ΕΠΙΠΕΔΗ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ-ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ-ΣΧΕΤΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΠΙΠΕΔΗ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ-ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ-ΣΧΕΤΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ"

Transcript

1 ΕΠΙΠΕΔΗ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ-ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ-ΣΧΕΤΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΠΑΡΑΔΟΧΕΣ 1) Ο χώρος, όπως τον αντιλαμβανόμαστε, έχει τρεις διαστάσεις που συμβολίζονται με τρεις διευύνσεις κάετες μεταξύ τους. 2) To μαηματικό μοντέλο που χρησιμοποιεί ο Newton για τον χώρο είναι το μοντέλο της Ευκλείδιας Γεωμετρίας.Το 5 ο αξίωμα του Ευκλείδη ισχυρίζεται ότι «από δοσμένο σημείο διέρχεται μόνο μια ευεία παράλληλη πρός μία άλλη ευεία».με αυτό το αξίωμα μπορούμε να μεταφέρουμε μια ευεία σε οποιοδήποτε άλλο σημείο διατηρώντας την διευυνσή της μέσω μίας παράλληλης μετάεσης. Ετσι σε κάε σημείο, οποιαδήποτε κατεύυνση ορίζεται μονοσήμαντα απο μία ευεία που διέρχεται από το σημείο, γεγονός που μας επιτρέπει να εωρήσουμε τις ευείες «φορείς» των διανυσμάτων και να παραστήσουμε τα διανύσματα με προσανατολισμένα ευύγραμμα τμήματα μήκους ίδιου με το μέγεός τους.επιπλέον μπορούμε να μεταφέρουμε παράλληλα κάε διάνυσμα από ένα σημείο σε οποιοδήποτε άλλο αρκεί να μεταφέρουμε παράλληλα την ευεία φορέα του. Η παράλληλη μετάεση μας επιτρέπει να ορίσουμε με τρόπο γεωμετρικό το άροισμα + (καώς και την διαφορά τους)δύο διανυσμάτων που εφαρμόζονται στο ίδιο σημείο (ή και διανυσμάτων που δεν εφαρμόζονται στο ίδιο σημείο αρκεί το άροισμα αυτό να έχει φυσικό νόημα) 3) O Νεύτων δίδασκε ότι όλα όσα συμβαίνουν στο Σύμπαν πραγματοποιούνται στον κενό χώρο, που περιέχει όλα τα σώματα και όλες τις διαδικασίες. Το χώρο

2 αυτόν μπορούμε να τον φαντασούμε σαν ένα τεράστιο εργαστήριο του οποίου οι τοίχοι, η οροφή και το δάπεδο εκτείνονται ως το άπειρο, αυτό το "απόλυτο", απεριόριστο κενό που ο Νεύτων αποκαλούσε "απόλυτο χώρο". Στις Αρχές γράφει: «Ο απόλυτος χώρος με τη δική του φύση, χωρίς αναφορά σε οτιδήποτε εξωτερικό, παραμένει πάντοτε όμοιος και αμετακίνητος». Στη νευτώνεια φυσική, ο χρόνος είναι μια ροή διάρκειας που περιλαμβάνει όλες ανεξαιρέτως τις διαδικασίες. Είναι ο "ποταμός του χρόνου", του οποίου η ροή δεν επηρεάζεται από τίποτα: O Άλμπερτ Αϊνστάιν έδωσε την παρακάτω, πολύ διαφωτιστική, περιγραφή των νευτώνειων εννοιών: «Η ιδέα της ανεξάρτητης ύπαρξης του χώρου και του χρόνου μπορεί να εκφρασεί ως εξής: εάν η ύλη εξαφανιζόταν, α παρέμεναν μόνον ο χώρος και ο χρόνος (ένα είδος σκηνής από την οποία έχουν αποχωρήσει τα φυσικά φαινόμενα)». Η κίνηση σύμφωνα με τον Newton λοιπόν γίνεται σε σχέση με τον απόλυτο χώρο και χρόνο 4) Ο Γάλλος φυσικός και Μαηματικός Descartes(Καρτέσιος) χρησιμοποίησε σύστημα συντεταγμένων για την περιγραφή των σημείων του χώρου με αριμούς.αυτό επέτρεε την σύνδεση ανάμεσα στις τότε κυρίαρχες γεωμετρικές μεόδους και στις «αριμητικές» για τις οποίες επικράτησε ο όρος «αναλυτικές».ετσι γεωμετρικά αντικείμενα μπορούν να περιγραφούν με αναλυτικά μέσα(πχ η ευεία περιγράφεται από μία πρωτοβάμια εξίσωση) αλλά και μαηματικά αντικείμενα δέχονται γεωμετρική ερμηνεία( Πχ σε μία συνάρτηση =f(x) αντιστοιχεί η γραφική της παράσταση δηλ μία καμπύλη στο επίπεδο) 5)Ενα σύστημα αναφοράς αποτελείται από Α) Ενα σημείο Ο του Ευκλείδιου χώρου το οποίο είναι η αρχή του συστήματος αναφοράς Β) Ενα σύνολο γραμμικών ανεξάρτητων διανυσμάτων στο σημείο Ο

3 (βάση του χώρου ),στην περιπτωσή μας μόνο δύο τα 1(O), 2(O) (επίπεδη κίνηση) Γ) Ενα πεδίο τοπικών διανυσμάτων 1(P), 2(P) σε κάε σημείο Ρ του ευκλείδιου χώρου που προκύπτει από την παράλληλη μετάεση των διανυσμάτων 1(O), 2(O) σε όλα τα σημεία το οποίο χρησιμεύει για την «αναλυτική» περιγραφή των τοπικών διανυσμάτων σε κάε σημείο Ρ καώς και την «αναλυτική» περιγραφή των διανυσματικών πεδίων. Παραγωγο του συστήματος αναφοράς στον Ευκλείδιο χώρο είναι ένα αντίστοιχο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. x 1(O) Ο 2(O) Σε καμπύλους χώρους τα δύο συστήματα δεν προκύπτουν το ένα από το άλλο. i ) Καρτεσιανό Σύστημα Συντεταγμένων Η έση του σημείου προκύπτει από το σημείο τομής δύο ευειών

4 Θα χρησιμοποιήσουμε το πρώτο σύστημα όπου οι άξονες είναι κάετοι μεταξύ τους και α ορίσουμε τα μοναδιαία διανύσματα, στις διευύνσεις αυτών των αξόνων ώστε να μπορούμε να γράφουμε «αναλυτικά» ένα οποιοδήποτε διάνυσμα. ii) Πολικό Σύστημα Συντεταγμένων Η έση του σημείου προκύπτει από το σημείο τομής κύκλου - ευείας Θα ορίσουμε τα μοναδιαία διανύσματα, το πρώτο στην διεύυνση της ευείας που ενώνει το υλικό σημείο με την αρχή Ο και το άλλο κάετο σε αυτό ώστε να μπορούμε να γράφουμε «αναλυτικά» ένα οποιοδήποτε διάνυσμα..η διεύυνση των μοναδιαίων διανυσμάτων αυτών αλλάζει εάν αλλάξει και η έση του σημείου σε αντίεση με την διεύυνση των μοναδιαίων στο ορογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.

5 ΛΙΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ(ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ) ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΓΙΑ ΑΡΓΟΤΕΡΑ. 1)ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΛΛΑΓΗ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΣΤΡΟΦΗ ΜΟΝΑΔΙΑΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Εστω ότι το ι, μοναδιαία διάνυσματα και έστω ότι κάποια στιγμή αργότερα το έχει αλλάξει διεύυνση όπως στο σχήμα με τον κύκλο.η διανυσματική αλλαγή κατά την απειροστή στροφή του τότε έχει την φορά του (κόκκινο διάνυσμα d )και μέτρο =.d= d αφού ( υμηείτε την σχέση ds= R d που δίνει το στοιχειώδες μήκος ενός τόξου για να δείτε πώς βγήκε η τελευταία σχέση) Αρα και σκεφτόμενοι όμοια d Αρα και 2) EΞΩΤΕΡΙΚΑ ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΤΟΥ (Γωνιακή ταχύτητα) ΜΕ TA MONAΔΙΑΙΑ, ΚΑΙ ΣΧΕΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΕ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΡΥΘΜΟΥΣ. Είναι ω ι=ω. (Δείτε το 3D σχήμα) Είναι (Δείτε το 3D σχήμα) άρα άρα = ΣΧΗΜΑ 3D z χ

6 ΕΠΙΠΕΔΗ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. Σε όλα τα επόμενα που α γραφούν, στο παρασκήνιο υπάρχει πάντα ο απόλυτος χώρος και ο απόλυτος χρόνος του Newton. Β Α + Α Δs o ΣΧΗΜΑ 1 Εστω ένα υλικό σημείο που εκτελεί καμπυλόγραμμη επίπεδη κίνηση.η τροχιά του είναι αυτή που φαίνεται στο σχήμα (με μπλέ χρώμα).κάποια χρονική στιγμή το υλικό σημείο βρίσκεται στο Α.Το διάνυσμα έσης του από μία αυαίρετα εκλεγμένη αρχή Ο συμβολίζεται με. To υλικό σημείο κίνειται σε χρόνο Δt απο την έση Α στην έση Α και το διάνυσμα έσης του αλλάζει κατά Δ.Aυτή η διανυσματική αλλαγή του διανύσματος έσης λέγεται μετατόπιση και είναι ανεξάρτητη από την εκλογή του σημείου Ο. Το πραγματικο μήκος που διανύει το κινητό είναι το μονόμετρο μήκος Δs. Οταν ο χρόνος μικραίνει, το Α πλησιάζει το Α και το Δs μπορεί να γραφεί σαν το διαφορικό ds που στο όριο Δt 0 είναι ίσο με το μέτρο του.

7 Ταχύτητα: Ορίζουμε την ταχύτητα σαν = Δ 0 Δ Δ = Οταν Δt 0 τότε το Δ μπορεί να γραφεί σαν d και η διεύυνση του τείνει να γίνει εφαπτόμενη στην τροχιά του υλικού σημείου στην έση Α.Αρα και η ταχύτητα είναι εφαπτόμενη της τροχιάς στο εωρούμενο σημείο. Το μέτρο της ταχύτητας είναι = Β Παρακάτω φαίνεται η ταχύτητα του υλικού σημείου σε δύο έσει ς Α, Β (ΣΧΗΜΑ 2) της τροχιάς του και στο επόμενο σχήμα (ΣΧΗΜΑ 3)η διανυσματική μεταβολή της ταχύτητας Δ από την έση Α στην έση Β ΣΧΗΜΑ 2 Α ΣΧΗΜΑ 3 Β Επιτάχυνση : Ορίζουμε την επιτάχυνση σαν Δ α= Δ 0 = Δ Oσο το Δt 0 τότε το Δυ μπορεί να γραφεί σαν d και η διεύυνση του δεν είναι γενικά όυτε εφαπτόμενη όυτε κάετη στην τροχιά άρα το ίδιο και η επιτάχυνση α (ΣΧΗΜΑ 4) Α ΣΧΗΜΑ 4 Tα παραπάνω είναι μια γεωμετρική ερμηνεία των παραγώγων του διανύσματος έσης δηλ της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και ισχύουν για κάε σύστημα συντεταγμένων

8 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Παρακάτω φαίνεται ξανά η τροχιά του υλικού σημείου καώς και η ταχυτητά του και η επιταχυνσή του στο σημείο Α βάση αυτών που είπαμε παραπάνω. 1) ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Α o x x ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΕΣ ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Ένα οποιοδήποτε διάνυσμα μπορεί να γραφτεί ως γραμμικός συνδυασμός 2 γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων. Στην περίπτωση των δύο διαστάσεων, είναι βολικό να ορίσουμε τα ορομοναδιαία διανύσματα, τα οποία έχουν διεύυνση κατά τη ετική φορά των αξόνων x, y. Έχοντας ορίσει την προηγούμενη βάση, μπορούμε να γράουμε το διάνυσμα έσης ενός σημείου με συντεταγμένες (x,y) στο επίπεδο με τον εξής τρόπο: =x.. Τα μοναδιαία διανύσματα σε ορογώνιες καρτεσιανές συντεταγμένες έχουν σταερή διεύυνση. Παραγωγίζοντας την παραπάνω σχέση έχουμε = (x.. ) και αφού τα διανύσματα δεν αλλάζουν διεύυνση με τον χρόνο έχουμε (στα επόμενα τα μοναδιαία διανύσματα α αλλάζουν με τον χρόνο άρα α έχουν χρονική παράγωγο) = x.ι. = x.. και ακολουόντας την ίδια διαδικασία (δηλ παραγωγίζοντας την ταχύτητα) έχουμε α=α x. α.

9 2) KAΘΕΤΕΣ ΚΑΙ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΣΤΗΝ ΤΡΟΧΙΑ Θεωρούμε εφαπτόμενο κύκλο στο σημείο Α της καμπύλης όπου βρίσκεται το υλικό σημείο. Αυτός ο εφαπτόμενος κύκλος προσεγγίζει καλύτερα την καμπύλη στο σημείο αυτό, και η πρώτη και δεύτερη παραγωγός του είναι ίδια με αυτή της καμπύλης στο σημείο αυτό.ο εφαπτόμενος αυτός κύκλος βρίσκεται στο κοίλο τμήμα της καμπύλης.το κέντρο και η ακτίνα αυτού του κύκλου ορίζουν το κέντρο καμπυλότητας Κ και την ακτίνα καμπυλότητας ρ. Θεωρουμε ένα συστημα συντεταγμένων όπου οι δύο αξονές του είναι ο ένας εφαπτόμενος στην τροχιά, και ο άλλος κάετος στον πρώτο, εφοδιασμένους με τα μοναδιαία διανύσματα και όπως φαίνεται στο σχήμα(πράσινοι άξονες). Παρατηρείστε ότι η διεύυνση των μοναδιαίων διανυσμάτων εξαρτάται από την έση που βρίσκεται το υλικό σημείο. Αυτό το σύστημα είναι συνδεδεμένο με τον εφαπτόμενο κύκλο στο σημείο που βρίσκεται το υλικό σημείο Α και το ακολουεί στην κίνησή του στην καμπύλη τροχιά. Καως το υλικό σημείο κινείται η έση του κέντρου καμπυλότητας Κ και η ακτίνα καμπυλότητας ρ γενικά αλλάζει. Απο όσα έχουν αναφερεί μέχρι τώρα γνωρίζουμε ότι όταν Δt 0 τότε η μεταβολή του διανύσματος έσης Δ μπορεί να γραφεί σαν d και η διεύυνση του τείνει να γίνει εφαπτόμενη στην τροχιά του υλικού σημείου στην έση Α όπως στο σχήμα που ακολουεί. K ρ d A r A Ο

10 Η ταχύτητα στό σημείο Α είναι = και έχει την διεύυνση του διανύσματος κ d ρ Β Α Το μέτρο της ταχύτητας από όσα έχουν αναφερεί αρχικά είναι = όπου εδώ ds=ρ.d Άρα =ρ. (1) H διανυσματική μεταβολή της ταχύτητας d από την έση Α στην Β σε αυτό το σύστημα αξόνων μπορεί να γραφεί σαν d =(d )e+(d )n (2) δηλ σαν άροισμα δύο συνιστωσών μίας στη διεύυνση του διανύσματός και μια στην διεύυνση του διανύσματος όπως στο σχήμα που ακολουεί.

11 d A Η επιτάχυνση τότε προκύπτει από την (2 ) διαιρώντας με dt άρα α=αn+αe Θα βρούμε τώρα τις εκφράσεις του αn και του αe Η ταχύτητα σε αυτό το σύστημα συντεταγμένων γράφεται =. όπου ( =ρ. από την (1) Παραγωγίζουμε την ταχύτητα,μόνο που σε αυτήν την περίπτωση το μοναδιαίο διάνυσμα έχει παράγωγο γιατί αλλάζει η κατεύυνσή του.(θα δείξουμε σε λίγο πώς βρίσκεται η παράγωγος αυτού του διανύσματος) Άρα έχουμε

12 =.. (2) Όπου είναι η αλλαγή του μέτρου της ταχύτητας στην διεύυνση του διανύσματος. Στην πιό γενική περίπτωση το είναι = (ρ. ) = ρ. ρ. 2 2 (3) Τώρα α βρούμε την μεταβολή d : Κατά την μετάβαση του υλικού σημείου από το Α στο Β το διάνυσμα αλλάζει κατεύυνση όπως στο παρακάτω σχήμα, η διανυσματική αυτή μεταβολή d φαίνεται στο σχήμα. H κατεύυνσή της είναι κατά την διεύυνση του διανύσματος ενώ το μέτρο της είναι =.d=d (αφού.=1) άρα =. και η (2) γίνεται α=.. (4) (το κομμάτι αυτό δείχνει την μεταβολή της κατεύυνσης της ταχύτητας ) d Αν η ακτίνα καμπυλότητας ρ είναι συνεχώς σταερή δηλ ρ=r=σταερό (Κυκλική κίνηση) τότε εισάγοντας τους συμβολισμούς =ω και 2 2 = ω γων η (1) γίνεται =ω. και από την (3) έχουμε =αγων.r (αφού ό όρος γράφεται α=αγων.. ω 2.. ρ. =0 όταν ρ=r=σταερό) και ω 2. άρα η (4)

13 ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Α (d ) + (d ) r d Α o Αναπαράσταση διανύσματος σε ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Στα μαηματικά, το πολικό σύστημα συντεταγμένων είναι ένα δισδιάστατο σύστημα συντεταγμένων στο οποίο η έση οποιουδήποτε σημείου σε ένα επίπεδο καορίζεται από την απόσταση του σημείου αυτού από ένα αυαίρετα επιλεγμένο σημείο αναφοράς και τη γωνία από μία αυαίρετα επιλεγμένη κατεύυνση.η απόσταση ενός σημείου από το αυαίρετα επιλεγμένο σημείο αναφοράς ονομάζεται ακτινική συντεταγμένη ή απλώς ακτίνα και συμβολίζεται συνήως με το λατινικό r (από την αγγλική λέξη radius, «ακτίνα»), ενώ η γωνία που σχηματίζει η ακτίνα του σημείου με μία αυαίρετα επιλεγμένη διεύυνση ονομάζεται γωνιακή συντεταγμένη ή αζιμούιο και συμβολίζεται συνήως με το ελληνικό πεζό γράμμα. Τα διανύσματα βάσης και στις πολικές συντεταγμένες είναι ορομοναδιαία (δηλαδή έχουν μέτρο μονάδα και είναι κάετα μεταξύ τους). Επιπροσέτως, τα διανύσματα αυτά δεν είναι σταερά, δηλαδή η φορά τους μεταβάλλεται από σημείο σε σημείο σε αντίεση με τα μοναδιαία διανύσματα και των καρτεσιανών συντεταγμένων τα οποία είναι σταερά παντού στο επίπεδο.

14 Θεωρούμε ένα συστημα συντεταγμένων όπου οι δύο αξονές του είναι ο ένας στην διεύυνση του διανύσματος έσης, στο εωρούμενο σημείο που βρίσκεται το κινητό, εδώ το σημείο Α, και ο άλλος κάετος σε αυτόν (πράσινες ευείες), εφοδιασμένους με τα μοναδιαία διανύσματα και όπως φαίνεται στο σχήμα. Αυτό το σύστημα είναι συνδεδεμένο με το υλικό σημείο και το ακολουεί στην κίνησή του στην καμπύλη τροχιά. Η διανυσματική μεταβολή του διανύσματος έσης dr σε αυτό το σύστημα συντεταγμένων μπορεί να γραφεί σαν d =(d )r+(d ) (δες προηγούμενο σχήμα) και η ταχύτητα προκύπτει εάν διαιρέσουμε με dt την παραπάνω σχέση.αρα = r+ =. +. όπου το μέτρο του (1) μας δείχνει πόσο γρήγορα μεγάλωσε το μήκος του διανύσματος έσης. Eνώ εάν σκεφτούμε βλέποντας το παραπάνω σχήμα ότι το μέτρο της διανυσματικής μεταβολής κατα την διεύυνση του διανύσματος είναι =. και διαιρώντας με dt προκύπτει ότι =. (2) Παρακάτω φαίνεται η ταχύτητα και οι συνιστώσες της στο σημείο Α Α r o

15 Στο επόμενο σχήμα φαίνεται η αλλαγή της ταχύτητας από το σημείο Α στο σημείο Β καώς και οι συνιστώσες της ταχύτητας στις διευύνσεις και. (Το σχήμα έχει μεγευνεί και δεν φαίνεται η αρχή 0) Β r Α r Οι συνιστώσες r και αλλάζουν καώς το υλικό σημείο κινείται από το Α στο Β.Θα δείξουμε γεωμετρικά αυτές τις αλλαγές για μία απειροστή μετατόπιση του υλικoύ σημείου και στην συνέχεια α υπολογίσουμε την επιτάχυνση σε αυτό το σύστημα συντεταγμένων.

16 Αλλαγή της συνιστώσας της ταχύτητας r : r Αναλύουμε σε δύο συνιστώσες την ( )r στην διεύυνση του και την ( ) στην διεύυνση του (όπως στο επόμενο σχήμα) r r r d r ΣΧΗΜΑ 1 Αλλαγή της συνιστώσας της ταχύτητας : Αναλυουμε σε δύο συνιστώσες την ( )r στην διεύυνση του την ( ) στην διεύυνση του (όπως στο επόμενο σχήμα) και r d ΣΧΗΜΑ 2

17 Eίναι = = Εχει την αρνητική διεύυνση του (από το σχήμα 2) = ( ). ( ). ( ). - ( ). (3) Είναι ( ) =.d (4) (Δές σχήμα 1) Και ( ) =.d (5) (Δές σχήμα 2) Διαιρούμε την (3) με dt = ( ). ( ). ( ). ( ). Όπου A) ( ) =λόγω της (1)= = 2 2 (στην κατεύυνση του ) αυτή η επιτάχυνση οφείλεται στην αλλαγή του μέτρου της συνιστώσας B) ( ) =λόγω της (4)=. =λόγω της (1)= (στην κατεύυνση του ) αυτή η επιτάχυνση οφείλεται στην αλλαγή της κατεύυνσης της συνιστώσας Γ) ( ) = λόγω της (2)= = (. ) =. 2 () 2. (στην κατεύυνση του ). αυτή η επιτάχυνση οφείλεται στην αλλαγή του μέτρου της συνιστώσας Δ) ( ) λόγω της (5)=. = λόγω της (2)=.. 2 (στην κατεύυνση του ). αυτή η επιτάχυνση οφείλεται στην αλλαγή της κατεύυνσης της συνιστώσας

18 Mαζεύουμε τους όρους στην διεύυνση του ( ). ( ). 2. Και τους όρους στην διεύυνση του ( ). ( ) () 2. ). =. 2 () 2 2. ). Aρα α= () 2 2. ). Με αλλαγή του συμβολισμού όπως παρακάτω έχουμε = 2 2 () 2 και α= ). Η πιό μαζεμένα α α α α r Εάν r=σταερό τότε καταλήγουμε στις ίδιες εξισώσεις με την κυκλική κίνηση που είχαμε βρεί προηγουμένως με τις κάετες και εφαπτομενικές συνιστώσες.

19 α=. +. ). Θα μπορούσαμε να βρούμε την ίδια σχέση παραγωγίζοντας την έκφραση της ταχύτητας =. +. μόνο που τα διανύσματα και α είχαν παράγωγο και α έπρεπε να την βρούμε (όπως κάναμε με την παράγωγο του διανύσματος στο προηγούμενο σύστημα συντεταγμένων) AΔΡΑΝΕΙΑΚΑ ΚΑΙ ΜΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ Παρακάτω υπάρχουν κάποια αποσπάσματα από βιβλία,που περιγράφουν με λόγια καλύτερα από αυτά που α μπορούσα να χρησιμοποιήσω εγώ,όσα πρόκειται να αποδειχούν στην συνέχεια. Θα συνιστούσα να διαβαστούν με προσοχή όσα έχουν υπογραμιστεί. «Ο Γαλιλαίος πρώτος αναφέρηκε στα αδρανειακά συστήματα αναφοράς δίνοντας την περιγραφή τους στους Διαλόγους του. Λίγο αργότερα, ο Νεύτωνας, στις ΜαηματικέςΑρχές της Φυσικής Φιλοσοφίας, έδωσε το χαρακτηρισμό τους με τον πρώτο νόμο και με τον δεύτερο νόμο έδωσε την εξίσωση που διέπει την κίνηση των σωμάτων όπως αυτή ισχύει στα αδρανειακά συστήματα αναφοράς. Η αλήεια είναι ότι στη φύση δεν υπάρχουν αδρανειακά συστήματα αναφοράς, αφού είναι αδύνατη η παντελής απομόνωση ενός σώματος από εξωτερικές επιδράσεις ώστε να διαπιστωεί η απόλυτη ισχύς του πρώτου νόμου. Αυτός άλλωστε είναι ο λόγος που τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς εισάγονται αξιωματικά από την Γαλιλαϊκή Αρχή της Σχετικότητας. Εντούτοις, στην πράξη, μπορούμε να εκλάβουμε με εξαιρετική προσέγγιση ένα σύστημα αναφοράς ως αδρανειακό εφόσον η επιτάχυνσή του ως προς ένα εωρητικά αδρανειακό σύστημα αναφοράς είναι κατά πολύ μικρότερη από τις επιταχύνσεις των υπό εξέταση αντικειμένων. Ο παρατηρητής που βρίσκεται σε ένα οποιοδήποτε αδρανειακό σύστημα αναφοράςδηλώνει ότι αν σε ένα σώμα δεν ασκείται δύναμη τότε το αδρανειακό του κέντρο εκτελεί ευύγραμμη ομαλή κίνηση ή είναι ακίνητο. Όμως, ο παρατηρητής που βρίσκεται σε ένα μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς διαφωνεί λέγοντας ότι η κίνηση αυτή δεν είναι ομαλή και επομένως κάποια δύναμη άγνωστης προέλευσης ασκείται στο σώμα. Τα μη αδρανειακά συστήματα αναφοράς δεν εκτελούν ευύγραμμη ομαλή κίνηση ως προς κάποιο αδρανειακό σύστημα αναφοράς και η εκτροπή τους από την αδρανειακή φυσική κατάσταση, που είναι η ευύγραμμη ομαλή κίνηση, προκαλεί την εμφάνιση των παράδοξων αυτών δυνάμεων που καλούνται αδρανειακές δυνάμεις. Δεν πρόκειται για πραγματικές δυνάμεις αφού δεν προέρχονται από την αλληλεπίδραση σωμάτων και αυτός είναι ο λόγος που ο αδρανειακός παρατηρητής αδυνατεί να ερμηνεύσει την προέλευσή τους. Εντούτοις, αντιλαμβάνεται τις συνέπειές τους και υφίσταται τις επιπτώσεις τους όταν το σύστημά του εγκαταλείει την ευύγραμμη ομαλή πορεία οπότε παύει να ανήκει στην κλάση των αδρανειακών συστημάτων αναφοράς» ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ Οι δύο πρώτοι νόµοι του Νεύτωνα ισχύουν µόνο όταν τα ϕαινόµενα παρατηρούνται µέσα σε µη επιταχυνόµενα συστήµατα αναφοράς. Τότε ένα σώµα µένει ακίνητο εάν δεν ασκείται καµία δύναµη. Ο εµελιώδης νόµος της κλασικής µηχανικής είναι F=m.α ή F=m.du/dt ή F=d 2 r/dt 2 Ως προς ποιο σύστηµα αναφοράς µετράµε τα µεγέη a,u, r ;

20 1. Εάν το σύστηµα αναφοράς είναι µη επιταχυνόµενο, τότε αυτή είναι η σχέση ορισµού της δύναµης F (πραγµατικές δυνάµεις δηλ δυνάμεις αλληλεπίδρασης σωμάτων βαρυτικέςηλεκτρικές) 2. Αντίστροφα, εάν γνωρίζουµε την πραγµατική (αληινή) δύναµη F( πραγματικές δυνάμεις είναι οι βαρυτικές ηλεκτρικές δυνάμεις και δεν α ασχολήούμε εδώ με ασενείς και ισχυρές πυρηνικές) και σε κάποιο σύστηµα αναφοράς ισχύει µε ακρίβεια ότι F = ma, τότε αυτό είναι ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς Οι δυνάµεις (ϐαρυτικές, ηλεκτρικές) που έχουµε επικαλεστεί για να εξηγήσουµε την κίνηση των άστρων και των ηλεκτρονίων µείωνονται συνεχώς (και ανάλογα µε το τετράγωνο της απόστασης) όσο το σώµα αποµακρύνεται από τα γειτονικά του σώµατα. Εάν διαλέξουµε ένα µη αδρανειακό σύστηµα αναφοράς, ϕαίνονται να αναπτύσσονται δυνάµεις που δεν έχουν αυτην την ιδιότητα. Εµφανίζονται λοιπόν υποετικές δυνάµεις που υπάρχουν µόνο και µόνο επειδή το σύστηµα αναφοράς είναι επιταχυνόµενο. ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ ΑΠΟ ΣΧΕΤΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ : ΜΕΤΑΦΕΡΟΜΕΝΟΙ ΑΞΟΝΕΣ ΑΝΑΦΟΡΑΣ X χ A r A r A/B r B B Y O Θεωρούμε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς ΧY με αρχή το σημείο Ο και την καμπυλόγραμμη κίνηση ενός υλικού σημείου Α σε σχέση με αυτό το σύστημα που έχει αρχή το σημείο Ο.Το Β είναι και αυτό ένα υλικό σημείο στο σύστημα αναφοράς ΧΨ το οποίο και αυτό κινείται (γενικά) καμπυλόγραμμα ( ως προς το αδρανειακό σύστημα ΧΨ. Θα παρατηρήσουμε την κίνηση του Α από ένα μεταφερόμενο ως προς το XΨ σύστημα αναφοράς συνδεδεμένο με το Β(γκρί πλαίσιο του σχήματος).το πλαίσιο αναφοράς αυτό α το ονομάσουμε χ. Το απόλυτο διάνυσμα έσης του σημείου Α (δηλ σε σχέση με το ΧΥ που εωρείται αδρανειακό) τότε μπορεί να γραφεί σαν A = A (1) Όπου είναι το απόλυτο διάνυσμα έσης του σημείου Β(δηλ σε σχέση με το αδρανειακό σύστημα ΧΥ ) και A το διάνυσμα έσης του Α σε σχέση με το Β

21 To διάνυσμα έσης μπορεί να γραφεί σαν A/B =χ + όπου και τα μοναδιαία διανύσματα στο πλαίσιο αναφοράς χ Παραγωγίζοντας την παραπάνω σχέση και πέρνωντας υπόιν ότι τα μοναδιαία διανύσματα δεν αλλάζουν διεύυνση με τον χρόνο (στην επόμενη παράγραφο α φανεί ότι αυτά τα διανύσματα μπορεί να έχουν και χρονική παράγωγο) έχουμε ή (Ο συμβολισμός αυτός α μας χρειαστεί αργότερα) Όπου A και B οι απόλυτες ταχύτητες (δηλ οι ταχύτητες ώς προς το αδρανειακό σύστημα ΧΥ) και = η ταχύτητα του Α όπως μετράται από τον Β. Όπου = και πέρνωντας ξανά υπόιν ότι μοναδιαία διανύσματα δεν αλλάζουν διεύυνση με τον χρόνο παραγωγίζουμε ξανά την παραπάνω σχέση και έχουμε Όπου Οι όροι της απόλυτης ταχύτητας και της απόλυτης επιτάχυνσης μπορεί να έχουν εκφραστεί σε οποιοδήποτε σύστημα συντεταγμένων από αυτά που έχουμε μάει. Οι όροι της σχετικής ταχύτητας και της σχετικής επιτάχυνσης αφού βρεούν μπορούν στην συνέχεια να εκφραστούν στο κινούμενο πλαίσιο αναφοράς, σε οποιοδήποτε σύστημα συντεταγμένων από αυτά που έχουμε μάει. Εάν η απόλυτη ταχύτητα Β είναι σταερή τότε δηλ η σχετική επιτάχυνση του Α ως πρός το Β και η απόλυτη επιτάχυνση του Α είναι ίδιες. Άρα και οι δυνάμεις που α μετράνε οι παρατηρητές στα δύο πλαίσια α είναι οι πραγματικές. Γιατί τότε Όμως (πραγματικές δυνάμεις αφού είναι η επιτάχυνση του υλικού σημείου στο αδρανειακό σύστημα αναφοράς) άρα και (πραγματικές δυνάμεις)

22 Εάν η απόλυτη ταχύτητα Β δεν είναι σταερή (δηλ το πλαίσιο χ πάει να είναι αδρανειακό σύστημα αναφοράς) τότε.α A = -.α πραγματικές δυνάμεις λόγω αλληλεπίδρασης σωμάτων ) (όπου F οι Εξηγώντας την παραπάνω τελευταία σχέση μπορούμε να πούμε το εξής. Αν ο μη αδρανειακός παρατηρητής έλει να ακολουήσει τον 2 Νόμο του Newton στο δικό του μη αδρανειακό πλαίσιο και γράει το γινόμενο.α A σαν δύναμη, α πρέπει εκτός από τις πραγματικές δυνάμεις ( δηλ δυνάμεις μεταξύ αλληλεπίδρασης σωμάτων) που ασκούνται στο υλικό σημείο να εωρήσει και μία επιπλέον δύναμη -.α που δεν οφείλεται σε πραγματικές δυνάμεις αλλά στην επιτάχυνση του δικού του συστήματος αναφοράς σε σχέση με το αδρανειακό ΧΨ Άρα α ισχύει.α

23 ΣΧΕΤΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ : ΜΕΤΑΦΕΡΟΜΕΝΟΙ και ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΟΜΕΝΟΙ ΑΞΟΝΕΣ ΑΝΑΦΟΡΑΣ X χ A r A r A/B r B B Y O Θα παρατηρήσουμε τώρα την κίνηση του Α από ένα μεταφερόμενο και περιστρεφόμενο ως προς το αδρανειακό XΨ, σύστημα αναφοράς συνδεδεμένο με το Β(γκρί πλαίσιο του σχήματος).η περιστροφή γίνεται με γωνιακή ταχύτητα ω= (που γενικά δεν είναι σταερή).η γωνιακή ταχύτητα μπορεί να γραφεί σαν διάνυσμα ω=ω. όπου το είναι το μοναδιαίο διάνυσμα κάετο στο επίπεδο της καμπυλόγραμμης κίνησης με φορά προς τα «έξω». Το διάνυσμα έσης του Α μπορεί τότε να γραφεί σαν Παραγωγίζουμε τώρα αυτήν την σχέση μόνο που σε αυτή την περίπτωση τα μοναδιαία διανύσματα έχουν παράγωγο γιατί αλλάζει η διεύυνσή τους και πρέπει να την βρούμε. (1) Οι απειροστές μεταβολές των διανυσμάτων και σχήμα φαίνονται στο παρακάτω

24 Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται μια απειροστή στροφή του συστήματος των συντεταγμένων χ κατά d και ο τρόπος που αλλάζουν τα μοναδιαία διανύσματα, χ ω χ d d Το d έχει την κατεύυνση του d =d. Το d έχει την κατεύυνση του - d =-d. (δες σχήμα) και μέτρο Ι I.d=d αφού Ι I=1 άρα (δες σχήμα) και μέτρο Ι I.d=d αφού Ι I=1 άρα Eίναι τότε και όμοια Θα χρησιμοποιήσουμε τώρα το εξωτερικό γινόμενο για να γράουμε τα παραπάνω αποτελέσματα. Είναι και (Θυμηείτε τον κανόνα του δεξιού χεριού και δείτε και το παρακάτω σχήμα) Aρα και ΣΧΗΜΑ 3D z χ

25 H (1) τότε μπορεί να γραφεί ως εξής αναδιατάσσωντας τους όρους στην πρώτη παρένεση έχουμε όμως άρα Όπου Θα εξηγήσουμε κάε όρο της παραπάνω σχέσης και α δέιξουμε την διαφορά που έχει αυτή η σχέση με την προηγούμενη στους μεταφερόμενους άξονες. Χ χ A r A r A/B r B B Y O Εφαπτόμενη στην τροχιά που παρατηρείτε στο πλαίσιο χ Θεωρείστε έναν παρατηρητή ( πχ τον ευατό σας ) στο πλαίσιο αναφοράς χ o οποίος βρίσκεται στο σημείο Β, είναι συνδεδεμένος με αυτό το πλαίσιο και στρέφεται μαζί με αυτό με την ίδια γωνιακή ταχύτητα και παρατηρεί την κίνηση του υλικόυ σημείου Α. Αυτός ο παρατηρητής δεν α καταλάβαινε τότε ότι στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα. Έστω ότι η τροχιά που α έβλεπε αυτός για το υλικό σημείο Α είναι αυτή που φαίνεται με σκούρα έντονη γραμμή πάνω στο γκρί πλαίσιο χ. Η σχετική ταχύτητα τότε έιναι εφαπτόμενη σε αυτή την τροχιά όπως στο παραπάνω σχήμα και δείχνεται με μπλέ διάνυσμα.

26 Θεωρείστε τώρα έναν παρατηρητή ( πχ πάλι τον ευατό σας ) στο πλαίσιο αναφοράς χ o οποίος βρίσκεται στο σημείο Β είναι συνδεδεμένος με αυτό το πλαίσιο αλλά δεν στρέφεται με αυτό και παρατηρεί το υλικό σημείο Α το οποίο ακολουεί την περιστροφή του πλαισίου χωρίς όμως να κινείται σε σχέση με αυτό(δείτε τώρα ότι η σκούρα έντονη γραμμή πάνω στο γκρί πλαίσιο δεν έχει σχηματιστεί). Αυτός ο παρατηρητής α καταλάβαινε τότε ότι το σημείο Α την συγκεκριμένη χρονική στιγμή που το παρατηρεί στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω. Η ταχύτητα είναι κάετη στο διάνυσμα X Κάετη στο διάνυσμα χ A Κάετη στο διάνυσμα r A r A/B ω O r B B Y Οι δύο ταχύτητες φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Κάετη στο διάνυσμα X χ A Εφαπτόμενη στην τροχιά που παρατηρείτε στο πλαίσιο χ Κάετη στο διάνυσμα r A r A/B ω r B B Y O

27 Από την σχέση η ταχύτητα που παρατηρεί ο Β για την κίνηση του Α είναι Αρα η διαφορά μεταξύ( μεταφερόμενων) και( μεταφερόμενων αλλά και περιστρεφόμενων αξόνων) όσον αφορά την ταχύτητα είναι ό όρος Παραγωγίζουμε τώρα την εξίσωση της απόλυτης ταχύτητας και έχουμε Θα εξηγήσουμε κάε όρο ξεχωριστά Α) O όρος είναι η απόλυτη επιτάχυνση του Β Β) Ο όρος έχει την ίδια φορά με την ταχύτητα (εωρούμε ότι η γωνιακή ταχύτητα αυξάνεται ) και φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. X χ A r A r A/B ω r B B Y O Γ) Ο όρος ανάλυεται ώς εξής Eίναι = = u σχετικό

28 Aρα Γ i)o όρος είναι κάετος στην ταχύτητα (Δές επόμενο σχήμα) Γ ii )O όρος είναι κάετος στην ταχύτητα (Δές επόμενο σχήμα) X χ A ω r A r A/B r B B Y O Δ) O όρος αποτελείται τελικά από δύο όρους α σχετικό = = η επιτάχυνση δεν είναι γενικά όυτε εφαπτόμενη όυτε κάετη στην τροχιά όπως φαίνεται στο επόμενο σχήμα.

29 X χ A ω r A r A/B O r B B Y Συνήως η επιτάχυνση αναλύεται σε εφαπτομενική και κάετη στην τροχιά συνιστώσες και όπως στο σχήμα παρακάτω X χ A ω r A r A/B O r B B Y

30 Αρα η γενική σχέση που δίνει την απόλυτη επιτάχυνση είναι η επόμενη Α = Β A/B + ( A/B)+ 2 + σχετικη Ο όρος 2 λέγεται επιτάχυνση Coriollis δηλ αcoriollis=2 και είναι πάντοτε κάετος στην σχετική ταχύτητα Στο επόμενο σχήμα φαίνονται όλες οι επιταχύνσεις και όλες οι ταχύτητες ΕΚΤΟΣ από την Β και την B. X Tροχιά που βλέπει ο παρατηρητής στο περιστρεφόμενο σύστημα -χ χ σχ. σχ(εφαπτομενη) A A/B Περιστρεφόμενο σύστημα ( A/B) A/B ra/b σχ(κάετη) B ra coriollis=2 rb Αδρανειακό σύστημα Ψ

31 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ Δυναμική Meriam J.L (Ένα φοβερό βιβλίο το οποίο συνιστώ ανεπιφύλακτα)

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1. ΚΕ Φ ΑΛ ΑΙ Ο 2 : Περ ιγ ραφ ή της κ ίν ησ ης

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1. ΚΕ Φ ΑΛ ΑΙ Ο 2 : Περ ιγ ραφ ή της κ ίν ησ ης 1 Σκοπός ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΚΕ Φ ΑΛ ΑΙ Ο 2 : Περ ιγ ραφ ή της κ ίν ησ ης Να αποκτήσουν οι μαθητές τη δυνατότητα να απαντούν σε ερωτήματα που εμφανίζονται στην καθημερινή μας ζωή και έχουν σχέση με την

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ENOTHTA. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο. Πώς προσδιορίζουμε τη θέση των αντικειμένων; A O M B ' y P Ì(,y) Ð Για τον προσδιορισμό της θέσης πάνω σε μία ευθεία πρέπει να έχουμε ένα σημείο της

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας με τη διάταξη της αεροτροχιάς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μελέτη της ευθύγραμμης

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς.

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. Μ2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. 1 Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αποσκοπεί στη μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας σε ένα τόπο. Αυτή η μέτρηση επιτυγχάνεται

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

1 ΦΕΠ 012 Φυσική και Εφαρμογές

1 ΦΕΠ 012 Φυσική και Εφαρμογές 1 ΦΕΠ 012 Φυσική και Εφαρμογές Διάλεξη 10 η Ομαλή κυκλική κίνηση Δθ = ω = σταθερό Δt X = Rσυν (ωt) => X 2 +Υ 2 = R 2 Υ = Rημ(ωt) Οι προβολές της κίνησης στους άξονες των x και y είναι αρμονικές ταλαντώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΕΦΟΜΕΝΟΙ ΙΣΚΟΙ & ΠΕΡΙ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ

ΣΤΡΕΦΟΜΕΝΟΙ ΙΣΚΟΙ & ΠΕΡΙ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ ΣΤΡΕΦΜΕΝΙ ΙΣΚΙ & ΠΕΡΙ ΣΤΡΦΡΜΗΣ Ένας οµογενής και συµπαγής δίσκος µάζας m και ακτίνας =,2m στρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του µε γωνιακή ταχύτητα µέτρου ω =1 ra/sec.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΘΕΣΗ ΤΡΟΧΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΗΜΑ. Παρατηρώντας τις εικόνες προσπαθήστε να ορίσετε τις θέσεις των διαφόρων ηρώων των κινουμένων σχεδίων. Ερώτηση: Πότε ένα σώμα

Διαβάστε περισσότερα

4 η Εργασία F 2. 90 o 60 o F 1. 2) ύο δυνάµεις F1

4 η Εργασία F 2. 90 o 60 o F 1. 2) ύο δυνάµεις F1 4 η Εργασία 1) ύο δυνάµεις F 1 και F 2 ασκούνται σε σώµα µάζας 5kg. Εάν F 1 =20N και F 2 =15N βρείτε την επιτάχυνση του σώµατος στα σχήµατα (α) και (β). [ 2 µονάδες] F 2 F 2 90 o 60 o (α) F 1 (β) F 1 2)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ. Φυσική Γενικής Παιδείας Α Λυκείου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ. Φυσική Γενικής Παιδείας Α Λυκείου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ Φυσική Γενικής Παιδείας Α Λυκείου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Σ (Το τυπολόγιο αυτό δεν αντικαθιστά το βιβλίο. Συγκεντρώνει απλώς τις ουσιώδεις σχέσεις του βιβλίου και σχολιάζει κάποια σημεία τους).

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1η εξεταστική περίοδος από 4/10/15 έως 08/11/15 γραπτή εξέταση στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Α Λυκείου Τμήμα: Βαθμός: Ονοματεπώνυμο: Καθηγητές: Θ Ε Μ Α Α Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να επιλέξετε τη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1. Να αναφέρετε ποια από τα σώματα που φαίνονται στην εικόνα κινούνται. Α. Ως προς τη Γη B. Ως προς το αυτοκίνητο. Α. Ως προς τη Γη κινούνται το αυτοκίνητο, το αεροπλάνο και ο γλάρος.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ / Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/10/2014 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Άρχων Μάρκος, Γεράσης Δημήτρης, Τζαγκαράκης Γιάννης

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ / Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/10/2014 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Άρχων Μάρκος, Γεράσης Δημήτρης, Τζαγκαράκης Γιάννης ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 214-2 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ / Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/1/214 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Άρχων Μάρκος, Γεράσης Δημήτρης, Τζαγκαράκης Γιάννης ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 18/11/2011 ΚΕΦ. 10

ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 18/11/2011 ΚΕΦ. 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 1 ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Μέτρο εξωτερικού γινομένου 2 C A B C ABsin διανυσμάτων A και B Ιδιότητες εξωτερικού γινομένου A B B A εν είναι αντιμεταθετικό.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα.

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1 Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. Α2. Για τον προσδιορισμό μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα απαιτείται να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1. Oρισμοί Διάνυσμα ονομάζεται η μαθηματική οντότητα που έχει διεύθυνση φορά και μέτρο.

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρική Οπτική ΚΕΦΑΛΑΙΟ 34

Γεωμετρική Οπτική ΚΕΦΑΛΑΙΟ 34 Γεωμετρική Οπτική ΚΕΦΑΛΑΙΟ 34 Γεωμετρική Οπτική Γνωρίζουμε τα βασικά Δηλαδή, πως το φως διαδίδεται και αλληλεπιδρά με σώματα διαστάσεων πολύ μεγαλύτερων από το μήκος κύματος. Ανάκλαση: Προσπίπτουσα ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ Φυσική Β Γυμνασίου Εισαγωγή Τα πάντα γύρω μας κινούνται. Στο διάστημα όλα τα ουράνια σώματα κινούνται. Στο μικρόκοσμο συμβαίνουν κινήσεις που δεν μπορούμε να τις αντιληφθούμε άμεσα.

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Νίκος Ν. Αρπατζάνης Πεδίο Πολλές φορές είναι χρήσιμα κάποια φυσικά μεγέθη που έχουν διαφορετική τιμή, σε διαφορετικά σημεία του χώρου (π.χ. μετεωρολογικά δεδομένα,όπως θερμοκρασία, πίεση,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 131 - Διαλ.12 1. Μη αδρανειακά συστήµατα Φαινοµενικό βάρος

ΦΥΣ 131 - Διαλ.12 1. Μη αδρανειακά συστήµατα Φαινοµενικό βάρος ΦΥΣ 3 - Διαλ.2 Μη αδρανειακά συστήµατα Φαινοµενικό βάρος ΦΥΣ 3 - Διαλ.2 2 Μη αδρανειακά συστήµατα x Έστω ότι το S αποκτά επιτάχυνση α 0 S z 0 Α x z S y, y Ο παρατηρητής S µετρά µια επιτάχυνση: A = A +

Διαβάστε περισσότερα

Για τις παρακάτω 3 ερωτήσεις, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Για τις παρακάτω 3 ερωτήσεις, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο ΦΥΣΙΚΗ Για τις παρακάτω 3 ερωτήσεις, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Σε ένα σώµα

Διαβάστε περισσότερα

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 1 Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Α. Κάνε κατάλληλο σχήμα,τοποθέτησε τα δεδομένα στο σχήμα και ονόμασε

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτημα Ι. 1 Το ισόχρονο της ταλάντωσης επί κυκλοειδούς

Παράρτημα Ι. 1 Το ισόχρονο της ταλάντωσης επί κυκλοειδούς Παράρτημα Ι 1 Το ισόχρονο της ταλάντωσης επί κυκλοειδούς Ας θεωρήσουμε μια κυκλική στεφάνη ακτίνας a η οποία κυλίεται, χωρίς να ολισθαίνει, πάνω σε μια ευθεία (για ευκολία υποθέστε ότι η ευθεία είναι ο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014 minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/014 minimath.eu Περιεχόμενα Κινηση 3 Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση 4 Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση 5 Δυναμικη 7 Οι νόμοι του Νεύτωνα 7 Τριβή 8 Ομαλη κυκλικη

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΜΑΘΗΜΑ 1: Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Τίποτε δεν θεωρώ μεγαλύτερο αίνιγμα από το χρόνο και το χώρο Εντούτοις, τίποτε δεν με απασχολεί λιγότερο από αυτά επειδή ποτέ δεν τα σκέφτομαι Charles

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/011 ΚΕΦ. 9 1 ΓΩΝΙΑΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΟΡΙΣΜΟΙ Περιστροφική κινηματική: περιγράφει την περιστροφική κίνηση. Στερεό Σώμα: Ιδανικό μοντέλο σώματος που έχει τελείως ορισμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες Νίκος Ν. Αρπατζάνης Παράγωγος ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ y y = f(x) x φ y y y = f(x) x φ y y y = f(x) φ x 1 x 1 + х x x 1 x 1 + х x x 1 x tanϕ = y x tanϕ = dy dx

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κεφάλαιο M6 Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κυκλική κίνηση Αναπτύξαµε δύο µοντέλα ανάλυσης στα οποία χρησιµοποιούνται οι νόµοι της κίνησης του Νεύτωνα. Εφαρµόσαµε τα µοντέλα αυτά

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Φυσική Β Γυμνασίου. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Φυσική Β Γυμνασίου Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 2 Εισαγωγή 1.1 Οι φυσικές επιστήμες και η μεθοδολογία τους Φαινόμενα: Μεταβολές όπως το λιώσιμο του πάγου, η

Διαβάστε περισσότερα

Η Φυσική στην Α Λυκείου. Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ 9.

Η Φυσική στην Α Λυκείου. Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ 9. Η Φυσική στην Α Λυκείου. Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ 9. users.sch.gr/ /yphysicsalyceum9.htm 1/14 Η ομαλή κυκλική κίνηση είναι ΚΙΝΗΣΗ υλικού σημείου, είναι δηλαδή ένα ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ κατά το οποίο η θέση ενός υλικού σημείου

Διαβάστε περισσότερα

Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας. Γιώργος Νικολιδάκης

Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας. Γιώργος Νικολιδάκης Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας Γιώργος Νικολιδάκης 9/18/2013 1 Κωνικές Τομές Είναι καμπύλες που σχηματίζονται καθώς επίπεδα τέμνουν με διάφορες γωνίες επιφάνειες κώνων. Παραβολή Έλλειψη -κύκλος Υπερβολή

Διαβάστε περισσότερα

"ΦΥΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ" ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

ΦΥΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ "ΦΥΣΙΚΕΣ ΜΕΘΔΙ" ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚΩΝ ΠΡΛΗΜΤΩΝ Ελατήρια σταερής τάσης (Constnt tension springs) Ένα ελατήριο του οοίου η τάση είναι ανεξάρτητη αό την ειμήκυνση ή τη συσείρωσή του ονομάζεται ελατήριο σταερής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ στη Φυσική

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ στη Φυσική Α ΤΑΞΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ στη Φυσική ΜΕΡΟΣ 1 : Ευθύγραμμες Κινήσεις 1. Να επαναληφθεί το τυπολόγιο όλων των κινήσεων - σελίδα 2 (ευθύγραμμων και ομαλών, ομαλά μεταβαλλόμενων) 2. Να επαναληφθούν όλες οι

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό δυναμικό Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρικό δυναμικό Θα συνδέσουμε τον ηλεκτρομαγνητισμό με την ενέργεια. Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μπορούμε να λύνουμε διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας. με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας. με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς Εργαστηριακή Άσκηση 5 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας, g. Πειραματική διάταξη: Χρήση απλού εκκρεμούς.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΥΚΛΙΚΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΥΚΛΙΚΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΥΚΛΙΚΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ 1) Δυο τροχοί με ακτίνες ο πρώτος 100cm και ο δεύτερος 60cm περιστρέφονται ομαλά συνδεδεμένοι μεταξύ τους με ιμάντα. Αν η συχνότητα του πρώτου τροχού είναι 10Hz να βρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε μια διάσταση

Κίνηση σε μια διάσταση Κίνηση σε μια διάσταση Θεωρούμε κίνηση κατά μήκος μιας ευθύγραμμης διαδρομής. Η απόσταση x του κινούμενου σώματος από ένα σημείο του άξονα της κίνησης που παραμένει ακίνητο χρησιμοποιείται ως συντεταγμένη.

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Απλές προτάσεις Για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής των εννοιών Δογραματζάκης Γιάννης 9/5/2013 Απλές προτάσεις για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ μονόμετρα. διανυσματικά Η μάζα ενός σώματος αποτελεί το μέτρο της αδράνειάς του, πυκνότητα ενός υλικού d = m/v

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ μονόμετρα. διανυσματικά Η μάζα ενός σώματος αποτελεί το μέτρο της αδράνειάς του, πυκνότητα ενός υλικού d = m/v ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Υπάρχουν φυσικά μεγέθη που ορίζονται πλήρως, όταν δοθεί η αριθμητική τιμή τους και λέγονται μονόμετρα.. Μονόμετρα μεγέθη είναι ο χρόνος, η μάζα, η θερμοκρασία, η πυκνότητα, η ενέργεια,

Διαβάστε περισσότερα

Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του;

Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του; Άσκηση Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του; Απάντηση Έστω R n η ακτίνα του κύκλου. Αφού η κίνηση είναι

Διαβάστε περισσότερα

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση.

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. 12ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. Το όργανο μέτρησης του βάρους ενός σώματος είναι : α) το βαρόμετρο, β) η ζυγαριά, γ) το δυναμόμετρο, δ) ο αδρανειακός ζυγός.

Διαβάστε περισσότερα

Σ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1

Σ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1 Στη συνέχεια θεωρούµε ένα τυχαίο διάνυσµα Σ 1 γράφεται ως, το οποίο στο σύστηµα Το ίδιο διάνυσµα µπορεί να γραφεί στο Σ 1 ως ένας άλλος συνδυασµός τριών γραµµικώς ανεξαρτήτων διανυσµάτων (τα οποία αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής.

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. Ο πύραυλος καίει τα καύσιμα που αρχικά βρίσκονται μέσα του και εκτοξεύει τα καυσαέρια προς τα πίσω. Τα καυσαέρια δέχονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ. 1 η κατηγορια ερωτησεων 1. Η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο για ένα σημειακό αντικείμενο που εκτελεί Α.Α.Τ.φαινεται στο σχήμα : Με ποια

Διαβάστε περισσότερα

Κέντρο Μάζας - Παράδειγμα

Κέντρο Μάζας - Παράδειγμα Κέντρο Μάζας - Παράδειγμα ΦΥΣ 131 - Διαλ.1 1 Ο Ρωμαίο (m R =77kg) διασκεδάζει την Ιουλιέτα (m I =55kg) παίζοντας την κιθάρα του καθισμένος στην πρύμνη της βάρκας τους (μήκους.7 m) που είναι ακίνητη στα

Διαβάστε περισσότερα

Μ Η Χ Α Ν Ι Κ Η Σ Τ Ε Ρ Ε Ο Υ

Μ Η Χ Α Ν Ι Κ Η Σ Τ Ε Ρ Ε Ο Υ Στερεό σώμα - 07-4 Μ Η Χ Α Ν Ι Κ Η Σ Τ Ε Ρ Ε Ο Υ 4.1. Εισαγωγικές έννοιες. ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΣΗΜΕΙΑΚΟΥ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΥ Θεωρούμε ένα σημειακό αντικείμενο το οποίο κινείται σε κυκλική τροχιά κέντρου Ο και ακτίνας

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 5 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο A. Να δώσετε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της. ( Μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Θέση, μετατόπιση και διάστημα Όταν ένα σημειακό αντικείμενο κινείται ευθύγραμμα, για να μελετήσουμε την κίνησή του θεωρούμε σαν σύστημα αναφοράς έναν άξονα χ χ. Στην αρχή του

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΒΑΡΕΛΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΜΑ 1 Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στη κολλά σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που

Διαβάστε περισσότερα

A Λυκείου 9 Μαρτίου 2013

A Λυκείου 9 Μαρτίου 2013 Θεωρητικό Μέρος A Λυκείου 9 Μαρτίου 2013 Θέμα 1 ο Στις ερωτήσεις A1, A2, A3, A4 και Β μία μόνο απάντηση είναι σωστή. Γράψτε στο τετράδιό σας το κεφαλαίο γράμμα της ερώτησης και το μικρό γράμμα της σωστής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ. Σοφία Α. Ξεργιά PT, MSc, PhD

ΕΜΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ. Σοφία Α. Ξεργιά PT, MSc, PhD ΕΜΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ Σοφία Α. Ξεργιά PT, MSc, PhD Ανάλυση της Ανθρώπινης Κίνησης Εμβιομηχανική Κινησιολογία Κινηματική Κινητική Λειτουργική Ανατομική Γραμμική Γωνιακή Γραμμική Γωνιακή Θέση Ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

Επανάληψη Μιγαδικών Αριθμών

Επανάληψη Μιγαδικών Αριθμών Σήματα και Συστήματα ΗΜΥ0 //006 Επανάληψη Μιγαδικών Αριμών Δημήτρης Ηλιάδης, eldemet@ucy.ac.cy Που χρησιμεύει: Από τη εωρία των Σειρών Fourier, γνωρίζουμε πως οποιοδήποτε περιοδικό σήμα ανεξαρτήτως πολυπλοκότητας,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 8 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Κυριακή, 3 Απριλίου, 04 Ώρα: 0:00 3:00 Προτεινόμενες Λύσεις: Θέμα ο (μον.5): α) 0 5s: Ε.Ο.Κ., 5s 0s: Ε.Ο. Επιταχυνόμενη Κ., 0s 5s: Ε.Ο. Επιβραδυνόμενη Κ., 5s 0s:

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στη Κυκλική Κίνηση

Ασκήσεις στη Κυκλική Κίνηση 1 Ασκήσεις στη Κυκλική Κίνηση 1.Δυο τροχοί ακτινών R 1=40cm και R 2=10cm συνδέονται με ιμάντα και περιστρέφονται ο πρώτος με συχνότητα f 1=4Hz, ο δε δεύτερος με συχνότητα f 2. Να βρεθεί ο αριθμός των στροφών

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Τάξης ΓΕΛ 4 ο ΓΕΛ ΚΟΖΑΝΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΤΕΦΑΝΟΥ Μ. ΦΥΣΙΚΟΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Τάξης ΓΕΛ 4 ο ΓΕΛ ΚΟΖΑΝΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΤΕΦΑΝΟΥ Μ. ΦΥΣΙΚΟΣ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Τάξης ΓΕΛ 4 ο ΓΕΛ ΚΟΖΑΝΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΤΕΦΑΝΟΥ Μ. ΦΥΣΙΚΟΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ - ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Δυναμική ενέργεια δυο φορτίων Δυναμική ενέργεια τριών ή περισσοτέρων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

Αντιμετώπιση προβλημάτων που αλλάζουν την στροφική τους κατάσταση, εξαιτίας εξωτερικών ροπών

Αντιμετώπιση προβλημάτων που αλλάζουν την στροφική τους κατάσταση, εξαιτίας εξωτερικών ροπών Αντιμετώπιση προβλημάτων που αλλάζουν την τους κατάσταση, εξαιτίας εξωτερικών ροπών Σ' ένα πρόβλημα, παρατηρώ αλλαγή στη κατάσταση ενός στερεού (ή συστήματος στερεών), καθώς αυτό δέχεται εξωτερικές ροπές.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ Η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα προκαλεί μεταβολή της ταχύτητάς του δηλαδή επιτάχυνση.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ Η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα προκαλεί μεταβολή της ταχύτητάς του δηλαδή επιτάχυνση. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ Η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα προκαλεί μεταβολή της ταχύτητάς του δηλαδή επιτάχυνση. Η δύναμη είναι ένα διανυσματικό μέγεθος. Όταν κατά την κίνηση ενός σώματος η δύναμη είναι μηδενική

Διαβάστε περισσότερα

12ο ΓΕΛ ΠΕΙΡΑΙΑ Οµάδα Α. Στις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση:

12ο ΓΕΛ ΠΕΙΡΑΙΑ Οµάδα Α. Στις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση: 12ο ΓΕΛ ΠΕΙΡΑΙΑ Οµάδα Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α ΤΕΤΡ/ΝΟΥ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ονοµατεπώνυµο: Τµήµα: Ηµεροµηνία: 17/12/2010 Ζήτηµα 1ο Στις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση: 1) Μια

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ Σχολική Χρονιά 2013-2014 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014. Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ Τάξη: A Ενιαίου Λυκείου Βαθμός:...

ΛΥΚΕΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ Σχολική Χρονιά 2013-2014 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014. Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ Τάξη: A Ενιαίου Λυκείου Βαθμός:... 1 ΛΥΚΕΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ Σχολική Χρονιά 2013-2014 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ Τάξη: A Ενιαίου Λυκείου Βαθμός:... Ημερομηνία: 3/06/2014 Διάρκεια: 2 ώρες Ονοματεπώνυμο:...

Διαβάστε περισσότερα

Πόλωση ηλεκτρικού πεδίου

Πόλωση ηλεκτρικού πεδίου ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 15 2. Άσκηση 2 Πόλωση ηλεκτρικού πεδίου 2.1 Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την πόλωση των µικροκυµάτων και την

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΡΥΤΗΤΑ. Το μέτρο της βαρυτικής αυτής δύναμης είναι: F G όπου M,

ΒΑΡΥΤΗΤΑ. Το μέτρο της βαρυτικής αυτής δύναμης είναι: F G όπου M, ΒΑΡΥΤΗΤΑ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΑΓΚΟΣΜΙΑΣ ΕΛΞΗΣ Ο Νεύτωνας ανακάλυψε τον νόμο της βαρύτητας μελετώντας τις κινήσεις των πλανητών γύρω από τον Ήλιο και τον δημοσίευσε το 1686. Από την ανάλυση των δεδομένων αυτών ο

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.4 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Μια ευθύγραμμη κίνηση στην οποία το διάνυσμα της ταχύτητας δεν μένει σταθερό, δηλαδή έχουμε μεταβολή της ταχύτητας, την ονομάζουμε ευθύγραμμη μεταβαλλόμενη κίνηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. Η δυναμική ενέργεια ανήκει στο σύστημα των δύο φορτίων και δίνεται από τη σχέση:

ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. Η δυναμική ενέργεια ανήκει στο σύστημα των δύο φορτίων και δίνεται από τη σχέση: ΑΠΑΝΤΗΣΕΕΙΙΣ ΣΤΟ ΙΙΑΓΓΩΝΙΙΣΜΑ ΦΦΥΥΣΙΙΚΚΗΣ ΚΚΑΤΕΕΥΥΘΥΥΝΣΗΣ ΒΒ ΛΥΥΚΚΕΕΙΙΟΥΥ 1133 33 001111 ΘΕΜΑ 1 ο 1. β. γ 3. α 4. β 5. α ΘΕΜΑ ο 1. α. Σωστό Η δυναμική ενέργεια του συστήματος των δύο φορτίων δίνεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 :

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 : ΦΥΕ 14 5 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-5-8 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Συµπαγής κύλινδρος µάζας Μ συνδεδεµένος σε ελατήριο σταθεράς k = 3. N / και αµελητέας µάζας, κυλίεται, χωρίς να

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο.

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. 3.01. Έργο κατά την μετακίνηση φορτίου. Στις κορυφές Β και Γ ενόςισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ πλευράς α= 2cm, βρίσκονται ακλόνητα δύο σηµειακά ηλεκτρικά φορτία q 1 =2µC και q 2 αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική του στερεού σώματος

Μηχανική του στερεού σώματος Κεφάλαιο 1 Μηχανική του στερεού σώματος 1.1 Εισαγωγή 1. Το θεώρημα του Chales Η γενική κίνηση του στερεού σώματος μπορεί να μελετηθεί με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος το οποίο δίνουμε χωρίς απόδειξη

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 6 Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Υπάρχουν διαφόρων ειδών ολοκληρώµατα διανυσµάτων, ανάλογα µε τη µορφή που έχει η ολοκληρωτέα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014 Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 14 Άσκηση: Ηλεκτρικό πεδίο διακριτών φορτίων Δύο ίσα θετικά φορτία q βρίσκονται σε απόσταση α μεταξύ τους. Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΠΥΡΙΔΩΝΑ ΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕ ΕΞΕΤΑΕΙ ΦΥΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 31-05-2012 ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 07.45 10.15 Οδηγίες 1. Το εξεταστικό δοκίμιο αποτελείται από 9 σελίδες.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΦΥΣΙΚΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Νόμος του Coulomb Έστω δύο ακίνητα σημειακά φορτία, τα οποία βρίσκονται σε απόσταση μεταξύ τους. Τα φορτία αυτά αλληλεπιδρούν μέσω δύναμης F, της οποίας

Διαβάστε περισσότερα

w w w.k z a c h a r i a d i s.g r

w w w.k z a c h a r i a d i s.g r ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 Γραµµική ταχύτητα : ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ds. Γωνιακή ταχύτητα : dθ ω ωr Οµαλή κκλική κίνηση : σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

Δ3. Ο χρόνος από τη στιγμή που η απόστασή τους ήταν d μέχρι τη στιγμή που ακουμπά η μία την άλλη. Μονάδες 6

Δ3. Ο χρόνος από τη στιγμή που η απόστασή τους ήταν d μέχρι τη στιγμή που ακουμπά η μία την άλλη. Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Δ 1. Δύο αμαξοστοιχίες κινούνται κατά την ίδια φορά πάνω στην ίδια γραμμή. Η προπορευόμενη έχει ταχύτητα 54km/h και η επόμενη 72km/h. Όταν βρίσκονται σε απόσταση d, οι μηχανοδηγοί αντιλαμβάνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Σε όλες τις κινήσεις που μελετούσαμε μέχρι τώρα, προκειμένου να απλοποιηθεί η μελέτη τους, θεωρούσαμε τα σώματα ως υλικά σημεία. Το υλικό σημείο ορίζεται ως σώμα που έχει

Διαβάστε περισσότερα

1.Η δύναμη μεταξύ δύο φορτίων έχει μέτρο 120 N. Αν η απόσταση των φορτίων διπλασιαστεί, το μέτρο της δύναμης θα γίνει:

1.Η δύναμη μεταξύ δύο φορτίων έχει μέτρο 120 N. Αν η απόσταση των φορτίων διπλασιαστεί, το μέτρο της δύναμης θα γίνει: ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΠΙΛΟΓΩΝ Ηλεκτρικό φορτίο Ηλεκτρικό πεδίο 1.Η δύναμη μεταξύ δύο φορτίων έχει μέτρο 10 N. Αν η απόσταση των φορτίων διπλασιαστεί, το μέτρο της δύναμης θα γίνει: (α)

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

Η καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας

Η καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας Η καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας Σύμφωνα με τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας που διατύπωσε ο Αϊνστάιν, το βαρυτικό πεδίο κάθε μάζας δημιουργεί μια καμπύλωση στον χώρο (μάλιστα στον χωροχρόνο),

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Λεξιλόγιο

Περιεχόμενα. Λεξιλόγιο Περιεχόμενα ΜΕΡΟΣ I: ΑΡΧΕΣ ΕΜΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ 1 Εισαγωγή στην Εμβιομηχανική Ανάλυση 2 Μηχανικές Ιδιότητες των Υλικών 3 Εμβιομηχανική των Οστών 4 Εμβιομηχανική των Σκελετικών Μυών 5 Εμβιομηχανική των Χόνδρων

Διαβάστε περισσότερα

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας»

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Εισαγωγή Επιστημονική μέθοδος Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Διατύπωση αξιωματική της αιτίας μια κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση Hamilton:, όπου κάποια σταθερά και η κανονική θέση και ορµή

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1 ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : (α) Ταχύτητα ΚΜ: u KM = mu + mu m = u + u Εποµένως u = u u + u = u u, u = u u + u = u u (β) Διατήρηση ορµής στο ΚΜ: mu + mu = mv + mv u + u = V + V = 0 V = V

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1.

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

- 17 Ερωτήσεις Αξιολόγησης για ΤΕΣΤ Θεωρίας.

- 17 Ερωτήσεις Αξιολόγησης για ΤΕΣΤ Θεωρίας. Test Αξιολόγησης: ΦΥΣΙΚΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο Καμπυλόγραμμες Κινήσεις (Οριζόντια Βολή,Ο.Κ.Κ.) - 17 Ερωτήσεις Αξιολόγησης για ΤΕΣΤ Θεωρίας. Εισηγητής : Γ. Φ. Σ ι

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 Α) Τί είναι µονόµετρο και τί διανυσµατικό µέγεθος; Β) Τί ονοµάζουµε µετατόπιση και τί τροχιά της κίνησης; ΘΕΜΑ 2 Α) Τί ονοµάζουµε ταχύτητα ενός σώµατος και ποιά η µονάδα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα