37 Έστω τα διανύσµατα :, V 1 = 8 2 = Ο πίνακας µε στήλες αυτά είναι A=

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "37 Έστω τα διανύσµατα :, V 1 = 8 2 = 40. 8 1-3 9 7-8 37 Ο πίνακας µε στήλες αυτά είναι A="

Θωθ Αλεξάκης
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ================================================= Μαθηµατική Υποστήριξη Φοιτητών : Ιδιαίτερα Μαθήµατα, Λυµένες Ασκήσεις, Βοήθεια στη λύση Εργασιών. Θ. Χριστόπουλος, Tηλ.: 69 9 Ασκήσεις σε γραµµική ανεξαρτησία διανυσµάτων ================================================= Έστω τα διανύσµατα :, V =, V =, V - = Ο πίνακας µε στήλες αυτά είναι A= Ο βαθµός του πίνακα είναι rank(a) = (Γιατί;) µικρότερος από τον αριθµό των στηλών του Α, άρα τα διανύσµατα-στήλες του Α είναι γραµµικά εξαρτηµένα - µάλιστα ισχύει: C = C C Αναλυτική απάντηση µε απαλοιφή Gauss-Jordan: Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ Γ 4 ---> Γ 4 + { Γ

: 69 9 Ασκήσεις σε γραµµική ανεξαρτησία διανυσµάτων ================================================= - 9 - Έστω τα διανύσµατα :, V =, V =, V - = 4 - - 9 - Ο πίνακας

2 Γ Γ ---> { Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { 6 Γ Γ 4 ---> Γ 4 + { Γ -. Θ. Χριστόπουλος, Tηλ.: 69 9 ================================================= - - Έστω τα διανύσµατα :, V =, V =, V - = -6

3 - - - Ο πίνακας µε στήλες αυτά είναι A = Ο βαθµός του πίνακα είναι rank(a) = (Γιατί;) Άρα τα διανύσµατα-στήλες του Α είναι γραµµικά ανεξάρτητα Αναλυτική απάντηση µε απαλοιφή Gauss-Jordan: Γ Γ ---> { Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { 4 Γ Γ 4 ---> Γ 4 + { 9 Γ

ανεξάρτητα Αναλυτική απάντηση µε απαλοιφή Gauss-Jordan: - - - 4-9 - -6 Γ Γ

4 Γ ---> { Γ Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ Γ 4 ---> Γ 4 + { Γ -9-6 Γ Γ ---> {

5 Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ Γ 4 ---> Γ 4 + { 6 Γ. Θ. Χριστόπουλος, Tηλ.: 69 9 ================================================= 4 Έστω τα διανύσµατα :, V =, V =, 4 V - - = Ο πίνακας µε στήλες αυτά είναι A= Ο βαθµός του πίνακα είναι rank(a) = (Γιατί;) µικρότερος από τον αριθµό των στηλών του Α, άρα τα διανύσµατα-στήλες του Α είναι γραµµικά εξαρτηµένα µάλιστα µόνον διανύσµα στήλη του Α είναι γραµµικά ανεξάρτητο Με προσεκτική παρατήρηση µπορείτε να δείτε ότι ισχύει:

στήλες αυτά είναι A= 4 - - Ο βαθµός του πίνακα είναι rank(a) = (Γιατί;) µικρότερος από τον αριθµό των στηλών του Α, άρα τα

6 C= C, C= C Αναλυτική απάντηση µε απαλοιφή Gauss-Jordan: Γ Γ ---> { Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { 4 Γ Γ 4 ---> Γ 4 + { Γ -. Θ. Χριστόπουλος, Tηλ.: 69 9 =================================================

{ 4 Γ Γ 4 ---> Γ 4 + { Γ -. Θ. Χριστόπουλος, www.maths.

7 Έστω τα διανύσµατα :, V =, V =, 4 V = Ο πίνακας µε στήλες αυτά είναι A= 4-6 Ο βαθµός του πίνακα είναι rank(a) = (Γιατί;) Άρα τα διανύσµατα-στήλες του Α είναι γραµµικά ανεξάρτητα Αναλυτική απάντηση µε απαλοιφή Gauss-Jordan: Γ Γ ---> { Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ Γ 4 ---> Γ 4 + { 4 Γ

του Α είναι γραµµικά ανεξάρτητα Αναλυτική απάντηση µε απαλοιφή Gauss-Jordan:

8 Γ Γ ---> { Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ Γ 4 ---> Γ 4 + { Γ

9 Γ Γ ---> { Γ ---> Γ + { 46 Γ 6 Γ ---> Γ + { 9 Γ Γ 4 ---> Γ 4 + { Γ. Θ. Χριστόπουλος, Tηλ.: 69 9 =================================================

10 6-6 Έστω τα διανύσµατα :, V =, V =, 4 V -9 = Ο πίνακας µε στήλες αυτά είναι A= Ο βαθµός του πίνακα είναι rank(a) = (Γιατί;) µικρότερος από τον αριθµό των στηλών του Α, άρα τα διανύσµατα-στήλες του Α είναι γραµµικά εξαρτηµένα - µάλιστα ισχύει: C = C C Αναλυτική απάντηση µε απαλοιφή Gauss-Jordan: Γ Γ ---> { Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { 4 Γ Γ 4 ---> Γ 4 + { 4 Γ

διανύσµατα-στήλες του Α είναι γραµµικά εξαρτηµένα - µάλιστα ισχύει: C = C C Αναλυτική απάντηση µε

11 - - - Γ Γ ---> { Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ Γ 4 ---> Γ 4 + { Γ -. Θ. Χριστόπουλος, Tηλ.: 69 9 =================================================

12 6 9 Έστω τα διανύσµατα :, V =, V =, -9 - V = 6 9 Ο πίνακας µε στήλες αυτά είναι A= -9 - Ο βαθµός του πίνακα είναι rank(a) = (Γιατί;) Άρα τα διανύσµατα-στήλες του Α είναι γραµµικά ανεξάρτητα Αναλυτική απάντηση µε απαλοιφή Gauss-Jordan: Γ Γ ---> { Γ ---> Γ + { 9 Γ Γ ---> Γ + { Γ Γ 4 ---> Γ 4 + { Γ

διανύσµατα-στήλες του Α είναι γραµµικά ανεξάρτητα Αναλυτική απάντηση µε

13 Γ ---> { Γ Γ ---> Γ { 6 Γ + Γ ---> Γ { Γ + Γ 4 ---> Γ 4 { Γ

14 Γ ---> { 9 Γ Γ ---> Γ + { 9 Γ 9 Γ ---> Γ + { Γ 44 Γ 4 ---> Γ 4 + { Γ 9. Θ. Χριστόπουλος, Tηλ.: 69 9 =================================================

Γ 9. Θ. Χριστόπουλος, www.maths.gr, Tηλ.

15 - 9 - Έστω τα διανύσµατα :, V =, V =, 4 V - = Ο πίνακας µε στήλες αυτά είναι A= 4 - Ο βαθµός του πίνακα είναι rank(a) = (Γιατί;) µικρότερος από τον αριθµό των στηλών του Α, άρα τα διανύσµατα-στήλες του Α είναι γραµµικά εξαρτηµένα - µάλιστα ισχύει: C = C C Αναλυτική απάντηση µε απαλοιφή Gauss-Jordan: Γ Γ ---> { Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { 4 Γ Γ 4 ---> Γ 4 + { Γ

διανύσµατα-στήλες του Α είναι γραµµικά εξαρτηµένα - µάλιστα ισχύει: C = C C Αναλυτική απάντηση

16 Γ ---> { Γ Γ ---> Γ { Γ + Γ ---> Γ { Γ + Γ 4 ---> Γ 4 { Γ -. Θ. Χριστόπουλος, Tηλ.: 69 9 =================================================

17 - 9 - Έστω τα διανύσµατα :, V =, V =, 4-6 V = Ο πίνακας µε στήλες αυτά είναι A= Ο βαθµός του πίνακα είναι rank(a) = (Γιατί;) Άρα τα διανύσµατα-στήλες του Α είναι γραµµικά ανεξάρτητα Αναλυτική απάντηση µε απαλοιφή Gauss-Jordan: Γ Γ ---> { Γ ---> Γ + { 9 Γ Γ ---> Γ + { 4 Γ Γ 4 ---> Γ 4 + { 6 Γ

διανύσµατα-στήλες του Α είναι γραµµικά ανεξάρτητα Αναλυτική απάντηση µε απαλοιφή

18 Γ ---> { Γ Γ ---> Γ { Γ + Γ ---> Γ { Γ + Γ 4 ---> Γ 4 { 4 Γ

19 Γ Γ ---> { Γ ---> Γ + { 4 Γ Γ ---> Γ + { 4 4 Γ 6 Γ 4 ---> Γ 4 + { 4 Γ. Θ. Χριστόπουλος, Tηλ.: 69 9 =================================================

20 Έστω τα διανύσµατα :, V =, V =, 6 6 V - -4 = Ο πίνακας µε στήλες αυτά είναι A= Ο βαθµός του πίνακα είναι rank(a) = (Γιατί;) µικρότερος από τον αριθµό των στηλών του Α, άρα τα διανύσµατα-στήλες του Α είναι γραµµικά εξαρτηµένα µάλιστα µόνον διανύσµα στήλη του Α είναι γραµµικά ανεξάρτητο Με προσεκτική παρατήρηση µπορείτε να δείτε ότι ισχύει: C= C, C= C Αναλυτική απάντηση µε απαλοιφή Gauss-Jordan: Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { 6 Γ Γ 4 ---> Γ 4 + { 6 Γ

µάλιστα µόνον διανύσµα στήλη του Α είναι γραµµικά ανεξάρτητο Με προσεκτική παρατήρηση µπορείτε να δείτε ότι ισχύει: C= C,

21 -. Θ. Χριστόπουλος, Tηλ.: 69 9 ================================================= Έστω τα διανύσµατα :, V =, V =, 4 9 V = Ο πίνακας µε στήλες αυτά είναι A= 4 9 Ο βαθµός του πίνακα είναι rank(a) = (Γιατί;) Άρα τα διανύσµατα-στήλες του Α είναι γραµµικά ανεξάρτητα Αναλυτική απάντηση µε απαλοιφή Gauss-Jordan: 4 9 Γ Γ ---> { 4 9 Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { 4 Γ

22 + Γ 4 ---> Γ 4 { 9 Γ - -9 Γ ---> { Γ Γ ---> Γ { Γ + Γ ---> Γ { Γ + Γ 4 ---> Γ 4 { Γ

23 Γ Γ ---> { Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ 9 Γ 4 ---> Γ 4 + { Γ. Θ. Χριστόπουλος, Tηλ.: 69 9 =================================================

24 ================================================= Μαθηµατική Υποστήριξη Φοιτητών : Ιδιαίτερα Μαθήµατα, Λυµένες Ασκήσεις, Βοήθεια στη λύση Εργασιών. Θ. Χριστόπουλος, Tηλ.: 69 9 Ασκήσεις σε γραµµική ανεξαρτησία διανυσµάτων ================================================= Έστω τα διανύσµατα : V = [, -,, -9], V = [ 4, 9, -, 6 ], V = [, -4,, - ] - -9 Ο πίνακας µε γραµµές αυτά είναι A= Ο βαθµός του πίνακα είναι rank(a) = άρα τα διανύσµατα-γραµµές του Α είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Αναλυτική απάντηση µε απαλοιφή Gauss-Jordan: Γ Γ ---> { Γ ---> Γ + { 4 Γ Γ ---> Γ + { Γ

25 Γ Γ ---> { Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ Γ Γ ---> {

26 Γ ---> Γ + { 4 6 Γ Γ ---> Γ + { Γ Θ. Χριστόπουλος, Tηλ.: 69 9 ================================================= Έστω τα διανύσµατα : V = [ -6,, -, -], V = [ -9, -6, -, ], V = [ -, -4, -, ] Ο πίνακας µε γραµµές αυτά είναι A= Ο βαθµός του πίνακα είναι rank(a) = µικρότερος από τον αριθµό των γραµµών του Α, άρα τα διανύσµατα-γραµµές του Α είναι γραµµικά εξαρτηµένα Αναλυτική απάντηση µε απαλοιφή Gauss-Jordan:

27 Γ ---> { Γ Γ ---> Γ { 9 Γ + Γ ---> Γ { Γ Γ ---> { Γ

28 Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { 9 Γ Θ. Χριστόπουλος, Tηλ.: 69 9 ================================================= Έστω τα διανύσµατα : V = [ -,, -4, ], V = [ -9,,, ], V = [ -,,, ] - -4 Ο πίνακας µε γραµµές αυτά είναι A= -9 - Ο βαθµός του πίνακα είναι rank(a) = άρα τα διανύσµατα-γραµµές του Α είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Αναλυτική απάντηση µε απαλοιφή Gauss-Jordan: Γ ---> { Γ

29 Γ ---> Γ { 9 Γ + Γ ---> Γ { Γ - 4 Γ ---> { Γ Γ ---> Γ { Γ + Γ ---> Γ { Γ

30 - 4-6 Γ ---> { 4 Γ Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ 6 4. Θ. Χριστόπουλος, Tηλ.: 69 9 ================================================= Έστω τα διανύσµατα : V = [,,, -], V = [ 6, -,, - ], V = [ 4, 4, 4, -6 ]

31 - Ο πίνακας µε γραµµές αυτά είναι A = Ο βαθµός του πίνακα είναι rank(a) = µικρότερος από τον αριθµό των γραµµών του Α, άρα τα διανύσµατα-γραµµές του Α είναι γραµµικά εξαρτηµένα Αναλυτική απάντηση µε απαλοιφή Gauss-Jordan: Γ ---> Γ + { 6 Γ Γ ---> Γ + { 4 Γ Γ ---> { Γ 9

32 Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ Θ. Χριστόπουλος, Tηλ.: 69 9 ================================================= Έστω τα διανύσµατα : V = [, -, 4, -], V = [,, -4, - ], V = [ -4, -,, - ] Ο πίνακας µε γραµµές αυτά είναι A= Ο βαθµός του πίνακα είναι rank(a) = άρα τα διανύσµατα-γραµµές του Α είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Αναλυτική απάντηση µε απαλοιφή Gauss-Jordan: Γ Γ ---> {

33 Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { 4 Γ Γ Γ ---> { Γ ---> Γ + { 4 Γ Γ ---> Γ + { Γ

34 Γ ---> { Γ Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ 9. Θ. Χριστόπουλος, Tηλ.: 69 9 ================================================= Έστω τα διανύσµατα : V = [, -,, ], V = [ -,, -6, ], V = [ -,, -9, ]

35 - Ο πίνακας µε γραµµές αυτά είναι A = Ο βαθµός του πίνακα είναι rank(a) = µικρότερος από τον αριθµό των γραµµών του Α, άρα τα διανύσµατα-γραµµές του Α είναι γραµµικά εξαρτηµένα Αναλυτική απάντηση µε απαλοιφή Gauss-Jordan: Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> { Γ

36 Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { 4 Γ Θ. Χριστόπουλος, Tηλ.: 69 9 ================================================= Έστω τα διανύσµατα : V = [, -9,, ], V = [, -, 9, ], V = [ -, -, 9, -9 ] -9 Ο πίνακας µε γραµµές αυτά είναι A= Ο βαθµός του πίνακα είναι rank(a) = άρα τα διανύσµατα-γραµµές του Α είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Αναλυτική απάντηση µε απαλοιφή Gauss-Jordan: Γ Γ ---> {

37 Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ Γ Γ ---> { Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ

38 Γ Γ ---> { Γ ---> Γ + { 9 9 Γ Γ ---> Γ + { 9 Γ Θ. Χριστόπουλος, Tηλ.: 69 9 ================================================= Έστω τα διανύσµατα : V = [ -,, -, ], V = [, -,, ], V = [ 6, -4, 6, 6 ]

39 - - Ο πίνακας µε γραµµές αυτά είναι A = Ο βαθµός του πίνακα είναι rank(a) = µικρότερος από τον αριθµό των γραµµών του Α, άρα τα διανύσµατα-γραµµές του Α είναι γραµµικά εξαρτηµένα Αναλυτική απάντηση µε απαλοιφή Gauss-Jordan: Γ ---> { Γ Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { 6 Γ

40 Γ Γ ---> { Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ Θ. Χριστόπουλος, Tηλ.: 69 9 ================================================= Έστω τα διανύσµατα : V = [ -, 6, -, ], V = [ -,, -, 9 ], V = [ -, -, 6, ] Ο πίνακας µε γραµµές αυτά είναι A= Ο βαθµός του πίνακα είναι rank(a) = άρα τα διανύσµατα-γραµµές του Α είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Αναλυτική απάντηση µε απαλοιφή Gauss-Jordan:

41 Γ ---> { Γ Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ Γ Γ ---> {

42 Γ ---> Γ + { Γ 6 Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> { Γ Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ

43 Θ. Χριστόπουλος, Tηλ.: 69 9 ================================================= Έστω τα διανύσµατα : V = [ -, -4, -, ], V = [, -, 6, -], V = [, -6,, -6 ] Ο πίνακας µε γραµµές αυτά είναι A= Ο βαθµός του πίνακα είναι rank(a) = µικρότερος από τον αριθµό των γραµµών του Α, άρα τα διανύσµατα-γραµµές του Α είναι γραµµικά εξαρτηµένα Αναλυτική απάντηση µε απαλοιφή Gauss-Jordan: Γ ---> { Γ Γ ---> Γ + { Γ ---> Γ + {

44 Γ ---> { Γ Γ ---> Γ { 4 Γ + Γ ---> Γ { 6 Γ Θ. Χριστόπουλος, Tηλ.: 69 9 =================================================

Σχετικά έγγραφα

ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΚΟΙΜΗΤΗΡΙΩΝ

ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΚΟΙΜΗΤΗΡΙΩΝ ΗΜΙΑΣΤΙΚΩΝ ΠΕΡΙΟΧΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΙΚΩΝ ΙΑΜΕΡΙΣΜΑΤΩΝ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2011 Σελίδα 1 από 16 Περιεχόµενα : Άρθρο 1: Αντικείµενο και σκοπός του κανονισµού Σελ.3 Άρθρο 2: Νοµικό