5 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "5 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων"

Transcript

1 5 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ Πολλές από τις ποσότητες που μας ενδιαφέρουν μπορούν να υπολογιστούν μέσω ολοκληρωμάτων: όγκοι στερεών, μήκη καμπυλών, το έργο που απαιτείται για να αντλήσουμε κάποιο υγρό (π.χ. πετρέλαιο) από το υπέδαφος, οι δυνάμεις που ασκούνται σε υδατοφράκτες, οι συντεταγμένες των σημείων ισορροπίας στερεών αντικειμένων, κ.ά. Όλες αυτές τις ποσότητες τις ορίζουμε ως όρια αθροισμάτων Riemnn συνεχών συναρτήσεων σε κλειστά διαστήματα με άλλα λόγια, ως ολοκληρώματα και υπολογίζουμε τα όρια αυτά με τις μεθόδους του απειροστικού λογισμού. 5. Yπολογισµός όγκων µε διατµήσεις και περιστροφή γύρω από άξονα Yπολογισµός όγκων µε διατµήσεις Στερεά εκ περιστροφής: Kυκλικές διατοµές Στερεά εκ περιστροφής: ακτυλιοειδείς διατοµές Στην Eνότητα.3, Παράδειγμα 3, υπολογίσουμε τον όγκο σφαίρας διαμερίζοντάς την σε λεπτές «φέτες» σχεδόν κυλινδρικού σχήματος και αθροίζοντας τους όγκους των κυλίνδρων, οπότε καταλήξαμε να υπολογίζουμε ένα άθροισμα Riemnn. Aν είχαμε τις τωρινές μας γνώσεις στο σημείο εκείνο, θα συνεχίζαμε εκφράζοντας τον όγκο της σφαίρας ως ένα ορισμένο ολοκλήρωμα. Tώρα είμαστε σε θέση να υπολογίζουμε τον όγκο μιας μεγάλης ποικιλίας στερεών, με ολοκληρώματα. Yπολογισµός όγκων µε διατµήσεις Έστω ότι ζητούμε να υπολογίσουμε τον όγκο του στερεού του Σχήματος 5.. H διατομή του στερεού σε κάθε σημείο του διαστήματος [, b] είναι ένα χωρίο R() εμβαδού A(). Aν το A είναι συνεχής συνάρτηση του, μπορούμε να ορίσουμε τον όγκο του στερεού ως ολοκλήρωμα, που υπολογίζεται ως ακολούθως. Διατομή R( ). Eμβαδόν διατομής A(). b ΣΧΗΜΑ 5. Aν το εμβαδόν A() της διατομής R() είναι συνεχής συνάρτηση του, μπορούμε να υπολογίσουμε τον όγκο του στερεού ολοκληρώνοντας το A() από έως b. 38

2 38 Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων Eπίπεδο στο Προσεγγιστικός k κύλινδρος Eπίπεδο βάσεως R ( k ) στο k k k H βάση του κυλίνδρου είναι το χωρίο R( k ). EKTOΣ KΛIMAKAΣ ΣΧΗΜΑ 5. Mεγέθυνση της «φέτας» που «κόβουν» από το στερεό τα επίπεδα k και k. Φαίνεται επίσης ο κύλινδρος που προσεγγίζει τη φέτα του στερεού. Διαμερίζουμε το [, b] σε υποδιαστήματα μήκους και «κόβουμε» σε «φέτες» το στερεό, όπως θα κόβαμε ένα καρβέλι ψωμί, με επίπεδα κάθετα στον άξονα στα σημεία διαμερίσεως. H k-στή φέτα, η οποία περιέχεται μεταξύ των επιπέδων που διέρχονται από τα k και k, έχει περίπου ίσον όγκο με τον κύλινδρο που κείται μεταξύ των ίδιων επιπέδων και έχει ως βάση το χωρίο R( k ) (Σχήμα 5.). O όγκος του κυλίνδρου είναι V k εμβαδόν βάσης ύψος A( k ). Tο άθροισμα V k A( k ) προσεγγίζει τον όγκο του στερεού. Tο παραπάνω δεν είναι παρά ένα άθροισμα Riemnn της συνάρτησης A() στο διάστημα [, b], καθώς οι λεπτότητες των διαμερίσεων τείνουν στο μηδέν, αναμένουμε να βελτιώνονται οι προσεγγίσεις και έτσι ορίζουμε το ολοκλήρωμα που αποτελεί όριό τους ως τον όγκο του στερεού. Oρισµός Όγκος στερεού O όγκος στερεού με γνωστό και ολοκληρώσιμο εμβαδόν διατομής A() από έως b ισούται με το ολοκλήρωμα της συνάρτησης A από έως b, b V A() d. CD-ROM ικτυότοπος Για να εφαρμόσουμε τον τύπο αυτόν κινούμαστε ως εξής: Πώς υπολογίζουµε όγκους µε τη µέθοδο των διατµήσεων Bήµα. Σχεδιάζουμε το στερεό και μια τυπική διατομή του. Bήµα. Bρίσκουμε μια έκφραση της A(). Bήµα 3. Bρίσκουμε τα όρια ολοκλήρωσης. Bήµα. Oλοκληρώνουμε τη συνάρτηση A(), για να βρούμε τον όγκο. Παράδειγµα Όγκος πυραµίδας Tυπική διατομή 3 3 Mια πυραμίδα ύψους 3 m έχει τετράγωνη βάση πλευράς 3 m. H διατομή της πυραμίδας σε απόσταση m από την κορυφή της είναι ένα τετράγωνο πλευράς m. Bρείτε τον όγκο της πυραμίδας. Λύση 3 (m) Bήµα : Σκαρίφημα. Σχεδιάζουμε την πυραμίδα με άξονα συμμετρίας τον άξονα και κορυφή την αρχή των αξόνων, και κατασκευάζουμε μια τυπική διατομή (Σχήμα 5.3). ΣΧΗΜΑ 5.3 Oι διατομές της πυραμίδας του Παραδείγματος είναι τετράγωνα. Bήµα : Έκφραση του A(). H διατομή σε τυχόν είναι ένα τετράγωνο πλευράς m, με εμβαδόν A().

3 5.. Υπολογισµός όγκων µε διατµήσεις και περιστροφή γύρω από άξονα 383 Bήµα 3: Όρια ολοκλήρωσης. Oι τετράγωνες διατομές εκτείνονται από έως 3. Bήµα : Oλοκληρώνουμε για να βρούμε τον όγκο. V 3 A() d 3 d m 3 CD-ROM ικτυότοπος Βιογραφικά στοιχεία Bonventur Cvlieri (598-67) Παράδειγµα Tο θεώρηµα του Cvlieri Tο θεώρημα του Cvlieri μάς λέει ότι στερεά που έχουν ίσο ύψος και ταυτόσημα εμβαδά διατομής σε κάθε ύψος, καταλαμβάνουν ίσους όγκους (Σχήμα 5.). Aυτό έπεται αμέσως από τον ορισμό του όγκου, διότι τόσο η συνάρτηση εμβαδού διατομής A() όσο και το διάστημα [, b] συμπίπτουν για τα δύο στερεά. b Ίσοι όγκοι Ίσες επιφάνειες διατομής σε κάθε επίπεδο ΣΧΗΜΑ 5. Tο θεώρημα του Cvlieri: Tα στερεά αυτά έχουν ίσους όγκους. Mπορείτε να πεισθείτε γι αυτό συγκρίνοντας δυο στοίβες νομισμάτων , 9 ΣΧΗΜΑ 5.5 H σφηνοειδής βαθμίδα του Παραδείγματος 3, διατετμημένη κάθετα στον άξονα. Oι διατομές είναι ορθογώνια παραλληλόγραμμα. Παράδειγµα 3 Όγκος σφηνοειδούς βαθµίδας Δύο επίπεδα τέμνουν έναν κύλινδρο ακτίνας 3, αποκόπτοντας από αυτόν τη σφηνοειδή βαθμίδα που φαίνεται στο Σχήμα 5.5. Tο ένα επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κυλίνδρου. Tο άλλο επίπεδο τέμνει το πρώτο υπό γωνία 5 στο κέντρο του κυλίνδρου. Yπολογίστε τον όγκο της σφηνοειδούς βαθμίδας. Λύση Bήµα : Σκαρίφημα. Σχεδιάζουμε τη σφηνοειδή βαθμίδα και κατασκευάζουμε μια τυπική διατομή κάθετη στον άξονα (Σχήμα 5.5). Bήµα : Έκφραση του A(). H διατομή στο είναι ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο εμβαδού A()= (ύψος)(πλάτος) = () ( 9 ) = 9 τετραγωνικές μονάδες. Bήµα 3: Όρια ολοκλήρωσης. Oι ορθογώνιες διατομές εκτείνονται από έως 3. Bήµα : Oλοκληρώνουμε για να βρούμε τον όγκο. V b A() d 3 9 d

4 38 Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 3 (9 ) 3 / 3 Θέτουμε u 9, du d, ολοκληρώνουμε, και εκφράζουμε πάλι ως προς. 3 (9)3 / = 8 κυβικές μονάδες R() (α) Στερεά εκ περιστροφής: Kυκλικές διατοµές H κοινότερη εφαρμογή της μεθόδου των διατμήσεων αφορά στερεά εκ περιστροφής. Στερεά εκ περιστροφής είναι στερεά των οποίων το σχήμα παράγεται με την περιστροφή των επίπεδων χωρίων γύρω από άξονες. Tο μόνο που αλλάζει σε σχέση με πριν είναι η έκφραση του εμβαδού διατομής A(). Tώρα, η τυπική διατομή του στερεού σε διεύθυνση κάθετη στον άξονα περιστροφής, είναι ένας δίσκος ακτίνας R() και εμβαδού A() (ακτίνα) [R()]. Για τον λόγο αυτό, η συγκεκριμένη μέθοδος καλείται ενίοτε και μέθοδος των δίσκων. Aκολουθούν μερικά παραδείγματα. Παράδειγµα τον άξονα ) Στερεό εκ περιστροφής (Περιστροφή ως προς Tο χωρίο που περικλείεται από την καμπύλη,, και τον άξονα περιστρέφεται ως προς τον άξονα σχηματίζοντας ένα στερεό. Bρείτε τον όγκο του. Λύση Σχεδιάζουμε το χωρίο, μια τυπική ακτίνα, και το παραγόμενο στερεό εκ περιστροφής (Σχήμα 5.6). O όγκος ισούται με R() (β) V b p[r()] d p[ ] d = d = G R() = = () = 8 κυβικές μονάδες. Στο επόμενο παράδειγμα, άξονας περιστροφής δεν είναι ο άξονας, ωστόσο η μέθοδος υπολογισμού του όγκου δεν αλλάζει: Oλοκληρώνουμε την ποσότητα (ακτίνα), με κατάλληλα όρια ολοκλήρωσης. ΣΧΗΜΑ 5.6 Tο χωρίο (α) και το στερεό (β) του Παραδείγματος. Παράδειγµα 5 Στερεό εκ περιστροφής (Περιστροφή ως προς την ευθεία ) Bρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται περιστρέφοντας ως προς την ευθεία το χωρίο που φράσσεται από την και από τις ευθείες,. Λύση Σχεδιάζουμε το χωρίο, μια τυπική ακτίνα, και το παραγόμενο στερεό εκ περιστροφής (Σχήμα 5.7). O όγκος του ισούται με V p[r()] d p d R() =

5 5.. Υπολογισµός όγκων µε διαρµήσεις και περιστροφή γύρω από άξονα 385 R() p d = C 3/ + G = 7 κυβικές μονάδες. 3 6 R() (α) (, ) Eύρεση όγκων για κυκλικές διατοµές (µέθοδος των δίσκων) Bήµα. Σχεδιάζουμε το χωρίο και βρίσκουμε τη συνάρτηση ακτίνας R(). Bήµα. Tετραγωνίζουμε την R() και πολλαπλασιάζουμε με. Bήµα 3. Oλοκληρώνουμε για να βρούμε τον όγκo. CD-ROM ικτυότοπος (β) (, ) ΣΧΗΜΑ 5.7 Tο χωρίο (α) και το στερεό (β) του Παραδείγματος 5. Για να βρούμε τον όγκο που παράγεται αν περιστρέψουμε ως προς τον άξονα ένα χωρίο που περικλείεται από τον άξονα και την καμπύλη R( ), c d, εφαρμόζουμε την ίδια μέθοδο αλλά με το στη θέση του. Στην περίπτωση αυτή, η κυκλική διατομή έχει εμβαδόν A( ) [ακτίνα] [R()]. Παράδειγµα 6 Περιστροφή ως προς τον άξονα Bρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται αν περιστρέψουμε ως προς τον άξονα το χωρίο που περικλείεται από τον άξονα και από την καμπύλη /,. Λύση Σχεδιάζουμε το χωρίο, μια τυπική ακτίνα, και το παραγόμενο στερεό εκ περιστροφής (Σχήμα 5.8). O όγκος ισούται με V p[r()] d p p d d p p 3 = 3 κυβικές μονάδες R() = R() (α), R() (β) ΣΧΗΜΑ 5.8 Tο χωρίο (α) και το στερεό (β) του Παραδείγματος 6.

6 386 Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων R() 3 ( ) (3, ) Παράδειγµα 7 Περιστροφή ως προς κατακόρυφο άξονα Bρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται αν περιστρέψουμε ως προς την ευθεία 3 το χωρίο που περικλείεται από την παραβολή και από την ευθεία 3. R() 3 (α) 3 (β) (3, ) 3 5 ΣΧΗΜΑ 5.9 Tο χωρίο (α) και το στερεό (β) του Παραδείγματος 7. Λύση Σχεδιάζουμε το χωρίο, μια τυπική ακτίνα, και το παραγόμενο στερεό εκ περιστροφής (Σχήμα 5.9). O όγκος ισούται με V p p[r()] d p[ ] d [ ] d p = 6 5 Στερεά εκ περιστροφής: ακτυλιοειδείς διατοµές R() = 3 ( + ) = Aν το περιστρεφόμενο χωρίο δεν τέμνει ούτε συνορεύει με τον άξονα περιστροφής, τότε το στερεό παρουσιάζει μια εσωτερική διαμπερή κοιλότητα (είναι «κούφιο») (Σχήμα 5.). Oι κάθετες στον άξονα περιστροφής διατομές είναι κυκλικοί δακτύλιοι και όχι κυκλικοί δίσκοι. Oι διαστάσεις ενός τυπικού δακτυλίου είναι Eξωτερική ακτίνα: R() Eσωτερική ακτίνα: r() Tο εμβαδόν κάθε κυκλικού δακτυλίου είναι A() [R()] [r()] ([R()] [r()] ). κυβικές μονάδες. = R() = r() = R() = r() b ΣΧΗΜΑ 5. Oι διατομές του στερεού εκ περιστροφής εδώ είναι κυκλικοί δακτύλιοι, όχι δίσκοι, κι έτσι το ολοκλήρωμα A() d καταλήγει σε διαφορετική μαθηματική έκφραση απ ό,τι παίρναμε ώς τώρα. b Παράδειγµα 8 τον άξονα ) ακτυλιοειδής διατοµή (Περιστροφή ως προς Tο χωρίο που φράσσεται από την καμπύλη και την ευθεία 3 περιστρέφεται ως προς τον άξονα. Bρείτε τον όγκο του στερεού εκ περιστροφής.

7 5.. Υπολογισµός όγκων µε διατµήσεις και περιστροφή γύρω από άξονα 387 R() 3 (, 5) r() Διάστημα ολοκλήρωσης 3 (, ) ΣΧΗΜΑ 5. Tο χωρίο του Παραδείγματος 8, καθώς διατρέχεται από ένα ευθύγραμμο τμήμα κάθετο στον άξονα περιστροφής. Με την περιστροφή του χωρίου ως προς τον άξονα, το ευθύγραμμο τμήμα σαρώνει την επιφάνεια ενός κυκλικού δακτυλίου. R() 3 (, 5) r() (, ) Λύση Bήµα : Σχεδιάζουμε το χωρίο καθώς και ένα ευθύγραμμο τμήμα που το διατρέχει κάθετα στον άξονα περιστροφής (στο Σχήμα 5., το ευθύγραμμο τμήμα είναι κόκκινο). Bήµα : Bρίσκουμε τα όρια ολοκλήρωσης προσδιορίζοντας τις συντεταγμένες των σημείων τομής της καμπύλης με το ευθύγραμμο τμήμα (Σχήμα 5.). Bήµα 3: Bρίσκουμε την εξωτερική και την εσωτερική ακτίνα της δακτυλιοειδούς διατομής που σαρώνεται από το ευθύγραμμο τμήμα αν αυτό περιστραφεί ως προς τον άξονα. (Στο Σχήμα 5. σχεδιάσαμε τη διατομή, αλλά εσείς δεν είναι απαραίτητο να το κάνετε αυτό όταν λύνετε ασκήσεις.) Oι ακτίνες αυτές ορίζονται αντίστοιχα από τη μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση των άκρων του ευθύγραμμου τμήματος από τον άξονα περιστροφής. Eξωτερική ακτίνα: R() 3 Eσωτερική ακτίνα: r() Bήµα : Yπολογίζουμε το ολοκλήρωμα όγκου. V b p([r()] [r()] ) d 3 ( )( ), p(( 3) ( ) ) d p(8 6 ) d Oι τιμές που βρήκαμε στα βήματα και 3 Yψώνουμε στο τετράγωνο και αναδιατάσσουμε = = 7 5 κυβικές μονάδες. Δακτυλιοειδής διατομή Eξωτερική ακτίνα: R() 3 Eσωτερική ακτίνα: r() ΣΧΗΜΑ 5. H εσωτερική και η εξωτερική ακτίνα του δακτυλίου που σαρώνεται από το ευθύγραμμο τμήμα του Σχήματος 5.. Για την εύρεση όγκου στερεού που παράγεται κατά την περιστροφή ως προς τον άξονα, χρησιμοποιούμε την ίδια διαδικασία, αλλά ολοκληρώνουμε ως προς αντί ως προς. Tο εμβαδόν του δακτυλίου είναι R r. r R Πώς βρίσκουµε όγκους στερεών µε δακτυλιοειδείς διατοµές Bήµα. Σχεδιάζουμε το χωρίο, καθώς και ένα ευθύγραμμο τμήμα που το διατρέχει και είναι κάθετο στον άξονα περιστροφής. Kαθώς το χωρίο περιστρέφεται, το ευθύγραμμο τμήμα θα διαγράψει μια τυπική δακτυλιοειδή διατομή του παραγόμενου στερεού. Bήµα. Bρίσκουμε τα όρια ολοκλήρωσης. Bήµα 3. Bρίσκουμε την εξωτερική και την εσωτερική ακτίνα του δακτυλίου που σαρώνει το ευθύγραμμο τμήμα. Bήµα. Oλοκληρώνουμε, για να βρούμε τον όγκo.

8 388 Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων Παράδειγµα 9 τον άξονα ) ακτυλιοειδής διατοµή (περιστροφή ως προς Tο χωρίο που φράσσεται από την παραβολή και την ευθεία στο πρώτο τεταρτημόριο περιστρέφεται ως προς τον άξονα. Bρείτε τον όγκο του παραγόμενου στερεού. Λύση Bήµα : Σχεδιάζουμε το χωρίο, καθώς και ένα ευθύγραμμο τμήμα που το διατρέχει κάθετα στον άξονα περιστροφής, ο οποίος στην περίπτωσή μας είναι ο άξονας (Σχήμα 5.3). Διάστημα ολοκλήρωσης R() r() δηλ. δηλ. (, ) ΣΧΗΜΑ 5.3 Tο χωρίο, τα όρια ολοκλήρωσης, και οι ακτίνες του δακτυλίου του Παραδείγματος 9. Bήµα : H ευθεία και η παραβολή τέμνονται στα σημεία και, άρα τα όρια ολοκλήρωσης είναι c και d. Bήµα 3: Oι ακτίνες του δακτυλίου που σαρώνεται από το ευθύγραμμο τμήμα είναι R(), r( ) / (Σχήματα 5.3 και 5.). Bήµα : Oλοκληρώνουμε για να βρούμε τον όγκο: V d p([r()] [r()] ) d c r() p d = R() d = 3 Oι τιμές που βρήκαμε στα βήματα και 3 = 8 κυβικές μονάδες. 3 ΣΧΗΜΑ 5. H δακτυλιοειδής διατομή που σαρώνεται από το ευθύγραμμο τμήμα στο Σχήμα 5.3. AΣΚΗΣΕΙΣ 5. Eµβαδά διατοµών Στις Aσκήσεις και, βρείτε έναν τύπο για το εμβαδόν A() των διατομών του στερεού που είναι κάθετες στον άξονα.. Tο στερεό κείται μεταξύ επιπέδων που τέμνουν κάθετα τον άξονα στα σημεία και. Σε όλες τις περιπτώσεις, οι κάθετες στον άξονα διατομές του στερεού εκτείνονται από το ημικύκλιο έως το ημικύκλιο. (α) Oι διατομές είναι κυκλικοί δίσκοι που τέμνονται σε ίσα μέρη από το επίπεδο.

9 5.. Υπολογισµός όγκων µε διατµήσεις και περιστροφή γύρω από άξονα 389 (β) Oι διατομές είναι τετράγωνα με βάσεις που κείνται στο επίπεδο. (γ) Oι διατομές είναι τετράγωνα με διαγωνίους που κείνται στο επίπεδο. (δ) Oι διατομές είναι ισόπλευρα τρίγωνα με βάσεις που κείνται στο επίπεδο. (γ) Oι διατομές είναι τετράγωνα με διαγωνίους που κείνται στο επίπεδο. (Tο μήκος της διαγωνίου κάθε τετραγώνου ισούται με επί το μήκος της πλευράς.) Yπολογισµός όγκων µε διατµήσεις Bρείτε τους όγκους των στερεών στις Aσκήσεις Tο στερεό κείται μεταξύ επιπέδων που τέμνουν κάθετα τον άξονα στα σημεία και. Oι κάθετες στον άξονα διατομές του στερεού είναι τετράγωνα με διαγωνίους που εκτείνονται από την παραβολή έως την παραβολή.. Tο στερεό κείται μεταξύ επιπέδων που τέμνουν κάθετα τον άξονα στα σημεία και. Oι κάθετες στον άξονα διατομές του στερεού είναι κυκλικοί δίσκοι με διαμέτρους που εκτείνονται από την παραβολή έως την παραβολή. (δ) Oι διατομές είναι ισόπλευρα τρίγωνα με βάσεις που κείνται στο επίπεδο.. Tο στερεό κείται μεταξύ επιπέδων που είναι κάθετα στον άξονα στα σημεία και. Oι κάθετες στον άξονα διατομές του στερεού εκτείνονται από την παραβολή έως την παραβολή. (α) Oι διατομές είναι κυκλικοί δίσκοι που τέμνονται σε ίσα μέρη από το επίπεδο. 5. Tο στερεό κείται μεταξύ επιπέδων που τέμνουν κάθετα τον άξονα στα σημεία και. Oι κάθετες στον άξονα διατομές του στερεού είναι τετράγωνα με βάσεις που εκτείνονται από το ημικύκλιο έως το ημικύκλιο. 6. Tο στερεό κείται μεταξύ επιπέδων που τέμνουν κάθετα τον άξονα στα σημεία και. Oι κάθετες στον άξονα διατομές του στερεού είναι τετράγωνα με διαγωνίους που εκτείνονται από το ημικύκλιο έως το ημικύκλιο. 7. H βάση του στερεού είναι το χωρίο μεταξύ της καμπύλης sin και του διαστήματος [, ] στον άξονα. Oι κάθετες στον άξονα διατομές του στερεού είναι (α) ισόπλευρα τρίγωνα με βάσεις που εκτείνονται από τον άξονα έως την καμπύλη, όπως φαίνεται στο σχήμα sin (β) Oι διατομές είναι τετράγωνα με βάσεις που κείνται στο επίπεδο. (β) τετράγωνα με βάσεις που εκτείνονται από τον άξονα έως την καμπύλη. 8. Tο στερεό κείται μεταξύ επιπέδων που τέμνουν κάθετα τον άξονα στα σημεία / 3 και / 3. Oι κάθετες στον άξονα διατομές του στερεού είναι (α) κυκλικοί δίσκοι με διαμέτρους που εκτείνονται από την καμπύλη tn έως την καμπύλη sec (β) τετράγωνα με βάσεις που εκτείνονται από την κα-

10 39 Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων μπύλη tn έως την καμπύλη sec. 9. Tο στερεό κείται μεταξύ επιπέδων που τέμνουν κάθετα τον άξονα στα σημεία και. Oι κάθετες στον άξονα διατομές του στερεού είναι κυκλικοί δίσκοι με διαμέτρους που εκτείνονται από τον άξονα έως την παραβολή 5.. H βάση του στερεού είναι ο κυκλικός δίσκος. Oι κάθετες στον άξονα διατομές του στερεού είναι ισοσκελή ορθογώνια τρίγωνα με τη μία τους πλευρά επί του δίσκου. 3. Περιστροφή ως προς τον άξονα. Περιστροφή ως προς τον άξονα 3/. Ένα σπειροειδές στερεό Ένα τετράγωνο μήκους s κείται σε επίπεδο κάθετο στην ευθεία L. Mια κορυφή του τετραγώνου ανήκει στην ευθεία L. Mετακινούμε το τετράγωνο κατά μήκος h επί της L, ενώ ταυτόχρονα το περιστρέφουμε μια πλήρη φορά περί την L, παράγοντας έτσι μία στήλη με σπειροειδείς πτυχώσεις (όπως το τιρμπουσόν) και τετράγωνες διατομές. (α) Nα βρεθεί ο όγκος της στήλης. (β) Mάθετε γράφοντας Πόσος θα είναι ο όγκος αν γίνουν δύο πλήρεις περιστροφές αντί μίας; Aιτιολογήστε την απάντησή σας.. Mάθετε γράφοντας Ένα στερεό κείται μεταξύ επιπέδων που τέμνουν κάθετα τον άξονα στα σημεία και. Oι διατομές είναι κυκλικοί δίσκοι με διαμέτρους που εκτείνονται από την ευθεία / έως την ευθεία όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα. Eξηγήστε για ποιον λόγο το στερεό αυτό έχει ίσο όγκο με τον ορθό κυκλικό κώνο ακτίνας βάσης 3 και ύψους. Στερεά εκ περιστροφής: Kυκλικές διατοµές Στις Aσκήσεις 3-6, βρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται αν περιστρέψουμε το σκιασμένο χωρίο ως προς τον εκάστοτε άξονα. 5. Περιστροφή ως προς τον άξονα 3 6. Περιστροφή ως προς τον άξονα tn sin cos Στις Aσκήσεις 7-, βρείτε τους όγκους των στερεών που παράγονται αν περιστρέψουμε ως προς τον άξονα τα χωρία που φράσσονται από τις ευθείες και τις καμπύλες που δίδονται. 7.,, 8. 3,, 9. 9,.,. cos, /,,. sec,, /, / Στις Aσκήσεις 3 και, βρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται αν περιστρέψουμε το εκάστοτε χωρίο ως προς την ευθεία που δίδεται. 3. Tο χωρίο ανήκει στο πρώτο τεταρτημόριο και φράσσεται άνωθεν από την ευθεία, κάτωθεν από την καμπύλη sec tn, και εξ αριστερών από τον άξονα. Άξονας περιστροφής είναι η ευθεία.. Tο χωρίο ανήκει στο πρώτο τεταρτημόριο και φράσσεται άνωθεν από την ευθεία, κάτωθεν από την καμπύλη sin, /, και εξ αριστερών από τον άξονα. Άξονας περιστροφής είναι η ευθεία. Στις Aσκήσεις 5-3, βρείτε τους όγκους των στερεών που παράγονται αν περιστρέψουμε ως προς τον άξονα τα χω- CD-ROM ικτυότοπος

11 5.. Υπολογισµός όγκων µε διατµήσεις και περιστροφή γύρω από άξονα 39 CD-ROM ικτυότοπος ρία που φράσσονται από τις ευθείες και τις καμπύλες που δίδονται. 5. Tο χωρίο περικλείεται από τις 5,,, 6. Tο χωρίο περικλείεται από τις 3 /,, 7. Tο χωρίο περικλείεται από τις sin, /, 8. Tο χωρίο περικλείεται από τις cos (p/ ),, 9. ( / ),,, 3 3. / ( ),, Στερεά εκ περιστροφής: ακτυλιοειδείς διατοµές Στις Aσκήσεις 3 και 3, βρείτε τους όγκους των στερεών που παράγονται αν περιστρέψουμε τα γραμμοσκιασμένα χωρία ως προς τον εκάστοτε άξονα. 3. Άξονας 3. Άξονας tn cos Στις Aσκήσεις 33-38, βρείτε τους όγκους των στερεών που παράγονται αν περιστρέψουμε ως προς τον άξονα τα χωρία που φράσσονται από τις ευθείες και τις καμπύλες που δίδονται. 33.,, 3.,, 35., 3 36., 37. sec,, / / 38. sec, tn,, Στις Aσκήσεις 39-, βρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται αν περιστρέψουμε το εκάστοτε χωρίο ως προς τον άξονα. 39. Tο χωρίο περικλείεται από τρίγωνο με κορυφές τα σημεία (, ), (, ), και (, ). Tο χωρίο περικλείεται από τρίγωνο με κορυφές τα σημεία (, ), (, ), και (, ). Tο χωρίο ανήκει στο πρώτο τεταρτημόριο και φράσσεται άνωθεν από την παραβολή, κάτωθεν από τον άξονα, και εκ δεξιών από την ευθεία.. Tο χωρίο ανήκει στο πρώτο τεταρτημόριο και φράσσεται εξ αριστερών από τον κύκλο 3, εκ δεξιών από την ευθεία 3, και άνωθεν από την ευθεία 3. Στις Aσκήσεις 3 και, βρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται αν περιστρέψουμε ως προς τον εκάστοτε άξονα το χωρίο που δίδεται. 3. Tο χωρίο ανήκει στο πρώτο τεταρτημόριο και φράσσεται άνωθεν από την καμπύλη, κάτωθεν από τον άξονα, και εκ δεξιών από την ευθεία. Άξονας περιστροφής είναι η ευθεία.. Tο χωρίο ανήκει στο δεύτερο τεταρτημόριο και φράσσεται άνωθεν από την καμπύλη 3, κάτωθεν από τον άξονα, και εξ αριστερών από την ευθεία. Άξονας περιστροφής είναι η ευθεία. Όγκοι στερεών εκ περιστροφής 5. Bρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται αν περιστρέψουμε ως προς τον εκάστοτε άξονα το χωρίο που φράσσεται από την καμπύλη και τις ευθείες και. (α) Περιστροφή ως προς τον άξονα. (β) Περιστροφή ως προς τον άξονα. (γ) Περιστροφή ως προς την ευθεία. (δ) Περιστροφή ως προς την ευθεία. 6. Bρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται αν περιστρέψουμε ως προς τον εκάστοτε άξονα το τριγωνικό χωρίο που φράσσεται από τις ευθείες,, και. (α) Περιστροφή ως προς την ευθεία. (β) Περιστροφή ως προς την ευθεία. 7. Bρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται αν περιστρέψουμε ως προς τον εκάστοτε άξονα το χωρίο που φράσσεται από την παραβολή και την ευθεία. (α) Περιστροφή ως προς την ευθεία. (β) Περιστροφή ως προς την ευθεία. (γ) Περιστροφή ως προς την ευθεία. 8. Eκτελώντας την κατάλληλη ολοκλήρωση, βρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται αν περιστρέψουμε το τριγωνικό χωρίο που έχει κορυφές τα σημεία (, ), (b, ), (, h), ως προς (α) τον άξονα (β) τον άξονα. Θεωρία και εφαρµογές 9. Όγκος σπείρας O κυκλικός δίσκος περιστρέφεται ως προς την ευθεία b (b ) παράγοντας έτσι ένα στερεό σχήματος σαμπρέλας που καλείται σπείρα. Bρείτε τον όγκο του. (Yπόδειξη: d /, αφού το ολοκλήρωμα αυτό δεν είναι παρά το εμβαδόν ημικυκλικού χωρίου ακτίνας.) 5. Όγκος ενός µπωλ Tο σχήμα ενός μπωλ μπορεί να παραχθεί αν περιστρέψουμε ως προς τον άξονα το τμήμα της καμπύλης / από έως 5. (α) Bρείτε τον όγκο του μπωλ.

12 39 Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων (β) Συναφείς ρυθµοί Aν γεμίζουμε το μπωλ με νερό, έχοντας σταθερό ρυθμό 3 κυβικών μονάδων μήκους ανά δευτερόλεπτο, πόσο γρήγορα θα ανεβαίνει η στάθμη του νερού όταν το νερό έχει βάθος μονάδες μήκους; 5. Όγκος ενός µπωλ (α) Ένα ημισφαιρικό μπωλ ακτίνας περιέχει νερό σε βάθος h. Bρείτε τον όγκο του νερού μέσα στο μπωλ. (β) Συναφείς ρυθμοί Σε ένα τσιμεντένιο ημισφαιρικό μπωλ ακτίνας 5 m που βυθίζεται, εισρέει νερό με ρυθμό, m 3 / sec. Πόσο γρήγορα ανέρχεται η στάθμη του νερού στο μπωλ όταν το νερό έχει βάθος m; 5. Mάθετε γράφοντας Eξηγήστε πώς θα μπορούσαμε να εκτιμήσουμε τον όγκο ενός στερεού εκ περιστροφής αν μετρούσαμε τη σκιά του στερεού που σχηματίζεται σε ένα τραπέζι παράλληλο προς τον άξονα περιστροφής από φωτεινή πηγή που βρίσκεται ακριβώς πάνω από το στερεό. 53. Όγκος ηµισφαιρίου Αποδείξτε τον τύπο V (/ 3) R 3 του όγκου ημισφαιρίου ακτίνας R, συγκρίνοντας τις διατομές του με τις διατομές στερεού ορθού κυκλικού κυλίνδρου ακτίνας R και ύψους R, από τον οποίο αποκόπτουμε έναν στερεό ορθό κυκλικό κώνο ακτίνας βάσης R και ύψους R, όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα. h R h R 5. Συµφωνία τύπων όγκων Oι τύποι όγκων που χρησιμοποιούμε στον απειροστικό λογισμό συμφωνούν με τους καθιερωμένους τύπους που μας είναι γνωστοί από τη γεωμετρία, υπό την έννοια ότι εφαρμοζόμενοι στα ίδια συστήματα δίδουν το ίδιο αποτέλεσμα. (α) Για παράδειγμα, δείξτε ότι αν περιστρέψουμε ως προς τον άξονα το χωρίο που περικλείεται από το ημικύκλιο και τον άξονα, οπότε παράγεται μια στερεά σφαίρα, τότε ο τύπος του όγκου που αναφέραμε στην αρχή της παρούσας ενότητας θα δώσει αποτέλεσμα (/ 3) 3, ως όφειλε. (β) Mε μεθόδους απειροστικού λογισμού βρείτε τον όγκο του ορθού κυκλικού κώνου ύψους h και ακτίνας βάσης r. 55. Σχεδιάζοντας ένα wok Σας έχει ανατεθεί η σχεδίαση ενός wok (είδος κινέζικου λεκανοειδούς τηγανιού), που έχει σχήμα ημισφαιρικού μπωλ με χειρολαβές. Mετά από μερικούς πειραματισμούς συμπεραίνετε ότι μπορείτε να σχεδιάσετε ένα wok χωρητικότητας περίπου 3 L, αν του δώσετε βάθος 9 cm και ακτίνα βάσης 6 cm. Για να βεβαιωθείτε, φαντάζεστε το wok σαν ένα στερεό εκ περιστροφής, του οποίου τον όγκο υπολογίζετε με ολοκλήρωμα. Mε ακρίβεια ενός τετραγωνικού εκατοστού, πόσον όγκο βρίσκετε; ( L cm 3.) R h h 56. Σχεδίαση βαριδίου εκκρεµούς Σας έχει ανατεθεί η σχεδίαση ενός ορειχάλκινου (μπρούντζινου) βαριδίου εκκρεμούς, βάρους περίπου 9 g. Aποφασίζετε να του δώσετε το σχήμα του στερεού εκ περιστροφής που φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα. Bρείτε τον όγκο του βαριδίου. Aν το συγκεκριμένο μείγμα μετάλλου που δουλεύετε έχει πυκνότητα 8,5 g/ cm 3, πόσο ζυγίζει το βαρίδιο (με ακρίβεια ενός γραμμαρίου); 57. M-min H τοξοειδής καμπύλη sin,, περιστρέφεται ως προς την ευθεία c, c, παράγοντας το στερεό που φαίνεται στο επόμενο σχήμα. (α) Bρείτε την τιμή του c που ελαχιστοποιεί τον όγκο του στερεού. Ποιος είναι ο ελάχιστος όγκος; (β) Για ποια τιμή του c στο διάστημα [, ] μεγιστοποιείται ο όγκος του στερεού; T (γ) Mάθετε γράφοντας Παραστήστε γραφικά τον όγκο του στερεού συναρτήσει του c, πρώτα για c και κατόπιν σε μεγαλύτερο πεδίο ορισμού για το c. Tι παθαίνει ο όγκος του στερεού καθώς το c απομακρύνεται από το διάστημα [, ]; Eίναι αυτό αναμενόμενο από φυσική άποψη; Aιτιολογήστε τις απαντήσεις σας. c (cm) 6 7 = sin (cm) cm βάθος (cm) 6 (cm) = c

13 5.. Υπολογισµός όγκων µε διατµήσεις και περιστροφή γύρω από άξονα Eφεδρική δεξαµενή καυσίµου Σχεδιάζετε μια εφεδρική δεξαμενή καυσίμου που πρόκειται να τοποθετηθεί κάτω από την κύρια δεξαμενή καυσίμου ενός ελικοπτέρου, ώστε αυτό να αυξήσει την ακτίνα δράσης του. Mετά από μερικούς πειραματισμούς στο σχεδιαστήριο, καταλήγετε να δώσετε στη δεξαμενή το σχήμα της επιφάνειας που παράγεται περιστρέφοντας την καμπύλη ( / 6),, ως προς τον άξονα (οι διαστάσεις είναι σε m). (α) Πόση θα είναι η χωρητικότητα της δεξαμενής σε κυβικά μέτρα (με προσέγγιση ενός κυβικού μέτρου); (β) Ένα κυβικό μέτρο χωρά λίτρα. Aν το ελικόπτερο διανύει,85 km για κάθε λίτρο καυσίμου, τότε πόσα επιπλέον km (με ακρίβεια ενός km) θα μπορεί να πετάξει το ελικόπτερο μετά την τοποθέτηση της εφεδρικής δεξαμενής; 59. οχείο Θέλουμε να εκτιμήσουμε τον όγκο ενός μικρού δοχείου αρώματος, με μόνα εργαλεία ένα κομπιουτεράκι, έναν σπάγγο, κι έναν κανόνα. Mετρούμε το ύψος του δοχείου και το βρίσκουμε ίσο με 6 cm. Kατόπιν χρησιμοποιούμε τον σπάγγο και τον κανόνα για να βρούμε τις διαδοχικές περιφέρειες του δοχείου (σε cm), μετρώντας ανά κατακόρυφα διαστήματα του μισού cm. (Kαταγράφουμε τις μετρήσεις μας καθώς διατρέχουμε το δοχείο από πάνω προς τα κάτω.) 6 Περιφέρειες 5,,8,5,6,,6 5,,8 6,3 9, 7,8 6,3 9, (α) Bρείτε τα εμβαδά των διατομών που αντιστοιχούν στις παραπάνω περιφέρειες. (β) Eκφράστε τον όγκο του δοχείου ως ολοκλήρωμα ως προς στο διάστημα [, 6]. (γ) Προσεγγίστε το ολοκλήρωμα κάνοντας χρήση του κανόνα του τραπεζίου με n. (δ) Mάθετε γράφοντας Προσεγγίστε το ολοκλήρωμα κάνοντας χρήση του κανόνα Simpson με n. Ποια από τις δύο προσεγγίσεις εμπιστεύεστε περισσότερο; Aιτιολογήστε την απάντησή σας. 6. Eκτόπισµα ιστιοφόρου Προκειμένου να βρούμε τον όγκο του νερού που εκτοπίζει ένα ιστιοφόρο, διαμερίζουμε την ίσαλη γραμμή σε ισομήκη υποδιαστήματα, μετράμε το εμβαδόν διατομής A() του βυθισμένου τμήματος του σκάφους σε κάθε σημείο διαμέρισης, και χρησιμοποιούμε τον κανόνα Simpson για να εκτιμήσουμε την τιμή του ολοκληρώματος του A() από την αρχή μέχρι το τέλος της ίσαλης γραμμής. O ακόλουθος πίνακας παραθέτει μετρήσεις που έγιναν στους «σταθμούς» έως, όπως καλούνται τα σημεία διαμέρισης, για το ιστιοφόρο ονόματι Pipedrem, τύπου «σλέπι» (ή «κέρκουρος», είδος μονοκάταρτου καϊκιού) που φαίνεται εδώ. Tο μήκος των υποδιαστημάτων (απόσταση μεταξύ διαδοχικών σταθμών) είναι h,77 m (α) Eκτιμήστε τον όγκο του εκτοπιζόμενου νερού (εκτόπισμα) του Pipedrem, με ακρίβεια ενός κυβικού μέτρου. Σταθμός Bυθισμένη επιφάνεια (m ),,36 3,73,3 5, 6,5 7,3 8,86 9,3 (β) Tα δεδομένα του πίνακα αναφέρονται σε θαλασσινό νερό, πυκνότητας 5 kg/m 3. Πόσο είναι το εκτόπισμα (σε kg) του Pipedrem; (Oι μετρήσεις προέρχονται από το βιβλίο Skene s Elements of Ycht Design του Frncis S. Kinne (Dodd, Med, 96.) (γ) Πρισµατικοί συντελεστές O πρισματικός συντελεστής σκάφους είναι ο λόγος του εκτοπίσματος προς τον όγκο ενός πρίσματος το οποίο έχει ύψος ίσο με το μήκος της ίσαλης γραμμής και βάση ίση με το εμβαδόν της μέγιστης βυθισμένης διατομής του σκάφους. Tα καλύτερα ιστιοφόρα έχουν πρισματικούς συντελεστές που κυμαίνονται από,5 έως,5. Bρείτε τον πρισματικό συντελεστή του Pipedrem, αν η ίσαλη γραμμή έχει μήκος 7,7 m και η μέγιστη βυθισμένη διατομή έχει εμβαδόν,5 m (στον Σταθμό 6).

14 39 Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 5. Mοντέλα όγκων µε χρήση κυλινδρικών φλοιών Yπολογισµός όγκων µε κυλινδρικούς φλοιούς O τύπος των φλοιών 3 Yπάρχει άλλος ένας τρόπος υπολογισμού όγκων στερεών εκ περιστροφής, που αποβαίνει χρήσιμος σε περιπτώσεις στις οποίες ο άξονας περιστροφής είναι κάθετος στον άξονα που περιέχει το «φυσικό» διάστημα ολοκλήρωσης. Aντί να αθροίζουμε τους όγκους λεπτών φετών, αθροίζουμε όγκους λεπτών κυλινδρικών φλοιών (κελυφών) οι οποίοι εφαρμόζουν ο ένας στον άλλο, καθώς κινούμαστε από τον άξονα περιστροφής προς τα έξω, ακριβώς όπως οι δακτύλιοι ενός δέντρου. Άξονας περιστροφής 3 (Σχεδιάστηκε με Mthemtic) ΣΧΗΜΑ 5.5 Γραφική παράσταση του χωρίου του Παραδείγματος, πριν την περιστροφή. Άξονας περιστροφής 3 ΣΧΗΜΑ 5.6 Tο χωρίο του Σχήματος 5.5 περιστρέφεται ως προς την ευθεία σχηματίζοντας ένα στερεό «κέικ». Tο φυσικό διάστημα ολοκλήρωσης είναι κατά μήκος του άξονα, κάθετο στον άξονα περιστροφής. (Παράδειγμα ) k 3 ΣΧΗΜΑ 5.7 Aποκόπτουμε λεπτούς κυλινδρικούς φλοιούς, από μέσα προς τα έξω. Kάθε φλοιός βρίσκεται στη θέση k μεταξύ και 3 και έχει πάχος. (Παράδειγμα ) Yπολογισµός όγκων µε κυλινδρικούς φλοιούς Aκολουθεί ένα παράδειγμα χρήσης λεπτών κυλινδρικών φλοιών για την εύρεση του όγκου ενός στερεού. Παράδειγµα Eύρεση όγκου µε χρήση φλοιών Tο χωρίο που περικλείεται από τον άξονα και από την παραβολή f() 3 περιστρέφεται ως προς την ευθεία παράγοντας ένα στερεό (Σχήματα 5.5 και 5.6), του οποίου ζητείται ο όγκος. Λύση Aν προσπαθούσαμε εδώ να ολοκληρώσουμε ως προς θα αντιμετωπίζαμε δυσκολίες, αφού δεν είναι εύκολο να φέρουμε τη δοθείσα παραβολική εξίσωση σε μορφή που να δίδει το συναρτήσει του. (Για να δείτε τι εννοούμε, προσπαθήστε να υπολογίσετε τον όγκο χρησιμοποιώντας δακτυλιοειδείς διατομές.) Για να ολοκληρώσουμε ως προς, θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε κυλινδρικούς φλοιούς, που σημαίνει ότι «κόβουμε» το στερεό κατά έναν διαφορετικό τρόπο. Bήµα : Aντί να διατμήσουμε σε λεπτά σφηνοειδή τεμάχια (όπως κόβουμε συνήθως το κέικ με το μαχαίρι), αποκόπτουμε κυλινδρικούς φλοιούς ως εξής. Mε το μαχαίρι κατακόρυφο (παράλληλο στον άξονα περιστροφής) κάνουμε μια κυκλική τομή του στερεού κοντά στην εσωτερική τρύπα. Φτιάξαμε ήδη τον πρώτο κυλινδρικό μας φλοιό. Kατόπιν κόβουμε άλλον ένα κυλινδρικό φλοιό, με την ίδια διαδικασία, δηλαδή με κυκλική τομή κοντά στη (μεγαλύτερη τώρα) τρύπα στο εσωτερικό του στερεού, κ.ο.κ. Oι ακτίνες των κυλίνδρων σταδιακά αυξάνονται, και τα ύψη τους ακολουθούν το περίγραμμα της παραβολής: από μικρά που είναι μεγαλώνουν αρχικά, και κατόπιν μικραίνουν πάλι (Σχήμα 5.7). Kάθε φλοιός έχει πάχος. H ακτίνα του ισούται περίπου με ( k ), και το ύψος του είναι περίπου 3 k k. Bήµα : Aν ξετυλίξουμε τον κύλινδρο που βρίσκεται στο σημείο k και τον απλώσουμε στο επίπεδο, θα πάρουμε (κατ ουσία) μια ορθογώνια πλάκα πάχους (Σχήμα 5.8). H εσωτερική περιφέρεια του κυλίνδρου είναι ακτίνα ( k ), που είναι και το μήκος της μεγάλης πλευράς της ορθογώνιας πλάκας. Συνεπώς, ο όγκος του (σχεδόν) ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου στερεού είναι DV μήκος ύψος πάχος ( k ) (3 k k ). Bήµα 3: Aν αθροίσουμε τους όγκους των επιμέρους κυλινδρικών φλοιών στο διάστημα 3, προκύπτει ένα άθροισμα Riemnn ( k )(3 k k ). Aν τώρα πάρουμε το όριο καθώς το πάχος l, προκύπτει το ολοκλήρωμα

15 5.. Μοντέλα όγκων µε χρήση κυλινδρικών φλοιών 395 CD-ROM ικτυότοπος Βιογραφικά στοιχεία Eσωτερική περιφέρεια Ø ακτίνα = ( + k ) Aκτίνα = + k Aρχιμήδης (87 π.x.- π.x.) (3 k k ) h (3 k k ) l ( + k ) πάχος ΣΧΗΜΑ 5.8 Φανταστείτε ότι αποκόπτουμε έναν κυλινδρικό φλοιό και τον ξετυλίγουμε στο επίπεδο, οπότε προκύπτει ένα (περίπου) ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο στερεό. (Παράδειγμα ) Kατακόρυφος άξονας περιστροφής k k = f() c k k b ΣΧΗΜΑ 5.9 O φλοιός που σαρώνεται από το k-στό ορθογώνιο. Ύψος ορθογωνίου = f(c k ) V 3 p( )(3 ) d 3 p(3 3 3 ) d p 3 ( 3 3 ) d p = 5 κυβικές μονάδες. O τύπος των φλοιών Yποθέστε ότι περιστρέφουμε το χρωματισμένο χωρίο του Σχήματος 5.9 ως προς έναν κατακόρυφο άξονα, ώστε να παραγάγουμε το στερεό. Mπορούμε να εκτιμήσουμε τον όγκο του στερεού προσεγγίζοντας το χωρίο με ορθογώνια παραλληλόγραμμα τα οποία ορίζονται από μια διαμέριση P του διαστήματος [, b] που διατρέχει την κάτω πλευρά του χωρίου. Tο τυπικό προσεγγιστικό ορθογώνιο θα έχει πλάτος k και ύψος f(c k ), όπου c k είναι το μέσον της βάσης του ορθογωνίου. Ένας γεωμετρικός τύπος μάς λέει ότι ο όγκος του φλοιού που σαρώνεται από το περιστρεφόμενο ορθογώνιο ισούται με V k μέση ακτίνα φλοιού ύψος φλοιού πάχος. Προσεγγίζουμε τον όγκο του στερεού αθροίζοντας τους όγκους των φλοιών που σαρώνονται από τα n ορθογώνια της διαμέρισης P: V n k V k. Tο όριο του αθροίσματος αυτού καθώς P l δίδει τον όγκο του στερεού: V lim P l DV k b = ακτίνα ύψος ( φλοιού)( φλοιού) d.

16 396 Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων Tύπος των φλοιών για περιστροφή ως προς κατακόρυφο άξονα O όγκος του στερεού που παράγεται από την περιστροφή ως προς κατακόρυφο άξονα του χωρίου που περικλείεται από τον άξονα και από τη γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης f(), b, ισούται με V b = ακτίνα ύψος ( φλοιού)( φλοιού) d. Aκτίνα φλοιού Πάχος φλοιού d f() Διάστημα ολοκλήρωσης Ύψος φλοιού ΣΧΗΜΑ 5. Tο χωρίο, οι διαστάσεις του φλοιού, και το διάστημα ολοκλήρωσης του Παραδείγματος. Παράδειγµα τον άξονα Kυλινδρικοί φλοιοί που περιστρέφονται ως προς Tο χωρίο που φράσσεται από την καμπύλη, τον άξονα, και την ευθεία περιστρέφεται ως προς τον άξονα ώστε να παραγάγει ένα στερεό, του οποίου ζητείται ο όγκος. Λύση Bήµα : Σχεδιάζουμε το χωρίο καθώς και ένα ευθύγραμμο τμήμα που το διατρέχει παράλληλα προς τον άξονα περιστροφής (Σχήμα 5.). Σημειώνουμε στο σχήμα το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος (δηλαδή το ύψος του φλοιού) και την απόσταση από τον άξονα περιστροφής (ακτίνα φλοιού). Tο (απειροστό) «πάχος» του ευθύγραμμου τμήματος είναι το πάχος του φλοιού d. (Για διδακτικούς λόγους, ο φλοιός φαίνεται στο Σχήμα 5..) Aκτίνα φλοιού (, ) Ύψος φλοιού Διάστημα ολοκλήρωσης ΣΧΗΜΑ 5. O φλοιός που σαρώνεται από το ευθύγραμμο τμήμα του Σχήματος 5.. Bήµα : Bρίσκουμε τα όρια ολοκλήρωσης για τη μεταβλητή πάχους (που παίρνει τιμές από έως b ) και γράφουμε το ολοκλήρωμα όγκου με τη βοήθεια του τύπου των φλοιών: V b = ακτίνα ύψος ( φλοιού)( φλοιού ) d Bήµα 3: Oλοκληρώνουμε για να βρούμε τον όγκο: V p()( ) d b p()( ) d. = 3/ d C 5/ G 5 8 κυβικές μονάδες. 5

17 5.. Μοντέλα όγκων µε χρήση κυλινδρικών φλοιών 397 Mέχρι τώρα, χρησιμοποιήσαμε κατακόρυφους άξονες περιστροφής. Aν έχουμε οριζόντιους άξονες, αντικαθιστούμε απλώς το με το. Διάστημα ολοκλήρωσης Ύψος φλοιού (, ) Πάχος φλοιού d Aκτίνα φλοιού ΣΧΗΜΑ 5. Tο χωρίο, οι διαστάσεις του φλοιού και το διάστημα ολοκλήρωσης του Παραδείγματος 3. Ύψος φλοιού (, ) ΣΧΗΜΑ 5.3 O φλοιός που σαρώνεται από το ευθύγραμμο τμήμα στο Σχήμα 5.. Aκτίνα φλοιού Παράδειγµα 3 τον άξονα Kυλινδρικοί φλοιοί που περιστρέφονται ως προς Tο χωρίο που φράσσεται από την καμπύλη, τον άξονα, και την ευθεία περιστρέφεται ως προς τον άξονα ώστε να παραγάγει ένα στερεό, του οποίου ο όγκος ζητείται. Λύση Bήµα : Σχεδιάζουμε το χωρίο, καθώς και ένα ευθύγραμμο τμήμα που το διατρέχει παράλληλα προς τον άξονα περιστροφής (Σχήμα 5.). Σημειώνουμε στο σχήμα το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος (δηλαδή το ύψος του φλοιού) και την απόσταση από τον άξονα περιστροφής (ακτίνα φλοιού). Tο (απειροστό) «πάχος» του ευθύγραμμου τμήματος είναι το πάχος του φλοιού d. (Για καθαρά διδακτικούς λόγους, ο φλοιός παρατίθεται στο Σχήμα 5.3 τέτοιου είδους σχεδίαση δεν είναι αναγκαία κατά την επίλυση προβλημάτων.) Bήµα : Bρίσκουμε τα όρια ολοκλήρωσης για τη μεταβλητή πάχους (που παίρνει τιμές από έως ) και γράφουμε το ολοκλήρωμα όγκου με τη βοήθεια του τύπου των φλοιών: V b = p()( ) d. Bήµα 3: Oλοκληρώνουμε για να βρούμε τον όγκο: V p()( ) d = C G ακτίνα ύψος ( φλοιού)( φλοιού ) d = 8 κυβικές μονάδες. Πώς εφαρµόζουµε τη µέθοδο των φλοιών Aνεξάρτητα της θέσης του άξονα περιστροφής (οριζόντιος ή κατακόρυφος), τα βήματα που ακολουθούμε για να εφαρμόσουμε τη μέθοδο είναι τα εξής. Bήµα. Σχεδιάζουμε το χωρίο, καθώς και ένα ευθύγραμμο τμήμα που το διατρέχει παράλληλα στον άξονα περιστροφής. Σημειώνουμε στο σχήμα το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος (ύψος φλοιού), την απόστασή του από τον άξονα περιστροφής (ακτίνα φλοιού) και το πάχος του φλοιού. Bήµα. Bρίσκουμε τα όρια ολοκλήρωσης για τη μεταβλητή πάχους και γράφουμε το ολοκλήρωμα όγκου. Bήµα 3. Oλοκληρώνουμε το γινόμενο p (ακτίνα φλοιού) (ύψος φλοιού) ως προς τη μεταβλητή πάχους ( ή ), για να βρούμε τον όγκο.

18 398 Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων AΣΚΗΣΕΙΣ 5. Στις Aσκήσεις -6, εφαρμόστε τη μέθοδο των φλοιών για να βρείτε τους όγκους των στερεών που παράγονται με την περιστορφή των γραμμοσκιασμένων χωρίων ως προς τον εκάστοτε υποδεικνυόμενο άξονα Περιστροφή ως προς τον άξονα , /, 8., /, 9.,,, για.,,.,,. 3( / ),,, 3. Έστω f() sin ) /, p, (α) Δείξτε ότι f() sin,. (β) Bρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται αν περιστρέψουμε το γραμμοσκιασμένο χωρίο ως προς τον άξονα.. Έστω g() ( tn ) /,, sin,, p / (α) Δείξτε ότι g() (tn ), /. (β) Bρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται αν περιστρέψουμε το γραμμοσκιασμένο χωρίο ως προς τον άξονα. tn,, 6. Περιστροφή ως προς τον άξονα Περιστροφή ως προς τον άξονα 3 Eφαρμόστε τη μέθοδο των φλοιών για να βρείτε τους όγκους των στερεών που παράγονται αν περιστρέψουμε ως προς τον άξονα τα χωρία που φράσσονται από τις καμπύλες και τις ευθείες που δίδονται στις Aσκήσεις 7-. Περιστροφή ως προς τον άξονα,, Eφαρμόστε τη μέθοδο των φλοιών για να βρείτε τους όγκους των στερεών που παράγονται αν περιστρέψουμε ως προς τον άξονα τα χωρία που φράσσονται από τις καμπύλες και τις ευθείες των Ασκήσεων , 6.,, 7., 8., 9.,.,,.,,.,, Περιστροφή ως προς οριζόντιες ευθείες Στις Aσκήσεις 3 και, εφαρμόστε τη μέθοδο των φλοιών για να βρείτε τους όγκους των στερεών που παράγονται αν περιστρέψουμε τα γραμμοσκιασμένα χωρία ως προς τον εκάστοτε υποδεικνυόμενο άξονα.

19 5.. Μοντέλα όγκων µε χρήση κυλινδρικών φλοιών (α) O άξονας (β) H ευθεία (γ) H ευθεία 85 / (δ) H ευθεία 5 /. (α) O άξονας (β) H ευθεία (γ) H ευθεία 5 (δ) H ευθεία 58 / ( 3 ) (, ) Σύγκριση µεταξύ της µεθόδου των δακτυλιοειδών διατοµών και της µεθόδου των φλοιών Yπάρχουν μερικά χωρία ολοκλήρωσης που επιδέχονται εφαρμογή τόσο της μεθόδου των δακτυλιοειδών διατομών όσο και αυτής των φλοιών, για την εύρεση του στερεού που παράγεται αν τα περιστρέψουμε ως προς κάποιον άξονα. Aλλά αυτό δεν συμβαίνει πάντα. Για παράδειγμα, όταν περιστρέφουμε ένα χωρίο ως προς τον άξονα και χρησιμοποιούμε δακτυλιοειδείς διατομές, πρέπει να ολοκληρώσουμε ως προς. Όμως ενδέχεται να μην είναι δυνατή ή εύκολη η έκφραση της ολοκληρωτέας ποσότητας συναρτήσει του. Σε τέτοιες περιπτώσεις, η μέθοδος των φλοιών μας επιτρέπει να ολοκληρώσουμε ως προς. Δείτε σχετικά τις Aσκήσεις 5 και Yπολογίστε τον όγκο του στερεού που παράγεται αν περιστρέψουμε διαδοχικά ως προς κάθε άξονα συντεταγμένων (δηλ. και ) το χωρίο που φράσσεται από τις καμπύλες και, με χρήση της μεθόδου (α) των φλοιών (β) των δακτυλιοειδών διατομών. 6. Yπολογίστε τον όγκο του στερεού που παράγεται αν περιστρέψουμε το τριγωνικό χωρίο που φράσσεται από τις ευθείες,, και, (α) ως προς τον άξονα, με τη μέθοδο των δακτυλιοειδών διατομών (β) ως προς τον άξονα, με τη μέθοδο των φλοιών (γ) ως προς την ευθεία, με τη μέθοδο των φλοιών (δ) ως προς την ευθεία 8, με τη μέθοδο των δακτυλιοειδών διατομών. Eπιλέγοντας µεταξύ δακτυλιοειδών διατοµών και φλοιών Στις Aσκήσεις 7-3, υπολογίστε τους όγκους των στερεών που παράγονται αν περιστρέψουμε ως προς τους αναγραφόμενους άξονες τα χωρία που δίδονται. Xρησιμοποιήστε δακτυλιοειδείς διατομές ή φλοιούς, ό,τι από τα δύο σας φαίνεται προτιμότερο. 7. Tο τριγωνικό χωρίο έχει κορυφές τα σημεία (, ), (, ), και (, ), και περιστρέφεται ως προς (α) τον άξονα (β) τον άξονα (γ) την ευθεία /3 (δ) την ευθεία 8. Tο χωρίο φράσσεται από τις καμπύλες,,, και περιστρέφεται ως προς (α) τον άξονα (β) τον άξονα (γ) την ευθεία (δ) την ευθεία 9. Tο χωρίο ανήκει στο πρώτο τεταρτημόριο και φράσσεται από την καμπύλη 3 και τον άξονα, και περιστρέφεται ως προς (α) τον άξονα (β) την ευθεία 3. Tο χωρίο ανήκει στο πρώτο τεταρτημόριο και φράσσεται από τις 3,, και, και περιστρέφεται ως προς (α) τον άξονα (β) τον άξονα (γ) την ευθεία (δ) την ευθεία 3. Tο χωρίο φράσσεται από τις και / 8, και περιστρέφεται ως προς (α) τον άξονα (β) τον άξονα 3. Tο χωρίο φράσσεται από τις και, και περιστρέφεται ως προς (α) τον άξονα (β) την ευθεία 33. Tο χωρίο ανήκει στο πρώτο τεταρτημόριο και φράσσεται άνωθεν από την καμπύλη /, εξ αριστε- / ρών από την ευθεία / 6, και κάτωθεν από την ευθεία. Tο χωρίο αυτό περιστρέφεται ως προς τον άξονα. Yπολογίστε τον όγκο του παραγόμενου στερεού, με χρήση (α) της μεθόδου των δακτυλιοειδών διατομών (β) της μεθόδου των φλοιών. 3. Tο χωρίο ανήκει στο πρώτο τεταρτημόριο και φράσσεται άνωθεν από την καμπύλη /, εξ αριστερών από την ευθεία, / και κάτωθεν από την ευθεία. Tο χωρίο αυτό περιστρέφεται ως προς τον άξονα. Yπολογίστε τον όγκο του παραγόμενου στερεού, με χρήση (α) της μεθόδου των δακτυλιοειδών διατομών (β) της μεθόδου των φλοιών.

20 Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων Eπιλέγοντας µεταξύ κυκλικών δίσκων, δακτυλιοειδών διατοµών και φλοιών 35. Tο χωρίο που φαίνεται στο σχήμα πρόκειται να περιστραφεί ως προς τον άξονα, ώστε να παραχθεί ένα στερεό. Ποιες από τις μεθόδους υπολογισμού του όγκου του στερεού αυτού (κυκλικών δίσκων, δακτυλιοειδών διατομών ή φλοιών) μπορείτε να χρησιμοποιήσετε; Πόσα ολοκληρώματα πρέπει να υπολογίσετε σε κάθε περίπτωση; Eξηγήστε. 3 (, ) 36. Tο χωρίο που φαίνεται στο σχήμα πρόκειται να περιστραφεί ως προς τον άξονα ώστε να παραχθεί ένα στερεό. Ποιες από τις μεθόδους υπολογισμού του όγκου του στερεού αυτού (κυκλικών δίσκων, δακτυλιοειδών διατομών ή φλοιών) μπορείτε να χρησιμοποιήσετε; Πόσα ολοκληρώματα πρέπει να υπολογίσετε σε κάθε περίπτωση; Aιτιολογήστε τις απαντήσεις σας. 5.3 Mήκη καµπυλών στο επίπεδο Ένα ηµιτονοειδές «κύµα» Mήκος λείας καµπύλης Όταν η d/ d παρουσιάζει ασυνέχειες ιαφορικές συντοµογραφίες Παραµετρικός τύπος µήκους τόξου Πόσα χιλιόμετρα διανύουμε διασχίζοντας με τα πόδια το χείλος του φαραγγιού Grnd Cnon; Πώς θα εκτιμήσει ένας μηχανικός το κόστος ασφαλτόστρωσης μιας ορεινής εθνικής οδού της οποίας γνωρίζει το συνολικό μήκος; Για να απαντήσουμε σε τέτοιου είδους ερωτήματα, πρέπει να μπορούμε να υπολογίζουμε μήκη καμπυλών. Ένα ηµιτονοειδές «κύµα» Πόσο μήκος έχει η καμπύλη του ημιτονοειδούς κύματος του Σχήματος 5.; H συνήθης έννοια του μήκους κύματος αναφέρεται στη θεμελιώδη περίοδο, που για sin ισούται με. Aλλά πόσο μήκος έχει η ίδια η ημιτονοειδής καμπύλη; Mε άλλα λόγια, αν κρατούσαμε σταθερό το ένα άκρο της καμπύλης στο, και «τεντώναμε» την καμπύλη κατά μήκος του άξονα, μέχρι ποιο σημείο θα έφθανε το άλλο άκρο; [, ] επί [, ] ΣΧΗΜΑ 5. Σε μια περίοδο, το μήκος της ημιτονοειδούς καμπύλης είναι μεγαλύτερο του. Παράδειγµα Mήκος ηµιτονοειδούς καµπύλης Πόσο μήκος έχει η καμπύλη sin από έως ; Λύση Aπαντούμε στο ερώτημα αυτό με ολοκλήρωση, εφαρμόζοντας την προσφιλή μας πλέον μέθοδο διαίρεσης του όλου σε μετρήσιμα μέρη. Διαμερίζουμε λοιπόν το [, ] σε υποδιαστήματα τόσο μικρά, ώστε τα τμήματα της καμπύλης (που τα λέμε «τόξα») σε κάθε υποδιάστημα να είναι σχεδόν ευθύγραμμα. Έτσι, κάθε τόξο σχεδόν ταυτίζεται με το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα άκρα του, και άρα το μήκος του τόξου θα μπορεί να προσεγγιστεί ικανοποιητικά από το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος. Tο Σχήμα 5.5 δείχνει το ευθύγραμμο τμήμα που προσεγγίζει το

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος.

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Ενότητα 5 Στερεομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y)

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y) 11.7. Aκρότατα και σαγματικά σημεία 903 39. Εκτίμηση μέγιστου σφάλματος Έστω ότι u e sin και ότι τα,, και μπορούν να μετρηθούν με μέγιστα δυνατά σφάλματα 0,, 0,6, και / 180, αντίστοιχα. Εκτιμήστε το μέγιστο

Διαβάστε περισσότερα

Ονοματεπώνυμο Τμήμα. 1. Τι ονομάζουμε εμβαδόν ενός επιπέδου σχήματος (χωρίου) και πως υπολογίζεται αυτό; Απάντηση

Ονοματεπώνυμο Τμήμα. 1. Τι ονομάζουμε εμβαδόν ενός επιπέδου σχήματος (χωρίου) και πως υπολογίζεται αυτό; Απάντηση ΓΕΛ. ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 202- Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ: ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΟΥ ΧΩΡΙΟΥ. Τι ονομάζουμε εμβαδόν ενός επιπέδου σχήματος (χωρίου) και πως υπολογίζεται αυτό; Απάντηση Το πρόβλημα μελετήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

12 Πολλαπλά ολοκληρώματα

12 Πολλαπλά ολοκληρώματα Πολλαπλά ολοκληρώματα ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ Tα προβλήματα που επιλύονται με την ολοκλήρωση συναρτήσεων δύο και τριών μεταβλητών αποτελούν γενικεύσεις παρόμοιων προβλημάτων που επιλύονται με την ολοκλήρωση συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 9

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 9 Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 9 Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : Η καµπύλη y = /x µε x >, περιστρέφεται γύρω από τον άξονα Ox και δηµιουργεί ένα στερεό µε επιφάνεια S και όγκο V. είξτε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Πολλαπλά Ολοκληρώματα

Κεφάλαιο 3 Πολλαπλά Ολοκληρώματα Κεφάλαιο Πολλαπλά Ολοκληρώματα Διπλά Ολοκληρώματα. Έστω ότι η f ( είναι, ) ορισμένη σε ένα ορθογώνιο χωρίο : a b, c d d ΔA (, ) Δ c Δ a b Το οποίο διαμερίζουμε σε ορθογώνια υποχωρία (, ). Σχηματίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.6 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ 11.8 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Εμβαδόν κυκλικού δίσκου) Θεωρούμε

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90 ) και πλευρές ΑΓ = 3 cm, ΒΓ = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm.

1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90 ) και πλευρές ΑΓ = 3 cm, ΒΓ = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο (A = 90 ) και πλευρές = 3 cm, = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm. Να βρείτε: α) Το εµβαδό Ε Π της παράπλευρης επιφάνειας.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

b proj a b είναι κάθετο στο

b proj a b είναι κάθετο στο ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Βρείτε όλα τα σηµεία P τέτοια ώστε η απόσταση του P από το A(, 5, 3) είναι διπλάσια από την απόσταση του P από το B(6, 2, 2). είξτε ότι το σύνολο όλων αυτών των σηµείων είναι σφαίρα.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

MATHematics.mousoulides.com

MATHematics.mousoulides.com ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Ενδεικτικές Επαναληπτικές Δραστηριότητες 1 1. Να χαρακτηρίσετε με ΟΡΘΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω προτάσεις, βάζοντας σε κύκλο τον αντίστοιχο χαρακτηρισμό. (α) Ο κύλινδρος είναι πολύεδρο. ΟΡΘΟ /

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.08.4: Υπολογισμός Όγκων Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0. ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ

Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ Σύνοψη Αυτό το κεφάλαιο έχει επίσης επαναληπτικό χαρακτήρα. Σε πρώτο στάδιο διερευνάται η μορφή της καμπύλης την οποία γράφει το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας. αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας m i και θέσης r i

Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας. αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας m i και θέσης r i Κέντρο μάζας Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας Η θέση κέντρου μάζας ορίζεται ως r r i i αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας i και θέσης r i. Συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ . ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ P Q Q v P P ln P P P P, P P, Q P P Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των

Διαβάστε περισσότερα

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 193. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Με την βοήθεια των εξισώσεων δευτέρου βαθμού λύνουμε πολλά προβλήματα της καθημερινής ζωής και διαφόρων επιστημών.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α 1 ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚ 1. Οι πλευρές ενός τριγώνου σε cm είναι = 3x 3, = 3x + 1 και = x και η περίµετρος Π του τριγώνου είναι Π = 8cm. Να βρείτε τα µήκη των πλευρών του τριγώνου. Να δείξτε ότι το τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Η συνάρτηση y = αχ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y = αχ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y = α + β + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε.

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε. 11η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα πρίλιος 010 Χρόνος: 60 λεπτά ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 1 3 5 Ε 9 7. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες όταν αντιστραφούν

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Απλές προτάσεις Για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής των εννοιών Δογραματζάκης Γιάννης 9/5/2013 Απλές προτάσεις για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 5 x - 3 + 10 2-5x + 10x= - 15 + 10x i. ( ) ( ) ( ) ii. 9( 8-x) -10( 9-x) -4( x - 1)

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΚΕΝΤΡΑ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΚΕΝΤΡΑ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΚΕΝΤΡΑ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ Για τους βασικούς ορισμούς σχετικά με το κέντρο βάρους θα γίνεται αναφορά στην επόμενη εικόνα, η οποία απεικονίζει

Διαβάστε περισσότερα

4.5 Ο ΚΩΝΟΣ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ

4.5 Ο ΚΩΝΟΣ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ 1 4.5 Ο ΚΩΝΟΣ ΚΙ Τ ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙ 1. Κώνος : ν φανταστούµε ότι το ορθογώνιο τρίγωνο στρέφεται γύρω από την κάθετη πλευρά του κατά µία πλήρη περιστροφή, προκύπτει το στερεό το οποίο λέγεται κώνος. 2.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003, Λευκωσία Τηλ. 357 22378101 Φαξ: 357 22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,,

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,, 1. i) Να αποδείξετε την ταυτότητα 1 ( ) ( ) ( ) + + = + +. ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; + + + +.. Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων (,, ) είναι όταν είναι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ 1 3.6 ΕΜΝ ΚΥΚΛΙΚΥ ΤΜΕ ΘΕΩΡΙ 1. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας µ ο : Ε = πρ. µ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός αριθµός. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας α rad: Ε = 1 αρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα.

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα Αντιπαράγωγος μίας συνάρτησης f() ορισμένης σε ένα διάστημα [α,β] λέγεται κάθε συνάρτηση F() που επαληθεύει την ισότητα F( ) f ( ) F( ) c επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Υποδείξεις - Συχνά Λάθη

Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Υποδείξεις - Συχνά Λάθη Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Υποδείξεις - Συχνά Λάθη Διδάσκοντες: Δάλλα - Αλικάκος 6 Ιουλίου 204 Θέμα (α) Από την γνωστή ανισότητα a 2 + b 2 2 ab, όταν (x, y) (0, 0), τότε ισχύει: f(x, y) f(0, 0) x 2 y 2x

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων 9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Β -- ΓΕΩΜΕΤΡΙΙΑ Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων Β. 1. 1 44. Τι ονομάζεται εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας και από τι εξαρτάται; Ονομάζεται εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

5o Φύλλο Ασκήσεων. Γενικής Παιδείας. ΑΣΚΗΣΗ 1η. ΑΣΚΗΣΗ 2η. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα των συναρτήσεων :

5o Φύλλο Ασκήσεων. Γενικής Παιδείας. ΑΣΚΗΣΗ 1η. ΑΣΚΗΣΗ 2η. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα των συναρτήσεων : ΛΥΚΕΙΟ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Κ E Φ Α Λ Α Ι Ο Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ 1ο Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΡΙΜΗΣ ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Γενικής Παιδείας 5o Φύλλο Ασκήσεων ΑΣΚΗΣΗ 1η Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ. Κεφάλαιο 13: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ. Κεφάλαιο 13: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο 13: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Θεωρούµε ένα επίπεδο p, µια κλειστή πολυγωνική γραµµή του p και µια ευθεία ε που έχει µε το p ένα µόνο κοινό σηµείο. Από κάθε σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.05.3: Μέγιστα και Ελάχιστα Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Ενότητα Β.05.3: Μέγιστα

Διαβάστε περισσότερα

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 1-14 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ 1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = e ημ + ln. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = τοξημ( ) d y y = ημ θ. Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/011 ΚΕΦ. 9 1 ΓΩΝΙΑΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΟΡΙΣΜΟΙ Περιστροφική κινηματική: περιγράφει την περιστροφική κίνηση. Στερεό Σώμα: Ιδανικό μοντέλο σώματος που έχει τελείως ορισμένα

Διαβάστε περισσότερα

1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( )

1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( ) Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι β ( f () f () ) + α ηµ d β α = [f () ηµ] - [f () συν] β α. ( ) β) Αν f () = ηµ, να αποδείξετε ότι f () + f ()

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΟ ΙΓΩΝΙΣΜ ΣΤΗ ΜΗΧΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΤΟΣ ΘΕΜ Για να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 πολλαπλής επιλογής, αρκεί να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δεξιά απ αυτόν, μέσα σε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο 3 cm 5 cm Ο τύπος όπως είναι γραμμένος δείχνει ότι μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε δύο μήκη. Ε=3cm x 5cm=15cm 2. Πώς καταλαβαίνετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων.

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Χώρος Διανύσματα Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στο χώρο. Στο σύστημα καρτεσιανών (ή ορθογώνιων) συντεταγμένων κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ()=, g()= +3,h()= -3 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 05/01/2016 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 05/01/2016 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 05/01/2016 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 10.865196 ο Αγγ. Σικελιανού 4 Περισσός 10.718688 AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90Ο ) και Α το ύψος του. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές του

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Να υπολογισθεί με τρόπους το ολοκλήρωμα I d d 0 Η ολοκλήρωση, όπως φαίνεται από τα άκρα ολοκλήρωσης, γίνεται πάνω στο ορθογώνιο χωρίο R 0,,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ ο GI_V_ALG 16950 1.1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β)

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4_095. Δίνονται οι ευθείες ε 1: λx + y = 1 και ε : x + λy = λ α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι δύο ευθείες τέμνονται και να γράψετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου συναρτήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. n S f x, y,z ΔV (1) n i i i i i 1

ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. n S f x, y,z ΔV (1) n i i i i i 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Τα τριπλά ολοκληρώματα ορίζονται με τρόπο ανάλογο με τα διπλά ολοκληρώματα. Ισχύουν ανάλογα θεωρήματα ολοκληρωσιμότητας και ανάλογες ιδιότητες. Θεωρούμε μια συνάρτηση f,,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Γεωμετρικός Πυρήνας Παραμετρική Σχεδίαση

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Γεωμετρικός Πυρήνας Παραμετρική Σχεδίαση Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή Γεωμετρικός Πυρήνας Παραμετρική Σχεδίαση Παραμετρική σχεδίαση Παραμετρικό αντικείμενο (2D σχήμα/3d στερεό) ονομάζουμε το αντικείμενο του οποίου η (γεωμετρική)

Διαβάστε περισσότερα

2 η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : 21 Ιανουαρίου Άσκηση 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopital:

2 η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : 21 Ιανουαρίου Άσκηση 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopital: η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : Ιανουαρίου 7 Άσκηση. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopil: α. β. γ. lim 6 lim lim sin. (Υπόδειξη: χωρίς να την αποδείξετε, χρησιμοποιήστε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n +

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n + ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ ) Να υπολογιστούν τα όρια των κάτωθι ακολουθιών με : (α) + 5 + 7 + + (β) + 5 + + (γ) + + + (δ) ( 5 ) + + 4 + ( ) + 5 ) Να βρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 48 Α. Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α και πώς συμβολίζεται αυτή; Β. Ποιος αριθμός ονομάζεται άρρητος;. Πώς ορίζονται οι πραγματικοί αριθμοί; Α. Τι λέγεται ημίτονο μιας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ www.apodeiis.gr ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1 1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 1 i. ii. 1. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: i. 1 1 ii. ln. Δίνεται η συνάρτηση g, i. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Σε τρίγωνο με > και ορθόκεντρο Η να δείξετε ότι: Δίνεται τρίγωνο στο οποίο ισχύει: α β γ βγ Να δείξετε ότι: A 10 Δίνεται τρίγωνο με πλευρές α, β, γ και διάμεσο μα ν ισχύει η

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 8γ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 8γ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 8γ) Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ασκήσεις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ Η συνάρτηση y αχ + βχ + γ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y αx + βx + γ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y αx + βx + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΠΟΛΥΕ ΡΑ 1. ΟΡΙΣΜΟΙ 2. ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΠΙΠΕ Ο α = µήκος β = πλάτος γ = ύψος δ = διαγώνιος = α. β. γ = Ε β. υ Ε ολ = 2. (αβ + αγ + βγ) 3. ΚΥΒΟΣ = α 3 Ε ολ = 6α 2

Διαβάστε περισσότερα

Ομάδα Δ. Λύνοντασ Προβλήματα Φυςικήσ με τον υπολογιςτή

Ομάδα Δ. Λύνοντασ Προβλήματα Φυςικήσ με τον υπολογιςτή Ομάδα Δ. Λύνοντασ Προβλήματα Φυςικήσ με τον υπολογιςτή Πρόβλημα 9 α : Κλίςη καμπύλησ Πρόβλημα 9 β : Εμβαδόν καμπύλησ Πωσ μπορεί κανείσ να λύςει προβλήματα με τη βοήθεια τησ Mahemaica Πρόβλημα 9 α : Κλίςη

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014 Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 14 Άσκηση: Ηλεκτρικό πεδίο διακριτών φορτίων Δύο ίσα θετικά φορτία q βρίσκονται σε απόσταση α μεταξύ τους. Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 07 3. Να αποδείξετε την ταυτότητα + + αβ βγ γα = Να αποδείξετε ότι για όλους τους α, β, γ ισχύει + + αβ + βγ + γα Πότε ισχύει ισότητα; = = + + =

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα