ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΠΟΙΚΙΑΣ ΜΥΡΜΗΓΚΙΩΝ ANT COLONY OPTIMIZATION METHODS

Transcript

1 ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΠΟΙΚΙΑΣ ΜΥΡΜΗΓΚΙΩΝ ANT COLONY OPTIMIZATION METHODS Χρήστος Δ. Ταραντίλης Αν. Καθηγητής ΟΠΑ

2 ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ ΣΜΗΝΟΥΣ Η έρευνα που βασίζεται σε πληθυσµό λύσεων εµπνέεται από τον συλλογικό τρόπο επίτευξης στόχων που ακολουθούν τα σµήνη των εντόµων, τα σµήνη των πουλιών ή άλλων συλλογικών «οντοτήτων» που εµφανίζονται στην φύση. Αυτός ο τύπος της νοηµοσύνης καλείται στη διεθνή βιβλιογραφία ως Νοηµοσύνη Σµήνους (Swarm Intelligence). Χαρακτηριστικό των συγκεκριµένων κοινωνιών είναι η συλλογική νοηµοσύνη (δεν ελέγχονται από κάποιον ή δεν κινείται το καθένα µε βάση τη δική του επιθυµία) η οποία τα οδηγεί µέλη αυτών των κοινωνιών να κινούνται συντονισµένα, να οργανώνονται µε τέτοιον τρόπο που να συµπεριφέρνονται ως ένας µοναδικός υπεροργανισµός και να πετυχαίνουν στόχους οι οποίοι θα ήταν αδύνατο να επιτευχθούν σε ατοµικό επίπεδο.

3 ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ ΣΜΗΝΟΥΣ Η συλλογική νοηµοσύνη δεν είναι εγγεγραµµένη στα γονίδιά τους αλλά βασίζεται σε αναδυόµενες συµπεριφορές των πρώτων σταδίων της ζωής τους. Στην περίπτωση της έρευνας εντός του χώρου των λύσεων ενός προβλήµατος που διεξάγεται από έναν αλγόριθµο, αυτό που επιδιώκεται είναι η επίτευξη νοηµοσύνης στον τρόπο έρευνας µέσω της διαχείρισης ενός πληθυσµού λύσεων σε κάθε επανάληψη του αλγορίθµου (αντί της διαχείρισης µιας λύσης όπως στην περίπτωση της Τοπικής Έρευνας) µε στόχο την επίτευξη της νοηµοσύνης σµήνους.

4 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΜΥΡΜΗΓΚΙΩΝ - Εισαγωγή Οι αλγόριθµοι µυρµηγκιών είναι συστήµατα πολλαπλών υπολογιστικών φορέων-πρακτόρων (multi-agent systems) στα οποία η συµπεριφορά του καθενός φορέα, γνωστού ως τεχνητό µυρµήγκι ή εν συντοµία µυρµήγκι, εµπνέεται από τη συµπεριφορά των πραγµατικών µυρµηγκιών. Στο µάθηµα «Ε Ε ΙΙ» θα επικεντρώσουµε την προσοχή µας στις Μεθόδους Βελτιστοποίησης Αποικίας Μυρµηγκιών (Ant Colony Optimization Methods), τις οποίες θα καλούµε στο εξής ως ACO αλγορίθµους. Οι ACO αλγόριθµοι αποτελούν µια ειδική κατηγορία των Αλγορίθµων Μυρµηγκιών (Ant Algorithms).

5 ACO ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Εισαγωγή (1/2) H έµπνευση για την ανάπτυξη των ACO αλγορίθµων προέρχεται από τις διαδικασίες κίνησης µιας αποικίας µυρµηγκιώνγια την αναζήτηση της τροφής τους. Ο αλγόριθµος ACO µιµείται τη συγκεκριµένηφυσική διαδικασία δηµιουργώντας αναλογίες µε τις διαδικασίες επίλυσης προβληµάτων συνδυαστικής βελτιστοποίησης και όχι µόνο.

6 ACO ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Εισαγωγή (2/2) Ο αλγόριθµος ACO ανήκει στην κατηγορία των βιολογικών ή φυσικών αλγόριθµων (biological or natural inspired algorithms). Οι βιολογικοί ή φυσικοί αλγόριθµοι είναι υπολογιστικές διαδικασίες των οποίων οι στρατηγικές έρευνας είναι εµπνευσµένες από τις διαδικασίες που συµβαίνουν στη φύση. Ο αλγόριθµος ACO εµπνεύστηκε από τα αποτελέσµατα που εκπονήθηκαν από εργαστηριακές µελέτες βιολογικών συστηµάτων, οι οποίες αφορούσαν την συµπεριφορά των µυρµηγκιών. (S. Goss, S. Aron, J. L. Deneubourg, and J. M. Pasteels. Self-organized shortcuts inthe Argentine ant. Naturwissenschaften, 76: , 1989.)

7 ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΜΥΡΜΥΓΚΙΩΝ (1/7) Συγκεκριµένα, για τη µελέτη του φαινόµενου κατασκευάστηκε εργαστηριακά ένα πραγµατικό φυσικό σύστηµα που περιλάµβανε µια αποικία µυρµηγκιών και µια πηγή τροφής. Η πρόσβαση από την φωλιά στην πηγή τροφής και αντίστροφα ήταν δυνατή µέσο µιας διαδροµής µε δύο κλάδους, διαφορετικού µήκους ο καθένας όπως απεικονίζεται στο Σχήµα της επόµενης διαφάνειας.

8 ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΜΥΡΜΥΓΚΙΩΝ (2/7) Γ Αποικία Μυρµηγκιών Τροφή Α Β Τα µυρµήγκια φτάνοντας στη διακλάδωση θα έπρεπε να επιλέξουν ποιον από τους δύο κλάδους θα ακολουθήσουν.

9 ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΜΥΡΜΥΓΚΙΩΝ (3/7) Παρατηρήθηκε λοιπόν ότι λίγα λεπτά µετά την έναρξη του πειράµατος, τα περισσότερα µυρµήγκια επέλεγαν το συντοµότερο κλάδο. Παρατηρήθηκε επίσης ότι η πιθανότητα η αποικία να επιλέξει το συντοµότερο κλάδο αυξανόταν µε την αύξηση της διαφοράς στο µήκος των δύο προς-επιλογή κλάδων. ΤΙ ΓΙΝΟΤΑΝ ΛΟΙΠΟΝ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;

10 ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΜΥΡΜΥΓΚΙΩΝ (4/7) Η σύγκλιση στην επιλογή του συντοµότερου µονοπατιού από τα µυρµήγκια εξηγείται λόγω του φαινοµένου της στιγµεργίας (stigmergy) (P. P. Grasse. La reconstruction du nid et les coordinations interindividuelles chez bellicositermes natalensis et cubitermes sp. La theorie de la stigmergie: essai d'interpretation du comportement des termites constructeurs. Insectes Sociaux, 6:41-81, 1959.) Η στιγµεργία αποτελεί έναν όρο, ο οποίος εκφράζει την έµµεση αλληλεπίδραση δυο οργανισµών όταν ο ένας από τους δύο τροποποιεί το περιβάλλον και άλλος στη συνέχεια προσαρµόζεται στις νέες συνθήκες του περιβάλλοντος (όπως τις διαµόρφωσε ο πρώτος).

11 ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΜΥΡΜΥΓΚΙΩΝ (5/7) Τι είναι όµως αυτό που προκαλεί τη στιγµεργία;;;;;;;;;;;;;;;; Οφείλεται στην ύπαρξη µιας χηµικής ουσίας που αποθέτουν στο έδαφος και η οποία καλείται φερεµόνη. Στην πραγµατικότητα καθώς τα µυρµήγκια πηγαίνουν από την φωλιά τους στην πηγή της τροφής και αντίστροφα, αποθέτουν φερεµόνη. Όταν φτάσουν στο σηµείο επιλογής κλάδου (σηµείο Α ή Β), παίρνουν πιθανολογικά µια απόφαση που εξαρτάται από το ποσό της φερεµόνης, που ανιχνεύουν (µυρίζουν) πάνω σε κάθε κλάδο. Στην αρχή του πειράµατος δεν υπάρχει καθόλου φερεµόνη στους δύο κλάδους και για αυτό το λόγο τα µυρµήγκια φτάνοντας στο σηµείο Α θα επιλέξουν ένα από τους δύο κλάδους µε την ίδια πιθανότητα (50%).

