OBRANA SOKRATOVA. Platon. Luka Boršić. Dimitrije Savić. Preveo. Priredio. Demetra Filosofska biblioteka Dimitrija Savića

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "OBRANA SOKRATOVA. Platon. Luka Boršić. Dimitrije Savić. Preveo. Priredio. Demetra Filosofska biblioteka Dimitrija Savića"

Transcript

1 Demetra Filosofska biblioteka Dimitrija Savića Platon Aster u suradnji s Damirom Barbarićem OBRANA SOKRATOVA Preveo Luka Boršić Priredio Dimitrije Savić Demetra Filosofska biblioteka Dimitrija Savića Zagreb 2000

2 Izvornik PLATONE APOLOGIA Dl SOCRATE Introduzione, traduzione, note, apparati e iconografia socratica di Giovanni Reale Appendice bibliografica di Claudio Marcellino Prima edizione ottobre 1993 Seconda edizione aprile 1994 Terza edizione maržo 1996 Tutti i diritti riservati 1993 Rusconi Libri s.r.l, viale Sarca 235,20126 Milano ISBN Korektor Marija-Maja Savić Grafička pnprema Editor: DEMETRA d.o.o., Zeleni trg 2/XVII, Zagreb Tel (+385-1) i tel/fax tel hr Sva prava pridržana

3 Sadržaj Platonova glava (Rimska kopija Silene-biste. Privatni posjed.) Giovanni Reale I. Uvod: Struktura, najvažniji pojmovi i svrha "Obrane Sokratove" 1. Hermeneutička premisa: "Obrana" se mora čitati i razumjeti kao najugledniji, najvjerodostojniji i najrazumljiviji dokument iz kojega se može iščitati misao i značenje Sokrata kao filozofa Suđenje Sokratu i glavne točke optužnice na kojoj se suđenje zasnivalo Stvarni razlozi Sokratovog povlačenja sudom, njegovi tužitelji i neka svojstva sudskog postupka Kriteriji i dramaturška struktura kojima se Platon poslužio u "Obrani Sokratovoj" Struktura prvog govora Prvi Sokratovi tužitelji Druga skupina tužitelja Sokratove filozofske poruke i njegovi osnovni pojmovi; čovjek je duša i glavni je cilj ljudskog života briga oko duše Zaključci prvog govora Drugi govor i strukturalni preokret razina: Sokrat izlaže svoju poruku i s tim povezano svoje djelovanje; kaže da je to vrijedno ne kazne nego nagrade Treći govor i konačan preokret razina.: Sokrat se izdiže iz svoje pozicije tuženika i preuzima ulogu suca nad svojim sucima Sokratova smrt 39 7

4 Sadržaj <<φ> Sadržaj 13. Reakcija Atenjana na Sokratovu smrt Zaključak 41 II. Platonov životopis 45 ΑΠΟΛΟΓΙΑ OBRANA /. Prolog (17 A - 19 A) ΣΩΚΡΑΤΟΥΣ SOKRATOVA Prvi dio VELIKI SOKRATOV GOVOR Uvodne Sokratove napomene 57 Kriteriji koje će Sokrat slijediti u svojoj obrani 59 II. Obrana protiv prvih tužitelja i Sokratova filozofska pozicija (19 A - 24 B) Optužba da se Sokrat bavi proučavanjem podzemnih i nebeskih stvari 63 Optužba daje Sokrat sofist 63 Sokratova ljudska mudrost 65 Odgovor delfijskog proroštva ο Sokratovoj mudrosti i Sokratov pokušaj da shvati proročanstvo 67 Sokrat se obraća političarima 67 Sokrat se obraća pjesnicima 69 Sokrat se obraća obrtnicima 71 Značenje proročanstva: Sokrat je najmudriji jer zna da nema mudrog čovjeka 71 Uzroci klevete protiv Sokrata 73 III Obrana protiv drugih tužitelja (24 Β - 27 D) Meletova optužnica 77 Nesuvislost Meletove optužnice da Sokrat kvari mladež 77 Neodrživost optužbe da je Sokrat bezbožac 83 Proturječja Meletove optužnice 85 IV. Zadaća i poruka Sokratova (27 D - 30 C) Sokratovo poslanje u službi boga: život u filozofiji 87 Glavna Sokratova poruka: neprestano tragati za mudrošću 91 Κ Moralno značenje Sokratovog poslanstva (30 C - 34 B) Bog je poslao Sokrata gradu na dar: da ga podbode 95 Unutrašnji glas odgovara Sokrata od bavljenja politikom 97 Sokratov odnos prema onima s kojima se družio 101 VI Zaključne riječi obrane (34 Β - 35 D) Sokrat ne traži milost već pravednost 105 Drugi dio SOKRATOV GOVOR POSLIJE PRVOG GLASOVANJA VII Sokratovo mišljenje ο presudi (35 Ε - 38 B) Sokrat misli da nije zavrijedio kaznu već nagradu: hraniti se na državni trošak u pritaneju 113 Sokrat ne predlaže neku alternativnu kaznu, jer se osjeća nevinim 115 Sokrat ne želi odustati od svog poziva, jer život bez istraživanja nije dostojan življenja 117 Sokrat predlaže kaznu od trideset mina, na nagovor svojih prijatelja

5 < φ ) Sadržaj Treći dio SOKRATOV GOVOR POSLIJE DRUGOG GLASOVANJA VIII. Sokratove oproštajne poruke - onima koji su ga osudili i onima koji su ga htjeli osloboditi (38 C - 42 A) Izbjeći smrti lakše je nego izbjeći zloći 123 Sokratovo proročanstvo onima koji su ga osudili 125 Poruka onima koji su Sokrata htjeli osloboditi 125 Smrt je u svakom slučaju dobitak 127 Sokratova zaključna poruka 131 BILJEŠKE I BIBLIOGRAFIJA I. Bilješke uz tekst 139 II. Bibliografija za "Obranu Sokratovu"

6 Prevoditeljeva riječ Ovaj prijevod nastao je na poticaj profesora Giovannija Realea. On je u zimskom semestru godine, nakon niza predavanja posvećenog "Obrani Sokratovoj", ne samo pobudio u meni veliko zanimanje za to remek-djelo, već je velikodušno ustupio uređeni grčki tekst i svoj uvod za prijevod. Moja zahvalnost profesoru dr. Realeu nadilazi ovaj rad: njegov entuzijazam prema Platonovim dijalozima uveo me je u čari filozofije tijekom četverogodišnjeg studija na Međunarodnoj filozofskoj akademiji u Kneževini Liechtenstein. Zahvalnost dugujem i profesoru dr. Damiru Barbariću: njegovi savjeti i komentari pomogli su pri nastanku ovog prijevoda. Posebnu zahvalnost dugujem docentu dr. Dimitriju Saviću, koji je u svojstvu redaktora dotjerao prijevod i dopunio bilješke te priredio cijeli materijal za objavljivanje. Ovaj prevoditeljski prvijenac posvećujem svojim roditeljima, koji su me stalno i na svaki način podržavali. Luka Boršić Sokrat. Louvre. 13

7 Talijanskom izdavaču "Rusconi Libri" te osobito profesoru dr. Giovanniju Realeu s Katoličkog sveučilišta u Milanu zahvaljujemo na velikodušnom ustupanju prava. D.S. G. Reale: Uvod Struktura, najvažniji pojmovi i svrha Obrane Sokratove' 1. Hermeneutička premisa: "Obrana" se mora čitati i razumjeti kao najugledniji, najvjerodostojniji i najrazumljiviji dokument iz kojega se može iščitati misao i značenje Sokrata kao filozofa PLATON-INSTITUT INTERNATIONALE AKADEMIE FLTR PHILOSOPHIE IM FLJRSTENTUM LIECHTENSTEIN Dva najčitanija Platonova djela su Fedon i Obrana Sokratova. U ovim djelima protagonist je junački i izvanredni lik: Sokrat. No, njegov se prikaz bitno razlikuje od jednog do drugog djela, što ima dalekosežne posljedice koje treba pobliže razmotriti. Najvažnija se razlika sastoji u sljedećem: U Fedonu je Sokrat prvenstveno prikazan kao dramatis persona, i, mogli bismo reći, kao simbolična krabulja filozofa par excellence. Platon, iako se služi točnim povijesnim podacima (pogotovo pri kraju dijaloga), stavlja Sokratu u usta nauk koji zapravo nije sokratovski, već vlastito Platonovo otkriće. Na primjer: stavlja u usta Sokratu veleban i sustavan prikaz teorije ideja, na tom temelju podiže pojam duše i dokazuje njenu besmrtnost. Drugim riječima, u Fedonu Sokrat je tek krabulja koju Platon rabi da bi iznio ključne pojmove vlastitog nauka. Ti pojmovi, iako su nastali razvojem nekih učiteljevih elemenata, ipak ga daleko nadilaze i probijaju se sve do krajnjih granica metafizičkoga

8 Giovanni Reale Uvod Nasuprot tome, u Obrani Sokratovoj Platon ne uvodi, osim tu i tamo, specifične dijelove koji bi potjecali iz vlastitog nauka. Stoga je Sokrat u Obrani stvarni Sokrat, a ne tek dramaturška krabulja. Odbacuje sve one dodatne elemente, odnosno čitav lanac spojeva i posljedica, koje inače povlači kad govori kroz već spomenutu krabulju; na taj nam način prikazuje stvarnu Sokratovu osobu, prenosi nam njegovu posljednju poruku u onom obliku u kojem ju je Platon vidio i razumio. Kao dokaz onome što sad izlažemo možemo istaknuti neka vrlo fina upozorenja koja potječu od samog Platona, a koja se prečesto zanemaruju ili nedovoljno razumiju. U svojim djelima Platon navodi vlastito ime samo triput, i to upravo u djelima kojima se sad bavimo: jedanput u Fedonu, a dvaput u Obrani. U Fedonu veli da nije bio prisutan dok je Sokrat umirao i piše (59 B): "Platon je, vjerujem, bio tad bolestan." Nasuprot tome, u Obrani nas obavješćuje ο svojem prisustvu na jasan način (34 A i 38 B). U drugom od ovih dvaju mjesta Platon se stavlja upravo u prvi red onih koji su bili spremni platiti otkupninu kojom bi Sokrat isplatio kaznu. Pročitajmo odjeljak: "ovdje su Platon, Kriton, Kritobul i Apolodor koji me nagovaraju da si predložim kaznu od trideset mina, a oni bi sami jamčili taj iznos. Neka budem, dakle, kažnjen tom količinom [novaca], a oni će vam biti pouzdani jamci za taj iznos." Značenje ovih poruka je jasno: u Fedonu Platon želi ukazati, s pomoću vrlo fino razrađene dramatske igre, da ono što namjerava izreći nije povijesno pripovijedanje, dok se u Obrani postavlja u objektivnu dimenziju, odnosno, mogli bismo reći modernom terminologijom, pripovijeda povijesnu istinu. Pritom moramo imati na umu sljedeću stvar: Obrana Sokratova je jedino Platonovo djelo u kojemu se spominje Sokratovo ime u nas- lovu, dok u svim ostalim dijalozima, u kojima je Sokrat isto tako protagonist, nosilac naslova je uvijek deuteragonist. Tomu je razlogom to što je u ostalim dijalozima Sokrat većinom (a u ponekim slučajevima u potpunosti) prikazan kao simbolična krabulja filozofa, dok se u Obrani ne pojavljuje kao krabulja već kao stvarna osoba; zato se njegovo ime pojavljuje u naslovu. Naravno, tome bi se moglo prigovoriti da se različiti izvori, koji nas obavještavaju ο Sokratu, međusobno vrlo razlikuju. Najznačajniji izvor poznavanja Sokrata, osim Platona, jest Ksenofont, koji nam nudi puno bljeđu sliku ο Sokratu i stoga njegovi spisi imaju sasvim drukčiju važnost. Može li se dakle reći da je Platon u Obrani nakitio, ili čak falsificirao, stvarnu Sokratovu sliku? Prema našem shvaćanju odgovor na ovo pitanje je sasvim jednostavan. Pretpostavimo da je Platon uvećao Sokratovu sliku; čineći to, on nije izmijenio samu pojavu, već naprotiv, mogli bismo reći, poput zrcala koje povećava, pojasnio je određene crte tako da bismo ih razumjeli bolje i, u nekim slučajevima, gotovo savršeno. Ostali pak izvori, osobito Ksenofont, su poput zrcala koje umanjuje. Ovo je dobar primjer u kojemu se pokazuje istinitost izreke quidquid recipitur, ad modum recipientis recipitur ("ono što se shvaća ovisi ο onome tko shvaća"). U stvari, iznimna veličina Sokratove osobe povlačila je za sobom kao posljedicu to, da je se moglo razumjeti samo na nekoliko različitih načina, odnosno već prema sposobnostima onoga koji ju je promatrao. U svakom slučaju, postoji jedan probni ogled kojim se može utvrditi povijesna istinitost Obrane Sokratove. Da je Platon nešto krivotvorio u svom spisu - budući da se radilo ο državnoj parnici, koja je dovela do Sokratove presude na smrt

9 Giovanni Reale φ > Uvod < φ ogriješio bi se ο samu atensku državu, a to bi nedvojbeno pokrenulo slijed lako zamislivih posljedica. Zapravo, veoma veliki broj sudaca pri suđenju čini gotovo nemogućim ikakvo krivotvorenje ili značajnije promjene događaja koji su se zbili, ili govora koji su izrečeni, a osobito kad se radilo ο učeniku koji je bio na takvome glasu i tolikog kalibra kakav je to bio Platon. 2. Suđenje Sokratu i glavne točke optužnice na kojoj se suđenje zasnivalo Događaj, ο kojem nas izvješćuje Obrana, jest sudski postupak podignut protiv Sokrata godine 399. prije Kr., a sama radnja, koja se opisuje u spisu, jest upravo velika obrana koju je filozof izrekao tijekom suđenja. S kojim je motivom protiv Sokrata pokrenut postupak takvog opsega, koji je u sebi sadržavao smrtnu kaznu? Koje su, sasvim precizno, bile stavke opužnice što su ga teretile? Platon nas sam ο tome izvješćuje (24 B-C): "[Optužnica] kaže da je Sokrat kriv što kvari mladež, da ne štuje bogove koje štuje država, već da štuje neke nove božanske pojave". Ksenofont nam potvrđuje tu optužnicu gotovo istim riječima (Memorabilia 11): "Sokrat je kriv što ne vjeruje u bogove u koje vjeruje Grad, već uvodi nova božanstva; isto je tako kriv jer kvari mladiće." U jednom od idućih odjeljaka pročitat ćemo dokument koji sadrži formalnu optužbu; taj nam se tekst sačuvao i on sasvim odgovara onome što su napisali Platon i Ksenofont. Ova optužba nije bila osobnog karaktera, već, prema zakonima koji su bili tad na snazi u Ateni, državna optužba. Valja imati na umu da pitanja u svezi s bogovima i vjerskim ritualima bijahu u nadležnosti Grada, koji je u nekim od tih pitanja imao skoro neograničenu vlast. Ogriješiti se ο državne bogove smatralo se jednakim kao da se ogriješilo ο samu državu. Optužiti onoga koji bi takvo djelo počinio, pobrinuti se oko administrativne strane i same provedbe sudskog postupka bilo je u nadležnosti države. Tim više ako su vjerske ideje, kao što je to bilo u postupku protiv Sokrata, smatrane izvorom kvarenja mladeži i stoga opasne za građane. Bogovi u koje Sokrat nije vjerovao bijahu bogovi mitološke tradicije. A on je odbacivao te bogove iz dva razloga. U prvom redu, smatrao je besmislenim i nespojivim s pojmom božanskog ono što se bogovima pridijevalo. Mitologija priča ο trzavicama i svađama među bogovima, ο sukobima i bitkama između očeva i sinova, ο preljubu, ο krivokletstvu i sličnim takvim stvarima, kojima su se bogovi kaljali upravo poput ljudi, ako ne još i gore. Svećeniku Eutifronu, u istoimenom dijalogu, Sokrat kaže sljedeće (6 B-C): "Vjeruješ li doista da bogovi međusobno ratuju, gaje strašna neprijateljstva i vode bitke i puno sličnih stvari, kako to već pričaju pjesnici i kako su to mnogi dobri slikari naslikali nama na svetim hramovima, a kojima je čak oslikana sveta tkanina koju nose na Akropoli za vrijeme velikih Panatenejskih svečanosti? Zar ćemo sve to proglasiti istinom, Eutifrone?" Narav božanska, smatra Sokrat, mora se razumjeti na sasvim drukčiji način, u strukturnom i neosporivom odnosu s pravednošću i dobrom. S druge pak strane, Sokrat je odbacivao tradicionalnu teologiju i zbog etičkih posljedica koje je ona povlačila za sobom. Zapravo, na temeljima ovakve teologije nije se mogao ozbiljiti moralno uređen i posvećen način života. Doista, sve su se ljudske pogreške mogle opravdati pozivanjem na ponašanje samih bogova; svaki se počinjeni

10 Giovanni Reale ljudski grijeh mogao obraniti spominjanjem kako se u sličnim okolnostima ovaj ili onaj bog ponašao upravo na isti način (usp. Država II, 377 Ε- 378 C). Sokrat je, dakle, smatrao daje božanska narav sasvim drukčija od onog što je prikazivala tradicionalna mitska teologija. Kako smo već prije naglasili, božanska se narav mora podudarati s naravi čistog dobra. No, povrh toga, u optužnici su teretili Sokrata da uvodi i nova božanstva. Ο čemu se radi u ovom terećenju? Ne odnosi se to na filozofski pojam koji bi stajao u pozadini njegove kritike tradicionalnih bogova, već se radi ο stanovitom "božanskom znaku", "božanskom glasu", daimonionu, za kojeg je on običavao tvrditi da ga čuje unutar sebe još od mladosti. Osim u Obrani Sokratovo] (usp. 27 C, 31 C-D, 40 A-B, 41 D) Platon spominje Sokratov daimonion također i u drugim dijalozima, kao na primjer u Eutidemu (272 E), u Državi (496 C), u Fedru (242 B-C) i u Teetetu (151 A). Ali što je točno daimonion? Precizne i jednoznačne Platonove riječi, kojim ga opisuje, ne bi nas smjele ostaviti u sumnji. Daimonion je prvenstveno unutrašnji znak, neki intiman glas. Zatim taj ga glas ne tjera da nešto učini, već ga zadržava od činidbe određenih stvari; on, dakle, ne potiče već se suprotstavlja. Ksenofont u Prisjećanjima na Sokrata (Memorabilia 1,1, 4; IV, 8,1), nasuprot Platonu, tvrdi da je božanski znak s vremena na vrijeme nagonio Sokrata također na pozitivno djelovanje; ali tu se gotovo sigurno radi ο proširivanju pojma i činjenica, koje Ksenofont nije obradio na priličan način. Na posljetku, radi se ο glasu kojeg Sokrat osjeća u svojoj intimnoj unutrašnjosti, ali koji, kako je Sokrat mislio, ne proizlazi samo iz njegove svijesti, već upravo od boga, odakle i naziv daimonion (božanski događaj, fenomen, činjenica). Naravno, mnogi su učenjaci u svojim istraživanjima smatrali da bi trebalo otići puno dalje od ovoga što smo ovdje napisali, eda bi došli do zadovoljavajućeg objašnjenja. Pritom su slijedili dva suprotna puta: jedni su se personificiranjem probijali do poistovjećivanja tog božanskog "znaka" ili "fenomena" s nekim demonom; drugi su pak tjerali na suprotnu stranu, poistovjećujući daimonion jednostavno s moralnim glasom savjesti, odnosno s glasom podsvjesnoga. Ono što iz teksta jasno proizlazi jest to da je istina negdje u sredini: daimonion je, kako smo već spomenuli, unutrašnji glas savjesti, ali predstavlja upravo onaj dio savjesti koji ulazi u odnos s božanskim. Nije se, dakle, radilo ni ο kakvom novom božanstvu, kako je glasila optužnica, već ο posebnom odnosu kojeg je Sokrat imao s onim božanskim u toj mjeri da je osjećao kako taj glas proizlazi iz nečega što je nadilazilo samu njegovu savjest. Ukratko, ovakav sokratovski daimonion izražava točku susreta čovjeka s onim božanskim i to u jednoj religioznoj dimenziji koja sasvim izlazi iz helenskih okvira. Budući da je Sokrat prenosio takve poruke svojim učenicima i pritom nije puno mario za vjerske dogme Atene, optužili su ga da kvari mladež i one koji se s njim druže. 3. Stvarni razlozi Sokratovog povlačenja sudom, njegovi tužitelji i neka svojstva sudskog postupka No, da li je doista ovaj vjerski motiv bio taj koji je potakao Sokratove tužitelje da podignu tužbu protiv njega? Odgovor se nameće sam od sebe. U stvari, motivi su bili politički, a vjerska pitanja bila su samo krabulja iza koje su skriveni pravi motivi. Radilo se doista ο uroti protiv filozofa

11 Giovanni Reale <φ>> Uvod Taj se tip sudskog procesa pokretao i izvršavao u Ateni nakon što je neki odgovorni potpisnik optužnice formalno izložio optužbu. U Sokratovom slučaju za optužbu je bio odgovoran Melet. Diogen Laertije (II, 40) nam donosi cjelovit tekst optužnice, kako ga navodi Favorin u djelu Metroon, a koji se čuvao u atenskom državr nom arhivu: "Melet, Meletov sin iz općine Pit, podiže ovu optužbu protiv Sokrata, Sofroniskovog sina iz općine Alopeke, i zaklinje se: Sokrat je kriv što ne priznaje bogove koje priznaje država i uvodi nova božanstva. Nadalje je kriv što kvari mladiće. Zahtijevam smrtnu kaznu." Kako se vidi, ovaj je tekst gotovo istovjetan s tekstom Platonovim i Ksenofontovim, koje smo spominjali u prethodnom poglavlju. Melet je bio predstavnik pjesnika (Obrana 23 E). No on je pjesnik bez uspjeha, koji je promicao pravni postupak protiv Sokrata, postajući tako igračka političara, poput pješaka na njihovoj ploči. Ovim poduhvatom želio je pribaviti sebi javno priznanje i uspjeh te postati poznat - sve ono što mu kao pjesniku nije uspjelo. U Eutifronu (2 C - 3 A) Sokrat, komentirajući optužbu koju je Melet protiv njegao podigao, opisuje ga na sljedeći način, doista s najoštrijom ironijom: "Kakvu optužbu? Onakvu koja će mu donijeti mnogo časti, čini mi se, jer je velika stvar da se netko tako mlad tako dobro razumije u tako zamršene stvari. On, tako naime tvrdi, razumije na koji se način kvari mladež i tko su ti koji je kvare. Mora da je Melet pravi mudrac! Uvidjevši moje neznanje i to da mu kvarim vršnjake, otišao je pred Grad i optužio me kao pred majkom. Od svih političara čini mi se da je jedino on pravilno započeo stvar. Dobro je prvo pobrinuti se da mladi postanu što je moguće boljima, isto kao što se dobar seljak prvo brine za mlado bilje, a potom za sve ostalo. Stoga će, mislim, Melet prvo srezati nas budući da upropaštavamo mladicu mladih ljudi, kako on to kaže. Pošto to obavi, vjerojatno će se pozabaviti i starijima tako da će, na kraju, za naš Grad postati dobročiniteljem naj- većih i najznačajnijih dobara, kao što se već može očekivati od nekoga tko je tako započeo svoju karijeru." Nije vjerojatno da je ovaj "prilično mlad i nepoznat čovjek" (Eutifron 2 B) mogao biti ista osoba ο kojoj Aristofan pripovijeda u Žabama (1303), budući da Aristofan spominje samo prilično poznate ljude. Radilo se ο nekom mladom avanturistu, propalici koji igra na neizvjesnu kartu. No, onaj koji je stvarno povlačio konce u tom postupku, bio je političar Anit: on je osmislio postupak i nagovorio Meleta da podigne optužbu. Stanovitu, ne baš beznačajnu, ulogu imao je također i govornik-političar Likon, koji je preuzeo obvezu da uredi i vodi postupke. Zapravo, ljudi, koji su se najviše bojali i prezirali Sokrata, bili su političari i to zbog njegovih britkih kritika koje su iznosile na vidjelo njihovo napuhano i tek prividno poznavanje stvari, sa svim lošim posljedicama koje ono povlači. Kasnije ćemo se vratiti na to. Evo što nam piše Diogen Laertije ο tom slučaju (II, 38): "mnogi su mu doista zavidjeli. A osobito stoga što je običavao izvrgavati ruglu one koji su imali visoko mišljenje ο sebi, kao, na primjer, Anit (...) On nije mogao podnijeti što ga Sokrat ismijava pa je prvo nahuškao protiv njega Aristofana i njegove prijatelje, a potom i Meleta da podigne optužnicu protiv njega zbog bezbožnosti i zbog kvarenja mladeži. Tužbu je podnio Melet (...) a sve potrebno pripremio je demagog Likon." Ovakav postupak, kakav je pokrenut protiv Sokrata i u kojem se tražila smrtna kazna, trebao se nužno obaviti, prema atenskim zakonima, tijekom jednoga dana. Kako smo već spomenuli, sudaca je bilo pet stotina i, osim njih, vrlo vjerojatno su bile nazočne mnoge druge osobe na sudilištu, koje su predstavljale atensko građansko tijelo. Ovim su se redom odvijali događaji toga dana. Poslije tužiteljevog govora riječ je dobio optuženik, koji se trebao braniti. Nakon toga došlo je do prvog glasovanja, u kojem su se suci morali odlučiti za kriv

12 Giovanni Reale < fe> Uvod <<φ> nju ili za oslobađanje. U slučaju da suci prihvate tužiteljev prijedlog, a tražila se smrtna kazna, atenski je zakon nudio optuženome da predloži alternativnu kaznu. Optuženik, sad već osuđenik, morao je stoga održati drugi govor u kojem bi uvjerio suce da ublaže kaznu i umanje je prema onoj koju je sam za sebe predložio. Potom su suci morali drugi put glasovati da bi se odlučili hoće li prihvatiti alternativnu osuđenikovu kaznu ili je pak odbiti. Ishod drugog glasovanja bio je konačan i nije podlijegao daljnjoj raspravi. U Sokratovom je postupku prvo glasovanje završilo ovakvim omjerom: njih 280 su glasovali da je kriv, dok su 220 glasovali da je nevin. Prema atenskom zakonu, da ih je samo 250 glasovalo da je nevin (dakle, samo 30 više), bio bi oslobođen. No ishod je drugog glasovanja bio poražavajući. Sokrat je, kao što ćemo vidjeti, umjesto da predloži alternativnu kaznu - kako su se mnogi nadali da će se zbiti - tvrdio da zavrijeđuje nagradu umjesto kazne. Zbilo se da su potom 360 sudaca glasovali protiv njegovog prijedloga, dok su svega 140 bili za to. U tom trenutku optuženik više nije imao pravo govoriti. No Sokrat je, iskoristivši činjenicu da su službenici bili zauzeti obavljanjem sudskih procedura, pa je stoga ostalo nešto vremena do trenutka kad ga se trebalo odvesti u zatvor (usp. Obrana 39 E), održao oproštajni govor. 4. Kriteriji i dramaturška struktura kojima se Platon poslužio u ( Obrani Sokratovoj" Pri pisanju Obrane Sokratove Platon se mogao poslužiti čitavim nizom osobito zanimljivih i učinkovitih pripovjedačkih sredstava: od navođenja obrazloženja u govorima tužitelja, do opisa dvaju glasova- nja i različitih reakcija prisutnih gledatelja te, osobito, sudaca, i opisa Sokratovog ponašanja za vrijeme stanki, tijekom glasovanja itd. Mogao se okoristiti barem nekolicinom "intermezza", međuigara, koje je u svojim drugim dijalozima iskoristio upravo majstorski. No, umjesto svega toga, on je lišio tekst svih opisa i pojedinosti i usredotočio se na "događanje" u samim Sokratovim govorima i na njihov sukus i sadržaj. Čak dapače: tako je usko povezao sva tri govora da bi se neki čitatelj, koji nije upućen u način kako se postupak protiv Sokrata odvijao, mogao lako zbuniti misleći da se zapravo radi ο jednom jedinom govoru. Međutim, između jednog i drugog govora moralo je proći dosta vremena; imajmo na umu da je 500 sudaca trebalo glasovati i njihovi su se glasovi trebali prebrojiti. Platon ubrzava to vrijeme i s velikom umjetničkom vještinom i učinkovito spaja jedan Sokratov govor s drugime, razdjeljujući ih samo moćnim dramaturškim udarcem sadržanim u jednostavnom prizivanju na ishod glasovanja. Prvi govor završava ovim riječima (35 D): "(...) prepuštam vama i bogu da prosudite kako bi bilo najbolje za mene i za vas." I odmah potom, umjesto da se opisuje prvo glasovanje, tekst se nastavlja: "Ima puno razloga, Atenjani, zašto nisam ozlojeđen nad ovim što se zbilo - da ste me glasovanjem osudili (...)" Na isti način završava i drugi govor (38 B): "Neka budem, dakle, kažnjen tom količinom [novaca], a oni će vam biti pouzdani jamci za taj iznos." A treći govor započinje iznenada, poput drugog, bez spomena na drugo glasovanje: "Ne želeći čekati kratko vrijeme, Atenjani, [koliko mi je još ostalo vremena do kraja života], steći ćete loš glas i prijekor onih koji žele ocrniti naš grad jer ste pogubili Sokrata, čovjeka mudra." Platon izlučuje, na izvrstan način, sva sporedna događanja i sve pojedinosti da bi mogao bolje i temeljitije promotriti osnovne ideje

13 Giovanni Reale Ovdje valja spomenuti odjeljak iz von Humboldtovog dnevnika, kojim se s pravom mogu objasniti životi velikih ljudi, a pogotovo je primjenjiv na Sokrata (Tagebucher II 452): "U čovjeku postoji, kao i u svakom drugom živom biću, stanoviti dio koji pripada samo njemu i njegovom slučajnom postojanju, koji umire zajedno s njime budući da ostaje doista nepoznat ostalima. Nasuprot tome, postoji u njemu i drugi dio s pomoću kojega se čovjek povezuje s nekom idejom, koja se u njemu izražava osobitom jasnoćom, i koju taj čovjek simbolizira. Čak bi se moglo razlikovati ljude prema činjenici da su obični ljudi samo simboli misli svoga roda (...), dok veliki i izvanredni ljudi simboliziraju neku ideju, do koje se može doći samo zato jer je oni predstavljaju svojim životom." Upravo je to Platon izrazio u Obrani Sokratovoj: naglasio je ideju, koju je simbolizirao Sokrat, i koja se može dohvatiti u onolikoj mjeri u kojoj ju je Sokrat simbolizirao svojim životom. U tim trima govorima, međusobno usko povezanim, pročitat ćemo upravo izlaganje te ideje sa svim svojim posljedicama i učincima. stvorili ο njemu lošu sliku, koja se na ovaj ili onaj način rasprostranila. Na drugom mjestu dolaze pravi Sokratovi tužitelji, koji su ga doveli na sud, a osobito Melet. Sokrat pobija njihove optužbe. Nakon toga Sokrat prikazuje jezgru svoje filozofske misli i objašnjava smisao svog poziva. Na to se izravno nadovezuje četvrti dio, kojemu je cilj prikazati društvene i obrazovne posljedice svoje misli i poziva. Na kraju ovog svog govora Sokrat ne traži od sudaca milost već pravičnost. Čitatelju, koji ne slijedi pažljivo ovu zamršenu artikulaciju govora, mogla bi promaći Sokratova poruka u svoj njenoj važnosti. To je ujedno i razlog zašto smo umetnuli u tekst podnaslove i ostale tipografske olakšice, kako bismo naglasili na najbolji način strukturu i dramaturški ritam*. Istražimo svaki od ovih ključnih pojmova na sintetički način. 6. Prvi Sokratovi tužitelji 5. Struktura prvog govora Sokratov prvi govor, koji zapravo sadrži njegovu pravu obranu, dulji je, sadržajniji i zamršeniji, dok druga dva objašnjavaju neke posljedice koje proizlaze iz prvog. Taj se govor temelji na četiri ključna pojma: prije svega, nakon kratkog uvoda namijenjenog objašnjenju metode kojom će se služiti u obrani, Sokrat proziva svoje prve tužitelje - ne one koji su pokrenuli postupak protiv njega, već one koji su priredili teren iz kojega je poslije nastala formalna optužba. Ovi su ga prvi tužitelji ozloglasili, Prvi Sokratovi tužitelji su oni koji su poistovjetili Sokratovu misao s mišljenjima filozofa prirode i sofista. Vjerovali su, pobrkavši njegovo razmišljanje s razmišljanjem nekih filozofa prirode, da proučava stvari na nebu i ispod zemlje, svojim mudrovanjem stvara zbrku među zdravorazumskim ljudskim pogledima, da, na primjer, poriče božanstvenost Suncu i Mjesecu, tvrdeći da su oni samo od kamenja i zemlje spravljeni. A osobito su vjerovali, * U "Demetrinom" izdanju naslovi su stavljeni na početak svakog od tri dijela "Obrane", a podnoslovi se nalaze na desnoj margini prijevoda (D.S.)

14 Giovanni Reale pobrkavši ga sa sofistima, da podučava kako snagom govora prikazivati stvari jakima i bitnim, koje su same po sebi slabe i beznačajne, i obrnuto. Bio je to upravo Aristofan, koji je u svojoj komediji Oblaci više od svih drugih pridonio tome da se učvrste ovakva uvjerenja kod ljudi, koji su Sokrata pobrkali s prije navedenim filozofima. No, u stvari, Sokrat je sve samo ne mudrac u istom značenju te riječi kako su je za sebe svojatali filozofi prirode i sofisti. On za sebe izrijekom priznaje da posjeduje "ljudsku mudrost", odnosno, mudrost koja je posve svjesna svoje krhkosti isto kao i nestalnosti samih stvari na koje se odnosi. Ali kako to da je Sokrat stekao tako rasprostranjenu reputaciju da je mudrac? Ta se glasina proširila nakon odgovora delfijskog proročišta. Sokratov prijatelj Herefont pitao je jednog dana proročicu Pitiju u Delfima tko je najmudriji u cijelog Grčkoj. I proročica ja na to dala sljedeći odgovor, koji je za Grke bio simboličan: "Sokrat je najmudriji od svih ljudi." Ali što je delfijski bog htio reći tom tvrdnjom, jer Sokrat je smatrao da zna samo jednu jedinu stvar, a to je da ništa ne ζηαί Kako bi, dakle, objasnio proročki odgovor, Sokrat je počeo pažljivo proučavati sve one koji su se, prema općem sudu, smatrali mudrima: političare, pjesnike i obrtnike-umjetnike. Ali političari, stavljeni na ispitivanje, pokazali su se sve samo ne bliski onoj mudrosti za koju se općenito tvrdilo da je imaju. Pošto je prepričao prvo ispitivanje, kojem je bio podvrgnuo jednog od najpoznatiji političara svoga doba, a koji je pokazao da on samo misli da je mudar, dok u stvari uopće nije, Sokrat zaključuje (21 D): "Odonda me on zamrzio, a i svi oni koji su bili uz njega. Odlazeći od njega, ovakve sam misli prevrtao:»od ovog sam čovjeka mudriji - izgleda naime da niti jedan od nas dvojice ne zna ništa, niti što je dobro niti što je lijepo. Samo što ovaj misli da nešto zna, dok u stvari ne zna ništa, dok ja, budući da ništa ne znam, niti mislim da išta znam. Izgleda da sam doista samo u ovoj sitnici mudriji od njega: da ne mislim da znam ono što ne znam«γ Kad je došao red na pjesnike, pokazalo se da niti oni, podvrgnuti ispitivanju, ne znaju upravo one stvari ο kojima pišu. Oni sastavljaju svoje pjesme ne na temelju preciznog poznavanja, već prema nekom prirođenom daru, upravo prema nekakvoj božanskoj inspiraciji, kakvu sličnu imaju proroci i gataoci. Sokrat na posljetku zaključuje (22 C): "Učinilo mi se da se slična stvar događa i pjesnicima, i u isti mah sam shvatio da oni, zbog svojih pjesama, smatraju sebe najmudrijima od svih ljudi - u ovim a i u drugim stvarima u kojima to ne bijahu. Odoh dakle i odavde, misleći da nad njima imam istu prednost kao i nad političarima." Na posljetku su došli obrtnici-umjetnici, vještaci u svom zanatu. I oni, podvrgnuti ispitu, pokazali su da doduše posjeduju neka specifična znanja ο onome što proizvode, ali pritom je svatko od njih bio uvjeren, upravo zbog ovih specifičnih znanja, da je također i mudar u stvarima koje nisu imale nikakve sveze s onima u kojima su bili vješti. I ο njima Sokrat zaključuje (22 D-E): "Međutim (...) učinilo mi se da pjesnici i naši dragi obrtnici čine istu grešku: zbog toga što dobro obavlja svoju vještinu svaki pojedini od njih se smatra [ujedno] najmudrijim i u ostalim najvažnijim stvarima - i upravo ova nadutost zasjenjuje onu mudrost [koju već posjeduju]. Zbog toga sam sebe upitah nad proročanstvom: mogu li prihvatiti stanje u kojem se nalazim, odnosno da nisam niti mudar kako su oni mudri, niti neznalica kakvi su oni neznalice, ili sam pak poput njih, odnosno da posjedujem i njihovu mudrost i njihovo neznanje. I odgovorih sam sebi i proroštvu da je meni korisnije biti onakav kakav jesam."

15 Giovanni Reale <φ>> Uvod Ali, što je onda proročište poručilo kad je reklo da je Sokrat najmudriji od svih ljudi? Proročište je poručilo da je jedino bog mudar, dok ljudska mudrost vrijedi malo ili ništa. Stoga, pravi je mudrac onaj koji je, poput Sokrata, shvatio kako je krhka i ograničena ljudska mudrost. Stoga, zaključuje Sokrat (23 A-B): "Zapravo je ovako, ljudi: jedino je bog mudar i upravo je to što proročište poručuje - ljudska mudrost ne vrijedi mnogo, zapravo ne vrijedi ništa. Netko bi pomislio da se bog obraća upravo Sokratu, ali bog je iskoristio moje ime kao primjer želeći reći:»najmudriji od vas, ljudi, je onaj koji je,poput Sokrata, saznao da mu vlastita mudrost uistinu ne vrijedi ništa.«" I upravo se na taj način proširio glas da je Sokrat vrlo mudar čovjek i, kao posljedica, navukao je na sebe mržnju svih onih koje je bio ispitivao i razotkrio nemudrima, a isto tako, u drugu ruku, stekao je naklonost mladih, koji su se povodili za njim u ispitivanju navodnih mudraca. 7. Druga skupina tužitelja Drugu su skupinu tužitelja sačinjavali začetnici optužbe: Anit, Likon, a osobito Melet. Jasna je i kategorična obrana koju Sokrat izriče na obje točke optužbe (da kvari mladež i da ne vjeruje u bogove). Na prvome mjestu, da bi se optužilo nekoga da kvari mladež i time stavlja na kocku cijelo njihovo obrazovanje, mora se najprije dobro znati što je to obrazovanje ljudi. Trebalo bi znati što mlade ljude obrazuje, a što ih upropaštava. Ali Melet, pošto ga je Sokrat prozvao da odgovori, zbunjuje se i protuslovi si, i na posljetku se pokaže da je prilično daleko od ikakvog znanja što je to obrazovanje. Prema tome, Melet optužuje Sokrata da kvari mladež, a da pritom sam ne zna one stvari na kojima se temelji optužba. U obrani protiv bezboštva Sokrat slijedi zaseban put. Optužnica kaže da Sokrat ne poštuje bogove koje poštuje država i da uvodi nova božanstva. Ο prvom dijelu optužbe Sokrat ne raspravlja. Mogao je reći iste one stvari koje je, prema Platonu, izrekao u Eutifronu, a koje smo već prije spomenuli. Očito je da ga mnogi pritom ne bi bili shvatili i, da je iznosio svoje argumente, iako dobro osnovane, svakako bi bio potvrdio optužbu, odnosno da ne priznaje bogove koje priznaje država. Sokrat stoga uzdiže svoju obranu na jednu još efikasniju i dijalektički uvjerljiviju razinu. Pita Meleta, kad ga optužuje za bezboštvo, znači li to da ga optužuje da je potpuni bezbožnik, odnosno kako uopće ne vjeruje da ima bogova. Meletov odgovor je suh i potvrdan. No, taj odgovor otvara Sokratu lijepu priliku da pokaže kako optužba sama sebi protuslovi: ona Sokrata okrivljuje da ne vjeruje u bogove, u koje vjeruje atenska država, a istodobno da uvodi nove bogove. Prema tome, okrivljuje Sokrata za dvije stvari istodobno: da uopće ne vjeruje u bogove i da vjeruje u bogove. Besmisleno je misliti da bi netko mogao biti potpuni ateist i istodobno uvoditi nove bogove u državni ritus. Opužbe protiv Sokrata su, stoga, nedosljedne i nesuvisle u svakom pogledu. 8. Sokratove filozofske poruke i njegovi osnovni pojmovi; čovjek je duša i glavni je cilj ljudskog života briga oko duše Gore smo spomenuli, navodeći von Humboldtov odlomak, da su veliki i izvanredni ljudi oni koji otjelovljuju neku ideju i odjelotvore 22 30

16 Giovanni Reale <φ>> Uvod je svojim životom. Glavna Sokratova ideja, koju je on odjelotvorio, sastoji se u otkriću čovjekove biti i njene povezanosti s temeljima moralne filozofije. Cilj je Sokratovog filozofiranja, odnosni ciljevi ispitivanja i mnogostrukih istraživanja kojima je podvrgavao svoje sugovornike, ovo: pokazati da je čovjekova bit u njegovoj vlastitoj duši (odnosno u njegovoj psyche), isto tako i u njegovom razumu, što pritom znači u njegovoj mogućnosti da razumije i razabire, da hoće. U stvari, prema Sokratu, čovjek se previše bavi onime što ima, a premalo onime što jest. Kako bi uzmogao biti ono što jest prema svojoj biti, čovjek se ne bi smio previše baviti vlastitim tijelom, imovinom i društvenim uspjehom, već bi se trebao posvetiti svojoj duši da je učini što je moguće boljom, jer ο njoj ovisi sve što u životu vrijedi. Pojam duše i bavljenja dušom sačinjavaju osovinu Sokratove misli. U Obrani možemo pronaći stranicu gdje se ta Sokratova poruka razlaže na doista sjajan način (29 D - 30 B): "O Atenski muževi, ja vas poštujem i volim, ali radije ću se pokoriti bogu nego vama, i dok god dišem i imam snage, neću prestati tragati za mudrošću, poticati vas i opominjati na svoj uobičajen način; gdje god naiđem na nekoga reći ću mu: Ό dragi moj čovječe, Atenjanin si, iz najvećeg i najslavnijeg po mudrosti i snazi grada, zar se ne stidiš baviti se zgrtanjem što je više moguće novca, isto tako i slave i časti, dok ti nije stalo do mudrosti i istine: nije li ti stalo da ti duša postane najboljom?' I ako netko od vas zaniječe [da mu je stalo do novca, slave i časti] i kaže da mu je stalo [do mudrosti, istine i duše], neću ga smjesta pustiti i otići, nego ću ga propitkivati, ispitivati i sumnjičiti. I ako mi se učini da nije stekao vrlinu, a kaže da je ima, ukorit ću ga da ono najvrednije cijeni ponajmanje. I tako ću se ponašati sa svakim na koga naletim, s mladim ili starim, strancem ili domaćim, a pogotovo s [vama] građanima jer ste mi najbliži po rodu. To [mi] zapovijeda bog, vi to dobro znate, i ja smatram da za vas još nikad nije bilo većeg dobra nastalog u gradu do ove moje službe božje. Ja ću odlaziti od jednog do drugog od vas, ne čineći ništa drugo nego pokušati vas nagovoriti, i mlađe i starije, da se ne brinete niti oko tijela niti oko novca tako revno kako treba da se brinete da duša postane najboljom, i govorit ću vam: 'Ne dolazi vrlina čovjeku od novca, nego se po vrlini stječe bogatstvo - a isto tako i sve ostale stvari, i obične i javne, postaju [samo po vrlini] dobro za ljude'." Mnogo je energije utrošeno da bi se shvatila ova Sokratova poruka, a mnogi još uvijek ostaju u nedoumici oko njene interpretacije. Uputimo one koji se žele udubiti u taj problem na Povijest antičke filozofije (Storia della filosofia antica, Vita e Pensiero, Milano, svezak I. str i dalje), a ovdje ćemo se usredotočiti samo na neke osnovne primjedbe. Sljedeći odlomak iz knjige Wernera Jaegera Paideia može nam osobito poslužiti u razjašnjavanju Sokratove poruke i vrijedno je porazmisliti nad njime (Paideia II, str. 88. Gruyter Verlag, 1954): "Posebno je upečatljivo da Sokrat, kod Platona kao i kod drugih sokratika, kad izgovara riječ 'duša', naglašava je na osobito silovit način i čini se kao daje obavija strastvenim i poticajućim tonom, kao da zaziva. Grčke usne, nikad prije njega, nisu izgovorile tu riječ na takav način. Posjeduje zvuk nečega poznatog s druge strane; i istina je da se ovdje po prvi put u zapadnoj civilizaciji pojavljuje ono što mi danas na isti način izgovaramo (...). Za nas riječ 'duša', zahvaljujući duhovnim utjecajima tijekom povijesti, uvijek odjekuje s etičkim i religioznim prizvukom, poput nekih drugih riječi, kao npr. 'služba bogu' i 22 32

17 Giovanni Reale Uvod < > 'briga oko duše'; ona odjekuje kršćanski. Ali ovo staro značenje ta je riječ poprimila prvi put u Sokratovom obrambenom govoru." Da je tome tako svjedoči cijeli niz dokumenata, koje zainteresirani čitatelj može pronaći u Povijesti antičke filozofije I, str Ovo što smo do sad rekli trebalo bi dostajati da pokažemo važnost i doista revolucionarnu dalekosežnost Sokratove poruke. Stoga sad možemo bolje razumjeti posljedice i učinke koje je proizvela ova poruka, i koje isto tako Sokrat pokušava razjasniti svojim sucima. Djelatnost, kojom se on bavi, treba shvatiti kao ostvarenje zadaće koju mu je namijenio bog; zapravo se radi ο pravom poslanstvu. Njegova je poruka trebala djelovati kao obrazovni poticaj uspavanome gradu i stoga možemo reći da je njegova poruka imala prvenstveno društvenu i visoko moralnu zadaću. ma izbjeći kaznu, već se trebaju iznijeti dokazi i uvjeriti ga. Sudac nije postavljen zato da poklanja pravdu, nego da sudi po pravdi, i zakleo se da neće dijeliti milost kako mu se čini, već da će suditi prema zakonima. Ne smije [doći do toga da] se naučite na krivokletstvo, a niti sami sebe ne smijete na to naviknuti jer inače nitko od nas neće postupati pobožno." Sokrat još više naglašava ovu misao, podsjećajući kako bi to, ako se izađe pred suce s molbama da bi se izbjegla kazna i preklinjući ih da je ublaže, moglo navesti ljude da ne vjeruju u one bogove u koje su se bili zakleli i na taj način bi upali u onu grešku zbog koje je Sokrat bio optužen, tj. da ne vjeruje u bogove. Evo što on zaključuje: "O ljudi Atenjani, ja vjerujem u bogove kao nitko od mojih tužitelja, i prepuštam vama i bogu da me prosudite kako bi bilo najbolje za mene i za vas." 9. Zaključci prvog govora Zaključci do kojih Sokrat dolazi pred kraj svog prvog govora nisu lako shvatljivi modernom čitatelju u svoj svojoj važnosti. Trebali bismo predočiti jedan onovremeni običaj, sasvim se prebaciti u daleka nam vremena. Bijaše to običaj da optuženik dovodi u sudnicu svoju obitelj, osobito žene i djecu, isto tako i rođake i prijatelje, eda bi potaknuo što je moguće više sažaljenja i izazvao milosrđe. Sokrat se suprotstavlja tom običaju, bez obzira na nepovoljne posljedice koje će proizaći od njegovog suprotstavljanja, iz svojih najdubljih moralnih pobuda i zasada. Evo što on kaže, doista izvanredno, za gotovo razarajući običaj koji se do tada držao nedodirljivim (35 B-C): "Ljudi! (...) ne čini mi se pravednim preklinjati suca i molba- 10. Drugi govor i strukturalni preokret razina: Sokrat izlaže svoju poruku i s tim povezano svoje djelovanje; kaže da je to vrijedno ne kazne već nagrade Drugi govor, onaj poslije prvog glasovanja kad su Sokrata proglasili krivim i osudili na smrt, u kojem je Sokrat trebao predložiti alternativnu kaznu, kratak je, ali srčan i oštar. Kad netko traži alternativnu kaznu, upravo zbog toga što je traži, smatra se krivim. Prema tome, tražeći alternativnu kaznu, pokušava ograničiti važnost svoje krivice i na taj način postići ublaženu kaznu. Ali Sokrat se ne smatra krivim ni na koji način. Čak štoviše, kako smo vidjeli, djelo kojim se bavi smatra božanskom zadaćom i na taj način čini dobro gradu

18 Giovanni Reale < fe>> Uvod Prema tome, njegov prvi alternativni odgovor, umjesto da promatra stvari s gledišta krivca, okreće naglavce cijelu situaciju: umjesto osuđenikove, u kojoj se nalazio, on se stavlja u situaciju građanina dobrotvora, koji bi trebao dobiti nagradu za ono što je učinio. Evo što kaže (36 D - 37 A): "Što sam, dakle, zavrijedio budući da sam takav? Nekakvu nagradu, Atenjani, ako se treba prosuditi ono što sam uistinu zavrijedio. Da, upravo takvu nagradu kakva mi dolikuje. Što dolikuje siromašnu čovjeku, vašem dobročinitelju, kojem je potrebna samo dokolica, eda bi vas poticao? Nema ničega, Atenjani, što bi takvom čovjeku više pristajalo nego hraniti se na državni trošak u pritaneju - puno više nego itko od vas tko je pobjedio u konjskim utrkama, ili u dvosjedu ili četverosjedu na olimpijskim igrama! Taj vam naime daje privid sreće, dok vam ja dajem pravu sreću. I dok njemu hrane ne manjka, meni manjka. Ako me,dakle, treba pravedno kazniti kako sam zavrijedio, onda tražim da budem kažnjen tako da dobivam hranu na državni račun u pritaneju." Vrlo je vjerojatno da se većina onih, koji su glasovali protiv Sokrata, nadala kako će on, suočen sa smrtnom kaznom, predložiti zatvor ili progon, ili već kakvu drugu kaznu koja bi spriječila njegovo javno govorenje. Time bi političari u potpunosti postigli svoj cilj, odnosno Sokratu zatvorili usta. Ali, Sokrat kategorički to odbacuje i to s dva razloga: Prvo, kad bi šutio, ne bi mogao obavljati zadaću koju mu je bog namijenio, izbjegao bi poslanstvo koje mu je povjereno. Drugo, ne bi mogao živjeti prema vlastitim zasadama uvjeren ο važnosti filozofiranja. Evo što zaključuje (37 Ε - 38 A): "čovjeku je najveće dobro svakog dana raspravljati ο vrlini i ο drugim stvarima, ο kojima ste me čuli da razgovaram i [vidjeli] kako istražujem samog sebe i propitkujem druge, (...) život bez propitkivanja i istraživanja nije vrijedan življenja." Ali su prijatelji, na čelu s Platonom, nagovarali Sokrata da predloži kaznu od 30 mina, koju su bili spremni platiti kako bi ga oslobodili. To Sokrat predlaže, prijateljima za volju, no teška srca i bez pravog uvjerenja. 11. Treći govor i konačan preokret razina: Sokrat se izdiže iz svoje pozicije tuženika i preuzima ulogu suca nad svojim sucima Poslije drugog glasovanja i konačne odluke na smrt, Sokrat je održao oproštajni govor. Možemo ga podijeliti u dva dijela: prvi je namijenjen onima koji su ga osudili na smrt, a drugi onima koji su glasovali za njegovo oslobođenje. Onima koji su ga osudili (a bilo ih je 360) Sokrat priopćuje dvije važne poruke. Prvo, uspoređuje smrt i zloću predočujući sjajnu i dirljivu igru slikama. Nije uistinu teško pobjeći smrti, već pobjeći zloći, jer ona trči puno brže od smrti. Stoga je i njegove tužitelje, spremne i žustre, dosegla brža zloća, dok je Sokrata, slabog i polakog, dosegla sporija smrt. Evo kako nam se slike otvaraju nad tim dubokim pojmovima (39 B): "Sad odlazim [sa suda pošto] ste me vi osudili na smrt, a njih je pak osudila sama istina zbog pokvarenosti i nepravednosti [- pa neka krenu i oni]. Ja očekujem svoju kaznu, a oni svoju." Drugo, on im daje proročanstvo. Sucima, koji su ga osudili u nadi da će se zauvijek osloboditi onog koji ih je natjeravao da polože račun ο vlastitom životu, zbit će se upravo suprotno: u budućnosti će biti mnogih koji će činiti isto što je on prije činio, i bit će tim oštriji čim će biti mlađi. Evo, to su proročki zaključci onima koji su ga osudili (

19 Giovanni Reale < fe^> Uvod D): "Ako držite da ćete time što ubijate ljude spriječiti nekoga da vam prigovori da ne živite pravo, niste to dobro smislili; na taj način izbjeći [položiti račun ο svom životu] nije niti moguće niti lijepo. Najbolji i najbrži je put onaj kojim pokušavate sami sebe učiniti što je moguće boljima, a ne tako da ušutkate drugoga. To je moje proročanstvo vama, koji ste me osudili, i tako sam s vama gotov." Ovaj je svjetonazor istinski i izvanredno važan: ubojstvom čovjeka ne može se ubiti ideja koju je stvorio i odjelotvorio, ako je ta ideja ujedno njegova životna ideja. Ako ta ideja dodiruje dno istine, ona se samo učvrsti smrću onoga tko ju je podržavao. Onim pak sucima, koji su ga oslobodili (njih je bilo 140), Sokrat upućuje poruku s općim razmišljanjima ο smrti i njenom smislu. Sokrat nije mogao imati precizne filozofske ideje ο besmrtnosti duše jer one podrazumijevaju metafizičke spoznaje do kojih je došao tek Platon. (Kako smo već spomenuli, u Fedonu, djelu u kojemu Sokrat govori ο poznatim dokazima ο besmrtnosti duše, Platon nam nedvojbeno daje do znanja da je tu lik Sokrata dramaturška krabulja, kojom prikriva vlastito lice.) Mora da je Sokratovo stajalište bilo upravo ono koje je iznio u Obrani. S racionalnog gledišta može se reći da je smrt jedna od ovih dviju stvari: ili svojevrsna vječna noć, odnosno nešto poput odlaska u apsolutno ništavilo, ili pak prijelaz u neki drugi život, na neko drugo mjesto, gdje su pravi suci i gdje se nalaze svi ostali umrli, besmrtni, gdje se živi sretnim životom. U oba ova slučaja smrt je zapravo dobit: u prvom slučaju nestankom svih stvari nestaje i patnje; u drugom se slučaju prelazi u blažen život. Sokrat je svakako bio sklon vjerovati, nečime što bismo mi danas nazvali vjerom, u onozemaljski život, dok je s racionalnog gledišta bio uvjeren da istinu ο tim stvarima ne poznaje ljudska, već samo božan- ska mudrost. Posljednje riječi Obrane su dojmljive: "Međutim, sad je došlo vrijeme da pođemo: ja idem u smrt, a vi nastavljate živjeti. Tko će od nas bolje proći, ostaje zakrito svakome osim bogu." U jednoj prethodnoj rečenici Sokrat izražava svoje duboko uvjerenje (41 D): "nije moguće da dobar čovjek, niti u životu niti poslije smrti, pretrpi ikakvo zlo: prema sudbini dobrog čovjeka bogovi nisu ravnodušni." Dobro je istinita dimenzija apsoluta. 12. Sokratova smrt Smrtna kazna nad Sokratom nije bila izvršena neposredno nakon sudskog postupka, već više od mjesec dana kasnije. Bio je, naime, u Ateni običaj da se od dana kad je bila poslana ovjenčana lađa kao zavjet bogu Apolonu na otok Del, pa sve do njenog povratka, nije smjela izvršiti ni jedna smrtna kazna. U Fedonu Platon objašnjava (58 Α-C): "Tim se brodom, kako pričaju Atenjani, jednom vozio Tezej, vodeći na Kretu onih sedam mladića i djevojaka [koji su svakih devet godina trebali biti žtrvovani Minotauru u Labirintu]. No, on je spasio i sebe i njih. Priča se da su se Atenjani zavjetovali Apolonu da će, ako se ovi mladi ljudi spase, svake godine slati na Del svečano poslanstvo, koje oni svagda i još sad svake godine šalju bogu. A kad jednom započne taj blagdan, običaj je kod Atenjana da im za to vrijeme grad bude čist i da se nitko u državno ime ne smije pogubiti sve dok je lađa na putu za Del i dok se ne vrati natrag. Ponekad to traje dugo vremena, ako slučajno lađu zadrže vjetrovi. Početak svetkovine je dan kad Apolonov svećenik ovjenča krmu na lađi. To se zbilo, kako rekoh, jedan dan prije izricanja presude. Stoga je Sokrat morao provesti toliko vremena između osude i smrti." 38 39

20 Giovanni Reale <φ>> Uvod Kako nam je ostalo zabilježeno, u tom razdoblju (dok je Sokrat čekao izvršenje smrtne kazne) prijatelji su ga više puta preklinjali da pobjegne iz zatvora, što ne bi bilo teško izvedivo u tadašnjoj Ateni, uz pomoć prijatelja. Dijalog Kriton predstavlja posljednji od takvih pokušaja sa strane Sokratovog najdražeg prijatelja iz mladosti. Ali, prema Sokratovom mišljenju, poštivanje zakona, čak i ako je taj zakon krivo usmjeren, mora biti neprikosnoveno. Njegov je izbor stoga bio ostati u zatvoru i čekati izvršenje smrtne kazne. U dijalogu Fedon možemo čitati ο posljednjim Sokratovim satima, sve do trenutka kad ispija kukutu i umire. Riječi, koje Platon stavlja u usta samom Sokratu, kad je već bio gotovo mrtav i većim dijelom tijela ukočen od otrova, riječi, koje nam odjekuju kao da dolaze s onoga svijeta, izražavaju Sokratovu zadnju poruku na doista značajan način (118 A): "Kritone, dugujemo pijetla Asklepiju. Prinesite ga, nemojte zaboraviti!" Asklepije je bio bog liječništva. Stari su mu običavali žrtvovati pijetla kao zahvalnicu kad bi se izliječili od neke bolesti. Smrt se može, ako postoji nešto s one strane, shvatiti upravo kao oslobađanje tijela od njegovih zala, stoga kao svojevrsno iscjeljenje. I stavljajući Sokratu u usta te riječi, upravo u trenutku kad se već čini mrtvim, Platon nam ga predočuje kao da dolazi s druge strane još jednom u ovozemaljski život, eda bi nam prenio svoju zadnju poruku, u koju je siguran jer već dodiruje drugu stranu i utvrđuje da doista ima nečeg onkraj ovog života. 13. Reakcija Atenjana na Sokratovu smrt Atenjani su burno reagirali na Sokratovu smrt: gorko su se kajali, objavljivali žalost u gradu, osuđivali suce, odavali počasti filozofu. Diogen Laertije se osvrće na to (II43): "Sokrat ne bijaše više među ljudima. I istom potom Atenjani se pokajaše, zatvoriše vježbališta i škole. Druge osudiše na progonstvo, Meleta na smrt, a Sokratu su odali počast tako da su mu podigli brončani kip koji su postavili na Pompej; kipar je bio Lisip. Istoga dana kad se vratio, Anita su prognali stanovnici Herakleje." Drugi izvori spominju da je i Anit bio osuđen na smrt. Ali gotovo sigurno se radi ο pretjerivanjima. Plutarh je zapisao (Zavist i mržnja 8): "Sokratove su klevetnike, budući da su bili nagnani do krajnosti pakosti, atenski građani do te mjere zamrzili da im nisu htjeli dati vatre, niti odgovariti na njihova pitanja, niti su se htjeli kupati u istim kupeljima gdje su oni boravili, prisiljavajući namještenike da izlijevaju vodu u kojoj su se prali, kao da je bila zagađena. U jednom su se trenutku oni objesili, ne mogavši više podnositi tu mržnju." Vjerojatniji su podaci koje nam ostavlja Diogen Laertije. Čak i tekst, koji je stajao na brončanom kipu što gaje podigao Lisip, sasvim nam je prihvatljiv, iako mora da se podizanje tog kipa zbilo nekoliko desetljeća poslije Sokratove smrti, kako su to znanstvenici ustvrdili (usp. G. Richter, ThePortraits ofthe Greeks, London, 1965, vol. II, str i dalje). Diogen kaže da su se Atenjani smjesta pokajali, ali ne kaže da su odmah dali Lisipu da izradi kip u njegovu čast. Tako su Atenjani posvetili Sokratov lik na dostojan način. 14. Zaključak Već smo prije spomenuli (vidi odjeljak 4.) von Humboldtov tekst. Spomenimo još jednu misao, koju Camus zapisuje u Bilježnicama (II, 139): "Da bi neka misao promijenila svijet, mora prvo promijeniti život onoga tko je izriče. Da primjerom promijeni." 40 41

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 1

ELEMENTARNA MATEMATIKA 1 Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A

Διαβάστε περισσότερα

Teorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora).

Teorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora). UVOD U TEORIJU BROJEVA Drugo predavanje - 10.10.2013. Prosti brojevi Denicija 1.4. Prirodan broj p > 1 zove se prost ako nema niti jednog djelitelja d takvog da je 1 < d < p. Ako prirodan broj a > 1 nije

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK. Rši sism jdnačina: d 7 d d d Ršnj: Ša j idja kod ovih zadaaka? Jdnu od jdnačina difrniramo, o js nađmo izvod l jdnačin i u zamnimo drugu jdnačinu.

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R. Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva

Uvod u teoriju brojeva Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

šupanijsko natjecanje iz zike 2017/2018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova)

šupanijsko natjecanje iz zike 2017/2018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova) šupanijsko natjecanje iz zike 017/018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova) U prvom vremenskom intervalu t 1 = 7 s automobil se giba jednoliko ubrzano ubrzanjem

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A : PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

Reverzibilni procesi

Reverzibilni procesi Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα