ΓΙΠΛΧΜΑΣΙΚΗ ΔΡΓΑΙΑ ΔΘΝΙΚΟ ΜΔΣΟΒΙΟ ΠΟΛΤΣΔΥΝΔΙΟ ΠΑΙΓΝΙΑ ΑΣΔΛΟΤ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΗ ΚΑΙ ΥΡΗΗ ΣΟΤ Δ ΣΡΑΣΗΓΙΚΔ ΑΠΟΦΑΔΙ ΔΠΔΝΓΤΔΧΝ. ΔΠΙΚΟΠΗΗ ΚΑΙ ΔΦΑΡΜΟΓΗ.

Transcript

1 ΔΘΝΙΚΟ ΜΔΣΟΒΙΟ ΠΟΛΤΣΔΥΝΔΙΟ ΥΟΛΗ ΗΛΔΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΥΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΥΑΝΙΚΩΝ ΤΠΟΛΟΓΙΣΩΝ ΣΟΜΔΑ ΗΛΔΚΣΡΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΥΑΝΙΚΩΝ ΓΙΑΣΑΞΔΩΝ ΚΑΙ ΤΣΗΜΑΣΩΝ ΑΠΟΦΑΔΩΝ ΠΑΙΓΝΙΑ ΑΣΔΛΟΤ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΗ ΚΑΙ ΥΡΗΗ ΣΟΤ Δ ΣΡΑΣΗΓΙΚΔ ΑΠΟΦΑΔΙ ΔΠΔΝΓΤΔΧΝ. ΔΠΙΚΟΠΗΗ ΚΑΙ ΔΦΑΡΜΟΓΗ. ΓΙΠΛΧΜΑΣΙΚΗ ΔΡΓΑΙΑ ΥΡΗΣΟ Α. ΗΛΙΟΠΟΤΛΟ Δπιβλέπων : Γεκήηξηνο Αζθνύλεο Αλαπιεξσηήο Καζεγεηήο Δ.Μ.Π. Αζήλα, Ινύιηνο 2015

2 Η ζειίδα απηή είλαη ζθόπηκα ιεπθή.

3 ΔΘΝΙΚΟ ΜΔΣΟΒΙΟ ΠΟΛΤΣΔΥΝΔΙΟ ΥΟΛΗ ΗΛΔΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΥΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΥΑΝΙΚΩΝ ΤΠΟΛΟΓΙΣΩΝ ΣΟΜΔΑ ΗΛΔΚΣΡΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΥΑΝΙΚΩΝ ΓΙΑΣΑΞΔΩΝ ΚΑΙ ΤΣΗΜΑΣΩΝ ΑΠΟΦΑΔΩΝ ΠΑΙΓΝΙΑ ΑΣΔΛΟΤ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΗ ΚΑΙ ΥΡΗΗ ΣΟΤ Δ ΣΡΑΣΗΓΙΚΔ ΑΠΟΦΑΔΙ ΔΠΔΝΓΤΔΧΝ. ΔΠΙΚΟΠΗΗ ΚΑΙ ΔΦΑΡΜΟΓΗ. ΓΙΠΛΧΜΑΣΙΚΗ ΔΡΓΑΙΑ ΥΡΗΣΟ Α. ΗΛΙΟΠΟΤΛΟ Δπιβλέπων : Γεκήηξηνο Αζθνύλεο Αλαπιεξσηήο Καζεγεηήο Δ.Μ.Π. Δγθξίζεθε από ηελ ηξηκειή εμεηαζηηθή επηηξνπή ηελ 9 ε Ινπιίνπ Γ. Αζθνύλεο Αλαπιεξσηήο Καζεγεηήο Δ.Μ.Π.... Ι. Φαξξάο Καζεγεηήο Δ.Μ.Π.... Β. Αζεκαθόπνπινο Δπίθνπξνο Καζεγεηήο Δ.Μ.Π Αζήλα, Ινύιηνο 2015

4 ... ΥΡΗΣΟ Α. ΗΛΙΟΠΟΤΛΟ Γηπισκαηνύρνο Ηιεθηξνιόγνο Μεραληθόο θαη Μεραληθόο Τπνινγηζηώλ Δ.Μ.Π. Copyright Υξήζηνο Α. Ηιηόπνπινο, 2015 Με επηθύιαμε παληόο δηθαηώκαηνο. All rights reserved. Απαγνξεύεηαη ε αληηγξαθή, απνζήθεπζε θαη δηαλνκή ηεο παξνύζαο εξγαζίαο, εμ νινθιήξνπ ή ηκήκαηνο απηήο, γηα εκπνξηθό ζθνπό. Δπηηξέπεηαη ε αλαηύπσζε, απνζήθεπζε θαη δηαλνκή γηα ζθνπό κε θεξδνζθνπηθό, εθπαηδεπηηθήο ή εξεπλεηηθήο θύζεο, ππό ηελ πξνϋπόζεζε λα αλαθέξεηαη ε πεγή πξνέιεπζεο θαη λα δηαηεξείηαη ην παξόλ κήλπκα. Δξσηήκαηα πνπ αθνξνύλ ηε ρξήζε ηεο εξγαζίαο γηα θεξδνζθνπηθό ζθνπό πξέπεη λα απεπζύλνληαη πξνο ηνλ ζπγγξαθέα. Οη απόςεηο θαη ηα ζπκπεξάζκαηα πνπ πεξηέρνληαη ζε απηό ην έγγξαθν εθθξάδνπλ ηνλ ζπγγξαθέα θαη δελ πξέπεη λα εξκελεπζεί όηη αληηπξνζσπεύνπλ ηηο επίζεκεο ζέζεηο ηνπ Δζληθνύ Μεηζόβηνπ Πνιπηερλείνπ.

5 Η ζειίδα απηή είλαη ζθόπηκα ιεπθή.

6 Περίληψη Στην παρούσ α διπλωματική εργασ ία μελετάμε την λήψη σ τρατηγικών αποφάσ- εων επενδύσ εων σ τηριζόμενοι σ την θεωρία παιγνίων. Επικεντρωνόμασ τε σ τα δυναμικά παίγνια ατελούς πληροφόρησ ης και σ υγκεκριμένα αναλύουμε την περίπτωσ η που μία εταιρεία εξετάζει την είσ οδό της σ ε μία αγορά σ την οποία κυριαρχεί ένα μονοπώλιο. Καθορίζουμε την πιο αντιπροσ ωπευτική περίπτωσ η της πραγματικότητας όπου η εταιρεία παρατηρεί πρώτα το επίπεδο παραγωγής του μονοπωλίου σ ε μία πρώτη περίοδο και έπειτα αποφασ ίζει αν θα εισ έλθει σ την αγορά σ ε μία δεύτερη περίοδο, χωρίς να γνωρίζει αν αντιμετωπίζει εταιρεία με χαμηλά κόσ τη παραγωγής ή μία με υψηλά. Για αυτή την περίπτωσ η, αφού οπτικοποιήσ ουμε την ανάλυσ ή μας μέσ ω του Gambit, λογισ μικού ανοικτού κώδικα, καταλήγουμε σ την κατασ κευή αλγορίθμου σ ε ψευδοκώδικα που παροτρύνει ή αποθαρρύνει την εταιρεία για είσ οδο, εξάγοντας την ισ ορροπία της κατάσ τασ ης αυτής. Αυτό το κάνει βάσ η των αναλυτικών μαθηματικών μοντέλων της θεωρίας παιγνίων και της υπόθεσ ης ότι αν εισ έλθει η εταιρεία σ την αγορά, ανταγωνίζεται με την άλλη σ ε ένα πασ ίγνωσ το οικονομικό μοντέλο, αυτό του δυοπωλίου Cournot. Τέλος, προσ θέτουμε υπολογισ τικό φύλλο σ ε Excel που προσ ομοιώνει τα παραπάνω και προσ αρμόζει τους εκάσ τοτε υπολογισ μούς σ τα δεδομένα που εισ άγει ο χρήσ της. Η μεθοδολογία αυτή μπορεί να γίνει οδηγός για την λήψη αποφάσ εων από εταιρείες που εξετάζουν την είσ οδό τους σ ε μονοπωλιακές αγορές, σ ε παρόμοιες περιπτώσ εις ύπαρξης ατελούς πληροφόρησ ης. Η γενικότητα του αλγορίθμου και του υπολογισ τικού φύλλου Excel έγκειται σ το γεγονός ότι έχουν καταγραφεί όλα τα βήματα και οι περιπτώσ εις, από τις εξεταζόμενες σ τρατηγικές και πεποιθήσ- εις των εταιρειών και προσ αρμογές ποσ οτήτων παραγωγής βέλτισ τα σ ε μοντέλο Cournot ανάλογα με τα κόσ τη τους, μέχρι αναλυτικά όλες τις περιπτώσ εις εξαγωγής ισ ορροπίας με γνώμονα την μεγισ τοποίησ η των αναμενόμενων κερδών τους, τις οποίες επαληθεύει το λογισ μικό ανοικτού κώδικα Gambit. Λέξεις κλειδιά <<Θεωρία Παιγνίων, Στρατηγικές Αποφάσ εις Επενδύσ εων, Δυναμικά Παίγνια, Ατελούς Πληροφόρησ ης, Είσ οδος σ ε Αγορά, Μονοπώλιο, Πρώτη Περίοδος, Δεύτερη Περίοδος, Επίπεδο Παραγωγής, Χαμηλά Κόσ τη, Υψηλά Κόσ τη, Gambit, Cournot, Στρατηγικές, Πεποιθήσ εις, Εξαγωγή ισ ορροπίας>> 6

7 Abstract In this thesis we study strategic investment decision-making relying on game theory. We focus on sequential games with imperfect information and analyze a specic case, where a company considers to enter a market on which a monopoly prevails. We determine the most representative case of reality, where the company in the rst period observes the production level of the monopoly and in the second period decides whether to enter the market or not, without knowing whether is facing a company with low production costs or one with high production costs. For this case, after we visualize our analysis through Gambit, an open source software, we construct an algorithm in pseudocode that encourages or discourages the company to enter, extracting the "equilibrium" of the situation. This is accomplished according to analytical mathematical models of game theory and the assumption that if the company enters the market, she competes with the other in the basis of a well-known economic model, the Cournot duopoly. Finally, we add an Excel spreadsheet that simulates the above and adjusts the respective calculations on data entered by the user. This methodology can be used as a guide to decision making, by companies who consider to enter monopolistic markets, in similar cases with incomplete information. The usefulness of the algorithm and the Excel spreadsheet is the specication of the procedure of the equilibrium in steps. From the proposed strategies and beliefs of each company, as well as optimal adaptations in production volumes depending on their costs, up to the detailed calculation of equilibrium, we extract all results. In each case, companies are driven by the maximization of their expected prots and results are veried by the open source software Gambit. Key Words << Game Theory, Strategic Investment Decision Making, Sequential Games, Imperfect Information, Entry in Market, Monopoly, First Period, Second Period, Production Volume, Low Costs, High Costs, Gambit, Cournot, Strategies, Beliefs, Extracting an Equilibrium>> 7

8 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Για την ολοκλήρωσ η της παρούσ ας διπλωματικής εργασ ίας χρειάσ τηκαν αρκετοί μήνες σ οβαρής ενασ χόλησ ης. Ολους αυτούς τους μήνες, η καθοδήγησ η και σ υμπαράσ τασ η του επιβλέποντα καθηγητή μου, κου Δημήτριου Ασ κούνη, ήταν ιδιαίτερα σ ημαντική και αμέρισ τη και για αυτό θα ήθελα να τον ευχαρισ τήσ ω θερμά. Επίσ ης, θα ήθελα να ευχαρισ τήσ ω θερμά τον κο Γεώργιο Ρηγόπουλο, σ υνεργάτη του εργασ τηρίου, για την πολύτιμη βοήθειά του. Τέλος, θα ήθελα να ευχαρισ- τήσ ω ιδιαίτερα την δεσ ποινίδα Αγγελική Νικητάκου και την οικογένειά μου, που όλα αυτά τα χρόνια ήταν δίπλα μου σ τις σ πουδές μου και με σ τήριξαν με κάθε τρόπο σ ε κάθε μου βήμα. 8

9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Contents 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Θεωρία Παιγνίων σ ε Στρατηγικές Αποφάσ εις Επενδύσ εων και Ατελής Πληροφόρησ η Αντικείμενο Διπλωματικής Οργάνωσ η κειμένου ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Εισ αγωγή Ισ τορική Αναδρομή Ορισ μός Βασ ικές έννοιες και χαρακτηρισ τικά Διαχωρισ μός και Ταξινόμησ η Παιγνίων ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ Στατικά παίγνια πλήρους πληροφόρησ ης Ορισ μός Το Δίλλημα των Φυλακισ μένων Παίγνιο Πίνακα Ισ ορροπία Nash Το μοντέλο του δυοπωλίου Cournot Μικτές σ τρατηγικές και μικτό σ ημείο ισ ορροπίας Nash Παίγνια μηδενικού αθροίσ ματος Στατικά παίγνια μη πλήρους πληροφόρησ ης Ορισ μός Ανάλυσ η ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ Δυναμικά παίγνια πλήρους και τέλειας πληροφόρησ ης Το λογισ μικό Gambit Ορισ μός Ανάλυσ η Το μοντέλο δυοπωλίου Stackelberg Η ιδιότητα της μιας απόκλισ ης Δυναμικά παίγνια ατελούς πληροφόρησ ης Ορισ μός Ανάλυσ η Εφαρμογή Παιγνίου Αγοράς Λεμονιών-Αγορά αυτοκινήτου Παίγνιο ατελούς πληροφόρησ ης-σ ημασ ία πεποιθήσ εων

10 5 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΣΕ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ. ΘΕΩΡΙΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ-ΕΞΑΓΩΓΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ ΕΙΣΟΔΟΣ ΣΤΗΝ ΑΓΟΡΑ Βασ ική-απλή περίπτωσ η Ανάλυσ η Ευαισ θησ ίας Είσ οδος με δυνατότητα διαφήμισ ης Δύο περίοδοι παραγωγής του Monopol-Παρατήρησ η της πρώτης επιλογής Δύο περίοδοι παραγωγής Monopol-Δυοπώλιο Cournot αν εισ έλθει Entrant ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΓΕΝΙΚΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑ- ΣΚΕΥΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΨΕΥΔΟΚΩΔΙΚΑ ΓΙΑ ΚΑ- ΘΟΡΙΣΜΟ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΣΕ LIMIT PRICING ΠΑΙΓΝΙΟ ΜΕ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΣΕ ΦΥΛΛΟ EX- CEL Περιγραφή αλγορίθμου για εφαρμογή σ την γενική περίπτωσ η Ψευδοκώδικας αλγορίθμου κατασ κευής παιγνίου εξέτασ ης εισ όδου σ ε μονοπωλιακή αγορά, μετά από παρατήρησ η πρώτου επιπέδου παραγωγής του μονοπωλίου και όπου θα ανταγωνισ τούν σ ε Cournot Προσ ομοίωσ η υπολογισ μών και ισ ορροπίας σ ε Excel ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 154 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ List of Figures 1 Προσ δοκώμενη απόδοσ η εκτελεσ τή βάσ η p Προσ δοκώμενη απόδοσ η εκτελεσ τή βάσ η q Μορφή δέντρου Εκτεταμένη μορφή-δίλλημα φυλακισ μένων χωρίς ταυτόχρονη κίνησ η 69 5 Εκτεταμένη μορφή-στατικό δίλλημα φυλακισ μένων Παράδειγμα παιγνίου διαδοχικών κινήσ εων πλήρους πληροφόρησ ης 73 7 Δυναμικό παίγνιο τέλειας πληροφόρησ ης-εύρεσ η SPNE Ελεγχος ιδιότητας της μιας απόκλισ ης Παίγνιο ατελούς πληροφόρησ ης για καταβολή μισ θού σ ε εργολάβο Εκδοχή παιγνίου αγοράς λεμονιών-αγορά αυτοκινήτου Selten's Horse Παίγνιο ατελούς πληροφόρησ ης-σημασ ία και καθορισ μός πεποιθήσ- εων Διαδοχική ισ ορροπία σ ε παίγνιο τριών παικτών Είσ οδος σ την αγορά-βασ ική περίπτωσ η Είσ οδος σ την αγορά με δυνατότητα διαφήμισ ης

11 16 Δύο περίοδοι παραγωγής Monopol-Παρατήρησ η πρώτης επιλογής από Entrant Δύο περίοδοι παραγωγής Monopol-Δυοπώλιο Cournot αν εισ έλθει Entrant Περίπτωσ η p=0, Ισ ορροπία Gambit περίπτωσ η p=0, Περίπτωσ η p=0, Ισ ορροπία Gambit p=0, Περίπτωσ η p=0, Ισ ορροπία gambit περίπτωσ η p=0, Ισ ορροπία Gambit περίπτωσ η p=0, Γενική περίπτωσ η παιγνίου για κατασ κευή αλγορίθμου Αρχική εικόνα Excel πριν την εισ αγωγή δεδομένων Αποτέλεσ μα για εισ αγωγή ορθών δεδομένων εκτός p Αποτέλεσ μα για εισ αγωγή ορθών δεδομένων και p=0, Αποτέλεσ μα (λογικός έλεγχος) για p< Αποτέλεσ μα (λογικός έλεγχος) για p> Αποτέλεσ μα για εισ αγωγή ορθών δεδομένων και p=0, Αποτέλεσ μα για εισ αγωγή ορθών δεδομένων και p=0, Αποτέλεσ μα για εισ αγωγή ορθών δεδομένων και p=0, Αποτέλεσ μα (λογικός έλεγχος) για c H < Αποτέλεσ μα (λογικός έλεγχος) για c L < Αποτέλεσ μα (λογικός έλεγχος) για c 2 < Αποτέλεσ μα (λογικός έλεγχος) για c L > c H Αποτέλεσ μα (λογικός έλεγχος) για M < Αποτέλεσ μα (λογικός έλεγχος) για δεδομένα που δίνουν q < Αποτέλεσ μα (λογικός έλεγχος) για F που δεν ικανοποιεί (M + c H 2c 2 ) 2 /9 > F > (M + c L 2c 2 ) 2 / ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ List of Tables 1 Το δίλλημα των φυλακισ μένων Πίνακας εναπομένοντος παιγνίου Παράδειγμα ισ ορροπίας Nash Μεθοδολογία εύρεσ ης ισ ορροπίας Nash Διπλή ισ ορροπία Nash Η μάχη των φύλων Πίνακας πιθανοτήτων εκβάσ εων σ την Μάχη των φύλων Παίγνιο ταίριασ μα δεκάρας Κριτήριο minimax-ύπαρξη saddle point Κριτήριο minimax-μη ύπαρξη saddle point Παίγνιο Πέναλτι-Μικτές Στρατηγικές Παίγνιο μη πλήρους πληροφόρησ ης ως προς τις αποδόσ εις του Α

12 13 Επαναδιατύπωσ η πίνακα 11 σ το πνεύμα της μετατροπής Harsanyi Παίγνιο μη πλήρους πληροφόρησ ης για πρόσ ληψη εργαζόμενου Στρατηγική μορφή παιγνίου Αποδόσ εις παιγνίου αναλυτικά βάσ η κόσ τους Αποδόσ εις παιγνίου αναλυτικά βάσ η κόσ τους Αποδόσ εις σ τους τερματικούς κόμβους για κατασ κευή παιγνίου ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ List of Algorithms 1 ΕΥΡΕΣΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΕΙΣΟΔΟΥ ΣΤΗΝ ΑΓΟΡΑ ΜΕ ΑΝΤ- ΑΓΩΝΙΣΜΟ COURNOT

13 Η σ ελίδα αυτή είναι σ κόπιμα λευκή. 13

14 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Θεωρία Παιγνίων σε Στρατηγικές Αποφάσεις Επενδύσεων και Ατελής Πληροφόρηση Μόλις 70 χρόνια πριν εκδόθηκε το πρώτο βιβλίο που καταπιάσ τηκε με την θεωρία παιγνίων, εισ άγοντας την επισ τήμη αυτή που αναλύει το πώς οι εμπλεκόμενοι λαμβάνουν αποφάσ εις σ ε κατασ τάσ εις σ τρατηγικής αλληλεξάρτησ ης, προσ- παθώντας να προσ εγγίσ ει την καλύτερη δυνατή λύσ η. Η προσ έγγισ η αυτή γίνεται μέσ α από μαθηματικά μοντέλα, τα οποία ποσ οτικοποιούν τα αποτελέσ ματα κάθε παίκτη και προσ ομοιώνουν σ υμπεριφορές. Αυτή η πρωτοπορία της θεωρίας παιγνίων, η επίλυσ η μη μαθηματικών προβλημάτων με χρήσ η μαθηματικών, οδήγησ ε σ την ραγδαία ανάπτυξη του κλάδου αυτού και σ την ευρεία εφαρμογή του, από εταιρείες, μέχρι ολόκληρα κράτη. Η ενοποίησ η μαθηματικών, οικονομικών και ψυχολογίας-κοινωνικών επισ τημών υπό ένα κοινό πρίσ μα σ την θεωρία παιγνίων, έχει αποτελέσ ει εφαλτήριο για πολλές αναλύσ εις και τρόπους επίλυσ ης σ ε σ τρατηγικές αποφάσ εις επενδύσ εων. Στην εξέτασ η και προσ πάθεια αναπαράσ τασ ης τέτοιων κατασ τάσ εων, αν επικεντρωθούμε σ ε επιχειρήσ εις που δρουν σ την αγορά, το σ τοιχείο που υπεισ έρχεται ως κοινός παράγοντας για ρεαλισ τική αντιπροσ ώπευσ η της πραγματικότητας, είναι η ατελής πληροφόρησ η που μπορεί να έχουν οι επιχειρήσ εις. Στον πραγματικό κόσ μο, είναι αδύνατο να γνωρίζει κάποιος όλες τις πληροφορίες για κάποιον άλλο όταν εξετάζει μία κατάσ τασ η σ την οποία αλληλεπιδρά σ τρατηγικά μαζί του, πόσ ο μάλλον για περιπτώσ εις ανταγωνισ μού και για σ υμπεριφορές, προτιμήσ εις και πισ- τεύω που χαρακτηρίζουν τον άλλο. Αυτά υπεισ έρχονται και είναι απαραίτητα να προσ διορισ θούν ρεαλισ τικά και ορθολογικά ως ένα βαθμό σ την θεωρία παιγνίων. Παρ' ότι όμως έχουν αναλυθεί τρόποι προσ έγγισ ης, αντιμετώπισ ης και επίλυσ- ης παιγνίων ατελούς πληροφόρησ ης, δεν υπάρχει κάποια ξεκάθαρη μεθοδολογία εύρεσ ης ισ ορροπίας σ ε μία τέτοια περίπτωσ η. Υπάρχει το σ κεπτικό και το πλαίσ ιο σ το οποίο τίθεται η ισ ορροπία που βελτισ τοποιεί τις σ τρατηγικές των παικτών, αλλά δεν έχει ενσ ωματωθεί περαιτέρω η ατελής πληροφόρησ η σ ε σ τρατηγικές αποφάσ εις επενδύσ εων, σ ε βαθμό που να προσ φέρει μία μεθοδολογική προσ έγγισ η για λήψη αποφάσ εων και καθορισ μό βέλτισ των κινήσ εων και σ τρατηγικών ανά περίπτωσ η. 14

15 1.2 Αντικείμενο Διπλωματικής Σκοπός λοιπόν της παρούσ ας διπλωματικής εργασ ίας είναι να επιλύσ ει ως ένα βαθμό το πρόβλημα της ατελούς πληροφόρησ ης σ την λήψη σ τρατηγικών αποφάσ- εων επενδύσ εων, επιτυγχάνοντας μία μεθοδολογική προσ έγγισ η βάσ η της θεωρίας παιγνίων και μετατρέποντας αυτή την μεθοδολογία σ ε αλγόριθμο για χρησ τικότητα και αμεσ ότητα. Συγκεκριμένα αναλύουμε την περίπτωσ η ενός δυναμικού παιγνίου ατελούς πληροφόρησ ης σ το οποίο μία εταιρεία εξετάζει την είσ οδό της σ ε μία αγορά σ την οποία κυριαρχεί ένα μονοπώλιο. Ξεκινάμε από την βασ ική περίπτωσ η όπου όλα σ υμβαίνουν σ ε μία περίοδο, προχωράμε σ την περίπτωσ η που η εταιρεία που εξετάζει είσ οδο μπορεί να κάνει διαφήμισ η και φτάνουμε σ την πιο αντιπροσ ωπευτική περίπτωσ η της πραγματικότητας όπου η εταιρεία παρατηρεί πρώτα το επίπεδο παραγωγής του μονοπωλίου σ ε μία πρώτη περίοδο και έπειτα αποφασ ίζει αν θα εισ έλθει σ την αγορά σ ε μία δεύτερη περίοδο, χωρίς να γνωρίζει αν αντιμετωπίζει εταιρεία με χαμηλά κόσ τη παραγωγής ή μία με υψηλά. Ετσ ι καλύπτουμε ένα ευρύ φάσ μα υποπεριπτώσ εων, ενδεχόμενων, εναλλακτικών και προσ εγγίσ εων μίας ενεργής ανταγωνισ τικής οικονομικής μονάδας. Για την τελευταία περίπτωσ η, αφού οπτικοποιήσ ουμε την ανάλυσ ή μας μέσ ω του Gambit, λογισ μικού ανοικτού κώδικα, καταλήγουμε σ την κατασ κευή αλγορίθμου σ ε ψευδοκώδικα που παροτρύνει ή αποθαρρύνει την εταιρεία για είσ οδο, εξάγοντας την ισ ορροπία της κατάσ τασ ης αυτής. Αυτό το κάνει βάσ η των αναλυτικών μαθηματικών μοντέλων της θεωρίας παιγνίων και της υπόθεσ ης ότι αν εισ έλθει η εταιρεία σ την αγορά, ανταγωνίζεται με την άλλη σ ε ένα πασ ίγνωσ το οικονομικό μοντέλο, αυτό του δυοπωλίου Cournot. Με την χρήσ η του μοντέλου κάνουμε πολύ καλή προσ ομοίωσ η της αγοράς αφού μας δίνεται η δυνατότητα καθορισ μού βέλτισ- των ποσ οτήτων παραγωγής ανάλογα με τα διαφορετικά κόσ τη κάθε εταιρείας και ξεπερνάμε το πρόβλημα της σ τατικότητας και δυσ κολίας υπολογισ μού της έκβασ ης αν σ υνυπάρξουν σ την αγορά οι εταιρείες. Ξεπερνάμε ουσ ιασ τικά ένα κομμάτι της ατελούς πληροφόρησ ης. Τέλος, προσ θέτουμε υπολογισ τικό φύλλο σ ε Excel που προσ ομοιώνει τα παραπάνω και προσ αρμόζει τους εκάσ τοτε υπολογισ μούς σ τα δεδομένα που εισ άγει ο χρήσ- της, καθισ τώντας την εφαρμογή μας χρήσ ιμο εργαλείο με ευρύ φάσ μα εφαρμογής, αφού έχει δυναμικό χαρακτήρα και προσ αρμόζεται σ τα διαφορετικά δεδομένα κάθε κατάσ τασ ης. Να σ ημειώσ ουμε ότι σ κοπός μας δεν είναι η τοποθέτησ η των κατασ τάσ εων σ ε αυσ τηρούς κανόνες και ανελασ τικά πλαίσ ια, αλλά το να φτάσ ουμε σ ε ένα βοηθητικό εργαλείο για την σ υγκεκριμένη και μόνο περίπτωσ η υπό το πρίσ μα που την εισ άγουμε και την αναλύουμε, ώσ τε να γίνει αντιληπτή η δυναμική που προσ- φέρει η θεωρία παιγνίων σ ε περιπτώσ εις όπου έχουμε ατελή ή ελλιπή πληροφόρησ η και άλλες προσ εγγίσ εις αδυνατούν να δώσ ουν λύσ η. Η ανάλυσ η αυτή καθ' αυτή είναι πολύ σ ημαντική γιατί περιγράφει ένα τρόπο σ κέψης και αντιμετώπισ ης κατασ τάσ εων όπου βάσ η αυτού μπορούμε να δράσ ουμε σ τρατηγικά σ ε οποιαδήποτε περίπτωσ η χρησ ιμοποιώντας την θεωρία παιγνίων, άσ χετα από το αν τελικά μπορεί να προσ ομοιωθεί με αλγόριθμο ή όχι (ή αν θα είμασ τε νικητές ή όχι του παιγνίου). 15

16 1.3 Οργάνωση κειμένου Η διπλωματική χωρίζεται σ ε δύο κύρια μέρη. Το πρώτο, είναι θεωρητικής φύσ εως και επεξηγεί αναλυτικά τις αρχές της θεωρίας παιγνίων, καθορίζοντας τί είναι παίγνιο και πώς με την χρήσ η του λαμβάνουμε σ τρατηγικές αποφάσ εις, θέτοντας το πλαίσ ιο σ το οποίο πραγματοποιείται η ανάλυσ η μεταξύ ανταγωνισ τριών εταιρειών. Αναλύονται τα βασ ικά χαρακτηρισ τικά τους και γίνεται διαχωρισ μός και ταξινόμησ η βάσ η αυτών, ενώ παραθέτονται οι βασ ικότεροι τρόποι διαχείρισ ης και επίλυσ ής τους ανάλογα με τον τύπο τους. Καταπιανόμασ τε με χαρακτηρισ τικά παραδείγματα και εφαρμογές σ ε βάθος, που αποσ αφηνίζουν πώς η θεωρία παιγνίων μπορεί να προσ ομοιώσ ει πραγματικές κατασ τάσ εις και να γίνει χρήσ ιμο εργαλείο αντιμετώπισ ής τους. Το δεύτερο μέρος, κάνει μία προσ πάθεια εκτενούς ανάλυσ ης ενός παιγνίου διαδοχικών κινήσ εων ατελούς πληροφόρησ ης, που αποτελεί την πιο δύσ κολη, αλλά και πιο ρεαλισ τική κατάσ τασ η, για μία πραγματική περίπτωσ η σ την οποία μία εταιρεία επιθυμεί να εισ έλθει σ ε μία αγορά που κυριαρχεί ένα μονοπώλιο. Αναλύονται διάφορες εκδοχές όπου δείχνουμε σ ε κάθε μία πώς επηρεάζεται η θεώρησ η από την μεριά των παικτών και η λύσ η, κάνοντας αναλύσ εις ευαισ θησ ίας για διαφοροποίησ η μεταβλητών που παίζουν καθορισ τικό ρόλο σ το παίγνιο. Τέλος, καταλήγουμε σ την πιο αντιπροσ ωπευτική μορφή της πραγματικότητας, θεωρώντας ότι η πρώτη εταιρεία παρατηρεί σ την αρχή μία κίνησ η του μονοπωλίου, προσ παθώντας να αποσ πάσ ει κάποια πληροφορία και καθορίζουμε τα οικονομικά μεγέθη που κινητοποιούν τους παίκτες μέσ ω του οικονομικού μοντέλου Cournot. Για αυτό το παίγνιο, βρίσ κουμε τις μεταβλητές που υπεισ έρχονται σ τους υπολογισ μούς κάθε φορά σ την γενική περίπτωσ η και τροποποιούν την έκβασ η του παιγνίου και κατασ- κευάζουμε αλγόριθμο που εξάγει την ισ ορροπία του παιγνίου βάσ η των μεταβλητών αυτών, πληροφορώντας μας ταυτόχρονα για το αν προτείνεται εισ αγωγή ή όχι της εταιρείας σ την αγορά σ την ισ ορροπία αυτή. Το Κεφάλαιο 2 κάνει εισ αγωγή σ τις βασ ικές έννοιες και τα χαρακτηρισ τικά της θεωρίας παιγνίων. Το Κεφάλαιο 3 αναλύει σ υγκεκριμένα τα σ τατικά παίγνια και τους τρόπους επίλυσ ής τους με χαρακτηρισ τικά παραδείγματα και εφαρμογές. Στο Κεφάλαιο 4 αναπτύσ σ ουμε τα δυναμικά παίγνια και βλέπουμε τις δυσ κολίες που εμφανίζονται σ τα ατελούς πληροφόρησ ης, ενώ παρουσ ιάζουμε επίσ ης αναλυτικές εφαρμογές. Στο Κεφάλαιο 5 αναλύουμε σ ε βάθος την περίπτωσ η εξέτασ ης από μία εταιρεία εισ όδου σ ε μία αγορά όπου δρασ τηριοποιείται ένα μονοπώλιο. Στο Κεφάλαιο 6 κάνουμε αναγωγή σ την γενική περίπτωσ η και κατασ κευάζουμε έναν αλγόριθμο υπολογισ μού των αποδόσ εων του παιγνίου αυτού καθ' αυτού αλλά και της ισ ορροπίας του παιγνίου και ένα υπολογισ τικό φύλλο σ ε Excel που οπτικοποιεί τους υπολογισ μούς. 16

17 2 ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ 2.1 Εισαγωγή Ενα διάσ ημο Λατινικό ρητό λέει : η νίκη αγαπά την προετοιμασ ία. Η θεωρία παιγνίων προσ φέρει σ ε κάποιον ακριβώς αυτή την προετοιμασ ία τόσ ο σ ε σ χέσ η με τον εαυτό του, όσ ο και σ ε σ χέσ η με τον αντίπαλό του / ανταγωνισ τή του. Αναλύει και προβλέπει σ τρατηγικές κινήσ εις ανταγωνισ τών, προσ ομοιώνοντας σ τρατηγικές κατασ τάσ εις όπου η επιτυχία του κάθε ατόμου για τις επιλογές του εξαρτάται και από τις επιλογές των άλλων. Η θεωρία παιγνίων μελετά το πώς λαμβάνονται οι αποφάσ εις από αλληλοεξαρτώμενες μονάδες λήψης αποφάσ εων όταν υφίσ ταται σ ύγκρουσ η σ υμφερόντων. Βρίσ κει πληθώρα εφαρμογών όπως πολιτικές επισ τήμες, οικονομικές, κοινωνικές, computer science, εξελικτική βιολογία. Καταλαβαίνουμε λοιπόν ότι οι παίκτες μπορεί να είναι δύο επιχειρήσ εις, δύο ανταγωνισ τικά πολιτικά κόμματα, ένας εργοδότης και ένας υπάλληλος, δύο παίκτες σ κάκι ή ακόμα και δύο αντίπαλοι σ τρατοί. Προϋπόθεσ η είναι κάθε παίχτης να είναι ορθολογικός, δηλαδή να επιδιώκει το σ υμφέρον του, θέλοντας να μεγισ τοποιήσ ει το κέρδος του σ το παιχνίδι, αλλά και λειτουργικά ορθολογικός, δηλαδή να θεωρεί ότι αδιαμφισ βήτητα το ίδιο κάνει και ο αντίπαλός του. Η θεωρία παιγνίων τεκμηριώνει επισ τημονικά αυτή την ορθολογική σ υμπεριφορά, παρέχοντας κάποιες γενικές αρχές με τις οποίες αναλογίζονται οι σ τρατηγικές αλληλεπιδράσ εις και δημιουργώντας θεωρητικά μοντέλα μέσ α από κάθε σ τρατηγική ανάλυσ η, τα οποία αποτελούν την βάσ η των σ τρατηγικών κατασ τάσ εων. Με μεθοδικό και ακριβή τρόπο ανάλυσ ης περιγράφει τις σ τρατηγικές κατασ τάσ εις ανάλογα με την περίσ τασ η και τις παραμέτρους, δημιουργώντας μία σ ταθερή βάσ η. Με την επαναλαμβανόμενη εφαρμογή σ τρατηγικών τρόπων επίλυσ ης ανταγωνισ τικών προβλημάτων, εντοπίζονται κοινοί παράγοντες και ομοιότητες σ τις ανταγωνισ τικές αναλύσ εις, το οποίο οδηγεί σ ε σ τρατηγικό πλεονέκτημα. Αυτή ακριβώς είναι και η πεμπτουσ ία της θεωρίας παιγνίων. Δεν ισ χυριζόμασ τε ότι μπορούμε νομοτελειακά να επιλύσ ουμε με βέλτισ το τρόπο κάθε σ τρατηγική κατάσ τασ η και να πούμε ότι αυτή είναι μία ακριβής πρόβλεψη του τί πρόκειται να σ υμβεί σ το μέλλον αλλά ότι η τεκμηρίωσ η και εμπέδωσ η αυτών των θεωρητικών μοντέλων μας προσ φέρει σ τρατηγικό τρόπο αντιμετώπισ ης. Εχοντας για παράδειγμα υποθέσ ει το α και το β, να γνωρίζουμε ότι απαλείφοντας το α, το επιχείρημά μας για την σ τρατηγική μας σ υμπεριφορά σ υνεχίζει να ισ χύει και απαλείφοντας το β έχουμε εντοπίσ ει και γνωρίζουμε σ ε ποιό σ ημείο επηρεάζει την σ τρατηγική μας και πώς αλλάζει, τόσ ο ποσ οτικά όσ ο και ποιοτικά. Η θεωρία παιγνίων είναι εντέλει ένα αναλυτικό όργανο, ανεπτυγμένο σ ε αυσ τηρά επισ τημονικό πλαίσ ιο, που όμως δεν καταλήγει όλες τις φορές (όπως τα μαθηματικά) σ ε ορισ τικά σ υμπεράσ ματα. Αυτό είναι λογικό καθώς είναι αδύνατο να αναλυθούν και προβλεφθούν όλες οι πτυχές, όλες οι διαφορετικές περιπτώσ- εις και υποθέσ εις σ ε μία σ χέσ η αντιπαράθεσ ης. Μην θεωρήσ ει όμως κάποιος ότι απλά παραθέτει τα αυτονόητα με τεχνική γλώσ σ α, αφού με την εφαρμογή της 17

18 αποκαλύπτονται πλευρές μίας αντιπαράθεσ ης, που η καθαρά μαθηματική προσ έγγισ η αδυνατεί να σ υλλάβει. Δεν γίνεται για παράδειγμα να εφευρεθεί σ το σ κάκι ένας αλγόριθμος νικηφόρας σ τρατηγικής, χωρίς να αναρωτηθούμε το κατά πόσ ο μπορεί να εφαρμοσ τεί από τους παίκτες δεδομένων των δεξιοτήτων τους και αυτό έρχεται να κάνει η θεωρία παιγνίων. Θεωρία παιγνίων και μαθηματικά λοιπόν ουσ- ιασ τικά σ υμπληρώνει το ένα το άλλο. 2.2 Ιστορική Αναδρομή Ανάμεσ α σ το 0 και το 500 μ.χ. το Βαβυλώνιο Ταλμούδ, που αποτελεί την βάσ η της Εβραϊκής θρησ κείας, θέτει το πρόβλημα Συμβόλαιο Γάμου : Ενας άντρας έχει τρεις γυναίκες των οποίων τα σ υμβόλαια γάμου καθορίζουν πως όταν αποβιώσ ει θα λάβουν 100, 200 και 300 αντίσ τοιχα. Το Ταλμούδ δίνει αντιφατικές προτάσ εις. Αν όταν πεθάνει κατέχει περιουσ ία των 100, προτείνει ισ ομοίρασ μα. Αν όμως κατέχει 300 προτείνει μοιρασ ιά 50, 100, 150 αναλογικά ενώ σ την περίπτωσ η που έχει 200, η πρότασ η για 50, 75, 75 αποτελεί ένα μυσ τήριο. Το 1985 αναγνωρίσ- τηκε ότι το Ταλμούδ προβλέπει την σ ύγχρονη θεωρία των σ υνεργατικών παιγνίων. Κάθε λύσ η αντισ τοιχεί σ τον πυρήνα ενός κατάλληλα ορισ μένου παιγνίου! Σε ένα γράμμα που χρονολογείται σ τις 13 Νοεμβρίου του 1973, ο James Waldergrave παρείχε την πρώτη, γνωσ τή minimax λύσ η μεικτής σ τρατηγικής σ ε ένα παίγνιο δύο ατόμων του παιχνιδιού με κάρτες le Her. Το 1838 ο Augustin Cournot εξέτασ ε ένα δυοπώλιο και κατέληξε σ ε ένα πλαίσ ιο λύσ ης που είναι μία πιο αυσ τηρή εκδοχή της ισ ορροπίας Nash. Εν σ υνεχεία, το 1871 ο Charles Darwin δίνει έμμεσ α την πρώτη σ χέσ η αλληλεξάρτησ ης βάσ η θεωρίας παιγνίων σ την εξελικτική βιολογία και το 1881 ο Francis Ysidro Edgeworth αναλύει μία εφαρμογή των μαθηματικών σ τις ανθρωπισ τικές επισ τήμες. Προχωρώντας σ τον 20ο αιώνα βρίσ κουμε το 1913 το πρώτο θεώρημα θεωρίας παιγνίων από τον Ernst Zermelo που λέει ότι ένα παιχνίδι σ κάκι μπορεί οποτεδήποτε να οδηγηθεί σ ε λύσ η είτε από τα άσ πρα είτε από τα μαύρα ή τουλάχισ τον σ ε ισ οπαλία από αμφότερους. Προάγγελος όμως της θεωρίας παιγνίων ώσ τε να νοείται ως επισ τήμη, θεωρείται ο Ούγγρος φυσ ικομαθηματικός John von Neumann ο οποίος το 1928 δημοσ- ίευσ ε το θεμελιώδες θεώρημα για παίγνια μηδενικού αθροίσ ματος δύο ατόμων και απέδειξε το θεώρημα minimax, εισ άγοντας επίσ ης για πρώτη φορά το εκτεταμένης μορφής παίγνιο. Η σ υνεργασ ία του με τον Oskar Morgenstern θα οδηγήσ ει το 1944 σ το μνημειώδες βιβλίο Theory of Games and Economic Behavior, όπου ανέλυσ- αν διεξοδικά την σ τρατηγική αντιμετώπισ η παιγνίων μηδενικού αθροίσ ματος δύο ατόμων για την εύρεσ η αμοιβαία αποδεκτών λύσ εων, εισ ήγαγαν τα σ υνεργατικά παίγνια και όρισ αν αξιωματικά τη θεωρία χρησ ιμότητας για τους παίκτες τα οποία αναγνωρίσ τηκαν ευρέως και εφαρμόσ τηκαν τόσ ο σ την οικονομική όσ ο και σ την κοινωνική επισ τήμη. Το 1950 ο Αμερικανός μαθηματικός John Nash εισ άγει την έννοια της ισ ορροπίας σ τα παίγνια, γνωσ τή πλέον ως ισ ορροπία Nash, η οποία είναι η πιο ευρέως χρησ ιμοποιούμενη έννοια σ τη θεωρία παιγνίων. Η ισ ορροπία Nash είναι μια έκβασ η (ένα ζεύγος σ τρατηγικών) του παιγνίου από την οποία κανένας από τους παίκτες δεν έχει κίνητρο να παρεκκλίνει, αφού, με δεδομένο το τί κάνει ο 18

19 άλλος παίκτης, η σ τρατηγική της ισ ορροπίας Nash είναι η βέλτισ τη για ένα παίκτη. Δηλαδή κανένας παίκτης δεν μπορεί να βελτιώσ ει την απόδοσ ή του αλλάζοντας την σ τρατηγική του, αν οι άλλοι παίκτες δεν αλλάξουν την δική τους. Το 1965 ο Reinhard Selten εξευγένισ ε και εξέλιξε την ισ ορροπία Nash με την έννοια της τέλειας ισ ορροπίας σ τα υποπαίγνια δυναμικών παιγνίων. Ακολούθως, το 1967 ο John Harsanyi σ υνέταξε την θεωρία για παίγνια ατελούς πληροφόρησ ης και έθεσ ε τις γνωσ τικές οικονομικές βάσ εις πάνω σ τις οποίες αναπτύχθηκε η σ ύγχρονη θεωρία παιγνίων για τις προτιμήσ εις και επιλογές αντίπαλων παικτών σ ε παίγνια ατελούς πληροφόρησ ης. To 1994 απονεμήθηκε το βραβείο Nobel σ τους John Nash, John C. Harsanyi και Reinhard Selten για την πρωτοποριακή ανάλυσ η ισ ορροπίας σ την θεωρία μη σ υνεργατικών παιγνίων. Τους ακολούθησ αν οι Robert J. Aumann και Thomas C. Schelling κερδίζοντας το Nobel το 2005 επειδή εμπλούτισ αν την αντίληψή μας σ χετικά με την σ χέσ η αντιπαράθεσ ης και σ υνεργασ ίας μέσ α από την ανάλυσ η της θεωρίας παιγνίων. Με το ίδιο βραβείο τιμήθηκαν το 2007 οι Leonid Hurwicz, Eric S. Maskin και Roger B. Myerson επειδή θεμελίωσ αν τις βάσ εις της θεωρίας σ χεδιασ μού μηχανισ μών και το νεότερο βραβείο Nobel απονεμήθηκε σ τους Alvin E. Roth και Lloyd S. Shapley το 2012 για την θεωρία των σ ταθερών κατανομών και την πρακτική του σ χεδιασ μού της αγοράς. 2.3 Ορισμός Ενα παίγνιο είναι κάθε κατάσ τασ η σ την οποία τα αποτελέσ ματα, οι κατασ- τάσ εις που προκύπτουν εξαρτώνται όχι μόνο από τις δικές μας πράξεις αλλά και από τις πράξεις κάποιου άλλου. Η θεωρία παιγνίων είναι η λογική ανάλυσ η αυτών των σ τρατηγικών κατασ τάσ εων ανταγωνισ μού και σ υνεργασ ίας. Υπάρχουν πολλοί τύποι παιγνίων (παιχνιδιών), παιχνίδια καρτών, επιτραπέζια, βιντεοπαιχνίδια, ποδόσ φαιρο κτλ. Στην θεωρία παιγνίων πιο σ υγκεκριμένα, παίγνιο ορίζεται κάθε κατάσ τασ η σ την οποία : (i) Υπάρχουν τουλάχισ τον δύο παίκτες. (ii) Κάθε παίκτης έχει ένα αριθμό τρόπων δράσ ης τους οποίους μπορεί να επιλέξει να ακολουθήσ ει, για τους οποίους η σ τρατηγική μετράει. (iii) Το παίγνιο έχει τουλάχισ τον μία έκβασ η, ένα αποτέλεσ μα το οποίο καθορίζεται σ υνδυασ τικά από τις επιλεγμένες σ τρατηγικές των παικτών, δηλαδή υπάρχει σ τρατηγική αλληλεπίδρασ η. (iv) Συσ χετισ μένο με κάθε πιθανή έκβασ η του παιγνίου είναι ένα σ ύνολο αποδόσ- εων (αριθμητικά μετρήσ ιμο), μία για κάθε παίκτη. Αυτές οι αποδόσ εις αντιπροσ ωπεύουν την αξία / χρησ ιμότητα του αποτελέσ ματος για κάθε παίκτη. Αυτός ο ορισ μός αυτομάτως αποκλείει 19

20 (i) Παιχνίδια καθαρής τύχης όπως λοταρίες, μηχανήματα κουλοχέρη κτλ αφού εκεί η σ τρατηγική δεν παίζει ρόλο. (ii) Παιχνίδια χωρίς αλληλεπίδρασ η / αλληλεξάρτησ η σ τρατηγικών μεταξύ παικτών, όπως η πασ ιέντζα. Συνοψίζοντας, σ ύμφωνα με τον Martin J. Osborn και τον Ariel Rubinstein η θεωρία παιγνίων είναι μία βαλίτσ α αναλυτικών εργαλείων σ χεδιασ μένων για να μας βοηθήσ ουνε να καταλάβουμε τα φαινόμενα που παρατηρούμε όταν λήπτες αποφάσ- εων αλληλεπιδρούν. Ενα παίγνιο λοιπόν εξετάζει κατασ τάσ εις σ ύγκρουσ ης, ανταγωνισ μού, αλλά και σ υνεργασ ίας αντίπαλων παικτών. 2.4 Βασικές έννοιες και χαρακτηριστικά Σύμφωνα με την παραπάνω τελευταία ανάλυσ η,, η θεωρία παιγνίων δεν είναι ένα σ ύνολο θεωρημάτων, αλλά ένα κουτί εργαλείων. Χρήσ η της θεωρίας παιγνίων σ ημαίνει όχι τόσ ο πολύ να γνωρίζουμε ποια θεωρήματα εφαρμόζονται σ ε ένα σ υγκεκριμένο πρόβλημα, αλλά περισ σ ότερο ποια εργαλεία από την εργαλειοθήκη μας μπορούν να χρησ ιμοποιηθούν παραγωγικά ώσ τε να μοντελοποιήσ ουν αποδοτικά ιδιαίτερα σ υμπεριφορισ τικά χαρακτηρισ τικά. Μαθαίνοντας θεωρία παιγνίων, σ ημαίνει να μαθαίνεις να λύνεις μία ποικιλία εξεζητημένων, πολύπλοκων προβλημάτων. Θα αναλύσ ουμε τα κύρια χαρακτηρισ τικά της θεωρίας παιγνίων ώσ τε να εξοικειωθούμε και να κατανοήσ ουμε καλύτερα τα προαναφερθέντα. Ενας παίκτης, σ την περίπτωσ ή μας ένας παίκτης οικονομικών, είναι εξ' ορισ μού, μία οντότητα με προτιμήσ εις. Αυτό περιγράφεται με την αφηρημένη έννοια της χρησ ιμότητας. Από όταν ο ορισ μός επαναδιατυπώθηκε από τον Samuelson την δεκαετία του 50, εδραιώθηκε πως, όταν λέμε ότι ένας παίκτης δρα έτσ ι ώσ τε να μεγισ τοποιήσ ει την χρησ ιμότητά του, εννοούμε με τον όρο χρησ ιμότητα απλά οτιδήποτε είναι αυτό που η σ υμπεριφορά του παίκτη του προτείνει να λειτουργήσ ει με σ υνέπεια ώσ τε να το κάνει πιο πιθανό. Αναφέρεται σ ε μία καθορισ μένη κλίμακα της υποκειμενικής ευημερίας που ο παίκτης αντλεί από ένα αντικείμενο ή ένα γεγονός. Η ευημερία αυτή είναι η απόδοσ η που προαναφέραμε. Η απόδοσ η είναι η ποσ οτική έκφρασ η του οφέλους για τον παίκτη είτε αυτό είναι χρηματική αξία κτλ είτε εκφράζει κάποια προτίμησ η. Κάθε παίκτης λοιπόν θα ήθελε το παίγνιο να τελειώσ ει σ ε μία κατάσ τασ η που του δίνει όσ ο το δυνατόν μεγαλύτερη απόδοσ η. Η έκβασ η αυτή δεν καθορίζεται μόνο από τις επιλογές του, αλλά επίσ ης βασ ίζεται και σ τις επιλογές όλων των άλλων παικτών και εδώ ακριβώς υπεισ έρχεται ο ανταγωνισ μός και η σ υνεργασ ία. Τα παίγνια χωρίζονται σ ε δύο κύριες κατηγορίες, τα μη-σ υνεργατικά παίγνια και τα σ υνεργατικά. Τα μη σ υνεργατικά παίγνια πραγματεύονται το πώς νοήμων μονάδες αλληλεπιδρούν μεταξύ τους σ ε μία προσ πάθεια να πετύχει έκασ τος τους δικούς του σ τόχους. Δεν προβαίνουν σ ε δεσ μεύσ εις, σ ε σ υνεργασ ίες μεταξύ τους. Στα σ υνεργατικά παίγνια αντιθέτως, οι σ υμφωνίες μεταξύ παικτών είναι δυνατές και αναλύεται το πώς μπορούν να τις σ υνάψουν λαμβάνοντας από κοινού ορθολογικές αποφάσ εις. Διευκρινίζουμε ότι η μη-σ υνεργατική θεωρία παιγνίων δεν απαγορεύει 20

21 την σ υνεργασ ία, απλά έχει πάντα ως γνώμονα να ικανοποιείται το ατομικό σ υμφέρον και όταν υπαγορεύεται από αυτό η σ υνεργασ ία μπορεί να εξετασ τεί. Στην πραγματικότητα, κατά την γνώμη μου, η θεωρία παιγνίων δεν είναι για το πόσ ο ανταγωνίζονται οι άνθρωποι, όσ ο για το πόσ ο σ υνεργάζονται. Δεν φτάσ- αμε εδώ που είμασ τε ως είδος επειδή είμασ τε κυρίως σ πουδαίοι ανταγωνισ τές, αλλά επειδή είμασ τε σ πουδαίοι σ υνεργάτες. Στο ερώτημα αν η ανθρώπινη φύσ η είναι περισ σ ότερο εγωισ τική ή αλτρουισ τική, αν η φύσ η είναι βάρβαρη ή τρυφερή και αν αγάπη και σ υντροφικότητα ή μίσ ος και έχθρα υπαγορεύουν την ανθρώπινη σ υμπεριφορά, η απάντησ η σ ε όλες τις περιπτώσ εις είναι και τα δύο, σ ε περίπλοκη και ταυτόχρονα άκρως αποκαλυπτική αλληλεπίδρασ η. Ο διαχωρισ μός της θεωρίας παιγνίων σ ε σ υνεργατικά και μη, εισ άγει υπεραπλουσ τεύσ εις για να γίνουν τα υπολογισ τικά μοντέλα πιο βολικά και αυτό δεν πρέπει να το ξεχνάμε. Τα μοντέλα που μελετάει η θεωρία παιγνίων υποθέτουν ότι οι παίκτες έχουν ορθολογικότητα, βασ ικότατη προϋπόθεσ η όπως αναφέραμε και παραπάνω. Με την έννοια ότι γνωρίζουν τις εναλλακτικές τους, σ υγκροτούν εκτιμήσ εις / προσ δοκίες για τις άγνωσ τες, έχουν ξεκάθαρες προτιμήσ εις και επιλέγουν τις πράξεις τους εσ κεμμένα μετά από κάποια διαδικασ ία βελτισ τοποίησ ης. Πιο σ υγκεκριμένα, ένας οικονομικά ορθολογικός παίκτης είναι κάποιος που μπορεί. (i) Να εκτιμήσ ει αποτελέσ ματα / εκβάσ εις, με την έννοια ταξινόμησ ής τους με σ εβασ μό σ την σ υνεισ φορά τους σ την ευημερία του, την χρησ ιμότητά του. (ii) Να υπολογίζει μονοπάτια προς τα αποτελέσ ματα, με την έννοια να διακρίνει ποια αλληλουχία ενεργειών οδηγεί σ ε ποιες εκβάσ εις. (iii) Να επιλέξει δράσ εις από ένα σ ύνολο εναλλακτικών που αποφέρουν τις προτιμότερές του εκβάσ εις, δεδομένων και των ενεργειών των άλλων παικτών. Μπορούμε να σ υνοψίσ ουμε λέγοντας ότι ένας παίκτης είναι οικονομικά ορθολογικός όταν έχει εναλλακτικές και επιλέγει μεταξύ αυτών με ένα τρόπο που υποδεικνύει αξιόπισ τα κίνητρα από ό,τι φαίνεται καλύτερο για τους σ κοπούς του. Ο φιλόσ οφος Daniel Dennett θα έλεγε : μπορούμε να προβλέψουμε την σ υμπεριφορά του από την εσ κεμμένη σ τάσ η. Και αυτή η βασ ική υπόθεσ η της ορθολογικότητας αποτελεί ένα απλουσ τευτικό εργαλείο. Η λύσ η ορισ μένων παιγνίων (ακόμα και όταν είναι μοναδική) είναι σ υνήθως τόσ ο περίπλοκη που είναι σ χεδόν αδύνατο ένας σ υνηθισ μένος άνθρωπος να ήταν πρόθυμος να επενδύσ ει τα μέσ α για να την ανακαλύψει. Ακόμα, έχει αποδειχθεί ότι η πλήρης ορθολογικότητα τίθεται υπό ερώτημα σ την πραγματική ζωή, τόσ ο λόγω εξαιρετικής πολυπλοκότητας αρκετών αποφάσ εων, όσ ο και των διαφορών μεταξύ ανθρώπων σ ε επίπεδο γνώσ εων για μία κατάσ τασ η αλλά και σ ε επίπεδο ικανοτήτων, κυρίως αναλυτικών σ ε σ χέσ η με μία κατάσ τασ η. Αξίζει να σ ημειωθεί όμως ότι η υπόθεσ η της ορθολογικότητας απλουσ τεύει πάλι τα υπολογισ τικά μοντέλα, αλλά με τρόπο που να μας οδηγεί προς την σ ωσ- τή κατεύθυνσ η, αφού μέσ ω αυτής διακρίνουμε απλά ότι ένας τρόπος δράσ ης επιλέχθηκε, ενώ κάποια εναλλακτική δράσ η ήταν διαθέσ ιμη. Κατανοούμε δηλαδή πώς θα κινιόντουσ αν οι παίκτες αν ήταν πλήρως ορθολογικοί και όταν μπορούμε 21

