ΕΠΙΠΕΔΗ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ-ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ-ΣΧΕΤΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΠΙΠΕΔΗ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ-ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ-ΣΧΕΤΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ"

Transcript

1 ΕΠΙΠΕΔΗ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ-ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ-ΣΧΕΤΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΠΑΡΑΔΟΧΕΣ 1) Ο χώρος, όπως τον αντιλαμβανόμαστε, έχει τρεις διαστάσεις που συμβολίζονται με τρεις διευύνσεις κάετες μεταξύ τους. 2) To μαηματικό μοντέλο που χρησιμοποιεί ο Newton για τον χώρο είναι το μοντέλο της Ευκλείδιας Γεωμετρίας.Το 5 ο αξίωμα του Ευκλείδη ισχυρίζεται ότι «από δοσμένο σημείο διέρχεται μόνο μια ευεία παράλληλη πρός μία άλλη ευεία».με αυτό το αξίωμα μπορούμε να μεταφέρουμε μια ευεία σε οποιοδήποτε άλλο σημείο διατηρώντας την διευυνσή της μέσω μίας παράλληλης μετάεσης. Ετσι σε κάε σημείο, οποιαδήποτε κατεύυνση ορίζεται μονοσήμαντα απο μία ευεία που διέρχεται από το σημείο, γεγονός που μας επιτρέπει να εωρήσουμε τις ευείες «φορείς» των διανυσμάτων και να παραστήσουμε τα διανύσματα με προσανατολισμένα ευύγραμμα τμήματα μήκους ίδιου με το μέγεός τους.επιπλέον μπορούμε να μεταφέρουμε παράλληλα κάε διάνυσμα από ένα σημείο σε οποιοδήποτε άλλο αρκεί να μεταφέρουμε παράλληλα την ευεία φορέα του. Η παράλληλη μετάεση μας επιτρέπει να ορίσουμε με τρόπο γεωμετρικό το άροισμα + (καώς και την διαφορά τους)δύο διανυσμάτων που εφαρμόζονται στο ίδιο σημείο (ή και διανυσμάτων που δεν εφαρμόζονται στο ίδιο σημείο αρκεί το άροισμα αυτό να έχει φυσικό νόημα) 3) O Νεύτων δίδασκε ότι όλα όσα συμβαίνουν στο Σύμπαν πραγματοποιούνται στον κενό χώρο, που περιέχει όλα τα σώματα και όλες τις διαδικασίες. Το χώρο

2 αυτόν μπορούμε να τον φαντασούμε σαν ένα τεράστιο εργαστήριο του οποίου οι τοίχοι, η οροφή και το δάπεδο εκτείνονται ως το άπειρο, αυτό το "απόλυτο", απεριόριστο κενό που ο Νεύτων αποκαλούσε "απόλυτο χώρο". Στις Αρχές γράφει: «Ο απόλυτος χώρος με τη δική του φύση, χωρίς αναφορά σε οτιδήποτε εξωτερικό, παραμένει πάντοτε όμοιος και αμετακίνητος». Στη νευτώνεια φυσική, ο χρόνος είναι μια ροή διάρκειας που περιλαμβάνει όλες ανεξαιρέτως τις διαδικασίες. Είναι ο "ποταμός του χρόνου", του οποίου η ροή δεν επηρεάζεται από τίποτα: O Άλμπερτ Αϊνστάιν έδωσε την παρακάτω, πολύ διαφωτιστική, περιγραφή των νευτώνειων εννοιών: «Η ιδέα της ανεξάρτητης ύπαρξης του χώρου και του χρόνου μπορεί να εκφρασεί ως εξής: εάν η ύλη εξαφανιζόταν, α παρέμεναν μόνον ο χώρος και ο χρόνος (ένα είδος σκηνής από την οποία έχουν αποχωρήσει τα φυσικά φαινόμενα)». Η κίνηση σύμφωνα με τον Newton λοιπόν γίνεται σε σχέση με τον απόλυτο χώρο και χρόνο 4) Ο Γάλλος φυσικός και Μαηματικός Descartes(Καρτέσιος) χρησιμοποίησε σύστημα συντεταγμένων για την περιγραφή των σημείων του χώρου με αριμούς.αυτό επέτρεε την σύνδεση ανάμεσα στις τότε κυρίαρχες γεωμετρικές μεόδους και στις «αριμητικές» για τις οποίες επικράτησε ο όρος «αναλυτικές».ετσι γεωμετρικά αντικείμενα μπορούν να περιγραφούν με αναλυτικά μέσα(πχ η ευεία περιγράφεται από μία πρωτοβάμια εξίσωση) αλλά και μαηματικά αντικείμενα δέχονται γεωμετρική ερμηνεία( Πχ σε μία συνάρτηση =f(x) αντιστοιχεί η γραφική της παράσταση δηλ μία καμπύλη στο επίπεδο) 5)Ενα σύστημα αναφοράς αποτελείται από Α) Ενα σημείο Ο του Ευκλείδιου χώρου το οποίο είναι η αρχή του συστήματος αναφοράς Β) Ενα σύνολο γραμμικών ανεξάρτητων διανυσμάτων στο σημείο Ο

3 (βάση του χώρου ),στην περιπτωσή μας μόνο δύο τα 1(O), 2(O) (επίπεδη κίνηση) Γ) Ενα πεδίο τοπικών διανυσμάτων 1(P), 2(P) σε κάε σημείο Ρ του ευκλείδιου χώρου που προκύπτει από την παράλληλη μετάεση των διανυσμάτων 1(O), 2(O) σε όλα τα σημεία το οποίο χρησιμεύει για την «αναλυτική» περιγραφή των τοπικών διανυσμάτων σε κάε σημείο Ρ καώς και την «αναλυτική» περιγραφή των διανυσματικών πεδίων. Παραγωγο του συστήματος αναφοράς στον Ευκλείδιο χώρο είναι ένα αντίστοιχο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. x 1(O) Ο 2(O) Σε καμπύλους χώρους τα δύο συστήματα δεν προκύπτουν το ένα από το άλλο. i ) Καρτεσιανό Σύστημα Συντεταγμένων Η έση του σημείου προκύπτει από το σημείο τομής δύο ευειών

4 Θα χρησιμοποιήσουμε το πρώτο σύστημα όπου οι άξονες είναι κάετοι μεταξύ τους και α ορίσουμε τα μοναδιαία διανύσματα, στις διευύνσεις αυτών των αξόνων ώστε να μπορούμε να γράφουμε «αναλυτικά» ένα οποιοδήποτε διάνυσμα. ii) Πολικό Σύστημα Συντεταγμένων Η έση του σημείου προκύπτει από το σημείο τομής κύκλου - ευείας Θα ορίσουμε τα μοναδιαία διανύσματα, το πρώτο στην διεύυνση της ευείας που ενώνει το υλικό σημείο με την αρχή Ο και το άλλο κάετο σε αυτό ώστε να μπορούμε να γράφουμε «αναλυτικά» ένα οποιοδήποτε διάνυσμα..η διεύυνση των μοναδιαίων διανυσμάτων αυτών αλλάζει εάν αλλάξει και η έση του σημείου σε αντίεση με την διεύυνση των μοναδιαίων στο ορογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.

5 ΛΙΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ(ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ) ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΓΙΑ ΑΡΓΟΤΕΡΑ. 1)ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΛΛΑΓΗ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΣΤΡΟΦΗ ΜΟΝΑΔΙΑΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Εστω ότι το ι, μοναδιαία διάνυσματα και έστω ότι κάποια στιγμή αργότερα το έχει αλλάξει διεύυνση όπως στο σχήμα με τον κύκλο.η διανυσματική αλλαγή κατά την απειροστή στροφή του τότε έχει την φορά του (κόκκινο διάνυσμα d )και μέτρο =.d= d αφού ( υμηείτε την σχέση ds= R d που δίνει το στοιχειώδες μήκος ενός τόξου για να δείτε πώς βγήκε η τελευταία σχέση) Αρα και σκεφτόμενοι όμοια d Αρα και 2) EΞΩΤΕΡΙΚΑ ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΤΟΥ (Γωνιακή ταχύτητα) ΜΕ TA MONAΔΙΑΙΑ, ΚΑΙ ΣΧΕΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΕ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΡΥΘΜΟΥΣ. Είναι ω ι=ω. (Δείτε το 3D σχήμα) Είναι (Δείτε το 3D σχήμα) άρα άρα = ΣΧΗΜΑ 3D z χ

6 ΕΠΙΠΕΔΗ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. Σε όλα τα επόμενα που α γραφούν, στο παρασκήνιο υπάρχει πάντα ο απόλυτος χώρος και ο απόλυτος χρόνος του Newton. Β Α + Α Δs o ΣΧΗΜΑ 1 Εστω ένα υλικό σημείο που εκτελεί καμπυλόγραμμη επίπεδη κίνηση.η τροχιά του είναι αυτή που φαίνεται στο σχήμα (με μπλέ χρώμα).κάποια χρονική στιγμή το υλικό σημείο βρίσκεται στο Α.Το διάνυσμα έσης του από μία αυαίρετα εκλεγμένη αρχή Ο συμβολίζεται με. To υλικό σημείο κίνειται σε χρόνο Δt απο την έση Α στην έση Α και το διάνυσμα έσης του αλλάζει κατά Δ.Aυτή η διανυσματική αλλαγή του διανύσματος έσης λέγεται μετατόπιση και είναι ανεξάρτητη από την εκλογή του σημείου Ο. Το πραγματικο μήκος που διανύει το κινητό είναι το μονόμετρο μήκος Δs. Οταν ο χρόνος μικραίνει, το Α πλησιάζει το Α και το Δs μπορεί να γραφεί σαν το διαφορικό ds που στο όριο Δt 0 είναι ίσο με το μέτρο του.

7 Ταχύτητα: Ορίζουμε την ταχύτητα σαν = Δ 0 Δ Δ = Οταν Δt 0 τότε το Δ μπορεί να γραφεί σαν d και η διεύυνση του τείνει να γίνει εφαπτόμενη στην τροχιά του υλικού σημείου στην έση Α.Αρα και η ταχύτητα είναι εφαπτόμενη της τροχιάς στο εωρούμενο σημείο. Το μέτρο της ταχύτητας είναι = Β Παρακάτω φαίνεται η ταχύτητα του υλικού σημείου σε δύο έσει ς Α, Β (ΣΧΗΜΑ 2) της τροχιάς του και στο επόμενο σχήμα (ΣΧΗΜΑ 3)η διανυσματική μεταβολή της ταχύτητας Δ από την έση Α στην έση Β ΣΧΗΜΑ 2 Α ΣΧΗΜΑ 3 Β Επιτάχυνση : Ορίζουμε την επιτάχυνση σαν Δ α= Δ 0 = Δ Oσο το Δt 0 τότε το Δυ μπορεί να γραφεί σαν d και η διεύυνση του δεν είναι γενικά όυτε εφαπτόμενη όυτε κάετη στην τροχιά άρα το ίδιο και η επιτάχυνση α (ΣΧΗΜΑ 4) Α ΣΧΗΜΑ 4 Tα παραπάνω είναι μια γεωμετρική ερμηνεία των παραγώγων του διανύσματος έσης δηλ της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και ισχύουν για κάε σύστημα συντεταγμένων

8 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Παρακάτω φαίνεται ξανά η τροχιά του υλικού σημείου καώς και η ταχυτητά του και η επιταχυνσή του στο σημείο Α βάση αυτών που είπαμε παραπάνω. 1) ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Α o x x ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΕΣ ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Ένα οποιοδήποτε διάνυσμα μπορεί να γραφτεί ως γραμμικός συνδυασμός 2 γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων. Στην περίπτωση των δύο διαστάσεων, είναι βολικό να ορίσουμε τα ορομοναδιαία διανύσματα, τα οποία έχουν διεύυνση κατά τη ετική φορά των αξόνων x, y. Έχοντας ορίσει την προηγούμενη βάση, μπορούμε να γράουμε το διάνυσμα έσης ενός σημείου με συντεταγμένες (x,y) στο επίπεδο με τον εξής τρόπο: =x.. Τα μοναδιαία διανύσματα σε ορογώνιες καρτεσιανές συντεταγμένες έχουν σταερή διεύυνση. Παραγωγίζοντας την παραπάνω σχέση έχουμε = (x.. ) και αφού τα διανύσματα δεν αλλάζουν διεύυνση με τον χρόνο έχουμε (στα επόμενα τα μοναδιαία διανύσματα α αλλάζουν με τον χρόνο άρα α έχουν χρονική παράγωγο) = x.ι. = x.. και ακολουόντας την ίδια διαδικασία (δηλ παραγωγίζοντας την ταχύτητα) έχουμε α=α x. α.

9 2) KAΘΕΤΕΣ ΚΑΙ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΣΤΗΝ ΤΡΟΧΙΑ Θεωρούμε εφαπτόμενο κύκλο στο σημείο Α της καμπύλης όπου βρίσκεται το υλικό σημείο. Αυτός ο εφαπτόμενος κύκλος προσεγγίζει καλύτερα την καμπύλη στο σημείο αυτό, και η πρώτη και δεύτερη παραγωγός του είναι ίδια με αυτή της καμπύλης στο σημείο αυτό.ο εφαπτόμενος αυτός κύκλος βρίσκεται στο κοίλο τμήμα της καμπύλης.το κέντρο και η ακτίνα αυτού του κύκλου ορίζουν το κέντρο καμπυλότητας Κ και την ακτίνα καμπυλότητας ρ. Θεωρουμε ένα συστημα συντεταγμένων όπου οι δύο αξονές του είναι ο ένας εφαπτόμενος στην τροχιά, και ο άλλος κάετος στον πρώτο, εφοδιασμένους με τα μοναδιαία διανύσματα και όπως φαίνεται στο σχήμα(πράσινοι άξονες). Παρατηρείστε ότι η διεύυνση των μοναδιαίων διανυσμάτων εξαρτάται από την έση που βρίσκεται το υλικό σημείο. Αυτό το σύστημα είναι συνδεδεμένο με τον εφαπτόμενο κύκλο στο σημείο που βρίσκεται το υλικό σημείο Α και το ακολουεί στην κίνησή του στην καμπύλη τροχιά. Καως το υλικό σημείο κινείται η έση του κέντρου καμπυλότητας Κ και η ακτίνα καμπυλότητας ρ γενικά αλλάζει. Απο όσα έχουν αναφερεί μέχρι τώρα γνωρίζουμε ότι όταν Δt 0 τότε η μεταβολή του διανύσματος έσης Δ μπορεί να γραφεί σαν d και η διεύυνση του τείνει να γίνει εφαπτόμενη στην τροχιά του υλικού σημείου στην έση Α όπως στο σχήμα που ακολουεί. K ρ d A r A Ο

10 Η ταχύτητα στό σημείο Α είναι = και έχει την διεύυνση του διανύσματος κ d ρ Β Α Το μέτρο της ταχύτητας από όσα έχουν αναφερεί αρχικά είναι = όπου εδώ ds=ρ.d Άρα =ρ. (1) H διανυσματική μεταβολή της ταχύτητας d από την έση Α στην Β σε αυτό το σύστημα αξόνων μπορεί να γραφεί σαν d =(d )e+(d )n (2) δηλ σαν άροισμα δύο συνιστωσών μίας στη διεύυνση του διανύσματός και μια στην διεύυνση του διανύσματος όπως στο σχήμα που ακολουεί.

11 d A Η επιτάχυνση τότε προκύπτει από την (2 ) διαιρώντας με dt άρα α=αn+αe Θα βρούμε τώρα τις εκφράσεις του αn και του αe Η ταχύτητα σε αυτό το σύστημα συντεταγμένων γράφεται =. όπου ( =ρ. από την (1) Παραγωγίζουμε την ταχύτητα,μόνο που σε αυτήν την περίπτωση το μοναδιαίο διάνυσμα έχει παράγωγο γιατί αλλάζει η κατεύυνσή του.(θα δείξουμε σε λίγο πώς βρίσκεται η παράγωγος αυτού του διανύσματος) Άρα έχουμε

12 =.. (2) Όπου είναι η αλλαγή του μέτρου της ταχύτητας στην διεύυνση του διανύσματος. Στην πιό γενική περίπτωση το είναι = (ρ. ) = ρ. ρ. 2 2 (3) Τώρα α βρούμε την μεταβολή d : Κατά την μετάβαση του υλικού σημείου από το Α στο Β το διάνυσμα αλλάζει κατεύυνση όπως στο παρακάτω σχήμα, η διανυσματική αυτή μεταβολή d φαίνεται στο σχήμα. H κατεύυνσή της είναι κατά την διεύυνση του διανύσματος ενώ το μέτρο της είναι =.d=d (αφού.=1) άρα =. και η (2) γίνεται α=.. (4) (το κομμάτι αυτό δείχνει την μεταβολή της κατεύυνσης της ταχύτητας ) d Αν η ακτίνα καμπυλότητας ρ είναι συνεχώς σταερή δηλ ρ=r=σταερό (Κυκλική κίνηση) τότε εισάγοντας τους συμβολισμούς =ω και 2 2 = ω γων η (1) γίνεται =ω. και από την (3) έχουμε =αγων.r (αφού ό όρος γράφεται α=αγων.. ω 2.. ρ. =0 όταν ρ=r=σταερό) και ω 2. άρα η (4)

13 ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Α (d ) + (d ) r d Α o Αναπαράσταση διανύσματος σε ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Στα μαηματικά, το πολικό σύστημα συντεταγμένων είναι ένα δισδιάστατο σύστημα συντεταγμένων στο οποίο η έση οποιουδήποτε σημείου σε ένα επίπεδο καορίζεται από την απόσταση του σημείου αυτού από ένα αυαίρετα επιλεγμένο σημείο αναφοράς και τη γωνία από μία αυαίρετα επιλεγμένη κατεύυνση.η απόσταση ενός σημείου από το αυαίρετα επιλεγμένο σημείο αναφοράς ονομάζεται ακτινική συντεταγμένη ή απλώς ακτίνα και συμβολίζεται συνήως με το λατινικό r (από την αγγλική λέξη radius, «ακτίνα»), ενώ η γωνία που σχηματίζει η ακτίνα του σημείου με μία αυαίρετα επιλεγμένη διεύυνση ονομάζεται γωνιακή συντεταγμένη ή αζιμούιο και συμβολίζεται συνήως με το ελληνικό πεζό γράμμα. Τα διανύσματα βάσης και στις πολικές συντεταγμένες είναι ορομοναδιαία (δηλαδή έχουν μέτρο μονάδα και είναι κάετα μεταξύ τους). Επιπροσέτως, τα διανύσματα αυτά δεν είναι σταερά, δηλαδή η φορά τους μεταβάλλεται από σημείο σε σημείο σε αντίεση με τα μοναδιαία διανύσματα και των καρτεσιανών συντεταγμένων τα οποία είναι σταερά παντού στο επίπεδο.

14 Θεωρούμε ένα συστημα συντεταγμένων όπου οι δύο αξονές του είναι ο ένας στην διεύυνση του διανύσματος έσης, στο εωρούμενο σημείο που βρίσκεται το κινητό, εδώ το σημείο Α, και ο άλλος κάετος σε αυτόν (πράσινες ευείες), εφοδιασμένους με τα μοναδιαία διανύσματα και όπως φαίνεται στο σχήμα. Αυτό το σύστημα είναι συνδεδεμένο με το υλικό σημείο και το ακολουεί στην κίνησή του στην καμπύλη τροχιά. Η διανυσματική μεταβολή του διανύσματος έσης dr σε αυτό το σύστημα συντεταγμένων μπορεί να γραφεί σαν d =(d )r+(d ) (δες προηγούμενο σχήμα) και η ταχύτητα προκύπτει εάν διαιρέσουμε με dt την παραπάνω σχέση.αρα = r+ =. +. όπου το μέτρο του (1) μας δείχνει πόσο γρήγορα μεγάλωσε το μήκος του διανύσματος έσης. Eνώ εάν σκεφτούμε βλέποντας το παραπάνω σχήμα ότι το μέτρο της διανυσματικής μεταβολής κατα την διεύυνση του διανύσματος είναι =. και διαιρώντας με dt προκύπτει ότι =. (2) Παρακάτω φαίνεται η ταχύτητα και οι συνιστώσες της στο σημείο Α Α r o

15 Στο επόμενο σχήμα φαίνεται η αλλαγή της ταχύτητας από το σημείο Α στο σημείο Β καώς και οι συνιστώσες της ταχύτητας στις διευύνσεις και. (Το σχήμα έχει μεγευνεί και δεν φαίνεται η αρχή 0) Β r Α r Οι συνιστώσες r και αλλάζουν καώς το υλικό σημείο κινείται από το Α στο Β.Θα δείξουμε γεωμετρικά αυτές τις αλλαγές για μία απειροστή μετατόπιση του υλικoύ σημείου και στην συνέχεια α υπολογίσουμε την επιτάχυνση σε αυτό το σύστημα συντεταγμένων.

16 Αλλαγή της συνιστώσας της ταχύτητας r : r Αναλύουμε σε δύο συνιστώσες την ( )r στην διεύυνση του και την ( ) στην διεύυνση του (όπως στο επόμενο σχήμα) r r r d r ΣΧΗΜΑ 1 Αλλαγή της συνιστώσας της ταχύτητας : Αναλυουμε σε δύο συνιστώσες την ( )r στην διεύυνση του την ( ) στην διεύυνση του (όπως στο επόμενο σχήμα) και r d ΣΧΗΜΑ 2

17 Eίναι = = Εχει την αρνητική διεύυνση του (από το σχήμα 2) = ( ). ( ). ( ). - ( ). (3) Είναι ( ) =.d (4) (Δές σχήμα 1) Και ( ) =.d (5) (Δές σχήμα 2) Διαιρούμε την (3) με dt = ( ). ( ). ( ). ( ). Όπου A) ( ) =λόγω της (1)= = 2 2 (στην κατεύυνση του ) αυτή η επιτάχυνση οφείλεται στην αλλαγή του μέτρου της συνιστώσας B) ( ) =λόγω της (4)=. =λόγω της (1)= (στην κατεύυνση του ) αυτή η επιτάχυνση οφείλεται στην αλλαγή της κατεύυνσης της συνιστώσας Γ) ( ) = λόγω της (2)= = (. ) =. 2 () 2. (στην κατεύυνση του ). αυτή η επιτάχυνση οφείλεται στην αλλαγή του μέτρου της συνιστώσας Δ) ( ) λόγω της (5)=. = λόγω της (2)=.. 2 (στην κατεύυνση του ). αυτή η επιτάχυνση οφείλεται στην αλλαγή της κατεύυνσης της συνιστώσας

18 Mαζεύουμε τους όρους στην διεύυνση του ( ). ( ). 2. Και τους όρους στην διεύυνση του ( ). ( ) () 2. ). =. 2 () 2 2. ). Aρα α= () 2 2. ). Με αλλαγή του συμβολισμού όπως παρακάτω έχουμε = 2 2 () 2 και α= ). Η πιό μαζεμένα α α α α r Εάν r=σταερό τότε καταλήγουμε στις ίδιες εξισώσεις με την κυκλική κίνηση που είχαμε βρεί προηγουμένως με τις κάετες και εφαπτομενικές συνιστώσες.

19 α=. +. ). Θα μπορούσαμε να βρούμε την ίδια σχέση παραγωγίζοντας την έκφραση της ταχύτητας =. +. μόνο που τα διανύσματα και α είχαν παράγωγο και α έπρεπε να την βρούμε (όπως κάναμε με την παράγωγο του διανύσματος στο προηγούμενο σύστημα συντεταγμένων) AΔΡΑΝΕΙΑΚΑ ΚΑΙ ΜΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ Παρακάτω υπάρχουν κάποια αποσπάσματα από βιβλία,που περιγράφουν με λόγια καλύτερα από αυτά που α μπορούσα να χρησιμοποιήσω εγώ,όσα πρόκειται να αποδειχούν στην συνέχεια. Θα συνιστούσα να διαβαστούν με προσοχή όσα έχουν υπογραμιστεί. «Ο Γαλιλαίος πρώτος αναφέρηκε στα αδρανειακά συστήματα αναφοράς δίνοντας την περιγραφή τους στους Διαλόγους του. Λίγο αργότερα, ο Νεύτωνας, στις ΜαηματικέςΑρχές της Φυσικής Φιλοσοφίας, έδωσε το χαρακτηρισμό τους με τον πρώτο νόμο και με τον δεύτερο νόμο έδωσε την εξίσωση που διέπει την κίνηση των σωμάτων όπως αυτή ισχύει στα αδρανειακά συστήματα αναφοράς. Η αλήεια είναι ότι στη φύση δεν υπάρχουν αδρανειακά συστήματα αναφοράς, αφού είναι αδύνατη η παντελής απομόνωση ενός σώματος από εξωτερικές επιδράσεις ώστε να διαπιστωεί η απόλυτη ισχύς του πρώτου νόμου. Αυτός άλλωστε είναι ο λόγος που τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς εισάγονται αξιωματικά από την Γαλιλαϊκή Αρχή της Σχετικότητας. Εντούτοις, στην πράξη, μπορούμε να εκλάβουμε με εξαιρετική προσέγγιση ένα σύστημα αναφοράς ως αδρανειακό εφόσον η επιτάχυνσή του ως προς ένα εωρητικά αδρανειακό σύστημα αναφοράς είναι κατά πολύ μικρότερη από τις επιταχύνσεις των υπό εξέταση αντικειμένων. Ο παρατηρητής που βρίσκεται σε ένα οποιοδήποτε αδρανειακό σύστημα αναφοράςδηλώνει ότι αν σε ένα σώμα δεν ασκείται δύναμη τότε το αδρανειακό του κέντρο εκτελεί ευύγραμμη ομαλή κίνηση ή είναι ακίνητο. Όμως, ο παρατηρητής που βρίσκεται σε ένα μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς διαφωνεί λέγοντας ότι η κίνηση αυτή δεν είναι ομαλή και επομένως κάποια δύναμη άγνωστης προέλευσης ασκείται στο σώμα. Τα μη αδρανειακά συστήματα αναφοράς δεν εκτελούν ευύγραμμη ομαλή κίνηση ως προς κάποιο αδρανειακό σύστημα αναφοράς και η εκτροπή τους από την αδρανειακή φυσική κατάσταση, που είναι η ευύγραμμη ομαλή κίνηση, προκαλεί την εμφάνιση των παράδοξων αυτών δυνάμεων που καλούνται αδρανειακές δυνάμεις. Δεν πρόκειται για πραγματικές δυνάμεις αφού δεν προέρχονται από την αλληλεπίδραση σωμάτων και αυτός είναι ο λόγος που ο αδρανειακός παρατηρητής αδυνατεί να ερμηνεύσει την προέλευσή τους. Εντούτοις, αντιλαμβάνεται τις συνέπειές τους και υφίσταται τις επιπτώσεις τους όταν το σύστημά του εγκαταλείει την ευύγραμμη ομαλή πορεία οπότε παύει να ανήκει στην κλάση των αδρανειακών συστημάτων αναφοράς» ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ Οι δύο πρώτοι νόµοι του Νεύτωνα ισχύουν µόνο όταν τα ϕαινόµενα παρατηρούνται µέσα σε µη επιταχυνόµενα συστήµατα αναφοράς. Τότε ένα σώµα µένει ακίνητο εάν δεν ασκείται καµία δύναµη. Ο εµελιώδης νόµος της κλασικής µηχανικής είναι F=m.α ή F=m.du/dt ή F=d 2 r/dt 2 Ως προς ποιο σύστηµα αναφοράς µετράµε τα µεγέη a,u, r ;

20 1. Εάν το σύστηµα αναφοράς είναι µη επιταχυνόµενο, τότε αυτή είναι η σχέση ορισµού της δύναµης F (πραγµατικές δυνάµεις δηλ δυνάμεις αλληλεπίδρασης σωμάτων βαρυτικέςηλεκτρικές) 2. Αντίστροφα, εάν γνωρίζουµε την πραγµατική (αληινή) δύναµη F( πραγματικές δυνάμεις είναι οι βαρυτικές ηλεκτρικές δυνάμεις και δεν α ασχολήούμε εδώ με ασενείς και ισχυρές πυρηνικές) και σε κάποιο σύστηµα αναφοράς ισχύει µε ακρίβεια ότι F = ma, τότε αυτό είναι ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς Οι δυνάµεις (ϐαρυτικές, ηλεκτρικές) που έχουµε επικαλεστεί για να εξηγήσουµε την κίνηση των άστρων και των ηλεκτρονίων µείωνονται συνεχώς (και ανάλογα µε το τετράγωνο της απόστασης) όσο το σώµα αποµακρύνεται από τα γειτονικά του σώµατα. Εάν διαλέξουµε ένα µη αδρανειακό σύστηµα αναφοράς, ϕαίνονται να αναπτύσσονται δυνάµεις που δεν έχουν αυτην την ιδιότητα. Εµφανίζονται λοιπόν υποετικές δυνάµεις που υπάρχουν µόνο και µόνο επειδή το σύστηµα αναφοράς είναι επιταχυνόµενο. ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ ΑΠΟ ΣΧΕΤΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ : ΜΕΤΑΦΕΡΟΜΕΝΟΙ ΑΞΟΝΕΣ ΑΝΑΦΟΡΑΣ X χ A r A r A/B r B B Y O Θεωρούμε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς ΧY με αρχή το σημείο Ο και την καμπυλόγραμμη κίνηση ενός υλικού σημείου Α σε σχέση με αυτό το σύστημα που έχει αρχή το σημείο Ο.Το Β είναι και αυτό ένα υλικό σημείο στο σύστημα αναφοράς ΧΨ το οποίο και αυτό κινείται (γενικά) καμπυλόγραμμα ( ως προς το αδρανειακό σύστημα ΧΨ. Θα παρατηρήσουμε την κίνηση του Α από ένα μεταφερόμενο ως προς το XΨ σύστημα αναφοράς συνδεδεμένο με το Β(γκρί πλαίσιο του σχήματος).το πλαίσιο αναφοράς αυτό α το ονομάσουμε χ. Το απόλυτο διάνυσμα έσης του σημείου Α (δηλ σε σχέση με το ΧΥ που εωρείται αδρανειακό) τότε μπορεί να γραφεί σαν A = A (1) Όπου είναι το απόλυτο διάνυσμα έσης του σημείου Β(δηλ σε σχέση με το αδρανειακό σύστημα ΧΥ ) και A το διάνυσμα έσης του Α σε σχέση με το Β

21 To διάνυσμα έσης μπορεί να γραφεί σαν A/B =χ + όπου και τα μοναδιαία διανύσματα στο πλαίσιο αναφοράς χ Παραγωγίζοντας την παραπάνω σχέση και πέρνωντας υπόιν ότι τα μοναδιαία διανύσματα δεν αλλάζουν διεύυνση με τον χρόνο (στην επόμενη παράγραφο α φανεί ότι αυτά τα διανύσματα μπορεί να έχουν και χρονική παράγωγο) έχουμε ή (Ο συμβολισμός αυτός α μας χρειαστεί αργότερα) Όπου A και B οι απόλυτες ταχύτητες (δηλ οι ταχύτητες ώς προς το αδρανειακό σύστημα ΧΥ) και = η ταχύτητα του Α όπως μετράται από τον Β. Όπου = και πέρνωντας ξανά υπόιν ότι μοναδιαία διανύσματα δεν αλλάζουν διεύυνση με τον χρόνο παραγωγίζουμε ξανά την παραπάνω σχέση και έχουμε Όπου Οι όροι της απόλυτης ταχύτητας και της απόλυτης επιτάχυνσης μπορεί να έχουν εκφραστεί σε οποιοδήποτε σύστημα συντεταγμένων από αυτά που έχουμε μάει. Οι όροι της σχετικής ταχύτητας και της σχετικής επιτάχυνσης αφού βρεούν μπορούν στην συνέχεια να εκφραστούν στο κινούμενο πλαίσιο αναφοράς, σε οποιοδήποτε σύστημα συντεταγμένων από αυτά που έχουμε μάει. Εάν η απόλυτη ταχύτητα Β είναι σταερή τότε δηλ η σχετική επιτάχυνση του Α ως πρός το Β και η απόλυτη επιτάχυνση του Α είναι ίδιες. Άρα και οι δυνάμεις που α μετράνε οι παρατηρητές στα δύο πλαίσια α είναι οι πραγματικές. Γιατί τότε Όμως (πραγματικές δυνάμεις αφού είναι η επιτάχυνση του υλικού σημείου στο αδρανειακό σύστημα αναφοράς) άρα και (πραγματικές δυνάμεις)

22 Εάν η απόλυτη ταχύτητα Β δεν είναι σταερή (δηλ το πλαίσιο χ πάει να είναι αδρανειακό σύστημα αναφοράς) τότε.α A = -.α πραγματικές δυνάμεις λόγω αλληλεπίδρασης σωμάτων ) (όπου F οι Εξηγώντας την παραπάνω τελευταία σχέση μπορούμε να πούμε το εξής. Αν ο μη αδρανειακός παρατηρητής έλει να ακολουήσει τον 2 Νόμο του Newton στο δικό του μη αδρανειακό πλαίσιο και γράει το γινόμενο.α A σαν δύναμη, α πρέπει εκτός από τις πραγματικές δυνάμεις ( δηλ δυνάμεις μεταξύ αλληλεπίδρασης σωμάτων) που ασκούνται στο υλικό σημείο να εωρήσει και μία επιπλέον δύναμη -.α που δεν οφείλεται σε πραγματικές δυνάμεις αλλά στην επιτάχυνση του δικού του συστήματος αναφοράς σε σχέση με το αδρανειακό ΧΨ Άρα α ισχύει.α

23 ΣΧΕΤΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ : ΜΕΤΑΦΕΡΟΜΕΝΟΙ και ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΟΜΕΝΟΙ ΑΞΟΝΕΣ ΑΝΑΦΟΡΑΣ X χ A r A r A/B r B B Y O Θα παρατηρήσουμε τώρα την κίνηση του Α από ένα μεταφερόμενο και περιστρεφόμενο ως προς το αδρανειακό XΨ, σύστημα αναφοράς συνδεδεμένο με το Β(γκρί πλαίσιο του σχήματος).η περιστροφή γίνεται με γωνιακή ταχύτητα ω= (που γενικά δεν είναι σταερή).η γωνιακή ταχύτητα μπορεί να γραφεί σαν διάνυσμα ω=ω. όπου το είναι το μοναδιαίο διάνυσμα κάετο στο επίπεδο της καμπυλόγραμμης κίνησης με φορά προς τα «έξω». Το διάνυσμα έσης του Α μπορεί τότε να γραφεί σαν Παραγωγίζουμε τώρα αυτήν την σχέση μόνο που σε αυτή την περίπτωση τα μοναδιαία διανύσματα έχουν παράγωγο γιατί αλλάζει η διεύυνσή τους και πρέπει να την βρούμε. (1) Οι απειροστές μεταβολές των διανυσμάτων και σχήμα φαίνονται στο παρακάτω

24 Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται μια απειροστή στροφή του συστήματος των συντεταγμένων χ κατά d και ο τρόπος που αλλάζουν τα μοναδιαία διανύσματα, χ ω χ d d Το d έχει την κατεύυνση του d =d. Το d έχει την κατεύυνση του - d =-d. (δες σχήμα) και μέτρο Ι I.d=d αφού Ι I=1 άρα (δες σχήμα) και μέτρο Ι I.d=d αφού Ι I=1 άρα Eίναι τότε και όμοια Θα χρησιμοποιήσουμε τώρα το εξωτερικό γινόμενο για να γράουμε τα παραπάνω αποτελέσματα. Είναι και (Θυμηείτε τον κανόνα του δεξιού χεριού και δείτε και το παρακάτω σχήμα) Aρα και ΣΧΗΜΑ 3D z χ

25 H (1) τότε μπορεί να γραφεί ως εξής αναδιατάσσωντας τους όρους στην πρώτη παρένεση έχουμε όμως άρα Όπου Θα εξηγήσουμε κάε όρο της παραπάνω σχέσης και α δέιξουμε την διαφορά που έχει αυτή η σχέση με την προηγούμενη στους μεταφερόμενους άξονες. Χ χ A r A r A/B r B B Y O Εφαπτόμενη στην τροχιά που παρατηρείτε στο πλαίσιο χ Θεωρείστε έναν παρατηρητή ( πχ τον ευατό σας ) στο πλαίσιο αναφοράς χ o οποίος βρίσκεται στο σημείο Β, είναι συνδεδεμένος με αυτό το πλαίσιο και στρέφεται μαζί με αυτό με την ίδια γωνιακή ταχύτητα και παρατηρεί την κίνηση του υλικόυ σημείου Α. Αυτός ο παρατηρητής δεν α καταλάβαινε τότε ότι στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα. Έστω ότι η τροχιά που α έβλεπε αυτός για το υλικό σημείο Α είναι αυτή που φαίνεται με σκούρα έντονη γραμμή πάνω στο γκρί πλαίσιο χ. Η σχετική ταχύτητα τότε έιναι εφαπτόμενη σε αυτή την τροχιά όπως στο παραπάνω σχήμα και δείχνεται με μπλέ διάνυσμα.

26 Θεωρείστε τώρα έναν παρατηρητή ( πχ πάλι τον ευατό σας ) στο πλαίσιο αναφοράς χ o οποίος βρίσκεται στο σημείο Β είναι συνδεδεμένος με αυτό το πλαίσιο αλλά δεν στρέφεται με αυτό και παρατηρεί το υλικό σημείο Α το οποίο ακολουεί την περιστροφή του πλαισίου χωρίς όμως να κινείται σε σχέση με αυτό(δείτε τώρα ότι η σκούρα έντονη γραμμή πάνω στο γκρί πλαίσιο δεν έχει σχηματιστεί). Αυτός ο παρατηρητής α καταλάβαινε τότε ότι το σημείο Α την συγκεκριμένη χρονική στιγμή που το παρατηρεί στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω. Η ταχύτητα είναι κάετη στο διάνυσμα X Κάετη στο διάνυσμα χ A Κάετη στο διάνυσμα r A r A/B ω O r B B Y Οι δύο ταχύτητες φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Κάετη στο διάνυσμα X χ A Εφαπτόμενη στην τροχιά που παρατηρείτε στο πλαίσιο χ Κάετη στο διάνυσμα r A r A/B ω r B B Y O

27 Από την σχέση η ταχύτητα που παρατηρεί ο Β για την κίνηση του Α είναι Αρα η διαφορά μεταξύ( μεταφερόμενων) και( μεταφερόμενων αλλά και περιστρεφόμενων αξόνων) όσον αφορά την ταχύτητα είναι ό όρος Παραγωγίζουμε τώρα την εξίσωση της απόλυτης ταχύτητας και έχουμε Θα εξηγήσουμε κάε όρο ξεχωριστά Α) O όρος είναι η απόλυτη επιτάχυνση του Β Β) Ο όρος έχει την ίδια φορά με την ταχύτητα (εωρούμε ότι η γωνιακή ταχύτητα αυξάνεται ) και φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. X χ A r A r A/B ω r B B Y O Γ) Ο όρος ανάλυεται ώς εξής Eίναι = = u σχετικό

28 Aρα Γ i)o όρος είναι κάετος στην ταχύτητα (Δές επόμενο σχήμα) Γ ii )O όρος είναι κάετος στην ταχύτητα (Δές επόμενο σχήμα) X χ A ω r A r A/B r B B Y O Δ) O όρος αποτελείται τελικά από δύο όρους α σχετικό = = η επιτάχυνση δεν είναι γενικά όυτε εφαπτόμενη όυτε κάετη στην τροχιά όπως φαίνεται στο επόμενο σχήμα.

29 X χ A ω r A r A/B O r B B Y Συνήως η επιτάχυνση αναλύεται σε εφαπτομενική και κάετη στην τροχιά συνιστώσες και όπως στο σχήμα παρακάτω X χ A ω r A r A/B O r B B Y

30 Αρα η γενική σχέση που δίνει την απόλυτη επιτάχυνση είναι η επόμενη Α = Β A/B + ( A/B)+ 2 + σχετικη Ο όρος 2 λέγεται επιτάχυνση Coriollis δηλ αcoriollis=2 και είναι πάντοτε κάετος στην σχετική ταχύτητα Στο επόμενο σχήμα φαίνονται όλες οι επιταχύνσεις και όλες οι ταχύτητες ΕΚΤΟΣ από την Β και την B. X Tροχιά που βλέπει ο παρατηρητής στο περιστρεφόμενο σύστημα -χ χ σχ. σχ(εφαπτομενη) A A/B Περιστρεφόμενο σύστημα ( A/B) A/B ra/b σχ(κάετη) B ra coriollis=2 rb Αδρανειακό σύστημα Ψ

31 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ Δυναμική Meriam J.L (Ένα φοβερό βιβλίο το οποίο συνιστώ ανεπιφύλακτα)

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής

Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Μηχανική στερεού σώµατος, Ροπή ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Έστω ένα στερεό που δέχεται στο άκρο F Α δύναµη F όπως στο σχήµα. Στο Ο διέρχεται άξονας περιστροφής κάθετος στο στερεό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε 2 και 3 Διαστάσεις

Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε 2 και 3 Διαστάσεις Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε και 3 Διαστάσεις Κίνηση υλικού σημείου στο επίπεδο ( -D) και στο χώρο (3 -D). Ορισμός διανυσμάτων για την μελέτη της -D 3-D κίνησης: Θέση, Μετατόπιση Μέση και στιγμιαία ταχύτητα Μέση

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1ο Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1ο Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η 1 Σκοπός Να αποκτήσουν οι μαθητές τη δυνατότητα να απαντούν σε ερωτήματα που εμφανίζονται στην καθημερινή μας ζωή και έχουν σχέση με την ταχύτητα, την επιτάχυνση, τη θέση ή το χρόνο κίνησης ενός κινητού.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης

ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης (Με ιδέες και υλικό από ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης από παλαιότερες διαφάνειες του κ. Καραμπαρμπούνη) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, 5 6 6 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ Μέση και Στιγμιαία Ταχύτητα Επιτάχυνση Διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή στην Κινητική

1. Εισαγωγή στην Κινητική 1. Εισαγωγή στην Κινητική Σύνοψη Στο κεφάλαιο γίνεται εισαγωγή στις βασικές αρχές της Κινητικής θεωρίας. Αρχικά εισάγονται οι έννοιες των διανυσματικών και βαθμωτών μεγεθών στη Φυσική. Έπειτα εισάγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς 1. Μετασχηματισμοί συντεταγμένων και συμμετρίες. 1α. Στροφές στο επίπεδο. Θεωρείστε δύο καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων στο επίπεδο, στραμμένα

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Μηχανική Εικόνα: Ο πίνακας ελέγχου σε ένα πιλοτήριο βοηθά τον πιλότο να κρατά το αεροσκάφος υπό έλεγχο δηλ. να ελέγχει πόσο γρήγορα ταξιδεύει και σε ποια κατεύθυνση επιτρέποντάς του

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας με τη διάταξη της αεροτροχιάς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μελέτη της ευθύγραμμης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1. ΚΕ Φ ΑΛ ΑΙ Ο 2 : Περ ιγ ραφ ή της κ ίν ησ ης

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1. ΚΕ Φ ΑΛ ΑΙ Ο 2 : Περ ιγ ραφ ή της κ ίν ησ ης 1 Σκοπός ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΚΕ Φ ΑΛ ΑΙ Ο 2 : Περ ιγ ραφ ή της κ ίν ησ ης Να αποκτήσουν οι μαθητές τη δυνατότητα να απαντούν σε ερωτήματα που εμφανίζονται στην καθημερινή μας ζωή και έχουν σχέση με την

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ENOTHTA. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο. Πώς προσδιορίζουμε τη θέση των αντικειμένων; A O M B ' y P Ì(,y) Ð Για τον προσδιορισμό της θέσης πάνω σε μία ευθεία πρέπει να έχουμε ένα σημείο της

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 03 Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 03 Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 03 Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα ΦΥΣ102 1 Δύναμη είναι: Η αιτία που προκαλεί μεταβολή

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς.

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. Μ2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. 1 Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αποσκοπεί στη μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας σε ένα τόπο. Αυτή η μέτρηση επιτυγχάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η. Παράδοση Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η. Παράδοση Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Παράδοση 9--9 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Άσκηση 1 A) Δυο τραίνα ταξιδεύουν στην ίδια σιδηροτροχιά το ένα πίσω από το άλλο. Το πρώτο τραίνο κινείται με ταχύτητα 1 m s. Το δεύτερο

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλική κίνηση. Βασικές έννοιες. x=rcosθ, y=rsinθ, z=0. x 2 +y 2 =R 2. Γωνιακή μετατόπιση. Γωνιακή ταχύτητα. Θέση

Κυκλική κίνηση. Βασικές έννοιες. x=rcosθ, y=rsinθ, z=0. x 2 +y 2 =R 2. Γωνιακή μετατόπιση. Γωνιακή ταχύτητα. Θέση Κυκλική κίνηση Στη Φυσική, κυκλική κίνηση ονομάζεται η κίνηση στην οποία η τροχιά ενός κινητού ταυτίζεται με την περιφέρεια ενός κύκλου. Η πιο απλή από τις κυκλικές κινήσεις είναι η ομαλή, κατά την οποία

Διαβάστε περισσότερα

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη;

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης. Στην Κινηματική

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2015 ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2015 ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2015 ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ Οριζόντια βολή: Είναι η κίνηση (παραβολική τροχιά) που κάνει ένα σώμα το οποίο βάλλεται με οριζόντια ταχύτητα U 0 μέσα στο πεδίο βαρύτητας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΕΦΟΜΕΝΟΙ ΙΣΚΟΙ & ΠΕΡΙ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ

ΣΤΡΕΦΟΜΕΝΟΙ ΙΣΚΟΙ & ΠΕΡΙ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ ΣΤΡΕΦΜΕΝΙ ΙΣΚΙ & ΠΕΡΙ ΣΤΡΦΡΜΗΣ Ένας οµογενής και συµπαγής δίσκος µάζας m και ακτίνας =,2m στρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του µε γωνιακή ταχύτητα µέτρου ω =1 ra/sec.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΧΩΡΟΣ ΚΑΙ Ο ΧΡΟΝΟΣ

Ο ΧΩΡΟΣ ΚΑΙ Ο ΧΡΟΝΟΣ Ο ΧΩΡΟΣ ΚΑΙ Ο ΧΡΟΝΟΣ. Γενικές αρχές. Η αντιληπτική μας ικανότητα του Φυσικού Χώρου, μας οδηγεί στον προσδιορισμό των σημείων του, μέσω τριών ανεξαρτήτων παραμέτρων. Είναι, λοιπόν, αποδεκτή η απεικόνισή

Διαβάστε περισσότερα

β. Υπολογίστε την γραμμική ταχύτητα περιστροφής της πέτρας γ. Υπολογίστε την γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της πέτρας.

β. Υπολογίστε την γραμμική ταχύτητα περιστροφής της πέτρας γ. Υπολογίστε την γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της πέτρας. Μεγέθη Κίνησης 1. Μια ομαλή κυκλική κίνηση γίνεται έτσι ώστε το αντικείμενο να περιστρέφεται σε κυκλική τροχιά ακτίνας R = 20cm με ταχύτητα μέτρου υ = 0,5m/s. α. Πόση είναι η περιφέρεια της τροχιάς του

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Διανύσματα. x = rcos! y = rsin! r = x 2 + y 2 x. q Ο απλούστερος ορισμός διανύσματος είναι ότι μετρά μετατοπίσεις

Διανύσματα. x = rcos! y = rsin! r = x 2 + y 2 x. q Ο απλούστερος ορισμός διανύσματος είναι ότι μετρά μετατοπίσεις Διανύσματα ΦΥΣ 131 - Διάλ. 2 1 q Ο απλούστερος ορισμός διανύσματος είναι ότι μετρά μετατοπίσεις q Διανύσματα περιγράφουν μέτρο αλλά και κατεύυνση q Αντίετα, βαμωτά μεγέη περιγράφονται μόνο από το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ. 1 Κ Ι Ν Η Σ Ε Ι Σ

Κ ε φ. 1 Κ Ι Ν Η Σ Ε Ι Σ Κ ε φ. 1 Κ Ι Ν Η Σ Ε Ι Σ Χρήσιμες έννοιες Κίνηση (σχετική κίνηση) ενός αντικειμένου λέγεται η αλλαγή της θέσης του ως προς κάποιο σύστημα αναφοράς. Τροχιά σώματος ονομάζουμε τη νοητή γραμμή που δημιουργεί

Διαβάστε περισσότερα

1 ΦΕΠ 012 Φυσική και Εφαρμογές

1 ΦΕΠ 012 Φυσική και Εφαρμογές 1 ΦΕΠ 012 Φυσική και Εφαρμογές Διάλεξη 10 η Ομαλή κυκλική κίνηση Δθ = ω = σταθερό Δt X = Rσυν (ωt) => X 2 +Υ 2 = R 2 Υ = Rημ(ωt) Οι προβολές της κίνησης στους άξονες των x και y είναι αρμονικές ταλαντώσεις

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1η εξεταστική περίοδος από 4/10/15 έως 08/11/15 γραπτή εξέταση στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Α Λυκείου Τμήμα: Βαθμός: Ονοματεπώνυμο: Καθηγητές: Θ Ε Μ Α Α Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να επιλέξετε τη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

4 η Εργασία F 2. 90 o 60 o F 1. 2) ύο δυνάµεις F1

4 η Εργασία F 2. 90 o 60 o F 1. 2) ύο δυνάµεις F1 4 η Εργασία 1) ύο δυνάµεις F 1 και F 2 ασκούνται σε σώµα µάζας 5kg. Εάν F 1 =20N και F 2 =15N βρείτε την επιτάχυνση του σώµατος στα σχήµατα (α) και (β). [ 2 µονάδες] F 2 F 2 90 o 60 o (α) F 1 (β) F 1 2)

Διαβάστε περισσότερα

Ακτίνα καμπυλότητας - Ανάλυση επιτάχυνσης σε εφαπτομενική και κεντρομόλο συνιστώσα

Ακτίνα καμπυλότητας - Ανάλυση επιτάχυνσης σε εφαπτομενική και κεντρομόλο συνιστώσα Ακτίνα καμπυλότητας - Ανάλυση επιτάχυνσης σε εφαπτομενική και κεντρομόλο συνιστώσα Εξ ορισμού, ένας κύκλος έχει συγκεκριμένη και σταθερή καμπυλότητα σε όλα τα σημεία του ίση με 1/R όπου R η ακτίνα του.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ. Φυσική Γενικής Παιδείας Α Λυκείου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ. Φυσική Γενικής Παιδείας Α Λυκείου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ Φυσική Γενικής Παιδείας Α Λυκείου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Σ (Το τυπολόγιο αυτό δεν αντικαθιστά το βιβλίο. Συγκεντρώνει απλώς τις ουσιώδεις σχέσεις του βιβλίου και σχολιάζει κάποια σημεία τους).

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΘΕΣΗ ΤΡΟΧΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΗΜΑ. Παρατηρώντας τις εικόνες προσπαθήστε να ορίσετε τις θέσεις των διαφόρων ηρώων των κινουμένων σχεδίων. Ερώτηση: Πότε ένα σώμα

Διαβάστε περισσότερα

F Στεφάνου Μ. 1 Φυσικός

F Στεφάνου Μ. 1 Φυσικός F 1 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Όταν δίνονται οι δυνάμεις οι οποίες ασκούνται σε ένα σώμα, υπολογίζουμε τη συνισταμένη των δυνάμεων και από τη σχέση (ΣF=m.α ) την επιτάχυνσή του. Αν ασκούνται σε αρχικά

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1. Να αναφέρετε ποια από τα σώματα που φαίνονται στην εικόνα κινούνται. Α. Ως προς τη Γη B. Ως προς το αυτοκίνητο. Α. Ως προς τη Γη κινούνται το αυτοκίνητο, το αεροπλάνο και ο γλάρος.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ / Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/10/2014 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Άρχων Μάρκος, Γεράσης Δημήτρης, Τζαγκαράκης Γιάννης

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ / Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/10/2014 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Άρχων Μάρκος, Γεράσης Δημήτρης, Τζαγκαράκης Γιάννης ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 214-2 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ / Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/1/214 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Άρχων Μάρκος, Γεράσης Δημήτρης, Τζαγκαράκης Γιάννης ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ [Υποκεφάλαιο 4.2 Οι κινήσεις των στερεών σωμάτων του σχολικού βιβλίου]

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ [Υποκεφάλαιο 4.2 Οι κινήσεις των στερεών σωμάτων του σχολικού βιβλίου] ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ http://www.study4exams.gr/ ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 18/11/2011 ΚΕΦ. 10

ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 18/11/2011 ΚΕΦ. 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 1 ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Μέτρο εξωτερικού γινομένου 2 C A B C ABsin διανυσμάτων A και B Ιδιότητες εξωτερικού γινομένου A B B A εν είναι αντιμεταθετικό.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/10/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/10/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/1/1 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σε σώμα μάζας m = 1Kg ασκείται η δύναμη F

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα.

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1 Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. Α2. Για τον προσδιορισμό μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα απαιτείται να

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Διατήρηση της Ενέργειας - 9-1ο ΓΕΛ Πετρόυπολης

2.2 Διατήρηση της Ενέργειας - 9-1ο ΓΕΛ Πετρόυπολης . Διατήρηση της Ενέργειας - 9 - ο ΓΕΛ Πετρόυπολης. Έργο α) Ορισμός : Έργο ( W ) σταερής δύναμης η οποία μετατοπίζει ένα σώμα κατά την διεύυνση της ονομάζεται το γινόμενο της δύναμης επί την μετατόπιση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδημαϊκό έτος Καθηγητές: Σ. Πνευματικός Α. Μπούντης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδημαϊκό έτος Καθηγητές: Σ. Πνευματικός Α. Μπούντης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 00- Μάθημα: ΜΗΧΑΝΙΚΗ Καθηγητές: Σ Πνευματικός Α Μπούντης Θέμα Μελέτης 5:η νευτώνεια διατύπωση των νόμων της κίνησης Σχόλια & Απαντήσεις & Προβληματισμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 1 Άλγεβρα a 1 a a ( ± y) a a ± y log a a 10 log a ± logb log( ab ± 1 ) log( a n ) n log( a) ln a a e ln a ± ln b ln( ab ± 1 ) ln( a n ) nln( a) Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση φορτισμένου σωματιδίου σε χώρο, όπου συνυπάρχουν ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο ομογενή και χρονοανεξάρτητα

Κίνηση φορτισμένου σωματιδίου σε χώρο, όπου συνυπάρχουν ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο ομογενή και χρονοανεξάρτητα Κίνηση φορτισμένου σωματιδίου σε χώρο, όπου συνυπάρχουν ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο ομογενή και χρονοανεξάρτητα Μέρος α : Εξισώσεις κίνησης και συμπεράσματα) Α. Τι βλέπει ένας αδρανειακός παρατηρητής

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 131 - Διαλ.12 1. Μη αδρανειακά συστήµατα Φαινοµενικό βάρος

ΦΥΣ 131 - Διαλ.12 1. Μη αδρανειακά συστήµατα Φαινοµενικό βάρος ΦΥΣ 3 - Διαλ.2 Μη αδρανειακά συστήµατα Φαινοµενικό βάρος ΦΥΣ 3 - Διαλ.2 2 Μη αδρανειακά συστήµατα x Έστω ότι το S αποκτά επιτάχυνση α 0 S z 0 Α x z S y, y Ο παρατηρητής S µετρά µια επιτάχυνση: A = A +

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΚΑΙ ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΚΑΙ ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΚΑΙ ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: Αγρίνιο 10-11-013 ΘΕΜΑ 1 ο Α) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση σε καθεμία από τις επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρική Οπτική ΚΕΦΑΛΑΙΟ 34

Γεωμετρική Οπτική ΚΕΦΑΛΑΙΟ 34 Γεωμετρική Οπτική ΚΕΦΑΛΑΙΟ 34 Γεωμετρική Οπτική Γνωρίζουμε τα βασικά Δηλαδή, πως το φως διαδίδεται και αλληλεπιδρά με σώματα διαστάσεων πολύ μεγαλύτερων από το μήκος κύματος. Ανάκλαση: Προσπίπτουσα ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/011 ΚΕΦ. 9 1 ΓΩΝΙΑΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΟΡΙΣΜΟΙ Περιστροφική κινηματική: περιγράφει την περιστροφική κίνηση. Στερεό Σώμα: Ιδανικό μοντέλο σώματος που έχει τελείως ορισμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1. Oρισμοί Διάνυσμα ονομάζεται η μαθηματική οντότητα που έχει διεύθυνση φορά και μέτρο.

Διαβάστε περισσότερα

Ποια πρέπει να είναι η ελάχιστη ταχύτητα που θα πρέπει να έχει το τρενάκι ώστε να µη χάσει επαφή µε τη τροχιά στο υψηλότερο σηµείο της κίνησης; F N

Ποια πρέπει να είναι η ελάχιστη ταχύτητα που θα πρέπει να έχει το τρενάκι ώστε να µη χάσει επαφή µε τη τροχιά στο υψηλότερο σηµείο της κίνησης; F N Παράδειγµα roller coaster ΦΥΣ 131 - Διαλ.13 1 Ποια πρέπει να είναι η ελάχιστη ταχύτητα που θα πρέπει να έχει το τρενάκι ώστε να µη χάσει επαφή µε τη τροχιά στο υψηλότερο σηµείο της κίνησης; y-διεύθυνση:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Θέµα 1 (25 µονάδες) Ένα εκκρεµές µήκους l κρέµεται έτσι ώστε η σηµειακή µάζα να βρίσκεται ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κίνηση σε μία διάσταση

Κεφάλαιο 1. Κίνηση σε μία διάσταση Κεφάλαιο 1 Κίνηση σε μία διάσταση Κινηματική Περιγράφει την κίνηση, αγνοώντας τις αλληλεπιδράσεις με εξωτερικούς παράγοντες που ενδέχεται να προκαλούν ή να μεταβάλλουν την κίνηση. Προς το παρόν, θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κεφάλαιο M6 Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κυκλική κίνηση Αναπτύξαµε δύο µοντέλα ανάλυσης στα οποία χρησιµοποιούνται οι νόµοι της κίνησης του Νεύτωνα. Εφαρµόσαµε τα µοντέλα αυτά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 05/01/2016 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 05/01/2016 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 05/01/2016 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτημα Ι. 1 Το ισόχρονο της ταλάντωσης επί κυκλοειδούς

Παράρτημα Ι. 1 Το ισόχρονο της ταλάντωσης επί κυκλοειδούς Παράρτημα Ι 1 Το ισόχρονο της ταλάντωσης επί κυκλοειδούς Ας θεωρήσουμε μια κυκλική στεφάνη ακτίνας a η οποία κυλίεται, χωρίς να ολισθαίνει, πάνω σε μια ευθεία (για ευκολία υποθέστε ότι η ευθεία είναι ο

Διαβάστε περισσότερα

Για τις παρακάτω 3 ερωτήσεις, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Για τις παρακάτω 3 ερωτήσεις, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο ΦΥΣΙΚΗ Για τις παρακάτω 3 ερωτήσεις, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Σε ένα σώµα

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Β Α Λ Α Τ Σ Ο Σ. 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1. Γιώργος Βαλατσός Φυσικός Msc

Γ. Β Α Λ Α Τ Σ Ο Σ. 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1. Γιώργος Βαλατσός Φυσικός Msc 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1 1. Πότε τα σώματα θεωρούνται υλικά σημεία; Αναφέρεται παραδείγματα. Στη φυσική πολλές φορές είναι απαραίτητο να μελετήσουμε τα σώματα χωρίς να λάβουμε υπόψη τις διαστάσεις τους. Αυτό

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Μαγνητικό πεδίο Νίκος Ν. Αρπατζάνης Μαγνητικοί πόλοι Κάθε μαγνήτης, ανεξάρτητα από το σχήμα του, έχει δύο πόλους. Τον βόρειο πόλο (Β) και τον νότιο πόλο (Ν). Μεταξύ των πόλων αναπτύσσονται

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ Φυσική Β Γυμνασίου Εισαγωγή Τα πάντα γύρω μας κινούνται. Στο διάστημα όλα τα ουράνια σώματα κινούνται. Στο μικρόκοσμο συμβαίνουν κινήσεις που δεν μπορούμε να τις αντιληφθούμε άμεσα.

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Νίκος Ν. Αρπατζάνης Πεδίο Πολλές φορές είναι χρήσιμα κάποια φυσικά μεγέθη που έχουν διαφορετική τιμή, σε διαφορετικά σημεία του χώρου (π.χ. μετεωρολογικά δεδομένα,όπως θερμοκρασία, πίεση,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6α. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα

Κεφάλαιο 6α. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Κεφάλαιο 6α Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Στερεό (ή άκαμπτο) σώμα Τα μοντέλα ανάλυσης που παρουσιάσαμε μέχρι τώρα δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την ανάλυση όλων των κινήσεων. Μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014 minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/014 minimath.eu Περιεχόμενα Κινηση 3 Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση 4 Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση 5 Δυναμικη 7 Οι νόμοι του Νεύτωνα 7 Τριβή 8 Ομαλη κυκλικη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-125 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 Μικρή σφαίρα εκτοξεύεται τη χρονική στιγμή t=0 από ορισμένο ύψος με αρχική ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΜΑΘΗΜΑ 1: Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Τίποτε δεν θεωρώ μεγαλύτερο αίνιγμα από το χρόνο και το χώρο Εντούτοις, τίποτε δεν με απασχολεί λιγότερο από αυτά επειδή ποτέ δεν τα σκέφτομαι Charles

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Ερωτήσεις 1. Στην ομαλή κυκλική κίνηση, α. Το μέτρο της ταχύτητας διατηρείται σταθερό. β. Η ταχύτητα διατηρείται σταθερή. γ. Το διάνυσμα της ταχύτητας υ έχει την

Διαβάστε περισσότερα

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 1 Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Α. Κάνε κατάλληλο σχήμα,τοποθέτησε τα δεδομένα στο σχήμα και ονόμασε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ. Το σκοινί ως συνδετικό στοιχείο σε κινούμενα μέρη

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ. Το σκοινί ως συνδετικό στοιχείο σε κινούμενα μέρη A A N A B P Y T A 9 5 0 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ Το σκοινί ως συνδετικό στοιχείο σε κινούμενα μέρη I= β I= β I = β Σχήμα : Το σύστημα και οι ετικές φορές μεταφορικής και στροφικής κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Η Φυσική στην Α Λυκείου. Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ 9.

Η Φυσική στην Α Λυκείου. Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ 9. Η Φυσική στην Α Λυκείου. Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ 9. users.sch.gr/ /yphysicsalyceum9.htm 1/14 Η ομαλή κυκλική κίνηση είναι ΚΙΝΗΣΗ υλικού σημείου, είναι δηλαδή ένα ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ κατά το οποίο η θέση ενός υλικού σημείου

Διαβάστε περισσότερα

Theory Greek (Greece) Παρακαλώ διαβάστε τις Γενικές Οδηγίες που θα βρείτε σε ξεχωριστό φάκελο πριν ξεκινήσετε να εργάζεστε στο πρόβλημα αυτό.

Theory Greek (Greece) Παρακαλώ διαβάστε τις Γενικές Οδηγίες που θα βρείτε σε ξεχωριστό φάκελο πριν ξεκινήσετε να εργάζεστε στο πρόβλημα αυτό. Q1-1 Δύο προβλήματα Μηχανικής (10 Μονάδες) Παρακαλώ διαβάστε τις Γενικές Οδηγίες που θα βρείτε σε ξεχωριστό φάκελο πριν ξεκινήσετε να εργάζεστε στο πρόβλημα αυτό. Μέρος A. Ο Κρυμμένος Δίσκος (3.5 Μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Μηχανική Εικόνα: Isaac Newton: Θεωρείται πατέρας της Κλασικής Φυσικής, καθώς ξεκινώντας από τις παρατηρήσεις του Γαλιλαίου αλλά και τους νόμους του Κέπλερ για την κίνηση των πλανητών

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στη ΦΥΣΙΚΗ B κατεύθυνσης

γραπτή εξέταση στη ΦΥΣΙΚΗ B κατεύθυνσης η εξεταστική περίοδος από 4/0/5 έως 08//5 γραπτή εξέταση στη ΦΥΣΙΚΗ B κατεύθυνσης Τάξη: Β Λυκείου Τμήμα: Βαθμός: Ονοματεπώνυμο: Καθηγητές: Θ Ε Μ Α A Στις ερωτήσεις Α-Α4 να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες Νίκος Ν. Αρπατζάνης Παράγωγος ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ y y = f(x) x φ y y y = f(x) x φ y y y = f(x) φ x 1 x 1 + х x x 1 x 1 + х x x 1 x tanϕ = y x tanϕ = dy dx

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ

ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Πρώτα απ όλα θέλουμε να βρούμε και να εξηγήσουμε έναν ορισμό που να ταιριάζει όσο το δυνατό καλύτερα στα φυσικά φαινόμενα Και η πεποίθησή μας θα ενισχυθεί

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Φυσική Β Γυμνασίου. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Φυσική Β Γυμνασίου Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 2 Εισαγωγή 1.1 Οι φυσικές επιστήμες και η μεθοδολογία τους Φαινόμενα: Μεταβολές όπως το λιώσιμο του πάγου, η

Διαβάστε περισσότερα

6. Κάμψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών

6. Κάμψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 6. Κάμψη Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Περιεχόμενα ενότητας Ανάλυση της κάμψης Κατανομή ορθών τάσεων Ουδέτερη γραμμή Ροπές αδρανείας Ακτίνα καμπυλότητας 2 Εισαγωγή (1/2) Μελετήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT Αρβανιτογεώργος Ανδρέας Πατέρας Ιωάννης ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Στόχος Εργασίας Η εύρεση των γεωδαισιακών καμπυλών πάνω σε μια επιφάνεια.

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Μηχανική Εικόνα: Isaac Newton: Θεωρείται πατέρας της Κλασικής Φυσικής, καθώς ξεκινώντας από τις παρατηρήσεις του Γαλιλαίου αλλά και τους νόμους του Κέπλερ για την κίνηση των πλανητών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο Δυναμική σε μια διάσταση

Κεφάλαιο 2 ο Δυναμική σε μια διάσταση 1 Σκοπός Να αποκτήσουν οι μαθητές τη δυνατότητα να απαντούν σε ερωτήματα που εμφανίζονται στην καθημερινή μας ζωή και έχουν σχέση με την δύναμη, μάζα και αδράνεια. Λέξεις κλειδιά Δύναμη, αδράνεια, μάζα,

Διαβάστε περισσότερα

S συνφ (3.27), =± F h (3.28)

S συνφ (3.27), =± F h (3.28) Στη συγκεκριμένη ενότητα, θα ασχηθούμε με το έργο και την μηχανική ενέργεια στην περιστροφική κίνηση, όπως επίσης και με την ορθή διτύπωση των ενεργειακών θεωρημάτων και αρχών (ΘΜΚΕ, ΘΔΜΕ, ΑΔΕ, κλπ) που

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΨΗ 2 ου Μαθήματος

ΣΥΝΟΨΗ 2 ου Μαθήματος Ενημέρωση Η διδασκαλία του μαθήματος, πολλά από τα σχήματα και όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Φυσική» του Hugh Young των Εκδόσεων Παπαζήση, οι οποίες μας επέτρεψαν τη χρήση

Διαβάστε περισσότερα

Το σύστημα των μη αλληλεπιδραστικών ροών και η σημασία του στην ερμηνεία των ιδιοτήτων των ιδανικών αερίων.

Το σύστημα των μη αλληλεπιδραστικών ροών και η σημασία του στην ερμηνεία των ιδιοτήτων των ιδανικών αερίων. Το σύστημα των μη αλληλεπιδραστικών ροών και η σημασία του στην ερμηνεία των ιδιοτήτων των ιδανικών αερίων. Θεωρώντας τα αέρια σαν ουσίες αποτελούμενες από έναν καταπληκτικά μεγάλο αριθμό μικροσκοπικών

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας. με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας. με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς Εργαστηριακή Άσκηση 5 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας, g. Πειραματική διάταξη: Χρήση απλού εκκρεμούς.

Διαβάστε περισσότερα

, και τις ονομάζουμε γενικευμένες συντεταγμένες. Μία δεδομένη συντεταγμένη, q k. , μπορεί να είναι είτε γωνία, είτε απόσταση.

, και τις ονομάζουμε γενικευμένες συντεταγμένες. Μία δεδομένη συντεταγμένη, q k. , μπορεί να είναι είτε γωνία, είτε απόσταση. Ενότητα 10 Γενικευμένες συντεταγμένες Εξισώσεις Lagrage 91 Γενικευμένες συντεταγμένες Βαθμοί ελευθερίας Έστω,, o ελάχιστος αριθμός συντεταγμένων που απαιτείται για να καθορίσει ένα σύστημα Συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας. Γιώργος Νικολιδάκης

Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας. Γιώργος Νικολιδάκης Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας Γιώργος Νικολιδάκης 9/18/2013 1 Κωνικές Τομές Είναι καμπύλες που σχηματίζονται καθώς επίπεδα τέμνουν με διάφορες γωνίες επιφάνειες κώνων. Παραβολή Έλλειψη -κύκλος Υπερβολή

Διαβάστε περισσότερα

α. 2 β. 4 γ. δ. 4 2 Μονάδες 5

α. 2 β. 4 γ. δ. 4 2 Μονάδες 5 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΟΠ Β Λ (ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ) - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 04/01/017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

"ΦΥΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ" ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

ΦΥΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ "ΦΥΣΙΚΕΣ ΜΕΘΔΙ" ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚΩΝ ΠΡΛΗΜΤΩΝ Ελατήρια σταερής τάσης (Constnt tension springs) Ένα ελατήριο του οοίου η τάση είναι ανεξάρτητη αό την ειμήκυνση ή τη συσείρωσή του ονομάζεται ελατήριο σταερής

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

Διανύσματα. (α) μέτρο, (β) διεύθυνση και. (γ) φορά. (κατεύθυνση=διεύθυνση+φορά).

Διανύσματα. (α) μέτρο, (β) διεύθυνση και. (γ) φορά. (κατεύθυνση=διεύθυνση+φορά). Διανύσματα Βαθμωτή Ποσότητα: αυτή που μπορεί να οριστεί πλήρως με έναν αριθμό και μια μονάδα. Ο αριθμός και η μονάδα συνιστούν το μέτρο της βαθμωτής ποσότητας. Διάνυσμα: είναι η ποσότητα που έχει (α) μέτρο,

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου

Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Θέμα 1 ο Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 να επιλέξετε τη μια σωστή απάντηση: 1. Όταν ένα σώμα ισορροπεί τότε: i. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητάς του

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Βασικές Έννοιες Φυσικής. Ενότητα: Μηχανική. Διδάσκων: Καθηγητής Κ. Κώτσης. Τμήμα: Παιδαγωγικό, Δημοτικής Εκπαίδευσης

Τίτλος Μαθήματος: Βασικές Έννοιες Φυσικής. Ενότητα: Μηχανική. Διδάσκων: Καθηγητής Κ. Κώτσης. Τμήμα: Παιδαγωγικό, Δημοτικής Εκπαίδευσης Τίτλος Μαθήματος: Βασικές Έννοιες Φυσικής Ενότητα: Μηχανική Διδάσκων: Καθηγητής Κ. Κώτσης Τμήμα: Παιδαγωγικό, Δημοτικής Εκπαίδευσης 2. Μηχανική Η μηχανική είναι ένα βασικό τμήμα της φυσικής επιστήμης,

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό δυναμικό Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρικό δυναμικό Θα συνδέσουμε τον ηλεκτρομαγνητισμό με την ενέργεια. Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μπορούμε να λύνουμε διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑ - ΣΤΕΡΕΟΣΤΑΤΙΚΗ. 2. Στερεοστατική. 2.1 Ισοδύναμα συστήματα δυνάμεων Δύναμη

ΓΕΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑ - ΣΤΕΡΕΟΣΤΑΤΙΚΗ. 2. Στερεοστατική. 2.1 Ισοδύναμα συστήματα δυνάμεων Δύναμη 2. Στερεοστατική 2.1 Ισοδύναμα συστήματα δυνάμεων 2.1.1 Δύναμη Στο πλαίσιο της καθημερινής ζωής κάνουμε διάφορες ενέργειες που προκαλούν διάφορα αποτελέσματα. Όταν για παράδειγμα λέμε ότι κάποιος σπρώχνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ Συγγραμμικές δυνάμεις 1 ος -2 ος νόμος του Νεύτωνα 1. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες; α. Μια δύναμη μπορεί να προκαλέσει αλλαγή στην κινητική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ στη Φυσική

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ στη Φυσική Α ΤΑΞΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ στη Φυσική ΜΕΡΟΣ 1 : Ευθύγραμμες Κινήσεις 1. Να επαναληφθεί το τυπολόγιο όλων των κινήσεων - σελίδα 2 (ευθύγραμμων και ομαλών, ομαλά μεταβαλλόμενων) 2. Να επαναληφθούν όλες οι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΗ, ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ NEWTON

ΔΥΝΑΜΗ, ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ NEWTON 1 ΔΥΝΑΜΗ, ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ NEWTON Τι είναι «δύναμη»; Θα πρέπει να ξεκαθαρίσουμε ότι ο όρος «δύναμη» στη Φυσική έχει αρκετά διαφορετική σημασία από ότι στην καθημερινή γλώσσα. Εκφράσεις όπως «τον χτύπησε με δύναμη»,

Διαβάστε περισσότερα

κατά την οποία το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας του τροχού είναι ίσο με

κατά την οποία το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας του τροχού είναι ίσο με ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 06/0/16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα