υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 11.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : 2010-2011 Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 11."

Transcript

1 ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι

2 Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποθήκευση και διανοµή της παρούσης εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τµήµατος αυτής, για πάσης φύσεως εµπορικό ή επαγγελµατικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανοµή για σκοπό µη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν µήνυµα

3 Εκπαιδευτική Ενότητα 11 η Τεχνολογικές εφαρµογές πολυβάθµιων δυναµικών συστηµάτων Γενικά Στην Εκπαιδευτική Ενότητα 01, αναφέρθηκε η ιστορική διαδροµή της υναµικής Μηχανών. Πιο συγκεκριµένα, αναφέρθηκε ότι η απαρχή της υναµικής εντοπίζεται, κυρίως, σε δύο τεχνικές ανάγκες: στην ανάγκη κατασκευής µεγάλων µηχανών ηλεκτροπαραγωγής, οι οποίες αποτελούνται και από περιστρεφόµενα µέλη (εµφάνιση ισχυρών φυγοκεντρικών φαινοµένων) και στην ανάγκη ανάπτυξης της αεροναυπηγικής και επίλυσης των προβληµάτων που προέκυπταν κατά την εξέλιξη αυτής. Ειδικότερα, η αεροναυπηγική ξεκίνησε από τις προσπάθειες και τα µοντέλα που ανέπτυξαν ροµαντικοί και επίµονοι ερασιτέχνες, οι οποίοι, σε αντίθεση µε τις επικρατούσες επιστηµονικές απόψεις της εποχής τους 1, οραµατίσθηκαν, προσπάθησαν και, τελικά, πέτυχαν. Στη δεκαετία του 20 και του 30, τα τεχνολογικά άλµατα στην περιοχή της αεροναυπηγικής ήταν, τουλάχιστον, θεαµατικά. Ταυτόχρονα, όµως, µε την ολοένα και µεγαλύτερη ανάπτυξη της αεροναυπηγικής, εµφανίσθηκε και η ανάγκη για ανάπτυξη θεωρητικού υποβάθρου και εξεύρεση τεχνολογικών λύσεων σε προβλήµατα, η ύπαρξη των οποίων ήταν άγνωστη και παρουσιάζονταν καθώς οι επιδόσεις των αεροσκαφών συνεχώς βελτιώνονταν. Χαρακτηριστικά παραδείγµατα αποτελούν οι υπερηχητικές πτήσεις και η ανάπτυξη της θεωρίας κόπωσης. Το 1947 καταγράφηκε η πρώτη πτήση αεριωθούµενου αεροσκάφους µε υπερηχητική ταχύτητα. Ωστόσο, ο δρόµος µέχρι το σηµαντικό αυτό επίτευγµα δεν ήταν ούτε εύκολος ούτε σύντοµος. Μέχρι και τον Β Παγκόσµιο Πόλεµο, η συντριπτική πλειοψηφία των αεροσκαφών ήταν ελικοφόρα. Η διαρκής βελτίωση των επιδόσεων αυτών των αεροσκαφών, κυρίως η βελτίωση της ταχύτητάς τους, επιδιωκόταν µέσα από τη διαρκή βελτίωση του συστήµατος πρόωσης (δηλαδή του συστήµατος κινητήρας-έλικα). Ωστόσο, σε πτήση µε διηχητική ταχύτητα (δηλαδή µε ταχύτητα µικρότερη µεν αλλά πλησίον της ταχύτητας του ήχου), η ροή του αέρα γύρω από τα ακροπτερύγια της έλικας είναι σχεδόν υπερηχητική, µε αποτέλεσµα την εµφάνιση κυµάτων κρούσης, εξ αιτίας των οποίων αυξάνεται σηµαντικά η αεροδυναµική αντίσταση του αεροσκάφους και µειώνεται σηµαντικά η προωθητική ισχύς της έλικας. (απώλεια ισχύος). Σύµφωνα, δε, µε την τεχνογνωσία της εποχής εκείνης (Β Π.Π.), προκειµένου να παραχθεί επαρκής ισχύς προς εξισορρόπηση της προαναφερθείσης απώλειας, απαιτείτο τέτοιο µέγεθος (άρα και βάρος) ελικοφόρου κινητήρα, ώστε ό,τι κερδιζόταν από ισχύ χανόταν λόγω βάρους. Επίσης, διάφορες προσπάθειες πιλότων προς κατάρριψη της ανώτατης ταχύτητας πτήσης µέσω της κατακόρυφης βύθισης του αεροσκάφους από πολύ 1 Οκτώ χρόνια πριν από την πρώτη πτήση των αδελφών Orville και Wilbur Wright στην περιοχή Kitty Hawk (πολιτεία North Carolina, ΗΠΑ), ο Λόρδος Kelvin, τότε Πρόεδρος της Βασιλικής Ακαδηµίας της Αγγλίας (Royal Society of England), είχε υποστηρίξει ότι πτητικές µηχανές βαρύτερες του αέρα είναι αδύνατες ( Heavier than air flying machines are impossible ). Το σφάλµα στη συλλογιστική του οφειλόταν στην άγνοια της επιστηµονικής κοινότητας σχετικά µε την ιδιότητα της συνεκτικότητας του αέρα

4 µεγάλο ύψος (πρόσδοση κινητικής ενέργειας στο αεροσκάφος λόγω µεταβολής της δυναµικής του ενέργειας) ανέδειξε δύο νέα προβλήµατα: την αδυναµία ελέγχου του αεροσκάφους κατά τη φάση της βύθισης καθώς και την απώλεια αισθήσεων των πιλότων (εξ αιτίας των προβληµάτων αυτών, αρκετές, τέτοιου τύπου, φιλόδοξες απόπειρες πιλότων κατέληξαν σε συντριβή του αεροσκάφους). Η ανάγκη επίλυσης των εν λόγω τεχνολογικών προβληµάτων οδήγησε στην ανάπτυξη πολλών υποπεριοχών της αεροναυπηγικής, όπως είναι η σχεδίαση στροβιλοκινητήρων, ο κλάδος της Μηχανικής Ρευστών που ασχολείται µε το συµπιεστό ρευστό και τη µελέτη των εµφανιζοµένων αεροδυναµικών προβληµάτων, η σχεδίαση αεροσκαφών (π.χ. µε ρυθµιζόµενη οπισθοκλινής πτέρυγα), η σχεδίαση ελίκων (π.χ. δίδυµη έλικα µεταβλητού βήµατος και µεγάλης οπισθόκλισης) και ο κλάδος της Αεροπορικής Ιατρικής. (α) (β) (γ) Σχήµα 1: Ιστορικοί σταθµοί στην αεροναυπηγική: (α) το αεροσκάφος Flyer των αδελφών Wright (πρώτη επανδρωµένη, ελεγχόµενη και µηχανικά προωθούµενη πτήση µηχανής βαρύτερης του αέρα), (β) το αεροσκάφος Bell X-1 (Glamorous Glennis) µε κυβερνήτη τον Charles Chuck Yeager (η πρώτη επίσηµη καταχώρηση υπερηχητικής πτήσης) και (γ) το αεροσκάφος Concorde (το πρώτο υπερηχητικό επιβατικό αεροσκάφος) Το 1954 ο όρος κόπωση έγινε παγκόσµια γνωστός εξ αιτίας των αεροπορικών ατυχηµάτων, στα οποία εµπλεκόταν το αεροσκάφος de Havilland Comet. Το συγκεκριµένο αεροσκάφος κατείχε δύο πρωτιές: ήταν το πρώτο αεριωθούµενο επιβατικό αεροσκάφος και ήταν το πρώτο αεροσκάφος µε συµπιεζόµενη καµπίνα επιβατών. (α) (β) Σχήµα 2: Αεροπορικές τραγωδίες που επηρέασαν την ιστορία της αεροναυπηγικής: (α) το πρώτο αεριωθούµενο επιβατικό αεροσκάφος de Havilland DH 106 Comet, (β) διασωθέν τµήµα της ατράκτου του αεροσκάφους Comet (διακρίνονται τα τετραγωνικού σχήµατος παράθυρα και τα αντίστοιχα πριτσίνια συγκράτησης) της πτήσης BOAC 781 (10 Ιανουαρίου 1954)

5 Τα παράθυρα της καµπίνας των επιβατών ήταν τετραγωνικού σχήµατος και περιµετρικά έφεραν πριτσίνια. Ωστόσο, η τεχνική τοποθέτησης των πριτσινιών (punch riveting) προκαλούσε την εµφάνιση µικρορωγµών και µάλιστα σε θέσεις υψηλής συγκέντρωσης τάσης (γωνίες παραθύρων), οι οποίες, σε συνδυασµό µε την επαναλαµβανόµενη διαδικασία συµπίεσης-αποσυµπίεσης της καµπίνας των επιβατών κατά την υπηρεσιακή ζωή του αεροσκάφους (κόπωση), αναπτύσσονταν σε τέτοιο βαθµό, προκαλώντας την, κατά την πτήση, εκρηκτική αποσυµπίεση δύο αεροσκαφών µε συνολική απώλεια 68 ανθρώπων. Όπως φαίνεται από τα παραπάνω χαρακτηριστικά παραδείγµατα, η διαρκής επιθυµία για βελτίωση των αεροσκαφών έφερνε τους Μηχανικούς διαρκώς αντιµέτωπους µε νέες τεχνολογικές προκλήσεις (είτε ανάπτυξη τεχνολογιών προς βελτίωση επιδόσεων είτε ανάπτυξη τεχνολογιών προς επίλυση προβληµάτων που εµφανίζονταν για πρώτη φορά). Ακριβώς επειδή οι απαιτήσεις, πλέον, στην αεροναυπηγική ήταν πολύ υψηλές, έπρεπε να αναπτυχθούν και τα κατάλληλα εργαλεία για την ακριβέστερη µελέτη της συµπεριφοράς των αεροσκαφών. Ήταν φανερό ότι δεν επαρκούσαν πλέον οι αρχικές απλοποιητικές παραδοχές και µοντελοποιήσεις, αλλά υπήρχε ανάγκη για ανάπτυξη µεθόδων, µε τις οποίες θα ήταν δυνατή η εµβάθυνση της µελέτης των κατασκευών, καθώς και υπολογιστικών εργαλείων, τα οποία θα επέτρεπαν την εµβάθυνση αυτή. Προς αυτήν την κατεύθυνση, αναπτύχθηκαν αριθµητικές µέθοδοι ανάλυσης κατασκευών και Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές. Ανάµεσα στις πλέον δηµοφιλείς και παγκοσµίως διαδεδοµένες υπολογιστικές µεθόδους, ανήκει και η λεγόµενη Μέθοδος των Πεπερασµένων Στοιχείων, στην σύλληψη και ανάπτυξη της οποίας συνέβαλλε καθοριστικά ο Ιωάννης Χατζηαργύρης (John Argyris, ), µία από τις µεγαλύτερες, αναγνωρισµένες και βραβευµένες, επιστηµονικές προσωπικότητες του περασµένου αιώνα. Για την, δε, υλοποίηση των αριθµητικών µεθόδων, αναπτύχθηκε και η επιστήµη των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών. Είναι χαρακτηριστικό ότι ο Αργύρης, κατά τη διάρκεια του Β Π.Π., υπολόγισε την πτέρυγα του Βρετανικού µαχητικού Spitfire χρησιµοποιώντας έναν µηχανικό υπολογιστή ικανότητας επίλυσης γραµµικού συστήµατος 64 64, ενώ πλέον η διαθέσιµη ισχύς ενός επιτραπέζιου υπολογιστή επιτρέπει την επίλυση γραµµικών συστηµάτων µερικών εκατοµµυρίων εξισώσεων. Η ανάπτυξη, λοιπόν, των αριθµητικών µεθόδων εξόπλισε τους Μηχανικούς µε εργαλεία κατάλληλα για την ακριβέστερη ανάλυση των κατασκευών, κάτι το οποίο έδωσε ώθηση στον κλάδο της Μηχανικής και της Αντοχής Υλικών. Η Μέθοδος των Πεπερασµένων Στοιχείων σε προβλήµατα δυναµικής Όπως έχουµε ήδη γνωρίσει σε προηγούµενα µαθήµατα (π.χ. Εκπαιδευτική Ενότητα 10), η εξίσωση ισορροπίας ενός δυναµικού συστήµατος, σε µητρωϊκή µορφή, γράφεται ως εξής: M x+ C x + K x+= F όπου K είναι το µητρώο δυσκαµψίας, M είναι το µητρώο µάζας, C είναι το µητρώο απόσβεσης, είναι η απόκριση του συστήµατος και είναι το διάνυσµα της εξωτερικής x F διέγερσης. Για τον υπολογισµό της απόκρισης απαιτείται η επίλυση της Εξ.(1), κάτι που x (1)

6 απαιτεί το σχηµατισµό των µητρώων K, M και C. Η Μέθοδος των Πεπερασµένων Στοιχείων παρέχει έναν συστηµατικό (τυποποιηµένο) τρόπο σχηµατισµού των µητρώων K και M. Ειδικά για το µητρώο C είναι δυνατή η χρήση της προσέγγισης κατά Rayleigh (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 10): C= β M + β K (2) 1 2 όπου β 1και β 2 είναι αριθµητικοί συντελεστές (συντελεστές αναλογίας), οι τιµές των οποίων λαµβάνονται από πειραµατικά δεδοµένα (δηλαδή από µέτρηση της απόκρισης πραγµατικών κατασκευών). Συνεπώς, ο συστηµατικός τρόπος σχηµατισµού των µητρώων K και M οδηγεί και στον συστηµατικό τρόπο σχηµατισµού του µητρώου απόσβεσης C, ως γραµµικού συνδυασµού των µητρώων M και K. Στη Μέθοδο των Πεπερασµένων Στοιχείων, όπως δηλώνει και η ονοµασία της µεθόδου, η κεντρική ιδέα είναι η αντικατάσταση της πραγµατικής κατασκευής (µοντελοποίηση) από ένα σύνολο αριθµητικών οντοτήτων πεπερασµένων διαστάσεων, όπως είναι αυτή στο Σχήµα 3. Αυτές οι αριθµητικές οντότητες είναι κατάλληλα διατυπωµένες για την επίλυση της εκάστοτε εξίσωσης που περιγράφει το αντίστοιχο πρόβληµα. Για παράδειγµα, έστω µία 3 κατασκευή, η οποία περιγράφεται από την Εξ.(1). Ο άγνωστος στην Εξ.(1) είναι η απόκριση x, η οποία εκφράζει το πεδίο των µετατοπίσεων της κατασκευής. Θεωρητικά, η απόκριση x περιλαµβάνει όλα τα υλικά σηµεία της κατασκευής, άρα θεωρητικά περιλαµβάνει άπειρο πλήθος υλικών σηµείων. Ωστόσο, από τεχνολογικής απόψεως, επαρκεί η γνώση της απόκρισης σε ένα πεπερασµένο πλήθος υλικών σηµείων (προσεγγιστική εκτίµηση απόκρισης), έτσι ώστε η προσέγγιση να είναι επαρκώς κοντά στην θεωρητική λύση. Αντί, λοιπόν, να ασχοληθούµε µε όλα τα υλικά σηµεία της κατασκευής, τα οποία είναι απειροστού µεγέθους, διαιρούµε την κατασκευή σε µικρά τεµάχια ύλης (στοιχεία), κάθε ένα από αυτά είναι πεπερασµένης (και όχι απειροστής) διάστασης (εξ ου και η ονοµασία πεπερασµένα στοιχεία ). Ένα τέτοιο πεπερασµένο στοιχείο απεικονίζεται στο Σχήµα 3. z y x 8 u z 7 u y u x dz dy 1 dx 2 Σχήµα 3: Πεπερασµένο Στοιχείο τρισδιάστατης ελαστικότητας (εξαεδρικό, οκτακοµβικό πεπερασµένο στοιχείο brick element)

7 Οι γεωµετρικές διαστάσεις dx, dy, dz (µέγεθος) του πεπερασµένου στοιχείου καθορίζεται από εµάς. Κάθε πεπερασµένο στοιχείο περιγράφεται (ορίζεται) από ένα σύνολο γεωµετρικών σηµείων, τα οποία καλούνται κόµβοι. Κάθε κόµβος προσδιορίζεται από έναν αύξοντα αριθµό (δηλαδή η ταυτότητα αναγνώρισης κάθε κόµβου είναι ένας µοναδικός αριθµός). Για παράδειγµα, στο Σχήµα 3, οι κόµβοι 1,2,3,4,5,6,7,8 οριοθετούν το αντίστοιχο πεπερασµένο στοιχείο. Κάθε κόµβος διαθέτει Βαθµούς Ελευθερίας, ο καθορισµός των οποίων εξαρτάται από το είδος του εκάστοτε πεπερασµένου στοιχείου. Για παράδειγµα, το πεπερασµένο στοιχείο του Σχήµατος 3, όταν χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων ελαστικότητας (διανυσµατικό πεδίο) διαθέτει τρεις Βαθµούς Ελευθερίας (τρεις µετατοπίσεις κατά τις διευθύνσεις του συστήµατος αναφοράς της κατασκευής) ανά κόµβο. Το ίδιο στοιχείο, όταν χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων θερµότητας (βαθµωτό πεδίο) διαθέτει έναν Βαθµό Ελευθερίας (θερµοκρασία) ανά κόµβο. Γενικά, για τον προσδιορισµό της απόκρισης ενός δυναµικού συστήµατος, θεωρούµε ότι: Η συνολική απόκριση x (κοµβικές µετατοπίσεις). του συστήµατος αφορά στο πεδίο µετατοπίσεων των κόµβων Το πεδίο των µετατοπίσεων στο εσωτερικό κάθε πεπερασµένου στοιχείου εκτιµάται παρεµβάλλοντας τις κοµβικές µετατοπίσεις του στοιχείου µε συναρτήσεις παρεµβολής, οι οποίες είναι προσδιοριστέες. Σε κάθε πεπερασµένο στοιχείο ισχύει η ισορροπία δυνάµεων, από την οποία προκύπτει ένα σύνολο εξισώσεων. Για όλα τα πεπερασµένα στοιχεία µίας κατασκευής, ισχύει ένας γνωστός νόµος ελαστικότητας (π.χ. γραµµική ή µη-γραµµική ελαστικότητα) µεταξύ µετατοπίσεων και παραµορφώσεων, από τον οποίο προκύπτει ένα δεύτερο σύνολο εξισώσεων. Για όλα τα πεπερασµένα στοιχεία µίας κατασκευής, ισχύει ένας γνωστός καταστατικός νόµος υλικού (π.χ. νόµος του Hooke), από τον οποίο προκύπτει ένα τρίτο σύνολο εξισώσεων. Συνδυάζοντας κατάλληλα τις εξισώσεις που προαναφέρθηκαν, κατασκευάζεται, µε συστηµατικό τρόπο, η Εξ.(1). Για την επίλυση της Εξ.(1), απαιτείται η επιβολή των συνθήκες που επικρατούν µεταξύ της κατασκευής και του περιβάλλοντος αυτής, π.χ. στις θέσεις στήριξης της κατασκευής, καθώς και οι αρχικές συνθήκες. Είναι προφανές ότι µε την Μέθοδο των Πεπερασµένων Στοιχείων, αλλά και µε οποιαδήποτε άλλη υπολογιστική µέθοδο, είναι δυνατή η διαµόρφωση συστηµάτων µε εκατοντάδες χιλιάδες, ακόµα και µε εκατοµµύρια, Βαθµούς Ελευθερίας, σε αντίθεση µε τις αναλυτικές µεθόδους, οι οποίες είναι εύκολο να χρησιµοποιούνται µόνο για συστήµατα µε δύο ή τρεις Βαθµούς Ελευθερίας. Ωστόσο, στο σηµείο αυτό πρέπει να τονισθεί ιδιαιτέρως ότι η κρίση και η εµπειρία του Μηχανικού δεν είναι δυνατόν να αντικατασταθεί, όσο µεγάλο πλήθος Βαθµών Ελευθερίας και εάν χρησιµοποιηθεί στην ανάλυση µίας κατασκευής

8 Όπως είδαµε σε προηγούµενα µαθήµατα, για την επίλυση προβληµάτων δυναµικής, είναι δυνατόν να χρησιµοποιηθεί ο Ιδιοανυσµατικός Μετασχηµατισµός, η εφαρµογή του οποίου απαιτεί τον υπολογισµό κάποιων λίγων ιδιοανυσµάτων (εκείνων που συµµετέχουν ουσιαστικά στην απόκριση της κατασκευής). Εποµένως, µία λογική σκέψη θα ήταν να µοντελοποιούµε το προς µελέτη δυναµικό σύστηµα µε µικρό πλήθος πεπερασµένων στοιχείων. Στην πράξη, ωστόσο, χρησιµοποιούµε µεγάλο πλήθος Βαθµών Ελευθερίας (άρα µεγάλο πλήθος πεπερασµένων στοιχείων) για δύο λόγους: για λόγους γεωµετρίας, έτσι ώστε να αναπαρασταθεί η γεωµετρία της κατασκευής µε ακρίβεια και για λόγους ελαστικής ανάλυσης, ώστε οι παραδοχές σχετικά µε τη συµπεριφορά της κατασκευής (π.χ. καταστατικός νόµος υλικού) να είναι ακριβείς. Από άποψη δυναµικής, κάθε Βαθµός Ελευθερίας αντιστοιχεί σε µία ιδιοσυχνότητα. Εποµένως, το πλήθος των Βαθµών Ελευθερίας που χρειαζόµαστε σε µία δυναµική ανάλυση ισούται µε το πλήθος των ιδιοσυχνοτήτων που απαιτούνται για την ανάλυση αυτή. Το πλήθος των Βαθµών Ελευθερίας που απαιτούνται σε µία δυναµική ανάλυση προσδιορίζεται εµπειρικά. Πιο συγκεκριµένα, έστω ότι µία σύνθετη κατασκευή µοντελοποιείται µε 10,000 Βαθµούς Ελευθερίας. Αυτό σηµαίνει ότι η µοντελοποιηµένη κατασκευή διαθέτει 10,000 ιδιοσυχνότητες, οπότε και κάθε Συνάρτηση Μεταφοράς αυτής της µοντελοποιηµένης κατασκευής θα εµφανίζει 10,000 τοπικά µέγιστα. Ωστόσο, στους υπολογισµούς θα χρησιµοποιήσουµε µόνο εκείνο το πεδίο ιδιοσυχνοτήτων ω b (βλ Σχήµα 4) που υπαγορεύει το λεγόµενο Φάσµα υνάµεων ιέγερσης. Περισσότερες λεπτοµέρειες θα αναφερθούν σε επόµενη Εκπαιδευτική Ενότητα. Σχήµα 4: Σε µία δυναµική ανάλυση χρησιµοποιείται µόνο το πεδίο ιδιοσυχνοτήτων ω b που υπαγορεύει το Φάσµα υνάµεων ιέγερσης

9 Τεχνολογική Εφαρµογή #1: Αεροσκάφος Σε ένα αεροσκάφος, δυνάµεις διέγερσης εµφανίζονται κυρίως εξ αιτίας: της ατµοσφαιρικής διέγερσης (ατµοσφαιρική τύρβη), όπως για παράδειγµα συµβαίνει όταν µία ριπή ανέµου (η συχνότητά της είναι λίγες δεκάδες Hz) προσβάλλει το αεροσκάφος, των απότοµων χειρισµών (ελιγµών) του αεροσκάφους, κάτι που προκαλεί την απότοµη µεταβολή της κατάστασης του. Οι ελιγµοί (µανούβρες) αποτελούν µεταβατικά φαινόµενα, στα οποία καθοριστικό παράγοντα αποτελεί η σχέση µεταξύ του χρόνου, που απαιτείται για την ολοκλήρωση της εκάστοτε µεταβολής, και την ιδιοπεριόδου της κατασκευής. F(t) F o T D Σχήµα 5: Γραφική παράσταση τυπικής µεταβατικής διέγερσης t Σε µία Μηχανή Εσωτερικής Καύσης, µεταβατική είναι η περίοδος από την στιγµή εκκίνησης της µηχανής µέχρι την λειτουργία της στις ονοµαστικές στροφές λειτουργίας. Επίσης, στην ίδια µηχανή, µεταβατικά φαινόµενα εµφανίζονται κατά την αυξοµείωση των στροφών λειτουργίας της µηχανής. Σε ένα αεροσκάφος, αναπτύσσονται πολύ έντονα δυναµικά (µεταβατικά) φαινόµενα, τα οποία καταπονούν σηµαντικά τη δοµή του αεροσκάφους. Για παράδειγµα, σε οµαλή οριζόντια πτήση, απαιτείται η ανάπτυξη τέτοιας δύναµης άνωσης ώστε να εξισορροπείται το βάρος του αεροσκάφους. Ωστόσο, σε έναν ελιγµό, και µάλιστα µαχητικού αεροσκάφους, αναπτύσσονται σηµαντικές επιταχύνσεις, π.χ. το µαχητικό αεροσκάφος F-16, µε πλήρεις τις εσωτερικές δεξαµενές καυσίµου, είναι σχεδιασµένο να αντέχει επιταχύνσεις µέχρι και 9g. Συνεπώς, η δοµή του αεροσκάφους πρέπει να είναι επαρκώς ισχυρή, ώστε να αντέχει την παραλαβή δυνάµεων, οι οποίες ισούνται µε αρκετές φορές το βάρος της κατασκευής. Για τη δυναµική µελέτη της δοµής ενός αεροσκάφους, είναι δυνατόν να χρησιµοποιηθεί ο Ιδιοανυσµατικός Μετασχηµατισµός, τον οποίο γνωρίσαµε σε προηγούµενα µαθήµατα (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 08/σ.14) και µαθηµατικά εκφράζεται ως: T ( ) + ( ) =Φ ( ), = 1,2,..., miiq i t kii qi t i F t i N Με τον Ιδιοανυσµατικό Μετασχηµατισµό: Αντικαθίσταται η σύνθετη κατασκευή από µονοβάθµιους ταλαντωτές. (3)

10 Προσδιορίζεται εκείνη η ιδιοσυχνότητα, πάνω από την τιµή της οποίας δεν προκύπτει ουσιαστική συνεισφορά στη δυναµική συµπεριφορά ενός συστήµατος. ιαιρώντας την Εξ.(3) µε τη γενικευµένη δυσκαµψία, προκύπτει: 1 1 T 2 k ii 2 q i( t) + qi( t) = Φ i F( t), ωi = ωi kii mii (4) Στην Εξ.(4), η ιδιοσυχνότητα ω i εµφανίζεται στον παρονοµαστή του αδρανειακού όρου, άρα όσο µεγαλύτερη είναι η τιµή της τόσο µικρότερη είναι η αντίστοιχη αδρανειακή δύναµη. Από το δεξί µέλος της Εξ.(4) προκύπτει ότι τελικά παίζει ρόλο η χωρική κατανοµή της δύναµης διέγερσης σε σχέση µε το αντίστοιχο ιδιοάνυσµα. Προσδιορίζονται οι συχνότητες των δυνάµεων διέγερσης, οι οποίες απέχουν επαρκώς από τις ιδιοσυχνότητες της κατασκευής, αποφεύγοντας, µε αυτόν τον τρόπο, τη δυναµική καταπόνηση της κατασκευής. Οι ανωτέρω παρατηρήσεις ισχύουν για τη σχεδίαση κάθε κατασκευής, άρα ισχύουν και για τη σχεδίαση των αεροσκαφών. Ειδικότερα, στη σχεδίαση των αεροσκαφών, µε βάση την ιδιοανυσµατική ανάλυση και τις µορφές των ιδιοανυσµάτων (ιδιοµορφές), λαµβάνονται σοβαρές σχεδιαστικές αποφάσεις. Για παράδειγµα, έστω ότι το πρώτο ιδιοάνυσµα µίας πτέρυγας αεροσκάφους έχει τη µορφή του Σχήµατος 6α. Εάν θέλουµε να επιβάλλουµε ένα σηµειακό φορτίο στην πτέρυγα (π.χ. σηµείο ανάρτησης κινητήρα), τότε συµφέρει να το επιβάλλουµε όσο το δυνατόν πλησιέστερα στην άτρακτο (θέση µηδενικού πλάτους ταλάντωσης). Εάν το δεύτερο ιδιοάνυσµα της πτέρυγας έχει τη µορφή του Σχήµατος 6β, τότε το σηµειακό φορτίο στη θέση Α δεν διεγείρει τον δεύτερο τρόπο ταλάντωσης της πτέρυγας. (α) (β) Σχήµα 6: Ιδιάνυσµα πτέρυγας αεροσκάφους Το ιδιάνυσµα αποτελεί τον χαρακτηριστικό τρόπο παραµόρφωσης µίας κατασκευής και πληροφορεί για τη συσχέτιση µεταξύ της παραµόρφωσης µίας κατασκευής και της χωρικής κατανοµής της διεγείρουσας δύναµης, για δεδοµένο πλάτος διέγερσης και για συγκεκριµένο τρόπο ταλάντωσης. Είναι γεγονός ότι για τη σχεδίαση ενός αεροσκάφους στα τέλη της δεκαετίας του 70, χρησιµοποιούνταν µερικές δεκάδες χιλιάδες Βαθµοί Ελευθερίας (π.χ Β.Ε.), ενώ σήµερα οι µοντελοποιήσεις περιλαµβάνουν εκατοντάδες χιλιάδες (Β.Ε.) (βλ. Σχήµα 7). Σηµειώνεται ότι η εξέλιξη των Η/Υ είναι άρρηκτα συνδεδεµένη µε την αεροναυπηγική και τη

11 διαστηµική, διότι η ανάγκη ανάπτυξης υπολογιστικών εργαλείων για την επίλυση προβληµάτων αυτών των επιστηµονικών πεδίων ήταν η κυριώτερη αιτία για την τεχνολογική ανάπτυξη των Η/Υ. (α) (β) Σχήµα 7: Πλέγµα πεπερασµένων στοιχείων για την ανάλυση µαχητικού αεροσκάφους: (α) Mirage 2000 και (β) Mirage Στα αεροσκάφη, και γενικότερα στις κατασκευές, τα πρώτα ιδιοανύσµατα είναι εύκολο να αναγνωρισθούν οπτικά και αντιστοιχούν σε χαρακτηριστικές µορφές παραµόρφωσης. Για παράδειγµα, το πρώτο ιδιοάνυσµα αντιστοιχεί (εν γένει) σε κάµψη µόνο της πτέρυγας, το δεύτερο ιδιοάνυσµα αντιστοιχεί (εν γένει) σε κάµψη µόνο της ατράκτου, κοκ. Στο Σχήµα 8 απεικονίζονται χαρακτηριστικά ιδιοανύσµατα (ιδιοµορφές) ενός µαχητικού αεροσκάφους. (α) (β) Σχήµα 8: Ιδιοµορφές του µαχητικού αεροσκάφους Mirage 2000: (α) 1 η ιδιοµορφή (ιδιοσυχνότητα: 11.38Hz ) και (β) 2 η ιδιοµορφή (ιδιοσυχνότητα: 12.53Hz ) 2 πηγή:optimization of Aircraft Structures, p

12 Τα ιδιοανύσµατα υψηλοτέρας τάξεως χαρακτηρίζονται από πιο σύνθετη γεωµετρία και αντιστοιχούν σε πιο σύνθετες παραµορφώσεις (π.χ. ταυτόχρονα, διατοιχισµός κάθετου ουραίου σταθερού, στρέψη ατράκτου και κάµψη στο σηµείο έδρασης των µηχανών). Στο Σχήµα 9 απεικονίζονται ιδιοµορφές ενός τυπικού µικρού επιβατικού αεροσκάφους. (α) (β) (γ) (δ) (ε) (στ) (ζ) (η) (θ) Σχήµα 9: Ιδιοµορφές ενός τυπικού µικρού επιβατικού αεροσκάφους: (α) πρώτος τρόπος συµµετρικής κάµψης πτέρυγας (ιδιοσυχνότητα: 4.92Hz ), (β) διατοιχισµός σταθεροποιητικών πτερυγίων και στρέψη ατράκτου (ιδιοσυχνότητα: 5.13Hz ), (γ) διατοιχισµός σταθεροποιητικών πτερυγίων, στρέψη ατράκτου και κάµψη πυλώνων ανάρτησης κινητήρων (ιδιοσυχνότητα: 5.87Hz ), (δ) συµµετρική κάµψη ατρακτιδίων κινητήρων, πτέρυγας και σταθεροποιητικών πτερυγίων (ιδιοσυχνότητα: 7.43Hz ), (ε) κάµψη κάθετου ουραίου σταθερού (ιδιοσυχνότητα: 9.14Hz ), (στ) συµµετρική κάµψη σταθεροποιητικών πτερυγίων και πτέρυγας (ιδιοσυχνότητα: 10.47Hz ), (ζ) πρώτος τρόπος αντισυµµετρικής κάµψης πτέρυγας (ιδιοσυχνότητα: 10.96Hz ), (η) συµµετρική ιδιοµορφή σταθεροποιητικών πτερυγίων (ιδιοσυχνότητα: 13.55Hz ) και (θ) δεύτερος τρόπος συµµετρικής κάµψης πτέρυγας (ιδιοσυχνότητα: 16.22Hz )

13 Συγκρίνοντας τις ιδιοσυχνότητες ενός µαχητικού και ενός επιβατικού αεροσκάφους (βλ. Σχήµα 8 και Σχήµα 9), έπεται ότι η σχεδίαση ενός µαχητικού αεροσκάφους ανταποκρίνεται σε πολύ υψηλότερες απαιτήσεις, κάτι αναµενόµενο, δεδοµένου ότι οι προδιαγραφές των δύο αυτών τύπων αεροσκάφους είναι εντελώς διαφορετικές. Χαρακτηριστικά αναφέρεται ότι η σε ένα τυπικό µαχητικό αεροσκάφος (βλ. Σχήµα 7), η πρώτη ιδιοτιµή µπορεί να είναι διπλάσια της πρώτης ιδιοτιµής ενός τυπικού επιβατικού αεροσκάφους (βλ. Σχήµα 9). Αυτό σηµαίνει ότι: υναµικές διεγέρσεις µικρής συχνότητας δεν καταπονούν ένα µαχητικό αεροσκάφος. Η διπλάσια ιδιοτιµή του µαχητικού αεροσκάφους αντιστοιχεί σε τετραπλάσια αντοχή του σε απότοµους ελιγµούς (βλ. Εξ.(4)). Εκτός της εκτίµησης ιδιοτιµών και ιδιοανυσµάτων µε τη χρήση υπολογιστικών µεθόδων, είναι δυνατός και ο πειραµατικός προσδιορισµός τους. Αυτό αποτελεί αντικείµενο του επιστηµονικού πεδίου που καλείται Πειραµατική Ιδιοανυσµατική Ανάλυση (Experimental Modal Analysis). Στην πειραµατική µέτρηση των ιδιοτιµών / ιδιοανυσµάτων, η βασική διαδικασία είναι πολύ απλή: Στην προς µέτρηση κατασκευή, τοποθετούνται αισθητήρες (επιταχυνσιόµετρα), σε κατάλληλα επιλεγµένες θέσεις. Επιβάλλεται είτε γνωστή κρουστική ηµιτονοειδής διέγερση (impulsive sine) είτε γνωστή κρουστική τυχαία διέγερση (multiple-input random), σε κατάλληλα επιλεγµένα σηµεία. Καταγράφεται η απόκριση από τους αισθητήρες Από τη διέγερση και την απόκριση, προκύπτουν οι αντίστοιχες συναρτήσεις µεταφοράς. Από τις συναρτήσεις µεταφοράς, προσδιορίζονται οι ιδιοσυχνότητες και τα ιδιοανύσµατα της κατασκευής. Στο Σχήµα 10 απεικονίζονται τα σηµεία τοποθέτησης των αισθητήρων σε ένα τυπικό µικρό επιβατικό αεροσκάφος καθώς και µία τυπική µορφή διαγράµµατος διέγερσης-απόκρισης. (α) (β) Σχήµα 10: Τυπικό µικρό επιβατικό αεροσκάφος: (α) σηµεία τοποθέτησης αισθητήρων και (β) διάγραµµα διέγερσης απόκρισης

14 Στο Σχήµα 11 απεικονίζονται δύο τυπικές µορφές διαγράµµατος διέγερσης-απόκρισης για κρουστική ηµιτονοειδή και κρουστική τυχαία διέγερση. (α) (β) Σχήµα 11: Τυπική µορφή διαγράµµατος διέγερσης απόκρισης για (α) κρουστική τυχαία διέγερση και (β) κρουστική ηµιτονοειδή διέγερση. Από τα Σχήµατα 8 και 9, προκύπτει ότι οι πρώτες λίγες ιδιοµορφές ενός αεροσκάφους διαθέτουν κάποιο χαρακτηριστικό γεωµετρικό σχήµα, το οποίο παραπέµπτει σε µία συγκεκριµένη µορφή παραµόρφωσης. Αντιθέτως, ιδιοανύσµατα υψηλότερης τάξης χαρακτηρίζονται από σχήµατα, τα οποία είναι, χωρικά, ακανόνιστα. Για να γίνει καλύτερα κατανοητή αυτή η λεπτοµέρεια, έστω ένα δυναµικό σύστηµα µε τέσσερεις Βαθµούς Ελευθερίας και έστω ότι η δύναµη διέγερσης είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένης σε όλη την έκταση της κατασκευής. Σε αυτήν την περίπτωση, το πρώτο ιδιοάνυσµα θα είναι του τύπου: [ ] Φ = a a a a, 0< a < a < a < a T Ωστόσο, το τέταρτο ιδιοάνυσµα θα είναι του τύπου: [ ] T Φ 4 = d1 d2 d3 d4, 0 < d1, d2 < 0, 0 < d3, d4 < 0 Με άλλα λόγια, το τέταρτο ιδιοάνυσµα θα έχει, µε ακανόνιστο τρόπο, θετικές και αρνητικές τιµές (χωρικά ακανόνιστα σχήµα). (5) (6) Τα ιδιοανύσµατα υψηλής τάξης έχουν ακανόνιστη µορφή και δρουν στη δύναµη διέγερσης ως φίλτρο (οι αρνητικές τιµές ακυρώνουν τµήµα της διεγείρουσας δύναµης). Στις τεχνολογικές εφαρµογές, υπολογίζονται οι πρώτες 5 έως 20 ιδιοµορφές. Αυτό οφείλεται στους εξής λόγους:

15 Οι συχνότητες των δυνάµεων διέγερσης της φύσης (φυσικά φαινόµενα, όπως ριπές ανέµου, κύµατα θάλασσας, σεισµός) έχουν περιορισµένος εύρος συχνοτήτων (ισοδύναµα, δεν έχουν πολύ µεγάλες περιόδους), συνεπώς διεγείρουν µόνο τις χαµηλές ιδιοσυχνότητες της κατασκευής. Τα ιδιοανύσµατα υψηλής τάξης τείνουν να αποκτήσουν ακανόνιστη µορφή, µε αποτέλεσµα τα πλάτη των γενικευµένων δυνάµεων διέγερσης (δηλαδή οι ποσότητες ( ) T, βλ. Εξ.(4)) τείνουν να γίνουν µικρά. Φ i F t Όσο µεγαλύτερη είναι η συχνότητα διέγερσης, τόσο µικρότερες είναι οι αντίστοιχες αδρανειακές δυνάµεις (βλ. Εξ.(4)), οι οποίες, από ένα σηµείο και έπειτα, έχουν αµελητέα συµµετοχή στη δυναµική συµπεριφορά του συστήµατος (το σύστηµα συµπεριφέρεται µε µεγαλύτερη στιβαρότητα). Τα διαγράµµατα Συναρτήσεων Μεταφοράς, στις πραγµατικές κατασκευές, προσφέρουν σηµαντικές πληροφορίες. Σε κάθε κατασκευή, υπάρχει ένα αρκετά µεγάλο πλήθος Συναρτήσεων Μεταφοράς. Για παράδειγµα, σε ένα µικρό επιβατικό αεροσκάφος εάν τοποθετηθούν αισθητήρες (επιταχυνσιόµετρα) σε N = 80 θέσεις, τότε είναι δυνατόν να µετρηθούν N ( N ) = = 3240 διαφορετικές Συναρτήσεις Μεταφοράς. Υπενθυµίζεται (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 10), ότι η Συνάρτηση Μεταφοράς H ij λαµβάνεται όταν διεγείρεται η θέση j και µετριέται η απόκριση στη θέση i. Επίσης, υπενθυµίζεται ότι οι Συναρτήσεις Μεταφοράς είναι συµµετρικές, δηλαδή ισχύει: H ij = H (7) ji Στη γραφική παράσταση κάθε Συνάρτησης Μεταφοράς, εµφανίζονται τοπικά µέγιστα, τα οποία, εν γένει, αντιστοιχούν στις ιδιότητες της κατασκευής. Ωστόσο, πρέπει να δοθεί ιδιαίτερη προσοχή στο γεγονός ότι: Κάποιο µέγιστο στην πειραµατική καµπύλη H f ( ) ij = Ω είναι δυνατόν να µην αντιστοιχεί σε ιδιοσυχνότητα της κατασκευής. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι δυνατόν, αλλά όχι υποχρεωτικό, ένα τοπικό µέγιστο (αιχµή) να έχει καταγραφεί διότι η κατασκευή συµπεριφέρεται µε τρόπο διαφορετικό από εκείνον που προβλέπει η σχεδίαση, άρα το τοπικό µέγιστο είναι δυνατόν (αλλά όχι υποχρεωτικό) να υποδεικνύει κάποια βλάβη. Πειραµατικές καµπύλες H f ( ) κυρίως σε κατασκευές µε περιστρεφόµενα µέρη. ij = Ω χρησιµοποιούνται ευρέως για τη διάγνωση βλαβών, Κάποια ιδιοσυχνότητα είναι δυνατόν να µην καταγραφεί στην πειραµατική καµπύλη Hij ( ) = f Ω. Οι δύο ανωτέρω λόγοι είναι εκείνοι που υποχρεώνουν για την καταγραφή πολλών πειραµατικών Συναρτήσεων Μεταφοράς H f ( ) ij = Ω σε µία κατασκευή, προκειµένου να εντοπισθούν οι αιχµές που πραγµατικά αντιστοιχούν σε ιδιοσυχνότητες της κατασκευής

16 Επίσης, µαζί µε τα πειραµατικά διαγράµµατα Συναρτήσεων Μεταφοράς H f ( ) ij = Ω, καταγράφονται και διαγράµµατα φάσης. Όπως γνωρίσαµε στα µονοβάθµια δυναµικά συστήµατα, στην περίπτωση συντονισµού, η διαφορά φάσης είναι 180 o. Συνεπώς, ένας τρόπος ελέγχου της ορθότητας του εντοπισµού µίας ιδιοσυχνότητας κατασκευής από διάγραµµα H f ( ) ij = Ω είναι εάν, στο αντίστοιχο διάγραµµα διαφοράς φάσης και στην αντίστοιχη συχνότητα, η διαφορά φάσης είναι 180 o. Τεχνολογική Εφαρµογή #2: Ελαστική εξέδρα καταδύσεων (αναπηδητήριο) Το άθληµα των καταδύσεων εντάχθηκε στο αγωνιστικό πρόγραµµα των Ολυµπιακών Αγώνων, το Αρχικά, οι αθλητές αγωνίζονταν στο αγώνισµα του σταθερού βατήρα (πλατφόρµα). Στην επόµενη Ολυµπιάδα (Λονδίνο, 1908) εντάσσονται στο αγωνιστικό πρόγραµµα και οι καταδύσεις από αναπηδητήριο 3m (τραµπολίνο), το οποίο δεν είναι τίποτε άλλο παρά µία προβολική, ελαστική εξέδρα. Ο αθλητής, προκειµένου να µεγιστοποιήσει το ύψος του άλµατός του, αναπηδά στο άκρο της εξέδρας, διότι η άσκηση σηµειακής δύναµης σε αυτή τη θέση εξασφαλίζει το µέγιστο πλάτος ταλάντωσης της εξέδρας. Τεχνολογική Εφαρµογή #3: ορυφόρος Η ιδιοανυσµατική ανάλυση ενός δορυφόρου είναι χρήσιµη διότι: Κατά τη διάρκεια της εκτόξευσης, ο δορυφόρος, αν και είναι συσκευασµένος, υφίσταται πολύ έντονους κραδασµούς. Θεωρητικά, οι δορυφόροι κινούνται µε σταθερή ταχύτητα, η οποία, ωστόσο, είναι τόσο µεγάλη, ώστε µια µικρή µεταβολή στην κίνησή τους (π.χ. θέλουµε να τους στρίψουµε λίγο) προκαλεί πολύ ισχυρές ταλαντώσεις. Όλες οι διαστηµικές κατασκευές είναι πολύ εύκαµπτες, κάτι που, σε συνδυασµό µε την απώλεια αέρα στο διάστηµα (ο αέρας λειτουργεί ως µέσο απόσβεσης), καταλήγει σε έντονες ταλαντώσεις, όταν επιχειρείται κάποιος χειρισµός (π.χ. επιδιόρθωση στην εξωτερική δοµή του αεροσκάφους). Στο Σχήµα 12 απεικονίζεται τµήµα δορυφόρου καθώς και οι τρεις πρώτες καµπτικές ιδιοµορφές του. (α) (β) (γ) (δ) Σχήµα 12: Ιδιοµορφές τµήµατος δορυφόρου: (α) απαραµόρφωτο σχήµα, (β) πρώτη καµπτική ιδιοµορφή, (β) δεύτερη καµπτική ιδιοµορφή και (γ) τρίτη καµπτική ιδιοµορφή

17 Τεχνολογική Εφαρµογή #4: Ακουστική κοιλότητα οχήµατος Όπως σε µία κατασκευή υπολογίζονται ιδιοτιµές και ιδιοανύσµατα, έτσι και σε ένα ρευστό (π.χ. αέρας) υπολογίζονται, οµοίως, ιδιοσυχνότητες και ιδιοανύσµατα, πληροφορίες σχετικές µε τη διάδοση κυµάτων (διακυµάνσεις του φυσικού πεδίου). Χαρακτηριστικό παράδειγµα αποτελεί η καµπίνα των επιβατών ενός τυπικού επιβατικού οχήµατος (βλ. Σχήµα 13), η οποία, σε ορισµένες συχνότητες, λειτουργεί όπως ένα ηχείο (συνδυασµός αέρα και ευκαµψίας των υαλοπινάκων (τζάµια) της καµπίνας). Προκειµένου να εξασφαλισθεί ότι ο ήχος που φθάνει στο αυτί του οδηγού και των επιβατών είναι σε χαµηλά επίπεδα, είναι δυνατή η µελέτη της διάδοσης του ήχου µέσα στην καµπίνα των επιβατών (επιλύονται αριθµητικά οι αντίστοιχες εξισώσεις και προκύπτουν οι ισοϋψείς καµπύλες της πίεσης). Οι τεχνολογικές λύσεις, οι οποίες εφαρµόζονται προκειµένου ο ήχος στην καµπίνα των επιβατών (ακουστική κοιλότητα οχήµατος) να διατηρείται σε χαµηλά επίπεδα είναι διαφόρων ειδών, όπως διαφορετική σχεδίαση εσωτερικού χώρου, χρήση υλικών επένδυσης, διαφορετική σχεδίαση οροφής οχήµατος, κτλ. Πιο προηγµένες τεχνικές, είναι η ακύρωση του ήχου µέσω της εκποµπής κατάλληλης συχνότητας ηχητικού σήµατος από κατάλληλα επιλεγµένα σηµεία (Active Noise Control). (α) (β) (γ) Σχήµα 13: Ιδιοµορφές ακουστικής κοιλότητας: (α) καµπίνα επιβατών οχήµατος, (β) πρώτη ιδιοµορφή και (β) δεύτερη ιδιοµορφή. Τεχνολογική Εφαρµογή #5: Πλαίσιο µοτοσικλέτας Η γνώση των ιδιοσυχνοτήτων µίας µοτοσικλέτας είναι θεµελιώδους σηµασίας για την ασφαλή οδήγησή της (βλ. Σχήµα 14). Για παράδειγµα, υπάρχει κίνδυνος εµφάνισης ανεπιθύµητων κραδασµών στο σύστηµα διεύθυνσης (κοσκίνισµα τιµονιού), µε τελικό αποτέλεσµα την απώλεια ελέγχου της µοτοσικλέτας. (α) (β) (γ) Σχήµα 14: Ιδιοµορφές πλαισίου µοτοσικλέτας: (α) µοντέλο πλαισίου, (β) απόκριση σε µία φόρτιση δοκιµής και (β) απόκριση σε δεύτερη φόρτιση δοκιµής

18 Από πειραµατικές Συναρτήσεις Μεταφοράς και από διαγράµµατα διαφοράς φάσης είναι δυνατός ο εντοπισµός ιδιοσυχνοτήτων, οι οποίες δεν εµφανίζονται σε όλα τα πειραµατικά διαγράµµατα H f ( ) ij = Ω. Τεχνολογική Εφαρµογή #6: Κάθισµα αυτοκινήτου Υπάρχουν συγκεκριµένες προδιαγραφές για τα καθίσµατα των χειριστών µηχανηµάτων και των οδηγών βαρέων οχηµάτων, σχετικά µε το φάσµα των δυνάµεων διέγερσης και το χρονικό διάστηµα της διέγερσης που επιτρέπεται να δέχονται οι χειριστές και οι οδηγοί, έτσι ώστε να αποφεύγεται η κόπωσή τους λόγω της δυναµικής τους καταπόνησης (βλ. Σχήµα 15). Τα εν λόγω, λοιπόν, καθίσµατα, πέραν της εργονοµικής τους σχεδίασης, µονώνουν και τις ταλαντώσεις. Υπάρχει, δε, κλάδος της δυναµικής που ασχολείται µε τους κραδασµούς που δέχεται ο ανθρώπινος οργανισµός και τις αντίστοιχες επιπτώσεις που προκαλούνται. (α) (β) (γ) (δ) Σχήµα 15: Πρώτη ιδιοµορφή καθίσµατος αυτοκινήτου : (α) µοντέλο καθίσµατος, (β) για σηµειακή & τυχαία διέγερση, (γ) για σηµειακή & κρουστική διέγερση και (δ) για διέγερση της βάσης του καθίσµατος. Τεχνολογική Εφαρµογή #7: Μοντελοποίηση κέντρου κατεργασιών (µηχανές CNC) Η δυναµική ανάλυση ενός κέντρου κατεργασιών έχει ιδιαίτερη αξία, διότι, από τις προκύπτουσες ιδιοσυχνότητες και τα αντίστοιχα ιδιοανύσµατα, είναι δυνατόν να εκτιµηθεί η ακρίβεια της κατεργασίας µε το εκάστοτε κοπτικό εργαλείο (βλ. Σχήµα 16). (α) (β) (γ) (δ) Σχήµα 16: Ιδιοµορφές κέντρου κατεργασιών: (α) µοντέλο, (β) δεύτερη ιδιοµορφή, (γ) πέµπτη ιδιοµορφή και (δ) δέκατη τρίτη ιδιοµορφή

19 Τεχνολογική Εφαρµογή #8: Κεφαλή σκληρού δίσκου Ο µηχανισµός ανάγνωσης δεδοµένων σε έναν σκληρό δίσκο, µεταξύ άλλων, περιλαµβάνει και έναν κινούµενο εύκαµπτο βραχίονα (βλ. Σχήµα 17). Ο χρόνος που απαιτείται για την πρόσβαση (access time) των δεδοµένων του δίσκου είναι της τάξεως των msec. Ωστόσο, για την ανάγνωση δεδοµένων απαιτείται η µετακίνηση του εν λόγω βραχίονα, στον οποίο, ακριβώς λόγω του προαναφερθέντος χρόνου, αναπτύσσεται σηµαντική δυναµική απόκριση. (α) (β) (γ) (δ) Σχήµα 17: Βραχίονας κεφαλής σκληρού δίσκου: (α) µοντέλο, (β) η δεύτερη ιδιοµορφή υπολογισµένη µε τη Μέθοδο των Πεπερασµένων Στοιχείων, (γ) η δεύτερη ιδιοµορφή υπολογισµένη µέσω πειραµατικής µέτρησης και (γ) διάγραµµα απόκρισης από την πειραµατική µέτρηση της δεύτερης ιδιοµορφής Τεχνολογική Εφαρµογή #9: Ρακέτα τέννις Η µελέτη της δυναµικής συµπεριφοράς µίας ρακέτας του τέννις προσφέρει πολλές και χρήσιµες πληροφορίες, όπως είναι ο προσδιορισµός του βελτίστου σηµείου επαφής ρακέτας- µπάλας (sweet spot), προκειµένου να εξασφαλισθεί η καλύτερη δυνατή κατευθυντικότητα της µπάλας, ο προσδιορισµός των αναπτυσσοµένων δυνάµεων στον καρπό από διαφορετικές λαβές της ρακέτας και για διαφορετικά σηµεία επαφής ρακέτας-µπάλας, καθώς και η απόσβεση, η οποία είναι δυνατόν να επιτευχθεί (βλ. Σχήµα 18). Σχήµα 18: Πληροφορίες από τη δυναµική ανάλυση µίας ρακέτας τέννις 3 Τεχνολογική Εφαρµογή #10: Πηδάλιο πλοίου Με τα πηδάλια των πλοίων επιτυγχάνεται ο έλεγχος της κατεύθυνσης κίνησης του πλοίου. Ιδιαίτερη προσοχή πρέπει να επιδεικνύεται στη σχεδίαση του πηδαλίου διότι είναι δυνατόν, για ορισµένες στροφές του κινητήρα, άρα για ορισµένες στροφές της έλικας του πλοίου, η συχνότητα των δυνάµεων διέγερσης να συµπίπτει µε την ιδιοσυχνότητα του πηδαλίου. Εάν 3 Πηγές: Cross, R. (2001) Customising a tennis racket by adding weights. Sports Engineering, 4, pp.1-14, Brody, H., Cross, R. & Crawford, L. (2002) The physics and technology of tennis. Solana Beach, California, Racquet Tech Publishing

20 διαπιστωθεί κάτι τέτοιο στο στάδιο της σχεδίασης, τότε αλλάζει η σχεδίαση. Ωστόσο, εάν παρατηρηθεί απώλεια ελέγχου κατά τον πλου, δηλαδή σε πραγµατική κατασκευή πλέον, τότε απαιτείται πρώτα ο προσδιορισµός, µέσω Πειραµατικής Ιδιοανυσµατικής Ανάλυσης, των ιδιοσυχνοτήτων του πηδαλίου και στη συνέχεια προσθήκη µεταλλικών πλακών (όπως συµβαίνει µε τη ζυγοστάθµιση των τροχών των οχηµάτων) καταλλήλων διαστάσεων και σε κατάλληλες θέσεις, προκειµένου να µεταβληθούν οι ιδιοσυχνότητες του πηδαλίου. Τεχνολογική Εφαρµογή #11: Κιβώτιο ταχυτήτων γερανογέφυρας Οι γερανογέφυρες ανήκουν στην κατηγορία των ανυψωτικών/µεταφορικών µηχανών, η συνεισφορά των οποίων είναι καθοριστική στην ανέγερση µεγάλων κατασκευών, όπως είναι τα πλοία. Ειδικά οι ναυπηγικές γερανογέφυρες (Βλ. Σχήµα 19α), λόγω των αναγκών που καλούνται να καλύψουν, είναι πολύ µεγάλων διαστάσεων και κοστίζουν ακριβά. Αυτό σηµαίνει ότι η αποκατάσταση µίας βλάβης σε µία ναυπηγική γερανογέφυρα είναι και δύσκολη αλλά και δαπανηρή (ειδικά στην περίπτωση κατά την οποία η επισκευή απαιτεί την αδρανοποίηση της γερανογέφυρας, κάτι που επηρεάζει τις εργασίες όλου το ναυπηγείου). Για την ανύψωση των φορτίων, χρησιµοποιούνται βαρούλκα, Μεταξύ των βαρούλκων και των κινητήρων τους, παρεµβάλλεται κιβώτιο ταχυτήτων. Εάν για οποιονδήποτε λόγο εµφανισθεί αιφνίδια αζυγοσταθµία µέσα στο κιβώτιο, π.χ. σπάσει ένα τµήµα οδόντος, τότε προκαλούνται ισχυρές ταλαντώσεις στο κιβώτιο (Βλ. Σχήµα 19β), κάτι το οποίο µπορεί να καταλήξει στην ολική αστοχία του κιβωτίου. Προκειµένου να ελεγχθεί κατά πόσο πράγµατι υπάρχει αζυγοσταθµία ή όχι, απαιτείται, µέσω Πειραµατικής Ιδιοανυσµατικής Ανάλυσης (Βλ. Σχήµα 19γ), ο προσδιορισµός επαρκούς πλήθους Συναρτήσεων Μεταφοράς, προκειµένου να εξασφαλισθεί µία ακριβής διάγνωση της όποιας βλάβης. Βάσει, δε, αυτής της διάγνωσης (Βλ. Σχήµα 19δ) θα ληφθούν αποφάσεις από το Τµήµα Συντήρησης του ναυπηγείου, έργο διόλου απλό, δεδοµένου ότι σε µία γραµµή παραγωγής, όπως αυτή ενός ναυπηγείου, ο προγραµµατισµός εργασιών συντήρησης αποτελεί έργο σύνθετο και µε υψηλό κόστος. (α) (β) (γ) (δ) Σχήµα 19: ιάγνωση βλάβης σε ναυπηγική γερανογέφυρα: (α) απεικόνιση γερανογέφυρας, (β) µέτρηση δηλούσα έντονους κραδασµούς στο κιβώτιο ταχυτήτων για συχνότητα διέγερσης 11Hz, (γ) µε Πειραµατική Ιδιοανυσµατική Ανάλυση επιβεβαίωση ότι η συχνότητα 11Hz δεν αντιστοιχεί σε ιδιοσυχνότητα αλλά οφείλεται σε αζυγοσταθµία και (δ) υπολογισµός µάζας αποσπασµένου τµήµατος οδοντωτού τροχού του κιβωτίου που δύναται να προκαλέσει τη µετρηθείσα αζυγοσταθµία

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι Δυναμική Μηχανών Ι Ακαδημαϊκό έτος: 015-016 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 1.1- Δυναμική Μηχανών Ι Ακαδημαϊκό έτος: 015-016 Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών - 015.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ έκδοση DΥΝI-DCMB_2016b Copyright

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 2.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 2. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι -. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Cpyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 00. Με επιφύλαξη

Διαβάστε περισσότερα

Μετροτεχνικός προσδιορισµός των δυναµικών ταλαντωτικών χαρακτηριστικών της εργαλειοµηχανής και του κοπτικού εργαλείου στη θέση κοπής

Μετροτεχνικός προσδιορισµός των δυναµικών ταλαντωτικών χαρακτηριστικών της εργαλειοµηχανής και του κοπτικού εργαλείου στη θέση κοπής Μετροτεχνικός προσδιορισµός των δυναµικών ταλαντωτικών χαρακτηριστικών της εργαλειοµηχανής και του κοπτικού εργαλείου στη θέση κοπής Στα πλαίσια του παρόντος ερευνητικού έργου έγινε προσδιορισµός της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 7. έκδοση DΥΝI-EXC b

ΑΣΚΗΣΗ 7. έκδοση DΥΝI-EXC b ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 7 έκδοση DΥΝI-EXC07-06b Copyright Ε.Μ.Π. - 06 Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 10.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 10. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι -. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - opyrght ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών -. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος.

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3.

Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3. ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 3.1 - Cpright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 2012. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 9. έκδοση ΕΧ b

ΑΣΚΗΣΗ 9. έκδοση ΕΧ b ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 9 έκδοση ΕΧ9-215b Copyright Ε.Μ.Π. - 215 Σχολή Μηχανολόγων

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : 2010-2011 Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 13.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : 2010-2011 Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 13. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 3. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 opyrigh ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 00. Με επιφύλαξη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ έκδοση DΥΝI-INTDYN_2016b Copyright

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 2. έκδοση ΕΧ b

ΑΣΚΗΣΗ 2. έκδοση ΕΧ b ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 2 έκδοση ΕΧ02-2015b Copyright Ε.Μ.Π. - 2015 Σχολή Μηχανολόγων

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Δυναμικά Μοντέλα Συνεχούς Μέσου

Δυναμική Μηχανών I. Δυναμικά Μοντέλα Συνεχούς Μέσου Δυναμική Μηχανών I 8 1 Δυναμικά Μοντέλα Συνεχούς Μέσου 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα

Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ Δυναμική Ανάλυση Ραβδωτών Φορέων 1 1. Είδη γενικευμένων μονοβαθμίων συστημάτων xu

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών. Πολυβάθμια Συστήματα. Ε.Ι. Σαπουντζάκης. Καθηγητής ΕΜΠ. Δυναμική Ανάλυση Ραβδωτών Φορέων

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών. Πολυβάθμια Συστήματα. Ε.Ι. Σαπουντζάκης. Καθηγητής ΕΜΠ. Δυναμική Ανάλυση Ραβδωτών Φορέων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Πολυβάθμια Συστήματα Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ Συστήματα με Κατανεμημένη Μάζα και Δυσκαμψία 1. Εξίσωση Κίνησης χωρίς Απόσβεση: Επιβαλλόμενες

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 15.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 15. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 010-011 ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 15.1 - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 010-011 Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 010.

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Ιδιοανυσματική Ανάλυση

Δυναμική Μηχανών I. Ιδιοανυσματική Ανάλυση Δυναμική Μηχανών I 6 3 Ιδιοανυσματική Ανάλυση 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα Ιδιοανυσματική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ A. 1 Εισαγωγή στην Ανάλυση των Κατασκευών 3

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ A. 1 Εισαγωγή στην Ανάλυση των Κατασκευών 3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ A 1 Εισαγωγή στην Ανάλυση των Κατασκευών 3 1.1 Κατασκευές και δομοστατική 3 1.2 Διαδικασία σχεδίασης κατασκευών 4 1.3 Βασικά δομικά στοιχεία 6 1.4 Είδη κατασκευών 8 1.4.1 Δικτυώματα 8

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών - Πειράματα Μονοβαθμίων Συστημάτων (ΜΒΣ) σε Σεισμική Τράπεζα

Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών - Πειράματα Μονοβαθμίων Συστημάτων (ΜΒΣ) σε Σεισμική Τράπεζα ΠΠΜ 5: Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ, Πειράματα ΜΒΣ σε Σεισμική Τράπεζα Πανεπιστήμιο Κύπρου Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών και Μηχανικών Περιβάλλοντος ΠΠΜ 5: Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ Δυναμική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93 ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 5.. Εισαγωγή Η παρουσία εξωτερικών διεγέρσεων σε ένα σύστηµα πολλών Β.Ε. δηµιουργεί σ'

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα στις Ταλαντώσεις ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1

ιαγώνισµα στις Ταλαντώσεις ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1 ιαγώνισµα στις Ταλαντώσεις ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1 ΘΕΜΑ 1 0 Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 04-05 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 5. - Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 04-05 opyight ΕΜΠ - Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

Αντοχή κατασκευαστικών στοιχείων σε κόπωση

Αντοχή κατασκευαστικών στοιχείων σε κόπωση 11.. ΚΟΠΩΣΗ Ενώ ο υπολογισμός της ροπής αντίστασης της μέσης τομής ως το πηλίκο της ροπής σχεδίασης προς τη μέγιστη επιτρεπόμενη τάση, όπως τα μεγέθη αυτά ορίζονται κατά ΙΑS, προσβλέπει στο να εξασφαλίσει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ & ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ & ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ & ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE έκδοση DΥΝI-TFLT_016b

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΚΤΙΚΑ ΜΕΛΗ. ΦΕΚ τελευταίου διορισμού. α/α Ονοματεπώνυμο Βαθμίδα Ίδρυμα Σχολή/Τμήμα Γνωστικό Αντικείμενο. Αιτιολόγηση

ΤΑΚΤΙΚΑ ΜΕΛΗ. ΦΕΚ τελευταίου διορισμού. α/α Ονοματεπώνυμο Βαθμίδα Ίδρυμα Σχολή/Τμήμα Γνωστικό Αντικείμενο. Αιτιολόγηση Ορισμός Ειδικής Επταμελούς Επιτροπής κρίσης του Αναπληρωτή Καθηγητή Νικολάου Τσούβαλη, στη βαθμίδα του Καθηγητή. Αριθμ. Προκήρυξης: 3908/20.2.2012 Γνωστικό Αντικείμενο: «Μηχανική Συμπεριφορά Υλικών με

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση 2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση Ένας τροχός εκκινεί από την ηρεμία και επιταχύνει με γωνιακή ταχύτητα που δίνεται από την,

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου.

Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. Μ3 Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. 1 Σκοπός Στην άσκηση αυτή θα προσδιοριστεί η σταθερά ενός ελατηρίου χρησιμοποιώντας στην ακολουθούμενη διαδικασία τον νόμο του Hooke και τη σχέση της περιόδου

Διαβάστε περισσότερα

Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος (συνέχεια)

Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος (συνέχεια) Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος (συνέχεια) Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος: Επιρροή Μόνιμου Φορτίου Βαρύτητας Δ03-2 Μέχρι τώρα στη διατύπωση της εξίσωσης κίνησης δεν έχει ληφθεί υπόψη το

Διαβάστε περισσότερα

Πολυβάθμια Συστήματα

Πολυβάθμια Συστήματα Πολυβάθμια Συστήματα Εισαγωγή Πολυβάθμια Συστήματα: Δ19-2 Η βασική προϋπόθεση για την προσομοίωση μίας κατασκευής ως μονοβάθμιο ταλαντωτή είναι πως η μάζα, ο μηχανισμός απόσβεσης και η ακαμψία μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι. Όλο το εκπαιδευτικό υλικό του μαθήματος θα αναρτάται στην ιστοσελίδα: http://courseware.mech.ntua.gr/ml23065/

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι. Όλο το εκπαιδευτικό υλικό του μαθήματος θα αναρτάται στην ιστοσελίδα: http://courseware.mech.ntua.gr/ml23065/ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ: Δρ. Ιωάννης Αντωνιάδης, Αν.Καθηγητής Τομέας Μηχανολογικών Κατασκευών και Αυτομάτου Ελέγχου Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών Διευθυντής Γραφείο: Κτήριο (Ε), 3 ος όροφος,

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 16.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 16. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 6. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών -. Με επιφύλαξη παντός

Διαβάστε περισσότερα

7. Δυναμική Ανάλυση ΠΒΣ

7. Δυναμική Ανάλυση ΠΒΣ ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 7. Δυναμική Ανάλυση ΠΒΣ Χειμερινό εξάμηνο 2016 Πέτρος Κωμοδρόμος komodromos@ucy.ac.cy http://www.eng.ucy.ac.cy/petros 1 Θέματα Εισαγωγή στα πολυβάθμια συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ

3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ 3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ Η δυναµική ασχολείται µε την εξαγωγή και τη µελέτη του δυναµικού µοντέλου ενός ροµποτικού βραχίονα. Το δυναµικό µοντέλο συνίσταται στις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΚΕΥΕΣ ΕΝΙΣΧΥΣΕΙΣ ΥΦΙΣΤΑΜΕΝΩΝ ΚΤΙΡΙΩΝ. Γ. Παναγόπουλος Καθηγητής Εφαρμογών, ΤΕΙ Σερρών

ΕΠΙΣΚΕΥΕΣ ΕΝΙΣΧΥΣΕΙΣ ΥΦΙΣΤΑΜΕΝΩΝ ΚΤΙΡΙΩΝ. Γ. Παναγόπουλος Καθηγητής Εφαρμογών, ΤΕΙ Σερρών ΕΠΙΣΚΕΥΕΣ ΕΝΙΣΧΥΣΕΙΣ ΥΦΙΣΤΑΜΕΝΩΝ ΚΤΙΡΙΩΝ Γ. Παναγόπουλος Καθηγητής Εφαρμογών, ΤΕΙ Σερρών H ανελαστική στατική ανάλυση (pushover) στον ΚΑΝ.ΕΠΕ. Επιτρεπόμενες μέθοδοι ανάλυσης στον ΚΑΝ.ΕΠΕ. Ελαστικές μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional).

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional). 3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ Η Μέθοδος των Πεπερασµένων Στοιχείων Σηµειώσεις 3. Ενεργειακή θεώρηση σε συνεχή συστήµατα Έστω η δοκός του σχήµατος, µε τις αντίστοιχες φορτίσεις. + = p() EA = Q Σχήµα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Πείραμα Κόπωσης. ΕργαστηριακήΆσκηση 5 η

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Πείραμα Κόπωσης. ΕργαστηριακήΆσκηση 5 η ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Πείραμα Κόπωσης ΕργαστηριακήΆσκηση 5 η Σκοπός Σκοπός του πειράµατος είναι να κατανοηθούν οι αρχές του πειράµατος κόπωσης ο προσδιορισµός της καµπύλης Wöhler ενός υλικού µέσω της οποίας καθορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Πειραματική αντοχή των υλικών Πείραμα Στρέψης

Μάθημα: Πειραματική αντοχή των υλικών Πείραμα Στρέψης Μάθημα: Πειραματική αντοχή των υλικών Πείραμα Στρέψης Κατασκευαστικός Τομέας Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Σχήμα 1 Στρέψη κυκλικής διατομής

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel)

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel) Εξαναγκασμένη Ταλάντωση Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel) Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση: Απόκριση σε Τυχαία Φόρτιση: Βασική Ιδέα Δ10-2 Το πρόβλημα της κίνησης μονοβάθμιου συστήματος σε τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

7 η 8 η ΕργαστηριακήΆσκηση ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΥΓΡΗΣ ΛΙΠΑΝΣΗΣ ΣΕ Ε ΡΑΝΑ

7 η 8 η ΕργαστηριακήΆσκηση ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΥΓΡΗΣ ΛΙΠΑΝΣΗΣ ΣΕ Ε ΡΑΝΑ 7 η 8 η ΕργαστηριακήΆσκηση ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΥΓΡΗΣ ΛΙΠΑΝΣΗΣ ΣΕ Ε ΡΑΝΑ ΠΕΡΙ ΛΙΠΑΝΣΗΣ ΚΑΙ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΣΜΩΝ ΑΚΤΙΝΙΚΑ Ε ΡΑΝΑ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ ΩΣΤΙΚΑ Ε ΡΑΝΑ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ Εργαστήριο Τριβολογίας Ιούνιος 2011 Αθανάσιος Μουρλάς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο : Θεωρητική προσέγγιση της FDTD

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο : Θεωρητική προσέγγιση της FDTD ΚΦΑΛΑΙΟ 4ο : Θεωρητική προσέγγιση της DTD 4.. ισαγωγή Από τις τρεις µεθόδους πρόβλεψης των επενεργειών της ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας πειραµατική αναλυτική υπολογιστική- η υπολογιστική είναι η νεότερη

Διαβάστε περισσότερα

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο;

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Συνήθως ο όρος φίλτρο υποδηλώνει µια διαδικασία αποµάκρυνσης µη επιθυµητών στοιχείων Απότολατινικόόροfelt : το υλικό για το φιλτράρισµα υγρών Στη εποχή των ραδιολυχνίων:

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 3 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Περιεχόμενα: Διακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Επανάληψη: Διακριτά στοιχεία μηχανικών δυναμικών συστημάτων Δυναμικά

Διαβάστε περισσότερα

mu l mu l Άσκηση Μ3 Μαθηματικό εκκρεμές Ορισμός

mu l mu l Άσκηση Μ3 Μαθηματικό εκκρεμές Ορισμός Άσκηση Μ3 Μαθηματικό εκκρεμές Ορισμός Μαθηματικό εκκρεμές ονομάζεται μια σημειακή μάζα, η οποία είναι αναρτημένη σε νήμα. Το ίδιο το νήμα δεν έχει δική του μάζα και το οποίο εξάλλου δεν μπορεί να επιμηκυνθεί.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 ο Στις ερωτήσεις 1 4 να γράψετε τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση

ΘΕΜΑ 1 ο Στις ερωτήσεις 1 4 να γράψετε τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2013 Γ Λυκείου Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ 1 ο Στις ερωτήσεις 1 4 να γράψετε τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση 1. Σώμα

Διαβάστε περισσότερα

Τα στάδια της υπολογιστικής προσομοίωσης επεξήγονται αναλυτικά παρακάτω

Τα στάδια της υπολογιστικής προσομοίωσης επεξήγονται αναλυτικά παρακάτω Διαδικασία υπολογιστικής προσομοίωσης Η διαδικασία της υπολογιστικής προσομοίωσης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων με εμπορικό λογισμικό περιλαμβάνει τα στάδια που φαίνονται στο διάγραμμα του Σχ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Θέµα 1 (25 µονάδες) Ένα εκκρεµές µήκους l κρέµεται έτσι ώστε η σηµειακή µάζα να βρίσκεται ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

10 Ν 100 εκ (1 μέτρο) Άγνωστο Ψ (N) 20 εκ (0.2 Μ)

10 Ν 100 εκ (1 μέτρο) Άγνωστο Ψ (N) 20 εκ (0.2 Μ) Τεχνολογία A τάξης Λυκείου Μάθημα 20 ον - Μηχανισμοί Φύλλο εργασίας Μοχλοί σελίδες Dan-78-87 Collins 167-208 1. Ο άνθρωπος όταν πρωτοεμφανίστηκε στην γη ανακάλυψε πολύ σύντομα την χρήση του μοχλού για

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Σύνοψη Εξεταστέας Ύλης

Δυναμική Μηχανών I. Σύνοψη Εξεταστέας Ύλης Δυναμική Μηχανών I 9 1 Σύνοψη Εξεταστέας Ύλης 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Ύλη Δυναμικής Μηχανών

Διαβάστε περισσότερα

ΔYNAMIKH ΜΗΧΑΝΩΝ Ι. Δρ. Ιωάννης Αντωνιάδης, Καθηγητής Δ/ντής, Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών

ΔYNAMIKH ΜΗΧΑΝΩΝ Ι. Δρ. Ιωάννης Αντωνιάδης, Καθηγητής Δ/ντής, Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών ΔYNAMIKH ΜΗΧΑΝΩΝ Ι Εισαγωγή στην Δυναμική Μηχανών, Δομών και Συστημάτων 5 ο εξάμηνο Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών, Ε.Μ.Π. Δρ. Ιωάννης Αντωνιάδης, Καθηγητής Δ/ντής, Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ Α.Ε.Ι.

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ Α.Ε.Ι. ΙΟΥΛΙΟΣ-ΑΥΓΟΥΣΤΟΣ 2004 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 1 ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ Α.Ε.Ι. Η πρόοδος και η ανάπτυξη της τεχνολογίας κατά τα τελευταία χρόνια οδήγησε στη σύσταση και λειτουργία εξειδικευμένων τεχνολογικών κέντρων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση Hamilton:, όπου κάποια σταθερά και η κανονική θέση και ορµή

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Εισαγωγή στον Υπολογισμό της Χρονικής. Απόκρισης Δυναμικών Εξισώσεων

Δυναμική Μηχανών I. Εισαγωγή στον Υπολογισμό της Χρονικής. Απόκρισης Δυναμικών Εξισώσεων Δυναμική Μηχανών I Εισαγωγή στον Υπολογισμό της Χρονικής 5 1 Απόκρισης Δυναμικών Εξισώσεων 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Αντισεισμικοί κανονισμοί Κεφ.23. Ε.Σώκος Εργαστήριο Σεισμολογίας Παν.Πατρών

Αντισεισμικοί κανονισμοί Κεφ.23. Ε.Σώκος Εργαστήριο Σεισμολογίας Παν.Πατρών Κεφ.23 Ε.Σώκος Εργαστήριο Σεισμολογίας Παν.Πατρών Ο αντισεισμικός σχεδιασμός απαιτεί την εκ των προτέρων εκτίμηση των δυνάμεων που αναμένεται να δράσουν επάνω στην κατασκευή κατά τη διάρκεια της ζωής της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ. Ενότητα 1 η Εισαγωγή στους Μηχανισµούς

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ. Ενότητα 1 η Εισαγωγή στους Μηχανισµούς ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ Ενότητα 1 η Εισαγωγή στους Μηχανισµούς Βασικά στοιχεία για το µάθηµα - Η εκπαιδευτική και εξεταστέα ύλη του µαθήµατος θα παρουσιάζεται στις διαλέξεις και θα

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης

Δυναμική Μηχανών I. Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης Δυναμική Μηχανών I 5 5 Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο. Πεδίο της Συχνότητας

Δυναμική Μηχανών I. Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο. Πεδίο της Συχνότητας Δυναμική Μηχανών I Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο 7 4 Πεδίο της Συχνότητας 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις Ελατηρίου Απλή αρµονική κίνηση Ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή Σχέση απλού αρµονικού ταλαντωτή και κυκλικής κίνησης Τοαπλόεκκρεµές Περιεχόµενα 14 Το φυσικό εκκρεµές

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις - 4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση..

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 6.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 6. ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 6. - Cpyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 00. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποθήκευση

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Ταλαντώσεις/Κύµατα/Doppler

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Ταλαντώσεις/Κύµατα/Doppler ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Ταλαντώσεις/Κύµατα/Doppler Σύνολο Σελίδων: οκτώ (8) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Κυριακή 29 Νοέµβρη 2015 Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις Α.1

Διαβάστε περισσότερα

συντονισµός δ. όταν η συχνότητα της διεγείρουσας δύναµης συµπέσει µε την ιδιοσυχνότητα του συστήµατος, το πλάτος γίνεται ελάχιστο 4. Κατά τη σκέδαση 2

συντονισµός δ. όταν η συχνότητα της διεγείρουσας δύναµης συµπέσει µε την ιδιοσυχνότητα του συστήµατος, το πλάτος γίνεται ελάχιστο 4. Κατά τη σκέδαση 2 THΛ: 270727 222594 THΛ: 919113 949422! " # $ # # " % $ & " ' " % $ ' " ( # " ' ) % $ Α. Για τις παρακάτω προτάσεις 1-4 να γράψετε το γράµµα α, β, γ ή δ, που αντιστοιχεί στην σωστή απάντηση 1. Η συχνότητα

Διαβάστε περισσότερα

ιάλεξη 7 η, 8 η και 9 η

ιάλεξη 7 η, 8 η και 9 η ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιάλεξη 7 η, 8 η και 9 η Ανάλυση Ισοστατικών οκών και Πλαισίων Τρίτη,, 21, Τετάρτη,, 22 και Παρασκευή 24 Σεπτεµβρίου,, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Ισοστατικά πλαίσια με συνδέσμους (α) (β) Στατική επίλυση ισοστατικών πλαισίων

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης

Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης Εισαγωγή Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης: Δ18- Η δυναμική μετατόπιση u(t) είναι δυνατό να προσδιοριστεί με απ ευθείας αριθμητική ολοκλήρωση της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3.

Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3. ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 3.1 - Cpright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 1. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ÁÎÉÁ ÅÊÐÁÉÄÅÕÔÉÊÏÓ ÏÌÉËÏÓ

ÁÎÉÁ ÅÊÐÁÉÄÅÕÔÉÊÏÓ ÏÌÉËÏÓ Θέµα Α ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 3 ΜΑΪOY 016 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και, δίπλα, το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία συµπληρώνει

Διαβάστε περισσότερα

3 Φθίνουσες Ταλαντώσεις

3 Φθίνουσες Ταλαντώσεις 3 Φθίνουσες Ταλαντώσεις 3.1 Μηχανικές Ταλαντώσεις Οι ταλαντώσεις των οποίων το πλάτος µειώνεται µε τον χρόνο και τελικά µηδενίζεται λέγονται Φθίνουσες ή Αποσβεννύµενες. Ολες οι ταλαντώσεις στην ϕύση είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής

Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Εννοιολογική αναπαράσταση δίκτυων διανομής Σχηματοποίηση: δικτυακή απεικόνιση των συνιστωσών του φυσικού συστήματος ως συνιστώσες ενός εννοιολογικού μοντέλου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ. Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΚΑΜΨΗ. 1.

ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ. Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΚΑΜΨΗ. 1. ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΚΑΜΨΗ 1. Γενικά Με τη δοκιμή κάμψης ελέγχεται η αντοχή σε κάμψη δοκών από διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ- ΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ- ΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ σύγχρονο Φάσµα Group προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. µαθητικό φροντιστήριο Γραβιάς 85 ΚΗΠΟΥΠΟΛΗ 50.51.557 50.56.296 25ης Μαρτίου 111 ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗ 50.27.990 50.20.990 25ης Μαρτίου 74 Πλ.ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ 50.50.658

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις Ελατηρίου Απλή αρµονική κίνηση Ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή Σχέση απλού αρµονικού ταλαντωτή και κυκλικής κίνησης Το απλό εκκρεµές Περιεχόµενα 14 Το φυσικό εκκρεµές

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2005

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2005 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 5 Επίθετο: Όνομα: Τμήμα: ΘΕΜΑ Ο Στις ερωτήσεις που ακολουθούν να βάλετε σε κύκλο το γράμμα της απάντησης που θεωρείτε σωστή..ένα σώμα εκτελεί απλή

Διαβάστε περισσότερα

Σεισµική µόνωση γεφυρών µε το SAP2000

Σεισµική µόνωση γεφυρών µε το SAP2000 Σεισµική µόνωση γεφυρών µε το SAP2000 Η σεισµική προστασία γεφυρών στην Ελλάδα σήµερα Γενικά Η σεισµική προστασία των γεφυρών αποτελεί ένα µέληµα πρωτίστης σηµασίας για την πολιτεία λόγω της εξαιρετικής

Διαβάστε περισσότερα

Η επιτάχυνση της βαρύτητας στον Πλανήτη Άρη είναι g=3,7 m/s 2 και τα πλαίσια αποτελούν μεγέθυνση των αντίστοιχων θέσεων.

Η επιτάχυνση της βαρύτητας στον Πλανήτη Άρη είναι g=3,7 m/s 2 και τα πλαίσια αποτελούν μεγέθυνση των αντίστοιχων θέσεων. ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Η επεξεργασία των θεμάτων θα γίνει γραπτώς σε χαρτί Α4 ή σε τετράδιο που θα σας δοθεί (το οποίο θα παραδώσετε στο τέλος της εξέτασης). Εκεί θα σχεδιάσετε και όσα γραφήματα ζητούνται στο Θεωρητικό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 1: δυναμικά φορτία Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή 1-1 Η Επιστήµη της Αντοχής των Υλικών, 1-2 Γενικές παραδοχές, 1-3 Κατάταξη δυνάµεων, 1-4 Είδη στηρίξεων, 1-5 Μέθοδος τοµών, Παραδείγµατα, 1-6 Σχέσεις µεταξύ εσωτερικών και εξωτερικών δυνάµεων, Παραδείγµατα,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 15. 10. Εσχάρες... 17

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 15. 10. Εσχάρες... 17 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 15 10. Εσχάρες... 17 Γενικότητες... 17 10.1 Κύρια χαρακτηριστικά της φέρουσας λειτουργίας... 18 10.2 Στατική διάταξη και λειτουργία λοξών γεφυρών... 28 11. Πλάκες...

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ε_3.Φλ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Κυριακή 4 Απριλίου 6 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α Α4 να γράψετε στο απαντητικό φύλλο τον αριθµό της πρότασης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. Στις ημιτελείς προτάσεις - 4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία τη συμπληρώνει σωστά.. Το μέτρο της

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ε π α ν α λ η π τ ι κ ά θ έ µ α τ α 0 0 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΘΕΜΑ 1 o Για τις ερωτήσεις 1 4, να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που

Διαβάστε περισσότερα

k c (1) F ελ f ( t) F απ http://www.didefth.gr/mathimata/ 1

k c (1) F ελ f ( t) F απ http://www.didefth.gr/mathimata/ 1 Την παρακάτω ανάλυση στο θέµα των Εξαναγκασµένων Ταλαντώσεων έκαναν οι : ρ. Μιχάλης Αθανασίου ρ. Απόστολος Κουιρουκίδης Φυσικοί, Επιστηµονικοί Συνεργάτες ΤΕΙ Σερρών, στα Τµήµατα Πληροφορικής -Επικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης

Διαβάστε περισσότερα

M m l B r mglsin mlcos x ml 2 1) Να εισαχθεί το µοντέλο στο simulink ορίζοντας από πριν στο MATLAB τις µεταβλητές Μ,m,br

M m l B r mglsin mlcos x ml 2 1) Να εισαχθεί το µοντέλο στο simulink ορίζοντας από πριν στο MATLAB τις µεταβλητές Μ,m,br ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ένα σύστηµα εκκρεµούς όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα: Πάνω στη µάζα Μ επιδρά µια οριζόντια δύναµη F l την οποία και θεωρούµε σαν είσοδο στο σύστηµα. Έξοδος του συστήµατος θεωρείται η απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1 Σχήμα 1 Τεχνικής Μηχανικής Διαγράμματα Ελευθέρου Σώματος (Δ.Ε.Σ.) Υπολογισμός Αντιδράσεων Διαγράμματα Φορτίσεων Διατομών (MNQ) Αντοχή Φορέα? Αντικείμενο Τεχνικής Μηχανικής Σχήμα 2 F Y A Γ B A Y B Y 1000N

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοίωση μετωπικού φραιζαρίσματος με πεπερασμένα στοιχεία

Προσομοίωση μετωπικού φραιζαρίσματος με πεπερασμένα στοιχεία 1 Προσομοίωση μετωπικού φραιζαρίσματος με πεπερασμένα στοιχεία 2 Μετωπικό φραιζάρισμα: Χρησιμοποιείται κυρίως στις αρχικές φάσεις της κατεργασίας (φάση εκχόνδρισης) Μεγάλη διάμετρο Μεγάλες προώσεις μείωση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Α ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Α ΦΑΣΗ ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ηµεροµηνία: Τετάρτη 7 Ιανουαρίου 015 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ A ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1 Α4 να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 d x dx Η διαφορική εξίσωση κίνησης ενός ταλαντωτή δίνεται από τη σχέση: λ μx. Αν η μάζα d d του ταλαντωτή είναι ίση με =.5 kg, τότε να διερευνήσετε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

απόσβεσης, με τη βοήθεια της διάταξης που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η σταθερά του ελατηρίου είναι ίση με k = 45 N/m και η χρονική εξίσωση της

απόσβεσης, με τη βοήθεια της διάταξης που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η σταθερά του ελατηρίου είναι ίση με k = 45 N/m και η χρονική εξίσωση της 1. Ένα σώμα μάζας m =, kg εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση μικρής απόσβεσης, με τη βοήθεια της διάταξης που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η σταθερά του ελατηρίου είναι ίση με k = 45 N/m και η χρονική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης

Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης Σύνοψη Σκοπός της συγκεκριμένης άσκησης είναι ο υπολογισμός του μέτρου της στιγμιαίας ταχύτητας και της επιτάχυνσης ενός υλικού σημείου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ 08/01/2017 ΘΕΜΑ Α

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ 08/01/2017 ΘΕΜΑ Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ 08/01/2017 ΘΕΜΑ Α Στις παρακάτω ερωτήσεις πολλαπλού τύπου 1-7, να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και στο απαντητικό σας φύλλο να μεταφέρετε τον αριθμό και το γράμμα της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 2003 ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θ Ε Μ Α 1 ο Οδηγία: Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 6: ΔΙΑΜΗΚΕΙΣ ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 6: ΔΙΑΜΗΚΕΙΣ ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 6: ΔΙΑΜΗΚΕΙΣ ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ Εισαγωγή Μοντελοποίηση αεροδυναμικών φαινομένων: Το σημαντικότερο ίσως ζήτημα στη μελέτη της δυναμικής πτήσης: Αναγνώριση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 3B: ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΙΝΗΣΗΣ ΑΠΟΣΥΖΕΥΓΜΕΝΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 3B: ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΙΝΗΣΗΣ ΑΠΟΣΥΖΕΥΓΜΕΝΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 3B: ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΙΝΗΣΗΣ ΑΠΟΣΥΖΕΥΓΜΕΝΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΝΟΨΗ Μόνιμη κατάσταση και κατάσταση διαταραχής Γραμμικοποίηση των κινηματικών και των αδρανειακών όρων Γραμμικοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ÈÅÌÅËÉÏ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ÈÅÌÅËÉÏ ΘΕΜΑ 1ο ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα