Πρόλογος. Η νέα έκδοση των παρόντων σημειώσεων θα ολοκληρωθεί κατά το εαρινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους Αύγουστος 2008.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πρόλογος. Η νέα έκδοση των παρόντων σημειώσεων θα ολοκληρωθεί κατά το εαρινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 2008-2009. Αύγουστος 2008."

Transcript

1 Πρόλογος Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν το μεγαλύτερο μέρος του υλικού που διδάχτηκε στις παραδόσεις του προπτυχιακού μαθήματος της Αριθμητικής Ανάλυσης, το εαρινό εξάμηνο 7-8, στο Μαθηματικό τμήμα του Πανεπιστημίου Αιγαίου. Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν για την περαιτέρω διευκόλυνση των φοιτητών/τριών στα πλαίσια του «Προγράμματος Αναμόρφωσης Σπουδών» (ΕΠΕΑΕΚ-II) και σε καμιά περίπτωση δεν αποτελούν ένα ολοκληρωμένο σύγγραμμα εισαγωγής στην Αριθμητική Ανάλυση. Πρόκειται για την πρώτη τους έκδοση και επομένως υπάρχουν ελλείψεις, κυρίως σε παραδείγματα και σε αποδείξεις θεωρημάτων, ενώ απαιτούνται αρκετές βελτιώσεις. Σε σχέση με το υλικό που διδάχτηκε στο μάθημα οι περισσότερες ελλείψεις παρουσιάζονται στο 3 ο κεφάλαιο, δηλαδή στην επίλυση των συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Επομένως, οι σημειώσεις αυτές πρέπει να χρησιμοποιηθούν μόνο συμπληρωματικά με το επίσημο σύγγραμμα του μαθήματος, δηλαδή την «Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση» των Γ.Δ. Ακρίβη και Β.Α. Δουγαλή, 5 η αναθεωρημένη έκδοση, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 6. Η νέα έκδοση των παρόντων σημειώσεων θα ολοκληρωθεί κατά το εαρινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 8-9. Αύγουστος 8 Κώστας Χουσιάδας

2 Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο : Εισαγωγή.. Κατηγορίες σφαλμάτων ή λαθών.. Προσέγγιση αριθμών με αποκοπή και στρογγυλοποίηση. Σημαντικά ψηφία. Κεφάλαιο : Αριθμητική υπολογιστή.. Αναπαράσταση αριθμών ως προς οποιαδήποτε βάση.. Αναπαράσταση των αριθμών στον υπολογιστή.3. Αριθμητικές πράξεις στον υπολογιστή και επιρροή των σφαλμάτων στρογγύλευσης στους υπολογισμούς.4. Σφάλματα στον υπολογισμό αθροισμάτων.5. Αριθμητική ευστάθεια αλγορίθμων.6. Κατάσταση προβλημάτων Κεφάλαιο : Αριθμητική επίλυση μη-γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων.. Εισαγωγή.. Μέθοδος Διχοτόμησης.3. Επαναληπτικές μέθοδοι.4. Θεώρημα σταθερού σημείου Baach (ή θεώρημα συστολής).5. Σύγκλιση και ταχύτητα σύγκλισης ακολουθιών.6. Ακολουθίες υψηλής τάξης σύγκλισης.7. Μέθοδος Newto-Raphso.8. Μέθοδος τέμνουσας (ή εφαπτομένης) Κεφάλαιο 3: Αριθμητική επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων 3.. Εισαγωγή 3.. Ο αλγόριθμος της πίσως αντικατάστασης 3.3. Ο αλγόριθμος της εμπρός αντικατάστασης 3.4. Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss με οδήγηση 3.5. Aνάλυση LU 3.6. Ανάλυση Cholesky για συμμετρικούς και θετικά ορισμένους πίνακες 3.7. Τριδιαγώνια συστήματα 3.8. Επαναληπτικές μέθοδοι επίλυσης γραμμικών συστημάτων

3 3.8.. Η μέθοδος Jacob Η μέθοδος Gauss-Sedel Η μέθοδος διαδοχικής υπερχαλάρωσης (SOR) 3.9. Κριτήρια σύγκλισης των επαναληπτικών μεθόδων. Κεφάλαιο 4: Προσέγγιση συναρτήσεων και παρεμβολή 4. Εισαγωγή 4. Ύπαρξη και μοναδικότητα του πολυωνύμου παρεμβολής 4.3 Σφάλμα της πολυωνυμικής παρεμβολής 4.4 Κατασκευή του πολυωνύμου παρεμβολής 4.5. Οι κίνδυνοι της πολυωνυμικής παρεμβολής και η συνάρτηση του Ruge 4.6. Παρεμβολή Hermte 4.7. Παρεμβολή με κυβικές sples Κεφάλαιο 5: Αριθμητική διαφόριση 5.. Εισαγωγή 5.. Υπολογισμός παραγώγων με χρήση του πολυωνύμου παρεμβολής 5.3. Η μέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών Τύποι πεπερασμένων διαφορών προς τα εμπρός Τύποι πεπερασμένων διαφορών προς τα πίσω Τύποι κεντρικών πεπερασμένων διαφορών. Κεφάλαιο 6: Αριθμητική ολοκλήρωση 6.. Εισαγωγή 6.. Μέθοδος ορθογωνίου 6.3. Μέθοδος τραπεζίου 6.4. Μέθοδος Smpso Βιβλιογραφία Παράρτημα Π. Στοιχεία γραμμικής άλγεβρας Π. Νόρμες συναρτήσεων, διανυσμάτων και πινάκων 3

4 Κεφάλαιο Εισαγωγή Εφαρμοσμένα μαθηματικά: ένας τεράστιος και χαοτικός τομέας των μαθηματικών ο οποίος ασχολείται με τις μαθηματικές τεχνικές που αναπτύσσονται και χρησιμοποιούνται στις άλλες επιστήμες, στις εφαρμογές και την τεχνολογία. Τι είναι η Αριθμητική Ανάλυση: Ίσως ο βασικότερος κλάδος των εφαρμοσμένων μαθηματικών. Η αριθμητική ανάλυση είναι σχεδόν συνώνυμη με τα υπολογιστικά μαθηματικά. Στόχος: Η προσεγγιστική επίλυση μαθηματικών προβλημάτων που συναντώνται σε όλες τις επιστήμες και την τεχνολογία. Συνήθως έχουμε μαθηματικά μοντέλα τα οποία περιγράφουν διάφορα φαινόμενα ή/και διεργασίες τα οποία εμπλέκουν συνεχείς συναρτήσεις και μεταβλητές. Επειδή η αναλυτική επίλυση είναι σπάνια δυνατή, επιλύουμε το πρόβλημα προσεγγιστικά αφού πρώτα το διακριτοποιήσουμε. Έτσι: από συνεχείς διαδικασίες σε διακριτές διαδικασίες (τονίζεται ότι ο Η/Υ μπορεί να χειρισθεί μόνο νούμερα) άπειρες διαδικασίες πεπερασμένες διαδικασίες (οι πρώτες απαιτούν άπειρο χρόνο για να διεκπεραιωθούν) Το διακριτό πρόβλημα που προκύπτει το ονομάζουμε αριθμητική μέθοδο. Κάθε διακριτό πρόβλημα (ή αριθμητική μέθοδος) για να εφαρμοσθεί (κυρίως στον ηλεκτρονικό υπολογιστή) απαιτεί μια πεπερασμένη, λογική σειρά καλά ορισμένων αριθμητικών πράξεων και λογικών εκφράσεων. Το σύνολο αυτών των βημάτων ονομάζεται αλγόριθμος. H αριθμητική ανάλυση χωρίζεται με δύο μέρη: I. Θεωρητικό μέρος: Κατασκευή αλγορίθμων και μελέτης της ακρίβειάς του και της ευστάθειάς του, δηλαδή ανάλυση των σφαλμάτων τους. II. Πρακτικό μέρος: Υλοποίηση των αλγορίθμων με τον βέλτιστο τρόπο ή με έναν τρόπο σχεδόν βέλτιστο (σε σχέση με την ταχύτητα εκτέλεσης του υπολογιστή και την απαιτούμενη μνήμη) Συνεπώς η διαδικασία επίλυσης ενός μαθηματικού προβλήματος αριθμητικά έχει ως εξής: 4

5 Κατασκευάζουμε το μαθηματικό πρόβλημα το οποίο περιγράφεται με συνεχείς συναρτήσεις (Θεωρία) Κατασκευάζουμε το αντίστοιχο μαθηματικό πρόβλημα το οποίο περιγράφεται με διακριτές συναρτήσεις (αριθμητική μέθοδος) και το οποίο προσεγγίζει το αρχικό πρόβλημα (Θεωρία) Μελέτη της ακρίβειας και της ευστάθειας (Πράξη) Κατασκευή αλγορίθμου (Πράξη) Υλοποίηση αλγόριθμου (με βέλτιστο τρόπο). b Παράδειγμα: I = f d με [ ] a f:a,b Ανάπτυξη αριθμητικής μεθόδου-διακριτού σχήματος. Η μέθοδος του ορθογωνίου: ( ) b a b a I f = a+ k k = Η μέθοδος τραπεζίου: b a b a I f ( a) f a k f ( b) = + = + + = k = όπου ο αριθμός των υποδιαστημάτων (θετικός ακέραιος αριθμός). Θεωρητική μελέτη: Πόσο ακριβείς είναι οι παραπάνω μέθοδοι? Είναι ευσταθείς? (η έννοια της ευστάθειας θα εξηγηθεί παρακάτω) Πρακτική εφαρμογή: Ποιοι οι αντίστοιχοι αλγόριθμοι? Πως αυτοί οι αλγόριθμοι υλοποιούνται? Σχόλια πάνω στη θεωρία / πράξη: 5

6 I. Θεωρητικά μπορεί μια μέθοδος να είναι ακριβής/ευσταθής, πρακτικά όμως να είναι μη-υλοποιήσιμη. II. Πρακτικά ένας αλγόριθμος μπορεί να δίνει αποτελέσματα, αλλά χωρίς θεωρητική μελέτη δεν ξέρουμε κατά πόσο μπορούμε να τα εμπιστευτούμε ή όχι. III. Οι αριθμητικές μέθοδοι για την επίλυση ενός προβλήματος μπορεί να είναι πολλές. Με βάση τα θεωρητικά και πρακτικά χαρακτηριστικά επιλέγουμε κάθε φορά ποια από τις διαθέσιμες θα εφαρμόσουμε. Μιλήσαμε για προσεγγιστική επίλυση ενός προβλήματος που σημαίνει ότι τα αποτελέσματά μας θα περιέχουν κάποιο σφάλμα σε σχέση με την ακριβή τους τιμή. Για να μετρήσουμε αυτό το σφάλμα, αλλά και άλλους λόγους, χρησιμοποιούμε δύο ποσότητες: (a) Το απόλυτο σφάλμα: E = πρ πρ (b) Το σχετικό σφάλμα: RE =, όπου η πραγματική τιμή του μεγέθους που μας ενδιαφέρει και πρ η χρησιμοποιούμενη προσεγγιστική του τιμή. Το σχετικό σφάλμα δίνεται συνήθως και πρ ως ποσοστό επί τις εκατό, δηλαδή: RE = %, Να σημειωθεί ότι οι παραπάνω ορισμοί μπορούν να συναντηθούν στην βιβλιογραφία χωρίς τις απόλυτες τιμές. Στο σημείο αυτό θέτουμε το παρακάτω ερώτημα: ποια ποσότητα αντιπροσωπεύει καλύτερα την προσέγγισή μας και γιατί? Η μελέτη μερικών παραδειγμάτων θα μας βοηθήσει να απαντήσουμε. Παράδειγμα Ι: Έστω = 3. και = 3.. Τότε E = =., RE = = 3. = 3. %. 3. Παράδειγμα ΙΙ: Έστω πληθυσμός = και πρ =. Τότε E = και RE =. % Παράδειγμα ΙΙΙ: Έστω ποσότητα φαρμάκου που πρέπει να χορηγηθεί σε έναν ασθενή =. gr και =. 5 gr η ποσότητα που πραγματικά χορηγείται. Τότε E =. 5 πρ πρ και. 5 RE = = 5. = 5%.. 6

7 Από τα παραπάνω είναι φανερό ότι το RE είναι καλύτερος δείκτης ακρίβειας, σε σχέση με το E για την εκτίμηση μίας προσέγγισης... Κατηγορίες σφαλμάτων ή λαθών Διακρίνουμε δύο μεγάλες κατηγορίες σφαλμάτων: I. Λάθη λόγω μαθηματικού φορμαλισμού μη κατάλληλο σύστημα εξισώσεων ανακρίβειες στις τιμές παραμέτρων του προβλήματος (π.χ. g = 98. η σταθερά βαρύτητας) ή λάθη στα αρχικά δεδομένα. II. Λάθη κατά την αριθμητική επίλυση λάθη λόγω προσέγγισης των αριθμών (roud-off error) π.χ. π = , =. 333, δηλαδή όταν αγνοούμε πολλά από τα 3 ψηφία των αριθμών λάθη αποκοπής (trucato error) π.χ. 3 e = , δηλαδή όταν αντικαθιστούμε! 3! σφαλμα αποκοπης απειροσειρές με πεπερασμένες σειρές. Στόχος στο πρώτο κεφάλαιο αυτών των σημειώσεων είναι η μελέτη των λαθών λόγω προσέγγισης των αριθμών, ενώ στα επόμενα κεφάλαια εξετάζονται κυρίως τα λάθη αποκοπής και η επίδρασή τους στα αποτελέσματα των αλγορίθμων... Προσέγγιση αριθμών με αποκοπή και στρογγυλοποίηση. Σημαντικά ψηφία. Έστω ότι θέλουμε να κάνουμε πράξεις με αριθμούς που έχουν είτε άπειρα ψηφία (π.χ., π κ.τ.λ.) ή τόσα πολλά που πρακτικά είναι αδύνατο να τις πραγματοποιήσουμε. Τότε χρησιμοποιούμε προσεγγίσεις αυτού του αριθμού σε «k» σημαντικά ψηφία. Λέμε ότι ένας αριθμός πρ προσεγγίζει την ακριβή τιμή του αριθμού με k σωστά σημαντικά ψηφία όταν k είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος για τον οποίο ισχύει: 7

8 πρ k+ 5., (*) Η προσέγγιση πρ προκύπτει με δύο διαδικασίες: I. Αποκοπή: Ξεκινάμε από το πιο αριστερό μη-μηδενικό ψηφίο και μετράμε «k» ψηφία αγνοώντας τα υπόλοιπα. II. Στρογγυλοποίηση: Παρατηρούμε το «k +» ψηφίο του αριθμού. Αν είναι 5, τότε αυξάνουμε το «k» τελευταίο ψηφίο κατά και αγνοούμε τα υπόλοιπα. Παρατήρηση: η προσέγγιση ενός αριθμού γίνεται πιο εύκολα αν φέρουμε τον αριθμό στην κανονική μορφή κινητής υποδιαστολής (βλέπε παρακάτω). Παράδειγμα: Έστω π = και ότι ζητείται η προσέγγισή του με 5 σημαντικά ψηφία με αποκοπή και στρογγυλοποίηση. Άρα, ( 5) Αποκοπή: π = π απ. = ( 5) Στρογγυλοποίηση: π = π ο στρ = ' 6 ' -Το απόλυτο και το σχετικό σφάλμα στην αποκοπή είναι E. 4 απ. = και RE. 4 απ. = 9494, αντίστοιχα. Επομένως, από την (*), προκύπτει 5 k =. -Ομοίως, το απόλυτο και το σχετικό σφάλμα στην στρογγυλοποίηση είναι E. 5 στρ. = και RE. 5 στρ. = αντίστοιχα. Επομένως, από την (*), προκύπτει k = 6. Παρατήρηση: γενικά ισχύει ότι το απόλυτο σφάλμα στην στρογγυλοποίηση είναι μικρότερο ή ίσο του απολύτου σφάλματος στην αποκοπή, Eστρ. Eαπ. και το ίδιο ισχύει και για το σχετικό σφάλμα, REστρ. REαπ.. 8

9 Kεφάλαιο ο Αριθμητική του ηλεκτρονικού υπολογιστή.. Αναπαράσταση αριθμών ως προς οποιαδήποτε βάση Στην καθημερινή μας ζωή χρησιμοποιούμε το -δικό σύστημα αναπαράστασης αριθμών. Η βάση είναι το και τα ψηφία τα,,,...,9. Κάθε αριθμός όμως μπορεί, χωρίς καμία δυσκολία, ως προς οποιαδήποτε βάση. Αυστηρά γράφουμε: ± a a a aa.a a a όπου a β, =,,N N N N 3 προσημο ακεραιο μερος κλασματικο μερος β Ο κάθε αριθμός έχει δύο μέρη: το ακέραιο μέρος, πριν την υποδιαστολή το κλασματικό μέρος, μετά την υποδιαστολή Το κάθε ένα από αυτά μπορεί να γραφεί σε μορφή σειράς Ακεραιο μερος= N k ak = a + a + a + + an k = N β β β β Κλασματικο μερος= k = k a kβ = a + a + a β β β Επομένως, ο αριθμός μπορεί να γραφεί ως εξής: N k N N k όπου ak β k = ± ( 3 ) = ± a a aa.a a a a β, k =, N Συνήθως ισχύει β 6 (αν και β > 6 είναι εφικτό, αλλά δεν προσφέρει κάποια πλεονεκτήματα). Στους υπολογιστές β = 86,,. I. Μετατροπή ακεραίου από βάση β σε βάση ( ) aa aa = aβ β = 9

10 Άμεσος τρόπος Σχήμα Horer II. Μετατροπή κλασματικού αριθμού ( < < ) από βάση β σε βάση k kβ k = = ( 3 ) β =.a a a a a III. Μετατροπή ακεραίου από βάση σε βάση β σύμφωνα με τον αλγόριθμο της διαίρεσης (δείτε και σχήμα Horer) IV. Μετατροπή κλασματικού από βάση σε βάση β Παρατηρήσεις σχετικά με την μετατροπή αριθμών από το ένα σύστημα αριθμών σε ένα άλλο. η Παρατήρηση: Ο ακέραιος παραμένει πάντα ακέραιος σε οποιοδήποτε σύστημα και αν τον εκφράσουμε. Η μετατροπή ενός αριθμού σε βάση β βάση γίνεται χωρίς καμία δυσκολία. Παράδειγμα: Ο αριθμός ( 53473) = = ( 33) 8 Μετατροπή στον υπολογιστή Ο υπολογισμός της ποσότητας A( β ) N k = akβ, μπορεί να γίνει με δύο τρόπους k= a. Άμεσος τρόπος: A = a + a + a + + a N N β β β β έχουμε N όρους για τον υπολογισμό του ο N οστός όρος απαιτεί N πολλαπλασιασμούς ο N όρος απαιτεί N πολλαπλασιασμούς

11 ο ος όρος απαιτεί πολλαπλασιασμό ο ος όρος απαιτεί πολλαπλασιασμούς Άρα N + N + N + + = k = N k = ( + ) N N επιπλέον έχουμε N προσθέσεις και επομένως το σύνολο των πράξεων είναι ( + ) N N 3 + N = N + N + N = N + N προσθεσεις πιο σημαντικος ορος οι πολλαπλασιασμοι λιγοτερο σημαντικος b. Σχήμα Horer: ( ) ( β) = + β + β( + + β( N + Nβ) ) A a a a a a συνολο πολλαπλασιασμων: N Επομένως ο τρόπος (a) είναι O( N ), ενώ ο (b) είναι O( N ) και άρα το σχήμα Horer είναι πολύ πιο γρήγορο από ότι ο άμεσος τρόπος. Επεξήγηση του όρου O ( ) Ερώτηση: έχει πραγματικά αξία το γεγονός ότι η μία μέθοδος είναι τάξης O( N ) και η άλλη O( N )? Αλγόριθμος: p a N για = N,, p a + p β (a) Κώδικας Fortra:

12 p= a N Do = N,, () p= a + p*β Ed do (a), (b) flop (floatg pot operato) flop: η πιο συχνή πράξη που χρησιμοποιούμε/συναντούμε στα υπολογιστικά μαθηματικά και στους υπολογιστές. Για τον λόγο αυτό το flop έχει καθιερωθεί ως μονάδα μέτρησης των πράξεων στους αλγορίθμους. Η ταχύτητα ενός επεξεργαστή στους Η/Υ αλλά και των μεγάλων υπερυπολογιστικών συστημάτων μετράται σε αριθμό flops/μονάδα χρόνου. (b) η Παρατήρηση: Η μετατροπή ενός κλασματικού αριθμού, < <, από σύστημα με βάση το β σε σύστημα με βάση το δεν παρουσιάζει επίσης καμία δυσκολία. Επίσης, ένας κλασματικός παραμένει πάντα κλασματικός σε όποιο σύστημα και αν εκφραστεί, όμως το πλήθος ψηφίων μπορεί από πεπερασμένο να γίνει άπειρο. Παράδειγμα: (. ) = + = ( 5. ) + ( 5. ) = ( 75. ) 3 η Παρατήρηση: Η μετατροπή ενός ακεραίου με βάση το σε ακέραιο με βάση το β γίνεται σύμφωνα με τον αλγόριθμο της διαίρεσης. Πρώτα εκφράζουμε τον αριθμό στο νέο σύστημα: β β β β β = (... )... = a a aa = a = a + a + + a + a Στην συνέχεια τον εκφράζουμε σύμφωνα με το σχήμα Horer: ( ( ( ) ) ) = β... β β a β + a + a + a a 3

13 Αν διαιρέσουμε τον παραπάνω αριθμό με «β», το υπόλοιπο είναι το a. Αν τον νέο αριθμό που προκύψει τον διαιρέσουμε με «β», το υπόλοιπο είναι το a. Συνεχίζουμε μέχρι να φτάσουμε σε ένα αποτέλεσμα διαίρεσης το οποίο να είναι αριθμός μικρότερος του «β», ο οποίος και είναι το ψηφίο a. Παράδειγμα: θέλουμε να εκφράσουμε τον αριθμό 9 στο σύστημα με β=4. Ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα. () Διαιρούμε τον αριθμό με το 4. Το ακέραιο μέρος του αποτελέσματος είναι 5 και το υπόλοιπο είναι, επομένως a =. () Διαιρούμε το 5 με το 4 οπότε έχουμε ως αποτέλεσμα το 3 και υπόλοιπο, επομένως a =. (3) Διαιρούμε το 3 με το 4 οπότε έχουμε ως αποτέλεσμα το 3 και υπόλοιπο, επομένως a =. Επιπλέον, εφόσον το αποτέλεσμα της διαίρεσης είναι 3 < β = 4, άρα αυτό είναι το τελευταίο ψηφίο του αριθμού στο νέο σύστημα, δηλαδή a 3 = 3. Συνολικά έχουμε: ( aaaa ) 9 = = η Παρατήρηση: Η μετατροπή ενός κλασματικού αριθμού, < <, από σύστημα με βάση το σε σύστημα με βάση β, ( a a a ) β.... β =, βασίζεται στην εξής διαδικασία: Γράφουμε τον αριθμό σύμφωνα με τον ορισμό του, στο νέο σύστημα: a a a a β 3 β β β β = 3 β =. a a... a = a = Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη με «β», έχουμε: (.... a a 3 )... a β = a a a = a β όπου είναι προφανές ότι το a είναι το β β β ακέραιο μέρος του β και (. a... a ) το κλασματικό μέρος του. Πολλαπλασιάζουμε β διαδοχικά με «β» το κλασματικό μέρος του αποτελέσματος και κάθε φορά, προσδιορίζουμε το επόμενο ψηφίο, σύμφωνα με το ορισμό που δίνεται παραπάνω. Έτσι αν έχουμε πολλαπλασιάσει φορές με «β» τότε θα έχουμε: 3

14 (....)... β = a a a a = a β + a β + + a β + a οπότε τελικά το κλασματικό + β + μέρος του αποτελέσματος είναι μηδέν. Τότε η διαδικασία τερματίζεται. Παράδειγμα: θέλουμε να εκφράσουμε τον κλασματικό αριθμό.965 στο σύστημα με β=, δηλαδή στο δυαδικό σύστημα. Ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: () Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό με το. Το αποτέλεσμα είναι.85, οπότε το ακέραιο μέρος είναι και το κλασματικό.85, επομένως a = () Πολλαπλασιάζουμε τον κλασματικό αριθμό.85 με το. Το αποτέλεσμα είναι.65, οπότε το ακέραιο μέρος του αποτελέσματος είναι και το κλασματικό.65, επομένως a =. (3) Πολλαπλασιάζουμε τον κλασματικό αριθμό.65 με το. Το αποτέλεσμα είναι.5, οπότε το ακέραιο μέρος του αποτελέσματος είναι και το κλασματικό είναι.5, επομένως a 3 =. (4) Πολλαπλασιάζουμε τον κλασματικό αριθμό.5 με το. Το αποτέλεσμα είναι.5, οπότε το ακέραιο μέρος του αποτελέσματος είναι και το κλασματικό είναι.5, επομένως a 4 =. (5) Πολλαπλασιάζουμε τον κλασματικό αριθμό.5 με το. Το αποτέλεσμα είναι., οπότε το ακέραιο μέρος του αποτελέσματος είναι και το κλασματικό είναι, επομένως a 5 =. Συνολικά έχουμε: ( a a a a ).965 =.... =.. Εδώ θα πρέπει να σημειωθεί 3 ότι υπάρχει η πιθανότητα η σειρά των δυαδικών ψηφίων a να μην τερματίζεται, δηλαδή να μην καταλήγουμε ποτέ σε μηδενικό κλασματικό μέρος. Σε αυτήν την περίπτωση η διαδικασία διακόπτεται όταν υπολογίσουμε όλα τα bts που είναι διαθέσιμα για την συγκεκριμένη μεταβλητή. Τότε ο αντίστοιχος πραγματικός αριθμός θα είναι αποθηκευμένος στον υπολογιστή με κάποιο σφάλμα στρογγύλευσης, κάτι βέβαια που δεν συνέβη με τον αριθμό.965, στο παραπάνω παράδειγμα... Αναπαράσταση των αριθμών στον υπολογιστή 4

15 Επειδή η μνήμη του υπολογιστή αποτελείται από εκατομμύρια διακόπτες οι οποίοι μπορούν (ο καθένας από αυτούς) να είναι σε δύο μόνο καταστάσεις, «κλειστός» ή «ανοιχτός», δηλαδή, σε ή κατάσταση και οι οποίοι ονομάζονται bts για αυτό ο κατάλληλος τρόπος αντιπροσώπευσης των αριθμών στον υπολογιστή είναι με βάση το, β =. Επίσης ισχύει: byte = 8 bts, word =,, ή 4 bytes. Αναπαράσταση ενός ακεραίου με χρήση byte: Ελάχιστος αριθμός = Μέγιστος αριθμός = = = Εφόσον σε κάθε θέση έχουμε μόνο δύο δυνατότητες, αν έχω γενικά θέσεις διαθέσιμες τότε προκύπτουν: = αριθμοί Επομένως ο ελάχιστος αριθμός είναι ο και μέγιστος ο. Άρα με byte μπορούμε να αναπαραστήσουμε συνολικά 8 = = 56 ακεραίους. Λόγω ότι πρέπει να λάβουμε υπόψη θετικούς και αρνητικούς αριθμούς, k,. Διάφοροι τρόποι έχουν προταθεί για την αναπαράσταση αριθμών στον υπολογιστή. Σήμερα όλοι οι υπολογιστές αναπαριστούν τους πραγματικούς αριθμούς με τους λεγόμενους αριθμούς κινητής υποδιαστολής (floatg pot umbers), δηλαδή με την μορφή: ( ) e epoet =±.ddd3 β matssa 5

16 όπου β η βάση του συστήματος, η οποία είναι πάντα ακέραια (συνήθως β = ) e εκθέτης ο οποίος είναι επίσης ακέραιος d β, = 3,,, Όταν d, η μορφή λέγεται κανονικοποιημένη και η αναπαράσταση κάθε αριθμού με τον τρόπο αυτό είναι μοναδική =. 598 Παράδειγμα : Παράδειγμα : 3. =.. 5 =. 5 Παράδειγμα 3: 3 Στο σημείο αυτό να τονισθεί ότι η προσέγγιση αριθμών σε «k» ψηφία, είτε με αποκοπή είτε με στρογγυλοποίηση, είναι ιδιαίτερα εύκολη αν ο αριθμός γραφεί στην κανονικοποιημένη μορφή κινητής υποδιαστολής. Απλά πρέπει να κρατήσουμε τα πρώτα «k» ψηφία του κλασματικού μέρους του αριθμού, να αγνοήσουμε τα υπόλοιπα ψηφία του και να αφήσουμε το εκθετικό μέρος του αριθμού ανέπαφο. Παράδειγμα : Ο αριθμός π = σε κανονικοποιημένη μορφή κινητής υποδιαστολής γίνεται ως εξής: π = Η προσέγγιση σε 5 σημαντικά ψηφία με αποκοπή και στρογγυλοποίηση αντίστοιχα είναι π =. 345 και π = αποκ στρ Παράδειγμα : Ο αριθμός = σε κανονικοποιημένη μορφή κινητής υποδιαστολής γίνεται =. Η προσέγγιση σε 5 σημαντικά ψηφία με αποκοπή και 6

17 στρογγυλοποίηση αντίστοιχα είναι o = απ κ. =. και 4 =. 39 = στρ 39.. Σε 3 δεκαδικά ψηφία είναι 4 =. 3 απ κ = 3 και o 4 =. 33 στρ = 33. Λόγω του γεγονότος ότι οι πραγματικοί αριθμοί μπορεί να απαιτούν άπειρα ψηφία για να αναπαρασταθούν είμαστε αναγκασμένοι στον Η/Υ να κρατάμε μόνο ένα πεπερασμένο πλήθος ψηφίων, t, δηλαδή μόνο τους ρητούς αριθμούς: e epoet =±.dd d 3...d t dt β matssa Οι αριθμοί μηχανής ενός υπολογιστή είναι ένα σύνολο ρητών αριθμών, γραμμένων σύμφωνα με την κανονικοποιημένη μορφή κινητής υποδιαστολής. Το σύνολο αυτό χαρακτηρίζεται από 4 παραμέτρους: a. Την βάση του αριθμητικού συστήματος, β b. Το πλήθος, t, των ψηφίων του κλάσματος των αριθμών c. Το κάτω φράγμα του εκθέτη, L (Lower) d. Το άνω φράγμα του εκθέτη, U (Upper) Όλοι οι παραπάνω παράμετροι είναι ακέραιοι. Ισχύει ότι m < και L e U. Φυσικά, επειδή το Μ είναι ένα πεπερασμένο σύνολο δεν υπάρχει η δυνατότητα να αναπαρασταθούν ακριβώς όλοι οι πραγματικοί αριθμοί. Χαρακτηριστικά του συνόλου Μ : t a. Πεπερασμένο πλήθος αριθμών ( β ) β ( U L ) = + + Σχόλιο: όσο αυξάνουν τα t, U, L τόσο μεγαλώνει το πλήθος των αριθμών που μπορούν να αναπαρασταθούν. Ερώτηση: Γιατί δεν τα αυξάνουμε? b. Έχει ελάχιστο, κατά απόλυτη τιμή, m m{ } L Μ, όπου m =. β t ψηφια 7

18 U Μ, όπου M = β t β d. τα στοιχεία του συνόλου δεν είναι ισαπέχοντα e. Κάθε πραγματικός αριθμός, με m< < M αναπαριστάται από την μηχανή με c. Έχει μέγιστο, κατά απόλυτη τιμή, M ma{ } τον πιο κοντινό του τον οποίο συμβολίζουμε με fl( ), δηλαδή με κάποιο σφάλμα. Ισχύει ότι fl u, όπου, t β, για στρογγυλοποιηση u = t β, για αποκοπη Απόδειξη για την περίπτωση της αποκοπής: e =.d d d d d β Έστω 3 t t+ και 3 e fl =.d d d d β, τότε έχουμε t t fl. d β.d d β = = =.ddd dd.ddd t t+ e t+ t+ t+ e 3 t t+ β 3 { t } { + }.d ma.d t+ d t+ β β β β.d d d d m. fl β t t t t+ = = t, για αποκοπη f. Δεν αποτελεί σώμα. Παράδειγμα : Μ Μ και Έστω σύνολο αριθμών κινητής υποδιαστολής = ( β =,t = 5,U =,L = ) έστω οι αριθμοί α, βγ Μ, με α =., αποτέλεσμα του αθροίσματος α β γ ος τρόπος, ( α + β) + γ : β 5 = 3, γ 5 = 3. Ζητείται το + +. Έχουμε, α β γ ( α β) γ α ( β γ) + + = + + = + +. Αρχικά γράφουμε τους αριθμούς σε μορφή κινητής υποδιαστολής. Δηλαδή ( α ) =, fl ( β ) =. 3, fl ( γ ). 3 fl. =. Έχουμε z = fl( fl( α) + fl ( β) ) =. = fl. 3 z =. 5 ψηφια

19 ( ( γ )) ος τρόπος, α + ( β + γ) : fl z + fl = fl =. ( ( α ) + ( ( β) + ( γ) )) fl fl fl fl fl ( β) ( γ) ( ( β) ( γ) ) ( α) ( α) fl + fl =. +. =. fl fl + fl =. =. = z fl + z = = =. 6 fl fl + z =. 4 Άρα στον υπολογιστή η πρόσθεση δεν ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα ( α + β) + γ α + ( β + γ) Επομένως η σειρά που γίνονται οι πράξεις στον υπολογιστή έχουν σημασία. Παράδειγμα : Έστω β = και 5 t =. Ο αριθμός (, 5,L,U) Μ διότι 5 =.. Ο αριθμός (, 5,L,U) Μ διότι 5 4 =.. Άθροισμα: 5 + =. =. 6 ψηφια Μ διότι έχει 6 σημαντικά ψηφία. L Παράδειγμα 3: Έστω ο αριθμός. β Μ και το τετράγωνο αυτού: (. β L ) (. β L ) =. β L =. β L Προφανώς L < L και επομένως. β L Μ. Γενικά στον ηλεκτρονικό υπολογιστή απλά προσεγγίζουμε τους αριθμούς με άλλους αριθμούς πεπερασμένης ακρίβειας. Συναντάμε δύο είδη προβλημάτων: U > ma Μ β t overflow error (λάθος υπερχείλισης) β I. Αν { } L L < m Μ. β = β uderflow error (λάθος υπεκχείλισης) II. Αν { } 9

20 Πιο σημαντικό είναι το overflow error γιατί έτσι οι υπολογισμοί σταματάνε και η ροή του προγράμματος διακόπτεται. Στο uderflow error, αν δηλαδή m{ } συνήθως στους περισσότερους υπολογιστές, =. < Μ τότε, Παράδειγμα 4: Έστω οι αριθμοί = , y = Ζητείται το αποτέλεσμα του αθροίσματος σε υπολογιστή με β =, t = 5, U L προκύπτει με στρογγυλοποίηση. Άρα έχουμε Ο σε μορφή αριθμού κινητής υποδιαστολής 5 ψηφια προσεγγιση με 4 στρογγυλοποιηση f l = Ο y σε μορφή αριθμού κινητής υποδιαστολής προσεγγιση με f l y = στρογγυλοποιηση 5 ψηφια 4 fl + fl y = πραξη ακριβης προσέγγιση με στρογγυλοποίηση 4 ( ) 5894 z = fl f l + f l y =. Βρίσκουμε ότι: + y = , ακριβές άθροισμα 4 + = fl fl y. 4 ( ) 5894 fl fl + fl y =., άθροισμα στον υπολογιστή 4 ( + ) = 5893 fl y. = = με δεδομένο ότι το fl ( ) Παρατηρούμε ότι όλα τα παραπάνω αθροίσματα είναι διαφορετικά μεταξύ τους!!! Παράδειγμα 5: Η αυστηρά μαθηματική λύση της εξίσωσης + = είναι η =. Όμως, έστω 5 4 = 4 Μκαι το Μ. Εχουμε fl ( ) 4. = και ( ) fl. =.. Άρα. 4 + = και fl ( ) fl (. 4). + = =.

21 Προφανώς κάθε με < β t είναι λύση της εξίσωσης + =. Η ποσότητα t β ονομάζεται έψιλον της μηχανής και είναι ο μικρότερος αριθμός ο οποίος αν προστεθεί στην μονάδα δίνει αποτέλεσμα μεγαλύτερο του, δηλαδή είναι ο μικρότερος αριθμός για τον οποίο ισχύει + ε >. Αλγόριθμος προσεγγιστικού υπολογισμού του ε : ε εφόσον + ε > ε ε Αντίστοιχος κώδικας σε fortra-9 για το ε σε μεταβλητές διπλής ακρίβειας. eps =.d do y =.d + eps f( y >.d ) the eps = eps /.d elsef( y <=.d ) the et edf eddo prt*,.d*eps

22 Άσκηση: βρείτε όλους τους αριθμούς του συνόλου αριθμών κινητής υποδιαστολής, ( β,t 3,U,L ) M = M = = = = αναλυτικά. Είναι οι αριθμοί ισαπέχοντες? Ποιος είναι ο μέγιστος και ποιος ο ελάχιστος αριθμός αυτού του συνόλου? Υπόδειξη: Η μορφή των αριθμών που ανήκουν στο σύνολο αυτό είναι ±.ddd a, a, d =,. Υπολογίστε όλους τους θετικούς κλασματικούς αριθμούς (δηλαδή τους (.ddd ) ) και όλους τους αριθμούς της μορφής a και συνδυάστε τα αποτελέσματα..3. Αριθμητικές πράξεις στον υπολογιστή και επιρροή των σφαλμάτων στρογγύλευσης στους υπολογισμούς Έστω και ότι ζητάμε το αποτέλεσμα της πράξης Έχουμε ( ) fl fl fl y = z όπου z Μ, fl Μ, fl ( y) Μ. = +,,, y Παρατήρηση Έχουμε fl u, t β, στρογγυλευση u = t β, αποκοπη Η παραπάνω πρόταση είναι ισοδύναμη με την εξής:

23 = ( + ) όπου ε ε fl ε Απόδειξη: = με ε u fl fl fl = ( + ε) = ε ε = u ε u. Πολλαπλασιασμός: Έστω,y. Επιπλέον, ε, ε, ε3 με ε u, ε u, και ε3 u τέτοια ώστε: = ( + ), fl ( y) y ( ε ) fl ε = + ενώ για το γινόμενο στον υπολογιστή θα είναι ( ) ( ε) ( ε) ( ε3) z = fl fl fl y = + y + + ή ( ε ε ε εε εε εε εεε ) ( ε ε ε ) z = y y Το σχετικό σφάλμα, σ, θα είναι: Άρα z y y y ( ε ε ε ) y 3 σ = = ε+ ε + ε3 ε + ε + ε3 y z y y ε + ε + ε 3 με ε u 3 ε u ε 3u = ε u 3 Συνεπώς z y y 3 u σ 3u Διαίρεση: ( ε) ( ε)( ε3) ε3 ε ( ε ) fl : z = fl y fl = + = y + y + Άρα ( + ε)( + ε3) ( + ε)( + ε3) y ( + ε ) y ( + ε) σ = = y ( + ε )( + ε ) ( + ε ) ( 3)( 3 ) σ ε ε ε ε ε 3 3 = = = 3

24 ( ) + ε + ε ε +Ο ε ε + ε ε ε + ε + ε 3u Επομένως, όπως και προηγουμένως: σφαλμα 3 u σ 3u Υπενθυμίζεται ότι: = < , Πρόσθεση και αφαίρεση: ( ) ( ε) ( ε) ( ε3) + y : z = fl fl + fl y = + + y + + άρα το σχετικό σφάλμα σ θα δίνεται από την σχέση : ( + ε) + ( + ε) ( + ε3) ( + ) z + y y y σ = = + y + y ( + ) ε+ yε ε u y + y ε σ ε3+ ε3 + u + + y + y + y Επομένως όταν οι αριθμοί,y είναι ομόσημοι τότε + y = + y και άρα η παραπάνω σχέση διαμορφώνεται ως εξής: ε + yε σ ε + + y 3 Όταν όμως οι αριθμοί είναι ετερόσημοι και ταυτόχρονα ισχύει y + y τότε το άνω φράγμα στην σχέση (**) τείνει στο άπειρο! u (**) Παράδειγμα : Έστω = και y = και έστω σύνολο αριθμών M M. Έχουμε ότι: κινητής υποδιαστολής = ( β =,t = 5,U =,L = ) 3 z = fl( fl + fl( y) ) = fl ( ) =. 7 =. 7 Το σχετικό σφάλμα θα είναι ( + ) ( + y) z y σ = 88 4 ενώ το αντίστοιχο άνω φράγμα αν οι αριθμοί ήταν ομόσημοι θα ήταν u β σφάλμα στην αφαίρεση μπορεί να είναι πολύ μεγαλύτερο από το σφάλμα στην πρόσθεση (Άσκηση: βρείτε πόσο ακριβώς είναι το σχετικό σφάλμα αν οι αριθμοί και y ήταν πράγματι ομόσημοι). t 5 4 = = = (!!) που δείχνει ότι το 4

25 Παράδειγμα : Έστω = 4585 και y = 4585 και έστω σύνολο αριθμών M M. Έχουμε ότι + y =. κινητής υποδιαστολής = ( β =,t = 5,U =,L = ) Όμως στο σύνολο που δόθηκε θα είχαμε 9 9 ( ) z = fl fl + fl y = fl =!!!!! Το παράδειγμα δείχνει ότι όταν έχουμε αφαίρεση μεγάλων αριθμών δημιουργείται σημαντικό πρόβλημα. Παράδειγμα 3: Έστω = 789 και y = 789 και έστω σύνολο αριθμών κινητής M M. Έχουμε ότι υποδιαστολής = ( β =,t =,U =,L = ). = , y. = και y. = Τα μηδενικά στο τέλος του αποτελέσματος είναι ένδειξη της απώλειας ακρίβειας. Εναλλακτικά μπορούμε να υπολογίσουμε οποίο έχει πολύ μεγάλη ακρίβεια. y y = = y το Παράδειγμα 4: Να υπολογιστεί η συνάρτηση f = s για πολύ μικρές τιμές του, δηλαδή για <<. Επειδή lm s = θα αντιμετωπίσουμε το πρόβλημα της αφαίρεσης σχεδόν ίσων αριθμών. Έτσι κάνουμε ανάπτυγμα Taylor της συνάρτησης γύρω από το έχουμε: = και f = + + O( ) = + + O( ). Άρα για πολύ μικρές τιμές 3! 5! 7! 3! 5! 7! του μπορούμε να διατηρήσουμε μόνο τον ο ή και τον ο όρο της σειράς και να μην έχουμε πρόβλημα με τους υπολογισμούς (γιατί?). Άσκηση : Υπολογίστε την συνάρτηση f δηλαδή για + = l <<. Ομοίως για την συνάρτηση f για πολύ μικρές τιμές του, ( + ) l =. 5

26 Άσκηση : Αναδιαμορφώστε την έκφραση για μεγάλες τιμές του. Ποιο + πρόβλημα θα παρουσιασθεί στον υπολογισμό της αρχικής έκφρασης? Διορθώνεται με την εναλλακτική έκφραση και γιατί? Χρήσιμες σχέσεις (αναπτύγματα Taylor γύρω από το =) s O 3! 5! 7! 9 = + + cos 4 6! 4! 6! 8 = + + O ( ) ta O = ep O! 3! 4! 5 = l O ( + ) = Σφάλματα στον υπολογισμό αθροισμάτων Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε την σειρά S = + = + k + k k k+. Επειδή k= k= ισχύει = k + k k k+ έχουμε ότι S = , S = οπότε προκύπτει ότι S 9 = 9., S 99 = 99., S 999 = 999. κτλ, και φυσικά + lm S =. Ας αγνοήσουμε προς το παρόν ότι γνωρίζουμε τα παραπάνω και ας υποθέσουμε ότι προσπαθούμε να υπολογίσουμε την σειρά απευθείας. Ένας απλός αλγόριθμος για τον υπολογισμό του αθροίσματος είναι ο εξής: S =, Sk = Sk + k k ( + ) για k = 3,,,...,N. Διαφορετικά μπορούμε να γράψουμε: S Για k = 3,,,...,N κάνε: S S + k k ( + ) 6

27 Αν όμως ο αλγόριθμος αυτός εφαρμοσθεί σε έναν υπολογιστή με β =,t= τότε θα πάρουμε: S 9 =. 9 S 99 =. 993 S 999 = S = Έστω τώρα ότι αλλάζουμε την σειρά με την οποία υπολογίζουμε τους όρους του αθροίσματος. Δηλαδή: T = ( + ) T = T +, k = 3,,,..., για k = 3,,,...,N. k k T = T + ( k)( k+ ) Ο αντίστοιχος αλγόριθμος είναι: T ( + ) Για k = 3,,,...,, κάνε T T +. k k+ T T + Τότε το πρόβλημα εξαφανίζεται και ο υπολογισμός μέχρι και τον όρο S 9999 γίνεται με μηδενικό σφάλμα. Παρόλο που ξέρουμε ότι η πρόσθεση δεν έχει την προσεταιριστική ιδιότητα στον υπολογιστή, για πιο λόγο ο δεύτερος αλγόριθμος δίνει καλύτερα αποτελέσματα από τον πρώτο? Ας δούμε το πρόβλημα λίγο πιο γενικά και ας υποθέσουμε ότι δίνονται στο πλήθος αριθμοί των οποίων θέλουμε να βρούμε το άθροισμά τους, s = a Για να απλοποιήσουμε την ανάλυση θα θεωρήσουμε ότι όλοι k = k οι όροι του αθροίσματος είναι αριθμοί μηχανής, δηλαδή ότι = = 3 fl a a, k,,,..., καθώς επίσης ότι οι αριθμοί είναι διατεταγμένοι σε αύξουσα σειρά. Για λόγους ευκολίας θα συμβολίζουμε fl( s ) k = s. Ο αλγόριθμος υπολογισμού του αθροίσματος s, δίνεται από τον αναδρομικό τύπο, s a, sk sk ak Επομένως στον υπολογιστή θα έχουμε: = = ( k) = ( ( k ) + ( k) ) k = ( k + k) k k = = + για k = 34,,,...,. fl s fl a a, fl s fl fl s fl a s fl s a για k = 34,,,...,. k 7

28 k = έχουμε: s = fl( s + a ) = fl( a + a ) = ( a + a )( + ε ) Για Για k = 3 έχουμε: (( ε ) ) ( ε ) ( ε ) s = fl s + a = fl a + a + + a = a + a + + a k = έχουμε: ( ) ( ε ) ( ε ) Για 4 s4 = fl s3+ a4 = fl a+ a + + a3 + + a4 = { ( a a )( ε) a3 ( ε) a4}( ε3) = Για λόγους ευκολίας θα σταματήσουμε στον 4 ο όρο χωρίς βλάβη της γενικότητας. Κάνοντας πράξεις στην τελευταία σχέση θα έχουμε: { ( ε ) ( ε ) }( ε ) { } ( ε ε ε ) ( ε ε ε ) ( ε ε ) ε s = a + a + + a + + a + = a + a + a + a + a a a + + a + O.Y.T Όμως s 4 = a + a + a 3 + a 4 οπότε έχουμε: s 4 = s4 + a ε+ ε + ε3 + a ε+ ε + ε3 + a3 ε + ε3 + a4ε4 + O.Y.T. s s = a ε + ε + ε + a ε + ε + ε + a ε + ε + a ε + O.Y.T s s a 3u+ a 3u+ a u+ a u Η τελευταία σχέση δείχνει ότι το άνω φράγμα για το απόλυτο λάθος του αθροίσματος ελαχιστοποιείται όταν οι αριθμοί είναι σε αύξουσα σειρά διότι σε αυτή την περίπτωση ο μικρότερος αριθμός (κατά απόλυτη τιμή) θα πολλαπλασιάζεται με το μέγιστο συντελεστή σφάλματος (στο συγκεκριμένο παράδειγμα με το 3u ). Άσκηση: Υλοποιήστε τους αλγορίθμους (*) και (**) χρησιμοποιώντας αρχικά μεταβλητές απλής ακρίβειας (real(4)) και στην συνέχεια μεταβλητές διπλής ακρίβειας (real(8)) και διαπιστώστε την συμπεριφορά τους όσον αφορά τα αποτελέσματα που δίνουν..5. Αριθμητική ευστάθεια αλγορίθμων Όπως αναφέρθηκε νωρίτερα αλγόριθμο ονομάζουμε την πεπερασμένη σειρά καλά ορισμένων μαθηματικών πράξεων και λογικών εκφράσεων που υλοποιούν ένα διακριτό σχήμα (ή αριθμητική μέθοδο). Λόγω όμως των σφαλμάτων στρογγύλευσης, που πάντα υφίστανται, κάποιοι αλγόριθμοι είναι τέτοιοι ώστε τα σφάλματα αυτά να συσσωρεύονται με τέτοιο τρόπο έτσι ώστε το τελικό αποτέλεσμα να είναι εντελώς ανακριβές. Ένας τέτοιος αλγόριθμος ονομάζεται αριθμητικά ασταθής αλγόριθμος. Διαφορετικά πρόκειται για έναν αριθμητικά ευσταθή αλγόριθμο. Αν ένας αλγόριθμος είναι ασταθής σε καμία περίπτωση δεν πρέπει να εμπιστευόμαστε τα αποτελέσματά του. Ο τρόπος με τον οποίο 8

Πρόλογος. Η νέα έκδοση των παρόντων σηµειώσεων θα ολοκληρωθεί κατά το εαρινό εξάµηνο του ακαδηµαϊκού έτους Αύγουστος 2008.

Πρόλογος. Η νέα έκδοση των παρόντων σηµειώσεων θα ολοκληρωθεί κατά το εαρινό εξάµηνο του ακαδηµαϊκού έτους Αύγουστος 2008. Πρόλογος Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν το µεγαλύτερο µέρος του υλικού που διδάχτηκε στις παραδόσεις του προπτυχιακού µαθήµατος της Αριθµητικής Ανάλυσης, το εαρινό εξάµηνο 7-8, στο Μαθηµατικό τµήµα του

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες)

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, 2016-2017 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων (διάρκεια: 3 εβδομάδες) 2.1 Επίλυση εξισώσεων 2.2 Επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. 2.1 Επίλυση εξισώσεων

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. 2.1 Επίλυση εξισώσεων Κεφ. : Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. Επίλυση εξισώσεων. Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους.. Μέθοδοι Gauss, Gauss-Jorda.. Παραγοντοποίηση LU (ειδικές περιπτώσεις: Cholesky, Thomas).. Νόρμες πινάκων,

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές μέθοδοι

Επαναληπτικές μέθοδοι Επαναληπτικές μέθοδοι Η μέθοδος της διχοτόμησης και η μέθοδος Regula Fals που αναφέραμε αξιοποιούσαν το κριτήριο του Bolzano, πραγματοποιώντας διαδοχικές υποδιαιρέσεις του διαστήματος [α, b] στο οποίο,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Τμήμα Τεχνολογίας Αεροσκαφών ΤΕ ΤΕΙ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Χειμερινό Εξάμηνο 2013-14 Δρ. Β. Σγαρδώνη ΚΕΦΑΛΑΙΑ 1. Εισαγωγή 2. Σφάλματα, αριθμητική μηχανής και αλγόριθμοι 3. Επίλυση συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Με τι ασχολείται η Αριθμητική Ανάλυση

1.1. Με τι ασχολείται η Αριθμητική Ανάλυση Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά 1.1. Με τι ασχολείται η Αριθμητική Ανάλυση Πολλοί επιστημονικοί κλάδοι, στην προσπάθειά τους να επιλύσουν πρακτικά προβλήματα κάνουν χρήση μεθόδων Αριθμητικής Ανάλυσης. Οι μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης). Μέθοδος Euler 3. Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου 1 Σειρές O Ζήνων ο Ελεάτης (490-430 π.χ.) στη προσπάθειά του να υποστηρίξει

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης με παραγώγους Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων

2.1 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων . Αριθμητική επίλυση εξισώσεων Στο κεφάλαιο αυτό διαπραγματεύεται μεθόδους εύρεσης των ριζών εξισώσεων γραμμικών ή μη-γραμμικών για τις οποίες δεν υπάρχουν αναλυτικές 5 4 3 εκφράσεις. Παραδείγματα εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα, Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία

Διαβάστε περισσότερα

Non Linear Equations (2)

Non Linear Equations (2) Non Linear Equations () Τρίτη, 17 Φεβρουαρίου 015 5:14 μμ 15.0.19 Page 1 15.0.19 Page 15.0.19 Page 3 15.0.19 Page 4 15.0.19 Page 5 15.0.19 Page 6 15.0.19 Page 7 15.0.19 Page 8 15.0.19 Page 9 15.0.19 Page

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Βασικές αρχές μεθόδων ελαχιστοποίησης Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Οι μέθοδοι ελαχιστοποίησης είναι επαναληπτικές. Ξεκινώντας από μια αρχική προσέγγιση του ελαχίστου (την συμβολίζουμε ) παράγουν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle. Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθμών www.di.uoa.gr/~organosi 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα 2 3 Δεκαδικό και Δυαδικό Δυαδικό Σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση Υπολογιστών

Οργάνωση Υπολογιστών Οργάνωση Υπολογιστών Επιμέλεια: Γεώργιος Θεοδωρίδης, Επίκουρος Καθηγητής Ανδρέας Εμερετλής, Υποψήφιος Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές φορές δεν μπορούμε να αποφανθούμε για την τιμή του άπειρου αθροίσματος.

Μερικές φορές δεν μπορούμε να αποφανθούμε για την τιμή του άπειρου αθροίσματος. Σειρές Σειρές και μερικά αθροίσματα: Το πρόβλημα της άθροισης μιας σειράς άπειρων όρων είναι πολύ παλιό. Μερικές φορές μια τέτοια σειρά καταλήγει σε πεπερασμένο αποτέλεσμα, μερικές φορές απειρίζεται και

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2014 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2014 1 / 42 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος)

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) 1. Πως προσθέτουμε δυο πραγματικούς αριθμούς; Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 Συνεχή Κλάσματα Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 5 Νοεμβρίου 204 Ορισμός και ιδιότητες: Ορισμός: Έστω a 0, a, a 2,...a n ανεξάρτητες μεταβλητές, n N σχηματίζουν την ακολουθία {[a 0, a,..., a n ] : n N} όπου

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα #2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης

Παράδειγμα #2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης Παράδειγμα # ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης. Πως ορίζεται και τι σημαίνει ο όρος lop στους επιστημονικούς υπολογισμούς. Ο όρος lop (loatig poit operatio) συναντάται

Διαβάστε περισσότερα

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2 Άσκηση 75 Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν 04800 βακτήρια. Μετά από 1 ώρα υπάρχουν 10400 βακτήρια, μετά από ώρες 5100 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα. α) Πόσα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 68 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

και είναι παραγωγισιμη στο σημειο αυτό, τότε : f ( x 0

και είναι παραγωγισιμη στο σημειο αυτό, τότε : f ( x 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο 7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (Θεώρημα Frmat) Εστω μια συναρτηση ορισμενη σ ένα διαστημα Δ και ένα εσωτερικο σημειο του Δ Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 5: Αναδρομικές σχέσεις - Υπολογισμός Αθροισμάτων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για τον «Επιστηµονικό Υπολογισµό» Χειµερινό εξάµηνο Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Αιγαίου

Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για τον «Επιστηµονικό Υπολογισµό» Χειµερινό εξάµηνο Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Αιγαίου Τελευταία ενηµέρωση: 4 Ιανουαρίου 8 Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για τον «Επιστηµονικό Υπολογισµό» Χειµερινό εξάµηνο 6-7 -- Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Αιγαίου Οδηγίες για την 6 η άσκηση της 6 ης εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

1η Οµάδα Ασκήσεων. ΑΣΚΗΣΗ 1 (Θεωρία)

1η Οµάδα Ασκήσεων. ΑΣΚΗΣΗ 1 (Θεωρία) ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ KAI THΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ /5/007 η Οµάδα Ασκήσεων ΑΣΚΗΣΗ (Θεωρία). α) Έστω fl() x η παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε - ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε - ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού ΑΣΚΗΣΗ Το βάρος μαθητών σε κιλά είναι : 5, 5, 57, 5, 6, 5, 5, 5, 57, 5 Να υπολογίσετε : α ) τη μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα