Δεύτερο πακέτο ασκήσεων

Transcript

1 ΕΚΠΑ Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μικροοικονομική Θεωρία ΙΙ Εαρινό εξάμηνο Ακαδ. έτους Αν. Παπανδρέου, Φ. Κουραντή, Ηρ. Κόλλιας Δεύτερο πακέτο ασκήσεων Προθεσμία παράδοσης Παρασκευή 0 Μαϊου. Θα υπάρξει και δυνατότητα να στείλετε τις λύσεις ηλεκτρονικά με σύνδεσμο που θα ανακοινωθεί στο eclass. Φροντίστε να κρατήσετε ένα αντίγραφο για τον εαυτό σας για να μπορέσετε να κάνετε αυτο-βαθμολόγηση. Οι λύσεις θα αναρτηθούν στο τέλος της ίδιας μέρας και εργασίες δε θα γίνονται δεκτές μετά από αυτή την ημέρα. Οι συνολικές μονάδες για το πακέτο είναι 0. Σε κάθε άσκηση αναφέρονται οι μονάδες που της αντιστοιχούν.. Έστω μια ολιγοπωλιακή αγορά όπου δραστηριοποιούνται δυο επιχειρήσεις, η επιχείρηση και η επιχείρηση. Οι επιχειρήσεις επιλέγουν ταυτόχρονα την ποσότητα του προϊόντος που παράγουν. Το προϊόν το οποίο παράγουν είναι ομοιογενές και η αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης δίνεται από τον τύπο p(q) = 90 Q, όπου Q = q + q. Οι συναρτήσεις κόστους των επιχειρήσεων και είναι C (q ) = 5q και C (q ) = 0q, αντίστοιχα. Ποιο είναι το υπόδειγμα στο οποίο αναφερόμαστε εδώ; Ποιες είναι οι συναρτήσεις αντίδρασης των επιχειρήσεων; Ποιες είναι οι ποσότητες στην ισορροπία και ποια η τιμή ισορροπίας; Τι παρατηρείτε; Το υπόδειγμα στο οποίο αναφερόμαστε είναι το υπόδειγμα Cournot αφού οι επιχειρήσεις έχουν σαν στρατηγική επιλογή την ποσότητα. Η επιχείρηση μεγιστοποιεί τα κέρδη της ως προς την ποσότητα q : max q π (q, q ) = (90 q q )q 5q. Συνθήκη πρώτης τάξης: dπ = 0 q dq = 85 q Η συνθήκη δεύτερης τάξης ικανοποιείται: d π dq = () συνάρτηση αντίδρασης της. Αντίστοιχα για την : max q π (q, q ) = (90 q q )q 0q. Συνθήκη πρώτης τάξης: dπ = 0 q dq = 80 q Η συνθήκη δεύτερης τάξης ικανοποιείται: d π dq = () συνάρτηση αντίδρασης της.

2 Λύνοντας τις () και () ως προς q και q παίρνουμε τις ποσότητες ισορροπίας q CΝΕ = 30, q CΝΕ = 5. Η τιμή ισορροπίας είναι η p CΝΕ = 35. Παρατηρούμε ότι η επιχείρηση με το χαμηλότερο οριακό κόστος, η, παράγει μεγαλύτερη ποσότητα.. Έστω μια ολιγοπωλιακή αγορά όπου δραστηριοποιούνται n επιχειρήσεις οι οποίες επιλέγουν ταυτόχρονα την ποσότητα του προϊόντος που παράγουν. Το προϊόν το οποίο παράγουν είναι ομοιογενές και η αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης δίνεται από τον τύπο n p(q, Q,, Q n ) = 50 i= Q i. Η συνάρτηση κόστους της επιχείρησης i είναι C i (Q i ) = Q i. Ποια ποσότητα παράγει κάθε επιχείρηση στην ισορροπία; Ποια είναι η συνολική ποσότητα στην αγορά και ποια η τιμή ισορροπίας; Πως μεταβάλλεται η τιμή ισορροπίας όταν μεταβάλλεται ο αριθμός των επιχειρήσεων n; Η επιχείρηση i μεγιστοποιεί τα κέρδη της ως προς την ποσότητα Q i : n max π i (Q, Q,, Q n ) = (50 i= Q i )Q i Q i Q i Συνθήκες πρώτης τάξης: dπ i n = 0 50 Q dq i= i Q i Q i Q i i = 50 Q i συνάρτηση αντίδρασης της i, όπου Q i n = j=,j i Q j είναι η ποσότητα όλων των άλλων επιχειρήσεων εκτός της επιχείρησης i. Οι συνθήκες δεύτερης τάξης ικανοποιούνται: d π i dq = 3. i Λόγω συμμετρίας έχουμε Q = Q = = Q n = Q CΝΕ το οποίο συνεπάγεται Q CΝΕ = 50 (n )QC Q CΝΕ = 50. n+ Άρα η συνολική ποσότητα στην αγορά είναι ίση με Q TOTAL = nq CΝΕ = 50n και η τιμή ισορροπίας είναι ίση με p CΝΕ = 300 dpcνε. Παρατηρούμε ότι n+ dn. n+ = 300 (n+) <0 άρα όσο αυξάνει ο αριθμός των επιχειρήσεων τόσο η τιμή πέφτει λόγω της τόνωσης του ανταγωνισμού. 3. Έστω μια ολιγοπωλιακή αγορά όπου δραστηριοποιούνται δυο επιχειρήσεις, η επιχείρηση και η επιχείρηση. Το προϊόν το οποίο παράγουν οι επιχειρήσεις είναι ομοιογενές και η αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης δίνεται από τον τύπο p(q) = a bq, όπου Q = q + q. Οι επιχειρήσεις αντιμετωπίζουν ίδιο οριακό κόστος και ίσο με c όπου c<α. (α) Έστω ότι οι δυο επιχειρήσεις επιλέγουν ταυτόχρονα την ποσότητα του προϊόντος που παράγουν. Να παρουσιάσετε αλγεβρικά και διαγραμματικά τις συναρτήσεις αντίδρασης της κάθε επιχείρησης. Ποιες είναι οι ποσότητες στην ισορροπία και ποια η τιμή ισορροπίας; Ποια τα κέρδη της κάθε επιχείρησης; (β) Έστω ότι οι επιχειρήσεις ορίζουν τα επίπεδα του προϊόντος τους διαδοχικά με την επιχείρηση να κινείται πρώτη και την επιχείρηση να κινείται δεύτερη. Ποια ποσότητα

3 παράγει τώρα κάθε επιχείρηση και ποια η τιμή ισορροπίας στην αγορά; Ποια τα κέρδη κάθε επιχείρησης; Έχει πλεονέκτημα η επιχείρηση που κινείται πρώτη (first mover advantage); (γ) Έστω ότι οι δυο επιχειρήσεις επιλέγουν ταυτόχρονα τιμές. Ποιο είναι το υπόδειγμα στο οποίο αναφερόμαστε εδώ; Ποιες είναι οι τιμές στην ισορροπία και ποια η ποσότητα στον κλάδο; Ποια τα κέρδη της κάθε επιχείρησης; (δ) Να συγκρίνεται τις τιμές ισορροπίας των τριών υποδειγμάτων. Πως κατατάσσετε τα τρία υποδείγματα ως προς την αποτελεσματικότητά τους, δηλαδή ποιο υπόδειγμα είναι πιο ανταγωνιστικό και ποιο είναι λιγότερο ανταγωνιστικό; (3 μον.) (α) Συνάρτηση κερδών της επιχείρησης : π = pq C(q ) = (a b(q + q ))q cq dπ dq = 0 bq + a b(q + q ) c = 0 Λύνω ως προς q. Βέλτιστη αντίδραση της επιχείρησης : q a c (q ) = b q Αντίστοιχα, βέλτιστη αντίδραση της επιχείρησης : q a c (q ) = b q Δυο εξισώσεις με δυο αγνώστους. Η ισορροπία προσδιορίζεται από την τομή των καμπυλών βέλτιστων αντιδράσεων. Βάζοντας τη μια συνάρτηση αντίδρασης μέσα στην άλλη παίρνουμε την Cournot Nash ισορροπία: a c q = 3b Ποσότητα κλάδου Q = q Τιμή ισορροπίας Κέρδη επιχείρησης Κέρδη κλάδου p = a bq = a+c 3 π = p q C(q ) = c (a b 3 ) Π = π = c (a b 3 ) 3

4 q M = a c b q C = a c b Τ.Α. ποσότητα μονοπωλίου ποσότητα κλάδου στον (β) Εφόσον είναι παίγνιο διαδοχικών κινήσεων το λύνουμε με τη μέθοδο της προς τα πίσω επαγωγής. Ξεκινάμε από το δεύτερο στάδιο όπου η επιχείρηση μεγιστοποιεί τα κέρδη της. Από την λύση του υποδείγματος Cournot έχουμε ήδη υπολογίσει ότι q a c (q ) = b q Δηλαδή για κάθε ποσότητα q που θα επιλέξει η επιχείρηση στο πρώτο στάδιο του παιγνίου, η επιχείρηση θα παίξει q (q ). Επομένως η επιχείρηση που κινείτε πρώτη γνωρίζει τι θα πράξει η επιχείρηση ως επακόλουθο μια οποιασδήποτε δικής της επιλογής και, βέβαια, τι κέρδη θα έχει πραγματοποιήσει σε κάθε μια περίπτωση. Ακολούθως, επιλέγει εκείνη την ποσότητα η οποία, δεδομένης της ποσότητας που θα παράξει η επιχείρηση, μεγιστοποιεί τα δικά της κέρδη. Τεχνικά αυτό ισοδυναμεί με το να υποκαταστήσουμε την βέλτιστη απόκριση της επιχείρησης, q (q ), στην συνάρτηση κερδών της επιχείρησης. Η τελευταία καθίσταται με αυτό τον τρόπο συνάρτηση μόνο της ποσότητας της επιχείρησης, ως προς την οποία μεγιστοποιούμε. Άρα στο πρώτο στάδιο του παιγνίου η επιχείρηση μεγιστοποιεί τα κέρδη της π = pq C(q ) = (a b(q + q ))q cq δεδομένου ότι q = q (q ) = a c q b Επομένως a c π = (a b (q + ( b q ))) q a c cq = q b q dπ = 0 dq Λύνω ως προς q και μετά βάζω το q μέσα στην q (q ) βρίσκουμε τις ποσότητες ισορροπίας στο υπόδειγμα Stackelberg. Στην ισορροπία έχουμε: q SNE = a c, q b SNE = a c b Ποσότητα κλάδου

5 Τιμή ισορροπίας Κέρδη επιχείρησης Q SNE = 3(a c) b p SNE = a bq SNE = a+3c π SNE = (a c), π 8b SNE = (a c) 6b Παρατηρούμε ότι π SNE > π SNE, επομένως η επιχείρηση έχει το πλεονέκτημα πρώτης κίνησης και απολαμβάνει μεγαλύτερα κέρδη σε σχέση με την επιχείρηση. (γ) Το υπόδειγμα στο οποίο αναφερόμαστε εδώ είναι το υπόδειγμα Bertrand αφού η στρατηγική επιλογή κάθε επιχείρησης είναι η τιμή. Έχουμε αποδείξει (δες κεφάλαιο 8 Varian) ότι σε αυτό το υπόδειγμα οι τιμές ισορροπίας είναι ίσες με το οριακό κόστος c. Στην τιμή αυτή έχουμε c = a bq BNE Q BNE = a c ποσότητα κλάδου στην Bertrand NE. Παρατηρήστε ότι η ποσότητα αυτή είναι ίση με την ποσότητα στον τέλειο ανταγωνισμό. Επιπλέον τα κέρδη κάθε επιχείρησης στην Bertrand NE είναι ίσα με μηδέν (π i = pq i cq i = cq i cq i = 0) όπως και στον Τ.Α. (δ) Έχουμε c = p BNE < p SNE < p. Επομένως το υπόδειγμα Bertrand είναι το πιο ανταγωνιστικό και δίνει το αποτέλεσμα του Τ.Α., έπειτα είναι το υπόδειγμα Stackelberg και τέλος το υπόδειγμα Cournot. Άρα το δυναμικό υπόδειγμα επιλογής ποσότητας είναι περισσότερο ανταγωνιστικό σε σχέση με το στατικό υπόδειγμα επιλογής ποσότητας. b. Στο υπόδειγμα Stackelberg ο ηγέτης θα έχει κέρδος τουλάχιστον όσο το κέρδος που έχει στην ισορροπία Cournot-Nash. Σωστό ή λάθος; (0.5 μον.) Σωστό. Ο ηγέτης θα μπορούσε να επιλέξει το δικό του επίπεδο εκροών Cournot-Nash, γνωρίζοντας ότι ο ακόλουθος θα επέλεγε επίσης τότε το δικό του επίπεδο εκροών Cournot- Nash. Το κέρδος του ηγέτη θα ήταν τότε το κέρδος του σε Cournot-Nash. Αλλά ο ηγέτης δεν χρειάζεται να το κάνει αυτό, άρα το κέρδος του πρέπει να είναι τουλάχιστον ίσο με το κέρδος του σε Cournot-Nash. 5. Έστω μια ολιγοπωλιακή αγορά όπου δραστηριοποιούνται δυο επιχειρήσεις, η επιχείρηση και η επιχείρηση. Οι επιχειρήσεις επιλέγουν ταυτόχρονα την ποσότητα του προϊόντος που παράγουν. Το προϊόν το οποίο παράγουν είναι ομοιογενές και η αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης δίνεται από τον τύπο p(q, q ) = 0 0.5q 0.5q. Οι συναρτήσεις κόστους των επιχειρήσεων και είναι C (q ) = 0q και C (q ) = 0q, αντίστοιχα. Ποιες είναι οι συναρτήσεις αντίδρασης των επιχειρήσεων; Ποιες είναι οι ποσότητες στην ισορροπία, ποια η τιμή ισορροπίας και ποια τα κέρδη ισορροπίας; (0.5 μον.) Η επιχείρηση μεγιστοποιεί τα κέρδη της ως προς την ποσότητα q : max q π (q, q ) = (0 0.5q 0.5q )q 0q. 5

6 Συνθήκες πρώτης τάξης: dπ = 0 q dq = q () συνάρτηση αντίδρασης της. Οι συνθήκες δεύτερης τάξης ικανοποιούνται: d π dq = Αντίστοιχα για την : q = q () συνάρτηση αντίδρασης της. Λόγω συμμετρίας q = q = q CNE. Άρα έχουμε q CNE = 00 και 3 pcne = 30 με κέρδη για κάθε 3 επιχείρηση π CNE = (p CNE 0)q CNE = ( ) = 3 3 (00) 00 = Έστω μια ολιγοπωλιακή αγορά όπου δραστηριοποιούνται δυο επιχειρήσεις οι οποίες παράγουν ομοιογενές προϊόν. Η αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης είναι γραμμική και δίνεται από τον τύπο p(q) = a Q, όπου Q είναι η συνολική ποσότητα στον κλάδο. Οι επιχειρήσεις αντιμετωπίζουν ίδιο οριακό κόστος και ίσο με c όπου c<α. Να δείξετε ότι όταν οι επιχειρήσεις επιλέγουν ποσότητες διαδοχικά, η ποσότητα που παράγει ο ηγέτης (επιχείρηση που κινείται πρώτη) είναι ίση με την ποσότητα του μονοπωλίου ενώ η ποσότητα του ακόλουθου (επιχείρηση που κινείται δεύτερη) είναι ίση με τη μισή ποσότητα του μονοπωλίου. Εφόσον είναι παίγνιο διαδοχικών κινήσεων το λύνουμε με τη μέθοδο της προς τα πίσω επαγωγής. Ξεκινάμε από το δεύτερο στάδιο όπου η επιχείρηση μεγιστοποιεί τα κέρδη της. π = pq C(q ) = (a (q + q ))q cq dπ = 0 q dq + a (q + q ) c = 0 Λύνω ως προς q. Βέλτιστη αντίδραση της επιχείρησης : q a c (q ) = q Στο πρώτο στάδιο του παιγνίου η επιχείρηση μεγιστοποιεί τα κέρδη της π = pq C(q ) = (a (q + q ))q cq δεδομένου ότι q = q (q ) = a c q Επομένως a c π = (a (q + ( q ))) q a c cq = q q dπ = 0 dq Λύνω ως προς q και μετά βάζω το q μέσα στην q (q ) βρίσκουμε τις ποσότητες ισορροπίας στο υπόδειγμα Stackelberg. Στην ισορροπία έχουμε: q SNE = a c, q SNE = a c 6

7 Εάν η αγορά ήταν μονοπωλιακή, τότε η μοναδική επιχείρηση θα έλυνε το πρόβλημα: max π (Q) = pq C(Q) = (a Q)Q cq Q dπ = 0 (a Q) Q c = 0 dq Λύνω ως προς Q και έχω Q M = a c, άρα q SNE = Q M, q SNE = QM. 7. Οι ακόλουθες δηλώσεις είναι σωστές ή λάθος; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (α) Μια κατάσταση στην οποία όλοι οι παίκτες επιλέγουν την κυρίαρχη στρατηγική τους θα πρέπει να είναι Nash ισορροπία. (β) Σε μια Nash ισορροπία θα πρέπει όλοι οι παίκτες να παίζουν μια κυρίαρχη στρατηγική. (γ) Στο δίλημμα του φυλακισμένου, αν κάθε παίκτης πίστευε ότι ο αντίπαλος παίκτης δεν θα ομολογούσε το έγκλημα, τότε και οι δυο παίκτες δεν θα ομολογούσαν το έγκλημα. (δ) Σε μια Nash ισορροπία κάθε παίκτης επιλέγει το βέλτιστο για τον εαυτό του δεδομένων των επιλογών των άλλων παικτών. (α) Σωστό. Εφόσον κάθε παίκτης έχει κυρίαρχη στρατηγική, αυτή τη στρατηγική θα επιλέγει πάντα, ανεξάρτητα με το τι θα επιλέξει ο αντίπαλος. Επομένως εφόσον όλοι οι παίκτες θα επιλέξουν την κυρίαρχη στρατηγική τους, τότε αυτή η κατάσταση θα είναι και η ισορροπία Nash όπου μονομερώς κανένας παίκτης δεν θα έχει κίνητρο να αλλάξει την στρατηγική του. (β) Λάθος. Για να είναι ένα σετ στρατηγικών Nash ισορροπία δεν είναι υποχρεωτικό κάθε παίκτης να έχει κυρίαρχη στρατηγική. Στη Nash ισορροπία όλοι οι παίκτες επιλέγουν τις βέλτιστες αντιδράσεις τους δεδομένου του τι κάνουν οι άλλοι παίκτες. (γ) Λάθος. Στο δίλημμα του φυλακισμένου κάθε παίκτης έχει κυρίαρχη στρατηγική να ομολογήσει το έγκλημα ακόμη κι αν ο αντίπαλος παίκτης του έχει υποσχεθεί ότι δεν θα το κάνει. Την ώρα που θα πρέπει οι δυο φυλακισμένοι να αποφασίσουν αν θα ομολογήσουν το έγκλημα είτε όχι, κάθε φυλακισμένος ομολογεί τελικά το έγκλημα και τελικά καταλήγουν με περισσότερα χρόνια φυλάκισης από ότι αν κρατούσαν την υπόσχεσή τους για μη ομολογία. Μονομερώς κάθε παίκτης έχει κίνητρο να ομολογήσει. (δ) Σωστό. Αυτός είναι και ο ορισμός της ισορροπίας Nash. 8. Τηλεοπτική διαφήμιση τσιγάρων στις ΗΠΑ Ιστορικό. Πριν από το 970, οι εταιρείες καπνού στις ΗΠΑ πραγματοποίησαν πολλές διαφημιστικές εκστρατείες στην τηλεόραση. Εκείνη τη χρονιά υπήρξε μια συμφωνία μεταξύ του κράτους και των επιχειρήσεων καπνού, λέγοντας ότι οι επιχειρήσεις θα σταματούσαν την τηλεοπτική διαφήμιση από --97 και το κράτος θα διέγραφε όλες τις καταγγελίες εναντίον τους σχετικά με τα προβλήματα υγείας που προκάλεσε το τσιγάρο. Οι τέσσερις μεγαλύτερες εταιρείες καπνού (American Brands, Reynolds, Philip Morris, Liggett & Myers) δαπάνησαν το 970 για διαφημιστικούς λόγους $ 35 εκατομμύρια και μόλις $ 5 εκατομμύρια το 97. Η διαφορά των 63 εκατομμυρίων δολαρίων οφείλεται στο γεγονός ότι 7

8 δεν υπήρχε τηλεοπτική διαφήμιση. Ωστόσο, πιο ενδιαφέρον είναι το γεγονός ότι από αυτό το έτος τα κέρδη τους αυξήθηκαν κατά 9 εκατομμύρια δολάρια. Άσκηση. Θα αναλύσουμε τη στρατηγική συμπεριφορά δύο εταιρειών καπνού, έστω την εταιρεία και την εταιρεία. Και οι δύο εταιρείες έχουν δύο στρατηγικές, είτε τηλεοπτική διαφήμιση (A) είτε μη διαφήμιση στην τηλεόραση (N). Η στρατηγική μορφή αυτού του παιγνίου είναι: A N A 7, 7 60, 0 N 0, 60 50, 50 ) Είναι η τηλεοπτική διαφήμιση ισχυρή εμπορική πολιτική; ) Είναι λογικό και οι δύο εταιρείες να διαφημίζουν τα προϊόντα τους στην τηλεόραση; 3) Η αύξηση των κερδών το 97 μπορεί λογικά να εξηγηθεί; ) Θα ήταν δυνατόν, σε αυτό το παιχνίδι, οι δύο εταιρείες από μόνες τους, χωρίς την προαναφερθείσα νομοθεσία, να σταματήσουν τη τηλεοπτική διαφήμιση; ) Ναι, η Α είναι η κυρίαρχη στρατηγική κάθε παίκτη. Άρα η τηλεοπτική διαφήμιση είναι ισχυρή εμπορική πολιτική. ) Ναι. Κάθε παίκτης έχει κίνητρο να παίζει την κυρίαρχη στρατηγική του. Αν μια εταιρεία δεν διαφημίσει τα προϊόντα της, τότε η αντίπαλη επιχείρηση θα το κάνει (Α) και τα κέρδη της επιχείρησης θα πέσουν στο 0. Είναι ένα παίγνιο τύπου δίλημμα του φυλακισμένου. 3) Η επιλογή Α για κάθε παίκτη δεν ήταν διαθέσιμη. Άρα οδηγήθηκαν στο (Ν,Ν) όπου τα κέρδη είναι υψηλότερα. ) Όχι, και οι δύο παίκτες θα διάλεγαν την κυρίαρχη στρατηγική τους και θα κατέληγαν στο (Α,Α) με κέρδη 7 ο καθένας, παρόλο που προτιμούν τα υψηλότερα κέρδη (50, 50). 9. Έστω το ακόλουθο παίγνιο. L R, l r 5, 3, 8

9 ) Βρείτε τις Νash ισορροπίες. (μεταφέρετε το παίγνιο στη στρατηγική του μορφή) ) Υπάρχει αναξιόπιστη απειλή; Ποια είναι η πιο πιθανή εξέλιξη του παιγνίου; ) Παίκτης l r Παίκτης L R 5 3 NE: (L,r) και (R,l) ) Τα σύνολα πληροφόρησης εκτός μονοπατιού ισορροπίας διαμορφώνουν τις ενέργειες πάνω στο μονοπάτι ισορροπίας. Αναξιόπιστη απειλή: το r του παίκτη διότι δεν θα το επιλέξει αν βρεθεί σε εκείνο τον κόμβο απόφασης (<3). Πιο πιθανή εξέλιξη του παιγνίου: (R,l) όπου είναι και η λύση με την προς τα πίσω επαγωγή, δηλαδή η ισορροπία Nash τέλεια κατά υποπαίγνιο. L R, l r 5, 3, 9