ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ, ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ, ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΕΙΔΙΚΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΝΑΓΚΑΛΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΤΟΠΙΚΕΣ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΕΙΣ ΣΕ ΑΝΟΙΚΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΟΔΩΡΑ ΚΟΛΙΩΝΗ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: κ.β.παπαθεου ΠΑΤΡΑ 213

2

3 Περίληψη Στην παρούσα έρευνα εξετάζουμε την αλληλεπίδραση ενός ανοικτού κβαντικού συστήματος ενός ή δύο αρμονικών ταλαντωτών με το περιβάλλον εκκινώντας από το μοντέλο κβαντικής κίνησης Brown. Υπολογίζουμε τις λύσεις της ομογενούς εξίσωσης κίνησης καθώς και τους πίνακες απωλειών και θορύβου, από τους οποίους κατασκευάζεται ο διαδότης του συστήματος. Στη βάση αυτών μας των υπολογισμών ελέγχουμε την αξιοπιστία της εξίσωσης Master δεύτερης τάξης, της οποίας τα αποτελέσματα τα βρίσκουμε αναξιόπιστα. Τα αποτελέσματα αυτά επιτρέπουν α). την ολοκλήρωση του θεωρητικού μοντέλου για την επικοινωνία δύο απομακρυσμένων κβαντικών συστημάτων και β).την εφαρμογή σε ζητήματα κβαντικής πληροφορίας.

4 ii Περίληψη

5 Abstract In this research we examine the interaction of an open quantum system one or two harmonic oscillators with the environment starting from the quantum Brownian motion model. We compute the solutions of the homogeneous equation of motion and the dissipation and noise kernel, of which is constructed the propagator of the system. Based on these calculations we check the reliability of the Master equation of second order, whose the results are unreliable. These results allow a). the completion of the theoretical model for communication between two remote quantum systems and b). the application in issues quantum information.

6 iv Abstract

7 Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντά μου κ. Βασίλειο Παπαθέου για την ηθική υποστήριξη και την επιστημονική καθοδήγηση κατά την διάρκεια συγγραφής της ειδικής ερευνητικής εργασίας. Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω και τα άλλα δύο μέλη της εξεταστικής επιτροπής, δηλαδή τον Αναπληρωτή Καθηγητή κ. Δημήτριο Σουρλά και τον Επίκουρο Καθηγητή κ.γεώργιο Μπροδήμα. Με ξεχωριστό τρόπο θα ήθελα να εκφράσω την μεγάλη μου ευγνωμοσύνη στον κ.χ.αναστόπουλο, ο οποίος καθόλη την διάρκεια της παρούσας διατριβής μου βρέθηκε στο πλευρό μου όσες φορές τον χρειάστηκα ως μέντορας και καθοδηγητής, βοηθός και πολύτιμος συμπαραστάτης. Η καθοδήγηση, οι ιδέες και κυρίως οι υποδείξεις του ήταν πραγματικά καθοριστικές για το τελικό αποτέλεσμα.

8 vi Ευχαριστίες

9 Περιεχόμενα Περίληψη Abstract Ευχαριστίες i iii v 1 Εισαγωγή 1 2 Θεωρητικό υπόβαθρο 5 1. Θεωρία μήτρας πυκνότητας Κλειστά και ανοικτά κβαντικά συστήματα Δυναμική ανοικτών κβαντικών συστημάτων Κβαντική προσέγγιση Markov (Quantum Markov process): μικρή μνήμη(short memory) Μαρκοβιανές κβαντικές εξισώσεις Master Όριο ασθενούς σύζευξης (weak-coupling limit): Κβαντική προσέγγιση Born Εξίσωση Redfield Προσέγγισεις περιστρεφόμενου κύματος Θεωρία διαταραχών Κβαντική κίνηση Brown Γενικεύσεις της θεωρίας Γενική εξίσωση Σύστημα ενός αρμονικού ταλαντωτή: Μοντέλο Caldeira-Leggett Ανοικτά κβαντικά συστήματα Μοντέλα κβαντικής κίνησης Brown Φορμαλισμός Χρονική εξέλιξη ανοικτού κβαντικού συστήματος vii

10 viii Περιεχόμενα 2..2 Χρονική εξέλιξη σε QBM μοντέλα Two-point correlation matriv V Προσδιορισμός του πίνακα R(t) Προσδιορισμός του πίνακα S(t) Κατασκευή εξίσωσης Master Εξίσωση Master για σύστημα Ν αρμονικών ταλαντωτών Επίλυση εξισώσεων για την περίπτωση ενός αρμονικού ταλαντωτή σε ωμικό περιβάλλον Πίνακας απωλειών Διαφορική εξίσωση κίνησης Πίνακας θορύβου Πίνακας συσχέτισης Εξίσωση Master για έναν αρμονικό ταλαντωτή Σύστημα ενός αρμονικού ταλαντωτή που αλληλεπιδρά με πεδίο Μια απόπειρα φορμαλιστικής προσέγγισης Υπολογισμός πίνακα απωλειών Γενική έκφραση Εύρεση ομογενούς λύσης της εξίσωσης κίνησης Υπολογισμός μετασχηματισμού Laplace στις τρεις διαστάσεις Αναλυτική περιγραφή υπολογισμού του αντιστρόφου μετασχηματισμού Laplace Υπολογισμός πίνακα θορύβου Υπολογισμός των συναρτήσεων συσχέτισης Γραφική απεικόνιση των συναρτήσεων συσχέτισης στο όριο της ασθενούς σύζευξης Σύστημα δύο αρμονικών ταλαντωτών που αλληλεπιδρούν με πεδίο Φορμαλισμός Πίνακας απωλείων Γενική έκφραση Πίνακας απωλειών στις τρεις διαστάσεις Εύρεση ομογενούς εξίσωσης κίνησης Υπολογισμός μετασχηματισμού Laplace Υπολογισμός αντιστρόφου μετασχηματισμού Laplace Αναλυτική περιγραφή υπολογισμού του αντιστρόφου μετασχηματισμού Laplace Υπολογισμός του πίνακα θορύβου

11 6 Συμπεράσματα 81 Αʹ Συναρτήσεις Συσχέτισης Πίνακας συσχέτισης δύο σημείων (Two-point correlation matrix) Βʹ Συνάρτηση Wigner Συνάρτηση Wigner (Wigner function) Γʹ Μετασχηματισμoί Laplace Μετασχηματισμoί Laplace Ορισμός Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Όταν οι μοναδικότητες (singularities) είναι πόλοι Όταν οι μοναδικότητες (singularities) είναι σημεία διακλάδωσης (branch points) Δʹ Ειδικές συναρτήσεις Error function Ορισμός Complementary error function Ασυμπτωτική έκφραση Cosine integral Ορισμός Ασυμπτωτικές εκφράσεις Sine integral Ορισμός Ασυμπτωτικές εκφράσεις Βιβλιογραφία 13

12 x Περιεχόμενα

13 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Τα περισσότερα ρεαλιστικά φυσικά συστήματα αλληλεπιδρούν με το περιβάλλον και ανταλλάσουν ενέργεια και πληροφορία. Για να μπορέσει κάποιος να μελετήσει τέτοια συστήματα θα πρέπει να επεκτείνει την κατηγορία των κλειστών συστημάτων που υπάρχουν ήδη στην κβαντομηχανική εισάγοντας μια καινούρια, γενική κατηγορία, αυτή των ανοικτών κβαντικών συστημάτων. Ένα ανοικτό κβαντικό σύστημα είναι ένα κβαντικό σύστημα S, το οπoίο αλληλεπιδρά με ένα άλλο κβαντικό σύστημα που ονομάζουμε περιβάλλον E. Το σύστημα που ονομάζουμε περιβάλλον συνήθως προσεγγίζεται από πολλούς βαθμούς ελευθερίας. Το συνολικό σύστημα S+E είναι ένα κλειστό κβαντικό σύστημα και η πρόσβαση που μπορούμε να έχουμε είναι μόνο στους βαθμούς ελευθερίας που προσδιορίζουν το σύστημα S. Η κατάσταση του υποσυστήματος αυτού θα αλλάξει εξαιτίας της αλληλεπίδρασής του με το περιβάλλον και η εξέλιξη αυτή δεν μπορεί πλέον να περιγράφεται από μία Hamiltonian. Η δυναμική του υποσυστήματος αυτού καλείται ανηγμένη δυναμική (reduced system dynamics) και το σύστημα ανηγμένο (reduced system). Η στροφή προς την μελέτη των ανοικτών κβαντικών συστημάτων προέκυψε από την ανάγκη χειραγώγησης της μεταφοράς κβαντικής πληροφορίας, γεγονός που προυποθέτει τον έλεγχο και τον πλήρη προσδιορισμό των επιπτώσεων που προκαλεί στο κβαντικό σύστημα το περιβάλλον. Επειδή τα ανοικτά κβαντικά συστήματα εξ ορισμού περιλαμβάνουν την αλληλεπίδρασή τους με το περιβάλλον, είναι κατάλληλα για την μελέτη φαινομένων όπως η απώλεια ενέργειας από το σύστημα προς το περιβάλλον, η διάχυση, ο εναγκαλισμός και η αποσυμφωνία. Αξίζει σε αυτό το σημείο να αναφέρει κανείς ότι όλες οι παραπάνω παράμετροι αντιμετωπίζονται από την βιβλιογραφία ως παράμετροι εξαιρετικά ζωτικής σημασίας για την πρόοδο στην έρευνα αλλά και την δημιουργία κβαντικών υπολογιστών. Σε αντίθεση με την μελέτη των κλειστών συστημάτων, που η χρονική τους εξέλιξη περιγράφονταν με την εξίσωση Schrödinger και έναν μοναδιαίο (unitary) 1

14 2 Εισαγωγή τελεστή, η μελέτη των ανοικτών κβαντικών συστημάτων απαιτεί την εξίσωση εξέλιξης της μήτρα πυκνότητας (density matrix). Η εξίσωση εξέλιξης της μήτρας πυκνότητας ονομάζεται κβαντική εξίσωση Master (Quantum Master Equation). Ένα σημαντικό μοντέλο στη μελέτη των ανοικτών κβαντικών συστημάτων είναι το μοντέλο κβαντικής κίνησης Brown. Αυτό περιγράφει ένα ή περισσότερα σωμάτια που αλληλεπιδρούν με μία θερμική δεξαμενή. Η δεξαμενή μοντελοποιείται ως ένας μεγάλος αριθμός αρμονικών ταλαντωτών που βρίσκεται αρχικά σε θερμική κατάσταση. Χρησιμοποιείται για την περιγραφή ακόμα και μη- Μαρκοβιανών συστημάτων, δηλαδή ανοικτών συστημάτων τα οποία εμφανίζουν φαινόμενα μνήμης. Όλη η πληροφορία που χάνει το ανοικτό σύστημα κατά την αλληλεπίδραση με το περιβάλλον περιέχεται σε δύο πίνακες, τους πίνακες απωλειών (dissipation kernel) και θορύβου (noise kernel). Ήδη από την δεκαετία του 8 οι Caldeira-Leggett [1] κατασκεύασαν ένα απλό θεωρητικό μοντέλο για την περιγραφή του φαινομένου της διάχυσης. Το μοντέλο αυτό περιελάμβανε ένα σύστημα ενός αρμονικό ταλαντωτή σε αλληλεπίδραση με ένα περιβάλλον. Το περιβάλλον ήταν μία θερμική δεξαμενή σε κατάσταση ισορροπίας και αποτελούνταν από ένα άπειρο αριθμό ταλαντωτών. Η μελέτη ολοκληρώθηκε με την κατασκευή της εξίσωσης Master, η οποία περιγράφει την χρονική εξέλιξη του εν λόγω συστήματος. Ακριβής λύση της εξίσωσης Master για την περίπτωση συστήματος ενός αρμονικού ταλαντωτή σε αλληλεπίδραση με μία θερμική δεξαμενή έχει αναφερθεί από τους Hu, Paz, Zhang [2] και Halliwell, Yu [3] αλλά και για την περίπτωση πολυμερών συστημάτων από τους Anastopoulos, Kechribaris and Mylonas [4] και από τους Fleming, Roura, Hu [5]. Στην παρούσα εργασία, χρησιμοποιώντας το μοντέλο κβαντικής κίνησης Brown για την περίπτωση συστημάτων ενός και δύο αρμονικών ταλαντωτών σε αλληλεπίδραση με ένα περιβάλλον, το οποίο μοντελοποιούμε ως βαθμωτό πεδίο υπολογίσαμε τις ακριβείς λύσεις της ομογενούς εξίσωσης κίνησης των συστημάτων. Επίσης, με την εύρεση των ακριβών λύσεων της εξίσωσης κίνησης ελέγξαμε τα όρια ισχύος της εξίσωσης Master. Η ακριβής λύση, στην οποία καταλήξαμε ύστερα από αναλυτικούς υπολογισμούς, έχει σημαντικές διαφοροποιήσεις από την καθιερωμένη στη βιβλιογραφία, η οποία προκύπτει μέσω της χρήσης διάφορων προσεγγίσεων. Ειδικότερα βρίσκουμε ότι η ακριβής λύση εμπεριέχει έναν αφύσικο όρο, ο οποίος απαιτεί μετατροπές στη μοντελοποίηση του συστήματος ώστε να αφαιρεθεί, καθώς και έναν επιπλέον όρο ο οποίος είναι σημαντικός στο όριο μεγάλων χρόνων. Η μελέτη του συστήματος των δύο αρμονικών ταλαντωτών που αλληλεπιδρούν με ένα πεδίο συστήματος έχει ως κίνητρο το γεγονός ότι η συνήθης περιγραφή του συστήματος μέσω προσεγγίσεων είναι ανεπαρκής και μπορεί να

15 3 οδηγήσει ακόμη και σε παραβίαση του ορίου της ταχύτητας του φωτός, αν οι δύο ταλαντωτές είναι πολύ απομακρυσμένοι. Η μέθοδος υπολογισμού των λύσεων που χρησιμοποιούμε εδώ μπορεί να μας δώσει ακριβείς εκφράσεις για την επικοινωνία και ανταλλαγή πληροφορίας μεταξύ δύο απομακρυσμένων κβαντικών συστημάτων. Στο πλαίσιο αυτής της ειδικής ερευνητικής εργασίας έχει ολοκληρωθεί το μεγαλύτερο μέρος των υπολογισμών της χρονικής εξέλιξης σ αυτό το σύστημα. Η ολοκλήρωσή τους θα έχει μεγάλη σημασία σε ότι αφορά την γνώση της αλληλεπίδρασης δύο απομακρυσμένων συστημάτων. Η γνώση αυτή θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί στα πλαίσια της κβαντικής επικοινωνίας (quantum communication). Αρχικά, στο θεωρητικό πλαίσιο της έρευνας αυτής, θα επιδιώξουμε να αποκτήσουμε μια σαφή και σχετικά οριοθετημένη εικόνα σχετικά με την διάκριση μεταξύ κλειστών και ανοικτών κβαντικών συστημάτων, του τρόπου με τον οποίο αυτά λειτουργούν αλλά και να δώσουμε τις εξισώσεις που μπορούν να μας περιγράψουν την χρονική τους εξέλιξη. Επιπρόσθετα, θα καταγράψουμε τις προσεγγίσεις και τα μοντέλα που στη συνέχεια θα χρησιμοποιήσουμε για την κατασκευή της εξίσωσης Master και θα τελειώσουμε κάνοντας μία γενίκευση της θεωρίας των ανοικτών κβαντικών συστημάτων ως προς την διάκριση μεταξύ των περιπτώσεων ενός και πολλών αρμονικών ταλαντωτών. Στο επόμενο κεφάλαιο, που θα ονομάσουμε «Ανοικτά Κβαντικά Συστήματα», θα περιγράψουμε τον φορμαλισμό του μοντέλου κβαντικής κίνησης Brown για την περίπτωση πολυμερών συστημάτων [4], θα κατασκευάσουμε την ομογενή εξίσωση κίνησης του συστήματος αυτού και θα προσδιορίσουμε τους δύο πίνακες απωλειών και θορύβου (dissipation kernel, noise kernel) που περιέχουν όλη την φυσική του ανοικτού συστήματος. Αφού κατασκευάσουμε τις εξισώσεις κίνησης και υπολογισμού των πινάκων, θα υπολογίσουμε τα αντίστοιχα μεγέθη για το απλό μοντέλο του ενός αρμονικού ταλαντωτή. Στη συνέχεια, θα περιγράψουμε τον φορμαλισμό του συστήματος ενός αρμονικού ταλαντωτή σε αλληλεπίδραση με ένα περιβάλλον, το οποίο θεωρούμε ότι είναι ένα βαθμωτό πεδίο. Χρησιμοποιώντας τις εκφράσεις υπολογισμού της λύσης της ομογενούς εξίσωσης κίνησης και των πινάκων απωλειών και θορύβου που αποδείξαμε εκτενώς στο προηγούμενο κεφάλαιο, θα προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε αναλυτικά τόσο την λύση της ομογενούς εξίσωσης κίνησης του συστήματος, όσο και τους δύο πίνακες. Στο τελευταίο κεφάλαιο, χρησιμοποιώντας τις εκφράσεις υπολογισμού της ομογενούς λύσης και των πινάκων απωλειών και θορύβου που αποδείξαμε στο κεφάλαιο των ανοικτών κβαντικών συστημάτων, θα προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε τα μεγέθη αυτά αναλυτικά για την περίπτωση συστήματος δύο αρμονικών ταλαντωτών.

16 4

17 Κεφάλαιο 2 Θεωρητικό υπόβαθρο Τα περισσότερα υπό μελέτη φυσικά συστήματα είναι ανοικτά, αλληλεπιδρούν δηλαδή με το περιβάλλον και κατά την αλληλεπίδραση αυτή χάνουν ενέργεια και πληροφορία. Κλειστά κβαντικά συστήματα δεν υπάρχουν, απλώς χρησιμοποιούνται για την απλούστερη μελέτη φυσικών συστημάτων. Στο κεφάλαιο αυτό θα προσπαθήσουμε να περιγράψουμε την διαφορά μεταξύ κλειστών και ανοικτών κβαντικών συστημάτων, αλλά και να δώσουμε τις εξισώσεις που μπορούν να μας περιγράψουν την χρονική τους εξέλιξη. Επιπρόσθετα, θα αναφέρουμε τις προσεγγίσεις και τα μοντέλα που στη συνέχεια θα χρησιμοποιήσουμε για την κατασκευή της εξίσωσης Master και τελειώνοντας θα γενικεύσουμε την θεωρία των ανοικτών κβαντικών συστημάτων στην περίπτωση συστήματος ενός και πολλών αρμονικών ταλαντωτών. 1. Θεωρία μήτρας πυκνότητας Η χρονική εξέλιξη ενός κλειστού κβαντικού συστήματος (close quantum system) περιγράφεται από την εξίσωση Schrödinger και από έναν μοναδιαίο τελεστή χρονικής εξέλιξης (unitary time-evolution operator). Στην περίπτωση όμως ενός ανοικτού κβαντικού συστήματος (open quantum system) δεν ισχύει κάτι τέτοιο και για να περιγράψουμε την χρονική του εξέλιξη, θα πρέπει να κατασκευάσουμε μία εξίσωση κίνησης για την μήτρα πυκνότας (density matrix), δηλαδή μία κβαντική εξίσωση Master (Quantum Master equation). Ένα ανοικτό κβαντικό σύστημα (OQS) είναι ένα κβαντικό σύστημα S, το οπoίο αλληλεπιδρά με ένα άλλο κβαντικό σύστημα που ονομάζουμε περιβάλλον E, το οποίο είναι πολύ μεγάλο και θεωρούμε ότι δεν μεταβάλλεται κατά την αλληλεπίδραση με το σύστημα. 1 Το 1 Το σύστημα που ονομάζουμε περιβάλλον συνήθως προσεγγίζεται από πολλούς βαθμούς ελευθερίας και για λόγους απλοποίησης μοντελοποιείται χρησιμοποιώντας την φασματική πυκνότητα (spectral density).

