ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ I

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ I"

Ἀριστόβουλος Μπλέτσας
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Ορισμοί Ο κανόνας της πλειοψηφίας (Majority Rule): Δεδομένου ότι αποφασίζω ανάμεσα σε δυο επιλογές (binary decision rule), η επιλογή που εφαρμόζεται είναι αυτή που συγκεντρώνει τουλάχιστον τις μισές και μια ψήφους. ΠΡΟΣΟΧΗ! Ο κανόνας της σχετικής πλειοψηφίας (Plurality rule) συμπίπτει με τον κανόνα της πλειοψηφίας στην περίπτωση που αποφασίζω ανάμεσα σε δυο επιλογές. Όταν έχω άνω των δυο επιλογών με τον κανόνα της σχετικής πλειοψηφίας η επιλογή που εφαρμόζεται δεν συγκεντρώνει κατά ανάγκην τις μισές και μια ψήφους. Η μέθοδος Condorcet (Condorcet Method): Είναι μια μέθοδος ψηφοφορίας προκειμένου να εκλεγεί μια επιλογή με βάση τον κανόνα της πλειοψηφίας (Majority rule), όταν υπάρχουν άνω των δυο επιλογών. Έστω ότι έχω τρεις επιλογές, και 3,σύμφωνα με την μέθοδο Condorcet διενεργώ διαδοχικές ψηφοφορίες ανά δυο επιλογές και ο νικητής όλων των δυαδικών ψηφοφοριών είναι ο Condorcet Winner. Για παράδειγμα, αρχικά διενεργώ ψηφοφορία ανάμεσα στις επιλογές και και ψηφίζεται η επιλογή, μετά ανάμεσα στην και στην 3 και ψηφίζεται πάλι η,τοτε ο Condorcet Winner είναι η επιλογή. Για να υπάρχει Condorcet νικητής οι συλλογικές προτιμήσεις πρέπει να ικανοποιούν το αξίωμα της μεταβατικότητας (Transitivity). Θεώρημα Διάμεσου Ψηφοφόρου(Median Voter Theorem): Εάν ο αριθμός των ψηφοφόρων είναι περιττός και οι επιλογές των ψηφοφόρων διατάσσονται σε μια μονοδιάστατη κλίμακα με τέτοιο τρόπο ώστε να ικανοποιούν το αξιώμα της μεταβατικότητας και όλοι οι ψηφοφόροι έχουν μονοκόρυφες προτιμήσεις τότε η πρώτη προτίμηση του Διάμεσου Ψηφοφόρου είναι Condorcet Winner. ΑΣΚΗΣΗ α) Ξέρω ότι οι ιδιωτικές προτιμήσεις ικανοποιούν το αξίωμα της μεταβατικότητας. Άρα για τον V θα ισχύει ότι: Αφού A B και B C Από το αξίωμα της μεταβατικότητας (Transitivity Axiom) συνεπάγεται ότι: A C

Όταν έχω άνω των δυο επιλογών με τον κανόνα της σχετικής πλειοψηφίας η επιλογή που εφαρμόζεται δεν συγκεντρώνει κατά ανάγκην τις μισές και μια ψήφους.

2 Αντίστοιχα για τον V έχω: B A Και για τον V3 έχω: C B Οπότε ο παρακάτω πίνακας συνοψίζει τις ιδιωτικές προτιμήσεις των ψηφοφόρων: V A B C V B C A V3 C A B β) Μέθοδος Condorcet: Εφαρμόζω ανά ζεύγη τoν κανόνα της πλειοψηφίας A versus B: ο V και ο V3 ψηφίζουν A,ενώ ο V ψηφίζει B,άρα σύμφωνα με τον κανόνα της πλειοψηφίας επιλέγεται το A,άρα η κοινωνική προτίμηση είναι A B. Ακoλουθώντας την ίδια διαδικασία έχω: A versus B A versus C C versus B > < < A B C A B C Η τελευταία γραμμή δείχνει τις κοινωνικές προτιμήσεις ανά ζεύγη. Παρατηρώ ότι C Aκαι A B άρα για να ισχύει το αξίωμα της μεταβατικότητας για τις κοινωνικές προτιμήσεις πρέπει C B. Όμως με βάση των κανόνα της πλειοψηφίας στο τελευταίο ζεύγος (στήλη 3) έχω B C,άρα δεν ισχύει το αξίωμα της μεταβατικότητας για τις κοινωνικές προτιμήσεις.

Ακoλουθώντας την ίδια διαδικασία έχω: A versus B A versus C C versus B > < < A B C A B C Η τελευταία γραμμή δείχνει τις κοινωνικές προτιμήσεις ανά ζεύγη.

3 γ) Το παρακάτω διάγραμμα απεικονίζει τις προτιμήσεις των τριών ψηφοφόρων ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΜΟΝΟΚΟΡΥΦΩΝ ΚΑΙ ΠΟΛΥΚΟΡΥΦΩΝ ΠΡΟΤΙΜΗΣΕΩΝ Διάγραμμα Είναι φανερό από το διάγραμμα ότι ο V (Μπλε συνεχής γραμμή) και ο V (Πράσινη διακεκομμένη γραμμή) έχουν μονοκόρυφες προτιμήσεις, ενώ V3 (Κόκκινη διακεκομμένη γραμμή) έχει πολυκόρυφες προτιμήσεις. δ) Θα μετατρέψουμε τις προτιμήσεις του V3 έτσι ώστε να είναι μονοκόρυφες. Άρα έχω ότι οι καινούργιες προτιμήσεις του V3 θα είναι: C B A 3

γραμμή) έχουν μονοκόρυφες προτιμήσεις, ενώ V3 (Κόκκινη διακεκομμένη γραμμή) έχει πολυκόρυφες προτιμήσεις.

4 Και το καινούργιο διάγραμμα θα είναι το παρακάτω: ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΜΟΝΟΚΟΡΥΦΩΝ ΠΡΟΤΙΜΗΣΕΩΝ Διάγραμμα Το θεώρημα του Διάμεσου Ψηφοφόρου ισχύει πλέον διότι όλοι οι ψηφοφόροι έχουν μονοκόρυφες προτιμήσεις. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να διατάξουμε τους ψηφοφόρους μονοδιάστατα σε μια γραμμή, κατ' αντιστοιχία με τις προτιμήσεις. Ψηφοφόροι (V,V,V3) V V MEDIAN V3 Α Β C 4

5 ΑΣΚΗΣΗ Οι ψηφοφόροι έχουν να επιλέξουν ανάμεσα στις παρακάτω επιλογές για το ύψος των δημοσίων δαπανών στην Παιδεία: A 0 B 8 C 6 D 4 α) Το θεώρημα του Μέσου Ψηφοφόρου προϋποθέτει ότι οι ψηφοφόροι έχουν μονοκόρυφες προτιμήσεις. Σχηματίζουμε το διάγραμμα των προτιμήσεων όλων των ψηφοφόρων. ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΤΙΜΗΣΕΩΝ Διάγραμμα 3 Παρατηρούμε ότι ο V4 και ο V5 έχουν πολυκόρυφες προτιμήσεις. Άρα δεν ισχύει το Θεώρημα του Διάμεσου Ψηφοφόρου. 5

προτιμήσεις. Σχηματίζουμε το διάγραμμα των προτιμήσεων όλων των ψηφοφόρων.

6 β) Αν αποκλειστούν ο V4 και ο V5 που έχουν πολυκόρυφες προτιμήσεις τότε όλοι οι υπόλοιποι ψηφοφόροι που θα συμμετάσχουν στην ψηφοφορία θα έχουν μονοκόρυφες προτιμήσεις και το θεώρημα του Διάμεσου Ψηφοφόρου ισχύει. ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΤΙΜΗΣΕΩΝ (CONDORCET WINNER) Διάγραμμα 4 Παρατηρούμε ότι ο Condorcet Winner θα είναι η επιλογή C,που αντιστοιχεί στην καλύτερη επιλογή του μέσου ψηφοφόρου που είναι ο V3. (Χρησιμοποιήστε την μέθοδο Condorcet για να δείξετε ότι επαληθεύεται η ισχύς του θεωρήματος). γ) Αν δεν αφαιρέσω κανέναν ψηφοφόρο η διάταξη των ψηφοφόρων με βάση την πρώτη προτίμηση τους είναι η εξής: V4 V V5 V3 V A B C D Άρα ο διάμεσος ψηφοφόρος φαινομενικά είναι ο V5 και κατά συνέπεια σύμφωνα με το Θεώρημα του Διάμεσου ψηφοφόρου η επιλογή που θα εκλεγεί θα είναι η B. Όμως όπως διαπιστώσαμε παραπάνω δεν έχουν όλοι οι ψηφοφόροι μονοκόρυφες 6

(Χρησιμοποιήστε την μέθοδο Condorcet για να δείξετε ότι επαληθεύεται η ισχύς του θεωρήματος).

7 προτιμήσεις, άρα το θεώρημα του διάμεσου ψηφοφόρου δεν ισχύει. Χρησιμοποιώντας την μέθοδο Condorcet (γενικευμένος κανόνας πλειοψηφίας) έχω ότι: A versus B B versus C C versus D D versus A D versus B C versus A B C D D D C Άρα η επιλογή που θα εκλεγεί είναι η D που αποτελεί πρώτη επιλογή του V που δεν είναι ο διάμεσος ψηφοφόρος. Επίσης να δειχθεί ότι οι κοινωνικές προτιμήσεις ικανοποιούν το αξίωμα της μεταβατικότητας: D C B A. ΑΣΚΗΣΗ 3 α) Για να δείξω ότι οι τρεις καταναλωτές έχουν μονοκόρυφες προτιμήσεις παραγωγίζω ως προς G τις συναρτήσεις χρησιμότητας: Για τον έχω: U = > 0, G 4 Άρα ο έχει μονοκόρυφες προτιμήσεις και μέγιστο για Umax = U( Gmax). Για τον έχω ότι: U 4 = G 0, G 0 Άρα ο έχει μονοκόρυφες προτιμήσεις και ελάχιστο για Umax = U( Gmin). Για τον 3 έχω: U 3 = G 7

η D που αποτελεί πρώτη επιλογή του V που δεν είναι ο διάμεσος ψηφοφόρος. Επίσης να δειχθεί ότι οι κοινωνικές προτιμήσεις ικανοποιούν το αξίωμα της μεταβατικότητας: D C B A.

8 3 3 U U και G <, > 0 και G >, < 0. Άρα ο 3 έχει μονοκόρυφες προτιμήσεις και ολικό μέγιστο,σύμφωνα με το κριτήριο της ης 3 παραγώγου, για Umax = U( G = ), 3 U αφού = < 0. β) Υποθέτω ότι δημόσιο αγαθό προσφέρεται σε αδιαίρετες ποσότητες. Άρα G = 0,,.Με βάση τις παραπάνω συναρτήσεις χρησιμότητας μπορώ να εξάγω τις προτιμήσεις των τριών καταναλωτών. Άρα: Για τον έχω: Συνεπώς Για τον έχω: Συνεπώς Για τον 3 έχω: Συνεπώς U G U G U G ( = ) > ( = ) > ( = 0) G= G= G= 0 U G U G U G ( = 0) > ( = ) > ( = ) G= 0 G= G= U G U G U G ( = ) > ( = 0) = ( = ) G= G= 0 G=. Άρα έχω τον παρακάτω πίνακα που απεικονίζει τις προτιμήσεις των καταναλωτών για την ποσότητα παραγωγής του αγαθού G : Καταναλωτής G = 0 Διάμεσος Ψηφοφόρος G = Καταναλωτής 3 Καταναλωτής G = 8

Άρα: Για τον έχω: Συνεπώς Για τον έχω: Συνεπώς Για τον 3 έχω: Συνεπώς U G U G U G ( = ) > ( = ) > ( = 0) G= G= G= 0 U G U G U G ( = 0) > ( = ) > ( = ) G= 0 G= G= 3 3 3 U G U G U G ( = ) >

9 Σύμφωνα με το Θεώρημα του Διάμεσου Ψηφοφόρου και εφόσον ικανοποιούνται οι παρακάτω προϋποθέσεις:.περιττος αριθμός Ψηφοφόρων..Μονοδιάστατη διάταξη των επιλογών των ψηφοφόρων. 3.Ολοι οι ψηφοφόροι να έχουν μονοκόρυφες προτιμήσεις. Τότε αν η εκλογή γίνει με τη μέθοδο Condorcet, ο Condorcet Winner θα είναι η πρώτη προτίμηση του διάμεσου ψηφοφόρου. Στην συγκεκριμένη περίπτωση θα παραχθούν G = του δημοσίου αγαθού, που είναι η πρώτη προτίμηση του ψηφοφόρου 3. γ) Δίνεται η παρακάτω συνάρτηση κοινωνικής χρησιμότητας: Αυτή μεγιστοποιείται στο G : G G W = U + U + U = + G + G W G= G 3 4 = 0 G + G = 0 () 4 4 Άρα για G= G μεγιστοποιείται η κοινωνική ευημερία. Η επιλογή της πλειοψηφίας σύμφωνα με το θεώρημα του διάμεσου ψηφοφόρου θα είναι G =. Αν αντικαταστήσω στη σχέση () όπου G = έχω: W G G = = 0 4 Άρα η επιλογή της πλειοψηφίας ( G ) δεν μεγιστοποιεί την κοινωνική ευημερία και κατά συνέπεια δεν οδηγεί σε Pareto Αποτελεσματικότητα. Γενικά η εκλογή με τη γενικευμένη μέθοδο της πλειοψηφίας δεν οδηγεί σε Pareto Αποτελεσματικότητα. ΑΣΚΗΣΗ 4 Το θεώρημα του Διάμεσου Ψηφοφόρου υποθέτει ότι:.οι επιλογές των ψηφοφόρων μπορούν να διαταχθούν μονοδιάστατα από αριστερά προς τα δεξιά. και.οτι οι ψηφοφόροι μπορούν να διαταχθούν μονοδιάστατα από αριστερά προς τα δεξιά (δηλαδή να έχουν μονοκόρυφες προτιμήσεις). 9

Στην συγκεκριμένη περίπτωση θα παραχθούν G = του δημοσίου αγαθού, που είναι η πρώτη προτίμηση του ψηφοφόρου 3.

10 Σχηματίζουμε το παρακάτω διάγραμμα και με βάση αυτό δικαιολογούμε γιατί όταν οι ψηφοφόροι δεν έχουν μονοκόρυφες προτιμήσεις δεν ισχύει το Θεώρημα του Διάμεσου Ψηφοφόρου. Στο διάγραμμα οι ψηφοφόροι () και () έχουν μονοκόρυφες προτιμήσεις, ενώ ο (3) έχει μη μονοκορυφες προτιμήσεις. Ο ψηφοφόρος () (μπλε γραμμή) στην κλίμακα 0 έως 0 προτιμάει τις επιλογές κοντά στο 0 και καθώς μια επιλογή απομακρύνεται από το 0 μειώνεται μονοτονικά η χρησιμότητα που απολαμβάνει από αυτήν. Ομοίως ο ψηφοφόρος () (κόκκινη συνεχής γραμμή) προτιμάει τις επιλογές κοντά στο 5 και όσο απομακρυνόμαστε από το σημείο 5 μειώνεται η χρησιμότητα που απολαμβάνει από κάθε επιλογή. Αντίθετα ο ψηφοφόρος (3) δεν έχει μονοκόρυφες προτιμήσεις, η κορυφαία του προτίμηση είναι η 8 αλλά καθώς απομακρυνόμαστε προς τα αριστερά δεν μειώνεται μονοτονικά η χρησιμότητα που απολαμβάνει από κάθε επιλογή. Για παράδειγμα ο ψηφοφόρος (3) προτιμάει περισσότερο την επιλογή από την επιλογή 4 ( choice choice4) παρότι η επιλογή 4 είναι πιο κοντά στην κορυφαία του προτίμηση. Γιατί δεν ισχύει το Θεώρημα του Διάμεσου Ψηφοφόρου? Με βάση τις κορυφαίες προτιμήσεις ο Διάμεσος ψηφοφόρος είναι ο (). Όμως λόγω των μη μονοκορυφων προτιμήσεων του (3) δεν μπορούμε να διατάξουμε τους ψηφοφόρους από αριστερά προς τα δεξιά. Έτσι αν εφαρμόσουμε τη μέθοδο 0

Ο ψηφοφόρος () (μπλε γραμμή) στην κλίμακα 0 έως 0 προτιμάει τις επιλογές κοντά στο 0 και καθώς μια επιλογή απομακρύνεται από το 0 μειώνεται μονοτονικά η χρησιμότητα που απολαμβάνει από αυτήν.

11 Condorcet, ο Condorcet Winner δεν θα είναι απαραίτητα η κορυφαία προτίμηση του Διάμεσου Ψηφοφόρου. Έστω ότι οι ψηφοφόροι (),(),(3) έχουν να επιλέξουν ανάμεσα στις επιλογές Choice, Choice4, Choice7 που αντιστοιχούν στα σημεία,4 και 7 στον άξονα των Χ. Παρατηρώ ότι αν διεξάγω ψηφοφορία με τη μέθοδο Condorcet ανάμεσα σε αυτές τις τρεις επιλογές: Choice vs Choice 4 Choice vs Choice 7 Choice4 vs Choice 7 (V & V3 ) > (V) (V) < (V3&V) (V & V) > (V3) Choice Choice4 Choice Choice7 Choice4 Choice7 Καταλήγω στο παράδοξο του Condorcet καθώς οι συλλογικές προτιμήσεις δεν ικανοποιούν το αξίωμα της μεταβατικότητας και άρα δεν υπάρχει Condorcet Winner.

Παρατηρώ ότι αν διεξάγω ψηφοφορία με τη μέθοδο Condorcet ανάμεσα σε αυτές τις τρεις επιλογές: Choice vs Choice 4 Choice vs Choice 7 Choice4 vs Choice 7 (V & V3

Σχετικά έγγραφα

ΤΕΥΧΟΣ ΠΡΟΚΗΡΥΞΗΣ αριθμ. 15912/605/16-07-2009 ΔΗΜΟΣΙΟΥ ΑΝΟΙΚΤΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΚΗΡΥΞΗ ΑΝΑΔΟΧΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ

ΤΕΥΧΟΣ ΠΡΟΚΗΡΥΞΗΣ αριθμ. 15912/605/16-07-2009 ΔΗΜΟΣΙΟΥ ΑΝΟΙΚΤΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΚΗΡΥΞΗ ΑΝΑΔΟΧΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ ΕΘΝΙΚΟ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΑΝΑΦΟΡΑΣ (2007-2013) ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΟΤΗΤΑ-ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ αριθμ. 15912/605/16-07-2009 ΔΗΜΟΣΙΟΥ ΑΝΟΙΚΤΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΚΗΡΥΞΗ ΑΝΑΔΟΧΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