Η Επίδραση της Παλινδρόμησης και οι Παρερμηνείες στις Oποίες Οδηγεί (Regression Effect και Regression Fallacy)

Transcript

1 Επομένως, για μεγάλα σετ δεδομένων η χρησιμοποίηση εικονικών μεταβλητών μπορεί να αποτελεί μια εναλλακτική προσέγγιση για την προσαρμογή μη παραμετρικών απαντητικών συναρτήσεων (non parametric forms of the response function). Η Επίδραση της Παλινδρόμησης και οι Παρερμηνείες στις Oποίες Οδηγεί (Regression Effect και Regression Fallacy) Είναι γνωστό (βλέπε π.χ Ι. Πανάρετου και Ε. Ξεκαλάκη: Εισαγωγή στη Στατιστική σκέψη τόμος ΙΙ (Εισαγωγή στις Πιθανότητες και στη Στατιστική Συμπερασματολογία), η πρώτη προσπάθεια για τη μελέτη της σχέσης μεταξύ δύο μεταβλητών έγινε από τον sir Francis Galton (Αγγλία, ) για την μελέτη της σχέσης του ύψους των παιδιών με τους γονείς τους. Από την μελέτη αυτή προήλθε και ο όρος παλινδρόμηση (regression) που ουσιαστικά αναφέρεται στην παλινδρόμηση προς την κατεύθυνση του μέσου (regression towards the mean). Ο όρος προήλθε από την παρατήρηση του Galton 7 ότι υπάρχει μια τάση όπου ακραίες (ως προς το μέσο τους) παρατηρήσεις της ανεξάρτητης τ.μ. αντιστοιχούν σε παρατηρήσεις της εξαρτημένης τ.μ. που δεν είναι το ίδιο ακραίες αλλά είναι πλησιέστερα προς τον μέσο τους. Με απλούστερο τρόπο μπορεί να πει κανείς ότι ακραίες παρατηρήσεις ακολουθούνται από λιγότερο ακραίες παρατηρήσεις (παρατηρήσεις που είναι πλησιέστερα προς το "κέντρο"). Αυτό κάνει το διάγραμμα σημείων να έχει την μορφή μπάλλας του αμερικανικού ποδοσφαίρου. Μελετώντας αρχεία για οικογένειες, τα οποία αγόρασε, ο Galton συγκέντρωσε τα ύψη 205 ζευγαριών από γονείς και 928 ενήλικα παιδιά των γονέων αυτών. Δοθέντος ότι το μέσο ύψος των ανδρών είναι, περίπου, 8% μεγαλύτερο από ότι το μέσο ύψος των γυναικών ο Galton πολλαπλασίασε τα ύψη των γυναικών στο δείγμα του με το συντελεστή 1.08, έτσι ώστε τα ύψη αυτά των γυναικών να γίνουν συγκρίσιμα με τα ύψη των ανδρών του δείγματος. Στη συνέχεια, για το μέσο ύψος κάθε ζευγαριού γονέων, υπολογίστηκε ο μέσος όρος έτσι ώστε να βρεθεί ένα "μέσο ύψος γονέων". Τα "μέσα ύψη γονέων" 7 Galton, F. Regression towards mediocrity in hereditary stature, Journal of the Anthropological Institute, 1886,

2 διαιρέθηκαν στη συνέχεια σε εννέα διαστήματα. Για κάθε κατηγορία μέσου ύψους γονέων υπολογίστηκε το διάμεσο ύψος των παιδιών των γονέων που ανήκαν στην κατηγορία αυτή. Το διάγραμμα που ακολουθεί εμφανίζει την ευθεία ελαχίστων τετραγώνων για τα δεδομένα αυτά 8. Ύψος παιδιών (σε ίντσες) Τα ύψη των γονέων και των παιδιών τους στην μελέτη του Galton Ύψος γονέων (σε ίντσες) Από την μελέτη των δεδομένων ο Galton παρατήρησε ότι, ασυνήθιστα υψηλοί γονείς τείνουν να έχουν παιδιά χαμηλότερα από τους ίδιους ενώ, ασυνήθιστα χαμηλοί γονείς έχουν συνήθως υψηλότερα παιδιά. (Η διάμεσος του ύψους των παιδιών με μέσο ύψος γονέων 72.5 ίντσες είναι 72.2 ίντσες. Το μέσο ύψος παιδιών των οποίων οι γονείς έχουν μέσο ύψος 64.5 ίντσες είναι 65.8 ίντσες). Το ύψος κάθε ανθρώπου επηρεάζεται από τα γονίδια που κληρονομεί από τους γονείς του. Για διευκόλυνση της παρουσίασης, ας χαρακτηρίσουμε κάποιον ο οποίος κατά τη στιγμή της σύλληψης έχει προβλεπόμενο ύψος ενηλικίωσης με βάση τα γονίδιά του 1.72, ως 8 Στο βιβλίο Ι. Πανάρετος και Ε. Ξεκαλάκη: Εισαγωγή στη Στατιστική Σκέψη τόμος ΙΙ (Εισαγωγή στις Πιθανότητες και στη Στατιστική Συμπερασματολογία), έχει διατυπωθεί το ίδιο πρόβλημα με τον τρόπο που το αντιμετώπισε ο μαθητής του Galton, Karl Pearson ( ) ο οποίος μέτρησε το ύψος 1078 πατέρων και το ύψος των υιών τους μετά την ενηλικίωση. 46

3 ένα άτομο "γονιδιακού ύψους 1.72". Δεδομένου ότι το ύψος των ανθρώπων επηρεάζεται από την διατροφή, την άσκηση, και άλλους περιβαλλοντικούς παράγοντες, το ύψος που θα έχει κάποιος στην ενηλικίωσή του δεν θα αντικατοπτρίζει με ένα τέλειο τρόπο την επίδραση των γονιδίων και επομένως δεν θα αποτελεί μία πλήρη επαλήθευση του προβλεφθέντος με βάση τα γονίδιά του ύψος κατά την παιδική ηλικία. Ένα άτομο πραγματικού ύψους 1.75 ίσως είχε ένα γονιδιακά προβλεφθέν ύψος 1.72, με την διαφορά πραγματικού και προβλεφθέντος ύψους οφειλόμενη σε θετική επίδραση περιβαλλοντικών παραγόντων. Αντίθετα, κάποιος με προβλεφθέν γονιδιακό ύψος 1.78 μπορεί να έχει πραγματικό ύψος στην ενηλικίωση 1.75 εξαιτίας αρνητικών επιδράσεων περιβαλλοντικών παραγόντων. Η πρώτη περίπτωση συμβαίνει συχνότερα απ ότι η δεύτερη γι αυτό και τα παρατηρούμενα ύψη παιδιών εξαιρετικά υψηλών γονέων αποτελούν, συνήθως, μια υπέρβαση των γονιδιακών (και επομένως των αναμενόμενων) υψών των παιδιών αυτών. Η προηγηθείσα επιχειρηματολογία δεν συνεπάγεται ότι όλοι οι άνθρωποι θα έχουν σε κάποια μελλοντική στιγμή το ίδιο ύψος. Αν συνέβαινε κάτι τέτοιο θα μπορούσε κανείς να αντιστρέψει την επιχειρηματολογία παρατηρώντας ότι πάρα πολύ υψηλοί άνθρωποι έχουν γονείς κάπως χαμηλότερους από αυτούς ενώ πάρα πολύ χαμηλοί άνθρωποι έχουν κάπως υψηλότερους γονείς. Μήπως αυτό συνεπάγεται ότι τα ύψη των ανθρώπων αποκλίνουν; Ούτε το ένα συμβαίνει ούτε το άλλο. Τα ύψη των ανθρώπων ούτε συγκλίνουν ούτε αποκλίνουν. Θα υπάρχουν πάντοτε εξαιρετικά υψηλοί και εξαιρετικά χαμηλοί άνθρωποι. Αυτό που θα πρέπει να αντιληφθούμε είναι ότι τα ύψη των ανθρώπων επηρεάζονται από τυχαίους παράγοντες και ότι, για ανθρώπους που είναι εξαιρετικά υψηλοί οι τυχαίοι παράγοντες επηρέασαν θετικά το ύψος τους και το έκαναν μεγαλύτερο από ότι αναμενόταν με βάση το γονιδίαμά τους. Η παρερμηνεία αυτή είναι μια λανθασμένη συλλογιστική, και οφείλεται στο φαινόμενο της παλινδρόμησης προς την κατεύθυνση του μέσου, (regression towards the mean) είναι δε ακριβώς η παρερμηνεία της προσωρινής φύσης μιας ακραίας παρατήρησης και ο χαρακτηρισμός της ως τάσης. Η κατάσταση που προκύπτει αποδίδεται στην επίδραση της παλινδρόμησης (regression effect). Το πρόβλημα της λανθασμένης 47

4 αυτής συλλογιστικής φαίνεται και στα άλλα παραδείγματα που ακολουθούν. Παραδείγματα της Επίδρασης Παλινδρόμησης Παράδειγμα: (Τεστ ευφυίας). Σε πολλά σχολεία στο εξωτερικό, κυρίως στις Η.Π.Α, διαμορφώνονται προσχολικά προγράμματα για να ενισχύσουν το IQ των παιδιών. Τα παιδιά που συμμετέχουν στο πρόγραμμα κάνουν το IQ τεστ όταν ξεκινούν το πρόγραμμα και το επαναλαμβάνουν όταν ολοκληρώσουν το πρόγραμμα. Και στις δύο περιπτώσεις τα αποτελέσματα είναι γύρω στο 100 με τυπική απόκλιση γύρω στο 15. Τα στοιχεία δείχνουν ότι τέτοια προγράμματα δεν έχουν κάποιο ιδιαίτερο αποτέλεσμα. Μια παρατήρηση όμως που μπορεί να κάνει κάποιος που θα κοιτάξει περισσότερο τα δεδομένα δείχνει κάτι που προκαλεί έκπληξη. Τα παιδιά τα οποία είχαν απόδοση κάτω από το μέσο στο τεστ πριν αρχίσουν το πρόγραμμα πέτυχαν μία μέση βελτίωση περίπου 5 μονάδων στο τεστ που έδωσαν στο τέλος του προγράμματος. Αντιστρόφως όμως, τα παιδιά εκείνα που απέδωσαν πάνω από το μέσο όρο στο αρχικό τεστ έχασαν, κατά μέσο όρο, περίπου 5 μονάδες στο τελικό τεστ. Θα μπορούσε κανείς να οδηγηθεί στο συμπέρασμα ότι το πρόγραμμα αυτό οδηγεί τελικά σε εξισορρόπηση της ευφυίας των παιδιών; Ή ότι τα ευφυέστερα παιδιά, επειδή παίζουν με παιδιά μικρότερης ευφυίας, καταλήγουν να οδηγούν τις δύο αυτές κατηγορίες στην ίδια κατάσταση και οι διαφορές να εξαφανίζονται; Φυσικά δεν συμβαίνει τίποτα από αυτά. Και εδώ έχουμε τη χαρακτηριστική περίπτωση του φαινομένου της επίδρασης της παλινδρόμησης (regression effect) σύμφωνα με το οποίο, σε όλες τις περιπτώσεις εξετάσεων, το γκρουπ με τη χαμηλότερη απόδοση σε μια πρώτη εξέταση, κατά μέσο όρο, θα αποδώσει καλύτερα σε μια δεύτερη εξέταση και το γκρουπ με την υψηλότερη απόδοση, κατά μέσο όρο, θα αποδώσει χαμηλότερα σε μια δεύτερη εξέταση. Η εσφαλμένη αντίληψη ότι η επίδραση της παλινδρόμησης οφείλεται σε κάτι σημαντικό και όχι απλώς στην διάχυση (spread) των παρατηρήσεων γύρω από την γραμμή είναι αυτό που ονομάζεται παρερμηνεία της παλινδρόμησης (regression fallacy). 48

5 Μια άλλη διάσταση της παλινδρόμησης προς την κατεύθυνση του μέσου στα τεστ ευφυίας (IQ tests) είναι η εξής: Σύμφωνα με μία μελέτη που έγινε στην Αμερική 9 παιδιά ηλικία τεσσάρων ετών με IQ 120 συνήθως, όταν ενηλικιωθούν, επιτυγχάνουν σκορ στο IQ τεστ περίπου 110. Παρομοίως, παιδιά τεσσάρων ετών με IQ σκορ 70 έχουν ένα μέσο σκορ στο IQ τεστ όταν ενηλικιωθούν 85. Αυτό δεν συνεπάγεται ότι θα υπάρχουν λιγότεροι ενήλικες απ ότι παιδιά με πολύ υψηλά ή πολύ χαμηλά αποτελέσματα στο IQ τεστ. Παρότι όσοι άνθρωποι ξεκινούν στην παιδική ηλικία με υψηλό ή χαμηλό IQ σκορ, συνήθως, θα παλινδρομήσουν προς την κατεύθυνση του μέσου, οι θέσεις τους θα παρθούν (θα αντικατασταθούν) από άλλους οι οποίοι στην παιδική τους ηλικία θα έχουν IQ σκορ πλησιέστερα προς τον μέσο. Παράδειγμα (Εκπαιδευτικό): Ένα παράδειγμα λανθασμένης ερμηνείας φαινομένων που οφείλονται στην παλινδρόμηση προς την κατεύθυνση του μέσου εμφανίζεται στην αξιολόγηση των φοιτητών. Έχει παρατηρηθεί ότι οι φοιτητές εκείνοι οι οποίοι έχουν τους υψηλότερους βαθμούς στις εξετάσεις προόδου συνήθως, δεν αποδίδουν εξίσου καλά στην τελική εξέταση ενώ, εκείνοι οι οποίοι έχουν χαμηλή βαθμολογία στην εξέταση προόδου, πολλές φορές βελτιώνουν την απόδοσή τους στην τελική εξέταση. Θα μπορούσε αυτό να εκληφθεί ως ένδειξη ότι η απόδοση των φοιτητών συγκλίνει προς μια ανησυχητική μετριότητα με τους ασθενείς φοιτητές να βελτιώνονται και τους καλούς φοιτητές να χειροτερεύουν; Ή, αντιστρέφοντας το προηγούμενο επιχείρημα, το γεγονός ότι αυτοί που πέτυχαν την υψηλότερη βαθμολογία στην τελική εξέταση δεν απέδωσαν εξίσου καλά στην εξέταση προόδου σημαίνει ότι η απόδοση αποκλίνει από τον μέσο; Και στις δύο περιπτώσεις η απάντηση είναι αρνητική. Η εξαιρετικά υψηλή απόδοση σε οποιαδήποτε εξέταση εμπεριέχει και έναν παράγοντα καλής τύχης ενώ η χαμηλή απόδοση έναν παράγοντα ατυχίας. Οι φοιτητές εκείνοι που πέτυχαν την υψηλότερη βαθμολογία σε οποιαδήποτε εξέταση είναι, 9 Christopher Jencks, Marshall Smith, Henry Acland, Nelly Jo Bane, David Cohen, Herbert Gintis, Barbara Heyns and Stephen Michelson (1972) in: Α Quality Reassessment of the Effect of Family and Schooling in America, New York: Basic Books, p.59 49

6 κυρίως, φοιτητές πάνω από το μέσο όρο που πέτυχαν εξαιρετικά υψηλή βαθμολογία γιατί τα θέματα των εξετάσεων ήταν θέματα που, εξαιτίας της καλής προετοιμασίας τους, είχαν την ευχέρεια να απαντήσουν. Είναι περισσότερο πιθανό ότι οι φοιτητές αυτοί είναι καλοί φοιτητές που απέδωσαν εξαιρετικά καλά από το ενδεχόμενο να ήταν εξαιρετικά καλοί φοιτητές που είχαν μια άσχημη μέρα. Όσοι επιτυγχάνουν τις υψηλότερες βαθμολογίες σε μια οποιαδήποτε εξέταση είναι πολύ πιθανό ότι δεν απέδωσαν εξίσου καλά στην προηγούμενη εξέταση και δεν θα αποδώσουν το ίδιο καλά στην επόμενη εξέταση. Η παλινδρόμηση προς την κατεύθυνση του μέσου μπορεί να θεωρηθεί κι ως μια περίπτωση κακής χρήσης διαθέσιμων δεδομένων. Αν, για την αξιολόγηση φοιτητών σε μια εξέταση επιλέξουμε με τυχαίο τρόπο φοιτητές, η μέση βαθμολογία τους θα αποτελεί μια αμερόληπτη εκτίμηση του μέσου του πληθυσμού. Εάν όμως, μετά την εξέταση, ξεχωρίσουμε τους φοιτητές εκείνους που απέδωσαν εξαιρετικά καλά, αυτοί βέβαια δεν αποτελούν ένα τυχαίο δείγμα (αφού έχουν επιλεγεί ακριβώς επειδή είχαν τις υψηλότερες βαθμολογίες). Σε οποιοδήποτε δείγμα οι υψηλότερες τιμές αποτελούν μια υπερεκτίμηση (overestimate) του μέσου του πληθυσμού. Για να έχουμε αμερόληπτες εκτιμήσεις θα πρέπει να έχουμε ένα τυχαίο δείγμα που δεν στηρίζεται στα αποτελέσματα αυτά καθαυτά. Παράδειγμα (Στρατιωτικό): Ένας εκπαιδευτής πιλότων παρατήρησε ότι πολύ καλές προσγειώσεις συνήθως, ακολουθούνται από προσγειώσεις που δεν είναι εξίσου καλές, ενώ μέτριες προσγειώσεις ακολουθούνται, συνήθως από καλύτερες. Υποπίπτοντας στην λανθασμένη προσέγγιση που οφείλεται στην παρερμηνεία της παλινδρόμησης στην κατεύθυνση του μέσου ο εκπαιδευτής ισχυρίστηκε ότι η ακολουθία αυτή συμβαίνει γιατί συνήθιζε να επαινεί τις καλές προσγειώσεις και να κριτικάρει έντονα τις μέτριες. Για το λόγο αυτό έβγαλε το συμπέρασμα, σε αντίθεση από την κοινά αποδεκτή άποψη με βάση την έρευνα για την μαθησιακή διδασκαλία, ότι ο έπαινος έχει αρνητικά αποτελέσματα στην προσπάθεια ενώ η έντονη κριτική έχει θετικά αποτελέσματα Amos Tversky and Daniel Kahmeman (1973) On the Psychology of Prediction Psychological Review 1973 vol. 80,

7 Παράδειγμα (Οικονομικά): Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα του προβλήματος στον τομέα των οικονομικών δίνεται στο βιβλίο με τον προκλητικό τίτλο Ο Θρίαμβος της Μετριότητας στις Επιχειρήσεις" (The Triumph of Mediocrity in Business ) 11. Ο συγγραφέας «ανακάλυψε» ότι επιχειρήσεις με εξαιρετικά υψηλά κέρδη σε κάθε δεδομένη χρονιά έχουν χαμηλότερα κέρδη την επόμενη χρονιά ενώ επιχειρήσεις με πολύ χαμηλά κέρδη, εν γένει επιτυγχάνουν καλύτερα αποτελέσματα το επόμενο έτος. Με αυτές τις ενδείξεις κατέληξε στο συμπέρασμα ότι οι ισχυρές επιχειρήσεις γίνονται ασθενέστερες ενώ οι ασθενείς γίνονται ισχυρότερες με αποτέλεσμα σύντομα να γίνουν όλες οι επιχειρήσεις μεσαίου μεγέθους! Η λανθασμένη προσέγγιση του συγγραφέα είναι προφανής. Ο διάσημος στατιστικός Harold Hotelling εξήγησε το λάθος αυτό ως εξής 12 : «Οι αποδόσεις των επιχειρήσεων με ακραίες αποδόσεις τείνουν, συχνά, προς την κατεύθυνση του κέντρου ενώ εκείνες με μεσαίες αποδόσεις σε ένα σύνολο τείνουν προς τα άκρα. Μερικές, βελτιώνουν την απόδοσή τους ενώ άλλες χειροτερεύουν. Ο μέσος των κερδών του αρχικού συνόλου των επιχειρήσεων που βρισκόταν στο κέντρο είναι ενδεχόμενο, επομένως, να επιδείξει κάποια μικρή μεταβολή δοθέντος ότι, θετικές και αρνητικές αποκλίσεις ακυρώνονται στην διαδικασία υπολογισμού του μέσου, ενώ για ένα σύνολο με ακραίες αποδόσεις η μόνη δυνατή κίνηση είναι προς την κατεύθυνση του κέντρου». Παράδειγμα (Οικονομικά): Παρόμοιο λάθος παρατηρείται και σ ένα από τα βιβλία με μεγάλη κυκλοφορία που αναφέρεται στη μελέτη επενδύσεων. Ο συγγραφέας 13, επεξεργάζεται ένα μοντέλο για τιμές μετοχών του χρηματιστηρίου σύμφωνα με το οποίο γίνεται η υπόθεση ότι «Εν τέλει, οι δυνάμεις της αγοράς θα υποχρεώσουν στη σύγκληση των ρυθμών ανάπτυξης και κερδών των διαφορετικών επιχειρήσεων». Για να υποστηρίξει την άποψη αυτή ο συγγραφέας μελέτησε το 20% των επιχειρήσεων με τους υψηλότερους ρυθμούς απόδοσης το 1966 και το 20% των επιχειρήσεων με τους 11 Horace Secrist : The Triumph of Mediocrity in Business. 12 Harold Ηotelling, review of Horace Secrist, The Triumph of Mediocrity in Business, Journal of the American Statistical Association, 1933, vol. 28, pp Η δημόσια αντιπαράθεση του Secrist και του Hotelling συνεχίστηκε το 1934 (Journal of the American Statistical Association, 1934, vol.29, pp ) 13 William F. Sharpe, Investments, 3d ed., Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1985, p

8 χαμηλότερους βαθμούς απόδοσης. Δεκατέσσερα χρόνια αργότερα, το 1980, οι ρυθμοί απόδοσης και των δύο ομάδων επιχειρήσεων πλησιάζουν περισσότερο προς το μέσο. Ο συγγραφέας ισχυρίζεται ότι «Είναι προφανής η σύγκλιση προς την κατεύθυνση ενός γενικού μέσου το φαινόμενο είναι χωρίς καμία αμφιβολία πραγματικό». Στην πραγματικότητα, το φαινόμενο οφείλεται στην παλινδρόμηση προς την κατεύθυνση του μέσου και η εξήγηση είναι στατιστική και όχι οικονομική. Άσκηση: Ένα κλασικό παράδειγμα αποτελεί η μελέτη των αποτελεσμάτων ενός IQ τεστ για 34 δίδυμα παιδιά που μεγάλωσαν σε διαφορετικά περιβάλλοντα 14. Τρεις παρόμοιες αλλά διαφορετικές μελέτες του Syril Burt έδωσαν όλες την ίδια τιμή για το R 2 (0.594)! Μία λογική εξήγηση για το παράδοξο αυτό είναι ότι τα δεδομένα δεν ήταν αξιόπιστα 15. I/Q σκορ 34 Διδύμων Παιδιών 1ο 2ο 1ο 2ο 1ο 2ο 1ο 2ο 1ο 2ο (i) Να κατασκευαστεί ένα διάγραμμα σημείων και να υπολογιστεί ο συντελεστής R 2 για την παλινδρόμηση ελαχίστων τετραγώνων με τους βαθμούς ευφυίας του δεύτερου από τα δύο δίδυμα ως εξαρτημένη μεταβλητή και τον βαθμό ευφυίας του πρώτου από τα δύο δίδυμα ως επεξηγηματική μεταβλητή. 14 James Shields (1962) Monozygotics Twins. London, Oxford University Place. 15 Για σχολιασμό βλέπε Nicholas Wade (1976) IQ and Heredity: Suspicion of Fraud Beclouds Classic Experiment. Science, vol. 194,

9 (ii) Η τιμή αυτή του R 2 χρησιμοποιήθηκε για να μετρήσει την επίδραση των γονιδίων στην ευφυΐα, με 1- R 2 να μετρά την επίδραση του περιβάλλοντος. Αν προστίθεντο 100 μονάδες σε όλους τους βαθμούς ευφυίας του πρώτου από τα δίδυμα και / ή σε όλους τους βαθμούς ευφυίας των δευτέρων από τα δίδυμα πώς θα επηρεαζόταν το R 2 ; (iii) Να ελεγχθούν τα αποτελέσματα με την προσθήκη 100 μονάδων σε όλους τους βαθμούς ευφυΐας και με υπολογισμό εκ νέου του R 2. Η Ευθεία Τυπικής Απόκλισης (Standart Deviation Line) Ορισμός: Ως ευθεία τυπικής απόκλισης (Standard deviation line) ορίζουμε την ευθεία εκείνη που διέρχεται από το σημείο που ορίζουν οι μέσοι των παρατηρήσεων των μεταβλητών Χ και Υ και επίσης από όλα τα σημεία που απέχουν ίσο αριθμό τυπικών αποκλίσεων από τους μέσους των δύο μεταβλητών. Ουσιαστικά, δηλαδή, ως ευθεία τυπικής απόκλισης ορίζεται η ευθεία εκείνη η οποία διέρχεται από το σημείο που αντιστοιχεί στο μέσο των παρατηρήσεων των μεταβλητών Χ και Υ και έχει κλίση β τ, τον λόγο των τυπικών αποκλίσεων S y και S x των παρατηρήσεων των μεταβλητών Υ και Χ, αντίστοιχα.! S β τ = S y x Η σχέση αυτή ισχύει για θετικό συντελεστή συσχέτισης. Όταν ο συντελεστής συσχέτισης είναι αρνητικός, η κλίση της ευθείας τυπικής απόκλισης είναι! β τ S = S y x (για r=0 το πρόσημο στην κλίση δεν έχει διαφορά). Γραφήματα για την ευθεία τυπικής απόκλισης για θετικό και αρνητικό συντελεστή συσχέτισης παρουσιάζονται στα παρακάτω σχήματα 53

10 Κατασκευή της ευθείας τυπικής απόκλισης Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε το διάγραμμα σημείων που αναφέρεται στο ύψος γονέων και παιδιών. Στο σχήμα που ακολουθεί φαίνονται η ευθεία παλινδρόμησης (συνεχής γραμμή) και η ευθεία τυπικής απόκλισης (διακεκομμένη γραμμή) για την μελέτη του φαινομένου της συσχέτισης του ύψους πατέρα και υιού που έγινε από τον Karl Pearson με βάση 1078 παρατηρήσεις στο ύψος πατέρων και των υιών τους μετά την ενηλικίωση. Ύψος υιού (σε ίντσες) Ύψος πατέρα (σε ίντσες) 54

11 Ένα ζευγάρι πατέρα και υιού για το οποίο το ύψος του πατέρα είναι μια τυπική απόκλιση μεγαλύτερο από το μέσο ύψος των πατέρων και το ύψος του υιού είναι μια τυπική απόκλιση μεγαλύτερο από το μέσο ύψος των υιών θα βρίσκεται στην ευθεία τυπικής απόκλισης. Όμως, το σημείο που αναφέρεται σε πατέρα και γιο όπου ο πατέρας έχει ύψος μία τυπική απόκλιση πάνω από το μέσο ύψος των πατέρων και ο γιος έχει ύψος 0,5 τυπικές αποκλίσεις μεγαλύτερο από το μέσο ύψος των υιών, δεν θα βρίσκεται στην ευθεία τυπικής απόκλισης. Στο σχήμα που προηγήθηκε, φαίνεται καθαρά η επίδραση της παλινδρόμησης (regression effect). Εάν ένας γιος είναι μία ίντσα υψηλότερος από τον πατέρα του, η οικογένεια απεικονίζεται κατά μήκος της διακεκομμένης γραμμής. Τα σημεία στην κατακόρυφη ζώνη που αντιστοιχεί σε ύψος πατέρα 72 ιντσών αντιστοιχούν σε οικογένειες των οποίων ο πατέρας έχει ύψος 72 ιντσών ως προς την πλησιέστερη ίντσα (από 71.5 ως 72.5 ίντσες). Όπως βλέπουμε στο σχήμα, τα περισσότερα από τα σημεία αυτά βρίσκονται κάτω από τη διακεκομμένη γραμμή. Τα σημεία που περιέχονται στην κατακόρυφη ζώνη που αντιστοιχεί σε ύψος πατέρα 64 ιντσών αναφέρονται σε οικογένειες των οποίων οι πατέρες έχουν στρογγυλοποιημένο ύψος σε ίντσες το 64 (από 63.5 ως 64.5). Τα περισσότερα από τα σημεία αυτά βρίσκονται πάνω από τη διακεκομμένη γραμμή. Η γραμμή που αντιστοιχεί στην ευθεία παλινδρόμησης (μη διακεκομμένη γραμμή) περνά από τα "κέντρα" όλων των οριζόντιων ζωνών και έχει μικρότερη κλίση απ ότι η διακεκομμένη γραμμή. Αυτό οφείλεται στο ότι η κλίση β της ευθείας παλινδρόμησης είναι S β = r S y x και r 1. Για r =1 οι δύο ευθείες συμπίπτουν. Το σχήμα που ακολουθεί δείχνει την επίδραση της παλινδρόμησης (regression effect) πιο καθαρά γιατί σ αυτό δεν υπάρχει το διάγραμμα των σημείων των παρατηρήσεων. 55

12 Η επίδραση της παλινδρόμησης (regression effect) και η ευθεία τυπικής απόκλισης στο παράδειγμα μελέτης των υψών πατέρα - υιού του Pearson Μέσο ύψος υιών (σε ίντσες) Ύψος πατέρα (σε ίντσες) Η διακεκομμένη γραμμή (ευθεία τυπικής απόκλισης) έχει κλίση 45 ο. Τα σημεία του διαγράμματος αντιπροσωπεύουν το μέσο ύψος των υιών που αντιστοιχούν σε κάθε τιμή ύψους πατέρα. Τα σημεία αυτά είναι τα κέντρα των ορθογωνίων λωρίδων του προηγουμένου σχήματος. Η κλίση των σημείων αυτών είναι λιγότερο ανοδική από την κλίση της ευθείας τυπικής απόκλισης και αυτό ακριβώς είναι η επίδραση της παλινδρόμησης (regression effect). Εν γένει, τα σημεία βρίσκονται μεταξύ της ευθείας τυπικής απόκλισης και της οριζόντιας ευθείας που είναι παράλληλη προς τον άξονα των Χ και διέρχεται από το σημείο των μέσων Χ και Υ. Αυτό οφείλεται στο ότι ο συντελεστής συσχέτισης για τα δεδομένα αυτά είναι ½. Κάθε αύξηση μιας τυπικής απόκλισης στο ύψος των πατέρων συνοδεύεται από μια αύξηση μισής τυπικής απόκλισης στο ύψος των υιών (και όχι μιας τυπικής απόκλισης). Η ευθεία παλινδρόμησης ανέρχεται με ρυθμό ½ και εκφράζει με πολύ καλό τρόπο το γράφημα των μέσων. Είναι ενδιαφέρον να τονιστεί ότι το γράφημα σημείων των παρατηρήσεων στο συγκεκριμένο παράδειγμα δίνει μια χαοτική εικόνα. Μόνο μια ιδιοφυία όπως ο Galton ή ο Pearson θα μπορούσε να διαισθανθεί ότι υπάρχει μια ευθεία γραμμή που μπορεί να εκφράσει τη σχέση αυτή. Από την εποχή εκείνοι πολλοί άλλοι ερευνητές έχουν κατορθώσει να βρουν ότι οι μέσοι όροι στο 56

13 διάγραμμα σημείων για άλλα προβλήματα επίσης αποτυπώνονται με μια ευθεία γραμμή. Αυτός είναι και ο λόγος που η ευθεία παλινδρόμησης έχει βρει τόσες πολλές εφαρμογές. Παλινδρόμηση του Υ στο Χ και παλινδρόμηση του Χ στο Υ. Υπάρχουν πολλές περιπτώσεις που η επιλογή της μεταβλητής η οποία θα θεωρηθεί εξαρτημένη και αυτής που θα θεωρηθεί ανεξάρτητη επηρεάζεται από διάφορους παράγοντες. Για κάθε διάγραμμα σημείων που απεικονίζει τη σχέση δύο μεταβλητών είναι δυνατόν να κατασκευασθούν δύο ευθείες παλινδρόμησης. (Αυτό βέβαια με την προϋπόθεση ότι οι παρατηρήσεις στις μεταβλητές Χ και Υ, είναι αποτέλεσμα τυχαίας δειγματοληψίας). Για παράδειγμα, ας κοιτάξουμε τα δύο σχήματα που ακολουθούν και αναφέρονται σε διαγράμματα ύψους και βάρους μιας ομάδας ανθρώπων. Το αριστερό σχήμα δείχνει την παλινδρόμηση του βάρους ως προς το ύψος ενώ το δεξιό σχήμα την παλινδρόμηση του ύψους ως προς το βάρος. Και στις δύο περιπτώσεις η διακεκομμένη γραμμή είναι η ευθεία τυπικής απόκλισης Το αριστερό σχήμα δείχνει την ευθεία παλινδρόμησης του βάρους ως προς το ύψος. Ουσιαστικά, απεικονίζει τους μέσους των σημείων που βρίσκονται στις κατακόρυφες ζώνες για κάθε ύψος και εκτιμά το μέσο βάρος για κάθε ύψος. Το δεξιό σχήμα δείχνει την παλινδρόμηση του ύψους ως προς το βάρος. Απεικονίζει τους μέσους (τα κέντρα) των οριζοντίων ζωνών και εκτιμά το μέσο ύψος για κάθε βάρος. Και στα δύο σχήματα απεικονίζεται η ευθεία τυπικής 57

14 απόκλισης ως διακεκομμένη γραμμή. Η παλινδρόμηση του βάρους ως προς το ύψος φαίνεται περισσότερη φυσιολογική για μελέτες, όμως και η άλλη ευθεία παλινδρόμησης είναι ίσως χρήσιμη σε ορισμένες περιπτώσεις. Σημείωση. Φυσικά, η ευθεία παλινδρόμησης του ύψους ως προς το βάρος θα μπορούσε να κατασκευαστεί τοποθετώντας το βάρος στον άξονα των x και το ύψος στον άξονα των y. Είναι αυτονόητο ότι και σ' αυτήν την περίπτωση οι δύο ευθείες παλινδρόμησης δεν θα συνέπιπταν. Παράδειγμα: Τα σκορ στα IQ τεστ, προκειμένου να είναι συγκρίσιμα, μετασχηματίζονται έτσι ώστε να έχουν μέσο περίπου 100 και τυπική απόκλιση περίπου 15, τόσο για άνδρες όσο και για γυναίκες. Ο συντελεστής συσχέτισης των IQ ανδρών και γυναικών είναι, περίπου, Μια μεγάλη μελέτη που κατέγραψε τα IQ οικογενειών κατέληξε στο συμπέρασμα ότι οι άνδρες οι οποίοι είχαν IQ 140 είχαν συζύγους οι οποίες είχαν ένα μέσο IQ 120. Εξετάζοντας τις συζύγους στη μελέτη των οποίων το IQ ήταν 120 θα περιμέναμε το μέσο IQ των ανδρών τους να ήταν μεγαλύτερο από 120; Να εξηγηθεί η απάντηση. Λύση: Η απάντηση είναι αρνητική και το μέσο IQ των ανδρών για τις γυναίκες αυτές θα είναι περίπου 110. Αυτό φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί Οι οικογένειες των οποίων ο σύζυγος έχει IQ 140 βρίσκονται στην κατακόρυφη ζώνη στο σημείο 140. Ο μέσος στον άξονα των Υ για τη 58

15 ζώνη αυτή είναι 120 (το μέσο IQ των γυναικών που είναι σύζυγοι των ανδρών με IQ 140). Οι οικογένειες των οποίων η σύζυγος είχε IQ 120 εμφανίζονται στην οριζόντια ζώνη. Οι οικογένειες αυτές είναι τελείως διαφορετικές από τις προηγούμενες. Ο μέσος των συντεταγμένων x για σημεία στην οριζόντια αυτή ζώνη είναι περίπου 110. Όπως ελέχθη προηγουμένως υπάρχουν δύο ευθείες παλινδρόμησης. Η μια είναι για να προβλέπει τα IQ των γυναικών-συζύγων με βάση τα IQ των ανδρών-συζύγων. Η άλλη είναι για να προβλέπει τα IQ των ανδρών συζύγων από τα αντίστοιχα των γυναικών τους. Οι δύο αυτές ευθείες παλινδρόμησης φαίνονται στο σχήμα που ακολουθεί. Άσκηση: Έστω ότι οι μέσες τιμές και οι τυπικές αποκλίσεις των μεταβλητών Υ και Χ είναι ίδιες, δηλαδή Y = X και S y = S x. (α) Να αποδειχθεί ότι, κάτω από αυτές τις προϋποθέσεις, Β Υ Χ = Β Χ Υ = r XY όπου Β Υ Χ είναι η κλίση ελαχίστων τετραγώνων για την παλινδρόμηση του Υ στο Χ, Β Χ Υ είναι η κλίση παλινδρόμησης για την απλή γραμμική παλινδρόμηση του Χ στο Υ και r XY είναι ο συντελεστής συσχέτισης των δύο μεταβλητών. Να αποδειχθεί επίσης ότι Α Υ Χ = Α Χ Υ. 59

16 (β) Να εξηγηθεί γιατί, αν Α Υ Χ = Α Χ Υ και Β Υ Χ = Β Χ Υ, η ευθεία για την παλινδρόμηση του Υ στο Χ είναι διαφορετική από την ευθεία για την παλινδρόμηση του Χ στο Υ (στην περίπτωση όπου r 2 < 1); (γ) H επίδραση παλινδρόμησης (regression effect) στο σχεδιασμό ερευνών: Αν κάποιος εκπαιδευτικός θελήσει να εξετάσει την αποτελεσματικότητα ενός νέου προγράμματος για την βελτίωση της μαθησιακής ικανότητας μαθητών και, προκειμένου να το κάνει, θεωρήσει μία ομάδα παιδιών για τα οποία η ικανότητα ανάγνωσης είναι σαφώς χαμηλότερη από το επίπεδο εκπαίδευσής τους τότε η όποια βελτίωση προκύψει από μια μελλοντική επανάληψη του πειράματος δεν αποτελεί στοιχείο αξιοπιστίας της μεθόδου αλλά είναι αποτέλεσμα κακού σχεδιασμού της έρευνας. Πώς μπορεί να βελτιωθεί ο σχεδιασμός αυτός; Ενδιαφέρουσες Μελέτες Πολλοί ερευνητές, προσπαθούν να καταλήξουν σε ένα συμπέρασμα το οποίο πιστεύουν ότι ισχύει λαμβάνοντας διαφορετικά δείγματα μέχρις ότου καταλήξουν σε κάποιο δείγμα που επιβεβαιώνει την άποψη τους και οδηγεί σε απόρριψη της μηδενικής υπόθεσης. Αυτός είναι και ο λόγος που είναι ελάχιστες οι επιστημονικές εργασίες που δημοσιεύουν αποτελέσματα στα οποία δεν απορρίπτεται η μηδενική υπόθεση. Είναι χαρακτηριστική η ανάλυση 16 που έγινε σε μελέτες που έγιναν σε επιστημονικά περιοδικά ψυχολογίας. Η ανάλυση έδειξε ότι, από 294 μελέτες που δημοσιεύθηκαν στα περιοδικά αυτά και χρησιμοποιούσαν στατιστικούς ελέγχους υποθέσεων, μόνο οκτώ κατέληγαν σε αποτέλεσμα το οποίο δεν ήταν στατιστικά σημαντικό στο 5% επίπεδο σημαντικότητας! 16 Sterling, T. D. (1959) "Publication Decisions and their Possible Effects on Inferences Drawn from Tests of Significance - or vice versa" Journal of the American Statistical Association, vol.54,

17 Παλινδρόμηση για Ελεγχόμενα Πειράματα (Controlled Experiments) και Μελέτες Βασισμένες σε Παρατηρήσεις (Observational Studies) Σε εμπειρικές μελέτες (observational studies), σε αντίθεση με τα ελεγχόμενα πειράματα, η κλίση της ευθείας παλινδρόμησης και το σημείο τομής με τον άξονα των Υ αποτελούν μόνο περιγραφικά στατιστικά μέτρα. Περιγράφουν πώς η μέση τιμή μιας μεταβλητής συνδέεται με την τιμή μιας άλλης μεταβλητής στον παρατηρούμενο πληθυσμό. Η κλίση δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την πρόβλεψη του πώς το Υ θα αντιδράσει (θα ανταποκριθεί) (respond) αν παρέμβουμε και αλλάξουμε την τιμή του Χ. Υπάρχει και μια άλλη υπόθεση που κάνουμε στην παλινδρόμηση: ότι η μέση τιμή του Υ εξαρτάται γραμμικά από το Χ. Εάν η σχέση δεν είναι γραμμική, η ευθεία παλινδρόμησης μπορεί να οδηγήσει σε πολύ εσφαλμένα αποτελέσματα, ανεξάρτητα από το κατά πόσον τα δεδομένα προέρχονται από ένα ελεγχόμενο πείραμα ή από μια μελέτη βασισμένη σε παρατηρήσεις. Μερικές Γενικές Παρατηρήσεις Για Την Γραμμική Παλινδρόμηση Η ανάλυση παλινδρόμησης έχει, σε γενικές γραμμές, ως στόχο να διερευνήσει την κατανομή μιας εξαρτημένης μεταβλητής (συμβολιζόμενη συνήθως ως Υ), ή κάποια χαρακτηριστικά της κατανομής αυτής (όπως π.χ. ο μέσος της), ως συνάρτησης μιας ή περισσοτέρων ανεξαρτήτων μεταβλητών (Χ 1,,Χ k ), δηλαδή της σχέσης p(υ X 1,, X k ) = f(x 1,,X k ) όπου, p(υ X 1,,X k ) εκφράζει την πιθανότητα (ή, για συνεχή τ.μ Υ, την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας) να παρατηρηθούν οι συγκεκριμένες τιμές y της εξαρτημένης μεταβλητής Y δοθέντος ενός συνόλου καθορισμένων τιμών (specific values) (x 1 x k ) των ανεξαρτήτων μεταβλητών (X 1,X 2,,X k ). p(υ X 1,,X k ) είναι η κατανομή πιθανότητας του Υ για τις συγκεκριμένες αυτές τιμές των μεταβλητών Χ. 61

18 Το σχήμα που ακολουθεί αναφέρεται σε ένα παράδειγμα όπου υπάρχει μια μόνο ανεξάρτητη μεταβλητή X (έτη εκπαίδευσης) και όπου p(υ x ) εκφράζει την κατανομή του πληθυσμού των εισοδημάτων για όλα τα άτομα που έχουν ένα συγκεκριμένο επίπεδο εκπαίδευσης x (π.χ 12 έτη εκπαίδευσης). Εισόδημα (σε εκατ.δραχμ.) Εκπαίδευση (σε έτη) Η σχέση του Υ με τα Χ έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον όταν διερευνούμε το ενδεχόμενο ότι οι μεταβολές των Χ επηρεάζουν το Υ ή, σε ορισμένες περιπτώσεις, όταν επιθυμούμε να χρησιμοποιήσουμε τιμές των μεταβλητών Χ για να προβλέψουμε τη τιμή της μεταβλητής Υ. Σημείωση: Το διάγραμμα σημείων που προηγήθηκε αναφέρεται στη σχέση του ετήσιου εισοδήματος (σε εκατ. δρχ.) και της εκπαίδευσης (σε χρόνια) για ένα πληθυσμό. Η γραμμή που εμφανίζεται στο σχήμα ενώνει τα μέσα εισοδήματα για τα διαφορετικά επίπεδα εκπαίδευσης. Οι σημαντικότερες παρατηρήσεις για την ευθεία παλινδρόμησης ελαχίστων τετραγώνων είναι οι εξής: Πολλές κατηγορίες δεδομένων και προβλημάτων μπορούν να συνοψιστούν ικανοποιητικά με την ευθεία παλινδρόμησης ελαχίστων τετραγώνων 62

19 Οι εφαρμογές της μεθόδου παλινδρόμησης επεκτείνονται σημαντικά και σε πολλά άλλα συνθετότερα προβλήματα με κατάλληλους μετασχηματισμούς των δεδομένων και διαγνωστικές μεθόδους Το γενικό γραμμικό μοντέλο, μια άμεση επέκταση του γραμμικού μοντέλου παλινδρόμησης ελαχίστων τετραγώνων, μπορεί να καλύψει μια ευρεία τάξη μεθόδων με την χρήση ποιοτικών μεταβλητών και πολυωνυμικών συναρτήσεων Η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων στα γραμμικά μοντέλα παρέχει την υπολογιστική βάση για μια ποικιλία γενικεύσεων που περιλαμβάνουν την παλινδρόμηση με συντελεστές βαρύτητας (weighted regression), ευσταθή παλινδρόμηση (robust regression), μη-παραμετρική παλινδρόμηση (non-parametric regression) και γενικευμένα γραμμικά μοντέλα (generalized linear models). Οι Υποθέσεις της Γραμμικής Παλινδρόμησης και ο Έλεγχός τους Όπως έχουμε δει, στην απλή γραμμική παλινδρόμηση ξεκινάμε με τις υποθέσεις της γραμμικής σχέσης του μ Υ x, της κανονικότητας των παρατηρήσεων (των λαθών) και της σταθερής διακύμανσης. Το σχήμα που ακολουθεί δίνει μια εικόνα των υποθέσεων αυτών. Οι υποθέσεις της γραμμικότητας, της σταθερής παλινδρόμησης και της κανονικότητας στην απλή γραμμική παλινδρόμηση. Το σχήμα δείχνει την δεσμευμένη κατανομή του πληθυσμού των Υ δοθέντος Χ για μια σειρά τιμών της ανεξάρτητης μεταβλητής εκφρασμένες ως x 1, x 2,, x n. Οι δεσμευμένοι μέσοι του Υ δοθέντος Χ συμβολίζονται με μ 1, μ 2,, μ n. 63

20 Είναι απαραίτητο να ελέγχουμε την ορθότητα των υποθέσεων αυτών πριν προχωρήσουμε σε συμπερασματολογία για τη γραμμική παλινδρόμηση. Το σχήμα που ακολουθεί δείχνει μια περίπτωση όπου οι υποθέσεις αυτές δεν ικανοποιούνται. Παλινδρόμηση ενός πληθυσμού Υ στο Χ Η δεσμευμένη κατανομή του Υ, p(υ x), εμφανίζεται για κάθε μια από 5 τιμές του Χ. Η κατανομή του Υ για Χ=1 έχει θετική κυρτότητα (positive residue). Για την τιμή Χ=2 έχει δύο επικρατούσες τιμές. Για Χ=3 έχει πολλές τιμές στις ουρές της κατανομής (heavy tail). Για Χ=4 έχει πολύ μεγαλύτερη διασπορά απ' ότι για Χ=5. Παρατηρούμε επίσης ότι οι δεσμευμένοι μέσοι του Υ x-μ 1,..., x-μ 5 δεν είναι γραμμικές συναρτήσεις του Χ. Σύνοψη των Παρατηρήσεων Για την Γραμμική Παλινδρόμηση 1. Κάθε αύξηση μιας τυπικής απόκλισης στην εξαρτημένη μεταβλητή x αντιστοιχεί σε αύξηση μόνο r τυπικών αποκλίσεων στο y, κατά μέσο όρο (όπου r ο συντελεστής συσχέτισης). Η γραφική παράσταση αυτών των εκτιμητριών παλινδρόμησης δίνει την ευθεία παλινδρόμησης του y ως προς x. 2. Η γραφική παράσταση των μέσων y για κάθε τιμή του x συχνά πλησιάζει την μορφή μιας ευθείας γραμμής με κάποιες ίσως αποκλίσεις. Η ευθεία παλινδρόμησης εξομαλύνει τις αποκλίσεις αυτές. Αν η γραφική παράσταση των μέσων είναι μια ευθεία γραμμή αυτή συμπίπτει με την ευθεία παλινδρόμησης. Αν το γράφημα των μέσων έχει μια έντονη μη γραμμική τάση τότε η μέθοδος της παλινδρόμησης είναι ακατάλληλη. 64

21 3. Η ευθεία παλινδρόμησης μπορεί να χρησιμοποιηθεί για προβλέψεις και για μεμονωμένες παρατηρήσεις (άτομα). Θα πρέπει όμως κανείς να είναι ιδιαίτερα προσεκτικός εάν πρόκειται να κάνει πρόβλεψη για τιμές έξω από το πεδίο τιμών που χρησιμοποίησε για να εκτιμήσει την ευθεία παλινδρόμησης ή για μία ομάδα μονάδων του πληθυσμού διαφορετική από εκείνη που χρησιμοποιήθηκε για την εκτίμηση. 4. Σε οποιοδήποτε συνήθη περίπτωση επανάληψης μιας εξέτασης όσοι συμμετέχουν σ' αυτήν, κατά τεκμήριο, καταλήγουν με διαφορετικές βαθμολογίες στις δύο εξετάσεις. Αν μελετήσουμε την ομάδα των εξετασθέντων που είχε χαμηλή απόδοση στο πρώτο τεστ θα παρατηρήσουμε ότι μερικοί απ' αυτούς βελτιώνουν την απόδοση τους στο δεύτερο τεστ ενώ άλλοι αποδίδουν χειρότερα. Κατά μέσο όρο, η ομάδα με τη χαμηλή απόδοση στην πρώτη εξέταση παρουσιάζει βελτίωση στην δεύτερη εξέταση. Αντίστοιχα, αν μελετήσουμε την ομάδα των εξετασθέντων που είχε υψηλή απόδοση στη πρώτη εξέταση θα δούμε ότι μερικοί βελτιώνουν ακόμη περισσότερο την απόδοσή τους στη δεύτερη εξέταση και άλλοι αποδίδουν χειρότερα. Κατά μέσο όρο, η ομάδα υψηλής απόδοσης στην πρώτη εξέταση αποδίδει χειρότερα τη δεύτερη φορά. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται επίδραση της παλινδρόμησης (regression effect) και παρατηρείται όποτε το διάγραμμα σημείων απλώνεται γύρω από τη γραμμή τυπικής απόκλισης σε σχήμα αμερικανικής μπάλας ποδοσφαίρου. 5. Η παρερμηνεία παλινδρόμησης (regression fallacy) αναφέρεται στην λανθασμένη προσέγγιση ότι η επίδραση παλινδρόμησης οφείλεται σε κάτι διαφορετικό από το φυσιολογικό άπλωμα των παρατηρήσεων γύρω από την ευθεία τυπικής απόκλισης. 6. Στις περιπτώσεις που και οι δύο μεταβλητές Χ και Υ είναι τυχαίες μπορούμε να κατασκευάσουμε δύο ευθείες παλινδρόμησης που αντιστοιχούν σε ένα διάγραμμα σημείων: Με τη μια προβλέπουμε τιμές της μεταβλητής Υ από τιμές της μεταβλητής Χ και για την άλλη προβλέπουμε τιμές για την μεταβλητή Χ από τιμές της μεταβλητής Υ. 7. Η θεώρηση της τετραγωνικής ρίζας του r 2 ως ποσότητας ταυτόσημης με το συντελεστή γραμμικής συσχέτισης r έχει έννοια 65

22 μόνο στην περίπτωση που όχι μόνο η εξαρτημένη μεταβλητή Υ αλλά και η ανεξάρτητη μεταβλητή Χ είναι τυχαίες μεταβλητές. Στην περίπτωση αυτή ο έλεγχος για την μη συσχέτιση των μεταβλητών Χ και Υ (Η ο : ρ=0) είναι ισοδύναμη με τον έλεγχο της υπόθεσης για μηδενική κλίση της ευθείας παλινδρόμησης (Η ο : β=0). Αυτός είναι και ο λόγος που στις εκτυπώσεις των στατιστικών πακέτων η τιμή του παρατηρούμενου επιπέδου σημαντικότητας (pvalue) για τον έλεγχο Η ο : ρ=0 ταυτίζεται με το παρατηρούμενο επίπεδο σημαντικότητας του ελέγχου Η ο : β=0. (βλέπε ενότητα για συμπερασματολογία για το ρ (σελ. 122 βιβλίου). 8. Ο τρόπος ορισμού του συντελεστή προσδιορισμού r 2, αποτελεί την βάση της λογικής της ανάλυσης της διακύμανσης (analysis of variance). Πράγματι, ο ορισμός του r 2 στηρίχτηκε στο γεγονός ότι SST=SSR+SSE Δηλαδή η συνολική διακύμανση SST των παρατηρήσεων στην μεταβλητή Υ χωρίστηκε σε δύο συνιστώσες μια από τις οποίες οφείλεται στην διακύμανση των παρατηρήσεων της μεταβλητής Χ γύρω από το μέσο της (SSR), δηλαδή την διακύμανση που εξηγείται από την παλινδρόμηση, και την μη εξηγήσιμη διακύμανση SSE (που οφείλεται σε όλους τους παράγοντες που προκαλούν διακύμανση του Υ, εκτός του Χ, και σε τυχαίους παράγοντες). Αυτή η ανάλυση διακύμανσης οδηγεί και στον ορισμό του ελέγχου F που χρησιμοποιείται στην ανάλυση παλινδρόμησης MSR F = MSE όπου MSR εκφράζει το μέσο τετραγωνικό σφάλμα παλινδρόμησης, δηλαδή το συνολικό σφάλμα παλινδρόμησης SSR διαιρεμένο με τους βαθμούς ελευθερίας του. Στην περίπτωση της απλής γραμμικής παλινδρόμησης με μια ανεξάρτητη μεταβλητή ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας είναι 1. Στον παρονομαστή έχουμε το μέσο τετραγωνικό σφάλμα MSE, που υπολογίζεται με την διαίρεση του συνολικού τετραγωνικού σφάλματος SSE με τους βαθμούς ελευθερίας του. Αν n είναι ο αριθμός των παρατηρήσεων, οι βαθμοί ελευθερίας για το SSE είναι n- 2 (αφού δύο είναι οι παράμετροι της απλής παλινδρόμησης που 66

23 εκτιμάμε μια κι έχουμε μια μόνο ανεξάρτητη μεταβλητή στο μοντέλο αυτό). Ο λόγος αυτός ακολουθεί την κατανομή F. Αυτό προκύπτει από το ότι τα δύο αθροίσματα τετραγώνων ακολουθούν την κατανομή χ 2 και στο συγκεκριμένο λόγο οι δύο χ 2 μεταβλητές έχουν διαιρεθεί με τους βαθμούς ελευθερίας τους. 9. Ο έλεγχος F που χρησιμοποιείται για την καταλληλότητα της εκτιμηθείσας ευθείας παλινδρόμησης στην απλή γραμμική παλινδρόμηση, είναι ισοδύναμος με τον έλεγχο Η ο : β=0. Μπορεί να παρατηρήσει κανείς ότι, με ενδεχόμενη απόκλιση στρογγυλοποίησης, η τιμή της στατιστικής συνάρτησης F σε οποιοδήποτε στατιστικό πακέτο είναι ίση με το τετράγωνο της τιμής της στατιστικής συνάρτησης Τ που αναφέρεται στον έλεγχο της υπόθεσης Η ο : β=0. Μάλιστα, οι δύο έλεγχοι έχουν τα ίδια παρατηρούμενα επίπεδα σημαντικότητας. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι το τετράγωνο μιας στατιστικής συνάρτησης Τ με n βαθμούς ελευθερίας έχει την ίδια κατανομή με μια στατιστική συνάρτηση F με 1 και n βαθμούς ελευθερίας 17. Ο έλεγχος που βασίζεται στη στατιστική συνάρτηση F είναι ένας γενικότερος έλεγχος για την χρησιμότητα του μοντέλου παλινδρόμησης αφού μπορεί να χρησιμοποιηθεί και στην περίπτωση που το μοντέλο περιλαμβάνει περισσότερες από μια ανεξάρτητες μεταβλητές. 10. Στην πολλαπλή παλινδρόμηση, και στην αντίστοιχη εκτύπωση όλων των στατιστικών πακέτων, ο έλεγχος F καταλληλότητας του μοντέλου στηρίζεται στην ανάλυση διακύμανσης που είναι αντίστοιχη με αυτήν που χρησιμοποιείται στην απλή γραμμική παλινδρόμηση. Στην πολλαπλή παλινδρόμηση το SST έχει και πάλι (n-1) βαθμούς ελευθερίας (όπου n είναι ο αριθμός των παρατηρήσεων. Το SSR έχει k βαθμούς ελευθερίας (όπου k είναι ο αριθμός των ανεξαρτήτων μεταβλητών που έχουν χρησιμοποιηθεί). Επομένως, το SSE έχει (n- 1)-k βαθμούς ελευθερίας. Εδώ, και πάλι έχουμε MSR F = MSE 17 Βλέπε π.χ. Stuart, A. & Ord, K. (1987) Kendall's Advanced Theory of Statistics, Vol I (5 th Edition) 67

24 όπου οι βαθμοί ελευθερίας αριθμητή και παρονομαστή καθορίζονται με τον τρόπο που εξηγήθηκε. 11. Για την πολλαπλή παλινδρόμηση, σε πολλά στατιστικά πακέτα και στο τέλος του αντίστοιχου πίνακα, εμφανίζεται η ανάλυση διακύμανσης του SSR για την δεσμευμένη κατανομή κάθε μιας από τις ανεξάρτητες μεταβλητές δοθεισών όλων των υπολοίπων. Η σειρά που τα αποτελέσματα εμφανίζονται αντιστοιχεί στην σειρά με την οποία οι ανεξάρτητες μεταβλητές προστέθηκαν στο μοντέλο πολλαπλής παλινδρόμησης. (Στο Minitab π.χ η επικεφαλίδα της αντίστοιχης στήλης είναι SeqSS δηλαδή Sequential Sum of Squares. Οι αριθμοί που δίδονται στην στήλη αυτή αντιστοιχούν στις ανεξάρτητες τ.μ. με την σειρά με την οποία οι μεταβλητές αυτές προστέθηκαν στο μοντέλο πολλαπλής παλινδρόμησης. Αν η σειρά αλλάξει, τότε και η αντίστοιχη ανάλυση διακύμανσης του SSR θα μεταβληθεί). Ο πίνακας που ακολουθεί δίνει το μέρος της εκτύπωσης του Minitab που αφορά την ανάλυση διακύμανσης για ένα πρόβλημα που μελετά την τιμή ενός διαμερίσματος με βάση την επιφάνειά του (SqFeet), τους ορόφους της πολυκατοικίας, (Numflrs) και τον αριθμό των τουαλετών (Baths) για 15 διαμερίσματα προς πώληση. S= R-Sq = 97.1% R-Sq(adj) = 96.0% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression Residual Error Total Source DF Seq SS Sqfeet Numflrs Bdrms Baths Από τον πίνακα παρατηρούμε ότι η μεταβλητή Χ 1 συνεισφέρει το 93.2% (14829/ = 0.932) της συνολικής διακύμανσης που 68

25 εξηγείται από το μοντέλο παλινδρόμησης. Αν όμως αλλάξουμε την σειρά χρησιμοποίησης των μεταβλητών ίσως κάποια άλλη μεταβλητή i συνεισφέρει το μεγαλύτερο μέρος στο άθροισμα τετραγώνων παλινδρόμησης (SSR)! 12. Πριν τη χρησιμοποίηση του μοντέλου παλινδρόμησης για τους βασικούς λόγους που αυτό κατασκευάζεται, δηλαδή την εκτίμηση και την πρόβλεψη, θα πρέπει να ελέγχουμε το κατά πόσον πληρούνται οι υποθέσεις που απαιτούνται για τις εργασίες αυτές. Συνήθως αυτό γίνεται με το γράφημα κανονικότητας για τα κατάλοιπα (normal probability plot) και το γράφημα για τα κατάλοιπα σε σχέση με την προσαρμογή (plot of residuals versus fit). Ερμηνεία των Γραφημάτων Καταλοίπων Τα γραφήματα των καταλοίπων (residuals plots) αποτελούν ένα σημαντικό εργαλείο για την διερεύνηση πιθανών καταστρατηγήσεων των υποθέσεων που είναι απαραίτητες στην γραμμική παλινδρόμηση. Η χρησιμοποίηση τους έχει καταστεί ιδιαίτερα απλή λόγω της μεγάλης βελτίωσης των στατιστικών πακέτων που είναι σήμερα διαθέσιμα. Αν υπάρχει κάποια δυσκολία αυτή έγκειται στην ερμηνεία των γραφημάτων αυτών. Υπάρχουν όμως περιπτώσεις οι οποίες συναντώνται πολύ συχνά σε πρακτικές εφαρμογές και είναι χρήσιμο να μπορεί κάποιος να τις αναγνωρίζει. Για παράδειγμα, η διακύμανση κάποιων κατηγορικών δεδομένων μεταβάλλεται ανάλογα με την μεταβολή του μέσου. Π.χ. για δεδομένα που προέρχονται από την κατανομή Poisson η διακύμανση αυξάνει όσο αυξάνει ο μέσος. Για δεδομένα που προέρχονται από την διωνυμική κατανομή η διακύμανση αυξάνει για τιμές της παραμέτρου p από.0 έως.5 και στην συνέχεια μειώνεται για τιμές του p από.5 σε 1.0. Προβλήματα της μορφής αυτής εξετάζονται στα Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα (Generalized Linear Models). Γραφήματα καταλοίπων αυτής της μορφής δεδομένων εμφανίζονται στα σχήματα που ακολουθούν. 69

26 Γράφημα καταλοίπων ως προς Ŷ Αν το "άπλωμα" των καταλοίπων αυξάνει όσο αυξάνει το ŷ και γνωρίζουμε ότι τα δεδομένα αποτελούν μετρήσεις σε μεταβλητές Poisson, μπορούμε να σταθεροποιήσουμε την διακύμανση της εξαρτημένης μεταβλητής με την χρησιμοποίησης ανάλυσης παλινδρόμησης στην μεταβλητή y* = y. Αν τα ποσοστά προέρχονται από δεδομένα που ακολουθούν την διωνυμική κατανομή μπορούμε να 1 χρησιμοποιήσουμε τον μετασχηματισμό y* = sin y. Αν δεν έχουμε λόγους να εξηγήσουμε το γιατί το "άπλωμα" των καταλοίπων αυξάνει όσο αυξάνει το ŷ μπορούμε και πάλι να χρησιμοποιήσουμε ένα μετασχηματισμό του y που επηρεάζει τις μεγάλες τιμές του y περισσότερο απ' ότι μικρότερες τιμές. Τέτοιοι μετασχηματισμοί είναι οι y* = y ή y* = lny. Αυτοί οι μετασχηματισμοί έχουν την τάση να σταθεροποιούν την διακύμανση του y* αλλά και να κάνουν την κατανομή του y* να πλησιάζει περισσότερο την κανονική, όταν η κατανομή του y είναι έντονα μη συμμετρική. Γραφήματα των καταλοίπων ως προς τις εκτιμώμενες τιμές ŷ της εξαρτημένης μεταβλητής ή ως προς τις παρεχόμενες από το μοντέλο 0 προβλέψεις y ˆ n + 1, έχουν συχνά μια μορφή που δείχνει ότι το μοντέλο που επελέγη δεν είναι το κατάλληλο. Για παράδειγμα, αν Ε(Υ) και μια ανεξάρτητη μεταβλητή Χ συνδέονται γραμμικά, δηλαδή αν Ε(Υ)=α+βΧ, και εφαρμόσουμε μια ευθεία γραμμή στα δεδομένα τότε 70

27 οι παρατηρηθείσες τιμές του Υ θα πρέπει να μεταβάλλονται με ένα τυχαίο τρόπο γύρω από το ŷ και το γράφημα των καταλοίπων σε σχέση με το Υ θα πρέπει να έχει την μορφή που φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί Το Προσαρμοσμένο r 2 (r 2 adjusted) Ο συντελεστής προσδιορισμού r 2 έχει ορισθεί ως το ποσοστό της 2 συνολικής διακύμανσης SST = (y i y) των παρατηρήσεων της εξαρτημένης μεταβλητής που μπορεί να εξηγηθεί από την χρήση της παλινδρόμησης του Υ στο Χ. Δηλαδή r 2 2 SSR (yˆ i y) = = 2 SST (y y) Δοθέντος ότι SST = SSR + SSE, πολλές φορές ο συντελεστής προσδιορισμού εκφράζεται μέσω του SSE ως r 2 SSE = 1 SST Επειδή στην πολλαπλή παλινδρόμηση η τιμή του r 2 μόνο αυξάνεται όταν προστίθεται μια νέα ανεξάρτητη μεταβλητή οι ερευνητές και τα περισσότερα στατιστικά πακέτα, χρησιμοποιούν ένα συντελεστή προσδιορισμού που έχει "διορθωθεί" λαμβάνοντας υπόψη τόσο τον αριθμό των παρατηρήσεων όσο και τον αριθμό των ανεξαρτήτων μεταβλητών p (ή, αντίστοιχα, τον αριθμό p+1 των παραμέτρων που εκτιμώνται ή, ισοδύναμα τον αριθμό n - (p+1) των βαθμών ελευθερίας). Αυτό επιτυγχάνεται με την διαίρεση του αριθμητή και i. 71

28 παρονομαστή του λόγου ελευθερίας. Έτσι έχουμε 2 r adj = SSE SST με τους αντίστοιχους βαθμούς SSE/(n (p + 1)) = 1 SST/(n 1) SSE (n 1) 1 SST (n (p + 1)) 2 (n 1) = 1 (1 r ) (n (p + 1)) για την απλή γραμμική παλινδρόμηση με μία ανεξάρτητη μεταβλητή το r 2 adj γίνεται r 2 adj = 1 (1 r 2 n 1 ) n 2 Η ποσότητα αυτή ονομάζεται συντελεστής προσδιορισμού προσαρμοσμένος για τους βαθμούς ελευθερίας (coefficient of determination adjusted for degrees of freedom). Σημείωση: Σε ορισμένα βιβλία, επειδή οι υπολογισμοί γίνονται με την χρήση της παρουσίασης με πίνακες όπου, με κατάλληλους μετασχηματισμούς, έχει απομακρυνθεί η σταθερά και επομένως ο αριθμός των εκτιμώμενων παραμέτρων έχει περιοριστεί σε p με βαθμούς ελευθερίας n-p, ο τύπος για το r 2 adj γίνεται r 2 adj = 1 (1 r 2 n 1 ) n p Είναι φανερό ότι έτσι κάθε μεταβλητή που προστίθεται επιφέρει μια "τιμωρία" στον συντελεστή προσδιορισμού "μειώνοντας" την τιμή του. Το r 2 adj χρησιμοποιείται, κυρίως, ως μέτρο σύγκρισης δύο μοντέλων παλινδρόμησης με διαφορετικό αριθμό ανεξαρτήτων μεταβλητών (αφού, λόγω του ορισμού του), η τιμή του δεν επηρεάζεται από τον αριθμό των ανεξαρτήτων μεταβλητών κάθε μοντέλου. Επομένως, η όποια διαφορά στην τιμή του για τα δύο μοντέλα οφείλεται, κυρίως, σε ουσιαστικές διαφορές των μοντέλων. 72

29 Ακολουθητέα Βήματα Για Την Διαμόρφωση Ενός Μοντέλου Γραμμικής Παλινδρόμησης Ο τελικός στόχος της ανάλυσης παλινδρόμησης και κυρίως της πολλαπλής παλινδρόμησης, είναι να διαμορφώσει ένα μοντέλο που θα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την ακριβή πρόβλεψη των τιμών της μεταβλητής Υ με βάση μια ομάδα ανεξαρτήτων μεταβλητών Χ 1,Χ 2,...,Χ p. Είναι βέβαιο, ότι η ικανότητα αυτή αναπτύσσεται με την απόκτηση εμπειρίας. Τα σημαντικότερα όμως βήματα για την διαμόρφωση ενός τέτοιου μοντέλου είναι τα εξής: 1. Επιλέγουμε τις ανεξάρτητες μεταβλητές που θα περιληφθούν στο μοντέλο. Επειδή μερικές απ' αυτές, ενδεχομένως, περιέχουν παρόμοιες πληροφορίες, μπορούμε να μειώσουμε τον αριθμό των μεταβλητών με την χρησιμοποίηση μιας ανάλυσης βηματικής παλινδρόμησης. Πάντοτε, προσπαθούμε να κρατήσουμε τον αριθμό των ανεξάρτητων μεταβλητών περιορισμένο ώστε αυτές να είναι αποτελεσματικές και εύκολο να μελετηθούν. Θα πρέπει να είμαστε προσεκτικοί ώστε ο αριθμός των παρατηρήσεων των δεδομένων να υπερβαίνει τον αριθμό των όρων (ανεξάρτητων μεταβλητών) που χρησιμοποιούνται στο μοντέλο. Όσο μεγαλύτερη είναι η διαφορά αυτή τόσο το καλύτερο. 2. Διαμορφώνουμε ένα μοντέλο χρησιμοποιώντας τις επιλεγείσες ανεξάρτητες μεταβλητές. Αν οι μεταβλητές είναι ποιοτικές, είναι χρήσιμο να περιλάβουμε και όρους αλληλεπίδρασης. Εάν οι μεταβλητές είναι ποσοτικές το καλύτερο είναι να αρχίσουμε με ένα μοντέλο δεύτερης τάξης. Όροι οι οποίοι δεν είναι απαραίτητοι, μπορούν να διαγραφούν αργότερα. Στη συνέχεια, κατασκευάζουμε το εκτιμούμενο μοντέλο. 3. Χρησιμοποιούμε τον έλεγχο ανάλυσης διακύμανσης F και το r 2 για να προσδιορίσουμε πόσο καλά το μοντέλο εξηγεί τα δεδομένα. 4. Παρατηρούμε τις τιμές των ελεγχοσυναρτήσεων t για τους επιμέρους συντελεστές παλινδρόμησης (partial regression coefficients) για να δούμε ποιοι απ' αυτούς συνεισφέρουν σημαντικές πληροφορίες όταν χρησιμοποιούνται και όλοι οι άλλοι συντελεστές, 73

30 Αν κάποιοι απ' τους όρους εμφανίζονται να είναι μη στατιστικά σημαντικοί εξετάζουμε το ενδεχόμενο διαγραφής τους. Αν επιλέξουμε να συγκρίνουμε πολλά διαφορετικά μοντέλα χρησιμοποιούμε το r 2 adj, ή κάποιο άλλο κριτήριο, για να συγκρίνουμε την αποτελεσματικότητα τους. 5. Χρησιμοποιούμε το διάγραμμα καταλοίπων από κάποιο πρόγραμμα υπολογιστή για να ελέγξουμε το ενδεχόμενο παραβίασης των υποθέσεων του μοντέλου παλινδρόμησης. Τυχαίοι Παλινδρομητές (Random Regressors) Η ανάπτυξη της θεωρίας των γραμμικών μοντέλων με την χρήση πινάκων στηρίζεται στην υπόθεση ότι ο πίνακας Χ μοντέλου είναι σταθερός (fixed). Εάν επαναλάβουμε μία μελέτη αναμένουμε ότι οι παρατηρήσεις y της εξαρτημένης μεταβλητής θα μεταβληθούν αλλά αν Χ είναι σταθερό, τότε οι τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής σε επαναλήψεις της μελέτης παραμένουν σταθερές. Η κατάσταση αυτή αποτελεί μια ρεαλιστική περιγραφή για την περίπτωση πειραμάτων όπου οι ανεξάρτητες μεταβλητές ελέγχονται και προσδιορίζονται (are manipulated) από τον ερευνητή. Οι περισσότερες όμως έρευνες, κυρίως στις κοινωνικές επιστήμες είναι παρατηρήσεις που έρχονται στην αντίληψή μας (observational) μάλλον παρά αποτελέσματα πειραματικού σχεδιασμού (experimental). Σε τέτοιες μελέτες που αποτελούν καταγραφή παρατηρήσεων (observational studies) όπως π.χ δειγματοληπτικές έρευνες, συνήθως θα έχουμε διαφορετικές τιμές για την ανεξάρτητη μεταβλητή όταν επαναλαμβάνεται η μελέτη. Σε έρευνες παρατηρήσεων (observational research) επομένως το Χ είναι τυχαίο, συνήθως και όχι σταθερό. Είναι εντυπωσιακό ότι η στατιστική θεωρία των γραμμικών μοντέλων εφαρμόζεται ακόμα και όταν Χ είναι τυχαίο, με την προϋπόθεση ότι ισχύουν κάποιες υποθέσεις. Όπως έχουμε ήδη δει για καθορισμένες (fixed) ανεξάρτητες μεταβλητές οι υποθέσεις έχουν την μορφή ε Ν n (0,σ 2 ε Ι n ). Δηλαδή, η κατανομή των λαθών είναι η ίδια για όλους τους συνδυασμούς των τιμών των ανεξαρτήτων μεταβλητών που εκφράζονται από τις γραμμές του πίνακα του μοντέλου. Όταν Χ είναι τυχαίο, χρειάζεται να υποθέσουμε ότι η ιδιότητα αυτή ισχύει για 74

31 όλους τους δυνατούς συνδυασμούς των τιμών των ανεξαρτήτων μεταβλητών στον πληθυσμό από τον οποί επιλέγουμε δείγματα. Δηλαδή, τα Χ και ε υποτίθενται ανεξάρτητα και έτσι η δεσμευμένη κατανομή των λαθών για ένα δείγμα τιμών των ανεξαρτήτων μεταβλητών (ε Χ 0 ) είναι Ν n (0,σ 2 ει n ), ανεξάρτητα από το συγκεκριμένο δείγμα Χ 0 = {x ij }που επιλέγουμε. Αφού το Χ είναι τυχαίο θα ακολουθεί κάποια (πολυμεταβλητή) κατανομή πιθανότητας. Δεν είναι απαραίτητο να γίνουν υποθέσεις για την κατανομή αυτή εκτός από (i) (ii) Ότι τα Χ και ε είναι ανεξάρτητα (όπως μόλις εξηγήσαμε) Η κατανομή του Χ δεν εξαρτάται από τις παραμέτρους β και σ 2 ε του γραμμικού μοντέλου. Ειδικότερα, δεν χρειάζεται να υποθέσουμε ότι οι παλινδρομητές (regressors) σε αντίθεση με τα λάθη, κατανέμονται κανονικά. Αυτό είναι ευχάριστο, γιατί η κατανομή πολλών παλινδρομητών διαφέρει πολύ από την κανονική κατανομή, όπως π.χ πολυωνυμική και πολυωνυμικοί παλινδρομητές και παλινδρομητές εικονικών μεταβλητών όπως επίσης και ποσοτικές ανεξάρτητες μεταβλητές. 75