ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

Transcript

1 0 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ελευθεράκης Μ. Σταύρος Α.Ε.Μ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΓΙΑ ΒΕΛΤΙΣΤΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΩΝ ΠΗΝΙΩΝ Quality factor number of turns width (um Επιβλέπων : Άλκης Χατζόπουλος Αναπληρωτής Καθηγητής Α.Π.Θ. ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2005

2 Αφιερώνεται στη µνήµη του παππού µου I

3 II

4 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα διπλωµατική εργασία έχει ως αντικείµενο τη µελέτη και την ανάπτυξη προγράµµατος βέλτιστης σχεδίασης πηνίων, ολοκληρωµένων σε υπόστρωµα πυριτίου. Συγκεκριµένα τα εργαλεία που αναπτύχθηκαν έχουν τη δυνατότητα να παράγουν το φυσικό σχέδιο τετραγωνικών ή οκταγωνικών πηνίων που προκύπτουν έπειτα από πρόγραµµα βελτιστοποίησης. Βελτιστοποίηση, για ένα ολοκληρωµένο πηνίο, σηµαίνει αναζήτηση της µέγιστης απόδοσης του πηνίου και του ελάχιστου κόστους για την κατασκευή του. Το πρόγραµµα που αναπτύχθηκε λαµβάνει υπόψη του και τις δύο αυτές παραµέτρους και παράγει τη βέλτιστη σχεδίαση ανάλογα µε τις απαιτήσεις του χρήστη. Τα εργαλεία βέλτιστης σχεδίασης κτίστηκαν στο πρόγραµµα CADENCE και αναπτύχθηκαν σε γλώσσα SKILL. Έτσι δηµιουργήσαµε στο CADENCE µια καινούργια βιβλιοθήκη που περιλαµβάνει πηνία προϊόντα του προγράµµατος βελτιστοποίησης. Τα πηνία αυτά µπορούν να χρησιµοποιηθούν σε οποιαδήποτε σχηµατική εφαρµογή ή εφαρµογή φυσικού σχεδίου, καθώς αποτελούν απαραίτητα εξαρτήµατα για τη σύνθεση RF συστηµάτων. Επιπλέον, µέρος της διπλωµατικής εργασίας αποτέλεσε και η προσοµοίωση τετραγωνικών και οκταγωνικών ολοκληρωµένων πηνίων µε το πρόγραµµα Advanced Design System Το πρόγραµµα αυτό πραγµατοποιεί πλήρη ηλεκτροµαγνητική ανάλυση, βάσει της γεωµετρικής δοµής και των τεχνολογικών παραµέτρων κατασκευής των πηνίων. Με τις προσοµοιώσεις αυτές είχαµε την ευκαιρία να κάνουµε σύγκριση µε το θεωρητικό µοντέλο αλλά και σύγκριση της απόδοσης µεταξύ τετραγωνικών και οκταγωνικών πηνίων. Στο σηµείο αυτό θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα της διπλωµατικής εργασίας, Αναπληρωτή Καθηγητή, κ. Άλκη Χατζόπουλο, για την καθοδήγησή του καθ όλη τη διάρκεια της συνεργασίας µας. Ευχαριστώ επίσης τους υποψήφιους διδάκτορες Μπούγια Παναγιώτα και Μακρυγιάννη Ηλία για την πολύτιµη βοήθειά τους. Ελευθεράκης Σταύρος Φεβρουάριος 2005 III

5 IV

6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο ρόλος των πηνίων στη σχεδίαση RF κυκλωµάτων Σκοπός της διπλωµατικής εργασίας οµή της διπλωµατικής εργασίας...4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΩΝ C.PATRICK YUE, SIMON S.WONG Φυσικό σχέδιο ( layout του µοντέλου Ισοδύναµο σχηµατικό κύκλωµα του µοντέλου Συντελεστής ποιότητας. 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΜΕΘΟ ΩΝ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΩΝ ΠΗΝΙΩΝ Βελτιστοποίηση µέσω γεωµετρικών χαρακτηριστικών Sequential Quadratic Programming (SQP ιατύπωση της µεθόδου Αλγόριθµος SQP Γεωµετρικός προγραµµατισµός ιατύπωση της µεθόδου Εφαρµογή γεωµετρικού προγραµµατισµού στο µοντέλο των C.Patrick Yue και Simon S.Wong Παράδειγµα γεωµετρικού προγραµµατισµού Επίδραση της τεχνολογίας στην απόδοση του πηνίου Επίδραση υλικού του µετάλλου του πηνίου Επίδραση πάχους µετάλλου του πηνίου Επίδραση πάχους οξειδίου Επίδραση υποστρώµατος πυριτίου Χρήση βάσεων δεδοµένων πηνίων και ειδικών προσοµοιωτών Επίδραση της επιφάνειας σχεδίασης στην απόδοση του πηνίου..31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΩΝ ΠΗΝΙΩΝ (ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΜΕΘΟ ΟΣ Βέλτιστο πλάτος αγωγού του πηνίου Περιγραφή της µεθόδου βελτιστοποίησης Εύρεση µέγιστου συντελεστή ποιότητας Εύρεση µέγιστου συντελεστή ποιότητας µε επιλογή διαθέσιµης επιφάνειας πυριτίου Εύρεση βέλτιστης υλοποίησης για συνδυασµό µέγιστου συντελεστή ποιότητας και ελάχιστης κατανάλωσης επιφάνειας πυριτίου Επιλογή της παραµέτρου s (κενό µεταξύ των σπειρών...49 V

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΩΝ ΠΗΝΙΩΝ ΣΤΟ CADENCE ηµιουργία βιβλιοθήκης ηµιουργία φυσικού σχεδίου (layout τετραγωνικών πηνίων ηµιουργία pcell του πηνίου από κώδικα SKILL Χρήση του φυσικού σχεδίου (layout τετραγωνικών πηνίων ηµιουργία ισοδύναµου κυκλωµατικού µοντέλου ηµιουργία συµβόλου του µοντέλου Σύνταξη CDF περιγραφής του µοντέλου Σύνταξη της callback Ορισµός του υποκυκλώµατος Έλεγχος για τη σωστή λειτουργία του µοντέλου οκιµή του layout pcell Έλεγχος για την πρώτη υλοποίηση της βελτιστοποίησης Έλεγχος για τη δεύτερη υλοποίηση της βελτιστοποίησης οκιµή του ισοδύναµου κυκλώµατος Transient Analysis AC Analysis Εφαρµογή µοντέλου βελτιστοποίησης σε LNA ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΩΝ ΟΚΤΑΓΩΝΙΚΩΝ ΠΗΝΙΩΝ ΣΤΟ CADENCE ηµιουργία pcell οκταγωνικού πηνίου από κώδικα SKILL Οκταγωνικά πηνία µε βελτιστοποίηση ηµιουργία του µοντέλου octagonal_opt Έλεγχος για σωστή λειτουργία του µοντέλου octagonal_opt οκιµή του layout pcell οκιµή του ισοδύναµου κυκλώµατος Οκταγωνικά πηνία (απλό µοντέλο ηµιουργία του µοντέλου octagonal Έλεγχος για σωστή λειτουργία του µοντέλου octagonal οκιµή του layout pcell οκιµή του ισοδύναµου κυκλώµατος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΟΚΤΑΓΩΝΙΚΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΩΝ ΠΗΝΙΩΝ ΣΤΟ ADS Εισαγωγή φυσικού σχεδίου στο ADS Προσδιορισµός χαρακτηριστικών του υποστρώµατος Προσοµοιώσεις ΠΗΝΙΟ Α ΠΗΝΙΟ Β ΠΗΝΙΟ Γ Συµπεράσµατα από τις προσοµοιώσεις.127 VI

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Σύνοψη της διπλωµατικής εργασίας και συµπεράσµατα Προτάσεις για βελτίωση..131 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Παράµετροι της τεχνολογίας CMOS AMIS 0.7µm..135 Β. Προγράµµατα MATLAB..136 Γ. Αρχεία SKILL Αρχεία CDF Ε. Το αρχείο.cdsinit_local.185 ΣΤ. Οδηγίες εγκατάστασης και χρήσης της βιβλιοθήκης inductors_opt VII

9 VIII

10 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα πηνία παίζουν σηµαντικό ρόλο σε πολλές συσκευές που λειτουργούν στις ραδιοσυχνότητες ( RF συσκευές. Η χρήση τους είναι γνωστή σε εφαρµογές τόσο της ασύρµατης επικοινωνίας όσο και της ενσύρµατης. Ωστόσο, µε την πρόσφατη εκτίναξη των φορητών ηλεκτρονικών στοιχείων που βασίζονται στην ασύρµατη επικοινωνία, το µέγεθος και η απόδοση των πηνίων αποκτούν ολοένα και περισσότερο κρίσιµο ρόλο στη συνολική απόδοση των ηλεκτρονικών συστηµάτων. Τα πηνία δεν ήταν σε θέση να ακολουθήσουν το γοργό ρυθµό που σηµείωσε η τάση για µικροσκοπικοποίηση και τη βελτίωση στα ενεργά στοιχεία (τρανζίστορς Η απόλυτη ολοκλήρωση και τοποθέτηση των πηνίων στα µπλοκ των κυκλωµάτων αποτελούν προτεραιότητα για τους ηλεκτρονικούς µηχανικούς. Εκτός από τις δυσκολίες που παρατηρούνται στην κατασκευή µικρών πηνίων, υπάρχει και η πρόκληση σχεδίασης τους σύµφωνα µε τις ηλεκτρικές προδιαγραφές. Η παρούσα διπλωµατική εργασία επικεντρώνεται στην ανάπτυξη µιας βέλτιστης λύσης για τη σχεδίαση ολοκληρωµένων πηνίων. 1.1 Ο ρόλος των πηνίων στη σχεδίαση RF κυκλωµάτων Τα πηνία εδώ και πολλά χρόνια αποτελούν σηµαντικά παθητικά στοιχεία κυκλωµάτων που χρησιµοποιούνται σε εφαρµογές φίλτρων, µετατροπής ισχύος, σε αισθητήρες και σε ταλαντωτές σε χαµηλές και µέσες συχνότητες. Ωστόσο, λόγω της συνεχώς αυξανόµενης ζήτησης για σχεδίαση κυκλωµάτων µε χαµηλή κατανάλωση ισχύος και λειτουργία σε υψηλές συχνότητες έχουν γίνει πολύ γρήγορα γνωστές RF εφαρµογές πηνίων. Μερικές από αυτές είναι η προσαρµογή της σύνθετης αντίστασης σε κατανεµηµένους ενισχυτές και ενισχυτές χαµηλού θορύβου καθώς και κυκλώµατα για ταλαντωτές ελεγχόµενους από τάση (VCO [1]. Το σχήµα 1.1 δείχνει τη χρήση των πηνίων στις εφαρµογές που αναφέρθηκαν. Η χρήση των πηνίων σε αυτές τις υψηλές συχνότητες απαιτούν οι τιµές επαγωγής να µπορούν να επιτευχθούν σε µικρά µεγέθη πηνίων. (α Ενισχυτής χαµηλού θορύβου [2] (β Ταλαντωτής ελεγχόµενος από τάση [3] 1

11 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή (γ Κατανεµηµένος Ενισχυτής [2] Σχήµα 1.1 Χρήση των πηνίων σε RF κυκλώµατα Η έρευνα και η ολοένα αυξανόµενη πρόοδος που έχει επιτευχθεί σε φορητές συσκευές ασύρµατης επικοινωνίας απαιτεί χαµηλό κόστος, χαµηλή κατανάλωση ισχύος, χαµηλές τάσεις τροφοδοσίας, µικρό θόρυβο, υψηλές συχνότητες λειτουργίας και µικρή παραµόρφωση. Αυτές οι σχεδιαστικές απαιτήσεις θα ήταν αδύνατο να επιτευχθούν σε πολλές περιπτώσεις χωρίς τη χρήση πηνίων που λειτουργούν στις ραδιοσυχνότητες (RF πηνία. Έτσι υπάρχει µεγάλο κίνητρο για τη σχεδίαση, βελτιστοποίηση και µοντελοποίηση σπειροειδών πηνίων κατασκευασµένων σε υπόστρωµα πυριτίου Si. Λόγω των παραπάνω απαιτήσεων οι κατασκευαστές ολοκληρωµένων προσανατολίζονται στην προσέγγιση συστηµάτων πάνω σε ένα chip (system-on-a-chip µε στόχο να ολοκληρώσουν έναν RF ποµποδέκτη και την επεξεργασία ψηφιακού σήµατος στενής ζώνης σε ένα µόνο πλακίδιο πυριτίου. 1.2 Σκοπός της διπλωµατικής εργασίας Η σχεδίαση ολοκληρωµένων πηνίων µέχρι σήµερα δεν διέπεται από σαφής κανόνες. Η ηλεκτροµαγνητική συµπεριφορά των συσκευών αυτών µπορεί να περιγραφεί πλήρως µόνο µε τη λύση πληθώρας εξισώσεων Maxwell που είναι µια επίπονη διαδικασία και απαιτεί µεγάλη υπολογιστική ισχύ. Επίσης έχουν αναπτυχθεί πολλά πακέτα λογισµικού που να προσεγγίζουν τη συµπεριφορά των ολοκληρωµένων πηνίων αλλά η µέθοδος σχεδίασης που χρησιµοποιούν παραµένει απλοϊκή. Ο κύριος στόχος αυτής της διπλωµατικής εργασίας είναι η ανάπτυξη προγράµµατος για µια ξεκάθαρη µέθοδο σχεδίασης ολοκληρωµένων πηνίων που να µπορεί ενδεχοµένως να συνδυαστεί µε κάποια διαθέσιµα εργαλεία προσοµοίωσης που κυκλοφορούν. Χρησιµοποιώντας αυτή τη µέθοδο, ένας µηχανικός σχεδίασης RF κυκλωµάτων θα µπορεί εύκολα να καθορίζει την επιθυµητή επιφάνεια ολοκλήρωσης, την επαγωγή του πηνίου και τη συχνότητα λειτουργίας. Από τις πληροφορίες αυτές θα προκύψει το φυσικό σχέδιο (layout ενός ολοκληρωµένου πηνίου που εµφανίζει βέλτιστο συντελεστή ποιότητας. Η µέθοδος αυτή εξαλείφει µεγάλο µέρος των υπολογισµών που χρειάζονται για τη σχεδίαση πηνίων, επιτρέποντας τους µηχανικούς RF κυκλωµάτων να εστιάσουν την προσοχή τους στη σχεδίαση των κυκλωµάτων. 2

12 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Ένα επίσης σηµαντικό θέµα που µας απασχολεί στην διπλωµατική αυτή εργασία είναι η γεωµετρία του φυσικού σχεδίου των πηνίων. Τα τετραγωνικά σπειροειδή πηνία είναι τα πιο δηµοφιλή εξαιτίας του εύκολου σχεδιασµού τους. Στη βιβλιογραφία αναφέρονται και άλλα µοντέλα πηνίων, όπως εξαγωνικά, οκταγωνικά, κυκλικά κ.ά (Σχήµα 1.2. Όσα περισσότερα µοντέλα πηνίων διαθέτει ένας σχεδιαστής RF κυκλωµάτων τόσο περισσότερες είναι και οι επιλογές που έχει. Για το λόγο αυτό ένας άλλος στόχος της διπλωµατικής εργασίας είναι η δηµιουργία φυσικού σχεδίου για οκταγωνικά πηνία. Σχήµα 1.2 Είδη σπειροειδών πηνίων Επίσης σηµαντικό ρόλο στη µελέτη και τη µοντελοποίηση ολοκληρωµένων πηνίων παίζει η προσοµοίωσή τους από ειδικά πακέτα λογισµικού. Έτσι ένας ακόµη στόχος της διπλωµατικής εργασίας αποτελεί και η προσοµοίωση των µοντέλων που αναπτύχθηκαν. Οι προσοµοιώσεις έγιναν µέσω του λογισµικού πακέτου ADS2002 ( Advanced Design System όπου συγκρίναµε το θεωρητικό µοντέλο µε τις προσοµοιώσεις τετραγωνικών και οκταγωνικών πηνίων. 3

13 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.3 οµή της διπλωµατικής εργασίας Η διπλωµατική αυτή εργασία είναι χωρισµένη στις παρακάτω θεµατικές ενότητες : Κεφάλαιο 2 : Συνοπτική παρουσίαση του µοντέλου των C.Patrick Yue και S.Simon.Wong για επίπεδα σπειροειδή τετραγωνικά πηνία Κεφάλαιο 3 : Παρουσίαση διαφόρων µεθόδων βελτιστοποίησης ολοκληρωµένων πηνίων. Πλεονεκτήµατα- Μειονεκτήµατα της κάθε µεθόδου. Παραδείγµατα βελτιστοποίησης. Κεφάλαιο 4 : Αναλυτική παρουσίαση της επαναληπτικής µεθόδου που χρησιµοποιούµε για τη βελτιστοποίηση ολοκληρωµένων πηνίων. Επίτευξη διαφορετικών υλοποιήσεων βέλτιστης σχεδίασης µε βάση τη µέθοδο αυτή. Παρουσίαση ρεαλιστικών παραδειγµάτων που πιστοποιούν την σπουδαιότητα της µεθόδου. Κεφάλαιο 5 : Αναλυτική περιγραφή της διαδικασίας που ακολουθήσαµε για την ανάπτυξη προγράµµατος για βέλτιστη σχεδίαση και προσοµοίωση τετραγωνικών πηνίων. Εισαγωγή του µοντέλου αυτού στο λογισµικό του CADENCE. Παραδείγµατα εφαρµογής του µοντέλου βελτιστοποίησης. Κεφάλαιο 6 : Ανάπτυξη προγράµµατος για τη δηµιουργία φυσικού σχεδίου ολοκληρωµένων οκταγωνικών πηνίων. Επέκταση της µεθόδου βελτιστοποίησης στα οκταγωνικά πηνία. Εισαγωγή των µοντέλων οκταγωνικών πηνίων στο λογισµικό του CADENCE. Κεφάλαιο 7 : Ηλεκτροµαγνητική προσοµοίωση και σύγκριση ολοκληρωµένων τετραγωνικών και οκταγωνικών πηνίων µε το πρόγραµµα Advanced Design System Σύγκριση του θεωρητικού µοντέλου µε τις προσοµοιώσεις. Κεφάλαιο 8 : Συµπεράσµατα και µελλοντικές προτάσεις για τη µοντελοποίηση, βελτιστοποίηση και προσοµοίωση ολοκληρωµένων πηνίων Παράρτηµα : Παρατίθενται όλα τα αρχεία µε τον κώδικα SKILL, τα προγράµµατα MATLAB για τη βελτιστοποίηση των πηνίων, οι παράµετροι της τεχνολογίας AMIS CMOS 0.7 καθώς και οδηγίες εγκατάστασης και χρήσης των εξαρτηµάτων των ολοκληρωµένων πηνίων. 4

14 Κεφάλαιο 2 Μοντέλο των C.Patrick Yue, Simon S.Wong ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΩΝ C.PATRICK YUE, SIMON S.WONG Το συγκεκριµένο µοντέλο αποτελεί ένα φυσικό µοντέλο για επίπεδα σπειροειδή τετραγωνικά πηνία σε πυρίτιο Si. Ο λόγος της επιλογής αυτού του µοντέλου είναι αφενός το γεγονός ότι περιγράφεται από ένα αρκετά απλοποιηµένο ισοδύναµο κύκλωµα και αφετέρου ότι υπάρχουν αναλυτικοί τύποι και µαθηµατικές εξισώσεις που συνδέουν όλα τα στοιχεία του κυκλώµατος µε τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά του πηνίου και τις τεχνολογικές παραµέτρους. Ακόµα και ο συντελεστής ποιότητας Q του πηνίου, που παίζει πρωτεύοντα ρόλο στη βελτιστοποίηση του πηνίου, περιγράφεται από µια αντίστοιχη µαθηµατική εξίσωση, όπως θα δούµε παρακάτω. 2.1 Φυσικό σχέδιο (layout του µοντέλου Το φυσικό σχέδιο όλων των µοντέλων τετραγωνικών πηνίων προσδιορίζεται πλήρως από τις παρακάτω τέσσερις γεωµετρικές παραµέτρους : Αριθµός των σπειρών (Ν Πάχος της µεταλλικής γραµµής (w Κενό µεταξύ των σπειρών (s Εξωτερική διάµετρος (od Tο φυσικό σχέδιο του πηνίου µπορεί επίσης να καθοριστεί χρησιµοποιώντας την εσωτερική διάµετρο (id αντί της εξωτερικής (od. Στο σχήµα 2.1 φαίνεται το φυσικό σχέδιο ενός τετραγωνικού πηνίου µε τρεις σπείρες. 5

15 Κεφάλαιο 2 Μοντέλο των C.Patrick Yue, Simon S.Wong Σχήµα 2.1 Φυσικό σχέδιο τετραγωνικού πηνίου τριών σπειρών Στο σχήµα 2.2 φαίνεται η διατοµή του τµήµατος ΑΑ του πηνίου του σχήµατος 2.1. Το πηνίο σχεδιάζεται στο ανώτερο στρώµα για να εκµεταλλεύεται τη µικρή σειριακή αντίσταση και να βρίσκεται µακριά από το υπόστρωµα πυριτίου που προκαλεί απώλειες. Η επαφή µε το κέντρο του πηνίου πραγµατοποιείται µέσω µιας γραµµής µετάλλου σε χαµηλότερο επίπεδο που διαπερνάει τις σπείρες από κάτω και καταλήγει σε σηµείο εξωτερικό του πηνίου (underpass. Όλη η δοµή χωρίζεται από το υπόστρωµα του πυριτίου µέσω µιας επιφάνειας οξειδίου. 6

16 Κεφάλαιο 2 Μοντέλο των C.Patrick Yue, Simon S.Wong Σχήµα 2.2 Όψη της τοµής του πηνίου και του underpass Ο ρόλος του πηνίου είναι να αποθηκεύει µόνο µαγνητική ενέργεια. Όµως, στην πράξη, ένα πραγµατικό πηνίο περιέχει αντίσταση (R και χωρητικότητα (C που είναι αντιπαραγωγικά και εποµένως θεωρούνται παρασιτικά. Οι παρασιτικές αντιστάσεις σπαταλούν ενέργεια µέσω των ωµικών απωλειών, ενώ οι παρασιτικές χωρητικότητες αποθηκεύουν ηλεκτρική ενέργεια. Γενικά τα RC παρασιτικά µειώνουν την ποιότητα του πηνίου. Το φυσικό µοντέλο ενός πηνίου φαίνεται στο σχήµα 2.3 όπου φαίνεται η τοµή ενός σπειροειδούς πηνίου πάνω σε πυρίτιο και τονίζονται τα παρασιτικά του στοιχεία. Η επαγωγή και η αντίσταση του πηνίου εκφράζονται από την επαγωγή L s και την αντίσταση R s αντίστοιχα. Η επικάλυψη ανάµεσα στο πηνίο και το underpass εµφανίζει χωρητική σύζευξη ανάµεσα στα δύο άκρα του πηνίου. Αυτό το ανατροφοδοτούµενο κοµµάτι προσοµοιώνεται από τη χωρητικότητα C s. Η 7

17 Κεφάλαιο 2 Μοντέλο των C.Patrick Yue, Simon S.Wong χωρητικότητα οξειδίου ανάµεσα στο πηνίο και το υπόστρωµα πυριτίου εκφράζεται από την C ox. Επίσης η αντίσταση και η χωρητικότητα του υποστρώµατος εκφράζονται από τις R si και C si αντίστοιχα. Σχήµα 2.3 Όψη της τοµής ενός τυπικού πηνίου πάνω σε υπόστρωµα πυριτίου, στην οποία τονίζονται η επαγωγή και τα RC παρασιτικά. 2.2 Ισοδύναµο σχηµατικό κύκλωµα του µοντέλου Το ισοδύναµο σχηµατικό κύκλωµα λοιπόν που προτείνουν οι C.Patrick Yue, Simon S.Wong για την περιγραφή ενός πραγµατικού πηνίου φαίνεται πιο καθαρά στο σχήµα 2.4. Το µοντέλο αυτό περιγράφει πλήρως τα φαινόµενα υποστρώµατος και το επιδερµικό φαινόµενο. 8

18 Κεφάλαιο 2 Μοντέλο των C.Patrick Yue, Simon S.Wong 9 Σχήµα 2.4 Α Ισοδύναµο κύκλωµα Τα στοιχεία του ισοδύναµου κυκλώµατος του σχήµατος 2.4 έχει βρεθεί [4] πως δίνονται από τους παρακάτω τύπους : Csub w l Csi G w l R t w l C t w N C t w l R sub si ox ox ox M oxm ox s eff s = = = = = ε ε ρ = l Nd l Nd Nd l Nd l N N t w N l l Ls ln 1 ( ( ln π µ

19 Κεφάλαιο 2 Μοντέλο των C.Patrick Yue, Simon S.Wong µε t δ 1 e t δ eff = ρ δ = το βάθος διείσδυσης (skin depth πµ f + (3N 2Ni 1( Ni + 1 d = ( w + s ή 3(2N Ni 1 ( + 1 d + = ( w + s N (για ακέραιο 3 αριθµό σπειρών 1 όπου ρ : η ειδική αντίσταση της µεταλλικής γραµµής του πηνίου l : το συνολικό µήκος όλων των τµηµάτων του πηνίου ε ox : η διηλεκτρική σταθερά του στρώµατος οξειδίου SiO 2 µεταξύ πηνίου και υποστρώµατος t ox : το πάχος του στρώµατος οξειδίου SiO 2 µεταξύ πηνίου και υποστρώµατος (βλέπε σχήµα 2.2 t oxm1-m2 : το πάχος οξειδίου ανάµεσα στο πηνίο και το underpass (βλέπε σχήµα 2.2 Csub : η χωρητικότητα υποστρώµατος πυριτίου Si ανά µονάδα επιφάνειας Gsub : η αγωγιµότητα υποστρώµατος πυριτίου Si ανά µονάδα επιφάνειας. t : το πάχος της µεταλλικής γραµµής µ : η µαγνητική διαπερατότητα του µετάλλου f : η συχνότητα µ ο : η µαγνητική διαπερατότητα του κενού N i : το ακέραιο µέρος των Ν σπειρών 1 Στην παρούσα διπλωµατική εργασία θα αναφερόµαστε πάντα σε ακέραιο αριθµό σπειρών οπότε ισχύει ο δεύτερος τύπος για το µέγεθος d + 10

20 Κεφάλαιο 2 Μοντέλο των C.Patrick Yue, Simon S.Wong 2.3 Συντελεστής Ποιότητας Για την εύρεση του συντελεστή ποιότητας Q oι C.Patrick Yue, Simon S.Wong πρότειναν ένα επιπλέον ισοδύναµο κυκλωµατικό µοντέλο (σχήµα 2.5 που προέκυψε από το αρχικό ισοδύναµο του σχήµατος 2.4 Σχήµα 2.5 Β Ισοδύναµο κύκλωµα Στο κύκλωµα αυτό τα στοιχεία R p και C p έχουν αντικαταστήσει τα στοιχεία C ox, C si και R si του σχήµατος 2.4 και συνδέονται µεταξύ τους µε τις σχέσεις : ω = 2πf Με αυτόν τον τρόπο είναι δυνατόν ο συντελεστής ποιότητας Q να περιγραφεί από τον τύπο : 11

21 Κεφάλαιο 2 Μοντέλο των C.Patrick Yue, Simon S.Wong ή αλλιώς Ο πρώτος όρος Q intrinsic αντιπροσωπεύει τη µαγνητική ενέργεια που αποθηκεύεται στο πηνίο και τις ωµικές απώλειες πάνω στην εν σειρά αντίσταση. Ο δεύτερος όρος F substrate είναι ο παράγοντας απωλειών του υποστρώµατος και αντιστοιχεί στην απώλεια ενέργειας στο υπόστρωµα πυριτίου Si. Ο τελευταίος όρος F self-resonance είναι ο παράγοντας συντονισµού, ο οποίος περιγράφει τη µείωση του Q εξαιτίας της αύξησης της µέγιστης ηλεκτρικής ενέργειας µε τη συχνότητα και το µηδενισµό του Q στη συχνότητα συντονισµού. Για να βρούµε τη συχνότητα συντονισµού f 0 θέτουµε τον όρο F self-resonance ίσο µε µηδέν και λύνουµε ως προς f 0. Τελικά προκύπτει : 12

22 Κεφάλαιο 3 Παρουσίαση µεθόδων βελτιστοποίησης ολοκληρωµένων πηνίων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΜΕΘΟ ΩΝ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΩΝ ΠΗΝΙΩΝ Τα επίπεδα σπειροειδή πηνία πάνω σε chip αποτελούν βασικά εξαρτήµατα σε συσκευές που λειτουργούν σε ραδιοσυχνότητες ( RFIC s της τάξης των µερικών GHz. Τα τελευταία χρόνια η σχεδίαση και η βελτιστοποίηση των ολοκληρωµένων επίπεδων σπειροειδών πηνίων έχει προσελκύσει το ενδιαφέρον οµάδων σχεδίασης ολοκληρωµένων κυκλωµάτων και αυτοµατισµού σχεδίασης ηλεκτρονικών συσκευών. Ο σκοπός της βελτιστοποίησης των πηνίων ποικίλει ανάλογα µε την εφαρµογή. Μπορεί να είναι η επίτευξη υψηλού συντελεστή ποιότητας Q, η επίτευξη µικρής κατανάλωσης επιφάνειας πυριτίου ή ακόµα και η επίτευξη χαµηλών παρασιτικών φαινοµένων. Γενικά υπάρχουν τρεις κυρίως κατηγορίες απωλειών που υποβαθµίζουν τον συντελεστή ποιότητας Q του πηνίου : οι απώλειες λόγω της σειριακής αντίστασης του σπειροειδούς πηνίου, η ηλεκτρική σύζευξη που παρατηρείται µεταξύ του σπειροειδούς πηνίου και του υποστρώµατος και τα δινορεύµατα που αναπτύσσονται στο υπόστρωµα λόγω µαγνητικών φαινοµένων. Στο [5], οι απώλειες υποστρώµατος εξαιτίας των δινορευµάτων µειώνονται σηµαντικά µε την προσθήκη µιας αγώγιµης ασπίδας γείωσης µεταξύ του σπειροειδούς πηνίου και του υποστρώµατος, όπως φαίνεται στο σχήµα 3.1. Η ασπίδα γείωσης αυτή παρέχει ουσιαστικά βραχυκύκλωµα µε τη γη. Το µειονέκτηµα αυτής της µεθόδου είναι η διατάραξη του µαγνητικού πεδίου του πηνίου, εποµένως και της συνολικής επαγωγής που παρουσιάζει το πηνίο. Για να είναι ικανοποιητικό το αποτέλεσµα, οι ασπίδες γείωσης σχεδιάζονται µε ειδικό τρόπο, έχουν δηλαδή ειδική µορφή, όπως αυτή που φαίνεται στο σχήµα 3.2. [5] Σχήµα 3.1 Πηνίο 3 σπειρών µε ασπίδα γείωσης 13

23 Κεφάλαιο 3 Παρουσίαση µεθόδων βελτιστοποίησης ολοκληρωµένων πηνίων Σχήµα 3.2 Κάτοψη της ασπίδας γείωσης ειδικής µορφής Στο [6], η ηλεκτρική και η µαγνητική σύζευξη που υφίσταται στο υπόστρωµα πρακτικά εξουδετερώνονται από τη χάραξη µιας κοιλότητας στο υπόστρωµα κάτω από το σπειροειδές πηνίο. Η µέθοδος αυτή όµως παρουσιάζει το µειονέκτηµα υψηλότερου κόστους επεξεργασίας και γεννά ερωτήµατα για την απόδοση του chip και την µακροπρόθεσµη µηχανική του σταθερότητα. 3.1 Βελτιστοποίηση µέσω γεωµετρικών χαρακτηριστικών Η απώλεια ενέργειας λόγω της σειριακής αντίστασης του σπειροειδούς πηνίου µπορεί να µειωθεί µόνο µέσω βελτιστοποίησης των γεωµετρικών παραµέτρων του πηνίου, όπως ο αριθµός των σπειρών, η εξωτερική διάµετρος, το πλάτος των µεταλλικών γραµµών που αποτελούν το πηνίο και το κενό µεταξύ των γειτονικών µεταλλικών γραµµών. Οι µέθοδοι που στηρίζονται σε αυτή την τεχνική είναι πρωτίστως µαθηµατικοί. Οι σπουδαιότερες από αυτές είναι η επαναληπτική µέθοδος (enumeration για την οποία γίνεται εκτενέστερη αναφορά στο κεφάλαιο 4, η χρήση τετραγωνικού προγραµµατισµού ( Sequential Quadratic Programming και η χρήση γεωµετρικού προγραµµατισµού ( Geometric Programming. 14

24 Κεφάλαιο 3 Παρουσίαση µεθόδων βελτιστοποίησης ολοκληρωµένων πηνίων Sequential Quadratic Programming (SQP Με τη χρήση του τετραγωνικού προγραµµατισµού ( SQP είναι δυνατή η βελτιστοποίηση του συντελεστή ποιότητας Q των ολοκληρωµένων σπειροειδών πηνίων. Η µέθοδος αυτή είναι µια µαθηµατική διαδικασία βασισµένη στην παρατήρηση ότι σχεδόν κάθε συνεχής συνάρτηση µπορεί τοπικά να προσεγγιστεί από µια δευτεροβάθµια συνάρτηση και έχει την ιδιότητα να συγκλίνει γραµµικά αν οι αρχικές τιµές των επαναλήψεων βρίσκονται αρκετά κοντά στην τελική βέλτιστη λύση. Σε σύγκριση µε την επαναληπτική µέθοδο, η τεχνική αυτή είναι γρηγορότερη τουλάχιστον κατά µια τάξη µεγέθους, ενώ διατηρείται ίδια η ποιότητα της βελτιστοποιηµένης σχεδίασης. Σε σύγκριση µε τη µέθοδο του γεωµετρικού προγραµµατισµού, η µέθοδος SQP µπορεί να χρησιµοποιηθεί µε οποιοδήποτε φυσικό µοντέλο πηνίου, για να βελτιστοποιηθεί η λειτουργία της συσκευής που το περιέχει, σε οποιαδήποτε συχνότητα. Το γεγονός αυτό καθιστά τη χρήση του SQP κατάλληλη σε ευρύ φάσµα εφαρµογών. Η µέθοδος αυτή στηρίζεται σε µια λογισµική µηχανή εξόρυξης ( extraction machine σπειροειδών πηνίων παρόµοια µε αυτή που χρησιµοποιείται στο πρόγραµµα ASITIC [7]. Ο συντελεστής ποιότητας και η ουσιαστική επαγωγή της διάταξης εξάγονται από τις Y παραµέτρους δύο θυρών, ενώ το επιδερµικό φαινόµενο και το φαινόµενο γειτνίασης λαµβάνονται υπόψη αυτόµατα µέσω του meshing των µεταλλικών γραµµών κατά µήκος αυτών. Ο όρος meshing εκφράζει τη διαδικασία κατά την οποία ο προσοµοιωτής χωρίζει σε µικρά πλέγµατα το φυσικό σχέδιο (layout του πηνίου, πριν ξεκινήσει η διαδικασία της προσοµοίωσης ιατύπωση της µεθόδου Στη συνέχεια γίνεται µια σύντοµη διατύπωση της µεθόδου. Στο σχήµα 3.1 φαίνεται το φυσικό σχέδιο ενός τετραγωνικού σπειροειδούς πηνίου µε τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά του N, D, w και s, όπως ορίστηκαν προηγουµένως. Ο συντελεστής ποιότητας και η επαγωγή του πηνίου αποτελούν συναρτήσεις των γεωµετρικών χαρακτηριστικών του πηνίου, δηλαδή ορίζονται οι συναρτήσεις : Q(n,D,w,s και L(n,D,w,s. Ακόµα ας ορίσουµε τα µεγέθη L exp και δ ωσ την επιθυµητή τιµή επαγωγής του πηνίου και την επιτρεπόµενη ανοχή της επαγωγής να διαφέρει από την επιθυµητή, αντίστοιχα. Τότε το πρόβληµα βελτιστοποίησης της επαγωγής περιγράφεται από τη φόρµα : Μεγιστοποίηση Q(n,D,w,s υπό τις συνθήκες : (1 δl exp L(n, 2n(w + s D D L D D U w L w w U sl s su D, w, s (1 + δl exp 15

25 Κεφάλαιο 3 Παρουσίαση µεθόδων βελτιστοποίησης ολοκληρωµένων πηνίων Τα στοιχεία D L, D U, w L, w U, s L και s U είναι τα κάτω και άνω όρια των αντίστοιχων µεταβλητών βελτιστοποίησης, αντίστοιχα. Ο αριθµός των σπειρών n λαµβάνεται υπόψη σαν παράµετρος παρά σαν µεταβλητή, επειδή παίρνει µόνο διακριτές τιµές. Τα στοιχεία D, w και s λαµβάνονται ως συνεχείς µεταβλητές για το σκοπό της βελτιστοποίησης και µπορούν να στρογγυλοποιηθούν στο πλησιέστερο σηµείο πλέγµατος ( grid point κατά τη δηµιουργία του φυσικού σχεδίου (layout. Εφόσον ο συντελεστής ποιότητας Q και η επαγωγή L είναι µη γραµµικές συναρτήσεις, η διατύπωση αυτή οδηγεί σε ένα µη γραµµικό πρόβληµα βελτιστοποίησης, το οποίο µπορεί να λυθεί χρησιµοποιώντας τον αλγόριθµο SQP. Για να εφαρµοστεί µε επιτυχία ο αλγόριθµος SQP πρέπει να είµαστε σε θέση να υπολογίσουµε µε µεγάλη ακρίβεια τα µεγέθη Q και L, καθώς επίσης και τις ευαισθησίες τους ως προς τα µεγέθη D, w, και s Αλγόριθµος SQP Για να υπολογιστούν τα µεγέθη Q και L, αρχικά το σπειροειδές πηνίο χωρίζεται σε µικρά µεταλλικά τµήµατα συνδεδεµένα σε σειρά. Στο σχήµα 3.3 φαίνεται το σχηµατικό του πηνίου που χρησιµοποιείται για την εξαγωγή των Q και L, όπου κάθε µεταλλικό τµήµα αντιπροσωπεύεται από ένα ισοδύναµο π µοντέλο. Οι κλάδοι σε σειρά περιλαµβάνουν την αυτεπαγωγή και την παρασιτική αντίσταση του µεταλλικού τµήµατος, ενώ οι παράλληλοι κλάδοι περιλαµβάνουν τη χωρητικότητα σύζευξης µε το υπόστρωµα και την αγωγιµότητα του υποστρώµατος. Επίσης συνυπολογίζονται τα φαινόµενα αµοιβαίας επαγωγής µεταξύ των παράλληλων τµηµάτων και χωρητικοτήτων σύζευξης µεταξύ των παράλληλων τµηµάτων που βρίσκονται σε γειτονικές σπείρες. Σχήµα 3.3 Κατανεµηµένο π µοντέλο για τετραγωνικό σπειροειδές πηνίο Με κατάλληλη κοµβική ανάλυση που περιγράφεται στο [7] και αν θεωρήσουµε ότι ολόκληρο το σπειροειδές πηνίο µοντελοποιείται από το ισοδύναµο π κύκλωµα του σχήµατος 3.4, η επαγωγή και ο συντελεστής ποιότητας δίνονται από τους τύπους : 16

26 Κεφάλαιο 3 Παρουσίαση µεθόδων βελτιστοποίησης ολοκληρωµένων πηνίων 1 1 L = Im 2πf Y12 ( 11 ( Y11 Im Y Q = Re Σχήµα 3.4 Ισοδύναµο π µοντέλο του πηνίου Για να εφαρµοστεί ο αλγόριθµος SQP πρέπει να υπολογιστούν οι ευαισθησίες της επαγωγής L και του συντελεστή ποιότητας Q ως προς κάθε µεταβλητή βελτιστοποίησης. Έστω ότι το p αντιπροσωπεύει µια µεταβλητή βελτιστοποίησης. Τότε οι ευαισθησίες των L και Q ως προς αυτή τη µεταβλητή θα δίνονται από τις σχέσεις : Από τις προηγούµενες σχέσεις φαίνεται πως για να βρούµε τις ευαισθησίες πρέπει να υπολογίσουµε τις µερικές παραγώγους των y παραµέτρων ως προς τις µεταβλητές βελτιστοποίησης. Ένας τρόπος για να το πετύχουµε είναι η προσέγγιση πεπερασµένων διαφορών, η οποία απαιτεί µια επιπλέον προσοµοίωση για την ευαισθησία για κάθε µεταβλητή βελτιστοποίησης. Για να αποφύγουµε τις επιπλέον προσοµοιώσεις χρησιµοποιούµε τη µέθοδο των πινάκων[7]. Ο τετραγωνικός προγραµµατισµός είναι µια ευέλικτη µέθοδος για τη λύση γενικών, µη γραµµικών προβληµάτων βελτιστοποίησης της µορφής : 17

27 Κεφάλαιο 3 Παρουσίαση µεθόδων βελτιστοποίησης ολοκληρωµένων πηνίων Ελαχιστοποίηση f(x υπό τις συνθήκες : h(x g(x = 0 0 όπου f : R n h : R n g : R n R R m R p Το πρόβληµα βελτιστοποίησης του πηνίου ταιριάζει τέλεια στο πλαίσιο των προηγούµενων σχέσεων. Ο αλγόριθµος SQP είναι µαθηµατικά αρκετά πολύπλοκος περιλαµβάνοντας µετασχηµατισµούς σε Hessian και Lagrangian συναρτήσεις και πινάκες και περιγράφεται πιο αναλυτικά στο [8]. Ο αλγόριθµος SQP υπάρχει πιθανότητα να σταµατήσει σε κάποια τοπική βέλτιστη λύση. Ωστόσο και στην περίπτωση αυτή µέσω του SQP µπορούµε να βρούµε τη γενική βέλτιστη λύση αν εφαρµόσουµε τον αλγόριθµο περισσότερες φορές, ξεκινώντας τη διαδικασία από διαφορετικά αρχικά σηµεία Γεωµετρικός Προγραµµατισµός Ο γεωµετρικός προγραµµατισµός αποτελεί µια ικανοποιητική µέθοδο για τη βέλτιστη σχεδίαση CMOS πηνίων για τη χρήση τους σε RF κυκλώµατα. Η µέθοδος αυτή, όπως και ο αλγόριθµος SQP (παράγραφος χρησιµοποιεί τις φυσικές διαστάσεις του πηνίου σαν παραµέτρους της σχεδίασης και χειρίζεται ορισµένες προδιαγραφές, όπως η σταθερή τιµή της επαγωγής, η ελάχιστη συχνότητα συντονισµού, ο ελάχιστος συντελεστής ποιότητας κ.ά. Οι γεωµετρικοί περιορισµοί που µπορούν να επιβληθούν περιλαµβάνουν µέγιστες και ελάχιστες τιµές για κάθε παράµετρο σχεδίασης καθώς και περιορισµό στη συνολική επιφάνεια που καταλαµβάνει το πηνίο. Επίσης η µέθοδος αυτή είναι γενική, που σηµαίνει ότι βρίσκει αυστηρά την καλύτερη δυνατή σχεδίαση, όταν οι προδιαγραφές είναι εφικτές. Η µέθοδος αυτή επιπλέον είναι πολύ γρήγορη και παρέχει πολύτιµες πληροφορίες για την ευαισθησία των παραµέτρων βελτιστοποίησης ως προς τους περιορισµούς, επιτρέποντας έτσι στο σχεδιαστή RF CMOS κυκλωµάτων να σπαταλά περισσότερο χρόνο στην ανάλυση του «ισοζυγίου» της σχεδίασης παρά στη ρύθµιση των κατάλληλων παραµέτρων ιατύπωση της µεθόδου Έστω f µια πραγµατική συνάρτηση αποτελούµενη από n πραγµατικές, θετικές µεταβλητές x 1,, x n Η f ονοµάζεται πολυωνυµική συνάρτηση αν έχει τη µορφή : 18

28 Κεφάλαιο 3 Παρουσίαση µεθόδων βελτιστοποίησης ολοκληρωµένων πηνίων όπου cj 0 a ij R Στην περίπτωση που t = 1, η f ονοµάζεται µονωνυµική συνάρτηση. Έτσι για παράδειγµα η x συνάρτηση x 3 2 είναι πολυωνυµική, ενώ η συνάρτηση x x x είναι µονωνυµική. Γενικά ένα γεωµετρικό πρόγραµµα περιγράφεται από τη φόρµα : ελαχιστοποίηση f 0 (x υπό τις συνθήκες : fi(x 1 g i(x = 1 xi > 0, i, i = 1,2,..., m, = 1,2,..., p,,i = 1,2,..., n, όπου οι f i είναι πολυωνυµικές συναρτήσεις και οι g i είναι µονωνυµικές συναρτήσεις. Αν η f είναι πολυωνυµική συνάρτηση και η g µια µονωνυµική τότε ο περιορισµός f(x g(x µπορεί να εκφραστεί ως f(x/g(x 1 ( εφόσον η f /g είναι πολυωνυµική. Μπορούν επίσης να χρησιµοποιηθούν περιορισµοί της µορφής f(x a, µε a>0. Οµοίως αν g 1 και g 2 είναι µονωνυµικές συναρτήσεις, ο περιορισµός g 1 (x=g 2 (x µπορεί να εκφραστεί ως g 1 (x/g 2 (x = 1 ( εφόσον η g 1 /g 2 είναι µονωνυµική. Για το σκοπό µας, το σηµαντικότερο πλεονέκτηµα των γεωµετρικών προγραµµάτων είναι ότι µπορούν να λυθούν ολικά µε µεγάλη αποδοτικότητα. Οι αλγόριθµοι γεωµετρικών προγραµµάτων επίσης ελέγχουν αν το πρόβληµα είναι ανέφικτο. Επιπλέον, οι αρχικές τιµές για τον αλγόριθµο βελτιστοποίησης δεν έχουν καµία επίδραση στην τελική λύση. Αντίθετα, οι αρχικές τιµές παραµέτρων ή η αρχική σχεδίαση είναι εντελώς περιττές διαδικασίες. Στις προηγούµενες παραγράφους αναφέραµε ότι ο γεωµετρικός προγραµµατισµός βασίζεται στην παραδοχή ότι τόσο οι συναρτήσεις όσο και οι περιορισµοί που περιγράφουν το πρόβληµα είναι πολυωνυµικές συναρτήσεις. Το µειονέκτηµα αυτής της µεθόδου είναι ότι για να ικανοποιηθεί αυτή η απαίτηση, η επαγωγή του σπειροειδούς πηνίου πρέπει να υπολογιστεί χρησιµοποιώντας µια προσεγγιστική φόρµα που προκύπτει από διαγράµµατα πολλών προκατασκευασµένων ή προ-προσοµοιωµένων σχεδιάσεων. Ακόµα, ολόκληρο το πηνίο πρέπει να αναπαριστάνεται από ένα απλό π µοντέλο, µε όλα τα παρασιτικά του στοιχεία γραµµένα σε πολυωνυµικές συναρτήσεις. Η αδυναµία αυτής της µεθόδου είναι ότι τα 19