5.1 Runge Kutta για την Κινηση στο Επίπεδο

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "5.1 Runge Kutta για την Κινηση στο Επίπεδο"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κίνηση στο Επίπεδο Στο κεφάλαιο αυτό θα επεκτείνουμε τη μελέτη του προηγούμενου κεφάλαιου στη μελέτη κίνησης σωματιδίου υπό την επίδραση δύναμης στο επίπεδο. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει το πρόβλημα της κίνησης σε κεντρικό δυναμικό πεδίο, όπως η πλανητική κίνηση και το πρόβλημα της σκέδασης. Τα προβλήματα αυτά μπορούν να μελετηθούν με απλές μεθόδους Runge Kutta, οπότε, από άποψη αριθμητικής ανάλυσης, το κεφάλαιο αυτό είναι απλή εφαρμογή των μεθόδων που έχουν ήδη μελετηθεί. 5.1 Runge Kutta για την Κινηση στο Επίπεδο Στις δύο διαστάσεις, το πρόβλημα αρχικών τιμών που έχουμε να λύσουμε δίνεται από το σύστημα ( 4.6) p.6 dx dt = v dv x x dt = a x(t, x, v x, y, v y ) dy dt = v dv y y dt = a y(t, x, v x, y, v y ). (5.1) Ο κώδικας που θα τρέχει τη μέθοδο Runge Kutta 4ης τάξης προκύπτει με μικρές μετατροπές του κώδικα rk.f90. Κατ αρχήν για διευκόλυνση της μελέτης διαφορετικών δυνάμεων ξεχωρίζουμε τον κοινό κώδικα με το user interface και τον αλγόριθμο της μεθόδου από τις συναρτήσεις της επιτάχυνσης που αλλάζουν ανάλογα με τη δύναμη σε ξεχωριστά αρχεία. Στο αρχείο rk2.f90 τοποθετούμε τα πρώτα και σε αρχείο rk_xxx.f90 τα δεύτερα. XXX είναι ακολουθία χαρακτήρων που ταυτοποιούν τη δύναμη λ.χ. rk2_hoc.f90 έχει την επιτάχυνση του αρμονικού ταλαντωτή, rk2_g.f90 την επιτάχυνση από ομογενές πεδίο βαρύτητας g = g ŷ κ.ο.κ. 259

2 260 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Στον κώδικα στο rk2.f90 κάνουμε μερικές μικροαλλαγές στο user interface. Τοποθετούμε δυο απροσδιόριστες σταθερές σύζευξης k1, k2 που μπορούν να δοθούν διαδραστικά από το χρήστη και να καθορίσουν το μέγεθος της δύναμης που ασκείται κάθε φορά στο σώμα. Τοποθετούνται σε common block r e a l (8) : : k1, k2 common / couplings / k1, k2 το οποίο θα φαίνεται και από τις συναρτήσεις επιτάχυνσης f3, f4 και της ενέργειας energy. Ο χρήστης πρέπει τώρα να παρέχει τις αρχικές συνθήκες και για τις δύο συντεταγμένες στο επίπεδο x, y. Αυτές αντιστοιχούν στις μεταβλητές X10 x 0, X20 y 0, V10 v x0, V20 v y0, ενώ οι συναρτήσεις του χρόνου αντιστοιχούν στα arrays X1(P) x(t), X2(P) y(t), V1(P) v x (t), V2(P) v y (t). Η ολοκλήρωση γίνεται όπως και πριν καλώντας c a l l RK ( T, X1, X2, V1, V2, Ti, Tf, X10, X20, V10, V20, Nt ) και στο αρχείο rk2.dat αποθηκεύουμε τα αποτελέσματα μαζί με τη συνολική μηχανική ενέργεια που υπολογίζεται από τη συνάρτηση energy(t,x1,x2,v1,v2) η οποία βρίσκεται στο ίδιο αρχείο με τις επιταχύνσεις μια και η μορφή της εξαρτάται από τον τύπο της δύναμης: open ( unit =11, f i l e = rk2. dat ) do i =1, Nt write ( 1 1, * ) T ( i ), X1 ( i ), X2 ( i ), V1 ( i ), V2 ( i ),& energy ( T ( i ), X1 ( i ), X2 ( i ), V1 ( i ), V2 ( i ) ) enddo Τέλος, πρέπει να γίνουν αλλαγές στον κώδικα της βασικής υπορουτίνας RKSTEP(t,x1,x2,x3,x4,dt) λόγω του μεγαλύτερου αριθμού μεταβλητών στο πρόβλημα. Παραθέτουμε ολόκληρο τον κώδικα για να διευκολύνουμε τον αναγνώστη:! Program t o s o l v e a 4 ODE system using Runge Kutta Method! User must supply d e r i v a t i v e s! dx1 / dt=f 1 ( t, x1, x2, x3, x4 ) dx2 / dt=f2 ( t, x1, x2, x3, x4 )! dx3 / dt=f3 ( t, x1, x2, x3, x4 ) dx4 / dt=f4 ( t, x1, x2, x3, x4 )! as r e a l (8) f u n c t i o n s! Output i s w r i t t e n in f i l e rk2. dat

3 5.1. RUNGE KUTTA ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 261 program rk2_solve i n t e g e r, parameter : : P= r e a l (8), dimension ( P ) : : T, X1, X2, V1, V2 r e a l (8) : : Ti, Tf, X10, X20, V10, V20 i n t e g e r : : Nt, i r e a l (8) : : k1, k2 common / couplings / k1, k2 r e a l (8) : : energy, E0, EF, DE! Input : p r i n t *, Runge Kutta Method f o r 4 ODEs I n t e g r a t i o n p r i n t *, Enter coupling c o n s t a n t s : read *, k1, k2 p r i n t *, k1=, k1, k2=, k2 p r i n t *, Enter Nt, Ti, Tf, X10, X20, V10, V20 : read *, Nt, Ti, TF, X10, X20, V10, V20 p r i n t *, Nt =, Nt p r i n t *, Time : I n i t i a l Ti =, Ti, Final Tf=, Tf p r i n t *, X1( Ti )=, X10, X2( Ti )=, X20 p r i n t *, V1( Ti )=, V10, V2( Ti )=, V20! The C a l c u l a t i o n : c a l l RK ( T, X1, X2, V1, V2, Ti, Tf, X10, X20, V10, V20, Nt )! Output : open ( unit =11, f i l e = rk2. dat ) do i =1, Nt write ( 1 1, * ) T ( i ), X1 ( i ), X2 ( i ), V1 ( i ), V2 ( i ),& energy ( T ( i ), X1 ( i ), X2 ( i ), V1 ( i ), V2 ( i ) ) enddo c l o s e ( 1 1 )! Rutherford s c a t t e r i n g angles : p r i n t *, v angle :, atan2 ( V2 ( Nt ), V1 ( Nt ) ) p r i n t *, b angle :,2.0 D0 * atan ( k1 / ( V10 * V10 * X20 ) ) E0 = energy ( Ti, X10, X20, V10, V20 ) EF = energy ( T ( Nt ), X1 ( Nt ), X2 ( Nt ), V1 ( Nt ), V2 ( Nt ) ) DE = ABS(0.5 D0 * ( EF E0 ) / ( EF+E0 ) ) p r i n t *, E0, EF, DE/E=, E0, EF, DE end program rk2_solve! The v e l o c i t y f u n c t i o n s f1, f2 ( t, x1, x2, v1, v2 ) r e a l (8) function f1 ( t, x1, x2, v1, v2 ) r e a l (8) : : t, x1, x2, v1, v2 f1=v1! dx1 / dt= v1 end function f1! r e a l (8) function f2 ( t, x1, x2, v1, v2 )

4 262 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ r e a l (8) : : t, x1, x2, v1, v2 f2=v2! dx2 / dt= v2 end function f2!rk(t, X1, X2, V1, V2, Ti, Tf, X10, X20, V10, V20, Nt ) i s the d r i v e r! f o r the Runge Kutta i n t e g r a t i o n routine RKSTEP! Input : I n i t i a l and f i n a l times Ti, Tf! I n i t i a l values a t t=ti X10, X20, V10, V20! Number of s t e p s of i n t e g r a t i o n : Nt 1! S i z e of arrays T, X1, X2, V1, V2! Output : r e a l arrays T( Nt ),X1( Nt ),X2( Nt ),! V1( Nt ),V2( Nt ) where!t( 1 ) = Ti X1 ( 1 ) = X10 X2( 1 ) = X20 V1 ( 1 ) = V10 V2( 1 ) = V20! X1(k) = X1( a t t=t(k) ) X2(k) = X2( a t t=t(k) )! V1(k) = V1( a t t=t(k) ) V2(k) = V2( a t t=t(k) )!T( Nt )= Tf subroutine RK ( T, X1, X2, V1, V2, Ti, Tf, X10, X20, V10, V20, Nt ) i n t e g e r : : Nt r e a l (8), dimension ( Nt ) : : T, X1, X2, V1, V2 r e a l (8) : : Ti, Tf r e a l (8) : : X10, X20 r e a l (8) : : V10, V20 r e a l (8) : : dt r e a l (8) : : TS, X1S, X2S! values of time and X1, X2 a t given step r e a l (8) : : V1S, V2S i n t e g e r : : i! I n i t i a l i z e v a r i a b l e s : dt = ( Tf Ti ) / ( Nt 1) T ( 1 ) = Ti X1 ( 1 ) = X10 ; X2 ( 1 ) = X20 V1 ( 1 ) = V10 ; V2 ( 1 ) = V20 TS = Ti X1S = X10 ; X2S = X20 V1S = V10 ; V2S = V20! Make RK s t e p s : The arguments of RKSTEP are! replaced with the new ones do i=2,nt c a l l RKSTEP ( TS, X1S, X2S, V1S, V2S, dt ) T ( i ) = TS X1 ( i ) = X1S ; X2 ( i ) = X2S V1 ( i ) = V1S ; V2 ( i ) = V2S enddo end subroutine RK! Subroutine RKSTEP( t, x1, x2, dt )! Runge Kutta I n t e g r a t i o n routine of ODE! dx1 / dt=f 1 ( t, x1, x2, x3, x4 ) dx2 / dt=f2 ( t, x1, x2, x3, x4 )

5 5.1. RUNGE KUTTA ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 263! dx3 / dt=f3 ( t, x1, x2, x3, x4 ) dx4 / dt=f4 ( t, x1, x2, x3, x4 )! User must supply d e r i v a t i v e f u n c t i o n s :! r e a l function f 1 ( t, x1, x2, x3, x4 )! r e a l function f2 ( t, x1, x2, x3, x4 )! r e a l function f3 ( t, x1, x2, x3, x4 )! r e a l function f4 ( t, x1, x2, x3, x4 )! Given i n i t i a l point ( t, x1, x2 ) the routine advances i t! by time dt.! Input : I n i t a l time t and function values x1, x2, x3, x4! Output : Final time t +dt and function values x1, x2, x3, x4! Careful! : values of t, x1, x2, x3, x4 are overwritten... subroutine RKSTEP ( t, x1, x2, x3, x4, dt ) r e a l (8) : : t, x1, x2, x3, x4, dt r e a l (8) : : f1, f2, f3, f4 r e a l (8) : : k11, k12, k13, k14, k21, k22, k23, k24 r e a l (8) : : k31, k32, k33, k34, k41, k42, k43, k44 r e a l (8) : : h, h2, h6 h =dt! h =dt, i n t e g r a t i o n step h2=0.5d0 * h! h2=h/2 h6=h / 6. 0 D0! h6=h/6 k11=f1 ( t, x1, x2, x3, x4 ) k21=f2 ( t, x1, x2, x3, x4 ) k31=f3 ( t, x1, x2, x3, x4 ) k41=f4 ( t, x1, x2, x3, x4 ) k12=f1 ( t+h2, x1+h2 * k11, x2+h2 * k21, x3+h2 * k31, x4+h2 * k41 ) k22=f2 ( t+h2, x1+h2 * k11, x2+h2 * k21, x3+h2 * k31, x4+h2 * k41 ) k32=f3 ( t+h2, x1+h2 * k11, x2+h2 * k21, x3+h2 * k31, x4+h2 * k41 ) k42=f4 ( t+h2, x1+h2 * k11, x2+h2 * k21, x3+h2 * k31, x4+h2 * k41 ) k13=f1 ( t+h2, x1+h2 * k12, x2+h2 * k22, x3+h2 * k32, x4+h2 * k42 ) k23=f2 ( t+h2, x1+h2 * k12, x2+h2 * k22, x3+h2 * k32, x4+h2 * k42 ) k33=f3 ( t+h2, x1+h2 * k12, x2+h2 * k22, x3+h2 * k32, x4+h2 * k42 ) k43=f4 ( t+h2, x1+h2 * k12, x2+h2 * k22, x3+h2 * k32, x4+h2 * k42 ) k14=f1 ( t+h, x1+h * k13, x2+h * k23, x3+h * k33, x4+h2 * k43 ) k24=f2 ( t+h, x1+h * k13, x2+h * k23, x3+h * k33, x4+h2 * k43 ) k34=f3 ( t+h, x1+h * k13, x2+h * k23, x3+h * k33, x4+h2 * k43 ) k44=f4 ( t+h, x1+h * k13, x2+h * k23, x3+h * k33, x4+h2 * k43 ) t =t+h x1=x1+h6 * ( k D0 * ( k12+k13 )+k14 ) x2=x2+h6 * ( k D0 * ( k22+k23 )+k24 ) x3=x3+h6 * ( k D0 * ( k32+k33 )+k34 ) x4=x4+h6 * ( k D0 * ( k42+k43 )+k44 )

6 264 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ end subroutine RKSTEP 5.2 Βολές στο Βαρυτικό Πεδίο της Γης Θεωρούμε αρχικά σωματίδιο υπό την επίδραση δύναμης που του προσδίδει επιτάχυνση g = g ŷ x(t) = x 0 + v 0x t, y(t) = y 0 + v 0y t 1 2 gt2 v x (t) = v 0x, v y (t) = v 0y gt a x (t) = 0, a y (t) = g (5.2) pl.2 Το σωματίδιο, όπως γνωρίζουμε καλά, κινείται πάνω σε μια παραβολή στην οποία εμείς απλά διαλέγουμε το σημείο στο οποίο τοποθετείται αρχικά το σωμάτιο: ( ) v0y (y y 0 ) = (x x 0 ) 1 g (x x v 0x 2 v0x 2 0 ) 2 = tan θ (x x 0 ) tan2 θ (x x 0 ) 2, (5.3) 4h max όπου tan θ = v 0y /v 0x και h max η γωνία υπό την οποία βάλλεται το σωμάτιο και το μέγιστο ύψος που φτάνει το σωμάτιο ως προς το αρχικό σημείο βολής. Κωδικοποιούμε την επιτάχυνση a x (t) = 0 a y (t) = g (a x f3, a y f4) καθώς και τη συνολική μηχανική ενέργεια στο αρχείο rk2_g.f90:! The a c c e l e r a t i o n f u n c t i o n s f3, f4 ( t, x1, x2, v1, v2 ) provided! by the user! Free f a l l in constant g r a v i t a t i o n a l f i l e d with! g = k2 r e a l (8) function f3 ( t, x1, x2, v1, v2 ) r e a l (8) : : t, x1, x2, v1, v2 r e a l (8) : : k1, k2 common / couplings / k1, k2 f3=0.0d0! dx3 / dt=dv1 / dt=a1 end function f3! r e a l (8) function f4 ( t, x1, x2, v1, v2 )

7 5.2. ΒΟΛΕΣ ΣΤΟ ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΤΗΣ ΓΗΣ x(t) 0.06 y(t) v x (t) 1 v y (t) Σχήμα 5.1: Βολή στο βαρυτικό πεδίο με ένταση g = 10.0ŷ και αρχική ταχύτητα v 0 = ˆx + ŷ. Δίνονται τα διαγράμματα x(t), y(t), v x (t), v y (t). r e a l (8) : : t, x1, x2, v1, v2 r e a l (8) : : k1, k2 common / couplings / k1, k2 f4= k1! dx4 / dt=dv2 / dt=a2 end function f4! r e a l (8) function energy ( t, x1, x2, v1, v2 ) r e a l (8) : : t, x1, x2, v1, v2 r e a l (8) : : k1, k2 common / couplings / k1, k2 energy = 0.5 D0 * ( v1 * v1+v2 * v2 ) + k1 * x2 end function energy Στη συνέχεια παραθέτουμε τη σειρά εντολών που δίνει ο χρήστης για να υπολογίσει την τροχιά > g f o r t r a n O2 rk2. f90 rk2_g. f90 o rk2 >. / rk2 Runge Kutta Method for 4 ODEs Integration Enter coupling constants :

8 266 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ y x 1.8e-05 E(t)-E(0) 1.6e e e-05 1e-05 8e-06 6e-06 4e-06 2e Σχήμα 5.2: Βολή στο βαρυτικό πεδίο με ένταση g = 10.0ŷ και αρχική ταχύτητα v 0 = ˆx + ŷ. Φαίνεται η παραβολική τροχιά που ακολουθεί το σωμάτιο. Στο διπλανό σχήμα παρακολουθούμε την απόκλιση της μηχανικής ενέργειας του σωματιδίου από την αρχική της τιμή. k1= k2= Enter Nt, Ti, Tf, X10, X20, V10, V20 : Nt= Time : Initial Ti = Final Tf= X1 ( Ti )= X2 ( Ti )= V1 ( Ti )= V2 ( Ti )= Στη συνέχεια επεξεργαζόμαστε τα αποτελέσματά μας αναλύοντας τα δεδομένα από το αρχείο rk2.dat με το πρόγραμμα gnuplot: gnuplot> s e t terminal x11 1 gnuplot> p l o t rk2. dat using 1:2 with lines t i t l e x ( t ) gnuplot> s e t terminal x11 2 gnuplot> p l o t rk2. dat using 1:3 with lines t i t l e y ( t ) gnuplot> s e t terminal x11 3 gnuplot> p l o t rk2. dat using 1:4 with lines t i t l e vx ( t ) gnuplot> s e t terminal x11 4 gnuplot> p l o t rk2. dat using 1:5 with lines t i t l e vy ( t ) gnuplot> s e t terminal x11 5 gnuplot> p l o t rk2. dat using 1 : ( $6 1.0) w lines t E( t )Ε (0) gnuplot> s e t terminal x11 6 gnuplot> s e t s i z e square gnuplot> s e t t i t l e T r a j e c t o r y gnuplot > p l o t rk2. dat using 2: 3 with lines notit Τα αποτελέσματα φαίνονται στο σχήματα 5.1 f:pl.1a και 5.2. f:pl.1b Παρατηρούμε μικρή αύξηση της ενέργειας που μας δίνει και το μέτρο της ακρίβειας της μεθόδου. Με τη βοήθεια του gnuplot μπορούμε να φτιάξουμε κινούμενα σχέ-

9 5.2. ΒΟΛΕΣ ΣΤΟ ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΤΗΣ ΓΗΣ 267 δια της τροχιάς. Για το λόγο αυτό ομαδοποιούμε μερικές εντολές του gnuplot σε αρχείο σεναρίου, έστω στο rk2_animate.gpl icount = icount+skip p l o t < c a t n rk2. dat \ using 3 : ( $1<= icount? $4 : 1 / 0 ) with lines notitle # pause 1 i f ( icount < nlines ) reread Το παραπάνω αρχείο υποθέτει ότι όταν τρέξουμε το gnuplot έχουμε αρχικοποιήσει τις μεταβλητές icount, skip, nlines να είναι οι τιμές του αρχικού αριθμού γραμμών του αρχείου rk2.dat που θα μπουν στο διάγραμμα, ο αριθμός γραμμών που θα προστίθονται σε κάθε καινούργιο πλαίσιο που σχεδιάζεται στα κινούμενα σχέδια και ο συνολικός αριθμός γραμμών που περιέχει το αρχείο ώστε να σταματήσει η διαδικασία. Η ιδέα είναι ότι οι εντολές του αρχείου διαβάζονται από το gnuplot κάνοντας ένα plot και αν πληρείται το κριτήριο του if το αρχείο ξαναδιαβάζεται με την εντολή reread. Ας εξηγήσουμε την γραμμή με την εντολή plot: Το αρχείο "<cat -n rk2.dat" είναι το standard output της εντολής cat -n rk2.dat η οποία τυπώνει στο standard output το αρχείο rk2.dat βάζοντας στην πρώτη στήλη τον αριθμό γραμμής που διαβάζεται. Έτσι η εντολή plot διαβάζει δεδομένα στα οποία η πρώτη στήλη είναι ο αριθμός γραμμής, η δεύτερη ο χρόνος, η τρίτη η συντεταγμένη x, η τέταρτη η συντεταγμένη y κ.ο.κ. Η γραμμή using 3 : ( $1<= icount? $4 : 1 / 0 ) λέει να χρησιμοποιηθεί η 3η στήλη στον οριζόντιο άξονα και αν η πρώτη στήλη είναι μικρότερη από την τιμή της μεταβλητής icount να μπεί στον κατακόρυφο άξονα η τιμή της 4ης στήλης αλλιώς τίποτα (βάζοντας κάτι που δεν είναι νόμιμο, όπως διαίρεση με το 0 κάνει το gnuplot να αγνοήσει το συγκεκριμένο σημείο). Με τον τρόπο αυτό, καθώς η τιμή της μεταβλητής icount αυξάνει, τοποθετούμε στο διάγραμμα περισσότερα σημεία της τροχιάς δημιουργώντας την ψευδαίσθηση της κίνησης. Τη γραμμή με την εντολή pause την έχουμε βάλει σα σχόλιο. Αν τα κινούμενα σχέδια είναι πολύ γρήγορα για σας, βγάλτε το χαρακτήρα του σχολίου # και αντικαταστήστε τη μονάδα με τον αριθμό δευτερολέπτων που θέλετε να σταματάει κάθε πλαίσιο. Για να χρησιμοποιήσουμε το σενάριο αυτό από το gnuplot δίνουμε τις εντολές gnuplot > icount = 10

10 268 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ gnuplot > skip = 200 gnuplot > nlines = gnuplot > load rk2_ animate. gpl Τα παραπάνω σενάρια θα τα βρείτε στο συνοδευτικό λογισμικό του κεφαλαίου. Εκεί θα βρείτε και σενάρια φλοιού τα οποία θα σας βοηθήσουν να αυτοματοποιήσετε πολλές από τις εντολές που περιγράψαμε παραπάνω. Περιγράφουμε τη χρήση δύο από αυτών. Πρώτα το σενάριο rk2_animate.csh: > rk2_animate. csh h Usage : rk2_animate. csh t [ sleep time ] d [ skip points ] <file > Default file is rk2. dat Other options : x : s e t lower value in xrange X : s e t lower value in xrange y : s e t lower value in yrange Y : s e t lower value in yrange r : automatic determination of x y range > rk2_animate. csh r d 500 rk2. dat Η τελευταία γραμμή πραγματοποιεί τα κινούμενα σχέδια με πλαίσια που κάθε φορά έχουν 500 παραπάνω σημεία, ενώ τα όρια των πλαισίων υπολογίζονται αυτόματα από το σενάριο με το διακόπτη -r. Ο διακόπτης -h δίνει σύντομες οδηγίες για τη χρήση του σεναρίου, μια σύμβαση που την ακολουθούμε συχνά στα σενάρια/προγράμματα που γράφουμε. Ένα πιο πλήρες σενάριο που κάνει όλες τις δουλειές είναι το rk2.csh. Οδηγίες χρήσης παίρνουμε με την εντολή >. / rk2. csh h Usage : rk2. csh f <force > k1 k2 x10 x20 v10 v20 STEPS t0 tf Other Options : n Do not animate trajectory Available forces ( value of <force >) : 1 : ax= k1 ay= k2 y Harmonic oscillator 2: ax= 0 ay= k1 Free fall 3: ax= k2 vx ay= k2 vy k1 Free fall + \ air resistance ~ v 4: ax= k2 v vx ay= k2 v vy k1 Free fall + \ air resistance ~ v^2 5: ax= k1 * x1 / r^3 ay= k1 * x2 / r^3 Coulomb Force.... όπου φαίνεται ότι έχουμε την επιλογή να τρέξουμε το πρόγραμμα με διαφορετικές δυνάμεις που επιλέγονται με το διακόπτη -f. Στην υπό-

11 5.2. ΒΟΛΕΣ ΣΤΟ ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΤΗΣ ΓΗΣ 269 λοιπη γραμμή εντολών δίνουμε τα δεδομένα εισόδου για το πρόγραμμα rk2.f90, τις σταθερές ζεύξης k1, k2, τις αρχικές συνθήκες x10, x20, v10, v20 και τις συνθήκες ολοκλήρωσης STEPS, t0, tf. Έτσι για παράδειγμα οι εντολές > rk2. csh -f > rk2. csh -f > rk2. csh -f μας δίνουν την κίνηση του σωματιδίου στο πεδίο βαρύτητας που μελετήσαμε ως τώρα, την κίνηση ανομοιογενούς αρμονικού ταλαντωτή (k1 = a x = ω 2 1x, k2 = a y = ω 2 2y) και τη σκέδαση φορτίου σε πεδίο Coulomb - δοκιμάστε τα! Ελπίζω να σας δημιουργηθεί και η περιέργεια να δείτε μέσα στα σενάρια έτσι ώστε να τα τροποποιείτε και δημιουργείτε από μόνοι/ες σας. Από μένα μερικές οδηγίες για τους τεμπέληδες: Αν θελήσετε να προσθέσετε μια δική σας δύναμη στο ρεπερτόριο του σεναρίου ακολουθήστε τη συνταγή: Προγραμματίστε τη δύναμή σας σε ένα αρχείο με όνομα rk2_myforce.f90 συμφωνα με τις προδιαγραφές του rk2_g.f90. Επεξεργαστείτε το αρχείο rk2.csh και αλλάξτε τη γραμμή s e t forcecode = ( hoc g vg v2g cb ) σε s e t forcecode = ( hoc g vg v2g cb myforce ) (φυσικά μπορεί η μεταβλητή $forcecode να έχει και άλλες εγγραφές στο σενάριο αλλά αυτό δεν θα σας εμποδίσει). Μετρήστε σε ποιά σειρά έχετε βάλει το myforce, εδώ την 6η, και τρέξτε την εντολή με το διακόπτη -f 6 όπου το 6 αντικαταστήστε το με τη σειρά στο δικό σας σενάριο (οι τελίτσες είναι οι δικές σας σταθ. ζεύξης και αρχικές συνθήκες): > rk2. csh f Ας μελετήσουμε τώρα την επίδραση της αντίστασης του αέρα ή ενός ρευστού στην πτώση/βολή του σωματιδίου. Για μικρές ταχύτητες η αντίσταση γίνεται ανάλογη της ταχύτητας και έχουμε F r = mk v οπότε a x = kv x a y = kv y g. (5.4)

12 270 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Παίρνοντας x(t) = x 0 + v 0x ( ) 1 e kt k y(t) = y ( v 0y + g ) (1 ) e kt g k k k t v x (t) = v 0x e kt v y (t) = ( v 0y + g ) e kt g k k, (5.5) προκύπτει η κίνηση του σωματιδίου με ορική ταχύτητα v y (+ ) = g/k (x(+ ) = σταθ., y(+ ) t). Ο προγραμματισμός της επιτάχυνσης καταγράφεται στο αρχείο (k1 g, k2 k ) rk2_vg.f90:! The a c c e l e r a t i o n f u n c t i o n s f3, f4 ( t, x1, x2, v1, v2 ) provided! by the user! Free f a l l in constant g r a v i t a t i o n a l f i l e d with! ax = k2 vx ay = k2 vy k1 r e a l (8) function f3 ( t, x1, x2, v1, v2 ) r e a l (8) : : t, x1, x2, v1, v2 r e a l (8) : : k1, k2 common / couplings / k1, k2 f3= k2 * v1! dx3 / dt=dv1 / dt=a1 end function f3! r e a l (8) function f4 ( t, x1, x2, v1, v2 ) r e a l (8) : : t, x1, x2, v1, v2 r e a l (8) : : k1, k2 common / couplings / k1, k2 f4= k2 * v2 k1! dx4 / dt=dv2 / dt=a2 end function f4 Τα αποτελέσματα καταγράφονται στα σχήματα 5.3 f:pl.2a όπου φαίνεται η επίδραση της αυξανόμενης αντίστασης στην τροχιά του σωματιδίου. Στο σχήμα 5.4 f:pl.2b δίνεται για σύγκριση η επίδραση δύναμης F r = mkv 2ˆv.

13 5.3. ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ 271 y y x x Σχήμα 5.3: Τροχιά σωματιδίου που βάλλεται στο σταθερό βαρυτικό πεδίο της γής g = 10ŷ υπό την επίδραση αντίστασης ρευστού a r = k v για k = 0, 0.2, 1, 5, 10, 20, 30. Αριστερά έχουμε v(0) = ˆx + ŷ ενώ δεξιά v(0) = 5ˆx + 5ŷ. y y x x Σχήμα 5.4: Τροχιά σωματιδίου που βάλλεται στο σταθερό βαρυτικό πεδίο της γής g = 10 ŷ υπό την επίδραση αντίστασης ρευστού a r = kv 2ˆv για k = 0, 0.2, 1, 5, 10, 20, 30. Αριστερά έχουμε v(0) = ˆx + ŷ ενώ δεξιά v(0) = 5ˆx + 5ŷ. 5.3 Κίνηση Πλανητών Θα θεωρήσουμε το απλό πλανητικό μοντέλο του ήλιου με μάζα M και ενός πλανήτη γη με μάζα m έτσι ώστε m M. Ο νόμος του Νεύτωνα μας δίνει ότι η επιτάχυνση της γης δίνεται από τη σχέση a = g = GM r 2 ˆr = GM r. (5.6) pl.4a r3 Θυμίζουμε στον αναγνώστη ότι G = kgr sec m3, M = kgr, m = kgr. Επίσης όταν η υπόθεση m M δεν είναι ικανοποιητική, τότε το πρόβλημα των δύο σωμάτων ανάγεται σε αυτό του ενός χρησιμοποιώντας την ανηγμένη μάζα 1 µ = 1 m + 1 M.

14 272 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Η δύναμη της βαρύτητας είναι κεντρική με αποτέλεσμα να διατηρείται η στροφορμή L = r p. Αυτό σημαίνει ότι η κίνηση γίνεται πάνω σε ένα επίπεδο και μπορούμε να πάρουμε τον άξονα των z έτσι ώστε Η δύναμη είναι διατηρητική και η ενέργεια L = L zˆk = m(xvy yv x )ˆk. (5.7) pl.5 E = 1 2 mv2 GmM r (5.8) pl.6 διατηρείται. Αν πάρουμε την αρχή των αξόνων να είναι το κέντρο της δύναμης, τότε οι εξισώσεις κίνησης ( 5.6) pl.4a γίνονται a x = GM r 3 x a y = GM r 3 y (5.9) με r 2 = x 2 + y 2. Οι εξισώσεις αυτές είναι ένα σύστημα δύο συζευγμένων διαφορικών εξισώσεων ως προς τις συναρτήσεις x(t), y(t). Οι λύσεις είναι κωνικές τομές που είναι είτε έλλειψη (δεσμευμένη τροχιά - πλανήτης ), παραβολή (για τη λεγόμενη ταχύτητα διαφυγής ή υπερβολή (σκέδαση). Για την περίοδο περιστροφής των πλανητών ισχύει ο τρίτος νόμος του Κέπλερ T 2 = 4π2 GM a3 (5.10) pl.8 όπου εδώ a είναι ο μεγάλος ημιάξονας της ελλειπτικής τροχιάς και b ο μικρός ημιάξονας. Το πόσο πλατιά είναι η έλλειψη χαρακτηρίζεται από την εκκεντρότητα της τροχιάς e = 1 b2, (5.11) pl.9 a2 η οποία είναι 0 για τον κύκλο και τείνει προς τη 1 όταν την πατάμε να γίνει ευθεία. Σε απόσταση ea από το κέντρο της έλλειψης βρίσκονται οι εστίες της F 1 και F 2. Αυτές έχουν την ιδίοτητα ότι κάθε σημείο P της τροχιάς έχει P F 1 + P F 2 = 2a. (5.12) pl.10 Για να προγραμματίσουμε τη δύναμη του Νεύτωνα γράφουμε στο αρχείο rk2_cb.f90:

15 5.3. ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ 273! The a c c e l e r a t i o n f u n c t i o n s f3, f4 ( t, x1, x2, v1, v2 ) provided! by the user! Motion in Coulombic p o t e n t i a l :! ax= k1 * x1 / r ^3 ay= k1 * x2 / r ^3 r e a l (8) function f3 ( t, x1, x2, v1, v2 ) r e a l (8) : : t, x1, x2, v1, v2 r e a l (8) : : k1, k2 common / couplings / k1, k2 r e a l (8) : : r2, r3 r2=x1 * x1+x2 * x2 r3=r2 * sqrt ( r2 ) i f ( r3. gt D0 ) then f3=k1 * x1 / r3! dx3 / dt=dv1 / dt=a1 e l s e f3=0.0d0 endif end function f3! r e a l (8) function f4 ( t, x1, x2, v1, v2 ) r e a l (8) : : t, x1, x2, v1, v2 r e a l (8) : : k1, k2 common / couplings / k1, k2 r e a l (8) : : r2, r3 r2=x1 * x1+x2 * x2 r3=r2 * sqrt ( r2 ) i f ( r3. gt D0 ) then f4=k1 * x2 / r3! dx4 / dt=dv2 / dt=a2 e l s e f4=0.0d0 endif end function f4! r e a l (8) function energy ( t, x1, x2, v1, v2 ) r e a l (8) : : t, x1, x2, v1, v2 r e a l (8) : : k1, k2 common / couplings / k1, k2 r e a l (8) : : r r=sqrt ( x1 * x1+x2 * x2 ) i f ( r. gt. 0.0 D0 ) then energy = 0.5 D0 * ( v1 * v1+v2 * v2 ) + k1 / r e l s e energy = 0. 0 D0 endif

16 274 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ end function energy Στο παραπάνω πρόγραμμα k1= GM και έχουμε προσέξει την περίπτωση το σωμάτιο να προσκρούσει στο ιδιάζον σημείο (0, 0), το κέντρο της δύναμης. Προφανώς ό ίδιος κώδικας μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για το ηλεκτροστατικό πεδίο Coulomb με k1= qq/4πϵ 0 m. Κατ αρχήν μελετάμε τροχιές οι οποίες είναι δέσμιες. Διαλέγουμε GM = 10, x(0) = 1.0, y(0) = 0, v 0x = 0 και v 0y μεταβλητό. Μετράμε την περίοδο και το μήκος των ημιαξόνων της έλλειψης. Προκύπτει ο πίνακας t:pl Μερικές από τις τροχιές φαίνονται στο σχήμα 5.5 f:pl.3a όπου φαίνεται η v 0x T /2 2a Πίνακας 5.1: Τα αποτελέσματα για την περίοδο και τον μεγάλο ημιάξονα της ελλειπτικής τροχιάς πλανητικής κίνησης για GM = 10, x(0) = 1.0, y(0) = 0, v 0y = 0. εξάρτηση του μεγέθους της έλλειψης από την περίοδο. Στο σχήμα 5.6, f:pl.3b επιβεβαιώνουμε τον 3ο νόμο του Κέπλερ, Σχέση ( 5.10). pl.8 Πώς θα μπορούσαμε να προβλέψουμε το νόμο του Κέπλερ χωρίς να γνωρίζαμε το αποτέλεσμα εκ των προτέρων; Αν πάρουμε το λογάριθμο και στα δύο μέλη της εξίσωσης ( 5.10) pl.8 προκύπτει: ln T = 3 2 ln a + 1 ( ) 4π 2 2 ln (5.13) pl.11 GM Άρα σε ένα διάγραμμα των σημείων (ln a, ln T ) τα σημεία πρέπει να βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία. Με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων μπορούμε να υπολογίσουμε το συντελεστή κατεύθυνσης και το σημείο τομής των αξόνων που θα πρέπει να είναι 3 2 και 1/2 ln (4π2 /GM) αντίστοιχα. Το αφήνουμε σαν άσκηση για τον αναγνώστη.

17 5.4. ΣΚΕΔΑΣΗ y x Σχήμα 5.5: Τροχιές πλανήτη για GM = 10, x(0) = 1.0, y(0) = 0, v 0y = 0 και v 0x = 3.6, 3.8, 4.0, 4.1, 4.3. Αναγράφονται οι αντίστοιχες ημιπερίοδοι. Σε περίπτωση που η αρχική ταχύτητα του σωματιδίου υπερβεί την ταχύτητα διαφυγής v e το σωμάτιο ξεφεύγει από την επίδραση του πεδίου βαρύτητας. Αυτό γίνεται όταν η μηχανική του ενέργεια ( 5.8) pl.6 είναι 0 ή όταν ve 2 = 2GM, (5.14) pl.12 r που στην περίπτωση που εξετάζουμε με GM = 10, x(0) = 1.0, y(0) = 0, παίρνουμε v e Αφήνουμε για άσκηση στον αναγνώστη τον αριθμητικό προσδιορισμό της v e. 5.4 Σκέδαση Στην παράγραφο αυτή θεωρούμε σκέδαση σωματιδίων από ένα κεντρικό δυναμικό ¹. Υποθέτουμε ότι στο δυναμικό αυτό υπάρχουν τροχιές που ξεκινούν από το άπειρο και καταλήγουν στο άπειρο, στο οποίο τα σωματίδια κινούνται σχεδόν ελεύθερα από την επίδραση της δύναμης. Έτσι αρχικά τα σωματίδια κινούνται ελεύθερα πρός την περιοχή της ¹Διαβάστε το κεφάλαιο 4 του [ 35] josesaletan

18 276 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ T a 3 Σχήμα 5.6: Ο τρίτος νόμος του Κέπλερ για GM = 10. Τα σημεία είναι οι μετρήσεις από τον πίνακα 5.1 t:pl.1 και η συνεχής γραμμή η αναλυτική λύση ( 5.10). pl.8 αλληλεπίδρασης μέσα στην οποία αλλάζουν κατεύθυνση και κινούνται πάλι έξω από αυτή σε διαφορετική διεύθυνση. Λέμε τότε ότι το σωμάτιο σκεδάστηκε και ότι η γωνία μεταξυ της αρχικής και τελικής διεύθυνσης της ταχύτητας είναι η γωνία σκέδασης θ. Το ενδιαφέρον στην περίπτωση αυτή έγκειται στο γεγονός ότι από την κατανομή της γωνίας σκέδασης μιας δέσμης σωματιδίων μπορούμε να πάρουμε χρήσιμη πληροφορία για το δυναμικό σκέδασης. Αυτή η τεχνική χρησιμοποιείται κατά κόρο στους σημερινούς επιταχυντές για την μελέτη των θεμελιωδών αλληλεπιδράσεων των στοιχειωδών σωματιδίων. Για να κατανοήσουμε τους ορισμούς είναι χρήσιμο να θεωρήσουμε τη σκέδαση μικρών σκληρών σφαιρών ακτίνας r 1 από άλλες σκληρές σφαίρες ακτίνας R 2. Το δυναμικό αλληλεπίδρασης² είναι δηλαδή: { 0 r > R2 + r V (r) = 1, (5.15) pl.13 r < R 2 + r 1 όπου r είναι η απόσταση του κέντρου της r 1 από το κέντρο της R 2. Υποθέτουμε ότι τα σωματίδια της δέσμης δεν αλληλεπιδρούν μεταξύ τους και ότι κατά τη σκέδαση κάθε σωμάτιο αλληλεπιδρά μόνο με ένα ²Λέγεται δυναμικό σκληρού πυρήνα (hard core potential).

19 5.4. ΣΚΕΔΑΣΗ y x Σχήμα 5.7: Σπειδοειδής τροχιά σωματιδίου που κινήται υπό την επίδραση κεντρική δύναμης F = k/r 3ˆr. κέντρο σκέδασης του στόχου. Έστω J η πυκνότητα ροής ή ένταση της δέσμης³ και A η διατομή της δέσμης. Έστω ότι ο στόχος έχει n σωματίδια ανά μονάδα επιφάνειας. Η ενεργός διατομή της αλληλεπίδρασης είναι σ = π(r 1 + R 2 ) 2 όπου r 1 και R 2 οι ακτίνες των σκεδαζομένων σφαιρών και των στόχων αντίστοιχα (βλ. σχήμα ( 5.8)): f:pl.4 όλες οι σφαίρες έξω από την επιφάνεια αυτή στη δέσμη δεν σκεδάζονται από το συγκεκριμένο στόχο. Η συνολική ενεργός διατομή που παρουσιάζουν όλα τα κέντρα αλληλεπίδρασης του στόχου είναι Σ = naσ, (5.16) pl.14 όπου na είναι ο συνολικός αριθμός των κέντρων του στόχου που βρίσκονται μέσα στην δέσμη. Κατά μέσο όρο, ο ρυθμός σκέδασης, δηλ. ο αριθμός των σκεδάσεων ανά μονάδα χρόνου θα είναι N = JΣ = JnAσ. (5.17) pl.15 Η παραπάνω εξίσωση αποτελεί και τον ορισμό της συνολικής ενεργούς διατομής σ της αλληλεπίδρασης για οποιαδήποτε άλλη περίπτωση σκέδασης που πληρεί τις βασικές υποθέσεις που κάναμε. Η ποσότητα αυτή ³Ο αριθμός των σωματιδίων που περνούν από μια επιφάνεια κάθετη στη δέσμη ανά μονάδα χρόνου και μονάδα επιφανείας.

20 278 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ θ r R 2 R+r 2 1 σ Σχήμα 5.8: Σκέδαση σκληρών σφαιρών. θ είναι η γωνία σκέδασης. Δεξιά φαίνεται η συνολική ενεργός διατομή σ. εξαρτάται από το είδος της αλληλεπίδρασης. Η διαφορική ενεργός διατομή σ(θ) ορίζεται από τη σχέση dn = JnAσ(θ) dω, (5.18) pl.16 όπου dn ο αριθμός των σωματιδίων ανά μονάδα χρόνου που σκεδάζονται μέσα στη στερεά γωνία dω. Η συνολική ενεργός διατομή είναι v f b db v i θ Σχήμα 5.9: Σωματίδια της δέσμης που περνούν μέσα από το δακτύλιο 2πbdb σκεδάζονται μέσα στη στερεά γωνία dω = 2πsinθ dθ.

21 5.4. ΣΚΕΔΑΣΗ 279 σ tot = Ω σ(θ) dω = σ(θ) sin θ dθdϕ = 2π σ(θ) sin θ dθ. (5.19) pl.17 Στην τελευταία σχέση χρησιμοποιήσαμε την κυλινδρική συμμετρία της αλληλεπίδρασης ώς προς τον άξονα της κρούσης. Καταλήγουμε στη σχέση σ(θ) = 1 dn. (5.20) pl.18 naj 2π sin θ dθ Αυτή η σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί πειραματικά για τη μέτρηση της διαφορικής ενεργούς διατομής μετρώντας το ρυθμό ανίχνευσης σωματιδίων μέσα σε δύο κώνους που ορίζονται από τις γωνίες θ και θ +dθ. Τη σχέση αυτή θα χρησιμοποιήσουμε και στον αριθμητικό υπολογισμό της σ(θ). Για να προσδιορίσουμε τη διαφορική ενεργό διατομή από μια θεωρία, μπορούμε να ακολουθήσουμε την εξής γενική διαδικασία. Έστω ότι σωμάτιο βάλλεται προς το στόχο όπως φαίνεται στο σχήμα 5.9. f:pl.4a b ονομάζεται η παράμετρος κρούσης και η τελική γωνία θ εξαρτάται από αυτή. Άρα το μέρος της δέσμης που σκεδάζεται σε γωνίες μεταξύ θ και θ + dθ βρίσκεται σε ένα κυκλικό δαχτυλίδι ακτίνας b(θ), πάχους db και εμβαδού 2πb db. Αφού έχουμε ένα σωμάτιο στο στόχο na = 1. Ο αριθμός των σωματιδίων ανα μονάδα χρόνου που περνούν μέσα από το δαχτυλίδι είναι J2πb db, άρα 2πb(θ) db = 2πσ(θ) sin θ dθ (5.21) pl.19 (το οφείλεται στο γεγονός ότι όταν το b αυξάνει το θ μικραίνει). Από το δυναμικό μπορούμε να υπολογίσουμε το b(θ) οπότε προκύπτει η σ(θ). Αντίστροφα, αν μετρήσουμε τη σ(θ), μπορούμε να προσδιορίσουμε την b(θ) Σκέδαση Rutherford Η σκέδαση φορτισμένου σωματιδίου φορτίου q ( ηλεκτρόνιου ) μέσα σε δυναμικό Coulomb πολύ βαρύτερου σημειακού ηλεκτρικού φορτίου Q ( πυρήνας ) ονομάζεται σκέδαση Rutherford. Στην περίπτωση αυτή το δυναμικό αλληλεπίδρασης είναι V (r) = 1 Q, (5.22) pl.20 4πϵ 0 r το οποίο προσδίδει επιτάχυνση a στο σωματίδιο ίση με a = qq ˆr 4πϵ 0 m r α r. (5.23) 2 pl.21 r3

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Περιγραφή της Κίνησης. 2.1 Κίνηση στο Επίπεδο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Περιγραφή της Κίνησης. 2.1 Κίνηση στο Επίπεδο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Περιγραφή της Κίνησης Στο κεφάλαιο αυτό θα δείξουμε πώς να προγραμματίσουμε απλές εξισώσεις τροχιάς ενός σωματιδίου και πώς να κάνουμε βασική ανάλυση των αριθμητικών αποτελεσμάτων. Χρησιμοποιούμε

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3 (μέρος 1 ο )

Ενότητα 3 (μέρος 1 ο ) Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Προγραμματισμός με Εφαρμογές στην Επιστήμη του Μηχανικού Ενότητα 3 (μέρος 1 ο ) Σιέττος Κωνσταντίνος Άδεια Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΓΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΣ ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΓΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΣ ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗ ΓΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΣ ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Μοντέλο ατόμου m p m n =1,7x10-27 Kg m e =9,1x10-31 Kg Πυρήνας: πρωτόνια (p + ) και νετρόνια (n) Γύρω από τον πυρήνα νέφος ηλεκτρονίων (e -

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός)

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) 4 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) Κυριακή, 5 Απριλίου, 00, Ώρα:.00 4.00 Προτεινόμενες Λύσεις Άσκηση ( 5 μονάδες) Δύο σύγχρονες πηγές, Π και Π, που απέχουν μεταξύ τους

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1 ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : (α) Ταχύτητα ΚΜ: u KM = mu + mu m = u + u Εποµένως u = u u + u = u u, u = u u + u = u u (β) Διατήρηση ορµής στο ΚΜ: mu + mu = mv + mv u + u = V + V = 0 V = V

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 11-Μάη-2015

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 11-Μάη-2015 ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 11-Μάη-2015 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο.

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. 3.01. Έργο κατά την μετακίνηση φορτίου. Στις κορυφές Β και Γ ενόςισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ πλευράς α= 2cm, βρίσκονται ακλόνητα δύο σηµειακά ηλεκτρικά φορτία q 1 =2µC και q 2 αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Τάξης ΓΕΛ 4 ο ΓΕΛ ΚΟΖΑΝΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΤΕΦΑΝΟΥ Μ. ΦΥΣΙΚΟΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Τάξης ΓΕΛ 4 ο ΓΕΛ ΚΟΖΑΝΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΤΕΦΑΝΟΥ Μ. ΦΥΣΙΚΟΣ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Τάξης ΓΕΛ 4 ο ΓΕΛ ΚΟΖΑΝΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΤΕΦΑΝΟΥ Μ. ΦΥΣΙΚΟΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ - ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Δυναμική ενέργεια δυο φορτίων Δυναμική ενέργεια τριών ή περισσοτέρων

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΠΥΡΙΔΩΝΑ ΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕ ΕΞΕΤΑΕΙ ΦΥΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 31-05-2012 ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 07.45 10.15 Οδηγίες 1. Το εξεταστικό δοκίμιο αποτελείται από 9 σελίδες.

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΥΝΑΜΙΚΟ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23)

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΥΝΑΜΙΚΟ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23) ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΥΝΑΜΙΚΟ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23) Υπενθύμιση/Εισαγωγή: Λέμε ότι ένα πεδίο δυνάμεων είναι συντηρητικό (ή διατηρητικό) όταν το έργο που παράγεται από το πεδίο δυνάμεων κατά τη μετατόπιση ενός σώματος από μία

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού. Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014

Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού. Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014 Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014 Έργο ηλεκτροστατικής δύναμης W F Δl W N i i1 F Δl i Η μετατόπιση Δl περιγράφεται από ένα διάνυσμα που

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΗΜ: 1/7/14 ΣΤΕΦ - ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Α ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ -ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ.

ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΗΜ: 1/7/14 ΣΤΕΦ - ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Α ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ -ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ. ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΗΜ: 1/7/14 ΣΤΕΦ - ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Α ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ -ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ:Μ.ΠΗΛΑΚΟΥΤΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ 2 ΩΡΕΣ B ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ. 1. (2.5) Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο

Διαβάστε περισσότερα

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος παίρνει καθορισμένη τιμή. Ηλεκτρικό πεδίο Ηλεκτρικό πεδίο ονομάζεται ο χώρος, που σε κάθε σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 :

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 : ΦΥΕ 14 5 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-5-8 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Συµπαγής κύλινδρος µάζας Μ συνδεδεµένος σε ελατήριο σταθεράς k = 3. N / και αµελητέας µάζας, κυλίεται, χωρίς να

Διαβάστε περισσότερα

1.Η δύναμη μεταξύ δύο φορτίων έχει μέτρο 120 N. Αν η απόσταση των φορτίων διπλασιαστεί, το μέτρο της δύναμης θα γίνει:

1.Η δύναμη μεταξύ δύο φορτίων έχει μέτρο 120 N. Αν η απόσταση των φορτίων διπλασιαστεί, το μέτρο της δύναμης θα γίνει: ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΠΙΛΟΓΩΝ Ηλεκτρικό φορτίο Ηλεκτρικό πεδίο 1.Η δύναμη μεταξύ δύο φορτίων έχει μέτρο 10 N. Αν η απόσταση των φορτίων διπλασιαστεί, το μέτρο της δύναμης θα γίνει: (α)

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό δυναμικό Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρικό δυναμικό Θα συνδέσουμε τον ηλεκτρομαγνητισμό με την ενέργεια. Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μπορούμε να λύνουμε διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1.

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Νίκος Ν. Αρπατζάνης Πεδίο Πολλές φορές είναι χρήσιμα κάποια φυσικά μεγέθη που έχουν διαφορετική τιμή, σε διαφορετικά σημεία του χώρου (π.χ. μετεωρολογικά δεδομένα,όπως θερμοκρασία, πίεση,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονικοί ταλαντωτές

Αρµονικοί ταλαντωτές Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 131 - Διαλ.30 2 Αρµονικοί ταλαντωτές q Μερικά από τα θέµατα που θα καλύψουµε: q Μάζες σε ελατήρια, εκκρεµή q Διαφορικές εξισώσεις: d 2 x dt 2 + K m x = 0 Ø Mε λύση της µορφής:

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ε π α ν α λ η π τ ι κ ά θ έ µ α τ α 0 0 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΘΕΜΑ 1 o Για τις ερωτήσεις 1 4, να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που

Διαβάστε περισσότερα

11 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

11 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 11 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 11.1 Γενικά περί συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μια συνήθης διαφορική εξίσωση (ΣΔΕ) 1 ης τάξης έχει τη μορφή dy d = f (, y()) όπου f(, y) γνωστή και y() άγνωστη συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Επαναληπτικό στη Φυσική 1. Θέµα 1 ο

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Επαναληπτικό στη Φυσική 1. Θέµα 1 ο ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Επαναληπτικό στη Φυσική 1 Θέµα 1 ο 1. Το διάγραµµα του διπλανού σχήµατος παριστάνει τη χρονική µεταβολή της αποµάκρυνσης ενός σώµατος που εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση. Ποια από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/011 ΚΕΦ. 9 1 ΓΩΝΙΑΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΟΡΙΣΜΟΙ Περιστροφική κινηματική: περιγράφει την περιστροφική κίνηση. Στερεό Σώμα: Ιδανικό μοντέλο σώματος που έχει τελείως ορισμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΧΙΛΙΑΔΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ ΓΝΩΣΤΙΚΟΥ ΦΥΣΙΚΩΝ (ΒΑΣΙΚΟ+ΣΥΝΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ)

ΔΕΙΓΜΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΧΙΛΙΑΔΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ ΓΝΩΣΤΙΚΟΥ ΦΥΣΙΚΩΝ (ΒΑΣΙΚΟ+ΣΥΝΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ) ΔΕΙΓΜΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΧΙΛΙΑΔΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ ΓΝΩΣΤΙΚΟΥ ΦΥΣΙΚΩΝ (ΒΑΣΙΚΟ+ΣΥΝΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ) ΠΟΥ ΔΙΑΘΕΤΟΥΜΕ ΚΑΙ ΠΟΥ ΑΝΟΙΓΟΥΝ ΤΟ ΔΡΟΜΟ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΟΡΙΣΜΟ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΜΑΣ ΣΤΟ ΔΗΜΟΣΙΟ 1. Για το κωνικό

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας. με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας. με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς Εργαστηριακή Άσκηση 5 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας, g. Πειραματική διάταξη: Χρήση απλού εκκρεμούς.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014 Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 14 Άσκηση: Ηλεκτρικό πεδίο διακριτών φορτίων Δύο ίσα θετικά φορτία q βρίσκονται σε απόσταση α μεταξύ τους. Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου,

Διαβάστε περισσότερα

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B 4 Εργο και Ενέργεια 4.1 Εργο σε µία διάσταση Το έργο µιας σταθερής δύναµης F x, η οποία ασκείται σε ένα σώµα που κινείται σε µία διάσταση x, ορίζεται ως W = F x x Εργο ύναµης = ύναµη Μετατόπιση Εχουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 28 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση) Κυριακή, 15 Δεκεμβρίου, 2013 Ώρα: 10:00-13:00 Οδηγίες: 1) Το δοκίμιο αποτελείται από πέντε (5) σελίδες και πέντε (5) θέματα. 2) Να απαντήσετε σε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις -4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Τα δύο

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ B ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ COULOMB

ΘΕΜΑ B ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ COULOMB 1 ΘΕΜΑ B ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ OULOMB 1. ΘΕΜΑ Β -1596 B.1 Διαθέτουμε έξι φορτισμένα, με ηλεκτρικό φορτίο, σώματα Α, Β, Γ, Δ, Ε και Ζ, μικρών διαστάσεων. Με βάση μια σειρά παρατηρήσεων, ένας μαθητής οδηγήθηκε στα εξής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 ο 1. Aν ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ενός σώματος είναι σταθερός, τότε το σώμα: (i) Ηρεμεί. (ii) Κινείται με σταθερή ταχύτητα. (iii) Κινείται με μεταβαλλόμενη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α. Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση

ΘΕΜΑ Α Α. Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. = 2r, τότε:

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. = 2r, τότε: ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. (Διατήρηση της στροφορμής) Η Γη στρέφεται σε ελλειπτική τροχιά γύρω από τον Ήλιο. Το κοντινότερο σημείο στον Ήλιο ονομάζεται Περιήλιο (π) και το πιο απομακρυσμένο Αφήλιο (α).

Διαβάστε περισσότερα

Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας. Γιώργος Νικολιδάκης

Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας. Γιώργος Νικολιδάκης Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας Γιώργος Νικολιδάκης 9/18/2013 1 Κωνικές Τομές Είναι καμπύλες που σχηματίζονται καθώς επίπεδα τέμνουν με διάφορες γωνίες επιφάνειες κώνων. Παραβολή Έλλειψη -κύκλος Υπερβολή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κεφάλαιο M6 Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κυκλική κίνηση Αναπτύξαµε δύο µοντέλα ανάλυσης στα οποία χρησιµοποιούνται οι νόµοι της κίνησης του Νεύτωνα. Εφαρµόσαµε τα µοντέλα αυτά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση,

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις μεταξύ ηλεκτρικών φορτίων ΘΕΜΑ Δ

Δυνάμεις μεταξύ ηλεκτρικών φορτίων ΘΕΜΑ Δ Δυνάμεις μεταξύ ηλεκτρικών φορτίων ΘΕΜΑ Δ 4_15580 Δύο σημειακά ηλεκτρικά φορτία Q 1 = μc και Q = 8 μc, συγκρατούνται ακλόνητα πάνω σε οριζόντιο μονωτικό δάπεδο, στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, σε απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΗ ΛΥΕΙΟΥ ΘΕΤΙΗΣ Ι ΤΕΧ/ΗΣ ΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜ : Στις ερωτήσεις - να γράψετε στο φύλλο απαντήσεων τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Στις ερωτήσεις -5 να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Δ (15732) Δύο ακίνητα σημειακά ηλεκτρικά φορτία 2 μc και 3 μc, βρίσκονται αντίστοιχα στις θέσεις 3 m και 6 m ενός άξονα, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Δ1) Να υπολογίσετε το δυναμικό του ηλεκτρικού

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΕ ΕΝΑΝ ΑΠΕΙΡΟΣΤΟ ΟΓΚΟ ΡΕΥΣΤΟΥ Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε την ισορροπία των δυνάμεων οι οποίες ασκούνται σε ένα τυχόν σωματίδιο ρευστού.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima

Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima Το Maxima είναι ένα πρόγραμμα για την εκτέλεση μαθηματικών υπολογισμών, συμβολικών μαθηματικών χειρισμών, αριθμητικών υπολογισμών και γραφικών παραστάσεων. Το Maxima λειτουργεί

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Νόμος Gauss, κίνηση σε ηλεκτρικό πεδίο. Ι. Γκιάλας Χίος, 28 Φεβρουαρίου 2014

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Νόμος Gauss, κίνηση σε ηλεκτρικό πεδίο. Ι. Γκιάλας Χίος, 28 Φεβρουαρίου 2014 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Νόμος Gauss, κίνηση σε ηλεκτρικό πεδίο Ι. Γκιάλας Χίος, 28 Φεβρουαρίου 214 Ασκηση συνολικό φορτίο λεκτρικό φορτίο Q είναι κατανεμημένο σε σφαιρικό όγκο ακτίνας R με πυκνότητα ορτίου ανάλογη του

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτημα Ι. 1 Το ισόχρονο της ταλάντωσης επί κυκλοειδούς

Παράρτημα Ι. 1 Το ισόχρονο της ταλάντωσης επί κυκλοειδούς Παράρτημα Ι 1 Το ισόχρονο της ταλάντωσης επί κυκλοειδούς Ας θεωρήσουμε μια κυκλική στεφάνη ακτίνας a η οποία κυλίεται, χωρίς να ολισθαίνει, πάνω σε μια ευθεία (για ευκολία υποθέστε ότι η ευθεία είναι ο

Διαβάστε περισσότερα

v r T, 2 T, a r = a r (t) = 4π2 r

v r T, 2 T, a r = a r (t) = 4π2 r Πρώτη και Δεύτερη Διαστημική Ταχύτητα Άλκης Τερσένοβ 1. Πρώτη Διαστημική Ταχύτητα και Γεωστατική Τροχιά Πρώτη Διαστημική Ταχύτητα ονομάζεται η ελάχιστη ταχύτητα που θα πρέπει να αναπτύξει ένα σώμα που

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 d x dx Η διαφορική εξίσωση κίνησης ενός ταλαντωτή δίνεται από τη σχέση: λ μx. Αν η μάζα d d του ταλαντωτή είναι ίση με =.5 kg, τότε να διερευνήσετε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ H.D. H.D. Young Πανεπιστημιακή Φυσική Εκδόσεις Παπαζήση Alonso Alonso / Finn Θεμελιώδης Πανεπιστημιακή Φυσική Α. Φίλιππας, Λ. Ρεσβάνης (Μετ.) R. A. Seway Φυσική

Διαβάστε περισσότερα

Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του;

Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του; Άσκηση Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του; Απάντηση Έστω R n η ακτίνα του κύκλου. Αφού η κίνηση είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς.

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. Μ2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. 1 Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αποσκοπεί στη μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας σε ένα τόπο. Αυτή η μέτρηση επιτυγχάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης)

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης) Ένας ομογενής οριζόντιος δίσκος, μάζας Μ και ακτίνας R, περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο ακλόνητο άξονα z, ο οποίος διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 15 ΙΟΥΝΙΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΘΕΣΗ ΤΡΟΧΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΗΜΑ. Παρατηρώντας τις εικόνες προσπαθήστε να ορίσετε τις θέσεις των διαφόρων ηρώων των κινουμένων σχεδίων. Ερώτηση: Πότε ένα σώμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ 2013 ΘΕΜΑΤΑ και ΛΥΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ 2013 ΘΕΜΑΤΑ και ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ 13 ΘΕΜΑΤΑ και ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ B1 Η κίνηση δύο ατόµων ενός µορίου µπορεί να περιγραφεί προσεγγιστικά από ένα a 1 x ax δυναµικό της µορφής V = +, a >, όπου x> η σχετική απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ

ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ Η κίνηση των πλανητών είναι το αποτέλεσμα της σύνθεσης 2 κινήσεων: μίας περιστροφής γύρω από τον Ήλιο, η περίοδος της οποίας μας δίνει το έτος κάθε πλανήτη, και πραγματοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας με τη διάταξη της αεροτροχιάς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μελέτη της ευθύγραμμης

Διαβάστε περισσότερα

2 ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στο 1 ο κεφάλαιο Φυσικής Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης (Μηχανικές και Ηλεκτρικές ταλαντώσεις)

2 ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στο 1 ο κεφάλαιο Φυσικής Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης (Μηχανικές και Ηλεκτρικές ταλαντώσεις) ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στο 1 ο κεφάλαιο Φυσικής Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης (Μηχανικές και Ηλεκτρικές ταλαντώσεις) ΘΕΜΑ 1 ο Στις παρακάτω ερωτήσεις 1 4 επιλέξτε τη σωστή πρόταση 1. Ένα σώμα μάζας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις Ελατηρίου Απλή αρµονική κίνηση Ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή Σχέση απλού αρµονικού ταλαντωτή και κυκλικής κίνησης Το απλό εκκρεµές Περιεχόµενα 14 Το φυσικό εκκρεµές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α : α. 3000 V/m β. 1500 V/m γ. 2000 V/m δ. 1000 V/m

ΘΕΜΑ Α : α. 3000 V/m β. 1500 V/m γ. 2000 V/m δ. 1000 V/m ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α : Για να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής αρκεί να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Θέµα 1 ο. iv) πραγµατοποιεί αντιστρεπτές µεταβολές.

Θέµα 1 ο. iv) πραγµατοποιεί αντιστρεπτές µεταβολές. ΜΑΘΗΜΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ Θέµα 1 ο α) Ορισµένη ποσότητα ιδανικού αερίου πραγµατοποιεί µεταβολή AB από την κατάσταση A (p, V, T ) στην κατάσταση B (p, V 1, T ). i) Ισχύει V 1 = V. ii) Η µεταβολή παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

4 η Εργασία F 2. 90 o 60 o F 1. 2) ύο δυνάµεις F1

4 η Εργασία F 2. 90 o 60 o F 1. 2) ύο δυνάµεις F1 4 η Εργασία 1) ύο δυνάµεις F 1 και F 2 ασκούνται σε σώµα µάζας 5kg. Εάν F 1 =20N και F 2 =15N βρείτε την επιτάχυνση του σώµατος στα σχήµατα (α) και (β). [ 2 µονάδες] F 2 F 2 90 o 60 o (α) F 1 (β) F 1 2)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής.

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. Ο πύραυλος καίει τα καύσιμα που αρχικά βρίσκονται μέσα του και εκτοξεύει τα καυσαέρια προς τα πίσω. Τα καυσαέρια δέχονται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΙΟΥΝΙΟΥ 05 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΠΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 11 ΙΟΥΛΙΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ): ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ 1ο Να γράψετε στο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 0. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-5 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ 1 0. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-5 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Επαναληπτικό διαγώνισµα Φυσικής Κατεύθυνσης Γ λυκείου 009 ΘΕΜΑ 0 Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις -5 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Σώµα

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2008 ΓΙΑ ΤΑ ΑΝΩΤΕΡΑ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΙΔΡΥΜΑΤΑ Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ 4ωρο Τ.Σ. Ημερομηνία

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Απλές προτάσεις Για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής των εννοιών Δογραματζάκης Γιάννης 9/5/2013 Απλές προτάσεις για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΗ ΠΕΔΙΑ

ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΗ ΠΕΔΙΑ 2 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 467 ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΗ ΠΕΔΙΑ Βαρυπάτη Αθηνά Φυσικός- Επιμορφώτρια Τ.Π.Ε. avarypat@de.sch.gr Μαστραλέξης Δημήτρης Φυσικός-Επιμορφωτής Τ.Π.Ε. dmastral@de.sch.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Στις παρακάτω προτάσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ Α Στις παρακάτω προτάσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 53 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪΔΗ-ΜΑΝΩΛΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Φιλολάου & Εκφαντίδου 26 : Τηλ.: 2107601470 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2013 ΘΕΜΑ Α Στις παρακάτω προτάσεις Α1-Α4 να

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 22 ΜΑΪΟΥ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÓÕÃ ÑÏÍÏ

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 22 ΜΑΪΟΥ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÓÕÃ ÑÏÍÏ Θέµα Α ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β ΜΑΪΟΥ 03 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις Α-Α να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία συµπληρώνει

Διαβάστε περισσότερα

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014 minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/014 minimath.eu Περιεχόμενα Κινηση 3 Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση 4 Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση 5 Δυναμικη 7 Οι νόμοι του Νεύτωνα 7 Τριβή 8 Ομαλη κυκλικη

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΘΕΜΑΤΑ

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2008 ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑÏΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Β ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2009-2010 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Επιτρεπόμενη διάρκεια γραπτού 2,5 ώρες (150 λεπτά)

ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Β ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2009-2010 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Επιτρεπόμενη διάρκεια γραπτού 2,5 ώρες (150 λεπτά) ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Β ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2009-2010 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 31/05/2010 ΤΑΞΗ: Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΧΡΟΝΟΣ: 07:30 10:00 π.μ. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:... ΤΜΗΜΑ:...

Διαβάστε περισσότερα

A Λυκείου 9 Μαρτίου 2013

A Λυκείου 9 Μαρτίου 2013 Θεωρητικό Μέρος A Λυκείου 9 Μαρτίου 2013 Θέμα 1 ο Στις ερωτήσεις A1, A2, A3, A4 και Β μία μόνο απάντηση είναι σωστή. Γράψτε στο τετράδιό σας το κεφαλαίο γράμμα της ερώτησης και το μικρό γράμμα της σωστής

Διαβάστε περισσότερα

Πεδία δυνάμεων. Ηλεκτρισμός και μαγνητισμός διαφορετικές όψεις του ίδιου φαινομένου του ηλεκτρομαγνητισμού. Ενοποίηση των δύο πεδίων μετά το 1819.

Πεδία δυνάμεων. Ηλεκτρισμός και μαγνητισμός διαφορετικές όψεις του ίδιου φαινομένου του ηλεκτρομαγνητισμού. Ενοποίηση των δύο πεδίων μετά το 1819. Πεδία δυνάμεων Πεδίο βαρύτητας, ηλεκτρικό πεδίο, μαγνητικό πεδίο: χώροι που ασκούνται δυνάμεις σε κατάλληλους φορείς. Κατάλληλος φορέας για το πεδίο βαρύτητας: μάζα Για το ηλεκτρικό πεδίο: ηλεκτρικό φορτίο.

Διαβάστε περισσότερα

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς από τις παρακάτω προτάσεις Α1 έως Α3 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση: Α1. Το μέτρο της

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014. ÄÉÁÍüÇÓÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014. ÄÉÁÍüÇÓÇ ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 23 Απριλίου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1 Α4 να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 03 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑΚΑ ΦΟΡΤΙΑ

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑΚΑ ΦΟΡΤΙΑ 2 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 475 ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑΚΑ ΦΟΡΤΙΑ Μαστρογιάννης Αθανάσιος Εκπαιδευτικός Δευτεροβάθμιας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση Hamilton:, όπου κάποια σταθερά και η κανονική θέση και ορµή

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 9 Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ 4ωρο Τ.Σ. Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Τρίτη Ιουνίου 9 11. 14. ΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2 ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 1 Ροπή αδράνειας q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: m (α) m (β) m r r 2r 2 2 I =! m i r i = 2mr 2 1 I = m(2r) 2 = 4mr 2 Ø Είναι δυσκολότερο να προκαλέσεις περιστροφή

Διαβάστε περισσότερα

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΗΣ ΘΕΤΙΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΗΣ ΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ Θέμα ο. ύλινδρος περιστρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του με γωνιακή ταχύτητα ω. Αν ο συγκεκριμένος κύλινδρος περιστρεφόταν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 21 Ηλεκτρικά Φορτία και Ηλεκτρικά Πεδία. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 21 Ηλεκτρικά Φορτία και Ηλεκτρικά Πεδία. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 21 Ηλεκτρικά Φορτία και Ηλεκτρικά Πεδία Στατικός Ηλεκτρισµός, Ηλεκτρικό Φορτίο και η διατήρηση αυτού Ηλεκτρικό φορτίο στο άτοµο Αγωγοί και Μονωτές Επαγόµενα Φορτία Ο Νόµος του Coulomb Το Ηλεκτρικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΜΠΤΗ 10 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

α. Μόνο η ορμή του συστήματος των σωμάτων. β. Η ορμή και η κινητική ενέργεια του κάθε σώματος.

α. Μόνο η ορμή του συστήματος των σωμάτων. β. Η ορμή και η κινητική ενέργεια του κάθε σώματος. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΓΝΩΣΗ ΘΕΜΑ 1 1. Σε μια ελαστική κρούση δύο σωμάτων διατηρείται: α. Μόνο η ορμή του συστήματος των σωμάτων. β. Η ορμή και η κινητική ενέργεια του κάθε σώματος.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα.

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1 Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. Α2. Για τον προσδιορισμό μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα απαιτείται να

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΔΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΔΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΔΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΥΛΗ Οτιδήποτε έχει μάζα και καταλαμβάνει χώρο Μάζα είναι η ποσότητα αδράνειας ενός σώματος, μονάδα kilogram (kg) (σύνδεση( δύναμης & επιτάχυνσης) F=m*γ Καταστάσεις της ύλης Στερεά,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου 01 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις από 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και το γράµµα

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ. Young 12.1-12.7 Ζήσος Κεφ.8

ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ. Young 12.1-12.7 Ζήσος Κεφ.8 ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Young 1.1-1.7 Ζήσος Κεφ.8 ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΠΕΔΙΟ ΕΝΤΑΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΔΥΝΑΜΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΠΩΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΝΟΝΤΑΙ ΟΙ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΤΑΝ ΕΧΟΥΜΕ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΜΑΖΑΣ- ΓΗ ΚΙΝΗΣΗ ΔΟΡΥΦΟΡΩΝ ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 28 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Δεύτερη Φάση) Κυριακή, 13 Απριλίου 2014 Ώρα: 10:00-13:00 Οδηγίες: Το δοκίμιο αποτελείται από έξι (6) σελίδες και έξι (6) θέματα. Να απαντήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Τετάρτη 18 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Τετάρτη 18 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 18 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις 1 έως 4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό

Διαβάστε περισσότερα