ΤΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΤΑ ΜΕΓΕΘΗ Ή ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ; ΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y=ax+b ΜΕ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ Σωτηρόπουλος Παναγιώτης 1 -

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικό λογισμικό: Αβάκιο Χελωνόκοσμος Δραστηριότητα 1: «Διερευνώντας τα παραλληλόγραμμα»

Εκπαιδευτικό λογισμικό: Αβάκιο Χελωνόκοσμος Δραστηριότητα 1: «Διερευνώντας τα παραλληλόγραμμα» Εκπαιδευτικό λογισμικό: Αβάκιο Χελωνόκοσμος Δραστηριότητα 1: «Διερευνώντας τα παραλληλόγραμμα» Φύλλο δασκάλου 1.1 Ένταξη δραστηριότητας στο πρόγραμμα σπουδών Τάξη: Ε και ΣΤ Δημοτικού. Γνωστικά αντικείμενα:

Διαβάστε περισσότερα

Δημήτρης Ρώσσης, Φάνη Στυλιανίδου Ελληνογερμανική Αγωγή. http://www.creative-little-scientists.eu

Δημήτρης Ρώσσης, Φάνη Στυλιανίδου Ελληνογερμανική Αγωγή. http://www.creative-little-scientists.eu Τι έχουμε μάθει για την προώθηση της Δημιουργικότητας μέσα από τις Φυσικές Επιστήμες και τα Μαθηματικά στην Ελληνική Προσχολική και Πρώτη Σχολική Ηλικία; Ευρήματα για την εκπαίδευση στην Ελλάδα από το

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης

Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Άρθρα - Υλικό Δέσποινα Πόταρη, Γιώργος Ψυχάρης Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικό Χειραπτικά εργαλεία Υλικά/εργαλεία στο νέο Πρόγραμμα σπουδών

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιάζοντας τη διδασκαλία των Μαθηματικών: Βασικές αρχές

Σχεδιάζοντας τη διδασκαλία των Μαθηματικών: Βασικές αρχές Σχεδιάζοντας τη διδασκαλία των Μαθηματικών: Βασικές αρχές Φοιτητής: Σκαρπέντζος Γεώργιος Καθηγήτρια: Κολέζα Ευγενία ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Βασικές θεωρίες σχεδιασμού της διδασκαλίας Δραστηριότητες και κατανόηση εννοιών

Διαβάστε περισσότερα

Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή

Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή Τα σχέδια μαθήματος αποτελούν ένα είδος προσωπικών σημειώσεων που κρατά ο εκπαιδευτικός προκειμένου να πραγματοποιήσει αποτελεσματικές διδασκαλίες. Περιέχουν πληροφορίες

Διαβάστε περισσότερα

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Tel.: +30 2310998051, Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Περί της Ταξινόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ 2011 ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ Τα σύγχρονα

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη

Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη Φαινόμενα Εμπειρίες φαινομένων Οργάνωση φαινομένων Νοούμενα (πρώτες μαθηματικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Ενότητα 5: Οι διαδοχικές επεκτάσεις της έννοιας του αριθμού: ακέραιος, κλάσμα, ρητός και πραγματικός αριθμός Δημήτρης Χασάπης

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά. Ε. Κολέζα

Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά. Ε. Κολέζα Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά Ε. Κολέζα Α. Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας µαθηµατικής ενότητας: Βήµατα για τη συγγραφή του σχεδίου Β. Θεωρητικό υπόβαθρο της διδακτικής πρότασης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕ ΧΑΛΑΣΜΑ ΔΕΚΑΔΑΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕ ΧΑΛΑΣΜΑ ΔΕΚΑΔΑΣ ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕ ΧΑΛΑΣΜΑ ΔΕΚΑΔΑΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Υπολογισμοί και εκτίμηση Αρ2.11 Αναπαριστούν καταστάσεις πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού, τέλειας και ατελούς διαίρεσης,

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική Απειροστικού Λογισμού

Διδακτική Απειροστικού Λογισμού Διδακτική Απειροστικού Λογισμού Ενότητα 2: Προβλήματα σχετικά με τη διδασκαλία του Απειροστικού Λογισμού Ζαχαριάδης Θεοδόσιος Τμήμα Μαθηματικών 2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Ο Απειροστικός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI Πέτρος Κλιάπης Τάξη Στ Βοηθητικό υλικό: Σχολικό βιβλίο μάθημα 58 Δραστηριότητα 1, ασκήσεις 2, 3 και δραστηριότητα με προεκτάσεις Προσδοκώμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Γιατί η Ρομποτική στην Εκπαίδευση; A) Τα παιδιά όταν σχεδιάζουν, κατασκευάζουν και προγραμματίζουν ρομπότ έχουν την ευκαιρία να μάθουν παίζοντας και να αναπτύξουν δεξιότητες Η

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτικές Τεχνικές (Στρατηγικές)

Διδακτικές Τεχνικές (Στρατηγικές) Διδακτικές Τεχνικές (Στρατηγικές) Ενδεικτικές τεχνικές διδασκαλίας: 1. Εισήγηση ή διάλεξη ή Μονολογική Παρουσίαση 2. Συζήτηση ή διάλογος 3. Ερωταποκρίσεις 4. Χιονοστιβάδα 5. Καταιγισμός Ιδεών 6. Επίδειξη

Διαβάστε περισσότερα

άλγεβρα και αλγεβρική σκέψη στην πρώτη σχολική περίοδο (Νηπιαγωγείο Δημοτικό) μαρία καλδρυμίδου

άλγεβρα και αλγεβρική σκέψη στην πρώτη σχολική περίοδο (Νηπιαγωγείο Δημοτικό) μαρία καλδρυμίδου άλγεβρα και αλγεβρική σκέψη στην πρώτη σχολική περίοδο (Νηπιαγωγείο Δημοτικό) μαρία καλδρυμίδου κάποια ερωτήματα τι είναι η άλγεβρα; τι περιλαμβάνει η άλγεβρα; ποια η σχέση της με την αριθμητική; γιατί

Διαβάστε περισσότερα

άλγεβρα και αλγεβρική σκέψη μαρία καλδρυμίδου

άλγεβρα και αλγεβρική σκέψη μαρία καλδρυμίδου άλγεβρα και αλγεβρική σκέψη μαρία καλδρυμίδου άλγεβρα από την επίλυση εξισώσεων στη μελέτη των μεταβολών, των σχέσεων, των κανονικοτήτων και δομών, σε ένα περιβάλλον αναλυτικού συμβολικού συλλογισμού με

Διαβάστε περισσότερα

Το ΔΕΠΠΣ- ΑΠΣ των Φυσικών Επιστημών της Ε και Στ Δημοτικού Τα Νέα Διδακτικά Βιβλία των Φυσικών Επιστημών της Ε και Στ Δημοτικού

Το ΔΕΠΠΣ- ΑΠΣ των Φυσικών Επιστημών της Ε και Στ Δημοτικού Τα Νέα Διδακτικά Βιβλία των Φυσικών Επιστημών της Ε και Στ Δημοτικού Το ΔΕΠΠΣ- ΑΠΣ των Φυσικών Επιστημών της Ε Τα Νέα Διδακτικά Βιβλία των Φυσικών Επιστημών της Ε Ειδικοί σκοποί ΑΠΣ Κατανόηση: φυσικού κόσμου νόμων που τον διέπουν φυσικών φαινομένων διαδικασιών που οδηγούν

Διαβάστε περισσότερα

Οπτική αντίληψη. Μετά?..

Οπτική αντίληψη. Μετά?.. Οπτική αντίληψη Πρωτογενής ερεθισµός (φυσικό φαινόµενο) Μεταφορά µηνύµατος στον εγκέφαλο (ψυχολογική αντίδραση) Μετατροπή ερεθίσµατος σε έννοια Μετά?.. ΓΙΑ ΝΑ ΚΑΤΑΝΟΗΣΟΥΜΕ ΤΗΝ ΟΡΑΣΗ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΟΥΜΕ

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.Σύνολα Σύνολο είναι μια ολότητα από σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα αντικείμενα. Τα φωνήεντα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΞΑΝΘΗ 2013, 2 ο ΣΕΚ ΞΑΝΘΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΗΣ : ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΟΥΤΙΔΗΣ Μαθηματικός www.kutidis.gr ΑΠΡΙΛΙΟΣ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 Εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

8.2 Εννοιολογική χαρτογράφηση

8.2 Εννοιολογική χαρτογράφηση 8.2 Εννοιολογική χαρτογράφηση Η εννοιολογική χαρτογράφηση (concept mapping) αποτελεί ένα μέσο για την αναπαράσταση των γνώσεων, των ιδεών, των εννοιών προς οικοδόμηση (Jonassen et al. 1998), των νοητικών

Διαβάστε περισσότερα

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος Η έννοια πρόβληµα Ανάλυση προβλήµατος Με τον όρο πρόβληµα εννοούµε µια κατάσταση η οποία χρήζει αντιµετώπισης, απαιτεί λύση, η δε λύση της δεν είναι γνωστή ούτε προφανής. Μερικά προβλήµατα είναι τα εξής:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1oς ΚΥΚΛΟΣ - ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΚΑΙ ΜΑΘΑΙΝΟΥΜΕ ΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α Ενότητα Ανακαλύπτουμε τις ιδιότητες των υλικών μας, τα τοποθετούμε σε ομάδες και διατυπώνουμε κριτήρια ομαδοποίησης Οι μαθητές μαθαίνουν να αναπτύσσουν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΠΕ ΘΕΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Α Τάξης Δημοτικού. Νοέμβρης 2012 1/11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it.

Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Α Τάξης Δημοτικού. Νοέμβρης 2012 1/11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it. Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Α Τάξης Δημοτικού Νοέμβρης 2012 Χρύσω Αθανασίου (Σύμβουλος Μαθηματικών ) Ελένη Δεληγιάννη (Συγγραφική Ομάδα) Άντρη Μάρκου (Σύμβουλος Μαθηματικών) Ελένη Μιχαηλίδου (Σύμβουλος Μαθηματικών)

Διαβάστε περισσότερα

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα.

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα. εύτερη διάλεξη. Η στα αναλυτικά προγράµµατα. Η Ευκλείδεια αποτελούσε για χιλιάδες χρόνια µέρος της πνευµατικής καλλιέργειας των µορφωµένων ατόµων στο δυτικό κόσµο. Από τις αρχές του 20 ου αιώνα, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

Χρυσαυγή Τριανταφύλλου

Χρυσαυγή Τριανταφύλλου Ερευνώντας τις ερμηνείες φοιτητών και τις διδακτικές πρακτικές εκπαιδευτικών σε θέματα σχετικά με την έννοια της περιοδικότητας Χρυσαυγή Τριανταφύλλου Μεταδιδάκτωρ ερευνήτρια, ΑΣΠΑΙΤΕ Επιστημονική υπεύθυνη:

Διαβάστε περισσότερα

Ζάντζος Ιωάννης. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β Γυμνασίου)

Ζάντζος Ιωάννης. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β Γυμνασίου) Ζάντζος Ιωάννης Οι έννοιες του 'μήκους κύκλου' και της 'καμπυλότητας του κύκλου' μέσα από τη διαδικασία προσέγγισης του κύκλου με περιγεγραμμένα κανονικά πολύγωνα. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαίδευση Ενηλίκων: Εμπειρίες και Δράσεις ΑΘΗΝΑ, Δευτέρα 12 Οκτωβρίου 2015

Εκπαίδευση Ενηλίκων: Εμπειρίες και Δράσεις ΑΘΗΝΑ, Δευτέρα 12 Οκτωβρίου 2015 Εκπαίδευση Ενηλίκων: Εμπειρίες και Δράσεις ΑΘΗΝΑ, Δευτέρα 12 Οκτωβρίου 2015 Μάθηση και γνώση: μια συνεχής και καθοριστική αλληλοεπίδραση Αντώνης Λιοναράκης Στην παρουσίαση που θα ακολουθήσει θα μιλήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Η διάρκεια πραγματοποίησης της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής ήταν 2 διδακτικές ώρες

Η διάρκεια πραγματοποίησης της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής ήταν 2 διδακτικές ώρες ΣΧΟΛΕΙΟ Η εκπαιδευτική πρακτική αφορούσε τη διδασκαλία των μεταβλητών στον προγραμματισμό και εφαρμόστηκε σε μαθητές της τελευταίας τάξης ΕΠΑΛ του τομέα Πληροφορικής στα πλαίσια του μαθήματος του Δομημένου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΌ ΤΗ «ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ»ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΆΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΏΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΉ ΤΗΣ ΣΤΗΝ ΤΆΞΗ Ε.ΚΟΛΈΖΑ

ΑΠΌ ΤΗ «ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ»ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΆΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΏΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΉ ΤΗΣ ΣΤΗΝ ΤΆΞΗ Ε.ΚΟΛΈΖΑ ΜΑΘΗΣΗ ΜΕΣΩ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ 1 ΑΠΌ ΤΗ «ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ»ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΆΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΏΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΉ ΤΗΣ ΣΤΗΝ ΤΆΞΗ Ε.ΚΟΛΈΖΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΕΙΣΗΓΗΣΗΣ 1. Τι αλλαγές επιχειρούν τα νέα ΠΣ; 2 2. Γιατί το πέρασμα στην πράξη (θα)

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική της Πληροφορικής ΙΙ

Διδακτική της Πληροφορικής ΙΙ Διδακτική της Πληροφορικής ΙΙ Ομάδα Γ Βότσης Ευστάθιος Γιαζιτσής Παντελής Σπαής Αλέξανδρος Τάτσης Γεώργιος Προβλήματα που αντιμετωπίζουν οι αρχάριοι προγραμματιστές Εισαγωγή Προβλήματα Δυσκολίες Διδακτικό

Διαβάστε περισσότερα

Γενική οργάνωση σεναρίου. 1. Προαπαιτούμενες γνώσεις και πρότερες γνώσεις των μαθητών

Γενική οργάνωση σεναρίου. 1. Προαπαιτούμενες γνώσεις και πρότερες γνώσεις των μαθητών Παράρτημα 1: Τεχνική έκθεση τεκμηρίωσης σεναρίου Το εκπαιδευτικό σενάριο που θα σχεδιαστεί πρέπει να συνοδεύεται από μια τεχνική έκθεση τεκμηρίωσής του. Η τεχνική αυτή έκθεση (με τη μορφή του παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Δ Τάξης

Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Δ Τάξης Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Δ Τάξης Κωνσταντίνος Χρίστου Ρίτα Παναούρα Δήμητρα Πίττα-Πανταζή Μάριος Πιττάλης Οκτώβριος 2014 Συγγραφική ομάδα: Συντονιστές: Επιστημονικός Συνεργάτης:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Διερεύνηση σχημάτων και χώρου Γ2.1 Ονομάζουν και κατασκευάζουν σημεία, ευθύγραμμα τμήματα, ημιευθείες, ευθείες και διάφορα είδη γραμμών (καμπύλες, ευθείες, τεθλασμένες)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΚΛΙΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΚΛΙΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 184 1 ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΚΛΙΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ιωάννου Στυλιανός Εκπαιδευτικός Μαθηματικός Β θμιας Εκπ/σης Παιδαγωγική αναζήτηση Η τριγωνομετρία

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Ανάλυση προβλήματος. Δομή ακολουθίας. Δομή επιλογής. Δομή επανάληψης. Απαντήσεις. 1. Η έννοια πρόβλημα Επίλυση προβλημάτων...

Περιεχόμενα. Ανάλυση προβλήματος. Δομή ακολουθίας. Δομή επιλογής. Δομή επανάληψης. Απαντήσεις. 1. Η έννοια πρόβλημα Επίλυση προβλημάτων... Περιεχόμενα Ανάλυση προβλήματος 1. Η έννοια πρόβλημα...13 2. Επίλυση προβλημάτων...17 Δομή ακολουθίας 3. Βασικές έννοιες αλγορίθμων...27 4. Εισαγωγή στην ψευδογλώσσα...31 5. Οι πρώτοι μου αλγόριθμοι...54

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση

Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση 1. Εισαγωγή Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση Μαθαίνω Γεωμετρία και Μετρώ Παίζω με τους αριθμούς Βρίσκω τα πολλαπλάσια Το εκπαιδευτικό λογισμικό «Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση» δίνει τη δυνατότητα στα παιδιά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ασχολήθηκα 30 χρόνια με τη διδασκαλία των Μαθηματικών του Γυμνασίου, τόσο στην Μέση Εκπαίδευση όσο και σε Φροντιστήρια. Η μέθοδος που χρησιμοποιούσα για τη

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική της Πληροφορικής

Διδακτική της Πληροφορικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Εισαγωγή στη Διδακτική - Διδακτικές Τεχνικές Σταύρος Δημητριάδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική: Ασκήσεις. Β Γυμνασίου. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Φυσική: Ασκήσεις. Β Γυμνασίου. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 0 Β Γυμνασίου Φυσική: Ασκήσεις Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 0 1 Ασκήσεις στο 1 ο Κεφάλαιο Ασκήσεις με κενά 1. Να συμπληρώσεις τα κενά στις παρακάτω προτάσεις:

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή.

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή. Σενάριο 6. Συµµεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΜΑΘΗΣΗΣ-ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΜΑΘΗΣΗΣ-ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΜΑΘΗΣΗΣ-ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΚΑΙ ΑΓΩΓΗΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΗΛΙΚΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΔΙΔΑΣΚΩΝ/ ΟΥΣΑ: ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ:. Σας παρακαλούμε, απαντώντας στα δύο ερωτηματολόγια που ακολουθούν,

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος της ψυχολογικής έρευνας:

Στόχος της ψυχολογικής έρευνας: Στόχος της ψυχολογικής έρευνας: Συστηματική περιγραφή και κατανόηση των ψυχολογικών φαινομένων. Η ψυχολογική έρευνα χρησιμοποιεί μεθόδους συστηματικής διερεύνησης για τη συλλογή, την ανάλυση και την ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

Διαφοροποιημένη Διδασκαλία. Ε. Κολέζα

Διαφοροποιημένη Διδασκαλία. Ε. Κολέζα Διαφοροποιημένη Διδασκαλία Ε. Κολέζα Τι είναι η διαφοροποιημένη διδασκαλία; Είναι μια θεώρηση της διδασκαλίας που βασίζεται στην προϋπόθεση ότι οι δάσκαλοι πρέπει να προσαρμόσουν τη διδασκαλία τους στη

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ

Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Ενότητα 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα α. Θέση και προσανατολισμός της μορφής Η θέση της κάθε μορφής στο σκηνικό προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρµοσµένη ιδακτική των Φυσικών Επιστηµών (Πρακτικές Ασκήσεις Β Φάσης)

Εφαρµοσµένη ιδακτική των Φυσικών Επιστηµών (Πρακτικές Ασκήσεις Β Φάσης) Πανεπιστήµιο Αιγαίου Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης Μιχάλης Σκουµιός Εφαρµοσµένη ιδακτική των Φυσικών Επιστηµών (Πρακτικές Ασκήσεις Β Φάσης) Παρατήρηση ιδασκαλίας και Μοντέλο Συγγραφής Έκθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθησιακές δραστηριότητες με υπολογιστή

Μαθησιακές δραστηριότητες με υπολογιστή ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθησιακές δραστηριότητες με υπολογιστή Εννοιολογική χαρτογράφηση Διδάσκων: Καθηγητής Αναστάσιος Α. Μικρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Η διδακτική αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών ως μεταπτυχιακό μάθημα. Γιάννης Θωμαΐδης Δρ. Μαθηματικών Σχολικός Σύμβουλος

Η διδακτική αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών ως μεταπτυχιακό μάθημα. Γιάννης Θωμαΐδης Δρ. Μαθηματικών Σχολικός Σύμβουλος Η διδακτική αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών ως μεταπτυχιακό μάθημα Γιάννης Θωμαΐδης Δρ. Μαθηματικών Σχολικός Σύμβουλος Διαπανεπιστημιακό Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Προλογικό Σημείωμα 9

Περιεχόμενα. Προλογικό Σημείωμα 9 Περιεχόμενα Προλογικό Σημείωμα 9 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1.1. Εισαγωγή 14 1.2 Τα βασικά δεδομένα των Μαθηματικών και οι γνωστικές απαιτήσεις της κατανόησης, απομνημόνευσης και λειτουργικής χρήσης τους 17 1.2.1. Η

Διαβάστε περισσότερα

A ΤΑΞΗ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ

A ΤΑΞΗ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 1 A ΤΑΞΗ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 2 ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΚΑΝΩ ΟΜΑΔΕΣ, ΜΟΤΙΒΑ, ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ -Ομαδοποίηση αντικειμένων με διαφορετικούς τρόπους. -Εντοπισμός ομοιοτήτων και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Σέργιος Σεργίου Λάμπρος Στεφάνου ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 16 ο Συνέδριο Ε.Ο.Κ. 8-19 Οκτωβρίου 2016 Αξιοποίηση των Δεικτών Επάρκειας Ομαδική Εργασία Διαφοροποιημένη διδασκαλία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Βασίλης Καραγιάννης Η παρέμβαση πραγματοποιήθηκε στα τμήματα Β2 και Γ2 του 41 ου Γυμνασίου Αθήνας και διήρκησε τρεις διδακτικές ώρες για κάθε τμήμα. Αρχικά οι μαθητές συνέλλεξαν

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΜΣ «ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΚΑΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ» Παραδείγματα Variation Μεταπτυχιακός Φοιτητής:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Μ. Γρηγοριάδου Ρ. Γόγουλου Ενότητα: Η Διδασκαλία του Προγραμματισμού Περιεχόμενα Παρουσίασης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Νάκου Αλεξάνδρα Εισαγωγή στις Επιστήμες της Αγωγής Ο όρος ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ δημιουργεί μία αίσθηση ασάφειας αφού επιδέχεται πολλές εξηγήσεις. Υπάρχει συνεχής διάλογος και προβληματισμός ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα).

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα). τάξης είναι ένα από τα στοιχεία που το καθιστούν σηµαντικό. Ο εκπαιδευτικός πρέπει να λάβει σοβαρά υπόψη του αυτές τις παραµέτρους και να προσαρµόσει το σενάριο ανάλογα. Ιδιαίτερα όταν εφαρµόσει το σενάριο

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Η προέλευση του Sketchpad 1

Η προέλευση του Sketchpad 1 Η προέλευση του Sketchpad 1 Το The Geometer s Sketchpad αναπτύχθηκε ως μέρος του Προγράμματος Οπτικής Γεωμετρίας, ενός προγράμματος χρηματοδοτούμενου από το Εθνικό Ίδρυμα Ερευνών (ΝSF) υπό τη διεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Δρ. Βασίλειος Σάλτας 1, Αλέξης Ηλιάδης 2, Ιωάννης Μουστακέας 3 1 Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών, Επιστημονικός Συνεργάτης ΑΣΠΑΙΤΕ Σαπών coin_kav@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ 13/11/2016 ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΠΕ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ (ΨΧ 00)

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ (ΨΧ 00) ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ (ΨΧ 00) Πέτρος Ρούσσος ΔΙΑΛΕΞΗ 5 Έννοιες και Κλασική Θεωρία Εννοιών Έννοιες : Θεμελιώδη στοιχεία από τα οποία αποτελείται το γνωστικό σύστημα Κλασική θεωρία [ή θεωρία καθοριστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΒΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΟΥ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (PROJECT)

ΒΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΟΥ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (PROJECT) 1 ΒΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΟΥ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (PROJECT) 1. Επιλογή θέματος. 2. Καταιγισμός ιδεών - διαθεματικές διασυνδέσεις. 3. Έρευνα πηγών - αναδιαμόρφωση ιδεών. 4. Καθοδηγητικά ερωτήματα. 5. Οργάνωση μαθησιακών

Διαβάστε περισσότερα

Προσχολική Παιδαγωγική Ενότητα 8: Σχεδιασμός Ημερησίων Προγραμμάτων

Προσχολική Παιδαγωγική Ενότητα 8: Σχεδιασμός Ημερησίων Προγραμμάτων Προσχολική Παιδαγωγική Ενότητα 8: Σχεδιασμός Ημερησίων Προγραμμάτων Διδάσκουσα: Μαρία Καμπεζά Τμήμα Επιστημών της Εκπαίδευσης και της Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Σκοποί ενότητας Να συζητήσουν και να

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Προσομοίωσης

Εφαρμογές Προσομοίωσης Εφαρμογές Προσομοίωσης H προσομοίωση (simulation) ως τεχνική μίμησης της συμπεριφοράς ενός συστήματος από ένα άλλο σύστημα, καταλαμβάνει περίοπτη θέση στα πλαίσια των εκπαιδευτικών εφαρμογών των ΤΠΕ. Μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» Νικόλαος Μπαλκίζας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του σχεδίου μαθήματος είναι να μάθουν όλοι οι μαθητές της τάξης τις έννοιες της ισοδυναμίας των κλασμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007

Μαθηματικά A Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007 Μαθηματικά A Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007 Το σύγχρονο μαθησιακό περιβάλλον των Μαθηματικών Ενεργή συμμετοχή των παιδιών Μάθηση μέσα από δραστηριότητες Κατανόηση ΌΧΙ απομνημόνευση Αξιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΠΑΡΕΜΒΑΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΜΑΘΗΣΙΑΚΕΣ ΔΥΣΚΟΛΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 6 ΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ 19-03-2015 (5 Ο ΜΑΘΗΜΑ)

ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΠΑΡΕΜΒΑΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΜΑΘΗΣΙΑΚΕΣ ΔΥΣΚΟΛΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 6 ΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ 19-03-2015 (5 Ο ΜΑΘΗΜΑ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΕΙΔΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΠΑΡΕΜΒΑΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΜΑΘΗΣΙΑΚΕΣ ΔΥΣΚΟΛΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 6 ΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ 19-03-2015 (5 Ο ΜΑΘΗΜΑ) Αντιμετώπιση των ΜΔ δια των ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΩΝ Σωτηρία

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Η διδασκαλία των Μαθηματικών στα νέα Προγράμματα Σπουδών Γυμνασίου & Λυκείου

Η διδασκαλία των Μαθηματικών στα νέα Προγράμματα Σπουδών Γυμνασίου & Λυκείου Η διδασκαλία των Μαθηματικών στα νέα Προγράμματα Σπουδών Γυμνασίου & Λυκείου Γιάννης Θωμαΐδης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Νομού Κιλκίς Ομιλία στο Παράρτημα Κέρκυρας της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των Φυσικών Επιστημών Ενότητα 2: Βασικό Εννοιολογικό Πλαίσιο

Διδακτική των Φυσικών Επιστημών Ενότητα 2: Βασικό Εννοιολογικό Πλαίσιο Διδακτική των Φυσικών Επιστημών Ενότητα 2: Βασικό Εννοιολογικό Πλαίσιο Χρυσή Κ. Καραπαναγιώτη Τμήμα Χημείας Αντικείμενο και Αναγκαιότητα Μετασχηματισμός της φυσικοεπιστημονικής γνώσης στη σχολική της εκδοχή.

Διαβάστε περισσότερα

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά 1 Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ3 www.p-theodoropoulos.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή εξετάζεται εντός του πλαισίου της Διδακτικής των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Δρ Γεωργία Αθανασοπούλου Σχ. Σύμβουλος Δυτικής Αττικής και Ν. Φωκίδας

Δρ Γεωργία Αθανασοπούλου Σχ. Σύμβουλος Δυτικής Αττικής και Ν. Φωκίδας Δρ Γεωργία Αθανασοπούλου Σχ. Σύμβουλος Δυτικής Αττικής και Ν. Φωκίδας Η ΓΛΩΣΣΑ! Η γλώσσα είναι το μέσο με το οποίο σκεφτόμαστε και επικοινωνούμε με τους άλλους, αλλά και ένα μέσο με το οποίο δημιουργούμε

Διαβάστε περισσότερα