ΕΦΑΡΜΟΖΟΝΤΑΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΦΑΡΜΟΖΟΝΤΑΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ"

Transcript

1 ΕΦΑΡΜΟΖΟΝΤΑΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΤΣΑΠΑΚΙΔΗΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ ΝΤΑΓΙΑΝΤΑΣ ΚΑΖΑΝΤΖΗ 23 ΔΥΡΡΟΥ 25 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Τόσο σε θεωρητικό επίπεδο (Διδακτική) όσο και στις αίθουσες διδασκαλίας γίνεται επιτακτική η ανάγκη να εμπεδωθούν οι μαθηματικές έννοιες, εφαρμοζόμενες στην πράξη, δηλαδή με προβλήματα συνδεδεμένα με τις άλλες επιστήμες. Στην εισήγησή μας δείχνουμε ένα δρόμο προς την κατεύθυνση αυτή, προτείνοντας τέτοιου είδους προβλήματα στην ύλη της Β Λυκείου. ABSTRACT Both at theoretical level and in the classroom, mathematical notions have to be embedded through problems that are relevant to other sciences, problems whose source is life itself. In this article we are showing the way to this direction, by suggesting problems of this kind that are appropriate for teaching in the second class of high school. Σχεδόν σε όλα τα κείμενα διδακτικής των μαθηματικών 1, καθώς και στις ημερίδες και τα συνέδρια της Ε.Μ.Ε. και των παραρτημάτων της 2, κατά κόρον αναφέρεται η ανάγκη σύνδεσης των Μαθηματικών της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης με την πραγματική ζωή και τις άλλες επιστήμες. Πλην όμως, η πραγματικότητα στις αίθουσες διδασκαλίας ανά τη χώρα είναι εντελώς διαφορετική, όπου τα μαθηματικά είναι αυτοαναφερόμενα και καλούνται οι μαθητές να τα εμπεδώσουν μέσω τετριμμένων ασκήσεων, οι οποίες αρχίζουν από το πουθενά, ακροβατούν στο κενό και καταλήγουν στο τίποτα με αποτέλεσμα ένα τεράστιο ερωτηματικό είναι ζωγραφισμένο στα πρόσωπα των μαθητών, που εύκολα μεταφράζεται στο «γιατί τόσος μόχθος, πόνος, χρόνος και χρήμα για ένα παιχνίδισμα συμβόλων χωρίς σημασία;». Αρκεί να ρίξουμε μια ματιά στα θέματα των προαγωγικών εξετάσεων όλων των τάξεων Γυμνασίου και Λυκείου ανά την χώρα, και ιδίως στα θέματα των απολυτήριων Πανελληνίων εξετάσεων της Γ Λυκείου, όπου κυριαρχούν γριφώδεις καταστάσεις του «υπάρχει», για συναρτήσεις που δεν εμφανίστηκαν, ούτε πρόκειται να εμφανιστούν σε καμία από τις γνωστές ή άγνωστες επιστήμες. Αν κάποιος ειδικός της μαθηματικής εκπαίδευσης μελετούσε τη θεματογραφία των μαθηματικών της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης της Ελλάδας χωρίς να γνωρίζει πού βρίσκεται η χώρα μας, σίγουρα θα έβγαζε το συμπέρασμα ότι η Ελλάδα είναι ένα απομονωμένο νησί στη μέση του Ειρηνικού (ουσιαστικά του πουθενά), που δε συνδέεται και δεν έχει επαφή με τον υπόλοιπο κόσμο. Γιατί αν κάποιος ξεφυλλίσει διδακτικά βιβλία Άλγεβρας και Γεωμετρίας άλλων χωρών, ή βιβλία διαφορικού 1 [12], [25], [18], [40], [41], [45], [16] 2 [30], [31], [5], [44], [29], [24], [28], [35], [26], [3], [23], [22] 1

2 λογισμού 1 θα διαπιστώσει ότι κατά κόρον αναφέρονται στην πραγματική ζωή και τις άλλες επιστήμες. Συνήθεις δικαιολογίες των διδασκόντων στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση για το ότι δεν διδάσκουν τις εφαρμογές των μαθηματικών στις άλλες επιστήμες, δηλαδή ότι το μάθημα δε γίνεται διαθεματικά, οφείλεται στο γεγονός ότι δεν υπάρχουν τέτοιες αναφορές στα σχολικά βιβλία, αλλά τα σχολικά βιβλία είναι βιβλία για το μαθητή, και όχι για τον καθηγητή. Διδασκαλία δεν είναι η αναπαραγωγή στον πίνακα, μέσω του καθηγητή, των παραγράφων του σχολικού βιβλίου, Το σχολικό βιβλίο είναι σημείο αναφοράς για τον μαθητή. Ο ρόλος του δασκάλου μαθηματικών είναι να διεγείρει το ενδιαφέρον των μαθητών για τα μαθηματικά, να μεταφέρει στην αίθουσα τον σύγχρονο επιστημονικό προβληματισμό, να μάθει τους μαθητές να σκέφτονται και να προετοιμάσει τους αυριανούς επιστήμονες 12. Επομένως να αναζητά συνεχώς νέες πληροφορίες στο διαδίκτυο και την παγκόσμια βιβλιογραφία. Είναι συνήθεια στη χώρα μας, όταν αναφερόμαστε σε οποιοδήποτε θέμα, να είμαστε γενικόλογοι και να ψαρεύουμε σε θολά νερά, ίσως για να μην υποστούν κριτική οι απόψεις μας. Συνειδητοποιώντας και καταγράφοντας το γεγονός αυτό, εμείς (οι συγγραφείς του άρθρου αυτού), οφείλουμε να γίνουμε συγκεκριμένοι, για αυτό στη συνέχεια θα προτείνουμε συγκεκριμένες εφαρμογές των μαθηματικών στη ζωή μας και τις επιστήμες, σε συγκεκριμένες παραγράφους της ύλης των Μαθηματικών της Β Λυκείου. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α1) 1 gr τροφής T 1 έχει μονάδα βιταμίνης A, 3 βιταμίνης B, 4 βιταμίνης C και 2 βιταμίνης E. 1 gr τροφής T 2 έχει 2 μονάδες βιταμίνης A, 3 βιταμίνης Β, 5 βιταμίνης C kκαι 4 βιταμίνης E. 1 gr τροφής T 3 έχει 3 μονάδες βιταμίνης A, 0 βιταμίνης Β, 3 βιταμίνης C και 6 βιταμίνης E. Ένα άτομο που τρέφεται με τις T 1, T 2, και T 3, θέλουμε να πάρει 11 μονάδες βιταμίνης A, 9 βιταμίνης B, 20 βιταμίνης C και 22 βιταμίνης E. Ποιες είναι οι ποσότητες των τροφών T 1, T 2, T 3, που πρέπει να τραφεί το άτομο, ώστε να λάβει τις βιταμίνες που θέλουμε; (Συστήματα) [3] Α2) Για να μελετήσουμε την κυκλοφορία στο κέντρο της πόλης τοποθετήσαμε μερικούς μετρητές, που κατέγραψαν: να έρχονται από τα δυτικά 300 αυτοκίνητα/ώρα να φεύγουν προς τα ανατολικά 300 αυτοκίνητα/ώρα να διασχίζουν το δρόμο ΒΔ 100 αυτοκίνητα/ώρα Α Β Γ Β Δ Α Δ Ν 1 [13], [11], [14], [9], [38], [27], [1] 2

3 α) Είναι δυνατό να υπολογίσουμε τον αριθμό αυτοκινήτων που περνούν από κάθε δρόμο κάθε ώρα; β) Σε ποιόν δρόμο θα βάζαμε άλλον ένα μετρητή κυκλοφορίας ώστε να υπολογίσουμε την κυκλοφορία σε κάθε δρόμο ακριβώς; γ) Ποια είναι η ελάχιστη κυκλοφορία στον δρόμο ΑΒ με βάση τις δεδομένες πληροφορίες; (Συστήματα) [9] Α3) Η πιτσαρία «Pizza Express» διαθέτει στους πελάτες της δύο είδη πίτσας, απλή και special. Το περιθώριο κέρδους για κάθε προϊόν ανέρχεται σε 1 και 1,5 αντίστοιχα. Για την παραγωγή κάθε προϊόντος η πιτσαρία χρησιμοποιεί ζύμη και ένα μείγμα υλικών ως ακολούθως: μία απλή πίτσα χρειάζεται 500g ζύμης και 125 g μείγματος υλικών μία special χρειάζεται 500g ζύμης και 250g μείγματος. Μία μέρα η πιτσαρία διέθετε 75 κιλά ζύμης και 25 κιλά μείγματος υλικών. Εκείνη την ημέρα η πιτσαρία έχει παραγγελίες για τουλάχιστον 50 απλές και τουλάχιστον 25 special πίτσες. Πόσες πίτσες από κάθε είδος πίτσας πρέπει να παράγει η πιτσαρία, ώστε να έχει μέγιστο κέρδος εκείνη την ημέρα; (Συστήματα) Α4) Από τα πρώτα ερωτήματα που προέκυψαν με την εφεύρεση του κανονιού (μέσα 14 ου αιώνα) ήταν το πόσο μακριά μπορεί να πάει το βλήμα (δηλαδή ποιο είναι το βεληνεκές του κανονιού). Εμπειρικά βρέθηκα ότι το βεληνεκές ενός κανονιού εξαρτάται από τη γωνία βολής που σχηματίζει ο σωλήνας του κανονιού με το οριζόντιο επίπεδο. Η επιστημονική απάντηση δόθηκε μετά το 1650, αφού προηγήθηκαν ο νόμος της ελεύθερης πτώσης του Γαλιλαίου και η Γεωμετρία του Καρτέσιου. Galileo Galilei ( ) Ιταλός καθηγητής Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο της Πάδουας. Θεωρείται ο πατέρας της νεότερης επιστήμης, γιατί εισήγαγε ένα νέο τρόπο μελέτης της φύσης με την καθιέρωση της μαθηματικής διατύπωσης μιας φυσικής θεωρίας και τον πειραματικό της έλεγχο. Στον Γαλιλαίο οφείλεται η διατύπωση του νόμου της ελεύθερης πτώσης των σωμάτων, η ανακάλυψη των τεσσάρων μεγαλύτερων δορυφόρων του Δία και των ηλιακών του Κοπέρνικου, πράγμα που τον έφερε σε σύγκρουση με την Καθολική Εκκλησία. 3

4 Rene Descartes ( ) Γάλλος φιλόσοφος και μαθηματικός. Στο περίφημο φιλοσοφικό του έργο «Λόγος περί της μεθόδου» περιέχεται ως παράδειγμα για την εφαρμογή της «μεθόδου», το παράρτημα 106 σελίδων με τον τίτλο «La geometrie», που είναι το πρώτο δημοσίευμα για τη γνωστή μας Αναλυτική Γεωμετρία. Η δημοσίευση αυτή του Καρτεσίου θεωρείται το «μεγαλύτερο μεμονωμένο βήμα που έγινα ποτέ στην εξέλιξη των θετικών επιστημών» Το βεληνεκές (ΟΑ) ενός βλήματος που βάλλεται με αρχική ταχύτητα U 0 υπό γωνία φ, όταν η αντίσταση του αέρα θεωρηθεί αμέλημα, υπολογίζεται ως εξής: Αναλύουμε την κίνηση του βλήματος σε οριζόντια και κατακόρυφη. Κατά την οριζόντια κίνηση το βλήμα κινείται ευθύγραμμα και ομαλά (αφού δεν επιδρά πάνω του καμία δύναμη) με σταθερή ταχύτητα U 0 συνφ. Επομένως μετά από χρόνο t θα έχει διανύσει διάστημα: x= (U 0 συνφ)t. (1) Κατά την κατακόρυφη κίνηση το βλήμα κινείται υπό την επίδραση της βαρύτητας με αρχική ταχύτητα U 0 ημφ, άρα μετά από χρόνο t θα έχει διανύσει διάστημα y=(u 0 ημφ)t- 1 2 gt 2. (2) Λύνουμε την (1) ως προς t, αντικαθιστούμε στην (2) και παίρνουμε Για y=0 είναι x=(οα). y= x 2U 2 0 Έτσι για y=0, από την (3) παίρνουμε (ΟΑ)= g x 2 2. (3) 2U 0 g. Ποια πρέπει να είναι η γωνία φ ώστε το βεληνεκές ενός βλήματος να είναι μέγιστο; (Τριγωνομετρία) Α5) Σύμφωνα με το νόμο της παγκόσμιας έλξης του Νεύτωνα: F=G m m r. O Ήλιος και ιδίως η Σελήνη επιδρούν πάνω στις θάλασσες με αποτέλεσμα τα νερά τους να ανασηκώνονται (πλημμυρίδα) και να αποτραβιόνται (άμπωτης) περιοδικά. Το φαινόμενο αυτό το λέμε παλίρροια. Μετά από μετρήσεις το ύψος της παλίρροιας στην είσοδο ενός λιμανιού είναι h μέτρα μετά t ώρες από τα μεσάνυχτα. Το h προσεγγίζεται t με ικανοποιητική ακρίβεια από τη συνάρτηση: h(t)=5+3ημ. 6 Άμπωτη και πλημμυρίδα α) Ποια είναι η περίοδος της συνάρτησης h(t); β) Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της h(t) στο διάστημα [0,T]. γ) Πόσες ώρες μετά τα μεσάνυχτα το ύψος του νερού θα είναι 6,5 μέτρα; 4

5 δ) Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της h(t) να απαντήσετε στα επόμενα ερωτήματα: i) Ποια είναι η υψομετρική διαφορά μεταξύ της ψηλότερης πλημμυρίδας και της χαμηλότερης άμπωτης; ii) Πόσες ώρες περνούν μεταξύ των δύο φαινομένων που αναφέρονται στο προηγούμενο ερώτημα; iii) Ένα πλοίο μπορεί να μπει και να βγει από το λιμάνι όταν το ύψος του νερού είναι πάνω από 6,5 μέτρα. Πόσες ώρες την ημέρα μπορεί να γίνει αυτό; (Τριγωνομετρία) Α6) Σε μία μηχανή εσωτερικής καύσης, η θέση του πιστονιού στον κύλινδρο μπορεί να υπολογιστεί με τη βοήθεια μιας ημιτονοειδούς συνάρτησης. Για ένα συγκεκριμένο μέγεθος και συγκεκριμένη ταχύτητα μηχανής, η κεφαλή από το πιστόνι, για t=0, στην αρχή της φάσης της αναρρόφησης βρίσκεται στην κορυφή του κυλίνδρου ( απόσταση από την κορυφή είναι 0) και φτάνει σε μέγιστη απόσταση 4cm από την κορυφή (μέγιστη απόσταση), όταν t= 1 s 48 Μετά τη συμπίεση ακολουθεί η εκτόνωση ( t=, στην αρχή της φάσης της συμπίεσης s ), η εξαγωγή ( t= 3 48 s ),τέλος η αναρρόφηση οπότε ξεκινούν όλα από την αρχή. Αν η περίοδος ενός τέτοιου τετράχρονου κινητήρα είναι P= 1 s 24, βρείτε την συνάρτηση που περιγράφει την απόσταση του πιστονιού από την κορυφή του κυλίνδρου και την απόσταση για t= Σε ποια φάση είναι ο κινητήρας για t= 1 9 s ; (Τριγωνομετρία) [7] 1 s 9. Κατά σειρά: Εκτόνωση, εξαγωγή, αναρρόφηση και συμπίεση Α7) Το τμήμα προγραμματισμού μιας βιομηχανίας υπολογίζει ότι η παραγωγή ενός νέου προϊόντος σε ποσότητα Q τεμαχίων θα έχει κόστος TC(Q)= Q 3, επίσης υπολόγισε ότι η τιμή του προϊόντος, όταν η ζήτησή του είναι Q τεμάχια θα διαμορφωθεί στις P=110-Q χρηματικές μονάδες. 5

6 α) Να προσδιορίσετε τα ολικά έσοδα TR(Q) και το κέρδος Π(Q) της βιομηχανίας. β) Ποιες ποσότητες πρέπει να παράγει η βιομηχανία ώστε να έχει κέρδος και ποιες ώστε να έχει ζημία; Α8) Όσο ένα ζώο ή φυτό είναι ζωντανό, ο άνθρακας 14 βρίσκεται στους ιστούς του σε σταθερή ποσότητα. Όταν πεθαίνει σταματά να παίρνει άνθρακα 14, γι αυτό η ποσότητά του ελαττώνεται λόγω ραδιενεργούς διάσπασης σύμφωνα με την ισότητα A=A 0 e -0,000124t (1), όπου A είναι η ποσότητα του άνθρακα μετά t χρόνια και A 0 η ποσότητα όταν t=0. α) Ποια είναι η ποσότητα άνθρακα 14 σε ένα κρανίο μετά από πάρα πολλά χρόνια; β) Ποια είναι η ηλικία ενός κρανίου που περιέχει 10% της κανονικής ποσότητα του άνθρακα; γ) Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της (1) (Εκθετική Συνάρτηση) Α9) Υπάρχουν πολλά είδη βακτηριδίων Escherichia Coli. Κάθε είδος έχει τον δικό του χρόνο διπλασιασμού. Ένα από αυτά τα είδη έχει χρόνο διπλασιασμού 15 λεπτά. Δηλαδή, αν έχουμε ένα βακτήριο, σε 15 λεπτά θα γίνουν 2, σε 30 λεπτά θα γίνουν 4, σε 45 λεπτά θα γίνουν 8 και λοιπά. Αν σε μία καλλιέργεια υπάρχουν τέτοια βακτήρια: α) Πόσα θα γίνουν σε 4 ώρες; β) Πόσα θα γίνουν σε 24 ώρες; γ) Πόσα θα γίνουν σε t ώρες; δ) Αν βακτήρια ζυγίζουν 1 κιλό, πόσα κιλά θα ζυγίζουν τα βακτήρια που δημιουργήθηκαν στο ερώτημα (β); Α10) Αν Ν είναι το πλήθος των σεισμών, που γίνονται σε ένα χρόνο σε μια συγκεκριμένη περιοχή, με μέγεθος μεγαλυτέρου ή ίσου του Μ, τότε ισχύει ο εμπειρικός στατιστικός τύπος: logn=a-bm (1) Όπου a, b παράμετροι που εξαρτώνται από τη σεισμικότητα της συγκεκριμένης περιοχής. α) Λύστε την (1) ως προς Ν. β) Ποια είναι η περίοδος εμφάνισης σεισμού μεγέθους μεγαλυτέρου ή ίσου του Μ σε μια συγκεκριμένη περιοχή; γ) Αν για την Ελλάδα είναι a=6,37 και b=1, ποιο είναι το χρονικό διάστημα στο οποίο αναμένεται να γίνει σεισμός μεγέθους μεγαλύτερος ή ίσος του 8; δ) Μπορεί να αποδειχθεί ότι ο σεισμός που έχει τη μεγαλύτερη πιθανότητα (περίπου 63%) να είναι μέγιστος στο χρονικό διάστημα t ετών έχει μέγεθος M t = a log t b Escherichia Coli Ποιο είναι το πιθανότερο μέγιστο μέγεθος σεισμού που μπορεί να γίνει στη διάρκεια ενός έτους; Σε δέκα έτη; (Λογαριθμική Συνάρτηση) [32] 6

7 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Γ1) Στις φωτογραφικές μηχανές, τα μικροσκόπια και τα τηλεσκόπια χρησιμοποιούν φακούς, που είναι οπτικά όργανα αποτελούμενα από γυαλί, που περιορίζεται από δύο σφαιρικές επιφάνειες. Η ευθεία που περνάει από τα κέντρα των δύο σφαιρικών επιφανειών του φακού λέγεται κύριος άξονας και κάθε άλλη ευθεία που περνάει από το κέντρο του φακού λέγεται δευτερεύων άξονας. Κάθε παράλληλη δέσμη φωτεινών ακτινών προς τον κύριο άξονα του φακού συγκλίνει σε σημείο Ε, που λέγεται εστία, της οποίας η απόσταση από το κέντρο του φακού λέγεται εστιακή απόσταση, που τη συμβολίζουμε με f. Στο παρακάτω σχήμα, ο φακός σχηματίζει το είδωλο Α Β του αντικειμένου ΑΒ. Αν ΟΑ=α και ΟΒ=β, ποια είναι η σχέση που συνδέει τα α, β, f; (Ομοιότητα) [42] 7

8 Γ2) Το πείραμα των Αμερικανών φυσικών E. Morley και A. Michelson το 1887 έδειξε ότι: η ταχύτητα του φωτός στο κενό είναι απόλυτο φυσικό μέγεθος, δηλαδή ένας παρατηρητής κινούμενος με οποιαδήποτε ταχύτητα ως προς μία φωτεινή πηγή, μετρώντας την ταχύτητα του φωτός στο κενό τη βρίσκει πάντοτε ίση με c= km/s. Ο A. Einstein το 1905, στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας, θεώρησε ως θεμελιώδη φυσική αρχή το προηγούμενο πειραματικό αποτέλεσμα. Η δεύτερη θεμελιώδης αρχή της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας είναι: Για παρατηρητές, που ο ένας κινείται με σταθερή ταχύτητα ως προς τον άλλον, οι φυσικοί νόμοι μένουν αναλλοίωτοι. Albert Einstein ( ) Μυθική φυσιογνωμία της Μαθηματικής Φυσικής. Με την Ειδική και Γενική Θεωρία της Σχετικότητας άλλαξε τις απόψεις μας για τον χώρο, τον χρόνο και γενικότερα για το Σύμπαν. Υποθέτουμε τώρα ότι πάνω σε μία πλατφόρμα βρίσκεται ένας στήλος στο κάτω άκρο Α του οποίου είναι τοποθετημένη μια φωτεινή πηγή και στο πάνω άκρο του Β βρίσκεται ένας παρατηρητής Π 1. Τη στιγμή που η πλατφόρμα αρχίζει να κινείται με σταθερή ταχύτητα u ως προς ακίνητο παρατηρητή Π 2, η φωτεινή πηγή στέλνει ένα φωτεινό παλμό προς τον παρατηρητή Π 1. Στο χρονικό διάστημα που μεσολάβησε από τη στιγμή που ο φωτεινός παλμός ξεκίνησε από τη φωτεινή πηγή μέχρι να φτάσει στον παρατηρητή Π 1, η πλατφόρμα μετακινήθηκε από τη θέση ΑΒ στη θέση Α Β, όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο φωτεινός παλμός για τον παρατηρητή Π 1 διατρέχει το τμήμα ΑΒ, ενώ για τον παρατηρητή Π 2 το τμήμα ΑΒ. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΑ Β έχουμε ότι ΑΒ >Α Β =ΑΒ. Επειδή η ταχύτητα το φωτός είναι σταθερή και για τους δύο 8

9 παρατηρητές, έχουμε AB ' C A' B' C. Αλλά απόσταση προς την ταχύτητα δίνει το χρόνο. Έτσι ο χρόνος t που απαιτείται για να διατρέξει ο φωτεινός παλμός την απόσταση ΑΒ είναι μεγαλύτερος από το χρόνο t που απαιτείται για να διατρέξει την απόσταση Α Β. Ποια σχέση συνδέει τους δύο χρόνους t και t ; (Πυθαγόρειο Θεώρημα) [43] Γ3) Από την κορυφή Α ενός βουνού βλέπουμε δύο σημεία Β και Γ. Για να υπολογίσουμε το ύψος h του βουνού βρίσκουμε με γωνιόμετρο τη γωνία ΒΑΓ=θ, καθώς και τις γωνίες που σχηματίζουν οι οπτικές ακτίνες ΑΒ και ΑΓ με την κατακόρυφο ΑΚ και έστω ΚΑΒ=φ και ΚΑΓ=ω. αν γνωρίζουμε την απόσταση d των σημείων Β και Γ, πώς θα υπολογίσουμε το ύψος h του βουνού; (Μετρικές σχέσεις στα τρίγωνα) [34] Γ4) Ένα αεροπλάνο φεύγει από ένα αεροπλανοφόρο και πετάει νότια με 400 km/h. Το αεροπλανοφόρο προχωράει με κατεύθυνση 60 ο βορειοδυτικά με 32km/h. Αν το αεροπλάνο έχει καύσιμα για 5 ώρες πτήσης ποια είναι η μέγιστη απόσταση που μπορεί να ταξιδέψει το αεροπλάνο από το σημείο που απογειώθηκα, ώστε να επιστρέψει στο αεροπλανοφόρο; (Μετρικές σχέσεις στο τρίγωνο) [6] Γ5) Γιατί οι κηρήθρες των μελισσών έχουν σχήμα κανονικού εξαγώνου; (Κανονικά πολύγωνα) [40] Γ6) Η απόσταση των πηγών ενός ποταμού από το σημείο εκβολής του στη θάλασσα είναι d. Κάντε μία εκτίμηση του μήκους της όχθης του ποταμού ως συνάρτηση του d. (Μέτρηση κύκλου) Γ7) Πώς θα μπορούσαμε να μετρήσουμε την περίμετρο μιας μικρής λίμνης; (Μέτρηση κύκλου) Γ8) Πώς μπορούμε να μετρήσουμε τον όγκο ενός βαρελιού προσεγγιστικά; (Μέτρηση κύκλου) 9

10 Γ9) Μια βιομηχανία χρειάζεται αποθηκευτικό χώρο σε μια πόλη για να αποθήκευση 175 κυλινδρικών κοντέινερς με ακτίνα διάμετρο 2m και ύψος 3m. Τα κοντέινερς πρέπει να τοποθετηθούν όρθια. Ο αντιπρόσωπος της βιομηχανίας στην πόλη έκανε έρευνα αγοράς και βρήκε τρεις αποθήκες. Η πρώτη με διαστάσεις 11x11 m και κόστος ενοικίασης 670 /μήνα, η δεύτερη με διαστάσεις 11x22 m και κόστος 1050 /μήνα και η τρίτη με διαστάσεις 11x33 και κόστος 1300 /μήνα. Όλες οι αποθήκες είχαν ύψος 10m. Ποια αποθήκη με μικρότερο κόστος πρέπει να διαλέξει ο αντιπρόσωπος της εταιρείας; (Μέτρηση κύκλου) [15] Γ10) Γιατί οι βάσεις των ιγκλού των Εσκιμώων, των σκηνών των Ινδιάνων και των καλυβών των Αφρικανών είναι κυκλικές; [37] ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δ1) Ο Αμερικανός αστρονόμος E. Hubble ( ) το 1927 διατύπωσε το νόμο: «Όλοι οι γαλαξίες απομακρύνονται από τη γη με ακτινιακές ταχύτητες ανάλογες της απόστασης τους από τη γη». Έτσι, αν με Γ συμβολίσουμε τη θέση της γης και με Α τη θέση ενός γαλαξία τώρα, θα είναι u H 0, όπου H 0 η σταθερά του Hubble. Ο νόμος αυτός, φαινομενικά, δίνει προνομιούχα θέση στη γη ως κέντρο του σύμπαντος, πράγμα που έρχεται σε αντίθεση με την αρχή του Κοπέρνικου, σύμφωνα με την οποία: «η θέση τη γης δεν είναι προεξέχουσα στο σύμπαν». Μπορείτε να εξηγήσετε αυτό το παράδοξο; (Διανύσματα) [39] Δ2) Ένα παραθαλάσσιο χωριό πρόκειται να συνδεθεί με δευτερεύουσα οδό με την εθνική οδό, που περνάει έξω από το χωριό. Στο σημείο συνάντησης της δευτερεύουσας οδού με την εθνική θα κατασκευαστεί ανισόπεδη διάβαση. Ο τοπογράφος της κατασκευάστριας εταιρείας χρησιμοποιεί ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων στο οποίο η εθνική οδός έχει εξίσωση y=2x-3 και το χωριό αντιστοιχεί στο σημείο (4,10). Σε ποιο σημείο πρέπει να κατασκευαστεί η ανισόπεδη διάβαση, ώστε η απόστασή της από το χωριό να είναι ελάχιστη; (Ευθεία) Δ3) Σε ένα θάλαμο Wilson παρατηρούμε τις τροχιές δύο σωματιδίων άλφα που κινούνται στο ίδιο επίπεδο και βρίσκουμε ότι κάθε χρονική στιγμή t 0, οι θέσεις τους είναι (2t + 5, 3t + 2) και (4t + 1, t + 3) αντίστοιχα. α.) Να βρείτε την αρχική θέση των δύο σωματιδίων. β.) Να προσδιορίσετε τις εξισώσεις των τροχιών τους. γ.) Να εξετάσετε αν τα σωματίδια θα συγκρουστούν. Σωματίδια άλφα είναι πυρήνες ηλίου, οι οποίοι αποτελούνται από δύο πρωτόνια και δύο νετρόνια. Θάλαμος Wilson είναι μία συσκευή που περιέχει ατμούς κατάλληλου αερίου σε κατάσταση υπερκορεσμού. Με τη Ίχνη τροχιών σωματιδίων άλφα σε θάλαμο Wilson 10

11 συσκευή αυτή έγιναν ορατές και φωτογραφήθηκαν οι τροχιές στοιχειωδών σωματιδίων. (Ευθεία) Δ4) Το ραδιοτηλεσκόπιο είναι αστρονομικό όργανο που αποτελείται από ένα δέκτη ραδιοφωνικών κυμάτων και μια παραβολική κεραία η οποία ανιχνεύει τη ραδιοφωνική ακτινοβολία που εκπέμπεται από διάφορα ουράνια σώματα. Η βασική αρχή πάνω στην οποία στηρίζεται η λειτουργία του ραδιοτηλεσκοπίου είναι η ανακλαστική ιδιότητα της παραβολής. Η αρχή αυτή, που αποδεικνύεται μαθηματικά είναι η εξής: οι ακτίνες μίας παράλληλης δέσμης ακτινοβολίας που έχει διεύθυνση του άξονα ενός παραβολικού κατόπτρου, ανακλώνται στην εστία του κατόπτρου. Επειδή τα ραδιοφωνικά μήκη κύματος είναι πολύ μεγαλύτερα από εκείνα του ορατού φωτός, τα ραδιοτηλεσκόπια πρέπει να είναι πολύ μεγάλα για να πλησιάσουν τη διακριτική ικανότητα των οπτικών τηλεσκοπίων. Το μεγαλύτερο ραδιοτηλεσκόπιο Το τηλεσκόπιο στο Αρεσίμπο του Πουέρτο Ρίκο βρίσκεται στο Αρεσίμπο του Πουέρτο Ρίκο, είναι ακίνητο, και γεμίζει μια φυσική κοιλότητα όπως φαίνεται στη φωτογραφία. Η διάμετρος της παραβολικής του κεραίας είναι 300 μέτρα. Αν η απόσταση της εστίας της παραβολικής κεραίας από την κορυφή της είναι 100 μέτρα, πόσο είναι το βάθος της; (Παραβολή) Δ5) Το διάνυσμα θέσης ενός πυραύλου κάθε χρονική στιγμή t, ως προς ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων με αρχή το σημείο εκτόξευσης του πυραύλου, άξονα y y την εξέδρα εκτόξευσης και άξονα x x την τομή του εδάφους και του επιπέδου που ορίζει ο πύραυλος με την εξέδρα εκτόξευσης, είναι:. α) Αν r =(x,y), να εκφράσετε τα x, y ως συνάρτηση του t. β) Να βρείτε την εξίσωση f(x,y) της τροχιάς του πυραύλου. γ) Να σχεδιάσετε την τροχιά του πυραύλου. (Παραβολή) r ( 0,4t) i (1,2 t) j 11

12 Δ6) Μία εταιρεία για τις συνεδριάσεις του Διοικητικού της Συμβουλίου, παρήγγειλε από ένα ξυλουργό ένα ελλειπτικό τραπέζι συνεδριάσεων, διαστάσεων 4x3 μέτρων. Για την κατασκευή του ττραπεζιού ο ξυλουργός συγκόλλησε σανίδες που σχημάτιζαν ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο διαστάσεων 4x3 μέτρων, αλλά δεν μπορούσε να σχεδιάσει πάνω του το περίγραμμα του τραπεζιού. Μπορείτε να τον βοηθήσετε; (Έλλειψη) Δ7) Ένας δρόμος μονής κατεύθυνσης περνάει κάτω από μία γέφυρα, που έχει σχήμα ημιέλλειψης. Η γέφυρα έχει πλάτος 12m και ύψος 5m. ένα μεγάλο μηχάνημα εξόρυξης μεταλλευμάτων, πλάτους 6m και ύψους 4,5m, πρόκειται να μεταφερθεί σε ένα ορυχείο. Ο μόνος δρόμος που οδηγεί στο ορυχείο είναι αυτίς που περνάει κάτω από τη γέφυρα. Αν το μηχάνημα δεν μπορεί να περάσει κάτω από τη γέφυρα, θα αποσυναρμολογηθεί, τα κομμάτια του θα μεταφερθούν στο ορυχείο, όπου θα ξανασυναρμολογηθούν. Είναι αναγκαίο να αποσυναρμολογηθεί το μηχάνημα; (Έλλειψη) Δ8) Ο Γερμανός μαθηματικός και αστρονόμος Johannes Kepler ( ), αφού επεξεργάστηκε τις εξαιρετικά ακριβείς καταγραφές των θέσεων των πλανητών που έκανε για είκοσι χρόνια ο Δανός αστρονόμος Tycho Brahe ( ), το 1609 στο βιβλίο του «Νέα Αστρονομία» δημοσίευσε το βασικό νόμο της κίνησης των πλανητών, που είναι ο: «Η τροχιά κάθε πλανήτη είναι έλλειψη και σε μία από τις εστίες της βρίσκεται ο ήλιος». Η μικρότερη απόσταση της γης από τον ήλιο (περιήλιο) είναι 148 χιλιάδες χιλιόμετρα και η μεγαλύτερη (αφήλιο) 152 χιλιάδες χιλιόμετρα. Χρησιμοποιώντας κατάλληλο σύστημα συντεταγμένων και το νόμο του Kepler, να βρείτε την εξίσωση Johannes Kepler της τροχιάς της γης γύρω από τον ήλιο. (Έλλειψη) Δ9) Ο πύργος ψύξης κάθε ατμοηλεκτρικού εργοστασίου έχει σχήμα υπερβολοειδούς εκ περιστροφής (είναι το στερεό που προκύπτει από την περιστροφή στο χώρο μιας υπερβολής γύρω από τον άξονα συμμετρίας της που δεν την τέμνει), όπως φαίνεται στη διπλανή φωτογραφία. Η εξίσωση της υπερβολής που χρησιμοποίησε ο αρχιτέκτονας για να σχεδιάσει τον πύργο ψύξης ενός ατμοηλεκτρικού εργοστασίου, είναι: x 2 2 y 1. Αν ο πύργος ψύξης έχει ύψος 45 μέτρα και η κορυφή του είναι 15 μέτρα πάνω από το κέντρο της υπερβολής, τότε ποια είναι τα εμβαδά της κορυφής και της βάσης του πύργου; Η κατασκευάστρια εταιρεία του σταθμού, για να προϋπολογίσει το κόστος κατασκευής του σταθμού, ζήτησε από τον αρχιτέκτονα να υπολογίσει, έστω και προσεγγιστικά, το εμβαδόν της παράπλευρης κοίλης επιφάνειας του πύργου ψύξης. Μπορείτε να βοηθήσετε τον αρχιτέκτονα στον υπολογισμό; (Υπερβολή) 12

13 Δ10) Κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες, οι ιδιότητες μιας υπερβολής μπορούν να χρησιμοποιηθούν και να εντοπισθεί η θέση ενός πλοίου. Δύο ραδιοφωνικοί σταθμοί έχουν απόσταση 100km κατά μήκος μιας ευθείας ακτογραμμής. Ένα πλοίο πλέει παράλληλα στην ακτή και απέχει από την στεριά 60km. Το πλοίο εκπέμπει σήμα κινδύνου το οποίο λαμβάνει ο κοντινότερος σταθμός σε 0,4 msec, και ο πιο μακρινός σε 0,5 msec. Τα ραδιοκύματα «ταξιδεύουν» με ταχύτητα περίπου 300km/msec. Να χρησιμοποιηθούν τα παραπάνω δεδομένα για να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής που δίνει τη θέση του πλοίου. (Υπερβολή) ΣΧΟΛΙΑ Είναι προφανές ότι η πρότασή μας για τη διδασκαλία εφαρμογών των Μαθηματικών στη ζωή και τις άλλες επιστήμες δε σημαίνει την απόρριψη προβλημάτων με καθαρά μαθηματικό περιεχόμενο. Μόνο που τα προβλήματα αυτά, θα πρέπει να μην είναι τετριμμένα και επαναλαμβανόμενα, αλλά αντιθέτως να είναι προκλητικά και να βοηθούν στη βαθύτερη κατανόηση και εμπέδωση των μαθηματικών εννοιών. Για παράδειγμα δεν έχουν έννοια τα προβλήματα όπως τα: i) Ποια είναι η εφαπτομένη δοσμένης έλλειψης που φέρνουμε από ένα σημείο; ii) Ποιες είναι οι εφαπτομένες που είναι παράλληλες σε δοθείσα ευθεία; iii) Ποιες είναι οι εφαπτομένες που είναι κάθετες σε δοθείσα ευθεία; Σε αντίθεση με τα παραπάνω «προβλήματα» το: Μπορούμε να κατασκευάσουμε με κανόνα και διαβήτη την εφαπτομένη έλλειψης σε δεδομένο της σημείο; αναγκάζει διδάσκοντες και διδασκομένους να εικάσουν, να προσπαθήσουν, να κρίνουν, να εξερευνήσουν, με αποτέλεσμα να κατανοήσουν σε ένα βαθύτερο επίπεδο την έννοια της εφαπτομένης. Στο πνεύμα αυτό είναι τα προβλήματα Α1, Α2, που δεν μας καλούν απλώς να λύσουμε ένα σύστημα γνωστής μορφής, αλλά καλούμαστε να διερευνήσουμε τη λύση των προβλημάτων. Το πρόβλημα Α3 αφορά γραμμικό προγραμματισμό, του οποίου η λύση ανάγεται, ως γνωστόν, στη λύση γραμμικού συστήματος ανισώσεων, θέμα που είναι εκτός της ύλης της Β Λυκείου. Ένα συνηθισμένο φαινόμενο στην ελληνική δευτεροβάθμια εκπαίδευση είναι να καταναλώνονται οι διδάσκοντες σε συζητήσεις που αφορούν στο τι είναι ή δεν είναι μέσα στη διδακτέα ύλη και στις διάφορες οδηγίες διδασκαλίας που έρχονται από το Υπουργείο Παιδείας. Αλλά ο πραγματικός δάσκαλος είναι κατ εξοχήν ένα ελεύθερο δημιουργικό πνεύμα. Με την έννοια αυτή, οφείλει και πρέπει να διδάσκει πέρα από τα καθιερωμένα, πέρα από οποιοδήποτε αναλυτικό πρόγραμμα, αρκεί να εμφυσά στου μαθητές του το πνεύμα της συνεχούς αναζήτηση και προβληματισμού, πράγμα που μπορεί να πραγματοποιηθεί με αναφορές και εφαρμογές της διδακτέας ύλης πέρα από τα συνηθισμένα. Είναι γνωστό ότι μία από τις κορυφαίες στιγμές της Ευκλείδειας Γεωμετρίας είναι η παραγωγή των νόμων του Kepler από τον νόμο της παγκόσμιας έλξης και αντίστροφα, όπως αναφέρεται στα «Πριγκίπια» του Νεύτωνα. Είναι αδιανόητο να μην διδάσκονται αυτά στο μάθημα των Κωνικών Τομών (δες D. L. Goodstein, J. R. Goodstein, Feynman s Lost Lecture, W. W. Norton & Co, USA, 1996, ελληνική μετάφραση με τίτλο, «Η χαμένη διάλεξη του Feynman, μετάφραση Πωλίνα Αγαπάκη, Κάτοπτρο, Αθήνα, 1997). Προφανώς για τη λύση του προβλήματος Α4, χρειάζεται ο τύπος: 2ημασυνα=ημ2α, που δε διδασκόταν της σχολική χρονιά που πέρασε. Αυτή η περίεργη δημαγωγία του 13

14 Υπουργείου Παιδείας για μείωση κάθε τόσο της διδακτές ύλης, μας αφήνει κατάπληκτους. Πώς είναι δυνατόν η μαθηματική γνώση να αυξάνεται από χρόνο σε χρόνο, και η διδακέα ύλη στο Λύκειο να μειώνεται από χρόνο σε χρόνο. Ένας δείκτης της ύλης των Μαθηματικών που διδάσκεται διεθνώς στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση είναι η εξεταστέα ύλη στο International Baccalaureat, η οποία περιέχει εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα, εισαγωγή στη συνδυαστική ανάλυση, εισαγωγή στη θεωρία γραφημάτων, εκτός της εισαγωγής στην ανάλυση. Σε αντίθεση, στην Ελλάδα καταναλωνόμαστε σε ανούσιες επαναλήψεις του «υπάρχει». Είναι συνήθεια στα διδακτικά ελληνικά βιβλία των Μαθηματικών, οι απαντήσεις να είναι ακέραιοι αριθμοί, πράγμα που δημιουργεί στους μαθητές την εντύπωση ότι όλα είναι ακέραιοι αριθμοί, ενώ στην πραγματικότητα όλες οι μετρήσεις είναι προσεγγιστικές. Είναι καιρός να συμφιλιωθούμε με την πραγματικότητα. Στο πνεύμα αυτό είναι τα προβλήματα Γ6, Γ7, Γ8. Η βαθιά μελέτη της φύσης είναι η πιο γόνιμη πηγή μαθηματικής ανακάλυψης. Joseph Fourier Εκτός των άλλων τα Μαθηματικά θα έπρεπε να παρουσιάζονται και ως ένα πανίσχυρο εργαλείο για την ερμηνεία φυσικών φαινομένων. Επομένως, παρατηρώντας διάφορα φυσικά φαινόμενα, μπορούμε να διατυπώσουμε προβλήματα όπως: το Γ5, Γ10. Το Γ10 παραπέμπει στο ισοπεριμετρικό πρόβλημα, του οποίου μία στοιχειώδης, πλην όμως ελλιπής λύση αναφέρεται στο [37], και η πλήρης λύση του οποίου υπάρχει στο «V. M. Tikhomirov, Stories about maxima and minima, Mathematical World Volume 1, American Mathematical Society, USA, 1990» (ελληνική μετάφραση με τίτλο «ιστορίες για μέγιστα και ελάχιστα», μετάφραση Κ. Γαβράς, Γ. Κατσιλιέρης, Κάτοπτρο, Αθήνα, 1999). Κατ αναλογία με το Γ10 θα μπορούσαμε να θέσουμε το ερώτημα: γιατί οι πλανήτες και ο ήλιος έχουν σφαιρικό σχήμα: ένα άλλο ερώτημα θα μπορούσε να ήταν: Λεοπάρδαλη, ζέβρα, καμηλοπάρδαλη, τίγρης Γιατί τα παραπάνω ζώα, αν και ζουν στην ίδια περιοχή (Σαβάνα της Αφρικής), έχουν διαφορετικά σχήματα στο τρίχωμά τους; Η λύση του προβλήματος ξεφεύγει κατά πολύ από την ύλη της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, πλην όμως καλό θα ήταν να τεθεί το ερώτημα και να διευκρινισθεί ότι λύθηκε με τη βοήθεια των Μαθηματικών, από τον μεγάλο Άγγλο μαθηματικό Alan Turing. Άλλο παράδειγμα θα μπορούσε να είναι η αναφορά στην κίνηση Brown. Από όλα τα προηγούμενα βγαίνει το συμπέρασμα ότι όσοι ασχολούμαστε με την εκπαίδευση έχουμε καθήκοντα: να αναζητούμε συνεχώς, να προβληματιζόμαστε, να θέτουμε καινούρια ερωτήματα. 14

15 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1) S. Adamson, F. C. Wilson, Applied Calculus, Houghton Miffin Harcourt Publishing Company, New York, ) Ι. Λ. Αραχωβίτη, Εφαρμογές των θεωρητικών Μαθηματικών, Εκδόσεις Συμμετρία, Αθήνα, ) Α. Αρβανιτογεώργιος, Α. Βαλαριστός, Προβλήματα Μαθηματικής Μοντελοποίησης, πρακτικά 14 ου Π.Σ.Μ.Π., Ε.Μ.Ε., Αθήνα, ) R. A. Barnett, M. R. Ziegler, Precalculus Functions and Graphs, McGraw Hilll Book Company, New York, ) Β. Βισκαδουράκης, Μια πρόταση για ανανέωση και εμπλουτισμό των αναλυτικών προγραμμάτων και μαθηματικών στις δύο τελευταίες τάξεις του Λυκείου, πρακτική 21 ου Π.Σ.Μ.Ε., Ε.Μ.Ε., Αθήνα, ) Canadian Mathematics Competition Problems, Volume 6, Waterloo Mathematics Foundation, Canada, ) J. W. Coburk, J. D. Heradlick, Precalculus Graphs and Models, McGraw Hill, New York, ) B. Conedenko, Συμβουλή στην προετοιμασία του δασκάλου των μαθηματικών, Μαθηματική Επιθεώρηση, τεύχος 5, Ε.Μ.Ε., Αθήνα ) S. R. Costenoble, S. Waner, Finite Mathematics and Applied Calculus, Brooks/Cole, ) Γ. Δάσιος, Ο ρόλος των μαθηματικών στην κοινωνία και των μαθηματικών στην τάξη, Ευκλείδης Γ, τεύχος 59 (ομιλία στο 16 ο πανελλήνιο συνέδριο μαθηματικής παιδείας, Λάρισα, Νοέμβριος 1999) 11) B. H. Edwarards, R. Larson, Calculus, Ninth Edition, Brooks/Cole, USA, ) Β. Ευσταθόπουλος, Η λύση των προβλημάτων και ο ρόλος της κατάστασης - πρόβλημα στις μαθησιακές διαδικασίες, Ευκλείδης Γ, τεύχος 16, ΕΜΕ, Αθήνα ) R. L. Finney, M. D. Weir, F. R. Giordano, Thomas Calculus, Tenth Edition, Addisson Wesley Longman, USA 2001 (Ελληνική μετάφραση με τίτλο THOMAS Απειροστικός λογισμός, μετάφραση Μ. Αναγνωστάκης, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο 2005) 14) P.A. Foerster, Calculus concepts and Applications, Key Curriculum Press, USA, ) J. S. Hartzler, F. Swetz (Editors), Mathematical Modeling, NCTM, Reston, ) Γ. Θωμαϊδης, Προέλευση και εφαρμογές της θεωρίας στη διδασκαλία των Μαθηματικών, Ευκλείδης Γ, τεύχος 13, Ε.Μ.Ε., Αθήνα, ) H. R. Jacobs, Geometry, W. H. Freeman Company, San Francisco, USA, ) Δ. Καραγεώργος, Εμπέδωση Μαθηματικών εννοιών με προβλήματα της καθημερινής ζωής, Ευκλείδης Γ, τεύχος 48, ΕΜΕ, Αθήνα ) Β. Κατσαργύρης, Επίλυση Προβλήματος, Ευκλείδης Γ, τεύχος ) Β. Κατσαργύρης, Επίλυση προβλήματος με τη βοήθεια του Ολοκληρωτικού Λογισμού, Ευκλείδης Γ, τεύχος 67 21) Christin Keitel, Διδασκαλία και μάθηση των μαθηματικών σε διεπιστημονικό πλαίσιο: τα μαθηματικά και η κοινωνική πρακτική τους μέσα στην τάξη, Θέματα διδακτικής μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Gutenberg, Αθήνα,

16 22) Γ. Κερασίδης, Τα μαθηματικά ως μέσο επίλυσης προβλημάτων που μας θέτουν η φύση και η κοινωνία, πρακτικά 26 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Θεσαλλονίκης 2009, Ε.Μ.Ε., Αθήνα ) Ν. Κλαουδάτος, Η διδασκαλία των μαθηματικών με πραγματικά προβλήματα και εφαρμογές πού βρισκόμαστε σήμερα, πρακτικά 17 ου Π.Σ.Μ.Π., Ε.Μ.Ε., Αθήνα, ) Ν. Κλαουδάτος, Μοντελοποίηση: Ένα ισχυρό διδακτικό εργαλείο, Πρακτικά 6 ου Π.Σ.Μ.Π., Ε.Μ.Ε., Αθήνα, ) Ν. Κλαουδάτος, Οι πρόσφατες εξελίξεις στη λύση προβλημάτων και στη μοντελοποίηση και τις εφαρμογές των μαθηματικών, Ευκλείδης Γ, τεύχος 23, ΕΜΕ, Αθήνα ) Α. Μητροπούλου, Απ την εμπειρική καθημερινότητα στη σχολική πραγματικότητα, πρακτικα 14 ου Π.Σ.Μ.Π., Ε.Μ.Ε., Αθήνα, ) R. B. Minton, R. T. Smith, Calculus, Fourth Edition, Thomson Brooks/Cole, USA, ) Χ. Μιχαήλ Νικολαϊδου, Μιχαήλ Χρύσιππος, Η σχέση των μαθηματικών με την τεχνική και η παρουσίαση των μαθηματικών εφαρμογών ως μαθησιακό κίνητρο, πρακτικά 11 ου Π.Σ.Μ.Π., Ε.Μ.Ε., Αθήνα, ) Α. Μπούφη, Διδασκαλία των Μαθηματικών μέσα από τις εφαρμογές τους, πρακτικά 3 ου Πανελλήνιου Συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας, Ε.Μ.Ε., Αθήνα, ) Σ. Ορφανός, Τα επιστημολογικά εμπόδια της μαθηματικοποίησης, πρακτική 20 ου Π.Σ.Μ.Ε., Ε.Μ.Ε., Αθήνα, ) Ι. Παναγάκος, Η διαθεματική προσέγγιση στο αναλυτικό πρόγραμμα σπουδών των μαθηματικών, πρακτική 21 ου Π.Σ.Μ.Ε., Ε.Μ.Ε., Αθήνα, ) B. K. Παπαζάχος, Πρόγνωση Σεισμών, Η Φυσική σήμερα II, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, ) Τ. Παπαϊωάννου, Τα μαθηματικά στο Λύκειο από τη σκοπιά του πανεπιστημίου, πρακτικά 5 ου Πανελλήνιου Συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας, Ε.Μ.Ε., Αθήνα, ) G. Polya, How to solve it, Princeton University Press, Princeton, 1973 (ελληνική μετάφραση με τίτλο: «Πώς να το λύσω;», μετάφραση Λάμπης Σιαδήμας, Εκδόσεις Σπηλιώτη) 35) Δ. Πόταρη, Β. Σπηλιωπούλου, Διεπιστημονικά πλαίσια δερεύνησης των αντιλήψεων των μαθητών στα Μαθηματικά και τις Φυσικές Επιστήμες, πρακτικά 12 ου Π.Σ.Μ.Π., Ε..Μ.Ε., Αθήνα, ) Michael Serra, Discovering Geometry, Key Curriculum Press, USA, ) I. F. Sharygin, Από ένα ρωμαϊκό μύθο στο ισοπεριμετρικό πρόβλημα, Quantum, Τόμος 4, τεύχος 2 38) J. Stewart, Calculus, Seventh Edition, Brooks/Cole, USA, ) Θ. Ν. Τομαράς, Σημειώσεις Κοσμογραφίας, Ηλεκτρονικά Μαθήματα Φυσικού Τμήματος Πανεπιστημίου Κρήτης 40) Μ. Τουμάσης, Πώς να ενεργοποιήσουμε τα παιδιά στο μάθημα των μαθηματικών, Εκδόσεις Κωστόγιαννος, Χαλκίδα, ) Μ. Τουμάσης, Σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών, Gutenberg, Αθήνα, ) Γ. Τσαπακίδης, Ταξίδι στη Γεωμετρία, Ευκλείδης Α, τεύχος 80 43) Γ. Τσαπακίδης, Το Πυθαγόρειο Θεώρημα, Ευκλείδης Β, τεύχος 73 44) Γ. Φιλίππου, Η σημασία των εφαρμογών στα σχολικά Μαθηματικά, πρακτικά 1 ου Πανελλήνιου Συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας, Ε.Μ.Ε., Αθήνα

17 45) Α. Χαλάτσης, Λύση προβλημάτων και Μαθηματική Εκπαίδευση. Ευκλέιδης Γ, τεύχος 38, ΕΜΕ, Αθήνα ) Α. Χατζηγεωργίου, Διδασκαλία των μαθηματικών με διαθεματικές δραστηριότητες, Ευκλείδης Γ, τεύχος

Φυσική Προσανατολισμού Β τάξη Ενιαίου Λυκείου 1 0 Κεφάλαιο- Καμπυλόγραμμες κινήσεις : Οριζόντια βολή, Κυκλική Κίνηση. Περιέχει: 1.

Φυσική Προσανατολισμού Β τάξη Ενιαίου Λυκείου 1 0 Κεφάλαιο- Καμπυλόγραμμες κινήσεις : Οριζόντια βολή, Κυκλική Κίνηση. Περιέχει: 1. Φυσική Προσανατολισμού Β τάξη Ενιαίου Λυκείου 1 0 Κεφάλαιο- Καμπυλόγραμμες κινήσεις : Οριζόντια βολή, Κυκλική Κίνηση Περιέχει: 1. Αναλυτική Θεωρία 2. Ερωτήσεις Θεωρίας 3. Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής 4.

Διαβάστε περισσότερα

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,,

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,, 1. i) Να αποδείξετε την ταυτότητα 1 ( ) ( ) ( ) + + = + +. ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; + + + +.. Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων (,, ) είναι όταν είναι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΖΟΝΤΑΣ ΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

ΕΦΑΡΜΟΖΟΝΤΑΣ ΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ΕΦΑΡΜΟΖΟΝΤΑΣ ΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Γιώργου Τσαπακίδη Εκείνο που σου προσράπτουν τα Χελιδόνια είναι η άνοιξη που δεν έφερες. Οδυσσέας Ελύτης Για ένα περίεργο λόγο τα Μαθηματικά που διδάσκονται στη δευτεροβάθμια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 07 3. Να αποδείξετε την ταυτότητα + + αβ βγ γα = Να αποδείξετε ότι για όλους τους α, β, γ ισχύει + + αβ + βγ + γα Πότε ισχύει ισότητα; = = + + =

Διαβάστε περισσότερα

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014 minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/014 minimath.eu Περιεχόμενα Κινηση 3 Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση 4 Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση 5 Δυναμικη 7 Οι νόμοι του Νεύτωνα 7 Τριβή 8 Ομαλη κυκλικη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έλλειψης

Μεθοδολογία Έλλειψης Μεθοδολογία Έλλειψης Έλλειψη ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο από την απόσταση (ΕΕ ). Στη Φύση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η. Παράδοση Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η. Παράδοση Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Παράδοση 9--9 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Άσκηση 1 A) Δυο τραίνα ταξιδεύουν στην ίδια σιδηροτροχιά το ένα πίσω από το άλλο. Το πρώτο τραίνο κινείται με ταχύτητα 1 m s. Το δεύτερο

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους.

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Νίκος Γ. Τόμπρος Ενότητα : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Περιεχόμενα ενότητας Τριγωνομετρικοί οξείας γωνίας αριθμοί Διδακτικοί στόχοι Διδακτικές οδηγίες - επισημάνσεις Πρέπει οι μαθητές να γνωρίζουν:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος: 016-017 Μαθηματικός Περιηγητής:

Διαβάστε περισσότερα

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 1 Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Α. Κάνε κατάλληλο σχήμα,τοποθέτησε τα δεδομένα στο σχήμα και ονόμασε

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλική Κίνηση - Οριζόντια βολή

Κυκλική Κίνηση - Οριζόντια βολή Μάθημα/Τάξη: Κεφάλαιο: Φυσική Προσανατολισμού Β Λυκείου Κυκλική Κίνηση - Οριζόντια βολή Ονοματεπώνυμο Μαθητή: Ημερομηνία: 24-10-2016 Επιδιωκόμενος Στόχος: 85/100 Θέμα 1 ο Στις ερωτήσεις Α.1 Α.4 επιλέξτε

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 8γ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 8γ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 8γ) Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ασκήσεις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ποια η σημασία των παρακάτω μεγεθών; Αναφερόμαστε στην κυκλική κίνηση. Α. Επιτρόχια επιτάχυνση: Β. Κεντρομόλος επιτάχυνση: Γ. Συχνότητα: Δ. Περίοδος: 2. Ένας τροχός περιστρέφεται

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz 1 Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz Σκοποί της τέταρτης διάλεξης: 25.10.2011 Να κατανοηθούν οι αρχές με τις οποίες ο Albert Einstein θεμελίωσε την ειδική θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Βαρύτητα Βαρύτητα Κεφ. 12

Βαρύτητα Βαρύτητα Κεφ. 12 Κεφάλαιο 1 Βαρύτητα 6-1-011 Βαρύτητα Κεφ. 1 1 Νόμος βαρύτητας του Νεύτωνα υο ή περισσότερες μάζες έλκονται Βαρυτική δύναμη F G m1m ˆ Βαρυτική σταθερά G =667*10 6.67 11 N*m Nm /kg παγκόσμια σταθερά 6-1-011

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική: Ασκήσεις. Β Γυμνασίου. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Φυσική: Ασκήσεις. Β Γυμνασίου. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 0 Β Γυμνασίου Φυσική: Ασκήσεις Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 0 1 Ασκήσεις στο 1 ο Κεφάλαιο Ασκήσεις με κενά 1. Να συμπληρώσεις τα κενά στις παρακάτω προτάσεις:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Λυμένες Ασκήσεις 1. Στο παρακάτω σχήμα να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ και Ι Οι συντεταγμένες των ζητούμενων σημείων είναι: Α(2,3),

Διαβάστε περισσότερα

2) Βάρος και κυκλική κίνηση. Β) Κυκλική κίνηση

2) Βάρος και κυκλική κίνηση. Β) Κυκλική κίνηση Β) Κυκλική κίνηση 1) Υπολογισμοί στην ομαλή κυκλική κίνηση. Μια μικρή σφαίρα, μάζας 2kg, εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση, σε κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας 0,5m, όπως στο σχήμα. Τη χρονική στιγμή t=0 η σφαίρα

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: Μαρούσι Ιστοσελίδα: Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο:

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: Μαρούσι Ιστοσελίδα:  Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ Φυσική Β Γυμνασίου Εισαγωγή Τα πάντα γύρω μας κινούνται. Στο διάστημα όλα τα ουράνια σώματα κινούνται. Στο μικρόκοσμο συμβαίνουν κινήσεις που δεν μπορούμε να τις αντιληφθούμε άμεσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 28 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κυριακή, 13 Απριλίου, 2014 Ώρα: 10:00-13:00 Παρακαλώ διαβάστε πρώτα τα πιο κάτω, πριν απαντήσετε οποιαδήποτε ερώτηση. Γενικές οδηγίες: 1.

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ερµηνεύσετε τα αποτελέσµατα του ερωτήµατος (α).

ερµηνεύσετε τα αποτελέσµατα του ερωτήµατος (α). Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Για να υπολογίσει κάποιος την (0 ) χρησιµοποιεί για + προσέγγιση τον αριθµό +, ενώ ένας άλλος τον αριθµό. 3 α) Να εκτιµήσετε ποια από τις δύο προσεγγίσεις δίνει το ελάχιστο (απόλυτο)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ. Δ/νσεις Δ/θμιας Εκπ/σης Γραφεία Σχολικών Συμβούλων Γενικά Λύκεια (μέσω των Δ/νσεων Δ.Ε.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ. Δ/νσεις Δ/θμιας Εκπ/σης Γραφεία Σχολικών Συμβούλων Γενικά Λύκεια (μέσω των Δ/νσεων Δ.Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη:

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας

Θεωρία Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας Θεωρία Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας Νόμος της Βαρύτητας επιτάχυνση της βαρύτητας Κίνηση δορυφόρου Νόμοι Keple Το σύμπαν και οι δυνάμεις βαρύτητας Ο λόγος που

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ 2015-16 ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΥΧΟΣ Α ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΣΥΝΟΛΑ (Σελ. 25 42) Η Έννοια του Συνόλου Σχέσεις Συνόλων Πράξεις Συνόλων ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΡΙΘΜΟΙ (Σελ. 46 83)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x. την παράγωγο f' ( x. 0 ) (ή και στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής).

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x. την παράγωγο f' ( x. 0 ) (ή και στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής). Ρυθμός μεταβολής Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ i Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση y = f( x) και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1 Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f () = ( -) 4 - + β) f () = - - + 3 4 - - γ) f () = δ) f () = - + - - 5-3

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1ο Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1ο Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η 1 Σκοπός Να αποκτήσουν οι μαθητές τη δυνατότητα να απαντούν σε ερωτήματα που εμφανίζονται στην καθημερινή μας ζωή και έχουν σχέση με την ταχύτητα, την επιτάχυνση, τη θέση ή το χρόνο κίνησης ενός κινητού.

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 12, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Διαγράμματα Minkowski

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 12, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Διαγράμματα Minkowski 1 Διαγράμματα Minkowski Σκοποί της διάλεξης 12: Να εισάγει τα διαγράμματα Minkowski. 18.1.2012 Να περιγράψει την ιδέα του ταυτοχρονισμού στην θεωρία της σχετικότητας με μεθόδους γεωμετρίας. Να εισάγει

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

Β Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Β Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Β Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 2012. ΜΕΡΟΣ Α Κεφ. 7

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2014 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2014 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος Β Λυκείου 29 Μαρτίου 204 ΟΔΗΓΙΕΣ:. Η επεξεργασία των θεμάτων θα γίνει γραπτώς σε χαρτί Α4 ή σε τετράδιο που θα σας δοθεί (το οποίο θα παραδώσετε στο τέλος της εξέτασης). Εκεί θα σχεδιάσετε και όσα γραφήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΝΟΜΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ

ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΝΟΜΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΝΟΜΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Π.Δ 409 του 1994 Για τις προαγωγικές εξετάσεις Μαΐου Ιουνίου ισχύει το Π.Δ. 508/77 και η Εγκύκλιος ΥΠΕΠΘ Γ2/2764/6-5-96) (ΕΙΔΙΚΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ)

Διαβάστε περισσότερα

Ο15. Κοίλα κάτοπτρα. 2. Θεωρία. 2.1 Γεωμετρική Οπτική

Ο15. Κοίλα κάτοπτρα. 2. Θεωρία. 2.1 Γεωμετρική Οπτική Ο15 Κοίλα κάτοπτρα 1. Σκοπός Σκοπός της άσκησης είναι η εύρεση της εστιακής απόστασης κοίλου κατόπτρου σχετικά μεγάλου ανοίγματος και την μέτρηση του σφάλματος της σφαιρικής εκτροπής... Θεωρία.1 Γεωμετρική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 5 Η ΠΓΚΥΠΡΙ ΟΛΥΜΠΙ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κυριακή, πριλίου, Παρακαλώ διαβάστε πρώτα τα πιο κάτω, πριν απαντήσετε οποιαδήποτε ερώτηση Γενικές Οδηγίες: ) Είναι πολύ σημαντικό να δηλώσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΘΕΣΗ ΤΡΟΧΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΗΜΑ. Παρατηρώντας τις εικόνες προσπαθήστε να ορίσετε τις θέσεις των διαφόρων ηρώων των κινουμένων σχεδίων. Ερώτηση: Πότε ένα σώμα

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2015 ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2015 ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2015 ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ Οριζόντια βολή: Είναι η κίνηση (παραβολική τροχιά) που κάνει ένα σώμα το οποίο βάλλεται με οριζόντια ταχύτητα U 0 μέσα στο πεδίο βαρύτητας

Διαβάστε περισσότερα

2. ** ίνεται η συνάρτηση f (x) = logx. α) Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής στο [1, 20] για τη συνάρτηση f.

2. ** ίνεται η συνάρτηση f (x) = logx. α) Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής στο [1, 20] για τη συνάρτηση f. Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, η οποία έχει δύο τουλάχιστον ρίζες. α) Να αποδείξετε ότι µεταξύ δύο ριζών της f περιέχεται τουλάχιστον µια ρίζα της f. β) Αν η f έχει δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 5 x - 3 + 10 2-5x + 10x= - 15 + 10x i. ( ) ( ) ( ) ii. 9( 8-x) -10( 9-x) -4( x - 1)

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος: 016-017 Μαθηματικός Περιηγητής:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2015-16 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ 18/9/2014 ΕΙΣΑΓΩΓΗ_ΚΕΦ. 1 1 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Διδάσκων Γεράσιμος Κουρούκλης Καθηγητής (Τμήμα Χημικών Μηχανικών). (gak@auth.gr,

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη;

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης. Στην Κινηματική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας - Φύλλο Εργασίας Απέναντι και προσκείμενη πλευρά σε γωνία ορθογωνίου τριγώνου. Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας

Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας - Φύλλο Εργασίας Απέναντι και προσκείμενη πλευρά σε γωνία ορθογωνίου τριγώνου. Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας - Φύλλο Εργασίας Απέναντι και προσκείμενη πλευρά σε γωνία ορθογωνίου τριγώνου 1. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ του διπλανού σχήματος η πλευρά ΒΓ που βρίσκεται απέναντι από την ορθή

Διαβάστε περισσότερα

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2008 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος.

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2008 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος. Θεωρητικό Μέρος Θέμα 1 ο A Λυκείου 22 Μαρτίου 2008 Στις ερωτήσεις Α,Β,Γ,Δ,E μια μόνο απάντηση είναι σωστή. Γράψτε στο τετράδιό σας το κεφαλαίο γράμμα της ερώτησης και το μικρό γράμμα της σωστής απάντησης.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας»

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Εισαγωγή Επιστημονική μέθοδος Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Διατύπωση αξιωματική της αιτίας μια κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ»

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ» ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΜΘΗΜΤΙΚΩΝ ΥΜΝΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο «ΕΩΜΕΤΡΙ». 1. Να υπολογίσετε τα εμβαδά των σχημάτων,, χρησιμοποιώντας ως μονάδα μέτρησης εμβαδών το. Τι παρατηρείτε; ρίσκουμε ότι τα εμβαδά των,, είναι : 5,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς. Άλγεβρα Γενικής Παιδείας. I. ιδακτέα ύλη

Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς. Άλγεβρα Γενικής Παιδείας. I. ιδακτέα ύλη ΘΕΜΑ : Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης Θετικών Μαθηµάτων των Β και Γ τάξεων Ηµερήσιου και Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2011 12. Μετά από σχετική εισήγηση του Τµήµατος ευτεροβάθµιας

Διαβάστε περισσότερα

Το νέο Πρόγραμμα Σπουδών για τα Μαθηματικά της υποχρεωτικής εκπαίδευσης

Το νέο Πρόγραμμα Σπουδών για τα Μαθηματικά της υποχρεωτικής εκπαίδευσης ΕΣΠΑ 2007-13\Ε.Π. Ε&ΔΒΜ\Α.Π. 1-2-3 «ΝΕΟ ΣΧΟΛΕΙΟ (Σχολείο 21 ου αιώνα) Νέο Πρόγραμμα Σπουδών, Οριζόντια Πράξη» MIS: 295450 Με συγχρηματοδότηση της Ελλάδας και της Ευρωπαϊκής Ένωσης (Ε. Κ. Τ.) Το νέο Πρόγραμμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180 Μαρούσι Ιστοσελίδα: www.minedu.gov.gr Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: 210-3443422

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180 Μαρούσι Ιστοσελίδα: www.minedu.gov.gr Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: 210-3443422 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ & ΔΙΑΣΤΗΜΙΚΗΣ. Β' Τάξη Γενικού Λυκείου

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ & ΔΙΑΣΤΗΜΙΚΗΣ. Β' Τάξη Γενικού Λυκείου ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ & ΔΙΑΣΤΗΜΙΚΗΣ Β' Τάξη Γενικού Λυκείου Ομάδα συγγραφής: Κων/νος Γαβρίλης, καθηγητής Μαθηματικών Β/θμιας Εκπαίδευσης. Μαργαρίτα Μεταξά, Δρ. Αστροφυσικής, καθηγήτρια Φυσικής του Τοσιτσείου-Αρσακείου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

Φύση του φωτός. Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο. μήκος κύματος φωτός. συχνότητα φωτός

Φύση του φωτός. Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο. μήκος κύματος φωτός. συχνότητα φωτός Γεωμετρική Οπτική Φύση του φωτός Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: ΚΥΜΑΤΙΚΗ Βασική ιδέα Το φως είναι μια Η/Μ διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο Βασική Εξίσωση Φαινόμενα που εξηγεί καλύτερα (κύμα) μήκος

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή.

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή. Σενάριο 6. Συµµεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΑΠΟ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ

ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΑΠΟ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΑΠΟ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ Το στιγμιότυπο που παρουσιάζεται εδώ πρόκυψε πέντε λεπτά πριν από τη λήξη μιας διδακτικής ώρας η οποία ήταν αφιερωμένη σε μια γενική επανάληψη του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα.

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα. εύτερη διάλεξη. Η στα αναλυτικά προγράµµατα. Η Ευκλείδεια αποτελούσε για χιλιάδες χρόνια µέρος της πνευµατικής καλλιέργειας των µορφωµένων ατόµων στο δυτικό κόσµο. Από τις αρχές του 20 ου αιώνα, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 1-14 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ 1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = e ημ + ln. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = τοξημ( ) d y y = ημ θ. Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.6 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ 11.8 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Εμβαδόν κυκλικού δίσκου) Θεωρούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ ο GI_V_ALG 16950 1.1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β)

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα