Εισαγωγή στη Στατιστική

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εισαγωγή στη Στατιστική"

Transcript

1 Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο.

2 Περιεχόμενα Εισαγωγή στη Στατιστική Επιδημιολογικές Μελέτες Περιγραφική Στατιστική Στατιστική Συμπερασματολογία Ένα Δείγμα Δύο Ανεξάρτητα Δείγματα Δείγματα κατά Ζεύγη Ποσοστά Έλεγχος Καλής Προσαρμογής Πίνακες Συνάφειας 2 2. Ανάλυση Παλινδρόμησης 2

3 Εισαγωγή Μέχρι τώρα έχουμε ασχοληθεί με τον έλεγχο της διαφοράς των μέσων της ίδιας ποσοτικής μεταβλητής σε δύο ομάδες ατόμων προερχόμενες είτε από δύο ανεξάρτητους πληθυσμούς (two sample t-test), είτε από δύο εξαρτημένους πληθυσμούς (paired two sample t-test). Αλλά τι γίνεται στις περιπτώσεις όπου οι υπό σύγκριση ομάδες είναι παραπάνω από δύο, έστω k; Στην εν λόγω περίπτωση, μπορούμε να εφαρμόσουμε πολλά διαφορετικά t-tests, ένα για κάθε πιθανό ζεύγος ομάδων, π.χ. αν είχαμε 3 ομάδες να εφαρμόζαμε 3 διαφορετικούς ελέγχους (ομάδα 1 εναντίον αμάδας 2, ομάδα 1 εναντίον ομάδας 3 και ομάδα 2 εναντίον ομάδας 3). Μετοντρόποόμωςαυτόναυξάνουμετηνπιθανότητασφάλματοςτύπου I (την πιθανότητα δηλαδή να προκύψουν στατιστικά σημαντικές διαφορές που στην πραγματικότητα δεν υπάρχουν). Για k = 10, π.χ., έχουμε 45 ( k!/[2!(k 2)!] ) πιθανά ζεύγη ομάδων υπό σύγκριση. Χρησιμοποιώντας ε.σ. 5% σε κάθε έναν από τους 45 ελέγχους καταλήγουμε στο ότι συγκρίσεις ενδέχεται να μας δώσουν στατιστικά σημαντικές διαφορές στους μέσους εντελώς στην τύχη. Επομένως χρειαζόμαστε μια νέα μεθοδολογία. 3

4 Εισαγωγή Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια συνεχή τυχαία μεταβλητή Υ (εξαρτημένη μεταβλητή ή μεταβλητή απόκρισης) και μία κατηγορική μεταβλητή Χ (παράγοντας), η οποία έχει k επίπεδα τιμών (στάθμες/ομάδες). Σκοπός μας είναι να ελέγξουμε αν κατά μέσο όρο η εξαρτημένη μεταβλητή διαφοροποιείται στις k στάθμες της κατηγορικής μεταβλητής. Θεωρούμε καταρχήν ότι οι k ομάδες είναι μεταξύ τους ανεξάρτητες. Για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι η Υ εκφράζει την συστολική πίεση και ο παράγοντας Χ αποτελεί την μέθοδο θεραπείας με k= 3 διαφορετικές μεθόδους. Σκοπός μας είναι να δούμε αν διαφοροποιείται η μέση τιμή της συστολικής πίεσης σε σχέση με τις εφαρμοζόμενες θεραπευτικές αγωγές (στάθμες/ομάδες). Η μέθοδος που θα εφαρμόσουμε καλείται με έναν παράγοντα (one way ANOVA). Αν οι k στάθμες είναι προκαθορισμένες από τον σχεδιασμό της μελέτης η καλείται Σταθερών Επιδράσεων (οne-way fixed effects ANOVA). Αντίθετα αν δεν είναι προκαθορισμένες από τον σχεδιασμό της μελέτης αλλά αποτελούν ένα τυχαίο δείγμα από ένα μεγάλο αριθμό ομάδων (π.χ. έχουμε τους βαθμούς των φοιτητών σε ένα συγκεκριμένο μάθημα από 3 διαφορετικά πανεπιστημιακά ιδρύματα της χώρας, τα οποία τα έχουμε επιλέξει στην τύχη, από το πλήθος όλων των ιδρυμάτων) τότε η καλείται Τυχαίων Επιδράσεων (one-way random effects ANOVA). Στην περίπτωση συσχετισμένων ομάδων (π.χ. μετρήσεις ίδιων ατόμων σε k διαφορετικές χρονικές στιγμές) εφαρμόζουμε την Επαναλαμβανόμενων Μετρήσεων (repeated measurements ANOVA). Οι παραπάνω ιδέες μπορούν να επεκταθούν και στις περιπτώσεις που έχουμε παραπάνω από έναν παράγοντα, έστω m. Τότε εφαρμόζουμε την με m παράγοντες (mway ANOVA). Στις περιπτώσεις όπου οι στάθμες κάποιων παραγόντων είναι προκαθορισμένες από τον σχεδιασμό της μελέτης και κάποιων άλλων όχι η καλείται Μικτών Επιδράσεων (mixed effects ANOVA). 4

5 με έναν Παράγοντα Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι έχουμε μια συνεχή τυχαία μεταβλητή Υ και θέλουμε να ελέγξουμε αν η μέση της τιμή διαφοροποιείται στις k στάθμες του παράγοντα Χ. Πιο συγκεκριμένα έστω Υ 1 ητιμήτηςυ όταν Χ = 1, Υ 2 ητιμήτηςυότανχ= 2,..., Υ k ητιμήτηςυότανχ = k. Θεωρούμε ότι οι Υ j (j=1,...,k) είναι ανεξάρτητες τ.μ. (δηλαδή η τιμή που παίρνει το υπό μελέτη χαρακτηριστικό στην 1 η π.χ. στάθμη του Χ δεν επηρεάζει την τιμή που παίρνει το ίδιο χαρακτηριστικό στην 5 η π.χ. στάθμη) με μέση τιμή μ j και τυπική απόκλιση σ j. Για να ελέγξουμε τότε πιθανή διαφοροποίηση του υπό μελέτη χαρακτηριστικού στις k στάθμες είναι λογικό να ελέγξουμε την υπόθεση Η 0 : μ 1 = μ 2 =...= μ k, με εναλλακτική ότι τουλάχιστον μία από τις ισότητες δεν ισχύει σε ε.σ. α, δηλαδή να ελέγξουμε αν το υπό μελέτη χαρακτηριστικό έχει την ίδια μέση τιμή στις k στάθμες του X. Έστω ότι διαθέτουμε τυχαίο δείγμα για κάθε στάθμη χωριστά. Πιο συγκεκριμένα έστω y ij ητιμήτηςi παρατήρησης στην j ομάδα (i = 1,2,...,n j, και j = 1,2,...,k). 5

6 με έναν Παράγοντα Ας συμβολίσουμε με n j y j = y i = 1 ij, το άθροισμα των παρατηρήσεων στην j ομάδα και με 1 n j y j y j = y ij =, i= 1 nj nj τον αντίστοιχο δειγματικό μέσο. Το άθροισμα όλων των παρατηρήσεων το συμβολίζουμε με k n j j= 1 i= 1 y y, = και τον δειγματικό μέσο όλων των παρατηρήσεων με 1 k n j y k y = y j= 1 i= 1 ij = όπου nt j n n = n. j = 1 T T ij 6

7 με έναν Παράγοντα Το μοντέλο ανάλυσης διασποράς με έναν παράγοντα έχει την μορφή Υ =μ+ a +ε Ε( Υ Χ ) =μ+ a ij j ij ij j = μ j άγνωστες σταθερές τυχαία σφάλματα ~ Ν(0,σ 2 ) 7

8 με έναν Παράγοντα Η άγνωστη σταθερά μ εκφράζει έναν γενικό μέσο ανεξαρτήτως στάθμης. Οι άγνωστες ποσότητες a j, j = 1,..,k καλούνται επίδραση αγωγής (treatment effect) και δηλώνουν την απόκλιση που ενδέχεται να έχει η μέση τιμή της τ.μ. Υ από τον γενικό μέσο όταν βρισκόμαστε στην j στάθμη. Στην περίπτωση αυτή έχουμε περισσότερες παραμέτρους από όσες χρειάζονται (k+1 αντί για k), οπότεσυνήθωςθέτουμετονπεριορισμό k a j 1 j = 0. = Εναλλακτικά μπορούμε να θέσουμε την συνθήκη Τα ε ij είναι ανεξάρτητες τ.μ. που ακολουθούν την Κανονική κατανομή N(0,σ 2 ) και εκφράζουν τα τυχαία σφάλματα. 1 k T j= 1 j j n n a = 0. 8

9 με έναν Παράγοντα Η ποσότητα σ 2 εκφράζει την διασπορά των σφαλμάτων, την οποία θεωρούμε σταθερή ανεξάρτητα της στάθμης της τ.μ. Χ (υπόθεση ομοσκεδαστικότητας). Επειδή η τυχαιότητα της Υ δεδομένης μιας στάθμης της Χ οφείλεται στα σφάλματα, το σ 2 εκφράζει και την διασπορά της δεσμευμένης κατανομής της τ.μ. Υ Χ. Επειδή τα ε ij ~ Ν(0,σ 2 ), έχουμε ότι η τ.μ. Υ j ~ Ν(μ+a j,σ 2 ), δηλαδή μια χαρακτηριστική παρατήρηση από την j στάθμη είναι κανονικά κατανεμημένη με μέσο μ + a i και διασπορά σ 2. Επιπλέον η διασπορά αυτή είναι κοινή σε όλες τις τ.μ. Y 1,,Y k. Επιπλέον λόγω της ανεξαρτησίας των σφαλμάτων έχουμε ότι και οι Y 1,,Y k είναι ανεξάρτητες τ.μ., δηλαδή η τιμή που θα πάρει η τ.μ. Υσεκάποιαομάδα j, δεν εξαρτάται από την τιμή που έχει πάρει στην ίδια ή σε κάποια άλλη ομάδα. Τους συντελεστές του μοντέλου διασποράς (τα μ j ) τα εκτιμούμε με την βοήθεια του δείγματος που διαθέτουμε, εφαρμόζοντας όπως και στο γραμμικό μοντέλο την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων, ελαχιστοποιώντας δηλαδή την ποσότητα k n j n1 n2 nκ ij j i1 1 i2 2 ik k j= 1 i= 1 i= 1 i= 1 i= 1 Q = (y μ ) = (y μ ) + (y μ ) (y μ ). 9

10 με έναν Παράγοντα Καταλήγουμε ότι ˆμ = y (j = 1,..., k). j j Οι παραπάνω τιμές αποτελούν τις προσαρμοσμένες τιμές (fitted values) του μοντέλου μας ŷ ij, δηλαδή την εκτίμηση της μέσης τιμής της τ.μ. Υ δεδομένης της στάθμης του Χ. 10

11 με έναν Παράγοντα Οι ποσότητες εˆ = y yˆ ij ij ij αποτελούν τις εκτιμήσεις των σφαλμάτων και καλούνται, όπως και στην ανάλυση παλινδρόμησης, υπόλοιπα (residuals). Μια σημαντική ιδιότητα των υπολοίπων είναι ότι μέσα σε κάθε ομάδα έχουν άθροισμα μηδέν n j i= 1 ˆε = 0, j = 1,...,k. ij 11

12 με έναν Παράγοντα Το σ 2 το εκτιμούμε από την ποσότητα n 1 j s = y y k 2 ( ˆ ) Εκτίμηση διασποράς των σφαλμάτων 2 y x ij ij nt k j = 1 i = 1 Η θετική τετραγωνική της ρίζα της παραπάνω εκτιμήτριας καλείται τυπικό σφάλμα του μοντέλου και όσο μικρότερη τιμή έχει τόσο καλύτερη προσαρμογή έχουμε για το μοντέλο διασποράς. 12

13 με έναν Παράγοντα Με βάση λοιπόν το μοντέλο που θεωρήσαμε για να ελέγξουμε την πιθανή διαφοροποίηση του υπό μελέτη χαρακτηριστικού στις k στάθμες είναι λογικό να ελέγξουμε την υπόθεση Η 0 : a 1 = a 2 =...= a k, με εναλλακτική ότι τουλάχιστον μία από τις ισότητες δεν ισχύει σε ε.σ. έστω α. 13

14 με έναν Παράγοντα Οι αποκλίσεις των παρατηρήσεων από τον ολικό μέσο y μπορούν να χωριστούν σε δύο συνιστώσες σύμφωνα με την παρακάτω σχέση: ( y y ) = ( y y ) + ( y y ) ij ij j j y ij Μεταβλητότητα εντός των ομάδων Μεταβλητότητα μεταξύ των ομάδων 14

15 με έναν Παράγοντα Αν η μεταξύ των ομάδων μεταβλητότητα είναι μεγάλη και η μεταβλητότητα εντός των ομάδων μικρή η μηδενική υπόθεση πρέπει να απορριφτεί. Αντίστοιχα αν η μεταξύ των ομάδων μεταβλητότητα είναι μικρή και η μεταβλητότητα εντός των ομάδων μεγάλη η μηδενική υπόθεση δεν πρέπει να απορριφτεί. 15

16 με έναν Παράγοντα 16

17 με έναν Παράγοντα Τις προηγούμενες αποκλίσεις προφανώς πρέπει να τις ελέγξουμε για κάθε παρατήρηση. Υψώνοντας στο τετράγωνο τα δύο μέλη της σχέσης και αθροίζοντας για όλα τα i και j καταλήγουμε στην παρακάτω έκφραση (τα διπλάσια γινόμενα δίνουν άθροισμα μηδέν): n n k j k j k ( yij y ) = ( yij y j ) + n j ( y j y ) j= 1 i= 1 j= 1 i= 1 j= 1 Συνολικό Άθροισμα Άθροισμα Άθροισμα = Τετραγώνων Eντός + Τετραγώνων Mεταξύ Τετραγώνων oμάδων oμάδων (SST) (SSW) (SSB) 17

18 με έναν Παράγοντα Τετραγωνικός Μέσος Μεταξύ των Ομάδων (Mean Square Between): MSB = SSB/(k - 1). Τετραγωνικός μέσος εντός των Ομάδων (Within Mean Square): MSW = SSW/(n T -k). Ολικός Τετραγωνικός Μέσος (Total Mean Square): MST = SST/(n T -1). Θεωρούμε το στατιστικό ελέγχου F = MSB/MSW. Κάτω από την μηδενική υπόθεση αποδεικνύετε ότι το F ακολουθεί την F(k-1, n T k). Άρα σε ε.σ. α απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση και συμπεραίνουμε ότι ο μέσος της τ.μ. Υ διαφοροποιείται στις ομάδες του παράγοντα Χ (στατιστικά σημαντικός ο παράγοντας Χ), όταν F > Fk 1,nT k,α. Η P-τιμή του ελέγχου είναι η πιθανότητα είναι πιθανότητα της περιοχής της F(k-1, n T k). δεξιά από το F που παρατηρούμε. 18

19 με έναν Παράγοντα F (k-1,n T -k) F (k-1,n T -k) Περιοχή απόρριψης Η 0 Fk 1,nT k,α P-τιμή F k 1,n T k,α F 19

20 με έναν Παράγοντα Μεταβλητότητα Βαθμοί Ελευθερίας Άθροισμα Τετραγώνων (SS) Τετραγωνικοί Μέσοι (MS) Μεταξύ των Ομάδων k 1 k j= 1 j ( j ) n y y = SSB 2 k 1 2 nj( y j y ) = MSB k 1 j= 1 Εντός των Ομάδων nt k k n j j= 1 i= 1 ( ij j ) 2 y y = SSW n 1 k k n j T j= 1 i= 1 ( ij j ) 2 y y = ΜSW Ολική nt 1 k n j j= 1 i= 1 ( ) y y = SST ij 2 1 n 1 k n j T j= 1 i= 1 ( ) ij 2 y y = MST 20

21 με έναν Παράγοντα Προϋποθέσεις μοντέλου: 1. Η κατανομή που ακολουθεί η εξαρτημένη τ.μ. Υ στις διαφορετικές στάθμες είναι κανονική. Ισοδύναμα τα σφάλματα πρέπει να ακολουθούν κανονική κατανομή. 2. Η διασπορά της εξαρτημένης τ.μ. Υ είναι ίδια σε όλες τις ομάδες (ομοσκεδαστικότητα). 3. Τα σφάλματα είναι ανεξάρτητες τ.μ. Όταν δεν ισχύουν οι παραπάνω προϋποθέσεις, είτε μετασχηματίζουμε κατάλληλα την μεταβλητή απόκρισης Υ, είτε εφαρμόζουμε τον αντίστοιχο μη παραμετρικό έλεγχο που καλείται Kruskal - Wallis test. 21

22 με έναν Παράγοντα Υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες είναι χρήσιμο να προβούμε σε πολλαπλές συγκρίσεις (multiple comparisons), δηλαδή να ελέγξουμε ανά δύο κάποιους αν όχι όλους τους μέσους. Με δύο ομάδες η ερμηνεία μιας στατιστικά σημαντικής διαφοράς είναι προφανής, αλλά κάτι τέτοιο δεν συμβαίνει όταν το k > 2. Στην περίπτωση π.χ. που έχουμε τρεις ομάδες και απορρίπτεται η μηδενική υπόθεση, δηλαδή αποδεχόμαστε ότι υπάρχει στατιστικά σημαντική διαφορά μεταξύ των μέσων των τριών ομάδων, τότε περαιτέρω ανάλυση είναι απαραίτητη για να δούμε ποιες ακριβώς ομάδες έχουν διαφορετικούς μέσους. Ένα είδος τέτοιας ανάλυσης θα απαιτούσε πολλαπλές συγκρίσεις. Αλλά όπως είπαμε και στην αρχή της ενότητας με τον τρόπο αυτόν αυξάνεται η πιθανότητα σφάλματος τύπου I. Ένας τρόπος αντιμετώπισης του προβλήματος αυτού, αρκετά συντηρητικός ιδιαίτερα όταν το k είναι μεγάλο, είναι η χρήση της μεθόδου Bonferroni, κατά την οποία όταν πραγματοποιούμε Ν συνολικά τέτοιες συγκρίσεις αναπροσαρμόζουμε την P τιμή (έστω p) κάθε ελέγχου σε p = Np με την προϋπόθεση ότι p 1. 22

23 με έναν Παράγοντα H με έναν παράγοντα συνδέεται με το γενικό γραμμικό μοντέλο παλινδρόμησης στο οποίο οι διάφορες στάθμες εκφράζονται μέσω εικονικών μεταβλητών. Συγκεκριμένα, αν έχουμε k στάθμες, ορίζουμε τις ακόλουθες k 1 εικονικές μεταβλητές x j 1, αν η παρατήρηση αφορά την j στάθμη του παράγοντα με j k, = -1, αν η παρατήρηση αφορά την k στάθμη του παράγοντα, 0, διαφορετικά. Τότε μπορεί να δειχθεί ότι οι συντελεστές του γενικού γραμμικού μοντέλου EYx = a+ bx+ bx b x, [ ] k 1 k 1 αντιστοιχούν στις παραμέτρους του μοντέλου ανάλυσης διασποράς δηλαδή μ = b, α = b,...,α = b, k 1 k 1 k ενώ το α προκύπτει από την σχέση α = 0. k j1 = j 23

24 με έναν Παράγοντα Αν ο παράγοντας Χ είναι μεταβλητή διάταξης (π.χ. ηλικιακή ομάδα, <10, 10 19, 20 29, 30 39, 40 49, 50 59, >59 χρονών), συνήθως ενδιαφερόμαστε να ελέγξουμε αν υπάρχει κάποια γραμμική τάση (linear trend), μεταξύ των μέσων της εξαρτημένης τ.μ. Υ στις διατάξιμες στάθμες του παράγοντα Χ, αντί να ελέγξουμε αν οι μέσοι γενικά διαφέρουν. Την ύπαρξη γραμμικής τάσης μπορούμε εύκολα να την ελέγξουμε με την βοήθεια ενός μοντέλου απλής γραμμικής παλινδρόμησης θεωρώντας τον παράγοντα Χ ως μια συνεχή επεξηγηματική μεταβλητή. 24

25 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα 22 ασθενείς που υποβάλλονται σε εγχείρηση καρδιάς χωρίζονται τυχαία σε τρεις ομάδες: Ομάδα I: Οι ασθενείς έλαβαν μίγμα 50% νιτρώδους οξειδίου και 50% οξυγόνο για 24 ώρες. Ομάδα II: Οι ασθενείς έλαβαν μίγμα 50% νιτρώδους οξειδίου και 50% οξυγόνο μόνο κατά την διάρκεια της εγχείρησης. Ομάδα III: Οι ασθενείς έλαβαν 35-50% οξυγόνο για 24 ώρες. Έχουν οι ασθενείς που υποβάλλονται σε εγχείρηση καρδιάς το ίδιο μέσο επίπεδο φολικού οξέος (μg/l) στα ερυθροκύτταρα στις 3 ομάδες; 25

26 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα Ασθενής Ομάδα I (n=8) Ομάδα II (n=9) Ομάδα III (n=5) Μέσος SD

27 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα Τα δεδομένα πρέπει να είναι σε μακρά μορφή (long format) 27

28 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα 28

29 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα 29

30 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα Από το διπλανό γράφημα παρατηρούμε ότι στο δείγμα μας τα επίπεδα φολικού οξέος διαφοροποιούνται στις 3 ομάδες. Είναι όμως η παρατηρούμενη αυτή διαφορά στατιστικά σημαντική; Επίσης παρατηρήστε πως στην ομάδα 1 υπάρχει μεγαλύτερη μεταβλητότητα στις τιμές του φολικού οξέος σε σχέση με τις άλλες 2 ομάδες. Είναι όμως και πάλι αυτή η διαφορά στατιστικά σημαντική ή μπορούμε να θεωρήσουμε ότι έχουμε ισότητα διασπορών στις 3 ομάδες; Τέλος παρατηρήστε πως στην ομάδα 3 δεν φαίνεται να υπάρχει συμμετρικότητα στις τιμές του φολικού οξέος, γεγονός που δηλώνει ότι ίσως στην εν λόγω ομάδα δεν ικανοποιείται η υπόθεση της κανονικότητας. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα πρέπει να είμαστε προσεκτικοί με τα συμπεράσματά μας μιας και έχουμε λίγες παρατηρήσεις, ειδικά στην 3 η ομάδα. 30

31 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα Κανονικότητα σφαλμάτων. Ένας τρόπος για να ελέγξουμε την κανονικότητα των σφαλμάτων είναι με την βοήθεια ενός γενικού γραμμικού μοντέλου. Αποθηκεύουμε τα υπόλοιπα και ελέγχουμε την υπόθεση της κανονικότητας δημιουργώντας τα QQ- PLOTS τους. 31

32 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα 32

33 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα 33

34 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα 34

35 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα Υπόθεση κανονικότητας σφαλμάτων λογική. 35

36 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα Ανεξαρτησία σφαλμάτων. Κατασκευάζουμε ένα διάγραμμα υπολοίπων σε σχέση με την σειρά των δεδομένων, στο οποίο δεν πρέπει να παρουσιάζεται κάποια σχέση και τα υπόλοιπα να συμπεριφέρονται τυχαία. Η εικόνα όμως μπορεί να είναι και παραπλανητική (σκεφτείτε τα δεδομένα να μας έχουν δοθεί σε αύξουσα τάξη μεγέθους). Για τον λόγο αυτό συνήθως ο παραπάνω έλεγχος δεν πραγματοποιείται και με βάση τον σχεδιασμό της μελέτης δεχόμαστε ή όχι την προϋπόθεση της ανεξαρτησίας των σφαλμάτων. 36

37 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα 37

38 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα Πιθανό πρόβλημα με ανεξαρτησία σφαλμάτων. 38

39 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα Ομοσκεδαστικότητα. Ο έλεγχος της ισότητας των διασπορών της εξαρτημένης τ.μ. σε κάθε στάθμη χωριστά γίνεται με την βοήθεια ενός ελέγχου, ο οποίος αποτελεί γενίκευση του F test που είχαμε συναντήσει στον έλεγχο των μέσων δύο ανεξάρτητων πληθυσμών (two sample t-test), και καλείται Levene-test. Ο εν λόγω έλεγχος μπορεί να πραγματοποιηθεί στο SPSS τρέχοντας το μοντέλο ανάλυσης διασποράς. 39

40 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα 40

41 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα Απορρίπτεται σε ε.σ. 5% η προϋπόθεση ισότητας διασπορών. Απορρίπτεται σε ε.σ. 5% η υπόθεση ισότητας μέσων. Συμπεραίνουμε δηλαδή ότι τα μέσα επίπεδα φολικού οξέος διαφοροποιούνται στις 3 ομάδες. 41

42 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα Παρατηρούμε λοιπόν ότι στο εν λόγω παράδειγμα έχουμε κάποιες αμφιβολίες για τις προϋποθέσεις του μοντέλου διασποράς. Πιο συγκεκριμένα σε ε.σ. 5% απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση ισότητας διασπορών στις 3 στάθμες. Για να βεβαιωθούμε για την ορθότητα των τελικών συμπερασμάτων μας θα εφαρμόσουμε εν συνεχεία και τον μη παραμετρικό έλεγχο Kruskal - Wallis test. Παρατηρούμε ότι σε ε.σ. 5% έχουμε ενδείξεις εναντίον της μηδενικής υπόθεσης ισότητας των μέσων. Καταλήγουμε δηλαδή στο συμπέρασμα ότι τα μέσα επίπεδα φολικού οξέος διαφοροποιούνται στις 3 ομάδες. Από τα θηκογραφήματα που είχαμε κατασκευάσει φαίνεται οι ασθενείς στην ομάδα 1 να έχουν υψηλότερα επίπεδα φολικού οξέος σε σχέση με αυτούς των δύο άλλων ομάδων. Για να βεβαιωθούμε για το εν λόγω συμπέρασμα μπορούμε να προβούμε σε πολλαπλές συγκρίσεις, αναπροσαρμόζοντας τις P-τιμές των πολλαπλών ελέγχων με βάση την μέθοδο Bonferroni. 42

43 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα 43

44 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα Από τις πολλαπλές συγκρίσεις προκύπτει ότι υπάρχει μόνο στατιστικά σημαντική διαφορά στα μέσα επίπεδα φολικού οξέος μεταξύ των ομάδων 1 και 2. Τα μέσα επίπεδα φολικού οξέος είναι υψηλότερα στους ασθενείς της 1 ης ομάδας. Ένα 95% Δ.Ε. της διαφοράς των δύο μέσων (αμάδας 1 ομάδας 2) είναι το (1.86, ). 44

45 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα Επειδή στο εν λόγω παράδειγμα έχουμε αμφιβολίες για την ορθότητα των συμπερασμάτων μας, λόγω του γεγονότος ότι σε ε.σ. 5% δεν ικανοποιείται η προϋπόθεση της ισότητας διασπορών στις 3 ομάδες, εφαρμόζουμε το μη παραμετρικό έλεγχο Kruskal - Wallis test. 45

46 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα 46

47 Παράδειγμα Ανάλυσης Διασποράς με έναν Παράγοντα Άρα με βάση τον μη παραμετρικό έλεγχο δεν απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση, δηλαδή θεωρούμε ότι τα μέσα επίπεδα φολικού οξέος δεν διαφοροποιούνται στις 3 ομάδες. Αν ο εν λόγω έλεγχος μας έδινε στατιστικά σημαντικές διαφορές τότε απότααρχικάθηκογραφήματα θα μπορούσαμε να εντοπίσουμε μεταξύ ποιων ομάδων οι μέσοι διαφέρουν. 47

48 με δύο Παράγοντες Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια συνεχή εξαρτημένη μεταβλητή Υ και δύο επεξηγηματικές μεταβλητές (παράγοντες) Χ 1 και Χ 2 με a και b στάθμες αντίστοιχα. Για παράδειγμα, έστω ότι η μεταβλητή Υ εκφράζει την συστολική πίεση ασθενών, η μεταβλητή Χ 1 αποτελεί την εφαρμοζόμενη θεραπευτική μέθοδο από a = 3 διαφορετικές μεθόδους και η Χ 2 το φύλο του ασθενούς (b = 2). Σκοπός μας είναι να δούμε αν υπάρχει διαφορά στις τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής σε σχέση με τις διαφορετικές στάθμες κάθε παράγοντα χωριστά (κύριες επιδράσεις των δύο παραγόντων), καθώς επίσης και αν συγκεκριμένοι συνδυασμοί δύο σταθμών των δύο παραγόντων δημιουργούν διαφοροποιημένα αποτελέσματα, δηλαδή έχουμε ύπαρξη αλληλεπίδρασης (interaction), που σημαίνει ότι η κύρια επίδραση ενός παράγοντα δεν είναι η ίδια σε κάθε στάθμη του άλλου παράγοντα. 48

49 με δύο Παράγοντες y ijk Ας συμβολίσουμε με την τιμή της k παρατήρησης στην i στάθμη του παράγοντα Χ 1 και j στάθμη του παράγοντα Χ 2. Συνολικά θεωρούμε ότι έχουμε n T παρατηρήσεις με τον ίδιο αριθμό παρατηρήσεων, έστω n, σε κάθε αγωγή (συνδυασμός ή διασταύρωση σταθμών). Άρα ο συνολικός αριθμός παρατηρήσεων είναι n T = abn. Πειράματα όπως το συγκεκριμένο όπου εξετάζουμε όλους τους δυνατούς συνδυασμούς των σταθμών των παραγόντων με τον ίδιο αριθμό παρατηρήσεων σε κάθε αγωγή, καλούνται ισόρροποι παραγοντικοί σχεδιασμοί (balanced factorial designs) ή ισόρροποι πλήρως διασταυρωμένοι σχεδιασμοί (balanced fully crossed designs). Στις εν λόγω σημειώσεις δεν θα ασχοληθούμε με μη ισόρροπους παραγοντικούς σχεδιασμούς (unbalanced factorial designs). Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται οι τιμές ενός τυχαίου δείγματος από ισόρροπο παραγοντικό σχεδιασμό: 49

50 με δύο Παράγοντες 50

51 με δύο Παράγοντες Το μοντέλο Ανάλυσης Διασποράς με δύο παράγοντες έχει την εξής μορφή: Υ ijk =μ+ a i +β j + ( αβ ) ij +εijk Ε( Υijk Χ 1,X 2) =μ+ a i +β j + ( αβ) ij = μ ij άγνωστες σταθερές τυχαία σφάλματα (ανεξάρτητες τ.μ.) ~ Ν(0,σ 2 ) 51

52 με δύο Παράγοντες Η παρατήρηση y ijk που αφορά στην k τιμή της τ.μ. Υ στην i στάθμη του παράγοντα Χ 1 και j στάθμη του παράγοντα Χ 2, με βάση το παραπάνω μοντέλο είναι το άθροισμα μιας σταθερής ποσότητας μ ij καιενόςτυχαίουσφάλματοςε ijk. Παρατηρούμε ότι Ε(Υ ijk X 1,X 2 ) = μ ij, δηλαδή η ποσότητα μ ij δηλώνει την αναμενόμενη τιμή της τ.μ. Υγιατηνi στάθμη του παράγοντα Χ 1 και την j στάθμη του παράγοντα Χ 2. Επειδή η παράμετρος μ ij είναι σταθερά έχουμε ότι V(Υ ijk X 1,X 2 ) = V(ε ijk ) = σ 2. Άρα η διασπορά της τ.μ. Υ είναι σταθερή, ανεξάρτητα της αγωγής. Επειδή ε ijk ~N(0,σ 2 ) έπεται ότι Υ ijk ~ N(μ ij,σ 2 ). Επιπλέον λόγω της ανεξαρτησίας των σφαλμάτων έχουμε επίσης ότι οι Υ ijk είναι ανεξάρτητες τ.μ. 52

53 με δύο Παράγοντες Υποθέτουμε επίσης ότι για την στάθμη i του παράγοντα Χ 1 ο μέσος διαφέρει από τον γενικό μέσο μ κατά μια ποσότητα α i (κύρια επίδραση της στάθμης i του παράγοντα Χ 1 ), δηλαδή Ακόμα για την στάθμη j του παράγοντα Χ 2 ομέσος διαφέρει από τον γενικό μέσο μ κατά μια ποσότητα β j (κύρια επίδραση της στάθμης j του παράγοντα Χ 2 ), δηλαδή Η σταθερά εκφράζει την αλληλεπίδραση μεταξύ της i στάθμης του παράγοντα Χ 1 και της j στάθμης του παράγοντα Χ 2. 1 b μi = b μ j1 = ij α = μ μ. i i (αβ) ij 1 a μ j = a μ i = 1 ij, β = μ μ, j j 53

54 με δύο Παράγοντες Στην περίπτωση αυτή έχουμε περισσότερες παραμέτρους απόόσεςχρειάζονται, οπότε θέτουμε τους περιορισμούς: a b a i= 1 i j= 1 j i= 1 ij α = 0, β = 0, (αβ) = 0, j=1,2,...,b b και (αβ) = 0, i=1,2,...,a. j1 = ij 54

55 με δύο Παράγοντες Τους συντελεστές του παραπάνω μοντέλου διασποράς (τα μ ij ) τα εκτιμούμε με την βοήθεια του δείγματος που διαθέτουμε, εφαρμόζοντας όπως και στο γραμμικό μοντέλο την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων, ελαχιστοποιώντας δηλαδή την ποσότητα a b n 2 Q = (yijk μ ij). i= 1 j= 1 k= 1 55

56 με δύο Παράγοντες Καταλήγουμε ότι ˆμ ij = yij Οι παραπάνω τιμές αποτελούν τις προσαρμοσμένες τιμές (fitted values) του μοντέλου μας ŷ ijk, δηλαδή την εκτίμηση της μέσης τιμής της τ.μ. Υ δεδομένης της στάθμης του Χ. 56

57 με δύο Παράγοντες Οι ποσότητες εˆ = y yˆ ijk ijk ijk αποτελούν τις εκτιμήσεις των σφαλμάτων και καλούνται, όπως και στην ανάλυση παλινδρόμησης, υπόλοιπα (residuals). 57

58 με δύο Παράγοντες Το σ 2 το εκτιμούμε από την ποσότητα 1 s y y ab(n 1) = = = a b n 2 y x 1,x = 2 ijk ijk i 1 j 1 k 1 ( ˆ ) Η θετική τετραγωνική της ρίζα της παραπάνω εκτιμήτριας καλείται τυπικό σφάλμα του μοντέλου και όσο μικρότερη τιμή έχει τόσο καλύτερη προσαρμογή έχουμε για το μοντέλο διασποράς. 2 Εκτίμηση διασποράς των σφαλμάτων 58

59 με δύο Παράγοντες Προϋποθέσεις μοντέλου: 1. Η κατανομή που ακολουθεί η εξαρτημένη τ.μ. Υ σε κάθε αγωγή είναι κανονική. Ισοδύναμα τα σφάλματα πρέπει να ακολουθούν κανονική κατανομή. 2. Η διασπορά της εξαρτημένης τ.μ. Υ είναι ίδια σε κάθε αγωγή (ομοσκεδαστικότητα). 3. Τα σφάλματα είναι ανεξάρτητες τ.μ. Όταν δεν ισχύουν οι παραπάνω προϋποθέσεις μετασχηματίζουμε κατάλληλα την μεταβλητή απόκρισης Y (δεν υπάρχει αντίστοιχος μη παραμετρικός έλεγχος). 59

60 με δύο Παράγοντες Ερευνητής ενδιαφέρεται να δει αν η υπέρταση σχετίζεται με τις διατροφικές συνήθειες και το φύλο. Τα παρακάτω δεδομένα μας παρουσιάζουν μετρήσεις αρτηριακής πίεσης για τους συνδυασμούς των 2 παραγόντων. Παράγοντας 2: Διατροφικές Συνήθειες Παράγοντας 1: Φύλο Χορτοφάγος Χορτοφάγος +Ψάρι Όχι Χορτοφάγος Άνδρας 100, 112, , 121, , 123, 131 Γυναίκα 98, 101, , 109, , 101,

61 με δύο Παράγοντες Στο εν λόγω παράδειγμα που έχουμε περισσότερεςαπόμίαπαρατηρήσειςανάαγωγή θα μπορούσαμε να εξετάσουμε την πιθανή ύπαρξη σημαντικής αλληλεπίδρασης μεταξύ των δύο παραγόντων. Αυτό θα σήμαινε ότι η επίδραση ενός παράγοντα δεν είναι η ίδια στα επίπεδα του άλλου παράγοντα, π.χ. η επίδραση των διατροφικών συνηθειών στην υπέρταση είναι διαφορετική μεταξύ ανδρών και γυναικών. 61

62 με δύο Παράγοντες 62

63 με δύο Παράγοντες 63

64 με δύο Παράγοντες 64

65 με δύο Παράγοντες Από την περιγραφική ανάλυση παρατηρούμε ότι στο δείγμα μας οι άνδρες έχουν υψηλότερη μέση πίεση από τις γυναίκες. Επίσης οι χορτοφάγοι έχουν χαμηλότερη μέση πίεση από τους χορτοφάγους που τρώνε και ψάρι, οι οποίοι με την σειρά τους έχουν χαμηλότερη μέση πίεση από τους μη χορτοφάγους. Είναι όμως οι παρατηρούμενες αυτές διαφορές στατιστικά σημαντικές; Είναι η επίδραση των διατροφικών συνηθειών στην υπέρταση διαφορετική μεταξύ ανδρών και γυναικών; 65

66 με δύο Παράγοντες 66

67 με δύο Παράγοντες 67

68 με δύο Παράγοντες 68

69 με δύο Παράγοντες 69

70 με δύο Παράγοντες 70

71 με δύο Παράγοντες 71

72 με δύο Παράγοντες Δεν απορρίπτεται σε ε.σ. 5% η προϋπόθεση ισότητας διασπορών. 72

73 με δύο Παράγοντες 73

74 με δύο Παράγοντες Πιθανό πρόβλημα με την υπόθεση κανονικότητας σφαλμάτων. 74

75 με δύο Παράγοντες 75

76 με δύο Παράγοντες Δεν φαίνεται να υπάρχει πρόβλημα μετηνανεξαρτησίατωνσφαλμάτων. 76

77 με δύο Παράγοντες ΠΙΝΑΚΑΣ ANOVA Η επίδραση του φύλου είναι στατιστικά σημαντική Η επίδραση των διατροφικών συνηθειών είναι στατιστικά σημαντική Η αλληλεπίδραση των 2 παραγόντων δεν είναι στατιστικά σημαντική 77

78 με δύο Παράγοντες Το γράφημα παρουσιάζει την εκτιμώμενη αναμενόμενη αρτηριακή πίεση ανά φύλο και διατροφική συνήθεια. Οι ευθείες είναι σχεδόν παράλληλες, άρα δεν υπάρχει αλληλεπίδραση. 78

79 με δύο Παράγοντες ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Κατηγορίες αναφοράς 79

80 με δύο Παράγοντες Η αναμενόμενη αρτηριακή πίεση των μη χορτοφάγων γυναικών είναι 114. Οι άνδρες έχουν αναμενόμενη αρτηριακή πίεση κατά υψηλότερη σε σχέση με τις γυναίκες των ίδιων διατροφικών συνηθειών. Οι χορτοφάγοι έχουν αναμενόμενη αρτηριακή πίεση κατά χαμηλότερη σε σχέση με τους μη χορτοφάγους του ίδιου φύλου. Οι χορτοφάγοι που τρώνε και ψάρι έχουν αναμενόμενη αρτηριακή πίεση κατά 6.33 χαμηλότερη σε σχέση με τους μη χορτοφάγους του ίδιου φύλου. Η επίδραση των διατροφικών συνηθειών στην υπέρταση είναι η ίδια μεταξύ ανδρών και γυναικών. 80

81 Μοντέλο ANOVA Επαναλαμβανόμενων Μετρήσεων Όπως είχαμε αναφέρει και στην ενότητα της Στατιστικής Συμπερασματολογίας, αρκετές φορές στις στατιστικές μελέτες συναντάμε το φαινόμενο των εξαρτημένων δειγμάτων. Π.χ. ας υποθέσουμε ότι έχουμε μετρήσεις της ίδιας ποσοτικής μεταβλητής Y (μεταβλητή απόκρισης) για τα ίδια άτομα σε k διαφορετικές χρονικές περιόδους. Ας καλέσουμε Υ j την μεταβλητή την χρονική τιμή j (j = 1,,k) και ας θεωρήσουμε ότι προέρχεται από πληθυσμό με άγνωστη μέση τιμή μ j και άγνωστη τυπική απόκλιση σ j. Έστω ότι διαθέτουμε τυχαίο δείγμα με y ij η τιμή της i παρατήρησης στην j χρονική στιγμή (i = 1,2,...,n j, και j = 1,2,...,k). Ενδιαφερόμαστε να δούμε αν η υπό μελέτη τυχαία μεταβλητή διαφοροποιείται κατά μέσο όρο στις k χρονικές περιόδους, δηλαδή να ελέγξουμε την υπόθεση Η 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k με εναλλακτική ότι τουλάχιστον μία από τις ισότητες δεν ισχύει σε ε.σ. α. Το μοντέλο ANOVA με έναν παράγοντα στο εν λόγω πρόβλημα δεν είναι το κατάλληλο, διότι έτσι δεν λαμβάνεται υπόψιν η συσχέτιση μεταξύ των επαναλαμβανόμενων μετρήσεων. Επιπλέον παραβιάζεται η προϋπόθεση της ανεξαρτησίας. Αντί αυτού χρησιμοποιούμε το μοντέλο ANOVA επαναλαμβανόμενων μετρήσεων (Repeated Measures ANOVA) το οποίο μπορεί να θεωρηθεί ως επέκταση του paired t-test για k > 2. Ανάγκη για το μοντέλο ANOVA επαναλαμβανόμενων μετρήσεων δεν έχουμε μόνο όταν τα δεδομένα μας έχουν μελετηθεί σε διαφορετικές χρονικές περιόδους, αλλά όποτε έχουμε πολλά εξαρτημένα δείγματα. Για παραδείγματα εξαρτημένων δειγμάτων δείτε την ενότητα της Στατιστικής Συμπερασματολογίας. Ο επόμενος πίνακας μας δίνει τον καρδιακό παλμό, 9 ασθενών με συμφορητική καρδιακή ανεπάρκεια, πριν και λίγο μετά την χορήγηση άλατος εναλαπλίρης, ενός αναστολέα του μετατρεπτικού ενζύμου της αγγειοτασίνης. 81

82 Μοντέλο ANOVA Επαναλαμβανόμενων Μετρήσεων 82

83 Μοντέλο ANOVA Επαναλαμβανόμενων Μετρήσεων Οι δειγματικοί μέσοι για κάθε χρονική στιγμή υποδεικνύουν ότι ο καρδιακός παλμός μειώνεται κατά μέσο όρο περίπου 4 χτύπους το λεπτό τα πρώτα 30 λεπτά μετά την χορήγηση του άλατος εναλαπλίρης και παραμένει σχετικά σταθερός για τα υπόλοιπα 90 λεπτά. Είναι όμως η παρατηρούμενη αυτή διαφορά στατιστικά σημαντική; 83

84 Μοντέλο ANOVA Επαναλαμβανόμενων Μετρήσεων Προϋποθέσεις Μοντέλου: Τα σφάλματα πρέπει να ακολουθούν Κανονική κατανομή. Το εν λόγω μοντέλο είναι ισοδύναμο με ένα μοντέλο ANOVA με δύο παράγοντες. Οι παράγοντες είναι ο χρόνος (σταθερές επιδράσεις) και οι ασθενείς (τυχαίες επιδράσεις). Άρα θέλουμε όπως και στο μοντέλο ANOVA με δύο παράγοντες η διασπορά της εξαρτημένης τ.μ. Υ να είναι ίδια σε κάθε αγωγή. Για να ελέγξουμε την εν λόγω προϋπόθεση εφαρμόζουμε το Mauchly's Test of Sphericity. Αν τα αποτελέσματα του ελέγχου προκύψουν στατιστικά σημαντικά αναπροσαρμόζουμε την P-τιμή του παράγοντα χρόνου που έχει προκύψει από τον πίνακα ANOVA χρησιμοποιώντας την διόρθωση των Greenhouse-Geisser. 84

85 Μοντέλο ANOVA Επαναλαμβανόμενων Μετρήσεων Τα δεδομένα πρέπει να είναι σε ευρεία μορφή (wide format) 85

86 Μοντέλο ANOVA Επαναλαμβανόμενων Μετρήσεων 86

87 Μοντέλο ANOVA Επαναλαμβανόμενων Μετρήσεων 87

88 Μοντέλο ANOVA Επαναλαμβανόμενων Μετρήσεων 88

89 Μοντέλο ANOVA Επαναλαμβανόμενων Μετρήσεων Δεν απορρίπτεται σε ε.σ. 5% η προϋπόθεση ισότητας διασπορών. Ο μέσος καρδιακός παλμός των ασθενών αλλάζει με τον χρόνο 89

90 Μοντέλο ANOVA Επαναλαμβανόμενων Μετρήσεων Έλεγχος προϋπόθεσης κανονικότητας σφαλμάτων Υπόλοιπα για κάθε χρονική περίοδο (4 συνολικά) 90

91 Μοντέλο ANOVA Επαναλαμβανόμενων Μετρήσεων 91

92 Μοντέλο ANOVA Επαναλαμβανόμενων Μετρήσεων Δεχόμαστε την υπόθεση της κανονικότητας 92

93 Μοντέλο ANOVA Επαναλαμβανόμενων Μετρήσεων Για να δούμε ανάμεσα σε ποιες χρονικές περιόδους υπάρχει διαφοροποίηση των καρδιακών παλμών, θα μπορούσαμε να προβαίναμε σε όλους τους ανά δύο ελέγχους (matched t- tests) και εν συνεχεία να διορθώναμε τις P-τιμές των ελέγχων χρησιμοποιώντας την μέθοδο Bonferroni. Όταν δεν ισχύουν οι προϋποθέσεις του μοντέλου ANOVA επαναλαμβανόμενων μετρήσεων (δηλαδή τα σφάλματά μας δεν είναι κανονικά), είτε μετασχηματίζουμε κατάλληλα την μεταβλητή απόκρισης, είτε εφαρμόζουμε τον αντίστοιχο μη παραμετρικό έλεγχο Friedman s Test, ο οποίος αποτελεί μια γενίκευση του Wilcoxon Signed-Rank test για 2 εξαρτημένα δείγματα. Για τον μη παραμετρικό έλεγχο τα δεδομένα πρέπει να είναι σε μακρά μορφή (long format). 93

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 2 Γιατί ανάλυση διακύμανσης; (1) Ας θεωρήσουμε k πληθυσμούς με μέσες τιμές μ 1, μ 2,, μ k, αντίστοιχα Πως μπορούμε να συγκρίνουμε τις μέσες τιμές k πληθυσμών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Είδη μεταβλητών Ποσοτικά δεδομένα (π.χ. ηλικία, ύψος, αιμοσφαιρίνη) Ποιοτικά δεδομένα (π.χ. άνδρας/γυναίκα, ναι/όχι) Διατεταγμένα (π.χ. καλό/μέτριο/κακό) 2 Περιγραφή ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 015 Ανάλυση Διακύμανσης Η Ανάλυση Διακύμανσης είναι μία τεχνική που

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA)

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA) ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA). Εισαγωγή Η ανάλυση της διακύμανσης (ANalysis Of VAriance ANOVA) είναι μια στατιστική μεθόδος με την οποία η μεταβλητότητα που υπάρχει σ ένα σύνολο δεδομένων διασπάται στις

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 2 ο ) 31/3/2017

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 2 ο ) 31/3/2017 Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 2 ο ) 31/3/2017 2 Σχέδιο τυχαιοποιημένων πλήρων ομάδων (1) Αποτελεί ευθεία γενίκευση του σχεδίου που γνωρίσαμε όταν μιλήσαμε για τη σύγκριση κατά ζεύγη δύο μέσων μ 1 και μ 2

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (Analyss of Varance for two factor Experments) (Two-Way Analyss of Varance) Ο πειραματικός σχεδιασμός για τον οποίο θα μιλήσουμε είναι μια επέκταση της μεθοδολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Κλωνάρης Στάθης. ΠΜΣ: Οργάνωση & Διοίκηση Επιχειρήσεων Τροφίμων και Γεωργίας

Κλωνάρης Στάθης. ΠΜΣ: Οργάνωση & Διοίκηση Επιχειρήσεων Τροφίμων και Γεωργίας Κλωνάρης Στάθης ΠΜΣ: Οργάνωση & Διοίκηση Επιχειρήσεων Τροφίμων και Γεωργίας Μέχρι τώρα ασχοληθήκαμε με τις τεχνικές εκτίμησης παραμέτρων για ένα πληθυσμό όπως: τον Μέσο µ και το ποσοστό p Θα συνεχίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ποιοτική και ποσοτική ανάλυση ιατρικών δεδομένων

Ποιοτική και ποσοτική ανάλυση ιατρικών δεδομένων Ποιοτική και ποσοτική ανάλυση ιατρικών δεδομένων Κωνσταντίνος Τζιόμαλος Επίκουρος Καθηγητής Παθολογίας ΑΠΘ Α Προπαιδευτική Παθολογική Κλινική, Νοσοκομείο ΑΧΕΠΑ 1 ο βήμα : καταγραφή δεδομένων Το πιο πρακτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 5 Έστω για την σύγκριση δειγμάτων συλλέγουμε παρατηρήσεις Υ =,,, από

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων ΙI ANOVA

Έλεγχος υποθέσεων ΙI ANOVA Έλεγχος υποθέσεων ΙI ANOVA Μοντέλα στην Επιστήμη Τροφίμων 532Ε Τομέας Επιστήμης & Τεχνολογίας Τροφίμων Έλεγχος υποθέσεων Συνεχή δεδομένα z-test Student s test (t-test) Ανάλυση παραλλακτικότητας ή ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική: Δειγματοληψία X συλλογή δεδομένων. Περιγραφική στατιστική V πίνακες, γραφήματα, συνοπτικά μέτρα

Στατιστική: Δειγματοληψία X συλλογή δεδομένων. Περιγραφική στατιστική V πίνακες, γραφήματα, συνοπτικά μέτρα ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ Α Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mail: dkugiu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://users.auth.gr/~dkugiu/teach/civiltrasport/ide.html Στατιστική: Δειγματοληψία

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 3 ο ) 7/4/2017

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 3 ο ) 7/4/2017 Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 3 ο ) 7/4/2017 2 α x b Παραγοντικό Πείραμα (1) Όταν θέλουμε να μελετήσουμε την επίδραση (στη μεταβλητή απόφασης) δύο παραγόντων, έστω Α και Β, με α στάθμες ο Α και b στάθμες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΛΕΓΧΩΝ (STUDENT S T).. 21

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΛΕΓΧΩΝ (STUDENT S T).. 21 Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΛΕΓΧΩΝ (STUDENT S T).. 21 (Basic Sampling Techniques and Questionnaire Analysis using

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 05 Έλεγχος διακυμάνσεων Μας ενδιαφέρει να εξετάσουμε 5 δίαιτες που δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική // (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [] Επιλέξαμε φακελάκια (της μισής ουγκιάς) που περιέχουν σταφίδες από την παραγωγή μιας εταιρείας

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική ανάλυση αποτελεσμάτων

Στατιστική ανάλυση αποτελεσμάτων HELLENIC OPEN UNIVERSITY School of Social Sciences ΜΒΑ Programme Στατιστική ανάλυση αποτελεσμάτων Βασίλης Αγγελής Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Αιγαίου Κατερίνα Δημάκη Αν. Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

7.1.1 Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων

7.1.1 Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων 7.. Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων Όπως ήδη αναφέρθηκε, μία ευρύτατα διαδεδομένη μέθοδος για την εκτίμηση των σταθερών α και β είναι η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων. Η μέθοδος αυτή επιλέγει εκτιμήτριες

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διακύμανσης με ένα Παράγοντα (One Way ANOVA)

Ανάλυση Διακύμανσης με ένα Παράγοντα (One Way ANOVA) Κεφάλαιο 7 Ανάλυση Διακύμανσης με ένα Παράγοντα (One Way ANOVA) 7.1 Γενικότητες Η ANOVA περιλαμβάνει μία ομάδα στατιστικών μεθόδων κατάλληλων για την ανάλυση δεδομένων που προκύπτουν από πειραματικούς

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116)

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) Σελίδα 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙΙ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟΣ ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος... xv. Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Έννοιες... 1

Πρόλογος... xv. Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Έννοιες... 1 Πρόλογος... xv Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Έννοιες... 1 1.1.Ιστορική Αναδρομή... 1 1.2.Βασικές Έννοιες... 5 1.3.Πλαίσιο ειγματοληψίας (Sampling Frame)... 9 1.4.Κατηγορίες Ιατρικών Μελετών.... 11 1.4.1.Πειραµατικές

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος... 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος... 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ / 7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος... 13 Κεφάλαιο 1: Περιγραφική Στατιστική... 15 1.1 Περιγραφική και Συμπερασματική Στατιστική... 15 1.2 Μεταβλητές - Τιμές - Παρατηρήσεις... 19 1.3 Είδη μεταβλητών...

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 05 Πολλαπλές συγκρίσεις Στην ανάλυση διακύμανσης ελέγχουμε την ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΧΡΗΣΗ SPSS

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΧΡΗΣΗ SPSS ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΧΡΗΣΗ SPSS Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας-Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Εργαστήριο Κυκλοφορίας, Μεταφορών και Διαχείρισης Εφοδιαστικής Αλυσίδας Αντικείμενα διάλεξης Σύντομη εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Ένα Πρόβλημα. Η επιδιωκόμενη ιδιότητα. Ένα χρήσιμο γράφημα. Οι υπολογισμοί. Η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων ...

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Ένα Πρόβλημα. Η επιδιωκόμενη ιδιότητα. Ένα χρήσιμο γράφημα. Οι υπολογισμοί. Η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ένα Πρόβλημα Δεδομένα.6 3. 3.8 4. 4.4 5.8 6.0 6.7 7. 7.8 5.6 7.9 8.0 8. 8. 9. 9.5 9.4 9.6 9.9 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Μωυσιάδης Χρόνης 6 o Εξάμηνο Μαθηματικών Έχει σχέση το με το ; Ειδικότερα

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση Δεδομένων

Εισαγωγή στην Ανάλυση Δεδομένων ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΔΙΑΛΕΞΗ 09-10-2015 Εισαγωγή στην Ανάλυση Δεδομένων Βασικές έννοιες Αν. Καθ. Μαρί-Νοέλ Ντυκέν ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΔΙΑΛΕΞΗ 30-10-2015 1. Στατιστικοί παράμετροι - Διάστημα εμπιστοσύνης Υπολογισμός

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ B Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mal: dkugu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://uer.auth.gr/~dkugu/teach/cvltraport/dex.html Εφαρμοσμένη Στατιστική:

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΤΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΠΕΡΜΑΤΟΣ

Η ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΤΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΠΕΡΜΑΤΟΣ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΙΑTΡΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Η ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΤΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΠΕΡΜΑΤΟΣ Έλενα Κριτσέλη, MPH PhD Επιστημονικός Συνεργάτης Επιδημιολόγος Χρόνιων Παθήσεων, Α Πανεπιστημιακή Παιδιατρική

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτικά περιεχόμενα

Συνοπτικά περιεχόμενα b Συνοπτικά περιεχόμενα 1 Τι είναι η στατιστική;... 25 2 Περιγραφικές τεχνικές... 37 3 Επιστήμη και τέχνη των διαγραμματικών παρουσιάσεων... 119 4 Αριθμητικές μέθοδοι της περιγραφικής στατιστικής... 141

Διαβάστε περισσότερα

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6.1 Το Πρόβλημα του Ελέγχου Υποθέσεων Ενός υποθέσουμε ότι μία φαρμακευτική εταιρεία πειραματίζεται πάνω σε ένα νέο φάρμακο για κάποια ασθένεια έχοντας ως στόχο, τα πρώτα θετικά

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο )

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 2 Η γενική ιδέα της διαδικασίας στατιστικού ελέγχου υποθέσεων Πρόκειται για μια διαδικασία απόφασης μεταξύ δύο υποθέσεων Η μια υπόθεση ονομάζεται μηδενική (Η

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40]

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40] Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 8// (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [4] Τα τελευταία χρόνια παρατηρείται συνεχώς αυξανόμενο ενδιαφέρον για τη μελέτη της συγκέντρωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΙΝΩΝΙΟΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΝΕΥΡΟΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΚΟΙΝΩΝΙΟΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΝΕΥΡΟΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ A εξάμηνο 2009-2010 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΟΙΝΩΝΙΟΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΝΕΥΡΟΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Μεθοδολογία Έρευνας και Στατιστική ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΧΡ. ΜΠΟΥΡΑΣ Χειμερινό Εξάμηνο 2009-2010 Ποιοτικές και Ποσοτικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Χ 2 test ανεξαρτησίας: σχέση 2 ποιοτικών μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 4A: Έλεγχοι Υποθέσεων και Διαστήματα Εμπιστοσύνης Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Πληθυσμοί και δείγματα Πληθυσμός Περιλαμβάνει όλες τις πιθανές τιμές μιας μεταβλητής, δηλαδή αναφέρεται σε μια παρατήρηση σε όλα τα άτομα του πληθυσμού Ο πληθυσμός προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης Στατιστική Ι Ανάλυση Παλινδρόμησης Ανάλυση παλινδρόμησης Η πρόβλεψη πωλήσεων, εσόδων, κόστους, παραγωγής, κτλ. είναι η βάση του επιχειρηματικού σχεδιασμού. Η ανάλυση παλινδρόμησης και συσχέτισης είναι

Διαβάστε περισσότερα

T-tests One Way Anova

T-tests One Way Anova William S. Gosset Student s t Sir Ronald Fisher T-tests One Way Anova ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Νίκος Ζουρμπάνος Ρούσσος, Π.Λ., & Τσαούσης, Γ. (2002). Στατιστική εφαρμοσμένη στις κοινωνικές επιστήμες. Αθήνα: Ελληνικά

Διαβάστε περισσότερα

Μονοπαραγοντική Ανάλυση Διακύμανσης Ανεξάρτητων Δειγμάτων

Μονοπαραγοντική Ανάλυση Διακύμανσης Ανεξάρτητων Δειγμάτων Μονοπαραγοντική Ανάλυση Διακύμανσης Ανεξάρτητων Δειγμάτων 1 Μονοπαραγοντική Ανάλυση Διακύμανσης Παραμετρικό στατιστικό κριτήριο για τη μελέτη της επίδρασης μιας ανεξάρτητης μεταβλητής στην εξαρτημένη Λογική

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017 2 Η γενική ιδέα της διαδικασίας στατιστικού ελέγχου υποθέσεων Πρόκειται για μια διαδικασία απόφασης μεταξύ δύο υποθέσεων Η μια υπόθεση ονομάζεται μηδενική

Διαβάστε περισσότερα

Ερμηνεία αποτελεσμάτων Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα

Ερμηνεία αποτελεσμάτων Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα Ερμηνεία αποτελεσμάτων Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα Αρχείο δεδομένων school.sav Στον πίνακα Descriptives, μας δίνονται για την Επίδοση ως προς τις πέντε διαφορετικές μεθόδους διδασκαλίας, το

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία Γενικά Συσχέτιση και Συμμεταβολή Όταν σε ένα πείραμα παραλλάσουν ταυτόχρονα δύο μεταβλητές, τότε ενδιαφέρει να διερευνηθεί εάν και πως οι αλλαγές στη μία μεταβλητή σχετίζονται με τις αλλαγές στην άλλη.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Copyright 2009 Cengage Learning 16.1 Ανάλυση Παλινδρόμησης Σκοπός του προβλήματος είναι η ανάλυση της σχέσης μεταξύ συνεχών μεταβλητών. Η ανάλυση παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για τους Μέσους - Εξαρτημένα Δείγματα (Paired samples t-test) Το κριτήριο Paired samples t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: Η ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΕΣΟΣ... 29

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: Η ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΕΣΟΣ... 29 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 Μεταβλητές...5 Πληθυσμός, δείγμα...7 Το ευρύτερο γραμμικό μοντέλο...8 Αναφορές στη βιβλιογραφία... 11 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 Περίληψη... 13 Εισαγωγή... 13 Με μια ματιά...

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Προχωρημένη Στατιστική 2. ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

συγκέντρωση της ουσίας στον παραπόταμο είναι αυξημένη σε σχέση με τον ίδιο τον ποταμό;

συγκέντρωση της ουσίας στον παραπόταμο είναι αυξημένη σε σχέση με τον ίδιο τον ποταμό; Γραπτή Εξέταση Περιόδου Ιουνίου 008 στο Μάθημα Στατιστική /07/08. Η πιθανότητα να υπάρχει στο υπέδαφος μιας συγκεκριμένης περιοχής εκμεταλλεύσιμο κοίτασμα πετρελαίου είναι 50%. Μια εταιρεία, που πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

α) t-test µε ίσες διακυµάνσεις β) ανάλυση διακύµανσης µε έναν παράγοντα Έλεγχος t δύο δειγμάτων με υποτιθέμενες ίσες διακυμάνσεις

α) t-test µε ίσες διακυµάνσεις β) ανάλυση διακύµανσης µε έναν παράγοντα Έλεγχος t δύο δειγμάτων με υποτιθέμενες ίσες διακυμάνσεις ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΙΕΘΝΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ IΙ ΕΙΣΗΓΗΤΡΙΑ: ΣΑΒΒΑΣ ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ ΠΑΛΑΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ********************************************************************

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ. Δημήτρης Ιωαννίδης. Τμήμα Οικονομικών Επιστημών.

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ. Δημήτρης Ιωαννίδης. Τμήμα Οικονομικών Επιστημών. Μεθοδολογία Έρευνας: Μάθημα 3 ο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ Δημήτρης Ιωαννίδης Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Email: dimioan@uom.gr Εμπιστευτικό Σελίδα 1 Μάθημα 5 ο Ελέγχοντας την Θεωρία ΙΙ: Στατιστικοί Έλεγχοι για

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Εφαρμογών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Κλωνάρης Στάθης. ΠΜΣ: Οργάνωση & Διοίκηση Επιχειρήσεων Τροφίμων και Γεωργίας

Κλωνάρης Στάθης. ΠΜΣ: Οργάνωση & Διοίκηση Επιχειρήσεων Τροφίμων και Γεωργίας Κλωνάρης Στάθης ΠΜΣ: Οργάνωση & Διοίκηση Επιχειρήσεων Τροφίμων και Γεωργίας Η Υπόθεση είναι μία πεποίθηση σχετικά με μία παράμετρο Παράμετρος μπορεί να είναι ο μέσος ενός πληθυσμού, ένα ποσοστό, ένας συντελεστής

Διαβάστε περισσότερα

7. Ανάλυση Διασποράς-ANOVA

7. Ανάλυση Διασποράς-ANOVA 7. Ανάλυση Διασποράς-ANOVA Παράδειγμα Μετρήσεις της συγκέντρωσης του strodum (mg/ml) σε πέντε υδάτινες περιοχές (Α,Β,C,D,Ε). Α Β C D Ε 8, 39,6 46,3 4,0 56,3 33, 40,8 4, 44, 54, 36,4 37,9 43,5 46,4 59,4

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Ανεξαρτησίας x2 του Pearson x2 του Pearson

Έλεγχος Ανεξαρτησίας x2 του Pearson x2 του Pearson Έλεγχος Ανεξαρτησίας x του Parso Έστω ότι λαμβάνουμε δείγμα μεγέθους. Η πιθανότητα π εμφάνισης ενός χαρακτηριστικού να βρεθεί στο κελί (i,j) κάτω από την υπόθεση Η 0 της ανεξαρτησίας δίνεται από την σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

3η Ενότητα Προβλέψεις

3η Ενότητα Προβλέψεις ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Τεχνικές Προβλέψεων 3η Ενότητα Προβλέψεις (Μέρος 4 ο ) http://www.fsu.gr

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011 Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 5//. [] Η ποσότητα, έστω Χ, ενός συντηρητικού που περιέχεται σε φιάλες αναψυκτικού

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2013 στη Στατιστική

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2013 στη Στατιστική Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής ΣΕΙΡΑ Α Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 013 στη Στατιστική για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ., Γ.Β., Α.Ο.Α. και Ε.Ζ.Π.&Υ. 08/0/013 1. [0] Η ποσότητα, έστω Χ, καλίου που περιέχεται

Διαβάστε περισσότερα

5. Έλεγχοι Υποθέσεων

5. Έλεγχοι Υποθέσεων 5. Έλεγχοι Υποθέσεων Υποθέσεις Η μηδενική υπόθεση Η (ή ΗΑ) εναλλακτική υπόθεση Δεχόμαστε Η Απορρίπτουμε Η Η σωστή Σωστή απόφαση -α Σφάλμα τύπου Ι α Η λάθος Σφάλμα τύπου ΙΙ β Σωστή απόφαση -β ΒΙΟ39-Έλεγχος

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Y Y ... y nx1. nx1

Y Y ... y nx1. nx1 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΙΚΑΚΩΝ Η χρησιμοποίηση και ο συμβολισμός πινάκων απλοποιεί σημαντικά τα αποτελέσματα της γραμμικής παλινδρόμησης, ιδίως στην περίπτωση της πολλαπλής παλινδρόμησης Γενικά,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Άσκηση 1 η Ένας παραγωγός σταφυλιών ισχυρίζεται ότι τα κιβώτια σταφυλιών που συσκευάζει

Διαβάστε περισσότερα

και τυπική απόκλιση σ = 40mg ανά μπανάνα. α) Ποια είναι η πιθανότητα μια μπανάνα να περιέχει i)

και τυπική απόκλιση σ = 40mg ανά μπανάνα. α) Ποια είναι η πιθανότητα μια μπανάνα να περιέχει i) Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γραπτή Εξέταση Περιόδου Ιανουαρίου 8 στο Μάθημα Στατιστική 7..8. [] Ο ανθρώπινος οργανισμός χρειάζεται καθημερινά από έως 6 mg (mllgrams) καλίου. Η ποσότητα καλίου που περιέχεται στα τρόφιμα

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

Οι στατιστικοί έλεγχοι x τετράγωνο, t- test, ANOVA & Correlation. Σταμάτης Πουλακιδάκος

Οι στατιστικοί έλεγχοι x τετράγωνο, t- test, ANOVA & Correlation. Σταμάτης Πουλακιδάκος Οι στατιστικοί έλεγχοι x τετράγωνο, t- test, ANOVA & Correlation Σταμάτης Πουλακιδάκος Μερικά εισαγωγικά λόγια Οι έλεγχοι των ερευνητικών υποθέσεων πραγματοποιούνται με διάφορους στατιστικούς ελέγχους,

Διαβάστε περισσότερα

την τιμή της μέσης τιμής, μ, ή της διασποράς, σ, ενός πληθυσμού και σε στατιστικούς ελέγχους υποθέσεων για τη σύγκριση των μέσων τιμών, μ

την τιμή της μέσης τιμής, μ, ή της διασποράς, σ, ενός πληθυσμού και σε στατιστικούς ελέγχους υποθέσεων για τη σύγκριση των μέσων τιμών, μ Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς (Analysis of Variance, ANOVA) είναι μέθοδος στατιστικού ελέγχου υποθέσεων που αναφέρονται σε περισσότερους από δύο πληθυσμούς. Στην προηγούμενη ενότητα αναφερθήκαμε

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis)

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis) Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regresso Aalss) Βασικές έννοιες Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Πολλαπλή Παλινδρόμηση Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 5 ο - Κ. Μπλέκας () Βασικές έννοιες Έστω τ.μ. Χ,Υ όπου υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με εξαρτημένα δείγματα

Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με εξαρτημένα δείγματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με εξαρτημένα δείγματα Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με τον έλεγχο της υπόθεσης της ισότητα δύο μέσων τιμών με εξαρτημένα δείγματα. Εξαρτημένα

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Η μηδενική υπόθεση είναι ένας ισχυρισμός σχετικά με την τιμή μιας πληθυσμιακής παραμέτρου. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Kruskal-Wallis H... 176

Kruskal-Wallis H... 176 Περιεχόμενα KΕΦΑΛΑΙΟ 1: Περιγραφή, παρουσίαση και σύνοψη δεδομένων................. 15 1.1 Τύποι μεταβλητών..................................................... 16 1.2 Κλίμακες μέτρησης....................................................

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Ντζούφρας. Ενότητα 4 Συγκρίσεις για 1 & 2 είγματα. (II) Έλεγχοι υποθέσεων για 2 εξαρτημένα δείγματα. Ανάλυση εδομένων ιαφάνεια 4-30

Ιωάννης Ντζούφρας. Ενότητα 4 Συγκρίσεις για 1 & 2 είγματα. (II) Έλεγχοι υποθέσεων για 2 εξαρτημένα δείγματα. Ανάλυση εδομένων ιαφάνεια 4-30 Ιωάννης Ντζούφρας Ενότητα 4 Συγκρίσεις για 1 & 2 είγματα (II) Έλεγχοι υποθέσεων για 2 εξαρτημένα Ανάλυση εδομένων ιαφάνεια 4-30 Έστωότιέχουμεμετρήσειςγιαταίδιαάτομα Σε 2 παρόμοιες μεταβλητές (π.χ. Με ίδιες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Τυχαίο Δείγμα

Διαβάστε περισσότερα