ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Transcript

1 Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 1η Συνδυαστική-Σχέσεις-Συναρτήσεις Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η περαιτέρω εξοικείωση με τις σημαντικότερες μεθόδους και ιδέες της Συνδυαστικής και των Σχέσεων-Συναρτήσεων. Η εργασία πρέπει να γραφεί ηλεκτρονικά και να σταλεί με στον Σύμβουλο Καθηγητή σας το αργότερο μέχρι την Δευτέρα 10 Νοεμβρίου 2003, ώρα 13:00. Πρωτού αποστείλετε την εργασία στο Σύμβουλο Καθηγητή σας, βεβαιωθείτε ότι έχετε συμπληρώσει το ειδικό έντυπο (ΕΝΤΥΠΟ Α) στην επόμενη σελίδα. Οδηγίες προς τους φοιτητές: Στο έντυπο αυτό πρέπει να προσθέσετε τις απαντήσεις σας στο χώρο κάτω από το εκάστοτε ερώτημα εκεί όπου περιέχεται η φράση: την οποία μπορείτε να σβήσετε. Μπορείτε να διαμορφώσετε το χώρο όπως επιθυμείτε, και δεν υπάρχει περιορισμός στο πόσο χώρο θα καταλάβει η απάντησή σας.

2 ΔΕΛΤΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Το έντυπο αυτό που συμπληρώνεται και υπογράφεται από τον καθηγητή σύμβουλο για κάθε γραπτή εργασία, αποστέλλεται στο φοιτητή μαζί με α) αντίγραφο της διορθωμένης εργασίας και β) ξεχωριστό φύλλο με Σχόλια προς τον Φοιτητή. Αντίγραφο του Δελτίου Αξιολόγησης και των Σχολίων στέλνεται και στο Ε.Α.Π. Επίσης, ο καθηγητής κρατά για το δικό του αρχείο: α) την διορθωμένη εργασία και β) το φύλλο με τα Σχόλια. Σε περίπτωση που υπήρξε καθυστέρηση μεγαλύτερη των 7 ημερών για την παράδοση της γραπτής εργασίας, επισυνάπτεται το γραπτό σημείωμα του Συντονιστή της Θ.Ε. Ονοματεπώνυμο Φοιτητή <Όνομα> <Επώνυμο> Προσωπικός Αριθμός Φοιτητή <ΑΜ> Ημερομηνία Αποστολής της Εργασίας από το Φοιτητή Ημερομηνία Αποστολής Εργασίας στο Φοιτητή Βαθμολογία 0 Υπογραφή Καθηγητή Ονοματεπώνυμο Καθηγητή Σχολή Θετικών Επιστημών και Τεχνολογίας Θεματική Ενότητα Διακριτα Μαθηματικα και Μαθηματικη Λογική Κωδικός Θεματικής Ενότητας ΠΛΗ 20 Άυξων Αριθμός Γραπτής Εργασίας 1η Ακαδημαϊκό έτος

3 Κ Ρ Ι Τ Η Ρ Ι Α Α Ξ Ι Ο Λ Ο Γ Η Σ Η Σ Ερώτημα Μέγιστος βαθμός Βαθμός Συνολικός Βαθμός: Γενικά Σχόλια: <γενικά σχόλια για την εργασία από το Σύμβουλο-Καθηγητή>

4 Ε ρ ω τ ή μ α τ α Ερώτημα 1. Θεωρείστε τις συναρτήσεις f,g,h:z Z (Z το σύνολο των ακέραιων αριθμών) που ορίζονται ως εξής: f ( x) = x 1 g( x) = 3x 0, αν ο x είναι άρτιος h( x) = 1,αν ο x είναι περιτός Να εξετάσετε αν κάθε μία από τις παραπάνω συναρτήσεις είναι 1-1 ή/και επί και να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις που προκύπτουν από τις παρακάτω συνθέσεις: a) f g, g f, g h, h g, f ( g h), ( f g) h b) f f, f f f, g g, g g g, h h, h h h : / 10 Ερώτημα 2. Θεωρείστε το σύνολο Χ που αποτελείται από όλες τις δυνατές ακολουθίες τεσσάρων δυαδικών αριθμών (παράδειγμα 0010, 1010 κλπ). Ορίζουμε μια διμελή σχέση Σ επί του συνόλου X, έτσι ώστε (x,y) Σ αν μια ακολουθία 2 ψηφιών στο x ταυτίζεται με μια ακολουθία 2 ψηφίων στο y, όχι απαραίτητα στην ίδια θέση (για παράδειγμα το ζεύγος {0111, 1001} ανήκει στο Σ αφού και <Όνομα> <Επώνυμο>, 1η εργασία, ΠΛΗ 20 [ ] 1

5 στα δύο υπάρχει η ακολουθία 01, ενώ το ζεύγος {0000, 1111} προφανώς δεν ανήκει στη Σ). 1) Να υπολογιστεί ο αριθμός των στοιχείων του συνόλου Χ. 2) Να εξεταστεί αν η σχέση Σ είναι ανακλαστική, συμμετρική, αντισυμμετρική, μεταβατική, σχέση μερικής διάταξης. : / 5 Ερώτημα 3. Το ΤΖΟΚΕΡ είναι ένα παιχνίδι όπου κληρώνονται πέντε διαφορετικοί μεταξύ τους αριθμοί από το 1 έως το 45 (δεν παίζει ρόλο η σειρά κλήρωσης των αριθμών) και ένας ακόμη αριθμός τζόκερ από το 1 έως το 20 (ο αριθμός τζόκερ μπορεί να συμπίπτει με κάποιον από τους 5 αρχικούς αριθμούς). Οι αριθμοί που κληρώνονται αποτελούν τη νικήτρια στήλη του παιχνιδιού. Όταν λέμε ότι «ο παίκτης συμπληρώνει μία στήλη», αυτό σημαίνει ότι επιλέγει επίσης πέντε διαφορετικούς μεταξύ τους αριθμούς από το 1 έως το 45 και έναν ακόμη αριθμό τζόκερ από το 1 έως το 20 ευελπιστώντας ότι αυτοί θα συμπίπτουν με τους αριθμούς της νικήτριας στήλης. Να υπολογιστούν τα ακόλουθα: 1) Ο αριθμός των στηλών που πρέπει να συμπληρώσει κάποιος παίκτης ώστε να είναι απόλυτα σίγουρος ότι θα πετύχει τη νικήτρια στήλη σε κάθε περίπτωση. 2) Τον αριθμό των στηλών που πρέπει να συμπληρώσει κάποιος παίκτης ώστε να είναι απόλυτα σίγουρος ότι θα πετύχει τη νικήτρια στήλη στην περίπτωση όπου στην κλήρωση συμβούν ταυτόχρονα τα εξής: <Όνομα> <Επώνυμο>, 1η εργασία, ΠΛΗ 20 [ ] 2

6 - Από τους 5 αρχικούς αριθμούς ο ένας είναι μεταξύ του 1 και του 10, ο δεύτερος μεταξύ του 11 και του 20, ο τρίτος μεταξύ του 21 και του 30, ο τέταρτος μεταξύ του 31 και του 40 και ο πέμπτος μεταξύ του 41 και του 45 - Ο αριθμός τζόκερ είναι άρτιος. 3) Ας θεωρήσετε ότι κάποιος συμπληρώνει όλες τις στήλες που υπολογίστηκαν στο ερώτημα 2 και η κλήρωση τον ευνοεί, δηλαδή ικανοποιούνται όλες οι υποθέσεις του προηγούμενου ερωτήματος. Πόσες είναι οι στήλες που είναι απόλυτα επιτυχείς; Πόσες είναι οι στήλες που πετυχαίνουν τους 5 αρχικούς αριθμούς όχι όμως και τον αριθμό τζόκερ; Πόσες είναι οι στήλες που πετυχαίνουν τους 4 από τους 5 αρχικούς αριθμούς και τον αριθμό τζόκερ; : / 10 Ερώτημα 4. Υπολογίστε τον αριθμό των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους μπορούμε να τοποθετήσουμε n φοιτητές σε n θέσεις σε σειρά με την προϋπόθεση ότι για δύο συγκεκριμένους από αυτούς πρέπει να κάθονται υποχρεωτικά ακριβώς k φοιτητές ανάμεσά τους. Ποιό το αποτέλεσμα της άσκησης για n=10, k =3; <Όνομα> <Επώνυμο>, 1η εργασία, ΠΛΗ 20 [ ] 3

7 : / 10 Ερώτημα 5. 1) Σε μια εκλογική αναμέτρηση και σε ένα εκλογικό τμήμα το ψηφοδέλτιο ενός συγκεκριμένου κόμματος με 20 υποψήφιους βουλευτές ψήφισαν 300 ψηφοφόροι και κάθε ένας από αυτούς είχε τη δυνατότητα είτε να μη βάλει κανένα σταυρό είτε να βάλει έναν μόνο σταυρό σε ακριβώς έναν υποψήφιο. Σε κάποιο σημείο στη διάρκεια της καταμέτρησης υπολογίζεται ότι κάθε υποψήφιος βουλευτής έχει λάβει ακριβώς 10 σταυρούς, ενώ επίσης έχουν βρεθεί 10 ψηφοδέλτια του συγκεκριμένου κόμματος χωρίς να περιέχουν σταυρό. Να υπολογιστεί ο αριθμός των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους μπορούν να κατανεμηθούν οι υπόλοιποι σταυροί στους υποψήφιους βουλευτές. 2) Σε ένα τμήμα μιας αίθουσας που αποτελείται από n θέσεις στη σειρά πρόκειται να καθίσουν k φοιτητές για να εξεταστούν σε ένα μάθημα. Οι επιτηρητές θέλουν να φροντίσουν ώστε να μην κάθεται κάποιος φοιτητής ακριβώς δίπλα σε κάποιον άλλο. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν να το επιτύχουν; Ποιό το αποτέλεσμα της άσκησης για n=10, k =3; : / 15 <Όνομα> <Επώνυμο>, 1η εργασία, ΠΛΗ 20 [ ] 4

8 Ερώτημα 6. Έχουμε 5 μπλε μπάλες των 5 κιλών, 10 πράσινες των 2 κιλών και απεριόριστες κόκκινες μπάλες του 1 κιλού. Να γραφούν γεννήτριες συναρτήσεις που να υπολογίζουν τα ακόλουθα: 1) Τους διαφορετικούς τρόπους με τους οποίους μπορούμε να επιλέξουμε n μπάλες. 2) Τους διαφορετικούς τρόπους με τους οποίους μπορούμε να επιλέξουμε μπάλες που το συνολικό τους βάρος είναι n. : / 10 Ερώτημα 7. Μια ομάδα στη διάρκεια του πρωταθλήματος δίνει 30 αγώνες, όπου σε κάθε αγώνα αν κερδίσει παίρνει τρεις βαθμούς, αν φέρει ισοπαλία παίρνει ένα βαθμό και αν χάσει παίρνει 0 βαθμούς. Χρησιμοποιώντας γεννήτριες συναρτήσεις να υπολογίσετε τα ακόλουθα: 1) Τον αριθμό των δυνατών διαφορετικών συνολικών αποτελεσμάτων αν ο συνολικός αριθμός των νικών είναι περιττός, ο συνολικός αριθμός των ηττών είναι άρτιος, ενώ οι ισοπαλίες είναι τουλάχιστον 2 (ένα αποδεκτό συνολικό αποτέλεσμα είναι για παράδειγμα 7 νίκες, 16 ήττες και 7 ισοπαλίες). 2) Τον αριθμό των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους η συνολική βαθμολογία της ομάδας στο τέλος του πρωταθλήματος θα είναι 45 βαθμοί, με την προϋπόθεση οι νίκες να είναι περισσότερες από τις ήττες. <Όνομα> <Επώνυμο>, 1η εργασία, ΠΛΗ 20 [ ] 5

9 : / 15 Ερώτημα 8. Να γραφεί εκθετική γεννήτρια συνάρτηση που να υπολογίζει τον αριθμό των διαφορετικών διατάξεων μήκους n που μπορούν να δημιουργηθούν από τα γράμματα A, B, Γ, με τον περιορισμό ο αριθμός εμφανίσεων του Α να είναι περιττός και επίσης ο αριθμός εμφανίσεων του Β να είναι περιττός. Να βρεθεί ο αριθμός των διατάξεων για n=8. : / 10 <Όνομα> <Επώνυμο>, 1η εργασία, ΠΛΗ 20 [ ] 6

10 Ερώτημα 9. Η θεωρία μέτρησης Polya αναπτύχθηκε με σκοπό τον υπολογισμό των διαφορετικών μορφών (ισομερών) με τις οποίες μπορεί να υπάρξει στη φύση μια χημική ένωση. Στο ερώτημα αυτό καλείστε να εφαρμόσετε τη θεωρία Polya σε ένα τέτοιο πρόβλημα, που περιγράφεται στη συνέχεια: Το βενζόλιο είναι η χημική ένωση C 6 6 που αποτελείται από 6 άτομα άνθρακα και 6 άτομα υδρογόνου. Τα άτομα του υδρογόνου μπορούν να αντικατασταθούν από άλλα άτομα, δημιουργώντας έτσι καινούριες ενώσεις. Για παράδειγμα η ένωση προκύπτει με αντικατάσταση 2 ατόμων υδρογόνου με 2 άτομα βρωμίου. Ενώ όμως το βενζόλιο εμφανίζεται σε μία μόνο μορφή, η ένωση C C 6 4Br2 6 4Br2 εμφανίζεται σε τρεις διαφορετικές μορφές ανάλογα με τη θέση των ατόμων βρωμίου. Αυτές είναι οι ακόλουθες: B B B B B B Σημειώστε ότι περιστροφή του μορίου κατά 60 μοίρες (μετακίνηση δηλαδή όλων των ατόμων κατά μία θέση) ή αναποδογύρισμα (καθρέφτισμα) γύρω από οποιονδήποτε άξονα συμμετρίας δεν αντιστοιχεί σε καινούρια μορφή του μορίου. Στο ερώτημα αυτό θα πρέπει να εφαρμόσετε τη θεωρία μέτρησης Polya για τον υπολογισμό των διαφορετικών μορφών με τις οποίες μπορούν να εμφανιστούν στη φύση οι ακόλουθες χημικές ενώσεις: 1) ClBr (2 άτομα υδρογόνου έχουν αντικατασταθεί από ένα άτομο C 6 4 χλωρίου και ένα άτομο βρωμίου) 2) C6 2Cl2Br2 (4 άτομα υδρογόνου έχουν αντικατασταθεί από δύο άτομα χλωρίου και δύο άτομα βρωμίου) <Όνομα> <Επώνυμο>, 1η εργασία, ΠΛΗ 20 [ ] 7

11 3) C6 2IClBr2 (4 άτομα υδρογόνου έχουν αντικατασταθεί από ένα άτομο ιωδίου, ένα άτομο χλωρίου και δύο άτομα βρωμίου) Για το σκοπό αυτό θα πρέπει να δημιουργήσετε πίνακα αντίστοιχο με εκείνον της σελίδας 97 του βιβλίου των Κυρούση-Μπούρα-Σπυράκη, όπου να φαίνονται όλες οι δυνατές αντιμεταθέσεις που αφήνουν αναλλοίωτο το μόριο (λαμβάνοντας υπόψη τις συμμετρίες που αναφέρηκαν πιο πάνω, δηλαδή τις στροφές και τους καθρεφτισμούς) και οι αντίστοιχες κυκλικές αναπαραστάσεις και δείκτριες συναρτήσεις. Στη συνέχεια για κάθε μία από τις τρεις χημικές ενώσεις θα πρέπει να προσδιορίσετε το δείκτη κύκλων P G και επίσης το μονώνυμο του οποίου ο συντελεστής μας δίνει τον αριθμό των διαφορετικών μορφών της ένωσης. Δεν είναι απαραίτητος ο υπολογισμός των συντελεστών αυτών. : / 15 <Όνομα> <Επώνυμο>, 1η εργασία, ΠΛΗ 20 [ ] 8

12 ΕΝΤΥΠΟ Α ΣΥΝΟΔΕΥΤΙΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ Το έντυπο αυτό το συμπληρώνετε και το στέλνετε μαζί με τη γραπτή εργασία σας στον Καθηγητή Σύμβουλο. Θυμηθείτε ότι θα πρέπει να κρατήσετε φωτοτυπία της γραπτής εργασίας σας. < Συμπληρώστε τα στοιχεία σας μέσα στα σκιασμένα μέρη > Συμπληρώνεται από το φοιτητή(-τρια) Στοιχεία Φοιτητή (-τριας) Όνομα: <Όνομα> Επώνυμο: <Επώνυμο> Αριθμός Μητρώου Φοιτητή: <ΑΜ> Διεύθυνση Επικοινωνίας: Οδός / Αριθμός: Περιοχή: Πόλη: Ταχ. Κώδικας: Νομός: Τηλέφωνο: Fax: ΣΧΟΛΗ Πληροφορικής ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική (ΠΛΗ20) ΚΩΔΙΚΟΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΑΥΞΩΝ ΑΡΙΘΜΟΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1η Ακαδημαϊκό έτος: Ημερομηνία Αποστολής: <Όνομα> <Επώνυμο>, 1η εργασία, ΠΛΗ 20 [ ] 9