KΕΦΑΛΑΙΟ 2. H εξίσωση θερμότητας.

Transcript

1 1 Εισαγωγή KΕΦΑΛΑΙΟ H εξίσωση θερμότητας Εστω είναι ανοικτό σύνολο του με γνωστή θερμοκρασία στο σύνορό του κάθε χρονική στιγμή και γνωστή αρχική θερμοκρασία σε κάθε σημείο του Τότε οι φυσικοί νόμοι μας επιτρέπουν να υπολογίσουμε τη θερμοκρασία σε κάθε σημείο του για καθορίζει αυτό το φαινόμενο Μένει να βρούμε το μαθηματικό νόμο που Για κάθε y θεωρούμε κατανομή θερμοκρασίας u uy με συνεχείς μερικές παραγώγους ης τάξης ως προς τη χωρική μεταβλητή και συνεχή παράγωγο ως προς τη μεταβλητή χρόνου Παίρνουμε τυχαίο y και Τότε υπάρχει στοιχειώδης B B Είναι ανοικτή σφαιρική μπάλα όγκου γνωστό μέσω πειραμάτων ότι για μια στοιχειώδη μεταβολή της θερμοκρασίας στο σημείο κατά u u u χρειαζόμαστε στοιχειώδη θερμότητα ίση με Q Q C u B όπου C είναι μια σταθερά που εξαρτάται από την πυκνότητα και τη θερμοχωρητικότητα του και στο εξής (χωρίς βλάβη της γενικότητας) θεωρούμε ίση με τη μονάδα Απ την άλλη μεριά και υπό την απουσία άλλων πηγών θερμότητας στο η αρχή διατήρησης της ενέργειας υπονοεί ότι η θερμότητα Q ισούται με τη ροή θερμότητας δια μέσου της σφαίρας B του συνόρου του Δηλαδή: B Q D u ds όπου D είναι μια σταθερά θερμικής αγωγιμότητας του υλικού 14

2 που στο εξής (χωρίς βλάβη της γενικότητας) θεωρούμε ίση με τη μονάδα και είναι το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα σε κάθε σημείο της σφαίρας B με κατεύθυνση προς την εξωτερική της όψη Σημειώνουμε εδώ ότι ο τελεστής κλίσης εφαρμόζεται μόνον ως προς τη χωρική μεταβλητή Χρησιμοποιώντας το θεώρημα απόκλισης η παραπάνω ισότητα γράφεται ως εξής: Q u y dy B u B u y dy B u u 1 u B B y y y y dy Παίρνοντας προκύπτει η ΜΔΕ και και λόγω συνεχείας της u y u u η οποία καλείται ομογενής εξίσωση θερμότητας και είναι μια παραβολική ΜΔΕ ης τάξης Η μη ομογενής εξίσωση θερμότητας ορίζεται από τη σχέση όπου f f u u f είναι μια πραγματική συνάρτηση που μοντελοποιεί και άλλες πηγές θερμότητας που ενδεχομένως υπάρχουν στο Αν η διαδικασία είναι στατική (δηλαδή χρονοανεξάρτητη) τότε u και η εξίσωση θερμότητας ανάγεται στην εξίσωση Laplace ή Poio του προηγούμενου κεφαλαίου Στη μια χωρική διάσταση η εξίσωση θερμότητας γράφεται ως εξής u u f I 15

3 Ενα πρόβλημα για την εξίσωση θερμότητας μπορεί να είναι είτε αρχικών συνθηκών (πρόβλημα Cauchy) είτε αρχικών/συνοριακών συνθηκών (πρόβλημα Cauchy - Dirichle) Για παράδειγμα μια φυσική ερμηνεία του προβλήματος Cauchy- Dirichle u u L u L u ul αφορά τη θερμική συμπεριφορά σε κάθε σημείο ευθείας ράβδου μήκους άκρα της και αρχική θερμοκρασία τη χρονική στιγμή ισούται με μια συνάρτηση L αν η ράβδος έχει σταθερή μηδενική θερμοκρασία στα Το πρόβλημα Cauchy στο μοναδιαίο κύκλο Στο εξής θα περιοριστούμε στην επίλυση της εξίσωσης θερμότητας σε μια χωρική διάσταση Στην παράγραφο αυτή ψάχνουμε λύση του προβλήματος διάχυσης θερμότητας σε μοναδιαία κυκλική ράβδο κέντρου όταν στη ράβδο δεν υπάρχουν πηγές θερμότητας και η αρχική θερμοκρασία σε κάθε σημείο της ράβδου ισούται με f Τότε το πρόβλημα Cauchy γράφεται ως εξής: u u u f Θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο χωριζομένων μεταβλητών Αναζητούμε μη μηδενική λύση της μορφής u( ) ( ) οπότε με αντικατάσταση στη ΜΔΕ θερμότητας παίρνουμε u u 16

4 Για να ισχύει η τελευταία ισότητα για κάθε πρέπει να ισχύει (1) για κάποια πραγματική σταθερά Ετσι το πρόβλημά μας ανάγεται στην επίλυση δυο συνήθων ομογενών γραμμικών ΔΕ μαζί με την επιπλέον συνοριακή συνθήκη Ασχολούμαστε αρχικά με το πρόβλημα ιδιοτιμών της με γενική λύση Ce De ( ) C D C D i i Ce De Λαμβάνοντας υπόψη ότι ψάχνουμε για π-περιοδική λύση έχουμε: Η περίπτωση απορρίπτεται άμεσα ως μη περιοδική (μόνον για C D παίρνουμε την σταθερή λύση που μας οδηγεί στην τετριμμένη λύση u ) Για πρέπει αναγκαστικά D οπότε ( ) C Για η λύση είναι π-περιοδική αν και μόνον αν Συνοψίζοντας: i i Ce De για ( ) C D C D C C D για ή ισοδύναμα i i ( ) C e D e 17

5 Αντικαθιστώντας τις παραπάνω τιμές του στην (1) παίρνουμε με λύσεις Ετσι οι B e B ( ) ( ) u C e D e B e i i Ce De e i i είναι λύσεις της ΜΔΕ θερμότητας και από την αρχή της υπέρθεσης k i i u u C e D e e i A e e () αποτελεί επίσης λύση της εξίσωσης θερμότητας Σημειώνουμε ότι η παραπάνω σειρά είναι καλά ορισμένη για κάθε Μένει να ελέγξουμε τη συνοριακή συνθήκη: i f A e f Η παραπάνω θυμίζει σειρά Fourier της -περιοδικής συνάρτησης σε μιγαδική μορφή Ετσι αν η είναι ολοκληρώσιμη τότε υπάρχει μοναδική ακολουθία συντελεστών f 1 iy A : f ye dy f ώστε η σειρά Fourier έννοια Τελικά: να συγκλίνει στην i Ae f με κάποια Εστω 1 u f ye dy e e iy i 18

6 Τότε 1 i H e e H d (α) 1 (β) (γ) up H d C lim H d για κάθε σταθεροποιημένο Με άλλα λόγια η οικογένεια π-περιοδικών συναρτήσεων H είναι μια προσεγγιστική μονάδα η οποία καλείται πυρήνας θερμότητας στο μοναδιαίο κύκλο Θεώρημα 1 Για την προσεγγιστική μονάδα H ισχύει lim f H f σημειακά σε κάθε σημείο συνέχειας π-περιοδικής συνάρτησης Απ την άλλη μεριά: 1 u f ye dy e e = iy i f 1 i y f y e e dy f yh ydy f H = Από το Θεώρημα 1 ισχύει άρα η lim u f u f H αποτελεί λύση του προβλήματος Cauchy 19

7 3 Το πρόβλημα Cauchy στον Ας θεωρήσουμε τώρα το πρόβλημα Cauchy u g u u όπου v g είναι μια γνωστή συνεχής πραγματική συνάρτηση στον Ψάχνουμε σταθερές ab και πραγματική συνάρτηση 1 C (δηλαδή v C ως προς και v C προς ) έτσι ώστε η συνάρτηση 1 u v a b να ικανοποιεί την ομογενή εξίσωση ως Τότε: u u a 1 b u v v a1 b a b b1 1 u v ab b συνεπώς με αντικατάσταση στη ΜΔΕ θερμότητας παίρνουμε a 1 b 1 v v v a1 b a b b1 ab b Θέτουμε y και έχουμε: b a b 1 vy 1 v 1 y y v y a a a b Για να απλοποιηθούν οι παρονομαστές θεωρούμε 11

8 οπότε έχουμε: 1 b 1 avy vy y vy (3) Επιπλέον υποθέτουμε ότι η είναι ακτινική συνάρτηση δηλαδή v y v y και για r y υπολογίζουμε v v v v y v r y y y y y y r v r v r vy y y y = r rvr r r y r v v r vr 1 Αντικαθιστώντας στην (3) προκύπτει η ΔΕ r 1 avr vr v r vr (4) r Παρατηρούμε ότι για a η (4) γράφεται ως εξής άρα: 1 1 r vr r vr r vr r vr c vr rvr c Για v v r r η σταθερά c ομογενής γραμμική ΔΕ μηδενίζεται οπότε προκύπτει η 111

9 με γενική λύση 1 vr rvr r 4 v r de d Ετσι προκύπτει η οικογένεια λύσεων: Αποδεικνύεται εύκολα ότι 1 a/ d 4 a b b1/ / u v e d Η συνάρτηση 4 d e d 1 d / H e καλείται θεμελιώδης λύση της εξίσωσης θερμότητας και η οικογένεια συναρτήσεων καλείται πυρήνας θερμότητας στον H d (α) 1 H Ισχύουν δε τα εξής: (β) (γ) up H d C B lim H d για κάθε σταθεροποιημένο Δηλαδή η οικογένεια και επιπλέον έχουμε: H είναι μια προσεγγιστική μονάδα Πρόταση 1 Για τον πυρήνα της θερμότητας H ισχύει 11

10 lim f H f σημειακά σε κάθε σημείο συνέχειας μιας φραγμένης συνάρτησης στον f Απόδειξη Λόγω συνεχείας της f H f f y f H y dy f B f y f H y dy B f y f H y dy I για κάθε 1 f f I έτσι υπάρχει ώστε για κάθε yb να ισχύει f y f Συνεπώς I H y dy H y dy = 1 f B Οσον αφορά δε το ολοκλήρωμα έτσι ώστε I f υπάρχει αρκούντως μικρό f up y y y up y I f H d f y B y y και έτσι προκύπτει το ζητούμενο Επανερχόμενοι στο αρχικό μας πρόβλημα γνωρίζουμε ότι η H αποτελεί λύση της ομογενούς εξίσωσης θερμότητας Ας ορίσουμε τη συνέλιξη g H g y H y d y g y H y d y όπου είναι γνωστή συνεχής και φραγμένη συνάρτηση στο που μας δίνεται ως αρχική συθήκη Η συνέλιξη g H είναι καλά ορισμένη και επιπλέον έχουμε g 113

11 H g H g H g g H Eπίσης από την Πρόταση 1 έχουμε H g H g lim g H g δηλαδή ικανοποιείται και η αρχική συνθήκη Ετσι η u g H αποτελεί λύση του προβλήματος Cauchy η οποία είναι και φραγμένη 3 Moναδικότητα λύσης Εστω είναι ανοικτό και φραγμένο υποσύνολο του γράφουμε και Για κάθε για μια πραγματική συνάρτη- 1 Για απλότητα γράφουμε u C ση u u που είναι C ως προς και 1 C ως προς Πρόταση (Αρχή μεγίστου-ελαχίστου Ασθενής μορφή) 1 Εστω u C είναι συνεχής στο ομογενούς εξίσωσης και αποτελεί λύση της Τότε: u u ma u ma u mi u mi u 114

12 Aπόδειξη Εστω ότι v u Αρχικά θα δείξουμε και ma v ma v Εστω ma v Ετσι για κάθε ma v Τότε υπάρχει έτσι ώστε v ma v έχουμε v v v συνεπώς v το οποίο υπονοεί ότι ενώ απ την άλλη μεριά για κάθε v v Αρα αφενός: έχουμε ενώ αφετέρου v v v v u u Καταλήξαμε σε άτοπο άρα ma v ma v συνεπώς ma v ma v και αφήνοντας το παίρνουμε το ζητούμενο u u Θέτοντας όπου το και εργαζόμενοι με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύουμε και την αρχή ελαχίστου Αναφέρουμε χωρίς απόδειξη και την ακόλουθη Πρόταση 3 (Αρχή μεγίστου Ισχυρή μορφή) 1 Εστω u C είναι όπως στην Πρόταση Αν υπάρχει έτσι ώστε ma u u τότε η u είναι σταθερή στο σύνολο 115

13 Θεώρημα Εστω είναι όπως παραπάνω και f C g C 1 το πολύ μια λύση uc του προβλήματος είναι γνωστές πραγματικές συναρτήσεις Τότε υπάρχει u g u u f (5) Απόδειξη Εστω γραμμικότητας η w a b αποτελεί λύση του προβλήματος ab είναι δυο λύσεις του προβλήματος (5) Λόγω w w w (6) Αρα από την αρχή μεγίστου της Πρότασης θα πρέπει να ισχύει ή ισοδύναμα στο Επίσης και η αποτελεί μια λύση του προβλήματος (6) οπότε ab στο w στο Αρα a b στο ab και το θεώρημα αποδείχθηκε Σημείωση Η ασθενής μορφή της αρχής μεγίστου/ελαχίστου ισχύει και για την περίπτωση υπό την επιπλέον συνθήκη αυξητικότητας B u Ae όπου AB είναι σταθερές Τότε w up u up u Συνεπεία αυτού είναι ότι και η (5) έχει το πολύ μια λύση στην περίπτωση όπου 116

14 5 Ομογενείς εξισώσεις Στο εξής μελετούμε τη εξίσωση θερμότητας σε μια χωρική διάσταση 51 Φραγμένα χωρία με ομογενείς συνοριακές συνθήκες Θα επιλύσουμε το ακόλουθο πρόβλημα Cauchy Dirichle: όπου C L με L παραπάνω u u L u L u ul όπως εύκολα συνάγεται από τα Εφόσον έχουμε ομογενή ΜΔΕ με ομογενείς αρχικές συνθήκες θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο χωρισμού των μεταβλητών Αναζητούμε μη μηδενική λύση της μορφής: X u Χρησιμοποιούμε τις ομογενείς συνθήκες Dirichle και έχουμε u X X X L u L X L (7) αλλιώς άρα η λύση μας u αφορά την αρχική συνθήκη έχουμε είναι η μηδενική Οσον u X (8) Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τη συγκεκριμένη μορφή της λύσης στην ομογενή ΜΔΕ θερμότητας και παίρνουμε: u u X X X X X 117

15 Για να ισχύει η τελευταία ισότητα για κάθε πρέπει να ισχύει X (9) X για κάποια πραγματική σταθερά Ετσι το πρόβλημά μας ανάγεται στην επίλυση δυο συνήθων ομογενών γραμμικών ΔΕ X X μαζί με τις επιπλέον συνοριακές συνθήκες (7) και (8) Ασχολούμαστε αρχικά με το ακόλουθο πρόβλημα ιδιοτιμών με ομογενείς αρχικές συνθήκες X L X X X Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: α) Τότε X X ( ) A B A B Με χρήση των αρχικών συνθηκών X X L άμεσα η λύση προκύπτει X άρα και η τετριμμένη λύση u άτοπο β) Τότε ( ) X X X Ae Be A B Πάλι με χρήση των αρχικών συνθηκών X X L προκύπτει άμεσα η λύση X άρα και η τετριμμένη λύση u άτοπο γ) Τότε X X X ( ) A B A B 118

16 Με χρήση των αρχικών συνθηκών X X L προκύπτει A B A A Bi L i L Lk A k L k 1 όπου θεωρήσαμε διότι για άρα και την τετριμμένη λύση B X B πάλι θα παίρναμε u Ετσι προκύπτουν οι λύσεις k X k ( ) Bk i Bk k 1 L Τελικά μη τετριμμένες λύσεις k k X παίρνουμε για τις ιδιοτιμές k k 1 με ιδιοσυναρτήσεις Bk i L L Αντικαθιστώντας τις παραπάνω τιμές του στην (9) παίρνουμε με λύσεις Ετσι οι k k k k 1 H C e C e C k k / L k k k k k uk X k ( ) k ( ) Bk i Cke L k / L k G e G B C k L k / L k i k k k 1 είναι λύσεις που ικανοποιoύν τις ομογενείς συνοριακές συνθήκες Από την αρχή της υπέρθεσης και η k u u G i e k1 k1 L k / L k k (1) 119

17 αποτελεί λύση της ΜΔΕ Σημειώνουμε ότι η παραπάνω σειρά είναι καλά ορισμένη Μένει να ελέγξουμε τη συνθήκη (8): k X G L k1 k (11) i Η σειρά (11) θυμίζει τη σειρά Fourier ημιτόνων της συνάρτησης Με την επιπλέον υπόθεση ότι η έχει τμηματικά συνεχή παράγωγο στο και εφόσον L θεωρούμε την περιττή επέκταση της στο διάστημα και στη συνέχεια επεκτείνουμε τη περιοδικά πάνω στην πραγματική ευθεία Ετσι υπάρχει μοναδική ακολουθία συντελεστών L L 1 L ky L ky Gk : yi dy yi dy L L L L L τέτοια ώστε η σειρά Fourier k G i k1 k L να συγκλίνει από- στο L Τελικά παίρνουμε τη λυτα και ομοιόμορφα στην μοναδική λύση: L ky k u yi dy i e k1 L L L k / L (1) 1

18 5 Φραγμένα χωρία με μη ομογενείς συνοριακές συνθήκες Θα επιλύσουμε το ακόλουθο πρόβλημα Cauchy Dirichle: u u L u L a b u a ul b όπου είναι γνωστή συνεχής συνάρτηση στο διάστημα a L b όπως συνάγεται από τα παραπάνω L με Η διαφορά με το προηγούμενο παράδειγμα είναι ότι οι συνοριακές u C L είναι συνθήκες είναι πλέον μη ομογενείς Εστω μια λύση του προβλήματός μας Ανάγουμε το αρχικό πρόβλημα σε πρόβλημα ομογενών συνοριακών συνθηκών ως εξής: Yποθέτουμε ότι η λύση μας γράφεται ως εξής: u v w όπου v a b a L ότε το αρχικό μας πρόβλημα μετασχηματίζεται ως εξής: με w w L w wl w f1 L f1 f v και f a f b Τότε από τη (1) υπολογίζουμε 1 1 L ky k w f yi dy i e k1 L L L k / L 1 11

19 Mια άλλη μέθοδος επίλυσης είναι μέσω του μετασχηματισμού Laplace Mε τη μέθοδο αυτή θα επιλύσουμε το ακόλουθο πρόβλημα Cauchy Dirichle: Εστω u u L u L u u u u L u F είναι ο μετασχηματισμός Laplace της u ως προς (υπό την προϋπόθεση ότι η είναι εκθετικής τάξης ως προς ) Σταθεροποιούμε προς στιγμήν κάποιο μετασχηματισμό Laplace και στα δυο μέλη της ΜΔΕ Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace (βλέπε παράγραφο Β6) και παίρνουμε: d F u u u u F u και εφαρμόζουμε το d F d F d Aλλά u u u u F u Για σταθεροποιημένο η παραπάνω είναι μια γραμμική ΔΕ ης τάξης ως προς με γενική λύση: και Επιπλέον F C e D e F u df L ul ul d 1

20 Τώρα μπορούμε να υπολογίσουμε τους συντελεστές C D επιλύοντας το σύστημα u u C F u C D 1 e df L L L ue C e De D d 1 e L L L Τελικά: F L L L L L u e e u e e 1e 1e u coh L coh L Παίρνοντας αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace ως προς προκύπτει το ζητούμενο Εφόσον coh L e coh L 1 4L 1 /(16 L ) 1 co 1 (λαμβάνοντας υπόψη γνωστούς πίνακες) τελικά έχουμε 4u /(16 L ) u u co e 1 1 4L 13

21 53 Μη φραγμένα χωρία με ομογενείς συνοριακές συνθήκες Θα αναζητήσουμε μια φραγμένη λύση όσον αφορά το ακόλουθο πρόβλημα Cauchy Dirichle: Εστω u u u u u u u F είναι ο μετασχηματισμός Laplace της u όπως πριν παίρνουμε ως προς Εργαζόμενοι Aλλά d F d F u u u u F u Για σταθεροποιημένο η παραπάνω είναι μια γραμμική ΔΕ ης τάξης ως προς με γενική λύση: και F C e D e F u Εφόσον επιζητούμε φραγμένη λύση θεωρούμε C άρα: Aπό τη συνθήκη Αρα: F F D e u προκύπτει εύκολα ότι u D 14

22 F ue Παίρνοντας αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace ως προς (και λαμβάνοντας υπόψη γνωστούς πίνακες) έχουμε u u 1 e d Ας μελετήσουμε τώρα το πρόβλημα Cauchy: u u u όπου είναι μια συνεχής και ολοκληρώσιμη συνάρτηση στο Mπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το μετασχηματισμό Fourier ως εξής: Προς στιγμήν σταθεροποιούμε τυχαίο και παίρνουμε το μετασχηματισμό Fourier της u ως προς : i u u e d Από τις ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier (βλέπε Κεφ ) έχουμε: u u u u d u i u d u 4 u Για σταθεροποιημένο η παραπάνω είναι μια γραμμική ΔΕ 1 ης τάξης ως προς με γενική λύση 4 u A e όπου A είναι αυθαίρετη συνάρτηση Λόγω της δοθείσης συνοριακής συνθήκης u έχουμε 15

23 οπότε Τελικά u u A 4 u e Αν λοιπόν υπάρχει απόλυτα ολοκληρώσιμη συνάρτηση πάνω στην πραγματική ευθεία με H H ( ) 4 e τότε απ το γνωστό θεώρημα συνέλιξης a b a b για ολοκληρώσιμες συναρτήσεις και από το θεώρημα αντιστροφής του μετασχηματισμού Fourier προκύπτει η λύση: Aλλά u f H /(4 ) e H (βλέπε παράγραφο Β5 Κεφαλαίου ) οπότε 1 /(4 ) u f H f e d 16

24 6 Μη ομογενείς εξισώσεις Θα αναζητήσουμε λύση στο ακόλουθο μη ομογενές πρόβλημα Cauchy Dirichle με μη ομογενείς αρχικές και συνοριακές συνθήκες: u u f a u a u A ua B Η περιγράφει το ρυθμό με τον οποίο παράγεται (χάνεται) θερμότητα από πηγές κατά μήκος της ράβδου Η είναι η αρχική θερμοκρασία ενώ οι προσδιορίζουν τη θερμοκρασία που επιβάλλουν στη ράβδο σώματα τοποθετημένα στα άκρα της f AB Προσαπαθούμε να ανάγουμε το πρόβλημά μας σε ένα ισοδύναμο πρόβλημα με ομογενείς συνοριακές συνθήκες Αναζητούμε λύση της μορφής έτσι ώστε Εστω u v w και va B v A v A B A a Τότε το πρόβλημά μας ανάγεται στο ακόλουθο πρόβλημα: 1 1 w w f a w a w w a όπου v f1 f v 1 και a Εμπνεόμενοι τώρα από το ανάλογο ομογενές 1 1 πρόβλημα της παραγράφου 51 υποθέτουμε ότι η λύση w είναι της μορφής 17

25 w w 1 a Επιπλέον υποθέτουμε ότι η γνωστή συνάρτηση σε σειρά ημιτόνων f1 f1 1 a f 1 αναπτύσσεται Aν λοιπόν θεωρήσουμε την περιττή επέκταση της στο διάστημα και υποθέσουμε ότι η f 1 είναι συνεχής και έχει τμηματικά συνεχή παράγωγο ως προς τότε μέσω της θεωρίας των σειρών Fourier υπολογίζουμε τη μοναδική ακολουθία συντελεστών από τη σχέση f 1 a a y f1 f y dy a a f 1 ως προς και διασφαλίζουμε τη σημειακή και ομοιόμορφη σύγκλιση της σειράς Fourier Εστω τώρα ότι οι παράγωγοι της u προκύπτουν από όρο προς όρο παραγώγιση της παραπάνω σειράς Τότε: 1 1 w w w w f a a w w f1 a f 1 Οι συντελεστές είναι ήδη γνωστοί και η παραπάνω είναι μια μη ομογενής ΔΕ 1 ης τάξης με γενική λύση Τότε: a a a w c e e f e d c 1 a a a u c 1 e e f 1 e d a Aπό τη συνοριακή συνθήκη παίρνουμε: 18

26 w 1 w 1 1 a Θεωρώντας πάλι την περιττή επέκταση της και με την υπόθεση συνέχειας και παραγωγισιμότητας για τη υπολογίζουμε a w 1 d a a Τελικά: a 1 στο διάστημα a a y a a w 1 d f y e dyd e 1 a a a a 7 Aσκήσεις 1 Δείξτε ότι λύνοντας την ομογενή ΜΔΕ θερμότητας με συνοριακές συνθήκες u u L L προκύπτουν οι ακόλουθες ιδιοσυναρτήσεις 3 5 i i i L L L Δείξτε ότι η λύση του προβλήματος θερμότητας u u u u u f 1 u f d e f d είναι η 1 3 Δείξτε ότι φραγμένη λύση του προβλήματος θερμότητας u u / k u u a a k u 1 19

27 είναι η ακόλουθη u a 4a (1) k / a e 1 1 / a 4 Επιλύστε το πρόβλημα u u u u e u 5 Επιλύστε το πρόβλημα u u u u 1 e u 6 Επιλύστε το πρόβλημα u 3 u 1 u u1 u 1 7 Επιλύστε το πρόβλημα u u e u u u 8 Επιλύστε το πρόβλημα u u e u u u 13

28 9 Επιλύστε το πρόβλημα u u u 1 Επιλύστε το πρόβλημα 11 Επιλύστε το πρόβλημα u u 1 u u 1 u u 1 u u u e 1 Δώστε το νόμο ακτινικής ροής θερμότητας σε κυκλικό δίσκο και ακτίνας a με αρχική συνθήκη κέντρου ur f r r y και συνοριακή συνθήκη ua Στη συνέχεια επιλύστε το πρόβλημα αυτό 131