Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Τοπολογίες στον B(H) Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Τοπολογίες στον B(H) Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών"

Transcript

1 Ενότητα: Τοπολογίες στον B(H) Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών

2 Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ϱητώς. Χρηµατοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδηµαϊκά Μαθήµατα στο Πανεπιστήµιο Αθηνών» έχει χρηµατοδοτήσει µόνο τη αναδιαµόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράµµατος «Εκπαίδευση και ια Βίου Μά- ϑηση» και συγχρηµατοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ενωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταµείο) και από εθνικούς πόρους. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 2

3 Περιεχόµενα ενότητας 8. Τοπολογίες στον B(H) Η ισχυρή τοπολογία τελεστών () Η ασθενής τοπολογία τελεστών (WOT) Ο B(H) ως δυϊκός χώρος Banach. Η ασθενής* τοπολογία Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

4 8. Τοπολογίες στον B(H) Ο χώρος B(H), εφοδιασµένος µε την νόρµα τελεστή, είναι ϐέβαια χώρος Banach. Οµως, επειδή αποτελείται από τελεστές που δρούν σ έναν άλλον χώρο, εφοδιάζεται και µε άλλες τοπολογίες, πιο στενά συνδεδεµένες µε την δράση του στον χώρο H. 8.. Η ισχυρή τοπολογία τελεστών () Ορισµός 8... Εστω H χώρος Hlbert. Η ισχυρή τοπολογία τελεστών (strong operator topology, ) στον B(H) είναι η τοπολογία της σύγκλισης κατά σηµείο στον H. ηλαδή ένα δίκτυο (T ) από ϕραγµένους τελεστές συγκλίνει στον ϕραγµένο τελεστή T ως προς την αν και µόνον αν T x T x 0 για κάθε x H. Μια ϐάση περιοχών ενός A B(H) για την είναι η οικογένεια V {V (A, ϵ, x, x 2,..., x n ) : ϵ > 0, x, x 2,..., x n H, n N} όπου V (A, ϵ, x,..., x n ) = {T B(H) : (T A)x k < ϵ, k =,..., n}. Για τεχνικούς λόγους, ϑα µας είναι επίσης χρήσιµη µια άλλη ϐάση περιοχών για την ίδια τοπολογία: όπου W {W (A, ϵ, x, x 2,..., x n ) : ϵ > 0, x, x 2,..., x n H, n N} W (A, ϵ, x,..., x n ) = {T B(H) : (T A)x k 2 < ϵ 2 }. Οι δύο ϐάσεις ορίζουν την ίδια τοπολογία. Πράγµατι, από τις ανισότητες max{ a k 2 : k =,..., n} a k 2 n max{ a k 2 : k =,..., n} έπεται άµεσα ότι W (A, ϵ, x,..., x n ) V (A, ϵ, x,..., x n ) W (A, n /2 ϵ, x,..., x n ) εποµένως οι δύο τοπολογίες ταυτίζονται. Είναι προφανές ότι ένα δίκτυο (T ) του B(H) συγκλίνει στον A B(H) ως προς την τοπολογία αυτή αν και µόνον αν T x Ax 0 σε κάθε σηµείο x του H. Η είναι ασθενέστερη από την τοπολογία της νόρµας (αν T 0 τότε T x 0 για κάθε x H). Μάλιστα είναι γνήσια ασθενέστερη αν (και µόνον αν) ο H είναι απειροδιάστατος. Πράγµατι αν (e n ) είναι µια ορθοκανονική ακολουθία και ορίσουµε τον τελεστή T n από την σχέση T n x = x, e n e (x H), τότε T n x = x, e n 0 για κάθε x, άρα η (T n ) συγκλίνει στο 0 ως προς την, αλλά όχι ως προς την νόρµα γιατί T n = για κάθε n. Η είναι τοπολογία Hausdorff. Πράγµατι, αν A, B B(H) και A B, υπάρχει x H ώστε Ax Bx 2δ > 0. Τότε τα σύνολα V (A, δ, x) και V (B, δ, x) είναι -ανοικτά και διαχωρίζουν τα A και B. εν είναι όµως µετρικοποιήσιµη (εκτός ϐέβαια αν dm H < ): Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 4

5 Πρόταση Εστω H απειροδιάστατος χώρος Hlbert. Υπάρχει υποσύνολο E του B(H) ώστε 0 E αλλά καµµιά ακολουθία του E δεν συγκλίνει στο 0 ως προς την. Εποµένως η δεν είναι µετρικοποιήσιµη τοπολογία. Απόδειξη. Εστω {e n : n N} ορθοκανονική ακολουθία στον H και P n η ορθή προβολή στον υπόχωρο [e n ]. Θέτουµε E = { np n : n N}. Εφόσον np n δεν υπάρχει ακολουθία στο E που να συγκλίνει στο 0 ως προς την. Πράγµατι, κάθε -συγκλίνουσα ακολουθία είναι κατά σηµείο ϕραγµένη και συνεπώς, από την Αρχή Οµοιοµόρφου Φράγµατος, είναι οµοιόµορφα ϕραγµένη. Ισχυριζόµαστε όµως ότι 0 E. Πράγµατι, αν όχι, ϑα υπήρχε µια -περιοχή V του 0 µε E V =. Η V περιέχει µια ϐασική περιοχή της µορφής m W = {T B(H) : T x k 2 < ε 2 } Αφού E W =, για κάθε n N ο τελεστής np n δεν ανήκει στην W, άρα m m άτοπο. n x k, e n 2 ε 2. Επεται από την ανισότητα Bessel ότι m x k 2 m x k, e n 2 ε 2 n = + np n x k 2 ε 2, οπότε Είναι ϕανερό από τον ορισµό ότι η είναι τοπολογία γραµµικού χώρου δηλαδή ότι οι γραµµικές πράξεις και (B(H), ) (B(H), ) (B(H), ) : (A, B) A + B (C,. ) (B(H), ) (B(H), ) : (λ, A) λ A είναι συνεχείς. εν ισχύει όµως το ίδιο για τον πολλαπλασιασµό (την σύνθεση) τελεστών: Πρόταση Εστω H απειροδιάστατος χώρος Hlbert. () Ο πολλαπλασιασµός δεν είναι συνεχής. (B(H), ) (B(H), ) (B(H), ) : (A, B) AB () Οµως, για κάθε r > 0, ο περιορισµός του (B(H) r, ) (B(H), ) (B(H), ) : (A, B) AB (όπου B(H) r = {T B(H) : T r}) είναι συνεχής. () Ο πολλαπλασιασµός είναι ακολουθιακά συνεχής, δηλαδή αν (A n ), (B n ) είναι ακολουθίες µε A n A και B n B τότε A n B n AB. (v) Ο πολλαπλασιασµός είναι χωριστά συνεχής, δηλαδή για κάθε A B(H) οι απεικονίσεις και L A : (B(H), ) (B(H), ) : B AB R A : (B(H), ) (B(H), ) : B BA είναι συνεχείς. ούτε καν πρώτη αριθµήσιµη, δηλαδή το 0 δεν έχει αριθµήσιµη ϐάση περιοχών Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 5

6 Απόδειξη. () Θα κατασκευάσουµε δύο δίκτυα (A F ) και (B F ) που καθένα συγκλίνει στο 0, αλλά το δίκτυο (A F B F ) δεν συγκλίνει στο 0. Το σύνολο δεικτών ϑα είναι το σύνολο X των υποχώρων F του H που έχουν πεπερασµένη διάσταση (dm F n F ), διατεταγµένο από την σχέση του περιέχεσθαι. Για κάθε F X, ϑέτουµε A F = n F P F (όπου P F η ορθή προβολή στον υπόχωρο F ). Επίσης, επιλέγουµε µια µερική ισοµετρία U F µε αρχικό χώρο F και τελικό χώρο έναν υπόχωρο 2 του F και ϑέτουµε B F = n F U F. Ισχυριζόµαστε ότι A F 0. Πράγµατι, έστω x H και ϵ > 0. Αν F o = [x] X, τότε για κάθε F X µε F F o έχουµε P F x = 0 άρα A F x = 0 < ϵ. Ισχυριζόµαστε ότι B F 0 (άρα και B F 0). Πράγµατι, αν ϵ > 0 επιλέγουµε F o X µε οπότε για κάθε F X µε F F o έχουµε B F = dm F < ϵ. dm F o < ϵ, Οµως, αν x H, x 0, τότε A F B F x 0. Πράγµατι, A F B F = P F U F = U F γιατί U F (H) F. Εποµένως αν F o = [x] τότε για κάθε F X µε F F o έχουµε U F x = x άρα U F x 0. () Αν τα δίκτυα (A ) και (B ) τείνουν στο 0 ως προς την και επιπλέον το πρώτο είναι ϕραγµένο 3, A r για κάθε, τότε για κάθε x H άρα A B 0. A B x A. B x r B x 0, () Αν οι ακολουθίες (A n ) και (B n ) τείνουν στο 0 ως προς την, τότε η A n είναι οµοιόµορφα ϕραγµένη (όπως είδαµε στην απόδειξη της Πρότασης 8..2), άρα A n B n 0 από το (). (v) Αν A B(H) και B B τότε από το () έχουµε AB AB. Επίσης για κάθε x H έχουµε B (Ax) B(Ax) άρα B A BA. Πρόταση Αν H είναι απειροδιάστατος χώρος Hlbert, η ενέλιξη δεν είναι (ούτε ακολουθιακά) συνεχής. (B(H), ) (B(H), ) : A A Για την απόδειξη, αν H = l 2, ένα κατάλληλο παράδειγµα είναι η n-οστή δύναµη του τελεστή της µετατόπισης αριστερά. Το παράδειγµα µεταφέρεται εύκολα σε έναν αυθαίρετο χώρο Hlbert: Παράδειγµα Αν {e n : n N} είναι µια ορθοκανονική ακολουθία στον H, ορίζουµε για κάθε n N T n x = k=n+ x, e k e k n. Τότε T n 0, ενώ T n 0. 2 επιλέγουµε µια ορθοκανονική ϐάση x,..., x nf του F και ένα τυχαίο ορθοκανονικό σύνολο {y,..., y nf } F (αυτό είναι δυνατόν γιατί dm F dm F ) και ορίζουµε την U F από τις σχέσεις U F x k = y k, k =,..., n F. 3 Παρατηρούµε όµως ότι, όπως ϕαίνεται από το παράδειγµα από το (), το συµπέρασµα δεν ισχύει αν το δεύτερο δίκτυο είναι ϕραγµένο, έστω και αν B 0. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 6

7 Πράγµατι, και συνεπώς T n x 0. T n x 2 = x, e k 2 k=n+ Ελέγχεται όµως εύκολα ότι T n e = e n+, άρα T n e = για κάθε n και συνεπώς T n e Η ασθενής τοπολογία τελεστών (WOT) Αν x, y H, ϑέτουµε ω x,y : B(H) C : T T x, y. Η ανισότητα T x, y T x y δείχνει ότι η ω x,y είναι -συνεχής στον B(H) και ω x,y x y. Μάλιστα ισχύει ισότητα, γιατί αν y x είναι ο τελεστής y x : z z, x y τότε εύκολα ϐλέπουµε ότι y x = x y και ω x,y (y x ) = x 2 y 2. Εποµένως ω x,y = x y. Ορισµός Εστω H χώρος Hlbert. Η ασθενής τοπολογία τελεστών ( weak operator topology, WOT ) στον B(H) είναι η ασθενέστερη τοπολογία ως προς την οποία όλες οι γραµµικές µορφές είναι συνεχείς. ω x,y (x, y H) ηλαδή ένα δίκτυο (T ) από ϕραγµένους τελεστές συγκλίνει στον ϕραγµένο τελεστή T ως προς την WOT αν και µόνον αν T x T x, y 0 για κάθε x, y H. Πρέπει να τονισθεί ότι η WOT δεν ταυτίζεται µε την ασθενή τοπολογία w = σ(b(h), B(H) ) που επάγεται στον χώρο Banach (B(H),. ) από τον τοπολογικό δυϊκό του B(H) (ϐλ. Παρατήρηση 8..9 () ). Η ανισότητα T x, y T x y δείχνει ότι η WOT είναι ασθενέστερη από την. Μάλιστα, είναι γνησίως ασθενέστερη (όταν dm H = + ): Η ακολουθία (Tn ) του Παραδείγµατος 8..5 δεν συγκλίνει στο 0 ως προς την, αλλά συγκλίνει ως προς την WOT, γιατί Tn x, y = x, T n y x T n y 0 αφού T n 0. Θα δείξουµε ότι παρόλα αυτά, οι δύο αυτές τοπολογίες έχουν τις ίδιες συνεχείς γραµµικές µορφές. Συµβολισµός : Εστω H n το ευθύ άθροισµα n αντιγράφων του H (µε το εσωτερικό γινόµενο (y,..., y n ), (u,..., u n ) n = y k, u k ). Αν T B(H), συµβολίζουµε T (n) τον τελεστή στον H n k που ορίζεται από την σχέση T (n) y. y n T y = T =. y.... T y n T. y n Η απεικόνιση A A (n) είναι ισοµετρικός *-µορφισµός, και είναι (-)-συνεχής. Αν A B(H) είναι [αυτοσυζυγής] άλγεβρα, τότε η εικόνα της A (n) B(H n ) είναι [αυτοσυζυγής] άλγεβρα (και περιέχει τον ταυτοτικό τελεστή του H n αν και µόνον αν η A περιέχει τον ταυτοτικό τελεστή του H). Σηµειώνουµε ότι η A (n) δεν ταυτίζεται µε το ευθύ άθροισµα n αντιγράφων της A. Παραδείγµατος χάριν, {[ ] } {[ ] } A (2) A 0 A 0 = : A A ενώ A A = : A, B A. 0 A 0 A Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 7

8 Ορισµός Ονοµάζουµε B (H) την γραµµική ϑήκη B (H) = [ω x,y : x, y H] = (η δεύτερη ισότητα έπεται από την παρατήρηση ότι λω x,y = ω λx,y ). ω xk,y k : x k, y k H, n N Πρόταση Μία γραµµική µορφή ω : B(H) C είναι WOT-συνεχής αν και µόνον αν είναι συνεχής, αν και µόνον αν ω B (H). Απόδειξη. () Είναι ϕανερό ότι, αν ω B (H), τότε η ω είναι WOT-συνεχής, εφόσον κάθε ω x,y είναι WOT-συνεχής. () Αν η ω είναι WOT-συνεχής, τότε είναι -συνεχής, αφού η είναι ισχυρότερη από την WOT. () Εστω ότι µια γραµµική µορφή ω είναι -συνεχής. Θα δείξουµε ότι ω B (H). Επειδή η ω είναι -συνεχής, υπάρχει µια -ϐασική περιοχή του 0, έστω W = {T B(H) : T x k 2 < ϵ 2 } ώστε ω(t) < για κάθε T W. Ισχυριζόµαστε ότι (*) ω(t) 2 ϵ Πράγµατι: Αν p(t) = 2 ϵ ( n T x k 2 ) /2 τότε /2 T x k 2 W = {T B(H) : p(t) < 2}. για κάθε T B(H). Εποµένως, αν p(t) 0 τότε T T p(t) W άρα ω( p(t) ) < δηλαδή ω(t) < p(t) και συνεπώς ισχύει η (*). Αν πάλι p(t) = 0 τότε nt W για κάθε n N άρα ω(nt) < για κάθε n και συνεπώς ω(t) = 0 άρα πάλι ισχύει η (*). Θεωρούµε τον υπόχωρο K = {(T x, T x 2,..., T x n ) : T B(H)} H n. Παρατηρούµε ότι αν (T x, T x 2,..., T x n ) = 0 τότε ω(t) = 0 από την (*). Συνεπώς η απεικόνιση ϕ : K C : (T x, T x 2,..., T x n ) ω(t) είναι καλά ορισµένη και ϐεβαίως είναι γραµµική. Μάλιστα η (*) δείχνει ακριβώς ότι η ϕ είναι συνεχής (ως προς την νόρµα του H n ). Συνεπώς επεκτείνεται σε συνεχή γραµµική µορφή στον χώρο Hlbert H n, άρα υπάρχει (u,..., u n ) H n ώστε ϕ(t x, T x 2,..., T x n ) = (T x, T x 2,..., T x n ), (u,..., u n ) n = T x k, u k = ω xk,u k (T) για κάθε (T x, T x 2,..., T x n ) K, δηλαδή ω(t) = για κάθε T B(H), άρα ω B (H). ω xk,u k (T) Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 8

9 Παρατήρηση Κάθε ω B (H) µπορεί να γραφεί στην µορφή ω = n ω xm,y m όπου η οικογένεια m= {x,..., x n } είναι ορθοκανονική. Επεται ότι οι γραµµικές µορφές ω B (H) καθορίζονται από τον περιορισµό τους στον υπόχωρο F (H) B(H) των τελεστών πεπερασµένης τάξης. Απόδειξη. Ο πρώτος ισχυρισµός ϕαίνεται εύκολα: Αν ω = ϐάση {x,..., x n } του χώρου [u,..., u l ] και γράφοντας u k = T B(H), όπου y m = l ā km v k. ω(t) = T x m, y m Εχουµε τώρα, για κάθε x, y H, (8..2.) ω(x y ) = x m, y x, y m = x, y, x m y m. m= Εποµένως αν ω(x y ) = 0 για κάθε x, y H 4 τότε l ω uk,v k, επιλέγοντας µια ορθοκανονική n m= m= m= n m= a km x m ϐρίσκουµε εύκολα ότι, για κάθε y, x m y m = 0 για κάθε y H, οπότε (αφού τα x m είναι ορθοκανονικά) ϑέτοντας y = x m ϐρίσκουµε y m = 0 για κάθε m =,..., n, άρα ω = 0. Πρόταση Κάθε ω B (H) µπορεί να γραφεί στη µορφή ω = λ m ω em, f m m= όπου οι οικογένειες {e m : m =,... M} και { f m : m =,... M} είναι ορθοκανονικές, λ m R + και ω = λ m. m= Απόδειξη. Εστω ω = N ω xn,y n B (H). Χρησιµοποιώντας την ταυτότητα (*) (ξ η )x, y = (x y )ξ, η που είναι άµεση συνέπεια του ορισµού, ϐρίσκουµε ότι, για κάθε ξ, η H, ω(ξ η ) = N (ξ η N ))x n, y n = (xn yn)ξ, η = Tξ, η όπου T := N x n y n. 4 Μάλιστα, αρκεί η σχέση ω(x y ) = 0 να ισχύει για κάθε x [x,..., x n ] και κάθε y [y,..., y n ] Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 9

10 Εστω T = V T η πολική αναπαράσταση του τελεστή T. Επειδή ο T είναι πεπερασµένης τάξης και ϑετικός τελεστής, από το ϕασµατικό ϑεώρηµα (σε χώρους πεπερασµένης διάστασης) υπάρχουν ορθοκανονικά διανύσµατα {e,..., e M } και λ m > 0 ώστε όπου f m = V e m. T = λ m e m e m άρα T = V T = λ m f m e m m= Χρησιµοποιώντας πάλι την ταυτότητα (*), υπολογίζουµε Tξ, η = = λ m ( fm e m)ξ, η = m= λ m ω f m,e m (ξ η ). m= m= λ m (ξ η ) f m, e m Εποµένως οι γραµµικές µορφές ω και λ m ω f m,e m, που ανήκουν στο B (H), ταυτίζονται στο σύνολο m= F (H) B(H) των τελεστών πεπερασµένης τάξης, άρα, από την προηγούµενη παρατήρηση, είναι ίσες: ω = M λ m ω f m,e m. m= Επεται τώρα ότι, για κάθε A B(H), άρα ω M οπότε ισχύει ισότητα. ω(a) λ m ω f m,e m (A) m= λ m, και από την άλλη µεριά m= ω ω(v ) = λ m V f m, e m = m= m= m= λ m f m e m A = m= λ m e m, e m = m= λ m A Παρατήρηση 8... () Εύκολα ϕαίνεται ότι η WOT είναι τοπολογία γραµµικού χώρου και ότι είναι Hausdorff (οι γραµµικές µορφές ω x,y χωρίζουν τα σηµεία του B(H)). () Η WOT δεν ταυτίζεται µε την ασθενή τοπολογία w = σ(b(h), B(H) ) που επάγεται στον χώρο Banach (B(H), ) από τον τοπολογικό δυϊκό του B(H). Η w είναι (γνήσια) ισχυρότερη από την WOT (όταν dm H = ): είναι η ασθενέστερη τοπολογία στον B(H) ως προς την οποία όλες οι -συνεχείς γραµµικές µορφές είναι συνεχείς, ενώ για την WOT απαιτούνται «µόνον» οι γραµµικές µορφές ω B (H). m= λ m Απόδειξη. Πρέπει να δείξουµε ότι υπάρχει -συνεχής γραµµική µορφή ψ : B(H) C που δεν ανήκει στον B (H). Από την Παρατήρηση 8..9, οι γραµµικές µορφές του B (H) καθορίζονται από τον περιορισµό τους στον υπόχωρο F (H) B(H) των τελεστών πεπερασµένης τάξης. Οµως ο ταυτοτικός τελεστής I δεν ανήκει στην -κλειστή ϑήκη του F (H). 5 Επεται από το Θεώρηµα Hahn - Banach ότι υπάρχει µια -συνεχής γραµµική µορφή ψ : B(H) C που µηδενίζει τον F (H) αλλά ψ(i) 0. Εποµένως η ψ δεν µπορεί να ανήκει στον B (H). 5 Το ανοικτό σύνολο {T : T I < } δεν τέµνει τον F (H), γιατί αν T I < τότε ο T είναι αντιστρέψιµος (άρα T F (H)), αφού η «γεωµετρική» σειρά (I T) n συγκλίνει στον T n 0 Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 0

11 Πρόταση () Η ενέλιξη είναι WOT-WOT συνεχής στον B(H), και ο πολλαπλασιασµός είναι χωριστά WOT-WOT συνεχής. () Ο πολλαπλασιασµός (B(H), WOT) (B(H), WOT) (B(H), WOT) : (A, B) AB δεν είναι συνεχής, ούτε καν ακολουθιακά (άρα ούτε περιορισµένος σε ϕραγµένα σύνολα). Απόδειξη. () Εστω A WOT A και B, C B(H). Τότε για κάθε x, y H έχουµε A x, y = x, A y x, Ay = A x, y πράγµα που δείχνει ότι η ενέλιξη είναι WOT-WOT συνεχής. Επίσης BA Cx, y = A (Cx), (B y) A(Cx), (B y) = BACx, y πράγµα που δείχνει ότι οι απεικονίσεις L B : A BA και R C : A AC είναι WOT-WOT συνεχείς. () Θεωρούµε την ακολουθία (T n ) του Παραδείγµατος 8..5: είναι ϕραγµένη και συγκλίνει στο 0 ως προς την, άρα και ως προς την WOT. Συνεπώς από το () έχουµε Tn WOT 0. Οµως T n Tn e = e για κάθε n N, άρα T n Tn WOT 0. Πόρισµα Ενα κυρτό υποσύνολο (ειδικότερα, ένας γραµµικός υπόχωρος) S B(H) είναι κλειστός αν και µόνον αν είναι WOT-κλειστός. Απόδειξη. Εφόσον η WOT είναι ασθενέστερη τοπολογία από την, έχουµε S S WOT. Αν όµως A S, από το διαχωριστικό Θεώρηµα Hahn-Banach έπεται 6 ότι υπάρχει -συνεχής γραµµική µορφή ω και λ R ώστε Re ω(a) > λ αλλά Re ω(s) < λ για κάθε S S. Οµως η ω είναι WOT-συνεχής (Πρόταση 8..8), και συνεπώς A S WOT. Θα δώσουµε στην συνέχεια έναν «γεωµετρικό» χαρακτηρισµό της -κλειστής ϑήκης υποχώρων του B(H). Θα χρειασθούµε την ακόλουθη έννοια: Ορισµός Αν S B(H) είναι γραµµικός υπόχωρος, η ανακλαστική θήκη ( reflexve cover) Ref S του S είναι ο υπόχωρος Ref S = {T B(H) : T x Sx για κάθε x H}. Παρατήρηση Είναι ϕανερό ότι ο Ref S είναι -κλειστός υπόχωρος και περιέχει τον S, άρα περιέχει και την -κλειστή ϑήκη S του S. εν είναι όµως εν γένει ίσος µε την S : Αν T Ref S, τότε για κάθε ϵ > 0 και x H υπάρχει S S ώστε (T S)x < ϵ. Συνεπώς για κάθε ϵ > 0 και x,..., x n H υπάρχουν S,..., S n S ώστε (T S )x < ϵ για =,..., n. Αυτό δεν αποδεικνύει ότι T S. Πρέπει να υπάρχει ένα κοινό S S που να ικανοποιεί ταυτόχρονα όλες αυτές τις ανισότητες. Η διαφορά µεταξύ ανακλαστικής και -κλειστής ϑήκης ϕαίνεται και ως εξής: Ενας τελεστής T ανήκει στην ανακλαστική ϑήκη Ref S του S αν και µόνον αν για κάθε x H υπάρχει δίκτυο (S ) στον S που εξαρτάται από το x ώστε S x T x. Ενας τελεστής T ανήκει στην -κλειστή ϑήκη του S αν και µόνον αν υπάρχει ένα δίκτυο (S ) στον S ώστε S x T x για όλα τα x H. 6 ϐλέπε π.χ. το Πόρισµα IV.3.0 του J.B. Conway, A course n Functonal Analyss, Sprnger-Verlag, 985. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα

12 Παράδειγµα Εστω {[ ] } a b A = : a, b C. 0 a Η A είναι -κλειστή άλγεβρα τελεστών στον χώρο Hlbert C 2 και περιέχει τον ταυτοτικό. Αν T = [ ] x y 0 z όπου x z, τότε ϕαίνεται εύκολα ότι T ξ Aξ για κάθε ξ C 2, άρα T Ref A, ενώ T A. Για παράδειγµα, υπάρχουν A, A 2 A ώστε Te = A e για =, 2: µπορούµε να ϐάλουµε A = [ ] x y 0 x και A 2 = [ ] z y 0 z αλλά δεν υπάρχει κοινό A A ώστε Te = Ae και Te 2 = Ae 2. Με άλλα λόγια, T (2) Ref A (2) : T (2) 0 0 = y z x 0 0 ενώ A (2) 0 b = a a 0 : a, b C. Πρόταση Αν S B(H) είναι γραµµικός υπόχωρος, ένας τελεστής T ανήκει στην -κλειστή ϑήκη του S αν και µόνον αν T (n) Ref S (n) για κάθε n N. Απόδειξη. Αν υπάρχει δίκτυο (S ) στον S ώστε S T τότε για κάθε n N έχουµε S (n) T (n), συνεπώς T (n) Ref S (n). S (n) S (n) και Εστω αντίστροφα ότι T (n) Ref S (n) για κάθε n N, και έστω W = {A B(H) : m T x k Ax k 2 < ϵ 2 } µια ϐασική -περιοχή του T. Επειδή T (m) Ref S (m), αν συµβολίσουµε µε x H m το διάνυσµα-στήλη µε συντεταγµένες (x,..., x m ), ϑα ισχύει η σχέση T (m) x S (m) x, εποµένως ϑα υπάρχει S (m) S (m) ώστε T (m) x S (m) x < ϵ. Μα αυτή η ανισότητα σηµαίνει ακριβώς ότι S W, άρα ο T ανήκει στην -κλειστή ϑήκη του S Ο B(H) ως δυϊκός χώρος Banach. Η ασθενής* τοπολογία Θεωρούµε τον χώρο B (H) των WOT-συνεχών γραµµικών µορφών στον B(H), εφοδιασµένο µε την νόρµα του δυϊκού χώρου του B(H). Θα αποδείξουµε ότι ο δυϊκός χώρος του (B (H), ) είναι ισοµετρικά ισόµορφος µε τον B(H). Εστω A B(H). Ορίζουµε την απεικόνιση ϕ A : B (H) C από τον τύπο ϕ A (ω) = ω(a), ω B (H). Ειδικότερα ϕ A (ω x,y ) = ω x,y (A) = Ax, y. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 2

13 Είναι ϕανερό ότι η απεικόνιση ϕ A είναι γραµµική, και είναι συνεχής διότι ϕ A (ω) = ω(a) ω A για κάθε ω B (H), από τον ορισµό της ω. Εποµένως ϕ A (B (H), ) και ϕ A A. Εστω αντίστροφα ψ (B (H), ). Θα ϐρουµε A B(H) ώστε ψ = ϕ A. Κάθε Ϲεύγος x, y H ορίζει έναν αριθµό ψ(ω x,y ) C. ηµιουργείται λοιπόν µια απεικόνιση b : H H C : (x, y) ψ(ω x,y ). Επειδή η απεικόνιση (x, y) ω x,y είναι sesqulnear και η ψ είναι γραµµική, η b είναι sesqulnear. Επίσης, b(x, y) = ψ(ω x,y ) ψ ω x,y ψ x y άρα η b είναι ϕραγµένη (από ψ ). Συνεπώς από το Θεώρηµα Resz (Πρόταση 2..2) υπάρχει A ψ B(H) ώστε b(x, y) = A ψ x, y δηλαδή ψ(ω x,y ) = A ψ x, y = ω x,y (A ψ ) και για κάθε x, y H, άρα A ψ x, y = ψ(ω x,y ) ψ ω x,y = ψ x y A ψ ψ. Επειδή ο χώρος B (H) είναι η γραµµική ϑήκη του συνόλου {ω x,y : x, y H} και οι απεικονίσεις ψ και ϕ Aψ είναι γραµµικές, οι σχέσεις ψ(ω x,y ) = ω x,y (A) = ϕ Aψ (ω x,y ) για κάθε x, y H δείχνουν ότι ψ = ϕ Aψ. είξαµε λοιπόν ότι η A ϕ A απεικονίζει τον B(H) επί του δυικού του B (H). Τέλος παρατηρούµε ότι, αν ψ = ϕ A, τότε Aψ x, y = ϕ A (ω x,y )) = Ax, y για κάθε x, y H (ορισµός του A ψ ), άρα A ψ = A. Εποµένως η ανισότητα A ψ ψ δείχνει ότι A ϕ A. Ειχαµε όµως δείξει ότι ϕ A A, συνεπώς ισχύει ισότητα. είξαµε δηλαδή ότι η απεικόνιση (B(H), ) ((B (H)), ) : A ϕ A που είναι προφανώς γραµµική, είναι ισοµετρία και επί: Πρόταση Ο χώρος B(H) είναι ισοµετρικά ισόµορφος µε τον δυϊκό του χώρου (B (H), ) µέσω της απεικόνισης A ϕ A, όπου ϕ A (ω) = ω(a), (A B(H), ω B (H)). Ο χώρος B (H) δεν είναι κλειστός υπόχωρος του δυϊκού B(H), δεν είναι λοιπόν χώρος Banach (όταν dm H = ). Παραδείγµατος χάριν, αν {e n } H είναι µια άπειρη ορθοκανονική ακολουθία, η γραµµική απεικόνιση ϕ όπου ϕ(t) = k 2 ω e k,e k (T) k Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

14 ανήκει στην -κλειστή ϑήκη του B (H) (διότι η σειρά συγκλίνει απόλυτα). εν ανήκει όµως στον B (H). Πράγµατι, αν ϕ = ω όπου ω = k N, δηλαδή n m= k 2 x, e k = ω xm,y m, τότε ϑα έχουµε ϕ(x e k ) = ω(x e k ) για κάθε x H και x m, e k x, y m = x, m= για κάθε x H και k N, το οποίο σηµαίνει ότι k 2 e k = n m= διάνυσµα e k ανήκει στον χώρο [y,..., y m ], πράγµα αδύνατο. e k, x m y m m= e k, x m y m, δηλαδή ότι για κάθε k N το Ορισµός Ο προδυϊκός B (H) B(H) είναι η -κλειστή ϑήκη του B (H). Η ονοµασία οφείλεται στο γεγονός ότι ο δυϊκός του B (H) ταυτίζεται 7 µε τον δυϊκό του B (H), δηλαδή µε τον B(H). Αποδεικνύεται µάλιστα ότι ο B (H) είναι ο µοναδικός χώρος Banach που έχει ως δυϊκό τον B(H) (πράγµα που δεν αληθεύει εν γένει για τους προδυϊκούς άλλων δυϊκών χώρων Banach). Ορισµός Η ασθενής-* τοπολογία ( w*) στον B(H) είναι η ασθενέστερη τοπολογία ως προς την οποία κάθε ω B (H) είναι συνεχής, είναι δηλαδή η ασθενής-* τοπολογία σ(b(h), B (H)) που έχει ο B(H) ως δυϊκός του χώρου Banach B (H). Η τοπολογία αυτή ονοµάζεται πολλές ϕορές και υπερασθενής (ultraweak). Αφού ο B(H) είναι ο δυϊκός του χώρου Banach B (H), εφαρµόζεται το Θεώϱηµα Αλάογλου (ϐλ. π.χ. Σ. Νεγρεπόντης, Θ. Ζαχαριάδης, Ν. Καλαµίδας, Β. Φαρµάκη, Γενική Τοπολογία και Συναρτησιακή Ανάλυση, Εκδ. Συµµετρία, 988., Θεώρηµα 7.), σύµφωνα µε το οποίο η κλειστή µοναδιαία µπάλα ενός δυϊκού χώρου Banach είναι ασθενώς-* συµπαγής: Θεώρηµα Η κλειστή µοναδιαία µπάλα (και γενικότερα, κάθε ασθενώς-* κλειστό και ϕραγµένο υποσύνολο) του B(H) είναι ασθενώς-* συµπαγής. Οταν dm H =, η ασθενής* τοπολογία είναι γνήσια ισχυρότερη από την WOT, εφόσον B (H) B (H). εν είναι όµως συγκρίσιµη µε την. Πράγµατι: αν ϕ B (H) \ B (H), τότε ο γραµµικός χώρος ker ϕ είναι ασθενώς-* κλειστός (αφού η ϕ είναι ασθενώς-* συνεχής), αλλά δεν είναι WOT κλειστός (διότι η ϕ δεν είναι WOT συνεχής), άρα ούτε κλειστός (Πόρισµα 8..3). Συνεπώς η ασθενής* τοπολογία δεν είναι ασθενέστερη από την. Αλλά δεν είναι ούτε ισχυρότερη: αν (T n ) είναι η ακολουθία του Παραδείγµατος 8..5, τότε, όπως δείξαµε, η (Tn ) δεν συγκλίνει στο 0 ως προς την, αλλά συγκλίνει στο 0 ως προς την w*. Πράγµατι, η (Tn ) συγκλίνει στο 0 ως προς την WOT, και είναι -ϕραγµένη. Οπως ϑα δείξουµε αµέσως, η w* συµπίπτει µε την WOT στα φραγµένα υποσύνολα του B(H). Πρόταση Οι τοπολογίες w* και WOT συµπίπτουν στα -ϕραγµένα υποσύνολα του B(H). Εποµένως η µοναδιαία µπάλα του B(H) είναι WOT-συµπαγής. Απόδειξη. Αρκεί να δειχθεί ότι αν ένα ϕραγµένο δίκτυο (T ) συγκλίνει στο 0 ως προς την WOT, τότε w T 0. Εστω λοιπόν ω B (H) και ϵ > 0. Τότε υπάρχει ω B (H) ώστε ω ω < ϵ. Αφού WOT T 0, υπάρχει o ώστε ω (T ) < ϵ για κάθε o. Αν M = sup T, τότε ω(t ) (ω ω )(T ) + ω (T ) < Mϵ + ϵ για κάθε o. Συνεπώς lm ω(t ) = 0, άρα, αφού η ω είναι αυθαίρετη, T w 0. 7 κάθε συνεχής γραµµική µορφή στον B (H) επεκτείνεται (λόγω συνέχειας) σε µια µοναδική συνεχή γραµµική µορφή στον B (H), και µε την ίδια νόρµα. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 4

15 Πόρισµα Ο χώρος F (H) των τελεστών πεπερασµένης τάξης είναι πυκνός στον B(H) ως προς την, την WOT και την ασθενή-*, όχι όµως ως προς την τοπολογία της νόρµας (όταν dm H = ). Απόδειξη. Εστω X το σύνολο των υποχώρων του H που έχουν πεπερασµένη διάσταση (όπως στη απόδειξη της Πρότασης 8..3), διατεταγµένο µε τη σχέση του περιέχεσθαι. Για κάθε F X ονοµάζουµε P F την ορθή προβολή στον υπόχωρο F. Ισχυριζόµαστε ότι P F I δηλαδή ότι P F x x 0 για κάθε x H. Πράγµατι, έστω ϵ > 0. Αν F 0 := [x], για κάθε F X µε F F 0 ισχύει ότι x F και συνεπώς P F x x = 0 < ϵ. Αν τώρα A B(H), τότε AP F F (H) και AP F A, εποµένως ο F (H) είναι -πυκνός στον w B(H), άρα και WOT-πυκνός, αφού η WOT είναι ασθενέστερη από την. Επίσης όµως AP F A από WOT την προηγούµενη Πρόταση, διότι AP F A και το δίκτυο (AP F ) είναι ϕραγµένο. Αρα ο F (H) είναι w*-πυκνός στον B(H). Τέλος, ο F (H) δεν είναι -πυκνός στον B(H), γιατί, όπως έχουµε ήδη παρατηρήσει, ο ταυτοτικός τελεστής δεν είναι -όριο ακολουθίας τελεστών πεπερασµένης τάξης, όταν dm H =. Αποδεικνύεται 8 ότι όταν dm H =, οι WOT και w* δεν είναι µετρικοποιήσιµες τοπολογίες στον B(H). Οι περιορισµοί όµως των τοπολογιών αυτών στα ϕραγµένα υποσύνολα του B(H) είναι µετρικοποιήσιµες τοπολογίες, όταν ο H είναι διαχωρίσιµος: Πρόταση Αν ο H είναι διαχωρίσιµος, τότε () Ο προδυϊκός B (H) είναι διαχωρίσιµος χώρος Banach. () Ο περιορισµός της ασθενούς-* τοπολογίας (ισοδύναµα, της WOT) στην µοναδιαία µπάλα B(H) είναι µετρικοποιήσιµη τοπολογία, άρα διαχωρίσιµη (εφόσον είναι συµπαγής). Απόδειξη. Εστω Ξ αριθµήσιµο πυκνό υποσύνολο του H. Τότε το σύνολο είναι αριθµήσιµο. Ω = {ω ξ,η : ξ, η Ξ} B (H) () Η ανισότητα ω x,y ω ξ,η = ω x ξ,y + ω ξ,y η x ξ y + ξ y η δείχνει ότι η -κλειστή γραµµική ϑήκη του Ω περιέχει το σύνολο {ω x,y : x, y H}, άρα και την -κλειστή γραµµική του ϑήκη, που είναι όλος ο B (H). Εποµένως ο B (H) είναι διαχωρίσιµος. () Εστω Ω = {ω n : n N} µια αρίθµηση του Ω. Ορίζουµε d(t, S) = ω n (T S) 2 n ω n (T, S B(H) ). 8 Παράδειγµα (von Neumann ) Εστω E = {P n + np m : m > n}, όπου P n µονοδιάστατες κάθετες ανά δύο προβολές. Οπως στην Πρόταση 8..2 ϕαίνεται ότι δεν υπάρχει ακολουθία στο E που να συγκλίνει στο 0 ως προς την w* (ή την WOT). Ισχυριζόµαστε όµως ότι το 0 ανήκει στην w*-κλειστή ϑήκη του E. Πράγµατι, αν όχι, τότε ϑα υπήρχαν ω,..., ω k B (H) και ϵ > 0 ώστε max k ω (P n + np m ) ϵ για κάθε m > n. Αλλά τότε, επειδή lm ω(p m ) = 0 για κάθε ω B (H) ϑα είχαµε max m άτοπο. ω (P n ) = lm m max ω (P n + np m ) ϵ για κάθε n, Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 5

16 Ο αναγνώστης µπορεί να ελέγξει ότι η d ορίζει µία µετρική στην B(H) (το γεγονός ότι T = S αν d(t, S) = 0 έπεται από την πυκνότητα του Ξ στον H). Αν ένα δίκτυο (T ) στην B(H) συγκλίνει στον T B(H) ως προς την WOT, τότε ω n (T T) 0 για κάθε n N και, χρησιµοποιώντας ότι ω n (T T) 2 ω n, αποδεικνύεται εύκολα ότι d(t, T) 0. Εποµένως η WOT είναι ισχυρότερη από την τοπολογία που ορίζει η d. Αλλά η πρώτη είναι συµπαγής, άρα οι δύο τοπολογίες συµπίπτουν. (Στην πραγµατικότητα δεν είναι δύσκολο να δειχθεί απευθείας ότι αν d(t, T) 0 τότε T T ως προς την WOT). Εφόσον η WOT και η w* συµπίπτουν στην B(H), η απόδειξη είναι πλήρης. Ο προδυϊκός B (H) του B(H) αποκαλείται καµµιά ϕορά «µη µεταθετικός l». Η ονοµασία αυτή οφείλεται εν µέρει στην επόµενη Πρόταση Ο προδυϊκός B (H) του B(H) είναι το σύνολο όλων των γραµµικών µορφών ω της µορφής ω = λ n ω xn,y n όπου 9 x n = y n = και n λ n < +. Απόδειξη. Αν {x n }, {y n } είναι ακολουθίες µοναδιαίων διανυσµάτων και λ n C µε n λ n < +, τότε για κάθε A B(H) η σειρά λ n Ax n, y n συγκλίνει απόλυτα: λ n Ax n, y n λ n A x n y n = n n n A λ n, εποµένως ορίζει µια γραµµική µορφή στον B(H): n A ω(a) = λ n Ax n, y n (A B(H)) n που είναι -συνεχής και µάλιστα ω n λ n. Αν ϑέσουµε τότε ω m B (H) και ω ω m n>m ω m = m λ n ω xn,y n λ n 0, άρα ω B (H). Εστω, αντίστροφα, ω B (H). Ο χώρος B (H) αποτελείται από τα -όρια ακολουθιών από τον B (H). Για κάθε n N, υπάρχει ω n B (H) ώστε ω ω n < 2 n+. Γράφουµε ω 0 = 0 οπότε όπου η σειρά συγκλίνει απόλυτα, καθώς ω n = (ω n ω n ) + + (ω ω 0 ) άρα ω = (ω k ω k ) ω k ω k ω + k=2 2 k <. Από την Πρόταση 8..0, κάθε ω k ω k µπορεί να γραφεί ως γραµµικός συνδυασµός M k ω k ω k = 9 µάλιστα, αποδεικνύεται (δες την δεύτερη απόδειξη ή το Θεώρηµα ΙΙ..6 από το M. Takesak, Theory of Operator Algebras I, Sprnger-Verlag, 979. Second prntng, Encyclopaeda of Mathematcal Scences 24, Sprnger, 2002.) ότι οι {x n } και {y n } µπορούν να επιλεγούν ορθοκανονικές. m= ω m,k Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 6

17 M όπου ω m,k := ω x k m,ym k, µε k m= ω m,k = ω k ω k. Ετσι έχουµε M k ω m,k m= ω k ω k < οπότε η σειρά k ω m,k συγκλίνει απόλυτα, συνεπώς µπορεί να γραφεί, ως προς µια αρίθµηση m= {ω n : n N} του συνόλου {ω m,k : m =,..., M k, k N}, στη µορφή ω = όπου κάθε ω n είναι κάποιο ω m,k, άρα της µορφής ω n = λ n ω xn,y n µε x n = y n = και ω n = λ n, οπότε λ n = ω n <. n n ω n εύτερη Απόδειξη 0 : Εστω ω B (H). Η απεικόνιση H H C : (ξ, η) ω(ξ η ) είναι sesqulnear και ϕράσσεται από την ω, άρα (Πρόταση 2..2) υπάρχει T ω B(H) (µε T ω ω ) ώστε (*) ω(ξ η ) = T ω ξ, η. Εστω {e : I} ορθοκανονική ϐάση του H. Ισχυρισµός : Για κάθε A B(H) έχουµε AT ω e, e < +. Πράγµατι, έστω a C ώστε AT ω e, e = a AT ω e, e. Αν για κάθε πεπερασµένο υποσύνολο J I ϑέσουµε B J = a e e, τότε, εφόσον T ω e, A e = ω((e (A e ) ) από την ( ), AT ω e, e = a Tω e, A e = a ω((e (Ae ) ) = ω(b J A). J J J J Αλλά B J = max a = (διότι οι e e είναι κάθετες ανά δύο προβολές), εποµένως AT ω e, e = ω(b J A) ω B J A ω A J για κάθε πεπερασµένο υποσύνολο J I, και ο ισχυρισµός αποδείχθηκε. Εστω T ω = V T ω η πολική αναπαράσταση (Θεώρηµα 5..6) του τελεστή T ω. Τότε V T ω = T ω. Θέτοντας A = V στον Ισχυρισµό, έχουµε (**) T ω e, e = V T ω e, e < +. Εστω K T ω = λde λ 0 (K = T ω ) 0 Χωρίς χρήση της Πρότασης 8..0 Ενας τελεστής T B(H) που ικανοποιεί τη σχέση T e, e < + για µια ορθοκανονική ϐάση του H ονοµάζεται trace class operator. ες πχ. M. Reed & B. Smon, Methods of modern mathematcal physcs I. Functonal analyss. Second edton. Academc Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovch, Publshers], New York, 980. VI.6]. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 7

18 η ϕασµατική ανάλυση του ϑετικού τελεστή T ω. Τότε αν 0 < a < K έχουµε και συνεπώς T ω T ω E([a, K]) = K a K λde λ a a de λ = ae([a, K]) a E([a, K])e 2 = a E([a, K])e, e T ω e, e < +. Επεται ότι για κάθε a (0, K) ο χώρος E([a, K])(H) έχει πεπερασµένη διάσταση, γιατί αν κάποιος E([a, K])(H) ήταν απειροδιάστατος, ϑεωρώντας µια ορθοκανονική του ϐάση {e : I 0 } και επεκτείνοντας σε µια ορθοκανονική ϐάση του H, ϑα είχαµε E([a, K])e 2 =. Από το Φασµατικό ϑεώρηµα (σε χώρους πεπερασµένης διάστασης) υπάρχει ορθοκανονική ϐάση του E([a, K])(H) που αποτελείται από ιδιοδιανύσµατα του ϑετικού τελεστή T ω E([a, K]). Γράφουµε λοιπόν (0, K] = [ n +, ) n n=2 [ ] 2, := Ω n Ω 0 και για κάθε n επιλέγουµε µια (πεπερασµένη) ορθοκανονική ϐάση {em n : m =,..., m n } του E(Ω n )(H) από ιδιοδιανύσµατα του T ω E(Ω n ). Ετσι η οικογένεια {em n : m =,..., m n, n Z + } είναι ορθοκανονική ϐάση του χώρου (E((0, K])(H) = (E({0})H) = (ker T ω ). Θεωρούµε µια αρίθµηση {y n : n N} της οικογένειας {em n : m =,..., m n, n Z + } και την επεκτείνουµε σε ορθοκανονική ϐάση όλου του H. Ως προς αυτή τη ϐάση, η σχέση (**) δίνει 2 T ω y n, y n < +. n N Επειδή κάθε y n είναι ιδιοδιάνυσµα του ϑετικού τελεστή T ω, υπάρχει λ n 0 (µάλιστα λ n > 0 αφού y n ker T ω ) ώστε T ω y n = λ n y n, οπότε λ n <. Εχουµε T ω y n = V T ω y n = λ n V y n. Γράφουµε x n := V y n n N (η {x n } είναι ορθοκανονική γιατί η V δρα ισοµετρικά στον χώρο (ker T ω ) ). Ορίζουµε ϕ(a) = AT ω y n, y n = λ n Ax n, y n (A B(H)). n N n N Επειδή η (λ n ) είναι αθροίσιµη και Ax n, y n A, η σειρά συγκλίνει απόλυτα, άρα (όπως δείξαµε προηγουµένως) ϕ B (H). Επειδή η {y n } είναι ορθοκανονική ϐάση του E({0})H, για κάθε ξ H έχουµε ξ = E({0})ξ + ξ, y n y n, άρα T ω ξ = ξ, y n T ω y n και συνεπώς για κάθε η H, n n ω(ξ η ) = T ω ξ, η = ξ, y n T ω y n, η = ξ, y n T ω y n, η n N n N = T ω y n, η ξ, y n = (ξ η )T ω y n, y n n N = ϕ(ξ η ). Εποµένως οι ϕ και ω ταυτίζονται στο σύνολο F (H) B(H) των τελεστών πεπερασµένης τάξης. Επειδή είναι και οι δύο ασθενώς-* συνεχείς, και το F (H) είναι ασθενώς-* πυκνό στον B(H) (Πόρισµα 8..23), έπεται ότι ϕ = ω, δηλαδή ω(a) = λ n Ax n, y n. 2 εφόσον T ω x, x = 0 για κάθε x E({0})H n N n N Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 8

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Σύγκλιση και Συνέχεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το Φασµατικό Θεώρηµα - Εισαγωγή. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το Φασµατικό Θεώρηµα - Εισαγωγή. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το Φασµατικό Θεώρηµα - Εισαγωγή Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνθήκες αριθµησιµότητας Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine.

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine. 8 Έστω (, ) 4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα 4. θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldste. χώρος με νόρμα. Υπενθυμίζουμε ότι η ασθενής τοπολογία T του έχει ως βάση ( ανοικτών ) περιοχών του όλα τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Αβελιανές Αλγεβρες von Neumann. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Αβελιανές Αλγεβρες von Neumann. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Αβελιανές Αλγεβρες von Neumann Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπικές έννοιες Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Κατασκευή νέων τοπολογικών χώρων Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπολογικοί χώροι Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Συµπαγείς τελεστές. Κεφάλαιο Τελεστές πεπερασµένης τάξης. n. Γράφουµε rank(t ) = n. Αν οι E, F είναι χώροι µε νόρµα, συµβολίζουµε

Συµπαγείς τελεστές. Κεφάλαιο Τελεστές πεπερασµένης τάξης. n. Γράφουµε rank(t ) = n. Αν οι E, F είναι χώροι µε νόρµα, συµβολίζουµε Κεφάλαιο 3 Συµπαγείς τελεστές 3.1 Τελεστές πεπερασµένης τάξης Ορισµός 3.1.1 Μια γραµµική απεικόνιση T : E F µεταξύ δύο γραµµικών χώρων E, F λέγεται τάξης n (n N) αν ο υπόχωρος T (E) = im T έχει διάσταση

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχειώδεις τελεστές στην άλγεβρα των adjointable τελεστών σε Hilbert πρότυπα

Στοιχειώδεις τελεστές στην άλγεβρα των adjointable τελεστών σε Hilbert πρότυπα Στοιχειώδεις τελεστές στην άλγεβρα των adjointable τελεστών σε Hilbert πρότυπα Χαράλαμπος Μαγιάτης Ανάλυση & Κβαντική Θεωρία Πληροφορίας Σεμινάριο Τμήματος Μαθηματικών ΕΚΠΑ 17/05/2019 1 / 56 Hilbert C

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Μετρικοποιησιµότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Η έννοια του ϕάσµατος. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Η έννοια του ϕάσµατος. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Η έννοια του ϕάσµατος Αριστείδης Κατάβοος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μετασχηµατισµός Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μετασχηµατισµός Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Μετασχηµατισµός Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii018/laii018html ευτέρα 3 Απριλίου 018 Αν C = x

Διαβάστε περισσότερα

Φασµατικη θεωρια µη φραγµενων γραµµικων τελεστων

Φασµατικη θεωρια µη φραγµενων γραµµικων τελεστων Φασµατικη θεωρια µη φραγµενων γραµµικων τελεστων Πτυχιακη Εργασια Ιωσηφιδης Ηλιας Α.Μ: 311/2329 Επιβλεπων : Τσολοµυτης Αντωνης A Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Αιγαιου Σαµος 27 Εξεταστικη Επιτροπη : Τσολοµύτης

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

π B = B και άρα η π είναι ανοικτή απεικόνιση.

π B = B και άρα η π είναι ανοικτή απεικόνιση. 3 Παράρτημα 2 Παρατηρήσεις, ασκήσεις και Διορθώσεις Παράγραφος ) Σελίδα, : Παρατηρούμε τα ακόλουθα για το χώρο πηλίκο / Y : Y = / Y και (α) { } (β) = Y / Y { } Επίσης από τον τύπο () έπεται ιδιαίτερα ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii18/laii18html Παρασκευή 9 Μαρτίου 18 Ασκηση 1 Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους.

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. 7 3.5 Το θεώρημα Hah-Baach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. Εξετάζουμε καταρχήν τη σχέση μεταξύ ενός μιγαδικού διανυσματικού χώρου E και του υποκείμενου πραγματικού χώρου E R. Έστω E μιγαδικός διανυσματικός

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

1 Χώροι πηλίκα { } x = y x y Y. Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον

1 Χώροι πηλίκα { } x = y x y Y. Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον Χώροι πηλίκα Έστω διανυσματικός χώρος και Y διανυσματικός υπόχωρος του. Για κάθε θεωρούμε το σύμπλοκο σχετικά με τον Y, = + y y Y = + Y ορ { : } δηλαδή το είναι η παράλληλη μεταφορά του Y κατά το διάνυσμα.

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων.5. Ορισµός. Έστω, f : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο. Λέµε ότι η f έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li = ή f b f b αν και µόνο αν, για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 24 Μαρτίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y. 2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω (, ) και (, ) {( x, ) : x και } χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται χώρος με

Διαβάστε περισσότερα

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y. 2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω ( X, ) και (, ) X Y {( x, ) : x X και Y} Y χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii9/laii9html Παρασκευή 9 Μαρτίου 9 Ασκηση Εστω (E,,

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - II Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 52 9 Η Κανονική Μορφή Jordan - II

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai018/lai018html Παρασκευή 3 Νοεµβρίου 018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

= lim. (P QP ) n x, x. E(Ex) = lim. (P QP ) m P x = Ex, EP x = lim

= lim. (P QP ) n x, x. E(Ex) = lim. (P QP ) m P x = Ex, EP x = lim Άσκηση: Η προβολή στην τομή δύο υποχώρων Αν P, Q είναι δύο ορθές προβολές σε έναν χώρο Hilbert H και R = P Q είναι η προβολή στην τομή im P im Q, δείξτε ότι, για κάθε x H, Rx = lim (P QP ) x = lim (P Q)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο.

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο. Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Οµάδα Α 1. Αν η f : (a, b) R είναι παραγωγίσιµη, τότε η f είναι µετρήσιµη. Υπόδειξη. Θεωρούµε την ακολουθία f : (a, b) R µε f (x) = [f(x + 1/) f(x)]. Εφόσον, η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 4 Ιουνίου

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Θεώρημα 1 Έστω ¹ X συμπαγής χώρος Hausdorff και έστω C R (X η πραγματική άλγεβρα όλων των συνεχών συναρτήσεων f : X R. Έστω ότι ένα υποσύνολο A C R (X (1 το A είναι υπάλγεβρα

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 202 Μέρος 4. Θεωρητικά

Διαβάστε περισσότερα

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ). Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές του μεταθετικού Θεωρήματος Gelfand-Naimark σε μη μεταθετικές C* άλγεβρες

Εφαρμογές του μεταθετικού Θεωρήματος Gelfand-Naimark σε μη μεταθετικές C* άλγεβρες Εφαρμογές του μεταθετικού Θεωρήματος Gelfand-Naimark σε μη μεταθετικές C* άλγεβρες 1 Εξάρτηση του φάσματος από την άλγεβρα Έστω A άλγεβρα Banach με μονάδα 1 και B Ď A κλειστή υπάλγεβρα που περιέχει την

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Ο Ευκλείδειος χώρος R n 1.1 Αλγεβρική δοµή Ο Ευκλείδειος χώρος R n είναι

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οι Οµάδες τάξης pq, p, q: πρώτοι αριθµοί Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 246 6. Οι Οµάδες τάξης

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

f I X i I f i X, για κάθεi I.

f I X i I f i X, για κάθεi I. 47 2 Πράξεις σε τοπολογικούς χώρους 2. Η τοπολογία γινόμενο Σε προηγούμενη παράγραφο ορίσαμε την τοπολογία γινόμενο στο καρτεσιανό γινόμενο Y δύο τοπολογικών χώρων Y, ( παράδειγμα.33 () ). Στην παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Χώροι L p. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Χώροι L p. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Χώροι L p Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Μέτρο Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai8/lai8html Παρασκευή 6 Οκτωβρίου 8 Υπενθυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 7 : Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 7 : Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 7 : Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι 4 ιανυσµατικοί χώροι - Βασικοί ορισµοί και ιδιότητες ιανυσµατικοί Χώροι Ένας ιανυσµατικός Χώρος V (δχ) είναι ένα σύνολο από µαθηµατικά αντικείµενα (αριθµούς, διανύσµατα, πίνακες,

Διαβάστε περισσότερα

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν 3 4.3 Τελείως κανονικοί χώροι ( ). 3 2 Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysoh, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν κανονικός χώρος, x και κλειστό ώστε x. Υπάρχει τότε συνεχής συνάρτηση f :, ώστε

Διαβάστε περισσότερα

D 1 D, D n+1 D n, D n G n, diam(d n ) < 1 n. B := ρ(x n, x m ) diam(d m ) < 1 m.

D 1 D, D n+1 D n, D n G n, diam(d n ) < 1 n. B := ρ(x n, x m ) diam(d m ) < 1 m. Σηµειώσεις Συναρτησιακής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Περιεχόµενα 1. Το ϑεώρηµα κατηγορίας του Baire 4 2. Χώροι Banach 5 3. Φραγµένοι γραµµικοί τελεστές 8 4. Χώροι πεπερασµένης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. ιατεταγµένοι χώροι. 1.1 Κώνοι και διάταξη

Κεφάλαιο 1. ιατεταγµένοι χώροι. 1.1 Κώνοι και διάταξη Κεφάλαιο 1 ιατεταγµένοι χώροι 1.1 Κώνοι και διάταξη Εστω E γραµµικός χώρος. Ενα κυρτό, µη κενό υποσύνολο P του E είναι κώνος αν λ P για κάθε λ R +. Αν επιπλέον ισχύει P ( P) = {0} το P είναι οξύς κώνος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: ιαχωριστικά αξιώµατα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p

Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p Μιχάλης Σαράντης και Κωνσταντίνος Τσίνας Βασικά αποτελέσµατα από την ανάλυση Fourier Ορισµός.. Ο n-οστός πυρήνας του Dirichlet ορίζεται ως (.) D n (y) Πρόταση.. Για

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Χώροι L p - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Χώροι L p - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Χώροι L p - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας της λύσης του Π.Α.Τ.: y = f ( x, y), y( x ) (Θεώρημα Picard) ' Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Παν/µίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος εαρινού εξαµήνου Πέµπτη, 2 Ιούνη 28 Γραµµική Αλγεβρα II ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Θέµα

Διαβάστε περισσότερα