f (x 0 ) = lim f (x 0 + h) f (x 0 )

Transcript

1 Διάλεξη 7: Παράγωγοι συναρτήσεων 1

2 Ανακοινώσεις 1ο σετ ασκήσεων στο elearn. Ημερομηνία παράδωσης 25/10 2

3 Παράγωγοι Η παράγωγος μια συνάρτησης f (x) στο σημείο x 0, συμβολίζεται με f (x 0 ) και δίνεται από f (x 0 ) = lim h 0 f (x 0 + h) f (x 0 ) h υπό την προϋπόθεση ότι το όριο υπάρχει. Ισοδύναμες διατυπώσεις Η κλήση της γραφικής παράστασης y = f (x) στο x = x 0 Η κλήση της εφαπτομένης στην y = f (x) στο x = x 0 Ο ρυθμός μεταβολής της f (x) ως προς x στο x = x 0 Η παράγωγος f (x) στο x = x 0 3

4 Παράγωγος ως συνάρτηση Η παράγωγος της f (x) ως προς x, είναι η συνάρτηση f (x) και η οποία ισούται με f (x) = lim h 0 f (x + h) f (x) h υπό την προϋπόθεση ότι το όριο υπάρχει. Εναλλακτικά: f (x) = lim z x f (z) f (x) Επίσης γράφεται και: dy, z x df (x), df 4

5 Διαφορισιμότητα σε διαστήματα Μια συνάρτηση f (x) είναι διαφορίσιμη σε ένα ανοιχτό διάστημα (πεπερασμένο ή άπειρο) αν υπάρχει η παράγωγος της σε κάθε σημείο του διαστήματος Μια συνάρτηση f (x) είναι διαφορίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] αν είναι διαφορίσιμη στο (α,β) και υπάρχουν τα όρια f (a+h) f (a) lim h 0 + h f (b+h) f (b) lim h 0 h 5

6 Παραδείγματα Να υπολογιστεί η εφαπτομένη της g(z) = z στο σημείο P=(3,2) Να δειχθεί ότι η συνάρτηση { x 2, x 0 f (x) = x, x > 0 δεν είναι διαφορίσιμη στο R = (0, 0) 6

7 Μη ύπαρξη παραγώγου 7

8 Διαφορισιμότητα και συνέχεια Αν η f (x) έχει παράγωγο στο x = c, τότε η f είναι συνεχής στο x = c Το αντίστροφο δεν ισχύει 8

9 Κανόνες παραγώγισης: άθροισμα Αν η f (x) είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση του x και c μια σταθερά, τότε d df (cf ) = c Αν οι f και g είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις του x, τότε το άθροισμα f + g είναι παραγωγίσιμο σε κάθε σημείο όπου οι f και g είναι και οι δύο παραγωγίσιμες. Σε αυτά τα σημεία d df (f + g) = + dg 9

10 Κανόνες παραγώγισης: γινόμενο Αν οι f και g είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο x, τότε και το γινόμενο τους είναι παραγωγίσιμο ή εναλλακτικά d dg (fg) = f + g df d [f (x)g(x)] = f (x)g (x) + g(x)f (x) 10

11 Κανόνες παραγώγισης: πηλίκο Αν οι f και g είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο x και g(x) 0 το πηλίκο τους είναι παραγωγίσιμο ή εναλλακτικά d ( ) d f = g df f dg g g 2 (x) [ ] f (x) = g(x)f (x) f (x)g (x) g(x) g 2 (x) 11

12 Κανόνες παραγώγισης: δυνάμεις Αν η f έχει σταθερή τιμή f (x) = c, τότε df = 0 d Αν n θετικός ακέραιος, x n = nx n 1 d και γενικά, n πραγματικός αριθμός, x n = nx n 1 για κάθε x που ορίζονται οι x n και x n 1 12

13 Παραδείγματα Να βρεθεί η παράγωγος της y = x x 2 5x + 1 Εχει η καμπύλη y = x 4 2x οριζόντιες εφαπτομένες Να βρεθεί η παράγωγος της y = (x 2 + 1)(x 3 + 3) Οι καμπύλες y 1 = x 2 + ax + b και y 2 = cx x 2 έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο (1,0). Να βρεθούν τα a, b, c 13

14 Παράγωγοι ανωτέρων τάξεων Αν η συνάρτηση y = f (x) είναι διαφορίσιμη συνάρτηση, τότε η παράγωγος της f (x) είναι επίσης συνάρτηση. Αν η f (x) είναι διαφορίσιμη, τότε μπορούμε να πάρουμε την παράγωγο της df (x), που είναι μια καινούργια συνάρτηση και γράφεται f (x) = y (x) = d 2 y 2 = d (dy ) = dy 14

15 Παραδείγματα Να υπολογιστεί η 1 και 2 παράγωγος της r = 1 3s 2 5 2s Να υπολογιστούν οι παράγωγοι όλων των τάξεων της y = x x 2 x 15

16 Παράγωγοι τριγωνομετρικών συναρτήσεων d (sin (x)) = cos (x) (cos (x)) = sin (x) d d (tan (x)) = d d (sec (x)) = d d (csc (x)) = d sin (x) cos (x) = sec2 (x) 1 cos (x) = sec (x) tan (x) 1 sin (x) = csc (x) cot (x) d (cot (x)) = d cos (x) sin (x) = csc2 (x) csc: συντέμνουσα, sec: τέμνουσα, cot: συνεφαπτομένη 16

17 Κανόνας αλυσιδωτής παραγώγισης Να υπολογιστεί η παράγωγος της y = (3x 2 + 1) 2 17

18 Κανόνας αλυσιδωτής παραγώγισης Α η f (u) είναι διαφορίσιμη στο σημείο u = g(x) και η g(x) είναι διαφορίσιμη στο x, τότε η σύνθετη συνάρτηση (f g)(x) = f (g(x)) είναι διαφορίσιμη στο x, και (f g) (x) = f (g(x)) g (x) Σε συμβολισμό Leibniz, αν y = f (u) και u = g(x), τότε όπου η dy du dy = dy du du υπολογίζεται στο σημείο u = g(x). 18

19 Παραδείγματα Να υπολογιστεί η παράγωγος της y = (3x 2 + 1) 2 Να υπολογιστεί η παράγωγος της g(x) = 1 3x 2 19

20 Αλυσιδωτή παραγώγιση δυνάμεων Εστω n πραγματατικός αριθμός και f (u) = u n μια συνάρτηση δύναμης. Αν η u είναι διαφορίσιμη συνάρτηση του x, τότε σύμφωνα με τον κανόνα της αλυσιδωτής παραγώγης d (un n 1 du ) = nu (1) 20

21 Παραδείγματα Να βρεθεί η dy/ όπου (α) y = (u/5) + 7 και u = 5x 35 (β) y = 1 + (1/u) και u = 1/(x 1) Να βρεθεί η δεύτερη παράγωγος της y = x(2x + 1) 4 Να δειχθεί ότι κάθε ευθεία που εφάπτεται της καμπύλης y = 1/(1 2x) 3 έχει θετική κλίση. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της y = ( x 1 x+1 ) 2 21