ΜΑΘΗΜΑ - XI ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΑΣΚΗΣΗ Υ1 - e-(αλ)χημεια και Μ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑ - XI ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΑΣΚΗΣΗ Υ1 - e-(αλ)χημεια και Μ"

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑ - XI ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΑΣΚΗΣΗ Υ1 - e-(αλ)χημεια και ΜΟΡΙΑΚΕΣ ΠΡΟΣΩΜΟΙΩΣΕΙΣ Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής οµής και Λέιζερ, Ιδρυµα Τεχνολογίας και Ερευνας, Ηράκλειο, Κρήτη ΗΡΑΚΛΕΙΟ - ΚΡΗΤΗ 2014

2 ιαφορές Ελεύθερης Ενέργειας Σκοπός Σκοπός της άσκησης είναι η κατανόηση 1 Πως µε Μοριακές Προσοµοιώσεις υπολογίζουµε διαφορές Ελεύθερης Ενέργειας κατά την ενυδάτωση ιόντων 2 Στατιστική Θερµοδυναµική,, και Θερµοδυναµική Θεωρία ιαταραχών (ΘΘ ) 3 Χρήση λογισµικού TINKER 4 Χρήση λογισµικού VMD 5 Κατανόηση µερικών ϐασικών εννοιών της Φυσικοχηµείας [1] [2] PackageName=VMD [3] [4] ercolessi/md/md/ [5] VisualCompChem.pdf

3 Η Ασκηση for the development of multiscale models for complex chemical systems 2013 Chemistry Prize Arieh Warshel 1940 University of Southern California Martin Karplus 1930 Harvard University Michael Levitt 1947 Stanford University

4 Η Ασκηση Στην υπολογιστική άσκηση e-(αλ)χημεια ΚΑΙ ΜΟΡΙΑΚΕΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ ο ϕοιτητής ϑα εκπαιδευθεί σε δύο δηµοφιλή ανοικτής πρόσβασης πακέτα: TINKER (http://dasher.wustl.edu/) για εφαρµογές Μοριακής Μηχανικής και Μοριακής υναµικής και στο πακέτο µοριακών γραφικών VMD (Visual Molecular Dynamics) (http://www.ks.uiuc.edu/research/vmd/). Το TINKER α, που χαριτολογώντας ϑα το αποκαλούµε στα Ελληνικά Μάστορα, είναι απλό στη δοµή και χρήση του, και αυτό το κάνει ελκυστικό στη διδασκαλία, αλλά και στον προγραµµατισµό, γεγονός που δικαιολογεί τη συχνή χρήση αυτού του πακέτου στην ανάπτυξη νέων κωδίκων. Ο Μάστορας διαθέτει ένα µεγάλο αριθµό εργαλείων (αλγορίθµων) για την κατασκευή και ανάλυση µοριακών δυναµικών (µοριακών ενεργειακών επιφανειών). α Τα λεξικά µεταφράζουν τη λέξη tinker ως γανωµατής ή µηχανικός µάστορας. Το δεύτερο αποδίδει καλύτερα αυτό που κάνουµε εδώ µε τα µόρια. Από την άλλη µεριά, το VMD είναι ένα λειτουργικό πακέτο γραφικών µε εντυπωσιακά αποτελέσµατα στην απεικόνιση µεγάλων ϐιοµορίων, τροχιών µοριακής δυναµικής και τη γραφική ανάλυσή τους, και ισο-επιφανειών διαφόρων ειδών πυκνότητας. Είναι σηµαντικό να τονίσουµε ότι αυτά που ϑα µάθει ο ϕοιτητής σε αυτή την άσκηση είναι ένα πολύ µικρό µέρος των δυνατοτήτων των δύο λογισµικών. Θα µπορούσαµε να πούµε ότι είναι απλώς το Hors d oeuvre για να ανοίξει την όρεξη στο σπουδαστή, που µετά από αυτή την ενθάρρυνση, µόνος του πλέον ϑα µπορεί να διερευνήσει άλλες λειτουργίες των πακέτων αυτών. Τα λογισµικά αυτά ϑα είναι χρήσιµα στο ϕοιτητή και σε άλλα µαθήµατα κατά την παραµονή του στο πανεπιστήµιο και όχι µόνο.

5 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ - 1 Στατιστική Θερµοδυναµική Μοριακή Μηχανική Εάν επιλέξουµε µια κανονική Συλλογή για το σύστηµα µας τότε η πιθανότητα το µόριο να ϐρίσκεται στη µικροκατάσταση ν δίνεται από το γνωστό τύπο του Boltzmann p ν = e U(xi,yi,zi)/kB T, (1) Z όπου k B η σταθερά Boltzmann, και Z είναι η συνάρτηση επιµερισµού που κανονικοποιεί την κατανοµή πιθανοτήτων. Εποµένως, η συνάρτηση επιµερισµού υπολογίζεται από την εξίσωση 1 [ Z = exp 1 ] U(xi, yi, zi) dx 1dy 1dz 1 dx N dy N dz N. (2) k BT U είναι η συνάρτηση δυναµικού που περιγράφει όλες τις αλληλεπιδράσεις των ατόµων που απαρτίζουν το µόριο αλλά και τις αλληλεπιδράσεις των µορίων µεταξύ τους. Για συντοµία ϑεωρούµε ότι τα (x i, y i, z i) στην U αναπαριστούν τις συντεταγµένες όλων των ατόµων N, δηλαδή ϑα έπρεπε να αναφέρουµε ως ανεξάρτητες µεταβλητές του δυναµικού, U, όλα τα (x i, y i, z i, i = 1,..., N). Το γινόµενο των διαφορικών το γράφουµε συνοπτικά ως Π N i=1dxidyidzi. Εάν σκεφθείτε ότι, έχουµε περίπου NA άτοµα η συνάρτηση δυναµικού, U, έχει έναν τεράστιο αριθµό ανεξάρτητων µεταβλητών και ο υπολογισµός της υπερβαίνει κατά πολύ τις δυνατότητες που ϑα παρείχαν όλοι οι υπολογιστές του πλανήτη. 1 Ακριβέστερα, αυτό αναφέρεται ως το ολοκλήρωµα των διαµορφώσεων. Η συνάρτηση επιµερισµού περιλαµβάνει και τον παράγοντα που προέρχεται από την Κινητική Ενέργεια της Χαµιλτωνιανής. Επειδή όµως παίρνουµε διαφορές της Ελεύθερης Ενέργειας, η συνεισφορά της Κινητικής Ενέργειας αναιρείται, και για αυτό συχνά, παρακάµπτοντας τη µαθηµατική αυστηρότητα, ταυτίζουµε τη συνάρτηση επιµερισµού µε το ολοκλήρωµα των διαµορφώσεων.

6 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ - 2 Στατιστική Θερµοδυναµική Μοριακή Μηχανική Η Ελεύθερη Ενέργεια Helmholtz δίνεται από την εξίσωση A(T, V, N) = k BT ln Z, (3) Η Εξίσωση (3) είναι σηµαντική γιατί συνδέει µια µακροσκοπική ποσότητα (αριστερό σκέλος της εξίσωσης) µε µια ποσότητα που υπολογίζεται από τις µικροκαταστάσεις (συνάρτηση επιµερισµού). Μόνο για πολύ απλά µοντέλα έχουµε αναλυτικές εκφράσεις της συνάρτησης επιµερισµού. Εποµένως, πόσο χρήσιµη είναι αυτή η εξίσωση όταν δηλώνουµε αδυναµία να την υπολογίσουµε; Τώρα ϑα δούµε πως οι ερευνητές επιλύουν τέτοια προβλήµατα. Οπως πολύ συχνά συµβαίνει είναι ευκολότερο να υπολογίσουµε διαφορές µιας ποσότητας παρά την απόλυτη τιµή της. Για τον υπολογισµό της διαφορά της Ελεύθερης Ενέργειας, A, µεταξύ δύο συστηµάτων A και B κατασκευάζουµε έναν αριθµό υβριδικών συστηµάτων εισάγοντας µια ή περισσότερες παραµέτρους λ για να περιγράψουµε τα δυναµικά τους U λ (x i, y i, z i) = (1 λ)u A(x i, y i, z i) + λu B(x i, y i, z i), = U A + λ(u B U A), (4) δηλαδή για λ = 0 έχουµε το σύστηµα A και για λ = 1 το σύστηµα B. Οι ενδιάµεσες τιµές του λ αντιστοιχούν σε υβριδικά συστήµατα, κάτι µεταξύ του A και του B, µε τα δυναµικά U λ. Με άλλα λόγια επιστρέφουµε στην Αλχηµεία µια και αυτά τα συστήµατα δεν έχουν ϕυσική ύπαρξη.

7 = U λ + U λ (7) Υ ΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Υ1 : Μοριακές Προσοµοιώσεις ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ - 3 Στατιστική Θερµοδυναµική Μοριακή Μηχανική Η διαφορά µεταξύ αρχικής και τελικής Ελεύθερης Ενέργειας µπορεί να γραφεί ως άθροισµα πεπερασµένων διαφορών ως προς λ. A = λ 1 δλ A λ = (A λ+δλ A λ ) (5) λ=0 Το άθροισµα ως προς λ περιλαµβάνει την τιµή λ min = 0 που αντιστοιχεί στο αρχικό σύστηµα και την τιµή λ max = 1 δλ στο τελικό. Γνωρίζοντας ότι [ Z λ+δλ (T, V, N) = exp 1 ] k U λ+δλ(x i, y i, z i) Π N i dxidyidzi, (6) BT µε U λ+δλ = U λ + (U λ+δλ U λ ) και συµπεραίνουµε ότι A λ = k BT ( ln Z λ+δλ ln Z λ ) = kbt ln ( Zλ+δλ Z λ ), (8)

8 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ - 4 Στατιστική Θερµοδυναµική Μοριακή Μηχανική A λ = [ ] e U λ /k B T e (U λ+δλ U λ)/k B T k BT ln Π N i Z dxidyidzi λ [ ( ) ] e (Uλ+δλ Uλ)/kB T Π Ni dxidyidzi = k BT ln [ = k BT ln e U λ/k B T Z λ pν (e ) ] λ (U λ+δλ U λ)/k B T Π Ni dxidyidzi Η πιθανότητα pν λ = exp( U λ /k BT)/Z λ αναφέρεται στο υβριδικό σύστηµα λ. Άρα, το ολοκλήρωµα (9) υπολογίζει τη µέση τιµή του όρου, e ( U λ)/k B T, ως προ το σύνολο των διαµορφώσεων του υβριδικού συστήµατος που περιγράφεται µε τη διαταραχή U λ. Με άλλα λόγια [ ] A λ = k BT ln e (U λ+δλ U λ)/k B T, (10) λ (9)

9 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ - 5 Στατιστική Θερµοδυναµική Μοριακή Μηχανική Για παράδειγµα, µε δλ = 0.5 έχουµε A = A 0 + A 0.5 = (A 0.5 A 0) + (A 1 A 0.5) = (A 0 A 0.5) + (A 1 A 0.5). (11) Ειδικά για αυτή την περίπτωση χρειαζόµαστε µόνο µία κανονική Συλλογή µικροκαταστάσεων, αυτή του υβριδικού συστήµατος µε λ = Μπορούµε να παροµοιάσουµε τη Θερµοδυναµική µέθοδο διαταραχών σαν τη σκάλα που χρησιµοποιούµε για να ανέβουµε από το ισόγειο (λ = 0) σε διαµέρισµα του πρώτου ορόφου (λ = 1). Είναι ευκολότερο να παρεµβάλλουµε µερικά µικρά σκαλοπάτια από το να προσπαθούµε να ϕτάσουµε µε µια προσπάθεια στον πρώτο όροφο.

10 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ - 6 Στατιστική Θερµοδυναµική Μοριακή Μηχανική Στις αριθµητικές εφαρµογές αντικαθιστούµε τα ολοκληρώµατα µε αθροίσµατα της ποσότητας e (U λ+δλ U λ)/k B T, όπου απαιτείται ο υπολογισµός της δυναµικής ενέργειας γειτονικών υβριδικών συστηµάτων, (U λ+δλ U λ ), σε διαµορφώσεις που επιλέγονται µε πιθανότητα pν λ. Αυτό το επιτυγχάνουµε µε µεθόδους Monte Carlo ή Μοριακής υναµικής ή Στοχαστικής υναµικής. Στη δικιά µας περίπτωση χρησιµοποιούµε το λογισµικό πακέτο TINKER, το οποίο µπορεί και παράγει διάφορες στατιστικές Συλλογές. Υπάρχουν ακόµη µερικά τρικς που πρέπει να εφεύρουµε πριν ϕτάσουµε στο τελικό αποτέλεσµα. 1 Πως για παράδειγµα αποθηκεύουµε ένα µακροσκοπικό σύστηµα µε τόσο µεγάλο αριθµό µορίων στη µνήµη του Η/Υ; 2 Τι στην πραγµατικότητα σηµαίνει η παράµετρος λ και πως ϕτιάχνουµε τα υβριδικά συστήµατα ; Οι απαντήσεις ϑα δωθούν στις επόµενες διαφάνειες.

11 Μοριακή Μηχανική - 1 Στατιστική Θερµοδυναµική Μοριακή Μηχανική Με τον όρο Μοριακή Μηχανική ουσιαστικά εννοούµε την κατασκευή µοριακών δυναµικών ή επί το επιστηµονικότερο υναµικές Ενεργειακές (Υπερ)Επιφάνειες και τον εντοπισµό των ακροτάτων τους, δηλαδή ελάχιστα, σάγµατα, και µέγιστα. Για µικρά σχετικά µόρια (µέχρι 100 άτοµα περίπου) υπολογισµοί από πρώτες αρχές (ab initio) µε κβαντοχηµικές µεθόδους είναι εφικτοί, αλλά για µεγάλα µόρια όπως τα ϐιοµόρια τα εµπειρικά δυναµικά είναι και δηµοφιλή και έχουν πλέον αρκετή αξιοπιστία. Τα εµπειρικά δυναµικά περιγράφονται µε αναλυτικές συναρτήσεις και µεταβλητές τις συντεταγµένες σθένους του µορίου, δηλαδή µήκη δεσµών, γωνίες χηµικών δεσµών και στρέψεως. Συνήθως περιλαµβάνουν δύο µέρη, ένα που περιγράφει τις αλληλεπιδράσεις των ατόµων που συνδέονται µε χηµικούς δεσµούς, και ένα άλλο που περιγράφει τις αλληλεπιδράσεις µακράς εµβέλειας. Για παράδειγµα ένα σύνηθες εµπειρικό δυναµικό είναι το παρακάτω. V ( R) = Vintra( R) + Vinter( R) (12) ( R) συµβολίζει το σύνολο των Καρτεσιανών συντεταγµένων όλων των ατόµων του συστήµατος που µελετάµε ως προς ένα σταθερό στο χώρο σύστηµα συντεταγµένων (x, y, z).

12 Μοριακή Μηχανική - 2 Στατιστική Θερµοδυναµική Μοριακή Μηχανική V intra( R) = D b [exp( 2α b x) 2 exp( α b x)] + bonds K θ (θ θ 0) 2 + h.o.t. + angles torsions K χ[1 + cos(nχ σ)] (13) Τα x = r r 0, περιγράφουν τις µετατοπήσεις των χηµικών δεσµών r από τις τιµές ισορροπίας τους (r 0), θ είναι οι γωνίες δεσµών και χ οι δίεδρες γωνίες. n είναι ένας ακέραιος αριθµός που περιγράφει τη συµµετρία της δίεδρης γωνίας και σ µια αρχική ϕάση.

13 Μοριακή Μηχανική - 3 Στατιστική Θερµοδυναµική Μοριακή Μηχανική V LennardJones( R) = non bonding [ ( ) 12 σij ɛ ij r ij ( σij r ij ) 6 ] (14) όπου r ij είναι η απόσταση των ατόµων i και j που συνδέονται µε αλληλεπιδράσεις van der Waals, ɛ ij η ενέργεια του ελαχίστου και σ ij η απόσταση στην οποία το δυναµικό έχει το ελάχιστο. V Coulomb( R) = non bonding q iq j ɛ Dr ij + m.e. (15) (q i, q j ) συµβολίζουν τα ηλεκτρικά ϕορτία των ατόµων i και j και ɛ D η διηλεκτρική σταθερά. Το m.e. σηµαίνει άλλες αλληλεπιδράσεις πολυπόλων που µπορούν συµπεριληφθούν στο δυναµικό.

14 Στατιστική Θερµοδυναµική Μοριακή Μηχανική Εχοντας κατασκευάσει ένα αξιόπιστο δυναµικό για το µόριο σας µπορείτε να ολοκληρώσετε τις εξισώσεις του Newton και να ϐρείτε πως κινούνται τα άτοµα στο χρόνο. F i = V ( R) Ri d 2 Ri = m i, i = 1,..., N (16) dt2 F i είναι η συνισταµένη δύναµης στο άτοµο i και m i η µάζα του. Για την επίλυση των διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης χρειαζόµαστε αρχικές συνθήκες για τις ϑέσεις των ατόµων και τις ταχύτητές τους. Άρα, ένας υπολογισµός Μοριακής υναµικής περιλαµβάνει : 1 Τον ορισµό των ποσοτήτων που περγράφουν την κατάσταση ισορροπίας του συστήµατος, π.χ. ενέργεια, όγκος, ϑερµοκρασία, αριθµός ατόµων (µορίων) κλπ. Αυτό το επιτυγχάνετε επιλέγοντας την επιθυµητή στατιστική Συλλογή. 2 Τις αρχικές συντεταγµένες του συστήµατος ως προς ένα σταθερό στο χώρο Καρτεσιανό σύστηµα συνετεταγµένων. ίνουµε την ακριβή ϑέση των ατόµων, ιόντων, µορίων, κλπ. 3 Τις αρχικές ταχύτητες των δοµικών σωµατιδίων. Αυτές προκύπτουν από την αρχική ϑερµοκρασία του συστήµατος. Για κάθε ϐαθµό ελευθερίας η κινητική ενέργεια σύµφωνα µε το νόµο της ισοκατανοµής είναι (1/2)k BT (k B είναι η σταθερά του Boltzmann). Το κάθε άτοµο έχει τρεις ϐαθµούς ελευθερίας (τρεις κινητικούς), άρα ενέργεια (3/2)k BT. Αν ϑεωρήσουµε ότι αυτή η ενέργεια είναι µόνο κινητική (το µόριο ϐρίσκεται στη ϑέση ισορροπίας του), τότε για την ταχύτητα του κάθε ατόµου ϑα έχουµε : u i = (3k BT/m i) 1/2, όπου m i η µάζα του ατόµου i. 4 Το βήµα-χρόνου που ϑα χρησιµοποιήσουµε στην ολοκλήρωση. Το ϐήµα χρόνου πρέπει να επιλέγεται αρκετά µικρό ώστε να αποφεύγονται λάθη διακριτοποίησης (δηλαδή, παίρνουµε ϐήµατα µικρότερα από τους χρόνους που αντιστοιχούν στις ταχύτερες συχνότητες δόνησης στο σύστηµα). Το τυπικό ϐήµα χρόνου που χρησιµοποιείται στις Μοριακές Προσοµοιώσεις είναι της τάξης του 1 femtosecond (fs).

15 Θερµοδυναµικοί Κύκλοι - 1 Θέλουµε να υπολογίσουµε τη Σχετική Ελεύθερη Ενέργεια ( ( A)) κατά την επιδιαλύτωση ιόντων Βρωµίου και Χλωρίου σε νερό. Με άλλα λόγια αναζητούµε την ποσότητα Cl (g) A1 Cl (aq) (17) Br (g) A2 Br (aq) (18) ( A) = A 2 A 1. (19) Αναµένουµε τα A 1 και A 2 να είναι σχετικά µεγάλες ποσότητες και η διαφορά τους µικρή, και εποµένως η αξιοπιστία ενός υπολογισµού στα πλαίσια της Θερµοδυναµικής ϑεωρίας διαταραχών µικρή. Επειδή όµως, η Ελεύθερη Ενέργεια είναι καταστατική συνάρτηση µπορούµε να διαλέξουµε µια άλλη πορεία για τον υπολογισµό της ( A). Για παράδειγµα, από το ϑερµοδυναµικό κύκλο του Σχήµατος (1) ) έχουµε A 1 + A 4 = A 3 + A 2, (20) ή ( A) = A 2 A 1 = A 4 A 3. (21)

16 Θερµοδυναµικοί Κύκλοι - 2 Σχήµα : Θερµοδυναµικός κύκλος για την ενυδάτωση ιόντων Χλωρίου και Βρωµίου. Cl (aq) A4 Br (aq) A 1 A 2 Cl (g) A3 Br (g) Οι αντιδράσεις A 3 και A 4 περιγράφουν τη µεταστοιχείωση των ιόντων Cl σε ιόντα Br, κάτι που µόνο Αλχηµεία ϑυµίζει. Εισάγοντας τη νέα πορεία ( A 3 A 2) δικαιολογείται να υποθέσουµε A 3 = 0, επειδή αναµένουµε ότι, τα ϕυσικά ϕαινόµενα που ϑα συνεισφέρανε σε µια τιµή του A 3 διαφορετική του µηδενός να υπάρχουν και στην υδατική ϕάση. Τα ϕαινόµενα αυτά τα αγνοούµε και στις δύο ϕάσεις. Εποµένως, υπολογίζουµε µόνο το A 4 εφαρµόζοντας την Εξίσωση (10).

17 Θερµοδυναµική ϑεωρία διαταραχών για την εκτίµηση του A 4-1 Για την εκτίµηση του ολοκληρώµατος στην Εξίσωση (10) πρέπει να έχουµε το σύνολο των µικροκαταστάσεων που ϕτιάχνει µια κανονική Συλλογή. Θα µπορούσαµε να συλλέξουµε τέτοιες µικροκαταστάσεις κάνοντας µια µοριακή προσοµοίωση ενός ιόντος χλωρίου που κινείται µέσα σε µόρια νερού (δηλαδή να πάρουµε το δλ = 1) ή ακόµη να αντιστρέψουµε τα όρια της ολοκλήρωσης στην Εξίσωση (10) και η προσοµοίωση να γίνει µε ένα ιόν ϐρωµίου σε νερό. Καταλαβαίνουµε όµως ότι, µια ενδιάµεση κατάσταση ϑα ήταν προτιµότερη στην προσέγγιση του ολοκληρώµατος. Για το σκοπό αυτό χρειαζόµαστε ένα ϕανταστικό στοιχείο (Αλχηµεία) που ϑα έχει ιδιότητες ίσες µε τη µέση τιµή των ιδιοτήτων των δύο ιόντων. Για παράδειγµα, γνωρίζουµε ότι το µοριακό ϐάρος του Cl είναι 35,453 amu και του Br είναι 79,904 amu, άρα του ϕανταστικού στοιχείου X ϑα είναι 57,678 amu. Επίσης υποθέτουµε ότι, ενδιάµεσες τιµές ϑα έχουν και οι παράµετροι που ορίζουν τα δυναµικά αλληλεπίδρασης van der Waals του ιόντος X σύµφωνα µε την Εξίσωση 4. Τέλος, στο ερώτηµα που έχουµε ϑέσει σε προηγούµενη παράγραφο, πως περιγράφουµε ένα µακροσκοπικό σύστηµα µε τον Η/Υ, η απάντηση δίνεται µε το να υποθέσουµε περιοδικές συνοριακές συνθήκες στο σύστηµα.

18 Θερµοδυναµική ϑεωρία διαταραχών για την εκτίµηση του A 4-2 Στο συγκεκριµένο παράδειγµα, το σύστηµά µας ϑα περιέχει ένα µόνο ιόν και 214 µόρια νερού, που καταλαµβάνουν τον όγκο ενός κύβου µε διαστάσεις 18,6216 Α (Σχήµα (2). Η περιοδικότητα εξασφαλίζεται µε το να υποθέσουµε ότι, κάθε ϕορά που ένα µόριο εξέρχεται του κύβου καθώς κινείται στο χρόνο, ϑεωρούµε ότι επανέρχεται σε αυτόν από την αντίθετη έδρα. Με άλλα λόγια, υποθέτουµε ότι υπάρχουν επαναλαµβανόµενοι κύβοι, που επεκτείνονται στο άπειρο, ως προς κάθε έδρα του. Η µοριακή προσοµοίωση γίνεται για συγκεκριµένη ϑερµοκρασία (300 Κ) και ικανοποιώντας τις συνθήκες µιας κανονικής ή ισόθερµης - ισοβαρής κατανοµής. Σχήµα : Το µοντέλο επιδιαλύτωσης των ιόντων (Cl, X, Br ) σε 214 µόρια νερού.

19 Θερµοδυναµική ϑεωρία διαταραχών για την εκτίµηση του A 4-3 Οι υπολογισµοί ϑα γίνουν µε τη ϐοήθεια του Μάστορα (TINKER) εκτελώντας τα παρακάτω προγράµµατα. Επεξήγηση των προγραµµάτων και των δεδοµένων τους γίνεται στο Κεφάλαιο TINKER. Αρχείο anion.com: Υπολογισµός της στατιστικής Συλλογής cp anion.dyn0 anion.dyn dynamic anion και Αρχείο alchemy.com: Υπολογισµός διαφορών Ελεύθερης Ενέργειας alchemy < anion.dat rm anion.dyn anion.0*

20 Άσκηση - 1 : Παράδειγµα 1 Γνωριµία µε το πρόγραµµα VMD Ακολουθήστε τα ϐήµατα που περιγράφονται στο Κεφάλαιο VMD και χρησιµοποιήστε τα παραδείγµατα µε τα απαιτούµενα εισερχόµενα αρχεία αποθηκευµένα στον κατάλογο αρχείων vmd-tutorial-files. Μπορείτε να χρησιµοποιήσετε και δικά σας µόρια. 2 Γνωριµία µε το πρόγραµµα TINKER Ακολουθήστε τα ϐήµατα που περιγράφονται στο Κεφάλαιο TINKER και χρησιµοποιήστε τα παραδείγµατα µε τα απαιτούµενα εισερχόµενα αρχεία και τις εντολές εκτέλεσης αποθηκευµένα στον κατάλογο αρχείων tinker-tutorial-files. Μπορείτε να χρησιµοποιήσετε και παραδείγµατα από το πακέτο του TINKER. 3 Υπολογισµοί και Σύνταξη της Αναφοράς Η κύρια άσκηση περιλαµβάνει τον υπολογισµό διαφορών Ελεύθερης Ενέργειας κατά την επιδιαλύτωση ιόντων χλωρίου και ϐρωµίου σε νερό εκτελώντας τα αρχεία του TINKER, dynamic και alchemy. Εκτελέσιµα αρχεία µε εντολές WINDOWS (MacOX) και δεδοµένα, ϐρίσκονται στον κατάλογο αρχείων tinker-tutorial-files. Η άσκηση ϐασίζεται στο άρθρο των Terry P. Lybrand, Indira Ghosh, and J. Andrew McCammon, το οποίο συνιστούµε να διαβαστεί σε συνδυασµό µε την εκτέλεση της άσκησης. Στο άρθρο αυτό γίνεται αναφορά σε πειραµατικές µετρήσεις, τις οποίες ο ϕοιτητής µπορεί να συγκρίνει µε τους υπολογισµούς του.

21 Άσκηση - 2 : Προτεινόµενες ασκήσεις : 1 Υπολογισµός µιας κατάστασης ισορροπίας και δηµιουργία του αρχείου επανεκκίνησης της δυναµικής του συστήµατος, anion.dyn. 2 Εξέταση της σύγκλησης των αποτελεσµάτων µεταβάλλοντας τον αριθµό ϐηµάτων στην ολοκλήρωση της τροχιάς. 3 Εξέταση της σύγκλησης των αποτελεσµάτων µεταβάλλοντας το ϐήµα στο χρόνο. 4 Εξέταση της σύγκλησης των αποτελεσµάτων µεταβάλλοντας τον ολικό χρόνο ολοκλήρωσης. 5 Υπολογισµοί σε διαφορετικές ϑερµοκρασίες (π.χ. από 200 Κ µέχρι 400 Κ). 6 Υπολογισµοί µε άλλες τιµές του δλ (π.χ ή 1.0). 7 Σύστηµα µε µεγαλύτερο αριθµό µορίων νερού. 8 Με το VMD να δείτε τις τροχιές και να εκτυπώσετε στιγµιότυπα της αρεσκείας σας κατά το πρότυπο που δείχνεται στο Σχήµα (2). Συντάσσεται αναφορά µε τα αποτελέσµατα των υπολογισµών, η οποία περιλαµβάνει : 1 τη ϐασική ϑεωρία και περιγραφή των µεθόδων υπολογισµού, 2 γραφικές παραστάσεις από τη χρονική εξέλιξη του συστήµατος, 3 ανάλυση και γραφική αναπαράσταση των αποτελεσµάτων ως προς τη σύγκληση, ϑερµοκρασία ή άλλες παραµέτρους, 4 σύγκριση των υπολογισµένων µεταβολών Ελεύθερης Ενέργειας µε πειραµατικές µετρήσεις.

ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) Α. ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ

ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) Α. ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ-1 ΟΡΙΣΜΟΙ

ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ-1 ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ-1 ΟΡΙΣΜΟΙ Σταύρος Κ. Φαράντος Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής οµής και Λέιζερ, Ιδρυµα Τεχνολογίας και Ερευνας, Ηράκλειο, Κρήτη http://tccc.iesl.forth.gr/education/local.html

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ-ΙΙΙ ΤΑ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΑΞΙΩΜΑΤ

ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ-ΙΙΙ ΤΑ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΑΞΙΩΜΑΤ ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ-ΙΙΙ ΤΑ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΑΞΙΩΜΑΤΑ Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής οµής και Λέιζερ, Ιδρυµα Τεχνολογίας και Ερευνας, Ηράκλειο, Κρήτη http://tccc.iesl.forth.gr/education/local.html

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΜΟΡΙΑ, ΥΛΙΚΑ, ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΜΟΡΙΑ, ΥΛΙΚΑ, ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΜΟΡΙΑ, ΥΛΙΚΑ, ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Ι ΑΣΚΟΝΤΕΣ: Μαρία Κανακίδου, Σταύρος Φαράντος, Γιώργος Φρουδάκης 1 / 31 ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΡΩΤΗ Σύγχρονη Υπολογιστική Χηµεία: Επισκόπηση Μοριακές Θεωρίες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ-V ΑΣΚΗΣΗ Α2 - JOULE-THOMSON

ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ-V ΑΣΚΗΣΗ Α2 - JOULE-THOMSON ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ-V ΑΣΚΗΣΗ Α2 - JOULE-THOMSON Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής οµής και Λέιζερ, Ιδρυµα Τεχνολογίας και Ερευνας, Ηράκλειο, Κρήτη http://tccc.iesl.forth.gr/education/local.html

Διαβάστε περισσότερα

e-(αλ)χημεια και ΜΟΡΙΑΚΕΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ

e-(αλ)χημεια και ΜΟΡΙΑΚΕΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ e-(αλ)χημεια και ΜΟΡΙΑΚΕΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Σταύρος Κ. Φαράντος Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής οµής και Λέιζερ, Ιδρυµα Τεχνολογίας και Ερευνας - Ελλάς, Ηράκλειο 711 10, ΚΡΗΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 7/5/2000 Μηχανική ΙI Μετασχηµατισµοί Legendre Έστω µια πραγµατική συνάρτηση. Ορίζουµε την παράγωγο συνάρτηση της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα).

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI Αδιαβατικά αναλλοίωτα

Μηχανική ΙI Αδιαβατικά αναλλοίωτα Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 20/5/2000 Μηχανική ΙI Αδιαβατικά αναλλοίωτα Είδαµε ότι όταν η Χαµιλτονιανή συνάρτηση δεν εξαρτάται άµεσα από το χρόνο τότε αυτή διατηρείται κατά την κίνηση και εποµένως

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Μοριακή Προσοµοίωση

Εισαγωγή στη Μοριακή Προσοµοίωση Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη Μοριακή Προσοµοίωση 6.1. Μοριακή Μηχανική 6.1.1. Εισαγωγή στη µεθοδολογία του «απ αρχής» διπλώµατος της πρωτείνης. Η ενέργεια κάθε µορίου µπορεί θεωρητικά να υπολογιστεί µε την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M7. Ενέργεια συστήµατος

Κεφάλαιο M7. Ενέργεια συστήµατος Κεφάλαιο M7 Ενέργεια συστήµατος Εισαγωγή στην ενέργεια Οι νόµοι του Νεύτωνα και οι αντίστοιχες αρχές µας επιτρέπουν να λύνουµε µια ποικιλία προβληµάτων. Ωστόσο, µερικά προβλήµατα που θεωρητικά µπορούν

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Enrico Fermi, Thermodynamics, 1937

Enrico Fermi, Thermodynamics, 1937 I. Θερµοδυναµικά συστήµατα Enrico Feri, herodynaics, 97. Ένα σώµα διαστέλλεται από αρχικό όγκο. L σε τελικό όγκο 4. L υπό πίεση.4 at. Να υπολογισθεί το έργο που παράγεται. W - -.4 at 5 a at - (4..) - -

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ - VII ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΙΙ (ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. ΑΣΚΗΣΗ Β8 - Θερµοχωρητικοτήτες µετάλλων

ΜΑΘΗΜΑ - VII ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΙΙ (ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. ΑΣΚΗΣΗ Β8 - Θερµοχωρητικοτήτες µετάλλων ΜΑΘΗΜΑ - VII ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΙΙ (ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) ΑΣΚΗΣΗ Β8 - Θερµοχωρητικοτήτες µετάλλων Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής οµής και Λέιζερ, Ιδρυµα Τεχνολογίας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ-IV ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΥΝΑΜΙΚΑ - ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΦΑΣΕΩΝ

ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ-IV ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΥΝΑΜΙΚΑ - ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΦΑΣΕΩΝ ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ-IV ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΥΝΑΜΙΚΑ - ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΦΑΣΕΩΝ Σταύρος Κ. Φαράντος Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής οµής και Λέιζερ, Ιδρυµα Τεχνολογίας και Ερευνας,

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI Αδιαβατικά αναλλοίωτα

Μηχανική ΙI Αδιαβατικά αναλλοίωτα Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 20/5/2000 Μηχανική ΙI Αδιαβατικά αναλλοίωτα Είδαµε ότι όταν η Χαµιλτονιανή συνάρτηση δεν εξαρτάται άµεσα από το χρόνο τότε αυτή διατηρείται κατά την κίνηση και εποµένως

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΤΡΟΠΙΑ-2ος ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ-ΚΥΚΛΟΣ CARNOT

ΕΝΤΡΟΠΙΑ-2ος ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ-ΚΥΚΛΟΣ CARNOT ΕΝΤΡΟΠΙΑ-ος ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ-ΚΥΚΛΟΣ CARNO Η εντροπία είναι το φυσικό µέγεθος το οποίο εκφράζει ποσοτικά το βαθµό αταξίας µιας κατάστασης ενός θερµοδυναµικού συστήµατος. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Η εντροπία

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 16/5/2000 Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Στη Χαµιλτονιανή θεώρηση η κατάσταση του συστήµατος προσδιορίζεται κάθε στιγµή από ένα και µόνο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι - Εισαγωγή

Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι - Εισαγωγή Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι - Εισαγωγή Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Εισαγωγή στις έννοιες Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα, Οργάνωση Δεδοµένων και Δοµές Δεδοµένων Χρήσιµοι µαθηµατικοί

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

H = H 0 + V (0) n + Ψ (1) n + E (2) (3) >... Σε πρώτη προσέγγιση µπορούµε να δεχτούµε ότι. n και E n E n

H = H 0 + V (0) n + Ψ (1) n + E (2) (3) >... Σε πρώτη προσέγγιση µπορούµε να δεχτούµε ότι. n και E n E n 3 Θεωρία διαταραχών 3. ιαταραχή µη εκφυλισµένων καταστάσεων 3.. Τοποθέτηση του προβλήµατος Θέλουµε να λύσουµε µε τη ϑεωρία των διαταραχών το πρόβληµα των ιδιοτιµών και ιδιοσυναρτήσεων ενός συστή- µατος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ - 5 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΦΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΧΗΜΙΚΩΝ ΑΝΤΙ ΡΑΣΕΩΝ

ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ - 5 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΦΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΧΗΜΙΚΩΝ ΑΝΤΙ ΡΑΣΕΩΝ ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ - 5 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΦΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΧΗΜΙΚΩΝ ΑΝΤΙ ΡΑΣΕΩΝ Σταύρος Κ. Φαράντος Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής οµής και Λέιζερ, Ιδρυµα Τεχνολογίας και Ερευνας,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ - VIII ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΦΑΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΗ Α1 - Τάση ατµών καθαρού υ

ΜΑΘΗΜΑ - VIII ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΦΑΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΗ Α1 - Τάση ατµών καθαρού υ ΜΑΘΗΜΑ - VIII ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΦΑΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΗ Α1 - Τάση ατµών καθαρού υγρού Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής οµής και Λέιζερ, Ιδρυµα Τεχνολογίας και Ερευνας, Ηράκλειο, Κρήτη http://tccc.iesl.forth.gr/education/local.html

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM.

Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM. Μάθηµα : Αλγοριθµικές Βάσεις στη Γεωπληροφορική ιδάσκων : Συµεών Κατσουγιαννόπουλος Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM.. Μέθοδοι παρεµβολής. Η παρεµβολή σε ψηφιακό µοντέλο εδάφους (DTM) είναι η διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Περι - Φυσικής. Επαναληπτικό ιαγώνισµα Β Τάξης Λυκείου Κυριακή 10 Μάη 2015 Βολή/Θερµοδυναµική/Ηλεκτρικό Πεδίο. Θέµα Α. Ενδεικτικές Λύσεις

Περι - Φυσικής. Επαναληπτικό ιαγώνισµα Β Τάξης Λυκείου Κυριακή 10 Μάη 2015 Βολή/Θερµοδυναµική/Ηλεκτρικό Πεδίο. Θέµα Α. Ενδεικτικές Λύσεις Επαναληπτικό ιαγώνισµα Β Τάξης Λυκείου Κυριακή 10 Μάη 2015 Βολή/Θερµοδυναµική/Ηλεκτρικό Πεδίο Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Α.1. Στην άκρη ενός τραπεζιού ϐρίσκονται δύο σφαίρες Σ 1 και Σ 2. Κάποια χρονική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B 4 Εργο και Ενέργεια 4.1 Εργο σε µία διάσταση Το έργο µιας σταθερής δύναµης F x, η οποία ασκείται σε ένα σώµα που κινείται σε µία διάσταση x, ορίζεται ως W = F x x Εργο ύναµης = ύναµη Μετατόπιση Εχουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε αρχικά µε ένα µεµονωµένο σύστηµα δύο σωµάτων στα οποία ασκούνται µόνο οι µεταξύ τους κεντρικές δυνάµεις, επιτρέποντας ωστόσο και την

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Προσοµοιώσεις µοριακής δυναµικής

Προσοµοιώσεις µοριακής δυναµικής Προσοµοιώσεις µοριακής δυναµικής Τί είναι ; Μέθοδος υπολογιστικής προσοµοίωσης της χρονικής εξέλιξης ενός συστήµατος αλληλεπιδρόντων σωµατιδίων ΗΛΑ Η η προσοµοίωση της κίνησης των ατόµων ή µορίων ενός

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό ιαγώνισµα Β Τάξης Λυκείου Κυριακή 10 Μάη 2015 Βολή/Θερµοδυναµική/Ηλεκτρικό Πεδίο

Επαναληπτικό ιαγώνισµα Β Τάξης Λυκείου Κυριακή 10 Μάη 2015 Βολή/Θερµοδυναµική/Ηλεκτρικό Πεδίο Επαναληπτικό ιαγώνισµα Β Τάξης Λυκείου Κυριακή 10 Μάη 2015 Βολή/Θερµοδυναµική/Ηλεκτρικό Πεδίο Σύνολο Σελίδων: επτά (7) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Λογισµός των µεταβολών. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 2/2000

Μηχανική ΙI. Λογισµός των µεταβολών. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 2/2000 Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 2/2000 Μηχανική ΙI Λογισµός των µεταβολών Προκειµένου να αντιµετωπίσουµε προβλήµατα µεγιστοποίησης (ελαχιστοποίησης) όπως τα παραπάνω, όπου η ποσότητα που θέλουµε να µεγιστοποιήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών

Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών Μηχανική ΙΙ Τµήµα Ιωάννου-Αποστολάτου 6 Μαϊου 2001 Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών Θεωρούµε ότι 6 ίσες µάζες συνδέονται µε ταυτόσηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Θεσσαλονίκη 2012 2 Περιεχόµενα 1 υναµικός

Διαβάστε περισσότερα

1) Εισαγωγή. Κλασσική ατομιστική προσομοίωση. Περιεχόμενα. Μερικές εφαρμογές. Κλασσική ατομιστική προσομοίωση

1) Εισαγωγή. Κλασσική ατομιστική προσομοίωση. Περιεχόμενα. Μερικές εφαρμογές. Κλασσική ατομιστική προσομοίωση Κλασσική ατομιστική προσομοίωση Περιεχόμενα ) Εισαγωγικές έννοιες ) Συναρτήσεις δυναμικού 3) Προσομοίωση Μοριακής Δυναμικής Δ.Γ. Παπαγεωργίου Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ 1. Τι εννοούµε λέγοντας θερµοδυναµικό σύστηµα; Είναι ένα κοµµάτι ύλης που αποµονώνουµε νοητά από το περιβάλλον. Περιβάλλον του συστήµατος είναι το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001

Μηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001 Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 3/2001 Μηχανική ΙI Λαγκρανζιανή συνάρτηση Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι ο δυναµικός νόµος του Νεύτωνα είναι ισοδύναµος µε την απαίτηση η δράση ως το ολοκλήρωµα της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΕΡΓΟΠΟΙΗΣΗΣ ΙΞΩ ΟΥΣ ΡΟΗΣ ΕΝΟΣ ΡΕΥΣΤΟΥ (ΙΞΩ ΟΜΕΤΡΙΑ)

ΕΝΕΡΓΟΠΟΙΗΣΗΣ ΙΞΩ ΟΥΣ ΡΟΗΣ ΕΝΟΣ ΡΕΥΣΤΟΥ (ΙΞΩ ΟΜΕΤΡΙΑ) ΜΑΘΗΜΑ - IX ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ ΑΣΚΗΣΗ Β13 - ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΕΝΕΡΓΟΠΟΙΗΣΗΣ ΙΞΩ ΟΥΣ ΡΟΗΣ ΕΝΟΣ ΡΕΥΣΤΟΥ (ΙΞΩ ΟΜΕΤΡΙΑ) Σταύρος Κ. Φαράντος Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής

Διαβάστε περισσότερα

Έργο µιας χρονικά µεταβαλλόµενης δύναµης

Έργο µιας χρονικά µεταβαλλόµενης δύναµης Έργο µιας χρονικά µεταβαλλόµενης δύναµης Κ. Ι. Παπαχρήστου Τοµέας Φυσικών Επιστηµών, Σχολή Ναυτικών οκίµων papachristou@snd.edu.gr Θα συζητήσουµε µερικά λεπτά σηµεία που αφορούν το έργο ενός χρονικά µεταβαλλόµενου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

http://kesyp.didefth.gr/ 1

http://kesyp.didefth.gr/ 1 248_Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης, Ηράκλειο Προπτυχιακό Πρόγραµµα Σκοπός του Τµήµατος Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών είναι η εκαπαίδευση επιστηµόνων ικανών όχι µόνο να υπηρετήσουν και να

Διαβάστε περισσότερα

Ενεργειακή ανάλυση βιομορίων

Ενεργειακή ανάλυση βιομορίων Ενεργειακή ανάλυση βιομορίων Τα βιομόρια ως φυσικά συστήματα πρωτεΐνες, DNA, πεπτίδια, μικρά μόρια (ligands, φάρμακα) Αλληλεπιδράσεις μεταξύ των ατόμων + επίδραση του περιβάλλοντος νερού σταθεροποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Σύζευξη σπιν-σπιν J = 0 J 0

Σύζευξη σπιν-σπιν J = 0 J 0 Σύζευξη σπιν-σπιν Ας υποθέσουµε ότι έχουµε δύο πυρήνες Α και Χ, οι οποίοι είτε συνδέονται απ ευθείας µε έναν δεσµό είτε η σύνδεσή γίνεται µε περισσότερους δεσµούς. A X J = 0 J 0 Α Χ Α Χ Το σπάσιµο των

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι

Διαβάστε περισσότερα

Τ, Κ Η 2 Ο(g) CΟ(g) CO 2 (g) Λύση Για τη συγκεκριμένη αντίδραση στους 1300 Κ έχουμε:

Τ, Κ Η 2 Ο(g) CΟ(g) CO 2 (g) Λύση Για τη συγκεκριμένη αντίδραση στους 1300 Κ έχουμε: ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5-6 (Α. Χημική Θερμοδυναμική) η Άσκηση Η αντίδραση CO(g) + H O(g) CO (g) + H (g) γίνεται σε θερμοκρασία 3 Κ. Να υπολογιστεί το κλάσμα των ατμών του

Διαβάστε περισσότερα

κλασσική περιγραφή Κλασσική στατιστική

κλασσική περιγραφή Κλασσική στατιστική Η κανονική κατανομή στη κλασσική περιγραφή Κλασσική στατιστική φυσική Βίγκα Ελένη (ttp://users.aut.gr/vinga) Στατιστική Φυσική Διαφάνεια o o Μια πολύ απλή περίπτωση για να ξεκινήσουμε είναι: Na θεωρήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΙΑ. Ενότητα 4: Θερμοδυναμική και Κινητική της Δομής. Γρηγόρης Ν. Χαϊδεμενόπουλος Πολυτεχνική Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών

Φυσική ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΙΑ. Ενότητα 4: Θερμοδυναμική και Κινητική της Δομής. Γρηγόρης Ν. Χαϊδεμενόπουλος Πολυτεχνική Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών Φυσική ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΙΑ Ενότητα 4: Θερμοδυναμική και Κινητική της Δομής Γρηγόρης Ν. Χαϊδεμενόπουλος Πολυτεχνική Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ ΙΙ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ ΙΙ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ ΙΙ Ταχύτητα αντίδρασης και παράγοντες που την επηρεάζουν Διδάσκοντες: Αναπλ. Καθ. Β. Μελισσάς, Λέκτορας Θ. Λαζαρίδης Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. . γ) Μετατόπιση δεξιά, συνολικά µείωση της ποσότητας του Cl. . στ) Καµία µεταβολή.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. . γ) Μετατόπιση δεξιά, συνολικά µείωση της ποσότητας του Cl. . στ) Καµία µεταβολή. Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 ΘΕΜΑ ο Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΧΗΜΕΙΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ α γ γ 4 β 5 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ ο α) Μετατόπιση αριστερά, µείωση της ποσότητας του Cl β) Μετατόπιση δεξιά, αύξηση

Διαβάστε περισσότερα

Ελεύθερη ενέργεια. Ελεύθερη ενέργεια Gibbs. Αποτελείται από δύο όρους: την ενθαλπία H και την εντροπία S.

Ελεύθερη ενέργεια. Ελεύθερη ενέργεια Gibbs. Αποτελείται από δύο όρους: την ενθαλπία H και την εντροπία S. Κεφάλαιο 5: Θερµοδυναµικές και κινητικές έννοιες Οι µεταβολές στα στερεά άρα και στα κεραµικά, κυρίως αυτές που προέρχονται από θέρµανση ή ψύξη, προκύπτουν επειδή οδηγούν σε µείωση της ελεύθερης ενέργειας

Διαβάστε περισσότερα

1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( )

1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( ) Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι β ( f () f () ) + α ηµ d β α = [f () ηµ] - [f () συν] β α. ( ) β) Αν f () = ηµ, να αποδείξετε ότι f () + f ()

Διαβάστε περισσότερα

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64 15 εκεµβρίου 016 15 εκεµβρίου 016 1 / 64 Αριθµητική Ολοκλήρωση Κλειστοί τύποι αριθµητικής ολοκλήρωσης Εστω I(f) = b µε f(x) C[a, b], τότε I(f) = F(b) F(a), όπου F(x) είναι το αόριστο ολοκλήρωµα της f(x).

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 6 Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Υπάρχουν διαφόρων ειδών ολοκληρώµατα διανυσµάτων, ανάλογα µε τη µορφή που έχει η ολοκληρωτέα

Διαβάστε περισσότερα

Θέµα 1 ο. iv) πραγµατοποιεί αντιστρεπτές µεταβολές.

Θέµα 1 ο. iv) πραγµατοποιεί αντιστρεπτές µεταβολές. ΜΑΘΗΜΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ Θέµα 1 ο α) Ορισµένη ποσότητα ιδανικού αερίου πραγµατοποιεί µεταβολή AB από την κατάσταση A (p, V, T ) στην κατάσταση B (p, V 1, T ). i) Ισχύει V 1 = V. ii) Η µεταβολή παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Η Επιστήμη της Θερμοδυναμικής ασχολείται με την ποσότητα της θερμότητας που μεταφέρεται σε ένα κλειστό και απομονωμένο σύστημα από μια κατάσταση ισορροπίας σε μια άλλη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ÅÐÉËÏÃÇ. . γ) Μετατόπιση δεξιά, συνολικά µείωση της ποσότητας του Cl. . στ) Καµία µεταβολή.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ÅÐÉËÏÃÇ. . γ) Μετατόπιση δεξιά, συνολικά µείωση της ποσότητας του Cl. . στ) Καµία µεταβολή. Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΧΗΜΕΙΑ ΘΕΜΑ ο ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ α γ γ 4 β 5 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ ο α) Μετατόπιση αριστερά, µείωση της ποσότητας του Cl β) Μετατόπιση δεξιά, αύξηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html ευτέρα 30 Μαρτίου 2015 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν όλοι

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική. 21 Μαίου Γράψτε το ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητάς σας στο πάνω µέρος της αυτής της σελίδας.

ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική. 21 Μαίου Γράψτε το ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητάς σας στο πάνω µέρος της αυτής της σελίδας. ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική 21 Μαίου 2009 Γράψτε το ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητάς σας στο πάνω µέρος της αυτής της σελίδας. Επίσης γράψετε το password σας. Στο τέλος της εξέτασης θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Κίνηση σε µία διάσταση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 2 Κίνηση σε µία διάσταση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο Κίνηση σε µία διάσταση Copyright 9 Pearson Education, Inc. Περιεχόµενα Κεφαλαίου Συστήµατα Αναφοράς και µετατόπιση Μέση Ταχύτητα Στιγµιαία Ταχύτητα Επιτάχυνση Κίνηση µε σταθερή επιτάχυνση Προβλήµατα

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη 5 ο Εξάμηνο 4 ο ΜΑΘΗΜΑ Δημήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τμήμα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας 7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση γεωµετρικών περιορισµών σε µικρά µόρια µε αλγεβρικές µεθόδους

Επίλυση γεωµετρικών περιορισµών σε µικρά µόρια µε αλγεβρικές µεθόδους Επίλυση γεωµετρικών περιορισµών σε µικρά µόρια µε αλγεβρικές µεθόδους Επαµεινώνδας. Φριτζίλας Μ Ε Βιοπληροφορικής Τµήµα Βιολογίας ΕΚΠΑ 17 Φεβρουαρίου 2005 Τί σηµαίνει ο τίτλος ; γεωµετρικός περιορισµός:

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες προς υποψηφίους

Οδηγίες προς υποψηφίους ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 11 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2010 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς αϖό τις ϖαρακάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και διάµεσος µιας τυχαίας µεταβλητής ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ ΕΘΝΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΕΡΕΥΝΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΟΡΓΑΝΙΚΗΣ & ΦΑΡΜΑΚΕΥΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΟΡΙΑΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 1 ο εργαστήριο (Α µέρος) Βασικές αρχές Μοριακής Μοντελοποίησης Μοριακά µοντέλα Συστήµατα

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοίωση Μοριακής Δυναμικής

Προσομοίωση Μοριακής Δυναμικής Τεχνικές προσομοίωσης και σχεδιασμού υλικών σε ΗΥ Προσομοίωση Μοριακής Δυναμικής Δ.Γ. Παπαγεωργίου Λίγη ιστορία 957 lder και Wanwrght: Μελέτη των αλληλεπιδράσεων σκληρών σφαιρών. 964 Rahan: Προσομοίωση

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΟ ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Λεωφ Κηφισίας 56, ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ Αμπελόκηποι, ΛΑΓΑΝΑ Αθήνα PhD Τηλ: 10 69 97 985, e-mail: edlag@otenetg, wwwedlagg Λεωφ Κηφισίας 56, Τηλ: 10 69 97 985, wwwedlagg ΛΥΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

panagiotisathanasopoulos.gr

panagiotisathanasopoulos.gr Παναγιώτης Αθανασόπουλος. Κεφάλαιο 3ο Χημική Κινητική Παναγιώτης Αθανασόπουλος Χημικός, 35 Διδάκτωρ Πανεπιστημίου Πατρών Χηµικός ιδάκτωρ Παν. Πατρών 36 Γενικα για τη χημικη κινητικη και τη χημικη Παναγιώτης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Πρόβληµα µεταφοράς Η ανάπτυξη και διαµόρφωση του προβλήµατος µεταφοράς αναπτύσσεται στις σελίδες 40-45 του βιβλίου των

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50 Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α. και d B οι πυκνότητα του αερίου στις καταστάσεις Α και Β αντίστοιχα, τότε

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α. και d B οι πυκνότητα του αερίου στις καταστάσεις Α και Β αντίστοιχα, τότε ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Θέµα ο Στις ερωτήσεις -4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση Σύµφωνα µε την κινητική θεωρία των ιδανικών αερίων, η πίεση

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 9. Αριθµητική Ολοκλήρωση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 5 Μαΐου 010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι)

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ (Α. Χημική Θερμοδυναμική) H 298

ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ (Α. Χημική Θερμοδυναμική) H 298 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ 4-5 (Α. Χημική Θερμοδυναμική) η Άσκηση Από τα δεδομένα του πίνακα που ακολουθεί και δεχόμενοι ότι όλα τα αέρια είναι ιδανικά, να υπολογίσετε: α)

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική

Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική ΦΥΣ 211 - Διαλ.29 1 q Ενδιαφέρουσα κίνηση: Ø Αρκετά περίπλοκη Ø Δεν καταλήγει σε κίνηση ενός βαθµού ελευθερίας q Τι είναι το στερεό σώµα: Ø Συλλογή υλικών σηµείων

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

B' ΤΑΞΗ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÅÐÉËÏÃÇ

B' ΤΑΞΗ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÅÐÉËÏÃÇ 1 B' ΤΑΞΗ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ 1 ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό κάθε µιας από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Διαγωνισµού Μηχανικής ΙΙ Ιουνίου Ερώτηµα 2

Απαντήσεις Διαγωνισµού Μηχανικής ΙΙ Ιουνίου Ερώτηµα 2 Απαντήσεις Διαγωνισµού Μηχανικής ΙΙ Ιουνίου 2000 Ερώτηµα 1 Βα), και, Οι εξισώσεις κίνησης είναι, Έχουµε δύο ασύζευκτους αρµονικούς ταλαντωτές συχνότητας Η Χαµιλτονιανή αυτή θα µπορούσε να περιγράφει µικρές

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 15/1/2008

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 15/1/2008 Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 5//008 Πρόβληµα ο Στα παρακάτω ερωτήµατα επισηµαίνουµε ότι perceptron είναι ένας νευρώνας και υποθέτουµε, όπου χρειάζεται, τη χρήση δικτύων

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα