4.1. Ευθείες και επίπεδα στο χώρο

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "4.1. Ευθείες και επίπεδα στο χώρο"

Transcript

1 .- øª ƒπ (99-0) :0 ÂÏ 0.. Ευθείες και επίπεδα στο χώρο p p A A B B ε ε Ευθείες και Επίπεδα Οι πρωταρχικές έννοιες του χώρου - γωστές ήδη από την εμπειρία μας - είναι το σημείο, η ευθεία και το επίπεδο. Τα επίπεδα τα έχουμε συνδέσει στο φυσικό κόσμο με την αίσθηση των επιφανειών. Η επιφάνεια του μαυροπίνακα, ενός λείου πατώματος, ενός καθρέπτη μάς δίνουν την αίσθηση του επιπέδου. Ωστόσο, το επίπεδο επεκτείνεται απεριόριστα και για να το παραστήσουμε, σχεδιάζουμε ένα παραλληλόγραμμο για να χωράει στην επιφάνεια του χαρτιού. Το ονομάζουμε, επίσης μ ένα από τα τελευταία μικρά γράμματα του αγγλικού αλφαβήτου (p, q, r). Μία ευθεία ε ορίζεται κατά μοναδικό τρόπο από τα δύο σημεία και Β. ν θεωρήσουμε ένα τρίτο σημείο που δεν ανήκει στην ευθεία ε, τότε τα τρία αυτά σημεία, Β, και ορίζουν ένα επίπεδο p. Προφανώς, η ευθεία ε και το σημείο ορίζουν το ίδιο επίπεδο. ι αυτό ακριβώς το λόγο, οι φωτογράφοι για μεγαλύτερη σταθερότητα στηρίζουν τις φωτογραφικές μηχανές τους σε τρίποδο και έτσι εξηγείται η τρίτη ρόδα στα ποδήλατα των μικρών παιδιών. Σχετικές θέσεις δύο επιπέδων Σε ένα κλειστό βιβλίο οι δύο επιφάνειες που ορίζουν τα εξώφυλλά του, μας δίνουν την αίσθηση ότι όσο και αν τις προεκτείνουμε, δεν τέμνονται ποτέ. Τα δύο επίπεδα που δημιουργούνται έτσι, λέγονται παράλληλα. ν τώρα ανοίξουμε το βιβλίο, παρατηρούμε ότι σχηματίζονται δύο επίπεδα που τα κοινά τους σημεία ανήκουν σε μια ευθεία. Λέμε, τότε, ότι τα επίπεδα τέμνονται. Η ευθεία αυτή λέγεται τομή των δύο επιπέδων.

2 .- øª ƒπ (99-0) :0 ÂÏ 0 0 Μέρος Β -.. Ευθείες και επίπεδα στο χώρο Επομένως: ε ζ Οι δυνατές θέσεις δύο διαφορετικών επιπέδων είναι: Να είναι παράλληλα. Να τέμνονται κατά μία ευθεία. ε ε ζ Σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο χώρο νωρίζουμε ότι δύο διαφορετικές ευθείες που ανήκουν στο ίδιο επίπεδο μπορούν να είναι παράλληλες ή να τέμνονται. Όμως, όπως φαίνεται στον διπλανό κύβο, υπάρχουν ευθείες στο χώρο που δε βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κανένα κοινό σημείο. Οι ευθείες αυτές λέγονται ασύμβατες. Επομένως: Όταν έχουμε δύο διαφορετικές ευθείες ε και ζ, οι μόνες δυνατές θέσεις που μπορεί να έχουν είναι: Να είναι παράλληλες, δηλαδή να ανήκουν στο ίδιο ζ επίπεδο και να μην έχουν κανένα κοινό σημείο. Να τέμνονται, δηλαδή να έχουν ένα μόνο κοινό σημείο. Να είναι ασύμβατες, δηλαδή να ανήκουν σε διαφορετικά επίπεδα και να μην έχουν κανένα κοινό σημείο. A B p ε ε Σχετικές θέσεις ευθείας και επιπέδου Όπως ξέρουμε, από δύο σημεία ορίζεται μοναδική ευθεία. Όταν τα σημεία αυτά ανήκουν σε ένα επίπεδο, τότε ολόκληρη η ευθεία ανήκει στο επίπεδο αυτό. Η ευθεία αυτή λέγεται ευθεία του επιπέδου. p ν μια ευθεία δεν έχει κοινά σημεία με ένα επίπεδο, τότε είναι παράλληλη στο επίπεδο αυτό.

3 .- øª ƒπ (99-0) :0 ÂÏ 0 Μέρος Β -.. Ευθείες και επίπεδα στο χώρο 0 ε Είναι, όμως, δυνατό μια ευθεία να τέμνει ένα επίπεδο μόνο σε ένα σημείο. Το σημείο ονομάζεται ίχνος της ε στο επίπεδο p. p Οι δυνατές θέσεις μιας ευθείας και ενός επιπέδου είναι: Η ευθεία να περιέχεται στο επίπεδο. Η ευθεία να είναι παράλληλη στο επίπεδο. Η ευθεία να τέμνει το επίπεδο σε ένα σημείο. Ευθεία κάθετη σε επίπεδο ς θεωρήσουμε μια ευθεία ε που τέμνει το επίπεδο p στο σημείο. ν η ε είναι κάθετη σε κάθε ευθεία του επιπέδου p, που διέρχεται από το σημείο, τότε θα λέμε ότι η ευθεία ε είναι κάθετη στο επίπεδο p. ποδεικνύεται ότι: ε Μια ευθεία είναι κάθετη σε ένα επίπεδο, όταν είναι κάθετη σε δύο ευθείες του που διέρχονται από το ίχνος της. ε ε p A πόσταση σημείου από επίπεδο ν αφήσουμε ένα σώμα να πέσει από την κορυφή του κεκλιμένου πύργου της Πίζας, θα παρατηρήσουμε ότι διαγράφει τροχιά κάθετη προς το έδαφος. Το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα Β, που φέρουμε προς το επίπεδο p από ένα σημείο που δεν ανήκει στο επίπεδο, λέγεται απόσταση του σημείου από το επίπεδο p. Παρατηρούμε ότι το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα Β είναι μικρότερο από κάθε πλάγιο ευθύγραμμο τμήμα. A B p p B πόσταση παράλληλων επιπέδων Η επιφάνεια p του τραπεζιού ορίζει ένα επίπεδο παράλληλο προς το επίπεδο q του δαπέδου. Το ύψος του τραπεζιού εκφράζει την απόσταση οποιουδήποτε σημείου του επιπέδου του τραπεζιού p από το επίπεδο του δαπέδου q. q Η απόσταση αυτή ονομάζεται απόσταση των παράλληλων επιπέδων p και q.

4 .- øª ƒπ (99-0) :0 ÂÏ 0 0 Μέρος Β -.. Ευθείες και επίπεδα στο χώρο º ƒ ª Θ Η Λύση: Στον κύβο ΒΕΖΗΘ του διπλανού σχήματος να βρείτε τις ευθείες των ακμών του που είναι ασύμβατες στη ακμή Β. Είναι οι ευθείες Θ, ΘΕ, ΗΖ, Η, γιατί τέμνουν τα επίπεδα στα οποία ανήκει η Β χωρίς να τέμνουν την Β. Ε Ζ B º ƒ ª Στο ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο του διπλανού σχήματος να υπολογίσετε: α) τη Β β) τη γωνία x = Β. x 9, cm B cm cm Λύση: α) H Β είναι υποτείνουσα στο ορθογώνιο τρίγωνο Β. Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα στο Β έχουμε: Β = + ήβ = ή Β = (cm). β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο Β θα υπολογίσουμε τη εφαπτομένη της γωνίας x. Β Είναι λοιπόν εφx =, Β οπότε εφx = = 0, και από τον πίνακα εφαπτομένων βρίσκουμε ότι x = 9, Μια ευθεία είναι παράλληλη σε ένα επίπεδο, αν είναι παράλληλη σε μια ευθεία του επιπέδου. Μια ευθεία είναι κάθετη σε ένα επίπεδο, αν είναι κάθετη σε μια ευθεία του επιπέδου. Μια ευθεία ανήκει σε ένα επίπεδο, όταν δύο σημεία της είναι και σημεία του επιπέδου. πόσταση δύο παραλλήλων επιπέδων ονομάζουμε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος που έχει τα άκρα του στα δύο επίπεδα. Κάθε ευθεία κάθετη σε ένα επίπεδο, τέμνει το επίπεδο αυτό. ύο ευθείες κάθετες στο ίδιο επίπεδο, είναι μεταξύ τους παράλληλες. ν μια ευθεία είναι κάθετη σε ένα επίπεδο p, τότε είναι κάθετη σε κάθε άλλο επίπεδο που είναι παράλληλο στο p. πό τρία διαφορετικά σημεία που δε βρίσκονται στην ίδια ευθεία, διέρχονται: : ύο επίπεδα Β: Μόνο ένα επίπεδο : Άπειρα επίπεδα Nα κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. Πόσα επίπεδα διέρχονται από μια ευθεία; : Ένα Β: ύο : Τρία : Άπειρα Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. ΣΩΣΤΟ ΛΘΟΣ

5 .- øª ƒπ (99-0) :0 ÂÏ 0 π Στο παρακάτω ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο να βρείτε ευθείες που είναι: α) κάθετες στην Ε. β) παράλληλες στην Β. γ) ασύμβατες με την. A B Στο παρακάτω ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο να υπολογίσετε το Η. A E Θ cm B Z cm H cm E Στο παρακάτω σχήμα να βρείτε επίπεδα τα οποία: α) είναι παράλληλα με το επίπεδο p. β) τέμνουν το επίπεδο p. Σε κάθε περίπτωση να βρείτε την κοινή τους ευθεία. Θ Θ p B Το διπλανό K σχήμα παριστάνει ένα B A ορθογώνιο Θ παραλληλεπίπεδο. E Z H α) Να σχεδιάσετε το επίπεδο που ορίζουν τα σημεία,, Ζ. β) Να σχεδιάσετε την ευθεία που διέρχεται από το σημειο Κ και είναι κάθετη στην κάτω έδρα του ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου. Οι αποστάσεις των σημείων,β από A B το επίπεδο p είναι A B p =0, ΒΒ =. ν Β =, να υπολογίσετε το Β. Ε Η Z H Ζ Ο παρακάτω κύβος έχει ακμή cm. α) Να εξηγήσετε γιατί η Η και η ΛΚ είναι κάθετες στην έδρα Β του κύβου. β) Να υπολολογίσετε την K απόσταση A B της κορυφής Θ H από το γραμμοσκιασμένο Λ E Z επίπεδο. Η κεραία Κ του σχήματος, ύψους m, είναι τοποθετημένη κάθετα στο επίπεδο του εδάφους. Συγκρατείται με τρία συρματόσχοινα που στερεώνονται στην κορυφή της και στα σημεία Β,, που απέχουν m από το Κ. Να υπολογίσετε το συνολικό μήκος των συρματόσχοινων που συγκρατούν την κεραία. A p B K

6 .- øª ƒπ (0-) : ÂÏ 0.. Στοιχεία και εμβαδόν πρίσματος και κυλίνδρου Το ορθό πρίσμα και τα στοιχεία του Στο φυσικό κόσμο τα αντικείμενα των διπλανών σχημάτων μάς δίνουν την έννοια του ορθού πρίσματος. Στη Στερεομετρία τα παρακάτω στερεά σώματα ονομάζονται ορθά πρίσματα. Στη συνέχεια, τα ορθά πρίσματα θα τα λέμε απλά πρίσματα. ÙÚÈÁˆÓÈÎfi appleú ÛÌ appleâóù ÁˆÓÈÎfi appleú ÛÌ ÂÍ ÁˆÓÈÎfi appleú ÛÌ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ apple Ú ÏÏËÏÂapple appleâ Ô Κάθε πρίσμα έχει: δύο έδρες παράλληλες, που είναι ίσα πολύγωνα και τις άλλες έδρες του που είναι ορθογώνια παραλληλόγραμμα και ονομάζονται παράπλευρες έδρες. Οι δύο παράλληλες έδρες του λέγονται βάσεις του πρίσματος. Οι παράπλευρες έδρες σχηματίζουν την παράπλευρη επιφάνεια του πρίσματος. Οι πλευρές των εδρών του πρίσματος ονομάζονται ακμές. Η απόσταση των δύο βάσεων, που είναι ίση με το ύψος μιας παράπλευρης έδρας, λέγεται ύψος του πρίσματος. ν οι βάσεις του πρίσματος είναι τρίγωνο, τετράπλευρο, πεντάγωνο κ.ο.κ, τότε αντίστοιχα το πρίσμα λέγεται τριγωνικό, τετραπλευρικό, πενταγωνικό κ.ο.κ. ύο από τα βασικότερα ορθά πρίσματα είναι ο κύβος και το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο. Î Ô Εμβαδόν επιφάνειας πρίσματος Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε τη διαδικασία ανάπτυξης και το τελικό ανάπτυγμα της επιφάνειας ενός πρίσματος. Ως ανάπτυγμα της επιφάνειας ενός πρίσματος θεωρούμε το επίπεδο σχήμα που προκύπτει αν «ξεδιπλώσουμε» την παράπλευρη επιφάνειά appleâú ÌÂÙÚÔ ÛË Ô του και τις βάσεις του. Η παράπλευρη επιφάνεια σχηματίζει ένα ορθογώνιο, που η μία διάστασή του είναι η περίμετρος της βάσης και η άλλη το ύψος του πρίσματος.

7 .- øª ƒπ (0-) : ÂÏ 0 Μέρος Β -.. Στοιχεία και εμβαδόν πρίσματος και κυλίνδρου 0 Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας ενός πρίσματος ισούται με το γινόμενο της περιμέτρου της βάσης του επί το ύψος του πρίσματος. ηλαδή: Ε π = (περίμετρος βάσης) (ύψος) Φυσικά, για να βρούμε το ολικό εμβαδόν, προσθέσουμε και τα εμβαδά των δύο βάσεων. πρέπει να Το ολικό εμβαδόν ενός πρίσματος (Ε ολ ) είναι το άθροισμα του εμβαδού της παράπλευρης επιφάνειας Ε π και των εμβαδών Ε β των δύο βάσεων. ηλαδή: Ε ολ = Ε π + Ε β Β Κύλινδρος Τα παρακάτω στερεά δίνουν την έννοια του κυλίνδρου. ŒÓ Î ÏÈÓ ÚÔ ÌappleÔÚÂ Ó appleúôî ÂÈ Î È applefi ÙËÓ appleâúèûùúôê ÂÓfi ÔÚıÔÁˆÓ Ô AB Á Úˆ applefi ÌÈ appleïâ Ú ÙÔ, apple.. ÙËÓ A, Î È ÙfiÙÂ Ï ÁÂÙ È Î ÏÈÓ ÚÔ ÂÎ appleâúèûùúôê. H appleïâ Ú B Ï ÁÂÙ È ÁÂÓ ÙÂÈÚ ÙÔ Î Ï Ó ÚÔ Î È ÈÛÔ Ù È Ì ÙÔ Ô ÙÔ. Ô Ένας κύλινδρος αποτελείται από δυό ίσους και παράλληλους κυκλικούς δίσκους, που είναι οι βάσεις του, και την παράπλευρη επιφάνεια, που, αν την ξετυλίξουμε, θα δούμε ότι έχει σχήμα ορθογωνίου. Η απόσταση των δύο βάσεων λέγεται ύψος του κυλίνδρου. Εμβαδόν επιφάνειας κυλίνδρου ς θεωρήσουμε το ανάπτυγμα ενός κυλίνδρου. Είναι φανερό ότι το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας του κυλίνδρου ισούται με το εμβαδόν του ορθογωνίου που σχηματίζεται, οπότε ισούται με το γινόμενο της περιμέτρου της βάσης επί το ύψος του κυλίνδρου. Η περίμετρος της βάσης ισούται με το μήκος του κύκλου, δηλαδή πρ. appleâú ÌÂÙÚÔ ÛË

8 .- øª ƒπ (0-) : ÂÏ 0 0 Μέρος Β -.. Στοιχεία και εμβαδόν πρίσματος και κυλίνδρου Το εμβαδόν Ε π της παράπλευρης επιφάνειας ενός κυλίνδρου ισούται με την περίμετρο της βάσης (που είναι ίση με πρ) επί το ύψος του κυλίνδρου. ηλαδή Ε π = (περίμετρος βάσης) (ύψος) ή Ε π =πρ υ Φυσικά, για να βρούμε το ολικό εμβαδόν του κυλίνδρου, πρέπει στο εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας να προσθέσουμε τα εμβαδά των δύο βάσεων. Το ολικό εμβαδόν Ε ολ ενός κυλίνδρου ισούται με το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας Ε π και τα εμβαδά Ε β των δύο βάσεων. ηλαδή: Ε ολ = Ε π + Ε β º ƒ ª Να βρείτε πόσο χαρτόνι (σε cm ) χρειάζεται, για να κατασκευαστεί το πρίσμα του παρακάτω σχήματος, του οποίου οι βάσεις είναι ορθογώνια τρίγωνα με κάθετες πλευρές cm και cm αντίστοιχα και το ύψος είναι 0 cm. Λύση: Οι βάσεις του πρίσματος είναι ορθογώνια τρίγωνα με κάθετες πλευρές cm και cm. Η υποτείνουσα Β υπολογίζεται από το Πυθαγόρειο θεώρημα: Β = + ή Β = ή Β = (cm). Eπομένως: Ε β = β υ = = (cm ). Ε π = (περίμετρος βάσης) (ύψος) = 0 = 0 (cm ). Ε ολ = Ε π + Ε β = 0 + = (cm ). cm Ε cm Ζ 0 cm B º ƒ ª E Z Να υπολογιστεί το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας του πρίσματος που δίνεται στο διπλανό σχήμα. Θ H Λύση: Οι βάσεις του πρίσματος είναι τετράπλευρα με περίμετρο: = (cm). Το ύψος του πρίσματος είναι cm. Άρα, το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας είναι: Ε π = (περίμετρος βάσης) (ύψος) = = (cm ). cm cm cm cm cm Β

9 .- øª ƒπ (0-) : ÂÏ 09 Μέρος Β -.. Στοιχεία και εμβαδόν πρίσματος και κυλίνδρου 09 º ƒ ª Κόστος δεξαμενής καυσίμων Μια κλειστή δεξαμενή αποθήκευσης καυσίμων έχει σχήμα κυλίνδρου με ύψος 0 m και ακτίνα βάσης ρ = 0 m. Είναι κατασκευασμένη από ειδική λαμαρίνα που κοστίζει το τετραγωνικό μέτρο. Ποιο είναι το κόστος της λαμαρίνας για την κατασκευή της δεξαμενής; Λύση: Πρέπει να βρούμε πόσα τετραγωνικά μέτρα λαμαρίνας χρησιμοποιήθηκαν (δηλαδή το ολικό εμβαδόν) και να το πολλαπλασιάσουμε με το κόστος ανά τετραγωνικό μέτρο. Η παράπλευρη επιφάνεια έχει εμβαδόν: Ε π = (περίμετρος βάσης) (ύψος) = πρ υ =, 0 0 = (m ). Καθεμία από τις βάσεις έχει εμβαδόν: Ε β = πρ =, 0 = (m ). Το ολικό εμβαδόν του κυλίνδρου είναι: Ε ολ = Ε π + Ε β = + = 90 (m ). Επομένως, το κόστος της λαμαρίνας είναι 90 = 00. Β º ƒ ª Κ Η βάση της μηχανής Το διπλανό κλειστό κουτί κατασκευάζεται από ξύλο και Ι χρησιμεύει ως βάση μιας μηχανής. Να βρείτε την επιφάνεια του ξύλου που θα χρησιμοποιηθεί για την κατα- Ζ E σκευή της βάσης. Θ H Λύση: Παρατηρούμε ότι το κουτί είναι ένα πενταγωνικό πρίσμα με βάσεις τα πεντάγωνα ΒΕ και ΖΗΘΙΚ. Η περίμετρος της κάθε βάσης είναι: Β + Β + + Ε + Ε = = (cm). Το ύψος του πρίσματος είναι υ = Ζ = (cm). Επομένως, το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας είναι: Ε π = (περίμετρος βάσης) (ύψος) = = 0 (cm ). ια να βρούμε το εμβαδόν της βάσης ΒΕ, τη χωρίζουμε σε δύο μέρη: σε ένα ορθογώνιο Ε και σε ένα τραπέζιο Β. Το εμβαδόν του ορθογωνίου Ε είναι ίσο με 0 = 0 (cm ). Το εμβαδόν του τραπεζίου Β είναι ίσο με: Ε τρ = (β + Β) υ = ( + 0) = (cm ). Άρα, το εμβαδόν της βάσης είναι: Ε β = 0 + = (cm ). Το ολικό εμβαδόν του πρίσματος είναι: Ε ολ = Ε π + Ε β = 0 + = 0 + = (cm ). cm 0 cm 0 cm cm 0 cm cm

10 .- øª ƒπ (0-) : ÂÏ 0 0 Μέρος Β -.. Στοιχεία και εμβαδόν πρίσματος και κυλίνδρου Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση σε καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις.. Ένα πρίσμα με βάση πεντάγωνο έχει: α) A: έδρες Β: έδρες : έδρες. β) A: κορυφές Β: 0 κορυφές : κορυφές. γ) A: 0 ακμές Β: ακμές : ακμές.. ίνεται πρίσμα με βάση τετράγωνο πλευράς 0cm και ύψους cm. α) Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειάς του είναι: A: 00 cm Β: 0 cm : 00 cm. β) Το ολικό εμβαδόν του είναι: A: 00 cm Β: 0 cm : 00 cm.. Ένας κύλινδρος έχει διάμετρο βάσης 0cm και ύψος cm. α) Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειάς του είναι: A: 0π cm Β: 0π cm : 0π cm. β) Το ολικό εμβαδόν του είναι: A: 00π cm Β: 0π cm : 0π cm. π Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα, όπου φαίνεται η περίμετρος της βάσης, το ύψος και το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας πρίσματος. περίμετρος βάσης ύψος υ Εμβαδόν Επ 0 0 Έστω α, β, γ τα μήκη των πλευρών της βάσης ενός τριγωνικού πρίσματος, υ το ύψος του και Ε π το εμβαδόν της παράπλευρης Β επιφάνειας. γ α β Ε υ Να βρείτε το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας τριγωνικού πρίσματος του οποίου η βάση είναι τρίγωνο με πλευρές α = dm, β = dm, γ = dm και το ύψος 0, cm. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα. α β γ υ Ε π 0 0 0

11 .- øª ƒπ (0-) : ÂÏ Μέρος Β -.. Στοιχεία και εμβαδόν πρίσματος και κυλίνδρου Θέλουμε να βάψουμε τους τοίχους ενός δωματίου που έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με διαστάσεις: πλάτος m, μήκος m και ύψος m. Πόσα κιλά χρώμα πρέπει να αγοράσουμε, αν είναι γνωστό ότι ένα κιλό χρώματος καλύπτει περίπου 9 m ; Nα υπολογίσετε το ολικό εμβαδόν πρίσματος με ύψος υ = 0 cm και βάσεις ισόπλευρα τρίγωνα πλευράς cm. H σκηνή ενός κάμπινγκ είναι κατασκευασμένη από ύφασμα (μαζί με το δάπεδό της) και έχει διαστάσεις που φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Πόσα τετραγωνικά μέτρα ύφασμα χρειάστηκαν για την κατασκευή της; Να βρεθεί το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας και το ολικό εμβαδόν ενός κυλίνδρου, όταν: α) Έχει ακτίνα βάσης cm και ύψος cm. β) Έχει διάμετρο βάσης cm και ύψος cm. γ) Έχει περίμετρο βάσης, cm και ύψος cm. δ) Έχει εμβαδόν βάσης 0, cm και ύψος dm. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα που συνδέει την ακτίνα της βάσης και το ύψος ενός κυλίνδρου με το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας και το ολικό εμβαδόν του. ακτίνα βάσης (cm) ύψος κυλίνδρου (cm) εμβαδόν Ε π (cm ) ολικό εμβαδόν (cm ) 0,,,,, m, m, m 0, m m 9 Το κυλινδρικό κουτί μιας κονσέρβας έχει ύψος cm και ακτίνα βάσης cm. Το υλικό των βάσεων κοστίζει 0, το τετραγωνικό μέτρο, ενώ το υλικό της παράπλευρης επιφάνειας κοστίζει 0, το τετραγωνικό μέτρο. Πόσο θα κοστίζει το υλικό όταν πρόκειται να κατασκευάσουμε 000 κουτιά;

12 .- øª ƒπ (-) : ÂÏ.. Όγκος πρίσματος και κυλίνδρου Η έννοια του όγκου ς θεωρήσουμε ένα στερεό σώμα Σ και έναν κύβο με ακμή μήκους μία μονάδα. Ο θετικός αριθμός που δηλώνει με πόσες επαναλήψεις του κύβου ή μέρους του κύβου σχηματίζεται το στερεό σώμα Σ, λέγεται όγκος του σώματος. V = V = V =, Moνάδες μέτρησης όγκου Ως μονάδα μέτρησης όγκου θεωρούμε έναν κύβο με ακμή μήκους μέτρο (m). Ο όγκος του ισούται με κυβικό μέτρο (m ). Οι κυριότερες υποδιαιρέσεις του κυβικού μέτρου είναι: α) Το κυβικό δεκατόμετρο (dm ) που είναι όγκος κύβου με ακμή dm. φού m =0 dm, θα ισχύει ότι: m = 0 dm = 000 dm. ντίστροφα ισχύει ότι: dm = m = 0,00 m. 000 β) Το κυβικό εκατοστόμετρο (cm ) που είναι όγκος κύβου με ακμή cm. Ισχύει ότι m = 0 dm = 00 cm, οπότε m = 0 dm = 00 cm. ντίστροφα ισχύει ότι: cm = dm = m γ) Το κυβικό χιλιοστόμετρο (mm ) που είναι όγκος κύβου με ακμή mm. Ισχύει ότι m = 0 dm = 00 cm= 000 mm, οπότε m = 0 dm = 00 cm = 000 mm. ντίστροφα ισχύει ότι: mm = cm = dm = m Στον όγκο των υγρών συνηθίζουμε να ονομάζουμε το dm ως λίτρο ( ). Τότε, το cm λέγεται χιλιοστόλιτρο (m ). Όγκος πρίσματος και κυλίνδρου ς θεωρήσουμε μια σύριγγα γεμάτη χρωματισμένο νερό. σκώντας πίεση, το έμβολο διαγράφει το μήκος της σύριγγας έως ότου αδειάσει όλο το νερό. Είναι φανερό ότι το νερό έχει όγκο ίσο με τον όγκο της κυλινδρικής σύριγγας. Ο όγκος της σύριγγας διαγράφεται από την κίνηση του εμβαδού του εμβόλου σε όλο το μήκος της.

13 .- øª ƒπ (-) : ÂÏ Μέρος Β -.. Όγκος πρίσματος και κυλίνδρου υ Ο όγκος ενός κυλίνδρου ισούται με το γινόμενο του εμβαδού της βάσης του επί το ύψος, δηλαδή: Όγκος = (Εμβαδόν βάσης) (ύψος) Είναι φανερό ότι το ίδιο θα ισχύει, αν στη θέση της κυλινδρικής σύριγγας έχουμε ένα οποιοδήποτε πρίσμα. υ Ο όγκος ενός πρίσματος ισούται με το γινόμενο του εμβαδού της βάσης του επί το ύψος, δηλαδή: Όγκος = (Εμβαδόν βάσης) (ύψος) º ƒ ª Να βρείτε τον όγκο του κυλίνδρου στις παρακάτω περιπτώσεις: α) με ακτίνα βάσης cm και ύψος cm, β) με διάμετρο βάσης cm και ύψος cm, γ) με περίμετρο βάσης, cm και ύψος cm. Λύση: α) Εφαρμόζουμε τον τύπο του όγκου V του κυλίνδρου και έχουμε: V = πρ υ = π = π =, (cm ). β) φού η διάμετρος είναι δ = cm, η ακτίνα είναι ρ = cm. Εφαρμόζουμε τον τύπο του όγκου κυλίνδρου και έχουμε: V = πρ υ = π = π = 0, (cm ). γ) Πρώτα υπολογίζουμε την ακτίνα του κύκλου της βάσης: L = πρ ή, = π ρ ή, =, ρ ή ρ = (cm). Στη συνέχεια, εφαρμόζουμε τον τύπο του όγκου κυλίνδρου και έχουμε: V = πρ υ = π = π =, (cm ). º ƒ ª Ο διπλανός κορμός δέντρου θεωρούμενος ως κύλινδρος έχει μήκος m και διάμετρο βάσης 0, m. Η τιμή του συγκεκριμένου είδους ξυλείας είναι 00 ανά κυβικό μέτρο. Πόσο αξίζει ο κορμός; Λύση: φού η διάμετρος του κορμού είναι δ = 0, m, τότε η ακτίνα του κύκλου της βάσης του κυλίνδρου είναι ρ = 0, (m). Επομένως, ο όγκος του κυλίνδρου είναι: V K = πρ υ =, (0,) =, (m ). φού η αξία του συγκεκριμένου είδους ξυλείας είναι 00 το κυβικό μέτρο, η αξία του κορμού είναι: =, 00 =.

14 .- øª ƒπ (-) : ÂÏ Μέρος Β -.. Όγκος πρίσματος και κυλίνδρου º ƒ ª Λύση: Ένα πρίσμα έχει βάση τετράγωνο πλευράς α (cm) και είναι εγγεγραμμένο σε κύλινδρο με ύψος 0 cm και ακτίνα βάσης ρ = cm. α) Να υπολογίσετε τη πλευρά α του τετραγώνου. β) Να υπολογίσετε τον όγκο του κυλίνδρου και τον όγκο του πρίσματος. α) Tο ορθογώνιο τρίγωνο Β έχει υποτείνουσα = ρ = = (cm). Aπό το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε: α + α = ή α = ή α =. Άρα: α = =, (cm). β) Ο όγκος του κυλίνδρου είναι: V κυλ = πρ υ =, 0 =, (cm ). O όγκος του πρίσματος είναι: V πρ = Ε β υ = α υ = 0 = 0 (cm ). Β. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα, όπου φαίνεται το εμβαδόν της βάσης, το ύψος και ο όγκος πρίσματος. εμβαδόν βάσης (cm ) ύψος (cm) όγκος (cm ) 0. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα, όπου φαίνεται το εμβαδόν της βάσης, το ύψος και ο όγκος κυλίνδρου. εμβαδόν βάσης (cm ) ύψος (cm) όγκος (cm ) 9 0. ίνονται τέσσερις κύλινδροι που έχουν όλοι ακτίνα βάσης ρ= cm. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: ύψος κυλίνδρου υ εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας Ε π ος Κύλινδρος cm ος Κύλινδρος cm ος Κύλινδρος cm ος Κύλινδρος cm oλικό εμβαδόν Ε ολ όγκος V

15 .- øª ƒπ (-) : ÂÏ Μέρος Β -.. Όγκος πρίσματος και κυλίνδρου π Τριγωνικό πρίσμα με βάση ορθογώνιο τρίγωνο Β με κάθετες πλευρές Β = cm και = cm έχει ύψος ίσο με την υποτείνουσα Β του τριγώνου Β. Να υπολογίσετε: α) το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας του πρίσματος, β) το εμβαδόν της ολικής επιφάνειάς του, γ) τον όγκο του πρίσματος. ίνεται πρίσμα με βάση ισόπλευρο τρίγωνο. ν γνωρίζετε ότι το ύψος του είναι τετραπλάσιο από την πλευρά του ισόπλευρου τριγώνου της βάσης του και η παράπλευρη επιφάνειά του έχει εμβαδόν cm, να υπολογίσετε τον όγκο του. Ένα τετραγωνικό πρίσμα έχει ολικό εμβαδόν που είναι τριπλάσιο του εμβαδού της παράπλευρης επιφάνειάς του. Να αποδείξετε ότι η πλευρά του τετραγώνου της βάσης του είναι τετραπλάσια από το ύψος του πρίσματος. Ένα πρίσμα έχει βάση ισοσκελές τραπέζιο Β, με ίσες πλευρές = Β = cm. Tο ύψος του τραπεζίου είναι cm και το ύψος του πρίσματος είναι 0 cm. ν ο όγκος του πρίσματος είναι 0 cm και το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας είναι 0 cm, να βρείτε: α) το εμβαδόν και την περίμετρο του τραπεζίου Β, β) τα μήκη των βάσεων Β και του τραπεζίου Β. Λυγίζουμε ένα φύλλο χαρτιού μεγέθους (x9cm) και κατασκευάζουμε έναν κύλινδρο ύψους cm. Nα βρείτε την ακτίνα βάσης και τον όγκο του κυλίνδρου. Να βρείτε τον όγκο κυλίνδρου ο οποίος έχει: α) ακτίνα βάσης 0 cm και ύψος, cm. β) εμβαδόν βάσης 00 mm και ύψος 0, m. Ένα τσιγάρο έχει μήκος, cm από τα οποία τα, cm καταλαμβάνει το φίλτρο. Η διάμετρος μιας βάσης του είναι 0, cm. Οι αναλύσεις του Υπουργείου Υγείας κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι περιέχει 0, mg πίσσας ανά κυβικό εκατοστό καπνού και ότι το τσιγαρόχαρτο περιέχει 0,0 mg πίσσας ανά τετραγωνικό εκατοστό χαρτιού. Πόσα mg πίσσας εισπνέει ημερησίως ένας καπνιστής που καπνίζει τσιγάρα την ημέρα; (Να θεωρήσετε ότι ο καπνιστής πετάει το τσιγάρο έχοντας καπνίσει τα από τα cm του τσιγάρου).

16 .- øª ƒπ (-) : ÂÏ.. H πυραμίδα και τα στοιχεία της Aπό την αρχαιότητα οι άνθρωποι έκτιζαν μνημεία με τη μορφή πυραμίδας. Oι τάφοι των βασιλέων της αρχαίας ιγύπτου είχαν τη γνωστή σ εμάς μορφή της πυραμίδας. Οι ζτέκοι και οι Ίνκας είχαν χτίσει, επίσης, ναούς στο σχήμα πυραμίδας, αρκετοί από τους οποίους σώζονται μέχρι σήμερα. Στην είσοδο του μουσείου του Λούβρου, στο Παρίσι, υπάρχει μια σύγχρονη πυραμίδα που σχεδιάστηκε το 99 από τον αρχιτέκτοντα ιέο Μιγκ Πέι. Πυραμίδα λέγεται ένα στερεό, που μία έδρα του είναι ένα πολύγωνο και όλες οι άλλες έδρες του είναι τρίγωνα με κοινή κορυφή. ια παράδειγμα, μια πυραμίδα με μια έδρα το επτάγωνο ΒΕΖΗ φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: Κ Κ Τα στοιχεία της πυραμίδας Το πολύγωνο ΒΕΖΗ λέγεται βάση της πυραμίδας. Τα τρίγωνα με κοινή κορυφή το σημείο Κ: ΚΒ, ΚΒ, Κ, ΚΕ, ΚΕΖ, ΚΖΗ και ΚΗ λέγονται παράπλευρες έδρες της πυραμίδας. Το κοινό σημείο Κ των παράπλευρων εδρών λέγεται κορυφή της πυραμίδας. Η Β Θ Ζ Ε υ ν από την κορυφή Κ φέρουμε κάθετο ευθύγραμμο τμήμα ΚΘ προς τη βάση, τότε το ΚΘ λέγεται ύψος της πυραμίδας. Παρατηρούμε στο διπλανό σχήμα ότι το ύψος μιας πυραμίδας μπορεί να βρίσκεται και εκτός της πυραμίδας. Β Θ Mια πυραμίδα που έχει ως βάση ένα τρίγωνο, λέγεται τριγωνική πυραμίδα.

17 .- øª ƒπ (-) : ÂÏ Μέρος Β -.. H πυραμίδα και τα στοιχεία της Επειδή όμως η τριγωνική πυραμίδα έχει τέσσερις τριγωνικές έδρες και οποιαδήποτε έδρα της μπορεί να θεωρηθεί ως βάση, τη λέμε και τετράεδρο. Β Mια πυραμίδα που έχει βάση τετράπλευρο λέγεται τετραπλευρική. ÙÂÙÚ Â ÚÔ Μια πυραμίδα που έχει βάση πεντάγωνο λέγεται πενταγωνική κ.ο.κ. Κ Κ Ζ Β ÙÂÙÚ Â ÚÔ K Β Ο Ε Β Κ Κ Β ÙÂÙÚ appleïâ ÚÈÎ apple Ú Ì Κανονική πυραμίδα Β appleâóù ÁˆÓÈÎ apple Ú Ì Μια πυραμίδα λέγεται κανονική, αν η βάση της είναι κανονικό πολύγωνο και η προβολή της κορυφής της στη βάση είναι το κέντρο του κανονικού πολυγώνου, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Σε οποιαδήποτε κανονική πυραμίδα οι παράπλευρες έδρες είναι ίσα μεταξύ τους ισοσκελή τρίγωνα (ΚΒ, ΚΒ, Κ, ΚΕ, ΚΕΖ, ΚΖ). ντίστροφα, αν οι παράπλευρες έδρες μίας πυραμίδας είναι ίσα μεταξύ τους ισοσκελή τρίγωνα, τότε η πυραμίδα είναι κανονική. Εμβαδόν επιφάνειας πυραμίδας Η ολική επιφάνεια της πυραμίδας αποτελείται από δύο μέρη: την επιφάνεια των παράπλευρων εδρών της, που ονομάζεται παράπλευρη επιφάνεια και την Κ Κ Β Κ επιφάνεια της βάσης της. ια να υπολογίσουμε το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας Ε Π μιας πυραμίδας, υπολογίζουμε το εμβαδόν κάθε παράπλευρης έδρας (που είναι τρίγωνο) και προσθέτουμε τα εμβαδά αυτά. Eπομένως, στο διπλανό σχήμα έχουμε: Ε

18 .- øª ƒπ (-) : ÂÏ Μέρος Β -.. H πυραμίδα και τα στοιχεία της Ε Π = (Κ B) + (Κ B) + (Κ ) + (Κ ). ια να υπολογίσουμε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας Ε ολ της πυραμίδας, προσθέτουμε στο εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας το εμβαδόν της βάσης Ε β. Ε ολ = Ε Π + Ε β Στο προηγούμενο σχήμα έχουμε ότι: Ε ολ = Ε Π + Ε β = (Κ B) + (Κ B) + (Κ ) + (Κ ) + (Β). α Εμβαδόν επιφάνειας κανονικής πυραμίδας Όταν η πυραμίδα είναι κανονική, τότε η παράπλευρη επιφάνειά της αποτελείται από ίσα μεταξύ τους ισοσκελή τρίγωνα, τα οποία έχουν όλα ίσες βάσεις και ίσα ύψη. Καθένα από αυτά τα ύψη λέγεται απόστημα της κανονικής πυραμίδας. A Κ B ς υπολογίσουμε το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας μιας κανονικής εξαγωνικής πυραμίδας: Ε Π =(ΚΒ) + (ΚΒ) + (Κ) + (ΚΕ) + (ΚΕΖ) + (ΚΖ) = (ΚΒ). Άρα: Ε Π = Β α = ( Β) α. Όμως, η περίμετρος του κανονικού εξαγώνου ισούται με Β. Τελικά, καταλήγουμε ότι: Ζ Ε Ε Π = (περίμετρος εξαγώνου) απόστημα. Το συμπέρασμα αυτό ισχύει τελικά για κάθε κανονική πυραμίδα: Ε Π = (περίμετρος βάσης) απόστημα Β ια να βρούμε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας της κανονικής πυραμίδας, αρκεί να προσθέσουμε στο εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας Ε Π και το εμβαδόν του κανονικού πολυγώνου, που αποτελεί τη βάση της κανονικής πυραμίδας. Όγκος πυραμίδας Κατασκευάζουμε με χαρτόνι ένα πρίσμα και μια πυραμίδα, έτσι ώστε να έχουν βάσεις ίσα τρίγωνα και ίσα ύψη. ν γεμίσουμε διαδοχικά τρεις φορές με αλεύρι την πυραμίδα και αδειάσουμε το αλεύρι μέσα στο πρίσμα, θα δούμε ότι το πρίσμα γεμίζει τελείως. Η διαπίστωση αυτή ισχύει γενικότερα.

19 .- øª ƒπ (-) : ÂÏ 9 Μέρος Β -.. H πυραμίδα και τα στοιχεία της 9 Επομένως, ο όγκος της πυραμίδας ισούται με το του όγκου του πρίσματος. Ο όγκος V της πυραμίδας ισούται με: E Ζ V = (Eμβαδόν βάσης) (ύψος) O ίδιος τύπος ισχύει για τον όγκο μιας πυραμίδας με βάση οποιοδήποτε πολύγωνο. Β º ƒ ª Μια κανονική πυραμίδα έχει βάση κανονικό δωδεκάγωνο με πλευρά cm. ν το ύψος μιας παράπλευρης έδρας της είναι 9 cm, να βρείτε το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειάς της. Λύση: Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας είναι: Ε π = (περίμετρος βάσης) (απόστημα). Η περίμετρος της βάσης είναι: = 0 (cm) και το απόστημα 9 cm. Άρα: Ε π = 0 9 = 0 (cm ). º ƒ ª Μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα έχει βάση με πλευρά cm και ύψος cm. Να υπολογίσετε τον όγκο της. Λύση: O όγκος της πυραμίδας είναι: V = (εμβαδόν βάσης) (ύψος). φού η πυραμίδα είναι κανονική, η βάση της είναι τετράγωνο πλευράς cm, οπότε το εμβαδόν της βάσης είναι: Ε β = = (cm ). Β Επομένως, V = E β υ = = (cm ). Ε

20 .- øª ƒπ (-) : ÂÏ 0 0 Μέρος Β -.. H πυραμίδα και τα στοιχεία της º ƒ ª Aπό έναν κύβο που έχει ακμή α = 0 cm, αφαιρούμε μια πυραμίδα, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Να υπολογίσετε τον όγκο του στερεού που απομένει. Λύση: Ο όγκος V του στερεού που απομένει, θα βρεθεί, αν από τον όγκο V Κ του κύβου αφαιρέσουμε τον όγκο V Π της πυραμίδας. Έχουμε ότι: V K = α = 0 = 000 (cm ) V Π = Ε β υ = α α = α 000 = =, (cm ). Άρα: V = V K V Π = 000, =, (cm ). α º ƒ ª To έτος.000 π.χ. περίπου οι αρχαίοι ιγύπτιοι έκτισαν την πυραμίδα του Χέοπα, που έχει βάση τετράγωνο πλευράς m και παράπλευρη ακμή 0 m (περίπου). α) Να υπολογίσετε το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας αυτής της πυραμίδας. β) ν γνωρίζουμε ότι το ύψος της είναι m, να υπολογίσετε τον όγκο της πυραμίδας. α ύψος της πυραμίδας Λύση: α) Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας δίνεται από Ο τον τύπο: Ε Π = (περίμετρος βάσης) (απόστημα). ια να υπολογίσουμε το απόστημα ΟΜ της πυραμίδας, εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΟΜ: m ΟΜ = Ο Μ, δηλαδή ΟΜ = 0, =,. Μ Οπότε: ΟΜ =, m. Άρα: Ε π = (περίμετρος βάσης) (απόστημα) m = ( ), = = 9, = 9,9 (m ). β) Ο όγκος είναι: V = (εμβαδόν βάσης) (ύψος), με εμβαδόν βάσης: Ε β = = 9 (m ). Eπομένως: V = 9 = 0, (m ). 0 m B

21 .- øª ƒπ (-) : ÂÏ Μέρος Β -.. H πυραμίδα και τα στοιχεία της.. Η τετραγωνική πυραμίδα και το τετράεδρο έχουν το ίδιο πλήθος εδρών. Κάθε κανονική τριγωνική πυραμίδα είναι κανονικό τετράεδρο. ΣΩΣΤΟ ΛΘΟΣ. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το ανάπτυγμα πυραμίδας.... O αριθμός των εδρών μιας πυραμίδας είναι πάντα άρτιος αριθμός. Σε μια πυραμίδα το ύψος βρίσκεται πάνω στην παράπλευρη επιφάνεια. Στο παρακάτω σχήμα, οι πυραμίδες ΙΕΖΗΘ και ΗΒΖΕ έχουν τον ίδιο όγκο. Β Ι Ζ Η Ε Θ.. 9. Ο λόγος των όγκων μιας πυραμίδας και ενός πρίσματος με ίδια βάση και ίσα ύψη είναι: A: B: : :. Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. Οι παράπλευρες έδρες μιας κανονικής πυραμίδας είναι τρίγωνα: A: Ισόπλευρα Β: Ισοσκελή : Ορθογώνια : Σκαληνά Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. Η πυραμίδα του διπλανού σχήματος έχει βάση: A: Ο Β: ΟΒ : Β : ΟΒ Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. Β Ο

22 .- øª ƒπ (-) : ÂÏ Μέρος Β -.. H πυραμίδα και τα στοιχεία της π Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα που αφορά στα στοιχεία μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας. Ένα τετράεδρο έχει όλες τις ακμές του ίσες με cm. Nα υπολογίσετε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειάς του. ύψος (cm) πλευρά βάσης (cm) απόστημα (cm) εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας (cm ) όγκος (cm ) 0 9 Μια κανονική πυραμίδα έχει βάση τετράγωνο με πλευρά cm και ύψος 0 cm. Να υπολογίσετε τον όγκο της. Μια κανονική εξαγωνική πυραμίδα έχει βάση με πλευρά 9 cm και απόστημα cm. Nα υπολογίσετε το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειάς της. Μια κανονική πυραμίδα έχει βάση τετράγωνο πλευράς 9 cm και το ύψος της παράπλευρης έδρας της είναι cm. Να υπολογίσετε το εμβαδόν: α) της παράπλευρης επιφάνειας, β) της ολικής επιφάνειας της πυραμίδας. Μια τετραγωνική πυραμίδα έχει όγκο 00 cm και ύψος cm. Να υπολογίσετε την πλευρά του τετραγώνου της βάσης της. 9 0 Ο όγκος μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας είναι εννεαπλάσιος από τον όγκο μίας άλλης κανονικής πυραμίδας με την οποία έχει το ίδιο ύψος. Να βρείτε το λόγο των πλευρών των βάσεών τους. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένας κύβος πλευράς α = 0 cm και μια πυραμίδα με βάση μία έδρα του κύβου και ύψος υ = cm. Nα υπολογίσετε τον όγκο του στερεού. Μια κανονική πυραμίδα με βάση εξάγωνο έχει ύψος cm και παράπλευρη ακμή 0 cm. Να υπολογίσετε: α) το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας της πυραμίδας, β) το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας της πυραμίδας, γ) τον όγκο της πυραμίδας. Ο υ K α Μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα έχει απόστημα 0 cm και πλευρά βάσης cm. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειάς της και τον όγκο της.

23 .- øª ƒπ (-) : ÂÏ.. Ο κώνος και τα στοιχεία του Στην καθημερινή μας ζωή έχουμε συναντήσει συχνά την εικόνα ενός κώνου. Πώς μπορούμε όμως να κατασκευάσουμε προσεγγιστικά ένα κώνο; Κ Παίρνουμε ένα κυκλικό στεφάνι ακτίνας ρ. Στη συνέχεια, κατασκευάζουμε από χαρτόνι ίσα ορθογώνια τρίγωνα με μια κάθετη πλευρά ίση με την ακτίνα ρ του στεφανιού. Κολλάμε γύρω από ένα ξυλάκι όλα τα ορθογώνια τρίγωνα που κόψαμε, έτσι ώστε να έχουν την ίδια κορυφή Κ και οι βάσεις τους να «πατάνε» στο στεφάνι. Ε ν «ντύσουμε» με ύφασμα ή χαρτί το σχήμα που κατασκευάσαμε, τότε εμφανίζεται ένας κώνος. Κ K K Β ρ λ λ K A Ο B Ο Β Κ Κώνος λέγεται το στερεό σχήμα που παράγεται από την περιστροφή ενός ορθογωνίου τριγώνου ΚΟ γύρω από μία κάθετη πλευρά του ΚΟ. Β B Κ λ Η βάση του κώνου είναι ένας κυκλικός δίσκος με κέντρο Ο και ακτίνα Ο, την άλλη κάθετη πλευρά του ορθογωνίου ΚΟ. Η ακτίνα Ο = ρ λέγεται ακτίνα του κώνου. Η κάθετη πλευρά ΚΟ γύρω από την οποία περιστρέψαμε το ορθογώνιο τρίγωνο, λέγεται ύψος του κώνου. Η υποτείνουσα Κ του ορθογωνίου τριγώνου λέγεται γενέτειρα του κώνου και το μήκος της συμβολίζεται με λ. Η επιφάνεια που παράγεται από την περιστροφή τής γενέτειρας Κ είναι η παράπλευρη επιφάνεια του κώνου. B Εμβαδόν επιφάνειας κώνου ια να υπολογίσουμε το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας Ε Π του κώνου, αρκεί να παρατηρήσουμε ότι το ανάπτυγμά της προκύπτει «ξετυλίγοντας» τον κώνο, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα.

24 .- øª ƒπ (-) : ÂÏ Μέρος B -.. O κώνος και τα στοιχεία του Παρατηρούμε ότι το ανάπτυγμα της παράπλευρης επιφάνειας του κώνου ισούται με το εμβαδόν ενός κυκλικού τομέα ακτίνας λ με μήκος τόξου = πρ. To εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας ενός κώνου είναι ίσο με το εμβαδόν ενός κυκλικού τομέα, που έχει ακτίνα τη γενέτειρα λ του κώνου και μήκος τόξου το μήκος του κύκλου της βάσης του κώνου. Οπότε: Ε Π = (πρ) λ ή Ε Π = π ρ λ ια να βρούμε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας του κώνου, αρκεί στο εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας Ε Π να προσθέσουμε και το εμβαδόν της βάσης του: E B = πρ. Οπότε: E ολ = Ε Π + Ε β = πρλ + πρ υ ρ Όγκος κώνου Κατασκευάζουμε με χαρτόνι ένα κώνο και ένα κύλινδρο, έτσι ώστε να έχουν την ίδια βάση και το ίδιο ύψος. νωρίζουμε ότι ο όγκος του κυλίνδρου είναι ίσος με πρ υ. ν γεμίσουμε διαδοχικά με αλεύρι τρεις φορές τον κώνο και αδειάσουμε το αλεύρι μέσα στον κύλινδρο, θα δούμε ότι ο κύλινδρος γεμίζει τελείως. υ ρ Επομένως, ο όγκος του κώνου είναι το κυλίνδρου. ηλαδή: V = πρ υ του όγκου του

25 .- øª ƒπ (-) : ÂÏ Μέρος B -.. O κώνος και τα στοιχεία του º ƒ ª Nα βρείτε τον όγκο ενός κώνου με γενέτειρα λ = cm και ύψος cm. cm cm Λύση: Έχουμε ότι: ρ = λ υ = = άρα ρ = (cm) και V = πρ υ =, = (cm ). ρ º ƒ ª H διάμετρος της βάσης ενός κώνου είναι cm και το ύψος του cm. Να υπολογίσετε: α) το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας, β) τον όγκο του. Λύση: α) νωρίζουμε ότι Ε Π = π ρ λ. ια να βρούμε το μήκος της γενέτειρας λ, εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΚΒ: ΟΒ = ΟΚ + ΚΒ = + = 00, άρα λ = ΟΒ = 0 cm και Ε Π =, 0 =, (cm ). β) Έχουμε ότι: V = πρ υ =, = 0, (cm ). K O λ B º ƒ ª O Στον κώνο του διπλανού σχήματος να υπολογίσετε: α) το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας, β) τον όγκο του κώνου. 0 υ λ K ρ=cm A Λύση: Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΚ έχουμε: ρ ημ0 = ή = ή λ = (cm) και λ λ υ υ συν0 = ή = ή υ = ή υ = =,9 (cm). λ α) Το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας του κώνου είναι: Ε ολ = Ε Π + Ε β = πρλ + πρ = π + π = π =, = 0, (cm ). β) Ο όγκος του κώνου είναι: V = πρ υ = π,9 =,0 (cm ).

26 .- øª ƒπ (-) : ÂÏ Μέρος B -.. O κώνος και τα στοιχεία του º ƒ ª Ένας κώνος έχει εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας, cm και γενέτειρα με μήκος 0 cm. Nα υπολογίσετε: α) την ακτίνα της βάσης του, β) το ύψος του, γ) τον όγκο του. K A Λύση: α) Ε Εχουμε ότι Ε Π = πρλ ή ρ = Π, ή ρ = =, άρα ρ = (cm). π λ, 0 β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΚ έχουμε ΟΚ = Ο Κ = 0 =, άρα γ) υ = ΟΚ = (cm). Ο όγκος του κώνου είναι ίσος με: V = πρ υ =, = 0,9 (cm ). O 0 cm.... To ανάπτυγμα της παράπλευρης επιφάνειας ενός κώνου είναι τρίγωνο. Η γενέτειρα λ, το ύψος υ και η ακτίνα ρ του κώνου ικανοποιούν τη σχέση λ = υ + ρ. Η γενέτειρα ενός κώνου είναι πάντα μεγαλύτερη από την ακτίνα. Η βάση ενός κώνου είναι κυκλικός δίσκος. ΣΩΣΤΟ ΛΘΟΣ Η ακτίνα της βάσης ενός κώνου είναι cm και το ύψος του cm. Η γενέτειρά του είναι: A: 0 dm B: 0 cm : m : cm. Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. O όγκος του κώνου είναι π m και η ακτίνα του m. Το ύψος του είναι: A: π m B: m : m : π m. Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. ν διπλασιάσουμε την ακτίνα της βάσης ενός κώνου, τότε η παράπλευρη επιφάνεια: A: διπλασιάζεται B: τετραπλασιάζεται : παραμένει ίδια. Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. ν διπλασιάσουμε την ακτίνα της βάσης ενός κώνου, τότε ο όγκος του κώνου: A: διπλασιάζεται B: τετραπλασιάζεται : παραμένει ίδιος Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. Το ανάπτυγμα της παράπλευρης επιφάνειας ενός κώνου είναι κυκλικός τομέας με ακτίνα cm και γωνία 0. H ακτίνα της βάσης του κώνου είναι: A: cm B: dm : cm : dm. Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. Aν διπλασιάσουμε το ύψος ενός κώνου, τότε ο όγκος του: A: διπλασιάζεται B: τριπλασιάζεται : τετραπλασιάζεται. Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση.

27 .- øª ƒπ (-) : ÂÏ Μέρος B -.. O κώνος και τα στοιχεία του π Συμπληρώστε τα στοιχεία του κώνου που λείπουν στον παρακάτω πίνακα: Ύψος (cm) 0 Aκτίνα βάσης (cm) ενέτειρα (cm) 0 9 Όγκος (cm ). Παράπλευρη επιφάνεια (cm ) 9, Ένας κώνος έχει όγκο V = m. Να υπολογίσετε τον όγκο του κώνου: α) με διπλάσιο ύψος (μόνο), β) με διπλάσια ακτίνα βάσης (μόνο), γ) με διπλάσιο ύψος και διπλάσια ακτίνα βάσης. Ένα δοχείο με σχήμα κώνου που έχει ύψος 0 cm και ακτίνα βάσης 0 cm είναι γεμάτο νερό. δειάζουμε το παραπάνω δοχείο σε ένα άλλο δοχείο, που έχει σχήμα κύβου με ακμή 0 cm. Να εξετάσετε αν θα ξεχειλίσει το νερό ή όχι. Θέλουμε να κατασκευάσουμε μια κωνική σκηνή, η οποία να έχει όγκο τουλάχιστον 0 m. Aν το ύψος της σκηνής είναι m, πόση πρέπει να είναι η διάμετρος της βάσης; Να υπολογιστεί ο όγκος και το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας του στερεού στο διπλανό σχήμα. cm cm cm 9 Να υπολογίσετε: α) το λόγο των παράπλευρων επιφανειών των δύο κώνων που σχηματίζονται, β) το λόγο των όγκων τους. Ένα ισοσκελές τρίγωνο Β με βάση Β περιστρέφεται γύρω από τη βάση του Β, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. ν Β= cm και AB= cm, να υπολογίσετε: α) την ολική επιφάνεια του στερεού που σχηματίζεται, β) τον όγκο του. Β B Η στέγη της κεντρικής σκηνής ενός τσίρκου έχει σχήμα κώνου με διάμετρο βάσης 0 m και ύψος m. Πόσα τετραγωνικά μέτρα πλαστικοποιημένου υφάσματος χρειάστηκαν για την κατασκευή της; B ύο στερεοί κώνοι έχουν κοινή βάση με ακτίνα cm και ύψη cm και cm αντίστοιχα. Να βρείτε τον όγκο του στερεού που σχηματίζεται. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο Β ( =90 ) στρέφεται πρώτα γύρω από την πλευρά Β και έπειτα γύρω από την πλευρά, όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 0 Μια κλεψύδρα σχήματος κώνου «μετρά» το χρόνο αδειάζοντας cm άμμο το λεπτό (min). Aν η ακτίνα της βάσης είναι cm και το ύψος 9, cm, να βρείτε σε πόσο χρόνο θα αδειάσει τελείως η κλεψύδρα;

28 .- øª ƒπ (-) : ÂÏ.. H σφαίρα και τα στοιχεία της Τα διπλανά σχήματα μάς δίνουν την έννοια της σφαίρας. ν έχουμε ένα κυκλικό δίσκο (Ο, ρ) και τον περιστρέψουμε γύρω από μία διάμετρο του Β, παρατηρούμε ότι σχηματίζεται μια σφαίρα. Σφαίρα λέγεται το στερεό σώμα που παράγεται, αν περιστρέψουμε ένα κυκλικό δίσκο (Ο, ρ) γύρω από μία διάμετρό του. Κατά την περιστροφή ο κύκλος δημιουργεί την επιφάνεια της σφαίρας. Επομένως, η απόσταση ενός οποιουδήποτε σημείου της επιφάνειας μιας σφαίρας από το κέντρο Ο είναι ίση με την ακτίνα ρ. Το σημείο Ο λέγεται κέντρο της σφαίρας και η ακτίνα ρ του κύκλου λέγεται ακτίνα της σφαίρας. A Ο B ρ Σχετικές θέσεις επιπέδου και σφαίρας Μία σφαίρα και ένα επίπεδο στο χώρο έχουν τη δυνατότητα να τοποθετηθούν κατά τρεις διαφορετικούς τρόπους, όπως φαίνεται στα διπλανά σχήματα: A α) Να μην τέμνονται μεταξύ τους. β) Να εφάπτονται σε ένα σημείο. γ) Να τέμνονται σε κύκλο. Παρατηρούμε ότι ο κύκλος που αποτελεί την τομή του επιπέδου με τη σφαίρα, «μεγαλώνει» όσο το επίπεδο «πλησιάζει» στο κέντρο της σφαίρας. Όταν το κέντρο της σφαίρας ανήκει στο επίπεδο, τότε ο κύκλος στον οποίο τέμνονται ονομάζεται μέγιστος κύκλος της σφαίρας.

29 .- øª ƒπ (-) : ÂÏ 9 Μέρος Β -.. H σφαίρα και τα στοιχεία της 9 ρ ρ ρ Εμβαδόν επιφάνειας σφαίρας Όπως είδαμε, η επιφάνεια που δημιουργείται από την περιστροφή ενός κύκλου (Ο, ρ) γύρω από μια διάμετρό του, αποτελεί την επιφάνεια της σφαίρας. ρ ρ ρ υ=ρ Είναι εντυπωσιακό το γεγονός ότι πρώτοι οι αρχαίοι Έλληνες με τον ρχιμήδη υπολόγισαν το εμβαδόν της επιφάνειας της σφαίρας και μάλιστα συγκρίνοντάς την με την παράπλευρη επιφάνεια του κυλίνδρου! Ο ρχιμήδης απέδειξε ότι, αν μια σφαίρα «εγγράφεται» σε κύλινδρο, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, τότε η επιφάνεια της σφαίρας είναι ίση με την παράπλευρη επιφάνεια του κυλίνδρου. Επομένως: Ε σφ = πρ υ = πρ ρ ή Ε σφ = πρ Tο προηγούμενο συμπέρασμα διατυπώνεται και ως εξής: Το εμβαδόν της επιφάνειας μιας σφαίρας ισούται με το εμβαδόν τεσσάρων μεγίστων κύκλων της. ρ ρ ρ Όγκος της σφαίρας ρ ρ ρ ρ ς κατασκευάσουμε μια σφαίρα ακτίνας ρ και δύο κυλίνδρους με βάση κύκλο ακτίνας ρ και ύψος υ = ρ. εμίζουμε διαδοχικά με αλεύρι τρεις φορές τη σφαίρα και αδειάζουμε το αλεύρι στους δύο κυλίνδρους. Τελειώνοντας βλέπουμε ότι οι δύο κύλινδροι είναι τελείως γεμάτοι. Επομένως, ο τριπλάσιος όγκος σφαίρας ακτίνας ρ ισούται με τον διπλάσιο όγκο κυλίνδρου με ακτίνα βάσης ρ και ύψος υ = ρ: V σφ = V κ ή V σφ = V κ = πρ (ρ) ή V σφ = J πρ º ƒ ª ίνεται σφαίρα ακτίνας ρ = cm. Να βρείτε: α) το εμβαδόν Ε της επιφάνειάς της, β) τον όγκο της. Λύση: α) νωρίζουμε ότι: Ε σφ = πρ =, = 0, (cm ). β) νωρίζουμε ότι: V σφ = πρ =, =,9 (cm ).

30 .- øª ƒπ (-) : ÂÏ 0 0 Μέρος Β -.. H σφαίρα και τα στοιχεία της º ƒ ª Η επιφάνεια μιας σφαίρας είναι π (m ). Nα βρείτε τον όγκο της. Λύση: νωρίζουμε ότι: Ε σφ = πρ, οπότε π = πρ ή = ρ ή ρ = (m). Aπό τον τύπο υπολογισμού του όγκου της σφαίρας έχουμε: V σφ = πρ = π = 90, (m ). º ƒ ª Nα βρείτε πόσα χρήματα θα χρειαστούμε, για να βάψουμε μία σφαιρική δεξαμενή διαμέτρου δ = 0 m, αν το ένα κιλό χρώμα κοστίζει και καλύπτει επιφάνεια m. Λύση: To εμβαδόν της επιφάνειας της σφαίρας είναι Ε σφ = πρ = π 0 = (m ). Aφού κάθε κιλό χρώμα καλύπτει m, για να καλυφθεί η επιφάνεια των m της σφαίρας χρειάζονται = κιλά χρώμα που κοστίζουν συνολικά =. º ƒ ª Nα βρείτε το εμβαδόν της τομής επιπέδου και σφαίρας κέντρου Ο και ακτίνας R = cm, όταν το επίπεδο απέχει από το κέντρο της σφαίρας απόσταση d = cm. Λύση: Aφού το επίπεδο απέχει απόσταση από το κέντρο της σφαίρας μικρότερη από την ακτίνα της, τότε η τομή είναι κυκλικός δίσκος ακτίνας: ρ = R d = = = (cm). Tότε, το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου είναι: Ε = πρ = π = 0, (cm ). d O ρ R..... To εμβαδόν της επιφάνειας της σφαίρας είναι τετραπλάσιο από το εμβαδόν ενός μέγιστου κύκλου της. Σε μια σφαίρα ακτίνας cm το εμβαδόν της επιφάνειας και ο όγκος της εκφράζονται με τον ίδιο αριθμό. Η τομή σφαίρας και επιπέδου που διέρχεται από το κέντρο της είναι πάντα κύκλος. Η τομή σφαίρας και επιπέδου που δε διέρχεται από το κέντρο της είναι πάντα κύκλος. Το εμβαδόν της επιφάνειας μιας σφαίρας ισούται με το γινόμενο του μήκους ενός μέγιστου κύκλου της με τη διάμετρο αυτής. ΣΩΣΤΟ ΛΘΟΣ

31 .- øª ƒπ (-) : ÂÏ Μέρος Β -.. H σφαίρα και τα στοιχεία της ύο σφαίρες με ακτίνες cm και cm είναι γεμάτες με νερό. ν αδειάσουμε το περιεχόμενό τους σε μία τρίτη σφαίρα με ακτίνα cm, τότε: A: Η τρίτη σφαίρα θα γεμίσει πλήρως. Β: Η τρίτη σφαίρα θα ξεχειλίσει. : Η τρίτη σφαίρα δε θα γεμίσει. Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. ν διπλασιάσουμε την ακτίνα μιας σφαίρας, τότε ο όγκος της: A: ιπλασιάζεται Β: Τριπλασιάζεται : Τετραπλασιάζεται : Οκταπλασιάζεται. Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. Ένα τμήμα Β έχει μήκος cm. Ένα σημείο Σ απέχει cm από το μέσο Μ του ευθύγραμμου τμήματος Β. Τότε: A: Το Σ ανήκει στη σφαίρα διαμέτρου Β. Β: Το Σ ανήκει στο εσωτερικό της σφαίρας διαμέτρου Β. : Το Σ βρίσκεται εξωτερικά της σφαίρας διαμέτρου Β. Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. Το εμβαδόν της επιφάνειας μιας σφαίρας ακτίνας ρ και το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου με την ίδια ακτίνα έχουν λόγο: A: Β: : : Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. Όταν μία σφαίρα ακτίνας ρ «εγγράφεται» σε κύλινδρο, τότε η επιφάνεια της σφαίρας είναι: A: διπλάσια της παράπλευρης επιφάνειας του κυλίνδρου Β: τριπλάσια της παράπλευρης επιφάνειας του κυλίνδρου : τετραπλάσια της παράπλευρης επιφάνειας του κυλίνδρου : ίση με την παράπλευρη επιφάνεια του κυλίνδρου Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. π Να συμπληρώσετε τους πίνακες:. κτίνα σφαίρας (cm) Εμβαδόν επιφάνειας (cm ) Όγκος (cm ) 00 π π Β. ρ: ακτίνα σφαίρας m 0cm,dm dm E: εμβαδόν επιφάνειας σφαίρας V: όγκος σφαίρας π m Η διάμετρος μιας σφαίρας είναι δ = cm. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της επιφάνειας και τον όγκο της σφαίρας.

32 .- øª ƒπ (-) : ÂÏ Μέρος Β -.. H σφαίρα και τα στοιχεία της Να βρείτε το εμβαδόν της επιφάνειας, καθώς και τον όγκο ημισφαιρίου ακτίνας R = m. Mε ποιον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιάσουμε την ακτίνα μιας σφαίρας, ώστε το εμβαδόν της επιφάνειάς της να πολλαπλασιαστεί επί ; επί ; επί 00; Να βρείτε την ποσότητα του χρώματος που χρειάζεται, για να βαφεί σφαιρική δεξαμενή ακτίνας ρ = 0 m, αν το ένα κιλό χρώματος βάφει επιφάνεια m. Tέσσερις κίτρινες μπάλες έχουν ακτίνα cm και πέντε κόκκινες μπάλες έχουν ακτίνα cm. Ποιου χρώματος μπάλες έχουν τη μεγαλύτερη συνολική επιφάνεια και ποιου χρώματος μπάλες έχουν το μεγαλύτερο συνολικό όγκο; 9 Σε κιβώτιο που έχει σχήμα κύβου χωράει ακριβώς μια σφαίρα με ακτίνα 0 cm. Nα βρείτε το μέρος του κιβωτίου που μένει άδειο. ύο σφαίρες έχουν διαμέτρους 0 cm και 0 cm. Να υπολογίσετε τη διάμετρο μιας τρίτης σφαίρας, της οποίας το εμβαδόν της επιφάνειάς της είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των επιφανειών των δύο σφαιρών. Στο παρακάτω σχήμα οι δύο μικρές σφαίρες έχουν διαμέτρους Ο=ΟΒ= cm, και περιέχονται στη μεγάλη σφαίρα κέντρου Ο και ακτίνας ρ = Ο = ΟΒ. Nα βρείτε τον όγκο του γραμμοσκιασμένου στερεού. Ο Β

33 .- øª ƒπ (-) : ÂÏ.. εωγραφικές συντεταγμένες Το σχήμα της ης είναι ελλειψοειδές. ια πρακτικούς λόγους, όμως, θεωρούμε ότι η η είναι σφαίρα και την ονομάζουμε γήινη σφαίρα ή υδρόγειο σφαίρα. Η υδρόγειος σφαίρα περιστρέφεται γύρω από τον εαυτό της, γύρω από ένα νοητό άξονα, ο οποίος περνά από τους δύο πόλους. Ο νοητός αυτός άξονας ονομάζεται άξονας περιστροφής της ης. Ο μέγιστος κύκλος της γήινης σφαίρας, ο οποίος είναι κάθετος στον άξονα περιστροφής, ονομάζεται ισημερινός. Ο ισημερινός χωρίζει τη η σε δύο ημισφαίρια, το Παράλληλος κύκλος Π Βόρειος Πόλος Βόρειο ημισφαίριο βόρειο (συμβολίζεται με το γράμμα Ν από την αγγλική λέξη North που σημαίνει Βορράς) και το νότιο (συμβολίζεται με το γράμμα S από την αγγλική λέξη South που σημαίνει Νότος). Παράλληλος κύκλος υτικό ημισφαίριο Πρώτος μεσημβρινός Π Νότιος Πόλος Π Βόρειος Πόλος Π Νότιος Πόλος Iσημερινός Νότιο ημισφαίριο νατολικό ημισφαίριο Η τομή κάθε επιπέδου, το οποίο είναι παράλληλο προς το επίπεδο του ισημερινού με την επιφάνεια της γήινης σφαίρας, είναι κύκλος με κέντρο πάνω στον άξονα περιστροφής. Έτσι, το βόρειο και το νότιο ημισφαίριο χωρίζονται από παράλληλους προς τον ισημερινό κύκλους, με αποτέλεσμα από κάθε τόπο πάνω στην επιφάνεια της ης να περνά ένας παράλληλος κύκλος, ο οποίος ονομάζεται παράλληλος του τόπου. Το ημικύκλιο με διάμετρο ΠΠ, το οποίο περνά από το αστεροσκοπείο κρήνουϊτς της Μ. Βρεττανίας, ονομάζεται πρώτος μεσημβρινός. Ο πρώτος μεσημβρινός χωρίζει τη γήινη σφαίρα σε δύο ημισφαίρια, το ανατολικό (συμβολίζεται με το γράμμα Ε από την αγγλική λέξη East που σημαίνει ανατολή) και το δυτικό (συμβολίζεται με το γράμμα W από την αγγλική λέξη West που σημαίνει δύση).

34 .- øª ƒπ (-) : ÂÏ Μέρος B -.. εωγραφικές συντεταγμένες πό κάθε τόπο περνά ένα ημικύκλιο με διάμετρο ΠΠ. Το ημικύκλιο ονομάζεται μεσημβρινός του τόπου. Κάθε τόπος χαρακτηρίζεται από δύο διαφορετικές επίκεντρες γωνίες. Στο διπλανό σχήμα, αν είναι το σημείο τομής του ισημερινού με τον πρώτο μεσημβρινό, Π Bοράς (Ν) ο τόπος Τ χαρακτηρίζεται από την επίκεντρη γωνία λ και την επίκεντρη γωνία ω. T Η επίκεντρη γωνία λ ονομάζεται γεωγραφικό μήκος του τόπου και η ω γεωγραφικό πλάτος του τόπου. ύση (W) λ ω νατολή (Ε) νάλογα με τη θέση του τόπου, το γεωγραφικό μήκος χαρακτηρίζεται ως δυτικό (W) ή ως ανατολικό (Ε) (αν ο τόπος βρίσκεται στο ανατολικό ή στο δυτικό ημισφαίριο αντίστοιχα). Π Νότος (S) Επίσης, το γεωγραφικό πλάτος χαρακτηρίζεται ως βόρειο (Ν) ή νότιο (S), αν ο τόπος βρίσκεται στο βόρειο ή στο νότιο ημισφαίριο αντίστοιχα. Έτσι, οι συντεταγμένες μερικών σπουδαίων πόλεων είναι: Ν Ε S W ΘΗΝ,, ΘΕΣΣΛΟΝΙΚΗ 0,,0 ΡΩΜΗ 0,0,0 ΠΡΙΣΙ,,0 ΛΟΝΙΝΟ,9 0, ΣΙΝΕΥ,,0 ΡΙΟ ΝΤΕ ΤΖΝΕΙΡΟ,,0 ΝΕ ΥΟΡΚΗ,0,

35 .- øª ƒπ (-) : ÂÏ Μέρος B -.. εωγραφικές συντεταγμένες π π :  appleôèô Ì ÚÔ ÙË Ë Ó ÓıÚˆappleÔ ı ÎÔ Ù Â ÓfiÙÈ appleúô fiïâ ÙÈ Î Ù ı ÓÛÂÈ ; Â È ÛÙÂ Ó ÛÊ ÈÚÈÎfi ÙÚ ÁˆÓÔ appleô Ó ÂÈ fiïâ ÙÈ ÁˆÓ  ÙÔ ÔÚı. ŒÓ Ù ÍÈ ÈÒÙË appleâúapple ÙÒÓÙ È Û ÈÛ ÌÈ È ÚÔÌ Î È Í Ó Á ÚÈ- Û ÛÙÔ ÛËÌÂ Ô applefi ÙÔ ÔappleÔ Ô ÍÂÎ ÓËÛÂ. Ù ÙË È ÚÎÂÈ ÙË È ÚÔ- Ì ÙÔ ÎÂÊ ÏÈ ÙÔ È Ó ÛÂ, Ì ÙÚ appleâúèûûfiùâú applefi Ù applefi È ÙÔ. Ò Â Ó È Ó ÙfiÓ; ªÈ ÚÎÔ Á Πapplefi ÙË ÛappleËÏÈ ÙË, appleúô Ò- ÚËÛ km ÓfiÙÈ, ÛÙË Û Ó ÂÈ km Ó ÙÔÏÈÎ Î È Ù ÏÔ km fiúâè Î È Í Ó Ú ıëîâ ÛÙË ÛappleËÏÈ ÙË! È ÚÒÌ ÂÈ Ë ÚÎÔ ;

36 .- øª ƒπ (-) : ÂÏ apple Ó ÏË Ë ÂÊ Ï Ô Στερεομετρία Σχετικές θέσεις δύο επιπέδων Οι δυνατές θέσεις δύο διαφορετικών επιπέδων είναι: να είναι παράλληλα, να τέμνονται κατά μία ευθεία. Σχετικές θέσεις ευθειών στο χώρο Όταν έχουμε δύο διαφορετικές ευθείες ε και ζ, τότε οι μόνες δυνατές θέσεις που μπορεί να έχουν είναι: Να είναι παράλληλες, δηλαδή να ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και να μην έχουν κανένα κοινό σημείο. Να τέμνονται, δηλαδή να έχουν μόνο ένα κοινό σημείο. Να είναι ασύμβατες, δηλαδή να ανήκουν σε διαφορετικά επίπεδα και να μην έχουν κανένα κοινό σημείο. Σχετικές θέσεις ευθείας και επιπέδου Οι δυνατές θέσεις μιας ευθείας και ενός επιπέδου είναι: Η ευθεία να περιέχεται στο επίπεδο. Η ευθεία να είναι παράλληλη στο επίπεδο. Η ευθεία να τέμνει το επίπεδο σε ένα σημείο. Ευθεία κάθετη σε επίπεδο Μια ευθεία είναι κάθετη σε ένα επίπεδο, όταν είναι κάθετη σε δύο ευθείες του που διέρχονται από το ίχνος της. Εμβαδόν επιφάνειας πρίσματος Εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας: Ε Π = (περίμετρος βάσης) (ύψος) Ολικό εμβαδόν: Ε ολ = Ε Π + Ε β Εμβαδόν επιφάνειας κυλίνδρου Εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας: Ε Π = πρ υ Ολικό εμβαδόν: Ε ολ = Ε Π + Ε β Όγκος πρίσματος και κυλίνδρου Όγκος πρίσματος: V = (εμβαδόν βάσης) (ύψος) Όγκος κυλίνδρου: V = πρ υ

37 .- øª ƒπ (-) : ÂÏ Πυραμίδα Μια πυραμίδα λέγεται κανονική, αν η βάση της είναι κανονικό πολύγωνο και η προβολή της κορυφής της στη βάση είναι το κέντρο του κανονικού πολυγώνου. Εμβαδόν κανονικής πυραμίδας: Ε Π = (περίμετρος βάσης) (απόστημα) Ε ολ = Ε π + Ε β Όγκος πυραμίδας: V = (εμβαδόν βάσης) (ύψος) Κώνος Κώνος λέγεται το στερεό σχήμα που παράγεται από την περιστροφή ενός ορθογωνίου τριγώνου γύρω από μία κάθετη πλευρά του. Εμβαδόν επιφάνειας κώνου: Ε Π = πρλ Ε ολ = Ε Π + Ε β = πρλ + πρ Όγκος κώνου: V = πρ υ Σφαίρα Σφαίρα είναι το στερεό σχήμα που παράγεται, αν περιστρέψουμε έναν κυκλικό δίσκο γύρω από μια διάμετρό του. Εμβαδόν σφαίρας: Ε σφ = πρ Όγκος σφαίρας: V σφ = πρ

38 A π (-)// :0 ÂÏ π ø ø ª ƒ ÍÈÛÒÛÂÈ ÓÈÛÒÛÂÈ. ÓÓÔÈ ÙË ÌÂÙ ÏËÙ ÏÁ ÚÈÎ apple Ú ÛÙ ÛÂÈ ) ± iii, ) ± iv, Á) ± i, ) ± ii ), ), Á) μ, ) ) ± iv, ) ± i, Á) ± iii, ) ± ii. ÍÈÛÒÛÂÈ ıìô 9 ÂÊ Ï ÈÔ ) 0, ), Á), ), Â) 9, ÛÙ) ), ), Á), ), Â) ) ± iii, ) ± iv, Á) ± i, ) ± ii ) x+, ) (x+y) 9 Á) x+(x ) ) x, ) x+ 9 x 00 ) x, ), Á) y, ) ˆ, Â) x+, ÛÙ) ) x y, ) ˆ+, Á) x y, ) x+ˆ ) = 9, ) μ=, ) =0,, ) μ= ) μªπ:, - Ô ıìfi apple Û ÚÎ ÁÈ Ó ÚÂ, ) μªπ:, - Ô ıìfi apple Û ÚÎ ÁÈ Á Ó Î ÓÔÓÙ ÙËÓ Âapple Ï ıâ ÛË Ú ÛÎÔ Ì fiùè: ) ÂÓ Â Ó È Ï ÛË, ) ÂÓ Â Ó È Ï ÛË, Á) Â Ó È Ï ÛË. ) x=, ) y=, Á) t= ) x=, ) y=, Á) ˆ= ) x=, ) x= 0, Á) x= 9 ) x=, ) y=, Á) ˆ= ) x= 9, ) t= ) x=, ) t= ) x=, ) x=,9 ) È Ì= Ï ÓÔ Ì ÙËÓ ÂÍ ÛˆÛË Ì ÁÓˆÛÙÔ ÙÔ x, ) ÁÈ x= Ï ÓÔ Ì ÙËÓ ÂÍ ÛˆÛË Ì ÁÓˆÛÙÔ ÙÔ Ì, Á) Ó ÙË 0 ) x= Ì appleïâ Ú,, ) x= Ì appleïâ Ú, 9, 9, Á) Ë ÂÍ ÛˆÛË x+=x+ Â Ó È Ó ÙË x=, y=, ˆ=Æ. apple Ï ÛË Ù appleˆó μ L Ú= apple y= P x Ú= E apple y= x Á ˆ= xy x+y t= s = E μ Ï= s s 9 P P h= 0  0 c= Q m ı F r q = k c q S gt 0= t, (V V ) ı= 0 ), ) ı=,æc ) D= ËÌ Ú ) ÁÈ D=0, h=090, m, Á) ÁÈ D=0, h=., m. apple Ï ÛË appleúô ÏËÌ ÙˆÓ Ì ÙË Ú ÛË ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ V 0 μ Ó x Â Ó È ÙÔ Ì ÙÚÔ ÙË ÌÈ ÔÍ ÁˆÓ Î È x ÙÔ Ì ÙÚÔ ÙË Â ÙÂÚË, ÙfiÙ x=0æ Î È x=0æ.

39 A π (-)// :0 ÂÏ 9 apple ÓÙ ÛÂÈ ÙˆÓ ÛÎ ÛÂˆÓ 9 x= m. x=0 ÙË. Ô Ú ÈÎfi appleôûfi Â Ó È 00. appleúòùô Ê ÏÔ apple Ú 00, Ô Â ÙÂÚÔ Ê ÏÔ apple Ú 00, Ô ÙÚ ÙÔ Ê ÏÔ apple Ú 00. Ô appleúòùô ÙÔÎ ÓËÙÔ appleâúè ÂÈ Ï ÙÚ Î È ÙÔ Â ÙÂÚÔ appleâúè ÂÈ Ï ÙÚ. Ó È Ù ÏˆÊÔÚÂ ÙˆÓ ÙfiÌˆÓ Î È ÙˆÓ ÙfiÌˆÓ Ú appleâè Ó ÍËı Π٠m. Ô ˆÚÔÌ ÛıÈÔ ÙÔ ÙÚÔ Â Ó È Î È ÙÔ ÎË. 9 ÛÙÈÏfi Â Ó È. 0 ), ) Ô ÁÒÓ ÚfiÌÔ Â Ó È 0 km, ÙË ÎÔÏ Ì ËÛË, km Î È ÙË appleô ËÏ Û 0 km.. ÓÈÛÒÛÂÈ ıìô 9 0 ) x+<, ) x <, Á) x >, ) x, Â) x, ÛÙ) x ± x, ± x <, ) x>, Ë) x ), ), Á), ), Â), ÛÙ), ), Ë), ı) ) x, ) x>, Á) x<0, ) x. ) ˆ>, ) x 0, Á) 0 y<, ) t< ) x>, ) 0 x>, Á) x>, ) x>, Â) ˆ<, ÛÙ) 0 t> ) <x<, ) x>, Á) ÂÓ apple Ú Ô Ó ÎÔÈÓ Ï ÛÂÈ, ) y>,, Â) <x, ÛÙ) x>9 ) <x 9, ) <x<, Á) x Ì< < Ó x Â Ó È Ù Ú Ì Ù ÙË ª Ú, ÙfiÙ (x ) Â Ó È Ù Ú Ì Ù ÙË ÕÓÓ ÌÂÙ ÙË apple ÓË. Ú appleâè Ó ÁÚ ÂÈ <x 0. È ÚfiÓÔ ÔÌÈÏ x>0 ÏÂappleÙ.,<x<0. ± x ± ÂÊ Ï ÈÔ Ú ÁÌ ÙÈÎÔ ÚÈıÌÔ. ÂÙÚ ÁˆÓÈÎ Ú ıâùèîô ÚÈıÌÔ ), ), Á) μ 9 ±, ±, ±, ±, ± ), ), Á), ), Â), ÛÙ), ), Ë), ı), È) ) μ, ) μ, ), ) ) 9, 0,9, 90, ), 0,, 0, 00, Á),,, 0, 0,, ),, 0,. ), ), Á), ) ) 9, ), Á), ), Â), ÛÙ),,,,9,,0 ÀappleÔÏÔÁ Ô Ì ÙÈ ÙÂÙÚ ÁˆÓÈÎ Ú Â ÍÂÎÈÓÒÓÙ applefi ÙÈ appleïô ÛÙÂÚÂ. x=0, y=, =, =9, Á=, ˆ= ) x=, ) x=, Á) x=, x= 0 9 =, 9 =9 x= 0 =, =, Á=, x= ) α< <, ) α> > Ú ÙËÚÔ Ì fiùè: =. 9 9 Ú ÙËÚÔ Ì fiùè: = Ú ÙËÚÔ Ì fiùè: + +.

40 A π (-)// :0 ÂÏ 0 0 apple ÓÙ ÛÂÈ ÙˆÓ ÛÎ ÛˆÓ. ÕÚÚËÙÔÈ ÚÈıÌÔ Ú ÁÌ ÙÈÎÔ ÚÈıÌÔ ), ), Á), ), Â), ÛÙ) ), ), Á), ) μ ) ÚÚËÙÔ, ÚËÙfi, ) ÚËÙfi, ÚÚËÙÔ, Á) ÚÚËÙÔ, ÚËÙfi, ÚËÙfi ) < < < <, ) << <, Á) <+, ) < + ),, ),, Á),, ), ) x=0, ) x=±, Á) Ó ÙË, ) x=± =, cm ) =, cm, ) =cm. ÚÔ Ï Ì Ù 9 =00 cm =, cm μú ÛÎÔ Ì fiùè =, ª= 0, ª=, ÔapplefiÙ ÙÔ ÙÚ ÁˆÓÔ ª Â Ó È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ. μ =,9 cm Ê ÚÌfi ÔÓÙ ÙÔ ı ÁfiÚÂÈÔ ıâòúëì appleôïôá Ô Ì ÙËÓ ÙÚ ÙË appleïâ Ú ˆ appleôùâ ÓÔ Û ( appleâú appleùˆûë: x= = =,) ˆ Î ıâùë appleïâ Ú ( appleâú appleùˆûë: x=). ) i) appleôùâ ÓÔ Û ÔÚıÔÁˆÓ Ô ÈÛÔÛÎÂÏÔ ÙÚÈÁÒÓÔ Ì Πıâùâ appleïâ Ú cm, ii) appleôùâ ÓÔ Û ÔÚıÔÁˆÓ Ô ÙÚÈÁÒÓÔ Ì Πıâùâ appleïâ Ú cm Î È cm, iii) appleôùâ ÓÔ Û ÔÚıÔÁˆÓ Ô ÙÚÈÁÒÓÔ Ì Πıâùâ appleïâ Ú cm Î È cm. ) ÃÚËÛÈÌÔappleÔÈÔ Ì ٠ÙÌ Ì Ù ÙÔ ÂÚˆÙ Ì ÙÔ ( ).,9 m ÏË Ô ËÁfi ÌappleÔÚÂ Ó Î ÓÂÈ Ó ÛÙÚÔÊ. ) x 0 y ) x 0 y 0 ) x 0 y y=,0x y=00+0,0x 00 ) y=0 x, ) y= x E=x Î È =x. EappleÔÌ Óˆ : x, 0, E, 0,09 0 0, x y )  ÒÚ ı ÂÈ È Ó ÛÂÈ 0 ÈÏÈfiÌÂÙÚ, ÂÓÒ Û ËÌ Ú ı ÂÈ È Ó ÛÂÈ 00 ÈÏÈfiÌÂÙÚ, ) s=0t.. ÚÙÂÛÈ Ó Û ÓÙÂÙ ÁÌ ÓÂ Ú ÊÈÎ apple Ú ÛÙ ÛË Û Ó ÚÙËÛË (, ), μ(, ), (, ), (, ) ËÌÂ Ô Ì/Îfi ˆ Ì/Îfi ˆ Ì/Îfi ˆ appleúô x x appleúô y y appleúô (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) ) ) μ, ), Á) μ, ) ), ), Á), ) ÂÊ Ï ÈÔ Ó ÚÙ ÛÂÈ. ÓÓÔÈ ÙË Û Ó ÚÙËÛË Á Á ( ) ± ii), ( ) ± i), (Á) ± iii) ) x 0 y (, ), μ(, 0), (, ), (0, ), (, ), (, ), (, ), (, 0), π(0, ) ø appleúô x x: A (, ), B (, ). ø appleúô y y: A (, ), B (, ). ø appleúô : A (, ), B (, ). ) (, ) μ(, ) (, ), ) i) A, ii) B, Á) appleô ÂÈÎÓ ÂÙ È ÂÊ ÚÌfi ÔÓÙ ÙÔ ı ÁfiÚÂÈÔ ıâòúëì. ) Î È, ) Î È, Á) Î È 0 ) 0, ), Á), ) 9 Ì ÏÈ Î È h 0 ) cmhg, Á) 0, km 9 ) 9ÆC, Á), km

41 A π (-)// :0 ÂÏ apple ÓÙ ÛÂÈ ÙˆÓ ÛÎ ÛˆÓ. Û Ó ÚÙËÛË y= x ) x ) y 0  ıâ ÙÔ appleúòùô Û Ì ÙÔ ( ) ) x 0 y 0 ) y=x È Ú ÔÓÙ È fiïâ applefi ÙÔ O Î È applefi Ù ÛËÌ (, ), (, ), (, ) ÓÙ ÛÙÔÈ. È Ú ÔÓÙ È Î È ÔÈ Ô applefi ÙÔ O Î È applefi Ù ÛËÌ (, ), (, ) ÓÙ ÛÙÔÈ. 9 s=t. y=x. È Ú ÂÙ È applefi ÙÔ O Î È ÙÔ ÛËÌÂ Ô (, ). =. ) y=,x, Á) i),, ii) x=,. ) y=,x, ) 0$, Á).. Û Ó ÚÙËÛË y= x+  ± y=x+,  ± y=x,  ± y=x, AB ± y=, A ± x=, ± y=, μ ± x= ) μ, ), Á) μ y= x È Ú ÂÙ È applefi ÙÔ Î È ÙÔ ÛËÌÂ Ô (, ). ªÂ apple Ú ÏÏËÏË ÌÂÙ ÙfiappleÈÛË appleúôî appleùô Ó ÔÈ ÏÏÂ Ô Â ıâ Â. ) ıâ appleô È Ú ÂÙ È applefi Ù ÛËÌ (, ) Î È (0, ), ) ËÌÈ ıâ ÌÂ Ú ÙÔ ÛËÌÂ Ô (0, ), Á)  ı ÁÚ ÌÌÔ ÙÌ Ì Ì ÎÚ Ù ÛËÌ (, ) Î È (, ). y=x ) ı ÁfiÚÂÈÔ ıâòúëì ÛÙÔ μ, ) Âapple Ï ıâ ÛË y=0,x+0,. (0, ), (, 0). È Ú ÂÙ È applefi Ù ÛËÌ (, ) Î È (, 0). (, ), μ(, ), (, ), (, ), =Ù.Ì. 9 ) y=00x ) ˆ=0 x, ) y=0x, 0 x 0.. Û Ó ÚÙËÛË y= ) Î È Á) ), ), Á), ) ± y=, ± y= Á ± y=. x x x x y ) =, km/h, ) = ) x y 9 x, y Â Ó È ÓÙÈÛÙÚfiʈ Ó ÏÔÁ. ) y=, x>0. x ÂÚÈÁÚ ÊÈÎ Ù ÙÈÛÙÈÎ. μ ÛÈÎ ÓÓÔÈ ÙË Ù ÙÈÛÙÈÎ : ÏËı ÛÌfi -  ÁÌ Á) ) ) ), ) 0, Á) 0, ), Â), ÛÙ) ), ), Á), ) 0, Â) 9, ÛÙ) 0 ) ) % È ÙÔÓ Â Ó È %, ÁÈ ÙÔÓ «μ» % Î È ÁÈ ÙÔÓ 0% ) 0%, ) 0% ÏËı ÛÌfi : ÙÔ Û ÓÔÏÔ ÙˆÓ Ôapple ÒÓ.  ÁÌ : Ù 000 ÙÔÌ appleô ÚˆÙ ıëî Ó. Ô Â ÁÌ ÂÓ Â Ó È ÍÈfiappleÔÛÙÔ 9 Ô Â ÁÌ appleú appleâè Ó appleôùâïâ Ù È applefi ÓıÚÒappleÔ fiïˆó ÙˆÓ ËÏÈÎÈÒÓ.. Ú ÊÈÎ apple Ú ÛÙ ÛÂÈ ÂÊ Ï ÈÔ t.,.μ,.μ,.,.,.μ,.,.μ,.μ,.,. ) 000 : 0.000, 00 : 0.000, 00 : 0.000, 00 : ÓÔÏÈÎ : 0.000, ),% ) 00 Ì ıëù, ) % ) :0, μ:0, :0, :0 ) Ì ıëù, % ) 0Æ ) Ô Ï ÈÛÙÔÓ 90 ÌÂÏÂÙ ÙÔ 0% ÙˆÓ ÁÔÚÈÒÓ Î È ÙÔ % ÙˆÓ ÎÔÚÈÙÛÈÒÓ. Ô appleôï 0 ÌÂÏÂÙ ÙÔ % ÙˆÓ ÁÔÚÈÒÓ Î È ÙÔ % ÙˆÓ ÎÔÚÈÙÛÈÒÓ. x

42 A π (-)// :0 ÂÏ apple ÓÙ ÛÂÈ ÙˆÓ ÛÎ ÛˆÓ. Ù ÓÔÌ Û ÓÔÙ ÙˆÓ Î È Û ÂÙÈÎÒÓ Û ÓÔÙ ÙˆÓ,, μ,, ÓfiÙËÙ ÂÙÈÎ Û ÓfiÙ. (Âapple ÙÔÈ %) ÓÔÏÔ: ÚÈıÌfi apple È ÈÒÓ ÓfiÙËÙ ÂÙÈÎ Û ÓfiÙ. 0% 0 % % 0% 0% ÓÔÏÔ 0 00% ) ÚÈıÌfi appleô ÛÈÒÓ ÓfiÙËÙ ÂÙÈÎ Û ÓfiÙ.,% 0% 0% % % 0%,% ÓÔÏÔ 0 00% ) ÍËÛË: 00, 00. ªÂ ˆÛË: 00, 00 ) ) ŒÙÔ ÓÔÏÔ ÚÈıÌfi appleúô fióùˆó 0 ÓÔÏÔ AappleÔÙÂÏ ÛÌ Ù π ÓÔÏÔ ÓfiÙËÙ ÂÙÈÎ Û ÓfiÙ. (Âapple ÙÔÈ %) , 0, ÓfiÙËÙ 0 ÓfiÙËÙ ÂÙÈÎ Û ÓfiÙ. (Âapple ÙÔÈ %) ÂÙÈÎ Û ÓfiÙ. (Âapple ÙÔÈ %),,9, 00 ) ) ËÌ ÚÂ, Á), % ) ) %, Á) μ ÌÂ Û ÓfiÙËÙ % ) ) % ) appleôïôáèûù ) M ÚÎ /À ÓfiÙËÙ A 000 B Á) %. Ì ÔappleÔ ËÛË apple Ú ÙËÚ ÛÂˆÓ ÚÈıÌfi ÌËÓ Ì ÙˆÓ 0 ÓÔÏÔ OÌ Ì ÙÔ O A B AB ÓÔÏÔ ˆÛÙ apple ÓÙ ÛÂÈ ÂÙÈÎ Û ÓfiÙ. (Âapple ÙÔÈ %) 0 ÓÔÏÔ ÓÔÏÔ μ,, Ï ÛÂÈ ÓfiÙËÙ ÂÙ. Û ÓfiÙËÙ ÓfiÙËÙ ÓfiÙËÙ ,0 0, ÂÙÈÎ Û ÓfiÙ. (Âapple ÙÔÈ %),,,,, 9,,, 00 ÂÙÈÎ Û ÓfiÙ. (Âapple ÙÔÈ %) 0,,,, 00 0, , 0,

43 A π (-)// :0 ÂÏ apple ÓÙ ÛÂÈ ÙˆÓ ÛÎ ÛÂˆÓ ) Û ÓfiÙËÙ appleô Ï appleâè Â Ó È ) Ï ÛÂÈ ÓfiÙËÙ 0 0 ÓÔÏÔ 0 ) Ï ÛÂÈ 0 ÓfiÙËÙ 0 ÓÔÏÔ 0 ) Ï ÛÂÈ ÓfiÙËÙ ÓÔÏÔ 0 ) ÏÈÎ apple È ÈÒÓ 0 ÓfiÙËÙ 0 ÂÙ. ÓfiÙËÙ % ÓÔÏÔ ) x=, x=, ) i) TÈÌ ÓfiÙËÙ ii) M= 9,9 9 0 ÓÔÏÔ 0 È Û ÓfiÙËÙ ÁÈ ÙËÓ Î ıâ ÎÏ ÛË Â Ó È,,, ÓÙ ÛÙÔÈ.. ª ÛË ÙÈÌ - È ÌÂÛÔ μ ), ), Á) ) x=, ) x=,, Á) x=, ) x= 0 ) =,, ) =, Á) =0, ) = ) x =,9, x Β =,, ) Ì ıëù μ, Á) =, μ =9 ) i) TÈÌ 9 9 ÓÔÏÔ ii) M = 0,. iii) H ÙÈÌ ª. ÓfiÙËÙ 0 ) x=99,9, ) =00, Á) x =00, ) ÂÚÌÔÎÚ Û ÓfiÙËÙ ÂÙ. ÓfiÙËÙ % 0,, 9 0 0, 0 ÓÔÏÔ 0 00 ) x =, =

44 A π (-)// :0 ÂÏ apple ÓÙ ÛÂÈ ÙˆÓ ÛÎ ÛÂˆÓ ª ƒ μ ÂÊ Ï ÈÔ Ì Âapple appleâ ˆÓ Û ËÌ ÙˆÓ ı ÁfiÚÂÈÔ ıâòúëì. Ì fió Âapple appleâ Ë ÂappleÈÊ ÓÂÈ Ô Û Ì. È Ù ÙÚ Ô Ó ÂÌ fió 9. ) ) 0 mm =0,00 m 0 cm =0,0 m, dm =0, m 0 mm <0 cm <, dm <0, m <0, m ) dm =0, m 0 mm =0,0 m cm =0, m 0 mm < cm < dm <, m ) m, ) km, Á) ÛÙÚ ÌÌ, ) cm, Â) cm. Ì Âapple appleâ ˆÓ Û ËÌ ÙˆÓ ),, μ,,, μ,, μ,,,,,, μ,, 9, 0,. ªÔÓ Â Ì ÙÚËÛË ÂappleÈÊ ÓÂÈÒÓ μ μ μ μ 9μ 0 cm =0,00 m cm =0,0 m km =.000 m 0 dm =, m 0 mm =0,0 m dm =, m 0 mm =0,00 m 9 km = m m =0.000 cm dm =.00 cm m = cm m = cm km = cm 0 mm =, cm km = cm km = mm m = mm dm =0.000 mm cm =.00 mm mm =0, km cm =0, km dm =0,0000 km mm =0, km 0 m =0,000 km 9 0 = cm =.00 cm ÀappleÔÏÔÁ Ô Ì ÙÔ ÂÌ fió ÙÔ ÚÔ Û Ì ÙÔ Î È ÙÔ ÂÌ fió ÙÔ Î ÙÚÈÓÔ Û Ì ÙÔ, Ù ÔappleÔ Â Ó È Û ÌÂ. ) Ú ÙËÚÔ Ì ÙÈ È ÛÙ ÛÂÈ ÙÔ ÙÚÈÁÒÓÔ. ) ÁÎÚ ÓÔ Ì ٠ÂÌ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ Ì ÙÔ ÂÌ fió ÙÔ ÙÂÙÚ ÁÒÓÔ. Ó È = =x +x. = cm Ô ÎfiÛÙÔ ı Â Ó È.,. ÁÎÚ ÓÔ Ì ÙÈ È ÛÙ ÛÂÈ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ Ì ÙÈ È - ÛÙ ÛÂÈ ÙˆÓ ÔÚıÔÁˆÓ ˆÓ. ) È appleïâ Ú ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ Â Ó È m Î È (0 x) m, ) x= m. ) ÁÎÚ ÓÔ Ì ٠ÂÌ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ Ì ÙÔ ÂÌ - fió ÙÔ ÙÂÙÚ ÁÒÓÔ. ) ÁÎÚ ÓÔ Ì ٠(ª μ), ( μ) Ì ٠(ª μ), ( μ) ÓÙ ÛÙÔÈ. = cm = cm =, cm = cm = cm = cm =9 cm = cm 9 =, cm 0 =0 cm = cm = cm ( μ )=, cm x=0 cm, x= cm, x=0 cm, x= cm. E=0 cm, E= cm, E= cm, E= cm, E= cm, E=, cm.

45 A π (-)// :0 ÂÏ apple ÓÙ ÛÂÈ ÙˆÓ ÛÎ ÛÂˆÓ =9 Ù.Ì. ) Û Ï = m ÎÔ = m ÁÚ Ê =9 m wc =, m appleó = m Ìapple Ï =, m appleó =0 m ) È =0, m, Á) ÂÚ =9 m ) 00, ) ÎÏ Ì Ù ) B = (90 x) cm, ) ÂÊı =, Á) ÂÊı =. 90 x x ) ÎÏ ÛÌ Ù ÙˆÓ ÂÚˆÙËÌ ÙˆÓ ( ) Î È (Á) Â Ó È Û ÁÈ x =, cm.. HÌ ÙÔÓÔ Î È Û ÓËÌ ÙÔÓÔ ÔÍ ÁˆÓ. ı ÁfiÚÂÈÔ ıâòúëì μ = m, E =, m, E =0, m. Ê ÚÌfi Ô Ì ÙÔ ı ÁfiÚÂÈÔ ıâòúëì. ) Ê ÚÌfi Ô Ì ÙÔ ı ÁfiÚÂÈÔ ıâòúëì ÁÈ ÙËÓ ÙÚÈ cm, cm, 0 cm. ) Ê ÚÌfi Ô Ì ÙÔ ı ÁfiÚÂÈÔ ıâòúëì ÁÈ ÙÈ ÙÚÈ Â cm, cm, 0 cm Î È cm, cm, cm. = dm =, m appleô ÂÈÎÓ Ô Ì fiùè Ë ÁˆÓ Â Ó È ÔÚı Ì ÂÊ ÚÌÔÁ ÙÔ ı ÁfiÚÂÈÔ ıâˆú Ì ÙÔ. =0 dm, E=9 dm x= m. 9 È ÙÔappleÔıÂÛ Â,. ) ) μ Á) ) μ μ ) Î È ÛÙ) ), ), Á), ), Â), ÛÙ), ), Ë), ı) ) μ, Û Ó μ = ) μ, ËÌ μ = μ μ Á), Û Ó =. ) ËÌ =, Û Ó =, ËÌ =, Û Ó = ) ËÌ = 0,9, Û Ó = 0,, ËÌ =0,, Û Ó = 0,9 Á) ËÌ Β = 0,9, Û Ó Β = 0,, ËÌ =0,, Û Ó = 0,9 Ë̈ =. ÃÚËÛÈÌÔappleÔÈÔ Ì ÙÈ ÓÈÛfiÙËÙ Ë̈ < Î È Û Óˆ <. = m, A = m, μ = 9 m. ÂÊ Ï ÈÔ ÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚ - È Ó ÛÌ Ù. Ê appleùôì ÓË ÔÍ ÁˆÓ ) μ, ) ı ±, ʱ, ˆ ±, y ± ) x =,9 cm ) x =,9 cm Á) x =, cm ) x = 0 cm ÚÁ fiì ÛÙ fiappleˆ ÛÙËÓ ÂÊ ÚÌÔÁ. Œ Ô Ì fiùè: =,9 cm, μ = m, Β= 0Æ, ÂÌ fió =, cm Î È = 0, cm (ÙÔ Ô applefi ÙÔ ). applefiûù ÛË Â Ó È,9 m. h = 0, m. ÚÙ ÂÙfi Ú ÛÎÂÙ È ÛÂ Ô 0, m.. MÂÙ ÔÏ ËÌÈÙfiÓÔ, Û ÓËÌÈÙfiÓÔ Î È ÂÊ appleùôì ÓË ) ) ) ) Á) ) Â) ÛÙ) ) x =,0 cm ) x =, cm Á) x =, cm ) x =,0 cm ) x =, cm Á) x =, cm ) x =,9 cm Â) x =,9 cm. Ì ÎË ÙˆÓ Û ÚÌ ÙfiÛ ÔÈÓˆÓ appleô ÓÙÈÛÙÔÈ Ô Ó ÛÙÈ ÁˆÓ Â Æ Î È 0Æ Â Ó È 9, m Î È, m ÓÙ ÛÙÔÈ. = 0 m, μ = 9, m ) ËÌÆ > ËÌÆ > ËÌ0Æ > ËÌÆ ) Û Ó0Æ> Û ÓÆ > Û ÓÆ > Û ÓÆ Á) ÂÊ9Æ > ÂÊÆ > ÂÊÆ > ÂÊÆ B =, m, =, m = 9, m, ª =,9 m = Û Ó9,0Æ

46 A π (-)// :0 ÂÏ apple ÓÙ ÛÂÈ ÙˆÓ ÛÎ ÛˆÓ. È ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ ÚÈıÌÔ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ 0Æ, Æ, Î È 0Æ ) ±i), ) ±iii), Á) ±i), ) ±v), Â) ±iii), ÛÙ) ±v) μ ), ), Á), ), Â) 0 0 ) = = ) = cm = cm ) Ê ÚÌfi ÔÓÙ ÙÔ ı ÁfiÚÂÈÔ ıâòúëì appleô- ÂÈÎÓ Ô Ì fiùè ÙÔ ÙÚ ÁˆÓÔ Â Ó È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÛÙÔ μ. ) ËÌ = Û Ó = ÎÙÂÏÔ Ì ÙÈ appleú ÍÂÈ ÌÂÙ applefi ÓÙÈÎ Ù ÛÙ ÛË ÙˆÓ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÒÓ ÚÈıÌÒÓ. ) = ) = Á) = μ = 9 m AB = m, = m μ + μ + = ++ m )ı = 0Æ ) = m Á) = 9, m 9 = + 0 = + ÚÒÙÔ ı Êı ÛÂÈ ÙÔ ÛappleÔ ÚÁ ÙÈ applefi ÙÔ μ.,9 m. H ÓÓÔÈ ÙÔ È Ó ÛÌ ÙÔ ) ± = ±, ± Á = ± ±  = ± Î È i = ± Î ) ± ± ± Á, ±, Á) È, Î ± = 0 cm, ± = cm, Á ± = cm, ± = cm Ú ÙËÚÔ Ì fiùè ÙÔ μ Â Ó È apple Ú ÏÏËÏfiÁÚ ÌÌÔ. ± ± ± ± ± ± ) (F, F, F ) Î È (F, F, B ) ± ± ± ± ± ± ± ± ) (F, F), (F, F), (F, F ), ( μ, F ), ± ± Á) F, F ± ± ) F, F.. ÕıÚÔÈÛÌ Î È È ÊÔÚ È Ó ÛÌ ÙˆÓ ), ) μ, Á), ) μ, Â) ) μ ± + B ± = ±, ) μ ± = B ± + ±, Á) μ ± ± = μ ±, ) ± = μ ± + B ± + ± μ ), ), Á), ) μ Ê ÚÌfi Ô Ì ÙË Ì ıô Ô ÙÔ appleôï ÁÒÓÔ ÙÔ apple Ú ÏÏËÏÔÁÚ ÌÌÔ. ) ±, ) ± 0, Á) ± ) ±, ) B ±, Á) ± ) ±, ), Á) ±, ) Ó È Û ÔÈ È ÊÔÚ ), Á) Î È ) ). ) ±, ) μ ±, Á) ±, ) ± ÃÚËÛÈÌÔappleÔÈÔ Ì ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ ª ± = ªμ ± ÊÔ ÙÔ ª Â Ó È Ì ÛÔ ÙÔ μ. 0 ÃÚËÛÈÌÔappleÔÈÔ Ì ÙÈ ÈÛfiÙËÙ = ± Î È ª ± = μª ±... Ó Ï ÛË È Ó ÛÌ ÙÔ ÛÂ Ô Î ıâùâ Û ÓÈÛÙÒÛ ), ), Á), ), Â) ), ), Á), ), Â) ) μ ± = ± = ± = ± ) ± = μ ± = ± = ± Á) μ ± = ± = ± = ± ) )μ, ), Á) μ μ ± F = 000 ± μ = μ ± = 00 ± μ =00 ÿû : μ ± = ±, μ ± = ±, ± = ± ÓÙ ıâù : μ ± Î È ±, μ ± Î È ±, ± Î È ± ÿû : ı ±, ± ÓÙ ıâù : Ï ±, ± ÂÓ Â Ó È Û.

47 A π (-)// :0 ÂÏ apple ÓÙ ÛÂÈ ÙˆÓ ÛÎ ÛÂˆÓ ÂÊ Ï ÈÔ ª ÙÚËÛË Î ÎÏÔ appleô ÂÈÎÓ Ô Ì fiùè fiïâ ÔÈ appleïâ Ú Â Ó È Û ÌÂ, fiappleô = μ Î È appleôïôá Ô Ì ÙÈ ÁˆÓ Â... ÁÁÂÁÚ ÌÌ Ó ÁˆÓ Â.. ª ÎÔ Î ÎÏÔ ÁÁÂÁÚ ÌÌ Ó :, Ë apple ÎÂÓÙÚ : Á, Â, ı )μ, ) ), ) μ, Á) μ, ) ), ), Á) μ, ) AÎÙ Ó Ú 9 M ÎÔ,,,,,, Î ÎÏÔ L B ) Ê = 0Æ, ˆ = 0Æ ) Ê = 0Æ, ˆ = 0Æ Á) Ê = 0Æ, ˆ = 0Æ Μμ = Æ ΜN=9Æ Ê = 0Æ AB = 0Æ, Β = Æ, Β = Æ, = Æ = 0Æ, μ = 0Æ, μ = cm, = cm. x = Æ, y = 0Æ 9 = 0Æ, μ = 0Æ, = 0Æ, = 0Æ Ê = 0Æ. ÓÔÓÈÎ appleôï ÁˆÓ ) ) μ Á) μ ) μ Â) ) ) Á) )μ ) μ Á) ) μ Â) μ ÛÙ) appleï ıô ÁˆÓ ÎÂÓÙÚÈÎ appleïâ ÚÒÓ Î ÓÔÓÈÎÔ ÁˆÓ appleôï ÁÒÓÔ 0Æ 0Æ 0Æ Æ 0Æ 0Æ 0 Æ Æ OÈ ÏfiÁÔÈ Â Ó È: =, =, =. = apple, = apple, = apple Ú Ú È ÊÔÚ Â Ó È 0. apple Ú = 0, m ), cm ) apple ) appleúô ) appleúô, cm ÛÙÚÔÊ, ÛÙÚÔÊ.9, km. M ÎÔ ÙfiÍÔ L Ú L apple apple 90Ʊ, 0Ʊ, 0Ʊ apple apple 0Ʊ, apple Ʊ, 0Ʊ apple fiíô Û ÌÔ Ú 0Æ 90Æ Æ Æ 00Æ 0Æ 0Æ 0Æ fiíô Û ÎÙ ÓÈ L L apple apple L apple L L apple apple 9 L L apple apple apple ÎÂÓÙÚÈÎ ÁˆÓ Æ 0Æ Æ 0Æ ÁˆÓ Î ÓÔÓÈÎÔ appleôï ÁÒÓÔ Æ 0Æ 0Æ 0Æ fiíô Û ÌÔ Ú 0Æ Æ 0Æ 0Æ 0Æ fiíô Û ÎÙ ÓÈ apple apple apple apple = apple =, cm =, cm apple Ó = 0 ˆ = 0Æ, Ê = 0Æ Ó = ) ÂÓ apple Ú ÂÈ, ) ÂÓ apple Ú ÂÈ. ÚÁ fiì ÛÙ fiappleˆ ÛÙËÓ ÂÊ ÚÌÔÁ. Ô ÙÂÙÚ ÁˆÓÔ ÂÈ ÁˆÓ ÛË Ì ÙËÓ ÎÂÓÙÚÈÎ ÙÔ ÁˆÓ. Ú = 0 cm E Ó È Û ÌfiÓÔ Ó Â Ó È ÙfiÍ ÙÔ ÈÔ ÛˆÓ Î ÎψÓ. apple apple apple μ = cm, = cm, = cm

48 A π (-)// :0 ÂÏ apple ÓÙ ÛÂÈ ÙˆÓ ÛÎ ÛˆÓ. Ì fió Î ÎÏÈÎÔ ÙfiÍÔ μ μ ÎÙ Ó Ú Î ÎÏÔ cm cm, cm 00 EÌ fió Î ÎÏÔ,cm,cm 9,cm 9cm AÎÙ Ó Ú ª ÎÔ L EÌ fió cm, cm, cm cm, cm, cm cm, cm, cm cm, cm 0, cm Ú cm,ú cm,ú cm Ú cm,ú cm,ú cm Ú cm,ú cm,ú cm Ú cm,ú cm 0,Ú cm Ú = 0 cm E =, cm L =, cm, E =, cm Ù ÛÎÂ Ô Ì ΠÎÏÔ Ì ÎÙ Ó Ú =, cm. Ú =,9 cm E = 0, m = cm E =, cm, cm. ˆÌÂÙÚÈÎ ÛÙÂÚ ª ÙÚËÛË ÛÙÂÚÂÒÓ. ıâ Â Î È Âapple appleâ ÛÙÔ ÒÚÔ ÂÊ Ï ÈÔ μ 9 ) μ,,,, ),,, Á),, μ, ) Ú ÏÏËÏÔ Â Ó È ÙÔ Âapple appleâ Ô appleô ÔÚ ÂÙ È applefi ÙÈ Â ıâ Â,, ) Âapple appleâ appleô ÔÚ ÔÓÙ È applefi Ù Â ÁË (, ), (, ) Î È (, ) Ù ÌÓÔ Ó ÙÔ p ÛÙÈ, Î È ÓÙ ÛÙÔÈ. μ = 0, = cm ) E Ó È Î ıâùâ ÛÙ ÙÂÌÓfiÌÂÓ Â ÁË (, μ ) Î È ( μ, ) ÛÙ ÛËÌ ÙÔÌ ÙÔ, ÓÙ ÛÙÔÈ. ) = cm 9 m.. ÙÔÈ Â Î È ÂÌ fió appleú ÛÌ ÙÔ Î È Î Ï Ó ÚÔ. Ì fió Î ÎÏÈÎÔ ÙÔÌ ÎÙ Ó Î ÎÏÔ ÁˆÓ Î ÎÏÈÎÔ ÙÔÌ ÂÌ fió Ú = cm Ì = 0Æ apple = cm Ú = cm Ì = Æ = apple cm Ú = cm Ì = 0Æ = apple cm Ú = 9 cm, E = apple cm μ Ì = Æ Ú =,9 m =, cm = 0, cm =, cm = 9 cm ) =, cm ) =, cm Á) = 0, cm ) =, cm Â) =, cm =, cm 9 ), ) μ, Á) μ, ) μ, ) μ, ), ) ÂÚ ÌÂÙÚÔ ÛË 0, Ô 0, 0 EÌ fió apple 0 0 apple = cm Á apple ÎÈÏ ÚÒÌ, ÔÏ = 0 + cm ÃÚÂÈ ÛÙËÎ Ó m Ê ÛÌ. ) apple = 9, cm Î È ÔÏ = 0, cm ) apple =, cm Î È ÔÏ = 00, cm Á) apple = 0, cm Î È ÔÏ =, cm ) apple = 0, cm Î È ÔÏ = 0, cm ÎÙ Ó ÛË (cm) 0 0 Ô Î Ï Ó ÚÔ (cm) 9 ÂÌ fió apple (cm ) 9, 0,,,, oïèîfi ÂÌ fió (cm ) 0,, 90,,, 9, C

49 A π (-)// :0 ÂÏ 9 apple ÓÙ ÛÂÈ ÙˆÓ ÛÎ ÛÂˆÓ 9. ŸÁÎÔ appleú ÛÌ ÙÔ Î È Î Ï Ó ÚÔ Ì fió ÛË (cm) Ô (cm) fiáîô (cm ) Ì fió ÛË (cm) Ô (cm) fiáîô (cm ) ) apple = 0 cm ) ÔÏ = cm Á) V = 0 cm V = cm AÓÙÈÎ ıèûùô Ì ٠ ÔÌ Ó ÛÙÔÓ Ù appleô ÙÔ ÔÏ. ) = cm, appleâú ÌÂÙÚÔ = cm ) μ = cm, = 0 cm Ú =, cm, V = 0, cm ) 0apple cm ) 0000 mm, mg apple ÛÛ Ô Î Ï Ó ÚÔ cm cm cm cm ÂÌ fió apple Ú appleï. apple apple cm apple cm apple cm apple cm oïèîfi ÂÌ fió ÔÏ apple cm apple cm 0apple cm 9apple cm fiáîô V apple cm apple cm 9apple cm apple cm.. apple Ú Ì Î È Ù ÛÙÔÈ Â ÙË.. ÎÒÓÔ Î È Ù ÛÙÔÈ Â ÙÔ μ μ 9 0 Ô (cm) ÎÙ Ó ÛË (cm) ÁÂÓ ÙÂÈÚ (cm) fiáîô (cm ) ÂÌ.apple Ú appleï. ÂappleÈÊ. (cm ) ) m, ) m, Á) m To ÓÂÚfi ÂÓ ı Í ÂÈÏ ÛÂÈ. TÔ Ï ÈÛÙÔÓ m. V ÔÏ = 0, cm, E ÔÏ =, cm V = cm Ε ) V =, β) Β = Β Ε,, V 0 0,, ) E oï = 0, cm, ) V ÔÏ = cm 9 0 m Ê ÛÌ. 0 ÂÚ appleô 0 min... H ÛÊ Ú Î È Ù ÛÙÔÈ Â ÙË 0, 0, 9,,, 9, μ Ô (cm) appleïâ Ú ÛË (cm) applefiûùëì (cm) ÂÌ. apple Ú.ÂappleÈÊ.(cm ) fiáîô (cm ) 0 0, 0, 9 V = 0 cm E apple = cm ) apple = cm ) ÔÏ = cm =, cm 9 E apple = 0 cm, V = cm E ÔÏ =, cm V Ó α = τότε =. V 9 α V = 00 cm 0 ) apple = cm ) ÔÏ =, cm Á) V= 9, cm A. ÎÙ Ó ÛÊ Ú (cm) ÂÌ fió ÂappleÈÊ ÓÂÈ (cm ) B. Ú E V fiáîô (cm ) m apple m apple m 0cm 00apple cm 000 apple cm apple apple = 0, cm, V =, cm apple apple 0 00apple 000 apple apple apple,dm dm m 0,9apple dm apple dm apple m,9apple dm,apple dm apple m = 00, m, V =,9 m MÂ,, 0 ÓÙ ÛÙÔÈ. ÎÈÏ ÚÒÌ. È Î ÙÚÈÓ Ìapple ÏÂ Ô Ó ÌÂÁ Ï ÙÂÚË Û ÓÔÏÈÎ ÂappleÈ- Ê ÓÂÈ Î È ÌÂÁ Ï ÙÂÚÔ Û ÓÔÏÈÎfi fiáîô. fiáîô appleô appleôì ÓÂÈ Â Ó È.0 cm. = 0 cm 9 V = 00,9 cm.

50 A π (-)// :0 ÂÏ 0 ευρετήριο όρων A δύνατη εξίσωση Άθροισμα διανυσμάτων κμές πρίσματος Άκρα της κλάσης κτίνα κώνου κτίνα σφαίρας κτίνιο (rad) λγεβρική παράσταση ναγωγή ομοίων όρων νατολικό ημισφαίριο της ης νίσωση ντίθετα διανύσματα ντιπροσωπευτικό δείγμα ντίστοιχο τόξο εγγεγραμμένης γωνίας... Άξονας περιστροφής της ης παλοιφή παρονομαστών πογραφή πόσταση παράλληλων επιπέδων πόσταση σημείου από επίπεδο ριθμητική παράσταση Άρρητοι αριθμοί σύμβατες ευθείες B Βαθμωτά μεγέθη Βάσεις πρίσματος Βάση πυραμίδας Βόρειο ημισφαίριο της ης ενέτειρα κυλίνδρου ενέτειρα κώνου εωγραφικό μήκος ενός τόπου εωγραφικό πλάτος ενός τόπου ήινη σφαίρα ραφική παράσταση συνάρτησης ωνία κανονικού πολυγώνου είγμα ειγματοληψία ημοσκόπηση ιαδοχικά διανύσματα ιαλογή των παρατηρήσεων ιάμεσος ιάνυσμα ιανυσματικά μεγέθη ιαφορά διανυσμάτων ιεύθυνση διανύσματος ιπλή ανίσωση υτικό ημισφαίριο της ης Ε Εγγεγραμμένη γωνία σε κύκλο Εικονόγραμμα Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας Εμβαδόν επιφάνειας κανονικής πυραμίδας Εμβαδόν επιφάνειας πυραμίδας Εμβαδόν επιφάνειας σφαίρας Εμβαδόν κυκλικού δίσκου Εμβαδόν κυκλικού τομέα Εμβαδόν ολικής επιφάνειας κώνου Εμβαδόν ορθογωνίου Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου Εμβαδόν παραλληλογράμμου Εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας κυλίνδρου Εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας πρίσματος Εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας κώνου Εμβαδόν τετραγώνου Εμβαδόν τραπεζίου Εμβαδόν τυχαίου τριγώνου Εξίσωση Εξίσωση ευθείας Επιμεριστική ιδιότητα Επίπεδο Επιφάνεια σφαίρας Ευθεία

51 A π (-)// :0 ÂÏ E ÚÂÙ ÚÈÔ fiúˆó Ευθεία κάθετη σε επίπεδο Ευθεία των πραγματικών αριθμών Εφαπτομένη γωνίας Η Ημίτονο γωνίας Ίσα διανύσματα Ισημερινός της ης Ιστόγραμμα Ίχνος ευθείας σε επίπεδο Κανονική πυραμίδα Κανονικό πολύγωνο Κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου.. Κέντρο σφαίρας Κέντρο της κλάσης Κλάσεις Κλίση ευθείας Κορυφή πυραμίδας Κυβικό δεκατόμετρο ( dm ) Κυβικό εκατοστόμετρο ( cm ) Κυβικό μέτρο ( m ) Κυβικό χιλιοστόμετρο ( mm ) Κυκλικό διάγραμμα Κυκλικός τομέας Κύλινδρος Κώνος Λίτρο Μέγεθος του δείγματος Μέγιστος κύκλος σφαίρας Μεσημβρινός ενός τόπου Μέση τιμή Μέσος όρος Μεταβλητή (Άλγεβρα) Μεταβλητή (Στατιστική) Μέτρο διανύσματος Μηδενικό διάνυσμα Ι Κ Λ Μ Μήκος κύκλου Μήκος τόξου Μονόμετρα μεγέθη Ν Νότιο ημισφαίριο της ης Ο Όγκος κυλίνδρου Όγκος κώνου Όγκος πρίσματος Όγκος πυραμίδας Όγκος σφαίρας Όγκος σώματος Ολικό εμβαδόν κυλίνδρου Ολικό εμβαδόν πρίσματος Ομαδοποίηση παρατηρήσεων Ορθό πρίσμα Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Π Παράλληλα επίπεδα Παράλληλος ενός τόπου Παράπλευρες έδρες πρίσματος Παράπλευρες έδρες πυραμίδας Παράπλευρη επιφάνεια κυλίνδρου Παράπλευρη επιφάνεια κώνου Παρατηρήσεις (Στατιστική) Περιγεγραμμένος κύκλος πολυγώνου... Πίνακας κατανομής συχνοτήτων Πίνακας τιμών συνάρτησης Πληθυσμός Πολύγωνο Πολύγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο..... Ποσά ανάλογα Ποσά αντιστρόφως ανάλογα Πραγματικοί αριθμοί Πρώτος μεσημβρινός της ης Πυθαγόρειο θεώρημα Πυραμίδα Ρ Ραβδόγραμμα Ρητές προσεγγίσεις άρρητου αριθμού....

52 A π (-)// :0 ÂÏ E ÚÂÙ ÚÈÔ fiúˆó Σ Στρέμμα Συνάρτηση Συνημίτονο γωνίας Συνιστώσες διανύσματος Συντεταγμένες σημείου Σύστημα ορθογώνιων αξόνων Συχνότητα μιας τιμής Σφαίρα Σχετική συχνότητα μιας τιμής Τ Ταυτότητα Τεταγμένη σημείου Τεταρτημόρια Τετμημένη σημείου Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνικό δεκατόμετρο ( dm ) Τετραγωνικό εκατοστόμετρο ( cm ).... Τετραγωνικό μέτρο ( m ) Τετραγωνικό χιλιόμετρο ( km ) Τετραγωνικό χιλιοστό ( mm ) Τετράεδρο Τετραπλευρική πυραμίδα Τομή επιπέδων Τριγωνική πυραμίδα Υ Υπερβολή Ύψος κυλίνδρου Ύψος κώνου Ύψος πρίσματος Ύψος πυραμίδας Φ Φορά διανύσματος Χ Χιλιοστόλιτρο Χρονόγραμμα

Γεωμετρικά Στερεά. Mέτρηση Στερεών. º π 4 Ô ΜΕΡΟΣ Β

Γεωμετρικά Στερεά. Mέτρηση Στερεών. º π 4 Ô ΜΕΡΟΣ Β ΜΕΡΟΣ Β º π Ô εωμετρικά Στερεά H εωμετρία του Xώρου αποτελεί ένα από τα πιο ενδιαφέροντα κεφάλαια, εξαιτίας των πολλών εφαρμογών της στην καθημερινή ζωή. Mέτρηση Στερεών Θα μας απασχολήσει η μελέτη στερεών

Διαβάστε περισσότερα

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος.

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Ενότητα 5 Στερεομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων 9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Β -- ΓΕΩΜΕΤΡΙΙΑ Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων Β. 1. 1 44. Τι ονομάζεται εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας και από τι εξαρτάται; Ονομάζεται εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α 2 Ô. º π. Πραγματικοί αριθμοί

ΜΕΡΟΣ Α 2 Ô. º π. Πραγματικοί αριθμοί ΜΕΡΟΣ Α º π Ô Πραγματικοί αριθμοί ΕΙΣΑΩΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ª ÚÈ ÙÒÚ Ô ÌÂ Û Ó ÓÙ ÛÂÈ Ê ÛÈÎÔ, Î Ú ÈÔ Î È ÚËÙÔ ÚÈıÌÔ. ÙÔ ÙÂÏÂ Ù Ô Â ÌÂ ÂÍÂÙ ÛÂÈ ÙË ÂÎ ÈÎ ÙÔ apple Ú ÛÙ ÛË, Ë ÔappleÔ Ù Ó ÁÓˆÛÙ ÛÂ appleï appleâúèô

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Η ΠΥΡΑΜΙ Α ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ

4.4 Η ΠΥΡΑΜΙ Α ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ 1 4.4 Η ΠΥΡΜΙ ΚΙ Τ ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙ 1. Πυραµίδα Ονοµάζεται ένα στερεό του οποίου µία έδρα είναι ένα οποιοδήποτε πολύγωνο και όλες οι άλλες έδρες του είναι τρίγωνα µε κοινή κορυφή. ύο πυραµίδες φαίνονται

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΣΦΑΙΡΑ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ

4.6 Η ΣΦΑΙΡΑ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΜΡΟΣ Β.6 Η ΣΦΑΙΡΑ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΙΑ ΤΗΣ 07.6 Η ΣΦΑΙΡΑ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΙΑ ΤΗΣ Ορισμός Σφαίρα λέγεται το στερεό σώµα που παράγεται, αν περιστρέψουµε ένα κυκλικό δίσκο (Ο, ρ) γύρω από µία διάµετρό του. Θέση επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90 ) και πλευρές ΑΓ = 3 cm, ΒΓ = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm.

1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90 ) και πλευρές ΑΓ = 3 cm, ΒΓ = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο (A = 90 ) και πλευρές = 3 cm, = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm. Να βρείτε: α) Το εµβαδό Ε Π της παράπλευρης επιφάνειας.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΠΟΛΥΕ ΡΑ 1. ΟΡΙΣΜΟΙ 2. ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΠΙΠΕ Ο α = µήκος β = πλάτος γ = ύψος δ = διαγώνιος = α. β. γ = Ε β. υ Ε ολ = 2. (αβ + αγ + βγ) 3. ΚΥΒΟΣ = α 3 Ε ολ = 6α 2

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

4.5 Ο ΚΩΝΟΣ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ

4.5 Ο ΚΩΝΟΣ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ 1 4.5 Ο ΚΩΝΟΣ ΚΙ Τ ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙ 1. Κώνος : ν φανταστούµε ότι το ορθογώνιο τρίγωνο στρέφεται γύρω από την κάθετη πλευρά του κατά µία πλήρη περιστροφή, προκύπτει το στερεό το οποίο λέγεται κώνος. 2.

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες και ερµάρια. διανοµής. ƒ 2010. Plexo 3 στεγανοί πίνακες από 2 έως 72 στοιχεία (σ. 59) Practibox χωνευτοί πίνακες από 6 έως 36 τοιχεία (σ.

Πίνακες και ερµάρια. διανοµής. ƒ 2010. Plexo 3 στεγανοί πίνακες από 2 έως 72 στοιχεία (σ. 59) Practibox χωνευτοί πίνακες από 6 έως 36 τοιχεία (σ. χωνευτοί σ. 56 Nedbox χωνευτοί από 12 έως 56 στοιχεία σ. 58 από 1 έως 6 στοιχεία σ. 62 XL 3 160 από 48 έως 144 στοιχεία και ερµάρια διανοµής ισχύος XL 3 σ. 68 Ράγες, πλάτες στήριξης και µετώπες σ. 77 0

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Γεωμετρικά Στερεά

Κεφάλαιο 6 Γεωμετρικά Στερεά Κεφάλαιο 6 Γεωμετρικά Στερεά Συντομεύσεις Ακρωνύμια... 2 Σύνοψη... 3 Προαπαιτούμενη γνώση... 3 6.1 Συστήματα Συντεταγμένων... 3 6.2 Δίεδρες γωνίες... 8 6.3 Τρίεδρες γωνίες... 9 6.4 Πρίσμα... 9 6.5 Κύλινδρος...

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

ÓfiÙËÙ 1 ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô

ÓfiÙËÙ 1 ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ÓfiÙËÙ ã appleâú Ô Ô ã appleâú Ô Ô ã appleâú Ô Ô ã appleâú Ô Ô ã appleâú Ô Ô Ì Ì È: ÀappleÂÓı ÌÈÛË ã T ÍË È Ó ÂappleÈÏ ÛÔ ÌÂ Ó appleúfi ÏËÌ, ÙÔ È Ô ÌÂ appleúôûâîùèî ÒÛÙÂ Ó Î Ù ÓÔ ÛÔ - ÌÂ ÙÈ appleïëúôêôú

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

(ON THE JOB TRAINING) ΟΡΓΑΝΩΝΕΙ ΤΗΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ «ΚΑΤΑ ΤΗ ΙΑΡΚΕΙΑ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ» ΕΠΙΒΛΕΠΕΙ ΤΗΝ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΗΜΟΣΙΩΝ ΧΩΡΩΝ /

(ON THE JOB TRAINING) ΟΡΓΑΝΩΝΕΙ ΤΗΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ «ΚΑΤΑ ΤΗ ΙΑΡΚΕΙΑ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ» ΕΠΙΒΛΕΠΕΙ ΤΗΝ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΗΜΟΣΙΩΝ ΧΩΡΩΝ / Επαγγελµατικό προφίλ: ΠΡΟΪΣΤΑΜΕΝΟΣ ΟΡΟΦΩΝ (ΟΡΟΦΟΚΟΜΟΣ) Επίπεδο: 2 εξιότητες Θέµατα Συνδεδεµένες δεξιότητες C1 ΗΓΕΙΤΑΙ, ΕΠΙΒΛΕΠΕΙ ΚΑΙ ΣΧΕ ΙΑΖΕΙ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΠΟΥ ΓΙΝΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΙΤΗΣΗ π ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ π ΑΣΤΙΚΗΣ π ΕΥΘΥΝΗΣ ΠΡΟΣ ΤΡΙΤΟΥΣ π

ΑΙΤΗΣΗ π ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ π ΑΣΤΙΚΗΣ π ΕΥΘΥΝΗΣ ΠΡΟΣ ΤΡΙΤΟΥΣ π ΑΝΩΝΥΜΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΙΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΑΣΦΑΛΕΙΩΝ «Η ΕΘΝΙΚΗ» ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΗΣ 1891 ΕΤΑΙΡΙΑ ΤΟΥ ΟΜΙΛΟΥ ΤΗΣ ΕΘΝΙΚΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΟΣ ΑΡ.Μ.Α.Ε.: 12840/05 B 86/20 Α.Φ.Μ.: 094003849 Δ.Ο.Υ.: ΜΕΓΑΛΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΛΕΩΦ.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Β. º π 3 Ô. Μέτρηση Κύκλου

ΜΕΡΟΣ Β. º π 3 Ô. Μέτρηση Κύκλου ΜΕΡΟΣ º π Ô Μέτρηση Κύκλου ΕΙΣΩΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜ Ô appleúfi ÏËÌ ÙÔ ÙÂÙÚ ÁˆÓÈÛÌÔ ÙÔ Î ÎÏÔ, ÙÔ ÔappleÔ Ô Ù Ó Ó applefi Ù ÙÚ appleâú ÊËÌ Ï Ù appleúô Ï Ì Ù ÙË Ú ÈfiÙËÙ, Ô ÁËÛ ÛÙËÓ appleúôûapple ıâè ÂÎÙ ÌËÛË ÙË

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 193. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Με την βοήθεια των εξισώσεων δευτέρου βαθμού λύνουμε πολλά προβλήματα της καθημερινής ζωής και διαφόρων επιστημών.

Διαβάστε περισσότερα

1.1- øª Δƒπ (111-115) 18-12-06 23:47 ÂÏ 111 ΜΕΡΟΣ Β. Εμβαδά Επίπεδων Σχημάτων. Πυθαγόρειο Θεώρημα

1.1- øª Δƒπ (111-115) 18-12-06 23:47 ÂÏ 111 ΜΕΡΟΣ Β. Εμβαδά Επίπεδων Σχημάτων. Πυθαγόρειο Θεώρημα .- øª ƒπ (-) 8--06 :7 ÂÏ ΜΕΡΟΣ º π Εμβαδά Επίπεδων Σχημάτων Ô Πυθαγόρειο Θεώρημα .- øª ƒπ (-) 8--06 :7 ÂÏ ΕΙΣΩΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜ È appleïëìì ÚÂ ÙÔ Â ÏÔ, ÙÔ ÁÚË Î È ÙÔ ÊÚ ÙË, appleúèó applefi appleâú appleô ÙÚÂÈ

Διαβάστε περισσότερα

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ 1 3.6 ΕΜΝ ΚΥΚΛΙΚΥ ΤΜΕ ΘΕΩΡΙ 1. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας µ ο : Ε = πρ. µ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός αριθµός. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας α rad: Ε = 1 αρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός. ςεδς

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός. ςεδς 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρόν φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια στους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Ορισμός κανονικού πολυγώνου) Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

Από το επίπεδο στο χώρο (Στερεομετρία)

Από το επίπεδο στο χώρο (Στερεομετρία) Από το επίπεδο στο χώρο (Στερεομετρία) (Διεπιστημονική προσέγγιση αριθμητικού και οπτικού γραμματισμού) Εκπαιδευτικοί: Αθανασοπούλου Ζαφειρία (οπτικός γραμματισμός) Σαρακινίδου Σοφία (αριθμητικός γραμματισμός)

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 10.865196 ο Αγγ. Σικελιανού 4 Περισσός 10.718688 AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90Ο ) και Α το ύψος του. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 7. Σημείωση: Για τη διδασκαλία της ενότητας είναι πολύ σημαντική η χρήση των εποπτικών μέσων (στερεών και αναπτυγμάτων των στερεών).

ΕΝΟΤΗΤΑ 7. Σημείωση: Για τη διδασκαλία της ενότητας είναι πολύ σημαντική η χρήση των εποπτικών μέσων (στερεών και αναπτυγμάτων των στερεών). ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Διερεύνηση σχημάτων και χώρου Γ2.6 Ονομάζουν, περιγράφουν και ταξινομούν τρισδιάστατα σχήματα (κύβο, ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, πυραμίδα, σφαίρα, κύλινδρο, κώνο),

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ 1 3.5 ΕΜΒ Ν ΚΥΚΛΙΚΥ ΙΣΚΥ ΘΕΩΡΙ Εµβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ : Ε = πρ Σηµείωση : Tο εµβαδόν του κυκλικού δίσκου, χάριν ευκολίας αναφέρεται σαν εµβαδόν του κύκλου. ΣΧΛΙ Για το εµβαδόν του κυκλικού δίσκου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

www.infosociety.gr www.hellaskps.gr www.observatory.gr www.ependyseis.gr www.e-oikonomia.gr www.kep.gov.gr www.culture.gr www.edet.

www.infosociety.gr www.hellaskps.gr www.observatory.gr www.ependyseis.gr www.e-oikonomia.gr www.kep.gov.gr www.culture.gr www.edet. www.infosociety.gr www.hellaskps.gr www.observatory.gr www.ependyseis.gr www.e-oikonomia.gr www.kep.gov.gr www.culture.gr www.edet.gr www.ebusinessforum.gr www.sch.gr www.ika.gr www.ekt.gr www.ktpae.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Μήκος κύκλου) Το μήκος του κύκλου (Ο, R) συμβολίζεται με L. Ο Ιπποκράτης ο Χίος απέδειξε ότι

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

1. Εύρεση µήκους ενός κύκλου : Για να βρω το µήκος ενός κύκλου βρίσκω την ακτίνα του κύκλου και εφαρµόζω τον τύπο

1. Εύρεση µήκους ενός κύκλου : Για να βρω το µήκος ενός κύκλου βρίσκω την ακτίνα του κύκλου και εφαρµόζω τον τύπο 1 3.3 ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙ 1. Μήκος κύκλου ακτίνας ρ : Το µήκος L ενός κύκλου δίνεται από τον τύπο L = 2πρ ή L = πδ όπου δ η διάµετρος του κύκλου και π ένας άρρητος αριθµός του οποίου προσέγγιση µε δύο δεκαδικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΩΝ 2.1 Παράσταση αριθμών με σημεία μιας ευθείας.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΩΝ 2.1 Παράσταση αριθμών με σημεία μιας ευθείας. 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΩΝ 2.1 Παράσταση αριθμών με σημεία μιας ευθείας. α) Στην παραπάνω εικόνα οι χρωματιστοί δείκτες μας δείχνουν κάποιους αριθμούς. Συμπληρώστε τον παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ»

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ» ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΣ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο «ΕΩΜΕΤΡΙ» Τι καλείται εμαδόν επίπεδης επιφάνειας; Το εμαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας είναι ένας θετικός αριθμός, πο εκφράζει την έκταση πο καταλαμάνει η επιφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Β. º π 2 Ô. Τριγωνομετρία. Διανύσματα

ΜΕΡΟΣ Β. º π 2 Ô. Τριγωνομετρία. Διανύσματα ΜΕΡΟΣ º π Ô Τριγωνομετρία ιανύσματα ΕΙΣΩΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜ. Εφαπτομένη οξείας γωνίας. Ημίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας. Μεταβολές ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης.4 Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών

Διαβάστε περισσότερα

6. Aπόκριες 7. Πάσχα

6. Aπόκριες 7. Πάσχα TÈ Ù ÍË Â Ó È ÌÔ Ô appleôïèùèûìfi ; 1. O πολιτισµός του τόπου µας 2. Mια επίσκεψη στο µουσείο 3. Tι συµβαίνει στην περιοχή µας; 4. Kάθε τόπος τα έθιµά του και ο χρόνος τα δικά του... 5. Tο βιβλίο των παροιµιών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι ασκήσεις του φυλλαδίου δεν είναι ανά κεφάλαιο, αλλά τυχαία με σκοπό την τελική επανάληψη, και είναι θέματα εξετάσεων από διάφορα σχολεία του νομού Σερρών Σέρρες

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κ.κ.

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κ.κ. ΜΕΡΟΣ A ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003, Λευκωσία Τηλ. 357-22378101 Φαξ: 357-22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κ.κ. Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ΛΥΚΙΟΥ - ΩΜΤΡΙ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ)

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ (ΤΡΠΖ ΘΜΤΩΝ) GI_V_GEO_2_18975 ίνεται τρίγωνο AB με AB=9, A=15. πό το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά B που τέμνει τις AB,A στα,e αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι A = 2 AB

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 6, Γραφ. 102, Στρόβολος 200, Λευκωσία Τηλ. 57-2278101 Φαξ: 57-2279122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 201 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΓΥΝΜΣΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΛΓΕΡ ΚΕΦΛΙΟ. Να διατυπώσετε τα κριτήρια διαιρετότητας. πό τους αριθμούς 675, 0, 4404, 7450 να γράψετε αυτούς που διαιρούνται με το, με το, με το 4, με το 9.. Ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

1.3. Εμβαδά επίπεδων σχημάτων

1.3. Εμβαδά επίπεδων σχημάτων 1.3. μβαδά επίπεδων σχημάτων 1 cm 1 cm μβαδόν τετραγώνο ς θεωρήσομε ένα τετράγωνο πλεράς cm. Μπορούμε να το χωρίσομε σε = = «τετραγωνάκια» πλεράς 1 cm, καθένα από τα οποία έχει εμβαδόν 1 cm. Άρα, το τετράγωνο

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο .4 ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ 0 Ο 45 Ο 60 Ο ΘΕΩΡΙ. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί 0 ο, 45 ο, 60 ο : ηµίτονο συνηµίτονο εφαπτοµένη 0 ο 45 ο 60 ο ΣΚΗΣΕΙΣ. Στο διπλανό πίνακα, σε κάθε πληροφορία της στήλης, να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός.

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός. 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρον φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0.

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0. Ευκλείδης Γ' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να γίνει γινόμενο η παράσταση Α= ν 2 3ν 1 2 1. 2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά,

Διαβάστε περισσότερα

ÁÈ Ù apple È È appleô ı apple ÓÂ ÛÙË μã Ù ÍË

ÁÈ Ù apple È È appleô ı apple Ó ÛÙË μã Ù ÍË ÁÈ Ù apple È È appleô ı apple Ó ÛÙË μã Ù ÍË Δ Àƒ π ø ø º π π π ª Δ ƒàªª π μàƒπ π ø π π π ª Δ Δƒ À π ƒ Àà ƒ ªÀ π π ª ª Δπ ø, π Δ Ã π, ø ƒ ºπ, ƒ Δ ƒ Δπ Δ Δ, ƒπ π ª ª ΚΑΛΟ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙ Με το πέρασμα του χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

2. Να κατασκευάσετε µια γωνία α τέτοια ώστε: εφ (90 - α) = 7. 3. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε ύψος ΑΗ έτσι ώστε: 1 και εφγ = 3

2. Να κατασκευάσετε µια γωνία α τέτοια ώστε: εφ (90 - α) = 7. 3. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε ύψος ΑΗ έτσι ώστε: 1 και εφγ = 3 Προβλήµατα 1. Να κατασκευάσετε µια γωνία xαy, γνωρίζοντας ότι: 3 α) εφ xay = 5 β) συν xay = 0,8 γ) ηµ xay = 0,4 2. Να κατασκευάσετε µια γωνία α τέτοια ώστε: εφ (90 - α) = 7 4. 3. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1 Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f () = ( -) 4 - + β) f () = - - + 3 4 - - γ) f () = δ) f () = - + - - 5-3

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ

4.3 ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΜΡΟΣ Β 4. ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ 81 4. ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ Μονάδες μέτρησης όγκου Ως µονάδα µέτρησης όγκου θεωρούµε έναν κύο µε ακµή µήκους 1 µέτρο(m). Ο όγκος του ισούται µε 1 κυικό µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο µιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Ισομετρίες, Συμμετρίες και Πλακοστρώσεις Οπως είδαμε στην απόδειξη του πρώτου κριτηρίου ισότητας τριγώνων, ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί την έννοια της εφαρμογής ενός τριγώνου σε ένα άλλο, χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ (4) Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Δευτέρα, 25/5/2015

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΠΝΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΙΟ ΠΙΜΛΙ ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΘΜΤ ΘΩΡΙΣ ΚΦΛΙΟ ο Τ ΣΙΚ ΩΜΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ ΘΜ ο Τι καλείται μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος και τι ισχύει γι αυτό ; ΠΝΤΗΣΗ Μέσο ενός ευθύγραμμου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ. Κανονικά Πολύγωνα. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ. Κανονικά Πολύγωνα. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες. ΚΕΦΛΙΟ ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ Κανονικά Πολύγωνα. Να δοθεί ο ορισμός του κανονικού πολυγώνου. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες.. Να βρεθεί η γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ορισµός τριγωνοµετρικών αριθµών οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ορισµός τριγωνοµετρικών αριθµών οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου 70 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ορισµός τριγωνοµετρικών αριθµών οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου Σχέσεις µεταξύ τριγωνοµετρικών αριθµών 71 Εφαρµογές 72 73 74 75 76 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Υποθέστε ότι έχουμε μερικά ακίνητα φορτισμένα σώματα (σχ.). Τα σώματα αυτά δημιουργούν γύρω τους ηλεκτρικό πεδίο. Αν σε κάποιο σημείο Α του ηλεκτρικού πεδίου τοποθετήσουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΗΜΑΤΑ-ΓΡΑΜΜΕΣ-ΜΕΤΡΗΣΗ Μιχάλης Χριστοφορίδης Ανδρέας Σάββα Σύμβουλοι Μαθηματικών

ΣΧΗΜΑΤΑ-ΓΡΑΜΜΕΣ-ΜΕΤΡΗΣΗ Μιχάλης Χριστοφορίδης Ανδρέας Σάββα Σύμβουλοι Μαθηματικών ΕΦΑΡΜΟΓΙΔΙΟ: Σχήματα-Γραμμές-Μέτρηση Είναι ένα εργαλείο που μας βοηθά στην κατασκευή και μέτρηση σχημάτων, γωνιών και γραμμών. Μας παρέχει ένα χάρακα, μοιρογνωμόνιο και υπολογιστική μηχανή για να μας βοηθάει

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

APA EI MA 1. B ÛÈÎ ÛËÌ ıâˆú. Πολλές φορές είναι απαραίτητο να συγκρίνουµε δύο µεγέθη και να µελετήσουµε

APA EI MA 1. B ÛÈÎ ÛËÌ ıâˆú. Πολλές φορές είναι απαραίτητο να συγκρίνουµε δύο µεγέθη και να µελετήσουµε 30 Λόγος δύο µεγεθών B ÛÈÎ ÛËÌ ıâˆú Πολλές φορές είναι απαραίτητο να συγκρίνουµε δύο µεγέθη και να µελετήσουµε τη σχέση τους. Tο αποτέλεσµα της σύγκρισης των δύο µεγεθών που εκφράζεται ως κλάσµα ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης 6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες ΕΝΟΤΗΤΑ. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε την ακολουθία. Να ορίζουμε τι είναι όρος ακολουθίας.

Ακολουθίες ΕΝΟΤΗΤΑ. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε την ακολουθία. Να ορίζουμε τι είναι όρος ακολουθίας. ΕΝΟΤΗΤΑ Ακολουθίες Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε την ακολουθία. Να ορίζουμε τι είναι όρος ακολουθίας. Να αναπαριστούμε τις ακολουθίες με διάφορους τρόπους. Να βρίσκουμε τον επόμενο όρο ή τον

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Î È appleúô Ï Ì Ù ÓÙ ÍË 36

Î È appleúô Ï Ì Ù ÓÙ ÍË 36 ƒπ ÃOª ƒo O π O ª πøª 9 º πo ƒøδo: Δ À ƒª Δ π ÀΔπ π π π 1.1 ÓÓÔÈ ÙÔ appleâúì ÛÔ 16 1.2 ÀappleÂÚÌ Û, ÎÔÈÓˆÓ Î È ÂÎapple  ÛË 18 1.3 ÂˆÚ Â Ì ıëûë Î È appleâúì Û 27 1.4 ÚfiÙ apple Ú ÛË appleôïôáèûùòó Î È

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα