Εισαγωγή στη Βιοστατιστική

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εισαγωγή στη Βιοστατιστική"

Transcript

1 Εισαγωγή στη Βιοστατιστική Π.Μ.Σ.: Έρευνα στη Γυναικεία Αναπαραγωγή Οκτώβριος Νοέµβριος 2013 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 4

2 Περιεχόµενα o Ορισµός της Στατιστικής o Περιγραφική στατιστική o t-test o Δοκιµασία X 2 o Μη-παραµετρικές δοκιµασίες o Συντελεστές συσχέτισης o Απλή γραµµική παλινδρόµηση, ANOVA o Πολλαπλή γραµµική παλινδρόµηση o Λογαριθµιστική εξάρτηση Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 2

3 Επιλογή ανεξάρτητων µεταβλητών o Συνήθως σε µία έρευνα συλλέγονται στοιχεία για πολλές µεταβλητές που δυνητικά θα µπορούσαν να σχετίζονται µε την υπό µελέτη εξαρτηµένη µεταβλητή. o Όµως στο τελικό µοντέλο δεν γίνεται να εισαχθούν όλες αυτές οι παράµετροι για δύο κυρίως λόγους: n α) ο αριθµός των παραµέτρων πρέπει να είναι σαφώς µικρότερος του αριθµού των παρατηρήσεων και n β) µπορεί η συνεισφορά τους στο µοντέλο να µην είναι στατιστικά σηµαντική. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 3

4 Επιλογή καλύτερου στατιστικού µοντέλου o Υπάρχουν διάφορες διαδικασίες για να επιλέξουµε µεταξύ υποψήφιων ανεξάρτητων µεταβλητών o Ο πιο απλός είναι να δοκιµάσουµε όλα τα δυνατά υποψήφια µοντέλα (δηλαδή, όλους τους δυνατούς συνδυασµούς των ανεξάρτητων µεταβλητών (all possible models approach) n n Χρονοβόρος διαδικασία Αν έχουµε πάρα πολλές ανεξάρτητες µεταβλητές, δεν είναι εφικτό n Πολλαπλές συγκρίσεις! o Κάποιες µεταβλητές θα είναι στατιστικά σηµαντικές από τύχη Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 4

5 (συν.) o Υπάρχουν διάφορες στατιστικές τεχνικές που επιτυγχάνουν αυτόµατη επιλογή των ανεξάρτητων µεταβλητών: n Αθροιστική µέθοδος (forward) n Αφαιρετική µέθοδος (backward) n Προσθαφαιρετική µέθοδος (stepwise) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 5

6 (συν.) o Σε γενικές γραµµές η αποκλειστική χρήση των αυτόµατων µεθόδων ΔΕΝ συνιστάται n Μπορεί να καταλήξουν σε ένα µοντέλο µε µεταβλητές χωρίς λογική ερµηνεία o Στην Ιατρική θέλουµε ένα καλό τελικό µοντέλο που να ερµηνεύει τη σχέση µεταξύ της εξαρτηµένης µεταβλητής και των ανεξάρτητων n Όχι, ένα µοντέλο που έχει µέσα ανεξάρτητες µεταβλητές που δεν έχουν καµία λογική ερµηνεία Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 6

7 (συν.) o Πώς επιλέγονται οι ανεξάρτητες µεταβλητές, έτσι ώστε να εφαρµοσθεί το καλύτερο µοντέλο; o Η επιλογή των µεταβλητών που θα εισαχθούν στο τελικό µοντέλο στηρίζεται: n σε στατιστικά κριτήρια n και σε άλλα κριτήρια (επιδηµιολογικά, βιολογικά,...). Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 7

8 (συν.) o Έτσι µπορούµε να κρατήσουµε στο τελικό µας µοντέλο µια µεταβλητή που δεν είναι στατιστικά σηµαντική, βάση επιδηµιολογικών κριτηρίων n Π.χ. Γιατί γνωρίζουµε από τη βιβλιογραφία ότι η συγκεκριµένη µεταβλητή είναι συγχυτικός παράγοντας, σε αυτή την περίπτωση Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 8

9 (συν.) o Συνήθως πριν ξεκινήσουµε την ανάλυση επιλέγουµε (αν κρίνουµε ότι χρειάζεται) κάποιες (συνήθως 1-3) µεταβλητές που θέλουµε να έχουµε οπωσδήποτε στο τελικό µοντέλο o Η επιλογή γίνεται µε βάση επιδηµιολογικών κριτηρίων (βιβλιογραφία) o Πολλές φορές για να γίνει δεκτό ένα άρθρο, µας ζητείται να περιλάβουµε στο µοντέλο µη στατιστικά σηµαντικές µεταβλητές, επειδή είναι γνωστό ότι είναι πιθανοί συγχυτικοί παράγοντες Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 9

10 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 10

11 Παράδειγµα Να εκτιµηθεί το γραµµικό µοντέλο του ΔΜΣ συναρτήσει των υπόλοιπων χαρακτηριστικών των ατόµων. Descriptive Statistics Body Mass Index (kg/m2) Age of Subjects Sex of Subjects Years of school Physical activity Current Smoking Zung Depression scale Energy intake (kcal/day) Mean Std. Deviation N 25,5490 4, ,40 10, ,51, ,21 3, ,43, ,4555, ,5899 7, , , Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 11

12 Παράδειγµα Ο πίνακας της Ανάλυσης της Διακύµανσης είναι ο ακόλουθος. Παρατηρούµε ότι το µοντέλο είναι στατιστικά σηµαντικό στο σύνολο του. (Η 0 : το µοντέλο δεν εξηγεί σηµαντικό µέρος της συνολικής µεταβλητότητας της εξαρτηµένης µεταβλητής) Model 1 Regression Residual Total ANOVA b Sum of Squares df Mean Square F Sig. 2329, ,850 20,179,000 a 9682, , , a. Predictors: (Constant), Energy intake (kcal/day), Current Smoking, Zung Depression scale, Physical activity, Years of school, Age of Subjects, Sex of Subjects b. Dependent Variable: Body Mass Index (kg/m2) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 12

13 Παράδειγµα Οι µερικοί συντελεστές γραµµικής παλινδρόµησης, η στατιστική τους σηµαντικότητα, καθώς και άλλα αποτελέσµατα παρουσιάζονται στον ακόλουθο πίνακα. Model 1 (Constant) Age of Subjects Sex of Subjects Years of school Physical activity Current Smoking Zung Depression scale Energy intake (kcal/day) Unstandardized Coefficients a. Dependent Variable: Body Mass Index (kg/m2) Standardized Coefficients Coefficients a Correlations B Std. Error Beta t Sig. Zero- order Partial Part 22,516 1,516 14,851,000 Collinearity Statistics Tolerance,108,016,259 6,681,000,298,266,248,915 1,093 1,873,356,208 5,258,000,265,212,195,874 1,144 -,139,053 -,100-2,637,009 -,153 -,108 -,098,949 1,053-1,819,341 -,200-5,338,000 -,215 -,215 -,198,974 1,026,049,336,005,147,883,030,006,005,987 1,013 -,004,023 -,007 -,174,862 -,067 -,007 -,006,891 1,122,000,000,059 1,516,130,045,062,056,918 1,090 VIF ΔΜΣ = 22, ,108 Ηλικία + 1,873 Φύλο 0,139 Έτη σχολείου 1,819 Σωµατική άσκηση + 0,049 Κάπνισµα 0,004 Zung scale + 0,000 Ενέργεια Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 13

14 Διαγνωστικοί έλεγχοι Κανονικότητα των σφαλµάτων Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 14

15 Διαγνωστικοί έλεγχοι Οµοσκεδαστικότητα & γραµµικότητα του µοντέλου Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 15

16 Παρουσίαση των αποτελεσµάτων Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 16

17 Παράδειγµα o Εφαρµόσαµε µοντέλα γραµµικής παλινδρόµησης σε δεδοµένα που προέρχονται από µετρήσεις σε µωρά ενός µηνός. n Η εξαρτηµένη µεταβλητή είναι η διάµετρος του κεφαλιού. o Σ α ν α ν ε ξ ά ρ τ η τ η µ ε τ α β λ η τ ή α ρ χ ι κ ά χρησιµοποιήσαµε το βάρος του µωρού è στατ. σηµαντικό και R 2 =0.61 o Στη συνέχεια χρησιµοποιήσαµε το βάρος του µωρού και το χρόνο κύησης è και οι 2 µεταβλητές ήταν στατ. σηµαντικές και R 2 =0.75 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 17

18 (συν.) o Αυτή η αύξηση στο R 2 υποδεικνύει ότι η µεταβλητή «χρόνος κύησης» αυξάνει την ικανότητά µας να ερµηνεύσουµε τη µεταβλητότητα της εξαρτηµένης µας µεταβλητής. o Πρέπει να τονιστεί ότι ΠΑΝΤΑ όταν προσθέτουµε µία νέα ανεξάρτητη µεταβλητή, ο συντελεστής R 2 αυξάνεται ή παραµένει αµετάβλητος, ακόµα και όταν η µεταβλητή ΔΕΝ είναι στατιστικά σηµαντική Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 18

19

20 (συν.) o Αντίθετα από το απλό R 2, το προσαρµοσµένο R 2 αυξάνεται µόνο όταν προσθέτουµε στο µοντέλο µία ανεξάρτητη µεταβλητή η οποία βελτιώνει το µοντέλο n συγκεκριµένα βελτιώνει την ερµηνεία της µεταβλητότητας της εξαρτηµένης µεταβλητής o Έτσι, το προσαρµοσµένο R 2 µπορεί να χρησιµοποιηθεί σαν κριτήριο επιλογής καλύτερου µοντέλου, µεταξύ στατιστικών µοντέλων που περιέχουν άνισο αριθµό ανεξάρτητων µεταβλητών Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 20

21 Παράδειγµα o Τα δεδοµένα προέρχονται από µία έρευνα που πραγµατοποιήθηκε σε 314 ασθενείς προκειµένου να µελετηθεί η σχέση προσωπικών χαρακτηριστικών και διατροφικών παραγόντων, και της συγκέντρωσης της Α-ρετινόλης στο πλάσµα. o Η έρευνα βασίστηκε σε ευρήµατα που δείχνουν ότι διατροφή φτωχή σε Α-ρετινόλη δηµιουργεί αυξηµένο κίνδυνο ανάπτυξης ορισµένων τύπων καρκίνου. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 21

22 (συν.) o Οι µεταβλητές που δίδονται είναι οι ακόλουθες: 1. age: Ηλικία 2. sex: Φύλο (1: Άνδρας, 2: Γυναίκα) 3. smokstat: Καπνισµατικές συνήθειες (1: ποτέ, 2: πρώην καπνιστής, 3: καπνιστής) 4. bmi: Δείκτης σωµατικής µάζας (βάρος / ύψος 2 ) 5. vituse: Χρήση βιταµινών (1: συχνά, 2: όχι συχνά, 3: όχι) 6. calories: Αριθµός θερµίδων που καταναλώνονται καθηµερινά Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 22

23 (συν.) 7. fat: Λίπος που καταναλώνεται καθηµερινά (gr) 8. fiber: Φυτικές ίνες που καταναλώνονται καθηµερινά (gr) 9. alcohol: Αριθµός οινοπνευµατωδών ποτών που καταναλώνονται την εβδοµάδα 10. choleste: Χοληστερόλη που καταναλώνεται καθηµερινά (mg) 11. retplas: Ρετινόλη στο πλάσµα (ng/ml) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 23

24 (συν.) o Ξεκινάµε την ανάλυση από περιγραφικά στατιστικά των µεταβλητών. o Πώς επιλέγουµε τι περιγραφικά στατιστικά θα κάνουµε; Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 24

25 (συν.) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 25

26 (συν.) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 26

27 (συν.) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 27

28 (συν.) Μιας και η µεταβλητή που µας ενδιαφέρει κυρίως είναι η ρετινόλη, θα δούµε και το ιστόγραµµά της Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 28

29 (συν.) o Από τη βιβλιογραφία γνωρίζουµε ότι το φύλο σχετίζεται µε τη ρετινόλη o Έτσι, αποφασίζουµε ότι για επιδηµιολογικούς λόγους θα κρατήσουµε το φύλο (sex) στο τελικό µας µοντέλο o Ανεξάρτητα από το p-value o Οι υπόλοιπες µεταβλητές θα επιλεγούν βάση του p-value Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 29

30 (συν.) o Υπάρχουν πολλοί τρόποι να δουλέψουµε o Επιλέγουµε να ξεκινήσουµε µε το πλήρες µοντέλο (αυτό που περιέχει όλες τις µεταβλητές) και να αφαιρούµε βήµα-βήµα αυτές που δεν χρειάζονται o Πρώτα όµως θα πρέπει να κατασκευάσουµε ψευδοµεταβλητές για τη χρήση βιταµινών και τις καπνισµατικές συνήθειες Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 30

31 (συν.) o Κατασκευάζουµε λοιπόν τις: o vit2: =1, αν vituse=2, και =0 στις άλλες περιπτώσεις o vit3: =1, αν vituse=3, και =0 στις άλλες περιπτώσεις o smoke2: =1, αν smokstat=2, και =0 στις άλλες περιπτώσεις o smoke3: =1, αν smokstat=3, και =0 στις άλλες περιπτώσεις Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 31

32 (συν.) o Τι µας δείχνουν αυτές οι ψευδοµεταβλητές; o Ποιο είναι το επίπεδο αναφοράς; o Στις επόµενες διαφάνειες βλέπουµε τα αποτελέσµατα για το πλήρες µοντέλο: Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 32

33 Μοντέλο 1 (πλήρες µοντέλο) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 33

34 (συν.) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 34

35 (συν.) o Παρατηρούµε ότι περιέχει πολλές µη-στατιστικά σηµαντικές µεταβλητές. o Αυτές θα πρέπει να τις αφαιρέσουµε βήµαβήµα. o Θα ξεκινήσουµε από τη µεταβλητή µε το µεγαλύτερο p-value n n n Αυτή είναι η vit2 (p-value=0,987) Η vit2 είναι ψευδοµεταβλητή. Αυτές, είτε τις κρατάµε όλες στο µοντέλο, είτε τις αφαιρούµε όλες µαζί Μιας και η vit3 επίσης δεν είναι στατιστικά σηµαντική, θα τις αφαιρέσουµε και τις 2 µαζί. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 35

36 (συν.) o Στην επόµενη διαφάνεια φαίνονται τα αποτελέσµατα από το επόµενό µας µοντέλο, που δεν περιέχει τις vit2 και vit3 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 36

37 Μοντέλο 2 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 37

38 (συν.) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 38

39 (συν.) o Αρχικά, παρατηρήστε ότι αφαιρώντας τις 2 ψευδοµεταβλητές από το µοντέλο, αλλάξανε τα αποτελέσµατα για τις υπόλοιπες µεταβλητές o Για το λόγο αυτό, όταν θέλουµε να αφαιρέσουµε µια µεταβλητή από ένα µοντέλο, την αφαιρούµε και ξανατρέχουµε το µοντέλο n Δεν την αφαιρούµε µόνο στον πίνακα µε τα αποτελέσµατα! Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 39

40 (συν.) o Και το νέο µοντέλο περιέχει πολλές µηστατιστικά σηµαντικές µεταβλητές. o Θα αφαιρέσουµε τη µεταβλητή µε το µεγαλύτερο p-value n Αυτή είναι η smoke3 (p-value=0,837) n n n n Η smoke3 είναι ψευδοµεταβλητή. Αυτές, είτε τις κρατάµε όλες στο µοντέλο, είτε τις αφαιρούµε όλες µαζί Μιας και η smoke2 είναι στατιστικά σηµαντική, θα τις κρατήσουµε και τις 2 στο µοντέλο. Άρα θα αφαιρέσουµε την επόµενη µε το µεγαλύτερο p-value, δηλαδή την bmi (p-value=0,750) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 40

41 Μοντέλο 3 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 41

42 (συν.) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 42

43 (συν.) o Η επόµενη µεταβλητή που θα αφαιρεθεί είναι η alcohol (p-value=0,350) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 43

44 Μοντέλο 4 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 44

45 (συν.) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 45

46 (συν.) o Η επόµενη µεταβλητή που θα αφαιρεθεί είναι η calories (p-value=0,536) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 46

47 Μοντέλο 5 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 47

48 (συν.) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 48

49 (συν.) o Η επόµενη µεταβλητή που θα αφαιρεθεί είναι η fiber (p-value=0,533) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 49

50 Μοντέλο 6 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 50

51 (συν.) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 51

52 (συν.) o Η µόνη µεταβλητή που δεν είναι στατιστικά σηµαντική είναι η fat, η οποία έχει ένα ενδεικτικό p-value (µεταξύ 0,05 και 0,10). o Αυτές µε ενδεικτικό p-value µπορούµε να επιλέξουµε να τις κρατήσουµε στο µοντέλο n Πιο σωστά, και αυτό επιλέγεται πριν αρχίσουµε τη στατιστική ανάλυση! o Δεν είναι λάθος αντίστοιχα να επιλέξουµε να τις αφαιρέσουµε από το µοντέλο Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 52

53 (συν.) o Άρα, µέχρι στιγµής φαίνεται ότι το τελικό µας µοντέλο είναι το Μοντέλο 6. o Ας το εµηνεύσουµε, για να δούµε τι έχουµε βρεί Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 53

54 (συν.) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 54

55 Goodness of fit o Πόσο καλό είναι το µοντέλο µας; n Πόσο καλά το µοντέλο µας ακολουθεί τα δεδοµένα; n ή Πόση από τη διασπορά στην Υ ερµηνεύεται από τις ανεξάρτητες µεταβλητές; Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 55

56 (συν.) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 56

57 (συν.) o Το µοντέλο µας έχει προσαρµοσµένο R 2 =0,072 n Άρα, ερµηνεύει το 7,2% της µεταβλητότητας της συγκέντρωσης της Α-ρετινόλης στο πλάσµα (εξαρτηµένη µεταβλητή) o Είναι το ποσοστό αυτό στατιστικά σηµαντικό; n n Από τον πίνακα ANOVA βλέπουµε ότι p-value<0.001, οπότε συµπεραίνουµε ότι το ποσοστό της µεταβλητότητας που ερµηνεύεται από το µοντέλο είναι στατιστικά σηµαντικό Η 0 : Το ποσοστό της µεταβλητότητας που ερµηνεύεται από το µοντέλο δεν είναι στατιστικά σηµαντικό (δηλαδή είναι σχεδόν ίσο µε 0) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 57

58 (συν.) o Είναι ένα καλό µοντέλο; n Αν το συγκρίνουµε µε άλλα αντίστοιχα στη βιβλιογραφία, είναι το ίδιο καλό ή και καλύτερο; o Μπορούµε να συγκρίνουµε το προσαρµοσµένο R 2 του µοντέλου µας, µε αυτά της αντίστοιχης βιβλιογραφίας n Αν τυχόν υπάρχουν σηµαντικές διαφορές, που µπορεί να οφείλονται; o o o Στους διαφορετικούς πληθυσµούς; Στην επιλογή του δείγµατος; Μήπως έχουµε παραλείψει κάτι; Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 58

59 Εγκυρότητα του µοντέλου o Πληρούνται οι προϋποθέσεις; n Η σχέση µεταξύ της Υ και κάθε Χ είναι γραµµική n Τα σφάλµατα (ε) ακολουθούν την κανονική κατανοµή n Οµοσκεδαστικότητα o Για να απαντήσουµε σε αυτά τα ερωτήµατα θα πρέπει να ελέγξουµε τα σφάλµατα. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 59

60 (συν.) o Όσο περίεργο και αν φαίνεται, µπορεί να έχουµε κάνει τόση δουλειά και το µοντέλο µας να µην πληρεί τις προϋποθέσεις o Στην περίπτωση αυτή, δεν είναι ένα έγκυρο µοντέλο, οπότε δεν µπορούµε να το κρατήσουµε και να βγάλουµε συµπεράσµατα από αυτό! o Δυστυχώς, στη γραµµική παλινδρόµηση ο έλεγχος των προυποθέσεων γίνεται στο τέλος. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 60

61 (συν.) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 61

62 (συν.) o Τα σφάλµατα φαίνονται πολύ κοντά στην κανονική κατανοµή. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 62

63 Οµοσκεδαστικότητα Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 63

64 (συν.) o Τα υπόλοιπα (σφάλµατα) κατανέµονται τυχαία πάνω και κάτω από τη γραµµή ε=0. o Δεν φαίνεται να έχουµε πρόβληµα µε την οµοσκεδαστικότητα o Επίσης, δεν φαίνεται να υπάρχει κάποια συγκεκριµένη συστηµατικότητα, στην κατανοµή των σφαλµάτων Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 64

65 (συν.) o Τα επόµενα γραφήµατα δείχνουν τα σφάλµατα σε σχέση µε κάθε ανεξάρτητη µεταβλητή. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 65

66 (συν.) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 66

67 (συν.) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 67

68 (συν.) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 68

69 (συν.) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 69

70 (συν.) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 70

71 (συν.) o Σε όλα δεν φαίνεται να υπάρχει κάποια συγκεκριµένη συστηµατικότητα, στην κατανοµή των σφαλµάτων n Μια τέτοια συστηµατικότητα θα έδειχνε ότι η σχέση µεταξύ της εξαρτηµένης και κάποιας ανεξάρτητης µεταβλητής δεν είναι γραµµική Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 71

72 (συν.) o Άρα, το µοντέλο µας φαίνεται να πληρεί τις προϋποθέσεις της γραµµικής παλινδρόµησης n Είναι δηλαδή ένα έγκυρο µοντέλο! o Άρα το Μοντέλο 6 είναι το τελικό µας µοντέλο! Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 72

73 (συν.) o Το τελικό µας µοντέλο, λοιπόν, είναι: retplas=701, ,045*age - 91,972*sex 0,643*fat +55,341*smoke2-6,117*smoke3 o Το µοντέλο αυτό µπορούµε τώρα να το χρησιµοποιήσουµε και για προβλέψεις Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 73

74 Γραµµική παλινδρόµηση o Τι ακριβώς θέλουµε να πετύχουµε µε τη γραµµική παλινδρόµηση; o Να ερµηνεύσουµε πώς µεταβάλλεται η εξαρτηµένη µεταβλητή (που είναι µια ποσοτική µεταβλητή) σε σχέση µε τις ανεξάρτητες. o Οπότε, η µεταβλητή που µας ενδιαφέρει κυρίως ΠΡΕΠΕΙ να είναι ποσοτική, για να κάνουµε µοντέλα γραµµικής παλινδρόµησης! o Αν δεν είναι; Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 74

75 Λογαριθµιστική εξάρτηση (logistic regression) o Πολλές έρευνες µελετούν την εµφάνιση ή όχι µιας νόσου è η εξαρτηµένη µεταβλητή είναι διχοτοµική o Δεν είναι δυνατή η απλή (ή η πολλαπλή) γραµµική παλινδρόµηση o Στις περιπτώσεις αυτές εφαρµόζεται η λογαριθµιστική εξάρτηση o Στηρίζεται στην εφαρµογή ενός µοντέλου στα δεδοµένα µας Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 75

76 (συν.) o Η εξαρτηµένη µεταβλητή Υ στις περιπτώσεις αυτές είναι δίτιµη, και συνήθως κωδικοποιείται µε 0 (αν δεν υπάρχει η νόσος) και 1 διαφορετικά o Έστω ότι p είναι η αναλογία των ατόµων που έχουν τη νόσο (π.χ. 32%) o Τότε 1-p είναι η αναλογία αυτών που δεν πάσχουν (π.χ. 68%) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 76

77 (συν.) o Στις περιπτώσεις αυτές µας ενδιαφέρει να ορίσουµε ένα διαφορετικό είδος µοντέλων, που να βασίζονται στην: p= Ρ(Υ=1) : πιθανότητα κάποιος να νοσήσει o Ενδιαφερόµαστε να µελετήσουµε τη συσχέτιση της αναλογίας p µε ανεξάρτητες µεταβλητές Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 77

78 (συν.) o Για το λόγο αυτό χρησιµοποιούµε στατιστικά µοντέλα της µορφής: p e β + β * X 0 + β * X = β + β * X + β * X 1+ e o Η συνάρτηση στα δεξιά ονοµάζεται λογαριθµιστική συνάρτηση Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 78

79 (συν.) o Ονοµάζουµε λόγο συµπληρωµατικών πιθανοτήτων το πηλίκο: p 1 p o Παίρνοντας τον λογάριθµο της παραπάνω ποσότητας, έχουµε το µετασχηµατισµό logit: logit( p) p = ln 1 p Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 79

80 (συν.) o Τα µοντέλα που εφαρµόζουµε είναι της µορφής: logit(p)=β 0 +β 1 *Χ 1 +β 2 *Χ Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 80

81 Ερµηνεία των παραµέτρων o Οι µερικοί συντελεστές λογαριθµιστικής εξάρτησης ΔΕΝ έχουν την ίδια ερµηνεία µε αυτούς της γραµµικής εξάρτησης o Οι µερικοί συντελεστές λογαριθµιστικής εξάρτησης εκφράζουν τη µεταβολή του λογαρίθµου του σχετικού λόγου (odds ratio), που συνδέει την εξαρτηµένη µεταβλητή µε κάθε µία από τις ανεξάρτητες, ελέγχοντας για τις υπόλοιπες ανεξάρτητες µεταβλητές Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 81

82 Σχετικός λόγος a c b d o Στους τετράπτυχους πίνακες συχνά ως µέτρο του βαθµού συσχέτισης χρησιµοποιείται το πηλίκο των διαγωνίων γινοµένων ad bc το οποίο ονοµάζεται σχετικός λόγος. o Ο σχετικός λόγος εκφράζει πόσες φορές συχνότερη (ή λιγότερο συχνή) είναι η νόσος που µελετάται, όταν ο παράγοντας που εξετάζεται είναι παρών, σε σύγκριση µε την συχνότητα της νόσου, όταν ο παράγοντας απουσιάζει. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 82

83 Επανάληψη o o o o Ο σχετικός λόγος µπορεί να πάρει οποιαδήποτε θετική τιµή. Η τιµή 1 δηλώνει απουσία συσχέτισης. Τιµή µεγαλύτερη του 1 δηλώνει ότι η παρουσία του παράγοντα είναι επιβαρυντική (δηλαδή τα «εκτεθειµένα» άτοµα έχουν µεγαλύτερη πιθανότητα να πάθουν τη νόσο σε σχέση µε τα «µη εκτεθειµένα»). Αντίθετα, τιµή <1 δηλώνει ότι η παρουσία του παράγοντα είναι προστατευτική (δηλαδή τα «εκτεθειµένα» άτοµα έχουν µικρότερη πιθανότητα να πάθουν τη νόσο σε σχέση µε τα «µη εκτεθειµένα»). Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 83

84 Εφαρµογή o Στον επόµενο πίνακα παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα από ένα µοντέλο πολλαπλής λογαριθµιστικής εξάρτησης για τη διερεύνηση του ρόλου ορισµένων µεταβλητών στην εµφάνιση εµφράγµατος του µυοκαρδίου (ΕΤΜ) o Τα αποτελέσµατα βασίζονται σε µία έρευνα που έλαβαν µέρος 234 ασθενείς και 1742 µάρτυρες Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 84

85 Πίνακας Ανεξάρτητη µεταβλητή Coefficient SE X 1 : Χρήση αντισ/κών 1,188 0,261 δισκίων (0:όχι, 1:ναί) X 2 : Hλικία σε έτη 0,152 0,014 Χ 3 : Κάπνισµα 1-24 τσιγάρα 1,125 0,210 (0:όχι, 1:ναί) Χ 4 : Κάπνισµα 25+ τσιγάρα 2,137 0,209 (0:όχι, 1:ναί) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 85

86 (συν.) o Ο συντελεστής β 1 εκφράζει το λογάριθµο του σχετικού λόγου του κινδύνου που έχουν οι γυναίκες που παίρνουν αντ/κά να πάθουν ΕΤΜ σε σχέση µε αυτές που δεν παίρνουν, ελέγχοντας ταυτόχρονα τις επιδράσεις του καπνίσµατος και της ηλικίας o Επειδή exp(1,188)= ,188 =3,28 è οι γυναίκες που παίρνουν αντ/κά έχουν 3,28 µεγαλύτερο κίνδυνο να πάθουν ΕΤΜ σε σχέση µε αυτές που δεν παίρνουν, ελέγχοντας ταυτόχρονα τις επιδράσεις του καπνίσµατος και της ηλικίας Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 86

87 (συν.) o Ο συντελεστής β 2 εκφράζει το λογάριθµο του σχετικού λόγου του κινδύνου του ΕΤΜ, για αύξηση της ηλικίας κατά 1 έτος, ελέγχοντας ταυτόχρονα τις επιδράσεις του καπνίσµατος και της χρήσης αντ/κών o Επειδή exp(0,152)=1,16 è γιά 1 έτος αύξηση στην ηλικία, η πιθανότητα ΕΤΜ αυξάνεται κατά 1,16 φορές, ελέγχοντας ταυτόχρονα τις επιδράσεις του καπνίσµατος και της χρήσης αντ/κών è δηλαδή ο κίνδυνος να πάθει ένα άτοµο ΕΤΜ αυξάνεται κατά 16% Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 87

88 (συν.) o Αντίστοιχα, µιά γυναίκα που καπνίζει µέχρι 24 τσιγάρα /ηµέρα έχει exp(1,125)=3,08 φορές µεγαλύτερο κίνδυνο να πάθει ΕΤΜ σε σχέση µε µία µη-καπνίστρια της ίδιας ηλικίας και µε την ίδια χρήση αντ/κών o Μιά γυναίκα που καπνίζει πάνω από 24 τσιγάρα /ηµέρα έχει exp(2,137)=8,47 φορές µεγαλύτερο κίνδυνο να πάθει ΕΤΜ σε σχέση µε µία µη-καπνίστρια της ίδιας ηλικίας και µε την ίδια χρήση αντ/κών Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 88

89

90 Παράδειγµα o Στο επόµενο παράδειγµα θα πραγµατοποιήσουµε µια λογαριθµιστική εξάρτηση χρησιµοποιώντας δεδοµένα από το αρχείo bwt.sav, όπου: n n n n n n Υ: γέννηση ελλειποβαρούς µωρού (1: ναι, 0: όχι) Χ1: ψευδοµεταβλητή για τη λευκή φυλή Χ2: ψευδοµεταβλητή για τη µαύρη φυλή Χ3: κάπνισµα µητέρας (1: ναι, 0: όχι) Χ4: ηλικία µητέρας Δίνεται ότι το επίπεδο αναφοράς για τη φυλή είναι οι γυναίκες άλλης φυλής (όχι λευκής ή µαύρης) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 90

91 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 91

92 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 92

93 Unweighted Cases a Selected Cases Unselected Cases Total Case Processing Summary Included in Analysis Missing Cases Total N Percent a. If weight is in effect, see classification table for the total number of cases. Categorical Variables Codings race Parameter coding Frequency (1) (2) Variables in the Equation Step 1 a race race(1) race(2) smoke age Constant B S.E. Wald df Sig. Exp(B) Lower Upper % C.I.for EXP(B) a. Variable(s) entered on step 1: race, smoke, Αλέξανδρος age. Γρυπάρης, PhD 93

94 (συν.) o Έτσι, οι καπνίστριες έχουν 3,006 µεγαλύτερο κίνδυνο να γεννήσουν ελλειποβαρές µωρό σε σχέση µε τις µη-καπνίστριες, ελέγχοντας ταυτόχρονα τις επιδράσεις της φυλής και της ηλικίας o Αντίστοιχα, οι λευκές γυναίκες έχουν 0,348 του κινδύνου να γεννήσουν ελλειποβαρές µωρό σε σχέση µε τις γυναίκες άλλης φυλής (επίπεδο αναφοράς), ελέγχοντας ταυτόχρονα τις επιδράσεις του καπνίσµατος και της ηλικίας Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 94

95 (συν.) o Επίσης, για κάθε έτος αύξησης της ηλικίας, η πιθανότητα για γέννηση ελλειποβαρούς µωρού µειώνεται κατά 0,966 φορές, ελέγχοντας ταυτόχρονα τις επιδράσεις του καπνίσµατος και της φυλής Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 95

96 Μοντέλο λογαριθµιστικής εξάρτησης o Στο προηγούµενο παράδειγµα, το µοντέλο λογαριθµιστικής εξάρτησης είναι το: logit(p)=0,049-0,035*age+1,101*smoke- 0,045*race2-1,057*race1 όπου p: η πιθανότητα µία γυναίκα να γεννήσει µωρό µε χαµηλό βάρος Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 96

97 Συγχυτικός παράγοντας o Συγχυτικός παράγοντας (confounder) ονοµάζεται µια µεταβλητή η οποία, µε οποιονδήποτε τρόπο, διαστρεβλώνει µια σχέση µεταξύ δύο µεταβλητών (στην Επιδηµιολογία συνήθως εννοούµε την νόσο και ένα παράγοντα κινδύνου). o Για παράδειγµα ας υποθέσουµε ότι επιθυµούµε να συγκρίνουµε τη θνησιµότητα σε δύο οµάδες µε διαφορετική έκθεση σε ένα πιθανό παράγοντα κινδύνου (π.χ. κάπνισµα). Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 97

98 (συν.) o Αν η πρώτη οµάδα µε τους καπνιστές περιέχει άτοµα πιο µεγάλης ηλικίας από τη δεύτερη οµάδα, τότε σαφώς και περιµένουµε µεγαλύτερη θνησιµότητα σε αυτή την οµάδα n Αυτό δε θα οφείλεται όµως στο γεγονός ότι κάπνιζαν, αλλά απλά στο ότι έχουν µεγαλύτερη ηλικία. o Η ηλικία εδώ είναι συγχυτικός παράγοντας (confounder) της σχέσης της θνησιµότητας και του καπνίσµατος. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 98

99 (συν.) o Ένας συγχυτικός παράγοντας µπορεί: n να εµφανίζει ως στατιστικά σηµαντικές σχέσεις που στην πραγµατικότητα δεν υπάρχουν ή n να καλύπτει υπάρχουσες. o Ο έλεγχος και η αδρανοποίηση των συγχυτικών παραγόντων γίνεται µε κατάλληλο σχεδιασµό της µελέτης ή µε ειδική στατιστική ανάλυση. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 99

100 Κριτήρια αιτιότητας o Ακόµα και αν οι συγχυτικοί παράγοντες εξαλειφθούν, ο εντοπισµός πραγµατικών σχέσεων αιτιότητας είναι δύσκολος και ξεφεύγει από τον απλό υπολογισµό στατιστικών δεικτών. o Για το λόγο αυτό έχουν καθοριστεί συγκεκριµένα κριτήρια τα οποία µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε για να εντοπίσουµε και να ελέγξουµε αν οι στατιστικά σηµαντικές συσχετίσεις είναι σχέσεις αιτιότητας. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 100

101 Κριτήρια αιτιότητας o Τα κριτήρια αυτά είναι τα ακόλουθα: n Συνέπεια (consistency). n Ισχύς (strength). n Ειδικότητα (specificity). n Χρονική αλληλουχία (temporality). n Λογική αλληλουχία (coherency). o Όταν µια σχέση ικανοποιεί όλα τα παραπάνω κριτήρια, τότε έχουµε µια ισχυρή (αν όχι απόλυτη) ένδειξη ότι αυτή είναι µία σχέσης αιτιότητας. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 101

102 Συνέπεια o Μία σχέση είναι συνεπής αν εµφανιστεί επαναλαµβανόµενα σε µελέτες που έχουν γίνει µε διαφορετικό σχεδιασµό και σε διαφορετικούς πληθυσµούς. o Φυσικά στις περιπτώσεις αυτές µπορούν να υπάρχουν και εξαιρέσεις, δηλαδή µελέτες που δεν επιβεβαιώνουν τον κανόνα, αλλά θα πρέπει να είναι περιορισµένες και να οφείλονται σε τυχαίους παράγοντες o Ένα παράδειγµα συνεπούς σχέσης είναι η θετική σχέση καπνίσµατος - καρκίνου του πνεύµονα η οποία έχει επιβεβαιωθεί σε µεγάλο αριθµό µελετών τις τελευταίες δεκαετίες. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 102

103 Ισχύς o Μια σχέση ονοµάζεται ισχυρή όταν η επίδραση της παρουσίας του παράγοντα κινδύνου είναι µεγάλη. Η επίδραση συνήθως µετριέται µε την αναλογική αύξηση της πιθανότητας θανάτου ή εµφάνισης της νόσου. o Σε αυτή την περίπτωση, σηµαντική είναι και η ύπαρξη της δοσολογικής επίδρασης (dose-response effect) που δεν είναι τίποτα άλλο από την αναλογική µεταβολή της µεταβλητής απόκρισης (π.χ. εµφάνιση της νόσου) και της δοσολογίας ενός φαρµάκου ή του µεγέθους έκθεσης σε ένα παράγοντα κινδύνου. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 103

104 (συν.) o Παράδειγµα : η πιθανότητα εµφάνισης του καρκίνου του πνεύµονα είναι αυξηµένη στους καπνιστές και αυξάνει ανάλογα µε τον αριθµό τσιγάρων που καπνίζει κάθε άτοµο. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 104

105 Ειδικότητα o Μια σχέση παράγοντα κινδύνου-νόσου ονοµάζεται ειδική αν η παρουσία του παράγοντα κινδύνου οδηγεί µε µεγάλη πιθανότητα στην εµφάνιση της νόσου ενώ η απουσία του οδηγεί µε µεγάλη πιθανότητα στην αποφυγή της εµφάνισης της νόσου. o Αν ένας παράγοντας είναι «ειδικός» µίας νόσου (δηλαδή, στην ουσία, είναι η κύρια αιτία που προκαλεί τη νόσο) τότε είναι πολύ πιθανό και η σχέση να είναι αιτιολογική. Στην πράξη όµως, λόγω της πολυπλοκότητας των σχέσεων, ειδικές σχέσεις είναι σπάνιες. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 105

106 (συν.) o Και όχι µόνο αυτό αλλά σε µια πραγµατική αιτιολογική σχέση µπορεί η πιθανότητα εµφάνισης της νόσου να αυξάνει σηµαντικά µε την παρουσία του παράγοντα κινδύνου, άλλα όχι τόσο πολύ ώστε να τη χαρακτηρίσουµε ειδική. o Η ύπαρξη µιας στατιστικής σχέσης αιτιότητας δε συνεπάγεται ότι αυτή θα επαληθεύεται σε όλες τις περιπτώσεις. n Παράδειγµα, αν κάποιος καπνίζει δε σηµαίνει ότι θα εµφανίσει τη νόσο σίγουρα (αν συνέβαινε αυτό δε θα µιλάγαµε για στατιστική σχέση άλλα για σχέση φυσική). Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 106

107 Χρονική αλληλουχία o Στην Επιδηµιολογία είναι απαραίτητο ο παράγοντας κινδύνου να προϋπάρχει χρονικά της εµφάνισης της νόσου. o Σε πολλές περιπτώσεις η στατιστική ανάλυση δε λαµβάνει υπόψη της τη χρονική αλληλουχία ή σειρά µε την οποία εµφανίζονται κάποια ενδεχόµενα αλλά και µεταβλητές που συνδέονται µε αυτά. Για το λόγο αυτό η µεταβλητή απόκρισης στα στατιστικά µοντέλα θα πρέπει να έπεται χρονικά των επεξηγηµατικών. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 107

108 (συν.) o Σε µερικές περιπτώσεις αυτό είναι εύκολο να το κρίνεις (π.χ. κάπνισµα και καρκίνος του πνεύµονα). o Τι γίνεται όµως για περιπτώσεις όπως το παθητικό κάπνισµα για το οποίο µπορεί να µην είναι εύκολα προσδιορίσιµος ο χρόνος έκθεσης σε αυτόν τον κίνδυνο; o Ο καθορισµός της χρονικής αλληλουχίας είναι επίσης δύσκολος στις περιπτώσεις που η νόσος εντοπίζεται πολύ αργότερα από την πραγµατική της εµφάνιση Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 108

109 Λογική αλληλουχία o Για να έχει µια σχέση λογική αλληλουχία θα πρέπει να µην αντικρούει αποδεδειγµένες αλήθειες των φυσικών και βιολογικών επιστηµών (π.χ. της Φυσικής, Χηµείας, Ιατρικής, Γενετικής και Βιολογίας). o Σε περίπτωση που µια στατιστικά σηµαντική σχέση έρχεται σε αντίθεση µε µια ήδη αναγνωρισµένη θεωρία, τότε θα πρέπει να υπάρξει µια ανάλογη επιστηµονική τεκµηρίωση και θεωρία που θα υποστηρίζει και θα αιτιολογεί την ύπαρξη της. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 109

110 (συν.) o Επιπλέον θα πρέπει να γίνουν και ανάλογες µελέτες έτσι ώστε να δούµε αν ικανοποιείται και το κριτήριο της συνέπειας που τελικά θα οδηγήσει στην επιστηµονική επικράτηση και καθιέρωση του ευρήµατος ή της νέας θεωρίας. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 110

111 Συνοψίζοντας o Γενικά τα παραπάνω πέντε κριτήρια είναι αρκετά αυστηρά και πολλές φορές δεν ικανοποιούνται όλα από µια πραγµατική αιτιολογική σχέση. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 111

112 Είδη σφαλµάτων o Έστω ότι έχουµε να ελέξουµε µία µηδενική υπόθεση o Π.χ. θέλουµε να συγκρίνουµε τη µέση τιµή αρτηριακής πίεσης στους άνδρες και τις γυναίκες του πληθυσµού, χρησιµοποιώντας το δείγµα µας. Η 0 : µ α =µ γ o Πραγµατοποιώντας ένα στατιστικό έλεγχο µπορούµε να υποπέσουµε σε 2 τύπους σφάλµατος Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 112

113 Σφάλµατα στη λήψη απόφασης Αποδοχή υπόθεσης Η ο από το δείγµα µε βάση το Σ.Κ. Απόρριψη υπόθεσης Η A από το δείγµα µε βάση το Σ.Κ. Υπόθεση Ηο ü Σφάλµα τύπου Ι αληθής στον πληθυσµό ή α Υπόθεση Ηο ψευδής στον πληθυσµό Σφάλµα τύπου ΙΙ ή β ü Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 113

114 Κριτήριο λήψης απόφασης o Η ακριβής τιµή του σφάλµατος Τύπου Ι για τα δεδοµένα του προβλήµατος (p value) n η πιθανότητα η ληφθείσα απόφαση να είναι υπέρ της ύπαρξης σχέσης, ενώ στην πραγµατικότητα δεν υπάρχει σχέση. o Θέλουµε να έχει πολύ µικρή τιµή (συνήθως < 5%). Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 114

115 Σφάλµα τύπου ΙΙ o Το σφάλµα τύπου ΙΙ (β) συνίσταται στη µηαπόριψη («αποδοχή») της Η 0 όταν αυτή δεν ισχύει. o Έτσι, δε βρίσκουµε διαφορά µεταξύ των 2 πληθυσµών, ενώ αυτή υπάρχει. o Η ισχύς ενός στατιστικού ελέγχου ορίζεται ως 1-β (δηλαδή η πιθανότητα να βρούµε διαφορά, ενώ αυτή υπάρχει) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 115

116 Σφάλµα τύπου Ι και τύπου ΙΙ o Υπάρχει αντίστροφη σχέση µεταξύ αυτών των 2 o Η αύξηση του αριθµού των παρατηρήσεων συνεπάγεται µείωση της πιθανότητας σφάλµατος και των 2 τύπων o Η ισχύς µιας δοκιµασίας αποτελεί συνάρτηση του είδους της δοκιµασίας, αλλά γενικά αυξάνεται µε τον αριθµό των παρατηρήσεων Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 116

Εισαγωγή στη Βιοστατιστική

Εισαγωγή στη Βιοστατιστική Εισαγωγή στη Βιοστατιστική Π.Μ.Σ.: Έρευνα στη Γυναικεία Αναπαραγωγή Οκτώβριος Νοέµβριος 2013 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 3 Περιεχόµενα o Ορισµός της Στατιστικής o Περιγραφική στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία.

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία. . ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ. Υπολογισµός συντελεστών συσχέτισης Προκειµένου να ελέγξουµε την ύπαρξη γραµµικής σχέσης µεταξύ δύο ποσοτικών µεταβλητών, χρησιµοποιούµε συνήθως τον παραµετρικό συντελεστή συσχέτισης

Διαβάστε περισσότερα

Λογαριθμικά Γραμμικά Μοντέλα Poisson Παλινδρόμηση Παράδειγμα στο SPSS

Λογαριθμικά Γραμμικά Μοντέλα Poisson Παλινδρόμηση Παράδειγμα στο SPSS Λογαριθμικά Γραμμικά Μοντέλα Poisson Παλινδρόμηση Παράδειγμα στο SPSS Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει θανάτους από καρδιακή ανεπάρκεια ανάμεσα σε άνδρες γιατρούς οι οποίοι έχουν κατηγοριοποιηθεί κατά ηλικία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 7. Παλινδρόµηση

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 7. Παλινδρόµηση ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 7. Παλινδρόµηση Γενικά Επέκταση της έννοιας της συσχέτισης: Πώς µπορούµε να προβλέπουµε τη µια µεταβλητή από την άλλη; Απλή παλινδρόµηση (simple regression): Κατασκευή µοντέλου πρόβλεψης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: Παράδειγµα 1: µελέτη ασθενών-µαρτύρων ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ

Στόχος µαθήµατος: Παράδειγµα 1: µελέτη ασθενών-µαρτύρων ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 5 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 ΜΕΤΡΑ ΚΙΝ ΥΝΟΥ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ SPSS

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov.

Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov. A. ΈΛΕΓΧΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ A 1. Έλεγχος κανονικότητας Kolmogorov-Smirnov. Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov. Μηδενική υπόθεση:

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 ο 12.1 Λογιστική Παλινδρόµηση 12.2 Η εξίσωση της Λογιστικής Παλινδρόµησης. 12.3 Βήµατα δηµιουργίας του

Διαβάστε περισσότερα

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η χρησιμοποίηση των τεχνικών της παλινδρόμησης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων έχει διευκολύνει εξαιρετικά από την χρήση διαφόρων στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για τους Μέσους - Εξαρτημένα Δείγματα (Paired samples t-test) Το κριτήριο Paired samples t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Τεκµηριωµένη Ιατρική 2011-12 ΒΛΑΒΗ. Βασίλης Κ. Λιακόπουλος Λέκτορας Νεφρολογίας ΑΠΘ

Τεκµηριωµένη Ιατρική 2011-12 ΒΛΑΒΗ. Βασίλης Κ. Λιακόπουλος Λέκτορας Νεφρολογίας ΑΠΘ Τεκµηριωµένη Ιατρική 2011-12 ΒΛΑΒΗ Βασίλης Κ. Λιακόπουλος Λέκτορας Νεφρολογίας ΑΠΘ Αναλογία Λόγος Πηλίκο Αναλογία Proportion Αναλογία (Proportion) Ο αριθµητής ΣΥΜΠΕΡΙΛΑΜΒΑΝΕΤΑΙ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΣ στον παρανοµαστή

Διαβάστε περισσότερα

Η βιτρίνα των καταστημάτων ως εργαλείο δημοσίων σχέσεων. Ονοματεπώνυμο: Ειρήνη Πορτάλιου Σειρά: 8 η Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια : Βεντούρα Ζωή

Η βιτρίνα των καταστημάτων ως εργαλείο δημοσίων σχέσεων. Ονοματεπώνυμο: Ειρήνη Πορτάλιου Σειρά: 8 η Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια : Βεντούρα Ζωή Η βιτρίνα των καταστημάτων ως εργαλείο δημοσίων σχέσεων Ονοματεπώνυμο: Ειρήνη Πορτάλιου Σειρά: 8 η Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια : Βεντούρα Ζωή Δεκέμβριος 2011 Στόχος Έρευνας H βιτρίνα των καταστημάτων αποτελεί

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για τον καθορισμό του καλύτερου υποσυνόλου από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Πολλαπλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 7 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Πολλαπλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 7 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 12β ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 4β ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ SPSS

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Kruskal-Wallis H... 176

Kruskal-Wallis H... 176 Περιεχόμενα KΕΦΑΛΑΙΟ 1: Περιγραφή, παρουσίαση και σύνοψη δεδομένων................. 15 1.1 Τύποι μεταβλητών..................................................... 16 1.2 Κλίμακες μέτρησης....................................................

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι Επιδηµιολογία;

Τι είναι Επιδηµιολογία; ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Τι είναι Επιδηµιολογία; ΜΑΘΗΜΑ 2 ΕΙ ΙΚΕΣ ΙΑΤΡΙΚΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙ ΗΜΙΟΛΟΓΙΚΕΣ ΜΕΛΕΤΕΣ Ως Επιδηµιολογία ορίζουµε την Επιστήµη που µελετάει την κατανοµή και της εξέλιξη διαφόρων νοσηµάτων ή χαρακτηριστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 10, σελ. 119. Για τη μεταβλητή x (άτυπος όγκος) έχουμε: x censored_x 1 F 3 F 3 F 4 F 10 F 13 F 13 F 16 F 16 F 24 F 26 F 27 F 28 F

Άσκηση 10, σελ. 119. Για τη μεταβλητή x (άτυπος όγκος) έχουμε: x censored_x 1 F 3 F 3 F 4 F 10 F 13 F 13 F 16 F 16 F 24 F 26 F 27 F 28 F Άσκηση 0, σελ. 9 από το βιβλίο «Μοντέλα Αξιοπιστίας και Επιβίωσης» της Χ. Καρώνη (i) Αρχικά, εισάγουμε τα δεδομένα στο minitab δημιουργώντας δύο μεταβλητές: τη x για τον άτυπο όγκο και την y για τον τυπικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕ ΤΟ SPSS To SPSS θα: - Κάνει πολύπλοκη στατιστική ανάλυση σε δευτερόλεπτα -

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Copyright 2009 Cengage Learning 16.1 Ανάλυση Παλινδρόμησης Σκοπός του προβλήματος είναι η ανάλυση της σχέσης μεταξύ συνεχών μεταβλητών. Η ανάλυση παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Εαρινό εξάµηνο ακαδηµαϊκού έτους 2003-2004 ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εργασία 4 - Ενδεικτική λύση

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Εαρινό εξάµηνο ακαδηµαϊκού έτους 2003-2004 ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εργασία 4 - Ενδεικτική λύση ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Εαρινό εξάµηνο ακαδηµαϊκού έτους 34 ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 5 Μαΐου 4 Εργασία 4 - Ενδεικτική λύση Το κείµενο απευθύνεται στους φοιτητές και αιτιολογεί και περιγράφει

Διαβάστε περισσότερα

Αιτιότητα και τυχαίο σφάλμα στις επιδημιολογικές μελέτες

Αιτιότητα και τυχαίο σφάλμα στις επιδημιολογικές μελέτες Αιτιότητα και τυχαίο σφάλμα στις επιδημιολογικές μελέτες Αιτιότητα Πρόγραμμα εκπαίδευσης στην επιδημιολογική επιτήρηση και διερεύνηση επιδημιών ΕΣΔΥ ΚΕΕΛΠΝΟ, 2007 "Ευτυχισμένος είναι αυτός που κατόρθωσε

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ο 10.1 Πολλαπλή Γραµµική Παλινδρόµηση 10.2 Η εφαρµογή της Πολλαπλής Γραµµικής Παλινδρόµησης 10.3 Παράδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για την Μέση Τιμή ενός Δείγματος (One Sample t-test) Το κριτήριο One sample t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε τον αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Περιεχόμενα 1. ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ...

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 2. i β. 1 ου έτους (Υ i )

Άσκηση 2. i β. 1 ου έτους (Υ i ) Άσκηση Ο επόμενος πίνακας δίνει τους βαθμούς φοιτητών (Χ i ) στις εισαγωγικές εξετάσεις ενός κολεγίου και τους αντίστοιχους βαθμούς τους (Υ i ) στο τέλος της πρώτης χρονιάς φοίτησης στο συγκεκριμένο κολέγιο.

Διαβάστε περισσότερα

(Confounders) Δύο κύρια θέματα. Θα πρέπει να πιστέψω το αποτέλεσμα της μελέτης μου; Συγχυτικοί και τροποποιητικοί παράγοντες

(Confounders) Δύο κύρια θέματα. Θα πρέπει να πιστέψω το αποτέλεσμα της μελέτης μου; Συγχυτικοί και τροποποιητικοί παράγοντες Θα πρέπει να πιστέψω το αποτέλεσμα της μελέτης μου; Συγχυτικοί και τροποποιητικοί παράγοντες Κάπνισμα = 11,6 Καρκίνος παγκρέατος Πρόγραμμα εκπαίδευσης στην επιδημιολογική επιτήρηση και διερεύνηση επιδημιών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Α1.2 Παράδειγµα 1 (συνέχεια) Α1. ΙΤΙΜΕΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΕ ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγµα 1: αρτηριακή πίεση

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Α1.2 Παράδειγµα 1 (συνέχεια) Α1. ΙΤΙΜΕΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΕ ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγµα 1: αρτηριακή πίεση ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 20062007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 9 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 2 ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΓΙΑ 2 ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ & ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σχετικές πληροφορίες: http://dlib.ionio.gr/~spver/seminars/statistics/ Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σπύρος Βερονίκης Τμήμα Αρχειονομίας - Βιβλιοθηκονομίας Θεματικές

Διαβάστε περισσότερα

Β. Δισλιάν, Μ. Ανδρέου, Μ. Γεωργιάδου, Θ. Μακρής, Α. Μπαρμπαρίδου, Α. Μπελτσίδης, Γ. Αμαξόπουλος, Α. Τσετινέ

Β. Δισλιάν, Μ. Ανδρέου, Μ. Γεωργιάδου, Θ. Μακρής, Α. Μπαρμπαρίδου, Α. Μπελτσίδης, Γ. Αμαξόπουλος, Α. Τσετινέ Β. Δισλιάν, Μ. Ανδρέου, Μ. Γεωργιάδου, Θ. Μακρής, Α. Μπαρμπαρίδου, Α. Μπελτσίδης, Γ. Αμαξόπουλος, Α. Τσετινέ Γενικοί Ιατροί ΚΥ Αβδήρων, Σταυρούπολης, Εχίνου- Ξάνθη Η κατάθλιψη αυξάνει τον κίνδυνο εμφάνισης

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Αν οι προϋποθέσεις αυτές δεν ισχύουν, τότε ανατρέχουµε σε µη παραµετρικό τεστ.

Αν οι προϋποθέσεις αυτές δεν ισχύουν, τότε ανατρέχουµε σε µη παραµετρικό τεστ. ΣΤ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (ANALYSIS OF VARIANCE - ANOVA) ΣΤ 1. Ανάλυση ιασποράς κατά µία κατεύθυνση. Όπως έχουµε δει στη παράγραφο Β 2, όταν θέλουµε να ελέγξουµε, αν η µέση τιµή µιας ποσοτικής µεταβλητής διαφέρει

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση συνεχών μεταβλητών. Γεωργία Σαλαντή. Λέκτορας Εργαστήριο υγιεινής και Επιδημιολογίας

Ανάλυση συνεχών μεταβλητών. Γεωργία Σαλαντή. Λέκτορας Εργαστήριο υγιεινής και Επιδημιολογίας Συσχέτιση Παλινδρόμηση Ανάλυση συνεχών μεταβλητών Γεωργία Σαλαντή Λέκτορας Εργαστήριο υγιεινής και Επιδημιολογίας Περιεχόμενα Συσχέτιση μεταξύ δύο συνεχών μεταβλητών Παλινδρόμηση μεταξύ Μίας συνεχούς μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1.2 Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες. 1.1 Ανάλυση δίτιµων κατηγορικών µεταβλητών σε εξαρτηµένα δείγµατα

Περιεχόµενα ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1.2 Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες. 1.1 Ανάλυση δίτιµων κατηγορικών µεταβλητών σε εξαρτηµένα δείγµατα ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 7 ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΓΙΑ 2 ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. ΜΑΘΗΜΑ 12 Συµπερασµατολογία για την επίδραση πολλών µεταβλητών σε µια ποσοτική (Πολλαπλή Παλινδρόµηση) [µέρος 2ο]

ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. ΜΑΘΗΜΑ 12 Συµπερασµατολογία για την επίδραση πολλών µεταβλητών σε µια ποσοτική (Πολλαπλή Παλινδρόµηση) [µέρος 2ο] Ενότητα 2 ιαφάνειες Μαθήµατος: 2- Ενότητα 2 ιαφάνειες Μαθήµατος: 2-2 ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο.6. είκτες µερικής συσχέτισης

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. 7 ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΙΤΩΝ

ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΙΤΩΝ ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΙΤΩΝ Αστική Μη Κερδοσκοπική Εταιρεία- ISO 9001 Σαπφούς 3, 81100 Μυτιλήνη (1ος Όροφος) 2251054739 (09:00-14:30) academy@aigaion.org civilacademy.ucoz.org «ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµένοι ερευνητές υποστηρίζουν ότι χρειαζόµαστε µίνιµουµ 30 περιπτώσεις για να προβούµε σε κάποιας µορφής ανάλυσης των δεδοµένων.

Ορισµένοι ερευνητές υποστηρίζουν ότι χρειαζόµαστε µίνιµουµ 30 περιπτώσεις για να προβούµε σε κάποιας µορφής ανάλυσης των δεδοµένων. ειγµατοληψία Καθώς δεν είναι εφικτό να παίρνουµε δεδοµένα από ολόκληρο τον πληθυσµό που µας ενδιαφέρει, διαλέγουµε µια µικρότερη οµάδα που θεωρούµε ότι είναι αντιπροσωπευτική ολόκληρου του πληθυσµού. Τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Θέµα: Εναλλακτικές Τεχνικές Εντοπισµού Θέσης Όνοµα: Κατερίνα Σπόντου Επιβλέπων: Ιωάννης Βασιλείου Συν-επιβλέπων: Σπύρος Αθανασίου 1. Αντικείµενο της διπλωµατικής Ο εντοπισµός

Διαβάστε περισσότερα

Ερμηνεία αποτελεσμάτων Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα

Ερμηνεία αποτελεσμάτων Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα Ερμηνεία αποτελεσμάτων Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα Αρχείο δεδομένων school.sav Στον πίνακα Descriptives, μας δίνονται για την Επίδοση ως προς τις πέντε διαφορετικές μεθόδους διδασκαλίας, το

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ

ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ Να δοθούν οι βασικές αρχές των µη παραµετρικών ελέγχων (non-parametric tests). Να παρουσιασθούν και να αναλυθούν οι γνωστότεροι µη παραµετρικοί έλεγχοι Να αναπτυχθεί η µεθοδολογία των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Μ. ΑΡΒΑΝΙΤΙΔΟΥ- ΒΑΓΙΩΝΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Μ. ΑΡΒΑΝΙΤΙΔΟΥ- ΒΑΓΙΩΝΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Μ. ΑΡΒΑΝΙΤΙΔΟΥ- ΒΑΓΙΩΝΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΚΛΙΝΙΚΑ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ ΕΥΡΗΜΑ VS ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ ΕΥΡΗΜΑ Ι 1. Η στατιστική σημαντικότητα αντανακλά την επίδραση

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Μοντέλα Παλινδρόμησης Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Εισαγωγή (1) Σε αρκετές περιπτώσεις επίλυσης προβλημάτων ενδιαφέρει η ταυτόχρονη μελέτη δύο ή περισσότερων μεταβλητών, για να προσδιορίσουμε με ποιο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ Η ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ. ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Simple Linear Regression) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Regression) ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ.

ΕΙ Η ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ. ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Simple Linear Regression) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Regression) ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Smple Lear Regresso) Να κατανοηθεί η έννοια της παλινδρόµησης Ποιες οι προϋποθέσεις για να εφαρµοσθεί η γραµµική παλινδρόµηση; Τι είναι το γραµµικό µοντέλο και πως εκτιµούνται

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης

Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης 24 Μεθοδολογία Επιστηµονικής Έρευνας & Στατιστική Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης Όπως ακριβώς συνέβη και στο κριτήριο t, τα δεδοµένα µας θα πρέπει να έχουν οµαδοποιηθεί χρησιµοποιώντας µια αντίστοιχη

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηριστικά της ανάλυσης διασποράς. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (One-way analysis of variance)

Χαρακτηριστικά της ανάλυσης διασποράς. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (One-way analysis of variance) ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (Oe-way aalysis of variace) Να γίνει µια εισαγωγή στη µεθοδολογία της ανάλυσης > δειγµάτων Να εφαρµοσθεί και να κατανοηθεί η ανάλυση διασποράς µε ένα παράγοντα. Να κατανοηθεί η χρήση των

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτικές Θετικής Οργανωσιακής Αλλαγής και οι στάσεις των εργαζομένων απέναντι στην αλλαγή

Πρακτικές Θετικής Οργανωσιακής Αλλαγής και οι στάσεις των εργαζομένων απέναντι στην αλλαγή Πρακτικές Θετικής Οργανωσιακής Αλλαγής και οι στάσεις των εργαζομένων απέναντι στην αλλαγή Ονοματεπώνυμο : Ευανθία Καρακατσάνη Σειρά: 9 Επιβλέπων Καθηγητής: Ο. Κυριακίδου Δεκέμβριος 2012 ΣΤΟΧΟΣ/ ΣΚΟΠΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 4: Πίνακες συνάφειας (Contingency tables)

Ενότητα 4: Πίνακες συνάφειας (Contingency tables) Ενότητα 4: Πίνακες συνάφειας (Cotigecy tables Σε αρκετές εφαρµογές παρουσιάζεται η ανάγκη ελέγχου της σχέσης µεταξύ δυο κατηγορικών µεταβλητών (Ordial ή omial. Π.χ. θέλουµε να διερευνήσουµε τη σχέση µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι δειγματοληψίας, καθορισμός μεγέθους δείγματος, τύποι σφαλμάτων, κριτήρια εισαγωγής και αποκλεισμού

Μέθοδοι δειγματοληψίας, καθορισμός μεγέθους δείγματος, τύποι σφαλμάτων, κριτήρια εισαγωγής και αποκλεισμού Μέθοδοι δειγματοληψίας, καθορισμός μεγέθους δείγματος, τύποι σφαλμάτων, κριτήρια εισαγωγής και αποκλεισμού Γεσθημανή Μηντζιώρη MD, MSc, PhD Μονάδα Ενδοκρινολογίας της Αναπαραγωγής, Α Μαιευτική και Γυναικολογική

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτες αναλυτικής επιδημιολογίας στηδιερεύνησηεπιδημιών

Μελέτες αναλυτικής επιδημιολογίας στηδιερεύνησηεπιδημιών Μελέτες αναλυτικής επιδημιολογίας στηδιερεύνησηεπιδημιών Μελέτες ασθενών-μαρτύρων (case-control studies) Πρόγραμμα εκπαίδευσης στην επιδημιολογική επιτήρηση και διερεύνηση επιδημιών ΕΣΔΥ ΚΕΕΛΠΝΟ, 2010

Διαβάστε περισσότερα

Ποιοτική και ποσοτική ανάλυση ιατρικών δεδομένων

Ποιοτική και ποσοτική ανάλυση ιατρικών δεδομένων Ποιοτική και ποσοτική ανάλυση ιατρικών δεδομένων Κωνσταντίνος Τζιόμαλος Επίκουρος Καθηγητής Παθολογίας ΑΠΘ Α Προπαιδευτική Παθολογική Κλινική, Νοσοκομείο ΑΧΕΠΑ 1 ο βήμα : καταγραφή δεδομένων Το πιο πρακτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορικό, πορεία και εξέλιξη μίας μελέτης Στατιστική ανάλυση των δεδομένων. Σ. Μακρυγιάννης, Γ.Ν Πειραιά«Τζάνειο»

Ιστορικό, πορεία και εξέλιξη μίας μελέτης Στατιστική ανάλυση των δεδομένων. Σ. Μακρυγιάννης, Γ.Ν Πειραιά«Τζάνειο» Ιστορικό, πορεία και εξέλιξη μίας μελέτης Στατιστική ανάλυση των δεδομένων Σ. Μακρυγιάννης, Γ.Ν Πειραιά«Τζάνειο» William Osler, ιατρός, φιλόσοφος, ιστορικός, συγγραφέας If it were not for the great variability

Διαβάστε περισσότερα

1.α ιαγνωστικοί Έλεγχοι. 2.α Ευαισθησία και Ειδικότητα (εισαγωγικές έννοιες) ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Πολύ σηµαντικό το θεώρηµα του Bayes:

1.α ιαγνωστικοί Έλεγχοι. 2.α Ευαισθησία και Ειδικότητα (εισαγωγικές έννοιες) ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Πολύ σηµαντικό το θεώρηµα του Bayes: ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 6 ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ 1.β ιαγνωστικοί Έλεγχοι Πολύ σηµαντικό το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : 4..634 URL : www.vtal.gr emal: f@vtal.gr Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Κεφάλαιο 3 ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Σε πολλά προβλήµατα της µηχανικής δεν ενδιαφερόµαστε να εκτιµήσουµε την τιµή της παραµέτρου αλλά να διαπιστώσουµε αν η παραµέτρος είναι µικρότερη ή µεγαλύτερη από

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΕΥΝΑ ΑΓΟΡΑΣ ΣΕ ΞΕΝΟΔΟΧΕΙΑ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΠΌ ΣΑΛΟΥΣΤΡΟΥ ΑΝΤΙΓΟΝΗ ΣΥΓΛΕΤΟΥ ΕΛΕΝΗ

ΕΡΕΥΝΑ ΑΓΟΡΑΣ ΣΕ ΞΕΝΟΔΟΧΕΙΑ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΠΌ ΣΑΛΟΥΣΤΡΟΥ ΑΝΤΙΓΟΝΗ ΣΥΓΛΕΤΟΥ ΕΛΕΝΗ ΕΡΕΥΝΑ ΑΓΟΡΑΣ ΣΕ ΞΕΝΟΔΟΧΕΙΑ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΠΌ ΣΑΛΟΥΣΤΡΟΥ ΑΝΤΙΓΟΝΗ ΣΥΓΛΕΤΟΥ ΕΛΕΝΗ ΑΝΑΓΚΗ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μελέτη ποιοτικών χαρακτηριστικών ξενοδοχείων Συμβουλευτικές υπηρεσίες από εσωτερικούς

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 4 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας)

Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 4 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 4 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: Προσοµοίωση (Simulation) και Τυχαίες µεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικό κριτήριο χ 2

Στατιστικό κριτήριο χ 2 18 Μεθοδολογία Επιστηµονικής Έρευνας & Στατιστική Στατιστικό κριτήριο χ 2 Ο υπολογισµός του κριτηρίου χ 2 γίνεται µέσω του µενού [Statistics => Summarize => Crosstabs...]. Κατά τη συγκεκριµένη διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Έλεγχος Υποθέσεων. Ένα παράδειγµα

Κεφάλαιο 7. Έλεγχος Υποθέσεων. Ένα παράδειγµα Κεφάλαιο 7 Έλεγχος Υποθέσεων 1 Ένα παράδειγµα Ένας ερευνητής θέλησε να διαπιστώσει κατά πόσο η από απόσταση εκπαίδευση είναι καλύτερη από τη δια ζώσης εκπαίδευση. Για το σκοπό αυτό, επέλεξε δύο οµάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ σ. 2 Α. ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2

ΕΙΣΑΓΩΓΗ σ. 2 Α. ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2 1 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α ΕΙΣΑΓΩΓΗ σ. 2 Α. ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2 Β. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΕΥΝΑ 1. Γενικά Έννοιες.. 2 2. Πρακτικός Οδηγός Ανάλυσης εδοµένων.. 4 α. Οδηγός Λύσεων στο πλαίσιο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙ Η Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΣΥΛΛΟΓΗ, ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙ Η Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΣΥΛΛΟΓΗ, ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙ Η Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΣΥΛΛΟΓΗ, ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές µορφές Ερωτήσεων - απαντήσεων Ανοιχτές Κλειστές Κλίµακας ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 2 Ανοιχτές ερωτήσεις Ανοιχτές

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΤΟΥ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΤΟΥ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ SPSS Το SPSS είναι ένα στατιστικό πρόγραμμα γενικής στατιστικής ανάλυσης αρκετά εύκολο στη λειτουργία του. Για να πραγματοποιηθεί ανάλυση χρονοσειρών με τη βοήθεια του SPSS θα πρέπει απαραίτητα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 7: Παρουσίαση δεδομένων-περιγραφική στατιστική Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή 1. Γενικά... 25 2. Έννοια και Είδη Μεταβλητών... 26 3. Κλίμακες Μέτρησης Μεταβλητών... 29 3.1 Ονομαστική κλίμακα... 30 3.2. Τακτική κλίμακα... 31 3.3 Κλίμακα ισοδιαστημάτων... 34 3.4

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ SPSS

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ SPSS ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ SPSS ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕ ΧΡΗΣΗ Η/Υ Κωνσταντίνος Ζαφειρόπουλος Τμήμα Διεθνών και Ευρωπαϊκών Σπουδών Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Μακεδονίας Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΙΟΛΟΓΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΙΟΛΟΓΙΑ Εξάμηνο Υ/Ε Ώρες Θεωρίας Ώρες Ασκήσης Διδακτικές μονάδες ECTS A Υ 3 3 4 6 Διδάσκουσα Μ. Αλεξίου Χατζάκη, Επίκ. Καθηγήτρια Γεν. Βιολογίας. Aντικειμενικοί στόχοι του μαθήματος Οι στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα