ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΑΙ ΙΑΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΑΙ ΙΑΤΕΤΑΜΕΝΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ Σε υτό το κεφάλιο θ νπτύξουµε τη θεωρί των δεσµευµένων κτνοµών Επιπλέον θ µελετήσουµε τις διτετγµένες σττιστικές κι θ σχοληθούµε µε την εύρεση της κτνοµής συνρτήσεων τυχίων µετλητών 5 εσµευµένη συνάρτηση πιθνότητς κι δεσµευµένη συνάρτηση πυκνότητς Έστω µί διδιάσττη δικριτή δινυσµτική τυχί µετλητή κι η πό κοινού συνάρτηση πιθνότητάς της ι κάθε δυντή τιµή της τέτοι ώστε η δεσµευµένη συνάρτηση πιθνότητς δσπ codtoal robablt ucto της δοθέντος ότι ορίζετι ως εξής: όπου : είνι η συνάρτηση πιθνότητς της τυχίς µετλητής Πρτηρούµε ότι ν οι τυχίες µετλητές είνι νεξάρτητες τότε η δσπ της δοθέντος ότι συµπίπτει µε τη µη δεσµευµένη συνάρτηση πιθνότητς της διότι Η δεύτερη ισότητ είνι συνέπει της νεξρτησίς των τυχίων µετλητών κι ι κάθε συγκεκριµένη τιµή όπου S είνι ο φορές της ορίζετι µί συνάρτηση πιθνότητς S στην οποί ντιστοιχεί µί θροιστική συνάρτηση κτνοµής G t Η συνάρτηση ucto της G κλείτι δεσµευµένη θροιστική συνάρτηση κτνοµής codtoal dstrbuto δοθέντος ότι Μπορούµε ν γράψουµε G t t Έστω µί διδιάσττη συνεχής δινυσµτική τυχί µετλητή κι η πό κοινού συνάρτηση t πυκνότητάς της ι µί συγκεκριµένη τιµή τέτοι ώστε η δεσµευµένη συνάρτηση πυκνότητς δσπ codtoal dst ucto της δοθέντος ότι ορίζετι ως εξής: : όπου είνι η συνάρτηση πυκνότητς της τυχίς µετλητής 77

2 Πρτηρούµε ότι ν οι τυχίες µετλητές είνι νεξάρτητες τότε η δσπ της δοθέντος ότι συµπίπτει µε τη µη δεσµευµένη συνάρτηση πυκνότητς της διότι Η δεύτερη ισότητ είνι συνέπει της νεξρτησίς των τυχίων µετλητών κι ι κάθε συγκεκριµένη τιµή τέτοι ώστε ορίζετι µί συνάρτηση πυκνότητς S στην οποί ντιστοιχεί µί θροιστική συνάρτηση κτνοµής G t dt Η συνάρτηση G κλείτι δεσµευµένη θροιστική συνάρτηση κτνοµής της δοθέντος ότι Μπορούµε ν γράψουµε F G t dt Πράδειγµ 5 Υποθέτουµε ότι η πό κοινού συνάρτηση πιθνότητς της διδιάσττης δικριτής δτµ δίνετι πό τις σχέσεις: 4 Υπολογίστε τη δεσµευµένη συνάρτηση πιθνότητς της δοθέντος ότι Λύση Ισχύει ότι 5 Εποµένως κι 5 5 Πράδειγµ 5 Έστω ότι ~ osso λ κι ~ osso λ Υποθέτουµε ότι οι τυχίες µετλητές είνι νεξάρτητες Αν Z : δείξτε ότι η δεσµευµένη κτνοµή της δοθέντος ότι λ Z z είνι διωνυµική µε πρµέτρους z κι : λ λ λ z z δηλδή Z z ~ B z : κι Z z K z λ λ Λύση Από το Πράδειγµ 4 έχουµε ότι Z ~ osso λ Ισχύει ότι Z z Z z Z z z λ z Z z Z z z Z z 78

3 λ λ z λ λ! z! λ λ z λ λ z! z λ λ λ λ λ λ z z Η τέτρτη ισότητ είνι συνέπει της νεξρτησίς των τυχίων µετλητών κι z Πράδειγµ 5 Η πό κοινού συνάρτηση πυκνότητς της διδιάσττης συνεχούς δτµ δίνετι πό τον τύπο ν < < κι διφορετικά Υπολογίστε τη δεσµευµένη 5 συνάρτηση πυκνότητς της δοθέντος ότι όπου < < Λύση ι < < < < έχουµε d d εσµευµένη µέση τιµή Αν κι είνι δύο δικριτές τυχίες µετλητές τότε γι κάθε δυντή τιµή της τέτοι ώστε ορίζετι ως εξής: η δεσµευµένη µέση τιµή codtoal ctato της ] ] S S δοθέντος ότι όπου S είνι το σύνολο των δυντών τιµών φορές της κι είνι η δεσµευµένη συνάρτηση πιθνότητς της δοθέντος ότι Αν κι είνι δύο συνεχείς τυχίες µετλητές τότε γι κάθε δυντή τιµή της τέτοι ώστε η δεσµευµένη µέση τιµή της δοθέντος ότι ορίζετι ως εξής: όπου ] d είνι η δεσµευµένη συνάρτηση πυκνότητς της δοθέντος ότι Πράδειγµ 54 Η πό κοινού συνάρτηση πιθνότητς µις διδιάσττης δικριτής δινυσµτικής τυχίς µετλητής δίνετι πό τον τύπο κι Ν υπολογιστούν οι 5 δεσµευµένες µέσες τιµές ] ] κι ν συγκριθούν µετξύ τους 79

4 Λύση Είνι Όµως ] κι 5 5 Άρ κι 6 Είνι ] Είνι Όµως ] κι 5 Άρ 5 Είνι ] Εποµένως ] ] > Πράδειγµ 55 Η πό κοινού συνάρτηση πυκνότητς της διδιάσττης συνεχούς δτµ δίνετι πό τον τύπο κι < < διφορετικά Υπολογίστε τη δεσµευµένη µέση τιµή όπου > Λύση Αρχικά θ υπολογίσουµε τη δεσµευµένη συνάρτηση πυκνότητς της δοθέντος ότι όπου ιδοχικά έχουµε > ] > d d d Πρτηρούµε ότι Εκθετική ~ Εποµένως d Πράδειγµ 56 Η πό κοινού συνάρτηση πυκνότητς της διδιάσττης συνεχούς δινυσµτικής τυχίς µετλητής δίνετι πό τον τύπο 4 < < κι λλού Ν υπολογιστούν οι συνρτήσεις κι Ν υπολογιστούν οι ποσότητες κι Λύση Είνι 4 4 d d < < 8

5 d 4d 4 < < 4 < < 4 < < Είνι d d d d ι την εύρεση της δεσµευµένης µέσης τιµής µις συνάρτησης της τυχίς µετλητής δοθέντος ότι ισχύουν οι εξής τύποι: ] ν οι κι είνι δικριτές τυχίες µετλητές κι ] d ν οι κι είνι συνεχείς τυχίες µετλητές Αν θέσουµε ] µ κι θεωρήσουµε τη συνάρτηση h µ R τότε πό τους πρπάνω τύπους η δεσµευµένη δικύµνση codtoal varac της δοθέντος ότι είνι Var ] h ] κι δίνετι πό τον τύπο Var ] ] ] Συµολίζουµε µε ] τη συνάρτηση της τυχίς µετλητής της οποίς η τιµή ότν είνι ] Πρτηρούµε ότι η ποσότητ ] είνι επίσης µί τυχί µετλητή ι τη συνάρτηση Var ισχύει η σχέση Var Η πρκάτω πρότση είνι σηµντικόττη κι έχει πολλές εφρµογές Πρότση 5 Έστω δύο τυχίες µετλητές Ισχύει ότι ] ]] 5 Αν η είνι µί δικριτή τυχί µετλητή τότε η σχέση 5 γράφετι ως εξής: ] ] ] Αν η είνι µί συνεχής τυχί µετλητή µε συνάρτηση πυκνότητς τότε η σχέση 5 γράφετι ως εξής: ] ] d 8

6 Στη συνέχει θ ποδείξουµε την Πρότση 5 γι την περίπτωση κτά την οποί κι οι δύο τυχίες µετλητές είνι δικριτές Απόδειξη ιδοχικά έχουµε ] ] ] ] ]] ] Η Πρότση 5 ισχύει κι ότν µί πό τις τυχίες µετλητές είνι δικριτή κι η άλλη είνι συνεχής Πράδειγµ 57 Αν A είνι έν ενδεχόµενο κι είνι µί τυχί µετλητή τότε A A ν η είνι µί δικριτή τυχί µετλητή κι d A A ν η είνι µί συνεχής τυχί µετλητή µε σπ Λύση Έστω η τυχί µετλητή τέτοι ώστε ν το ενδεχόµενο A συµίνει κι ν το ενδεχόµενο A δεν συµίνει Ισχύει ότι ] A κι ] A Εφρµόζοντς την Πρότση 5 έχουµε ] ] ]] ] A A d A Το άνω σκέλος των τελευτίων δύο ισοτήτων ντιστοιχεί στην περίπτωση που η είνι δικριτή κι το κάτω σκέλος ντιστοιχεί στην περίπτωση που η είνι συνεχής µε σπ Πράδειγµ 58 Οι τυχίες µετλητές κολουθούν τη διωνυµική κτνοµή µε πρµέτρους κι η τυχί µετλητή είνι νεξάρτητη των κι κολουθεί την κτνοµή osso µε πράµετρο N K m N N K λ Υπολογίστε τη µέση τιµή N Λύση Ισχύει ότι ] m N N N 8

7 Η δεύτερη ισότητ είνι συνέπει της νεξρτησίς των τυχίων µετλητών N κι K Άρ N N mn Συνεπώς N N ~ osso λ N N mn m N mλ Η τελευτί ισότητ προκύπτει διότι Πράδειγµ 59 Υποθέτουµε ότι ο ριθµός των τξιδιωτών που φθάνουν σε έν σιδηροδροµικό στθµό µέχρι τη χρονική στιγµή t κολουθεί την κτνοµή osso λ t όπου λ είνι ο ρυθµός µε τον οποίον οι τξιδιώτες φθάνουν στο σιδηροδροµικό στθµό Αν η χρονική στιγµή άφιξης του τρένου στο στθµό κολουθεί την Οµοιόµορφη κτνοµή στο διάστηµ T κι είνι νεξάρτητη των φίξεων των τξιδιωτών στο στθµό ποι είνι η µέση τιµή του ριθµού των τξιδιωτών που επιιάζοντι στο τρένο; Λύση Έστω η τυχί µετλητή N t που νπριστά τον ριθµό των φίξεων των τξιδιωτών στο στθµό µέχρι τη χρονική στιγµή t t Έστω ότι η τυχί µετλητή νπριστά τη χρονική στιγµή άφιξης του τρένου στο στθµό Ισχύει ότι N t ~ osso λ t κι ~ Οµοιόµορφη T Ζητάµε τη µέση τιµή N ] Ισχύει ότι N t] N t t] N t] λt Η δεύτερη ισότητ είνι συνέπει της νεξρτησίς των τυχίων µετλητών κι N t Η τελευτί ισότητ προκύπτει διότι N t ~ osso λ t Άρ N ] λ λt λ λ Συνεπώς N ] N ]] Η τελευτί ισότητ προκύπτει διότι ~ Οµοιόµορφη T Πράδειγµ 5 Αν N ~ B όπου η πιθνότητς επιτυχίς είνι µί τυχί µετλητή που κολουθεί την Οµοιόµορφη κτνοµή στο Λύση ι k διδοχικά έχουµε δείξτε ότι N k k k k N k N k d N k d d k k k k k k! k! k! d B k k k k k! k!! Η δεύτερη ισότητ προκύπτει διότι B a b κι a είνι οι συνρτήσεις Βήτ κι άµ ντίστοιχ 8

8 Πράδειγµ 5 Ένς µετλλωρύχος είνι πγιδευµένος σε έν ορυχείο το οποίο έχει τρεις πόρτες Η πρώτη πόρτ οδηγεί σε έν τούνελ το οποίο τον πελευθερώνει µετά πό πορεί τριών ωρών Η δεύτερη πόρτ οδηγεί σε έν τούνελ το οποίο τον ξνφέρνει στο ορυχείο µετά πό πορεί πέντε ωρών Η τρίτη πόρτ οδηγεί σε έν τούνελ το οποίο τον ξνφέρνει στο ορυχείο µετά πό πορεί επτά ωρών Αν υποθέσουµε ότι πάντοτε ο µετλλωρύχος διλέγει κάποι πό τις τρεις πόρτες µε την ίδι πιθνότητ ποιος είνι ο νµενόµενος χρόνος µέχρι την πελευθέρωσή του; Λύση Έστω η τυχί µετλητή που νπριστά το χρόνο µέχρι την πελευθέρωση κι η τυχί µετλητή που νπριστά την πόρτ που διλέγει ρχικά ο µετλλωρύχος Ζητάµε τη µέση τιµή ] Ισχύει ότι ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] Όµως εξ υποθέσεως ισχύει ότι ] ] 5 ] ] 7 ] Άρ ] 5 ] 7 ] ] 5 5 ιτετγµένες σττιστικές Έστω νεξάρτητες συνεχείς τυχίες µετλητές µε κοινή σπ κι συνάρτηση κτνοµής Ορίζουµε: η µικρότερη των K η δεύτερη στη σειρά µικρότερη των K M η j οστή µικρότερη των K M j η µεγλύτερη των K δηλδή ισχύει ότι L Οι τυχίες µετλητές K είνι γνωστές ως διτετγµένες σττιστικές ordr statstcs που ντιστοιχούν στις τυχίες µετλητές K ι πράδειγµ σε ένν γών δρόµου εκτό µέτρων συµµετέχουν πέντε δροµείς Αν υποθέσουµε ότι οι χρόνοι που επιτυγχάνουν οι δροµείς περιγράφοντι πό τις νεξάρτητες τυχίες µετλητές K 5 οι οποίες επιπλέον κολουθούν την ίδι κτνοµή τότε η τυχί µετλητή m K 5 ντιστοιχεί στον κλύτερο χρόνο που επιτεύχθηκε στη κούρσ η τυχί µετλητή ma K 5 ντιστοιχεί 5 στον χειρότερο χρόνο που επιτεύχθηκε στην κούρσ οι τυχίες µετλητές 84 ντιστοιχούν στους

9 χρόνους των θλητών που πήρν το σηµένιο κι το χάλκινο µετάλλιο ντίστοιχ κι η τυχί µετλητή εκφράζει τη διφορά στους χρόνους άφιξης των δύο πρώτων θλητών στο τέρµ της κούρσς Αν οι χρόνοι σε δευτερόλεπτ που πέτυχν οι πέντε θλητές σε µί συγκεκριµένη κούρσ ήτν: κι 5 οι ντίστοιχες τιµές των τυχίων µετλητών K θ 5 είνι: κι 4 5 Η πό κοινού συνάρτηση πυκνότητς της διάσττης συνεχούς δτµ K δίνετι πό τον τύπο: K K! L < < L < 5 Η σχέση 5 µπορεί ν εξηγηθεί ως εξής: ι ν είνι ίση η δτµ K µε K πρέπει κι ρκεί η δτµ K ν είνι ίση µε κάποι πό τις! µετθέσεις της άδς των τιµών K εδοµένου ότι η πό κοινού σπ της δτµ K είνι ίση µε L γι οποιδήποτε µετάθεση K των τιµών η σχέση 5 προκύπτει άµεσ K Πράδειγµ 5 Σε έν δρόµο µήκους ενός χιλιοµέτρου τρεις άνθρωποι ρίσκοντι σε τρί τυχί σηµεί του Βρείτε την πιθνότητ ν µην υπάρχουν δύο άνθρωποι η πόστση των οποίων ν είνι µικρότερη πό χιλιόµετρ όπου d Λύση Έστω οι τυχίες µετλητές που νπριστούν τη θέση του οστού νθρώπου στο δρόµο Το γεγονός ότι η θέση του κάθε νθρώπου στο δρόµο είνι εντελώς τυχί µς επιτρέπει ν θεωρήσουµε τις τυχίες µετλητές ως νεξάρτητες Επιπλέον µπορούµε ν θεωρήσουµε ότι οι d είνι οµοιόµορφ κτνεµηµένες στο διάστηµ δηλδή κτά µήκος του δρόµου ενός χιλιοµέτρου Η ζητούµενη πιθνότητ είνι ίση µε { > d } όπου είνι οι διτετγµένες σττιστικές που ντιστοιχούν στις τυχίες µετλητές Από τη σχέση 5 προκύπτει ότι η πό κοινού συνάρτηση πυκνότητς των διτετγµένων σττιστικών είνι! < < < < ιδοχικά έχουµε { > d d d } ddd! > d d d d d d d d d d d 6 d dd 6 dd 6 d 6 d d d d d 85

10 Στην τέτρτη ισότητ κάνµε την ντικτάστση d κι στην έκτη ισότητ κάνµε την ντικτάστση d Συνεπώς η πιθνότητ ν µην υπάρχουν δύο άνθρωποι η πόστση των οποίων ν είνι µικρότερη πό d χιλιόµετρ όπου d ότν υπάρχουν τρεις άνθρωποι σε έν δρόµο ενός χιλιοµέτρου οι θέσεις των οποίων είνι νεξάρτητες τυχίες µετλητές οµοιόµορφ κτνεµηµένες στο διάστηµ είνι ίση µε d Αν το πλήθος των νθρώπων είνι ίσο µε τότε η ζητούµενη πιθνότητ είνι ίση µε d] όπου d Η περιθώρι συνάρτηση πυκνότητς της j οστής διτετγµένης σττιστικής προκύπτει ν j ολοκληρώσουµε την πό κοινού συνάρτηση πυκνότητς K ως προς K K j j K Ένς άµεσος συλλογισµός που µς οδηγεί στην περιθώρι συνάρτηση πυκνότητς της διτετγµένης σττιστικής j είνι ο εξής ι ν είνι ίση µε η τυχί µετλητή j θ πρέπει j πό τις τιµές των τυχίων µετλητών κριώς µί τιµή ν είνι ίση µε K ν είνι µικρότερες πό j τιµές ν είνι µεγλύτερες πό κι Η συνάρτηση πυκνότητς οποιουδήποτε συνόλου τιµών των τυχίων µετλητών K τέτοιου ώστε j τιµές ν είνι όλες µικρότερες πό j j µεγλύτερες πό κι κριώς µί τιµή ν είνι ίση µε είνι F ] F ] j τιµές ν είνι όλες!! Επειδή υπάρχουν διφορετικοί τρόποι έτσι ώστε έν σύνολο j j j! j!! j! j! τιµών των τυχίων µετλητών K ν είνι τέτοιο ώστε j τιµές του ν είνι όλες µικρότερες πό j τιµές του ν είνι όλες µεγλύτερες πό κι κριώς µί τιµή του ν είνι ίση µε κτλήγουµε ότι η περιθώρι συνάρτηση πυκνότητς της τυχίς µετλητής j είνι! j j F ] F ] j! j! 5 j Πράδειγµ 5 Έστω ότι πρτηρούµε έν δείγµ µεγέθους δηλδή έστω ότι πρτηρούµε νεξάρτητες τυχίες µετλητές οι οποίες κολουθούν την ίδι κτνοµή Η διάµεσος mda του δείγµτος είνι η οστή µικρότερη πό υτές τις τυχίες µετλητές Αν έν δείγµ µεγέθους τρί πό την Οµοιόµορφη κτνοµή στο διάστηµ πρτηρείτι υπολογίστε την πιθνότητ η διάµεσος του δείγµτος ν ρίσκετι νάµεσ στους ριθµούς κι

11 Λύση Από τη σχέση 5 η συνάρτηση πυκνότητς της διτετγµένης σττιστικής που ντιστοιχεί στο δείγµ δίνετι πό τον τύπο! < < Άρ!! 4 4 < < d Η συνάρτηση κτνοµής της j οστής διτετγµένης σττιστικής µπορεί ν εξχθεί ολοκληρώνοντς j την εξίσωση 5 Ισχύει ότι! j j F j F ] F ] j! j! d 54 Ένς ενλλκτικός τρόπος γι ν εξχθεί άµεσ η συνάρτηση κτνοµής της τυχίς µετλητής j είνι ο εξής Η τιµή της j οστής διτετγµένης σττιστικής είνι µικρότερη ή ίση µε ν κι µόνο ν j υπάρχουν j ή περισσότερες των τυχίων µετλητών K οι οποίες είνι µικρότερες ή ίσες µε Επειδή ο ριθµός των τυχίων µετλητών K που είνι µικρότερες ή ίσες του είνι µί τυχί µετλητή που κολουθεί τη διωνυµική κτνοµή µε πρµέτρους κι F έπετι ότι F k k j ] j ή περισσότερες των K ] F ] F ] 55 k j k j Αν στις σχέσεις 54 κι 55 θεωρήσουµε ως διάστηµ k j k F τη συνάρτηση κτνοµής της Οµοιόµορφης κτνοµής στο δηλδή θεωρήσουµε ότι F < < προκύπτει η κόλουθη ενδιφέρουσ τυτότητ k k! j j d j! j! 56 Χρησιµοποιώντς πρόµοιους συλλογισµούς µε υτούς µε τους οποίους κτλήξµε στη σχέση 5 προκύπτει ότι η πό κοινού συνάρτηση πυκνότητς της διδιάσττης δτµ µε < j δίνετι πό τον τύπο j! j j F ] F j F ] F j ]! j! j! 57 j j j γι όλ τ < j Πράδειγµ 54 Κτνοµή του εύρους ενός τυχίου δείγµτος Υποθέτουµε ότι πρτηρούµε νεξάρτητες τυχίες µετλητές R : K οι οποίες κολουθούν την ίδι κτνοµή Η τυχί µετλητή κλείτι εύρος ra των πρτηρούµενων τυχίων µετλητών Αν οι τυχίες µετλητές 87

12 K έχουν κοινή συνάρτηση κτνοµής F κι κοινή συνάρτηση πυκνότητς τότε η συνάρτηση κτνοµής της τυχίς µετλητής R µπορεί ν εξχθεί χρησιµοποιώντς τη σχέση 57 ως εξής: ι a διδοχικά έχουµε { R a} { a! a} d d F F dd ]! a Κάνουµε την ντικτάστση F F d d κι έχουµε a F F ] d F a F d F a F ] { Συνεπώς R a} F a F ] d 58 Στην ειδική περίπτωση κτά την οποί οι τυχίες µετλητές διάστηµ γι < a < πό τη σχέση 58 προκύπτει ότι a K είνι οµοιόµορφ κτνεµηµένες στο { R a} F a F ] d a d d a a a a Αν πργωγίσουµε ως προς a πίρνουµε τη συνάρτηση πυκνότητς του εύρους ως εξής: R a a a a κι R a διφορετικά 54 Εύρεση της κτνοµής συνρτήσεων τυχίων µετλητών Έστω µί διδιάσττη συνεχής δτµ µε πό κοινού συνάρτηση πυκνότητς Έστω τυχίες µετλητές τέτοιες ώστε κι γι κάποιες συνρτήσεις που ικνοποιούν τις εξής δύο συνθήκες Συνθήκη Οι εξισώσεις κι µπορούν κτά µονδικό τρόπο ν λυθούν ως προς κι συνρτήσει των κι µε λύση: h h γι κάποιες συνρτήσεις h κι h Συνθήκη Οι συνρτήσεις έχουν συνεχείς µερικές πργώγους σε όλ τ σηµεί κι είνι τέτοιες ώστε η πρκάτω ορίζουσ ν είνι διάφορη του µηδενός σε όλ τ σηµεί J 88

13 Αν ισχύουν οι πρπάνω δύο συνθήκες ποδεικνύετι ότι η πό κοινού συνάρτηση πυκνότητς της διδιάσττης δτµ δίνετι πό τον τύπο J όπου h κι h γι κάποιες συνρτήσεις h κι h Πράδειγµ 55 Έστω διδιάσττη συνεχής δτµ µε πό κοινού συνάρτηση πυκνότητς Έστω τυχίες µετλητές κι Υπολογίστε την πό κοινού συνάρτηση πυκνότητς της διδιάσττης συνεχούς δτµ συνρτήσει της Λύση Έστω κι Τότε J Οι εξισώσεις κι έχουν ως λύση κι Εποµένως Αν γι πράδειγµ οι τυχίες µετλητές κολουθούν την Oµοιόµορφη κτνοµή στο διάστηµ κι είνι νεξάρτητες τότε: διφορετικά Αν γι πράδειγµ η ν κι κολουθεί την Εκθετική κτνοµή µε πράµετρο λ κι η Εκθετική κτνοµή µε πράµετρο λ κι είνι νεξάρτητες τότε: διφορετικά λλ λ λ Αν γι πράδειγµ οι τυχίες µετλητές κολουθεί την ν κι κολουθούν την τυπική κνονική κτνοµή δηλδή ~ N κι είνι νεξάρτητες τότε: π 4π 4 4π R Στην τελευτί περίπτωση προκύπτει επιπλέον το ενδιφέρον ποτέλεσµ ότι οι τυχίες µετλητές κι είνι επίσης νεξάρτητες 89

14 Πράδειγµ 56 Αν ~ άµ λ άµ ~ λ κι είνι νεξάρτητες τυχίες µετλητές υπολογίστε την πό κοινού συνάρτηση πυκνότητς της διδιάσττης συνεχούς δτµ όπου V U U κι V Λύση Η πό κοινού συνάρτηση πυκνότητς της διδιάσττης συνεχούς δτµ δίνετι πό τον τύπο: λ λ λ λ λ λ Έστω Τότε Άρ J Οι εξισώσεις u v έχουν ως λύση uv u v Εποµένως λ λ λ v v u v u uv u v u u V U Συνεπώς οι τυχίες µετλητές κι U V είνι επίσης νεξάρτητες Επιπλέον ισχύει ότι ~ άµ λ κι ~ Βήτ Πράδειγµ 57 Αν κι είνι νεξάρτητες τυχίες µετλητές δείξτε ότι ~ N ~ ~ : t Z Λύση Έστω η οηθητική τυχί µετλητή : W Τότε ZW κι Έστω W Τότε Ισχύει ότι w J Άρ w W Z w zw w w z φ όπου φ είνι η συνάρτηση πυκνότητς της τυπικής κνονικής κτνοµής κι είνι η συνάρτηση άµ 9

15 Έχουµε ότι w z w w z W Z π z R w > Όµως ξ ξ π ξ d z dw w z z W Z Z Στη δεύτερη ισότητ θέσµε z w ξ Αν θέσουµε έχουµε ξ r dr r d r ξ ξ ξ Συνεπώς Z z z π z R δηλδή ~ t Z Πράδειγµ 58 Έστω οι συντετγµένες ενός τυχίου σηµείου στο επίπεδο Υποθέτουµε ότι κι ότι είνι νεξάρτητες τυχίες µετλητές Έστω ~ N Θ R οι πολικές συντετγµένες του σηµείου Υπολογίστε την πό κοινού συνάρτηση πυκνότητς της διδιάσττης συνεχούς δτµ Θ R Λύση Θέτουµε r τοξεφ θ Τότε Άρ r J Η πό κοινού συνάρτηση πυκνότητς της διδιάσττης δτµ είνι π Εποµένως η πό κοινού συνάρτηση πυκνότητς της διδιάσττης συνεχούς δινυσµτικής τυχίς µετλητής Θ R τοξεφ δίνετι πό τον τύπο π θ π θ < < > Θ r r r r R Οι περιθώριες συνρτήσεις πυκνότητς των τυχίων µετλητών R κι Θ είνι > Θ r r d r r r R R π θ θ κι π θ π θ θ < < Θ Θ dr r R 9

16 Η κτνοµή της τυχίς µετλητής R κλείτι κτνοµή Ralh κι η κτνοµή της τυχίς µετλητής Θ είνι η Οµοιόµορφη στο διάστηµ π Πρτηρούµε ότι οι τυχίες µετλητές R κι Θ είνι επίσης νεξάρτητες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ο ΙΣΧΥΡΟΣ ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΑΛΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ ΟΡΙΑΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Τ πιο σηµντικά θεωρητικά ποτελέσµτ της Θεωρίς Πιθνοτήτων είνι τ Ορικά Θεωρήµτ τ οποί τξινοµούντι σε δύο κτηγορίες Στη πρώτη κτηγορί συµπεριλµάνοντι οι Νόµοι των Μεγάλων Αριθµών οι οποίοι δίνουν τη θεωρητική άση της διισθητικής κι πειρµτικής διπίστωσης των Μθηµτικών του 8 ου -9 ου ιών σύµφων µε την οποί ν επνλάουµε έν πείρµ τύχης πολλές φορές τότε ο σττιστικός ορισµός της πιθνότητς που ποδίδετι στον Vo Mss είνι ληθής Επιπλέον οι Νόµοι των Μεγάλων Αριθµών συνιστούν έν ισχυρό εργλείο γι τη µελέτη διάφορων θεωρητικών κι εφρµοσµένων προληµάτων Πιθνοτήτων κι Σττιστικής Στη δεύτερη κτηγορί συµπεριλµάνοντι τ Κεντρικά Ορικά Θεωρήµτ σύµφων µε τ οποί κάτω πό ρκετά γενικές συνθήκες η κτνοµή του θροίσµτος ενός µεγάλου ριθµού τυχίων µετλητών µπορεί ν προσεγγιστεί ικνοποιητικά πό µί κνονική κτνοµή Σε υτό το κεφάλιο θ προυσιάσουµε τον Ισχυρό Νόµο των Μεγάλων Αριθµών κι το Κεντρικό Ορικό Θεώρηµ 6 Όρι κολουθιών τυχίων µετλητών Στο πρόν εδάφιο πρθέτουµε κάποιους ορισµούς που θ µς οηθήσουν ν προυσιάσουµε τον Ισχυρό Νόµο των Μεγάλων Αριθµών κι το Κεντρικό Ορικό Θεώρηµ Θεωρούµε µί κολουθί τυχίων µετλητών Ω I ίνουµε τους κόλουθους ορισµούς K που ορίζοντι στον ίδιο πιθνοθεωρητικό χώρο Ορισµός 6 Λέµε ότι έχουµε µί κολουθί νεξάρτητων ddt τυχίων µετλητών K ν ισχύει ότι B K B B L B όπου B K είνι οποιδήποτε υποσύνολ του R 9

17 Ορισµός 6 Λέµε ότι έχουµε µί κολουθί ισόνοµων dtcall dstrbutd τυχίων µετλητών K ν όλες οι τυχίες µετλητές κολουθούν την ίδι κτνοµή Στη συνέχει πρθέτουµε δύο έννοιες συγκλίσεως µις κολουθίς τυχίων µετλητών K Ορισµός 6 Λέµε ότι η κολουθί τυχίων µετλητών K συγκλίνει µε πιθνότητ ή σχεδόν είως ή σχεδόν πντού covrs wth robablt στην τυχί µετλητή ν κι µόνο ν { ω Ω ω ω} Ισοδύνµ lm > ε γι έν τουλάχιστον r µε r γι κάθε ε > Λέµε ότι η κολουθί τυχίων µετλητών K συγκλίνει κτά κτνοµή covrs dstrbuto στην τυχί µετλητή ν κι µόνο ν lm F F γι κάθε σηµείο συνέχεις της συνάρτησης κτνοµής F της όπου F είνι η συνάρτηση κτνοµής της κολουθίς K Η σχεδόν έι σύγκλιση συνεπάγετι ότι σε έν σύνολο του οποίου η πιθνότητ εµφάνισης είνι ίση µε γι κάθε δειγµτικό σηµείο ω η διφορά ω ω γίνετι υθίρετ µικρή ότν το υξάνετι περιόριστ Αποδεικνύετι ότι ν η κολουθί τυχίων µετλητών πντού στην τυχί µετλητή K τότε συγκλίνει κι κτά κτνοµή στην τυχί µετλητή συγκλίνει σχεδόν Πράδειγµ 6 Έστω K νεξάρτητες κι ισόνοµες τυχίες µετλητές που κολουθούν την Οµοιόµορφη κτνοµή στο διάστηµ Έστω ma K είξτε ότι Z συγκλίνει : : κθώς κτά κτνοµή σε µί τυχί µετλητή Z η οποί κολουθεί την Εκθετική κτνοµή µε πράµετρο τη µονάδ Λύση Είνι FZ z z] < z z z < z z < < z < Η τέτρτη ισότητ είνι συνέπει της νεξρτησίς των z τυχίων µετλητών K Ισχύει ότι F z F z όπου Z ~ Εκθετική δηλδή η τυχί Z µετλητή Z συγκλίνει κθώς κτά κτνοµή στην τυχί µετλητή Z Z 6 Ο Ισχυρός Νόµος των Μεγάλων Αριθµών 9

18 Ο Ισχυρός Νόµος των Μεγάλων Αριθµών Th Stro Law o Lar Numbrs είνι έν πό τ πιο γνωστά ποτελέσµτ της Θεωρίς Πιθνοτήτων Σύµφων µε το πρκάτω θεώρηµ το οποίο πρτίθετι χωρίς πόδειξη κάτω πό κτάλληλες υποθέσεις ο δειγµτικός µέσος µις κολουθίς νεξάρτητων τυχίων µετλητών που κολουθούν µί κοινή κτνοµή συγκλίνει σχεδόν είως προς τον θεωρητικό µέσο τη µέση τιµή της κτνοµής Θεώρηµ 6 Ισχυρός Νόµος των Μεγάλων Αριθµών ΙΝΜΑ Έστω µί κολουθί νεξάρτητων κι ισόνοµων τυχίων µετλητών K τέτοιων ώστε ν υπάρχει η µέση τιµή κι η δικύµνση της τυχίς µετλητής δηλδή ν ισχύει ότι µ < κι σ Var < Τότε η τυχί µετλητή δηλδή η κολουθί των δειγµτικών µέσων συγκλίνει µε πιθνότητ ή σχεδόν είως ή σχεδόν πντού στη θεωρητική µέση τιµή µ κθώς δηλδή lm µ Ο ΙΝΜΑ ρχικά ποδείχθηκε πό τον άλλο Μθηµτικό Borl στην ειδική περίπτωση κτά την οποί η κολουθί K είνι µί κολουθί τυχίων µετλητών Broull Η γενική µορφή του ΙΝΜΑ όπως προυσιάζετι στο Θεώρηµ 6 ποδείχθηκε πό τον Ρώσο Μθηµτικό Kolmoorov Πράδειγµ 6 Θεωρούµε µί κολουθί νεξάρτητων δοκιµών ενός τυχίου πειράµτος Έστω A έν συγκεκριµένο ενδεχόµενο του πειράµτος κι A η πιθνότητ ν συµεί το ενδεχόµενο A σε µί οποιδήποτε δοκιµή Έστω η τυχί µετλητή τέτοι ώστε ν το ενδεχόµενο A συµίνει κτά την οστή δοκιµή κι ν το ενδεχόµενο A δεν συµίνει κτά την οστή δοκιµή Ισχύει ότι A σχεδόν πντού στη τυχί µετλητή A L Από τον ΙΝΜΑ η τυχί µετλητή L συγκλίνει Το ποτέλεσµ του πρδείγµτος µπορεί ν ερµηνευτεί ως εξής Αφού η νπριστά τον ριθµό των φορών κτά τις οποίες το ενδεχόµενο A συµίνει στις πρώτες δοκιµές του πειράµτος η πιθνότητ A είνι το ορικό ποσοστό των φορών κτά τις οποίες συµίνει το ενδεχόµενο A 94

19 Πράδειγµ 6 Έστω K µί κολουθί νεξάρτητων συνεχών τυχίων µετλητών µε συνάρτηση πυκνότητς c όπου c κτάλληλη πργµτική στθερά Ν ρεθεί το όριο της κολουθίς των δειγµτικών µέσων K µε την έννοι της σχεδόν είς σύγκλισης Λύση Από την ισότητ d c 6c d ρίσκουµε c Σύµφων µε τον Ισχυρό 5 6 Νόµο των Μεγάλων Αριθµών ν η µέση τιµή µ κι η δικύµνση σ της κολουθίς K είνι πεπερσµένες η κολουθί των δειγµτικών µέσων K θ συγκλίνει µε πιθνότητ σχεδόν 5 είως στη µέση τιµή µ Είνι µ ] 4 4 d < Επιπλέον ] d Άρ Var ] ] ] < 7 7 Συνεπώς lm 6 Το Κεντρικό Ορικό Θεώρηµ Το Κεντρικό Ορικό Θεώρηµ Th Ctral Lmt Thorm είνι έν πό τ πιο ξιοσηµείωτ ποτελέσµτ της Θεωρίς Πιθνοτήτων Σύµφων µε το πρκάτω θεώρηµ το άθροισµ ενός µεγάλου ριθµού νεξάρτητων τυχίων µετλητών κολουθεί µί κτνοµή η οποί προσεγγίζει την κνονική κτνοµή Όπως θ δούµε στ Πρδείγµτ 64 κι 65 το κόλουθο θεώρηµ πρέχει επιπλέον µί πλή µέθοδο γι ν υπολογίζουµε κτά προσέγγιση πιθνότητες θροισµάτων νεξάρτητων τυχίων µετλητών Θεώρηµ 6 Κεντρικό Ορικό Θεώρηµ ΚΟΘ Έστω µί κολουθί νεξάρτητων κι ισόνοµων τυχίων µετλητών K τέτοιων ώστε µ κι σ Var < Τότε η τυχί µετλητή Z σ L µ συνάρτηση κτνοµής της τυποποιηµένης κνονικής κτνοµής Φ συγκλίνει κτά κτνοµή κθώς στη δηλδή ισχύει ότι lm Z Φ π t dt γι κάθε R Ενλλκτικά η τυχί µετλητή τυχί µετλητή Z Z µπορεί ν γρφεί στη µορφή: µ Z όπου : Η σ είνι ο γενικός όρος της κολουθίς των τυποποιηµένων δειγµτικών µέσων 95

20 Η πρώτη µορφή του Κεντρικού Ορικού Θεωρήµτος ποδείχθηκε πό τον DMovr γύρω στ 7 µχ γι την ειδική περίπτωση που οι τυχίες µετλητές K είνι δίτιµες κι κολουθούν την κτνοµή Broull µε πιθνότητ επιτυχίς Η πόδειξη του DMovr γενικεύτηκε πό τον Lalac γι οποιδήποτε τιµή της πιθνότητς Μί υστηρή πόδειξη του ΚΟΘ όπως υτό διτυπώνετι στο Θεώρηµ 6 δόθηκε πό τον Ρώσο Μθηµτικό Lauov µθητή του Chbshv την περίοδο 9-9 Στη συνέχει πρθέτουµε κάποιες εφρµογές του ΚΟΘ ι την πόδειξη του ΚΟΘ πρπέµπουµε στο ιλίο του Μ Κούτρ Εισγωγή στις Πιθνότητες Μέρος ΙΙ σελ 5-7 Το ΚΟΘ µς επιτρέπει ν κτνοήσουµε το λόγο γι τον οποίον η κνονική κτνοµή κτέχει εξέχουσ θέση στη Θεωρί Πιθνοτήτων κι στη Σττιστική Τ χρκτηριστικά πχ άρος ύψος των τόµων ενός υπό εξέτση πληθυσµού περιγράφοντι πό κτάλληλες τυχίες µετλητές που µπορούν ν θεωρηθούν ως ποτέλεσµ άθροισης πολλών µικρών τυχίων πργόντων Η συσσώρευση πολλών τέτοιων µικρών τυχίων πργόντων οδηγεί σε µί µη µελητέ τυχί ποσότητ η οποί σύµφων µε το ΚΟΘ θ κολουθεί κτά προσέγγιση την κνονική κτνοµή Πράδειγµ 64 Οι κθηµερινές δικυµάνσεις µις µετοχής στο Χρηµτιστήριο Αθηνών κολουθούν υτό το χρονικό διάστηµ κάποι άγνωστη κτνοµή µε γνωστή µέση τιµή µ 5 κι δισπορά σ 5 Αν η τιµή µις µετοχής σήµερ είνι ευρώ ποι είνι η πιθνότητ σε έν µήν τριάντ ηµέρες πό σήµερ η τιµή της µετοχής ν ρίσκετι κάπου νάµεσ στ 7 κι 5 ευρώ; Λύση Έστω K νεξάρτητες κι ισόνοµες τυχίες µετλητές που νπριστούν τις κθηµερινές δικυµάνσεις της µετοχής Ζητάµε την πιθνότητ Από το ΚΟΘ η τυχί µετλητή Z : συγκλίνει κτά κτνοµή στη συνάρτηση κτνοµής 5 Φ της τυπικής κνονικής κτνοµής Άρ Φ Φ Φ Φ 5 Η δεύτερη ισότητ είνι συνέπει της Πρότσης Φ Φ 5 5

21 Πράδειγµ 65 Έστω K νεξάρτητες τυχίες µετλητές οι οποίες είνι οµοιόµορφ κτνεµηµένες στο διάστηµ Υπολογίστε κτά προσέγγιση την πιθνότητ > 6 Λύση Ισχύει ότι > 6 κι Var Από το ΚΟΘ έχουµε 5 > 6 5 Φ 6 Πράδειγµ 66 Έστω ότι ρίχνουµε έν µερόληπτο ζάρι δέκ φορές Υποθέτουµε ότι οι ρίψεις είνι νεξάρτητες Βρείτε κτά προσέγγιση την πιθνότητ ν είνι το άθροισµ των εµφνιζόµενων ριθµών µεγλύτερο του κι µικρότερο ή ίσο του 4 Λύση Έστω ότι η τυχί µετλητή νπριστά το ποτέλεσµ του οστού ζριού K Ισχύει ότι 7 5 κι Var Από το ΚΟΘ έχουµε 7 4 < < Φ Πράδειγµ 67 είξτε ότι k k k! Λύση Έστω K µί κολουθί νεξάρτητων κι ισόνοµων τυχίων µετλητών που κολουθούν την κτνοµή osso µε πράµετρο ίση µε τη µονάδ Από το Πράδειγµ 4 έπετι ότι ~ osso όπου Από το ΚΟΘ έχουµε k k k! όπου Φ είνι η συνάρτηση κτνοµής της τυπικής κνονικής κτνοµής Φ 97

22 Πράδειγµ 68 Ο ριθµός των φοιτητών που διλέγουν το µάθηµ της Ψυχολογίς είνι µί τυχί µετλητή που κολουθεί την κτνοµή osso µε πράµετρο ίση µε Ο κθηγητής έχει ποφσίσει ότι ν ο ριθµός υτός είνι µεγλύτερος ή ίσος του θ διιρέσει τους φοιτητές σε δύο τµήµτ ενώ ν είνι µικρότερος του θ διδάξει το µάθηµ σε έν τµήµ ποτελούµενο πό όλους τους φοιτητές Χρησιµοποιώντς το ΚΟΘ υπολογίστε κτά προσέγγιση την πιθνότητ ν διιρέσει ο κθηγητής τους φοιτητές σε δύο τµήµτ Λύση Έστω η τυχί µετλητή που νπριστά τον ριθµό των φοιτητών που διλέγουν το µάθηµ της Ψυχολογίς Ισχύει ότι ~ osso Η τυχί µετλητή µπορεί ν γρφεί ως εξής: L όπου K κολουθούν την κτνοµή osso µε πράµετρο ίση µε τη µονάδ Από το ΚΟΘ έχουµε όπου Φ είνι νεξάρτητες κι ισόνοµες τυχίες µετλητές που Φ 8 είνι η συνάρτηση κτνοµής της τυπικής κνονικής κτνοµής Πράδειγµ 69 ύο πίκτες Α κι Β πίζουν το εξής πιχνίδι Ρίχνουν διδοχικά έν ζάρι κι ν η ένδειξη είνι ή 5 ο πίκτης Α δίνει στον πίκτη Β ποσό ή ευρώ ντίστοιχ Αν η ένδειξη είνι 4 ή 6 ο πίκτης Β δίνει στον πίκτη Α ποσό ή ευρώ ντίστοιχ Ν υπολογισθεί η πιθνότητ σε 6 ρίψεις ο πίκτης Α ν κερδίσει τουλάχιστον 7 ευρώ ο πίκτης Α ν κερδίσει το πολύ 9 ευρώ Λύση Έστω το κέρδος του πίκτη Α κτά την οστή ρίψη του ζριού K6 Έχουµε j j Το συνολικό κέρδος του πίκτη Α σε 6 ρίψεις του ζριού 6 θ δίνετι πό την τυχί µετλητή S 6 Σύµφων µε το ΚΟΘ η τυποποιηµένη τυχί µετλητή S S Z κολουθεί κτά προσέγγιση την τυπική κνονική κτνοµή N Var S Όµως j j ] j 6 Var 4 j j j Εποµένως S 6 Var S 6 Var

23 S 7 S 7 Z Φ 8 8 Η ζητούµενη πιθνότητ είνι 59 S Οµοίως 9 4 Φ4 879 S Z 99