Κώστας Φελουκατζής Σημειώσεις εξετάσεων ΠΛΗ-20 / ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ

Transcript

1 Κώστας Φελουκατζής Σημειώσεις εξετάσεων Η-2 / ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ Κανόνας Γινομένου: Αν ένα ενδεχόμενο μπορεί να πραγματοποιηθεί με m διαφορετικούς τρόπους ενώ ένα άλλο, ανεξάρτητο ενδεχόμενο μπορεί να πραγματοποιηθεί με τρόπους, τότε ο συνδυασμός των δύο ενδεχομένων μπορεί να πραγματοποιηθεί με m διαφορετικούς τρόπους. Ο ίδιος κανόνας ισχύει και για περισσότερα από δυο ανεξάρτητα ενδεχόμενα. Κανόνας Αθροίσματος: Εάν ένα ενδεχόμενο μπορεί να πραγματοποιηθεί με m διαφορετικούς τρόπους ενώ ένα άλλο ενδεχόμενο μπορεί να πραγματοποιηθεί με τρόπους και τα δυο ενδεχόμενα είναι αμοιβαία αποκλειόμενα, δηλαδή δεν μπορούν να πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα, τότε η πραγματοποίηση κάποιου από αυτά τα ενδεχόμενα μπορεί να γίνει με m+ διαφορετικούς τρόπους. Ο ίδιος κανόνας γενικεύεται και για περισσότερα από δυο αμοιβαία αποκλειόμενα ενδεχόμενα. Μετάθεση: Μια τοποθέτηση διαφορετικών αντικειμένων σε μια σειρά, έτσι ώστε το ένα αντικείμενο να βρίσκεται δίπλα στο άλλο, ονομάζεται μετάθεση των αντικειμένων αυτών και ο αριθμός των δυνατών μεταθέσεών τους είναι ( )! = 1 1. Για = είναι! = 1. Μεταθέσεις με επαναλήψεις: Ο αριθμός των μεταθέσεων αντικειμένων, όταν υπάρχουν m ομάδες όμοιων αντικειμένων, με m αντικείμενα η καθεμιά m = είναι ίσος με!!!! 1 2 m Διαφορά Μεταθέσεων / Διατάξεων: Τόσο οι στις μεταθέσεις όπως και στις διατάξεις έχουμε τοποθέτηση αντικειμένων σε σειρά. Στις μεταθέσεις, η σειρά (k) έχει τουλάχιστον τόσες θέσεις όσα και τα διαθέσιμα αντικείμενα () ενώ στις διατάξεις οι διαθέσιμες θέσεις είναι ίσες ή λιγότερες από τα δοσμένα αντικείμενα (k < ). Διατάξεις: ΕΠΙΛΟΓΗ k ΑΠΟ ΜΕ ΔΙΑΤΑΞΗ: Μια τοποθέτηση k αντικειμένων από διαφορετικά αντικείμενα σε σειρά, έτσι ώστε το ένα αντικείμενο να είναι δίπλα στο άλλο, ονομάζεται διάταξη k αντικειμένων από, P(, k ). Ο αριθμός των δυνατών τέτοιων! = = + =.! διατάξεων, για k είναι P(, k)! ( 1) ( k 1) Αν < k τότε P(, k ) = ( k) σελ. 1/26

2 Κώστας Φελουκατζής Σημειώσεις εξετάσεων Η-2 / Διατάξεις με επαναλήψεις: ο αριθμός των διατάξεων k αντικειμένων από, P(, k ), όταν υπάρχουν m ομάδες όμοιων μεταξύ τους αντικειμένων με k m αντικείμενα καθεμιά, = είναι ίσος με 1 2 m 1 2 (, ) P k!!! m Συνδυασμοί: Δοθέντος ενός συνόλου διαφορετικών αντικειμένων, η επιλογή k αντικειμένων από αυτά, χωρίς επαναλήψεις, ονομάζεται συνδυασμός k αντικειμένων από και συμβολίζεται ως C(, k ). Ο αριθμός των επιλογών (συνδυασμών) k αντικειμένων από, C(, k ), καλείται και διωνυμικός συντελεστής και μπορεί να γραφεί και ως C(, k) (, ) C k C(, k ) =. ( ) = ( ) ( + ) ( ) =, είναι δε ίσος με k P, k! 1 k 1! = = =, αν k. Αν < k τότε k! k! k! k! Η ποσότητα C(, k ), δοθέντος ενός συνόλου διαφορετικών αντικειμένων, μετρά τον αριθμό των υποσυνόλων του συνόλου αυτού που περιέχουν k ακριβώς στοιχεία. Ο αριθμός όλων των υποσυνόλων ενός συνόλου στοιχείων είναι C( k), = 2 (βλ. α/α 9 και 1 σελ. 42. Ο αριθμός των επιλογών k στοιχείων από ένα σύνολο που περιέχει στοιχεία, όταν επιτρέπονται επαναλήψεις στοιχείων, είναι ίσος με C( k 1, k) Ισχύει: C(, k) C(, k) = (σελ. 21). i= Προσοχή: α/α 13 και 15 λύση σελ. 44 και (αποδ. σελ. 23). Συνδυαστικό επιχείρημα: απόδειξη που δεν περιέχει αλγεβρικές πράξεις (μόνο περιγραφή λογικών βημάτων). Πως βρίσκουμε των αριθμό διαιρετών ενός αριθμού α: Κάνουμε ανάλυση του αριθμού α σε γινόμενο πρώτων παραγόντων (2, 3, 5, 7 ). Οι δυνατοί διαιρέτες του αριθμού x είναι (από τη k l m θεωρία των αριθμών) οι αριθμοί εκείνοι οι οποίοι γράφονται με τη μορφή x = Από τον αριθμό εμφανίσεων κάθε παράγοντα στο γινόμενο που βρήκαμε, ο αριθμός α μπορεί να γραφεί κ λ μ με τη μορφή a = κλμ,,.... Για κάθε εκθέτη (παράγοντα) που είναι > βρίσκουμε τους δυνατούς τρόπους επιλογής του, γνωρίζοντας ότι για τον παράγοντα π.χ. k θα ισχύει k κ. Επομένως, για τον παράγοντα k θα υπάρχουν κ+1 τρόποι επιλογής, για τους l, m θα σελ. 2/26

3 Κώστας Φελουκατζής Σημειώσεις εξετάσεων Η-2 / υπάρχουν λ+1, μ+1 τρόποι επιλογής, οπότε όλοι οι δυνατοί διαιρέτες του Α, σύμφωνα με τον κανόνα του γινομένου θα είναι (κ+1)(λ+1)(μ+1) Έστω ότι θέλουμε να σχηματίσουμε ένα μονοπάτι με α κινήσεις προς μια κατεύθυνση και β προς μια άλλη από συνολικά x βήματα ανά κατεύθυνση: ο αριθμός των τρόπων για να σχηματίσουμε ένα μονοπάτι προς μια κατεύθυνση με α κινήσεις (που συνολικά περιλαμβάνουν τα x βήματα) ισοδυναμεί με τον τρόπο τοποθέτησης x όμοιων σφαιρών σε α διακεκριμένα κουτιά (x > α), χωρίς να έχει σημασία η σειρά εμφάνισης των σφαιριδίων στα κουτιά και έτσι ώστε κανένα κουτί να μη μείνει άδειο: ( a+ ( x a) ) ( x a)!( a 1 )! 1! = C x x a. Ομοίως υπολογίζουμε ( 1, ) και για το άλλο μονοπάτι. Ο ζητούμενος συνολικός αριθμός προκύπτει με χρήση του κανόνα του γινομένου (καθώς κάθε κίνηση προς μια κατεύθυνση είναι ανεξάρτητη της κίνησης προς την άλλη κατεύθυνση). Ζητάμε τον σταθερό όρο στο ανάπτυγμα του x 2 1 a + x : Από τον τύπο του διωνυμικού a a a k a 1 a k 1 a αναπτύγματος έχουμε: x + = x x x k= k = x k= k. Για τον σταθερό όρο 2 2 3k a a a a πρέπει: 3k a= k = άρα ο σταθερός όρος είναι: = 3 k a. 3 = 2 k : Από το διωνυμικό ανάπτυγμα ( ) x k = k 2 = 3 k = k x= = x = 2 k = k 3 : Από το διωνυμικό ανάπτυγμα ( ) x= 2 2 k 1+ x = x = 2 = 3 k= k k= k 3 Επίσης: 2 2 = και k = k k 1 = 2 k = k (σελ. 21 Δ.Μ.) Στοιχειώδες ενδεχόμενο: το δυνατό αποτέλεσμα στο οποίο μπορεί να οδηγήσει η εκτέλεση ενός τυχαίου πειράματος. Δειγματοχώρος πειράματος: Το σύνολο των στοιχειωδών ενδεχομένων ενός τυχαίου πειράματος. Συμβολίζεται με Ω π ή απλά Ω όταν δεν υπάρχει αμφιβολία για το σε ποιο πείραμα αναφέρεται και παριστάνεται ως Ω π = {ενδεχόμενο1, ενδεχόμενο2, } Συνάρτηση πιθανότητας και διακριτός χώρος πιθανοτήτων: Έστω τυχαίο πείραμα με πεπερασμένο δειγματοχώρο Ω = {ω 1, ω 2,,ω } και μια συνάρτηση p που απεικονίζει κάθε σελ. 3/26

4 Κώστας Φελουκατζής Σημειώσεις εξετάσεων Η-2 / δείγμα ω i του δειγματοχώρου σε έναν πραγματικό αριθμό p(ω i ) έτσι ώστε να πληρούνται οι εξής προϋποθέσεις: α) Ο αριθμός p(ω i ) βρίσκεται μεταξύ του και του 1 (συμπεριλαμβανομένων και των τιμών αυτών) δηλαδή για κάθε δείγμα ω i Ω = {ω 1, ω 2,,ω } ισχύει p(ω i ) 1. β) Το άθροισμα των όρων p(ω i ) για όλα τα δείγματα ισούται με 1, δηλαδή i= ω = 1 τότε η συνάρτηση p ονομάζεται συνάρτηση πιθανότητας του δειγματοχώρου του πειράματος και ο αριθμός p(ω i ) πιθανότητα του δείγματος ω i. Ένας διακριτός δειγματοχώρος μαζί με μια κατάλληλα ορισμένη συνάρτηση πιθανότητας καλείται διακριτός χώρος πιθανοτήτων. Σύνθετο ενδεχόμενο: ή απλά ενδεχόμενο είναι μια ομαδοποίηση των στοιχειωδών ενδεχομένων ενός δειγματοχώρου που αντιπροσωπεύεται από κάποιο υποσύνολο Ε του δειγματοχώρου αυτού. Πραγματοποίηση ενδεχόμενου: Όταν το τυχαίο πείραμα έχει ως αποτέλεσμα την εμφάνιση ενός στοιχειώδους ενδεχομένου που ανήκει στο Ε. Πιθανότητα εμφάνισης: ή απλά πιθανότητα ενός ενδεχομένου Ε, που συμβολίζεται ως p(ε) ορίζεται το άθροισμα των πιθανοτήτων των στοιχειωδών ενδεχομένων που περιέχονται στο υποσύνολο Ε. Σειρά των όρων μιας δοσμένης ακολουθίας είναι μια άλλη ακολουθία S, της οποίας ο όρος τάξης, δηλαδή ο S δίνεται από το άθροισμα των πρώτων όρων της ακολουθίας α δηλαδή 1 S = ai, i 1. i= i Για την ακολουθία α = : i i= i= ( 1) 1 1 S = a = i = 2 (ακολουθία,1,2,3,4 ) Γεωμετρική πρόοδος: Έστω μια ακολουθία α, α 1,, α, με αρχικό όρο α = 1 και γενικό όρο που έχει την ιδιότητα α = λα -1, 1. Με άλλα λόγια, κάθε όρος της ακολουθίας είναι ίσος με τον προηγούμενο όρο πολλαπλασιασμένο με μια σταθερά λ. Τότε, η ακολουθία ονομάζεται γεωμετρική πρόοδος και το λ ονομάζεται λόγος της γεωμετρικής προόδου. Αποδεικνύεται ότι ο γενικός όρος της σειράς της ακολουθίας δίνεται από τον τύπο S 1 λ =, 1 (τύπος γνωστότερος ως το άθροισμα των πρώτων όρων μιας 1 λ γεωμετρικής προόδου με λόγο λ). Συγκλίνουσα σειρά: μια σειρά που δεν απειρίζεται αλλά ο απειροστός όρος της τείνει σε μια συγκεκριμένη (πεπερασμένη) τιμή. σελ. 4/26

5 Κώστας Φελουκατζής Σημειώσεις εξετάσεων Η-2 / Άθροισμα απείρων όρων μια γεωμετρικής προόδου με λόγο λ, λ < 1: S 1 = 1 λ Η Συνήθης γεννήτρια συνάρτηση ή απλά γεννήτρια συνάρτηση μιας ακολουθίας α, α 1,, α, : συμβολίζεται ως Α(z) και ορίζεται ως η σειρά της ακολουθίας b = α z z όταν το τείνει 1 στο άπειρο: ( ) 1 Το άθροισμα αυτό εξαρτάται μόνο από το = A z = a z = a + a z + + a z + z γι αυτό και είναι συνάρτηση του z. Η γεννήτρια συνάρτηση μιας ακολουθίας με γενικό όρο α = c, c R: είναι (υποθέτωντας 1 = = = 1 cz ότι cz < 1) A( z) c z ( cz) = = Ιδιότητες γεννητριών συναρτήσεων: έστω μια ακολουθία α, α 1,, α, με γεννήτρια συνάρτηση Α(z). Έχουμε: b ca d b = + (c, d σταθερές) ca( z) = (c σταθερά) ( ) c a 1 + d 1 z (απόδειξη σελ. 58) A cz (απόδειξη σελ. 59) b a i i = < i Ολίσθηση γεννήτριας συνάρτησης Α(z) κατά i θέσεις ΔΕΞΙΑ i (i θετικός ακέραιος) za( z ) (απόδειξη σελ. 59) Ολίσθηση γεννήτριας συνάρτησης Α(z) κατά i θέσεις ΑΡΙΣΤΕΡΑ b a + i = (i θετικός ακέραιος) 2 i 1 ( ) i z A z a a1z a2z ai 1z (απόδειξη: α/α 4, σελ. 17) (συνέλιξη) C( z) A( z) B( z) c = ab = a * b i i i= = (απόδειξη σελ. 61) Συνέλιξη δυο ακολουθιών «*»: έστω δυο ακολουθίες α, α 1,, α, και b, b 1,, b, Η συνέλιξή τους είναι μια τρίτη ακολουθία c, c 1,, c,, της οποίας ο γενικός όρος δίνεται από την εξίσωση: c = ab i i = ab + ab 1 1+ a2b 2 + ab. Η συνέλιξη συμβολίζεται με το i= σύμβολο «*» και γράφουμε c = a * b. Η γεννήτρια συνάρτηση C(z) της c που προκύπτει από τη συνέλιξη δυο ακολουθιών ισούται με το γινόμενο των γεννητριών συναρτήσεων των δυο αυτών ακολουθιών: C(z) = Α(z). B(z). σελ. 5/26

6 Κώστας Φελουκατζής Σημειώσεις εξετάσεων Η-2 / ( ) a = i= i= 1 (σελ. 63) A z = a z = z = z ( z) 2 Διωνυμικό ανάπτυγμα: Δοθέντων δυο πραγματικών αριθμών α και b, και ενός θετικού ακεραίου, το ανάπτυγμα της παράστασης (α + b) διωνυμικό ανάπτυγμα είναι ίσο με i= ab i i i όπου C (, i )! = =, βλ. συνδυαστική. Δηλαδή, ο συντελεστής του i i! ( i)! όρου α i b -i είναι ίσος με τον αριθμό των τρόπων που μπορούμε να επιλέξουμε i παρενθέσεις από τις διαθέσιμες. Αν το δεν είναι θετικός ακέραιος τότε το διωνυμικό ανάπτυγμα γίνεται: ( ) i= 1 ( 1)( 2) ( + 1) i a+ b = b + ab i! i i i= 1 ( 1)( 2) ( + 1). Αν α = 1 και b = z τότε i i ( 1+ z) = ( z+ 1) = 1+ z. Προσοχή όσον αφορά τις δυο τελευταίες i! σχέσεις στο σύμβολο στο άθροισμα και ότι υπάρχουν i όροι στον αριθμητή του κλάσματος. Στη γεννήτρια συνάρτηση (1 cz) -1 αντιστοιχεί η ακολουθία α = c : για, βλ. α/α 7, λύση σελ. 18. Θεώρημα De Moivre: ( θ θ) ( θ) ( θ) cos + isi = cos + isi,. Έστω ένας μιγαδικός αριθμός z = x + iy, με μέτρο: 2 2 r = x + y και γωνία θ με τον άξονα των πραγματικών αριθμών θ arcta y =, δηλαδή τέτοια ώστε η εφαπτομένη της να είναι ίση με x y/x. Τότε, σύμφωνα με το θεώρημα De Moivre ισχύει ότι: DeMoivre ( cosθ siθ) cos( θ) si ( θ) z = r + i = r + i Λύση προβλημάτων μέτρησης με χρήση γεννητριών συναρτήσεων: Αναπαριστούμε πρώτα το γεγονός ότι το αντικείμενο x μπορεί να επιλεγεί, 1, 2,, k 1 φορές, 1 2 k1 k με την παράσταση ( z z z... z ) Κάνουμε το ίδιο για καθένα από τα διαφορετικά στοιχεία με βάση το αντίστοιχο k i (αριθμός μέγιστων επιλογών για κάθε στοιχείο α i ). Στη συνέχεια εκτελούμε τις πράξεις μεταξύ των παρενθέσεων και παίρνουμε την Α(z). Ο συντελεστής του z r, σύμφωνα με τον ορισμό της γεννήτριας συνάρτησης αντιστοιχεί στον όρο α r της ακολουθίας που ψάχνουμε, όπου r είναι το πλήθος των επιλεγμένων στοιχείων από το σύνολο των (επιλογή r στοιχείων (π.χ. σημαίες σε ιστό) από συνολικά (συνολικά σημαίες). σελ. 6/26

7 Κώστας Φελουκατζής Σημειώσεις εξετάσεων Η-2 / ( ) + 1 a = a 1 + = i = 2 i= Συνοριακή συνθήκη: Η τιμή α = c (σταθερά). Είναι απαραίτητη για τον υπολογισμό των υπολοίπων όρων μιας ακολουθίας. Αναδρομική σχέση: είναι μια σχέση που ορίζει έναν όρο μιας ακολουθίας μέσω ενός προηγουμένου όρου της ίδιας ακολουθίας, καθορίζοντας και μια συνοριακή σχέση (τιμή) για τον πρώτο όρο της α. Αναδρομική ακολουθία -οστής τάξης: Μια αναδρομική ακολουθία, της οποίας ο ορισμός περιέχει προηγούμενους όρους ( 1) και επομένως απαιτεί καθορισμό συνοριακών συνθηκών. Γραμμική αναδρομική σχέση: η αναδρομική ακολουθία στην οποία οι όροι μέσα από τους οποίους ορίζεται ο όρος α της ακολουθίας είναι πολλαπλασιασμένοι με σταθερές και η μοναδική πράξη που μπορεί να υπάρχει μεταξύ τους είναι η πρόσθεση. Χαρακτηριστικά δυαδικών δέντρων: α) σε κάθε δέντρο υπάρχει ένας ξεχωριστός κόμβος που καλείται ρίζα. β) Για κάθε κόμβο ενός δυαδικού δέντρου υπάρχει η έννοια του αριστερού και δεξιού παιδιού. Αν ένας κόμβος έχει μόνο ένα μόνο παιδί, έχει σημασία αν αυτό είναι αριστερό ή δεξιό. Οι δυο τοποθετήσεις δεν είναι ισοδύναμες. Γεννήτρια συνάρτηση της ακολουθίας Τ : ο γενικός όρος της οποίας είναι ίσος με τον αριθμό των δυαδικών δέντρων με κόμβους είναι η T( z) 1 1 4z = (βλ. σελ ). 2z Συναρτησιακή εξίσωση: μια εξίσωση στην οποία ο άγνωστος είναι μια συνάρτηση και όχι κάποια απλή μεταβλητή. Επίλυση αναδρομικών σχέσεων με γεννήτριες συναρτήσεις: 1. Από τη σχέση α = x (όπου x μια αναδρομική σχέση) πολλαπλασιάζουμε και τα δυο μέλη της ισότητας με z. π.χ. η σχέση a = a 1+ a 2 γίνεται az = a 1z + a 2z 2. Θέτουμε το άθροισμα Σ και για τα δυο μέλη της ισότητας, από την τιμή όπου το έχει νόημα (ορίζονται όλες οι σχέσεις) έως το άπειρο. π.χ. az = a 1z + a 2z az = a 1z + a 2z = 3 = 3 = 3, για 3. σελ. 7/26

8 Κώστας Φελουκατζής Σημειώσεις εξετάσεων Η-2 / Φέρνουμε την παράσταση σε τέτοια μορφή ώστε να συμβαδίζουν οι δείκτες των όρων με τις αντίστοιχες δυνάμεις του z: π.χ az = a 1z + a 2z az = z a 1z + z a 2z = 3 = 3 = 3 = 3 = 3 = 3 4. Μετασχηματίζουμε στην παράσταση τα αθροίσματα στις αντίστοιχες γεννήτριες συναρτήσεις Α(z), λαμβάνοντας υπ όψη τους όρους που λείπουν (ολίσθηση αριστερά) και καταλήγοντας σε μια συναρτησιακή εξίσωση, π.χ.: = = 1 + = 3 = 3 = 3 ( ) ( ) ( ) a z z a z z a z A z a a z a z z A z a a z z A z 5. Αντικαθιστούμε τις συνοριακές τιμές (π.χ. α =, α 1 = 1, α 2 = 1), κάνουμε τις πράξεις και A z = z 1 z z 3 καταλήγουμε στον τύπο Α(z) = f(z), π.χ. ( ) 2 6. Από τη γεννήτρια συνάρτηση που βρήκαμε, υπολογίζουμε τον γενικό, μη αναδρομικό τύπο της αρχικής ακολουθίας, κάνοντας αν χρειάζεται ανάλυση σε μερικά κλάσματα (βλ. σελ. 69). Εκθετική γεννήτρια συνάρτηση: έστω μια ακολουθία α, α 1,, α, Η εκθετική γεννήτρια συνάρτησή της συμβολίζεται με Α(z) και ορίζεται ως η σειρά της ακολουθίας b με γενικό όρο b a z! a a a A z = z = a + z z +...! 1!! 1 1 = όταν το τείνει στο άπειρο, δηλαδή: ( ) = Διαφορά συνήθους και εκθετικής γεννήτριας συνάρτησης: στην εκθετική γεννήτρια συνάρτηση οι όροι της ακολουθίας της συνήθους γεννήτριας συνάρτησης διαιρούνται με το!. Η εκθετική γεννήτρια συνάρτηση χρησιμοποιείται: σε περιπτώσεις όπου έχουμε να κάνουμε με διακριτές δομές των οποίων τα στοιχεία είναι διακεκριμένα, καθώς όλες οι διαφορετικές διατάξεις τους δίνουν διαφορετικές δομές (έχει δηλαδή σημασία η σειρά τοποθέτησης). Όταν το πρόβλημα είναι επιλογή r αντικειμένων από μεταξύ ομοίων αντικειμένων χρησιμοποιούμε συνήθεις γεννήτριες συναρτήσεις. 2 3 z βλ. σελ.98. 2! 3!! z 1 + z = = e ( e 2.718) = Για να ανακτήσουμε τον όρο τάξης μιας ακολουθίας από μια εκθετική γεννήτρια συνάρτηση, που βρίσκουμε ή μας δίνεται, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε με!. Ισοδύναμα, αναζητούμε το συντελεστή του όρου z.! σελ. 8/26

9 Κώστας Φελουκατζής Σημειώσεις εξετάσεων Η-2 / Προσοχή: όταν χρησιμοποιούμε εκθετική γεννήτρια συνάρτηση, έχουμε πάντα άπειρους όρους, ακόμα και αν το πρόβλημα έχει πεπερασμένο πλήθος στοιχείων. Απλά στο τέλος επιλέγουμε συγκεκριμένο συντελεστή δύναμης του z αγνοώντας τους υπόλοιπους. Η μόνη περίπτωση για να μην έχουμε άπειρους όρους είναι όταν περιορίζεται ο αριθμός των εμφανίσεων ενός στοιχείου (π.χ. αν ένα στοιχείο πρέπει να εμφανίζεται 2 φορές το πολύ, οι δυνάμεις του z θα είναι, 1 και 2). ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Η γλώσσα Γ της προτασιακής λογικής: αποτελείται από σύμβολα προτάσεις που με χρήση συνδετικών συμβόλων μας δίνουν νέες προτάσεις. Το σύνολο συμβόλων της Γ : περιέχει τα εξής στοιχεία: 1. p, p 1, p 2, που καλούνται προτασιακές μεταβλητές. 2.,,,, που καλούνται σύνδεσμοι αντίστοιχα «άρνηση», «σύζευξη», «διάζευξη», «συνεπαγωγή», «ισοδυναμία». 3. (, ) που καλούνται παρενθέσεις. Αντίστοιχα «αριστερή παρένθεση» και «δεξιά παρένθεση». Μπορούμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε στη θέση τους και τα σύμβολα [, ] ή {, }. Κάθε προτασιακός τύπος περιέχει τον ίδιο αριθμό δεξιών και αριστερών παρενθέσεων (σελ. 22) Μ(Γ ): συμβολίζει το σύνολο των προτασιακών μεταβλητών. Για τις προτασιακές μεταβλητές χρησιμοποιούμε τα p, q, r, ως συντακτικές μεταβλητές που παίρνουν τιμές στο Μ(Γ ). Λογικά σύμβολα: ονομάζουμε τους συνδέσμους και τις παρενθέσεις γιατί έχουν πάντα συγκεκριμένο νόημα, ενώ οι προτασιακές μεταβλητές μπορούν να ερμηνευθούν με διάφορους τρόπους και επομένως αποτελούν μη λογικά σύμβολα. Ορισμός 2.1 (σελ. 19):Έκφραση της Γ : είναι μια τυχούσα πεπερασμένη ακολουθία από σύμβολά της. Ορισμός 2.2 (σελ. 2): Προτασιακός τύπος της Γ : μια έκφραση α καλείται προτασιακός τύπος αν και μόνο αν είναι προτασιακή μεταβλητή ή είναι της μορφής ( β ), ( β γ ), ( β γ ) ( β γ ) ή ( β γ ), όπου β, γ είναι ήδη κατασκευασμένοι προτασιακοί τύποι., σελ. 9/26

10 Κώστας Φελουκατζής Σημειώσεις εξετάσεων Η-2 / Τ(Γ ): συμβολίζει το σύνολο των προτασιακών τύπων της Γ. Τα φ, χ, ψ, χρησιμοποιούνται ως συντακτικές μεταβλητές που παίρνουν τιμές στο Τ(Γ ) (σελ. 21). Θεώρημα 2.1 (σελ. 21): Θεώρημα Αναδρομής: Αν Α τυχόν σύνολο, α Α και g:a A, τότε υπάρχει f:n A τέτοια που f()=a και f(+1) = g(f()) για κάθε N Θεώρημα 2.2 (σελ. 22): Αρχή της επαγωγής για το Τ(Γ ): Αν A T( ) M Γ τέτοιο που ( Γ ) A και για κάθε φ, ψ Α, οι ( φ ), ( φ ψ ), ( φ ψ ), ( φ ψ ), ( φ ψ ) στο Α τότε A T( ) = Γ. Απόδειξη σελ. 22. ανήκουν Αντιστοιχεί στην επαγωγή στην πολυπλοκότητα του φ, ή επαγωγή στη δομή των τύπων, ή επαγωγή στο Τ(Γ ). Λήμμα 2.1 (σελ. 23): Για τυχόντα προτασιακό τύπο φ και κάθε έκφραση α, αν η α είναι γνήσιο αρχικό τμήμα του φ, δηλαδή η α αρχίζει και συνεχίζει με τα ίδιο σύμβολα που έχει ο φ αλλά δεν τα περιλαμβάνει όλα, τότε η α δεν είναι προτασιακός τύπος. Θεώρημα 2.3 (σελ. 24): Θεώρημα μοναδικής αναγνωσιμότητας: Έστω οι συναρτήσεις : ( Γ) ( Γ ), G, G, G, G : T( ) T( ) T( ) G T T G ( φ ) = ( φ ), G ( φ, ψ) ( φ ψ ) Γ Γ Γ που ορίζονται ως = και όμοια για τις G, G, G. Τότε: Το σύνολο Μ(Γ ) και τα πεδία τιμών των G, G κλπ. είναι ξένα ανά δύο Οι G, G κτλ. είναι 1 1 συναρτήσεις. Ορισμός 2.3 (σελ. 26): Αποτίμηση ή εκτίμηση καλείται μια συνάρτηση : ( ) {, } a M Γ Α Ψ, όπου τα Α, Ψ καλούνται «τιμές αλήθειας» και αντιστοιχούν στις έννοιες «αληθής», «ψευδής». Η αυστηρή απόδειξη ότι κάθε αποτίμηση α επεκτείνεται με μοναδικό τρόπο στο Τ(Γ ) στηρίζεται στο γεγονός ότι το σύνολο Τ(Γ ) ορίστηκε αναδρομικά από το Μ(Γ ) με τη βοήθεια της συνάρτησης h έτσι ώστε να ισχύει η μοναδική αναγνωσιμότητα των τύπων (βλ. σελ. 27). Fuzzy Logic: πρόκειται για την «Ασαφή» (fuzzy) Λογική, οι τιμές αλήθειας της οποίας είναι αριθμοί στο διάστημα [, 1], δηλαδή στο σύνολο των πραγματικών αριθμών x για τους οποίους ισχύει x 1. Θεώρημα 2.4 σελ. 27: Έστω α τυχούσα αποτίμηση. Υπάρχει μοναδική συνάρτηση ( ) { } a: T Γ Α, Ψ τέτοια ώστε: η a είναι επέκταση της α και για οποιουσδήποτε προτασιακούς τύπους φ, ψ ισχύει: a( φ ) = F ( a( φ )), a( φ ψ ) F ( a( φ), a( ψ )) =, ( φ ψ ) = ( ( φ), ( ψ )), a( φ ψ) = F ( a( φ), a( ψ) ), a( φ ψ) F ( a( φ), a( ψ )) a F a a =. Ουσιαστικά, το θεώρημα αυτό μας λέει ότι για κάποια αποτίμηση α (η οποία δίνει τιμές στις σελ. 1/26

11 Κώστας Φελουκατζής Σημειώσεις εξετάσεων Η-2 / μεταβλητές ενός τύπου) υπάρχει μια αποτίμηση a τέτοια ώστε η συνολική τιμή του τύπου να ισούται με το αποτέλεσμα των λογικών πράξεων μεταξύ των μεταβλητών του τύπου, εφ όσον τους δώσουμε τις κατάλληλες τιμές από την α. Ορισμός 2.4 Ικανοποίηση τύπου (σελ. 32): Έστω T T( ) αποτίμηση. Θα λέμε τα εξής: i. «Η αποτίμηση α ικανοποιεί το φ» αν και μόνο αν a( ) Γ, φ προτασιακός τύπος και α φ = A. ii. «Η αποτίμηση α ικανοποιεί το Τ» αν και μόνο αν η α ικανοποιεί κάθε στοιχείο του Τ. iii. «Το Τ είναι ικανοποιήσιμο» αν και μόνο αν υπάρχει έστω και μια αποτίμηση που να το ικανοποιεί. iv. «Ο φ είναι ταυτολογία» αν και μόνο αν κάθε αποτίμηση ικανοποιεί τον φ. v. «Ο φ είναι αντίφαση» αν και μόνο αν ο φ είναι ταυτολογία (δηλαδή δεν υπάρχει καμιά αποτίμηση α που να ικανοποιεί τον φ για κάθε αποτίμηση υ(φ) = Ψ). Το σύνολο Μ(Γ ) είναι ικανοποιήσιμο ενώ το Τ(Γ ) δεν είναι (α/α σελ. 32). Ορισμός (2.5) Ταυτολογική συνεπαγωγή: Έστω T T( ) Γ και φ προτασιακός τύπος. Θα λέμε ότι «το Τ ταυτολογικά συνεπάγεται τον φ» και θα γράφουμε T = φ αν και μόνο αν κάθε αποτίμηση που ικανοποιεί το Τ ικανοποιεί και τον φ. Θα γράφουμε T φ όταν δεν ισχύει T = φ. Προσοχή: Δεν πειράζει αν κάποια αποτίμηση του Τ δεν ικανοποιεί τον φ, φτάνει να μην υπάρχει αποτίμηση που να ικανοποιεί τον φ αλλά όχι το Τ. Πιο απλά: ο φ συνεπάγεται ταυτολογικά τον ψ αν κάθε φορά, όπου ο φ είναι Α είναι και ο ψ επίσης Α (δεν μας ενδιαφέρει τι γίνεται όταν ο φ είναι Ψ). Για να δείξουμε ότι ο φ δεν συνεπάγεται ταυτολογικά τον ψ αρκεί να βρούμε έστω μια περίπτωση όπου φ = Α και ψ = Ψ. Δεν χρειάζεται να τις βρούμε όλες. Παρατηρήσεις: (σελ.32 33) T = φ για κάθε φ Τ. = φ ή = φ αν και μόνο αν ο φ είναι ταυτολογία. Αν το Τ είναι μη ικανοποιήσιμο τότε T = φ για κάθε προτασιακό τύπο φ. Αν Τ={ψ} και T = φ τότε γράφουμε ψ = φ και λέμε ότι «ο ψ ταυτολογικά συνεπάγεται το φ». Ταυτολογική Ισοδυναμία ( ): Δύο προτασιακοί τύποι φ και ψ είναι ταυτολογικά ισοδύναμοι όταν ισχύει ψ = φ και ταυτόχρονα φ = ψ και γράφεται ως φ ψ. σελ. 11/26

12 Κώστας Φελουκατζής Σημειώσεις εξετάσεων Η-2 / Αν σε μια ταυτολογία αντικαταστήσουμε όλες τις προτασιακές μεταβλητές με τυχόντες προτασιακούς τύπους, τότε ο νέος προτασιακός τύπος είναι επίσης ταυτολογία (σελ. 33). Θεώρημα 2.5 (Σε άτοπο απαγωγή) σελ. 34: Για κάθε T T( ) { φ} Γ, T = φ αν και μόνο αν το T δεν είναι ικανοποιήσιμο. Συνέπεια του θεωρήματος αυτού είναι ότι το να ελέγξουμε κατά πόσον οι υποθέσεις συνεπάγονται ταυτολογικά το συμπέρασμα φ είναι ισοδύναμο με το να ελέγξουμε αν υπάρχει αποτίμηση που ικανοποιεί το σύνολο T { φ} περιγράφει πλήρως την f (απόδ. σελ. 45). Το θεώρημα 2.7 είναι ουσιαστικά αντίστροφο του ορισμού 2.6. Υπάρχουν πάντα περισσότεροι από ένας προτασιακοί τύποι που περιγράφουν μια συνάρτηση Boole. Αν ο φ αντιπροσωπεύει την f, τότε κάθε τύπος ταυτολογικά ισοδύναμος με τον φ αντιπροσωπεύει επίσης την f. «Ο φ αντιπροσωπεύει την f» σημαίνει ότι ο πίνακας αλήθειας του φ περιγράφει πλήρως τη συνάρτηση Boole f (ορισμός 2.6). σελ. 12/26. Θεώρημα 2.6 (Συμπάγειας προτασιακής λογικής): Έστω Τ άπειρο σύνολο προτασιακών τύπων. Αν κάθε πεπερασμένο υποσύνολό του Τ είναι ικανοποιήσιμο, τότε το Τ είναι ικανοποιήσιμο (απόδ. σελ.69 ως πόρισμα των θεωρημάτων Πληρότητας και Εγκυρότητας). Για να βρούμε αν ένα πεπερασμένο σύνολο προτασιακών τύπων Τ συνεπάγεται ταυτολογικά έναν προτασιακό τύπο φ ή όχι κατασκευάζουμε τον πίνακα αλήθειας του T { φ} με όλους τους 2 δυνατούς συνδυασμούς των διαφορετικών προτασιακών μεταβλητών του T { φ} και κατόπιν εξετάζουμε τις σειρές, για να δούμε αν κάθε αποτίμηση που ικανοποιεί το Τ ικανοποιεί και το φ ή όχι (βλ. παρ. 2.5 σελ. 35, 36). Για να αποφανθούμε αν ένας τύπος δεν είναι ταυτολογία αρκεί να βρούμε μια αποτίμηση που θα δίνει σε αυτόν την τιμή Ψ. (βλ. παρ. 2.6, 2.7, 2.8, σελ. 36, 37, 38). Ορισμός 2.6 σελ. 43: Έστω k Ν. «Συνάρτηση Boole με k+1 μεταβλητές» καλείται κάθε k + 1 k + συνάρτηση f :{ ΑΨ, } { ΑΨ, }, όπου {, } 1 { ΑΨ, } { ΑΨ, } { ΑΨ, } ΑΨ είναι το καρτεσιανό γινόμενο k+1 φορές, δηλαδή το σύνολο με στοιχεία όλες τις δυνατές k+1 άδες <τ 1,,τ k+1 >, όπου τ i είναι Α ή Ψ. Θεώρημα 2.7 (σελ. 43): Αν f είναι μια συνάρτηση Boole με k+1 μεταβλητές, k Ν, τότε υπάρχει προτασιακός τύπος φ, στον οποίο εμφανίζονται οι p, p 1,,p k, τέτοιος που για κάθε αποτίμηση α ισχύει: a( φ ) = f ( a( p ),..., a( pk )). Δηλαδή ο πίνακας αλήθειας του φ

13 Κώστας Φελουκατζής Σημειώσεις εξετάσεων Η-2 / Ορισμός 2.7 (σελ. 46): Διαζευκτική μορφή τύπου: ένας προτασιακός τύπος είναι σε κανονική διαζευκτική μορφή αν και μόνο αν είναι της μορφής ψ ψ1... ψ, όπου κάθε ψ i = xi xi 1... xik, i =, 1, 2,, και x ij είναι προτασιακή μεταβλητή ή άρνηση προτασιακής μεταβλητής. Έναν τύπο μπορώ να τον φέρω σε κανονική διαζευκτική μορφή α) από τον πίνακα αληθείας του: από τις γραμμές που έχω Α κοιτώ τις διάφορες μεταβλητές και τι τιμή παίρνουν. Έτσι κατασκευάζω έναν τύπο της μορφής ( ) όπου p i οι μεταβλητές του τύπου σε μορφή p i ή p p1... pm... ψ pi ανάλογα αν η p i έχει τιμή Α ή Ψ. β) χρησιμοποιώντας τους κανόνες της Π.Λ.: κάνω απλοποιήσεις στον τύπο μέχρι να τον φέρω σε κανονική διαζευκτική μορφή. Προσοχή: με τον τρόπο (α) κάθε παράγοντας ψ περιέχει όλες τις μεταβλητές του τύπου σε κανονική ή αντίθετη μορφή ενώ με τον τρόπο (β) κάτι τέτοιο δεν είναι απαραίτητο. Πόρισμα 2.1 (σελ. 46): Κάθε προτασιακός τύπος είναι ταυτολογικά ισοδύναμος με έναν προτασιακό τύπο σε κανονική διαζευκτική μορφή. Ορισμός 2.8: Πλήρες (ή επαρκές) σύνολο συνδέσμων: Ένα σύνολο συνδέσμων C ονομάζεται πλήρες ή επαρκές αν και μόνο αν κάθε προτασιακός τύπος είναι ταυτολογικά ισοδύναμος με έναν προτασιακό τύπο που περιέχει μόνο συνδέσμους που ανήκουν στο C. Η ιδέα είναι ότι ένα σύνολο συνδέσμων είναι πλήρες αν οι 5 αρχικοί σύνδεσμοι μπορούν να εκφραστούν μέσω στοιχείων του C. Τα σύνολα {, }, {, } είναι πλήρη (Πρόταση 2.1, σελ. 47) Το σύνολο {,, } είναι πλήρες (ως συνέπεια του πορίσματος 2.1 σελ. 47) Έχοντας ένα πλήρες σύνολο συνδέσμων C και έναν προτασιακό τύπο φ, για να βρούμε έναν προτασιακό τύπο που να περιέχει μόνο συνδέσμους από το C και να είναι ταυτολογικά ισοδύναμος με το φ χρησιμοποιούμε τους νόμους αντικατάστασης. Για να δείξουμε ότι ένα σύνολο συνδέσμων δεν είναι πλήρες δείχνουμε ότι ο πίνακας αλήθειας κάθε προτασιακού τύπου που περιέχει συνδέσμους μόνο από το C έχει κάποια ιδιομορφία. Κατόπιν βρίσκουμε έναν προτασιακό τύπο που περιέχει ένα σύνδεσμο που δεν ανήκει στο C και του οποίου ο πίνακας δεν έχει αυτήν την ιδιομορφία (βλ. σελ. 49, παρ. 2.12). Το σύνολο {, } δεν είναι πλήρες (σελ. 49) σελ. 13/26

14 Κώστας Φελουκατζής Σημειώσεις εξετάσεων Η-2 / Πρόταση 2.2. (σελ. 51): Για κάθε διθέσιο σύνδεσμο «*» διαφορετικό από τους, το σύνολο {*} δεν είναι πλήρες. Καθένας από τους 1 διθέσιους συνδέσμους (βλ. δραστηριότητα 2.3 σελ. 81), εκτός των και +, αποτελεί μαζί με το ένα πλήρες σύνολο. Ορισμός συνδέσμων: + : αποκλειστική διάζευξη (XOR): ή αλλά όχι και τα δυο : δεν ή δεν. (NAND) : ούτε ούτε (NOR) (βλ. σελ. 5) Ορισμός 2.9 (σελ. 54): Αξιωματικό σύστημα: ένα αξιωματικό (ή τυπικό) σύστημα για τον προτασιακό λογισμό αποτελείται από τα εξής: 1. Ένα σύνολο προτασιακών τύπων Α (που καλούνται αξιώματα) 2. Ένα σύνολο Κ, με στοιχεία διμελείς σχέσεις ανάμεσα σε σύνολα προτασιακών τύπων και προτασιακούς τύπους που καλούνται αποδεικτικοί κανόνες. Σημασιολογική θεώρησης της έννοιας της απόδειξης: έχει σημασία η διατήρηση της αλήθειας από τις υποθέσεις στο συμπέρασμα. Συντακτική θεώρησης της έννοιας της απόδειξης: αφορά αποκλειστικά στη μορφή των υποθέσεων και του συμπεράσματος, σε σχέση με τους αποδεικτικούς κανόνες. Αποδεικτικοί κανόνες: Μηχανικές διαδικασίες, με βάση τις οποίες μεταβαίνουμε από κάποιους προτασιακούς τύπους σε άλλους προτασιακούς τύπους. Ορισμός 2.1 (σελ. 54): Έστω Α = <Α, Κ> ένα αξιωματικό σύστημα για τον προτασιακό λογισμό, Τ σύνολο προτασιακών τύπων και φ προτασιακός τύπος: 1. Τυπική απόδειξη στο Α από το Τ: καλείται κάθε πεπερασμένη ακολουθία προτασιακών τύπων φ 1, φ 2,, φ τέτοια που για κάθε i = 1, 2, 3,.,, φ i A T ή ο φ i είναι άμεση συνέπεια προηγούμενων προτασιακών τύπων, με βάση κάποιον αποδεικτικό κανόνα. Όταν T = αντί για τυπική απόδειξη από το Α στο λέμε απλά «τυπική απόδειξη στο Α» 2. Λέμε ότι «ο φ αποδεικνύεται τυπικά στο Α από το Τ», γράφοντας T A φ, αν και μόνο αν υπάρχει μια τυπική απόδειξη φ 1, φ 2,, φ από το Τ τέτοια ώστε φ = φ. Όταν T φ τα στοιχεία του Τ καλούνται «υποθέσεις» και ο φ καλείται «συμπέρασμα». A Όταν T = και T φ τότε γράφουμε απλά A φ και λέμε ότι «ο φ είναι τυπικό A θεώρημα του Α». Αν T A φ τότε T ' A φ για κάποιο πεπερασμένο T' T (βλ. σελ. 55). T A φ τετριμμένα για κάθε φ T σελ. 14/26

15 Κώστας Φελουκατζής Σημειώσεις εξετάσεων Η-2 / Σε κάθε βήμα μιας τυπικής απόδειξης μπορούμε να κάνουμε χρήση των αξιωματικών σχημάτων και του ΜΡ, παίρνοντας κάθε φορά αυθαίρετα προτασιακούς τύπους στη θέση των φ, χ, ψ. Τα αξιώματα της και ο κανόνας ΜΡ διατηρούν την ταυτολογική συνεπαγωγή (α/α 2.9, σελ. 24). Τυπικά θεωρήματα: Για τυχόντες προτασιακούς τύπους φ, ψ ισχύει φ φ και φ φ (παρ και 2.15, σελ. 56, 6) { φ ψψ, χ} φ χ και { ( ) } φ ψ χ, ψ φ χ (πόρισμα 2.2 σελ. 6) φ ( φ ψ) και ( ψ φ) ( φ ψ) και φ ( ψ ( φ ψ) ) (δραστ. 2.4 σελ. 61, απόδειξη σελ. 81) Θεώρημα 2.8 Θεώρημα Απαγωγής: Για κάθε T T( Γ ), αν { } T φ ψ τότε T φ ψ (απόδειξη σελ. 58). Δηλαδή, αν έχουμε έναν τύπο της μορφή φ ψ και θέλουμε να αποδείξουμε ότι T φ ψ θεωρούμε ότι το φ ανήκει στις υποθέσεις μας και προσπαθούμε να αποδείξουμε ότι ισχύει ο ψ. Αντίστροφο Θεώρημα Απαγωγής: Αν θ 1,, θ ν, φ ψ είναι μια απόδειξη της φ ψ από το Τ, τότε η ακολουθία θ 1,, θ ν, φ ψ, ψ είναι μια απόδειξη της ψ από το T { φ}, όπου το τελευταίο βήμα δικαιολογείται με εφαρμογή του κανόνα MP στις φ και φ ψ. Επομένως ισχύει ότι { } T φ ψ ανν T φ ψ. Θεώρημα 2.9 Αντιθετοαντιστροφής: Για κάθε σύνολο προτασιακών τύπων Τ και τυχόντες προτασιακούς τύπους φ, ψ ισχύει: T { φ} ψ ανν { } 2.1 σελ. 24) T ψ φ (απόδειξη άσκηση Ορισμός 2.11 (σελ. 62): Συνέπειας: Έστω Τ σύνολο προτασιακών τύπων. Θα λέμε ότι: 1. Το Τ είναι «συνεπές» ανν δεν υπάρχει προτασιακός τύπος φ τέτοιος ώστε T και T φ 2. Το Τ είναι «αντιφατικό» ανν το Τ δεν είναι συνεπές. * Αν το Τ είναι αντιφατικό, τότε T για κάθε τύπο ψ. ψ Θεώρημα 2.1 της σε άτοπο απαγωγής (σελ. 62): Για κάθε σύνολο προτασιακών τύπων Τ και για κάθε προτασιακό τύπο φ αν το T { φ} είναι αντιφατικό τότε T φ φ σελ. 15/26

16 Κώστας Φελουκατζής Σημειώσεις εξετάσεων Η-2 / Λήμμα 2.2: Για τυχόντα προτασιακό τύπο φ, κάθε σειρά του πίνακα αλήθειας του φ παραπέμπει σε μια τυπική απόδειξη του φ ή του φ, αν θεωρήσουμε ως υποθέσεις τις προτασιακές μεταβλητές που εμφανίζονται στο φ ή τις αρνήσεις τους, ανάλογα με τις τιμές αλήθειας στη σειρά αυτή. Είναι: Έστω φ προτασιακός τύπος τέτοιος ώστε όλες οι προτασιακές μεταβλητές, που εμφανίζονται στον φ, να είναι ανάμεσα στις p, p 1,,p k, και α τυχούσα αποτίμηση. Ορίζουμε τους προτασιακούς ( ) A φ αν α φ = τύπους φ, p,..., pk ως εξής: φ = φ αλλιώς Τότε ισχύει { } p,..., pk φ (απόδειξη σελ. 65) και ( ) pi αν a pi = A pi = i =,1,... pi αλλιώς Θεώρημα 2.12 (σελ. 66) Θεώρημα Πληρότητας Προτασιακού Λογισμού: Για κάθε σύνολο προτασιακών τύπων Τ ισχύει αν T = τότε T φ Θεώρημα 2.14 (σελ. 68) Θεώρημα Εγκυρότητας Προτασιακού Λογισμού: Για κάθε σύνολο προτασιακών τύπων Τ ισχύει αν T τότε T = φ φ φ Το θεώρημα Εγκυρότητας αποτελεί το αντίστροφο του θεωρήματος Πληρότητας T αποδεικνύεται με τους νόμους και τα θεωρήματα της Π.Λ. φ T = αποδεικνύεται με πίνακες αλήθειας. φ Όλα τα τυπικά θεωρήματα είναι ταυτολογίες: επομένως, αν μου ζητηθεί να αποδείξω ένα τυπικό θεώρημα είτε κατασκευάζω τυπική απόδειξη είτε δείχνω ότι είναι ταυτολογία μέσω πίνακα αλήθειας. σελ. 16/26

17 Κώστας Φελουκατζής Σημειώσεις εξετάσεων Η-2 / ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Θεώρημα Αντικατάστασης (ερ. 14, ασκήσεις επανάληψης): Αν θ χ και η φ* προκύπτει από τη φ με αντικατάσταση κάποιων εμφανίσεων του υπό-τύπου θ της φ από τον τύπο χ τότε T φ ανν T * φ Θεώρημα αλφαβητικών παραλλαγών: Σε κάθε τύπο μπορούμε, χωρίς να αλλάξουμε το νόημά του να αντικαταστήσουμε όλες τις εμφανίσεις μιας μεταβλητής στο πεδίο εφαρμογής κάποιου ποσοδείκτη με μια καινούργια. Η ιδέα είναι να αντικαταστήσουμε κατάλληλα μεταβλητές που ανήκουν σε ποσοδείκτες που θέλουμε να μετακινήσουμε έτσι ώστε να ικανοποιείται η προϋπόθεση ότι η μεταβλητή του ποσοδέκτη δεν θα εμφανίζεται ελεύθερη στον τύπο. Μια μεταβλητή εμφανίζεται ελεύθερη σε έναν τύπο αν δεν εμπίπτει στο πεδίο εφαρμογής κάποιου ποσοδείκτη. Αν μια μεταβλητή δεν εμφανίζεται καθόλου είναι δεσμευμένη Προτάσεις: είναι οι τύποι όπου καμιά μεταβλητή δεν εμφανίζεται ελεύθερη όλες οι μεταβλητές εμπίπτουν στο πεδίο εφαρμογής κάποιου ποσοδείκτη η τιμή αλήθειάς τους είναι ανεξάρτητη από την αποτίμηση. Έγκυρος τύπος: προτάσεις (τύποι) οι οποίες παίρνουν τιμή Α για κάθε αποτίμηση και κάθε ερμηνεία (δομή) της γλώσσας. Κανονική ποσοδεικτική μορφή: τραβάω μπροστά όλους τους ποσοδείκτες κάνοντας χρήση των νόμων μετακίνησης ποσοδεικτών. Το υπόλοιπο τμήμα του τύπου που μένει λέγεται «μήτρα» ή ανοικτός τύπος δεν περιέχει ποσοδείκτες σελ. 17/26

18 Κώστας Φελουκατζής Σημειώσεις εξετάσεων Η-2 / Συνδυαστική Μέτρηση Κανόνας Γινομένου Συνδυασμός δύο ανεξάρτητων ενδεχομένων ( m ) Κανόνας Αθροίσματος Συνδυασμός δυο αμοιβαία αποκλειόμενων ενδεχομένων (m+) Μεταθέσεις Τοποθέτηση διαφορετικών αντικειμένων σε μια σειρά, το ένα δίπλα στο άλλο! Μεταθέσεις 5 αντικειμένων 2 ομάδων με 3 στοιχειά η μια και 2 η άλλη. 5! 3!2! Διατάξεις χωρίς επανάληψη Τοποθέτηση k αντικειμένων από διαφορετικά αντικείμενα το ένα διπλά στο άλλο! P(,k) = ( k)! Συνδυασμός k αντικειμένων από Επιλογή k αντικειμένων από, χωρίς επαναλήψεις ο αριθμός των διαφορετικών υποσυνόλων k στοιχειών ενός συνόλου P(,k)! C(,k) = = = k! k!( k)! k = 1 = = 1 1 Συνδυασμοί με επανάληψη ( + k 1)! C( + k 1,k) = k!( 1)! k Διατάξεις με επανάληψη διακεκριμένα σφαιρίδια σε m διακεκριμένα κουτιά Δεν έχει σημασία η σειρά εμφάνισης m (Συνδυασμοί) διακεκριμένα σφαιρίδια σε m διακεκριμένα κουτιά Έχει σημασία η σειρά (m + 1)! (m 1)! μη διακεκριμένα σφαιρίδια σε m διακεκριμένα κουτιά Δεν έχει σημασία η σειρά εμφάνισης: (m + 1)! = C(m + 1,)!(m 1)! μη διακεκριμένα σφαιρίδια σε m διακεκριμένα κουτιά m Κάθε κουτί περιέχει το πολύ ένα σφαιρίδιο m!!(m )! = C(m,) Αριθμός απλών κύκλων στο γράφημα Κ ν,μ : Υποθέτοντας ότι επιλέγουμε i κορυφές από τις ν και ίσες (i) από το μ και k = mi( N, M ), εφαρμόζουμε τον κανόνα του γινομένου προκύπτει ότι i= k { } απλοί κύκλοι στο Κ ν,μ υπάρχουν συνολικά C( N, i) * C( M, i) i= 2 σελ. 18/26

19 Κώστας Φελουκατζής Σημειώσεις εξετάσεων Η-2 / Γεννήτριες Συναρτήσεις Γεωμετρική Πρόοδος- Ακολουθία α, α1,... α με α =λα 1 Ο γενικός ορός της σειράς της ακολουθίας είναι Το άθροισμα των απείρων ορών μιας ακολουθίας είναι S 1 λ = 1 λ lim S Όταν λ<1 τότε το άθροισμα των απείρων ορών είναι 1 S = 1 λ Εκθετική γεννήτρια συνάρτηση: α Α ( z) = z! = Χρησιμοποιούμε το αποτέλεσμα της Ανάλυσης που λέει ότι = z = e! z Πλήρης ακολουθία 2 3 x x 1+ x = e 2! 3! x Άρτια 2 4 x x x x e + e = 2! 4! 2 Περιττή 3 5 x x x x e e x = 3! 5! 2 x x 2! 3! 2 3 x Τουλάχιστο ένα x = ( e 1) Παραδείγματα ( 4z) ( 4z) 1 4x z (e 1) = 1 = = =! = 14! = 1! ( ) x x x x!!!! 3x 2x x e 2e e + 2= ( 1) + 2= ( 1) = = = = 4z 3z 2z z Παράδειγμα - e 4e + 6e 4e + 1 και ψάχνουμε το συντελεστή του = 11 z 11! τότε είναι σελ. 19/26

20 Κώστας Φελουκατζής Σημειώσεις εξετάσεων Η-2 / Θεωρία Γραφημάτων Απλό Γράφημα Όχι ανακυκλώσεις, Όχι παράλληλες. Πλήρες (κλίκα) Κ ν απλό γράφημα και όλες οι κορυφές ενώνονται μεταξύ τους Ο μέγιστος αριθμός ακμών σε ένα απλό πλήρες συνεκτικό γράφημα είναι: Διχοτομήσιμο (διμερές) μπορεί να διαμεριστεί σε δυο σύνολα Πλήρες και Διχοτομήσω Κ,m. Αριθμός ακμών είναι m Μονοπάτι ακολουθία ακμών και κορυφών Μήκος μονοπατιού = αριθμός των ακμών Συνδεόμενο- αν υπάρχει μονοπάτι για Κάθε ζεύγος κορυφών Απλό μονοπάτι χωρίς επαναλαμβανόμενες κορυφές ( 1) 2 Κύκλος Μονοπάτι χωρίς επαναλαμβανόμενες ακμές οπού η αρχική και η τελική κορυφή συμπίπτουν Απλός Κύκλος Κύκλος χωρίς επαναλαμβανόμενες κορυφές. Δυο κύκλοι θεωρούνται διαφορετικοί αν διαφέρουν τουλάχιστον σε μια κορυφή Κάθε απλός κύκλος στο Κ ν,μ περιέχει άρτιο αριθμό κορυφών Ο μέγιστος αριθμός ακμών σε ένα απλό μη συνεκτικό γράφημα είναι ( 1)( 2) Κάθε απλός γράφος με τουλάχιστον δυο κορυφές περιέχει τουλάχιστον δυο κορυφές ίσου βαθμού, Μονοπάτι από την α στη ζ. Αν είναι μεγιστοτικό, όλες οι γειτονικές κορυφές στη ζ συμμετέχουν στο μονοπάτι. Σε διμερές γράφημα, το άθροισμα των βαθμών της μιας διαμέρισης είναι ίσο με της άλλης Κύκλος Euler Κύκλος που περιέχει κάθε ακμή μονό μια φορά και κάθε κορυφή του γραφήματος (αλλά μπορεί κάποια ή κάποιες κορυφές να επαναλαμβάνονται) Απαραίτητη συνθήκη για κύκλο Euler: Συνδεόμενο γράφημα και κάθε κορυφή έχει άρτιο βαθμό (Θεώρημα 4.1) Σε ένα γράφημα με μ ακμές και ν κορυφές ισχύει δ( ν ι) = 2 δηλαδή το άθροισμα των i= 1 βαθμών των κορυφών ενός γραφήματος είναι άρτιος. Το πλήθος των κορυφών με περιττό βαθμό είναι άρτιο. Αν το άθροισμα των βαθμών Κάθε ζεύγους κορυφών είναι >= ν το υπάρχει Κύκλος Hamilto. Το Κν περιέχει κύκλο Euler Όταν ν = περιττός 2 σελ. 2/26

21 Κώστας Φελουκατζής Σημειώσεις εξετάσεων Η-2 / Το Κ ν,μ περιέχει Euler όταν ν άρτιος και μ άρτιος Κύκλος Hamilto: κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μια φορά (και επειδή είναι κύκλος κάθε ακμή του επαναλαμβάνεται μόνο μια φορά, αλλά δεν είναι υποχρεωτικό να περιλαμβάνονται όλες οι ακμές του γραφήματος) Για να υπάρχει Hamilto πρέπει Κάθε κορυφή να έχει βαθμό 2: πρέπει όσες κορυφές τόσες και ακμές Προσπαθούμε να εξαλείψουμε ακμές από κορυφές με βαθμό μεγαλύτερο του 2 Σύνολο Ανεξαρτησίας σε ένα γράφο G είναι ένα υποσύνολο κορυφών που δε συνδέονται μεταξύ τους με ακμές Γειτνίαση (Μητρώο Σύνδεσης) Γειτονικές κορυφές Πρόσπτωση (Εφαπτόμενες ακμές) ακμή σε κορυφή Ισομορφισμός Με την ιδία αναδιάταξη των στηλών και γραμμών του πίνακα γειτνίασης Α να πάρουμε τον ΠΓ Β. Μεθοδολογία για Ισομορφισμό Ονομάζουμε κορυφές και εξετάζουμε αντιστοιχία και διαδοχικότητα. Οι Πίνακες Γειτνίασης (ΠΓ) πρέπει να είναι Ίδιοι. Ο Βαθμός μιας κορυφής είναι ίσος με το άθροισμα των στοιχειών της γραμμής η στήλης που αντιστοιχεί στη κορυφή αυτή (γειτνίασης) Σε ένα πίνακα Α ν, το στοιχείο ι,j δείχνει τον αριθμό μονοπατιών μήκους ν από την ι στη j. Ο βαθμός μιας κορυφής είναι ίσος με το άθροισμα των στοιχειών της γραμμής για τη κορυφή αυτή στο πίνακα Πρόσπτωσης Αναλλοίωτες ιδιότητες o αριθμός κορυφών o αριθμός ακμών o βαθμός κορυφών o ύπαρξη κύκλου Euler (δραστηριότητα. 4.8) o ύπαρξη συνεκτικότητας (δραστηριότητα. 4.8) o αν οι συμπληρωματικοί είναι ισόμορφοι τότε και οι κανονικοί είναι o μέγιστος βαθμός κορυφών o αριθμός κορυφών με μέγιστο βαθμό o μήκος ελάχιστου κύκλου o μήκος μέγιστου κύκλου o ύπαρξη και/ή αριθμός κύκλων o αριθμός συνεκτικών συνιστωσών o έχει απλό κύκλο μήκους k (α/α 4.16) Επίπεδο γράφημα αποτύπωση χωρίς διασταυρούμενες ακμές σελ. 21/26

22 Κώστας Φελουκατζής Σημειώσεις εξετάσεων Η-2 / Όψη ορίζεται από ένα κύκλο μιας αποτύπωσης Βαθμός όψης αριθμός των ακμών της όψης Τύπος του Euler Σε συνδεόμενο Επίπεδο γράφημα με ε = αριθμός ακμών και κ = κορυφές και ο = όψεις ισχύει ο = ε κ +2 Εάν ένα γράφημα περιέχει το Κ 3,3 ή το Κ 5 δεν είναι επίπεδο. Ομοιομορφικά μπορούν να απλοποιηθούν σε ισόμορφα με απλοποιήσεις σειράς Εάν Γ είναι επίπεδο, απλό με ε>1 τότε ε 3κ-6 Κάθε γράφος έχει άρτιο αριθμό κορυφών περιττού βαθμού Για οποιοδήποτε γράφο ισχύει u V(G) d (u) = 2e(G) G Γέφυρα: Μια ακμή είναι γέφυρα αν δεν υπάρχει απλός κύκλος που την περιέχει Μια ακμή περιέχεται σε απλό κύκλο ανν περιέχεται σε κύκλο. Χρωματισμός γραφήματος: Έστω G = (V, E) ένα απλό γράφημα. Ο φυσικός αριθμός k λέγεται χρωματικός αριθμός του γραφήματος αν μπορούμε να βρούμε k σύνολα ανεξαρτησίας στο γράφημα που η ένωσή τους να είναι όλες οι κορυφές και δεν μπορούμε να βρούμε k 1 σύνολα ανεξαρτησίας με την ίδια ιδιότητα. Ο κύκλος C, 3 έχει χρωματικό αριθμό 2 αν το είναι άρτιος και 3 αν το είναι περιττός. Θεώρημα: Ένα απλό και συνδεόμενο γράφημα G είναι διχοτομήσιμο αν και μόνο ανά κάθε κύκλος του έχει άρτιο μήκος. Θεώρημα: Αν σε ένα γράφημα όλες οι κορυφές του έχουν βαθμό k τότε ο χρωματικός του αριθμός είναι το πολύ k +1. Διαφορετικοί κύκλοι: κύκλοι που διαφέρουν σε μια τουλάχιστον ακμή. Ο αριθμός των κορυφών ενός γραφήματος με περιττό βαθμό είναι άρτιος.\ Κανονικός γράφος: ο γράφος G για τον οποίο ισχύει ότι κάθε κορυφή του έχει τον ίδιο (σταθερό) βαθμό. Σε κάθε γράφημα (αν) υπάρχει ένας μόνο κύκλος Euler. Αντίθετα ένας κύκλος Hamilto, αν υπάρχει, δεν είναι κατ ανάγκη μοναδικός σε ένα γράφημα. Δέντρα Απλό γράφημα με ένα μονοπάτι ανά ζεύγος κορυφών Επίπεδο = το μήκος του μονοπατιού από τη ρίζα στη ν Ύψους = ο μεγαλύτερος αριθμός επιπέδου κορυφής Θεώρημα 5.1 Εάν Τ γράφημα με ν κορυφές τότε (ισοδύναμοι ορισμοί για δέντρο): o Τ είναι δέντρο σελ. 22/26

23 Κώστας Φελουκατζής Σημειώσεις εξετάσεων Η-2 / o είναι συνδεόμενο και ακυκλικό o είναι συνδεόμενο με (ν 1) ακμές o είναι ακυκλικό με ν 1 ακμές Συνδετικά δέντρα (Spaig Trees): δέντρα που περιέχουν το σύνολο των κορυφών ενός γραφήματος Κάθε δέντρο είναι διχοτομήσιμο: ένα γράφημα είναι διχοτομήσιμο αν και μόνο αν δεν περιέχει κύκλους με περιττό μήκος. Ένα δέντρο δεν περιέχει κύκλους άρα είναι διχοτομήσιμο. Ο αριθμός των ακμών et ( ) ενός δέντρου είναι et ( ) = pi 1 όπου p i ο βαθμός της κορυφής i και ο συνολικός αριθμός κορυφών του δέντρου (θεώρημα 2.1, σελ. 137 Μαυρ.) Εύρεση Συνδετικού δέντρου: o Κατά πλάτος Διάσχιση (Βreadth first) o Κατά βάθος (Depth first) o Miimum Spaig Tree Συνδετικό δέντρο με ελάχιστο βάρος (Αλγόριθμος του Prim) Δυαδικό Δέντρο Κάθε κορυφή έχει ένα ή δυο ή κανένα παιδιά m αδικό δέντρο (ορισμός 2.15, σελ. 219 Μαυρ.): Για οποιονδήποτε ακέραιο m 2, ένα m- αδικό δέντρο είναι ένα ριζωμένο δέντρο στο οποίο κάθε κορυφή έχει m ή λιγότερα παιδιά. Ένα m αδικό δέντρο έχει το πολύ i= 1 k m κορυφές βάθους k (πρόταση 2.18 σελ. 219 Μαυρ.) Άνω και κάτω φράγμα για τον αριθμό κορυφών ενός m αδικού δέντρου (θεώρημα 2.15, h 1 m 1 Μαυρ. σελ. 22): Έστω αυθαίρετο m αδικό δέντρο Τ ύψους h. Τότε 1 ( ) + h+ T m 1 Πλήρες Δυαδικό Κάθε κορυφή ή έχει δυο παιδιά ή κανένα. Το Πλήρες Δυαδικό δέντρο βάθους h έχει 2 h+1 1 κορυφές Δέντρο Αναζήτησης Αριστερά παιδιά μικρότερα από πατερά και ρίζα και δεξιά παιδιά μεγαλύτερα από πατερά και ρίζα Για Δυαδικό δέντρο ύψους Η και τερματικών κορυφές τ ισχύει log 2 t H ή τ 2 Η. Ο αριθμός συγκρίσεων που απαιτείται για την αναζήτηση ενός δεδομένου θα είναι τουλάχιστο ίσος με log 2 t = log 2 (+1). Preorder-ρίζα αριστερό δεξί Postorder-αριστερό δεξί κέντρο Iorder- αριστερό κέντρο δεξί σελ. 23/26

24 Κώστας Φελουκατζής Σημειώσεις εξετάσεων Η-2 / Νόμοι Προτασιακής Λογικής αντιμεταθετικότητας ( p q) ( p q) προσεταιριστικότητας p ( q r) q p q p ( p q) r p ( q r) ( p q) r επιμεριστικότητας p ( q r) ( p q) ( p r) p ( q r) ( p q) ( p r) διπλής άρνησης ( p) p άρνησης συνεπαγωγής ( p q) p q De Morga ( p q) ( p q) p q p q αποκλεισμού τρίτου p p Α p q p q αντιθετοαναστροφής ( ) ( ) εξαγωγής ( p q r) p ( q r) αντικατάστασης ( p q) ( p q) ( p q) ( p q) ( q p) ( p q) ( p q) ( p q) ( p q) Νόμος Απορρόφησης: αν φ = ψ (φ λογική συνέπεια του ψ) τότε ο τύπος (φ και ψ) είναι ισοδύναμος με το φ. Νόμοι Ποσοδεικτών άρνησης xφ x φ xφ x φ xφ x φ xφ x φ κατανομής x( φ ψ ) x( φ ψ) εναλλαγής xφ xψ xφ xψ x yφ y xφ x yφ y xφ Μετακίνησης ( φ xψ ) x( φ ψ ) ( φ xψ ) x( φ ψ ) ( xψ φ) x( ψ φ) εμφανίζεται ελεύθερη στον φ ( xψ φ ) x( ψ φ ) *με την προϋπόθεση ότι η x δεν Οι νόμοι μετακίνησης ποσοδεικτών επαληθεύονται με τη χρήση του ορισμού 3.7 (Tarski) σελ.19 σελ. 24/26

25 Κώστας Φελουκατζής Σημειώσεις εξετάσεων Η-2 / A = t t υ Ορισμοί αλήθειας του Tarski αν και μόνο αν υ t = υ t 1 1 2[ ] ( 1) ( 2) 2 P( t,..., 1 t )[ υ ] ( ) A υ t1 υ ( t ) P 3 ψ [ υ] δεν ισχύει A = ψ [ υ] 4 ( ψ χ)[ υ] ( A = ψ [ υ] και A = χ[ υ] ) 5 ( ψ χ)[ υ] ( A = ψ [ υ] ή A = χ[ υ] ) 6 ( ψ χ)[ υ] ( αν A = ψ [ υ] τότε A = χ[ υ] ) 7 ( ψ χ)[ υ] ( A = ψ [ υ] ανν A = χ[ υ] ) 8 xψ [ υ] για κάθε a A ισχύει A = ψ υ ( x a) 9 xψ [ υ] υπάρχει a A τ έτοιο ώστε A ψ υ ( x a) = Τοποθέτηση σφαιριδίων σε κουτιά Μοντέλο Περιορισμός Τοποθετήσεις σ διακεκριμένα σφαιρίδια σε κ διακεκριμένα κουτιά διακεκριμένα σφαιρίδια σε κ διακεκριμένα κουτιά σ μη διακεκριμένα σφαιρίδια σε κ διακεκριμένα κουτιά (σ > κ) Δεν έχει σημασία η σειρά εμφάνισης των σφαιριδίων στα κουτιά Έχει σημασία η σειρά εμφάνισης των σφαιριδίων στα κουτιά Δεν έχει σημασία η σειρά εμφάνισης των σφαιριδίων στα κουτιά ( κ + σ ) σ! ( κ 1 )! σ κ ( κ + σ ) ( κ 1! ) 1! 1! = C + ( κ σ 1, σ) σ μη διακεκριμένα σφαιρίδια σε κ διακεκριμένα κουτιά (κ σ) Κάθε κουτί το πολύ ένα σφαιρίδιο (για κ = σ: ακριβώς ένα σφαιρίδιο σε κάθε κ! C σ! κ σ! = κουτί) ( ) ( κ, σ ) σελ. 25/26

26 Κώστας Φελουκατζής Σημειώσεις εξετάσεων Η-2 / Αξιωματικό Σύστημα Α : Αξιωματικά σχήματα ΑΣ1 φ ( ψ φ) ΑΣ2 ( φ ( ψ χ) ) ( ( φ ψ) ( φ χ) ) ΑΣ3 ( φ ψ) (( φ ψ) φ) όπου φ, χ, ψ οποιοιδήποτε προτασιακοί τύποι οι επαναλήψεις επιτρέπονται (μπορούμε δηλαδή να θέσουμε λ.χ. ψ = φ, οπότε το ΑΣ1 να γραφεί ως φ ( φ φ) Κ : Μοναδικό του στοιχείο είναι ο αποδεικτικός κανόνας της «απόσπασης» (Modus Poes - ΜΡ) που περιγράφεται ως, MP : φ ψφ. Ως σύνολο, ο κανόνας αυτός ορίζεται: ψ { {, }, : φ, ψ τυχόντες προτασιακοί τύποι} MP = < φ ψ φ ψ >. Σε απλά λόγια, όταν έχουμε έναν τύπο της μορφής φ ψ, εφ όσον το φ ανήκει στις υποθέσεις μας ή είναι κάποιο φ i, μπορούμε να αποσπάσουμε μόνο το συμπέρασμα και να τον μετασχηματίσουμε σε σκέτο ψ. (βλ. παρ σελ ) Για τυχόντες προτασιακούς τύπους φ, ψ ισχύει φ φ Τυπικά θεωρήματα φ φ 2.14 και 2.15, σελ. 56, 6) { } φ ψψ, χ φ χ { ( ) } φ ψ χ, ψ φ χ a/a 2.2 σελ. 6) ( ) φ φ ψ ( ) ( ) ψ φ φ ψ ( ( )) φ ψ φ ψ (δραστ. 2.4 σελ. 61, απόδειξη σελ. 81) (( ) ) φ ψ φ φ Νόμος του Pierce (ερ. 11 ασκ. επανάληψης) σελ. 26/26