2. Εισαγωγή στα φαινόµενα µεταφοράς µάζας (mass transfer)

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2. Εισαγωγή στα φαινόµενα µεταφοράς µάζας (mass transfer)"

Ἀμήνὄφις Αξιώτης
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 2. Εισαγωγή στα φαινόµενα µεταφοάς µάζας (mass trasfer) 2.1. Εισαγωγή Όταν νεό σε υγή κατάσταση εκτίθεται σε εύµα ξηού αέα, τότε δηµιουγείται ένα στώµα αέα µε σχετικά µεγάλη συγκέντωση σε ατµό κοντά στην επιφάνεια του νεού. Η διαφοά συγκέντωσης ατµού κοντά στην επιφάνεια και στο εύµα ξηού αέα αποτελεί την ωθούσα δύναµη για µεταφοά του ατµού από την επιφάνεια του νεού πος τον ξηό αέα. Αυτό το είδος µεταφοάς µιας ουσίας σχετικά ως πος µια άλλη ονοµάζεται µεταφοά µάζας. Κατά την διάκεια των διεγασιών µεταφοάς µάζας, µια χηµική ουσία ταξιδεύει (µεταφέεται) από πειοχές όπου έχει υψηλή συγκέντωση σε πειοχές όπου έχει χαµηλή συγκέντωση. Συνεπώς το αίτιο µεταφοάς µάζας ενός συστατικού είναι η βάθµωση της συγκέντωσης του κατά την διεύθυνση µεταφοάς κατά πλήη αντιστοιχία µε τα γνωστά φαινόµενα µεταφοάς ενέγειας όπου το αίτιο µεταφοάς είναι η βάθµωση θεµοκασίας κατά την διεύθυνση µεταφοάς. Η µεταφοά µάζας εκ της φύσεως της συνδέεται στενά µε µίγµατα χηµικών ουσιών, δηλαδή δεν νοείται η διεγασία της µεταφοάς µάζας σε συστήµατα ενός µόνο συστατικού διότι σε αυτά δεν είναι δυνατό να αναπτυχθεί η βάθµωση συγκέντωσης. Ο ανωτέω µηχανισµός µεταφοάς µάζας ονοµάζεται διάχυση µάζας (mass dffuso or coducto) και δεν αποτελεί τον µοναδικό τόπο µεταφοάς µάζας. Η διάχυση µάζας, όπως έχει ποαναφεθεί, αναφέεται στη σχετική κίνηση ενός συστατικού ενός µίγµατος ως πος τα άλλα συστατικά του µίγµατος. Όµως αυτός δεν είναι ο µοναδικός µηχανισµός µεταφοάς µάζας γιατί τα µόια κάθε συστατικού ενός µίγµατος σε ευστή κατάσταση µποεί να µεταφέονται εξαιτίας της ποσανατολισµένης κίνησης του ευστού χωίς να µεταβάλλεται η συγκέντωση τους µέσα στο µίγµα. Αυτός ο µηχανισµός µεταφοάς µάζας που έχει ως αίτιο τη οή και όχι τη βάθµωση συγκέντωσης ονοµάζεται συναγωγή µάζας (mass covecto) Έκφαση σύστασης µίγµατος Αφού η ωθούσα δύναµη για διάχυση µάζας είναι η διαφοά συγκέντωσης σε ένα τουλάχιστον συστατικό ενός µίγµατος, γίνεται φανεό ότι µιλάµε για οµογενή µίγµατα και συνεπώς καθίσταται επιτακτική ανάγκη να καθοίσουµε τους τόπους µε τους οποίους µποούµε να οίσουµε τις τοπικές ιδιότητες ενός µίγµατος Συγκέντωση µάζας ή µεική πυκνότητα συστατικού σε µίγµα ( ). Η συγκέντωση µάζας ή µεική πυκνότητα συστατικού σε µίγµα ( ) οίζεται από την παακάτω εξίσωση: m, kg/m 3 (2.1) όπου, m είναι η µάζα του συστατικού και είναι ο όγκος του µίγµατος. Συνεπώς, η πυκνότητα του µίγµατος δίνεται από την παακάτω σχέση: 15

Η διαφοά συγκέντωσης ατµού κοντά στην επιφάνεια και στο εύµα ξηού αέα αποτελεί την ωθούσα δύναµη για µεταφοά του ατµού από την επιφάνεια του νεού πος τον ξηό αέα.

2 m (2.2) όπου, m m είναι η µάζα του µίγµατος Κλάσµα µάζας συστατικού σε µίγµα (w ). Το κλάσµα µάζας εκφάζει το σχετικό ποσό του συστατικού στο µίγµα και οίζεται από την παακάτω σχέση: m w (2.3) m Εκ του οισµού ποκύπτει ότι σε κάθε µίγµα: 0 w 1 (2.4) w 1 (2.5) Γαµµοµοιακή συγκέντωση συστατικού σε µίγµα (C ). Η γαµµοµοιακή συγκέντωση συστατικού σε µίγµα (C ) οίζεται από την παακάτω εξίσωση: C, mol/m 3 (2.6) όπου, είναι ο αιθµός γαµµοµοίων του συστατικού και είναι ο όγκος του µίγµατος. Συνεπώς, η γαµµοµοιακή συγκέντωση του µίγµατος δίνεται από την παακάτω σχέση: o C C (2.77) όπου, o είναι ο ολικός αιθµός γαµµοµοίων του µίγµατος. Η γαµµοµοιακή συγκέντωση συστατικού και η συγκέντωση µάζας του συνδέονται µεταξύ τους µε την παακάτω σχέση: C m M m (2.8) M M 16

Η γαµµοµοιακή συγκέντωση συστατικού σε µίγµα (C ) οίζεται από την παακάτω εξίσωση: C, mol/m 3 (2.6) όπου, είναι ο αιθµός γαµµοµοίων του συστατικού και είναι ο όγκος του µίγµατος.

3 όπου, M είναι το µοιακό βάος του συστατικού. Από την εξίσωση (2.8) ποκύπτει ότι το µοιακό βάος ενός συστατικού ισούται µε το πηλίκο της συγκέντωσης µάζας του ή µεικής πυκνότητας του πος την γαµµοµοιακή συγκέντωση του. Κατά αντιστοιχία µποούµε να οίσουµε την έννοια του µέσου µοιακού βάους µίγµατος (M) από την παακάτω σχέση: M (2.9) C Το µέσο µοιακό βάος µίγµατος και το κλάσµα µάζας ενός συστατικού του µίγµατος συνδέονται µεταξύ τους από την παακάτω σχέση: w w 1 w C C (2.10) M M M M M Γαµµοµοιακό κλάσµα συστατικού σε µίγµα (x ). Το γαµµοµοιακό κλάσµα εκφάζει το σχετικό ποσό του συστατικού στο µίγµα και οίζεται από την παακάτω σχέση: x / C (2.11) / C o Εκ του οισµού ποκύπτει ότι σε κάθε µίγµα: 0 x 1 (2.12) C x 1 (2.13) C Το µέσο µοιακό βάος µίγµατος και το γαµµοµοιακό κλάσµα ενός συστατικού του µίγµατος συνδέονται µεταξύ τους από την παακάτω σχέση: m M C M M x M C C C C C (2.14) Τέλος, το γαµµοµοιακό κλάσµα συστατικού συνδέεται µε το κλάσµα µάζας του µέσω της παακάτω σχέσης: x M x M w (2.15) M x M ή 17

Κατά αντιστοιχία µποούµε να οίσουµε την έννοια του µέσου µοιακού βάους µίγµατος (M) από την παακάτω σχέση: M (2.

4 w M w / M x (2.16) M w / M Μοιακή πυκνότητα συστατικού σε µίγµα (Ν ). Η µοιακή πυκνότητα συστατικού σε µίγµα εκφάζει τον αιθµό των µοίων του συστατικού στη µονάδα όγκου του µίγµατος και δίνεται από τη παακάτω σχέση: N ( αιθµ όςµοίων) N A C N A (2.17) όπου, Ν Α είναι ο αιθµός Avogadro (6,023x10 23 µόια/mol) 2.3. Οισµός ταχυτήτων και οών Στο παακάτω σχήµα 2.1 απεικονίζεται σε µοιακή κλίµακα ένα ευστό τιών συστατικών όπου τα µόια του κάθε συστατικού κινούνται µε διαφοετικές µέσες ταχύτητες. Ένα τέτοιο µίγµα αποτελεί µια τυπική πείπτωση µίγµατος στο οποίο λαµβάνει χώα διεγασία µεταφοάς µάζας µε ωθούσα δύναµη τη βάθµωση συγκέντωσης. u 3 u 1 u 3 u 2 u 1 u 1 u 3 u 2 u 2 Σχήµα 2.1. Απεικόνιση σε µοιακή κλίµακα ευστού τιών συστατικών Η µέση µαζική ταχύτητα του µίγµατος u δίνεται από την παακάτω σχέση: u (2.18) u όπου, u είναι η µέση ταχύτητα του συστατικού. 18

17) όπου, Ν Α είναι ο αιθµός Avogadro (6,023x10 23 µόια/mol) 2.3. Οισµός ταχυτήτων και οών Στο παακάτω σχήµα 2.

5 Το µέγεθος διαστάσεις u εκφάζει την οµή του ευστού ανά µονάδα όγκου, δηλαδή έχει Kg m s και γιαυτό αντιποσωπεύει το υθµό οής µάζας του µίγµατος 2 (mass flux) που είναι διανυσµατικό µέγεθος. u (2.19) Κατά αναλογία, ο υθµός οής µάζας του συστατικού, παακάτω εξίσωση:,δίνεται από την u (2.20) Συνεπώς, ο υθµός οής µάζας του µίγµατος και ο υθµός οής µάζας του συστατικού συνδέονται µεταξύ τους µε την παακάτω εξίσωση (2.21): (2.21) Αφού στη γενική πείπτωση, η µεταφοά µάζας κάθε συστατικού µποεί να συντελεστεί µε δύο διαφοετικούς µηχανισµούς, τη διάχυση και τη συναγωγή, ο υθµός οής µάζας του συστατικού διάχυσης,d και το υθµό οής µάζας λόγω συναγωγής θα ισούται µε το υθµό οής µάζας λόγω.,c,d, c (2.22) Επειδή η διάχυση µάζας ενός συστατικού πειγάφεται ως η σχετική κίνηση του συστατικού ως πος το µίγµα, o υθµός οής µάζας λόγω διάχυσης υπολογίζεται από την παακάτω σχέση:,d,d u σχ, u u (2.23) Τότε από τις σχέσεις (2.20), (2.22) και (2.23) ποκύπτει ότι υθµό οής µάζας λόγω συναγωγής δίνεται από τη σχέση (2.24):,c,c u (2.24) 19

20) Συνεπώς, ο υθµός οής µάζας του µίγµατος και ο υθµός οής µάζας του συστατικού συνδέονται µεταξύ τους µε την παακάτω εξίσωση (2.21): (2.

6 Από τις εξισώσεις (2.19), (2.21), (2.22) (2.23) και (2.24), ποκύπτει ότι:,d,d,c u,d u,d 0 (2.25),d u,d Η ανωτέω εξίσωση υποδηλώνει το σχετικό χαακτήα της διάχυσης µάζας, δηλαδή όταν ένα συστατικό ενός µίγµατος -j διαχέεται κατά τη διεύθυνση χ τότε κατά την ίδια διεύθυνση χ αλλά κατά αντίθετη φοά θα διαχέεται το συστατικό j έτσι ώστε η ανωτέω εξίσωση να ισχύει. Το φαινόµενο αυτό ονοµάζεται αντιδιάχυση. Κατά αναλογία µε τη µέση µαζική ταχύτητα ενός µίγµατος µποούµε να οίσουµε τη µέση γαµµοµοιακή ταχύτητα και συνεπώς να οίσουµε τους γαµµοµοιακούς υθµούς οής στο µίγµα. C u C u (2.26) όπου, u είναι η µέση γαµµοµοιακή ταχύτητα του συστατικού. C u C u (2.27) όπου, είναι ο γαµµοµοιακός υθµός οής του µίγµατος (mole flux). Κατά αναλογία ισχύει,,d, c (2.28) και,d C u σχ, C u u (2.29) Μποεί πάα πολύ εύκολα να αποδειχθεί από τα ανωτέω ότι, x, d (2.30) καθώς επίσης ότι εξαιτίας της αντιδιάχυσης,,d 0 (2.31) 20

φοά θα διαχέεται το συστατικό j έτσι ώστε η ανωτέω εξίσωση να ισχύει. Το φαινόµενο αυτό ονοµάζεται αντιδιάχυση.

7 2.4. Νόµος FcK Όταν η σύσταση ενός µίγµατος δεν είναι οµοιόµοφη, τότε η βάθµωση της συγκέντωσης ενός συστατικού παέχει την ωθούσα δύναµη για τη διάχυση του συστατικού από τις πειοχές υψηλής συγκέντωσης πος τις πειοχές χαµηλής συγκέντωσης. Ο υθµός οής µάζας λόγω διάχυσης υπολογίζεται από το νόµο Fck που βίσκεται σε πλήη αναλογία µε το νόµο Fourer για τη µεταφοά ενέγειας.,d D m D m w (2.32) ή,d C D m x (2.33) όπου, D m είναι ο συντελεστής διάχυσης του συστατικού στο µίγµα m και εξατάται από τη θεµοκασία, τη πίεση και τη σύσταση του µίγµατος. Ο συντελεστής διάχυσης έχει τις ίδιες διαστάσεις µε το συντελεστή θεµικής διαχυτότητας α και µε το κινηµατικό ιξώδες ν ( ή συντελεστή διάχυσης οµής). Τα τία αυτά µεγέθη συνδέονται µεταξύ τους µέσω τιών αδιάστατων αιθµών. ν Pr Pr (2.34) α N adtl N Schmdt ν Sc (2.35) D m N α Sc Le (2.36) D Pr Lews m Σε ένα µίγµα δύο συστατικών 1-2, ο συντελεστής διάχυσης του συστατικού 1 ως πος το συστατικό 2, D 12, και του συστατικού 2 ως πος το συστατικό 1, D 21, είναι πάντα ίσοι µεταξύ τους Γενική εξίσωση µεταφοάς µάζας του συστατικού. Για να εξαχθεί µια γενική εξίσωση µεταφοάς µάζας για το συστατικό ενός µίγµατος, θα πέπει να γίνει ένα ισοζύγιο µάζας για το συστατικό στο στοιχείο όγκο dxdydz που απεικονίζεται στο σχήµα 2.2. Έστω ότι στη γενική πείπτωση το συστατικό παάγεται, ποφανώς µέσω µιας χηµικής αντίδασης, εντός του στοιχειώδους όγκου µε ογκοµετικό υθµό πααγωγής µάζας P (kg/m 3.s). Η γενική µοφή του ισοζυγίου µάζας για το συστατικό στο στοιχείο όγκο dxdydz δίνεται από την παακάτω εξίσωση (2.37): 21

32) ή,d C D m x (2.33) όπου, D m είναι ο συντελεστής διάχυσης του συστατικού στο µίγµα m και εξατάται από τη θεµοκασία, τη πίεση και τη σύσταση του µίγµατος.

8 Z m,zdz m,y m,x m,xdx X Y m,ydy m,z Σχήµα 2.2. Ισοζύγιο µάζας συστατικού σε στοιχείο όγκου dxdydz {Ρυθµός εισόδου µάζας } {Ρυθµός πααγωγής µάζας } {Ρυθµός εξόδου µάζας } {Ρυθµός συσσώευσης µάζας } (2.37) Όµως, {Ρυθµός εισόδου µάζας } m,x m,y m,z (2.38) όπου m είναι ο υθµός µεταφοάς µάζας συστατικού (kg/s). {Ρυθµός πααγωγής µάζας } P dxdydz (2.39) {Ρυθµός εξόδου µάζας } m,xdx m,ydy m,zdz m,x m,y m,z m,x m,y m, z dx dy dz (2.40) x y z Όµως,,x m,x m,x,x dydz m,x (,x,d,x, c ) dydz (2.41) dydz Κατά αντιστοιχία, m m,y,z ( ) dxdz (2.42),y,d,y, c ( ) dxdy (2.43),z,d,z, c Συνεπώς, m,x x dx x,x,d,x, x c dxdydz (2.44) 22

(2.37) Όµως, {Ρυθµός εισόδου µάζας } m,x m,y m,z (2.38) όπου m είναι ο υθµός µεταφοάς µάζας συστατικού (kg/s). {Ρυθµός πααγωγής µάζας } P dxdydz (2.

9 m,y y dy y,y,d,y, y c dxdydz (2.45) m,z z dz z,z,d,z, z c dxdydz (2.46) Βάσει των εξισώσεων (40), (44), (45) και (46) ποκύπτει ότι,,x,d,x, c {Ρυθµός εξόδου µάζας } m,x m,y m,z dxdydz x x,y,d,y, c,z,d,z, c dxdydz dxdydz (2.47) y y z z Τέλος, {Ρυθµός συσσώευσης µάζας } m ( ) dxdydz (2.48) Αντικαθιστώντας στο ισοζύγιο µάζας του συστατικού (Εξίσωση 2.37) τους αντίστοιχους υθµούς µεταφοάς µάζας που έχουν υπολογιστεί από τις εξισώσεις (2.38), (2.39), (2.47) και (2.48) ποκύπτει ότι,,x,d x P,x, x c,y,d,y, c,z,d,z, c y y z z,d P,c P ( D ) u m Dm P 2 u D m 2 u P (2.49) Η εξίσωση (49) αποτελεί τη γενική εξίσωση µεταφοάς µάζας για το συστατικό ενός µίγµατος. Στη πείπτωση που το µίγµα είναι στάσιµο, δηλαδή όταν δεν υπάχει οή του ευστού, η πααπάνω εξίσωση απλοποιείται στην εξίσωση (50) που πειγάφει τη γενική εξίσωση µεταφοάς µάζας για το συστατικό ενός µίγµατος σε στάσιµο µέσο. 2 Dm P (2.50) 23

47) y y z z Τέλος, {Ρυθµός συσσώευσης µάζας } m ( ) dxdydz (2.48) Αντικαθιστώντας στο ισοζύγιο µάζας του συστατικού (Εξίσωση 2.

10 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1.. H. Lehard I,. H. Lehard, A Heat Trasfer Textbook, Phlogsto Press, Cambrdge, Massachusetts, USA, K. D. Hage, Heat Trasfer wth Applcatos, Pretce Hall, R. B. Brd, W. E. Stewart, E. N. Lghtfoot, Trasport Pheomea, secod edto, oh Wley & Sos, F. P. Icropera, D. P. De Wtt, Fudametals of Heat ad Mass Trasfer, Ffth edto, oh Wley & Sos,

Lehard, A Heat Trasfer Textbook, Phlogsto Press, Cambrdge, Massachusetts, USA, 2002. 2. K. D.

Σχετικά έγγραφα

Ο ρόλος του Σύγχρονου ιεπιστηµονικού Τεχνικού Πανεπιστηµίου. H Παιδεία ως θεµελιακής σηµασίας πρωτογενής αναπτυξιακή διαδικασία * 1991

Ο ρόλος του Σύγχρονου ιεπιστηµονικού Τεχνικού Πανεπιστηµίου. H Παιδεία ως θεµελιακής σηµασίας πρωτογενής αναπτυξιακή διαδικασία * 1991 Προλεγόµενα Συνηθίζεται, στις ειδικές επιστηµονικές εκδόσεις των Πανεπιστηµίων