ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ

Transcript

1 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Α ΤΕΤΡΑΜΗΝΟΥ Το αξίωμα της παραλληλίας και οι αντιλήψεις για το χώρο Μ. Βασιλοπούλου, Α. Βλάχος, Μ. Γιαννάκου, Θ. Εξαδάκτυλος, Θ. Κάκος, Π. Καλόσακας, Ε. Καλοσπύρου, Α. Μουρτσιάδη, Π. Μουρτσιάδης, Ε. Μπενετάτος, Ι. Νοτάρης, Π. Τουτέρα, Δ. Φούκα, Δ. Χαραμαράς. Υπεύθυνος καθηγητής: Γλένης Γ. Σπύρος ΑΘΗΝΑ

2

3 Πρόλογος (του υπεύθυνου καθηγητή) Οι μαθητές διδάσκονται τη Γεωμετρία από τις πρώτες τάξεις του Δημοτικού. Μέχρι και το Λύκειο η μελέτη βασίζεται, φυσιολογικά, στην εποπτεία. Ειδικά δε για την Ευκλείδεια Γεωμετρία (Ε.Γ.) του Λυκείου, η απόδειξη δεν είναι τίποτε άλλο παρά η επιβεβαίωση μιας ιδιότητας που φαίνεται στο αντίστοιχο σχήμα. Ακόμα και για μαθητές που δείχνουν ιδιαίτερο ζήλο στη μελέτη της Γεωμετρίας, ο ρόλος των αξιωμάτων και της δομής με την οποία αυτή αναπτύσσεται δεν είναι φανερός. Η έννοιες Φυσικός Χώρος και Γεωμετρικός Χώρος είναι απόλυτα ταυτόσημες αφού δεν υπάρχει αντιπαράδειγμα που να κλονίσει αυτήν την πεποίθηση. Η βαθύτερη κατανόηση της Ε.Γ. και η ανάδειξη της έννοιας του Γεωμετρικού Χώρου προϋποθέτει να ξεναγηθούν οι μαθητές στη «σκοτεινή πλευρά του φεγγαριού»: τις μη-ευκλείδειες Γεωμετρίες. Ιστορικά οι προσπάθειες προς την ανακάλυψη των μη- Ευκλείδειων Γεωμετριών ξεκινούν με τις προσπάθειες απόδειξης του 5 ου αιτήματος του Ευκλείδη και ολοκληρώνονται το 19 ο αιώνα μ.χ, με τα έργα των Gauss, J. Bolyai και Lobatchevsky. Το κύριο εμπόδιο προς αυτήν την ανακάλυψη ήταν η εμπειρική αντίληψη, που και σήμερα διέπει τους μαθητές: «ο Φυσικός Χώρος είναι ένας και ενιαίος». Ίσως το σημαντικότερο δίδαγμα από την ανακάλυψη μη-ευκλείδειας Γεωμετρίας είναι ότι η επιστημονική σκέψη τροφοδοτείται κι αναπτύσσεται μεν από την εμπειρία αλλά μεγαλουργεί όταν η ανθρώπινη ενόραση και φαντασία απελευθερωθεί από τον κόσμο του αισθητού

4 Ευχαριστώ θερμά τους κ.κ. Βασιλείου Σ. και Λάππα Δ. για τις διαλέξεις που έδωσαν κατά τη διάρκεια του τετραμήνου. Student is not a container you have to fill but a torch you have to light up. A. Einstein - 2 -

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη Αξιωματικά συστήματα Οι πρωτεργάτες των μη-ευκλείδειων Γεωμετριών Η Υπερβολική Γεωμετρία Η σφαιρική Γεωμετρία Η Γεωμετρία στη ζωγραφική Βιβλιογραφία

6

7 1. Τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη Γιατί τα Στοιχεία του Ευκλείδη θεωρούνται τόσο σπουδαίο έργο; Για να απαντήσουμε σε αυτό το ερώτημα, ας σκεφτούμε πρώτα τι είναι τα στοιχεία. Είναι ένα συνολικό έργο που αποτελείται από 13 βιβλία. Κάθε βιβλίο αποτελείται από: Ορισμούς, Αιτήματα, Κοινές Έννοιες και Προτάσεις. Η σπουδαιότητα του όμως δεν οφείλεται μόνο στο μεγάλο αριθμό δεδομένων που περιέχουν, αλλά στο γεγονός ότι ο Ευκλείδης τα μάζεψε όλα αυτά, που είχαν ανακαλυφθεί μέσα σε 300 χρόνια από διάφορους σοφούς, τα διόρθωσε με κάποια ανεπάρκεια, και στη συνέχεια τα ένωσε με προσεκτικά επιλεγμένη σειρά σε κάτι πρωτοφανές για τότε, που τώρα μοιάζει με σχολικό βιβλίο. -Που εντοπίζεται η βασική του ανεπάρκεια; Η βασική ανεπάρκεια του έργου του βρίσκεται στη χρήση της εποπτείας σε αρκετές αποδείξεις, χωρίς βέβαια αυτό να σημαίνει ότι τα αποτελέσματα είναι λανθασμένα. Για παράδειγμα, στο πρώτο βιβλίο των Στοιχείων, και μάλιστα στην πρώτη πρόταση: «Με πλευρά δεδομένο ευθύγραμμο σχήμα, να κατασκευαστεί ισόπλευρο τρίγωνο» όπου ο Ευκλείδης δέχεται υπάρχει σημείο τομής δυο κύκλων, αλλά χωρίς να το έχει αποδείξει. Πιο αναλυτικά το πρώτο βιβλίο αποτελείται από; 23 Ορισμούς (είναι ονοματικοί, σχηματίστηκαν με μοναδικό σκοπό την επίτευξη της μέγιστης γλωσσικής σαφήνειας): Σημείο είναι κάθε τι που δεν έχει μέρη (πρωτοπόρος ορισμός για την εποχή του). Γραμμή είναι αυτό που έχει μήκος χωρίς πλάτος. Τα άκρα κάθε γραμμής είναι σημεία (θεωρείται διευκρίνιση). Ευθεία γραμμή είναι εκείνη η γραμμή, η οποία κείται εξ ίσου προς τα σημεία της. Επιφάνεια είναι κάθε τι που έχει μόνο μήκος και πλάτος

8 Τα πέρατα μιας επιφάνειας είναι γραμμές (θεωρείται διευκρίνιση). Επίπεδη επιφάνεια είναι εκείνη η επιφάνεια, η οποία κείται εξ ίσου προς τις ευθείες της. Επίπεδη γωνία είναι η κλίση μεταξύ δύο ευθειών γραμμών του επιπέδου που τέμνονται χωρίς να αποτελούν ευθεία. Όταν δε οι ευθείες που περιέχουν μια γωνία αποτελούν ευθεία, η γωνία ονομάζεται ευθύγραμμη(ευθεία), (αντιδιαστολή του ορισμού της ευθείας). Όταν μια ευθεία τέμνει μια άλλη ευθεία και σχηματίζει τις εφεξής γωνίες ίσες, καθεμιά από τις ίσες γωνίες είναι ορθή και η τέμνουσα ονομάζεται κάθετος της ευθείας που τέμνει. Αμβλεία γωνία είναι η μεγαλύτερη της ορθής γωνίας. Οξεία γωνία είναι η μικρότερη της ορθής γωνίας. Σύνορο (όριο) είναι ό,τι είναι πέρας κάποιου αντικειμένου. Σχήμα είναι ό,τι περιέχεται σε ένα ή περισσότερα σύνορα. Κύκλος (κυκλικός δίσκος) είναι το επίπεδο σχήμα το οποίο περιέχεται σε μια γραμμή που ονομάζεται περιφέρεια (κύκλος), της οποίας τα σημεία ισαπέχουν από ένα σημείο που βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου. Το σημείο αυτό ονομάζεται κέντρο του κύκλου. Διάμετρος κύκλου ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου, τα άκρα του είναι σημεία του κύκλου και διαιρεί τον κύκλο σε δύο ίσα μέρη. Ημικύκλιο ονομάζεται το σχήμα που περιέχεται από την γραμμή που αποτελείται από μια διάμετρο του κύκλου και από το αντίστοιχο στη διάμετρο τόξο. Κέντρο του ημικυκλίου είναι το κέντρο του κύκλου. Ευθύγραμμα σχήματα είναι αυτά που περικλείονται από ευθύγραμμα τμήματα, τρίπλευρα (τρίγωνα), αυτά που περικλείονται από τρεις, - 6 -

9 τετράπλευρα από τέσσερις, πολύπλευρα από παραπάνω από τέσσερις γραμμές. Από τα τρίπλευρα σχήματα, αυτό που έχει ίσες τις τρεις πλευρές ονομάζεται ισόπλευρο τρίγωνο, αυτό που έχει δύο μόνο πλευρές ίσες ισοσκελές και σκαληνό αυτό που έχει τις τρεις πλευρές άνισες. Από τα τρίπλευρα σχήματα, ορθογώνιο τρίγωνο είναι αυτό που έχει μία γωνία ορθή, αμβλυγώνιο αυτό που έχει μία γωνία αμβλεία και οξυγώνιο αυτό που έχει τις γωνίες οξείες. Από τα τετράπλευρα σχήματα, τετράγωνα είναι εκείνα τα οποία είναι ισόπλευρα και ορθογώνια, ετερομήκη είναι εκείνα που είναι ορθογώνια αλλά όχι ισόπλευρα, ρόμβοι είναι εκείνα που είναι ισόπλευρα αλλά όχι ορθογώνια και ρομβοειδή είναι εκείνα που δεν είναι ισόπλευρα ή ορθογώνια. Τα υπόλοιπα τετράπλευρα ονομάζονται τραπέζια. Παράλληλες ονομάζονται οι ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και προεκτεινόμενες επ άπειρον εκατέρωθεν δεν τέμνονται. Το πρώτο βιβλίο αποτελείται εκτός από 23 ορισμούς, από 5 αιτήματα : 1. Από κάθε σημείο μπορούμε να φέρουμε ευθεία που να το συνδέει με οποιοδήποτε σημείο (δεν λαμβάνεται υπόψη η περίπτωση που τα δύο σημεία ταυτίζονται). 2. Το ευθύγραμμο τμήμα προεκτείνεται συνεχώς και ευθυγράμμως. 3. Με κέντρο ένα τυχαίο σημείο και ακτίνα κάθε τμήμα, είναι δυνατό να γράψουμε κύκλο. 4. Και όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. 5. Αν μια ευθεία τέμνει δύο άλλες και σχηματίζει με αυτές ένα ζεύγος «εντός και επί τα αυτά» γωνιών με άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές, τότε οι ευθείες τέμνονται προς το μέρος που βρίσκονται οι γωνίες (Ευκλείδειο αίτημα). 9 κοινές έννοιες : - 7 -