18 6 συνολικό σύστημα S+E είναι ένα κλειστό κβαντικό σύστημα και η πρόσβαση που μπορούμε να έχουμε είναι μόνο στους βαθμούς ελευθερίας που προσδιορίζουν το σύστημα S. Η κατάσταση του υποσυστήματος αυτού θα αλλάξει εξαιτίας της αλληλεπίδρασής του με το περιβάλλον και η εξέλιξη αυτή δεν μπορεί πλέον να περιγράφεται από μία ενιαία (unitary) Hamiltonian. Η δυναμική του υποσυστήματος αυτού καλείται ανηγμένη δυναμική συστήματος (reduced system dynamics) και το σύστημα ανηγμένο (reduced system). 2. Κλειστά και ανοικτά κβαντικά συστήματα Η χρονική εξέλιξη μιας κατάστασης ψ(t) > ενός κλειστού συστήματος, δίνεται από την εξίσωση Schrödinger: ı d ψ(t) >= H(t) ψ(t) > (2.1) dt όπου H(t) είναι η Hamiltonian που αντιστοιχεί στο σύστημα και h = 1. Η λύση της εξίσωσης Schrödinger είναι η ακόλουθη: ψ(t) >= U(t, t ) ψ(t ) > (2.2) όπου U(t, t ) είναι ο μοναδιαίος τελεστής χρονικής εξέλιξης (unitary time-evolution operator). Ο τελεστής χρονικής εξέλιξης υπακούει στην ακόλουθη εξίσωση: με αρχική συνθήκη την : ı t U(t, t ) = H(t)U(t.t ) (2.3) U(t, t ) = I (2.4) Ο τελεστής U(t, t ) είναι ένας unitary τελεστής, δηλαδή υπακούει στην σχέση: U (t, t )U(t, t ) = U(t, t )U (t, t ) = I (2.5) Στην περίπτωση κλειστού απομονωμένου συστήματος (η Hamiltonian είναι χρονικά ανεξάρτητη), ο τελεστής U(t, t ) δίνεται από την γνωστή έκφραση: U(t, t ) = e ıh(t t ) (2.6) Αν όμως η Hamiltonian H είναι χρονοεξαρτώμενη ο τελεστής U(t, t ) δίνεται από την σχέση: [ ] U(t, t ) = T e ı t t dsh(s) (2.7)

19 7 όπου T έιναι ο chronological time-ordering operator, ο οποίος διατάσσει τους χρονοεξαρτόμενους τελεστές από δεξιά προς τα αριστερά, σύμφωνα με τη φορά του βέλους. Αν υποθέσουμε ότι το υπό μελέτη σύστημα δεν βρίσκεται σε μία καθαρή κατάσταση ψ(t) > αλλά σε μια μικτή κατάσταση, τότε για την περιγραφή του χρησιμοποιούμε έναν τελεστή ρ που ονομάζεται μήτρα πυκνότητας (density matrix). Η εξίσωση κίνησης για την μήτρα πυκνότητας ονομάζεται εξίσωση Liouville-von Neumann και είναι η: όπου η ρ(t) μπορεί να γραφεί ως: d ρ(t) = ı[h(t), ρ(t)] (2.8) dt ρ(t) = U(t, t )ρ(t )U(t, t ) (2.9) και = 1. Η εξίσωση (2.8) είναι το κβαντικό ανάλογο της κλασικής εξίσωσης Liouville, η οποία γράφεται ως: d ρ(t) = L(t)ρ(t) (2.1) dt Ο L(t) καλείται υπερτελεστής Liouville και είναι ίσος με ı[h(t), ρ(t)]. Η λύση της εξίσωσης (2.1), σε αντιστοιχία και με την έκφραση (2.7) είναι η παρακάτω: [ t ] ρ(t) = T exp dsl(s) ρ(t ) (2.11) t και στην περίπτωση χρονοανεξάρτητης Hamiltonian παίρνει την μορφή: ρ(t) = e [L(t t )] ρ(t ) (2.12) 2..1 Δυναμική ανοικτών κβαντικών συστημάτων Όπως αναφέραμε και στην αρχή του κεφαλαίου, ένα ανοικτό σύστημα είναι ένα κβαντικό σύστημα S το οποίο αλληλεπιδρά με ένα άλλο κβαντικό σύστημα E που ονομάζεται περιβάλλον (βλ. Σχήμα 1). Το περιβάλλον συνήθως είναι το σύστημα με τους περισσότερους βαθμούς ελευθερίας και για την περιγραφή του χρησιμοποιείται συγκεκριμένη μοντελοποίηση, καθώς και κατάλληλες αρχικές συνθήκες. Η εξέλιξη της κατάστασης του υποσυστήματος S οφείλεται στην αλληλεπίδραση του υποσυστήματος αυτού με το περιβάλλον E. Η αλληλεπίδραση αυτή εκδηλώνεται με δύο σημαντικές διαδικασίες: την διάχυση (dissipation) και τον θόρυβο (noise). Στην περίπτωση της διάχυσης έχουμε απώλεια ενέργειας

20 8 από το σύστημα S στο περιβάλλον E, ενώ στην δεύτερη διαδικασία έχουμε απώλεια ενέργειας η οποία επιστρέφει ξανά στο σύστημα. Στην περίπτωση αυτή όμως χάνεται πληροφορία. Εξαιτίας των διαδικασιών αυτών η χρονική εξέλιξη του S δεν μπορεί να περιγραφεί με μοναδιαίους τελεστές (unitary operators) αλλά υπακούει σε μία δυναμική που ονομάζεται ανηγμένη δυναμική συστήματος (reduced system dynamics) και το σύστημα χαρακτηρίζεται ως ανηγμένο κβαντικό σύστημα (reduced quantum system). Ακολουθεί μία σχηματική απεικόνιση ενός ανοικτού κβαντικού συστήματος. Σχήμα 2.1: Σχηματική απεικόνιση ενός ανοικτού κβαντικού συστήματος S+E, E=B [6]. Τόσο το σύστημα S, όσο και το περιβάλλον E είναι υποσυστήματα ενός μεγαλύτερου, κλειστού γενικά, κβαντικού συστήματος S+E. Κάθε επιμέρους σύστημα χαρακτηρίζεται από έναν χώρο Hilbert. Το σύστημα S περιγράφεται από τον χώρο Hilbert H S, το περιβάλλον E από τον H E και το συνολικό σύστημα S+E από το τανυστικό γινόμενο H = H S H E. Η ολική Hamiltonian αποτελείται από

21 9 τρεις όρους και δίνεται από την ακόλουθη έκφραση: H tot = H S + H E + H int (2.13) όπου, H S, H E και H int είναι οι Hamiltonian του συστήματος, του περιβάλλοντος και της αλληλεπίδρασης που αναπτύσσεται μεταξύ τους, αντίστοιχα. Η θεωρία των ανοικτών συστημάτων (O.Q.S) περιγράφει την δυναμική της εξέλιξης του υποσυστήματος S με παρόμοιες τεχνικές με την στατιστική μηχανική εκτός ισορροπίας σε κβαντικά συστήματα. Ένα ανοικτό κβαντικό σύστημα είναι ένα θεωρητικό κατασκεύασμα κατάλληλο για την μελέτη της δυναμικής κβαντικών συστημάτων εκτός ισορροπίας και επομένως πάρα πολύ χρήσιμο για την αντιμετώπιση θεμελιωδών ζητημάτων (όπως η μετάβαση από την κβαντική στην κλασική θεωρία μέσω του περιβάλλοντος που προκαλείται από τον μηχανισμό αποσυμφωνίας). Όπως αναφέραμε και στην αρχή ένα ανοικτό κβαντικό σύστημα αλληλεπιδρά πάντοτε με το περιβάλλον του και κατά την αλληλεπίδραση αυτή χάνεται ενέργεια και πληροφορία. Η ενέργεια αυτή εναποτίθεται στο περιβάλλον (dissipation) ή φεύγει από το σύστημα και ξαναεπιστρέφει σε αυτό. Στην περίπτωση αυτή χάνεται πληροφορία (noise). Η θεωρία των ανοικτών συστημάτων είναι πολύ σημαντική σε διάφορους τομείς όπως: στη φυσική της συμπυκνωμένης ύλης, στην κβαντική οτική [7], στη θεωρία της κβαντικής μέτρησης [8], στη θεωρία πεδίου εκτός ισορροπίας, στην κβαντική κοσμολογία και στην ημικλασική βαρύτητα. Στις περιπτώσεις μελέτης που αφορούν τομείς εκτός της κβαντικής οπτικής και της θεωρίας κβαντικής μέτρησης η σύζευξη συστήματος και περιβάλλοντος είναι μη γραμμική. Στις περισσότερες περιπτώσεις η μελέτη του σύνθετου συστήματος S + E και κυρίως του περιβάλλοντος E, που αποτελείται από άπειρους βαθμούς ελευθερίας, αποτελεί ένα περίπλοκο ζήτημα καθώς απαιτείται η κατασκευή ενός συνόλου διαφορικών εξισώσεων κίνησης συζευγμένων μεταξύ τους που να περιγράφουν την δυναμική του συνολικού συστήματος και οι οποίες να μπορούν να εξαχθούν μόνο από τα μεγέθη στα οποία έχουμε πρόσβαση. Επίσης, κάποιες φορές ο προσδιορισμός των κβαντικών ποσοτήτων που μας ενδιαφέρουν απαιτεί την εύρεση της μέσης τιμής τους, η οποία όμως θα αναφέρεται σε κάποιους από τους βαθμούς ελευθερίας του συνολικού συστήματος. Για να μπορέσουμε λοιπόν να περιγράψουμε κβαντικά συστήματα στα οποία δεν έχουμε πλήρη πρόσβαση, με διάφορες προσεγγιστικές μεθόδους κατασκεύαζουμε ένα σύνολο φυσικών σχετικών μεταβλητών (set of physical relevant observables) δηλαδή ένα επίπεδο περιγραφής (level of description) ή την αδρομέρεια (coarse-graining) του συστήματος όπως αλλιώς αναφέρεται. Η μέση τιμή ενός παρατηρήσιμου μεγέθους A σε ένα ανοικτό κβαντικό σύ-

22 1 στημα S δίνεται από την ακόλουθη έκφραση: όπου < A >= tr S {Aρ S } (2.14) ρ S = tr E ρ (2.15) είναι η ανηγμένη μήτρα πυκνότητας (reduced density matrix) του ανοικτού κβαντικού συστήματος S και υπολογίζεται από την έκφραση: ρ S (t) = ψ p ψ ψ S (t) >< ψ S (t) (2.16) και ψ p ψ = 1. Η μήτρα πυκνότητας ικανοποιεί δύο ιδιότητες: T rρ = 1 T rρ 1 Η ισότητα ισχύει για τις καθαρές καταστάσεις και η ανισότητα για τις μικτές. Στην περίπτωση που απαιτείται ο προσδιορισμός της δυναμικής του συτήματος S και όχι του περιβάλλοντος E, το το οποίο θεωρείται αμετάβλητο, χρησιμοποιούμε τον τελεστή ανηγμένης πυκνότητας ρ S (t)(reduced density matrix operator). Ο τελεστής αυτός, προκύπτει από την μήτρα πυκνότητας του συνολικού συστήματος ρ(t) με την λήψη του μερικού ίχνους πάνω στους βαθμούς ελευθερίας του περιβάλλοντος, και κατ αντιστοιχία με την μήτρα πυκνότητας ρ(t) που υπακούει στην εξίσωση Liouville-von Neumann με = 1, δηλαδή η περιγραφή της εξίσωσης της κίνησης της δίνεται από την έκφραση: d dt ρ S(t) = ıtr E [H(t), ρ(t)] (2.17) Στις περισσότερες περιπτώσεις μελετάμε σύνθετα συστήμα στα οποία η εύρεση της ανηγμένης μήτρας πυκνότητας με την παραπάνω διαδικασία δεν είναι εύκολη υπόθεση. Χρησιμοποιώντας όμως τις εξισώσεις Master μπορούμε να υπολογίσουμε κατευθείαν την μήτρα πυκνότητας του συστήματος ρ S (t) με την βοήθεια της σχέσης: ρ S (t) = V (t)ρ(t) (2.18) όπου ο V (t) είναι μια δυναμική απεικόνιση και ονομάζεται υπερτελεστής. Σκοπός μας λοιπόν, είναι ο προσδιορισμός της ανηγμένης μήτρας πυκνότητας (reduced density matrix) για το σύστημα. Ο προσδιορισμός αυτός, όπως αναφέραμε και προηγουμένως επιτυγχάνεται με την κατασκευή μίας κβανικής

23 11 εξίσωσης Master, η οποία στην περίπτωση που στον προσδιορισμό του επιπέδου περιγραφής συμμετέχουν κάποιοι από τους βαθμούς ελευθερίας αλλά όχι όλοι (αυταρχική αδρομέρεια) είναι γραμμική. Επειδή η κατασκεύη της εξίσωσης κίνησης για την ανηγμένη μήτρα πυκνότητας (εξίσωση Master) τις περισσότερες φορές δεν είναι εύκολη, χρησιμοποιούμε προσεγγίσεις, τις οποίες θα αναφέρουμε αναλυτικά παρακάτω. Χρησιμοποιώντας τις προσεγγίσεις Born-Markov και RWA που θα αναφέρουμε στη συνέχεια, οι Breuer και Petruccione [6] αποδεικνύουν ότι η εξίσωση Master δεύτερης τάξης για γενική περίπτωση συστήματος και περιβάλλοντος είναι μία εξίσωση τύπου Lindblad. 3. Κβαντική προσέγγιση Markov (Quantum Markov process): μικρή μνήμη(short memory) Η προσέγγιση Markov αναφέρεται στη μικρή μνήμη που εμφανίζει το περιβάλλον κατά την αλληλεπίδρασή του με το σύστημα. Έστω ότι το σύστημα S αλληλεπιδρά με το περιβάλλον και έστω ότι την χρονική στιγμή t =, η κατάσταση του συνολικού συστήματος υπακούει στην ακόλουθη εξίσωση: ρ() = ρ S () ρ E () (2.19) Η εξέλιξη της μήτρας πυκνότητας ρ S (t) δίνεται από την έκφραση: ρ S () ρ S (t) = V (t)ρ S () tr E {U(t, t )[ρ S ρ E ()]U (t, )} (2.2) Ο τελεστής V (t) ονομάζεται υπερτελεστής (superoperator) καθώς δρα στο χώρο S(H S ) των πινάκων πυκνότητας του ανηγμένου συστήματος. V (t) : S(H S ) S(H S ) (2.21) Η παραπάνω απεικόνιση ονομάζεται δυναμική απεικόνιση (dynamical map) και περιγράφει την εξέλιξη της κατάστασης του ανοικτού συστήματος σε χρόνο t. Για την μελέτη της δυναμικής απεικόνισης χρησιμοποιούμε την φασματική ανάλυση του τελεστή της μήτρας πυκνότητας του περιβάλλοντος ρ E. Έτσι έχουμε: ρ E = α λ α ϕ α >< ϕ α (2.22) όπου ϕ α > είναι μία ορθοκανονική βάση στο χώρο Hilbert και λ α είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί που ικανοποιούν την: λ α = 1 (2.23) α

24 12 Έτσι, έχουμε: V (t)ρ S = W αβ (t)ρ S W αβ (t) (2.24) α,β όπου, W αβ (t) = λ β < Φ α U(t, ) Φ β > (2.25) Οι τελεστές W αβ (t) ικανοποιούν την σχέση: Οπότε, προκύπτει ότι: W αβ (t)w αβ(t) = I S (2.26) αβ tr S {V (t)ρ S } = tr S ρ S = 1 (2.27) Επομένως καταλήγουμε στο εξής συμπέρασμα: Η δυναμική απεικόνιση V (t) είναι μία γραμμικά κυρτή (convex-linear), θετική και συντηρητική ως προς το ίχνος κβαντική λειτουργία. Ικανοποιεί την ιδιότητα των ημιομάδων, η οποία διατυπώνεται από την ακόλουθη έκφραση: V (t 1 )V (t 2 ) = V (t 1 + t 2 ), t 1, t 2 (2.28) 3..1 Μαρκοβιανές κβαντικές εξισώσεις Master Στην περίπτωση που μια κβαντική δυναμική ημιομάδα έχει την ακόλουθη μορφή: V (t) = e Lt (2.29) με L έναν γραμμικό τελεστή, η δυναμική του συστήματος περιγράφεται από μία γραμμική πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση, που ονομάζεται Μαρκοβιανή κβαντική εξίσωση Master και είναι της μορφής: d dt ρ S(t) = Lρ S (t) (2.3) Η κατασκευή του υπερτελεστή L απαιτεί τον προσδιορισμό της πλήρης βάσης των ορθοκανονικών τελεστών F i, i = 1, 2,, N 2, έτσι ώστε: (F i, F j ) tr S {F i F j} = δ ij (2.31)

25 13 Εφαρμόζοντας την σχέση πληρότητας στους τελεστές W αβ (t), παίρνουμε: N 2 W αβ (t) = F i (F i, W αβ (t)) (2.32) Η δυναμική απεικόνιση στην περίπτωση αυτή γίνεται: όπου V (t)ρ S = c ij (t) αβ i=1 N 2 i,j=1 c ij (t)f i ρ S F j (2.33) (F i, W αβ (t))(f j, W αβ (t)) (2.34) όπου Τελικά προκύπτει ότι: Lρ S = ı[h, ρ S ] + {G, ρ S } + N 2 i,j=1 α ij F i ρ S F j (2.35) α ij = lim ϵ c ij (ϵ) ϵ (2.36) Εάν χρησιμοποιήσουμε τον μετασχηματισμό: με F i = N 2 1 k=1 γ 1... uαu γ 2... = γ N 2 1 u ki A k (2.37) (2.38) προκύπτει η εξίσωση: Lρ S = ı[h, ρ S ] + N 2 1 k=1 γ k (A k ρ S A k 1 2 A k A kρ S 1 2 ρ SA k A k ) (2.39)

26 14 Έτσι: d dt ρ S(t) = ı[h, ρ S (t)] + D(ρ S (t)) (2.4) όπου D(ρ S (t)) = N 2 1 k=1 γ k (A k ρ S A k 1 2 A k A kρ S 1 2 ρ SA k A k ) (2.41) Η παραπάνω εξίσωση αποτελείται από δύο όρους. Ο πρώτος όρος αντιστοιχεί στην μοναδιαία εξέλιξη του συστήματος και είναι η εξίσωση Von-Neumann. Ο δεύτερος όρος περιγράφει την μη-μοναδιαία εξέλιξη, και μας δίνει τις απαραίτητες πληροφορίες για την απώλεια ενέργειας (dissipation) και για το φαινόμενο της αποσυμφωνίας (decoherence). Η εξίσωση (2.4) ονομάζεται κβαντική εξίσωση Master τύπου Lindblad. Όλη η πληροφορία της αλληλεπίδρασης του συστήματος με το περιβάλλον εκφράζεται από τον δεύτερο όρο του δεξιού μέρους της εξίσωσης (2.4). Οι τελεστές A K ονομάζονται τελεστές Lindblad και οι παράμετροι γ k ονομάζονται χρόνοι χαλάρωσης (relaxation time) και είναι αυτοί που μαζί με την Hamiltonian αλληλεπίδρασης H int ορίζουν τα κανάλια αλληλεπίδρασης με το περιβάλλον. Η κβαντική εξίσωση τύπου Lindblad παραμένει αναλλοίωτη κάτω από τους ακόλουθους μετασχηματισμούς: Μοναδιαίους (unitary) μετασχηματισμούς του συνόλου των τελεστών Lindblad γi A i γ i A i = j u ij γj A j (2.42) όπου τα u ij αποτελούν τα στοιχεία ενός μοναδιαίου (unitary) πίνακα. Ανομοιογενείς μετασχηματισμούς της παρακάτω μορφής: A i A i = A i + α i (2.43) και H H = H + 1 ) γ j (α 2ı ja j α j A j + b (2.44) j όπου α i είναι μιγαδικοί αριθμοί και b πραγματικός.

27 15 Στην περίπτωση που το ανοικτό κβαντικό σύστημα υπόκειται σε εξωτερικό χρονοεξαρτόμενο πεδίο, η δυναμική του περιγράφεται από την ακόλουθη σχέση: d dt ρ S(t) = L(t)ρ(t) (2.45) για t. Εισάγουμε τον διαδότη (propagator) μέσω της σχέσης: ( t ) V (t, t ) = T exp dsl(s) t Ο διαδότης αυτός υπακούει στην έκφραση: (2.46) t V (t, t ) = L(t)V (t, t ) (2.47) Επομένως η βασική ιδιότητα της ημιομάδας, γίνεται: V (t, t 1 )V (t 1, t ) = V (t, t ) (2.48) Καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι δουλεύοντας στην προσέγγιση Markov μπορούμε να κατασκεύασουμε την κβαντική εξίσωση Master για το σύστημα και μάλιστα να γνωρίζουμε την μορφή της. Η κβαντική εξίσωση Master στην προσέγγιση αυτή θα είναι της μορφής (2.4) δηλαδή θα είναι κβαντική εξίσωση Master τύπου Lindblad. Στην προσέγγιση Markov, η οποία ισχύει σε πολύ υψηλές θερμοκρασίες, κατά την αλληλεπίδραση συστήματος και περιβάλλοντος, η πληροφορία που χάνει το σύστημα δεν αποθηκεύεται στο περιβάλλον και επομένως το περιβάλλον δεν εμφανίζει φαινόμενα μνήμης. 4. Όριο ασθενούς σύζευξης (weak-coupling limit): Κβαντική προσέγγιση Born Μία εξίσου σημαντική προσέγγιση για την κατασκευή μιας κβαντικής εξίσωσης Master είναι και η προσέγγιση Born, η οποία δρα σε συνδυασμό με την προσέγγιση Markov οπότε μιλάμε για την προσέγγιση Born-Markov. Η προσέγγιση Born βασίζεται στην υπόθεση της ασθενούς σύζευξης (weak coupling approximation) μεταξύ συτήματος και περιβάλλοντος. Στην προσέγγιση αυτή το περιβάλλον (environment) ή η δεξαμενή όπως αλλιώς μπορούμε να την συναντήσουμε είναι μία θερμική δεξαμενή (heat bath) δηλαδή βρίσκεται σε θερμική ισορροπία και στην περίπτωση διαταραχής της ισορροπίας αυτής, το περιβάλλον επανέρχεται ξανά σε πολύ μικρό χρονικό διάστημα. Ο χρόνος επαναφοράς στην κατάσταση ισορροπίας, δηλαδή ο χρόνος απόκρισης, στην προσέγγιση Born είναι πολύ μικρός.

28 Εξίσωση Redfield Θεωρούμε ένα σύστημα S το οποίο αλληλεπιδρά ασθενώς με ένα περιβάλλον E. Η ολική Hamiltonian του συστήματος δίνεται από την ακόλουθη έκφραση: H = H S + H E + H I (2.49) όπου, H S, H E είναι οι ελεύθερες Hamiltonian του συστήματος και του περιβάλλοντος, αντίστοιχα και H I είναι η Hamiltonian της αλληλεπίδρασης που υπάρχει μεταξύ τους. Η εξίσωση von-neumann στην εικόνα αλληλεπίδρασης για την ολική μήτρα πυκνότητας είναι η ακόλουθη: όπου d dt ρ(t) = ı[h I(t), ρ(t)] (2.5) ρ(t) = ρ() ı Η εξίσωση (2.5) με την αντικατάσταση της (2.51) γίνεται: Υποθέτουμε ότι: d dt ρ s(t) = t t ds[h I (s), ρ(s)] (2.51) dstr E [H I (t), [H I (s), ρ(s)]] (2.52) tr E [H I (t), ρ()] = (2.53) Η εξίσωση (2.52) αντιστοιχεί στην εξίσωση κίνησης για την μήτρα πυκνότητας ρ(t) στην προσέγγιση Born. Στην προσέγγιση αυτή η σύζευξη συστήματος και περιβάλλοντος είναι αμελητέα και επομένως η επίδραση του συστήματος στο περιβάλλον είναι πολύ μικρή (weak-coupling approximation), χωρίς αυτό να σημαίνει ότι το σύστημα δεν μπορεί να προκαλέσει καμιά είδους διέγερση στο περιβάλλον. Επομένως, εξαιτίας αυτής της αμελητέας επίδρασης του συστήματος στο περιβάλλον η μήτρα πυκνότητας (density matrix) του συνολικού συστήματος μπορεί να γραφεί με την παρακάτω μορφή: και η εξίσωση (2.52) γίνεται: d dt ρ S(t) = ρ(t) ρ S (t) ρ E (t) (2.54) t dstr E [H I (t), [H I (s), ρ S (s) ρ E ]] (2.55)

29 17 Η παραπάνω εξίσωση μπορεί να απλοποιηθεί χρησιμοποιώντας την προσέγγιση Markov, στην οποία η κατάσταση του συστήματος αναφέρεται στην παρούσα κατάσταση και επομένως παίρνει την ακόλουθη μορφή: d dt ρ S(t) = t dstr E [H I (t), [H I (s), ρ S (t) ρ E ]] (2.56) Η εξίσωση αυτή ονομάζεται εξίσωση Redfield (Redfield equation) και αν και τοπική στο χρόνο δεν είναι Μαρκοβιανή κβαντική εξίσωση Master αφού εξαρτάται από την αρχική προετοιμασία της κατάστασης και γαι να γίνει αρκεί μία αντικατάσταση της μορφής s t s. Επομένως, έχουμε: d dt ρ S(t) = dstr E [H I (t), [H I (t s), ρ S (t) ρ E ]] (2.57) Στη συνέχεια, γράφοντας την Hamiltonian στην διαγώνια μορφή: H I (t) = α A α B α (2.58) όπου A α = A α και B α = B α, η εξίσωση (2.57) γίνεται: d dt ρ S(t) = ds αβ Ορίζοντας τους τελεστές: tr E [A α (t) B α (t), [A β (t s), ρ S (t) ρ E ]] (2.59) A α (ω) ϵ ϵ Π(ϵ)Π(ϵ ) (2.6) για τους οποίους ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις: [H S, A α (ω)] = ωa α (ω) (2.61) [ HS, A α(ω) ] = ωa α(ω) (2.62) e ıh St A α (ω)e ıh St e ıh St A α (ω)e ıh St = e ıωt A α (ω) (2.63) = e ıωt A α(ω) (2.64) Επίσης, [H S, A α(ω)a β (ω)] = (2.65) A α(ω) = A α ( ω) (2.66) A α (ω) = A α(ω) = A α (2.67) ω ω

30 18 Τελικά, η Hamiltonian αλληλεπίδρασης γράφεται στην μορφή: H I = α,ω A α (ω) B α = α,ω A α(ω) B α (2.68) Στην εικόνα αλληλεπίδρασης, γίνεται: H I = α,ω A α (ω) B α = α,ω A α(ω) B α (2.69) όπου B α (t) = e ıh Et B α e ıh Et (2.7) Δεδομένου ότι ισχύει η σχέση: έχουμε, Επομένως η εξίσωση (2.57) γίνεται: όπου d dt ρ S(t) = tr E [H I (t), ρ()] = (2.71) < B α (t) > tr{b α (t)ρ E } = (2.72) dstr E {H I (t s)ρ S (t)ρ E H I (t) H I (t)h I (t s)ρ S (t)ρ E } +h.c. (2.73) = e ı(ω ω )t Γ αβ (ω)(a β (ω)ρ S (t)a α(ω ) A α(ω )A β (ω)ρ S (t)) ω,ω α,β Γ αβ (ω) +h.c. (2.74) dse ıωs < B α(t)b β (t s) > (2.75) Εισάγοντας τις συναρτήσεις συσχέτισης του περιβάλλοντος, με την σχέση: < B α(t)b β (t s) > tr E {B α(t)b β (t s)ρ E } (2.76) και θεωρώντας ότι το περιβάλλον βρίσκεται σε θερμκή ισορροπία, δηλαδή: [H E, ρ E ] = (2.77) < B α(t)b β (t s) > = < B α(t)b β () > (2.78)

31 19 Παίρνουμε: d dt ρ S(t) = ω Γ αβ (ω)(a β (ω)ρ S (t)a α(ω) A α(ω)a β (ω)ρ S (t)) αβ +h.c. (2.79) όπου Γ αβ (ω) = 1 2 γ αβ(ω) + αβ (ω) (2.8) και γ αβ = Γ αβ (ω) + Γ αβ(ω) = S αβ (ω) = 1 2ı (Γ αβ(ω) Γ αβ(ω)) (2.81) dse ıωs < B α(t)b β () > (2.82) Τελικά, η εξίσωση Master στην εικόνα αλληλεπίδρασης είναι η ακόλουθη: με και D(ρ S (t)) = αβ d dt ρ S(t) = ı[h LS, ρ S (t)] + D(ρ S (t)) (2.83) H LS = ω S αβ (ω)a α(ω)a β (ω) (2.84) αβ ( γ α,β γ αβ (ω) A β (ω)ρ S (t)a α(ω) 1 ) 2 {A α(ω)a β (ω), ρ S } (2.85) Οι συντελεστές γ αβ περιέχουν όλη την πληροφορία για τις απώλειες ενέργειας και πληροφορίας του συστήματος κατά την αλληλεπίδραση του με το περιβάλλον. Για να μετατραπεί η παραπάνω εξίσωση σε μορφή Lindblad θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί και η προσέγγιση RWA [6]. Χρησιμοποιώντας και την προσέγγιση αυτή προκύπτει: d dt ρ S(t) = ı[h LS, ρ S (t)] 1 kµ k µ [L µ, [L µ, ρ S (t)]] (2.86) 2 Όλη η φυσική βρίσκεται στους συντελεστές k µ και τις περισσότερες φορές ο υπολογισμός του είναι μια δύσκολη εργασία. Στο σημείο αυτό αξίζει να σημειωθεί ότι η περιγραφή της δυναμικής του ανηγμένου κβαντικού συστήματος χρησιμοποιώντας τις Μαρκοβιανές κβαντικές εξισώσεις Master για χρόνους μεγαλύτερους της τάξης μεγέθους του χρόνου συσχέτισης (correlation time) του περιβάλλοντος t E δεν έχει επιλυθεί ακόμη.

32 2 5. Προσέγγισεις περιστρεφόμενου κύματος Η προσέγγιση περιστρεφόμενου κύματος (Rotating wave approximation) σε συντομογραφία (RWA) στην γενική περίπτωση ανοικτού κβαντικού συστήματος ασθενώς συζευγμένου με το περιβάλλον, διακρίνεται σε δύο κατηγορίες. Η πρώτη, την οποία ονομάζουμε pre-trace rotating wave (pre-trwa) είναι η προσέγγιση που εφαρμόζεται πριν κάνουμε το trace out των βαθμών ελευθερίας του περιβάλλοντος και από την οποία προκύπτει μία καινούργια Hamiltonian, απαλαγμένη από όλους τους όρους της Hamiltonian αλληλεπίδρασης που ταλαντώνονται πολύ γρήγορα. Η δεύτερη κατηγορία στην οποία διακρίνεται η RWA ονομάζεται post-trwa, αναφέρεται στην μετατροπή της εξίσωσης Master για το ανοικτό κβαντικό σύστημα,σε εξίσωση Master τύπου Lindblad, και εφαρμόζεται μετά το trace out των βαθμών ελευθερίας του περιβάλλοντος στην εξίσωση Master. Σύμφωνα με την αναφορά [11] για την λεπτομερή περιγραφή της κβαντικής κατάστασης ενός ανοικτού κβαντικού συστήματος και τον υπολογισμό της δυναμικής του εναγκαλισμού (entanglement dynamics) δεν συνίσταται η προσέγγιση RWA. Συγκεκριμένα, στην περίπτωση θερμικού περιβάλλοντος σε κατάστασης ισορροπίας ή περιβάλλοντος που αποτελείται από πολλές συχνότητες μόνο η post-trwa δίνει έγκυρα αποτελέσματα. Επομένως, η προσέγγιση RWA δεν είναι η κατάλληλη προσέγγιση για την εύρεση έγκυρων αποτελεσμάτων και κυρίως στην περίπτωση μελέτης qubit σε πολύ μεγάλη απόσταση. 6. Θεωρία διαταραχών Η εξίσωση Master είναι μια διαφορική εξίσωση περιγραφής της εξίλιξης της ανηγμένης μήτρας πυκνότητας ενός ανοικτού συστήματος. Η εξίσωση Master για γραμμική σύζευξη με ωμικό περιβάλλον σε υψηλή θερμοκρασία αναπτύχθηκε για πρώτη φορά από τους Caldeira-Leggett [1], επεκτάθηκε από τους Unruh και Zurek [12] και τελικά προέκυψε για γενικό περιβάλλον (δηλαδή για αυθαίρετη συνάρτηση φασματικής πυκνότητας) από τους Hu, Paz και Zhang [13]. Το αποτέλεσμα αυτό μπορεί να επεκταθεί για την περίπτωση μη γραμμικής σύζευξης με χρήση της θεωρίας διαταραχών κρατώντας όρους μέχρι δεύτερης τάξης. Στην κβαντομηχανική η θεωρία διαταραχών αποτελεί ένα σύνολο προσεγγίσεων που χρησιμοποιείται για την περιγραφή ενός πολύπλοκου συστήματος με μήτρα ένα απλούστερο. Χρησιμοποιώντας τις λύσεις που αναφέρονται στην Hamiltonian του απλού συστήματος μπορούμε να εξαγάγουμε τις λύσεις για μια σειρά από πολύπλοκα κβαντικά συστήματα. Δεδομένου ότι αποτελεί προσεγγιστική μέθοδο μπορούμε να την χρησιμοποιήσουμε για την κατασκευή μίας εξίσωσης Master, δηλαδή μιας εξίσωσης περιγραφής της χρονικής εξέλιξης ενός

33 21 ανοικτού κβαντικού συστήματος. Εφαρμόζεται μόνο στην περίπτωση ασθενούς αλληλεπίδρασης συστήματος και περιβάλλοντος και στις περισσότερες περιπτώσεις κρατάμε όρους μέχρι και δεύτερης τάξης. Τέλος, κυρίως στην κβαντική οπτική, για την μελέτη φαινομένων που απαιτούν την κατασκευή εξίσωσης Master χρησιμοποιείται και μία ακόμη προσέγγιση, η προσέγγιση Wigner-Weisskopf. Οι προσεγγίσεις που αναφέραμε παραπάνω, μας επιτρέπουν την πιο εύκολη κατασκευή της εξίσωσης Master. Στα περισσότερα μοντέλα οι εξισώσεις Master είναι δεύτερης τάξης τύπου Lindblad και η αλληλεπίδραση συστήματος και περιβάλλοντος εκφράζεται μέσα από τους τελεστές A k της εξίσωσης (2.41). Η εξίσωση αυτή αν και μας δίνει έγκυρα αποτελέσματα για την εξέλιξη ενός ανοικτού κβαντικού συστήματος, δεδομένου ότι έχει εξαχθει με την βοήθεια προσεγγίσεων, δεν έχει γενική ισχύ. Μπορεί να εφαρμοστεί στην περίπτωση υψηλής θερμοκρασίας και στην περίπτωση που η αλληλεπίδραη μεταξύ συστήματος και περιβάλλοντος είναι ασθενής. Δεν μπορεί να εφαρμοστεί σε χαμηλές θερμοκρασίες, στην περίπτωση που το υπό μελέτη κβαντικό σύστημα είναι εκφυλισμένο και όταν μας ενδιαφέρει η μελέτη του κβαντικού εναγκαλισμού. Επομένως, για την μελέτη των ανοικτών κβαντικών συστημάτων στα οποία εμφανίζονται μη-μαρκοβιανά φαινόμενα και επομένως η εξίσωση Master δευτερης τάξης δεν μπορεί να εφαρμοστεί, χρησιμοποιούμε εξισώσεις Master μεγαλύτερης τάξης ή θεωρητικά μοντέλα όπως : το μοντέλο κβαντικής κίνησης Brown και το μοντέλο spin-boson. Στην περίπτωση ανοικτών κβαντικών συστημάτων, κατά κύριο λόγο, χρησιμοποιείται το μοντέλο κβαντικής κίνησης Brown. Το μοντέλο αυτό, θα το περιγράψουμε αναλυτικά παρακάτω. 7. Κβαντική κίνηση Brown Η μελέτη μη-μαρκοβιανών κβαντικών συστημάτων πραγματοποιείται με τα μοντέλα κβαντικής κίνησης Brown. Τα μοντέλα αυτά είναι κατάλληλα για την περιγραφή της δυναμικής του συστήματος χωρίς την λεπτομερή περιγραφή του περιβάλλοντος, το οποίο θεωρούμε αμετάβλητο και μας επιτρέπουν και την δυνατότητα μελέτης συστημάτων εκτός ισορροπίας. Η περιγραφή της εξέλιξης ενός τέτοιου συστήματος γίνεται με την χρήση της ανηγμένης μήτρας πυκνότητας, η οποία είναι μη-μοναδιαία αλλά μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό πιθανοτήτων παρατηρήσιμων μεγεθών του συστήματος S και μόνο. Το μοντέλο κβαντικής κίνησης Brown (Q.B.M) συστήματος ενός αρμονικού ταλαντωτή σε αλληλεπίδραση με μία θερμική δεξαμενή έχει μελετηθεί εκτενώς και αποτελεί το πιο απλό μοντέλο για την περιγραφή ενός ανοικτού κβαντικού συστήματος. Οι Caldeira, Leggett [1] χρησιμοποιώντας το ολοκλήρωμα διαδρομής του συναρτησιακού επιρροής των Feynman and Vernon[14] κατασκεύασαν την εξίσωση Master για ωμικό περιβάλλον υψηλής θερμοκρασίας και στην προ-

34 22 σέγγιση Markov. Στη συνέχεια οι Caldeira, Cerdeira and Ramaswamy [1] παρήγαγαν την Μαρκοβιανή κβαντική εξίσωση Master στην περίπτωση ασθενούς σύζευξης με ωμικό περιβάλλον και για αυθαίρετη θερμοκρασία. Ταυτόχρονα οι Unruh and Zurek [12]κατασκεύασαν μία πιο ολοκληρωμένη και γενική εξίσωση Master για την περίπτωση έγχρωμου θορύβου και πεπερασμένης θερμοκρασίας. Οι Hu, Paz and Zhang [2] παρήγαγαν μία εξίσωση Master για οποιοδήποτε περιβάλλον. Επίσης, οι Halliwell and Yu [3], χρησιμοποιώντας την συνάρτηση Wigner για το ολικό σύστημα καταλήγουν στην Fokker-Planck εξίσωση που αντιστοιχεί στην εξίσωση HPZ. Τέλος, οι Anastopoulos, Kechribaris and Mylonas [4] κατέληξαν σε ακριβή λύση για την περίπτωση των Ν σωμάτιων. 8. Γενικεύσεις της θεωρίας 8..1 Γενική εξίσωση Η γενική εξίσωση της κβαντικής κίνησης Brown για ένα μη-μαρκοβιανό σύστημα [2], εκφράζεται από την σχέση: ı t ρ = [H, ρ] γ(t)[x, ρp + P ρ] ıγ(t)h(t)[x, [X, ρ]] + ıγ(t)f(t)[x, [P, ρ]] (2.87) 8..2 Σύστημα ενός αρμονικού ταλαντωτή: Μοντέλο Caldeira-Leggett Το 1981 Amir Caldeira και ο Anthony J. Leggett πρότειναν ένα απλό κβαντικό μοντέλο για την μελέτη του τρόπου απόσβεσης (dissipation). Το μοντέλο αυτό αποτελείται από ένα Brownian κβαντικό σωματίδιο σε μία διάσταση το οποίο αλληλεπιδρά με μία θερμική δεξαμενή σε υψηλή θερμοκρασία Τ [1]. Το σωματίδιο αυτό έχει μάζα m και συντεταγμένη x και περιγράφεται από την εξής ελεύθερη Hamiltonian: H S = 1 2 p2 + V (x) (2.88) όπου p είναι η ορμή του σωματιδίου. Η θερμική δεξαμενή με την οποία αληλεπιδρά το σωμάτιο, αποτελείται από ένα σύνολο αρμονικών ταλαντωτών, συχνοτήτων ω n και μάζας m n και περιγράφεται από την Hamiltonian: H E = n = n ω n ( α nα n ) ( 1 p 2 n + 1 ) 2m n 2 m nωnx 2 2 n (2.89)

35 23 όπου α n, α n είναι οι τελεστές δημιουργίας και καταστροφής του περιβάλλοντος και x n, p n είναι οι αντίστοιχες συντεταγμένες και οι κανονικές συζυγείς ορμές. Η Hamiltonian αλληλεπίδρασης είναι της μορφής: H I = x n k n x n xb (2.9) όπου B = n k n x n = n ( ) k n αn + α n 2m n ω n (2.91) Επομένως η Hamiltonian αλληλεπίδρασης είναι της μορφής: H = H S + H E + H I + H C = 1 2m p2 + V C (x) + ( 1 p 2 n + 1 ) 2m n n 2 m nωnx 2 2 n x n k n x n (2.92) όπου V C (x) = V (x) + x 2 n k 2 n 2m n ω 2 n (2.93) και H C = x 2 n k 2 n 2m n ω 2 n (2.94) Ο όρος αυτός ονομάζεται αντιόρος(counter-term) και εφαρμόζεται μόνο στον χώρο Hilbert H S του σωματιδίου. Για την μελέτη της εξίσωσης κίνησης αυτού του σωματιδίου πρέπει να βρεθεί μία εξίσωση Master. Στο όριο της ασθενούς σύζευξης και σε υψηλή θερμοκρασία η Μαρκοβιανή εξίσωση Master ονομάζεται εξίσωση Master Caldeira-Leggett [1] και είναι η ακολόυθη: d dt ρ S(t) = ı [H S, ρ S (t)] ıγ [x, {p, ρ S(t)}] 2mγk BT [x, [x, ρ 2 S (t)]] (2.95) Η παραπάνω εξίσωση εισήχθη από τους Caldeira-Leggett με την υπόθεση ωμικού περιβάλλοντος και χρησιμοποιώντας την φασματική πυκνότητα J(ω), ορίζεται ως: J(ω) = k k 2 n 2m n ω n δ(ω ω n ) (2.96)

36 24 και επιλέγοντας συμπεριφορά ώστε ω, γίνεται: J(ω) = 2mγ π ω (2.97) Η εξίσωση 2.95 αποτελείται από τρεις όρους, με διαφορετική φυσική ερμηνεία. Ο πρώτος όρος στο δεξί μέρος της εξίσωσης περιγράφει την μοναδιαία εξέλιξη (unitary evolution) της δυναμικής του συστήματος. Ο δεύτερος όρος, που είναι ανάλογος με τον χρόνο απωλειών γ, αντιστοιχεί στις απώλειες ενέργειας λόγω αλληλεπίδρασης του συστήματος με το περιβάλλον. Ο τελευταίος όρος, είναι ανάλογος της θερμοκρασίας και είναι αυτός που περιγράφει τα φαινόμενα διάχυσης (diffusion) που παρατηρούνται κατά την αλληλεπίδραση με το περιβάλλον. Ο όρος διάχυσης περιγράφει τις θερμοκρασιακές διακυμάνσεις και είναι θεμελιώδους σημασίας για την θεωρητική περιγραφή του φαινομένου της αποσυμφωνίας (decoherence). Η εξίσωση Master Caldeira-Leggett είναι μία Μαρκοβιανή εξίσωση Master αλλά δεν είναι τύπου Lindblad. Η εξίσωση αυτή μπορεί να μετατραπεί σε Lindblad με την προσθήκη ενός όρου, ο οποίος, στο όριο υψηλών θερμοκρασιών, είναι μικρός. Επομένως, με την προσθήκη αυτού του επιπλεόν όρου, παίρνουμε την ακόλουθη Lindblad Master εξίσωση: ı t ρ = [H, ρ] γ[x, ρp + P ρ] 2ıMγT [X, [X, ρ]] (2.98) Παρατηρούμε ότι αποτελείται, όπως και η εξίσωση (2.95) από τρεις όρους: τον πρώτο όρο που αντιστοιχεί στην unitary εξέλιξη, τον δεύτερο όρο που περιγράφει τις απώλειες ενέργειας και τον τελευταίο που αποτελεί τον όρο διάχυσης. Για την μελέτη των ανοικτών κβαντικών συστημάτων, απαιτείται η κατασκευή μιας εξίσωσης κίνησης, μιας εξίσωσης Master. Επειδή τις περισσότερες φορές, η κατασκευή αυτή δεν είναι εύκολη υπόθεση, χρησιμοποιούμε διάφορες προσεγγίσεις ή θεωρητικά μοντέλα στην περίπτωση κατανόησης μη-μαρκοβιανών φαινομένων. Κάνοντας χρήση των παραπάνω μεθόδων καταλήγουμε τελικά στην κατασκευή μιας Lindblad εξίσωσης Master. Το μοντέλο κβαντικής κίνησης Brown, με το οποίο θα ασχοληθούμε στην παρούσα εργασία αποτελεί ένα θεωρητικό μοντέλο πολύ καλής περιγραφής φαινομένων απωλειών και θορύβου, ακόμα και στην περίπτωση μελέτης μη-μαρκοβιανών συστημάτων. Στο μοντέλο αυτό, δύο συναρτήσεις, τις οποίες θα δούμε αναλυτικά στην επόμενη ενότητα, ο πίνακας απωλειών (dissipation kernel) και ο πίνακας θορύβου (noise kernel) περιέχουν όλη την πληροφορία για την περιγραφή των ανοικτών κβαντικών συστημάτων. Στην ενότητα που ακολουθεί, χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα της αναφοράς [4], περιγράφουμε τον φορμαλισμό του μοντέλου κβαντικής κίνησης Brown (Q.B.M.), την κατασκευή της εξίσωσης Master με την βοήθεια της εξίσωσης Wigner και τέλος, επαληθεύουμε όλες τις εκφράσεις μας στην περίπττωση ενός συστήματος με έναν αρμονικό ταλαντωτή.

37 Κεφάλαιο 3 Ανοικτά κβαντικά συστήματα 1. Μοντέλα κβαντικής κίνησης Brown Στο κεφάλαιο αυτό, θα ξεκινήσουμε ορίζοντας τον φορμαλισμό του μοντέλου κβαντικής κίνησης Brown για την περίπτωση πολυμερών συστημάτων [4], στην συνέχεια θα κατασκευάσουμε την ομογενή εξίσωση κίνησης του συστήματος αυτού και θα προσδιορίσουμε την έκφραση υπολογισμού δύο πινάκων που περιέχουν όλη την φυσική του ανοικτού συστήματος και τους οποίους ονομάζουμε πίνακα απωλειών (dissipation) και θορύβου (noise kernel). Αφού κατασκευάσουμε τις εξισώσεις κίνησης και υπολογισμού των πινάκων αυτών θα υπολογίσουμε τα αντίστοιχα μεγέθη για το απλό μοντέλο του ενός αρμονικού ταλαντωτή. Για την μελέτη των ανοικτών κβαντικών συστημάτων (open quantum sytstems) είναι σημαντικό αρχικά να ορίσουμε έναν χώρο Hilbert H S+E, ο οποίος περιλαμβάνει το σύστημα S και το περιβάλλον E, καθώς και να προσδιορίσουμε το επίπεδο περιγραφής (level of description) του συστήματός μας.ένα από τα πιο συνηθισμένα μοντέλα στη θεωρία ανοικτών συστημάτων, το οποίο είναι πάρα πολύ χρήσιμο στην θεωρία κβαντικών μετρήσεων (quantum measurement theory), στην κβαντική οπτική (quantum optics) και στην αποσυμφωνία (decoherence), είναι το μοντέλο κβαντικής κίνησης Brown (Quantum Brownian motion model). Ένα από τα πλεονεκτήματα των μοντέλων κβαντικής κίνησης Brown είναι ότι μπορούν να περιγράφουν με πολύ καλή ακρίβεια πολλές φυσικές διεργασίες. Σύμφωνα με το μοντέλο αυτό οι επιλεγμένοι βαθμοί ελευθερίας, δηλαδή αυτό που ονομάζουμε σύστημα, περιγράφεται από τον χώρο Hilbert H S, και οι υπόλοιποι βαθμοί ελευθερίας (περιβάλλον) από τον χώρο Hilbert H E.Το συνολικό σύστημα περιγράφεται από τον χώρο Hilbert H S+E.Η χρονική εξέλιξη του συνολικού συστήματος περιγράφεται από την εξίσωση Schrödinger με Hamiltonian H.Η Hamiltionian αυτή αποτελείται από τρεις όρους:την Hamiltonian του συστήματος H sys, την Hamiltonian του περιβάλλοντος H env και αυτή της αλληλεπίδρα-

38 26 σης H int. Ειδικά, για την μελέτη των ανοικτών κβαντικών συστημάτων απαιτείται η περιγραφή της χρονική εξέλιξης της ανηγμένης μήτρας πυκνότητας(reduced density matrix) του συστήματος.η ανηγμένη μήτρα πυκνότητας ορίζεται από το μερικό ίχνος της μήτρας πυκνότητας ρ(t) του συνολικού συστήματος ως προς το περιβάλλον, με την σχέση ρ S (t) = T r E ρ(t).η πιο γενική μέθοδος παραγωγής της εξίσωσης Master είναι αυτή των Hu, Paz and Zhang [6, 11], όπου χρησιμοποιήσαν τεχνικές ολοκληρωμάτων διαδρομής και κυρίως, το συναρτησιακό επιρροής των Feynman-Vernon. 2. Φορμαλισμός Μία πολύ σημαντική εφαρμογή του μοντέλου κβαντικής κίνησης Brown [4], αφορά την περίπτωση πολυμερών συστημάτων. Ειδικότερα, θεωρούμε ότι, στην περίπτωση αυτή, το σύστημα αποτελείται από Ν αρμονικούς ταλαντωτές μάζας M r και συχνότητας Ω r το οποίο αλληλεπιδρά με θερμική δεξαμενή που αρχικά βρίσκεται σε θερμοκρασία Τ. Το περιβάλλον, η θερμική δεξαμενή δηλαδή, αποτελείται από αρμονικούς ταλαντωτές μάζας m i και συχνότητας ω i. Η Hamiltonian του συνολικού συστήματος (H tot ) δίνεται από την παρακάτω έκφραση: H tot = H syst + H env + H int, (3.1) όπου H syst = r H env = i ( P 2 r + M rω 2 r 2M r 2 ( P 2 i + m iωi 2 2m i 2 X 2 r q 2 i ), (3.2) ), (3.3) και H int = i,r c ir X r q i. (3.4) όπου ˆX r, ˆP r είναι οι τελεστές της θέσης και ορμής, αντίστοιχα, για τους ταλαντωτές του συστήματος και ˆq i, ˆp i είναι οι τελεστές θέσης και ορμής για τους ταλαντωτές του περιβάλλοντος. Η Hamiltonian αλληλεπίδρασης, εξίσωση (3.4), που ορίζει τον τρόπο αλληλεπίδρασης του συστήματος με το περιβάλλον,περιλαμβάνει διαφορετικές συζεύξεις c ir του κάθε ταλαντωτή του συστήματος με κάθε ταλαντωτή του περιβάλλοντος.

39 Χρονική εξέλιξη ανοικτού κβαντικού συστήματος Για να περιγράψουμε την χρονική εξέλιξη ενός ανοικτού κβαντικού συστήματος, πρέπει να κατασκευάσουμε μία εξίσωση Master. Εάν είναι γνωστή η μήτρα πυκνότητας (density matrix) για ένα σύνολο βαθμών ελευθερίας στην αναπαράσταση θέσης, μπορούμε πάντα να ορίσουμε την αντίστοιχη συνάρτηση Wigner (Wigner function), η οποία περιέχει την ίδια ακριβώς πληροφορία. 1 Στενά συνδεμένη με την ανηγμένη μήτρα πυκνότητας είναι η ανηγμένη συνάρτηση Wigner. Η ανηγμένη συνάρτηση Wigner είναι παρόμοια με την συνάρτηση κατανομής (distribution function) στο φασικό χώρο, αν και δεν είναι πάντα θετικά ορισμένη. Η εξίσωση περιγραφής της εξέλιξης της είναι παρόμοια με την εξίσωση Fokker- Planck για κλασικά στατιστικά συστήματα. Βασικό εργαλείο της μελέτης των ανοικτών συστημάτων είναι ο διαδότης της συνάρτησης Wigner, ο οποίος στην περίπτωση γραμμικών συστημάτων είναι μια συνάρτηση-δ [17]. Είναι επομένως δυνατόν, οι επιδράσεις του περιβάλλοντος στο σύστημα να χωριστούν σε δύο κατηγορίες: τις μοναδιαίες και τις μημοναδιαίες. Στην περίπτωση γραμμικών συστημάτων ο διαδότης της συνάρτησης Wigner μπορεί να υπολογιστεί ακριβώς για αυθαίρετες θερμοκρασίες και είναι Γκαουσιανός. Στην περίπτωση συστημάτων με γενικότερα δυναμικά δεν μπορεί να υπολογιστεί ακριβώς, εκτός από περιπτώσεις που μπορεί να χρησιμοποιηθεί ημικλασική προσέγγιση. Επομένως, δουλεύουμε κάνοντας χρήση της συνάρτησης Wigner: W (X, P) = 1 (2π) N dζe ı P ζ ˆρ (X + 12 ζ, X + 12 ζ ). (3.5) παίρνοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό της παραπάνω εξίσωσης, έχουμε: ˆρ(X, Y) = dp e ıp (X X ) W ( ) 1 2 (X + X ), P. (3.6) 2..2 Χρονική εξέλιξη σε QBM μοντέλα Η χρονική εξέλιξη της αρχικής κατάστασης σε QBM μοντέλα, ορίζεται από την παρακάτω σχέση: ρ t (X f, Y f ) = d N X d N Y J(X f, Y f, t X, Y, ) ρ (X, Y ). (3.7) 1 Χρήσιμες ιδιότητες της συνάρτησης Wigner, πέραν του παραρτήματος μπορείτε να δείτε και στην αναφορά [16].

40 28 όπου J(X f, Y f, t X, Y, ) : είναι ο διαδότης της μήτρας πυκνότητας (density matrix propagator). Ο Wigner function propagator K(X f, P f, t X, P, ) ορίζεται από την ακόλουθη σχέση: dζf dζ K (X f, P f, t X, P, ) = (2π) N eıp ζ ıp f ζ f ( J X f + ζ f 2, X f ζ f 2, t X + ζ 2, X ζ ) 2,.(3.8) Δηλώνουμε τις συντεταγμένες στο χώρο των φάσεων: ξ a = (X 1, P 1, X 2, P 2,, X N, P N ), a = 1, 2,, 2N (3.9) και επομένως ο Wigner function propagator K t (ξ f, ξ ) μπορεί να γραφτεί στην μορφή: W t = d 2N ξ (2π) N K t (ξ f, ξ ) W (ξ ) (3.1) όπου W είναι η συνάρτηση Wigner για την χρονική στιγμή t = και W t η συνάρτηση Wigner για χρόνο t. Στο μοντέλο μας QBM η ολική Hamiltonian είναι τετραγωνική και η αρχική κατάσταση της θερμικής δεξαμενής είναι γκαουσιανή. Επομένως, o διαδότης της συνάρτησης Wigner είναι γκαουσιανός και δίνεται από την παρακάτω σχέση: Γκαουσιανός διαδότης της συνάρτησης Wigner : K t (ξ f, ξ ) = dets 1 π N [ exp 1 ] 2 [ξa f ξcl(t)]s a 1 ab (t)[ξb f ξcl] b. (3.11) όπου S 1 ab (t) είναι ένας πίνακας θετικών πραγματικών τιμών και ξ cl είναι η λύση της αντίστοιχης κλασικής εξίσωσης της κίνησης (με απώλειες) με τις εξής αρχικές συνθήκες : ξ = ξ για t = t Δεδονένου ότι οι εξισώσεις κίνησης είναι γραμμικές, η κλασική λύση ξ cl (t) είναι της μορφής: ξ a cl = R a b(t)ξ b (3.12)

41 3. Two-point correlation matriv V Two-point correlation matriv V Για να καθοριστεί ο διαδότης της συνάρτησης Wigner K t (ξ f, ξ ) θα πρέπει πρώτα να προσδιοριστούν οι πίνακες S(t) και R(t). Για το σκοπό αυτό θεωρούμε τον πίνακα συσχέτισης δύο σημείων (two-point correlation matrix) V της κβαντικής κατάστασης ˆρ, ο οποίος ορίζεται από την έκφραση: V ab def = 1 2 T r[ˆρ(ˆξ a ˆξb + ˆξ b ˆξa )] T r(ˆρˆξ a )T r(ˆρˆξ b ) (3.13) Με την βοήθεια των εξισώσεων (3.1) και (3.11), θα αποδείξουμε ότι ο πίνακας συσχέτισης δύο σημείων (two-point correlation matrix V) την χρονική στιγμή t, δίνεται από την σχέση 2 : V t = R(t)V R T (t) + S(t) (3.14) όπου V είναι ο πίνακας συσχετισμού της αρχικής κατάστασης. Ο όρος R(t)V R T (t) της εξίσωσης (3.14) εκφράζει την χρονική εξέλιξη των συναρτήσεων συσχέτισης (correlation functions) σύμφωνα με την κλασική εξίσωση της κίνησης. Ο δεύτερος όρος είναι ανεξάρτητος της αρχικής κατάστασης και περιγράφει την πληροφορία της αλληλεπίδρασης συστήματος και περιβάλλοντος. Το γεγονός ότι ο πίνακας S δεν εξαρτάται από την αρχική κατάσταση, μας υποδεικνύει και τον τρόπο προσδιορισμού του, χρησιμοποιούμε μόνο το μέρος του πίνακα συσχέτισης που είναι ανεξάρτητο της αρχικής κατάστασης Προσδιορισμός του πίνακα R(t) Για τον προσδιορισμό του διαδότη της συνάρτησης Wigner, όπως έχουμε αναφέρει, απαιτείται ο προσδιορισμός των πινάκων V (t) και R(t). Αρχικά θα προσπαθήσουμε να προσδιορίσουμε τον πίνακα R(t). Ο πίνακας καθορίζεται από την λύση της εξίσωσης κίνησης του συστήματος με την βοήθεια της σχέσης (3.12). Η διαφορική εξίσωση κίνησης για τους αρμονικούς ταλαντωτές της δεξαμενής, στην εικόνα Heisenberg δίνεται από την έκφραση : ˆq i (t) + ωi 2 ˆq i (t) = c ir ˆXr (t) (3.15) m r i Χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό Laplace, μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε την λύση της παραπάνω εξίσωσης. Έτσι έχουμε: 2 Η απόδειξη της έκφρασης του πίνακα V (t) εξίσωση (3.14) υπάρχει λεπτομερώς στο παράρτημα. L ˆq i (t) + ω 2 i Lˆq i (t) = L r c ir m i ˆXr (t)

42 3 Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace της πρώτης και δυτέρης παραγώγου: L r L ˆq i (t) = s 2ˆq i (s) sˆq i () ˆq i () Lˆq i (t) = ˆq i (s) c ir ˆXr (t) = c ir ˆXr (t) 1 m i m r i s παίρνουμε: s 2ˆq i (s) sˆq i () ˆq i () + ω 2ˆq i (s) = r c ir m i ˆXr (t) 1 s s 2ˆq i (s) + ω 2ˆq i (s) = sˆq i () + ˆq i () + r (s 2 + ω 2 )ˆq i (s) = sq i () + q i () + r c ir m i ˆXr (t) 1 s c ir m i ˆXr (t) 1 s Λύνοντας ως προς ˆq i (s), έχουμε: ˆp i ˆq i (s) = ˆq i () cos(ωs) + sin(ωs) + m i ω i r ˆq i (t) = ˆq i cos(ω i t) + ˆp i sin(ω i t) + m i ω i r ˆq i (t) = ˆq i (t) + r c ir m i ω i t c ir m i ω i sin(ω i s) c ir m i ω i t ds sin[ω i (t s)] ˆX r (t) ds sin[ω i (t s)] ˆX r (s) (3.16) Επομένως, η λύση της εξίσωσης κίνησης για το σύνολο των αρμονικών ταλαντωτών του περιβάλλοντος είναι η ακόλουθη: ˆq i (t) = ˆq i (t) + r c t ir m i ω i ds sin[ω i (t s)] ˆX r (s) (3.17) όπου ˆq i (t) = ˆq i cos(ω i t) + ˆp i m i ω i sin(ω i t) (3.18)

43 31 Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία για το σύστημα και έχουμε: ˆX r (t) + Ω 2 r ˆX r (t) = i c ir M r ˆq i (t) (3.19) όπου ˆq i (t) = ˆq i cos(ω i t) + ˆp i m i ω i sin(ω i t) + r c t ir m i ω i ds sin(ω i (t s)) ˆX t (s) Οπότε κάνοντας αντικατάσταση, παίρνουμε: Ορίζοντας: ˆX r (t) + ˆΩ 2 r ˆX r (t) = i + r c ir M r c ir m i ω i [ ˆq i cos(ω i t) + t ˆp i m i ω i sin(ω i t) ds sin (ω i (t s)) ˆX r (s) ˆq i (t) = ˆq i cos (ω i t) + ˆp i m i ω i sin (ω i t) (3.2) ] προκύπτει : ˆX r (t) + ˆΩ 2 ˆX r r (t) c ir c ir M i r m r i ω i ˆX r (t) + ˆΩ 2 ˆX r r (t) 1 r ds M r i r t ds sin (ω i (t s)) ˆX r (s) = i c ir c ir m i ω i sin (ω i (t s)) ˆX r (s) = i c ir M r ˆq i (t) c ir M r ˆq i (t) Επομένως, η διαφορική εξίσωση κίνησης των ταλαντωτών του συστήματος είναι η ακόλουθη: Όπου: ˆX r (t) + Ω 2 r ˆX r (t) + 2 M r r t dsγ rr (t s) ˆX r (s) = i c ir M r ˆq i (t) (3.21) γ rr (s) = i c ir c ir 2m i ω i sin(ω i s) (3.22) Ο πίνακας γ rr (s) είναι ο πίνακας απωλειών (dissipation kernel). Πρόκειται για έναν συμμετρικό πίνακα με 1 N(N + 1) ανεξάρτητους όρους. Ο πίνακας αυτός, όπως αναφέραμε και στην αρχή του κεφαλαίου περιέχει όλη την φυσική 2 του

44 32 ανοικτού κβαντικού συστήματος, καθώς είναι αυτός που εκφράζει τις απώλειες ενέργειας του ανοικτού κβαντικού συστήματος κατά την αλληλεπίδρασή του με το περιβάλλον. Συνεχίζοντας έχουμε ότι η λύση της εξίσωσης (3.21) είναι η ακόλουθη: ˆX r (t) = r ( u rr (t) ˆX r + 1 M r u rr ˆPr + 1 t dsu rr (t s) M r r i ) c ir ˆq i (s) (3.23) όπου u rr είναι η λύση της ομογενούς μέρους της εξίσωσης (3.21) με αρχικές συνθήκες τις: u rr () = δ rr και u rr () =. Η λύση αυτή μπορεί να εκφραστεί και σαν ένας αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace, μέσω της ακόλουθης έκφρασης: u(t) = L 1 [A 1 (z)] (3.24) όπου A rr (z) = (z 2 + Ω 2 r)δ rr + 2 M r γ rr (z) και γ rr (z) είναι ο μετασχηματισμός Laplace του πίνακα απωλειών (dissipation kernel). Οι κλασικές εξισώσεις της κίνησης είναι γραμμικές και επομένως συνδέονται με την έκφραση: ( X(t) P (t) ) ( u(t) u(t)m 1 = M u(t) Mü(t)M 1 Κάνοντας χρήση και των συντεταγμένων ξ a, ἐχουμε: ) ( X() P () ) (3.25) ξ t = R(t)ξ (3.26) O προσδιορισμός του διαδότη της συνάρτησης Wigner (Wigner function propagator), εκτός από την εύρεση του πίνακα R(t) απαιτεί και τον προσδιορισμό του πίνακα S(t). Στην επομένη ενότητα περιγράφουμε αναλυτικά τον προσδιορισμό του πίνακα αυτού Προσδιορισμός του πίνακα S(t) Συνεχίζοντας, θα πρέπει να κατασκευάσουμε τον πίνακα συσχέτισης της εξίσωσης (3.13).

45 33 Έτσι, έχουμε: S Xr X r = X r X r ( = u rr (t) ˆX r + 1 ) u rr P r r + r 1 M r t s ( u ss ˆXs + 1 M r dsu rr (t s) i ) u ss ˆPs M s + 1 t ds u ss (t s) M s s j c ir ˆq i (s) c js ˆq j (s ) Επειδή όπως είδαμε ο πίνακας S είναι ανεξάρτητος της αρχικής κατάστασης για τον υπολογισμό θα χρησιμοποιήσουμε μόνο τον δεύτερο όρο της εξίσωσης(3.23). Έτσι παίρνουμε: S Xr X r = q 1 M q t dsu rq (t s) i c ir ˆq i (s) 1 t M q q ds u r q c jr ˆq j (s ) j S Xr X r = q 1 t M q dsu rq (t s) i c ir 1 M q q t ds u r q (t s) j c jr ˆq i (s)ˆq j (s ) Οι συναρτήσεις συσχέτισης για αρμονικούς ταλαντωτές σε θερμική δεξαμενή θερμοκρασίας Τ δίνονται από την ακόλουθη σχέση: ˆq i (s)ˆq j (s ) = δ 1 ( ωi ) T ij coth cos [ω i (s s )] (3.27) 2m i ω i 2T Οπότε: S Xr X r = 1 t t ds M qq q Mq i c ir c ir 2m i ω i coth ( ωi 2T ds u rq (t s)u r q (t s) ) cos[ω i (s s )] Θέτουμε: v rr (s) = i c ir c ( ir ωi ) coth cos(ω i s) (3.28) 2m i ω i 2T

46 34 και επομένως, έχουμε: S Xr X r = qq 1 M q M q Ο συμμετρικός πίνακας t v rr (s) = i t ds ds u rq (t s)v rr (s s )u r q (t s) (3.29) c ir c ( ir ωi ) coth cos(ω i s) (3.3) 2m i ω i 2T είναι ένας πίνακας 1 N(N +1) ανεξάρτητων συνιστωσών και ονομάζεται πίνακας 2 θορύβου (noise kernel). Ο πίνακας αυτός μαζί και με τον πίνακα απωλειών περιγράφει όλη τη φυσική των ανοικτών κβαντικών συστημάτων. Συγκεκριμένα ο πίνακας θορύβου περιγράφει την διαδικασία με την οποία το ανοικτό κβαντικό σύστημα χάνει πληροφορία (θόρυβος) κατά την αλληλεπίδρασή του με το περιβάλλον. Συνεχίζουμε υπολογίζοντας τον S Pr,Pr με τον παρακάτω τρόπο: S PrP r = P r P r = M r ˆXr M r ˆX r Επομένως, S PrP r = M r M r ˆXr ˆXr S PrP r = M r M r q 1 M q S PrP r = M r M r q 1 M q q t M q q t 1 M q t ds u rq (t s) i ds u r q (t s ) j t c jr ˆq j (s ) c ir ˆq i (s) 1 ds u rq (t s) c ir i ds u r q (t s ) c jr ˆq i (s)ˆq j (s ) j Οι συναρτήσεις συσχέτισης (correlation functions) για αρμονικό ταλαντωτή σε θερμική κατάσταση θερμοκρασίας T, υπολογίζονται από την παρακάτω σχέση: ˆq i (s)ˆq j (s ) = δ ij 1 2m i ω i coth( ω i 2T ) cos [ω i(s s )]

47 35 Οπότε : S Pr P r = M r M r i M q M q qq 1 c ir c jr 2m i ω i coth ( ωi 2T t t ds ds u rq (t s) u r q (t s ) ) cos [ω i (s s )] Έχουμε : v rr (s) = i c ir c ( ir ωi ) coth cos [ω i (s s )] 2m i ω i 2T Επομένως: 1 S Pr P r = M r M r M qq q M q Επίσης: t t ds ds u rq (t s)v rr (t s) u r q (t s ) (3.31) S Xr P r = ˆX r ˆPr = ˆX r M r ˆX r = M r ˆX r ˆXr Όμως S Xr P r = M r q 1 M q 1 M q q t t dsu rq (t s) i ds u r q (t s ) j t c ir ˆq i (s) c jr ˆq j (s ) 1 S Xr P r = M r dsu rq (t s) c ir M qq q M q i 1 ds u r M q (t s ) c jr ˆq i (s)ˆq j (s ) q q j ˆq i (s)ˆq j (s 1 ( ωi ) ) = δ ij coth cos [ω i (s s )] 2m i ω i 2T Οπότε: S XrPr = 1 M r M qq q M q j t c jr δ ij 1 2m i ω i coth t dsu rq (t s) c ir i ( ωi ) cos[ω i (s s )] 2T ds u r q (t s )

48 36 όπου Οπότε: 1 S Xr P r = M r M qq q M q t v rr (s) = i ˆX 1 r ˆPr = M r M qq q M q t ds ds u rq (t s)v rr (s s ) u r q (t s ) (3.32) c ir c ( ir ωi ) coth cos(ω i s) 2m i ω i 2T t ds ds u rq (t s)v rr (s s ) u r q (t s ) Για τον υπολογισμό των S XrXr, S PrPr, S XrPr χρησιμοποιείται μόνο το δεύτερο μέλος της εξίσωσης (3.23), αφού αυτό είναι ανεξάρτητο της αρχικής κατάστασης. Επομένως, ολοκληρώντας και τον υπολογισμό των συναρτήσεων συσχέτισης, έχουμε όλες τις εκφράσεις που μας επιτρέπουν να υπολογίσουμε τον διαδότη της συνάρτησης Wigner και κατ επέκταση και την χρονική εξέλιξη του ανοικτού κβαντικού συστήματος. Στην επόμενη παράγραφο θα δούμε την διαδικασία που ακολουθούμε για να κατασκευάσουμε την εξίσωση Master. 4. Κατασκευή εξίσωσης Master 4..1 Εξίσωση Master για σύστημα Ν αρμονικών ταλαντωτών Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση Wigner εκφράζεται σαν: d 2N ξ W t (ξ) = (2π) K t(ξ N f, ξ )W (ξ ) ὀπου W t και W εἰναι οι συναρτήσεις Wigner στις χρονικές στιγμές t και, αντίστοιχα. Επίσης, στο μοντέλο μας ο διαδότης της συνάρτησης Wigner είναι Γκαουσιανός (Gaussian) και υπολογίζεται από την ακόλουθη σχέση: [ dets 1 (t) K t (ξ f, ξ ) = exp 1 [ ξ a π N 2 f ξcl(t) ] a S 1 ab (t) [ ξf b ξcl(t) ]] b Με αντικατάσταση της έκφρασης του διαδότη της συνάρτησης Wigner στην παραπάνω σχέση, παίρνουμε: d 2N ξ dets 1 (t) W t (ξ) = (2π) N π [ N exp 1 [ ξ a 2 f ξcl(t) ] a S 1 ab (t) [ ξf b ξcl(t) ]] b W (ξ ) (3.33)

49 37 Παραγωγίζοντας την παραπάνω σχέση και χρησιμοποιώντας τις ακόλουθες ταυτότητες: d 2N ξ 2π N (ξ ξ cl) a K t (ξ f ξ ) W (ξ ) = S ab W t(ξ) ξ b, (3.34) d 2N ξ (2π) N (ξ ξ cl) a (ξ ξ cl ) b K t (ξ f, ξ )W (ξ ) = S ab + S ac S bd 2 W t (ξ) ξ c ξ d. (3.35) προκύπτει ότι: W t t ( ) = (ṘR 1) a (ξ b W t ) 1 + 2Ṡab b ξ a (ṘR 1 ) (a c S cb) 2 W t (ξ) ξ a ξ. (3.36) b Η παραπάνω εξίσωση είναι η εξίσωση Master για ένα σύστημα Ν αρμονικών ταλαντωτών [4]. Αποτελείται από δύο όρους, εκ των οποίων ο πρώτος όρος αντιστοιχεί στις απώλειες του συστήματος και ο δεύτερος όρος στους όρους της διάχυσης με D ab (t) = ( 1 2Ṡab (ṘR 1 ) (a c S cb) ) 2 W t (ξ) ξ a ξ b. Η εξίσωση Master περιγράφει την δυναμική του συστήματος των N αρμονικών ταλαντωτών. Για να είναι μια Μαρκοβιανή εξίσωση Master θα πρέπει ο πίνακας A : ṘR 1 να είναι χρονοανεξάρτητος. Επομένως ο πίνακας A θα πρέπει να είναι ο γεννήτορας μιας μονοπαραμετρικής ημιομάδας (one-parameter semigroup) στον κλασικό χώρο. Επίσης οι συναρτήσεις διάχυσης (diffusion functions) θα πρέπει να είναι σταθερές και ο πίνακας S να είναι η λύση της εξίσωσης S = OṠ + ṠO. Τέλος, χρησιμοποιώντας τις εκφράσεις υπολογισμού των πινάκων απωλειών (dissipation kernel) και θορύβου (noise kernel), συναρτήσεων συσχέτισης και την γενική έκφραση υπολογισμού της ομογενούς λύσης της εξίσωσης κίνησης των ταλαντωτών του συστήματος, στην ενότητα που ακολουθεί υπολογίζουμε αναλυτικά τα αντίστοιχα μεγέθη και την εξίσωση Master για την περίπτωση του συστήματος ενός αρμονικού ταλαντωτή. 5. Επίλυση εξισώσεων για την περίπτωση ενός αρμονικού ταλαντωτή σε ωμικό περιβάλλον. Αρχικά, χρησιμοποιώντας την γενική έκφραση υπολογισμού του πίνακα απωλειών (dissipation kernel) και την πυκνότητα φάσματος ωμικού περιβάλλοντος βρίσκουμε την έκφραση υπολογισμού του πίνακα απωλειών στην περίπτωση συστήματος ενός ταλαντωτή σε ωμικό περιβάλλον.

50 Πίνακας απωλειών Έχουμε: γ rr (s) = i γ(s) = i c irc ir 2m i ω i sin (ω i s) c 2 i 2m i ω i sin (ω i s). Ο πίνακας απωλειών γ rr (s) προσδορίζεται από μια ειδική ιδιότητα του περιβάλλοντος, την φασματική πυκνότητα. Μια κατάλληλη επιλογή είναι η πυκνότητα φάσματος που ορίζεται σαν: I(ω) = π i c 2 i 2m i ω i δ (ω ω i ) (3.37) Γενικά, για ωμικό περιβάλλον 3 η πυκνότητα φάσματος ορίζεται από την σχέση: I(ω) = Mγ ( ω ω ) s e Ω2 Λ 2 = I(ω) = Mγωe Ω2 Λ 2 όπου γ είναι η σταθερά απωλειών (dissipation constant), Λ είναι η συχνότητα αποκοπής, ω είναι η διαφορά συχνοτήτων (frequency scale) και η παράμετρος s προσδιορίζει την συμπεριφορά του περιβάλλοντος. Χρησιμοποιώντας την φασματική πυκνότητα (3.37), ο πίνακας απωλειών έχει την ακόλουθη μορφή: γ(s) = dω I(ω) sin(ωs). (3.38) π γ(s) = 1 π dωi(ω) sin (ωs) Οπότε: γ(s) = 1 π dωm γω sin(ωs) γ(s) = Mγ s δ(s) 3 Ohmic environment: το περιβάλλον χαρακτηρίζεται σαν ωμικό, εάν στην περιοχή συχνοτήτων ω < Λ το φάσμα πυκνότητας είναι τέτοιο ώστε I(Ω) ω. Επίσης, εάν I(ω) ω n με n > 1, το περιβάλλον χαρακτηρίζεται supraohmic, εάν I(ω) ω n με n < 1, το περιβάλλον χαρακτηρίζεται subohmic.

51 39 Επομένως, ο πίνακας απωλειών, στην περίπτωση συστήματος ενός αρμονικού ταλαντωτή σε αλληλεπίδραση με ένα περιβάλλον το οποίο θεωρούμε ωμικό, δίνεται από την ακόλουθη έκφραση: γ(s) = Mγ δ(s) (3.39) s Η διαφορική εξίσωση κίνησης των ταλαντωτών του συστήματος δίνεται από την εξίσωση (3.21). Με αντικατάσταση της έκφρασης (3.39), της έκφρασης δηλαδή υπολογισμού του πίνακα απωλειών προκύπτει η διαφορική εξίσωση για την περίπτωση συστήματος ενός αρμονικού ταλαντωτή. Η διαφορική αυτή εξίσωση κίνησης υπολογίζεται αναλυτικά παρακάτω Διαφορική εξίσωση κίνησης Η διαφορική εξίσωση κίνησης για τους ταλαντωτές του συστήματος δίνεται από την σχέση (3.21). Κάνοντας την αντικατάσταση της έκφρασης υπολογισμού του πίνακα απωλειών συστήματος ενός σωματιδίου προκύπτει η διαφορική εξίσωση κίνησης συστήματος ενός αρμονικού ταλαντωτή. Παρακάτω περιγράφουμε αναλυτικά τον τρόπο υπολογισμού της εξίσωσης αυτής. ˆX r (t) + Ω 2 r ˆX r (t) + 2 M r t dsγ rr (t s) ˆX r (s) = i c ir M r ˆq i (t) ˆX r (t) + Ω 2 r ˆX r (t) + 2 M r t dsm r γ s δ(s) ˆX r (s) = ˆX r (t) + Ω 2 r ˆX r (t) + 2 M r M r γ ˆXr (s) = ˆX r (t) + 2γ ˆXr (t) + Ω 2 r ˆX r (t) = (3.4) Όπου: ˆX r (t) = e γt ( Ae 2ı Ωt + Be 2ı ωt ) είναι η λύση της παράπανω εξίσωσης, με Ω = γ 2 Ω 2 r

52 4 Η λύση αυτή μπορεί να γραφεί: ) ˆX r (t) = e (A γt cos(2 Ωt) + B sin(2 Ωt) και με εφαρμογή των αρχικών συνθηκών u rr () = δ rr και u rr () =, παίρνουμε: ( ] γ Ω) ˆX r (t) = e [cos( Ωt) γt + sin( Ωt) (3.41) Η παραπάνω εξίσωση αντιστοιχεί στη λύση της ομογενούς εξίσωσης για έναν αρμονικό ταλαντωτή. Η εξίσωση (3.4) αντιστοιχεί στην κλασική εξίσωση ενός σωματιδίου με τριβή. Συνεχίζουμε υπολογίζοντας τον πίνακα θορύβου (noise kernel), δηλαδή τον συμμετρικό πίνακα που περιγράφει την διαδικασία που χάνεται πληροφορία από το σύστημα κατά την αλληλεπίδραση με το περιβάλλον. Ξεκινάμε από την γενική έκφραση υπολογισμού του πίνακα και κάνουμε αντικατάσταση θεωρώντας όμως και σε αυτή την περίπτωση ότι η αλληλεπίδραση του συστήματος γίνεται με ένα περιβάλλον το οποίο είναι ωμικό Πίνακας θορύβου Ξεκινώντας από την γενική έκφραση υπολογισμού του πίνακα v rr (s) και θεωρώντας ότι Ν=1 έχουμε: v rr (s) = i v(s) = i c ( irc ir ωi coth 2m i ω i 2T c 2 i 2m i ω i coth ( ωi 2T ) ) cos(ω i s) Ο πίνακας v rr (s), όπως και ο πίνακας γ rr (s) προσδιορίζονται από την μορφή της φασματικής πυκνότητας. Μια κατάλληλη επιλογή είναι η: I(ω) = Mγωe Ω2 Λ 2 όπου Λ είναι η συχνότητα αποκοπής και ω είναι η διαφορά συχνοτήτων (frequency scale), η οποία θα μπορούσε να ληφθεί να είναι ίση με Λ. Γράφοντας τον πίνακα v rr (s) χρησιμοποιώντας την φασματική πυκνότητα, παίρνουμε: v(s) = 1 π ( ωi ) dωi(ω) coth cos(ω i s) (3.42) 2T

53 41 Οπότε κάνοντας την αντικατάσταση της κατάλληλης φασματικής πυκνότητας, έχουμε: ( v(s) = dωmγωe Ω2 ωi ) Λ 2 coth cos(ω i s) 2T v(s) = dω Mγ ( π ω coth ωi ) cos (ω i s) 2T Για Λ T : Fokker-Planck limit coth ( ) ω 2T 2T 4 Οπότε, ω v(s) = 2MγT δ(s) (3.43) Αφού τελειώσαμε με τον υπολογισμό του πίνακα θορύβου, θα συνεχίσουμε υπολογίζοντας τους πίνακες συσχέτισης Πίνακας συσχέτισης Για τον υπολογισμό των συναρτήσεων συσχέτισης (correlation functions), χρησιμοποιούμε την σχέση: X r X r = qq 1 M q M q t ds t ds u rq (s)v qq (s s )u q r για την περίπτωση συστήματος με έναν αρμινικό ταλαντωτή έχουμε: 4 Οπότε προκύπτει ότι: XX = q XX = q v qq (s s ) = 2MγT δ(s s ) = v(s s ) 1 M q M q 1 M 2 q XX = 2MγT q XX = 2γT q t 1 M q t ds 1 t ds ds u rq (s)v(s s )u qr t t Mq 2 t ds u q (s)v(s s )u q (s) t ds ds u q (s)δ(s s )u q (s ) dsu q (s )u q (s ) coth x 1 x + x 3 +, για x 1

54 42 Τελικά, X 2 = 2γT q 1 t M q dsu 2 q(s ) (3.44) Επίσης, 1 S Pr P r = P r P r = M r M r M qq q M q t t ds ds u rq (s)v qq (s s ) u q r (s ) Ο πίνακας θορύβου στην περίπτωση όπου Ν=1 είναι ίσος με : με αντικατάσταση προκύπτει: v qq (s s ) = v(s s ) = 2MγT δ(s s ) 1 P P = M r M r M qq q M q Επομένως: P P = M r M r P P = M r M r q P P = 2γT M r M r q 1 M 2 q 2γT M q q t 2MqγT t 1 M q t ds ds u q (s)2mqγt δ(s s ) u q (s ) t ds t ds u q (s ) u q (s ) t ds u q (s ) u q (s ) ds u q (s)δ(s s ) u q (s ) S P P = 2γT M r M r q 1 t M q ds u 2 q(s ) (3.45) Τέλος, S XrP r = X 1 rp r = M r M qq q M q t t ds ds u rq (s)v qq (s s ) u q r (s ) Για Ν=1: v qq (s s ) = v(s s ) = 2MqγT δ(s s )

55 43 και κάνοντας την αντικατάσταση: Δηλαδή, XP = M r q 1 M 2 q t 2M q γt XP = M r XP = M r q XP = 2γT M r q Mq 2 t 2γT M q S XP = 2γT M r q 1 M q q t ds ds u q (s)2mqγt δ(s s ) u q (s ) t ds t dsu q (s ) u q (s ) t 1 M q ds u q (s)δ(s s ) u q (s ) dsu q (s ) u q (s ) t dsu q (s ) u q (s ) (3.46) Οι εξισώσεις (3.44)-(3.46) μαζί με τις κλασικές εξισώσεις της κίνησης (3.26) προσδιορίζουν ακριβώς τον διαδότη της συνάρτησης Wigner. Σε αυτό το σημείο αξίζει να αναφερθεί ότι για την περίπτωση συστήματος ενός αρμονικού ταλαντωτή έχουμε υπολογίσει όλες τις απαραίτητες εκφράσεις που μας δίνουν πληροφορίες για την αλληλεπίδραση του ανοικτού αυτού συστήματος με το περιβάλλον του. Στην επόμενη ενότητα θα ορίσουμε την εξίσωση Master για ένα πολυμερές σύστημα και στη συνέχεια θα δείξουμε πως μετασχηματίζεται η εξίσωση αυτή για το σύστημα του ενός αρμονικού ταλαντωτή Εξίσωση Master για έναν αρμονικό ταλαντωτή. Για την περίπτωση ενός αρμονικού ταλαντωτή σε θερμική δεξαμενή, σε ωμικό περιβάλλον και στο όριο Fokker-Planck (όριο υψηλής θερμοκρασίας) η εξίσωση Master, όπως σημειώνεται από τους Halliwell,Yu [3] γίνεται: όπου W t = p M W q + MΩ2 renq W W + 2γ p p + 2MγT 2 W (3.47) p 2 Ω ren = Ω 2 2γδ() Παίρνοντας τον αντίστροφο της παραπάνω εξίσωσης, δεδομένου ότι εξ ορισμού ο αντίστροφος της συνάρτησης Wigner είναι η μήτρα πυκνότητας, προκύπτει ότι: ρ t = ı[h R, ρ r ] ıγ[x, [p, ρ r ]] MD pp [x, [x, ρ r ]] D xp [x, [p, ρ r ]] (3.48)

56 44 Η παραπάνω εξίσωση εκφράζει την χρονική εξέλιξη της μήτρας πυκνότητας, είναι επομένως μία εξίσωση Master. Να σημειώσουμε όμως ότι αρχικά υπολογίζουμε την εξίσωση Master της συνάρτησης Wigner και στη συνέχεια παίρνοντας τον αντίστροφο υπολογίζουμε την εξίσωση Master για την μήτρα πυκνότητας.

57 Κεφάλαιο 4 Σύστημα ενός αρμονικού ταλαντωτή που αλληλεπιδρά με πεδίο. 1. Μια απόπειρα φορμαλιστικής προσέγγισης. Στο πρηγούμενο κεφάλαιο, χρησιμοποιώντας το μοντέλο κβαντικής κίνησης Brown, κατασκευάσαμε τους πίνακες απωλειών και θορύβου, αποδείξαμε τις λύσεις των εξισώσεων κίνησης τόσο για το περιβάλλον όσο και για το σύστημα και τέλος οδηγηθήκαμε στη διατύπωση της εξίσωση Master, η οποία περιγράφει την χρονική εξέλιξη του ανοικτού συστήματος. Όλες οι παραπάνω εκφράσεις υπολογίστηκαν για την περίπτωση συστήματος πολλών σωματιδίων ή αλλιώς πολυμερών συστημάτων (multipartite systems). Στο κεφάλαιο αυτό, θα χρησιμοποιήσουμε όλες τις εκφράσεις που διατυπώσαμε πρωτύτερα, για την περίπτωση ενός συστήματος που αποτελείται από έναν αρμονικό ταλαντωτή και ο οποίος αλληλεπιδρά με ένα περιβάλλον, το οποίο θα θεωρήσουμε ότι είναι ένα βαθμωτό πεδίο. Αρχικά θα πρέπει να κατασκευάσουμε το μοντέλο μας, δηλαδή να ορίσουμε την Χαμιλτονιανή (Hamiltonian) του συστήματος, του περιβάλλοντος καθώς και την Χαμιλτονιανή που θα περιγράφει την αλληλεπίδραση μεταξύ τους. Έτσι θεωρούμε ένα σύστημα δύο αρμονικών ταλαντωτών μάζας m i και συχνότητας ω i, το οποίο αλληλεπιδρά με ένα περιβάλλον αρμονικών ταλαντωτών. Το συνολικό σύστημα περιγράφεται από την ακόλουθη Χαμιλτονιανή (Hamiltonian): H t = H syst + H env + H int (4.1) 45

58 46 όπου H syst = 1 2m p mω 1q1 2 (4.2) [ 1 H env = d n x 2 π ( ϕ)2 + 1 ] 2 m2 ϕ 2 = d n k ω k α k α k (4.3) ( ) H int = d n xϕ(x)q 1 δ(x x 1 ) (4.4) όπου q 1, q 2 είναι οι τελεστές θέσης του καθε ταλαντωτή και p 1, p 2 είναι οι τελεστές της ορμής τους και ϕ(x), π(x) είναι οι τελεστές της θέσης και της συζυγούς ορμής του περιβάλλοντος 1. Η Χαμιλτονιανή αλληλεπίδρασης εξίσωση (4.4) εκφράζει τον τρόπο σύζευξης κάθε ταλαντωτή του συστήματος με το βαθμωτό πεδίο του περιβάλλοντος. Για να επιλύσουμε το πρόβλημα της χρονικής εξέλιξης των καταστάσεων του συστήματος, πρέπει να διαγωνοποιήσουμε την χαμιλτονιανή, πρέπει να βρούμε δηλαδή τα ιδιοδιανύσματά της. Η Χαμιλτονιανή του περιβάλλοντος μπορεί να γραφεί σύμφωνα με την ακόλουθη σχέση: [ 1 H env = d n x 2 π ( ϕ)2 + 1 ] 2 m2 ϕ 2 = d n kω k α k α k Ξεκινώντας από την Hamiltonian: H env = 1 d n x [ π 2 + ( ϕ) 2 ) + m 2 ϕ 2] 2 Με ϕ(x) = d n kϕ k e ikx Αναπτύσσουμε τον τελεστή πεδίου ϕ(x) κατά Fourier, οπότε προκύπτει: ϕ(x) = d µ k [ α (k)e ikµ x µ + α(k)e ikµ x µ ] Χρήσιμες ιδιότητες του τελεστή πεδίου ϕ(x) k 2 = k 2 + m 2 k µ k µ + m 2 = d µ (k) = dn k (2π) n δ(kµ k µ + m 2 )Θ(k ) 1 Συγκεκριμένα θεωρούμε τις συναρτήσεις ϕ(x) ως κατανομές με πεδίο τιμών τελεστές και επίσης ότι μπορούν να γραφτούν σαν ϕ(x) = d n kϕ k e ikx

59 47 2 όπου Θ(k ) είναι η συνάρτηση βήματος (step function or Heaviside step function) Για τον υπολογισμό της παραπάνω έκφρασης είναι απαραίτητο να υπολογίσουμε την ποσότητα δ(k µ k µ + m 2 ). Για να το κάνουμε αυτό εργαζόμαστε ως εξής: Έχουμε δ(k µ k µ + m 2 ) = δ(k 2 (m 2 k 2 ) = δ(k 2 ω 2 k) Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα, δ(f(x)) = i 1 f (x i ) δ(x x i) παίρνουμε: Οπότε, έχουμε: και δ(k µ k µ + m 2 ) = 1 2ω k [δ(k ω k ) + δ(k + ω k )] ϕ(x) = ϕ(x) = d n k 1 [ α (k)e ikµ x µ + α(k)e ikµ x µ ] (2π) n 2ω k d n k 1 [ α(k)e ikµ x µ + α (k)e ikµ x µ ] (2π) n 2ω k (4.6) (4.7) π(x) = ϕ (x) (4.8) π (x) = ϕ(x) (4.9) Κάνοντας αντικατάσταση των εξισώσεων (4.6)-(4.9) στην εξίσωση (4.3) και χρησιμοποιώντας τις παρακάτω ισότητες: d n x (2π) n = δ( p) d n rf q (x)fq (x) = δ n ( q q ) d n rf q (x)f q (x) = δ n ( q + q )e 2ıω qt 2 Η συνάρτηση βήματος ορίζεται ως εξής: Θ(t) = { 1, t, t <

60 48 προκύπτει ότι Ισχύει : Τελικά, Με H env = 1 2 [ ] d n k (2π) n (2ω k ) 2 2ω2 k[α(k)a (k) + α (k)α(k) [α(k), α (k)] = (2π) n 2ω k δ( k k ) H env = α(k) = α (k) = (4.1) d n kω k α(k)α (k) (4.11) mωk 2 x + ı 1 p (4.12) 2mωk mωk 2 x ı 1 p (4.13) 2mωk Παρατηρούμε ότι το πρόβλημα είναι ανάλογο του αρμονικού ταλαντωτή, μόνο που στην περίπτωση μας έχουμε ένα συνεχές σύνολο αρμονικών ταλαντωτών. Αποδεικνύεται, λοιπόν ότι οι α (k), α(k) είναι οι τελεστές δημιουργίας και καταστροφής. Επιπλέον θα υπάρχει μια ιδιοκατάσταση με την ελάχιστη ενέργεια, >, την οποία θα μηδενίζει ο τελεστής καταστροφής. Αυτή είναι η θεμελιώδης κατάσταση, από την οποία παράγουμε όλες τις άλλες ιδιοκαταστάσεις με αλλεπάλληλη εφαρμογή τελεστών δημιουργίας. Οι τελεστές α(k) και α (k) εκτός από τελεστές καταστροφής και δημιουργίας ονομάζονται τελεστές καθόδου και ανόδου, αντίστοιχα. Οι τελεστές δημιουργίας και καταστροφής υπακούουν στις ακόλουθες σχέσεις: α(k) = n ψ n 1 α (k) = n + 1 ψ n+1 Οι σχέσεις αυτές δικαιολογούν και την ονομασία τους, μιας και η δράση του τελεστή α ελαττώνει τις ιδιοτιμές κατά μία μονάδα, ενώ η δράση του α τις αυξάνει κατά μία μονάδα. Συνεχίζοντας, έχουμε: ( ) H int = λ d n xϕ(x)q 1 δ(x x 1 ) + d n xϕ(x)q 2 δ(x x 2 ) (4.14) Η παραπάνω εξίσωση μπορεί να γραφεί σαν υπέρθεση αρμονικών ταλαντωτών με d n k 1 ( ϕ(x) = α (k)e ıkµ x µ + α(k)e ıkµ x µ ) (2π) n 2ω k

61 49 Κάνοντας την αντικατάσταση x 2 = x 1 και χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (4.12),(4.13), παίρνουμε: d n k 1 H int = λq 1 q (2π) n k e ıkx 1 d n k 1 + λq 2 q 2ωk (2π) n k e ıkx 2 (4.15) 2ωk Κάνοντας τις αντικαταστάσεις : παίρνουμε ότι, H int = λ k ı k k = d n k (2π) n X 1 1 2ωk q k e ıkx 1 + λ k X 2 1 2ωk q k e ıkx 2 (4.16) H Hamiltonian αλληλεπίδρασης H int είναι η εξίσωση με την βοήθεια της οποίας θα υπολογίσουμε τον πίνακα απωλειών γ rr (s). Στην ενότητα που ακολουθεί, υπολογίζουμε αναλυτικά τον πίνακα απωλειών (dissipation kernel) στην περίπτωση του ενός αρμονικού ταλαντωτή και στις τρεις διαστάσεις. 2. Υπολογισμός πίνακα απωλειών Γενική έκφραση Συγκρίνοντας την παραπάνω εξίσωση της Hamiltonian αλληλεπίδρασης με την έκφραση : H int = c ir ˆXr ˆq i, r = 1, 2 i r έχουμε { c k1 = λ c ir 2ωk e ıkx 1 c k2 = λ 2ωk e ıkx 2 Οπότε ο πίνακας απωλειών (dissipation kernel): γ rr (s) = c irc ir 2m i ω i sin(ω i s) (4.17) για την περίπτωση ενός αρμονικού ταλαντωτή και για m = 1 γίνεται, d γ 11 (s) = λ 2 n k sin(ω (2π) n k s) 2ωk 2ωk 2ω k γ 11 (s) = λ2 4 d n k 1 sin(ω (2π) n 2ωk 2 k s) (4.18)

62 5 Πίνακας απωλειών στις 3 διαστάσεις Η εξίσωση (4.18) μας δίνει τον πίνακα γ(s) για την περίπτωση ενός αρμονικού ταλαντωτή. Για την περίπτωση των τριών διαστάσεων, η εξίσωση (4.18), γίνεται: γ 11 (s) = λ2 d 3 k 1 sin(ω 4 (2π) 3 ωk 2 k s) (4.19) = k, παίρ- Χρησιμοποιώντας τις σφαιρικές συντεταγμένες και θέτοντας ω k νουμε: γ 11 (s) = λ2 8π 2 dk sin(ks) (4.2) Πίνακας απωλειών στη 1 διάσταση Στην ενότητα αυτή αναφέρουμε την έκφραση υπολογισμού του γ 11 (s) και του μετασχηματισμού Laplace στην περίπτωση της μιας διάστασης. Χρησιμοποιώντας την γενική σχέση (4.18) για το στοιχείο γ 11 (s) και θέτοντας ω k = k, παίρνουμε: γ 11 (s) = λ2 8π sin(ks) k 2 dk (4.21) 3. Εύρεση ομογενούς λύσης της εξίσωσης κίνησης 3..1 Υπολογισμός μετασχηματισμού Laplace στις τρεις διαστάσεις Η λύση της ομογενούς εξίσωσης κίνησης για το σύστημα των ταλαντωτών του περιβάλλοντος, όπως φαίνεται από την έκφραση (3.24) απαιτεί την εύρεση του πίνακα A rr (z) και κατ επέκταση τον μετασχηματισμό Laplace του στοιχείου γ rr (s). Επομένως, συνεχίζουμε υπολογίζοντας τον μετασχηματισμό Laplace της παραπάνω έκφρασης. Έτσι, έχουμε: Έχουμε : Οπότε: Lγ 11 (s) = γ 11 (z) = λ2 8π 2 dk e zs sin(ks)ds = k z 2 + k 2 ) γ 11 (z) = (1 λ2 16π ln + Λ2 2 z 2 dse zs sin(ks) (4.22) (4.23)

63 3. Εύρεση ομογενούς λύσης της εξίσωσης κίνησης 51 Υπολογισμός πίνακα A rr (z). Αφού βρήκαμε τον μετασχηματισμό Laplace του στοιχεἰου γ 11 (s), προχωράμε στον υπολογισμό του πίνακα A 11 (z). Ο πίνακας A rr (z) ορίζεται από την σχέση: A rr (z) = (z 2 + Ω 2 r)δ rr + 2 M r γ rr (z) (4.24) Για την περίπτωση ενός αρμονικού ταλαντωτή και για r = r = 1, η παραπάνω έκφραση γίνεται: A 11 (z) = z 2 + Ω M r γ 11 (z) (4.25) Κάνοντας αντικατάσταση της σχέσης (4.23) και θέτοντας M r = 1, προκύπτει ότι: ) A 11 (z) = z 2 + Ω 2 (1 λ2 8π ln + Λ2 2 z 2 (4.26) Παίρνοντας τον αντίστροφο του παραπάνω πίνακα, δεδομένου ότι αυτός απαιτείται για τον υπολογισμό της λύσης της ομογενούς εξίσωσης κίνησης του συστήματος, έχουμε ότι: A 1 11 (z) = 1 z 2 + Ω 2 λ2 ln ( ) (4.27) 1 + Λ2 8π 2 z 2 Για τον υπολογισμό του αντιστρόφου μετασχηματισμού Laplace, πρέπει να υπολογίσουμε τους πόλους της συνάρτησης (4.27), δηλαδή να λύσουμε την εξίσωση: z 2 + Ω 2 λ2 8π 2 ln ) (1 + Λ2 = (4.28) Επιλύοντας την εξίσωση αυτή, κάνοντας χρήση του Mathematica, προκύπτει θετική ρίζα. Η ρίζα αυτή δεν είναι φυσικά αποδεκτή δεδομένου ότι κατά την αλληλεπίδραση ενός ανοικτού κβαντικού συστήματος με το περιβάλλον, το σύστημα χάνει ενέργεια. Για να απαλαγούμε από την θετική αυτή ρίζα εισάγουμε μια μικρή διόρθωση στο στοιχείο A 1 11 (z), την ποσότητα ϵ και έχουμε: A 1 11 (z) = z 2 1 ( ) (4.29) z 2 + Ω 2 λ2 ln 1 + Λ2 8π 2 (z+ϵ) 2 Επομένως η ομογενής λύση που εκφράζεται από την σχέση (3.24) για την περίπτωση ενός αρμονικού ταλαντωτή γίνεται: u(t) = L 1 {A 1 11 (z)} (4.3)

64 52 Με αντικατάσταση της σχέσης (4.27), προκύπτει ότι: u(t) = L 1 1 z 2 + Ω 2 λ2 8π 2 ln ( 1 + Λ2 (z+ϵ) 2 ) (4.31) Η εξίσωση (4.31) αποτελεί την γενική έκφραση της λύσης της ομογενούς εξίσωσης κίνησης του συστήματος στην περίπτωση ενός αρμονικού ταλαντωτή. Για την εύρεση της ακριβούς λύσης απαιτείται ο υπολογισμός του αντιστρόφου μετασχηματισμού Laplace. Στην επόμενη ενότητα υπολογίζουμε αναλυτικά τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace του πίνακα A 1 11 (z) και χρησιμοποιώντας την έκφραση του αντιστρόφου μετασχηματισμού Laplace που βρήκαμε καταλήγουμε στον υπολογισμό της ομογενούς λύσης της εξίσωσης κίνησης του συστήματος. Υπολογισμός αντιστρόφου μετασχηματισμού Laplace Για την εύρεση της ομογενούς εξίσωσης κίνησης του συστήματος στην περίπτωση που αυτό αποτελείται από έναν αρμονικό ταλαντωτή απαιτείται, όπως αναφέραμε και προηγουμένως η εύρεση του αντιστρόφου μετασχηματισμού Laplace. Πριν προχωρήσουμε στον υπολογισμό του, θα πρέπει να βρούμε αναλυτικά τόσο τους πόλους της συνάρτησης, για την οποία θέλουμε να υπολογίσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace, όσο και τα σημεία διακλάδωσης (branch cut) της συνάρτησης αυτής, εάν και εφόσον υπάρχουν. 3 Ακολουθεί ο υπολογισμός των πόλων και των σημείων διακλάδωσης (branch cut) για την συνάρτηση: f(z) = 1 ( ) z 2 + Ω 2 λ2 ln 1 + Λ2 8π 2 (z+ϵ) 2 3 Μια μιγαδική συνάρτηση f(z) μπορεί να παρουσιάζει κάποιες ανωμαλίες ή ιδιομορφίες. Αυτές μπορεί να είναι είτε πόλοι είτε σημεία διακλάδωσης είτε ουσιώδη ανώμαλα σημεία. Εάν μία μιγαδική συνάρτηση παρουσιάζει μία ανωμαλία στο σημείο z = α, τότε το σημείο αυτό ονομάζεται πόλος της f(z) εάν: lim f(z) = z

65 3. Εύρεση ομογενούς λύσης της εξίσωσης κίνησης 53 Υπολογισμός σημείων διακλάδωσης (branch cut) της f(z). Έχουμε: 1 + Λ2 (z + ϵ) 2 = Μελέτη συνάρτησης λογαρίθμου Έχουμε ότι: ln z = ln re ıϕ z = ϵ ± ıλ ln z = ln r + ln e ıϕ ln z = ln r + ıϕ + 2ınπ Επομένως: ln r + ıϕ 2πı, ϕ [, π] ln z = ln r + ıϕ, ϕ [π, 2π] Παρατήρηση: Σύμφωνα με την παραπάνω έκφραση της συνάρτησης του λογαρίθμου, μπορούμε κάνοντας απλά την αντικατάσταση ϕ = π να διαπιστώσουμε την ασυνέχεια της συνάρτησης στο ϕ = π. Επομένως, στον υπολογισμό του αντιστρόφου μετασχηματισμού Laplace της συνάρτησης: A 1 11 (z) = 1 ( ) z 2 + Ω 2 λ2 ln 1 + Λ2 8π 2 (z+ϵ) 2 θα πρέπει να λάβουμε υπόψιν μας την ασυνέχεια της συνάρτησης λογαρίθμου στο ϕ = π Υπολογισμός πόλων της f(z). Για τον υπολογισμό των πόλων της συνάρτησης f(z) θα πρέπει αρχικά να λύσουμε την εξίσωση : ) z 2 + Ω 2 (1 λ2 8π ln + Λ2 = 2 z 2 δηλαδή θα πρέπει να βρούμε τα σημεία, τα οποία θα αποτελούν και τους πόλους της f(z), για τα οποία μηδενίζεται ο παρανομαστής. Για να λύσουμε την εξίσωση αυτή χρησιμοποιούμε την μέθοδο θεωρίας διαταραχών (Μ.Θ.Δ.) και παίρνουμε για δοκιμαστικές λύσεις τις: z = ıω + λ 2 z 1 z = +ıω + λ 2 z 2

66 54 Κρατώντας όρους μόνο μέχρι 2ης τάξης, προκύπτει ότι: z 1 = 1 16πΩ + ı ( ) Λ 2 16π 2 Ω ln Ω z 2 = 16πΩ ı ( ) Λ 2 16π 2 Ω ln Ω 1 2 (4.32) (4.33) Οπότε τελικά, z = ıω + λ 2 [ 1 16πΩ + z = +ıω + λ 2 [ 1 16πΩ ı ( )] Λ 2 16π 2 Ω ln Ω 1 2 ı ( )] Λ 2 16π 2 Ω ln Ω 1 2 (4.34) (4.35) Οι εξισώσεις (4.34) και (4.35) αντιστοιχούν στους δύο πόλους της συνάρτησης f(z) Αναλυτική περιγραφή υπολογισμού του αντιστρόφου μετασχηματισμού Laplace. Αν υποθέσουμε ότι η συνάρτησή μας έχει ένα σημείο διακλάδωσης (branch cut) στην αρχή των αξόνων και στα σημεία x, τότε για τον υπολογισμό του αντιστρόφου μετασχηματισμού Laplace η καμπύλη ολοκλήρωσης θα αντικατασταθεί από την καμπύλη ABDEHFGHIJKLMNOEQA (σχ.4.1) η οποία δεν περικλείει τα σημεία διακλάδωσης (branch cut). Έχουμε ότι: f(t) + + ( = 1 2πı C RA + s=re ıπ + s=re ıπ + s=re ıπ + s=re ıπ + C ϵ + C RB + C RD s=re ıπ + ) ˆF (s) 2πı esx ds s=re ıπ + C g + C RC Res(z i ) (4.36) i Όμως, κατά μήκος της καμπύλης C RA έχουμε: s = c + Re ıθ

67 3. Εύρεση ομογενούς λύσης της εξίσωσης κίνησης 55 Σχήμα 4.1: Γραφική απεικόνιση αντιστρόφου μετασχηματισμού Laplace με π 2 < θ < π επομένως το ολοκλήρωμα C RA εξαφανίζεται καθώς R. Επίσης το ίδιο ισχύει και κατά μήκος των καμπύλων C RB, C RC, C RD, δηλαδή: C RB : s = c + Re ıθ, θ = π = C RB καθώς R, C RC : s = c + Re ıθ, θ = π = C RC καθώς R, C RD : s = c + Re ıθ, π < θ < π = 2 C RD καθώς R. Συνεχίζοντας έχουμε ότι και τα ολοκληρώματα κατά μήκος των καμπύλων C γ, C ϵ, C ϵ εξαφανίζονται καθώς τα ϵ, ϵ τείνουν στο μηδέν. Στην C γ, έχουμε: s = c + Re ıθ, π < θ < π και ϵ = C γ. Στην C ϵ έχουμε : s = x + ϵ e ıθ, π < θ < π και ϵ.

68 56 Άρα, C ϵ ˆF (s) 2πı esx ds = C ϵ π = π 1 [ 2πı s 2 + Ω 2 λ2 8π 2 ln ( 1 + Λ2 (s+ϵ) 2 )]e sx ds ϵ e (x ϵ )x dθ [ 2πı (x ϵ) 2 + Ω 2 λ2 ln 8π 2 ( 1 + Λ 2 (x ϵ +ϵ) 2 )] καθώς ϵ.το ίδιο ισχύει και για το ολοκλήρωμα κατά μήκος της καμπύλης C ϵ. Συνεχίζουμε υπολογίζοντας και τα υπόλοιπα ολοκληρώματα κατά μήκος του περιγράμματος Bromwich και έτσι έχουμε: I 1 = I 2 = s=re ıπ = 1 x 2πı s=re ıπ = 1 x 2πı = I 1 F (s) 2πı esx ds = s=re ıπ e rx dr r 2 + Ω 2 λ2 8π 2 ln ˆF (s) 2πı esx ds = s=re ıπ e rx dr [ 2πı r 2 + Ω 2 λ2 ln 8π 2 Συνεχίζοντας, έχουμε ότι: F (s) I 3 = 2πı esx ds = I 4 = s=re ıπ x = = s=re ıπ x = I 3 s=re ıπ e rx dr [ 2πı r 2 + Ω 2 λ2 ln 8π 2 ˆF (s) 2πı esx ds = s=re ıπ e sx ds [ ( )] 2πı s 2 + Ω 2 λ2 ln 1 + Λ2 8π 2 (s+ϵ) 2 ( ) 1 + Λ2 ( r+ϵ) 2 e sx ds [ 2πı s 2 + Ω 2 λ2 ln 8π 2 ( 1 + λ2 ( r+ϵ) 2 )] ( 1 + Λ2 (s+ϵ) 2 )] e sx ds [ ( )] 2πı s 2 + Ω 2 λ2 ln 1 + Λ2 8π 2 (s+ϵ) 2 ( 1 + Λ2 ( r+ϵ) 2 )] e sx ds [ 2πı s 2 + Ω 2 λ2 ln 8π 2 e rx dr [ ( )] 2πı r 2 + Ω 2 λ2 ln 1 + Λ2 8π 2 ( r+ϵ) 2 ( 1 + Λ2 (s+ϵ) 2 )]

69 3. Εύρεση ομογενούς λύσης της εξίσωσης κίνησης 57 Τελικά, Επίσης, και I 6 = Επομένως, I 5 = = 1 2πı = 1 2πı s=re ıπ s=re ıπ και η εξίσωση ( 5.47 ) γίνεται: f(t) + λ2 8π I 1 + I 2 + I 3 + I 4 = ˆF (s) 2πı esx ds = 1 2πı e sx ds s 2 + Ω 2 λ2 8π 2 (ln s + ıπ) ˆF (s) 2πı esx ds = 1 2πı e sx ds s 2 + Ω 2 λ2 8π 2 (ln s ıπ) I 5 + I 6 = λ2 e st ds 8π (s 2 + Ω 2 ) 2 e st ds (s 2 + Ω 2 ) = 1 2 2πı e sx ds s 2 + Ω 2 λ2 8π 2 (ln r + ıϕ) e sx ds s 2 + Ω 2 λ2 8π 2 (ln r + ıϕ 2ıπ) Res(z i ) (4.37) Για να ολοκληρώσουμε τον υπολογισμό του αντιστρόφου μετασχηματισμού Laplace, θα πρέπει να υπολογιστούν δύο επιμέρους ποσότητες. Αυτές είναι: α).το άθροισμα των ολοκληρωτικών υπολοίπων και β).το ολοκλήρωμα: e st ds (s 2 + Ω 2 ) 2 Ξεκινάμε με τον υπολογισμό των ολοκληρωτικών υπολοίπων. Έτσι, έχουμε: 2 Res e sx ( ), s i (4.38) i=1 s 2 + Ω 2 λ2 ln 1 + Λ2 8π 2 (s+ϵ) 2 για i s 1 = Γ iω R (4.39) s 2 = Γ + iω R (4.4)

70 58 όπου: Γ = λ 2 16πΩ Ω R = λ2 16π 2 Ω ln (4.41) ( ) Λ 2 Ω 1 + Ω (4.42) 2 R = = 2 Res s 2 + Ω 2 λ2 i=1 [ s 2 + Ω 2 λ2 e sx 8π 2 ln e sx 8π 2 ln = e Γt 2Γ 2ıΩ R + λ2 Λ 2 + 2Γ + 2ıΩ R + λ2 Λ 2 = e Γt 2Γ 2ıΩ R λ2 Λ 2 + e ıω Rt 2Γ + 2ıΩ R λ2 Λ 2 ( ), s i 1 + Λ2 (s+ϵ) 2 ( 1 + Λ2 (s+ϵ) 2 )] s 1, s 2 e ıω Rt [ ] 1 4π 2 Γ 3 3ıΓ 2 Ω R +3ΓΩ 2 R +ıω3 R ΓΛ2 ıλ 2 Ω R e ıω Rt [ ] 1 4π 2 Γ 3 +ıγ 2 Ω R ΓΩ 2 R +ıω3 R ΓΛ2 ıλ 2 Ω R e ıω Rt ( ) 1 4π 2 ıλ 2 Ω R ( ) 1 4π 2 ıλ 2 Ω R (4.43) Κάνοντας πράξεις παίρνουμε: [ ] ıλ 2 Res(z i ) = e Γt 2π 2 Ω R 4Γ cos[ω R t] + 4Ω R sin[ω R t] 4Γ i 2 λ2 ıλ2 Γ 16π 4 Ω 2 R π 2 Ω R + 4Ω 2 R (4.44) Αφού ολοκληρώθηκε ο υπολογισμός των ολοκληρωτικών υπολοίπων, συνεχίζουμε υπολογίζοντας το ολοκλήρωμα: e st (s 2 + Ω 2 ) 2 ds Κάνοντας την αντικατάσταση s s, προκύπτει το ακόλουθο ολοκλήρωμα: e st (s 2 + Ω 2 ) 2 ds

71 3. Εύρεση ομογενούς λύσης της εξίσωσης κίνησης 59 για τον υπολογισμό του χρησιμοποιούμε την μέθοδο της ανάλυσης σε απλά κλάσματα και έχουμε: e st ds = 1 (s 2 + Ω 2 ) 2 4ıΩ ıΩ 3 e st ds s + ıω 1 4Ω 2 e st ds s ıω 1 4Ω 2 e st ds (s + ıω) 2 e st ds (s ıω) 2 Κάνοντας τις πράξεις και χρησιμοποιώντας τις παρακάτω ασυμπτωτικές εκφράσεις: Ci(x) cos x ( 1! x x 3! x + 5! ) 3 x sin x ( 1! 2! 5 x x + 4! ) 2 x, για x >> 1 4 Κρατώντας μόνο όρους πρώτης τάξης, παίρνουμε: και Si(x) π 2 sin x x Ci(x) sin x x ( 1! x 3! x + 5! ) 3 x cos x ( 1! 2! 5 x x + 4! 2 x ), 4 για x >> 1 Κρατώντας μόνο όρους πρώτης τάξης, έχουμε: οπότε τελικά προκύπτει: Επομένως, συνοψίζοντας έχουμε: u(t) = 16πΩ 4 Si(x) π 2 cos x x e st (s 2 + Ω 2 ) 2 ds 1 2Ω 4 λ2 [ ] t 2πı [ ] 1 t (4.45) Res(z i ) (4.46) όπου u(t) = f(t). Η εξίσωση (4.46) είναι η ομογενής λύση της εξίσωσης κίνησης για την περίπτωση συστήματος με έναν αρμονικό ταλαντωτή. Παρατηρούμε ότι η εξίσωση αυτή αποτελείται από τρεις πόλους, οι δύο είναι αυτοί που προκύπτουν από το i

72 6 άθροισμα των ολοκληρωτικών υπολοίπων και υπολογίζονται από την εξίσωση (4.43) και ο τρίτος πόλος είναι αυτός που προέρχεται από το σημείο διακλάδωσης (brunch cut). Αξίζει να σημειωθεί ότι αν και με την εξίσωση Master δευτερης τάξης θα αναμέναμε μόνο δύο πόλους, αυτούς που προκύπτουν από το άθροισμα των ολοκληρωτικών υπολοίπων, οι υπολογισμοί μας έδωσαν και έναν τρίτο πόλο ο οποίος δεν μπορεί να αγνοηθεί. Όριο ασθενούς σύζευξης Στο όριο της ασθενούς σύζευξης, στην εξίσωση: [ ] ıλ 2 Res(z i ) = e Γt 2π 2 Ω R 4Γ cos[ω R t] + 4Ω R sin[ω R t] 4Γ i 2 λ2 ıλ2 Γ 16π 4 Ω 2 R π 2 Ω R + 4Ω 2 R κρατάμε μόνο τους όρους +2ıΩ R και 2ıΩ R. Οπότε: i Res(z i ) = e Γt Ω R sin (Ω R t) (4.47) και η λύση της ομογενούς εξίσωσης κίνησης στο όριο της ασθενούς σύζευξης μεταξύ συστήματος και περιβάλλοντος, γίνεται: λ2 u(t) = 16πΩ 4 [ ] e Γt sin (Ω R t) (4.48) t 2πı Ω R Η πλήρης περιγραφή του ανοικτού κβαντικού συστήματος, όπως έχουμε αναφέρει, απαιτεί τον προσδιορισμό του διαδότη της συνάρτησης Wigner. Αυτός εξαρτάται από δύο πίνακες, τους R(t) και S(t). Ο R(t) μπορεί να υπολογιστεί δεδομένου ότι έχουμε υπολογίσει την την εξίσωση της κίνησης. Ο προσδιορισμός του S(t) απαιτεί την εύρεση του πίνακα θορύβου (noise kernel). Στην επόμενη ενότητα υπολογίζουμε αναλυτικά την έκφραση του πίνακα θορύβου για την περίπτωση του ενός αρμονικού ταλαντωτή. 4. Υπολογισμός πίνακα θορύβου. Ο πίνακας θορύβου (noise kernel) σύμφωνα με την [4] δίνεται από τον παρακάτω τύπο: v rr (s) = c ir c ( ir ωi ) coth cos(ω i s) 2m i i ω i 2T

73 5. Υπολογισμός των συναρτήσεων συσχέτισης 61 Κάνοντας την αντικατάσταση: i k d n k (2π) n και θέτοντας όπου c ir τους συντελεστές που βρήκαμε για το μοντέλο μας, δηλαδή τους: c k1 = c k2 = λ 2ωk e ıkx 1 λ 2ωk e ıkx 2 η έκφραση, v rr (s) = i c ir c ( ir ωi ) coth cos(ω i s) (4.49) 2m i ω i 2T, για m = 1 γίνεται: v rr = λ2 4 d n k 1 ( ωk ) coth cos(ω (2π) n ωk 2 k s) (4.5) 2T Στην περίπτωση ενός αρμονικού ταλαντωτή στις 3 διαστάσεις, η έκφραση υπολογισμού του u 11 είναι η παρακάτω: v 11 (s) = λ2 8π 2 ( ) k dk coth cos(ks) (4.51) 2T Αφού υπολογίσαμε τον πίνακα θορύβου, συνεχίζουμε με τον υπολογισμό των συναρτήσεων συσχέτισης (correlation function). 5. Υπολογισμός των συναρτήσεων συσχέτισης Οι συναρτήσεις συσχέτισης S Xr X r, S Pr P r και S Xr P r δίνονται από τις εκφράσεις (3.29),ρ(3.31) και (3.32), αντίστοιχα. Στην περίπτωση του ενός αρμονικού ταλαντωτή, ο πίνακας θορύβου (noise kernel) δίνεται από την παρακάτω έκφραση: v 11 (s s ) = λ2 8π δ(s s ) (4.52)

74 62 Επομένως ο πίνακας συσχέτισης S XrX r, προκύπτει ίσος με: S XX = λ2 8π t ds[u(s)] 2 (4.53) Θέτοντας u(t) = 1 { Ae (Γ+ıΩ R )t + Be } (Γ ıω R)t λ2 2πı 16πΩ 4 [ ] 1 t (4.54) και στην αρχή λαμβάνοντας υπόψιν μόνον τον πρώτο όρο της εξίσωσης ( 4.54), παίρνουμε: [ A 2 e 2(Γ+ıΩ R)t S XX = λ2 e 2(Γ ıωr)t B2 8π 2(Γ + ıω R ) 2(Γ ıω R ) A 2 + 2(Γ + ıω R ) + B 2 2( Γ ıω R ) + AB ] Γ AB e 2Γt Γ (4.55) Με { A = 1 2πı { B = 1 2πı 1 2(Γ + ıω R ) + 1 2(Γ ıω R ) + ıλ2 4π 2 Ω R ıλ2 4π 2 Ω R } } Με την συνεισφορά και του δεύτερου όρου της (4.54) και θέτοντας : προκύπτει ότι: C = λ2 16πΩ 4 S XX = [ λ2 A2 e 2(Γ+ıΩ R)t B2 e 2(Γ ıω R)t 2AB e Γt 8π 2(Γ + ıω R ) 2(Γ ıω R ) Γ + A 2 2(Γ + ıω R ) B 2 + 2(Γ ıω R ) + 2AB Γ C2 + 2BC [ Γ[, tγ ] + Γ[, Γ Λ] log[tγ ] t + log[γ Λ]] + 2AC[ Γ[, tγ ] + Γ[, Γ Λ] log[tγ ] + log[γ Λ]]] (4.56) όπου D = Γ ıω R E = Γ + ıω R

75 5. Υπολογισμός των συναρτήσεων συσχέτισης 63 Συνεχίζουμε με τον υπολογισμό της συνάρτησης συσχέτισης S P P, και έχουμε: S P P = λ2 8π t ds[ u(s)] 2 (4.57) Παίρνοντας την παράγωγο της εξίσωσης (4.54) και κάνοντας πράξεις, προκύπτει η ακόλουθη έκφραση: S P P = [ λ2 A2 (Γ + ıω R )e 2(Γ+ıΩ R)t B2 (Γ ıω R )e 2(Γ ıω R)t 8π 2 2 AB 2Γ Ω2 e 4Γt + A2 (Γ + ıω R ) + B2 (Γ ıω R ) + AB ] 2 2 2Γ Ω2 (4.58) η παραπάνω έκφραση για την συνάρτηση συσχέτισης S P P έχει ληφθεί χωρίς την συνεισφορά του δεύτερου όρου της εξίσωσης (4.54). Αν λάβουμε υπόψιν μας και τον δεύτερο όρο της (4.54) η έκφραση για την S P P γίνεται πιο περίπλοκη και παίρνει την ακόλουθη μορφή: [ S P P = λ2 A2 (Γ + ıω R ) (e 2(Γ+ıΩR)t 1) B 2 (Γ ıω R )(e 2(Γ ıωr)t 1) 8π 2 ( + C3 1 3 Λ 1 ) AB 3 t 3 2Γ (Γ2 + Ω R ) 2 (e 4Γt 1) + 2AC(Γ + ıω R ) ( e t(γ+ıω R ) + e Λ(Γ+ıΩ R) t Λ (Γ + ıω R )[Ei[ t(γ + ıω R )] Ei[ Λ(Γ + ıω R )]]) + 2BC(Γ ıω R ) ( e Γ(t+Λ) (e tγ+ıλω R t e ΓΛ+ıtΩ R Λ e Γ(t+Λ) tλ(γ ıω R )Ei[ tγ + ıω R ] + e Γ(t+Λ) tλ(γ ıω R )Ei[ ΓΛ + ıλω R ]) ) /tλ ] (4.59) Για την ολοκλήρωση του υπολογισμού των συναρτήσεων συσχέτισης (correlation function) απαιτείται και ο υπολογισμός της συνάρτησης S XP. S XP = λ2 8π t dsu(s) u(s) S XP = λ2 16π [u(s)]2 t (4.6) Χωρίς την συνεισφορά του δεύτερου όρου της εξίσωσης (4.54 ), έχουμε την παρακάτω έκφραση για την συνάρτηση S XP : S XP = λ2 [ A 2 e 2(Γ+ıΩR)t + B 2 e 2(Γ ıω R)t 16π + 2ABe 2Γt A 2 B 2 2AB ] (4.61)

76 64 Λαμβάνοντας υπόψιν μας και τον δεύτερο όρο της εξίσωσης (4.54), έχουμε: S XP = λ2 16π [A 2 e 2(Γ+ıΩ R)t + B 2 e 2(Γ ıω R)t + C2 + 2ABe 2Γt + 2AC e (Γ+ıΩ R)t + 2BC e (Γ ıω+r)t t t (A 2 e 2(Γ+ıΩR)Λ + B 2 e 2(Γ ıωr)λ + C2 Λ + 2 2ABe 2ΓΛ )] + 2AC e (Γ+ıΩ R)Λ + 2BC e (Γ ıω R)Λ Λ Λ t 2 (4.62) Όπου A = 1 4πΩ R (4.63) B = 1 4πΩ R (4.64) Οι συναρτήσεις συσχέτισης στο όριο ασθενούς σύζευξης δίνονται από τις παρακάτω εκφράσεις: S XX = S XP = S P P = λ 2 sin[ω R t] 128π 3 λ 2 Ω 3 R λ 2 1 [ e 2Γt 1 ] (4.65) 128π 3 Ω 2 R Γ λ 2 cos[ω 128π 3 Ω 2 R t] e 2Γt (4.66) R 128π 3 Ω 2 R[ ] λ 2 λ 2 Ω 2 [e sin[ω 128π 3 R t] 4Γt 1 ] (4.67) Ω R 128π 3 Ω 2 R 2Γ 6. Γραφική απεικόνιση των συναρτήσεων συσχέτισης στο όριο της ασθενούς σύζευξης Στο επόμενα διαγράμματα παρατηρούμε την μεταβολή των συναρτήσεων συσχέτισης S XX, S XP και S P P ως προς το χρόνο.

77 Σύστημα δύο αρμονικών ταλαντωτών που αλληλεπιδρούν με πεδίο. 65 Σχήμα 4.2: Γραφική απεικόνιση συνάρτησης συσχέτισης S XX ως προς το χρόνο Σχήμα 4.3: Γραφική απεικόνιση συνάρτησης συσχέτισης S XP ως προς το χρόνο

78 66 Σχήμα 4.4: Γραφική απεικόνιση συνάρτησης συσχέτισης S P P ως προς το χρόνο

79 Κεφάλαιο 5 Σύστημα δύο αρμονικών ταλαντωτών που αλληλεπιδρούν με πεδίο. Στο κεφάλαιο αυτό, χρησιμοποιώντας τις εκφράσεις υπολογισμού της ομογενούς λύσης της εξίσωσης κίνησης του συστήματος καθώς και τις εκφράσεις υπολογισμού των πινάκων απωλειών και θορύβου που αποδείξαμε στο κεφάλαιο των ανοικτών κβαντικών συστημάτων, θα προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε τα μεγέθη αυτά αναλυτικά για την περίπτωση συστήματος δύο αρμονικών ταλαντωτών. 1. Φορμαλισμός Για την μελέτη ανοικτών κβαντικών συστημάτων που αποτελούνται από δύο αρμονικούς ταλαντωτές θα χρησιμοποιήσουμε το μοντέλο κβαντικής κίνησης Brown που χρησιμοποιήσαμε και στην περίπτωση του συστήματος ενός αρμονικού ταλαντωτή. Θεωρούμε επομένως ένα σύστημα δύο αρμονικών ταλαντωτών που αλληλεπιδρούν με ένα περιβάλλον, το οποίο στο μοντέλο μας είναι ένα βαθμωτο πεδίο. Για την περιγραφή του συνολικού συστήματος χρειαζόμαστε την Hamiltonian του. Η Hamiltonian του συνολικού συστήματος δίνεται από την ακόλουθη έκφραση: H t = H syst + H env + H int (5.1) 67

80 68 όπου H syst = 1 2m p mω 1q m p mω 2q2 2 (5.2) [ 1 H env = d n x 2 π ( ϕ)2 + 1 ] 2 m2 ϕ 2 = d n kω k α k α k (5.3) ( ) H int = d n xϕ(x)q 1 δ(x x 1 ) + d n xϕ(x)q 2 δ(x x 2 ) (5.4) Η Hamiltonian αλληλεπίδρασης, όπως αποδείξαμε αναλυτικά στο προηγούμενο κεφάλαιο μπορεί να γραφτεί σαν: H int = λ k X 1 1 2ωk q k e ıkx 1 + λ k X 2 1 2ωk q k e ıkx 2 (5.5) Συγκρίνοντας την παραπάνω εξίσωση της Hamiltonian αλληλεπίδρασης με την γενική έκφραση υπολογισμού της Hamiltonian αλληλεπίδρασης για την περίπτωση πολυμερούς συστήματος, δηλαδή με την έκφραση: H int = c ir c ir ˆXr ˆq i (5.6) i r έχουμε: { c k1 = λ c ir 2ωk e ıkx 1 c k2 = λ 2ω k e ıkx 2 2. Πίνακας απωλείων 2..1 Γενική έκφραση Οπότε, ο πίνακας απωλειών (dissipation kernel) δίνεται και στην περίπτωση συστήματος δύο αρμονικών ταλαντωτών από την έκφραση: γ rr (s) = i c ir c ir 2m i ω i (5.7) 1 Ο πίνακας απωλειών είναι ένας συμμετρικός πίνακας και έχει N(N + 1) 2 ανεξάρτητους όρους. Στην περίπτωση των δύο αρμονικών ταλαντωτών θα ειναι ένας πίνακας τεσσάρων όρων, με καθέναν από αυτούς να υπολογίζεται από την παραπάνω έκφραση. Ο πίνακας αυτός περιέχει όλη την φυσική των ανοικτών συστημάτων καθώς περιγράφει τον τροπό που το σύστημα χάνει ενέργεια κατά την αλληλεπίδρασή του με αυτό. Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε αναλυτικά τον

81 2. Πίνακας απωλείων 69 πίνακα αυτό στην περίπτωση συστήματος δύο αρμονικών ταλαντωτών. Η έκφραση υπολογισμού του στοιχείου γ 11 (s) είναι ίδια με αυτήν που υπολογίσαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο, δηλαδή είναι η ακόλουθη: γ 11 (s) = λ2 4 d n k 1 sin(ω (2π) n ωk 2 k s) (5.8) Συνεχίζοντας έχουμε ότι η έκφραση του γ 22 (s), δεδομένου ότι είναι συμμετρικό του γ 11 (s), θα είναι η ακόλουθη: γ 22 (s) = λ2 4 d n k 1 sin(ω (2π) n ωk 2 k s) (5.9) Προκύπτει με αντικατάσταση των συντελεστών c k1 και c k2 στην εξίσωση (5.7). Για να υπολογιστεί πλήρως ο πίνακας απωλειών (dissipation kernel) θα πρέπει να υπολογιστούν και τα στοιχεία γ 12 (s) και γ 21 που επίσης είναι συμμετρικά. Έτσι, με αντικατάσταση των συντελεστών c k1 και c k2 στην εξίσωση (5.7) παίρνουμε: γ 12 (s) = λ2 4 d n k 1 sin(ω (2π) n ωk 2 k s)e ı k x 1 x 2 (5.1) Θέτοντας x 1 x 2 = r, έχουμε: γ 12 (s) = λ2 4 d n k 1 sin(ω (2π) n ωk 2 k s)e ı k r (5.11) Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο υπολογίζουμε και το στοιχείο γ 21 και έχουμε: γ 21 (s) = λ2 4 d n k sin(ω k s) (2π) n ω 2 k e ı k r (5.12) Επομένως η γενική έκφραση υπολογισμού του πίνακα απωλειών (dissipation kernel), είναι η ακόλουθη: γ rr (s) = λ2 4 ( d n k sin(ω k s) 1 (2π) n ωk 2 d n k sin(ω k s) e ı k r (2π) n ωk 2 d n k 1 (2π) n ω k 2 d n k 1 (2π) n ωk 2 sin(ω k s)e ı k r sin(ω k s) ) (5.13) Ο παραπάνω πίνακας αποτελεί την γενική έκφραση υπολογισμού του πίνακα απωλειών. Στην επόμενη παράγραφο θα υπολογίσουμε αναλυτικά την έκφραση του πίνακα αυτού στην περίπτωση των τριών διαστάσεων.

82 Πίνακας απωλειών στις τρεις διαστάσεις Στην παράγραφο αυτή θα προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε τον πίνακα απωλειών για την περίπτωση των τριών διαστάσεων. Το στοιχείο γ 11 (s) στην περίπτωση των τριών διαστάσεων (n = 3) και για ω k = k, γίνεται: γ 11 (s) = λ2 8π 2 [ ] dk sin(ks) (5.14) Συνεχίζοντας έχουμε ότι και το στοιχείο γ 22 υπολογίζεται από την έκφραση: [ ] γ 22 (s) = λ2 dk sin(ks) (5.15) 8π 2 Για να ολοκληρωθεί ο υπολογισμός του πίνακα απαιτείται ο υπολογισμός των στοιχειών γ 12 (s) και γ 21 (s). Τα στοιχεία αυτά υπολογίζονται από τις παρακάτω εκφράσεις: [ ] γ 12 (s) = λ2 sin(kr) sin(ks) dk (5.16) 8π 2 r k γ 21 (s) = λ2 8πr [ dk sin(kr) sin(ks) k ] (5.17) Επόμένως, ο πίνακας απωλειών για ένα σύστημα δύο αρμονικών ταλαντωτών και στην περίπτωση των τριών διαστάσεων είναι ο παρακάτω: [ γ rr (s) = λ2 1 ] sin(kr) sin(ks) dk sin(ks) dk r k [ 8π 2 1 ] sin(kr) sin(ks) (5.18) dk dk sin(ks) r k 3. Εύρεση ομογενούς εξίσωσης κίνησης. Στη συχέχεια θα προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε την λύση της ομογενούς εξίσωσης κίνησης του συστήματος των δύο αρμονικών ταλαντωτών. Η λύση αυτή, όπως έχουμε δει και στα προηγόυμενα κεφάλαια υπολογίζεται με την βοήθεια της σχέσης: όπου u(t) = L 1 [A 1 (z)] (5.19) A rr = (z 2 + Ω 2 r) + 2 M r γ rr (z) (5.2)

83 3. Εύρεση ομογενούς εξίσωσης κίνησης. 71 Επομένως για τον προσδιορισμό της ομογενούς λύσης θα πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε τον μετασχηματισμό Laplace του πίνακα γ rr, να προσδιορίσουμε τον πίνακα A rr (z) και στο τέλος να υπολογίσουμε και τον αντίστροφό του. Στις ενότητες που ακολουθούν θα υπολογίσουμε αναλυτικά όλα τα στοιχεία που αναφέραμε και στο τέλος θα καταλήξουμε στην έκφραση της ομογενούς λύσης του συστήματός μας. Θα ξεκινήσουμε με τον υπολογισμό του αντιστρόφου μετασχηματισμόυ Laplace Υπολογισμός μετασχηματισμού Laplace Ο μετασχηματισμός Laplace μιας συνάρτησης f(t), με πεδίο ορισμού όλο το σύνολο των πραγματικών αριθμών, είναι μια συνάρτηση F(s), η οποία ορίζεται ως εξής: F (s) = L{f(t)} = e st f(t)dt (5.21) Επομένως χρησιμοποιώντας την έκφραση αυτή για την περίπτωση του στοιχείου γ 11 (s), προκύπτει: L{γ 11 (s)} = γ 11 (z) = λ2 8π 2 dk dse zs sin(ks) (5.22) Υπολογίζοντας το ολοκλήρωμα προκύπτει ότι: ) γ 11 (z) = (1 λ2 16π ln + Λ2 2 z 2 (5.23) Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο υπολογίζουμε και τα υπόλοιπα στοιχεία και έχουμε: Επίσης, ) γ 22 (s) = (1 λ2 16π ln + z2 2 Λ 2 γ 12 (z) = λ2 8πr = λ2 16πrz (5.24) dk sin(kr) z 2 + k 2 [ e rz Ei(rz) e rz Ei(rz) ] (5.25) 1 Η γενική έκφραση του μετασχηματισμού Laplace και κάποιες ιδιότητες του υπάρχουν αναλυτικά στα παραρτήματα

84 72 Και τέλος, [ γ 21 (z) = λ2 dk sin(kr) ] 8πr z 2 + k 2 = λ2 16πrz Τελικά προκύπτει ο παρακάτω πίνακας: ( ) γ rr (s) = λ2 rz ln 1 + Λ2 z 2 16π 2 rz π [e rz Ei(rz) e rz Ei(rz)] [ e rz Ei(rz) e rz Ei(rz) ] (5.26) π [e rz Ei(rz) e rz Ei(rz)] ( ) (5.27) rz ln 1 + z2 Λ 2 Αφού ολοκληρώσαμε τον υπολογισμό του μετασχηματισμού Laplace του πίνακα γ rr (s), συνεχίζουμε υπολογίζοντας τον πίνακα A rr (z), ο οποίος ορίζεται από την σχέση: A rr (z) = (z 2 + Ω 2 r)δ rr + 2 M r γ rr (z) (5.28) Στην περίπτωση του συστήματος των δύο αρμονικών ταλαντωτών, ο πίνακας A rr (z) παίρνει την ακόλουθη μορφή: ( ) (z A(z) = 2 + Ω 2 1) + 2 γ 11 (z) 2 γ 12 (z) 2 γ 21 (z) (z 2 + Ω 2 (5.29) 2) + 2 γ 22 (z) και παίρνοντας τον αντίστροφό του, προκύπτει: A 1 (z) = 1 ( (z 2 + Ω 2 1) + 2 γ 11 (z) 2 γ 12 (z) deta 2 γ 21 (z) (z 2 + Ω 2 2) + 2 γ 22 (z) όπου ) (5.3) deta = [ (z 2 + Ω 2 1) + 2 γ 11 (z) ] [ (z 2 + Ω 2 2) + 2 γ 22 (z) ] 4 [ γ 12 (z)] 2 (5.31) Θέτοντας, 1 ( Ω Ω2) 2 = Ω 2 Ω 2 1 ω2 2 = δω 2 προκύπτει Ω 2 2 = Ω δω2 (5.32) Ω 2 1 = Ω δω2 (5.33)

85 3. Εύρεση ομογενούς εξίσωσης κίνησης. 73 Με αντικατάσταση των ποσοτήτων αυτών, έχουμε: deta = (z 2 + Ω 2 12 ) δω2 + 2 γ 11 (z 2 + Ω ) δω2 + 2 γ 11 4 γ 12 2 = ( z 2 + Ω γ 11 ) 2 ( 1 2 δω2 ) 2 4 γ 2 12 = ( z 2 + Ω γ γ I ) ( z 2 + Ω γ 11 2γ I ) (5.34) όπου (1 ) 2 2γ I = 2 δω2 4 γ 12 2 (5.35) Οπότε στην περίπτωση που: δω = Ω 1 = Ω 2 2γ I = 2 γ 12 (5.36) ο πίνακας A 1 (z) γίνεται: ( ) z A 1 (z) = [B + C] 2 + Ω γ 22 (z) 2 γ 12 (z) 2 γ 12 (z) z 2 + Ω γ 11 (z) (5.37) όπου B = C = 1 2 (z 2 + Ω γ 11 ) (z 2 + Ω γ 11 2γ I ) 1 2 (z 2 + Ω γ 11 ) (z 2 + Ω γ γ I ) Έχοντας ολοκληρώσει τον υπολογισμό του πίνακα A 1 (z) το μόνο που υπολείπεται για τον υπολογισμό της ομογενούς λύσης είναι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace αυτού. Επομένως, συνεχίζουμε υπολογίζοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό του A 1 (z) Υπολογισμός αντιστρόφου μετασχηματισμού Laplace Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας το ολοκλήρωμα Bromwich (Bromwich s integral), το οποίο περιλαμβάνει την αναλυτική συνέχεια της f(s) στο μιγαδικό επίπεδο. Έτσι έχουμε: f(t) = 1 2πı c+ı c ı e st f(s)ds = 1 α+ıβ 2πı lim e st f(s)ds (5.38) β α ıβ

86 74 όπου α είναι ένας πραγματικός αριθμός, που επιλέγεται με τέτοιο τρόπο ώστε η ολοκλήρωση να γίνεται μέσα στην περιοχή σύγκλισης της f(s), δηλαδή είναι μία σταθερά μεγαλύτερη από το πραγματικό μέρος της κάθε μοναδικότητας (singularity) στο μετασχηματισμό f(s). Για τον υπολογισμό του αντιστρόφου μετασχηματισμού Laplace του A 1 (z), θα πρέπει να υπολογίσουμε ξεχωριστά τον αντίστροφο μετασχηματισμό για κάθε στοιχείο του A 1 (z). Ξεκινάμε με τον υπολογισμό του L 1 {A 11 (z)} και έχουμε: A 1 (z) = 1 2 (z 2 + Ω 2 + 2γ 11 2γ I ) (z 2 + Ω 2 + 2γ γ I ) (5.39) Για να μπορέσουμε να υπολογίσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace αυτής της συνάρτησης θα πρέπει αρχικά να υπολογίσουμε τους πόλους και τα σημεία διακλάδωσής της (brunch cut). Υπολογισμός πόλων και σημείων διακλάδωσης Έχουμε: 1 + Λ2 (z + ϵ) 2 = z = ϵ ± ıλ (5.4) Ο υπολογισμός των πόλων γίνεται με την επίλυση της εξίσωσης: z 2 + Ω γ 11 (z) + 2 γ 12 (z) = (5.41) Χρησιμοποιώντας την μέθοδο της θεωρίας διαταραχών με: z = ıω + λ 2 z 1 z = +ıω + λ 2 z 2 και κρατώντας όρους μέχρι δεύτερης τάξης, παίρνουμε: [ z = ıω + λ 2 1 6πΩ + ı [ ( ) Λ 2 ln 16π 2 Ω Ω 1 2 και + 1 [2 sin(ωr)(γ + log(ωr)) cos(ωr)(π Ωr)] rω [ z = ıω + λ 2 1 6πΩ ı [ ( ) Λ 2 ln 16π 2 Ω Ω [2 sin(ωr)(γ + log(ωr)) cos(ωr)(π Ωr)] rω ]] ]] (5.42) (5.43)

87 3. Εύρεση ομογενούς εξίσωσης κίνησης. 75 Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο επιλύουμε και την εξίσωση: z 2 + Ω γ 11 (z) 2 γ 12 (z) = (5.44) Χρησιμοποιώντας τις: z = ıω + λ 2 z 1 z == ıω + λ 2 z 2 και παίρνουμε: [ z = ıω + λ 2 1 6πΩ + ı [ ( ) Λ 2 ln 16π 2 Ω Ω 1 2 και 1 [2 sin(ωr)(γ + log(ωr)) cos(ωr)(π Ωr)] rω [ 1 z = ıω + λ 2 16πΩ ı [ ( ) Λ 2 ln 16π 2 Ω Ω [2 sin(ωr)(γ + log(ωr)) cos(ωr)(π Ωr)] rω ]] ]] (5.45) (5.46) 3..3 Αναλυτική περιγραφή υπολογισμού του αντιστρόφου μετασχηματισμού Laplace Αν υποθέσουμε ότι η συνάρτησή μας έχει ένα σημείο διακλάδωσης (branch cut) στην αρχή των αξόνων και στα σημεία x, τότε για τον υπολογισμό του αντιστρόφου μετασχηματισμού Laplace η καμπύλη ολοκλήρωσης θα αντικατασταθεί από την καμπύλη ABDEHFGHIJKLMNOEQA (σχ.5.1) η οποία δεν περικλείει τα branch cut. Έχουμε ότι: ( f(t) + + C RA + s=re ıπ + s=re ıπ + s=re ıπ + s=re ıπ + C ϵ + C RB + C RD Όμως, κατά μήκος της καμπύλης C RA έχουμε: s = c + Re ıθ s=re ıπ + s=re ıπ + ) ˆF (s) 2πı esx ds = 1 2πı C g + C RC Res(z i )(5.47) i

88 76 Σχήμα 5.1: Γραφική απεικόνιση αντιστρόφου μετασχηματισμού Laplace με π 2 < θ < π επομένως το ολοκλήρωμα C RA εξαφανίζεται καθώς R. Επίσης το ίδιο ισχύει και κατά μήκος των καμπύλων C RB, C RC, C RD, δηλαδή: C RB : s = c + Re ıθ, θ = π = C RB καθώς R, C RC : s = c + Re ıθ, θ = π = C RC καθώς R, C RD : s = c + Re ıθ, π < θ < π = 2 C RD καθώς R. Συνεχίζοντας έχουμε ότι και τα ολοκληρώματα κατά μήκος των καμπύλων C γ, C ϵ, C ϵ εξαφανίζονται καθώς τα ϵ, ϵ τείνουν στο μηδέν. Στην C γ, έχουμε: s = c + Re ıθ, π < θ < π και ϵ = C γ.στην C ϵ έχουμε : s = x + ϵ e ıθ, π < θ < π και ϵ.

89 4. Υπολογισμός του πίνακα θορύβου. 77 Άρα, ˆF (s) 2πı esx ds = C ϵ = + [ ] 1 1 C ϵ 2πı 2 (z 2 + Ω 2 + 2γ 11 2γ I ) (z 2 + Ω 2 + 2γ γ I ) π [ ϵ e (x ϵ )x dθ 1 π 2πı 2 (z 2 + Ω 2 + 2γ 11 2γ I ) ] 1 2 (z 2 + Ω 2 + 2γ γ I ) καθώς ϵ. Επίσης, C ϵ :s = x + ϵ e ıθ, π < θ < π και ϵ C ϵ C γ:s = +ϵ e ıθ, π < θ < π και ϵ C γ, και 4. Υπολογισμός του πίνακα θορύβου. Ο πίνακας απωλειών (dissipation kernel) και ο πίνακας θορύβου (noise kernel) περιέχουν όλη την φυσική των ανοικτών κβαντικών συστημάτων. Ο πίνακας απωλειών περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο το υπό μελέτη σύστημα χάνει πληροφορία κατά την αλληλεπίδρασή του με το περιβάλλον. Ο πίνακας θορύβου περιγράφει την διαδικασία με την οποία χάνεται πληροφορία από το σύστημα. Στην παράγραφο αυτή θα προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε τον πίνακα θορύβου (noise kernel) στην περίπτωση συστήματος δύο αρμονικών ταλαντωτών στις τρεις διαστάσεις. Η γενική έκφραση υπολογισμού του πίνακα θορύβου [4], είναι η ακόλουθη: v rr (s) = i c ir c ir 2m i ω i coth ( ωi 2T Επειδή για T = = coth ( ω i 2T ) = 1, η εξίσωση γίνεται: ) cos(ω i s) (5.48) v rr (s) = i c ir c ir 2m i ω i cos(ω i s) (5.49) Έχουμε: { c k1 = λ c ir 2ωk e ıkx 1 c k2 = λ 2ω k e ıkx 2 και m = 1, ω k = k. Επομένως, με αντικατάσταση προκύπτει: v 11 (s) = λ2 d n k cos(ks) (5.5) 4 (2π) n k 2

90 78 Συνεχίζοντας, έχουμε: v 12 (s) = λ2 4 d n k cos(ks) e ı k x 1 x 2 (2π) n k 2 (5.51) και ομοίως, v 22 (s) = λ2 4 v 21 (s) = λ2 4 d n k cos(ks) (2π) n k 2 (5.52) d n k cos(ks) e ı k x 1 x 2 (2π) n k 2 (5.53) Επομένως η γενική έκφραση του πίνακα θορύβου (noise kernel) είναι η ακόλουθη: ( d n v rr (s) = λ2 k cos(ks) ) d n k cos(ks) e ı k x 1 x 2 (2π) n k 2 (2π) n k 2 (5.54) 4 d n k cos(ks) e ı k x 1 x 2 (2π) n k 2 d n k cos(ks) (2π) n k 2 Ο πίνακας θορύβου στην περίπτωση των τριών διαστάσεων (n = 3), υπολογίζεται κάνοντας αντικατάσταση όπου n = 3 στην γενική έκφραση και υπολογίζοντας τα αντίσοιχα ολοκληρώματα που προκύπτουν. Το πρώτο στοιχείο του πίνακα αυτού είναι: Ισχύει ότι: Οπότε: v 11 (s) = λ2 8π 2 dk cos(ks) (5.55) 1 dxe ıx = δ(x) (5.56) 2π Ομοίως, v 11 (s) = λ2 δ(s) (5.57) 8π v 22 (s) = λ2 δ(s) (5.58) 8π Τα στοιχεία v 12 (s) και v 21 υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τις σφαιρικές συντεταγμένες και θέτοντας x 1 x 2 = r. Τελικά παίρνουμε τις παρακάτω σχέσεις: [ ] v 12 (s) = v 21 (s) = λ2 sin(kr) cos(ks) dk (5.59) 8π 2 r k

91 79 Εχουμε: sin(kr) cos(ks) dk k = 1 π [Sign[r s] + Sign[r + s]] (5.6) 4 Οπότε: όπου: v 12 (s) = v 21 (s) = λ2 [Sign[r s] + Sign[r + s]] (5.61) 32πr 1 εάνx < Sgn(x) := εάνx = 1 εάνx > Επομένως, ο πίνακας απωλείων στις τρεις διαστάσεις είναι ο ακόλουθος: ( ) v rr (s) = λ2 4rδ(s) Sgn[r s] + Sgn[r + s] (5.62) 32πr Sgn[r s] + Sgn[r + s] 4rδ(s) Στο κεφάλαιο αυτό υπολογίσαμε τον πίνακα απωλείων και θορύβου στην περίπτωση συστήματος δύο αρμονικών ταλαντωτών σε αλληλεπίδραση με περιβάλλον το οποίο θεωρήσαμε βαθμωτό πεδίο. Δεν ολοκληρώθηκαν οι υπολογισμοί της ομογενούς εξίσωσης κίνησης του συστήματος και επομένως δεν προσδιορίστηκε ο διαδότης του συστήματος.

92 8

93 Κεφάλαιο 6 Συμπεράσματα Στην παρούσα έρευνά μας, ξεκινώντας από την θεωρία των ανοικτών κβαντικών συστημάτων και χρησιμοποιώντας το μοντέλο κβαντικής κίνησης Brown, αποπειραθήκαμε να μελετήσουμε την αλληλεπίδραση ενός ανοικτού κβαντικού συστήματος ενός και δύο αρμονικών ταλαντωτών, σε σύζευξη με ένα περιβάλλον, το οποίο υποθέσαμε ότι είναι ένα βαθμωτό πεδίο. Η ανάγκη μελέτης των ανοικτών κβαντικών συστημάτων, προέκυψε από το γεγονός ότι τα περισσότερα ρεαλιστικά κβαντικά συστήματα αλληλεπιδρούν με το περιβάλλον και κατά την αλληλεπίδρασή τους αυτή, εκτός από ενέργεια χάνεται και πληροφορία. Η μελέτη επομένως της ανοικτής δυναμικής τους, η οποία πραγματοποιείται μέσω της εξίσωσης Master, μπορεί να μας βοηθήσει σε διάφορα θεωρητικά και τεχνολογικά ζητήματα. Τόσο στο σύστημα του ενός, όσο και στο σύστημα των δύο αρμονικών ταλαντωτών υπολογίσαμε τις λύσεις της ομογενούς εξίσωσης κίνησης τους καθώς και τους πίνακες απωλειών (dissipation kernel) και θορύβου (noise kernel) από τους οποίους κατασκευάζετε ο διαδότης του συστήματος. Με την βοήθεια των αποτελεσμάτων μας, ελέγξαμε την ισχύ της εξίσωσης Master δεύτερης τάξης. Η ακριβής μας λύση για την ομογενή εξίσωση κίνησης περιείχε τρεις πόλους, από τους οποίους τον ένα τον διώξαμε λόγω της θετικότητας του πραγματικού του μέρους εισάγοντας μία μικρή ποσόστητα, και ένα σημείο διακλάδωσης. Δεδομένου ότι θεωρητικά με την εξίσωση Master αναμέναμε μόνο δύο όρους καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η εξίσωση Master αγνοεί τον τρίτο όρο, ο οποίος προέρχεται από το σημείο διακλάδωσης (brunch cut), και ο οποίος μπορεί να υπερισχύει σε πολύ μεγάλες αποστάσεις και σε πολύ μεγάλους χρόνους. Στο σύστημα των δύο αρμονικών ταλαντωτών, η εξίσωση Master δεν δίνει έγκυρα αποτελέσματα, γεγονός που θα μπορούσε να οδηγήσει ακόμη και σε παραβίαση της ταχύτητας του φωτός. Σε αντίθεση με την εξίσωση Master δεύτερης τάξης, η μέθοδος υπολογισμού της εξίσωσης κίνησης των ανοικτών συστημάτων που χρησιμοποιήσαμε είναι 81

94 82 ακριβής και επομένως μπορεί να μας δώσει πληροφορίες για τον τρόπο επικοινωνίας δύο απομακρυσμένων συστημάτων. Στην παρούσα έρευνα, έχει ολοκληρωθεί το μεγαλύτερο μέρος των υπολογισμών και αυτό είναι πάρα πολύ σημαντικό όσον αφορά την γνώση της αλληλεπίδρασης δύο απομακρυσμένων συστημάτων και του τρόπου που η γνώση αυτή μπορεί να αξιοποιηθεί στα πλαίσια της κβαντικής πληροφορίας.

95 Παράρτημα Αʹ Συναρτήσεις Συσχέτισης 1. Πίνακας συσχέτισης δύο σημείων (Two-point correlation matrix) Απόδειξη της εξίσωσης (3.14) V ab = 1 2 T r[ˆρ(ˆξ a ˆξb + ˆξ b ˆξa )] T r(ˆρˆξ a )T r(ˆρˆξ b ) V t = R(t)V R T (t) + S(t) (Αʹ.1) Απόδειξη. V ab = 1 2 T r[ˆρ(ˆξ a ˆξb + ˆξ b ˆξa )] T r(ˆρˆξ a )T r(ˆρˆξ b ) ab = V ab = 1 2 T r[ρ(ξ aξ b + ξ b ξ a )] T r(ρξ a )T r(ρξ b ) Γνωρίζουμε ότι η αναμενόμενη τιμή (expectation value) ενός παρατηρήσιμου μεγέθους Ο το οποίο εξαρτάται από τις μεταβλητές του συστήματος μπορεί να εκφραστεί από την σχέση: O(t) = T r(oρ(t)) Οπότε: Τελικά, T r[ρ(ξ a ξ b + ξ b ξ a )] = T r[(ξ a ξ b + ξ b ξ a )ρ] = ξ a ξ b + ξ b ξ a T r(ρξ a ) = T r(ξ a ρ) = ξ a T r(ρξ b ) = T r(ξ b ρ) = ξ b V ab = 1 2 ξ aξ b + ξ b ξ a ξ a ξ b, με ξ a = και ξ b = 83

96 84 Συναρτήσεις Συσχέτισης Ισχύει ότι: Xi,P i + dx i + dp i W r (X i, P i, t) (Αʹ.3) Οπὀτε: ξ a ξ b + ξ b ξ a = + dξ(ξ a ξ b + ξ b ξ a )W t (ξ) W t (ξ) = K t (ξ f, ξ ) = d 2n ξ (2π) K t(ξ N f, ξ )W (ξ ) dets 1 (t) exp π N [ 1 ] 2 [ξa f ξcl(t)]s a 1 ab (t)[ξb f ξcl(t)] b Οπότε: ξ a ξ b + ξ b ξ a = Όμως, dξ(ξ a ξ b + ξ b ξ a ) dets 1 (t) π N e 1 2 [ξa f ξa cl (t)]s 1 ab (t)[ξb f ξb cl (t)] W (ξ ) 1 2 T r[ˆρ(ˆξ a ˆξb + ˆξ b ˆξa )] = 1 2 ξ aξ b + ξ b ξ a = ξ a ξ a dets 1 (t) ξ a ξ b = dξ(ξ a ξ b ) Θέτουμε: π N e 1 2 [ξa f Ra b (t)ξb f ]S 1 ab (t)[ξb f Rb c (t)ξc ] ξ a R a b(t)ξ b = ξ a = ξ a = ξ a + R a b(t)ξ b ξ b R b c(t)ξ c = ξ b = ξ b = ξ b + R b c(t)ξ c

97 1. Πίνακας συσχέτισης δύο σημείων (Two-point correlation matrix) 85 Και τελικά προκύπτει: dets ξ a ξ b = dξ(ξ a + Rb(t)ξ a )(ξ b b + Rc(t)ξ b ) b 1 (t) e 1 π N 2 ξa S 1 ab (t)ξ b W (ξ ) dets = dξ(ξ aξ b + ξ ar c(t)ξ b b + Rb(t)ξ a ξ b b + Rb(t)ξ a R b c(t)ξ b ) b 1 (t) e 1 2 ξa S 1 (t)ξ b W (ξ ) dets = dξ(ξ aξ b) 1 (t) π N dets + dξ(ξ ar c(t)ξ b ) b 1 (t) π N dets + dξ(rb(t)ξ a ξ b b) 1 (t) π N dets + dξ(rb(t)ξ a R b c(t)ξ b ) b 1 (t) = I 1 + I 2 + I 3 + I 4 e 1 2 ξ as 1 ab (t)ξ b W (ξ ) π N e 1 2 ξ as 1 ab (t)ξ b W (ξ ) e 1 2 ξ a S 1 ab (t)ξ b W (ξ ) e 1 2 ξ as 1 ab (t)ξ b W (ξ ) π N με I 1 = dξ (ξ aξ b) dets 1 (t) π N e 1 2 ξ as 1 ab (t)ξ b W (ξ ) Για τον υπολογισμό του 1 χρησιμοποιούμε τα Γκαουσιανά ολοκληρώματα, τα οποία ορίζονται με τον ακόλουθο τύπο: Gaussian integrals ( x k1 x k 2N exp 1 n ) (2π) A ij x i x j d n n 1 x = 2 deta 2 N N! i,j=1 (A 1 ) kσ(1)kσ(2) (A 1 ) kσ(2n 1)kσ(2N) (Αʹ.4) σ S 2N Οπότε: I 1 = (2π) 2N dets N S ab = S ab I 2 = I 3 = dets 1 (t) π N dets 1 (t) π N dξ (ξ ar b c(t)ξ b )e 1 2 ξ as 1 ab (t)ξ b W (ξ ) = dξ (R a b (t)ξb ξ b )e 1 2 ξ as 1 ab (t)ξ b W (ξ ) =

98 86 Συναρτήσεις Συσχέτισης Τελικά, I 4 = dets 1 (t) π N dξ (R a b(t)ξ b R b c(t)ξ b )e 1 2 ξ a S 1 ab (t)ξ b W (ξ ) = (2π) dets 1 (t)/π N 2N 1 dets 1 2 N Ra b(t)r bc V bc = R ab V bc Rcb T = (RV R T ) ab ξ a ξ b = I 1 + I 2 + I 3 + I 4 = S ab (RV R T ) ab ξ a ξ b = (RV R T ) ab + S ab V ab = (RV R T ) ab + S ab Οπότε, γενικά ισχύει ότι: V (t) = R(t)V R T (t) + S(t) όπου V είναι ο πίνακας συσχέτισης της αρχικής κατάστασης.

99 Παράρτημα Βʹ Συνάρτηση Wigner 1. Συνάρτηση Wigner (Wigner function) Η συνάρτηση Wigner W (X, P) ορίζεται από την ακόλουθη σχέση : W (X, P) = 1 (2π) N d N ζ e ıbfp ζ ˆρ (X ζ, X 1 ) 2 ζ (Βʹ.1) Η Wigner function εισήχθη από τον Wigner (1932) για να μελετήσει κβαντικές διορθώσεις στην κλασική στατιστική μηχανική, συνδέοντας την κυματοσυνάρτηση της εξίσωσης Scrodinger σε μια κατανομή στο χώρο των φάσεων. Η χρονική εξέλιξη της συνάρτησης Wigner δίνεται από τον τύπο : P (x, p, t) t {{, }}: Moyal bracket = {{P (x, p, t), H(x, p, t)}} (Βʹ.2) Στο κλασικό όριο =, το Moyal bracket μειώνεται στο Poisson bracket και η εξίσωση εξέλιξης της συνάρτησης Wigner μετατρέπεται στην εξίσωση Liouville της κλασικής στατιστικής μηχανικής. Στο δισδιάστατο χώρο των φάσεων το Moyal bracket, ορίζεται με την παρακάτω σχέση: {{f, g}} = 1 (f g g f) ı = {f, g} + O( 2 ) (Βʹ.3) 87

100 88 Συνάρτηση Wigner Ορισμός : P (x, p) def = 1 π + Ψ (χ + ψ)ψ(χ ψ)e 2ıpψ/ dy Είναι συμμετρική ως προς x και p.επομένως P (x, p) def = 1 π + ϕ (p + q)ϕ(p q)e 2ıqχ/ dq, όπου Φ είναι ο μετασχηματισμός Fourier της Ψ. Στις 3-d έχουμε : P ( r, 1 p ) = Ψ ( r + s /2)Ψ( r s /)e 2ı p s d 3 s. (2π) 3 Στην περίπτωση των μικτών καταστάσεων ο Wigner μετασχηματισμός της μήτρας πυκνότητας ρ παίρνει την μορφή: ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ 1. P (x, p) R P (x, p) = 1 π + 2. Ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις: + x y ˆρ x + y e 2ıpy/ dy dpp (x, p) = x ρ x Για την περίπτωση καθαρών καταστάσεων, γίνεται: + dpp (X, P ) = Ψ(x) 2 + dxp (x, p) = p ρ p Για την περίπτωση που το σύστημα μας περιγράφετα από καθαρή κατάσταση, η παραπάνω σχέση γίνεται: + dxp (x, p) = Φ(p) 2

101 1. Συνάρτηση Wigner (Wigner function) dx dpp (x, p) = T r( ρ) T rρ = 1 P (x, p) <, με εξαίρεση τις σύμφωνες καταστάσεις (coherent states), τις μεικτές σύμφωνες καταστάσεις (coherent states) και τις squeezed coherent states. 3. Η P(x,p) έχει τις ακόλουθες συμμετρίες: Time symmetry : Space symmetry: ψ(x) ψ(x) = P (x, p) P (x, p) ψ(x) ψ( x) = P (x, p) P ( x, p) 4. Η P (x, p) είναι αναλλοίωτη κάτω από τους μετασχηματισμούς του Γαλλιλαίου. Δηλαδή: ψ(x) ψ(x + y) = P (x, p) P (x + y, p) Δεν είναι ὀμως αναλλοίωτη κάτω από μετασχηματισμούς του Lorentz. 5. Η κλασική εξίσωση κίνησης κάθε σημείου στο χώρο των φάσεων είναι η ακόλουθη: P (x, p) t = p P (x, p) m x Πρόκειται για εξίσωση κίνησης χωρίς την παρουσία δυνάμεων ή με την παρουσία αρμονικών δυνάμεων. 6. Οι μέσες τιμές των τελεστών στην αναπαράσταση Wigner υπολογίζονται από τις εκφράσεις: + + ψ ϑ 2 = 2π dx dpp ψ (x, p)p ϑ (x, p) 7. g(x, p) + dy x y 2 Ĝ x + y 2 eıpy/ ψ Ĝ ψ = T r( ρĝ) = + + dx dpp (x, p)g(x, p)

102 9 Συνάρτηση Wigner dx dpp (x, p)p ϑ (x, p) όπου ϑ είναι καθαρή κατάσταση. 9. Η Ανισότητα Gauchy-Schwartz για καθαρή κατάσταση είναι : 2/ P(x,p) 2/ ΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ Σχήμα Βʹ.1: The Wigner quasiprobability distribution for a) the vacuum b) An n = 1 Fock state (e.g. a single photon) c) An n = 5 Fock state.