ΑΝΩΣΑΣΟ ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΙΔΡΤΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟΤ ΣΟΜΕΑ ΧΟΛΗ ΣΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΤΣΟΜΑΣΙΜΟΤ Σ.Ε.

Transcript

1 ΑΝΩΣΑΣΟ ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΙΔΡΤΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟΤ ΣΟΜΕΑ ΧΟΛΗ ΣΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΤΣΟΜΑΣΙΜΟΤ Σ.Ε. ΤΣΗΜΑΣΑ ΑΤΣΟΜΑΣΟΤ ΕΛΕΓΧΟΤ Ι ΑΚΗΕΙ ΠΡΑΞΗ Καθηγητήσ: Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΤΛΟ Καθ. Εφαρμ:. ΒΑΙΛΕΙΑΔΟΤ υςτήματα Αυτομάτου Ελζγχου Ι Αςκήςεισ Πράξησ Χειμερινό εξάμηνο /6

2 Άςκηςη Μαθηματική εξομοίωςη φυςικών ςυςτημάτων Ανάλογα ςυςτήματα Αναλογικό διάγραμμα // Δίνεται θλεκτρικό κφκλωμα: α Θεωρϊντασ ωσ είςοδο τθν τάςθ και ωσ εξόδουσ τα φορτία των βρόχων γράψτε τθν εξίςωςθ που αντιςτοιχεί ςε κάκε βρόχο του κυκλϊματοσ. β Σχεδιάςτε το μθχανικό του ανάλογο ςθμειϊνοντασ αναλογίεσ μεγεκϊν και ςτοιχείων. Θεωρϊντασ ωσ είςοδο τθ δφναμθ F t και ωσ εξόδουσ τισ μετατοπίςεισ,, των ςωμάτων, ςθμειϊςτε τισ δυνάμεισ ςτα ςϊματα και γράψτε τθν εξίςωςθ που αντιςτοιχεί ςε κάκε ςϊμα. Ζςτω ότι > >. Επαλθκεφςτε τθν αναλογία μεταξφ του θλεκτρικοφ κυκλϊματοσ και του ανάλογου μθχανικοφ ςυςτιματοσ ςυγκρίνοντασ τισ εξιςϊςεισ του ερωτιματοσ α και β. γ Σχεδιάςτε το αναλογικό διάγραμμα του μθχανικοφ ςυςτιματοσ, κακϊσ επίςθσ και το αντίςτοιχο θλεκτρικό ανάλογο ζνταςθσ, ςθμειϊνοντασ αναλογίεσ μεγεκϊν και ςτοιχείων. Λφςη α Εφαρμόηοντασ τον δεφτερο νόμο του irchhoff Νόμοσ τάςεων ςε κάκε βρόχο προκφπτουν οι παρακάτω εξιςϊςεισ: Βρόχοσ : L R C Βρόχοσ : L R R C Βρόχοσ : L R C C

3 β Μθχανικό ανάλογο και αντιςτοιχίεσ μεγεκϊν και ςτοιχείων Δυνάμεισ ςτα ςϊματα Εφαρμόηοντασ το νόμο F ςε κάκε ςϊμα προκφπτουν οι παρακάτω εξιςϊςεισ: ώμα : F ςε αντιςτοιχία με τθν C R L ώμα : ςε αντιςτοιχία με τθν R C R L ώμα : ςε αντιςτοιχία με τθν C C R L

4 γ Αναλογικό διάγραμμα Οι εξιςϊςεισ του μθχανικοφ ανάλογου γράφονται: ώμα : F ώμα : ώμα :

5 Ηλεκτρικό ανάλογο ζνταςθσ & αντιςτοιχίεσ μεγεκϊν-ςτοιχείων Άςκηςη Επίλυςη κυκλωμάτων ςτο μιγαδικό επίπεδο Άλγεβρα βαθμίδων //. Δίνεται θλεκτρικό κφκλωμα. Θεωριςτε Υπολογίςτε τθ ςυνάρτθςθ μεταφοράσ G με τθ μζκοδο εντάςεων βρόχων και τάςεων κόμβων. Λφςη Μεταςχθματίηουμε το κφκλωμα κατά Laplace:

6 6 α Μζθοδοσ εντάςεων βρόχων: Βρόχοσ : Βρόχοσ : Βρόχοσ : I I I Απλοποιϊντασ ζχουμε: I I I Υπολογιςμόσ ολικισ ορίηουςασ με ανάπτυγμα ωσ προσ τθν θ ςτιλθ: Υπολογιςμόσ μερικϊν οριηουςϊν και : 6 6

7 7 Άρα I, I και I I όπου Οπότε και θ ςυνάρτθςθ μεταφοράσ G β Μζθοδοσ τάςεων κόμβων: Κόμβοσ : Κόμβοσ : Κόμβοσ : ι ι Υπολογιςμόσ ολικισ ορίηουςασ με ανάπτυγμα ωσ προσ τθν θ ςτιλθ:

8 Υπολογιςμόσ ορίηουςασ : 6 Άρα και G. Δίνεται διάγραμμα βακμίδων. Υπολογίςτε τθν ολικι ςυνάρτθςθ μεταφοράσ Y G. Λφςη

9 9 Από το διάγραμμα προκφπτουν οι εξιςϊςεισ:.... ι.... ι ςε μορφι πινάκων.... είναι, όπου και Y Y G

10 Άςκηςη Χρονική απόκριςη ςυςτημάτων // Δίνεται κλειςτό ςφςτθμα με ςυνάρτθςθ μεταφοράσ Y G και μθδενικζσ αρχικζσ ςυνκικεσ. α Βρείτε τθν ολικι ςυνάρτθςθ μεταφοράσ του κλειςτοφ ςυςτιματοσ. β Βρείτε και ςχεδιάςτε τθ χρονικι απόκριςθ y t για και είςοδο u t. Γράψτε τθ διαφορικι εξίςωςθ και υπολογίςτε τουσ φυςικοφσ του ςυντελεςτζσ: φυςικι ςυχνότθτα, ςυντελεςτισ απόςβεςθσ και ενίςχυςθ A. γ Βρείτε και ςχεδιάςτε τθ χρονικι απόκριςθ y t για και είςοδο u t t. δ Βρείτε και ςχεδιάςτε τθ χρονικι απόκριςθ y t για 8 και είςοδο u t. Γράψτε τθ διαφορικι εξίςωςθ και υπολογίςτε τουσ φυςικοφσ του ςυντελεςτζσ: φυςικι ςυχνότθτα, ςυντελεςτισ απόςβεςθσ και ενίςχυςθ A. δ Υπολογίςτε τθ βθματικι u t χρονικι απόκριςθ y t με βάςθ τουσ φυςικοφσ ςυντελεςτζσ A,,. Επαλθκεφςτε τθν απάντθςθ που δϊςατε ςτο δ ερϊτθμα. Ιςχφει: t y t A e t και. δ Υπολογίςτε τθ μζγιςτθ τιμι τθσ βθματικισ χρονικισ απόκριςθσ y t του ερωτιματοσ δ. Επαλθκεφςτε το αποτζλεςμα με βάςθ τουσ φυςικοφσ ςυντελεςτζσ A,,. Ιςχφει: Λφςη y m A e για t m. α Η ςυνάρτηςη μεταφοράσ του κλειςτοφ ςυςτιματοσ είναι: Y G G. και Y G β Για και είςοδο u t ζχουμε Το χαρακτηριςτικό πολυώνυμο είναι: Q και Y

11 ζχει πόλουσ: p και p Οπότε Y A A A Είναι: A, A, A και θ βηματική χρονική απόκριςη με αντίςτροφο μεταςχθματιςμό Laplace είναι: y t με αρχικι ςυνκικθ y και t t e e Εκκετικι απόκριςθ y Διαφορική εξίςωςη: Ζχουμε : Y Y Y Y d y dy d y dy Άρα y t u t ι y t u t dt dt dt dt d y dy Φυςικι μορφι y t Au t dt dt Οπότε,., γ Για και είςοδο u t t ζχουμε Οπότε A A A A Y A Είναι: A, A d d 9 A, A 8 και θ ανοδική χρονική απόκριςη με αντίςτροφο μεταςχθματιςμό Laplace είναι:

12 y t 9 8 t t t e e Εκκετικι απόκριςθ με αρχικι ςυνκικθ y και y t.. t 9 Για τον ακριβι ςχεδιαςμό τθσ χρονικισ απόκριςθσ υπολογίηουμε τθν κλίςθ τθσ καμπφλθσ dy t t y t για t : e e. Άρα dt 8 t δ Για 8 και είςοδο u t ζχουμε 8 και Y Διαφορική εξίςωςη: Ζχουμε : t o. 8 Y Y Y Y 8 d y dy d y dy 8 Άρα y t 8u t ι y t u t dt dt dt dt d y dy Φυςικι μορφι y t Au t dt dt 8 Οπότε,., A. 9 Το χαρακτηριςτικό πολυώνυμο είναι: Q ζχει πόλουσ: p, j j,, Άρα Οπότε Q Y 8 A A A

13 8 Είναι: A. 9, A A ja 8 j. j. j 9 8 j άρα A. και A. 9 και θ βηματική χρονική απόκριςη με αντίςτροφο μεταςχθματιςμό Laplace είναι: y t.9 e t με αρχικι ςυνκικθ y και y. 9.t.9 t Φκίνουςα ταλάντωςθ Μζγιςτη τιμή:....8 A e.9 e.9 e. 8 y m t m..78ec..7 δ Η βθματικι χρονικι απόκριςθ είναι: για.,. 7 και A. 9 t y t A e, ζχουμε: t,,. 6,. 9 Άρα Επαλικευςθ: t 6 y t.9 e.89.9 e t t 6 t y t.9 e y t.9 e y t.9 e t t t t 6 t 6 t. t.9.t.9 t

14 δ Επαλήθευςη μζγιςτησ τιμήσ dy Πρζπει dt Είναι Άρα de dt t t e, t dy t e dt t t dt d t, t dt dt.t.9 t e ι dy t.e t t dt οπότε t και t m tm. 78 και θ μζγιςτθ τιμι είναι: y m.9 e όπου 8, 8.78, e. άρα y m. t.9 t Άςκηςη Αρμονικά διαγράμματα ode //6. Δίνεται ςφςτθμα με ςυνάρτθςθ μεταφοράσ: G α Γράψτε τον αναλυτικό πίνακα & ςχεδιάςτε το διάγραμμα ode μζτρου και φάςθσ. β Βρείτε τθν αρμονικι απόκριςθ για Hz. Λφςη Η ςυνάρτθςθ μεταφοράσ του ςυςτιματοσ γράφεται: G Η ενίςχυςθ A είναι: A d log d. Ο αναλυτικόσ πίνακασ μζτρου και το διάγραμμα λογαρικμικοφ μζτρου είναι:

15 d A d d d d d διπλόσ πόλοσ d / oct για d / oct d d d / oct d / oct d / oct απλόσ πόλοσ d 6d / oct 6d / oct 6d / oct 6d / oct διπλι ρίηα d d d / oct d / oct d / oct απλόσ πόλοσ d d d 6d / oct 6d / oct απλι ρίηα d d d d 6 d / oct Σφνολο d / oct για 8d / oct d d 6d / oct d / oct 6d / oct

16 Ο αναλυτικόσ πίνακασ και το διάγραμμα λογαρικμικισ φάςθσ είναι: A διπλόσ πόλοσ 8 απλόσ πόλοσ διπλι ρίηα απλόσ πόλοσ απλι ρίηα Σφνολο

17 Από τα διαγράμματα για προκφπτει: d d log άρα log. και.. 8 και Οπότε θ αρμονικι απόκριςθ: y t t.8t o. Θα μποροφςε το παρακάτω διάγραμμα μζτρου να προζρχεται από ςφςτθμα με ςυνάρτθςθ μεταφοράσ: G Δικαιολογείςτε τθν απάντθςι ςασ. Σε περίπτωςθ αρνθτικισ απάντθςθσ προςδιορίςτε τθ ςυνάρτθςθ μεταφοράσ που αντιςτοιχεί ςτο δεδομζνο διάγραμμα. Λφςη Η δεδομζνθ ςυνάρτθςθ μεταφοράσ γράφεται: G Άρα ζχει ενίςχυςθ A. είναι: A d log. 6d και απλό πόλο, απλι ρίηα, απλό πόλο, διπλό πόλο. 7

18 Αναλφοντασ το δεδομζνο διάγραμμα προκφπτει: Ενίςχυςθ ι A d d A d d log A άρα log A. 7 και A. 7. Κλίςθ Μεταβολι Μεταβολι Μεταβολι 6 d / oct απλόσ πόλοσ 6 d / oct απλι ρίηα 6 d / oct απλόσ πόλοσ d / oct διπλόσ πόλοσ Οπότε αφορά ςφςτθμα με διαφορετικι ενίςχυςθ από το δεδομζνο ςφςτθμα, αλλά και με διπλό πόλο και όχι απλό για. ' G.. 8