Εισαγωγή στη Στατιστική

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εισαγωγή στη Στατιστική"

Transcript

1 Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο.

2 Περιεχόμενα Εισαγωγή στη Στατιστική Επιδημιολογικές Μελέτες Περιγραφική Στατιστική Στατιστική Συμπερασματολογία Ένα Δείγμα Δύο Ανεξάρτητα Δείγματα Δείγματα κατά Ζεύγη Ποσοστά Έλεγχος Καλής Προσαρμογής Πίνακες Συνάφειας 2 2. Ανάλυση Παλινδρόμησης 2

3 Εισαγωγή Μέχρι τώρα έχουμε ασχοληθεί με τον έλεγχο της διαφοράς των μέσων της ίδιας ποσοτικής μεταβλητής σε δύο ομάδες ατόμων προερχόμενες είτε από δύο ανεξάρτητους πληθυσμούς (two sample t-test), είτε από δύο εξαρτημένους πληθυσμούς (paired two sample t-test). Αλλά τι γίνεται στις περιπτώσεις όπου οι υπό σύγκριση ομάδες είναι παραπάνω από δύο, έστω k; Στην εν λόγω περίπτωση, μπορούμε να εφαρμόσουμε πολλά διαφορετικά t-tests, ένα για κάθε πιθανό ζεύγος ομάδων, π.χ. αν είχαμε 3 ομάδες να εφαρμόζαμε 3 διαφορετικούς ελέγχους (ομάδα 1 εναντίον αμάδας 2, ομάδα 1 εναντίον ομάδας 3 και ομάδα 2 εναντίον ομάδας 3). Μετοντρόποόμωςαυτόναυξάνουμετηνπιθανότητασφάλματοςτύπου I (την πιθανότητα δηλαδή να προκύψουν στατιστικά σημαντικές διαφορές που στην πραγματικότητα δεν υπάρχουν). Για k = 10, π.χ., έχουμε 45 ( k!/[2!(k 2)!] ) πιθανά ζεύγη ομάδων υπό σύγκριση. Χρησιμοποιώντας ε.σ. 5% σε κάθε έναν από τους 45 ελέγχους καταλήγουμε στο ότι συγκρίσεις ενδέχεται να μας δώσουν στατιστικά σημαντικές διαφορές στους μέσους εντελώς στην τύχη. Επομένως χρειαζόμαστε μια νέα μεθοδολογία. 3

4 Εισαγωγή Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια συνεχή τυχαία μεταβλητή Υ (εξαρτημένη μεταβλητή ή μεταβλητή απόκρισης) και μία κατηγορική μεταβλητή Χ (παράγοντας), η οποία έχει k επίπεδα τιμών (στάθμες/ομάδες). Σκοπός μας είναι να ελέγξουμε αν κατά μέσο όρο η εξαρτημένη μεταβλητή διαφοροποιείται στις k στάθμες της κατηγορικής μεταβλητής. Θεωρούμε καταρχήν ότι οι k ομάδες είναι μεταξύ τους ανεξάρτητες. Για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι η Υ εκφράζει την συστολική πίεση και ο παράγοντας Χ αποτελεί την μέθοδο θεραπείας με k= 3 διαφορετικές μεθόδους. Σκοπός μας είναι να δούμε αν διαφοροποιείται η μέση τιμή της συστολικής πίεσης σε σχέση με τις εφαρμοζόμενες θεραπευτικές αγωγές (στάθμες/ομάδες). Η μέθοδος που θα εφαρμόσουμε καλείται με έναν παράγοντα (one way ANOVA). Αν οι k στάθμες είναι προκαθορισμένες από τον σχεδιασμό της μελέτης η καλείται Σταθερών Επιδράσεων (οne-way fixed effects ANOVA). Αντίθετα αν δεν είναι προκαθορισμένες από τον σχεδιασμό της μελέτης αλλά αποτελούν ένα τυχαίο δείγμα από ένα μεγάλο αριθμό ομάδων (π.χ. έχουμε τους βαθμούς των φοιτητών σε ένα συγκεκριμένο μάθημα από 3 διαφορετικά πανεπιστημιακά ιδρύματα της χώρας, τα οποία τα έχουμε επιλέξει στην τύχη, από το πλήθος όλων των ιδρυμάτων) τότε η καλείται Τυχαίων Επιδράσεων (one-way random effects ANOVA). Στην περίπτωση συσχετισμένων ομάδων (π.χ. μετρήσεις ίδιων ατόμων σε k διαφορετικές χρονικές στιγμές) εφαρμόζουμε την Επαναλαμβανόμενων Μετρήσεων (repeated measurements ANOVA). Οι παραπάνω ιδέες μπορούν να επεκταθούν και στις περιπτώσεις που έχουμε παραπάνω από έναν παράγοντα, έστω m. Τότε εφαρμόζουμε την με m παράγοντες (mway ANOVA). Στις περιπτώσεις όπου οι στάθμες κάποιων παραγόντων είναι προκαθορισμένες από τον σχεδιασμό της μελέτης και κάποιων άλλων όχι η καλείται Μικτών Επιδράσεων (mixed effects ANOVA). 4

5 με έναν Παράγοντα Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι έχουμε μια συνεχή τυχαία μεταβλητή Υ και θέλουμε να ελέγξουμε αν η μέση της τιμή διαφοροποιείται στις k στάθμες του παράγοντα Χ. Πιο συγκεκριμένα έστω Υ 1 ητιμήτηςυ όταν Χ = 1, Υ 2 ητιμήτηςυότανχ= 2,..., Υ k ητιμήτηςυότανχ = k. Θεωρούμε ότι οι Υ j (j=1,...,k) είναι ανεξάρτητες τ.μ. (δηλαδή η τιμή που παίρνει το υπό μελέτη χαρακτηριστικό στην 1 η π.χ. στάθμη του Χ δεν επηρεάζει την τιμή που παίρνει το ίδιο χαρακτηριστικό στην 5 η π.χ. στάθμη) με μέση τιμή μ j και τυπική απόκλιση σ j. Για να ελέγξουμε τότε πιθανή διαφοροποίηση του υπό μελέτη χαρακτηριστικού στις k στάθμες είναι λογικό να ελέγξουμε την υπόθεση Η 0 : μ 1 = μ 2 =...= μ k, με εναλλακτική ότι τουλάχιστον μία από τις ισότητες δεν ισχύει σε ε.σ. α, δηλαδή να ελέγξουμε αν το υπό μελέτη χαρακτηριστικό έχει την ίδια μέση τιμή στις k στάθμες του X. Έστω ότι διαθέτουμε τυχαίο δείγμα για κάθε στάθμη χωριστά. Πιο συγκεκριμένα έστω y ij ητιμήτηςi παρατήρησης στην j ομάδα (i = 1,2,...,n j, και j = 1,2,...,k). 5

6 με έναν Παράγοντα Ας συμβολίσουμε με n j y j = y i = 1 ij, το άθροισμα των παρατηρήσεων στην j ομάδα και με 1 n j y j y j = y ij =, i= 1 nj nj τον αντίστοιχο δειγματικό μέσο. Το άθροισμα όλων των παρατηρήσεων το συμβολίζουμε με k n j j= 1 i= 1 y y, = και τον δειγματικό μέσο όλων των παρατηρήσεων με 1 k n j y k y = y j= 1 i= 1 ij = όπου nt j n n = n. j = 1 T T ij 6

7 με έναν Παράγοντα Το μοντέλο ανάλυσης διασποράς με έναν παράγοντα έχει την μορφή Υ =μ+ a +ε Ε( Υ Χ ) =μ+ a ij j ij ij j = μ j άγνωστες σταθερές τυχαία σφάλματα ~ Ν(0,σ 2 ) 7

8 με έναν Παράγοντα Η άγνωστη σταθερά μ εκφράζει έναν γενικό μέσο ανεξαρτήτως στάθμης. Οι άγνωστες ποσότητες a j, j = 1,..,k καλούνται επίδραση αγωγής (treatment effect) και δηλώνουν την απόκλιση που ενδέχεται να έχει η μέση τιμή της τ.μ. Υ από τον γενικό μέσο όταν βρισκόμαστε στην j στάθμη. Στην περίπτωση αυτή έχουμε περισσότερες παραμέτρους από όσες χρειάζονται (k+1 αντί για k), οπότεσυνήθωςθέτουμετονπεριορισμό k a j 1 j = 0. = Εναλλακτικά μπορούμε να θέσουμε την συνθήκη Τα ε ij είναι ανεξάρτητες τ.μ. που ακολουθούν την Κανονική κατανομή N(0,σ 2 ) και εκφράζουν τα τυχαία σφάλματα. 1 k T j= 1 j j n n a = 0. 8

9 με έναν Παράγοντα Η ποσότητα σ 2 εκφράζει την διασπορά των σφαλμάτων, την οποία θεωρούμε σταθερή ανεξάρτητα της στάθμης της τ.μ. Χ (υπόθεση ομοσκεδαστικότητας). Επειδή η τυχαιότητα της Υ δεδομένης μιας στάθμης της Χ οφείλεται στα σφάλματα, το σ 2 εκφράζει και την διασπορά της δεσμευμένης κατανομής της τ.μ. Υ Χ. Επειδή τα ε ij ~ Ν(0,σ 2 ), έχουμε ότι η τ.μ. Υ j ~ Ν(μ+a j,σ 2 ), δηλαδή μια χαρακτηριστική παρατήρηση από την j στάθμη είναι κανονικά κατανεμημένη με μέσο μ + a i και διασπορά σ 2. Επιπλέον η διασπορά αυτή είναι κοινή σε όλες τις τ.μ. Y 1,,Y k. Επιπλέον λόγω της ανεξαρτησίας των σφαλμάτων έχουμε ότι και οι Y 1,,Y k είναι ανεξάρτητες τ.μ., δηλαδή η τιμή που θα πάρει η τ.μ. Υσεκάποιαομάδα j, δεν εξαρτάται από την τιμή που έχει πάρει στην ίδια ή σε κάποια άλλη ομάδα. Τους συντελεστές του μοντέλου διασποράς (τα μ j ) τα εκτιμούμε με την βοήθεια του δείγματος που διαθέτουμε, εφαρμόζοντας όπως και στο γραμμικό μοντέλο την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων, ελαχιστοποιώντας δηλαδή την ποσότητα k n j n1 n2 nκ ij j i1 1 i2 2 ik k j= 1 i= 1 i= 1 i= 1 i= 1 Q = (y μ ) = (y μ ) + (y μ ) (y μ ). 9

10 με έναν Παράγοντα Καταλήγουμε ότι ˆμ = y (j = 1,..., k). j j Οι παραπάνω τιμές αποτελούν τις προσαρμοσμένες τιμές (fitted values) του μοντέλου μας ŷ ij, δηλαδή την εκτίμηση της μέσης τιμής της τ.μ. Υ δεδομένης της στάθμης του Χ. 10

11 με έναν Παράγοντα Οι ποσότητες εˆ = y yˆ ij ij ij αποτελούν τις εκτιμήσεις των σφαλμάτων και καλούνται, όπως και στην ανάλυση παλινδρόμησης, υπόλοιπα (residuals). Μια σημαντική ιδιότητα των υπολοίπων είναι ότι μέσα σε κάθε ομάδα έχουν άθροισμα μηδέν n j i= 1 ˆε = 0, j = 1,...,k. ij 11

12 με έναν Παράγοντα Το σ 2 το εκτιμούμε από την ποσότητα n 1 j s = y y k 2 ( ˆ ) Εκτίμηση διασποράς των σφαλμάτων 2 y x ij ij nt k j = 1 i = 1 Η θετική τετραγωνική της ρίζα της παραπάνω εκτιμήτριας καλείται τυπικό σφάλμα του μοντέλου και όσο μικρότερη τιμή έχει τόσο καλύτερη προσαρμογή έχουμε για το μοντέλο διασποράς. 12

13 με έναν Παράγοντα Με βάση λοιπόν το μοντέλο που θεωρήσαμε για να ελέγξουμε την πιθανή διαφοροποίηση του υπό μελέτη χαρακτηριστικού στις k στάθμες είναι λογικό να ελέγξουμε την υπόθεση Η 0 : a 1 = a 2 =...= a k, με εναλλακτική ότι τουλάχιστον μία από τις ισότητες δεν ισχύει σε ε.σ. έστω α. 13

14 με έναν Παράγοντα Οι αποκλίσεις των παρατηρήσεων από τον ολικό μέσο y μπορούν να χωριστούν σε δύο συνιστώσες σύμφωνα με την παρακάτω σχέση: ( y y ) = ( y y ) + ( y y ) ij ij j j y ij Μεταβλητότητα εντός των ομάδων Μεταβλητότητα μεταξύ των ομάδων 14

15 με έναν Παράγοντα Αν η μεταξύ των ομάδων μεταβλητότητα είναι μεγάλη και η μεταβλητότητα εντός των ομάδων μικρή η μηδενική υπόθεση πρέπει να απορριφτεί. Αντίστοιχα αν η μεταξύ των ομάδων μεταβλητότητα είναι μικρή και η μεταβλητότητα εντός των ομάδων μεγάλη η μηδενική υπόθεση δεν πρέπει να απορριφτεί. 15

16 με έναν Παράγοντα 16

17 με έναν Παράγοντα Τις προηγούμενες αποκλίσεις προφανώς πρέπει να τις ελέγξουμε για κάθε παρατήρηση. Υψώνοντας στο τετράγωνο τα δύο μέλη της σχέσης και αθροίζοντας για όλα τα i και j καταλήγουμε στην παρακάτω έκφραση (τα διπλάσια γινόμενα δίνουν άθροισμα μηδέν): n n k j k j k ( yij y ) = ( yij y j ) + n j ( y j y ) j= 1 i= 1 j= 1 i= 1 j= 1 Συνολικό Άθροισμα Άθροισμα Άθροισμα = Τετραγώνων Eντός + Τετραγώνων Mεταξύ Τετραγώνων oμάδων oμάδων (SST) (SSW) (SSB) 17

18 με έναν Παράγοντα Τετραγωνικός Μέσος Μεταξύ των Ομάδων (Mean Square Between): MSB = SSB/(k - 1). Τετραγωνικός μέσος εντός των Ομάδων (Within Mean Square): MSW = SSW/(n T -k). Ολικός Τετραγωνικός Μέσος (Total Mean Square): MST = SST/(n T -1). Θεωρούμε το στατιστικό ελέγχου F = MSB/MSW. Κάτω από την μηδενική υπόθεση αποδεικνύετε ότι το F ακολουθεί την F(k-1, n T k). Άρα σε ε.σ. α απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση και συμπεραίνουμε ότι ο μέσος της τ.μ. Υ διαφοροποιείται στις ομάδες του παράγοντα Χ (στατιστικά σημαντικός ο παράγοντας Χ), όταν F > Fk 1,nT k,α. Η P-τιμή του ελέγχου είναι η πιθανότητα είναι πιθανότητα της περιοχής της F(k-1, n T k). δεξιά από το F που παρατηρούμε. 18

19 με έναν Παράγοντα F (k-1,n T -k) F (k-1,n T -k) Περιοχή απόρριψης Η 0 Fk 1,nT k,α P-τιμή F k 1,n T k,α F 19

20 με έναν Παράγοντα Μεταβλητότητα Βαθμοί Ελευθερίας Άθροισμα Τετραγώνων (SS) Τετραγωνικοί Μέσοι (MS) Μεταξύ των Ομάδων k 1 k j= 1 j ( j ) n y y = SSB 2 k 1 2 nj( y j y ) = MSB k 1 j= 1 Εντός των Ομάδων nt k k n j j= 1 i= 1 ( ij j ) 2 y y = SSW n 1 k k n j T j= 1 i= 1 ( ij j ) 2 y y = ΜSW Ολική nt 1 k n j j= 1 i= 1 ( ) y y = SST ij 2 1 n 1 k n j T j= 1 i= 1 ( ) ij 2 y y = MST 20

21 με έναν Παράγοντα Προϋποθέσεις μοντέλου: 1. Η κατανομή που ακολουθεί η εξαρτημένη τ.μ. Υ στις διαφορετικές στάθμες είναι κανονική. Ισοδύναμα τα σφάλματα πρέπει να ακολουθούν κανονική κατανομή. 2. Η διασπορά της εξαρτημένης τ.μ. Υ είναι ίδια σε όλες τις ομάδες (ομοσκεδαστικότητα). 3. Τα σφάλματα είναι ανεξάρτητες τ.μ. Όταν δεν ισχύουν οι παραπάνω προϋποθέσεις, είτε μετασχηματίζουμε κατάλληλα την μεταβλητή απόκρισης Υ, είτε εφαρμόζουμε τον αντίστοιχο μη παραμετρικό έλεγχο που καλείται Kruskal - Wallis test. 21

22 με έναν Παράγοντα Υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες είναι χρήσιμο να προβούμε σε πολλαπλές συγκρίσεις (multiple comparisons), δηλαδή να ελέγξουμε ανά δύο κάποιους αν όχι όλους τους μέσους. Με δύο ομάδες η ερμηνεία μιας στατιστικά σημαντικής διαφοράς είναι προφανής, αλλά κάτι τέτοιο δεν συμβαίνει όταν το k > 2. Στην περίπτωση π.χ. που έχουμε τρεις ομάδες και απορρίπτεται η μηδενική υπόθεση, δηλαδή αποδεχόμαστε ότι υπάρχει στατιστικά σημαντική διαφορά μεταξύ των μέσων των τριών ομάδων, τότε περαιτέρω ανάλυση είναι απαραίτητη για να δούμε ποιες ακριβώς ομάδες έχουν διαφορετικούς μέσους. Ένα είδος τέτοιας ανάλυσης θα απαιτούσε πολλαπλές συγκρίσεις. Αλλά όπως είπαμε και στην αρχή της ενότητας με τον τρόπο αυτόν αυξάνεται η πιθανότητα σφάλματος τύπου I. Ένας τρόπος αντιμετώπισης του προβλήματος αυτού, αρκετά συντηρητικός ιδιαίτερα όταν το k είναι μεγάλο, είναι η χρήση της μεθόδου Bonferroni, κατά την οποία όταν πραγματοποιούμε Ν συνολικά τέτοιες συγκρίσεις αναπροσαρμόζουμε την P τιμή (έστω p) κάθε ελέγχου σε p = Np με την προϋπόθεση ότι p 1. 22

23 με έναν Παράγοντα H με έναν παράγοντα συνδέεται με το γενικό γραμμικό μοντέλο παλινδρόμησης στο οποίο οι διάφορες στάθμες εκφράζονται μέσω εικονικών μεταβλητών. Συγκεκριμένα, αν έχουμε k στάθμες, ορίζουμε τις ακόλουθες k 1 εικονικές μεταβλητές x j 1, αν η παρατήρηση αφορά την j στάθμη του παράγοντα με j k, = -1, αν η παρατήρηση αφορά την k στάθμη του παράγοντα, 0, διαφορετικά. Τότε μπορεί να δειχθεί ότι οι συντελεστές του γενικού γραμμικού μοντέλου EYx = a+ bx+ bx b x, [ ] k 1 k 1 αντιστοιχούν στις παραμέτρους του μοντέλου ανάλυσης διασποράς δηλαδή μ = b, α = b,...,α = b, k 1 k 1 k ενώ το α προκύπτει από την σχέση α = 0. k j1 = j 23

24 με έναν Παράγοντα Αν ο παράγοντας Χ είναι μεταβλητή διάταξης (π.χ. ηλικιακή ομάδα, <10, 10 19, 20 29, 30 39, 40 49, 50 59, >59 χρονών), συνήθως ενδιαφερόμαστε να ελέγξουμε αν υπάρχει κάποια γραμμική τάση (linear trend), μεταξύ των μέσων της εξαρτημένης τ.μ. Υ στις διατάξιμες στάθμες του παράγοντα Χ, αντί να ελέγξουμε αν οι μέσοι γενικά διαφέρουν. Την ύπαρξη γραμμικής τάσης μπορούμε εύκολα να την ελέγξουμε με την βοήθεια ενός μοντέλου απλής γραμμικής παλινδρόμησης θεωρώντας τον παράγοντα Χ ως μια συνεχή επεξηγηματική μεταβλητή. 24

25 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα 22 ασθενείς που υποβάλλονται σε εγχείρηση καρδιάς χωρίζονται τυχαία σε τρεις ομάδες: Ομάδα I: Οι ασθενείς έλαβαν μίγμα 50% νιτρώδους οξειδίου και 50% οξυγόνο για 24 ώρες. Ομάδα II: Οι ασθενείς έλαβαν μίγμα 50% νιτρώδους οξειδίου και 50% οξυγόνο μόνο κατά την διάρκεια της εγχείρησης. Ομάδα III: Οι ασθενείς έλαβαν 35-50% οξυγόνο για 24 ώρες. Έχουν οι ασθενείς που υποβάλλονται σε εγχείρηση καρδιάς το ίδιο μέσο επίπεδο φολικού οξέος (μg/l) στα ερυθροκύτταρα στις 3 ομάδες; 25

26 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα Ασθενής Ομάδα I (n=8) Ομάδα II (n=9) Ομάδα III (n=5) Μέσος SD

27 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα Τα δεδομένα πρέπει να είναι σε μακρά μορφή (long format) 27

28 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα 28

29 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα 29

30 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα Από το διπλανό γράφημα παρατηρούμε ότι στο δείγμα μας τα επίπεδα φολικού οξέος διαφοροποιούνται στις 3 ομάδες. Είναι όμως η παρατηρούμενη αυτή διαφορά στατιστικά σημαντική; Επίσης παρατηρήστε πως στην ομάδα 1 υπάρχει μεγαλύτερη μεταβλητότητα στις τιμές του φολικού οξέος σε σχέση με τις άλλες 2 ομάδες. Είναι όμως και πάλι αυτή η διαφορά στατιστικά σημαντική ή μπορούμε να θεωρήσουμε ότι έχουμε ισότητα διασπορών στις 3 ομάδες; Τέλος παρατηρήστε πως στην ομάδα 3 δεν φαίνεται να υπάρχει συμμετρικότητα στις τιμές του φολικού οξέος, γεγονός που δηλώνει ότι ίσως στην εν λόγω ομάδα δεν ικανοποιείται η υπόθεση της κανονικότητας. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα πρέπει να είμαστε προσεκτικοί με τα συμπεράσματά μας μιας και έχουμε λίγες παρατηρήσεις, ειδικά στην 3 η ομάδα. 30

31 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα Κανονικότητα σφαλμάτων. Ένας τρόπος για να ελέγξουμε την κανονικότητα των σφαλμάτων είναι με την βοήθεια ενός γενικού γραμμικού μοντέλου. Αποθηκεύουμε τα υπόλοιπα και ελέγχουμε την υπόθεση της κανονικότητας δημιουργώντας τα QQ- PLOTS τους. 31

32 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα 32

33 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα 33

34 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα 34

35 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα Υπόθεση κανονικότητας σφαλμάτων λογική. 35

36 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα Ανεξαρτησία σφαλμάτων. Κατασκευάζουμε ένα διάγραμμα υπολοίπων σε σχέση με την σειρά των δεδομένων, στο οποίο δεν πρέπει να παρουσιάζεται κάποια σχέση και τα υπόλοιπα να συμπεριφέρονται τυχαία. Η εικόνα όμως μπορεί να είναι και παραπλανητική (σκεφτείτε τα δεδομένα να μας έχουν δοθεί σε αύξουσα τάξη μεγέθους). Για τον λόγο αυτό συνήθως ο παραπάνω έλεγχος δεν πραγματοποιείται και με βάση τον σχεδιασμό της μελέτης δεχόμαστε ή όχι την προϋπόθεση της ανεξαρτησίας των σφαλμάτων. 36

37 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα 37

38 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα Πιθανό πρόβλημα με ανεξαρτησία σφαλμάτων. 38

39 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα Ομοσκεδαστικότητα. Ο έλεγχος της ισότητας των διασπορών της εξαρτημένης τ.μ. σε κάθε στάθμη χωριστά γίνεται με την βοήθεια ενός ελέγχου, ο οποίος αποτελεί γενίκευση του F test που είχαμε συναντήσει στον έλεγχο των μέσων δύο ανεξάρτητων πληθυσμών (two sample t-test), και καλείται Levene-test. Ο εν λόγω έλεγχος μπορεί να πραγματοποιηθεί στο SPSS τρέχοντας το μοντέλο ανάλυσης διασποράς. 39

40 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα 40

41 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα Απορρίπτεται σε ε.σ. 5% η προϋπόθεση ισότητας διασπορών. Απορρίπτεται σε ε.σ. 5% η υπόθεση ισότητας μέσων. Συμπεραίνουμε δηλαδή ότι τα μέσα επίπεδα φολικού οξέος διαφοροποιούνται στις 3 ομάδες. 41

42 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα Παρατηρούμε λοιπόν ότι στο εν λόγω παράδειγμα έχουμε κάποιες αμφιβολίες για τις προϋποθέσεις του μοντέλου διασποράς. Πιο συγκεκριμένα σε ε.σ. 5% απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση ισότητας διασπορών στις 3 στάθμες. Για να βεβαιωθούμε για την ορθότητα των τελικών συμπερασμάτων μας θα εφαρμόσουμε εν συνεχεία και τον μη παραμετρικό έλεγχο Kruskal - Wallis test. Παρατηρούμε ότι σε ε.σ. 5% έχουμε ενδείξεις εναντίον της μηδενικής υπόθεσης ισότητας των μέσων. Καταλήγουμε δηλαδή στο συμπέρασμα ότι τα μέσα επίπεδα φολικού οξέος διαφοροποιούνται στις 3 ομάδες. Από τα θηκογραφήματα που είχαμε κατασκευάσει φαίνεται οι ασθενείς στην ομάδα 1 να έχουν υψηλότερα επίπεδα φολικού οξέος σε σχέση με αυτούς των δύο άλλων ομάδων. Για να βεβαιωθούμε για το εν λόγω συμπέρασμα μπορούμε να προβούμε σε πολλαπλές συγκρίσεις, αναπροσαρμόζοντας τις P-τιμές των πολλαπλών ελέγχων με βάση την μέθοδο Bonferroni. 42

43 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα 43

44 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα Από τις πολλαπλές συγκρίσεις προκύπτει ότι υπάρχει μόνο στατιστικά σημαντική διαφορά στα μέσα επίπεδα φολικού οξέος μεταξύ των ομάδων 1 και 2. Τα μέσα επίπεδα φολικού οξέος είναι υψηλότερα στους ασθενείς της 1 ης ομάδας. Ένα 95% Δ.Ε. της διαφοράς των δύο μέσων (αμάδας 1 ομάδας 2) είναι το (1.86, ). 44

45 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα Επειδή στο εν λόγω παράδειγμα έχουμε αμφιβολίες για την ορθότητα των συμπερασμάτων μας, λόγω του γεγονότος ότι σε ε.σ. 5% δεν ικανοποιείται η προϋπόθεση της ισότητας διασπορών στις 3 ομάδες, εφαρμόζουμε το μη παραμετρικό έλεγχο Kruskal - Wallis test. 45

46 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα 46

47 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα Άρα με βάση τον μη παραμετρικό έλεγχο δεν απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση, δηλαδή θεωρούμε ότι τα μέσα επίπεδα φολικού οξέος δεν διαφοροποιούνται στις 3 ομάδες. Αν ο εν λόγω έλεγχος μας έδινε στατιστικά σημαντικές διαφορές τότε απότααρχικάθηκογραφήματα θα μπορούσαμε να εντοπίσουμε μεταξύ ποιων ομάδων οι μέσοι διαφέρουν. 47

48 με δύο Παράγοντες Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια συνεχή εξαρτημένη μεταβλητή Υ και δύο επεξηγηματικές μεταβλητές (παράγοντες) Χ 1 και Χ 2 με a και b στάθμες αντίστοιχα. Για παράδειγμα, έστω ότι η μεταβλητή Υ εκφράζει την συστολική πίεση ασθενών, η μεταβλητή Χ 1 αποτελεί την εφαρμοζόμενη θεραπευτική μέθοδο από a = 3 διαφορετικές μεθόδους και η Χ 2 το φύλο του ασθενούς (b = 2). Σκοπός μας είναι να δούμε αν υπάρχει διαφορά στις τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής σε σχέση με τις διαφορετικές στάθμες κάθε παράγοντα χωριστά (κύριες επιδράσεις των δύο παραγόντων), καθώς επίσης και αν συγκεκριμένοι συνδυασμοί δύο σταθμών των δύο παραγόντων δημιουργούν διαφοροποιημένα αποτελέσματα, δηλαδή έχουμε ύπαρξη αλληλεπίδρασης (interaction), που σημαίνει ότι η κύρια επίδραση ενός παράγοντα δεν είναι η ίδια σε κάθε στάθμη του άλλου παράγοντα. 48

49 με δύο Παράγοντες y ijk Ας συμβολίσουμε με την τιμή της k παρατήρησης στην i στάθμη του παράγοντα Χ 1 και j στάθμη του παράγοντα Χ 2. Συνολικά θεωρούμε ότι έχουμε n T παρατηρήσεις με τον ίδιο αριθμό παρατηρήσεων, έστω n, σε κάθε αγωγή (συνδυασμός ή διασταύρωση σταθμών). Άρα ο συνολικός αριθμός παρατηρήσεων είναι n T = abn. Πειράματα όπως το συγκεκριμένο όπου εξετάζουμε όλους τους δυνατούς συνδυασμούς των σταθμών των παραγόντων με τον ίδιο αριθμό παρατηρήσεων σε κάθε αγωγή, καλούνται ισόρροποι παραγοντικοί σχεδιασμοί (balanced factorial designs) ή ισόρροποι πλήρως διασταυρωμένοι σχεδιασμοί (balanced fully crossed designs). Στις εν λόγω σημειώσεις δεν θα ασχοληθούμε με μη ισόρροπους παραγοντικούς σχεδιασμούς (unbalanced factorial designs). Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται οι τιμές ενός τυχαίου δείγματος από ισόρροπο παραγοντικό σχεδιασμό: 49

50 με δύο Παράγοντες 50

51 με δύο Παράγοντες Το μοντέλο Ανάλυσης Διασποράς με δύο παράγοντες έχει την εξής μορφή: Υ ijk =μ+ a i +β j + ( αβ ) ij +εijk Ε( Υijk Χ 1,X 2) =μ+ a i +β j + ( αβ) ij = μ ij άγνωστες σταθερές τυχαία σφάλματα (ανεξάρτητες τ.μ.) ~ Ν(0,σ 2 ) 51

52 με δύο Παράγοντες Η παρατήρηση y ijk που αφορά στην k τιμή της τ.μ. Υ στην i στάθμη του παράγοντα Χ 1 και j στάθμη του παράγοντα Χ 2, με βάση το παραπάνω μοντέλο είναι το άθροισμα μιας σταθερής ποσότητας μ ij καιενόςτυχαίουσφάλματοςε ijk. Παρατηρούμε ότι Ε(Υ ijk X 1,X 2 ) = μ ij, δηλαδή η ποσότητα μ ij δηλώνει την αναμενόμενη τιμή της τ.μ. Υγιατηνi στάθμη του παράγοντα Χ 1 και την j στάθμη του παράγοντα Χ 2. Επειδή η παράμετρος μ ij είναι σταθερά έχουμε ότι V(Υ ijk X 1,X 2 ) = V(ε ijk ) = σ 2. Άρα η διασπορά της τ.μ. Υ είναι σταθερή, ανεξάρτητα της αγωγής. Επειδή ε ijk ~N(0,σ 2 ) έπεται ότι Υ ijk ~ N(μ ij,σ 2 ). Επιπλέον λόγω της ανεξαρτησίας των σφαλμάτων έχουμε επίσης ότι οι Υ ijk είναι ανεξάρτητες τ.μ. 52

53 με δύο Παράγοντες Υποθέτουμε επίσης ότι για την στάθμη i του παράγοντα Χ 1 ο μέσος διαφέρει από τον γενικό μέσο μ κατά μια ποσότητα α i (κύρια επίδραση της στάθμης i του παράγοντα Χ 1 ), δηλαδή Ακόμα για την στάθμη j του παράγοντα Χ 2 ομέσος διαφέρει από τον γενικό μέσο μ κατά μια ποσότητα β j (κύρια επίδραση της στάθμης j του παράγοντα Χ 2 ), δηλαδή Η σταθερά εκφράζει την αλληλεπίδραση μεταξύ της i στάθμης του παράγοντα Χ 1 και της j στάθμης του παράγοντα Χ 2. 1 b μi = b μ j1 = ij α = μ μ. i i (αβ) ij 1 a μ j = a μ i = 1 ij, β = μ μ, j j 53

54 με δύο Παράγοντες Στην περίπτωση αυτή έχουμε περισσότερες παραμέτρους απόόσεςχρειάζονται, οπότε θέτουμε τους περιορισμούς: a b a i= 1 i j= 1 j i= 1 ij α = 0, β = 0, (αβ) = 0, j=1,2,...,b b και (αβ) = 0, i=1,2,...,a. j1 = ij 54

55 με δύο Παράγοντες Τους συντελεστές του παραπάνω μοντέλου διασποράς (τα μ ij ) τα εκτιμούμε με την βοήθεια του δείγματος που διαθέτουμε, εφαρμόζοντας όπως και στο γραμμικό μοντέλο την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων, ελαχιστοποιώντας δηλαδή την ποσότητα a b n 2 Q = (yijk μ ij). i= 1 j= 1 k= 1 55

56 με δύο Παράγοντες Καταλήγουμε ότι ˆμ ij = yij Οι παραπάνω τιμές αποτελούν τις προσαρμοσμένες τιμές (fitted values) του μοντέλου μας ŷ ijk, δηλαδή την εκτίμηση της μέσης τιμής της τ.μ. Υ δεδομένης της στάθμης του Χ. 56

57 με δύο Παράγοντες Οι ποσότητες εˆ = y yˆ ijk ijk ijk αποτελούν τις εκτιμήσεις των σφαλμάτων και καλούνται, όπως και στην ανάλυση παλινδρόμησης, υπόλοιπα (residuals). 57

58 με δύο Παράγοντες Το σ 2 το εκτιμούμε από την ποσότητα 1 s y y ab(n 1) = = = a b n 2 y x 1,x = 2 ijk ijk i 1 j 1 k 1 ( ˆ ) Η θετική τετραγωνική της ρίζα της παραπάνω εκτιμήτριας καλείται τυπικό σφάλμα του μοντέλου και όσο μικρότερη τιμή έχει τόσο καλύτερη προσαρμογή έχουμε για το μοντέλο διασποράς. 2 Εκτίμηση διασποράς των σφαλμάτων 58

59 με δύο Παράγοντες Προϋποθέσεις μοντέλου: 1. Η κατανομή που ακολουθεί η εξαρτημένη τ.μ. Υ σε κάθε αγωγή είναι κανονική. Ισοδύναμα τα σφάλματα πρέπει να ακολουθούν κανονική κατανομή. 2. Η διασπορά της εξαρτημένης τ.μ. Υ είναι ίδια σε κάθε αγωγή (ομοσκεδαστικότητα). 3. Τα σφάλματα είναι ανεξάρτητες τ.μ. Όταν δεν ισχύουν οι παραπάνω προϋποθέσεις μετασχηματίζουμε κατάλληλα την μεταβλητή απόκρισης Y (δεν υπάρχει αντίστοιχος μη παραμετρικός έλεγχος). 59

60 με δύο Παράγοντες Ερευνητής ενδιαφέρεται να δει αν η υπέρταση σχετίζεται με τις διατροφικές συνήθειες και το φύλο. Τα παρακάτω δεδομένα μας παρουσιάζουν μετρήσεις αρτηριακής πίεσης για τους συνδυασμούς των 2 παραγόντων. Παράγοντας 2: Διατροφικές Συνήθειες Παράγοντας 1: Φύλο Χορτοφάγος Χορτοφάγος +Ψάρι Όχι Χορτοφάγος Άνδρας 100, 112, , 121, , 123, 131 Γυναίκα 98, 101, , 109, , 101,

61 με δύο Παράγοντες Στο εν λόγω παράδειγμα που έχουμε περισσότερεςαπόμίαπαρατηρήσειςανάαγωγή θα μπορούσαμε να εξετάσουμε την πιθανή ύπαρξη σημαντικής αλληλεπίδρασης μεταξύ των δύο παραγόντων. Αυτό θα σήμαινε ότι η επίδραση ενός παράγοντα δεν είναι η ίδια στα επίπεδα του άλλου παράγοντα, π.χ. η επίδραση των διατροφικών συνηθειών στην υπέρταση είναι διαφορετική μεταξύ ανδρών και γυναικών. 61

62 με δύο Παράγοντες 62

63 με δύο Παράγοντες 63

64 με δύο Παράγοντες 64

65 με δύο Παράγοντες Από την περιγραφική ανάλυση παρατηρούμε ότι στο δείγμα μας οι άνδρες έχουν υψηλότερη μέση πίεση από τις γυναίκες. Επίσης οι χορτοφάγοι έχουν χαμηλότερη μέση πίεση από τους χορτοφάγους που τρώνε και ψάρι, οι οποίοι με την σειρά τους έχουν χαμηλότερη μέση πίεση από τους μη χορτοφάγους. Είναι όμως οι παρατηρούμενες αυτές διαφορές στατιστικά σημαντικές; Είναι η επίδραση των διατροφικών συνηθειών στην υπέρταση διαφορετική μεταξύ ανδρών και γυναικών; 65

66 με δύο Παράγοντες 66

67 με δύο Παράγοντες 67

68 με δύο Παράγοντες 68

69 με δύο Παράγοντες 69

70 με δύο Παράγοντες 70

71 με δύο Παράγοντες 71

72 με δύο Παράγοντες Δεν απορρίπτεται σε ε.σ. 5% η προϋπόθεση ισότητας διασπορών. 72

73 με δύο Παράγοντες 73

74 με δύο Παράγοντες Πιθανό πρόβλημα με την υπόθεση κανονικότητας σφαλμάτων. 74

75 με δύο Παράγοντες 75

76 με δύο Παράγοντες Δεν φαίνεται να υπάρχει πρόβλημα μετηνανεξαρτησίατωνσφαλμάτων. 76

77 με δύο Παράγοντες ΠΙΝΑΚΑΣ ANOVA Η επίδραση του φύλου είναι στατιστικά σημαντική Η επίδραση των διατροφικών συνηθειών είναι στατιστικά σημαντική Η αλληλεπίδραση των 2 παραγόντων δεν είναι στατιστικά σημαντική 77

78 με δύο Παράγοντες Το γράφημα παρουσιάζει την εκτιμώμενη αναμενόμενη αρτηριακή πίεση ανά φύλο και διατροφική συνήθεια. Οι ευθείες είναι σχεδόν παράλληλες, άρα δεν υπάρχει αλληλεπίδραση. 78

79 με δύο Παράγοντες ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Κατηγορίες αναφοράς 79

80 με δύο Παράγοντες Η αναμενόμενη αρτηριακή πίεση των μη χορτοφάγων γυναικών είναι 114. Οι άνδρες έχουν αναμενόμενη αρτηριακή πίεση κατά υψηλότερη σε σχέση με τις γυναίκες των ίδιων διατροφικών συνηθειών. Οι χορτοφάγοι έχουν αναμενόμενη αρτηριακή πίεση κατά χαμηλότερη σε σχέση με τους μη χορτοφάγους του ίδιου φύλου. Οι χορτοφάγοι που τρώνε και ψάρι έχουν αναμενόμενη αρτηριακή πίεση κατά 6.33 χαμηλότερη σε σχέση με τους μη χορτοφάγους του ίδιου φύλου. Η επίδραση των διατροφικών συνηθειών στην υπέρταση είναι η ίδια μεταξύ ανδρών και γυναικών. 80

81 Μοντέλο ANOVA Επαναλαμβανόμενων Μετρήσεων Όπως είχαμε αναφέρει και στην ενότητα της Στατιστικής Συμπερασματολογίας, αρκετές φορές στις στατιστικές μελέτες συναντάμε το φαινόμενο των εξαρτημένων δειγμάτων. Π.χ. ας υποθέσουμε ότι έχουμε μετρήσεις της ίδιας ποσοτικής μεταβλητής Y (μεταβλητή απόκρισης) για τα ίδια άτομα σε k διαφορετικές χρονικές περιόδους. Ας καλέσουμε Υ j την μεταβλητή την χρονική τιμή j (j = 1,,k) και ας θεωρήσουμε ότι προέρχεται από πληθυσμό με άγνωστη μέση τιμή μ j και άγνωστη τυπική απόκλιση σ j. Έστω ότι διαθέτουμε τυχαίο δείγμα με y ij η τιμή της i παρατήρησης στην j χρονική στιγμή (i = 1,2,...,n j, και j = 1,2,...,k). Ενδιαφερόμαστε να δούμε αν η υπό μελέτη τυχαία μεταβλητή διαφοροποιείται κατά μέσο όρο στις k χρονικές περιόδους, δηλαδή να ελέγξουμε την υπόθεση Η 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k με εναλλακτική ότι τουλάχιστον μία από τις ισότητες δεν ισχύει σε ε.σ. α. Το μοντέλο ANOVA με έναν παράγοντα στο εν λόγω πρόβλημα δεν είναι το κατάλληλο, διότι έτσι δεν λαμβάνεται υπόψιν η συσχέτιση μεταξύ των επαναλαμβανόμενων μετρήσεων. Επιπλέον παραβιάζεται η προϋπόθεση της ανεξαρτησίας. Αντί αυτού χρησιμοποιούμε το μοντέλο ANOVA επαναλαμβανόμενων μετρήσεων (Repeated Measures ANOVA) το οποίο μπορεί να θεωρηθεί ως επέκταση του paired t-test για k > 2. Ανάγκη για το μοντέλο ANOVA επαναλαμβανόμενων μετρήσεων δεν έχουμε μόνο όταν τα δεδομένα μας έχουν μελετηθεί σε διαφορετικές χρονικές περιόδους, αλλά όποτε έχουμε πολλά εξαρτημένα δείγματα. Για παραδείγματα εξαρτημένων δειγμάτων δείτε την ενότητα της Στατιστικής Συμπερασματολογίας. Ο επόμενος πίνακας μας δίνει τον καρδιακό παλμό, 9 ασθενών με συμφορητική καρδιακή ανεπάρκεια, πριν και λίγο μετά την χορήγηση άλατος εναλαπλίρης, ενός αναστολέα του μετατρεπτικού ενζύμου της αγγειοτασίνης. 81

82 Μοντέλο ANOVA Επαναλαμβανόμενων Μετρήσεων 82

83 Μοντέλο ANOVA Επαναλαμβανόμενων Μετρήσεων Οι δειγματικοί μέσοι για κάθε χρονική στιγμή υποδεικνύουν ότι ο καρδιακός παλμός μειώνεται κατά μέσο όρο περίπου 4 χτύπους το λεπτό τα πρώτα 30 λεπτά μετά την χορήγηση του άλατος εναλαπλίρης και παραμένει σχετικά σταθερός για τα υπόλοιπα 90 λεπτά. Είναι όμως η παρατηρούμενη αυτή διαφορά στατιστικά σημαντική; 83

84 Μοντέλο ANOVA Επαναλαμβανόμενων Μετρήσεων Προϋποθέσεις Μοντέλου: Τα σφάλματα πρέπει να ακολουθούν Κανονική κατανομή. Το εν λόγω μοντέλο είναι ισοδύναμο με ένα μοντέλο ANOVA με δύο παράγοντες. Οι παράγοντες είναι ο χρόνος (σταθερές επιδράσεις) και οι ασθενείς (τυχαίες επιδράσεις). Άρα θέλουμε όπως και στο μοντέλο ANOVA με δύο παράγοντες η διασπορά της εξαρτημένης τ.μ. Υ να είναι ίδια σε κάθε αγωγή. Για να ελέγξουμε την εν λόγω προϋπόθεση εφαρμόζουμε το Mauchly's Test of Sphericity. Αν τα αποτελέσματα του ελέγχου προκύψουν στατιστικά σημαντικά αναπροσαρμόζουμε την P-τιμή του παράγοντα χρόνου που έχει προκύψει από τον πίνακα ANOVA χρησιμοποιώντας την διόρθωση των Greenhouse-Geisser. 84

85 Μοντέλο ANOVA Επαναλαμβανόμενων Μετρήσεων Τα δεδομένα πρέπει να είναι σε ευρεία μορφή (wide format) 85

86 Μοντέλο ANOVA Επαναλαμβανόμενων Μετρήσεων 86

87 Μοντέλο ANOVA Επαναλαμβανόμενων Μετρήσεων 87

88 Μοντέλο ANOVA Επαναλαμβανόμενων Μετρήσεων 88

89 Μοντέλο ANOVA Επαναλαμβανόμενων Μετρήσεων Δεν απορρίπτεται σε ε.σ. 5% η προϋπόθεση ισότητας διασπορών. Ο μέσος καρδιακός παλμός των ασθενών αλλάζει με τον χρόνο 89

90 Μοντέλο ANOVA Επαναλαμβανόμενων Μετρήσεων Έλεγχος προϋπόθεσης κανονικότητας σφαλμάτων Υπόλοιπα για κάθε χρονική περίοδο (4 συνολικά) 90

91 Μοντέλο ANOVA Επαναλαμβανόμενων Μετρήσεων 91

92 Μοντέλο ANOVA Επαναλαμβανόμενων Μετρήσεων Δεχόμαστε την υπόθεση της κανονικότητας 92

93 Μοντέλο ANOVA Επαναλαμβανόμενων Μετρήσεων Για να δούμε ανάμεσα σε ποιες χρονικές περιόδους υπάρχει διαφοροποίηση των καρδιακών παλμών, θα μπορούσαμε να προβαίναμε σε όλους τους ανά δύο ελέγχους (matched t- tests) και εν συνεχεία να διορθώναμε τις P-τιμές των ελέγχων χρησιμοποιώντας την μέθοδο Bonferroni. Όταν δεν ισχύουν οι προϋποθέσεις του μοντέλου ANOVA επαναλαμβανόμενων μετρήσεων (δηλαδή τα σφάλματά μας δεν είναι κανονικά), είτε μετασχηματίζουμε κατάλληλα την μεταβλητή απόκρισης, είτε εφαρμόζουμε τον αντίστοιχο μη παραμετρικό έλεγχο Friedman s Test, ο οποίος αποτελεί μια γενίκευση του Wilcoxon Signed-Rank test για 2 εξαρτημένα δείγματα. Για τον μη παραμετρικό έλεγχο τα δεδομένα πρέπει να είναι σε μακρά μορφή (long format). 93

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA)

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA) ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA). Εισαγωγή Η ανάλυση της διακύμανσης (ANalysis Of VAriance ANOVA) είναι μια στατιστική μεθόδος με την οποία η μεταβλητότητα που υπάρχει σ ένα σύνολο δεδομένων διασπάται στις

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Ποιοτική και ποσοτική ανάλυση ιατρικών δεδομένων

Ποιοτική και ποσοτική ανάλυση ιατρικών δεδομένων Ποιοτική και ποσοτική ανάλυση ιατρικών δεδομένων Κωνσταντίνος Τζιόμαλος Επίκουρος Καθηγητής Παθολογίας ΑΠΘ Α Προπαιδευτική Παθολογική Κλινική, Νοσοκομείο ΑΧΕΠΑ 1 ο βήμα : καταγραφή δεδομένων Το πιο πρακτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΛΕΓΧΩΝ (STUDENT S T).. 21

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΛΕΓΧΩΝ (STUDENT S T).. 21 Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΛΕΓΧΩΝ (STUDENT S T).. 21 (Basic Sampling Techniques and Questionnaire Analysis using

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

Ερμηνεία αποτελεσμάτων Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα

Ερμηνεία αποτελεσμάτων Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα Ερμηνεία αποτελεσμάτων Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα Αρχείο δεδομένων school.sav Στον πίνακα Descriptives, μας δίνονται για την Επίδοση ως προς τις πέντε διαφορετικές μεθόδους διδασκαλίας, το

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

T-tests One Way Anova

T-tests One Way Anova William S. Gosset Student s t Sir Ronald Fisher T-tests One Way Anova ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Νίκος Ζουρμπάνος Ρούσσος, Π.Λ., & Τσαούσης, Γ. (2002). Στατιστική εφαρμοσμένη στις κοινωνικές επιστήμες. Αθήνα: Ελληνικά

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Εφαρμογών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για τους Μέσους - Εξαρτημένα Δείγματα (Paired samples t-test) Το κριτήριο Paired samples t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Copyright 2009 Cengage Learning 16.1 Ανάλυση Παλινδρόμησης Σκοπός του προβλήματος είναι η ανάλυση της σχέσης μεταξύ συνεχών μεταβλητών. Η ανάλυση παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: Η ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΕΣΟΣ... 29

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: Η ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΕΣΟΣ... 29 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 Μεταβλητές...5 Πληθυσμός, δείγμα...7 Το ευρύτερο γραμμικό μοντέλο...8 Αναφορές στη βιβλιογραφία... 11 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 Περίληψη... 13 Εισαγωγή... 13 Με μια ματιά...

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Προχωρημένη Στατιστική 2. ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

την τιμή της μέσης τιμής, μ, ή της διασποράς, σ, ενός πληθυσμού και σε στατιστικούς ελέγχους υποθέσεων για τη σύγκριση των μέσων τιμών, μ

την τιμή της μέσης τιμής, μ, ή της διασποράς, σ, ενός πληθυσμού και σε στατιστικούς ελέγχους υποθέσεων για τη σύγκριση των μέσων τιμών, μ Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς (Analysis of Variance, ANOVA) είναι μέθοδος στατιστικού ελέγχου υποθέσεων που αναφέρονται σε περισσότερους από δύο πληθυσμούς. Στην προηγούμενη ενότητα αναφερθήκαμε

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική. Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο. Κ. Πολίτης

Περιγραφική Στατιστική. Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο. Κ. Πολίτης Περιγραφική Στατιστική Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο Κ. Πολίτης 1 2 Η στατιστική ασχολείται με τη συλλογή, οργάνωση, παρουσίαση και ανάλυση πληροφοριών. Οι πληροφορίες αυτές, πολύ συχνά αριθμητικές,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ

ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ Να δοθούν οι βασικές αρχές των µη παραµετρικών ελέγχων (non-parametric tests). Να παρουσιασθούν και να αναλυθούν οι γνωστότεροι µη παραµετρικοί έλεγχοι Να αναπτυχθεί η µεθοδολογία των

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

Kruskal-Wallis H... 176

Kruskal-Wallis H... 176 Περιεχόμενα KΕΦΑΛΑΙΟ 1: Περιγραφή, παρουσίαση και σύνοψη δεδομένων................. 15 1.1 Τύποι μεταβλητών..................................................... 16 1.2 Κλίμακες μέτρησης....................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. 7 ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling)

6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling) 6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling) Από την θεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούμενα κεφάλαια, φαίνεται ότι μια αλλαγή στον σχεδιασμό της δειγματοληψίας και, κατά συνέπεια, στην μέθοδο εκτίμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηριστικά της ανάλυσης διασποράς. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (One-way analysis of variance)

Χαρακτηριστικά της ανάλυσης διασποράς. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (One-way analysis of variance) ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (Oe-way aalysis of variace) Να γίνει µια εισαγωγή στη µεθοδολογία της ανάλυσης > δειγµάτων Να εφαρµοσθεί και να κατανοηθεί η ανάλυση διασποράς µε ένα παράγοντα. Να κατανοηθεί η χρήση των

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΙΜΟΣ ΜΕΙΝΤΑΝΗΣ, Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών, ΕΚΠΑ ΓΙΑΝΝΗΣ Κ. ΜΠΑΣΙΑΚΟΣ, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Διδακτικό Έτος 2015-2016 Παραδόσεις Διδακτικής Ενότητας: Πληθυσμιακή πρόβλεψη Δούκισσας Λεωνίδας, Στατιστικός, Υποψ. Διδάκτορας, Τμήμα Γεωγραφίας, Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η χρησιμοποίηση των τεχνικών της παλινδρόμησης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων έχει διευκολύνει εξαιρετικά από την χρήση διαφόρων στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Όταν ενδιαφερόμαστε να συγκρίνουμε δύο πληθυσμούς, η φυσιολογική προσέγγιση είναι να προσπαθήσουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : 4..634 URL : www.vtal.gr emal: f@vtal.gr Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Πολλαπλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 7 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Πολλαπλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 7 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 12β ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 4β ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ SPSS

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για την Μέση Τιμή ενός Δείγματος (One Sample t-test) Το κριτήριο One sample t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε τον αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων. Σαλαντή Γεωργία Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Ιατρική Σχολή

Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων. Σαλαντή Γεωργία Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Ιατρική Σχολή Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Σαλαντή Γεωργία Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Ιατρική Σχολή Τι θέλουμε να συγκρίνουμε; Δύο δείγματα Μέση αρτηριακή πίεση σε δύο ομάδες Πιθανότητα θανάτου με δύο διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Επαγωγική Στατιστική. Εισαγωγή Βασικές έννοιες

Επαγωγική Στατιστική. Εισαγωγή Βασικές έννοιες Επαγωγική Στατιστική Εισαγωγή Βασικές έννοιες Επαγωγική Στατιστική Πως μπορούμε να συγκρίνουμε μεταβλητές μεταξύ τους? Διαφορά συγκρίνοντας το μέσο μιας μεταβλητής (λόγος ή διάστημα) στις ομάδες πχ. t-test

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 8. Ανάλυση διασποράς (ANOVA)

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 8. Ανάλυση διασποράς (ANOVA) ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 8. Ανάλυση διασποράς (ANOVA) Γενικά Επέκταση της σύγκρισης µέσων τιµών µεταβλητής ανάµεσα σε 2 δείγµατα (οµάδες ήστάθµες): Σύγκριση πολλών δειγµάτων (K>2) µαζί Σχέση ανάµεσα σε µια ποσοτική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Πιθανότητες 1.1 Πιθανότητες και Στατιστική... 5 1.2 ειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 7 1.3 Ορισμοί και νόμοι των πιθανοτήτων... 10 1.4 εσμευμένη πιθανότητα Ολική

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Πέτρος Ρούσσος, Τμήμα Ψυχολογίας, ΕΚΠΑ Η λογική της διαδικασίας Ο σάκος περιέχει έναν μεγάλο αλλά άγνωστο αριθμό (αρκετές χιλιάδες) λευκών και μαύρων βόλων: 1 Το

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

= p 20 1 p 18. 1 p Το σημείο στο οποίο μηδενίζεται η παραπάνω μερική παράγωγος είναι

= p 20 1 p 18. 1 p Το σημείο στο οποίο μηδενίζεται η παραπάνω μερική παράγωγος είναι Άσκηση 1 i) Σε κάθε παρατήρηση περιλαμβάνεται ένας έλεγχος (ο τελευταίος) κατά τον οποίο εμφανίστηκε το πρώτο ελαττωματικό της παραγωγικής διαδικασίας. Επομένως, ο αριθμός ελέγχων που έγιναν πριν εμφανιστεί

Διαβάστε περισσότερα

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ).

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ). Δισδιάστατη ανάλυση Πίνακες διπλής εισόδου Σε πολλές περιπτώσεις μελετάμε περισσότερες από μία μεταβλητές ταυτόχρονα. Π.χ. μία έρευνα που έγινε σε ένα δείγμα 58 ατόμων περιείχε τις ερωτήσεις «ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή 4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapro-Wlk για την Κανονική Κατανομή Ένας άλλος πολύ γνωστός έλεγχος καλής προσαρμογής για την κανονική κατανομή, ο οποίος μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην θέση του ελέγχου Lllefors, είναι

Διαβάστε περισσότερα

8. Ανάλυση Διασποράς ως προς. δύο παράγοντες

8. Ανάλυση Διασποράς ως προς. δύο παράγοντες 8. Ανάλυση Διασποράς ως προς δύο παράγοντες Ανάλυση Διασποράς ως προς δύο παράγοντες Α, Β δύο παράγοντες κ: στάθμες (επίπεδα) του παράγοντα Α λ: στάθμες (επίπεδα) του παράγοντα Β κ λ : πειραματικές συνθήκες

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για τον καθορισμό του καλύτερου υποσυνόλου από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov.

Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov. A. ΈΛΕΓΧΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ A 1. Έλεγχος κανονικότητας Kolmogorov-Smirnov. Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov. Μηδενική υπόθεση:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕ ΤΟ SPSS To SPSS θα: - Κάνει πολύπλοκη στατιστική ανάλυση σε δευτερόλεπτα -

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

1ο ΣΤΑΔΙΟ ΓΕΝΕΣΗ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ

1ο ΣΤΑΔΙΟ ΓΕΝΕΣΗ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1ο ΣΤΑΔΙΟ ΓΕΝΕΣΗ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ πόσες μετακινήσεις δημιουργούνται σε και για κάθε κυκλοφοριακή ζώνη; ΟΡΙΣΜΟΙ μετακίνηση μετακίνηση με βάση την κατοικία μετακίνηση με βάση άλλη πέρα της κατοικίας

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ ΠΕΡΙΕΧOΜΕΝΑ Πρόλογος στη δεύτερη έκδοση Πρόλογος στην πρώτη έκδοση Εισαγωγή Τι είναι η μεθοδολογία έρευνας Οι μέθοδοι έρευνας ΜEΡOΣ A : ΓNΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜOΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙO 1: Γενικά για την επιστημονική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πρόβλημα απουσιών στ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πρόβλημα απουσιών στ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ο διευθυντής προσωπικού μιας μεγάλης εταιρείας πιστεύει ότι ίσως υφίσταται κάποια σχέση μεταξύ των ημερών απουσίας και της ηλικίας των εργαζομένων. Με βάση την υπόθεση αυτή ενδιαφέρεται να κατασκευάσει

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος 1 Εισαγωγή στο SPSS 37. 1 Βασικές αρχές καταχώρισης δεδομένων και στατιστικής ανάλυσης με το SPSS 39

Μέρος 1 Εισαγωγή στο SPSS 37. 1 Βασικές αρχές καταχώρισης δεδομένων και στατιστικής ανάλυσης με το SPSS 39 41 Περιεχόμενα Ξενάγηση στο βιβλίο 25 Ξενάγηση στο συνοδευτικό CD 27 Εισαγωγή 29 Ευχαριστίες 33 Οι βασικές διαφορές μεταξύ του SPSS 16 και των προηγούμενων εκδόσεων 35 Μέρος 1 Εισαγωγή στο SPSS 37 1 Βασικές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis)

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23 ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχοντας παρουσιάσει τις βασικές έννοιες των ελέγχων υποθέσεων, θα ήταν, ίσως, χρήσιμο να αναφερθούμε σε μια άλλη περιοχή στατιστικής συμπερασματολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2015-2016 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή 1. Γενικά... 25 2. Έννοια και Είδη Μεταβλητών... 26 3. Κλίμακες Μέτρησης Μεταβλητών... 29 3.1 Ονομαστική κλίμακα... 30 3.2. Τακτική κλίμακα... 31 3.3 Κλίμακα ισοδιαστημάτων... 34 3.4

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σχετικές πληροφορίες: http://dlib.ionio.gr/~spver/seminars/statistics/ Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σπύρος Βερονίκης Τμήμα Αρχειονομίας - Βιβλιοθηκονομίας Θεματικές

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ: ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδες Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση «πολύ μεγάλων»

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Μοντέλα Παλινδρόμησης Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Εισαγωγή (1) Σε αρκετές περιπτώσεις επίλυσης προβλημάτων ενδιαφέρει η ταυτόχρονη μελέτη δύο ή περισσότερων μεταβλητών, για να προσδιορίσουμε με ποιο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜEΡOΣ A : ΓNΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜOΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜEΡOΣ A : ΓNΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜOΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος στη δεύτερη έκδοση........................................... 13 Πρόλογος στην πρώτη έκδοση............................................ 17 Εισαγωγή................................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί έλεγχοι για διακριτά δεδομένα

Στατιστικοί έλεγχοι για διακριτά δεδομένα Στατιστικοί έλεγχοι για διακριτά δεδομένα Διαστρωμάτωση Mantel-Haenszel test Γεωργία Σαλαντή Λέκτορας επιδημιολογίας Λεπτοσπείρωση Πιο πολλά κρούσματα στις αγροτικές περιοχές; Πόσο επί τις εκατό του πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Αν οι προϋποθέσεις αυτές δεν ισχύουν, τότε ανατρέχουµε σε µη παραµετρικό τεστ.

Αν οι προϋποθέσεις αυτές δεν ισχύουν, τότε ανατρέχουµε σε µη παραµετρικό τεστ. ΣΤ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (ANALYSIS OF VARIANCE - ANOVA) ΣΤ 1. Ανάλυση ιασποράς κατά µία κατεύθυνση. Όπως έχουµε δει στη παράγραφο Β 2, όταν θέλουµε να ελέγξουµε, αν η µέση τιµή µιας ποσοτικής µεταβλητής διαφέρει

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 7. Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 7. Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη 7 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Λογαριθμικά Γραμμικά Μοντέλα Poisson Παλινδρόμηση Παράδειγμα στο SPSS

Λογαριθμικά Γραμμικά Μοντέλα Poisson Παλινδρόμηση Παράδειγμα στο SPSS Λογαριθμικά Γραμμικά Μοντέλα Poisson Παλινδρόμηση Παράδειγμα στο SPSS Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει θανάτους από καρδιακή ανεπάρκεια ανάμεσα σε άνδρες γιατρούς οι οποίοι έχουν κατηγοριοποιηθεί κατά ηλικία

Διαβάστε περισσότερα