2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης"

Τιμόθεος Φλέσσας
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Έστω η εξίσωση x + ( λ + )x + 8λ = 0 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγµατικές ρίζες για κάθε τιµή του λ R. Πότε οι ρίζες είναι ίσες και πότε άνισες; Αν x 1, x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης να βρείτε τις τιµές του λ για τις οποίες ισχύει x 1 + x + ( x 1 x ) = 30( λ + ) i Για ποια τιµή του λ οι ρίζες της εξίσωσης είναι αντίθετες; = 4(λ + ) 3λ = 4λ 16λ + 16 = = (λ 4) 0 για κάθε λ R Οι ρίζες είναι ίσες όταν = 0 δηλαδή όταν λ = και άνισες όταν >0 λ Από τους τύπους του Vieta έχουµε ότι x 1 + x = ( λ + ) και x 1 x = 8λ εποµένως x 1 + x + ( x 1 x ) = 30( λ + ) ( λ + ) + 64λ = 30(λ + ) λ λ = 0 λ = i Οι ρίζες x 1, x είναι αντίθετες όταν x 1 + x = 0 ( λ + ) = 0 λ = ή λ =

τιµή του λ οι ρίζες της εξίσωσης είναι αντίθετες; = 4(λ + ) 3λ = 4λ 16λ + 16 = = (λ 4) 0 για κάθε λ R Οι ρίζες είναι ίσες όταν = 0 δηλαδή όταν λ = και άνισες όταν >0 λ Από τους

2 1. Σε µία ακολουθία (α ν ) για κάθε ν N έχουµε α ν = 4 5ν είξτε ότι η ακολουθία είναι αριθµητική πρόοδος της οποίας βρείτε α 1 και ω Να βρείτε ποιος όρος της είναι ίσος µε 306 i Να βρείτε το άθροισµα των όρων από τον 5 ο έως και τον 30 ο α ν+1 α ν = 4 5(ν + 1) 4 + 5ν = 5 Άρα η ακολουθία είναι αριθµητική πρόοδος µε ω = 5 και α 1 = 4 5 = 1 α ν = 306 α 1 + ( ν 1) ω= ( ν 1)( 5) = 306 ν = 6 οπότε ο α 6 = 306 i S = S 30 S 4 = = = [ α + (30 1) ω]30 1 [ ( 1) + 9 ( 5)]30 [ α + (4 1) ω ]4 = 1 [ ( 1) + 3 ( 5)]4 = 171

+ 1) 4 + 5ν = 5 Άρα η ακολουθία είναι αριθµητική πρόοδος µε ω = 5 και α 1 = 4 5 = 1 α ν = 306 α 1 + ( ν 1) ω= 306 1 + ( ν 1)( 5)

3 13. Κάποιος έχει την δυνατότητα να βάλει υποψηφιότητα για πρόεδρος σε δύο συλλόγους Σ 1 και Σ. Έστω τα ενδεχόµενα Α: Εκλέγεται πρόεδρος στον Σ 1 Β: Εκλέγεται πρόεδρος στον Σ Αν η πιθανότητα να εκλεγεί πρόεδρος στον Σ 1 είναι 4 1, να µην εκλεγεί στον Σ είναι 3 και να µην εκλεγεί συγχρόνως και σους δύο συλλόγους είναι 6 5, να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων Εκλέγεται στον Σ 1 Εκλέγεται στον Σ i Εκλέγεται και στους δύο συλλόγους iν) Εκλέγεται σ έναν τουλάχιστον σύλλογο ν) εν εκλέγεται σε κανέναν ν Εκλέγεται σε έναν µόνο σύλλογο ν Το πολύ σε έναν σύλλογο εκλέγεται Ρ(Σ 1 ) = Ρ(Σ ) = 1 Ρ(Σ ) = 1 = 3 3 i 5 1 Ρ( Σ1 Σ ) = 1 Ρ( Σ1 Σ ) = 1 = 6 6 iν) Ρ( Σ1 Σ ) = Ρ(Σ 1 ) + Ρ(Σ ) Ρ( Σ1 Σ ) = ν) = = 5 1 Ρ( Σ1 Σ ) = 1 Ρ( Σ1 Σ ) = = 7 1 ν Ρ[(Σ 1 Σ ) (Σ Σ 1 )] = Ρ(Σ 1 ) + Ρ(Σ ) Ρ( Σ1 Σ ) =

σους δύο συλλόγους είναι 6 5, να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων Εκλέγεται στον Σ 1 Εκλέγεται στον Σ i Εκλέγεται και στους δύο συλλόγους iν) Εκλέγεται σ έναν τουλάχιστον σύλλογο ν) εν εκλέγεται

4 ν 1 1 = = 1 4 Το ενδεχόµενο : Το πολύ σε έναν σύλλογο εκλέγεται είναι το 5 ( Σ1 Σ ) άρα Ρ( Σ1 Σ ) = 6

5 14. Έστω η συνάρτηση f(x) = x 4 + x Να βρείτε τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης µε τους άξονες Αν Α είναι το σηµείο τοµής της C f µε τον άξονα των x, να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) η οποία διέρχεται από το Α και έχει κλίση 4 i Να βρείτε τις τιµές του µ ώστε η ευθεία (ε) να είναι παράλληλη στην ευθεία y = ( µ 5µ + 10) x 1 Σηµεία τοµής µε τον άξονα x x f(x ) = 0 x 4 + x = 0 ( x 4 = 0 και x = 0 ) x = εποµένως σηµείο τοµής µε τον άξονα των x είναι το Α (, 0) Σηµείο τοµής µε τον άξονα των y Αφού f(0) = 6 το σηµείο τοµής µε τον άξονα των y είναι το B ( 0, 6) Η ζητούµενη ευθεία αφού έχει κλίση 4 θα έχει εξίσωση της µορφής y = 4x + β και επειδή διέρχεται από το Α (, 0) ακόµα θα ισχύει 0 = 8 + β β = 8 οπότε η ζητούµενη εξίσωση είναι η y = 4x 8 i Θα πρέπει να ισχύει µ 5µ + 10 = 4 µ 5µ + 6 = 0 µ = ή µ = 3

0 και x = 0 ) x = εποµένως σηµείο τοµής µε τον άξονα των x είναι το Α (, 0) Σηµείο τοµής µε τον άξονα των y Αφού f(0) = 6 το σηµείο τοµής µε τον άξονα των y είναι το B ( 0, 6) Η ζητούµενη ευθεία αφού

6 15. Σε µία αριθµητική πρόοδο το άθροισµα του 5 ου και του 1 ου όρων της είναι 49 ενώ το άθροισµα του 6 ου και του 8 ου είναι 40 Να ορίσετε την πρόοδο Να βρείτε το S 10 i Να βρείτε το άθροισµα των όρων της που είναι µεταξύ 15 ου και του 8 ου όρων της Έχουµε ότι α 5 +α 1 = 49 α 6 +α 8 = 40 α 1+ 4ω+α 1+ 11ω= 49 α ω+α ω= 40 α 1+ 15ω= 49 α ω= 40 αφαιρώντας κατά µέλη τις εξισώσεις βρίσκουµε ω = 3 οπότε η α 1 +15ω = 49 α 1 = S 10 [ α + (10 1) ω] 10 1 = = = [ + 9 3] 10 = 155 i Είναι φανερό ότι ζητάµε το άθροισµα α 16 + α α 7 Το άθροισµα αυτό µπορούµε να το υπολογίσουµε µε δύο τρόπους 1 ος τρόπος Έχουµε ότι α 16 = α 1 +15ω = + 45 = 47

ω= 40 α 1+ 15ω= 49 α 1 + 1 ω= 40 αφαιρώντας κατά µέλη τις εξισώσεις βρίσκουµε ω = 3 οπότε η α 1 +15ω = 49 α 1 = S 10 [ α + (10 1) ω] 10 1 = = = [ + 9 3] 10 = 155 i

7 εποµένως το παραπάνω άθροισµα είναι το άθροισµα των δώδεκα πρώτων όρων µίας αριθµητικής προόδου µε πρώτο όρο 47 και διαφορά ω =3 οπότε το ζητούµενο άθροισµα είναι [ ] 1 S = = 76 ος τρόπος Από την σχέση α 1 + α + α α 15 + α α 7 Καταλαβαίνουµε ότι το ζητούµενο άθροισµα είναι ίσο µε S = S 7 S 15 = = = [α1+ 6ω] 7 [α1+ 14ω] 15 = (4+ 78) 7 (4+ 4) 15 = 76

= 76 ος τρόπος Από την σχέση α 1 + α + α 3 + + α 15 + α 16 + + α 7 Καταλαβαίνουµε ότι το

8 16. Έστω η εξίσωση x + x k = 0 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγµατικές και άνισες για κάθε k R Αν x 1 και x είναι οι ρίζες της εξίσωσης να προσδιορίσετε τις τιµές του k για τις οποίες ισχύει x 1 ( k + x ) + kx > 6 i Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού της οποίας ρίζες να είναι οι αριθµοί ρ 1 = x και ρ = x + 1 = k > 0 για κάθε κ R εποµένως η εξίσωση έχει πάντα ρίζες πραγµατικές και άνισες x 1 ( k + x ) + kx > 6 kx 1 + x 1 x + kx > 6 k (x 1 + x ) + x 1 x + 6 > 0 (1) όµως x 1 + x = 1 και x 1 x = k οπότε η (1) γίνεται k k + 6 > 0 Οι ρίζες του τριώνυµου k k + 6 είναι οι και 3 και το πρόσηµο του φαίνεται παρακάτω k Άρα k k + 6 > 0 3 < k < i S = ρ 1 + ρ = x x + 1 = = x 1 + x + = 1 + = 1 και Ρ = ρ 1 ρ = (x 1 + 1)( x + 1) = = x 1 x + x 1 + x + 1= k = k Οπότε η ζητούµενη εξίσωση είναι η x Sx + P = 0 x x k = 0

πραγµατικές και άνισες x 1 ( k + x ) + kx > 6 kx 1 + x 1 x + kx > 6 k (x 1 + x ) + x 1 x + 6 > 0 (1) όµως x 1 + x = 1 και x 1 x = k οπότε η (1) γίνεται k k + 6 > 0 Οι ρίζες του τριώνυµου k k + 6

9 17. Αν 3 < x <5 Να απλοποιηθεί η παράσταση Α = x 4x x 10x + 5 Αν < α < 8 να βρείτε µεταξύ ποιών τιµών περιέχεται η παράσταση Β = 5 α 1 3 α α α Α = x 4x x 10x + 5 = = (x ) + (x 5) = = x + x 5 όµως 3 < x < 5 1 < x < 3 άρα x = x και 3 < x < 5 < x 5< 0 άρα x 5 = x + 5 οπότε Α = ( x ) + ( x +5) = 3 < α < 8 1 < α 1 < 7 άρα α 1 = α 1 < α < 8 7 < α 9 < 1 άρα α 9 = α + 9 < α < 8 4 < α + < 10 άρα α + = α + < α < 8 > α > 8 8 > 10 α > άρα 10 α = 10 α Οπότε Β = 5(α 1) 3( α + 9) + 4( α + ) + 5 ( 10 α) = =7α + 6 και εποµένως < α< 8 14 < 7α < < 7α + 6 < < Β < 8

Α = ( x ) + ( x +5) = 3 < α < 8 1 < α 1 < 7 άρα α 1 = α 1 < α < 8 7 < α 9 < 1 άρα α 9 = α + 9 < α < 8 4 < α + < 10 άρα α + = α + < α < 8 > α > 8 8 >

10 18. Σ ένα κλουβί υπάρχουν 0 καναρίνια και 36 κοτσύφια. Τα τέσσερα πέµπτα των καναρινιών και τα µισά κοτσύφια κελαηδούν. Εκλέγουµε ένα πουλί στην τύχη. Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων Είναι καναρίνι Είναι κοτσύφι και κελαηδεί i Το πουλί κελαηδεί iν) Είναι καναρίνι ή κελαηδεί Έστω Α :Το πουλί είναι καναρίνι Β: Το πουλί είναι κοτσύφι Γ: Το πουλί κελαηδεί 4 Επίσης γνωρίζουµε ότι τα καναρίνια που κελαηδάνε είναι 0= 16 και τα 5 κοτσύφια που κελαηδούν είναι 18, ενώ το σύνολο των πουλιών είναι 56 Οπότε 0 Η ζητούµενη πιθανότητα είναι Ρ (Α) = Η ζητούµενη πιθανότητα είναι P (Β Γ ) = i Η ζητούµενη πιθανότητα είναι Ρ (Γ) = + = iν) Η ζητούµενη πιθανότητα είναι Ρ( Α Γ) =Ρ( Α) +Ρ( Γ) Ρ( Α Γ) = + =

κοτσύφι Γ: Το πουλί κελαηδεί 4 Επίσης γνωρίζουµε ότι τα καναρίνια που κελαηδάνε είναι 0= 16 και τα 5 κοτσύφια που κελαηδούν είναι 18, ενώ το σύνολο των πουλιών είναι 56 Οπότε 0 Η

11 19. Έστω τα σηµεία Α( λ 3, µ ) και Β( 6, ) Να βρείτε τις τιµές των λ και µ ώστε να είναι συµµετρικά ως προς τον άξονα των x x. Για τις τιµές των λ και µ του ( ερωτήµατος να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης µx λx (α + β ) = 0, όπου α, β R Πρέπει να ισχύουν ( λ 3 = 6 και µ = ) ( λ 3 = 8 και µ = ± ) λ = και µ = 4 ή µ = 0 Αν λ = και µ = 4 η εξίσωση µx λx (α + β ) = 0 γίνεται 4x 4x (α + β ) = 0 µε = (α + β ) > 0 για κάθε α, β R Οπότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγµατικές και άνισες Αν λ = και µ = 0 η εξίσωση γίνεται 4x (α + β ) = 0 η οποία είναι πρώτου βαθµού και έχει την µοναδική λύση α + β x = 4

) ( λ 3 = 8 και µ = ± ) λ = και µ = 4 ή µ = 0 Αν λ = και µ = 4 η εξίσωση µx λx (α + β ) = 0 γίνεται 4x 4x (α + β ) = 0 µε = 16 + 16 (α + β ) > 0 για κάθε

12 0. Να λυθούν οι ανισώσεις (x 1 ) ( x 5x + 6) ( x + 1) <0 (x )(x + x+ 1) x 4x+ 3 0 x 1 = 0 x = 1 Το πρόσηµο του x 1 φαίνεται στον πίνακα x 1 + Πρόσηµο του x x 5x + 6 = 0 x = ή x = 3 Το πρόσηµο του x 5x + 6 φαίνεται στον πίνακα x 3 + Πρόσηµο του x 5x Ενώ για κάθε x R είναι x + 1 > 0 Συγκεντρωτικός πίνακας προσήµων x Πρόσηµο του x Πρόσηµο του x 5x Πρόσηµο του x Πρόσηµο του γινόµενου Από το πρόσηµο του γινόµενου διαπιστώνουµε ότι η ανίσωση αληθεύει όταν x < 1 ή < x < 3 Με x 4x x 1 και x 3 η δοσµένη ανίσωση είναι ισοδύναµη µε την (x ) ( x + x + 1) ( x 4x + 3) 0 ουλεύοντας όπως και στο ( βρίσκουµε ότι ο συγκεντρωτικός πίνακας προσήµου είναι ο παρακάτω

Πρόσηµο του x 5x + 6 + + 0 0 + Πρόσηµο του x + 1 + + + + Πρόσηµο του γινόµενου 0 + 0 0 + Από το πρόσηµο του γινόµενου διαπιστώνουµε ότι η ανίσωση αληθεύει όταν x < 1 ή < x < 3 Με x

13 x Πρόσηµο του x Πρόσηµο του x + x Πρόσηµο του x 4x Πρόσηµο του γινόµενου Από το πρόσηµο του γινόµενου και λαµβάνοντας υπ όψη τους περιορισµούς διαπιστώνουµε ότι η ανίσωση αληθεύει όταν x < 1 ή x < 3

Σχετικά έγγραφα

42. διαβάζει την εφηµερίδα (α) ή να διαβάζει την εφηµερίδα (β) ii) Ορίζουµε το ενδεχόµενο

42. διαβάζει την εφηµερίδα (α) ή να διαβάζει την εφηµερίδα (β) ii) Ορίζουµε το ενδεχόµενο 5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 41. Να βρεθούν 4 αριθµοί οι οποίοι αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου αν το άθροισµα τους είναι και το άθροισµα των τετραγώνων τους είναι 166 i Αν ο µικρότερος