ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ"

Transcript

1 0 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ελευθεράκης Μ. Σταύρος Α.Ε.Μ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΓΙΑ ΒΕΛΤΙΣΤΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΩΝ ΠΗΝΙΩΝ Quality factor number of turns width (um Επιβλέπων : Άλκης Χατζόπουλος Αναπληρωτής Καθηγητής Α.Π.Θ. ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2005

2 Αφιερώνεται στη µνήµη του παππού µου I

3 II

4 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα διπλωµατική εργασία έχει ως αντικείµενο τη µελέτη και την ανάπτυξη προγράµµατος βέλτιστης σχεδίασης πηνίων, ολοκληρωµένων σε υπόστρωµα πυριτίου. Συγκεκριµένα τα εργαλεία που αναπτύχθηκαν έχουν τη δυνατότητα να παράγουν το φυσικό σχέδιο τετραγωνικών ή οκταγωνικών πηνίων που προκύπτουν έπειτα από πρόγραµµα βελτιστοποίησης. Βελτιστοποίηση, για ένα ολοκληρωµένο πηνίο, σηµαίνει αναζήτηση της µέγιστης απόδοσης του πηνίου και του ελάχιστου κόστους για την κατασκευή του. Το πρόγραµµα που αναπτύχθηκε λαµβάνει υπόψη του και τις δύο αυτές παραµέτρους και παράγει τη βέλτιστη σχεδίαση ανάλογα µε τις απαιτήσεις του χρήστη. Τα εργαλεία βέλτιστης σχεδίασης κτίστηκαν στο πρόγραµµα CADENCE και αναπτύχθηκαν σε γλώσσα SKILL. Έτσι δηµιουργήσαµε στο CADENCE µια καινούργια βιβλιοθήκη που περιλαµβάνει πηνία προϊόντα του προγράµµατος βελτιστοποίησης. Τα πηνία αυτά µπορούν να χρησιµοποιηθούν σε οποιαδήποτε σχηµατική εφαρµογή ή εφαρµογή φυσικού σχεδίου, καθώς αποτελούν απαραίτητα εξαρτήµατα για τη σύνθεση RF συστηµάτων. Επιπλέον, µέρος της διπλωµατικής εργασίας αποτέλεσε και η προσοµοίωση τετραγωνικών και οκταγωνικών ολοκληρωµένων πηνίων µε το πρόγραµµα Advanced Design System Το πρόγραµµα αυτό πραγµατοποιεί πλήρη ηλεκτροµαγνητική ανάλυση, βάσει της γεωµετρικής δοµής και των τεχνολογικών παραµέτρων κατασκευής των πηνίων. Με τις προσοµοιώσεις αυτές είχαµε την ευκαιρία να κάνουµε σύγκριση µε το θεωρητικό µοντέλο αλλά και σύγκριση της απόδοσης µεταξύ τετραγωνικών και οκταγωνικών πηνίων. Στο σηµείο αυτό θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα της διπλωµατικής εργασίας, Αναπληρωτή Καθηγητή, κ. Άλκη Χατζόπουλο, για την καθοδήγησή του καθ όλη τη διάρκεια της συνεργασίας µας. Ευχαριστώ επίσης τους υποψήφιους διδάκτορες Μπούγια Παναγιώτα και Μακρυγιάννη Ηλία για την πολύτιµη βοήθειά τους. Ελευθεράκης Σταύρος Φεβρουάριος 2005 III

5 IV

6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο ρόλος των πηνίων στη σχεδίαση RF κυκλωµάτων Σκοπός της διπλωµατικής εργασίας οµή της διπλωµατικής εργασίας...4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΩΝ C.PATRICK YUE, SIMON S.WONG Φυσικό σχέδιο ( layout του µοντέλου Ισοδύναµο σχηµατικό κύκλωµα του µοντέλου Συντελεστής ποιότητας. 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΜΕΘΟ ΩΝ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΩΝ ΠΗΝΙΩΝ Βελτιστοποίηση µέσω γεωµετρικών χαρακτηριστικών Sequential Quadratic Programming (SQP ιατύπωση της µεθόδου Αλγόριθµος SQP Γεωµετρικός προγραµµατισµός ιατύπωση της µεθόδου Εφαρµογή γεωµετρικού προγραµµατισµού στο µοντέλο των C.Patrick Yue και Simon S.Wong Παράδειγµα γεωµετρικού προγραµµατισµού Επίδραση της τεχνολογίας στην απόδοση του πηνίου Επίδραση υλικού του µετάλλου του πηνίου Επίδραση πάχους µετάλλου του πηνίου Επίδραση πάχους οξειδίου Επίδραση υποστρώµατος πυριτίου Χρήση βάσεων δεδοµένων πηνίων και ειδικών προσοµοιωτών Επίδραση της επιφάνειας σχεδίασης στην απόδοση του πηνίου..31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΩΝ ΠΗΝΙΩΝ (ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΜΕΘΟ ΟΣ Βέλτιστο πλάτος αγωγού του πηνίου Περιγραφή της µεθόδου βελτιστοποίησης Εύρεση µέγιστου συντελεστή ποιότητας Εύρεση µέγιστου συντελεστή ποιότητας µε επιλογή διαθέσιµης επιφάνειας πυριτίου Εύρεση βέλτιστης υλοποίησης για συνδυασµό µέγιστου συντελεστή ποιότητας και ελάχιστης κατανάλωσης επιφάνειας πυριτίου Επιλογή της παραµέτρου s (κενό µεταξύ των σπειρών...49 V

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΩΝ ΠΗΝΙΩΝ ΣΤΟ CADENCE ηµιουργία βιβλιοθήκης ηµιουργία φυσικού σχεδίου (layout τετραγωνικών πηνίων ηµιουργία pcell του πηνίου από κώδικα SKILL Χρήση του φυσικού σχεδίου (layout τετραγωνικών πηνίων ηµιουργία ισοδύναµου κυκλωµατικού µοντέλου ηµιουργία συµβόλου του µοντέλου Σύνταξη CDF περιγραφής του µοντέλου Σύνταξη της callback Ορισµός του υποκυκλώµατος Έλεγχος για τη σωστή λειτουργία του µοντέλου οκιµή του layout pcell Έλεγχος για την πρώτη υλοποίηση της βελτιστοποίησης Έλεγχος για τη δεύτερη υλοποίηση της βελτιστοποίησης οκιµή του ισοδύναµου κυκλώµατος Transient Analysis AC Analysis Εφαρµογή µοντέλου βελτιστοποίησης σε LNA ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΩΝ ΟΚΤΑΓΩΝΙΚΩΝ ΠΗΝΙΩΝ ΣΤΟ CADENCE ηµιουργία pcell οκταγωνικού πηνίου από κώδικα SKILL Οκταγωνικά πηνία µε βελτιστοποίηση ηµιουργία του µοντέλου octagonal_opt Έλεγχος για σωστή λειτουργία του µοντέλου octagonal_opt οκιµή του layout pcell οκιµή του ισοδύναµου κυκλώµατος Οκταγωνικά πηνία (απλό µοντέλο ηµιουργία του µοντέλου octagonal Έλεγχος για σωστή λειτουργία του µοντέλου octagonal οκιµή του layout pcell οκιµή του ισοδύναµου κυκλώµατος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΟΚΤΑΓΩΝΙΚΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΩΝ ΠΗΝΙΩΝ ΣΤΟ ADS Εισαγωγή φυσικού σχεδίου στο ADS Προσδιορισµός χαρακτηριστικών του υποστρώµατος Προσοµοιώσεις ΠΗΝΙΟ Α ΠΗΝΙΟ Β ΠΗΝΙΟ Γ Συµπεράσµατα από τις προσοµοιώσεις.127 VI

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Σύνοψη της διπλωµατικής εργασίας και συµπεράσµατα Προτάσεις για βελτίωση..131 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Παράµετροι της τεχνολογίας CMOS AMIS 0.7µm..135 Β. Προγράµµατα MATLAB..136 Γ. Αρχεία SKILL Αρχεία CDF Ε. Το αρχείο.cdsinit_local.185 ΣΤ. Οδηγίες εγκατάστασης και χρήσης της βιβλιοθήκης inductors_opt VII

9 VIII

10 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα πηνία παίζουν σηµαντικό ρόλο σε πολλές συσκευές που λειτουργούν στις ραδιοσυχνότητες ( RF συσκευές. Η χρήση τους είναι γνωστή σε εφαρµογές τόσο της ασύρµατης επικοινωνίας όσο και της ενσύρµατης. Ωστόσο, µε την πρόσφατη εκτίναξη των φορητών ηλεκτρονικών στοιχείων που βασίζονται στην ασύρµατη επικοινωνία, το µέγεθος και η απόδοση των πηνίων αποκτούν ολοένα και περισσότερο κρίσιµο ρόλο στη συνολική απόδοση των ηλεκτρονικών συστηµάτων. Τα πηνία δεν ήταν σε θέση να ακολουθήσουν το γοργό ρυθµό που σηµείωσε η τάση για µικροσκοπικοποίηση και τη βελτίωση στα ενεργά στοιχεία (τρανζίστορς Η απόλυτη ολοκλήρωση και τοποθέτηση των πηνίων στα µπλοκ των κυκλωµάτων αποτελούν προτεραιότητα για τους ηλεκτρονικούς µηχανικούς. Εκτός από τις δυσκολίες που παρατηρούνται στην κατασκευή µικρών πηνίων, υπάρχει και η πρόκληση σχεδίασης τους σύµφωνα µε τις ηλεκτρικές προδιαγραφές. Η παρούσα διπλωµατική εργασία επικεντρώνεται στην ανάπτυξη µιας βέλτιστης λύσης για τη σχεδίαση ολοκληρωµένων πηνίων. 1.1 Ο ρόλος των πηνίων στη σχεδίαση RF κυκλωµάτων Τα πηνία εδώ και πολλά χρόνια αποτελούν σηµαντικά παθητικά στοιχεία κυκλωµάτων που χρησιµοποιούνται σε εφαρµογές φίλτρων, µετατροπής ισχύος, σε αισθητήρες και σε ταλαντωτές σε χαµηλές και µέσες συχνότητες. Ωστόσο, λόγω της συνεχώς αυξανόµενης ζήτησης για σχεδίαση κυκλωµάτων µε χαµηλή κατανάλωση ισχύος και λειτουργία σε υψηλές συχνότητες έχουν γίνει πολύ γρήγορα γνωστές RF εφαρµογές πηνίων. Μερικές από αυτές είναι η προσαρµογή της σύνθετης αντίστασης σε κατανεµηµένους ενισχυτές και ενισχυτές χαµηλού θορύβου καθώς και κυκλώµατα για ταλαντωτές ελεγχόµενους από τάση (VCO [1]. Το σχήµα 1.1 δείχνει τη χρήση των πηνίων στις εφαρµογές που αναφέρθηκαν. Η χρήση των πηνίων σε αυτές τις υψηλές συχνότητες απαιτούν οι τιµές επαγωγής να µπορούν να επιτευχθούν σε µικρά µεγέθη πηνίων. (α Ενισχυτής χαµηλού θορύβου [2] (β Ταλαντωτής ελεγχόµενος από τάση [3] 1

11 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή (γ Κατανεµηµένος Ενισχυτής [2] Σχήµα 1.1 Χρήση των πηνίων σε RF κυκλώµατα Η έρευνα και η ολοένα αυξανόµενη πρόοδος που έχει επιτευχθεί σε φορητές συσκευές ασύρµατης επικοινωνίας απαιτεί χαµηλό κόστος, χαµηλή κατανάλωση ισχύος, χαµηλές τάσεις τροφοδοσίας, µικρό θόρυβο, υψηλές συχνότητες λειτουργίας και µικρή παραµόρφωση. Αυτές οι σχεδιαστικές απαιτήσεις θα ήταν αδύνατο να επιτευχθούν σε πολλές περιπτώσεις χωρίς τη χρήση πηνίων που λειτουργούν στις ραδιοσυχνότητες (RF πηνία. Έτσι υπάρχει µεγάλο κίνητρο για τη σχεδίαση, βελτιστοποίηση και µοντελοποίηση σπειροειδών πηνίων κατασκευασµένων σε υπόστρωµα πυριτίου Si. Λόγω των παραπάνω απαιτήσεων οι κατασκευαστές ολοκληρωµένων προσανατολίζονται στην προσέγγιση συστηµάτων πάνω σε ένα chip (system-on-a-chip µε στόχο να ολοκληρώσουν έναν RF ποµποδέκτη και την επεξεργασία ψηφιακού σήµατος στενής ζώνης σε ένα µόνο πλακίδιο πυριτίου. 1.2 Σκοπός της διπλωµατικής εργασίας Η σχεδίαση ολοκληρωµένων πηνίων µέχρι σήµερα δεν διέπεται από σαφής κανόνες. Η ηλεκτροµαγνητική συµπεριφορά των συσκευών αυτών µπορεί να περιγραφεί πλήρως µόνο µε τη λύση πληθώρας εξισώσεων Maxwell που είναι µια επίπονη διαδικασία και απαιτεί µεγάλη υπολογιστική ισχύ. Επίσης έχουν αναπτυχθεί πολλά πακέτα λογισµικού που να προσεγγίζουν τη συµπεριφορά των ολοκληρωµένων πηνίων αλλά η µέθοδος σχεδίασης που χρησιµοποιούν παραµένει απλοϊκή. Ο κύριος στόχος αυτής της διπλωµατικής εργασίας είναι η ανάπτυξη προγράµµατος για µια ξεκάθαρη µέθοδο σχεδίασης ολοκληρωµένων πηνίων που να µπορεί ενδεχοµένως να συνδυαστεί µε κάποια διαθέσιµα εργαλεία προσοµοίωσης που κυκλοφορούν. Χρησιµοποιώντας αυτή τη µέθοδο, ένας µηχανικός σχεδίασης RF κυκλωµάτων θα µπορεί εύκολα να καθορίζει την επιθυµητή επιφάνεια ολοκλήρωσης, την επαγωγή του πηνίου και τη συχνότητα λειτουργίας. Από τις πληροφορίες αυτές θα προκύψει το φυσικό σχέδιο (layout ενός ολοκληρωµένου πηνίου που εµφανίζει βέλτιστο συντελεστή ποιότητας. Η µέθοδος αυτή εξαλείφει µεγάλο µέρος των υπολογισµών που χρειάζονται για τη σχεδίαση πηνίων, επιτρέποντας τους µηχανικούς RF κυκλωµάτων να εστιάσουν την προσοχή τους στη σχεδίαση των κυκλωµάτων. 2

12 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Ένα επίσης σηµαντικό θέµα που µας απασχολεί στην διπλωµατική αυτή εργασία είναι η γεωµετρία του φυσικού σχεδίου των πηνίων. Τα τετραγωνικά σπειροειδή πηνία είναι τα πιο δηµοφιλή εξαιτίας του εύκολου σχεδιασµού τους. Στη βιβλιογραφία αναφέρονται και άλλα µοντέλα πηνίων, όπως εξαγωνικά, οκταγωνικά, κυκλικά κ.ά (Σχήµα 1.2. Όσα περισσότερα µοντέλα πηνίων διαθέτει ένας σχεδιαστής RF κυκλωµάτων τόσο περισσότερες είναι και οι επιλογές που έχει. Για το λόγο αυτό ένας άλλος στόχος της διπλωµατικής εργασίας είναι η δηµιουργία φυσικού σχεδίου για οκταγωνικά πηνία. Σχήµα 1.2 Είδη σπειροειδών πηνίων Επίσης σηµαντικό ρόλο στη µελέτη και τη µοντελοποίηση ολοκληρωµένων πηνίων παίζει η προσοµοίωσή τους από ειδικά πακέτα λογισµικού. Έτσι ένας ακόµη στόχος της διπλωµατικής εργασίας αποτελεί και η προσοµοίωση των µοντέλων που αναπτύχθηκαν. Οι προσοµοιώσεις έγιναν µέσω του λογισµικού πακέτου ADS2002 ( Advanced Design System όπου συγκρίναµε το θεωρητικό µοντέλο µε τις προσοµοιώσεις τετραγωνικών και οκταγωνικών πηνίων. 3

13 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.3 οµή της διπλωµατικής εργασίας Η διπλωµατική αυτή εργασία είναι χωρισµένη στις παρακάτω θεµατικές ενότητες : Κεφάλαιο 2 : Συνοπτική παρουσίαση του µοντέλου των C.Patrick Yue και S.Simon.Wong για επίπεδα σπειροειδή τετραγωνικά πηνία Κεφάλαιο 3 : Παρουσίαση διαφόρων µεθόδων βελτιστοποίησης ολοκληρωµένων πηνίων. Πλεονεκτήµατα- Μειονεκτήµατα της κάθε µεθόδου. Παραδείγµατα βελτιστοποίησης. Κεφάλαιο 4 : Αναλυτική παρουσίαση της επαναληπτικής µεθόδου που χρησιµοποιούµε για τη βελτιστοποίηση ολοκληρωµένων πηνίων. Επίτευξη διαφορετικών υλοποιήσεων βέλτιστης σχεδίασης µε βάση τη µέθοδο αυτή. Παρουσίαση ρεαλιστικών παραδειγµάτων που πιστοποιούν την σπουδαιότητα της µεθόδου. Κεφάλαιο 5 : Αναλυτική περιγραφή της διαδικασίας που ακολουθήσαµε για την ανάπτυξη προγράµµατος για βέλτιστη σχεδίαση και προσοµοίωση τετραγωνικών πηνίων. Εισαγωγή του µοντέλου αυτού στο λογισµικό του CADENCE. Παραδείγµατα εφαρµογής του µοντέλου βελτιστοποίησης. Κεφάλαιο 6 : Ανάπτυξη προγράµµατος για τη δηµιουργία φυσικού σχεδίου ολοκληρωµένων οκταγωνικών πηνίων. Επέκταση της µεθόδου βελτιστοποίησης στα οκταγωνικά πηνία. Εισαγωγή των µοντέλων οκταγωνικών πηνίων στο λογισµικό του CADENCE. Κεφάλαιο 7 : Ηλεκτροµαγνητική προσοµοίωση και σύγκριση ολοκληρωµένων τετραγωνικών και οκταγωνικών πηνίων µε το πρόγραµµα Advanced Design System Σύγκριση του θεωρητικού µοντέλου µε τις προσοµοιώσεις. Κεφάλαιο 8 : Συµπεράσµατα και µελλοντικές προτάσεις για τη µοντελοποίηση, βελτιστοποίηση και προσοµοίωση ολοκληρωµένων πηνίων Παράρτηµα : Παρατίθενται όλα τα αρχεία µε τον κώδικα SKILL, τα προγράµµατα MATLAB για τη βελτιστοποίηση των πηνίων, οι παράµετροι της τεχνολογίας AMIS CMOS 0.7 καθώς και οδηγίες εγκατάστασης και χρήσης των εξαρτηµάτων των ολοκληρωµένων πηνίων. 4

14 Κεφάλαιο 2 Μοντέλο των C.Patrick Yue, Simon S.Wong ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΩΝ C.PATRICK YUE, SIMON S.WONG Το συγκεκριµένο µοντέλο αποτελεί ένα φυσικό µοντέλο για επίπεδα σπειροειδή τετραγωνικά πηνία σε πυρίτιο Si. Ο λόγος της επιλογής αυτού του µοντέλου είναι αφενός το γεγονός ότι περιγράφεται από ένα αρκετά απλοποιηµένο ισοδύναµο κύκλωµα και αφετέρου ότι υπάρχουν αναλυτικοί τύποι και µαθηµατικές εξισώσεις που συνδέουν όλα τα στοιχεία του κυκλώµατος µε τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά του πηνίου και τις τεχνολογικές παραµέτρους. Ακόµα και ο συντελεστής ποιότητας Q του πηνίου, που παίζει πρωτεύοντα ρόλο στη βελτιστοποίηση του πηνίου, περιγράφεται από µια αντίστοιχη µαθηµατική εξίσωση, όπως θα δούµε παρακάτω. 2.1 Φυσικό σχέδιο (layout του µοντέλου Το φυσικό σχέδιο όλων των µοντέλων τετραγωνικών πηνίων προσδιορίζεται πλήρως από τις παρακάτω τέσσερις γεωµετρικές παραµέτρους : Αριθµός των σπειρών (Ν Πάχος της µεταλλικής γραµµής (w Κενό µεταξύ των σπειρών (s Εξωτερική διάµετρος (od Tο φυσικό σχέδιο του πηνίου µπορεί επίσης να καθοριστεί χρησιµοποιώντας την εσωτερική διάµετρο (id αντί της εξωτερικής (od. Στο σχήµα 2.1 φαίνεται το φυσικό σχέδιο ενός τετραγωνικού πηνίου µε τρεις σπείρες. 5

15 Κεφάλαιο 2 Μοντέλο των C.Patrick Yue, Simon S.Wong Σχήµα 2.1 Φυσικό σχέδιο τετραγωνικού πηνίου τριών σπειρών Στο σχήµα 2.2 φαίνεται η διατοµή του τµήµατος ΑΑ του πηνίου του σχήµατος 2.1. Το πηνίο σχεδιάζεται στο ανώτερο στρώµα για να εκµεταλλεύεται τη µικρή σειριακή αντίσταση και να βρίσκεται µακριά από το υπόστρωµα πυριτίου που προκαλεί απώλειες. Η επαφή µε το κέντρο του πηνίου πραγµατοποιείται µέσω µιας γραµµής µετάλλου σε χαµηλότερο επίπεδο που διαπερνάει τις σπείρες από κάτω και καταλήγει σε σηµείο εξωτερικό του πηνίου (underpass. Όλη η δοµή χωρίζεται από το υπόστρωµα του πυριτίου µέσω µιας επιφάνειας οξειδίου. 6

16 Κεφάλαιο 2 Μοντέλο των C.Patrick Yue, Simon S.Wong Σχήµα 2.2 Όψη της τοµής του πηνίου και του underpass Ο ρόλος του πηνίου είναι να αποθηκεύει µόνο µαγνητική ενέργεια. Όµως, στην πράξη, ένα πραγµατικό πηνίο περιέχει αντίσταση (R και χωρητικότητα (C που είναι αντιπαραγωγικά και εποµένως θεωρούνται παρασιτικά. Οι παρασιτικές αντιστάσεις σπαταλούν ενέργεια µέσω των ωµικών απωλειών, ενώ οι παρασιτικές χωρητικότητες αποθηκεύουν ηλεκτρική ενέργεια. Γενικά τα RC παρασιτικά µειώνουν την ποιότητα του πηνίου. Το φυσικό µοντέλο ενός πηνίου φαίνεται στο σχήµα 2.3 όπου φαίνεται η τοµή ενός σπειροειδούς πηνίου πάνω σε πυρίτιο και τονίζονται τα παρασιτικά του στοιχεία. Η επαγωγή και η αντίσταση του πηνίου εκφράζονται από την επαγωγή L s και την αντίσταση R s αντίστοιχα. Η επικάλυψη ανάµεσα στο πηνίο και το underpass εµφανίζει χωρητική σύζευξη ανάµεσα στα δύο άκρα του πηνίου. Αυτό το ανατροφοδοτούµενο κοµµάτι προσοµοιώνεται από τη χωρητικότητα C s. Η 7

17 Κεφάλαιο 2 Μοντέλο των C.Patrick Yue, Simon S.Wong χωρητικότητα οξειδίου ανάµεσα στο πηνίο και το υπόστρωµα πυριτίου εκφράζεται από την C ox. Επίσης η αντίσταση και η χωρητικότητα του υποστρώµατος εκφράζονται από τις R si και C si αντίστοιχα. Σχήµα 2.3 Όψη της τοµής ενός τυπικού πηνίου πάνω σε υπόστρωµα πυριτίου, στην οποία τονίζονται η επαγωγή και τα RC παρασιτικά. 2.2 Ισοδύναµο σχηµατικό κύκλωµα του µοντέλου Το ισοδύναµο σχηµατικό κύκλωµα λοιπόν που προτείνουν οι C.Patrick Yue, Simon S.Wong για την περιγραφή ενός πραγµατικού πηνίου φαίνεται πιο καθαρά στο σχήµα 2.4. Το µοντέλο αυτό περιγράφει πλήρως τα φαινόµενα υποστρώµατος και το επιδερµικό φαινόµενο. 8

18 Κεφάλαιο 2 Μοντέλο των C.Patrick Yue, Simon S.Wong 9 Σχήµα 2.4 Α Ισοδύναµο κύκλωµα Τα στοιχεία του ισοδύναµου κυκλώµατος του σχήµατος 2.4 έχει βρεθεί [4] πως δίνονται από τους παρακάτω τύπους : Csub w l Csi G w l R t w l C t w N C t w l R sub si ox ox ox M oxm ox s eff s = = = = = ε ε ρ = l Nd l Nd Nd l Nd l N N t w N l l Ls ln 1 ( ( ln π µ

19 Κεφάλαιο 2 Μοντέλο των C.Patrick Yue, Simon S.Wong µε t δ 1 e t δ eff = ρ δ = το βάθος διείσδυσης (skin depth πµ f + (3N 2Ni 1( Ni + 1 d = ( w + s ή 3(2N Ni 1 ( + 1 d + = ( w + s N (για ακέραιο 3 αριθµό σπειρών 1 όπου ρ : η ειδική αντίσταση της µεταλλικής γραµµής του πηνίου l : το συνολικό µήκος όλων των τµηµάτων του πηνίου ε ox : η διηλεκτρική σταθερά του στρώµατος οξειδίου SiO 2 µεταξύ πηνίου και υποστρώµατος t ox : το πάχος του στρώµατος οξειδίου SiO 2 µεταξύ πηνίου και υποστρώµατος (βλέπε σχήµα 2.2 t oxm1-m2 : το πάχος οξειδίου ανάµεσα στο πηνίο και το underpass (βλέπε σχήµα 2.2 Csub : η χωρητικότητα υποστρώµατος πυριτίου Si ανά µονάδα επιφάνειας Gsub : η αγωγιµότητα υποστρώµατος πυριτίου Si ανά µονάδα επιφάνειας. t : το πάχος της µεταλλικής γραµµής µ : η µαγνητική διαπερατότητα του µετάλλου f : η συχνότητα µ ο : η µαγνητική διαπερατότητα του κενού N i : το ακέραιο µέρος των Ν σπειρών 1 Στην παρούσα διπλωµατική εργασία θα αναφερόµαστε πάντα σε ακέραιο αριθµό σπειρών οπότε ισχύει ο δεύτερος τύπος για το µέγεθος d + 10

20 Κεφάλαιο 2 Μοντέλο των C.Patrick Yue, Simon S.Wong 2.3 Συντελεστής Ποιότητας Για την εύρεση του συντελεστή ποιότητας Q oι C.Patrick Yue, Simon S.Wong πρότειναν ένα επιπλέον ισοδύναµο κυκλωµατικό µοντέλο (σχήµα 2.5 που προέκυψε από το αρχικό ισοδύναµο του σχήµατος 2.4 Σχήµα 2.5 Β Ισοδύναµο κύκλωµα Στο κύκλωµα αυτό τα στοιχεία R p και C p έχουν αντικαταστήσει τα στοιχεία C ox, C si και R si του σχήµατος 2.4 και συνδέονται µεταξύ τους µε τις σχέσεις : ω = 2πf Με αυτόν τον τρόπο είναι δυνατόν ο συντελεστής ποιότητας Q να περιγραφεί από τον τύπο : 11

21 Κεφάλαιο 2 Μοντέλο των C.Patrick Yue, Simon S.Wong ή αλλιώς Ο πρώτος όρος Q intrinsic αντιπροσωπεύει τη µαγνητική ενέργεια που αποθηκεύεται στο πηνίο και τις ωµικές απώλειες πάνω στην εν σειρά αντίσταση. Ο δεύτερος όρος F substrate είναι ο παράγοντας απωλειών του υποστρώµατος και αντιστοιχεί στην απώλεια ενέργειας στο υπόστρωµα πυριτίου Si. Ο τελευταίος όρος F self-resonance είναι ο παράγοντας συντονισµού, ο οποίος περιγράφει τη µείωση του Q εξαιτίας της αύξησης της µέγιστης ηλεκτρικής ενέργειας µε τη συχνότητα και το µηδενισµό του Q στη συχνότητα συντονισµού. Για να βρούµε τη συχνότητα συντονισµού f 0 θέτουµε τον όρο F self-resonance ίσο µε µηδέν και λύνουµε ως προς f 0. Τελικά προκύπτει : 12

22 Κεφάλαιο 3 Παρουσίαση µεθόδων βελτιστοποίησης ολοκληρωµένων πηνίων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΜΕΘΟ ΩΝ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΩΝ ΠΗΝΙΩΝ Τα επίπεδα σπειροειδή πηνία πάνω σε chip αποτελούν βασικά εξαρτήµατα σε συσκευές που λειτουργούν σε ραδιοσυχνότητες ( RFIC s της τάξης των µερικών GHz. Τα τελευταία χρόνια η σχεδίαση και η βελτιστοποίηση των ολοκληρωµένων επίπεδων σπειροειδών πηνίων έχει προσελκύσει το ενδιαφέρον οµάδων σχεδίασης ολοκληρωµένων κυκλωµάτων και αυτοµατισµού σχεδίασης ηλεκτρονικών συσκευών. Ο σκοπός της βελτιστοποίησης των πηνίων ποικίλει ανάλογα µε την εφαρµογή. Μπορεί να είναι η επίτευξη υψηλού συντελεστή ποιότητας Q, η επίτευξη µικρής κατανάλωσης επιφάνειας πυριτίου ή ακόµα και η επίτευξη χαµηλών παρασιτικών φαινοµένων. Γενικά υπάρχουν τρεις κυρίως κατηγορίες απωλειών που υποβαθµίζουν τον συντελεστή ποιότητας Q του πηνίου : οι απώλειες λόγω της σειριακής αντίστασης του σπειροειδούς πηνίου, η ηλεκτρική σύζευξη που παρατηρείται µεταξύ του σπειροειδούς πηνίου και του υποστρώµατος και τα δινορεύµατα που αναπτύσσονται στο υπόστρωµα λόγω µαγνητικών φαινοµένων. Στο [5], οι απώλειες υποστρώµατος εξαιτίας των δινορευµάτων µειώνονται σηµαντικά µε την προσθήκη µιας αγώγιµης ασπίδας γείωσης µεταξύ του σπειροειδούς πηνίου και του υποστρώµατος, όπως φαίνεται στο σχήµα 3.1. Η ασπίδα γείωσης αυτή παρέχει ουσιαστικά βραχυκύκλωµα µε τη γη. Το µειονέκτηµα αυτής της µεθόδου είναι η διατάραξη του µαγνητικού πεδίου του πηνίου, εποµένως και της συνολικής επαγωγής που παρουσιάζει το πηνίο. Για να είναι ικανοποιητικό το αποτέλεσµα, οι ασπίδες γείωσης σχεδιάζονται µε ειδικό τρόπο, έχουν δηλαδή ειδική µορφή, όπως αυτή που φαίνεται στο σχήµα 3.2. [5] Σχήµα 3.1 Πηνίο 3 σπειρών µε ασπίδα γείωσης 13

23 Κεφάλαιο 3 Παρουσίαση µεθόδων βελτιστοποίησης ολοκληρωµένων πηνίων Σχήµα 3.2 Κάτοψη της ασπίδας γείωσης ειδικής µορφής Στο [6], η ηλεκτρική και η µαγνητική σύζευξη που υφίσταται στο υπόστρωµα πρακτικά εξουδετερώνονται από τη χάραξη µιας κοιλότητας στο υπόστρωµα κάτω από το σπειροειδές πηνίο. Η µέθοδος αυτή όµως παρουσιάζει το µειονέκτηµα υψηλότερου κόστους επεξεργασίας και γεννά ερωτήµατα για την απόδοση του chip και την µακροπρόθεσµη µηχανική του σταθερότητα. 3.1 Βελτιστοποίηση µέσω γεωµετρικών χαρακτηριστικών Η απώλεια ενέργειας λόγω της σειριακής αντίστασης του σπειροειδούς πηνίου µπορεί να µειωθεί µόνο µέσω βελτιστοποίησης των γεωµετρικών παραµέτρων του πηνίου, όπως ο αριθµός των σπειρών, η εξωτερική διάµετρος, το πλάτος των µεταλλικών γραµµών που αποτελούν το πηνίο και το κενό µεταξύ των γειτονικών µεταλλικών γραµµών. Οι µέθοδοι που στηρίζονται σε αυτή την τεχνική είναι πρωτίστως µαθηµατικοί. Οι σπουδαιότερες από αυτές είναι η επαναληπτική µέθοδος (enumeration για την οποία γίνεται εκτενέστερη αναφορά στο κεφάλαιο 4, η χρήση τετραγωνικού προγραµµατισµού ( Sequential Quadratic Programming και η χρήση γεωµετρικού προγραµµατισµού ( Geometric Programming. 14

24 Κεφάλαιο 3 Παρουσίαση µεθόδων βελτιστοποίησης ολοκληρωµένων πηνίων Sequential Quadratic Programming (SQP Με τη χρήση του τετραγωνικού προγραµµατισµού ( SQP είναι δυνατή η βελτιστοποίηση του συντελεστή ποιότητας Q των ολοκληρωµένων σπειροειδών πηνίων. Η µέθοδος αυτή είναι µια µαθηµατική διαδικασία βασισµένη στην παρατήρηση ότι σχεδόν κάθε συνεχής συνάρτηση µπορεί τοπικά να προσεγγιστεί από µια δευτεροβάθµια συνάρτηση και έχει την ιδιότητα να συγκλίνει γραµµικά αν οι αρχικές τιµές των επαναλήψεων βρίσκονται αρκετά κοντά στην τελική βέλτιστη λύση. Σε σύγκριση µε την επαναληπτική µέθοδο, η τεχνική αυτή είναι γρηγορότερη τουλάχιστον κατά µια τάξη µεγέθους, ενώ διατηρείται ίδια η ποιότητα της βελτιστοποιηµένης σχεδίασης. Σε σύγκριση µε τη µέθοδο του γεωµετρικού προγραµµατισµού, η µέθοδος SQP µπορεί να χρησιµοποιηθεί µε οποιοδήποτε φυσικό µοντέλο πηνίου, για να βελτιστοποιηθεί η λειτουργία της συσκευής που το περιέχει, σε οποιαδήποτε συχνότητα. Το γεγονός αυτό καθιστά τη χρήση του SQP κατάλληλη σε ευρύ φάσµα εφαρµογών. Η µέθοδος αυτή στηρίζεται σε µια λογισµική µηχανή εξόρυξης ( extraction machine σπειροειδών πηνίων παρόµοια µε αυτή που χρησιµοποιείται στο πρόγραµµα ASITIC [7]. Ο συντελεστής ποιότητας και η ουσιαστική επαγωγή της διάταξης εξάγονται από τις Y παραµέτρους δύο θυρών, ενώ το επιδερµικό φαινόµενο και το φαινόµενο γειτνίασης λαµβάνονται υπόψη αυτόµατα µέσω του meshing των µεταλλικών γραµµών κατά µήκος αυτών. Ο όρος meshing εκφράζει τη διαδικασία κατά την οποία ο προσοµοιωτής χωρίζει σε µικρά πλέγµατα το φυσικό σχέδιο (layout του πηνίου, πριν ξεκινήσει η διαδικασία της προσοµοίωσης ιατύπωση της µεθόδου Στη συνέχεια γίνεται µια σύντοµη διατύπωση της µεθόδου. Στο σχήµα 3.1 φαίνεται το φυσικό σχέδιο ενός τετραγωνικού σπειροειδούς πηνίου µε τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά του N, D, w και s, όπως ορίστηκαν προηγουµένως. Ο συντελεστής ποιότητας και η επαγωγή του πηνίου αποτελούν συναρτήσεις των γεωµετρικών χαρακτηριστικών του πηνίου, δηλαδή ορίζονται οι συναρτήσεις : Q(n,D,w,s και L(n,D,w,s. Ακόµα ας ορίσουµε τα µεγέθη L exp και δ ωσ την επιθυµητή τιµή επαγωγής του πηνίου και την επιτρεπόµενη ανοχή της επαγωγής να διαφέρει από την επιθυµητή, αντίστοιχα. Τότε το πρόβληµα βελτιστοποίησης της επαγωγής περιγράφεται από τη φόρµα : Μεγιστοποίηση Q(n,D,w,s υπό τις συνθήκες : (1 δl exp L(n, 2n(w + s D D L D D U w L w w U sl s su D, w, s (1 + δl exp 15

25 Κεφάλαιο 3 Παρουσίαση µεθόδων βελτιστοποίησης ολοκληρωµένων πηνίων Τα στοιχεία D L, D U, w L, w U, s L και s U είναι τα κάτω και άνω όρια των αντίστοιχων µεταβλητών βελτιστοποίησης, αντίστοιχα. Ο αριθµός των σπειρών n λαµβάνεται υπόψη σαν παράµετρος παρά σαν µεταβλητή, επειδή παίρνει µόνο διακριτές τιµές. Τα στοιχεία D, w και s λαµβάνονται ως συνεχείς µεταβλητές για το σκοπό της βελτιστοποίησης και µπορούν να στρογγυλοποιηθούν στο πλησιέστερο σηµείο πλέγµατος ( grid point κατά τη δηµιουργία του φυσικού σχεδίου (layout. Εφόσον ο συντελεστής ποιότητας Q και η επαγωγή L είναι µη γραµµικές συναρτήσεις, η διατύπωση αυτή οδηγεί σε ένα µη γραµµικό πρόβληµα βελτιστοποίησης, το οποίο µπορεί να λυθεί χρησιµοποιώντας τον αλγόριθµο SQP. Για να εφαρµοστεί µε επιτυχία ο αλγόριθµος SQP πρέπει να είµαστε σε θέση να υπολογίσουµε µε µεγάλη ακρίβεια τα µεγέθη Q και L, καθώς επίσης και τις ευαισθησίες τους ως προς τα µεγέθη D, w, και s Αλγόριθµος SQP Για να υπολογιστούν τα µεγέθη Q και L, αρχικά το σπειροειδές πηνίο χωρίζεται σε µικρά µεταλλικά τµήµατα συνδεδεµένα σε σειρά. Στο σχήµα 3.3 φαίνεται το σχηµατικό του πηνίου που χρησιµοποιείται για την εξαγωγή των Q και L, όπου κάθε µεταλλικό τµήµα αντιπροσωπεύεται από ένα ισοδύναµο π µοντέλο. Οι κλάδοι σε σειρά περιλαµβάνουν την αυτεπαγωγή και την παρασιτική αντίσταση του µεταλλικού τµήµατος, ενώ οι παράλληλοι κλάδοι περιλαµβάνουν τη χωρητικότητα σύζευξης µε το υπόστρωµα και την αγωγιµότητα του υποστρώµατος. Επίσης συνυπολογίζονται τα φαινόµενα αµοιβαίας επαγωγής µεταξύ των παράλληλων τµηµάτων και χωρητικοτήτων σύζευξης µεταξύ των παράλληλων τµηµάτων που βρίσκονται σε γειτονικές σπείρες. Σχήµα 3.3 Κατανεµηµένο π µοντέλο για τετραγωνικό σπειροειδές πηνίο Με κατάλληλη κοµβική ανάλυση που περιγράφεται στο [7] και αν θεωρήσουµε ότι ολόκληρο το σπειροειδές πηνίο µοντελοποιείται από το ισοδύναµο π κύκλωµα του σχήµατος 3.4, η επαγωγή και ο συντελεστής ποιότητας δίνονται από τους τύπους : 16

26 Κεφάλαιο 3 Παρουσίαση µεθόδων βελτιστοποίησης ολοκληρωµένων πηνίων 1 1 L = Im 2πf Y12 ( 11 ( Y11 Im Y Q = Re Σχήµα 3.4 Ισοδύναµο π µοντέλο του πηνίου Για να εφαρµοστεί ο αλγόριθµος SQP πρέπει να υπολογιστούν οι ευαισθησίες της επαγωγής L και του συντελεστή ποιότητας Q ως προς κάθε µεταβλητή βελτιστοποίησης. Έστω ότι το p αντιπροσωπεύει µια µεταβλητή βελτιστοποίησης. Τότε οι ευαισθησίες των L και Q ως προς αυτή τη µεταβλητή θα δίνονται από τις σχέσεις : Από τις προηγούµενες σχέσεις φαίνεται πως για να βρούµε τις ευαισθησίες πρέπει να υπολογίσουµε τις µερικές παραγώγους των y παραµέτρων ως προς τις µεταβλητές βελτιστοποίησης. Ένας τρόπος για να το πετύχουµε είναι η προσέγγιση πεπερασµένων διαφορών, η οποία απαιτεί µια επιπλέον προσοµοίωση για την ευαισθησία για κάθε µεταβλητή βελτιστοποίησης. Για να αποφύγουµε τις επιπλέον προσοµοιώσεις χρησιµοποιούµε τη µέθοδο των πινάκων[7]. Ο τετραγωνικός προγραµµατισµός είναι µια ευέλικτη µέθοδος για τη λύση γενικών, µη γραµµικών προβληµάτων βελτιστοποίησης της µορφής : 17

27 Κεφάλαιο 3 Παρουσίαση µεθόδων βελτιστοποίησης ολοκληρωµένων πηνίων Ελαχιστοποίηση f(x υπό τις συνθήκες : h(x g(x = 0 0 όπου f : R n h : R n g : R n R R m R p Το πρόβληµα βελτιστοποίησης του πηνίου ταιριάζει τέλεια στο πλαίσιο των προηγούµενων σχέσεων. Ο αλγόριθµος SQP είναι µαθηµατικά αρκετά πολύπλοκος περιλαµβάνοντας µετασχηµατισµούς σε Hessian και Lagrangian συναρτήσεις και πινάκες και περιγράφεται πιο αναλυτικά στο [8]. Ο αλγόριθµος SQP υπάρχει πιθανότητα να σταµατήσει σε κάποια τοπική βέλτιστη λύση. Ωστόσο και στην περίπτωση αυτή µέσω του SQP µπορούµε να βρούµε τη γενική βέλτιστη λύση αν εφαρµόσουµε τον αλγόριθµο περισσότερες φορές, ξεκινώντας τη διαδικασία από διαφορετικά αρχικά σηµεία Γεωµετρικός Προγραµµατισµός Ο γεωµετρικός προγραµµατισµός αποτελεί µια ικανοποιητική µέθοδο για τη βέλτιστη σχεδίαση CMOS πηνίων για τη χρήση τους σε RF κυκλώµατα. Η µέθοδος αυτή, όπως και ο αλγόριθµος SQP (παράγραφος χρησιµοποιεί τις φυσικές διαστάσεις του πηνίου σαν παραµέτρους της σχεδίασης και χειρίζεται ορισµένες προδιαγραφές, όπως η σταθερή τιµή της επαγωγής, η ελάχιστη συχνότητα συντονισµού, ο ελάχιστος συντελεστής ποιότητας κ.ά. Οι γεωµετρικοί περιορισµοί που µπορούν να επιβληθούν περιλαµβάνουν µέγιστες και ελάχιστες τιµές για κάθε παράµετρο σχεδίασης καθώς και περιορισµό στη συνολική επιφάνεια που καταλαµβάνει το πηνίο. Επίσης η µέθοδος αυτή είναι γενική, που σηµαίνει ότι βρίσκει αυστηρά την καλύτερη δυνατή σχεδίαση, όταν οι προδιαγραφές είναι εφικτές. Η µέθοδος αυτή επιπλέον είναι πολύ γρήγορη και παρέχει πολύτιµες πληροφορίες για την ευαισθησία των παραµέτρων βελτιστοποίησης ως προς τους περιορισµούς, επιτρέποντας έτσι στο σχεδιαστή RF CMOS κυκλωµάτων να σπαταλά περισσότερο χρόνο στην ανάλυση του «ισοζυγίου» της σχεδίασης παρά στη ρύθµιση των κατάλληλων παραµέτρων ιατύπωση της µεθόδου Έστω f µια πραγµατική συνάρτηση αποτελούµενη από n πραγµατικές, θετικές µεταβλητές x 1,, x n Η f ονοµάζεται πολυωνυµική συνάρτηση αν έχει τη µορφή : 18

28 Κεφάλαιο 3 Παρουσίαση µεθόδων βελτιστοποίησης ολοκληρωµένων πηνίων όπου cj 0 a ij R Στην περίπτωση που t = 1, η f ονοµάζεται µονωνυµική συνάρτηση. Έτσι για παράδειγµα η x συνάρτηση x 3 2 είναι πολυωνυµική, ενώ η συνάρτηση x x x είναι µονωνυµική. Γενικά ένα γεωµετρικό πρόγραµµα περιγράφεται από τη φόρµα : ελαχιστοποίηση f 0 (x υπό τις συνθήκες : fi(x 1 g i(x = 1 xi > 0, i, i = 1,2,..., m, = 1,2,..., p,,i = 1,2,..., n, όπου οι f i είναι πολυωνυµικές συναρτήσεις και οι g i είναι µονωνυµικές συναρτήσεις. Αν η f είναι πολυωνυµική συνάρτηση και η g µια µονωνυµική τότε ο περιορισµός f(x g(x µπορεί να εκφραστεί ως f(x/g(x 1 ( εφόσον η f /g είναι πολυωνυµική. Μπορούν επίσης να χρησιµοποιηθούν περιορισµοί της µορφής f(x a, µε a>0. Οµοίως αν g 1 και g 2 είναι µονωνυµικές συναρτήσεις, ο περιορισµός g 1 (x=g 2 (x µπορεί να εκφραστεί ως g 1 (x/g 2 (x = 1 ( εφόσον η g 1 /g 2 είναι µονωνυµική. Για το σκοπό µας, το σηµαντικότερο πλεονέκτηµα των γεωµετρικών προγραµµάτων είναι ότι µπορούν να λυθούν ολικά µε µεγάλη αποδοτικότητα. Οι αλγόριθµοι γεωµετρικών προγραµµάτων επίσης ελέγχουν αν το πρόβληµα είναι ανέφικτο. Επιπλέον, οι αρχικές τιµές για τον αλγόριθµο βελτιστοποίησης δεν έχουν καµία επίδραση στην τελική λύση. Αντίθετα, οι αρχικές τιµές παραµέτρων ή η αρχική σχεδίαση είναι εντελώς περιττές διαδικασίες. Στις προηγούµενες παραγράφους αναφέραµε ότι ο γεωµετρικός προγραµµατισµός βασίζεται στην παραδοχή ότι τόσο οι συναρτήσεις όσο και οι περιορισµοί που περιγράφουν το πρόβληµα είναι πολυωνυµικές συναρτήσεις. Το µειονέκτηµα αυτής της µεθόδου είναι ότι για να ικανοποιηθεί αυτή η απαίτηση, η επαγωγή του σπειροειδούς πηνίου πρέπει να υπολογιστεί χρησιµοποιώντας µια προσεγγιστική φόρµα που προκύπτει από διαγράµµατα πολλών προκατασκευασµένων ή προ-προσοµοιωµένων σχεδιάσεων. Ακόµα, ολόκληρο το πηνίο πρέπει να αναπαριστάνεται από ένα απλό π µοντέλο, µε όλα τα παρασιτικά του στοιχεία γραµµένα σε πολυωνυµικές συναρτήσεις. Η αδυναµία αυτής της µεθόδου είναι ότι τα 19

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Ο ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΙ ΕΚ ΟΧΕΣ ΤΟΥ

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Ο ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΙ ΕΚ ΟΧΕΣ ΤΟΥ η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Ο ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΙ ΕΚ ΟΧΕΣ ΤΟΥ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΣΕ ΚΥΚΛΩΜΑ -L-C ΣΕ ΣΕΙΡΑ Κύκλωµα που αποτελείται από ωµική αντίσταση,ιδανικό πηνίο µε συντελεστή αυτεπαγωγής L

Διαβάστε περισσότερα

Ένα σύστημα εκτελεί ελεύθερη ταλάντωση όταν διεγερθεί κατάλληλα και αφεθεί στη συνέχεια ελεύθερο να

Ένα σύστημα εκτελεί ελεύθερη ταλάντωση όταν διεγερθεί κατάλληλα και αφεθεί στη συνέχεια ελεύθερο να ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Α. Εξαναγκασμένες μηχανικές ταλαντώσεις Ελεύθερη - αμείωτη ταλάντωση και ποια η συχνότητα και η περίοδος της. Ένα σύστημα εκτελεί ελεύθερη ταλάντωση όταν διεγερθεί κατάλληλα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ - ΧΑΛΚΙ ΑΣ. παθητικά: προκαλούν την απώλεια ισχύος ενός. ενεργά: όταν τροφοδοτηθούν µε σήµα, αυξάνουν

ΤΕΙ - ΧΑΛΚΙ ΑΣ. παθητικά: προκαλούν την απώλεια ισχύος ενός. ενεργά: όταν τροφοδοτηθούν µε σήµα, αυξάνουν 1. Εισαγωγικά στοιχεία ηλεκτρονικών - Ι.Σ. ΧΑΛΚΙΑ ΗΣ διαφάνεια 1 1. ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ Ηλεκτρικό στοιχείο: Κάθε στοιχείο που προσφέρει, αποθηκεύει και καταναλώνει

Διαβάστε περισσότερα

6η Εργαστηριακή Άσκηση Μέτρηση διηλεκτρικής σταθεράς σε κύκλωµα RLC

6η Εργαστηριακή Άσκηση Μέτρηση διηλεκτρικής σταθεράς σε κύκλωµα RLC 6η Εργαστηριακή Άσκηση Μέτρηση διηλεκτρικής σταθεράς σε κύκλωµα RLC Θεωρητικό µέρος Αν µεταξύ δύο αρχικά αφόρτιστων αγωγών εφαρµοστεί µία συνεχής διαφορά δυναµικού ή τάση V, τότε στις επιφάνειές τους θα

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

2012 : (307) : , 29 2012 : 11.00 13.30

2012  : (307) : , 29 2012 : 11.00 13.30 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ (ΙΙ) ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : Εφαρµοσµένη Ηλεκτρολογία

Διαβάστε περισσότερα

Το εξεταστικό δοκίµιο µαζί µε το τυπολόγιο αποτελείται από εννιά (9) σελίδες. Τα µέρη του εξεταστικού δοκιµίου είναι τρία (Α, Β και Γ ).

Το εξεταστικό δοκίµιο µαζί µε το τυπολόγιο αποτελείται από εννιά (9) σελίδες. Τα µέρη του εξεταστικού δοκιµίου είναι τρία (Α, Β και Γ ). ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ (ΙI) ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 η ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΕΣ ΙΣΧΥΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Στόχοι της εργαστηριακής άσκησης είναι η εξοικείωση των σπουδαστών με την:

ΑΣΚΗΣΗ 1 η ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΕΣ ΙΣΧΥΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Στόχοι της εργαστηριακής άσκησης είναι η εξοικείωση των σπουδαστών με την: Σκοπός της Άσκησης: ΑΣΚΗΣΗ η ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΕΣ ΙΣΧΥΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στόχοι της εργαστηριακής άσκησης είναι η εξοικείωση των σπουδαστών με την: α. Κατασκευή μετασχηματιστών. β. Αρχή λειτουργίας μετασχηματιστών.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ενισχυτές Μετρήσεων. 3.1 Ο διαφορικός Ενισχυτής

Ενισχυτές Μετρήσεων. 3.1 Ο διαφορικός Ενισχυτής 3 Ενισχυτές Μετρήσεων 3.1 Ο διαφορικός Ενισχυτής Πολλές φορές ένας ενισχυτής σχεδιάζεται ώστε να αποκρίνεται στη διαφορά µεταξύ δύο σηµάτων εισόδου. Ένας τέτοιος ενισχυτής ονοµάζεται ενισχυτής διαφοράς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

5. Αυτεπαγωγή-Χωρητικότητα Inductance Capacitance

5. Αυτεπαγωγή-Χωρητικότητα Inductance Capacitance 5. Αυτεπαγγή-Χρητικότητα nucance Capaciance Εδώ εισάγουµε τα δύο τελευταία στοιχεία κυκλµάτν, τα πηνία και τους πυκντές. Οι τεχνικές ανάλυσης κυκλµάτν που εισήχθικαν νρίτερα ακόµα ισχύουν εδώ. Ένα πηνίο

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικές Μέθοδοι στις Κατασκευές

Υπολογιστικές Μέθοδοι στις Κατασκευές Γενικά Για Τη Βελτιστοποίηση Η βελτιστοποίηση µπορεί να χωριστεί σε δύο µεγάλες κατηγορίες: α) την Βελτιστοποίηση Τοπολογίας (Topological Optimization) και β) την Βελτιστοποίηση Σχεδίασης (Design Optimization).

Διαβάστε περισσότερα

Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας.

Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Ο πυκνωτής Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας. Η απλούστερη μορφή πυκνωτή είναι ο επίπεδος πυκνωτής, ο οποίος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Θέµα: Εναλλακτικές Τεχνικές Εντοπισµού Θέσης Όνοµα: Κατερίνα Σπόντου Επιβλέπων: Ιωάννης Βασιλείου Συν-επιβλέπων: Σπύρος Αθανασίου 1. Αντικείµενο της διπλωµατικής Ο εντοπισµός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ MM505 ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΙ Εργαστήριο ο - Θεωρητικό Μέρος Βασικές ηλεκτρικές μετρήσεις σε συνεχές και εναλλασσόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ) Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ) Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ) Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α I A. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώµατα µε αντίσταση και πυκνωτή ή αντίσταση και πηνίο σε σειρά και πηγή συνεχούς τάσης

Κυκλώµατα µε αντίσταση και πυκνωτή ή αντίσταση και πηνίο σε σειρά και πηγή συνεχούς τάσης Κυκλώµατα µε αντίσταση και πυκνωτή ή αντίσταση και πηνίο σε σειρά και πηγή συνεχούς τάσης Το κύριο χαρακτηριστικό των κυκλωµάτων αυτών είναι ότι ο χρόνος στον οποίο η τάση, ή η ένταση παίρνει ορισµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1-3 Κέρδος Τάσης του ιαφορικού Ενισχυτή µε FET s 8

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1-3 Κέρδος Τάσης του ιαφορικού Ενισχυτή µε FET s 8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΕΝΙΣΧΥΤΗΣ 1 1-1 Κέρδος Τάσης του ιαφορικού Ενισχυτή µε BJT s 1 και ιπλή Έξοδο Ανάλυση µε το Υβριδικό Ισοδύναµο του Τρανζίστορ 2 Ανάλυση µε βάση τις Ενισχύσεις των Βαθµίδων CE- 4

Διαβάστε περισσότερα

Μαγνητικό Πεδίο. μαγνητικό πεδίο. πηνίο (αγωγός. περιστραμμένος σε σπείρες), επάγει τάση στα άκρα του πηνίου (Μετασχηματιστής) (Κινητήρας)

Μαγνητικό Πεδίο. μαγνητικό πεδίο. πηνίο (αγωγός. περιστραμμένος σε σπείρες), επάγει τάση στα άκρα του πηνίου (Μετασχηματιστής) (Κινητήρας) Ένας ρευματοφόρος αγωγός παράγει γύρω του μαγνητικό πεδίο Ένα χρονικά μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο, του οποίου οι δυναμικές γραμμές διέρχονται μέσα από ένα πηνίο (αγωγός περιστραμμένος σε σπείρες), επάγει

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγόριθµους. Αλγόριθµοι. Ιστορικά Στοιχεία. Ο πρώτος Αλγόριθµος. Παραδείγµατα Αλγορίθµων. Τι είναι Αλγόριθµος

Εισαγωγή στους Αλγόριθµους. Αλγόριθµοι. Ιστορικά Στοιχεία. Ο πρώτος Αλγόριθµος. Παραδείγµατα Αλγορίθµων. Τι είναι Αλγόριθµος Εισαγωγή στους Αλγόριθµους Αλγόριθµοι Τι είναι αλγόριθµος; Τι µπορεί να υπολογίσει ένας αλγόριθµος; Πως αξιολογείται ένας αλγόριθµος; Παύλος Εφραιµίδης pefraimi@ee.duth.gr Αλγόριθµοι Εισαγωγικές Έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Θεωρητική εισαγωγή

5.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 5 ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ BCD Σκοπός: Η κατανόηση της µετατροπής ενός τύπου δυαδικής πληροφορίας σε άλλον (κωδικοποίηση/αποκωδικοποίηση) µε τη µελέτη της κωδικοποίησης BCD

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας 6 Ncola Tapaoul Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο 4 Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ιδάσκων:

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΚΑΙ ΑΠΩΛΕΙΕΣ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΚΑΙ ΑΠΩΛΕΙΕΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΚΑΙ ΑΠΩΛΕΙΕΣ Υ πάρχει µεγάλη διαφορά σε µια ηλεκτρική εγκατάσταση εναλλασσόµενου (AC) ρεύµατος µεταξύ των αντιστάσεων στο συνεχές ρεύµα (DC) των διαφόρων κυκλωµάτων ηλεκτρικών στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευάστε ένα απλό antenna tuner (Μέρος Α )

Κατασκευάστε ένα απλό antenna tuner (Μέρος Α ) Κατασκευάστε ένα απλό antenna tuner (Μέρος Α ) Του Νίκου Παναγιωτίδη (SV6 DBK) φυσικού και ραδιοερασιτέχνη. Ο σκοπός του άρθρου αυτού είναι να κατευθύνει τον αναγνώστη ραδιοερασιτέχνη να κατασκευάσει το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΞΑΝΘΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙΙ

Διαβάστε περισσότερα

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων.

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. 2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γενικά τι είναι - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. Κατηγορίες των συστηµάτων ανάλογα µε τον αριθµό και το είδος των επιτρεποµένων εισόδων και εξόδων. Ιδιότητες των

Διαβάστε περισσότερα

( ) Στοιχεία που αποθηκεύουν ενέργεια Ψ = N Φ. διαφορικές εξισώσεις. Πηνίο. μαγνητικό πεδίο. του πηνίου (κάθε. ένα πηνίο Ν σπειρών:

( ) Στοιχεία που αποθηκεύουν ενέργεια Ψ = N Φ. διαφορικές εξισώσεις. Πηνίο. μαγνητικό πεδίο. του πηνίου (κάθε. ένα πηνίο Ν σπειρών: Στοιχεία που αποθηκεύουν ενέργεια Λέγονται επίσης και δυναμικά στοιχεία Οι v- χαρακτηριστικές τους δεν είναι αλγεβρικές, αλλά ολοκληρο- διαφορικές εξισώσεις. Πηνίο: Ουσιαστικά πρόκειται για έναν περιεστραμμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Ηλεκτρικό κύκλωμα ονομάζεται μια διάταξη που αποτελείται από ένα σύνολο ηλεκτρικών στοιχείων στα οποία κυκλοφορεί ηλεκτρικό ρεύμα. Τα βασικά ηλεκτρικά στοιχεία είναι οι γεννήτριες,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΗΜΙΑΓΩΓΙΚΗ ΙΟ ΟΣ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΗΜΙΑΓΩΓΙΚΗ ΙΟ ΟΣ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΗΜΙΑΓΩΓΙΚΗ ΙΟ ΟΣ 1 1-1 Ενεργειακές Ζώνες 3 1-2 Αµιγείς και µη Αµιγείς Ηµιαγωγοί 5 ότες 6 Αποδέκτες 8 ιπλοί ότες και Αποδέκτες 10 1-3 Γένεση, Παγίδευση και Ανασύνδεση Φορέων 10 1-4 Ένωση pn

Διαβάστε περισσότερα

Διάρκεια 90 min. Στις ερωτήσεις 1-4 να επιλέξετε το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση:

Διάρκεια 90 min. Στις ερωτήσεις 1-4 να επιλέξετε το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση: 2ο ΓΕΛ ΠΕΙΡΑΙΑ Α Οµάδα ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ονοµατεπώνυµο: Τµήµα: Ηµεροµηνία: 2/2/200 Διάρκεια 90 min Ζήτηµα ο Στις ερωτήσεις -4 να επιλέξετε το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 5 η ΓΕΝΝΗΤΡΙΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ ΞΕΝΗΣ ΔΙΕΓΕΡΣΗΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ

ΑΣΚΗΣΗ 5 η ΓΕΝΝΗΤΡΙΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ ΞΕΝΗΣ ΔΙΕΓΕΡΣΗΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 5 η ΓΕΝΝΗΤΡΙΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ ΞΕΝΗΣ ΔΙΕΓΕΡΣΗΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Σκοπός της Άσκησης: Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης είναι α) η κατανόηση της λειτουργίας της γεννήτριας συνεχούς ρεύματος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ - ΧΑΛΚΙ ΑΣ. διπολικά τρανζίστορ διακρίνονται σε: 1. τρανζίστορ γερµανίου (Ge) και. 2. τρανζίστορ πυριτίου (Si ).

ΤΕΙ - ΧΑΛΚΙ ΑΣ. διπολικά τρανζίστορ διακρίνονται σε: 1. τρανζίστορ γερµανίου (Ge) και. 2. τρανζίστορ πυριτίου (Si ). 7. Εισαγωγή στο διπολικό τρανζίστορ-ι.σ. ΧΑΛΚΙΑ ΗΣ διαφάνεια 1 7. TΟ ΙΠΟΛΙΚΟ ΤΡΑΝΖΙΣΤΟΡ Ανάλογα µε το υλικό διπολικά τρανζίστορ διακρίνονται σε: 1. τρανζίστορ γερµανίου (Ge) και 2. τρανζίστορ πυριτίου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Ε.Π.Ε.Α.Ε.Κ «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΙΙ: ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΣΤΑ ΤΕΙ (Ε.Ε.Ο.Τ.)»

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Ε.Π.Ε.Α.Ε.Κ «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΙΙ: ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΣΤΑ ΤΕΙ (Ε.Ε.Ο.Τ.)» ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Ε.Π.Ε.Α.Ε.Κ «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΙΙ: ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΣΤΑ ΤΕΙ (Ε.Ε.Ο.Τ.)» ΥΠΟΕΡΓΟ 4: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΝΕΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ, ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος;

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Για να εξετάσουµε το κύκλωµα LC µε διδακτική συνέπεια νοµίζω ότι θα πρέπει να τηρήσουµε τους ορισµούς που δώσαµε στα παιδιά στη Β Λυκείου. Ας ξεκινήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Μέσα Προστασίας II. Τ.Ε.Ι. Κρήτης Σ.Τ.ΕΦ./ Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων. Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις Ι

Μέσα Προστασίας II. Τ.Ε.Ι. Κρήτης Σ.Τ.ΕΦ./ Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων. Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις Ι Τ.Ε.Ι. Κρήτης Σ.Τ.ΕΦ./ Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Μέσα Προστασίας II Προστασία από την ηλεκτροπληξία Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις Ι Επίκουρος Καθηγητής Τηλ:2810379231 Email: ksiderakis@staff.teicrete.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΝΖΙΣΤΟΡ ΕΠΙ ΡΑΣΗΣ ΠΕ ΙΟΥ (FET)

ΤΡΑΝΖΙΣΤΟΡ ΕΠΙ ΡΑΣΗΣ ΠΕ ΙΟΥ (FET) Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ΕΤΥ-482) 1 ΤΡΑΝΖΙΣΤΟΡ ΕΠΙ ΡΑΣΗΣ ΠΕ ΙΟΥ (FET) ΤΡΑΝΖΙΣΤΟΡ ΕΠΙ ΡΑΣΗΣ ΠΕ ΙΟΥ ΕΠΑΦΗΣ (JFET) Τα τρανζίστορ επίδρασης πεδίου είναι ηλεκτρονικά στοιχεία στα οποία οι φορείς του ηλεκτρικού

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ) 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α Α

ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ) 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α Α ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ) 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α Α Για τις παρακάτω προτάσεις, Α.. έως και Α.4., να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της πρότασης

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΙΣΧΥΟΣ ΗΜΥ 444

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΙΣΧΥΟΣ ΗΜΥ 444 ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΙΣΧΥΟΣ ΗΜΥ 444 DC ΔΙΑΚΟΠΤΙΚA ΤΡΟΦΟΔΟΤΙΚΑ, ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΙΣ ΜΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΑΠΟΜΟΝΩΣΗ Δρ Ανδρέας Σταύρου ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 014 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ (ΙΙ) ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : Εφαρμοσμένη Ηλεκτρολογία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΕΛΙΚΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΗΜΥ 499

ΕΥΕΛΙΚΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΗΜΥ 499 ΕΥΕΛΙΚΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΗΜΥ 499 ΣΤΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΑΕΡΓΟΥ ΙΣΧΥΟΣ (S) ρ Ανρέας Σταύρου ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ Τα Θέµατα Βαθµίες

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρωµένο Περιβάλλον Σχεδιασµού Και Επίδειξης Φίλτρων

Ολοκληρωµένο Περιβάλλον Σχεδιασµού Και Επίδειξης Φίλτρων Ψηφιακή Επεξεργασία Σηµάτων 20 Ολοκληρωµένο Περιβάλλον Σχεδιασµού Και Επίδειξης Φίλτρων Α. Εγκατάσταση Αφού κατεβάσετε το συµπιεσµένο αρχείο µε το πρόγραµµα επίδειξης, αποσυµπιέστε το σε ένα κατάλογο µέσα

Διαβάστε περισσότερα

1. Εναλλάκτες θερµότητας (Heat Exchangers)

1. Εναλλάκτες θερµότητας (Heat Exchangers) 1. Εναλλάκτες θερµότητας (Heat Exangers) Οι εναλλάκτες θερµότητας είναι συσκευές µε τις οποίες επιτυγχάνεται η µεταφορά ενέργειας από ένα ρευστό υψηλής θερµοκρασίας σε ένα άλλο ρευστό χαµηλότερης θερµοκρασίας.

Διαβάστε περισσότερα

Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 2003

Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 2003 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Γ ΕΚ ΟΣΗΣ Μετά την τρίτη έκδοση του βιβλίου µου µε τα προβλήµατα Μηχανικής για το µάθηµα Γενική Φυσική Ι, ήταν επόµενο να ακολουθήσει η τρίτη έκδοση και του παρόντος βιβλίου µε προβλήµατα Θερµότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ και ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ και ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ και ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1) Να αναφέρετε τις 4 παραδοχές που ισχύουν για το ηλεκτρικό φορτίο 2) Εξηγήστε πόσα είδη κατανοµών ηλεκτρικού φορτίου υπάρχουν. ιατυπώστε τους

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

6 Εισαγωγή στα Συστήματα Ηλεκτρικής Ενέργειας

6 Εισαγωγή στα Συστήματα Ηλεκτρικής Ενέργειας Πρόλογος Σ το βιβλίο αυτό περιλαμβάνεται η ύλη του μαθήματος «Εισαγωγή στα Συστήματα Ηλεκτρικής Ενέργειας» που διδάσκεται στους φοιτητές του Γ έτους σπουδών του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας

Διαβάστε περισσότερα

γ. υ = χ 0 ωσυνωt δ. υ = -χ 0 ωσυνωt. Μονάδες 5

γ. υ = χ 0 ωσυνωt δ. υ = -χ 0 ωσυνωt. Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ): ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΠΤΑ (7) ΘΕΜΑ 1ο Στις ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

2. Όλες οι απαντήσεις να δοθούν στο εξεταστικό δοκίμιο το οποίο θα επιστραφεί.

2. Όλες οι απαντήσεις να δοθούν στο εξεταστικό δοκίμιο το οποίο θα επιστραφεί. ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ (ΙΙ) ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : Εφαρμοσμένη Ηλεκτρολογία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ ή ΕΜΠΕ ΗΣΗ;

ΣΥΝΘΕΤΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ ή ΕΜΠΕ ΗΣΗ; ΣΥΝΘΕΤΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ ή ΕΜΠΕ ΗΣΗ; Γράφει ο Ντίνος Νοµικός SV1GK Ε Ι Σ Α Γ Ω Γ Η Ένα από τα σηµαντικότερα µεγέθη που πρέπει να γνωρίζει κάποιος για την µελέτη µιας κεραίας είναι και η σύνθετη αντίσταση που

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου

Περιγραφή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Περιγραφή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο 3, Ενότητες 3. 3.8 Παρασκευόπουλος [5]:

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων &

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων & 5 η αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα: Η αποτελεί θεµελιώδες πρόβληµα σε κάθε σύγχρονη οικονοµία. Το πρόβληµα της αποδοτικής κατανοµής των πόρων µπορεί να εκφρασθεί µε 4 βασικά ερωτήµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ AC-DC. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΒΑΣΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΞΑΡΤΗΜΑΤΑ - ΑΠΛΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ AC-DC. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΒΑΣΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΞΑΡΤΗΜΑΤΑ - ΑΠΛΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ AC-DC ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΒΑΣΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΞΑΡΤΗΜΑΤΑ - ΑΠΛΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Βασικά στοιχεία κυκλωμάτων Ένα ηλεκτρονικό κύκλωμα αποτελείται από: Πηγή ενέργειας (τάσης ή ρεύματος) Αγωγούς Μονωτές

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε φθηνότερη διαδροµή µε µη γραµµικό κόστος

Κίνηση σε φθηνότερη διαδροµή µε µη γραµµικό κόστος υποδο?ών?εταφράζεταισε?ίαγενικότερηεξοικονό?ησηπαραγωγικώνπόρωνγιατηκοινωνία. τεχνικέςυποδο?ές,όπωςείναιαυτοκινητόδρο?οι,γέφυρεςκ.λ.π.ηκατασκευήτέτοιων Μιααπ τιςβασικέςλειτουργίεςτουκράτουςείναιοεφοδιασ?όςτηςκοινωνίας?εβασικές

Διαβάστε περισσότερα

U I = U I = Q D 1 C. m L

U I = U I = Q D 1 C. m L Από την αντιστοιχία της µάζας που εκτελεί γ.α.τ. µε περίοδο Τ και της εκφόρτισης πυκνωτή µέσω πηνίου L, µπορούµε να ανακεφαλαιώσουµε τις αντιστοιχίες των µεγεθών τους. Έχουµε: ΜΑΖΑ ΠΟΥ ΕΚΤΕΛΕΙ γ.α.τ..

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ & ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ) 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ

ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ & ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ) 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ ΗΕΚΤΡΟΟΓΙΑ ΤΕΧΝΟΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΟΣ ΤΕΧΝΟΟΓΙΑΣ & ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ) 011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ 1. Για τις παρακάτω προτάσεις Α1.1 και Α1. να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της πρότασης και δίπλα σε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 03-01-11 ΘΕΡΙΝΑ ΣΕΙΡΑ Α ΘΕΜΑ 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Θέµα Α Στις ερωτήσεις 1-4 να βρείτε τη σωστή απάντηση. Α1. Για κάποιο χρονικό διάστηµα t, η πολικότητα του πυκνωτή και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 4 η ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΕΣ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ

ΑΣΚΗΣΗ 4 η ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΕΣ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ ΑΣΚΗΣΗ 4 η ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΕΣ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ Σκοπός της Άσκησης: Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης είναι α) η κατανόηση της αρχής λειτουργίας των μηχανών συνεχούς ρεύματος, β) η ανάλυση της κατασκευαστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΕΛΙΚΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΗΜΥ 499

ΕΥΕΛΙΚΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΗΜΥ 499 ΕΥΕΛΙΚΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΗΜΥ 499 ΑΝΤΙΣΤΑΘΜΙΣΗ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ρ Ανρέας Σταύρου ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ Τα Θέµατα Κατηγορίες αντιστάθµισης

Διαβάστε περισσότερα

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

3 η Εργαστηριακή Άσκηση

3 η Εργαστηριακή Άσκηση 3 η Εργαστηριακή Άσκηση Βρόχος υστέρησης σιδηρομαγνητικών υλικών Τα περισσότερα δείγματα του σιδήρου ή οποιουδήποτε σιδηρομαγνητικού υλικού που δεν έχουν βρεθεί ποτέ μέσα σε μαγνητικά πεδία δεν παρουσιάζουν

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα στις Ταλαντώσεις ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1

ιαγώνισµα στις Ταλαντώσεις ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1 ιαγώνισµα στις Ταλαντώσεις ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1 ΘΕΜΑ 1 0 Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΙΙ

ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΙΙ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΙΙ ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ ΑΡΓΥΡΗΣ ΚΟΖΑΝΗ 2005 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ Για τον καλύτερο προσδιορισµό των µεγεθών που χρησιµοποιούµε στις εξισώσεις, χρησιµοποιούµε τους παρακάτω συµβολισµούς

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2008 ΓΙΑ ΤΑ ΑΝΩΤΕΡΑ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΙΔΡΥΜΑΤΑ Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ 4ωρο Τ.Σ. Ημερομηνία

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

1. Να σχεδιάσετε το κύκλωµα διακοπής ρεύµατος σε πηνίο.

1. Να σχεδιάσετε το κύκλωµα διακοπής ρεύµατος σε πηνίο. ΙΑΚΟΠΗ ΡΕΥΜΑΤΟΣ ΣΕ ΠΗΝΙΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Τάξη και τµήµα: Ηµεροµηνία: Όνοµα µαθητή: 1. Να σχεδιάσετε το κύκλωµα διακοπής ρεύµατος σε πηνίο. 2. Η ένταση του ρεύµατος που µετράει το αµπερόµετρο σε συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω fµια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Το σύνολο των τιµών της είναι f( A) { R = υπάρχει (τουλάχιστον) ένα A : f () = }. Ο προσδιορισµός του συνόλου τιµών f( A) της

Διαβάστε περισσότερα

1. πρώτος κανόνας Kirchhoff α) Ε=Ι.R oλ 2. κλειστό κύκλωµα ιδιοσυχνότητα 3. κυκλώµατος RLC σε σειρά. t νόµος της επαγωγής δ) 1 4.

1. πρώτος κανόνας Kirchhoff α) Ε=Ι.R oλ 2. κλειστό κύκλωµα ιδιοσυχνότητα 3. κυκλώµατος RLC σε σειρά. t νόµος της επαγωγής δ) 1 4. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 28 ΜΑΪΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ(6) ΘΕΜΑ 1ο 1.1 Στον παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώµατα εναλλασσόµενης τάσης

Κυκλώµατα εναλλασσόµενης τάσης Κυκλώµατα εναλλασσόµενης τάσης Στόχος αυτής της ενότητας του µαθήµατος είναι η µελέτη των ηλεκτρικών κυκλωµάτων στα οποία η ηλεκτροκινητήρια δύναµη παρέχεται από πηγή εναλλασσόµενης τάσης Σε αυτή την ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ-121: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος. Βασικές Αρχές Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

ΗΥ-121: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος. Βασικές Αρχές Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΗΥ-121: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος Άνοιξη 2008 Βασικές Αρχές Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ηλεκτρικό ρεύμα Το ρεύμα είναι αποτέλεσμα της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΤΑΜΕΡΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΔΟΚΙΜΙΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΝΕΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΤΑΜΕΡΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΔΟΚΙΜΙΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΝΕΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΤΑΜΕΡΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΔΟΚΙΜΙΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΝΕΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του Σπουδαστή Σταμούλια Π. Γεώργιου Α.Μ. 27731 Επιβλέπων: Δρ. Ψωμόπουλος Σ. Κωνσταντίνος Επίκουρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

2. Όλες οι απαντήσεις να δοθούν στο εξεταστικό δοκίμιο το οποίο θα επιστραφεί.

2. Όλες οι απαντήσεις να δοθούν στο εξεταστικό δοκίμιο το οποίο θα επιστραφεί. ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ (ΙΙ) ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : Εφαρμοσμένη Ηλεκτρολογία

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΤΙΚΟ MS 48 NS Σύντοµες οδηγίες χρήσης

ΟΚΙΜΑΣΤΙΚΟ MS 48 NS Σύντοµες οδηγίες χρήσης ΟΚΙΜΑΣΤΙΚΟ MS 48 NS Σύντοµες οδηγίες χρήσης Προσοχή: i) Απαγορεύεται η χρήση του δοκιµαστικού από παιδιά. ii) H χρήση του συγκεκριµένου δοκιµαστικού εργαλείου απαιτεί να τηρούνται όλοι οι κανόνες προστασίας

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά για µικροκύµατα. ηµιουργία ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων.

Γενικά για µικροκύµατα. ηµιουργία ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 5 1. Άσκηση 1 Γενικά για µικροκύµατα. ηµιουργία ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων. 1.1 Εισαγωγή Τα µικροκύµατα είναι ηλεκτροµαγνητική ακτινοβολία όπως το ορατό φώς, οι ακτίνες

Διαβάστε περισσότερα

Απολυτήριες εξετάσεις Γ Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 23.05.11

Απολυτήριες εξετάσεις Γ Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 23.05.11 Απυτήριες εξετάσεις Γ Τάξης Ημερήσιου Γενικού υκείου ΗΕΚΤΡΟΟΓΙΑ ΤΕΧΝΟΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3.05.11 ΟΜΑΔΑ ΠΡΩΤΗ Α1.1 Σωστό το γ. Α1. Σωστό το δ. Α..1 Σωστό το δ. Α. Σωστό το β. Α.3 α. ΑΘΟΣ β. ΣΩΣΤΟ γ. ΣΩΣΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 3 Επιλογή μοντέλου Επιλογή μοντέλου Θεωρία αποφάσεων Επιλογή μοντέλου δεδομένα επικύρωσης Η επιλογή του είδους του μοντέλου που θα χρησιμοποιηθεί σε ένα πρόβλημα (π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ

ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια ηλεκτρική µηχανή συνεχούς ρεύµατος χρησιµοποιείται ως γεννήτρια, όταν ο άξονάς της στρέφεται από µια κινητήρια µηχανή (prim movr). Η κινητήρια µηχανή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 2 η ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΕΣ ΙΣΧΥΟΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΜΕ ΦΟΡΤΙΟ

ΑΣΚΗΣΗ 2 η ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΕΣ ΙΣΧΥΟΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΜΕ ΦΟΡΤΙΟ ΑΣΚΗΣΗ η ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΕΣ ΙΣΧΥΟΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΜΕ ΦΟΡΤΙΟ Σκοπός της Άσκησης: Στόχος της εργαστηριακής άσκησης είναι η μελέτη των χαρακτηριστικών λειτουργίας ενός μονοφασικού μετασχηματιστή υπό φορτίο. 1. Λειτουργία

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α Α

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α Α Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 00 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α Α Για τις παρακάτω προτάσεις Α έως και Α4 να γράψετε στο φύλλο απαντήσεων σας τον αριθµό της πρότασης και δίπλα

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΥΛΙΚΑ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΥΛΙΚΑ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΥΛΙΚΑ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΙΣ Θερμική ενέργεια Q και Ισχύς Ρ Όταν μια αντίσταση R διαρρέεται από ρεύμα Ι για χρόνο t, τότε παράγεται θερμική ενέργεια Q. Για το συνεχές ρεύμα η ισχύς

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια

Διαβάστε περισσότερα

3. ίοδος-κυκλώµατα ιόδων - Ι.Σ. ΧΑΛΚΙΑ ΗΣ διαφάνεια 1. Kρυσταλλοδίοδος ή δίοδος επαφής. ίοδος: συνδυασµός ηµιαγωγών τύπου Ρ και Ν ΤΕΙ ΧΑΛΚΙ ΑΣ

3. ίοδος-κυκλώµατα ιόδων - Ι.Σ. ΧΑΛΚΙΑ ΗΣ διαφάνεια 1. Kρυσταλλοδίοδος ή δίοδος επαφής. ίοδος: συνδυασµός ηµιαγωγών τύπου Ρ και Ν ΤΕΙ ΧΑΛΚΙ ΑΣ 3. ίοδος-κυκλώµατα ιόδων - Ι.Σ. ΧΑΛΚΙΑ ΗΣ διαφάνεια 1 3. ΙΟ ΟΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΙΟ ΩΝ Kρυσταλλοδίοδος ή δίοδος επαφής ίοδος: συνδυασµός ηµιαγωγών τύπου Ρ και Ν 3. ίοδος-κυκλώµατα ιόδων - Ι.Σ. ΧΑΛΚΙΑ ΗΣ διαφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΚΑΒΑΛΑΣ 2012. 1.1 Εισαγωγή Αντικείμενο πτυχιακής εργασίας.σελ. 2. 1.2 Περιεχόμενα εγχειριδίου Αναφοράς Προγραμμάτων.. σελ. 3

ΤΕΙ ΚΑΒΑΛΑΣ 2012. 1.1 Εισαγωγή Αντικείμενο πτυχιακής εργασίας.σελ. 2. 1.2 Περιεχόμενα εγχειριδίου Αναφοράς Προγραμμάτων.. σελ. 3 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1.1 Εισαγωγή Αντικείμενο πτυχιακής εργασίας.σελ. 2 1.2 Περιεχόμενα εγχειριδίου Αναφοράς Προγραμμάτων.. σελ. 3 1.3 Παράδειγμα τριφασικού επαγωγικού κινητήρα..σελ. 4-9 1.4 Σχεδίαση στο Visio

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΛΗΨΗ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 2. ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ

ΠΕΡΙΛΗΨΗ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 2. ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΕΛΕΤΗ ΕΝΑΛΛΑΚΤΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΕΜΒΑΠΤΙΣΜΕΝΟΥ ΣΕ ΟΧΕΙΟ ΑΠΟΘΗΚΕΥΣΗΣ ΗΛΙΑΚΟΥ ΘΕΡΜΟΣΙΦΩΝΑ. Ν. Χασιώτης, Ι. Γ. Καούρης, Ν. Συρίµπεης. Τµήµα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών, Πανεπιστήµιο Πατρών 65 (Ρίο) Πάτρα.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στα Συστήµατα Ηλεκτρονικών Επικοινωνιών Κεφάλαιο 3 ο : ΕΙΣΑΓΩΓΗ στις ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΚΥΜΑ και ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ

Ασκήσεις στα Συστήµατα Ηλεκτρονικών Επικοινωνιών Κεφάλαιο 3 ο : ΕΙΣΑΓΩΓΗ στις ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΚΥΜΑ και ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Κεφάλαιο 3 ο : ΕΙΣΑΓΩΓΗ στις ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΚΥΜΑ και ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 1. Ποµπός ΑΜ εκπέµπει σε φέρουσα συχνότητα 1152 ΚΗz, µε ισχύ φέροντος 10KW. Η σύνθετη αντίσταση της κεραίας είναι

Διαβάστε περισσότερα

8. ιακοπτική Λειτουργία Τρανζίστορ- Ι.Σ. Χαλκιάδης διαφάνεια 1. ιακοπτική λειτουργία: περιοχή κόρου: ON ΤΕΙ - ΧΑΛΚΙ ΑΣ. περιοχή αποκοπής: OFF

8. ιακοπτική Λειτουργία Τρανζίστορ- Ι.Σ. Χαλκιάδης διαφάνεια 1. ιακοπτική λειτουργία: περιοχή κόρου: ON ΤΕΙ - ΧΑΛΚΙ ΑΣ. περιοχή αποκοπής: OFF 8. ιακοπτική Λειτουργία Τρανζίστορ- Ι.Σ. Χαλκιάδης διαφάνεια 1 8. ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ο ΗΓΗΣΗΣ ΦΟΡΤΙΟΥ Το τρανζίστορ σαν διακόπτης ιακοπτική λειτουργία: περιοχή κόρου: ON περιοχή αποκοπής: OFF 8. ιακοπτική Λειτουργία

Διαβάστε περισσότερα

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone Hµέθοδος Stepping Stoneείναι µία επαναληπτική διαδικασία για τον προσδιορισµό της βέλτιστης λύσης σε ένα πρόβληµα µεταφοράς.

Διαβάστε περισσότερα