22 να αναπτύξουμε μία γενική θεωρία του πώς να αντιμετωπίσ ουμε τα παίγνια ορθολογικά, παρέχουμε σ ημαντικά και ευρέως χρήσ ιμα εργαλεία. Η χρησ ιμότητα της θεωρίας αυτής είναι που έχει σ ημασ ία και όταν τα πορίσ ματα δεν διαφέρουν από εκβάσ εις πραγματικών κατασ τάσ εων, από εμπειρικά σ υμπεράσ ματα, τότε η παραδοχή της ορθολογικότητας λειτουργεί, παρ' ότι γνωρίζουμε ότι είναι αδύνατο να μοντελοποιήσ ουμε όλες τις πτυχές της περίπλοκης πραγματικότητας. Τέλος, κάθε παίκτης σ ε ένα παίγνιο καλείται να επιλέξει ανάμεσ α από δύο ή περισ σ ότερες σ τρατηγικές. Μία σ τρατηγική είναι ένα προκαθορισ μένο πλάνο παιξίματος που λέει σ τον παίκτη τί δράσ εις να αναλάβει ως αντίδρασ η / απάντησ η σ ε κάθε πιθανή σ τρατηγική που μπορεί να χρησ ιμοποιήσ ουν οι άλλοι παίκτες. Οι παίκτες δηλαδή έχουν αλληλεξάρτησ η και για αυτό πρέπει να λάβουν αποφάσ εις σ τρατηγικά. Καλούνται να αποφασ ίσ ουν ποια είναι η βέλτισ τη για αυτούς σ τρατηγική που οδηγεί σ το επιθυμητό αποτέλεσ μα, δρώντας σ ε ένα μοντέλο σ τρατηγικής αλληλεπίδρασ ης. 2.5 Διαχωρισμός και Ταξινόμηση Παιγνίων Μία βασ ικότατη παράμετρος προσ διορισ μού των παιγνίων εμπεριέχει την πληροφόρησ η που οι παίκτες έχουν όταν επιλέγουν σ τρατηγικές. Ετσ ι έχουμε τον διαχωρισ μό σ ε παίγνια πλήρους πληροφόρησ ης και μη πλήρους πληροφόρησ ης. Στα πλήρους πληροφόρησ ης, σ ε κάθε σ ημείο που η σ τρατηγική ενός παίκτη του υπαγορεύει να αναλάβει μία δράσ η, γνωρίζει τα πάντα που έχουν σ υμβεί σ το παιχνίδι μέχρι εκείνο το σ ημείο. Ενα επιτραπέζιο διαδοχικών κινήσ εων σ το οποίο οι δύο παίκτες παρακολουθούν όλη την δράσ η (και γνωρίζουν βέβαια από κοινού τους κανόνες), όπως το τάβλι, είναι ένα τέτοιο παίγνιο. Αντιθέτως, σ τα παίγνια μη πλήρους πληροφόρησ ης, ο παίκτης δεν γνωρίζει ακριβώς ποιες επιλογές έχουν γίνει σ το παίγνιο ως την σ τιγμή που πρέπει να κάνει μια επιλογή. Είτε δεν μπορεί να δει κάποιες από τις επιλογές που έγιναν σ τα προηγούμενα σ τάδια του παιγνίου, είτε παίκτες που έπαιζαν σ τα σ τάδια αυτά προτιμούν να μην αποκαλύπτουν την πληροφορία σ τους παίκτες επόμενων σ ταδίων. Ενα παράδειγμα είναι το πόκερ. Η διαφορά μεταξύ παιγνίων πλήρους και μη πλήρους πληροφόρησ ης είναι σ τενά σ υνδεδεμένη με τον διαχωρισ μό αναπαράσ τασ ης παιγνίων που βασ ίζεται σ την σ ειρά παιξίματος. Ετσ ι έχουμε τα δυναμικά παίγνια ή παίγνια διαδοχικών κινήσ εων όπου η σ ειρά με την οποία λαμβάνονται οι αποφάσ εις παίζει ρόλο, δηλαδή κάποιος παίζει σ το πρώτο σ τάδιο, κάποιος σ το δεύτερο κ.ο.κ. και τα σ τατικά παίγνια, σ τα οποία οι παίκτες κινούνται ταυτόχρονα και δεν παίζει ρόλο με ποια σ ειρά ο παίκτης λαμβάνει αποφάσ εις. Επίσ ης έχοντας ορίσ ει το σ ύνολο παικτών, μπορούμε να κάνουμε άλλη μια κύρια διάκρισ η. Αυτά σ τα οποία το σ ύνολο πιθανών ενεργειών μεμονωμένων παικτών είναι τα θεμελιώδη σ τοιχεία και αυτά σ τα οποία το σ ύνολο κοινών δράσ εων group παικτών είναι τα θεμελιώδη σ τοιχεία. Τα πρώτα αναφέρονται ως μη-σ υνεργατικά παίγνια ενώ τα δεύτερα αναφέρονται ως σ υνεργατικά παίγνια. Ακόμα ταξινόμησ η υφίσ ταται με βάσ η τις αποδόσ εις κάθε έκβασ ης παιγνίου, τις σ υναρτήσ εις αμοιβής ή απώλειας. Οταν η αμοιβή ενός παίκτη ισ ούται με την 22

23 απώλεια του άλλου (παίγνια δύο παικτών), τότε έχουμε να κάνουμε με παίγνια μηδενικού αθροίσ ματος, αφού το άθροισ μα των σ υνολικών αμοιβών είναι μηδενικό και δεν τίθεται θέμα σ υνεργασ ίας αφού ό,τι κερδίζει ο ένας, χάνει ο άλλος. Οταν δεν ισ χύει αυτό, έχουμε παίγνια μη-μηδενικού αθροίσ ματος. Για όλα τα παραπάνω υπάρχουν δύο βασ ικές μορφές περιγραφής, ανάλυσ ης παιγνίων, που κάθε μία χρησ ιμοποιεί ένα βασ ικό μαθηματικό εργαλείο για να αναπαρασ τήσ ει τα παίγνια. Η πρώτη αναφέρεται σ τα παίγνια κανονικής μορφής ή παίγνια σ τρατηγικής μορφής. Ενα παίγνιο σ τρατηγικής μορφής αποτελείται από ένα σ ύνολο παικτών, για κάθε παίκτη υπάρχει ένα σ ύνολο σ τρατηγικών και για κάθε έκβασ η (ή σ υνδυασ- μό σ τρατηγικών) του παιγνίου υπάρχει κάποια απόδοσ η για κάθε παίκτη. Το μαθηματικό εργαλείο που βοηθάει σ την περιγραφή είναι ο πίνακας (μήτρα). Οι πίνακες δείχνουν τις αποδόσ εις των παικτών, για κάθε πιθανό σ υνδυασ μό (ζεύγος) σ τρατηγικών που οι παίκτες μπορούν να επιλέξουν, αντισ τοιχίζοντας τις σ τρατηγικές του ενός παίκτη σ τις σ τήλες και του άλλου σ τις γραμμές, οπότε κάθε κελί παραθέτει ένα αποτέλεσ μα καθορισ μένο σ ε όρους αμοιβών των παικτών. Γενικά χρησ ιμοποιούνται για αναπαράσ τασ η σ τατικών παιγνίων, όπου οι παίκτες δρουν μία φορά και ταυτόχρονα. Η δεύτερη μορφή είναι τα εκτεταμένης μορφής παίγνια. Αναπαρισ τούνται με το μαθηματικό εργαλείο : δέντρα παιγνίου. Αυτό είναι ένας κατευθυνόμενος γράφος, ένα σ ύνολο σ υνδεδεμένων κόμβων που έχει διακριτή κατεύθυνσ η. Στους κόμβους αντισ τοιχίζεται ο εκάσ τοτε παίκτης που έχει σ ειρά να παίξει, ενώ σ τους κλάδους οι διαθέσ ιμες κινήσ εις. Στο τέλος του δέντρου παρισ τάνονται οι αποδόσ εις των παικτών, οι τελικές αμοιβές ή απώλειες. Τα δέντρα και άρα η εκτεταμένη μορφή παιγνίου, χρησ ιμοποιούνται για να αναπαρασ τήσ ουν παίγνια διαδοχικών κινήσ εων, επειδή δείχνουν την σ ειρά με την οποία οι ενέργειες λαμβάνονται από τους παίκτες. Τα δύο είδη παιγνίων προφανώς δεν είναι ισ οδύναμα, γιατί τα εκτεταμένης μορφής παίγνια περιέχουν πληροφορίες σ χετικά με ακολουθίες παιξίματος και τα επίπεδα πληροφόρησ ης των παικτών σ χετικά με τη δομή του παιγνίου, ενώ τα σ τρατηγικής μορφής παίγνια δεν το κάνουν. Σε γενικές γραμμές, ένα παίγνιο σ τρατηγικής μορφής θα μπορούσ ε να αντιπροσ ωπεύει οποιαδήποτε από διάφορα παίγνια εκτεταμένης μορφής. Ετσ ι, ένα παίγνιο σ τρατηγικής μορφής είναι καλύτερο να θεωρείται ως ένα σ ύνολο παιγνίων εκτεταμένης μορφής. Οταν η σ ειρά παιξίματος είναι άσ χετη με την έκβασ η του παιχνιδιού, τότε θα πρέπει να μελετάμε την σ τρατηγική μορφή του, δεδομένου ότι είναι το σ ύνολο που μας ενδιαφέρει. Οπου η σ ειρά του παιξίματος παίζει ρόλο, η εκτεταμένη μορφή πρέπει υποχρεωτικά να καθορίζεται αλλιώς τα σ υμπεράσ ματά μας θα είναι αναξιόπισ τα. Εδώ κατανοούμε καλύτερα και αυτό που προείπαμε, ότι η διαφορά μεταξύ παιγνίων πλήρους και μη πλήρους πληροφόρησ ης είναι σ τενά σ υνδεδεμένη με τον διαχωρισ μό αναπαράσ τασ ης παιγνίων που βασ ίζεται σ την σ ειρά παιξίματος. Θα αναλυθούν όλα αυτά παρακάτω και θα γίνουν κατανοητά, παραθέτοντας και παραδείγματα. Για την περαιτέρω ανάλυσ ή μας, θα διακρίνουμε τέσ σ ερις βασ ικές κατηγορίες παιγνίων : (i) Στατικά παίγνια πλήρους πληροφόρησ ης (ii) Στατικά παίγνια μη πλήρους πληροφόρησ ης 23

24 (iii) Δυναμικά παίγνια πλήρους πληροφόρησ ης (iv) Δυναμικά παίγνια ατελούς πληροφόρησ ης 24

25 3 ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ 3.1 Στατικά παίγνια πλήρους πληροφόρησης Ορισ μός Στατικό παίγνιο σ ημαίνει ότι οι παίκτες παίζουν ταυτόχρονα. Πλήρους πληροφόρησ ης σ ημαίνει ότι οι πληροφορίες για τις σ τρατηγικές και τις αποδόσ εις των παικτών για κάθε πιθανό σ υνδυασ μό σ τρατηγικών είναι πάντα γνωσ τές σ ε όλους. Δεν σ ημαίνει ότι ένας παίκτης γνωρίζει τί θα παίξει ο άλλος, αλλιώς δεν θα είχε νόημα το ότι παίζουν ταυτόχρονα. Απεναντίας, το ότι δεν παίζει ρόλο η σ ειρά λήψης αποφάσ εων σ ημαίνει ακριβώς αυτό, ότι οι παίκτες δεν γνωρίζουν τις επιλογές των άλλων, αφού παίζουν ταυτόχρονα. Δεδομένου ότι εξετάζουμε σ τατικά παίγνια, η ανάλυσ ή μας θα γίνει με την σ τρατηγική μορφή του παιγνίου, όπου προσ διορίζονται : (i) Οι παίκτες / αντίπαλοι του παιγνίου (ii) Οι διαθέσ ιμες σ τρατηγικές κάθε παίκτη (ξεκάθαρες σ τρατηγικές, δηλαδή απλές κινήσ εις). (iii) Η απόδοσ η κάθε παίκτη για κάθε πιθανή έκβασ η του παιγνίου, δηλαδή για κάθε δυνατό σ υνδυασ μό σ τρατηγικών Ενας ακόμα πιο αυσ τηρός ορισ μός των παιγνίων σ τρατηγικής μορφής είναι ΟΡΙΣΜΟΣ 1.1 Ενα παίγνιο σ τρατηγικής μορφής (ή ένα παίγνιο σ ε κανονική μορφή) είναι απλά ένα σ ύνολο n ατόμων που προσ διορίζονται από τους αριθμούς 1,2,...,n (και αναφέρονται ως παίκτες του παιγνίου), τέτοιο ώσ τε κάθε παίκτης i έχει : Ενα σ ύνολο επιλογών S (επίσ ης γνωσ τό ως το σ ύνολο σ τρατηγικών του παίκτη (i) Τα σ τοιχεία του σ υνόλου ονομάζονται σ τρατηγικές του παίκτη i), και (ii) Μία σ υνάρτησ η απόδοσ ης u i : S 1 S 2... S n R Το παίγνιο παίζεται ως εξής: Κάθε παίκτης k επιλέγει ταυτόχρονα μια σ τρατηγική s k ɛs k και αφού γίνει αυτό, κάθε παίκτης i λαμβάνει την απόδοσ η u i (s 1, s 2,..., s n ). Ενα παίγνιο σ τρατηγικής μορφής με n παίκτες, σ ύνολα σ τρατηγικών S 1,..., S n και σ υναρτήσ εις απόδοσ ης u i,..., u n θα σ υμβολίζεται με G = {S 1,..., S n, u 1,..., u n }. 25

26 Το καρτεσ ιανό γινόμενο S 1 S 2... S n των σ υνόλων σ τρατηγικών καλείται σ ύνολο οριζόντων σ τρατηγικής και τα σ τοιχεία του(s 1, s 2,..., s n ) ονομάζονται ορίζοντες σ τρατηγικής. Η απόδοσ η u i (s 1, s 2,..., s n ) ενός παίκτη δύναται να αναπαρισ τά χρηματικό κέρδος, ζημία και γενικά οποιοδήποτε άλλο είδος ικανοποίησ- ης που έχει σ ημασ ία για τον παίκτη. Για να γίνουν όλα τα παραπάνω κατανοητά και να εισ άγουμε βασ ικές τεχνικές επίλυσ ης αυτών των παιγνίων, παραθέτουμε ένα από τα γνωσ τότερα παραδείγματα της θεωρίας παιγνίων, το δίλλημα των φυλακισ μένων. Το παίγνιο απεικονίζει ένα κοινωνικό φαινόμενο. Περιγράφει μία κατάσ τασ η, σ την οποία οι παίκτες θα ήταν σ ε καλύτερη κατάσ τασ η αν σ υνεργάζονταν κι ωσ τόσ ο φαίνεται πως έχουν κάποιο κίνητρο να μην σ υνεργασ τούν! Το Δίλλημα των Φυλακισ μένων Η κατάσ τασ η του παιγνίου έχει ως εξής : Η ασ τυνομία έχει σ υλλάβει δύο άτομα που ξέρει ότι διέπραξαν μαζί ένα έγκλημα, μία λησ τεία. Δεν διαθέτουν επαρκή αποδεικτικά σ τοιχεία για να επιτύχουν ετυμηγορία καταδίκης σ το δικασ- τήριο. Εχουν όμως αρκετά για να σ τείλουν τον καθένα τους δύο χρόνια φυλακή για την κλοπή του αυτοκινήτου διαφυγής. Ο αρχιεπιθεωρητής κάνει λοιπόν την ακόλουθη πρότασ η σ ε κάθε φυλακισ μένο : Αν ομολογήσ εις την λησ τεία, υποδεικνύοντας τον σ υνεργάτη σ ου και αυτός δεν ομολογήσ ει, τότε θα αφεθείς ελεύθερος και αυτός θα καταδικασ τεί σ ε δεκαετή φυλάκισ η. Αν ομολογήσ ετε και οι δύο, θα καταδικασ τείτε και οι δύο σ ε πέντε χρόνια φυλάκισ η. Αν δεν ομολογήσ- ει κανείς, τότε θα καταδικασ τείτε σ ε δύο χρόνια φυλάκισ ης ο καθένας για κλοπή αυτοκινήτου. ˆ Άρα σ το παίγνιό μας έχουμε δύο παίκτες και κάθε ένας έχει δύο σ τρατηγικές. Φυλακισ μένος 1 : Μη ομολογία, Ομολογία Φυλακισ μένος 2 : Μη ομολογία, Ομολογία Οι αποδόσ εις δίνονται από τα ζεύγη (α,β) (σ ε κάθε κελί του πίνακα) για κάθε έκβασ η, με α την απόδοσ η για τον παίκτη 1 (πρώτος αριθμός κελιού) και β την απόδοσ η για τον παίκτη 2 (δεύτερος αριθμός κελιού) και ποσ οτικοποιούνται σ ε χρόνια φυλάκισ ης. (Περισ σ ότερα = χειρότερη αμοιβή) ˆ Οι σ τρατηγικές επιλέγονται από τους δύο παίκτες ταυτόχρονα και χωρίς να υπάρχει επικοινωνία μεταξύ τους. Αναπαρισ τώντας λοιπόν το παίγνιο σ ε μορφή πίνακα έχουμε Παίκτης 1 Παίκτης 2 μη ομολογία ομολογία μη ομολογία (-2,-2) (-10,0) ομολογία (0,-10) (-5,-5) 26

27 Table 1: Το δίλλημα των φυλακισ μένων Ο πίνακας περιγράφει εξ' ολοκλήρου το παίγνιο σ ε σ τρατηγική μορφή, σ υλλαμβάνοντας τον τρόπο με τον οποίο οι ξεχωρισ τές τους επιλογές αλληλεπιδρούν. Οι αποδόσ εις είναι προφανώς αρνητικές γιατί είναι ποινές. Είναι προφανές πως (i) Και οι δύο παίκτες έχουν σ υμφέρον να σ ιωπήσ ουν αφού τότε επιβάλλεται και σ τους δύο η ελάχισ τη ποινή φυλάκισ ης 2 χρόνων (ii) Αν ο ένας παίκτης δεν ομολογήσ ει, ο άλλος έχει κίνητρο να το κάνει αφού τότε αφήνεται ελεύθερος Πιο λεπτομερώς, κάθε παίκτης αξιολογεί τις δύο πιθανές του ενέργειες σ υγκρίνοντας την προσ ωπική του αμοιβή σ ε κάθε σ τήλη, αφού αυτό φανερώνει ποια ενέργειά του είναι προτιμότερη, για τον ίδιο, για κάθε πιθανή ενέργεια του σ υνεργού του. Οπότε παρατηρούμε : Αν ο παίκτης 2 ομολογήσ ει, τότε ο παίκτης 1 καταδικάζεται σ ε 5 χρόνια φυλακή αν ομολογήσ ει και σ ε 10 αν δεν ομολογήσ ει. Ενώ αν ο παίκτης 2 δεν ομολογήσ ει, τότε ο παίκτης 1 καταδικάζεται σ ε 2 χρόνια φυλακή αν δεν ομολογήσ ει και αφήνεται ελεύθερος αν ομολογήσ ει. Οπότε ο παίκτης 1 έχει σ υμφέρον να ομολογήσ ει, ανεξαρτήτως του τί θα πράξει ο σ υνεργός του. Αντίσ τοιχα, ο παίκτης 2 αξιολογεί τις δράσ εις του, σ υγκρίνοντας τις αποδόσ εις του προς τα κάτω σ ε κάθε γραμμή και καταλήγει ακριβώς σ το ίδιο σ υμπέρασ μα με τον παίκτη 1. Αυτό σ ημαίνει ότι, ανεξάρτητα από την επιλογή του παίκτη 2 είναι καλύτερα για τον παίκτη 1 να επιλέξει την σ τρατηγική της ομολογίας. Οποτε μία δράσ η ενός παίκτη είναι αποδοτικότερη όλων των υπόλοιπων δράσ εών του, για κάθε πιθανή ενέργεια του αντιπάλου, τότε λέμε ότι η πρώτη δράσ η κυριαρχεί αυσ τηρά τις άλλες. Την ονομάζουμε αυσ τηρά κυρίαρχη σ τρατηγική. Εδώ λοιπόν, η σ τρατηγική της ομολογίας είναι μια αυσ τηρά κυρίαρχη σ τρατηγική του παίκτη 1. Παρόμοια εξέτασ η (αφού έχουν ίδιες σ τρατηγικές) αποκαλύπτει ότι η σ τρατηγική της ομολογίας είναι επίσ ης μια αυσ τηρά κυρίαρχη σ τρατηγική για τον παίκτη 2. Άρα η λύσ η αυτού του σ τατικού παιγνίου πλήρους πληροφόρησ ης αν οι παίκτες παίζανε ορθολογικά (παίζοντας την σ τρατηγική που έχει κατηγορηματικά καλύτερη απόδοσ η) είναι το ζεύγος (ομολογία, ομολογία). Αυτή η λύσ η είναι η λύσ η που προκύπτει χρησ ιμοποιώντας αυσ τηρά κυρίαρχες σ τρατηγικές. Η διαδικασ ία ώσ τε να φτάσ ουμε σ την ισ ορροπία του παιγνίου είναι μηχανοποιημένη και είναι γνωσ τή ως επαναλαμβανόμενη απάλειψη κυριαρχούμενων σ τρατηγικών. Ο παίκτης 1 διακρίνει εξετάζοντας τον πίνακα ότι οι αποδόσ εις του σ ε κάθε κελί της κάτω σ ειράς είναι υψηλότερες (μικρότερες ποινές) από τις αποδόσ εις του σ το κάθε αντίσ τοιχο κελί της πάνω σ ειράς. Συνεπώς, δεν είναι ποτέ σ υμφέρον γι' αυτόν να παίξει την σ τρατηγική του της πάνω σ ειράς, δηλαδή να μην ομολογήσ ει, ανεξαρτήτως του τί κάνει ο παίκτης 2 (σ τρατηγική μη ομολογίας κυριαρχείται από σ τρατηγική ομολογίας). Ο παίκτης 2 τώρα, γνωρίζοντας ότι ο παίκτης 1 είναι ορθολογικός και δεν θα παίξει μια κυριαρχούμενη σ τρατηγική, μπορεί απλά να απαλείψει την πάνω σ ειρά και να θεωρήσ ει ότι πλέον πρέπει να αποφασ ίσ ει την σ τρατηγική του βάσ η σ το εναπομένον παίγνιο. 27

28 Παίκτης 2 μη ομολογία ομολογία Παίκτης 1 ομολογία (0, -10) (-5, -5) Table 2: Πίνακας εναπομένοντος παιγνίου Εδώ είναι πλέον προφανές ότι η σ τρατηγική μη ομολογία του παίκτη 2 κυριαρχείται από την σ τρατηγική ομολογία (-5>-10), οπότε η πρώτη σ τήλη απαλείφεται και καταλήγουμε σ το τελευταίο κελί, σ την ισ ορροπία (ομολογία, ομολογία), η οποία αποτελεί την λύσ η μας όπως περιμέναμε από τα προηγούμενα. Από την σ τιγμή που το σ κεπτικό που μας οδήγησ ε σ το να διαγράψουμε όλες τις άλλες πιθανές εκβάσ εις βασ ιζόταν σ ε κάθε βήμα μόνο σ την παραδοχή ότι και οι δύο παίκτες είναι οικονομικά ορθολογικοί (επιλέγουν σ τρατηγικές που οδηγούν σ ε υψηλότερες αποδόσ εις έναντι σ τρατηγικών που οδηγούν σ ε χαμηλότερες), έχουμε πολύ ισ χυρές βάσ εις να βλέπουμε την κοινή ομολογία ως την λύσ η του παιγνίου, το αποτέλεσ μα δηλαδή σ το οποίο πρέπει να σ υγκλίνει το παίγνιο σ τον βαθμό που η οικονομική ορθολογικότητα ερμηνεύει ορθά τα κίνητρα των παικτών. Να αναφέρουμε εδώ ότι η σ ειρά με την οποία οι κυριαρχούμενες σ ειρές και σ τήλες διαγράφονται δεν παίζει κανένα ρόλο. Αν είχαμε ξεκινήσ ει διαγράφοντας την αρισ τερή σ τήλη και μετά την από πάνω σ ειρά (δηλαδή εκίνησ η από τον παίκτη 2), θα καταλήγαμε σ την ίδια λύσ η. Παρατηρούμε ότι η επίλυσ η με χρήσ η αυσ τηρά κυρίαρχων σ τρατηγικών οδηγεί σ ε 5ετή φυλάκισ η και για τους δύο, την ώρα που αν και οι δύο δεν ομολογήσ ουν πετυχαίνουν μεγαλύτερη χρησ ιμότητα, αφού θα πάνε 2 χρόνια φυλακή έκασ τος. Δηλαδή, είναι χειρότερη έκβασ η από εκείνη που θα υπήρχε αν κάθε φυλακισ μένος ήταν βέβαιος ότι ο άλλος δεν θα ομολογούσ ε. Εάν λοιπόν οι σ υλληφθέντες είχαν τρόπο να σ υνεργασ θούν και να σ υμφωνήσ ουν από κοινού σ ε μη ομολογία, θα βελτίωναν και οι δύο σ ημαντικά την θέσ η τους. Οπότε τίθεται το ερώτημα, μπορεί η επικοινωνία να βοηθήσ ει; Ας υποθέσ ουμε ότι οι φυλακισ μένοι έχουν αναγνωρίσ ει το παίγνιο και μπορούν να μιλήσ ουν / σ υνεννοηθούν προκαταβολικά πριν ανακριθούν χωρισ τά και υπόσ- χονται να μην ομολογήσ ει κανείς. Αν αυτές οι υποσ χέσ εις είναι μη δεσ μευτικές ή υπάρχουν μικρές σ υνέπειες για την αθέτησ ή τους τότε η ικανότητα των φυλακισ μένων να επικοινωνήσ ουν πριν κληθούν να επιλέξουν σ τρατηγικές δεν παίζει κανένα ρόλο : Κάθε κρατούμενος αναγνωρίζει ότι είναι προς το σ υμφέρον του αντιπάλου του να υπόσ χεται να μην ομολογήσ ει ανεξάρτητα από ποια σ τρατηγική ο αντίπαλος σ χεδιάζει να παίξει. Για αυτό το λόγο, δεν θεωρούμε την προ-παιγνίου επικοινωνία σ ημαντική σ την μη σ υνεργατική θεωρία παιγνίων, αφού περί αυτής πρόκειται το δίλλημα των φυλακισ μένων. Σημασ ία δεν έχει να σ υμφωνήσ ουν οι φυλακισ μένοι να μην ομολογήσ ουν, αλλά το κατά πόσ ο πόσ ο μπορεί αυτή η σ υμφωνία να εφαρμοσ τεί. Αν ο παίκτης 1 είναι 28

29 πεπεισ μένος ότι ο σ υνεργός του θα τηρήσ ει την σ υμφωνία τους να μην ομολογήσ ουν, τότε μπορεί να εκμεταλλευτεί την ευκαιρία για να αφεθεί ελεύθερος (τί πιο δελεασ τικό), ομολογώντας. Συνειδητοποιεί βέβαια ότι ο ίδιος πειρασ μός θα κατακλύσ ει και τον παίκτη 2. Σε αυτή την περίπτωσ η όμως, πάλι θα θελήσ ει να ομολογήσ ει για να αποφύγει την χειρότερη πιθανή για αυτόν έκβασ η. (10 χρόνια φυλακή). Η σ υμφωνία μεταξύ τους λοιπόν χάνει κάθε αξία γιατί δεν έχουν κανένα τρόπο να την επιβάλλουν. Οι υποσ χέσ εις που δίνει ο ένας σ τον άλλο αποτελούν αυτό που οι αναλυτές της θεωρίας παιγνίων καλούν φθηνά λόγια. Συνοψίζοντας, όταν αναπαρισ τούμε το δίλλημα των φυλακισ μένων σ ε σ τρατηγική μορφή (και κάθε σ τατικό παίγνιο πλήρους πληροφόρησ ης), υποθέτουμε έμμεσ α ότι οι φυλακισ μένοι δεν μπορούν να επιδιώξουν σ υμπαιγνιακή σ υμφωνία αφού επιλέγουν τις ενέργειές τους ταυτόχρονα. Οπότε κάθε παίκτης θα επιλέξει (ορθολογικά) την αποδοτικότερη για αυτόν σ τρατηγική, ανεξαρτήτως του τί θα επιλέξει ο σ υνεργός του και η μη-σ υνεργατική λύσ η αποτελεί ουσ ιασ τικά αυσ τηρά κυρίαρχη σ τρατηγική. Εχει ειπωθεί ότι το δίλλημα των φυλακισ μένων δεν είναι ένα τυπικό παίγνιο από πολλές απόψεις. Ενα από αυτά τα σ ημεία, είναι ότι όλες οι γραμμές και οι σ τήλες του είτε κυριαρχούνται αυσ τηρά είτε κυριαρχούν αυσ τηρά. Σε κάθε παίγνιο σ τρατηγικής μορφής, όπου αυτό ισ χύει, η επαναλαμβανόμενη εξάλειψη των αυσ τηρά κυριαρχούμενων σ τρατηγικών είναι εγγυημένο ότι θα καταλήξει σ ε μια μοναδική λύσ η. Αργότερα, όμως, θα δούμε ότι για πολλά παίγνια αυτή η σ υνθήκη δεν ισ χύει, και έτσ ι η αναλυτική μας διαδικασ ία είναι λιγότερο άμεσ η. Αυτό δεν αναιρεί την σ ημασ ία του παιγνίου αυτού η οποία έχει ευρεία εφαρμογή σ την θεωρία παιγνίων. Κατ αρχάς, είναι μια απλή αναπαράσ τασ η μίας πληθώρας σ ημαντικών κατασ τάσ εων. Θα μπορούσ αμε αντί για ομολογία / μη ομολογία να ονομάσ ουμε τις σ τρατηγικές σ υνείσ φερε σ το κοινό καλό ή φέρσ ου εγωισ τικά. Αυτό σ υλλαμβάνει μία ποικιλία κατασ τάσ εων που σ τα οικονομικά περιγράφονται ως παίγνια δημοσ ίου καλού. Ενα παράδειγμα είναι η κατασ κευή μιας γέφυρας. Είναι καλύτερα για όλους αν η γέφυρα χτισ τεί, αλλά καλύτερα για κάθε παίκτη μεμονωμένα αν κάποιος άλλος την χτίσ ει. Αντίσ τοιχα, το παίγνιο θα μπορούσ ε να περιγράφει τις εναλλακτικές δύο εταιρειών που ανταγωνίζονται σ την ίδια αγορά, με σ τρατηγικές θέσ ε μια υψηλή τιμή και θέσ ε μια χαμηλή τιμή. Κανονικά είναι πιο σ υμφέρον και για τις δύο εταιρείες να θέσ ουν αμφότεροι υψηλές τιμές, αλλά πιο σ υμφέρον για κάθε εταιρεία μεμονωμένα να θέσ ει χαμηλή τιμή ενώ ο αντίπαλος θέτει υψηλή τιμή. Ενα δεύτερο σ ημαντικό χαρακτηρισ τικό, είναι ότι είναι αυτονόητο το πώς ένα νοήμων άτομο θα έπρεπε να σ υμπεριφερθεί. Αποδείξαμε ότι ασ χέτως του τί πισ- τεύει κάθε φυλακισ μένος πως ο σ υνεργός του θα κάνει, είναι πάντα καλύτερο να ομολογήσ ει. Αυτή η διαμάχη ανάμεσ α σ το κυνήγι ατομικών σ τόχων και το κοινό καλό είναι η καρδιά πολλών παιγνίων. Τρίτο σ ημαντικό πόρισ μα είναι ότι το παίγνιο αυτό αλλάζει σ ημαντικά αν είναι επαναλαμβανόμενο, ή αν οι παίκτες αλληλεπιδράσ ουν ξανά σ το μέλλον. Αν για παράδειγμα σ το μέλλον (μετά τα 5 χρόνια φυλακή και την απελευθέρωσ ή τους) διέπρατταν νέο έγκλημα και κατέληγαν πάλι σ το ίδιο παίγνιο. Δεν μπορούμε ποτέ να είμασ τε σ ίγουροι ότι δεν θα ομολογήσ ει κανείς, αλλά σ ίγουρα η επανάληψη θέτει τις βάσ εις για ανταμοιβή ή τιμωρία σ το μέλλον για σ υγκεκριμένη σ υμπεριφορά 29

30 σ το παρών. Πολλοί αναλυτές της θεωρίας παιγνίων εξ' άλλου έχουν παράσ χει μία πληθώρα θεωριών για να εξηγήσ ουν την προφανή διαίσ θησ η πως αν το παίγνιο επαναλαμβάνεται αρκετά σ υχνά, οι παίκτες θα όφειλαν να σ υνεργασ τούν. Ενα είναι σ ίγουρο, αν ήμασ ταν όλοι καλύτεροι άνθρωποι ο κόσ μος θα ήταν ένα καλύτερο μέρος. Αυτό το σ υμπέρασ μα-δήλωσ η φανερώνει μερική από την δύναμη και το νόημα της θεωρίας παιγνίων όταν αξιολογηθεί μέσ ω αυτής, γιατί όχι, δεν είναι σ ίγουρο! Μπορεί σ ε κάποιους να φαίνεται αυταπόδεικτο ή αυτονόητο αλλά η θεωρία παιγνίων μπορεί να δώσ ει ακριβές νόημα σ το τί σ ημαίνει η δήλωσ η είμασ τε καλύτεροι άνθρωποι αλλά και τί σ ημαίνει για τον κόσ μο να είναι καλύτερο μέρος και βάσ η αυτών να αποδείξει ή καταρρίψει την αρχική δήλωσ η. Συγκεκριμένα, σ ύμφωνα με τον David K. Levine είναι ψευδής και το αποδεικνύει χρησ ιμοποιώντας μία παραλλαγή του διλλήματος των φυλακισ μένων που καλεί Το παίγνιο της περηφάνιας σ ε σ υνδυασ μό με το Αλτρουισ τικό παίγνιο περηφάνιας σ τα οποία προσ τίθεται μια νέα σ τρατηγική, αυτή του να είναι ο παίκτης περήφανος και να μην ομολογεί ποτέ παρά μόνο ως αντίποινα σ ε έναν αντίπαλο παίκτη που τον κατέδωσ ε ομολογώντας Παίγνιο Πίνακα Μπορούμε τώρα να ορίσ ουμε αυσ τηρά με μαθηματικό προσ διορισ μό το παίγνιο πίνακα, που είναι ουσ ιασ τικά μορφοποίησ η παιγνίου σ τρατηγικής μορφής. ΟΡΙΣΜΟΣ 1.2 Ενα παίγνιο πίνακα είναι ένα παίγνιο δύο παικτών τέτοιο ώσ τε: (i) Ο παίκτης 1 έχει ένα πεπερασ μένο σ ύνολο σ τρατηγικών S 1 με m σ τοιχεία (ii) Ο παίκτης 2 έχει ένα πεπερασ μένο σ ύνολο σ τρατηγικών S 2 με n σ τοιχεία (iii) Τα αποτελέσ ματα για τους παίκτες είναι σ υναρτήσ εις u 1 (s 1, s 2 ) και u 2 (s 1, s 2 ) των εκβάσ εων Προφανώς u (.,.) οι σ υναρτήσ εις χρησ ιμότητας των παικτών και το παίγνιο παίζεται ως εξής: Ο παίκτης 1 σ ε δεδομένη σ τιγμή επιλέγει μία σ τρατηγική s 1 ɛs 1 και ταυτόχρονα ο παίκτης 2 επιλέγει μία σ τρατηγική s 2 ɛs 2, και όταν αυτό πραγματοποιηθεί ο παίκτης i έχει την απόδοσ η u i (s 1, s 2 ). Αν S 1 = { s 1 1, s 1 2,..., s 1 m}, S 2 = { s 2 1, s 2 2,..., s 2 n} και θέσ ουμε αij = u 1 ( s 1 i, s 2 j) και βij = u 2 ( s 1 i, s 2 j) τότε οι αποδόσ εις μπορούν να παρουσ ιασ τούν με m n πίνακα. Αντίσ τοιχα οι έννοιες της κυριαρχίας και της αυσ τηρής κυριαρχίας μπορούν να ορισ τούν για κάθε παίγνιο πίνακα ως εξής: 30

31 ΟΡΙΣΜΟΣ 1.3 Μια σ τρατηγική s i του παίκτη 1 σ ε ένα παίγνιο πίνακα λέμε ότι: (i) κυριαρχεί επί μιας άλλης σ τρατηγικής s j του παίκτη 1 αν u 1 (s i, s) u 1 (s j, s) για κάθε σ τρατηγική s του παίκτη 2 Παρόμοια ορίζονται και οι κυρίαρχες και αυσ τηρά κυρίαρχες σ τρατηγικές για τον παίκτη 2. Η μέθοδος επαναλαμβανόμενης απάλειψης αυσ τηρά κυριαρχούμενων σ τρατηγικών δεν μπορεί να χρησ ιμοποιηθεί για πολλά παίγνια για τον απλούσ τατο λόγο ότι κάποιο παίγνιο μπορεί να μην έχει κυρίαρχες σ τρατηγικές (πόσ ο μάλλον αυσ τηρά κυρίαρχες σ ε κάθε γραμμή ή σ τήλη όπως το δίλλημα των φυλακισ μένων). Εξ' άλλου, η απαίτησ η μια σ τρατηγική να είναι αυσ τηρά κυρίαρχη είναι μάλλον αυσ τηρή και δύσ κολο να σ υναντηθεί. Οπότε πρέπει να είμασ τε σ ε θέσ η να επιλύσ ουμε παίγνια χωρίς ύπαρξη αυσ τηρά κυρίαρχων σ τρατηγικών. Εδώ έρχεται η έννοια της ισ ορροπίας Nash να δώσ ει την λύσ η, που σ τον πυρήνα της φιλοσ οφίας της βρίσ κεται το τί θα πράξει ο κάθε παίκτης, σ ε αντίθεσ η με την μέθοδο επαναλαμβανόμενης απάλειψης αυσ τηρά κυριαρχούμενων σ τρατηγικών που δείχνει βήμα βήμα τί δεν θα πράξει ο παίκτης Ισ ορροπία Nash Το ακόλουθο παίγνιο που θα φέρουμε ως παράδειγμά μας δεν έχει ούτε αυσ τηρά κυρίαρχες ούτε αυσ τηρά κυριαρχούμενες σ τρατηγικές Παίκτης 1 Παίκτης 2 N K R M (5,1) (2,0) (2,2) L (0,4) (1,5) (4,4) T (2,4) (3,6) (1,0) Table 3: Παράδειγμα ισ ορροπίας Nash Η ισ ορροπία Nash επιτυγχάνεται όταν οι σ τρατηγικές των διαφόρων παικτών είναι οι καλύτερες απαντήσ εις σ ε κάθε άλλο παίκτη. Δεδομένων των σ τρατηγικών των άλλων παικτών, κάθε παίκτης ενεργεί βέλτισ τα, δηλαδή παίζει σ ύμφωνα με τα 31

32 κίνητρά του, μεγισ τοποιώντας το δικό του κέρδος. Ισ οδύναμα, κανένας παίκτης δεν μπορεί να ωφεληθεί παραπάνω αν αποκλίνει μόνος του, δηλαδή αλλάζοντας την σ τρατηγική του. Οπότε, προσ παθώντας κάθε παίκτης να μεγισ τοποιήσ ει την απόδοσ ή του έχουμε: Για τον παίκτη 1: Αν ο παίκτης 2 παίξει N, τότε ο παίκτης 1 σ υγκρίνει τις αποδόσ εις των σ τρατηγικών του σ την πρώτη σ τήλη και αφού 5>2>0, επιλέγει να παίξει M. Αν ο παίκτης 2 παίξει K, τότε ο παίκτης 1 βλέπει σ την δεύτερη σ τήλη 3>1>2 και επιλέγει T. Αν πάλι ο παίκτης 2 παίξει R τότε ο παίκτης 1 παίζει L αφού 4>2>1. Για τον παίκτη 2: Αν ο παίκτης 1 παίξει M, τον σ υμφέρει να επιλέξει R καθώς 2>0>1. Αν παίξει L, ευνοϊκότερο για τον παίκτη 2 είναι να παίξει K αφού 5>4=4. Τέλος, αν ο παίκτης 1 επιλέξει T, ο παίκτης 2 μεγισ τοποιεί την απόδοσ ή του παίζοντας K, αφού σ την τρίτη γραμμή 6>4>0. Μια μεθοδολογική σ υντόμευσ η των προαναφερθέντων είναι η εξής: Υπογραμμίζουμε βήμα βήμα κάθε βέλτισ τη απάντησ η κάθε παίκτη και όποιο κουτί περιέχει και τα δύο νούμερά του υπογραμμισ μένα είναι η ισ ορροπία Nash του παιγνίου. (Για ευκολία οι επιλογές του παίκτη 1 φαίνονται με μονή υπογράμμισ η ενώ του παίκτη 2 με διπλή). Ετσ ι, καταλήγουμε Παίκτης 1 Παίκτης 2 N K R M (5,1) (2,0) (2,2) L (0,4) (1,5) (4,4) T (2,4) (3,6) (1,0) Table 4: Μεθοδολογία εύρεσ ης ισ ορροπίας Nash H ισ ορροπία Nash του παιγνίου μας είναι o σ υνδυασ μός (T,K). Αυτό επαληθεύεται ελέγχοντας την ισ χύ της ισ ορροπίας Nash, ότι δηλαδή κανένας παίκτης δεν μπορεί να ωφεληθεί περισ σ ότερο αποκλίνοντας μόνος του από την ισ ορροπία και αλλάζοντας σ τρατηγική. Πράγματι, ο παίκτης 1, δεδομένου ότι ο παίκτης 2 θα επιλέξει K, δεν μπορεί να κερδίσ ει κάτι παραπάνω αλλάζοντας σ ε M ή L αφού 1<2<3. Αντίσ τοιχα, ο παίκτης 2, δεδομένου ότι ο παίκτης 1 θα παίξει T, δεν έχει σ υμφέρον να παίξει ούτε R ούτε N, αφού 0<4<6. Ορίζουμε τώρα την ισ ορροπία Nash σ ε παίγνιο πίνακα 32

33 ΟΡΙΣΜΟΣ 1.4 Ενα ζεύγος σ τρατηγικών (s 1, s 2) ɛs 1 S 2 είναι ισ ορροπία Nash ενός παιγνίου πίνακα αν (i) u 1 (s 1, s 2) u 1 (s, s 2) για κάθε sɛs 1 (ii) u 2 (s 1, s 2) u 2 (s 1, s) για κάθε sɛs 2 Με άλλα λόγια, το σ ημείο ισ ορροπίας Nash είναι μια λύσ η σ ταθερή, με την έννοια ότι κανένας από τους παίκτες δεν βελτιώνει την απόδοσ ή του αν αποκλίνει μονομερώς από αυτό το σ ημείο ισ ορροπίας, οπότε δεν τον σ υμφέρει να αλλάξει σ τρατηγική. Με αυτή την έννοια, μια ισ ορροπία Nash έχει την ιδιότητα να είναι αυτοεπιβαλλόμενη. Δηλαδή, αν οι παίκτες ήξεραν ότι καθένας έχει καταλήξει να επιλέξει μια ισ ορροπία Nash, τότε καθένας θα ήθελε πράγματι να επιλέξει την σ τρατηγική της ισ ορροπίας Nash, αφού πολύ απλά αυτή είναι η βέλτισ τη επιλογή. Γενικεύοντας, λαμβάνοντας υπόψη και τον ορισ μό 1.1, μπορούμε να ορίσ ουμε την ισ ορροπία Nash σ ε ένα παίγνιο σ τρατηγικής μορφής, ανεξάρτητα του αν έχουμε πίνακα ή όχι. Ο αντικειμενικός σ τόχος κάθε παίκτη σ ε ένα παίγνιο σ τρατηγικής μορφής είναι να μεγισ τοποιήσ ει την απόδοσ ή του. Ενας τέτοιος ορίζοντας σ τρατηγικής, όπου κάθε παίκτης αναζητά την μεγισ τοποίησ η της απόδοσ ής του με δεδομένες τις επιλογές των άλλων, ονομάζεται ισ ορροπία Nash και ορίζεται ως εξής: ΟΡΙΣΜΟΣ 1.5 Μια ισ ορροπία Nash ενός παιγνίου σ τρατηγικής G = {S 1,..., S n, u 1,..., u n } είναι ένας ορίζοντας σ τρατηγικής (s 1, s 2,..., s n) τέτοιος ώσ τε για κάθε παίκτη i έχουμε u 1 ( s 1,..., s i 1, s i, s i+1,..., s n) ui ( s 1,..., s i 1, s i, s i+1,..., s n) για κάθε sɛs i. Παρατηρήσ τε πόσ ο σ τενά η ιδέα σ χετίζεται με την ιδέα της αυσ τηρής κυριαρχίας: καμία σ τρατηγική δεν θα μπορούσ ε να είναι μια σ τρατηγική ισ ορροπίας Nash αν είναι αυσ τηρά κυριαρχούμενη. Ως εκ τούτου, εάν η επαναλαμβανόμενη εξάλειψη των αυσ τηρά κυριαρχούμενων σ τρατηγικών μας οδηγεί σ ε ένα μοναδικό αποτέλεσ- μα, γνωρίζουμε ότι το διάνυσ μα των σ τρατηγικών που οδηγεί σ ε αυτό είναι η μοναδική ισ ορροπία Nash του παιγνίου. Δηλαδή, αν ένα παίγνιο μπορεί να επιλυθεί με χρήσ η της επαναλαμβανόμενης εξάλειψης των αυσ τηρά κυριαρχούμενων σ τρατηγικών, τότε το παίγνιο έχει μια μοναδική ισ ορροπία Nash που είναι ακριβώς το ζεύγος σ τρατηγικών το οποίο προκύπτει μέσ ω της απαλοιφής των αυσ τηρά κυριαρχούμενων σ τρατηγικών. Προφανώς, και μια λύσ η κυρίαρχης σ τρατηγικής είναι ένα σ ημείο ισ ορροπίας Nash. Επιπλέον όμως, αν η λύσ η είναι αυσ τηρά κυρίαρχη, αποτελεί το μοναδικό σ ημείο ισ ορροπίας Nash του παιγνίου. Υπάρχει ένα χρήσ ιμο εργαλείο εύρεσ ης ισ ορροπίας Nash σ ε παίγνια σ τρατηγικής μορφής. Διακρίνουμε ότι αν ο ορίζοντας σ τρατηγικής (s 1, s 2,..., s n) είναι 33

34 ισ ορροπία Nash του παιγνίου, τότε πρέπει να είναι λύσ η του σ υσ τήματος εξισ ώσ εων u i(s 1,...,s n ) s i = 0, i = 1, 2,..., n. Άρα οι ισ ορροπίες Nash ανήκουν σ τις λύσ εις του σ υσ τήματος αυτού και ουσ ιασ τικά με αυτό τον τρόπο ελέγχουμε την ύπαρξη ισ ορροπίας Nash σ ε ένα παίγνιο σ τρατηγικής μορφής. Συγκεντρωτικά λοιπόν με μαθηματικούς όρους για έλεγχο ισ ορροπίας Nash έχουμε: Αν ο ορίζοντας σ τρατηγικής (s 1, s 2,..., s n) ικανοποιεί τις ˆ ui(s 1,...,s n ) s i = 0 για κάθε παίκτη i ˆ Κάθε για κάθε s i είναι το μόνο σ τάσ ιμο σ ημείο της σ υνάρτησ ης u i ( s 1,..., s i 1, s, s i+1,..., s n), sɛsi. ˆ 2 u i(s 1,...,s n ) s 2 i < 0 για κάθε i Τότε ο ορίζοντας σ τρατηγικής (s 1, s 2,..., s n) είναι μια ισ ορροπία Nash του παιγνίου Στην πράξη, βρίσ κουμε σ υνήθως τη λύσ η του σ υσ τήματος ui(s 1,...,s n ) s i = 0, i = 1, 2,..., n και έπειτα χρησ ιμοποιούμε τις εκάσ τοτε διαθέσ ιμες και πιο απλά εφαρμόσ ιμες οικονομικές θεωρήσ εις για να επαληθεύσ ουμε ότι η λύσ η είναι η ισ- ορροπία Nash του παιγνίου. Ακολουθεί ένα από τα πρώτα παίγνια που αναλύθηκαν σ τα οικονομικά από τον Γάλλο μαθηματικό Augustin Cournot τον 18ο αιώνα, σ το οποίο θα χρησ ιμοποιήσ ουμε τον έλεγχο ισ ορροπίας Nash για την εύρεσ η της ισ- ορροπίας Nash του παιγνίου Το μοντέλο του δυοπωλίου Cournot Πρόκειται για ένα οικονομικό μοντέλο που περιγράφει δύο εταιρείες οι οποίες ανταγωνίζονται σ την αγορά και πρέπει να αποφασ ίσ ουν ποιο θα είναι το μέγεθος της παραγωγής τους ώσ τε να μεγισ τοποιήσ ουν τα κέρδη τους. Οι εταιρείες αποφασ ίζουν ταυτόχρονα και ανεξάρτητα η μία από την άλλη και η αγορά καθορίζει την τιμή σ την οποία πωλείται. Τα βασ ικότερα χαρακτηρισ τικά είναι: ˆ Οι εταιρείες παράγουν πανομοιότυπα προϊόντα ˆ Οι εταιρείες δεν σ υνεργάζονται ˆ Η απόφασ η κάθε εταιρείας για την ποσ ότητα προϊόντος που θα παράγει, επηρεάζει την τιμή του ˆ Οι εταιρείες ανταγωνίζονται σ ε ποσ ότητες και τις επιλέγουν ταυτόχρονα 34

35 Το μοντέλο του δυοπωλίου (μια κατάσ τασ η σ την οποία δύο εταιρείες ελέγχουν την αγορά για ένα σ υγκεκριμένο εμπόρευμα / προϊόν) είναι ένα σ τρατηγικό παίγνιο (όπου φυσ ικά ισ χύει η ορθολογικότητα και η σ τρατηγική σ κέψη) σ το οποίο: ˆ Οι παίκτες είναι οι εταιρείες ˆ Οι ενέργειες κάθε εταιρείας είναι το σ ύνολο των δυνατών ποσ οτήτων παραγωγής (μη αρνητικές) ˆ Η ανταμοιβή κάθε εταιρείας είναι το κέρδος της Η τιμή είναι κοινώς γνωσ τή φθίνουσ α σ υνάρτησ η της σ υνολικής παραγωγής. Κάθε εταιρεία θεωρεί το μέγεθος παραγωγής της άλλης δεδομένο. Η τιμή της αγοράς τίθεται σ το επίπεδο που η ζήτησ η ισ ούται με την σ υνολική ποσ ότητα προϊόντος που τελικά παράγεται από τις εταιρείες. Κάθε εταιρεία λαμβάνει την ποσ ότητα του ανταγωνισ τή της ως δεδομένη, αξιολογεί την υπολειμματική ζήτησ η που της αναλογεί, και σ τη σ υνέχεια σ υμπεριφέρεται ως μονοπώλιο. Παρατηρήσ τε μια ουσ ιώδης διαφορά μεταξύ αυτών των προδιαγραφών των εσ- όδων των επιχειρήσ εων και εκείνων για μια ανταγωνισ τική επιχείρησ η ή για ένα μονοπώλιο. Τα έσ οδα τόσ ο μιας ανταγωνισ τικής επιχείρησ ης όσ ο και ενός μονοπωλίου εξαρτώνται μόνο από την δική τους παραγωγή: για μια ανταγωνισ τική επιχείρησ η υποθέτουμε ότι η παραγωγή της επιχείρησ ης δεν επηρεάζει την τιμή και για μια μονοπωλιακή δεν υπάρχουν άλλες επιχειρήσ εις σ την αγορά. Για ένα δυοπώλιο, ωσ τόσ ο, τα έσ οδα εξαρτώνται τόσ ο από τη δική της παραγωγή όσ ο και από την παραγωγή της άλλης επιχείρησ ης. Η εταιρεία 1 παράγει ποσ ότητα q 1 και η εταιρεία 2 παράγει ποσ ότητα q 2, ομοιογενούς όπως είπαμε προϊόντος. Η σ υνολική παραγωγή των δύο εταιρειών ανέρχεται σ ε q t = q 1 +q 2. Άρα η τιμή σ την οποία κάθε μονάδα προϊόντος πωλείται είναι p (q t ), όπου p είναι η αντίσ τροφη σ υνάρτησ η ζήτησ ης. Εσ τω p (q t ) = p 1 = p 2 = S q t, όπου S ένας σ ταθερός αριθμός. Επίσ ης το σ υνολικό κόσ τος της εταιρείας 1 δίνεται από την σ υνάρτησ η κόσ τους T C 1 (q) = c 1 q 1 και της εταιρείας 2 από την σ υνάρτησ η κόσ τους T C 2 (q) = c 2 q 2, όπου c 1, c 2 θετικές σ ταθερές. Μπορούμε τώρα να επαναδιατυπώσ ουμε το παίγνιο σ ε σ τρατηγική μορφή ως εξής: ˆ Οι παίκτες είναι οι εταιρείες ˆ Το σ ύνολο σ τρατηγικών κάθε εταιρείας είναι το σ ύνολο θετικών ποσ οτήτων παραγωγής που δύναται να επιλέξει, δηλαδή το (0, ) ˆ Η σ υνάρτησ η απόδοσ ης κάθε εταιρείας i είναι η σ υνάρτησ η κέρδους: Π i = (S q 1 q 2 ) q i c i q i = q i (p (q 1 + q 2 ) c i ) Δηλαδή τα έσ οδα της εταιρείας 1 όταν ο σ υνδυασ μός ποσ οτήτων παραγωγής που επιλέγουν οι εταιρείες είναι (q 1, q 2 ), είναι p (q 1 + q 2 ) q 1 και άρα το σ υνολικό κέρδος της είναι p (q 1 + q 2 ) q 1 T C 1 (q 1 ) και αντίσ τοιχα τα έσ οδα της εταιρείας 2 είναι p (q 1 + q 2 ) q 2, οπότε το σ υνολικό κέρδος της ανέρχεται σ ε p (q 1 + q 2 ) q 2 T C 2 (q 2 ). Εδώ είναι εμφανές ότι σ το πρόβλημα καθορισ μού των ποσ οτήτων παραγωγής, αφού κάθε εταιρεία θεωρεί σ ταθερή την ποσ ότητα που παράγει ο ανταγωνισ τής 35

36 της, έχει νόημα η μερική παραγώγισ η και ο μηδενισ μός της σ υνάρτησ ης κέρδους κάθε εταιρείας. Είναι επίσ ης εμφανές ότι το κέρδος κάθε εταιρείας εξαρτάται όχι μόνο από την δική της επιλογή για το ύψος παραγωγής της αλλά και από το ύψος παραγωγής της άλλης. Στα πλαίσ ια της μεγισ τοποίησ ης του κέρδους κάθε εταιρείας λοιπόν, από την σ τιγμή που οι ποσ ότητες παραγωγής επιλέγονται ταυτόχρονα και ανεξάρτητα, η ισ ορροπία Nash μας εξυπηρετεί πολύ και θα την βρούμε μαθηματικά, χρησ ιμοποιώντας τον έλεγχο ισ ορροπίας Nash. Εχουμε Π 1 = (S q 1 q 2 ) q 1 c 1 q 1 = q ( q 2 + S c 1 ) q 1 και Π 2 = (S q 1 q 2 ) q 2 c 2 q 2 = q ( q 1 + S c 2 ) q 2. Άρα σ ύμφωνα με τον έλεγχο ισ ορροπίας Nash, η ισ ορροπία προκύπτει από την λύσ η του σ υσ τήματος Π 1 q 1 = 2q 1 q 2 + S c 1 = 0 2q 1 + q 2 = S c 1 Π 2 q 2 = q 1 2q 2 + S c 2 = 0 q 1 + 2q 2 = S c 2 Λύνοντας ως προς q 1, q 2 το σ ύσ τημα παίρνουμε: q1 = S+c2 2c1 3 και q2 = S+c 1 2c 2 3 που αποτελεί την ισ ορροπία Nash (q1, q2) του παιγνίου. Επίσ ης 2 Π 1(q 1,q 2 ) = q1 2 2 < 0 και 2 Π 2(q 1,q 2 ) = 2 < 0 οπότε επαληθεύεται η ισ ορροπία Nash. Ακόμη, q2 2 παρατηρούμε πως αν S > c 1 + c 2 τότε και οι δύο εταιρείες παράγουν θετικές ποσ ότητες προϊόντων, που είναι και το θεμιτό για να υπάρχει λογική σ υνέχεια. Φυσ ικά, όπως παρουσ ιάζεται το μοντέλο δυοπωλίου Cournot, εισ άγει σ ε αρκετά σ ημεία απλουσ τεύσ εις. Αυτό δεν αναιρεί το γεγονός ότι σ υλλαμβάνει και αναλύει κάποια από τα σ ημαντικότερα χαρακτηρισ τικά ανταγωνισ μού που λαμβάνουν χώρα μεταξύ εταιρειών και για αυτό σ υναντάται ως βάσ η και σ ημείο αναφοράς σ την ευρύτερη θεωρία βιομηχανικής οργάνωσ ης. Εμβαθύνοντας ακόμα περισ σ ότερο εξετάζουμε: Το δυοπώλιο περιγράφει μια αγορά, οπότε ουσ ιασ τικά ( αυτό που ) αναζητούμε είναι γενικότερα η ισ ορροπία της αγοράς. Άρα πρέπει τα q 1, q 2 και η τιμή p που προκύπτει βάσ η αυτών να ικανοποιούν τις λογικές σ υνθήκες ισ ορροπίας της αγοράς, δηλαδή ˆ Δεδομένης της τιμής p, η σ υνολική απαιτούμενη ποσ ότητα παραγωγής q (p ) σ ε αυτή την τιμή είναι q 1 + q 2 ˆ q 1 + q 2 είναι η επιθυμητή σ υνολική παραγωγή των εταιρειών με τιμή p Τα (q 1, q 2) που σ υντελούν ισ ορροπία Nash μας δίνουν ταυτόχρονα την παραγωγή ισ ορροπίας της αγοράς. Οντως, η τιμή που εφαρμόζεται σ το δυοπώλιο όταν οι εταιρείες τελικά παράγουν q 1 και q 2 είναι p = S q1 q2 = S S+c2 2c1 3 S+c1 2c2 3 = S+c1+c2 3 H απαιτούμενη ποσ ότητα παραγωγής σ ε αυτή την τιμή είναι q (p ) = S p = 2S c1 c2 3 36

37 Ομως Συμπεραίνουμε ότι q1 + q2 = S+c2 2c1 3 + S+c1 2c2 3 = 2S c1 c2 3 q (p ) = q 1 + q 2 Δηλαδή η απαιτούμενη ποσ ότητα παραγωγής σ την τιμή p είναι πράγματι αυτή που παράγουν οι εταιρείες σ την ισ ορροπία Nash. Μάλισ τα, οι εταιρείες δεν θα ήθελαν να παράγουν σ ε άλλη τιμή, αφού πουλώντας σ ε αυτή την τιμή, η παραγωγή κάθε εταιρείας (με βάσ η την ισ ορροπία Nash) είναι ακριβώς αυτή που μεγισ τοποιεί τα κέρδη της. Το σ ημαντικότατο πόρισ μα που προκύπτει είναι: ˆ H ισ ορροπία Nash του μοντέλου του δυοπωλίου Cournot δίνει ακριβώς αυτό που θέλουμε για το δυοπώλιο που δεν είναι άλλο από την ισ ορροπία της αγοράς του δυοπωλίου. Θα αναρωτηθεί κανείς: Γιατί να ενδιαφερθεί κάποιος για την ισ ορροπία Nash; Και εγώ ρωτάω, γιατί όχι; Σύμφωνα με τον Ken Binmore, γνωσ τό Βρετανό μαθηματικό-οικονομολόγο, καθηγητή Οικονομικών σ το UCL, σ το πρόσ φατο βιβλίο του Playing For Real, υπάρχουν τουλάχισ τον δύο λόγοι. Ο πρώτος είναι ότι ένα βιβλίο θεωρίας παιγνίων δεν μπορεί έγκυρα και αλάθητα να υποδείξει ένα ζευγάρι σ τρατηγικών (σ, τ) ως λύσ η ενός παιγνίου εκτός αν είναι ισ ορροπία Nash. Ας υποθέσ ουμε, για παράδειγμα (έχοντας δύο παίκτες, τον Χρήσ το και την Αγγελική), ότι το τ δεν ήταν η καλύτερη απάντησ η σ το σ. Η Αγγελική τότε θα σ κεφτόταν ότι αν ο Χρήσ τος ακολουθήσ ει την σ υμβουλή του βιβλίου και παίξει σ, τότε καλά θα έκανε να μην παίξει τ. Αλλά ένα βιβλίο δεν μπορεί να είναι ακριβές σ το τί είναι λογικό, αν οι ορθολογικοί άνθρωποι δεν παίζουν όπως προβλέπει. Ο δεύτερος λόγος για τον οποίο πρέπει να μας ενδιαφέρει η ισ ορροπία Nash είναι πως αν οι αποδόσ εις σ ε ένα παίγνιο αντισ τοιχούν σ την καταλληλότητα των παικτών, (σ το πόσ ο ταιριασ τοί / ικανοί είναι για το παίγνιο), τότε οι διαδικασ ίες προσ αρμογής που ευνοούν τον πιο κατάλληλο σ ε βάρος του λιγότερο κατάλληλου, θα σ ταματήσ ουν να λειτουργούν όταν φτάσ ουμε σ ε ισ ορροπία Nash επειδή όλοι οι εναπομείναντες θα είναι τότε όσ ο πιο υγιείς / ταιριασ τοί μπορούν να είναι δεδομένων των σ υνθηκών. Παρά ταύτα, ένα σ ημείο ισ ορροπίας Nash μπορεί να μην είναι μοναδικό για το παίγνιο. Δεν υπάρχει καμία εγγύησ η ότι η ισ ορροπία Nash του παιγνίου θα είναι μοναδική. Μάλισ τα, δεν υπάρχει εγγύησ η ούτε καν για την ύπαρξή της! Η ύπαρξη άνω της μίας ισ ορροπιών Nash απλών σ τρατηγικών σ ημαίνει αδιαφορία των παικτών ως προς ποια σ τρατηγική (εξ' αυτών που μετέχουν σ τις ισ ορροπίες Nash) να προτιμήσ ουν και άρα αβεβαιότητα για το τί θα παίξει ο αντίπαλος. Εξάλλου, το σ ημείο ισ ορροπίας Nash δεν είναι απαραίτητα βέλτισ το από πλευράς απόδοσ ης (όπως σ το δίλλημα των φυλακισ μένων), και σ ε παίγνια με πολλαπλά σ ημεία ισ ορροπίας μπορεί τα κέρδη των παικτών να διαφέρουν σ ημαντικά ανάμεσ α σ τα σ ημεία αυτά. 37

38 Αν σ το παράδειγμά μας σ τον πίνακα 3, σ τον σ υνδυασ μό σ τρατηγικών (L,R) είχαμε (4,5) τότε K και R είναι και οι δύο βέλτισ τες απαντήσ εις του παίκτη 2 όταν ο παίκτης 1 παίζει L! Σε αυτή την περίπτωσ η θα καταλήγαμε Παίκτης 1 Παίκτης 2 N K R M (5,1) (2,0) (2,2) L (0,4) (1,5) (4,5) T (2,4) (3,6) (1,0) Table 5: Διπλή ισ ορροπία Nash Τώρα λοιπόν έχουμε δύο εκβάσ εις ισ ορροπίας του παιγνίου. Πλέον οι ισ- ορροπίες Nash είναι ο σ υνδυασ μός (T,K) και ο (L,R). Εδώ λοιπόν εισ άγεται ο προβληματισ μός του τί θα πράξουν οι παίκτες. Οπως αντίσ τοιχα και σ την περίπτωσ η απουσ ίας ισ ορροπίας Nash σ ε ένα παίγνιο, όπου υπάρχει ένας κύκλος με τους παίκτες να θέλουν να αλλάζουν σ τρατηγικές. Αυτούς τους προβληματισ μούς έρχεται να επιλύσ ει η εισ αγωγή των λεγόμενων μικτών σ τρατηγικών Μικτές σ τρατηγικές και μικτό σ ημείο ισ ορροπίας Nash Στα παίγνια που αναπαρασ τίσ αμε μέχρι τώρα οι παίκτες επέλεγαν ξεκάθαρα μόνο μία σ τρατηγική, η οποία καθόριζε μία μόνο βέλτισ τη πορεία ενεργειών που αποτελούσ ε την καλύτερη δυνατή απάντησ η σ ε κάθε ενέργεια των άλλων παικτών. Επέλεγαν δηλαδή μεταξύ αγνών σ τρατηγικών. Οι μικτές σ τρατηγικές εισ άγονται όταν καμία αγνή σ τρατηγική δεν μπορεί να μεγισ τοποιήσ ει την χρησ ιμότητα του παίκτη έναντι όλων των σ τρατηγικών των αντιπάλων και έχουν ως γνώμονα την αναμενόμενη απόδοσ η. Το σ κεπτικό είναι το εξής. Από την σ τιγμή που οι παίκτες είναι αδιάφοροι ως προς την επιλογή μεταξύ σ τρατηγικών, είτε γιατί έχουμε παραπάνω της μίας ισ ορροπίας Nash είτε γιατί δεν έχουμε καθόλου, θα χρησ ιμοποιήσ ουν μια διάταξη που επιλέγει με τυχαίο τρόπο ανάμεσ α σ τις σ τρατηγικές. Αυτή η διάταξη θα μπορούσ ε να είναι ένα ζυγισ μένο νόμισ μα (αλλιώς θα είχαμε π.χ πάντα πιθανότητα ανάμεσ α σ ε δύο σ τρατηγικές, οπότε και παραμένει η αδιαφορία) που ο παίκτης γυρνάει όταν πρέπει να αποφασ ίσ ει ποια ενέργεια να ακολουθήσ ει. Οπότε όταν ένας παίκτης εξετάζει τί θα πράξει ο αντίπαλός του, δεν διακρίνει ότι εκείνος θα επιλέξει την μία αγνή σ τρατηγική ή την άλλη, αλλά ότι μπορεί να επιλέξει την μία σ τρατηγική με πιθανότητα π και την άλλη με πιθανότητα 1-π (αφού πάντα το άθροισ μα των πιθανοτήτων πρέπει να κάνει 1). Ορίζουμε τώρα λοιπόν την μικτή σ τρατηγική ως εξής 38

39 ΟΡΙΣΜΟΣ 1.6 Η μικτή σ τρατηγική (ή ορίζοντας πιθανότητας) είναι μια κατανομή πιθανοτήτων, όπου για N διαθέσ ιμες σ τρατηγικές ενός παίκτη i με n=1,2,...,n έχουμε ένα διάνυσ μα π = (π i1, π i2,..., π in ) τέτοιο ώσ τε π n 0 για κάθε σ τρατηγική n και N n=1 π n = 1. Η Μάχη των φύλων Ας παραθέσ ουμε εδώ άλλο ένα πολύ γνωσ τό παίγνιο (σ το οποίο έχουμε δύο ισ ορροπίες Nash) για να γίνουν όλα κατανοητά, που καλείται η μάχη των φύλων και παίζεται μεταξύ ενός ζευγαριού όπου η κοπέλα (ας την πούμε Αγγελική) προτιμάει για την έξοδό τους να πάνε σ το θέατρο, ενώ ο άντρας (ας τον πούμε Χρήσ το) προτιμάει να πάνε σ τον Κινηματογράφο. Αγγελική Χρήσ τος θέατρο cinema θέατρο (2,1) (0,0) cinema (0,0) (1,2) Table 6: Η μάχη των φύλων Υποθέτουμε ότι ανεξαρτήτως των προτιμήσ εών τους, αυτό που οι δύο παίκτες θέλουν πάνω απ' όλα είναι να είναι μαζί, αφού εξάλλου μιλάμε για ένα ζευγάρι και την κοινή τους έξοδο. Στον πίνακα, αυτό απεικονίζεται με τις αποδόσ εις των ζευγών (cinema,θέατρο) και (θέατρο,cinema) οι οποίες είναι και για τους δύο μηδενικές (0,0). Και οι δύο όμως αποφασ ίζουν ταυτόχρονα, οπότε δεν είναι εγγυημένο ότι θα καταλήξουν μαζί. (Ας φαντασ τούμε για παράδειγμα ότι είναι καθένας σ τον χώρο εργασ ίας του και πρέπει απλά να πάνε μετά την εργασ ία τους σ ε ένα από τα δύο μέρη και να περιμένουν τον άλλο σ τα εκδοτήρια). Τα σ ημεία ισ ορροπίας Nash του παιγνίου είναι (θέατρο,θέατρο) και (cinema,cinema) και προφανώς οποιαδήποτε μονομερής απόκλισ η από αυτά είναι ζημιογόνα αφού οδηγεί σ την έκβασ η (0,0). Για να φτάσ ουμε όμως σ ε κάποιο από αυτά τα σ ημεία ισ ορροπίας θα έπρεπε ο ένας να μαντέψει τί θα παίξει ο άλλος. Αν ο Χρήσ τος επέλεγε τελικά θέατρο για να κάνει την χάρη σ την Αγγελική και ταυτόχρονα η Αγγελική επέλεγε cinema για χάρη του Χρήσ του, θα κατέληγαν χώρια και δεν θα είχαμε ισ ορροπία. Υπάρχει λοιπόν μια άλλη ισ ορροπία Nash, που πιθανώς να είναι λίγο καλύτερη σ το να απεικονίζει την πραγματικότητα, αυτή των μικτών σ τρατηγικών. Η προτίμησ η κάθε παίκτη ενός τρόπου ψυχαγωγίας, είναι απλά αυτό, μια προτίμησ η ανάμεσ α 39

40 σ ε δύο τρόπους ψυχαγωγίας. Για το παίγνιό μας δεν έχει καμία σ τρατηγική σ ημασ ία. Από την σ τιγμή που οι παίκτες μας είναι σ τρατηγικά αδιάφοροι ως προς τις δύο επιλογές, αφού οδηγούμασ τε σ ε ισ ορροπία Nash ό,τι και να επιλέξουν, θα διαλέξουν τυχαία ανάμεσ α σ ε αυτές, αλλά με τρόπο που να καταδεικνύει αυτή τους την αδιαφορία, δηλαδή οι αναμενόμενες αποδόσ εις τους θα πρέπει να είναι ίσ ες. Αν π 1 η πιθανότητα η Αγγελική (παίκτης 1) να επιλέξει θέατρο, τότε 1 π 1 η πιθανότητα να επιλέξει cinema. Αντίσ τοιχα, αν π 2 η πιθανότητα ο Χρήσ τος να επιλέξει θέατρο, τότε 1 π 2 η πιθανότητα να επιλέξει cinema. Αν τώρα U i η αναμενόμενη απόδοσ η του παίκτη i, τότε για κάθε έναν ισ χύει U i (θέατρο)=u i (cinema) και αυτή η σ χέσ η δείχνει την αδιαφορία ως προς την επιλογή σ τρατηγικής. Για την Αγγελική (παίκτης 1) η παραπάνω ισ ότητα δίνει: 2 π (1 π 2 ) = 0 π (1 π 2 ) = π2 N = 1 3 Για τον Χρήσ το (παίκτης 2) η παραπάνω ισ ότητα δίνει: 1 π (1 π 1 ) = 0 π (1 π 1 ) = π1 N = 2 3 Άρα η ισ ορροπία Nash μικτών σ τρατηγικών είναι οι σ υνδυασ μοί: ( ) ( π1 N, 1 π1 N = 2 3, ) ( ) ( 1 3 και π N 2, 1 π2 N = 1 3, ) 2 3. Το αποτέλεσ μα λοιπόν μιας μικτής ισ ορροπίας Nash είναι οι πιθανότητες με τις οποίες οι παίκτες παίζουν τις σ τρατηγικές τους. Στο παίγνιό μας δηλαδή, η πιθανότητα ο Χρήσ τος και η Αγγελική να σ υναντηθούν τόσ ο σ τον Κινηματογράφο όσ ο και σ το θέατρο είναι 2 9, ενώ η πιθανότητα να καταλήξουν χώρια είναι 5 9. Αυτό φαίνεται σ τον παρακάτω πίνακα Αγγελική θέατρο ( ) π1 N cinema ( ) 1 π1 N Χρήσ τος θέατρο ( ) π2 N cinema ( ) 1 π2 N (2,1) ( ) π1 N π2 N = 2 9 (0,0) ( π1 N (1 ) ) π2 N = 5 9 (0,0) (( ) 1 π1 N π N 2 = 9) 5 (1,2) (( ) ( ) ) 1 π1 N 1 π N 2 = 2 9 Table 7: Πίνακας πιθανοτήτων εκβάσ εων σ την Μάχη των φύλων Η ισ ορροπία Nash μικτών σ τρατηγικών τελικά υποδεικνύει την πιθανότητα εμφάνισ ης κάθε σ υνδυασ μού σ τρατηγικών (κάθε κελιού πίνακα), όταν οι παίκτες δεν έχουν ξεκάθαρη προτίμησ η κάποιας σ τρατηγικής (όταν δεν επιλέγουν αγνές σ τρατηγικές). Οι πιθανότητες με τις οποίες προσ διορίσ αμε ότι οι παίκτες επιλέγουν σ τρατηγικές, αποτελούν αμοιβαίες βέλτισ τες αντιδράσ εις / απαντήσ εις. Υπάρχει όμως ακόμα πιο γενικευμένη μεθοδολογία για την εύρεσ η ισ ορροπίας Nash σ ε μικτές σ τρατηγικές. Ενα παίγνιο πίνακα μπορεί να περιγραφεί με ένα m n πίνακα όπου α ij και b ij είναι οι αποδόσ εις του παίκτη 1 και 2 αντίσ τοιχα. Μπορούμε να διαμερίσ ουμε τον πίνακα σ ε δύο πίνακες απόδοσ ης A και B. Οι γραμμές αντισ τοιχούν σ τις αγνές σ τρατηγικές του παίκτη 1 και οι σ τήλες του 40

41 παίκτη 2. Tώρα καλούμε τον παίκτη 1 ως παίκτη-γραμμή και τον παίκτη 2 ως παίκτη-σ τήλη. Άρα, οι σ τρατηγικές του παίκτη-γραμμή σ υμβολίζονται με το i (i=1,...,m) και αυτές του παίκτη-σ τήλη με το j (j=1,...,n). Μπορούμε τώρα να περιγράψουμε ένα σ τρατηγικό σ υνδυασ μό ως ζεύγος (i,j) και μια ισ ορροπία Nash ως ορίζοντα σ τρατηγικής (i,j) τέτοιο ώσ τε (i) Το α ij είναι το μεγαλύτερο σ τοιχείο της σ τήλης j του πίνακα Α, ήτοι α ij = max 1 k m α kj (ii) To b ij είναι το μεγαλύτερο σ τοιχείο της γραμμής i του πίνακα Β, ήτοι b ij = max 1 s m α is Μια μικτή σ τρατηγική για τον παίκτη-γραμμή είναι απλά κάθε διάνυσ μα p = (p 1, p 2,..., p m ) τέτοιο ώσ τε p i 0 για κάθε σ τρατηγική i και m p i=1 i = 1. Ομοίως, μια μικτή σ τρατηγική για τον παίκτη σ τήλη είναι ένα διάνυσ μα q = (q 1, q 2,..., q n ) τέτοιο ώσ τε q j 0 για κάθε σ τρατηγική j και n j=1 q j = 1. Μια μικτή σ τρατηγική p για τον παίκτη-γραμμή ονομάζεται αγνή σ τρατηγική αν για κάποια σ τρατηγική i έχουμε p i = 1 και p k = 0 για k i. Είναι δηλαδή η σ τρατηγική που επιλέγει ο παίκτης-γραμμή με πιθανότητα 1 (οπότε κάθε άλλη με πιθανότητα 0) και αποτελούν τις αρχικές σ τρατηγικές του. Αντίσ τοιχα για τον παίκτη-σ τήλη. Παίζοντας λοιπόν οι παίκτες με αυτές τις μικτές σ τρατηγικές, κανείς δεν μπορεί να προβλέψει τί θα παίξει ο άλλος αφού δεν επιλέγει αγνές σ τρατηγικές, οπότε κοιτάει να μεγισ τοποιήσ ει την αναμενόμενη απόδοσ ή του. Παρατηρούμε ότι αν ο παίκτης-σ τήλη επιλέξει την σ τρατηγική j τότε ο παίκτης-γραμμή, παίζοντας τον σ υνδυασ μό πιθανότητας p, μπορεί να αναμένει μια απόδοσ η m p i=1 iα ij. Τώρα, λαμβάνοντας υπόψη ότι ο παίκτης-σ τήλη επίσ ης επιλέγει τις σ τρατηγικές του σ ύμφωνα με τον ορίζοντα πιθανότητας q, προκύπτει ότι ο παίκτης-γραμμή μπορεί να m αναμένει μια απόδοσ η q j p i=1 iα ij από τον παίκτη-σ τήλη που θα επιλέξει την σ τρατηγική j. Αυτό σ ημαίνει ότι η αθροισ τική αναμενόμενη απόδοσ η του παίκτηγραμμή είναι U 1 (p, q) = m n p i q j α ij. Ομοίως, η αναμενόμενη απόδοσ η του i=1j=1 παίκτη-σ τήλη είναι U 2 (p, q) = m i=1j=1 n p i q j b ij. Τώρα έχουμε ένα παίγνιο σ τρατηγικής μορφής σ το οποίο τα σ ύνολα σ τρατηγικών των παικτών έχουν αντικατασ ταθεί με ορίζοντες πιθανότητας πάνω σ τις σ τρατηγικές. Ενα τέτοιο παίγνιο λέγεται παίγνιο σ ε μικτές σ τρατηγικές. Εχει το παίγνιο πίνακα μια ισ ορροπία Nash σ ε μικτές σ τρατηγικές; Η απάντησ η είναι ναι! Και αυτό είναι ένα θαυμάσ ιο αποτέλεσ μα της θεωρίας παιγνίων. Το παραθέτουμε ως θεώρημα: Κάθε παίγνιο πίνακα έχει μια ισ ορροπία Nash σ ε μικτές σ τρατηγικές. Μια γενικευμένη εκδοχή αυτού του θεωρήματος αποδείχτηκε το 1951 από τον John Nash για παίγνια n παικτών σ το βιβλίο του Annals of Mathematics. 41

42 Είναι εύκολο να διακρίνουμε ότι οι ισ ορροπίες Nash σ ε αγνές σ τρατηγικές (όταν υφίσ τανται) ενός παιγνίου πίνακα μπορούν να γραφούν ως ισ ορροπίες μικτών σ τρατηγικών (p, q) σ τις οποίες οι σ τρατηγικές (p, q) έχουν την μορφή p = (0,..., 0, 1, 0,..., 0) και q = (0,..., 0, 1, 0,..., 0), αφού όπως προείπαμε μια αγνή σ τρατηγική μπορεί να εκφρασ τεί ως μικτή αν για κάποια σ τρατηγική i έχουμε p i = 1 και p k = 0 για k i και αντίσ τοιχα για το q. Το παραθέτουμε ως θεώρημα: Ενας ορίζοντας σ τρατηγικής (i, j) για ένα παίγνιο πίνακα είναι ισ ορροπία Nash αν και μόνο αν η αγνή σ τρατηγική (i, j) είναι επίσ ης ισ ορροπία Nash για το παίγνιο σ ε μικτές σ τρατηγικές. Με άλλα λόγια, κάθε ισ ορροπία Nash σ ε αγνές σ τρατηγικές είναι επίσ ης ισ ορροπία Nash του παιγνίου σ ε μικτές σ τρατηγικές. Αν υπάρχουν ισ ορροπίες Nash, τότε είναι επίσ ης ισ ορροπίες για το παίγνιο σ ε μικτές σ τρατηγικές. Η διαφορά έγκειται σ το ότι ενώ το παίγνιο μπορεί να μην έχει ισ ορροπία Nash σ ε αγνές σ τρατηγικές, έχει πάντα μια ισ ορροπία μικτών σ τρατηγικών. Δεδομένων όλων των παραπάνω, η μεθοδολογία για τον υπολογισ μό της ισ ορροπίας Nash σ ε μικτές σ τρατηγικές είναι η εξής: (i) Γράφουμε το παίγνιο πίνακα σ ε μορφή δύο πινάκων Α=[α ij ], B=[b ij ]. (ii) Υπολογίζουμε τις δύο σ υναρτήσ εις απόδοσ ης U 1 (p, q) = m U 2 (p, q) = m i=1j=1 n p i q j b ij. n i=1j=1 p i q j α ij και (iii) Θέτουμε p m = 1 m 1 i=1 p i και q n = 1 n 1 j=1 q j σ τους τύπους για την απόδοσ η και εκφράζουμε (μετά από τους υπολογισ μούς) τις σ υναρτήσ εις απόδοσ ης U 1 και U 2 ως σ υναρτήσ εις των μεταβλητών p 1,..., p m 1, q 1,..., q n 1. (iv) Υπολογίζουμε τις μερικές παραγώγους U1 p i τημα U1 p i και U2 q j και θεωρούμε το σ ύσ- = 0 (i = 1,..., m 1) και U2 q j = 0 (j = 1,..., n 1). Κάθε λύσ η αυτού του σ υσ τήματος p 1,..., p m 1, q 1,..., q n 1 με p i 0 και q j 0 για κάθε i και j, m 1 i=1 p i 1 και n 1 j=1 q j 1 είναι μια ισ ορροπία μικτών σ τρατηγικών. Επανερχόμασ τε σ την μάχη των φύλων και χρησ ιμοποιούμε τώρα την μεθοδολογία που περιγράψαμε για να υπολογίσ ουμε την ισ ορροπία Nash μικτών σ τρατηγικών Αγγελική Χρήσ τος θέατρο cinema θέατρο (2,1) (0,0) cinema (0,0) (1,2) 42

43 [ ] [ ] Ουσ ιασ τικά Α= και Β=. Πάλι ορίζουμε p την πιθανότητα η Αγγελική (παίκτης 1) να επιλέξει θέατρο, οπότε 1 p η πιθανότητα να επιλέξει cinema. Αντίσ τοιχα, ορίζουμε q την πιθανότητα ο Χρήσ τος να επιλέξει θέατρο, οπότε 1 q η πιθανότητα να επιλέξει cinema. Άρα η αναμενόμενη απόδοσ η του παίκτη 1 είναι U 1 = p [q 2 + (1 q) 0]+(1 p) [q 0 + (1 q) 1] = 2pq+(1 p) (1 q). Παρομοίως, η αναμενόμενη απόδοσ η του παίκτη 2 είναι U 2 = q [p 1 + (1 p) 0] + (1 q) [p 0 + (1 p) 2] = pq + (1 q) 2 (1 p). Παραγωγίζοντας και θέτοντας τις μερικές παραγώγους ίσ ες με μηδέν παίρνουμε: U 1 p = 0 2q (1 q) = 0 3q = 1 q = 1 3 U 2 q = 0 p 2 (1 p) = 0 3p = 2 p = 2 3. Μια ισ ορροπία (p, q) ονομάζεται εσ ωτερική ισ ορροπία αν p i 0 και q j 0 για όλα τα i και j. Οι εσ ωτερικές ισ ορροπίες του παιγνίου αντισ τοιχούν ακριβώς σ τις λύσ εις p 1,..., p m 1, q 1,..., q n 1 του σ υσ τήματος U1 = 0 (i = 1,..., m 1) και U 2 q j = 0 (j = 1,..., n 1) με p i 0 και q j 0 για όλα τα i και j, m 1 i=1 p i 1 και n 1 j=1 q j 1. Επομένως, το (( 2 3, ( 3) 1, 1 3, 3)) 2 είναι μια ισ ορροπία μικτών σ τρατηγικών, η οποία είναι επίσ ης εσ ωτερική ισ ορροπία. Η επιλογή του παίκτη 1 0 < p < 1 είναι η βέλτισ τη απάντησ η όσ ο q = 1 3. Αντίσ τοιχα, η επιλογή του παίκτη 2 0 < q < 1 είναι η βέλτισ τη απάντησ η όσ ο p = 2 3. Οπότε οι σ τρατηγικές των παικτών είναι αμοιβαίες βέλτισ τες απαντήσ εις αν q = 1 3 και p = 2 3. Οπως αναμέναμε καταλήξαμε σ ε ίδια αποτελέσ ματα. Το σ κεπτικό είναι το έξης. Ο παίκτης 1 θέλει να επιλέξει ένα p που να μεγισ- τοποιεί την U 1 = 2pq + (1 p) (1 q). Κάθε p που μεγισ τοποιεί αυτή την εξίσ ωσ η είναι είτε μια αγνή σ τρατηγική (p = 1ή p = 0) είτε μια εσ ωτερική λύσ η με 0 < p < 1, όπου η μερική παράγωγος ως προς p πρέπει να είναι 0. Ετσ ι, το q = 1 3 που προκύπτει μας λέει ότι οποιαδήποτε εσ ωτερική τιμή του p είναι υποψήφια ως μέγισ τη όσ ο q = 1 3. Από μαθηματική σ κοπιά, αυτό έχει νόημα γιατί αν q = 1 3, τότε η αναμενόμενη απόδοσ η του παίκτη 1 (ανεξαρτήτως του τί p επιλέγει) είναι πάντα: U 1 = 2pq + (1 p) (1 q) = 2 3 p (1 p) = 2 3. Τελικά η σ τρατηγική του παίκτη 1 είναι: Αν ο παίκτης 2 επιλέξει q = 1 3, τότε οποιαδήποτε επιλογή p είναι μια βέλτισ τη απάντησ η για τον παίκτη 1. Αλλά αν ο παίκτης 2 επιλέξει q 1 3, τότε η βέλτισ τη απάντησ η του παίκτη 1 είναι επιλογή αγνής σ τρατηγικής: αν q > 1 3, τότε η καλύτερη αντίδρασ η του παίκτη 1 είναι να επιλέγει πάντα θέατρο και αν q < 1 3, τότε η καλύτερη αντίδρασ η του παίκτη 1 είναι να επιλέγει πάντα cinema. Αντίσ τοιχα καταλήγουμε ότι η σ τρατηγική του παίκτη 2 είναι: Αν ο παίκτης 1 επιλέξει p = 2 3, τότε οποιαδήποτε επιλογή q είναι μια βέλτισ τη απάντησ η για τον παίκτη 2. Αλλά αν ο παίκτης 1 επιλέξει p 2 3, τότε η βέλτισ τη απάντησ η του p i 43

44 παίκτη 2 είναι επιλογή αγνής σ τρατηγικής: αν p > 2 3, τότε η καλύτερη αντίδρασ η του παίκτη 2 είναι να επιλέγει πάντα θέατρο και αν p < 2 3, τότε η καλύτερη αντίδρασ η του παίκτη 2 είναι να επιλέγει πάντα cinema. Συνοψίζοντας και λαμβάνοντας υπόψη και τις δύο αρχικές ισ ορροπίες Nash σ ε αγνές σ τρατηγικές (θέατρο,θέατρο) και (cinema,cinema) σ υμπεραίνουμε ότι το παίγνιο έχει σ υνολικά τρεις ισ ορροπίες Nash: δύο σ ε αγνές σ τρατηγικές και μία σ ε μικτές. Ας επανέλθουμε τώρα σ τον πίνακα 5, ο οποίος είναι 3 3 πίνακας με δύο ισ ορροπίες Nash για να εφαρμόσ ουμε την μεθοδολογία εύρεσ ης ισ ορροπίας Nash σ ε μικτές σ τρατηγικές, ώσ τε να φανεί η χρησ ιμότητά της όσ ο επεκτεινόμασ τε σ ε παίγνια πίνακα μεγαλύτερων διασ τάσ εων Παίκτης 1 Παίκτης 2 N K R M (5,1) (2,0) (2,2) L (0,4) (1,5) (4,5) T (2,4) (3,6) (1,0) Για ευκολία σ τους υπολογισ μούς δείχνουμε τους δύο πίνακες A= και Β= Εσ τω ότι ο παίκτης 1 επιλέγει M με πιθανότητα p 1, L με πιθανότητα p 2 και T με πιθανότητα p 3, όπου p 3 = 1 p 1 p 2. Αντίσ τοιχα, έσ τω ότι ο παίκτης 2 επιλέγει Ν με πιθανότητα q 1, K με πιθανότητα q 2 και R με πιθανότητα q 3, όπου q 3 = 1 q 1 q 2. Άρα η αναμενόμενη απόδοσ η του παίκτη 1 είναι: U 1 = p 1 [5 q q (1 q 1 q 2 )]+p 2 [0 q q (1 q 1 q 2 )]+ (1 p 1 p 2 ) [2 q q (1 q 1 q 2 )] =... = 2p 1 q 1 2p 1 q 2 5p 2 q 1 5p 2 q 2 + p 1 + 3p 2 + q 1 + 2q Παρομοίως, η αναμενόμενη απόδοσ η του παίκτη 2 είναι: U 2 = q 1 [1 p p (1 p 1 p 2 )]+q 2 [0 p p (1 p 1 p 2 )]+ (1 q 1 q 2 ) [2 p p (1 q 1 q 2 )] =... = 5q 1 p 1 5q 1 p 2 8q 2 p 1 6q 2 p 2 + 4q 1 + 6q 2 + 2p 1 + 5p 2 Παραγωγίζοντας και θέτοντας τις μερικές παραγώγους ίσ ες με μηδέν παίρνουμε τα σ υσ τήματα: (i) U1 p 1 (ii) U2 q 1 = 0 2q 1 2q = 0 και U1 p 2 = 0 5q 1 5q = 0 = 0 5p 1 5p = 0 και U2 q 2 = 0 8p 1 6p = 0 Από την 1. λύνοντας ως προς τα q 1,q 2 παίρνουμε q 1 = 1 20 = 0, 05, q 2 = = 0, 55 και q 3 = 1 q 1 q 2 = 0, 4. 44

45 Aπό την 2. λύνοντας ως προς τα p 1, p 2 παίρνουμε p 1 = 3 5 = 0, 6, p 2 = 1 5 = 0, 2 και p 3 = 1 p 1 p 2 = 0, 2. Επομένως, το (( 1 20, ( 20) 8, 3 5, 1 5, 5)) 1 είναι μια ισ ορροπία μικτών σ τρατηγικών, η οποία είναι επίσ ης εσ ωτερική ισ ορροπία και μας υποδεικνύει την πιθανότητα με την οποία οι παίκτες επιλέγουν ανάμεσ α σ τις επιμέρους αγνές σ τρατηγικές τους, λέγοντας σ ε κάθε παίκτη πώς να ζυγίσ ει το ζάρι του πριν το ρίξει. 20, Παίγνια μηδενικού αθροίσ ματος Εξετάζουμε τώρα χωρισ τά μια κατηγορία παιγνίων σ την οποία το κέρδος ενός παίκτη ισ ούται με / προέρχεται από την απώλεια του άλλου. Δηλαδή το άθροισ μα των αποδόσ εων των δύο αντίπαλων παικτών για κάθε πιθανή έκβασ η του παιγνίου είναι μηδενικό. Για αυτό τον λόγο τα ονομάζουμε παίγνια μηδενικού αθροίσ ματος. Αφού το άθροισ μα των σ υνολικών αμοιβών σ ε κάθε πιθανή έκβασ η (σ ε κάθε κελί πίνακα όπως θα δούμε αφού μιλάμε ακόμα για παίγνια σ τρατηγικής μορφής) είναι μηδενικό, δεν τίθεται θέμα σ υνεργασ ίας και τα παίγνια αυτά αναπαρισ τούν κατασ- τάσ εις καθαρής σ ύγκρουσ ης / αντιπαλότητας μεταξύ δύο παικτών. Το πόκερ είναι ένα χαρακτηρισ τικό παράδειγμα παιγνίου μηδενικού αθροίσ- ματος, αφού το άθροισ μα των κερδών ορισ μένων παικτών, ισ ούται με και ουσ ιασ- τικά πηγάζει από τις σ υνολικές απώλειες των υπολοίπων. Στις χρηματοπισ τωτικές αγορές, τα λεγόμενα options (δικαιώματα αγοράς) και futures (σ υμβόλαια μελλοντικής εκπλήρωσ ης), εξαιρουμένων των transaction costs (κόσ τη σ υναλλαγής) είναι παραδείγματα παιγνίων μηδενικού αθροίσ ματος. Για κάθε άτομο που κερδίζει ένα σ υμβόλαιο, υπάρχει κάποιος αντισ υμβαλλόμενος που χάνει. Ωσ τόσ ο, η χρηματισ τηριακή αγορά δεν είναι παίγνιο μηδενικού αθροίσ ματος. Χάριν απλούσ τευσ ης, θα εξετάσ ουμε παίγνια δύο παικτών μηδενικού αθροίσ ματος. Ταίριασ μα Δεκάρας Ας δούμε το γνωσ τό παράδειγμα ταίριασ μα δεκάρας για να απεικονίσ ουμε τα χαρακτηρισ τικά των παιγνίων μηδενικού αθροίσ ματος και να γίνουν κατανοητά. Το παίγνιο περιλαμβάνει δύο παίκτες (παίκτης 1 και παίκτης 2), κάθε ένας από τους οποίους κρατάει ένα πλήθος νομισ μάτων σ το χέρι του κάτω από το τραπέζι ώσ τε να μην είναι ορατό από τον άλλο. Οι παίκτες τοποθετούν ταυτόχρονα ένα νόμισ μα σ το τραπέζι. Η αμοιβή βασ ίζεται σ το αν τα νομίσ ματα ταιριάζουν ή όχι. Αν τα νομίσ ματα είναι είτε κορώνα και τα δύο είτε γράμματα και τα δύο, τότε κερδίζει ο παίκτης 1 και κρατάει την δεκάρα του παίκτη 2. Αν δεν ταιριάζουν, κερδίζει ο παίκτης 2 και κρατάει αυτός την δεκάρα του παίκτη 1. Αναπαρισ τούμε το παίγνιο σ τον παρακάτω πίνακα, όπου κατά τα γνωσ τά το πρώτο νούμερο σ ε κάθε κελί αντισ τοιχεί σ τον παίκτη 1 και το δεύτερο σ τον παίκτη 2. 45

46 Παίκτης 1 Παίκτης 2 κορώνα γράμματα κορώνα (1,-1) (-1,1) γράμματα (-1,1) (1,-1) Οπως διακρίνουμε, το σ υνδυασ τικό όφελος για τον παίκτη 1 και τον παίκτη 2 και σ τα τέσ σ ερα κελιά του πίνακα είναι 0. Οι αποδόσ εις αναπαρισ τούν ποσ ότητα νομισ μάτων, δηλαδή κάθε φορά κάποιος κερδίζει μία δεκάρα και κάποιος χάνει μία. Θα μπορούσ ε να είναι ένα ευρώ, ένα δίευρο, ένα πενηντάευρο, οτιδήποτε. Οι αποδόσ εις του παίκτη 2 είναι πάντα σ ε όλα τα παίγνια μηδενικού αθροίσ ματος αντίθετες από αυτές του παίκτη 1, οπότε μπορούν να παραληφθούν και να ξαναγράψουμε το παίγνιο πίνακα σ ε πιο απλή μορφή, ως προς τις αποδόσ εις του παίκτη 1. Παίκτης 1 Παίκτης 2 κορώνα γράμματα κορώνα 1-1 γράμματα -1 1 Table 8: Παίγνιο ταίριασ μα δεκάρας Θα παραθέσ ουμε τώρα τους βασ ικότερους τρόπους επίλυσ ης των παιγνίων μηδενικού αθροίσ ματος και θα δούμε το περίφημο θεώρημα minimax του John Von Neumann, ο οποίος απέδειξε ότι αυτά τα παίγνια μπορούν όλα να επιλυθούν με τον ίδιο τρόπο. Κριτήριο minimax Η μέθοδος της επαναλαμβανόμενης απάλειψης κυριαρχούμενων σ τρατηγικών είναι ακριβώς η ίδια που αναλύσ αμε γενικότερα για τα σ τατικά παίγνια πλήρους πληροφόρησ ης και μπορεί να εφαρμοσ τεί φυσ ικά και εδώ, όταν κάποια σ τρατηγική κυριαρχεί χαλαρά ή αυσ τηρά κάποια ή κάποιες άλλες. Χρειαζόμασ τε όμως μία πιο αποτελεσ ματική και γενική μέθοδο καθώς δύσ κολα σ υναντάμε παίγνια που οδηγούνται σ ε ισ ορροπία χρησ ιμοποιώντας κυρίαρχες σ τρατηγικές. Την έχουμε χάρη σ τον John Von Neumann, ο οποίος πρότεινε η λύσ η να βασ ίζεται σ την ιδέα ότι κάθε παίκτης θα έπρεπε να μεγισ τοποιεί την αξία του χειρότερου δυνατού αποτελέσ ματος. Θεωρούμε το ακόλουθο παίγνιο μηδενικού αθροίσ ματος 46

47 Γιάννα Τάσ ος α β γ δ α β γ δ Σύμφωνα με την ιδέα αυτή λοιπόν, αν η Γιάννα διαλέξει α, η χειρότερη δυνατή αμοιβή είναι το -1, το οποίο σ υμβαίνει όταν ο Τάσ ος επιλέξει γ. Αν διαλέξει β, το χειρότερο αποτέλεσ μα είναι το -10, όταν ο Τάσ ος επιλέγει α. Αν διαλέξει γ, σ την χειρότερη περίπτωσ η λαμβάνει 2, όταν ο Τάσ ος επιλέξει γ. Τέλος, αν διαλέξει δ, το χειρότερο αποτέλεσ μα φτάνει το -5, όταν ο Τάσ ος επιλέγει δ. Από αυτά τα κακά αποτελέσ ματα, το καλύτερο είναι το 2, το οποίο επέρχεται αν επιλέξει την σ τρατηγική γ. Αυτή καλείται η maximin σ τρατηγική της, δηλαδή αυτή που μεγισ τοποιεί (maxi-mises) τα ελάχισ τά της (min-imum). Εξετάζοντας τις σ τρατηγικές του Τάσ ου από την ίδια οπτική γωνία, καταλήγουμε σ την σ τρατηγική γ ως την maximin σ τρατηγική του με απόδοσ η -2. Οι παίκτες λοιπόν αποφασ ίζουν με τρόπο που να ελαχισ τοποιούν τις μέγισ τες απώλειές τους. Οι σ τρατηγικές γ της Γιάννας και γ του Τάσ ου που καταλήγουμε με αυτή την προσ έγγισ η, είναι οι πιο σ ίγουρες, οι πιο προσ εκτικές για τους παίκτες και σ την ισ ορροπία που μας οδηγούν παρατηρούμε ότι κανένας από τους δύο δεν γίνεται να βελτιώσ ει το ελάχισ το κέρδος του (την καλύτερη, από τις χειρότερες των περιπτώσ εων). Η Γιάννα επιλέγοντας γ, είναι βέβαιη ότι θα κερδίσ ει τουλάχισ τον 2, όταν με οποιαδήποτε άλλη σ τρατηγική μπορεί εν δυνάμει να χάσ ει. Ο Τάσ ος από την μεριά του, επιλέγοντας γ, είναι εξασ φαλισ μένο ότι θα χάσ ει όχι περισ σ ότερα από 2 (ότι η Γιάννα λοιπόν δεν θα κερδίσ ει παραπάνω από 2), ενώ με οποιαδήποτε άλλη σ τρατηγική η χασ ούρα του μπορεί να είναι μεγαλύτερη. Αν η Γιάννα κερδίσ ει λιγότερα από 2, θα μπορούσ ε να τα είχε καταφέρει καλύτερα παίζοντας γ. Αν η Γιάννα κερδίσ ει περισ σ ότερα από 2, ο Τάσ ος θα μπορούσ ε να τα έχει πάει καλύτερα παίζοντας γ. Αν οι παίκτες τελικά δεν παίζουν τις σ τρατηγικές ισ ορροπίας, ο ένας ή ο άλλος γνωρίζει ότι αυτή ή αυτός θα μπορούσ αν να έχουν επιτύχει καλύτερο αποτέλεσ μα. Και είναι σ τρατηγικές ισ ορροπίας, αφού αυτό που μόλις περιγράψαμε είναι ότι αν και οι δύο παίκτες παίζουν αυτές τις σ τρατηγικές, κανείς δεν έχει κίνητρο να μετακινηθεί σ ε άλλη σ τρατηγική. Ναι, η maximin λύσ η του παιγνίου αυτού είναι η ίδια με την ισ ορροπία Nash! Μάλισ τα, αυτό ισ χύει πάντα σ τα παίγνια μηδενικού αθροίσ ματος, δηλαδή ισ ορροπία Nash και maximin λύσ η ταυτίζονται, αλλά όχι σ τα μη μηδενικού. Τα επιχειρήματα λοιπόν ουσ ιασ τικά πηγάζουν από το γεγονός ότι η αμοιβή σ το κελί που αντισ τοιχεί σ τις σ τρατηγικές (Γιάννα γ - Τάσ ος γ) είναι ταυτόχρονα ο μικρότερος αριθμός σ την γραμμή του και ο μεγαλύτερος σ την σ τήλη του. Αυτό σ ημαίνει ότι οι σ τρατηγικές που οδηγούν σ ε αυτό το αποτέλεσ μα είναι βέλτισ τες απαντήσ εις του ενός σ τον άλλο και ότι και οι δύο παίκτες εγγυημένα δεν πρόκειται να καταλήξουν σ ε κάτι χειρότερο από αυτή την απόδοσ η. Η απόδοσ η αυτή καλείται saddle point (σ ταθερή λύσ η) σ την θεωρία παιγνίων. Γενικά: 47

48 ΟΡΙΣΜΟΣ 1.7 Ενα αποτέλεσ μα σ ε ένα παίγνιο πίνακα (με τις αποδόσ εις να αναφέρονται σ τον παίκτη-γραμμή) καλείται saddle point αν η απόδοσ η αυτού του αποτελέσ ματος είναι ταυτόχρονα μικρότερη ή ίσ η με οποιαδήποτε άλλη σ την γραμμή της, και μεγαλύτερη ή ίσ η με οποιαδήποτε άλλη σ την σ τήλη της. Ως πόρισ μα και αρχή παίρνουμε: Αν ένα παίγνιο πίνακα έχει saddle point και οι δύο παίκτες θα έπρεπε να παίξουν μία σ τρατηγική που να το περιέχει. Γενικά: ΟΡΙΣΜΟΣ 1.8 Για οποιοδήποτε παίγνιο πίνακα, αν υπάρχει κάποιος αριθμός ξ, τέτοιος ώσ τε ο παίκτης 1 έχει μια σ τρατηγική που εγγυάται ότι θα κερδίσ ει τουλάχιτον ξ, και ο παίκτης 2 έχει μια σ τρατηγική που εγγυάται ότι ο παίκτης 1 δεν θα κερδίσ ει παραπάνω από ξ. τότε το ξ καλείται η αξία του παιγνίου. Αν ένα παίγνιο έχει saddle point, η απόδοσ η του saddle point είναι η αξία του παιγνίου. Υπάρχει τρόπος για να αποφανθούμε σ χετικά με την ύπαρξη ή μη saddle point σ ε ένα παίγνιο και την εύρεσ ή του. Η μεθοδολογία βασ ίζεται σ ε όσ α αναλύσ αμε παραπάνω σ χετικά με τον τρόπο που παίζουν οι παίκτες και αποτελεί την μεθοδολογία προσ έγγισ ης ενός παιγνίου μηδενικού αθροίσ ματος με το κριτήριο minimax. Η Γιάννα θέλει να επιλέξει σ τρατηγική που της εγγυάται τουλάχισ τον την μέγισ τη από τις ελάχισ τες αποδόσ εις της (maximin), έτσ ι ώσ τε η ελάχισ τη τιμή απόδοσ ης της επιλεγμένης σ τρατηγικής της να είναι μεγαλύτερη από την ελάχισ- τη των υπόλοιπων σ τρατηγικών. Ο Τάσ ος θέλει να επιλέξει σ τρατηγική που του εγγυάται ότι η Γιάννα δεν θα κερδίσ ει παραπάνω από την ελάχισ τη από τις μέγισ τες αποδόσ εις της (mnimax), έτσ ι ώσ τε η μέγισ τη τιμή απόδοσ ης (για την Γιάννα) της επιλεγμένης σ τρατηγικής του να είναι μικρότερη από την μέγισ τη των υπόλοιπων σ τρατηγικών. Η μεθοδολογία είναι απλή και έχει ως εξής: (i) Γράφουμε σ τα δεξιά την μικρότερη / ελάχισ τη τιμή κάθε σ ειράς (ii) Κυκλώνουμε την μεγαλύτερη από αυτές τις ελάχισ τες τιμές (iii) Γράφουμε από κάτω την μεγαλύτερη / μέγισ τη τιμή κάθε σ τήλης (iv) Κυκλώνουμε την μικρότερη από αυτές τις μέγισ τες τιμές Ετσ ι, το παίγνιό μας μηδενικού αθροίσ ματος με τον Τάσ ο και την Γιάννα επιλύεται ως εξής: 48

49 Τάσ ος α β γ δ Ελάχισ το γραμμής α Γιάννα β γ 7 5 2O 3 2 maximin δ Μέγισ το σ τήλης minimax Table 9: Κριτήριο minimax-ύπαρξη saddle point Λόγω της ύπαρξης saddle point, η ισ ορροπία που μας δίνει τo κριτήριο minimax είναι σ ταθερή, με την ίδια έννοια της ισ ορροπίας Nash (αφού είναι και ισ ορροπία Nash), ότι δηλαδή κανένας παίκτης δεν μπορεί να βελτιώσ ει την απόδοσ ή του αλλάζοντας σ τρατηγική και άρα δεν έχει κίνητρο να επιλέξει κάποια από τις εναλλακτικές του. Πρόκειται δηλαδή για μία σ ταθερή λύσ η (εξού και το saddle point) όπου οι δύο παίκτες θα παίξουν την maximin και minimax σ τρατηγική τους αντίσ τοιχα. Τί σ υμβαίνει όμως όταν δεν υπάρχει saddle point σ ε ένα παίγνιο μηδενικού αθροίσ ματος; Με το κριτήριο minimax, ο παίκτης γραμμή χρησ ιμοποιεί την maximin σ τρατηγική του και ο παίκτης σ τήλη την minimax σ τρατηγική του, αλλά αυτό δεν σ ημαίνει ότι σ υμπίπτουν. Ας αλλάξουμε λίγο τις αποδόσ εις του πίνακα 8. Τότε, για τον παρακάτω πίνακα, η μεθοδολογία του κριτηρίου minimax δίνει: Τάσ ος α β γ δ Ελάχισ το γραμμής α 5 3O 6 4O 3 maximin Γιάννα β γ δ Μέγισ το σ τήλης minimax Table 10: Κριτήριο minimax-μη ύπαρξη saddle point Πλέον, σ ε αυτή την περίπτωσ η, maximin τιμή (3) της σ τρατηγικής α της Γιάννας και minimax τιμή (4) της σ τρατηγικής δ του Τάσ ου δεν σ υμπίπτουν, οπότε και δεν υπάρχει saddle point σ το παίγνιο. Αν παίξουν αυτό το σ υνδυασ μό σ τρατηγικών (α,δ), θα κερδίσ ει η Γιάννα 4 από τον Τάσ ο. Η Γιάννα προφανώς δεν θα 49

50 ενοχληθεί, αφού θα κερδίσ ει περισ σ ότερα από αυτά που τουλάχισ τον της εξασ φαλίζει η maximin σ τρατηγική της. Ο Τάσ ος όμως, θεωρώντας πάντα ότι πράττει ορθολογικά, προβλέπει αυτή την έκβασ η, η οποία δεν τον ικανοποιεί και έτσ ι προσ- παθεί να επωφεληθεί παραπάνω, επιλέγοντας να παίξει β, ώσ τε να έχει μικρότερη ζημία (3<4). Η Γιάννα τώρα από την μεριά της, η οποία είναι επίσ ης ορθολογική, σ υλλογιζόμενη τα παραπάνω, σ κέφτεται γιατί να μην κερδίσ ει παραπάνω από 3, οπότε αλλάζει την σ τρατηγική της σ την γ, προσ δοκώντας όφελος 5, αντί για 3. Ο Τάσ ος αλλάζει σ τρατηγική εκ νέου σ ε δ, για να έχει την ελάχισ τη απώλεια 1 αντί για 5 και η Γιάννα με την σ ειρά της αλλάζει πάλι σ την α, για να επιτύχει όφελος 4. Βλέπουμε ότι οι παίκτες επανήλθαν σ τις αρχικές επιλογές τους, οπότε και δεν μπορούν να καταλήξουν σ ε μία ισ ορροπία, για τον απλούσ τατο λόγο ότι κάθε φορά κάποιος από τους δύο, έχει κίνητρο να αποκλίνει μονομερώς, αναγνωρίζοντας ότι μπορεί να βελτιώσ ει την απόδοσ ή του. Οπότε το κριτήριο minimax μας δίνει σ ε αυτή την περίπτωσ η μία ασ ταθής λύσ η (εξού και η μη ύπαρξη saddle point). Την λύσ η έρχονται να δώσ ουν οι μικτές σ τρατηγικές, ακριβώς όπως έχουν ορισ θεί προηγούμενα και με το ίδιο σ κεπτικό και την ίδια μεθοδολογία. Μικτές σ τρατηγικές σ ε παίγνια μηδενικού αθροίσ ματος Εφαρμογή Παίγνιο Πέναλτι Ας εξετάσ ουμε ένα παράδειγμα σ το ποδόσ φαιρο ώσ τε να προσ ομοιάσ ουμε μία πραγματική κατάσ τασ η και να δούμε πώς ένα παίγνιο μηδενικού αθροίσ ματος αντιπροσ ωπεύει καθαρό ανταγωνισ μό. Εσ τω λοιπόν ότι έχει δοθεί πέναλτι σ ε ένα παιχνίδι και ο παίκτης γραμμή είναι ο εκτελεσ τής, ενώ ο παίκτης σ τήλη είναι ο τερματοφύλακας της αντίπαλης ομάδας (πιο ανταγωνισ τική κατάσ τασ η δεν γίνεται). Ο εκτελεσ τής μπορεί να σ ουτάρει είτε προς τα αρισ τερά είτε προς τα δεξιά (παραλείπουμε το κέντρο χάριν απλούσ τευσ ης). Ο τερματοφύλακας αντίσ τοιχα μπορεί να πέσ ει σ την αρισ τερή ή την δεξιά γωνία του για να αποκρούσ ει το σ ουτ. Είναι λογικό να θεωρήσ ουμε ότι ο εκτελεσ τής είναι καλύτερος σ το χτύπημα πέναλτι προς την μία πλευρά απ' ότι σ την άλλη και ακόμα ότι έχει προφανώς επίγνωσ η αυτού και μπορεί να καθορίσ ει προς ποια κατεύθυνσ η σ κοράρει σ υχνότερα (εκτελεί πιο εύσ τοχα δηλαδή). Ο τερματοφύλακας αντίσ τοιχα αποκρούει καλύτερα πέφτοντας σ την μία πλευρά απ' ότι σ την άλλη. Δεδομένων όλων αυτών θα εκφράσ- ουμε τις αποδόσ εις αυτών των σ τρατηγικών σ ε όρους προσ δοκώμενων κερδών. Υποθέτουμε ότι ο παίκτης σ ειρά θα σ κοράρει σ το 80% των προσ παθειών, αν εκτελέσ ει αρισ τερά και ο τερματοφύλακας πέσ ει δεξιά αλλά μόνο σ το 50% των προσ παθειών αν ο τερματοφύλακας μαντέψει σ ωσ τά και πέσ ει αρισ τερά. Αν ο παίκτης χτυπήσ ει το πέναλτι δεξιά, θα σ κοράρει σ το 90% των προσ παθειών (πιο εύσ τοχος από αυτή την μεριά) αν ο τερματοφύλακας πέσ ει αρισ τερά, αλλά μόνο σ το 20% των προσ παθειών (πολύ καλός σ τις αποκρούσ εις δεξιά) αν ο τερματοφύλακας πέσ ει δεξιά. Απεικονίζουμε το παίγνιό μας σ τον παρακάτω πίνακα 50

51 Εκτελεσ τής Τερματοφύλακας Απόκρουσ η αρισ τερά Απόκρουσ η δεξιά Σουτ αρισ τερά Σουτ δεξιά Table 11: Παίγνιο Πέναλτι-Μικτές Στρατηγικές Εφαρμόζοντας το κριτήριο minimax παίρνουμε Εκτελεσ τής Τερματοφύλακας Απόκρουσ η αρισ τερά Απόκρουσ η δεξιά Ελάχισ το γραμμής Σουτ αρισ τερά O50 O80 50 maximin Σουτ δεξιά Μέγισ το σ τήλης minimax Η μη ύπαρξη saddle point λοιπόν μας οδηγεί σ το να ακολουθήσ ουν οι παίκτες μία μικτή σ τρατηγική έκασ τος. Στο παίγνιό μας μπορούμε να το ερμηνεύσ ουμε ως εξής: Προφανώς, αν ο τερματοφύλακας ξέρει προς ποια κατεύθυνσ η θα σ ουτάρει ο αντίπαλος, θα έχει μεγάλο πλεονέκτημα. Ο εκτελεσ τής, επειδή το γνωρίζει, προσ- παθεί να κάνει ουσ ιασ τικά τον τερματοφύλακα να μαντέψει. Οπότε, θα εκτελέσ ει μερικές φορές σ την καλή του πλευρά και μερικές σ την αδύναμη πλευρά. Υπενθυμίζουμε ότι η αθροισ τική αναμενόμενη απόδοσ η του παίκτη-γραμμή είναι U 1 (p, q) = m n p i q j α ij και του παίκτη-σ τήλη είναι U 2 (p, q) = m n p i q j b ij i=1j=1 i=1j=1 όπου εδώ έχουμε α ij = b ij, αφού είναι παίγνιο μηδενικού αθροίσ ματος, με p την πιθανότητα ο εκτελεσ τής να χτυπήσ ει αρισ τερά, οπότε 1 p η πιθανότητα να χτυπήσ ει δεξιά και q την πιθανότητα ο τερματοφύλακας να πέσ ει αρισ τερά, οπότε 1 q η πιθανότητα να πέσ ει δεξιά. Άρα η αναμενόμενη απόδοσ η του εκτελεσ τή είναι U 1 = p [q 50 + (1 q) 80] + (1 p) [q 90 + (1 q) 20] = 30pq + 80p + (1 p) (70q + 20). Παρομοίως, η αναμενόμενη απόδοσ η του τερματοφύλακα είναι U 2 = q [p ( 50) + (1 p) ( 90)] + (1 q) [p ( 80) + (1 p) ( 20)] = 40pq 90q + (1 q) ( 60p 20). Παραγωγίζοντας και θέτοντας τις μερικές παραγώγους ίσ ες με μηδέν παίρνουμε: 51

52 U 1 p U 2 q = 0 30q q 20 = 0 100q + 60 = 0 q = 0, 6 = 0 40p p + 20 = 0 100p = 70 p = 0, 7. Επομένως, το ((0.7, 0.6), (0.3, 0.4)) είναι μια ισ ορροπία μικτών σ τρατηγικών, η οποία είναι επίσ ης εσ ωτερική ισ ορροπία. Η επιλογή του παίκτη γραμμή 0 < p < 1 είναι η βέλτισ τη απάντησ η όσ ο q = 0, 6. Αντίσ τοιχα, η επιλογή του παίκτη σ τήλη 0 < q < 1 είναι η βέλτισ τη απάντησ η όσ ο p = 0, 7. Οπότε οι σ τρατηγικές των παικτών είναι αμοιβαίες βέλτισ τες απαντήσ εις αν p = 0, 7 και q = 0, 6. Ας προσ εγγίσ ουμε τώρα την λύσ η μικτών σ τρατηγικών υπό το σ κεπτικό του κριτηρίου minimax αλλά και γραφικά ώσ τε να δούμε και να αντιληφθούμε πώς φτάνουμε σ το ίδιο αποτέλεσ μα που μας έδωσ ε η μαθηματική μεθοδολογία της ισ ορροπίας Nash μικτών σ τρατηγικών που μόλις χρησ ιμοποιήσ αμε. Αν ο παίκτης εκτελέσ ει αρισ τερά με πιθανότητα p, θα έχει προσ δοκώμενη απόδοσ η 50p + 90(1 p) όταν ο τερματοφύλακας πέσ ει αρισ τερά και 80p + 20(1 p) όταν ο τερματοφύλακας πέσ ει δεξιά. Ο εκτελεσ τής θέλει να μεγισ τοποιήσ ει αυτή την προσ δοκώμενη απόδοσ η, ενώ ο τερματοφύλακας ταυτόχρονα θέλει να την ελαχισ τοποιήσ ει. Στο σ χήμα Σ1 απεικονίζεται η προσ δοκώμενη απόδοσ η του εκτελεσ τή για διαφορετικές τιμές (επιλογές ουσ ιασ τικά) του p, μέσ ω των γραφικών παρασ τάσ- εων των δύο σ υναρτήσ εών του προσ δοκώμενης απόδοσ ης 50p + 90(1 p) και 80p+20(1 p). Πρόκειται για γραμμικές σ υναρτήσ εις του p, οπότε τα γραφήματα αποτελούνται από ευθείες γραμμές. Ο εκτελεσ τής γνωρίζει ότι ο τερματοφύλακας θα προσ παθεί να ελαχισ τοποιήσ ει την προσ δοκώμενη απόδοσ ή του (του εκτελεσ τή). Οπότε, για οποιοδήποτε p, η καλύτερη απόδοσ η την οποία μπορεί να προσ δοκεί, είναι η ελάχισ τη των αποδόσ εων που δίνει κάθε φόρα έκασ τη εκ των δύο σ τρατηγικών του. Αυτό φαίνεται σ το σ χήμα μας μέσ ω της σ κιασ μένης γραμμής. Το σ ημείο λοιπόν που θέλει να βρει είναι το μέγισ το σ ημείο αυτών των ελάχισ των αποδόσ εων (και μόλις φτάσ αμε σ το σ ημείο maximin του παίκτη γραμμή), το οποίο βρίσ κεται προφανώς σ το κορυφαίο σ ημείο της σ κιασ μένης γραμμής, ή, αντίσ τοιχα, σ το σ ημείο τομής των δύο γραμμών. Πλέον βλέπουμε και γραφικά την εφαρμογή του κριτηρίου minimax, ενώ αλγεβρικά μπορούμε να υπολογίσ ουμε αυτή την αξία επιλύοντας την σ χέσ η 50p + 90(1 p) = 80p + 20(1 p) ως προς p. Ετσ ι παίρνουμε p = 0, 7, επαληθεύοντας την λύσ η μας (όπως αναμενόταν) που βρήκαμε πριν. 52

53 Figure 1: Προσ δοκώμενη απόδοσ η εκτελεσ τή βάσ η p Επομένως, αν ο παίκτης σ ουτάρει αρισ τερά σ το 70% των προσ παθειών του και ο τερματοφύλακας αντιδράσ ει με τον καλύτερο δυνατό τρόπο, ο εκτελεσ τής θα έχει σ υνολικά εν τέλει προσ δοκώμενη απόδοσ η 50 0, , 3 = 62. Ας δούμε τώρα την αντιμετώπισ η της κατάσ τασ ης από την μεριά του τερματοφύλακα. Θα αναλύσ ει με παρόμοιο τρόπο τις επιλογές του: Αν πέσ ει αρισ τερά με πιθανότητα q, βλέπει ότι ο εκτελεσ τής θα έχει προσ δοκώμενη απόδοσ η 50q + 80(1 q), ενώ αν πέσ ει δεξιά με πιθανότητα 1-q, βλέπει ότι ο εκτελεσ τής προσ δοκεί 90p+20(1 q). Ο τερματοφύλακας για κάθε q, θέλει να ελαχισ τοποιήσ- ει την προσ δοκώμενη απόδοσ η του εκτελεσ τή, ενώ ταυτόχρονα αναγνωρίζει ότι ο αντίπαλος θέλει να την μεγισ τοποιήσ ει. Σε αναλογία με το προηγούμενο διάγραμμα, σ το σ χήμα Σ2 απεικονίζεται η προσ δοκώμενη απόδοσ η του εκτελεσ τή για διαφορετικές τιμές του q, μέσ ω των γραφικών παρασ τάσ εων των 50q + 80(1 q) και 90q + 20(1 q). Εδώ ενδιαφέρει τον τερματοφύλακα το μέγισ το από τις δύο γραμμές, αυτό δηλαδή που εκφράζει την βέλτισ τη επιλογή του εκτελεσ τή για κάθε επιλογή του q και το απεικονίζουμε με σ κιασ μένη γραμμή πάλι. Βρίσ κει λοιπόν το βέλτισ το για αυτόν q, το σ ημείο που ελαχισ τοποιεί τις μέγισ τες αποδόσ εις του εκτελεσ τή (και μόλις φτάσ αμε σ το σ ημείο minimax του παίκτη σ τήλη). Παρατηρείσ τε ότι λόγω του σ κεπτικού του κριτηρίου minimax, ο παίκτης σ τήλη προσ εγγίζει το παίγνιο με βάσ η την ελαχισ τοποίησ η της απόδοσ ης του αντιπάλου (που του εξασ φαλίζει μεγισ τοποίησ η της δικιάς του). Στον τερματοφύλακα, αναζητώντας το βέλτισ το q για μικτές σ τρατηγικές, εξετάζουμε πάλι την προσ δοκώμενη απόδοσ η του εκτελεσ τή και όχι του τερματοφύλακα, απλά από την οπ- 53

54 τική γωνία του τερματοφύλακα και η γραφική μας επίλυσ η αναφέρεται πάλι σ την προσ δοκώμενη απόδοσ η του εκτελεσ τή ως σ υνάρτησ η του q. Άρα το βέλτισ το q σ υμβαίνει όταν 50q +80(1 q) = 90q +20(1 q) q = 0, 6 επαληθεύοντας πάλι την λύσ η. Figure 2: Προσ δοκώμενη απόδοσ η εκτελεσ τή βάσ η q Εχουμε τώρα υπολογίσ ει τις σ τρατηγικές ισ ορροπίας για κάθε παίκτη. Ο εκτελεσ τής πρέπει να σ ουτάρει αρισ τερά με πιθανότητα 0,7 και ο τερματοφύλακας πρέπει να πέσ ει αρισ τερά με πιθανότητα 0,6. Μην ξεχνάμε ότι αυτές οι αξίες επιλέχτηκαν έτσ ι ώσ τε οι αποδόσ εις των δύο παικτών να είναι οι ίδιες, ό,τι κι αν κάνει ο άλλος παίκτης, αφού βρήκαμε τις τιμές εξισ ώνοντας τις αποδόσ εις των δύο σ τρατηγικών που θα μπορούσ ε να επιλέξει ο αντίπαλος παίκτης. Ετσ ι, όταν ο εκτελεσ τής επιλέξει 0,7, ο τερματοφύλακας είναι αδιάφορος μεταξύ τού να πέσ ει αρισ τερά ή δεξιά και σ υγκεκριμένα είναι απόλυτα ικανοποιημένος με το να πέφτει αρισ τερά με πιθανότητα 0,6. Αν ας πούμε σ υναντούσ ε τον ίδιο παίκτη σ ε 10 πέναλτι, θα έπεφτε 6 φορές αρισ τερά και 4 δεξιά, χωρίς να κοιτάει με ποια σ ειρά. Αντίσ τοιχα, αν ο τερματοφύλακας πέφτει αρισ τερά με πιθανότητα 0,6, ο εκτελεσ τής είναι αδιάφορος μεταξύ τού να σ ουτάρει αρισ τερά ή δεξιά και σ υγκεκριμένα είναι ευχαρισ τημένος με το να σ ουτάρει αρισ τερά με πιθανότητα 0,7. Συνεπώς, δείξαμε πάλι ότι αυτές οι επιλογές αποτελούν ισ ορροπία κατά Nash: Κάθε παίκτης μεγισ τοποιεί τις πιθανότητές του, με δεδομένες τις επιλογές του άλλη παίκτη. Σε κατάσ τασ η ισ ορροπίας, ο παίκτης σ κοράρει σ το 62% των προσ παθειών και αποτυγχάνει με ποσ οσ τό 38%. Αυτό είναι και το καλύτερο που μπορεί να κάνει, 54

55 αν ο άλλος παίκτης αντιδράσ ει με βέλτισ το τρόπο. 3.2 Στατικά παίγνια μη πλήρους πληροφόρησης Ορισ μός Θα εξετάσ ουμε τώρα σ τατικά παίγνια σ τα οποία οι παίκτες αντιμετωπίζουν ένα είδος αβεβαιότητας, τα λεγόμενα παίγνια μη πλήρους πληροφόρησ ης. Ενα παίγνιο μη πλήρους πληροφόρησ ης, είναι ένα παίγνιο σ το οποίο οι παίκτες δεν έχουν κοινή γνώσ η επί των πάντων για το παίγνιο που διαδραματίζεται. Δεν κατέχουν δηλαδή όλοι οι παίκτες όλες τις πληροφορίες που σ χετίζονται με τις αποφάσ εις τους. Η απεικόνισ η των αλληλεπιδράσ εων υπό αυτό το πρίσ μα είναι μάλλον πιο ρεαλισ τική από τα παίγνια πλήρους πληροφόρησ ης και σ υλλαμβάνει πολλές οικονομικές κατασ τάσ εις, όπου μία πληθώρα παραγόντων του περιβάλλοντος μπορεί να μην είναι από κοινού γνωσ τοί σ ε όλους τους παίκτες. Μεταξύ των σ τοιχείων για τα οποία οι παίκτες είναι αβέβαιοι διακρίνουμε: ˆ Αποδόσ εις ˆ Ποιοί ή πόσ οι είναι οι άλλες παίκτες ˆ Ποιες κινήσ εις είναι πιθανές ˆ Πώς σ χετίζεται το αποτέλεσ μα με τις πράξεις ˆ Τί γνωρίζει ο αντίπαλός μου και τί γνωρίζει ότι γνωρίζω Οπότε την σ τιγμή που οι παίκτες μπορούν να ξεκινήσ ουν να παίζουν τις κινήσ εις τους σ την σ τρατηγική αυτή αλληλεπίδρασ η, ορισ μένοι παίκτες έχουν ήδη κάποιες ιδιωτικές πληροφορίες για το παίγνιο που κάποιοι άλλοι δεν έχουν. Για παράδειγμα, ˆ Σε ένα μοντέλο Cournot: Πόσ ο αξιόπισ τα μπορεί μία εταιρεία να εκτιμήσ ει τα κόσ τη μίας άλλης? ˆ Η κυβέρνησ η μπορεί να φτιάχνει το φορολογικό νομοσ χέδιο χωρίς να προβλέπει τί απατεωνιές θα σ κεφτούν κάποιοι άνθρωποι για να αποφύγουν φόρους. ˆ Οι χώρες μπορεί να διαπραγματεύονται σ υμφωνίες για την κλιματική αλλαγή έχοντας διαφορετικές πεποιθήσ εις και πισ τεύω για τα κόσ τη και τα οφέλη της παγκόσ μιας κλιματικής αλλαγής. ˆ Οι ενάγοντες μπορεί να προσ φέρουν σ υμβιβασ μούς / σ υμφωνίες σ τους σ υνήγορους υπεράσ πισ ης χωρίς να ξέρουν τί είδους υπόθεσ η ο σ υνήγορος θα μπορεί να φέρει σ το δικασ τήριο ή τί είδους υπόθεσ η ο σ υνήγορος πισ τεύει ότι ο ενάγων είναι ικανός να φέρει. 55

56 Στην ανάλυσ η των παιγνίων αυτών φαντάζει ρεαλισ τικότερο να υποθέτουμε αβεβαιότητα ως προς τις αποδόσ εις, εννοώντας ότι οι παίκτες ίσ ως να μην γνωρίζουν καθένας την απόδοσ η του αντιπάλου του. Μάλισ τα, η ανάλυσ η που επέκτεινε σ ε τέτοιου είδους αβέβαιες αλληλεπιδράσ εις αυτή του Nash και αποτελεί ίσ ως την σ πουδαιότερη για αυτά τα παίγνια, σ τηρίζεται όπως θα δούμε παρακάτω σ ε αυτή ακριβώς την προσ έγγισ η. Άλλωσ τε, ποιος γνωρίζει ακριβώς τί κινητοποιεί ένα άλλο άτομο. Στην καλύτερη περίπτωσ η, όταν κάποιος γνωρίζει κάποιον άλλο πολύ καλά, κάνει μία μελετημένη μαντεψιά για το τί τον ωθεί σ το να επιλέξει κάτι (και ως εκ τούτου πώς αξιολογεί κάθε πιθανό αποτέλεσ μα). Πλέον, περιγράφουμε μία κατάσ τασ η σ την οποία οι παίκτες δεν έχουν απόλυτη επίγνωσ η για το τί αξία έχει για τους αντιπάλους τους ένα σ υγκεκριμένο αποτέλεσ μα. Ενας δηλαδή τουλάχισ τον παίκτης έχει αβεβαιότητα ως προς την σ υνάρτησ η απόδοσ ης ενός τουλάχισ τον άλλου παίκτη Ανάλυσ η Ας δούμε τώρα την προσ έγγισ η του John Harsanyi, που όπως είπαμε είναι ό,τι πιο παρεμφερές με την ισ ορροπία Nash, αλλά σ ε παίγνια μη πλήρους πληροφόρησ ης. Εσ τω το ακόλουθο παίγνιο μη πλήρους πληροφόρησ ης Παίκτης Β B 1 B 2 Παίκτης Α A 1 0 ή 3, -1 2 ή 5, 0 A 2 2,1 3,0 Table 12: Παίγνιο μη πλήρους πληροφόρησ ης ως προς τις αποδόσ εις του Α Οι αποδόσ εις του Α δεν είναι ξεκάθαρες σ τον Β αν επιλέξει την σ τρατηγική A 1. Που σ ημαίνει ότι ο παίκτης Β είναι αβέβαιος οι εκβάσ εις (Α 1, Β 1 )και (Α 1, Β 2 ) τί χρησ ιμότητα, τί απόδοσ η έχουν για τον αντίπαλό του, τον παίκτη Α. Ενας άλλος τρόπος να διατυπώσ ουμε το ίδιο πράγμα είναι να πούμε ότι η έκβασ η (Α 1, Β 1 ) αποδίδει 0 σ τον Α αν είναι του τύπου A a και 3 αν είναι του τύπου A b. Παρόμοια εκφράζουμε και την έκβασ η (Α 1, Β 2 ) κατά την οποία ο Α λαμβάνει είτε 2 είτε 5, αναλόγως με τον τύπο του. Ταυτόχρονα όμως, ό,τι τύπος και αν είναι, ο Α (που φυσ ικά ξέρει τον εαυτό του, άρα τον τύπο του), γνωρίζει ακριβώς τί αξία έχει για τον Β κάθε ένα εκ των τεσ σ άρων δυνατών αποτελεσ μάτων. Ο παίκτης Β μπορεί εύκολα να επιλέξει τον βέλτισ το τρόπο αντίδρασ ής του σ τις σ τρατηγικές A 1 και A 2. Είναι αντίσ τοιχα οι B 2 και B 1. Δεν μπορεί βέβαια να προβλέψει αν ο παίκτης Α θα επιλέξει A 1 λόγω της αβεβαιότητάς του σ χετικά με το με τί τύπο παίκτη παίζει. Αν ο Β παίζει με έναν τύπου A a παίκτη Α, τότε ξέρει 56

57 ότι ο Α έχει μία αυσ τηρά κυρίαρχη σ τρατηγική, την A 2. Αλλά, αν παίζει με έναν τύπου A b, τότε ξέρει ότι ο Α έχει μία άλλη αυσ τηρά κυρίαρχη σ τρατηγική, την A 1. Η πρότασ η του Harsanyi σ ε τέτοιες περιπτώσ εις είναι ότι θα έπρεπε να υποθέσ ουμε πως ο Β θεωρεί κάποιες πιθανότητες σ χετικά με το αν ο παίκτης Α είναι του ενός τύπου ή του άλλου. Ο Β προσ δίδει πιθανότητα p σ το να εμπλακεί σ ε ανταγωνισ μό με τύπου A a παίκτη και 1-p με τύπου A b. Ο Β τώρα αναλύει τις βέλτισ τες ενέργειές του δεδομένων: ˆ των αποδόσ εων σ ε κάθε μία από τις περιπτώσ εις ανταγωνισ μού ˆ τις πιθανοτικές του πεποιθήσ εις/πισ τεύω που αφορούν το πόσ ο πιθανό είναι να σ υναντήσ ει A a και A b τύπο αντίπαλου παίκτη. Αυτό που έκανε σ την πραγματικότητα ο Harsanyi, ήταν να μετατρέψει ένα παίγνιο μη πλήρους πληροφόρησ ης, σ ε ένα πλήρους πληροφόρησ ης, σ το οποίο όμως ορισ- μένες πληροφορίες είναι πιθανοτικές (για παράδειγμα ως προς τον τύπο ενός εκ των παικτών). Για να γίνει αυτό πιο ξεκάθαρο, ξαναγράφουμε το παίγνιο του πίνακα 11 παρακάτω: Παίκτης Β B 1 B 2 Παίκτης Α A Τύπος A a (p) Τύπος A b (1-p) 3 5 A 2 Και οι δύο τύποι A 2,1 3,0 Table 13: Επαναδιατύπωσ η πίνακα 11 σ το πνεύμα της μετατροπής Harsanyi Η πρότασ η του Harsanyi για τον παίκτη Β είναι: Αν p > 1 /2 τότε ο Β θα επιλέξει B 1, ειδάλλως θα επιλέξει B 2. Αυτό αποδεικνύεται ως εξής: Από την σ τιγμή που η A 2 είναι μία αυσ τηρά κυρίαρχη σ τρατηγική για τον τύπου A a παίκτη, ο Β αναμένει ότι ο Α θα παίξει την σ τρατηγική A 2 με πιθανότητα p. Επίσ ης, αφού η A 1 είναι η αυσ τηρά κυρίαρχη σ τρατηγική για τον τύπου A b παίκτη, ο Β αναμένει η σ τρατηγική A 1 να παιχτεί με πιθανότητα 1-p. Λαμβάνοντας τα παραπάνω υπόψη: ˆ Αν ο Β παίξει B 1, περιμένει να λάβει (μέσ ο όρο) -1 με πιθανότητα 1-p και 1 με πιθανότητα p. Άρα, η αναμενόμενη απόδοσ ή του είναι U (B 1 ) = 1 (1 p) + 1 p = 1 + 2p. ˆ Αν ο Β παίξει B 2, θα λάβει 0 ανεξάρτήτως του τί τύπος είναι ο Α και ανεξαρτήτως βέβαια και της επιλογής του Α. Δηλαδή τώρα ο Β βλέπει πως U (B 2 ) = 0. Αφαιρώντας την U (B 2 ) από την U (B 1 ) βρίσ κουμε τα αναμενόμενα καθαρά κέρδη / οφέλη από την προτίμησ η της σ τρατηγικής B 1 αντί της B 2. Οπότε ο Β θα προτιμήσ ει την B 1 όταν K B 1 2 = 1 + 2p > 0, ή όταν p > 1 /2. 57

58 Συνοψίζοντας, ˆ Ο τύπου A a παίκτης θα παίζει πάντα A 2 (αφού αυτή είναι αυσ τηρά κυρίαρχη σ τρατηγική για αυτό τον τύπο παίκτη και επομένως δεν τον απασ χολεί ποιες είναι οι ενέργειες του Β). ˆ Ο τύπου A b παίκτης θα παίζει πάντα A 1 (αφού αυτή είναι αυσ τηρά κυρίαρχη σ τρατηγική για αυτό τον τύπο παίκτη και επομένως δεν τον απασ χολεί ποιες είναι οι ενέργειες του Β). ˆ Ο παίκτης Β (ο οποίος είναι ενός πιθανού τύπου σ ε αυτό το παίγνιο), θα παίξει ανάλογα με: την αντίληψή του για τις διαφορετικές σ τρατηγικές που οι δύο τύποι του παίκτη Α θα προσ αρμόσ ουν / εφαρμόσ ουν τις προσ δοκίες του σ χετικά με το ποιος εκ των δύο τύπων του Α είναι πιο πιθανός. Πιο σ υγκεκριμένα, ο Β θα επιλέξει B 1 αν p > 1 /2, B 2 αν p < 1 /2, ενώ θα είναι αδιάφορος ανάμεσ α σ τις δύο σ τρατηγικές του αν p = 1 /2. Οι παραπάνω σ τρατηγικές για κάθε τύπο του Α και για τον Β σ υγκροτούν μια ισ ορροπία Nash με την έννοια ότι και οι δύο τύποι του Α υιοθετούν μία βέλτισ τη απάντησ η σ την σ τρατηγική του Β και ο Β υιοθετεί μία βέλτισ τη απάντησ η σ την σ τρατηγική του Α, δεδομένων των προσ δοκιών του για τον τύπο του Α. Αυτός ο τύπος ισ ορροπίας Nash είναι γνωσ τός ως Bayesian ισ ορροπία Nash (Bayesian Nash Equilibrium-BNE). Η μετατροπή του Harsanyi αποτελείται από δύο βήματα: (i) Μοντελοποίησ ε όλες τις μη σ υμμετρικές πληροφορίες σ χετικά με τις σ τρατηγικές αποφάσ εις, ως μη σ υμμετρικές πληροφορίες σ χετικά με το πώς οι αναμενόμενες αποδόσ εις εξαρτώνται από τους τύπους των παικτών (ii) Μετέτρεψε τις μη σ υμμετρικές πληροφορίες σ χετικά με το πώς οι αναμενόμενες αποδόσ εις εξαρτώνται από τους τύπους των παικτών σ ε μη σ υμμετρικές πληροφορίες σ χετικά με την πραγματοποίησ η των τυχαίων μεταβλητών όπου η εκ των προτέρων κατανομή πιθανότητας είναι κοινή γνώσ η μεταξύ όλων των παικτών Τα δύο αυτά βήματα, (που όσ ο περίπλοκα κι αν ακούγονται είναι σ την πραγματικότητα πολύ απλά), μετασ χηματίζουν την κατάσ τασ η μη πλήρους πληροφόρησ- ης σ ε ένα παίγνιο ατελούς πληροφόρησ ης, γνωσ τό ως παίγνιο Bayesian. (η λύσ η του Harsanyi είναι αυτή ουσ ιασ τικά: μοντελοποίησ ε την μη πλήρη πληροφόρησ η ως παίγνιο ατελούς πληροφόρησ ης). Σε ένα παίγνιο Bayesian: 58

59 ˆ Η φύσ η κάνει την πρώτη κίνησ η (παίζει πρώτη), επιλέγοντας την πραγματοποίησ η των τυχαίων μεταβλητών (μία για κάθε παίκτη), γνωσ τές ως τύποι (οι τύποι παικτών που προαναφέραμε). Αυτές οι τυχαίες μεταβλητές χαρακτηρίζουν την σ υνάρτησ η απόδοσ ης κάθε παίκτη. ˆ Κάθε παίκτης παρατηρεί μόνο την πραγματοποίησ η της δικιάς του τυχαίας μεταβλητής (του τύπου του). Αυτή η μεταβλητή σ υνοψίζει όλη την ιδιωτική / προσ ωπική πληροφόρησ η (οτιδήποτε γνωρίζει που δεν είναι κοινή γνώσ η). Στα σ τατικά παίγνια Bayesian οι παίκτες, αφού έχουν παρατηρήσ ει την πραγματοποίησ η των τύπων τους, επιλέγουν ταυτόχρονα ενέργειες και μετά το παίγνιο τελειώνει με τις αποδόσ εις να βασ ίζονται σ τους τύπους των παικτών και τις επιλογές τους. Ο Harsanyi ισ χυρίσ τηκε ότι μπορούμε να μοντελοποιήσ ουμε όλα τα σ τοιχεία για τα οποία οι παίκτες είναι αβέβαιοι (έχουν μη πλήρη πληροφόρησ η) ως αβεβαιότητα για το πώς οι αποδόσ εις (οι σ υναρτήσ εις χρησ ιμότητας) βασ ίζονται σ τα προφίλ ενεργειών, σ τους τύπους των παικτών. Για παράδειγμα: ˆ Είναι κάποιος παίκτης μέσ α σ το παίγνιο; Μετασ χημάτισ ε αυτή την αβεβαιότητα σ ε αβεβαιότητα σ χετικά με το σ ύνολο των εφικτών δράσ εων, επιτρέποντας σ τον παίκτη μόνο μία εφικτή κίνησ η (εκτός) όταν υποτίθεται ότι βρίσ κεται εκτός παιγνίου. ˆ Είναι μία σ υγκεκριμένη ενέργεια εφικτή για ένα δοσ μένο παίκτη; Μετασ χημάτισ ε αυτή την αβεβαιότητα σ ε αβεβαιότητα σ χετικά με το πώς η έκβασ η εξαρτάται από τις ενέργειες, αναθέτοντας σ τον παίκτη μία πολύ κακή έκβασ η όταν επιλέγει μία ενέργεια που υποτίθεται ότι είναι ανέφικτη. ˆ Πώς οι εκβάσ εις σ τηρίζονται σ τις ενέργειες και πώς οι παίκτες αξιολογούν τις εκβάσ εις; Στην αναπαράσ τασ η σ ε κανονική μορφή αυτή είναι μία και η ίδια αβεβαιότητα, επειδή οι αποδόσ εις είναι είναι σ υναρτήσ εις προφίλ ενεργειών. Στο δεύτερο βήμα, εργαζόμασ τε όπως είδαμε σ το παράδειγμα προηγούμενα, σ κεπτόμενοι ότι όπως οι παίκτες πρέπει να σ χηματίσ ουν πεποιθήσ εις / πισ τεύω για το πώς θα παίξουν οι αντίπαλοί τους, πρέπει επίσ ης να σ χηματίσ ουν πεποιθήσ εις για το ποιο παίγνιο παίζουν (ανάλογα με τον τύπο του παίκτη). Υπό το πρίσ μα: Η φύσ η παίζει πρώτη Κοινή γνώσ η για την αρχική κατανομή των τύπων παικτών (το πώς παίζει η φύσ η) Η πραγματοποίησ η των τύπων είναι ιδιωτική / προσ ωπική πληροφορία, οδηγούμασ τε όπως προείπαμε σ το (σ τατικό) Bayesian παίγνιο. Τα σ τατικά παίγνια μη πλήρους πληροφόρησ ης καλούνται λοιπόν Bayesian παίγνια και ορίζονται ως εξής: 59

60 ΟΡΙΣΜΟΣ 1.9 Ενα παίγνιο μη πλήρους πληροφόρησ ης G=(Θ,S,P,U) αποτελείται από: (i) Ενα σ ύνολο Θ = Θ 1... Θ I, όπου Θ i είναι το σ ύνολο (πεπερασ μένο) των πιθανών τύπων του παίκτη i (ii) Ενα σ ύνολο S = S 1... S I, όπου S i είναι το σ ύνολο των πιθανών σ τρατηγικών του παίκτη i (iii) Μία από κοινού κατανομή πιθανότητας p (θ 1,..., θ I ) πάνω σ τους τύπους παικτών. Για πεπερασ μένο χώρο τύπων, υποθέτουμε πως p (θ i ) > 0 για όλα τα θ i ɛθ i (iv) Συναρτήσ εις αναμενόμενης απόδοσ ης U i : S Θ R Σημειώνουμε εδώ ότι οι αποδόσ εις μπορούν να εξαρτώνται όχι μόνο από τον δικό μας τύπο, αλλά και από αυτούς των αντιπάλων μας. Αν η U i εξαρτάται από την θ i, αλλά όχι από την θ i, λέμε ότι το παίγνιο έχει προσ ωπικές αξίες. Εχοντας ορίσ ει αυτά, παραθέτουμε την θεμελιώδη (και κάτοχο βραβείου Nobel) παρατήρησ η του Harsanyi: Τα παίγνια μη πλήρους πληροφόρησ ης μπορούν να θεωρηθούν ως παίγνια πλήρους, αλλά ατελούς πληροφόρησ ης όπου η φύσ η κάνει την πρώτη κίνησ η (επιλέγοντας θ 1,... θ I ), αλλά δεν παρατηρούν όλοι την κίνησ ή της (π.χ ο παίκτης i μαθαίνει για το θ i αλλά όχι για το θ i ). Φαντασ τείτε την φύσ η σ αν άλλο ένα παίκτη, με τη διαφορά ότι αντί να προσ παθεί να μεγισ τοποιήσ ει κάποια απόδοσ η, χρησ ιμοποιεί απλά μία σ τάνταρ σ ταθερή / προκαθορισ μένη μικτή σ τρατηγική. Αυτή η διατύπωσ η βοηθάει σ το να φανούν οι ακόλουθοι ορισ μοί προφανείς, με την έννοια ότι για να αναλύσ ουμε ένα παίγνιο μη πλήρους πληροφόρησ ης, μπορούμε να κοιτάξουμε την ισ ορροπία Nash του παιγνίου όπου η φύσ η είναι παίκτης. ΟΡΙΣΜΟΣ 1.9 Μία Bayesian αγνή σ τρατηγική για ένα παίκτη i σ ε ένα παίγνιο G είναι μία σ υνάρτησ η f i : Θ i Σ i. Γράφουμε S Θi για το σ ύνολο των Bayesian αγνών σ τρατηγικών. Μπορούμε τώρα να ορίσ ουμε την Bayesian ισ ορροπία Nash (BNE) που ήδη είδαμε σ το πρώτο παράδειγμα: 60

61 ΟΡΙΣΜΟΣ 1.10 Ενα Bayesian σ τρατηγικό προφίλ (f 1,..., f I ) είναι μία Bayesian ισ ορροπία Nash αν για όλα τα i: ( ) f i ɛarg max U i f i (θ i), f i (θ i ), θ i, θ i p (θ i, θ i ). f i ɛsθ i i θɛθ ή εναλλακτικά, για όλα τα i, θ i, s i : θ iɛθ i U (f i (θ i ), f i (θ i ), θ i, θ i ) p (θ i θ i ) θ iɛθ i U (s i, f i (θ i ), θ i, θ i ) p (θ i θ i ) Η δεύτερη πρότασ η του ορισ μού λέει απλά ότι για να μεγισ τοποιήσ εις την αναμενόμενη απόδοσ ή σ ου δεδομένου του τί γνωρίζεις για τους τύπους σ ου, η σ τρατηγική που επιλέγεις για κάθε τύπο πρέπει να μεγισ τοποιεί την απόδοσ ή σ ου υπό τον όρο του να έχεις αυτό τον τύπο. Μία πρότασ η που σ υνοψίζει τα παραπάνω είναι: Μία Bayesian ισ ορροπία Nash είναι απλά μία ισ ορροπία Nash του παιγνίου όπου η φύσ η κάνει την πρώτη κίνησ η, επιλέγει θɛθ από μία κατανομή με πιθανότητα p (θ)και αποκαλύπτει το θ i σ τον παίκτη i. Εφαρμογή Παιγνίου Μη Πλήρους Πληροφόρησ ης για πρόσ ληψη εργαζόμενου Ας δούμε τώρα ένα παράδειγμα. Δύο διοικητικά σ τελέχη οικονομικών τμημάτων θέλουν αμφότεροι να προσ λάβουν έναν (τον ίδιο) κορυφαίο απόφοιτο σ το τμήμα τους. Κάθε σ τέλεχος μπορεί να εξασ φαλίσ ει ότι ο απόφοιτος θα δεχθεί την προσ φορά καλώντας τον σ τον τηλέφωνο και προωθώντας το δικό τους πρόγραμμα αποφοίτων. Υπάρχει όμως κάποιο κόσ τος για την πραγματοποίησ η αυτής της κλήσ ης. Ας υποθέσ ουμε ότι οι αποδόσ εις αναπαρισ τώνται όπως δείχνει ο πίνακας Στέλεχος Α Στέλεχος Β Κλήσ η Οχι Κλήσ η Κλήσ η 1-c 1, 1-c 2 1-c 2, 1 Οχι Κλήσ η 1, 1-c 1 0,0 Table 14: Παίγνιο μη πλήρους πληροφόρησ ης για πρόσ ληψη εργαζόμενου 61

62 Τα σ τελέχη επιλέγουν τις ενέργειές τους ταυτόχρονα και έχουν προσ ωπική / ιδιωτική πληροφόρησ η για τα κόσ τη τους αν κάνουν την κλήσ η. Αυτό σ ημαίνει ότι το σ τέλεχος i ξέρει το c i και πισ τεύει ότι το c j είναι μία τυχαία επιλογή από μια ομοιόμορφη κατανομή των [c, c]. Η πεποίθησ η του i σ τελέχους για το c j είναι κοινώς γνωσ τή. Μία εναλλακτική θεώρησ η αυτού του προβλήματος είναι ότι το σ τέλεχος Α λέει ανοικτά τα πάντα σ ε όλους, δηλαδή όλοι γνωρίζουν το κόσ τος του c 1 = 1 /2. Απεναντίας, το κόσ τος c 2 ɛ [c, c] είναι γνωσ τό μόνο σ το σ τέλεχος Β. Η, θα μπορούσ αμε να υποθέσ ουμε ότι το σ τέλεχος Α είναι ένα υψηλόβαθμο σ τέλεχος το οποίο γνωρίζει λόγω μακροχρόνιας εμπειρίας ότι c 1 = 1 /2 και c 2 = 2 /3. Ωσ τόσ ο, το σ τέλεχος Β είναι πιο άπειρο και η πεποίθησ ή του είναι ότι c 1, c 2 U [0, 2] και είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους. Ο ορισ μός που δώσ αμε πρότισ τα για το Bayesian παίγνιο σ χετίζεται με το παράδειγμά μας ως εξής: Θ 1 = Θ 2 = [c, c]. Ας επιλύσ ουμε τώρα δύο εκδοχές του παιγνίου αυτού. Εκδοχή 1η ˆ Το σ τέλεχος Α έχει ένα γνωσ τό κόσ τος c 1 < 1 /2 ˆ Το σ τέλεχος Β έχει κόσ τος c με πιθανότητα p και c με πιθανότητα 1-p. Υποθέτουμε ότι 0 < c < 1 < c και p < 1 /2. Η μοναδική Bayesian Nash ισ ορροπία είναι f 1 =Κλήσ η και f 2 (c) = Οχι Κλήσ η για όλα τα c. Για να το αποδείξουμε, έχουμε πάντα σ το μυαλό μας ότι κάθε τύπος παίκτη πρέπει να παίξει μία βέλτισ τη απάντησ η. Οταν το σ τέλεχος Β είναι τύπου c, τότε το να κάνει την κλήσ η είναι αυσ τηρά κυριαρχούμενη σ τρατηγική: U 2 (s 1, Κλήσ η; c) < U 2 (s 1, Οχι Κλήσ η; c) s 1 Επομένως, f 2 (c) = Οχι Κλήσ η Για το σ τέλεχος Α έχουμε: U 1 (Κλήσ η, f 2 ; c 1 ) = 1 c 1 U 1 ( Οχι Κλήσ η, f 2 ; c 1 ) = p U 1 ( Οχι Κλήσ η, f 2 (c) ; c 1 ) + (1 p)u 1 ( Οχι Κλήσ η, f 2 (c) ; c 1 ) το οποίο είναι p 1 + (1 p) 0 = p Και αφού 1 c 1 > p, τότε f 1 (c 1 ) = Κλήσ η. Οταν το σ τέλεχος Β όμως είναι τύπου c, τότε U 2 (f 1, Κλήσ η; c) = 1 c 62

63 U 2 (f 1, Οχι Κλήσ η; c) = 1 οπότε f 2 (c) = Οχι Κλήσ η Ουσ ιασ τικά η διαδικασ ία εδώ δουλεύει παρόμοια με την επαναλαμβανόμενη απάλειψη κυριαρχούμενων σ τρατηγικών. Εκδοχή 2η ˆ Τα κόσ τη c 1 και c 2 είναι ανεξάρτητες τυχαίες επιλογές από μία ομοιόμορφη κατανομή σ το [0, 2] Η μοναδική (κατ' ουσ ία) Bayesian Nash ισ ορροπία είναι { Κλήσ η αν c i f i (c i ) = 2 /3 Οχι κλήσ η αν c i > 2 /3 Για να το αποδείξουμε μπορούμε απλά να εξετάσ ουμε ότι κάθε εικαζόμενη σ τρατηγική ενός παίκτη, είναι μια βέλτισ τη απάντησ η σ του αλλουνού. Συγκεκριμένα, η σ τρατηγική κάθε παίκτη είναι μια βέλτισ τη απάντησ η δεδομένου ότι ο αντίπαλός του θα κάνει την κλήσ η με πιθανότητα 1 /3 και δεν θα την κάνει με πιθανότητα 2 /3. ) Παρατηρούμε ότι : αν f i (c i ) = Κλήσ η τότε f i (c i = Κλήσ η για όλα τα c i < c i. Για να φανεί αυτό, διακρίνουμε ότι αν f i (c i ) = Κλήσ η, τότε: που σ ημαίνει ότι: U i (Κλήσ η, f 2 (c i ) ; c i ) U i ( Οχι Κλήσ η, f 2 (c i ) ; c i ) 1 c i k i όπου k i υποδηλώνει την αμοιβή του να μην κάνει την κλήσ η. Άρα c i < c i : 1 c i k i ή ισ οδύναμα ) ( ) U i (Κλήσ η, f 2 (c i ) ; c i U i Οχι Κλήσ η, f 2 (c i ) ; c i Διαισ θητικά, το να πραγματοποιηθεί η κλήσ η είναι πιο ελκυσ τικό αν τα κόσ τη είναι χαμηλότερα. Η Bayesian ισ ορροπία Nash πρέπει να είναι της μορφής { Κλήσ η αν c 1 c 1 f 1 (c 1 ) = Οχι κλήσ η αν c i > c 1 f 2 (c 2 ) = { Κλήσ η αν c 2 c 2 Οχι κλήσ η αν c 2 > c 2 63

64 για κάποια κόσ τη αποκοπής c 1, c 2. ( Σημειώνουμε ότι θα προκύψει πως όταν το c i είναι ακριβώς ίσ ο με το c i, τότε το σ τέλεχος i είναι αδιάφορο ως προς το να καλέσ ει ή όχι. Για αυτό το λόγο η ισ ορροπία είναι κατ' ουσ ία μοναδική). Ας είναι k j = Π[i θα κάνει κλήσ η δεδομένου κόσ τους αποκοπής c j ]=Π[c j c j ]= 1 2 c j Για να είναι αυτές οι σ τρατηγικές Bayesian ισ ορροπία Nash, θέλουμε: 1 c i k i για όλα τα c i c i 1 c i < k i για όλα τα c i > c i ή αντίσ τοιχα ότι 1 c i = k i. Οπότε, για i=1,2: 1 c i = 1 2 c i Ως εκ τούτου, η μοναδική ισ ορροπία είναι να γίνει η κλήσ η όποτε c i < 2 /3 Παρατηρούμε ότι για άλλη μια φορά το αποτέλεσ μα της ισ ορροπίας είναι μη αποδοτικό. Δηλαδή, είναι πάντα αποδοτικό για κάποιον να καλέσ ει και παρ' όλα αυτά με πιθανότητα 4 /9 κανείς δεν καλεί. Επιπλέον, καλούν και τα δύο σ τελέχη με πιθανότητα 1 /9 παρ' ότι αυτό είναι μη αποδοτικό. 64

65 4 ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ 4.1 Δυναμικά παίγνια πλήρους και τέλειας πληροφόρησης Το λογισ μικό Gambit Για να σ υνεχίσ ουμε την ανάλυσ ή μας, θα χρησ ιμοποιήσ ουμε για την αναπαράσ τασ η των παιγνίων το λογισ μικό Gambit. Το λογισ μικό αυτό είναι ένα εργαλείο κατασ κευής, αναπαράσ τασ ης και ανάλυσ ης πεπερασ μένων μη σ υνεργατικών παιγνίων τόσ ο σ ε εκτεταμένη όσ ο και σ ε σ τρατηγική μορφή. Είναι γραμμένο πλέον σ ε γλώσ σ α C, ενώ αρχικά ήταν σ ε Basic και αποτελεί λογισ μικό ανοιχτού κώδικα που διατίθεται προς χρήσ η σ το ευρύ κοινό από το Λόγω του απλού και προσ εγμένου γραφικού του περιβάλλοντος, μπορεί να χρησ ιμοποιηθεί ακόμα κι από νέους χρήσ τες ή που γνωρίζουν λίγα για την θεωρία παιγνίων, ενώ διαθέτει πληθώρα χρήσ ιμων εργαλείων για την ορθή προσ ομοίωσ η κατασ τάσ εων σ τρατηγικής αλληλεπίδρασ ης. Βασ ικά χαρακτηρισ τικά Τα χαρακτηρισ τικά του Gambit εξυπηρετούν εκπαιδευτικούς αλλά και ερευνητικούς σ κοπούς και τα βασ ικότερα είναι : Ευέλικτο Γραφικό Περιβάλλον Το γραφικό περιβάλλον του Gambit είναι σ υμβατό με πληθώρα λειτουργικών σ υσ τημάτων (όπως Mac και Windows) και σ ε αυτό προσ φέρονται προς χρήσ η και εξερεύνησ η όλα τα εργαλεία του. Εχει ευελιξία σ την δημιουργία είτε σ τρατηγικής είτε εκτεταμένης μορφής παιγνίων, δίνοντας την δυνατότητα να εξετάσ ουμε ακόμα και ατελή πληροφόρησ η, πεποιθήσ εις παικτών, πιθανότητες με τις οποίες επιλέγουν σ τρατηγικές κ.α. Δυνατό του σ ημείο είναι ο υπολογισ μός ισ ορροπίας Nash του παιγνίου αλλά και η οπτικοποίησ η των σ τρατηγικών προφίλ-οριζόντων σ υμπεριφοράς που προκύπτουν από την εκάσ τοτε ισ ορροπία. Επίσ ης, παρέχεται δυνατότητα εύρεσ ης των αυσ τηρά κυρίαρχων σ τρατηγικών. Υπολογισ μός Ισ ορροπίας μέσ ω Πολλαπλών Αλγορίθμων Το Gambit έχει την δυνατότητα υπολογισ μού της ισ ορροπίας του παιγνίου μέσ ω επιλογής από πολλούς διαθέσ ιμους αλγόριθμους, όπου κατά περίπτωσ η ανάλογα με τον τύπο και τις παραμέτρους του παιγνίου, εξυπηρετεί και διαφορετικός. Η επιλογή παρέχεται μέσ ω απλής εντολής που μπορεί να επιλέξει ο χρήσ της σ την αναζήτησ η του αλγόριθμου που βρίσ κει την ισ ορροπία. 65

66 Λειτουργικότητα-Συνδεσ ιμότητα-επεκτασ ιμότητα Τα αρχεία του Gambit μπορούν να αποθηκευτούν σ ε διάφορες μορφές ώσ τε να μεταφερθούν μεταξύ διαφορετικών σ υσ τημάτων και να επεξεργασ θούν με την χρήσ η άλλων εργαλείων. Οπότε οι δυνατότητες του Gambit μπορούν να διευρυνθούν, να βελτιωθεί μία μέθοδος υπολογισ μού ισ ορροπίας, να προσ τεθεί μία νέα, ή να δημιουργηθούν εργαλεία για την παραμετροποίησ η, ανάλυσ η, αναπαράσ τασ η και χειρισ μό παιγνίων σ ε προγραμματισ τικό περιβάλλον. Μειονεκτήματα Gambit Βέβαια, κανείς δεν είναι τέλειος και το ίδιο ισ χύει και για το Gambit, οπότε αναφέρουμε κάποια μειονεκτήματά του Ανάλυσ η μόνο Πεπερασ μένων Παιγνίων Το Gambit μπορεί να αναπαρασ τήσ ει και αναλύσ ει μόνο πεπερασ μένα παίγνια. Δεδομένου του σ ημείου που τελειώνουν, εξάγει την ισ ορροπία μέσ α από μαθηματικά εργαλεία και κατάλληλους αλγόριθμους που κινούνται σ το καθορισ μένο πεπερασ μένο πλαίσ ιο. Για μη πεπερασ μένα παίγνια, που μπορούν φυσ ικά να σ υναντηθούν σ την καθημερινότητα, όπου οι επιλογές των παικτών φαντάζουν χωρίς κάποιο τελικό σ ημείο και έχουν μία σ υνέχεια, το λογισ μικό Gambit δεν μπορεί να χρησ ιμοποιηθεί. Ανάλυσ η μόνο Μη Συνεργατικών Παιγνίων Το λογισ μικό καταπιάνεται μόνο με μη σ υνεργατικά παίγνια και δεν παρέχεται η δυνατότητα αναπαράσ τασ ης και ανάλυσ ης κατασ τάσ εων που υπάγονται σ την σ υνεργατική θεωρία παιγνίων. Αδυναμία σ ε παίγνια μεγάλου μεγέθους Μπορεί να δύναται να κάνει σ χεδόν πάντα εύρεσ η ισ ορροπίας όσ ο πολύπλοκο κι αν είναι ένα παίγνιο ακόμα κι αν υπάρχει ελλιπής πληροφόρησ η, μέσ ω της ευελιξίας των αλγορίθμων που χρησ ιμοποιεί, αλλά όταν αντιμετωπίζει παίγνια πολύ μεγάλου μεγέθους μπορεί να υπάρξει πρόβλημα, όπως υψηλός χρόνος απόκρισ ης ή και αδυναμία εύρεσ ης ισ ορροπίας. Πέρα από την αναπαράσ τασ η των παιγνίων σ ε εκτεταμένη μορφή, θα μας χρησ- ιμεύσ ει το Gambit ως επαληθευτικός μηχανισ μός, σ την εύρεσ η ισ ορροπιών που θα πραγματοποιήσ ουμε σ την εφαρμογή μας σ το δεύτερο κομμάτι της διπλωματικής και θα αποτελέσ ει πεισ τήριο για την ορθότητα της ανάλυσ ής μας και τα αποτελέσ ματα που θα πάρουμε Ορισ μός Εδώ πλέον αναλύουμε τα δυναμικά παίγνια ή παίγνια διαδοχικών κινήσ εων όπου η σ ειρά με την οποία λαμβάνονται οι αποφάσ εις παίζει ρόλο, δηλαδή κάποιος παίζει σ το πρώτο σ τάδιο, κάποιος σ το δεύτερο κ.ο.κ. Μάλισ τα, τα παίγνια αυτά δεν 66

67 είναι απλά πλήρους πληροφόρησ ης (δηλαδή να γνωρίζουμε όλες τις αποδόσ εις του παιγνίου), αλλά και τέλειας πληροφόρησ ης. Τέλεια, όπως ο χαρακτηρισ μός υπαγορεύει, σ ημαίνει ότι κάθε παίκτης έχει τέλεια πληροφόρησ η, δηλαδή γνωρίζει ακριβώς τί έχει παιχτεί σ το παίγνιο μέχρι το σ ημείο που καλείται αυτός να παίξει. Ολοι οι παίκτες δηλαδή παρακολουθούν τί έχει παιχτεί μέχρι το σ ημείο που έχει φτάσ ει το παίγνιο ή αντίσ τοιχα κανείς δεν ξεχνάει ποτέ τί έχει παιχτεί πριν και πού έχουμε οδηγηθεί Ανάλυσ η Διευκολύνει η ανάλυσ η με τα εκτεταμένης μορφής παίγνια τα οποία όπως έχουμε πει αναπαρισ τούνται με το μαθηματικό εργαλείο : δέντρα παιγνίου. Υπενθυμίζουμε ότι είναι ένας κατευθυνόμενος γράφος, ένα σ ύνολο σ υνδεδεμένων κόμβων που έχει διακριτή κατεύθυνσ η. Στους κόμβους αντισ τοιχίζεται ο εκάσ- τοτε παίκτης που έχει σ ειρά να παίξει, ενώ σ τους κλάδους οι διαθέσ ιμες κινήσ εις. Στο τέλος του δέντρου παρισ τάνονται οι αποδόσ εις των παικτών, οι τελικές αμοιβές ή απώλειες. Τα δέντρα και άρα η εκτεταμένη μορφή παιγνίου, χρησ ιμοποιούνται για να αναπαρασ τήσ ουν παίγνια διαδοχικών κινήσ εων, επειδή πολύ απλά δείχνουν την σ ειρά με την οποία οι ενέργειες λαμβάνονται από τους παίκτες. Η μορφή του δέντρου έχει ως ακολούθως: Figure 3: Μορφή δέντρου Τα εκτεταμένης μορφής παίγνια περιέχουν πληροφορίες σ χετικά με ακολουθίες παιξίματος και τα επίπεδα πληροφόρησ ης των παικτών σ χετικά με τη δομή του παιγνίου. Οπου η σ ειρά του παιξίματος παίζει ρόλο, η εκτεταμένη μορφή πρέπει υποχρεωτικά να καθορίζεται αλλιώς τα σ υμπεράσ ματά μας θα είναι αναξιόπισ τα. Στα δέντρα υπάρχει πάντα διακεκριμένη κορυφή R, η οποία καλείται ρίζα του δέντρου και δεν έχει πλευρές να καταλήγουν σ ε αυτήν. Συνήθως, όπως θα δούμε, η ρίζα του δέντρου ταυτίζεται με τον αρχικό κόμβο απόφασ ης του παίκτη που σ το παίγνιο παίζει πρώτος. Για κάθε άλλο κόμβο του γραφήματος υπάρχει ακριβώς μια διαδρομή από την ρίζα R σ ε αυτόν. 67

68 Ορίζουμε τώρα το δέντρο παιγνίου (n παικτών): ΟΡΙΣΜΟΣ 1.11 Ενα δέντρο Τ καλείται δέντρο παιγνίου n παικτών αν (i) κάθε μη τερματικός κόμβος του δέντρου ανήκει σ ε έναν ακριβώς από τους παίκτες (ii) σ ε κάθε τερματικό κόμβο αντισ τοιχεί ένα n-διάσ τατο διάνυσ μα απόδοσ ης p (v) = (p 1 (v), p 2 (v),..., p n (v)) Να σ ημειώσ ουμε εδώ ότι σ ε κανένα παίκτη δεν πρέπει να ανήκει κανένας τερματικός κόμβος (οι τερματικοί αναπαρισ τούν αυσ τηρά αποδόσ εις). Επιπροσ θέτως, δεν είναι απαραίτητο ότι κάθε παίκτης κατέχει έναν τουλάχισ τον μη τερματικό κόμβο. Μπορούν κάλλισ τα να υπάρχουν (σ ε παίγνιο n παικτών) παίκτες που δεν κατέχουν κανένα μη τερματικό κόμβο σ το δέντρο παιγνίου. Πριν σ υνεχίσ ουμε ας αναφέρουμε σ υγκεντρωτικά τις βασ ικές έννοιες που θα φανούν χρήσ ιμες σ την ανάλυσ η των δέντρων παιγνίων: Κόμβος: Ενα σ ημείο σ το οποίο ένας παίκτης επιλέγει μία ενέργεια Ρίζα: το σ ημείο σ το οποίο η πρώτη ενέργεια του παιγνίου σ υμβαίνει Τερματικός κόμβος: κάθε κόμβος ο οποίος, αν φτάσ ουμε, τερματίζει το παίγνιο. Κάθε τερματικός κόμβος αντισ τοιχίζεται σ ε μία έκβασ η. Αμοιβή/Απόδοσ η: Ενας τακτικός αριθμός χρησ ιμότητας που προσ δίδεται σ ε έναν παίκτη σ ε κάποια έκβασ η Οπισ θοβατική Επαγωγή Στα παίγνια πλήρους πληροφόρησ ης, δεδομένου ότι είναι πεπερασ μένα (τελειώνουν δηλαδή μετά από γνωσ τό αριθμό ενεργειών) οι παίκτες μπορούν να χρησ- ιμοποιήσ ουν μία απλή, άμεσ η και ευθεία διαδικασ ία για να προβλέψουν εκβάσ εις. Ενας παίκτης σ ε ένα τέτοιο παίγνιο διαλέγει την πρώτη του κίνησ η / ενέργεια λαμβάνοντας υπόψη και αξιολογώντας κάθε σ ειρά απαντήσ εων και ανταπαντήσ εων σ ε αυτές, που θα προκύψουν από κάθε ενέργεια ανοικτή προς επιλογή σ ε αυτόν. Μετά διερωτάται ποια από τις διαθέσ ιμες τελικές εκβάσ εις του αποφέρει την μεγαλύτερη χρησ ιμότητα, και διαλέγει την ενέργεια που ξεκινάει την αλυσ ίδα που οδηγεί σ ε αυτό το αποτέλεσ μα. Αυτή η διαδικασ ία είναι ευρέως γνωσ τή και καλείται οπισ θοβατική επαγωγή, καθώς η λογική λειτουργεί προς τα πίσ ω, αρχίζοντας από ενδεχόμενα αποτελέσ ματα για να αναπαρασ τήσ ει προβλήματα επιλογής. 68

69 Τα δέντρα παιγνίου βοηθάνε σ την εφαρμογή και οπτικοποίησ η της οπισ θοβατικής επαγωγής που είναι το κυριότερο και πιο ευρέως χρησ ιμοποιούμενο εργαλείο για εύρεσ η ισ ορροπίας σ τα επαναλαμβανόμενα / δυναμικά παίγνια. Επισ τρέφουμε τώρα για να γίνουν αυτά σ ιγά σ ιγά κατανοητά σ το γνωσ τό παίγνιο Το δίλλημα των Φυλακισ μένων, αλλά τώρα ας υποθέσ ουμε ότι οι φυλακισ μένοι δεν κινούνται ταυτόχρονα. Εσ τω ότι πρώτα ενεργεί ο παίκτης 1 και ο παίκτης 2 μπορεί να επιλέξει την κίνησ ή του αφού παρατηρήσ ει την επιλογή του παίκτη 1. Παρ' όλα αυτά, όπως θα δείξουμε αναπαρισ τώντας το παίγνιο πλέον σ την εκτεταμένη μορφή του με δέντρο παιγνίου, αυτό δεν αλλάζει τίποτα! Figure 4: Εκτεταμένη μορφή-δίλλημα φυλακισ μένων χωρίς ταυτόχρονη κίνησ η Ας δούμε την οπισ θοβατική επαγωγή. Ο παίκτης 1 εξετάζει ξεκινώντας από το τέλος του παιγνίου τις αντιδράσ εις του παίκτη 2 σ τις δικές του κινήσ εις. Οπότε διακρίνει πως αν ο παίκτης 2 βρεθεί σ τον κόμβο δεξιά όπως κοιτάμε το δέντρο, δηλαδή ο παίκτης 1 να παίξει Μη Ομολογία, έχει να επιλέξει μεταξύ απόδοσ ης 0 και -2. (Το δεύτερο νούμερο, όπως και σ την αναπαράσ τασ η με πίνακα αντιπροσ ωπεύει τις αμοιβές του παίκτη 2). Οπότε ο παίκτης 2 κερδίζει την μέγισ τη απόδοσ η 0>-2 παίζοντας Ομολογία. Αντίσ τοιχα, βλέπει πως αν ο παίκτης 2 κληθεί να παίξει σ τον άλλο κόμβο, αντιμετωπίζει μια επιλογή ανάμεσ α σ ε -5 και -10, οπότε και θα παίξει Ομολογία για να λάβει την μεγαλύτερη εκ των δύο χρησ ιμότητα, -5>-10. Τώρα, έχοντας γνώσ η αυτών, ο παίκτης 1 έρχεται πιο πίσ ω (σ τον δικό του κόμβο) και βλέπει ουσ ιασ τικά σ τους κόμβους του παίκτη 2 τις αποδόσ εις (-5,-5) και (-10,0). Οπότε, θέλοντας να μεγισ τοποιήσ ει την δική του απόδοσ η, δηλαδή τα πρώτα νούμερα σ ε κάθε δυάδα, επιλέγει Ομολογία, ώσ τε να πάρει -5>-10. Τελικά, ο παίκτης 1 ομολογεί και μετά (πλέον γνωρίζοντάς το) ομολογεί επίσ ης ο παίκτης 2, δίνοντάς μας το ίδιο ακριβώς αποτέλεσ μα με το αντίσ τοιχο παίγνιο σ τρατηγικής μορφής. 69

70 Πολύ απλά, ο παίκτης 1 σ υνειδητοποιεί (ακόμα κι αν θεωρήσ ουμε ότι έχουν σ υμφωνήσ ει από πριν να μην ομολογήσ ει κανείς) πως αν δεν ομολογήσ ει σ τον αρχικό κόμβο, ο παίκτης 2 που παίζει ύσ τερα από αυτόν βλέποντας τί έχει επιλέξει, μπορεί κάλλισ τα να οδηγηθεί σ την ελευθερία ομολογώντας και ο παίκτης 1 να πάει το μέγισ το των 10 χρόνων φυλακή. Εδώ ουσ ιασ τικά έχει πλεονέκτημα ο παίκτης 2 αφού πρώτα βλέπει τί έπαιξε ο παίκτης 1 (τέλεια πληροφόρησ η) και μετά διαλέγει τη δική του κίνησ η. Στο δίλλημα των φυλακισ μένων, το σ τατικό και το δυναμικό παίγνιο δίνουν ίδιο αποτέλεσ μα, αλλά αυτό δεν σ ημαίνει ότι ισ χύει γενικά για όλα τα παίγνια. Το να μην γίνεται ταυτόχρονα η επιλογή σ τρατηγικών μπορεί να οδηγήσ ει σ ε τελείως διαφορετική έκβασ η του ίδιου παιγνίου. Σύνολο πληροφοριών Εξετάσ αμε το δίλλημα των φυλακισ μένων ως δυναμικό παίγνιο τέλειας πληροφόρησ ης, θεωρώντας ότι ο παίκτης 2 κινείται αφού λάβει γνώσ η για την κίνησ η του παίκτη 1. Δεν σ ημαίνει όμως ότι ήταν αναγκαία η αναγωγή σ ε δυναμικό παίγνιο για να δούμε την εκτεταμένη του μορφή. Οποιοδήποτε παίγνιο μπορεί να περιγραφεί με οποιαδήποτε μορφή (απλά σ υγκεκριμένες μορφές εξυπηρετούν σ υγκεκριμένα παίγνια) και η εκτεταμένη μορφή του σ τατικού διλλήματος των φυλακισ μένων, όπως το πρωτοείδαμε με τους παίκτες να κινούνται ταυτόχρονα, είναι η παρακάτω: Figure 5: Εκτεταμένη μορφή-στατικό δίλλημα φυλακισ μένων 70

71 Το οβάλ σ χέδιο (χρησ ιμοποιείται και διακεκομμένη γραμμή σ υχνά) που περιβάλλει τους δύο κόμβους απόφασ ης αναπαρισ τά ουσ ιασ τικά ταυτόχρονες κινήσ εις σ ε ένα παίγνιο που κατά τα άλλα είναι δυναμικό. Αυτό σ ημαίνει ότι σ ε αυτούς τους κόμβους, ο παίκτης δεν μπορεί να αποσ αφηνίσ ει το μονοπάτι από το οποίο έφτασ ε εκεί, οπότε δεν ξέρει τελικά σ ε ποιον από τους δύο κόμβους θα κληθεί να αποφασ ίσ ει. Άρα, σ την εκτεταμένη μορφή παιγνίου, η σ τατικότητα αναπαρίσ ταται υπό την μορφή ατελούς πληροφόρησ ης. Οταν ο παίκτης 2 επιλέγει, δεν ξέρει τί έχει επιλέξει ο παίκτης 1 σ τον πρώτο κόμβο. Το οβάλ σ χέδιο λοιπόν δείχνει ότι οι κόμβοι τους οποίους εμπεριέχει ανήκουν σ ε ένα κοινό σ ύνολο πληροφοριών. Αυτή είναι η και η ορολογία που χρησ ιμοποιείται. Ο αριθμός των κόμβων απόφασ ης (μη λαμβάνοντας υπόψη τη ρίζα του δέντρου) ενός παίκτη που σ υνδέονται με οβάλ σ χέδιο ή με διακεκομμένη γραμμή είναι το σ ύνολο πληροφοριών του παίκτη. Το σ κεπτικό έχει ως εξής: Σε κάποιο σ τάδιο ο παίκτης πρέπει να αποφασ ίσ ει την επόμενή του κίνησ η. Λόγω έλλειψης πληροφοριών όμως για την ισ τορία του παιγνίου, ενώ γνωρίζει ότι το σ ημείο από το οποίο θα αποφασ ίσ ει είναι ένας κόμβος ενός σ υνόλου πληροφοριών, δεν γνωρίζει ποιος. Ο αριθμός επιλογών σ ε κάθε του κόμβο είναι όμως ταυτόσ ημος, δηλαδή σ ε κάθε κόμβο του αντιλαμβάνεται t ταυτόσ ημες επιλογές 1,2,...,t. Τελικά ο παίκτης παίρνει μια απόφασ η από τις επιλογές αυτές, βασ ισ μένος μόνο σ τις t επιλογές και όχι σ την πραγματική θέσ η του κόμβου, σ τον οποίο ελήφθη η απόφασ η. Δύο κόμβοι K 1 και K 2 ενός δέντρου που ανήκουν σ ε ένα παίκτη ονομάζονται ισ οδύναμοι για τον παίκτη αν ˆ Υπάρχει ο ίδιος αριθμός πλευρών, έσ τω t, που αρχίζουν από τους K 1 και K 2 και ˆ οι πλευρές που αρχίζουν από τους K 1 και K 2 μπορούν να αναδιαταχθούν έτσ ι ώσ τε οι να θεωρούνται ίδιες από τον παίκτη. Ορίζουμε τώρα πιο αυσ τηρά το σ ύνολο πληροφοριών: ΟΡΙΣΜΟΣ 1.12 Σε ένα δέντρο παιγνίου το σ ύνολο κόμβων {K 1,..., K n } καλείται σ ύνολο πληροφοριών ενός παίκτη αν (i) Ολοι οι κόμβοι του {K 1,..., K n } είναι μη τερματικοί και ανήκουν σ τον παίκτη (ii) Κανένας κόμβος του {K 1,..., K n } δεν σ υσ χετίζεται με οποιοδήποτε άλλο κόμβο του {K 1,..., K n }, δηλαδή κανένας δεν είναι πρόγονος ή διάδοχος του άλλου (iii) Ολοι οι κόμβοι του {K 1,..., K n } είναι ισ οδύναμοι για τον παίκτη, δηλαδή, υπάρχει μια αναδιάταξη των t πλευρών που ξεκινούν από κάθε κόμβο K i τέτοια ώσ τε να θεωρούνται ίδιες 71

72 Ενα δυναμικό παίγνιο ή παίγνιο διαδοχικών κινήσ εων είναι ένα δέντρο παιγνίου n παικτών τέτοιο ώσ τε οι κορυφές αποφάσ εων να έχουν διαμερισ τεί σ ε σ ύνολα πληροφοριών που ανήκουν σ τους παίκτες. Στα δυναμικά παίγνια τέλειας πληροφόρησ ης, όλα τα σ ύνολα πληροφοριών απαρτίζονται από έναν μόνο κόμβο, που σ ημαίνει ότι σ το δέντρο παιγνίου δεν εμφανίζονται πουθενά οβάλ διασ υνδέσ εις-διακεκομμένες γραμμές. Οπότε και ο παίκτης γνωρίζει ακριβώς ποιες ενέργειες έχουν παιχτεί σ το παίγνιο ώς την σ τιγμή που καλείται να κάνει μία επιλογή. Ορίζουμε: ΟΡΙΣΜΟΣ 1.13 Ενα δυναμικό παίγνιο (διαδοχικών κινήσ εων) είναι παίγνιο με πλήρη πληροφόρησ η αν κάθε σ ύνολο πληροφοριών είναι μονομελές Στα παίγνια διαδοχικών κινήσ εων, η έννοια της σ τρατηγικής διαφέρει από αυτή των παιγνίων σ τρατηγικής μορφής και είναι πιο πολύπλοκη. Μία επιλογή ενός παίκτη που κατέχει έναν κόμβο Κ είναι μια πλευρά που ξεκινάει από τον κόμβο Κ. Μια σ υνάρτησ η επιλογών τώρα ενός παίκτη που κατέχει ένα σ ύνολο κόμβων K δείχνεται με την σ υνάρτησ η x : K V, όπου V το σ ύνολο των κόμβων του δέντρου, έτσ ι ώσ τε η x (Κ) να είναι παιδί της Κ για κάθε κόμβο Κ του K. Μπορούμε λοιπόν να ταυτίσ ουμε την x (Κ) με μια πλευρά του δέντρου που ξεκινάει από τον κόμβο Κ, αφού ένα παιδί του κόμβου Κ προσ διορίζεται πλήρως από την πλευρά που τα ενώνει. Επίσ ης μπορούμε να σ υμβολίζουμε τη σ υνάρτησ η επιλογών x με ένα σ ύνολο πλευρών, όπου το σ ύνολο αυτό περιέχει ακριβώς μία πλευρά με αρχή κάθε κόμβο του K. Μια σ υνάρτησ η επιλογών x ενός παίκτη θα καλείται σ ύμφωνη με ένα σ ύνολο πληροφοριών του αν x (Κ 1 ) x (Κ 2 ) για κάθε ζεύγος κόμβων Κ 1, Κ 2 που ανήκει σ το σ ύνολο πληροφοριών. Άρα, οι επιλογές σ τους κόμβους που ανήκουν σ το ίδιο σ ύνολο πληροφοριών είναι ταυτόσ ημες. Με βάσ η αυτά, η σ τρατηγική ορίζεται ως εξής: ΟΡΙΣΜΟΣ 1.13 Εσ τω K το σ ύνολο κόμβων που ανήκουν σ ε ένα παίκτη σ ε ένα δέντρο παιγνίου και το K έχει διαμερισ τεί σ ε σ ύνολα πληροφοριών για τον παίκτη. Τότε η σ υνάρτησ η επιλογών s : K V είναι μια σ τρατηγική για τον παίκτη αν είναι σ ύμφωνη με κάθε σ ύνολο πληροφοριών. 72

73 Η σ τρατηγική ενός παίκτη σ ε ένα δυναμικό παίγνιο, αναλύει τις ενέργειες που θα λάβει ο παίκτης σ ε κάθε σ ύνολο πληροφοριών του και όχι μεμονωμένα. Αποτελεί δηλαδή ένα περιγραφικό σ χέδιο, μία πλήρη προετοιμασ ία σ χετικά με το πώς να παίξει το παίγνιο, προδιαγράφοντας τις κινήσ εις του σ ε κάθε σ ύνολο πληροφοριών. Άρα εξ' αρχής, πριν την αρχή του παιγνίου, η σ τρατηγική του παίκτη έχει προετοιμάσ ει τις κινήσ εις του για κάθε σ ύνολο πληροφοριών του (σ ύνολο επιλογών του ουσ ιασ τικά), σ ε περίπτωσ η που το παίγνιο κατά την εξέλιξή του φτάσ ει σ ε κάποιο από αυτά. Παίζοντας το παίγνιο και εποπτεύοντάς το σ υνολικά λοιπόν, έχουμε έναν ορίζοντα σ τρατηγικής για το παίγνιο, που δεν είναι άλλο από μία n-άδα (s 1, s 2,..., s n ), όπου κάθε s i είναι μια σ τρατηγική για τον παίκτη i. Δεδομένου λοιπόν του ορίζοντα σ τρατηγικής σ ε ένα παίγνιο, οδηγούμασ τε αυτομάτως σ ε ένα τερματικό κόμβο του δέντρου. Εχοντας τώρα ορίσ ει τόσ ο την έννοια της σ τρατηγικής όσ ο και τον ορίζοντα σ τρατηγικής σ ε ένα παίγνιο διαδοχικών κινήσ εων αντιλαμβανόμασ τε ότι η έννοια της οπισ θοβατικής επαγωγής δεν αποτελεί απαραίτητα την λύσ η του παιγνίου. Δηλαδή, προσ φέρει πάντοτε μια διαδρομή ισ ορροπίας, αλλά αυτό δεν σ ημαίνει ότι δίνει όλες τις διαδρομές ισ ορροπίας. Από την σ τιγμή που η σ τρατηγική κάθε παίκτη είναι ένα προσ χεδιασ μένο πλάνο κινήσ εων σ ε κάθε κόμβο του δέντρου, αυτό σ ημαίνει ότι καθορίζουν τις βέλτισ τες κινήσ εις τους ακόμα κι αν για κάποιο λόγο κληθούν να παίξουν σ ε κάποιο κόμβο που δεν ανήκει σ την καθορισ μένη δια της οπισ θοβατικής επαγωγής διαδρομή ισ ορροπίας. Αν για κάποιο λόγο ο παίκτης που κινείται πρώτος παρέκκλινε από την σ τρατηγική ισ ορροπίας, ο παίκτης που κινείται δεύτερος πρέπει να έχει σ υμπεριλάβει αυτό το ενδεχόμενο σ τον καθορισ μό της σ τρατηγικής του ακόμα κι αν δεν φτάσ ει ποτέ εκεί το παίγνιο. Ας δούμε για παράδειγμα το ακόλουθο παίγνιο διαδοχικών κινήσ εων πλήρους πληροφόρησ ης Figure 6: Παράδειγμα παιγνίου διαδοχικών κινήσ εων πλήρους πληροφόρησ ης 73

74 Εφαρμόζοντας την οπισ θοβατική επαγωγή, σ τον κόμβο που κινείται ο παίκτης 2 αν ο παίκτης 1 επιλέξει Δ, διακρίνουμε ότι η βέλτισ τη επιλογή του παίκτη 2 είναι Α, αφού έτσ ι λαμβάνει απόδοσ η 7 αντί για 6. Στον άλλο κόμβο επιλογής του, ο παίκτης 2 μεγισ τοποιεί την αμοιβή του επιλέγοντας Δ αφού 18>9. Οπότε πηγαίνοντας πιο πίσ ω, σ υμφέρει τον παίκτη 1 να παίξει Δ και να λάβει 14 αφού μετά ο παίκτης 2 παίζει Α (αντί 5 αν έπαιζε Α και ακολουθούσ ε ο παίκτης 2 παίζοντας Δ). Οπότε το αποτέλεσ μα της οπισ θοβατικής επαγωγής, η διαδρομή επίλυσ ης που παίρνουμε, είναι Δ Α που καταλήγει σ τον τερματικό κόμβο με απόδοσ η (14, 7)για τους παίκτες. Ας δούμε όμως τώρα το αποτέλεσ μα υπό το πρίσ μα των σ τρατηγικών κάθε παίκτη. Για τον παίκτη 1, δεδομένου ότι κατέχει ένα κόμβο απόφασ ης (τον αρχικό), έχει να επιλέξει ανάμεσ α σ ε δύο επιλογές, Α και Δ, οι οποίες ταυτίζονται με τις σ τρατηγικές του. Εχει δηλαδή δύο σ τρατηγικές ως πλάνο παιξίματος για όλο το παίγνιο, την επιλογή είτε Α είτε Δ και το οπισ θοβατικό αποτέλεσ μα του υποδεικνύει την αποδοτικότερη εξ' αυτών, την Δ. Ο παίκτης 2 αντιθέτως, αντιμετωπίζει δίλλημα απόφασ ης σ ε δύο κόμβους και σ ύμφωνα με όσ α αναλύσ αμε περί σ τρατηγικής, η σ τρατηγική του είναι μια σ υνάρτησ η από τους δύο κόμβους έσ τω {K A, K Δ } σ το {Α,Δ,Α,Δ} με τον περιορισ μό ότι από τον κόμβο K A έχει την δυνατότητα να διαλέξει μόνο Α ή Δ και αντίσ- τοιχα μόνο Α ή Δ από τον κόμβο K Δ. Οι σ τρατηγικές του παίκτη 2 είναι δηλαδή τέσ σ ερις: {Α, Α}, {Α, Δ}, {Δ, Α}, {Δ, Δ}. Το αποτέλεσ μα της οπισ θοβατικής επαγωγής δεν προτάσ σ ει καμία εκ ων τεσ σ- άρων σ τρατηγικών. Η λύσ η πρέπει να εμπεριέχει και την σ τρατηγική του παίκτη 2, δηλαδή το αποδοτικότερο από τα παραπάνω ζεύγη κινήσ εων. Πρέπει λοιπόν να καθορίσ ει την βέλτισ τη κίνησ ή του αν ο παίκτης 1 έπαιζε Α. Αυτή είναι η Δ όπως πάλι υπαγορεύει η οπισ θοβατική επαγωγή, καθώς 18>9 και τελικά η βέλτισ τη σ τρατηγική του παίκτη 2 είναι (Δ,Α). Τελικά η σ τρατηγική [Δ,(Δ,Α)] είναι μια ισ ορροπία Nash του παιγνίου, αφού αποτελεί ένα ορίζοντα σ τρατηγικής τέτοιο ώσ τε κανένας παίκτης να μη μπορεί να βελτιώσ ει την απόδοσ ή του αλλάζοντας σ τρατηγική, αν οι υπόλοιποι δεν αλλάξουν την δική τους (όπως σ τα παίγνια σ τρατηγικής μορφής). Εισ άγουμε τώρα την έννοια του υποπαιγνίου για να προχωρήσ ουμε σ την ανάλυσ ή μας. Σημειώνουμε ότι κλάδος T K ενός δέντρου είναι το διατεταγμένο γράφημα με κόμβους που ξεκινάνε σ τον κόμβο Κ και εμπεριέχουν όλους τους απογόνους τους μαζί τις αρχικές πλευρές. (Οπότε και το T K είναι δέντρο που έχει ως ρίζα το Κ). Ενα υποπαίγνιο είναι κάθε σ υνδεδεμένο σ ύνολο κόμβων και κλάδων που αναπτύσ σ εται αποκλεισ τικά και μόνο από ένα γνωσ τό κόμβο. Το ορίζουμε αυσ τηρά ως εξής: 74

75 ΟΡΙΣΜΟΣ 1.13 Eνα υποπαίγνιο ενός παιγνίου διαδοχικών κινήσ εων είναι ένα άλλο παίγνιο διαδοχικών κινήσ εων τέτοιο ώσ τε: (i) Το δέντρο του αποτελεί κλάδο του αρχικού δέντρου παιγνίου (ii) Τα σ ύνολα πληροφοριών του κλάδου ταυτίζονται με αυτά του αρχικού παιγνίου και δεν εμπεριέχουν κόμβους που βρίσ κονται εκτός του κλάδου. (iii) Οι αποδόσ εις των τερματικών κόμβων του κλάδου είναι ίδιες με τις αποδόσ εις του αρχικού παιγνίου σ ε αυτούς τους τερματικούς κόμβους Η δεύτερη πρότασ η υπαγορεύει ότι η ρίζα του υποπαιγνίου πρέπει να είναι κόμβος που ανήκει σ ε μονομελές σ ύνολο πληροφοριών, οπότε και δεν μπορεί να κατασ τεί υποπαίγνιο ένας κλάδος που ξεκινάει από κάποιο κόμβο ο οποίος ανήκει σ ε κάποιο σ ύνολο πληροφοριών μαζί με άλλους. Προφανώς σ τα δυναμικά παίγνια πλήρους και τέλειας πληροφόρησ ης κάθε κλάδος του δέντρου είναι ένα υποπαίγνιο αφού όλοι οι κόμβοι είναι μονομελή σ ύνολα πληροφοριών. Subgame Perfect Nash Equilibrium Επεκτείνουμε τώρα την έννοια της ισ ορροπίας Nash χρησ ιμοποιώντας τα υποπαίγνια με τρόπο που να ορίζει λύσ η σ τα παίγνια διαδοχικών κινήσ εων πλήρους πληροφόρησ ης. Η έννοια αυτή αποκαλείται τέλεια ισ ορροπία Nash υποπαιγνίων (subgame perfect Nash equilibrium-spne) και την εισ ήγαγε ο καθηγητής R. Selten ΟΡΙΣΜΟΣ 1.14 Ενας ορίζοντας σ τρατηγικής σ ε ένα δυναμικό παίγνιο είναι μια τέλεια ισ ορροπία Nash υποπαιγνίων (SPNE) αν είναι ισ ορροπία Nash για κάθε υποπαίγνιο του αρχικού παιγνίου. Από την σ τιγμή που κάθε παίγνιο μπορεί να θεωρηθεί υποπαίγνιο, η τέλεια ισ ορροπία Nash υποπαιγνίων αποτελεί αυτόματα και ισ ορροπία Nash του αρχικού παιγνίου. Δηλαδή έχουμε ισ ορροπία Nash σ το παίγνιο διαδοχικών κινήσ εων όταν οι σ τρατηγικές που παίζουν οι παίκτες είναι ισ ορροπία Nash σ ε κάθε υποπαίγνιο μελετώντας το σ αν εξατομικευμένο πρόβλημα απόφασ ης. Πιο αυσ τηρά, ένας ορίζοντας σ τρατηγικής αποτελεί τέλεια ισ ορροπία Nash υποπαιγνίων αν, εκτός του ότι είναι ισ ορροπία Nash, είναι επίσ ης ισ ορροπία Nash για κάθε υποπαίγνιο. 75

76 Εφαρμογή SPNE Θα επεξηγηθούν όλα με το παράδειγμα που ακολουθεί Figure 7: Δυναμικό παίγνιο τέλειας πληροφόρησ ης-εύρεσ η SPNE Μπορούμε να δούμε και την σ τρατηγική μορφή του παιγνίου Παίκτης 1 Παίκτης 2 ΑΑ ΑΔ ΔΑ ΔΔ ΑΑ 4,4 4,4 1,6 1,6 ΑΔ 4,4 4,4 1,6 1,6 ΔΑ -2,1 5,6-2,1 5,6 ΔΔ -2,1 6,-2-2,1 6,-2 Table 15: Στρατηγική μορφή παιγνίου Με την σ τρατηγική μορφή παιγνίου, οπτικοποιούμε το τί σ ημαίνει η σ τρατηγική κάθε παίκτη σ ε ένα δυναμικό παίγνιο, δηλαδή να του υπαγορεύει τί να κάνει σ ε κάθε σ ύνολο πληροφοριών του σ το οποίο έχει δυνατή ενέργεια. Και προφανώς εδώ κάθε παίκτης έχει δύο σ ύνολα πληροφοριών με την δυνατότητα επιλογής δύο ενεργειών σ ε κάθε ένα από αυτά, άρα σ υνολικά έχει τέσ σ ερις σ τρατηγικές έκασ τος. Το πρώτο γράμμα αναφέρεται σ την επιλογή τους αν βρεθούν σ το πρώτο σ ύνολο πληροφοριών τους, ενώ το δεύτερο αν φτάσ ουν σ το δεύτερο σ ύνολο πληροφοριών. 76

77 Από τον πίνακα, (μέσ ω επαναλαμβανόμενης απάλειψης κυριαρχούμενων σ τρατηγικών), βλέπουμε ότι έχουμε δύο ισ ορροπίες Nash, (αφού οι δύο πρώτες γραμμές είναι ίδιες και αναφέρονται σ την επιλογή Α του παίκτη 1 σ τον αρχικό κόμβο οπότε και δεν φτάνει σ το δεύτερο σ ύνολο πληροφοριών του), τις (ΑΑ,ΔΑ) και (ΑΔ,ΔΑ). Οπότε έχουμε την σ τρατηγική (ΑΑ,ΔΑ) ως ισ ορροπία Nash, το οποίο είναι λίγο παράδοξο, αφού αν ο παίκτης 1 έφτανε σ το δεύτερο σ ύνολο πληροφοριών του σ το παίγνιο διαδοχικών κινήσ εων, δεν θα επιθυμούσ ε να παίξει Α εκεί, καθώς λαμβάνει μεγαλύτερη απόδοσ η παίζοντας Δ, 6>5. Η απλή ισ ορροπία Nash δεν το αναγνωρίζει αυτό, γιατί αδιαφορεί για το τί σ υμβαίνει έξω από το μονοπάτι ισ ορροπίας, το μονοπάτι παιξίματος. Εννοώντας έξω από το μονοπάτι ισ ορροπίας ότι όπως είπαμε, ο παίκτης 1 επιλέγοντας Α σ τον αρχικό κόμβο, εξασ φαλίζει ότι δεν θα φτάσ ει σ το δεύτερο σ ύνολο πληροφοριών του και η απλή ισ ορροπία Nash δεν εμβαθύνει περαιτέρω. Οταν όμως αναλύουμε δυναμικά παίγνια, πρέπει να μας ενδιαφέρει για το τί σ υμβαίνει εκτός του μονοπατιού ισ ορροπίας, αφού αυτό είναι βαρύνουσ ας σ ημασ ίας για το τί τελικά σ υμβαίνει εντός αυτού. Για παράδειγμα, το γεγονός ότι ο παίκτης 1 θα έπαιζε Δ αν έφτανε σ το δεύτερο σ ύνολο πληροφοριών του, είναι αυτό που ωθεί τον παίκτη 2 να παίξει Α αν φτάσ ει σ τον δεξιά κόμβο απόφασ ής του και γι' αυτό ο παίκτης 1 δεν επιλέγει Δ σ τον αρχικό κόμβο. Εφαρμόζουμε τώρα την οπισ θοβατική επαγωγή, όπου πλέον μπορούμε να την αναλύσ ουμε αλλά και απλοποιήσ ουμε περαιτέρω, αφού απλά ξεκινάμε από τα υποπαίγνια που υπάρχουν σ την τελευταία σ ειρά παιξίματος (κόμβοι που οδηγούν σ ε τερματικούς και μπορούν να θεωρηθούν υποπαίγνια), και τα επιλύουμε ένα προς ένα προς τα πίσ ω μέχρι να φτάσ ουμε σ την ρίζα του δέντρου. Ουσ ιασ τικά αυτό που κάνουμε με οπισ θοβατική επαγωγή (έχοντας ορίσ ει τα υποπαίγνια) είναι να τα εξετάζουμε σ αν εξατομικευμένα προβλήματα απόφασ ης και επιλύοντάς τα βέλτισ τα (βρίσ κοντας τις αποδοτικότερες επιλογές σ ε κάθε ένα), καταλήγουμε να βρούμε την ισ ορροπία όλου του αρχικού παιγνίου. Ξεκινάμε λοιπόν σ την εκτεταμένη μορφή του παιγνίου μας διαδοχικών κινήσ- εων, από το τελευταίο υποπαίγνιο, αυτό που αναπτύσ σ εται από τον δεξιότερο κόμβο, εκεί που ο παίκτης 1 παίζει σ το δεύτερο σ ύνολο πληροφοριών του. Θα επέλεγε Δ, προτιμώντας την απόδοσ η 6 αντί 5 που λαμβάνει παίζοντας Α. Οπότε σ τον κόμβο αυτό αποδίδουμε πλέον την απόδοσ η (6, 2). Τώρα σ το από πάνω υποπαίγνιο, σ τον δεξιά κόμβο του παίκτη 2, αυτός αντιμετωπίζει μια επιλογή ανάμεσ α σ το ( 2, 1)και (6, 2), οπότε και διαλέγει Α για να λάβει 1>-2. Στον υποπαίγνιο που ξεκινάει σ τον αρισ τερό κόμβο απόφασ ής του τώρα, ο παίκτης 2 επιλέγει Δ αφού 6>4. Φτάνουμε τώρα σ τον αρχικό κόμβο όπου πλέον ο παίκτης 1 σ το υποπαίγνιο αντικρίζει (1, 6)σ την επιλογή Α και ( 2, 1)σ την επιλογή Δ, οπότε παίζει Α. Να σ ημειώσ ουμε εδώ ότι υπάρχει αποτέλεσ μα σ ε τερματικό κόμβο, το (5, 6) με την επιλογή Α του παίκτη 1 (αν βέβαια έφτανε εκεί το παίγνιο) που είναι πιο αποδοτικό από την ισ ορροπία Nash, όπως ακριβώς είχαμε δει και σ το δίλλημα των φυλακισ μένων. Η δυναμική όμως του παιγνίου αποτρέπει εντέλει αυτή την έκβασ η. Είναι λοιπόν ο ορίζοντας σ τρατηγικής (ΑΔ,ΔΑ) ισ ορροπία Nash σ ε κάθε υποπαίγνιο του αρχικού παιγνίου; Φυσ ικά, αφού πλέον οι κινήσ εις των παικτών μετά την ανάλυσ ή μας είναι οι βέλτισ τες απαντήσ εις σ την καλύτερη κίνησ η των 77

78 καλύτερων κινήσ εων του αντιπάλου. Άρα το ζεύγος σ τρατηγικών (ΑΔ,ΔΑ) αποτελεί SPNE και ισ ορροπία Nash όλου του παιγνίου. Η μοναδική SPNE (ΑΔ,ΔΑ) που λαμβάνουμε από την εφαρμογή της οπισ θοβατικής επαγωγής σ ε κάθε υποπαίγνιο, αποδίδει κάτι περισ σ ότερο και διαφορετικό από μια απλή ισ ορροπία Nash. Εχουμε ένα αποτέλεσ μα που δίνει ισ ορροπία Nash όχι απλά σ ε όλο το παίγνιο αλλά και σ ε κάθε υποπαίγνιο. Αυτό είναι αρκετά πεισ τικό ως λύσ η, αφού δεν απαιτεί επιπλέον ορθολογικότητα από τους παίκτες, περιμένοντας από αυτούς να έχουν και να χρησ ιμοποιούν φιλοσ οφικές διαισ θήσ εις για το τί βγάζει νόημα. Υποθέτει βέβαια, ότι οι παίκτες γνωρίζουν τα πάντα που σ χετίζονται σ τρατηγικά με την κατάσ τασ ή τους και επιπροσ θέτως χρησ ιμοποιούν όλες αυτές τις πληροφορίες. Ο παίκτης που παίζει μία SPNE τέλεια ισ ορροπία Nash υποπαιγνίων επιλέγει, σ ε κάθε κόμβο που φτάνει, το μονοπάτι που του αποφέρει την μέγισ τη απόδοσ η σ το υποπαίγνιο που ξεκινάει και κατέρχεται από αυτό τον κόμβο. Η SPNE πάλι προβλέπει το αποτέλεσ μα ενός παιγνίου, σ την περίπτωσ η που κατά την επίλυσ ή του, οι παίκτες προβλέπουν ότι όλοι θα κάνουν ακριβώς αυτό. Μία βασ ική αξία που προβάλλει η SPNE σ την ανάλυσ η δυναμικών παιγνίων είναι ότι μπορεί να μας βοηθήσ ει να εντοπίσ ουμε διαρθρωτικά εμπόδια σ την βελτισ τοποίησ η της κοινωνικής ευαισ θησ ίας. Ενώ είπαμε υπάρχει πιο αποδοτική κατάληξη (5, 6) από την SPNE, η οικονομική ορθολογικότητα του παίκτη 1 και το γεγονός ότι ο παίκτης 2 το γνωρίζει αυτό, εμποδίζει το να πάρουμε την κοινωνικά αποτελεσ ματική κατάληξη (δηλαδή αυτό που είναι μέγισ το για καθ' ένα ξεχωρισ τά, που προσ φέρει το καλύτερο σ την κοινωνία, δηλαδή τους παίκτες). Αν οι παίκτες θέλουν να καταφέρουν αυτή την έκβασ η, πρέπει να επανασ χεδιάσ ουν τους θεσ μούς τους ώσ τε να αλλάξει η δομή του παιγνίου. Η επιχείρησ η αλλαγής θεσ μικών και πληροφοριακών δομών ώσ τε να κάνουμε την εμφάνισ η των αποδοτικών εκβάσ εων πιο πιθανή σ ε παίγνια που οι παίκτες (άνθρωποι, επιχειρήσ εις, κυβερνήσ εις, κτλ) όντως παίζουν είναι γνωσ τή ως σ χεδιασ τικός μηχανισ μός και είναι μία από τις ηγετικές περιοχές της εφαρμογής της θεωρίας παιγνίων. Ακολουθεί ένα πολύ γνωσ τό παράδειγμα οικονομικών. Θα εξετάσ ουμε το δυοπώλιο που σ υναντήσ αμε σ το μοντέλο Cournot, με την διαφορά ότι εδώ οι εταιρείες δεν κινούνται ταυτόχρονα, αλλά τουλάχισ τον μία (ακριβώς μία σ το δυοπώλιο) καθορίζει πρώτη την ποσ ότητα παραγωγής της και ύσ τερα αποφασ ίζει η άλλη. Επειδή βάσ η αυτής της εταιρείας που κινείται πρώτη καθορίζει την κίνησ ή της η άλλη, η εταιρεία που ανακοινώνει την ποσ ότητα προϊόντος που θα διαθέσ ει σ την αγορά, καλείται ηγέτης της αγοράς (market leader) και η άλλη ακόλουθος (follower). Αυτή η διαφορά τροποποιεί όλο το παίγνιο και πλέον μιλάμε για δυναμικό παίγνιο πλήρους πληροφόρησ ης. Το εν λόγω μοντέλο αναλύθηκε για πρώτη φορά από τον Stackelberg Το μοντέλο δυοπωλίου Stackelberg Πρόκειται για ένα οικονομικό μοντέλο όμοιο με αυτό του μοντέλου Cournot που περιγράφει δύο εταιρείες οι οποίες ανταγωνίζονται σ την αγορά και παράγουν πανομοιότυπα προϊόντα με την εταιρεία 1 να ορίζει την παραγωγή μιας ποσ ότητας 78

79 q 1 0 και την εταιρεία 2, λαβαίνοντας γνώσ η της ποσ ότητας αυτής, να αποφασ ίζει για την παραγωγή της δικής της ποσ ότητας q 2. Η εκτεταμένη μορφή του φαίνεται σ το παρακάτω δέντρο παιγνίου: Η σ υνάρτησ η απόδοσ ης κάθε εταιρείας i είναι η σ υνάρτησ η κέρδους: Π i = q i (p (q t ) c i ) όπως έχουμε ξαναδεί, με την σ υνολική παραγωγή των δύο εταιρειών να ανέρχεται σ ε q t = q 1 + q 2 και p (q t ) = p 1 = p 2 = S q t είναι η τιμή εκκαθάρισ- ης της αγοράς όταν διατίθεται σ υνολικά σ την αγορά ποσ ότητα q t (όπου S ένας σ ταθερός αριθμός) και όπου το οριακό κόσ τος παραγωγής προϊόντος της εταιρείας i. Εφαρμόζοντας την οπισ θοβατική επαγωγή, καθορίζουμε πρώτα από το τέλος του παιγνίου την βέλτισ τη αντίδρασ η της εταιρείας 2 (ακόλουθου) σ ε κάθε επιλογή ποσ ότητας της εταιρείας 1 (ηγέτης). Αναζητούμε λοιπόν την επιλογή q 2 της εταιρείας 2 που μεγισ τοποιεί τα κέρδη της, δεδομένης της επιλογής q 1 της εταιρείας 1 : Εχουμε Άρα Π 2 q 2 Π 2 = (S q 1 q 2 ) q 2 c 2 q 2 = q ( q 1 + S c 2 ) q 2. = q 1 2q 2 + S c 2 = 0 q 1 + 2q 2 = S c 2 q 2 = S q1 c2 2 και 2 Π 2 q 2 2 = 2 < 0 οπότε q 2 = S q1 c2 2 =max είναι η λύσ η της εξίσ ωσ ης. Τώρα λοιπόν η εταιρεία 1 αναμένει ότι για επιλογή ποσ ότητας q 1, δηλαδή ό,τι και να επιλέξει, η εταιρεία 2 θα επιλέξει την βέλτισ τη ανταπάντησ η που καθόρισ ε, q 2. Άρα σ τα πλαίσ ια αυτά και προσ παθώντας να μεγισ τοποιήσ ει τα δικά της κέρδη, θα επιδιώξει παραγωγή ποσ ότητας q 1 για την μεγισ τοποίησ η της: Π 1 (q 1, q 2) = (S q 1 q 2) q 1 c 1 q 1 = q 1 (S q 1 S q1 c2 2 c 1 ) = Άρα, με περιορισ μό q 1 0 Π 1 q [(S + c 2 2c 1 ) q 1 (q 1 ) 2] = q 1 + S+c2 2c1 2 c 1 = 0 q 1 = S+c2 2c1 2 και 2 Π 1(q 1,q 2 ) = 1 < 0 q1 2 οπότε q1 = S+c2 2c1 2 είναι η βέλτισ τη ποσ ότητα παραγωγής της εταιρείας 1. Ο παίκτης 1 έχει τώρα την SPNE του και δεδομένης αυτής, αντικαθισ τούμε σ το q2 που καθορίσ αμε για τον παίκτη 2 και παίρνουμε q2 = S 2c1 3c2 4. Αυτή είναι η λύσ η του παιγνίου Stackelberg που προκύπτει από την οπισ θοβατική επαγωγή και η SPNE του παιγνίου. Αναλύοντας το αποτέλεσ μα, σ ε σ χέσ η με αυτό του μοντέλου Cournot, παρατηρούμε ότι το κέρδος της εταιρείας 1 είναι αυξημένο σ ημαντικά, ενώ το κέρδος 79

80 της εταιρείας 2 είναι μειωμένο. Η εταιρεία ηγέτης ουσ ιασ τικά καθορίζει μία ποσ- ότητα παραγωγής που θα της δώσ ει μεγάλο μερίδιο αγοράς και οριακά προσ παθεί να σ υμπεριφερθεί ως μονοπώλιο. Το γεγονός δηλαδή ότι κινείται πρώτη της έδωσ ε πλεονέκτημα, ενώ η εταιρεία ακόλουθος προσ αρμόζοντας την παραγωγή της σ ύμφωνα με την παραγωγή που καθορίζει η πρώτη, βρέθηκε εντέλει σ ε δυσ μενέσ τερη κατάσ τασ η με λιγότερα κέρδη. Αυτό σ υναντάται σ υχνά σ τα παίγνια διαδοχικών κινήσ εων και καλείται πλεονέκτημα πρώτης κίνησ ης. Η εταιρεία ακόλουθος μπορεί απλά να αντιδρά σ ε μια δέσ μευσ η της εταιρείας ηγέτη, την ώρα που η τελευταία κινούμενη πρώτη, επιλέγει την πιο κερδοφόρα για την ίδια σ τρατηγική, με αποτέλεσ μα να υπερτερεί Η ιδιότητα της μιας απόκλισ ης Η τέλεια ισ ορροπία Nash υποπαιγνίων έχει μια ιδιότητα που κατονομάσ τηκε το 1994 από τους Osborn και Rubinstein, την ιδιότητα μιας απόκλισ ης. Υποθέτουμε ότι ένας παίκτης από τον κόμβο απόφασ ης του οποίου ξεκινάει ένα υποπαίγνιο, αλλάζει την πρώτη του κίνησ η, αυτή που έχει καθορισ τεί από την SPNE. Αποκλίνει δηλαδή από την SPNE (όπως αυτή έχει προκύψει δια της οπισ θοβατικής επαγωγής), σ το αρχικό παίξιμο σ το υποπαίγνιο. Για να ικανοποιείται η ιδιότητα μιας απόκλισ ης πρέπει οι εναπομείναντες σ τρατηγικές της SPNE (αν υπάρχουν) σ το υποπαίγνιο, να σ υνεχίζουν να σ υνθέτουν SPNE. Είναι προφανές ότι ισ χύει εξ' ορισ μού της οπισ θοβατικής επαγωγής. Οπότε αν κάποιος παίκτης σ ε κάποιο σ ημείο του παιγνίου, σ την αρχή ενός υποπαιγνίου, παρεκκλίνει από την SPNE, οι σ τρατηγικές που απομένουν μέχρι το τέλος του υποπαιγνίου σ υνεχίζουν να αποτελούν τις αποδοτικότερες επιλογές όλων των παικτών που θα παίξουν σ το υποπαίγνιο και άρα διατηρείται η SPNE και δεν χρειάζεται κανείς να αναθεωρήσ ει και να αλλάξει τίποτα. Ας δούμε την χρησ ιμότητά της με ένα παράδειγμα: 80

81 Figure 8: Ελεγχος ιδιότητας της μιας απόκλισ ης Η οπισ θοβατική επαγωγή δίνει: ˆ Αν ο παίκτης 1 επέλεγε 1α, ο παίκτης 2 θα διάλεγε Δ, καθ' ότι 5>1 και άρα ο παίκτης 1 θα λάβαινε απόδοσ η 3. ˆ Αν ο παίκτης 1 επέλεγε 1β, ο παίκτης 2 θα διάλεγε Α, καθ' ότι 3>1 και άρα ο παίκτης 1 θα λάβαινε απόδοσ η 5. ˆ Αν ο παίκτης 1 επέλεγε 1γ, ο παίκτης 2 δεν θα έπαιζε καθόλου και άρα θα λάβαιναν και οι δύο απόδοσ η 4. Οπότε ο παίκτης 1 μεγισ τοποιεί την απόδοσ ή του παίζοντας 1β, για να ακολουθήσ ει παίκτης 2 επιλέγοντας Α και έχουμε έτσ ι το (1 β, A) ως πόρισ μα από την εφαρμογή της οπισ θοβατικής επαγωγής. Αναζητούμε τώρα την βέλτισ τη αντίδρασ η του παίκτη 2 και εκτός μονοπατιού ισ ορροπίας, σ τα υποπαίγνια που ξεκινούν από τους υπόλοιπους κόμβους απόφασ ής του, για να καθορισ τεί η αποδοτικότερη σ τρατηγική του και τελικά η SPNE του παιγνίου. Αν για κάποιο λόγο ο παίκτης 1 παίξει 1α, ο παίκτης 2 οφείλει να είναι προετοιμασ μένος να ανταπαντήσ ει αποδοτικά και αυτό γίνεται παίζοντας Δ, για να λάβει 5>1. Εδώ όμως ο παίκτης 1 δεν έχει μόνο δύο επιλογές που να αντισ τοιχούν σ τις σ τρατηγικές του όπως σ το σ χήμα 6 που αναλύσ αμε πριν και άρα βλέπουμε ότι πλέον αυτή η ανταπάντησ η του παίκτη 2 σ ε αυτή την περίπτωσ η, δεν σ υνθέτει μια SPNE με την ήδη υπάρχουσ α. Πολύ απλά και ο παίκτης 1 έχει δυνατότητα ανταπάντησ ης αν παρεκκλίνει ο παίκτης 2 από το μονοπάτι ισ ορροπίας της οπισ θοβατικής επαγωγής. Στην ανάλυσ η εύρεσ ης σ τρατηγικής του παίκτη 2 για κίνησ η σ ε υποπαίγνια λόγω απόκλισ ης από το οπισ θοβατικό αποτέλεσ μα, αποκλίνει εν δυνάμει και αυτός και την ίδια ανάλυσ η κάνει τώρα και ο παίκτης 1 για να καθορίσ ει την δικιά του αποδοτικότερη σ τρατηγική για όπου κληθεί να παίξει σ το παίγνιο! Αν λοιπόν ο παίκτης 2 παίξει Δ, αποκλίνει από το μονοπάτι οπισ θοβατικής επαγωγής και ο παίκτης 1 μπορεί να παίξει 1γ, που είναι η δικιά του βέλτισ τη ανταπάντησ η, εξασ φαλίζοντας 4>3 (και 4 για τον παίκτη 2 αντί για 5). Μόλις εξάγαμε μια δεύτερη SPNE. Το οπισ θοβατικό αποτέλεσ μα (1 β, A)σ υνθέτει αυτούσ- ιο μια SPNE αφού δεν σ υνδυάζεται με κινήσ εις που αποκλίνουν από αυτό και το (1 γ, )είναι μια δεύτερη SPNE που πηγάζει πάλι από την οπισ θοβατική επαγωγή και περιγράφει την επιλογή 1 γ του παίκτη 1, σ υν μια κίνησ η από τον παίκτη 2, την 81

82 Δ. Αυτό δείχνει ότι ακόμα κι αν δεν παίξει ποτέ ο παίκτης 2 αφού ο παίκτης 1 θα παίξει 1 γ και το παίγνιο θα τελειώσ ει με απόδοσ η 4 και για τους δύο, η κίνησ η αυτή του παίκτη 1 θα προκύψει από την τάσ η αυτή του παίκτη 2 να αποκλίνει από το οπισ θοβατικό αποτέλεσ μα και αμφότεροι καθορίζουν τις βέλτισ τες κινήσ εις τους, εξασ φαλίζοντας την ισ χύ της ιδιότητας μιας απόκλισ ης. Τότε η βέλτισ τη ανταπάντησ η του παίκτη 1 σ το ενδεχόμενο ο παίκτης 2 να μην παίξει Α, είναι η επιλογή 1 γ και του παίκτη 2 η Δ, αν και δεν θα μπορέσ ει ποτέ να την παίξει! Η SPNE του παιγνίου λοιπόν είναι δύο SPNE, μία από κάθε οπισ θοβατικό αποτέλεσ μα και έτσ ι τηρείται η ιδιότητα της μίας απόκλισ ης. 4.2 Δυναμικά παίγνια ατελούς πληροφόρησης Ορισ μός Στα παίγνια διαδοχικών κινήσ εων με ελλιπή πληροφόρησ η δεν είναι όλα τα σ ύνολα πληροφοριών μονομελή, αλλά υπάρχει τουλάχισ τον ένα σ ύνολο πληροφοριών ενός παίκτη που έχει περισ σ ότερους από έναν κόμβους. Σε αυτό το πολυμελές σ ύνολο πληροφοριών, ο παίκτης δεν γνωρίζει σ ε ποιο κόμβο απόφασ ης μπορεί να καταλήξει να παίξει, αφού δεν έχει πλήρη πληροφόρησ η για την ισ τορία του παιγνίου. Διευκρινίζουμε ότι αυτή η αβεβαιότητα επηρεάζει την θεώρησ η των σ τρατηγικών από την μεριά του παίκτη που έχει ατελή πληροφόρησ η Ανάλυσ η Παράδειγμα δυναμικού παιγνίου ατελούς πληροφόρησ ης Στο παρακάτω παράδειγμα, μια κατασ κευασ τική εταιρεία προσ λαμβάνει έναν εργολάβο με σ κοπό την επιτέλεσ η σ υγκεκριμένων εργασ ιών. Η εταιρεία αποφασ ίζει αν θα επιθεωρεί ή όχι τον εργολάβο κατά την εργασ ία του. Υποθέτουμε ότι η επιθεώρησ η είναι κοσ τοβόρα και επιπλέον ο εργολάβος (όπως είναι φυσ ικό), γνωρίζει αν επιθεωρείται ή όχι. Ο εργολάβος αποφασ ίζει αντίσ τοιχα αν θα τα δώσ ει όλα για να τελειώσ ει τις εργασ ίες ή αν θα πορευθεί χαλαρά. Χρησ ιμοποιούμε δύο άκρα για να δείξουμε την αντίφασ η, η οποία θα εκφρασ τεί αντίσ τοιχα σ τις αποδόσ εις. Αν τελικά η εταιρεία επιθεωρήσ ει τον εργολάβο, είναι σ ε θέσ η να καθορίσ ει το επίπεδο προσ πάθειάς του, το πόσ ο σ κληρά εργάζεται. Ακολούθως, όταν ολοκληρωθούν οι εργασ ίες, η κατασ κευασ τική πληρώνει τον εργολάβο είτε με χαμηλό είτε με υψηλό μισ θό. Το παίγνιο φαίνεται σ το σ χήμα. 82

83 Figure 9: Παίγνιο ατελούς πληροφόρησ ης για καταβολή μισ θού σ ε εργολάβο Οι αγνές σ τρατηγικές του παίκτη 1 λοιπόν, που έχει ατελή πληροφόρησ η, είναι (επιθεώρησ η), (όχι επιθεώρησ η,s l ), (όχι επιθεώρησ η,s h ). Δηλαδή σ το δεύτερο σ ύνολο πληροφοριών του που είναι διμελές και σ υνδέεται με διακεκομμένη γραμμή, οι αγνές σ τρατηγικές του είναι (s l ), (s h )αφού δεν γνωρίζει σ ε ποιο κόμβο απόφασ- ης εκ των δύο θα κληθεί να παίξει. Διαφορετικά, αν είχαμε πλήρη πληροφόρησ η, οι αγνές σ τρατηγικές του εκεί θα απαρτίζονταν από τις (s l, s l ), (s l, s h ), (s h, s l ), (s h, s h )και έτσ ι οι αγνές σ τρατηγικές του παίκτη 1 θα ήταν (επιθεώρησ η), (όχι επιθεώρησ η,s l,s l ), (όχι επιθεώρησ η, s l,s h ), (όχι επιθεώρησ η,s h,s l ), (όχι επιθεώρησ η, s h,s h ). Στην αρχή, η κατασ κευασ τική (παίκτης 1) αποφασ ίζει αν θα επιθεωρεί ή όχι τον εργολάβο και το επιτελείο του. Ακολούθως, ο εργολάβος (παίκτης 2) επιλέγει αν θα εργασ τεί σ κληρά (h) ή όχι (l). Στην σ υνέχεια, η κατασ κευασ τική επιλέγει 83

84 τί μισ θό θα δώσ ει, υψηλό (s h ) ή χαμηλό (s l ). Το i αντιπροσ ωπεύει το κόσ τος επιθεώρησ ης για την εταιρεία, υποθέτοντας 20 < i < 30 και το e το κόσ τος της προσ πάθειας που καταβάλλει ο εργολάβος, υποθέτοντας 0 < e < 10. Από τον κόμβο C, έχουμε απόδοσ η (30,30-e) με s h και (60,10-e) με s l, απλά δείχνουμε την καλύτερη δυνατή περίπτωσ η (για να σ υγκρίνουμε με τον κόμβο D) θεωρώντας e = 1 0. Αντίσ τοιχα από τον κόμβο B, έχουμε απόδοσ η (60-i,20-e) με h' και (40-i,10) με l' και επιπροσ θέτως σ την χειρότερη δυνατή περίπτωσ η τώρα e = 9 10 ενώ σ την καλύτερη i = Στο υποπαίγνιο που ξεκινάει από τον κόμβο Α, η οπισ θοβατική επαγωγή δίνει την διαδρομή ισ ορροπίας (s l, l) καθώς ο παίκτης 1 σ ε όποιο κόμβο από τους C,D κι αν κληθεί να παίξει, μεγισ τοποιεί την απόδοσ ή του παίζοντας s l αφού 60>30 και 40>30. Ο παίκτης 2 δεδομένου αυτού επιλέγει l, αφού 10>10-e πάντα. Στο υποπαίγνιο που ορίζει ο κόμβος Β, η ισ ορροπία είναι h', αφού για τον παίκτη 2 είναι 20-e>10 πάντα. Οπότε πάλι δια οπισ θοβατικής επαγωγής ο παίκτης 1 έρχεται σ την ρίζα του δέντρου και πλέον σ υγκρίνει 40 με 60-i και επιλέγει όχι επιθεώρησ η καθώς 40>60-i πάντα. Άρα η SPNE αυτού του παιγνίου είναι {(όχι επιθεώρησ η,s l ), (l, h )} που δίνει την διαδρομή ισ ορροπίας R A D (40, 10). Τί θα γινόταν όμως αν από τον κόμβο D, παίζοντας s l καταλήγαμε σ ε δυάδα αποδόσ εων (5,10) αντί (40,10); Τώρα δεν είναι ξεκάθαρη σ τον παίκτη 1 η επιλογή της αγνής σ τρατηγικής s h ή s l αφού σ ε κάθε κόμβο απόφασ ης μεγισ τοποιεί την απόδοσ ή του παίζοντας αλλιώτικά, ήτοι s l σ τον κόμβο C αφού 60>30 και s h σ τον κόμβο D αφού 30>5. Η διακεκομμένη γραμμή που αναπαρισ τά την ατελή πληροφόρησ η, σ ημαίνει ότι ο παίκτης 1 δεν μπορεί να ξεχωρίσ ει αν βρίσ κεται σ τον κόμβο C ή σ τον κόμβο D. Αυτοί σ υντελούν το σ ύνολο πληροφοριών του και καλείται να παίξει επιλέγοντας σ τρατηγική s h ή s l. Στην περίπτωσ η της ατελούς πληροφόρησ ης λοιπόν, η SPNE δεν παρέχει επαρκή σ τοιχεία για την καθοδήγησ η των παικτών σ ε βέλτισ τες επιλογές και την επίτευξη ισ ορροπίας. Η επιλογή βέλτισ της σ τρατηγικής σ ε κάθε υποπαίγνιο είχαμε πει ότι εξασ φαλίζει οι παίκτες να παίζουν ισ ορροπίες Nash σ ε όλη την έκτασ η του παιγνίου, σ ε όποιο κόμβο κι αν κληθούν να παίξουν και ακόμα και εκτός μονοπατιού ισ ορροπίας. Αυτό λοιπόν περιγράφει μια ισ ορροπία Nash που ικανοποιεί μία απαίτησ η διαδοχικής ορθολογικότητας. Στα παίγνια διαδοχικών κινήσ εων με ελλιπή πληροφόρησ η λοιπόν, αυτή η διαδοχική ορθολογικότητα δεν ικανοποιείται πάντα επαρκώς από την SPNE και πόσ ο μάλλον σ ε αυτά που δεν διαθέτουν υποπαίγνια. Εχουμε ελλιπή πληροφόρησ η, άρα πολυμελή σ ύνολα πληροφοριών για τους παίκτες (τουλάχισ τον ένα) και κάλλισ τα μπορούμε να σ υναντήσ ουμε παίγνιο χωρίς καθόλου υποπαίγνια (αφού αυτά όπως έχουμε πει δεν μπορούν να ορίζονται από κόμβο που ανήκει σ ε πολυμελές σ ύνολο πληροφοριών και μπορεί να έχουμε μόνο τέτοιους). Εκεί η SPNE δεν προσ φέρει καμία πληροφορία σ χετικά με την διαδοχική ορθολογικότητα. Αυτή την ικανοποίησ η της διαδοχικής ορθολογικότητας, ανεξαρτήτως ύπαρξης υποπαιγνίων, μας δίνει η έννοια της διαδοχικής ισ ορροπίας και είναι εφικτό μια ισ ορροπία Nash να είναι διαδοχικά ορθολογική σ ε δυναμικά παίγνια ατελούς πληροφόρησ ης. Θα ορίσ ουμε την διαδοχική ισ ορροπία βήμα βήμα, ξεκινώντας με ένα παράδειγμα που είναι μια εκδοχή του παιγνίου αγοράς λεμονιών, σ το οποίο 84

85 ένας εκ των παικτών έχει ελλιπή πληροφόρησ η, ενώ ταυτόχρονα δεν υφίσ τανται υποπαίγνια. Το παίγνιο αγοράς λεμονιών παρουσ ιάσ τηκε από τον George Akerlof το 1970 σ την εργασ ία The Market for lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism Εφαρμογή Παιγνίου Αγοράς Λεμονιών-Αγορά αυτοκινήτου Εχουμε μία αγορά σ την οποία σ υναντάμε δύο ειδών αυτοκίνητα: αυτοκίνητα καλής ποιότητας και αυτοκίνητα κακής ποιότητας, ενώ θεωρούμε ότι βρίσ κονται σ ε ίδια αναλογία. Υπάρχει ο πωλητής αυτοκινήτων, ο οποίος καθορίζει τόσ ο για ένα καλής ποιότητας αυτοκίνητο την ελάχισ τη τιμή που προτίθεται να δεχθεί, t g, όσ ο και για ένα κακής ποιότητας αυτοκίνητο, t b. Ο αγορασ τής αντίσ τοιχα, καθορίζει από μέρους του σ ύμφωνα με τα οικονομικά του την μέγισ τη τιμή που προτίθεται να δώσ ει για ένα καλής ποιότητας αυτοκίνητο, M g, αλλά και την μέγισ τη τιμή που θα δεχθεί να πληρώσ ει για ένα κακής ποιότητας αυτοκίνητο, M b. Υποθέτουμε βέβαια M g > t g και M b > t b ώσ τε να έχει νόημα η αγοραπωλησ ία που εξετάζουμε και να είναι εφικτή η αγορά κάποιου αυτοκινήτου. Ακόμα, όλες οι τιμές M g, t g,m b, t b αποτελούν κοινή γνώσ η όλων των παικτών, πράγμα λογικό αφού πάντα ακούμε την έκφρασ η δεν μπορώ να πέσ ω πιο χαμηλά ή αυτή είναι η καλύτερη τιμή που μπορώ να κάνω και αντίσ τοιχα δεν μπορώ να δώσ ω περισ σ ότερα ή τόσ α το πολύ μου επιτρέπουν τα οικονομικά μου να διαθέσ ω. Θεωρούμε επίσ ης ορθολογικά πως t g > t b και M g > M b, διαφορετικά ο διαχωρισ μός σ ε καλής και κακής ποιότητας αυτοκίνητα είναι άτοπος και ανούσ ιος. Ο πωλητής (παίκτης 1) φέρνει ένα μεταχειρισ μένο αυτοκίνητο προς πώλησ η σ την αγορά, η κατάσ τασ η του οποίου είναι καθορισ μένη από πριν. Δηλαδή αν το σ υντηρούσ ε σ ωσ τά ο προηγούμενος ιδιοκτήτης είναι καλής ποιότητας αυτοκίνητο, διαφορετικά είναι κακής. Άρα η ποιότητα του αυτοκινήτου προσ διορίζεται από την φύσ η και έτσ ι ο πωλητής λαμβάνει πληροφόρησ η για το αν έχει σ τα χέρια του καλής ποιότητας αυτοκίνητο G, ή κακής ποιότητας αυτοκίνητο Β. Εν σ υνεχεία, ο πωλητής αποφασ ίζει τί τιμή θα ζητήσ ει για το αυτοκίνητο, υψηλή t g, ή χαμηλή t b. Ο αγορασ τής (παίκτης 2) έχει ελλιπή πληροφόρησ η, αφού δεν γνωρίζει τί ποιότητας είναι το αυτοκίνητο και καλείται να αποφασ ίσ ει αν θα προβεί σ ε αγορά ή όχι μαθαίνοντας την τιμή t που ζητάει ο πωλητής. Το παίγνιο φαίνεται παρακάτω 85

86 Figure 10: Εκδοχή παιγνίου αγοράς λεμονιών-αγορά αυτοκινήτου Παρατηρούμε πως όταν ο παίκτης 2 κληθεί να παίξει σ ε κάποιο από τα σ ύνολα πληροφοριών του, δεν μπορούμε να αποσ αφηνίσ ουμε τί είναι πιο πιθανό να επιλέξει, τί είναι ορθολογικό να παίξει, καθότι έχει ελλιπή πληροφόρησ η σ χετικά με την ποιότητα του αυτοκινήτου. Αυτό λοιπόν που θα καθορίσ ει την επιλογή του, είναι οι πεποιθήσ εις του σ χετικά με την ποιότητα του αυτοκινήτου. Το τί και σ ε τί βαθμό πισ τεύει ότι ισ χύει όταν αποφασ ίζει σ ε κάποιο από τα σ ύνολα πληροφοριών του. Εχει μπροσ τά του ένα καλής ποιότητας αυτοκίνητο ή το αντίθετο; Πράττει σ τηριζόμενος σ τις πεποιθήσ εις του, άρα πρέπει να καθορίσ ουμε ποιες είναι οι πεποιθήσ εις αυτές που θα διακατείχαν έναν ορθολογικό παίκτη, αν έπαιζε σ τα σ ύνολα πληροφοριών του παίκτη 2. Οποιες κι αν είναι, οφείλουν να είναι ορθολογικές. Παρατηρώντας το παίγνιό μας, φαίνεται λογικό για τον παίκτη 2 (αγορασ τή) η πεποίθησ η πως το αυτοκίνητο είναι καλής ποιότητας, όταν αυτός διαπισ τώνει ότι η τιμή t που ανακοινώνει ο πωλητής είναι κοντά σ την t g. Αν αντιθέτως διαπισ τώνει ότι η τιμή t είναι κοντά σ την t b, τότε φαίνεται λογικό να πισ τεύει ότι το αυτοκίνητο είναι κακής ποιότητας. Εσ τω τώρα ότι ο πωλητής (παίκτης 1) ενσ τερνίζεται αυτή την θεώρησ η. Τότε αναμένουμε να βάλει υψηλή τιμή σ ε ένα καλής ποιότητας αυτοκίνητο και χαμηλή σ ε 86

87 ένα κακής ποιότητας; Μα φυσ ικά όχι. Ανεξαρτήτως ποιότητας του αυτοκινήτου και πεποιθήσ εων του αγορασ τή, σ υμφέρει τον πωλητή να ζητάει υψηλή τιμή για κάθε αυτοκίνητο. Άρα οι πεποιθήσ εις του αγορασ τή δεν σ υμβαδίζουν με τις κινήσ εις του πωλητή με δεδομένες τις πεποιθήσ εις αυτές του αγορασ τή. Επιπροσ θέτως, ο αγορασ τής ακούγοντας μια υψηλή τιμή, δεν θα έπρεπε να θεωρήσ ει ότι αυτή αντισ τοιχεί μόνο σ ε ένα καλής ποιότητας αυτοκίνητο. Ο αγορασ τής οπότε πρέπει να πισ τεύει ότι η πιθανότητα να είναι το αυτοκίνητο καλής ή κακής ποιότητας όταν ζητείται υψηλή τιμή, είναι ίδια. Δεδομένης αυτής της πεποίθησ ης, ο ορθολογικός παίκτης θα προβεί σ ε αγορά αυτοκινήτου αν το αναμενόμενο κέρδος του, η προσ δοκώμενη αξία της αγοράς, είναι μεγαλύτερη από αυτή της μη αγοράς. Αν δηλαδή 1 2 (M g t) (M b t) 0 t 1 2 (M g + M b ). Αυτή είναι, σ ύμφωνα με τις ορθολογικές του πεποιθήσ εις, η μέγισ τη των τιμών που αν δει ο αγορασ τής θα προβεί σ ε αγορά αυτοκινήτου. Σε περίπτωσ η που ο πωλητής ζητήσ ει υψηλότερη τιμή t, από την σ τιγμή που ο αγορασ τής θεωρεί ότι είναι εξίσ ου πιθανό το αυτοκίνητο που έχει μπροσ τά του να είναι κακής ή καλής ποιότητας, δεν θα πραγματοποιήσ ει την αγορά. Για t t g οπότε, ο αγορασ τής δεν ξεχωρίζει κάποια ως πιο πιθανή πορεία σ το παίγνιο, αφού πισ τεύει ότι κατά 50% παίζει σ τον κόμβο απόφασ ής του A και κατά 50% σ τον κόμβο Β. Ως πόρισ μα έχουμε τώρα τις πεποιθήσ εις του παίκτη 2 οι οποίες διέπονται από ορθολογικότητα και είναι οι πιθανότητες: P {A} = P {B} = 1 2 σ τους κόμβους που απαρτίζουν το σ ύνολο πληροφοριών του παίκτη 2 H 1 = {A, B}. Για t g > t t b τώρα, ο αγορασ τής υποπτεύεται (ξέρει ουσ ιασ τικά) ότι πωλούνται μόνο κακής ποιότητας αυτοκίνητα και δεν υπάρχουν τα καλής ποιότητας σ την αγορά. Άρα για t < t g ο αγορασ τής ξεχωρίζει μια εξέλιξη σ το παίγνιο και πισ- τεύει με σ ιγουριά ότι βρίσ κεται σ τον κόμβο D. Εδώ οι ορθολογικές πεποιθήσ εις του αγορασ τή είναι: P {C} = 0, P {D} = 1 σ τους κόμβους που απαρτίζουν το σ ύνολο πληροφοριών του παίκτη 2 H 2 = {C, D}. Διακρίνουμε δηλαδή δύο περιπτώσ εις. Η πρώτη υφίσ ταται όταν t g 1 2 (M g + M b ), όπου η τιμή p = 1 2 (M g + M b )είναι ίσ η ή μεγαλύτερη από την ελάχισ τη τιμή t g που προτίθεται ο πωλητής να δεχθεί για ένα καλής ποιότητας αυτοκίνητο και διαθέτει τελικά και τους δύο τύπους αυτοκινήτων σ ε αυτή την τιμή. Η προσ δοκώμενη αξία του αγορασ τή είναι μηδενική, ενώ πισ τεύει πως είναι εξίσ ου πιθανό να είναι καλής ή κακής ποιότητας το αυτοκίνητο και αγοράζει αυτοκίνητο σ ε αυτή την τιμή t. Η δεύτερη υφίσ ταται όταν t g > 1 2 (M g + M b ), όπου ο πωλητής δεν διαθέτει σ την αγορά κανένα καλής ποιότητας αυτοκίνητο. Ο αγορασ τής είναι βέβαιος εδώ ότι παίζει σ τον κόμβο D και είναι διατεθειμένος να δώσ ει το πολύ M b ευρώ. Ετσ ι, η τιμή p τίθεται ανάμεσ α σ ε t b και M b και η αγοραπωλησ ία περιλαμβάνει μόνο κακής ποιότητας αυτοκίνητα. Αντιλαμβανόμασ τε την βαρύνουσ α σ ημασ ία των πεποιθήσ εων που διακατέχουν τους παίκτες και την ανάγκη οι πεποιθήσ εις αυτές να έχουν νόημα και να θέτουν ένα πλαίσ ιο σ το οποίο θα κινηθούν οι παίκτες. Εδώ, δεδομένης της τιμής t: ˆ Οι πεποιθήσ εις του παίκτη 2 (αγορασ τής) σ υμβαδίζουν με τα κίνητρα του παίκτη 1 (πωλητή). ˆ Η σ τρατηγική του αγορασ τή καθίσ ταται βέλτισ τη βάσ η των πεποιθήσ εων που έχει όσ ο αφορά την βέλτισ τη σ τρατηγική του πωλητή 87

88 Μόλις περιγράψαμε μία διαισ θητική ισ ορροπία, που πηγάζει από ένα σ ύσ τημα σ υμβαδιζόντων πεποιθήσ εων. Πεποιθήσ εων δηλαδή που σ υμβαδίζουν με τις βέλτισ τες σ τρατηγικές πωλητή και αγορασ τή. Που είναι σ υνεπείς με αυτές. Αυτή η ισ ορροπία που προέρχεται από αυτές τις πεποιθήσ εις, είναι η διαδοχική ισ ορροπία για το παίγνιο της αγοράς λεμονιών Παίγνιο ατελούς πληροφόρησ ης-σ ημασ ία πεποιθήσ εων Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα. Το παίγνιο αυτό ατελούς πληροφόρησ ης τριών παικτών καλείται Selten's Horse λόγω του σ χήματος του δέντρου παιγνίου και εισ ήχθη από τον Nobel Laureate Reinhard Selten και το σ χήμα είναι παρμένο από τον Kreps (1990), A Course in Microeconomic Theory : 88

89 Figure 11: Selten's Horse Το παίγνιο αυτό έχει τέσ σ ερις ισ ορροπίες Nash: (L, l 2, l 3 ), (L, r 2, l 3 ), (R, r 2, l 3 ) και (R, r 2, r 3 ). Εξετάζοντας την τέταρτη ισ ορροπία Nash, βλέπουμε ότι προκύπτει επειδή όταν ο παίκτης 1 παίζει R και ο παίκτης 2 παίζει r 2, δεν δίνεται η ευκαιρία σ τον παίκτη 3 να παίξει καθόλου. Το σ ύνολο πληροφοριών του βρίσ κεται εκτός του μονοπατιού ισ ορροπίας, οπότε και δεν έχει καμία επίδρασ η σ την έκβασ η του παιγνίου το τί θα επιλέξει. Αν βέβαια ο παίκτης 3 μπορούσ ε να ξεχωρίσ ει σ ε ποιο κόμβο καλείται να παίξει ανάμεσ α από τους 13 και 14, αν γνώριζε όταν ερχόταν η σ ειρά του σ ε ποιον βρίσ κεται, τότε ο παίκτης 1 δεν θα έπαιζε R. Θα 89

90 είχαμε ένα παίγνιο πλήρους πληροφόρησ ης, του οποίου η λύσ η θα ήταν η SPNE (L, r 2, l 3 ). Ενα σ ύσ τημα πεποιθήσ εων που θα οδηγούσ ε σ ε αυτή την λύσ η σ ε κάθε περίπτωσ η, ανεξαρτήτως ελλιπούς πληροφόρησ ης, είναι αυτό που θέλουμε. Οταν ο παίκτης 3 επιλέγει σ τρατηγική, όπως ο αγορασ τής αυτοκινήτου πριν δεν γνώριζε τί ποιότητας αυτοκίνητο αντικρίζει, αναρωτιέται αν σ το σ ύνολο πληροφοριών του έφτασ ε από τον κόμβο 11 ή 12. Δεδομένου δηλαδή ότι βρίσ κεται σ το σ ύνολο πληροφοριών του, πόσ ο πιθανό είναι να βρίσ κεται σ τον κόμβο 13 και πόσ ο πιθανό σ τον κόμβο 14; Ο παίκτης 3 σ τηρίζεται σ τις υποκειμενικές του εκτιμήσ εις και αντιλήψεις περί πιθανοτήτων. Αυτές ακριβώς οι υπό σ υνθήκη πιθανότητες απασ χολούν τον παίκτη 3 και οι πεποιθήσ εις που έχει για αυτές απασ χολούν τους παίκτες 1 και 2, οι οποίοι με τη σ ειρά τους κάνουν εικασ ίες για τις πεποιθήσ εις αυτές όταν επιλέγουν την δική τους σ τρατηγική. Ετσ ι, ο παίκτης 1 εικάζει ποιες είναι πεποιθήσ εις του παίκτη 2 για τις πεποιθήσ- εις του παίκτη 3 και ποιες είναι οι πεποιθήσ εις του παίκτη 3 για τις πεποιθήσ εις του παίκτη 2 κ.ο.κ. Διευκρινίζουμε ότι οι πεποιθήσ εις δεν σ υνδέονται αποκλεισ- τικά με σ τρατηγικές, όπως σ υνέβαινε σ ε παίγνια πλήρους πληροφόρησ ης, αφού δεν αφορούν απλά το τί θα πράξουν οι παίκτες δεδομένων των αποδόσ εων και δομών του παιγνίου, αλλά το με τί αντίληψη των υπό σ υνθήκη πιθανοτήτων αναμένουν τους άλλους παίκτες να λειτουργήσ ουν. Ο τύπος του Bayes Ενας σ υνηθισ μένος τρόπος για να καθορίσ ουμε σ ε ποιό κόμβο έχει φτάσ ει το παίγνιο, με γνώμονα τις ορθολογικές πεποιθήσ εις για τις υπό σ υνθήκη πιθανότητες που αναμένει ο ένας από τον άλλο να έχει, είναι ο πολύ γνωσ τός τύπος του Bayes. Ευρέως χρησ ιμοποιούμενος και χρήσ ιμος σ την θεωρία πιθανοτήτων, ο τύπος του Bayes υποδεικνύει ποια είναι η πιθανότητα να σ υμβεί ένα ενδεχόμενο Α, δεδομένου ότι έχει πραγματοποιηθεί ένα άλλο ενδεχόμενο Β; ΟΡΙΣΜΟΣ 1.15 Τύπος του Bayes Αν Α και Β δύο ενδεχόμενα σ ε ένα χώρο πιθανοτήτων, τότε P (A/B) = P (B/A)P (A) P (B/A)P (A)+P(B/Ā)P(Ā) Το ενδεχόμενο Ā είναι το σ υμπληρωματικό του Α, με P ( Ā ) = 1 P (A). Κάθε μη αρνητικός αριθμός P (X/Y )σ τον τύπο του Bayes καλείται υπό σ υνθήκη πιθανότητα. Άρα, με την προϋπόθεσ η P (B) > 0, ο τύπος του Bayes δίνει την υπό 90

91 σ υνθήκη πιθανότητα του ενδεχομένου Α με δεδομένο ότι έχει πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Β. Επομένως, αν P (K) η πιθανότητα να έχουμε φτάσ ει σ τον κόμβο Κ και P (K/H) η δεσ μευμένη πιθανότητα να έχουμε φτάσ ει σ τον κόμβο Κ, δεδομένου ότι βρισ- κόμασ τε σ το σ ύνολο πληροφοριών H, τότε η τελευταία είναι: P (K/H) = P (H/K)P (K). P (H/K)P (K)+P(H/ K)P( K) Με αυτή την σ χέσ η θα διαμόρφωνε πεποιθήσ εις ο παίκτης 3 σ χετικά με το αν το παίγνιο έχει φτάσ ει σ τον κόμβο 13 ή 14, δεδομένου ότι βρίσ κεται σ το σ ύνολο πληροφοριών του. Αυτό τον αυσ τηρό τρόπο περιγραφής ενός σ υσ τήματος πεποιθήσ εων θα καθορίσ ουμε τώρα. Ενα σ ύσ τημα πεποιθήσ εων μ για κάθε παίκτη, είναι μια σ υνάρτησ η που προσ- δίδει σ τους κόμβους κάθε σ υνόλου πληροφοριών του H μια κατανομή πιθανότητας. Οπότε το µ H (K i )αντιπροσ ωπεύει την πεποίθησ η του παίκτη ότι το παίγνιο έχει φτάσ ει σ τον κόμβο K i. Μια σ υμπεριφορική σ τρατηγική s ενός παίκτη είναι μια σ υνάρτησ η η οποία προσ δίδει σ τις πλευρές κάθε κόμβου που ανήκει σ τον παίκτη μια κατανομή πιθανότητας και είναι σ ύμφωνη με το σ ύνολο πληροφοριών του. Οπότε το s E (i) είναι η πιθανότητα ένας παίκτης να επιλέξει την πλευρά i όταν φτάσ ει σ το σ ύνολο πληροφοριών H. Οπου E [0, 1]. Ενας ορίζοντας σ τρατηγικής σ υμπεριφοράς είναι μια n-άδα s = (s 1,..., s n ), όπου το s i είναι η σ τρατηγική σ υμπεριφοράς του παίκτη i. Ενας ορίζοντας σ τρατηγικής σ υμπεριφοράς s ονομάζεται πλήρως αναμεμιγμένος αν κάθε επιλογή σ ε κάθε κόμβο έχει θετική πιθανότητα. Σύσ τημα πεποιθήσ εων Η γνώσ η του αναμεμιγμένου ορίζοντα σ τρατηγικής οδηγεί σ την δόμησ η ενός σ υσ τήματος πεποιθήσ εων. Θεωρούμε το ακόλουθο παίγνιο 91

92 Figure 12: Παίγνιο ατελούς πληροφόρησ ης-σημασ ία και καθορισ μός πεποιθήσ εων Ενας πλήρως αναμεμιγμένος ορίζοντας σ τρατηγικής s εδώ καθορίζεται ως ακολούθως: Ο παίκτης 1 παίζει m με πιθανότητα 0,2 και n με πιθανότητα 0,8. Ο παίκτης 2 σ το σ ύνολο πληροφοριών του επιλέγει: r με πιθανότητα 0,2 και s με πιθανότητα 0,8. Ο παίκτης 1, όταν φτάσ ει τώρα σ τα δικά του σ ύνολα πληροφοριών, παίζει τόσ ο L όσ ο και L' με πιθανότητα 0,2 ενώ R και R' με πιθανότητα 0,8. Οι πεποιθήσ εις του παίκτη 2 είναι προφανείς, πισ τεύοντας ότι βρίσ κεται σ τον κόμβο A με πιθανότητα 0,2 (και σ τον B με πιθανότητα 0,8). Αφού παίξει ο παίκτης 2, ο παίκτης 1 τί πεποιθήσ εις πρέπει να έχει σ χετικά με το πού έχει φτάσ ει το παίγνιο; Ποια είναι η πιθανότητα να βρίσ κεται σ το σ ύνολο πληροφοριών του H 2 = {C, D}και ποια να βρίσ κεται σ το H 3 = {E, F }; Ποιες είναι εντέλει οι πεποιθήσ εις του σ ε αυτά τα σ ύνολα πληροφοριών του; Ο τύπος του Bayes θα δώσ ει εδώ τις απαντήσ εις και ο παίκτης 1 αναλογιζόμενος σ ε ποιο σ ύνολο πληροφοριών του φτάνει, σ υνυπολογίζει φυσ ικά την αρχική του επιλογή σ την ρίζα του δέντρου. Άρα, αν P (C) είναι η πιθανότητα να έχουμε φτάσ ει σ τον κόμβο C αρχίζοντας από την ρίζα του δέντρου και P (C/H 2 ) είναι η δεσ μευμένη πιθανότητα να έχουμε 92

93 φτάσ ει σ τον κόμβο C, δεδομένου ότι βρισ κόμασ τε σ το σ ύνολο πληροφοριών H 2, τότε η πιθανότητα αυτή είναι: P (C/H 2 ) = P (H 2/C)P (C) P (C) = P (H 2/C)P (C)+P(H 2/ C)P( C) P (C)+P (D), όπου C = D, αφού το σ ύνολο πληροφοριών του παίκτη 1 H 2 έχει δύο κόμβους, οπότε αν δε βρισ κόμασ τε σ τον ένα, δεδομένου ότι είμασ τε σ το σ ύνολο πληροφοριών αυτό, θα βρισ κόμασ τε σ τον άλλο. Οπότε P (C/H 2 ) = 1 0,04 1 0,04+1 0,16 = 0, 2 Ο παίκτης 1 βρίσ κει ουσ ιασ τικά ότι η πιθανότητα να βρίσ κεται σ τον κόμβο C σ το σ ύνολο πληροφοριών H 2 είναι 0,2, ενώ σ την αρχή του παιγνίου η πιθανότητα που έβλεπε για να φτάσ ει εκεί ήταν 0,2*0,2=0,04. Αναθεώρησ ε τις πεποιθήσ εις του βασ ιζόμενος σ τις πληροφορίες που έλαβε από την σ τρατηγική s. Αν το κάνει αυτό σ ύμφωνα με τον τύπο του Bayes για όλους τους κόμβους σ τα σ ύνολα πληροφοριών του, τότε οι πεποιθήσ εις του προκύπτουν: P (C/H 2 ) = 0, 2, P (D/H 2 ) = 0, 8 P (E/H 3 ) = 0, 2, P (F/H 3 ) = 0, 8 Αυτές οι πεποιθήσ εις σ υμβαδίζουν με τον ορίζοντα σ τρατηγικής σ υμπεριφοράς s και δεδομένου αυτού του ορίζοντα, είναι οι μοναδικές που δείχνουν ορθολογικές. Οπότε, ένας πλήρως αναμεμιγμένος ορίζοντας σ τρατηγικής s, παράγει ένα σ ύσ τημα πεποιθήσ εων. Δηλαδή, αν H = {K 1,... K m } ένα σ ύνολο πληροφοριών, τότε µ (K j ) = P (K j /H) = s(kj), για κάθε j = 1, 2,..., m το σ ύσ τημα m s(k i) i=1 πεποιθήσ εων που παράγεται από το s. Eδώ παρήγαγε το µ (C) = 0, 2, µ (D) = 0, 8 µ (E) = 0, 2, µ (F ) = 0, 8 Οταν λοιπόν οι πεποιθήσ εις των παικτών είναι πάντα σ υνεπείς με τον τύπο του Bayes σ τον τρόπο εξαγωγής τους, τότε μπορούμε να ορίσ ουμε την διαδοχική ισ ορροπία. Συγκεντρωτικά, παραθέτουμε τον ακόλουθο ορισ μό: ΟΡΙΣΜΟΣ 1.16 Ενας σ ύσ τημα πεποιθήσ εων μ καλείται σ υνεπές κατά Bayes σ χετικά με έναν πλήρως αναμεμιγμένο ορίζοντα σ τρατηγικής σ υμπεριφοράς s αν το μ παράγεται από το s 93

94 Διαδοχική ισ ορροπία Ορίζουμε τώρα την έννοια της διαδοχικής ισ ορροπίας ΟΡΙΣΜΟΣ 1.17 Μια διαδοχική ισ ορροπία ενός παιγνίου διαδοχικών κινήσ εων n παικτών είναι ένας σ υνδυασ μός (s,μ), όπου s ένας ορίζοντας σ τρατηγικής σ υμπεριφοράς και μ ένα σ ύσ τημα πεποιθήσ εων σ υνεπές με το s, τέτοια ώσ τε κανένας παίκτης να μην μπορεί να επωφεληθεί περαιτέρω αποκλίνοντας από το s σ ε οποιοδήποτε από τα σ ύνολα πληροφοριών του. Η διαδοχική ισ ορροπία είναι ένας ορίζοντας σ τρατηγικής σ υμπεριφοράς s και ένα σ ύσ τημα πεποιθήσ εων μ σ υνεπές με τον τύπο του Bayes, έτσ ι ώσ τε ξεκινώντας από κάθε σ ύνολο πληροφοριών H σ το δέντρο, ο παίκτης που του ανήκει το εκάσ τοτε σ ύνολο πληροφοριών, παίζει βέλτισ τα από εκεί και πέρα σ το παίγνιο, δεδομένου πως τί πισ τεύει ότι έχει σ υμβεί σ το παίγνιο προηγουμένως προκύπτει από το μ και τί πρόκειται να σ υμβεί σ τις κινήσ εις που έπονται προκύπτει από το s. Ξεκινώντας δηλαδή από όποιο σ ύνολο πληροφοριών του παιγνίου θέλουμε, ο ορίζοντας σ τρατηγικής που παίζουμε εξακολουθεί να είναι ορίζοντας σ τρατηγικής ισ ορροπίας δεδομένου του σ υσ τήματος πεποιθήσ εων με το οποίο είναι σ υνεπής. Ας δούμε σ ιγά σ ιγά την εφαρμογή της διαδοχικής ισ ορροπίας, επισ τρέφοντας σ το παίγνιο Selten's Horse. Ας εξετάσ ουμε πάλι την ισ ορροπία Nash (R, r 2, r 3 ). Υποθέτουμε τώρα ότι o παίκτης 3 πισ τεύει ότι αν κληθεί να παίξει (σ το σ ύνολο πληροφοριών του φυσ ικά), βρίσ κεται σ ίγουρα σ τον κόμβο 13. Δηλαδή P (13/III) = 1 που σ ημαίνει ότι έχει ένα σ ύσ τημα πεποιθήσ εων που δίνει πιθανότητα 1 να βρίσ κεται σ τον κόμβο 13 δεδομένου του σ υνόλου πληροφοριών του III. Τότε ο παίκτης 1, ακολουθώντας ένα σ υνεπές σ ύσ τημα πεποιθήσ εων μ, πρέπει να πισ τεύει ότι ο παίκτης 3 θα παίξει l 3, δηλαδή s 3 (1 3 ) = 1. Σε αυτή την περίπτωσ η η μόνη σ τρατηγική του διαδοχικής ισ ορροπίας είναι να παίξει L. Οπότε, ενώ το (R, r 2, r 3 ) είναι ισ ορροπία Nash, δεν είναι διαδοχική ισ ορροπία. Γίνεται αναθεώρησ η των πεποιθήσ εων καθώς το παίγνιο προχωράει, δεδομένου ότι είναι σ υνεπείς με τον ορίζοντα σ τρατηγικής. Με δεδομένα αυτά, ο παίκτης χρησ ιμοποιεί σ τρατηγικές σ υμπεριφοράς που μεγισ τοποιούν τελικά την αναμενόμενη απόδοσ ή του σ ε κάθε σ ύνολο πληροφοριών του. Η αναμενόμενη απόδοσ η είναι και πάλι ο γνώμονας για την έκβασ η του παιγνίου όπως ακριβώς την γνωρίσ- αμε και ορίσ αμε προηγούμενα, τόσ ο σ ε αγνές, όσ ο και σ ε μικτές σ τρατηγικές. Αν T 1, T 2,..., T k οι τερματικές κορυφές του παιγνίου n παικτών με αντίσ- τοιχες αποδόσ εις u (T 1 ),..., u (T k ) και έχουμε καθορίσ ει έναν ορίζοντα σ τρατηγικής σ υμπεριφοράς s και το σ υνεπές σ ύσ τημα πεποιθήσ εων μ, τότε η αναμενόμενη απόδοσ η αρχίζοντας από έναν κόμβο Κ είναι: U (K, s) = k s (KT i ) u (T i ) i=1 94

95 Αν επίσ ης H = {K 1,... K m } το σ ύνολο πληροφοριών για αυτό το παίγνιο, τότε η αναμενόμενη απόδοσ η του παίκτη j, με δεδομένο ότι βρισ κόμασ τε σ το παίγνιο σ το σ ύνολο πληροφοριών H, είναι: U (H, s, µ) = m r=1 µ (K r ) k s (K r T i ) u j (T i ) Ας επισ τρέψουμε σ το παίγνιο του σ χήματος 12 για να υπολογίσ ουμε τις αναμενόμενες αποδόσ εις των παικτών. Εχουμε: i=1 U (C, s) = 0.2(5, 3) (1, 4) = (1.8, 3.8) U (D, s) = 0.2(2, 8) (3, 7) = (2.8, 7.2) U (E, s) = 0.2(4, 1) (3, 5) = (3.2, 4.2) U (F, s) = 0.2(4, 6) (5, 4) = (4.8, 4.4) U (A, s) = 0.2U (C, s) + 0.8U (D, s) = (2.6, 6.52) U (B, s) = 0.2U(E, s) + 0.8U (F, s) = (4.48, 4.36) U (R, s) = 0.2U(A, s) + 0.8U (B, s) = (4.104, 4.792) Δεδομένου ότι H 1 = {A, B}, H 2 = {C, D}, H 3 = {E, F }και του σ υσ τήματος πεποιθήσ εων που έχουμε προσ διορίσ ει (µ (A) = µ (C) = µ (E) = 0, 2 και µ (B) = µ (D) = µ (F ) = 0, 8) έχουμε: U (H 1, s, µ) = µ (A) U(A, s) + µ (B) U (B, s) = 0.2 (2.6, 6.52) (4.48, 4.36) = (4.104, 4.792) U (H 2, s, µ) = µ (C) U (C, s) + µ (D) U (D, s) = 0.2 (1.8, 3.8) (2.8, 7.2) = (2.6, 6.52) U (H 3, s, µ) = µ (E) U (E, s) + µ (F ) U (F, s) = 0.2 (3.2, 4.2) (4.8, 4.4) = (4.48, 4.36) Εχουμε λοιπόν καθορίσ ει μια διαδοχική ισ ορροπία σ το παίγνιο του σ χήματος 12, με ορίζοντα σ τρατηγικής σ υμπεριφοράς s = (s 1, s 2 ) που δίνεται από s 1 (m) = 0.2, s 1 (n) = 0.8, s 1 (L) = 0.2, s 1 (R) = 0.8, s 1 (L ) = 0.2, s 1 (R ) = 0.8 και s 2 (r) = 0.2, s 2 (s) = 0.8 και το σ ύσ τημα πεποιθήσ εων μ που είναι σ υνεπές με αυτόν και δίνεται από µ (C) = 0.2, µ (D) = 0.8, µ (E) = 0.2, µ (F ) = 0.8, µ (A) = 0.2, µ (B) = 0.8 Ας ελέγξουμε αν όντως σ ε κάθε σ ύνολο πληροφοριών η σ τρατηγική σ υμπεριφοράς s, δεδομένου του σ υσ τήματος πεποιθήσ εων π, μεγισ τοποιεί την αναμενόμενη απόδοσ η των παικτών. 95

96 Για το σ ύνολο πληροφοριών H 2 = {C, D} είναι µ 1 (C) = 0.2, µ 1 (D) = 0.8. Μια σ τρατηγική σ υμπεριφοράς P (L) = p και P (R) = 1 p, με 0 p 1 παρέχει σ τον παίκτη 1 αναμενόμενη απόδοσ η U (p, H 2 ) = 0, 2 [5p + 1 (1 p)] + 0, 8 [2p + 3 (1 p)] = 2, 6, η οποία είναι ανεξάρτητη του p, οπότε ο παίκτης 1 δεν έχει λόγο, δεν θα επωφεληθεί παραπάνω αποκλίνοντας από την σ τρατηγική σ υμπεριφοράς s 1 (L) = 0.2, s 1 (R) = 0.8 και παίζοντας κάτι άλλο. Για το σ ύνολο πληροφοριών H 3 = {E, F } είναι µ 1 (E) = 0.2, µ 1 (F ) = 0.8. Μια σ τρατηγική σ υμπεριφοράς P (L ) = p και P (R ) = 1 p, με 0 p 1 παρέχει σ τον παίκτη 1 αναμενόμενη απόδοσ η U (p, H 3 ) = 0, 2 [4p + 3 (1 p)] + 0, 8 [4p + 5 (1 p)] = 4, 6 0, 6p. Η σ χέσ η αυτή μεγισ τοποιείται για p=0, όπου η απόδοσ η είναι 4.6, οπότε η σ τρατηγική σ υμπεριφοράς που το επιτυγχάνει είναι να παίξει L' με πιθανότητα 0 και R' με πιθανότητα 1. Για το σ ύνολο πληροφοριών H 1 = {A, B} είναι µ 1 (A) = 0.2, µ 1 (B) = 0.8. Μια σ τρατηγική σ υμπεριφοράς P (r) = p και P (s) = 1 p, με 0 p 1 παρέχει σ τον παίκτη 2 αναμενόμενη απόδοσ η U (H 1, p, µ) = 0.2 {0, 2 [0, 2 p 3 + 0, 8 (1 p) 4] + 0, 8 [0, 2 p 8 + 0, 8 (1 p) 7]} + 0, 8 {0, 2 [0, 2 p 1 + 0, 8 (1 p) 5] + 0, 8 [0, 2 p 6 + 0, 8 (1 p) 4]} = 3, 712 2, 344p. Η σ χέσ η αυτή μεγισ τοποιείται για p=0, όπου η απόδοσ η είναι 3.712, οπότε η σ τρατηγική σ υμπεριφοράς που το επιτυγχάνει είναι να παίξει r με πιθανότητα 0 και s με πιθανότητα 1. Για το σ ύνολο πληροφοριών που ορίζει η ρίζα του δέντρου, μια σ τρατηγική σ υμπεριφοράς P (m) = p και P (n) = 1 p, με 0 p 1 παρέχει σ τον παίκτη 1 αναμενόμενη απόδοσ η U (p, R) = 3, 712 2, 344p. Ομοίως με πριν, η σ τρατηγική μεγισ τοποίησ ης της απόδοσ ης είναι m με πιθανότητα 0 και n με πιθανότητα 1. Βρήκαμε όμως ότι η σ τρατηγική σ υμπεριφοράς που μεγισ τοποιεί την αναμενόμενη απόδοσ η των παικτών, με αυτό το σ ύσ τημα πεποιθήσ εων, είναι όπου είχαμε πιθανότητα 0,8 να έχουμε 1 και όπου 0,2 να έχουμε 0 (και σ το H 2 αδιάφορο ό,τι και να παίξουμε). Αυτό σ ημαίνει ότι ο πλήρως αναμεμιγμένος ορίζοντας σ τρατηγικής θα μεταβληθεί διαδοχικά και οι κινήσ εις που επιλέγονται με πιθανότητα 0,8 θα σ υγκλίνουν τελικά όλο και πιο πολύ σ την μονάδα, αφού έτσ ι μεγισ τοποιούνται οι αναμενόμενες αποδόσ εις. Δεν σ ημαίνει ότι αυτό που είχαμε εξάγει με τον τύπο του Bayes ήταν λάθος, απλά εδώ βλέπουμε το βέλτισ το πλέον ώσ τε κανένας παίκτης να μην μπορεί να βελτιώσ ει παραπάνω την θέσ η του. Οπότε και το σ υνεπές σ ύσ τημα πεποιθήσ εων μεταβάλλεται σ ιγά σ ιγά σ ε κάθε βήμα και προκύπτει εύκολα (αν και δεν μπορεί να υπολογισ τεί άμεσ α με την εφαρμογή του τύπου του Bayes λόγω των μηδενικών πιθανοτήτων): Για τα σ ύνολα πληροφοριών του παίκτη 1: µ (C/H 2 ) = µ (E/H 3 ) = 0 και µ (D/H 2 ) = µ (F/H 3 ) = 1 Για το σ ύνολο πληροφοριών του παίκτη 2: µ (A/H 1 ) = 0 και µ (B/H 1 ) = 1 Δεδομένου αυτού του σ υσ τήματος πεποιθήσ εων, οδηγούμασ τε σ την διαδρομή R B F (5, 4)η οποία υποσ τηρίζεται από τον ορίζοντα σ τρατηγικής ({n, R, R }, s). 96

97 Προχωράμε σ ε ένα άλλο παράδειγμα παρόμοιο με το Selten's Horse αλλά λίγο πιο περίπλοκο, για να δούμε πάλι την έννοια της διαδοχικής ισ ορροπίας. Το σ χήμα είναι πάλι παρμένο από τον Kreps (1990), A Course in Microeconomic Theory : Figure 13: Διαδοχική ισ ορροπία σ ε παίγνιο τριών παικτών 97

98 Εσ τω ότι έχει προσ διορισ τεί η σ τρατηγική σ υμπεριφοράς των παικτών s 1 (L) = 1, s 1 (M) = 0,s 1 (R) = 0, s 2 (1 2 ) = 1, s 2 (r 2 ) = 0, s 3 (1 3 ) = 1, s 3 (r 3 ) = 0, δηλαδή ο παίκτης 1 παίζει L, ο παίκτης 2 παίζει 1 2 και ο παίκτης 3 παίζει 1 3. Αν το σ υνεπές σ ύσ τημα πεποιθήσ εων προσ δίδει πιθανότητα 0,3 να βρεθούμε σ τον κόμβο 16, δηλαδή µ (16) = 0.3 και µ (15) = 0.7, τότε το παίξιμο 1 2 δεν είναι σ τρατηγική διαδοχικής ισ ορροπίας για τον παίκτη 2. Γιατί; Επειδή η σ τρατηγική s 2 (1 2 ) = 1, s 2 (r 2 ) = 0 του παίκτη 2 σ το σ ύνολο πληροφοριών του II, δίνει αναμενόμενη απόδοσ η U (l 2, II) = 0, , 3 4 = 2, 6 ενώ το παίξιμο r 2, δηλαδή σ τρατηγική s 2 (1 2 ) = 0, s 2 (r 2 ) = 1, δίνει αναμενόμενη απόδοσ η U (r 2, II) = 0, , = 3, 1 > 2, 6. Ο παίκτης 3 τώρα, αν απέκλινε μονομερώς για κάποιο λόγο, αν άλλαζε την σ τρατηγική σ υμπεριφοράς του από την s 3 (1 3 ) = 1 ενώ όλα τα άλλα μένουν ίδια, σ την s 3 (1 3 ) = 0.5, s 3 (r 3 ) = 0.5, τότε η αρχική σ τρατηγική σ υμπεριφοράς του παίκτη 2 θα προσ έφερε διαδοχική ισ ορροπία αφού παίζοντας κάτι διαφορετικό από 1 2 δεν θα κέρδιζε παραπάνω από 2,6. Αν άλλαζε σ ε r 2 θα είχε τώρα αναμενόμενη απόδοσ η U (r 2, II) = 0, , 3 [(0, , 5 2)] = 2, 2 < 2, 6. Ετσ ι ο ορίζοντας σ τρατηγικής (L, 1 2, 1 3 ) είναι διαδοχική ισ ορροπία. Βλέπουμε λοιπόν πόσ ο λεπτές είναι οι ισ ορροπίες και πώς αναπροσ αρμόζονται ανάλογα με τις σ τρατηγικές σ υμπεριφορές των παικτών και τις πεποιθήσ εις που είναι ορθολογικά σ υνεπείς με αυτές, μέχρι να οδηγηθούμε σ την διαδοχική ισ ορροπία. Οπως προείπαμε, γίνεται αναθεώρησ η των πεποιθήσ εων καθώς το παίγνιο προχωράει, δεδομένου ότι είναι σ υνεπείς με τον ορίζοντα σ τρατηγικής. Με δεδομένα αυτά, ο παίκτης χρησ ιμοποιεί σ τρατηγικές σ υμπεριφοράς που μεγισ τοποιούν τελικά την αναμενόμενη απόδοσ ή του σ ε κάθε σ ύνολο πληροφοριών του. Συνεπώς, καθώς το παίγνιο προχωράει, ο παίκτης δεν έχει λόγο να αποκλίνει από την σ τρατηγική του σ ε κανένα εκ των σ υνόλων πληροφοριών του. Μόλις περιγράψαμε μία ευρύτερη έννοια της SPNE, αφού είναι το ίδιο αποτέλεσ μα και κριτήριο, αλλά σ την SPNE επαφίεται σ το εκάσ τοτε υποπαίγνιο, σ τους κόμβους που ορίζουν την αρχή του και είναι μονοσ ύνολα πληροφοριών. Η διαδοχική ισ- ορροπία λοιπόν ανάγει την τελειότητα υποπαιγνίου παντού σ τα δυναμικά παίγνια, ανεξαρτήτως ύπαρξης υποπαιγνίων. Κλείνουμε λοιπόν με αυτό το βαρυσ ήμαντο πόρισ μα: Κάθε διαδοχική ισ ορροπία είναι μια τέλεια ισ ορροπία Nash υποπαιγνίου-spne Ως προς την ύπαρξη ή όχι διαδοχικής ισ ορροπίας και την εφικτότητα προσ διορισ μού της, να σ ημειώσ ουμε εδώ ότι ο D. Kreps και o R. Wilson απέδειξαν ότι κάθε δυναμικό παίγνιο ατελούς πληροφόρησ ης έχει μια διαδοχική ισ ορροπία, σ το άρθρο Sequential Equilibrium όπου ορίσ τηκε πρώτη φορά η έννοια της διαδοχικής ισ- ορροπίας. 98

99 5 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΣΕ ΣΤΡΑΤΗ- ΓΙΚΕΣ ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ. ΘΕΩΡΙΑ- ΑΝΑΛΥΣΗ-ΕΞΑΓΩΓΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ 5.1 ΕΙΣΟΔΟΣ ΣΤΗΝ ΑΓΟΡΑ Θα σ υνδυάσ ουμε όλα τα προηγούμενα για την εξέτασ η μιας υποθετικής περίπτωσ ης που μπορεί να βρει εφαρμογή σ ε πραγματικές κατασ τάσ εις. Θα ξεκινήσ- ουμε από την βασ ική δομή ενός παιγνίου και σ ιγά σ ιγά θα το εμπλουτίσ ουμε μέχρι να φτάσ ουμε σ την πιο αντιπροσ ωπευτική, ρεαλισ τική και περίπλοκη δομή του, αναλύοντάς το σ ε βάθος με πραγματικά δεδομένα και εξετάζοντάς το σ τις προεκτάσ εις του. Σε πολλές ολιγοπωλιακές αγορές, οι καθιερωμένες σ την αγορά εταιρείες αντιμετωπίζουν την απειλή εισ όδου μίας νέας εταιρείας. Πριν 50 χρόνια, ένας πολύ μικρός αριθμός εγχώριων αυτοκινητοβιομηχανιών μεσ ουρανούσ ε σ την Ιταλική αγορά αυτοκινήτων. Πλέον, έχουν εισ έλθει δυναμικά πληθώρα ξένων εταιρειών Βασ ική-απλή περίπτωσ η Υποθέτουμε ότι μία εταιρεία που ασ χολείται με την επισ κευή μηχανών εσ ωτερικής καύσ ης για βιομηχανική και ναυπηγική χρήσ η, εξετάζει να εισ έλθει σ ε μία μονοπωλιακή αγορά, όπου κυριαρχεί μία άλλη εταιρεία. Για παράδειγμα, η δεύτερη χρησ ιμοποιεί μία πρωτοποριακή καινοτόμο μέθοδο για την επιδιόρθωσ η των ανταλλακτικών και επιμέρους εξαρτημάτων των μηχανών, αυτήν της επίσ τρωσ ηςεπένδυσ ης με σ κόνη laser (Laser Powder Cladding). Ετσ ι, σ ε τοπικό επίπεδο, ανταγωνιζόμενες σ την εγχώρια αγορά, η δεύτερη μπορεί να θεωρηθεί μονοπώλιο. Η εταιρεία που εξετάζει να εισ έλθει, την οποία θα καλούμε παίκτη 2, πρέπει να σ χηματίσ ει πεποιθήσ εις που να αφορούν την ισ ορροπία πριν την είσ οδό της. Αυτό που επηρεάζει αδιαμφισ βήτητα την απόφασ η του παίκτη 2, είναι το κόσ τος παραγωγής της καθιερωμένης εταιρείας, παίκτη 1, εννοώντας οτιδήποτε εκφράζει το κόσ τος του, οριακό, παραγωγής, κ.ο.κ, αφού αυτό επηρεάζει άμεσ α τις αποδόσ εις του παίκτη 1, οπότε και την επιλογή της βέλτισ της σ τρατηγικής του σ ε περίπτωσ η εισ όδου του παίκτη 2. Η καθιερωμένη σ την αγορά εταιρεία γνωρίζει φυσ ικά το κόσ τος της, αλλά η υποψήφια προς είσ οδο όχι. Οπότε ο παίκτης 2 έχει ατελή πληροφόρησ η σ χετικά με το αν ο παίκτης 1 έχει υψηλό ή χαμηλό κόσ τος. Η ελλιπής πληροφόρησ η αυτή του παίκτη 2, αποδίδεται με το να θεωρήσ ουμε ότι η φύσ η κάνει την πρώτη κίνησ η, επιλέγοντας το κόσ τος του παίκτη 1. Η επιλογή αυτή της φύσ ης δεν παρατηρείται από τον παίκτη 2, οπότε και η αβεβαιότητά του για το κόσ τος του παίκτη 1 εμφανίζεται με την μορφή ατελούς πληροφόρησ ης. Να διευκρινίσ ουμε ότι η κίνησ η αυτή γίνεται από την φύσ η, όχι από τον παίκτη 99

100 1. Η φύσ η δεν μπορεί να βελτισ τοποιήσ ει την σ τρατηγική της. Αντιπροσ ωπεύει ουσ ιασ τικά την εκτίμησ η του παίκτη 2 για το πώς είναι ο παίκτης 1. Τα p και 1-p, τα καθορίζει ο παίκτης 2 και είναι οι πεποιθήσ εις του για την σ υνάρτησ η κόσ τους του παίκτη 1, για το πόσ ο πιθανό είναι η φύσ η να προσ έδωσ ε υψηλό ή χαμηλό κόσ τος παραγωγής. Ο παίκτης 1 παρατηρεί το κόσ τος παραγωγής του φυσ ικά, αφού όμως ολοκληρώσ ει την παραγωγή. Γνωρίζει ότι θα είναι είτε υψηλό είτε χαμηλό, αλλά δεν το καθορίζει αυτός αφού υπάρχουν ασ τάθμητοι παράγοντες και μακάρι να μπορούσ ε κάθε εταιρεία να εξασ φαλίσ ει χαμηλά κόσ τη σ αν να ήταν κίνησ ή της. Για αυτό λέμε ότι το κανονίζει η φύσ η και αποκαλύπτει την έκβασ η σ τον παίκτη 1, δεν είναι κίνησ η του παίκτη 1. Εν σ υνεχεία, ο παίκτης 1, αφού παρατηρήσ ει την ενέργεια του παίκτη 2, αν δηλαδή εισ έρχεται ή όχι σ την αγορά, αποφασ ίζει για την ποσ ότητα παραγωγής του. Το αν θα κάνει υψηλή ή χαμηλή παραγωγή, εξαρτάται φυσ ικά από τις αναμενόμενες αποδόσ εις, δεδομένου του κόσ τους παραγωγής του σ ε σ υνδυασ μό με την είσ οδο ή όχι του παίκτη 2 σ την αγορά. Συγκεντρωτικά έχουμε ˆ Παίκτες : παίκτης 1 : Monopol, παίκτης 2 : Entrant ˆ Στρατηγικές Monopol : S m 1 : high output, S m 2 : low output ˆ Στρατηγικές Entrant : S e 1: Enter, S e 2: Stay out Το δυναμικό παίγνιο ατελούς πληροφόρησ ης φαίνεται παρακάτω σ την εκτατική μορφή του. 100

101 Figure 14: Είσ οδος σ την αγορά-βασ ική περίπτωσ η Ο παίκτης 2 θα σ τηρίξει την επιλογή του για είσ οδο σ την αγορά σ τις πεποιθήσ εις του για το αν ο παίκτης 1 έχει υψηλά ή χαμηλά κόσ τη. Παρατηρεί, μέσ ω οπισ θοβατικής επαγωγής, θεωρώντας πάντα ότι η άλλη εταιρεία δρα ορθολογικά με βάσ η την μεγισ τοποίησ η των δικών της κερδών, ότι αν εισ έλθει σ την αγορά ενώ ο παίκτης 1 είναι υψηλού κόσ τους, αυτός θα επιλέξει χαμηλή παραγωγή για να αποκομίσ ει 5 αντί 4 εκατομμύρια και ο ίδιος θα κερδίσ ει επίσ ης 5 εκατομ. Αντιθέτως, αν είναι χαμηλού κόσ τους, θα επιλέξει υψηλή παραγωγή, επιδιώκοντας κέρδη ύψους 7 αντί 6 εκατομμυρίων. Σε αυτή την περίπτωσ η οι απώλειες για τον παίκτη 2 είναι μεγάλες, δηλαδή 4 εκατ. Το p είναι η πιθανότητα με την οποία πισ τεύει ο παίκτης 2 ότι ο παίκτης 1 έχει υψηλά κόσ τη, η πεποίθησ ή του. Το 1-p αντίσ τοιχα η πεποίθησ η για χαμηλά κόσ τη. Άρα, αξιολογώντας την είσ οδό του σ την αγορά, η αναμενόμενη απόδοσ ή του από την είσ οδο είναι p 5 + (1 p) ( 4) = 9p 4. Η αναμενόμενη απόδοσ η από την παραμονή της εταιρείας εκτός αγοράς είναι p 0 + (1 p) 0 = 0. Οπότε ο παίκτης 2 εισ έρχεται αν 9p 4 0 p 4 /9 = 0, Βλέπουμε ότι για να εισ έλθει πρέπει να έχει πολύ ισ χυρή πεποίθησ η ότι ο ανταγωνισ τής του έχει υψηλά κόσ τη (σ χεδόν 50%). Αν είναι αρκετά αισ ιόδοξος ότι ο ανταγωνισ τής έχει υψηλά 101

102 κόσ τη και δεν θα είναι δυνατός αντίπαλος σ την αγορά, τότε επιλέγει την είσ οδο σ την αγορά αυτή. Ουσ ιασ τικά βλέπουμε ο παίκτης 2 αν είχε πλήρη πλήρη πληροφόρησ η θα εισ ερχόταν σ την αγορά αν και μόνο αν ο μονοπωλητής ήταν εταιρεία υψηλού κόσ τους και σ το ίδιο πόρισ μα κατέληξε και τώρα. Δεν θα ήθελε να ανταγωνισ τεί μία εταιρεία με χαμηλά κόσ τη και βέβαιη υψηλή παραγωγή που περιορίζει τα δικά του περιθώρια κέρδους. Θα δούμε και παρακάτω ότι αυτό αποτελεί καθορισ τικό παράγοντα για το παίξιμο του παιγνίου. Άρα το παίγνιό μας έχει τέσ σ ερις διαδρομές ισ ορροπίας Αν ο παίκτης 1 έχει υψηλά κόσ τη και p 0, 44 τότε enter low output (5,5) Αν ο παίκτης 1 έχει υψηλά κόσ τη και p 0, 44 τότε stay out low output (10,0) Αν ο παίκτης 1 έχει χαμηλά κόσ τη και p 0, 44 τότε enter high output (7,-4) Αν ο παίκτης 1 έχει χαμηλά κόσ τη και p 0, 44 τότε stay out high output (13,0) Ανάλυσ η Ευαισ θησ ίας Η επιλογή τελικά του παίκτη 2 ανάγεται σ το p, το οποίο επηρεάζεται από τις αποδόσ εις. Πόσ ο όμως; Αν διπλασ ιάζαμε τις αποδόσ εις των παικτών τόσ ο σ τα κέρδη όσ ο και σ την χασ ούρα, αν δηλαδή ήταν εταιρείες με ακόμα μεγαλύτερο κύκλο εργασ ιών και είχαν κι άλλα περιθώρια κέρδους, ο παίκτης 2 θα εισ ερχόταν αν p 10 + (1 p) ( 8) = 18p 8 0 p 8 /18 = 0, Βλέπουμε ότι δεν άλλαξε τίποτα, αφού η σ χέσ η και αναλογία μεταξύ των αποδόσ εων, που είναι αυτή που καθορίζει τον σ χηματισ μό πεποιθήσ εων, παρέμεινε ίδια. Αν αλλάζαμε όμως αυτή την σ χέσ η; Μπορούμε, αλλά σ ε ρεαλισ τική βάσ η. Δηλαδή, μία εταιρεία νεοεισ ερχόμενη σ ε σ χέσ η με ένα μονοπώλιο καθιερωμένο που παρέχει ικανοποίησ η για τις υπηρεσ ίες του, είναι σ χεδόν αδύνατο να το ξεπεράσ ει σ ε κέρδη αρχικά. Άρα για υψηλού κόσ τους εταιρεία που μετά από είσ οδο άλλης επιλέγει χαμηλή παραγωγή, σ τον τερματικό κόμβο με απόδοσ η (5,5) δεν μπορούμε να αποκλίνουμε και πολύ. Αν μπορούμε να αλλάξουμε κάτι είναι να θεωρήσ ουμε ότι ο παίκτης 2 έχει λίγο μικρότερα κέρδη ακόμα και σ ε αυτή την καλή περίπτωσ η και όχι όσ α ο ανταγωνισ τής του, οπότε να είχαμε (5,4). Αυτό κάνει ακόμα πιο δύσ κολη την είσ οδο σ την αγορά του παίκτη 2, αφού ο παρονομασ τής του κλάσ ματός μας μικραίνει και εισ έρχεται αν p 4 /8 = 0, 5. Πρέπει να έχει ακόμα πιο ισ χυρή πεποίθησ η ότι ο παίκτης 1 έχει υψηλά κόσ τη, σ ε ποσ οσ τό 50%. Αντίσ τοιχα σ τον τερματικό κόμβο (7,-4) μπορούμε κρατώντας σ ταθερά τώρα όλα τα υπόλοιπα να εξετάσ ουμε την περίπτωσ η που ο παίκτης 2 έχει μικρότερες απώλειες -3εκ αντί για -4εκ οπότε (7,-3). Τώρα p 3 /8 = 0, 375 και βλέπουμε ότι εδώ μειώθηκε η πιθανότητα που τουλάχισ τον πρέπει να πισ τεύει ο παίκτης 2 ότι έχει ο παίκτης 1 για υψηλά κόσ τη, ώσ τε να μπει σ την αγορά. Αν λοιπόν έχει μικρότερη χασ ούρα (-3<-4) σ την περίπτωσ η που μπει σ την αγορά ενώ ο παίκτης 1 έχει χαμηλά κόσ τη και κάνει τελικά υψηλή παραγωγή, αυξάνεται η πιθανότητα να εισ έλθει σ την αγορά αφού χρειάζεται λιγότερη αισ ιοδοξία για υψηλά κόσ τη 102

103 του παίκτη 1. Μπορεί όχι δραματικά, αφού το 0,375 είναι κοντά σ το 0,444, αλλά η θετική επίδρασ η που έχει είναι μεγαλύτερη από την αρνητική του να είχε μικρότερη απόδοσ η σ την περίπτωσ η (5,5). Τέλος αν αλλάξουμε και τα δύο ταυτόχρονα έχουμε p 3 /7 = 0, που είναι πολύ κοντά σ την αρχική μας λύσ η και ελάχισ τα πιο πιθανό να εισ έλθει ο παίκτης 2 σ την αγορά. Ενδεικτικά, ο μέσ ος όρος όλων των παραπάνω p είναι 0, Είσ οδος με δυνατότητα διαφήμισ ης Ας εμπλουτίσ ουμε ακόμη πιο πολύ το παίγνιό μας. Ο παίκτης 2 θα ήθελε να αυξήσ ει κι άλλο τα κέρδη του σ ε περίπτωσ η εισ όδου του σ την αγορά με έναν υψηλού κόσ τους αντίπαλο που θα παράγει λίγο και να μειώσ ει την χασ ούρα του με έναν χαμηλού κόσ τους αντίπαλο που θα παράγει πολύ. Προσ θέτει λοιπόν σ τις επιλογές του την δυνατότητα διαφήμισ ης. Ο παίκτης 2 πρέπει να αποφασ ίσ ει αν θα κάνει διαφήμισ η σ ε περίπτωσ η που αποφασ ίσ ει να μπει σ την αγορά, χωρίς όμως να ξέρει αν αυτή θα είναι επιτυχής ή όχι. Πάλι θα σ χηματίσ ει πεποιθήσ εις σ χετικά με την πιθανότητα να πάει καλά η διαφήμισ η και να αυξήσ ει τα κέρδη του ακόμα και πάνω από την ανταγωνίσ τρια εταιρεία ή να αποτύχει και να ζημιωθεί παραπάνω από το να μην είχε κάνει καθόλου. Το παίγνιο φαίνεται παρακάτω. 103

104 Figure 15: Είσ οδος σ την αγορά με δυνατότητα διαφήμισ ης Οπως βλέπουμε από τις αποδόσ εις, υποθέτουμε ότι αν η διαφήμισ η πάει καλά, επιφέρει επιπλέον 2εκ κέρδος σ ε όλες τις περιπτώσ εις, ενώ αν αποτύχει, επιφέρει μικρότερη ζημία, ένα εκατομμύριο. Δηλαδή το κόσ τος της διαφήμισ ης δεν αντισ- ταθμίζεται από τις πωλήσ εις και υπάρχει ζημία 1εκ, αλλά σ ε περίπτωσ η επιτυχίας μπορεί να "εκτοξεύσ ει" τις πωλήσ εις, οπότε και τα κέρδη, σ τα 2εκ επιπλέον του 104

105 αναμενόμενου. Η εταιρεία που εξετάζει την είσ οδό της έχει λοιπόν επιπλέον ατελή πληροφόρησ η σ χετικά με την έκβασ η της διαφήμισ ης. Ατελή πληροφόρησ η έχει και η καθιερωμένη σ την αγορά εταιρεία όταν πλέον αποφασ ίζει για υψηλή ή χαμηλή παραγωγή, αλλά δεν αλλάζει τίποτα, καθώς οι αποδόσ εις της παραμένουν ίδιες. Αυτό είναι σ ημαντικό, γιατί δεν έχουμε ένα παίγνιο μηδενικού αθροίσ ματος με σ υγκεκριμένο περιθώριο κέρδους. Το μερίδιο σ την αγορά μοιράζεται ανάμεσ α σ τις εταιρείες αλλά δεν είναι προκαθορισ μένο και σ τάσ ιμο. Ο παίκτης 1 μπορεί να έχει τα ίδια κέρδη με την σ τρατηγική του ανάλογα με τα κόσ τη του και το επίπεδο παραγωγής του και ταυτόχρονα ο νεοεισ ερχόμενος να διευρύνει τα δικά του, χωρίς να σ ημαίνει ότι θα πάρει πελάτες από τον παίκτη 1 και θα επιφέρει μείωσ η της απόδοσ ής του. Απλά με επιτυχημένη πολιτική marketing και διαφήμισ η μπορεί ο παίκτης 2 να καταφέρει σ ημαντικά αυξημένα κέρδη και να προσ εγγίσ ει μεγάλο πελατολόγιο. Εδώ λοιπόν ο παίκτης 2 πρέπει να αξιολογήσ ει πότε σ υμφέρει να κάνει διαφήμισ η μπαίνοντας σ την αγορά. Σε κάθε περίπτωσ η, η αναμενόμενη απόδοσ η από την είσ οδο με διαφήμισ η είναι μεγαλύτερη από αυτή της απλής εισ όδου όταν 2r 5(1 r) 4 ή αντίσ τοιχα 7r + 4 (1 r) 5 δηλαδή r 1 /3 = 0, Αν ο παίκτης 2 πισ τεύει ότι με πιθανότητα >1/3 θα είναι επιτυχημένη η διαφήμισ η, τότε κάνει διαφημισ τική καμπάνια όταν εισ έρχεται σ την αγορά. Βρήκαμε λοιπόν πότε σ υμφέρει να κάνει διαφήμισ η ο παίκτης 2 για να βελτισ- τοποιήσ ει την σ τρατηγική του. Αυτό όμως δεν είναι και η σ υνθήκη που θα τον οδηγήσ ει σ ε απόφασ η για είσ οδο σ την αγορά ή όχι. Για να εισ έλθει σ την αγορά πρέπει η αναμενόμενη απόδοσ ή του να είναι μεγαλύτερη από την μη είσ οδο όπως πριν. Δηλαδή p [7r + (1 r) 4]+(1 p) [ 2r + (1 r) ( 5)] 0 9p+3r 5 0 p 5 3r /9. Το αποτέλεσ μα δείχνει ότι πλέον η απόφασ η θα παρθεί σ ε σ υνδυασ μό με την πεποίθησ η για την έκβασ η της διαφήμισ ης. Αν r=1/3 ο παίκτης είναι αδιάφορος ως προς την διαφήμισ η ή όχι και η απόφασ η ανάγεται αντικαθισ τώντας σ το κλάσ μα σ το p 4 /9 = 0, 4444, δηλαδή σ την ίδια σ υνθήκη που υπολογίσ αμε πριν. Αν όμως r 1 /3 = 0, 3333 έχουμε ένα σ ημαντικό αποτέλεσ μα, αφού όσ ο μεγαλύτερη αισ ιοδοξία έχει για το ότι θα πάει καλά η διαφήμισ η, τόσ ο μειώνεται η τιμή του p που πρέπει να έχει ως πεποίθησ η για υψηλά κόσ τη του παίκτη 1. Μία εταιρεία που έχει επενδύσ ει σ την διαφήμισ η με τα χρόνια και έχει επιτυχημένη και αποδοτική πολιτική marketing σ ε βάθος χρόνων, θα μπορούσ ε να πισ τεύει ότι με πιθανότητα 0,6, δηλαδή πάνω από 50% η διαφήμισ ή της θα έχει θετική έκβασ η. Τότε χρειάζεται για να εισ έλθει σ την αγορά p 3,2 /9 = 0, 3555 το οποίο είναι σ ημαντικά μειωμένο από το αρχικό 0,4444. Ο παράγοντας r αντισ ταθμίζει το p και αντίσ τροφα. Η πεποίθησ η για επιτυχημένη διαφήμισ η αυξάνει την πιθανότητα για είσ οδο σ την αγορά, "αποδυναμώνοντας" σ τα μάτια του νεοεισ ερχόμενου ακόμα και μια εταιρεία χαμηλού κόσ τους Δύο περίοδοι παραγωγής του Monopol-Παρατήρησ η της πρώτης επιλογής 105

106 Πηγαίνουμε ακόμα ένα βήμα παραπέρα, εξετάζοντας την περίπτωσ η που η υποψήφια για είσ οδο εταιρεία παρατηρεί πρώτα το επίπεδο παραγωγής της άλλης εταιρείας και έπειτα αποφασ ίζει ποια θα είναι η δικιά της απάντησ η. Αφού αυτό που φάνηκε σ τα παραπάνω ότι ενδιαφέρει τον παίκτη 2 και αποτελεί τον καθορισ τικό παράγοντα για την απόφασ ή του, είναι ποιά είναι τα κόσ τη του παίκτη 1, αν περιμένει και παρατηρήσ ει κάποια ενέργεια της καθιερωμένης εταιρείας πριν αποφασ ίσ ει για είσ οδο ή όχι, ίσ ως να μπορούσ ε να λάβει κάποια πληροφόρησ η σ χετικά με τα κόσ τη της δεύτερης, βασ ιζόμενος σ το επίπεδο παραγωγής που θα διαπισ τώσ ει. Εδώ πλέον το παίγνιο χωρίζεται σ ε δύο περιόδους και σ ε κάθε μία ο παίκτης 1 αποφασ ίζει ποιο θα είναι το μέγεθος παραγωγής του. Την αρχική του επιλογή παρατηρεί ο παίκτης 2 και μετά κινείται αυτός μπαίνοντας σ την αγορά ή μένοντας έξω, χωρίς βέβαια να ξέρει αν αντιμετωπίζει υψηλού ή χαμηλού κόσ τους εταιρεία, αλλά βασ ιζόμενος όπως προείπαμε σ το επίπεδο παραγωγής που βλέπει. Αφού λοιπόν πάρει την απόφασ ή του ο παίκτης 2, ο μονοπωλητής αποφασ ίζει σ το δεύτερο σ τάδιο το επίπεδο παραγωγής του. Εχουμε περιγράψει το πιο ρεαλισ τικό σ ενάριο και το δέντρο παιγνίου ακολουθεί σ το σ χήμα. Θα δώσ ουμε το σ κεπτικό της ισ ορροπίας και μια περιγραφική λύσ η και μετά θα εξετάσ ουμε πιο αναλυτικά τέσ σ ερις υποπεριπτώσ εις καθορίζοντας πεποιθήσ εις και διαδοχική ισ ορροπία, σ ε ένα πλαίσ ιο που γνωρίσ αμε νωρίτερα σ την διπλωματική. 106

107 Figure 16: Δύο περίοδοι παραγωγής Monopol-Παρατήρησ η πρώτης επιλογής από Entrant 107

108 Οι αποδόσ εις είναι ίδιες με πριν. Εχουμε όμως δύο περιόδους. Οι αποδόσ εις της πρώτης περιόδου του μονοπωλητή είναι προφανώς οι ίδιες με την περίπτωσ η του να ήταν μόνος του σ την αγορά και να επέλεγε το επίπεδο παραγωγής του, άρα ίδιες με το πρώτο μας παίγνιο σ το σ χήμα 14. Οπότε σ τις ήδη υπάρχουσ ες προσ θέτουμε: Αν ο παίκτης 1 είναι high cost και επέλεξε σ την αρχή high output (κόμβος H 1 ) +9. Αν ο παίκτης 1 είναι high cost και επέλεξε σ την αρχή low output (κόμβος L 1 ) +10. Αν ο παίκτης 1 είναι low cost και επέλεξε σ την αρχή high output (κόμβος H 2 ) +13 και αν ο παίκτης 1 είναι low cost και επέλεξε σ την αρχή low output (κόμβος L 2 ) +11, οπότε οι αποδόσ εις διαμορφώνονται όπως βλέπουμε σ το δέντρο. Αν υποθέταμε ότι ο παίκτης 2 αγνοεί το επίπεδο παραγωγής του μονοπωλητή σ την πρώτη περίοδο και επίσ ης πίσ τευε ότι αντιμετωπίζει εταιρεία υψηλού κόσ τους με p = 2 /7, τότε (όπως είδαμε σ το παίγνιο του σ χήματος 14 αφού εκπίπτει σ ε αυτό) δε θα εισ ερχόταν σ την αγορά. Γνωρίζοντάς το αυτό, ένας χαμηλού κόσ τους μονοπωλητής, θα μεγισ τοποιούσ ε τις αποδόσ εις του παίζοντας high output σ ε κάθε περίοδο, ενώ ένας υψηλού κόσ τους παίζοντας low output σ ε κάθε περίοδο. Ο παίκτης 2 βέβαια δεν αγνοεί αυτή την πρώτη κίνησ η επιπέδου παραγωγής του μονοπωλητή, αφού από αυτή προσ παθεί να αποκομίσ ει σ τοιχεία για τα πραγματικά κόσ τη του μονοπωλητή. Πισ τεύοντας ο παίκτης 2 ότι ο μονοπωλητής θα ακολουθήσ ει ορθολογικά την σ τρατηγική που μόλις περιγράψαμε, τότε η δικιά του σ τρατηγική ανταπάντησ ης είναι: Είσ οδος σ την αγορά μόνο αν ο μονοπωλητής επιλέξει low output σ την πρώτη περίοδο. Αντίσ τοιχα όμως με τη σ ειρά του ο μονοπωλητής περιμένει τον υποψήφιο νεοεισ ερχόμενο να κάνει αυτή την ανάλυσ η και να προσ παθεί να καταλάβει το επίπεδο κόσ τους του παρατηρώντας το επίπεδο παραγωγής. Αν λοιπόν είτε είναι υψηλού κόσ τους είτε χαμηλού, επιλέγει πάντα σ την πρώτη περίοδο high output, ο παίκτης 2 δεν θα μπορούσ ε να βγάλει κάποιο σ υμπέρασ μα για τα κόσ τη του παίκτη 1. (Προφανώς όχι low output αφού αυτό δείχνει σ χεδόν σ ίγουρα υψηλά κόσ τη και παρακινεί τον παίκτη 2 να μπει σ την αγορά). Ετσ ι, δεδομένης και της χαμηλής πεποίθησ ης p = 2 /7, ο παίκτης 2 θα έμενε εκτός αγοράς. Δηλαδή, μία καθιερωμένη εταιρεία με υψηλά κόσ τη, όταν καλείται να αποφασ- ίσ ει για την παραγωγή της σ την πρώτη περίοδο, σ υγκρίνει την απόδοσ η σ τον τερματικό κόμβο από την διαδρομή low output Enter low output (15) με αυτή του τερματικού κόμβου high output Stay out low output (19) και αφού 19>15, είναι πιο σ υμφέρον να επιλέξει high output σ την πρώτη περίοδο παρά low output μεγισ τοποιώντας την αναμενόμενη απόδοσ ή της. Οι σ τρατηγικές ισ ορροπίας λοιπόν που πηγάζουν ως πόρισ μα είναι: Monopol: Παρήγαγε high output σ την πρώτη περίοδο και σ την δεύτερη high output αν τα κόσ τη είναι χαμηλά και low output αν τα κόσ τη είναι υψηλά (ανεξάρτητα του αν θα εισ έλθει σ την αγορά ο παίκτης 2). Entrant: Είσ ελθε σ την αγορά αν και μόνο αν ο μονοπωλητής παράγει low output σ την πρώτη περίοδο. Ο υψηλού κόσ τους μονοπωλητής λοιπόν ουσ ιασ τικά προσ παθεί να αποκρύψει τα πραγματικά επίπεδα κόσ τους του από τον υποψήφιο νεοεισ ερχόμενο. Δεν σ ημαίνει ότι απαραίτητα προσ παθεί να ξεγελάσ ει τον νεοεισ ερχόμενο ώσ τε να πισ τεύει ότι ο μονοπωλητής είναι μία εταιρεία χαμηλού κόσ τους (εξάλλου μπορεί να είναι!). 108

109 Ο ορθολογικός υποψήφιος για είσ οδο σ την αγορά αναμένει έτσ ι κι αλλιώς ότι ένας υψηλού κόσ τους μονοπωλητής θα το κάνει αυτό. Η αξία και το κέρδος για το μονοπωλητή δεν είναι ότι εξαπατάει τον υποψήφιο νεοεισ ερχόμενο ώσ τε να πισ τέψει ότι ο αντίπαλός του έχει χαμηλά κόσ τη. Είναι το γεγονός ότι ο παίκτης 2 αποτρέπεται από το να σ υλλέξει την πληροφορία για τα κόσ τη του παίκτη 1 που θα ήθελε και δεδομένης της ελλιπούς πληροφόρησ ης επιλέγει να μείνει εκτός αγοράς. Να αναφέρουμε εδώ ότι αυτή η πρακτική που μόλις περιγράψαμε, όπου θέτει κάποιος πρώτος ένα υψηλό επίπεδο παραγωγής ( ή αντίσ τοιχα μία χαμηλή τιμή) για να αποτρέψει την είσ οδο κάποιου άλλου είναι γνωσ τή ως limit pricing Δύο περίοδοι παραγωγής Monopol-Δυοπώλιο Cournot αν εισ έλθει Entrant Είδαμε ότι σ την δεύτερη περίοδο, ο μονοπωλητής, που εκεί γνωρίζει τα κόσ τη του (από την πρώτη ήδη περίοδο), δεν έχει πραγματικά λόγο να εξετάσ ει αν θα πραγματοποιήσ ει high output ή low output. Αν έχει χαμηλά κόσ τη, το high output είναι αυσ τηρά κυρίαρχη σ τρατηγική σ ε σ χέσ η με το low output. Δηλαδή σ το υποπαίγνιο που ξεκινάει από τον κόμβο L, σ ε όλους τους τερματικούς κόμβους για τον μονοπωλητή είναι 20>19, 26>24, 18>17, 24>22.Αν έχει υψηλά κόσ τη, το low output είναι αυσ τηρά κυρίαρχη σ τρατηγική σ ε σ χέσ η με το high output. Δηλαδή σ το υποπαίγνιο που ξεκινάει από τον κόμβο H, σ ε όλους τους τερματικούς κόμβους για τον μονοπωλητή είναι 14>13, 19>18, 15>14, 20>19. Οπότε δεν χρειαζόμασ τε δύο επιλογές εκεί αλλά μία ακόμα πιο ρεαλισ τική και αντιπροσ ωπευτική θεώρησ η που θα επιτρέπει τον καθορισ μό ισ ορροπίας σ την ποσ ότητα παραγωγής που βελτισ τοποιεί τα κέρδη και όχι το αν θα είναι υψηλή ή χαμηλή. Εσ τω λοιπόν σ την τελική εκδοχή του παιγνίου μας, ότι οι εταιρείες σ την δεύτερη περίοδο, ανταγωνίζονται σ το περίφημο δυοπώλιο Cournot που αναλύσ αμε πρωτύτερα σ την διπλωματική. Παίζουν δηλαδή ανταγωνισ τικό παίγνιο καθορισ μού ποσ οτήτων σ ε μοντέλο Cournot. Τώρα δεν θα τοποθετήσ ουμε απλά αποδόσ εις σ τους τερματικούς κόμβους σ υναφείς με την λογική, αλλά θα τις υπολογίσ ουμε επακριβώς δίνοντας την πιο ρεαλισ τική αντιπροσ ωπευτική εικόνα με πραγματικά νούμερα. Περιγραφή παιγνίου Το παίγνιό μας έχει ως εξής: ˆ Εχουμε δύο περιόδους και ένα προϊόν σ την αγορά (υπηρεσ ία Laser Powder Cladding) με αντίσ τροφη σ υνάρτησ η ζήτησ ης p (q t ) = p 1 = p 2 = M q t, όπου M ένας σ ταθερός αριθμός, σ την περίπτωσ ή μας Μ=14 και q t = q 1 + q 2 η σ υνολική παραγωγή των δύο εταιρειών ˆ Εχουμε δύο εταιρείες, Monopol (Μονοπωλητής), Entrant (Υποψήφιος νεοεισ ερχόμενος) 109

110 ˆ Ο Monopol έχει σ υνάρτησ η κόσ τους T C 1 (q) = c 1 q 1 και το c 1 μπορεί να είναι high cost (c H ) ή low cost (c L ), δηλαδή c 1 ɛ {c H, c L } και σ την περίπτωσ ή μας c H = 8 και c L = 6 ˆ Ο Entrant έχει σ υνάρτησ η κόσ τους T C 2 (q) = c 2 q 2 και το c 2 είναι σ ταθερό και σ την περίπτωσ ή μας c 2 = 7 ˆ Ο Monopol είναι μόνος του σ την αγορά την πρώτη περίοδο και θέτει την ποσ ότητά του παραγωγής q 1 η οποία μπορεί να είναι high output (q L ) ή low output (q H ), δηλαδή q 1 ɛ {q L, q H } (όπου τα H και L αναφέρονται σ τα κόσ τη) ˆ Ο Entrant παρατηρεί το q 1 και αποφασ ίζει αν θα εισ έλθει ή όχι σ την αγορά. ˆ Αν εισ έλθει, οι εταιρείες ανταγωνίζονται σ ε οικονομικό μοντέλο Cournot σ τη δεύτερη περίοδο. Αν όχι, ο Monopol ενεργεί πάλι ως μονοπώλιο σ την δεύτερη περίοδο. ˆ Το κόσ τος εισ όδου σ την αγορά δίνεται από την σ ταθερά F, σ την περίπτωσ ή μας F=6. (Αυτό μπορούσ ε να εισ αχθεί και σ την σ υνάρτησ η κόσ τους του Entrant ουσ ιασ τικά ως ένα επιπλέον σ ταθερό κόσ τος, δηλαδή T C 2 (q) = 6 + c 2 q 2, αλλά δεν αλλάζει κάτι σ τους υπολογισ μούς και για διευκόλυνσ η το αναφέρουμε χωρισ τά) Ολα τα νούμερα είναι σ ε εκατομμύρια ευρώ, δηλαδή x εκτός των μονάδων των q. Καθορισ μός-υπολογισ μός αποδόσ εων Πρέπει τώρα να καθορίσ ουμε τις αποδόσ εις των εταιρειών για κάθε περίπτωσ η. Οι αποδόσ εις τους όμως είναι τα κέρδη τους. Η σ υνάρτησ η απόδοσ ης κάθε εταιρείας i είναι η σ υνάρτησ η κέρδους: Π i = (M q 1 q 2 ) q i c i q i = q i (p (q 1 + q 2 ) c i ). Στην περίπτωσ η που ο μονοπωλητής είναι μόνος του σ την αγορά λοιπόν (πρώτη περίοδος και δεύτερη περίοδος χωρίς είσ οδο του ανταγωνισ τή), το q 2 = 0 και όλη η παραγωγή ανήκει σ το μονοπώλιο οπότε q t = q 1. Η σ υνάρτησ η κέρδους του μονοπωλητή τότε είναι: Π 1 = (M q 1 ) q 1 c 1 q 1 = Mq q1 2 c 1 q 1. Απλά τώρα επιλέγει την ποσ ότητα που θα μεγισ τοποιήσ ει το Π κέρδος του. Παραγωγίζουμε και θέτουμε ίσ ο με μηδέν: 1 q 1 = M 2q 1 c 1 = 0 q1 = M c1 /2 ( ) Αντικαθισ τούμε σ το Π 1 και παίρνουμε: Π 1 = M c1 2 M M c 1 2 c 1 = (M c 1) 2 4. Οπότε Αν ο Monopol έχει υψηλά κόσ τη, η απόδοσ ή του είναι (M c H) 2 4 = (14 8)2 4 = 9εκ Αν ο Monopol έχει χαμηλά κόσ τη, η απόδοσ ή του είναι (M c L) 2 4 = (14 6)2 4 = 16εκ Αυτές είναι οι αποδόσ εις που βελτισ τοποιούν-μεγισ τοποιούν το κέρδος, άρα η περίπτωσ η που ο high cost Monopol κάνει low output και ο low cost Monopol 110

111 κάνει high output, δηλαδή θέτει την ποσ ότητα παραγωγής ανάλογα με τον τύπο του. Πρέπει όμως να βρούμε και τις αποδόσ εις όταν παράγει σ αν να είχε διαφορετικού τύπου κόσ τη (όπως είδαμε ότι ο high cost Monopol επιλέγει high output για να αποκρύψει πληροφορία για τα κόσ τη του σ τον Entrant). Είδαμε ότι η ποσ ότητα παραγωγής που μεγισ τοποιεί τα κέρδη του μονοπωλητή ανάλογα με την περίσ τασ η είναι q 1 = M c1 /2. Άρα το high output που παράγει ο low cost μονοπωλητής είναι q L = 14 c L/2 = 14 6/2 = 4 Άρα το low output που παράγει ο high cost μονοπωλητής είναι q H = 14 c H/2 = 14 8/2 = 3 Χρησ ιμοποιούμε λοιπόν απλά την σ υνάρτησ η κέρδους του μονοπωλητή, βάζοντας αντίθετα τις ποσ ότητες παραγωγής με τα σ ωσ τά κόσ τη: Αν είναι high cost και παράγει high output Π 1 = (M q L ) q L c H q L = = = 8εκ Αν είναι low cost και παράγει low output Π 1 = (M q H ) q H c L q H = = = 15εκ Πάμε σ την περίπτωσ η εισ όδου σ την αγορά του παίκτη 2, οπότε θυμίζουμε την ισ ορροπία σ το μοντέλο Cournot, που καθορίζει τις ποσ ότητες παραγωγής που μεγισ τοποιούν το κέρδος κάθε εταιρείας. Εχουμε Π 1 = (M q 1 q 2 ) q 1 c 1 q 1 = q ( q 2 + M c 1 ) q 1 και Π 2 = (M q 1 q 2 ) q 2 c 2 q 2 = q ( q 1 + M c 2 ) q 2. Άρα σ ύμφωνα με τον έλεγχο ισ ορροπίας Nash, η ισ ορροπία προκύπτει από την λύσ η του σ υσ τήματος Π 1 q 1 = 2q 1 q 2 + M c 1 = 0 2q 1 + q 2 = M c 1 Π 2 q 2 = q 1 2q 2 + M c 2 = 0 q 1 + 2q 2 = M c 2 Λύνοντας ως προς q 1, q 2 το σ ύσ τημα παίρνουμε: q1 = M+c2 2c1 3 και q2 = M+c 1 2c 2 3 που αποτελεί την ισ ορροπία Nash (q1, q2) του παιγνίου. Επίσ ης 2 Π 1(q 1,q 2 ) = q1 2 2 < 0 και 2 Π 2(q 1,q 2 ) = 2 < 0 οπότε επαληθεύεται η ισ ορροπία Nash. Ακόμη, q2 2 παρατηρούμε πως αν M > c 1 + c 2 τότε και οι δύο εταιρείες παράγουν θετικές ποσ ότητες προϊόντων, που είναι και το θεμιτό για να υπάρχει λογική σ υνέχεια. Αντικαθισ τούμε τα q1, q2 σ την σ υνάρτησ η κέρδους του μονοπωλητή και Π 1 = q1 2 + ( q 2 + M c 1 ) q 1 = ( M+c 2 2c 1 ) 2 ( 3 + M+c 1 2c 2 ) 3 + M c 1 M+c 2 2c 1 3 = (M+c2 2c1)2 9 (M+c1 2c2)(M+c2 2c1) 9 + M 2 +Mc 2 2c 1M M+c 3 c 2 2c = M 2 +c c2 1 +2c2M 4c1c2 4c1M 9 M 2 +Mc 2 2c 1M+Mc 1+c 1c 2 2c 2 1 2c2M 2c2 2 +4c1c2+3M 2 +3c 2M 6c 1M 3c 1M+3c 1c 2 6c = = M 2 c 2 2 4c2 1 2c2M+4c1c2+4c1M M 2 +Mc 2+Mc 1 5c 1c 2+2c c2 1 +3M 2 +3c 2M 9c 1M 3c 1c 2+6c 2 1 M 2 +c c2 1 +2c2M 4c1c2 4c1M 9 = (M+c2 2c1)2 9 = (14+7 2c1)2 9 9 = 111

112 Αντίσ τοιχα προκύπτει Π 2 = (M+c1 2c2)2 9 F = (14+c1 14) Οπότε: Αν o Monopol είναι high cost και εισ έλθει σ την αγορά ο Entrant, ο Monopol έχει απόδοσ η Π 1 = (21 2c H) 2 9 = (21 2 8)2 9 = 25 9 = 2, 7777εκ Αν o Monopol είναι high cost και εισ έλθει σ την αγορά ο Entrant, ο Entrant έχει απόδοσ η Π 2 = c2 H 9 6 = = 1, 1111εκ Αν o Monopol είναι low cost και εισ έλθει σ την αγορά ο Entrant, ο Monopol έχει απόδοσ η Π 1 = (21 2c L) 2 9 = (21 2 6)2 9 = 81 9 = 9εκ Αν o Monopol είναι low cost και εισ έλθει σ την αγορά ο Entrant, ο Entrant έχει απόδοσ η Π 2 = c2 L 9 6 = = 2εκ Μπορούμε πλέον να κατασ κευάσ ουμε το δέντρο του παιγνίου έχοντας όλες τις αποδόσ εις. Ακολουθεί σ το σ χήμα Figure 17: Δύο περίοδοι παραγωγής Monopol-Δυοπώλιο Cournot αν εισ έλθει Entrant 112

113 Αναζητούμε ισ ορροπία σ το παίγνιό μας. Το σ κεπτικό μας είναι ότι έχουμε τρεις εκδοχές με τις οποίες μπορεί να ενεργήσ ει ο παίκτης 1 και βάσ η αυτών των προφίλ θα αναζητήσ ουμε την διαδοχική μας ισ ορροπία που είναι και Bayesian Nash Equilibrium και SPNE όπως έχουμε δει. ˆ Πρώτο σ κεπτικό: Ο Monopol, ανάλογα αν είναι high cost ή low cost θα ενσ τερνισ τεί και εκτελέσ ει διαφορετικές ενέργειες (low output ή high output), θα διαχωρίσ ει δηλαδή μέσ ω των πράξεών του τους τύπους του και τότε εφόσ ον υφίσ ταται ισ ορροπία μιλάμε για διαχωρισ τική ισ ορροπία (separating equilibrium). ˆ Δεύτερο σ κεπτικό: Ο Monopol, είτε είναι high cost είτε low cost θα ενσ- τερνισ τεί και εκτελέσ ει την ίδια ενέργεια (είτε low output είτε high output), θα σ υγκεντρώσ ει δηλαδή μέσ ω των πράξεών του τους τύπους του και τότε εφόσ ον υφίσ ταται ισ ορροπία μιλάμε για σ υγκεντρωτική ισ ορροπία (pooling equilibrium). ˆ Τρίτο σ κεπτικό: Ο Monopol, θα εκτελέσ ει σ ίγουρα κάποια ενέργεια για έναν τύπο του (όπως σ το πρώτο σ κεπτικό) και θα παίξει με μία σ υγκεκριμένη πιθανότητα ανάμεσ α σ τις πιθανές ενέργειες για τον άλλο του τύπο. Θα ημι-διαχωρίσ ει δηλαδή μέσ ω των πράξεών του τους τύπους του και τότε εφόσ ον υφίσ ταται ισ ορροπία μιλάμε για ημιδιαχωρισ τική ισ ορροπία (semiseparating equilibrium). Τα παραπάνω σ κεπτικά σ υλλαμβάνουν όλες τις πιθανές εναλλακτικές του παίκτη άρα και όλου του παιγνίου. Επίσ ης μπορούν να υφίσ τανται όλες ή κάποιες ή κάποια από αυτές τις ισ ορροπίες. Μην ξεχνάμε ότι αντιμετωπίζουμε δυναμικό παίγνιο ατελούς πληροφόρησ ης με την φύσ η επίσ ης να κινείται οπότε η ισ ορροπία πηγάζει μέσ ω πεποιθήσ εων και οριζόντων σ τρατηγικών σ υνεπών με αυτές τις πεποιθήσ εις οπότε δεν υπάρχει κάποια πεπατημένη ή μεθοδολογία για την εύρεσ η ισ ορροπίας. Αναζητούμε διαδοχική ισ ορροπία και ένα πλαίσ ιο σ το οποίο θα ενεργήσ ουν οι παίκτες το οποίο μεταβάλλεται όταν μεταβάλλονται οι πεποιθήσ εις και ειδικά η βασ ική πεποίθησ η για όλο το παίγνιο που είναι αυτή του παίκτη 2 για τα επίπεδα κόσ τους του παίκτη 1, τα p και 1-p τα οποία προσ έδωσ ε η φύσ η. Θα καθορίσ ουμε ένα γενικό πλαίσ ιο και μετά θα δούμε ειδικά για p=0.1, p=0.3, p=0.7 και p=0.8 την ισ ορροπία του παιγνίου. Separating equilibrium Ξεκινάμε αναζητώντας γενικά separating equilibrium. Στα πλαίσ ια του πρώτου σ κεπτικού που παραθέσ αμε, ξέρουμε με βεβαιότητα ότι ο Monopol έχει μόνο δύο πιθανές σ τρατηγικές: Είτε και οι δύο τύποι του Monopol παράγουν βάσ η του τύπου τους, είτε αντίθετα από αυτόν. Είναι και τα δύο πιθανά, αλλά εφόσ ον ακολουθούμε οθρολογική σ κέψη, άρα και οι παίκτες μας, το πιο λογικό είναι να αναζητήσ ουμε ισ ορροπία για την περίπτωσ η σ την οποία ο hig cost Monopol επιλέγει low output ενώ ο low cost Monopol επιλέγει high output. Δείξαμε και πριν ότι ένας 113

114 χαμηλού κόσ τους μονοπωλητής, θα μεγισ τοποιούσ ε τις αποδόσ εις του παίζοντας high output σ ε κάθε περίοδο, ενώ ένας υψηλού κόσ τους παίζοντας low output σ ε κάθε περίοδο. Οπότε είναι λογικό και μεγισ τοποιεί την αναμενόμενη απόδοσ η να παράγουν βάσ η του τύπου τους και όχι αντίθετα. Εξάλλου το high output είναι αυσ τηρά κυρίαρχη σ τρατηγική για τον low cost μονοπωλητή σ ε κάθε περίπτωσ η και δεν έχει ποτέ κανένα λόγο να κάνει low output σ την πρώτη περίοδο. Δεδομένων αυτών για τον Monopol, τί πεποιθήσ εις πρέπει να έχει ο Entrant για το τί τύπο εταιρείας έχει απέναντί του, όταν παρατηρεί την επιλογή επιπέδου παραγωγής του παίκτη 1; Επειτα, δεδομένων αυτών των πεποιθήσ εων, ποιές επιλογές του Entrant σ υντελούν τώρα την καλύτερη απάντησ η; Πρέπει λοιπόν να εξάγουμε τις πεποιθήσ εις ώσ τε να είναι σ υνεπείς με την σ τρατηγική του Monopol. Χρησ ιμοποιώντας τον τύπο του Bayes θα βρούμε φυσ ικά τα ζητούμενα. Η πεποίθησ η του υποψήφιου νεοεισ ερχόμενου σ χετικά με την πιθανότητα ότι ο Monopol είναι high cost εταιρεία, δεδομένου ότι έχει παρατηρήσ ει low output βρίσ- κεται από την προτεινόμενη σ τρατηγική του Monopol παίρνοντας την πιθανότητα ένας high cost μονοπωλητής να επιλέξει low output (1) επί την πιθανότητα ο μονοπωλητής να είναι high cost (p) και όλο αυτό διά το ποσ οσ τό του σ υνόλου των μονοπωλητών (τύπων) που επιλέγουν low output. Το ποσ οσ τό αυτό είναι ο αριθμητής σ υν το ποσ οσ τό των μονοπωλητών low cost που επιλέγουν low output (0) επί το ποσ οσ τό των μονοπωλητών που είναι low cost (1-p). Αν ονομάσ ουμε τα σ ύνολα πληροφοριών μας σ το δέντρο A = {H 1, L 1 }, B = {H 2, L 2 } λοιπόν είναι P ( high cost P (B/H /low output) = P (H 2 /B) = 2)p P (B/H 2)p+P (B/L = 1 p 2)(1 p) 1 p+0 (1 p) = p p = 1 Εδώ βέβαια που εξετάζουμε separating equilibrium είναι πολύ απλό να εξάγουμε αυτήν και όλες τις πεποιθήσ εις διαισ θητικά, αφού σ την βάσ η της ισ ορροπίας βρίσ κεται η παραδοχή ότι μόνο οι high cost μονοπωλητές επιλέγουν low output. Οπότε ποια είναι η πιθανότητα ο Monopol να είναι high cost δεδομένου ότι παρατηρήθηκε να επιλέγει low output; Προφανώς 1. Αντίσ τοιχα αφού καμία high cost εταιρεία δεν επιλέγει high output, έχουμε P ( high cost /high output) = 0 Ουσ ιασ τικά αφού ο Monopol επιλέγει διαφορετικές ενέργειες ανάλογα με τον τύπο του, ο Entrant μπορεί με σ ιγουριά να σ υμπεράνει τον τύπο του Monopol από την ενέργεια που παρατηρεί. Τώρα, δεδομένων αυτών των πεποιθήσ εων καθορίζουμε τις επιλογές του Entrant. Αν παρατηρήσ ει low output, σ υμπεραίνει ότι ο παίκτης 1 έχει υψηλά κόσ τη οπότε και βρίσ κεται σ τον κόμβο επιλογής του H 2. Συγκρίνοντας την αναμενόμενη απόδοσ η από την είσ οδο σ την αγορά (1,11) με αυτήν της παραμονής εκτός (0), αφού 1,11>0 εισ έρχεται σ την αγορά. Αν παρατηρήσ ει high output, σ υμπεραίνει ότι ο παίκτης 1 έχει χαμηλά κόσ τη οπότε και βρίσ κεται σ τον κόμβο επιλογής του L 1. Συγκρίνοντας την αναμενόμενη απόδοσ η από την είσ οδο σ την αγορά (-2) με αυτήν της παραμονής εκτός (0), αφού -2<0 δεν εισ έρχεται σ την αγορά. Αν ονομάσ ουμε τις επιλογές του Monopol: από τον κόμβο H {hoh, loh}, L {hol, lol} και τις επιλογές του Entrant: από το σ ύνολο πληροφοριών A = {H 1, L 1 },A 114

115 {ena, saa}, από το σ ύνολο πληροφοριών B = {H 2, L 2 }, B {enb, sab} έχουμε τώρα τον ορίζοντα σ τρατηγικής σ υμπεριφοράς s = (s 1, s 2 ) που δίνεται από s 1 (hoh) = 0, s 1 (loh) = 1, s 1 (hol) = 1, s 1 (lol) = 0 και s 2 (ena) = 0, s 2 (saa) = 1, s 2 (enb) = 1, s 2 (sab) = 0 και το σ ύσ τημα πεποιθήσ εων μ που είναι σ υνεπές με αυτό και δίνεται από µ (H) = p, µ (L) = 1 p, µ (H 1 ) = 0, µ (H 2 ) = 1, µ (L 1 ) = 1, µ (L 2 ) = 0 τα οποία δομούν { την προτεινόμενη ισ ορροπία. Δηλαδή low output αν high cost Monopol high output αν low cost { Stay out αν δεις high output Entrant Enter αν δεις low output με πεποίθησ η σ χετικά με το αν αντιμετωπίζει high cost εταιρεία µ ( high cost /high output) = 0, µ ( high cost /low output) = 1 Δεν έχουμε βρει ακόμα ισ ορροπία, για αυτό λέμε προτεινόμενη. Αυτός είναι ο ορίζοντας σ τρατηγικής με τον οποίο ο Entrant αντιδρά βέλτισ τα σ τον Monopol, δεδομένων των πεποιθήσ εων που εξάγονται από την αρχική υπόθεσ η για την σ τρατηγική του Monopol, για separating equilibrium. Για τον Monopol όμως ο ορίζοντας σ τρατηγικής είναι ακόμα αυτό που προτείναμε, δηλαδή μια υπόθεσ η, μια πιθανότητα σ την αναζήτησ η separating equilibrium. Πρέπει τώρα να πισ τοποιήσ- ουμε ότι και ο Monopol αντιδρά βέλτισ τα σ τις ενέργειες του Entrant. Ο low cost μονοπωλητής επιλέγει προφανώς την βέλτισ τη επιλογή του (high output) όπως προείπαμε και δεν έχει ποτέ λόγο να αποκλίνει από αυτή. O high cost Monopol όμως έχει την επιλογή που έχουμε παραθέσ ει, δηλαδή να κάνει low output, να εισ έλθει σ την αγορά ο Entrant και να λάβει τελικά απόδοσ η 11,77 και την επιλογή να κάνει high output, να μείνει εκτός αγοράς ο Entrant και να αποκομίσ ει τελικά 17. Προφανώς ο high cost Monopol θα προτιμούσ ε να αποκλίνει από την προτεινόμενη σ τρατηγική. Αυτό όμως θα σ ήμαινε ότι παράγει αντίθετα από τον τύπο του αφού εξετάζουμε το σ κεπτικό separating equilibrium, άρα θα σ ήμαινε ότι ο low cost Monopol επιλέγει να κάνει low output, το οποίο επίσ ης δεν μπορεί να υποσ τηρίξει την δόμησ η διαδοχικής ισ ορροπίας. Οπότε, δεν μπορούμε να σ υντάξουμε ισ ορροπία. Η εκδοχή για ύπαρξη separating equilibrium απορρίπτεται (και μάλισ τα ανεξάρτητα από το p, την πεποίθησ η για high ή low cost), οπότε η αναζήτησ η ισ ορροπίας πρέπει να γίνει σ τα άλλα δύο σ κεπτικά σ ε κάθε εκδοχή του παιγνίου. Θα μπορούσ αμε να καταλήξουμε σ ε separating equilibrium για το παίγνιο που εξετάζουμε γενικότερα, αλλά θα έπρεπε o low cost μονοπωλητής να παράγει ακόμα υψηλότερα σ την πρώτη περίοδο από την βέλτισ τη ποσ ότητα παραγωγής που μεγισ- τοποιεί τα κέρδη του, για να διαχωρίσ ει τον εαυτό του από έναν υψηλού κόσ τους Monopol. Αυτό θα απαιτούσ ε ένα σ υνεχές ευρύ φάσ μα ποσ οτήτων παραγωγής για την πρώτη περίοδο και όχι τον περιορισ μό σ ε δύο επιλογές high output ή low output που έχουμε εδώ. Δεν σ ημαίνει ότι θα είχε κάποιο όφελος να το κάνει αυτό, αλλά θα μπορούσ αμε σ ε τεχνικό επίπεδο να φτάσ ουμε σ ε ισ ορροπία. 115

116 Separating equilibrium-γενική περίπτωσ η Μάλισ τα, θα δείξουμε τώρα όλα τα παραπάνω εξετάζοντας separating equilibrium σ την γενική περίπτωσ η δίνοντας εύρος σ την δυνατότητα επιλογής ποσ οτήτων παραγωγής, χρησ ιμοποιώντας τους γενικούς τύπους που καθορίσ αμε σ το μοντέλο Cournot. Για αυτό και ο καθορισ μός των ποσ οτήτων παραγωγής σ την ισ ορροπία Cournot έγινε αναλυτικά και καταλήξαμε σ ε γενικούς τύπους. Αν σ υγκεντρώσ- ουμε τους υπολογισ μούς μας για τα κέρδη σ την περίπτωσ η μονοπωλίου και σ την περίπτωσ η ανταγωνισ μού σ ε μοντέλο Cournot έχουμε: Είσ οδος Entrant κ' c 1 = c L Είσ οδος Entrant κ' c 1 = c H Entrant εκτός Κέρδος Monop.c L (M + c 2 2c L ) 2 /9 (M c L ) 2 /4 Κέρδος Monop.c H (M + c 2 2c H ) 2 /9 (M c H ) 2 /4 Κέρδος Entrant (M + c L 2c 2 ) 2 /9 F (M + c H 2c 2 ) 2 /9 F 0 Table 17: Αποδόσ εις παιγνίου αναλυτικά βάσ η κόσ τους Εχουμε πει και δείξει ορθολογικά ότι υπό πλήρη, τέλεια πληροφόρησ η ο Entrant θα εισ ερχόταν σ την αγορά μόνο αν ο Monopol ήταν high cost εταιρεία. Αυτό εκφράζεται ως (M + c H 2c 2 ) 2 /9 > F > (M + c L 2c 2 ) 2 /9. Σε separating equilibrium, ο Entrant εισ έρχεται πάλι μόνο αν ο Monopol είναι high cost αφού όπως είδαμε μπορεί να αντιληφθεί τον τύπο του. Εσ τω q H και q L οι ποσ ότητες παραγωγής που επιλέγονται από τον high cost Monopol και τον low cost Monopol αντίσ τοιχα. Άρα, απαραίτητη προϋπόθεσ η είναι: (M q L c L ) q L + (M c L) 2 4 (M q H c L ) q H + (M+c2 2c L) 2 9 (1) (M q H c H ) q H + (M+c2 2c H) 2 9 (M q L c H ) q L + (M c H) 2 4 (2) Η σ χέσ η (1) υποδηλώνει ότι μία low cost εταιρεία δεν θα έπρεπε να επιλέξει την ποσ ότητα μίας high cost εταιρείας ενώ η σ χέσ η (2) το αντίθετο. Ακριβώς αυτό που υποθέτουμε αναζητώντας separating equilibrium δηλαδή και το δείχνουμε σ ε περιγραφική σ χέσ η βάσ η ποσ οτήτων παραγωγής και κόσ τους. Επίσ ης, βλέπουμε (όπως δείξαμε πριν ότι η ποσ ότητα παραγωγής που μεγισ- τοποιεί τα κέρδη του μονοπωλητή ανάλογα με την περίσ τασ η είναι q1 = M c1 /2) ότι q H = M c H/2 σ ε κάθε τέλεια Bayesian ισ ορροπία. Αυτό γιατί σ την χειρότερη περίπτωσ η για ένα high cost Monopol θα εισ έλθει σ την αγορά ο Entrant. Θα υπάρξει σ ίγουρα είσ οδος σ ε separating equilibrium μετά από την παρατήρησ η q H από την μεριά του Entrant. Ως εκ τούτου αν q H M c H/2 θα υπήρχε ευκαιρία για επωφελή μονομερή απόκλισ η για έναν high cost Monopol, το οποίο δεν σ υμβαδίζει με την ύπαρξη τέλειας ισ ορροπίας σ ε κάθε υποπαίγνιο. Σε μία απλή ισ ορροπία Nash ωσ τόσ ο δεν είναι απαραίτητα q H = M c H/2. Σε μία ισ ορροπία Nash, o Entrant θα μπορούσ ε να παίξει κάτι διαφορετικό από 116

117 την ισ ορροπία δυοπωλίου Cournot, εκτός του μονοπατιού ισ ορροπίας (έχουμε δει αναλυτικά ότι η ισ ορροπία Nash δεν εξετάζει τί σ υμβαίνει εκτός μονοπατιού ισ ορροπίας). Για παράδειγμα, έσ τω qh, q L οι ποσ ότητες ισ ορροπίας της πρώτης περιόδου και θεωρούμε μια σ τρατηγική όπου ο Entrant δεν εισ έρχεται σ την αγορά μόνο αν q = ql, εισ έρχεται σ την αγορά και παίζει την ποσ ότητα ισ ορροπίας Cournot αν q = qh (μέχρι εδώ όλα καλά) και τέλος εισ έρχεται σ την αγορά και παίζει q 2 = M αν q {ql, q H }. Ουσ ιασ τικά έχουμε μία μη αξιόπισ τη απειλή από τον Entrant ότι θα πλημμυρίσ ει την αγορά σ ε περίπτωσ η που το μονοπώλιο επιλέξει λάθος ποσ ότητα σ την πρώτη περίοδο. Αυτή η σ τρατηγική θα έδινε αναμενόμενο κέρδος 0 σ τον Monopol αν q {ql, q H } και υπονοεί ότι μπορεί σ ε αυτό το πλαίσ ιο να υποσ τηρίξει ένα εύρος τιμών για το q H. Αντίσ τοιχα με το q H, το (M + c 2 2c L ) 2 /9 είναι η χειρότερη δυνατή απόδοσ η δεύτερης περιόδου για έναν low cost Monopol. Συνεπώς, αν η low cost εταιρεία επέλεγε την βέλτισ τη ποσ ότητα μονοπωλίου την πρώτη περίοδο, θα πάρει απόδοσ η τουλάχισ τον (M c L ) (M+c2 2c L)2 9 (M q H c L ) q H + (M+c2 2c L) 2 9 (3) Συγκεντρώνοντας τα παραπάνω, τις απαραίτητες προϋποθέσ εις που διατυπώσ- αμε και τις ελάχισ τες αποδόσ εις των δύο τύπων μονοπωλίων, οδηγούμασ τε σ ε δύο περιορισ μούς ώσ τε τα κίνητρα των παικτών να είναι ορθολογικά, να έχουν νόημα και δυνατότητα επίτευξης ωφέλειας, απόδοσ ης: (M q L c L ) q L + (M c L) 2 4 (M c L) (M+c2 2c L) 2 9 και (M c H ) (M+c2 2c H) 2 9 (M q L c H ) q L + (M c H) 2 4 όπου αντικατασ τήσ αμε σ την (1) το δεξί μέλος της μέσ ω της (3) για την low cost εταιρεία και αφαιρέσ αμε το q H = M c H/2 σ την (2) για την high cost εταιρεία. Εσ τω V L και V H η επιπλέον αξία (απόδοσ η) του να κρατήσ ει η low cost και high cost εταιρεία αντίσ τοιχα τον Entrant εκτός αγοράς. Αυτές είναι σ ύμφωνα με το πινακάκι μας V L = (M c L) 2 4 (M+c2 2c L)2 9, V H = (M c H) 2 4 (M + c 2 2c H ) 2 Εδώ βλέπουμε ότι μπορεί να έχουμε V L <V H αλλά και V L >V H ανάλογα με το κόσ τος του παίκτη 2 c 2. Ουσ ιασ τικά όσ ο το c 2 αυξάνεται, κάποια σ τιγμή φτάνει οριακά σ ε ένα σ ημείο όπου το κέρδος του δυοπωλίου ισ ούται με το κέρδος του μονοπωλίου για την low cost εταιρεία. Εκεί, σ ε αυτό το κόσ τος, ο Entrant θα σ υνεχίσ ει να παράγει μία θετική ποσ ότητα ανταγωνιζόμενος την high cost εταιρεία, οπότε η high cost εταιρεία έχει ακόμα ένα καθαρό κέρδος από την παραμονή του Entrant εκτός αγοράς. Βέβαια, για c 2 = c L είναι V L >V H, οπότε η μεγαλύτερη απόδοσ η σ ε περίπτωσ η μονοπωλίου υπερτερεί. (Εμείς έχουμε θεωρήσ ει c 2 = 7 > c L = 6, το οποίο είναι μεν λίγο μεγαλύτερο αλλά προφανώς όχι σ ε βαθμό που το low cost μονοπώλιο να έχει μικρότερο κέρδος). Επιλύουμε ορθολογικά και από οικονομικής πλευράς, θεωρώντας V L V H. Η αναμενόμενη απόδοσ η για κάθε τύπο Monopol σ ε περίπτωσ η που είναι μόνος σ την αγορά ως μονοπώλιο και γενικά από την σ υνάρτησ η κέρδους του σ υναρτήσ ει της ποσ ότητας παραγωγής q είναι Π Mnp L = (M c L) 2 4, Π Mnp H = (M c H) 2 4, Π L (q) = (M q c L ) q, Π H (q) = (M q c H ) q 117

118 οπότε απαραίτητοι ορθολογικοί περιορισ μοί εδώ είναι V H Π Mnp H Π H (q L ), V L Π Mnp L Π L (q L ) Στα πλαίσ ια αυτών των δύο ανισ οτήτων θα μπορούσ αμε να καθορίσ ουμε ποσ- ότητα ή και ποσ ότητες q L σ ε ένα εύρος που δίνουν separating equilibrium. Οι πεποιθήσ εις δεν αλλάζουν, δηλαδή αν ο Entrant παρατηρήσ ει κάποιο q q L πισ τεύει με σ ιγουριά ότι η εταιρεία είναι high cost, οπότε κάθε απόκλισ η q για την low cost εταιρεία δίνει απόδοσ η (M q c L ) q H + (M+c2 2c L)2 9 οπότε η απόκλισ η σ το επίπεδο παραγωγής του μονοπωλίου (μόνο του σ την αγορά) είναι η βέλτισ τη απόκλισ η δεδομένων αυτών των πεποιθήσ εων. Επίσ ης, από την πλευρά μίας high cost εταιρείας κάθε q = q L δίνει κέρδος 9 (M c L) (M+c2 2c L) 2 (M q c H ) q + (M+c2 2c L)2 9 με αυτές τις πεποιθήσ εις, το οποίο προφανώς μεγισ τοποιείται για q = q H. Με άλλα λόγια, αν η μόνη ποσ ότητα που αποτρέπει την είσ οδο σ την αγορά του Entrant είναι η q L, τότε η βέλτισ τη ποσ ότητα της πρώτης περιόδου για μία high cost εταιρεία είναι είτε q L, είτε η ποσ ότητα μονοπωλίου όταν είναι μόνο του σ την αγορά. Μόλις δείξαμε ότι εν δυνάμει θα μπορούσ ε να δομηθεί separating equilibrium, αλλά σ την περίπτωσ ή μας που έχουμε δύο ξεκάθαρα αντίθετες επιλογές χωρίς εύρος, είναι αδύνατον, αφού η low cost θα επιλέξει ξεκάθαρα το βέλτισ- το q που μεγισ τοποιεί τα κέρδη της σ αν μονοπώλιο σ την πρώτη περίοδο, δηλαδή (M c L ) 2 /4 και αυτό δεν μπορεί να είναι κάποιο q L που θα προσ φέρει separating equilibrium, ενώ η high cost εταιρεία είδαμε ότι έχει κίνητρο να αποκλίνει σ ε αυτή την περίπτωσ η και να παράγει σ αν να ήταν low cost το οποίο επιβεβαιώνει όσ α είπαμε και οδηγεί σ την αναζήτησ η pooling equilibrium. Pooling equilibrium Θα εξετάσ ουμε τώρα την περίπτωσ η που ο Monopol εκτελεί την ίδια ενέργεια, θέτει το ίδιο επίπεδο παραγωγής ανεξαρτήτως του κόσ τους του (του τύπου του), αναζητώντας την ύπαρξη pooling equilibrium. Αυτό σ ημαίνει ότι κάποιος εκ των δύο τύπων μονοπωλίου πρέπει να παράγει αντίθετα από τον τύπο του την πρώτη περίοδο. Το ορθολογικό είναι να το πράξει ο high cost Monopol όπως έχουμε δει, αφού αν κάποια εταιρεία είναι low cost δε θα ήθελε ποτέ να παράγει σ αν να ήταν high cost, αφού έτσ ι απλά θα αύξανε την πιθανότητα να εισ έλθει ο Entrant, κάνοντας ακριβώς αυτό που προσ παθεί να αποφύγει. Ο high cost από την άλλη παράγοντας σ αν low cost μπορεί να αποτρέψει την είσ οδο του Entrant. Θα παράγει ένα μέγεθος που δεν μεγισ τοποιεί το βραχυπρόθεσ μο κέρδος του αν αυτό τελικά αποθαρρύνει τον Entrant από το να εισ έλθει και μεγισ τοποιεί σ το τέλος το μακροπρόθεσ μο κέρδος του. Ξεκινάμε οπότε με αυτή την ορθολογική υπόθεσ η, ο Monopol είτε είναι low cost είτε είναι high cost, επιλέγει high output. Θα βρούμε την βέλτισ τη απάντησ η του Entrant σ ε αυτή την σ τρατηγική. Ας δούμε ποιες είναι τώρα οι πεποιθήσ εις του δεδομένων των προαναφερθέντων. Αν παρατηρήσ ει high output, ποια είναι η 118

119 ορθολογική πεποίθησ ή του για την πιθανότητα ο παίκτης 1 να είναι high cost; Ο κανόνας του Bayes δίνει: P ( high cost P (B/H /high output) = P (H 1 /B) = 1)p P (B/H 1)p+P (B/L = 1 p 1)(1 p) 1 p+1 (1 p) = p 1 = p. Δηλαδή εδώ βλέπουμε καθαρά πλέον αυτό που είπαμε, ότι ο Entrant δεν αποσ- πά κάποια πληροφορία σ χετικά με τα κόσ τη του Monopol αν και ο high cost κάνει high output, αφού η πεποίθησ η p που είχε σ την αρχή ο παίκτης 2 παρέμεινε ίδια. Ο τύπος του Bayes θυμόμασ τε και από προηγούμενα παραδείγματά μας ότι προσ φέρει μία καλύτερη εικόνα, δεδομένου ότι κάτι σ υνέβη, αναπροσ αρμόζει τις πεποιθήσ εις των παικτών ώσ τε εκεί που θεωρούσ αν ότι κάτι θα σ υμβεί με πιθανότητα p, να έχουν μετά μία άλλη πιο αντιπροσ ωπευτική. Εδώ όμως η πεποίθησ η είναι ίδια με την αρχική. Εξάγουμε και ορθολογικά το ίδιο σ υμπέρασ μα χωρίς τον τύπο του Bayes. Αν ποσ οσ τό p των Monopol είναι high cost και κάθε τύπος Monopol, δηλαδή όλοι, κάνουν high output, τότε ποσ οσ τό p των μονοπωλίων που κάνουν high output πρέπει να είναι high cost. Αντίσ τοιχα το P ( low cost /high output) = 1 p φυσ ικά. Περίπτωσ η p=0,1 Πάμε σ την πρώτη ειδική περίπτωσ η όπου p=0,1 (άρα 1-p=0,9) για να υπολογίσ ουμε αναμενόμενα κέρδη και να δούμε την ισ ορροπία σ ε αυτή την περίπτωσ η, σ υνεχίζοντας την ανάλυσ ή μας σ ε pooling equilibrium. Το παίγνιό μας έχει ως εξής 119

120 Figure 18: Περίπτωσ η p=0,1 Εχουμε P ( high cost /high output) = p = 0, 1 και P ( low cost /high output) = 1 p = 0, 9 O Entrant σ τηριζόμενος σ τις πεποιθήσ εις αυτές σ υγκρίνει την αναμενόμενη απόδοσ η της εισ όδου του σ την αγορά με αυτήν της παραμονής εκτός αγοράς από το σ ύνολο πληροφοριών του A = {H 1, L 1 }. Εχουμε U (Enter) = 0, 1 1, , 9 ( 2) = 1, 689 U (Enter) = 0, , 9 0 = 0 οπότε προφανώς δεν εισ έρχεται σ την αγορά αν παρατηρήσ ει high output σ την πρώτη περίοδο αφού -1,689<0. Τί γίνεται αν ο παίκτης 2 παρατηρήσ ει low output σ την πρώτη περίοδο; Σύμφωνα με την σ τρατηγική ισ ορροπίας, κανένας Monopol δεν θα έπρεπε να επιλέγει low output και δεν μπορούμε να χρησ ιμοποιήσ ουμε τον τύπο του Bayes αφού έχουμε μηδέν σ τον παρονομασ τή μας. Εδώ δεν μπορούμε να εξάγουμε ακριβώς κάποια πεποίθησ η που να είναι σ υνεπής με την προτεινόμενη σ τρατηγική. Μπορούμε όμως τεχνικά να επιλέξουμε πεποιθήσ εις όπως θέλουμε, αφού αυτό σ ημαίνει για την ισ ορροπία μας. Η ελεύθερη επιλογή πεποιθήσ εων σ ε αυτή την περίπτωσ η είναι ουσ ιασ τικά σ υνεπής με τον ορίζοντα σ τρατηγικής σ υμπεριφοράς και θα το κάνουμε ορθολογικά, όχι αόρισ τα. Κάποιος Monopol που επιλέγει low output, μπορεί να εκφρασ τεί ως μία εταιρεία που έκανε λάθος όσ ο αφορά την σ τρατηγική ισ ορροπίας. Και το πιο πιθανό είναι 120

121 το λάθος αυτό να γίνει από έναν high cost μονοπωλητή. Οπότε μία ορθολογική πεποίθησ η σ ε αυτή την περίπτωσ η είναι: P ( high cost /low output) = 1 Ενα εναλλακτικό σ ενάριο είναι να χρησ ιμοποιήσ ουμε την αρχική πεποίθησ η του παίκτη 2 (p=0,1), που ουσ ιασ τικά υποθέτει ότι είναι εξίσ ου πιθανό να έχει κάνει το λάθος οποιοσ δήποτε από τους δύο τύπους του Monopol. Κρατάμε την πρώτη μας προσ έγγισ η με P ( high cost /low output) = 1 οπότε ο παίκτης 2 βρίσ κεται με βεβαιότητα σ τον κόμβο απόφασ ής του H 2 και 1,11>0 άρα εισ έρχεται σ την αγορά. Εχουμε τώρα τον ορίζοντα σ τρατηγικής σ υμπεριφοράς s = (s 1, s 2 ) που δίνεται από s 1 (hoh) = 1, s 1 (loh) = 0, s 1 (hol) = 1, s 1 (lol) = 0 και s 2 (ena) = 0, s 2 (saa) = 1, s 2 (enb) = 1, s 2 (sab) = 0 και το σ ύσ τημα πεποιθήσ εων μ που είναι σ υνεπές με αυτό και δίνεται από µ (H) = 0, 1, µ (L) = 0, 9, µ (H 1 ) = 0, 1, µ (H 2 ) = 1, µ (L 1 ) = 0, 9, µ (L 2 ) = 0, τα οποία δομούν { την προτεινόμενη ισ ορροπία. Δηλαδή high output αν high cost Monopol high output αν low cost { Stay out αν δεις high output Entrant Enter αν δεις low output με πεποίθησ η σ χετικά με το αν αντινετωπίζει high cost εταιρεία µ ( high cost /high output) = 0, 1, µ ( high cost /low output) = 1 Δεν έχουμε βρει ακόμα ισ ορροπία όπως πριν. Πρέπει τώρα να πισ τοποιήσ ουμε ότι και ο Monopol αντιδρά βέλτισ τα σ τις ενέργειες του Entrant. Ο low cost μονοπωλητής επιλέγει προφανώς την βέλτισ τη επιλογή του (high output) όπως προείπαμε και δεν έχει ποτέ λόγο να αποκλίνει από αυτή. O high cost Monopol επίσ ης ανταπαντάει βέλτισ τα με την επιλογή να κάνει high output, αφού μένει εκτός αγοράς ο Entrant και κερδίζει τελικά 17 αντί 10,77. Εχουμε λοιπόν και μόλις την περιγράψαμε, μία έγκυρη διαδοχική ισ ορροπία όπου σ ε κάθε σ ύνολο πληροφοριών ο ορίζοντας σ τρατηγικής σ υμπεριφοράς s, δεδομένου του σ υσ τήματος πεποιθήσ εων μ που είναι σ υνεπές με αυτόν, μεγισ- τοποιεί την αναμενόμενη απόδοσ η των παικτών. Εχουμε pooling equilibrium. Υπολογίζουμε την ισ ορροπία του παιγνίου και μέσ ω του λογισ μικού Gambit, επιλέγοντας να εμφανισ τούν σ ε κάθε κόμβο οι πεποιθήσ εις των παικτών και σ ε κάθε ενέργεια η πιθανότητα με την οποία επιλέγεται από τους παίκτες και βλέπουμε ότι τα αποτελέσ ματα είναι ακριβώς αυτά που υπολογίσ αμε 121

122 Figure 19: Ισ ορροπία Gambit περίπτωσ η p=0,1 Η πεποίθησ η του Monopol για το αν βρίσ κεται σ το H ή L (αν είναι υψηλού ή χαμηλού κόσ τους) είναι προφανώς 1 όπως βλέπουμε σ το σ χήμα γιατί ο παίκτης 1 παρατηρεί και γνωρίζει φυσ ικά το κόσ τος του. Τα µ (H) = 0, 1, µ (L) = 0, 9 που υπολογίσ αμε πριν απευθύνονται σ τον παίκτη 2, σ την πεποίθησ ή του σ χετικά με τα κόσ τη του 1. Ολα τα υπόλοιπα δείχνουν ακριβώς την ισ ορροπία που περιγράψαμε και τους παίκτες να παίζουν με τις πιθανότητες που υπολογίσ αμε τις ενέργειές τους για την ύπαρξη ισ ορροπίας. Τα * αντιπροσ ωπεύουν τον καθορισ μό όποιας πεποίθησ ης θέλουμε, με την ορθολογικότερη να είναι αυτή που υποθέσ αμε, δηλαδή P ( high cost /low output) = 1 για αυτό και εκεί βλέπουμε τον παίκτη 1 να εισ έρχεται σ την αγορά με πιθανότητα 1. Να σ ημειώσ ουμε ότι η σ υνολική αναμενόμενη απόδοσ η του παίκτη 1 σ την ισ ορροπία είναι U 1 = 0, , 9 32 = 30, 5 ενώ του παίκτη 2 είναι 0 αφού μένει εκτός αγοράς. Περίπτωσ η p=0,3 122

123 Ας δούμε τώρα την περίπτωσ η όπου p=0,3 και 1-p=0,7. Αλλάζει πραγματικά κάτι; Ποια είναι τώρα η ισ ορροπία; Η μεγαλύτερη αισ ιοδοξία του παίκτη 2 για ύπαρξη υψηλού κόσ τους εταιρείας θα τον οδηγήσ ει σ ε είσ οδο ή όχι; Ας δούμε το παίγνιό μας παρακάτω Figure 20: Περίπτωσ η p=0,3 Δεν αλλάζει κάτι σ την ανάλυσ ή μας για pooling equilibrium μέχρι το σ ημείο που δείξαμε ότι P ( high cost /high output) = p = 0, 3 τώρα και P ( low cost /high output) = 1 p = 0, 7. O Entrant σ τηριζόμενος σ τις πεποιθήσ εις αυτές σ υγκρίνει την αναμενόμενη απόδοσ η της εισ όδου του σ την αγορά με αυτήν της παραμονής εκτός αγοράς από το σ ύνολο πληροφοριών του A = {H 1, L 1 }. Εχουμε U (Enter) = 0, 3 1, , 7 ( 2) = 1, 067 U (Enter) = 0, , 9 0 = 0 οπότε προφανώς πάλι δεν εισ έρχεται σ την αγορά αν παρατηρήσ ει high output σ την πρώτη περίοδο αφού -1,067<0. 123

124 Η αναμενόμενη απόδοσ η του Entrant βάσ η των πεποιθήσ εων είναι ακόμα αρνητική, οπότε με τον high cost Monopol να παράγει high output επιτυγχάνεται ο σ κοπός του Monopol μέσ ω απόκρυψης πληροφορίας για τα κόσ τη του και παραμένει μόνος σ την αγορά. Ας δούμε και ταυτόχρονα να επιβεβαιώσ ουμε την διαδοχική μας ισ ορροπία μέσ ω του Gambit. Figure 21: Ισ ορροπία Gambit p=0,3 Εχουμε τον ορίζοντα σ τρατηγικής σ υμπεριφοράς s = (s 1, s 2 ) που δίνεται από s 1 (hoh) = 1, s 1 (loh) = 0, s 1 (hol) = 1, s 1 (lol) = 0 και s 2 (ena) = 0, s 2 (saa) = 1, s 2 (enb) = 1, s 2 (sab) = 0 και το σ ύσ τημα πεποιθήσ εων μ που είναι σ υνεπές με αυτό και δίνεται από µ (H) = 0, 3, µ (L) = 0, 7, µ (H 1 ) = 0, 3, µ (H 2 ) = 1, µ (L 1 ) = 0, 7, µ (L 2 ) = 0, τα οποία δομούν την προτεινόμενη ισ ορροπία. Δηλαδή 124

125 { high output αν high cost Monopol high output αν low cost { Stay out αν δεις high output Entrant Enter αν δεις low output με πεποίθησ η σ χετικά με το αν αντιμετωπίζει high cost εταιρεία µ ( high cost /high output) = 0, 3, µ ( high cost /low output) = 1 Η σ υνολική αναμενόμενη απόδοσ η του παίκτη 1 σ την ισ ορροπία είναι U 1 = 0, , 7 32 = 27, 5 ενώ του παίκτη 2 είναι 0 αφού μένει πάλι εκτός αγοράς. Βλέπουμε λοιπόν ότι η ισ ορροπία μας με το σ κεπτικό pooling equilibrium, σ τηρίζεται σ το ότι P ( high cost /high output) = p και P ( low cost /high output) = 1 p. Οσ ο δεδομένης της πεποίθησ ης p η αναμενόμενη απόδοσ η του παίκτη 2 παραμένει αρνητική, ο παίκτης 1 δεν έχει λόγο να αλλάξει την σ τρατηγική του και διατηρείται η ισ ορροπία. Ο Monopol παίζει high output με πιθανότητα 1 και ο Entrant μένει εκτός αγοράς και αυτός ο ορίζοντας σ τρατηγικής σ υμπεριφοράς δίνει τις βέλτισ- τες ανταπαντήσ εις των παικτών μεταξύ τους, δεδομένων των σ υνεπών με αυτόν πεποιθήσ εων που έχουν καθορισ τεί σ τα πλαίσ ια pooling equilibrium. Εχουμε εξετάσ ει ήδη την ισ ορροπία για p=0,1 και p=0,3. Μέχρι ποιο σ ημείο όμως όσ ο αυξάνεται το p, (όσ ο έχουμε πιο αισ ιόδοξους Entrants), αυτή διατηρείται με σ υνέπεια οι σ τρατηγικές που περιγράψαμε να είναι βέλτισ τες και οι πεποιθήσ εις που παράγαμε σ υνεπείς με αυτές; Περίπτωσ η p=0,7 Παίρνουμε τώρα την περίπτωσ η ενός αρκετά αισ ιόδοξου Entrant με p=0,7 και το δείχνουμε σ το σ χήμα μας 125

126 Figure 22: Περίπτωσ η p=0,7 Η ανάλυσ ή μας σ την αναζήτησ η pooling equilibrium είναι ίδια μέχρι το σ ημείο που P ( high cost /high output) = p = 0, 7 τώρα και P ( low cost /high output) = 1 p = 0, 3. O Entrant σ τηριζόμενος σ τις πεποιθήσ εις αυτές σ υγκρίνει την αναμενόμενη απόδοσ η της εισ όδου του σ την αγορά με αυτήν της παραμονής εκτός αγοράς από το σ ύνολο πληροφοριών του A = {H 1, L 1 }. Εχουμε U (Enter) = 0, 7 1, , 3 ( 2) = 0, 177 U (Enter) = 0, , 9 0 = 0 οπότε τώρα εισ έρχεται τελικά σ την αγορά. Αν παρατηρήσ ει high output σ την πρώτη περίοδο θα εισ έλθει αφού 0,177>0 οπότε πλέον παίζει Enter με πιθανότητα 1 από το σ ύνολο πληροφοριών του A = {H 1, L 1 } και Stay out με πιθανότητα 0. Δηλαδή s 2 (ena) = 1, s 2 (saa) = 0, αντίθετα με πριν. Είναι τώρα όμως αντίσ τοιχα η προτεινόμενη σ τρατηγική του Monopol βέλτισ τη απάντησ η σ τις ενέργειες του Entrant; Είναι το σ ύσ τημα πεποιθήσ εων που έχουμε (το ίδιο που καθορίσ αμε σ τις δύο προηγούμενες περιπτώσ εις με p=0,1 και p=0,3) σ υνεπές με τον ορίζοντα σ τρατηγικής σ υμπεριφοράς; Ο Monopol παράγοντας high output κάθε φορά, με πιθανότητα 1 δηλαδή, αν είναι high cost έχει τώρα αναμενόμενη απόδοσ η U 1 = 0, 7 10, 77 = 7, 539 ενώ αν έκανε low output θα είχε U 1 = 1 11, 77 = 11, 77. Άρα δεν παίζει την βέλτισ τη σ τρατηγική του. Δεν μπορούμε πλέον να 126

127 σ υντάξουμε ισ ορροπία (pooling equilibrium) με αυτό τον ορίζοντα σ τρατηγικής σ υμπεριφοράς. Δεν έχουμε τώρα διαδοχική ισ ορροπία και σ ίγουρα δεν έχουμε όπως δείξαμε separating equilibrium. Μπορούμε να δούμε και αλλιώς, αναλυτικά ότι ο παίκτης 1 δεν βελτισ τοποιεί την σ τρατηγική του. Για το σ ύνολο πληροφοριών H (μονομελές, ένας κόμβος) είναι µ 1 (H) = 1, από την πλευρά του παίκτη 1 που βλέπει τα κόσ τη του. Μια σ τρατηγική σ υμπεριφοράς P (high output) = p και P (low output) = 1 p, με 0 p 1 παρέχει σ τον παίκτη 1 αναμενόμενη απόδοσ η U (p, H) = 1 {[p 0, 7 (1 10, )] + [(1 p ) 1 (1 11, )]} = 7, 539p +11, 77 11, 77p = 11, 77 4, 321p, η οποία όχι απλά δεν μεγισ τοποιείται για p'=1 (high output), αλλά το ακριβώς αντίθετο. Semi-separating equilibrium Περίπτωσ η p=0,7 Πρέπει λοιπόν να βρούμε πώς θα αλλάξει ο ορίζοντας σ τρατηγικής σ υμπεριφοράς και πώς θα αναθεωρηθούν οι πεποιθήσ εις ώσ τε αν είναι σ υνεπείς με τον νέο αυτό ορίζοντα να φτάσ ουμε σ ε ισ ορροπία. Απορρίψαμε pooling equilibrium, έχουμε απορρίψει και separating equilibrium, άρα είναι ορθολογικό να αναζητήσ- ουμε semi-separating equilibrium. Ετσ ι ο παίκτης 1 ίσ ως μπορεί να καθορίσ ει βέλτισ τη σ τρατηγική και να δομηθεί ένα σ υνεπές με αυτήν σ ύσ τημα πεποιθήσ εων. Ουσ ιασ τικά ο παίκτης 1, αφού πλέον δεδομένης της ισ χυρής πεποίθησ ης p του παίκτη 2 για την πιθανότητα ο παίκτης 1 να είναι high cost, δεν μπορεί να αποτρέψει την είσ οδο παίζοντας high output αν είναι high cost και να αποκρύψει πληροφορία και αφού το να παράγει σ ύμφωνα με τον τύπο του επίσ ης δεν σ υμφέρει όπως δείξαμε, θα παίξει κάποιες ενέργειές του με κάποια σ υγκεκριμένη πιθανότητα. Οι ενέργειες αυτές θα είναι φυσ ικά αυτές του high cost Monopol. Ο Monopol, θα εκτελέσ ει σ ίγουρα κάποια ενέργεια για έναν τύπο του, (high output για τύπο low cost όπως δείξαμε ότι πάντα μεγισ τοποιεί τα κέρδη του ως αυσ τηρά κυρίαρχη σ τρατηγική οπότε και εδώ) και θα παίξει με μία σ υγκεκριμένη πιθανότητα ανάμεσ α σ τις πιθανές ενέργειες για τον άλλο του τύπο, high cost, ώσ τε να επιτευχθεί ισ ορροπία. Κινούμασ τε πλέον για semi-separating equilibrium. Ο παίκτης 1 δεν θέλει να αποκαλύψει τον τύπο του σ τον παίκτη 2 και ο τρόπος να το επιτύχει αφού δεδομένου του p δεν μπορεί παίζοντας high output ως αγνή σ τρατηγική, είναι να παίζει με κάποια πιθανότητα κάθε επίπεδο παραγωγής. Με ποια όμως; Μα φυσ ικά με αυτή που κάνει τον παίκτη 2 αδιάφορο ως προς την είσ οδο ή όχι σ την αγορά. Με αυτή με την οποία ο παίκτης 2, δεδομένων των πεποιθήσ εών του που πλέον του προσ φέρουν μεγαλύτερη αναμενόμενη απόδοσ η από την είσ οδο παρά από την παραμονή εκτός αγοράς, θα οδηγούταν σ το να μην έχει τόσ ο ξεκάθαρη εικόνα για τα κόσ τη του παίκτη 1. Αυτό ταυτόχρονα είναι και το μόνο που μπορεί να κάνει ο παίκτης 2 σ την ισ ορροπία, δηλαδή δεδομένου πλέον ότι ο παίκτης 1 χρησ ιμοποιεί μικτή σ τρατηγική, χρησ ιμοποιεί και αυτός μικτή με 127

128 τρόπο που να εξουδετερώνει το δίλλημα Enter, Stay out και να επωφελείται από την επιλογή Enter. Η πεποίθησ η µ 2 = µ (H 1 ) που κάνει αδιάφορο τον Entrant για είσ οδο ή όχι σ την αγορά, δηλαδή την αναμενόμενη απόδοσ ή του ίδια με την παραμονή εκτός αγοράς (=0) είναι µ 2 1, 11 + (1 µ 2 ) ( 2) = 0 µ 2 = 2 3,11 = 0, Οπότε οι πεποιθήσ εις του παίκτη 2 πρέπει να ικανοποιούν το µ 2 = 0, Δεδομένης αυτής της πεποίθησ ης, των P ( high cost /high output) = 0, 7 και P ( low cost /high output) = 0, 3 και του ότι ο Monopol κάνει πάντα high output όταν είναι low cost και παίζει μικτή σ τρατηγική με πιθανότητα p H να κάνει high output όταν είναι high cost, διατυπώνουμε τον κανόνα του Bayes για να βρούμε ποια μικτή σ τρατηγική χρησ ιμοποιεί ο παίκτης 1 που υποσ τηρίζει αυτή την πεποίθησ η: µ 2 = 2 3,11 = 0,7 p H 0,7 p H +0,3 1 2, 177pH = 1, 4p H + 0, 6 p H = 0, 7722 και 1 p H = 0, Εχουμε λοιπόν την μικτή σ τρατηγική του παίκτη 1. Παίζει high output με πιθανότητα p H = 0, 7722 όταν είναι high cost (άρα low output με 1 p H = 0, 2278 ) και παίζει high output με πιθανότητα 1 (αγνή σ τρατηγική όταν είναι low cost). Ουσ ιασ τικά σ το παίγνιό μας γενικά η αναμενόμενη απόδοσ η του παίκτη 2 βάσ η των πεποιθήσ εών του είναι µ 2 1, 11+(1 µ 2 ) ( 2). Αν αυτή είναι <0, ο Entrant μένει εκτός αγοράς και αυτό γίνεται σ ε pooling equilibrium με την ισ ορροπία που είδαμε πρωτύτερα. Αν µ 2 1, 11 + (1 µ 2 ) ( 2) > 0 ο Entrant εισ έρχεται σ την αγορά. Αυτό όλο ανάγεται σ το αν µ 2 < 0, άρα παραμονή εκτός ή µ 2 > 0, άρα είσ οδο σ την αγορά. Στην δεύτερη περίπτωσ η όμως δεν έχουμε pooling equilibrium και αφού ο παίκτης 2 θα εισ έλθει σ ίγουρα, ο high cost παίκτης 1 δεν μπορεί να παράγει high output σ ταθερά για ισ ορροπία, ούτε low output σ ταθερά όπως δείξαμε. Άρα η βελτισ τοποίησ η της σ τρατηγικής του και μεγισ τοποίησ η αναμενόμενης απόδοσ ής του, θα επέλθει από το να προσ αρμόσ ει τον τρόπο που επιλέγει τα επίπεδα παραγωγής του έτσ ι που ο παίκτης 2 ενώ αρχικά είχε πεποίθησ η µ 2 > 0, 64308, αναθεωρώντας πεποιθήσ εις να φτάσ ει οριακά σ το µ 2 = 0, και εκεί έχουμε ισ ορροπία βάσ η σ τρατηγικών και πεποιθήσ εων όπου κανείς δεν μπορεί να βελτιώσ ει την θέσ η του και είναι και οι δύο οριακά αδιάφοροι για το αν θα μπει ή όχι ο Entrant αν δει high output και για το αν θα κάνει high ή low output ο Monopol αν είναι high cost. Κάθε φορά λοιπόν που µ 2 > 0, ο Monopol αναπροσ αρμόζει την σ τρατηγική του βάσ η των πεποιθήσ εων του Entrant και ο Entrant εκ νέου βάσ η της σ τρατηγικής που παίζει ο high cost Monopol τα επίπεδα παραγωγής, οπότε και φτάνουμε σ ε διαδοχική ισ ορροπία, semi-separating equilibrium με µ 2 0, Εχουμε καθορίσ ει την σ τρατηγική του παίκτη 1 οπότε τώρα πώς αναπροσ- αρμόζει ο παίκτης 2 την δική του σ τρατηγική; Οταν δει low output παίζει είσ οδο σ την αγορά με πιθανότητα 1 και αυτό δεν αλλάζει. Οταν δει high output είδαμε ότι πλέον εισ έρχεται επίσ ης σ την αγορά με πιθανότητα 1, αλλά αυτό θα σ υνέβαινε αν ο high cost Monopol έπαιζε high output με πιθανότητα 1. Βάσ η της νέας σ τρατηγικής high output με πιθανότητα p H = 0, 7722 όταν είναι high cost και low output με 1 p H = 0, 2278 και high output με πιθανότητα 1 (αγνή σ τρατηγική όταν είναι low cost), ποια είναι αντίσ τοιχα η πιθανότητα του παίκτη 2 να εισ έλθει 128

129 σ την αγορά (έσ τω e) που κάνει τον παίκτη 1 αδιάφορο μεταξύ επιλογής high ή low output όταν είναι high cost; Αυτή για την οποία ισ χύει U 1 ( high output /high cost) = U 1 ( high output /high cost) e 10, 77+(1 e) 17 = 11, 77 e = 5,23 6,23 = 0, Άρα ο παίκτης 2, παρατηρώντας high output σ την πρώτη περίοδο εισ έρχεται σ την αγορά με πιθανότητα e=0,8395 και μένει εκτός με πιθανότητα 1-e=0,1605 Εχουμε πλέον καθορίσ ει semi-separating equilibrium διαδοχική ισ ορροπία σ το παίγνιό μας η οποία είναι Εχουμε τον ορίζοντα σ τρατηγικής σ υμπεριφοράς s = (s 1, s 2 ) που δίνεται από s 1 (hoh) = 0, 7722, s 1 (loh) = 0, 2278, s 1 (hol) = 1, s 1 (lol) = 0 και s 2 (ena) = 0, 8395, s 2 (saa) = 0, 1605, s 2 (enb) = 1, s 2 (sab) = 0 και το σ ύσ τημα πεποιθήσ εων μ που είναι σ υνεπές με αυτό και δίνεται από µ (H) = 0, 7, µ (L) = 0, 3, µ (H 1 ) = 0, 6431, µ (H 2 ) = 1, µ (L 1 ) = 0, 3569, µ (L 2 ) = 0, τα οποία δομούν { την προτεινόμενη ισ ορροπία. Δηλαδή high output µε p H = 0, 7722 αν high cost Monopol high output αν low cost { Enter µε e = 0, 8395 αν δεις high output Entrant Enter αν δεις low output με πεποίθησ η σ χετικά με το αν αντιμετωπίζει high cost εταιρεία µ ( high cost /high output) = 0, 6431, µ ( high cost /low output) = 1 Η σ υνολική αναμενόμενη απόδοσ η του παίκτη 1 σ την ισ ορροπία είναι U 1 = 0, 7 {0, 7722 [(0, , 77) + (0, )] + (0, , 77)} + {0, 3 1 [(0, ) + (0, )]} = 16, 0761 ενώ του παίκτη 2 είναι U 2 = 0, 7 {0, 7722 [(0, , 11) + (0, )] + (0, , 11)} + {0, 3 1 [(0, 8395 ( 2)) + (0, )]} = 0, 177 Ας δούμε πάλι την ισ ορροπία που υπολογίζει το λογισ μικό Gambit. 129

130 Figure 23: Ισ ορροπία gambit περίπτωσ η p=0,7 Είναι ακριβώς αυτή που υπολογίσ αμε. Βλέπουμε πάνω από τους κόμβους τις πεποιθήσ εις του παίκτη 2 που εξάγαμε, τον παίκτη 1 να παίζει με πιθανότητα 0,7722 high output αν είναι high cost και τον παίκτη 2 έπειτα να εισ έρχεται σ την αγορά με πιθανότητα 0,8395. Περίπτωσ η p=0,8 Θα εξετάσ ουμε τώρα το τελευταίο μας σ ενάριο, σ το οποίο είναι p=0,8 και 1-p=0,2. Προφανώς οδηγούμασ τε πάλι σ ε μικτές σ τρατηγικές (αναζήτησ η semiseparating equilibrium) αφού δεν μπορεί να υποσ τηριχτεί κάτι άλλο. Η πεποίθησ η µ 2 = µ (H 1 ) που κάνει αδιάφορο τον Entrant για είσ οδο ή όχι σ την αγορά είναι πάντα η ίδια µ 2 1, 11 + (1 µ 2 ) ( 2) = 0 µ 2 = 2 3,11 = 0, Δεδομένης πάλι αυτής της πεποίθησ ης, των P ( high cost /high output) = 0, 8 τώρα και P ( low cost /high output) = 0, 2 και του ότι ο Monopol κάνει πάντα 130

131 high output όταν είναι low cost και παίζει μικτή σ τρατηγική με πιθανότητα p H να κάνει high output όταν είναι high cost, διατυπώνουμε τον κανόνα του Bayes για να βρούμε ποια μικτή σ τρατηγική χρησ ιμοποιεί ο παίκτης 1 που υποσ τηρίζει αυτή την πεποίθησ η: µ 2 = 2 3,11 = 0,8 p H 0,8 p H +0,2 1 2, 488pH = 1, 6p + 0, 4 p H = 0, 4505 και 1 p H = 0, Εχουμε λοιπόν την μικτή σ τρατηγική του παίκτη 1. Παίζει high output με πιθανότητα p H = 0, 4505 όταν είναι high cost (άρα low output με 1 p H = 0, 5495 ) και παίζει high output με πιθανότητα 1 (αγνή σ τρατηγική όταν είναι low cost). Βάσ η λοιπόν της σ τρατηγικής high output με πιθανότητα p H = 0, 4505 όταν είναι high cost και low output με 1 p H = 0, 5495 και high output με πιθανότητα 1 (αγνή σ τρατηγική όταν είναι low cost), ποια είναι αντίσ τοιχα η πιθανότητα του παίκτη 2 να εισ έλθει σ την αγορά (έσ τω e) που κάνει τον παίκτη 1 αδιάφορο μεταξύ επιλογής high ή low output όταν είναι high cost; Αυτή για την οποία ισ χύει U 1 ( high output /high cost) = U 1 ( high output /high cost) e 10, 77+(1 e) 17 = 11, 77 e = 5,23 6,23 = 0, δηλαδή ίδια με πριν, αφού ο παίκτης 1 αναπροσ άρμοσ ε την σ τρατηγική του ώσ τε να φτάσ ουμε σ το οριακό αυτό σ ημείο ισ ορροπίας όπου οι επιλογές φαντάζουν όμοιες. Οι πεποιθήσ εις του παίκτη 2 και η πιθανότητα που επιλέγει ανάμεσ α σ ε είσ οδο ή όχι σ την αγορά παραμένουν ίδιες σ την ισ ορροπία και είναι αυτές που οριακά κάνουν ίσ η την αναμενόμενη απόδοσ η από την είσ οδο ή όχι σ την αγορά βάσ η των αναθεωρημένων σ τρατηγικών του παίκτη 1. Αυτός χάνει την χρήσ η βέλτισ της σ τρατηγικής όταν δεν σ υντάσ σ εται pooling equilibrium και αλλάζει την μικτή σ τρατηγική του όταν είναι high cost βάσ η των αρχικών πεποιθήσ εων p του παίκτη 2, οπότε και φτάνουμε σ την μοναδική ισ ορροπία όπου µ 2 = 0, Άρα ο παίκτης 2, παρατηρώντας high output σ την πρώτη περίοδο εισ έρχεται σ την αγορά πάλι με πιθανότητα e=0,8395 και μένει εκτός με πιθανότητα 1- e=0,1605 Εχουμε πλέον καθορίσ ει semi-separating equilibrium διαδοχική ισ ορροπία σ το παίγνιό μας η οποία είναι Εχουμε τον ορίζοντα σ τρατηγικής σ υμπεριφοράς s = (s 1, s 2 ) που δίνεται από s 1 (hoh) = 0, 4505, s 1 (loh) = 0, 5495, s 1 (hol) = 1, s 1 (lol) = 0 και s 2 (ena) = 0, 8395, s 2 (saa) = 0, 1605, s 2 (enb) = 1, s 2 (sab) = 0 και το σ ύσ τημα πεποιθήσ εων μ που είναι σ υνεπές με αυτό και δίνεται από µ (H) = 0, 8, µ (L) = 0, 2, µ (H 1 ) = 0, 6431, µ (H 2 ) = 1, µ (L 1 ) = 0, 3569, µ (L 2 ) = 0, τα οποία δομούν { την προτεινόμενη ισ ορροπία. Δηλαδή high output µε p H = 0, 4505 αν high cost Monopol high output αν low cost { Enter µε e = 0, 8395 αν δεις high output Entrant Enter αν δεις low output με πεποίθησ η σ χετικά με το αν αντιμετωπίζει high cost εταιρεία µ ( high cost /high output) = 0, 6431, µ ( high cost /low output) = 1 Η σ υνολική αναμενόμενη απόδοσ η του παίκτη 1 σ την ισ ορροπία είναι 131

132 U 1 = 0, 8 {0, 4505 [(0, , 77) + (0, )] + (0, , 77)} + {0, 2 1 [(0, ) + (0, )]} = 14, 6407 ενώ του παίκτη 2 είναι U 2 = 0, 8 {0, 4505 [(0, , 11) + (0, )] + (0, , 11)} + {0, 2 1 [(0, 8395 ( 2)) + (0, )]} = 0, 488 Το λογισ μικό Gambit επιβεβαιώνει την ισ ορροπία μας και τις μεταβολές που επέρχονται μόνο σ την μικτή σ τρατηγική του high cost Monopol Figure 24: Ισ ορροπία Gambit περίπτωσ η p=0,8 Εχουμε τα σ υγκεντρωτικά αποτελέσ ματα για την περιγραφή διαδοχικής ισ ορροπίας του παιγνίου της εξέτασ ης από μία εταιρεία εισ όδου σ ε αγορά που κυριαρχεί ένα μονοπώλιο και αν τελικά εισ έλθει ανταγωνίζονται σ ε δυοπώλιο ποσ οτήτων Cournot με τις αποδόσ εις του σ χήματος

133 Αν p 0, { 6431 η ισ ορροπία είναι high output αν high cost Monopol high output αν low cost { Stay out αν δεις high output Entrant Enter αν δεις low output με πεποίθησ η σ χετικά με το αν αντιμετωπίζει high cost εταιρεία µ ( high cost /high output) = p, µ ( high cost /low output) = 1, με πεποίθησ η σ χετικά με το αν αντιμετωπίζει low cost εταιρεία µ ( low cost /high output) = 1 p, µ ( low cost /low output) = 0 Η σ υνολική αναμενόμενη απόδοσ η του παίκτη 1 σ την ισ ορροπία είναι U 1 = p 17 + (1 p) 32 ενώ του παίκτη 2 είναι U 2 = 0 αφού μένει εκτός αγοράς Εχουμε pooling equilibria Αν p 0, 6431 η ισ ορροπία είναι { high output µε πιθανότητα p H αν high cost Monopol high output αν low cost όπου p H = 2 2p 1,11p (αφού µ 2 = 2 3,11 = p p H p p H +(1 p) 1 2p ph + 2 (1 p) = 3, 11p p H 1, 11p p H = 2 2p p H = 2 2p 1,11p ) { Entrant Enter µε πιθανότητα e = 0, 8395 αν δεις high output Enter αν δεις low output με πεποίθησ η σ χετικά με το αν αντιμετωπίζει high cost εταιρεία µ ( high cost /high output) = 0, 6431, µ ( high cost /low output) = 1, με πεποίθησ η σ χετικά με το αν αντιμετωπίζει low cost εταιρεία µ ( low cost /high output) = 0, 3569, µ ( low cost /low output) = 0 Η σ υνολική αναμενόμενη απόδοσ η του παίκτη 1 σ την ισ ορροπία είναι U 1 = p {p H [(0, , 77) + (0, )] + ((1 p H ) 1 11, 77)} + {(1 p) 1 [(0, ) + (0, )]} ενώ του παίκτη 2 είναι U 2 = p {p H [(0, , 11) + (0, )] + ((1 p H 1 1, 11)} + {(1 p) 1 [(0, 8395 ( 2)) + (0, )]} Εχουμε semi-separating equilibria 133

134 6 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΓΕΝΙΚΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΨΕΥΔΟΚ- ΩΔΙΚΑ ΓΙΑ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΣΕ LIMIT PRICING ΠΑΙΓΝΙΟ ΜΕ ΠΡΟ- ΣΟΜΟΙΩΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΣΕ ΦΥΛΛΟ EXCEL 6.1 Περιγραφή αλγορίθμου για εφαρμογή στην γενική περίπτωση Βλέπουμε ότι ο καθορισ μός διαδοχικής ισ ορροπίας ανάγεται ουσ ιασ τικά σ την αρχική πεποίθησ η του Entrant p για την πιθανότητα να αντιμετωπίζει high cost Monopol, αφού αυτή μεταφέρεται αυτούσ ια σ τον κόμβο H1 και αν µ 2 < 2 3,11 = 0, έχουμε pooling equilibrium με τον Entrant να μένει σ την ισ ορροπία εκτός αγοράς, ενώ αν µ 2 > 2 3,11 = 0, έχουμε semi-separating equilibrium με τον Entrant σ την ισ ορροπία να εισ έρχεται σ την αγορά παίζοντας μικτή σ τρατηγική σ ε αντισ τοιχία με τον παίκτη 1 με σ χηματισ μό πεποίθησ ης οριακά µ 2 = 2 3,11 = 0, Αφού επίσ ης και ο υπολογισ μός αποδόσ εων ανάγεται σ ε standard σ χέσ εις τόσ ο σ την ισ ορροπία Cournot όσ ο και σ την μεγισ τοποίησ η κέρδους μονοπωλίου που δρα μόνο του, μπορούμε να κατασ κευάσ ουμε αλγόριθμο που θα παίρνει ως δεδομένα τα κόσ τη των εταιρειών, την σ ταθερά σ την αντίσ τροφη σ υνάρτησ η ζήτησ ης, το κόσ- τος εισ όδου του παίκτη 2 σ την αγορά και θα υπολογίζει τις αποδόσ εις σ τους τερματικούς κατασ κευάζοντας ουσ ιασ τικά το παίγνιο, ενώ εν σ υνεχεία θα εισ άγουμε την αρχική πεποίθησ η του Entrant p για την πιθανότητα να αντιμετωπίζει high cost Monopol και ο αλγόριθμος θα εξάγει την ισ ορροπία του παιγνίου, λέγοντάς μας φυσ ικά σ ' αυτήν αν πρέπει ή όχι να εισ έλθει o Entrant σ την αγορά. Η πεποίθησ η αυτή του παίκτη 2 προκύπτει όπως είδαμε από την σ χέσ η µ 2 1, 11 + (1 µ 2 ) ( 2) = 0. Αν ονομάσ ουμε τους τερματικούς κόμβους με την σ ειρά από πάνω προς τα κάτω H1_E, H1_S.o, H2_E, H2_S.o, L1_E, L1_S.o, L2_E, L2_S.o όπως φαίνεται σ το σ χήμα, η σ χέσ η γίνεται µ 2 Π 2 (H1_E) + Π 2(L1_E) Π 2(L1_E)+Π 2(H1_E) (1 µ 2 ) Π 2 (L1_E) = 0 µ 2 = σ την γενική περίπτωσ η και τότε ο καθορισ μός ισ ορροπίας σ την γενική περίπτωσ η και αφού το µ 2 παίρνει την τιμή του p, ανάγεται σ το αν p Π 2 (H1_E) + (1 p) Π 2 (L1_E) < ή >0. 134

135 Figure 25: Γενική περίπτωσ η παιγνίου για κατασ κευή αλγορίθμου Φυσ ικά θα έχουμε λογικούς περιορισ μούς. Αυτοί είναι: q1 = M+c2 2c1 3 0 και q2 = M+c1 2c2 3 0 ώσ τε και οι δύο εταιρείες παράγουν θετικές ποσ ότητες προϊόντων, που είναι και το θεμιτό για να υπάρχει λογική σ υνέχεια. c 1 > 0 και c 2 > 0, ενώ c H > c L αφού το κόσ τος του high cost Monopol είναι προφανώς μεγαλύτερο από του low cost. Τέλος (M + c H 2c 2 ) 2 /9 > F > (M + c L 2c 2 ) 2 /9 δηλαδή αυτό που είπαμε και δείξαμε, ότι ορθολογικά, υπό πλήρη, τέλεια πληροφόρησ η, ο Entrant θα εισ- ερχόταν σ την αγορά μόνο αν ο Monopol ήταν high cost εταιρεία. Χρησ ιμοποιώντας τον πίνακα για τις αποδόσ εις που έχουμε παραθέσ ει νωρίτερα, τον οποίο υπενθυμίζουμε εδώ 135

136 Είσ οδος Entrant κ' c 1 = c L Είσ οδος Entrant κ' c 1 = c H Entrant εκτός Κέρδος Monop.c L (M + c 2 2c L ) 2 /9 (M c L ) 2 /4 Κέρδος Monop.c H (M + c 2 2c H ) 2 /9 (M c H ) 2 /4 Κέρδος Entrant (M + c L 2c 2 ) 2 /9 F (M + c H 2c 2 ) 2 /9 F 0 Table 18: Αποδόσ εις παιγνίου αναλυτικά βάσ η κόσ τους και το ότι σ την γενική περίπτωσ η για την πρώτη περίοδο: Αν είναι high cost και παράγει high output Π 1 = (M q L ) q L c H q L με q L = M c L/2 Αν είναι low cost και παράγει low output Π 1 = (M q H ) q H c L q H με q H = M c H/2 (Αφού είδαμε ότι η ποσ ότητα παραγωγής που μεγισ τοποιεί τα κέρδη του μονοπωλητή ανάλογα με την περίσ τασ η είναι q 1 = M c1 /2). Μπορούμε τώρα να υπολογίσ ουμε σ ε κάθε περίπτωσ η τις αποδόσ εις σ τους τερματικούς κόμβους για την γενική περίπτωσ η: Π 1 (Monopol) Π 2 (Entrant) H1_E [(M q L ) q L c H q L ]+ (M + c 2 2c H ) 2 /9 (M + c H 2c 2 ) 2 /9 F H1_S.o [(M q L ) q L c H q L ]+ (M c H ) 2 /4 0 H2_E [(M c H ) 2 /4]+[(M + c 2 2c H ) 2 /9] (M + c H 2c 2 ) 2 /9 F H2_S.o [(M c H ) 2 /4]+[(M c H ) 2 /4] = 2(M c H ) 2 /4 0 L1_E [(M c L ) 2 /4]+[(M + c 2 2c L ) 2 /9] (M + c L 2c 2 ) 2 /9 F L1_S.o [(M c L ) 2 /4]+[(M c L ) 2 /4] = 2(M c L ) 2 /4 0 L2_E [(M q H ) q H c L q H ]+ (M + c 2 2c L ) 2 /9 (M + c L 2c 2 ) 2 /9 F L2_S.o [(M q H ) q H c L q H ]+ (M c L ) 2 /4 0 Table 19: Αποδόσ εις σ τους τερματικούς κόμβους για κατασ κευή παιγνίου Αν p Π 2 (H1_E) + (1 p) Π 2 (L1_E) 0 έχουμε pooling equilibrium, όπου o Entrant δεν εισ έρχεται σ την αγορά και H πεποίθησ η σ χετικά με το αν αντιμετωπίζει high cost εταιρεία σ ε pooling equilibrium είναιµ ( high cost /high output) = p, µ ( high cost /low output) = 1, 136

137 Η πεποίθησ η σ χετικά με το αν αντιμετωπίζει low cost εταιρεία σ ε pooling equilibrium είναι µ ( low cost /high output) = 1 p, µ ( low cost /low output) = 0 Η σ υνολική αναμενόμενη απόδοσ η του παίκτη 1 σ ε pooling equilibrium είναι U 1 = p Π 1 (H1_S.o) + (1 p) Π 1 (L1_S.o) ενώ του παίκτη 2 είναι U 2 = 0 Αν p Π 2 (H1_E) + (1 p) Π 2 (L1_E) 0 έχουμε semi-separating equilibrium, όπου o Entrant εισ έρχεται σ την αγορά με πιθανότητα e=[π 1 (H2_E) Π 1 (H1_S.o)] / [Π 1 (H1_E) Π 1 (H1_S.o)] που πηγάζει από την απαίτησ η e Π 1 (H1_E) + (1 e) Π 1 (H1_S.o) = Π 1 (H2_E) και είναι η γενική περίπτωσ η ώσ τε U 1 ( high output /high cost) = U 1 ( high output /high cost) που είδαμε ότι εξετάζουμε. Ενώ ο Monopol κάνει high output με πιθανότητα p H, όπου p H = Π2(L1_E) ( Π2(L1_E) p) Π 2(H1_E) p αφού µ 2 = Π 2(L1_E) Π = p p H 2(L1_E)+Π 2(H1_E) p p H +(1 p) 1. H πεποίθησ η σ χετικά με το αν αντιμετωπίζει high cost εταιρεία σ ε semiseparating equilibrium είναιµ ( high cost Π /high output) = 2(L1_E) Π, µ 2(L1_E)+Π 2(H1_E) (high cost /low output) = 1, Η πεποίθησ η σ χετικά με το αν αντιμετωπίζει low cost εταιρεία σ ε semi-separating equilibrium είναι µ ( low cost Π /high output) =1 2(L1_E) Π, µ 2(L1_E)+Π 2(H1_E) (low cost /low output) = 0 Η σ υνολική αναμενόμενη απόδοσ η του παίκτη 1 σ την semi-separating equilibrium είναι U 1 = p {p H [(e Π 1 (H1_E)) + ((1 e) Π 1 (H1_S.o))] + ((1 p H ) 1 Π 1 (H2_E))} + {(1 p) 1 [(e Π 1 (L1_E)) + ((1 e) Π 1 (L1_S.o)]} ενώ του παίκτη 2 είναι U 2 = p {p H [(e Π 2 (H1_E)) + ((1 e) Π 2 (H1_S.o))] + ((1 p H ) 1 Π 2 (H2_E))} + {(1 p) 1 [(e Π 2 (L1_E)) + ((1 e) Π 2 (L1_S.o)]} Είμασ τε πλέον έτοιμοι να φτιάξουμε τον αλγόριθμό μας σ ε ψευδοκώδικα. Ακολουθεί σ το επόμενο τμήμα 137

138 6.2 Ψευδοκώδικας αλγορίθμου κατασκευής παιγνίου εξέτασης εισόδου σε μονοπωλιακή αγορά, μετά από παρατήρηση πρώτου επιπέδου παραγωγής του μονοπωλίου και όπου θα ανταγωνιστούν σε Cournot. Algorithm 1 ΕΥΡΕΣΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΕΙΣΟΔΟΥ ΣΤΗΝ ΑΓΟΡΑ ΜΕ ΑΝΤ- ΑΓΩΝΙΣΜΟ COURNOT program Εισ αγωγή_σ την_αγορά variables real: costhc, costlc, costen, M, c H, c L, c 2, F, p, e, q L, q H, p H, µ hh, µ lh, q 1h, q 2h, q 1l, q 2l, real: Π 1 (H1_E), Π 1 (H1_S.o),Π 1 (H2_E), Π 1 (H2_S.o) real: Π 1 (L1_E),Π 1 (L1_S.o), Π 1 (L2_E), Π 1 (L2_S.o) real: Π 2 (H_E),Π 2 (H_S.o), Π 2 (L_E), Π 2 (L_S.o) begin costhc 1 costlc 2 costen 0 q 1h 1 q 1l 1 q 2h 1 q 1l 1 while (q 1h < 0) or (q 1l < 0) or (q 2h < 0) or (q 2l < 0) { Εμφάνισ ε 'Δώσ ε σ ταθερά αντίσ τροφης σ υνάρτησ ης : ' Διάβασ ε M while (M 0) or (M = char ) { Εμφάνισ ε 'Παρακαλώ εισ άγετε θετικό αριθμό για σ ταθερά αντίσ τροφης σ υνάρτησ ης ζήτησ ης : ' Διάβασ ε M } while (costhc costlc) { Εμφάνισ ε 'Δώσ ε σ ταθερά κόσ τους του high cost Monopol : ' Διάβασ ε c H while (c H 0) or (c H = char ) { Εμφάνισ ε 'Παρακαλώ εισ άγετε θετικό αριθμό για την σ ταθερά κόσ τους του high cost Monopol' Διάβασ ε c H } costhc c H 138

139 Εμφάνισ ε 'Δώσ ε σ ταθερά κόσ τους του low cost Monopol : ' Διάβασ ε c L while (c L 0) or (c L = char ) { Εμφάνισ ε 'Παρακαλώ εισ άγετε θετικό αριθμό για την σ ταθερά κόσ τους του low cost Monopol : ' Διάβασ ε c L } costlc c L if (costhc costlc) { Εμφάνισ ε 'Ο low cost δεν μπορεί να έχει υψηλότερα κόσ τη από τον high cost Monopol' } } Εμφάνισ ε ' Δώσ ε σ ταθερά κόσ τους του Entrant : ' Διάβασ ε c 2 while (c 2 0) or (c 2 = char ) { Εμφάνισ ε 'Παρακαλώ εισ άγετε θετικό αριθμό για κόσ τη του Entrant : ' Διάβασ εc 2 } costen c 2 q1h (M + costen 2 costhc)/3 q1l (M + costen 2 costlc)/3 (M + costhc 2 costen)/3 q2h q2l (M + costlc 2 costen)/3 if ((q1h < 0) or (q 1l < 0) or (q 2h < 0) or (q 2l < 0)) Εμφάνισ ε 'Πρέπει να έχουμε θετικές ποσ ότητες, θα βάλουμε τις μεταβλητές από την αρχή ' } repeat Εμφάνισ ε 'Δώσ ε κόσ τος εισ όδου Entrant : ' Διάβασ ε F if not (((M + c H 2c 2 ) 2 /9 > F ) and (F > (M + c L 2c 2 ) 2 /9)) Εμφάνισ ε 'Μη έγκυρο κόσ τος εισ όδου Entrant, δεν έχει νόημα, θα τον κατατροπώσ ει σ ίγουρα ο low cost Monopol! ' until (((M + c H 2c 2 ) 2 /9 > F ) and (F > (M + c L 2c 2 ) 2 /9) ) q L (M c L ) /2 q H (M c H ) /2 Π 1 (H1_E) [(M q L ) q L c H q L ]+[(M + c 2 2c H ) 2 /9] Π 1 (H1_S.o) [(M q L ) q L c H q L ]+ (M c H ) 2 /4 Π 1 (H2_E) [(M c H ) 2 /4]+[(M + c 2 2c H ) 2 /9] Π 1 (H2_S.o) 2(M c H ) 2 /4 Π 1 (L1_E) [(M c L ) 2 /4]+[(M + c 2 2c L ) 2 /9] Π 1 (L1_S.o) 2(M c L ) 2 /4 Π 1 (L2_E) [(M q H ) q H c L q H ]+ (M + c 2 2c L ) 2 /9 139

140 Π 1 (L2_S.o) [(M q H ) q H c L q H ]+ (M c L ) 2 /4 Π 2 (H_E) (M + c H 2c 2 ) 2 /9 F Π 2 (H_S.o) 0 Π 2 (L_E) (M + c L 2c 2 ) 2 /9 F ; Π 2 (L_S.o) 0 p H ( Π 2 (L_E) ( Π 2 (L_E) p))/(π 2 (H_E) p) Εμφάνισ ε { 'Οι αποδόσ εις έχουν ως εξής σ το παίγνιό μας : ' 'Αν είναι high cost ο Monopol, ' ; '...και επιλέξει high output σ την πρώτη περίοδο, ' '...αν ο Entrant μπει σ την αγορά : ' '...Απόδοσ η Monopol= ' Π 1 (H1_E) '...Απόδοσ η Entrant= ' Π 2 (H_E) '...αν ο Entrant δεν μπει σ την αγορά : ' '...Απόδοσ η Monopol= ' Π 1 (H1_S.o) '...Απόδοσ η Entrant= ' Π 2 (H_S.o) 'Αν είναι high cost ο Monopol, ' '...και επιλέξει low output σ την πρώτη περίοδο, ' '...αν ο Entrant μπει σ την αγορά : ' '...Απόδοσ η Monopol= ' Π 1 (H2_E) '...Απόδοσ η Entrant= ' Π 2 (H_E) '...αν ο Entrant δεν μπει σ την αγορά : ' '...Απόδοσ η Monopol= ' Π 1 (H2_S.o) '...Απόδοσ η Entrant= 'Π 2 (H_S.o) 'Αν είναι low cost ο Monopol, ' '...και επιλέξει high output σ την πρώτη περίοδο, ' '...αν ο Entrant μπει σ την αγορά : ' '...Απόδοσ η Monopol= ' Π 1 (L1_E) '...Απόδοσ η Entrant= ' Π 2 (L_E) '...αν ο Entrant δεν μπει σ την αγορά : ' '...Απόδοσ η Monopol= ' Π 1 (L1_S.o) '...Απόδοσ η Entrant= 'Π 2 (L_S.o) 'Αν είναι low cost ο Monopol, ' '...και επιλέξει low output σ την πρώτη περίοδο (δεν το νομίζω βέβαια), ' '...αν ο Entrant μπει σ την αγορά : ' '...Απόδοσ η Monopol= ' Π 1 (L2_E) '...Απόδοσ η Entrant= ' Π 2 (L_E) '...αν ο Entrant δεν μπει σ την αγορά' '...Απόδοσ η Monopol= ' Π 1 (L2_S.o) '...Απόδοσ η Entrant= ' Π 2 (L_S.o) } Εμφάνισ ε 'Παρακαλώ εισ άγετε πιθανότητα p για πεποίθησ η ο Monopol να είναι high cost : ' Διάβασ ε p 140

141 while (p < 0 or p > 1 or p = char ) { Εμφάνισ ε 'Παρακαλώ εισ άγετε θετική πιθανότητα 0 p 1 για πεποίθησ η ο Monopol να είναι high cost : ' Διάβασ ε p } if ((p Π 2 (H1_E) + (1 p) Π 2 (L1_E)) 0 ) then { Εμφάνισ ε { 'Entrant Stays Out! ' 'Our pooling { equilibrium is : ' high output αν high cost 'M onopol high outout αν low cost ' { Stay out αν δεις high output 'Entrant Enter αν δεις low output ' 'με πεποίθησ η σ χετικά με αν αντιμετωπίζει high cost εταιρεία : ' 'µ ( high cost /high output) = p ',µ ( high cost /low output) = 1 'με πεποίθησ η σ χετικά με αν αντιμετωπίζει low cost εταιρεία : ' µ ( low cost /high output) = 1 p ', µ ( low cost /low output) = 0 'Η σ υνολική αναμενόμενη απόδοσ η του παίκτη 1 σ την ισ ορροπία είναι : ' U 1 = p (H1_S.o)+ (1 p) (L1_S.o) 'ενώ του παίκτη 2 είναι : ' U 2 = 0 } else { µ hh [( Π 2 (L_E))/( Π 2 (L_E) + Π 2 (H_E))] µ lh {1 [( Π 2 (L_E))/( Π 2 (L_E) + Π 2 (H_E))]} Εμφάνισ ε 'Entrant Enters the market! ' 'Our semi-separating { equilibrium is : ' high output µε πιθανότητα p H = p H αν high cost Monopol high outout αν low cost ' e [Π 1 (H2_E) { Π 1 (H1_S.o)] / [Π 1 (H1_E) Π 1 (H1_S.o)] Enter µε πιθανότητα e = e αν δεις high output Entrant Enter αν δεις low output 'με πεποίθησ η σ χετικά με αν αντιμετωπίζει high cost εταιρεία : ' 'µ ( high cost /high output) = µ hh ', µ ( high cost /low output) = 1 'με πεποίθησ η σ χετικά με το αν αντιμετωπίζει low cost εταιρεία : ' 'µ ( low cost /high output) = µ lh ', µ ( low cost /low output) = 0 ' Η σ υνολική αναμενόμενη απόδοσ η του παίκτη 1 σ την ισ ορροπία είναι : ' U 1 = p {p H [(e Π 1 (H1_E)) + ((1 e) Π 1 (H1_S.o))]+ 141

142 ((1 p H ) 1 Π 1 (H2_E))} + {(1 p) 1 [(e Π 1 (L1_E)) + ((1 e) Π 1 (L1_S.o)]} 'ενώ του παίκτη 2 είναι : ' U 2 = p {p H [(e Π 2 (H_E)) + ((1 e) Π 2 (H_S.o))]+ ((1 p H ) 1 Π 2 (H_E))}+{(1 p) 1 [(e Π 2 (L_E))+((1 e) Π 2 (L_S.o)]} } } end. 6.3 Προσομοίωση υπολογισμών και ισορροπίας σε Excel Προσ θέτουμε εδώ υπολογισ τικό φύλλο Excel, το οποίο χρησ ιμοποιεί τους τύπους ακριβώς όπως τους εξάγαμε σ το υποκεφάλαιο 6.1 και οπτικοποιεί τις εκάσ τοτε αποδόσ εις του παιγνίου αλλά και την ισ ορροπία αυτού. Ο χρήσ της εισ άγει πρώτα τα δεδομένα σ την σ τήλη Β (από Β1 μέχρι Β5) και σ υγκεκριμένα την σ ταθερά σ την αντίσ τροφη σ υνάρτησ η ζήτησ ης, τα σ ταθερά κόσ τη των παικτών-εταιρειών και το κόσ τος εισ όδου του παίκτη 2. Επειτα εισ άγει την αρχική πεποίθησ η του παίκτη 2, p, για την πιθανότητα να αντιμετωπίζει υψηλού κόσ τους παίκτη 1 σ το Β12 και εμφανίζονται όλα τα αποτελέσ ματα. Θα δείξουμε τους υπολογισ μούς και τα αποτελέσ ματα, εξετάζοντας επίσ ης την ανταπόκρισ ή σ τους λογικούς περιορισ μούς που έχει ο αλγόριθμός μας. Η αρχική εικόνα που βλέπει ο χρήσ της είναι η ακόλουθη 142

143 Figure 26: Αρχική εικόνα Excel πριν την εισ αγωγή δεδομένων Εισ άγουμε τα δεδομένα για τα οποία επιλύσ αμε το παίγνιό μας, δηλαδή M = 14, c H = 8, c L = 6, c 2 = 7 και F = 6 και πατάμε Enter. Το αποτέλεσ μα που παίρνουμε είναι Figure 27: Αποτέλεσ μα για εισ αγωγή ορθών δεδομένων εκτός p 143

144 Βλέπουμε ότι παίρνουμε ακριβώς τα αποτελέσ ματα σ τα οποία καταλήξαμε με αναλυτικές πράξεις προηγουμένως και έχουμε καθολική εικόνα, καθώς φαίνονται ποσ ότητες παραγωγής του high και low cost Monopol πρώτης περιόδου, κέρδη του high cost Monopol που κάνει high output και του low cost Monopol που κάνει low output σ την πρώτη περίοδο, βέλτισ τες ποσ ότητες παραγωγής σ ε ισ ορροπία Cournot αν εισ έλθει ο Entrant σ την αγορά και όλες οι αποδόσ εις του παιγνίου. Οι ποσ ότητες παραγωγής είναι θετικές, το οποίο είναι και κριτήριο λογικής σ υνέχειας. Θα δούμε παρακάτω ότι ακόμα και για ορθά κόσ τη και σ ταθερά ζήτησ ης, αν τα q είναι αρνητικά το Excel δεν προχωράει σ ε υπολογισ μό. Δεν έχουμε εισ άγει ακόμα την πεποίθησ η p του Entrant οπότε και τα αποτελέσ ματα που εξαρτώνται από αυτή είναι προς το παρόν 0. Ας θέσ ουμε p = 0, 3 και να δούμε το αποτέλεσ μα. Figure 28: Αποτέλεσ μα για εισ αγωγή ορθών δεδομένων και p=0,3 Εχουμε τώρα την ισ ορροπία μας. Βλέπουμε την υπόδειξη 'Entrant stays out of the market!', την αναφορά Pooling Equilibrium, όλες τις πεποιθήσ εις σ την ισ ορροπία αυτή υπολογισ μένες ορθά όπως τις είχαμε εξάγει και τις πιθανότητες με τις οποίες ο Monopol κάνει high ή low output (εδώ always αφού είναι Pooling Equilibrium). Ακόμα, τις αναμενόμενες αποδόσ εις των παικτών σ την ισ ορροπία (πάλι με ίδια νούμερα που πισ τοποιούν την ορθότητα). Οι πιθανότητες p H και e είναι 0 καθώς δεν υπεισ έρχονται σ την ισ ορροπία αυτή. Ας κάνουμε τον πρώτο μας λογικό έλεγχο. Το p πρέπει να είναι 0 p 1 αφού είναι πιθανότητα. Αν εισ άγουμε αρνητικό p, για παράδειγμα -1, έχουμε 144

145 Figure 29: Αποτέλεσ μα (λογικός έλεγχος) για p<0 Το Excel μας αντιδρά σ ωσ τά και ειδοποιεί τον χρήσ τη ότι πρέπει 0 p 1 ενώ τα υπόλοιπα πεδία δεν υπολογίζονται αλλιώς θα έχουμε λάθος αποτελέσ ματα, σ τηριζόμενοι σ ε κάτι που είναι άτοπο. Θέτουμε τώρα p = 2 και αναμένουμε την ίδια αντίδρασ η από το πρόγραμμά μας, την οποία και παίρνουμε όπως βλέπουμε παρακάτω Figure 30: Αποτέλεσ μα (λογικός έλεγχος) για p>1 Αλλάζουμε τώρα το p σ ε 0,1 για να δούμε αν σ υμβαίνει ορθή αναπροσ αρμογή. 145

146 Αναμένουμε πάλι pooling equilibrium, αλλά με άλλες αναμενόμενες αποδόσ εις και πεποιθήσ εις. Εχουμε Figure 31: Αποτέλεσ μα για εισ αγωγή ορθών δεδομένων και p=0,1 Βλέπουμε ότι εξάγει πάλι την σ ωσ τή ισ ορροπία αναπροσ αρμόζοντας όπως πρέπει τα αποτελέσ ματα, με πεποίθησ η πλέον για αντιμετώπισ η high cost Monopol δεδομένου high output, 0,1. Επίσ ης η αναμενόμενη απόδοσ η του παίκτη 1 είναι υπολογισ μένη σ ωσ τά, όπως ακριβώς καταλήξαμε σ την ανάλυσ ή μας σ ε U 1 = 30, 5. Αυξάνουμε τώρα το p σ ε p = 0, 7, το οποίο αλλάζει τελείως την ισ ορροπία όπως έχουμε δει. Η υπολογισ τική μας εφαρμογή δίνει το εξής Figure 32: Αποτέλεσ μα για εισ αγωγή ορθών δεδομένων και p=0,7 146

147 Τώρα οι πιθανότητες p H και e είναι υπολογισ μένες και χρησ ιμοποιούνται για τον καθορισ μό της ισ ορροπίας. Βλέπουμε χαρακτηρισ τικά ότι πλέον 'Entrant enters the market with prob e' και την αναφορά 'Semi-separating equilibrium'. Οι πεποιθήσ εις είναι υπολογισ μένες ορθά καθώς και οι αναμενόμενες αποδόσ εις, ενώ εδώ ο high cost Monopol δεν κάνει 'always' high output αλλά με πιθανότητα p H. Η μικρή απόκλισ η σ τα αποτελέσ ματα από τους αρχικούς μας υπολογισ μούς έχει να κάνει με την ακρίβεια δεκαδικών ψηφίων. Είχαμε χρησ ιμοποιήσ ει δύο δεκαδικά ψηφία, επειδή αυτό κάνει και το Gambit, για να επαληθεύσ ουμε τα αποτελέσ ματά μας. Εδώ χρησ ιμοποιούμε ακόμα μεγαλύτερη ακρίβεια μέσ ω του Excel, οπότε τα αποτελέσ ματα είναι ακόμα πιο ακριβή. Η πεποίθησ η ότι ο Monopol είναι high cost δεδομένου high output είναι µ 2 = 0, ενώ εμείς, χρησ ιμοποιώντας σ τα κέρδη δύο δεκαδικά, δηλαδή 2.77, 1.11, 10.77, την είχαμε υπολογίσ ει µ 2 = 0, σ ε αντισ τοιχία με το Gambit που την εμφανίζει 0,6431. Αντίσ τοιχα για όλα τα υπόλοιπα. Τα αποτελέσ ματα λοιπόν είναι πάλι σ ωσ τά και μάλισ τα ακόμα πιο ακριβή. Η τελευταία μας δοκιμή θα είναι με p = 0, 8. Ακολουθεί παρακάτω Figure 33: Αποτέλεσ μα για εισ αγωγή ορθών δεδομένων και p=0,8 Η εφαρμογή μας ορθά αναπροσ αρμόζει την πιθανότητα p H με την οποία ο high cost Monopol κάνει high output, με τις πεποιθήσ εις του Entrant να μένουν ίδιες όπως έχουμε δει σ ε semi-separating equilibrium και τις αναμενόμενες αποδόσ εις των παικτών φυσ ικά να αλλάζουν. Θα δείξουμε τώρα την ορθολογική σ υμπεριφορά του για όλους τους υπόλοιπους περιορισ μούς, καθώς θα εισ άγουμε ένα-ένα δεδομένα που οδηγούν σ ε άτοπο. Ξεκινάμε π.χ για την τελευταία περίπτωσ η με p = 0, 8 βάζοντας αρνητικό c H, ας πούμε -8. Παίρνουμε 147

148 Figure 34: Αποτέλεσ μα (λογικός έλεγχος) για c H < 0 Η εφαρμογή δεν προχωράει σ ε υπολογισ μούς, εκτός από τα q που είναι μέρος του λογικού ελέγχου και ζητάει από τον χρήσ τη να εισ άγει σ ωσ τά δεδομένα, ενώ εμφανίζεται ένα παράθυρο που δείχνει ποια δεδομένα γίνονται δεκτά βάσ η λογικής, αναφέροντας όλους τους περιορισ μούς. Για αρνητικό c L = 6 έχουμε Figure 35: Αποτέλεσ μα (λογικός έλεγχος) για c L < 0 και για αρνητικό c 2 = 7 έχουμε 148

149 Figure 36: Αποτέλεσ μα (λογικός έλεγχος) για c 2 < 0 Άρα σ ε όλες τις περιπτώσ εις εισ αγωγής αρνητικών σ ταθερών κόσ τους, η εφαρμογή ζητάει ορθά δεδομένα και δεν πραγματοποιεί υπολογισ μούς. Εχουμε όμως και τον περιορισ μό c H > c L. Ας αντισ τρέψουμε τις τιμές του παραδείγματός μας. Για c H = 6, c L = 8 παίρνουμε Figure 37: Αποτέλεσ μα (λογικός έλεγχος) για c L > c H 149