ΕΦΑΡΜΟΖΟΝΤΑΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΦΑΡΜΟΖΟΝΤΑΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ"

Transcript

1 ΕΦΑΡΜΟΖΟΝΤΑΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΤΣΑΠΑΚΙΔΗΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ ΝΤΑΓΙΑΝΤΑΣ ΚΑΖΑΝΤΖΗ 23 ΔΥΡΡΟΥ 25 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Τόσο σε θεωρητικό επίπεδο (Διδακτική) όσο και στις αίθουσες διδασκαλίας γίνεται επιτακτική η ανάγκη να εμπεδωθούν οι μαθηματικές έννοιες, εφαρμοζόμενες στην πράξη, δηλαδή με προβλήματα συνδεδεμένα με τις άλλες επιστήμες. Στην εισήγησή μας δείχνουμε ένα δρόμο προς την κατεύθυνση αυτή, προτείνοντας τέτοιου είδους προβλήματα στην ύλη της Β Λυκείου. ABSTRACT Both at theoretical level and in the classroom, mathematical notions have to be embedded through problems that are relevant to other sciences, problems whose source is life itself. In this article we are showing the way to this direction, by suggesting problems of this kind that are appropriate for teaching in the second class of high school. Σχεδόν σε όλα τα κείμενα διδακτικής των μαθηματικών 1, καθώς και στις ημερίδες και τα συνέδρια της Ε.Μ.Ε. και των παραρτημάτων της 2, κατά κόρον αναφέρεται η ανάγκη σύνδεσης των Μαθηματικών της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης με την πραγματική ζωή και τις άλλες επιστήμες. Πλην όμως, η πραγματικότητα στις αίθουσες διδασκαλίας ανά τη χώρα είναι εντελώς διαφορετική, όπου τα μαθηματικά είναι αυτοαναφερόμενα και καλούνται οι μαθητές να τα εμπεδώσουν μέσω τετριμμένων ασκήσεων, οι οποίες αρχίζουν από το πουθενά, ακροβατούν στο κενό και καταλήγουν στο τίποτα με αποτέλεσμα ένα τεράστιο ερωτηματικό είναι ζωγραφισμένο στα πρόσωπα των μαθητών, που εύκολα μεταφράζεται στο «γιατί τόσος μόχθος, πόνος, χρόνος και χρήμα για ένα παιχνίδισμα συμβόλων χωρίς σημασία;». Αρκεί να ρίξουμε μια ματιά στα θέματα των προαγωγικών εξετάσεων όλων των τάξεων Γυμνασίου και Λυκείου ανά την χώρα, και ιδίως στα θέματα των απολυτήριων Πανελληνίων εξετάσεων της Γ Λυκείου, όπου κυριαρχούν γριφώδεις καταστάσεις του «υπάρχει», για συναρτήσεις που δεν εμφανίστηκαν, ούτε πρόκειται να εμφανιστούν σε καμία από τις γνωστές ή άγνωστες επιστήμες. Αν κάποιος ειδικός της μαθηματικής εκπαίδευσης μελετούσε τη θεματογραφία των μαθηματικών της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης της Ελλάδας χωρίς να γνωρίζει πού βρίσκεται η χώρα μας, σίγουρα θα έβγαζε το συμπέρασμα ότι η Ελλάδα είναι ένα απομονωμένο νησί στη μέση του Ειρηνικού (ουσιαστικά του πουθενά), που δε συνδέεται και δεν έχει επαφή με τον υπόλοιπο κόσμο. Γιατί αν κάποιος ξεφυλλίσει διδακτικά βιβλία Άλγεβρας και Γεωμετρίας άλλων χωρών, ή βιβλία διαφορικού 1 [12], [25], [18], [40], [41], [45], [16] 2 [30], [31], [5], [44], [29], [24], [28], [35], [26], [3], [23], [22] 1

2 λογισμού 1 θα διαπιστώσει ότι κατά κόρον αναφέρονται στην πραγματική ζωή και τις άλλες επιστήμες. Συνήθεις δικαιολογίες των διδασκόντων στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση για το ότι δεν διδάσκουν τις εφαρμογές των μαθηματικών στις άλλες επιστήμες, δηλαδή ότι το μάθημα δε γίνεται διαθεματικά, οφείλεται στο γεγονός ότι δεν υπάρχουν τέτοιες αναφορές στα σχολικά βιβλία, αλλά τα σχολικά βιβλία είναι βιβλία για το μαθητή, και όχι για τον καθηγητή. Διδασκαλία δεν είναι η αναπαραγωγή στον πίνακα, μέσω του καθηγητή, των παραγράφων του σχολικού βιβλίου, Το σχολικό βιβλίο είναι σημείο αναφοράς για τον μαθητή. Ο ρόλος του δασκάλου μαθηματικών είναι να διεγείρει το ενδιαφέρον των μαθητών για τα μαθηματικά, να μεταφέρει στην αίθουσα τον σύγχρονο επιστημονικό προβληματισμό, να μάθει τους μαθητές να σκέφτονται και να προετοιμάσει τους αυριανούς επιστήμονες 12. Επομένως να αναζητά συνεχώς νέες πληροφορίες στο διαδίκτυο και την παγκόσμια βιβλιογραφία. Είναι συνήθεια στη χώρα μας, όταν αναφερόμαστε σε οποιοδήποτε θέμα, να είμαστε γενικόλογοι και να ψαρεύουμε σε θολά νερά, ίσως για να μην υποστούν κριτική οι απόψεις μας. Συνειδητοποιώντας και καταγράφοντας το γεγονός αυτό, εμείς (οι συγγραφείς του άρθρου αυτού), οφείλουμε να γίνουμε συγκεκριμένοι, για αυτό στη συνέχεια θα προτείνουμε συγκεκριμένες εφαρμογές των μαθηματικών στη ζωή μας και τις επιστήμες, σε συγκεκριμένες παραγράφους της ύλης των Μαθηματικών της Β Λυκείου. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α1) 1 gr τροφής T 1 έχει μονάδα βιταμίνης A, 3 βιταμίνης B, 4 βιταμίνης C και 2 βιταμίνης E. 1 gr τροφής T 2 έχει 2 μονάδες βιταμίνης A, 3 βιταμίνης Β, 5 βιταμίνης C kκαι 4 βιταμίνης E. 1 gr τροφής T 3 έχει 3 μονάδες βιταμίνης A, 0 βιταμίνης Β, 3 βιταμίνης C και 6 βιταμίνης E. Ένα άτομο που τρέφεται με τις T 1, T 2, και T 3, θέλουμε να πάρει 11 μονάδες βιταμίνης A, 9 βιταμίνης B, 20 βιταμίνης C και 22 βιταμίνης E. Ποιες είναι οι ποσότητες των τροφών T 1, T 2, T 3, που πρέπει να τραφεί το άτομο, ώστε να λάβει τις βιταμίνες που θέλουμε; (Συστήματα) [3] Α2) Για να μελετήσουμε την κυκλοφορία στο κέντρο της πόλης τοποθετήσαμε μερικούς μετρητές, που κατέγραψαν: να έρχονται από τα δυτικά 300 αυτοκίνητα/ώρα να φεύγουν προς τα ανατολικά 300 αυτοκίνητα/ώρα να διασχίζουν το δρόμο ΒΔ 100 αυτοκίνητα/ώρα Α Β Γ Β Δ Α Δ Ν 1 [13], [11], [14], [9], [38], [27], [1] 2

3 α) Είναι δυνατό να υπολογίσουμε τον αριθμό αυτοκινήτων που περνούν από κάθε δρόμο κάθε ώρα; β) Σε ποιόν δρόμο θα βάζαμε άλλον ένα μετρητή κυκλοφορίας ώστε να υπολογίσουμε την κυκλοφορία σε κάθε δρόμο ακριβώς; γ) Ποια είναι η ελάχιστη κυκλοφορία στον δρόμο ΑΒ με βάση τις δεδομένες πληροφορίες; (Συστήματα) [9] Α3) Η πιτσαρία «Pizza Express» διαθέτει στους πελάτες της δύο είδη πίτσας, απλή και special. Το περιθώριο κέρδους για κάθε προϊόν ανέρχεται σε 1 και 1,5 αντίστοιχα. Για την παραγωγή κάθε προϊόντος η πιτσαρία χρησιμοποιεί ζύμη και ένα μείγμα υλικών ως ακολούθως: μία απλή πίτσα χρειάζεται 500g ζύμης και 125 g μείγματος υλικών μία special χρειάζεται 500g ζύμης και 250g μείγματος. Μία μέρα η πιτσαρία διέθετε 75 κιλά ζύμης και 25 κιλά μείγματος υλικών. Εκείνη την ημέρα η πιτσαρία έχει παραγγελίες για τουλάχιστον 50 απλές και τουλάχιστον 25 special πίτσες. Πόσες πίτσες από κάθε είδος πίτσας πρέπει να παράγει η πιτσαρία, ώστε να έχει μέγιστο κέρδος εκείνη την ημέρα; (Συστήματα) Α4) Από τα πρώτα ερωτήματα που προέκυψαν με την εφεύρεση του κανονιού (μέσα 14 ου αιώνα) ήταν το πόσο μακριά μπορεί να πάει το βλήμα (δηλαδή ποιο είναι το βεληνεκές του κανονιού). Εμπειρικά βρέθηκα ότι το βεληνεκές ενός κανονιού εξαρτάται από τη γωνία βολής που σχηματίζει ο σωλήνας του κανονιού με το οριζόντιο επίπεδο. Η επιστημονική απάντηση δόθηκε μετά το 1650, αφού προηγήθηκαν ο νόμος της ελεύθερης πτώσης του Γαλιλαίου και η Γεωμετρία του Καρτέσιου. Galileo Galilei ( ) Ιταλός καθηγητής Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο της Πάδουας. Θεωρείται ο πατέρας της νεότερης επιστήμης, γιατί εισήγαγε ένα νέο τρόπο μελέτης της φύσης με την καθιέρωση της μαθηματικής διατύπωσης μιας φυσικής θεωρίας και τον πειραματικό της έλεγχο. Στον Γαλιλαίο οφείλεται η διατύπωση του νόμου της ελεύθερης πτώσης των σωμάτων, η ανακάλυψη των τεσσάρων μεγαλύτερων δορυφόρων του Δία και των ηλιακών του Κοπέρνικου, πράγμα που τον έφερε σε σύγκρουση με την Καθολική Εκκλησία. 3

4 Rene Descartes ( ) Γάλλος φιλόσοφος και μαθηματικός. Στο περίφημο φιλοσοφικό του έργο «Λόγος περί της μεθόδου» περιέχεται ως παράδειγμα για την εφαρμογή της «μεθόδου», το παράρτημα 106 σελίδων με τον τίτλο «La geometrie», που είναι το πρώτο δημοσίευμα για τη γνωστή μας Αναλυτική Γεωμετρία. Η δημοσίευση αυτή του Καρτεσίου θεωρείται το «μεγαλύτερο μεμονωμένο βήμα που έγινα ποτέ στην εξέλιξη των θετικών επιστημών» Το βεληνεκές (ΟΑ) ενός βλήματος που βάλλεται με αρχική ταχύτητα U 0 υπό γωνία φ, όταν η αντίσταση του αέρα θεωρηθεί αμέλημα, υπολογίζεται ως εξής: Αναλύουμε την κίνηση του βλήματος σε οριζόντια και κατακόρυφη. Κατά την οριζόντια κίνηση το βλήμα κινείται ευθύγραμμα και ομαλά (αφού δεν επιδρά πάνω του καμία δύναμη) με σταθερή ταχύτητα U 0 συνφ. Επομένως μετά από χρόνο t θα έχει διανύσει διάστημα: x= (U 0 συνφ)t. (1) Κατά την κατακόρυφη κίνηση το βλήμα κινείται υπό την επίδραση της βαρύτητας με αρχική ταχύτητα U 0 ημφ, άρα μετά από χρόνο t θα έχει διανύσει διάστημα y=(u 0 ημφ)t- 1 2 gt 2. (2) Λύνουμε την (1) ως προς t, αντικαθιστούμε στην (2) και παίρνουμε Για y=0 είναι x=(οα). y= x 2U 2 0 Έτσι για y=0, από την (3) παίρνουμε (ΟΑ)= g x 2 2. (3) 2U 0 g. Ποια πρέπει να είναι η γωνία φ ώστε το βεληνεκές ενός βλήματος να είναι μέγιστο; (Τριγωνομετρία) Α5) Σύμφωνα με το νόμο της παγκόσμιας έλξης του Νεύτωνα: F=G m m r. O Ήλιος και ιδίως η Σελήνη επιδρούν πάνω στις θάλασσες με αποτέλεσμα τα νερά τους να ανασηκώνονται (πλημμυρίδα) και να αποτραβιόνται (άμπωτης) περιοδικά. Το φαινόμενο αυτό το λέμε παλίρροια. Μετά από μετρήσεις το ύψος της παλίρροιας στην είσοδο ενός λιμανιού είναι h μέτρα μετά t ώρες από τα μεσάνυχτα. Το h προσεγγίζεται t με ικανοποιητική ακρίβεια από τη συνάρτηση: h(t)=5+3ημ. 6 Άμπωτη και πλημμυρίδα α) Ποια είναι η περίοδος της συνάρτησης h(t); β) Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της h(t) στο διάστημα [0,T]. γ) Πόσες ώρες μετά τα μεσάνυχτα το ύψος του νερού θα είναι 6,5 μέτρα; 4

5 δ) Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της h(t) να απαντήσετε στα επόμενα ερωτήματα: i) Ποια είναι η υψομετρική διαφορά μεταξύ της ψηλότερης πλημμυρίδας και της χαμηλότερης άμπωτης; ii) Πόσες ώρες περνούν μεταξύ των δύο φαινομένων που αναφέρονται στο προηγούμενο ερώτημα; iii) Ένα πλοίο μπορεί να μπει και να βγει από το λιμάνι όταν το ύψος του νερού είναι πάνω από 6,5 μέτρα. Πόσες ώρες την ημέρα μπορεί να γίνει αυτό; (Τριγωνομετρία) Α6) Σε μία μηχανή εσωτερικής καύσης, η θέση του πιστονιού στον κύλινδρο μπορεί να υπολογιστεί με τη βοήθεια μιας ημιτονοειδούς συνάρτησης. Για ένα συγκεκριμένο μέγεθος και συγκεκριμένη ταχύτητα μηχανής, η κεφαλή από το πιστόνι, για t=0, στην αρχή της φάσης της αναρρόφησης βρίσκεται στην κορυφή του κυλίνδρου ( απόσταση από την κορυφή είναι 0) και φτάνει σε μέγιστη απόσταση 4cm από την κορυφή (μέγιστη απόσταση), όταν t= 1 s 48 Μετά τη συμπίεση ακολουθεί η εκτόνωση ( t=, στην αρχή της φάσης της συμπίεσης s ), η εξαγωγή ( t= 3 48 s ),τέλος η αναρρόφηση οπότε ξεκινούν όλα από την αρχή. Αν η περίοδος ενός τέτοιου τετράχρονου κινητήρα είναι P= 1 s 24, βρείτε την συνάρτηση που περιγράφει την απόσταση του πιστονιού από την κορυφή του κυλίνδρου και την απόσταση για t= Σε ποια φάση είναι ο κινητήρας για t= 1 9 s ; (Τριγωνομετρία) [7] 1 s 9. Κατά σειρά: Εκτόνωση, εξαγωγή, αναρρόφηση και συμπίεση Α7) Το τμήμα προγραμματισμού μιας βιομηχανίας υπολογίζει ότι η παραγωγή ενός νέου προϊόντος σε ποσότητα Q τεμαχίων θα έχει κόστος TC(Q)= Q 3, επίσης υπολόγισε ότι η τιμή του προϊόντος, όταν η ζήτησή του είναι Q τεμάχια θα διαμορφωθεί στις P=110-Q χρηματικές μονάδες. 5

6 α) Να προσδιορίσετε τα ολικά έσοδα TR(Q) και το κέρδος Π(Q) της βιομηχανίας. β) Ποιες ποσότητες πρέπει να παράγει η βιομηχανία ώστε να έχει κέρδος και ποιες ώστε να έχει ζημία; Α8) Όσο ένα ζώο ή φυτό είναι ζωντανό, ο άνθρακας 14 βρίσκεται στους ιστούς του σε σταθερή ποσότητα. Όταν πεθαίνει σταματά να παίρνει άνθρακα 14, γι αυτό η ποσότητά του ελαττώνεται λόγω ραδιενεργούς διάσπασης σύμφωνα με την ισότητα A=A 0 e -0,000124t (1), όπου A είναι η ποσότητα του άνθρακα μετά t χρόνια και A 0 η ποσότητα όταν t=0. α) Ποια είναι η ποσότητα άνθρακα 14 σε ένα κρανίο μετά από πάρα πολλά χρόνια; β) Ποια είναι η ηλικία ενός κρανίου που περιέχει 10% της κανονικής ποσότητα του άνθρακα; γ) Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της (1) (Εκθετική Συνάρτηση) Α9) Υπάρχουν πολλά είδη βακτηριδίων Escherichia Coli. Κάθε είδος έχει τον δικό του χρόνο διπλασιασμού. Ένα από αυτά τα είδη έχει χρόνο διπλασιασμού 15 λεπτά. Δηλαδή, αν έχουμε ένα βακτήριο, σε 15 λεπτά θα γίνουν 2, σε 30 λεπτά θα γίνουν 4, σε 45 λεπτά θα γίνουν 8 και λοιπά. Αν σε μία καλλιέργεια υπάρχουν τέτοια βακτήρια: α) Πόσα θα γίνουν σε 4 ώρες; β) Πόσα θα γίνουν σε 24 ώρες; γ) Πόσα θα γίνουν σε t ώρες; δ) Αν βακτήρια ζυγίζουν 1 κιλό, πόσα κιλά θα ζυγίζουν τα βακτήρια που δημιουργήθηκαν στο ερώτημα (β); Α10) Αν Ν είναι το πλήθος των σεισμών, που γίνονται σε ένα χρόνο σε μια συγκεκριμένη περιοχή, με μέγεθος μεγαλυτέρου ή ίσου του Μ, τότε ισχύει ο εμπειρικός στατιστικός τύπος: logn=a-bm (1) Όπου a, b παράμετροι που εξαρτώνται από τη σεισμικότητα της συγκεκριμένης περιοχής. α) Λύστε την (1) ως προς Ν. β) Ποια είναι η περίοδος εμφάνισης σεισμού μεγέθους μεγαλυτέρου ή ίσου του Μ σε μια συγκεκριμένη περιοχή; γ) Αν για την Ελλάδα είναι a=6,37 και b=1, ποιο είναι το χρονικό διάστημα στο οποίο αναμένεται να γίνει σεισμός μεγέθους μεγαλύτερος ή ίσος του 8; δ) Μπορεί να αποδειχθεί ότι ο σεισμός που έχει τη μεγαλύτερη πιθανότητα (περίπου 63%) να είναι μέγιστος στο χρονικό διάστημα t ετών έχει μέγεθος M t = a log t b Escherichia Coli Ποιο είναι το πιθανότερο μέγιστο μέγεθος σεισμού που μπορεί να γίνει στη διάρκεια ενός έτους; Σε δέκα έτη; (Λογαριθμική Συνάρτηση) [32] 6

7 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Γ1) Στις φωτογραφικές μηχανές, τα μικροσκόπια και τα τηλεσκόπια χρησιμοποιούν φακούς, που είναι οπτικά όργανα αποτελούμενα από γυαλί, που περιορίζεται από δύο σφαιρικές επιφάνειες. Η ευθεία που περνάει από τα κέντρα των δύο σφαιρικών επιφανειών του φακού λέγεται κύριος άξονας και κάθε άλλη ευθεία που περνάει από το κέντρο του φακού λέγεται δευτερεύων άξονας. Κάθε παράλληλη δέσμη φωτεινών ακτινών προς τον κύριο άξονα του φακού συγκλίνει σε σημείο Ε, που λέγεται εστία, της οποίας η απόσταση από το κέντρο του φακού λέγεται εστιακή απόσταση, που τη συμβολίζουμε με f. Στο παρακάτω σχήμα, ο φακός σχηματίζει το είδωλο Α Β του αντικειμένου ΑΒ. Αν ΟΑ=α και ΟΒ=β, ποια είναι η σχέση που συνδέει τα α, β, f; (Ομοιότητα) [42] 7

8 Γ2) Το πείραμα των Αμερικανών φυσικών E. Morley και A. Michelson το 1887 έδειξε ότι: η ταχύτητα του φωτός στο κενό είναι απόλυτο φυσικό μέγεθος, δηλαδή ένας παρατηρητής κινούμενος με οποιαδήποτε ταχύτητα ως προς μία φωτεινή πηγή, μετρώντας την ταχύτητα του φωτός στο κενό τη βρίσκει πάντοτε ίση με c= km/s. Ο A. Einstein το 1905, στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας, θεώρησε ως θεμελιώδη φυσική αρχή το προηγούμενο πειραματικό αποτέλεσμα. Η δεύτερη θεμελιώδης αρχή της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας είναι: Για παρατηρητές, που ο ένας κινείται με σταθερή ταχύτητα ως προς τον άλλον, οι φυσικοί νόμοι μένουν αναλλοίωτοι. Albert Einstein ( ) Μυθική φυσιογνωμία της Μαθηματικής Φυσικής. Με την Ειδική και Γενική Θεωρία της Σχετικότητας άλλαξε τις απόψεις μας για τον χώρο, τον χρόνο και γενικότερα για το Σύμπαν. Υποθέτουμε τώρα ότι πάνω σε μία πλατφόρμα βρίσκεται ένας στήλος στο κάτω άκρο Α του οποίου είναι τοποθετημένη μια φωτεινή πηγή και στο πάνω άκρο του Β βρίσκεται ένας παρατηρητής Π 1. Τη στιγμή που η πλατφόρμα αρχίζει να κινείται με σταθερή ταχύτητα u ως προς ακίνητο παρατηρητή Π 2, η φωτεινή πηγή στέλνει ένα φωτεινό παλμό προς τον παρατηρητή Π 1. Στο χρονικό διάστημα που μεσολάβησε από τη στιγμή που ο φωτεινός παλμός ξεκίνησε από τη φωτεινή πηγή μέχρι να φτάσει στον παρατηρητή Π 1, η πλατφόρμα μετακινήθηκε από τη θέση ΑΒ στη θέση Α Β, όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο φωτεινός παλμός για τον παρατηρητή Π 1 διατρέχει το τμήμα ΑΒ, ενώ για τον παρατηρητή Π 2 το τμήμα ΑΒ. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΑ Β έχουμε ότι ΑΒ >Α Β =ΑΒ. Επειδή η ταχύτητα το φωτός είναι σταθερή και για τους δύο 8

9 παρατηρητές, έχουμε AB ' C A' B' C. Αλλά απόσταση προς την ταχύτητα δίνει το χρόνο. Έτσι ο χρόνος t που απαιτείται για να διατρέξει ο φωτεινός παλμός την απόσταση ΑΒ είναι μεγαλύτερος από το χρόνο t που απαιτείται για να διατρέξει την απόσταση Α Β. Ποια σχέση συνδέει τους δύο χρόνους t και t ; (Πυθαγόρειο Θεώρημα) [43] Γ3) Από την κορυφή Α ενός βουνού βλέπουμε δύο σημεία Β και Γ. Για να υπολογίσουμε το ύψος h του βουνού βρίσκουμε με γωνιόμετρο τη γωνία ΒΑΓ=θ, καθώς και τις γωνίες που σχηματίζουν οι οπτικές ακτίνες ΑΒ και ΑΓ με την κατακόρυφο ΑΚ και έστω ΚΑΒ=φ και ΚΑΓ=ω. αν γνωρίζουμε την απόσταση d των σημείων Β και Γ, πώς θα υπολογίσουμε το ύψος h του βουνού; (Μετρικές σχέσεις στα τρίγωνα) [34] Γ4) Ένα αεροπλάνο φεύγει από ένα αεροπλανοφόρο και πετάει νότια με 400 km/h. Το αεροπλανοφόρο προχωράει με κατεύθυνση 60 ο βορειοδυτικά με 32km/h. Αν το αεροπλάνο έχει καύσιμα για 5 ώρες πτήσης ποια είναι η μέγιστη απόσταση που μπορεί να ταξιδέψει το αεροπλάνο από το σημείο που απογειώθηκα, ώστε να επιστρέψει στο αεροπλανοφόρο; (Μετρικές σχέσεις στο τρίγωνο) [6] Γ5) Γιατί οι κηρήθρες των μελισσών έχουν σχήμα κανονικού εξαγώνου; (Κανονικά πολύγωνα) [40] Γ6) Η απόσταση των πηγών ενός ποταμού από το σημείο εκβολής του στη θάλασσα είναι d. Κάντε μία εκτίμηση του μήκους της όχθης του ποταμού ως συνάρτηση του d. (Μέτρηση κύκλου) Γ7) Πώς θα μπορούσαμε να μετρήσουμε την περίμετρο μιας μικρής λίμνης; (Μέτρηση κύκλου) Γ8) Πώς μπορούμε να μετρήσουμε τον όγκο ενός βαρελιού προσεγγιστικά; (Μέτρηση κύκλου) 9

10 Γ9) Μια βιομηχανία χρειάζεται αποθηκευτικό χώρο σε μια πόλη για να αποθήκευση 175 κυλινδρικών κοντέινερς με ακτίνα διάμετρο 2m και ύψος 3m. Τα κοντέινερς πρέπει να τοποθετηθούν όρθια. Ο αντιπρόσωπος της βιομηχανίας στην πόλη έκανε έρευνα αγοράς και βρήκε τρεις αποθήκες. Η πρώτη με διαστάσεις 11x11 m και κόστος ενοικίασης 670 /μήνα, η δεύτερη με διαστάσεις 11x22 m και κόστος 1050 /μήνα και η τρίτη με διαστάσεις 11x33 και κόστος 1300 /μήνα. Όλες οι αποθήκες είχαν ύψος 10m. Ποια αποθήκη με μικρότερο κόστος πρέπει να διαλέξει ο αντιπρόσωπος της εταιρείας; (Μέτρηση κύκλου) [15] Γ10) Γιατί οι βάσεις των ιγκλού των Εσκιμώων, των σκηνών των Ινδιάνων και των καλυβών των Αφρικανών είναι κυκλικές; [37] ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δ1) Ο Αμερικανός αστρονόμος E. Hubble ( ) το 1927 διατύπωσε το νόμο: «Όλοι οι γαλαξίες απομακρύνονται από τη γη με ακτινιακές ταχύτητες ανάλογες της απόστασης τους από τη γη». Έτσι, αν με Γ συμβολίσουμε τη θέση της γης και με Α τη θέση ενός γαλαξία τώρα, θα είναι u H 0, όπου H 0 η σταθερά του Hubble. Ο νόμος αυτός, φαινομενικά, δίνει προνομιούχα θέση στη γη ως κέντρο του σύμπαντος, πράγμα που έρχεται σε αντίθεση με την αρχή του Κοπέρνικου, σύμφωνα με την οποία: «η θέση τη γης δεν είναι προεξέχουσα στο σύμπαν». Μπορείτε να εξηγήσετε αυτό το παράδοξο; (Διανύσματα) [39] Δ2) Ένα παραθαλάσσιο χωριό πρόκειται να συνδεθεί με δευτερεύουσα οδό με την εθνική οδό, που περνάει έξω από το χωριό. Στο σημείο συνάντησης της δευτερεύουσας οδού με την εθνική θα κατασκευαστεί ανισόπεδη διάβαση. Ο τοπογράφος της κατασκευάστριας εταιρείας χρησιμοποιεί ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων στο οποίο η εθνική οδός έχει εξίσωση y=2x-3 και το χωριό αντιστοιχεί στο σημείο (4,10). Σε ποιο σημείο πρέπει να κατασκευαστεί η ανισόπεδη διάβαση, ώστε η απόστασή της από το χωριό να είναι ελάχιστη; (Ευθεία) Δ3) Σε ένα θάλαμο Wilson παρατηρούμε τις τροχιές δύο σωματιδίων άλφα που κινούνται στο ίδιο επίπεδο και βρίσκουμε ότι κάθε χρονική στιγμή t 0, οι θέσεις τους είναι (2t + 5, 3t + 2) και (4t + 1, t + 3) αντίστοιχα. α.) Να βρείτε την αρχική θέση των δύο σωματιδίων. β.) Να προσδιορίσετε τις εξισώσεις των τροχιών τους. γ.) Να εξετάσετε αν τα σωματίδια θα συγκρουστούν. Σωματίδια άλφα είναι πυρήνες ηλίου, οι οποίοι αποτελούνται από δύο πρωτόνια και δύο νετρόνια. Θάλαμος Wilson είναι μία συσκευή που περιέχει ατμούς κατάλληλου αερίου σε κατάσταση υπερκορεσμού. Με τη Ίχνη τροχιών σωματιδίων άλφα σε θάλαμο Wilson 10

11 συσκευή αυτή έγιναν ορατές και φωτογραφήθηκαν οι τροχιές στοιχειωδών σωματιδίων. (Ευθεία) Δ4) Το ραδιοτηλεσκόπιο είναι αστρονομικό όργανο που αποτελείται από ένα δέκτη ραδιοφωνικών κυμάτων και μια παραβολική κεραία η οποία ανιχνεύει τη ραδιοφωνική ακτινοβολία που εκπέμπεται από διάφορα ουράνια σώματα. Η βασική αρχή πάνω στην οποία στηρίζεται η λειτουργία του ραδιοτηλεσκοπίου είναι η ανακλαστική ιδιότητα της παραβολής. Η αρχή αυτή, που αποδεικνύεται μαθηματικά είναι η εξής: οι ακτίνες μίας παράλληλης δέσμης ακτινοβολίας που έχει διεύθυνση του άξονα ενός παραβολικού κατόπτρου, ανακλώνται στην εστία του κατόπτρου. Επειδή τα ραδιοφωνικά μήκη κύματος είναι πολύ μεγαλύτερα από εκείνα του ορατού φωτός, τα ραδιοτηλεσκόπια πρέπει να είναι πολύ μεγάλα για να πλησιάσουν τη διακριτική ικανότητα των οπτικών τηλεσκοπίων. Το μεγαλύτερο ραδιοτηλεσκόπιο Το τηλεσκόπιο στο Αρεσίμπο του Πουέρτο Ρίκο βρίσκεται στο Αρεσίμπο του Πουέρτο Ρίκο, είναι ακίνητο, και γεμίζει μια φυσική κοιλότητα όπως φαίνεται στη φωτογραφία. Η διάμετρος της παραβολικής του κεραίας είναι 300 μέτρα. Αν η απόσταση της εστίας της παραβολικής κεραίας από την κορυφή της είναι 100 μέτρα, πόσο είναι το βάθος της; (Παραβολή) Δ5) Το διάνυσμα θέσης ενός πυραύλου κάθε χρονική στιγμή t, ως προς ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων με αρχή το σημείο εκτόξευσης του πυραύλου, άξονα y y την εξέδρα εκτόξευσης και άξονα x x την τομή του εδάφους και του επιπέδου που ορίζει ο πύραυλος με την εξέδρα εκτόξευσης, είναι:. α) Αν r =(x,y), να εκφράσετε τα x, y ως συνάρτηση του t. β) Να βρείτε την εξίσωση f(x,y) της τροχιάς του πυραύλου. γ) Να σχεδιάσετε την τροχιά του πυραύλου. (Παραβολή) r ( 0,4t) i (1,2 t) j 11

12 Δ6) Μία εταιρεία για τις συνεδριάσεις του Διοικητικού της Συμβουλίου, παρήγγειλε από ένα ξυλουργό ένα ελλειπτικό τραπέζι συνεδριάσεων, διαστάσεων 4x3 μέτρων. Για την κατασκευή του ττραπεζιού ο ξυλουργός συγκόλλησε σανίδες που σχημάτιζαν ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο διαστάσεων 4x3 μέτρων, αλλά δεν μπορούσε να σχεδιάσει πάνω του το περίγραμμα του τραπεζιού. Μπορείτε να τον βοηθήσετε; (Έλλειψη) Δ7) Ένας δρόμος μονής κατεύθυνσης περνάει κάτω από μία γέφυρα, που έχει σχήμα ημιέλλειψης. Η γέφυρα έχει πλάτος 12m και ύψος 5m. ένα μεγάλο μηχάνημα εξόρυξης μεταλλευμάτων, πλάτους 6m και ύψους 4,5m, πρόκειται να μεταφερθεί σε ένα ορυχείο. Ο μόνος δρόμος που οδηγεί στο ορυχείο είναι αυτίς που περνάει κάτω από τη γέφυρα. Αν το μηχάνημα δεν μπορεί να περάσει κάτω από τη γέφυρα, θα αποσυναρμολογηθεί, τα κομμάτια του θα μεταφερθούν στο ορυχείο, όπου θα ξανασυναρμολογηθούν. Είναι αναγκαίο να αποσυναρμολογηθεί το μηχάνημα; (Έλλειψη) Δ8) Ο Γερμανός μαθηματικός και αστρονόμος Johannes Kepler ( ), αφού επεξεργάστηκε τις εξαιρετικά ακριβείς καταγραφές των θέσεων των πλανητών που έκανε για είκοσι χρόνια ο Δανός αστρονόμος Tycho Brahe ( ), το 1609 στο βιβλίο του «Νέα Αστρονομία» δημοσίευσε το βασικό νόμο της κίνησης των πλανητών, που είναι ο: «Η τροχιά κάθε πλανήτη είναι έλλειψη και σε μία από τις εστίες της βρίσκεται ο ήλιος». Η μικρότερη απόσταση της γης από τον ήλιο (περιήλιο) είναι 148 χιλιάδες χιλιόμετρα και η μεγαλύτερη (αφήλιο) 152 χιλιάδες χιλιόμετρα. Χρησιμοποιώντας κατάλληλο σύστημα συντεταγμένων και το νόμο του Kepler, να βρείτε την εξίσωση Johannes Kepler της τροχιάς της γης γύρω από τον ήλιο. (Έλλειψη) Δ9) Ο πύργος ψύξης κάθε ατμοηλεκτρικού εργοστασίου έχει σχήμα υπερβολοειδούς εκ περιστροφής (είναι το στερεό που προκύπτει από την περιστροφή στο χώρο μιας υπερβολής γύρω από τον άξονα συμμετρίας της που δεν την τέμνει), όπως φαίνεται στη διπλανή φωτογραφία. Η εξίσωση της υπερβολής που χρησιμοποίησε ο αρχιτέκτονας για να σχεδιάσει τον πύργο ψύξης ενός ατμοηλεκτρικού εργοστασίου, είναι: x 2 2 y 1. Αν ο πύργος ψύξης έχει ύψος 45 μέτρα και η κορυφή του είναι 15 μέτρα πάνω από το κέντρο της υπερβολής, τότε ποια είναι τα εμβαδά της κορυφής και της βάσης του πύργου; Η κατασκευάστρια εταιρεία του σταθμού, για να προϋπολογίσει το κόστος κατασκευής του σταθμού, ζήτησε από τον αρχιτέκτονα να υπολογίσει, έστω και προσεγγιστικά, το εμβαδόν της παράπλευρης κοίλης επιφάνειας του πύργου ψύξης. Μπορείτε να βοηθήσετε τον αρχιτέκτονα στον υπολογισμό; (Υπερβολή) 12

13 Δ10) Κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες, οι ιδιότητες μιας υπερβολής μπορούν να χρησιμοποιηθούν και να εντοπισθεί η θέση ενός πλοίου. Δύο ραδιοφωνικοί σταθμοί έχουν απόσταση 100km κατά μήκος μιας ευθείας ακτογραμμής. Ένα πλοίο πλέει παράλληλα στην ακτή και απέχει από την στεριά 60km. Το πλοίο εκπέμπει σήμα κινδύνου το οποίο λαμβάνει ο κοντινότερος σταθμός σε 0,4 msec, και ο πιο μακρινός σε 0,5 msec. Τα ραδιοκύματα «ταξιδεύουν» με ταχύτητα περίπου 300km/msec. Να χρησιμοποιηθούν τα παραπάνω δεδομένα για να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής που δίνει τη θέση του πλοίου. (Υπερβολή) ΣΧΟΛΙΑ Είναι προφανές ότι η πρότασή μας για τη διδασκαλία εφαρμογών των Μαθηματικών στη ζωή και τις άλλες επιστήμες δε σημαίνει την απόρριψη προβλημάτων με καθαρά μαθηματικό περιεχόμενο. Μόνο που τα προβλήματα αυτά, θα πρέπει να μην είναι τετριμμένα και επαναλαμβανόμενα, αλλά αντιθέτως να είναι προκλητικά και να βοηθούν στη βαθύτερη κατανόηση και εμπέδωση των μαθηματικών εννοιών. Για παράδειγμα δεν έχουν έννοια τα προβλήματα όπως τα: i) Ποια είναι η εφαπτομένη δοσμένης έλλειψης που φέρνουμε από ένα σημείο; ii) Ποιες είναι οι εφαπτομένες που είναι παράλληλες σε δοθείσα ευθεία; iii) Ποιες είναι οι εφαπτομένες που είναι κάθετες σε δοθείσα ευθεία; Σε αντίθεση με τα παραπάνω «προβλήματα» το: Μπορούμε να κατασκευάσουμε με κανόνα και διαβήτη την εφαπτομένη έλλειψης σε δεδομένο της σημείο; αναγκάζει διδάσκοντες και διδασκομένους να εικάσουν, να προσπαθήσουν, να κρίνουν, να εξερευνήσουν, με αποτέλεσμα να κατανοήσουν σε ένα βαθύτερο επίπεδο την έννοια της εφαπτομένης. Στο πνεύμα αυτό είναι τα προβλήματα Α1, Α2, που δεν μας καλούν απλώς να λύσουμε ένα σύστημα γνωστής μορφής, αλλά καλούμαστε να διερευνήσουμε τη λύση των προβλημάτων. Το πρόβλημα Α3 αφορά γραμμικό προγραμματισμό, του οποίου η λύση ανάγεται, ως γνωστόν, στη λύση γραμμικού συστήματος ανισώσεων, θέμα που είναι εκτός της ύλης της Β Λυκείου. Ένα συνηθισμένο φαινόμενο στην ελληνική δευτεροβάθμια εκπαίδευση είναι να καταναλώνονται οι διδάσκοντες σε συζητήσεις που αφορούν στο τι είναι ή δεν είναι μέσα στη διδακτέα ύλη και στις διάφορες οδηγίες διδασκαλίας που έρχονται από το Υπουργείο Παιδείας. Αλλά ο πραγματικός δάσκαλος είναι κατ εξοχήν ένα ελεύθερο δημιουργικό πνεύμα. Με την έννοια αυτή, οφείλει και πρέπει να διδάσκει πέρα από τα καθιερωμένα, πέρα από οποιοδήποτε αναλυτικό πρόγραμμα, αρκεί να εμφυσά στου μαθητές του το πνεύμα της συνεχούς αναζήτηση και προβληματισμού, πράγμα που μπορεί να πραγματοποιηθεί με αναφορές και εφαρμογές της διδακτέας ύλης πέρα από τα συνηθισμένα. Είναι γνωστό ότι μία από τις κορυφαίες στιγμές της Ευκλείδειας Γεωμετρίας είναι η παραγωγή των νόμων του Kepler από τον νόμο της παγκόσμιας έλξης και αντίστροφα, όπως αναφέρεται στα «Πριγκίπια» του Νεύτωνα. Είναι αδιανόητο να μην διδάσκονται αυτά στο μάθημα των Κωνικών Τομών (δες D. L. Goodstein, J. R. Goodstein, Feynman s Lost Lecture, W. W. Norton & Co, USA, 1996, ελληνική μετάφραση με τίτλο, «Η χαμένη διάλεξη του Feynman, μετάφραση Πωλίνα Αγαπάκη, Κάτοπτρο, Αθήνα, 1997). Προφανώς για τη λύση του προβλήματος Α4, χρειάζεται ο τύπος: 2ημασυνα=ημ2α, που δε διδασκόταν της σχολική χρονιά που πέρασε. Αυτή η περίεργη δημαγωγία του 13

14 Υπουργείου Παιδείας για μείωση κάθε τόσο της διδακτές ύλης, μας αφήνει κατάπληκτους. Πώς είναι δυνατόν η μαθηματική γνώση να αυξάνεται από χρόνο σε χρόνο, και η διδακέα ύλη στο Λύκειο να μειώνεται από χρόνο σε χρόνο. Ένας δείκτης της ύλης των Μαθηματικών που διδάσκεται διεθνώς στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση είναι η εξεταστέα ύλη στο International Baccalaureat, η οποία περιέχει εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα, εισαγωγή στη συνδυαστική ανάλυση, εισαγωγή στη θεωρία γραφημάτων, εκτός της εισαγωγής στην ανάλυση. Σε αντίθεση, στην Ελλάδα καταναλωνόμαστε σε ανούσιες επαναλήψεις του «υπάρχει». Είναι συνήθεια στα διδακτικά ελληνικά βιβλία των Μαθηματικών, οι απαντήσεις να είναι ακέραιοι αριθμοί, πράγμα που δημιουργεί στους μαθητές την εντύπωση ότι όλα είναι ακέραιοι αριθμοί, ενώ στην πραγματικότητα όλες οι μετρήσεις είναι προσεγγιστικές. Είναι καιρός να συμφιλιωθούμε με την πραγματικότητα. Στο πνεύμα αυτό είναι τα προβλήματα Γ6, Γ7, Γ8. Η βαθιά μελέτη της φύσης είναι η πιο γόνιμη πηγή μαθηματικής ανακάλυψης. Joseph Fourier Εκτός των άλλων τα Μαθηματικά θα έπρεπε να παρουσιάζονται και ως ένα πανίσχυρο εργαλείο για την ερμηνεία φυσικών φαινομένων. Επομένως, παρατηρώντας διάφορα φυσικά φαινόμενα, μπορούμε να διατυπώσουμε προβλήματα όπως: το Γ5, Γ10. Το Γ10 παραπέμπει στο ισοπεριμετρικό πρόβλημα, του οποίου μία στοιχειώδης, πλην όμως ελλιπής λύση αναφέρεται στο [37], και η πλήρης λύση του οποίου υπάρχει στο «V. M. Tikhomirov, Stories about maxima and minima, Mathematical World Volume 1, American Mathematical Society, USA, 1990» (ελληνική μετάφραση με τίτλο «ιστορίες για μέγιστα και ελάχιστα», μετάφραση Κ. Γαβράς, Γ. Κατσιλιέρης, Κάτοπτρο, Αθήνα, 1999). Κατ αναλογία με το Γ10 θα μπορούσαμε να θέσουμε το ερώτημα: γιατί οι πλανήτες και ο ήλιος έχουν σφαιρικό σχήμα: ένα άλλο ερώτημα θα μπορούσε να ήταν: Λεοπάρδαλη, ζέβρα, καμηλοπάρδαλη, τίγρης Γιατί τα παραπάνω ζώα, αν και ζουν στην ίδια περιοχή (Σαβάνα της Αφρικής), έχουν διαφορετικά σχήματα στο τρίχωμά τους; Η λύση του προβλήματος ξεφεύγει κατά πολύ από την ύλη της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, πλην όμως καλό θα ήταν να τεθεί το ερώτημα και να διευκρινισθεί ότι λύθηκε με τη βοήθεια των Μαθηματικών, από τον μεγάλο Άγγλο μαθηματικό Alan Turing. Άλλο παράδειγμα θα μπορούσε να είναι η αναφορά στην κίνηση Brown. Από όλα τα προηγούμενα βγαίνει το συμπέρασμα ότι όσοι ασχολούμαστε με την εκπαίδευση έχουμε καθήκοντα: να αναζητούμε συνεχώς, να προβληματιζόμαστε, να θέτουμε καινούρια ερωτήματα. 14

15 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1) S. Adamson, F. C. Wilson, Applied Calculus, Houghton Miffin Harcourt Publishing Company, New York, ) Ι. Λ. Αραχωβίτη, Εφαρμογές των θεωρητικών Μαθηματικών, Εκδόσεις Συμμετρία, Αθήνα, ) Α. Αρβανιτογεώργιος, Α. Βαλαριστός, Προβλήματα Μαθηματικής Μοντελοποίησης, πρακτικά 14 ου Π.Σ.Μ.Π., Ε.Μ.Ε., Αθήνα, ) R. A. Barnett, M. R. Ziegler, Precalculus Functions and Graphs, McGraw Hilll Book Company, New York, ) Β. Βισκαδουράκης, Μια πρόταση για ανανέωση και εμπλουτισμό των αναλυτικών προγραμμάτων και μαθηματικών στις δύο τελευταίες τάξεις του Λυκείου, πρακτική 21 ου Π.Σ.Μ.Ε., Ε.Μ.Ε., Αθήνα, ) Canadian Mathematics Competition Problems, Volume 6, Waterloo Mathematics Foundation, Canada, ) J. W. Coburk, J. D. Heradlick, Precalculus Graphs and Models, McGraw Hill, New York, ) B. Conedenko, Συμβουλή στην προετοιμασία του δασκάλου των μαθηματικών, Μαθηματική Επιθεώρηση, τεύχος 5, Ε.Μ.Ε., Αθήνα ) S. R. Costenoble, S. Waner, Finite Mathematics and Applied Calculus, Brooks/Cole, ) Γ. Δάσιος, Ο ρόλος των μαθηματικών στην κοινωνία και των μαθηματικών στην τάξη, Ευκλείδης Γ, τεύχος 59 (ομιλία στο 16 ο πανελλήνιο συνέδριο μαθηματικής παιδείας, Λάρισα, Νοέμβριος 1999) 11) B. H. Edwarards, R. Larson, Calculus, Ninth Edition, Brooks/Cole, USA, ) Β. Ευσταθόπουλος, Η λύση των προβλημάτων και ο ρόλος της κατάστασης - πρόβλημα στις μαθησιακές διαδικασίες, Ευκλείδης Γ, τεύχος 16, ΕΜΕ, Αθήνα ) R. L. Finney, M. D. Weir, F. R. Giordano, Thomas Calculus, Tenth Edition, Addisson Wesley Longman, USA 2001 (Ελληνική μετάφραση με τίτλο THOMAS Απειροστικός λογισμός, μετάφραση Μ. Αναγνωστάκης, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο 2005) 14) P.A. Foerster, Calculus concepts and Applications, Key Curriculum Press, USA, ) J. S. Hartzler, F. Swetz (Editors), Mathematical Modeling, NCTM, Reston, ) Γ. Θωμαϊδης, Προέλευση και εφαρμογές της θεωρίας στη διδασκαλία των Μαθηματικών, Ευκλείδης Γ, τεύχος 13, Ε.Μ.Ε., Αθήνα, ) H. R. Jacobs, Geometry, W. H. Freeman Company, San Francisco, USA, ) Δ. Καραγεώργος, Εμπέδωση Μαθηματικών εννοιών με προβλήματα της καθημερινής ζωής, Ευκλείδης Γ, τεύχος 48, ΕΜΕ, Αθήνα ) Β. Κατσαργύρης, Επίλυση Προβλήματος, Ευκλείδης Γ, τεύχος ) Β. Κατσαργύρης, Επίλυση προβλήματος με τη βοήθεια του Ολοκληρωτικού Λογισμού, Ευκλείδης Γ, τεύχος 67 21) Christin Keitel, Διδασκαλία και μάθηση των μαθηματικών σε διεπιστημονικό πλαίσιο: τα μαθηματικά και η κοινωνική πρακτική τους μέσα στην τάξη, Θέματα διδακτικής μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Gutenberg, Αθήνα,

16 22) Γ. Κερασίδης, Τα μαθηματικά ως μέσο επίλυσης προβλημάτων που μας θέτουν η φύση και η κοινωνία, πρακτικά 26 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Θεσαλλονίκης 2009, Ε.Μ.Ε., Αθήνα ) Ν. Κλαουδάτος, Η διδασκαλία των μαθηματικών με πραγματικά προβλήματα και εφαρμογές πού βρισκόμαστε σήμερα, πρακτικά 17 ου Π.Σ.Μ.Π., Ε.Μ.Ε., Αθήνα, ) Ν. Κλαουδάτος, Μοντελοποίηση: Ένα ισχυρό διδακτικό εργαλείο, Πρακτικά 6 ου Π.Σ.Μ.Π., Ε.Μ.Ε., Αθήνα, ) Ν. Κλαουδάτος, Οι πρόσφατες εξελίξεις στη λύση προβλημάτων και στη μοντελοποίηση και τις εφαρμογές των μαθηματικών, Ευκλείδης Γ, τεύχος 23, ΕΜΕ, Αθήνα ) Α. Μητροπούλου, Απ την εμπειρική καθημερινότητα στη σχολική πραγματικότητα, πρακτικα 14 ου Π.Σ.Μ.Π., Ε.Μ.Ε., Αθήνα, ) R. B. Minton, R. T. Smith, Calculus, Fourth Edition, Thomson Brooks/Cole, USA, ) Χ. Μιχαήλ Νικολαϊδου, Μιχαήλ Χρύσιππος, Η σχέση των μαθηματικών με την τεχνική και η παρουσίαση των μαθηματικών εφαρμογών ως μαθησιακό κίνητρο, πρακτικά 11 ου Π.Σ.Μ.Π., Ε.Μ.Ε., Αθήνα, ) Α. Μπούφη, Διδασκαλία των Μαθηματικών μέσα από τις εφαρμογές τους, πρακτικά 3 ου Πανελλήνιου Συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας, Ε.Μ.Ε., Αθήνα, ) Σ. Ορφανός, Τα επιστημολογικά εμπόδια της μαθηματικοποίησης, πρακτική 20 ου Π.Σ.Μ.Ε., Ε.Μ.Ε., Αθήνα, ) Ι. Παναγάκος, Η διαθεματική προσέγγιση στο αναλυτικό πρόγραμμα σπουδών των μαθηματικών, πρακτική 21 ου Π.Σ.Μ.Ε., Ε.Μ.Ε., Αθήνα, ) B. K. Παπαζάχος, Πρόγνωση Σεισμών, Η Φυσική σήμερα II, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, ) Τ. Παπαϊωάννου, Τα μαθηματικά στο Λύκειο από τη σκοπιά του πανεπιστημίου, πρακτικά 5 ου Πανελλήνιου Συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας, Ε.Μ.Ε., Αθήνα, ) G. Polya, How to solve it, Princeton University Press, Princeton, 1973 (ελληνική μετάφραση με τίτλο: «Πώς να το λύσω;», μετάφραση Λάμπης Σιαδήμας, Εκδόσεις Σπηλιώτη) 35) Δ. Πόταρη, Β. Σπηλιωπούλου, Διεπιστημονικά πλαίσια δερεύνησης των αντιλήψεων των μαθητών στα Μαθηματικά και τις Φυσικές Επιστήμες, πρακτικά 12 ου Π.Σ.Μ.Π., Ε..Μ.Ε., Αθήνα, ) Michael Serra, Discovering Geometry, Key Curriculum Press, USA, ) I. F. Sharygin, Από ένα ρωμαϊκό μύθο στο ισοπεριμετρικό πρόβλημα, Quantum, Τόμος 4, τεύχος 2 38) J. Stewart, Calculus, Seventh Edition, Brooks/Cole, USA, ) Θ. Ν. Τομαράς, Σημειώσεις Κοσμογραφίας, Ηλεκτρονικά Μαθήματα Φυσικού Τμήματος Πανεπιστημίου Κρήτης 40) Μ. Τουμάσης, Πώς να ενεργοποιήσουμε τα παιδιά στο μάθημα των μαθηματικών, Εκδόσεις Κωστόγιαννος, Χαλκίδα, ) Μ. Τουμάσης, Σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών, Gutenberg, Αθήνα, ) Γ. Τσαπακίδης, Ταξίδι στη Γεωμετρία, Ευκλείδης Α, τεύχος 80 43) Γ. Τσαπακίδης, Το Πυθαγόρειο Θεώρημα, Ευκλείδης Β, τεύχος 73 44) Γ. Φιλίππου, Η σημασία των εφαρμογών στα σχολικά Μαθηματικά, πρακτικά 1 ου Πανελλήνιου Συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας, Ε.Μ.Ε., Αθήνα

17 45) Α. Χαλάτσης, Λύση προβλημάτων και Μαθηματική Εκπαίδευση. Ευκλέιδης Γ, τεύχος 38, ΕΜΕ, Αθήνα ) Α. Χατζηγεωργίου, Διδασκαλία των μαθηματικών με διαθεματικές δραστηριότητες, Ευκλείδης Γ, τεύχος

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,,

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,, 1. i) Να αποδείξετε την ταυτότητα 1 ( ) ( ) ( ) + + = + +. ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; + + + +.. Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων (,, ) είναι όταν είναι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Προσανατολισμού Β τάξη Ενιαίου Λυκείου 1 0 Κεφάλαιο- Καμπυλόγραμμες κινήσεις : Οριζόντια βολή, Κυκλική Κίνηση. Περιέχει: 1.

Φυσική Προσανατολισμού Β τάξη Ενιαίου Λυκείου 1 0 Κεφάλαιο- Καμπυλόγραμμες κινήσεις : Οριζόντια βολή, Κυκλική Κίνηση. Περιέχει: 1. Φυσική Προσανατολισμού Β τάξη Ενιαίου Λυκείου 1 0 Κεφάλαιο- Καμπυλόγραμμες κινήσεις : Οριζόντια βολή, Κυκλική Κίνηση Περιέχει: 1. Αναλυτική Θεωρία 2. Ερωτήσεις Θεωρίας 3. Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής 4.

Διαβάστε περισσότερα

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ενότητα 17 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ασκήσεις για λύση 1. Σε ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ η πλευρά ΑΒ αυξάνεται με ρυθμό cm / s, ενώ η πλευρά ΒΓ ελαττώνεται με ρυθμό 3 cm / s. Να βρεθούν: i) ο ρυθμός μεταβολής

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ o ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ.) Τ ι γνωρίζετε για την αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων; Σε πολλές περιπτώσεις ένα σώμα εκτελεί σύνθετη κίνηση, δηλαδή συμμετέχει σε περισσότερες από μία κινήσεις. Για

Διαβάστε περισσότερα

MAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Πέτρος Μάρκος

MAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Πέτρος Μάρκος B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πέτρος Μάρκος κριτήρια αξιολόγησης MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Διαγωνίσματα σε κάθε μάθημα και επαναληπτικά σε κάθε κεφάλαιο Διαγωνίσματα σε όλη την ύλη για τις τελικές εξετάσεις Αναλυτικές απαντήσεις σε όλα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Καμπυλόγραμμες Κινήσεις Επιμέλεια: Αγκανάκης Α. Παναγιώτης, Φυσικός http://phyiccore.wordpre.com/ Βασικές Έννοιες Μέχρι στιγμής έχουμε μάθει να μελετάμε απλές κινήσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 07 3. Να αποδείξετε την ταυτότητα + + αβ βγ γα = Να αποδείξετε ότι για όλους τους α, β, γ ισχύει + + αβ + βγ + γα Πότε ισχύει ισότητα; = = + + =

Διαβάστε περισσότερα

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014 minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/014 minimath.eu Περιεχόμενα Κινηση 3 Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση 4 Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση 5 Δυναμικη 7 Οι νόμοι του Νεύτωνα 7 Τριβή 8 Ομαλη κυκλικη

Διαβάστε περισσότερα

Κατακόρυφη πτώση σωμάτων. Βαρβιτσιώτης Ιωάννης Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Αγίων Αναργύρων Μάιος 2015

Κατακόρυφη πτώση σωμάτων. Βαρβιτσιώτης Ιωάννης Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Αγίων Αναργύρων Μάιος 2015 Κατακόρυφη πτώση σωμάτων Βαρβιτσιώτης Ιωάννης Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Αγίων Αναργύρων Μάιος 2015 Α. Εισαγωγή Ερώτηση 1. Η τιμή της μάζας ενός σώματος πιστεύετε ότι συνοδεύει το σώμα εκ κατασκευής

Διαβάστε περισσότερα

Two projects Η συμβολή της Αστρονομίας στην ανάπτυξη των επιστημών: A) Το Ηλιακό μας Σύστημα και B) 2 ος Νόμος του Kepler!

Two projects Η συμβολή της Αστρονομίας στην ανάπτυξη των επιστημών: A) Το Ηλιακό μας Σύστημα και B) 2 ος Νόμος του Kepler! Two projects Η συμβολή της Αστρονομίας στην ανάπτυξη των επιστημών: A) Το Ηλιακό μας Σύστημα και B) 2 ος Νόμος του Kepler! Διαλέξαμε θέματα της Αστρονομίας γιατί δεν διδάσκονται στην σχολική ύλη. Με στόχο

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έλλειψης

Μεθοδολογία Έλλειψης Μεθοδολογία Έλλειψης Έλλειψη ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο από την απόσταση (ΕΕ ). Στη Φύση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 8γ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 8γ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 8γ) Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ασκήσεις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0. ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Κατακόρυφη πτώση σωμάτων

Κατακόρυφη πτώση σωμάτων Κατακόρυφη πτώση σωμάτων Τα ερωτήματα Δύο σώματα έχουν το ίδιο σχήμα και τις ίδιες διαστάσεις με το ένα να είναι βαρύτερο του άλλου. Την ίδια στιγμή τα δύο σώματα αφήνονται ελεύθερα να πέσουν μέσα στον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΙΔΗΣ Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1. Τι ονομάζουμε κίνηση; Τι ονομάζουμε τροχιά; Ποια είδη τροχιών γνωρίζετε; Κίνηση ενός αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 1 Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Α. Κάνε κατάλληλο σχήμα,τοποθέτησε τα δεδομένα στο σχήμα και ονόμασε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική: Ασκήσεις. Β Γυμνασίου. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Φυσική: Ασκήσεις. Β Γυμνασίου. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 0 Β Γυμνασίου Φυσική: Ασκήσεις Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 0 1 Ασκήσεις στο 1 ο Κεφάλαιο Ασκήσεις με κενά 1. Να συμπληρώσεις τα κενά στις παρακάτω προτάσεις:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η. Παράδοση Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η. Παράδοση Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Παράδοση 9--9 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Άσκηση 1 A) Δυο τραίνα ταξιδεύουν στην ίδια σιδηροτροχιά το ένα πίσω από το άλλο. Το πρώτο τραίνο κινείται με ταχύτητα 1 m s. Το δεύτερο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ποια η σημασία των παρακάτω μεγεθών; Αναφερόμαστε στην κυκλική κίνηση. Α. Επιτρόχια επιτάχυνση: Β. Κεντρομόλος επιτάχυνση: Γ. Συχνότητα: Δ. Περίοδος: 2. Ένας τροχός περιστρέφεται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x. 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο x. 0 την παράγωγο f ( x 0

, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x. 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο x. 0 την παράγωγο f ( x 0 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ : Αν δυο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y f (, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το στο σημείο την παράγωγο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση. Ενότητα 4 Τριγωνομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz 1 Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz Σκοποί της τέταρτης διάλεξης: 25.10.2011 Να κατανοηθούν οι αρχές με τις οποίες ο Albert Einstein θεμελίωσε την ειδική θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β Λυκείου

Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β Λυκείου ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α, Β, όταν α) Α(2, 5), Β(1, -3) β) Α(-3, -5), Β(-5, 7) γ) Α(0, 4), Β(2, -6). 2. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x. την παράγωγο f' ( x. 0 ) (ή και στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής).

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x. την παράγωγο f' ( x. 0 ) (ή και στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής). Ρυθμός μεταβολής Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ i Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση y = f( x) και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το

Διαβάστε περισσότερα

Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α Σ.

Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α Σ. Μ Ν Σ Υ Κ Σ Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Σ. 1. Να γράψετε τους τύπους του εμβαδού των : (α) τετραγώνου (β) ορθογωνίου παραλληλογράμμου (γ) παραλληλογράμμου (δ) τριγώνου (ε) ορθογωνίου τριγώνου (στ) τραπεζίου.

Διαβάστε περισσότερα

0. Η ) λέγεται επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t 0 και συμβολίζεται με t ). Είναι δηλαδή : t ) v t ) S t ).

0. Η ) λέγεται επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t 0 και συμβολίζεται με t ). Είναι δηλαδή : t ) v t ) S t ). Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 8 ΟΡΙΣΜΟΣ Τι λέμε ρυθμό μεταβολής του μεγέθους y ως προς το μέγεθος για, αν y f( είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση ; Απάντηση : Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης.

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλική Κίνηση - Οριζόντια βολή

Κυκλική Κίνηση - Οριζόντια βολή Μάθημα/Τάξη: Κεφάλαιο: Φυσική Προσανατολισμού Β Λυκείου Κυκλική Κίνηση - Οριζόντια βολή Ονοματεπώνυμο Μαθητή: Ημερομηνία: 24-10-2016 Επιδιωκόμενος Στόχος: 85/100 Θέμα 1 ο Στις ερωτήσεις Α.1 Α.4 επιλέξτε

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος 013-014, Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός

Διαβάστε περισσότερα

Βαρύτητα Βαρύτητα Κεφ. 12

Βαρύτητα Βαρύτητα Κεφ. 12 Κεφάλαιο 1 Βαρύτητα 6-1-011 Βαρύτητα Κεφ. 1 1 Νόμος βαρύτητας του Νεύτωνα υο ή περισσότερες μάζες έλκονται Βαρυτική δύναμη F G m1m ˆ Βαρυτική σταθερά G =667*10 6.67 11 N*m Nm /kg παγκόσμια σταθερά 6-1-011

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΖΟΝΤΑΣ ΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

ΕΦΑΡΜΟΖΟΝΤΑΣ ΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ΕΦΑΡΜΟΖΟΝΤΑΣ ΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Γιώργου Τσαπακίδη Εκείνο που σου προσράπτουν τα Χελιδόνια είναι η άνοιξη που δεν έφερες. Οδυσσέας Ελύτης Για ένα περίεργο λόγο τα Μαθηματικά που διδάσκονται στη δευτεροβάθμια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ Ι. Εισαγωγή Το μάθημα «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων» περιέχει σημαντικές μαθηματικές έννοιες, όπως, της απόλυτης τιμής, των προόδων, της συνάρτησης κ.ά.,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Λυμένες Ασκήσεις 1. Στο παρακάτω σχήμα να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ και Ι Οι συντεταγμένες των ζητούμενων σημείων είναι: Α(2,3),

Διαβάστε περισσότερα

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ < Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το ο Γενικό Λύκειο Χανίων [00-0 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για το ήθος

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; Κεφάλαιο 1 Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; 2. Πως ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της διαφοράς, του γινομένου και του πηλίκου μεταξύ δύο συναρτήσεων;

Διαβάστε περισσότερα

3 η εργασία Ημερομηνία αποστολής: 28 Φεβρουαρίου ΘΕΜΑ 1 (Μονάδες 7)

3 η εργασία Ημερομηνία αποστολής: 28 Φεβρουαρίου ΘΕΜΑ 1 (Μονάδες 7) 3 η εργασία Ημερομηνία αποστολής: 28 Φεβρουαρίου 2007 ΘΕΜΑ 1 (Μονάδες 7) Η θέση ενός σωματίου που κινείται στον άξονα x εξαρτάται από το χρόνο σύμφωνα με την εξίσωση: x (t) = ct 2 -bt 3 (1) όπου x σε μέτρα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου

Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου Διδακτικό Έτος 2018-2019 Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου. Κεφ. 1 ο :

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη;

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης. Στην Κινηματική

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ Φυσική Β Γυμνασίου Εισαγωγή Τα πάντα γύρω μας κινούνται. Στο διάστημα όλα τα ουράνια σώματα κινούνται. Στο μικρόκοσμο συμβαίνουν κινήσεις που δεν μπορούμε να τις αντιληφθούμε άμεσα.

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

2) Βάρος και κυκλική κίνηση. Β) Κυκλική κίνηση

2) Βάρος και κυκλική κίνηση. Β) Κυκλική κίνηση Β) Κυκλική κίνηση 1) Υπολογισμοί στην ομαλή κυκλική κίνηση. Μια μικρή σφαίρα, μάζας 2kg, εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση, σε κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας 0,5m, όπως στο σχήμα. Τη χρονική στιγμή t=0 η σφαίρα

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους.

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Νίκος Γ. Τόμπρος Ενότητα : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Περιεχόμενα ενότητας Τριγωνομετρικοί οξείας γωνίας αριθμοί Διδακτικοί στόχοι Διδακτικές οδηγίες - επισημάνσεις Πρέπει οι μαθητές να γνωρίζουν:

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

Κυματική οπτική. Συμβολή Περίθλαση Πόλωση

Κυματική οπτική. Συμβολή Περίθλαση Πόλωση Κυματική οπτική Η κυματική οπτική ασχολείται με τη μελέτη φαινομένων τα οποία δεν μπορούμε να εξηγήσουμε επαρκώς με τις αρχές της γεωμετρικής οπτικής. Στα φαινόμενα αυτά περιλαμβάνονται τα εξής: Συμβολή

Διαβάστε περισσότερα

β. Το μέτρο της ταχύτητας u γ. Την οριζόντια απόσταση του σημείου όπου η μπίλια συναντά το έδαφος από την άκρη Ο του τραπεζιού.

β. Το μέτρο της ταχύτητας u γ. Την οριζόντια απόσταση του σημείου όπου η μπίλια συναντά το έδαφος από την άκρη Ο του τραπεζιού. 1. Μια μικρή μπίλια εκσφενδονίζεται με οριζόντια ταχύτητα u από την άκρη Ο ενός τραπεζιού ύψους h=8 cm. Τη στιγμή που φθάνει στο δάπεδο το μέτρο της ταχύτητας της μπίλιας είναι u=5 m/sec. Να υπολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2010 1) Ράβδος μάζας Μ και μήκους L που είναι στερεωμένη με άρθρωση σε οριζόντιο άξονα Ο, είναι στην κατακόρυφη θέση και σε κατάσταση ασταθούς ισορροπίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ Συγγραφική Ομάδα Βλάμος Παναγιώτης Δρούτσας Παναγιώτης Πρέσβης Γεώργιος Ρεκούμης Κωνσταντίνος Φιλολογική Επιμέλεια Βελάγκου Ευγενία Σκίτσα Βρανάς Θεοδόσης Υπεύθυνος Παιδαγωγικού

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου- Μαθηματικός Περιηγητής ΕΝΟΤΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικές Συναντήσεις

Μαθηματικές Συναντήσεις Μαθηματικές Συναντήσεις ΣΗΜΕΙΩΜΑ 7ο / ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 4-ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 5 ΜΙΑ ΠΡΟΤΑΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΚΑΙ ΤΙΣ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ (4α θέματα) Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα.

Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα. Μαθηματικά B Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα. Άλγεβρα. Κεφάλαιο 1 ο. 1. Να υπολογιστούν οι παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις : 1 7 1 7 1 1 ) - 1 4 : ) -1 1 : 1 4 10 9 6. Να λυθούν οι εξισώσεις:

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Να μεταφέρετε στο τετράδιο την επιλογή που συμπληρώνει σωστά τις παρακάτω προτάσεις. Α1) Τέσσερα σώματα Α, Β, Γ και Δ έχουν μάζες ½ kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητική Εξέταση. 23 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας και Διαστημικής η φάση: «ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ»

Θεωρητική Εξέταση. 23 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας και Διαστημικής η φάση: «ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ» 23 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας και Διαστημικής 2018 4 η φάση: «ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ» Θεωρητική Εξέταση 23 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας 2018 4 η φάση Θεωρητική Εξέταση 1 Παρακαλούμε, διαβάστε

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1. Τι ονομάζουμε εφαπτομένη μια οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου; Να κάνετε σχήμα.

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1. Τι ονομάζουμε εφαπτομένη μια οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου; Να κάνετε σχήμα. ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 1. Τι ονομάζουμε εφαπτομένη μια οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου; Να κάνετε σχήμα. 2. Τι ονομάζουμε ημίτονο μια οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου;

Διαβάστε περισσότερα

Εξεταστέα ύλη Άλγεβρας Α Λυκείου Σχολικό έτος Εξεταστέα ύλη Γεωμετρίας Α Λυκείου Σχολικό έτος

Εξεταστέα ύλη Άλγεβρας Α Λυκείου Σχολικό έτος Εξεταστέα ύλη Γεωμετρίας Α Λυκείου Σχολικό έτος Εξεταστέα ύλη Άλγεβρας Α Λυκείου Σχολικό έτος 2015-2016 Κεφάλαιο 1ο Παράγραφοι: 1.1, 1.2 Κεφάλαιο 2ο Παράγραφοι: 2.3, 2.4 Κεφάλαιο 3ο Παράγραφοι: 3.1, 3.3 Κεφάλαιο 4ο Παράγραφοι: 4.1, 4.2 Κεφάλαιο 6ο Παράγραφοι:

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας

Εργαστήριο Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας Εργαστήριο Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας Κίνηση βλήματος Εισαγωγή στην κίνηση βλήματος Η βολή βλήματος είναι μια σύνθετη κίνηση που συμβαίνει σε δύο άξονες ταυτόχρονα,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος: 016-017 Μαθηματικός Περιηγητής:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο «ΑΛΓΕΒΡΑ»

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο «ΑΛΓΕΒΡΑ» ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΥ ΜΕΡΣ ο «ΑΛΓΕΒΡΑ». Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = ( + ) 4( ) 8, όταν = 0,45. Απλοποιούμε πρώτα την παράσταση : Α = ( + ) 4( ) 8 = = + 6 4 + 4 8

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ Εν. 1: Διανύσματα

Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ Εν. 1: Διανύσματα Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ 016-017 Εν. 1: Διανύσματα 1. Να ονομάσετε τα στοιχεία ενός διανύσματος.. Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω

Διαβάστε περισσότερα

0 είναι η παράγωγος v ( t 0

0 είναι η παράγωγος v ( t 0 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Τι λέμε ρυθμό μεταβολής του μεγέθους y ως προς το μέγεθος για, αν y f( είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση ; Απάντηση : Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y f(, όταν f

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ -ΙΟΥΝΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ :

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ -ΙΟΥΝΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ : ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ -ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Θέμα 1 ον ΘΕΩΡΙΑ : α) Τι καλείται αριθμητική παράσταση και τι καλείται αλγεβρική παράσταση ; β) Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση δραστηριότητας- φύλλο εργασίας

Ανάλυση δραστηριότητας- φύλλο εργασίας Ανάλυση δραστηριότητας- φύλλο εργασίας Τίτλος : Δύο δραστηριότητες σε ευθεία-κύκλο. α) Η «χρυσή ευθεία» β) οι γεωμετρικοί τόποι μιας οικογένειας κύκλων. Τάξη: Δίωρο μάθημα σε μαθητές Β λυκείου σε αίθουσα

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Η εξίσωση με και 0 ή 0 λέγεται γραμμική εξίσωση. Οι μεταβλητές είναι οι άγνωστοι της εξίσωσης αυτής. Οι αριθμοί λέγονται συντελεστές των αγνώστων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0

Διαβάστε περισσότερα

Εξεταστέα ύλη μαθηματικών Α Λυκείου 2017

Εξεταστέα ύλη μαθηματικών Α Λυκείου 2017 Εξεταστέα ύλη μαθηματικών Α Λυκείου 2017 Α Λυκείου Γεωμετρία Κεφάλαιο 3 3.1 Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2 1 ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων (εκτός της απόδειξης του θεωρήματος) 3.3 2 ο Κριτήριο ισότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 28 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κυριακή, 13 Απριλίου, 2014 Ώρα: 10:00-13:00 Παρακαλώ διαβάστε πρώτα τα πιο κάτω, πριν απαντήσετε οποιαδήποτε ερώτηση. Γενικές οδηγίες: 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 26 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κυριακή, 13 Μαΐου, 2012 Παρακαλώ διαβάστε πρώτα τα πιο κάτω, πριν απαντήσετε οποιαδήποτε ερώτηση Γενικές Οδηγίες: 1) Είναι πολύ σημαντικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 8 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κυριακή, 13 Απριλίου, 014 Ώρα: 10:00-13:00 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1: (Μονάδες 4) Τα σώματα Α και Β ολισθαίνουν κατά μήκος των δύο κεκλιμένων

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών. Κοσμάς Γαζέας

Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών. Κοσμάς Γαζέας Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κοσμάς Γαζέας Η γέννηση της Αστροφυσικής Οι αστρονόμοι μελετούν τα ουράνια σώματα βασισμένοι στο φως, που λαμβάνουν από αυτά. Στα πρώτα χρόνια των παρατηρήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4_095. Δίνονται οι ευθείες ε 1: λx + y = 1 και ε : x + λy = λ α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι δύο ευθείες τέμνονται και να γράψετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου συναρτήσει

Διαβάστε περισσότερα

Παρεµβολή ή Παλινδρόµηση - Συνέργειες οµίλων Προτύπων ΓΕΛ

Παρεµβολή ή Παλινδρόµηση - Συνέργειες οµίλων Προτύπων ΓΕΛ Παρεµβολή ή Παλινδρόµηση Συνέργειες οµίλων Προτύπων ΓΕΛ Σωτήρης. Χασάπης Πρότυπο Γενικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σµύρνης 9η Μαθηµατική Εβδοµάδα Θεσσαλονίκη Τετάρτη 15 Ιουνίου 2016 Περιεχόµενα Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Κλασικής Μηχανικής, Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Μιχάλης Ξένος, email : mxenos@cc.uoi.gr 19 Απριλίου 2013 Κεφάλαιο Ι 1. Να γραφεί το διάνυσμα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης υλικού σημείου σε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΘΕΣΗ ΤΡΟΧΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΗΜΑ. Παρατηρώντας τις εικόνες προσπαθήστε να ορίσετε τις θέσεις των διαφόρων ηρώων των κινουμένων σχεδίων. Ερώτηση: Πότε ένα σώμα

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/02/17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/02/17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 9/02/7 ΕΠΙΜΕΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη συστήματος φακών με τη Μέθοδο του Newton

Μελέτη συστήματος φακών με τη Μέθοδο του Newton Μελέτη συστήματος φακών με τη Μέθοδο του Newton.Σκοπός Σκοπός της άσκησης είναι η μελέτη της εστιακής απόστασης συστήματος φακών, η εύρεση της ισοδύναμης εστιακής απόστασης του συστήματος αυτού καθώς και

Διαβάστε περισσότερα