Mαγνητικά Kυκλώματα. Υποθέτοντας ότι ο πυρήνας έχει άπειρη διαπερατότητα (μ r

Transcript

1 Μέρος 1 Mαγνητικά Kυκλώματα 1-1 Λυμένες Ασκήσεις Άσκηση 1-1 Υποθέτοντας ότι ο πυρήνας έχει άπειρη διαπερατότητα (μ r ), να υπολογισθεί η μαγνητική επαγωγή στο διάκενο του μαγνητικού κυκλώματος που απεικονίζεται στο Σχ Σχήμα 1-1. Το μαγνητικό κύκλωμα της Άσκ Το ισοδύναμο κύκλωμα, το οποίο φαίνεται στο Σχ. 1- μπορεί να απλοποιηθεί και να καταλήξει στη μορφή του κυκλώματος του Σχ Η μαγνητική αντίσταση διάκενου είναι δ μ 0 ( ) 50 8μ 0 Η μαγνητική αντίσταση του υλικού όπου εδράζεται ο κινητός οπλισμός είναι εδ Η ολική μαγνητική αντίσταση υπολογίζεται 10 3 μ 0 ( ) 0 4μ 0 1

2 ολ δ εδ 8μ 0 Σχήμα 1-. Ισοδύναμο κύκλωμα της Άσκ Σχήμα 1-3. Ισοδύναμο κύκλωμα της Άσκ Η ροή διάκενου είναι φ δ ολ Ni ολ 70 /(8μ 0 ) 400μ 0 7 Η μαγνητική επαγωγή στο διάκενο του μαγνητικού κυκλώματος υπολογίζεται Β δ φ δ A δ 400μ 0 / (4π 10 7 )/ mT Άσκηση 1- Ένα μαγνητικό κύκλωμα μεταβλητής διατομής απεικονίζεται στο Σχ Το τμήμα του χάλυβα relay έχει τα χαρακτηριστικά που απεικονίζονται στο διάγραμμα του Σχ Δίνονται: N 100 ελίγματα, l 1 4l 40cm, A 1 A 10cm, l δ mm και ροή σκέδασης φ σκ 0, 01mWb. Να υπολογισθεί το ρεύμα i που απαιτείται ώστε η μαγνητική ροή στο διάκενο του μαγνητικού κυκλώματος να έχει μαγνητική επαγωγή B δ 0, 6T. Για να επιλύσουμε την άσκηση αυτή, πρέπει να υπολογίσουμε τη ΜΕΔ του πηνίου. Αυτή είναι ίση με το άθροισμα των πτώσεων τάσης κατά μήκος του διάκενου, των δύο τμημάτων χάλυβα διατομής A 1 και του τμήματος χάλυβα διατομής A. Η μέθοδος υπολογισμού με την ολική μαγνητική αντίσταση δεν εφαρμόζεται εδώ γιατί η καμπύλη

3 του Σχ. 1-5 δείχνει ότι η σχέση Β-Η δεν είναι γραμμική. Για το λόγο αυτό, υπολογίζουμε την επαγωγή Β κάθε τμήματος, από αυτή και το Σχ. 1-5 υπολογίζουμε την ένταση του πεδίου, Η, και από αυτή την πτώση τάσης, Ηl. B l l 1 A 1 A l 1 l Σχήμα 1-4. Το μαγνητικό κύκλωμα της Άσκ.1-. B [T ] 1, 0,8 0, H [A / m] Σχήμα 1-5. Kανονική καμπύλη μαγνήτισης χάλυβα relay του πυρήνα του Σχ Για το διάκενο, η επαγωγή είναι 0,6Τ. Η ένταση του μαγνητικού πεδίου στο διάκενο είναι H δ 0, 6 μ 0 4, A / m Επίσης, ο νόμος του Ampère για το διάκενο δίνει πτώση τάσης δ H δ l δ (4, ) ( 10 3 ) 956A / m Λόγω της συνέχειας της μαγνητικής ροής κατά μήκος του μαγνητικού κυκλώματος φ δ B δ A 1 B l1 A 1 B δ B l1 0, 6T Με τη βοήθεια της κανονικής καμπύλης μαγνήτισης του Σχ. 1-5, προκύπτει ότι για B 0, 6T, η ένταση είναι H 100A / m. Συνεπώς, για τα δύο τμήματα χάλυβα με μήκος l 1 ο νόμος του Ampère δίνει H(l l 1 1 ) 100 ( 0, 4) 80A / m 3

4 Η ροή διάκενου που διαρρέει όλο το μαγνητικό κύκλωμα εκτός από το τμήμα μήκους l είναι φ δ B δ A 1 0, 6 ( ) 0, 6mWb Η ολική ροή που δημιουργεί το πηνίο είναι η ροή διάκενου συν τη ροή σκέδασης που δεν περνά από το μαγνητικό δρόμο κατά μήκος του χάλυβα. Είναι φ ολ φ δ + φ σκ 0, 6 + 0, 01 0, 61mWb Η μαγνητική επαγωγή στο τμήμα του χάλυβα μήκους l είναι Β l φ ολ A 0, , T Με τη βοήθεια της κανονικής καμπύλης μαγνήτισης του Σχ. 1-5 προκύπτει γι αυτή την επαγωγή, η ένταση του μαγνητικού πεδίου είναι H 410A / m. Συνεπώς, για το τμήμα μήκους l ο νόμος του Ampère δίνει πτώση l Hl 410 0,1 41A / m Άρα, η συνολική ΜΕΔ υπολογίζεται ολ δ + l 1 + l A / m Και, τελικά, το ρεύμα i που ζητείται είναι Άσκηση 1-3 i ολ N ,77A Να προσδιορισθούν η (συνολική) αυτεπαγωγή και η επαγωγή σκέδασης του πηνίου της Άσκ. 1-, το οποίο εικονίζεται στο Σχ Με τη βοήθεια της Άσκ. 1- η (συνολική) αυτεπαγωγή και επαγωγή σκέδασης του πηνίου υπολογίζονται αντίστοιχα L Nφ ολ i L σκ Nφ σκ i 100 (0, ) 10, (0, ) 10,77 5, 66mH 0,093mH 4

5 Άσκηση 1-4 Να υπολογισθεί η μαγνητική ενέργεια που αποθηκεύεται στο σίδηρο και στο διάκενο του μαγνητικού κυκλώματος της Άσκ. 1- (βλ. Σχ. 1-4). Κατ αναλογία με τα ηλεκτρικά κυκλώματα (αν και στα μαγνητικά κυκλώματα δεν καταστρέφεται ενέργεια), η μαγνητική ενέργεια που αποθηκεύεται στο διάκενο του μαγνητικού κυκλώματος είναι w δ 1 φ 1 B δ A δ δ 1 B μ 0 A δ μ δ V δ 0 Επομένως w δ 1 1 B μ δ V δ 0 4π 10 0, 7 6 [( ) ( 10 3 )] 0,86J Η μαγνητική ενέργεια που αποθηκεύεται στο χάλυβα του μαγνητικού κυκλώματος υπολογίζεται (με τη βοήθεια της Άσκ. 1-3) w σιδ 1 Li w δ 1 N Φ ολ i w δ 0,38 0,86 0,04J Παρατηρούμε ότι αυτή η ενέργεια είναι σχεδόν 7 φορές μικρότερη από την ενέργεια στο διάκενο και επομένως θα μπορούσαμε να υποθέσουμε ότι ο χάλυβας έχει άπειρη διαπερατότητα, με συνέπεια μικρό σφάλμα. 1- Άλυτες Aσκήσεις Άσκηση 1-5 Το μαγνητικό κύκλωμα του Σχ. 1-6 έχει τα χαρακτηριστικά που περιγράφονται στο διάγραμμα του Σχ Να υπολογισθεί η ΜΕΔ του πηνίου, αν η μαγνητική ροή στο διάκενο του μαγνητικού κυκλώματος έχει μαγνητική επαγωγή 1T. Σχήμα 1-6. Το μαγνητικό κύκλωμα της Άσκ (Απ. 90 Aμπερελίγματα) 5

6 Άσκηση 1-6 Το πηνίο του Σχ. 1-6 έχει 90 ελίγματα. Για τα δεδομένα της Άσκ. 1-5, να υπολογισθούν (α) η ενέργεια που αποθηκεύεται στο πηνίο, (β) η ενέργεια που αποθηκεύεται στο διάκενο και (γ) η ενέργεια που αποθηκεύεται στο χάλυβα. (Απ. (α)1,13 J, (β) 0,995 J, (γ) 0,135 J) Άσκηση 1-7 Να υπολογισθεί η επαγωγή του πηνίου του Σχ. 1-6, της Άσκ. 1-5, (α) χωρίς να συμπεριληφθεί η επίδραση του πυρήνα χάλυβα (υποθέτοντας ότι ο πυρήνας είναι απείρως διαπερατός) και (β) συμπεριλαμβάνοντας την επίδραση του πυρήνα. (Απ. (α) 5,45 mh, (β),45 mh) 6

7 Μέρος Mηχανές Συνεχούς Pεύματος -1 Λυμένες Aσκήσεις Άσκηση -1 Μία 4-πολική μηχανή ΣΡ βροχοειδούς τύπου έχει 78 αγωγούς και στρέφεται στις rpm. Η μαγνητική ροή του κάθε πόλου της μηχανής είναι 30 mwb. Εάν το μέγιστο ρεύμα τυμπάνου είναι ίσο με i a 100A, να υπολογισθούν (α) η τάση ΗΕΔ της μηχανής, (β) η μέγιστη ηλεκτρομαγνητική ροπή που αναπτύσσεται στη μηχανή, (γ) η μέγιστη ηλεκτρομαγνητική ισχύς, (δ) το μέγιστο ρεύμα που διαρρέει κάθε αγωγό του τυμπάνου. Ο δρομέας της μηχανής αυτής τυλίγεται ξανά με ίδιους αγωγούς σε κυματοειδή περιέλιξη. Ο κάθε αγωγός μπορεί να δεχθεί το ίδιο μέγιστο ρεύμα όπως και στην προηγούμενη περίπτωση. Να υπολογισθούν (ε) το νέο ρεύμα τυμπάνου, (στ) η αναπτυσσόμενη ΗΕΔ, (ζ) η ηλεκτρομαγνητική ισχύς. Τι παρατηρείτε; (α) Επειδή τα τυλίγματα του δρομέα είναι βροχοειδούς τύπου, ισχύει : P a, όπου P 4 είναι ο αριθμός των πόλων της μηχανής. Η τάση ΗΕΔ δίνεται από τη σχέση e α ZPΦn 60α ,0V 60 4 (β) Η μέγιστη ηλεκτρομαγνητική ροπή αναπτύσσεται όταν το ρεύμα τυμπάνου είναι μέγιστο και είναι (η ροή παραμένει σταθερή) T e α i α ω π / ,59Nm. (γ) Η ηλεκτρομαγνητική ισχύς που αναπτύσσεται στα τυλίγματα του πεδίου υπολογίζεται από τη σχέση p max e a i a 546, ,6kW (δ) Το μέγιστο ρεύμα που δέχεται κάθε αγωγός των βροχοειδών τυλιγμάτων του δρομέα είναι i max,αγωγ. i α a A. 7

8 (ε) Στην περίπτωση που τα βροχοειδή τυλίγματα αντικατασταθούν με κυματοειδή, τότε ο αριθμός των παράλληλων κλάδων είναι a. Το ρεύμα τυμπάνου, με μέγιστο ρεύμα ανά αγωγό 5 Α, είναι i α α i max,αγωγ. 5 50A (στ) Η τάση ΗΕΔ είναι στην περίπτωση αυτή e α ZPΦn 60α V 60 (ζ) Η ηλεκτρομαγνητική ισχύς που αναπτύσσεται είναι p max e a i a ,6kW H μέγιστη ηλεκτρομαγνητική ισχύς και στις δύο περιπτώσεις παραμένει σταθερή. Όμως, στη δεύτερη περίπτωση, η τάση ΗΕΔ αυξήθηκε ενώ το ρεύμα ακροδεκτών της μηχανής μειώθηκε. Το ρεύμα που διαρρέει ένα αγωγό παρέμεινε σταθερό. Άσκηση - Μία γεννήτρια παράλληλης διέγερσης ΣΡ, ισχύος 100 kw και τάσης 30 V, έχει αντίσταση τυμπάνου και ψηκτρών R α 0, 05Ω και αντίσταση τυλιγμάτων πεδίου R f 57,5Ω. Υπολογίστε την τάση ΗΕΔ σε (α) πλήρες φορτίο και (β) στο ήμισυ του πλήρους φορτίου, αν η γεννήτρια λειτουργεί στην ονομαστική τιμή τάσης. Να αμεληθεί η πτώση τάσης στις επαφές των ψηκτρών. Στο Σχ. -1 φαίνεται το ισοδύναμο κύκλωμα της γεννήτριας. Προφανώς ισχύει ότι i f v γ R f 30 57,5 4A R a i a R f i f v e a L f i R Σχήμα -1. Κύκλωμα της Άσκ. -. (α) Για πλήρες (ονομαστικό) φορτίο ισχύουν οι σχέσεις 8

9 v γ i ϕ,o p o i ϕ,o p o ,8A v γ 30 i α,o i ϕ,o + i f ,8 438,8A v γ e α,o i α,o R α e α,o v γ + i α,o R α ,8 0, 05 5V (β) Σημειώστε ότι φορτίο 50% σημαίνει ισοδύναμα ή 50% του ονομαστικού ρεύματος τυμπάνου, ή 50% της ονομαστικής ισχύος. Η ισχύς είναι επομένως p p o 50kW i ϕ p , 4A v γ 30 i α i ϕ + i f , 4 1, 4A e α v γ + i α R α , 4 0, 05 41V Άσκηση -3 Η γεννήτρια της προηγούμενης άσκησης στρέφεται με rpm και έχει συνολικές μηχανικές απώλειες και απώλειες πυρήνα p α,μαγν 1, 8kW. Να υπολογισθούν: (α) η απόδοση της γεννήτριας σε πλήρες φορτίο (β) η ισχύς εξόδου της κινητήριας μηχανής που στρέφει τη γεννήτρια σ αυτό το φορτίο, (γ) η αναπτυσσόμενη από την κινητήρια μηχανή ροπή. Στην Άσκ. - υπολογίσθηκαν i α 438,8A, i f γεννήτριας είναι 4A. Η συνολικές απώλειες της p α i f R f + i α R α + p α,μαγν 4 57, ,8 0, , 8 1,35kW (α) Ο βαθμός απόδοσης είναι η p ηλ p μηχ p ηλ p ηλ + p απ ,35 89% (β) Η αποδιδόμενη ισχύς της κινητήριας μηχανής που στρέφει τη γεννήτρια είναι 11, p μηχ T μηχ ω T μηχ ω μηχ ,6hp (γ) Η ροπή της κινητήριας μηχανής είναι 9

10 T μηχ 11, π /30 715,4Nm Άσκηση -4 Μία γεννήτρια ΣΡ ξένης διέγερσης έχει σταθερές απώλειες ισχύος (εξαιρούνται οι μεταβλητές απώλειες χαλκού τυμπάνου), p απ [W ] και λειτουργεί υπό τάση v γ με ρεύμα στα τυλίγματα τυμπάνου i α. Η αντίσταση του τυμπάνου είναι R α. Ποια είναι η τιμή του i α της γεννήτριας έτσι ώστε να έχουμε μέγιστο βαθμό απόδοσης ; Η ισχύς εξόδου και η ισχύς εισόδου είναι αντίστοιχα p out p ηλ v γ i α p in p μηχ v γ i α + p απ + i α R α όπου οι απώλειες περιλαμβάνουν τις μηχανικές απώλειες, τις μαγνητικές απώλειες και τις απώλειες του τυλίγματος διέγερσης. Ο βαθμός απόδοσης της γεννήτριας είναι η p out p in v γ i α v γ i α + i α R α + p απ Ο βαθμός απόδοσης είναι μέγιστος όταν dη /di α 0. Η απαίτηση αυτή δίνει i α p απ R α Άσκηση -5 (α) Ποιό είναι το φορτίο για τη γεννήτρια των ασκήσεων 1- και 1-3 που δίνει μέγιστο βαθμό απόδοσης; (β) Ποια είναι η μέγιστη τιμή του βαθμού απόδοσης; (α) Στην Άσκ. -4 βρέθηκε ότι έχουμε μέγιστο βαθμό απόδοσης όταν είναι i α p απ R α Παρατηρείστε ότι η σχέση αυτή ισχύει και για γεννήτριες παράλληλης διέγερσης. Οι απώλειες πεδίου και οι μηχανικές απώλειες είναι p απ (0,9 +1, 8) W Άρα 10

11 i α.70 0, 05 33,4A και το φορτίο που δίνει το μέγιστο βαθμό απόδοσης είναι i ϕ i α i f 33,4 4 9,4A (β) Η ισχύς που αποδίδεται είναι p out i ϕ v γ 9,4 30 5,7kW και η απορροφώμενη μηχανική ισχύς (με χρήση και της Άσκ. 1-4) είναι p in 5, , ,16kW Συνεπώς ο μέγιστος βαθμός απόδοσης είναι η p out p in 5,7 58,16 90,6% Άσκηση -6 Μία γεννήτρια παράλληλης διέγερσης ΣΡ, ισχύος p ηλ 10kW και τάσης v γ 50V έχει αντίσταση τυμπάνου και ψηκτρών R α 0,1Ω και αντίσταση τυλιγμάτων του πεδίου R f 50Ω. Η γεννήτρια παρέχει πλήρες φορτίο στην ονομαστική τάση λειτουργίας και σε 800 rpm. Στη συνέχεια, ή ίδια μηχανή χρησιμοποιείται ως κινητήρας και απορροφά την ίδια ισχύ στην ίδια τάση. Ποια είναι η ταχύτητα περιστροφής του κινητήρα; Να αμεληθεί η πτώση τάσης στις επαφές των ψηκτρών. - Όταν η μηχανή εργάζεται ως γεννήτρια, ισχύει i f v γ R f A i ϕ p ηλ 104 v γ 50 40A i α i ϕ + i f 41A και e αγ v γ + i α R α ,1 54,1V - Ως κινητήρας: 11

12 i f v κ R f A i ϕ p ηλ v κ A i α i κ i f 39A e ακ v κ i α R α ,1 46,1V - Επειδή η σταθερά K n της μηχανής είναι η ίδια, είτε λειτουργεί ως γεννήτρια, είτε ως κινητήρας και επειδή η διέγερση είναι επίσης η ίδια, ισχύει ότι n κ n γ e ακ e αγ n κ e ακ n e γ 46, ,8rpm αγ 54,1 Άσκηση -7 Το Σχ. - απεικονίζει την καμπύλη τάσης-διέγερσης ενός κινητήρα διέγερσης σειράς που στρέφεται στις 1.00 rpm. Ο κινητήρας έχει σταθερά K ω 40 και είναι έχει 8 ελίγματα ανά πόλο. Η αντίσταση τυλίγματος πεδίου και τυμπάνου είναι αντίστοιχα R f 5mΩ και R α 50mΩ. Να υπολογισθεί η μαγνητική ροή ανά πόλο για (α) τάση e α 30V, (β) διέγερση.500 αμπερελίγματων ανά πόλο. Ποιό είναι το ρεύμα που διαρρέει τα τυλίγματα του πεδίου σε κάθε περίπτωση; (α) Η μαγνητική ροή ανά πόλο είναι Φ e α K ω ω π 1.00 / 60 45,76mWb Σχήμα -. Διάγραμμα της Άσκ

13 Από το Σχ. -, για e a 30V προκύπτει ότι τα αμπερελίγματα ανά πόλο είναι Επομένως, το ρεύμα του πεδίου είναι i f A (β) Από το διάγραμμα φαίνεται ότι για.500 αμπερελίγματα ανά πόλο, η τάση από επαγωγή είναι e α 60V. Άρα η μαγνητική ροή κάθε πόλου είναι και το ρεύμα πεδίου είναι Φ 60 45,76 51,74mWb 30 i f ,5A Άσκηση -8 Ένας κινητήρας παράλληλης διέγερσης ΣΡ τάσης v κ 30V, απορροφά πλήρες φορτίο ρεύματος i κ 40A. Το τύμπανο έχει αντίσταση R α 0, 5Ω και το πεδίο R f 30Ω. Η ολική πτώση τάσης στις επαφές των ψηκτρών είναι v ψ V και οι μηχανικές απώλειες είναι p α,μηχ 380W. Να υπολογισθεί ο βαθμός απόδοσης του κινητήρα με την υπόθεση ότι υποτεθεί ότι οι απώλειες του μαγνητικού πεδίου είναι ίσες με 1/100 της ισχύος εξόδου. Ο βαθμός απόδοσης του κινητήρα υπολογίζεται με βάση τη σχέση η p out p in όπου p out είναι η αποδιδόμενη μηχανική ισχύς του κινητήρα και p in είναι η προσδιδόμενη σε αυτόν ηλεκτρική ισχύς. Αναλυτικά οι ισχείς εισόδου και εξόδου του κινητήρα υπολογίζονται ως εξής. p in i κ v κ W p απ v κ R f +(i κ v κ R f ) R α + p απ,π + v ψ (i κ v κ R f )+(1 /100)p μηχ ( ) 0, W 100 p out p in p απ 8.057W και ο βαθμός απόδοσης του κινητήρα είναι η ,6% 13

14 - Άλυτες Aσκήσεις Άσκηση -9 Ένας κινητήρας ΣΡ ξένης διέγερσης στρέφεται με rpm και με σταθερό ρεύμα πεδίου. Το τύμπανο διαρρέεται από ρεύμα i α 50A και έχει τάση v κ 10V. Η αντίσταση του τυμπάνου είναι R α 0,1Ω. Αν το φορτίο του κινητήρα αλλάξει και γίνει i α 95A στην ίδια τάση (v κ 10V ), να υπολογισθεί η νέα ταχύτητα του κινητήρα σε αυτό το φορτίο. (Απ rpm) Άσκηση -10 Μία γεννήτρια παράλληλης διέγερσης ΣΡ έχει ονομαστική ισχύ p ηλ 50kW και τάση v γ 30V. Το τύμπανο έχει αντίσταση R α 0, 03Ω και το πεδίο R f 46Ω. Η ολική πτώση τάσης στις επαφές των ψηκτρών είναι v ψ V. Να υπολογισθεί ο δείκτης ρύθμισης της τάσης. Να αγνοηθεί η αντίδραση του τυμπάνου. (Απ. 3,7 %) Άσκηση -11 Μία γεννήτρια ΣΡ ξένης διέγερσης έχει τα εξής χαρακτηριστικά: αντίσταση πεδίου R f 110Ω, αντίσταση τυμπάνου R α 0, 04Ω, μηχανικές απώλειες και απώλειες πυρήνα p απ 960W και τάση τυλίγματος πεδίου v f 30V. Η γεννήτρια τροφοδοτεί φορτίο με τάση v γ 30V. Να προσδιορισθούν: (α) Το μέγιστο ρεύμα τυμπάνου και (β) το μέγιστο βαθμό απόδοσης της γεννήτριας. (Απ. (α) 189,8 Α, (β) 93,8 %) Άσκηση -1 Ένας κινητήρας ΣΡ, -πολικός, με 360 αγωγούς, παράλληλης διέγερσης, έχει μαγνητική ροή ανά πόλο Φ 5mWb. Η αντίσταση τυμπάνου είναι και ο κινητήρας έχει σχεδιαστεί για να λειτουργεί σε πλήρες φορτίο με τάση v κ 115V και ρεύμα τυμπάνου i α 60A. (α) Να υπολογισθεί η τιμή της εξωτερικής αντίστασης που πρέπει να εισαχθεί στο κύκλωμα του τυλίγματος του τυμπάνου, έτσι ώστε το ρεύμα τυμπάνου να μην υπερβεί το υποδιπλάσιο του ρεύματος εκκίνησης υπό πλήρες φορτίο. (β) Όταν ο κινητήρας φτάσει την ταχύτητα των 400 rpm, η τιμή της εξωτερικής αντίστασης πέφτει κατά 50 %. Ποιό είναι το ρεύμα τυμπάνου σ αυτές τις στροφές; (γ) Όταν ο κινητήρας φτάσει στην τελική ταχύτητα περιστροφής η εξωτερική αντίσταση μηδενίζεται. Σ αυτήν την περίπτωση το ρεύμα τυμπάνου έχει τιμή που αντιστοιχεί σε πλήρες φορτίο. Να υπολογισθεί η ταχύτητα περιστροφής του κινητήρα. (Απ. (α) 0,838Ω, (β) 10 Α, (γ) 718,6 rpm) 14

15 Άσκηση -13 Τα μαγνητικά χαρακτηριστικά κάποιου κινητήρα ΣΡ δίνονται από τη γραμμική εξίσωση, Φ 0,001i f [Wb], όπου i f είναι το ρεύμα πεδίου. Ο κινητήρας είναι ξένης διέγερσης με ολική αντίσταση τυμπάνου R α 0, 05Ω και σταθεράς K ω 100. Αν το ρεύμα πεδίου είναι i f 10A και η τάση τυμπάνου v κ 400V, ο κινητήρας στρέφεται με rpm. Να υπολογισθεί το ρεύμα τυμπάνου i α, η ΑΗΕΔ e α του κινητήρα και η ηλεκτρομαγνητική ροπή T. Να αγνοηθεί η αντίδραση του τυμπάνου. (Απ. (α) 1.70 Α, (β) 314 V, (γ) 1.70 Nm) Άσκηση -14 Ένας κινητήρας παράλληλης διέγερσης ισχύος p μηχ 10hp και τάσης v κ 50V έχει αντίσταση τυλίγματος τυμπάνου R α 0,5Ω και πεδίου R f 50Ω. Ο κινητήρας σε λειτουργία κενού έχει φορτίο 5A ενώ στο ονομαστικό σημείο λειτουργίας έχει φορτίο 37,1A. Να υπολογισθεί ο βαθμός απόδοσης του κινητήρα στο ονομαστικό φορτίο. (Απ. 79,7 %) 15

16 Μέρος 3 Σύγχρονες Mηχανές 3-1 Λυμένες Aσκήσεις Άσκηση 3-1 Να δοθεί ένας πίνακας τιμών, για μία σύγχρονη γεννήτρια, συχνότητας 50Hz, ο οποίος να δίνει πιθανούς συνδυασμούς των αριθμών των πόλων και της συχνότητας. Η συχνότητα περιστροφής της σύγχρονης γεννήτριας δίνεται από τη σχέση από την οποία προκύπτει f np 10 [Hz], np 10f np n / P[rpm]. Κατά συνέπεια προκύπτει ο πιο κάτω πίνακας τιμών Πίνακας 3-1. Πίνακας τιμών πόλων ταχύτητας για την Άσκ. -1. Πόλοι P ταχύτητα (rpm) Άσκηση 3- Μία σύγχρονη 3Φ γεννήτρια, με φάσεις σε σύνδεση αστέρα, ονομαστικής ισχύος S 3Φ,o 10kVA και τάσης V γ 30V, επαγωγικής συμπεριφοράς, έχει σύγχρονη αντίδραση στα τυλίγματα τυμπάνου ανά φάση αντίστοιχα X α 1, Ω. Να προσδιορισθεί ο δείκτης ρύθμισης της τάσης σε πλήρες φορτίο, αν ο συντελεστής ισχύος της γεννήτριας είναι cosφ 0, 8. 16

17 Το διανυσματικό διάγραμμα φασιδεικτών της σύγχρονης γεννήτριας φαίνεται στο Σχ E X E a V a E X I a X a sin IaXa cos I a Σχήμα 3-1. Το διανυσματικό διάγραμμα φασιδεικτών της Άσκ. 3-. Σύμφωνα με αυτό ισχύει E α (E x cosφ) +(V α + E x sin φ) (1) με E x I α X α όπου η ανά φάση τάση και το ανά φάση ρεύμα υπολογίζονται αντίστοιχα V α V γ ,8V, I α S 3Φ,o /3 V α 104 /3 13,8 5,1A Έτσι, από την (1) υπολογίζεται E α (5,1 1, 0, 8) +(13,8 + 5,1 1, 0, 6) 15,78V Συνεπώς, ο δείκτης ρύθμισης της τάσης σε πλήρες φορτίο είναι E α V α 15,78 13,8 100% 100% 15,05% V α 13,8 Άσκηση 3-3 Να λυθεί η Άσκ. 3- με την επί πλέον προσθήκη ότι η αντίσταση του κυκλώματος ανά φάση δεν είναι αμελητέα, αλλά ίση με R α 0,5Ω. Το διανυσματικό διάγραμμα φασιδεικτών της σύγχρονης γεννήτριας φαίνεται στο Σχ. 3-. Σύμφωνα με το Σχ. 3- ισχύει E α (V α cosφ + I α R α ) +(V α sin( φ(+ E x ) (1) (V α + I α R α cosφ + E x sin( φ() +(E x cosφ I α R α sin( φ() 17

18 όπου η ανά φάση τάση και το ανά φάση ρεύμα υπολογίζονται αντίστοιχα E X E a V a E X I a X a cos I a R a I a X a sin I a Σχήμα 3-. Το διανυσματικό διάγραμμα φασιδεικτών της Άσκ V α v γ ,8V, I α P 3Φ,o /3 V α 104 /3 13,8 5,1A και E x I α X α Έτσι, από την (1) υπολογίζεται E α (106,4 +1,55) +(79, ,1) 161,76V Συνεπώς, ο δείκτης ρύθμισης της τάσης σε πλήρες φορτίο είναι E α V α 161,76 13,8 100% 100% 1,8% V α 13,8 Aν και η ομική αντίσταση είναι μεγάλη σχετικά με την αντίδραση (60%) το σφάλμα είναι μόνο 30%. Άσκηση 3-4 Μία σύγχρονη 3Φ γεννήτρια, με φάσεις σε σύνδεση αστέρα, ισχύος S 3Φ 0kVA και τάσης V γ 0V, προμηθεύει ονομαστικό επαγωγικό φορτίο συντελεστή ισχύος cosφ 0,707. Η αντίδραση ανά φάση είναι X α Ω. Να υπολογισθούν (α) η γωνία ισχύος και (β) ο δείκτης ρύθμισης της τάσης. Να αγνοηθεί η αντίσταση στα τυλίγματα τυμπάνου. (α) Η γωνία ισχύος υπολογίζεται από τη σχέση tan δ I X cosφ α α V α + I α X α sin φ όπου ισχύει 18

19 V α V γ V, I α S /3 3Φ /3 5,5A, φ arccos(0,707) 45 V α 17 Έτσι, η γωνία ισχύος είναι (β) Επίσης, ισχύει tan δ 5,5 0, ,5 0,707 δ 0,5 E α ( V α + I α X α sin( φ( ) + ( I α X α cosφ) E α 14, 49V ( ,5 0,707) + ( 5,5 0,707) Συνεπώς, ο δείκτης ρύθμισης της τάσης υπολογίζεται E α V α 14, % 100% 68,89% 17 V α Άσκηση 3-5 Ένας 3Φ σύγχρονος κινητήρας, με φάσεις σε σύνδεση αστέρα, τάσης V γ.300v, έχει σύγχρονη αντίδραση και αντίσταση στα τυλίγματα τυμπάνου ανά φάση αντίστοιχα X α 3Ω. Ο κινητήρας λειτουργεί με φορτίο τέτοιο ώστε η γωνία ισχύος να είναι δ 15 o ενώ η διέγερση ρυθμίζεται έτσι ώστε το μέτρο της επαγόμενης τάσης ΗΕΔ να ισούται με το 90% της φασικής τάσης. Να υπολογισθεί (α) το ρεύμα τυμπάνου και (β) ο συντελεστής ισχύος του κινητήρα. E X δ φ V a φ E X E a sinδ E X cos I a E a Σχήμα 3-3. Το διανυσματικό διάγραμμα φασιδεικτών της Άσκ (α) H τάση τροφοδοσίας ανά φάση είναι V α V γ V 3 Το διανυσματικό διάγραμμα φασιδεικτών του σύγχρονου κινητήρα φαίνεται στο Σχ Σύμφωνα με αυτό ή την Εξ. (6-13) το ρεύμα ανά φάση υπολογίζεται ως εξής 19

20 I a I a V + E a a V a E a cos δ X a ( ) cos ,3A (β) Η ανά φάση ισχύς που προσφέρεται στον κινητήρα είναι P 1Φ E α V α X α sin δ ((V α I α cosφ Επομένως, ο συντελεστής ισχύος του κινητήρα είναι cosφ E α 0, sin δ X α I α 3 118,3 sin15 0, 87 Άσκηση 3-6 Ένας 3Φ σύγχρονος κινητήρας, με φάσεις σε σύνδεση αστέρα, ονομαστικής ισχύος P μηχ,ο 15hp και τάσης V γ 400V, έχει βαθμό απόδοσης σε πλήρες φορτίο η κ 90%. Η σύγχρονη αντίδραση και η αντίσταση στα τυλίγματα τυμπάνου ανά φάση είναι αντίστοιχα X α 3Ω. Ο κινητήρας λειτουργεί σε πλήρες φορτίο με χωρητική συμπεριφορά και ο συντελεστής ισχύος του είναι cosφ 0, 8. Να υπολογισθεί: (α) Η γωνία ισχύος και (β) το ρεύμα πεδίου. Η καμπύλη κορεσμού του κινητήρα δίνεται στο του Σχ , Ρεύμαπεδίου [Α] Σχήμα 3-4. H καμπύλη κορεσμού του κινητήρα της Άσκ

21 (α) Η ανά φάση τάση και το ανά φάση ρεύμα του κινητήρα είναι αντίστοιχα V α V, I α P 3Φ /3 V α cosφ όπου η ισχύς του κινητήρα υπολογίζεται P 3Φ P μηχ,ο η κ , 433kW 0, 9 Άρα I α / , 8, 4A I a V a E X E a Σχήμα 3-5. Το διανυσματικό διάγραμμα φασιδεικτών της Άσκ H γωνία φ είναι cosφ 0, 8 φ 36,87 Ο νόμος των συνημιτόνων δίνει ( ) E α V α +(I α X α ) V α (I α X α )cos φ (, 4 3) 31 (, 4 3) cos( 36, ) E α 76,59V Και η γωνία ισχύος, με τη βοήθεια του νόμου των ημιτόνων, υπολογίζεται sin δ I α X α E α, 4 3 sin(φ + 90 ) sin16,87 0,19 δ 11,1 76,59 (β) Από το διάγραμμα της καμπύλης κορεσμού του κινητήρα προκύπτει ότι για ΑΗΕΔ E α 76,59V, το ρεύμα πεδίου είναι i f 9, 36A. 1

22 3- Άλυτες Aσκήσεις Άσκηση 3-7 Μία 3Φ σύγχρονη γεννήτρια, 6-πολική, ισχύος 500kVA, με φάσεις σε σύνδεση αστέρα και ονομαστικής τάσης V α,ο 500V, έχει σύγχρονη σύνθετη αντίσταση ανά φάση Z α 0,1+ j1, 5 Ω. Αν η γεννήτρια στρέφεται στις 1.000rpm, να υπολογισθεί η συχνότητα της τάσης της γεννήτριας. Επίσης, να προσδιορισθεί η διέγερση της τάσης και η γωνία ισχύος σε πλήρες φορτίο, αν ο συντελεστής ισχύος της γεννήτριας είναι cosφ 0.8. (Σημείωση. Αν η αντίσταση 0,1Ω παραληφθεί, το αποτέλεσμα θα είναι παραπλήσιο, αλλά όχι ακριβώς ίσο με αυτό που ακολουθεί). (Απ. 50Hz, 1.075V,37,6 o ) Άσκηση 3-8 Μία 3Φ σύγχρονη γεννήτρια ισχύος S 3Φ,o 100kVA, με φάσεις σε σύνδεση αστέρα και ονομαστικής τάσης V α,ο 100V, λειτουργεί σε πλήρες φορτίο, έχοντας συντελεστή ισχύος cosφ 0, 8. Η αντίδραση ανά φάση είναι X α 0,55Ω. Να υπολογισθούν: (α) Ο δείκτης ρύθμισης της τάσης, (β) η γωνία ισχύος και (γ) η αναπτυσσόμενη ισχύς. Να αγνοηθεί η αντίσταση τυμπάνου R α. Άσκηση 3-9 Μία 3Φ σύγχρονη γεννήτρια, ισχύος S 3Φ,o 30kVA, με φάσεις σε σύνδεση αστέρα και ονομαστικής τάσης V α,ο 30V, έχει σύγχρονη αντίδραση ανά φάση X α 0, 8Ω. Η αντίσταση τυμπάνου R α αγνοείται. Να υπολογισθεί ο δείκτης ρύθμισης της τάσης (α) σε πλήρες φορτίο, με συντελεστή ισχύος cosφ 0, 8 με χωρητικό φορτίο, (β) σε 50% του πλήρους φορτίου, με συντελεστή ισχύος cosφ 1 και (γ) σε 5% του πλήρους φορτίου, με επαγωγικό φορτίο. (Απ.(α) 18,7%, (β),5%,(γ)7,% ) Άσκηση 3-10 Ένας σύγχρονος 3Φ κινητήρας, τάσης V γ 400V έχει βαθμό απόδοσης η κ 9% και ισχύ που αποδίδεται στην άτρακτό του P μηχ 18hp. Η σύγχρονη αντίσταση ανά φάση του κινητήρα είναι X α 1, 5 Ω. Αν ο κινητήρας λειτουργεί με επαγωγικό φορτίο και έχει συντελεστή ισχύος cosφ 0, 9, να προσδιορισθεί: (α) η γωνία ισχύος και (β) το ρεύμα πεδίου. Δίνεται η καμπύλη κορεσμού του κινητήρα, η οποία εικονίζεται στο Σχ. 3-5.

23 Ρεύμαπεδίου [Α] 11 1 Σχήμα 3-6. H καμπύλη κορεσμού του κινητήρα της Άσκ (Απ. προσεγγιστικά μόνο:(α) 7, 4,(β)4,5A ) Άσκηση 3-11 Ένας σύγχρονος κινητήρας λειτουργεί σε ονομαστικό φορτίο και με συντελεστή ισχύος cosφ 1. Αν το ρεύμα πεδίου αυξηθεί κατά 0%, δείξτε τα αποτελέσματα αλλαγής της τάσης και του ρεύματος στο διάγραμμα φασιδεικτών. 3

24 Μέρος 4 3Φ Επαγωγικοί Kινητήρες 4-1 Λυμένες Aσκήσεις Άσκηση 4-1 Ένας 4-πολικός, 3Φ κινητήρας επαγωγής, συχνότητας f 50Hz, λειτουργεί σε συνθήκες φορτίου τέτοιες ώστε η ολίσθηση να είναι s 0, 03. Να προσδιορισθεί: (α) η ταχύτητα του κινητήρα, (β) η συχνότητα ρεύματος του κινητήρα, (γ) η ταχύτητα του στρεφόμενου μαγνητικού πεδίου σε σχέση με το πλαίσιο του στάτη και (δ) η ταχύτητα του στρεφόμενου μαγνητικού πεδίου σε σχέση με το μαγνητικό πεδίο του στάτη. Η σύγχρονη ταχύτητα του κινητήρα υπολογίζεται από τη σχέση n s 10f P (α) Η ταχύτητα του κινητήρα είναι rpm 4 n μηχ (1 s)n s (1 0,03) rpm (β) Η συχνότητα ρεύματος του κινητήρα είναι f sf 1 sf 0, , 5Hz (γ) Tο μαγνητικό πεδίο του στάτη επάγει ίσο αριθμό πόλων στο δρομέα. Το εναλλασσόμενο πεδίο στο δρομέα δημιουργεί ένα στρεφόμενο πεδίο ακριβώς όπως συμβαίνει στο στάτη. Η ταχύτητα περιστροφής του μαγνητικού πεδίου του δρομέα, σε σχέση με το δρομέα, είναι n 10f P 10sf P sn s, ενώ η ταχύτητα περιστροφής του δρομέα, σε σχέση με το στάτη, είναι n μηχ (1 s)n s Η ταχύτητα του στρεφόμενου μαγνητικού πεδίου του δρομέα σε σχέση με το ακίνητο πλαίσιο του στάτη είναι n s n μηχ + n n s 1.500rpm 4

25 (δ) Η ταχύτητα του στρεφόμενου μαγνητικού πεδίου του δρομέα σε σχέση με το μαγνητικό πεδίο του στάτη είναι μηδέν, εφόσον και τα δύο στρέφονται με τη σύγχρονη ταχύτητα. Άσκηση 4- Ένας -πολικός κινητήρας επαγωγής, συχνότητας f 50Hz, λειτουργεί στις.900rpm. Να υπολογισθούν: (α) η σύγχρονη ταχύτητα και (β) η % ολίσθηση. (α) Η σύγχρονη ταχύτητα του κινητήρα υπολογίζεται από τη σχέση (β) Η ολίσθηση υπολογίζεται n s 10f P rpm s n n s ,033 3, 3% n s.900 Άσκηση 4-3 Ο δρομέας ενός 3Φ, 4-πολικού κινητήρα επαγωγής, συχνότητας f f 1 50Hz, παρέχει φορτίο P διακ 10kW, στη συχνότητα των f 3Hz. Να υπολογισθούν: (α) η ταχύτητα περιστροφής και (β) οι απώλειες χαλκού του δρομέα. Αν οι απώλειες χαλκού του στάτη είναι P α,ηλ,1 3kW, οι μηχανικές απώλειες είναι P α,μηχ kw και οι απώλειες πυρήνα του στάτη P α,πυρ 1, 7 kw, να υπολογισθούν επίσης: (γ) η ισχύς εξόδου στην άτρακτο του κινητήρα και (δ) ο βαθμός απόδοσης του κινητήρα. Να αγνοηθούν οι απώλειες πυρήνα του δρομέα. Η ολίσθηση και η σύγχρονη ταχύτητα του κινητήρα υπολογίζονται αντίστοιχα από τις σχέσεις s f 3 f ,06, n 10f s P (α) Η ταχύτητα περιστροφής του κινητήρα είναι rpm 4 n μηχ (1 s)n s (1 0,06) rpm (β) Οι απώλειες χαλκού του δρομέα είναι P α,ηλ, sp διακ 0, , kw (γ) Η ισχύς εξόδου στην άτρακτο του κινητήρα υπολογίζεται T μηχ ω μηχ P διακ (P α,ηλ, + P α,μηχ ) 10 (7, + ) 110,8kW 5

26 (δ) Η ισχύς εισόδου του κινητήρα είναι P 3Φ P διακ + P α,ηλ,1 + P α,πυρ , 7 14,7kW Άρα ο βαθμός απόδοσης του κινητήρα είναι η κ T μηχ ω μηχ P 3Φ 110,8 14,7 89% Άσκηση 4-4 Ένας κινητήρας επαγωγής, με δακτύλιους ολίσθησης, έχει σύγχρονη ταχύτητα n s 1.800rpm και λειτουργεί στις n μηχ 1.710rpm, όταν η αντίσταση στο δρομέα είναι R 0, Ω ανά φάση. Η αντίδραση του δρομέα είναι X Ω ανά φάση. Ο κινητήρας καλείται να αναπτύξει μία σταθερή ροπή για όλες τις ταχύτητες περιστροφής από την αρχική έως και την n * 1440rpm. Να εξηγηθεί πως είναι δυνατόν να πραγματοποιηθεί αυτό. Το ισοδύναμο κύκλωμα του δρομέα απεικονίζεται στο Σχ Υποθέτουμε ότι η τάση E είναι σταθερή. jx E I R s Σχήμα 4-1. Το κύκλωμα της Άσκ H ανά φάση ισχύς που αναπτύσσεται υπολογίζεται από την Εξ. (7-31) από όπου έχει παραληφθεί ο τόνος T ω μηχ I R s I 1 s R I R s To ρεύμα στα τυλίγματα του δρομέα υπολογίζεται από το κύκλωμα του Σχ. 4-1 E I (R / s) + X Η μηχανική περιστροφική ταχύτητα του κινητήρα είναι ω μηχ (1 s)ω s όπου ω s είναι η σύγχρονη ταχύτητα του κινητήρα. Από τις τρεις προηγούμενες εξισώσεις υπολογίζεται η ηλεκτρομαγνητική ροπή του κινητήρα (η εξίσωση της χαρακτηριστικής) 6

27 T E sr ω s R + s X Είναι εύκολο να επαληθευθεί ότι οι μερικές παράγωγοι T / s και T / R α είναι πάντα θετικές. Έτσι, για σταθερή ροπή T, καθώς αυξάνει η ολίσθηση s, (και βέβαια μειώνεται η ταχύτητα περιστροφής), η αντίσταση R α πρέπει να αυξάνει, φτάνοντας στην μέγιστη τιμή της, R *, που αντιστοιχεί σε ολίσθηση s *. Τελικά, προκύπτει η τετραγωνική έκφραση από την οποία έχουμε sr R + s X s * * R R * + s * X R * 0, 8Ω και όπου χρησιμοποιήθηκαν οι τιμές των ολισθήσεων s και s * εξισώσεις που δίνονται από τις s n n s μηχ , 05 n s και s * n n * s μηχ , X n s m 0Ω, R / s 0,05 / s[ω] Προκειμένου να επιτευχθεί η σταθερή ροπή για όλο το εύρος στροφών, πρέπει να εισαχθεί εξωτερικός ροοστάτης σε σειρά με τα τυλίγματα του δρομέα με μέγιστη τιμή R max R * R 0, 8 0, 0, 6Ω Άσκηση 4-5 Ένας 3Φ κινητήρας επαγωγής, έχει τα χαρακτηριστικά, ανά φάση που φαίνονται στο ισοδύναμο κύκλωμα του Σχ. 4-. Να υπολογισθεί η ολίσθηση, για την οποία ο κινητήρας αποδίδει τη μέγιστη ισχύ. Δίνονται: R 1 0, 05Ω, X 1 + X 0, 3Ω,. I X R s R 1 1 X / V 1 jx m Σχήμα 4-. Το ισοδύναμο κύκλωμα της Άσκ

28 H ανά φάση παραγόμενη ισχύς που αναπτύσσεται υπολογίζεται από τη σχέση T ω μηχ I R s (1 s) To ρεύμα στα τυλίγματα του δρομέα υπολογίζεται από τη σχέση I V 1 (R 1 + R / s) +(X 1 + X ) Από τις παραπάνω εξισώσεις και κάνοντας αριθμητική αντικατάσταση των δοσμένων μεγεθών, προκύπτει s(1 s) T ω μηχ 0V 1 (s +1) + 36s Η ολίσθηση, για την οποία ο κινητήρας αποδίδει τη μέγιστη ισχύ υπολογίζεται από τη σχέση (T ω μηχ )/ s 0, η οποία δίνει τελικά s 0,14 Άσκηση 4-6 Τα χαρακτηριστικά, ανά φάση ενός 4-πολικού, 3Φ κινητήρα επαγωγής, συχνότητας f 50Hz, με φάσεις σε σύνδεση αστέρα, φαίνονται στο ισοδύναμο κύκλωμα του Σχ Αν οι μηχανικές απώλειες και απώλειες σιδήρου (πυρήνα) είναι P α,μ,π 800W στις n μηχ 1.450rpm, να υπολογισθούν (σε αυτές τις στροφές): (α) το ρεύμα εισόδου, (β) η ισχύς εισόδου, (γ) η ισχύς εξόδου, (δ) η μηχανική ροπή στην έξοδο και (ε) ο βαθμός απόδοσης του κινητήρα. Δίνονται: V γ 400V, X 1 0,5Ω, X m 0Ω, R 1 0, Ω, X 0, 0Ω και R 0,1Ω. R 1 I 1 jx 1 R / / I j X / V 1 I m j X m / R s ( 1 s) Σχήμα 4-3. Το ισοδύναμο κύκλωμα της Άσκ Η σύγχρονη ταχύτητα και η ολίσθηση του κινητήρα υπολογίζονται αντίστοιχα από τις σχέσεις 8

29 n s 10f P rpm, s n n s μηχ ,033 4 n s Η ισοδύναμη ανά φάση σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος του Σχ. 4-3 υπολογίζεται ως εξής Z ισ R ισ + jx ισ (R 1 + jx 1 )+ jx ( R m / s + j X ) R / s + j(x m + X ) 3,1 + j1,13 3, 3 0 Ω (0, + j0,5) + j0(3,03 + j0, ) 3, 03 + j(0 + 0, ) Η ανά φάση τάση είναι V 1 V γ V (α) Το ρεύμα εισόδου είναι I 1 V α Z ισ 31 3, 3 70A (β) Η ισχύς εισόδου βρίσκεται P 3Φ 3V 1 I 1 cos cos 0 45,6kW (γ) Η ισχύς που μεταφέρεται μέσω του διάκενου στο δρομέα του κινητήρα είναι jx P διακ 3I 1 Re m ( R / s + j X ) 3I R / s + j(x m + X ) 1 (R ισ R 1 ) 3 70, 9 4,63kW Η ηλεκτρομαγνητική ισχύς υπολογίζεται ως εξής T ω μηχ (1 s)p διακ (1 0,033) 4,63 41,kW Επομένως, η μηχανική ισχύς εξόδου είναι P μηχ T μηχ ω μηχ T ω μηχ P α,μ,π , 4kW (δ) Η ροπή στην έξοδο του κινητήρα είναι T μηχ P P μηχ μηχ ω μηχ π n μηχ / π / 60 66,Nm (ε) Ο βαθμός απόδοσης του κινητήρα βρίσκεται 9

30 η κ P μηχ 40, 4 P 3Φ 45,60 88,64% Άσκηση 4-7 (α) Να αντικατασταθεί το κύκλωμα του Σχ. 4-4 με το ισοδύναμο Thevenin και να προσδιορισθεί η τάση και η αντίσταση Thevenin, V 1,a και R1 + jx1 αντίστοιχα. (β) Να γίνει αριθμητική αντικατάσταση για τα εξής χαρακτηριστικά, ανά φάση, του κυκλώματος: X 1 0,5Ω, X 0, 0Ω, X m 0Ω, R 1 R 0, Ω, V γρ 400V. R 1 I 1 jx 1 R / / I j X / V 1 I m j X m / R s ( 1 s) Σχήμα 4-4. Το ισοδύναμο κύκλωμα της Άσκ R 1 jx 1 j X / V 1a, / R s Σχήμα 4-5. Το ισοδύναμο κύκλωμα κατά Thevenin της Άσκ (α) Στο Σχ. 4-5 φαίνεται το ισοδύναμο κύκλωμα Thevenin. Με τη βοήθεια του Σχ. 4-4 υπολογίζονται η τάση και η αντίσταση Thevenin αντίστοιχα: και V 1,a jx m R 1 + j(x 1 + X m ) V 1 R1 + jx1 jx m (R 1 + jx 1 ) R 1 + j(x 1 + X m ) (β) Η αριθμητική αντικατάσταση των δοσμένων μεγεθών δίνει: j0 V 1,a 0, + j(0,5 + 0) ,3V και 30

31 j0 (0, + j0,5) R1 + jx1 0,19 + j0, 49 Ω 0, + j(0,5 + 0) Άσκηση 4-8 Δίνεται το ισοδύναμο κύκλωμα του κινητήρα της Άσκ. 4-6 στο Σχ Να υπολογισθούν: (α) οι ηλεκτρομαγνητικές απώλειες του κινητήρα, (β) η ισχύς διάκενου, (γ) η μηχανική ισχύς εξόδου και (δ) η μηχανική ροπή στην έξοδο του κινητήρα. Να συγκριθούν τα αντίστοιχα αποτελέσματα της Άσκ R 1 jx 1 j X / V 1a, R / s Σχήμα 4-6. Το ισοδύναμο κύκλωμα κατά Thevenin της Άσκ. 4-8/6. Από την Άσκ. 4-6 η ολίσθηση του κινητήρα βρέθηκε ότι είναι s 0,033. Η ισοδύναμη ανά φάση σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος του Σχ. 4-6, λαμβάνοντας υπόψη και τους υπολογισμούς της Άσκ. 4-7, είναι R Z ισ (R1 + jx1)+ s + j X jx (R + jx ) m 1 1 R 1 + j(x 1 + X m ) + R s + j X 0,19 + j0, ,1 + j0, 3, + j0, 69 Ω 0,033 και η τάση κατά Thevenin, σύμφωνα με την Άσκ. 4-7, βρέθηκε V 1,a 5,3V (α) Οι ηλεκτρομαγνητικές απώλειες του κινητήρα είναι R P διακ 3 I α s 3 68, 0,1 48 4,63 kw 0,033 (β) Η ηλεκτρομαγνητική ισχύς του υπολογίζεται με τη βοήθεια της ισχύος διάκενου T ω μηχ (1 s)p διακ (1 0,033) 4,63 41,kW (γ) Η ισχύς εξόδου είναι P μηχ T μηχ ω μηχ T ω μηχ P α,μ,π , 4kW (δ) Η ροπή στην έξοδο του κινητήρα είναι 31

32 T μηχ P μηχ ω μηχ T μηχ ω μηχ π n μηχ / π / 60 66,Nm Τα αποτελέσματα έρχονται σε πλήρη συμφωνία με αυτά της Άσκ Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η Άσκ. 4-6 επιλύθηκε με την υπόθεση ότι οι απώλειες πυρήνα μπορούν να ενσωματωθούν στις μηχανικές απώλειες που εμφανίζονται μετά την ηλεκτρομαγνητική ισχύ. 4- Άλυτες Aσκήσεις Άσκηση 4-9 Τα χαρακτηριστικά, ανά φάση ενός 4-πολικού, 3Φ κινητήρα επαγωγής, συχνότητας f 1 60Hz, με φάσεις σε σύνδεση αστέρα, φαίνονται στο ισοδύναμο κύκλωμα του Σχ Δίνονται: X 1 X Ω, X m 50Ω, R 1 0,75Ω, R 0, 8Ω,V 1 600V. Να αντικατασταθεί το κύκλωμα του Σχ. 4-7 με το ισοδύναμο Thevenin και να προσδιορισθεί η τάση και η αντίσταση Thevenin, V 1,a και R1 + jx1 αντίστοιχα. R 1 I 1 jx 1 R / / I j X / V 1 I m j X m / R s ( 1 s) Σχήμα 4-7. Το ισοδύναμο κύκλωμα της Άσκ (Απ. R1 + X 1 0, 69 + j1, 93 Ω, V 1,a 333V ) Άσκηση 4-10 Για το κύκλωμα Thevenin του Σχ. 4-8 να αποδειχθεί ότι (α) η ολίσθηση, για την οποία η ροπή είναι μέγιστη, είναι s max R R 1 +(X 1 + X ) και ότι (β) η (ανά φάση) αντίστοιχη ροπή είναι T max V 1,α ω s [R 1 + (X 1 + X ) + R 1 ] 3

33 R 1 jx 1 j X / V 1a, / R s Σχήμα 4-8. Το ισοδύναμο κύκλωμα κατά Thevenin της Άσκ Άσκηση 4-11 Ένας 6-πολικός, 3Φ κινητήρας επαγωγής, με ονομαστικά χαρακτηριστικά 400Hz, 150V, 10hp και 3% ολίσθηση αποδίδει την ονομαστική τιμή της ισχύος εξόδου. Οι απώλειες τριβής και ανεμισμού είναι 00W στην ονομαστική ταχύτητα του κινητήρα. Αν ο κινητήρας λειτουργεί με τα πιο πάνω ονομαστικά του χαρακτηριστικά, να υπολογισθούν: (α) η ταχύτητα περιστροφής, (β) η συχνότητα του ρεύματος του δρομέα, (γ) οι απώλειες χαλκού του δρομέα, (δ) οι ηλεκτρομαγνητικές απώλειες του κινητήρα και (ε) η ροπή στην έξοδο του κινητήρα. (Απ. (α)7.760rpm,(β)1hz,(γ)37w,(δ)7.897w,(ε)9,nm ) Άσκηση 4-1 Ένας 1-πολικός, 3Φ κινητήρας επαγωγής, με φάσεις σε σύνδεση αστέρα έχει ονομαστικά χαρακτηριστικά 60Hz,.00V, 500hp. Η αντίσταση, ανά φάση, του στάτη είναι 0, 4Ω και του δρομέα, ανά φάση του στάτη, 0, Ω. Η ολική αντίδραση του στάτη και του δρομέα, ανά φάση του στάτη, είναι Ω. Με τα ονομαστικά χαρακτηριστικά τάσης και συχνότητας του κινητήρα, η ολίσθηση είναι 0, 0. Κάτω από αυτές τις συνθήκες να υπολογισθούν τα, ανά φάση, μεγέθη: (α) το ρεύμα του στάτη, αγνοώντας το ρεύμα του μαγνητικού πεδίου, (β) την αναπτυσσόμενη μηχανική ροπή, (γ) την ισχύ εισόδου και (δ) τις απώλειες χαλκού του δρομέα. (Απ.(α)10A,(β).9Nm,(γ)144kW,(δ).880W ) Άσκηση 4-13 W D D W W Σχήμα 4-9. Σύνδεση κατά αστέρα ή κατά τρίγωνο της Άσκ D Για μία δοσμένη πολική τάση, η οποία εφαρμόζεται στους ακροδέκτες ενός κινητήρα εκκίνησης αστέρα - τριγώνου και για αλλαγή από αστέρα σε τρίγωνο, να υπολογισθεί ο λόγος των: (α) ρευμάτων εκκίνησης και (β) ροπών εκκίνησης. 33

34 (Απ.(α)I Υ / I Δ 1/3, (β)τ Υ / Τ Δ 1/3) Άσκηση 4-14 Ένας κινητήρας επαγωγής είναι έτοιμος να τεθεί σε λειτουργία με μειωμένη τάση, τέτοια ώστε το ρεύμα εκκίνησης να μην υπερβαίνει τέσσερις φορές το ρεύμα πλήρους φορτίου. Συγχρόνως, αναπτύσσεται ροπή ίση με το 5% της ροπής υπό πλήρες φορτίο. Η ολίσθηση σε πλήρες φορτίο είναι 3%. Να προσδιορισθεί το ποσοστό κατά το οποίο πρέπει να μειωθεί η τάση κατά την εκκίνηση σε σχέση με την κανονική τάση λειτουργίας. (Απ. 0,7 ) 34

35 Μέρος 5 1Φ Eπαγωγικοί Kινητήρες 5-1 Λυμένες Aσκήσεις Άσκηση 5-1 Για τον 1Φ κινητήρα επαγωγής, τάσης V 1 30V, του οποίου το ισοδύναμο κύκλωμα εικονίζεται στο Σχ. 8-11α του βιβλίου, δίνονται τα εξής χαρακτηριστικά: R 1 R 8Ω, X 1 X 1Ω και X m 00Ω. Η ολίσθηση του κινητήρα είναι s 4%. Να υπολογισθούν (α) το ρεύμα εισόδου, (β) η ισχύς εισόδου, (γ) η αναπτυσσόμενη ηλεκτρομαγνητική ισχύς και (δ) η αναπτυσσόμενη ηλεκτρομαγνητική ροπή (στην ονομαστική τιμή τάσης). Η ταχύτητα περιστροφής του κινητήρα είναι 1.78 rpm. Όπως φαίνεται στο Σχ. 8-1 του βιβλίου, η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος που αντιστοιχεί στο θετικά περιστρεφόμενο πεδίο είναι Z + R + + jx + (j100)( 4 0, 04 + j6) j , 04 + j j50ω και η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος που αντιστοιχεί στο αρνητικά περιστρεφόμενο πεδίο είναι Z R + jx Η ισοδύναμη αντίσταση υπολογίζεται (j100)( 4 1, 96 + j6) j , 96 + j6 1, 8 + j5, 7 Ω Z ισοδ (R 1 + R + + R )+ j(x 1 + X + + X ) 56,8 + j67,7 88, 4 50 o Ω (α) Το ρεύμα εισόδου είναι I 1 V 1 30, 6 50 A Z ισοδ 88, 4 (β) Ο συντελεστής ισχύος είναι cosφ cos50 o 0, 64 35

36 Η ισχύς εισόδου υπολογίζεται P in P 1Φ V 1 I 1 cosφ 30, 6 0, 64 38,7W (γ) H ισχύς διάκενου που αναπτύσσεται από το θετικά περιστρεφόμενο πεδίο υπολογίζεται P διακ,+ I 1 R +, ,7W και η ισχύς που αναπτύσσει το αρνητικά στρεφόμενο πεδίο είναι P διακ, I 1 R, 6 1, 8 1,168W Η αναπτυσσόμενη ηλεκτρομαγνητική ισχύς είναι T ω μηχ (1 s)(p διακ,+ P διακ, ) (1 0,04)(317,7 1,168) 93,3W (δ) Η αναπτυσσόμενη ηλεκτρομαγνητική ροπή του κινητήρα υπολογίζεται T (P P )(1 s) διακ,+ διακ, 93,3 1, 6Nm. ω μηχ π 1.78 / 60 Άσκηση 5- Να επαναληφθούν οι υπολογισμοί της Άσκ. 5-1 και να συγκριθούν τα αποτελέσματα για τα εξής χαρακτηριστικά του ίδιου κινητήρα: να αγνοηθεί ο όρος X m στη σύνθετη αντίσταση Z και να ληφθεί υπόψη η αντίσταση του αντίστροφα στρεφόμενου πεδίου, με χαμηλή ολίσθηση, ίση με 0, 5 R. Με τον ίδιο ακριβώς συλλογισμό που ακολουθήθηκε στην Άσκ. 5-1, η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος που αντιστοιχεί στο θετικά περιστρεφόμενο πεδίο υπολογίζεται Z + R + + jx j50ω και η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος που αντιστοιχεί στο αρνητικά περιστρεφόμενο πεδίο υπολογίζεται Z R + jx 1, 0 + j6ω Η ισοδύναμη αντίσταση υπολογίζεται Z ισοδ (R 1 + R + + R )+ j(x 1 + X + + X ) 56,0 + j68 88,1 50,5 o (α) Το ρεύμα εισόδου είναι 36

37 (β) Ο συντελεστής ισχύος είναι I 1 V 1 30, 6 50,5 Z ισοδ 88,1 50,5 Η ισχύς εισόδου υπολογίζεται cosφ cos50 o 0, 64 P in P 1Φ V 1 I 1 cosφ 30, 6 0, 64 38,7W (γ) H ισχύς διακένου που αναπτύσσεται από το θετικά περιστρεφόμενο πεδίο υπολογίζεται P διακ,+ I 1 R +, ,7W και η ισχύς που αναπτύσσει το αρνητικά στρεφόμενο πεδίο είναι P διακ, I 1 R, 6 1 6,7W Η αναπτυσσόμενη ισχύς είναι T ω μηχ (1 s)(p διακ,+ P διακ, ) (1 0,04)(317,7 6,7) 98,5W (δ) Η αναπτυσσόμενη ροπή του κινητήρα υπολογίζεται T (P P )(1 s) διακ,+ διακ, 98,5 1, 65 Nm. ω μηχ π 1.78 / 60 Άσκηση 5-3 Ένας 1Φ, 4-πολικός κινητήρας επαγωγής, τάσης V 1 110V, συχνότητας f 1 50Hz, του οποίου το ισοδύναμο κύκλωμα εικονίζεται στο Σχ. 8-11α του βιβλίου, έχει τα εξής χαρακτηριστικά: R 1 R Ω, X 1 X Ω και X m 50Ω. Οι απώλειες πυρήνα του κινητήρα είναι P α,πυρ 5W και οι απώλειες τριβών και ανεμισμού είναι P α,μηχ 10W. Η ολίσθηση του κινητήρα είναι s 10%. Να προσδιορισθούν: (α) το ρεύμα εισόδου του κινητήρα και (β) ο βαθμός απόδοσης του κινητήρα. Όπως φαίνεται στο Σχ. 8-11α του βιβλίου, η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος που αντιστοιχεί στο θετικά περιστρεφόμενο πεδίο είναι Z + R + + jx + (j5)( 1 0,1 + j) j ,1 + j 8 + j 4Ω 37

38 και η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος που αντιστοιχεί στο αρνητικά περιστρεφόμενο πεδίο είναι Z R + jx Η ισοδύναμη αντίσταση υπολογίζεται (j5)( 1 1, 9 + j) j , 9 + j 0, 48 + j0, 96Ω Z ισοδ (R 1 + R + + R )+ j(x 1 + X + + X ) 10, 48 + j6, 96 1,6 33,6 o Ω (α) Το ρεύμα εισόδου είναι I 1 V 1 Z ισοδ 100 1,6 8,73A (β) H ισχύς διάκενου που αναπτύσσεται από το θετικά περιστρεφόμενο πεδίο υπολογίζεται P διακ,+ I 1 R + 8, ,7W και η ισχύς που αναπτύσσει το αρνητικά στρεφόμενο πεδίο είναι P διακ, I 1 R 8,73 0, 48 36,58W Η αναπτυσσόμενη ηλεκτρομαγνητική ισχύς είναι T ω μηχ (1 s)(p διακ,+ P διακ, ) (1 0,1)(609,7 36,58) 516W Η μηχανική ισχύς εξόδου υπολογίζεται T μηχ ω μηχ T ω μηχ P α,πυρ P α,μηχ W Η ισχύς εισόδου υπολογίζεται P in P 1Φ V 1 I 1 cosφ 110 8,73 cos 33,6 o 800W Ο βαθμός απόδοσης του κινητήρα είναι η κ T μηχ ω μηχ P 1Φ % 38

39 Άσκηση 5-4 Δίνεται ο κινητήρας με τα χαρακτηριστικά της Άσκ Να υπολογισθούν τα ρεύματα των διαφόρων στοιχείων του ισοδύναμου κυκλώματος όταν (α) ο κινητήρας λειτουργεί χωρίς φορτίο (s 0) και (β) ο δρομέας μένει ακίνητος (s 1). Και στις δύο περιπτώσεις η τάση έχει την ονομαστική της τιμή. (α) Όπως φαίνεται στο Σχ. 8-11α του βιβλίου, όταν ο κινητήρας λειτουργεί χωρίς φορτίο (s 0), ο κλάδος που περιλαμβάνει το R γίνεται ανοικτοκύκλωμα (άπειρη αντίσταση). Τότε, η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος που αντιστοιχεί στο θετικά περιστρεφόμενο πεδίο υπολογίζεται ως Z + R + + jx + j100ω και η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος που αντιστοιχεί στο αρνητικά περιστρεφόμενο πεδίο υπολογίζεται (j100)( + j6) Z R + jx 1, 78 + j5, 7 Ω j j6 Η ισοδύναμη αντίσταση υπολογίζεται Z ισοδ (R 1 + R + + R )+ j(x 1 + X + + X ) 9,78 + j117, o Το ρεύμα εισόδου είναι I 1 V 1 Z ισοδ 30 0o o 1, 95 85o A Η τάση του κυκλώματος που αντιστοιχεί στο θετικά περιστρεφόμενο πεδίο είναι V + I 1 Z + (1, o )( o ) 195 V 15 o Τα ρεύματα των στοιχείων υπολογίζονται ως εξής, j100 : I m, o o 1, 95 A 85o + j6:i, o 0A Η τάση του κυκλώματος που αντιστοιχεί στο αρνητικά περιστρεφόμενο πεδίο είναι V I 1 Z (1, o )(5,97 7,66 o ) 11,64 V 1,34 o Τα ρεύματα των στοιχείων υπολογίζονται ως εξής, 39

40 j100 : I m, 11,64 1,34o o 0,1A 10,34 o + j6:i, 11,64 1,34o 6, 3 71,57 o 1, 84A 83,91 o (β) Όπως φαίνεται στο Σχ. 8-11α του βιβλίου, όταν ο δρομέας μένει ακίνητος (s 1), η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος που αντιστοιχεί στο θετικά περιστρεφόμενο πεδίο είναι ίση με τη σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος που αντιστοιχεί στο αρνητικά περιστρεφόμενο πεδίο: (j100)(4 + j6) Z + R + + jx + 3, 5 + j5, 8 Ω Z 4 + j6 Η ισοδύναμη αντίσταση υπολογίζεται Z ισοδ (R 1 + R + + R )+ j(x 1 + X + + X ) 15 + j3,6 8Ω 57 o Το ρεύμα εισόδου είναι I 1 V 1 Z ισοδ 30 0o 8 57 o 8, Α 57o Η τάση του κυκλώματος που αντιστοιχεί είτε στο θετικά είτε στο αρνητικά περιστρεφόμενο πεδίο είναι V + V I 1 Z + (8,Α 57 o )(6,77 Ω 58,89 o ) 55,51V 1, 89 o Τα ρεύματα των στοιχείων υπολογίζονται ως εξής, 55,51 1, 89o j100 : I m,+ I m, o 0,56 A 88,11 o και 4 + j6:i,+ I, 55,51 1, 89o 7, 1 56,31 o 7,70A 58,0o. 40

41 5- Άλυτες Aσκήσεις Άσκηση 5-5 Οι παράμετροι του ισοδύναμου κυκλώματος ενός 1Φ, 6-πολικού κινητήρα επαγωγής, τάσης V 1 30V, συχνότητας f 1 60Hz είναι: R 1 R 10Ω, X 1 X 10Ω και X m 100Ω. Η ολίσθηση του κινητήρα είναι s 5%. Να προσδιορισθούν: (α) η ταχύτητα του κινητήρα, (β) το ρεύμα εισόδου, (γ) ο συντελεστής ισχύος και (δ) η αναπτυσσόμενη ροπή. (Απ. (α) 1.440rpm, (β) 3, 68A, (γ) 0,5 - επαγωγική συμπεριφορά, (δ) 1, 84 Nm ) Άσκηση 5-6 Η ισχύς εισόδου του κινητήρα της προηγούμενης άσκησης, όταν λειτουργεί χωρίς φορτίο, στην τάση V 1 30V, είναι 34,1W σε ρεύμα 1, A. Αν η ολίσθηση του κινητήρα είναι s 5% να προσδιορισθεί ο βαθμός απόδοσης του κινητήρα. (Απ. 44,% ) Άσκηση 5-7 Να επαναληφθούν οι υπολογισμοί της Άσκ. 5-5 και να συγκριθούν τα αποτελέσματα για τα εξής χαρακτηριστικά του ίδιου κινητήρα: να αγνοηθεί ο όρος X m στη σύνθετη αντίσταση Z και να ληφθεί υπόψη η αντίσταση του αντίστροφα στρεφόμενου πεδίου ίση με 0, 5 R. (Απ. (α) 1.440rpm, (β) 3, 65A, (γ) 0,5 - επαγωγική συμπεριφορά, (δ) 1, 77 Nm ) 41