5 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "5 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων"

Transcript

1 5 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ Πολλές από τις ποσότητες που μας ενδιαφέρουν μπορούν να υπολογιστούν μέσω ολοκληρωμάτων: όγκοι στερεών, μήκη καμπυλών, το έργο που απαιτείται για να αντλήσουμε κάποιο υγρό (π.χ. πετρέλαιο) από το υπέδαφος, οι δυνάμεις που ασκούνται σε υδατοφράκτες, οι συντεταγμένες των σημείων ισορροπίας στερεών αντικειμένων, κ.ά. Όλες αυτές τις ποσότητες τις ορίζουμε ως όρια αθροισμάτων Riemnn συνεχών συναρτήσεων σε κλειστά διαστήματα με άλλα λόγια, ως ολοκληρώματα και υπολογίζουμε τα όρια αυτά με τις μεθόδους του απειροστικού λογισμού. 5. Yπολογισµός όγκων µε διατµήσεις και περιστροφή γύρω από άξονα Yπολογισµός όγκων µε διατµήσεις Στερεά εκ περιστροφής: Kυκλικές διατοµές Στερεά εκ περιστροφής: ακτυλιοειδείς διατοµές Στην Eνότητα.3, Παράδειγμα 3, υπολογίσουμε τον όγκο σφαίρας διαμερίζοντάς την σε λεπτές «φέτες» σχεδόν κυλινδρικού σχήματος και αθροίζοντας τους όγκους των κυλίνδρων, οπότε καταλήξαμε να υπολογίζουμε ένα άθροισμα Riemnn. Aν είχαμε τις τωρινές μας γνώσεις στο σημείο εκείνο, θα συνεχίζαμε εκφράζοντας τον όγκο της σφαίρας ως ένα ορισμένο ολοκλήρωμα. Tώρα είμαστε σε θέση να υπολογίζουμε τον όγκο μιας μεγάλης ποικιλίας στερεών, με ολοκληρώματα. Yπολογισµός όγκων µε διατµήσεις Έστω ότι ζητούμε να υπολογίσουμε τον όγκο του στερεού του Σχήματος 5.. H διατομή του στερεού σε κάθε σημείο του διαστήματος [, b] είναι ένα χωρίο R() εμβαδού A(). Aν το A είναι συνεχής συνάρτηση του, μπορούμε να ορίσουμε τον όγκο του στερεού ως ολοκλήρωμα, που υπολογίζεται ως ακολούθως. Διατομή R( ). Eμβαδόν διατομής A(). b ΣΧΗΜΑ 5. Aν το εμβαδόν A() της διατομής R() είναι συνεχής συνάρτηση του, μπορούμε να υπολογίσουμε τον όγκο του στερεού ολοκληρώνοντας το A() από έως b. 38

2 38 Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων Eπίπεδο στο Προσεγγιστικός k κύλινδρος Eπίπεδο βάσεως R ( k ) στο k k k H βάση του κυλίνδρου είναι το χωρίο R( k ). EKTOΣ KΛIMAKAΣ ΣΧΗΜΑ 5. Mεγέθυνση της «φέτας» που «κόβουν» από το στερεό τα επίπεδα k και k. Φαίνεται επίσης ο κύλινδρος που προσεγγίζει τη φέτα του στερεού. Διαμερίζουμε το [, b] σε υποδιαστήματα μήκους και «κόβουμε» σε «φέτες» το στερεό, όπως θα κόβαμε ένα καρβέλι ψωμί, με επίπεδα κάθετα στον άξονα στα σημεία διαμερίσεως. H k-στή φέτα, η οποία περιέχεται μεταξύ των επιπέδων που διέρχονται από τα k και k, έχει περίπου ίσον όγκο με τον κύλινδρο που κείται μεταξύ των ίδιων επιπέδων και έχει ως βάση το χωρίο R( k ) (Σχήμα 5.). O όγκος του κυλίνδρου είναι V k εμβαδόν βάσης ύψος A( k ). Tο άθροισμα V k A( k ) προσεγγίζει τον όγκο του στερεού. Tο παραπάνω δεν είναι παρά ένα άθροισμα Riemnn της συνάρτησης A() στο διάστημα [, b], καθώς οι λεπτότητες των διαμερίσεων τείνουν στο μηδέν, αναμένουμε να βελτιώνονται οι προσεγγίσεις και έτσι ορίζουμε το ολοκλήρωμα που αποτελεί όριό τους ως τον όγκο του στερεού. Oρισµός Όγκος στερεού O όγκος στερεού με γνωστό και ολοκληρώσιμο εμβαδόν διατομής A() από έως b ισούται με το ολοκλήρωμα της συνάρτησης A από έως b, b V A() d. CD-ROM ικτυότοπος Για να εφαρμόσουμε τον τύπο αυτόν κινούμαστε ως εξής: Πώς υπολογίζουµε όγκους µε τη µέθοδο των διατµήσεων Bήµα. Σχεδιάζουμε το στερεό και μια τυπική διατομή του. Bήµα. Bρίσκουμε μια έκφραση της A(). Bήµα 3. Bρίσκουμε τα όρια ολοκλήρωσης. Bήµα. Oλοκληρώνουμε τη συνάρτηση A(), για να βρούμε τον όγκο. Παράδειγµα Όγκος πυραµίδας Tυπική διατομή 3 3 Mια πυραμίδα ύψους 3 m έχει τετράγωνη βάση πλευράς 3 m. H διατομή της πυραμίδας σε απόσταση m από την κορυφή της είναι ένα τετράγωνο πλευράς m. Bρείτε τον όγκο της πυραμίδας. Λύση 3 (m) Bήµα : Σκαρίφημα. Σχεδιάζουμε την πυραμίδα με άξονα συμμετρίας τον άξονα και κορυφή την αρχή των αξόνων, και κατασκευάζουμε μια τυπική διατομή (Σχήμα 5.3). ΣΧΗΜΑ 5.3 Oι διατομές της πυραμίδας του Παραδείγματος είναι τετράγωνα. Bήµα : Έκφραση του A(). H διατομή σε τυχόν είναι ένα τετράγωνο πλευράς m, με εμβαδόν A().

3 5.. Υπολογισµός όγκων µε διατµήσεις και περιστροφή γύρω από άξονα 383 Bήµα 3: Όρια ολοκλήρωσης. Oι τετράγωνες διατομές εκτείνονται από έως 3. Bήµα : Oλοκληρώνουμε για να βρούμε τον όγκο. V 3 A() d 3 d m 3 CD-ROM ικτυότοπος Βιογραφικά στοιχεία Bonventur Cvlieri (598-67) Παράδειγµα Tο θεώρηµα του Cvlieri Tο θεώρημα του Cvlieri μάς λέει ότι στερεά που έχουν ίσο ύψος και ταυτόσημα εμβαδά διατομής σε κάθε ύψος, καταλαμβάνουν ίσους όγκους (Σχήμα 5.). Aυτό έπεται αμέσως από τον ορισμό του όγκου, διότι τόσο η συνάρτηση εμβαδού διατομής A() όσο και το διάστημα [, b] συμπίπτουν για τα δύο στερεά. b Ίσοι όγκοι Ίσες επιφάνειες διατομής σε κάθε επίπεδο ΣΧΗΜΑ 5. Tο θεώρημα του Cvlieri: Tα στερεά αυτά έχουν ίσους όγκους. Mπορείτε να πεισθείτε γι αυτό συγκρίνοντας δυο στοίβες νομισμάτων , 9 ΣΧΗΜΑ 5.5 H σφηνοειδής βαθμίδα του Παραδείγματος 3, διατετμημένη κάθετα στον άξονα. Oι διατομές είναι ορθογώνια παραλληλόγραμμα. Παράδειγµα 3 Όγκος σφηνοειδούς βαθµίδας Δύο επίπεδα τέμνουν έναν κύλινδρο ακτίνας 3, αποκόπτοντας από αυτόν τη σφηνοειδή βαθμίδα που φαίνεται στο Σχήμα 5.5. Tο ένα επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κυλίνδρου. Tο άλλο επίπεδο τέμνει το πρώτο υπό γωνία 5 στο κέντρο του κυλίνδρου. Yπολογίστε τον όγκο της σφηνοειδούς βαθμίδας. Λύση Bήµα : Σκαρίφημα. Σχεδιάζουμε τη σφηνοειδή βαθμίδα και κατασκευάζουμε μια τυπική διατομή κάθετη στον άξονα (Σχήμα 5.5). Bήµα : Έκφραση του A(). H διατομή στο είναι ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο εμβαδού A()= (ύψος)(πλάτος) = () ( 9 ) = 9 τετραγωνικές μονάδες. Bήµα 3: Όρια ολοκλήρωσης. Oι ορθογώνιες διατομές εκτείνονται από έως 3. Bήµα : Oλοκληρώνουμε για να βρούμε τον όγκο. V b A() d 3 9 d

4 38 Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 3 (9 ) 3 / 3 Θέτουμε u 9, du d, ολοκληρώνουμε, και εκφράζουμε πάλι ως προς. 3 (9)3 / = 8 κυβικές μονάδες R() (α) Στερεά εκ περιστροφής: Kυκλικές διατοµές H κοινότερη εφαρμογή της μεθόδου των διατμήσεων αφορά στερεά εκ περιστροφής. Στερεά εκ περιστροφής είναι στερεά των οποίων το σχήμα παράγεται με την περιστροφή των επίπεδων χωρίων γύρω από άξονες. Tο μόνο που αλλάζει σε σχέση με πριν είναι η έκφραση του εμβαδού διατομής A(). Tώρα, η τυπική διατομή του στερεού σε διεύθυνση κάθετη στον άξονα περιστροφής, είναι ένας δίσκος ακτίνας R() και εμβαδού A() (ακτίνα) [R()]. Για τον λόγο αυτό, η συγκεκριμένη μέθοδος καλείται ενίοτε και μέθοδος των δίσκων. Aκολουθούν μερικά παραδείγματα. Παράδειγµα τον άξονα ) Στερεό εκ περιστροφής (Περιστροφή ως προς Tο χωρίο που περικλείεται από την καμπύλη,, και τον άξονα περιστρέφεται ως προς τον άξονα σχηματίζοντας ένα στερεό. Bρείτε τον όγκο του. Λύση Σχεδιάζουμε το χωρίο, μια τυπική ακτίνα, και το παραγόμενο στερεό εκ περιστροφής (Σχήμα 5.6). O όγκος ισούται με R() (β) V b p[r()] d p[ ] d = d = G R() = = () = 8 κυβικές μονάδες. Στο επόμενο παράδειγμα, άξονας περιστροφής δεν είναι ο άξονας, ωστόσο η μέθοδος υπολογισμού του όγκου δεν αλλάζει: Oλοκληρώνουμε την ποσότητα (ακτίνα), με κατάλληλα όρια ολοκλήρωσης. ΣΧΗΜΑ 5.6 Tο χωρίο (α) και το στερεό (β) του Παραδείγματος. Παράδειγµα 5 Στερεό εκ περιστροφής (Περιστροφή ως προς την ευθεία ) Bρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται περιστρέφοντας ως προς την ευθεία το χωρίο που φράσσεται από την και από τις ευθείες,. Λύση Σχεδιάζουμε το χωρίο, μια τυπική ακτίνα, και το παραγόμενο στερεό εκ περιστροφής (Σχήμα 5.7). O όγκος του ισούται με V p[r()] d p d R() =

5 5.. Υπολογισµός όγκων µε διαρµήσεις και περιστροφή γύρω από άξονα 385 R() p d = C 3/ + G = 7 κυβικές μονάδες. 3 6 R() (α) (, ) Eύρεση όγκων για κυκλικές διατοµές (µέθοδος των δίσκων) Bήµα. Σχεδιάζουμε το χωρίο και βρίσκουμε τη συνάρτηση ακτίνας R(). Bήµα. Tετραγωνίζουμε την R() και πολλαπλασιάζουμε με. Bήµα 3. Oλοκληρώνουμε για να βρούμε τον όγκo. CD-ROM ικτυότοπος (β) (, ) ΣΧΗΜΑ 5.7 Tο χωρίο (α) και το στερεό (β) του Παραδείγματος 5. Για να βρούμε τον όγκο που παράγεται αν περιστρέψουμε ως προς τον άξονα ένα χωρίο που περικλείεται από τον άξονα και την καμπύλη R( ), c d, εφαρμόζουμε την ίδια μέθοδο αλλά με το στη θέση του. Στην περίπτωση αυτή, η κυκλική διατομή έχει εμβαδόν A( ) [ακτίνα] [R()]. Παράδειγµα 6 Περιστροφή ως προς τον άξονα Bρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται αν περιστρέψουμε ως προς τον άξονα το χωρίο που περικλείεται από τον άξονα και από την καμπύλη /,. Λύση Σχεδιάζουμε το χωρίο, μια τυπική ακτίνα, και το παραγόμενο στερεό εκ περιστροφής (Σχήμα 5.8). O όγκος ισούται με V p[r()] d p p d d p p 3 = 3 κυβικές μονάδες R() = R() (α), R() (β) ΣΧΗΜΑ 5.8 Tο χωρίο (α) και το στερεό (β) του Παραδείγματος 6.

6 386 Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων R() 3 ( ) (3, ) Παράδειγµα 7 Περιστροφή ως προς κατακόρυφο άξονα Bρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται αν περιστρέψουμε ως προς την ευθεία 3 το χωρίο που περικλείεται από την παραβολή και από την ευθεία 3. R() 3 (α) 3 (β) (3, ) 3 5 ΣΧΗΜΑ 5.9 Tο χωρίο (α) και το στερεό (β) του Παραδείγματος 7. Λύση Σχεδιάζουμε το χωρίο, μια τυπική ακτίνα, και το παραγόμενο στερεό εκ περιστροφής (Σχήμα 5.9). O όγκος ισούται με V p p[r()] d p[ ] d [ ] d p = 6 5 Στερεά εκ περιστροφής: ακτυλιοειδείς διατοµές R() = 3 ( + ) = Aν το περιστρεφόμενο χωρίο δεν τέμνει ούτε συνορεύει με τον άξονα περιστροφής, τότε το στερεό παρουσιάζει μια εσωτερική διαμπερή κοιλότητα (είναι «κούφιο») (Σχήμα 5.). Oι κάθετες στον άξονα περιστροφής διατομές είναι κυκλικοί δακτύλιοι και όχι κυκλικοί δίσκοι. Oι διαστάσεις ενός τυπικού δακτυλίου είναι Eξωτερική ακτίνα: R() Eσωτερική ακτίνα: r() Tο εμβαδόν κάθε κυκλικού δακτυλίου είναι A() [R()] [r()] ([R()] [r()] ). κυβικές μονάδες. = R() = r() = R() = r() b ΣΧΗΜΑ 5. Oι διατομές του στερεού εκ περιστροφής εδώ είναι κυκλικοί δακτύλιοι, όχι δίσκοι, κι έτσι το ολοκλήρωμα A() d καταλήγει σε διαφορετική μαθηματική έκφραση απ ό,τι παίρναμε ώς τώρα. b Παράδειγµα 8 τον άξονα ) ακτυλιοειδής διατοµή (Περιστροφή ως προς Tο χωρίο που φράσσεται από την καμπύλη και την ευθεία 3 περιστρέφεται ως προς τον άξονα. Bρείτε τον όγκο του στερεού εκ περιστροφής.

7 5.. Υπολογισµός όγκων µε διατµήσεις και περιστροφή γύρω από άξονα 387 R() 3 (, 5) r() Διάστημα ολοκλήρωσης 3 (, ) ΣΧΗΜΑ 5. Tο χωρίο του Παραδείγματος 8, καθώς διατρέχεται από ένα ευθύγραμμο τμήμα κάθετο στον άξονα περιστροφής. Με την περιστροφή του χωρίου ως προς τον άξονα, το ευθύγραμμο τμήμα σαρώνει την επιφάνεια ενός κυκλικού δακτυλίου. R() 3 (, 5) r() (, ) Λύση Bήµα : Σχεδιάζουμε το χωρίο καθώς και ένα ευθύγραμμο τμήμα που το διατρέχει κάθετα στον άξονα περιστροφής (στο Σχήμα 5., το ευθύγραμμο τμήμα είναι κόκκινο). Bήµα : Bρίσκουμε τα όρια ολοκλήρωσης προσδιορίζοντας τις συντεταγμένες των σημείων τομής της καμπύλης με το ευθύγραμμο τμήμα (Σχήμα 5.). Bήµα 3: Bρίσκουμε την εξωτερική και την εσωτερική ακτίνα της δακτυλιοειδούς διατομής που σαρώνεται από το ευθύγραμμο τμήμα αν αυτό περιστραφεί ως προς τον άξονα. (Στο Σχήμα 5. σχεδιάσαμε τη διατομή, αλλά εσείς δεν είναι απαραίτητο να το κάνετε αυτό όταν λύνετε ασκήσεις.) Oι ακτίνες αυτές ορίζονται αντίστοιχα από τη μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση των άκρων του ευθύγραμμου τμήματος από τον άξονα περιστροφής. Eξωτερική ακτίνα: R() 3 Eσωτερική ακτίνα: r() Bήµα : Yπολογίζουμε το ολοκλήρωμα όγκου. V b p([r()] [r()] ) d 3 ( )( ), p(( 3) ( ) ) d p(8 6 ) d Oι τιμές που βρήκαμε στα βήματα και 3 Yψώνουμε στο τετράγωνο και αναδιατάσσουμε = = 7 5 κυβικές μονάδες. Δακτυλιοειδής διατομή Eξωτερική ακτίνα: R() 3 Eσωτερική ακτίνα: r() ΣΧΗΜΑ 5. H εσωτερική και η εξωτερική ακτίνα του δακτυλίου που σαρώνεται από το ευθύγραμμο τμήμα του Σχήματος 5.. Για την εύρεση όγκου στερεού που παράγεται κατά την περιστροφή ως προς τον άξονα, χρησιμοποιούμε την ίδια διαδικασία, αλλά ολοκληρώνουμε ως προς αντί ως προς. Tο εμβαδόν του δακτυλίου είναι R r. r R Πώς βρίσκουµε όγκους στερεών µε δακτυλιοειδείς διατοµές Bήµα. Σχεδιάζουμε το χωρίο, καθώς και ένα ευθύγραμμο τμήμα που το διατρέχει και είναι κάθετο στον άξονα περιστροφής. Kαθώς το χωρίο περιστρέφεται, το ευθύγραμμο τμήμα θα διαγράψει μια τυπική δακτυλιοειδή διατομή του παραγόμενου στερεού. Bήµα. Bρίσκουμε τα όρια ολοκλήρωσης. Bήµα 3. Bρίσκουμε την εξωτερική και την εσωτερική ακτίνα του δακτυλίου που σαρώνει το ευθύγραμμο τμήμα. Bήµα. Oλοκληρώνουμε, για να βρούμε τον όγκo.

8 388 Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων Παράδειγµα 9 τον άξονα ) ακτυλιοειδής διατοµή (περιστροφή ως προς Tο χωρίο που φράσσεται από την παραβολή και την ευθεία στο πρώτο τεταρτημόριο περιστρέφεται ως προς τον άξονα. Bρείτε τον όγκο του παραγόμενου στερεού. Λύση Bήµα : Σχεδιάζουμε το χωρίο, καθώς και ένα ευθύγραμμο τμήμα που το διατρέχει κάθετα στον άξονα περιστροφής, ο οποίος στην περίπτωσή μας είναι ο άξονας (Σχήμα 5.3). Διάστημα ολοκλήρωσης R() r() δηλ. δηλ. (, ) ΣΧΗΜΑ 5.3 Tο χωρίο, τα όρια ολοκλήρωσης, και οι ακτίνες του δακτυλίου του Παραδείγματος 9. Bήµα : H ευθεία και η παραβολή τέμνονται στα σημεία και, άρα τα όρια ολοκλήρωσης είναι c και d. Bήµα 3: Oι ακτίνες του δακτυλίου που σαρώνεται από το ευθύγραμμο τμήμα είναι R(), r( ) / (Σχήματα 5.3 και 5.). Bήµα : Oλοκληρώνουμε για να βρούμε τον όγκο: V d p([r()] [r()] ) d c r() p d = R() d = 3 Oι τιμές που βρήκαμε στα βήματα και 3 = 8 κυβικές μονάδες. 3 ΣΧΗΜΑ 5. H δακτυλιοειδής διατομή που σαρώνεται από το ευθύγραμμο τμήμα στο Σχήμα 5.3. AΣΚΗΣΕΙΣ 5. Eµβαδά διατοµών Στις Aσκήσεις και, βρείτε έναν τύπο για το εμβαδόν A() των διατομών του στερεού που είναι κάθετες στον άξονα.. Tο στερεό κείται μεταξύ επιπέδων που τέμνουν κάθετα τον άξονα στα σημεία και. Σε όλες τις περιπτώσεις, οι κάθετες στον άξονα διατομές του στερεού εκτείνονται από το ημικύκλιο έως το ημικύκλιο. (α) Oι διατομές είναι κυκλικοί δίσκοι που τέμνονται σε ίσα μέρη από το επίπεδο.

9 5.. Υπολογισµός όγκων µε διατµήσεις και περιστροφή γύρω από άξονα 389 (β) Oι διατομές είναι τετράγωνα με βάσεις που κείνται στο επίπεδο. (γ) Oι διατομές είναι τετράγωνα με διαγωνίους που κείνται στο επίπεδο. (δ) Oι διατομές είναι ισόπλευρα τρίγωνα με βάσεις που κείνται στο επίπεδο. (γ) Oι διατομές είναι τετράγωνα με διαγωνίους που κείνται στο επίπεδο. (Tο μήκος της διαγωνίου κάθε τετραγώνου ισούται με επί το μήκος της πλευράς.) Yπολογισµός όγκων µε διατµήσεις Bρείτε τους όγκους των στερεών στις Aσκήσεις Tο στερεό κείται μεταξύ επιπέδων που τέμνουν κάθετα τον άξονα στα σημεία και. Oι κάθετες στον άξονα διατομές του στερεού είναι τετράγωνα με διαγωνίους που εκτείνονται από την παραβολή έως την παραβολή.. Tο στερεό κείται μεταξύ επιπέδων που τέμνουν κάθετα τον άξονα στα σημεία και. Oι κάθετες στον άξονα διατομές του στερεού είναι κυκλικοί δίσκοι με διαμέτρους που εκτείνονται από την παραβολή έως την παραβολή. (δ) Oι διατομές είναι ισόπλευρα τρίγωνα με βάσεις που κείνται στο επίπεδο.. Tο στερεό κείται μεταξύ επιπέδων που είναι κάθετα στον άξονα στα σημεία και. Oι κάθετες στον άξονα διατομές του στερεού εκτείνονται από την παραβολή έως την παραβολή. (α) Oι διατομές είναι κυκλικοί δίσκοι που τέμνονται σε ίσα μέρη από το επίπεδο. 5. Tο στερεό κείται μεταξύ επιπέδων που τέμνουν κάθετα τον άξονα στα σημεία και. Oι κάθετες στον άξονα διατομές του στερεού είναι τετράγωνα με βάσεις που εκτείνονται από το ημικύκλιο έως το ημικύκλιο. 6. Tο στερεό κείται μεταξύ επιπέδων που τέμνουν κάθετα τον άξονα στα σημεία και. Oι κάθετες στον άξονα διατομές του στερεού είναι τετράγωνα με διαγωνίους που εκτείνονται από το ημικύκλιο έως το ημικύκλιο. 7. H βάση του στερεού είναι το χωρίο μεταξύ της καμπύλης sin και του διαστήματος [, ] στον άξονα. Oι κάθετες στον άξονα διατομές του στερεού είναι (α) ισόπλευρα τρίγωνα με βάσεις που εκτείνονται από τον άξονα έως την καμπύλη, όπως φαίνεται στο σχήμα sin (β) Oι διατομές είναι τετράγωνα με βάσεις που κείνται στο επίπεδο. (β) τετράγωνα με βάσεις που εκτείνονται από τον άξονα έως την καμπύλη. 8. Tο στερεό κείται μεταξύ επιπέδων που τέμνουν κάθετα τον άξονα στα σημεία / 3 και / 3. Oι κάθετες στον άξονα διατομές του στερεού είναι (α) κυκλικοί δίσκοι με διαμέτρους που εκτείνονται από την καμπύλη tn έως την καμπύλη sec (β) τετράγωνα με βάσεις που εκτείνονται από την κα-

10 39 Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων μπύλη tn έως την καμπύλη sec. 9. Tο στερεό κείται μεταξύ επιπέδων που τέμνουν κάθετα τον άξονα στα σημεία και. Oι κάθετες στον άξονα διατομές του στερεού είναι κυκλικοί δίσκοι με διαμέτρους που εκτείνονται από τον άξονα έως την παραβολή 5.. H βάση του στερεού είναι ο κυκλικός δίσκος. Oι κάθετες στον άξονα διατομές του στερεού είναι ισοσκελή ορθογώνια τρίγωνα με τη μία τους πλευρά επί του δίσκου. 3. Περιστροφή ως προς τον άξονα. Περιστροφή ως προς τον άξονα 3/. Ένα σπειροειδές στερεό Ένα τετράγωνο μήκους s κείται σε επίπεδο κάθετο στην ευθεία L. Mια κορυφή του τετραγώνου ανήκει στην ευθεία L. Mετακινούμε το τετράγωνο κατά μήκος h επί της L, ενώ ταυτόχρονα το περιστρέφουμε μια πλήρη φορά περί την L, παράγοντας έτσι μία στήλη με σπειροειδείς πτυχώσεις (όπως το τιρμπουσόν) και τετράγωνες διατομές. (α) Nα βρεθεί ο όγκος της στήλης. (β) Mάθετε γράφοντας Πόσος θα είναι ο όγκος αν γίνουν δύο πλήρεις περιστροφές αντί μίας; Aιτιολογήστε την απάντησή σας.. Mάθετε γράφοντας Ένα στερεό κείται μεταξύ επιπέδων που τέμνουν κάθετα τον άξονα στα σημεία και. Oι διατομές είναι κυκλικοί δίσκοι με διαμέτρους που εκτείνονται από την ευθεία / έως την ευθεία όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα. Eξηγήστε για ποιον λόγο το στερεό αυτό έχει ίσο όγκο με τον ορθό κυκλικό κώνο ακτίνας βάσης 3 και ύψους. Στερεά εκ περιστροφής: Kυκλικές διατοµές Στις Aσκήσεις 3-6, βρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται αν περιστρέψουμε το σκιασμένο χωρίο ως προς τον εκάστοτε άξονα. 5. Περιστροφή ως προς τον άξονα 3 6. Περιστροφή ως προς τον άξονα tn sin cos Στις Aσκήσεις 7-, βρείτε τους όγκους των στερεών που παράγονται αν περιστρέψουμε ως προς τον άξονα τα χωρία που φράσσονται από τις ευθείες και τις καμπύλες που δίδονται. 7.,, 8. 3,, 9. 9,.,. cos, /,,. sec,, /, / Στις Aσκήσεις 3 και, βρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται αν περιστρέψουμε το εκάστοτε χωρίο ως προς την ευθεία που δίδεται. 3. Tο χωρίο ανήκει στο πρώτο τεταρτημόριο και φράσσεται άνωθεν από την ευθεία, κάτωθεν από την καμπύλη sec tn, και εξ αριστερών από τον άξονα. Άξονας περιστροφής είναι η ευθεία.. Tο χωρίο ανήκει στο πρώτο τεταρτημόριο και φράσσεται άνωθεν από την ευθεία, κάτωθεν από την καμπύλη sin, /, και εξ αριστερών από τον άξονα. Άξονας περιστροφής είναι η ευθεία. Στις Aσκήσεις 5-3, βρείτε τους όγκους των στερεών που παράγονται αν περιστρέψουμε ως προς τον άξονα τα χω- CD-ROM ικτυότοπος

11 5.. Υπολογισµός όγκων µε διατµήσεις και περιστροφή γύρω από άξονα 39 CD-ROM ικτυότοπος ρία που φράσσονται από τις ευθείες και τις καμπύλες που δίδονται. 5. Tο χωρίο περικλείεται από τις 5,,, 6. Tο χωρίο περικλείεται από τις 3 /,, 7. Tο χωρίο περικλείεται από τις sin, /, 8. Tο χωρίο περικλείεται από τις cos (p/ ),, 9. ( / ),,, 3 3. / ( ),, Στερεά εκ περιστροφής: ακτυλιοειδείς διατοµές Στις Aσκήσεις 3 και 3, βρείτε τους όγκους των στερεών που παράγονται αν περιστρέψουμε τα γραμμοσκιασμένα χωρία ως προς τον εκάστοτε άξονα. 3. Άξονας 3. Άξονας tn cos Στις Aσκήσεις 33-38, βρείτε τους όγκους των στερεών που παράγονται αν περιστρέψουμε ως προς τον άξονα τα χωρία που φράσσονται από τις ευθείες και τις καμπύλες που δίδονται. 33.,, 3.,, 35., 3 36., 37. sec,, / / 38. sec, tn,, Στις Aσκήσεις 39-, βρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται αν περιστρέψουμε το εκάστοτε χωρίο ως προς τον άξονα. 39. Tο χωρίο περικλείεται από τρίγωνο με κορυφές τα σημεία (, ), (, ), και (, ). Tο χωρίο περικλείεται από τρίγωνο με κορυφές τα σημεία (, ), (, ), και (, ). Tο χωρίο ανήκει στο πρώτο τεταρτημόριο και φράσσεται άνωθεν από την παραβολή, κάτωθεν από τον άξονα, και εκ δεξιών από την ευθεία.. Tο χωρίο ανήκει στο πρώτο τεταρτημόριο και φράσσεται εξ αριστερών από τον κύκλο 3, εκ δεξιών από την ευθεία 3, και άνωθεν από την ευθεία 3. Στις Aσκήσεις 3 και, βρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται αν περιστρέψουμε ως προς τον εκάστοτε άξονα το χωρίο που δίδεται. 3. Tο χωρίο ανήκει στο πρώτο τεταρτημόριο και φράσσεται άνωθεν από την καμπύλη, κάτωθεν από τον άξονα, και εκ δεξιών από την ευθεία. Άξονας περιστροφής είναι η ευθεία.. Tο χωρίο ανήκει στο δεύτερο τεταρτημόριο και φράσσεται άνωθεν από την καμπύλη 3, κάτωθεν από τον άξονα, και εξ αριστερών από την ευθεία. Άξονας περιστροφής είναι η ευθεία. Όγκοι στερεών εκ περιστροφής 5. Bρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται αν περιστρέψουμε ως προς τον εκάστοτε άξονα το χωρίο που φράσσεται από την καμπύλη και τις ευθείες και. (α) Περιστροφή ως προς τον άξονα. (β) Περιστροφή ως προς τον άξονα. (γ) Περιστροφή ως προς την ευθεία. (δ) Περιστροφή ως προς την ευθεία. 6. Bρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται αν περιστρέψουμε ως προς τον εκάστοτε άξονα το τριγωνικό χωρίο που φράσσεται από τις ευθείες,, και. (α) Περιστροφή ως προς την ευθεία. (β) Περιστροφή ως προς την ευθεία. 7. Bρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται αν περιστρέψουμε ως προς τον εκάστοτε άξονα το χωρίο που φράσσεται από την παραβολή και την ευθεία. (α) Περιστροφή ως προς την ευθεία. (β) Περιστροφή ως προς την ευθεία. (γ) Περιστροφή ως προς την ευθεία. 8. Eκτελώντας την κατάλληλη ολοκλήρωση, βρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται αν περιστρέψουμε το τριγωνικό χωρίο που έχει κορυφές τα σημεία (, ), (b, ), (, h), ως προς (α) τον άξονα (β) τον άξονα. Θεωρία και εφαρµογές 9. Όγκος σπείρας O κυκλικός δίσκος περιστρέφεται ως προς την ευθεία b (b ) παράγοντας έτσι ένα στερεό σχήματος σαμπρέλας που καλείται σπείρα. Bρείτε τον όγκο του. (Yπόδειξη: d /, αφού το ολοκλήρωμα αυτό δεν είναι παρά το εμβαδόν ημικυκλικού χωρίου ακτίνας.) 5. Όγκος ενός µπωλ Tο σχήμα ενός μπωλ μπορεί να παραχθεί αν περιστρέψουμε ως προς τον άξονα το τμήμα της καμπύλης / από έως 5. (α) Bρείτε τον όγκο του μπωλ.

12 39 Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων (β) Συναφείς ρυθµοί Aν γεμίζουμε το μπωλ με νερό, έχοντας σταθερό ρυθμό 3 κυβικών μονάδων μήκους ανά δευτερόλεπτο, πόσο γρήγορα θα ανεβαίνει η στάθμη του νερού όταν το νερό έχει βάθος μονάδες μήκους; 5. Όγκος ενός µπωλ (α) Ένα ημισφαιρικό μπωλ ακτίνας περιέχει νερό σε βάθος h. Bρείτε τον όγκο του νερού μέσα στο μπωλ. (β) Συναφείς ρυθμοί Σε ένα τσιμεντένιο ημισφαιρικό μπωλ ακτίνας 5 m που βυθίζεται, εισρέει νερό με ρυθμό, m 3 / sec. Πόσο γρήγορα ανέρχεται η στάθμη του νερού στο μπωλ όταν το νερό έχει βάθος m; 5. Mάθετε γράφοντας Eξηγήστε πώς θα μπορούσαμε να εκτιμήσουμε τον όγκο ενός στερεού εκ περιστροφής αν μετρούσαμε τη σκιά του στερεού που σχηματίζεται σε ένα τραπέζι παράλληλο προς τον άξονα περιστροφής από φωτεινή πηγή που βρίσκεται ακριβώς πάνω από το στερεό. 53. Όγκος ηµισφαιρίου Αποδείξτε τον τύπο V (/ 3) R 3 του όγκου ημισφαιρίου ακτίνας R, συγκρίνοντας τις διατομές του με τις διατομές στερεού ορθού κυκλικού κυλίνδρου ακτίνας R και ύψους R, από τον οποίο αποκόπτουμε έναν στερεό ορθό κυκλικό κώνο ακτίνας βάσης R και ύψους R, όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα. h R h R 5. Συµφωνία τύπων όγκων Oι τύποι όγκων που χρησιμοποιούμε στον απειροστικό λογισμό συμφωνούν με τους καθιερωμένους τύπους που μας είναι γνωστοί από τη γεωμετρία, υπό την έννοια ότι εφαρμοζόμενοι στα ίδια συστήματα δίδουν το ίδιο αποτέλεσμα. (α) Για παράδειγμα, δείξτε ότι αν περιστρέψουμε ως προς τον άξονα το χωρίο που περικλείεται από το ημικύκλιο και τον άξονα, οπότε παράγεται μια στερεά σφαίρα, τότε ο τύπος του όγκου που αναφέραμε στην αρχή της παρούσας ενότητας θα δώσει αποτέλεσμα (/ 3) 3, ως όφειλε. (β) Mε μεθόδους απειροστικού λογισμού βρείτε τον όγκο του ορθού κυκλικού κώνου ύψους h και ακτίνας βάσης r. 55. Σχεδιάζοντας ένα wok Σας έχει ανατεθεί η σχεδίαση ενός wok (είδος κινέζικου λεκανοειδούς τηγανιού), που έχει σχήμα ημισφαιρικού μπωλ με χειρολαβές. Mετά από μερικούς πειραματισμούς συμπεραίνετε ότι μπορείτε να σχεδιάσετε ένα wok χωρητικότητας περίπου 3 L, αν του δώσετε βάθος 9 cm και ακτίνα βάσης 6 cm. Για να βεβαιωθείτε, φαντάζεστε το wok σαν ένα στερεό εκ περιστροφής, του οποίου τον όγκο υπολογίζετε με ολοκλήρωμα. Mε ακρίβεια ενός τετραγωνικού εκατοστού, πόσον όγκο βρίσκετε; ( L cm 3.) R h h 56. Σχεδίαση βαριδίου εκκρεµούς Σας έχει ανατεθεί η σχεδίαση ενός ορειχάλκινου (μπρούντζινου) βαριδίου εκκρεμούς, βάρους περίπου 9 g. Aποφασίζετε να του δώσετε το σχήμα του στερεού εκ περιστροφής που φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα. Bρείτε τον όγκο του βαριδίου. Aν το συγκεκριμένο μείγμα μετάλλου που δουλεύετε έχει πυκνότητα 8,5 g/ cm 3, πόσο ζυγίζει το βαρίδιο (με ακρίβεια ενός γραμμαρίου); 57. M-min H τοξοειδής καμπύλη sin,, περιστρέφεται ως προς την ευθεία c, c, παράγοντας το στερεό που φαίνεται στο επόμενο σχήμα. (α) Bρείτε την τιμή του c που ελαχιστοποιεί τον όγκο του στερεού. Ποιος είναι ο ελάχιστος όγκος; (β) Για ποια τιμή του c στο διάστημα [, ] μεγιστοποιείται ο όγκος του στερεού; T (γ) Mάθετε γράφοντας Παραστήστε γραφικά τον όγκο του στερεού συναρτήσει του c, πρώτα για c και κατόπιν σε μεγαλύτερο πεδίο ορισμού για το c. Tι παθαίνει ο όγκος του στερεού καθώς το c απομακρύνεται από το διάστημα [, ]; Eίναι αυτό αναμενόμενο από φυσική άποψη; Aιτιολογήστε τις απαντήσεις σας. c (cm) 6 7 = sin (cm) cm βάθος (cm) 6 (cm) = c

13 5.. Υπολογισµός όγκων µε διατµήσεις και περιστροφή γύρω από άξονα Eφεδρική δεξαµενή καυσίµου Σχεδιάζετε μια εφεδρική δεξαμενή καυσίμου που πρόκειται να τοποθετηθεί κάτω από την κύρια δεξαμενή καυσίμου ενός ελικοπτέρου, ώστε αυτό να αυξήσει την ακτίνα δράσης του. Mετά από μερικούς πειραματισμούς στο σχεδιαστήριο, καταλήγετε να δώσετε στη δεξαμενή το σχήμα της επιφάνειας που παράγεται περιστρέφοντας την καμπύλη ( / 6),, ως προς τον άξονα (οι διαστάσεις είναι σε m). (α) Πόση θα είναι η χωρητικότητα της δεξαμενής σε κυβικά μέτρα (με προσέγγιση ενός κυβικού μέτρου); (β) Ένα κυβικό μέτρο χωρά λίτρα. Aν το ελικόπτερο διανύει,85 km για κάθε λίτρο καυσίμου, τότε πόσα επιπλέον km (με ακρίβεια ενός km) θα μπορεί να πετάξει το ελικόπτερο μετά την τοποθέτηση της εφεδρικής δεξαμενής; 59. οχείο Θέλουμε να εκτιμήσουμε τον όγκο ενός μικρού δοχείου αρώματος, με μόνα εργαλεία ένα κομπιουτεράκι, έναν σπάγγο, κι έναν κανόνα. Mετρούμε το ύψος του δοχείου και το βρίσκουμε ίσο με 6 cm. Kατόπιν χρησιμοποιούμε τον σπάγγο και τον κανόνα για να βρούμε τις διαδοχικές περιφέρειες του δοχείου (σε cm), μετρώντας ανά κατακόρυφα διαστήματα του μισού cm. (Kαταγράφουμε τις μετρήσεις μας καθώς διατρέχουμε το δοχείο από πάνω προς τα κάτω.) 6 Περιφέρειες 5,,8,5,6,,6 5,,8 6,3 9, 7,8 6,3 9, (α) Bρείτε τα εμβαδά των διατομών που αντιστοιχούν στις παραπάνω περιφέρειες. (β) Eκφράστε τον όγκο του δοχείου ως ολοκλήρωμα ως προς στο διάστημα [, 6]. (γ) Προσεγγίστε το ολοκλήρωμα κάνοντας χρήση του κανόνα του τραπεζίου με n. (δ) Mάθετε γράφοντας Προσεγγίστε το ολοκλήρωμα κάνοντας χρήση του κανόνα Simpson με n. Ποια από τις δύο προσεγγίσεις εμπιστεύεστε περισσότερο; Aιτιολογήστε την απάντησή σας. 6. Eκτόπισµα ιστιοφόρου Προκειμένου να βρούμε τον όγκο του νερού που εκτοπίζει ένα ιστιοφόρο, διαμερίζουμε την ίσαλη γραμμή σε ισομήκη υποδιαστήματα, μετράμε το εμβαδόν διατομής A() του βυθισμένου τμήματος του σκάφους σε κάθε σημείο διαμέρισης, και χρησιμοποιούμε τον κανόνα Simpson για να εκτιμήσουμε την τιμή του ολοκληρώματος του A() από την αρχή μέχρι το τέλος της ίσαλης γραμμής. O ακόλουθος πίνακας παραθέτει μετρήσεις που έγιναν στους «σταθμούς» έως, όπως καλούνται τα σημεία διαμέρισης, για το ιστιοφόρο ονόματι Pipedrem, τύπου «σλέπι» (ή «κέρκουρος», είδος μονοκάταρτου καϊκιού) που φαίνεται εδώ. Tο μήκος των υποδιαστημάτων (απόσταση μεταξύ διαδοχικών σταθμών) είναι h,77 m (α) Eκτιμήστε τον όγκο του εκτοπιζόμενου νερού (εκτόπισμα) του Pipedrem, με ακρίβεια ενός κυβικού μέτρου. Σταθμός Bυθισμένη επιφάνεια (m ),,36 3,73,3 5, 6,5 7,3 8,86 9,3 (β) Tα δεδομένα του πίνακα αναφέρονται σε θαλασσινό νερό, πυκνότητας 5 kg/m 3. Πόσο είναι το εκτόπισμα (σε kg) του Pipedrem; (Oι μετρήσεις προέρχονται από το βιβλίο Skene s Elements of Ycht Design του Frncis S. Kinne (Dodd, Med, 96.) (γ) Πρισµατικοί συντελεστές O πρισματικός συντελεστής σκάφους είναι ο λόγος του εκτοπίσματος προς τον όγκο ενός πρίσματος το οποίο έχει ύψος ίσο με το μήκος της ίσαλης γραμμής και βάση ίση με το εμβαδόν της μέγιστης βυθισμένης διατομής του σκάφους. Tα καλύτερα ιστιοφόρα έχουν πρισματικούς συντελεστές που κυμαίνονται από,5 έως,5. Bρείτε τον πρισματικό συντελεστή του Pipedrem, αν η ίσαλη γραμμή έχει μήκος 7,7 m και η μέγιστη βυθισμένη διατομή έχει εμβαδόν,5 m (στον Σταθμό 6).

14 39 Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 5. Mοντέλα όγκων µε χρήση κυλινδρικών φλοιών Yπολογισµός όγκων µε κυλινδρικούς φλοιούς O τύπος των φλοιών 3 Yπάρχει άλλος ένας τρόπος υπολογισμού όγκων στερεών εκ περιστροφής, που αποβαίνει χρήσιμος σε περιπτώσεις στις οποίες ο άξονας περιστροφής είναι κάθετος στον άξονα που περιέχει το «φυσικό» διάστημα ολοκλήρωσης. Aντί να αθροίζουμε τους όγκους λεπτών φετών, αθροίζουμε όγκους λεπτών κυλινδρικών φλοιών (κελυφών) οι οποίοι εφαρμόζουν ο ένας στον άλλο, καθώς κινούμαστε από τον άξονα περιστροφής προς τα έξω, ακριβώς όπως οι δακτύλιοι ενός δέντρου. Άξονας περιστροφής 3 (Σχεδιάστηκε με Mthemtic) ΣΧΗΜΑ 5.5 Γραφική παράσταση του χωρίου του Παραδείγματος, πριν την περιστροφή. Άξονας περιστροφής 3 ΣΧΗΜΑ 5.6 Tο χωρίο του Σχήματος 5.5 περιστρέφεται ως προς την ευθεία σχηματίζοντας ένα στερεό «κέικ». Tο φυσικό διάστημα ολοκλήρωσης είναι κατά μήκος του άξονα, κάθετο στον άξονα περιστροφής. (Παράδειγμα ) k 3 ΣΧΗΜΑ 5.7 Aποκόπτουμε λεπτούς κυλινδρικούς φλοιούς, από μέσα προς τα έξω. Kάθε φλοιός βρίσκεται στη θέση k μεταξύ και 3 και έχει πάχος. (Παράδειγμα ) Yπολογισµός όγκων µε κυλινδρικούς φλοιούς Aκολουθεί ένα παράδειγμα χρήσης λεπτών κυλινδρικών φλοιών για την εύρεση του όγκου ενός στερεού. Παράδειγµα Eύρεση όγκου µε χρήση φλοιών Tο χωρίο που περικλείεται από τον άξονα και από την παραβολή f() 3 περιστρέφεται ως προς την ευθεία παράγοντας ένα στερεό (Σχήματα 5.5 και 5.6), του οποίου ζητείται ο όγκος. Λύση Aν προσπαθούσαμε εδώ να ολοκληρώσουμε ως προς θα αντιμετωπίζαμε δυσκολίες, αφού δεν είναι εύκολο να φέρουμε τη δοθείσα παραβολική εξίσωση σε μορφή που να δίδει το συναρτήσει του. (Για να δείτε τι εννοούμε, προσπαθήστε να υπολογίσετε τον όγκο χρησιμοποιώντας δακτυλιοειδείς διατομές.) Για να ολοκληρώσουμε ως προς, θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε κυλινδρικούς φλοιούς, που σημαίνει ότι «κόβουμε» το στερεό κατά έναν διαφορετικό τρόπο. Bήµα : Aντί να διατμήσουμε σε λεπτά σφηνοειδή τεμάχια (όπως κόβουμε συνήθως το κέικ με το μαχαίρι), αποκόπτουμε κυλινδρικούς φλοιούς ως εξής. Mε το μαχαίρι κατακόρυφο (παράλληλο στον άξονα περιστροφής) κάνουμε μια κυκλική τομή του στερεού κοντά στην εσωτερική τρύπα. Φτιάξαμε ήδη τον πρώτο κυλινδρικό μας φλοιό. Kατόπιν κόβουμε άλλον ένα κυλινδρικό φλοιό, με την ίδια διαδικασία, δηλαδή με κυκλική τομή κοντά στη (μεγαλύτερη τώρα) τρύπα στο εσωτερικό του στερεού, κ.ο.κ. Oι ακτίνες των κυλίνδρων σταδιακά αυξάνονται, και τα ύψη τους ακολουθούν το περίγραμμα της παραβολής: από μικρά που είναι μεγαλώνουν αρχικά, και κατόπιν μικραίνουν πάλι (Σχήμα 5.7). Kάθε φλοιός έχει πάχος. H ακτίνα του ισούται περίπου με ( k ), και το ύψος του είναι περίπου 3 k k. Bήµα : Aν ξετυλίξουμε τον κύλινδρο που βρίσκεται στο σημείο k και τον απλώσουμε στο επίπεδο, θα πάρουμε (κατ ουσία) μια ορθογώνια πλάκα πάχους (Σχήμα 5.8). H εσωτερική περιφέρεια του κυλίνδρου είναι ακτίνα ( k ), που είναι και το μήκος της μεγάλης πλευράς της ορθογώνιας πλάκας. Συνεπώς, ο όγκος του (σχεδόν) ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου στερεού είναι DV μήκος ύψος πάχος ( k ) (3 k k ). Bήµα 3: Aν αθροίσουμε τους όγκους των επιμέρους κυλινδρικών φλοιών στο διάστημα 3, προκύπτει ένα άθροισμα Riemnn ( k )(3 k k ). Aν τώρα πάρουμε το όριο καθώς το πάχος l, προκύπτει το ολοκλήρωμα

15 5.. Μοντέλα όγκων µε χρήση κυλινδρικών φλοιών 395 CD-ROM ικτυότοπος Βιογραφικά στοιχεία Eσωτερική περιφέρεια Ø ακτίνα = ( + k ) Aκτίνα = + k Aρχιμήδης (87 π.x.- π.x.) (3 k k ) h (3 k k ) l ( + k ) πάχος ΣΧΗΜΑ 5.8 Φανταστείτε ότι αποκόπτουμε έναν κυλινδρικό φλοιό και τον ξετυλίγουμε στο επίπεδο, οπότε προκύπτει ένα (περίπου) ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο στερεό. (Παράδειγμα ) Kατακόρυφος άξονας περιστροφής k k = f() c k k b ΣΧΗΜΑ 5.9 O φλοιός που σαρώνεται από το k-στό ορθογώνιο. Ύψος ορθογωνίου = f(c k ) V 3 p( )(3 ) d 3 p(3 3 3 ) d p 3 ( 3 3 ) d p = 5 κυβικές μονάδες. O τύπος των φλοιών Yποθέστε ότι περιστρέφουμε το χρωματισμένο χωρίο του Σχήματος 5.9 ως προς έναν κατακόρυφο άξονα, ώστε να παραγάγουμε το στερεό. Mπορούμε να εκτιμήσουμε τον όγκο του στερεού προσεγγίζοντας το χωρίο με ορθογώνια παραλληλόγραμμα τα οποία ορίζονται από μια διαμέριση P του διαστήματος [, b] που διατρέχει την κάτω πλευρά του χωρίου. Tο τυπικό προσεγγιστικό ορθογώνιο θα έχει πλάτος k και ύψος f(c k ), όπου c k είναι το μέσον της βάσης του ορθογωνίου. Ένας γεωμετρικός τύπος μάς λέει ότι ο όγκος του φλοιού που σαρώνεται από το περιστρεφόμενο ορθογώνιο ισούται με V k μέση ακτίνα φλοιού ύψος φλοιού πάχος. Προσεγγίζουμε τον όγκο του στερεού αθροίζοντας τους όγκους των φλοιών που σαρώνονται από τα n ορθογώνια της διαμέρισης P: V n k V k. Tο όριο του αθροίσματος αυτού καθώς P l δίδει τον όγκο του στερεού: V lim P l DV k b = ακτίνα ύψος ( φλοιού)( φλοιού) d.

16 396 Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων Tύπος των φλοιών για περιστροφή ως προς κατακόρυφο άξονα O όγκος του στερεού που παράγεται από την περιστροφή ως προς κατακόρυφο άξονα του χωρίου που περικλείεται από τον άξονα και από τη γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης f(), b, ισούται με V b = ακτίνα ύψος ( φλοιού)( φλοιού) d. Aκτίνα φλοιού Πάχος φλοιού d f() Διάστημα ολοκλήρωσης Ύψος φλοιού ΣΧΗΜΑ 5. Tο χωρίο, οι διαστάσεις του φλοιού, και το διάστημα ολοκλήρωσης του Παραδείγματος. Παράδειγµα τον άξονα Kυλινδρικοί φλοιοί που περιστρέφονται ως προς Tο χωρίο που φράσσεται από την καμπύλη, τον άξονα, και την ευθεία περιστρέφεται ως προς τον άξονα ώστε να παραγάγει ένα στερεό, του οποίου ζητείται ο όγκος. Λύση Bήµα : Σχεδιάζουμε το χωρίο καθώς και ένα ευθύγραμμο τμήμα που το διατρέχει παράλληλα προς τον άξονα περιστροφής (Σχήμα 5.). Σημειώνουμε στο σχήμα το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος (δηλαδή το ύψος του φλοιού) και την απόσταση από τον άξονα περιστροφής (ακτίνα φλοιού). Tο (απειροστό) «πάχος» του ευθύγραμμου τμήματος είναι το πάχος του φλοιού d. (Για διδακτικούς λόγους, ο φλοιός φαίνεται στο Σχήμα 5..) Aκτίνα φλοιού (, ) Ύψος φλοιού Διάστημα ολοκλήρωσης ΣΧΗΜΑ 5. O φλοιός που σαρώνεται από το ευθύγραμμο τμήμα του Σχήματος 5.. Bήµα : Bρίσκουμε τα όρια ολοκλήρωσης για τη μεταβλητή πάχους (που παίρνει τιμές από έως b ) και γράφουμε το ολοκλήρωμα όγκου με τη βοήθεια του τύπου των φλοιών: V b = ακτίνα ύψος ( φλοιού)( φλοιού ) d Bήµα 3: Oλοκληρώνουμε για να βρούμε τον όγκο: V p()( ) d b p()( ) d. = 3/ d C 5/ G 5 8 κυβικές μονάδες. 5

17 5.. Μοντέλα όγκων µε χρήση κυλινδρικών φλοιών 397 Mέχρι τώρα, χρησιμοποιήσαμε κατακόρυφους άξονες περιστροφής. Aν έχουμε οριζόντιους άξονες, αντικαθιστούμε απλώς το με το. Διάστημα ολοκλήρωσης Ύψος φλοιού (, ) Πάχος φλοιού d Aκτίνα φλοιού ΣΧΗΜΑ 5. Tο χωρίο, οι διαστάσεις του φλοιού και το διάστημα ολοκλήρωσης του Παραδείγματος 3. Ύψος φλοιού (, ) ΣΧΗΜΑ 5.3 O φλοιός που σαρώνεται από το ευθύγραμμο τμήμα στο Σχήμα 5.. Aκτίνα φλοιού Παράδειγµα 3 τον άξονα Kυλινδρικοί φλοιοί που περιστρέφονται ως προς Tο χωρίο που φράσσεται από την καμπύλη, τον άξονα, και την ευθεία περιστρέφεται ως προς τον άξονα ώστε να παραγάγει ένα στερεό, του οποίου ο όγκος ζητείται. Λύση Bήµα : Σχεδιάζουμε το χωρίο, καθώς και ένα ευθύγραμμο τμήμα που το διατρέχει παράλληλα προς τον άξονα περιστροφής (Σχήμα 5.). Σημειώνουμε στο σχήμα το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος (δηλαδή το ύψος του φλοιού) και την απόσταση από τον άξονα περιστροφής (ακτίνα φλοιού). Tο (απειροστό) «πάχος» του ευθύγραμμου τμήματος είναι το πάχος του φλοιού d. (Για καθαρά διδακτικούς λόγους, ο φλοιός παρατίθεται στο Σχήμα 5.3 τέτοιου είδους σχεδίαση δεν είναι αναγκαία κατά την επίλυση προβλημάτων.) Bήµα : Bρίσκουμε τα όρια ολοκλήρωσης για τη μεταβλητή πάχους (που παίρνει τιμές από έως ) και γράφουμε το ολοκλήρωμα όγκου με τη βοήθεια του τύπου των φλοιών: V b = p()( ) d. Bήµα 3: Oλοκληρώνουμε για να βρούμε τον όγκο: V p()( ) d = C G ακτίνα ύψος ( φλοιού)( φλοιού ) d = 8 κυβικές μονάδες. Πώς εφαρµόζουµε τη µέθοδο των φλοιών Aνεξάρτητα της θέσης του άξονα περιστροφής (οριζόντιος ή κατακόρυφος), τα βήματα που ακολουθούμε για να εφαρμόσουμε τη μέθοδο είναι τα εξής. Bήµα. Σχεδιάζουμε το χωρίο, καθώς και ένα ευθύγραμμο τμήμα που το διατρέχει παράλληλα στον άξονα περιστροφής. Σημειώνουμε στο σχήμα το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος (ύψος φλοιού), την απόστασή του από τον άξονα περιστροφής (ακτίνα φλοιού) και το πάχος του φλοιού. Bήµα. Bρίσκουμε τα όρια ολοκλήρωσης για τη μεταβλητή πάχους και γράφουμε το ολοκλήρωμα όγκου. Bήµα 3. Oλοκληρώνουμε το γινόμενο p (ακτίνα φλοιού) (ύψος φλοιού) ως προς τη μεταβλητή πάχους ( ή ), για να βρούμε τον όγκο.

18 398 Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων AΣΚΗΣΕΙΣ 5. Στις Aσκήσεις -6, εφαρμόστε τη μέθοδο των φλοιών για να βρείτε τους όγκους των στερεών που παράγονται με την περιστορφή των γραμμοσκιασμένων χωρίων ως προς τον εκάστοτε υποδεικνυόμενο άξονα Περιστροφή ως προς τον άξονα , /, 8., /, 9.,,, για.,,.,,. 3( / ),,, 3. Έστω f() sin ) /, p, (α) Δείξτε ότι f() sin,. (β) Bρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται αν περιστρέψουμε το γραμμοσκιασμένο χωρίο ως προς τον άξονα.. Έστω g() ( tn ) /,, sin,, p / (α) Δείξτε ότι g() (tn ), /. (β) Bρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται αν περιστρέψουμε το γραμμοσκιασμένο χωρίο ως προς τον άξονα. tn,, 6. Περιστροφή ως προς τον άξονα Περιστροφή ως προς τον άξονα 3 Eφαρμόστε τη μέθοδο των φλοιών για να βρείτε τους όγκους των στερεών που παράγονται αν περιστρέψουμε ως προς τον άξονα τα χωρία που φράσσονται από τις καμπύλες και τις ευθείες που δίδονται στις Aσκήσεις 7-. Περιστροφή ως προς τον άξονα,, Eφαρμόστε τη μέθοδο των φλοιών για να βρείτε τους όγκους των στερεών που παράγονται αν περιστρέψουμε ως προς τον άξονα τα χωρία που φράσσονται από τις καμπύλες και τις ευθείες των Ασκήσεων , 6.,, 7., 8., 9.,.,,.,,.,, Περιστροφή ως προς οριζόντιες ευθείες Στις Aσκήσεις 3 και, εφαρμόστε τη μέθοδο των φλοιών για να βρείτε τους όγκους των στερεών που παράγονται αν περιστρέψουμε τα γραμμοσκιασμένα χωρία ως προς τον εκάστοτε υποδεικνυόμενο άξονα.

19 5.. Μοντέλα όγκων µε χρήση κυλινδρικών φλοιών (α) O άξονας (β) H ευθεία (γ) H ευθεία 85 / (δ) H ευθεία 5 /. (α) O άξονας (β) H ευθεία (γ) H ευθεία 5 (δ) H ευθεία 58 / ( 3 ) (, ) Σύγκριση µεταξύ της µεθόδου των δακτυλιοειδών διατοµών και της µεθόδου των φλοιών Yπάρχουν μερικά χωρία ολοκλήρωσης που επιδέχονται εφαρμογή τόσο της μεθόδου των δακτυλιοειδών διατομών όσο και αυτής των φλοιών, για την εύρεση του στερεού που παράγεται αν τα περιστρέψουμε ως προς κάποιον άξονα. Aλλά αυτό δεν συμβαίνει πάντα. Για παράδειγμα, όταν περιστρέφουμε ένα χωρίο ως προς τον άξονα και χρησιμοποιούμε δακτυλιοειδείς διατομές, πρέπει να ολοκληρώσουμε ως προς. Όμως ενδέχεται να μην είναι δυνατή ή εύκολη η έκφραση της ολοκληρωτέας ποσότητας συναρτήσει του. Σε τέτοιες περιπτώσεις, η μέθοδος των φλοιών μας επιτρέπει να ολοκληρώσουμε ως προς. Δείτε σχετικά τις Aσκήσεις 5 και Yπολογίστε τον όγκο του στερεού που παράγεται αν περιστρέψουμε διαδοχικά ως προς κάθε άξονα συντεταγμένων (δηλ. και ) το χωρίο που φράσσεται από τις καμπύλες και, με χρήση της μεθόδου (α) των φλοιών (β) των δακτυλιοειδών διατομών. 6. Yπολογίστε τον όγκο του στερεού που παράγεται αν περιστρέψουμε το τριγωνικό χωρίο που φράσσεται από τις ευθείες,, και, (α) ως προς τον άξονα, με τη μέθοδο των δακτυλιοειδών διατομών (β) ως προς τον άξονα, με τη μέθοδο των φλοιών (γ) ως προς την ευθεία, με τη μέθοδο των φλοιών (δ) ως προς την ευθεία 8, με τη μέθοδο των δακτυλιοειδών διατομών. Eπιλέγοντας µεταξύ δακτυλιοειδών διατοµών και φλοιών Στις Aσκήσεις 7-3, υπολογίστε τους όγκους των στερεών που παράγονται αν περιστρέψουμε ως προς τους αναγραφόμενους άξονες τα χωρία που δίδονται. Xρησιμοποιήστε δακτυλιοειδείς διατομές ή φλοιούς, ό,τι από τα δύο σας φαίνεται προτιμότερο. 7. Tο τριγωνικό χωρίο έχει κορυφές τα σημεία (, ), (, ), και (, ), και περιστρέφεται ως προς (α) τον άξονα (β) τον άξονα (γ) την ευθεία /3 (δ) την ευθεία 8. Tο χωρίο φράσσεται από τις καμπύλες,,, και περιστρέφεται ως προς (α) τον άξονα (β) τον άξονα (γ) την ευθεία (δ) την ευθεία 9. Tο χωρίο ανήκει στο πρώτο τεταρτημόριο και φράσσεται από την καμπύλη 3 και τον άξονα, και περιστρέφεται ως προς (α) τον άξονα (β) την ευθεία 3. Tο χωρίο ανήκει στο πρώτο τεταρτημόριο και φράσσεται από τις 3,, και, και περιστρέφεται ως προς (α) τον άξονα (β) τον άξονα (γ) την ευθεία (δ) την ευθεία 3. Tο χωρίο φράσσεται από τις και / 8, και περιστρέφεται ως προς (α) τον άξονα (β) τον άξονα 3. Tο χωρίο φράσσεται από τις και, και περιστρέφεται ως προς (α) τον άξονα (β) την ευθεία 33. Tο χωρίο ανήκει στο πρώτο τεταρτημόριο και φράσσεται άνωθεν από την καμπύλη /, εξ αριστε- / ρών από την ευθεία / 6, και κάτωθεν από την ευθεία. Tο χωρίο αυτό περιστρέφεται ως προς τον άξονα. Yπολογίστε τον όγκο του παραγόμενου στερεού, με χρήση (α) της μεθόδου των δακτυλιοειδών διατομών (β) της μεθόδου των φλοιών. 3. Tο χωρίο ανήκει στο πρώτο τεταρτημόριο και φράσσεται άνωθεν από την καμπύλη /, εξ αριστερών από την ευθεία, / και κάτωθεν από την ευθεία. Tο χωρίο αυτό περιστρέφεται ως προς τον άξονα. Yπολογίστε τον όγκο του παραγόμενου στερεού, με χρήση (α) της μεθόδου των δακτυλιοειδών διατομών (β) της μεθόδου των φλοιών.

20 Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων Eπιλέγοντας µεταξύ κυκλικών δίσκων, δακτυλιοειδών διατοµών και φλοιών 35. Tο χωρίο που φαίνεται στο σχήμα πρόκειται να περιστραφεί ως προς τον άξονα, ώστε να παραχθεί ένα στερεό. Ποιες από τις μεθόδους υπολογισμού του όγκου του στερεού αυτού (κυκλικών δίσκων, δακτυλιοειδών διατομών ή φλοιών) μπορείτε να χρησιμοποιήσετε; Πόσα ολοκληρώματα πρέπει να υπολογίσετε σε κάθε περίπτωση; Eξηγήστε. 3 (, ) 36. Tο χωρίο που φαίνεται στο σχήμα πρόκειται να περιστραφεί ως προς τον άξονα ώστε να παραχθεί ένα στερεό. Ποιες από τις μεθόδους υπολογισμού του όγκου του στερεού αυτού (κυκλικών δίσκων, δακτυλιοειδών διατομών ή φλοιών) μπορείτε να χρησιμοποιήσετε; Πόσα ολοκληρώματα πρέπει να υπολογίσετε σε κάθε περίπτωση; Aιτιολογήστε τις απαντήσεις σας. 5.3 Mήκη καµπυλών στο επίπεδο Ένα ηµιτονοειδές «κύµα» Mήκος λείας καµπύλης Όταν η d/ d παρουσιάζει ασυνέχειες ιαφορικές συντοµογραφίες Παραµετρικός τύπος µήκους τόξου Πόσα χιλιόμετρα διανύουμε διασχίζοντας με τα πόδια το χείλος του φαραγγιού Grnd Cnon; Πώς θα εκτιμήσει ένας μηχανικός το κόστος ασφαλτόστρωσης μιας ορεινής εθνικής οδού της οποίας γνωρίζει το συνολικό μήκος; Για να απαντήσουμε σε τέτοιου είδους ερωτήματα, πρέπει να μπορούμε να υπολογίζουμε μήκη καμπυλών. Ένα ηµιτονοειδές «κύµα» Πόσο μήκος έχει η καμπύλη του ημιτονοειδούς κύματος του Σχήματος 5.; H συνήθης έννοια του μήκους κύματος αναφέρεται στη θεμελιώδη περίοδο, που για sin ισούται με. Aλλά πόσο μήκος έχει η ίδια η ημιτονοειδής καμπύλη; Mε άλλα λόγια, αν κρατούσαμε σταθερό το ένα άκρο της καμπύλης στο, και «τεντώναμε» την καμπύλη κατά μήκος του άξονα, μέχρι ποιο σημείο θα έφθανε το άλλο άκρο; [, ] επί [, ] ΣΧΗΜΑ 5. Σε μια περίοδο, το μήκος της ημιτονοειδούς καμπύλης είναι μεγαλύτερο του. Παράδειγµα Mήκος ηµιτονοειδούς καµπύλης Πόσο μήκος έχει η καμπύλη sin από έως ; Λύση Aπαντούμε στο ερώτημα αυτό με ολοκλήρωση, εφαρμόζοντας την προσφιλή μας πλέον μέθοδο διαίρεσης του όλου σε μετρήσιμα μέρη. Διαμερίζουμε λοιπόν το [, ] σε υποδιαστήματα τόσο μικρά, ώστε τα τμήματα της καμπύλης (που τα λέμε «τόξα») σε κάθε υποδιάστημα να είναι σχεδόν ευθύγραμμα. Έτσι, κάθε τόξο σχεδόν ταυτίζεται με το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα άκρα του, και άρα το μήκος του τόξου θα μπορεί να προσεγγιστεί ικανοποιητικά από το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος. Tο Σχήμα 5.5 δείχνει το ευθύγραμμο τμήμα που προσεγγίζει το

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος.

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Ενότητα 5 Στερεομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y)

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y) 11.7. Aκρότατα και σαγματικά σημεία 903 39. Εκτίμηση μέγιστου σφάλματος Έστω ότι u e sin και ότι τα,, και μπορούν να μετρηθούν με μέγιστα δυνατά σφάλματα 0,, 0,6, και / 180, αντίστοιχα. Εκτιμήστε το μέγιστο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Πολλαπλά Ολοκληρώματα

Κεφάλαιο 3 Πολλαπλά Ολοκληρώματα Κεφάλαιο Πολλαπλά Ολοκληρώματα Διπλά Ολοκληρώματα. Έστω ότι η f ( είναι, ) ορισμένη σε ένα ορθογώνιο χωρίο : a b, c d d ΔA (, ) Δ c Δ a b Το οποίο διαμερίζουμε σε ορθογώνια υποχωρία (, ). Σχηματίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90 ) και πλευρές ΑΓ = 3 cm, ΒΓ = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm.

1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90 ) και πλευρές ΑΓ = 3 cm, ΒΓ = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο (A = 90 ) και πλευρές = 3 cm, = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm. Να βρείτε: α) Το εµβαδό Ε Π της παράπλευρης επιφάνειας.

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Απλές προτάσεις Για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής των εννοιών Δογραματζάκης Γιάννης 9/5/2013 Απλές προτάσεις για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ 1 3.6 ΕΜΝ ΚΥΚΛΙΚΥ ΤΜΕ ΘΕΩΡΙ 1. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας µ ο : Ε = πρ. µ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός αριθµός. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας α rad: Ε = 1 αρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

4.5 Ο ΚΩΝΟΣ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ

4.5 Ο ΚΩΝΟΣ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ 1 4.5 Ο ΚΩΝΟΣ ΚΙ Τ ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙ 1. Κώνος : ν φανταστούµε ότι το ορθογώνιο τρίγωνο στρέφεται γύρω από την κάθετη πλευρά του κατά µία πλήρη περιστροφή, προκύπτει το στερεό το οποίο λέγεται κώνος. 2.

Διαβάστε περισσότερα

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 193. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Με την βοήθεια των εξισώσεων δευτέρου βαθμού λύνουμε πολλά προβλήματα της καθημερινής ζωής και διαφόρων επιστημών.

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων 9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Β -- ΓΕΩΜΕΤΡΙΙΑ Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων Β. 1. 1 44. Τι ονομάζεται εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας και από τι εξαρτάται; Ονομάζεται εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων.

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Χώρος Διανύσματα Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στο χώρο. Στο σύστημα καρτεσιανών (ή ορθογώνιων) συντεταγμένων κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 1-14 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ 1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = e ημ + ln. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = τοξημ( ) d y y = ημ θ. Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ 1 3.5 ΕΜΒ Ν ΚΥΚΛΙΚΥ ΙΣΚΥ ΘΕΩΡΙ Εµβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ : Ε = πρ Σηµείωση : Tο εµβαδόν του κυκλικού δίσκου, χάριν ευκολίας αναφέρεται σαν εµβαδόν του κύκλου. ΣΧΛΙ Για το εµβαδόν του κυκλικού δίσκου

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/011 ΚΕΦ. 9 1 ΓΩΝΙΑΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΟΡΙΣΜΟΙ Περιστροφική κινηματική: περιγράφει την περιστροφική κίνηση. Στερεό Σώμα: Ιδανικό μοντέλο σώματος που έχει τελείως ορισμένα

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 10.865196 ο Αγγ. Σικελιανού 4 Περισσός 10.718688 AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90Ο ) και Α το ύψος του. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές του

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ()=, g()= +3,h()= -3 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΠΟΛΥΕ ΡΑ 1. ΟΡΙΣΜΟΙ 2. ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΠΙΠΕ Ο α = µήκος β = πλάτος γ = ύψος δ = διαγώνιος = α. β. γ = Ε β. υ Ε ολ = 2. (αβ + αγ + βγ) 3. ΚΥΒΟΣ = α 3 Ε ολ = 6α 2

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ Η συνάρτηση y αχ + βχ + γ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y αx + βx + γ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y αx + βx + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

1. Κατανομή πόρων σε συνθήκες στατικής αποτελεσματικότητας

1. Κατανομή πόρων σε συνθήκες στατικής αποτελεσματικότητας Εφαρμογές Θεωρίας 1. Κατανομή πόρων σε συνθήκες στατικής αποτελεσματικότητας Έστω ότι η συνάρτηση ζήτησης για την κατανάλωση του νερού ενός φράγματος (εκφρασμένη σε ευρώ) είναι q = 12-P και το οριακό κόστος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014 Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 14 Άσκηση: Ηλεκτρικό πεδίο διακριτών φορτίων Δύο ίσα θετικά φορτία q βρίσκονται σε απόσταση α μεταξύ τους. Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [a, b] είναι όριο?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [a, b] είναι όριο? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [, ] είναι όριο? β) Για να βρούμε το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [, ] πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Ιουνίου 010 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (40 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 8: Ολοκληρώματα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mil: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 2: Πραγματικοί

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρώματα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ

Ολοκληρώματα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ ΗΥ- Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Ολοκληρώματα Εφαρμογές Ολοκληρωμάτων Υπολογισμός μήκους Υπολογισμός εμβαδού Υπολογισμός όγκου Χρήση σε Τύπους/Μετρικές Φυσική Πιθανότητες Γραφική Θέματα Αναγνώρισης προτύπων

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = με a, β R και g() = 5.Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

1. Εύρεση µήκους ενός κύκλου : Για να βρω το µήκος ενός κύκλου βρίσκω την ακτίνα του κύκλου και εφαρµόζω τον τύπο

1. Εύρεση µήκους ενός κύκλου : Για να βρω το µήκος ενός κύκλου βρίσκω την ακτίνα του κύκλου και εφαρµόζω τον τύπο 1 3.3 ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙ 1. Μήκος κύκλου ακτίνας ρ : Το µήκος L ενός κύκλου δίνεται από τον τύπο L = 2πρ ή L = πδ όπου δ η διάµετρος του κύκλου και π ένας άρρητος αριθµός του οποίου προσέγγιση µε δύο δεκαδικά

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες Σημειώσεις

Πρόχειρες Σημειώσεις Πρόχειρες Σημειώσεις ΛΕΠΤΟΤΟΙΧΑ ΔΟΧΕΙΑ ΠΙΕΣΗΣ Τα λεπτότοιχα δοχεία πίεσης μπορεί να είναι κυλινδρικά, σφαιρικά ή κωνικά και υπόκεινται σε εσωτερική ή εξωτερική πίεση από αέριο ή υγρό. Θα ασχοληθούμε μόνο

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Ένα υγρό σε δοχείο και το υδροστατικό παράδοξο.

Ένα υγρό σε δοχείο και το υδροστατικό παράδοξο. Ένα υγρό σε δοχείο και το υδροστατικό παράδοξο. Ας μελετήσουμε τι συμβαίνει, όταν ένα υγρό περιέχεται σε ένα ακίνητο δοχείο. Τι δυνάμεις ασκεί στο δοχείο; Τι σχέση έχουν αυτές με το βάρος του υγρού; Εφαρμογή

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ Το αναλυτικό πρόγραμμα που παρουσιάζουμε εδώ είναι μια πρόταση από περιεχόμενα που θα μπορούσαν να διδαχτούν στο σχολείο δεύτερης ευκαιρίας. Αυτό δεν σημαίνει ότι το πρόγραμμα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ξεφυλλίζοντας τα σχολικά βιβλία της Α και Β Λυκείου θα συναντήσουμε τις παρακάτω 10 "βασικές" συναρτήσεις των οποίων τη γραφική παράσταση πρέπει να γνωρίζουμε:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΩΝ 2.1 Παράσταση αριθμών με σημεία μιας ευθείας.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΩΝ 2.1 Παράσταση αριθμών με σημεία μιας ευθείας. 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΩΝ 2.1 Παράσταση αριθμών με σημεία μιας ευθείας. α) Στην παραπάνω εικόνα οι χρωματιστοί δείκτες μας δείχνουν κάποιους αριθμούς. Συμπληρώστε τον παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ- Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ- ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κυριακή, 0 Μαΐου 05 Ώρα : 0:0 - :00 ΘΕΜΑ 0 (µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. είναι διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α,b] και [c,d] αντιστοίχως της µορφής

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. είναι διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α,b] και [c,d] αντιστοίχως της µορφής . Ορισµοί-Ιδιότητες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Έστω f : R είναι µία φραγµένη συνάρτηση πάνω σε µία κλειστή ορθογώνια περιοχή Εστω (, y ) { } R =,y :a b, c y d. = είναι µια διαµέριση της ορθογώνιας περιοχής

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156

Βιομαθηματικά BIO-156 Βιομαθηματικά BIO-56 Ολοκλήρωση Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 03 lik@biology.uo.gr Ορισμός αντιπαραγώγου ή πρωτεύουσας ή αρχικής συνάρτησης Μια συνάρτηση F ονομάζεται αντιπαράγωγος της σε ένα διάστημα Ι,

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών

Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών Μ7 Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών 1. Σκοπός Τα διαστημόμετρα, τα μικρόμετρα και τα σφαιρόμετρα είναι όργανα που χρησιμοποιούνται για την μέτρηση της διάστασης του μήκους, του

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης . ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης Έστω µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α, και Β το σύνολο των Α στα οποία η είναι παραγωγίσιµη. Τότε ορίζεται νέα συνάρτηση µε την οποία κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2 ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 1 Ροπή αδράνειας q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: m (α) m (β) m r r 2r 2 2 I =! m i r i = 2mr 2 1 I = m(2r) 2 = 4mr 2 Ø Είναι δυσκολότερο να προκαλέσεις περιστροφή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός: Έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων τέτοιων ώστε το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου από τις δύο εστίες να είναι σταθερό.

Ορισμός: Έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων τέτοιων ώστε το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου από τις δύο εστίες να είναι σταθερό. Η κατασκευή με τις δύο πινέζες και το νήμα Στη δραστηριότητα αυτή θα εξερευνήσετε ίσως την πλέον κοινή μέθοδο κατασκευής μιας έλλειψης. Προκειμένου να θέσετε το πλαίσιο για την κατασκευή αυτή, πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΗΜΑΤΑ-ΓΡΑΜΜΕΣ-ΜΕΤΡΗΣΗ Μιχάλης Χριστοφορίδης Ανδρέας Σάββα Σύμβουλοι Μαθηματικών

ΣΧΗΜΑΤΑ-ΓΡΑΜΜΕΣ-ΜΕΤΡΗΣΗ Μιχάλης Χριστοφορίδης Ανδρέας Σάββα Σύμβουλοι Μαθηματικών ΕΦΑΡΜΟΓΙΔΙΟ: Σχήματα-Γραμμές-Μέτρηση Είναι ένα εργαλείο που μας βοηθά στην κατασκευή και μέτρηση σχημάτων, γωνιών και γραμμών. Μας παρέχει ένα χάρακα, μοιρογνωμόνιο και υπολογιστική μηχανή για να μας βοηθάει

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι μεγάλο, είναι απαραίτητο οι παρατηρήσεις να ταξινομηθούν σε μικρό πλήθος ομάδων που ονομάζονται κλάσεις (class intervals). Η ομαδοποίηση αυτή γίνεται

Διαβάστε περισσότερα