12 ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΜΥΡΜΥΓΚΙΩΝ (6/7) Λόγω του διαφορετικού µήκους των δύο κλάδων, τα µυρµήγκια που επιλέγουν τον συντοµότερο κλάδο θα φτάσουν πρώτα στην πηγή της τροφής, και κατά την επιστροφή τους προς στη φωλιά θα φτάσουν πάλι πρώτα στο σηµείο επιλογής κλάδου (σηµείο Β). Σε εκείνο το σηµείο θα ανιχνεύσουν ένα ίχνος φερεµόνης στον µικρότερο κλάδο, ίχνος που άφησαν τα ίδια κάνοντας την διαδροµή προς την τροφή προηγουµένως. Η ύπαρξη του ίχνους φερεµόνης θα επηρεάσει θετικά τα µυρµήγκια στην επιλογή του κλάδου, δηλαδή θα επιλέξουν το µικρότερο κλάδο µε µεγαλύτερη πιθανότητα από ότι τον µεγαλύτερο κλάδο.

13 ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΜΥΡΜΥΓΚΙΩΝ (7/7) Νέα ποσότητα φερεµόνης θα αποτεθεί στον επιλεγµένο κλάδο, κάνοντας τον πιο ελκυστικό για τα µυρµήγκια που θα ακολουθήσουν. Καθώς η διαδικασία συλλογής τροφής προχωρεί, στον µικρότερο κλάδο αποτίθεται φερεµόνη µε µεγαλύτερο ρυθµό (επειδή τον επιλέγουν τα µυρµήγκια) από ότι στον άλλο κλάδο, κάνοντας τον πρώτο όλο και πιο ελκυστικό. Τελικά, όλα τα µυρµήγκια θα καταλήξουν να χρησιµοποιούν το συντοµότερο κλάδο

14 ACO ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΒΙΟΛΟΓΙΚΗ ΑΝΑΛΟΓΙΑ Μονοπάτι που οδηγεί από την Φωλιά στην Τροφή Γράφηµα Κόµβων και Συνδέσεων (Ακµών) Μυρµήγκια πιθανοκρατικές διαδικασίες κατασκευής λύσεων, προσθέτοντας διαδοχικά «στοιχεία λύσης» στην «ηµιτελή» λύση του υπό εξέταση προβλήµατος, εντός της κάθε επανάληψης του ACO αλγόριθµου. ΟΣΑ ΜΕΡΜΗΓΚΙΑ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΤΟΣΕΣ ΛΥΣΕIΣ ΚΑΤΕΣΚΕΥΑΖΟΝΤΑΙ ΣΕ ΚΑΘΕ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ACO. Με άλλα λόγια κάθε µερµήγκι κατασκευάζει µία και µόνο λύση. Ίχνος Φερεµόνης Μνήµη που αποθηκεύει τα πιο υποσχόµενα στοιχεία των «καλύτερων» λύσεων που έχουν κατασκευαστεί στις προηγούµενες επαναλήψεις του ACO.

15 ΕΦΑΡΜΟΓΗ στην ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΤΟΜΟΤΕΡΟΥ ΜΟΝΟΠΑΤΙΟΥ (1/11) Η πρώτη εφαρµογή ενός ACO αλγορίθµου ήταν η εύρεση του συντοµότερου µονοπατιού µεταξύ ενός ζεύγους κόµβων του γραφήµατος πάνω στο οποίο αναπαριστάνεται το υπό εξέταση πρόβληµα. Έστω G = (N, A) ένα γράφηµα, µε n = N κόµβους. Ο Βασικός ACO (B-ACO) αλγόριθµος (ο πρώτος χρονικά ACO αλγόριθµος) χρησιµοποιήθηκε για να λύσει το πρόβληµα του συντοµότερου µονοπατιού, στο γράφηµα G, όπου η «µορφή µιας λύσης» είναι ένα µονοπάτι (διάταξη στοιχείων) πάνω στο γράφηµα που ενώνει έναν «κόµβοπηγή» s µε έναν «κόµβο-προορισµό» d.

16 ΕΦΑΡΜΟΓΗ στην ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΤΟΜΟΤΕΡΟΥ ΜΟΝΟΠΑΤΙΟΥ (2/11) j k ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΛΥΣΗΣ: Είµαι στον κόµβο i. Σε ποιον από τον τρεις υποψήφιους εφικτούς κόµβους θα µετακινηθώ;;;; l i

17 ΕΦΑΡΜΟΓΗ στην ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΤΟΜΟΤΕΡΟΥ ΜΟΝΟΠΑΤΙΟΥ (3/11) Είναι σαφές ότι η ποιότητα της λύσης του προβλήµατος του συντοµότερου µονοπατιού θα εξαρτηθεί από την «ποιότητα» των συνδέσεων (των στοιχείων της λύσης δηλαδή) που συνθέτουν το κάθε µονοπάτι που θα κατασκευαστεί εντός της κάθε επανάληψης του ACO αλγόριθµου. Με άλλα λόγια, θα πρέπει ο αλγόριθµος να «πληροφορείται» στο τέλος της κάθε επανάληψης, ποιες είναι οι «υποσχόµενες» συνδέσεις των λύσεων που κατασκευάζει ο πληθυσµός των µυρµηγκιών σε κάθε επανάληψη, ώστε κατά τη διαδικασία κατασκευής των νέων λύσεων του ACO στις επόµενες επαναλήψεις, να δοθεί προτίµηση (δηλαδή να έχουν περισσότερες πιθανότητες επιλογής) στην επιλογή των «υποσχόµενων» αυτών συνδέσεων.

18 ΕΦΑΡΜΟΓΗ στην ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΤΟΜΟΤΕΡΟΥ ΜΟΝΟΠΑΤΙΟΥ (4/11) Με ποια διαδικασία θα πληροφορείται ο αλγόριθµος για τις συνδέσεις των καλών λύσεων, οι οποίες κατασκευάστηκαν στις προηγούµενες επαναλήψεις;; Σύµφωνα µε τον ACO αλγόριθµο που σχεδιάστηκε για το συγκεκριµένο πρόβληµα, κάθε σύνδεση (i,j) του γραφήµατος συνδέεται µε µία µεταβλητή τ ij, η οποία καλείται τεχνητή φερεµόνη και η οποία εναποτίθεται από τα τεχνητά µυρµήγκια. Η ποσότητα (εύρος) της φερεµόνης που βρίσκεται πάνω σε µια σύνδεση (i,j) είναι ανάλογη της χρησιµότητας, όπως αυτή εκτιµάται από τα τεχνητά µυρµήγκια, αυτού του συνδέσµου (i,j) στην κατασκευή καλής ποιότητας λύσεων. Πότε εναποτίθεται η φερεµόνη όµως πάνω στις συνδέσεις;;;;

19 ΕΦΑΡΜΟΓΗ στην ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΤΟΜΟΤΕΡΟΥ ΜΟΝΟΠΑΤΙΟΥ (5/11) Αφού κατασκευαστούν οι λύσεις εντός κάθε επανάληψης του ACO, ξεκινά η διαδικασία επικαιροποίησης τους ίχνους φερεµόνης πάνω στις συνδέσεις που συνθέτουν την κάθε λύση. εδοµένου ότι όσο µεγαλύτερη είναι η ποσότητα του ίχνους φερεµόνης µιας υποψήφιας προς επιλογή σύνδεσης τόσο µεγαλύτερη είναι και η πιθανότητα να επιλεγεί να ανήκει αυτή η σύνδεση στη δοµή των λύσεων που κατασκευάζονται εντός µιας επανάληψης, συνηθίζεται (εξαρτάται από τον σχεδιαστή του αλγορίθµου) να επικαιροποιείται η φερεµόνη των στοιχείων (συνδέσεων για το παράδειγµα µας) των υψηλότερης ποιότητας λύσεων.

20 ΕΦΑΡΜΟΓΗ στην ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΤΟΜΟΤΕΡΟΥ ΜΟΝΟΠΑΤΙΟΥ (6/11) Όταν το µυρµήγκι επικαιροποιεί την φερεµόνη στις συνδέσεις µιας ολοκληρωµένης λύσης, τότε η διαδικασία επικαιροποίησης καλείται απευθείας ανανέωση φερεµόνης µε καθυστέρηση (on-line delayed pheromone update). Η λέξη «καθυστέρηση» δηλώνει ότι η φερεµόνη δεν επικαιροποιείται κατά τη διάρκεια κατασκευής µιας λύσης από ένα µερµήγκι, αλλά µόλις έχει πλήρως κατασκευαστεί η συγκεκριµένη λύση.

21 ΕΦΑΡΜΟΓΗ στην ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΤΟΜΟΤΕΡΟΥ ΜΟΝΟΠΑΤΙΟΥ (7/11) Η πιθανότητα επιλογής του στοιχείου της ηµιτελούς λύσης (της σύνδεσης στη συγκεκριµένη εφαρµογή) από το µερµήγκι k, η οποία θα ξεκινά από τον κόµβο i, ορίζεται σύµφωνα µε τον ακόλουθο τύπο, όπου τ ij είναι η φερεµόνη που συνδέεται µε την κάθε εφικτή σύνδεση (εφικτό στοιχείο της λύσης) που ξεκινά από τον κόµβο i και N i είναι το σύνολο των υποψήφιων στοιχείων της λύσης (συνδέσεις) που είναι εφικτό να επιλέγουν για να προστεθούν στην ηµιτελή λύση που κατασκευάζει ένα µερµύγκι.

22 ΕΦΑΡΜΟΓΗ στην ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΤΟΜΟΤΕΡΟΥ ΜΟΝΟΠΑΤΙΟΥ (8/11) Είναι σαφές λοιπόν ότι κατά τη διαδικασία κατασκευής µιας λύσης για το πρόβληµα του συντοµότερου µονοπατιού, ένα µυρµήγκι εξετάζει την ποσότητα φερεµόνης (δηλαδή την τιµή της φερεµόνης) που χαρακτηρίζει την κάθε σύνδεση ij και η οποία επηρεάζει την απόφαση του (βλέπε την πιθανότητα κατασκευής της λύσης στην προηγούµενη διαφάνεια) σχετικά µε το ποιο «στοιχείο της λύσης» (στο συγκεκριµένο πρόβληµα ποια σύνδεση) θα επιλέξει, ώστε να συµπληρώσει την ηµιτελή λύση. Αυτό το κάνει το κάθε µερµήγκι (κάθε κατασκευαστική διαδικασία δηλαδή) κατά τη διαδικασία κατασκευής µιας λύσης εντός µιας επανάληψης.

23 ΕΦΑΡΜΟΓΗ στην ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΤΟΜΟΤΕΡΟΥ ΜΟΝΟΠΑΤΙΟΥ (9/11) Αφού κατασκευαστεί ένας αριθµός λύσεων εντός µιας επανάληψης (ο αριθµός των λύσεων που κατασκευάζονται αποτελεί παράµετρο του αλγορίθµου), στην περίπτωση του Β- ACO αλγόριθµου (σε άλλη παραλλαγή του ACO-αλγόριθµου, η επικαιροποίηση της φερεµόνης µπορεί να γίνεται µε διαφορετικό τρόπο) εναποτίθεται µια σταθερή ποσότητα φερεµόνης ίση µε τ στις συνδέσεις αποκλειστικά της καλύτερης λύσης. Συγκεκριµένα, η τιµή της φερεµόνης τ ij επικαιροποιείται ως εξής (όπου το t παριστάνει την επανάληψη του αλγορίθµου):

24 ΕΦΑΡΜΟΓΗ στην ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΤΟΜΟΤΕΡΟΥ ΜΟΝΟΠΑΤΙΟΥ (10/11) Για να αποφευχθεί η γρήγορη σύγκλιση όλων των µυρµηγκιών σε παρεµφερείς δοµές λύσεων (αφού εξαιτίας της συγκεκριµένης λογικής επικαιροποίησης της φερεµόνης δίνονται περισσότερες πιθανότητες στην επιλογή των συνδέσεων που έχουν συµπεριληφθεί στη δοµή των καλύτερων λύσεων των προηγούµενων επαναλήψεων), ο ακόλουθος µηχανισµός διαφοροποίησης της έρευνας είναι δυνατό να ενεργοποιηθεί (εξαρτάται από τον σχεδιαστή του αλγορίθµου): η τεχνητή φερεµόνη των συνδέσεων που συµπεριλαµβάνονται συνεχώς στις καλύτερες λύσεις της κάθε επανάληψης του ACO αλγορίθµου να εξατµίζεται (evaporate) στο τέλος κάθε επανάληψης του αλγορίθµου ACO. Με αυτόν τον τρόπο, η ποσότητα φερεµόνης µειώνεται στις συνδέσεις που συµπεριλαµβάνονται συνεχώς στις καλύτερες λύσεις της κάθε επανάληψης του ACO αλγορίθµου ευνοώντας έτσι την επιλογή διαφορετικών συνδέσεων από αυτές που έχουν επιλεγεί στις προηγούµενες επαναλήψεις.

25 ΕΦΑΡΜΟΓΗ στην ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΤΟΜΟΤΕΡΟΥ ΜΟΝΟΠΑΤΙΟΥ (11/11) Ανάλογα µε την επιθυµία του σχεδιαστή του αλγορίθµου, η διαδικασία της εξάτµισης ενεργοποιείται είτε περιστασιακά όταν είναι επιθυµητή η επίτευξη διαφοροποίησης της έρευνας λόγω µη-συχνής εύρεσης νέας συνολικά καλύτερης λύσης είτε ακόµα και σε κάθε επανάληψη αν η επίτευξη έντονης εντατικοποίησης της έρευνας δεν είναι επιθυµητή. Η εξάτµιση µειώνει τα ίχνη φερεµόνης σε κάθε επανάληψη ως εξής: τ (1-ρ)τ όπου 0 ρ 1 Οι Αλγόριθµοι Μυρµηγκιών που θα περιγραφούνε στη συνέχεια χρησιµοποιούν µεν τις βασικές ιδιότητες του Β-ACO, αλλά είναι επιπλέον εφοδιασµένοι µε στρατηγικές διαφοροποίησης και εντατικοποίησης της έρευνας µε σκοπό την αποδοτικότερη έρευνα του χώρου των λύσεων

26 ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ ΠΟΛΥ ΚΑΙ ΟΠΟΙΑ ΗΠΟΤΕ ΕΡΩΤΗΣΗ/ΣΕΙΣ ΕΧΕΤΕ ΠΑΡΑΚΑΛΩ ΕΙΤΕ ΝΑ ΙΑΤΥΠΩΘΟΥΝ ΜΕΣΑ ΣΤΗΝ ΑΙΘΟΥΣΑ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ ΕΙΤΕ ΣΤΙΣ ΩΡΕΣ ΓΡΑΦΕΙΟΥ (ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ ) ΜΗ ΙΣΤΑΖΕΤΕ ΝΑ ΙΑΤΥΠΩΝΕΤΕ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ!!!!!!!!! Η ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΜΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΠΙΟ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΤΗΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΑΣ ΑΠΟΚΤΗΣΗΣ ΓΝΩΣΗΣ!!!!