ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010
|
|
- Θεοδόσιος Αγγελίδου
- 9 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : Θεωρύμε τυς μιγαδικύς αριθμύς α) z(t) + z(t) = z(t) z(t) z( t) =, t R Να απδείξετε ότι: + it β) Ο γεωμετρικός τόπς των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z( t) είναι κύκλς με κέντρ τ σημεί Κ,0 και ακτίνα ρ = γ) Οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z(t) και τυ πρηγύμενυ κύκλυ z, t R t δ ) Οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z( ), z( ) και z(00) είναι κρυφές ρθγωνίυ τριγώνυ * είναι αντιδιαμετρικά σημεία α) Είναι z(t) + z(t) = z(t) z(t) + = +it +it +it +it + = it+ + it = = αληθές + it it + it it β) Είναι it + it ( +it) ( +it) +it z(t) = = = = = +it +it Άρα γεωμετρικός τόπς των εικόνων των μιγαδικών αριθμών κέντρ τ σημεί Κ,0 και ακτίνα ρ = z(t) είναι o κύκλς (C ) με γ) Στ (β) ερώτημα απδείξαμε ότι για κάθε t R μιγαδικός αριθμός κύκλ (C ) με κέντρ τ σημεί αριθμός z ανήκει στν ίδι κύκλ t Κ,0 και ακτίνα z(t) = ρ =, άρα και για + it ανήκει στoν R μιγαδικός t - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
2 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 Αρκεί τώρα να δείξυμε ότι z(t) z = ρ = = t Είναι t t z(t) z = = = = t +it +it t i +it ( t i +i ) t it it it + it = = = = = +it +it +it ( +it) ( +it) Άρα ι εικόνες των μιγαδικών αριθμών τυ κύκλυ (C ) για κάθε t R z(t) και z t είναι αντιδιαμετρικά σημεία δ) Για t = ι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z() και z = z( ) σημεία τυ κύκλυ (C ), σύμφωνα με τ πρηγύμεν ερώτημα είναι αντιδιαμετρικά Είναι z() z(00) z( ) Πράγματι + i + 00i i i 00i i + i + 00i i αληθές, πότε ι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z(), z( ) και z(00) είναι κρυφές ρθγωνίυ τριγώνυ με υπτείνυσα τ ευθύγραμμ τμήμα πυ ρίζυν ι εικόνες των μιγαδικών z() και z( ) ΘΕΜΑ : Έστω μιγαδικός αριθμός z =λ ( + i) + i, λ R α) Να βρείτε την εξίσωση της γραμμής στην πία ανήκει η εικόνα τυ z β) Για πια τιμή τυ λ, τ z γίνεται ελάχιστ; γ) Υπθέτυμε ότι λ>0 Αν z = και i) Να απδείξετε ότι λ= z = τότε: i ii) Να βρείτε τις τιμές τυ θετικύ ακέραιυ αριθμύ ν, ώστε ν R α) Θέτυμε z = + yi,,y R και έχυμε: =λ+ λ= z=λ+λ i+ i + yi= ( λ+ ) + ( λ ) i y+ = y=λ λ= y+ y = 0 Άρα η εικόνα τυ z κινείται στην ευθεία ε : y = 0 - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
3 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 β) Η εικόνα M(z) ανήκει στην ευθεία ε, επμένως τ z ( OM) = γίνεται ελάχιστ, όταν τ Μ συμπίπτει με τ ίχνς Κ της κάθετης από τ Ο στην ευθεία ε Πρσδιρίζυμε τ Κ ως σημεί τμής της ΟΚ με την ευθεία ε Είναι: OK ε λ λ = λ = ΟΚ ε Άρα η εξίσωση της ευθείας ΟΚ είναι: ΟΚ : y= y = = Λύνυμε τ σύστημα : y = 0 y = Άρα (, ), Κ πότε τ z γίνεται ελάχιστ, όταν z = i Επμένως λ= = = 0 ς τρόπς Εχυμε: ΟΚ z=λ+λ i+ i= λ+ + λ i Άρα z = λ+ + λ = λ + Οπότε ελάχιστ z =, για λ = 0 γ) i) Έχυμε: z = λ+ + λ = λ + = λ = λ = ii) Για λ= έχυμε: ( + ) + ( i) ( + i) i ( + i) ( i)( + i) i = = = = + i i i i Επμένως = + i = + i = i και ν ν ν ν i = = ν ν ν = κ, κ N Επειδή R i R Άρα ν ν= κ+, κ N λ> 0 {,,6,8,0, } ΘΕΜΑ : Δίννται ι μιγαδικί αριθμί z, u και, ι πίι ικανπιύν τις σχέσεις: u+ i z =, Re = 0, u i u i α) Να βρείτε τα μέτρα των u και β) Να απδείξετε ότι z + u + 0 γ) Να απδείξετε ότι z + u+ = zu+ u + 9z και ( + ) = 6( + ) α) Είναι: u+ i Re = 0, άρα αριθμός u + i u i u i είναι φανταστικός, πότε έχυμε: - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
4 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 Είναι: u + i u + i u + i u + i u + i u i = = = u i u i u i u i u i u + i ( ) u+ i u+ i = u i u i uu + iu + iu 9 = uu + iu + iu + 9 uu = 8 u = 8 u = 9 u = = = = = + + = = = = = = β) Υπθέτυμε ότι: z+ u+ = 0 z+ = u u = z+ z + +, πυ είναι άτπ Άρα z+ u+ 0 γ) Έχυμε: z = z = zz = z = Όμίως είναι z 9 u = και = u Είναι: 9 u+ 9z+ zu z+ u+ = z+ u+ = z+ u+ = + + = = z u z u u + 9z + zu u + 9z + zu = = = u + 9z + zu z u 6 ΘΕΜΑ : Δίννται ι μιγαδικί αριθμί z,,u Αν ισχύυν ι σχέσεις: να απδείξετε ότι: z = = u = (), z + + u 0 () και z + + u = 0 () α) z + = + u = u + z + + = 0 z u β) γ) Οι εικόνες των αριθμών z,,u, zu και z+ u+ uz z + + u είναι μκυκλικά σημεία - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
5 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 δ) z + + u = α) Από τη σχέση () έχυμε: z + = u () z + = u z + = u z + = () + u = z + u = z + u = z + u = () u + z = u + z = u + z = u + z = Επμένως z + = + u = u + z β) Είναι: Ομίως έχυμ ε Έχυμε: z 0 z = z = z z= z = z _ = και u = u z + + u =0 z + + u =0 z + + u =0 _ ( z) + ( ) + ( u) = = 0 z u _ γ) Είναι: z = = u = zu = z u = = z+ u+ uz z + u + uz z + u + uz z + u + uz = = = = z+ + u z+ + u z+ + u z + + u z + u + uz z + u + uz z + u + uz = = = zu = u uz z z+ u+ uz z u zu Άρα ι εικόνες των αριθμών z,, u, zu και κύκλ, πότε είναι μκυκλικά σημεία z + u+ uz z+ + u ανήκυν στν μναδιαί δ) Είναι: () ( z + + u) = z + + u + z+ u + uz ( z + + u) = z+ u + uz ( z + + u) = ( z+ u+ uz) z + + u = z+ u+ uz - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5
6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ 5 : z + u+ uz z + u+ uz z + + u = z + + u = z + + u z + + u z + + u = z + + u = Έστω ι μιγαδικί αριθμί z = +συν( π t) + ( 5 +ημ( πt) ) i, t [ 0, + ) α) Να απδείξετε ότι z 5i = β) Να βρείτε τη μέγιστ η και την ελάχιστη τιμή τυ z γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει t [ 0, ) ευθεία με εξίσωση δ : y = + τέτις, ώστε η εικόνα τυ z να βρίσκεται πάνω στην δ) Έστω C τέτις, ώστε = i Να απδείξετε ότι z α) Είναι z 5i = συν (π t) + i ημ (π t) = συν (π t) +ημ (π t) = z ( + 5i) = στν κύκ λ C με κέντρ β) Επειδή, η εικόνα M(z) κινείται K,5 και ακτίνα ρ= Καθώς η εικόνα M(z) κινείται στν κύκλ C, διαπιστώνυμε ότι ισχύει ( OM ) ( OM) ( OM ) ( OM ) z ( OM ), όπυ M, M είναι τα σημεία τμής της ευθείας ΟΚ και τυ κύκλυ C Επμένως : Η ελάχιστη τιμή τυ z είναι: min z = Η μέγιστη τιμή τυ ma z = OK ρ= 9 z είναι OK +ρ = 9 + γ) Βρίσκυμε την απόσταση έχυν κινό σημεί, επμένως δεν υπάρχει εικόνα 5 d K, δ = = > =ρ, άρα κύκλς C και η ευθεία δ δεν M( z) η πία να ανήκει στην ευθεία δ ς τρόπς Εχυμε = +συν( π t) και y= 5+ημ( πt) Επειδή = y +συν( π t) = 5+ημ( πt) συν( πt) ημ( π t) = αφύ ( t) ( t) Άτπ συν π ημ π δ) Επειδή = i, η εικόνα N() κινείται στην ευθεία δ : y = Καθώς η εικόνα M(z) - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6
7 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 κινείται στν κύκλ C και η εικόνα N() κινείται στην ευθεία δ :y=, διαπιστώνυμε ότι η ελάχισ τη τιμή τυ = ( MN) αι Επμένως ισχύει: ΘΕΜΑ 6 : min z = M0N = 0 d K, ρ= = z είν ( δ) z α) Αν η εικόνα τυ μιγαδικύ αριθμύ z ανήκει σε κύκλ με κέντρ απδείξετε ότι τ ίδι ισχύει και για την εικόνα τυ μιγαδικύ αριθμύ Ο 0,0 και ακτίνα ρ=, να z =, z z β) Αν z = + yi,,y R, να απδείξετε ότι z =, 5 γ) Να βρείτε τυς μιγαδικύς z και ώστε, τ z να είναι μέγιστ και να υπλγίσετε την μέγιστη τιμή τυ z z = z z = z z + z+ z = + ( + ) z = + z = + z = έχυμε: α) Είναι: = Επειδή + + = + = + + = + (+ )(+ ) = (+ )(+ ) = = = = β) Είναι: z = + y = y = () Επειδή y 0 έχυμε: 0 Είναι: ( + ) () z z z + z z yi y + yi z = z = = = = = z z z + yi + yi y () + + yi + yi y = = = = = ( ) + yi + yi + y + + y = = = γ) Η μέγιστη τιμή τυ z Έχυμε: είναι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης f( ) ( ) = 5 - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7
8 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 + f ( ) = = = ± 6 Αν 5 0 f = 0 0+ = 0 = Άρα = δεκτή ή = απρρίπτεται 8 Για = η f παρυσιάζει μέγιστ τ f = = = 5 Άρα ma z = Επίσης για = έχυμε y = = = y=± Άρα είναι i i z= ± i και = = = i ή i i + i i = = = + i + i + i ΘΕΜΑ 7 : R R Έστω συνεχής συνάρτηση f :, με f(f()) + f() = 6 () α) Nα βρείτε τις τιμές f( ) και ( ) f β) Nα απδείξετε ότι f( ) γ) Αν + f 5 lim = = f = 0 f 0 = η πία για κάθε R ικανπιεί τη σχέση limf f(), να βρείτε τ δ) Να απδείξετε ότι η εξίσωση f( f ()) + = 0 έχει δύ τυλάχιστν ρίζες στ ( ) α) Για = 0 από την () έχυμε: f f 0 +f 0 = 6 f + = 6 f = Για = από την () έχυμε: ( ) (, f f +f = 6 f + ( ) = 6 6 f = ( ) = < < = [ ] β) Είναι f 0 f 0 και η f είναι συνεχής στ,0, επμένως από θεώρημα ) - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8
9 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ενδιαμέσων τιμών θα υπάρχει τυλάχιστν ένα, 0 τέτι, ώστε f( ) 0 Για = από την () έχυμε: f( f( )) + f( )=6 f 0 + 0=6 =6 = o ή o o o o o o = = =, αφύ Άρα, 0 f =0 Είναι f( ) = <0<=f( 0) και η f είναι συνεχής στ [ 0, ], επμένως από Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών θα υπάρχει τυλάχιστν ένα ( 0, ) Για = από την () έχυμε: = τέτι, ώστε f( ) = 0 f( f( )) + f( )=6 f 0 + 0=6 =6 = = ή = =, αφύ ( 0, ) Άρα f( )=0, πότε = +f 5 g + 5 γ) Για, θεωρύμε τη συνάρτηση g( ) = f () ( ) g( ) + 5 Από υπόθεση είναι limg()=, πότε limf( ) = lim =, και u=f() = u limf f () limf u = g() = f f (), R δ) Θεωρύμε τη συνάρτηση + Η συνάρτηση g είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα,0 και 0,, ως f f() πυ είναι συνεχής ως σύνθεση συνεχών και άθρισμα συνεχών συναρτήσεων, της της σταθερής συνάρτησης Είναι: ( ) ( ) g =f f +=f 0 +=+= g 0 =f f 0 +=f += += g( ) g 0 = < 0 και ( 0) g =f f +=f 0 +=+= Επμένως g g = < 0 g()=0 f f() Ισχύει λιπόν τ Θεώρημα Bolzano σε δύ διαστήματα, άρα η εξίσωση +=0 θα έχει μια τυλάχιστν ρίζα στ διάστημα (, 0) και μια τυλάχιστν ρίζα στ διάστημα ( 0, ), δηλαδή δύ τυλάχιστν ρίζες στ διάστημα ( ), ΘΕΜΑ 8 : Δίνεται η συνεχής και γνησίως φθίνυσα συνάρτηση f:r R Αν + lim =, τότε : f(+) α) Να απδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από την αρχή των - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9
10 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 αξόνων f(ημ) β) Να βρείτε τ lim 0 γ) Να απδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει την ευθεία y = σε ένα ακριβώς σημεί (, y ) με ( 0,) α) Είναι u=+ + u lim = lim = () f(+) f(u) u 0 u Θεωρύμε τη συνάρτηση g(u) =, για u κντά στ 0, πότε g(u) f(u) = u f(u) και από () έχυμε lim g(u) = () Είναι u 0 [ ] lim g(u) f(u) = lim u limg(u) limf(u) = 0 limf(u) = 0 u 0 u 0 u 0 u 0 u 0 και αφύ η f είναι συνεχής ισχύει f( 0)=0, δηλαδή η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων β) Για κντά στ 0 είναι: f(ημ) f (ημ) ημ = ημ Έχυμε u= ημ () f(ημ) f (u) li m = lim = lim = = 0 ημ u 0 u u 0 u f(u) Επμένως f(ημ) f (ημ) ημ f(ημ) ημ lim = lim = lim lim 0 0 ημ = = 0 ημ 0 γ) Αρκεί να δείξυμε ότι η εξίσωση f () = έχει μία ακριβώς ρίζα 0, Θεωρύμε τη συνάρτηση h( ) = f () +, R Η συνάρτηση h είναι συνεχής στ διάστημα [ 0, ], Είναι ως άθρισμα συνεχών συναρτήσεων (α) h(0) = f(0) 0 + = > 0 και h() = f () + = f () < 0, γιατί η f είναι γνησίως φθίνυσα συνάρτηση, πότε > 0 f() < f(0) = 0 Άρα h( 0) h( ) <0 Ισχύει λιπόν τ Θεώρημα Bolzano, άρα η εξίσωση h() = 0 f () = έχει τυλάχιστν μία ρίζα 0, Για, 0, με ισχύυν: < f ( ) f ( ) και + > +, > - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0
11 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 πότε πρσθέτντας κατά μέλη έχυμε: f ) + > f ( ) + h( ) h( ) ( > Άρα η συνάρτηση h είναι γνησίως φθίνυσα στ ( 0, ), πότε η ρίζα είναι μναδική Δηλαδή η εξίσωση f() ΘΕΜΑ 9 : = έχει μία ακριβώς ρίζα ( 0,) Έστω η συνεχής συνάρτηση f : R πυ ικανπιεί τη σχέση α) Να λύσετε την εξίσωση f() = 0 6 R = για κάθε R f () β) Να απδείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημ σε καθένα από τα διαστήματα (,0) και ( 0, + ) γ) Αν f( ) > 0 και f < 0, να απδείξετε ότι f( ) = δ) Να απδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να ρίσετε τη συνάρτηση f ε) Να βρείτε τα κινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και f α) Έχυμε: f( 6 ) = 0 f () = 0 = 0 = 0 Άρα η εξίσωση f( ) = 0 έχει στ R μναδική ρίζα την = 0 β) Η συνάρτηση f στ (,0) είναι συνεχής και δε μηδενίζεται, πότε σε αυτό τ διάστημα διατηρεί σταθερό πρόσημ Η συνάρτηση f στ (0, + ) είναι συνεχής και δε μηδενίζεται, πότε σε αυτό τ διάστημα διατηρεί σταθερό πρόσημ Άρα η f διατηρεί σταθερό πρόσημ σε καθένα από τα διαστήματα (,0) και ( ) 0,+ γ) Η συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημ στ (,0) και από υπόθεση είναι f( )>0, πότε f()>0 για κάθε (,0) Επμένως στ διάστημα αυτό έχυμε: 6 f ( ) = f () =, αφύ <0 Επειδή f( 0) = 0 έχυμε τελικά: f( ) =, 0 () για κάθε ( ] Η συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημ στ (0, + ) και από υπόθεση είναι f<0, πότε f()<0 για κάθε ( 0, + ) Επμένως στ διάστημα αυτό έχυμε: 6 f ( ) = f () =, αφύ >0 Επειδή f( 0) = 0 έχυμε τελικά: f( ) = 0, + () για κάθε [ ) Συνδυάζντας τις περιπτώσεις () και () έχυμε: - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
12 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 f() = για κάθε R δ) Έστω, με f( ) = f( ), τότε έχυμε διαδχικά: Άρα η f είναι στ = = = R, Για να ρίσυμε τη συνάρτηση Έχυμε: πότε αντιστρέφεται f, λύνυμε την εξίσωση y= f() ως πρς y, y 0 y, y 0 y, y 0 y, y 0 y, y 0 < έχυμε f (y) = y, y 0 < < y= f() y= ( ) = y = = Επειδή ισχύει η ισδυναμία Επμένως: f () ε) Λύνυμε τ σύστημα: y = f() = f (y) < =, 0, 0 y = f() f:- y = f() y = f () y = f () y = y = f () f(y) = f( f ()) f(y) = = f(y) = y y= y= y= + y = y + y + + y =0 ( + y) y + y + =0 0 y= y= = = 0 ( +)( ) = 0 + y =0 y = y = y = y = = ή = 0 ή = (,y) = (,) ή (0,0) ή (, ) y = Άρα τα κινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και f είναι τα : Α (,), Ο(0, 0) και Β(, ) ΘΕΜΑ 0 : Δίνεται συνεχής συνάρτηση f:r R και z C έτσι, ώστε να ισχύυν: () f () + ημ = f() για κάθε R και () f() z lim = l, με l = 0 z α) Να απδείξετε ότι: i) z = z - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
13 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ii) Οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z ανήκυν στν κύκλ C: f ημ β) Nα βρείτε τ lim 0 γ) Να απδείξετε ότι η συνάρτηση g() = f () τα διαστήματα (,0) και ( 0, + ) δ) Να βρείτε όλυς τυς δυνατύς τύπυς της συνάρτησης f + y = διατηρεί σταθερό πρόσημ σε καθένα από ε) Nα απδείξετε ότι η εξίσωση ( z+ i + 5) = + 0, έχει μια τυλάχιστν ρίζα στ διάστημα, α) i) Αν διαιρέσυμε και τα δύ μέλη της σχέσης () με 0 έχυμε f() ημ f() + = για κάθε R () f( ) Από τη σχέση () έχυμε li m =, R 0 l l Αν πάρυμε τα όρια και των δύ μελών στη σχέση () έχυμε: f( ) l + = l l l+ =0 ( l ) =0 l=, δηλαδή lim = () 0 Επμένως έχυμε z z = z = z ii) Είναι z = z z z = z z zz z z + = zz z z + zz = zz = z = z = Αν θέσυμε z = + yi, τότε + y = Επμένως ι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z ανήκυν στν κύκλ C: + y = β) Για κντά στ = 0 έχυμε: Είναι o f ημ f ημ ημ f ημ ημ = = ημ ημ f ( ημ) u= ημ () f(u) lim = lim = (5), πότε έχυμε: 0 ημ u 0 u (5) ημ ημ f ημ f ημ f ημ lim lim lim lim lim = 0 ημ 0 ημ 0 0 = = = 0 γ) Για κάθε R, από τη σχέση () έχυμε: f () f () + = ημ f () = ημ g () = ημ (6) Είναι g() =0 g () =0 ημ =0 ημ = ημ = =0 Θυμίζυμε ότι, για κάθε Άρα για 0 έχυμε R ισχύει ημ και ότι η ισότητα ισχύει μόν για = 0 < < >0 > ημ ημ ημ g () 0 g() 0 Η συνάρτηση λιπόν g() = f () είναι συνεχής ως διαφρά συνεχών συναρτήσεων και δε μηδενίζεται στ R, άρα διατηρεί σταθερό πρόσημ σε καθένα από τα διαστήματα (,0) - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
14 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 και ( 0,+ ) δ) Διακρίνυμε περιπτώσεις: Στ διάστημα (,0) έχυμε: Αν g( )<0, τότε από τη σχέση (6) έχυμε g( = = = ) ημ f() ημ f() ημ (Ι) Αν g( )>0, τότε από τη σχέση (6) έχυμε g( ) = ημ f () = ημ f () = + ημ (IΙ) Στ διάστημα ( 0,+ ) έχυμε: Αν g( )<0, τότε από τη σχέση (6) έχυμε g( = = = ) ημ f() ημ f() ημ (IIΙ) Αν g( )>0, τότε από τη σχέση (6) έχυμε g( ) = ημ f () = ημ f () = + ημ (IV) Συνδυάζντας τις περιπτώσεις: (Ι) και (IIΙ) και επειδή f(0)=0 έχυμε (Ι) και (IV) και επειδή f(0)=0 έχυμε f() = ημ, R f( ) = ημ, < 0 + ημ, 0 (IΙ) και (IIΙ) και επειδή f(0)=0 έχυμε (IΙ) και (IV) και επειδή f(0)=0 έχυμε f() = ε) Θεωρύμε τη συνάρτηση στ διάστημα, και ισχύει: h = z+ i = 6 z+ i ημ +, < 0 ημ, 0 f( ) = + ημ, R h( ) = z+ i ,,, η πία είναι συνεχής h () = 8 z+ i = 8 z+ i = z+ i Όμως z i z+ i z + i 5 z+ i + 5 z+ i 6 Άρα h() 0 και h() 0, πότε h()h() 0 Διακρίνυμε περιπτώσεις: Αν h()h() = 0, τότε h = 0 ή h() = 0, άρα ρίζες της εξίσωσης είναι ι αριθμί και Αν hh() < 0, τότε ισχύει τ Θεώρημα Bolzano, πότε η εξίσωση h() = 0 θα έχει μια τυλάχιστν ρίζα, o Σε κάθε λιπόν περίπτωση η εξίσωση h() 0 = έχει μια τυλάχιστν ρίζα [, ] o - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
15 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : z Έστω ι μη μηδενικί μιγαδικί αριθμί z, Αν =+ i και η εικόνα Α τυ μιγαδικύ αριθμύ z, στ μιγαδικό επίπεδ ανήκει στ κύκλ με κέντρ Α) Να απδείξετε ότι: α) Η εικόνα Β τυ μιγαδικύ ανήκει στ μναδιαί κύκλ β) z = και z+ = 7 Β) Να απδείξετε ότι υπάρχει ξ ( 0,) ( i ) z 00 Ο ( 0,0) και ακτίνα ρ=, τότε: ξ τέτι, ώστε να ισχύει ( ξ z+ ξ + ξ z+ = e Γ) Αν lim = κ, να απδείξετε ότι κ 7 + ημ+ Α) α) Η εικόνα Α τυ μιγαδικύ αριθμύ z στ μιγαδικό επίπεδ ανήκει στν κύκλ με κέντρ z z Ο( 0,0) και ακτίνα ρ =, άρα ισχύει z = Είναι = + i = + i z z Άρα = = = = = + i + i + Επμένως η εικόνα Β τυ μιγαδικύ ανήκει στ μναδιαί κύκλ ) β) Είναι: Άρα Είναι: Άρα z + i z + i z = = =i = z z = i = 0 + ( ) z = z + i z+ + i + z+ = = =+ i = z+ z+ = + i = + ( ) z+ = 7 = ( ) στ διάστημα [ ] Β) Θεωρύμε τη συνάρτηση h() z z e H h συνεχής στ [ 0, ] ως πράξη συνεχών h( h 0) = z + e = z + = > 0 () = z+ + z+ e= z + z+ e= + 7 e< 0 Άρα h(0) h() < 0 Ισχύει λιπόν τ Θεώρημα Βolzano, πότε θα υπάρ χει ξ ( 0,) Είναι 0, τέτι, ώστε h ( ξ) = 0 ξ e h ξ = 0 ξ z+ ξ + ξ z+ = 0 ξ z+ ξ + ξ z+ =e ξ - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5
16 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 Γ) Για κάθε (0, + ) έχυμε: i z 00 i z 00 = = ημ+ ημ+ ημ ημ = =, πότε ημ 00 i z ημ + ημ Είναι lim lim 0 = =, πότε από Κριτήρι Παρεμβλής έχυμε lim = ( i ) z 00 ( i ) z Άρα + 00 lim = lim = i z ημ+ + ημ +, πότε κ = ( i ) z Ισχύει i z ( i ) z i + z 5 κ 5+ κ 7 ΘΕΜΑ : Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R R με f( ) 0 για κάθε R Θεωρύμε τυς μιγαδικύς αριθμύς u = + βi και = αi f(α) f(β) β α α) Να απδείξετε ότι Re( u)= + αβ και Im( u)= f(α)f (β) f(β) f(α) f(ξ) β) Αν I m( u)= 0 και 0 α, β, να απδείξετε ότι υπάρχει ξ ( α, β) τέτι, ώστε f(ξ) = ξ γ) Αν Re( u)= 0, να απδείξετε ότι ι αριθμί α, β είναι ετερόσημι δ) Να υπλγίσετε τ όρι lim f (00)f(00) ημ α) Είναι β α u = + βi αi = + αβ + i, f(α) f(β) f(α)f (β) f(β) f(α) άρα Re( u)= + αβ και f(α)f (β) Im u β f(β) α = f(α) β α f(α) f(β) β) Είναι Im(u) = 0 = = f(β) f(α) α β f() = Θεωρύμε τη συνάρτηση h(), [ α,β ] - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6
17 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 Η συνάρτηση h είναι παραγωγίσιμη στ [ ] f(α) = f(β) α β f () f() α,β με h() = Ισχύει λιπόν τ Θεώρημα Rolle στ διάστημα [ α, β ], πότε θα υπάρχει ξ ( α, β) ξf (ξ) f(ξ) f ξ) h(ξ) =0 =0 f ( ξ) = ( γ) Είναι ξ Re(u) = 0 αβ 0 αβ f(α)f (β) + = f(α)f (β) = () ξ τέτι, ώστε Η συνάρτηση f είναι συνεχής και f() 0 για κάθε R, άρα η f διατηρεί σταθερό πρόσημ στ R, επμένως f(α)f(β) > 0 () Από () και () έχυμε αβ< 0, άρα ι αριθμί α, β είναι ετερόσημι δ) Για κάθε (,0) έχυμε: ημ f (00)f (00) ημ = f (00)f (00) Έχυμε: Επειδή η f διατηρεί σταθερό πρόσημ στ R, ι αριθμί f (00) και f (00) Άρα είναι μόσημι, άρα f (00) f (00) > 0 ημ = t ημt lim = lim = και t 0 t lim = ημ lim f (00)f (00) ημ lim f (00)f (00) = = - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7
α) () z i z iz i Αν z i τότε i( yi) i + + y y y ( y) i i y + 4y + 4, y y 4. Άρα z i. 4 β) ( z) z i z z i z ( i) z, οπότε ( z ) i z z Άρα z z γ) Αν z τ
Λυμένα θέματα στους Μιγαδικούς αριθμούς. Δίνονται οι μιγαδικοί z, w και u z w. α) Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός z είναι φανταστικός αν και μόνο αν ισχύει z z. β) Αν για τους z και w ισχύει: z + w z w,
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 5 : Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση, με πεδί ρισμύ κι σύνλ τιμών
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ 22 1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισµός της συνέχειας Πράξεις µε συνεχείς συναρτήσεις Συνέχεια συνάρτησης σε διάστηµα Θεωρία Ασκήσεις. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται συνεχής σε σηµεί όταν f () = f ( ).
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 5 MAΪΟΥ 5 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω μια συνάρτηση f, η οποία
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΚΑΙ Θ.Μ.Τ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ασκήσεις ύο θέσεις x, x Ρίζες εξίσωσης Ανισότητες
ΜΑΘΗΜΑ 8.5 ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΚΑΙ Θ.Μ.Τ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ασκήσεις ύ θέσεις, Ρίζες εξίσωσης Ανισότητες. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στ διάστηµα [α, β] και παραγωγίσιµη στ (α, β) µε f(α) β και f(β) α. Να απδείξετε ότι
Διαβάστε περισσότερα2.1. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Oµάδας. 1.i) 1.ii) 1.iii) = 0. f x = x + 1 στο x ο. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης ( ) Λύση
. Ασκήσεις σχλικύ βιβλίυ σελίδας 9 A Oµάδας. Να βρείτε την παράγωγ της συνάρτησης ( D R ( ( ( στ. Να βρείτε την παράγωγ της συνάρτησης ( D ( R ( ( ( στ ( ( ( ( ( ( ( (.i Να βρείτε την παράγωγ της συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής zi,
Διαβάστε περισσότεραέχει μοναδική ρίζα στο. β. Να δείξετε ότι για κάθε x. x 2
. Έστω η συνάρτηση f: τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει f(). α. Να δείξετε ότι η εξίσωση f() έχει μοναδική ρίζα στο. β. Να δείξετε ότι γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση ρίζα στο. e για κάθε. t 3 63 e dt 7 έχει
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,
Διαβάστε περισσότερα52 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪΔΗ-ΜΑΝΩΛΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 26 και Φιλολάου : Τηλ.:
5 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 6 και Φιλολάου : Τηλ.: 107601470-107600179 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 01 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ 1 ο Α. i) Θεωρία, σχολικό
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 1 ΛΥΣΗ. Η τελευταία σχέση εκφράζει μια εξίσωση κύκλου που επαληθεύεται για w=0.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Έστω (z) = z iz, z. α) Να λύσετε την εξίσωση : (z) = i. β) Αν (z) = να βρείτε το z. γ) Αν z = να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w=(z) είναι κύκλος
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,
Διαβάστε περισσότεραΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα
ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,
Διαβάστε περισσότεραΣτα παρακάτω σχήµατα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων. Να βρείτε τα σηµεία στα οποία αυτές δεν είναι συνεχείς. 2 3,5 1 O. x 2.
.8 Ασκήσεις σχλικύ βιβλίυ σελίδας 97 0 A µάδας. Στα αρακάτω σχήµατα δίννται ι γραφικές αραστάσεις δύ συναρτήσεων. Να βρείτε τα σηµεία στα ία αυτές δεν είναι συνεχείς. 3 3,5 3 - εν είναι συνεχής στ αφύ
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) lim f x lim g x. z-3i 2-18= z-3 2 w-i =Im(w)+1. x x x x
ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν η F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 25 MAΪΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 5 MAΪΟΥ 5 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με (z ) και (z ) Αν f() ( z )( z )( z )( z
Διαβάστε περισσότερα1. Πότε µία γωνία λέγεται εγγεγραµµένη; Απάντηση Όταν η κορυφή της είναι σηµείο του κύκλου και οι πλευρές της είναι τέµνουσες του κύκλου
6. 6.4 σκήσεις σχλικύ βιβλίυ σελίδας 9 30 Ερωτήσεις Κατανόησης. Πότε µία γωνία λέγεται εγγεγραµµένη; πάντηση Όταν η κρυφή της είναι σηµεί τυ κύκλυ και ι πλευρές της είναι τέµνυσες τυ κύκλυ. ν φ και ω είναι
Διαβάστε περισσότεραlim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ/ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑ A ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ/ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. α) Έστω η συνάρτηση f ( ) = a µε R και p a.να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει f '( ) = a ln a. β) Έστω
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.
Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι
Διαβάστε περισσότερα5, 5 = 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ 30 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΟΝΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ + 10 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΟΝΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ + ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ 4 α Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του Έστω οι μιγαδικοί για τους οποίους
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με R(z ) = και R(z ) = Αν f() ( z )( z )( z
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α Έστω μία συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ web:
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίυ (Ελευθερίυ Βενιζέλυ) 3 06 79 ΑΘΗΝΑ email: info@hms.gr web: www.hms.gr Πρόβλημα ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 79 ς ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ «Ο ΘΑΛΗΣ»
Διαβάστε περισσότεραΑναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης
Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά)
9 ΘΕΡΙΝΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( η σειρά) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω η συνάρτηση f με f() ημ. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f () συν Β. Πότε μια συνάρτηση f λέμε
Διαβάστε περισσότεραΠολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1 ο
Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Οι απαντήσεις βρίσκονται μετά τις εκφωνήσεις Εξετάστε αν είναι αληθείς ή ψευδείς οι παρακάτω προτάσεις και αιτιολογήστε.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ 16 1.4 1.5 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ xo
ΜΑΘΗΜΑ 6.4.5 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ R Η έννια τυ ρίυ Όρι ταυττικής σταθερής συνάρτησης Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ Όρι και διάταξη Όρια και πράξεις Κριτήρι παρεµβλής Τριγωνµετρικά όρια Όρι σύνθετης συνάρτησης Θεωρία
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. β α
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω µια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > 0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο
Διαβάστε περισσότεραΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης τη f(x) στο σηµείο x ο είναι f x ) (Μονάδες 4)
Αµυραδάκη, Νίκαια (-493576) ΘΕΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 3 Α. Πότε µια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιµη στο ο ; Β. Τι σηµαίνει γεωµετρικά το θεώρηµα Rolle ; Γ. Να αποδείξετε ότι ( ) a = a ln a (Μονάδες 5) (Μονάδες
Διαβάστε περισσότερα40 επαναληπτικά θέματα
4 επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Σχολικό έτος 4 Ελεύθερη διάθεση για εκπαιδευτικούς σκοπούς ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση
Διαβάστε περισσότερααβ (, ) τέτοιος ώστε f(x
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β],
Θωμάς Ραϊκόφτσαλης ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Μέθοδος Α Αν μας ζητείτε να αποδείξουμε ότι ισχύει ένα από τα εξής: Α. Η εξίσωση f() έχει μια τουλάχιστον ρίζα ξ (α,β), Α. Υπάρχει ξ (α,β) έτσι ώστε f(ξ),
Διαβάστε περισσότεραΚ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )
ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους
Διαβάστε περισσότεραρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ευτέρα, 8 Μα ου Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΓ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α
ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο
Διαβάστε περισσότεραΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο. Έστω f μια συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο διάστημα Δίνεται επίσης συνάρτηση g συνεχής στο διάστημα Ορίζουμε τις συναρτήσεις: ftgtdt,,,
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος ) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f για την οποία ισχύει : [f()] 8 +α[f()] = -e f(), α>,για κάθε. α) Να δείξετε ότι f()=c, για κάθε,όπου c αρνητική σταθερά. β) Να βρείτε τις
Διαβάστε περισσότεραz-4 =2 z-1. 2z1 2z2 β) -4 w 4. ( ) x 1 3 x 2 e t dt, x 0
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα [α, β]. Αν η f είναι
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ 49 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α
4. ΜΑΘΗΜΑ 49 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α Έστω συνάρτηση f συνεχής στ R κι ( ) είξτε ότι 3 g() ( 3 ) f (t)dt i Υπάρχει έν τυλάχιστν ξ (3, ) ώστε Θέτυµε h() f (t)dt Η g() γράφετι g() g() f (t)dt (t )dt, R
Διαβάστε περισσότεραqwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj
qwφιeryuiopasdfghjklερυυξnmηq σwωψerβνyuςiopasdρfghjklcvbn mqweryuiopasdfghjklcvbnφγιmλι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ qπςπζαwωeτrνyuτioρνμpκaλsdfghςj Τάξη : Γ Λυκείου klcvλοπbnαmqweryuiopasdfghjkl
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ [Κεφ..: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνονται οι μιγαδικοί z,w με
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.
ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008
-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α i = βi () β αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης
Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 000-05 Περιεχόµενα Θέµατα Επαναληπτικών 05............................................. 3 Θέµατα 05......................................................
Διαβάστε περισσότερα1. Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z 1, z 2 με Re (z 1 + z 2 ) = 0, ισχύει: Re (z 1 ) + Re (z 2 ) = 0
ΣΩΣΤΑ ΛΑΘΟΣ. Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z, z με Re (z + z ) = 0, ισχύει: Re (z ) + Re (z ) = 0. Ισχύει η ισοδυναμία : i κ = i λ κ = λ για κάθε κ., λ ακεραίους αριθμούς. 3. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z
Διαβάστε περισσότεραe 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)()=- για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f()=, β) η f αντιστρέφεται, γ) f - ()=-f(), є R., δ ) να λύσετε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 53 (Απόδειξη) Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 9 (Ορισμός) Α3. Θεωρία σχολικού βιβλίου
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÏÅÖÅ. x και f ( x ) >, τότε f ( ) 0
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 3 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµα ο Α. α) Έστω η συνάρτηση ( ) στο R και ισχύει: f '( ) ηµ f = συν. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη
Διαβάστε περισσότεραΤελευταία Επανάληψη. την ευθεία x=1 και τoν x x. 2 1 x. Λύση. x 2 1 x 0, άρα. x 1 x. x x 1. γ) x 1 e x x 1 x e ln x 1 x f x.
Δίνεται η συνάρτηση ln Τελευταία Επανάληψη α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία της γ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης e, δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν
Διαβάστε περισσότεραx x = e, x > 0 έχει ακριβώς δυο Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Γ. Δίνεται η συνάρτηση f() ( )ln, >. Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ (, ] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ [, ). Στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο
Διαβάστε περισσότερα1 ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα 1 ο
ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα ο Σε κάθε μια από τις ακόλουθες προτάσεις αφού πρώτα σημειώσετε το Σ (σωστή) ή το Λ (λανθασμένη), στη συνέχεια να δώσετε μια σύντομη τεκμηρίωση της όποιας απάντησή σας Αν για
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,
Διαβάστε περισσότεραΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:
Διαβάστε περισσότερα6 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 51.
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 6 η ΕΚΑ Α 5. ίνεται η συνάρτηση ln, αν > 0 f () 0, αν 0 Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0 i Να µελετήσετε την f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιµών
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου 4 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες Α. Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραy = 2 x και y = 2 y 3 } ή
ΘΕΜΑ Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z, w για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις z = και w i =. i). Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z και w. ii). Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν μιγαδικοί αριθμοί z,
Διαβάστε περισσότερα] ) = ([f(x) ] 2 ) + (g (x) 2 = 2f(x) f (x) + 2 g (x) g (x) = 2f(x) g (x) + 2 g (x) [ f(x)] = 2f(x) g (x) 2 g (x) f(x) = 0. Άρα φ(x) = c.
1.6 Ασκήσεις σχλικύ βιβλίυ σελίδας 56 58 A Οµάδας 1. Αν για τις συναρτήσεις f, g ισχύυν : f () = g() και g () = f() για κάθε R, να αδείξετε ότι η συνάρτηση φ() = [f() ] + [g () ] είναι σταθερή. Στ διάστηµα
Διαβάστε περισσότερα[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
Διαβάστε περισσότερα( ) 11.4 11.7. Μέτρηση κύκλου. α 180. Μήκος τόξου µ ο : Μήκος τόξου α rad : l = αr. Σχέση µοιρών ακτινίων : Εµβαδόν κυκλικού δίσκου : Ε = πr 2
1 11. 11.7 Μέτρηση κύκλυ ΘΩΡΙ Μήκς τόξυ µ : µ 180 Μήκς τόξυ α rad : αr Σχέση µιρών ακτινίων : α π µ 180 µβαδόν κυκλικύ δίσκυ : ( ) µβαδόν κυκλικύ τµέα µ : µ µβαδόν κυκλικύ τµέα α rad : ( ) 1 αr µβαδόν
Διαβάστε περισσότεραΑπαντήσεις Εξεταζόμενη Ύλη: Μιγαδικοί Αριθμοί Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Διαφορικός Λογισμός (μέχρι 2.7) 03/01/2014. Θέμα A. Θέμα Β
Απαντήσεις Εξεταζόμενη Ύλη: Μιγαδικοί Αριθμοί Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Διαφορικός Λογισμός (μέχρι.7 0/01/014 Θέμα A Α 1. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5. Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 191. Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ. είναι μιγαδικοί αριθμοί, να αποδειχθεί ότι:
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ ο A. Αν z, z
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Α2. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Βolzano. Μονάδες 5
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 3 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΓια παραγγελίες των βιβλίων 2310610920
Για παραγγελίες των βιβλίων 369 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών D.A.T. ΘΕΜΑ o ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Β ΜΕΡΟΣ. Δίνεται η τέσσερις φορές παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f τέτοια ώστε : f (4) () + f () () = ημ + συν, για κάθε και f() =, f () =, f () = - και f () () =. α) Να βρείτε τον
Διαβάστε περισσότεραΣυνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ).
Κεφάλαιο 4 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα 411 Ερώτηση θεωρίας 1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Πότε μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (, ) αβ; Απάντηση Μια συνάρτηση f θα λέμε
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 27 Απριλίου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΚατεύθυνσης. Απαντήσεις Θεμάτων Πανελληνίων Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων
8 Μαΐου 0 Μαθηματικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Απαντήσεις Θεμάτων Πανελληνίων Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων Θέμα Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 53 Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 9 Α3. Σχολικό βιβλίο σελ.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o A. Θεωρία σελ. 7 Β. Θεωρία σελ. 47 Γ. α. Σωστό β. Σωστό γ. Σωστό δ. Λάθος (βρίσκεται "κάτω" από τη γραφική παράσταση) ε. Λάθος (π.χ. ()
Διαβάστε περισσότεραΚατεύθυνσης. Απαντήσεις Θεμάτων Πανελληνίων Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων
8 Μαΐου 0 Μαθηματικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Απαντήσεις Θεμάτων Πανελληνίων Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων Θέμα Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 53 Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 9 Α3. Σχολικό βιβλίο σελ.
Διαβάστε περισσότερα= R {x συν x = 0} ισχύει: 1 ( εφ x)' = συν
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις στη συνέχεια συναρτήσεων. τέτοια ώστε. lim. και
Ασκήσεις στη συνέχεια συναρτήσεων Άσκηση η Να βρεθούν τα ολικά ακρότατα των συναρτήσεων ) x, 0, ) x x a x x x, x x x x Άσκηση η Αν : a, συνεχής στο, τέτοια ώστε x x και x x Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ : 7077 594 ΑΡΤΑΚΗΣ Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ : 99 9494 www.syghrono.gr ΕΠΩΝΥΜΟ:... ΟΝΟΜΑ:... ΤΜΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.... ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 0--07 ΘΕΜΑ Α Α. Σχλικό Βιβλί σελ.
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,
Διαβάστε περισσότερα20 επαναληπτικά θέματα
0 επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Ζαχαράκης Δημήτρης Καρύμπαλης Νώντας Κλίτσας Γιώργος Κοτσώνης Γιώργος Μπούζας Δημήτρης Πετρόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2012 ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α Aπόδειξη σχολικού βιβλίου σελίδα 53 Α Ορισμός σχολικού βιβλίου σελίδα 9 Α3 Ορισμός σχολικού βιβλίου σελίδα 58 Α4 α) Σ β) Σ γ)
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 18 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2016 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. f x = x 6x + 3, x 1, 1. Η f είναι συ-
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 8 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 06 ΘΕΜΑ Α Α. i. Σωστό ii. Λάθος iii. Λάθος iv. Λάθος v. Λάθος ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ f = 6 +,,. Η f είναι συ- Α. Θεωρούμε συνάρτηση ( ) [ ]
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς x και y ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α) x - + y = - + - y β) y + = 3 - ( + ) x γ) 4y - 3y - x = - 5x + 9 δ) (x
Διαβάστε περισσότεραΘέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,
Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε
Διαβάστε περισσότεραΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ ΙΟΥΝΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
5 Σεπτεμβρίου 7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απαντήσεις Θεμάτων Επαναληπτικών Πανελλαδικών Εξετάσεων Ημερησίων και Εσπερινών Γενικών Λυκείων ΘΕΜΑ
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
Κ: Κορίνθου 55 Κ: Κανακάρη, Τηλ. 6 65.36 Fa. 6 65.366 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Βλέπε
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013
ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 3 Εισαγωγή Μέσα Μαΐου και ο πυρετός των Πανελλαδικών όλο και ανεβαίνει! Οι μαθητές ξεκοκαλίζουν τα βιβλία για να ανακαλύψουν δύσκολα θέματα διαφορετικά από αυτά που κυκλοφορούν
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Άσκηση i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε ότι
Διαβάστε περισσότεραΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1η Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 5 α) f β) f 1 1 9 γ) f δ) f log 1 4 ημ ημ συν ε) f α) Για να ορίζεται η f() πρέπει και αρκεί + (1) Έχουμε: (1).(
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο, στο οποίο όμως η είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι αν () 0 στο, ) και ()
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος)
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος) Δίνεται η εξίσωση z-=z-3i,zc α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η ευθεία ε: -3y+4= β) Να βρείτε την εικόνα του μιγαδικού z, για τον οποίο το
Διαβάστε περισσότεραΠέµπτη, 29 Μαΐου 2003 ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Πέµπτη, 9 Μαΐου ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο
Διαβάστε περισσότερα