10 1. Τα μεγέθη που είναι ίσα προς τρίτο μέγεθος είναι και μεταξύ τους ίσα. 2. Και αν σε ίσα προστεθούν ίσα προκύπτουν ίσα. 3. Και αν από ίσα αφαιρεθούν ίσα, μένουν ίσα. 4. Και αν σε άνισα προστεθούν ίσα, προκύπτουν άνισα. 5. Και τα διπλάσια του ίδιου μεγέθους είναι ίσα. 6. Και τα μισά του ίδιου μεγέθους είναι ίσα. 7. Και αυτά που εφαρμόζουν μεταξύ τους, είναι ίσα μεταξύ τους. 8. Και ολόκληρο (το μέγεθος) είναι μεγαλύτερο ενός μέρους του. 9. Και δυο ευθείες δεν περικλείουν επιφάνεια. και 48 προτάσεις εκ των οποίων οι πιο σημαντικές είναι η 1 η, η 17 η και οι δυο τελευταίες 47 η, 48 η. Όταν σε μια πρόταση απαιτείται να αποδειχθεί κάτι, τότε η διαπραγμάτευση τελειώνει με την φράση «όπερ έδει δείξαι», ενώ όταν απαιτείται κατασκευή, χρησιμοποιείται στο τέλος η φράση «όπερ έδει ποιήσαι» Ο Ευκλείδης ακολουθεί συγκεκριμένη δομή στις προτάσεις και τις αποδείξεις τους. Ας πάρουμε για παράδειγμα την πρώτη πρόταση. Η μορφή που ακολουθείται αποτελείται από 6 μέρη: 1. Πρόταση: Με πλευρά δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα να κατασκευασθεί ισόπλευρο τρίγωνο. 2. Έκθεση: Έστω ΑΒ το δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα. 3. Διορισμός: Ζητάμε να κατασκευάσουμε ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά το ΑΒ. 4. Κατασκευή: Με κέντρο το σημείο Α και ακτίνα ΒΑ γράφουμε κύκλο ΑΓΕ. Από το σημείο Γ που τέμνονται οι κύκλοι φέρνουμε τα ΓΑ,ΓΒ. 5. Απόδειξη: Επειδή το Α είναι το κέντρο του κύκλου και τα Β,Γ τα σημεία του, τότε ΑΓ=ΑΒ και όμοια ΒΓ=ΒΑ, ώστε ΓΑ=ΑΒ=ΒΓ

11 6. Συμπέρασμα:Άρα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο και έχει πλευρά το τμήμα ΑΒ. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ 1, 17, 47, 48 Πρόταση 1 Με πλευρά δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα να κατασκευασθεί ισόπλευρο τρίγωνο. Πρόταση 17 Θεώρημα εξωτερικής γωνίας: Κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερη από τις απέναντι εσωτερικές. Πρόταση 47 Πυθαγόρειο Θεώρημα Πρόταση 48 Αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος

12 2. Αξιωματικά συστήματα Αξίωμα ονομάζουμε μια πρόταση, που στα πλαίσια μιας θεωρίας, τη δεχόμαστε ως αληθή χωρίς απόδειξη. Αξιωματικό Σύστημα ονομάζεται οποιοδήποτε σύνολο αξιωμάτων από το οποίο μερικά ή όλα τα αξιώματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν στην παραγωγή έγκυρων και λογικών θεωρημάτων. Η εισαγωγή των τυπικών αξιωματικών συστημάτων έχει σκοπό να ετοιμάσει τον αναγνώστη για την απόδειξη θεωρημάτων. Ο πρώτος που φαίνεται να εισήγαγε την έννοια του Αξιωματικού Συστήματος είναι ο Ευκλείδης με την αξιωματική παρουσίαση της γεωμετρίας του (Ευκλείδειας) και της θεωρίας των αριθμών. Ένα Τυπικό Αξιωματικό Σύστημα αποτελείται από: 1. απροσδιόριστους όρους και πιθανώς από προσδιορισμένους, βασισμένους στους απροσδιόριστους. 2. Αξιώματα, δηλαδή θεωρήματα που εμπεριέχουν τους όρους, που τα αποδεχόμαστε χωρίς απόδειξη ως αληθή. Τα αξιώματα καθορίζουν τις σχέσεις μεταξύ των όρων. Παρόλο που τα παραπάνω αποτελούν αντικείμενα της νόησης, οι μαθηματικοί προσπαθούν να τα απεικονίσουν-σχηματοποιήσουν χρησιμοποιώντας τα λεγόμενα μοντέλα. Ο πίνακας της τάξης όπου υλοποιείται η Ευκλείδεια Γεωμετρία: με σημεία τις κουκίδες από την κιμωλία, ευθείες τις γραμμές που σχεδιάζουμε με το χάρακα και κύκλους τις καμπύλες που σχεδιάζουμε με το διαβήτη αποτελεί το πιο διαδεδομένο και μάλλον μοναδικό, μοντέλο αυτής της γεωμετρία. Με αυτά τα εργαλεία διατυπώνουμε και αποδεικνύουμε στην αρχή απλές και προφανείς προτάσεις και στη συνέχεια πιο δύσκολες ή πολύπλοκες. Προφανώς η θεωρία που αναπτύσσεται με αυτό τον τρόπο δεν επιτρέπεται να περιέχει κάποια πρόταση η οποία να αποδεικνύεται αληθής και ψευδής. Στη συνέχεια θα μελετήσουμε τα τρία βασικά χαρακτηριστικά ενός αξιωματικού συστήματος: πληρότητα, συνέπεια και ανεξαρτησία. Συνέπεια Ένα αξιωματικό σύστημα καλείται συνεπές αν δεν οδηγεί σε κάποια αντίφαση, δηλαδή δεν οδηγεί στο ότι μια πρόταση είναι ταυτόχρονα αληθής και ψευδής

13 Ας θεωρήσουμε για παράδειγμα το ακόλουθο αξιωματικό σύστημα Παράδειγμα Οι απροσδιόριστοι όροι είναι Χ, Υ και συμπαθεί. Έχουμε τα εξής αξιώματα: Αξ. Χ1 Υπάρχουν ακριβώς 2 Χ. Αξ. Χ2 Υπάρχουν ακριβώς 3 Υ. Αξ. Χ3 Κάθε Χ συμπαθεί ακριβώς 2 Υ. Αξ. Χ4 Δεν είναι δυνατόν δύο Χ να συμπαθούν το ίδιο Υ. Το καθένα από τα παραπάνω αξιώματα μπορεί να αποδειχθεί ψευδές εάν στηριχθούμε στα υπόλοιπα. Συνεπώς, το αξιωματικό σύστημα είναι ασυνεπές. Από τα αξιώματα Χ1, Χ3 και Χ4 καταλήγουμε στο ότι υπάρχουν 4Υ αφού το κάθε Χ συμπαθεί 2Υ (Χ3) και δεν είναι δυνατόν δύο Χ να συμπαθούν το ίδιο Υ (Χ4). αξιωμάτων. Επομένως το αξίωμα Χ2 είναι αληθές και ψευδές, άρα το σύστημα δεν είναι συνεπές. Θεώρημα Αν ένα αξιωματικό σύστημα έχει μοντέλο, τότε είναι συνεπές. Παράδειγμα. Οι απροσδιόριστοι όροι είναι δοκός, πουλί και επισημαίνει. Τα αξιώματα είναι: Αξ. Χ1 Υπάρχουν τουλάχιστον δύο δοκοί. Αξ. Χ2 Για κάθε δύο διαφορετικές δοκούς, υπάρχει ακριβώς ένα πουλί που τις επισημαίνει και τις δυο. Αξ. Χ3 Κανένα πουλί δεν επισημαίνει όλες τις δοκούς. Αξ. Χ4 Δοθέντος ενός πουλιού Β και μιας δοκού Ρ την οποία δεν επισημαίνει, υπάρχει ακριβώς ένα πουλί που επισημαίνει την Ρ αλλά δεν επισημαίνει καμία από τις δοκούς που επισημαίνει το Β Έστω ότι αποκαλούμε τις δοκούς με το σύμβολο Ρ τα πουλιά με το σύμβολο Β και το «επισημαίνει» με μία γραμμή που συνδέει ένα Ρ με ένα Β. Εφόσον το αξιωματικό σύστημα έχει μοντέλο το οποίο απεικονίζεται στην επόμενη εικόνα, είναι συνεπές

14 Πληρότητα και μη Πληρότητα Η Ευκλείδεια Γεωμετρία αποτελεί το πρώτο και για πολλούς αιώνες μοναδικό παράδειγμα μιας αξιωματικά θεμελιωμένης επιστήμης. Ακολουθώντας αυτό το μοντέλο αναπτύχθηκαν στη συνέχεια όλες οι θετικές επιστήμες και γενικότερα ο Δυτικός Πολιτισμός. Η αυστηρότητα και η ακρίβεια με την οποία αναπτύσσονται τα Μαθηματικά, τα έχει κατατάξει στην συνείδηση των ανθρώπων ως την «τέλεια» επιστήμη. Στις αρχές του 20 ου αιώνα ο γερμανός μαθηματικός David Hilbert διατύπωσε την άποψη ότι όλα τα Μαθηματικά μπορούν να ενταχθούν αναπτυχθούν μέσα σε ένα κατάλληλο αξιωματικό σύστημα (Φορμαλισμός). Ο Κουρτ Γκέντελ ( ) Αυστροαμερικανός επιστήμονας της λογικής, μαθηματικός και φιλόσοφος. Έχει καθιερωθεί ως ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς της ιστορίας μετά την εισαγωγή των δύο θεωρημάτων «μη- Πληρότητας». Τα δύο αυτά θεωρήματα υποδεικνύουν έμφυτους περιορισμούς σε όλα τα μη τετριμμένα τυπικά συστήματα των μαθηματικών. Τα δημοσίευσε το 1931 σε ηλικία μόλις 25 χρονών, ένα χρόνο μετά το τέλος του διδακτορικού του. Το πιο διάσημο θεώρημα του συνοπτικά διατυπώνει ότι για κάθε συνεπές αξιωματικό σύστημα, υπάρχουν προτάσεις που δεν μπορούν να αποδειχθούν ως αληθείς ή ψευδείς από τα αξιώματα. Για να αποδείξει το θεώρημα αυτό, ο Γκέντελ ανέπτυξε μια τεχνική γνωστή ως Γκεντελοποίηση

15 1ο θεώρημα μη πληρότητας Μια αποτελεσματική θεωρία ικανή να παράγει στοιχειώδη αριθμητική δεν μπορεί να είναι ταυτόχρονα συνεπής και πλήρης. Δηλαδή για οποιαδήποτε συνεπή, αποτελεσματική θεωρία η οποία αποδεικνύει συγκεκριμένους βασικούς αριθμητικούς κανόνες υπάρχει μία αριθμητική πρόταση η οποία είναι μη αποκρίσιμη δηλαδή δεν μπορεί να αποδειχθεί ως αληθής ή ψευδής από τη θεωρία. Συνεπώς η θεωρία μας δεν είναι πλήρης. Ανεξαρτησία Ένα αξίωμα σε ένα συνεπές αξιωματικό σύστημα καλείται εξαρτημένο, αν μπορεί να αποδειχθεί βάσει των άλλων αξιωμάτων. Κατά συνέπεια, ένα εξαρτημένο αξίωμα περιττεύει και εφόσον τα θεωρήματα συνάγονται από τα αξιώματα, ένα εξαρτημένο αξίωμα εντάσσεται στα θεωρήματα. Για να αποδείξουμε ότι ένα αξίωμα είναι εξαρτημένο αρκεί να το αποδείξουμε χρησιμοποιώντας μόνο τα άλλα αξιώματα. Πώς όμως μπορούμε να αποδείξουμε την ανεξαρτησία ενός αξιώματος; Θα πρέπει να καταφύγουμε πάλι στην κατασκευή μοντέλων. Αν σε κάποιο κατάλληλο μοντέλο τα άλλα αξιώματα αληθεύουν, ενώ το υπό συζήτηση όχι, τότε αυτό θα είναι ανεξάρτητο. Παράδειγμα Οι απροσδιόριστοι όροι είναι Χ, Υ και συμπαθεί. Τα αξιώματα είναι: Αξ. L1 Υπάρχουν ακριβώς τρία Χ. Αξ. L2 Υπάρχουν ακριβώς τρία Υ. Αξ. L3 Κάθε Χ συμπαθεί ακριβώς δύο Υ. Αξ. L4 Δύο Χ δεν συμπαθούν ακριβώς τα ίδια Υ. Αξ. L5 Κάθε Υ συμπαθιέται από ένα τουλάχιστον Χ. Θα δείξουμε ότι το αξίωμα L5 είναι εξαρτημένο, ενώ όλα τα άλλα είναι ανεξάρτητα. Αρχικά, το αξιωματικό σύστημα είναι συνεπές καθώς έχει μοντέλο το οποίο εικονίζεται στο επόμενο σχήμα

16 Θα αποδείξουμε ότι το L5 είναι εξαρτημένο στηριζόμενοι στα L1, L2, L3 και L4. Θα δώσουμε αρχικά τις ονομασίες Χ1, Χ2, Χ3 και Υ1, Υ2, Υ3. Το αξίωμα L4 μας λέει ότι το Χ2 δεν μπορεί να συμπαθεί και το Υ1 και το Υ2 και επειδή συμπαθεί ακριβώς δύο Υ, θα πρέπει να συμπαθεί ακριβώς ένα από τα Υ1, Υ2 και Υ3. Συνεπώς, και τα τρία Υ συμπαθιούνται, άρα το αξ. L5 έχει συναχθεί από τα άλλα 4. Ισοδύναμα αξιώματα Δύο αξιωματικά συστήματα που περιλαμβάνουν τους ίδιους απροσδιόριστους όρους και μπορούν να συναχθούν τα ίδια θεωρήματα και από τα δύο, ονομάζονται ισοδύναμα. Συνεπώς, κάθε αξίωμα του ενός μπορεί να συναχθεί ως αξίωμα του άλλου. Ωστόσο, κάποια αξιώματα μπορεί να είναι κοινά και στα δύο αξιωματικά συστήματα. Ισοδύναμα αξιώματα του 5ου αιτήματος του Ευκλείδη Το Ευκλείδειο αίτημα είναι το εξής: Αν μια ευθεία που τέμνει δυο άλλες σχηματίζει τις εντός και επί τα αυτά γωνίες με άθροισμα μικρότερο από δυο ορθές τότε οι δυο ευθείες τέμνονται και μάλιστα στο ημιεπίπεδο εκείνο που περιέχει τις εντός κι επί τα αυτά γωνίες. Από τις προσπάθειες απόδειξης του Ευκλείδειου αιτήματος προέκυψαν ότι οι επόμενες προτάσεις είναι ισοδύναμες με αυτό: 1. Από ένα σημείο εκτός ευθείας άγεται προς αυτήν μία και μοναδική παράλληλη. (Αυτό είναι το αξίωμα που αναφέρεται ως «αξίωμα της παραλληλίας» στο σχολικό

17 βιβλίο κι αποδίδεται στο Σκωτσέζο μαθηματικό John Playfair. Αποτελεί την πιο απλή, προφανή κι εύχρηστη διατύπωση του ισοδύναμου αξιώματος.) 2. Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι δύο ορθές. 3. Υπάρχουν ζεύγη ομοίων τριγώνων. 4. Υπάρχει ζεύγος ευθειών που ισαπέχουν η μία της άλλης. 5. Δοθέντων τριών μη συνευθειακών σημείων, υπάρχει κύκλος που διέρχεται δι αυτών. 6. Αν τρεις γωνίες ενός τετραπλεύρου είναι ορθές, τότε και η τέταρτη γωνία είναι ορθή. 7. Αν μία ευθεία τέμνει μία από δύο δοθείσες παράλληλες ευθείες, τότε θα τέμνει και την άλλη. Θα δώσουμε στη συνέχεια ένα παράδειγμα μεταξύ της ισοδυναμίας του Ευκλείδειου αιτήματος και του αξιώματος της παραλληλίας. Πρόταση 1 Αν ισχύει το αξίωμα της παραλληλίας τότε ισχύει το Ευκλείδειο αίτημα. Απόδειξη Έχουμε δυο ευθείες χ, ψ οι οποίες τέμνονται από την ΑΒ έτσι ώστε να σχηματίζουν τις γωνίες α, β με άθροισμα μικρότερο από 180. Τότε υπάρχουν τρία ενδεχόμενα: α. Οι ευθείες χ, ψ να είναι παράλληλες. Προφανώς α β α α β α. Επομένως στο εσωτερικό της γωνίας α φέρω ημιευθεία Αζ έτσι ώστε ΒΑζ β. Επειδή οι εντός εναλλάξ γωνίες είναι ίσες τότε η Αζ είναι παράλληλη στην ευθεία ψ (συνέπεια του θεωρήματος της εξωτερικής από γωνίας). Επομένως από το Α άγονται δυο παράλληλες προς την ευθεία ψ, οι Αζ και χ, άτοπο!

18 β. Οι ευθείες χ, ψ τέμνονται στο ημιεπίπεδο που δεν περιέχει τις γωνίες α και β. Τότε τέμνονται σε ένα σημείο Γ σχηματίζονται στην ουσία ένα τρίγωνο. Επειδή α β α α β α τότε η εξωτερική γωνία β του τριγώνου ΑΒΓ είναι μικρότερη από την εσωτερική γωνία α, άτοπο! γ. Οι ευθείες χ, ψ τέμνονται, υποχρεωτικά πλέον, στο ημιεπίπεδο που περιέχει τις γωνίες α και β. Πρόταση 2 Αν ισχύει το Ευκλείδειο αίτημα τότε ισχύει το αξίωμα της παραλληλίας. Απόδειξη Γνωρίζουμε από τα 4 πρώτα αξιώματα ότι από σημείο Α εκτός ευθείας ψ μπορώ να φέρω ΑΒ κάθετη στην ψ και στη συνέχεια από το Α να φέρω ευθεία χ κάθετη στην ΑΒ. Επειδή οι εντός εναλλάξ γωνίες είναι ίσες τότε οι ευθείες χ, ψ είναι παράλληλες. Ας υποθέσουμε ότι από το Α άγεται και δεύτερη ευθεία ζ παράλληλη στην ψ. Τότε υποχρεωτικά η ευθεία ζ σχηματίζει με την ΑΒ μια οξεία γωνία α. Επειδή η β είναι ορθή ως παραπληρωματική της β τότε α β 180. Από το Ευκλείδειο αίτημα οι ζ και ψ τέμνονται, άτοπο! Επομένως η παράλληλη προς την ψ, που άγεται από το Α, είναι μοναδική

19 3. Οι πρωτεργάτες των μη-ευκλείδειων Γεωμετριών. Καρλ Φρίντριχ Γκάους, Ο Gauss γεννήθηκε τον Απρίλιο του 1777 στο Brunswick της Γερμανίας, μέσα σε ένα περιβάλλον με αρνητικές συνθήκες για τη γέννηση ενός επιστήμονα τέτοιου μεγέθους. Οι γονείς του ήταν φτωχοί και δεν είχαν λάβει ιδιαίτερη μόρφωση. Μόλις στα 14 του χρόνια είχε την ευκαιρία να λάβει κάποια επιχορήγηση από τον Δούκα της περιοχής (ο οποίος έμαθε για τις ασυνήθιστες ικανότητες του παιδιού) και να ξεκινήσει τις σπουδές του οι οποίες και κράτησαν 16 χρόνια. Βέβαια η εργασία του πάνω στην αστρονομία και τα μαθηματικά είχε γίνει ήδη γνωστή από τα 25 του χρόνια. Στα 30 του πήγε στο Gottigen όπου και έζησε την υπόλοιπη ζωή του αφιερωμένη στην έρευνα. Σε αντίθεση με την εξωτερική απλότητα που χαρακτήριζε τον ίδιο, η εποχή και η ζωή που έζησε ήταν τραγική και περίπλοκη. Εξ αιτίας της Γαλλικής Επανάστασης και της περιόδου του Ναπολέοντα είχε προβλήματα με τις πολιτικές αναταραχές καθώς και μια έντονη οικονομική ανασφάλεια. Έτσι δούλευε μόνος για όλη του τη ζωή. Είχε ένα πατέρα αδιάφορο. Μετά το πρόωρο θάνατο της πρώτης του συζύγου, απέκτησε μια δεύτερη σύζυγο με προβλήματα υγείας. Είχε επίσης δύσκολες σχέσεις με τους δύο του γιους που του αρνήθηκαν μια θέση στην ίδια του την οικογένεια μέχρι τα γεράματά του. Παρ όλες αυτές τις εξωτερικές καταστάσεις ο Gauss αφιέρωνε ώρες δουλειάς και είχε μια συνεχόμενη και πλούσια επιστημονική δράση. Αυτό που πάντα τον γοήτευε ήταν οι αριθμοί και αρχικά με αυτούς ασχολήθηκε

20 Ταυτόχρονα όμως με αυτή του τη «θεωρητική» και νοητική εργασία έκανε πολλές παρατηρήσεις και σε άλλα πεδία, όπως η Αστρονομία, η Μηχανική των πλανητών, ο Γεωμαγνητισμός, η Ηλεκτροδυναμική, η Γεωδαισία, η Οπτική κ.α. Οι εκδόσεις και οι σημειώσεις του γίνονταν ανάρπαστες σε τέτοιο βαθμό που μπορούμε να μιλήσουμε για έναν από τους καλύτερους επιστήμονες του θεωρητικού τομέα. Από το 1800 ως το 1810 που θεωρείται η πιο «ενεργός» περίοδος από άποψη ανακαλύψεων, αναφέρεται ότι είχε λάβει πάνω από γράμματα από φοιτητές και συναδέλφους του, ενώ αυτή του η τάση για συνεχή έρευνα τον έκανε, όσο περνούσαν τα χρόνια, να ανακαλύπτει νέα πράγματα με ένα όλο και ταχύτερο ρυθμό (το 1800 είχε φτάσει σε σημείο να δυσκολεύεται να καταγράψει τα αποτελέσματα των ερευνών του!). Λέγεται ότι ο Gauss ήταν σε θέση να κάνει αριθμητικές πράξεις, πριν καν μιλήσει, ενώ από μικρή ηλικία βοηθούσε τον πατέρα του να υπολογίζει την πληρωμή για τα έργα που αναλάμβανε. Σε ένα αντίξοο από παιδαγωγικής και όχι μόνο- άποψης περιβάλλον έμαθε μόνος του να γράφει και να διαβάζει (σε ηλικία 3 ετών), κάνοντας μόνος του πρακτική. Έχει μείνει μάλιστα γνωστό ένα «κατόρθωμά» του που αναφέρει ότι μόλις 8 χρονών μπόρεσε προς έκπληξη όλων των δασκάλων του- να υπολογίσει αμέσως το άθροισμα των 100 πρώτων φυσικών ακεραίων ενώ στους συμμαθητές του πήρε παραπάνω από μία ώρα! Εξ αιτίας όλων αυτών των «περίεργων φαινομένων» και ταλέντων που παρουσίαζε ο νεαρός Gauss ανάγκασε ουσιαστικά τον πατέρα του να του επιτρέψει να πάει στο Γυμνάσιο αντί να σταματήσει και να βοηθήσει την οικογένειά του στα πιο πρακτικά επαγγέλματα. Εκεί ήταν που ξεδιπλώθηκε ραγδαία όλο το ταλέντο του προς τις θετικές επιστήμες. Πέρασε τελικά στο Κολέγιο της γενέτειράς του το 1792 όπου και πήρε γνώσεις αρκετά ασυνήθιστες για την ηλικία του. Η γνώση κάποιων θεωριών ή συστημάτων που ήδη υπήρχαν, όπως οι πίνακες, τον οδήγησε στο να αναπτύξει ακόμη την ικανότητά του για υπολογισμούς, αν και το σύνηθες ήταν να ανακαλύπτει τέτοια πράγματα, πριν καν τα διδαχθεί, όπως το νόμο του Bode για τις αποστάσεις των πλανητών ή το διωνυμικό θεώρημα για ρητούς εκθέτες. Ο Gauss πέρασε τρία πολύ δημιουργικά χρόνια στο κολέγιο όπου συνέχισε την εμπειρική αριθμητική. Μπορούσε να υπολογίσει ρίζες με δύο διαφορετικούς τρόπους με ακρίβεια έως και 15 δεκαδικά ψηφία χρησιμοποιώντας πάντα ευφάνταστες

21 μεθόδους. Δημιούργησε την αρχή των ελαχίστων τετραγώνων ενώ έψαχνε την κανονικότητα στην κατανομή των πρώτων αριθμών. Παρ όλα αυτά τα μαθηματικά δεν είχαν ακόμα κερδίσει το 100% της καρδιάς του νεαρού γιατί ταυτόχρονα είχε μεγάλη έφεση και στις γλώσσες (τις οποίες ποτέ δεν χρησιμοποίησε για ιδεολογικούς λόγους). Κάποιοι πιστεύουν πως την τελική απόφαση την πήρε αφού ανακάλυψε ότι μπορεί κανείς να κατασκευάσει ένα κανονικό 17-γωνο μόνο με κανόνα και διαβήτη (κάτι αδιανόητο για τον Ευκλείδη πριν 2000 χρόνια!). Όταν πέρασε στο Πανεπιστήμιο, έκανε πάλι δουλειά πάνω στη θεωρία των αριθμών. Διατύπωσε για πρώτη φορά το θεώρημα των πρώτων αριθμών και έδωσε τις πρώτες αποδείξεις που κατέρριπταν το γεγονός ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία ήταν η μόνη που υπήρχε. Ταυτόχρονα μελετώντας πολύ, αντιλαμβανόταν πως οι θεωρίες και οι ανακαλύψεις του δεν ήταν πάντα και τόσο νέες. Έχοντας ως επιστημονικά πρότυπα τον Αρχιμήδη και τον Νεύτωνα, επέμενε πάντα στην έρευνά του στη μεγάλη ακρίβεια, το σαφές συμπέρασμα και την πλήρη απόδειξη, χωρίς πάντα την απλή γεωμετρική απεικόνιση, αλλά πάντα σκεπτόμενος με αριθμούς και άλγεβρα. Πίστευε ότι πρωτεύοντα ρόλο στην επιστήμη είχε η εμπειρία, δηλαδή το πρακτικό κομμάτι και όχι το θεωρητικό υπόβαθρο το οποίο όμως ήταν απαραίτητο για την αποδεικτική θεμελίωση. Δεν θα μπορούσαμε να τον χαρακτηρίσουμε άνθρωπο «της εκκλησίας» αλλά σίγουρα βαθιά θρησκευόμενο και αφιερωμένο στην έρευνά του. Τον Gauss θα μπορούσαμε να τον περιγράψουμε ως μαθηματικό επιστήμονα. Η πραγματικότητα όμως είναι πως, αν και ξεκίνησε με ταλέντο ή κίνητρο τα μαθηματικά, η παραγωγικότητα και η προσφορά του σε τόσες επιστήμες είναι τόσο μεγάλη που ο καλύτερος τρόπος να περιγράψουμε την ειδικότητα του θα ήταν πανεπιστήμονας. Ο Clemens Schofer, ένας από τους ανθρώπους που επιχείρησε να γράψει την βιογραφία του, αναφέρει: «Δεν ήταν στην πραγματικότητα ούτε καν φυσικός με την έννοια της έρευνας πάνω σε νέα φαινόμενα, αλλά έμοιαζε περισσότερο με ένα μαθηματικό που προσπάθησε να σχηματοποιήσει με ακριβή Μαθηματικά, το πείραμα που είχε πραγματοποιηθεί από άλλους». Αφήνοντας πίσω τις δυσκολίες της ζωής αλλά και τις προσωπικές του αποτυχίες, που το επιστημονικό τους κόστος ήταν αμελητέο, κατάφερε στο πρόσωπό του την σύμπτυξη του έργου

22 και των έμφυτων ικανοτήτων οι οποίες αποδίδονται συνολικά σε όλη την κοινότητα των μαθηματικών της εποχής του. Ο Gauss πέθανε το 1855 αλλά τα γραπτά του και τα ημερολόγιά του βρέθηκαν 50 χρόνια αργότερα, αποδεικνύοντας τελικά το μεγάλο έργο του στις επιστήμες. Αυτά περιείχαν πάνω από 146 σύντομες αναφορές. Το μόνο ελάττωμα του Γερμανού επιστήμονα ήταν η απροθυμία και η αντίδραση που είχε στο να δημοσιεύει τη δουλειά του. Νικολάι Λομπατσέφσκυ, (Nikolai I. Lobachevsky) Ο Nikolai Ivanovich Lobachevsky γεννήθηκε στο Nizhny Novgorod της Ρωσίας, στην 1 Δεκεμβρίου του Ήταν ένα από τα τρία παιδιά μιας φτωχής οικογένειας. Όταν ο Lobachevsky ήταν 7 ετών, ο πατέρας του πέθανε και η μητέρα του με τα τρία παιδιά της μετακόμισαν στο Kazan της δυτικής Ρωσίας. Ο Lobachevsky μπήκε στο σχολείο το 1802 και μετά στο πανεπιστήμιο, το έτος Το Πανεπιστήμιο της πόλης Kazan είχε ιδρυθεί μόλις το έτος 1804, και ήταν το αποτέλεσμα μιας προσπάθειας των καινοτομιών και του εκσυγχρονισμού που επεδίωκε ο Τσάρος Αλέξανδρος ο Α. Ο Lobachevsky, αν και στην αρχή ήθελε να σπουδάσει Ιατρική, πολύ γρήγορα αποφάσισε να μελετήσει ένα ευρύ επιστημονικό πεδίο που περιελάμβανε και Μαθηματικά και Φυσική. Σε αυτό το νέο πανεπιστήμιο υπήρχε ένα πνεύμα ενθουσιασμού. Οι περισσότεροι καθηγητές ήταν από τη Γερμανία και μπόρεσαν να δώσουν τον καλύτερό τους εαυτό. Μέσα σε αυτό το πνεύμα που κυριαρχούσε, ο Lobachevsky κατάφερε να ολοκληρώσει με μεγάλη επιτυχία τις σπουδές του σε όλα τα μαθήματα που είχε

23 παρακολουθήσει. Ένας από τους καθηγητές που ενέπνευσε το νεαρό Lobachevsky ήταν ο Martin Bartells, ο οποίος ήταν καθηγητής Μαθηματικών και φίλος του Gauss. Από τον Bartells πολύ πιθανά να επηρεάστηκε ο Lobachevsky στην κατεύθυνση του προβληματισμού του πάνω στο 5ο Αξίωμα του Ευκλείδη. Σε αυτό το Αξίωμα δηλώνεται ότι, αν θεωρήσουμε μια ευθεία κι ένα σημείο έξω από την ευθεία, τότε από αυτό το σημείο διέρχεται μια μοναδική ευθεία, παράλληλη προς την πρώτη ευθεία. Ο Lobachevsky πήρε Master στα Μαθηματικά και στη Φυσική το Πέντε χρόνια αργότερα, έγινε ένας εξαιρετικός λέκτορας και καθηγητής. Πολύ γρήγορα ανέλαβε ανώτερη διοικητική θέση στο συμβούλιο του Πανεπιστημίου και σχεδίαζε να κατασκευαστούν νέα κτίρια, για να στεγαστούν και άλλα τμήματα και άλλοι καθηγητές και φοιτητές. Αυτή την περίοδο, όμως, ο Τσάρος Αλέξανδρος ο Α' είχε αλλάξει αρκετές από τις πρωτοποριακές και εκσυγχρονιστικές ιδέες του. Αφορμή στάθηκε η αναγέννηση των επιστημών και της φιλοσοφίας κάτω από το πρίσμα της Γαλλικής Επανάστασης. Αυτό το νέο πνεύμα στην Επιστήμη και ιδιαίτερα στη Φιλοσοφία του Καντ, το θεωρούσε ο Τσάρος ως εχθρικό για τη Ρωσία και την Ορθόδοξη Χριστιανική Εκκλησία. Αυτή η εχθρικότητα και η δυσαρέσκεια άρχισαν να δημιουργούν προβλήματα στο Πανεπιστήμιο του Kazan και στην υλοποίηση των σχεδίων του Lobachevsky. Δημιουργήθηκαν "κλίκες" και φατρίες στο χώρο του Πανεπιστημίου και καχυποψία προς πολλούς καλούς ξένους καθηγητές, όπως ήταν ο Bartells, ο οποίος ξαναγύρισε στη Γερμανία, μαζί με όλους αυτούς τους καθηγητές που έδωσαν λάμψη στο Πανεπιστήμιο. Ο Lobachevsky, βλέποντας να κινδυνεύει να καταρρακωθεί το επίπεδο των σπουδών, πρόβαλλε αντίσταση σε αυτό και με όπλο τη δυνατή του προσωπικότητα κατάφερε πάρα πολλά πράγματα. Χωρίς να εγκαταλείψει την έρευνά του πάνω στα Μαθηματικά, άρχισε να διδάσκει σε πολλά τμήματα και σε πολλούς τομείς. Η μεταδοτικότητά του ήταν τόσο σημαντική, που μπορούσε να κάνει κατανοητές και τις πιο δύσκολες έννοιες, ακόμη και στους κακά προετοιμασμένους φοιτητές. Αγόρασε εξοπλισμό για το εργαστήριο Φυσικής και παρήγγειλε βιβλία για τη Βιβλιοθήκη. Ανέλαβε διάφορες σημαντικές θέσεις μέσα στο Πανεπιστήμιο, για να προσδώσει ύψος και αξία στο επίπεδο σπουδών. Μέσα σε όλα αυτά τα χρόνια ο Lobachevsky συνέχιζε να δίνει μάχες με το Διευθυντή του Πανεπιστημίου, τον Magnitskii, για να υλοποιήσει τις ιδέες του. Το 1826, έγινε Τσάρος ο Νικόλαος ο Α',

24 και εισήγαγε μια πιο ανεκτική και ήπια πολιτική σε αυτό τον τομέα. Ο Διευθυντής του Πανεπιστημίου Magnitskii αποπέμφθηκε από τη θέση του, την οποία πήρε ο Musin-Pushkin, ο οποίος βρήκε στο πρόσωπο του Lobachevsky έναν αξιόπιστο και δυνατό σύμμαχο, για να φέρει τις απαραίτητες αλλαγές που χρειαζόταν το Πανεπιστήμιο του Kazan. Ο Lobachevsky έγινε τελικά Πρύτανης του Πανεπιστημίου, μια θέση που διατήρησε για τα επόμενα 19 έτη. Στο λόγο που έβγαλε στην αρχή της καριέρας του ως Πρύτανης, περιέγραψε το ρόλο που πρέπει να παίζει ένα Πανεπιστήμιο και οι επιστήμονες μέσα στην κοινωνία. Έδωσε έμφαση στην αρμονική ανάπτυξη της προσωπικότητας και συζήτησε το ρόλο των επιστημών και το καθήκον των επιστημόνων προς τη χώρα τους και τους ανθρώπους της. Τα χρόνια αυτά, το Πανεπιστήμιο του Kazan, υπό τη καθοδήγηση του Lobachevsky, άκμασε σε όλους τους τομείς. Αν και μια επιδημία χολέρας στην περιοχή απείλησε ακόμα και την ίδια την ύπαρξη του Πανεπιστημίου, ο Lobachevsky κατάφερε να διατηρήσει το επίπεδο των σπουδών με τα μέτρα που πήρε. Για αυτή του την επιτυχία δέχτηκε και τον έπαινο του Τσάρου. Το 1834 ο Lobachevsky ανακάλυψε μια μέθοδο στρογγυλοποίησης των ριζών των αλγεβρικών εξισώσεων. Αυτή η μέθοδος αναπτύχθηκε ανεξάρτητα από τον Graffe, ο οποίος κέρδισε με αυτή του την ανακάλυψη το βραβείο της Ακαδημίας Επιστημών του Βερολίνου. Αυτή τη μέθοδο χρησιμοποιούν σήμερα οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές για να λύσουν τέτοια προβλήματα. Την ίδια μέθοδο ανακάλυψε και ο Dandelin, και για αυτό ονομάζεται σήμερα "Μέθοδος Dandelin-Graffe". Ο Lobachevsky, αν και ίσως ήταν ο πρώτος που έφτασε σε αυτή τη λύση, δεν αναφέρεται στην παγκόσμια ορολογία παρά μόνο στη Ρωσία. Η συνεισφορά του Lobachevsky, έστω και με αυτό τον επεισοδιακό τρόπο, έστω κι αν ποτέ δεν τον κατάλαβε κανείς, παρά μόνο μετά το θάνατό του, ήταν πολύ μεγάλη. Η επιστημονική του έμπνευση και η δημιουργική του ιδιοφυΐα οδήγησαν σε ένα σημαντικό βήμα προς την απελευθέρωση της σκέψης των Μαθηματικών από τα στενά όρια που τους έβαζε για χιλιάδες χρόνια η Ευκλείδεια σκέψη. Έτσι, με τη συνεισφορά του Lobachevsky αλλά και άλλων μαθηματικών, όπως π.χ. ο Riemann, μπόρεσε ο Einstein, τον 20ο αιώνα, να τολμήσει να αμφισβητήσει τη Γεωμετρία του Χώρου, όπως την ξέρουμε, και να μας προσφέρει τη Θεωρία της Σχετικότητας, που απέδειξε πόσο δίκιο είχε ο Lobachevsky και άλλοι τολμηροί

25 μαθηματικοί στην αναζήτηση άλλης Γεωμετρίας, πέρα από αυτήν που μας παρουσιάζουν οι περιορισμένες και φυλακισμένες μας αισθήσεις. Γκέοργκ Φρίντριχ Ρίμαν, O πατέρας του Georg Friendrich Bernhard Riemann ήταν ο Friendrich Bernhard Riemann, λουθηρανός ιερέας. Ο Bernhard ήταν το δεύτερο από τα 6 παιδιά της οικογένειάς του. Το 1840 μπήκε κατευθείαν στην τρίτη τάξη στο Λύκειο του Ανοβέρου και αργότερα μετακόμισε σε άλλη πόλη, στο Luneburg, όπου συνέχισε το σχολείο του. Ο Riemann φαινόταν να είναι ένας καλός μαθητής που μελετούσε σκληρά, ιδίως Εβραϊκά και Θεολογία. Έδειχνε ένα ιδιαίτερο ενδιαφέρον για τα μαθηματικά, και ο διευθυντής του σχολείου του επέτρεψε να μελετήσει μαθηματικά κείμενα από τη δική του βιβλιοθήκη. Σε μια περίπτωση δάνεισε στο Riemann ένα βιβλίο του Legendre για τη θεωρία των αριθμών, κι αυτός διάβασε τις 900 σελίδες του βιβλίου σε έξι ημέρες! Την άνοιξη του 1846 μπήκε στο πανεπιστήμιο του Gottingen. Ο πατέρας του τον ενθάρρυνε να σπουδάσει θεολογία. Έτσι μπήκε στο τμήμα της Θεολογίας. Όμως ο Riemann παρακολουθούσε κάποιες διαλέξεις για τα μαθηματικά και ζήτησε από τον πατέρα του εάν θα μπορούσε να μεταφερθεί στο τμήμα της φιλοσοφίας, έτσι ώστε να μπορούσε να μελετήσει και μαθηματικά. Ο πατέρας του του το επέτρεψε, κι έτσι ο Riemann πήρε μαθήματα μαθηματικών από τον Moritz Stern και τον Gauss. Ο Riemann μετακόμισε το 1847 στο πανεπιστήμιο του Βερολίνου. Εκεί πέρασε μια σημαντική εποχή για την επιστημονική του διαμόρφωση. Ο καθηγητής που τον

26 επηρέασε περισσότερο ήταν ο Dirichlet. Ο Riemann ήταν συνδεδεμένος με τον Dirichlet λόγω μιας ισχυρής ομοιότητας που είχαν στον τρόπο σκέψης. Ο Dirichlet αγαπούσε να προσεγγίζει τα μαθηματικά με ένα διαισθητικό τρόπο, και ταυτόχρονα είχε την ικανότητα να δίνει ακριβείς, λογικές αναλύσεις σε θεμελιώδη ζητήματα, αποφεύγοντας μακριές και δυσνόητες εξηγήσεις και αναλύσεις όσο ήταν δυνατόν. Αυτός ο τρόπος ταίριαζε στο Riemann, κι έτσι τον υιοθέτησε και εργάστηκε σύμφωνα με αυτή τη μέθοδο. Η εργασία του Riemann βασίστηκε σε αυτήν τη διαισθητική λογική, που άφηνε πολλές φορές πίσω το συνήθη τρόπο της μαθηματικής συλλογιστικής και κόντευε να ξεφύγει από τα πλαίσια του επιστημονικά αποδεκτού. Η αγαπημένη του μελέτη ήταν πάνω στη θεωρία των πολλών μεταβλητών, και ειδικά σε αυτά που τώρα αποκαλούμε επιφάνειες Riemann. Εισήγαγε τοπολογικές μεθόδους στη θεωρία των συναρτήσεων. Ταυτόχρονα, πολύ σημαντική ήταν η συνεισφορά του φυσικού Wilhelm Weber στη μύηση του Riemann στον τομέα της Φυσικής. Το 1849 ξαναγύρισε στο Gottingen και αυτή τη φορά κέρδισε και την προσοχή του Gauss. Ο Gauss του εμπιστεύτηκε μια διάλεξη για τη Γεωμετρία. Η ομιλία του εκείνη (On the hypotheses that lie at the foundations of geometry) που έδωσε τον Ιούνιο του 1854 έγινε κλασική στα μαθηματικά. Υπήρχαν δύο μέρη στη διάλεξή του. Στο πρώτο μέρος έθετε το πρόβλημα του τρόπου με τον οποίο μπορούμε να προσδιορίσουμε ένα χώρο διαστάσεων και τελείωνε δίνοντας έναν ορισμό αυτού που σήμερα αποκαλούμε χώρο Riemann. O Riemann μπόρεσε να ξεφύγει από τα στενά πλαίσια της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και να αποδείξει ότι υπάρχει και μια άλλη Γεωμετρία εξίσου αληθινή, όπου ο χώρος είναι καμπύλος. Σε αυτόν το γεωμετρικό χώρο αλλάζει τελείως το 5ο Αξίωμα του Ευκλείδη. Το 5ο Αξίωμα του Ευκλείδη λέει ότι: «Αν θεωρήσουμε μια ευθεία και ένα σημείο έξω από την ευθεία, τότε από αυτό το σημείο διέρχεται μια μοναδική ευθεία, παράλληλη προς την πρώτη ευθεία.». Στη νέα Γεωμετρία του Riemann «από ένα σημείο έξω από μια ευθεία δε διέρχεται καμία παράλληλη προς την ευθεία». Σε αυτήν τη σφαιρική Γεωμετρία όλες οι ευθείες συναντώνται κάπου. Στο δεύτερο μέρος της διάλεξης έθεσε πιο βαθιά ερωτήματα σχετικά με τη γεωμετρία και τον κόσμο που ζούμε. Έθεσε το ζήτημα ποια ήταν η διάσταση του αληθινού χώρου και ποια γεωμετρία περιγράφει τον

27 πραγματικό χώρο. Από όλο το ακροατήριο μόνο ο Gauss μπόρεσε να αντιληφθεί το βάθος και την πρωτοπορία των θέσεων του Riemann. Οι θέσεις αυτές του Riemann ήταν τόσο πρωτοποριακές που μόνο μετά από 60 χρόνια μπόρεσαν να αποδειχτούν πόσο θεμελιώδεις είναι για την ίδια την φύση και τη δομή του σύμπαντος μέσα από τη «Γενική Θεωρία της Σχετικότητας» του Αϊνστάιν. Στη Γεωμετρία του Riemann βρήκε ο Αϊνστάιν το πλαίσιο για να θέσει τις δικές του ιδέες, την κοσμολογία του και την κοσμογονία του, και έτσι το πνεύμα του Riemann βρήκε επιτέλους τη Φυσική που του ταίριαζε. Παρά τις δυσκολίες που περνούσε και τη φυσική του ντροπαλότητα, τελικά κατάφερε να πάρει τη θέση καθηγητή το Την ίδια χρονιά εξέδωσε μια άλλη εργασία του (Θεωρία των Αβελιανών Συναρτήσεων) που ανέπτυξε σε ακροατήριο με 3 άτομα μεταξύ Μεταξύ αυτών ήταν ο Dedekind, ο οποίος κατάφερε να κάνει διαθέσιμη την ομορφιά των διαλέξεων του Riemann, μετά το θάνατό του, εκδίδοντας σε έργο τις διαλέξεις αυτές. Η ασυμβατότητα των μεθόδων σκέψης του Riemann έκανε την πλειονότητα των μαθηματικών της εποχής του να στραφεί εναντίον του. Ο Riemann όπως επέμενε στον τρόπο σκέψης και ανάπτυξης των μεθόδων του, γνωρίζοντας ότι δεν είναι αυστηρά μαθηματικοί ως προς τη συνήθη μεθοδολογία αλλά ότι οδηγούν σε μια ανώτερη μαθηματική αλήθεια, αν και φαίνονται επιφανειακά αστήριχτοι με μια μαθηματική ακριβολογία. Ο μη συμβατικός διαισθητικός τρόπος σκέψης του Riemann ήταν όμως αυτός που του επέτρεψε να ξεφύγει από τα στενά «κλουβιά» σκέψης της εποχής του και να τολμήσει να θέσει προβλήματα και ζητήματα πολύ μπροστά από τη δική του εποχή, όπως αυτό που έμεινε στην ιστορία ως «Υπόθεση Riemann». Ο Β. Reimann έμελλε να κάνει μία μαθηματική υπόθεση που, ενώ φαίνεται να επαληθεύεται συνεχώς από τότε, ωστόσο κανείς δεν την έχει αποδείξει ακόμα. Κι ακόμα χειρότερα, η θεωρία αριθμών είναι γεμάτη από αποδείξεις που ξεκινάνε από τη φράση: «αν η υπόθεση του Riemann είναι σωστή, τότε...». Αυτό σημαίνει ότι ένας μεγάλος αριθμός θεωρημάτων έχει στηριχτεί σε μία υπόθεση που δεν μπορεί ακόμα να επιλυθεί μετά από τόσο καιρό. Η υπόθεση Riemann έχει να κάνει με αυτό που έγινε αργότερα γνωστό ως «ζήτα» συνάρτηση του Riemann. Αυτή η «ζήτα» συνάρτηση λειτουργεί έτσι ώστε, όταν την τροφοδοτείς με αριθμούς από το ένα μέρος της σου εξάγει «μηδενικά». Σε αυτή τη συνάρτηση, τα «μηδενικά»

28 βρίσκονται όλα σε μία γραφική παράσταση, σε μία ευθεία γραμμή. Λόγω της πολύ εξειδικευμένης μαθηματικής διατύπωσης αυτής της συνάρτησης, δε θα εξηγήσουμε τον τρόπο με τον οποίο εξάγεται αλλά θα μιλήσουμε μόνο για τις συνέπειές της στη σύγχρονη Φυσική, στα μαθηματικά αλλά και στη φιλοσοφία. Η υπόθεση Riemann μας δείχνει ότι, αν και οι «πρώτοι» αριθμοί είναι απρόβλεπτοι και τυχαίοι, γιατί δεν υπάρχει κάποια εξίσωση που να μας δείχνει πώς παράγονται, παρόλα αυτά το πλήθος τους, παραδόξως, κατανέμεται με αρμονικό τρόπο, όπως μας δείχνει η «ζήτα» συνάρτηση του Riemann. Η απόδειξη του θεωρήματος του Riemann έχει γίνει τόσο αναγκαία για τους μαθηματικούς, που είναι ένας στόχος ζωής για πάρα πολλούς από αυτούς. Το 1862 παντρεύεται την Elise Koch, που ήταν φίλη της αδελφής του, και κάνουν μια κόρη. Την ίδια χρονιά αρρωσταίνει βαριά και παθαίνει φυματίωση. Προσπαθεί να βελτιώσει την υγεία του με ταξίδια στην Ιταλία, αλλά τελικά ποτέ δε θα αναρρώσει πλήρως, κι έτσι ο θάνατος τον βρίσκει στην Selasca της Ιταλίας το O Dedekind μας διασώζει ότι, αν και ο Riemann έβλεπε ότι το τέλος του είναι κοντά, ωστόσο μία ημέρα πριν το θάνατό του αναπαυόταν κάτω από ένα δένδρο, ευτυχισμένος μπροστά στο όμορφο ιταλικό τοπίο, και εργαζόταν πάνω σε μια εργασία που δυστυχώς την άφησε ατελείωτη. Αμέσως μετά το θάνατό του, πολλοί μαθηματικοί άρχισαν να αναγνωρίζουν τη μεγαλοφυία του και αγωνίστηκαν να βάλουν μια πιο στέρεα, επιστημονική δομή στις θεωρίες του. Αυτή που έμεινε στην ιστορία ως "Αρχή Dirichlet" και που ο Riemann την έπαιρνε ως δεδομένη για να αναπτύξει τις θεωρίες του, ήταν ένα αγκάθι για τους ακριβολόγους μαθηματικούς, γιατί δε στηριζόταν σε μια στέρεα απόδειξη. Χρόνια αργότερα, το 1901, ο Hilbert μπόρεσε να βρει μια ορθή απόδειξη της "Αρχής Dirichlet" και έτσι ο Riemann δικαιώθηκε πλήρως. Εντωμεταξύ πολλοί μαθηματικοί, προσπαθώντας να αποδείξουν αυτήν την Αρχή, ανακάλυψαν πολλές ιδέες στην Άλγεβρα που βοήθησαν την ανάπτυξη της Μαθηματικής Επιστήμης. Όπως έγραψε ο Monastyrsky: «Είναι δύσκολο να θυμηθούμε κάποιο άλλο παράδειγμα στην ιστορία των μαθηματικών του 19ου αιώνα, όπου ο αγώνας για αυστηρή απόδειξη οδήγησε σε τόσο παραγωγικά αποτελέσματα»

29 4. Η Υπερβολική Γεωμετρία Το 5 ο αίτημα «Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες.» Το τελευταίο από τα πέντε αιτήματα του Ευκλείδη ήταν το περίφημο αίτημα των παραλλήλων, σύμφωνα με το οποίο από κάθε σημείο εκτός μιας ευθείας μπορεί να διέρχεται μόνο μια ευθεία παράλληλη προς την αρχική. Βέβαια, ως κι ο ίδιος ο Ευκλείδης είχε επιφυλάξεις για το συγκεκριμένο αίτημα το οποίο διέφερε εμφανώς από τα άλλα λόγω της λανθάνουσας αναφοράς του στο άπειρο. Έτσι, όσο μπορούσε απέφευγε να το χρησιμοποιεί στα συμπεράσματά του. Ας δούμε όμως γιατί το αίτημα των παραλλήλων παραπέμπει στο άπειρο: δύο ευθείες είναι παράλληλες αν και μόνο αν δεν τέμνονται πουθενά. όμως σε μια πεπερασμένη περιοχή του χώρου, μπορούμε να χαράξουμε περισσότερες από μια ευθείες που να διέρχονται από ένα σημείο και να είναι παράλληλες προς την ευθεία (δηλαδή να μην την τέμνουν). Συνεπώς, το αίτημα των παραλλήλων αναφέρεται εμμέσως στο άπειρο και οι μαθηματικοί έχουν κάθε λόγο να είναι επιφυλακτικοί όσον αφορά τη διαίσθησή τους για το άπειρο. Μέχρι τα τέλη του 19 ου αιώνα η απόδειξη του 5 ου αιτήματος του Ευκλείδη παρέμενε ένα άλυτο μυστήριο. Όταν όμως η στιγμή είναι κατάλληλη για να έρθει μια νέα ιδέα στην επιφάνεια, τότε η ιδέα αυτή εμφανίζεται σε μερικούς ανθρώπους σχεδόν ταυτόχρονα. Έτσι έγινε και με την ανακάλυψη της μη ευκλείδειας γεωμετρίας. Οι εργασίες των Gauss, Bolyai Ο πρώτος που βρήκε την λύση του προβλήματος του πέμπτου αιτήματος ήταν ο Carl Friedrich Gauss ( ). Ο Gauss ήταν μεγάλος μαθηματικός της εποχής του και ξεκίνησε να ασχολείται με το πρόβλημα της παραλληλίας το 1792 από την

30 ηλικία δηλαδή των 15 ετών. Έπειτα από έρευνες που διήρκεσαν αρκετά χρόνια ο Gauss κατέληξε στο συμπέρασμα ότι υπάρχει μια (μη ευκλείδεια) γεωμετρία η οποία περιέχει όλα τα αξιώματα και αιτήματα της ευκλείδειας γεωμετρίας εκτός του πέμπτου αιτήματος, η οποία μπορεί να θεμελιωθεί με ένα επιπλέον αίτημα που αντίκειται στο πέμπτο αίτημα. Ανέπτυξε λοιπόν, μια τέτοια γεωμετρία ξεκινώντας από την υπόθεση της οξείας γωνίας για να κατασκευάσει μια νέα, μη ευκλείδεια γεωμετρία η οποία είναι συνεπής όπως και η ευκλείδεια. Παρά την μεγάλη του φήμη, ο Gauss απέφυγε να δημοσιεύσει τα αποτελέσματα των ερευνών του για την μη ευκλείδεια γεωμετρία καθώς θεώρησε ότι οι ανακαλύψεις του ήταν επαναστατικές και οι μαθηματικοί εκείνης της εποχής δεν θα μπορούσαν να τις καταλάβουν, με αποτέλεσμα το έργο του να κατακριθεί. Έτσι λοιπόν, αρκέστηκε στην αναφορά των ανακαλύψεών του σε κάποιες επιστολές του με αποτέλεσμα τα ευρήματά του να μην δημοσιευτούν ποτέ. Από αυτές τις επιστολές γνωρίζουμε ότι ο Gauss είχε φτάσει στην θεμελίωση βασικών εννοιών της μη ευκλείδειας γεωμετρίας ήδη από το Ένας άλλος μαθηματικός που ασχολήθηκε με την επίλυση του πέμπτου αιτήματος ήταν ο Ούγγρος Janos Bolyai ( ). Ο Janos Bolyai ήταν γιός του Farkas Bolyai, ο οποίος ήταν αξιόλογος μαθηματικός της εποχής του και είχε ασχοληθεί και αυτός με το πέμπτο αίτημα, χωρίς όμως να καταλήξει σε κάποιο συμπέρασμα. Ο Janos, παρά τις προειδοποιήσεις του πατέρα του να μην ασχοληθεί με το αξίωμα της παραλληλίας, είχε μια εντελώς καινούργια ιδέα. Υπέθεσε ότι η άρνηση του πέμπτου αιτήματος του Ευκλείδη δεν ήταν αδύνατη και το 1823 ανακάλυψε την μη ευκλείδεια γεωμετρία. Σε μια επιστολή που έστειλε στον πατέρα του Farkas αναφέρει χαρακτηριστικά: Από το τίποτα δημιούργησα ένα νέο παράξενο σύμπαν. Έτσι, το 1832 ο Janos δημοσίευσε τις ανακαλύψεις του σε ένα παράρτημα 26 σελίδων ενός δίτομου βιβλίου του πατέρα του, το Tentamen, που περιείχε τις προσπάθειες του Farkas να αποδείξει το πέμπτο αίτημα. Θεωρώντας ότι οι ανακαλύψεις του γιού του ήταν σημαντικές ο Farkas έστειλε ένα αντίγραφο του παραρτήματος του Janos στον παλιό συμφοιτητή και φίλο του Gauss. Βέβαια η απογοήτευση του Janos ήταν μεγάλη όταν διάβασε το γράμμα που έστειλε ο Gauss στον πατέρα του, λέγοντας ανάμεσα στα άλλα, ότι ο ίδιος είχε καταλήξει στα ίδια συμπεράσματα με τον Janos λίγα χρόνια πιο πριν. Συγκεκριμένα ο Gauss έγραψε:

31 Δεν τολμώ να επαινέσω την εργασία αυτή γιατί θα ήταν σαν να επαινώ τον εαυτό μου καθώς τα συμπεράσματα του γιού σου συμπίπτουν με τα δικά μου. Δεν σκοπεύω όμως να δημοσιεύσω τίποτα από όλα αυτά κατά τη διάρκεια της ζωής μου γιατί πολλοί δεν θα είχαν την ικανότητα να αντιληφθούν την αξία των συμπερασμάτων μου. Ύστερα από αυτό ο Janos Bolyai δεν δημοσίευσε τίποτα άλλο από την έρευνά του με αποτέλεσμα το έργο του να μείνει στην αφάνεια. Η ανακάλυψη της γεωμετρίας από τον Lobachevsky Περίπου στα 1815 ένας Ρώσος μαθηματικός, ο Nikolai Ivanovich Lobachevsky ( ) του Πανεπιστημίου του Καζάν, άρχισε να ασχολείται με την θεωρία των παραλλήλων. Μεταξύ 1823 και 1825 ο Lobachevsky ανακάλυψε τη μη ευκλείδεια γεωμετρία και έλυσε το πρόβλημα του πέμπτου αιτήματος του Ευκλείδη. Σε αντίθεση με τους Gauss και Bolyai ο Lobachevsky ήταν ο πρώτος που εξέφρασε τις νέες ιδέες του δημόσια, πρώτα προφορικά στις 23 Φεβρουαρίου 1826 σε συγκέντρωση της Φυσικομαθηματικής σχολής του Καζάν, όπου ανακοίνωσε μια εργασία πάνω στην θεωρία των παραλλήλων κι ύστερα γραπτά το 1829, όταν δημοσίευσε το περιεχόμενό της εργασίας αυτής στο περιοδικό του Πανεπιστημίου του Καζάν. Σε αυτή την πρώτη δημοσίευση ο Lobachevsky παρουσιάζει τη λογική θεμελίωση της νέας γεωμετρίας που προκύπτει από την υπόθεση της οξείας γωνίας. Ακόμη, πρέπει να αναφέρουμε ότι επειδή οι ιδέες του Lobachevsky ήταν ριζοσπαστικές για την εποχή εκείνη, πολλοί ήταν αυτοί που τις αμφισβήτησαν. Ο ίδιος, όμως, δεν πτοήθηκε και το 1835 εξέδωσε στα Ρώσικα το έργο Φανταστική Γεωμετρία, καθώς έτσι ονόμασε την νέα αυτή γεωμετρία που ανακάλυψε. Το 1855, έναν χρόνο πριν τον θάνατό του και όντας τυφλός, δημοσίευσε το βιβλίο Πανγεωμετρία που περιέχει μια ανακεφαλαίωση όλων των ερευνών του πάνω στις μη ευκλείδειες Γεωμετρίες και στις εφαρμογές τους. Αυτό που σκέφτηκε ο Lobachevsky ήταν ότι το πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη δεν μπορεί να αποδειχτεί από τα υπόλοιπα αξιώματα και αιτήματα της ευκλείδειας γεωμετρίας. Έτσι λοιπόν, σαν υπόθεση πήρε το αντίθετο του αξιώματος της παραλληλίας το οποίο ονομάζεται Αξίωμα του Lobachevsky:

32 Υπάρχει ευθεία g και σημείο A εκτός αυτής, έτσι ώστε από το A να διέρχονται τουλάχιστον δύο ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο με την g και δεν την τέμνουν. Συνεπώς, ο Lobachevsky προσάρτησε στα βασικά αξιώματα της ευκλείδειας γεωμετρίας, αντί του αξιώματος της παραλληλίας το παραπάνω αξίωμα, με αποτέλεσμα να μπορεί να αναπτυχθεί μια τέλεια και κατανοητή γεωμετρία, διαφορετική από την ευκλείδεια, που ονομάστηκε Γεωμετρία Lobachevsky. Μοντέλα υπερβολικής γεωμετρίας Ο δίσκος του Poincare Το πρώτο μοντέλο υπερβολικής γεωμετρίας προτάθηκε από τον Ιταλό μαθηματικό Eugenio Beltrami( ) το Αυτό το μοντέλο ονομάστηκε ψευδοσφαίρα του Beltrami καθώς αποδεικνύεται ότι δεν μπορεί να αποδείξει την συνέπεια της υπερβολικής γεωμετρίας. Στο πρώτο πραγματικό μοντέλο υπερβολικής γεωμετρίας κατέληξαν, ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο, οι Klein και Beltrami το Δέκα χρόνια αργότερα, το 1881, ο μεγάλος Γάλλος μαθηματικός Henry Poincare ( ) τροποποίησε το μοντέλο των Klein και Beltrami, δημιουργώντας ένα καλύτερο μοντέλο υπερβολικής γεωμετρίας, τον δίσκο του Poincare. Στο μοντέλο του Poincare θεωρούμε στο ευκλείδειο επίπεδο το εσωτερικό ενός δίσκου D. Ονομάζουμε P-σημεία του υπερβολικού επιπέδου τα σημεία του δίσκου. Οι ευθείες στο μοντέλο αυτό ονομάζονται P-ευθείες και είναι 1) οι διάμετροι του δίσκου και 2) τα τόξα των κύκλων εντός του δίσκου D και είναι ορθογώνιοι με την περιφέρειά του, δηλαδή οι εφαπτόμενες των τόξων και του δίσκου στο σημείο τομής είναι κάθετες. A Δ Ο B Γ Ρ

33 Ορισμός 1 Ονομάζουμε γωνία δύο τεμνόμενων P-ευθειών την γωνία που σχηματίζουν οι εφαπτόμενές τους στο σημείο τομής τους, που λέγεται κορυφή της γωνίας. Ορισμός 2: Δύο ευθείες λέγονται παράλληλες αν εφάπτονται μεταξύ τους σε ένα σημείο της περιφέρειας του δίσκου D. Ο Μ Ο Μ Ορισμός 3: Έστω (ε) μια P-ευθεία, ένα P-σημείο εκτός αυτής και σημεία X,Y σημεία του δίσκου D. Τότε οι P-ευθείες που διέρχονται από τα X,Y αντίστοιχα και τέμνονται στο Α ονομάζονται οριακές P-ευθείες της (ε) και είναι παράλληλες με αυτή

34 Y ε O A Χ Ορισμός 4: Δυο P-ευθείες λέγονται υπερπαράλληλες αν δεν τέμνονται σε κανένα σημείο. O Επαλήθευση των αιτημάτων της υπερβολικής γεωμετρίας στον δίσκο του Poincare 1 ο Αίτημα Από δύο σημεία περνά μια ευθεία. Θεωρούμε δύο P-σημεία Α,Β του δίσκου D. Περίπτωση 1 : Αν τα Α,Β βρίσκονται πάνω σε μια διάμετρο του δίσκου D τότε αυτή είναι η μοναδική P-ευθεία που περνά από τα δύο σημεία. Περίπτωση 2 : Δοθέντων δύο σημείων στο εσωτερικό ενός κύκλου υπάρχει μοναδικός κύκλος που περνά από τα δύο σημεία και τέμνει τον δοθέντα κάθετα σε δύο σημεία. (Αυτό αποτελεί πολύ δύσκολη άσκηση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.) 2 ο Αίτημα : Μια πεπερασμένη ευθεία εκτείνεται άπειρα και ευθύγραμμα

35 Σε πρώτη ματιά, το δεύτερο αίτημα της υπερβολικής γεωμετρίας δε φαίνεται να ισχύει. Στην πραγματικότητα ισχύει, καθώς σε αυτό το μοντέλο η απόσταση μετριέται διαφορετικά από ό,τι θα υπέθετε ένας εξωτερικός ευκλείδειος παρατηρητής. l Ο R ας υποθέσουμε ότι η ακτίνα του δίσκου είναι R και ότι έχουμε μια πολύ μικρή ευθεία γραμμή ευκλείδειου μήκους l σε απόσταση r από το κέντρο του δίσκου. Το μήκος αυτού του πολύ μικρού τμήματος στον δίσκο του Poincare είναι εξ ορισμού 2 l. Το μήκος του Poincare γίνεται πολύ μεγαλύτερο από το ευκλείδειο για 2 2 R r σχήματα κοντά στην περιφέρεια, ενώ για τα σχήματα κοντά στο κέντρο οι αποστάσεις είναι πρακτικά οι ίδιες. Ο Ένα τόξο ευκλείδειου κύκλου (το οποίο στο δίσκο του Poincare θεωρείται ως ευθεία) μπορούμε να το «κόψουμε» σε πολύ μικρά κομμάτια (που προσεγγιστικά είναι ευθύγραμμα τμήματα) και τότε το μήκος μιας P-ευθείας ορίζεται κατά προσέγγιση ως το άθροισμα των μηκών Poincare των μικρών ευθύγραμμων τμημάτων, το οποίο

36 είναι περίπου ίσο με το ευκλείδειο μήκος. Αυτή η προσέγγιση μπορεί να γίνει όσο καλή θέλουμε αν πάρουμε τα μήκη των κομματιών πολύ μικρά. Καθώς πλησιάζουμε προς την περιφέρεια του δίσκου, τα υπερβολικά μήκη γίνονται τόσο μεγάλα πολλαπλάσια των ευκλείδειων μηκών ώστε κάθε ευθεία της Υπερβολικής γεωμετρίας να έχει άπειρο μήκος. Συνεπώς το 2 ο Αίτημα ικανοποιείται. Γενικά ισχύει ότι: fαινομενικό μήκος = 2 R 2 2 R r μήκος Poincare (Η ισχύς του 2 ου Αιτήματος θα μπορούσε να δικαιολογηθεί αν ορίζαμε τα P-σημεία ως τα εσωτερικά του δίσκου, και τότε τα σημεία του δίσκου να εξαιρούνταν με αποτέλεσμα οι ευθείες να μπορούν να εκταθούν άπειρα ). 3 ο Αίτημα : Με οποιοδήποτε κέντρο και ακτίνα μπορεί να διαγραφεί κύκλος. Ο 4 ο Αίτημα : Όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. Από τον Ορισμό 2 της γωνίας στον κύκλο του Poincare καταλαβαίνουμε ότι η γωνία ορίζεται από τις εφαπτόμενες των P-ευθειών, οπότε ορίζεται με την ευκλείδεια έννοια. Στην ευκλείδεια γεωμετρία όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες. Συνεπώς το 4 ο αίτημα ισχύει. 5 ο Αίτημα: