Αυξάνοντας και μειώνοντας ποσότητες με ποσοστά. Στόχοι:

Transcript

1 Αυξάνοντας και μειώνοντας ποσότητες με ποσοστά (Increasing and decreasing quantities by a percent, MARS- Math Assess. Resource Service)) Ελεύθερη απόδοση: Κωνσταντίνος Κακαβάς Στόχοι: Να κάνουν μετατροπές ανάμεσα σε ποσοστά, δεκαδικούς και κλάσματα. Να αναπαριστούν την αύξηση και τη μείωση ποσοτήτων με χρήση ποσοστών κάνοντας πολλαπλασιασμό. Να αναγνωρίζουν τη σχέση ανάμεσα στην αύξηση και στη μείωση ποσοτήτων. Δομή μαθήματος: Πριν το μάθημα, δίνεται στους μαθητές μία δραστηριότητα αξιολόγησης στην οποία οι μαθητές εργάζονται ατομικά. Η δραστηριότητα έχει σχεδιαστεί για να αποκαλύψει τις παρανοήσεις και τις δυσκολίες των μαθητών. Γίνεται ανασκόπηση των απαντήσεων και γίνονται οι κατάλληλες ερωτήσεις για τη βελτίωση των λύσεων που δόθηκαν. Οι μαθητές δουλεύουν ομαδικά σε μία δραστηριότητα που τους δίνεται όπου πρέπει να οργανώσουν κατάλληλα τις κάρτες των ποσοστών, των δεκαδικών και των κλασμάτων. Στη συνέχεια προσπαθούν να συνδέσουν τις έννοιες των καρτών αυτών μεταξύ τους. Προσπαθούν επίσης να βρουν τη σχέση μεταξύ της αλλαγής των ποσοστών.μέσα από τους χειρισμύς τους οι μαθητές αξηγούν και ερμηνεύουν αυτά που έκαναν στους υπολοίπους. Τέλος, οι μαθητές επιστρέφουν στην αρχική τους δραστηριότητα και προσπαθούν να βελτιώσουν τη λύση τους. 15 λεπτά: αρχική δραστηριότητα 90 λεπτά: κυρίως διδασκαλία Χρόνος που απαιτείται: 1

2 Πριν τη διδασκαλία: Δίνεται στους μαθητές η παρακάτω δραστηριότητα η οποία στοχεύει στην αναγνώριση των δυσκολιών που έχουν οι μαθητές σχετικά με τα ποσοστά, τους δεκαδικούς και τα κλάσματα: Επεισόδιο 1 Δραστηριότητα - Ποσοστιαίες Μεταβολές Κάποιο μήνα ο Ρομπ πλήρωσε για το τηλέφωνό του $8,02. Τον επόμενο μήνα πλήρωσε $6,00. Για να βρεις το μέσο όρο των χρημάτων που πλήρωσε για τους δύο μήνες μπορείς να πατήσεις τα εξής πλήκτρα της αριθμομηχανής: 1. Ο Τομ κερδίζει συνήθως 40,85 ευρώ την ώρα. Έμαθε ότι θα πάρει μία αύξηση 6% στο μισθό του. Θέλει να χρησιμοποιήσει την αριθμομηχανή για να υπολογίσει το νέο του μισθό. Όμως δεν υπάρχει πλήκτρο για τα ποσοστά. Ποια πλήκρα πρέπει να πιέσει για να κάνει τον υπολογισμό του; Γράψε παρακάτω τα πλήκτρα με τη σωστή σειρά: (δε χρειάζεται να κάνεις δοκιμή στην αριθμομηχανή) 2. Η Μαρία θέλει να αγοράσει ένα φόρεμα στις εκπτώσεις. Το φόρεμα κόστιζε πριν τις εκπτώσεις 56,99 ευρώ. Η ετικέτα γράφει ότι υπάρχει έκπτωση 45%. Θέλει να υπολογίσει με την αριθμομηχανή της πόσο κοστίζει το φόρεμά της με την έκπτωση. Όμως δεν υπάρχει πλήκτρο για τα ποσοστά. Ποια πλήκρα πρέπει να πιέσει για να κάνει τον υπολογισμό της; Γράψε παρακάτω τα πλήκτρα με τη σωστή σειρά: 2

3 3. Πέρυσι η τιμή ενός προϊόντος ήταν 350 ευρώ. Φέτος το προϊόν κοστίζει 450 ευρώ. Η Λενα θέλει να μάθει πόση είναι η ποσοσταιαία μεταβολή του. Γράψε παρακάτω τον υπολογισμό που πρέπει να κάνει ώστε να βρει το σωστό αποτέλεσμα. 4. Κατά τη διάρκεια των εκπτώσεων ένα κατάστημα χαμήλωσε όλες τις τιμές κατά 20%. Μετά το τέλος των εκπτώσεων το κατάστημα αύξησε τις τιμές κατά 25%. Ποια ήταν η συνολική μεταβολή στις τιμές του καταστήματος ; Εξήγησε: Πιθανά σφάλματα Οι μαθητές πιστεύουν εσφαλμένα ότι η αύξηση ενός ποσοστού σημαίνει πρόσθεση. Παράδειγμα: 40,85 + 0,6 ή 40,85 + 1,6 Ένας απλός πολλαπλασιασμός με το 1,06 είναι αρκετός. Οι μαθητές πιστεύουν εσφαλμένα ότι η μείωση ενός ποσοστού σημαίνει αφαίρεση. Προτεινόμενες ερωτήσεις 1) Έχει νόημα η απάντησή σου; Μπορείς να ελέγξεις αν είναι σωστή; 2) «σε σχέση με πέρυσι ήρθαν στο φεστιβάλ 50% περισσότεροι επισκέπτες». Τι σημαίνει αυτό. Μπορείς να εξηγήσεις πώς θα υπολογίσεις πόσοι επισκέπτες ήρθαν τη φετινή χρονιά; Δώσε ένα παράδειγμα. 3)Μπορείς να εκφράσεις μία ποσοστιαία αύξηση με ένα και μόνο πολλαπλασιασμό; 1) Έχει νόημα η απάντησή σου; Μπορείς να ελέγξεις αν είναι σωστή; 2)Η έκπτωση ενός προϊόντος είναι 50%. Τι σημαίνει αυτό; Εξήγησε με λόγια 3

4 Παράδειγμα: 56,99 0,45 ή 56,99 1,45 Ένας απλός πολλαπλασιασμός με το 0,55 είναι αρκετός. πώς θα υπολογίσεις την τιμή που θα έχει ένα προϊόν στις εκπτώσεις. Δώσε ένα παράδειγμα. 3)Μπορείς να εκφράσεις τη μείωση με ένα και μόνο πολλαπλασιασμό; Οι μαθητές μετατρέπουν τα ποσοστά σε δεκαδικούς λάθος. Παράδειγμα: 40,85 0,6 Οι μαθητές χρησιμοποιούν όχι αποτελεσματικές μεθόδους. Παράδειγμα: Ο μαθητής υπολογίζει πρώτα το 1% και μετά πολλαπλασιαζει με το 6 και βρίσκει το 6% και μετά το προσθέτει στην αρχική τιμή. (40,85 100) ,85 ή 56,99 0,45= κάτι, 56,99 κάτι Πώς μπορείς να γράψεις το 50% σαν δεκαδικό; Πώς μπορείς να γράψεις σαν δεκαδικό το 5%; 1)Μπορείς να σκεφτείς μία μέθοδ με την οποία θα μειώνεις τον αριθμό που σχημάτισες στην αριθμομηχανή; 2)Πώς μπορείς να δείξεις τον υπολογισμό σου με ένα μόνο βήμα; Ένας απλός πολλαπλασιασμός είναι αρκετός. Οι μαθητές δεν μπορούν να υπολογίσουν την ποσοστιαία μεταβολή. Παράδειγμα: = 100% ή Ο μαθητής υπολογίζει τη διαφορά αλλά δεν ξέρει πώς να συνεχίσει είτε διαιρεί με το )Υπολογίζεις την ποσοστιαία μεταβολή του $350 ή του $450; 2)Αν η τιμή μια μπλούζας αυξηθεί κατά $6 μπορείς να μου περιγράψεις με λέξεις πώς θα μπορούσες να υπολογίσεις την ποσοστιαία μεταβολή; Δώσε ένα παράδειγμα. Ο υπολογισμός ( ) είναι ο σωστός. Οι μαθητές αφαιρούν τα ποσοστά. Παράδειγμα: = 5% Δώσε μία τιμή σε κάποιο προϊόν και έλεγξε αν είναι σωστή η απάντησή σου. Επειδή συνδυάζουμε τους όρους του πολλαπλασιασμού: 0,8 1,25 = 1 δεν υπαρχει συνολική μεταβολή στις τιμές. 4

5 Οι μαθητές δεν τηρούν την προτεραιότητα στη σειρά των πράξεων. Παράδειγμα: Οι μαθητές ανταποκρίνονται λάθος στο τι χρειάζεται να περιέχει η απάντηση. Στον υπολογισμό που έγραψες ποια πράξη θα κάνει η αριθμομηχανή πρώτα; Αν απλά βάλεις αυτά τα σύμβολα στην αριθμομηχανή θα πάρεις το σωστό αποτέλεσμα; Παράδειγμα: η απάντηση είναι μόνο ο χειρισμός των συμβόλων. Επεισόδιο 2 Διαιρούμε τους μαθητές της τάξης σε δύο ομάδες και κάθε μία από αυτές παίρνει το πακέτο με τις κάρτες Α (ποσοστά αύξησης- βλέπε εικόνα) και το πακέτο με τις κάρτες Β (ποσοστά μείωσης- βλέπε εικόνα). Δίνεται, επίσης, σε όλους μία καρτέλα με εικονίδια χρημάτων (βλέπε εικόνα). ΟΙ μαθητές προσπαθούν να συνδέσουν τις κάρτες χρημάτων με τις κάρτες Α και Β οι οποίες παρουσιάζουν ποσοστιαίες αυξήσεις και ποσοστιαίες μειώσεις αντίστοιχα ώστε οι ποσοστιαίες μεταβολες να είναι σωστές. Μέσα σε κάθε ομάδα, δημιουργούνται 3 υποομάδες, και η κάθε μια δουλεύει με ποσοστά, κλάσματα και δεκαδικούς, αντίστοιχα. Υπάρχουν δύο τρόποι για να αντιμετωπίσετε αυτή τη δραστηριότητα. Μπορείτε να σκεφτείτε ποιοι είναι;(βρίσκοντας τη διαφορά ανάμεσα σε δύο κάρτες χρημάτων είτε παίρνοντας μία κάρτα ποσοστών και μαντεύοντας να εξετάσουν πού θα την τοποθετήσουν.) Πώς μπορείς να παρουσιάσεις τη διαφορά ανάμεσα στα ποσά δύο καρτών (οριζόντια, κατακόρυφα, διαγώνια); Αν έχεις την κάρτα που δείχνει ότι τα χρήματα θα αυξηθούν κατά 25%, ανάμεσα σε ποιά ποσά θα την τοποθετήσεις Δραστηριότητα 5

6 Παρανόηση: Πολλοί μαθητές πιστεύουν ότι όταν αυξάνω μία τιμή με ένα ποσοστό και στη συνέχεια μειώσω τη νέα τιμημε το ίδιο ποσοστό τότε το αποτέλεσμα είναι η αρχική τιμή. Μπορούμε να βοηθήσουμε με τα εξής παραδείγματα: Μία μπλούζα κοστίζει 20 ευρώ. Η τιμή της αυξάνεται κατά 50%. Ποια είναι η νέα της τιμή; (30) Η νέα τιμή της μπλούζας τώρα μειώνεται κατά 50%. Ποια θα είναι η νέα της τιμή; Τι ποσοστό μείωσης χρειάζεται ώστε να επανέλθει η μπλούζα στην αρχική τιμή των 20 ευρώ; Τους παρακινούμε να παρατηρήσουν ότι: Μία αύξηση, για παράδειγμα 33%, ισοδυναμεί με το πολλαπλασιασμό επί 1,333. Μία μείωση κατά 33% ισοδυναμεί με τον παλλαλπλασιασμό επί (1-1,333) = 0,66 Το αντίστροφο μιας αύξησης με ένα ποσοστό δεν είναι η μείωση με το ίδο ποσοστό. 6

7 ΕΠΕΚΤΑΣΗ: 7